18

durch deren wiederholte Anwendung man leicht die independenten Ausdrücke für P und I erhält, nämlich

P(1,2,3,...a—1,a0)=(n+a—1)(n+a—2)...(n+1)P(1”), und da P(ir)=1, =(n+a—1)n+a—2)...n+1), I1,2,3,...2—1,aa)=(n+ta—1)(n+a—2)1(,2,...a— 3,(a—2)")

Fatal? 173 7?)Pa,2...23,@— 2”)

+22 2:)PQ,2, a 2 1y) =(n+a—1)...n+a—3)1I(1,2,...a—4,(a—3)") Enait)n4 ale) RP. raue

+n+a-1)("+22) P(,2,...a—3,(a—2)") +(73 7})Ptu2, a2, aid)

und unter Berücksichtigung der oben gefundenen Werte P und des Wertes I(1")=0 ergibt sich das Resultat

=(n+a—1)(n+a—2)...(n+1)-I({1r) Beh(n+a—1)...n+1)[nta-9+n+a—9)+...+n]

a— 1

z n+a-1)...n+5(3)m+ta-N...(n+1).

Daraus folgt sofort

I1,2,.a—1,a" a—l)n a—1 la an-- 2+( 2)=3 hulire a ta) sodass sich auch hier wiederum als mittlere Anzahl. der in einer der P(1,2,...a—1,a") vorkommenden Inversionen ergibt

in(1,2,...a-1,2)= 2-iu(1,2,...a—1,an), was wir ja schon am Anfang dieses Abschnitts gefunden hatten.

Zur Bestimmung der P, und I, müssen wir die folgenden beiden Fälle unter- scheiden, je nachdem n+a eine gerade oder ungerade Zahl ist. Beachtet man ferner, dass sich die Klasse der Permutationen nicht ändert, wenn die Inversionszahl sich um eine gerade Anzahl vermehrt, dass dagegen bei einer Vermehrung um eine ungerade Anzahl von Inversionen die geraden Permutationen des früheren Systems in ungerade des neuen verwandelt werden und die ungeraden in gerade, so findet man folgende Rekursionsformeln:

I. a und n sind beide gerade oder beide ungerade.

> BEE n+ta—2 ur Pr,2,3,...(a- 17)+2

P,(1,2,3,...ar)=- P(1,2,3,...(a— 1)")

E— nzcu: P(1,2,3,...(a—1)")+P,(l, 2, 3, N(a Be 1").