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=(avi)

urn)

2: TIETTN 2. m ist ungerade, daher&'=2£.

2a) urn(udn) EZ zT) —B+4(km)(3)(°r)

Wir ersehen hieraus, dass in allen Fällen die geforderten Identitäten bestehen. Wenn wir die allgemeinen Formeln P,(1*,2!, 3”), 1,(1*, 2,3”) als richtig voraussetzen für1,2,3,... m, so gelten sie auch für m=m-+1. Nun haben wir aber oben ihre Gültigkeit festgestellt für m=1,2,3,4,5, folglich sind sie auch ganz allgemein für beliebige m richtig.

Vertauscht man in dem System P(1*,2!, 3",...a‘,...) die Multiplizitäten zweier unmittelbar aufeinanderfolgenden Elementsorten a—1 und a miteinander, so ändert sich nichts an der Zahl der Inversionen, die diese beiden Elementsorten mit den vorher- gehenden niedrigeren und den folgenden höheren Elementen bilden, weil die sämtlichen Elemente dieser beiden Sorten gegenüber allen früheren Elementsorten höhere, gegen- über allen nachfolgenden dagegen niedrigere Elemente sind. Eine Änderung hinsichtlich der Inversionen könnte nach Vertauschung der Exponenten der Elemente a—1 und a daher nur eintreten bei den Inversionen, die die beiden Sorten a und a—1 miteinander bilden. Nun haben wir aber beim System P(1*,2') gesehen, dass k und| vertauscht werden können, ohne dass dadurch die dort gefundenen Resultate geändert werden. Folglich wird durch die Vertauschung der Multiplizitäten zweier unmittelbar aufeinander- folgenden Elementsorten keine Änderung hinsichtlich der Inversionen des Systems P(1*, 2l,...a‘,....).hervorgerufen.

Da sich ferner eine Vertauschung von zwei ganz beliebigen Elementsorten stets durch wiederholtes Vertauschen von zwei benachbarten Sorten erreichen lässt, so müssen auch nach Vertauschung der Multiplizitäten von zwei ganz beliebigen Elementen 1, 2,3,...a doch dieselben Resultate für die P, und I; auftreten wie vorher. Die früher gefundenen Formeln bleiben also auch nach der Vertauschung bestehen. So findet man z. B. leicht aus den Resultaten für das System P(1*, 2!, 3”), dass

P;(1*, 2, 3") vr P;t', an, 3)= P;(1”, 2 3)= P,(1”, 2, 3)= P;t), 2*, 3") Fe P;(1*, 2", 3), 1,(1%, 21, 3”)= 1,(1, 2%, 3)= 1”, 2%, 9)...