Einleitung.

Ist die Reihenfolge der gegebenen Elemente einer Komplexion durch gesetz- mässige Anordnung genau bestimmt, so bildet jedes seiner Ordnung nach spätere Element mit jedem unmittelbar, oder durch andere Elemente getrennt, folgenden früheren Element eine Inversion. Nimmt man die Elemente aus der natürlichen Zahlenreihe 1, 2, 3,...,a, so findet man in einer Komplexion so viele Inversionen, als in ihr grössere vor kleineren Zahlen stehen; z. B. besitzt die Komplexion 352641 die 9 Inversionen 31, 51, 21, 61, 41, 32, 52, 54, 64. Bei der natürlichen Ordnung der Elemente ergibt sich die Minimalzahl der Inversionen einer Komplexion, nämlich 0, bei der umgekehrten Ordnung

die Maximalzahl von Inversionen(2)

Bezeichnet man mit P(a) die Anzahl aller Permutationen aus den a_ von einander verschiedenen Elementen 1,2,3,...a, mit P,(a) die Zahl derjenigen unter ihnen, welche eine gerade Anzahl von Inversionen besitzen, und entsprechend mit Pı(a) die Anzahl der Permutationen von P(a) mit ungerader Inversionszahl, so ist

Pa)= Pla) 5 Pla).*)

Die Permutationen des Systems P(a) erhält man aus denen des vorhergehenden Systems P(a-1), indem man das neue Element a der Reihe nach an das Ende, vor das letzte Element, vor das vorletzte Element usw., schliesslich an den Anfang einer jeden Permutation des Systems P(a-1) setzt. Das neue Element a kann also in jeder Permu- tation des früheren Systems an a verschiedene Stellen treten, sodass dadurch a-P(a-1) neue.Permutationen entstehen, d. h.:

P(a)=a-Pla-1)=a-(a-1)!=a!

Tritt das neue und zugleich höchste Element a an das Ende der gegebenen Per- mutationen P(a—1), so ändert sich dabei nichts an der Anzahl der Inversionen der früheren Permutationen, d.h. die Inversionszahl jeder so gebildeten neuen Permutation ist gleich derjenigen der entsprechenden alten Permutation. Tritt aber a vor das letzte und damit vor ein niedrigeres Element, so erhalten wir in jeder neuen Permutation eine Inversion mehr als in den entsprechenden Permutationen von P(a-1). Kommt a vor die beiden letzten Elemente in jeder alten Permutation zu stehen, so ergibt sich in jeder der so entstandenen(a—1)! neuen Permutationen eine Vermehrung der Inversionszahl um je 2 Inversionen usw. Endlich liefert das neue Element a am Anfang jeder alten Permutation eine Vermehrung der früheren Inversionszahlen um je a-1, weil es dann vor a-1 nie- drigeren Elementen steht.

Für die Summe aller in den Permutationen des Systems P(a) überhaupt vor- kommenden Inversionen I(a) ergibt sich daher die Beziehung

Ia)=a-la-1)+(2)-Pa- 1).

*) Vgl. Netto: Kombinatorik, Kap. 4. =) Netto, 1.028 506,