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Über einige merkwürdige Punkte des Vierecks.

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§ 1. Bezeichnungen: In dem zu untersuchenden Viereck ABCD bedeuten die deutschen Buchstaben A, B, C, D, M, N, E(Fig. I) die Mittelpunkte der Seiten, Diagonalen und der Strecke MN. Im Interesse der Kürze sind ferner in den vorkommenden Rechnungen die Bezeichnungen AB, B0, CD, DA, EA, EC, AC, EB, ED, BD und ₰ AEB durch a, b, c, d, m, m’, M, n, n‘, N und e ersetzt.

§ 2. Die Summe PA2+ PB2+ PC2 P PD wird ein Minimum, wenn P mit E zu- sammenfällt.

Beweis: Für den beliebigen Punkt P ist

[² PA PG2= 2+ 2. PMe,

2 PB2 PPD2= 2+ 2. PN². Daraus folgt:

M= N2 PAIPBEPO=-PPDz=+ 2(PM⸗ PN⸗) M²-N2 = MN MMgre 1. PG⸗ Die rechte Seite dieser Gl. wird somit für PE= o ein Minimum. Der bezügliche Minimal- 2+ N* wert ist= AN MN⸗ In gleicher Weise gelangt man zu den Gl.

4 2 PAiLBzPO PDz= 4- he. h. AG2. 4 PG,2* und

2 2 .+ B8⸗+ 4. PEG*

wo Ez und En die Mittelpunkte von AC und BD bedeuten. Bekanntlich fallen die Punkte E, Ex und Ez zusammen, Dieser Satz lässt sich leicht in folgender Weise beweisen: Nach der Voraussetzung ist P ein beliebiger Punkt. Es besteht deshalb auch für jedes P, ohne irgend welche Beschränkung hinsichtlich der Lage, die Gl. 3

MN 2er AR 85— AG= 4(LE.* PE-)

Alsdann müssen E und E’ zusammenfallen, denn für getrennte E und E, kann der Gl. blos durch Punkte genügt werden, welche auf einer Geraden liegen, die mit EE, einen rechten Winkel bildet.— Die angestellten Betrachtungen führten zu den Gl. M2+ N²- 2. MN*= a⸗ † c.† 2. AC2= b⸗† d*† 2. B D.. § 3. Der geometrische Ort der Punkte P, bei welchen die Summe der Quadrate der Entfernungen von den Endpunkten einer Seite(bzw. Diagonale) und die Summe der Quadrate der entsprechenden Entfernungen hinsichtlich der Gegenseite(bzw. anderen Diagonale) eine

constante Differenz haben, ist ein Lot auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte jener Seiten (bzw. Diagonalen.)

Beweis: Die betreffenden Gl. lauten PA2PB2 PO2 PD2= Const. PA2 PD=PB=PC2= PA2+ PO= PB2 PD2=

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