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Für Kettenbrüche 1. Ordnung wird xp berechnet aus

Np p 2p— 0, und es ist dann 1

Npy+ 1. Np

Da hier f C)= NpX— Zp, also f(b))= Np ist, so erscheint diese Bestimmung der Annäherung nur als ein specieller Fall der allgemeinen Formel(23).

Die zweite Grenze für die Annäherung ist:

(24)....(x= p)

(X)=

1

I NV NX=1) F(b 1); so dass man bei jeder Berechnung von Xp zwei Grenzen für X— xp, also auch für x hat, die man mit Benutzung der bereits gewonnenen Kenntniss von X'durch Einsetzen von näher- kommenden zu grossen oder zu kleinen Werthen in f(X) noch enger ziehen kann.

Setzen wir zweitens voraus, dass B1.p absolut grösser ist als B2.p(X+ Xp), so gelten die oben aufgeführten Bestimmungen über das Vorzeichen von X— xp jetzt mit Bezug auf — Bp, die umgekehrten also in Bezug auf B1.p. Ist also

p gerad, B1, positiv, so ist X— xp positiv, xp zu klein, p gerad, B1,p negativ,... X— xp negativ, Xp zu gross, p ungerad, B,p positiv,... X— xp negativ, Xp zu gross, p ungerad, B1,p negativ,... X— xp besitiv, xp zu klein.

Haben also Ba,p und Bl.p gleiches Zeichen und ist absolut B1,p=(X+ Xp) Bæ,p

80 ist: 1

S=e,n; Nr+ 1f(bo+ 1) 1 —— (Nr4+‿ N+ Np- 1) f(bo) Bei verschiedenen Vorzeichen von Bi,p und B.p gelten natürlich stets die Grenzbe- stimmungen(23) und(24). Es lassen sich nun auch die Grenzen für die Annäherung der Näherungsbrüche

X(— Xxp)

Yp Xp T. eſe XI und NI an X feststellen.

Aus VYp Yp T l— 0 ergibt sich: B.p Tp B.p Xp— Bo, p Np= 0. Xp Xp p

Np Np Nbl

—. Xp 2² 1 Dividirt man diese Gleichung einmal durch 2—, dann auch durch Np, so erhält man

* Yy

im 1. Falle:

YpNZ2 Yp Np Yp

2, p S————— 0„

B2. 1) Br. XX B XL

im Zweiten: Tp X 32, pb ir— B,9 NI+ Bo,p= 0