19

Der Punkt S ist ein Knoten der Curve. Die Gleichung kann teilweise nach Formen von z— d u. y geordnet die Form annehmen:

d²y2— r2(2— oyſſo+ a²+ 2ay+(z— d)?— 2d(z— d)+† † 20+ a)(— d) cos yz

+ 2d cosyz. y+ 2ad cos yz)+ 1²(dy— a(.— vy= 0.

Die eckigen Klammern enthalten y und z— d nur im 2. Grad. Somit hat S die Tangenten:

(a2+ d²+ 2ad cos yz)(dzy²— r²(2— ¹)2)— 12(dy— a(2.— 1))²= 0.

Der Punkt G' ist ebenfalls ein Doppelpunkt. Ordnet man teilweise die Gleichung nach Formen von y Pa und Z. so folgt:

0+ a)?+ 22 25 20y+ a)⸗ cos 2(dzey † a)?— 2ads(+ a) † a2de— r²νe † 2r0z— 12?) +*2 ae+ a)— v')= 0.

Mithin hat G die Tangenten:

r2(d+ a)— 2z)2+(a2— r²) d?+ a)?+ ²2+ 20y+ a)z cos v2)= 0. Bei a Dr sind diese Tangenten imaginär, G ist dann ein isolierter Punkt, bei a= r sind sie real, G ist ein Knoten. Für die Curve 3. Ordnung sind G und S nur einfache Punkte. Bei a= 0 hat G= 0 die Tangenten:

z= 0, z+ 2y cosyz= 0(TITI Fig 10).

z= 0 ist Inflexionstangente, sie berührt in O 4punktig. z+ 2) cos yz= 0 berührt bloss 3punktig. Der entsprechende Zweig hat daher in O keine Inflexion. Der Diameter 2z= 0 des ersten Kreises und der Diameter K4K’ des zweiten Kreises E berühren die Curve in den Punkten O u. 0,, ihren Mittelpunkten, und schneiden sie in G. Eine Gerade des Punktes G, die in dem Winkel 060, liegt, schneidet die Curve ausser in G in zwei imaginären Punkten. Jede dieser Geraden ist aber die Achse einer Ellipse. Folglich ist es die kleine Achse der Ellipse, und die Brennpunkte aller Ellipsen des Büschels, die von den beiden Kreisen K und E eingeschlossen werden, liegen auf dem Cylinder H(y, z)= 0 und ihre Projektion auf die Ebene yz ist die Hyperbel der Centren

9 3*½