Hierbei entspricht+ R der I. Achse und— R der II. Achse des Kegelschnittes. Es ist von dem Wert von u abhängig, ob bei dem Kegelschnitt die realen Brennpunkte auf der I. oder II. Achse liegen.

Diese Werte der Koordinaten der Brennpunkte gehen aus den im vorigen Ab- schnitte gefundenen hervor, wenn man für P und A ihre Werte einsetzt und u streicht.

Setzt man nun S= e(br— arzu(u— d)) in der Gleichung für v,2, quadriert, damit 4 apit L. u nur rational vorkommt und eliminiert dann mittelst der Gleichung uy— az+ au= 0

diese Grösse, so erhält man eine Gleichung zwischen y und z, die die Projektion der Curven der Brennpunkte auf die Ebene yz darstellt, nämlich

H(y,z)— d? cos Xz KæOG,z2) PO,z) † EG, z) H“G,2) KG.z)²= 0.

Diese Gleichung unterscheidet sich von derjenigen des Abschnitt 1 nur durch die Form.

r

1. Wir fanden, dass die Brennpunkte des Kegelschnittbüschels auf den drei folgenden Flächen liegen:

1) cos xz. KG, z) 2z+ Hy, z)x= 0, 2) PG,x † 2 c= Xz HV,2)Xz— 11S2p,1) † 2c2X2 K0O,z)e= K0,1) A,2)= 0. 3) d cos xz P(y, z) x+᷑ EOy, z) H(y, z)x— cos xz H2(y, z)= 0.

Der Ort der Brennpunkte des Büschels ist mithin eine Curve doppelter Krümmung, die sich ergiebt als Schnittlinie je zweier dieser Flächen und daher durch je zwei der obigen Gleichungen bestimmt ist. Sie werde im Folgenden kurz als„Fokale“ bezeichnet.

Durch Elimination von x aus je zwei der drei Gleichungen erhält man die Projektion der Fokale auf die Ebene yz, eine Curve 8. Ordnung, oder die Gleichung eines zur X-Achse parallelen Cylinders, der die Fokale auf die yz-Ebene projiciert. Zwischen Gleichung 1 und 2 wurde die Elimination früher schon ausgeführt. Aus 1 und 3 erhält man die Gleichung der Projektion in der Form, in der sie aus den Ko- ordinaten der Brennpunkte abgeleitet wurde, die sich auf zwei verschiedenen Wegen

ergaben. Die 3 Flächen haben verschiedene Gestalt, je nachdem a= r oder= 0 und Winkel Xz—7 ist oder nicht. Für die 3te Fläche wurde das wichtigste früher

angeführt. Aus der 1. u. 3. Gleichung folgt, dass bei X½= 2 die Brennpunkte auf

X= 0O und H(Vz)= 0 zu suchen sind, d. h.: Wenn das Kegelschnittbüschel zu dem