Durch Elimination von u erhält man aus diesem System: d os 2X2Z(d?(y+ a)?— r²ne) XE
+(dzy²— ra2 † adzy+†f r2dz)((d?+ 1²) z+ 2 ²(+ a) cosy³) X— cosx.
(d=y²— r²z²2+ adz y+ redz)?= 0 oder d cos XzP(y, z) X+‿ H(y, z) E(v, z) Xx— cos Xzll²(, z)= 0, wo E(y, z)=(d²+ 1²) 2+ 2d 2(y+ a) cos yz und E(y, z)= 0
die Gleichung des in der Ebene yz gelegenen Diameters der besonderen Ellipse E. des Büschels(GK4K“), die neben K vorhanden ist, oder im Raume die Ebene dieser Ellipse bedeutet. Mithin bilden die Achsen des Kegelschnittbüschels eine Regelfläche 4. Ordnung. Sie enthält die Hyperbel der Ceutren des K.-Büschels als Doppellinie; denn für X= 0 folgt H2(y, z)= 0. Die Gestalten der Regelfläche, je nachdem g innerhalb oder ausserhalb des Kegels liegt(a Trunda— r), könnte man als conjugierte bezeichnen, entsprechend den Gestalten von H(y, z)= 0 für beide Lagen von g. Den Ubergang beider bildet die reducibele Regelfläche, die dann vorhanden ist, wenn g den Kegel berührt(a= r). Für a= r zerfällt die Regelfläche in
dy— rz+ dr= 0 und
d cos Xxz(dy rz+ dr) X2—(dy+ r2)((a²+ 1²) 2+ 2d 2(y+ 1) cos vz) — cos xz(dy+ ra)?(dy— r.z+ dr)= 0.
d. h. in die Tangentenebene durch g und S und in eine Regelfläche 3. Ordnung mit der Doppelgraden dy+† rz= 0, die zur Kegelkante SKa parallel durch 0 geht, und auf der die Centren des Kegelschnittbüschels liegen. 5. 4, 1. 7;. 4
Wenn g im charakt. Achsenschnitt liegt(a= 0, vz= 2) so ist die Fläche gegen diesen Achsenschnitt symmetrisch gelegen, denn in der Gleichung lässt sich+† y mit— y vertauschen. Die Symmetrieebene des Kegels ist also auch Symmetrieebene der Fläche der Achsen des Büschels.
.. 72. Wenn das Büschel normal zum charakt. Achsenschnitte liegt(X=)) so ist
die Regelfläche 4. Ordnung reducibel und besteht aus X= 0, der Ebene des genannten
Achsenschnittes, aus H(y, z)= 0, einem zu g und der Ebene von K parallelen Cylinder, der von X= 0 in der Hyperbel d. Centren d. B. geschnitten wird, und aus der Ebene des
zweiten Kreises E(y,z)= 0, der sich für diesen Fall ausser K unter den Ellipsen