Der
Rechenstab
aus dem
Mechanisch-mathematischen Institut
Dennert L& Pape.
Altona,
Friedenstrasse.
Altona, 1873.

Inhalt.
Seite
Einleitung: Zweck und Anwendung des Rechenstabes. Erläuterung der Rückseite des Lineals........ j..................................................... 1 I Die Vorderseite des SchieberS............. ·...................... 3 1. Die untere Lineal- und Schieberscala............................... ·....... 3 a. Multiplication.................................... 4 b. Division.............. ·. ·......⸗....·................................. 6 c. Combinirte Multiplication und Division.......................... 8 2. Die obere Scala auf Lineal und Schieber...................................... 9 3. Wiederholte Multiplication und Division........................................... 9 Allgemeine Regel zur Bestimmung der Stellenzanl............................ ·......·.. 10 4. Quadriren und Wurzelauszichen................ ·.......... · ·...... ·................ 11 Beispiele für Combination desselben mit Multiplication und Division..................... 12 5. Cubiciren und Cubikwurzel Ausziehen..................................·.·...... 15 Beispiele für die Anwendung.................·.....„..*......... ,⸗⸗⸗ 17 6. Die 4te Potenz und 4te Wurzel.— Beispiele der Anwendung.......................... 18 II. Die Rückseite des Schiebers......... ꝙ............................ 21 A. Die Winkelfunctionen............................ 21 7. Die Sinustheilung. Beispiele............................................... 21 8. Die Tangententheilung.— Beispiele........................................ 24 9. Andere Methode der Operationen mit dem Sinus......................... 25 10. Kleine Winkel und Operationen mit densel„ben............ 28 B. Die Logarithmen......'........ 30 Bemerkung.......a..........·....·...·...·*w*. 2:....⸗- k...S......*.:12. 31
4——

Vorbemerkung. Sollte der Schieber sich Anfangs zu klamm bewegen, oder ein sanfter Gang desselben später durch eingedrungenen Staub oder Sand behindert werden, so ziehe man den Schieber ganz aus dem Lineal, reinige die Nuthen und Schieberkanten durch einen trockenen Pinsel von allem Staube, befeuchte die letzteren mit ganz wenig reinem Knochenôl und führe sodann den Schieber im Lineal mehrfach auf und ab. Die Bewegung wird dann sehr bald eine ganz geläufige. Die Nuthen des Lineals sind überhaupt thunlichst vor Staub und Sand zu schützen.

Einleitung. ZwWeck und Anwendbarkeit des Rechenstabes.
Der Rechenstab besteht aus Lineal, darin gleitendem Schieber und metallenem Läufer. Der letztere dient dazu, mittelst der beiden Indexstriche jede aufgefundene oder durch Rechnung gewonnene Ablesung festzuhalten, während man mit dem Schieber darunter weiter operirt. Ferner kann man den Läufer benutzen, um die obere und untere Scala in Verbindung zu bringen (2z. B. beim Quadriren&c.)
Die auf der Oberseite des Lineals und dem Schieber enthaltenen Theilungen sind nichts anderes als Logarithmentafeln in einer höchst sinnreichen Gestalt und Combination, welche die Ausführung der verschiedenartigsten Operationen auf äusserst bequeme Weise ermöglichen.
Dahin gehören alle diejenigen Rechnungen, welche sich aus Multiplication, Division, Potenzirung, Radizirung und trigonometrischen Operationen zusammensetzen, also überhaupt fast alle vorkommenden Rechnungen mit alleiniger Ausnahme der Addition und Subtraction.*)
Die Genauigkeit der Resultate ist— bei einiger Uebung im Ablesen der Theilungen— für alle in der Praxis vorkommenden Fälle eine völlig ausreichende, mit einziger Ausnahme der wenigen Fälle, wo das Endresultat eine grosse Anzahl von Ziffern haben muss. Es ist hierbei als besonderer Vortheil zu beachten, dass man bei combinirten Rechnungen die Zwischenresultate nicht abzulesen braucht, sondern zweckmässiger Weise die Rechnung ohne dieses bis zu Ende durchführt, so u. A. namentlich die vorkommenden Divisionen(nach Maassgabe von Beispiel 9 und 11) gleich mit den Multiplicationen verbindet, weil dadurch die Ablesung des Resultates an Genauigkeit
gewinnt. Die einzige, jedoch sehr bald überwundene Schwierigkeit für den Gebrauch des Rechen- stabes liegt in der Gewandtheit des Ablesens der ungleichmässigen— weil logarithmischen—
Theilungen. Um sich dieselbe rasch und sicher anzueignen, wird empfohlen, zunächst nur die Multiplication und Division, und zwar Anfangs nur auf einer(der unteren) Scala nach Maassgabe der unter I, 1 nebst Beispielen gegebenen Anleitung und zwar bei Jeder vorkommenden Rechnung zu üben. Nachdem auf diese Weise die Sicherheit im Ablesen bald erlangt ist, werden die weiter folgenden Operationen leicht zu erlernen sein.
Was speciell die technischen Rechnungen betrifft, so werden sie sämmtlich, besonders die complicirteren durch die Anwendung des Rechenschiebers in ganz eminenter Weise erleichtert, s0 z. B. die Berechnung von Inhalten, Gewichten, Maass-Reductionen, Biegungs-, Widerstand- Trägheitsmomenten, Wellendurchmessern, überhaupt alle im Maschinenbau vorkommenden Rech- nungen; die Ermittelung von Winkeln, Tangenten- und Curvenlängen, Bogenhöhen(Curvenabstand) beim Feldmessen u. S. f.
Sobald man sich den steten Gebrauch des Rechenstabes angeeignet hat, wird man finden, dass derselbe unendlich viel Zeit erspart, weniger Irrthümer und weniger geistige Ermüdung im Gefolge hat, als die gewöhnliche Rechnung und deshalb nicht dringend genug empfohlen werden kann.
Ausser den zum Rechnen dienenden Scalen hat das Lineal an der schrägen Fläche einen fein getheilten Metermaassstab, welcher zum Gebra uch beim Zeichnen vortrefflich geeignet ist, da die betreffenden Maassstäbe bei Anwendung des Metermaasses fast immer ein decimales oder ähnliches Verhältniss haben werden(1: 10, 100, 1000, 2000, 5000 u. s. f.)
*) Eine geringe Veränderung würde übrigens den Rechenstab auch für die Addition und Subtraction nutzbar machen. Dies dürfte
pesonders zweckmassig sein für combinirte Rechnungen von der Form 4— 5b+ e— d Te— f...(wie sie z. B. beim Ausrechnen von Nivellements vorkommen); ferner für das Hinzufügen einer constanten(positiven oder negativen) Differenz zu einer Reihe von Zahlen; endlich zu rascher Controlle langer Summirungen.
Benennungen.
Die Theilungen.
Mögliche Rech- nungsarten.
Uebung im Ab- lesen.
Erleichterung
bei allen tech-
nischen Rech- nungen.
Maassstab zum Zeichnen.
——

Stlchmaass.
Zahlenwerthe der Rückselte.
— 2—
Ferner findet sich an der anderen schmalen Kante eine als Stichmaass*) zu benutzende Theilung, welche sich auf dem Grunde der Auskehlung mit 27 2m fortsetzt und somit gestattet, ein Stichmaass bis etwa 50 2m zu nehmen, Zz. B.:
Fig. 1. 1 2. 1 6 1 — 22 2 1 ¹ 1 1 . 1 1 27 28 2,9 30 31 —— 1 1 1 Iun 1 1 24 2m L 3145— 3 1
Auf der Rückseite des Lineals sind verschiedene nützliche Zahlenwerthe angegeben, so u. A. die am häufigsten vorkommenden Reductionsverhältnisse zwischen Preuss. resp. Englisch und Metermaass, sowie die spezifischen Gewichte und zulässigen Beanspruchungen für die wichtigsten Materialien. Bei den Gewichtsangaben finden sich zugleich deren reciproke
Werthe und für einen Theil derselben der Quotient weil nämlich bei Gewichtsberechnungen
77
.. 4 25 schon mindestens eine Multiplication(a. 5) vorhergeht, so ist die hinzukommende Pivision 11 für 35
den Gebrauch des Rechenschiebers bequemer als die wiederholte Multiplication a. 5., wie die .. 4. 5 Anwendung bald zeigt. Der Quotient— ist zur Gewichtsberechnung von cylinderförmigen Körpern 8 V.N (also vorzugsweise im Maschinenbau) sehr bequem, indem der Ausdruck
(. d2 Q d2. 7 91 1
V.N in der letzteren Form für den Rechenstab ausserordentlich einfach herzustellen ist(s. unten Beispiel 20).
*) Diese Eigenschaft macht es zweckmässig, den Rechenstab an Stelle eines Taschenmaassstabes bei sich zu führen, da er diesen ersetzt und dann ausserdem jederzeit zum Rechnen bereit ist. So besonders zu empfehlen bei allen geometrischen Arbeiten,
namentlich Eisenbahn-Vorarbeiten.

— 3—
1. Die Vorderseite des Schiebers.
Für die Vorderseite des Rechenstabes gelten im Folgenden die nebenstehend angedeuteten
Bezeichnungen: Lig. 2. be l8* —— 5 5 8 — 12 8 5 5= 15 15. 5 E Erste Scald. ₰ Zweite Scald* 1 4 8 Oere LinenlSculd 3 Obere SchieberScald- 1 Untere Schiebersculd Untere Lineal Scalo. — S 12 5 12 2. 18 5 b 1 58
1. Die untere Lineal- und Schieberscala.
Dieselbe enthält vom Index links anfangend die Längen der Logarithmen von 1 bis 10. Es ist also z. B.:
Log. 1= 0 Log. 2= der Länge 1— 2*) Log. 3= der Länge 1— 3 Log. 10=....... 1—1 Diese letztere Länge(25 2m) ist also die Einheit der unteren Scala. Die Unterabtheilungen dieser Längen ermöglichen die Auffindung mehrziffrigen Zahlen
und zwar liest man direct mittelst der Theilstriche die zweite Stelle überall; dagegen die dritte Stelle: im ersten Intervall(1— 2) immer, im zweiten und dritten Intervall(2— 4), wenn die Ziffer gerade ist(also 2, 4, 6, 8), im vierten bis neunten, wenn sie 5 oder 0 ist. Ausserdem schätzt man zwischen den Theilstrichen ein und lernt bei einiger Uebung bald in den ersten 2— 3 Iter- vallen 4, in den anderen Intervallen 3 Ziffern mit Sicherheit abzulesen. Es ist hierbei zu beachten, dass die Mantisse der Logarithmen unabhängig ist von dem Stellenwerth der betreffenden Zahl, dass man also z. B. an demselben Punkte einer Theilung abliest 2,1 oder auch 0,21 21„„ 0,021 210 7.„ 0,0021 2100„„ n. 5. f. überhaupt 21. 10" wonn jede positive und negative Ganzzahl sein kann.**) Um nun mit der unteren Scala zu rechnen, beachte man, dass die Multiplication durch Addition der Logarithmen, die Division durch Subtraction derselben geschieht. Beides wird besorgt, indem man logarithmische Längen auf Lineal und Schieber aneinandersetzt(ähnlich wie man auch mit dem Zirkel Längen addirt und subtrahirt.)
*) NB. Abgesehen von den in dem ersten Intervall vorkommenden kleinen Zahlen 1— 9, welche die Unterabtheilungen angeben.
**) Füur die zunächst erforderliche Uebung im Abiesen ist es zweckmässig, vorläufig von dem Decimalwerthe der Zahlen abzusehen, das Komma Anfangs nach einer vom Rechenstabe unabhängigen Erwägung dem gewonnenen Resultat einzufgen und erst nach der bald erlangten Sicherheit der Ablesung die unten folgenden Regeln für die Bestimmung der Stellenzahl sich anzueignen.
1*

— 4—
a. Multiplication.
Princip 6 5— 0 Fig. 3.
—
2 T99 5b 1 ₰ 4 4
Se 5 leh ‿ 7 A.
Linedtscala 1 1
1 2
2 Lal-
Beispiel 1) 2.3= 6.
Fig. 4. 1 — 209 3— 1 17 7 4 8 5— Sekieher 3 3 2 4 4 ZLinecl—. 1— 1 2 3 4 5 7 3 1 2 log 2 5 — odge.Iog3⸗ 469. 2.3„ Beispiel) 1,6 3= 4,8. Lig. 5. 409 3 2— Sckieher 4 4 4 3— eeee— 1. 3 4 6 3 5 9 16—— 4 —497 1,6 103— 109[16. 3*
N.B. Bei derselben Stellung des Schiebers liest man alle Producte ab, deren erster
Factor derselbe ist(also z. B. 1,6. 2; 1,6. 4 u. s. f oder im ersten Beispiel 2. 2; 2. 4; 2.5 und was dazwischen liegt.)
Fällt das Product über das Ende der Linealtheilung hinaus, so stelle man sich vor, die letztere werde unter dem überstehenden Ende des Schiebers wiederholt.
Fig. 6. E— 10 9( 5 3 1 2 7 5, 4 1 2 Selrieher Lineal————
. 1 6 —ꝛ xònlog— 1 7 ν‿ſ 8—.„ — 109 G e lo„a⸗loge 4 Linhez— logo— ü
Es ist dann log.(a. b)= log.«+ 1, d. h. das Resultat ist= e nur um eine Potenz
von 10 höher, also das Komma um eine Stelle vorzurücken. Da man aber bei c nicht ablesen kann, so halte man a mit dem Läufer fest und stelle den Schieber soweit nach links, dass der andere rechte Index desselben über a steht. Dann liest man dasselbe Resultat c auf dem Lineal unter 5.

Fig. 7. dn er— 1 Luneal =. C„ — 1,— log(a. b)= log e+† 1 d. h. 6. 5= 6. 10 Beispiel 3) 2.6= 12. So zu denken: Fig. 8. P 109 g . 4 2 3 4 5 6 5 95 1 2 3 4567˙89 Schieber—=————— . 1 3 L. 1 1 1 1————4— Emd rtT 8 LEer s 4 = een 1 3 4 3 6 7 83 1 2 3 ₰ 4 log 2 410⁹ 5⸗ log 6 so auszuführen: Eig. 9. — log 62 Schiehet- 4 4— 5 1 8 2 3 ʒʒêêERERʒREER—=E laa L1144547354 4 1 6 3 31 log 2— oder bequemer so: Fig. 10. . 3 6 7 3 92% 3 5 3 7 9 4 Suuber-—— ——————— 4 4 4 Tiueal 4 4 2 3 43 6 7 5 53. 3 4 F 6 7 3 3 1
Man hat hier zugleich die allgemeine Regel zur Bestimmung der Stellenzahl des Productes: Stellenzahl des „Die Stellensumme beider Factoren ist um 1 zu vermindern, wenn das Product productes. „rechts vom ersten Factor in derselben Scala erscheint.“(Beispiel 1 und 2.)
Im anderen Falle, wenn das Product links erscheint, wenn also der rechte Schieberindex benutzt wurde, hat man als Stellenzahl des Productes einfach die Stellensumme beider Factoren. (Beispiel 3.)*)
Anwendungen. 1) 24. 1,6= 38, 4
Stellensumme.... 2 † 1=* 3 Resultat rechts, mithin..=— 1 Stellenzahl=+ 2
2) 0,024 1,6= 0,0384 Stellensumme..(— 1)+ 1= 0 Resultat rechts, mithin.....— 1 Stellenzahl=— 1
*) Ein Decimalbrach mit der Null vor dem Komma hat die Stellenzahl 0, ein Bruch von der Form 0,045 die Zifferzahl— 1 u. s. f.

— 6— 3) 2,4 4,8= 11,52
Stellensumme..... 1+ 1= 2 Resultat links, mithin Stellenzahl...=+ 2 4) 0,0024 0,048= 0, 0001152 Stellensumme(— 2)+(— 1)=— 3 Resultat links, mithin Stellenzahl=— 3 Reduction von Beispiel 4. Es ist eine Reihe von Zahlen, welche preuss. Fuss bezeichnen in Meter- Meter-· und maass umzurechnen oder umgekehrt. Fussmaass. Man stellt den linken Schieberindex auf die Reductionszahl 0,3139(fast 314) und liest
die betreffenden Fussangaben auf dem Schieber und die Meter darunter, z. B. 11,5“= 3,61m; 12“
= 3,765m; 15= 4,71m; 20= 6,275m u. S. f. oder 1,15“= 0,361 m; 1,2“= 0,376 m u, 8. f. Auf gleiche Weise benutzt man den Rechenstab zu jeder anderen derartigen Reduction
und gerade diese Anwendung bildet einen ausserordentlichen Vortheil, indem der Rechenstab nach
geschehener Einstellung eine vollständige Tabelle für jeden einzelnen Fall ersetzt.
b. Division.
Princip: 5— a. Fig. I1. — 109 1 8 Sackieber 3. 109 AG. Log 6e C
2 log. a= log. c— log. 5= log. 6)
Man stellt also den Divisor b mit dem Schieber über den Dividend c und findet den Quotient a unter dem linken Index des Schiebers.
Tĩineal V
Beispiel 5 ₰= 4. Fig. 12. E 7 2— 1—— 1ogs-Tog 2= 17,&—Lpa— 192 2. ’ Schieber. 3 — 1 4 1 1 1 1-— Lineal 1. 2 3 4 5 6 7 3 5 1 F 998— b Beispiel 6) 5 12. Fig. 13. To-e* log 4 . 78 E 4 4 ½94½435 4 4—4 ——————— ——— 14 2 34267332 3 4 1 7 3 3 1 L 1og 48

— 7—
Fällt das Resultat links über das Lineal hinaus, so denke man sich auch hier die Lineal- scala wiederholt und lese statt dessen an dem rechten Schieberindex ab, in diesem Falle liegt also das Resultat in der nächst vorhergehenden Potenz von 10, d. h. die Stellenzahl ist um 1 geringer und zwar gleich der Stellendifferenz beider gegebenen Zahlen; s. u.
4²
Beispiel 7) 7 6. Fig. 14. 1⁰9 7— 1 5 2 3 4 5 6„ 8 9 1 11 1.3.4.2 5.32 1— 1 1— —,———-ſ T 1 1 1 I 1 ·ſ¶CQq6=Öð6x6VW”ſ ¹— 11157 13 3 12²2½2 35
— 7⁰942— 1077= 1, 2)
Beispiel 8. Hat man eine Reihe von Zahlen durch dieselbe Zahl zu dividiren, z. B. durch 144, so
bildet man zunächst 1„ indem man die Zahl 144 mit dem Schieber über den linken Index des
144 Lineals stellt und Fig. 15.
1 444 2 3 4 5 3 1 3 2 1
1———— 4 4—— 1—
—.,—— L ereeien T 1 ſ 1—— ee—— V 1 2 3 4 5 6 7 3 9 1 liest dann jeden Quotienten bei derselben Stellung des Schiebers direct auf dem Lineal ab. Man 1 1 3 : a;. 5 u. s. f.(Verg. 3
rechnet also: 144 23 144 b u. s. f.(vergleiche d. Folgende unter c)
„Die Stellendifferenz ist um 1 zu vermehren, wenn das Resultat links vom Stellenzahl des „Dividenden in derselben Scala erscheint.“
Erscheint das Resultat rechts in derselben Scala, so hat man als Stellenzahl des Quo- tienten einfach die Stellendifferenz.(Stellenzahl des Zählers minus Stellenzahl des Nenners.)
Quotlenten.
Anwendungen.
384 24 16 Stellendifferenz...... 3—2— Resultat links, mithin.......+ Stellenzahl....= 2. 0,03848 . 0,016
Stellendifferenz....(— 1)— 1=— 2 Resultat links, mithin..........+ 1 1
Stellenzall—=—

—xi 2 4,—.— 2————⏑——
—
1152 3 2 18 21 Stellendifferenz.... 4— 2= 2 Resultat rechts, mithin Stellenzahl= 2
2152 e= e
Zifferndifferena.(— 1)— 1=— 2 Resultat rechts, mithin Stellenzahl=— 2.
c. Combinirte Multiplication und Division.
Princip— 55— 5. 5 Fig. 16. log bh 1 ] 3 —— 5 Selieler 5 1 QTLineal 1. 83 X S Log a 2 Lega-= ge tog=EAah) Beispiel 9. 36 4,2 36. 24a 4,.? 6,75 Fig. 17 10g 4,2* T02,4 2 5 1— 2 32 3 4 42 1 4.7..1.2. 7 1 t p— f t— F 1—,— 1——— † 2 2 5 6 G7 3 3 4 2— 1093* 4 10q6— L0g 22,4* loJ 4½ Log(25 4— 4
Stellenzahl= 2— 2+† 1= 1 für die Division und weiter 1+. 1— 1=1 für die folgende Multiplication.
Man sucht also mit dem Läufer auf dem Lineale 36, stellt mit dem Schieber 224 darüber und liest unter 42 des Schiebers das Resultat ab; man nimmt demnach zweck- mässiger Weise zuerst die Division und dann die Multiplication vor. Fällt das Resultat über den rechten oder linken Index hinaus, so hält man mit dem Läufer den Quotienten unter dem linken resp. rechten Schieberindex fest und stellt den Schieber um, wie vorstehend bei Beispiel 3 angegeben.(Selbstredend braucht man den Quotienten nicht erst abzulesen.)
Bei Bestimmung der Stellenzahl des Resultats braucht man nicht auf die Multiplication und Division zurückzugehen, sondern kann dieselbe nach folgender Regel feststellen:
Die totale Stellendifferenz(d. h. Stellensumme des Zählers minus Stellenzahl des Nenners) wird um 1 vermindert, wenn bei der Operation eine ganze Schieberumstellung nach rechts, dagegen um 1 vermehrt, wenn eine ganze Schieberumstellung nach links

— 9—
erforderlich wurde. War eine ganze Schieberumstellung überhaupt nicht nõthig, so hat man als Stellenzahl die unveränderte Stellendifferenz. Z. B.
8,65;(2+ 2— 2)— 1= 1
‿—
5,= 10,92;(2 † 1= 2) 1=
Beispiel 10. Eine bei Eisenconstructionen häufig vorkommende Aufgabe ist die Ver- wandlung von Zollen in Millimeter. Wieviel mm sind Z. B. 1, ½„ 3⁄4˙; 21 ½‧, 3“, 3 ⁄½ u. 8. f.
Man bildet das Product 3,186 12, da Im= 3,186 Fuss preuss. und 1= 12“ ist, hält das auf dem Lineal erscheinende Resultat mit dem Läufer fest und stellt nun über dem Strich des letzteren der Reihe nach die mit(3,186. 12) zu dividirenden Zahlen, liest also das Resultat über 4 1000 Ji8s 12)
dem linken oder rechten Linealindex auf dem Schieber ab;(man macht also die Operation ; 1
z. B.: 36 0,375“= 9,8 m 2,50= 65,4 m 1/2— 0,5— 13,1 mm 3= 78,5 mm 3 40— 0,75°— 19,6 mm 3,50— 91,5 mm u. s. f.
Dieselbe Aufgabe lässt sich noch auf andere Weise einfacher lösen, indem man mit Hülfe der auf der Rückseite des Stabes angegebenen Reductionszahl(1“= 26,154m), je nach Bedürfniss den linken oder rechten Schieberindex auf die Zahl 26,15 der Linealscala stellt und wie in Beispiel 4 und 8 damit multiplicirt, d. h. die gesuchten Werthe wie in einer Tabelle abliest.
2. Die obere Scala auf Lineal und Schieber.
Die obere Theilung beruht auf demselben Princip wie die untere, nur ist die Einheit derselben genau halb so gross; es sind dem entsprechend zwei gleiche Theilungen hintereinander gesetzt. Dieselben Operationen, wie sie für die untere Scala vorstehend beschrieben sind, lassen sich auch oben ausführen und zwar eignet sich die obere Scala für alle diejenigen Fälle, wo die vorkommenden Zahlen nicht zu viel Ziffern enthalten, deshalb besonders, weil das Umstellen des Schiebers hier wegfällt, da die über die nächste 1 hinausfallenden Resultate in der folgenden zweiten Scala sofort abgelesen werden. Somit ist der Gebrauch der oberen Scala besonders für die in Beispiel 8 und 10 angeführten Fälle— mit der eben bezeichneten Einschränkung einer nicht zu grossen Zifferzahl— sehr bequem.
Zur Verwandlung von preuss. Fuss in Meter und umgekehrt dient hier zugleich der die Zall*= 3,14 darstellende Strich auf der ersten oberen Linealscala, indem man mit 0,314(genau 0,3139) multiplicirt. Derselbe Strich wird also zugleich zur Ermittelung von Kreisumfängen, über- haupt zur Multiplication und Division mit der Zahl x benutzt.— Als Beispiele können die voran- geführten auch für die obere Scala gelten.
3. Wiederholte Multiplication und Division.
Die Operation. 5. c. d. e... wird in der Weise ausgeführt, dass man nach der ersten Multiplication a. 5 das Resultat mit dem Läuferstrich festhält, ohne es abzulesen den ersten (oder zweiten) Index des Schiebers darunter bringt, die 2te Multiplication(u. 5b). c ausführt, das Resultat wieder mit dem Läufer festhält u. s. f.
Wiederholte Division und wiederholte Combinationen aus beiden Operationen werden in ganz gleicher Weise mit Hülfe des Läufers ausgeführt. In letzterem Falle ist es vortheilhaft,
2
Reduction von Millimeter und Zoll-Maass.
Besonderer Strich für z und zugleich zur Re-
duction von preuss. Fuss auf
Meter.

Bestimmung der Stellenzahl.
— 10—
vorhanden, also die Operation
6 5.,.——22
—— in der Form n. ꝗ
n. 0p.——.
0 — D a b 85 9 e. 2 a 5b. oder———.— auszuführen, indem man—-. b dann(2) c u. S. f. bildet.
m n 0„ mn m
1
2
Allgemeine Regel zur Bestimmung der Stellenzahl bei wiederholt einfacher und wiederholt combinirter Multiplication und Division. Man hat der abgebraischen Stellensumme(d. h. Stellensumme des Zählers minus Stellensumme des Nenners), „So oft 1 zuzusetzen, als ein Divisionsresultat in derselben Scala links;“ „So oft 1 abzusetzen, als ein Multiplicationsresultat in derselben Scala rechts 8„vom letztvorhergehenden Resultat erscheint.“
Bemerkung. Die Worte„in derselben Scala“ beziehen sich auf das Rechnen mit der oberen Theilung; falls daselbst ein Multiplicationsresultat in die rechts folgende Scala fällt, so hat dies auf die Stellensumme also keinen Einfluss, ebensowenig wie ein auf der unteren Scala links erscheinendes Multiplicationsresultat.
„ 97. 9⸗ a⸗
Beispiel 11. te es ie e 3. 5. 5 8 giebt in der vorstehend beschriebenen Weise ausgeführt ohne Ablesung der Zwischenwerthe das Resultat 1895. Die Stellensumme ist= 0, bei der Operation fällt aber ein Divisionsresultat(und zwar das letzte) links in dieselbe Scala; mithin ist die Stellenzahl des Resultates:
0+ 1= 1, demnach das Resultat= 1,895. Stellensummc(2+ 1)—(2+† 1+† 2+ 3)=— 5. Die Resultate erscheinen(unten gerechnet):
25 Das erste(23) als Quotient links, mithin zur Stellenzahl+† 1
95 Das zweite(35).6 als Product rechts,„„ 5,— 1 Das dritte, Quotient, links„ 5 5+ 1 Das vierte, Quotient, links„ 2„+ 1 Das fünfte, Quotient, links 5 7„+ 1 + 4— 1=+† 3. Demnach Stellenzahl des Resultats:— 5+† 3=— 2.
Mithin ist letzteres wie oben angegeben. Die Anwendung dieser Regel, welche in der schriftlichen Darlegung etwas umständlich erscheint, ist in der Ausführung durchaus einfach. Es wird jedoch ausdrücklich darauf aufmerksam 1. 5... 25 6 1 1 gemacht, dass es unrichtig wäre, wenn man bei der etwaigen Schreibweise 16 S 145 106 die durch 1 dargestellten Zähler bei der Stellensumme berücksichtigen wollte, da die Einheit als
Factor oder Divisor niemals das Resultat verändern kann.
immer einen Factor und einen Divisor zusammen zu nehmen, solange noch ein solcher

—
— 11—
4. Quadriren und Wurzelausziehen. Da die logarithmischen Längen der oberen Scala im halben Maassstabe der unteren aufgetragen sind, so bezeichnet dieselbe Länge, welche unten log a(z. B. log 2) darstellt, Fig. 18.
einra- 1ge)—; 1
— 1 5 2 1 1 1 ſ E 10g ct.* 5=—& 2 oben 2 log a= log a*²(Zz. B. log 4); man liest also mit Hülfe des Läufers oder des(ersten oder
dritten) Schieberindex die Quadrate der unten angegebenen Zahlen einfach gerade darüber auf der oberen Scala. Bei dem Ausziehen der Quadratwurzel hat man zu beachten, dass die Wurzel für jede 1,3,5.. stellige Zahl,(also mit geraden Potenzen von 10) unter der ersten Scala, für jede 2,4,6... Stellige Zahl(also mit ungeraden Potenzen von 10) unter der Zweiten Scala erscheint.
Also 2. B. /4= 2; /40= 6,325:
Fig. 19. 1..„1 Oherellinealscala— 4 4 4 UntereLinealscala 1 2. 6,325 1
(Dasselbe würde man erhalten, wenn man unten 1/4= 2 mit /10= 3,162 multiplicirte.)
Allgemein hat man für die Aufsuchung der Quadratwurzel und für die Bestimmung der Stellenzahl bei Quadrat und Wurzel folgende Regel:
Hat die zu quadrirende Zahl n Stellen, so hat das Quadrat:
„2n Stellen, wenn es in der 2ten, „(2 2— 1) Stellen, wenn es in der 1ten oberen Lineal-Scala erscheint.“
Beim Aufsuchen der Quadratwurzel theilt man den Radikanden vom Komma aus in Gruppen von je 2 Ziffern. Enthält die erste Gruppe links(resp. bei echten Decimalbrüchen die erste Gruppe mit Zahlen, welche nicht 0 sind):
„1 Ziffer, so liegt die Wurzel unter der ersten,“ enthält dieselbe dagegen .„2 Ziffern, so liegt die Wurzel unter der 2ten oberen Lineal-Scala.“ In beiden Fällen ist die „Stellenzahl der Wurzel gleich der Gruppenzahl des Radikanden vor dem Komma.“ Bemerkung. Bei echten Decimalbrüchen von der Form 0,36; 0,036; 0,0036 u. s. f. hat also die erste Gruppe in der Zahl 0,036— eine LZiffer, „„ 0,00˙36— zwei„ „„„ 0,00˙03/6— eine„ „„„ 0,006— zwei„(0,00˙60) „„„ 0,00˙/06— eine
Stellenzahl von Quadrat und Quadratwurzel.

Andere Methode.
Combinirte Rechnungen.
Je 2 Nullen rechts vom Komma bilden zusammen eine negative Gruppe, für welche also die Wurzel eine negative Stelle, d. h. eine Null rechts vom Komma erhält.
Folgende Tabelle mag die Anwendung veranschaulichen:
— Gegebener Eintheilung in Meneele die Leneenrann jer Mithin Radikand Eruppen V unter der 4 Wuracl 4 Ml 36000 3/60/00 ersten Scala 3 189,7 3600 36700 zweiten V 2 60,0 360 3/60 ersten„ 2 18,97 36 36 zweiten„ 1 6,0 3,6 3,,36 ersten„ 1 1,897 0,36 0,736 zweiten„ 0 0,6 0.036 0,03˙6 ersten„ 0 0,1897 0,0036 0,00,36 zweiten„—1 0,06 0,00036 0,00/03˙6 ersten„——1 0,01897 0,000036 0,00/00,36 zweiten„— 2 0,006 0,0305 0,03/05 ersten„ 0 0,1747 0,003 0,00˙30 zweiten„—41 0,0548
Das Ausziehen der Wurzel kann auch ohne Benutzung der oberen Scala geschehen, indem man auf der unteren Linealscala den Radikanden mit dem Läufer festhält und den Schieber so verstellt, dass derselbe unter dem Läuferindex diejenige Zahl zeigt, welche gleichzeitig der linke oder rechte Schieber-Index auf der Linealscala abschneidet:
Fig. 20 1 3„„7 7N4 3 Unterè Sehleberscala 2— „ 4 Vikre Linealscali 4 3 1 C 771 U 1
Man hat also umgekehrt d.= a*= m. Mithin a= Vm Diese Methode gestattet eine genauere Ablesung des Radikanden, ist mithin bei mehr- ziffrigen Radikanden vorzuziehen Man hat hierbei die Regel: hat die erste Gruppe des Radikanden 1 Ziffer, so benutzt man den linken 2 Ziffern,„„„„ rechten z. B. V/4= 2 Index links, 1/40= 6,325 Index rechts,
Index zur Aufsuchung der Wurzel;
1 Stellenzahl= Gruppenzahl, wie oben.
Wie die verschiedenen mit Quadrirung und Radicirung combinirten Rechnungen, Z. B. von 5 5— 2 3. ; 426.;„ Va; IL a. b VLa, K L a* u. s. f. sehr bequem mit c 6 5 e 6. d Hülfe des Läufers auszuführen sind, ergiebt sich sehr bald durch den Gebrauch.
— A* A* b der Form a b; 5
Hier einige Beispiele:

Beispiel 13. 1,52 3,2= 2.
Fig. 21.
L- 2logi5 lge= log(115 32)
2 10915— 32 90. 7
f r————— ——— 2
107 3,2 3*
—e— 1— 1 4 1—
—— 17 3 4 5 6— 3 5
k ohnn 4 1
Beispiel 13. b Gesucht der Querschnitt einer Welle von d= 6 m Durchmesser. Mau stellt den rechten Schieberindex auf die gegebene Zahl(6) der unteren Scala und .„. 7T liest auf der oberen Linealscala über dem bei—
0,785 auf dem Schieber zu diesem Zwecke besonders angegebenen Strich das Resultat ab:
2— 28,) m. d42. 3 28,3 ◻* Beispiel 14.= 81,0: Fig. 22. D. Toq24. 4loq 1= 709/1826 Mwin 9- 0244 96* 99(9. 6) og(1) 4 31 E KR 75924— Log b— ESA— 14 1222u61☛58 67392 4 4 5 G 10915.— 1
Man stellt zuerst den Läufer auf 18 der unteren Linealscala, dann die Zahl 24 der oberen Schieberscala darüber und liest über 6 der letzteren auf der oberen Linealscala das Resultat ab.
Bei Bestimmung der Stellenzahl hat man auf die früher gegebenen Regeln zurückzugehen, also einmal die Stellenzahl des Quadrates und sodann die aus der Multiplication und Division hervorgehende zu beachten.
Beispiel 15.
Wassergeschwindigkeit im Canal nach der Eytelwein'schen Formel
„= 2 1 7 p „ 3 3 1 1=.9;, ⸗ 1006 106 17 12 4300 8= 576 ⸗ p„= 108
11r 3 ,03(ohne Zwischenresultat abgelesen). 800 108 3,03(oh abgelesen)

— O———]—— ͦᷣ ůÿÿ———ͤ
Man nimmt zunächst 15 35 auf der oberen zweiten Scala, nimmt mit dem Läufer aus dem Resultat die Wurzel(333) auf der unteren Scala des Lineals, stellt hierauf den unteren rechten Schieberindex ein und liest unter 90,9 das Resultat 3˙,03 unten auf dem Lineal ab.(Hätte man die erste Operation auf der ersten oberen Scala ausgeführt, so müsste man bei dem Ausziehen
der Wurzel den Läufer auf den mittleren Index stellen, da der Ausdruck unter dem Wurzel- zeichen mit 10—3 beginnt, also eine ungerade Potenz von 10 enthält; meistens kann man dies wie auch die Stellung des Kommas dem Resultat gleich ansehen, Sso dass man zumal bei mehreren gleichartigen Rechnungen ohne Weiteres mit grosser Leichtigkeit die gesuchten Grössen findet.)
¹ Beispiel 16. Widerstandsmoment I eines rechteckigen Balkens von der Breite
b b= 20 m, Höhe 44= 25 2m? 25 ² 25 ²
= A 0. 25 25 29= 2080 in Cub.=n
6 6 6
Beispiel 17. Wie gross ist die Schlusssteinstärke für ein Gewölbe aus Bruchstein
4 (resp. Quader) bei einem Scheitelradius r= 15m nach der englischen(auch in Süd-Deutschland und Frankreich vielfach gebräuchlichen) Formel—= 0,25 Vr resp.= 0,2 Lr? d= 0,25 /15= 0,968 für Bruchstein, d= 0,2/ 15= 0,775m für Quader: Fig. 23. 1 1 45. 1 8 1 1 2 25 „— 1 775 9 1 6 VE 953
Beispiel 18. Eisenstärke einer Kette, welche 1500 Kil. mit Sicherheit tragen soll nach Redtenbacher d= 0,028 1/ P= 0,028./ 1500= 1,085 m:
*. 27. 1 1 15 4 J 1 1 2,9 0 1 1 1035 715 1 Beispiel 19. Gewicht O eines eichenen Balkens von 20 252m Querschnitt
und 5m Länge. Auf der Rückseite des Rechenstabes findet man für Eichenholz 4= 1,43; demnach,
.. 2. 2,5 5 wenn alle Dimensionen in Decimeter genommen werden: 0= 59 174,8.
1,43.

15
Beispiel 20. Gewicht G einer schmiedeeiserner Welle von 122m Durchmesser
und 4m Länge. Die Rückseite des Schiebers giebt= 0,163 für Schmiedeisen; demnach G= 442 49. 353,5 kil. 1 6,163 93,7
5. 2) Cubiciren und Cubikwurzel-Ausziehen.
a) Das Cubiciren geschieht durch die Operation: a². a= as Eig. 25. og(a 2) l09.— logP(ν— 2 5 652 2 1 f -— 19 2— 2a,e 71 4— 2
log d— Sobald hierbei die gesuchte Zahl über den 3ten oberen Linealindex hinausfallen würde, nimmt man zum Markiren der Zahl a den rechten unteren Schieber-Index(also sobald die Zahl a
mit mehr als 4,64= V 100 beginnt).
Die Stellenzahl des Cubus bestimmt sich folgendermaassen: Hat die zu potenzirende Zahl n Stellen vor dem Komma(resp. negative Stellen, wenn die Zahl von der Form 0,03; 0,003 u. s. f. ist) so hat der Cubus 3n— 2 Stellen, wenn er in der ersten, I/n— 1„„„„„ zZweiten oberen Linealscala erscheint; endlich: 3 2— 0= 3 n Stellen, wenn der rechte Schieberindex benutzt wurde, und das Resultat iu der zweiten oberen Linealscala erscheint. Die Anwendung der Regel mag folgende Tabelle veranschaulichen.
1. Resultat in der 1ten Scala.
a Stellenzahl von a Stellenzahl von as 2 3 V V 2100 4 V 3.4— 2= 10 9 261 000 000 210 3 3.3— 2= 7 9261 000 21 2 3.2— 2= 4 9 261 21 1 3.1— 2= 1 251 0,21 0 3.02= 2 0,00926 0,021— 1 3.(— 1)— 2=— 5. 0,0000092 0,0021— 2 3.=2= 2S 0,0000000092 1 1
Stellenzahl des Oubus.

—O—2———Y—P—P————
2. Resultat in der 2ten Scala. V 3 2 Stellenzahl von d Stellenzahl von as 6.3³ 300 3 3.3— 1= 8 27000000 30 b 2 3 2 1.= 5. 27000 3 1 1 V 27 0,3 V 0 3oe== 2⸗
0,03 V 1 3(— y- 1=- 1 0000027 0,00Ä3—2 3.(— 2= 1=—7 0,000000027 3. Rechter Schieberindex benutzt.
500 3 3.3= 9 125 000 000 5Ho 2 3.2= 6 125 000
5,0 1 3.1= 3 125
0,5 0 3.0=é 0 25
0.05 V— 1 3.(— 1)=— 3 0,000125 0,005 V— 2 V 3.(— 2)=— 6 0,000000 125
5.5b) Das Ausziehen der Cubikwurzel. Princip. Man stellt den oberen Läuferstrich auf den Radikanden in der oberen Lineal- scala und verstellt den Schieber so lange, bis die obere Schieberscala unter dem Läuferstrich und die untere Linealscala unter dem linken Schieberindex die gleiche Zahl zeigt:
Fig. 26. (& m. — AG —
Man hat dann rückwärts a². a= m. Mithin a= Vm.
Hinsichtlich der Ausführung ist folgendes zu bemerken: Man theilt den Radikanden nach bekannter Weise in Gruppen von je 3 Stellen. Enthält dann die erste Gruppe links(resp. bei echten Decimalbrüchen die erste Gruppe mit wirklichen Zahlen):
1 Ziffer, so nimmt man den Radikanden in der ersten oberen Linealscala,
2 Ziüffern,„„„„„ zweiten„„ 3„„ benutzt man den rechten unteren Schieberindex und nimmt den Radikanden in der
2ten Linealscala.
Die Stellenzahl der Wurzel ist gleich der Gruppenzahl des Radikanden, wie bei dem Quadratwurzelausziehen.
Bemerkung: Zu beachten ist hierbei, dass in echten Decimalbrüchen'die Gruppe von der Form
0,80= 0,800 l Seſ
. 4 als 32iffrig
oder 0,85= 0,850 rig, 0,08= 0,080 oder 0,085 als 2ziffrig,
0,008 als einziffrig zu betrachten ist.

———
— 17—
Folgende Tabelle zur Veranschaulichung.
Eintheilung enutet wird: Gruppenzahl Mithin a in Ob. Lineall- Unterer— Ṽ Gruppen scala No. Schieberindex Stellenzahl 4 —— 850000 850000 II V rechts 2 94,7 85000 85,000 II nks 2 43,9(6) 8500 8˙500 I links 2 20,4 850 850 II rechts 1 9,47 85 85 1I links 1 4,3905) 8,5 8,500 I links 1 2,04 0,85 0,850 II V rechts 0 0,947 0,085 0,085 V II links 0 0,439 0,0085 0,008/50 1 lnks 0 0,204 0,00085 0,000/850 II rechts— 1 0,0947 0,000085 0,000/085 II links 1 0,043 0,0000085 0,000˙008,5 I links— 1 0,0204
Beispiel 21. Durchmesser einer schmiedeisernen Welle, welche bei n= 60 Um- drehungen pro Minute 14 Pferdekräfte übertragen soll. 3 3
N 1n Nach Redtenbacher ist: d¶= 12 ¹„ 12 5= 7,39 2m Man bildet also zuerst auf der 2ten oberen Linealscala 0⸗ hält das Resultat mit dem Läufer
fest, sucht die 3te Wurzel mittels des rechten unteren Schieberindex auf(da der Quotient
5 in derselben Scala rechts liegt, mithin 2— 2= 0 Stellen, also die Form 0,2... hat, demnach 3— die Gruppe als 32iffrig zu betrachten ist). Dieses Resultat 50 hält man wieder mit dem
Läufer fest und multiplicirt unten mit 12(mittels ganzer Schieberumstellung). Die Operation ist in der Ausführung ungemein einfach.
Beispiel 22. Die unter Beispiel 13 nach der Eytelwein'schen Formel berechnete Wassergeschwindigkeit ist unter denselben Annahmen nach der neueren Hagen'schen Formel zu ermitteln(s. Architecten-Kalender. Beigabe).
6 2 = as f= V
1—— „=— 576 1 b 7 133 2,14, *=V S 1 28 4331 5 39TI 108 n) z11
Man berechnet zunächst V 4800 unter der 1ten oberen Scala, hält unten links die Wurzel(16,87) 6— mit dem Läufer fest, sucht hieraus unten, Index rechts, die 2te Wurzel= W4800= 4,105 und
notirt diese Zahl. Sodann bildet man in bekannter Weise 5. 4,33(= 10,0) und dividirt
dieses Resultat durch 4,105: giebt die Ablesung 2,439 oder 2,44

a) Die Bildung der 4ten Potenz geschieht durch die Operation:(M. ¹)“= a4:
— 18
6. Die 4te Potenz und die 4te Wurzel.
Fig. 27.
a(& 2)—
4 1 4 —
——
P=7e,
—·
— E1, a= Von 4—
Würde das Resultat über den 3ten oberen Linealindex hinausfallen, so benutzt man den
U
rechten unteren Schieberindex zum Markiren der Zahl a.
Eig. 28. 4 Ln 1 0 —+ 11 22 4
Hinsichtlich der Ausführung und der Stellenzahl hat man folgende Regel:
(Stellenzahl der Zahl a= n).
Benutzt man den V und fällt das Resultat Schieberindex in die links V I obere Linealscala 4 n— 3 Stellen links II„„ 4 ˖— 2 rechts 1 3 4 n— 1 rechts II„„
so hat dasselbe
4 n— 0= 4 n„
7
2
So hat man beispielsweise
7 Unterer Obere Stellenzahl Resultat Schieberindex Linealscala 6 1 12 links 2— 20736 ³) 1,2 3. 4.1— 3= 2,073 0,12 3 4. 0=3= 3 0,000207 Fnis 111 4.12=— 16 2„„ 4.—2— 2 0,0016 0,02„ 2 4.(— 1)— 2 6 0,00000016 —————— o———————— 4 rechts I 4. 1— 1=. 256 0,4„„ 4.0= 1==1 0,0256 6 rechts II 4 1= 4 1296 1
*) Die letzte Ziffer 6 erkennt man daran, dass 2*= 16 ist.

— 19—
5b) Das Ausziehen der 4ten Wurzel geschieht entweder durch zweimaliges Ausziehen der Quadratwurzel oder in folgender Weise: Eig. 29. 1
-e.og)⸗oghe
ſ ₰
afe)
8
- rlog æ 83 logqa 3 2. loga⸗=log(a*)——
1
4
Mithin«a= Va
Man hält also den Radikanden m auf der oberen Linealscala mit dem Läufer fest und verstellt den Schieber derart, dass sein linker Index auf der unteren Linealscala dieselbe Zahl a abschneidet, welche gleichzeitig unter dem Läuferstrich auf der unteren Schieberscala erscheint.
Die Ausführung geschieht folgendermaassen:
Man theilt den Radikanden nach bekannter Weise in Gruppen von je 4 Stellen. Die Stellenzahl der Wurzel ist dann, wie immer, gleich der Gruppenzahl des Radikanden.
Ferner hat man folgende Regel:
3 2T
zin mah so braucht man und den unteren Beispiel Gruppenzahl Resultat
1' T.. 3 4.—
ersten Gruppe die obere V Schieberindex 2 Stellenzahl VS
1 I Linealscala links 2,073— 1,2
2 II„„ 20,73 1 2,135 3 I. rechts 207,33 1 3,79 4 II„ 5 2073 1 6,749
—— 1 Fortsetzung für das Beispiel links 270736 2 12 4 II Linealscala rechts 0,2073 0 0,675 3 1„ 5 60,0207 0 0,379 2 V II„ links 0,00207 0 0,213 1 1„ ⁊0,0002/07 0 0,12 4„ reehts 10,0000,2070— 0,0675 3 1„ V„ 0,0000/0207— 1 0,0379 1. 3.
Beispiel 23. Es ist der Durchmesser einer langen Transmissionswelle von Schmiedeisen nach der von Redtenbacher hierfür gegebenen Formel:
4— N 72— 12— zu berechnen, wenn dieselbe bei 72 Umdrehungen pro Minute 25 Pferdekräfte übertragen soll. Man sieht zunächst, dass 5 von der Form 0,3.... sein, also in der 1te Gruppe 95 4 Ziffern haben wird, man berechnet also 52 auf der oberen Linealtheilung so, dass das
3*

— 20—
Resultat gleich in die 2te Scala fällt und nimmt dann auf der unteren Scala mit dem rechten Schieberindex die 4Bte Wurzel(etwa 0,768, braucht aber nicht abgelesen zu werden, nur muss man
merken, dass dieselbe die Form 0,7.. hat, weil der Radikand die Gruppenzahl 0) und multiplicirt diese durch Umstellen des Schiebers mit 12: giebt auf sehr einfache Weise
Beispiel 24. Es ist der Querschnitt einer schmiedeisernen Schubstange vom Durch- messer d= 8 2m durch einen rechteckigen von gleicher Steifigkeit zu ersetzen und hierbei das
. 9 3 3 Verhältniss der Rechteckseiten= 2 gewählt; es ist dann nach Redtenbacher
5 .=(
Man bildet zunächst auf der oberen Linealscala- 4
3 der 2ten Scala(weil von der Form 0,2.... also mit 4 Ziffern in der ersten Gruppe) sucht mit dem rechten Index unten d die 4te Wurzel(0,736) und multiplicirt diese unten mit d= 8; giebt
0,5, nimmt das Resultat auf
5— 3 2(,5= 5,89 m Demnach a= 2. 5= 11,78 m und der Material-Verbrauch 2
4
verhält sich nach Angabe des Rechenstabes, wie: 64 5— 50,1. 68,3.
—

—
l. Die Rückseite des Schiebers. A. Die Winkelkunctionen.
7. Die Sinustheilung.
Man stecke den Schieber so ein, dass die auf der Rückseite befindliche mit S(Sinus) bezeichnete Theilung mit der oberen Linealtheilung koincidirt. Man liest alsdann die Winkel in Graden und Minuten auf dem Schieber und die zugehörigen Sinus unmittelbar darüber auf der oberen Linealscala ab, und zwar gehen die Sinus in der ersten Scala von 0,01 bis 0,1(sin. 0° 35 bis sin. 5° 45*) in der zweiten Scala von 0,1 bis 1,0(sin. 5⁰ 45 bis sin. 90°). Die beigedruckten Zahlen bezeichnen also die Grade; die Werthe der Intervalle dazwischen sind je nach ihrer Anzahl zwischen zwei Gradstrichen leicht zu erkennen.
Die Operationen 6 sin.«= 9,—
SIn. α werden in derselben Weise mit der Sinusscala ausgeführt, wie einfache Multiplicationen und Divisionen mit der Vorderseite des Schiebers.
Princip 1) a sin.«—= 5. Fig. 30. Ozere Linealscala 2 2 2. Ioga ₰ logsinece log a- log(sin.)= log(a sin. a)= 1log 5. a 2—— ) sin. c 3 Fig. 31. , log a log ₰— 2 — 2 Ohbere l inealscala Finussca la . 3 — eglnce.— log a— log(sin.)= log(2= log c. sin. α S Beispiel 25. 4. sin. 3⁰0= 0,209(abgelesen): Fig. 32. 9— 1 2⁰9 1 82 8 1 Smnus 7. 0 3⁰ — 0cSin 3— 1
Sr ausscala

22—
Fällt das Resultat über die Linealtheilung hinaus, so hat man auch hier den Schieber so einzustellen, dass das rechte Ende der Theilung(S) auf a zeigt, und zwar ist dies in den meisten Fällen bequemer, weil die grössere Zahl der Winkel in der zweiten Scala liegt.
1,2
Beispiel 26. 3In 4° 20:
= 15,88(abgelesen):
Fig. 33. —— ₰ 09 12.* 1 15,38—1 —— „ 45⁵2, 0 Sinvs 2 log sim 4 20
Zur Bestimmung der Stellenzahl hat man folgende Regel: Ist z die Stellenzahl der mit sin.« zu multiplicirenden resp. zu dividirenden Zahl a, so hat:
1. Das Produkt
z— 2 Stellen, wenn es rechts von a in derselben Scala, 2 1. wenn es rechts von a in der folgenden Scala, oder„„ links von a in der vorhergehenden Scala,
z Stellen, wenn es links von a in derselben Scala,
2. Der Quotient.
z+ 2 Stellen, wenn er links in derselben Scala, 71„ wenn er links in der vorhergehenden Scala, oder„ er rechts in der folgenden Scala, z Stellen, wenn er rechts in derselben Scala erscheint.
Beispiele.
5. sin. 1°= 0,0873; 2— 2=— 1 5. sin. 3°— 0,2617; 2—1= 0 5. sin. 15⁰°= 1,294 2— 1
Oe 2 55— 14,35; 2 2= 2 Si,=; ⸗* 1=1 0,025. sin. 30⁰ 0,05 z—— 1
Beispiel 27. Sinussatz. Gegeben zwei Winkel eines Dreiecks= 10⁰;= 20° und
eine Seite 5= 60 m; gesucht a ..
a=. Win. 100= 3945;
sin. 200

—
Fig. 34 2 65—— 1 2/„ 3045 6 4 f 1 A 0 0—. 20 Ae — logsin Jndααν — ogsi2d— Man bildet also durch eine Stellung des Schiebers 60. sin. 10 log 60— log sin. 20+ log sin. 10= log
und liest das Resultat über dem Strich, welcher 10°bezeichnet. Stellenzahl von b= n, dann hat das Resultat
n Stellen, wenn es in dieselbe Scala fällt,
n+ 1, wenn es in die folgende Scala fällt,
n— 1, wenn es in die vorhergehende Scala fällt. Ist gegeben: 1 Seite 5= 50, eine zweite Seite a= 30, und der Winkel«= 10⁰, . 00.. gesucht 2 5, so hat man sin.= in.50= sin.(150 50). Man bringt den Theilstrich,
welcher 10° auf der Sinusscala zeigt, unter die Zahl 30 der oberen 2ten Linealscala und liest unter 50 derselben Linealscala auf dem Schieber direct ab 8= 16⁰ 50
Fig. 35. u— 5 70/130— 2 5 1 d— 25— 1 1 1 755— 185505 Fmn5
logr ν³⁶ 3 hgen. 10⁰. 509— Man bildet also
log(sin. 10°)— log 30+ log 50= log(En. 10- 3 50)= 1og(sin. 16° 50).
j 0 Dagegen würde man bei Ermittelung von din 10. 5 oder n n.50
30 i 0 vorhergehenden Scala zu nehmen haben, also in diesem Falle finden vn. 10=. 5— sin.(1° 39,50).
den Factor 5 in der
Wenn endlich die beiden gegebenen Längen um mehr als eine Stelle auseinander liegen, so kann man den Winkel nicht mehr direct ablesen, sondern ermittelt den Zahlenwerth, indem man mit dem Läufer die Lage des einen Schieberindex festhält, den Schieber selbst ganz herauszieht und umsteckt, so dass der entsprechende Index wieder dieselbe Stelle einnimmt und nun erst mit
j 0 5 dem letzten Factor multiplicirt, z. B. ein. 130 95— 0,00289
sin. 10 0,5 —— 00289 300 ohed
u. s. f. Wie man in diesem Falle den(sehr kleinen) Winkel findet s. u. unter 10.

— 24—
Hinsichtlich der Stellenzahl gilt in diesem Falle folgende Regel:
Fällt das Resultat nach Umdrehung des Schiebers rechts vom Läuferstrich in dieselbe Schieberscala, so hat es zur Stellenzahl die Stellendifferenz der beiden gegebenen Längen, fällt dasselbe links in dieselbe Schieberscala(oder rechts in die folgende) so hat man die Stellendifferenz um 1 zu vermehren; so Z. B.
Süel0e 0,5, Stellenzahl= 0— 2=— 2
An 10- 03, Stellewzahl=0— 3=— 3 Dagegen.
en. 10=. 0,05= 0,00107, Stellenzahl=(— 1— 2)+ 1=— 2. Ferner hätte man auch
50= 1,07, Stellenzahll= 0+ 1= 1.
(Dass dieser Fall keinen sin. mehr darstellen, also bei geometrischen Beziehungen nicht vorkommen kann, versteht sich von selbst.)
8. Die Tangententheilung.
Bei derselben Stellung des Schiebers, welche auf der oberen Linealtheilung die Sinus der Winkel abzulesen gestattet, erscheinen auf der unteren Linealscala die Tangenten der unmittelbar darüber auf dem Schieber angegebenen Winkel, jedoch nur von 0,1 bis 1, also entsprechend den Winkeln 5⁰° 43 bis 45°.*)
. 2.
Die Operationen a. tg. α, 15 werden hier auf der unteren Scala genau so ausge- führt, wie oben beim Sinus beschrieben. Hinsichtlich der Stellenzahl hat man folgende Regel:
Ist z die Stellenzahl der mit tg.« zu multiplicirenden resp. zu dividirenden Zahl a, so hat
das Product z Stellen, wenn es links,
2 1 rechts, der Quotient+ 1 Stellen, wenn er links, 2 5„„ rechts
von a erscheint. Beispiel 28. Tangentenlänge einer 500 Meter-Curve bei einem Centriwinkel von 35 20“
Tgte.= r. tg.-= 500 tg. 17° 40= 159,2:
2 Fig. 36. 17140 m. 1 SehtsreLiealseala
1og 500+ log(tg. 17° 40w)= log[500 tg. 17° 40,◻= log 1592.
*) Die Einrichtung der Tangentenscala entsprechend der unteren Linealscala, also in doppeltem Maassstabe ist eine Abweichung von dem französischen Rechenstabe, welche dadurch motivirt ist, dass der grösste Theil der Winkel zwischen 5° und 45° liegt und hierfür eine genauere Ablesung sehr wünschenswerth erscheint als sie bisher möglich war.(So besonders bei Berechnung von Tangentenlängen.)

—
3— 4 4 2 Ist der betreffende Winkel 6= 45⁰°, so nimmt man de. 70 statt a. tg., 2. B. 8.(90 400 tg. 69= 400 692,5 tg. 318° 2 Fig. 37 30 T 4 4 5 3 1 1 4 6925 4 400 g. 30) 5 19 log 400 log(tg. 30) log les 305) Beispiel 29. Gegeben in einem Dreieck a= 50 m; 5= 42m;„= 62°; gesucht 9. 2„— Es ist tg.(s— 9,, tg. 5
Man nimmt also zunächst mit Hülfe der Tangentenscala tg. 31°(= 0,601) mittelst des Läufers auf der unteren Linealscala, dreht den Schieber um, berechnet in bekannter Weise
te. 310 d 8. 92 6,91 und findet auf dem Schieber ã̃ 4= 3(ots 7 Eö. 0,1446= cotg.(8 2. Diese Zahl fixirt man sodann durch den Läufer auf der unteren Linealscala, dreht den Schieber wieder um und findet auf der Tangentenscala: arc. tg. 0,1446= 80 14
Mithin 6+ ₰= 90—(8o 14)= 81° 46, und 5= 81° 46,— 31°= 50° 46
42 sin. 62° ferner= n. 5s 46 47,9 m Die Tangenten der Winkel unter 5⁰ 43 ersetzt man durch die entsprechenden Sinus. Der hierbei begangene Fehler zeigt sich erst in der 4ten Decimalen(sin. 5⁰ 42= 0,099320; tg. 5 ⁰ 42= 0,099813) Bei Multiplication mit grösseren Zahlen(Radien) kann freilich die Differenz merklicher werden, und es ist dann zweckmässig für die Winkel von 3⁰% 30 bis 5⁰ 43 eine Correction anzubringen, sin. 300 man für die Winkel unter 3⁰° 30“ ohne Weiteres die Sinus mit den Tangenten vertauscht. Dadurch erhält man eine für alle Rechenstab-Operationen genügende Genauigkeit.(Streng genommen müsste
indem man dem supponirten Sinus 3 Procent zufügt, also sin.«+ für tg.« einführt, während
natürlich die Correction veränderlich sein, jedoch genügt der Mittelwerth und hat den Vortheil,
1 300 sich leicht dem Gedächtniss einzuprägen.)
9. Andere Methode zur Bestimmung der Sinus.
Die Sinus der Winkel können noch auf andere Weise gefunden werden, ohne die Sinus-Scala des Schiebers nach aussen zu kehren. Man zieht den Schieber soweit aus, dass der betreffende Winkel in der mit S bezeichneten Scala mit dem Indexstrich des Ausschnittes auf der Rückseite coindirt, dreht den Stab um, und liest gerade darüber(an dem dritten Index der oberen Linealscala) den Werth des Sinus auf dem Schieber ab; Z. B.
sin. 20°— 0,342 sin. 40 20⸗= 0,0755.
Winkel unter 5⁰° 43.

— 26—
lig. 38. — Ruekseite 36 45 50 85.— 3
Vozderseite 1
Braucht man sin. 2., so sucht man ohne den Schieber zu verstellen, die für sin.« gefundene Zahl, z. Z. 342 in der oberen Linealscala auf und liest darunter auf derselben oberen Schieberscala das Quadrat ab.(Man bildet somit 0,342. 0,342.)
Es ist hierbei wieder zu beachten, dass die in der ersten Schieberscala erscheinenden Sinus-Werthe= 0,1 also von der Form 0,0 n die in der zweiten erscheinenden= 0,1 sind. Diese Methode ist besonders bequem zur Aufsuchung eines Winkels, dessen Sinus bekannt ist. Dieselbe
3 3.. 7 2. kann ferner auch zu den Operationen sin. ᷣα⅜ᷣ—— d„h; u. s. f. bequem benutzt werden. S1II.. S1II. c«
Den Ausdruck sin.2a kann man häufig sehr zweckmässig verwerthen, statt der Rechnung mit dem
Sinus sehr grosser und den Cosinus sehr kleiner Winkel, indem man die Formel 1— cos. αᷣ 2 2 ..(. 7.. sin vers.= 2 sin. oder cos.= 1— 2 sin. benutzt. Die Rechnung gewinnt
95 4
dadurch sehr an Genauigkeit. Beispiel 30. Reduction schiefgemessener Längen. Gegeben in einem rechtwinkligen Dreieck:
...= 50 a= 60 Ccos. 50 ⸗ 60 sin. 850 5b= 60 m oder, da gesucht:(0s. 50= 1— 2 sin.*(2° 30):
r= 60— 120 sin.*(2⁰ 30).
Der Rechenstab liefert sehr genau 120 sin.*(2° 30⸗)= 0,228. Mithin= 60— 0,228= 59,772. Ist die Seite b gesucht, also etwa gegeben= 60;= 50, gesucht, so kann man
nſa 660 0. au statt der gewöhnlichen Rechnung= 5 An. 85 auch genauer
mit Hülfe der sec. externa rechnen, nämlich: r= 60(1+ sec. ext. 5⁰) 60+ 60. tg. 50⁰. tg. 20 30⸗= = 60+ 0,229= 60,229. (60 tg. 50. tg. 2° 30⸗ mit der Sinusscala an Stelle der Tangentenscala gerechnet.) Beispiel 31, wie es bei Eisenbahn-Vorarbeiten sehr häufig vorkommt. Auf dem Felde(mit der Kette) gemessen:
Fig. 39.

— 27—
5= 34,25 m 12= 80 m Gesucht die Grösse des Winkels, die Länge der Tangenten und die Bogenhöhe 1 6. 7 bei 600 m Radius. Man findet zunächst auf der unteren Scala: sin. 5 8 2= 0,214. Sodann
stellt man den Schieber so, dass auf seiner zweiten oberen Scala(weil sin. 2— 0,1) die Zahl 0,214 unter dem dritten Index der oberen Linealscala erscheint, dreht den Stab herum, und liest unten im Ausschnitt die Grösse des halben Winkels:—= 12⁰ 21ab. Mithin α= 24° 42“. Um die Tangentenlänge zu finden, steckt man den Schieber um und wendet das oben(Beispiel 26) beschriebene Verfahren an, man liest ab: Tangente= 600 tg. 12 ⁰°0 21= 131,2m Die Bogenhöhe(Curvenabstand) findet sich sehr einfach durch die Formel: Fig. 40 cc cc 5 2= Sec. externa= r. tg.—. tg.. Man braucht 8 4 4 1 also nur die schon berechnete Tangente noch mit
tg. 4. zu multipliciren, im angeführten Beispiel also
= 131,2 ts. 6° 10⸗= 14,20 m Diese sämmtlichen Operationen sind bei einiger Uebung im Ablesen in kaum einer Minute beendet und man kann nun sofort die Curve abstecken.
Beispiel 32. Curvenabsteckung mit dem Theodolith. Es seien b ereits abgesteckt Bogenanfang, Bogenmitte und-Ende 4, M und E. Die Curve soll mit Hülfe des Theodolith und der Kette zugleich ausgesteckt und stationirt werden. Fig. 41.
4*

Curvenlänge.
— 28
Der Theodolith sei in 4 aufgestellt, die Stationirung bis N= 8m vor dem Curvenanfang bereits vorgeschritten. Dann liegt der erste Stationspunkt der Curve bei 25m langen Stationen 25— 8= 17m von 4 nach der Curve hinein. Es sind nun die Peripherie-Winkel zu berechnen, welche die Visurstrahlen mit der Tangentenrichtung bilden. Curvenradius N= 600 m.
3437,7 17m
Der Winkel für den ersten Curvenpunkt ist«=—,—
17 = 1719= 48.7 M 2 1719. N 48,7 Minuten,
für jeden folgenden Curvenpunkt kommt hinzu α= 1719= 71,7 Minuten= 10 11,77
Bei M und E ist Controle gegeben, dadurch, dass daselbst Winkel und Curvenlänge stimmen müssen. Die angewendete Formel ist der bekannte Satz: Peripherie-Winkel gleich dem halben Centriwinkel. Die Rückseite des Rechenstabes giebt(s. unter 10) die Zahl arc 1 Minute= 1:3437,7; . 3437,7 5 1719 die Operation, führen. Auch bei den sonstigen Methoden des Curvenabsteckens kann der Rechenstab sehr nützlich verwandt werden und die gebräuchlichen(Kröhnke'schen) Tabellen in vielen Fällen
4 ersetzen, indem man entweder von der Tangente Lig. 42. 52 aus mit Hülfe der Annäherungs-Formel= 21
9
b ist auf der unteren Scala sehr leicht und genau auszu-
——ę—ę—2 oder von der Sehne aus mit Hülfe der Formel 1 G 5 4— 3=, oder von der Secante aus nach 27 719. 43.—( 6). 6. Fig. 43 der Formel= 2)e schnell mit dem Schieber die nõthigen Ordinaten ermittelt N 3 1. 3 8 — 4(e darf nicht— a genommen werden, gewöhn- X 5 55 1 5 lich= a). Die Formel v— ist auch be- 5, 27 Pig. 44. 2 — sonders geeignet zum Einschalten von bestimm- 3
ten, Z. B. Stations-Punkten in Curven, sowie lxy zum Berechnen der Ordinaten gekrümmter Schhienen u. s. f.
Die Bogenlänge findet man mit Hülfe der auf der Rückseite angegebene Zahl arc 1°= 0,01745, indem man diesen Werth auf der unteren Linealtheilung mit dem in Decimal- werth ausgedrückten Winkel(im obigen Beispiele also mit«= 24,70° und mit= 600 multiplicirt.
10. Kleine Winkel.
Für die Operation mit ganz kleinen Winkeln(besonders unter 35) dienen die auf der 1 1 3437,7 206265 Es sind bei den kleinen Winkeln die Sinus und Tangenten gleich dem Arcus(bis 35 noch in der
sechsten Decimalstelle übereinstimmend,) man hat also Z. B.
* Rückseite des Rechenstabes angegebenen Zahlenwerthe: ar e l“= und ane 1=—=
arze 1= sin. 1= tang. 1= 0,000201— n 1 r 11— 4— tano. 1 are 1°= sin. 1°= tang. 1 206265 Man findet mithin z. B. sin. 0° 17⸗= 17. sin. 1— 1= 0,00495(abgelesen),

indem man auf dem Rechenstabe die Operation Il49 in bekannter Weise ausführt.
3437 ..„ 20. 15 Fefner z. B. 20 sin. 15⸗= EE 0,0873.
Fig. 46
70720 1
1 3 974 4 2
61 1 1 ¹
1 1 5—
343
7915— 24 dgaan (oq20- 0(op. 1rgss
5 E
Ebenso die Operationen mit Secunden, z. B. sin. oder tg. 37“= 37 arc 1“ u. 8. f. Umgekehrt findet man den einem gegebenen oder berechneten Sinus Bogen- oder Tangentenwerthe α entsprechenden Winkel in Minuten oder Secunden ausgedrückt,(wie dies bereits im Beispiel 32 geschehen), indem man auf dem Rechenstabe die Operation
1
are sin. a= †. 33;7— a 3437 Minuten, 4 2. are sin. a= 1 206265 a 206265 Secunden
ausführt, also z. B. are sin. 0,00497= 0,00497 3437= 17, 1“
Die Längen log. 3437 und log. 206265 sind auf der Sinus-Scala durch besondere Striche bezeichnet, so dass man auch diese statt der auf der oberen Schiebertheilung zu nehmenden Zahlen benutzen kann, um die Sinus kleiner Winkel und die Winkel kleiner Sinus zu finden, jedoch ohne weitere Multiplicationen direct damit verbinden zu können. Hat man dergl. Rechnungen mit ganz kleinen Winkeln häufig vorzunehmen, so ist es zweckmässig, den Minuten- und Secundenstrich auf der oberen(oder unteren) Schieber- oder Linealscala anbringen zu lassen, was auf Bestellung sehr leicht geschehen kann.

— 30—
A. Die Logarithmen
werden abgelesen*) auf der mittleren Theilung der Rückseite des Schiebers und zwar am unteren
Index in dem Ausschnitte des Lineals, den zugehörigen Numerus liest man auf der unteren Lineal- Scala am linken Schieberindex, z. B.
Fig. 47. chieser, 4 Uat Tchusi nur 1 2 3
Râãeksyeite E——
10g. 3..... lies 477 also log. 3= 0,477 log. 0,3= 0,477— 1 log. 30= 1,477 log. 0,03= 0,477— 2 u. S. 1.
Diese Theilung kann also überall benutzt werden, wo man es mit solchen Potenzen oder Wurzel- grössen zu thun hat, welche sich mit den oberen Theilungen nicht direct oder nicht mehr genau
genug finden lassen, also z. B. bei 5ten und höheren Potenzen, bei 5ten, 7ten, 11ten.. Wurzeln,
5— welche sich nicht durch 2te, 3te und 4te Wurzeln ersetzen lassen; z. B. V 2560. Man findet
— Shi 3,408 4 log. 2560= 3,4082, berechnet auf der unteren Schieberscala 19= 0,6816 und liest den hierzu gehörigen Numerus: num. log. 0,6816= V 2560= 4,805.
Die übrigen Anwendungen des Rechenstabes, welche so mannigfacher Art sind, dass sie unmöõglich alle einzeln beschrieben werden können, sind bei Beachtung des den Theilungen zu Grunde liegenden Princips für die Zwecke des einzelnen Falls leicht herauszufinden.
*) Naturlich nur die Mantisse.

Bemerkung.
Der Rechenstab wurde von dem englischen Professor der Mathematik E. Gunter zu London im Jahre 1624 im Princip erfunden, später, 1627 von Wingate und weiter 1657 von Seth Partridge verbessert, welcher ihm die in der Hauptsache noch heute übliche Gestalt gab. Neuerdings hat jedoch der Rechenstab in der Hinzufügung des Läufers durch den französischen Artillerie-Lieutenant Mannheim zu Metz eine so wesentliche Vervollkommnung erfahren, dass eigentlich erst von da- an seine so ausserordentlich vielseitige Verwendbarkeit datirt. Der Rechenstab ist in Frankreich und in anderer Gestalt auch in England sehr verbreitet, in Deutschland aber erst neuerdings in Aufnahme gekommen.*) Derselbe konnte bisher jedoch nur aus Frankreich und letzthin längere Zeit hindurch auch von da nicht bezogen werden, bis das mechanisch-mathematische Institut der Herren Dennert& Pape, in Altona(Friedenstrasse), in höchst dankenswerther Weise, trotz mancher entgegenstehender Schwierigkeiten, die Herstellung auch in Deutschland übernahm und somit zugleich Gelegenheit gab, die auf der Rückseite angebrachten Zahlenwerthe dem hier vorkommenden Bedürfnis besser anzupassen und die trigonometrischen Theilungen wesent- lich zu verbessern, indem einmal die Sinusscala(bis 10⁰) durch kleinere Unterabtheilungen vervollkommnet und ferner die Tangentenscala statt bisher für die obere jetzt für die untere Linealscala eingerichtet, mithin zu der doppelten Genauigkeit erhoben wurde.
Halberstadt, im März 1873.
A. Goering,
Baumeister.
*) Die erste Hinweisung auf den Rechenstab dürfte in Deutschland durch die Beschreibung desselben von Redlich in der Zeitschrift fur Bauwesen, Jhrg. 1859, pag. 594, erfolgt sein.— Sodann flndet man das Referat über einen den Rechenstab betreffenden Vortrag von Haeseler im Arch.- u. Ing.-Verein zu Hannover, in dessen Zeitschrift, Jhrg. 1869, pag. 207.
Hamburg. Druck von G. F. Thiele.

Farbkarte 13
Der
chenstab
aus dem
A-mathematischen Institut
ennert& Pape.
Altona,
Friedenstrasse.