—òℳℳ—— 1 Univ.-Bibl. Siessen — ——— IOANNISKEILL., M. D. Regiæ Soc. Lond. Socii, In Acad. Oxon. Ahironomiæ Profeſſoris&aviliani INTRODU CTIONES 47 DO d E R A PHZYISI CAM A 7 I. 4 ASTRONOMIAM. Quibus accedunt RI1GO N O AM 4 4 A7 4. DE VIRIBUS CENTRALIBUS. DF LIECIVUS ATTRACTIONTS. 7 L. UG BUNE SB A2 4A O R 9 4, Apud JO H. 1T HERM. VERBE E K. Bibliop. MDOCGXXXIX. — — 1I1 N D E X INTRODUCTIONEM AD VERAM P HX S I C A M. LEcrlo 1. De Methodo pbiloſophandi. pag. 11 2. De corporis ſoliditate& Extenſione. 18 3. De magnitudinum diviſibilitate. 25 4. Reſpondet objectionibus contra materiæ diviſbilitatem afferri ſolitis. 34 p. De Materiæ ſubtilitate. 43 6. 7. 8. De Motu, loco&õ tempore. 61. 69. 75 9. 10. Theoremata de Motus quantitate& ſpatiis a mobilibus percur ſis. 86. 93 11. 12. 13. 14. Qe lgibas Vaturr. 106. I1. 124. 138 15. 16. De Deſcenſu Gravium in Planis inclinatis& Pendu- lorum motu. 112. 177 HUGENII THEOREMATA de Vi Centrifuga& motu circulari demonſtrata. 196. ſeq. INTRODUCTIO ADVERAM ASTRONOMIAM LECTIO. I. De Motu viſibili ſeu Apparente. 2²5 2. De Motu apparenii, qui ex Obſervatoris motu oritar. pag. 232 3. De Syſtemate Mundi. 236 4. In qua probatur&ybema ſuperius expoſitum eſſe veruiu Mundi Syſtema. 242² F. De Maculis ſolaribus,&ẽ Solis& Plauetarum circa proprios Axes, vertigine,& de flellis fivig. 251 6. De magnitudine& ordine Eixarum, de Conſlellationibus, ſtellarum Catalogis,& Mutationibus, quæ fixis accidere vi- ſæ ſunt. 25 7. De motu Telluris annuo circa Solem& circa proprium axem, 1& de motu apparente ſolis& ccli inde orto. 263 8. De Varlis Phænomenis ex motu terræ pendentibus. 273— 9. De Luna ejuſque Phaßſibus& motu. 283 10. De næqualitate motuum lunarium, de Lunæ facie, æjuſque moni bus&éõ vallibuf.. 290 11. De Soνςα& Lunæ doliquiis, ſeu de Eclipfibus. 296 12. Oe Penumbra ejuſqu cono, de coni umbroßi altitudine, s ambrarum diametris a pparentibus 301 13. Oe 1 N D E X. LTOTIO 13. De Projeclione umbræ lunaris in Telluris diſcum. 307 14. Nova methodus computandi Eclipſes Solise dato loco vi ſchiles. 3 16 1I. De Phænomenis ex molibus Telluris& duorum Planctarum jinferiorum Veneris&& Morcurii ortis. 328 16. De Motibus Planetarum ſuperiorum Martis, Jovis& Satur- ni,& Phænomenis inde ortis. 339 17. Oe Cometis. 353 18. Doétrina Sphærica, ſeu de circulis ſphæræ. 354 19. De Doctrina Sphæricd. 373 20. De crepuſculis,& ſiderum refrattione. 384 21. De Parallaxi ſiderum. 395 2 2. Theoria Motus Telluris aunui. 413 23. De Motu Plauctæ in Elliphi,& ſolutio problematis Kepleri, de ſectione areæ Ellipticæ. 4²² 24. De Problomatis Kepleri ſolutione Newtoniana& W ardi Hy- pot heſi Elliptica. 4³4 25. De Temporis 2Æßuatione. 447 26. De Keliquorum plauetarum Theoriis. 459 27. De planstarum ſtationibus. 472 28. De Temporis partibus. 484 29. De Kalendario,&õ Cyclis ſeu Periodis. 4⁰¹ 30. Appendix continens deſcriptionem& uſum utriuſque Globi;& Problemata quædam ſphærica, calculo Trigonometrico abſol- vonda. Ex Nicolai Mercatoris Aftronomia. 701 TRIGONOMETRIEÆ PLANAEÆ ET SPHEÆRICÆ ELE- MENT'A 117 ITEM DE NATURA L I 1 ARITHMETICA LOGARITHMORUM TRACTATOUS. FF: CA. 1. De ortu& natura Lagaritbmorum. 713 2. De Logarithmorum Arithmetica ubi numeri ſunt integri, vel in- tegri cum decimalibus adjundtis. 56²2 — 3 De Aritbmetica Logaritbmorum, ubi numeri ſunt fractiones. 564 — 4. De Regula proportionis ſeu aurea Logaritbmica. 569 — ſ. De proportionalium Quantitatum continuis Incrementis,& de modo inveniendi per Logaritbmos, Terminum duémlibet in ſorie proportionalium, ſive creſcente, ſi ve decreſceute. 571 — 6. De methodo, qua Henricus Briggius Legaritbmes ſuos ſupputa- vit, ejuſque demonſtratio. 578 DE LEGIBUS VIRIUM CENTRIPERARUM. 185 PE LEGIBUS ATTRACTIONIS, aliiſque PHYSICES PRINCIPIIS. 621 — INTRODB8EIILO AD VERAM PHYSICAM. 86 4 LECTIONES PHYSICX Habitæ in Schola Naturalis Philoſophiæ Academiæ OXONIENSIS An. Dom. 1700. Quibus accedunt Theorematum Hugenianorum de Vi Centrifuga Matu Circulari demonſtrationes. Authore IOaNNE EKEIL. I., M. D. Aſtronomiæ Profeſſore Saviliano. R. S. S. ——————xpf AU V—— 4 ———— 8—— A 7————— 4 4 3 — — 8» — ◻ deeru — 8 5 7 . 1 MONTGOMEKIE, Kc Nobiliſſimi Ordinis Periſcelidis Equiti, SU M M O CLASSIUM BRITANNICARUM PRALKECIO. ⁸ e IBI, Vir Honoratiſſime, Exercitationes haſce deſtinantem, merito me deterreret ANA Dignitatis Tuæ ſplendor& amplitudo, ni- N ee ſi illis aditum aperire præ ſe ferret ea, N quam Tu foves& ornas, Philoſophia. Cum enim graviſſimis Reipublicæ negotiis ingenua literarum ſtudia admiſcere ſoleas, eum ad Te haud ægre ſmes accedere, qui tantas quidem curas Tuas interpellare minime audet, otio tamen aliquid liberalis oblectamenti offerre magnopere cupit. Hoc enim cum paucis commune habes, ut idem& in literis optime verſatus ſis,& in Republica; idem tam philoſophorum ſcholis, quam Regum conciliis præeſſe merearis. Dum itaque in idoneis conſiliis adhibendis quam ſapiens ſis, Regum ſapientiſſimus; in foœderibus ſanciendis quam *̈r A 2 Prul⸗ 1 ———nmnm’— — prudens ſis, univerſa loquitur Furopa; quam interim de literis meritus es laudem, ab Academico ne recuſes. Liccat etiam& nobis, Tibi de noviſſimis Tuis honori- bus gratulari, liceat nobis cum patria una gaudere, id Ti- pi deferri munus, quod non modo virum in rebus gerer- 4 dis fdum fortemque, ſed reconditiore matheſeos ſcientia 38 optime inſtructum deſiderat, Hiſce ſtudis ita animum im- A buiſti Tuum, ut in Tuis manibus Præfectura Claſſium& 87 Oceani Imperium, hoc eſt, populi Anglicani ſalus& tu- 24 tela tuto poſſit deponi. Dum itaque eo in munere verſa- ris, ut ejuſmodi literaturæ ſepoſitam olim apud Te ſupel- G lcctilem reviſere denuo& in lucem proferre liceat; ſinas Vir Nobiliſſime, ut hoſce in re phyſica conatus mathema- ticis argumentis potiſſimum innixos, ad Te haud impor- tunus deducam, qui quidem quocumque rationis pondere fulciri videantur, ad judicium Tuum non appellant, ſed mplorant Patrocinium. L — Illuſtriſimæ Meritiſſimæque Dignitatis, 1 Nobilitatis,& Magnitudinis Tuæ 1 Oxoniæ». Obſervantiſſimus Cultor Feb. 14. 1701. Jo. KEILL. 1 3 G 3 8 y Fr 8 5 2— ſan 7 4 Aℳ— PREEAILIO. DA MIVI nunc dierum celebretur Philoſöphia Mechanica,& inſignes in hoc ædbo obtincat ſii cultores; in pleriſque tamen pbyſicorum ſcriptis, vix quicquam mechanicæ præter ipſius nomen in- veniri poteſt. In cujus locum ſubſtituunt philo- ſophi corpuſeulorum quæ nunquam viderunt; fi- dLuras, vias, poros E interſtitia, partium in- teſtinum motum, pugnas& conflictus Alkali G Acidi,& quid boni malive exinde oritur ita ad amuſſim narraut, ut nihil in hi- ſtoria naturali præter hdem deſideretur, quoties materiæ ſublilis miracula prædicant; miracula dico, nam illud proculdubio mira- culi inſtar eſt, quod contra palſim notas naturæ leges,& ſtabilita mechanicæ principia evenit; qualia futura eſſent omnta naturæ phænomena, ſi àa materia ſubtilt& methodo operandi à Pbyſicis- tradita producerentur. Ad ipſam naturam explicandam poſtulata adbibent quæ noc con- cedi foſſunt, nec intelligi;& quæ magis implicata ſunt, quam zlla ipſa phænomena quorum cauſasr indeſtigant. Quod ſi ipſis ſua concedantur poſtulata, non tamen exwinde orientur effectus iſti, quorum rationes& origines ſe enucleaſſe gloriant ur. Ne vero quiſquam hoc gratis& malevolo à nosis dictum ſuſpi- . A 3 cetur, ——— ——————— 6 PR N EA1IGO. „ 2„ O e e, n, 2,— 1.„. 66 F2“„„ 4 60/ 1T 2l1 N4) glldlt Cc 24 9A, blicanda. c4/ 2 C 2 ion 9 111 C0 ½— 7 perum terreſtriuin omnium mawime univerſalem condiderunt; L 2 /, 1 nne F 7 Suue; G; Vitatens intell 2—+rf* * A1C1 Oor Till Ier. 2 fubi tili*⁵½ Aereen do All. d 0, quam, ex lo 4 —* 65.* „84; 2„ 177 Q 2 4* 5 kteſtani gravitatem ab actione materiæ cæleſtis oriri volunt, 7 7 3„ X„1 5„ ur 377 Vor'! flc 0 agil dldt C2 red Feorrnda 35 erit 1„ 2 proinde Ml⁴³, 2' 1t .—.„.„—, poſſit a kerra a recedit G c9 Pora Lerroſeria minus agitata Verſüs 7„ ne, * „„ 5 7, 7/ F„ 2— u e 2 2, terram Sro pollit. 6d, ll dl« arius recen tiores F méeuléem ſuan hll- . 1, p 4,, 7 canl, Vl Dt‿ored ere uos Cirod Lerran J 95 ⸗ perficiat, .. /, u 7 64 7 E corporuin iJt iCuls moventium ritu, conatum d centro. 1otiis vεν 7 ⸗;„ 7 7 54 7. dAoudli babebit„ adeoque corpora terreſtria minorem vim babentia 5.„„, 7., 2„ Ve hi cent ran prol udet; dl A†htid erſus terram gravitans Corpos Tt; 29„f 7 3 527 2.— 5, n. ra minor is 5. 7 o mole ponderis demerſu ſurſum Sau ad circumferen- ₰ tiam pel f1!. Elca tcunquæ— prima facie videantur, fi ad examen re- voces, ommibus fere naturæ l³ gibus adverſuri in eliey. Nam 2n5. ,, ſ. 9,„ 7—„, mo Cartéeſtaui materiam etheream circa terram in circul- 6 7&* 2 ,, ,ee een 2 Va grtuim[iutun,, recddere. Quut 7ll l1 H* 2vitatem:« XLide Orlltis 2 ſltllltt Aucore Conten- dunt, deuurun Ber iguo! iur ex plicare olunt Pi ertim cun . 4 non pauca adduli— ut argumeénta quibus s d, vnna iirotatio peni- rur vertitur. Verum Cartehianis concedamus illud poſiulatum, 22 vibama Atrum Sn ſaiu etur u dd Volunut re enomenon. Cum 72 Ne ſit 2 vorticis terram circun arotantis velocitas ad terræ ſu- Perfcciein, fut ædualis ipfius terrenæ rolationis Vvelocitati(nam ſi major eſſet; alizua; motus pars in ierrain imp enderetur, Tuo he rer ut ipſius velocitas ſeunper minuerelur 2 terr augeretur doncc ad æqualitatem pervenirent,) unde ex ud 57 olis Terræ magnitudine 8 tempore Totatid ionis, dabitur ſpatium, zuod corpus, urgente Vi ₰ centrifuga materiæ cæleſtis, percurre ro poteſt, m 2 Mn tempore; æquale ſcil. arcus interea Ao ſarün li Qua aarato ad circuli diametrum applicato. Der Lem. 2. ad demouftrationes Theorematum Tr. genii de Ti Centrifuga& Motu Cir Eæx quo principio calulus incatur, indeniretur ſpatium, tempore aimiius ſ4 2rupuli 5 cundi O—————— 24„ Sr r 5/7 74 5— deferri; dl qllu Kaue, oue Woll. 1l oriatutr, alil Qο Da 61 conſer Ue 4. Z 14 A 7 /„ L 2„F, 5 1 7:7 7 92 2. kur, 2aie ardAullit ſſel e‿ᷣοᷣᷣ!mᷣ 1 40 Iſi. gravita fis ratiouemn. — . K T A& u 0 7.* f„ V 7 27 577 ＋ H 7 1777F— 770½⁰½ cundli d Corpone Vi centrisigaó Hεαν⁰ν Aιd Ve. currenduin.e 4„ „ F5 /// v EN. — OUιαEνρπμ13uner!—— eccdere pedlemn Mmdum.. aeecur ene* crus grawituiis, Lemhore untus scrupule secunde gravia non uuira Aimiduum pedem descendercut: H Craε des y in cο vempore gercurrunt; aO se Hoe doεασ αα tatis causa esset, contra mechanicα leHπα ahεenet, Glsietαιμìκαάì σ ι¹-7 pus per pedes 1 in scruful scατπι˙α desαιαιοφ◻αε. Ut huijus ohfρeαëtionis Vim(Hugiant selpfonun anderic. aisereœ vertiginem vertigine terræ multo celeriorem. Que licel JNori non possit, illud tamtemn si denuo zis concedamus, Nec ande sessuctur me. chamica gravitatis actio. Nam cum zuateria vorticis semper 0er fertur in circulis guutori parallelis,& Virium centrifigaruem dε. rectiones secundum lineas in planis horum circulorum faccrtes seme. per fiant, oportet ut cor pora ommi& im Lisce planis descendlaut,& perpendiculariter aαιρ uαεπ non d issam terram gendamt. 8 i- rur materia subtilis mechamicçe ageret, cor pora aασάνπεα rεει- pαʃ- leret; unde cum secundum hos L Heoristas aις ceutrum terræ ten dere cogit, fectum 4 veris mechauice legibus abhorrentem producit. ö ö Ut Hane disficultatem tellant, ulterius suponunmt matertam æ4. ʒheream nom im circulis æquatori parallelis, sed in magnis sphr circulis deferri: Art quo pacto Hoc concipi Polfit, planme nesco; cum enim quivis circulus mamimus alios ommes infiniι%σς Vis secet, MPortet ut motus particul& cufusthts aο aliis infinitis secundum Me- ves sas vias per gentibus impodiatur, arque dandem motus ejus fes Aatur, si primò in omnes partes æqualis impresfa fuerit motus quantitas; vel ut ultima in circulis parallelis ommis deferatur, si major siuit ab initio motus versus unam partem quam æaliam. Quin illud etiam quæri potest, unde fit ut materia ethheréæa in super. Vabt sohæræ ctime moveatur; cum vim centri Ig%am habear, Ve- aecur ipsam debere inde recedere; quid igitur est quod ipsaem imhu- beas? Dicunt alia corporà ambientiæà materiam in eατum uPer fi- cie coarctare& ejus recesfum impedire. Cum autem OHorteat ut materia hæc alid corpora ipsam ambientia premat, necesse es ut motum zsis commumicer;& hœc corpora aliis ipsu ambientibus Molum pariter impriment, atquè sic in infinitum propagabitur io- lus A* —FH 77 V 50 ＋ 7 2⁴0 O/ Aine Ver 7.5 Ver grav. —— n— SS... ESESEAEAEAS S„ T. F A 1. rus nnateriæ fubtilis, unde necessi est ut celeritas 2psiuis Paulatim languéscat. Alie quam plurimæ disficuliates, mechbanicus Hasce gravitatis explicationer urgent, quærum unam ad oinnes istiusimodi ipsius I hehrias se eœαιεndιentem libet propomere. Heilicet si corpus deor sum materid subti»li, quovis modo pellatur, Vis quua pelletur necessa- vio erit ut nuimerus particularum, quibus fimul gentibus versus Ler- „am trudlitur: Jed numerus particularum est ut corporis supenfictes guarè erit vis qud corpus deorsum prenutur ut efusdlem superficies, nom ut ipsius quantitas materic guod cœαhραfιεhtie contradicit. Net iminus cœteras plerasque ommes, Auues Ae alus rebus condunt Vn potheses, ad απαπmen reducantur, naturæ Iegibus repuguantes rnhιοεeuιεemus. (Innes errores e Hoc fonte promandsse videntur, quod Homines inari Geomũtriæ phhilosophari ausi sunt,& rerum nuturalium causas reddere. Quid enim aliud præter Hallucinat iones ab iιe 6secεροιαι¹t;t:, Oi Geumetriam totius Pl.ysicæ Ffundamentum ne- eleneruut; ignotis naturæ Viribus per Geometriam tantum Esti- puamdlie, ipscus tamen operationes, methodo regulis mechanicis mi- nimè congrud ehlicarè simnt agrelst? Inter Hufusmodi philosophos Cartesius men ducit, qui etiamfi Geométra fulerit insanis, Enavo tamen desidi ut placeret phi- LIasof hantium gopulo, Inllum Geometriæ usum in philosop hia ad. Hicuit: Et quamwis profiteatun se omnmia mechanice per materiam motum erplicaturum. Philosophiam tamemn eαεαποέέieviια Juæ Veris Mechamicæ legibiis tantum alhhorret quantum quæ lon gilsi- nue. Illius secta nomina dant, quicunque recte, Huc est Geome— trice, philosophand. laborem refugiunt. Magna cquidem turba per 6yem Lerrarum longeé latechue Mffuisu. At hictt tanta philosophanttum: pars umbram philosophie, non ipsam substantiam amꝑhle sit; non vamen desunt(nec ut spero unquam gecrunt) qui in Veris naturæ legibus perscrutandis,&. rerum causis per principio mechamica eαπinde in vestegandis, haud inanem posuerumit oρeru. ö ö Inter an tigtuos piναοs præcipié eminuit Mivinus Archime- des, qui prater zJda Geometrica sua momumenta, e, t4alicæ T 2* ———————————— EAR EF A I O. 9 Ftuticæ principia duobus Libris De Haquiponderantihus S De Humido Insidentibus dbes demonstrata reliquit. ＋7 Ot sunc per lngam annorum seriem delituit mechanica Philoséphie, nec nis- paucis quibusclam accuratioris ingenti viris exculta est. Inter 20% Rogerus Bacon Oxoniensis G Hicronymus Cardanus me- rito nominandi sunt. Tandem sudb initto seculi ultimo clapsi„0- delis 0le Lynceus philosophus Galileus, clave Geometrica rursuus reseratis naturæ claustris, novam condidit dσε Mitu scientiam, S methodum monstravit, qua rerni causæ mechanicæ fint inda- gandœ. Vjus Vestegiis infistentes, 2ascanes Veri Lorricellius 2 Paschalius huεsophiem novis specHH4αιρπ⁰σνι⁰⁰ adlaurerunt. Nost- quam vero& duobus potemtzssimir Regibε, octerater Londinen- 1is Parisiensis αάhhilosophhiem éααοιeudem institutæ Juerins, miris inventis ampliata ési rerum naturalium scrontia, non ils solum quæ in nuda speculationéꝰ versantur, sed aliis guamplu- rimis quæ hominum utilitatibus inserviunt. Arauum sset ne. Sotium innmnerd illa recenseré beneficia, quæ e urriusque so- cietaris laboribus pumano generi provencrunt Ne- Jacile Eft Oscendere, quautum a4ebebut omnis posteritas illujtris Hugenii Geometricis de motu Pendulorum aemonstrationibus, aut egregtis nobilis Boylei caperimentis, quibas ille miranda plurima retegit naluræ arcane. Wallisii Geometriam dσ Motu, Opus in suo gene- 2e Perfe ci Wium, grato animo revolvent seri nepotes. Nom ul- s Louebunt Phuhsopr fiuwiorum C& Lentorum causas ab Acu- 2W-Mien Geometra Halleio π Aμctis LHilosopb. traditæ, ante ipsum rustra tentatæ. Ad aliorum erga rempublicam Ihiloséphhicam merita commemo- randa pergerem, mise circa Newtoni Hraclara inventa non sabhiste- 2e mefus dacerem, cufus sagacissimum angenium plura& abstrusio- ra Patefecι¹ι naturæ mysicrid guam sperare mortalebuus faserat; cuum- qué allius inventa inhtra angustos Huujuus græ Fait iuuncul& limnites non unt coarctandα, silsgeiat Hoc solum Zudecalse;, guoαι quαcunque Patres nostri ab omuë efcruin emoria de ghhilesephια mμεαehanic nobis tradiderumt, eα uα αασάecεnn Lam corum assurgunt partem, qu proprio Marte, per summam in Geomnetria Poeritiam, adinvenit Newtonus. Quam facile autem ad rerum& nobis 0ongée dilsita. rum affecfiones caplieahπαιdαs, Planctaruin—— B molus ipsorum. 2⁰⁷⁴. EEEA— 10 PER E. que inaqualitates, adhiberi possiut principia Mechanicù, nu- Jiterato orbi innotuit pen Elemente Asironomiæ Physi6αασ Ceometricæe ꝗ D. Gregorio Astronomiæ Frofelsore Saviliauo EJita: Opus cum Jole& Luna duraturum. Cum vero talis fit phichsophie mechantee ftatur, ut nulla a. Iia rationt quai Ppe. Geometriam aditus aασ ipsam patcer; 744 4 me esstagitabant 2 mei ut ipsfius principin Faciliora yrimie Eνπιονn Geometrie Elementin pendentia,& que einde Nuunt phamomen4, udventuti Academicæ eeponend susc ienem; guod ½½αm me non iniquo surè postuladit Vir Clarissimus& omni Jiterarum geunere oπuαι¹ν Dominus Thomas Milington Equues MT. D. PHilosophiæ Naturalis in Hhac Academia Profesfor Sid- leia us, Collegii Medicorum apud Londinenses Pr&ses, Cum e a1 muuus Hoc obeundum in scholis puhlicis sussfecit. Illius consclio secuentes in Acade mig Ieczrionès hahui: In quihur id præcipue mibicuræ fuit, ut discentium conce, In de generali- 0us corporum aseclionibus rite& Aistincte formarentun; ＋ obseuris enim& Falsis d rebur ideis, omuss in re physfica er- rores originem ducunt: zaeoque corporis ten slonem, solidita- en, S Aivischelitatem à pleri que satis ohscure tradit as, quan. tum potui, diluciae erposui: Deinde mot us nat u, S yroprie- tates, ah ommibur prαterquen, quibu sclam Hhei lo sophis sat is cla- 4e ch⁰οεipiendas, rhlicuιt,& leges natura. indé deduvt; vim cravitatis eu Pandera cor poruim quautitat ihus materiæ& im ii s- dem proportionalia ese, S yprinripium quꝰ Per machinas magua zondera elevantur 0stendi. Motus deinde leges,& causam aαεακ- erationis gravium ab iisdem peudentem, qua proportionè crescunt vel decrescuui shatia gravibus pro artis temporum interballir percur sa monstravi. Hisee succedunt regulæ congrè s- suum tam in corporibus duris quam elasticis, modus uo i1us maguitudo stimanda esi. Quihus adjunvi motuum com positio- neg V resolutiones,& alia quædam, Fheoremata, quorum baud eviguus est in philosophia usus: Etutulterius videant Pphilo. sophi, quonsqque se νπιεendat in scientie rerum gaturalium Ceo- metriæ etiam egementaris usuus, pulcherrima 1augenii Theo- remata dσ Vi Ceutrifugs S Motu Circulari e* Elemeutis de- mon stravi. INIRO- —— Pag. 11 n AD VERAM PHVSICAM. I. E C T1I O I. 7 ＋. 25 De Methodo Phiuasophandi. andoquidem Muneris Nostri institutum postulat, Nut coram vobis„ Academici, corporum naturas & affechiones explicandas suscipiamus, necessa- rium duximus, priusquam rem ipsam aggredia- mur, quæedam, de Physicorum sectis, principiis,& me- thodis præfari; eamque rationi exponere, quam am- plexuri sumus in scientia corporum naturalium investi- ganda. Philosophorum, qui de rebus physicis scripserunt, qua- tuor prœ cæteris genera inclaruerunt. Primum est eorum qui rerum naturas per numerorum& figurarum Geometrica- rum proprietates illustrarunt, dicam? An occulerunt? Qua- les scil. fuere Pythagorici& Platonici, quippe qui dogma- ta sua temere in profanum vulgus effundere non sustinuerunt, ideoque larvis& Hieroglyphicis ex Geometria& Arithme- tica petitis Physicam suam velarunt, nec quisquam eorum discipulus, nisi post plures exactos probationis annos„Ad ve- ram Physicam atque arcanam illorum Philosophiam perdi- scendam admissus fuit. Quamvis hoc modo fua Philoso- Phiæ dignitas conservata fuerit; pessime tamen nobis horum Philosophorum posteris consultum est; exindeè enim adeo larvata atque tenebris involuta ad nostras pervenere manus corum dogmata, ut, quales fuerint veræ de rebus atque re- rum naturis sententiæ, parum constet: quantumvis autem obscuram accepimus husus sectæ Philosophiam Certius ta- men ex ea liquet Philosophos illos Geometriam& Arithme- 2 2 ticam — 1NTRODUUC 1 ticam ad solvenda naturæ phænomena necessarias duxisse, atque in hunc finem eas adhibuisse. ö Secunda Physicorum gens à Schola Peripatetica originem duxit; hec secta per materiam& formas, privationes, vir- tutes elementares, qualitates occultas, Sympathias& Anti- pathias, facultates, attractiones& id genus alia„ Physicam suam explicavit. Verum, ut opinor, hujus nomiinis Phi- losophi non tam rerum causas indagasse visi sunt, quam ido- nea rebus ipsis imposuisse nomina, atque terminos adinve- nisse, quibus Actiones naturales rite designare possumus. Tertium Philosophantium genus per experimenta proce- dit, atque in id solum incumbit, ut corporis cujusque pro- prietates,& actiones omnes, per sensuum repræsentamina nobis innotescant. Hujus sectæ laboribus haud exigua de- bet philosophia incrementa: plura fortasse exinde receptura, si methodi experimentalis sectatores nullas sibi ipsis finxig sent Theorias, ad quas confirmandas experimenta sua pessi- me detorserunt. Quarta denique Physicorum classis Mechanica dici solet, & qui huic sectes nomina dant, onmia naturæ phenomena, per materiam& motum, partium figuram atque texturam, Particulas subtiles, atque effluviorum actiones, se posse e- nodare putant, atque horum operationes secundum notas atque stabilitas mechanicæ leges fieri contendunt. Ex Variis hisce philosophandi methodis, uti nulla est in qua omnia placent, ita in omnibus quædam probare possu- mus; quocirca ut delectus habeatur Oportet, c eligendo quæ usui maxime futura sunt,& rationem ex hisce omni- bus compositam sequendo. Et primo, cum antiquis Pythagorieis& Platonicis, Geo- metriam& Arithmeticam, tanquam artes ad rite philoso- phandum necessarias, in auxilium accersemus, sine quibus parum admodum certi de causis naturalibus constabit. Cum enim onmis actio physica à motu dependeat, aut saltem non fiat absque motu, motùs quãàntitas& proportio, corporum motorum magnitudines, figuræ, numerus, collisiones,& vires ad alia corpora movenda, investiganda erunt.. &C * I EN H **ʃ 2...— AD VERAM PHVSICAM. LEOr. I. 13 hœec mnia, nisi ex notà quantitatis& proportionis natura, determinari non possunt: adeoque opus erit iis artibus, quæ harum proprictates demonstrant:& proinde Geometria& Arithmetica necessariæ ad rite philosophandum censendæ sunt. ö ö Secundo cum Peripateticis nom verebimur usurpare termi- nos Qualitatis, Facultatis, Attractionis,& similium; non quod his vocibus veram causam seu rationem physicam,& modum actionis definimus, sed quia actiones hæ possunt in- tendi& remitti; adeoque cum illà qualitatum proprietate gaudeant, jure possunt earum titulo ainn„& sub hoc nomine, virium seu intensionis& remissionis rationes ex- pendi possunt. v. g. possumus gravitatem qualitatem dice- re, qua corpora omnia deorsum feruntur, stve ejus causa à virtute corporis centralis oriatur, sive sit corporibus innata, seu ab actione ætheris vi centrifuga agitati& altiora petentis rocedat; sive demum alio quocunque producatur modo. Sie etiam corporum conatus ad se mutuo accedendi Attra- ctionis vocabimus, qua voce non determinamus actiones istius causam, sive fiat ab actione corporum vel se mutuo Ba„Vel per effluvia emissa se invicem agitantium, eu ab actione ætheris, aut aëris, aut medii cujuscunque corpora innatantia ad se invicem uteunque impellentis, possumus, inquam, has actiones illis vocibus denotare. Et si verœ illarum causæ nos lateant, quidni etiam qualitates occultæ dici mereantur? Eodem sane jure, quo in æqua- tione Algebraica incognitas quantitates literis vel ν de- signamus,& methodo haud multum absimili, harum qua- litatum intensiones& remissiones, quæ ex positis quibus- cunque conditionibus sequuntur, investigari possunt. Li- bet hanc rem exemplo illustrare. Utcunque ignota sit qualitatum natura, utcunque nos la- teat operandi modus, possumus tamen de earum intensione & remissione sequens demonstrare Theorema, scil. quod Qualitas seu virtus omnis, quæ undique à centro per rectas lineas propagatur, remittitur in ratione distantiæ dupli- cata. B 3 Sit * .—— —— 22 2— TAB. 1. Fe. X 14 INTRODUCTIO Sit A punctum, à quo undique diffunditur qualitas quæ- cunque, secundum rectas A3, AC, AD,& cteras in numeras per totum spatium indefmite protensas. Dico in. tensionem istius qualitatis decrescere in ratione cius, Qun crescunt distantiæ, duplicatã; seu quod idem est, inten- fionem ejus in distantia equali ipsi AB esle ad illius inten- sionem in distantia æquali rectæ AE, reciproce in duplica- ta ratione distantiæ AE. ad distantiam AB, hoc est, ut qua- dratum ipsius AE ad quadratum ipsius AB. Cum ex hy- pothesi qualitas per rectas lineas undique in orbem propa- gatur, erit cjus intensio, in quavis à Centro distantia, spib⸗ fitudini radiorum in ea distantiâ proportionalis; per radios hic intelligimus vias rectilineas per quas diffunditur qualitas, at radii, qui ad distantiam AB diffunduntur per superficiem sphœricam BCDH, ad distantiam AE per totam superficiem phæricam EFGK sese dispergunt; sed datorum radiorum spissitudines sunt reciproce ut spatia quæ ab iis Occupantur; nempe si superficies EFGE sit dupla BCDH, erunt radi ad superficiem BECDH duplo confertiores, quam iidem ra- dii sunt ad superficiem EEGK,& si superficies EFGE sit tripla superficiei BCDH, erunt quodus radii ad superficiem BCDH triplo densiores quam iidem radii sunt ad superficiem EFPGEK:& universaliter quamcunque proportionem habet superficies EEGK ad superficiem 3CDH, candem habebit reciproce densitas radiorum ad superficiem BCDH, ad den- sitatem corundem ad superficiem EFGEK. Sed ut constat ex Archimedis libris de sphara& chlindro, superficies sphæ- ricæ sunt in duplicata ratione diametrorum vel semidiametro- rum; est igitur spissitudo seu densitas radiorum per quos pro- pagatur qualitas ad distantiam æqualem distantiæ AB, ad co0- rundem densitatem in distantia æquali AE, reciproce in du- Plicata ratione semidiametri seu distantiæ AE ad semidiame- trum seu distantiam AB. Sed ut hactemis dictum est, intensio qualitatis in quavis data distantia est semper ut spissitudo ra- diorum per quos propagatur in ca distantia; quare erit etiam intensio qualitatis ad distantiam æequalem ipsi AB ad ejus- dem intensionem ad distantiam æqualem ipsi AE, recipro- Ce ————— Recell Cerntt 0 00 WI AD VERAM PHVSICAM. Lror. I. 15 ce in duplicata ratione distantiæ AE ad distantiam AB. Theorema hoc universaliter demonstravimus, quæcun- que sit Qualitatis natura, modo secundum rectas lineas a- gat; atque hinc sequitur luminis, caloris, frigoris„ odo- rum,& istiufmodi qualitatum intensiones esse reciproce ut quadrata distantiarum à puncto unde procedant. Hinc etiam comparari inter se possunt actiones Solis in diver- Ios Planetas, sed hæc non sunt præsentis instituti. Post notas virium rationes in datis conditionibus seu sup- positionibus, conferendœ sunt rationes illæ cum naturæ henomenis, ut innotescat quænam virium conditiones meu corporum generibus competant. Verum ut hoc flat„ plurima in subsidium advocanda sunt experimenta, qualia scilicet tertiæ sectæ Philosophi nobis tradiderunt: haud sine cautela tamen illa adhibenda sunt, quæ non ni- si à THeorista aliquo ad suam probandam hypothesin ad- ducuntur; novimus enim hoc hominum genus, quam im- 1— 1 suis faveant Theoriis, quam vellent esse veras, quam acile vel alios decipiant, vel seipsos in experimentis per- ficiendis decipi patiantur; quæ autem ab omnibus affe- runtur, quæ quotiescunque tentata succedunt, ea tan- quam indubitata principiorum seu axiomatum loco habe- bimus, simplicissimis tamen& monstratu facillimis plus est fidendum, quam magis compositis& exploratu diffici- lioribus. Denique, Academici, cum antiquis Atomistis,& no- vœ philosophiæ sectatoribus, experiemur, quæ& qualia phæenomena per materiam& motum„& notas atque sta- Dilitas Mechanice leges explicari possunt. Ut vero tutius in hoc negotio progrediamur,& quan- tum possumus erroris periculum evitemus, sequentes regu- las nobismet observandas proponimus. Primo, secundum Geometrarum methodum Definitiones ad rerum notitiam necessariæ ponendæœ sunt: Nolim tamen ut aà me exspectetis definitiones Logicas ex genere& differentia constantes, vel eas quæ intimam rei definitæ essentiam& ultimam causam ꝓrodant: Has aliis disputandas relinquo. Ut ingenue fa- tear 16 INTRODU CTET6E tear ignorantiam, me latent intimæ rerum naturæ& causæ; quicquid mihi de corporibus eorumque actionibus comper- tum est, illud vel à sensibus hausi, vel ex aliqua eorum pro- prietate mihi per sensus notà, deduxi. Sufficiat ergo, si loco istiusmodi definitionis(quam afferunt Logici) descri- ptionem adhibeamus; qua scilicet res descripta clare& di- sincte concipiatur,& ab omni alia discernatur. Res igitur per proprietates definiemus, unam aliquam simplicem assu- mendo, vel etiam plures, quas experientiâà rebus ipsis com- petere certissime novimus, atque ex illis, alias earundem proprietates methodo geometrica deducemus. Contra hanc regulam peccant plerique Philosophiæ novæ magistri, qui res definiunt non quidem per proprietates rebus ipsis certo competentes, sed per essentias& naturas quas inesse rebus supponunt. Supponunt quidem, at minime interim con- stat an quales illi definiunt naturas rebus ipsis revera insint, e. 9. Cartesiani dicunt fluidum esse, cujus partes in conti- nuo motu versantur; verum nec sensu, nec experientiâ, nec ratione proditum est, talem esse fluidi naturam: imo, quod illi afferunt argumentum ad hypothesin suam stabiliendam, hoc ipsum demonstratione Geometrica evertemus. Volunt enim corporis in fluido moventis minorem esse resistentiam, si partes Huidi motu intestino cieantur, quam si nullus ta- lis adesset fluidi motus; cujus contrarium, cum de fluido- 5 rum resistentia agetur, demonstrabimus. Quanto rectius philosophiæ Mathematicæ scriptores, qui ex notissima fluidi proprietate illius desumunt definitionem: Huidum dicunt esse corpus cujus partes vi cuicunque illatæ cedunt,& cedendo facile moventur inter se: ex qua defi- nitione pulcherrima condunt Theoremata ad usus humanos maxime accommoda, cum interea philosophi Cartesiani ni- hil certum aut solidum, nedum utile, ex sua protulerunt. 24% In veritate physica investiganda, utile erit conditio- nes solum primo positas considerare,& ab omnibus aliis in- terea temporis abstrahere. Mens enim humana, finita cum sit„ si nimia rerum multitudine implicita distrahatur, pa- rum habilis ad Theoremata detegenda reddetur. Hanc re- gulam AD VERAM PEHVSICAM. Lxcr. I. 2 gulam observant scriptores Mechanici in spatiis comparan. dis à duobus mobili bus percursis: corpora emm mota in il- 1o casu tanquam puncta considerant, ab illorum ma gnitu- dine, figur 2,& colore abstrahentes, quæ oenuehn per- cur sam nullo mod 0 Variant. .— Ne cesse erit à simplicissimis casibus Or diri, atque il- lis semel stabilitis, exinde 30 magis compositos progredi li- cebit; sie iidem Riechanie corporu mmotus in vacuo seu medio non resistente fieri supponunt, atque motus legibus in illo casu indagatis„ exinde ad medii resistentiæ leges in- vestigandas procedint,& quales mutationes ex eã Corpo- ribus motis Oriri debeant, deinde contemplantur. Quo ve- ro minus corporum motibus resistit medium, eo minus re- cedunt corporum in co medio motorum leges à legibus hrius inventis. Sic etiam in Hydrostatica, lupponitur nul- Em esse fluidi tenacitatem, scu Partium cOhœer entiam, sed cas posse minima qualibet vi à se invicem divelli; ex qua suppositione corporum demersorum pressiones& positiones determinantur. Verum fortasse nullum est in natura fluidum, cujus partes omni cohæsione desticuuntur„adeoquè varia- tio„ seu à legibus prius inventis diserepantia investiganda Lrit 464 ll n adinodum sit Partium cohærentia, parva crit ctiam& Vix senfibilis 2 Ppredictis legibus discrepantia. Contra! 96 mech a0di legem peccant plerique Theoristæ, qui, primis& simplicior idus Mechanicæ DPhilofophier Ne- glectis vel non satis intellectis Principiis„ardua& Aunmehrs ma problemata statim aggrediuntur,& quo pacto mund aut planeta aut animal fabricari pollint temerario ausu o- stendere conantur; quibusdam in Geometria sci Ols haud absi- miles, qui cum elementa Geometriæ vix primis labiis tet 8e- runt, Ouacratoram circuli, anguli Trise- Clione m Per ree as lineas& circulares„Cubi Duplication- em& id genus alia statim adoriuntur. Ita nostri Theoristæ„haud bene jactis fundamentis, insanum exstruunt ædificium unde nil mi- rum erit, si tantæ molis Opus statim coll 1„ haud sine ingenti fabricantium dedecore. At rite philosophantibus alia tentanda est via, alia progrediendum est methodo,& quam- 18 INIRDUCT1 quamvis nec Mundum„ nec Perram, nec alium quemvis Planctam condituri sunt, efficere tamen possunt, ut Philo- sophiae Mechanicæœ principia& fundamenta firmiter stabi⸗ liantur,&, quæ exinde consequi possint phenomena, ex- plicentur. E De Corfsooris Soliclitate& Extensionè. Orporis definitionem non hic afferemus ex ejus intima aatura seu essentia desumptam, qualem non satis per- spectam habemus; nec fortasse ad ejus cognitionem unquam sumus perventuri: verum secundum regulam in priore le- Ctione nobis propositam, per notas quasdam illius proprie- tates, illud ab Onmi alio entis genere distinguendo, defi. niemus: idque Corgus dicimus uod eπten sum Est, solidum S mohile. Nemo, ut opinor, adeo hebeti est ingenio, quin facile percipiat omnis corporis finiti aliquos esse terminos, quos fuperficies vocamus, harumque unam aliquam ab Opposita distare: quin& hujus rursus superficiei,(cum infinita non sit) dantur extrema, quæ lineas dicimus, quarum necesse est aliquam esse à se invicem distantiam. Etiam& harum sinearum crunt aliqui termihi, quos puncta nominamus, inter quæ denique aliquod intervallum poni oportet: EXx hifegꝛcFcßsmibus distantiis simul junctis, claram extensionis in trinam dimensionem ideam percipimus. Etenim distantia inter duas oppositas ejusdem corporis superficies, lius cras- sities seu profunditas dicitur; distantia inter binas oppositas ejusdem fuperficiei lineas, latitudo vocatur;& distantia in- ter utramque lineæ extremitatem, corporis longitudo nomi- nari potest. Nullum est corpus cui trina herc dimensio non congruit,& quantulumcunque corpus esse supponamus, necesse tamen erit ut crassitiem, latitudinem& longitudi- nem habeat: quod autem in corpore est, hisce omnibus destitutum, illud non corpus, sed punctum est, nec ipsa magnitudo sed magnitudinis initium aut finis. AD VMERAM PHVSICAM. LRor. II. 19 Soliditas est ea corporis proprietas, per quam omnibus aliis corporibus undequaque prementibus resistit,& ꝗuam- Sic v. g. si corpus aliquod intra manus tencatur, quantumu vis magna vi prematur, manus tamen ad mutuos contactus Hæc est illa proprietas, quam plerique Peripatetici Im- re; ego ta- men cum illustri hujus ætatis Philosopho, soliditatem ma- lui appellare. Hæœc etiam proprietas ita omnibus corpori- bus essentialis videtur, ut hihil aliud in rerum natura sit, cui ea competere possit: Etsi enim dantur alièæ magnitudi- nis species, sola tamen magnitudo corporea soliditatem ad- mittit; reliqua quanta, vel etiam non quanta seu puncta, possunt sese mutuo penetrare, uniri,& in eodem esse loco: quippe si duo globi sibi mutuo occurrant, in concursu punctum unius unietur cum puncto alterius, seu congruent vel in eodem erunt spatii puncto. Similiter si sint duo cu- bi æquales, potest eorum unus super alterum imponi, ita ut duæ eorum superficies quadratæ congruant, latera nem- pe unius quadrati cum alterius quadrati lateribus coincident; & anguli unius cum alterius angulis unientur, quæ proinde quantitates sese penetrabunt& in eodem erunt loco, quod ut ipsis contingat corporibus impossibile est. Hinc facile perspicitis, Academici, quam diverso sensu Soliditatis vocem usurpamus, ab eo qui apud Geometras ha- betur, qui solida sese mutuo penetrare posse, supponunt; v cum demonstrat Euclides(Elemento undecimo) duo solida parallelepipeda super eadem basi, inter eadem paral- lela plana constituta, esse inter se æqualia; cum aute m duoj diversa parallelepipeda sic constituta sese penetrare necesse est, liquet Geometras sua solida tanquam penetrabilia supp CtIdLI nere. Soliditatis igitur vocem, diverso prorsus sensu accipiunt Geometræ, quam Philosophi, nec sua solida magnitudini 9925 1*—„ penetrabili opponunt, sed planæ seu superficiebus, angulis 0 —7 E Ie 11115 2⁰ K planis,& lineis; omne enim illud apud eos solidum est, quod — 177 N„HIEHH-2r trma dimenlione COmMtat. RX IEIn le 7 n 1——0—— A At alterlus generls eιι CO Orum Oliditas„Quam ut ad Rer corpora solummodo pertinerèe diximus, ita tiam Omnibus e n e 0 21.7 x corporum generibus inest, sive fluida sint sive dura, sive HTrA y HR2 18— 410 I Vy 2 1 0 Iti. se HrIlld IIAd IIIIL 7„ 10 101400 moOOllId e 1 U1 CSdeClltlc 9 CU gravia admodum sint, fve parum habeant ponderis vel st 2 2* mnino levia fuerint, si modo talia darentur corpora: non enim minus prohibet duorum quorumvis corporum conta- ctum gutta aquæ, vel aëris particula inter duo illa corpora immota manens, quam durissimum ferrum aut adamas. Per hanc denique proprietatem, distinguitur corpus ab alio extensionis genere, quod penetrabile concipimus,& Vatium vocamus, in quo omuia corpora locari& moveri cernimus, illud ipsum ut immobile spectantes. Cartesiani, qui corpus per ejus naturam(quam in sola extensione consistere volunt) definiunt, nullum agnoscunt spatium, seu extensum, quod non sit cCorporeum: verum cum nos spatii ideam, à corporis idea distinctam habemus, vel faltem nos habere imaginamur; peccant contra bonæ methodi leges, qui corporis naturam seu essentiam inti- mam, in asiquo ejus attributo ponunt, quod an illi soli competat non certe constat. Ar dicunt Cartesiani Corporis naturam in alio nullo illius attributo consistere posse, cum nec durities„ nec COlores, nec pondus, nec figuræ, nec sapores ,„ nec quælibet Istius⸗ modi qualitatum sensum afficientium, illius essentiam con- stituere possunt. Omnia quippe hæc attributa possunt à corpore tolli, integra tamen manente corporis natura; sub- lata tamen extensione, statim tolletur Ens corporeum, ad- eoque in sola extensione corporis naturam sitam esse necesse est. Hoc est ipsius Cartesi argumentum, philosopho prorsus indignum: nihil enim exinde sequitur, nisi quod sensibi- les illæ, quas affert, qualitates non sunt de essentia corpo- ris, extensionem tamen esse attributum corpori necessarium & esseutiale. At quid inde? potestne unum attri utum⸗ 7 XD VERAM PHVSICAM. LECr. II. 23— butum duabus diversis rerum fyeciebus convenire? An ne- Cesse est ut res omnes, quæ idem habent attributum, cam- dem habeant etiam naturam& essentiam? Si verum hoc sit, nulla erit rerum distinctio, nulla diversitas. Quamvis igi- tur spatium& corpus, unum idem habeant cssentiale at⸗ tributum utrique cCommune, sunt tamen res Oommmo dVer- e;& alia dantur ctiam cslentialia attributa, lingulis pro- pria„ per quæ satis distinguuntur. In primis supra defcripta soliditas folis Corporidus PrO. pria est,& ilis omnibus ita eslentialis, ur cam ab iis ne vel cogitatione divellere possis, quin sumul sustuleris ipsam/ quam assumpsisti, corporis ideam adœoque 11 in un0 a⸗ liquo attributo, corporis esientia& intima natura ponen- da sit, multo potiore jure hanc sibi vindicabit[Oliditas quam extensio; præsertim cum aliud videtur efte entis genus à corpore diversum, quod spatium dicimus, cui etiam congruit extensio, saltem contrarium nondum con- stat. Præterea, hujus spatii ideam à corporis idea omnino di- stinctam habemus; utrumque vindicare videtur attributa non diversa solum& sibi propria, sed ita contraria ut im- possibile sit, illa tanquam uni& cidem inhærentia subjccto concipere: Corpus nempe, tanquam solidum seu impene- trabile„ mobile,& divisibile apprebendimus, cujus partes disjungi, separari,& ad quamlibet à se invicem distantia 42 Muitantliam poni possunt. Potest unum corpus alteri œοτpori moventi Obstare; potest ipsius motum sistere, vel saltem diminue- re; potest etiam corpus alteri quiescenti, vel minori cum vi ad eandem vel contrarias partes moventi, motum suum communicare, atque illud secum abripere. E contra, Spatium concipimus, tanquam illud in quo corpus omne locatur, seu suum habet C½; quod omnino penetrabile sit, omnia in se recipiens corpora, nec ullius rei refugiens ingressum; quod immobiliter fixum est, nullius actionis, formæ, seu qualitatis capax; cujus partes à se in- vicem separari nulla vi possunt, sed spatium ipsum immo- bile manens, mobilium successiones excipit, motuum velo- 3— Etd 22 1 TRN 05 1 citatem determinat,& rerum distantias metitur: hæc spa- tii& corporis tam dissona& repugnantia attributa eidem subjecto competere impossibile est. Nespondebunt forte Cartesiani, ideam illam, qualem nos dedimus spatii à Corpore distincti, iimnaginariam prorsus esle & chimæricam, cui scil. aliquid simile, in rerum natura, nullãà potentià existere potest. Verum contra Cartesianos in promptu est demonstrare, revera dari spatium à corpore distinctum, vel spatium& corpus non esse prorsus idem: sed primo advertendum est, nos realem spatii corporis va- cui existentiam in hoc loco non esse evicturos; illud in alia lectione prœstandum erit: sufficiet in præsentia illius possi- bilitatem adstruere. Ponamus ergo vas quodeunque,& aëre primo repleatur, deinde exhauriatur intra vas contentus aër, vel per divinam potentiam annihiletur,& omne aliud corpus in IIlius locum ingredi prohibeatur; quæro jam an in tali rerum conditio- ne, spatium futurum sit à corporibus vacuum? Corpus O- mne quod in vase continebatur, destrucbum est, ommis al- terius corporis ingressus prohibetur,& Vas suam figuram conservarè supponitur, certe necessarium esse videtur, ut Vacuum seu spatium corpore non repletum detur: Respon- dent Cartesiani hisce suppositis, vasis latera corruitura,& ad se invicem necessario accessura. At cum secundum ipsos Cartesianos nullum corpus potest seipsum movere, cumque ex hypothesi, nullum aliud est corpus quod vasis latera ad se invicem pellat, nullus etiam sequetur eorum ad se invi- cem accessus, dicent forsan aërem undequaque diffusum& vasis latera circumcirca prementem, istius motus causam fo- re. Verum cum pressio aëris sit vis finita, talis potest esse Vasis firmitas, quæ isti pressioni æquipollere possit, adeo- que vas suam conservabit figuram: sed demus illis vasis la- tera corruitura, quœro quodnam corpus in illorum locum V*. 2 successurum erit?(respondebunt) aër, quodnam corpus 10- cum ab eo aëre derelictum possidebit? Alius(fortasse di- cent) aër successurus erit; at tandem subsistere oportet,& ad corpus aliquod pervenire necesse est, in cujus locum 100 um 1 AD VERAM DHVSICAM. LECr. II. 23 lum aliud corpus ingreditur; absurdum enim est dari pro- gressum in infinitum: Vacuum igitur in illo casu necessario dabitur. ‚ Sed& alia invicta demonstratione ex Geometria petita, spatii corporis vacui possibilem saltem existentiam ostende- mus: ad quod præstandum præmittimus duo sequentia effa- ta tanquam axiomata a nemine philosophorum in dubium vocanda. Primum est, quod corpus nullum, aut nulla ma- teriæ pars, alterius corporis existentia indigeat, ad suam existentiam, v g Potest sphæra existere sive aliud quod- cunque corpus existat aut non existat; hoc ex natura sub- stantiæ clare sequitur. 240. Potest corpus aliquod, saltem si durum sit, suam conservare figuram, si nulla sint corpo- ra externa, vel nulla agentia quæ ei mutationem inferre co- nantur. Certe agnoscendum est, Deum posse corpus quod- libet in eodem statu atque situ conservare,& quæecunque extrinsecus accidant, potest nihilominus figura corporis im- mutata manere. ö Cum igitur sphæra una vel etiam plures possunt existere, nullis aliis existentibus corporibus; ponamus omnia alia cor- pora à Deo annihilari, præter duas sphæras; vel potius fin- gamus omnem materiam mundanam in duas sphæras coacer- vari, quæ exponantur per duos circulos, quorum centra sint A& B, cumque supponitur nullum aliud existere cor- pus, possunt corpora illa phærica suam conservare figuram, cum nullum ponitur agens externum quod figuram sphæri- cam destruat vel mutet: duæ igitur illæ sphæræ, vel con- tiguæ sunt vel disjunctæ: Disjunctæ si sint, erit spatium ali- quod intermedium, nullo corpore repletum; adeoque omne spatium non erit corpus. Si vero sphæræ sese mutuo tan- gant; illas sphæras in unico puncto sese tangere necesse est, per demonstrata in Elementis; inter alia igitur sphærarum puncta est aliqua distantia, hoc est spatium aliquod interja- cebit. Sumantur enim duo quæcunque extra contactum pun- Ca Puta& E si inter illa nullum interveniat spatium, hoc est nulla distantia, sphæræ illæ in eisdem punctis sese con- tungent, quod est impossibile. Vel INTRODUCTIO Vel ulterꝛus sic ostensive demonstrari potest spatium ab Omni corpore vacuum. Ponamus duas sphæras, in quibus Onmis materia mundana cumulari supponitur, esse æquales, in utraque accommodentur rectæ CD,(E semidiametro utriusv is sphσre&quales, jungatur DE; erit hæc recta semi- diametro sphæræ æqualis, ducantur enim AD, BE,& quia in triangulis æquilateris ACD, BCE anguli ACD, BCE sunt utervis duorum rectorum pars tertia, erit angulus DCE du- Orum rectorum etiam pars tertia, omnes enim anguli ad pun- gum C constituunt duos rectos; unde cum DC, CEæqua- les sunt, erunt anguli CDE& CED etiam æquales,& si- mul fumpti conficient duorum rectorum duas partes tertias, uare utervis erit duorum rectorum una pars tertia, dui- angulum igitur erit triangulum DCE, adeoque erit DE æ- qualis semidiametro utriusvis sphæræ, nec in hoc casu ma- jor vel minor esse potest. Similiter inter alia quæcunque spherarum puncta, extra contactum ad C, erit distantia uedam ad sphærarum diametrum determinabilem habens rationem, adeoque erit inter cas sphæras spatium certum& determinatum, nullo corpore repletum; verum in eo spatio potest admitti corpus, cujus dimensiones dictis congruunt distantiis, quod vero majores habet dimensiones, nullâ po- tentià potest in preedicto spatio locari unde cum proprie- tates tales preedicto spatio demonstrative congruant,& ne- minèe cogitante potest tale spatium revcra existere, clare se- quitur contra Cartesianos, ideam quam de spatio habemus hon esse Chimæricam aut imaginariam; quod enim Chi- mæricum est, nullam haberè potest extra intellectum exi- stentiam. Statuendum igitur est revera esse spatium ab omni corpo- re distinctum; quod sit quasi vas universale intra quod o- mnia corpora continentur& moventur. At qualis sit hujus spatii natura, num sit quid positivum, achu per se extensum, & reali dimensione præditum; sivę ejus extensio oriatur ex relatione corporum in eo existentium, adeo ut sit mera ca- Pacitas, Yonthilitas, seu interponibilitar, ut nonnullis loqui placet,& in cadem entium classe ponendum, qua mobili- * tas ———ßꝛ—j—— AD VERAM PIVSICAM. Lxor. III. 25 tas& contiguitas; Sive spatium nostrum sit ipsa divina im- mensitas, quæ est per omnia& in Oomnibus, sive sit crea- tum aut increatum, finitum vel infnitum, à Deo depen- dens vel independens, hic non disquiremus;, hæc omnia Metaphysicis disputanda relinquimus. Nostro negotio suffi- ciet quasdam illius proprietates exposuisse,& ejus distinctio- nem seu naturam à corporis natura diversam adstruxisse& demonstrasse; qui plura velit, Philosophos consulat. IIU T 5, f. De Magnitudinum Divisibilitate. Uamvis, Academici, spatium à corpore realiter distin- ctum esse plurimis demonstrari potest argumentis,& hactenus quædam attulimus quæ insolubilia esse vi- dentur; in eo tamen corveniunt ambo, quod extensio u- niversale sit attributum ad utrumque necessario& essentiali- ter pertinens. Priusquam igitur ulterius progrediamur, non à re alienum erit, generalem quandam extensionis affectio- nem, illius nempe divisibilitatem exponere. Hæœc extensionis proprietas omni magnitudinis speciei, tam lineis quam superficiebus, tam spatio quam corpori com- petit,& necessario inest. Per KWuihtnem autem non hic loci intelligimus actualem partium à se invicem separationem, que motum supponit, qualem quidem spatii natura non ad- mittit, nec talem separationem demonstrationes ex Geome- tria accersitæ probant; verum nostra, quam hic cvincere ker wnni⸗ divisibilitas, est solum magnitudinis cujusvis in *6 19. resolutio, seu earum distinctio& assignabilitas, —2——— Wer Euclides, in propositione nona Elementi pri- 0 um quemvis rectilineum bifariam secare, non in Gvulsa Laeeere.„Qua una anguli pars media ab altera Methounrerre a Aeu ab eã distantiam ponatur, sed n aen 105 tradit qua linea ducatur, ita angulum in gulos dividens, ut qui ab una istius lineæ par- 10 26 TINTRODUCOCTTO te jacet angulus, æqualis sit ei qui ad alteram partem exi- slit: Sic etiam cum, in propositione sequenti, docet rectam quamvis bisecare, docet tantum assignare punctum medium datam rectam in duas partes æquales dirimens, quod sit u- triusque partis communis terminus, ubi scilicet desmit una partium æqualium,& incipit altera. Hæc magnitudinis in partes resolutio ita ei intima& essentialis est, ut illud quod partes non habet, scil. punctum, non magnitudo, sed ma- gnitudinis initium dicatur vel finis, nec magnitudo quævis ex punctis potest conflari, licet humero infinitis; omnis ve- rò magnitudo non ex punctis, sed partihus, aliis nempè e- jusdem generis magnitudinibus componitur„ quarum una- quæque ex aliis etiam conflatur partibus,& rursus quælibet harum partium alias adhuc in se continet partes,& sic in infinitum: nec unquam ad magnitudinem tam parvam Per- venire possumus, quin adhuc in plures dividi possit partes, nullumque datur in quacunque magnitudinis specie absolu- tè minimum, sed quicquid dividitur, dividitur in partes adhuc etiam divisibiles. Heec semper ulterior materiæ in partes resolutio, illius Divisibilitas un infinitum, à philosophis muncupatur;& recte sane, cum nulla assignari potest quan- titas materiæ adeo minuta,& numerus finitus adeo magmus, quin numerus partium eam quantitatem componentium, in quas scil. resolvi potest illa quantitas, major sit numero il- 10 utcunque magno; nam 24lud in fiuitum vocumus quod oimni auito majus est. ö Quoniam autem infimita hæc materiæ divisibilitas rationi- bus ex Geometria petitis demonstranda sit,& cuun hodie ex- stent quidam Philosophi, qui Geometriam e Physica exu- lare cupiunt, eo quod ipsi Divinæ illius Scientiæ imperiti sint;& dum inter doctissimos haberi satagunt, nulhum non movent lapidem, quo harum demonstrationum vim irrito utcunque convellant conatu; necesse erit, priusquam argu- menta nostra Geometrica proferamus, eorum Vim stabilire, & Objectionibus quibusdam respondere. Cum itaque, inter hujus generis Philosophos, eminecat Vir Clar. Joannes Baptista Du Hamel, Philosophie Bur- ä gun· —— AD VERAN PEHVSICCAMH. Lxcr. III. 27 gundicæ scriptor, libet illius sententiam super hac re profer- re. Dicit igitur Hypotheses Geometricas nec veras esse nec possibiles, cum scil. nec puncta, nec line, nec superficies, prout à Geometris concipiuntur, vere in rerum natura eR stant; adeoque demonstrationes, quæ ex his afferuntur, ad res actu existentes applicari non posse, cum scil. nihil eo- rum verè existit nisi in ideis nostris: jubet igitur Geometras sibi suas servare demonstrationes, nec eas ad physicam trans- ferre, quæ non lucem, sed majores huic scientiæ offundant tenebras. Miror ego hujus viri alias doctissimi in hacce re imperiti- amʒ potuit sane eodem jure suppositiones etiam quascunque physicas sustulisse, cum hypotheses Geometricæ æquè cer- tæ& œquè possibiles sunt& reales, ac illæ sunt quas physi- cas dicit: imo si existat corpus, necessario etiam existent vera puncta, veræ linee,„& veræ superficies, prout à Geometris concipiuntur; quod facile ostendemus. Nam si detur corpus, illud cum infinitum non sit, suos habebit terminos; corporis vero termini sunt superficies,& termi- ni illi nullam habent profunditatem; si enim haberent, co ipso quod profunditatem haberent corpora essent, habe- rentque illa corpora alios rursus terminos qui superficies es- sent, adeoque esset superficiei superficies. Vel igitur su- perficies illa omni destituta est profunditate, vel etiam pro- funditatem habebit: Si prius, habemus quod petimus, sin osterius, ad aliam rursus pervenimus superficiem; atque 1%0 progrederemur in infinitum, quod est absurdum: qua- re dicendum est terminos illos omni profunditate privari, ac proinde veræ erunt superficies,& prout à Geometris concipiuntur absque profunditate, seu quæ longitudinem & latitudinem tantum habent ad suam essentiam constituen- dam. Rursus, cum superficies illa infinita non est, suis etiam claudetur terminis; termini vero illi lineꝶ dicuntur, quæ re- vera nullam habent latitudinem, alias enim superficies essent, & suos etiam haberent terminos, quos saltem concipere o- portet omni latitudine destitutos; non enim(ut prius di- 2. ctum 28 INTRODUCTIO ctum est) dari potest progressus in infinitum, undè sequi- cur dari lineas, quæ sunt tantum longæ absque omni latitu- dine: eodem prorsus modo& lineis sui etiam competunt termini, qui puncta vocantur, quibus nec longitudo, nec latitudo, nec profunditas convenit. Quare si corpus existe- re supponatur, necessario tam superficies, quam lincae& puncta Geometrica, non tantum ut possibilia, sed etiam ut Verè existentia ponentur. Sed respondebunt puncta illa, lineas& superficies non esse materialia. Quid inde? Quis unquam dixit punctum Mathematicum materiam esse? Quis superficiem materia- lem agnoscit? Si materialis esset, suam haberet ctiam super- ficiem sive terminum: superficiei autem superficiem quis unquam imaginatus est? Verum etiamsi nec superficies, nec lineœ, nec puncta sunt ipsa materia, in ca tamen exi- stunt vel existere possunt, tanquam illius modi, termimi seu accidentia; eodem prorsus modo, quo figura non est ipsum corpus, sed ejus tantum affectio, qua corpus sub datis terminis comprehenditur, habetque hæc proprietates reales à corporis proprietatibus omnino distinctas. Sed rursus objiciunt nostri άααμ⁶ειπισ Philosophi, nul- lam esse in rerum natura superficiem perfecte planam, nul- lum corpus perfecte sphæricum, quale sibi fingunt Geome- træ, nec curvam ullam perfecte circularem. At quo pacto hoc illis innotuit? An ommia viderunt quotquot sunt in mundo corpora,& per microscopia ea contemplati sunt? Dicent for- tasse, corporum superficiès planas vel sphæricas esse non pos- se, quia in harum figurarum naturis est contradictio quæ- dam& impossibilitas. At, ut contradictionem ostendant velim; corpus omne aliqua saltem figura terminari necesse est; superficies planæ vel sphæricæ sunt ommium conceptu facillimæ& simplicissimæ: Qualis igitur est in illis repu- gnantia, ut impossibile sit corpus sub dus conprehendi? Credo neminem esse, qui Geometriam vel primis labiis tetigerit, quin harum figurarum naturam & proprietates magis Penwer habeat,& plures earum asf- rectiones norit, quam omnes istiusmodi Philosoehi intelli- gulm, istiusmodi superficie- AD WRAM PEHVSICAM. LꝝxCI. III. 29 gunt, vel fortasse unquam sunt intellecturi: At horum ne- mo talem deprehendit in hisce figuris repugnantiam; nullus Geometra istiusmodi contradictiones in figurarum naturis unquam suspicatus est: e contra, harum possibilitatem evin- cunt tot pulchræ earum proprietates à Geometris detectæ at- que demonstratæ, nam rei impossibilis nulla est vera pro- prietas, nulla demonstratio. Restat igitur, ut has figuras tanquam possibiles agnoscant;& si poflibiles sumt, potest Deus corpora istiusmodi superficies habentia è materiâ for- mare. Ponamus igitur duo corpora, quorum unum planis, alterum sphæricâ terminatur superficie; si igitur corpus sphæ- ricum super plano constituatur, illud vere continget: at continget in unico tantum& indivisibili puncto, seu in pun- &oο quod partes non habet,(per Cor. Prop. 2. El. Ztii) & proinde erit in illo casu verum punctum. Sed ulterius, ponamus corpus sphæricum super plana superficie moveri, seu progredi absque ommi circa axem aliquem rotatione, ita scil. ut punctum sphæræ planum contingens semper in eo- dem plano inveniatur; eritque via, quam punctum illud motu suo describit, linea vere mathematica absque ommi la- titudine:& si quidem sit via brevissima inter duo quælibet puncta in illo plano, orietur ex motu illo linea recta, sin a- lias, curva vel ex pluribus rectis composita, vel partim ex his partim ex illis conflata. Puncta igitur, lineœ,& super- ficies, prout à Geometris concipiuntur vel finguntur, funt possibilia, quod ostendi oportebat. Aliis etiam irmumeris modis potest eorum possibilitas demonstrari, verum piget hisce ineptiis diutius immorari. Hoc tantum libet admone- re, quod inter duo quælibet duorum corporum puncta, e rit distantia data& determinata; v. g. inter Solis& stellæ fixc centra, est determinata distantia, quæ per rectam line- am mensuratur duo illa puncta interjacentem; quæ erit 0 mnium linearum quæ à puncto uno ad alterum duci possunt, breviffsuna,& minimo tempore data velocitate peragranda; hæc inquam distantia eadem manet, qualiscunque futura sit corporis intermedii figura, sive planis claudatur, sive sphæ- ricis contineatur superficiebus, sive demum absit omnè cor- D 3 pus 30 INTRODUCTIO us medtum,& nihil intersit præter spatium; eadem mane- bit linea magnitudine& positione, quamdiu corporum cen- tra immota manent. Stabilitis jarn principiis, ad propositum redeo, ut scil. de- monstretur extensionem omnem, tam corpoream, quam in- corpoream, in infinitum esse divisibilem, seu partes habere numero infinitas; quod pluribus invictis rationibus prohare Conabimur. Prima sit hec; exponatur linea quævis AB; dico illam divisibilem esse in partes numero omni finito nu- mero dato majores. Ducatur per A recta quævis ACO,& huic per punctum B parallela ducatur BD,& in AC capiatur punctum quod- Vis C. Si igitur recta AB non est divisibilis in infinitum partium numerum, divisibilis tantum erit in numerum par- tium finitum; sit ille numerus qualiscunque v. g. senarius: In linea BD) ad partes puncto C Oppositas capiantur guot- cunque puncta plura quam sex v. g. puncta E, F, G, H, L K, L, & ducantur per postulatum primum Euclidis CE, CE, CG, CH, CI, CK, CL: hæ ductæ divident rectam AB in tot partes quot sunt rechæ: si enim non divident, ergo plures rectæ in uno aliquo puncto rectam AB incersecabunt, sed omnes se intersecant in communi puncto C, quare duæ aliquæ rectæ sese bis secabunt,& proinde vel spatium comprehendent, vel habebunt idem segmentum commune: quorum utrum- que est contra axiomata in Elementis posita. Dividitur igitur in tot partes diversas, quot sunt rectæ, sed tot sunt re- cte, quot puncta in recta BD sumpta fuerint: quare cum sumpta fuerint plura puncta quam sex, erit linea AB in plu- res partes quam sex divisibilis. Eodem modo, quantumvis magnus ponatur numerus, ostendi potest lincam AE esse di- Visibilem in partes numero majores i numero, majorem Cil. affumendo in recta BD punctorum numerum(quod fa- cile fieri potest, cum nullus sit numerus finitus ita magnus, quin major sumi poslit, ideoque in data quavis ratione ma- joris inæqualitatis) atque ducendo rectas à puncto Cad pun- cta in recta BI) aslumpta; hæ quippe rectæ rectam AB di- Vidlent in tot partes, quot sunt recte, adeoque in plures par⸗ . ——5 AD VERAM PEHVSICAM. LEOr. II. 31 artes quam numerus primo positus, qui(utcunque magnus lit) constat unitatibus; erit itaque recta AB divisibilis in plures partes quam per ullum numnerum finitum exprimi po- test, adeoque erit divisibilis in infinitum: Q. E. D. Argumentum secundum. Exponatur recta quæcunque IIAn. 1. AB, dico illam divisibilem esse in infinitas numero partes; H. 4. si enim non est divisibilis in partes numero infinitas, divisi- bilis erit in partes numero finitas; sit ille numerus quivis v. quinarius; ducatur recta quæevis AK angulum utcun- que cum AB3 continens, in eaque, quantum opus est pro- ducta, capiantur quot volueris puncta plura quam quin- que: sint v 6. C, D, E, F, G, H, K, jungatur EKB; perque puncta C, D, E, F, G, H ducantur rectæ ipsi KB parallelæ, divident hæ necessario rectam A5 in tot partes quot sunt re- ctæ: si enim non dividant, ergo plures rectæ in uno pun- cto concurrent: at non concurrent, eum parallelæ ponan- tur, quare unaquæque recta in diverso. rectam AB intersecabit,& Omnes in tot partes rectam AB divident, quot sunt rectæ parallelæ ductæ. At ducte sunt plures quam quinque, ergo divisa erit recta AB in plures partes quam quinque: idem de alio quovis numero dicendum erit. Qua- re nullus est numerus tam magnus, quin numéèrus partium, in quas recta AB est divisibilis, erit illo numero major, adeoque recta AB est divisibilis in infinitum. 37¹⁰½ Si quantitas non est divisibilis in infinitum, divisi- bilis erit in partes ulterius non divisibiles; at nulla est pars quæ ulterius dividi non potest: quia nulla datur quantitas tam parva, quin adhuc minor accipi possit, idque in data ratione minoris inæqualitatis. Sit enim recta AB,& cjus Tan. r. pars quantumvis parva fit AC, dico ipsà AC minorém li- S neam accipi posse, in ratione quacunquè minoris inæqualita- tis, α ut unum ad tria. Ducatur à puncto A recta quævis AD, inque ca capiantur rectæ AE, EF, FGequalés: jun- gatur GC& per E agatur EH ipsi GC parallela, erit recta AH ipsius AC pars tertia: demonstratio constat ex nonsñ pro- Positione Hlemauti sentt. Adeoque recta AC non erit minima quæ accipi potest. Idem de alia quavis recta demonstrari potest, IAB I. 32 IN DRK 0DUCTTI0O potest, ac proinde nulla est in natura quantitas minima. Præterca, si quantitas ex indivisibilibus componeretur, multa exinde sequerentur absurda; sint enin v. g. duo cir- culi ABCD, EEGH concentrici, dividaturque circumse- rentia major in partes suas indivisibiles,& ducantur à cen- tro Q ad ünue hasce partes rectæ, QOM, PN quæ circumferentiam utramque in æquales numero partes divi- dent,& circumferentia major ABCD in partes suas mini- mas divisa erit; quare& circumferentia minor EFG tot partibus minimis seu indivisibilibus constabit, quot constat ABC circumferentia: adeoque cum indivisibile indivisibili æquale sit, erit circumferentia EFGH æqualis circumfe- rentiæ ABCID); mindr majori: quod fieri non potest. Ultimo, ex hac quantitatis ex indivisibilibus compositio- ne sequitur nullas dari magnitudines incommensurabiles, contra quod à Geometris passim demonstratur. Nam si ma- gnitudo omnis ex indivisibilibus constaret, indivisibile illud culet omnium magnitudinum ejusdem generis adæœquata& COmmunis mensura: in omnibus enim aliquoties exacte con- tinebitur, adeoque omnes magnitudines communem mensu- ram habebunt,& latus quadrati illius diagonio esset com- mensurabile; contra οtimam Proposit ioneen Elementi decimi. Innumeræ aliee posfunt adduci demonstrationes, quibus Continui infinita divisibilitas ostendatur,& indivisibilium bypothesis funditus evertatur. Sed quid opus est pluribus? Cum hactenus allata argumenta non minorem habeant vim ad asfensum cogendum, quam demonstratio quævis in Ele- mentis Euclidis; imo impossibile est ut ea convellantur, quin simul Geometriæ fundamenta corruant; quæ tamen nulla unquam ætas, nulla Philosophorum bæresis labefactare po- terit. Ut igitur argumentorum vim devitent Philosophi, distin- guunt inter corpus Mathematicum& corpus Physicum; Cor- us scil. Mathematicum divisibile esse in infinitum, demon- strationum vi coacti, lubenter agnoscunt; at Corpus Phy- sicum in partes ulterius divisibiles semper resolvi posse ne- gant. Sed quid quæso est corpus mathematicum, nisi 75— III —.————— —..—..—— rrrrr.—— — ?1k. C&M AD VERAM PHVSICAM. LRECr. III. 33 dam in trinam dimensionem extensum? Nonne corpori ma- thematico competit divisibilitas eo quod extensum estꝰ? At codem etiam modo extenditur corpus Physicum; qua- re cum divisibilitas ab ipsius extensionis natura& essen- tia dependeat,& inde ortum suum trahat, illam omnibus extensis tam Physicis quam Mathematicis corvenire necesse erit. Ut enim Logicorum phrasi utar, quicquid prædica- tur de genere, prædicatur de omnibus speciebus sub eo ge- nere contentis. Est& alia apud Philosophos haud absimilis distinctio, qua corpus quodvis mathematice divisibile esse in infinitum concedunt; divisibile autem esse physice negant. Si ullus sit horum verborum sensus, hic erit: Corpus esse Mathe- matice, hoc est, realiter& demonstrative divisibile in in- finitum concedunt; Physice autem seu secundum falsam suam hypothesin negant; atque sic habebunt distinctionem, contra quam nihil urgeri potest. Quoniam Fimleopi„Contra quos disputamus, demon- strationibus Geometricis non satis assueti sunt,& proinde carum evidentiam non facile perspiciant; priusquam huic lectioni finem imponemus, libet unum argumentum Physi- cum ex motu petitum, pro infinita continui divisibilitate proferre; scil. si continuum ex indivisibilibus constaret, se- queretur omnes motus æquiveloces fore, nec minus in eo- dem tempore conficiet spatium segnissima testudo, quam arocas αο Achilles. Ponamus enim Achillem Weetnde cursurum& testudinem segnissime repturam: si continuum ex indivisibilibus constaret, non potest testudo in aliquo da- to tempore minus conficere spatium quam Achilles; nam si Achilles in uno temporis instanti, indivisibile pertransit spa- tium, non potest testudo minus spatium in eodem temporis momento transire, quia ex hypothesi non datur minus. In- divisibile enim alio indivisibili minus non erit, ergo pertrans- ibit æquale: idem de alio quovis temporis momento dicen- dum est: ergo semper ab utroque percurrentur fpatia æqua- lia;& proinde Achilles velocissimus non plus conciet Pa- tu quam testudo lentissuna; quod est absurdum. Alia cjus- dem 34 INTRODUCTIO dem generis absurda e cadem indivisibilium hypothesi de- duci possunt; verum quæ dicta sunt sufficiant. E NTI IV. In quda nespondetur objectionibus comtra materié Mvuisi- Hilitatem afferri solitis. LITActenus, Academici, argumenta exposuimus, quibus continuam materiæ in infinitas numero partes divisio- nem clare satis demonstravimus; restat ut objectionibus seu Philosophorum argutiis respondeamus. Sunt cnim Philoso- Phi haud pauci, qui nescio qua idearum obscuritate labo- rantes,& demonstrationum, quas attulimus, evidentiam non satis Perspicientes, contra rem tam manifeste veram ar- gumenta Iua proferre non audeant tantum, verum& confi- dant specioso demonstrationum titulo ea insignire. At ego, qui plures illorum evolvi libros, nunquam incidi in quic- quam ab iis de hacce re seriptum, quod rationis quidem spe- ciem haberet; adeo equidem sunt demonstratiomibus desti- tuti, ut ne minimam demonstrationis umbram im iis quis- quam Geometra, etsi Lynceis donatus fuerit culis, perspi- cere queat. Fateor tamen esse aliquid in natura infiniti, quod humano intellectui haud adæquate comprehensibile esse vi- detur; adeoque non mirum erit, si ex œ⁴½ qu²dam sequum- tur, quæ hominum mentes densa caligine involutæ concipe- re non possunt:& speciatim in hac, quam nunꝰ prosequi- mur, quæstione, multa sunt, quæ quibusdam Philosophis hisce rebus minus assuetis paradoxa& incredibilia Videntur: nihil tamen exinde sequitur, quod vel contradictionem im- plicat, vel cuivis axiomati aut demonstrationi repugnat. Sed videamus, quas afferunt Philosophi Atomistæ, argutias. Pri⸗ ma est ea Epicuri; si continuum divisibile esset in infinitum, contineret infinitas numero partes, adeoque finitum conti- neret infimitum, quod est absurdum. At rogo ut terminos suos explicent,& dicant quid per has Voces intelligunt 705 Bã- ——————pß—— G.NRCRC¶·· MEME&E1e eee NXNXC··· D 2 AD VERNAM PHVSICAM. Lror. IV. 35 Fuitum non polse contineri in unito; si dicant infinitam ma- mitudinem non posse in magnitudine finita contineri, hoc ubenter concedam; at hujus contrarium non sequitur ex ca, quam proposuimus, doctrinâ, nec unquam illud ne- ceflarià consequentiâ exinde deducere possunt. Si dicant partes numero infinitas,& infinite non posse fini- ta magnitudine contineri, hoc illud ipfum est quod iis pro- bandumn incumbit. Non, ut opinor, dicent ipsis absque ratione credendum esse; nec illud tanquam propositionem per se claram inter axiomata reponent, cujus contrarium tot validis rationibus demonstrari potest. Urgeant itaque par- tes numero infinitas infinitam magnitudinem componere? sed hoc rursus est Principium petere; illud enim ipsum est de quo disputamus, utrum scil. finita magnitudo potest ha- berè partes numero infmitas? Certum enim est, quotcun- que partes habeat, sive finitas, sive infinitas, eas suo toti æquari: sicut enim decem partes decimæ unitatis efficiunt unitatem, centum centesimæ unitatis partes simul sumptæ et- iam unitatem component,& mille partium millesimarum in unum collectarum summa toto non major erit; ita etiam partes infinitæ infinitesimæ alicujus magnitudinis ipsam ma- gnitudinem adæquant. Vel sic: sit linea AB divisa in par- an. 1. tes centum; erunt omnes hæ simul sumptæ ipsi AB æquales: & eodem modo, si recta AB dividi intelligatur in mille par- tes, harum partium mille simul sumptæ magnitudinem nec majorem nec minorem ipsa Ag component. Vel etiam, si divideretur recta AB in milliones, partes hæ rursus simul sumptæ toti AB erunt æquales;& universaliter, si sint duæ magnitudines AB& C, habeatque C eandem rationem ad AB quam habet unitas ad numerum quemvis N, erit quan- titas Cper numerum N multiplicata ipsi AB æqualis. Cum enim quantitates C. AB, unitas& numerus Nsint propor- tionales, erunt extremæ in se invicem ductæ mediis in se in- vicem ductis æquales; at cum AB per unitatem multiplica- ta ipsi AB est æqualis(unitas enim nec multiplicatione au- get, nec divisione minuit) erit 9905.5 C per N numerum ö 14 2 mub sg· 7. 36 INTRODUC TO multiplicata ipsi AB æqualis: Quantumvis igitur magnus sive parvus sit numerus N, hie multiplicans quantitatem C faciet semper productum ipsi AB æqualem, modo C talis sit quantitas ut ad AB eandem habeat Proportionem quam habet unitas ad dictum numerum N. Adeoque si N sit nu- merus infinitus,& C pars recte AB infinitesima, hoc est, si eandem habeat quantitas Crationem ad AB quam habet unitas ad numerum infinitum N, est etiam quantitas Cper numerum infinitum N multiplicata, hoc est infinities sum- Pta, quantitati AB æqualis, nec cꝗ major, sicut nec minor esse potest. Si igitur partium magnitudo cadem ratione di- minuatur, qua earum numerus augetur, totum ex hisce omnibus partibus conflatum idem manebit; nec æstimanda est quantitas aliqua ex partium numero, sed ex caruni nu- mero& magnitudine conjunctim; adeoquè si partes infinite parvæ sint, necesse erit ut earum multitudo sit infinite ma- gna, priusquam quantitatem quamvis dabilem exsuperare possunt. Sed præterea, plura possumus proferre exempla tam ex Arithmetica, quam ex Geometria, ubi, ipsis faten- tibus adversariis, partium numerus erit infinitus, at ipsa ma- gnitudo ex partibus istis infinitis composita finita erit. Sit primum exemplum series infinita numerorum in ratione qua- vis decrescentium, quæ finito adæquatur numero v. g. 7 7 1 1 3 ½&C. Hujus seriei in infinitum continuatæ sum- ma erit unitati æqualis; at cum in infinitum extenditur fe- ries, erunt ejus termini numero infiniti; quare in hoc casu partes quantitatis numero infinitæ finitam efficiunt quantita- tem. Similiter& hujus seriei summa 3 π&cα cum in. infmitum continuatur æqualis erit parti uni secundæ seu uni- tatis dimidio, ut in Arithmetica demonstratur; at nemo ne- abit seriem hanc in infinitum continuatam infinitas partes innen quare possunt dari partes quantitatis numero infini- tœe, quæ tamen unitatis partem dimidiam non exsuperant. Similiter in Geometria, notum est spatium posse dari infi- nite longum, quod tamem spatio finito perfecte adæquatur; hoc enim infinitis fere exemplis demonstraverunt Clarissimi Geometræ Torricellius, Wallisius, Barovius& alii, ex qui- bus ————..——. * 89—:..— AD VERAM PHVSICAM. LEcr. V. 37 bus libet exempla quædam proferre. Et primo sit Curva Ra. ABCO talis naturæ ut si sumpte fuerint in AIVmptoto EH.. rectæ EF, FG, GH, æquales, scu positis rectis EE, EG, EH in proportione Arithmetica,& ad puncta E, H, G, H ordinatim applicentur rectæ AE, BF, CG, H, sint Ordi- natæ hæ in proportione Geometricà: curya ABCOD dicitur curva Logarithmica,& spatium interminabile inter Asym. ptoton& curvam infinite productas contentum, æquale erit spatio finito, ut à Clarissimo Barovio in Lectionibus Geome- tricis demonstratur; ex qua potest colligi supra nominata proprietas numerorum in proportione quavis Geometrica de- crescentium. Sed ut hoc ad propositum nostrum applicemus; nemo non agnoscet in spatio interminabili HSEFEABCO, quod infimite longum est, esse partes numero infinitas; at mnes illas spatii partes esse spatio finito æquales demon- strant Geometræ, quare sunt aliquæ partès spatii numero infinitæ, quæ non spatium infinitum sed finitum conficęre poflunt. Eodem modo, in Hyperbolis omnibus, Apollo- nianãà exceptà, erit area inter curyvam& Afymptoton infi- nite protensas perfecte quadrabilis,& areæ finitæ æqualis; sed in areis hisce omnibus sunt partes numero infinitæœ, qua- re erunt partes numero infinitæ æœquales quantitati finitæ. Præterea, in Hyperbola Apolloniana CAB, etsi area inter- ＋ 45. f. minabilis inter curvam AB& Asymptoton EF in infinitum f. 9. protensas contenta, sit area infinita, seu qualibet finità ma- jor; si tamen area illa infinita circa Afymptoton suam re- volvatur, generabitur solidum seu corpus verè infinite lon- gum, quod tamen æquale erit solido seu coOrpori finito; ut elegantissime à Tarricellio demonstratum Uest, qui solidum hoc Hyperbolicum acutum nominavit: at in hoc solido sunt partes numero infinitæ, cum scil. infinitè longum est, ergo hartes corporis numero infinitæ finitum component corpũs. Alia innumera proferre possumus hujus rei exempla, fed did- tius fortasse, quam par est, huic objectioni refellendæ im- morati sumus. 24% Objiciunt Atomistæ; fi quantitas omnis est divisibi- lis in intinitum, magnitudo quævis minima æquabitur maxi- — 3 mes 38 INTRODUCTIO mæ, cum scil. tot partes habet minima quot maxima. Qua- lis, quæso, est hœc consequentia? An quia ulna Anglicana dixidi potest in centum partes,& pes Anglicanus etiam di- vidi potest in centum partes, ideo sequitur pedem ulnæ æ- quari? At OVum ovo non similius invenietur, quam est hæc argumentatio illorum Objectioni; quæ falsissima innititur hy- pothesi, qua magnitudines volunt solum per partium nume— rum, non item per earum quantitates esse mensurandas. Ulterius Objiciunt; si pes dividatur in infinitas partes æ- quales,& ulna ctiam ita dividatur, ut pars umadurdue ul⸗ næ sit æqualis parti cuivis pedis, erit numerus partium in ulna triplus numeri partium in pede; unde cum numerus partium in pede sit infinitus, erit numerus partium in ulna istius numeri infiniti triplus,& inde daretur infinitum tri- plo majus. At unde notum est illis hoc esse absurdum? An contradicit axiomati alicui vulgo recepto? Nequaquam me- hercule; nullum enim est axioma quod ommia infinita æ⸗ ualia ponit. Nec infiniti naturæ repugnat uùt ab alio infinito üperem: nam si detur infinitum, infinita v. g. linea, e- runt in ea infinita milliaria, plura stadia& multo plures pe- des. Sic in spatio, quod undique extensum imaginamur, si duæ lineæ parallelœ in infinitum producantur, erit area ab hisce rectis comprehensa revera arca infinita, eo quod Imnem aream finitam seu undique clausam superat; erunt igitur in eã infinita jugera, plures perticæ quadratæ,& mul- to plures pedes quadrati rursus, si intra has lineas ducatur recta utrivis carum parallela, dividet hæc linea priorem a- ream in duas arcas etiam infinitas; quæ igitur simul sumptæ priori infinito adæquantur. Non igitur naturæ infiniti re- pugnat, illud posse ab alio infmito excedi, per aliud mul- tiplicari,& in alia etiammum infinita dividi; hec, inquam, nullo modo repugnant, sed ex ipsius rei natura facillime se- quuntur; imo nemo est, qui infinitum spatium concedit quin simul agnoscere cogatur istius spati in alia infinita di- Visibilitatem. Aliud petunt argumentum contra infinitam materiæ divi- Hibilitatem eX omnipotentia divina. Dicunt enim Deum 2 O AD VERAM PHVICAM. LECr. IV. 39 se continuum quodvis in partes suas infinitesimas resolvere, atque partes hasce a se invicem separare: sed si hoc fiat, da- retur pars ultima„& divisibilitas continui tandem EXhauri- retur; ergo continuum non in infinitum sectile est. Respon- deo proculdubio Deum posse quicquid est possibile, aut quod immutabili ipsius naturæ non repugnat; at cum hacte- nus demonstravinus nullam dari posle materiæ particulam utcunque parvam, quæ non iterum secari potest in infinitas alias etiam particulas; liquet exinde Deum non possè ita se- care materiam, ut detur pars ultima indivisibilis. Si cnim ad hoc se extenderet potentia Divina, posset Deus aliquid quod contradictionem involvxeret, vel quod immutabili ipsi- us Essentiæ repugnaret. Sed ulterius urgent, si quantitas omnis sit divisibilis in infinitum,& partes actu sint in conti- mio, dabitur actu pars infinitè parva, adeoque ulterius non divisibilis. Respondeo primo; possum cum Aristiotele nega- re esse partes actu in continuo,& inde corrueret eorum ar- gumentum quod ut demonstrationem invictam tantopere præ- dicant. 240. Concedamus illis partes esse actu in continuo, concedamus esse partes infinitè parvas& indivisibiles, con- cedamus denique argumentum, nihil tamen exindeè infertur contra quantitatis non infinite parvæ continuam& in infini- tum divisibilitatem; hæc in argumento supponitur, at non refellitur; an quia pars continui infinite parva non est ulte- rius divisibilis, ideo sequitur partem datam, seu partem non infinitè parvam, etiam non esse ulterius divisibilem? Si ali- quid exinde sequatur, sequitur continuam omnem quantita- tem in partes infinitè parvas posse resolvi, adeoque conti- nuum esle in infinitum divisibile. Sed tertia& vera respon- sio sit; negando esse partes in continuo adeo minutas seu par- Vas, ut nequeant esseę ulterius divisibiles;& quamvis daren- tur partes infinitè exiguæ, vel tales quæ eandem habent pro- portionem ad sua tota quam numerus finitus ad infinitum, vel spatium finitum ad infinitum; negamus tamen hasce Par- tes non esse ulterius divisibiles: sed cum ipsœ sunt extensæ, crunt etiam divisibiles non tantum in duas, tres vel plures partes, sed etiam quælibet potest in infinitum secari: quan- titatis ᷣSSIeeeeeeeeeeeeeeee.— 1An. I. Vig. 10. 40 INTRODUCTIO ritatis infinite parvæ partes numero infinitæ, infinitesimæ infinitesimarum seu Fluxiones Fluxionum à Geometris dici solent, à quibus adhibentur ad plura problemata alias intri- Catissima solvenda. Præterea,& harum Fluxionum dantur & aliæ Fluxiones seu partes suis totis infinite minores,& barum rursus partium erunt alie partes, atque sic quousque libet progredi licebit. Non dissimulo ↄb humani ingenii im- pecillitatem hoc conceptu esse difficillimum; non ideo ta- men deserenda est veritas validissimis suffulta argumentis, præsertim cum quædam sunt, quæ aà tenui nostro intellectu difhculter admodum capiuntur, quæ tamen esse certissime novimus. Exempla possumus comparare plurima, at ea tan- tum adducemus quæ ad rem propositam illustrandam inser- viunt; quibus ostendemus esle quantitates infinite minores aliis datis quantitatibus, quæ tamen erunt aliis infinite ma- jores; ita, si dentur quædam quantitates infinite parvæ, erunt quædam etiam quantitates his infinite minores,& rur- sus his ultimis fieri possunt aliæ infinite minores,& sic sem- per deinceps usque ad infinitum. Primo igitur, sic probamus dari quantitates, quæ quan- titatibus infinitè parvis sunt infinitẽ minores; sit circulus ABE, cujsus diameter AB, sitque BE pars peripheriæ infini- — tè parva, cujus proinde chorda crit ctiam infinitè parva, hoc est, chorda BE, ad magnitudinem quamwis determina- tam, v.. ad circuli diametrum AB, cam babebit propor- tionem, quam habet magnitudo quævis smita ad infinitam. Demissa intelligatur à puncto F ad AB, perpendicularis FG, Crit B redtd BEF infinite minor. Ducatur enim AF, e- ritque angulus AEB in semicirculo rectus, Adeoque in tri⸗ angulo AEB rectangulo ad F, Ob demissam in basim AB erpendicularem FG, erit, per 8½m 6⁴ El. AB ad BF ut E ad BG. Sed, e* hypothesi, AB infinite major est quam BE, quare erit& BSH infinitè major quam B erit igitur quantitas„ quα, ctfi alid datã quantitate sit infinitè minor, alia tamen quantitate infinitè major erit. Sic etiam in circulo hotum est, Sinum cujuslibet arcus es- se suo areu minorem, Tangentem vero esse arcu majorem, & 22.....—.. — 4 ＋ AD VERAM PHVSICAM. LEcr. IV. 41I & proinde tangens arcùs erit etiam ejusdem sinu major. Sit itaque in circulo, cujus centrum C,& diameter AB, arcus TAR. X. infinite parvus BE, cujus tangens sit BE, sinus rectus GF, & smus versus GB; per F ducatur EH ad AB parallela, erit HE æqualis differentiæ sinus recti FG& tangentis BE, uæ ex jam ostensis non est ommino nihil. Jam in triangulis CBE, EEE equiangulis, ob angulos ad H& B rectos& E communem, erit, per 44½m 6οι CB ad BE sicut FH est ad HE: sed ex hypothesi CB infiniteè major est quam BE; quare erit& EH infinitè major quam HE: id est, in Hantr casu, erit B6 sinus versus arcus infinitè parvi in- ute major quam differentia inter sinum rectum& tangen- tem ejusdem arcus. Cum igitur CB sit infinitèꝰ major quam BE,& BE, ut superius demonstratum est, sit infinitè ma- jor quam B6,& rursus, per jam ostensa, BG infiite major quam HE, liquet propositum. Ad uberiorem hujus doctrinæ illustrationem, aliud libet afferre exemplum, quod à summo illo Philosopho& Geo- metra Neτπtno deprompsimus, in Scholio sectionis primæ fig. II. Philo ophiæ Natur. Sit curva AC Parabola Apolloniana, La. 1. Cujus axis AB,& AE tangens in vertice A. Demonstrant scriptores Conici, ut in circulo, sic etiam in Parabola, an- gulum contactus EAC esse angulo quovis rectilineo infinite minorem. Ad eundem jam axem AB3& verticem A, de- scribi intelligatur alterius generis parabola, cubicalis scil. cu- jus ordinatim applicatæ crescunt in subtriplicata ratione in- terceptarum; erit angulus contactus FAD angulo contactus Parabole FAC infinite minor; vel quod idem Aest, nullæ sunt Parabolæ Apollonianæ, vel nulli circuli, quantumvis magna Parametro describantur, qui inter Parabolam cubicalem& ejus ad verticem Tangentem duci possunt; quod facilè sic demonstratur. Dicatur Parabolæ Apollonianæ AC Parame- ter 4, Parabolæ cubicalis AD Parameter sit, accipiatur in Tangente punctum E tale, ut sit AE rectis æ& tertia pro- portionalis, hoc est, ut sit a E E; per punctum quodli- bet Fmedium inter A& E ducatur FED ad axem parallela, curvæ AD occurrens in D; ducatur 9— ad tangentem pa- ral- Z. 12. 42 ENTFPRODhucnlo rallela,& vocetur BD, in parabola AD ordinatim applicatd, 2; BC autem, ordinata in parabola AC, sit 5,& intercepta AB sit v: Erit ex natura harum curvarum ν& 8* S adeoque— unde 5,& igi- tur reducendo hanc æquationem ad analogiam„ ι ε: .:*, hoc est, seu ν AE est ad α seu 4 νεD vel 4 AF, ut BD˖ ad 3C²: sed est α AE major quam a ν HF, quarè erit BD* major quam BC‘,& proinde BD major quam BC,; punctum igitur C cadit intra parabolam AlD. Idem verum est de omnibus ordinatis BC, quæ sunt recta AE minores; adeoque portio Parabole Apollonianæ AC ad verticem cadit intra Parabolam cubicalem. Eadem de quavis alia parabola Apolloniana est demonstratio; ad- eoque nulla potest duci parabola,& proinde nullus circu- lus(qui semper alicui parabolæ est æquicurvus) inter pa- rabolam cubicalem& ejus ad verticem Tangentem. Quantumvis igitur diminuatur angulus contactus parabo- licus vel circularis, erit tamen angulo contactus ad verticem parabolæ cubicalis major; ideoque erit quivis datus angulus contactus circularis vel parabolicus angulo contactus ad verticem parabolæ cubicalis infinite major; quantitas enim alterâ infinite major est, quæ quantumvis diminuta alteram illam semper superat. Adhuc, ad eundem axem& verticem, describi intelli- gatur alia curva parabolica AG, cujus ordinatim applicata quævis crescat semper in subquadruplicata ratione interce- ptœ; erit angulus contactus FAG angulo EAD infinitè mi- nor; quod ratiocinio priori haud dissimili demonstrare faci- le est. Eodem modo ad eundem aëem& verticem, potest alia describi curva parabolica AH, cujus ordinatim applica- tæ crescunt in subquintuplicata ratione interceptarum, in qua sit angulus contactus FEAH angulo FAG infinite minor; at- que sic progredi licebit in infinitum, semper assignando ali- as atque alias figuras parabolicas, quarum anguli contactus infinite à se invicem differant: scil. erit angulus EAC injfi- nite minor angulo quovis rectilineo,& angulus EAD infini- ö te AD VERAM PHXVNSICAM. Lrer. V. 44 te minor angulo FAC,& angulus FAG infinite minor angu- 10 FAD: atque sic habebitur series angulorum contactuum in infinitum pergentium, quorum quilibet posterior est in. finite minor priore; imo inter duos quoslibet angulos, alii interseri possunt anguli innumeri, qui sese infinite superant. Sed& inter duos quosvis ex hisce n potest scries in infinitum pergens angulorum intermediorum interseri, quo- rum quilibet posterior erit infinite minor priore. Quin et- iam possunt esse anguli innumeri angulo contactus circulari infinite majores, qui tamen erunt angulo rectilineo infinite minores: Atque sic progreditur in infinitum; neque novit naturàa limitem. 88 Hœc adhibui exempla, ut videant adversarii, immane quantum discedunt à veris rerum naturis eorum de rebus ipsis speculationes. — 1 E 0 V. De Materiæ Nubtilitate. Ostquam infinitam materiæ divisibilitatem validissimis P(ut nobis videtur) propugnaverimus rationibus; obje- CTionibus, quæ alicujus momenti sunt, prostratis prorsus & deletis; restat, ut mirandam naturæ subtilitatem,& mi- nutissimas illas particulas, in quas materia actu dividitur, vel ex quibus componitur, paulisper contemplemur; has quidem undique comparatis exemplis, ante oculos vestros poni, sensibus obverti,& ipsarum exilitatem calculo osten- di, facillimum foret: Nos autem pauca tantum proferemus. Et primo, ex summa auri duelileate exiguam partium ipsius molem comꝑutatione collegerunt Doctislimi viri, Ro. Haultus Gallus in Tractatu suo Phhsico; Nobilis Boyluns, no- stras, in libro de Eiuviir;& nuper Clarissimus Halleius in Aclis Philosot hicis numero 194. Halloius quidem demon- stravit unum auri granum in 1000 partes visibiles posse se- cari; adeoque cum unum auri granum æquale sit circiter 21 unius digiti cubici, sequitur unum digitum cubicum 100⁰⁰⁰ E. 2 ö auri 14 N TPR ODUCNTIO auri dividi posse in partes 47619⁰½4½/ que omnes erunt nu- do Oculo satis spectabilés. Computavit præeterea Halleius crassitiem istius lamellæ aureæ, quæ super argentea fila ab artificibus inducitur, im 1 venitque eam— digiti non excedere; hoc est, si digitus 1245⁰0⁰ longus dividatur in partes 1245, crassities istius lamellæ unam harum partium vix adæquabit, adeoque cubus partis centesimæ unius digiti, vel, quod idem est, digiti cubici pars I. PWy 1000 009 Alia experimenta quamplurima tradit de hac reę Insignis le& nobilis Philosophus AÆobertus Boyle, in præfato Ibro De Natura& guhtilitate Effluviorum; quorum unum aut al- terum hic adducere liceat. Et primo, dislolvit unum cupri potest continere 243 οο οο talium particularum. granum in spiritu salis Armoniaci;,& inde orta solutio, cum aqua distillata mixta, tincturam cœruleam saturam valde at- que conspicuam largita est granis aquæ 28534; unde, cum aquæ quantitas, cujus pondus est unius grani, æqualis sit 2 2 unius digiti cubici, erunt grana aquæ 28534 magnitu- 10000 dine æqualia digitis cubicis 105, ½7. Cum igitur unum cu- pri granum potest colorem cœœruleum tantæ aquarum copiæ communicare, necesse erit ut sit pars aliqua hujus cupri in parte quavis visibili preedictæ aquarum copiæ; adeoque quot funt partes in ea aquæ quantitate oculo visibiles, in tot ad minimum partes divisum erat unum cupri granum; at visu sensibilis est linea, cujus longitudo est pars digiti ccntesima, adeoque ejus lincæe quadratum aut cubus adhuc multo ma- gis erit visu dignoscibilis: quare cumm cubus cujus latus est Pars digiti longi centesima, sit pars digiti cubici millionesuna I. —.—, sequitur ad minimum in digitis cubicis aquæ 105, 1.000 00⁰. 37 esse partes sensu distinguibiles 105 570 0οο adeoque per prædictam solutionem in tot ad maumum partes dividetur L— »„Æ kl— AD VERAM PHVSICAM. LECr. V. 45 cupri granum. Est vero magnitudo unius cupri grani œqua- I—᷑ ᷣ 95—1 lis digiti partibus circiter—◻/ adeoque cum digitus cubi- 100 C000 cus contineat propemodum 2000ο talium particularum, hinc sequitur digitum cupri cubicum in partes 2 111 400000 000 actu posse resolvi: Et si accipiatur minutissima arenula, ta- Iis sc. ut ejus diameter sit pars digiti centesima, vel quod tantundem est, ut ipsa arenula sit pars digiti millionesima, bec duos milliones centum& undecim millia& quadringen- ti, seu 211140 particularum, in quas divisum est cuprum, continebit. ö Secundum, quod proponimus, exemplum ex sequenti- bus ducitur principüs.. Omnes réècentiores consentiunt Philosophi, odores Oriri à profluviis ex corpore odorifero prodeuntibus,& undique in medio dispersis, quæ ope spiritus, quem per nares tra- himus, in nervos olfactorios irruunt, eos irritant, atque sic sensorium afficiunt; unde sequitur, in quocunque loco odor cujusvis corporis sentitur, in ęo esse aliquas particulas corporis odoriferi sensum afficientes. At plurima sunt corpora odora, quæ ad distantiam quinque pedum facile olent,& sensum olfactorium movent; erunt igitur per omne illud spatium quædam corporis odori diffusæ particulæ, ita scil. ut ubi- cunque in eο spatio ponantur nares, ibi aliqua esse corporis odoriferi effluvia necesse sit; saltem quædam erunt in ea aëris guantitate, quæ simul per inspirationem intra nares ducitur. Ponamus igitur esse unam tantum corporis odori particuläm in unaquaque istius spatii parte, quæ digiti cubici partem quartam magnitudinè adæquat: quamvis verisimile sit, ef- fluvia tam rara vix sensum afficere posse, nolumus tamen Plura assumere; tot igitur ad minimum erunt particulæ odo- rem producentes, quot sunt in sphæra, cujus semidiameter est quinque pedum, spatiola, quorum unumquodque æqua- le est digiti cubici parti quartæ: At in illa sphæra sunt ejus- modi spatiola numero 57 839 616, tot erunt igitur in illo spatio particulæ odorem producentes. Utcunque igitur definito numero, progre- .—. QGia⸗ —3—3—.——.—— ö ö 46 IN ER 0DU CT1 O diamur ad eorum magnitudinem determinandam. Cum quan- tum effluviorum à corpore quovis decidit, tantum necesse erit ut corpus illud de pondere suo amittat; erit pondus ef- fluviorum omnium, in dato quovis tempore, à corpore o- dorifero prodeuntium æquale ponderi partis eo in tempore amissæ. Jam per experimenta comprobavit Boyleus determi- natam quandam Assæ fœtidæ massam aperto aëri expositam, sex dierum spatio, grani partem octavam de suo pondere amisisse: cum vero continuus est effluviorum à corpore o- dorifero effluxus, patet oportere eum semper tempori pro- portionalem esse, adeoque tempore unius minuti primi erit pondus effluviorum ab Assa fœtida decidentium æquale grani 1 parti—. Est autem magnitudo particulæ aqueæ, cujus 69 120 ů— ö 36⁹ pondus est unius grani, æqualis digiti cubici partibus—.—, 100 O00 & proinde ejusdem aquæ particula, cujus pondus est pars I—— 2————— grani, magnitudine æqualis erit partibus digiti cubici 69 12⁰ 733 ö ö ——: Atqui est gravitas Assæ foœëtidæœ ad aquæ gra- 10 O000 000 000 vitatem(ut ipse expertus sum) ut 8 ad 7,& proinde magnitudo quantitatis Assæ fœtidœ, cujus pondus est u- —— 1——*„—*— nius grani pars——, æqualis erit partibus digiti cubici 69 12⁰ 46⁵ —; sed effluviorum omnium numerus supra in- 10 000 000 000 ventus ponitur 57 839 616, adeoque cum omnia hœæc efflu- e 4⁴⁶ ö via digiti cubici partes—— tantum adæquant, e- 10 000 000 0⁰0⁰0 rit unaquæque particula æqualis digiti cubici partibus 4⁵⁵ ——.— seu reducendo hanc fractionem ad 578 396 16⁰0 0⁰ο ⁰ο 0ο 2 SSISIII S‚‚‚.........——————————— AD VERAM PHVSICAM. LEC.r. V. 47 decimalem, erit uniuscujusque particube magnitudo æqua- lis—— digiti cubici partibus, seu decem- 10 0C00 COO O00 000 000 millebillionesimis partibus octo. In hisce supposuimus particulas odorem producentes esse ubique in prædicta distantia æqualiter diffusas; at cum ver- sus centrum seu corpus odoriferum, à quo prodeunt, spis- siores& plures sunt quam versus extimam sphærœæ superfi- ciem, multo plures erunt particulæ quam superius determi- navimus. Cum enim odores(sicut cæteræ omnes qualita- tes, quæ à centro secundum rectas lineas propagantur) de- crescant in duplicata ratione distantiæ auctæ ab eodem cen- tro, erit numerus particularum odorem producentium,& in dato spatio inclusarum, v. g. in digiti cubici quadrante, ad distantiam unius pedis, quadruplus numeri particularum quæ in spatio æquali ad distantiam duorum à centro pedum locantur:& novies major erit numero particularum ad di- stantiam trium pedum,& sic de cœæteris. At si ubique non plures forent quam sunt ad extremam superficiem, esset ea- rum numerus supra inventus 57839616. Patet igitur reve- ra esse ipsarum numerum numero prædicto multo majorem. Ut igitur, in prædicto casu, particularum odores produ- centium numerus determinetur, cognoscenda est quantitas Asse fœtidæ, quam aëri exposuit Boylenn; at ex ipsius seri- Ptis non constat quanta hæc fuit; necesse erit igitur ut assu- mamus aliquam illius quantitatem; sed quo minorem ipsam ponamus, eo major evadit proportio numeri particularum ex ca profluentium ad numerum superius inventum, cæœteris omnibus pariter positis. Ut igitur humèerum vero non ma- jorem eruamus, assumenda est quantitas probabiliter major cã quam aeri exposuit Bohleus; sitque ca qualis sphære cu- Taz. 2. jus diameter sit sex digitorum, per circulum DBEO hic re. Vg. i. Præsentatæ; sitque recta AD quinque pedum, seu 60 digi- torum; erit ABg 63 digitorum. Ad punctum A fuper AB cxi- gatur perpendicularis AG, quæ reprœæsentet densitatem seu numerum particularum intra datum spatium ad distantiam AB,& si in onmibus distantiis cadem eslet e Itas, 48 INTRODUCTIO sitas, earum numerus per rectas innumeras E, R, DH, &c. Parallelogrammum AH complentes, hoc est, per ipsum parallelogrammum AH, exponi possit. Cum vero numerus particularum, in accessu ad centrum, supponatur crescere in ratione distantiæ diminutæ duplicata; ad puncta E, m, D,& alia innumera in recta AB sumpta, erigantur perpendicula EL, un. DC, quæ sint ad AG, ut quadra- tum rectæ AB ad quadrata rectarum EB, B, DB&c. re- spective;& per puncta G, L, u. C,& alia innumera eo- dem modo determinata ducatur Curva; si jam AG repræ- sentet numerum particularum ad distantiam AB, EL repræ- sentabit earum numerum ad distantiam EB, posito quod par- ticularum densitates sunt reciproce in duplicata rationèę distan- tiarum à centro: at EQ ipsarum numerum denotasset, si u- bique eadem fuisset carundem densitas; eoꝗdem modo π exponet densitatem particularum ad distantiam ½; at R ipsarum numerum repræsentasset, si ubique uniformiter spis- se essent: sic etiam DC denotabit numerum particularum ad distantiam DB positarum; si vero ubique æqualiter den- sæ essent, numerus ille per DH repræsentandus foret: adeo- ue tota multitudo particularum, quæ à sphera DBO pro- Wünnt„& quarum densitas decrescit prout recedunt à cen- tro in ratione distantiæ auctæ duplicata, est ad earum mul- titudimem, si ubique ipsarum densitas ea esset, quæ est ad ex- timam distantiam AB guinque pedum, ut rectæ omnes DC, mu, EL, AG ad rectas DH, R, EQ, AG, hoc est, ut area mixtilinea ADDCG ad aream rectanguli GALH. Eo igitur res reducta est, ut inquiramus proportionem, quam habet area GALC ad aream rectanguli A H. Cum au- tem est Curva GL C talis naturæ, ut rectæ AG, EL, un, DC ordinatim ad Asymptoton AB applicatæ sunt reciproce ut quadrata distantiarum à centro; erit curva hœc generis hyperbolici,& spatium interminabile CEBTS componitur x elementis, quæ sunt secundanorum reciproca; adeoquè erit illud spatium, etiamsi interminabile, perfecte quadrabile& æquale duplo rectanguli CB; per ea quæ demonstravit Mal- Visias in Arithimeticà Iufinitorum. Adeoque erit area intermu- nabilis, ————＋. PIFIFIFIIFI AD VERAM PHVSICAM. LEOr. V. 49 nabilis, seu indefinite protensa, C018 ipsi CB rectangulo æqualis;& eodem modo area indefinitè protensa GALS qualis erit rectangulo GB erit itaque excessus, quo area CDTS superat aream GATS, æqualis excessui quo paralle- logrammum CB superat parallelogrammum GB. Investige- mus igitur horum rectangulorum differentiam. Cum ex hyp. sit.AL 60 digitorum& BD trium, erit AB 63 digitorum; sitque AG unitas: cumque sit, ut DB ad AB ita AG ad CD, hoc est, ut ꝗ ad 3969, erit CD partium 441 qualium AG est 1; adecque CDD ν DB, seu rectangulum CB, erit ad rectangulum BG, ut 1323 ad 63,& proinde rectangulorum differentia, hoc est area GALDC, erit partium 1260, qua- lium scil. rectangulum AH est 60. Adeoque numerus par- ticularum ex Assa fœtida prodeuntium, quarum densitates de- crescunt in duplicata ratione distantiæ auctæ,& intra sphæ- ram cujus diameter est ʒ pedum contentarum, est ad earun- dem numerum,(fi 1 carum densitas est æqualis ei quæ fit ad distantiam quinque pedum) ut 1260 ad 60, hoc est, ut 21 ad 1; si igitur numerus supra inventus 57839616 per 21 multiplicetur, productus dabit numerum particula- rum ex Assa fœtida prodeuntium, scilicet 1 214 631 936. Pꝛyæterea si fractio* quæ magnitudi- 10 o00 000 000 000 00⁰0, ö nem particularum in priore casu exprimebat, per 21 divida- 8 38 tur, quotiens——.—.——— seu——..—.— 210 000 000 000 000 000 1000 000 000 S00 090 CO exhibet veram magnitudinem uniuscujusque particulæ, in hoc posteriore casu. Hæc omnia ex eo sequuntur, quod homo potest Assæ fœ- tichee Odorem ad distantiam quinque pedum sentire: at sunt alia animalia, quorum sensus in Odorando humanis sensibus sunt multo acutiores, qualia in primis sunt canes venatici, qui ferarum effluvia in terra relicta, longo post decessum fe- rarum tenpore, percipiunt;& aves quædam, quæ pulve- ris pyrii Odorem ad magnam distantiam sentiant. Oportet certe ut istiuinodi effluviorum subtilitas longe major sit ea, ü quam eeeeee————— ———— ——————— — —. ＋ 0 F ——————— 369%½ N TPRODUCTIO quam ex superiore calculo elicimus; at ob experimentorum defectum non potest ea facile ad numeros revocari. TaAr. 1. . 13. illam distantiam videtur Ut materiæ subtilitatem ulterius ostendant Philosophi, in exemplum adducunt animalcula illa, quæ in aliorum ani- malium semine,& in aliis liquoribus natantia conspiciun- tur. Hæœc quidem in quibusdam fluidis adeo minuscula sunt, ut per microseopia Objectum multum augentia visa ut pun- cta appareant. Imo solertissimus ille naturæ indagator Leeu- aenhoetiur plura horum animalculorum in lactibus unius A- selli deprehendit, quam sunt homines in tota terreni globi superficie degentes. Sed lubet horum animalculorum ma- gnitudinem veram investigare: Ad quod præstandum sequen- tia ex Opticis suppono; Primo, Imaginem cujusvis objecti sub eodem angulo ex vertice emersionis lentis apparere, quo visibile ex vertice ineidentiæ; hoc in Cl. Gregorii Elementis Dioptricis Prop. 18. demonstratum est. z240. Per experien- tiam comprobatum est ea objecta, quæ tanquam puncta vi- dentur, hoc est, quorum partes à se invicem visu distingui nequeunt, sub angulo uno minuto primo non majori appa- rere. zrio. Satis experiendo constat pleraque istiusmodi ani- malculorum tantillæ esse magnitudinis, ut per lentem visa, cujus distantia focalis est pars digiti decima, tanquam pun- Ca appareant; hoc est, eorum partes nequeunt discerni; adeoque sub angulo uno minuto primo non majori ex verti- ce istius lentis apparebunt. Eo igitur deventum est, ut in- vestigemus magnitudinem objecti, quod sub angulo dato ad datam distantiam apparet; hoc est, si in prœsenti casu, sit C vertex lentis, AB longitudo animalculi, BC ejus distantia à lente, æqualis scil. digiti,& angulus BCA sub quo ad 91 unius scrupuli; ex datis BC& angulo BCA invenienda est AB longitudo objecti. Jam in triangulo rectangulo ABC, ex datis(præter angulum ad E rectum) angulo BCA unius minuti primi,& latere BC æ- quali parti decimæ, per Trigonometriam innotescet latus AB 3 Xæquale quam proxime—.— unius digiti. Si igitur ani- 100 0000 malcula illa essent figuræ cubicæ„ ejusdem scil. longitudi- nis, —v— AD VERAM DPHVSICAM. LECT. V. 5 nis, crassitici& latitudinis; ipsorum magnitudo per cubum 3 fractionis———— exprimenda esset; scil. per numerum 100 000 di æÆquale scil. esset unumquodque vigin- 1 000 000 000 000 000*——— ti septem partibus mille:billionesimis digiti cubic.. me, quod quidam Philosophi de Angelis somniarunt. verum erit de nostris animalculis, nempe posse multa eorum millia super parvæ aciculæ cuspidem saltitare. ö Hinc etiam colligitur quantum est intervallum, quantilla intercedit proportio inter minima hæc natantia animalia& illa maxima, immanes nempe Balænas, quæ in oceano mon- tium instar apparent, quotiès ex aquis sua capita emergunt. Sunt ęnim in quibusdam liquoribus animalcula tantillæ ma- gnitudinis, ut si calculus ineatur, invenietur ingentem ter- ræ molem non satis amplam futuram, ut sit tertia propor- tionalis minutissimis his animalibus natantibus,& Vastis O- ccani Cetis: adeo ut ipsa terra, utcunque magna videatur, minorem tamen deprehenditur habéerè rationem ad Pisces hos maximos, quam hi ad illos minimos, qui in animalium semine natantes per microscopia conspiciuntur. Cum animalculum quodvis sit corpus organicum, perpen- damus paulisper, quam delicatulæ& subtiles esse debent par- tes ad ipsum constituendum,& ad vitalem actionem con- servandam, necessariæ. Haud mehercule facile concipi- tur, quo pacto in tam angusto spatiolo comprehendi pos- sint, cor—3— ipsius vitæ fons est, musculi ad motum He- cessarii, glandulæ ad liquores secernendos„Ventriculus& intestina ad alimenta digerenda,& alia memhra innumera sme quibus animal esse non potest. Sed cum singula memo- rata membra sunt etiam corpora organica„alias etiam habe- bunt partes ad suas actiones necesfarias. Constabunt enim ex fibris, membranulis, tunicis, venis, arteriis, nervis& hisce similibus canaliculis numero fere infinitis„quorum e- xilitas imaginationis vires superare videtur. At his infinite propemodum minores esse debent partes fluidi„quod per 3 2 — Cd- 52 IN I.ROD.UCTO canaliculos hosce decurrit, nempe sanguis, lympha& spiri- tus animales, quorum in grandioribus animalibus incredibi- Ks est subtilitas. Libet crassiores sanguinis partes in his animalculis con- templari, globulos nempe qui in sanguine natant, ipso- rumque magnitudinem calculo eruere. Ad quod præstandum sequentem adhibebimus hypothesin; nempe quod diversorum animalium similes partes solidæ, hoc est, similes particulæ corporeæ, seu partes trina dimen⸗ sione constantes, sunt ut ipsorum animalium magnitudines. Unde sequitur diverforum animalium similes dimensiones li- neares esse in subtriplicata ratione magnitudinum animalium; hoc est, ut harum magnitudinum radices cubicæ: v ε Cor humanum est ad cor animalculi cujusvis, per microscopium visi, ut ipsum corpus humanum ad corpus anitnalculi;& proin- de, si utriusque corda sint corpora similia, erit diameter unius ad alterius diametrum, ut radix cubica magnitudinis unius ad radicem cubicam alterius magnitudinis. Sic etiam vasa san- guifera minima in homine sunt ad vasa similia minima in ani- malculout magnitudo hominis ad animalculi magiutudinem; & diameter vasis minimi in corpore HhHumano erwack diametrum vasis minimi im corpore animalculi, ut radix cubica magnitu- dinis humanæ ad radicem eubicam magnitudinis animalculi. Ponamus jam hominis mediocris magnitudinem esse trium pedum cubicorum, seu digitorum 5184: ut igitur magni- tudo hominis mediocris seu digiti cubici 514 ad magnitu- dinem animalculi superius traditam, æqualem nempe digiti 2 cubici partibus.—.—.——— ita vasa minima im 1 000 000 CO00 000 000 corpore humano ad similia vasa minima in animalculo&ut: radix cubica magnitudinis humanæ, seu ut radix cubica nume- ri 5184 ad radicem cubicam magnitudinis animalculi, seu ö 28 ö 27 ad radicem cubicam numeri———.——— hoc est, I OOO O00 O⁰00 000 000 * B quam proxime ut 17 ad.„ ita diameter vasis minimi . 10⁰0 αο in ————— ᷣꝑPRFCIRIIII‚II—————.——.—.—— — SI AD VERAM DEHVSICANMI. Lxer. V. 53 10 corpore humano ad diametrum vasis minimi in animalculo. Verum CI. Leenenhoebius istiusmodi vasa in corpore humanο detexit ope microscopii, ut posita diametro unius arenulæ g di- giti, hæc contineret 2640 diametros talium vasculorum, quæ in humano corpore conspexit; adeoque erit diameter unius 1 1 hujusmodi vasculorum æqualis—— digiti, hoc est, æ- 1640;0 30 ö qualis digiti parti——.: Et quamvis certum sit, hæc vasa 79 200 non fuisse minima eorum quæ sunt in corpore humano, nam & alia hisce multo minora ibi esse oportere facile est osten dere; ponamus tamen ipsa fuisse minima. Fiat igitur ut 47 ad 1 — ad alium numerum, numerus ille expri- ö 3 qui, operando per regulam Trium, invenitur————.— 12464⁰ 000 00⁰0. Hœc fractio ad decimalem reducta erit quam proxime 22 ————— vel(ut numeros rotundos adhibeamus) 1 000 000 000 000 3 2*—— 15 ———. Cum autem necesse sit, ut diameter globuli 100 000 000 000 vel particulæ fluidi, quod in vase aliquo continètur, ipsa vasis diametro mon sit major; erit diameter globuli sangui- nei, qui per vasa hæc ininima decurrit„non major digiti 2 partibus adeoque ipsorum globulorum soliditas 100 000 000000 seu magnitudo minor erit cubo istius diametri, hoc est, minor e- rit partibus digiti cubici:————— 1000 000 000 000 000 000 000 00⁰0 0⁰0⁰0 00ο hι hoc est, erit globulorum magnitudo minor ea digiti cubici parte, quæ exprimitur per fractionem, cujus numerator est numerus octonarius, denominator vero est numerus decem- G 3 quin- 64 INTRODUCTIO quintillionarius, seu qui scribitur per unitatem cum trigin- ta tribus darrn post se. Cum fractio, qua globulorum magnitudo exprimitur, tam numerosis constet cyphris, ut vera ipsorum quantitas cum minutissimis arenulis, talibus scil. ut ipsarum diametri digi- ti partem centesimam non excedant,& denique minimas has arenulas cum aliis maximis terræ corporibus, ingentibus e. g. Montibus; ut videamus qualem ad se invicem obtineant ra- tionem, atque sic multo melius particularum exilitas intel- ligetur. Sed cur hac utar voce? Cum potius dicendum est, comparatione sic facta, illorum subtilitatem prorsus incom- prehensibilem fore. Nam exindeè colligitur, ne quidem de- cies mille ducentos quinquaginta& sex altissimos totius tel- luris montes posse continere tot arenulas, quot potest una arenula continere globulos animalculorum sanguineos. Non mirum erit, Academici, si ad hæc attonitis hæreatis animis, & re tam prodigiosâ perculsi ipsam materiæ infinitam divi- sibilitatem, etsi validissimis suffultam demonstrationibus, in dubium vocetis. Uteunque vero res hæc prima facie pror- sus incredibilis videatur, ipfam nihilominus ex claris& fa- Cillimis principiis deducemus. Ut facilius calculus ineatur, vocemus decimam pedis par- tem unum digitum,& ponamus centum arenulas juxta se positas spatium istius longitudinis digitalis occupare; vel, quod idem est, supponantur mille arenulæ contiguæ per lon- gitudinem pedis extendi: erunt igitur in uno digito cubico arenulæ 1I OOO OO0,& in pede cubico erunt arenu- 1 1 000 O00 000. Sit milliare unum seu mille passuum &quale 5000 pedibus, erunt pedes cubici in uno millia- ri cubico 125 000 O000 000; adeoque arenularum nume- rus, quæ in uno milliari cubico contineri possunt, erit 125 000 000 000 000 000 000. Jam ut montium dimensiones habeamus, sumamus altissi- mum, ut vulgo creditur, totius telburis montem, eum nem- pe qui in Insula Tenerista est,& El. Pico de Terrario dicitur, cujus altitudo perpendicularis vulgo æstimatur trium millia- rium Ltalicorum. SN montem hunc esse figuræ co- nicæ, SIIPIIIITTTTTTTT— PPII ——— ———jßj7— gnitudo unius arenulæ æqualis est digiti cubici parti AD VERAM PHVSICAM. LICD. V. 55 nicæ, atque hujus circuitum ad basim esse triginta& quin- que milliarium, erit area basis 97, circiter milliarium: nam ut 314 ad 100, hoc est, ut circuli circumferentia ad dia- metrum, ita 35 ad II„ i4 diametrum seu montis crassi- tiem ad basim; cujus pars quarta 2, 285 ducta in periphe- riam 35 dat aream basis, æqualem scil. 97, 5 milliaribus quadratis; cum igitur mons ex hyp. sit figuræ conicœ, fi basis in tertiam altitudinis partem multiplicetur, productus in milliaribus cubicis exhibebit ipsius montis contentum soli- dum/ atque tertia pars altitudinis ex hypothesi æqualis est uni milliari, qui multiplicans numerum 97,, productus seu mon- tis soliditas erit æqualis milliaribus cubicis 4, 5 qui nume- rus si rursus multiplicetur per 125 00οο οσ οοοσ οοσ οοσ οο0, productus seu numerus 12 187 500 000 000 0οο οο οο exhibhebit numerum arenularum ex quibus mons Insulæ Te- uerisf componi possit. Hisce investigatis, videamus quot particulæ seu sanguinei globuli in una arenula contineri possunt. Ex supra monstra- tis uniuscujusque globuli magnitudo minor est digiti cubici ů ö 8 1000 000 000 000 000 000 000 000 000 0O00 000 1 1 9⁰⁰0 000 adeoque si posterior hic mumerus per priorem dividatur, „ I OOO 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 quotiens—— seu ä 8 00⁰0 000 I OOO OO0 000 000 o00 000 000 000 000 ö 125 000 ⁰⁰0 0⁰0⁰0 000 000 00⁰0 000 000, minor erit nu- mero globulorum sanguinis, qui in magnitudine unius arenulæ contineri possunt; sed numerus Hic 125 000 00⁰0 0⁰⁰ οο οο οοσ οο 0οο divisus per 42 187 500 000 000 0οο οο οο numerum arenularum, Jue in monte Insulæ Tenerjsis contineri possunt, quotiens malor crit quam numerus 10 256; adecque una arenula Plus⸗ μ⁵⁰n⁴π 56 IN TRODUCTTIO plusquam decem millies ducenties quinquagesies& sexles plures globulos sanguineos in se continerè põtest, quam al- tissimus totius telluris mons arenulas: vel, quod idem est, decem mille ducenti quinquaginta& sex montes, quorum unusquisque æqualis est altissimo totius telluris monti, non Ot Eern in se continere arenulas, quot una arenula possit in se continere particulas sanguineas animalculorum, quæ er microscopia in quibusdam fluidis natantia cernuntur. 100 erat ostendendum. Cum igitur globuli hi tantillæ sint magnitudinis, quid sentiendum erit de particulis fluidum componentibus, in quo istiusmodi globuli vehuntur;& de spirituum animalium fubtilitate? Hec proculdubio tanta eft, ut omnem calculum& imaginandi vim fugiat. Supra modum mirabilis est hœc naturæ subtilitas; at sunt aliæ materiæ particulæ memoratis multo subtiliores, ad quas si prædicti globuli referantur, non montium sed ingentium terrarum instar apparebunt. Lucis intelligo particulas, quæ à corpore lucido ineffabili celeritate undiquaque projiciun- tur, quarum subtilitatem animus humanus nunquam forte nisi post adeptam in cœlis perfectionem assequetur: immen- sam tamen ipsam esse vel exinde colligitur, quod lumen te- nuissimæ lucernæ in tempore omnino insensibili,& absque ullo sensibili ipsius lucernæ decremento, ad distantiam duo- rum milliarium ab oculo sentitur; unde necesse est, ut in o- mni assignabili parte sphærœ activitatis istius lucernæ, cujus diameter quatuor millibus passuum major est,& in omni as- signabili temporis particula, sint quædam istius Jucernæ par- ticulæ, quæ oculum ingrediuntur vel ingredi possunt; quæ quidem in diversis temporis partibus diversæ erunt. Atque per ineffabilem illum Iucis subtilitatem fit, ut Sol etiamsi Continuo ab ipsius creationis exordio lucem celerrime in o- mnem mundi partem emittat, non tamen sensibile quidquam per omne illud tempus de sua magnitudine amisit, etiamsi quotidie per aliquam, inæstimabilem licet, quantitatem de- crescat; unde etiamsi post sex mille annos ejus dimimutio nondum notabilis evaserit, post finitam tamen annorum se- riem, quamvis valde protractam, totus dissipabitur. Ex 51 — W VERAM PHVSICAM. Lgcr. V. 57 sequitur Mundum hunc nec in æternum existere posse, nec 10. potuisse ab æterno exstitisse. —8 Ex demonsirataà infinita materie Divisibilitate, sequentia 101 Theoremata Ju⁴sdem Raritatem& teuuem composit ionem IIt shectautia facile eliciuntur. 20 LEMMA. nt Datà quavis materiæ quantitate, ex cù, vel ex quavis m ejus parte, formari potest sphæra concava, cujus semidia- de meter sit datæ rectæ æqualis. ö It, Sit materiæ particula,& data recta sit 6. Ratio peri- pheriæ circuli ad Radium sit ad r＋. Dicatur semidiame- Un ter concavitatis v,& crassities pelliculæ concavitatem sphæ- as ræ ambientis erit νκα,& cylindrus sphæræ circumscriptus ö ů. r—.7 in cujus radius est erit 37.— unde sphæra cylindro inscri- u 0 ö ö pta erit. Eãdem ratione sphæra cujus radius est æ erit Ite 247 I. 2 ö 25.„— te⸗ 2½5 quarum differentia— ν½ ponenda est sphæricæ ue lamellæ æqualis, seu materiæ particulæ datæ; hoc est, erit 10• 2.—; ra 0• HV Saseu V&.Unde s 6. 247 27 27 —.— 3 24 ½½ ů . V adeoque crassities Iamellæ sphæricæ seu ε Al- 3. 2474 Crit— 6* V53— 0 27 nii EFadem ratione fieri posfunt e* data materiæ quantitaté Cu- 10• bi concavi, Cylindri concavt, vel corpora etiam alterius eu- amn jusois fguræ concavæ, quorum latera sunt datæ rectæ æqua. Msi lid. de- m0 Theorema Primum. mle⸗ Datã quavis materiæ guantitate quantumvis exigu,& dato 00— 58 INTRKOD5UCTIO spatio quovis finito uteunque amplo; uoè v. g. st cubus qui sfpohæram Saturmni circumseriberet: Possibile est uνι nαιεανιι Mius Areuule pen totum;ud spatium disfandatur, atιcù 2%sum ita adimpleat, ut nullus sit in eh porus cuιfFus diame- ter datam superéet linèam. T. 2. Sit datum spatium Cubus cujus latus sit recta AB, dia- . 2. metro scil. orbitæ Saturni æqualis; deturque materiœ par- ticula cujus quantitas sit& data recta(quà pororum diametri non majores esse debent) sit D. Dividi concipia- tur recta AB in partes æquales rectæ D, quarum numerus finitus érit, cum nec recta AB ponitur infinite magna, nec recta D infinitè parva: sit numerus ille, hoc est, sit 7D AE, adeoquè erit D æqualis cubo rectæ AB. Conci- piatur item spatium datum dividi in cubos quorum singulo- rum latera sunt æqualia rectæ D, eritque cuborum numerus 3;& hi cubi per spatia EEGH in figura repræsententur. Dividi porro supponatur particula in partes quarum nmu- merus sit 25,& i unoquoque spatio cubico ponatur una ha- rum particularum,& hac ratione materia per oune iud spatium diffundetur. Potest prœterea unaquæque ipsius 4 articula, in sua quasi cellà locata, in sphæram concavan 255 cujus diameter sit æqualis datæ rectæ D: undè fiet, ut sphæra quælibet proximam quamque tangat,& data ma- teriè particula utcunque exigua 65, spatium datum ita ad- impleat, ut nullus sit in eo porus cujus diameter datam re- Ctam D superat. Q. E. D. Car. Hinc dari potest corpus, cujus materia, si in spatium absolutè plenum redigatur, spatium illud fieri potest prioris magnitudinis pars quælibet data. Theorema Secundum. Possunt esso duo cor pora mole αρh—nie, uorum materia quanti- tates siut utcunque inaquales,& datam q; uam vis ad se in vi- cem obtiueaut rationem; pororum tamemn fumma, sen spatia vacua inter corpora, ad rationem œιαμανιετ⁴τ Fer accellaut. Vel —*— —————————62 — D VERAM PHVSICAM. Lror. V. 59 Vel in stilo Cartesiano:&Qpatium omue, quod a materid sabb- Zili intra umius con pos is poros occupatur, posset estie fesfe æcua- Le soatio quod& sumili materid intra alterum cor pus tenetun; licet materia propria unius corporis decies millies vel ceuties mmulliso si peret matertam propriam alterius corporis, S coi pora iut mole ualia. Ex gr. Sit digitus cubicus Auri,& digitus cubicus Aœ- ris vulgaris non condensati. Certum est quantitatem ma- teriæ in Auro vicies millies circiter superare materiam Ac. ris, attamen fieri potest, ut spatia in Auro vel absolute vacua, vel materiâ subtili repletà, sint ferè æqualia spatiis in Aore, vel vacuis, vel materià tantum subtili repletis. Sint A& B corpora duo, magnitudine æqualia: utrum- Tan. 2: 119— v. Hr. sit cubus unius digiti. Et corpus A decies millies A. 2. t gravius corpore B, unde& corpus A quantitate materiæ decies millies superabit corpus B. Ponamus jam materiæ uantitatem in A redigi in spatium absolutè plenum, quod it digiti cubici pars centies millesima;(liquet enim ex Co- roll. præcedentis Theorematis id fieri posse.) Unde cum materia in A decies millies superat materiam in B, materia illa in B, si in spatium absolutè plenum compingatur, occu- pabit tantum digiti cubici partem.—, seu decies 1 000 O00 000 millies centies millesimam: adeoque partes reliquæ ꝗꝗꝗννog vel erunt absolute vacuæ, vel materiâ aliqua subtili, qua- lis supponitur Cartesiana, tantum repletæ. Porro, cum ma- teriæ quantitas in A impleat tantum digiti partem centies mil- lesimam, erunt in corpore A partes ꝗꝗ ꝗσνσ centies millesimæ, vel vacuæ, vel materia subtili repletæ, hoc est, reducendo fractionem ad denominatorem prioris fractionis, erunt in A partes vacuæ 999 990 0⁰0ο millies decies centies millesimæ. Adeoque vacuitates in A erunt ad vacuitates in B, ut nume- rus 999 99⁰0 οο ad numerum ꝙꝙꝙ σσ ꝗονν/ qui numeri sunt ad se invicem ferè in ratione æqualitatis; nam eorum diffe- rentia, parvam admodum ad ipsos numeros obtinet ratio- 84.2 nem. —— ＋1 IIV 4 ö 1 AP M 75 — II HA 2 6⁰ INTRODUCTIO nem. Adeoque spatia vacua, vel materiâ subtili tantum re- pleta, quæ sunt in duobus corporibus A& B, eandem cum ipsis numeris, ad se invicem rationem obtinentes, sunt etiam ferè in ratione æqualitatis. Q. E. D. Corpora autem omnia esse rarissima, hoc est, pro mole sua parvam admodum continere materiæ quantitatem, ex Diaphanorum proprietatibus certissimè constat: nam radii Iucis intra vitrum vel aquam, non secus ac in aëre per rectas lineas diffunduntur, quæcunque luci exposita sit corporis Diaphani facies; Adeoque à minimà quävis afsignabili Diaphani parte, ad aliam quamvis ejusdem partem, semper extenditur in his corporibus porus rectilineus, per quem transiverit lux; atque hoc fieri non potest, nisi materia Diaphani ad ejus molem parvam admodum obtineat ratio- nem nec fortasse materiæ quantitas in Vitro, ad ejus magni- tudinem majorem habet rationem, quam magnitudo unius arenulæ ad totam Perreni orbis molem: hoc autem non esse impossibile, superius ostensum est. Unde cum aurum non sit octuplo densius vitro, ejus quoque materia, ad pro- priam molem, exiguam admodum obtinebit rationem. Hinc ratio reddi potest, cur effluvia magnetica eadem ferè facilitate densum aurum& tenuem aërem pervadunt. ExXx his etiam propositionibus,& ex maximaà lucis celeri- tate, ratio reddi potest, cur Lucis radii ex pluribus objectis prodeuntes& per tenue foramen 1——5„se mutuo non impediunt, sed per eandem rectam in motu suo perseverant: Quod per motum seu impulsum fluidi plenum efficientis vix explicari potest; Corpus enim omnꝰ& Pluribus potentiis, se- cundum Aiver sas directioner, fimul impulsum, unam tautum determinatam directionem accipit eν omnibus compositam. LE e.— — AD VERAM PHVSICAM. LECr. VI. 61 I. CX1IO VI. De Motu, Loco,& Tempore, ö M hactemus de corporum Soliditate, Extensione 25 Divisibilitate. Subtilitate, satis à nobis dictum sit; ad Motum jam, nobilissimam, qua gaudet corpus, affectio- nem, dilucidandum accedimus: quo mediante se prodit natura, cã rerum varietate agentem, quæ videri non sine stupore debet; quo sublato, omnis periret mundi ornatus, & spectabilis pulchritudo; atque horrendæ tenebræ& infi- nitus torpor res ommes occuparent. Ab hoc pendent die- rum& noctium vicissitudines, frigoris& caloris, nivis, Pluviæ& serenitatis, sese mutuo excipientium tanta varie- tas, atque anni tempestates omnes. Per motum crescunt Plantxæ, nutriuntur arbores,& vivunt animalia, cum IPsa Vita non nisi in motu, hoc est, sanguinis circulatione con- sistit. Sed quid singulis enumerandis morer? Cum res omnes ex motu nascuntur. Scientia igitur de Motu, ad rite Philosophandum adeo est necessaria, ut ne vel minimum naturæ Opus absque eo investigari possit. EHinc celebre& verissimum illud Philosophi effatum,.Aααάì½ αιναεαιενν 40 1 Auyneees νιαεεισ πα¹ rν Oen. Iguo ato Motu Naturam enerari necesse est. De motus natura, causis,& communicatione, multum inter se disceptarunt Physici seu potius Metaphysici;& mi- rum est quantas lites, de re satis clara„moverunt;& quæ Idearum confusio, quæe tenebrœ inde subortæ sunt, adeo ut inter disputandi ineptias, naturalis& simplex, quam de ο habuerunt notitia, ipsis elabi videatur. Vix cnimn plebe quemquam, aut rudem artificem inveniemus, qui non plus novit de verà naturà, atque causa motus quam ommnes hi disputantes Philosophi; quorum quidem aliqui eo per- venerunt insaniæ, ut motum omnem tanquam rem impossi- bilem à corporibus sustulerint,& argutias quasdam ö.* 29 8—5 —5„quibus illius imposlibilitatem adstruere lcbi visi unt. 143 Liceat 6² INTIRODUFCT1 — Liceat hic validiora quædam illorum argumenta proserre; & primum sit illud Diodori Croni: Nempę- si corpus mo- veatur, vel movetur in loco quo est, vel in loco quo non est, quorum utrumvis est impossibile; si enim movetur in Ioco quo est, ab illo loco nunquam exiret, adeoque nullus daretur motus: similiter non potest moveri in loco quo non est, quia nihil agit in Ioco quo non est, ergo non omnino movebitur corpus. Respondeo, nec corpus moveri in lo- Co quo est, nec in loco quo non est, sed moveri ę loco in locum. Secundum argumentum est illud Zenonis, quod Achid- Iie nomine insignivit, quo Zeno conatur probare, si da- retur motus, Achillem etsi velocissimum Testudinem ani- malium tardissimam nunquam assecuturum: est autem ejus- modi. Ponatur Achillem à testudine distare per quodvis spatium finitum, v. g. mille passuum, atque cum centies Velocius testudine moveri supponamus: ergo dum Achil- les unum percurrit milliare, testudo milliaris partem unam Centesimam conficiet, adeoque Achilles testudinem non- dum est assecutus;& rursus dum Achilles partem illam milliaris centesimam conficit, testudo interim per milliaris partem decem- millesunam reptabit, adeoque nec adhuc testudinem erit assecutus Achilles. Eodem modo dum A- chilles partem illam milliaris decem-· millesimam decurrit, testudo per milliaris partem millionesimam promovebitur, adeoque nec adhuc testudinem attingere potest: atque sio progredi licebit in infinitum, ½⁶άσ παn potest testudi- nem captare, sed semper erit aliqua inter Achillem& testu- dinem distantia. Famosum est hoc Zenonis argumentum; ad quod solven- dum scripserunt quidam integros tractatus: at nos facillime illius nodum dissolvemus, dicendo milliare una cum milliaris parte centesima, una cum milliaris parte decem millesima, una cum milliaris parte millionesima,& sic in infinitum, quan- titati initœ ëduipollere: hog enim ab Arithmeticis demon- stratum est, quod sumima serięi cujusvis quantitatum in qua- vis proportione Geometrica in infinitum decrescentium, æ- qua- TT AD VERAM DPEVSICAM. LEcr. VI. 63 1 qualis sit quantitati finitæ; sed milliaris pars—, unã cum 100 1 I Palt.— unda Cum parte 10 00⁰0 1 008 C0⁰ „ una cum parte centum millionesima,& sic in infinitum, est se- 100 000 000—* ů ries quantitatum in proportione Geometrica in infinitum de- crescentium, adeoque ilius summa, cum sit æqualis quan- titati finitæ, à mobili cum data velocitate moto, finito in tempore percurri potest. Ponamus enim Achillem spatio unius horæ milliare peragrasse; ergo& partem milliaris cen- tesimam in parte horæœ centesima conficiet,& partem mil- liaris decem-millesimam, in horæ parte decemmillesima per- curret; eodem modo pars milliaris millionesima in parte ho- ræ millionesima peragrabitur,& sic de cæteris. Si igitur hora, una cum horæ parte centesima, una cum horæ parte decem mullesima, una cum horæ parte millionesima,—. 1 —„C&c. in infinitum; si, inquam, summa hujus 100 000 000 serici in infinitum continuatæ infinito temporis spatio Æqui- polleret, certum est Achillem testudinem nunquam esse asle- cuturum in tempore finito: verum cum, ut hactenus dictum I I est, horæ pars— ½.*.— 100 10 000 1 000 000 tatum in proportione Geometrica in infinitum decrescentium, erit illius summa quantitati finitæ æqualis, scil. uni parti ho- ree nonagesimæ nonæ, ut facillime demonstrari potest:& intra illud temporis spatium omnes, utcunque numero infi- niteæe temporis particulæ elabentur. Dicimus igitur Achil- lem testudinem assecuturum post elapsas horam uam& in. finitas illas numero particulas quæ in Prædictâ serie conti- nentur; hoc est, post horam unam& Horæ partem nonage- smam nonam ad testudinem pertinget; atque sic tollitur vis iHlius argumenti, quod tanquàm insolubile toties jactaverunt WMius patroni. „K&c. sit series quanti- E —I10e 6⁴4 INTRODUCTIO Hoc etiam proferri solet contra motum argumentum. Cor- pus A moveatur à Bad C(positis B& C duobus punctis contiguis) in instanti D: cum movetur A supponitur esse in B, adeoque in eo instanti non potest ad C pervenire, quia scil. ponitur esse in B;& in eodem instanti non potest esse in utroque, quia nihil potest esse simul in duobus locis, hoc est, in eodem instanti; adeoque in instanti quo est in B non potest ad Cpervenire: eodem modo in quolibet alio instan- ti non potest ad C pervenire, quia adhuc ponitur in B, adeo- que secundum hujus argumenti authores nunquam ad C per- tinget. 38 Huic argumento facile responderi potest, dicendo A sub mnitio instantis D, esse in B puncto, at in fine in puncto C, oportet enim ut tempus omne, in quo peragitur motus fi- nitus, habeat initium& finem. Sed præterea in allato argumento, non pauca assumpta onuntur, quæ falsa atque impossibilia sunt, v. g. cum duo upponuntur puncta contigua. Si per punctum intelligatur pars indivisibilis seu minima quantitas, talia quidem puncta non dari prius demonstravimus; adeoque si huic hypothesi innitatur argumentum, impossibile erit, ut ullam inferat humano intellectui vim, ad motum convellendum. Si ve- ro per puncta intelligantur ipsa puncta Mathematica, qua- lia EIl unt linearum termini, sectiones,& contactus, hæc equidem ut possibilia agnosco: impossibile tamen erit ut res quævis in iis moveatur; quicquid enim movetur per spa- tium movetur, at punctum Mathematicum alii puncto con- tiguum non potest spatium 5. sed punctum: nam sicut in Arithmetica mille cyphræ, seu nihil millies sum- ptum, nihilo æquipollet; sic in Geometria mille puncta, vel Ctiam infinita simul puncta, quantitatem non component, sed puncto seu non quanto equipollebunt. Unde cum duo puncta contigua tantum puncto æquantur, lubens agnosco non pos- se motum per ea fieri: At iihil inde 0 6 absurdi, mo- tus enim per spatium non tollitur, sed motus per pun- cCum;& absurdum quidem esset si istiusimodi concederetur motus. Quod ———— 2......———————— AD VERXM PEVSICANM. Lrer. VI. G OQuod de punctis diximus, idem potest Instantibus accom- modari, ostendo ut magnitudines omnes, sic etiam tempus esse in infinitum divisibile, adeoque nullam esse temporis particulam quæ proprie instans dici potest, seu punctum temporis; sicut nulla est pars linee quæ cum puncto Geo- metrico coincidit:& ut infinita puncta non lineam compo- nunt, sed punctum, sic etiam infinita instantia, seu tempo- ris puncta, nulli tempori æquantur. Potest quidem spa- tium temporis inter diversa instantia dato tempori æquari, at ipsa instantia nulli tempori æqualia erunt: tempus cnim non ex instantibus, sed ex partibus quæ sunt tempora com- ponitur; nec motus in instanti sed in temporè peragitur. Sed hisce nugis valere jussis, ad institutum revertor. Cum motus de quo acturi sumus sit motus localis, res postulat ut quædam de loco& tempore prius disseramus. ocus distingui solet in internum& externum. Internus lo- cus est spatium quod à corpore locato repletur; externus autem is solus est qui ab Aristotele definitur,& dicitur su- perficies concava corporis ambientis,& locatum continen- L8. Clarius fortasse distinguetur locus, sicut& spatium, in absolutum& relativum. Locus absolutus seu primarius est ea spatii immobilis, permanentis& undique expansi pars, quæ à corpore locato occupatur: locus re ativus seu secun- darius est apparens ille& sensibilis, qui a sensibus nostris ex situ ad alia corpora definitur. Cum enim spatium ipsum sit ens similare& uniforme, cujus partes videri nequeunt,& in sensus à se invicem distingui, ideo convenit ut corporum Oca ad alia corpora referantur,& per distantias& positiones ad alia ista corpora determinentur, v g. Ponamus aliquem in angulo quovis domus alicujus sedere; illius locus per di- stantiam, respectum,& positionem quam habet ad alios angu- 10o5, parietes,& circumstantia COrpora, quæ tanquam immo- bilia spectantur, definietur;& quamdiu quisquam eundem situm& distantiam ab hisce corporibus conservat, tamdiu in eodem manere loco videbitur. Sic etiam si quisquam in na- ve sedeat, sive quiescit navis sive movetur, quamdiu ean- lem 66 PN TRODUCTIO dem servat distantiam ab omnibus navis partibus quæ tan- quam quiescentes spectantur,& eadem manet ad eas omnes positio, idem etiam manebit illius locus relativus. Quod de loco diximus potest etiam spatio similiter appli- cari, scil. illud quoque in absolutum& relativum distingui: absosutum dicimus illud, quod sua natura, absque relatione ad eternum quodvis, semper manet similare& immobile. Relativum autem est quod ad corpora quædam refertur, per que determinatur,& mensuratur; cujus nempe partes ad corpora illa candem semper servant positionem& situm, & quarum distantia ab iis immutata, eadem semper perse- verat. Spatium relativum idem semper magnitudine& figura est cum spatio absoluto, non tamen necesse est ut idem semper numero maneat cum codem: nam in prædicto navis exem- plo, si navis absolute quiescit, in co quidem casu spatium relativum cum absoluto coincidit, non magnitudine& figu- ra tantum, sed etiam& numero: at si ponamus navem mo- veri, spatium absolutum quod intra cavitatem navis conti- netur, erit in diversis locis diversum, at cum ipsa cavitas & figura navis eadem maneat, erit spatii in eã contenti ea- dem semper& irvariata magnitudo, eadem illius figura,& ejus partes similiter sitæ, ad easdem navis partes eandem semper habent positionem& distantiam,& proinde idem spatium relativum dici debet. Sic etiam in hypothesi Terræ motæ, spatium quod intra parietes ædificii continetur, etsi, absolutum seil. spectando, semper mutatur, cum tamen eadem manet&dificii cavitas, eadem figura,& omnes spatii contenti partes similes, ad easdem ædificii partes eundem semper conservant situm imo cum ad spatium aëris nostri relativum, seu etiam ad omnes terre partes, eandem semper obtinent positionem, spatiui illud idem relativum dici potest. Eodem modo& tempus distingui potest in absolutum& relativum. Tempus absolutum&quabiliter fluit, hoc est, mnquam tardius, nunquam velocius procedit, sed absque Ommi relatione ad corporis cujuscunque motum, ꝗquo sem- per AD VERAM PHVSICAM. LEOr. VI. 67 er labitur tenore. Tempus relativum seu apparens est sen- Hbilis durationis cujusvis per motum mensura; cum enim iplius temporis fluxus æquabilis fensus non afficit, advocan- dus est in subsidium motus æquabilis, ut mensura aliqua sensibilis quæ illius quantitatem determinet, cujus partes temporis partibus semper respondeant,& proportionales sint. Motus autem ille uniformis, qui ad mensuram temporis ad- hibendus est, debet esse maxime notabilis, cunctis obvius, & in omnium sensus incurrens, qualis vulgo censetur appa- rens ille Solis& Lunæ,& reliquorum siderum revolutio- nes; per quas tempus partimur in horas, dies, menses,& annos. Et sicut ea tempora æqualia judicamus, quæ præ- terlabuntur dum mobile aliquod æquabili velocitate latum æqualia spatia percurrit, sic æqualia etiam dicenda sunt tem- pora, quæ fluunt dum Sol, vel Luna, revolutiones suas ad sensum æquales peragunt. Verum cum, ut hactenus dictum est, temporis fluxus ac- celerari aut retardari nequit, corpora autem omnia nunc in- citatius nunc segnius moveri possunt, nec fortasse datur in rerum natura motus perfecte æquabilis; necesse est ut tem- pus absolutum sit aliquid à motu vere& realiter distinctum, nec illius natura magis à motu corporum quam ab corun- dem quiete dependet. Ponamus enim Cœlum& sidera ab ipο Mundi exordio immobilia perstitisse, at non ideo sisti potuit temporis cursus, sed illius quiescentis status duratio qualis esset tempori quod jam movendo elapsum est. Præ- terea cum constat ex sacra Historia tempore Josus, Solem in codem Ccœli visibilis puncto, per aliquod tempus immo- tum mansisse; non tamen ideo tempus absolutum perstitit, & cum sole rursus progredi cœpit, sed eodem quo prius celeri præterlabebatur cursu, quamvis omnia horologia scia- terica eandem diei horam, per ommne illud stationis tempus indicabant:& sic quidem substitit tempus apparens ad Solis nempe motum relatum, cum absolutum interim uniformi- ter progrediebatur. Sic ctiam cum& hodie Solis motus apparens uniformis non est, nec ejus revolutio diurna æquabilis erit, ut omnes 1 2 agno- 68 N IROUUCTIO agnoscunt Astronomi; sed aliquando celeriore, aliquando lentiore procedit gradu, ac proinde dies natur alis, 0. Inhtego/, seu spatium temporis una revolutione diurna elapsum, nune minus nunc majus evadet; adeoque tempus apparens non eodem quo tempus absolutum progreditur tenore: unde ut ab illo distinguatur necesse est. Cum tempt us absolutum sit Quantum uniformiter exten- sum& sua natura simplicissimum, potest per magnitudines simplicislimas rite repræsentari, seu imaginationi nostræ pro- poni: quales imprimis Videntur esse rectæ lineæ& circula- res, quibuscum& tempori quædam intercedunt analogiæ. Nam tam temporis, quam rectarum& circularium linca- rum, partes omnes sunt sibi ubique similes& uniformes; & sicut linea per motum seu fluxum puncti generatur, cu- jus quantitas ab unica pendet longitudine per motum deter- minata; sic etiam tempus quodammodo censeri potest in- stantis continuo labentis vestigium, cujus quantitas ab uni- ca profluit velut in longum cxporrecta succesione„quam spatii percursi longitudo demonstrat;,& proinde optime per luxum puncti seu rectam lineam repræsentari potest, quod in sequentibus sæpius fiet. Observandum autem nos per Temporis vocem intelligere spatium illud temporis quo motus transigitur; adeoque cum de rebus Physicis& motu agendum est, rite cum Arisiotele definiri potest, Men fund motus secundum hrius& posterius; non quidem absolutam temporis naturam spectando, sed conncxionem illam quam motus cum eo ha abet, ut cil. mul- lum spatium à mobili in instanti percurri possit, led su ccessi. ve& juxta fluxum temporis omnis motus perag tur qui igitur cum temporis quantitate comparari potest&& ab cjus luxu mensuraxl. 147E⸗ —— * ——.——— 25——*—— 1.* — E 0 2— AD VERAM PEHVSICAM. Læcr. VII. 69 I. 4 4 11 0VII. Hν TNIT I OV S * OT es continue& successiva loci mutatio. II. Celeritas est asfectio motus, quâ mobile datum sha- Eium vn dato temipore percurvrit. III. Oies autem est cor poris cufusvis in eodem loco Fermauen- I2d. Hinc sequitur quietem, motum& celeritatem secundum duplicem loci distinctionem, duplices esse, absolutos scil. & relativos. IV. Motus ahsolutur esi mutatio Ioci absoluti,& illius celemiä tas secundum spatium absolutum mensuratun. V. Quier absoluta est permanentia corporis in eodlem loco ab so- Iuto. VI. Motus relativus esi mutatio Hoci relativi, cusus celeritas secundum spatium relativum mensuratun. VII. Quies vero relalivâ est permanentid cor poris in eodem lo- co relativo. Ex hisce sequitur, Primo, posse aliquem relative quie- scere, qui tamen secundum spatium absolutum vere& ab- solute movetur; v.. Si aliquis in nave sedeat, cum cun- dem retinet locum relativum, eundem servat situm& di- stantiam ad reliquas navis partes, quæ tanquam quiescentes spectantur, ille relative qulescit; cum tamen interea eodem provehitur motu, eadem celeritate,& secundum eandem plagam, qua ipsa navis à ventis defertur; in quo casu, O- mnes navis partes eundem inter se situm servantes spectatori intra navem posito tanquam quiescentes apparebunt:& con- tra, dum ipsa navis movetur, spectatori in navi locato, lit- tora aliaque corpora extra navem circumjacentia moveri vi- debuntur, ea celeritate, at versus contrariam plagam, qua ad ca revera accedit navis, vel ab iisdem recedit. Hujus ap- Parentiæ ratio ex principiis Opticis facile ostenditur Ea. e- nim corpora ut quiescentia videmus, quæ ad ipsum oculum casdem semper servant positiones& distantias; quæ autem 3 mo⸗ 7⁰ 1 TR ODUemnne moveri videmus corpora, ea distantias suas& positiones o- culi respectu mutare deprchendimus; vel ut paulo altius rem deducamus. Cum Optica nos doceat omne corpus quod videtur, ima- ginem suam, ope radiorum à visibili prodeuntium, in ipso fundo oculi seu in retina depictam habere; sequitur, ut ea objecta moveri videantur, quorum imagines in retina mo- ventur; hoc est, quæ diversas retinæ partes successive per- transeunt, dum quis oculum suum immotum supponit: at ea Objecta tanquam quiescentia cernuntur, quorum imagi- nes candem semper occupant retinæ partem, cum scil. ima- ginum motus in oculi fundo non sentitur. Atque hinc est, quod in nave sedentes ipsius navis motuni nom percipiant, omnes quippe navis partes inter se relative quiescentes ean- dem positionem& distantiam quoad oculum servantes, ima- gines suas in iisdem retinæ partibus semper depictas habebunt: carum igitur motus non videbitur: at cum ad littora oculos Vertat spectator, dum ipsa navis movetur, necesse est ut ob- jectum quodlibet externum situm suum oculi respectu mutet, & proinde ejus imago alias atque alias retinæ partes successi- ve Occupabit; hoc est, objectum externum moveri vide- Pitur. O5 eandem rationem, si Perra circa Solem vel suum axem moveatur, illius motus ab ipsius terræ incolis neuti- quam percipietur, cum scil. ædificia& omnia in terra Ob- jecta visibilia iisdem semper terræ partibus insidentia, ean- dem semper inter se& Oculum positionem servabunt; sin astra aliaque orπnia corpora terræ non adhærentia adspician- tur, ëa Ob candem causam, qua prius littora, moveri vide- huntur; hoc est, si terra circa suum axem rotetur ab occi- dente in orientem, Sol& reliqua sidera ab oriente in Occi- dentem moveri conspicientur. Sed Terræ motu paulisper dimisso, ad Navis redeamus; si navis secundum quamcunque directionem fera- tur v. g. versus orientem,& aliquis in prora sedens lapidem versus Occidentem cadem velocitate projiciat, qua ipsa na- vis ad orientem progreditur; lapis in hoc casu spectatori in- tra nayvem moveri videbitur versus occidentem,& ejus 12. 0 E— J K‚. AD VERAM PHVSICAM. LECT. VII. 71 locitas relativa œqualis erit ipsius navis celeritati absolutæ, revera tamen lapis quiescet in fpatio absoluto, abstrabendo à terræ motu& eο ½mmni qui ex gravitate oriri potest. Et si ponamus aliquem extra navem in aëre pendulum, ille lapi- dem quiescentem spectabit; cum vero gravis sit lapis, vi- debit illum perpendiculariter tantum deorsum motum, nec magis versus ortum quam occasum tendentem: vis enim à rojiciente in lapidem impressa nihil aliud agit, quam de- 115 æqualem vim motus, quæ à navi versus contrariam plagam ipsi communicabatur. Moto enim quolibet corpore vel spatio, etiam omnia corpora vel corporum particulæ, intra illud relative quiescentia, eãdem celeritate& secundum eandem plagam moventur. At objiciat aliquis„lapidem èë manu projicientis emissum in ipsam puppim impingere, eique ictum imprimere, adeo- que cum lapis in ipsam puppim irruit, non potest non mo- veri: Respondeo, verum quidem esse eos, qui intra navem versantur, lapidem in puppim irruentem eamque percutien- tem conspicere; at si ponatur aliquis extra navem in aëre pen- dulus; ille non lapidem versus puppim, sed puppim in la- pidem impingentemn videbit;& ictus magnitudo, quæ in u- trovis corpore recipitur, eadem omnino erit ac si navis quie- sceret,& lapis revera versus puppim impelleretur, eadem celeritate, qua puppis ad lapidem accedebat. Si enim duo sint corpora A& B utcunque æqualia vel inœqualia; eadem erit percussionis vis, sive B cum data celeritate in corpus A quiescens impingat; vel si quièscat B,& A eãdem cœ erita- te in ipsum irruit; vel si utrumque corpus versus eandem plagam moveretur,& subsequens A celerius motum in ipsum B impingeret, eadem erit quantitas ictus, ac si B omnino quiescęret& A solum latum esset, differentia celeritatum qua scil. ipsius celeritas celeritatem corporis B superabat; vel de- nique, si tam A quam B versus contrarias partes ferantur, ictus magnitudo eadem fiet, ac si unum quiesceret,& alte- rum motum esset cum ea celeritate, quæ sit summæ priorum velocitatum æqualis. Verbo dicam, eãdem semper manente velocitate relativa corporum, quã ad se invicem accedunt, ca- TIAB. 2. VE. 4* 4 77 INPR 5UCT cadem quoque erit percussionis quantitas, quomodocunque veræ velocitates partitœ sint, ut in sequentibus demonstra- bitur. Sed rursus ad navem redeamus. Si vis, qua lapis à projiciente emittitur, minor sit eà quæ ex navis motu in hoc casu recipitur, lapis ipse revera in e- andem, qua ipsa navis, plagam motu scil. absoluto defere- tur; hoc est, à spectatore, quem extra navem in aëre con- sistentem posuimus, versus Orientem moveri videbitur, ea celeritate, qua celeritas navis celeritatem motus ab impel- lentis dextra impressi superabat; at in ipsa navi sedentihus lapis versus occasum moveri apparebit, eüdem prorsus ce- lcritate, quam à projicientis manu accepit, qua etiàm in puppim inipingere videbitur. Sed si quis in puppi sedens lapidem versus proram proji- ciat„ vVαrus& absolutus illius motus erit versus proram seu Orientem;& à spectatore nostro extra navem pofito ea cele- ritate ferri conspicietur; quæ æqualis sit summæ duarum ce- leritatum, illius scil. quam à projiciente accepit,& illius quæ per motum navis ipsi communicabatur. Heœc omnia hypothesi Terræ motæ possunt applicari. Si enim terra solummodo circa axem suum revolvatur ab occi- dente versus Orientem,& lapis vel globus è tormento pro- jiciatur ad occidentem, ea celeritate qua terra circa axem ver- titur; impetus, quem globus ex tormento recipit, contrari- um impetum, qui ex terra illi imprimebatur, destruet; ad- eoque in spatio absoluto quièsceret globus, secluso motu ex gravitate orto. Nihilominus qui in terræ superficie degunt & una cum ea revolvuntur, lapidem vel globum versus oc- casum celeriter ferri conspicient;& si murus aliquis ejus motui apparenti objiciatur, globum vi eãdem murum fe- rientem videbunt, ac si murus revera quiesceret,& glo- bus contra illum ea celeritate impingeret, quam in eo casu ab explosione reciperet: nam eadem, ut dictum est, erit ictus quantitas, sive globus cum determinata celeritate in murum quiescentem projiciatur, sive murus in globum quiescentem cadem celeritate irruat. Si minor sit vis, quæ in globum per bombardæ explosio- nem ———— AD VERAM PHVSICAM. LECr. VII. 73 nem imprimitur, eã quæ per diurnum motum terræ illi com- municatur, globus revera versus orientem feretur; at quia esus Velocitas minor est ea, qua nos versus orientem revo- vimur, globus à nobis ad occidentem tendere conspicietur; & obstaculum quodeunque ejus motui apparenti Oppositum ca vi ferire videbitur, ac si revera obstaculum in eodem spa- tio absoluto permansisset,& globus in ipsum ca vi, quam a bombarda accepit, impegisset. Si deinceps globus versus orientem explodatur, motus ejus absolutus erit in orientem, & equs velocitas in tantum fuperabit velocitatem, qua ipsa tellus fertur, quanta est ea quæ globo per bombardam im- rimitur, adeoque eã solã velocitatis differentiâ in obstacu- hni quodcunquè irruit,& illud percutiet. Verum universaliter, corporum in dato spatio inclusorum idem erunt motus inter se, idem congressus, eadem percus- sionis vis, sive spatium illud quiescat, sive moveatur uni- formiter in directum. Motu, quicte, celeritate, tam absolutis quam relativis, 3.8 satis explicatis, ad alios terminos definiendos ac- Cedo. VII. Satium percursiuum esti via illa quæ à corpore motu ipsi- uο Heragratur. IX. Illius longitudo est recta illa quæ à centro corporis moti Aescrihitur. X. Directio motus est recta quò tendit mobile. XI. Motus æquabilis fit, quando mobilé eadem semper celeri- gate omnes longitudinis seu spatii percursi partes deséribit. III Motus acceleratus esi cujus velocitas continuo Cxresel. XIII. Motus retardatus est cujus velocitas continuo minuitur. XIV. Motus equabiliter acceleratus esi, cui temporibus sem par eq;uαιιριςε ορααμm⁵ilia aëαεα-ìαιunt velocitatis incrementa. XV. Motus æquabiliter retardatus est, cnjus velocitas tem- Honihus%)Qualibus aας guietem usq; u- achualiter decréscit. XVI. Momentum(quod& quantitas motus, sase etiam fim- Pliciten Motus dict solet) ést potentia seu vis illa cor poribus motis insitꝗ, qud è locis suis chπιtinισ tendunt. K XVII. I. 2. . 4. 74 INTRODUCTIO XVII. Impedimeutum vero esi gnoα motui obstat vel resültit, atnè illum desiruit vel saltém minuit. XVIII. Vis motrix esti potentia ageutis aασάι motum effciendum. XIX. Vis impressa est achio in corpus evercita, adα Vus statum vel motus vel quietis mutandum. Si corpus A quiescat& movendum sit cum data celeri- tate, vis Illa quæ ipsi imprimitur, quaque accepta cum data velocitate moveri incipit, dicitur Vis impressa; in quo ca- su à Vi motrici non nisi in concipiendi modo differt: Ea- dem enim vis quatenus ab agente procedit, dicitur Vis mo- trix,& quatenus à patiente recipitur, dicitur Vis impressa. Sic etiam, si corpus B moveatur, quædam determinata re- quiritur vis ad illius motum minuendum ,„& quædam ct- iam determinata vis necessario habenda est ad illius motum ommino sistendum; quæ cum in corpus B exercetur, Vis impressa dicitur. Non ignoro quosdam Philosophos quantitatem motus ab illius celeritate non distinguere; ea quippe corpora æqua- les motus habere dicunt, quæ æquali celeritate moventur, sive ipsa corpora æqualia sive inæqualia existant, sive unum sit exiguum admodum, alterum vero utcunque magnum, modo eãdem velocitate utrumque corpus latum sit, in utro- que semper eandem motus quantitatem permanere volunt. At non ratio solum, verum& experientia docet motum non modo augeri in ratione velocitatis, sed& etiam in ratione molis seu magnitudinis, positis corporibus homogeneis seu ejusdem speciei; v..— duo corpora A& B, quorum A majus corpus,& B minus;& momentum seu quantitas motus ipfus A non tantum majus erit momento ipsius B, si A velocius feratur ipso B; verum si utrumque æquali ce- leritate feratur, erit vis seu energia, qua corpus majus A fertur, major ea quam habet corpus B ad suum locum mu. tandum; quia scil. vis contraria obstaculi vel impedimenti major requiritur ad sistendum motum majoris corporis.7 quam ea quæ necessaria est ad motum corporis minoris 5 tollendum: quippe, si sit corpus A centum librarum, pondus VCIO ä 53.. ——— 0 D VMERAM PHVSICAM. Lcr. VII. 75 vero ipsius B unius libræ,& si æqualis sit in utroque cor- pore celeritas, vis quam corpus A exercet, quaque obsta- culum quodvis removere conabitur(& proinde vis impedi- menti retinentis& motum illius destruèntis) multo major crit vi motus corporis B, qua scil. impedimentum removc- re nititur;& illius impedimenti vis, quæ necessario requi- ritur ad motum ipsius B destruendum, minor erit vi im- pedimenti quæ sufficiens erit ad motum mobilis A aufe- rendum. Verum in sequentibus Theoremata dabimus, quibus motus quantitas stimari& ejus mensura determi- nari potest. XXVires motrices qgquales funt, quæ similiter agenter&. guales motunm quamtitates in dato teimpore hroducuut. XXI. Vires contrari& sunt guarum lineæ directionis sauut cou- trariæ. XXII. Gravitas est vis forens des sum, que corpora rectd ad rerram tenduut. XXIII. Vis centripeta esi vis illa, qua cor hur aασ pum- ali- quod tauquùm centrum continuo uνgειιι aιαùνα hinc seq ue- tur gravitatem esse vim quaudam centripetam XVV. Per vim centrifugam auten inteldigimus vem, qua con pur aliquod continito urgetur, ut ꝗ centro recεdat. Vires autem hæ semper æstimantur per vires contrarias, que corpora in eodem statu retinere possunt; sic si corpus aliquod filo alligatum circa centrum immobile revolvatur, vis, qua à centro recedere conatur, est Vis centrifuga; a- ctio autem fili renitentis& corpus versus centrum continuo retrahentis, qua fit ut corpus in eodem semper circulo re- tineatur, erit tanquam Vis centripeta vi centrifugæ œqualis, adeoque harum virium una per alteram rite æstimari Ppotest. Sic etiam vis gravitatis alicujus corporis innotescit per vim ipsi contrariam& æqualem, qua ipsius descensus impediri potest. Potest autem vis illa vel esse alterius corporis pon- dus(per mechanicum aliquod instrumentum e g. libram) contrarie agentis; vel vis centrifuga quæ orietur, si corpus IIlud cum certa quadam& determinata velocitate in circulo circa centrum Terræ revovxvatur; vel denique potest esse al- 2 terius 76 INTR0SDUer16 terius corporis firmitudo& resistentia supra quod pondus premens incumbit. XXVV. Ouautitas acceleratrix cujusvis Vis est mensura velo- citatis quam in dato tempore vis illa generat. In eãdem à Terra distantia corpora omnia utcunque inæ- qualium ponderum æquivelociter descendunt,& proinde quales sunt ipsorum vires acceleratrices; in distantiis au- tem inæqualibus inæqualiter, in majori scil. minus, in mi- nore magis, accelerantur. 4. T 0 VIII. INITIS definitionibus, ad res minus claras vel termi- nos minus usitatos explicandos inservientibus, ad Axio- mata physica accedimus. Cum autem philosophiæ natura- lis objectum sint corpora corporumque in se invicem actio- nes,„ quæ non tam facile& distincte eoncipiuntur, quam simplices illæ magnitudinum species de quibus tractat Geo- metria; nollem ut quisquam in materia physica, tam rigida demonstrandi methodo insistat, ut principia demonstratio- num, hoc est, axiomata adeo clara& per se evidentia po- stulet, ac illa sunt quæ in Geometriæ elementis traduntur: talia quidem dari rei natura non permittit. Verum sufficiat si ea adhibeantur, quæ rationi& experientiæ congrua esse deprehendimus, quorum veritas primo quasi intuitu clucet, quæ sibi ipsis fidem apud non obstinatos conciliant,& qui- bus assensum suum nemo denegabit, nisi se omnino Scepti- cum profiteatur. Verum etiam in demonstrationibus, laxiore aliquando ar- gumentationis genere utendum est,& propositiones adhiben- dæ sunt non absolute veræ, sed ad veritatem quam proxime accedentes, e. Cum demonstratur omnes ejusdem Penduli Vihrationes in arcubus circuli minoribus factas, æquidiutur- nas fore. Supponitur arcum circuli parvum ipsiusque chor- dam esse declivitatis& longitudinis ejusdem, quod tamen, si rigidam veritatem spectemus, admittendum non est: at in phyfica, hæc hypothesis tantillum a vero abludit; ut diffe- rentia merito sit negligenda,& discrepantia vibrationum quæ · CX 5 AD VERAM PHVSICAM. LBECr. VII. 77 ex illa differentia oritur omnino insensibilis evadit, uti expe- rientia testatur. Sic etiam insignis Philosophus& Geome- tra D. Gregorius, in Elemeutis Catoptricis& Dioptricis„a- xiorem Geometriam adhibet, lineas& angulos tanquam æ- quales assumendo, qui revera inæquales ad æqualitatem quam proxime accedunt. Atque sic pulcherrima solvit— blemata physica quæ alias intricatissima futura sunt. Sed etiam ipsi Nectono aliquando arridet hec methodus, ut vi- dere est in Prob. 3. lib. 2. Philosophi Naturalis Princip. Math. ö— Si qui vero sint qui contra istiusmodi principia& demon- strationes pertinacem obfirmant animum& propositionihus satis manifestis se expugnari non patiuntur, hos ut supinâ suà ignorantià gaudeant relinquimus, nec dignos esse qui ad veram Physicam admittantur censemus. .. I. I. Non entis aut nihili nullæ suint proprietates aut asfechioncs. II. NIIVum Corhus potest naturaliter in uihilum abire. III. Cmnis mutatio con pori naturali inducta ab agëεute eαterno 5rocedit; corpus enim omue est iners materiæ moles,& uμ lam sibi ipsi mutationem inaucerè valet. IV. Hsjectus sunt causis suis adæquatis proportionales. V. Causæ rerum naturalium e& sunt, quæ& fimplicisfimæ simt, Phanomenis euαplicandir fusffictunt vam Natura met hodo Hen plic Hsim maximée eapeditd semper progreditur; HBijce ceuim operandi modis se melins prodit apientia Piviud. VI. Efectuum naturalium ejusdem generis eœαdem sunt cœusc; ut descensus lapidis& ligni ab eιdem causa procedit; Cae qdem quoquè est causa lucis& caloris in Jole& in igué culi- nari; reslexionis lucis in Terra& Planetir. VIL Ouæ duæ res ita inter se connenæ sunt, ut fose perpetuo comitentun,& quarum und mutatd vel sublat, altera gubogue similiter mutetur vel tollatur, vel harum und alte- ius caus est, vel utraque ab eadem causa communi prove- 7¹⁴εf. Sic si sit Acus magnetica circa axem versatilis, cui Ma- gnes admoycatur& circa candem revolvatur; acus etiam K 3 con- 78 1N T＋ N0Uri continuo eodem tenore movebitur,& si sistatur magnetis motus, subsistet quoque ipsius acus circulatio,& rursus cum ipso magnete revolvi incipiet: unde nemo dubitat quin acus Vertigo ab ipsius magnetis motu dependeat. Sic etiam um fluxus& ressuxus maris in eodem loco semper fiat, scil. cum Luna ad eundem circulum horarium pervenerit,& e- jus motum continuo comitetur; periodus nempe æstuum pe- riodo motuum lunarium ita præcise respondet, ut nulla à tot seculis notata sit aberratio: retardatur enim minutis 48. in ingulos dies;& in syzygiis Lunæ cum Sole semper fit æ- stus maximus, in Quadraturis minimus; unde agnoscendum est maris fluxum à motu Lunæ& ipsius situ respœectu Solis pendere. VIII. Myoto corpore quovis socundum quamcunque Plagam, o- zmnés egusulem particulæ, quæ in ipso velattue quiescunt, éa— eim Velocitatè fumul secunaum eαndem plagam progrediun- rur; hoc et, mote loco relati vo mo vebitur quoque locatum. IX. Æyualest nateriæ quautitates eadem vedociιαιε dαιμìα αφμα liq hahebunt momentæ seu motuum quantitates. Nam momentum cujusque corporis est summa momento- rum omnium particularum corpus illud componentium,& proinde ubi æquales sunt particularum magnitudines& nu- meri, æqualia erunt momenta. X. Vires aquαdes& contrariæ in idem corpus ageutes mutuum effoctum tollunt. XI. A inæqualihus auten S contrariis viribus Producitur motus æquipolleus ecesfui præpollentus. XII. Miotus& viribus conspirantibus, boc est, secundum ean- dem dlirechionem agentibur, productus œquipoller earundem fummé. XIIL. Zyuipollens s vet augeatur vel contrarium minuatun 5et prapollens. Qui mechanice Philosophari volunt duo sequentia adhi- bent Effata. WV. Omnis Materia esi jusdem ubique naturæ, eadem Ha- oet esfentiatia attributæ, stνe in C&lis sit, sive in Terris, Que aphareat sub forma cor foris uidl, sive duri aut alterius cu. Juswis, —————————..———— 4JSJNS=-ES AD VERAM PHVSICAM. LEOr. VIII. 79 jusvir; hoc est, materia cujusvis corporis, e. g. ligus, d materia alterius cujuscis non esentialiter disfert. XV. Diver so autem conporum forma nomn sutint nisi diwersæ modi sicationes ³jusdem materiæ;&S varid particularum corpora componenteum maguitudius, figura, tenturà, Po- sit ionꝰ& cateris modis peudent. XVI. oöie etiam qualitutes seu achiones vel potentiæ quorun- dam cor porum in alia corpora oriuntur solum eανσ priorthus ⁴ffectionihus& motu conjunctim. Ponunt autem Philosophi Materiam esse omnium forma- rum& qualitatum commune substratum, quæ ad omnes se indifferenter habet, cum sit omnium capa&,& eadem sem- per manet sub quibuscunque appareat formis, unde&ã Pe- ripateticis materia prima nuncupatur. Quamvis vero formæ& qualitates ipsi materiæ sunt pror- sus accidentales, ad corpus tamen, quod ex forma& mate- ria simul junctis coalescit, necessario& essentialiter perti- nent; v. g. quamvis materia ligni prorsus sit indifferens ad hanc vel illam formam seu particularum figuram& textu- ram, quibus infinitis modis variatis eadem semper manet; non tamen potest lignum subsistere sine determinata illa par- ticularum modificatione, quæ formam lignei corporis con- slituit, qua sublata perit lignum,& eadem materia in alte- rius generis corpus transit. Quod autem in particularum modificatione forma corporis lignei consistit, patet ubi li- gnum igni immittitur,& materia formã illà privatur: nam per vim ignis dissolvitur particularum nexus& textura,& harum pars quædam in fumum& vapores transit, altera in — cineres reducitur. Multa à Philosophis proferuntur exempla, ut ostendant Varias particularum ejusdem materiæ magnitudines, figuras & texturas, varias producere corporum formas,& ex Va- rüis ctiam ipsarum motu& positione, varias oriri qualitates; quorum aliqua hic adducemus. Primo, cum per calorem solis aquæ particulæ rarefiant, ex mari ad supremum fere aëra sub forma vaporum evehun- tur; at recens hœ²c forma non aliunde provenit quam cx par- tium 8⁰ ANIRODCTTP tium mutato situ: per rarefactionem autem fit, ut aqueæ par- ticulæ plura& patentiora forte contincant in se spatiola, vel Onmino vacua, vel purissimo tantum æthere repleta: unde harum materia majus occupans spatium, quam æqualis ma- teriæ aric& quantitas, aëre redditur minus intensive gravis, & proinde sursum trudetur, codem modo quo suber subaqua demersum: nec unquam consistunt vapores donec ad aërem qusdem gravitatis perveniunt, ubi relative quiescunt„& nubes mille figuras induentes Componunt. Mox ubi per ventorum cursum aër minus gravis redditur, vapores eandem retinentes gravitatem neceslario subsident, & in casu suo per aëris resistentiam condensati,& in minus spatium coacti formam priorem amittunt,& in terram ca- dentes pluviæ speciem recipiunt. Multo maxima hujus pars per fluvios ad mare deducitur, iterum in vapores abitura; pars Vero aliqua terræ se immi- sect,& ibi deposita arborum herbarumque radices& semi- na ingreditur, èe quibus in alias plane& novVas corporum species assurgit. Et eadem quidem pluvialis aqua diversa Corpora componit, prout diversa ingreditur rerum semina, quædam scil. transit in plantagincs, quædam in gramina, aliqua in flores, aliqua in quercus, ornos, fagos„& alias quamplurimas arborum& plantarum species. Nec in cadem planta omnino similaris manet eadem Plu- Via, cum plantæ omnes ex innumeris heterogeneis constent partibus, sic in lino e g. alia est forma radicis, alia cau- lis, alia tenuium fibrarum, alia florum, alia seminis-, a- la capsularum semen continentium. Varia quoque est in eodem lino vasorum structura,(non aliter enimn ac in corpore animato, quælibet planta sua ha- het vasa humorum circulationi inservientia) sed& diversis omnino gaudent hę partes proprietatibus: caulis e. g est cor- pus lignosum& post exsiccationem valde friabile, dum cor- tex seu membranula caulem operiens, ex Oblongis tenuisii- mis& plicabilibus constat fibris varie inter se connexis. Hanc membranam à caule sua separant linifices,& post- quam mille tractaverunt modis, fibras ejus in oblonga con- torquent ——— 2 992..——————. 3*K AD VERAM PHVSICAM. LECOC. VIII. 81 torquent fila; mutataque particularum positione& situ, a- liam sane& longe diversam subeunt fibrillæ formam ab ca, quam in viridi habebant planta. 0.20*** Mox in se convoluta fila, iisdem manentibus particulis ipsorum minimis, glomorum species præbent. Fila hæc varie inter se comnectunt& texunt linteones,& arte suã telas ex illis componunt, quæ vestimenta hominibus præ- bent. Hæœc denique in linteola redacta aquæ immittuntur, & malleis ligneis in mollem quasi pulpam rediguntur, quæ tandem, exsiccato humore aqueo in formam Papyri trans- mutatur, quæ si igni immittatur partim in tenuissimum pulverem, partim in fumum evanescit. At hæ onmes tam multifariæ sub quibus eadem materia apparet formæe, non nisi ex particularum mutata figura, magnitudine& textura proveniunt,& ab his solummodo pendent. Sic si metalla liquantur, ignis vi partium cohærentia dis- solvitur,& particulæ metallicæ à se invicem separatæ ra- pidissimo cientur motu, quo fit ut formam corporis fluidi induant. Hinc etiam(ut videtur) oritur illa salium& metallo- rum in menstruis dissolutio; per fermentationem enim se- parantur partes à se invicem,& in minima resolutæ ipsius fluidi agitantur motu, unde tanquam corpora fluida appa- rebunt. Ex hisce corporum, ipsorumque partium figuris & reliquis modificationibus plurimi oriuntur effectus, plu- rimæ qualitates singulis corporum generibus propriæ, quas perire necesse est fl partium constitutio mutetur. Sic ex ea- dem materia v. ę ferro formantur claves, cultri, limæ, serræ,& alia innumera instrumenta ad varios usus accom- modata, quorum qualitates& effectus ex solis pendent eo- rundem figuris: unde enim clavi potentia sua ad ostium re- serandum, nisi ab ipsius figura, magnitudine,& partium congruitate cum partibus seræ cui immittitur? Unde cuneis & cultris potentia ad corpora findenda? Nonne hanc ex so- la ipsarum figura provenire demonstratum est à Mechanicæ scriptoribus? Unde fiunt motus in Automatis tam regula- 1es, 8² FNINODUC i res, nisi ex rotis inter se dispositis, sibi invicem adaptatis & commissis; unde denique fit, ut per machinas artificia- les tanti effectus producantur? Certè ratio non aliunde quam ab ipsarum fabrica petenda est. Nec minus partium suarum constitutioni& modificationi debent corpora naturalia, quam artificialia: omnes enim ipsorum operationes non nisi ex motu, situ, ordine, figu- ra,& pofitione corpusculorum proveniunt, quibus in quo- vis corpore mutatis, mutantur etiam eo ipso istius corporis qualitates. Si corporis superficies sit scabra& aspera, Lucem in i- psam incidentem undequaque reflectit, propterea quod par- tes superficiales lucem excipientes& remittentes non ommnes in una atque eadem superficièe regulari, sed infinitis fere iis- que diversis locantur planis: unde lucem in varia hœc Pla- na incidentem undiquè etiam reflecti necesse est. Hinc gla- cies, quæ cum integra& polita sit nullius fere est coloris, in partes tamen contusa, seu asperam& angulosam habens superficiem, alba apparet, scil. cum lumen copiose& in o- mnes partes reflectit. Eadem quoque est ratio albescentis aquæ cum in spumam vertitur. Ea autem est plerorumque corporum visibilium structura, ut eorum wwerteies partem radiorum in se incidentem suf⸗ focare, partem remittere possint. Si superficies ita sint com- paratæ, ut omnia radiorum genera æqualiter reflectant vel æqualiter suffocant, erit illorum color vel albus, vel niger, vel subfuscus, inter album& nigrum medius: nam color albus non aliter differt à nigro, quam quod alba corpora plurimos reflectant ornne genus radios, nigra autem Pau- cissimos. Hoc patet ex umbra corporis opaci, que sole lu- cente in parietem album projicitur; pars enim in qua um- bra versatur, cum multo pauciores quam reliquæ omnes excipiat radios, multo pauciores quoque reflectit, adeoque reliquarum respectu nigra apparet. At si Partes iH reliquæ non plures reciperent radios, quam ea ubi umbra projici- tur, tunc ubique idem foret color, nempe albus. tabs sit superficiei textura, ut aliquod radiorum ge- nus 1˙ 5 AD VERAVM PEVSICAM. LEcr. VIII. 83 nus copiosius,& reliqua omnia parcius, reflectat, super- ficiei color ad eum accedet qui ex radiis magis copiose re- llexis oritur; hoc exinde demonstrari potest, quod ejusdem objecti varius erit color, prout varia excipit radiorum ge- cra, reliquis interceptis, ut prinus irvenit sagacissimus Neucutonus. Sic si per trigonum Vitreum radii rubri(sic enim vocitare licet colorem rubrum producentes) in obje- Cum cæruleum projiciantur, objectum suum mutabit colo- rem,& rubrum induet; sin flavos tantum excipiat radios, tunc ejus color in flavedinem vertetur; si cærulei incidant radii, cæœruleus apparebit,& color ille cæteris omnibus co- loribus vividior erit, eo quod horum radiorum multo plu- res reflectit,& pauciores suffocat quam reliquorum. Si superficies corporis sit exacte polita, hoc est, nulla a- speritate& scabritiè impedita,& radios satis consertos re- 25.—— bæc radios ab objecto quovis prodeuntes,& in i- psam incidentes ita reflectet, ut objecti illius imaginem con- spiciendam præbeat:& ob eam causam corpora istiusmodi superficies habentia SHecula vocantur. Si speculum sit pla- num, imago erit objecto æqualis,& pone speculum inve- nietur, ad distantiam æqualem ei quam habet radians ante ipsum, si superficies sit concava sphærica,& objectum ra- dians magis distet ab ipso quam? diametri sphæræœ, imago in aẽre pendula inter radians& speculum apparebit,& iplo quidem objecto minor erit; si radians in centro locetur, ibi quoque erit ejus imago ipsi œqualis; si ultra centrum versus speculum progreditur radians, ita scil. ut major sit ipsius distantia ab cο quam? diametri, imago à speculo ultra cen- trum transcurret,& radiante major erit: cum autem radians ad distantiam æqualem: diametri pervenerit, tum imagi- nis distantia infinita eVadit; si autem tantillo propius àd speculum accedat, imago erit pone speculum ipso radiante major. Omnia hæc tam diversa Phænomena ex sola muta- ta distantia proveniunt, cæteris omnibus in eodem statu ma- nentibus. Videamus jam varios& illos prorsus contrarios effectus. qui ex solo mutato situ seu positione oriuntur, aliis rebus 2 Omni- 8⁴ INTRODUCTIO omnibus in eodem statu existentibus, præter ea quæ ex mu- tatione situs dependent. Omnes jam agnoscunt Philosophi Solem in centro hujus Systematis quiescere, Terram autem, reliquorum planeta- rum instar, circa ipsum spatio annuo deferri; ita autem Terra circa Solem movetur, ut axis ejus non ad orbitæ suæ planum normalis, sed ad ipsum inclinatus angulo 66 r. libi semper parallelus maneat. Et propter hunc paralleli- smum& inclinationem, necesse est, ut PTerra aliquando u- num ipsius polum Soli obvertat, aliquando alterum,& proinde TPerræ partes omnes varios subibunt ad Solem situs. Ex hac situs mutatione dependent omnes illæ tempestatum vicissitudines, quæ singulis annis obveniunt, scil. æstas, hy- ems, ver& autumnus: si enim axis Perræ ad planum suæ orbitæ normalis esset, tunc nullæ forent temporum mutatio- nes„ nullæ dierum& noctium differentiæ, sed quælibet Terræ pars radiorum Solarium æquales vires eodem semper exciperet modo. Cum autem smgulæ Terræ partes Solis respectu situm suum continuo mutent,& cjusdem radios nunc magis obliquos, nunc minus, nunc breviore, nunc diuturniore tempore ex- Cipiant, diversæ& prorsus contrariæ exinde oriuntur pha- ses. Autumno scil. exarescunt segetes,& fructus mature- scunt, paulatim tamen viridem& amœnam faciem depo- nunt campi,& decidunt arboribus folia. Mox ingruente hyeme frigent& horrent omnia, nix tegit alta montes, cu- jus onere depressæ laborant sylvæ; imo quod mirum est, ipsæ maris aquæ stabiles& firmæ redduntur, quodque prius nt navibus tantum penetrabile, nunc exercitus& castra gerit. Terràa autem orbem suum continuo percurrente, quælibet ejus pars Solis respectu situm mutat,& quæ prius aversa, nunc Solem respicere incipit; quod dum fit, diffugiunt ni- ves, redeunt gramina campis,& sua arboribus folia, nec stabulis jam gaudet equus, nec arator igne, sed nova pror- sus& læta apparet rerum facies,& annus per æstatem ad autumnum revertitur. Cum —— AD VERAH PEHVSICAM. Lrer. VIII. 55 Cum jam tot diversi, tot contrarii eveniunt effectus ex sola situs mutatione,& tam Varia ex hac consequantur Phæ- nomena, cœæteris omnibus caufis iisdem manentibus, certe ex positione, distantia, magnitudine, figura& structura partium corpora componentium, ex effluviorum motu& subtilitate, ex corporum congruitate& eorum ad alia cor- ora respectu; ex hisce inquam omnibus varie& infinitis 4510 modis junctis& simul combinatis, infinitæ Rteete dum diversæ provenire possunt corporum formæ, affectio- nes& in se invicem operationes, nec quicquam in Natura con- spiciendum est, quod ex hisce non pendet. Si enim hæc mutentur, mutabuntur simul corporum formæ, qualitates & operationes. e. g. Constat attractiones& directiones Ma- gneticas ex partium structura Oriri; nam si ictu atis Valido magnes percutiatur, quo partium internarum positio mute- tur, mutabitur etiam eo ipso Magnetis Polus. Et si igni immittatur Magnes, quo interna partium structura mutetur vel prorsus destruatur, tunc amittit omnem priorem virtu- tem,& ab aliis vix differt lapidibus. Etiamsi autem generaliter ostensum sit operationes magne- ticas ab interna partium constitutione quodammodo prove- nire, modus tamen operandi, ex mechanicis& intellectu fa- Cillimis principis deductus, non adhuc inventus est. Quod- que nonnulli de effluviis, materia subtili, particulis poris magnetis adaptatis,&c. generaliter prædicant, minime nos ad claram& distinctam harum operationum explicationem deducit: sed omnibus hisce non obstantibus virtutes Magne- ticæ inter Occultas qualitates reponendæ sunt. ExXx dictis sequitur, qualitates corporum quæ à formis non pendent, quæque eãdem manente materiæ quantitate inten- di& remitti nequeunt, sed omnibus insunt corporum gene- ribus in quibus experimenta instituere liceat, esse qualitates omnium corporum universales. Cum enim ex formà seu mo- dificationibus corporum non proveniant, oportet ut ab ipsa dependeant materia: sed cum omnis materiæ cadem sit na- tura,& pars ipsius quævis ab alia non nisi per modos diffe- rat, crunt qualitates ex hisce modis non productæ in omnia materia cœdem. 14. 3 LE. TAh. 2. HE4. 5. 86 ILN.IRODUCITnO In r 0 1IX. Theoremata de Motus Quantitate& Satiis à mobi- Aibus Percursis. H E OR. I. NVcomparaudis corporum motibus, si mobilium quantitates materiæ æqquales siut, erunt momenta seu motuum quantita- tes, ut velocitates. Sint A& B duo mobilia æquales habentia materiæ quanti- tates,& moveatur A celeritate C, B vero celeritate c, dico momentum seu quantitatem motùs in mobili A, esse ad mo- mentum seu quantitatem motuùs in mobili B, ut celeritas C ad celeritatem e: Si enim vis aliqua imprimenda sit cor- pori A, ad illud movendum cum data velocitate C, dupla habenda est vis ad movendum corpus B cum dupla veloci- tate,& tripla adhibenda est vis ad illud movendum cum tripla velocitate,& dimidia tantum vis necessaria est ad mo- vVendum B cum dimidia velocitate,& sic de cæteris multi- plicibus vel submultiplicibus; e. cum(per Axioma quar- tum) effectus sint causis suis adæquatis proportionales, si vis, quæ adhibetur ad corpus B movendum, sit dupla isti- us quæ applicatur ad A movendum, erit quoque illius mo- mentum hujus momenti duplum; si tripla habenda est vis, erit quoque motus corporis B matuùs ipsius A triplus; si di- midia tantum vis corpori B imprimatur, erit ejus momen- tum dimidium momenti ipsius A: hoc est, cum velocitas corporis A sit universaliter ad velocitatem ipsius B, ut vis impressa corpori A ad vim ipsi B impressam;& ut vis im- pressa mobili A ad vim impressam corpori B, ita momen- tum seu quantitas motùs in A ad momentum seu quantita- tem motuùs in B; erit velocitas mobilis A ad velocitatem mo- bilis But motus ipsius A ad motum mobilis B. Q. E. D. Cor. Si momenta sint ut velocitates, erunt quantitates materiæ in corporibus motis æquales. 1 EI OR. II. In comparatis motibus, si celeritates sint qualos, eruut corpo- rum momenta soeu motuum quantitates, ut quauntitates mate- riæ — ⏑— S— F‚·Eeene AD VERXM DPHVSICAM. Lxer. IX. 37 vie in iisdem; vel si mobilia siut homogenea, ut ipsorum ma- nitudines. Sint duo mobilia A& B, quorum utrumque feratur ea- TA. 2. dem celeritate C; dico momentum corporis A esse ad mo- mentum corporis B, ut quantitas materiæ ipsius A ad quan- titatem materiæ ipsius B. Si enim materiæ quantitas in A du- pla sit istius quæ est in B, dividi potest A in duas partes, quarum utralibet tantum habebit materiæ, ac proinde(per Axioma ꝗ) tantum motus, quantum habet B, cum seil. ea- dem velocitate utrumque corpus feratur: adeoque erit mo- mentum corporis A momenti corporis B duplum. Si ma- teriæ quantitas in A tripla sit ejus quæ est in B, dividi po- test A in tres partes, quarum unaquæque habebit motus quan- titatem„ æqualem ei quæ est in B;& universaliter, quam- cunque proportionem habet materia in Aad materiam in B, eandem habebit rationem momentum ipsius A, ad momen- tum ipsius B, si modo eadem velocitate utrumque corpus latum fuerit. Si corpora homogenea sint, erunt quantitates materiæ ut ipsorum magnitudines seu moles, ac proinde ipsorum motus erunt etiam in eadem magnitudinum ratione. Cor. Si momenta sint ut quantitates materiæ, erunt cele- ritates corporum æquales. IHE. OR. III. In comparatis motihus uoumeunque cον poτιπνν, momentorum ratio compouitur ν rationibu, quantitatum materiæ& cele- ̃ratum. Sint duo mobilia quæcunque A& B,& moveatur A cele- ritate C, B vero celeritate ẽ; dico momentum ipsius A esse ad momentum ipsius B, in ratione composita ex ratione quan- titatis materiæ in A ad quantitatem materiæ in B,& ratio- ne celeritatis corporis A ad celeritatem corporis B. Ponatur corpus tertium G, quod materiam habeat æqualem ei quæ est in A, sed moveatur celeritate corporis B. Constat ex Ele- memtis rationem momenti corporis Aad momentum corpo- ris B, compositam esse ex ratione momenti corporis A, ad momentum corporis G,& ratione momenti corporis G ad momen- V. 4. TAB. 2. N. 6. TaB. 2. Vg· 7. 88 K ODUCTI0O momentum corporis B: sed(per Theor. 1.) momentumn corporis A est ad momentum corporis G, ut celeritas C est ad celeritatem ęe;& cum G& B eadem ceœleritate feruntur, momentum corporis G erit ad momentum corporis B, ut ma- teriaœ quantitas in& vel A ad quantitatem materiæ in B. Ideo- que erit quoque momentum corporis A ad momentum cor- poris B, in ratione composita celeritatis Cad celeritatem c, & quantitatis materiæ in A vel Gad quantitatem matęriæ in B.. E.. Cor. I. Si corpora sint homogenea, momentorum ratio erit composita ex ratione magnitudinum& celeritatum. (or.: 2. Si fiat ut A ad B, hoc est, ut materiæ quantitas in A ad quantitatem materiæ in B, ita recta D ad rectam E, & compleantur rectangula sub D& C,& sub E& c, erit momentum mobilis A ad momentum mobilis B, ut rectan- gulum DC ad rectangulum Ec. Nam quia est ut A ad B ita D ad E, erit ratio composita ex rationibus A ad B& Cadc, æqualis rationi compositæ ex rationibus D ad E& Cade; sed(per 23. EI. 6.) ratio composita ex rationibus D ad E& C ad c, æqualis est ratio- ni rectanguli DC ad rectangulum Ec:&(per Theor. hoc tertium) ratio momenti mobilis A ad momentum mobilis B æqualis est rationi compositæ ex rationibus A ad B seu D ad E& C ad e; quare erit ut rectangulum DC ad rectangulum ECα, ita momentum mobilis A ad momentum mobilis B. Cujusvis igitur corporis momentum considerari potest tan- quam rectangulum factum ex ductu molis, vel quantitatis materiæ in eodem contentæ, in ejusdem celeritatem. Cor. 3. Quare quæcunque demonstrata sunt de horum rectangulorum proportione, eadem quoquè vera erunt de corporum momentis hisce rectangulis proportionalibus; v.g. Si sit ut D ad E, vel ut A ad B, ita cad C, erunt in eo ca- su mobilium momenta æqualia; rectangula enim parallelo- gramma latera reciproce proportionalia habentia sunt æqua- lia(per 14. El. 6.)& e contra, si rectangula sint æqua- lia, erunt latera reciproce proportionalia; hoc est, si quan- titates ateriæ, seu in corporibus ejusdem generis, eorun- dem AD VERAM PHVSICAM. LECT. IX. 89 dem magnitudines, sint celeritatibus reciproce proportiona- les, erunt momenta æqualia;& conversim, si momenta sint æqualia, erit ut materiæ quantitas in uno ad quantitatem materiæ in altero, ita reciproce hujus celeritas ad illius ce- leritatem; hine etiam demonstratur sequens I IVX. In comparatis motibus, celeritatum ratio componitur eπ ratio. ne directa momentorum S& reciproca quantitatum matemiæ&. Sint duo mobilia A&B,& feratur A celeritate C, B ve- ro celeritate c. Dico esse Cad. hoc est, celeritatem uni- us A ad celeritatem alterius B, in ratione directa momenti corporis A ad momentum corporis B,& ratione reciproca materiæ in A ad materiam in B. Fiat ut A ad B, ita recta Tab. 25 • TabB. 2. EI ad rectam KG,;& fiat ILæqualis C, GH vero æqualis Vs. 9· c,;& compleantur rectangula EL, EH. Per superius dicta, rectangula EL, KH repræsentabunt momenta mobilium A & B respective; ad GH applicetur rectangulum HN æquale rectangulo EL. Cum igitur HNæquale sit EL, erit(per 16. El. 6.) ILad GH, ut GNad EI; sed ratio GNad El æqualis est rationi GNad GK,& GK ad EI; hoc est, æ- qualis rationibus rectanguli HN vel EL ad KH rectangulum, & GK ad EI: quare erit celeritas C vel IL ad celeritatem cvel GH, in ratione composita ex ratione momenti EL ad momentum KH,& materiæ GK ad materiam El; hoc est, velocitas cujusque corporis semper est ut illius momentum applicatum ad ejusdem materiam. Q. E. D. Simili prorsus ratiocinio colligitur, corporis cujusque ma- teriam esse semper ut momentum ad ejusdem velocitatem applicatum. Atque hæc de corporum momentis. De proportionè spa- tiorum a mobilibus emensorum sequentia etiam vulgo de- monstrantur Theoremata. Talk.OR. V. In con baratir motibun, si mohilinm celeritates sint quales, e- uu spatia ab illir percum sa directe ut tempora quibus pera- guutur motus. 3 Percurrat mobile longitudinem Ahf tempore P, motu æ- Quad- TAB. 2. fg. 10 PaAB. 2. . II. 9⁰ 1 1 RK DUCTIO quabili& uniformi; item idem vel aliud mobile eadem ve- Iocitate latum percurrat longitudinem CD, tempore 1 dico ineam AB esse ad lineam CD, ut Tempus T ad tempus 4. Ztenim si tempus T sit duplum ipsius 7, potest illud divi- di in duas partes, quarum unaquæque æqualis erit 7, adeo- que singula spatia, æqualibus hisce temporis partibus, ea- dem celeritate percursa, æqualia erunt spatio percurso in tempore 7;& duo spatia simul sumpta spatii tempore? Per- cursi dupla erunt: eodem modo, si T sit triplum ipsius 7, dividi potest in tres partes æquales,& spatia singulis hisce temporibus percursa æqualia erunt spatio tempore? percur- so; ac proinde tria spatia simul sumpta spatii temporę/ Per- cursi tripla erunt. Idem de aliis multiplicibus& submulti⸗- plicibus ostendi potest; quare umversaliter, quamceunque proportionem habet T ad 7, eandem habebit spatium per- curfum AB ad spatium percursum CD. Q. E. D. Cor. Si tempora sint ut spatia percursa, celeritates sunt æquales. THEO R. VI. In comparatis motibus, si motuum tempora æqualiq sint, spa. tia percur sa erunt ut celeritates. Percurrat mobile aliquod in dato tempore longitudinem AB, celeritate C;& in eodem vel æquali tempore, percur- rat idem vel aliud mobile longitudinem DE, celeritate, dico lineam AB esse ad lineam DE, ut celeritas C est ad celeritatem. Si enim celeritas C sit dupla ipsius 4, er i spatium AB percursum celeritate C duplum spatii DE per- cursi celeritate c; si celeritas C sit tripla ipsius c, er it quo- que AB longitudo ipsius DE longitudinis tripla; si C sit di- midia ipsius e, erit AB ipsius DE dimidia:& universaliter, cum æqualia tempora in percurrendis lineis insumantur, quamcumque proportionem habet celeritas C ad celeritatem , eandem habebit longitudo percursa ABE ad longitudinem percursam DE. Q. E. D. Cor. Si celeritates sint ut spatia percursa, tempora erunt æqualia. Poterant duo prima Theoremata, item quintum& 9 ex —j————————ñß7ꝛ2—2—2442———— AD VERXM PEHVSICAM. LEOr. X. 9 sextum, universaliter per æequimultiplicia, Euclidis metho- do, demonstrari; verum cum per se adeo clara sint ut inter Ariomata reponi possint, vix tanto demonstrationis appa- ratu indigent. PTIE. O VII. Leugitudines percun sæœ sunt in ratione composita e* rationibur remporum& celeritatum. Sit linea ABE peragrata celeritate C, tempore P;&linea Tan. 2. DE celeritate c, tempore 7; dico rationen: AE ad DE com- F. i. positam esse ex ratione celeritatis C ad celeritatem c,& ra- tione temporis Tad tempus F. Ponatur linea EG percurri ͤ tempore P, celeritate c, constat AB esse ad E, in ratione composita ex rationibus AB ad FG,& FGsad DE. Sed quia e AB&FG eodem tempore percurruntur; erit AB ad FG, ut celeritas Cad celeritatem c, cum vero mobilia eadem celeri- tate describunt lineas FG& DE; erit(per Theor. 6.) FG ad DE, ut T tempus ad? tempus; quare cum ratio RB ad DE componitur ex rationibus AB ad FG,& FGad DE, erit etiam composita ex rationibus quæ sunt hisce rationi- . bus æquales, nempe ex ratione celeritatis Cad celeritatem ,& temporis Tad tempus 2. 0 Cor. I. Si fiat HK æqualis C, HI æqualis T, item MNTAB. 2; . æqualis c,& MO æqualis 2,& compleantur rectangula pa- He. 1. rallelogramma HL, MP; erit ABad UE, ut rectangulum HL . ad MP rectangulum; nam(per 23. El. G.) est PeetWtrn L ad rectangulum MP, in ratione composita ex rationibus HK ad MN,&HIad MO, sed(per præcedens Theorema) spatium percursum AB est ad spatium percursum DE, in ra- tione ex iisdem rationibus composita; unde spatia hæc per- cursa considerari possunt, tanquam rectangula facta ex tem- poribus in celeritates ductis. 0 Cor. 2. Si igitur spatia percursa sint æqualia, erit quoque i rectangulum sub celeritate& tempore quibus unum spatium transigitur, æquale rectangulo sub celeritate& tempore, qui- — bus alterum peragratur spatium,& proinde erit ut celeritas ad celeritatem, ita reciproce tempus ad tempus(per 14. 106—M2 EI. (Eex Tan. 2. Hg. 14. 92 INTRODUCTIO EII. 6.) hoc est, si spatia percursa sint æqualia, empora e runt reciproce ut celeritates. l. In comparatis motibus, temporum ratio compouitur νπ direeει ratioune lougitudinum,& reciproca celeritatum. ILbeorema hoc demonstrari potest eodem modo ex præ- cedenti, quo quartum sequitur ex tertio; perspicuitatis au- tem gratia sic breviter ostenditur. Percurratur tempore T longitudo AB, Ccleritate C; item tempore? longitudo DE percurratur, celeritate c, dico tempus P esse ad tempus 7 in ratione composita ex directa ratione longitudinis AB ad longitudinem DE,& reciproca celeritatis Cad celeritatem c. Sit K tempus quo percurri potest longitudo AB cum celeri- tate c. erit ratio temporis Tad tempus 7 composita ex ra- tione Pad K,& K ad?; sed(per Corol. præcedentis Theor.) est ut Tad K ita c ad C(cum idem spatium utroque tem- pore percurritur)& ut K ad 2, ita(per Cor. Theor. 5.) longitudo AB ad longitudinem DE; quare erit T ad 7 in ratione composita celeritatis c ad celeritatem C,& longitu- dinis AB ad longitudinem DE,; hoc est, tempora sunt in ratione composita ex reciproca celeritatum& directa lon- gitudinum. Q. E. D. Eodem modo ostenditur, celeritates esse in ratione di- rectã longitudinum,& reciprocà temporum. Cor. I. Atque hinc sequitur, tempus esse ut spatium per- cursum applicatum ad celeritatem. Cor. 2. Celeritas quoque est ut spatium percursum appli- catum ad tempus. Theorema tertium& septimum demonstrari possunt ex universali hoc theoremate, nempe: Si effectus aliqui ex pluribus simul causis pendeant, ita scil. ut augeantur vel diminuantur in cadem ratione, qua augetur aut diminuitur causarum aliqua; erunt effechus il- li in ratione causarum omnium composita; hoc est, si cau- se A, B, C simul agentes producant effectum E, qui cœteris iisdem manentibus semper est ut causarum quævis; & aliæ causæ 4,, c, prioribus respective similes& si- I —**.—... AD WRAM PHXSICANM. Lxcr. K. 93 militer agentes, producant eflecbum e; erit ut E ad e ita AB* C ad aαανα. Quod eãdem fere methodo, quam in præcedentibus demonstrationibus adhibuimus, facile o- stendi potest. Ad eundem modum, si idem effectus ex pluribus rebus simul pendeat, quarum aliquæ eundem adjuvant vel au⸗- gent in ea ratione qua ipsæ augentur, aliquæ Vero impedi- unt vel minuunt m eadem ratione qua augentur; erit ef- fectus semper directe ut causæ adjuvantes,& reciproce ut agentes impedientes vel minuentes. Theorema septimum stylo Neusetonianç sic demonstratur. Data celeritate, spatium percur sum est ut tempus;& dato tempore, spatium percus sum est ut celeritas; quare neutro eorum dato, est ut celeritas& tempus conjunctim. Sic etiam Theorema octavum ostenditur, Data celeritate, tempus est directe ut spatium percunsum; G dato spatio, tempus st reciproct ut celeritas; quare neutro dato, tempus erit directe ut spatium& reciproce ut cele- yITay. Similiter Theorema tertium& quartum exponi possunt, atque hanc methodum nos etiam brevitati studentes inter- dum usurpabimus. E.Ki,e E6. NDemonstrationibus præcedenti Lectione adhibitis me- thodum exposuimus, qua res Physicæœ ad Geometriam primo, deinde ad Arithmeticam reducendæ sunt; cum enim Ibi demonstratur corporum motus esse ut rectangula sub ipso- rum celeritate& materia, ex datis cujusvis corporis mate- ria& celeritate, dabitur ejusdem momentum; æquale scil. Jacto ex celeritate corporis in ejusdem quantitatem materiæ, v. g. sit corpus A Octo partium, B vero partium sex, cele- ritas ipsius A ut 5,& corporis B celeritas ut 3; erit motus corporis A quadraginta partium,& motus corporis B par- tium tantum octodecim. Ita ex datis corporis cujusvis nοmento& materia, inno- tescet quoque illius celeritag; netpe si dividatur momen- tum per ipsius materiam, quotiens exhibebit cjusdem velo- 3 Ccita- 94 INTRODUCTIO citatem; sit enim motus in corpore A partium 40,& ejus materia octo partium; sit etiam motus in corpore B partium Octodecim,& illius materia partium 6, dividendo quadra- ginta per octo, quotiens quinque exhibebit, velocitatem so. Modilis A;& dividendo octodecim per 6, quotiens tria da- bit, velocitatem mobilis B. Cum per exempla res magis elucescunt,& numeri sem- per ad praxin sunt advocandi, ut tyrones se melius illis ad- fuescant; licebit nobis scientiam de motu per numeros quan- doque illustrare,& Arithmeticam tam speciosam quam nu- merosam adhibere; ex speciosa enim Arithmetica eruuntur canones quidem generales, qui postea ad numeros particu- lares sunt applicandi. Sic denotet A materiam in quovis dato corpore A, Cve- ro ejusdem celeritatem, atque ipsius momentum vocetur M, vel potius hæ literæ denotent numeros quantitatibus illis M. ⁵ÿM proportionales; erit CάρM&C& K 1 Similiter cum spatium percursum sit semper rectangulo sub celeritate& tempore proportionale; si spatium dicatur S, 8 8 tempus T& celeritas C, erit SCνT&C—5& 18& A*S proinde cum sit MAC, erit quoque—M— Vel si T detur, erit MAS; hoc est, cujusque corporis mo- mentum est ut ipsius materia ducta in spatium ab ipso in da⸗ to tempore percursum. Alia quamplurima hisce similia, quæ nonnulli pro motus legibus Venditant, ex hactenus de- monstratis deduci possunt; at cum ea omma tyro quivis fa- cile per se eruere potest, non opus est ut hic proferantur. Ex supra demonstratis constat, momentum corporis cu- juscunque oriri ex motu partium singularium; nam singulis corporis particulis inest impetus seu vis movendi,& ex ha- rum virium summa componitur impetus seu quantitas mo- tus totius corporis. x Hinc etiam colligitur, quod quo major corporibus insit materiæ quantitas, eo major adhibenda sit vis ad ea corpo- ra —9.——.—t˖.—ß7— π—ἀ— 86r² g AD VERAM PHVSICANM. LEcr. X. 95 ra cum datã velocitate movenda,& eorum proinde momen- ta eadem ratione majora erunt; si igitur sint duo corpora ed- dem velocitate lata, erunt quantitates materiæ in ipsis sem- per ut eorundem momenta; adeoque si corpora mole æqua- lia& æquivelocia inæqualia habuerint momenta, necesse est, ut in illis inæquales quoque sint materiæ quantitates:& quod minus habet momenti, plures habebit poros seu spa- tia, vel omnino vacua, vel materia aliqua repleta, quæ non participat de motu totius corporis cujus Poros implere sup- ponitur. Sic, e. g. si fiant duo globi suberis& plumbi, e- jusdem magnitudinis,& uterque eadem velocitate movca- tur; cum experientia notum sit momentum unius musto ma- jus esse momento alterius, necesse est ut multo plures sint pori in uno quam in altero, quos vel omnino vacuos esse concedendum est, vel dicendum eos materia aliqua subti- lislima repletos esse, quæ ita libere potest ejusdem poros permeare, ut de motu corporis cujus poros oëcupat non par- ticipet. 201 Ut autem materia illa libere possit aliorum corporum po- ros permeare, nec de ipsorum motu participare, oportet ut ommia corpora omnes suos poros secundum rectas lineas di- rectioni motus parallelas extensas habeant; ut scil. nullæ fiant reflectiones materiæ subtilis contra pororum latera: alio- quin una cum ipso corpore movebitur materia etiamsi subti- lissima, quæ ipsius poros replere supponitur. Non potest igitur materia subtilis de corporis motu non participare, nisi corpus motum ita disponatur, ut poros suos directioni mo- tus parallelos habeat. Cum autem infiitis aliis modis ipsius situs variari potest; hoc est, possunt pororum longitudines in infinitis angulis ad lineam directionis inelinari,& proin- de illis omnibus positis, moto corpore, una movebitur ma- teria subtilis in ipsius poris locata: non igitur potest materia subtilis ita corporum poros libere permeare quin de ipsorum motu participet; ac proinde moto corpore, movebitur quo- 811 materia intra ipsum contenta quantumvis subtilis sit. di igitur suber moveatur, secum quoque deferet materiam m ejus poris contentam; adeoque cum minus habet momen- ti X 96 PN IR OD CT16 ti quam globus plumbeus ejusdem magnitudinis eadem ve- locitate latus, minor erit in subere materiæ copia,& proin- de plures pori seu spatia absolute vacua. Ex demonstratis etiam deducitur sequens Theorema. 1 E K Pondera corporum omuium sensibilium uxta Lerræ super ficiem, sunt quantitatibus materiæ in tisdem proporFiomalig. Nam, ut multiplici pendulorum experientia constat, cor- U pora omnia vi gravitatis perpendiculariter cadentia(abstra- hendo aëris resistentiam) æqualia spatia in iisdem tempori- bus percurrunt. Nam in vacuo seu medio non resistenti, non plus temporis impendent in descendendo minutissima quævis plumula, quam ponderosum plumbum; adeoque omnium corporum in dato tempore cadentium velocitates sunt æquales; erunt igitur eorum momenta quantitatibus materiæ in isdem proportionalia; verum vires motum ge- nerantes sunt semper motibus seu momentis generatis pro- portionales,& proinde in hoc casu erunt ut quantitates mate- riæ in corporibus motis; sunt autem vires quæ motus illos generant ipsœ corporum gravitationes, hoc est, pondera. O- nmium igitur corporum pondera sunt quantitatibus materiæ, quæ in corporibus sunt, proportionalia. Q. E. D. Cyr. 1. Corporis igitur cujusvis pondus, ex aucta solum- modo vel dinunuta materiæ quantitate, augetur vel dimi- nuitur. Cor. 2. Quare eadem manente materiæ quantitate in cor- pore quovis dato, idem quoque manebit ejusdem pondus, & quomodocunquè variatur ejusdem figura vel textura par- ticularum corpus illud componentium, pondus tamen ipsi- us non mutabitur: adeoque nullius corporis pondus ab ejus sorma seu textura pendet. Cum(per Axioma 14.) Natura cujuscunque materiæ sit eadem, nec unum corpus ab alio differat, nisi modaliter, per partium figuram, situm& alias istiusmodi formas; erunt corporum affectiones, quæ ab illorum formis non pendent, in omnibus corporibus αdem; adeoque cum(uti dictum est) corporum pondera ab illorum formis non oriantur, sed 4 AD VERAM PHVSICAM. Lror. X. 97 à waterixæ quantitate pendeant, in œqualibus materiæ quam- titatibus, in eadem à terræ distantia, æquales erunt versus terram gravitationes; si vero duorum corporum pondera sint inæqualia, inæquales quoque erunt in s materie quam. titates. bonamus jam duos globos, plumbi scil.& suberis, æqua- lium magnitudinum; si in utroque eadem eslet materie quantitas,(per jam ostensa) utrumque corpus æqualiter ponderaret; nam materia subtilissima poros suberis occupans eque ponderaret ac materia plumbi ipsi æqualis; cum vero magnum sit in duobus hisce globis ponderum discrunen, magnum quoque erit in iisdem materiœ discrimen;& si plurnbum subere sit triplo gravius, triplo quoque major erit in plumbo contenta materia, quam in subere; adeoque plu- res erunt in plumbo pori seu plura spatia absolute vacua. Vacuum igitur non tantum possibile est, sed& actu datur; quod erat probandum. At hic sequitur materiæ quantita- tem in quovis corpore rite per ipsius gravitatem æstimari posse. Cum momentum augeri possit, tam ex aucta materiæ quantitate, eadem manente velocitate, quam ex aucta ve- locitate, eadem wmanente materia, Veteres(quos vis pul- veris pyrii ad corpora celeriter movenda latebat) machinis ad hostium muros diruendos ita comparatis utebantur, ut ingens materiæ moles, etsi non magna velocitate, vehe- menti tamen impetu muros concuteret; at hodie per explo- sionem pulveris pyrii ex tormentis bellicis magna velocitate parvi globuli impelluntur. Quamvis autem veterum machi- næ bellicæ hodièernis multum cedant, ipsarum tamen vis ad muros evertendos incredibilis fere fuit: arietes enim ex in- gentibus trabibus sibi invicem commissis compositi erant; quorum pondus vel hinc æstimari potest, quod sc. ipsorum aliqui sex hominum millibus(ut alii sc. aliis succederent) ad ipsos dirigendos& motum iis imprimendum indigebant; ca pars, qua murum percutiebant, gravi ferro confolidata fuit,& ex funibus ita dependebant(Arietes compositos in- telligo) ut ipsorum longitudines essent parallelæ; unde 98 INERODUOTIO unde magna virorum manu retrorsum acti, statim suaà gra. vitate& hominum viribus simul agentibus antrorsum pulsi prominenti ferro muros quatiebant;& teste Vosepho, nullæ fuerunt turres tam valide, aut inœnia tam lata, quæ asli- duas ipsorum plagas potuerunt sustinere. in machinis, quæ per circumgyrationes rotarum ponde- ra elevant, aliquando per additionem plumbi rotæ gravio- res redduntur; ut scil. major materiæ copia majorem impe- tum seu motus quantitatem suscipiat; per quam resistentiæ, tam ex aëre quam e materiæ frictione ortæ, melius resista- tur,& diutius conservetur motus, qui proinde semel in- ceptus facile continuabitur. Ab eodem quoque pendet principio, quod lanifices in nendo, fusis suis versorlis graves turbines imponunt, ut gy- rationes diutius perscverent. Cum scil. motus pars per resi- stentiam aëris amissa, ad motum ex materiæ additione au- Ctum, minorem habeat rationem, quam est ea quam habe- ret ad motum non auctum. EX prædictis ctiam solvitur sequens problema. . Invenire velocitatem, quæ datum corpus movendum est, ita ur hahent momentum æq³ale momento cuivis dato. T.. Sit datum corpus A, cujus momentum æquale debet esse Hg. 8. momento corporis B moti celeritate c, fiat ut Aad B ita ce- leritas C ad aliam C; hæc erit velocitas quæsita, qua scil. si moveatur A, ejus momentum æquale erit momento corporis B, uti liquet ex Corol. tertio Theorematis tertii. CoOrpo- rum cnim momenta sunt æqualia, si celeritates sint ipsis cor- poribus reciproce proportionales; sed ex hypothesi, est ce- leritas corporis Bad celeritatem corporis A, ut corpus A ad corpus B; unde erit momentum corporis A æquale momen- to corporis B. Q. E. I. Atque hinc sequitur corpus quodcunque parvum posse ha- bere momentum æquale momento corporis utcunque ma- gni, quod cum data velocitate movetur. EXx hoc principio pendent vires omnes machinarum, quæ ad corpora trahen- AD VERAMH PHVSICAM. Lxcr. X. 99 da vel elevanda fabricantur; nempe si machinæ ita dispo- nantur, ut potentiæ velocitas ad ponderis sit ut pondus ad potentiam: eo inquam casu potentia pondus sustinebit. Li- ceat hoc in quinque simplicioribus Instrumentis Mechanicis ostendere. Et primo in Vecte, quem hic consideramus tan- quam lineam inflexilem, sive rectam, sive curvam, sive ex pluribus rectis compositam, circa punctum immobile versa- tilem, gravitatis quidem expertem, ponderibus tamen su- stinendis vel levandis accommodatam. Punctum immobile quo sustinetur& circa quod rotatur Vectis ejus Fulcrum vocatur. IHE OR.&. Cit AB Vectis circa Fulerum C tautum rotabilis; erit sæ. tium quod ab unoquoque ipsiur puncto describitun, ut&us QVistantia fulero. Nam movcatur vectis e situ ACB ad situm à C, pun- Tan. 2. ctum A describet peripheriam A, B vero percurret peri-V. 15. pheriam B, sed propter sectores ACa, BCó similes, est Aa ad B ut AC ad BC, hoc est, spatia à punctis A& B descripta, sunt ut ipsorum à fulero distantiæ. Si punctis A& B applicentur potentiæ vectis brachia perpendiculariter trahentes; spatia quæ ab ipsis describuntur secundum vel contra propensiones suas, non sunt peripheriæ Ae, BY, sed perpendiculares E, E in vectis brachia demissæ: nam po- tentia in A per spatium F tantum& non amplius progres.- sa est secundum directionem vel propensionem propriam, sicut ob eandem causam, via à potentia B percursa secun- dum propriam directionem æstimanda est Per E. Sed ob æquiangula triangula 2CF, CE est 4 H ad E ut 2C vel AC ad C vel BC, hoc est, vie à potentiis secun- dum proprias directiones percursæ erunt ut ipsarum à fulero distantiæ. Quod si directio potentiæ non sit recta ad vectis brachium Tan. 2. AC perpendicularis, ducenda est à fulcro in lineam dire- V. 16. ctionis, perpendicularis CG,& spatium à potentia secun- dum ipsius propensionem descriptum, erit perpendiculari illi proportionale; nihil enim refert utrum filum FGA 5El — quod 10⁰ 1 HRODE in quod potentia agit, aslixum sit puncto 6 vel A, vel ctiam puncto D; eadem quippe manente directionis linea, eadem crit ipsius vis ad circumrotandum planum ADC ac si pun- cto 6 afligeretur filum,& via ab ipsa, in dato tempore, secundum propriam directionem, descripta, proportionalis est rectæœ CG. Quare patet in omni casu, viam à potentia quavis secundum directionem propriam descriptam propor- tionalem esse distantiæ linee directionis à fulcro. I. b E.R. AI. In vecte vis motrix sen potentia quæ aασ pendus eam Habet ra— giouem, quam distantia lineæ directionis ponderis& fuleno, habet ad distautiam diréctionis potentiæ fuleroe, pondus sustiubbit; àα proiuαιe tantillum aucta pondus 1eνοααιt. Constat ex præcedente, spatia quæ à potentia& ponde- re secundum vel contra propensiones proprias describuntur, proportionalia esse distantiis lineæ directionum à fulcro; sed velocitates sunt hisce spatiis proportionales, ac proinde di- stantiis quoque proportionales erunt: Si igitur sit potentia P ad pondus Qut CO distantia directionis ponderis à ful- cro ad CA distantiam directionis potentiæ à fulero, poten- tia erit ad pondus, ut velocitas ponderis ad velocitatem po- tentiæ; erit igitur per Cor. 3. Theor. 3. momentum po- tentiæ æquale momento ponderis; ac proinde potentia pon- deri æquipollebit; quod si tantillum augeatur potentia pon- dus elevabit. Q. E. D. ö Hince patet ratio, cur in Statera, Romana vulgo dicta, unico appendiculo vel sacomate diversorum corporum pon- dera examinantur. Est enim machina hæc Vectis inæquali- um brachiorum, porrecto nempe ab axe motus,(qui& ais œquilibrii esse debet) brachiorum altero in certam Jon- gitudinem, puta unius pollicis aut minorem; in altero bra- chio quantumvis porrecto, distinguunt partes ipsi CA lon- gitudine æquales quot opus videbitur, numeris 1. 2. 3. 4. 5. &c. designatas. Appenso itaque pondere explorando ex A, pondus datum seu notum P ex brachio contrario dependens a centro motus removendo& admovendo, explorant in qua distantia fiat æquilibrium, atque invento v. pondus P 5 2* ——4 62„422 AD VERAM PHVSICAM. LECr. X. 101 distantia 8 ponderi Qin A æquiponderare, hinc colligunt (propter pondera distantiis reciproce proportionalia,) pon- dus Qponderis P noti octuplum esse. Deyin. Auem in Neritrochio vocant, Instrumentum Me— chanicum, ponderibus levandis aptum; in quo cylindrus (quem Axem vocant) fulcris per extrema sustinetur, cir- cumpositum habens tympanum(quod Peritrochium vocant) in cujus ambitu scytalæ infiguntur, quibus applicata vis Pe- ritrochium una cum axe vertit, circa quem convoluti funes onus clevant. THEO RK. XII. In Axe cum Peritrochio(& machinis cognatis quarum eadem est ratio) Vis motrix quæ ad pondus sustinendum eam ratio- nem habet, quam perimeter axie cui aphlicatur pondue ⁴α Herimetrum orbis extimi cui applicatur vis, ponderi qαμιpοα lahit; qu? itaque tantillum autte pondus ιevalit. Ex fabrica machinæ patet, in una ipsius conversione tan- tundem elevari pondus appensum P, quantum funis tracto- rii illud est quod axem semel circumplicat; quod itaque il- lius ambitui æquale supponitur; unaque tantundem proce- dere potentiam scytalæ extremitati applicatam, quantus est extimi orbis ambitus à potentia eadem machinæ revolutione descriptus;(hoc est, spatium à potentia eodem tempore percursum æquale esse orbis extimi ambitui) adœoque velo- citates potentiæ& ponderis, quæ sunt ut spatia simul per- cursa, erunt ut perimeter orbis extimi& perimeter axis. Quare si sit pondus ad potentiam, ut perimeter orbis exti- mi ad perimetrum axis, erit velocitas potentiæ ad velocita- tem ponderis reciproce, ut potentia ad pondus. Itaque per Corol. 3. Theor. 3. momentum potentiæ æqualè erit mo- mento ponderis; ac proinde potentia ponderi æquipollebit & ipsum per axem in Peritrochio sustinere valebit; quod si tantillum augeatur potentia vel minuatur pondus, potentia pondus elevabit. C. E. D. (ν. Quo major est ambitus orbis extimi, hoc est, quo longiores sunt scytalæ, vel quo minor est axis, co poten- tior erit vis ad pondus elevandum. N 3 De. Tas, 3 1. 10² 1ITNODUCTIO Defiu. Ex orbiculis uno vel pluribus apte dispositis, cir- ca axes suos volubilibus, quibus circumpositus funis ducto- rius pondus attrahit, compositam machinam Trochleam ap- pellant. 1 2 E. N.. In Trochlea mobili, ασ orhiculorum pysetioune calculo&stimatur quanta vis apposich ponderi quipolleat; nempé vis eα, Jue sit ad pondur, sicut iααι nuπνmerum funten lor um quibus pon- Au suspenditur, idem pondus sustinere valebit: Quæ Pproinde tantillum ancta phuπαναος ι—ισ νπραριε Tav. 3. Sit funis cujus alterum extremum unco B affixum,& in FHe. a. hujus duplicatura dependeat trochlea mobilis, cujus locu- lamento appendatur pondus Q, clarum est ut attollatur pondus Qper unum pedem, utrumque funem loculamen- tum cum appenso pondere sustinentem,(deorsum ab un- co supputando) debere uno pede breviorem fieri; hoc est, ut attollatur pondus per unum pedem, potentiam debere per duos bes moveri; quare in hac machina, potentiæ Via ponderis viæ dupla erit; ac proinde celeritas potentiæ dupla quoque erit celeritatis ponderis: adeoque si poten- tia sit ad pondus ut 1 ad 2, ipsius momentum momento ponderis æquipollebit,& pondus sustinebit. Tau. Si ita disponantur orbiculi, ut pondus Qd tribus funi- Vg. 3. bus dependeat; ut pondus ascendat per unum pedem, o- portebit omnes tres funiculos(ita loqui liceat, quamvis non nisi unus continuus& nullibi interruptus funis sit) uno pede breviores reddi, quod fieri aliter non potest, quam si potentia P tres pedes progrediatur: quare cum in hac ma- china, potentiæ via sit ponderis viæ tripla; erit ejus celeri- tas quoque tripla celeritatis ponderis; adeoque si potentia sit ad pondus ut 1 ad 3, ipsius momentum momento pon- deris æquipollebit. TAu. 3. Simili prorsus ratione ex quartâ figurà patet potentiam Vs. 4. in P, quæ sit subquadrupla ponderis Q, eidem æquipolle- re. In omnibus casibus potentia quæ ponderi prius æqui- pollebat, si vel 285 tantillum augeatur, vel pondus mi- nuatur, potest ipsum elevare. Q E. DL. — — De⸗- 22.—.—— AD VERAM PHVSICAM. LECr. X. 103 Desu Cylindrum rectum Helice similiter sulcatum Coch- Lir. 3. leam appellant,& quidem Interiorem, si sulcata superficies COonvexd sit, Exteriorem si concava. Debet autem Cochlea Interior ita Exteriori conformis esse, ut pars parti aptę re- spondeat(hujus eminentiis illius cavitatibus congruentibus) quo fiet ut Interior per Exteriorem permanentem tota la- batur, vel etiam super Interiorem permanentem propella- tur Exterior. Potisfimum adhiberi solent Cochleæ obici- bus propellendis, frangendis, aut comprimendis, aliisque motibus trusione factis; soletque forinsecus adhiberi manu- brium, aut scytala cui vis applicatur. FIlR. IV. In Cochlea, st sit ut ambitus queim vis si ve pot entia aplicata fer- agrat in una cochleæ conver sione, aα Juter vaιlimn, auarum con- tinue provimarum spiralium conwensiouum(secuuauen coc hleα Vngitudinem stimatum)) sie pondus vel resistentia ad goteu: tiam; æqu ipollebunt potentia& re sistentia,& Poteuntià tan- tillum aucta impedimentum movehit. Intelligatur Cochlea Interior CA per Exteriorem fixam ope scytalæ CB, versando protrudi, simulque pondus P (vel quod ponderis instar est) elevare. Mantfestum est ex Machinæ inspectione, in una cochleꝶ revolutione pondus tantum elevari, quantum est intervallum duarum spiralium proximarum;& potentiam tantum promoveri quantus est ambitus ab ista in una revolutione descriptus; hoc est pon- deris via erit ad viam potentiæ eodem tempore factam, ut intervallum spiralium ad ambitum à potentia una revolutio- ne descriptum; adeoque celeritas ponderis erit ad potentiæ celeritatem, in eadem ratione: ac proinde si sit ut potentia ad pondus ita prædictum intervallum duarum proximarum spiralium ad viam à potentia descriptam, potentia ponderi Vel resistentiæ æquipollebit: quæ itaque tantillum aucta re- sistentiam superabit. Q. E. D. Desin. Cuneum plerumque adhibent, ex ferro seu duriore aliqua materia, forma prismatis non admodum alti, cujus opposite bases sunt triangula isoscela; utriusvis hujus trian- guli altitudinem appellant altitudinem cunei, ejusque trian- 44 Han. 3 Fir. 6. 104 1 TR 05UCETI guli basin vocant cunei crassitiem, rectamque quæ triangu- lorum vertices conjungit, cunei aciem; quodque eorum bases conjungit parallesogrammum, cunei dorfum dicunt. ＋ HE. R. V. Hotentia ciinei orso direlse applicata, quæ sit ad resistentiam à cuneo siperandam ut cunët cιρριtιε ι usdem altitudinem, resisteutiæ æqnipoliobit;& proiude aπμπεεα ααιαe superahit. Resistentia cuneo superanda sit v g lieni tenacitas seu fir- mitudo, aut alius quivis obex cuneo dirimendus. Patet dum cuneus adigitur in situm usque quem nunc obtinet, via potentiæ seu longitudo secundum suam propensionem per- cursa est BA; tantum enim& non amplius progressa est: codemque modo DC est via impedimenti, atquè dum de- truditur cuneus per totam altitudinem suam, dividitur obex per totam cunei crassitiem;& in toto processu proportiona- liter, ut patet ex natura trianguli: undè si sit ut cunei cras- sities ad ipsius altitudinem ita potentia ad resistentiam, hu- qus momentum illius momento æquale erit; adeoque poten- tia aucta resistentiam superabit. H 0.. Hinc per Instrumenta mechanica non augetur vis poten- tiæ, quod quidem fieri non potest; sed ponderis vel csevan- di vel trahendi velocitas ita per instrumenti applicationem minuitur, ut ponderis momentum vi Ppotentiæ non majus e- vadat. Sic 4. g. si vis quædam agens possit elevare datum pondus unius libreæ cum data velocitate, per nullum instru- mentum fieri potest ut eadem vis elevet pondus duarum li- brarum cum eadem velocitate: potest tamen ope instru- menti cum velocitatis dimidio pondus duarum librarum ele- vare; imo potest eadem potentia pondus mille vel decies mille librarum elevare, cum velocitatis parte millesima vel decem millesima; sed non ideo augetur potentiæ vis, sed motus quem producit in elevando pondus illud magnum, omnino equalis est motui qui producitur cum elevatùr pon- dus unius libra. EX dictis etiam patet ratio, cur in canalihus communi- rantibus diyersœ amplitudinis conservatur liquorum æquili- brium. AD VERAM PHNSõICAM. LECr. L. 105 brium. Sit enim canalis amplus ABCD, cum alio angustio- re MNEH communicans in Cʒ in utroque canali infusa aqua ad eandem altitudinem asfurget,& descendendi conatus, seu vis quam habet aqua in canali FEH ad elabendum per o- rificium C, æqualis est vi aquæ in canali AC ad descenden- dum per idem orifcium. Nam si ponatur aquam descen- disle in canali AC per altitudinem AlI, necesse est, ut aqua in canali EH ascendat ad altitudinem HN, talem sc. ut cy- lindrus aquæ MEGNæqualis sit cylindro AIL.D, sc. cylin- dro aquæ, quæ in canal AC descendit; sed æqualium cy- lindrorum reciprocantur bases& altitudines(per 15. Prop. El. duodecimi) hoc est, erit FEMad Al ut Orificium AD ad Orificium MN vel FG: sed est FM ad Al ut velocitas ascensus aquæ in canali EN ad velocitatem descensus aquæ in canali AC,& est orificium AD ad orificium MN, ut aqua in AC ad aquam in canali EE(nam cylindri æqueè alti sunt inter se ut bases) quare erit velocitas aquæ ascendentis in canali EEI ad velocitatem aquæ descendentis in canali AC, ut aqua in canali AC ad aquam in FH,; hoc est, aquarum velocitates sunt ipsis reciproce proportionales,& proinde crunt aquarum momenta æqualia; sed sunt contraria, qua- re nullus sequetur motus. Hinc obiter patet ratio, cur aqua vel fluidum quodvis ex latiore in angustiorem alveum defluens majori celeritate moveatur. Hinc si in corpore animali, Arteriarum ramuli vel Arte- riæ capillares habeant summam orificiorum seu potius sectio- num transversarum, majorem sectione transversa Arteriæ magnæ seu Aortæ, à qua omnes oriuntur; erit sanguinis velocitas in extremitatibus corporis minor quam in Aorta; si vero æqualis sit hec summa sectioni trantversæ Aortæ, crit velocitas sanguinis in iisdem œqualis velocitati sanguinis in Aorta si minor sit summa, tunc major erit velocitas Per extremas arterias transcurrentis quam in A- Tta. 106 E K U 0 I, E C U1I0 I. De Legibus Naturæ. Actenus Theoremata de motus quantitate, spatiis à I.I mobilibus percursis,& quæ exinde consequuntur co- rollaria demonstrata dedimus; ad leges Naturæ jam deven- tum est, illas sc. leges, quas omnia corpora naturaliacon- stanter observare necesse est. Has igitur eodem ordine,& üsdem verbis, prout ab illustri Nπἀιποο proponuntur trade- mus, quarum prima hæc est. 3 K. Cor pus omue per souerat in statu suo quiescendi vel movendi u- niformiter in directum, nisi quatenus viribus impréssis cogitur statum illum mutare. Cum corpora naturalia constent ex materiæ massa, quæ sibi ipsi nullam status sui mutationem inducere queat; si pri- us quiescebant corpora, oportet ut in ea quiete semper per- naneant, nisi adsit vis nova ad motum in lis producendum; si vero in motu sint, eadem energia seu vis motum semper conservabit;& proinde corpora motum suum semper reti- nebunt& secundum eandem rectam eodem tenore semper progredientur, cum nec sibi ipsis quietem, nec retardatio- nem, nec directionis suæ mutationem ad defiectendum ver- sus dextram aut sinistram acquirere valeant. Philosophos novimus, qui facile agnoscunt nullum corpus posse seipsum movere, hoc est, per se ex quiete ad motum transire; ii- dem non æque lubenter concedunt corpora semel mota non posse per se ad quietem tendere, eo quod videant projecto- rum motus paulatim languescere,& ipsa mobilia ultimò ad quietem pervenire. Verum ut nullus modus, vel accidens, sponte sua seu per se destruitur,& sicut omnes effectus à causis transeuntibus producti semper permanent, nisi adsit nova aliqua& extra- nea causa quæ ipsos tollat; sic etiam motus semel inceptus semper continuabitur, nisi vis aliqua externa adsit, quæ ipsi obstet; nec magis potest corpus semel motum, motumseu energiam suam ad movendum deponere,& per se ad quie- e AD VERAM PHVSICAM. LECr. XI. 107 tem redire, quam potest figuram semel sibi inductam exuc- re,& aliam recentem absque causa extrinseca acquirere. Inest præterea corporibus vis quædam, seu potius inertia, qua mutationi resistunt; unde est quod difficulter aumodum & statu suo, qualiscunque is sit, deturbentur: vis vero illa eadem est in corporibus motis ac quiescentibus, nec minus resistunt corpora actioni, qua à motu ad quietem reducun- tur, quam ei, qua à quiete ad motum transeunt; hoc est, non minor requiritur vis ad corporis alicujus motum sisten- dum, quam prius necessaria fuit ad eundem motum eidem corpori imnprimendum: unde cum vis inertiæ æqualibus mu- tationibus æqualiter semper resistit, illa non minus efficax erit, ut corpus in motu semel incepto perseveret, quam ut corpus quiescens semper in eodem quietis statu perma- neat. Quidam sunt Philosophi, qui corpus ex sua natura tam ad motum quam ad quietem indifferens esse supponunt; at per indifferentiam illam non(ut opinor) intelligunt talem in corporibus dispositionem, per quam quieti aut motui nihil omnino resistunt; quippe hoc posito, sequeretur corpus quod- vis maximum summa celeritate motum à minima quavis vi posse sisti; aut si quiesceret magnum illud corpus, ab alio quovis minimo propelli, absque ullo velocitatis corporis im- pellentis decremento; hoc est, corpus exiguum quodvis in aliud maximum impingens, posset illud secum abripere sine ulla ipsius retardatione;& utrumque corpus post impulsum junctim ferrentur ea celeritate, quam prius corpus illud exi- guum habebat: quod absurdum esse omnes novimus. Non igitur indifferentia illa sita est in non renitentia ad motum ex statu quietis, aut ad quietem ex statu motus, sed in eo so- lum, quod corpus ex sua natura non magis ad motum quam ad quietem propendet, nec magis resistit transire à statu qui- etis ad motum, quam à motu rursus ad eandem quietem re- dire; potest prœterea corpus quodvis quiescens à quavis vi moveri potest æqualis vis secundum contrariam directionem agens motum illum destruere; atque in hoc indifferentiam illam sitam esse volunt, ö O 2 Cum 108 INIHRKODUCTA0 Cum, secundum ęxpositam naturæ legem, corpus omne semel motum in eodem motu semper perseveret, quærunt Philosophi cur projecta onmia motum suum(quem violen- tum vocant) sensim amittunt? Cur non in infinitum per- gunt? Si motus ex sua natura non languesceret, potuisset lapis ex manu projicientis sub initio mundi emissus spatium fere immensum,& tantum non infinitum, pertransisse. Sic quidem potuit, si in vacuo seu spatiis liberis motus absque gravitatée ficret. Verum cum omnia projecta vel per aerem vel super aliorum corporum superficies scabras ferantur, ex- mde provenit eorum retardatio; cum enim necesse sit, ut mo- bilia aërem obstantem è loco suo pellant& dimoveant, vel ut superficiei super quam moventur scabritiem vincant, opor- tet ut vim& motum illum omnem amittant, qui hisce ob- staculis continuo impenditur;& proinde projectorum motus semper diminuetur. Si vero nulla esset medii resistentia, nul- la superficiei, super quam decurrunt mobilia, asperitas, nul- la gravitas, quæ corpora terram versus continuo pelleret, absque ommi retardatione idem semper continuaretur motus. Sic in Cœelis, ubi medium tenuissimum est, Planetæ diu- tissime suos conservare possunt motus;& super glaciem, aut alias superficies politas seu minime scabras, corpora pon- derosiora serius ad quietem reducuntur. Desimant jam Philosophi continuati motus exquirere cau- sam, alia quippe agnoscenda est nulla, præter primam il- lam, quæ non modo motum sed res omnes in EWse suo con- servat, Deum scil. Opt. Max. Nec alia ratione perseverat motus, quam qua continuatur corporis alicujus figura, co- 1or, aut aliæ quævis istiusimodi affectionum, quæ semper eœdem permanerent, nisi vis aliqua externa eas turbave- 114. Multo quidem rectius& magis secundum bonæ methodi leges egissent, si rationes retardati& amissi motus investigas- sent: verum quosdam in hac re adeo cæcutire deprehendi- mus, ut illud ipsum ponant causam continuati motus, ex quo revera ejus retardatio provenit. Desmant etiam Philosophi de communicatione motus tan- tas ——— 3..... 2..— AD VERAM PHVSICAM. Læcr. XI. 109 as lites movere; ex supra positis enim facile intelligitur, cur lapis ex projicientis manu tanto cum impetu emittitur: quippe quum lapis in manu continetur, necesse est ut de motu ipsius manus participet(per Axiom. 8.) adecque ea- dem celeritate& versus eandem plagam, qua ipsa manus, feretur: sed corpus omne naturale semel motum in eodem perseverat motu(per legem supra positam) donec ab agen- te externo irnpediatur; unde cum projiciens manum suam retrahit, lapis non retractus recta progredietur. Eodem prorsus modo, si navis aut ymba ventis vel remis celeri- ter agatur, qui in ipsa sedent eundem celerem motum ipsis communicatum habent; at si subito sistatur navis, res 0- mnes in navi positæ motum suum continuare conantur,& quæ ipsi navi firmiter non adhærent, post illius quietem re- lictis locis suis etiamnum progrediuntur; atque hinc peri- culum est ne homines in navi relative quiescentes, post tam subitam& quasi violentam status sui mutationem, prorsum præcipitentur, cum scil. motus, quem prius ab ipsa navi accepëre, nondum destructus sit. Si lapis in funda celeriter circumagatur, ea celeritate cir- culum describit quam habet ca fundæ pars in qua ponitur; cum vero corpus omne secundum rectam lineam progredi affectet, lapis in singulis orbitæ suæ punctis, secundum li- neam orbitam in puncto in quo est tangentem egrederetur, nisi a filo detentus esset; adeoque si filum demittatur, rum- patur, vel alio quovis modo lapidem cobhibere desmat, la- pis non ulterius in circulo sed secundum rectam lineam mo- vebitur, secluso motu ex ipsius gravitate orto. Conatus ille, quem lapis circumgyratus habet in quovis suæ orbitæ puncto secundum tangentem egrediendi, filum per quod in orbita detinetur tendit,& vis illa qua filum tenditur ex vi centrifuga oritur, per quam scil. à periphe- ria recedere conatur. Tensionem hanc quisque in funda fa- cile experiri potest;& per experientiam invenimus, quo ce- lerius circumgyratur lapis, vel etiam quo majus materiæ pon- dus in funda ponitur, eo majorem fieri fili tensionem. Ob hanc rationem volunt quidam Philosophi centrifugam 3 hanc 110 INTRODUCTIO hanc vim à sola gravitate proficisci; huie tamen sententiæ nec ratio nec experientia favet: nam in funda non solum tendi- tur funis cum lapis partem suæ orbitæ infimam percurrit, sed etiam dum superiorem partem describit; quod à gravitate Oriri non potèst, cum gravitas lapidem, in superiore suæ orbitæ parte, tantum urgere potest versus centrum, quæ di- recte contraria est vi centrifugæ quæ illum à CEntro recede- re cogit. Præterea cum lapis in plano horizontali in cir- culo revobvitur, filum quoque tenditur; sed gravitas ten- sionem illam in illo plano nullo modo producere potest, cum lapis nec sursum nec deorsum feratur; cujus proinde motus à gravitate hac nec augebitur nec minuetur non i- gitur à gravitate oritur vis centrifuga, sed à solo conatu quem habent corpora omnia secundum rectam lineam pro- grediendi. Si Terram circa suum axem rotari supponamus, nos o- mes qui in ejus superficie degimus una Cum ipsa revolve- remur; adeoque si subito sisteretur ejus motus, res omnes ipsi firmiter non adhærentes vehementi motu excussæ ab illa recederent; sic etiam si circa Solem motu annuo deferatur, & subito illa revolutio sisteretur, res omnes excussœ, Pla- netarum instar, circa solem gyrarentur, ob eandem causam qua prius ipsa Tellus circa fsolem movebatur. Cum Tellus circa axem vertatur,& res omnes in ipsa circulos descrihant æquatori parallelos, quærunt Philosophi unde sit, ut corpora Omnia ab ejus superficie non excutian- tur, cum per naturæ legem corpora omnia motum secun- dum rectam lineam affectant? Sic quidem excuterentur, nisi alia adesset vis, per quam ad terram detinentur, quæ est ipsa Gravitatio vi centrifugà multo potentior. Si vas aquæ plenum in plano quovis horizontali ponatur, & subito vi satis magna impellatur, aqua in vase sub initio versus partes motui vasis contrarias tendere videbitur; non quod revera talis motus aquæ impressus est, sed cum illa in eodem quiescendi statu permanere conatur, vas motum suum aquæ intra ipsum contentæ communicare statim non potest, & proinde aqua à vase derelicta,& revera quiescens, 4.—v uum EH ⏑ eEr AD VERAM PEVSICAM. LECOr. XI. 111 suum relativum mutare videbitur. Tandem postquam va- sis motus aquæ impressus est,& illa una cum vase uniformi- ter& eadem celeritate progredi cœperit, si subito sistatur vas, aqua tamen in eodem motu perseverare conabitur,& super Vasis latera assurgens pars illius ulterius progredietur. Si navis tempestate& turbulento mari jactetur, in ipsa sedentes homines& relative quiescentes doloribus, ægritu- dine, nausea& vomitu afficientur, præsertim si mari mi- nus assueti fuerint; cum scil. liquores in ipsorum ventricu- lis„ intestinis, vasis sanguiferis,& cæteris ductibus conten- ti„ navis jactationibus non statim Obediunt, unde in cor- pore humano fluidorum motus turbabitur,& morbi orien- tur. 1.½. II. Mutatio motus esti semper propor rionalis vi motrici impressa, t semper secundum rectam lineam, quæ dis zilla impi imi- Tun. Sequitur ex axiomate 4: si enim vis aliqua motum quem- vis generet, dupla duplum, tripla triplum generabit;& hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi gene- ratrice determinatur(quippe ab illa tantum oritur) fiet sem- per secundum eandem plagam(per legem primam;) nec potest corpus secundum aliam quamvis plagam deflectere, nisi adsit nova vis priori obstans; adeoque si corpus antea movebatur, motus ex vi impressa productus motui priori vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel ob- liquo oblique adiicitur,& cum eo secundum utriusque de- terminationem componitur. Si vis aliqua in dato corpore motum producat,(per le- em primam) corpus illud in motu suo semper perseverabit: vero postea vis eadem vel æqualis secundum eandem di- rectionem rursus in idem corpus agat, motus exinde pro- ductus priori W erit,& proinde summa motuum prio- ris dupla erit: fi denuo vis eadem tertio in idem corpus si- militer agat, motus hinc ortus erit etiam primo qualis,& proinde summa motuum erit motus primo impressi tripla; & similiter si vis cadem rursus in idem corpus ageret, o- R Iiium —2 3 IIIIIFIIFFeFœœ:FF frffrff — INTAOSDPHOO T0 mnium mot um summa erit primo impressi quadrupla,& sic Continuo. Hinc si vis hæc nova æqualibus temporum intervallis con- tinuo æqualiter ageret, motus exinde ortus esset ut summa temporum quibus generatur; adeoque cum, ob datum cor- ——— ʒ—— tempora ab initio motus,& motus erit æqualiter accelera- tus; hinc sequentia Theoremata facile demonstrantur. IK. NI Vcor pora in omuibus d Terra distantiis ghααμnliter gravitarent, esser motus cor porum, suta gravitate in éadem recta caden— um, motus aqhuπabiliter acαεαεαderatus. Supponatur tempus in quo grave cadit divisum esse in particulas æquales& valde exiguas,& gravitas prima tem- Poris particula agens corpus versus centrum pellat: si jam post primum illud tempus omnis gravitatis actio cessaret, & corpus desineret esse grave, nihilominus motus ex primo impulfu acceptus semper continuaretur,& corpus ad ter- ram æqualiter accederet(per legem primam:) verum cum corꝑus continuo sit grave,& gravitas indesinenter agat, et- iam in secunda temporis particula eadem gravitatio alium impulsum priori æqualem ipsi communicabit,& corporis velocitas post duos hos impulsus prioris dupla erit;& si vis gravitatis omnino tolleretur, corpus tamem cum eadem ce- leritate in eadem recta moveri perseverabit; cum vero& tertiâ temporis particulã corpus eadem gravitate urgeatur, alium quoque motum priorum utrivis æqualem post tertium iud tempus acquiret, sic etiam in quarta temporis particu- la gravitatio quartum impetum singulis P æqualem ipfi gravi superaddit;& sic de cæteris. Immpetus igitur seu motus corporis dati à gravitate acquisiti sunt ut particulæ temporis ab initio elapsæ, adeoque cum achio gravitationis sit continua, si particulæ ille infinite exiguæ sumantur, erit corporis cadentis motus ex gravitate acquisitus, ut tempus ab initio casus elapsum; cumque corpus datum sit, erit motus ut ipsius velocitas, ergo Velocitas erit semper ut tem- pus ** ———— 9—— — MXD VERAM PHVSICAM. LECr. XI. 113 pus in quo acquiritur. Gravi igitur cadenti æqualibus in- tervallis æqualia accedunt velocitatis inerementa,& proin- de esus motus erit uniformiter acceleratus. Q... Similiter ex iisdem principiis demonstrari potest, corpo- rum in eàãdem rectâ sursum tendentium motum esse æquabi- liter retardatum; cum scil. vis gravitatis, contra motum inceptum contimuo& æqualiter agens, æqualibus tempori- bus æqualiter ipsius motum minuat, usque dum velocitas omnis sursum omnino sublata sit. Cor. Recta AB exponat tempus quo corpus cadit,& BC cum AB faciens angulum rectum exponat velocitatem in fine istius casus acquisitam; jungatur AC,& per punctum quod- vis D ducatur DE ad BC parallela; erit hec ut velocitas in fine temporis AD acquisita. Nam(ob triangula ABC ADE æquiangula) est AB ad AD sicut BC ad DE, sed BO repræ- sentat velocitatem in tempore AB, quare(cum velocitates sunt ut tempora) DE repræsentabit velocitatem acquisitam in fine temporis AD: similiter FG repræsentabit velocitatem in puncto temporis F;& in omnibus temporis punctis ve- locitates erunt ut rectæ intra triangulum per ipsum ductæ & basi BC parallelæ. T.AII R. XVII. grave en quiete, motu nuiformiter accelerato descendat; patium, quod ah ipso en dato aν initio motus tempore Per- curritur, dimidium erit istius quod in iʃlo tempore uniformiter percurri potest, cum ea velocitatèe quæ in fine iius tempo- ris ꝗ gravi cadente acquiritur. Sit AB tempus in quo cadit grave, sitque BC velocitas ultimò acquisita, compleatur triangulum ABC& rectangu- lum ABCD; porro distinguatur tempus AB in innumeras particulas e, im, m%½&c. Ducantur% ε, uu, pꝙ, Se. basi parallelæ:(Per Cor. præced.) /, erit ut veloci- tas gravis in temporis particulà infinite exiguâ eε:& 24 crit ejus velocitas in particula temporis ά item n erit ipsius velocitas ad punctum temporis;& sic ↄ erit velocitas in temporis particula ½. Sed(per Cor. Theor. 7.) spa- tium in quovis tempore& cum W celeritate percursum est Tan. 3* V. 8. TaB3. 4. Hg. I. TAVB. 3. FVg 8. 114 1NTRODUHerl0 est ut rectangulum sub eo tempore& celeritate, quare erit spatium percursum tempore e½ cum velocitate FH ut rectan- gulum sic spatium percursum temporę im cum celerita- te erit ut rectangulum πα; sic etiam spatium percursum cum celeritate tempore my erit ut rectangulum ν& sic de Cæteris. Quare erit spatium percursum, in omnibus hisce temporibus, ut omnia hæec rectangula, seu ut rectan- gulorum omnium summa, cum autem temporis particulæ inlinite exiguæ sint, erit omnium rectangulorum summa æ⸗ qualis triangulo ABC. Est vero(per supra citatum Co- rOI. Theor. 7.) spatium à mobili percursurn tempore AB Cum uniformi celeritate BC ut rectangulum ABCD; unde erit spatium percursum à gravi in dato tempore eatlenti 6 quiete, ad spatium percursum in eodem tempore, veloci- tate uniformi cum æquali ei quæ ultimo acquiritur à gravi cadente, ut triangulum ABC ad rectangulum ABCD: sed triangulum ABC est dimidium rectanguli ABCD, unde erit spatium quod à gravi cadente ab initio casus in dato tempo- re percurritur, dimidium esus quod percurri potest in eodem tempore cum velocitate ultimo acquisita. Q. E. D. Chr. I. Spatium quod percurritur cum velocitate CB in tempore æquali dimidio ipsius AE„&quale erit spatio à gra- vi cadenti tempore AB percurso. Cor. 2. Ex ipsa demonstratione sequitur quod sicut spa- tium percursum tempore AB repræsentatur per triangulum ABC, sic spatium tempore AE à gravi emensum per trian- gulum AEG repræsentari posse; item spatium peractum tempore AD per triangulum ADE exponetur. Cor. 3. Spatia percursa ab initio casus computando, sunt in duplicata ratione temporum; nam spatium percursum tempore AB est ad spatium percursum in tempore A F ut triangulum ABC ad triang. AEG, sed(ob similia triangu- la ABC, AFG) triangulum ABC est ad triangulum AFG in duplicata ratione lateris AB ad latus AF: adeoque erit spa- tium percursum tempore AB ad spatiumn percursum tempore AF in duplicata ratione temporis AB ad tenpus AEF. Sunt igi- tur spatia percursa à gravi ë quicte cadente, ut quadra- td — AD VERAM PHLSCAM. LEer. AII. 115 ta temporum quibus percurruntur. Cor. A. Hinc si grave in dato tempore è quiete cadens percurrat spatium quodvis, spatium in duplo tempore per- cursum erit prioris quadruplum, in triplo tempore spatium peractum erit novies majus quam iud quod primo percur- ritur, Sc. Hoc est, si tempora sumantur ut 1. 2. 3. 4. 5. Ge. spatia hisce temporibus descripta ab initio motus com- putando erunt ut 1. 4. 9. 16. 25. Cor. 5. Cum spatium percursum in primo tempore sit ut 1, in secundo ut 4, computando ab initio, erit spatium in se- cundo temporè seorsim descriptum ut 3; cοcdem modo cum spatium descriptum in fine teinporis tertii sit ut 9,& in fi- ne temporis secundi ut 4, erit spatium descriptum in tem- pore tertio seorsim sumpto ut 5;& sic de cæteris: sumen. do igitur temporis partes æquales, erunt spatia à gravi ë quiete cadenti in singulis seorsim descripta ut 1. 3. 5. 7. 9. II. Se. scil. ut numeri impares. Cor. 6. Hinc etiam cum velocitates cadendo acquisitæ sint ut tempora, erunt spatia percursa etiam ut quadrata ve- locitatum;& tam velocitates quam tempora erunt in sub- duplicata ratione spatiorum per quæ grave cadit ab initio motus. ILE C1 0 II. 11 II. Acrioni semper contraria S æqualis esi Reactio; seu corpo. rum duorum actiones in se mutuo æqualos suut.& in partes coutrarias diriguntur. Hoc est, per actionem& reactionem asquales motãâso mutationes in corporibus in so invicem agenti- bus producuntur, quæ mutationes vensus contrarias partes imprimuntur. ů Lih Lex non aliter melius quam per exempla potest illustrari. I. Si corpus unum in alterum quiescens impingat, quic- quid motus quiescenti imprimitur, tantundem prœæcise im- Pingenti fubtrahitur, v. g. Si corpus A cum duodecim Tas. 4. motus partibus versus corpus B feratur,& postquam in illud Ac. 2. umpegerit communicentur ipsi B5 partes motus, restabunt 2.— ipsi 116* N. Ti re ipsi A motus partes tantummodoꝰ. adeoque mutationes quæ utrique corpori contingunt æquales erunt: idemque ommnino erit effectus ac si vis 5 partibus motus æquipollens impelle- ret corpus B versus C/& alia huic æqualis in corpus A age- ret,&ipsum in contrarias partes versus H urgeret. 2. Si cCorpus B non quiescat, sed tendat versus C,& cor- pus A celerius motum in ipsum impingat tantundem motus deperdet corpus A quantum corpus B lucratum est,& mu- tationes motùs per impulsum in utroque corpore produ- Cte(hoc est incrementum motus unius& decrementum alterius) æquales erunt. 3. Si Corpora A& B sibi obviam veniant,& A feratur versus C cum 12 motus partibus, B vero versus H cum tribus motus partibus; qualiscunque motus mutatio cor- pori B accidat, eadem omnino corpori A continget: v. c. Si post occursum feratur B versus C cum partibus motus quabus, mutatio motus quæ ipsi inducta est erit partium quinque; qualis scilicet summæ duorum motuum, illius nempe quo prius versus H ferebatur, quique per impulsum corporis A destructus est,&illius qui de novo recipitur cum quo versus plagam— tendit;&motus in corpore A amissus Eisce 5 motus partibus præcise æqualis erit: adeoque(ut m primo xemplo) idem omnino sequitur effectus, qualis fuillet si vis cum 5 motus partibus pelleret B versus C,& alia huic æqualis in corpus A imprimeretur, quæ illud ver- sus partes Hageret, Verum univyersaliter ictus magnitudo quæ ab occursu duo- rum corporum oritur, in utroque corpore semper æqualiter recipitur; unde& mutationes motus quæ ab ictu producun- tur in utroque corpore semper æquales erunt. Sie si malleus ferreus vitrum pereutiat, ictus tam in mal- seo quam in vitro æqualiter recipitur,& vitrum frangitur, fer- ro integro manente, non quod major est vis percussionis vitro impresfa, quam est illa quæ in malleo recipitur, sed quia partes ferri duriores& firmius inter se cohærentes, multo fortius eidem percussionis vi resistunt, quam vitri particulæ fragiles& minus cohærentes. Eodem prorsus modo si cor- pus — — AD VERAM DPHVSICAM. Lcr. XII. Iir7 us aliquod tenui filo muro alligetur, parva vis sufficiens e- rit ad illud divellendum; si vero pregrandi fune idem cor- pus muro alligatum esset, vis prior æqualiter applicata pa- rum proficeret ad corpus avellendum. 4. Si equus lapidem funi alligatum trahat, retrahetur et- iam equus æqualiter in lapidem, nam funis utrinque disten tus eodem se relaxandi conatu æqualiter urgebit lapidem ver- sus equum,& equum versus lapidem; unde attractionis vi- res, tam in equo quam in lapide, æquales erunt; verum cam tanta sit firmitudo& vis equi solo insistentis, ut tra- &ioni funis resistere possit, ille funi trahenti minime cedet, nec per cjus vim è loco suo dimovebitur; at lapis, cui non tanta inest resistendi vis, versus equum promovebitur. 5. In attractionibus magneticis, non solum magnes trahit— 10 8 4 ferrum, verum& æqualiter vicissim ab ipso ferro trahitur; 3 quod experientia constat: imponatur enim magnes suberis frusto B,& ferrum A similiter alio suberis frusto impona- tur, ut tam magnes quam ferrum aquæ innatent: deinde manu teneatur magnes,& ferrum videbimus ad magnetem accedere, si vero ferrum immobile teneatur, ad illud acce- dere magnetem deprehendemus; sed si utrumque corpus a- quæ libere innatare permittatur, magnes& ferrum sibi mu- tuo obviam ire conspicientur,& attractionis vis in utrum- que æqualiter aget, æquales motus in utroque producendo: dico motus æquales fore; non item celeritates, nisi ferrum & magnes ejusdem sint ponderis; si enim diversi sint ponde- ris, quod magis ponderat minorem habebit celeritatem. e. ?. Si magnes sit ferro decuplo ponderosior, ferrum vicissim decuplo majorem velocitatem habebit; ut scil. æquales mo- tuum quantitates in utroque corpore generentur, adeoque non convenient magnes& ferrum in medio puncto E, sed in puncto D, quod ita dividet distantiam BA, ut BD sit ad DA ut pondus A ad pondus B; sic in allato exemplo, si BD sit totius distantiæ pars undecima, punctum D erit ubi magnes & ferrum sibi mutuo occurrent: cum enim BD sit pars un- decima distantiæ BA,; erit BD ad DA ut 1 ad 10; fed ut 1 ad 10 ita(per superius dicta) erit velocitas corporis B ad 23 Velo- TAB. 4. A. 4. 118 1 IXN0DC velocitatem corporis A; quare cum spatia percursa in dato tempore sint velocitatibus proportionalia, tempore quo cor- pus A percurret spatium AD, corpus B cum decimâ velo- Citatis parte latum percurret spatium æquale decimæ istius spatii parti; adeoque in puncto D post illud tempus reperie- tur, in quo igitur puncto magnes& ferrum sibi mutuo oc- current. Eodem modo duo magnetes suberis diversis par- ticulis impositi, si eorum poli amici invicem obvertantur, æqualiter sese mutuo attrahent: si vero poli inimici sibi in- vicem juxta ponantur, poli hi sese mutuo fugient,& quan- titates motuum, vi fugæ productœ, in utroque æquales erunt. 6. In aliis attractionibus idem ostenditur. Sint enim duæ cymbæ A& B aquæ innatantes,& homo in illarum una v. in A positus ope funis versus se trahat cymbam alteram B; non solum hac tractione Baccedet ad A, verum etiam A versus B æqualiter trahetur;& quantitates motuum, attra- ctione productæ, in utraque cymba æquales erunt: unde si cymbæ pondere sint æquales, cæteris paribus, æquales ha- bebunt velocitates,& in medio puncto E convenient. Sin una illarum altera major sit, hoc est, majorem habeat in se materiæ quantitatem seu majus pondus, quæ major est mi- nus habebit velocitatis; e. g. si cymba B sit decuplo major cymba A, velocitas ipsius A decuplo major erit velocitate cymbæ B,& cymbæ convenient in puncto G, quod ita di- Vidit illarum distantiam primam AD, ut AG sit decuplo ma- jor quam GD; hoc est, erit GD pars undecima totius distan- tiæ AD); si vero B sit navigium millecuplo vel decem mille- cuplo majus quam A, ipsius velocitas erit millecuplo vel de- cem. millecuplo minor velocitate A, adeoquè vix sensibilis. Si jam B sit aliud corpus infinite magnum, illius velocitas erit infinite parva, hoc est, prorsus nulla respectu veloci- tatis ipsius A. Hinc si funis littori alligetur,& homo in cymba per funem trahat ad se littus, cymba ad littus acce- det,& littus ad cymbam; cum vero littus reliquæ terrenæ moli firmiter adhæret, ejus magnitudo, quæ eadem est cum totius terræ magnitudine, respectu cymbæ erit valde immen- sa& tantum non infinita, adeoque ejus velocitas erit 05 in· ite Ke AD VERAM PHVSICAM. LECT. XII. 119 finite exigua&(ut dicam) nulla; ac proinde littus potest tanquam waws Obex considerari qui cedere nescit,& tota velocitas tanquam cymbæ inhærens æstimari Potest. Si na- vigii B pondus sit mille talentorum& feratur versus H cum velocitatis gradibus centum, erit(per Theor. tertium) mo- mentum illius navigii partium centum millium: si jam na- vigio B alligetur cymba A, cujus pondus sit decem talento- rum, quicquid motus communicatur hac ratione cymbæ A, tantundem decedit navigio B. ö 7. Si quis in cymba A trahat funem AE, per quem navi- gio B alligatur, ita ut hac tractione cymba promovęatur cum quingentis velocitatis partibus, erit motus exinde ortus 5 millium partium,& tantundem sui motus amittet navigi- um B; cui proinde restabunt motus partes nonaginta quin- que mille, unde erit velocitas navigii B partium nonaginta & quinque. ö 8. Si quis in navigio A sedens per contum aut aliud ejus- modi instrumentum pellat aut protrudat navigium B versus partes F, per illam trusionem retro cedet etiam navigium A Versus partes contrarias, ita ut in utroque navigio æquales sint motus quantitates, quæ ab hominis propellentis vi oriuntur; unde si navigium B sit decuplo majus navigio A, decuplo minorem habebit velocitatem; si centuplo sit majus, habe- bit vicissim centesimam partem velocitatis navigii A, adeo- que si B sit corpus quodvis immensum, erit velocitas navi- ii A immensa respectu illius quæ inveniri debet in cymba 5 unde si quis in nave sedens per contum terram& littus à se protrudat, recedet hac trusione navis à littore; littus e- nim tanquam corpus immensum& firmus obex respectu na- vis considerari potest, cujus proinde velocitas erit minima aut plane nulla respectu illius quæ in navigio reperitur. Si navigium EDG remis agatur, cum aqua per remorum palmulas AB retro pellitur versus partes C, illa rursus æqua- liter in remos reaget, eosque una cum navigio cui affixi sunt versus partes Hpropellet, ob quam solam causam promove- bitur navigium; si enim nulla esset reactio,& aqua nullum imprimeret motum remis versus partes E, cum ipsa in con- tra⸗ TAB. q. fig. 5. —————— 8 12⁰ ENTR DUCENTIO trarias partes per remos truditur, subsisteret navigium quan- doquidem nihil esset quod illud versus plagam H propelle- ret: verum cum aqua reagendo tantum motùs imprimit na- Vgio EU quantum ipsa exinde per remos acceperit, hinc se- quitur, quo majores sunt remorum palmulæ, vel numero plu- res, cœæteris paribus, vel etiam quo celerius intra aquam a- gantur, eo concitatiori impetu progredi navigium. Hinc cum natatio nihil aliud sit quam brachiorum pedum- que remigium, facile intelligitur cur intra aquas promove- mur natando cum scil. per manuum pedumque palmas aqua impellitur retrorsum, illa reagendo in contrariam plagam natantes propellet, ita ut motus in aquâ genitus æqualis sit motui, quo natantes progrediuntur. Idem ctiam dicen- dum esit de avium volatu; cum enim aves per alas suas aë- rem deorsum feriunt, r reagendo eas sursum elevabit; si versus orientem aërem pellant, reactio aëris ipsas in occi- dentem tendere cogit. Sic pulvis pyrius intra tormentum bellicum accensus rarefit,& vi suà œqualiter agit in globum missilem& tormentum unde globus expellitur, aër enim ra- refactus in omnem partem se expandere satagens, æqualiter tam tormentum retrorsum quam globum antrorsum urgebit, & indè elater in utroque æquales motùs quantitates producet, & dividendo has motuum quantitates tam per pondus tormen- ti quam per pondus globi, velocitates exinde ortæ erunt ponderibus reciproce proportionales. Cum omnia corpora in superficie terræ posita versus ter- ram gravitent, vicissim tellus in corpora singula gravitabit & versus illa attrahetur,& motus hac attractione geniti, cum in terra tum in corporibus gravibus descendentibus, æquales erunt; ita si lapis vi gravitatis suæ deorsum ad ter- ram cadat, terra vicisiim ad lapidem assurget: cum vero quantitas materiæ in terra immense superat quantitatem ma- teric in lapide, vVelocitas lapidis vicissim inunense superabit velocitatem quà terra ad lapidem tendit, adeoque(si phy- gice loquamur) veloótas terræ nulla erit, quod calculo sic patebit: ponamus lapidem centum pedum sOlidorum versus terraca descendentem; spatium à lapide tempore unius mi- nu- D * — nr— AD VERAM PHVSICAM. Lcr. XII. 121 nuti secundi decursum erit quindecim circiter pedum: sed (juxta illos qui de terræ dimensione scripserunt) tota globi terraquei moles continet pedes solidos 30 οοο οο οσ 000 0⁰0 οοO ponamus jam terram ubique esse ejusdem den- sitatis cum vulgaribus lapidibus(quamvis omnino credibile est ipsam essę multo densiorem.) Unde erit materiæ quan- titas in terra, ad quantitatem materiæ in lapide centum pe- dum, ut 300 000 000 O00 0οο— οο οοσ ad 1, proinde dum lapis centum pedum gravitate impulsus descendere de- bet per spatium quindecim pedum, terra versus lapidem tra- —— hetur per unius pedis partes — quæ tan- 300 COο ½ο 000 00 0⁰ tilla est quantitas ut ipsam imaginandi vim effugiat:& pro- inde in Physica negligi potest& pro nulla haberi, quamvis Geometrice& secundum veritatem Joquendo, dicendum est terram ad lapidem accedere,& utrumque corpus æqualiter se mutuo trahere. Si luna per gravitatem in sua orbita detineatur ne à terra recedat; hoc est, si luna versus terram gravitet, terra vicis- sim& omnnes ejus partes versus lunam gravitabunt,& hinc continuus orietur fluxus atque refluxus maris: sed hoc obi- ter, alibi enim motum maris fusmis explicabimus. Sit navis in aquã quiescens, quæ facile à quolibet impul- su externo moveri potest, nulla tamen est vis intra navVem agens, eique solum innitens, quæ ipsam promovere potest: sit enim GH navis,& ponatur intra navem machina quævis, TAn. 4. v.. Corpus elasticum ABC, quod vehementer constrictum Vα 6. resilire per se potest; porro compressa machina, latus BC approximabitur lateri AB; elater naturali sua energia seu vi sua restitutiva se utrinque æqualiter explicare satagens, æ- qualiter impellet tabulatum DA versus G,& tabulatum EF versus H;& proinde navis duobus hisce contrariis& æqua- libus motibus impulsa non movebitur: eodem plane modo, si quis in prora stans ad H per funem trahat ad se puppim G funis utrinque distentus relaxandi se conatu æqualiter urgebit pup- pim versus hominem trahentem,& trahentem versus puppim; cumque trahens ipsi proræ insistit, prora vicissim ad puppim ö HdU 4* 122 INTRODUCTIO æqualiter trahetur, unde& hi duo motus contrarii& æqua- les se invicem destruent,& nullus sequetur motus. ** Ex hac lege iequentia demonstrantur Theoremata. H E. O R. XVIII. / corpus unnm alteri vel quiescenti vel secundum éandem di- reclionem tardius moto inpingat, summa motuum in utro- que cor pore ver sins easdem pat tes eaαεm mauebit post impa- Ggum quæ fitit aute impactum. Tan. 4. Moveatur Corpus A secundum directionem CD à C ver- 2. 7. sus D, atque in aliud corpus B impingat, quod vel quiescat vel secundum eandem directionem tardius moyęatur: dico summam motuum in utroque corpore versus easdem partes, 3 C fcil. versus D, ante& post impulsum eandem manere. Exponat CD motum corporis A,& si corpus B movcatur, recta EF motum ejus exponat versus easdem partes,& pro- inde summa motuum per summam rectarum CD, EF expo- netur: cum jam actio& reactio æquales semper sint& con- trariæ, æquales vires versus contrarias partes impressæ, æ- quales in utroque corpore producent motuum mutationes versus contrarias plagas; si igitur motus Per impactum cor- poris A ipsi B impressus repræsentetur per FG, vis contraria & æqualis in corpus A agens tantundem sub ducet de ejus motuũ versus easdem partes facto; adeoque ponendo DE ipsi FGæequalem, erit CK ut motus corporis A& EG ut motus corporis B post occursum;& proinde summa motuum c ut summa rectarum CK, EG: cum autem EG sit æqualis EKD, si u- trisque addantur EE&CE, erunt EG&CKæquales ipsis CD, EF: unde eadem manebit summa motuum versus casdem par- TAV. 4. tes& ante& post impulsum. Si FG sit œualis CD, punctum K 2. 8. coincidet cum C& CK æqualis erit nihiloʒunde post impulsum Tu 4. quiescet corpus A. Si vero FGmajor sit quam(D,punctum K se. 9. Cadet ultra C,& motus ipsius A erit negativus seu versus con- trarias partes factus à Cversus K,& fummmma motaum versus partes G factorum, erit ut EGdempto CK; nam fumma dua- rum quantitatum, quarum una est positiva altera negativa, est ipsarum differentia. Quoniam autem FGEED, utrique adddatur EF CK,&erit EF-FG-(EK, hoc est—0 AD VERAM PEVSICAM. LEr. XII. 123 CEK SKDEEECK, hoc est EF-. CD; unde summa motuum versus easdem partes, quæ hic est differentia mo- tuum versus contrarias G K. factorum ante& post impa- ö ctum, eadem manet... I. 60 E. Eodem modo si plura corpora versus casdem partes 1 mota in sese impingant, summa motuum versus easdem par- 4. tes non mutabitur. HE O R. XIX. & duo corpora ad partes contrarias mota sihi mutuo directe oc- 4 acurront, summa motuum ad＋ eandem partemn(ꝗuæ es- disfe- rentia motuum ad partes contrarias factorum) ante post 5 occursum versus eundem semper partem éadem: pem. sowerabit. . Moveatur corpus A à C versus D, cujus motus αφροα. tur per CD B vero in contrariam partem scil. ab Ead Emo- A4. 0. veatur, cum motu ut EF; ponatur H ipsi EFæqualis; erit- 1 que CH, quæ est differentia motuum ad partes contrarias, ut summa motuum factorum ad partem G/ dico eandem CH esse ut summa motuum versus eandem partem G post occur- sum. Sit enim motus corporis B post impactum versus par- v. tem G/& per rectam EG repræsentetur; vis igitur meud ra ö in corpus B versus partem Gimpressa, æquipollebit summæ us motuum EF, EG,& per rectam EG repræsentabitur, nam per illam vim destruitur motus ut EEF, versus partem F,& novus ut EG imprimitur versus contrariam partem G, cum 1 vero vis impulsus æqualiter in utrumque corpus agit versus contrarias partes, si at DK æqualis ipsi FG, hæc repræsen- , tabit vim in corpore Aexercitam Versus contrariam ejus mo- tui plagam; adeoque si motus ut DK subducatur à motu ut K(D, restabit CK ut verus motus corporis A versus partem G. m Jam cum DK æqualis sit FG,& DH æqualis EE, erit DK K demptà DH, hoc est KH æqualis EG demptà FE, hoc est U. EG:&proindè cum sit K Hæqualis EG, erit Hut motus cor- 05 poris B post occursum; sed CK est ut motus corporis A, adeo- —1 que CK, KH, ie. CH erit summa motuum in utroque cor- pore versus partem G. Q. E. D. Si FG sit æqualis CD, ca- Tan. 4. * ö ö e det punctum K in C,& motus A erit æqualis nihilo, hoc 1. 3— est, quiescet corpus A post impactum,& CH erit æqualis CK 22 EG. FTan. 4. V. I2. TAn. 4. Fig. 13. 124 INTRODUCTIO EG. Si vero FG major sit quam CD, punctum K cadet ul- tra C ad alteram partem,& motus corporis A erit à C Ver- sus K: elt vero(ob FG æœqualem ipsi DE& EE æqualem MI) KHæqualis ipsi EG,& proinde si ab utraque dema- tur CK, erit CHæqualis rectæ E demptâ CK, sed(H erat ut summa motuum versus partem G factorum ante occursum, & est EG demptã(E ut summa motuum versus candem par- tem factorum, differentia scil. motuum versus contrarias partes post occursum. Quare eadem manebit summa motu- um versus eandem partem ante& post impactum. Duo beec ultima Theoremata simul& lisdem verbis sic optimè à Netτhreno enuntiantur. Oaautitas motus, quæ coιʃdigitur capiendo summam motuum Fudtorum ad eandem pertem,& Auffirentiam facterum ad con- zrariar partes, uon mutatur a acuione cοporum iuter se. ILIIE Desinitiones Secundæ. I. Hatrum Gravitatis cujusque corporis est puncttum illiea intra corpus positum, per quod si utcunque incedat Ppla- num, guaitiinque sunt corpores gravis Oegmenta circa pla- mum rlind libratæ 4quiponderabunt. Hinc, si corpus ex centro suæ gravitatis suspendatur, si- tum quemcunque datum retinebit, cum scil. partes corpo- ris Circa centrum vndique æqualium nomentorum consi- stunt, seu æquales habent ad motum propensiones. II. Dauorum corporum comnmuhné gravitatis centrum vocamus intum in recta ipsorum centra conjun ente ita seitum, ut Cistantiæ corporum ab illo ꝓuncto siut in natiount reciproca Conponum. Sint duo corpora A, B, quorum gravitatis centra conjun- gat recta AB, quæ ita sit in C divisa, ut AC sit ad BC, ut Corpus B, hoc est, materia in B ad cCorpus A vel materiam in A; punctum illud C dicitur conunune corporum A& B centrum gravitatis ideo scilicet, quia si corpora illa circa punctum illud in iisdem ab ipso distantils rotarentur, situm quem- 1. 4. AD VERAM PEHVSICAM. LCr. XIII. 125 quemcunque datum retinerent;(ut demonstratum est in Pheoremate 1I.) III. Hemiliter, st seut tris corpora A, B, D, Mεπε Ceu. 1———* zrum gravitatis duorum A,& dινινιαιτι ααα in E, ita ut CE. set aι E ut pondus cor poris D αιpοπαus Juorum A& B limnnd, dicitur punctum eliud Esttium, horum corporum commune grævitatis ceutram; circa quod eteam corpora illa rotata situm quemcunq; ue Aatum retinerent. IV. Eodem modlo, st siut quatuor cor pora A, B, D, EH, S Lan 4 t Ecommune cent rum gravitatis trium 2llvrim A, B, D; V. 5. punctum G/ guod ita dividat rectam EH ut EC sit aι H at poudue corporis F aα pondus cot porum A, B, D simul, Vbocatur horum quatucn commuue cçσutruimn graνειαιαια. Atque codem modo quinque aut plurium corporum commune centrum gravitatis definitur. ö V. Corpus unum aicitur alteri directé& impingere, cum recta secundum quam mowetun, per impingentis centrum gravi- tatis& punctum coutactus ducta, sit sfuper fietei co porit in quod impingitur perpendiculas ic, aut etiam si non in puncto, sed in linea seu supes ficie sese tangant, cum recta illa sit huic sive lineæ sive supersiciei perpendicularis. VI. Coliquò autem seu indirectè impingere dicitun, cum præ- dicta necta superficiei corporis, in quod impingits, non sis per pendicularis. VII. Corpus perfecte durum appello, guοα ictνι negμααομα½˙m cedit; boc esi, qQuod ne pro miuimo tempore Fauram suam amutlet. VIII. Corpus molle est, quod ictui ita cedit, ut pristiuam fi- guram amittat,& uunq; uam se aꝗd ⁴ndem réstitueré conatun. IX. Corpus elasticum ést, quod ictui aliguauntisper cedit, se tamen in pristinam figuram, sua sponte restituit. X. Vis elastica est vis ille, qud corpus de figura sua detrusum sese in pristinam figuram réstituit. XI. Corpus per fecte elasticum est quod se eadem vi in pristi- nam seg uram restituit, qud ab eαι dimotum est. EOR. Ci duo vel plura corpora motu æœꝗcuabili, secundum eaudem vel Q 3 con- Tan 4 Vg. 10. 12 INTRODUCTIO contrariat partes frantur, communè illorum centrum gra. Dτε, aπεεe mutuum oecursum, vel quiescet vel movebitur uviformiten in direcdtum. Casie primuas. Corpora A& B versus partes contrarias cum motibus æqualibus tendant, quorum commune gravi⸗ tatis centrum sit C. Ob æqualem in utroque corpore mo- tus quantitatem, erit veloctas corporis A ad velocitatem corporis But corpus B ad corpus A;, hoc est,(ex natura centri gravitatis) ut AC ad BC; unde, cum spatia eodem tempore percursa sint velocitatibus proportionalia, dum mobile A percurrit longitudinem AC, longitudo BC per- Curretur à mobili B; adeoque concurrent corpora in puncto C,& in eo puncto erit ipsorum gravitatis centrum tempo- 1e COncursus: sed& ante concursum in eodem erat puncto, adeoque in eodem permansit loco. Eodem modo, si corpora cum æqualibus motibus à pun- ꝗο C recederent, ostendetur ipsorum gravitatis centrum quiescere. Casus secundus. Si corpora in eadem recta versus eandem partem, vel inœqualibus motibus versus contrarias ferantur, ilorum commune gravitatis centrum semper in eadem recta invenietur. Cum eriim corpora uniformiter directè à sese re- (edant vel ad sese accedant, ipsorum à se invicem distantia uniformiter augebitur vel minuetur,& proinde corpora à puncto quovis prædictam distantiam in data ratione dividen- te miformiter recedent, vel ad ipsum uniformiter accedent. Corꝑęorum igitur distantia à communi gravitatis centro uni- formiter augebitur vel minuetur; quod fieri non potest, in præedictis calibus, nisi centrum illud vel quiescat(ut in pri- hio casu) vel uniformiter moveatur, ut in præsenti casu. Casas tertius. Moveantur corpora A& B in rectis AC, BD; sintque spatia à corpore A in æqualibus temporibus percursa AC,(E. æqualia,& spatia à corpore B in sdem tempori- bus percursa BD, DE quoque æqualia co⁰neurrant rectæ AC, BD in G;& fiat ut ACad 5 ita AGad GH,& jungatur AH, cui per C& E parallelæ ducantur CI. EK, erit AC ad Hut AG ad GH, hoc est, ut AC ad BD; quare est E1IBD/& pro- 5.———„— AD VERAM PHVSICAM. Lxcr. XIII. 127 oinde EB ID. Similiter est CE ad I& ut AS ad GHvel 0— BD, hoc est, ut CE ad DF; quare est K DE, unde EKFZ ID=EB. Sit Lcommune gravitatis centrum, cum corpora in punctis A& B locantur; ducatur LMad BDO paral- lela& erunt recte AB, AH sinuliter sectæ, jungatur GM producatur; hæc sccabit parallelas ipsi AH in punctis N& in cadem scilicet ratione quã secta est AH VeH, Gucartur per N& O ad BD parallelæ NP, O hæ secabunt CD,/ EE in cadem ratione quà sectæ sunt CI, EK, hoc est in ea ratione quã secta est AB in L; sed Lest communè centrum gravitatis, cum corpora in A& Breperiantur; quare erit ipsorum cen- trum, cum in punctis C& Dfuerint,& Qillorum ęst centrum, cum corpora fint in punctis E, F. Præterca est MLad HE ut AMad AH, velut CNad CI, seu ut NPadID, sed sunt HE& IDæquales; quare& ML, NPæquales erunt; similiter NP& OQæ&quales erunt: cum igitur rectæ MI, NP, OQquales sint& parallelæ, recta per Lducta& ad MO parallela transibit per puncta P& Q,& proinde centrum gravitatis semper in re- cta LOlocabitur: præterea(ob parallelas) est AC ad E ut MNad NO, hoc est, ut LP ad P,(quare ob ACCE) e- rit LDPPO. Semper igitur in eadem recta est corporum commune gravitatis centrum,& in æqualibus temporibus æqualia percurrit spatia. Q. E. D. Casus quartus. Si corpora non in uno aliquo sed in diver- sis planis moveantur, ipsorum viæ& via communis centri gravitatis reducendæ sunt ad idem planum, demittendo à punctis viarum singulis perpendicula in planum quodvis,& (similiter ac in præcedenti casu) demonstrabitur viam cen- tri gravitatis sic reductam esse lineam rectam; cumque hoc in lano quovis ad libitum assumpto fit, necesse est utipsa via seu emita centri gravitatis cCorporum sit linea recta. Q. E. D. Similiter commune centrum horum duorum corporum& tertii cujusvis vel quiescit, vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab ipfo dividitur distantia cen- tri communis gravitatis duorum corporum& centri corpo- ris tertii in data ratione. Eodem modo& commune cen- trum horum trium corporum& quarti cujusvis vel E VG r*Y FTan. 4. Fg. I7. 128„ NTIRODUccnro vel progreditur in linea recta, propterea quod ab eo dividi- tur distantia inter centrum commune trium& centrum cor- poris quarti in eadem semper ratione;& sic de aliis quot- cunque corporibus. Q. E. D. Aiin O I. C Auo corporae, ufeunque οαπαιικ vαι iπααιιπ—αιιαì, ver sus an. dem partem, celeritatibus utcunqque sαμ½αιμέορνι α10inααραðοìπlibus Ferautur, summa motuum in utroque corporè ægαιis erit mo- zut, qui orinetur si urrumque corpus cum celexitate comimu- nie centri gravitatis latum esset. Sint duo corpora A& B, quorum commune gravitatis cen- trum sit C,& utrumque corpus feratur versus D, dico sum- mam motuum in utroque corpore æꝗqualem fore motui; qui produceretur si utrumque corpus cum celeritate centri gra- Vvitatis C versus D latum esset. Describat enim corpus Ain dato quovis tempore longitudinem A, corpus B longitu- dinem B,& via à gravitatis centro C interea percursa sit CG:&(per Theor. 6.) longitudines Aa, B, CG simul defcriptæ repræsentabunt celeritates corporis A, corporis B,& communis centri gravitatis Crespective. Per Corol. autem Theor. 3. motus quantitas in quovis corpore est ut rectangulum factum ex materia& celeritate, adeoque erit motus in corpore A ut AιìάA4,& in corpore B, ut BBC; & summa motuum erit ut summa horum rectangulorum scil ut AνAABBh. Est vero(per Definit. centri gravita- tis corporum) BC ad AC ut A ad B,& ut A ad B ita etiam (per eandem definitionem) HG ad 4G quare erit BC ad AC ut G ad 4 G; unde(per 19. Elementi quinti) BC est ad AC, hoc est A ad B, ut B G ad AC G/ hoc est, ut CGE B/ ad A½ CG; adeoque(per 16. El. G.) AA AVCG æquale erit Bν CG& proinde Aαάια. BB&quale erit Aπ G B CG: sed duo rectangula AVAA& B Bꝰ sunt(uti dictum est) ut summa motuum in utroque corpore;& duo rectangula sub A& CG& sub B&CG erunt ut summa motuum qui orirentur, si utrum- que corpus cum celeritate CG centri gravitatis latum——6 unde —— AD VERAM PHVSICAM. LECr. XIII. 129 unde erit summa motuum in utroque corpore æqualis motui qui produceretur, si utrumque corpus cum celeritate con- munis centri gravitatis latun esfet. Q. E. D. Si tria sint corpora A, B, D, ad eandem partem lata, quo- rum trium commune gravitatis centrum sit E; erit summa motuum in tribus corporibus ęqualis motui orto ex corpo- ribus iisdem cum velocitate puncti E latis. Sit enim Ccom.- mune centrum gravitatis duorum quorumvis A& B, erit (per superius demonstrata) motus in duobus hisce corpori- bus æqualis motui, qui oriretur, si utrumque corpus in u- num coalescens cum velocitate puncti Clatum esset; sed et- iam summa motuum(Ieil. motus corporum sic coalescentium & motus tertii corporis D) æqualis erit motui, qui fieret, si corpus ex duobus coalescens una cum corpore tertio D moveretur cum celeritate puncti E, unde liquet in hoc quo- que casu Theorema. Eadem est demonstratio, si corpora non in eadem recta, sed in parallelis vel etiam in rectis quomodocunquè inclina- tis moveantur. Sed in hoc casu notandum est celeritatem corporum, qua versus eandem plagam cum centro gravita- tis feruntur, non æstimari à via quam revera percurrunt, sed solum à via in quam secundum directionem centri gravi- IAh. 4. E 14. tatis promoventur; v. g. si duo corpora A& B in rectis Tan. 5 Aa, B/ ferantur, sitque CG linea à communi centro gra- H. 2. vitatis descripta, interea dum corpora percurrunt longitu- dines Aa, B%,& dimittantur à punctis A, 4, B, 5, in rectam CG perpendiculares AF, g. BH, K, spatia jam quæ se- cundum directionem puncti C corpora percurrunt non sunt Aa, B0, quæ sunt spatia absoluta ab iisdem descripta; ve- rum spatium secundum quod promovetur corpus A versus plagam D computandum est in recta FD, per longitudinem Fg; tantum enim& non amplius secundum directionem puncti Cprogreditur. Similiter spatium secundum quod pro- movetur corpus Bversus plagam D est HK,& per illud spa- tium ejus in recta HD progressus æstimatur; adeoque celerita- tes corporum quibus versus eandem partem feruntur sunt Urect, EE E Pteren 15 B ut BC ad AC, seu (ob —30 INTRN0DUC i0 (ob quiangula triangula ACF, BCH) ut HC ad FC; un- de fimiliter procedet demonstratio ac in primo casu. H k. R. NII. / du cor pora ven sus contrarias partes ferantur, erit deste- rentia mot uum ad partes contrarias factorum, vel, quod i- domi est, summa motnum ad Cαndem partem, æquali, motui 7 5produceretun 320⁰ utrumquè corpus ven sus andem glagam, cum celeritate communis gravitatis centri, latum esset. Sint corpora A& B quorum gravitatis centrum commune sit C,& moveatur Corpus A ab A versus D,& corpus B versus contrariam plagam à B versus E, sint spatia a corpori- bus A, B& centro C simul descripta Aa, B, CG, hæc per Theor. 6.) repræsentabunt velocitates corporis A, cor- poris B& centri gravitatis Crespective; unde est motus cor- poris A ut AπAu,& motus corporis But BB, unde dif- erentia motuum erit Aαρα ν: porroex natura cen- tri gravitatis, est BC ad AC ut Aad B,& ut A ad B ita e- rit G ad 4 G/ quare erit ut BC ad AC ita G ad 46, a- deoque erit(per 19. El. 5.) BCad AC, hoc est A ad B, ut BCG ad AC G, id est, erit A ad But B5 ＋CG ad A4E CG; quareè erit(per 16. El. 6.) rectangulum sub A&A CG æquale rectangulo sub B& B ＋CG, hoc est, AνραεCGEEB/＋CGjunde erit Aν A4& B% ACGABAICGʒj sed AAα4 B B est(uti dictum est) differentia motuum versus contrarias partes, vel summa motuum versus eandem;& AνCGEBVCG est motus emergens, si utrumque corpus cum velocitate communis psorum centri gravitatis latum esset, unde liquet propositum. Cor. I. Si differentia motuum versus contrarias partes sit nihilo æqualis; hoc est, si in utroque corpore sint motuum quantitates æquales, commune gravitatis centrum in hoc casu quiescit. Cor. 2. Si sint plura corpora, vel omnia versus eandem vel quædam in contrarias partes lata, summa motuum ex omnibus versus eandem partem eadem erit, ac si omnia ad eam partem cum velocitate communis omnium gravitatis centri lata essent. Cor. ..„(„. AD VERAM PHVSICAM. LECGT. XIII. 131 Cor. 3. Corporum igitur plurium motus ex motu centri gravitatis æstimandus est;& tantum eorum systema progre- ditur vel regreditur, tantum ascendit vel descendit, quan. tum commune ipsorum gravitatis centrum progreditur vel regreditur, ascendit aut descendit. E. OR. KII1. S corporà in se invicem empingant, vel etiam uteunque in sese agant, commumis illorum gravitatis centristatus vel quiéscem- NVelmnovendi uuifhrmitér in derectum, non νπιπι- uτtαbitur. Si corpora in se invicem impingant,(per Theor. 19.) summa motuum versus eandem partem eadem manet ante& post impulsum; sed(per Theor. 21.& 22.) summa mo- tuum ante& post impulsum eadem est, ac si corpora o- mnia cum velocitate communis gravitatis centri ad eandem cum ipso partem lata essent; quare cum cadem corpora habent motuum summas ante& post impulsum sibi invicem æquales„& etiam æquales motui orto ex omnibus simul cum velocitate communis gravitatis centri latis, liquet ve- locitatem communis gravitatis centri ante& post impulsum eandem manere. Q. E. D. Hucusque leges quasdam generales ad corporum quorum- cunque motus determinandos inservientes tradidimus: ad a- lias jam speciales congressuum regulas devenimus, quibus scil. corpora singula post occursum,& mutuum in se invi- cem impactum, motus suos continuant,& versus quas par- tes,& cum quibus velocitatibus singula tendant. Verum Ob variam corporum structuram, prout scil. elastica vi pol- lent vel destituuntur, pro diversis corporum generibus re- gulæ congressuum diversæ erunt;& quamvis nullum for- tasse detur corpus, quod sit vel perfecte durum, vel perfe- cte molle, vel perfecte elasticum,(omnia enim corpora aliquid ex hisce omnibus fortasse in se continent) id tamen non impedit, quin qualitates istas abstractione mentis sepa- rare possimus,& corpus considerare tanquam unâ solum- modo ex hisce qualitatibus præditum:& motus corporum eo magis ad regulas infra tradendas accedunt, quo magis corpora ipsa ejusmodi qualitatibus& conditionibus gaudent. R. 2 Sup- LAB. 4. 7½ 20. 11. 22 33. 24· 25. 132 1N IRN0DUC110 Supponimus hic corpora ab aliis omnibus ita esse divisa, ur Orum motus ab aliis circumjacentibus nec impediantur, nec juventur. ö THE O R. XXIV. & con pus durum vel molle, corpori duro vel molli Airente iig. pingat, stue illud in quod impingat quiescat stbo vei sus oan- aem partem tardius moweatur, seu demum wer sus contrariam, süutque motus iuααs μ˙e; urrumue cο pu Post im pactum und cum communi grawvitatis centro junctim mo vebitur. Impingat corpus A in corpus B; quod vel quiescat, vel versus eandem plagam tardius, vel versus contrariam cum minore motu feratur, dico utrumque corpus post impulsum eadem celeritate una cum communi gravitatis centro jun- ctim moveri. Cum enim corpus Bnon impediatur ab aliis corporibus circumjacentibus,(per legem secundam) à vi in ipsum per corpus A impressà movebitur versus eas par- tes, in quas fit virium directio; sed& junctim movebitur cum corpore A: non enim tardius moveri potest, ob corpus infequens A; non celerius, quia nulla alia, ex hypothesi, præter impellens A datur hujus motus causa, cum alia o- nmia, ut vis elastica& ambiens fluidum, nihil agere sup- ponuntur, adeoque post impactum cum communi ipso- rum centro gravitatis utrumque corpus junctim movebitur. X. 5 z Si corpora ponantur concurrere in D, cum velocita- tes mobilium sunt Ipatia simul descripta, velocitates corpo- ris A, COrporis B,& centri gravitatis Cante concursum e- runt ut recte AL), BL, CD, respective; hæœ enim longitu- dines simul percurruntur. a ö Cor porum durorum aut mollium posi directum impactum deter- minare motus. Omnes hujus Problematis casus eãdem operâ construemus. Sint igitur duo corpora A& B, quorum gravitatis centrum sit C, ponantur corpora concurrere in D; erunt(per præ- cedens Corol.) celeritates ante impactum corporis A, cor- poris AD VERAM PHVSICANM. Laor. XIII. 133 poris B,& communis centri gravitatis C ut rectæ AD, BD & CD respective; fiat jam DEαqualis DC, hæc repræsenta- bit velocitatem corporum post occursum; hoc est, erit ve⸗ locitas corporis A ante impulsum ad ejusdem velocitatem post, ut AD ad DE;& velocitas corporis Bante impacbum, crit ad ejus velocitatem post impacbum, ut BI ad DE: nam (per Theor. 19.) cCorpora A& B post impulsum una cum centro gravitatis progrediuntur: sed(per Theor. 18.) ce- leritas centri gravitatis eadem manet ante& post impulsum, &versus eandem semper plagam; quare si CD repræsentet ejus celeritatem ante impulsum, DE ipsi CDæqualis ejus ve. locitatem post impulsum exponet: adeoque DE exponet quo- que celeritatem corporum A& quæ una cum ceritro Cpro- grediuntur post impulsum. QE. D. Cor. I. Si corpus B quiescat, coincidet punctum D cum B, ut in 20. figura:& quia B est ad A ut AC ad B C vel DE, erit componendo A π ad A ut AB vel ADadE 5h⁰α est, velocitas corporis A ante impactum est ad ejusdem ve- locitatem post, ut summa corporum ad corpus impingens A. Exemplum 1. Si A sit œuale quiescenti B, erit A ＋ ad Aut 2 ad 1, adeoque velocitas corporis impingentis erit dupla ipsius velocitatis post impacbum. Exemnplum 2. Si A sit ad But 1 ad 9, erit A ＝B ad Aut 10 ad 13 ideoque velocitas post impulsum crit tantum pars decima velocitatis ante impulsum. Exemplum 3. Si B sit corpus infinite superans A, erit ve- locitas corporis A post impulsum infinite parva, hoc est, nulla; nam in eo cafu A respectu A ＋ evanescit,& proin- de velocitas corporis A post occursum quoque evanèscit; hoc est, si corpus in firmum obicem impingat cedere nesci- um, post impactum quiescet. Eaempl. 4. Si corpus B ipsi Aæœquale, secundum eandem —— 7 ö AB directionem tardius moveatur, erit DEvel CO 255 BD·= AB3B-23D ADBD hoc est, erit velocitas post impul- sum priorum velocitatum semi summa. R 3 ÆEx. NAB, 4 . 20. TAB. 4. H. 21. 134 INIRGDUT1O 5 Eæxempl 5 Si corpora cum æqualibus motibus versus con- trarias partes tendant, punctum D coincidit cum C, ut in Theor. 20. demonstratum fuit;&CD, DE erunt nihilo æ- quales, hoc est, post occursum quiescet utrumque corpus. Cor. 2. Hinc demonstratur falsam esse Cartesianorum legem, qua eandem semper motus quantitatem in universo conferva- ri volunt; nam corpora non elastica, versus contrarias partes 1711 æqualibus motibus in sese incurrentia, mutuos motus tollunt. —b 4 EFenpl. 6. Si corpora æqualia Verst us contrarias partes cum ＋% inæqualibus motibus tendant, erit DE vel CDECBBED AB AB—2BD AD-—3D — 53— hoc est, erit velocitas post 2 4 impulsum priorum velocitatum semi differentia. Hæœc ommnia ex superiori constructione facile fluunt; sed ö Caum in praxi calculus semper adhibendus est, generalis hu- zus Problematis solutio per calculum sic eruitur. Velocitas corporis A vocetur C; velocitas corporis B sit c; & si corpora secundum eandem directionem movèeantur, sum- ma motuum in utroque versus eandem plagam erit AC Be: sin versus contrarias partes moveantur, summa motuum ver- sus eandem partem erit AC Be, sed(per Theor. 19.) in corporibus omnibus summa motuum versus eandem partem ante& post impulsum eadem manet, quare erit corporum post impulsum motus vel AC ＋Be vel ACEBe, prout cor- pora ad eandem vel contrarias partes ante impulsum tendunt; datur igitur momentum corporum eàdem velocitate latorum; unde(per dicta in Lect. X.) ipsorum velocitas simul inno- tescet; nempe si dividatur momentum per ipsa corpora, quo- tiens exhibebit ipsorum velocitatem scil.—.— vel AHe. Art A5 & si B quiescat, hoc est si c ponatur nihilo æqualis, veloci- tas corporum erit—. C ö Cor. 3. Qum velocitas corporis A ante impactum fuerit ut AD,& post impactum ejus Velocitas sit CD, erit e amissa AD VERAM PHVSICAM. LxOr. XIII. 135 amissa AC,& proinde motus per ictum amissa AαιA C. FPIII. RV. S corpus motum alteri suve moth sive quiéscent. Airecte impiu- gat; ictus maguitudo proportionalis es momento ad oëααuμνsqum deperdito, in corpore, si quid sis, fortiori. Si enim intelligatur motorum corporum(si quid sit) for- tius, vel, si momentorum sint æqualium, utrumvis ut per- cutiens, alterum ut percussum; icbus magnitudo æquipolle- bit vi à percutiente in percussum impressæ sed Vvis illa quæ in percussum imprimitur à percutiente decidit,(per legem tertiam;) adeoque motus in corpore percutiente amissus e- rit vi in corpus percussum impressæ,& proinde magnitudi- ni ictus, proportionalis. Q. E. D. ö Cor. Ubi æqualia sunt momenta quæ à corporibus per- cutientibus decidunt, ibi æquales erunt ictuum magnitudi- nes. E0R. XNI. Si corpus datum in alind quiescens datum directè impingat; icgtus magnitudo velocitati inpingeutis semper erit proportionalis. Impingat corpus datum A in aliud datum quiescens B, cum Tan. 4. velocitate quæ exponatur per AB; deinde impingat idem cor- α 26. pus Ain idem quiescens B, cum alia velocitate DE; hoc est, sit AB ad DE ut prior velocitas ad posteriorem,& ponantur deinde corporum distantiæ AB, DE, quæcunque enim inter ca, initio motus, intercedat distantia perinde est quoad ma- gnitudinem ictus; sitque commune centrum in primo situ C, in secundo G. Cum corpus A movetur velocitate AB, erit Chejus velocitas post occursum;& cum motus ante impactum fuit AαB, motus post impactum erit Aαν CB;& motus amisfus erit AαAC. Eodem modo sicorpus moveatur velo- citate DE, erit motus amissus A DG, ac proinde ictus magni- tudo cum velocitate AB erit ad magnitudinem ictus cum velo- citate DE, ut A ACad AνDG, vel ut ACad DG: quia au- tem est ACad BCut B ad A, erit AC ad AC＋C, hoc est AB, ut Bad AA;& similiter erit Bad A But DGad DE, qua- re erit AC ad AB, ut DGad DE, unde permutando erit AC ad 436 INTRODUCTIO ad DG ut AB ad DE; hoc est, erit ictus magnitudo cum velocitate AB ad magnitudinem ictus cum velocitate DE. ut velocitas AB ad velocitatem DE. Q. E. D. Cor. Si corpus A in B irrueret, motus amissus esset A AC, si vero E in Acum eadem celeritate impingeret, motus amissus esset BνBC, quia autem est ut A ad Bita BCad AC, erit AπκCEBν BC, adeoque eadem erit quantitas motus per ictum amissa, sive B cum data celeritate impingat in A, sive Acum eadem velocitate in corpus B incurrat, adeoque eadem in utroque casu erit ictus magnitudo. R. KVII. Si corpus unum in alterum, secundum éandem recram, ad eandem partem segnius latum, directe impingats, cadeim e. rit ictus magnitudo, acαsν antecτεαιεuα quiesceret,& in se- quens in illnd cum velocitatum disferentia latum esset. Tan. 4. Sint duo corpora A& B versus eandem partem lata, Vs. 27. quorum commune gravitatis centrum sit C;& ponantur corpora concurrere in D: constat ex supra traditis veloci- tates corporum ante impulsum esse ut rectæ ADD, BD,& proinde velocitatum differentia erit ut A5; utriusque au- tem corporis post impactum velocitas per CD exponetur, & proinde motus deperditus in corpore A erit AAC. Si autem corpus A cum velocitate AB in quiescens B im- pingeret, ipsius velocitas post occursum esset CB,& motus amissus esset AAC; unde cum in utroque casu eadem a- mittitur in percutiente motus quantitas, eadem quoque e- rit ictus magnitudo. Cor. Si eadem manet velocitatum differentia, hoc est velocitas respectiva qua corpora ad sese accedunt; quo- modocunque augeatur aut minuatur illorum summa, ea⸗ dem semper consequetur ictus magnitudo. 11. R. VII. corpora due motibus contrariis sibi invicem obvtam ve- niant, ictus maguitudo eadem erit ac si unum ip sorum quiesceret& alterum in illud cum velocitatum summa im u9enet. ö —— Sint duo corpora A& B versus contrarias partes lata, quo- — rum V — ́— AD VERAM PHVSICAM. LECOr. XIII. 137 rum commune gravitatis centrum sit C, sitque D punctum in quo concurrunt: constat velocitates corporum A& B esse ut rectæ ALDO, BD);& proinde velocitatum summa expone tur per AB: CD autem designat ipsorum velocitatem post impactum,& proinde motus in corpore A amissus erit AAC. Si autem Ain B quiescens impingeret cum velocitate AB; velocitas post impactum esset ut CB,& motus amissus es- set AAC. Cum igitur in utroque casu eadem motus quanti- tas amittitur, cadem quoquè erit ictus magnitudo. QE.D. Cor. I. Si igitur eadem maneat velocitatum summa, hoc est, velocitas respectiva corporum A& B qua ad se invicem accedunt, quæcunque sit velocitatum differentia, seu quo- modocunquè velocitas illa inter corpora concurrentia partita sit, eadem semper erit ictus magnitudo. Cor. 2. Est igitur ictus magnitudo in datis corporibus semper proportionalis ipsorum velocitati respectivæ. Cor. 3. Corporum in dato spatio inclusorum idem sunt motus inter se, sive spatium illud quiescat, sive moveatur uniformiter in directum; nam differentiæ velocitatum quibus corpora tendunt ad eandem partem,& summæ quibus ad contrarias partes tendunt, eœdem sunt, sive spatium in quo corpora includuntur quiescat, sive moveatur uniformiter in directum; adeoque ictus magnitudines hisce semper propor- tionales existentes eœëαdem erunt in utroque casu. Hinç in navi motus omnes eodem modo se habent, sive ea quiescat sive moveatur uniformiter in directum. Sic etiam projecto- rum& percussionum Phænomena eadem contingunt omnia apud nos in terra positos, sive cum terra junctim ferantur o- mnia communi motu, sive absit ille communis motus& ter- ra quiescat; adeoque quæ afferri solebant objectiones a pro- jectionibus inæqualibus eadem vi faciendis, prout vel ad o- rientem vel ad occidentem fierent; atque ab inæqualibus per- cussionibus à tormento bellico globum emittente futuris, prout in has vel illas partes explosio fieret,& quæ sunt ejus- modi, nihil in utramvis partem probant, sive ad quietem terræ, sive motum adstruendum. 8 LE-. 138 INTRODUCTIO E. IO EIV Inulla esset elasticitas, leges, quas in præcedente Le- ctione de percussione corporum durorum proposuimus, omnibus corporibus perfecte congruerent,& corpora o- mnia post impulsum junctim moverentur ad partes eas, ad quas ante percussionem tendebat corpus fortius, hoc est, cujus momentum majus erat,& cum ea celeritate quam in supradictis legibus determinavimus. Verum cum pauca ad- modum dentur corpora in quibus non aliquid inest elastici- tatis(nam molle lutum, cera,& alia istiusmodi corpora, quasdam aẽris particulas in se continent, quæ ipsis virtutem aliquam elasticam reddere valeant) fit per vim illam elasti- cam, ut corpora non junctim post impulsum moveantur, sed à sese resiliant& diversa velocitate aliquando ad eandem, aliquando ad contrarias partes moveantur. Ut vero mo- dus& causa hujus resilitionis intelligatur, res exemplo il- lustrari potest. Sit AB filum supra planum, in aliqua tamen ab eo distan- tia, extensum; cujus duæ extremitates AB firmiter figantur, & fiium fortiter tendatur: si jam trahatur filum per medium suum D, extremitatibus fixis manentibus, ad situm ACB ita ut punctum ejus D sit in C,& tunc dimittatur, non ma- nebit flum in situ ACB, sed magna vi in situm priorem se restituere perget;& cum per continuam vis elasticæ actio- nem motus satis velox in filo genitus est, fit ut cum in si- tum ADB pervenerit, in motu suo versus eandem partem perseverabit, donec vis elastica seu restitutiva ulteriori huic motui continuo renitens,& tandem æquipollens, ipsum de- struet,& filum cum vi versus partes C urgebit, adeo ut cum rursus in situm ADB pervenerit, eandem vim habebit ulterius movendi versus C quam prius habuit tendendi versus partes E atque sic eundo& redeundo continuas vibrationes eiliciet. Ponamus jam corpus F in filum AB irruere: filum per vim ipsi a corporè F illatam ex situ suo deturbabitur,& punctum cjus D, in quod incurrit corpus F, una cum Fversus Cmo- vebitur; qui motus co usque continuabitur, donec vis 2 reit- 24 27³8 22 2 — IAB. IV. AD VERAM PHVSICAM. LECr. XIV. 139 restitutiva motui corporis Fcontraria ipsi æquipolleat, quod cum fit, destruetur motus omnis versus C: vis autem hæc elastica ulterius agens filum reducet, quod itaque corpus F urgebit,& ipsum eadem velocitate secum movebit; sed(ob fortem quam hic supponimus fili tensionem) eadem vi se re- stituet filum qua prius inflexum fuit: at vis qua inflecteba- tur momento corporis impingentis æquipollebat(nam illud omne in filo flectendo impensum fuit) adeoque filum ea vi in corpus Fagendo, eandem motus quantitatem ipsi resti- tuet quæ in flexione insumpta fuerat; adeoque corpus F, eadem velocitate quà advenerat, regredietur, atque sic fiet reflectio. Ponamus jam loco fili corpus aliquod elasticum AB, quod TAs. 5. fixum& immobile supponere primo liceat;& ejus superfi- Vi. 4. cies AD· vi corporis ingruentis Fintrorsum comprimatur: quamprimum vis comprimens, hoc est, motus corporis F cessaverit, elater vi suà insità in pristinam figuram se resti- tuet,& cum ea vi corpus F urgebit versus E;& si corpus utrumvis sit perfecte elasticum, vis elateris restitutiva vi ipsum comprimenti, hoc est, momento corporis F æquipol- lebit, adeoque cum hac vi in corpus Fagens illud cùm ea- dem velocitate, quam prius habebat, retroire coget. Si ve- ro corpus ADBC non fit fixum, sed in tali statu ut motus ejus à nullo alio corpore impediatur, vis elastica in utroque corpore æqualiter aget,& ëquales motuum mutationes pro- ducet; nam si corpus ADB urget corpus F Vversus partem E, illud rursus à corpore Fæqualiter urgebitur ad partem con- trariam;& proinde corpora à se mutuo resilient. Atque sie demonstravimus qua ratione efsectum sit, ut corpora post impulsum non junctim vel quiescant vel moveantur, sed à se invicem resiliendo diversa velocitate contrarias aliquando ineant vias, aliquando eandem. Cartesiani, qui elasticitatis vim ad corpora reflectendum nesciebant, aliam plane diversam tradiderunt reflectionis cau- sam: dixerunt enim motum motui non contrarium esse, sed directionem directioni; ideoque corpus unum in aliud incur- rens reflecti, quia incurrentis motus 2— potest destrui, 10 2 scil. TAu. y. Hg. y. 14⁰ INTRODUCTIO scil. secundum ipsos nihil motui contrarietur: at cum dire- ctio unius alterius directioni obstet, incurrens post impulsum ad contrarias partes reflecti voluerunt, eadem semper ma- nente quantitate motus in percusso& percutiente. Sed facile est ostendere hane sententiam nec rationi nec experientiæ congruam esse; nam cum momentum seu quan- titas motus sit vis seu energia illa qua mobile secundum dire- ctionem suam tendit, si corpora duo sibi mutuo directe oc- currant, vires secundum contrarias plagas impressæ contra- riæ erunt; adeoque si æquales sint, sese mutuo destruent; si inæquales, motus qui est minoris efficaciæ destruetur. Præ: terea corpus unum in aliud majus quiescens, vel secundum easdem partes segnius motum, impingens reflectitur; atqui hoc fieri non potest ob solam directionem directioni contra riam; si enim impingat corpus B in aliud majus A, quod vel quiescit vel verfus easdem partes& tardius movetur, cum vis omnis quæ in utroque corpore reperitur tendat Ver- sus C, vis illa nunquam potest motum versus partes comtra- rias in utrovis corpore dirigere. Nam(per legem secundam) motus ommis fit secundum lineam qua vis imprimitur; at- qui(ex hypothesi) omnis vis imprimitur secundum lineam C, à B versus C: quare si solummodo per vim corporibus insitam fieret reflectio motus, absque nova vi, fieret motus secundum contrariam plagam ei qua vis imprimitur quod fieri non potest. Non igitur à Vi prius impressa oritur illa reflectio, sed à vi elastica, qua pollet utrumvis corpus, queeque secundum partem utranwis æqualiter agens corpo- ra à sese discedere cogit. Præterea, si motus motui non esset contrarius, multo fa- cilius esset corpus semel motum in contrarias partes dirigere, quam penitus Illud sistere; in priore enim casu motus cor- poris in manu reflectentis non recipitur, sed tantum in con- trarias partes vertitur: in posteriore Vero casu, motus iHlle omnis in corpus resistens impenditur; quod tamen est contra manifestam experientiam. Denique, si nihil motui contra- rium esset, ubicunque corpus quodvis in aliud aliquod obsta- culum incurreret, fieret semper reflectio, quod tamen e* peri- F ....(———.— AD VEERAM PHXLSICAM. Lꝝor. XIV. 141 perientiæ repugnat;, nam plumbum, lutum, cera& alia cor- pora elasticitatis fere expertia, si in pavimentum cadunt, non reflectuntur; cum tamen pilæ conflatæ ex lana vel plu- mis, globuli eburnei, marmorei; vitrei,& alia ejusmodi corpora magna elasticitatis vi pollentia, in idem pavimen- tum demissa fortiter resiliunt: reflectio igitur illa noπσε mo- tu qui utrique corpori commumis ęst, sed ab clasticitate, quæ solis reflectentibus peculiaris est, provenit. Quod erat ostendendum. Sed quærent lortasse Cartesiaui, quo pacto innotescit glo- bos eburneos, vitreos, marmoreos,& alia reflectentia cor- pora, quæ durissima esle videantur, elasticitate pollere: re: pondeo illorum elasticitatem posse exinde concludi, quod cum percutiuntur tinnitum edunt, qui à vibrationibus cor- poris percussi oritur, codem modo quo filum tensum suis vibrationibus undulationem aeris eflicit;& proinde minime dubium est, quin corpora illa elatere aliquo prædita sint. Atque hoc quidem argumentum corporum vim elasticam probabilem reddit; sed aliud est argumentum, quo res hæc demonstrative probatur. Sint enim duo globi vel eburnei vel vitrei,& si globo- rum figuræ essent perfecte sphæricœ, in uno tantum& in- divisibili puncto sesè tangerent; sed hoc nulla arte humana fieri potest: tam prope tamen ad figuras sphæricas possunt perduci, ut sese in puncto Physico, hoc est, in parte Visi- bili minima tangant. Si jam unius globi superficies atra- mento(aut quovis colore qui facile detergi potest) inficia- tur,& alter in ipsum quiescentem impingat, experimento constat, non punctum tantum physicum globi incurrentis, post impulsum, alterius colore tingi, sed partem ejus su- perficiei satis magnam; atqui hoc fieri non potest nisi ipso- rum superficies per ictus vim mutatæ fuerint: post reflectio- nem autem utrumque globum pristinam figuram recuperare deprehendimus; quare globi hi habent vim clasticam qua sese in pristinam figuram per ictum deformatam restituere valent. Q. E. D. Sequuntur jam regulæ motus pro corpo- ribus elasticis. 8 3 THEOR. „Mν/ssszͤ ggass„%H x ——— TAn.„ F2· 6 7·0. 9.10. 1I. 12.33.14. 15.16. 14² NI RDUe Trl THEOR. XXIX. & duo cor pora per fucte elastica in se iuvicem impingant, eadem manébit ipsorum velucitas relativa anté& post impactum; hoc est, cor pora per fecte elastica ⁴adem celeritate& sese mutus posi ictum recedeut, qua prius ad se invicem accedebaunt. Nam(per Cor. Theor. 27.) vis compresswa seu ictus ma- gnitudo in datis corporibus oritur à velocitate corporum relativa,& ipsi est proportionalis;&(per Def. II.) corpo- ra perfecte elastica eadem vi sese in pristinam figuram resti- tuunt, qua compressa fuere; hoc est, vis restitutiva æqua- lis est vi Compressivæ, ac proinde vi qua corpora ad sese accedebant ante impactum æquipollet: sed per vim hanc re- stitutivam coguntur corpora à se invicem discedere; unde Vis hæc in eadem corpora agens producet velocitatem rela- tivam æqualem ei quam prius habebant, seu faciet ut cor- pora eãdem velocitate à se invicem recedant qua prius ac- cessere. Q. E. D. ö Cor. Maqualibus igitur.temporibus ante& post impulsum sumptis, æquales erunt corporum à se invicem distantiæ,& proinde æquales quoque erunt in iisdem temporibus distan- tiæ corporum à communi gravitatis centro. Ex hoc corollario regulæ congressuum in corporibus per- fecte elasticis facile eruuntur, quod igitur in sequenti pro- blemate præstandum est. 5B I. III. In corporihus perfecte elasticis& directe impingentibus regu- las congressuum determinare. Omnes hujus problematis casus eãdem operã constructos dabimus. Sint A& B duo corpora perfecte elastica, quo- rum commune gravitatis centrum sit C,& ponantur corpo- ra concurrere in D, ac fiat CE æqualis CD: dico post con- cursum rectam EA exponere velocitatem corporis A ab E versus A,& rectam EB exponere velocitatem mobilis B ab E Versus B. Dem. Cum(per Theor. 23.) commune corporum gra- vitatis centrum ante& post impulsum eadem semper velo- citate E— AD VERAM PHVSICAM. Lr. XIV. 143 citate uniformiter progrediatur, in tempore æquali ei quo percurritur à corpore A longitudo AD, Vel à centro gravita- tis Clongitudo CD, post impulsum ab eodem C percurre- tur longitudo DK ipsi DC æqualis: fiat K qualis CA:& cum(per Cor. præcedentis Theor.) æqualibus temporibus ante& post impactum sumptis, æquales semper sint corpo- rum à communi gravitatis centro distantiæ; codem tempo- ris puncto quo commune gravitatis centrum est in K, cor- pus A reperictur in a, adeoque post impulsum erit ipsius motus à D versus 2,& ejus velocitas erit ut recta D, quæ ab ipso in eo tempore percurritur; sed ob CE æqualem re- dæœ CD vel KD,& CA æqualem Ka, erit rectarum CE, CA differentia æqualis differentiæ rectarum KD, Ka, hoc est, erit EA æqualis D: sed recta Da denotat corporis A velocitatem post impulsum, quare ejus velocitas per rectam EA quoque denotabitur; præterea cum velocitas corporum relativa ante& post impulsum eadem mancat,& recta EA denotet velocitatem mobilis A, velocitas mobilis B post impulsum necessario per rectam E B denotabitur; ab E scil. versus B. Q. E. D. Cor 1. Si corpus B quiescat, coincidet punctum D cum Tas.. B:& quia est Bad A ut AC ad CB, erit componendo B. & A simul ad A ut AB ad CB; unde duplicando conse- quentes erit B& A simul ad 2 A, ut AB ad 2 CB vel EB; hoc est, ut corporum aggregatum ad duplum corporis im- pingentis, ita celeritas impingentis ante contactum ad cele- ritatem prius quiescentis post contactum. Cor Z. Adeoque si A& B æqualia sint, erit A& B 2 A, Tan. 5. unde E B celeritas corporis B post contactum erit æqualis A B Fe.. celeritati corporis A ante contactum;& proinde coincidente puncto E cum puncto A, erit AE velocitas mobilis A post impulsum nihilo æqualis; quod etiam facile sic ostenditur: ob corpora A& B æqualia, erit ACCCB CD SCE, quare coincidit punctum Ecum A,& proinde mobile A post impul- sum quiescet,& corpus B post impulfum movebitur cum cele- ritate EB vel AB. Si igitur corpus elasticum in alterum quiescens& æquale impingeret, post contactum quiescet im- PUNV ———————.——— 144 1 LR0DMeTRN ö pingens,& quiescens cum prioris celeritate movebitur. Cyr. g. Si corpora A& Bæqualia versus eandem partem serantur post contactum ad eandem quoque partem feren- tur, celeritatibus permutatis, nam h CECD& AC CB erit CEAC, hoc est EACD ＋ CB seu BD; adeoque velocitas corporis A post impactum æqualis erit ve- locitati mobilis B ante impactum: præterea quia EAB D erit EBAD,& proinde velocitas corporis B post conta- TAB. y. sig. 13. TAB 5. Fg. I/. Cum, prioris A velocitati ante occursum æqualis erit. Cor. A. Si corpora A& Bæqualia ad contrarias partes fe- rantur, post impulsum ad contrarias partcs recedent, ce- leritatibus permutatis. Nam ODb ACSCB&R CESCD Erit A CE, heceft, Al Cscu BD, adeo- que velocitas corporis A post impactum æqualis erit Veloci- tati corporis B ante impactum: præterca 0⁰½ E.ASB5 ern ADZEB; sed AD erat velocitas corporis A ante occur- sum,& EB est velocitas corporis B post occursum, unde liquet corollarium. Quoniam in praxi calculus semper est adbibendus, con- venit ut modus tradatur, quo celeritates corporum elastico- rum post impulsum sunt myestigandæ,& ad numeros re- ducendæ;& quidem facile esset, ad modum superiorum corollariorum, omnes particulares casus ex generali expo- sita constructione ad numeros reVocare, facillime autem generalis calculus sic eruitur. Ponamus primo corpora A& B versus eandem partem moveri; sitque C velocitas insequentis A, prœcedentis vero B velocitas sit e, unde velocitas corporum relativa erit C c,/& summa motuum versus eandem partem A C Be: velocitas corporis A post impactum versus eandem, qua prius, plagam vocetur,& quia eadem manet corporum velocitas relativa ante& post impactum, velocitas corporis B erit π CE e est enim velocitas corporum relativa æ- qualis xcessui velocitatis qua velocitas corporis celerioris superat velocitatem tardioris, adeoque excessus ille debet sle CHe: cum vero velocitas corporis A sit v, erit ejus mo- tus versus plagam DSAx;& cum velocitas corporis B sit E *2 5—————— ꝑo D VERAM PHVSICAM. Lcr. XIV. 145 Ce, erit ejus motus versus eandem partem Bæ ＋C Be;& horum motuum summa&qualis erit summæ prio- rum motuum, hoc est, erit A* BxEEBC—Ber 1 Be; unde reducendo hanc æquationem, erit Ax ÆBV ACSB*— 2 Be —3CE＋2Be,& x 3Velocitati corporis V55 21* ö AC—30—25Be A. Porro velocitas corporis Best& πά AcCEBCT2BSÆEACEBCEAE *CSEe= A r — 2AC— Act＋B- n. ö 4C—3CH2 Si BC sit major quam AC＋2Be, erit seu— I quantitas negativa, adeoque velocitas corporis A erit versus contrariam partem,& ejus motus Versus D erit negativus. Si corpus P quiescat, hoc est, si sit CO, erit velocitas A0—530 corporis A post impulsum— B brorsum aut retror- — sum prout signum aut— prævaluerit. Si corpora A& B celeritatibus C& c, versus contrarias partes lata, sibi mutuo directe impingant, erit ipsorum mo- tus versus eandem partem ACBe;& velocitas corporum relativa erit C Ac. Sit jam æ velocitas corporis A post im- pactum; erit esus motus versus eandem qua prius plagam Ax,& velocitas corporis B erit X ＋CEε,(nam velocitas corporum relativa per ictum non mutatur)& motus in cor- pore B versus D erit BXÆBCARe; unde summa motuum in casdem partes erit A. BXBCBe que(per Theor. 14.) Equalis erit ACE Be, adeoque erit A& ＋ BxEEAC AC—BCV2B. ů ö E35D& Vvelocitas corporis B erit AEE ACEBC—2B„AB5C25⁶ HACÆA- AB SSRSRRS AHNB BCHBSC 2 ACAArEBa INN Si BCSH½Be sit major quam AC, erit motus corporis A retrorsum, versus contrariam scil. pPartem, in quo casu erit * se AC—30—25——— Huts e — 4 7* Or- — I —1 ＋ Fan. 5. Hg. 18. 19. 144 N RNO0DUC FI Corporum durorum leges primus quod sciam recte tradi- dit Jobannes MMallisius hujus Academiæ in Cathedra Geo- metriæ Favilianu＋ celeberrimus Professor, in Actis Philoso- phicis numero 43. ubi etiam primus veram causam reflectio- num in aliis corporibus aperuit,& has ab clasticitate pro- ficisei docuit. Postea, non longo temporis intervallo, cla- rissimi Viri Dom. Chrisiophorus IIτen tune temporis in hac Acadenia Astronomiæ Professor Savilianus,& Dom.(Hri- sianus Hugens, leges quas observant corpora perfecte ela- Aica, Societati Regiæ Aunglicamæ seOorsim impertivere„ eandem prorsus constructionem dederunt, quamvis uterque quid ab altero factum de hac re fuit, inseius erat. Cum autem illi constructiones& leges motus absque demonstra- tione in PHilosophicis Actis consignarunt, placuit hanc ipso- rum elegantem admodum constructionem exinde depromere & demonstrare. Non dissimili methodo construitur problema in corpori- bus quidem elasticis, sed quæ non se restituunt vi æquali ei qua comprimuntur. Sint enim duo quæcunque corpora A&B, quorum commune gravitatis centrum sit C; secen- tur AC, 5C ita in, ut AC sit ad C& BC ad C, ut Vis Claterem comprimens ad vim qua elater se restituit; fiat- que CE æqualis COD, erit E a velocitas corporis Apost im- pulsum ab E versus,&E erit velocitas corporis B ab E Versus D, ö Quod si vis restitutiva equalis sit vi compressivæ, coin- cidet punctum 4 cum A,& constructio redit ad priorem. Demonstratio facilis est præcedentem intelligenti, nec opus est ut apponatur. THE. OR. / nobilèe A in recta RB uniformiter nhνεαtur;& ixtéert re- Ga linea illa AB, sibi semper garallola, motu etiam aquahili deferatur secundum directfionem aα C parallelum; setque D Dcitr mobile A aα velocitatem vne AB ut ABadα AC, compleatur parallelogrammum ABDC/ cujus diagonalis sit AD; erit hæœc vera linea mobilt A motu sus descripta. Cum linea AB ad situm 4 6 pervenerit, sit g locus mobi- Es A,& quia(per Theor. 6.) spatia simul descripta sunt Ut E I D AD VERAMH PEVSICAM. Lxcr. XIV. 147 ut velocitates, erit a½ longitudo à mobili A percursa ad Aa longitudinem à linca AB percursam, ut velocitas mobilis A ad Velocitatem rectæ AB, hoc est,(ex hyp.) ut AB ad ACj unde parallelogrammum 4 G simile erit parallelogram. mo CB,& proinde(per 24. El. 6.) punctum g in diagonali AD locabitur; hoc est, corpus A semper in recta AD re- perietur, adeoque hæc linea ab illo percurretrir. 2 E.I3. Cor. I. Eodem tempore describitur a mobili Alinea AD, quo absque motu secundum A C lineam AB percurreret; aut quo absque motu secundum AB describeret rectam AC. Cor à. Cum mobile ideo in recta AD deferatur, quod præter motum proprium participat quoque de motu loci sui seu rectæ AB,& motus ejus ex utroque compositus sit; si mobile aliquod duos motus secundum directiones AB, AC simul impressos habeat, sintque motus illi vel vires à qui- bus producuntur ut rectæ AB, AC, erit AD linea descripta à mobili quod à duabus hisce viribus motus impressos rece- pit;& ejus vis, qua in recta AD fertur, erit ad priores se- cundum AB, AC ut diagonalis AD ad latera parallelo- grammi AB3B, AC. Cor 3. Hinc ë converso, si mobile cum vi ut AD per- currat rectam AD, idem erit motus& secundum eandem directionem, ac si initio motus simul impelleretur à duabus viribus, rectis AB, AC proportionalibus, secundum dire- Ciones ab A ad B& ab A ad C: atque hinc motus quivis, etsi in se simplex, tanquam ex pluribus motibus compdsi- tus considerari potest;& vires quælibet in alias plures se- cundum diversas directiones agentes resolvi possunit. R. II. Corpus A in frmum obicem D Cobliquè impingat, erit ener. Tav. 4. gia percusfiouis, sen magnitudo ichus obliqui, aαι maguitu- Fe. ai, Ainem ictuùs quem producéeret idem corpus eadem celeritate perpendiculariter impingeus, ut sinus anguli incidentiæ ACD ad radium. Ab A in obicem demittatur perpendicularis AD, si super- ficies obicis sit plana; vel si curva, demittatur perpendicu- —— 7 — aarls FTan 5. Hg 22. 148 INTRODCTIO laris in planum tangens obicem in puncto incidentiæ,& C compleatur rectangulum DB. Jam(per Corol. 3. præceden- tis) motiis corporis A ut AC in recta A C æquipollet duo- bus motibus simul impressis secundum directiones A B, A D/ qui sunt ad motum in AC ut rectæ AB, AD ad AC: sed mo. tui in recta AB nullo modo resistit obex DC, cum enim AB sit ad DC parallela, corpus in recta A3B motum in Obicem DC nunquam impinget; vis igitur, qua impingit in obicem, est ut recta Al): est itaque vis corporis A in recta AC ad vim qua impingit in Obicem, ut AC ad AD: sed si per- pendiculariter cum vi ut AC impegisset in eundem, ictus magnitudo per AC repræsentaretur, motus enim totus per Obicem destrueretur: quare erit magnitudo ictus Obliqui ad magnitudinem ictus perpendicularis ut AD ad AC; hoc est, pofito AC radio, ut sinus anguli incidentiæ ad radium. RIIIE Si corpus perfocte etasticum in firmum obicem ohlique impin- gat, ah illa ita resflectetur, ut angulo incidentiæ ægualis siet angulur niuflectionis. hncidat corpus A perfécte elasticum in firmum obicem ob- lique secundum lineam AB,; dico corpus illud cum eadem eleritate ita in recta BCreflecti, ut angulo incidentiæ AED æqualis sit angulus reflectionis CBF. Recta AB exponat mo- tum corporis A in directione AB. Per. Corol. 3. Pheor. 30. eHOlvitur hic motus in alios duos secundum directiones AE, H, ad quos motus in AB est ut AB ad AE, AD); sed cum AE sit ad superficiem obicis parallela,& A ad ipfum, vel laltem ad planum obicem in Btangens, perpendiculares; vis illa, qua impingit in Obicem, est ca solummodo quæ est ut AD, secundum directionem ad obicem perpendicularem a- gens: fiat jam BE æqualis& parallela ipsi AD,& EE&qua- is DB vel AE,& compleatur rectangulum EF, quod erit per omnia simile& æquale rectangulo DE. Cum igitur motus ut AE secundum directionem ad obicem parallelam per ictum non destruatur, quippe huic motui obex non est Sontrarius, post impulsum ad-E permanet in corpore vis ut AD VERAM PHVSICAM. LECr. XIV. 149 ut AE vel BEF movendi secundum directionem BF: sed ex na- tura elasticitatis, corpus cum vi ut EB secundum directionem EB in Obicem impingens, cadem vi secundum candem di- rectionem reflectitur; motus igitur corporis ad punctum in- (Hdentiæ B componitur ex motu ut B secundum directio- nem BE,& motu ut BE secundum directionem BE, quare (per Corol. 2. Theor. 30.) CorPus in recta BC cum vi ut 50 movebitur: sed ob AD, CEæquales& parallelas, item 5 DB, BE& angulos ad D&EFeeisuales, erit angulus CBE equalis angulo ABD, 00 est, angulo incidentiæ æqualis erit angulus reflectionis. Q. E. D. . IV. Corporum oblique inpingentium post becur sum determinare mo- rus. Moveantur corpora quæcunque A& B in lineis ad se in- vicem inclinatis AC, BC, quarumn longitudines respeclive exponant velocitates corporum A, B recta EHEC repræsen- tet planum à quo tanguntur corpora in puncto concursus; in quodah A& B demittantur perpendiculares AE, BE, quee exponant velocitates quibus corpora ad se invicem accedunt. Compleantur rectangula EG, EEH. Per Cor. 3. Theor. 30. motus corporis A resolvitur in duos alios secundum dirę- ctiones AC, AE, ad quos motus in AC est ut AC ad AG, AE respective; similiter motus corporis B resolvitur in du- Os alios secundum directiones BF, BH, ad quos motus in BC est ut BCad BF, BH respective: cum vero H, BH sint parallele, velocitatibus quibus secundum has directiones mo- ventur corpora, in se invicem non impingent; adeoque mo- tus secundum hasce directiones per impactum non mutabitur; velocitates igitur quibus corpora in se mutuo incurrunt, sunt ut AE vel GC& BF vel HC. Corporum igitur A, B cum velocitatibus GC, HC in se nutuo directe ineurrentium(per Probl. 2. si Corpora dura sint, vel per Probl. 3. si elastica) determinentur motus; sitque CL velocitas corporis AAC versus Lpost impactum, orta ex velocitatibus GC, HC. Cumque, ut ostensum est, maneat in corpore vis movendi ecundum directionem ad AG parallelam cum velocitate ut IF I 3 A TaAB. 6. . I. 15⁰ INTRODUCTIO AG, fiat CM æqualis AG,& compleatur rectangulum LM; in hujus diagonali CN movebitur corpus A post impactum cum velocitate ut CN, ut patet(per Corol. 2. Theor. 30.) Et similiter determinabitur motus corporis B post impulsum. E. F. · E 1. 0 R.. Tan. 6. Ci mobile A& trihus potentiis ope trium filorum trabastur, vel alio quocunq ue modo ur geatur secundum directiener AB, AE, AC,/ ita ut hæ tres potentiæ sibi mutuo œοcuαιrpolleaut, Hoc est, ur bine quævis alterius esffectum desiruant,& corpus per ullam ipsarum moveatur; poteutiæ ill& inter se αndem ra- Tiouem habebuut cum rechis tribus ad ipsarum directiones pa- rallelis&a mutus concunsu terminatis. Exponat AD potentiam seu vim qua mobile A urgetur ab Aversus B;, vis huic æquipolleps seu æqualis& corpus con- trarie ab A versus D urgens etiam per AD exponetur; sed (per Cor. 3. Theor. 30.) vis ab A versus D corpus impel- lens æquipollet duabus secundum directiones AC, AE agen. tibus, ad quas vis prior ab A versus D agens, est ut AD ad AC, AE, vel ad AC, CD respective;& vicissim vires se- cundum rectas AC, AE agentes,& vi corpus ab A versus D urgenti simul æquipollentes, debent esse ad vim eandem se- cundum AD ut AC&AE vel CD ad AD; quare etiam vi- res secundum rectas AC, AE agentes,& æquipollentes vi qua corpus ab A versus B urgetur, ejusque effechum destru- entes, debent esse ad eandem, ut AC, CDad AD; hoc est, si idem mobile à tribus potentiis sibi mutuo æquipollentibus secundum directiones AB, AC, AE urgeatur, erunt hæ tres potentiæ ut rectæ AD, AC, AB respective. Q. E. D. N Cor. I. Cum in triangulo quovis latera sint ut sinus angu- N lorum oppositorum, erit AC ad CD ut smmus anguli ADC vel DAE ad sinum anguli DAC; unde quævis duæ potentiæ erunt inter se reciproce ut sinus angulorum, quos linęæ directio- num cum linea directionis tertiæ potentiæ continent. Est prœterea AD ad AC ut sinus anguli Cvel AED ad simnum an- guli CDAvel DAE;& similiter potentia secundum AB 908 Cst 2 ———‚— ———.— ＋ —— ————— 2 OB 2 3.J ** *— x — * * 2 — 2 * AD VERAM PHVSICAM. Lxor. XIV. I51 est ad potentiam secundum AE, ut simis anguli ARE ad si- num anguli ADE vel CAD. Cor 2. Si pondus B duæ potentiæ R, S filorum ope fe- Iun 5. cundum rectas AR, AS trahentes sustineant, punctum A à tribus potentiis urgetur, quarum duæ secundum directiones“ AR, AS agunt,& altera est vis gravitatis ponderis B, agens secundum rectam AB ad terram perpendicularem; undèe erit potentia R ad vim gravitatis ut AC ad AD, vel ut sinus an- guli DAE ad sinum anguli DEAveHICAE,& potentia S erit ad Vim gravitatis ut EAadAD, vel sinus anguli CAD ad si- num anguli DEAvel CAE,& potentia Rerit ad Spotentiam ut sinus anguli EAD ad sinum anguli CAD. Theorema hoc cum suis corollariis est fundamentum to- tius Mechanicæ novæe, quam Dominus Variguon edidit,& ab ipso etiam immediate consequuntur pleraque theoremata mechanica, quæ in eximio opere 70 Alphunsi Borelli de Motu animali continentur; ejus enim ope vires musculorum æstimari possunt. IH E. R. KNIIV. C Grave B plano incliuato incumbat,& d poteutia R secun- aum direchtionem plauo parall lam agente suslineatun, nec in yland illo descendat, potentia Rertt àα Pouιαues co-poris B ut siuus anguli inclinationis ad radium. Per punctum ubi Grave plano incumbit, ducatur ad con munem sectionem plani& Horizontis perpendicularis AC,. a cujus puncto quovis A demittatur in planum horizontis per- pendicularis AD,& jungatur CD: erit(per Def. 6. EI. II.) ACD angulus inclinationis plani& horizontis, cujus sinus est AD posito CAradio. Dico jam AC esse ad AD ut pondus cor- poris A ad potentiam R. Corpus enim Bà tribus potentiis secundum diversas directiones agentibus,& sibi mutuo in equilibrio positis urgetur; quarum prima est vis gravitatis secundum directionem BEE ad CD perpendicularem agens, secunda est potentia R corpus trahens secundum directionem BRKad AC parallelam, tertiæ autem potentiæ supplet vicem resistentia seu contranitentia plani secundum lineam FEBEH sibi PCEI- 1 ENTNODUCTTO perpendicularem agens; nam reactio actioni semper est æ- qualis,& fit in plagam contrariam: cumque planum per- pendiculariter a mobili prematur secundum directionem EF, planumææqualiter reaget in corpus secundum directionem BH, & contranitentia illa æquipollet potentiæ secundum EH mo- bile urgenti: cumque hæ tres potentiæ sint sibi mutuo in æ- quilibrio& mobilèe ab ipsis sustineatur, si ducatur FGad EB Parallcla rectæ AC Occurrens in G, erit potentia Rad vim gravitatis ut BG ad FEG(per præcedens Theor.) Sed Ob tri- angulum CEGrectangusum,& demissam in basin CG perpen- dicularem EB, est(per 8. El. G.) ut BG ad FG ita FGad GC/&ut FGad GCita(per 4. El. 6.) erit AD ad AC; qua- reest potentia R ad vim gravitatis ut AD ad AC, veh ut sinus inclinationis plani ad radium. Potentia igitur aliqua potest Grave in plano inclinato sustinere, modo potentia illa sit ad pondus Gravis, ut sinus inclinationis plani ad radium. Q. E. D. Cor. 1. Cum potentia R impediat descensum Gravis in plano AC,& qus momento, quo in illo descendere nititur, æquipolleat; sequitur Gravis cususque vim descendendi in Plano inclinato esse ad vim qua descendere conatur in per- pendiculo, ut sinus inclinationis plani ad radium. Cyr. Z. Hinc etiam plani inclinatio talis assignari potest, ut super illud, quantulacunque potentia pondus quodcun- que magnum sustinere vel etiam elevare poterit. I. EK CTIO XV. Dr Descensu Gravium in Planis Inclinatis& Pendulorum Motu. IEractis iis quæ ad motum generaliter spectant, ad cos jam devenimus qui ex datis viribus oriuntur motus; inr quibus exponendis& Phenomenis inde ortis recensendis Præcipue Versatur vera Physica. Ut igitur à simplicissirnis rdiamur, imprimis consideranda venit vis iha, que um— Formiter, hoc est ubique eodem tenore, versus 18 0(. ＋ 4 1—.— ＋ 2 per plagam dirigitur, qualis vulgo supponitur elle vis 3510 AD VERAM PHVSICAM. LxOr. XV. 153 ete vitatis: quamvis enim certum sit, Gravitatis vim non ubique n pe- eandem esse, sed in diversis à centro Terræ distantiis, qua- mf, dratis distantiarum reciproce esse proportionalem; cum ta- RE, men diverse altitudines ad quas gravia à nobis projecta per- Ino. veniunt, exiguæ admodum sint præ ingenti illa à telluris cen- in&⸗· tro distantia, in tantilla hac altitudinum differentia, candem EB ubique esse Gravitatis vim, tuto& absque minimo sensibili Iuim errore, supponi potest. bttl. De motu itaque Gravium in hoc loco agendum est: Mo- Wen⸗ tum autem illum peragi supponimus, vel in planis ad Ho- 1 rizontem inclinatis, vel in superficiebus curvis, quales sunt sphæricæ& cycloidicæ; vel in spatiis denique liberis& non I(U „ü⸗ resistentibus, de quibus sequentia dabimus Theoremata. Hotet 1. R. V. 1 Descensus Corporis Gra vis, super plan quovis inclinato, est mo- n tus æqquabiliter acceleratus. Esique velocitas guam Gravè suw- . per plano inclimato, in dato quevis temporeò quietè decidens, 5 M acquirit, Velocttatem GEravi perpendiculariter cadente hu, codem tempore acquisilam, ut altitudo plani ad Jus longi- nan tudinem. ——— Sit planum inclinatum AB super quo descendat Grave D. Tan. 6. Per Corol. primum. Theor. 34. est vis qua descendere co-V. 4 eh natur Grave, super plano quovis inclinato, ad vim absolu- Haah. tam Gravitatis, qua sc. in perpendiculo descenderet, in constanti ratione, quæ est sinus inclinationis plani ad radi- um, seu ut altitudo plani ad ejusdem longitudinem; adeo- que cum eadem maneat vis absoluta Gravitatis corporis D, cadem quoque manebit vis qua super plano AB descendere conatur. VIs—— nMla codem semper tenore in Grave D aget; adeoque similiter applicata, per legem secundam, æ- c qualia semper vclocitatum incrementa superaddet; haud se- mrn cus ac fit in Gravibus in perpendiculo cadentibus. Est igi- s tur descensus Grayvium in plang inclinato motus uniformi- 715¹5 er acceleratus. 05. 0 2M. Porro nerementa Vclocitatum Gravium in perpendicuso Wnie& in plano inclinato cadentium, quæ codem tempore inde- 35 0 V nnite 154 INTRODUCTIO finite exiguo producuntur, sunt ad se invicem ut vires qui- bus producuntur: at vires sunt in constanti ratione, scil. ut longitudo plani AB ad ipsius altitudinem AC; quare inere- menta velocitatum inde orta erunt in eadem ratione. Ac pro- inde(per 12. Prop. Elementi V.) summa incrementorum unius erit ad summam incrementorum alterius in eadem ra- tione; hoc est velocitas corporis Gravis in perpendiculo ca- dentis, est ad velocitatem corporis super plano inclinato in- terea descendentis, ut longitudo plani ad ejus altitudinem. 2.. Corol. I. Velocitates corporis Gravis in plano inclinato cadentis, funt ut tempora quibus acquiruntur. Corol. 2. Quæcunque igitur in Theor. 12.& ejus Corol. de motu uniformiter accelerato demonstravimus, vera quo- que erunt de descensu Gravium in planis inclinatis. Scil. spatium à Gravi in plano inclinato cadente dato tempore per- Cursum, ab initio motus computatum, dimidium erit istius quod in illo tempore à mobili uniformiter percurri potest, cum velocitate ultimo acquisita. Item spatia percursa, ab initio motus computata, sunt in duplicata rarione Tempo- rum vel celeritatum. Et Celeritates& Tempora sunt in sub- duplicata ratione spatiorum percursorum. Corol. 3. Hind etiam Gravis Ascensus per planum quod- Vis acclive est motus uniformiter retardatus, sicut fit in A- censu corporis in perpendiculo, illumque cadem ommnino Fmptomata comitantur. 6. Si ad Experientias recurratur, has omnes ratiociniis nostris conformes esse reperiemus;& in planis non admodum de- c„kvibus experimenta instituere facile est, cum motus haud admodum veloces exacte mensurari possint; secus ac fit in descensu in perpendiculo, ubi pernicitas motus observationi- bus accuratis Iocum non relinquit. Notandum nos supponere plana exacte polita,& motum super iis nulla scabritie impeditum. PROBL. ———⏑&.. AD VERAM DPHVSICAM. LECr. XV. 155 l PROBL. V. 0 Dato plano inclinato, Wgnare quam Jus partem Ppercurrit 20. Grave, interea dam aliud Grave datum spatium in pen pen- diculo per fecerit. ra Sit planum inclinatum AB, super quo descendat Grave ex Tan. 6. . A; aslignanda est longitudo quæ à Gravi in plano inclinato.. 6 cadendo percurritur, interea dum aliud Grave spatium AC . in perpendiculo cadens perfecerit. A puncto in AB demit- ö tatur perpendicularis CD plano occurrens in D, crit AD spa- 10 tium in plano inclinato confectum tempore quo Grave cadit in perpendiculo ex Aad C. Si enim non sit AD, sit AE spa- 0. tium eodem tempore confectum, quo grave cadit ex A ad 0- C, quod vel majus vel minus sit quam AD. Ducatur hori- l zontalis recta CB. Et quoniam per Theorema 12. in eo tem- • pore quo Grave cadit ex A ad Cvel ex Aad E, percurri po- test dupla longitudo AC, cum velocitate uniformi,& æqua- t, li ei quæ acquiritur cadendo in C;(sicut per Corol. præce- 20 dentis/) in eodem tempore percurri potest longitudo dupla 90 IPsus AE, cum ca velocitate quæ acquiritur in E, erit(per 5 Theor. VI.) Velocitas in C ad velocitatem in E acquisitam, ut n ACad duplam AE, vel ut AC ad AE: sed cum AC, 1 AE simul percurrantur, erit(per Theorema præcedens) ve- 4. locitas in Cad velocitatem in Eut AB ad AC, quare erit ut 0 AB ad ACita ACad AE: sed(per octavam Elementi 6.) ut AB ad AC ita AC ad AD: quare erit ut AC ad AE ita AC ad AD: ac proinde erit AE æqualis AD, minor majori, quod fieri non potest. Non igitur aliud spatium quam AD à Gra- 0 Vi super plano AB cadente conficitur, interea dum aliud ri Grave cadat ex A ad C. Quod crat ostendendum. 0 Corol. Hinc invenitur spatium per quod Grave in perpen- TAB. 6. 0 diculo cadit, interea dum Grave super plano inclinato per- K.· 6. currit longitudinem quamvis datam AB: nempe si ex puncto B ad AB erigatur perpendicularis recta BC, perpendiculo 0 occurrens in C, erit AC spatium quæsitum. Corol. A. Si duo vel plura sint plana inclinata AB, AE;& VTar. 6. detur spatium AD, quod à Gravi super plano AB in aliquov 7 tem- H. TAB. 6. X.· y. TAB. 6. E. 5. 156 INTRODUCTIO temnpore percurritur; invenietur spatium, quod à Gravi in altero plano AE interea percurratur; erigendo ex puncto D perꝑendicularem DG, cum perpendiculo occurrens in G,& ex Gin AE demittendo perpendicularem GH plano AE oc- currens in H, erit AH spatium quæsitum: utrumque enim spatium AD, AH conficitur in eo tempore, quo Grave in perpendiculo descendit ex A ad G. Corol. 3. EX hujus Theorematis demonstratione constat, velocitates à Gravibus in perpendiculo& in plano inclinato, eodem tempore acquisitas, esse ut spatia ab iisdem confecta. 4 HK. N. Tempus quo percurritun plauum ing.dinatum AB est ad tempus quo percurritur perpendiculum AC, 2 AB longitudo plani ad lon itudiuem per pendiculi AC. Ex C ad AB demittatur perpendicularis CD,& erit tem- pus quo percurritur AD, æquale tempori quo AC percurri- tur. Est vero tempus quo percurritur AB, ad tempus quo per- curritur AD, in subduplicata ratione ABad A(per Corol. 2. Theor. 35.) hoc est, ob AB, AC, AD continue proportio- nales, est tempus quo percurritur AB ad tempus quo per- curritur AD vel AC, ut AB ad AC. Quod erat demonstran- dum. Corol. Hinc tempora quibus percurruntur diversa plana, AB, AD, KB, quorum cadem est altitudo, sunt ut longitu- dines planorum: est enim temous per AB ad tempus per A ut AB ad AC;& tempus per AC ad tempus per AD ut AC ad AD: quare ex æquo erit tempus per AB ad tempus per AD, ut AB ad AD. HE O R. XXXVII. Celeritates Gravium, super plano quovis iuclinato& in perpen- Miculo, æquales sunt, ubi Graviæ per venerint e eadem alti. zudine ad candem rectam Horisontalem. Sit planum inclinatum AB,&Hcrpendiculum AC. Du⸗- catur Horizontalis recta BC. Dico celeritatem acquisitam in pun e——:.— AD VERAM PHVSICAM. Lror. XV. 157 puncto B, post descensum per AB, æqualem fore celeritati acquisitæ in puncto C, post casum per AC. A puncto C demittatur ad AB perpendicularis CD. Erit AD spatium quod à Gravi in plano, AB cadendo percurritur, in eo tempore uo aliud Grave in perpendiculo descendit per AC:&(Per Car 3. Probl. 5.) celeritas in Cest ad celeritatem in D ut AC ad AD), velut AB ad AC. Quoniam autem cœleritates super eodem plano cadendo acquisitæ, sunt in subduplica- ta ratione longitudinum quæ à Gravi percurruntur, erit ce- leritas in B ad celeritatem in D in subduplicata ratione lon- gitudinis AB ad longitudinem AD; hoc est, Oh0 AB, AC, AD continue proportionales, ut AB ad AC. Sed ostensum celeritatem in Cesse ad eandem celeritatem in D etiam ut AB ad AC; quare cum celeritates in& C eandem habeant pro- portionem ad celeritatem in D, inter se æquales erunt. Quod erat demonstrandum. Cor Hinc celeritates, quæ à Gravibus cadendo ex ea- Taz. 6. dem altitudine, ad eandem Horizontalem rectam, super V.&. planis utcunque inclinatis acquiruntur, sunt inter se æqua- les: nam utraque celeritas, scil. ea quæ acquiritur in pun- cto B, post descensum per AB vel KB,;& ea quæ acquiritur in puncto D, post descensum per AD, æqualis est celerita- ti acquisitæ in descensu Gravis ex Aad C. THEOR. XXXVII. Si er éeααdem altitudinè descendat mobile continunto motu, per quot libet ac quælicet plana continue A3B. BC, CD; sem— Her eandem in fune velocitatem acguiret, quæ nimirum aqua- lis est ei quα cadendo perpeuαιαπμ-μẽU⁰rιten eασα αιιι’ꝗαιitudiuè as- qutnetun. ö Per A& D ducantur Horizontales rectæ HE, DF,& pro- ducantur plana BC, CD, ut cum HE conveniant in punctis G& E.(Per Corol. Theor. 37.) eadem celeritas acquiri- tur in puncto B, descendendo per AB, ac si per GB descen- disset Grayve: supponimus autem flexum aut punctum B, non impedire motum Gravis cadentis, sed tantum ipsius di- rectionem mutare; adeoque in puncto C eadem erit celeritas acquisita descendendo per AB, 9 c si per GC descendifet. V Sed 158 INTRODUCTIO Sed descendendo per CG, eadem acquiritur celeritas quam obtineret grave cadendo per EC: adeoque cum flexus CVe- locitatem Gravis non minuere supponitur, in D eandem ve- Ha. 6e H. 20. locitatem habebit, ac si descendisset per planum ED, vel per EF perpendiculum. Q E. D. Cor. 1. Hinc liquet, per circuli circumferentiam, velper curvas quaslibet, descendente mobili,(nam curvas tanquam ex infinitis rectis compositas hic considerare liceat) semper candem ipsi velocitatem acquiri, ac si ab cadem altitudine recta in perpendiculo descenderit Grave. Cor. 2. Cuod si Grave, post descensum per AB„35C, CD, vel per HD, sursum convertat motum suum ascendet ad candem unde venit altitudinem, per quæcunque plana in- clinata: nam cum Gravitas cadem semper vi in codem pla- no agat, sive ascendat corpus sive descendat, cadem erit ejus efficacia ad corporis velocitatem in ascensu minuendam, quæ est ad ipsam in descensu augendam; tantum igitur est decrementum velocitatis in puncto C, dum ascendat mobi- le à D ad C, quantum fuit incrementum velocitatis acqui- situm in descensu à C ad D; ac proinde eadem erit veloci- tas in C, post ascensum per CD, quæ erat prius in codem puncto, post descensum per AB, EBC. Similiter velocitas in B post ascensum per CBg eadem est cum velocitate acαui- sita in descensu per AB vel BG,; sic etiam Gravitas tantun. dem detrahet à velocitate mobilis ascendendo per BA, quan- tum acquirebatur in descensu per AB;,& in punctis què altis cadem semper erit mobilis velocitas: sed Velocitas in initio descensus, cil. in puncto A nulla fuit; adeoque ascenden- do, in puncto illo A omnis tolletur velocitas, quod igi- tur SMithüm crit terminus ad quem mobile ascendendo per- veniet. Cyr. 3. Si mohile per superficiem quamvis AB descendat ad punctum infimum B, ac deinde, vVelocitate cadendo ac- quisita, per superficiem similem& αdualem BC ascendat; E temporibus per æqualia spatia ascendet ac de- cendet. THEOR. AD VERAM PHVSICAM. LEor. XV. 159 THE O R. XXXIX. Si ꝗ punéto supremo A, vel infimo B, circuli aαι Horizontem Tan. 7. orbcti, ducantur quælibet plana iunαliiαι A, e ad circumferentiam; tempora descensuum per ifis, gudlta erunt tempori, quo Eravia perpeudiculariter per diame- trum cadlunt. Cadat Grave ex A ad C, super plano AC: dico tempus descenfus per AC æquale esse tempori descensus per Diame- trum AB. Nam angulus AC in semicirculo rectus est,(per 31. Elementi tertii) unde cum à puncto Cad AC erecta sit perpendicularis BC, perpendiculo AB occurrens in B, e- rit(per Corol. 1. Probl. 5.) tempus descensus per AC in plano inclinato, æquale tempori casus per AB in perpendi. culo. Dico etiam tempus per CB eidem tempori per AB equale fore. Ducatur CD ad AB,& DB ad AC paralle- la:&(per 34. Elementi primi) erit CD æqualis AB& ob angulum AC in semicirculo rectum, erit angulus CBD rectus: quare cum à puncto B, super CB erecta sit ad an- gulos rectos BD, cum perpendiculo conveniens in D; erit (per Corol. 1. Probl. 5.) tempus per CB æquale tempori descensus per CD; sed est CI) æqualis AB, unde tempus per CB æquale erit tempori per AB. Idem aliter sic ostendi possit. Pempus descensus per AB est ad tempus per EB, in subduplicata ratione AB ad EB, hoc est(Ob AB, BC, EB continue proportionales) ut AB ad 5C, vel BC ad EB,; sed(per Theor. 36.) tempus per BC est ad tempus per EB in eadem ratione BC ad EB: quare cum tempora per AB& BCad tempus per EBE eandem obtinc- ant rationem, æqualia erunt. Quod erat demonstrandum. Cor. 1. Si ducatur perpendiculum AB,& super Diametro Tar. AB, describatur Circulus; omnia plana à puncto B, vel à H. 2. puncto A, ad circuli circumferentiam ducta eodem tempo- re percurrentur; eodem scil. tempore percurruntur ABE, CB, DB, EB, FB, GB5. Cor. 2. Si in eodem puncto supremo A, plures circuli LV. 7. ABD, AGE se mutuo tangant,& excarit plura plana B, AC, V. AD, AE circulos secantia; partes GE, HB, LC, KLDaquali rEun II.· 114 TaxX. 7. . 4. 160⁰ 1IN IK 0DUlenl0 tempore percurrentur, si initium motus fiat à puncto su- premo. 1 H E O R. KI.. C/ An) Gravis descendant su per duobus aut pluribus planis, smiliter inclinatir& propor tionalibus; tempora tir percur- nendis impensa erunt in subduplicata rationue longitudinum hplanorim. Percurrat Grave quodvis plana AB. BC, alterum autem Grave plana DE, EV, similiter ad Horizontem inclinata& Pproportionalia, hoc est, ut sint anguli BAG, EDH, item 3B3GA, EHDæquales;& AB ad BCut DEad EF. Dico tem- pus quo percurruntur AE, BC ad tempus quo percurruntur DE, EF, subduplicatam habere rationem planorum AB, BC ad plana DE, EE. Ob triangula ABG, DEH æquiangula, est AB ad DE ut BG ad EH, sed ex hypothesi ut AB ad DE ita est BCad EF, quare ut BG ad EH ita est BC ad EEF;& ita(per 12. Elementi quinti) est GC ad HF. Sed quia AB, DE similiter inclinata sunt, eodem prorsus modo per- curruntur ac si partes essent ejusdem plani; sic etiam plana GC, EF eodem modo percurruntur ac si partes essent ejus- dem plani: adeoque tempus per AB erit ad tempus per DE in subduplicata ratione AB ad DE:& tempus per GC est ad tempus per HE in subduplicata ratione GC ad HE, vel in subduplicata ratione AB ad DE. Sed tempus per GB est ad tempus per HE, in subduplicata ratione GE ad HE, vel AB ad E; adeoque(per 19. Elementi quinti) tempus per BC post descensum ex G vel A, est ad tempus per E post de- scensum ex H vel D, in subduplicata ratione AB ad DE, hoc est ut tempus per AB ad tempus per DE: adeoque(per 12. Elem. V.) tempus per AB, BC erit ad tempus per DE, EE ut tempus per AB ad tempus per IDE; Vel in subduplicata ratione AB ad DE, verum ob AB ad DE ut BC ad EF, erit AB ad DE ut AB, BC ad DE, EE, adeoque tempus per AB, BC crit ad tempus per DE, EF in subduplicata ratione AB, EC ad E, ET. Q. E. H. Idem sirniliter oftendetur fi plura essent utrobique plana inclinata& pro- portionalia, unde patet propositum. Cor. 2w.—ß—ß. F0 AD VERAM PHVSICAM. LEOr. XV. 161 Wi Cor. Si sint duæ superficies curvæ AB, DE, similes& si- TAB. 7. militer positæ, hœ minimè differunt ab infinitis numero pla-—— nis, infinite parvis,& proportionalibus,& ad se invicem Wä ö similiter inclinatis: adeoque erit tempus descensus per su⸗- in perficiem AB ad tempus descensus per superficiem DE in unn subduplicata ratione AB ad DE. P. K On 150 VI. tem Dato spatio AB in plauo uteunque inclinato, ²½ dato tem. Tan. 7. 4& poré à Gravieò quiete cadente percurso; in venire spati.“ tem um percun sum aquali tempore, in alio plauno contiguo Em⸗ BG/ posito Grave in secundo hoc plauo motum suum con- Htur tinuare. ⁰ Per A ducatur horizontalis recta AE,& producatur B6 ula, ad E, ac fiat BD æqualis A3B,;& rectis EB, ED capiatur U tertia proportionalis EC: erit BC spatium quod in secun- * do plano à Gravi motum suum continuante æquali tempo- uua— re percurritur, quo AB in primo plano. Exponat enim AB r vel BD tempus per AB, unde(per Corol. Theor. 36.) M EB exponet tempus per EB. Est vero tempus per EB ad Jul⸗ tempus per EC, in subduplicata ratione EB ad EC, hoc DE est ut EB ad ED; sed est EB spatium quod percurritur tem- Tad pore ut EB,; adeoque EC erit spatium quod percurritur UIin tempore ut ED, ac proinde BC est spatium quod percur- 40 ritur tempore ut DB vel AB, post casum ex E vel A. 5 Quod erat inveniendum../ 2 R OB I. VII. e- Dato spatio AB in plauo inclinato, Graviò quietée cadeute Tas 7. 0⁰ Percus so in dato tempore; item spatio BC in alio plano comti- M. 7. 2. Huo, in quo Grave motum suum continuat: Iuveuire tempus EF quo percurritur spatium illud datum BC. 12 Ducatur per A horizontalis recta AE, cui occurrat BC P, producta in E.: inter EB, EC inveniatur media proportio- 5 nalis ED. Et si AB exponat tempus quo percurritur AB, BD exponet tempus quæsitum quo percurritur BC. Est enim Rer tempus per AB ad tempus per EB, ut AB ad ER; adeoque 0 EB exprimet tempus quo Grave cadet per EB: at est tempus per EB ad tempus per EC, in subduplicata ratione EB ad EC, Cor. Tau. 7. 1. 7. 16² I1I RKDUTIO sve Ob EB, ED, EC continue proportionales, ut EB ad ED; sed est EE ut tempus per EBE; unde DB erit ut tempus per BC. Ac proinde tempus per AB erit ad tempus BC ut AB ad BD. Q. E.I. Cor. Hinc si Grave successwe per plura plana inclinata AB, BC, CD deferatur, assignari potest tempus in quo per singula movetur: producantur enim BC, CDat cum ho- rizontali per Aducta conveniant in E,& F, inter EB, EC fiat EC media proportionalis: item inter EC, FD fiat media proportionalis EH,& si AB exponat tempus per AB, 56 exponet tempus per BC,& CH exponet tempus per CD. Def, Si Grave quodvis A, filo tenuissimo circa centrum B mobili, appendatur; talem machinam Pendulum appella- mus. Quod si Peudulum circa B rotetur ut Grave arcum CAD describat, idem motus huic Gravi accidet ac si in su- perficie sphœærica CAD, perfecte dura ac levigata, motum fuisset corpus Grave. Etenim motum circa punctum B li- berrimum supponimus,& ab aëris resistentia, quæ in gra- vioribus pendulis exigua admodum est, abstrahimus: quod si pendulum ad situm BC deferatur,& exinde demittatur, Grave descendendo describet arcum CA,& in puncto Acam habebit velocitatem quæ acquiritur cadendo per EA, qua velocitate per tangentem in A exire conabitur; per Legem primam. Verum cum per filum AB detineatur in Periphe- ria CADD, ascendet per arcum AD ad eandem altitudinem, scil. ad Dex qua decidit,(per Cor. 2. Pheor. 38.) ubi omni amissa velocitate, sua gravitate rursus incipiet descendere; & in puncto A priorem acquiret velocitatem, cum qua ascen- det ad C: atque sic ascendendo& dessendendo continuas vi- brationes in peripheria CAD perficiet. Quod si aër pendulo- rum motui nihil obstaret,& si nulla esset frictio cirea cen- trum rotationis B, in æternum duraturæ forent pendulorum vibrationes: at ob hasce causas aliquantulum, licet insensi- biliter singulis vibrationibus diminuitur penduli Velocitas in puncto A, unde fit ut nonad idem prœæcise punctum redeat Graye penduli, sed arcus in quos excurrit continuo brevio- res reddantur, donec tandem insensibiles evadant. ͤ HEOR. A SA...— D VERAM PEVSICAM. LEcr. XV. 163 — 90 ＋HE O RK. XLI. I1A5 Ejnsdem poenduli Vibrationes πiεμα, utcunque inααμα⁴ιee int, ö Ffere& ad sensum suint aquidiuturud. Hata quo Sit pendulum AB, quod oscillando describit inæquales ar- Tav. 57. 0. cus CBD, FBG: dico æqualia fere in illis describendis insu-S. 10. EC mi tempora, sive oscillationem in arcu CBD æquali fere tem- Edla pore peragi, quo perficitur oscillatio in arcu EEG, modo 5⁰ arcus CB, EB, non sint nimis magni. Ducantur subtensæ . CB, FB, DB, GB,;& quoniam arcus supponantur exigui, Hum ii nec longitudine nec declivitate multum à subtensis suis Wa deflectunt: ac proinde Grave paria fere insumet tempora, Cum se per arcus CB, FB, sive per arcuum subtensas feratur; nfu. sed tempora descensuum per arcuum subtensas æqualia sunt um(per Theor. 39.) Quare tempora per arcus BC, FB erunt fere æqualia, igitur& horum temporum dupla, scil. quibus oscillando describuntur inequales arcus CBD, FBG, erunt 900 quoque fere æqualia. Quare ejusdem penduli vibrationes tur, licet in arcus inæquales excurrentes, sunt saltem ad sensum (am quidiuturnæ. Q. E. D. ö ö n Huic Theoremati suffragatur experientia; pendula enim Rem duo æqualis longitudinis ad motum incitata, quorum unum 1. in multo majores arcus&currat quam alterum, tempora oscillationum fere&qualia habebunt, adeo ut in centum 3i oscillationibus vix erit discrepantia temporis unius oscilla- 10 tionis. en I1I 1. OIR. XI II. Durationes Oscillationum duorum pendulorum in similes Arcus 2230 excurrentium, suut in subduplicata ratione laugitudinum ub⸗ Penaulorum. — Sint duo pendula AB, OD, in arcubus similibus EBRF, GDH Tar. y. Bän oscillantia; erit tempus oscillationis penduli AB ad tempus VS. 11. lenlr. oscillationis penduli CD, in subduplicata ratione longitudi- 0 nis AB ad longitudinem CD. Nam quoniam arcus EB, GD de sunt similes& similiter positi, erit(per cor. Theor. 40.) tem- Cu¹0• pus descensus per EB, ad tempus 4 GD, in subduplicata ö 2 90 ratione Tas. Fg. I. 164 PNTRN0DUCTTO ratione EB ad GD; sed tempus descensus per EB est dimi- dium oscillationis integræ in arcu EBF, sicut tempus de- scensus per GD est dimidium oscillationis integræ per arcum GDE; adeoque tempus oscillationis penduli per arcum EBE crit ad tempus oscillationis penduli per arcum GH, in sub- duplicata ratione EB ad GD: hoc est, ob arcus EB, GD simi- les, in subduplicata ratione semidiametri AB ad semidiame- trum CD; vel in subduplicata ratione longitudinis penduli AB ad longitudinem penduli CD. Q. E. D. Cor. Longitudines pendulorum sunt in duplicata ratione temporum quibus oscillationes perficiuntur. Cum durationes vibrationum sint reciproce ut numerus Vibrationum eodem tempore peractarum, facile ex dato nu- mero vibrationum quæ ab uno pendulo AB notæ longitudi- nis, in dato tempore perficiuntur, dabitur numerus vibra- tionum, quæ ab alio quovis pendulo CD notæ longitudinis eodem tempore perficientur; capiendo numerum qui sit ad numerum vibrationum penduli AB, in subduplicata ratione AB ad CD, sive ut AB ad mediam proportionalem inter AB, CD, velut radix quadrata numeri quo exprimitur longitu- do penduli AB, ad radicem quadratam numeri quo expri- mitur longitudo penduli CD. Et vicissim ex dato vibratio- num nuniero quæ eodem tempore à duobus pendulis AB, CD perficiuntur,& data longitudine unius scil. AB, dabitur longitudo alterius CD; nempe faciendo ut quadratum nume- ri Vihrationum penduli CD ad quadratum numeri vibratio- num penduli AB, ita longitudo AB ad longitudinem quæsi- tam CD. THEH OR. XLIII. Velocitas penduli in puncte infimò est ut subtensa arcus quem descendende describit. Sit Pendulum AB, quod motu suo describat circulum BDCG: dico velocitatem acquisitam cadendo ex D in B, esse ad velocitatem in B acquisitam cadendo ex C in B, ut chor- da arcus BD) ad chordam arcus BC. Per puncta D, C ducan- tur horizontales rectæ DE, CF:& erit velocitas gravis 59 quisita 25* .3.. LAB. LII. AD VERAM PHVSICAM. Lrcr. XV. 165 quisita descendendo per EP, ad velocitatem gravis acquisi- tam in descensu per GB, in subduplicata ratione EE ad GB, hoc est, ob EB, DB, GB continue Proportionales, ut DBad GB. Eadem ratione, velocitas acquisita à mobili cadendo per GB, est ad velocitatem acquisitam in casu per FB, ut GB ad CB. Quare ex æquo, velocitas acquisita in descensu gra- vis per EB, erit ad velocitatem acquisitam in descensu per PB, ut DBad CB, sed velocitas acquisita in descensu per ar- cum DB, eadem est cum velocitate acquisita in perpendicu- 10 per EB;& velocitas in descensu per arcum CB acquisita, eadem est cum velocitate in perpendiculari descensu per FB acquisita. Quare erit velocitas acquisita in descensu per ar- cum DB, ad velocitatem acquisitam in descensu per arcum CB, ut subtensa DB ad subtensam CB. Q. E. D. Corol. I. Sit GB perpendiculum cujusvis longitudinis,& Tas. 8. velocitas acquisita in descensu Gravis ex G ad Bexponatur Ve. 2. per GB: super quo tanquam diametro, describatur semicircu- Ius GCDB,& ex quovis diametri puncto E, erigatur nor- malis ED, peripheriæ occurrens in D,ducaturque chorda GD: erit hæc ut velocitas à Gravi acquisita cadendo ex altitudi- ne GE: nam ob BG, GD, GE continue proportionales, erit ratio BG ad GD subduplicata rationis B6 ad GE, adeoque BG erit ad GD ut velocitas acquisita cadendo ex altitudine GB, ad velocitatem per GE cadendo acquisitam. Similiter velocitas acquisita cadendo per GB, est ad velocitatem ac- quisitam ex casu per GF, ut GBad GC; adeoqueè veloci- tates acquisiteæ à Gravibus, cadendo per altitudines GE, GF, junt ut chord E, C..... Cor. 2. Si capiantur arcus B, B2, B3,&c. tales, ut eo- Tar 8. rum subtensæ sint ut 1, 2, 3,&c. respective; atque vis quæ-A. 1. dam agens pendulum sursum impellat per arcum B 1, alia ve- ro per arcum B2,& alia per arcum B3 velocitates pendu- li in puncto B hisce viribus moti, erunt ut 1, 2, 3 respecti- Vè. Opè hujus Theorematis, variæ in quavis ratione data ve- locitates mobili tribuentur; aliæque percussione alterius 3 COr- 166 INTRODUCTIO corporis acquisitæ, inter se& cum aliis initio datis, com- parari possunt. 4%%½%% Fiat Triangulum ligneum ABC, in quo juxta angulum A, 3 3. capiantur duo puncta D, E, quorum distantia talis sit, ut pendula duo DFH, EG eexX illis libere dependentia se mutuo tangant,& centris D, E, intervallo DF vel EG describan- * tur circulorum arcus EK, GH, in quibus capiantur portiones FI,GI; F2Z, G2; F3, G3; F4, G4,&c. tales ut subten- ö see sint ut 1, 2, 3, 4,&c. respective;& si Grave F ad pun- ctum 5 attollatur in arcu KH, G vero ad punctum 3 in ar- cu GH, atque simul demittantur(per Theor. 41.) ad pun- cta infima simul pervenient,& velocitates quibus sese per- cutient erunt ut 5& 3: quod si post ictum mobile G in ar- cu GE ascendat ad 5,& mobile Fin arcu FK ascendat ad 35 erunt velocitates mobilium F& Gut 3& 5 respective& 2 Versus contrarias partes. Ad hunc modum facile erit expe- rientiæ subjicere regulas motus, tam in corporibus duris quam elasticis, quas in lectionibus XIII& XIV demonstra- vimus. Cum ejusdem penduli vibrationes minimer sint fere æqui- diuturnæ, licet arcus in quibus excurrat pendulum sint inæ- quales; hinc egregium pendulorum usum, ad horologiorum automaten motus regendos, monstravit CHristianus Hugeni- us; quamvis enim Galilæus hujus scientiæ author, pendula prius adhibuit in observationibus Astronomicis& Physicis, 1 quæ accuratam temporis mensuram requirunt: Hugenius ta- 0 men primus horologia pendulis instruxit,& experientia com- probavit, horologia ejusmodi, priora illa quorum libratores Horizontales fuerint, longe superare. Ex eo tempore in u- sum communem recepta sunt horologia pendulis instructa, quorum aliqua tam affabre elaborata sint, ut temporis men- 1 suram exhibeant motu Solis multo justiorem, qui tempus ap- — parens seu relativum solummodo monstrat, non autem ve- * rum& absolutum; unde fit ut automata pendulis instructa, statis temporibus horam indicant ab apparenti diversam,& aliquando tempus solaris horologii quindecim vel sedecim minutis primis superantem, aliquando totidem minutis ab Cco D VERAM PEVSICAM. Lxer. XV. 167 eo deficientem: nec nisi quater in quolibet anno soα h°ro- logium automaton idem temporis punctum monstrant. Quamvis ejusdem penduli vibrationes,(Hiect eScurrat Pen- qulum in arcus inæquales,) sint fere& ad sensum æquidi- uturnæ; cum tamen non sint Onmimodo& Geometrice ta- les, sed majores minoribus sint aliquantulum diuturniores, & vibrationes pauxilla temporis quantitate àa se inicem dif- ferant, ex multis minimis differentiolis, tandem magna sa- tis Conflatur difserentia, idque ita esse reipsâ atque experi- mentis evincitur: si enim, ut aliquando in frigida fit tem- pestate, lentore aliquo afficiantur rotæ, ut pendulum mino- re Vi impellant, incitatius quam par est festinant oscillatio- nes; si nimia lubricitate polleant rotæœ,& pendulum in ma- jorem arcum excurrere cogant, lentius procedit tempus ab horologio indicatum. Imo ex nuperis experimentis in A. Gis Philosophicis Londinensibus recensitis, constat automati pendulum in vacuo vibrationes perficiens, sublatã acris resi- stentià in majores arcus excurrisse,& singulas oscillationes in majore tempore complevisse. Quare ut pendulorum Oscilla- tiones ad omnimodam æqualitatem redigantur,& reciproca- tionum penduli latiorum angustiorumque tempora perfecte æqualia evadant; excogitavit Hugenius methodum duo Gra- ve penduli per cycloidis arcum semper deferretur. In se- quentibus autem demonstrabitur, tempora descensuum per quoscunque ejusdem cycloidis arcus ad punctum infimum quod verticem cycloidis esse supponitur, inter se æqualia es- se; adeoque si Grave penduli femper in arcu cycloidis mo- veatur, erunt tempora oscillationum accurate inter se æqua- lia; sive pendulum in majores excurrat arcus, sive in mino- res. 1— TRi R. IINV. S/ centro C, intervallo quovis CA, describatun circuli qua. IAV. arans AHB, atque in recta ACea lege descendat mobilée, ut e 4. gut velocitas in loco quovis Psit semper ut PLquæ est sinus ar- cus AL; erit tempus quo descendit mobile ο— A ⁴ασι C, quale tempori quo percurri possit peripheria AHB cum uniformi ve- locitate ut CB quæ ultimo à mobili cadendo acquiritur: erit ö 5praterea ————— 168 INTRODUCTIO cerea tempus casus per spatium quodvis AF, ad tempus ca- su per spatium Ap, ut arcus AH à⁴αι arcum A“;& vis gua in Loco quovισ F acceleratur mobilé erit t FC, quæ est 0oct& ceutro distantia. Distinguatur peripheria AB in particulas innumeras infini- te exiguas LLLL,& ducantur EH, PE, p“ in AC perpendi- culares; jungatur HC, sitque HK perpendicularis in PL. Quo- niam triangula EHCKHL sunt æquiangula,(nam præter an- gulos ad F& K rectos, est angulus EHCæqualis angulo KEL, est enim angulus KHC utriusque complementum ad rectum) erit EHad HCut KH vel FP ad HL.; sed(ex hyp.) est EH ut velocitas mobilis in puncto F qua scil. percurritur lineola FP,& CH vel CB est ut velocitas que ultimo cadendo ac- quiritur, ubi mobile ad Cpervenerit, adeoque erit ut velo- citas qua describitur arcus HL. Erit igitur velocitas mobi- lis descendentis per lineolam EP, ad velocitatem mobilis quod per arcum HL movetur, ut ipsa lineola FP ad arcum EL; quare cum velocitates sint spatiis percursis proportionales, e- runt tempora in quibus spatia percurruntur, æqualia. Si- militer demonstrari potest aliam quamvis peripheriæ particu- lam LLcum velocitate(E describi, ecdem tempore quo per- curritur correspendens lineola PP in perpendiculo, cum ve- locitate correspondente EL, ac proinde componendo eodem tempore descendit mobile per omnes lineolas PP, hoc est per totam AC, quo percurruntur omnes arcus LL, vel tota pe- ripheria AHB, cum velocitate uniformi ut CB. Q. E. D. Præterea est tempus quo descendit mobile ab A ad F, æ- quale tempori quo percurritur arcus AH,& tempus quo de- scendit mobile ab A ad, æquale est tempori quo describi- tur arcus A“: sed est tempus quo percurritur arcus AH, ad tempus quo percurritur arcus A(cum utraque eadem ve- locitate describitur) ut arcus AH ad arcum A/; quare erit tempus descensus ex A in Fad tempus descensus ex A in ↄ, ut arcus AHad arcum A; ac proinde dividendo tempus per Fy erit ut HV arcus. Q. E. D. Fiant arcus HL,„5 æqua- les, unde tempus descensus per EP æquale erit tempori per /;& Ob triangula KHL, FIC, item 4%, Il C a. AD VERXM PHVSICANM. Lger. XV. 169 la, erit KLad EHL vel, ut FC ad CH vel Ch: item est h ad ιut Cy ad Cf, ac proinde, ex æquo, erit KL ad l ut CF ad Cꝰ, at est KL ut incrementum velocitatis acquisitum dum mobile percurrit EP,& est ut incrementum veloci- tatis mobilis dum in æquali temporè percurrit lincolam, vires vero quibus acceleratur mobile in Iocis F&/ sunt ut incrementa velocitatum temporibus æqualibus orta, erunt igitur vires mobilis acceleratrices in locis F&Vut rectæ KL, 2, hoc est vis qua urgetur mobile in F est ad vVim qua ur- getur in, ut KL ad ι sed ostensum est ut KL ad ita else CF ad Cę, quare erit vis qua urgetur mobile in F ad vim qua in Furgetur, ut distantia CF ad distantiam C. Sunt igitur vires acceleratrices in quibusvis locis ut ipsorum à cen- tro distantiæ. Q. E. D. Cor. Hinc è converso si mobile descendendo ab A ad Cur- geatur à vi quæ sit ut ipsius à centro distantia;& Vis illa mitio motus exponatur per rectam DE, posito arcu AE in- sinite exiguo; velocitates ejusdem mobilis in locis quibusvis EFexprimentur per sinus FEH, Fh,& tempora per arcus AH, AY;& incrementa velocitatum, vel, si arcus æqualiter cre- scant, vires acceleratrices per incrementa sinuum exponentur. THEOR. XLV. mohile in recta AC urgeatur versus punctum C, viribus quæ ut distantiis ꝗ puncτο C proportionabes, eσ guacunque 4lli- tudine demittatur, ad punctum Ceodem semper tempore per- veniet; estque tempus illud ad tempus quo polssit mobile per- currere ⁴andem viam, cum uniformi velocttate& qualt ei quæ ultimò cadendo acquiritur, ut semiperipheria circuli ⁴ ejus diametrum. Demittantur duo mobilia ex punctis A& M simul,& ur- P g. geatur utrumque mobile viribus quæ sint distantiis à puncto f½. 5. Oproportionales: dico utrumque mobile ad punctum Ceo- dem tempore perventurum. Centro C, intervallis CA, CM, describantur circuli quadrantes AB, MN,& exponatur vis qua urgetur mobile in A, vel quod idem est, ipsius velocitas in ipso motus initio, per DE smum arcus infinite parvi AE, con- V stat TAB. 8. 1. 6 17⁰ INTRODUCTIO stat ex Cor. præcedentis, ipsius velocitatem, post casum ad C, per rectam CB exponi. Sed ex Hypothesi, vis qua ac- celeratur mobile in A, est ad vim qua acceleratur mobile in M, ut CAad CM, vel ut DE ad PO, ob arcus AE, MO si- milesʒ; quare si DE exponat velocitatem mobilis initio casus ex A, PO exponet velocitatem mobilis initio casus ex M: AC proinde(per idem Cor.) CNexponet velocitatem mobilis in C post casum per MC. Est præterea tempus casus ex A ad C/ æquale tempori quo describi potest peripheria AB, cum uniformi velocitate ut CB;& tempus casus ex Mad C, æquale est tempori, quo describitur peripheria MN veloci- tate ut CN. Sed tempus quo describitur peripheria AB velo- citate CB, æquale est tempori quo describitur peripheria MN velocitate CN,(obAB: MN:: CB: CN, spatia scil. per- cursa velocitatibus proportionalia.) Quare erit tempus casus 0 30 85 Cæquale tempori quo corpus descendit ex Mad C. Tempus quo mobile percurrit rectam AC, cum veloci- tate CB est ad tempus quo arcum AB percurrit cum eadem ve- locitate, ut recta AC ad arcum AB, vel ut illius dupla ad hujus duplam, hoc est ut diameter circuli ad semipeęriphe- riam; sed tempus per arcum AB est æquale tempori descen. sus ad C; unde erit tempus quo mobilè fertur per rectam AC cum velocitate ut CB, ad tempus casus ad C, ut diameter circuli ad semiperipheriam Q. E. D. Defn. Si super recta B/ insistens circulus,(quem circu- lum generatorem dicimus,) puncto sui,(quod punctum lineans appellabimus) rectam B/ tangens, super eadem re- cta volvi intelligatur, peripheria sua continua ad rectam ap- plicatione commensurans æqualem rectam BA donec pun- Ctum lineans in sublime latum, adeoque curvam BG/ suo motu describens, circuitu facto, eandem rectam BA/ ite- rum in contingat; Curva BG/ motu puncti descripta, linea Oclois appellatur. Et figura BGDAE figura cycloidis dicitur;& recta GA bisecans basim perpendiculariter, cy- cloidis axis;& punctum G vertex cycloidis dicitur. LENM. DEE. AD VERANM PEVSICAM. LEor. XV. 11 L E MMA. Si circulus generator circa axem Cycloidis constituatur, & à puncto quovis Cycloidis Cordinetur ad axem recta CE, cum peripheria circuli conveniens in D, erit recta CDæqua- lis arcui circulari GD, arcus vero cycloidis GC æqualis erit duplæ chordæ GI);& semicyclois BCGæqualis erit duplæ diametro AG; recta vero CEH cycloidem in Ctangens Pa- rallela erit chordæ DG. Hæc à Vallisi& aliis qui de Cy- cloide scripserunt, demonstrata suntt. THEO R. XLVI In cycloide cußus avit aα perpendiculum erectus esi vertice de- 0r. um spectaute, temporà descensus quibus mnohile urgente v gravitatis, ꝗ quocunque in eo puncto demissum ad pun- dtum imum perwenit, suunt inter se æqualia; habentqué ad tempus casur perpendicularis per aααm Cycloidis, eam ratio- nem quam habet somiperiphrid Cireuli ad ipsius diametrum. Sit cyclois ACD, cujus axis CE, circulus generator Tar. 8. CG. Cum recta cycloidem in puncto quovis H tangens Fe. 7. parallela sit chordæ CG, in circulo Generatore circa axem constituto, ductæ; patet mobile in descensu suo, eadem vi accelerari in puncto H, ac si in recta GC descenderet; est vero vis qua acceleratur in GC ad vim Gravitatis, ut MC aꝗ GC sed ut MCad GCita GC ad CE,(per Cor. 8. Prop. El. 6.) Quare vis qua acceleratur mobile in puncto H, est ad vim Gravitatis, ut GC ad CE. Eadem ratione vis Gravitatis est ad vim qua acceleratur mobile in alio quovis loco K, ut CE ad CL) quare ex æquo vis qua acceleratur mobile in H, est ad vim qua acceleratur in K/ ut GC ad LC, vel ut dupla GC ad duplam LC, hoc est ut curva Cycloidis HC ad curvam KC. Vires i⸗ gitur quibus descendendo super cycloide acceleratur mobi- Ie, sunt ut longitudines curvæ percurrendæ. Ponamus jam rectam ac æqualem longitudini curvæ AC, atque sup- ponatur mobile aliquod iisdem viribus urgeri in recta ac versus e, quibus mobile urgetur descendendo per curvam AC; at vires quibus urgetur in punctis quibusvis 2 cy- — 17² 1IN TRODUETTLO cycloidis H& E, sunt ut longitudines HC, KC, vel he, éc hoc est vires in locis quibusvis sunt ut distantiæ locorum à puncto e; ac proinde(per Theor. præcedens) tempora de- censuum ex quacunque altitudine æqualia erunt. Quoniam itaque in correspondentibus cycloidis& rectæ α punctis, æ- quales sunt vires acceleratrices, velocitatum incrementa æ- qualia quoque erunt, v. g. posito AH h, accelerationes in punctis H& ½ œquales erunt, sicut etiam in punctis K& 4,„ modo sit AK Sαι& similiter in cæteris omnibus utri- usque linee punctis quæ sibi mutuo respondent, incremen- ta velocitatum æqualia erunt; adeoque si mobilia ex corre- spondentibus punctis incipiant descendere, summæ incremen- torum, seu velocitates in æqualibus spatiis describendis ac- quisitæ æquales erunt, ac proinde tempora quibus æqualia hæc spatia æqualibus velocitatibus descripta sunt, æqualia quo- que erunt. Est igitur tempus descensus ab& ad c in recta r, &quale tempori descensus ab A ad C super cycloide,& tempus descensus ab% ad e in recta α αduale tempori descensus ab Had C super cycloide;& similiter tempus per KC æquale est tempori per c, si initium casus fit ex punctis, K,& sic de cæteris. Sed tempus casus ab 4 ad c æquale est tempori casus ab h ad, vel a ad e; qua- re tempus descensus super cycloide ab A ad C, æquale e- rit tempori descensus ab H ad C, vel a K ad C. Pempo- ra igitur descensus, quibus mobile à quocunque puncto in cycloide demissum ad punctum imum pervenit, sunt inter se æqualia. Q. E. D. Porro tempus casus ab 4 ad c est ad tempus quo percur- ritur 24vel 2EC, cum velocitate ultimo acquisita, ut se- miperipheria circuli ad diametrum: at tempus quo percur- ritur 2EC cum eadem velocitate, æquale est tempori, quo mobile sua Gravitate cadens, descendit per EC axem cycloidis; unde erit tempus descensus per 40 vel AC ad tempus quo grave descendit per cycloidis axem, ut semi⸗ peripheria circuli ad ejus diametrum. ö Cor. Tempus quo Grave descendit in cyeloide per 2—— XID) VERXM PHVSICAM. LEcr. XV. 173 AC& ascendit per CD, hoc est tempus motus in cycloide ACD, est ad tempus casus perpendicularis per axem cy- Cloidis, ut integra circuli peripheria ad ejus diametrum. Hinc si Grave penduli vibrationes in cycloide perficiat, sive in magnos excurrat arcus sive in minirnos, æqualibus semper temporibus singulæ oscillationes peragentur. Huge- nius autem, in tractatu de Horologio Oscillatorio, parte ter- tia, modum ostendit, quo fiet ut Grave in Cycloide, Vel alia quacunque curva, oscilletur: invenienda scil. cst curva, cujus evolutione curva data describitur;& duæ laminæ in candem curvaturam inflectendæ sunt, intra quas, per fila determinatæ longitudinis, suspensum Grave non circulum sed aliam curvam describit. Sint duæ laminæ ACB, AED, Tan. S. in figuras sumiles& æquales incurvatæ,& e* puncto A sus-V4.. pendatur penduli filum, quod dum pendulum oscillatur, circumplicatur laminis ACB, AED quas perpetuo tangit; per fili ad laminas applicationem continuo impeditur motus penduli in circulo,& Grave per curvam BPE defertur: cur- VaACB vel AED dicitur EVoluta,& curva BPED ex evoluti- one describi dicitur. Quod si curvæ ACB vel AE sint duæ se- micycloides, quarum axes vel diametri circulorum Gene- rantium sint æquales FG vel AG, dimidiœ scil. Iongitudini penduli, curva BPFD per quam Grave defertur evadit Cy- clois integra, cujus axis est FG dimidia penduli longitudo, ut ab Hugenio aliisque demonstratur. Cum portio cycloidis prope verticem F, describitur mo- tu fili cujus longitudo est AF, atque circulus centro A in- tervallo AF, eodem fili motu describitur; circulus ille per F transiens fere coincidet cum cycloidis portione propè ver- ticem F, estque ipsi æquicurvus; eodem igitur tempore Grave defertur ad F, per arcum exiguum circuli ac per ar- cum cycloidis, cui circulus est æquicurvus. Hine rursus patet ratio, cur pendulo vibrationes exiguas TAn. S. in circulo perficiente, tempora oseillationum sunt æqualia:. 9. nam si arcus CAD, GAF parvi sint, fere coincident cum por- tione cycloidis prope vert icem F descriptæ circa axem AK, dimidiam scil. penduli longitudinem; adeoque eodem fere 3 tem •——— ιπ 174 PENTRODUCTPIO tempore descendit Grave per arcus circuli CA vel GA/ quo per arcus cycloidis ipsis propemodum coincidentes descen- deret: sed æqualibus temporibus per arcus quoscunque cy- Cloidis descendet Grave; quare etiam æqualibus temporibus cadet Grave per arcus exiguos circulares CA, GA ac pro- indeè oscillationes integræ per arcus CAD, GAF æqualibus temporibus peragentur. Est itaque tempus quo pendulum oscillationem minimam in circulo perficit, æqualè tempori quo perficitur oscillatio per arcum cycloidis cujus axis est dimidia pendusi longitu- do. At tempus, quo perficitur oscillatio in cycloide, est ad tempus catus perpendicularis per axem cycloidis, hoc est per dimidiam penduli longitudinem, ut peripheria circuli ad diametrum. Atque hinc sequitur tempus cujusvis oscil- lationis minimæ, esle ad tempus casus per penduli longitu- dinem, in constanti ratione, quæ est ea quam habet circu- l peripheria ad ipsius diametrum ductam in radicem qua- dratam numeri binarii. Si in diversis orbis Perræ regionibus, idem pendulum temporibus inæqualibus oscillationes suas perfecerit, tem- pora descensuum per penduli longitudinem in diversis his re- gionibus inæqualia quoque erunt;&ubi lentius procedunt o- Tillationes, ibi quoque lentius descendet Grave in perpen- diculo,& in dato tempore minus cadendo describet spa- tium. Experimento vero certum est, in Regionibus pro- pe Qaquatorem sitis, ejusdem penduli oscillationes diutur- niores esse quam in aliis locis, quorum major est latitudo; adeoque Gravia in illis Regionibus minus in dato tempore confieiunt spatium cadendo;& minori vi accelerant motum suum quam in nostris Regionibus longius ab Æquatore dis- sitis: adeoque experimentis probatur minorem esse Gravi⸗ tatis actionem in iis locis, quorum minor est latitudo, quam in locis polo propioribus. Hoc Gravitatis decrementum ex vi centrifuga oritur: cum enim ex Terræ circa axem suum rotatione, quodlibet cor- pus à centro circuli quem describit recedere conatur, quo majores sunt corporum circuitus, eο major ipsis inerit vis ͤ Cen- AD VERAM PHTSICAM. Lxor. XV. S3 centrifuga; Quœ itaque est semper ut sinus distantis loci a polo,& sub æquatore maxima est, sub polo vero nulla; adeoque erit vis, Gravitatis in Æquatore minima, in polo axima. Psten hanc materiam missam facimus, lubet solutio- nem exHibere celeberrimi problematis à Gιιεο primum quæ- siti, deinde à oh. Bernoullio Geometris propositi, ineunte An. Dom. 1696. Et à Geometris celeberrimis, Nurtono, Leibnitio, Jac. Ber noullio, Hospitalio aliisque soluti. Pro- ema/a autem sic propositum fuit. Datis in plano verticali duobus punctis A&σ B, Assignore mo- hili viam, pen quam Gravitate sud descendeus,& moweri incipiens ꝗ puncε A, brovisfimo temporè per veniat ad 4d. terum punctum B. Lineam hanc esse Curvam Cycloidis per puncta AB trans- euntem, cujus basis est in horizontali per A ducta, invene- runt predicti Geometræ, ad quod demonstrandum scquens præmittimus. LEMMA. Si Adg B, sit linea celorrimi descensus, citius descendet Gra- vDoe, er quolibet ejus puncto d ad aliudqquodvis ipsius punctum g. post casum eαν A, per ipsam curvam deg, quam per a- liam quameunque viam. Nam si dicatur citius descendere Grave per ęg ergo via A Aν B, breviori tempori percurretur, quam A4leg B; ac proinde curva illa Aαεg B non erit curva celerrimi descen- sus, contra Hypothesm. Sit jam Aαια curva, cujus axis AC, ordinatim appli- Cata 4L.; Eluxio seu incrementum momentaneum axis sit LO4% Fluxio vero curvæ sit 4α sitque semper rectan- gulum sub data recta, quam vocemus 4,&ν vel LO, ap- plicatum ad 4σ, velocitati qua percurritur 4ë, hoc est, quæ acquiritur cadendo ex A in& proportionale: hæec curva erit linea celerrimi descensus. Capiantur 4σά,% duæ cur- v² portiones contiguæ& infinite parvæ; quæ proinde à Te· TAr 2 l. TAB. 9. ig 2. ———— 7 ＋ g::sts:.: ＋4 TaB. 9. fe. 3. H 1 N INODUCTIO rectulis minime differunt: dico minore tempore deseendere Grave per deg curvam, post casum ex A, quam per aliam quamlibet viam 4½g. Per, ducatur F% parallela g. Et supponatur Fꝗ eadem celeritate percurri qua eg; sitque F u in 4e item ne, g% in perpendiculares. Et ob æquiangula triangula ½e, deb, item fine, gei; est de ad ah ut Fπα ad ne, ö d5 adeoque erit ë 223. item ob ge ad e ut Ve ad„m: ei fe 5Fe einfe Adhei hd erit Est vero——:——::—:—:—: 8e Oe S de e 2 2 24.. hoc est, ë est ad F⁷m ut velocitas qua percurritur σ, ad velocitatem qua percurritur F unde ue, ε˙m æ- qualibus temporibus percurruntur;,& quia 9 æqualis est g erit tempus per œαquale tempori per ε, adeoque tempus per 734 æquale erit tempori per ëeε. Sed ob angu- lum ad ꝙ rectum, est ε major quam ο, adeoque tempus per ε majus erit tempore per%½ vel per vëg;& Ob Af. majorem quam 4u, erit tempus per 4, majus tempore per An; undè erit tempus per, ε. majus tempore per 4ν, 3g. Minore igitur tempore descendit Grave ex Ang, post lapsum ex A, per curvam 4eg. quam per aliam quamlibet viam ac proinde curva Adeꝗ B erit via celerrimi descensus. Sit ABM cyclois per B transiens, cujus basis sit horizon- talis recta per A ducta; erit illa linea super qua descendens Grave, in minimo tempore perveniet ex A in B. Sit GNNM dimidium circuli Generatoris, cujus diameter GMvocetur a. sitque 4e pars curvæ cycloidis intinite parva, quæ ab ejus tangente in 4 minime differt; adeoque parallela erit rectæ NMj; unde triangula 4%½e, NQM, GMuN, æquiangula erunt: quare est de ad 45, ut GMseu 4 ad GN, ac proinde 4% N. A(N. Sed(per Cor. I. Theor. 43.) est Nut velocitas, quæ acquiritur à Gravi cadendo ex altitu- dine G vel LA, hoc est ut velocitas qua percurritur 126. 0 —— ⏑ XD VERAM PHVSICAM. Lxor. XV. 177 Iecndet er alan/ α 0 UR liOl e eri clocit percurritur lineola ae .. la Le. Quare erit elocitati a 0 ö n proportionalis. Est igitur curva Cycloidis Aσe B linea celer- 1 rimi descensus. Q. E. D. ö r 47 Si Velocitas ponatur esse ut altitudo unde decidit Grave,——0. 0/n: linea celerrimi descensus erit portio Peripheriæœ circuli, cu- Vς 4. jus centrum est in horizontali per A ducta, nam ob æquian- d 4 gula triangula d%e, 4 4. est ir—7 4L Ad 4. 40 — 2——— —0 PO IEαιαιαάε L. Sed ex hy Writur pothesi 4L est velocitati proportionalis; quare si C dica- n tur a, ent velocitati proportionale. In hac igitur hy- 2* et thesi peripheriæ portio Ae B erit via celerrimi descensus. POthelt peripherie& P ö Eühn 611 Si velocitas, in puncto quolibet, sit ut altitu inis emen- — se dignitas,& dicatur AL, 4 Ly, erit hρα, Oe/ Rpus 1—91 af& ꝗe Vάκναν. Quare ex curvæ natura, erit per VV du, 2 2— 0 —— 5* V n 2 5 unde*2** 5&** V bet ů* ů& 2 νννκνκν& V. 2—.—.8— 2 20n. 2 Uens Quæ æquatio universaliter exprimit curyæ naturam, in qua NM descendit Grave, tempore brevissimo, si velocitas sit ut al- 4ur, titudinis emensæ 1 quælibet 2. ehs n. ette Mu Gravium in planis inclinatis, aut in superficie- runt: bus curvis, corumque symptomata præcipua, quan- 544 tum permitteret instituti nostri brevitas, in præcedente le- ctione explicavimus. Restat jam, ut Projectorum Phæno- est mena recenseamus:& primo invenienda est natura istius li- E neœ, quam mobile in G liberis,& non resistentibus ↄrojectum, urgente vi Gravitatis describit. Et quidem si meh directe sursum vel deorsum 2*2* Grave, in recta linea ö MmoO 178 N I ROMNUCNIO movebitur; ejusque motum esse motum uniformiter retar- datum vel acceleratum, prout sursum vel deorsum projici- tur, ex dictis in prioribus lJectionibus constat. At si secun- dum directionem horizontalem, vel aliam quamvis ad hori- zontem obliquam projiciatur, in linea quadam curva defe- retur. Projiciatur enim mobile ex A, secundum directionem AV. Per legem naturæ primam, si nulla alia accedat vis, in eadem recta, cadem cum velocitate, semper progrederetur; adeoqne æqualia spatia AB, BC Wuius æqualibus describeret. Distinguamus itaque tempus in æquales particulas;& post primam temporis particulam ubi mobile ad B pervenerit, vis Aliqua, impulsu unico, in ipsum agere supponatur; mo- tumque iι Communicare, quo secundum directionem ad horizontem perpendicularem(priore sublato motu) per re- ctam BE delerretur, in eo tempore quo describeret rectam BC,;& compleatur parallelogrammum CBED: constat ex Cor. 2. Theor. 30. mobile motu ex utroque composito, per diagonalem EBD moveri,& in hac recta postea semper per- geret projectum, si nova nulla accederet vis ipsum ex pro- pria semita detorquens;& æquali tempore spatium DE ipsi BD æquale conficęret. Verum si in puncto D vis eadem, se- cunda vice, simili agat impulsu, quo mobile per spatium quale FG deofsum in eo tempore deferatur: motus mobi- lis ex utroque motu compositus, erit per rectam DG, quam in eodem tempore describet mobile, quo absque novo im- pulsu progrederetur per spatium DF. Si vero post tertiam temporis particulam, eadem vis iterum agat,& mobile in G deorsum per spatium ipsi EL æquale impelleret; motus ex priore& hoc novo compositus erit secundum rectam GI, quam in quarta temporis particula describet mobile: in I vero eadem urgente vi, mobile è semita GLin directionem IK detorquebitur, atque hac lege projectum motu suo poly- gonum ABDGIK describet. Quod si diminuantur in infini- tum singulæ temporis particulæ, quibus vim agere posui- mus,& augeatur ipsarum numerus, latera polygoni in infi- nitum minuentur, ipsorumque numerus in infinitum Pua itur: AD VERAM PEVSICAM. LECT. XVI. 179 bitur: ac proinde in curvam vertetur Polygonum, hoc est, si vis deorsum propellens talis sit, ut constanter& indesinen- ter agat, qualis est vis Gravitatis, mobile urgente hac vi in Curva deferetur. ＋ EI R. ö.V. Profectum, cujus luuea directionis horiaonti Pparallela Est, mo- tu sus deseribit lineam Farabolicam. Sit Grave, vi quavis extrinseca, Balista, v. g. Pulvere Tau. 9. Pyrio, aut simili qualibet vi, ex puncto Aprojectum, cujus ε. 6. projectionis directio sit horizontalis A. Dico Gravis semi- tam fore curvam semiparabolicam. Nam si aër motui pro- jecti minime obstaret, neque adesset Gravitas; projectum motu æquabili procederet, in eadem semper directione; es- sentque tempora quibus percurruntur spatii partes AB, AC, AD, AE, ut ipsa spatia AB, AC, AD„AE respective. Ac- cedente jam Gravitatis vi,& eodem tenore agente ac si mo- bile vi extrinseca non impelleretur; continuo à recta AE deflectet,& spatia descensus seu deviationes ab horizontali AE, eœdem erunt ac si perpendiculariter caderet. Quare si mobile, suã gravitate perpendiculariter cadens, tempore AB percurrat spatium AK, tempore AC descendet per AL,& tempore AD per AM, eruntque spatia AE, AL, AM, ut qua- drata temporum, hoc est ut quadrata rectarum AB, AC, AD, vVel KF, LG,MH. At cum impetus secundum directionem horizonti parallelam idem semper maneat;(huic enim vis Gravitatis, quæ deorsum tantum corpora urget, minime contraria est) æqualiter promovebitur mobile secundum di- rectionem horizonti parallelam, ac si Gravitas abesset: qua- re cum tempore AB percurrit mobile spatium æquale AB; cogente vero vi gravitatis deflectet à recta AB per spatium æ- quale AK positaque BE æquali& parallela AK, in fine tem- poris AB erit Grave in F. Sig cum tempore AC percurrat mobile spatium, secundum directionem horizontalem, æ- quale AC,& in eo tempore descendat per spatium æquale AL, si fiat CG æqualis& parallela AL, in fine istius tempo- ris erit mobile in G. Similiter cum tempore AD, secundum dire- 18⁰ PꝓI directionem horizontalem promoveatur Grave per spatium Kquale AD, accedente Gravitate descendat interim per spa- tium æquale AM, positaque DHæquali AM, in fine tempo- ris AD erit mobile in H. Semitaque projecti erit in Curva AGH: sed quia quadrata rectarum KH, LG, MH sunt inter- ceptis AK, AL, AM proportionalia, erit curva illa AEH semiparabola. Est itaque semita corporis Gravis secundum directionem AE projecti curva semiparabolica. Q. E. D. . I. N M A. Ta3. 9. Ft ADB curva talis, ut demissa, νσ ꝗομμνις ριμν πμnεεοσ C, ad Fa. 7. AB perpendiculari CG/rectangulum suò AG,/ GBæquals sit rettangulo sub CG,& data recta L, erit curvâ illa Para- Gola. Bisecetur AB in E;& erigatur perpendicularis DE erit ex bypothesi, rectangulum sub DE&L: æquale rectangulo sub AE, EB, seu AE quadrato H(per 5. El. secundi) rectangu- 1o sub AG&GB＋GE quad. CGL. GE quad. EE v I.(E quad. quarèe erit rectang. sub DE& Læquale CE quadrato, quæ est proprietas Parabolæ. Si punctum gca- dat in AB productam; quod fit ubi curva descendit infra AB, cadem Parabola erit locus puncti e; nam(per 6. EI. secundi) est Eę quad.(e4 quad.) rectang. sub Ag. EB quad. I Aεν DE. LV De: quæ est proprietas parabolæ. Co½. Est recta illa Llatus rectum seu parameter Parabo- læ. ＋T IIOR. XIVIII. ag 9. Liuea curva, ud describitur ꝗ Gravi, secundum directionem Le. 8. gquamlibet sunsum ohlique proßecto, parabolica est. Sit AF directio projectionis, utcunque ad horizontem AV inclinata. Seposita Gravitatis actione, mobile in eadem re- Qa motum suum semper continuaret, per Legem naturæ primam,& spatia AB, AC, AD, temporibus proportionalia describeret. At accedente Gravitate, a via AF continuo de- flectere cogitur,& in curva moveri, dico hanc curvam es- e Parabolam. Ponamus Grave perpendiculariter cadens, tem· — ==——.—2.7————— 3—2—2.— —..——r—. ANRNN* EIHY 17 ＋7 4 AoreA DerCUrrel 521¹ temnpore percCurrere Patlunt 2.— V* ＋ 0 tium AR,& tempore AD II A AS ut quadrata temporun velut quadrata rectarum AB, AC, re AB Percurreret spatium AB, Gravitate vero interim se exe- rente, descendit per spatium æquale AO, liquet si in per- pendiculo BG capiatur BMAO, locum Gravis in fine tem- poris AB, fore M. Similiter cum mobile, ex impetu primo impresso, tempore ut AC percurrere debet spatium AC/ at ex vi Gravitatis per spatium AR interim descendere cogitur; si capiatur in perpendiculo(CNSAR, erit Nlocus mobilis in fine temporis AC. Sic etiam posito spatio DO, in perpen- diculo, æquali A8, erit O locus mobilis in fine temporis AD,& deviationes BM,(CN, DO à recta AEF temporibus AB, AC, AD ortæ, æquales erunt spatiis AQ, ARN, AS; adeoque erunt, ut quadrata rectarum AB, AC, AD. Per A ducatur horizontalis recta AP, semitæ projecti occurrens in P. ExP erigatur perpendiculum PElincæ directionis αSαurrens in E;& Oob æquiangula triangula ABG, ACH,ADIL, AEP, qua- drata rectarum AB, AC, AD, AE proportionalia erunt gua- dratis rectarum AG, AH, AI, AP; adeoque deviationes BW-, CN, DO„EP quadratis rectarum AG, AH, AI, AP, propor- tionales erunt: Rectis EP, AP tertia proportionalis sit Lrecta; eritque(per 17. EL G.) LVEPAP quad. Est Vero AP quad.: A quad.:: EP: EM:: LVEP. L BM, unde cum sit LVIEPAP quad. erit LνBM=AG quad. Similiter erit LXICNAH quad.&LVνDO SAlquad. Quoniam autem est BG: AG::(EP. AP:: ex hyp.) AP: L.erit LάEA APAGASÆHAGGPAG quad.＋ AG GP. Osten- sum autem est LιάBMAG quad. quare erit LπBG＋ LV BMAGVGP, hoc est LMGSAG GP: simili ratiocinio erit LÆNHEAHHP,& LXAOIAIIPD, sicut etiam LLVEKAVVVP. Quare per lemma præcedens, Curva AMNODEin qua movetur projectum, erit Parahola. Q.E.D. Cyr. 1. Recta L est parabolæ latus rectum ad axem per- tinens. C(or. 2. Sit AE EHP& erit LνCNE AH quad. LNH, 2 3 Unde 182 INTRODUCTIO Unde erit NHCN ac proinde recta AF linea directionis projecti Parabolam tanget(per Prop. 33. libri primi Coni- corum Apyollonii. Cor. 3. Quoniam est AP2AH; erit PE 4L Nk 26H154N Cor. 4. Si rectis PE, AE tertia proportionalis sit J, erit latus rectum, seu parameter parabolæ ad diametrum AS pertinens. Nam quoniam PE, AE,“ sunt continue pro- portionales, erit ά ρEAE quadrato: est vero AE quad. ad AB quad. vel ad QCM quad.:: PE: BMvel AQ:: IPE: α AQ: quare cum sit AE quad. PE erit OM quad. SAQ. Quare erit? parameter ad diametrum AS pertinens. Cor. 5. Est Vero PE. LINNH L=Squadruplæ al- titudini parabolæ Ꝙ· L. Nam est αρE quad.AP quad. ＋PE quad. LPE= PE quad. LPEPE. Quar erit LIAPELIA＋ANH. 2— Cor. 6. Si tempora AB, BC, CD fiant æqualia; erunt spatia horizontalia AG, GH, HI æqualia; hoc est si Grave motu suo describat parabolam, æqualibus temporibus secun- dum directionem horizonti parallelam æqualiter promovebi- tur;& in singulis parabolæ punctis idem manebit impetus horizontalis, qui fuit ab initio motus. Cor. 7. Si mobile ex A projectum, secundum directio- nem AE, describat parabolam ACP; in puncto quolibet C, per legem naturæ primam, secundum tangentem CG egredi conabitur, cum omni ca velocitate quam in puncto Chabet, & per solam Gravitatem in curva parabolica retinetur. Quod si aliud Grave ex Csecundum directionem CG, ea velocita- te projiciatur quam habuit Grave ex A projectum in eodem uncto C; Grave illud alterum eandem parabolam CP descri- Del In puncto enim C eadem est utriusque Gravis directio, eadem velocitas,& eadem Gravitatis vis: quare utriusque eadem erit semita. Cor. 8. Hinc si Grave, deorsum secundum directionem ad horizontem obliquam, projiciatur; semita projecti erit Curva parabolica. THECR. AD VXRAM PEHVSICAM. LEOr. XVI. 183 FPHEOR. I. Impetus projecti in dνεfi Parabotæ punctis, sunt Pportiones rangentium iuter duas rectas aπ paraldelas intercept&. Describat Grave parabolam ABL, quemtangant in punctis A&Brectæ AD, BE. Erunt impetus Gravis in punctis A &B, ut CD, EB portiones tangentium inter duas rectas axi parallelas interceptæ. Nam si à mobili in puncto A Gravi⸗- tas auleratur sua, egraderetur in tangentem AC, coαëem im. etu quem habet in puncto A Sic etiam mobile in B, amis- ta Gravitate, per tangentem BE procederet, cum ommi velo- citate quam in puncto B habet. Verum in punctis A& B idem manet impetus horizontalis, uti liquet(per Cor. G. prœcedentis Theor.) adeoque mobile in Acgrediens per tan- gentem AD,& in B per tangentem BE, equalibus tempori- bus per æqualia spatia secundum lationem horizontalem pro- movebitur. QAqualibus igitur temporibus percurruntur CD in tangente AlD,& BE intangente BE; sed velocitates, seu impetus mobilis, sunt ut spatia œqualibus temporibus per- cursa: quare impetus mobilis in A est ad ejusdem impetum in But CD ad BE. Q. E. D. Cor. Si A sit vertex parabolæ,& producatur tangens do- nec axi occurrat in G, erit impetus in A ad impetum in B ut ordinata BEH ad tangentem BG; est enim CD: BE:: CF: BE(ob TPriangula CBE BHG similia):: BH: BG. Desin. Sit ACF parabola, in cujus axe ultra verticem produ- Tas TARE g. cto capiatur GA lateris recti. Linea GA dicitur Sublimitas Vg· Parabolæ. Et si infra verticem capiatur AD AG,& ordi- netur DC ad axem, erit DCS 2AD vel2 AG: nam ex natura parabolæ rectangulum sub latere recto α&AD, hoc est 44D quad. Sest DCquad. adeoqueè erit 2AD DC. IH HR. I. S/ Grave ex Fublimitate Parabolæ decidat ad verticem usqque, motusque cadendo acquisitus, restexionè aliqqua aut alio quo- vis modo, in horigontalem mutetur, ita ut de novo, Grauvr incipiat motum deon sum; Grave projettum ipsam Parabolam describet. Cadat 10. .10. I. TaB 10. Ve· I. TàAB 10. V. 2. 18⁴ INTRODUCTIO Cadat Grave ex puncto G sublimitate parabolæ ACF,& in A, per reflexionem aut aliam quamvis causam, motus cadendo acquisitus in horizontalem per ABE mutetur; Vel quod idem est, projiciatur Grave secundum directionem AE, ea velocitate quæ acquiritur cadendo per GA: dico Gra- ve illud parabolam ACF motu suo describere. Sit AD G, eritque DC2AG. Ducatur CB ipsi AD parallela. Et ex alio quovis parabolæ puncto Fducantur EH ad AE,& EE ad HA parallelæ. Si abesset Gravitas, mobile secundum directio- nem AE projectum, velocitate quæ acquiritur cadendo ex G in A, eodem tempore per duplum GAlatum esset; adeoque in eo tempore describeret A3B DC& 2 GA. Sed mobile, ob vim Gravitatis, incipiens in puncto Ade novo descendere, in eodem tempore cadet per spatium BCEAG. Quare mo- tu suo transibit per punctum C in parabola. Porro suppo- natur mobile motu horizontali,(abstrahendo ab illo qui ex Gravitate oritur) quodam tempore pervenisse in E, ultra vel citra Bαumque motus secundum directionem horizon- ti parallelam æquabilis maneat, erunt AB AE, ut tempora quibus percurruntur. Sed descensus sive deviationes mobilis à recta AE, sunt ut quadrata temporum, quibus fiunt: 1—8 re ObBC, EF quadratis rectarum AB, AE proportionales, cum C est locus Gravis in fine temporis AB, erit Fejusdem locus in fine temporis AE; atque sic semper Grave in parabo- aACEF reperietur. ö Cor. Hinc Gravis, parabolam quamvis describentis, velo- citas in vertice, est ea quæ acquiritur cadendo ex Sublimi- tate parabolæ. LEMMA. Fit BA Parabola cujus ais MF, sublimitar AG, tangeus uæ- lihet BC ordinatim applicata BF: erit BF. quad.: BC quad.: GA:(E. ö ů Est enim(per 33. Libri primi Conicorum Apollonii CF.2 AF;& ex natura parabolæ 4 GAαBF quad. qua re erit BE quad.: BC quad.:: 4AαAF: 4 A AFHÆCEF quad.:: 4 GAHF.4GAÆAFπαE quad.:: GA: GA KEF vel GF. Q. E. D. IHEOR. ———— AD WMVRAM PHVSICAM. LEcr. XVI. 185 IIrlR. EI. Grove direce fursum projectum, eodem impetu quo alind Gra- de oblique proficitur, ascendet ædaltitudinem aqualem altitu- dint& sublimitati simul sumptis, Vies Parabol& quam ohliquéè hrojectum motu suòs deserihet. Projiciatur ex B secundum directionem BC Grave, motu suo deseribens parabolam BAM, cujus axis AF, vertex A, sub- limitas GA. Dieo si idem vel aliud Grave, æquali impe- tu ex B projiciatur directe sursum, illud ascendere ad L, ut sit BL. æqua is FEG altitudini& sublimitati parabolæ simul sumptis. Per Cor. Theor. 49. Impetus Gravis in B est ad ejusdem impetum in A, ut BC ad BEF; sed impetus acqui- situs cadendo ex G in F, est ad impetum acquisitum caden- do ex G in A, in subduplicata ratione GF ad GA, boc est (ob BC quad.: BF quad.:: GF: GA) ut BC ad BF. Qua⸗ re erit impetus in B ad impetum in A, ut impetus acquisi- tus cadendo ex G in Fad impetum acquisitum cadendo ex G in A; sed impetus Gravis in vertice A est is qui acqui- ritur cadendo ex G in A; quare ejusdem impetus, seu ve- locitas, in B est ea quæ acquiritur cadendo ex G in F, st- ve ex Lin B, quæ altitudo æqualis est altitudini& subli- mitati parabolæ simul sumptis; sed Grave sursum directe pro- jectum eodem impetu ascendet ad L: quare si Gravè dire- cte sursum projiciatur, eo impetu quem habet illud Grave describens parabolam BAM in eodem puncto B, ascendet ad altitudinem æqualem altitudini& sublimitati parabolæ simul sumptis. Q. E. D. Cor. I. Si Grave cadat ex Lin B,& manente impetu ca- su acquisito, reflectione aliqua aut simili quovis modo, mu- tetur directio motus in rectam BC vel BN, ita ut Grave de novo incipiat descendere; Grave motu suo parabolam SEAM describet. Cor. Z. Impetus in quovis parabolæœ puncto B, est is qui acquiritur cadendo per quartam partem lateris recti pertinen- tis ad diametrum quæ per punctum illud ducitur. Est enim LB=LI＋ KB. Quaré erit 4LB LSA＋AKB lateri recto A a qucd TaBR. 10 Rg. 2. — FaAB 10. . 4. 186 EN IRODUTC T0 quod ad diametrum per B transeuntem pertinet, ut constat ex CoOr. 5. TheoE. 48. Jactis fundamentis Doctrinæ de Gravium projectione, an- tequam ad solutionem sequentium problematum accedamus; convenit ut modum ostendamus, quo Tormenta bellica, se- cundum quemlibet elevationis Gradum, dirigantur. Dire- ctio autem Bombardi cadem censenda est, cum directione va- cui seu animæ ejusdem; nam accenso pulvere pyrio, Glo- bus emittitur secundum concavitatem Bombardi vel Morta- rii:& nisi adesset Gravitas, in illa recta producta pergeret, adeoque recta illa Tormenti directio est. Quare ut tormentum ad scopum dirigatur, non colliman- dum est secundum exterius metallum, cum Tormenta cras- siora sunt versus caudam quam juxta orificium, quod maxi- ma eorum resistentia fieri debet in ea parte, quæ patitur ma- xime à pulvere pyrio; unde ut facillime dirigatur tormen- tum, additur aliquid orificio,(quod Dispart vocatur) ut ejus crassities æquetur crassitiei caudæ: collimatur deinceps per rectam animæ Bombardi parallelam, atque modo prædi- cto Tormenta recta ad scopum diriguntur cum muri dejici- endi sunt, aut aliud quidvis efficiendum, ubi magnus re- quiritur impetus,& scopus non distat ultra 200 passus,& tormentum satis magnum est: in talibus jactibus præter mox dicta,& experientiam de concedendo cuique Tormento de- pitam pulveris pyrii quantitatem& Globo congruam, nul- lum insuper artificium requiritur. Verum cum sepissime arces aut hostes impetendi sunt, qui ob nimiam distantiam rectꝭ collimando attingi non possunt, vel ubi urbium tecta per Bombas cadentes perrumpenda& ædes accendendæ funt, clevanda est machina Bellica, angulo ad horizontem incli- nato: in quem finem opus erit regula ABCD cui adhæret pa- rallelogrammum BEEFD, in quo semicirculus in fuos gradus divisus inscriptus; ex cujus centro dependet filum pondere instructum: extremum autem regulæ A in os machinæ inse- rendum est,& in situ ad ejus axem parallelo regula detinen- da est, atque sic attollendum aut deprimendum est Tor- mentum, donec perpendiculum CQ attingat, in* ů Uir AD VERAM PHVSICAM. LEcr. XVI. 187 Wnltt limbo, punctum K, gradum scil. elevationis desideratæ, ab Lversus B numerandum. Patet autem angulum LCEK æqua- „Al lem esse angulo CMN elevationis machinæ quia angulus mus, MCN est utriusque complementum ad rectum. Sæpe Paral- 4. se. lelogrammo BEFD solum utuntur absque regula,&latus BE Dre⸗ ad Os machinæ applicant, quo fit ut perpendiculum CQo- e vã. stendat gradum elcvationis. Co⸗ Defin. Per Impetum perpendiculo quovis AB designatum, π⁷π lrta. intelligimus impetum requisitum ad projiciendum Grave Klet, propositum ex A ad altissimum punctum B perpendiculi AB, νe quod idem est, impetum acquisitum cadendo ex B in mah A; neque enim alia ratione impetus sub certa& universali tacd. regula cadere potest, quam iuum hoc modo per spatia de- Wavi. terminando. Im D. ODk. VIII. u Dato impetu BA, hoc 2 guantus es naturaliter cadentis ασ TA B in A, dataque directione Al, seu angul Elevotionis Ha. 5. in DAl; oportet proßectionis amplitudinem, altitudinem, to- 5 tamque futuræ projectionis semitam reperire. s N. Ducantur ex A& B horizontales lineæ AD, BL, Supra 5, diametrum AB fiat semicirculus AEB, qui lineam directionis mox Al secet in E; per F ducatur horizonti parallela EE,& pro- 5i ducatur ad G, ita ut sit GE EEF: itemque per Gagatur per- M pendiculum LGD vertice G per A describatur parabola m AGE; dico hanc esse semitam projecti, cujus directio est Al, itni& impetus AB; adeoque DG sive AE erit projectionis altitu- 1 do. Dupla AD sive quadrupla EF erit ejusdem amplitudo sve 210 jactus integer horizontalis,& BE sive LO erit ejusdem parabo- 1 le sublimitas. In triangulis AEF, IGE, ob angulos ad E& ü 196055„&angulos AFPE, GFlad verticem æquales, item EEF Rals 5n 5 IAEF, ac proinde recta Al tanget para- 15 5 35 t quoniam est AD EGE EF; erit AD quad. 1 4EF quad. 4 BEEA4LGν GD=rectangulo sub la- 11 tere 16—& GD; quare erit 4LGæ lateri recto parabohæ unde 10. erit LG ejusdem parabolæ sublimitas: quare(per Cor. i Theor. 0ul 51.) si Grave decidat ex B in A 20&* casu* a 16 ————— Tan 10. . 6. TABR. 10. N· 7. 156 1IRKODUC 10 secundum directionem Al projiciatur, parabolam AGEK de- scribet. Cor. Hinc manifestum est ex dato alicujus machinæ im- petu AB, circa quem descriptus sit semicirculus ADB, dari altitudines& amplitudines omnium projectionum, quæ ab cadem machina fieri possunt. Exempli gratia, manente sem- per eodem impetu AB, projectio facta secundum directionem AE, habet altitudinem AE,& amplitudinem quadruplam ipsi- us EF; similiter jactus facti secundum directionem AD altitu- do erit AG,& amplitudo quadrupla ipsius GD;& sic de cæ- teris. Unde si angulus elevationis DAE sit semirectus, e- rit quadrupla GD amplitudo omnium maxima quæ cëσdem impetu fieri possunt;& amplitudines projectionum æqua- liter à projectione semirecta distantium, verbi gratia secun- dum rectas AE, AC,(positis angulis DAE, DAC æqualibus) nimirum quadrupla EE& quadrupla HC, erunt æquales. Erit præterea projectionis semirectæ amplitudo 4GDÆ4GEB lateri recto parabolæ. Projectio vero perpendicularis sur- sum, hoc est impetus projectionis, æquabitur dimidiæ am. Plitudini projectionis semirectæ eodem impetu factæ. De- nique ad æquales jactus in plano horizontali faciendos, mi- nor requiritur impetus in projectione semirecta: si enim non sit minor impetu alterius projectionis, secundum aliam dire- ctionem factæ, erit amplitudo projectionis semirectæ major amplitudine alterius istius projectionis. Cor. 2. Quoniam AK tangit circulum, erit(per 32. E- lementi tertii) angulus ABESEAK angulo elevationis; ac proinde est angulus AGE ipsius EAEK duplus: quare posito GA dimidio impetus pro radio, erit EE quarta pars amplitu- dinis, sinus dupli anguli elevationis;& AF altitudo proje- ctionis, erit arcus AE seu dupli anguli elevationis simus ver- sus;& FB parabolæ sublimitas erit sinus versus arcus BE, seu complementi dupli anguli elevationis ad duos rectos. 12. C0 E. I Datis amplitudine RK& angulo directionis CAR/ invenire pro. Jectionis impetum& altitudiuem Al.————4 S..=.....“-·-⸗x*. ꝗ3———⏑E－c——— AD VERAM PHLSICANM. Lxor. XVI. 189 — K G. Capiatur AD pars quarta amplitudinis& erigantur per- pendicula DC, AB; fiatque angulus ACE rectus. Dico AB 5 35 esse projectionis impetum ,& IC esse cjusdem altitudinem. cl Nam quoniam angulus ACB rectus est, semicirculus diame- ab tro AB descriptus transibit per. unde Per Corol. 1. Pro- lem blematis præcedentis, projectio cujus directio AC& impe- en tus AB, motu suo deseribet parabolam AME, cujus altitudo lipft. est DC vel AIL,& quarta pars amplitudinis est AD; quare vi- Ichu⸗ cisim projectum cujus directio est AC& quarta pars ampli- Eee. tudinis AlD, impetum habéebit AB,& altitudinem DC. 9 e. I 10. Hden Coν I. Hinc ex dato cujusvis machinæ quovis jactu hori- • zontali, ę data elevatione facto: reperire licet altitudinem secun- jactus perpendiculariter sursum facti, nimirum machinæ im⸗ lbud petum, qui quidem, in majoribus Tormentis, excedit quam- lalee libet perpendicularem altitudinem, ad quam ascendere ho- 40⁵ minibus conceditur. Dato vero impetu, dabitur amplitu- - do& altitudo jactus ex alia quavis elevatione facti; unde . dignosci potest num dato Tormento scopus, cujus distantia De. cognita est, attingi poterit..8 5mi. Cor 2. Si AD, quarta pars amplitudinis, ponatur radius, nnon erit altitudo DC tangens anguli elevationis. Ut scopus, in dite⸗ data distantia horizontali percutiatur, præstat eundem sem- Naioo per retinere angulum directionis, semirectum nempe,& im petum augere vel minuere, donec scopus attingatur. Nam E. machinâ ad hunc angulum elevatà, minimus requiritur im- 552 petus ad scopum feriendum adeoque in hisce jactibus fa⸗ ofto Ciendis maxime pulveri pyrio parcitur: Accedit quod circa it hanc elevationem jactus sit onmium certissimus, cum error e umius aut duorum graduum vix sensibilem in projectione pro- 5Ne ducet errorem. .fcl P R O BL. X. Datir impetu& amplitudine, in venire directionem& altitu. dinem factus. * Sit impetus AB; quarta pars amplitudinis datæ, sit AD. TAR2V. Supra diametrum AB, describatur semicirculus ACEB,& e- Va. A. C A a 3 riga: TAB. 0. 8. „ . 198 19 1 RODU⏑CN0 rigatur normalis DCE, semicirculum secans in punctis C & E: Dico utramque directionem, sive AC sive AE, pa- rabolam designare, cujus amplitudo erit AK, quadrupla AD. Nam projectiones factæ cum impetu AB, juxta directionem AC vel AE, amplitudinem habent AK quadruplam ipsius EC, vel GE,(per Probl. 8.) altitudo vero potest esse vel AEF vel AG; ut patéet. Quod si normalis DC, circulo in unico puncto occurrat, hoc est ipsum tangat, parabola u- nica erit descripta, projectione semirecta,& amplitudo pro- posita erit maxima quam dato impetu attingere licet. Si perpendicularis DC semicirculo non occurrat, problema erit impossibile. Cor. Si habeatur machinæ cujusvis impetus,(inventus per Cor. 1. Probl. præcedentis, ex quovis jactu hori- zontali) licebit ope hujus Probl. talem machinæ tribue- re directionem, ut scopus in data distantia horizontali po- situs feriatur,& ex duabus directionibus proposito aptis, a directione semirecta æqualiter remotis, magis idoneam e- ligere. 920 H101. In. Præcedentium trium Problematum conversa, ex supra- dictis facillime& nullo negotio solvuntur; scil. ex data al- titudine& amplitudine, impetum& directionem invenire. Item ex datis impetu& altitudine, directionem& amplitu- dinem invenire,& denique datis directione& altitudine, amplitudinem invenire: ita ut hisce diutius immorari inuti- le sit. ER O B4. XI. Propositum sit, rationem inveniré iuter durationem proßectionis Factæ perpendiculariter sursum,& alterius cufus vis CαHu&i. dem esi impetus. Sit AF projecti impetus, sive projectio sursum facta,& ABC projectio ex alia qualibet elevatione AG. Circa diame- trum AF, describatur semicirculus, directionem AG secans in G: dico durationem projectionis directe sursum, sive tem- pus ascensus per AF,& descensus per eandem, esse ad dura- tionem projectionis in parabola ABC, sicut AF ad AG. Tem- pus AD WRAM PHVSICAM. Lxor. XVI. r1of pus lationis ex A in B, æquale est tempori lationis ex B in C: adeoque tempus per ABC duplum est temporis lationis ex B in C; sed tempus lationis ex B in C æquale est tem- pori descensus liberi in perpendiculo BD,; quoniam motus progresswus nullo modo impedit descensum à gravitate o- riundum: adeoque tempus projectionis per ABC duplum est temporis descensus per BD, vel per æqualem EA, sic etiam tempus ascensus& descensus per ERA, sive tempus projectionis directe sursum, duplum est temporis descensus per EA: quare tempus projectionis sursum erit ad tempus projectionis in parabola ABC, ut tempus descensus per FA ad tempus descensus per EA, hoc est in subduplicata ratio- ne FAad EA, vel ob FEA, AG, EA continue proportio- nales, ut FA ad AG. Q. E. D. Cor. Durationes projectionum, pari impetu, secundum diversas directiones AG, AH factarum, sunt in ratione chordarum AG, AH. Quod si AF ponatur radius, erit AG sinus anguli AFG,; qui æqualis est angulo elevationis machinæ; adeoque est tempus projectionis directe sursum ad tempus projectionis in parabola, ut radius ad sinum an- guli directionis. CIH1I OTUn. Omnia Problemata circa Gravium projectiones, in plano horizontali factas; Ope Tabularum Sinuum& Tangentium lacillime resolvuntur. ö Proponatur AK, amplitudo horizontalis alicujus Tormen- TAn. 10 ti majoris, ad datum angusum CAEK elevati; quæritur alti- Ve· 7. tudo projectionis,& machinæ impetus. In triangulo ADC, hat ut radius ad tangentem anguli elevationis, ita AD quar- ta pars amplitudinis datæ, ad altitudinem DC; item fiat ut sinus anguli elevationis ad radium, ita altitudo inventa DC ad AC, quæ proinde dabitur;& in rectangulo triangulo BCA, liat ut sinus anguli ABC(qui æqualis est elevationis angulo,) ad radium, ita AC ad AB impetum, qui proinde innotescet. Dato vero impetu, dabitur tempus projectionis perpendicu- laris. Est vero tempus projectionis perpendicularis ad tem- pus projectionis secundum AC, ut AB ad AC sive ut radius 4⁰ ——— ————————————— TAB. 10. Ve. 8. 192 LINTRODUCTIO ad sinum anñguli elevationis; ac proinde, per tabulas Sinu- um, tempus projectionis secundum AC innotescet. Hinc etiam, ex dato tempore projectionis cujusvis, secundum da- tam elevationem factæ, dabitur tempus alterius cujusvis projectionis, eodem impetu factæ. Est enim ut sinus elevationis projectionis, cujus tempus est notum, ad si- num alterius elevationis, ita tempus notum projectionis u- nius ad tempus alterius, quod proinde notum erit. Ex da- ta vero amplitudine unius projectionis, secundum datam di- rectionem facte, dabitur amplitudo projectionis secundum aliam quamvis directionem factæ. Nam posito dimidio im- petus pro radio, quarta pars amplitudinis est sinus dupli an- guli elevationis, ac proinde amplitudines sunt ut horum angulorum sinus. Quare si innotescat amplitudo secun- dum directionem AG, dabitur amplitudo secundum directio- nem AH, fiat enim ut sinus dupli anguli CAG ad sinum dupli anguli HAC, ita amplitudo projectionis secundum AG ad amplitudinem projectionis secundum directionem AH. Quod si ex datis impetu& amplitudine horizontali, quæ- ratur elevatio correspondens; illa ex eodem principio facile imotescet. Nam constat ex Cor. I. Probl. 8. duplum im- petus esse amplitudinem projectionis semirectæ. Sed si- nus elevationum duplicatarum sunt ut amplitudines; quare fiat ut duplum impetus ad amplitudinem datam, ita sinus dupli anguli semirecti, hoc est sinus nonaginta graduum seu radius, ad alium; qui erit sinus duorum arcuum, quorum unus est alterius complementum ad semicirculum: atque hi duo arcus dimidiati dabunt duas elevationes, quibus data amplitudo attingi potest. Ker⸗ Non semper Tormenta bellica ita explodenda sunt, ut globus præcise in coαιem horizontali plano incidat; sed sae⸗ pe scopus est altior Pormento, aut depressior: quare in se- quenti Problemate methodus tradenda est, qua scopus su- pra vel infra horizontem, attingendus est. AD VERAM PHVSICAM. LROr. XVI. 193 PROBL. XII. ö Data basi Barabolæ, unoque puncto per quod ipsa transit; at. recslionem, semitam S impetum hrosectionis invenire. Sit AC basis Parabolæœ,& punctum B scopus feriendus: Tar rr. x B in ACdemittatur perpendicularis BDo rectisbD, AD, DC I＋· quarta proportionalis capiatur L, erit Llatus rectum parabo- Ie: bisecetur AC in E,& ex E erigatur perpendiculum EF, rectis L&AE tertia proportionalis sit EE, erit G Vertex pa- rabolæ:& si producatur EG, ita ut sit G F GE,& ducatur AE, erit FAE angulus directionis machinæ. Estque impetus quo projiciendum est Grave,&qualis EG L. Quoniam est BD ad AD ut DC ad L, erit L&BD Srectangulo sub AD & DC, adeoque(per Cor. I. Theor. 48.) est Llatus rectum parabolæ per B transeuntis, cujus basis est AC. Et quoni- am L, AE, EG proportionales sunt, erit LνEGE quad. adeoque erit Gvertex parabolæ. Vertice igitur G& latere recto L descripta parabola erit semita projectionis Gravis, quod punctum B feriet. Estque impetus projectionis æqua- lils EG: L/ angulus vero elevationis est FAE. Q. E. I. Eodem modo procedendum est, si punctum) sit infra horizontem: si enim ex in AC productam demittatur perpendicularis α,& ipsis α, A, C quarta propor- tionalis capiatur L, erit Llatus rectum parabolæ per 6 transeuntis. Cor. Posito AE radio, erit EF, vel dupla EG, tangens anguli elevationis; adeoque si fiat ut AE data ad datam EF, ita radius ad tangentem anguli FAE, dabitur angulus ele- vationis. DR O5 I.. III. Dato impetu, iuveuiré directionem secundum quam profectum Grave datum punctum quodvis attingat. Sit impetus datus M, punctum per quod transire debet TAr. rr. Herse sit B, cujus distantia AB a puncto A datur: ex B in He. 3. orizontalem ACdemittatur perpendicularis BD, in qua pro- ducta capiatur DG S2 M& centro G intervallo GB describa- tur circulus quem in B tanget recta B AB: ex K super BR& erigatur perpendicularis H circulo 26 duobus punctis H, H 3 0⁰ . 2—— —ñ—ͤ—— TAB. II. H. 4. 194 INTRODUCTIO occurrens, ex quibus in diametrum LB demittantur perpen- diculares HE, HE, ducanturque rectæ AE, AE, quæ erunt duæ directiones proposito satisfacientes; hoc est, projectum secundum directionem AE emissum cum impetu M, per pun- ctum B transibit. Est enim AD) quad.＋ BD quad. AB quad. BE quad. EH quad.(ex natura circuli) LEEBLB EB=EB quad. 4M- 2DBEBEEB quad. quare erit AMXEB=(AD quad. ＋BD quad. ＋ 2DBAEB ＋ EB quad. D quad. ＋ DE quad.) AE quad. Sed parabola descripta a Gravi secundum directionem AE projecto, cum impetu M, ita secabit rectam DE, ut sit 4MνEB AE quad. (uti patet ex Cor. 2. Theor. 51.) quare punctum B est in eadem parabola:& Grave, cum impetu Msecundum dire- ctionem AE projectum, per B transibit. Q. E. D. Cor. Si HK in uno solummodo puncto, circulo occurrat; hoc est, si circulum tangat; unica erit directio proposito in- serviens. Quod si non omnino circulo Occurrat, Problema erit impossibile, hoc est, punctum B dato impetu attingi non potest. Adeoque si KH circulum tangat, erit impetus ille omnium minimus, quo datum punctum attingi potest. Eritque in eo casu BK seu A3B BE vel BG= ½ MEDB, adeoque BE ＋ BD seu DE=2M, impetus igitur mini- mus, quo datum punctum attingi potest, æqualis erit di- midiæ DE& posito DA radio, erit DE tangens anguli EAD, hoc est anguli elevationis. Quare si fiat ut AD ad DE, siwe ad AB ＋ BD/ ita radius ad quartam propor- tionalem; dabitur tangens anguli directionis, secundum quam i flat projectio, impetu omnium minimo attingitur pun- ctum B. Sed angulus ille directionis facilius multo habetur, bise- cando angulum NAB, perpendiculo AN& recta AB com- prehensum. Recta enim AE, hunc angulum bisecans, erit projectionis directio. Nam quoniam impetus est minimus, erit AB æqualis EB; ac proinde angulus BAEæqualis erit an- gulo BEANAE(obDE, AN parallelas;) adeoque directio pro- 19* 0 n 2 um pro Hi„. jectionis impetu mini rpun- Quare ft nrin. 0 e angulum NAB bisecabi 22 diculare sit ipsius Armemt 3 cujus planum When⸗ 5 us incider Axi seu lineæ directionis; 2 eerit ope Rahtsee le eedere AN retterr. e sco*** negotio dirigeti„ Atꝗdue Pamenret mirumo attingatur. Erarndt emmn aut. an speculum d quoad imago puncti B. 2Z— 5 AnuemEALAe perpendiculo NA videatur acta 105 ＋ ů identiæ æqual ＋: nam 0 ů erit qualem an ö etin nien NAB bisectus, ac AE erit ateen mr⸗ NAE, punctum B impetu minimo attingen. 5 machinæ, dre- Urrat; 10 in. Ema ingt pedus HOtel. Db, mi. lit di- DE Afat robOl. Quall puur „bie⸗ com- 95 erlt nimus, erit al. recho pro⸗ Bb V 2.4 196* ö 4 S. f nN1 THEOREMATA VI CENTRIFUGA MOTUCIRRCUAN DEMONSTRATA. Egquentium Theorematum demon sirationes, primus e- 2⁰ lirerato orbi impertivi; auctor enim absq;ue de- monstratione illa emiserat Postea vero Gallis quibu sdam cα⁴αem Theoremata, sed mutato ordine, demon strata sunt;& nunc ipsius Auctoris demonstrationès cov- ciunæ admodum, nostris vero prolixiorer, inter 8us opera posthumà prostant. Cum dero scientiæ de Motu partem Haud ½uobilem coustituunt hee Theoremata, placuit ipsorum de- non strat ioues huic rur sur operi aunectere; ut videat Re spu- ½iea literaria quautum Fhilosophia Mechanica per Geometri- am promovenda sit. Defiu. 1. Vis centripeta est vis illa, quà mobile aliquod de motu rectilineo continuò retrahitur,& versus centrum aliquod perpetuo urgetur. Nam cum juxta satis notam na- turæ legem, Corpus omne semel motum, secundum ean- dem rectam semper uniformiter progredi nitatur, patet nul- lum mobile posse orbitam aliquam motu suo describere, nisi TBII. vi quadam in orbitãà illâ detineatur. Ex. gv. Rotetur mo- bile uniformi cum motu in peripheria circuli ACE; quod ubi ad A pervenit, sublatà vi illà qua in orbita detinetur, progrederetur secundum Tangentem AB,& in infinitum ex- cur- HUGENI THEOR DE VI CENTRIF.&c. 197 curreret: quo itaque in peripheria detineatur, opus est ut vis aliqua continuo agat, quæque æquipolleat vi in A agen- ti corpus versus D ꝑer spatium æquale BC, interea dum mo- bile vi insità per spatium indefinite exiguum AB progre- deretur: nam hac ratione hisce viribus conjunctis describet mobile lineam AC(per Theor. 30.) Vis hæc, sive sit actio Hli detinentis, sive cohærentia cum alio corpore gyrante, si⸗ ve Oriatur à Gravitate aut attractione quacunque, Vis Cen- tripeta dici potest. 2. Vis Centrifuga est Reactio seu resistentia quam exer- cet mobile ne à viã suâ deflectere cogatur, quaque motum suum in eadem directione continuare conatur, estque, uti Reactio actioni, vi centripetæ semper æqualis& contraria: ea ex vi inertiæ materiæ oritur,& cum corpus in periphe- ria circuli gyrans, ope fili ne excurrat detinetur; per vim illam centrifugam tenditur filum, quod filum eodem rela- xandi se conatu æqualiter urgebit corpus versus centrum,& centrum versus corpus. Cum vis centripeta proportionalis est spatio quod corpus urgenti illa vi in dato tempore dęscribit, liquet tam vim centripetam quam centrifugam posse per lineolas nascentes BC vel c repræsentari: nam dum corpus Tangentem AB in- definite exiguam describit, spatium quod urgente vi centri- peta interea percurret, erit æquale BC. Demonstravimus au- tem(Ledl. Ata.) in lineolis nascentibus seu infinite parvis AB, AC, esse BC, infinite minorem AB vel ACunde vis cen- tripeta vel centrifuga erit infinite minor quam vis insita seu excursoria AB. LEMMA. In circulo subtensa anguli contactus νταnescentes sivé infinite parvæ sunt in duplicatâ ratione arenum conterminorum. Sint arcus illi AC, At; subtensæ ad tangentem perpendi- culares, BC, ε; ducatur diameter AD,& ad diametrum perpendiculares Cm, cu;& erit BC: 0εα:: A nπ: An:: Am x ND: AuAAD. Est vero(per 8. E. 6.) AD: AC:: AC: Am, &AD: Ac:: Ac: Au; quare erit AD ν An AC&AD BD 3 An VAR. 11 V. C- ———..————— ——————————— LAB. II. TaB. 12. Eg. 1. 19 HUGENII THEOREMATA AuAc: Quare est etiam BC: le:: AC/7: ACc½. Q.E. D. ö AC Cor. HlineetBE AD Hoc Lemma in omnibus curvis primi generis un i versaliter domom siravit gεπαειuνν Newtonus. ö IbiI. Au mohil4e gualia, qualibus temporidus, circumfereu- TLias inœqnales percurrant; erit vis centrifuga in majori circumferentia a cam quæ in minore, sicus psc inter e circumfereutiæ vel arum Diametri. Percurrat mobile A cireumferentiam ACH,& eodem tempore mobile à circumferentiam 24½, sintque AC, ac, arcus minimi simul descripti. Quia utraque peripheria æqua- li tempore percurritur, arcus illi erunt similes,& proindè fi- gura ABC similis erit figuræ aεα quare BC: cα:: AC: 4: periph. ACH: periph. ε Sed constat, ex superiore defi- nitione, esse vim centrifugam mobilis A ad vim centrifugam mobilis a ut BC ad cα. Quare erit vis centrifuga mobilis A ad Vim centrifugam mobilis ut periph. ACH ad periph. ach, sive ut illius diameter ad diametrum hujus. Q. E. D. Cor. Hinc vice versa, si vires centrifugæ sint ut diame- tri, tempora periodica erunt æqualia. I.. & au mobilia æqualia eꝗuali céleritate ferantur in circumfe- routiis inæœqualibus, erunt eorum vires centrifugæ in ratio. uë contrarid dian etrorum. Sint AC, ac arcus minimi simul descripti, qui ob æqua- lem in utroque mobili velocitatern, æquales erunt. Fiat arcus Am similis arcui àë& ducatur ad B C parallela; & erit vis centrifuga in majori circumferentia ad eam quæ est in minore ut lineola nascens BC ad nascentem e: sed est BC ad ócα in ratione composita ex BC ad n& um ad be;& ex præcedenti lemmate est BC ad ˙m ut ACꝗ ad Amq,&est Im ad be ut Am ad aα vel AC. Quare erit BC: c:: AC/: Anꝗ Am: aα:=AC: Anꝗ απAmꝗ: Anα::—0 VE DE VI CENTRIF. ET MOTU CIRCUL. 199 vel αν= Aναιααπι ⁴ε: Am, hoc est, ut tota periph. 4 c5 ad totam periph. ACH, sive ut diameter ah ad diametrum AlIl. Q. E. D. 1HE O R. III. Si duo mohilia æqualid in circumforentiis æqualibus forantur, sed utraque motuæqquabili,(qualem in his omnibus intelligi volu- mus) erit vis centrifuga velocioris ad vim tardioris in ra. tione duplicata celeritatum. Sunt enim vires centrifugæ ut subtensæ evanescentes an- guli contactus quæ(per hactenus demonstrata) in eodem vel æqualibus circulis sunit in duplicata ratione arcuum contermi- norum: sed arcus contermini, cum sint spatia simul descripta, sunt ut velocitates; quare vires centrifugæ sunt in duplicata ratione velocitatum. Q. E. D- IN INV S mobilia duo equπ⁴lia in circumferentiis inæœqualebur circumla- ta, vim centrifugam æequalem babuerint; erit tempus circui- tus in majori circumfereutia, ad tempus circuitus in minori, in subduplicata rationè diametrorum. Sint AC ac, arcus minimi simul descripti; Quia LAB. 12. vires centrifuge æquales sunt, erit BC. Dicatur? tempus quo describitur periph. ACH, T,& tempus quo describitur periph. αh, 1: fiat arcus Am similis arcui 46c, & ponamus mobile aliquod eodem tempore percurrere cir- cumferentiam ACHA quo percurritur circumferentia aαοα & in eo casu arcus in utraque peripheria simul descripti erunt Ams, ac: sed est velocitas mobilis in dato aliquo tempore per- currentis arcum Am, ad velocitatem mobilis eodem tempore percurrentis arcum AC, ut arcus Aad arcum AC; adeoque cum tempus quo eadem peripheria percurritur est semper reci- proce ut velocitas, erit L::: Am: AC& T:: Am: AC 2: nl: BC:: m l: be: hoc est, ob arcum Am similem arcui c, ut diameter AH ad diametrum 45, unde constat esse P:7:: vAH: vah: Q. E. D. chh⁰ο˙. Cum in omni casu, vis centrifuga est ad vim centrisu- galmn TAB. 12. I. 1. 20⁰ HUGENII THEOREMATA AC gam ut BC ad α, est vero BC.& α, erit vis AH 4 0 centrifuga ad vim centrifugam ut—5. ad 7 00 elr, Ut 71 quadrata arcuum simul descriptorum ad circulorum diame- tros applicata;& cum arcus illi sunt ut velocitates, erunt vires Centrifugæ etiam ut velocitatum quadrata ad circulo- rum diametros applicata. ö I.. M M A. 2. Smobile in ccumferentia circuli revolvatur, spatium quod mo. Bile recta progredieus,& us gente solummodo vi centrifuga ex motu illocirculari orta, in dato tempore percurreret, erit ter. tium proportionale circuli dametro& arcui, quem si in cir. cumferentia circuli latum esfet codem tempore describeret. Sit AC arcus quilibet in minima aliqua temporis particula descriptus,& designet ꝝtempus quodlibet seu numerum quemlibet istiusmodi particularum; erit aιC arcus quem mobile in peripheria latum in dato tempore describet,& BO spatium quod in prima temporis istius particulà, urgente vi centrifuga, percurreret. Cum autem mobile omne, vi eadem in eandem semper plagam continuatâ, describat spatia in du- plicata ratione temporum(per Cor. 3. Theor. 17. Lect. 11. Quippe quæcunque de gravitate demonstrata sunt, ea cuilibet alii vi uniformiter agenti applicari possunt) erit spatium ur- gente vi centrifuga in tempore descriptum πάν ν BC. Sed (ut constat ex lemmate primo) est AH: AC:: AC: BC,& ut AC ad BC ita 2 C ad BC; quare est AH ad AC ut 2 AC ad αBC,& ducendo consequentes in, erit AH ad 1ACut ꝝACad ν ν C: hoc est, diameter circuli, arcus in dato tempore descriptus,& spatium quod urgente vi centri- fuga in eodem tempore percurretur; sunt continue propor- tionalia. Q. E. D. Cor. Si diameter circuli dicatur D,& arcus in quolibet tempore à mobili descriptus vocetur A, spatium quod mo- bile, urgente vi centrifuga& recta progrediens, codem tem- pore rit yñ est, ut diame- erunt culo- Mmhh. Igaer it ter. 3 r. Rel. ticua eruma en 90 ente N eadem Ain du⸗ C. II. Ullbet Im UI- „. Sel „Nu Cut! HA „Les 1 DE VI CENTRIF. ET MOTU CIRRCCL. 20 ö A· ö x ö pore describeret erit 5 sunt enim D, A, 5 continue , R. NV. i mobile in circumferentia circuli foratur, ea celeritatèe quaàm acquirit cadendo eα οtitudinè quæ sit quartæ panti diametri aqualis, hahebit vim centrifugam suæ gravitati qualem, hoc est, eadem vi funem quo in centro detinetur iutendit, atque cum in eo suspen sum est. Vocetur diameter circuli D,& peripheria P:& cum ex hypothesi velocitas mobilis in peripheria lati uniformis sit, & æqualis illi quam acquirit cadendo per: D, liquet quod mobile æquali tempore in peripheria latum describeret ar- cum illius duplo æqualem,(per Theorema 17. Lect. 11.) hoc est D; unde ex lem. 2. spatium ab impellente vi centrifuga interea percursum erit D, est enim D ad?D ut: Dad: D: Sed ex hypothesi spatium quod mobile ur- vi gravitatis eodem tempore describit est etiam D. proportionales. uare cum spatia à duabus hisce viribus eodem tempore percursa sunt æqualia, erunt quoque vires illæ æquales. Cor. I. Hinc vice versa, si mobile in circumferentia la- tum habeat vim centrifugam suæ gravitati æqualem, ejus velocitas est ea quæ acquiritur cadendo per? D. Cor. 2. Hinc tempus circuitus est ad tempus descensus per: D ut Pad: D sive ut 2 Pad D. Nam quo tempore mobile cum velocitate accelerata percurrit, D, cum velo- citate ultimo acquisita uniformiter motum percurret; D: ac proinde cum velocitates sunt æquales, erunt tempora ut spatia percursa; hoc est tempus quo mobile percurrit 59 20 est ad tempus quo describit: D ut Pad D, we ut 2 Pad D, sed tempus quo describitur: D estS tem- pori casus per D: unde erit tempus circuitus ad tempus casus perpendicularis per: D ut 2 P ad D. AliE R. VI. In cava super ficie conoidis parabolici, quod avem ad per pendicu- Jum ———— TAB. I2. IN* 20²2 HUGENII THEOREMATA lum erecthum habeat, cireuit ur omuer mobilis circumferentias Horigonti parallelas pircurrentis, sive parvæ sive magnæ fuerint, aqualibus temtoribus peraguntur quæ tempora ingulæ quantur binis oscillationibus penduli, cufus longi- uuddb sit dimidium lareris rechti parabolæ genetricis. Sit EHGADE conoides parabolicum, cujus axis AP ad per- pendiculum erigitur; GD/ HE, diametri circulorum quorum peripherias horizonti parallelas mobile percurrit: quod igitur urgebitur à tribus potentiis sibi mutuo æquipollentibus sœ- cundum tres diversas directiones, quarum prima est vis gra- vitatis impellens mobile secundum rectam HN ad horizontis planum perpendicularem; secunda est vis centrifuga orta ex motu circulari, urgens mobile ab H versus K; tertiæ vero po- tentiæ supplet vicem resistentia seu contrarius nisus superficiei parabolicæ secundum lineam HP sibi perpendicularemagens, nam reactio actioni semper æqualis est,& fit in plagam con- trariam: unde cum superficies perpendiculariter à mobili pre- mitur, hæc æqualiter reaget in corpus secundum directionem HP,& contrarius ille nisus æquipollet potentiæ secundum di- rectionem HP mobile urgenti: quare cum mobilè à tribus hi- sce potentiis sustinetur, erunt necessario sibi mutuo in æquili- brio,% binæ quævis alterius effectum destruent. Unde ducta ON ad HK parallela cum HN Occurrente in N, si OH repræsentet reactionem superficiei parabolicæ, recta ONex. ponet vim centrifugam& HN vim gravitatis mohilis: sed Ob œquiangula triangula HON, HMP, est ONad HNut HM ad MP, hoc est, erit vis centrifuga mobilis peripheriam cir- culi HME describentis ad vim gravitatis ejusdem ut HMra- dius circuli ad M subperpendicularem. Similiter in quavis alia peripheria GLD in superficie Conoidis, vis centrifuga mo- bilis ipsam describentis est ad vim gravitatis ut GB radius ad B subperpendicularem. Porro quoniam est vis centrifuga mobilis, peripheriam HME percurrentis, ad vim gravitatis ut HMadM,&vis gravitatis esusdem mobilis est ad ejus vim cen trifugam cum peripheriam GD percurrit, ut ad BO, sive (ex natura parabolæ) ut MPad BG, erit ex æquo vis centrituga mobilis peripheriam HME percurrentis ad vim ejus centrifu- gam Fronfin mane Lenpora V Ogi. adper- orum igitur 905 lc⸗ g⸗⸗ LHontis HAeR lopo: E agend ncon- ipre W aCr 0⁰⁵5H Eal. Unde H NEV. led XIM mek⸗ IM ua g⁴0. H t1U 4¹⁵ meen CsNe tringa entribu⸗ gam DE V CENTRIN. ET MOTU CRCCL. 203 gam cum percurrit peripheriam GLD, ut HMad BG, hoc est, Vvires centrifugæ sunt ut semidiametri vel diametri circulo- rum: unde(per Cor. Theor. primi) tempora periodica æ- quantur. Quod primo erat demonstrandum. Accipiatur jam circulus GL talis ut jus diameter D sit æqualis lateri recto parabolæ HAE, unde ex natura parabolæ erit GB B adeoque vis centrifuga mobilis in peripheria GLD æqualis erit vi gravitatis; est igitur(per Cor. præc.) velocitas mobilis in peripheria GL ca quæ acquiritur caden- do per spatium æquale GD, vel(ex natura parabolæ) per BA. Fiat jam OS cyclois cujus axis vel diameter circuli ge- neratoris SR sit æqualis AB,& erit tempus descensus per cy- cloidem OS ad tempus casus perpendicularis per axem RS vel per BA, ut P ad D(per Theor. 46. Lect. 15.) Sed (per Cor. præc.) est tempus descensus per AB ad tempus circuitus in periph. GL ut D ad 2 P, quare ex æquo tèm- pus descensus per cycloidem OS est ad tempus circuitus in pe- riph. GLD ut: Pad 2P, sive ut 1 ad 4; unde tempus quatu- or descensuum per cycloidem, sive tempus binarum oscillatio- num in cycloide, æquatur tempori circuitus in peripheria GLD. Est vero tempus binarum oscillationum in cycloide æ. quale tempori binarum oscillationum minimarum win circulo, qui cum cycloide æquicurvus est ad verticem S: co quod por- tio istiusmodi circuli& portio cycloidis ad verticem& ferè co- incidunt,& proinde eundem in rebus physicis præstant effe- cum, ut jam satis notum est. Sed radius circuli æquicurvi cum cycloide ad verticem 8&, vel quod idem est, radius circuli oscu- lantis Cycloidem ad verticem, æqualis est duplæ RS vel du- Plæ AB,(ut facile ex Corol. Theor. 46. Leck 15. sequitur) adeoque longitudo penduli in circulo illo oscillantis æqualis est duplæ AB sive dimidio lateris recti parabolæ genetricis. Un de tempus hinarum oscillationum minimarum penduli, cujus longitudo est dimidium lateris recti, æquale est tempori bina- rum oscillationum in cycloide OSP, vel tempori citcuitus in Peripheria GLD vel in periph. HME. O. E. D. Cor. Hinc si mobile in dircumferentia circuli ea celeritate fe- ratur quæ acquiritur cadendo per diametri, tempus circuitus æqua- V AE. 2. 204 HUGENII THEOREMATA æquale erit tempori binarum oscillationum minimarum pen- duli cujus longitudo sit semidiameter circuli. R. VII. Fi mobilia duo e* filis inααμ³ρ½libus suspem sa Hrentur ita ur cir- cumferes tias horisonti parallelus percurrant, copitè altero ili immoto maneunte, fuerint autem conorum, quorum saper. Vicibs fila hoc motu descrebunt, altitudines aquales, tempora Juoque circulationum æqualia erunt. Sit ABE conus ille, cujus superficiem describit filum AB; item ADL conus cujus superficiem describit filum AD, sitque C centrum basis utriusque coni,& AC communis eorum alti- tudo. Consideretur jam mobile B tanquam à tribus potentiis sibi mutuo æquipollentibus tractum, quarum una, quæ est Vis gravitatis, trahit mobile per rectam BGad horizontis pla- num perpendicularem; altera secundum directionem B/- a- gens, est vis centrifuga qua mobile à centro suæ orbitæ Cre- cedere conatur; tertia vero quæ hisce duabus æquipollet& re- sustit, est nisus contrarius fili directionem AB agens: est enim tensio fili loco potentiæ contrariæ ac eundem in hoc casu præstat efsectum. Si ergo BF repræsentet actionem fili, vis mobilis centrifuga& vis gravitatis exponentur per rectas FG& BG(per Theor. 33. Lect. 14.) hoc est, vis centrifuga mobilis B erit ad vim gravitatis ut EG ad BG, sive(pro- pter triangula æquiangula FBG, ABC,) ut BC ad CA. Eo- dem modo erit vis gravitatis ad vim centrifugam mobilis Dut AC ad DC: quare ex æquo erit vis centrifuga mobilis Bad vim centrifugam mobilis Dut BC ad DC; hoc est, vires cen- trifugæ sunt ut semidiametri circulorum quorum circumferen- tias mobilia describunt, ac proinde(per Cor. Theor. I.) tempora circulationum sunt æqualia. Q. E. D. Cor Hinc vis centrifuga est ad vim gravitatis ut semidiame- ter basis coni ad coni alt tudinem. Not. Per vim gravitatis& vim centrifugam nos in hac de- monstratione intelligere vires acceleratrices mobilium, nisi mobilia ponantur æqualia, in quo casu possunt etiam sumi vi- res absolutæ. TIHE- um Pel Mr. ter saher. npora AB, stque naht tentis U et Pk 53 4. CEe. Lre⸗ ed 55 müh, rectss riluga 10· Dut Bad 5(lr leren . L.) lame 6 de. „ Mii IlIVI. IHE DE V CENTRIF. ET MOTU CRCUL. 205 ＋HE R. Vii Fi duo mobilia utiprius, motu conico gyrentur, filis 8gualihus vel inoqualibus suspensa; fucrintque couorum altitudines ina4quales, eruut tempora circumlatiouum in subauplicata ratione ipsarum altit udinum. Sint duo mobilia B& G, sintque primo coni A3BD, EGH, quorum superficies fila describant, similes;(per Corol. The- Orem. 7.) erit vis centrifuga mobilis Bad vim gravitatis ut BC ad AC;& erit vis centrifuga mobilis G ad eandem vim gravitatis ut GE ad EE: sed propter æquiangula triangula ABC, GEF, BCestad ACut GFad FE, quare erit vis centri- fuga mobilis Bad vim gravitatis ut vis centrifuga mobilis G ad eandem vim gravitatis, ac proinde vires illæ centrifugææquales erunt: erunt igitur(per Theorem. 4.) tempora circuitus mo- bilium in subduplicata ratione semidiametrorum, hoc est, propter æquiangula triangula ABC, EGF, in subdi plicata ra- tione altitudinum AC&EF. Sed qualescunque sunt coni quos fila describant, modo eorum altitudines invariatæ mane- ant, tempora circulationum etiam invariata manebunt; qua- re in omni casu constat veritas hujus Theorematis. Q. E. D. 1 EIT OR. Hi pendulum motu conico latum circuitus minimos faciat; eorum san gulorum vempora ad tempus casus per pondicularis eν dupla penduli altitudinè eam rationem habent quam circumfurentia circuli ad diametrum: ac proinde cμραi sunt tempori dua- rum oscillationum lateralium jusdem pendul minima- vVm. Sit ADB conus cujus superficiem describit filum; ejus alti- tudo sit A, fere AB, quia circuitus sunt minimi. Semidia- metro GH1 Aę describatur circulus GLEFO, atque in ejus pe- ripheria ponatur mobile revolvi celeritate quæ acquiritur ca- dendo per: suæ diametri sive; D.(Per Theor. 5.) erit ejus vis centrifuga vi gravitatis æqualis; sed est vis centrifuga mo- bilis Bad vim gravitatis, ac proinde ad vim centrifugarn mo- ilis in Periph. GLF lati, ut Be ad Ac sive GH: quare mo- ilia B& G, cum vires centrifugæ sunt ut radii, tempora cir- 4 3 Cu- TAB. Id. I. 4. 1 45 12 N· 5 IVI:mhm. 206 THEOREMATA culationum æqualia habebunt(per Cor. Theor. 1.) Est ve- ro tempus gescenius per GE sive D ad tempus descensus ber D/ ut Dad 0(per Cor. 3. Theor. 17. Lect. 11.)& est tempus o descensus per D ad tempus circuitus in periph. GLGut: D ad P: quare ex æquo erit tempus descenfus per D ad tempus cireuitus in periph. GI F, sive ad tempus circuitus penduli ABD, ut Dad P. Pars posterior Theorematis liquet ex Corollario Theor. 6. Cr. Hine cum tempus casus perpendicularis est in sub- duplicata ratione spatii à gravi cadente percursi, erit tempus descensus ex altitudine penduli ad tempus circulationis mi- nimæ ut V½ D ad P. IR.. Ci mobile in circumferentia feœratur, circuitusqué singulos 40. Jolvnt eo tempore quo Pendulum lougitudinem ůPemidiametr. circumfereutiæ ejus habeus, motu conico circuitum minimum absolveret, vel auplicem ascillat iunem minimam lateralem; habebhit vim centrifugam salæ rawvitati cꝘ ualem. Quia mobilia B, G(ex hyp.) æquali tempore circuitus suos absolvunt, erit vis centrifuga mobilis Bad vim centri- fugam mobilis G ut Be ad GH Iive Bæ ad Ac; est vero ut BCad Ac ita vis centrifuga mobilis B ad vim gravitatis(per Cor. Theor. 7.) Quarèe(per 9. 5.. 01.5. erit vis centri- fuga mobilis G æqualis vi gravitatis. Q E IIIIE. OR. AI. Penduli cujuslibet motu con ico lati, temmpora circuitus æqualia erunt tempori casus perpendicularir, eæ altitudine penduli Mlo ecuali; cum angulus inclinationis fili ad planum hori- Zontis fuerit partium 2. scrup. 54. Pproxime: Exactè vero, anguli dictf siuus fuerit àα adium ut guadratum circulo inscriptum ad quadratum& circumferentia. Sit pendulum, cujus filum describat superficiem conicam CAD talem, ut sit sinus anguli ACE ad radium(hoc est AE ad AC) ut: 5 ad Pa. Sit etiam AEG superficies coni quem penduli fllum motu minimo lati describit Cujus proinde 11 tudo PFFPFPFIFIFPPFI ES„6 cey, h cam 1AE —— e Ati⸗ 1⁰⁰⁰ DE VI CENTRIF. ET MOTIUCRCUI.. 27 tudo ABAFAC. Erit(per Theor. 8.) tempus circui- tus mobilis Fad tempus circuitus mobilis Cin subduplicata ratione AB sive AC ad AE,H est vero ut AC ad AE ita(ex hypoth. P. ad D. quarè erit tempus circuitus mobilis Fad tempus circuitus mobilis C in subduplicata ratione P. ad D, hoc est, in ratione P ad VD. Est vero ut Pad 94D ita(per Cor. Theor. 9.) tempus circulationis minimæ, hoc est, tempus circulationis mobilis F, ad tempus casus perpen- dicularis ex penduli altitudine; quare tempus circuitus mobi- lis Feandem habet proportionem ad tempus circuitus mobilis C/ quam habet ad tempus casus perpendicularis ex altitudine æquali longitudini penduli; ac proinde(per 9. Elem. 4.) tempus circuitus mobilis Cæquale erit tempori casus perpen- dicularis ex altitudine æquali longitudini penduli. Q. E. D. Cum autem est Pad D circiter ut 314 ad 100, erit pa ad Diut 98596 ad 5000. Est autem AC ad AE ex prius de- monstratis ut p:ad D², quare est 98596 ad 5⁰ο ut AC ad AE:& ut AC adAE ita(per Trigonometriam) est sinus an- guli ACE seu radius 100000 ad sinum anguli ACE. Est au- tem ut 98596 ad 5000 ita 100000 ad 5070, qui igitur est mus anguli ACE, cui quamproxime refpondent gradus 2 scrupula 54. A OR. KI. pendula duo pondere qhοπαπα, sed inæquali filorum Iongi- tudiue, motu conico Crentur, fueriutqué conorum altitudi- nes æquales, erunt vires quibus fila sua iutenduut, in ea- dem ratione quæ est filorum longitullinis. Constat Theor. 7. Nam vis gravitatis est in utroque cono ad tensionem fili ut altitudo coni ad longitudinem fi- li; cumque eadem est conorum altitudo, patet tensiones filorum esse eorum longitudinibus proportionales. C. E. D, I EI. R. II. Oãi pendulum simplex asc-Ilationè laterali namima uεσιεrεtur, Boc est, si per totum circuli quadrantem descendat, uhi αι guu- um imum circum forentiæ pervenerit, tripla maqori vi.- lum Juum trabet, quam si én illo finpliciter suspenfum fo. ret. 1 i * 28 HUGENII TEEOR DE VI CENTRIF.&c. Lan 12. Sit pendulum AB Ie quadrantem FB motum: bisecetur 46. 7. AB, in C, per quod ducatur CE ad AB perpendicularis circumferentiæ occurrens in E. Si pendulum solummodo per arcum EB descenderet, acquireret in puncto B eandem velocitatem, ac si per CB: diametri descendisset(per co- rollarium primum Theor. 38. Lectionis XV.) adeoque(per ＋ 22—5 1674 Theor. 5.) habebit in puncto B vim centrifugam suæ gra- vitati æqualem:& proinde gravitas& vis centrifuga simul junctæ dupla majori vi filum trahent, quam si sola adesset 4 gravitas. Si vero pendulum elevetur ad F, post descensum ad B, eandem acquireret velocitatem, ac si per AB ceci- ö disset. Est vero AB ad BC in duplicata ratione velocitatis acquisitæ in descensu per AB ad velocitatem acquisitam in descensu per BC; quare etiam erit AB ad BC(per Theor. 3.) ut vis centrifuga mobilis in puncto B post descensum per FB, ad vim centrifugam in puncto B post descensum tantum per EB; adeoque vis centrifuga mobilis post de- scensum per FB dupla erit vis centrifugæ post casum per EB; hoc est, vis centrifuga in puncto B post casum per FB dupla erit vis gravitatis: quare filum à vi centrifuga& vi gravitatis, simul& secundum eandem directionem a- gentibus, tripla majori vi trahitur, quam si à sola gravita- te tenderetur. Q E. D. * 2* 5 ͤ E . 450 ⁴ 2 * F B 0 L. L B. XIL n ASTRONONMIAN 8 2 LECTIONES ASTRONOMICÆ Habitæ in Schola Astronomica Academie OXONIENSIS Authore IOANNE KEILL, M. D. Astronomiæ Professore Saviliano. R. S. S. M R IIIONI EEr OMI T 1 R A V. N. UMinter Mathematicæ Scientiæ studia pri- ‚ mas merito sibi vindicavit,& obtinuit Astro- Hominum; quod in omni ætate& populo, primarios Principesque viros, præ cæteris longe disciplinis, sortita fuerit fautoresꝰ Digneris itaque, Vir Nobilissime, in hujusce libri Patro- cinium vocari, quem si parum tibi commendat, aut ope- ris, aut Auctoris meritum, id abunde compensabit Ar- gumenti Dignitas. Cujus enim Tutelæ potius se com- mittat Astrorum descriptio, quam illius viri, qui, s1 la- pientiam spectemus, inter eos primus est qui Asris Aomi- nantur? Ad quem potius confugient Nostra hec de Caœli siderumque motibus Tentamina, quam ad virum Cœlestis istius Regis observantissimum, qui nunerum solus novit&. Sellarum nominE? D d 2 Tu D D IFn Tu nimirum inter paucissimos unus es, cui Sacrorum Administratio ita imprimis est curæ, ut proprii tui ipfi- us Domicilii non ante jaceres fundamenta, quam Tem- plum pulchre instauratum Deo consecraveris. Neque in- terim de cultu minus quam de Templo adornando solici- rus, Pietatis officium excitasti Musicæ àdminiculo,& Harmonicum induxisti chorum, Sphærarum, pene di- xerim, concentibus æmulum. Te omnes, Vir Insignissime, cum admiratione intuen- tur,& dum virtutes imitari contendunt, assequi despe- rant. In Publicis negotiis obeundis quis acutior? In rebus Domesticæ vitæ disponendis quis expertior? In Rationi- bus computandis& exigendis providus& frugalis. In pe- cuniis erogandis liberalis, in largiendis Magnificus. Ita de literis, simul& literatis præclare, meritus es, ut dum optimarum Artium studio Animum penitissime ex- colis, earundem Artium studiosis, materiam pariter& incitamentum subministres. Ita illius præcipue Scientiæ, cujus Elementa Tibi offero, utilitati prospicis& incre- mento, ut in pulcherrimo, quod jam extruis, Ædificio, splendide curaveris, ne vel Asronomicis Speculatoribus lo- cus peridoneus, vel aptissima observatoribus desiderentur strumenta. Stupendum itaque illud,& per universum orbem mira- bile Telescopium, quod Societati apud Anglos Regiæ do- navit illustrifsimus. Hagenius, unanimi omnium consensu, in vestras Ædes transferendum, ibique aslervandum decer- nitur. Neque enim Clarisfimi illi viri dignius excogitare * Hactom tui V uTem. eque in. 0 solici- Ho,& dne di- nülen⸗ U Cche⸗ In rebis Nafomi- pe- Htis&) ume el⸗ Writer& Clientiæ, incre- ufeio; bth 0- derentut nmia- 01E Go- 911 D 1 A 1 I poterant Hugeniana Machina Domicilium, aut digniorem Chandosano Domicilio Machinam. Quod si opusculum hoc inter pretiosa Musei Tui orna- menta; inter Constellationes Stelliculam, collocare non dedigneris, utcunque proprii& nativi luminis nihil præ se ferat, mutuatitia satis luce splendebit,& reflexis illustra- hitur Radiis. Llustrissimæ Meritisfinque Dignitatis, Nobilitatir,& Maguitudinis Tuæ Observantissimus Cultor JoAN. K EII. I2 dwd=hl N T Ralia, que benienisfimus Deus humano gc veri multiplicia impertivit doua, illustria impri- 4 mis 2la saur„%ue in artium& disciplinarum cognitione consistunt; inter Artes& Viscipli- ＋ nasr, ut Autiquitate& Voluptate, ita& Utili. tate non po stremum locum tenet Astronomie; quæ mirabilem naturæ Harmoniam,(qua rerum omnium creatarum compages& machina constructa constitutaque cohbæœret) Pen scru- tatur& observat; Cor porum cælestium motus, motuumque mo— Adto- mnenta, viresque unde ortantun, trutinat& pensat. In hac nomia scientia magui Heroes ꝗ primis statim mundi incunabulis sibi im- . 120 primis elaborandum duuerunt. Ade ut Affronomia semper fiuit oum Regum S Imperatorum Doctrina; unde Chaldæœr, Magi, S scientia. Pytlosophi Pplurimum aucforitate& gratia, apud p iscos Reges valuerunt, qubos utpotè in Diviua sidorum scientid instruebant: absurdum enim esse, tur peque cen sebaunt hi REeges, mundo impe- rare,& quid sit mundus nescire. Astro- Astronomiæ prastantia exinde patet, quod nulla eι lumine Raiet.. scientia, quæ ad cognit ionem Summi& Omnipoten- Ii Imaal. 2 e. Cæli Terræque conditoris, magtes no Mucit, nullq so- me in- Jidiora administrat argumeuta, quibus 5u Hisftentia demon- lervit. sfratur, quam ea: non aliunde magis evincitur Dei Votentia, summaque Sapientia, quam ex siderum motuumwque Cœπestium con- zemplatione. Cœeli enarrant Gloriam Dei,& Firmamentum annunciat opera manuum ejus, ingπι sanchissimus Rer& Pro: Pheta Mavid;& rus sar Ammunciarunt Cœli Justitiam ejus, & viderunt omnes populi gloriam ejus. Fe Marcus Tullius Cicero rationis rantum lumine du- Cicero ö de Na- us in hanc sententiam deveunit. Nihil, zucuι otest esse tam 0 Be- apertum, tam perspicuum, cum Cœlum suspeximus, Cœ- aum. lestiaque contemplatisumus, quam esle aliquid numen præ- d. 2. stantillimæ mentis, quo hæc reguntur. N.νσ certe magio ra. YPit 2———2 ¶.9.—ßð·ꝛ58— sle run sen 0 M- bae sm. flit 91j U Lechet haht: mpe. 2 PK EHF 4 1 0. 215 pit animos homiuum in Dei admirationem, reverentiam S amo- rem, quam tot tantaque cospora& lumina cælestia, quæ visui pulcherrima,& intellectui jucundissima sunt. Eorum 0bνiatio- nes ad in vicem, motus ordinatissimi, certissimæ& determinatæ Circulationes, divinitusque præscriptæ Reversionum leges iu conciunitate admirabili, summam Dei potentiam, sapientiam, honitatem& providentium mamniféestant. Quihus præceptis, ad Univer si hifονςε Aucrre& Conditorem, aamiranadum, veue- gandum, sem perque celebrardum impellimur. Praterea Mironomia mentes homiuum tot sublimibus secula. Astro- iouibus, de tot tantisquée, tamquè longe dissiris corporibur, mi- fu v 25*.— ö ö ucundi- rifice delech⁴at,& summa jucunditatée recreat. Hinc canit O- Laated⸗ vidius. Fastor lib. I. v. 297. titudo. Felices Animæ, quibus hæc cognoscere primis, Inque Domus superas scandere cura fuit. Credibile est illos pariter, vitiisque jocisque Altius humanis exseruisse caput. Non Venus& vinum sublimia pectora fregit; Officiumque fori, militiæque labor. Nec levis ambitio, perfusave gloria fuco, Magnarumve fames sollicitavit opum. Admovere oculis distantia sidera nostris, Mtheraque ingenio supposuere suo. && etiam Virgilius. Georg. lib. II. v. 490. Felix qui potuit rerum cognoscerè causas, Atque metus omnes,& inexorabile fatum Suupijecit pedibus. Assuronomia, certitudine& evidentia demom surat ionum, ne qui. Astro⸗ dem Gecmetriæ cedit. Usu latissime Hatet,& amplitudiuè subhe- 10118 cTi per omue mundanum spatium disffunditur. Nam inter scientias nm artesque omues liberales, nulla est, quæ aut pluràa, aut majora, aut Iongius dilsita conremplatur ob5fecta, quam Astronomia, sed nulla quoque est in quà pauciores adhuc restant resolvendi nodi, nulla ꝛn qua minores super sunt eximendi scrupuli, nulla ad perfectio- nie culmen propius perducta est, quam Divina hæc scientia. Iu reliquis plerisque disciplinis, quidam inextricabiles occur- rant Lachrinthi; eas non parve premunt difficultates, multæ 3—ñ. 216 PN M F A T1 O iuternjectæ reperiuntur nebulæ mentis aciem obtundentes,& Aau. sa caligine involventes, quæ ulteriorem investigationem probi- hent. Al corporum cœ4lestium motus uunc certo cognoscuntun, motuumque causa demonstrantun, Vhœnomenunque rationes per- Ciptuntun. Minimarum quarumcunque siellarum, quarum distamtia est im. mensa, tam Longitudines quam Hatitudines, seu in culis loc- nunc dit rum accuraté habentur,& in Catalogis insenuntur. At Geographia interim nobis paucarum urhium Longitudines& Lati- rudines certoe osteudit; adhuc restant multæ Terræ incognitæ, lurimæ ineπρloratæ regiones,& plurium earum, quæ mafores appellantur Coutiuenter, v²ν quicquam præten littora nobis iu- notescit,& quod mirum forte videbitun, locoam=set ionαε, in evigur,& maime nolte, uipote Peragratis atquè lustratis pro- Bvinciis, incertæ admodum suut, ut eπr mappis, sou chartir Geo- graphicis sibi indicem contradicentibur mamifèstum est. Perædicunt Astronomi, in multa fiiturà secula, Solis Lunæque defecrur, Planetarum Conjunctiones, Ophositiones, atque A- spectus qualescunquèe mutucu, quæ futuræ sunt stellarum gunium Polo distantiæ, quamvis cor pora hœc immenso uobis G. se invicem loceutun intervallo. Iu Meteorologicis interea Poritissimus ne divinaré guidlem potest, qualis futurus sit crastinb die nosiræ Arinospheræ sftatur, quα aασ pauca tantum Pasfuum mil- lia extenditur; num scil. factes cœli serena aut pluwios sit futu- vra, aut ev qua regione hiraturus sit veutus;, nec adhuc notum st, uιbus cœusis egusmodi griuutur effectus. ö Philo so phorum nemo faaurar miuubissimarum materiæ particu- Jarum hactenus penseνντ; du vulgatissumæ cujusinis herbæ te— zuram, formom iuteruam, Partiumvt composi ionem detevit; uec Moedicus quisquis est, qui rationes vertutum, operationum, Juas in conpora bumama evercent medicamenta zadagavit. Im- 1⁰ in corporihus auimatis& vegetabibibus, Fons& Vrinci- pium motus inscrutabile ＋Q videtur,& mysterii instiar& nosiro seusu& iutellectu longilsime digunctum, uec for tassé ad ejus coguitionem pleuam penfoctamque sumus unqα. perventuri. Sed Ionge alia est Astronomorum ratio, quibus id datur negotis mo- rus corponuimn cælestium, von éorum gaturas centemplari, S Phæ- nomenn, gu eν motu oriuntur rationem reddere. Hi von FTan⸗ — P R F A T 1 O. 217 bautum determinant quales quantique sünt illi motur; Ced de- seribunt semitas, per quas in immensis soatii regionibus, farumä tur errantes Cometæ. Proprietates orbitarum Geometricas,& legem immutabilem cui in lineis peragraudis semper obseguuntun, aeclaraut. Nec Astronomos latet, in qua spatii parte,& in quibus temporibus, Plauetæ singuli lon issime 4 Hole decedunt, minimamꝑque caloris atque luminis partem ab eo recipiunut. Une qe nun sus digredientes, vol ipsorum motus contiuuo accelerat, eosque ver sus se trabit, donec ipsos ad éa spatii puncta perduxe- rit, ubi mavime propinquos, maxime etiam penfundit luceé,& ravitate ciat. ö Hæc pleraque præcedentis Sæculi magisiris innotuere, sed in nostra eer ein nostra Britanniaà, exortus eft, vir YPlaue Divinus Isaacus Newtonus, qui præter alia inventa in- numera, originem& fontem motuum cælestium reciusis,& legem illam Catholicam deprehendit, quam Omnipotens& Capientissi. zmus Creator pen totum universa Naturæ Cystema aisfudit. Scil. quod Cor por omnia se mutuo trahunt, in reciproca istantiarum ase invicem rationè duplicata. Hæc Lom quasi ligamentum Naturæ,& principium illius guæ untver salem rerum Fabricam con sorvat unionis, tam Come- ras, quam Planetas in propriis orbitis& intra limites datos de. linel, prohibetque ue ulterius, à se invicem recedant,& in sha- Lia infinita eπeurrant; uti foret si corpora vi tantum insitd mo- verentur. Eodem viro monfirante, nobis innotuit Lex quæ regit& tem. Peret motus cælestes, orbitis Iimites ponit; Planetarum lon- CeMimos encursus,& accessus ad Folem maxime propinquos, de- rerminat. Huic incomparabili viro debetur, quod novimus, unde fit, ut tam ronstans& regularis proportio sempen obsor- verun, auter Planetarum Periodos atque eorum ꝗ Fole distau- en, S cur motur cælestes in tam pulchra, tamqué mirabili Harmonia Heraguntur& semper con servantur. Perpensis mo. zuum legibus,& probe rrutinatis; eα iis novam Lunæ Theb- riam coustrux it Newtonus, quæ omnibus jus inæqualitatibus accurate satir respondet; qualem quidem antea sperare nemini acuerit, e illa enim Theoria computatus Lunæ locus vix* 2 Ee 4 I—— —— ————— ———————— Psalm. 148. Astro- nOmiæ usus in aliis ar- tibus, In Geo⸗- graphia &X Chro- Rologia. In Na- vigandi Arte. 218 R rA I I GO. sihili quautitate, plerumque ab ohsorvato disfert; ut inde navi- antibus noνπα emergere polfit soes, invenieundi in mari Longitu- ainem loci ubi navis ver satur, quod est Problema mas imè desi- deratum. Nohil est quoꝝ Humani intelloctus vim atque penetrationem magir demonstrat, quam magna becr& mirabilia inwenta, non alio certius mouo, Muudane Machinæ portentosam molem, a. uimo comprehendere possumus, aut opifici: Divini stupendam pulchritudiuem réectius&stimare,& sapientiam admirari vale- mus, quam per Divinas hasce leges nunc taudem repertar. Eæ nobis repræ sentabuut magnisicam& unoοhιιe Mundaui ystema. tir imaginem. Hinc discimus, Terram hauc, quam nos coli- mus„ eviguam aamodum esse,& vix notabilem totius splen. Aidisfimæ fabrice partem; Cum fore infinit sint mundi, Eu. i sammai& omnipotentis operd producti, qui nostro habitacu. 20 sunt louge majores, in quibus disponendis& regendis, Poten- ziam& Gapientiam infinitam Eus illud supremum emeréeat. Qui dixit,& facti sunt cæli, ipse mandavit& creati sunt. Sta- tuit eos in æternum, iis legem dedit, quam transgredi ne- queunt. Sed nuec Astronomiæ usus solummodo in αάεαο¹endis animi virt. Gus,& dulcissfima rerum, quas speculatur cæœlestium contempla. tionꝰ penspicitur, sed latius patet,& artibus& discipliuis maxi. mo est adjumento; Quibus euim in tenelris erranent Gedgrap hus Chronologus, Afironomiæ Iuce destituti? Ascronomia auge, Telluris figuram,& magnitudinem, locorum situm Aistantias iuvestigamus, illius auwilio certam auni mensuram, rer gestas secundum temporum seriem dispositas sianamus. Eer hiscée sautis iutelligitur, quam utilis humauis rebus sit Asironomi, silée qua, nec Geographiæ nec Chronolagiæ,& groinde nullus quoqus esset Historiæ Locus. Sed inter omues, quas promo vet, Scientias Myonomia, non alia plus eπ eαι iucremeuti cepit quam Navigatio, cujus heueéficio, penr vasttum Oceaunum iter non devium teuentes, ultimas terrarum oras invisuut navεs nostrœ. Hinc mutui commencit caesunguut commoda;& quicquid aliæ Terræ vel pretiosum vel delectabile sferunt, id omus sine eο qua laborant illæ caloris aut Irun, 0 a I Onhin. 10. onen „ IN , 4. Iaam Dal. E sena. cli. Plen. „ EI. Hitacu. Paten. fIdb. Oi e Re⸗ um Iampli. ni Pchbun Mub, autilt n salis 10⁰%0, PR E F A T IO. 219 mper e, nos domi manentes excipimus, Navigationis peritiæ debetur illud, quod sibi vendicat Britannia, Oceani Imperium, nec ulla gens d littoribus nostris tam remota esi, quam non a in— juria nostiris hominibus in ferenda, deterreat Armata Britannica (CVassis. V? Ars navigandi magna e* parte peudet ab illa quam de a. strorum motibus Hhabemur, cientia; Ita vehemens, quæ Neger Principes incelsit cupido, longinquas& ignotas eπhριοrend regiones, eos impulit aοι Astronomiam dilienter eucolendam. Primus& Nautarum maximus fit Neptunus, qui oh artem suam, Oceaui Deus celebratur; cujfus filius Belus Asfronomiæ Peritus ejus ope incolar er Lybia in Asiom traduxvit. Ubi Colle- gia Astronomorum instituit. Nam Diodorus Siculus 2½ Hœisto. riarum libro primo, parte socunda, ita scribit. Tradunt, in— quir, Mgyptii, Belum, Neptuni Lybiæque filium colonos traduxisse in Babyloniam, qui Sacerdotes(hos Babylonii Chaldæos vocant) instituit qui more Ægyptiorum astra obser- varunt. Aute hunc vero vixit Atlas Mauritaniæ Rev, Astro. nomiæ scientissimus, qui de Sphara primus inter homines dispu. ravit; Vude in Mucide, Virgilius introducit Iopam canentem ea qud tradidit Milas. Docuit quæ maximus Atlas, Hic canit errantem Lunam, Solisque labores. Sie Uranur quoque Re istius Hopuli(ui incolunt terrar guta Atlur oceani Atlantici sitas) oh peritiam in motibus cælesiibus& Diis originem trawisie perhibetur. Zoroaster apud Per sas, Phisosophur ut Astrorum scientisimus ab vmut antiquitate cele- bratur. Talis enim apud antiquos fuit Oujus Artis Honos, ar- que Dignitas, ut cum e maæimé Aelectarentur Reges, Negia Jeientia appellabatur. Neges enim in Africa& Syria primi eam zvenere,& evcoluere; idgus longe ante quam gutdqguam de Ca, Græcis iunotuit, ut aguoscit Plato In Epinomide. Pri- mus, inquit, harum rerum spectator Barbarus fuit. An- tiqua enim Regio illos alluit, qui propter æstivi temporis serenitatem, primi hæc inspexerunt, talis Mgyptus& Sy- ria kuit, ubi stelle omnes clare cernuntur, quoniam cæli gonspectum, nec pluviæ nec nubes: Quo- mam Astro- nomiæ antiqui- tas,& primi Astro- nomi. 2²⁰ K A. FE A T 1 0. 1 niam vero magis quam Barbari ab æstiva distamus sereni- vll tate, horum siderum ordinem tardius intelleximus. Fic 00 etiam Lucianus, ιέι 4H⁰οννμ½α½σ narrat, Æthiopes primos ad ů l 14 cœlestes motus attendisse, qui luminarium causas scrutati,—55 I Lunam proprià luce carere,& à Sole mutuari cognoverunt. Hoc certum est, Astronomiam primis fere mundi initiir, a0 9 orientalibus terræ populis fuisse encultam: Nam si Ponphy. ＋ rio credendum sit. Capta per Alevandrum Maguum Babylo- nhn N ne, Calysiheuées, rogatu Aristotelis, transtulit π eα urbe in cha III Græciam ob seruationes fere duo millia annorum; Plinius eriam Hall in Historia naturali scribit, quod Epigenes docet, fuisfe apuασ 08 Babylonios ob servationes septingentorum& vigiuti aunorum, ue coctilibus laterculis inscriptas; Vt Achilles Tatius in princi- 910 Pio Lhagoges ad Arati Phænomenon, Ngyptios primos omnium E tam cælum quam terram esse dimeu son, ejusque rei cientiam, ＋ columnis incisam, ad posteros propagasse; Chaldæi tamen hu- Jus inventi decus ad se traneferuut; Iaquè Belo tribuunt. Ac W. Ægypto omnem doctrinam suam Astronomicam hauserunt Græ- NDJy ci. Nam agnoscit Laertius, Thaletem, Pythagoram, Eu- FI Aovum& alios multor, illam adiisfe regionem ut in Mysteriis Scieutiæ idoralis initiarentur; Hi non tantum inter Primos, 30 sed& ma imos Græciæ Philosophos etitere;& ah eodεm disci- 90⁰ ꝛnus, quod gui iu ea Regioue diutius morabantur; post reditum I in Patriam, celeberrimꝭ fuere oο Geometriæ& Astronomiæ pe- Il nitiam; Fic Pythagoras, qui septem annos in Sacerdotum con- 4 sortio apue gyptios vixit,& in ipsorum Sacris fuit initia- 2 tus, præter multa Geometrica, domum socum attulit verum I nundi Fystema, primusque in Græcia docuit Tellurem atque REI Planetas circa Solem tanquam centrum revolvi, motum autem per Solis Srtellarum fiuarum diurnum non realem esse, sed appa- 900 rentem, ortum ex* motu Terræ circa Aem. Tum emnporis ne- WIl mo pro Pphilosopho habebatun, qui Mathematicis Scientiis non Fuit optime instruc tus. ö 8. Han Astro- Ac cito neglectæ jacuerunt hæ Ccientiæ; Philosophi cum po- 0 Pete⸗ steriorer& prioribus multum degeneres, rempus in tricis uugi⸗ It neglec- verebant: omiso Juippe Icientiarum sublimium studio, sophismna- in 14. ta quære band, quibus sibi sensui hominum commun. vole eel . I mos a0 Tutati, Verunt, 4460„ 44 7Pj. chlh. Whe i eliam Iurum, pymni ommum Mam, lu. . A C᷑e⸗ „UI. Mmuit Oyimot, Ali. M Pt. . RitiE⸗ Hll Mhe Nl ahhe. rit je· I n iim po⸗ Mꝑla HMsna⸗ one/e vole K 4. E 4A 1. 221 volobant, verum etiamsi& Philosophorum vulge, in exilium acta est Astronomia, à quihusdam tamen( paucWsimis licet) re- cepta& evculta fiiε, precipue in Schola Nyt hagorica, quæ r multos annos in Italia floruit, in qua eνειτëerunt magui vins Philolaus& Aristarchus Samius. In AÆgypto quoque Re- ges Ptolemæi, maxvimi Literarum Patroni, Ocholam Airono- icam Alexandriæ fundaveruut; eν qua otiam prodierunt nogni S celebres Asfronomi, quorum Frinceps fuer Hippar- chus, qui referente Pliuio, ausus est etiam rem Deo impro- bam annumerare posteris stellas, cælo in hæreditatem cun- CTis relicto; Hic utriusqué sideris defectus in seαπαentor annos præcinuit. Super Hipparchi observationibus, ædisicata est ma- gua illa& pretiosa Violemæi Hutaxis; nam ab iis deduwit Mauinoctiorum præcèlsionuem,& Theorias motuum Pianeta-. rum. Aaoypto per Arabes debellata,& Alemandria capta, Victo- res, Astronomiam, aliasque Artes liberales in suum receperunt patrocinium,& quamplur imos scientiarum libros eέε Græcia, in proprium sermonem verti curaverunt. Ex Africa in Hispaniam tran seuntes Arabes, ibique cum oc- identalibus Europæis commercia exercentes, Astronomicæ quo- que artis cognitionem iis tradiderunt; cum hæc ante in Europa Fere obliterata latuisset. Jubente itague Imperature Frederico secundo circa annum Christi 1230. Ptolemæi Syntaxis magna ev Arabicà in linguam Latinam traun slata est. Post illud tempus ꝗ mavimis viris, atque summis Philosophis exculta est Astronomia, inter quos eminent Alphonsus Castellæ Rex, obh tabulas, ex ipsius nomine Alphonsinas dictas, sem- per celebrandus; Nicolaus Copernicus non tantum diligens 0bservator, sea& ystematis Fythagorici antiqui Restaurator. Willielmus Princeps, Hassiæ Landgravius, qui Quadran- tes Lextantes prioribus longe maores ad altitudines S di- siantias syderum dimetiendas adbibuit. Hujus principis obsoer- vationes editas 4 nellio habemurb. Domiuus Henricus Savi lius ram in Astronomia quam in Geometria peritissimus, vir nobis maxnime honorandas, qui profæssionem nostram Astronomi- cam, Sociamque Geometricam, in Academia Oxoniensi fum. Ee 3 M ESEERREEE 22² R EF A X& 16. davit, amplisque stipendiis donavit; cujus memoria ohε hæer alia plurd in rem literariam collata heneftcid, eratissimo animi asfoctu somper esi celebranda. Tycho Braheus nohis Danus, seculi sui Atlar, qui observandi peritia, omues ut ate ipsum otiterunt vicit; instrumentorum suppellectili Reges omues& Eriuncipes longe superavit: ILe Cataligum ftvarum 770. quam diligentisime obser vatarum edidit. Joannes Keplerus Asirono. mus ohtimus, laboribus Dychonis fretus, Sstema mund%ht, Ie. eesque motuum veras adiuveuit,& Astronomiæum in ꝛiumen suum auvi Hjus opera orhi literato sunt notifiim,& ampliIfinds auncrorir laudes prædicant. Gallilxus Gallilæi Lyncæus, ui tubi ohtici benefici, nobis plurima uο vαάαακʃ1— Phnomena Hate. Fecit; Comites Jovis eorumque motus; Satunnui Phases varias; Jaminis incrementa& decrementa quæ Venus subiit; Lunæ su Henficiem inaqualem,& montibus asperam; Oolares maculas, S Holis circa Avem réevolutionem, primus demonsiravit. Nun dies integra susfiaeret, si debitis cum laudibus nominarem Heve- lium, qui Catalogum fivarum Dychon iauo longe ampliorem ev 5vropriis ob servatianibis edidit; Ill strisfimos viros Hugenium S Cassinum, qui primi daturui Comites& annulum com speve- re; Gassendum, Horoxium, Bulialdum, Wardum, Ric- Ciolum, aliosqnue plunes magui nomiuis Astronomos Quos ta. men ob mavimà in rem Astronomie am merita, antéecellit vir ce- laberrimus Edmundus Halley, hujus Academiæ Geometriæ Professor oaviliuuur, Colega meus amicissimur, cußsus lahori. Lus non par va debentur Astronomiæ iucrementa. In hoc viro, quod nescio au alit mortalium ulli præterea contigerit, elucet saumma in Astronomia Practica Habilitas, cum præcellenti rei Geometricæ Ocientia conjuncta. Quod per Tabulas Alsuronomi. car, quas hrevi nobis daturus ést manifestio patebit, hæ enim a- lias omues ante editar, vel posthac for san edendar, longe ante- cellunt. Alios quam plurimos nisi longum foret, posfum commemorare nostrates, qui de Astronomia optime meriti sunt. Sed præate. reunaus non est Joannes Flamstedius Astironomus Regius, qui indefesso laborée, per triginta& plures annos continuaso, cælo invigilavis, innumeras observatioues de Sole, Luna& Pla⸗ PIan 1005 o G Wl sl 90——¹⁰ iumn 0 seul. V 71 0 Ar ＋ 117 meuti C 0/ Oocri suum I fhh. V 40 hhn In Het ＋ Onim Danis, % psin Due „ guan Icrozo. 4%, Ge. ensam Mnae 5 90¹ a pale. vaniar; sn f. alat, My Heve⸗ em er enum Mexe. Ne- IA. Hin lt. alrie Ihri. 2½0, lulet = i smm. Rima. Aamse⸗ P R TF A 1 6. 22 Plauetis, amplisimis instrumentis enquisita arte divisis,& tubo optico instructis, factas consauavit. Cude Hiujus Astro- nomi accuratis ohse-vationibue magi, fidendum erit, quam alio- um ante illum, qui oculo inermi sidera intuesi aggréll. sunt. Composuit pratereæ Flamstedius, Catalogum Fixarum Britan- nicum, in quo erhibentun ter melle Lewd,; 00e /l, fene anPe Plures quam quæ in Cataldgo prostiant Hcveliano, quibus sin. gulis adiunvit propriam VLoung itudinem, Latitudinem, Afceu. onem Rectam, Distantiam ꝗ Pols, cum Variatione Ascen sio- uis Rectæ& Distantiæ ꝗ Polo, dum Lougitudo uno gradu mu. tatur. Historiam Cælesiem Britannicam, gute, utrumque Opus, ohservationes scil.& Catalogum complectitur, breve, ut audute, editurus est ipse Flamstedius. Inter tot Astronomi adjfumenta& lumina, de sidera- erun aabur Duiversa quadam& consfummata Cælestium Phanomeuou Theoriu, soecundum rerum veritatem cau sav- que Fhysicas eplicatàa,& in uuum corpus redactια; quam magno eruditorum omnium plausu absolvit tandem& iu Iu. cen egidit Clarissimus Dominus Gregorius, insqne no. siræ Professionis decur,& Præceptor meus mihi 4 eαtre. mum vitæ Spiritum gratissiud usqque memoriaà recolenuur, cui ui ceο in hisee studiis profbcerim id illi omnée acceptum re- Fero. Interim fatendum est, opus illul Gregorianum, minus vide- i ad discentium captum accommodatum; multa enem com plecte- u quæ reconditiorir Geometriæ coguitionem Hostulaut, qualem in Doronibus raro reperirè licet, qui tamen in Asironomiæ ele- meutis possuuunt instrui. Præterea ubique mixtim tradunter no- rus calestes, cum ipsorum causis Physicis, quæ duæ res, fimut Dyronibus addiscendæ, eorum meutes niminm disirabuunt,& doct rinam difficilem reddunt; unde ε0 satius dut, motus hri. mum euplicare,& Phænomenon quæ eν iis oniuntar ratio- nem reddere, quibus perspectis, facilior ad Physicam f½it tran- satus. In hunce finem, secuenter composui Lectiones, quas in dcho- 4a Astronomica, prout oficii mei rati- Hostulabanr, habu, in guibus imprimis operam dabam, ut motus cælestes pen spicus Zuautum polsim eplicentur,& Phænomenon inde vrienμι½⁰ν² ＋ SSE ——* 22 RK& r A ＋ 1 0. rationer readautur; eorum maximè, quæ paucarum in Geome- tria propositionum subhsidio intelligi posfunt. Ldecque con sulerim, ut LTyroues qui Astronomiam addiscerée cupiunt, Euclidem aute oculor ponaut, eumque adeant, quoties Propo sitiones aliquas& nobis citatas iuveniunt. Sunt autem Propositiones uumero per- Paucæ, quales sunt Prop. 13, 15, 27, 28, 29, 32, 47, LHlemeu- 2 Orimi. Ttem 16, 18, 20, 31, 355 36, 37. Elementi Tertii. Item 4, 5, S6, Elementi sevti. Optamus quoque, ut Dyrones in Trigonomemia Pland,& Sphæricd probe inseructi siut; Quod s fint aliqui, qui principia Astronomica addiscere volunut, S tamen Trigonometriæm nesciunt; quales futuri sunt, ut credo, Plu- res, ah illis bæc postulamus conced. Nempe, quoniam in ommi triangulo tam pharico qua²m Flauo sint tres anguli& tria late- ra: horum sev, datis tribus quibusuis, quorum in triangulo nectilineo uuum sit latus, reliqua inveniri possunt; quod docet Trigonometria, cujus usus in Astronomià latissime patet, QGusquẽ auwilium ubique conspicitur. Hant præterea quædam in nostra Astragomia, quæ penitiorem in Geometria coguitionem desiderant; qualia sunt quæ de Thco- iir Plauetarum Ellpiticis, à Keplero inveutis, tradidimus. Ced Tyrones, qui de particularibus hisee, suut minus solliciti, passuut ea præterire. Rogo etiem Tarones, qui parum in Astro- nomnie antea versati suut, ut post eplicatas in Lectionibus XI. SXII. generales Eclipsium causas, reliqua relinquant,& post- am vite satis instructi fuerunt in Moctrina Sphærica in Lect. XIX. SXX.& nobis tradita, denuo eadem repetant. Que nostra hac prius iutelleveriut, polsfunt optimo cum fructu eimium il- aud Gregorianum us legere,& causas motuum Physicas exin- de addiscere. In gratiam pot issimum Juvontutis Academicæ har Lectiones e- Zendas curavi, qui per eas semel in Cchola recitatas minus Pro- fauere valent. Dnde mibhi reservo potestatem casdem iterum, quo- ries visum fuerit, in Sehold habendi, ubi si quid in illir obscurius dictum sit, dabo operam ut Uud in lariorè Iuce erponatur. Au- ditores autem nostri boc pacto, ubi semei nostras Lectiones per- legerint, quotiescunq ue easddem denuo publice recitatas audiant, poM=ut de locis disficilioribus minus intellectis nos consulere, Aubia sua proponere, prout Statuta nostræ Academiæ— rHiut. EES Weeee „——e n Camn nMlinn em IM iguae Iero pey. Elamen. Tentit. Hyontee HD lm,& 0, Plu. iM IMn i late. diangilt OMahlbt gse tihrent Theo- Haimuc. slieiti, Aso. XI. 67. Leld. Hosfrd umn il⸗ evl neke Mo. m. Mo Harius 1u. Au- H˙s ey iant. Mlere; 11 vg LEV 225 LECTIONES ASTRONOMICE. LE T10 I. De Motu visibili seu Apparente. Gννεμνασ Stronomiæ elementa traditurus, corporumque e e ongissime dissitorum motus, motuumque A 2 Phanomena explicaturus, ut ea omnia à Ty- 4 ronibus melius intelligantur necessarium duxi 66%½ποe quædam in genere de motu visibili seu appa- ννινν renti præfari. Et primo cum Oculus ea corpora tanquam quiescentia e cer- spectat, quæ inter se candem semper conservant distantiam areser. vilibilem,& quorum, oculi respectu, idem manet situs, videntur. eadem positio, atque invariata distantia; eorum tantum corporum motus nostro objicientur visui, quæ vel inter se, Quæ mo- vel oculi respectu, situs,& positiones mutant..— Vel ut paulo altiùs hanc rem ex propriis principiis dedu- ö camus, sciendum est apud Opticos demonstrari, Corpus omne quod videtur, imaginem suam depictam habere in fundo oculi, super tunica Retinæ, cujus superficies Sphæ- rica est, idque fieri ope radiorum lucis à visibili prodeun- tium. Porro cujuslibet puncti imaginem eum obtinere lo- cum quem radii à puncto visibili prodeuntes& refractione—— convergentes in retinã offendunt. Portio peripheriæ A B Tan. 13. anteriorem oculi superficiem repræsentet, cujus fundus seu e.i. Retina sit D G, illa scil. tunica quam extremitates nervi optici componunt, atque oculi centrum sit C. imago pun- cti F erit in recta FC H atque ideo in puncto H. sicut ima- go puncti E erit in L; Radii enim lucis à pellucidis oculi tunicis atque humoribus ita refranguntur, ut qui ex F pro- veniunt ad H convergant,& qui—— E digrediuntur 1 2²2 1 1I. M H VI b in Lconveniant,& in iis locis vellicatis nervis, sensatio- nem visus excitabunt. Hæc res experientiâ certa& explorata est. Nam si ho- minis recens defuncti, aut illius defectu bovis oculus è ca- pite evellatur; ablatã Opacã Choroidis membranâã, quæ ce- rebro obversa est, ut remaneat solum tenuis& pellucida sa- tis Retinæ tunica, si hie oculus fenestræ vel objecto cuivis fortiter iustrato obvertatur, non sine voluptate aut forsan admiratione picturam quandam in eo videbimus, objectum extra positum scite satis imitantem. Eadem conspicientur phænomena si loco oculi capiatur lens vitrea convexa, ca ehim fenestræ obversa, objectorum lucidorum imagines, Chartà albã ad debitam distantiam pone locatâ, exhibebit. Si itaque puncti Fimago H in eadem retinæ parte ma- neat immota, oculo etiam immoto, punctum F ut quie- scens habebitur. Quod si punctum illud F ad E deferatur, ejus imago in fundo oculi diversas retinæ partes successive percurrendo& spatium LH describendo sensationem mo- tus excitabit. Et si punctum illud longinquum sit, mo- tusque factus fuerit in plano trianguli EC E Spectator ma- gnitudinem apparentis motus per angulum FC Eæstimabit. Si in linen C F aliud sit VIsibile Metiam longinquum, quod motu suo ad Ndeferatur, motus ejus visibilis idem erit qui fuit puncti F; cum imaginis utriusque eadem sit semita, idemque motus vestigium in oculi fundo cernitur. Si visibile Mper rectam MFad feratur motus ille specta- toris aciem fugiet, quoniam puncti istius imago in H, in eadem retinæ parte immota manet. Et quotiescunquè cor- pora longinqua moveantur in rectâ aliquà per Oculi cen- frum tranteunte, eorum motus non erunt visu observabiles; nec aliâ ratione de istiusmodi motibus constabit, quam ex aucto vel diminuto visibilium splendore,& magnitudine aPParente. De objectis longinquis hic loquor, nam si pro- Pinqua sint, etli in recta lineã per oculum transeunte mo- veantur, possumus tamen de eorum motu judicare, per mutationem situs,& distantiæ ad alia corpora, quorum pofitiones& distantiæ sunt notæ. Quin ctiam qualiscun- que SEUAPPARENILE. 227 Matio⸗ que fuerit mobilis semita in plano ECF sive motus sit in recta FE sive in arcu circulari FE stve in alia quacunque ho. curva FE ad lineam E C deferatur idem semper con- spicietur motus, eodem manente angulo FCE, aucto au- 0 4 tem vel diminuto illo angulo augebitur vel minuetur motus 16½ visibilis qui proinde per angulum illum tantummodo men- 3105 surari potest. ů Wn Quò itaque motus corporum apparentes definiantur, Me- am thodus tradenda est, quà Geometræ& Astronomi angulo- ers. Rüh rum mensuras invesligant, quæ licet passim nota sit, nec re. 302 Artifices vulgares latet, ne tamen quicquam otmisisse videar, 0 quo sequentia à Tyronibus facilius intelligantur, libet eam 1n paucis EXponere. 2 ö ö Demonstravit Euclides angulos ad circuli alicujus cen- ma trum constitutos, proportionales esse peripheriis quibus in- 2—0 sistunt, unde angulorum mensuræ ex peripheriis vel arcu- ——0 bus circulorum optime innotescunt. 190 ut flat, totam lhe Peripheriam circularem in partes 360 æquales dividunt A- 11 stronomi, has partes gradus appellant, singulosque gradus Cradas No· in 60 partes æquales secant, quas scrupulos seu minuta pri- 6. 255 ma nominant. Rursusque unumquemque scrupulum Prii mabi. mum in 60 scrupulos Secundos,& Secundorum unum- dum, quemque in suos Tertios,& Tertios in Quartos,& ita Idem deinceps subdividi mente intelligunt. Atque haàc ratione m li non plures numerant gradus seu partes in maximo quovis Itur. circulo quam in minimo, adeoque si idem angulus ad cen- pech⸗ trum à diversis arcubus subtendatur, partium sive scrupu- H„y N lorum numerus in omnibus arcubus subtendentibus erit 10 601 æqualis; eandem quippe arcus isti ad peripherias suas totas H cel⸗ rationem habent, V. gr. sit Angulus AC B& centro C de- Tas 13. ablls scribantur arcus duo A B, DE, tot erunt gradus& seru- K. 2. m puli in arcu A B, quot sunt in arcu DE, etiamsi Radius tudne arcùs A B sit tantum unius pedis in longum& Radius alte- lpro- rius arcùs stellas fixas attingat, gradus tamen in peripheria te Mo⸗ AB in eã ratione minor est gradu in Peripheria DE, quã e Der radius CB, minor est radio CE. Angulus C tot gra- erum duum, seu serupulorum esse dicitur, quot arcus A B vel Meun D E ejusmodi partes continent. Ff 2 In- 228 DE MOTU VISIBILI Instrumentum, quo anguli vulgo observantur, est circu- laris peripheriæ data portio, in gradus,& minuta, divisa. Quadrans scil., Sextans, aut Octans, si Instrumentum sit circuli quadrans, Arcum in 90 partes æquales, si Sextans in 60., si Octans in 45. dividunt Artifices; quæ singulæ e- runt æquales uni totius peripheriæ gradui, unumquemque rursus gradum in suos scrupulos primos, vel etiam secun- dos, si instrumenti amplitudo hoc permittat, partiuntur. Deinde instrumenti lateri Pinnacidia vel dioptras figunt; & Regulam suis quoque Dioptris instructam, circa centrum peripheriæ volubilem applicant. Observantur autem anguli hunc in modum. Sint duo objecta longe à nobis dissita A& B sitque oculus Mau, in C,& mensurandus sit angulus ACB. Convyertatur in- bser, strumentum donec per dioptras lateris CD, videatur pun- 1⁴nu cum A; deinde circa latus CD, instrumenti pl& Re- ang ulos. 4 5 Planum 8 TaAu. 13 gula circa centrum ita vertantur ut per regulæ dioptras con- . 3. Ipici possit punctum B, Manifestum est ex dictis Arcum DE ostendere mensuram anguli ACB& etiam mensuram arcus AB, hoc est angulus ACB,& arcus AB tot erunt graduum& minutorum quot arcus DE per Regulam abscis- Ius constat ejusmodi partibus. Quin etiam Astronomi alias metas sibi proposuerunt à quidus codem vel simili instrumento distantias stellarum ar- Hritan. Cuales numerarent. Eæ sunt cujuslibet loci Horison, quem extensa quasi infinita Lerræ planities efformat, totam Sphæ- ram mundi in duo ad sensum hemisphæria æqualia dividens. Et Arcum verticalem inter stellam quamlibet& horizontis juunde limbum interceptum, istius stellæ Altirudinem dicunt. A- 0 lia méeta est Horigontis Polus, seu punctum quod vertici 7% 5. cujusque loci quocunque momento temporis imminet, 4. quodque linea perpendiculi denotat, secundum quam,& Omnia Gravia deorsum rapiuntur,& nos recti consistimus. Hoc pacto Naucleri solis Altitudinem inveniunt respectu arcus, seu anguli quem efficiunt in oculo Radii à sole, & ab Horizonte venientes. Ita Astronomi angulum quo- que notant, quem Solis vel stellæ Radius format cum — SEU APPPARENTE. 2²29 inea in superficiem horizontis perpendiculari, Regulis& Quadrantibus in hunc usum constructis. Dioptrarum loco nunc Lelescopia vulgo adhibentur, quo- rum ope, objecta longinqua certius& exactius, quam per dioptras exactissimas visu attinguntur: Sed modum Tele- scopia adaptandi, omnemque illius Instrumenti apparatum hic describere, nos ad alia properantes umis retardaret, hæc igitur nunc sufficiant. Ex angulorum quoque mensuris, corporum longinquo- rum Diametri apparentes innotescunt; sit enim quævis linea AB ab Oculo C directe visa,& ab ejus terminis A& B ad oculum C duci supponantur rectæ AC, BC, linea illa AB dicitur sub angulo ACB videri, qui apparens ejus diame- ter appellatur,& tot esse graduum,& minutorum duot angulus ille, instrumento Observatus, indicabit. Eodem modo Objectum quodvis DE ab oculo ad F Spectatum di- Corpo- rum dia- metri ap- Harentes. TAn 13. Ig. 4 TAB. 13. V. 4. F- citur apparere sub angulo DFE,& objectorum AB, DE apparentes magnitudines erunt, ut anguli ACB, DFE. Quod si oculus objecto AB jam propinquior sit, illud ex dimidia distantia scil. ex G aspiciat, objectum illud sub du- plo fere majori angulo videbitur. Si triplo propius accedat oculus, triplo fere major fit angulus sub quo apparet obje- cum, ejusque apparens diameter triplicabitur, modo an- guli illi sint satis parvi, nimirum si gradum unum aut alte- rum non superant, eruntque ejusdem objecti magnitudines apparentes Oculi appropinquationibus proportionales. Atque hàc methodo si duorum corporum habeantur dia- metri apparentes, una cum distantiarum ab oculo ratione, exinde innotescet proportio, quam obtinent eorum diame- tri veræ. Nam si Objectorum distantiæ sint æquales, dia- metri veræ erunt apparentibus proportionales, si anguli, sub quibus videntur objecta, sint æquales; magnitudines verœ diametrorum, erunt ut ipsarum distantiæ ab oculo ex. gr. si angulus ACB sit æqualis angulo DEE, at distantia CB sit tripla distantiæ FE erit Recta AB triplo major recta DE. Quin etiam si non tantum fit CE distantia tripla di- stantiæ fe, sed& angulus ACB duplus anguli d fe erit FI3 AB TaAB. 73. ig. 4. G. ———————s..52.t———: 4 II 230⁰ DE MOIU. VISI3ILI . W 52 114 AB sextuplo major quam de. Nam capiatur CMæqualis 1 1414 fe,& sit MN objectum sub angulo MCN aut ACB appa- EEE rens, ob angulum illum duplo majorem angulo dfe erit IER linea MN duplo major quam de, sed ob AC triplo majo- E rem quam CM erit AB triplo major quam MN, undè erit II sextuplo major quam d e. Hinc si Solis& Lunæ diametri IN apparentes sint quales„& Solis distantia à Terra sit cen- 4 * ties major quam Lunæ distantia ab eadem, erit vera Solis 100 diameter centies major Lunari diametro. At Solis 1 a nobis distantiam plusquam centies superare distantiam Lu- 03 I næ, in sequentibus demonstrabitur, unde diameter Solis 8 III plusquam centies superabit diametrum Lunæ. I d. Cum, uti dictum est, ad objecta longinqua accedendo 15. eοrum diametri apparentes majores fiunt, inquè ea fere ra- ohjecka tlone augentur qua iis propius admovetur oculus. v. gr. si 2 1 acceden. quis decies propius quam nos Lunam spectaret, is Lunam e. clariorem& secundum diametrum deciès majorem cerneret. 10 * Si adhibeatur Telescopium quod decies tantum ampliat ob- x jectorum diametros; Luna per illud visa eandem phasim 0 nobis ostendet, quam spectatori decies propius admoto o- Talesco- stenderet. Si Telescopia adhibeantur, quæe objectorum 2.. bene. diametros centies vel etiam ducenties augeant, ea apparen- ö gr, tias echibebunt plane similes iis quæ ex distantia centies vel ducenties minore conspicerentur. Atque hine novimus qualem quantamque oculis nostris se præberet Luna, ex distantià trium Telluris diametrorum spectata. Qualisque. etiam ejus foret facies, si multo propius aecedamus,& ad 0 distantiam 8 tantum stadiorum millia ipsam contemplare- mur. Ex eo enim intervallo, ingentes montium Lunarium Tractus, profundas valles,& latos campos intueri liceret. Quin etiam his Telescopiis altius in Cœlum invehimur,& ö Jovi& Saturno reliquisque errantibus, quin cometis quo-— que& fixis tam prope admovemur, ita ut tam longi itine- 6 ris pars tantum centesima vel etiam ducentesima nobis re- 10 stet. Præterea his Telescopiis Planetarum circa Axes Pro- 34 rios Conversiones, Jovis atque Saturni Lunas,& Echpses. üulaue posterioris Annulum, variasque phases conspici- Mmus. SEU APPPARENITE. 231 mus. Hœc Telescopii benesicia silentio preterire in hoc loco haud æquum foret; cum illud potislimum sit instru- mentum, quò non modo corhorum magnitudines, sed ap- parentes motus Observantur. Sed intermissum de motu vi- libili fermonem repetamus. Cum corporum longinquorum motus non aliunde quam Corpe- ex mutatione anguli qui ad oculum videntis est, innote- scat, facile hinc constabit utcunque corpora æquabiliter ram mo- moveantur& æqualia spatia æqualibus temporibus descri- aurn bant, fieri tamen posse, ut eorum motus inæquales admodum 3.— & irregulares ab oculo conspiciantur, quod per exemplum s viden- ur. patebit. Ponamus corpus aliquod in peripheria circuli ABDEGO Lan. uniformiter revolyvi, æquales arcus AB, BD, DE,&c. I· J. æqualibus temporibus percurrendo ejusque motum oculus alicubi in plano ejusdem circuli in O, V. gr. positus ex longinquo aspiciat. Cum igitur mobile ab A ad B perve- nerit esus motus apparens per angulum AO B seu per ar- cum H L quem deseripsisse videtur, definietur; dein in æquali tempore, dum arcum BD percurrit, motus apparens ex angulo B00 dignoscetur;& Videbitur mobile transiiste per arcum L. M qui arcu H L. multo minor est,& mobile in D in peripheriæ NHM puncto M conspicietur; Post. quam vero descripserit arcdum D E prioribus A B vel BD &qualem,& ad punctum E pervenerit, ab oculo in eodem puncto M spectabitur, ita ut eo tempore quo per arcum DE defertur corpus oculo fere ut immotum& quasi statio- narium videbitur; At dum in peripheria proprii circuli per arcum EF progreditur, oculo ad O posito, per peripheriam ML regredi videbitur. Sic ubi ab E per Fad& pervenerit, oculus H5lud conspiciet in puncto E, in eo scil. situ quam prius in A habuit. Dum autem à G per Lad Q defertur, spectator ipsum videbit per arcum HKN moveri; at dum in orbita propria progrediens corpus arcum Q describit, oculus ipsum ad idem punctum N continuo referret, quo temporè rursus stationarium apparebit corpus, deindèe post digressum ejus à puncto P cursum suum invertere& per ar- cum 232 DE MOTU VISIBILI cum NHLM motibus admodum inæqualibus ferri vide- bitur. nnn 5 Hæœc motuum Inæqualitas ab Astronomis Otica dicitur, 2½ἀ.: CO quod nom corporibus revera competit, sed apparens tan- tum est, ex oculi positione orta, corpus enim eãúdem sem- per velocitate in propria orbita progredi supponitur,& si Oculus in centro istius—8. constitutus fuerit, motum ejus æquabilem semper conspiceret. Mius Di in quovis mta Srenm puncto O quod centrum non I est, immobilis locetur spectator, is motus corporis peri- hheria pheriam AB CD percurrentis, in se quidem æquales, inæ- 4reα⁴ ꝗ quales admodum videbit;& cum longissime distat corpus ece à spectatore ut in A, tardissime incedere videbitur, propin- arculam qulus accedens corpus ut in C, velociùs progredi appare- licato iu. it, ob angulum CO D majorem angulo AOB, licet ar- 7 de. Cus AB, CD sint æquales. At nunquam stare aut regredi ꝛur. conspicietur corpus. Adeoque si spectator intra circulum in Ir· quo defertur corpus locetur, illudque nunc progredi, nunc Kus- stare, nunc regredi videat concludendum erit spectatoris guam re. Iocum etiam mobilem esse. ——— LECTIIO II. De Motu apparenti qui eνV Ohservatoris Motu oritur. Ucusque supposuimus spectatorem loco immotum to- to Observationis tempore constitisse. At si Spectato- 11S Iocus etiam moveatur, diversæ tum nascentur rerum ap- parentiæ,& Oculus ea corpora quiescere cernet, quæ celer- rime progrediuntur, quiescentia autem corpora an. im- petu deferri conspiciet. Quin etiam fieri quoque pote 42 motus corporum apparentes fiant veris& absobutis dire contrarii,& quæ corpora reverà ad orientem feruntur, a ccidentem tendere spectatori videantur. Quæ omnia ex La motuum r an iis qui in nave ve- ntur, satis apte illustrari possunt. ö 4. aan me navis. motu utcunque veloci, sed uniformi, a ven- varn tis deferatur, nec motus navis nec corporum quorumlibet 30 Hper- Cun- cipiuni. . — 2 Z2.2. ＋ C DE MOT. APP. EXOBS. MOT. ORTO. 233 cundem intra navem situm servantium& relative quiescen- tium motus vectorum Oculis percipitur; cum enim ommnes navigii partes cundem semper inter se& etiam vectoris re- spectu, situm,& positionem conservant, ipsorum imagi- nes in oculi fundo depictæ, iisdem semper retinæ partibus quasi immotæ adhærebunt. Ex quo fiet ut quamvis oinnia quæ intra navem locantur corpora una cum iPla celerrime progrediantur, eorum tamen motus, spectator simul cum lis in nave vectus non visurus sit. Idem tamen ad littora Oculos vertens, ea cum aliis objectis extra positis, move- ri conspiciet, nam dum ipsa navis movetur& oculum spectatoris secum vehit, necesse est objecta externa situs suos oculi respectu mutare,& ipsorum imagines nunc has, nunc alias Retinæ partes successive occupare, unde fit ut quiescentia objecta externa moveri,& quæ intra navem si- mul cum ea progrediuntur quiescere videant, in nave col- locati vectores. Si dum navis celerrime progrediatur, globus plumbeus de summo malo demittatur, eum quasi in perpendiculo ca- dentem aspicient vectores. Qui quidem globus(quod idem faceret si navis omnino quiesceret) tabulatum navis juxta pedem mali percutiet, verus tamen ejus motus non fit in perpendiculari ad superficiem globi terrestris, sed deflexo per aërem itinere fertur Globus, quam ejus semitam incur- vatam facile deprehensurus est quisquis qui ex alia quiescen- te nave motum spectaret. Hujus phænomeni causa faci- le ostenditur. Nam juxta primariam Naturæ legem, cor- pus omne in incepto semel motu secundum eandem dire- ctionem semper perseverare conatur, jam Globus dum in summo malo hærebat, una cum malo progrediebatur, ad- eoque postquam dimittitur eandem progrediendi vim reti- nebit,& urgente gravitatis vi progredietur simulque de- scendet; neutra enim harum virium alteram destruet aut imminuet,(neque enim sunt contrariæ) adeoque nec mi- nus prorsum nec minus deorsum tendet globus, quam si vi- ribus separatis impelleretur; sed hisce conjunctis viribus so- lum impeditur rectitudo semitæ, quam seorsim haberent 18 per- AI. ohye- C2a X erna quiescen- Fia mo- deri vi- dantur. Motur Globi in nade cça- Aentis. 234 DE MOTU AEPARENTI perpendicularis& horizontalis impetus, motusque perage- tur in linea curva iis simili quas describunt Gravia horizonta- liter projecta, quæque simul prorsum& deorsum feruntur & spectator in quiescente nave Globum ejusmodi percurre- re curvam videbit. Porro cum Globus& malus eadem ve- locitate progrediuntur, eadem inter utrumque semper ma- nebit distantia,& proinde Globus juxta pedem mali tabu- latum feriet; Præterea motus Globi quo prorsum tendit, tam navi ejusque partibus quam vectoribus communis est. At motus ille communis uti ostensum est, ante casum Glo- bi videri non potuit, quare nec postea in descensu erit ob- servabilis. Sed Solus ille motus quo Globus vi gravi- tatis propriæ deorsum tendit, quique Globo peculia- ris est visu percipitur; hoc est Globum quasi in per- pendiculo cadentem aspicient vecrres. Hæc omnia re- verâ sic accidere experimenta sæpius facta adeo confir- mant, ut dubitationi nullus relinquatur locus. Ries Si quis in Pprorà sedens, Globum versus puppim eà cele- ohe ritate quà navis fertur, projiciat, Globus ille nec prorsum, 25 7 nec retrorsum, movebitur, sed sublatâ gravitatis vi in aëre en. immotus manereèt, gravitate autem urgente, rectã ad navem descendet, talemque esse esus motum, in ripã vel in quie- ente nave sedentes agnoscent spectatores; Vis enim à pro- jiciente impressa, contrariam& æqualem destruet vim quam Globus à nave acceperat. At illi qui in nave Vehun- tur, Globum non quiescentem nec recta cadentem, sed versus puppim ea velocitate latum conspicient, quam re- Verd haberét, si quiescente nave, eãdem vi projectus fuis- set. Si velocitas quà projicitur Globus versus puppim sit mi- nor velocitate navis, Globus in eo casu in eandem cum na- ve plagam sed tardius deferetur, nondum destructaà vi totã quam à navis motu accipiebat. At in nave sedentes Glo- pum non simul cum nave progredientem conspicient, sed in contrariam prorsus plagam tendentem ea celeritate quam ha- beret, si quiescente nave eadem vi projectus fuisset. 990 que I EX OBSEREVATORIS MOTU ORTO. 235 an liquet motum apparentem vero& absoluto posse fieri dire- untur cte contrarium. ö 5— ini At Objiciat aliquis Globum è manu projicientis emissum, CMecti Wis⸗ in ipsamn puppim iningere, cidue ictum imprimere; quod 1 fieri non potest nisi reverà Globus versus puppim movere. n tur. Qui nodus solutu non difficilis est„Globum enim ii in qui intra navem versantur in puppim irruere camque per- r euterè cernent. At si ponatur aliquis in ripa quiescens, il- e le non Globum in puppim sed puppim in Globum impin- n gentem videbit& ictus magnitudo in utrovis corpore rece- aucb. Pti, eadem omnino erit ac si navis quiesceret& Globus re- HA verà in puppim impelleretur ea celeritate qua puppis ad Glo- perdhn bum accedebat. Si enim duo sint corpora A& B utcunque Fan 14. n per æqualia vel inæqualia, eãàdem erit percussionis vis, sive B* 1 Ke. cum datà celeritate in corpus A quiescens impingeret, siwe . quiescat B,& A cum eadem celeritate in ipsum B irrueret, vel si utrumque corpus versus eandem plagam movere- In tur,& subsequens A celerius motum in ipsum B impingat, H eadem erit quantitas ictus, ac si B omnino quiesceret& A latum esset lolummodo differentià celeritatum quà scil. i- ni— celeritas superat celeritatem corporis B. Vel denique I si A&B in contrarias ferantur plagas, atque in se invicem Hm impingant, ictus magnitudo eadem erit ac si ipsorum unum er quiesceret, alterum motum esset cum eã celeritate quæ sit 1 utriusque celeritatum summæ æqualis. Verbo dicam, eã- dem semper manente velocitate corporum relativãà, qua ad se invicem accedant, eadem quoque manebit percussionis an quantitas quomodocunque velocitates illæ partitæ fuerint. 15 fl Atque hinc fit ut in nave quantumvis velociter latà motus omnes nostri rerumque à nobis mobilium eadem ratione per- sit mi aguntur, iidemque apparent ac si navis reverà quiesceret. amnll Et universaliter verum esse deprehendimus, quod corporum tOt in dato loco inclusorum, iidem erunt motus inter se, iidem 0⁰ congressus, eadem percussionis vis, sive locus ille quiescat, sedin siye moveatur uniformiter indirectum. Imha⸗ Hærc adduxi exempla, ut vobis constaret quantum di- Hno scriminis inter motus——.6 reales,& apparentes, pos⸗- ö 2 sit 236 DE SVSTEMATE MENDI sit intercedere;& quam difficile sit de illis, ex his, judi- cium facere. EX iisdem constabit, quod si in Jove vel Saturno vel a- lio quovis Planetarum locetur spectator, is loci sui motus Proprios non magis visu percipiet, quam navigantes mo- tum navis in qua vehuntur oculis discernere possunt. Et hi quidem ex subitaneis navis jactationibus quas sibi fre- quenter molestas experiuntur, motum ejus aliqualem digno- cunt. At Planetæ nullis fluctibus, nullis procellis sunt ob- noxii sed placidissima latione in tranquillo quasi æquore na- tantes fruuntur,& in motibus suis absque omni impedi- mento perseverant. Ei urI. De Systemate Mundi. Um ut ostensum est, pro vario oculi situ atque motu „ tot& tam variæ fiunt rerum apparentiæ, quo me- lius mundi fabrica innotescat,& Universi admiranda pul- chritudo, motuumque Harmonia, animo concipiatur; con- venit ut Divinum hoc& immensum opus non ex uno ali- quo spectetur puncto seu angulo, sed ex pluribus locis de- bitis intervallis à se invicem distantibus lustrandum erit, ut diversos hos alpectus comtemplando, cosque comparando vera tandem,& justa, summoque Conditore digna universi opificii eliciatur cognitio. Cælestia itaque corpora motuumque phænomena ut per- noscantur, fingamus nos non Perricolas este,& uni sedi quasi puncto affixos,„ sed potestatem nobis dari libere quo- cunque libuerit, per spatia indefinita vagandi. Et ut di- Versitas aspectuum ex diversis locis habeatur, aliquando nosinet in spatio quodam immoto sistamus, aliquando in Sole, sæpius in planetarum aliquo& nonnunquam etiam in Stellis fixis vel in Cometa locari nos supponamus. eeen e—— Asira. Juvat Terris& inerti sede Felictis, Nube vehi, validique humeris insistere Actlantis. Et — Is5 oy E. — DE SVSTEMATE MUNDI 237 Et quamvis corpora nostra utpote in Terram sua gravi- 4—1 tate depresla ad altissimas illas domos— 190 A ö nihil tamen prohibet quo minus animo& magmatioHe mocus lestes illas peragremus regiones. Nec deneganda est hæc H quam nosmet nobis vindicamus licentiam, quippe quæ o- Et ninibus Omnis ævi Astronomis semper concesia fuit; hi enim fe. oculum à superficie ad ipsum telluris centrum detulerunt, dno. ut motuum æqualitas exinde spectaretur, quin& circulos Wob-& lineas rectas per Solem& Sidera traducunt, quæ licen- He H tia, ni peteretur semper,& concederetur, hrevis admodum mped.& imperfecta esset Astronomiæ Scientia,& irritus ommis Astronomorum labor. Ut igitur Astronomis solenne fuit, oculum ad Terræ cen- trum detrudere, quò is motum apparentem diurnum con- spiceret æquabilem, nobis ę contra, quo motus corporum reales& absoluti, quantum fieri potest æquabiles Videan- 115 tur; liceat spectatorem in cælum invehere& in 10ο0 quo- bä dam immoto constituere. Nam omnes cujusque sectæ A- 510 stronomi facile agnoscunt Planetarum motus esse in se sim- 31 plices uniformes& regulares. At ex Perræ superficie, aut Planetæ 9 0 ab ejus centro spectati Planetæ in motibus propriis itæquali 8 de admodum& minime regulari cursu deferri videntur, adeo- 1 1 U que certum est Tellurem hanc non in illorum motuum cen- e. 2n00 tro locari. Motus itaque corporibus mundanis proprios qui παα. verf contemplari velit spectator, primo vel in Solis centro vel. etiam extra solaris corporis Globum, non tamen in loco ab pel. 1Ilo nimis remoto se sistat,& quales is sit visurus rerum ap- E parentias hic perpendamus. 121 Et hic inprimis notandum est; quod in quocunque loco Syeghato- ut dh ponatur spectator, semper in centro prospectus propri se 4— Uan constitutum cernet. Nam corpora longinqua etiamsi magnis rt o n intervallis à se invicem distent, si tamen in eãdem fuerint vruve- aln M linea per oculum transeunte, in eodem spatii puncto,&— 2 quasi æque remota videntur; Undeè fiet, ut spectator ea cor- pora quorum distantias visu æstimari nequit, ad superficiem Sphæræ referet, cujus centrum ab oculo tenetur, motusque omnes in ea superficie peragi apparebunt. Hinc fit ut So- Et G— 3 M 9 238 DE SVSTEMATE MUNOI. lem,& Lunam,& reliqua omnia sidera, quæ diversissimis intervallis à nobis distant, unà cum nubibus quæ non ultra milliare unum aut alterum ascendunt, tanquam in eàdem superficie Sphæricà concavã locata intuemur; Qualiscun- que igitur sit spectatoris habitatio sive in Sole, sive in Sa- turno Planetarum Extimo, vel etiam in stella quavis fixa, locus ille pro medio mundani spatii, seu pro centro Uni- Versi ab istius loci incola habebitur. Prospe. Spectator itaque Solis centrum tenens,& cælum intuens, 4 superficiem ejus Sphæricam concavam oculo concentricam Hν. innumerisque Stellis, quas fixas dicimus, undique refertam videbit; cumque Stellæ illæ èe tellure spectatæ eundem in- ter se immutabilem situm atque ordinem servare deprehen- duntur, sic etiam è Sole visæ, eandem quoad sensum quæ JInmen E Terra observatur à se invicem invariatam distantiam& e, positionem obtinebunt; tanta enim est ipsarum vel à Terra Sale di. Vel à Sole distantia, ut postea ostendetur, ut exigua illa lantia. Joci mutatio, quæ fit spectatorem à tellure ad Solem de- ducendo, vix sensibilem mutationem in Stellarum situ vi- sibili efficiet. Verum quamvis Stellæ fixæ è tellure visæ easdem semper à se invicem distantias& eosdem inter se si- tus conservare videantur, at oculi respectu positiones mu- tare,& nunc supra attolli, nunc infra deprimi, perpetuo- gelle. que motu circa telluris Axem gyrare observantur, cum ta- e posi. men interea qui è cælo Solari illos intuetur, omnino immo- LageclY biles seu in eodem semper loco permanentes conspiciet. Nec cllimu-. profecto refert sive omnino quiescerent Stellæ, sive circa rautr. WTellurem cælum omne sidereum una cum sole esset volu- bile, semper enim è Sole eadem esset quietis apparentia, nam motus ille si quis fuerit gyrationis circa Perram fit spectatori Stellisque omnibus communis, adeoque non ma- gis sensibus percipietur, quam navigantium Oculis cursus navis, in qua vehuntur, sit observabilis. n Plauete Præter Stellas innumeras quiescentes, sex alii in cœlo seu Er- nitent circa Solem volubiles Globi, qui diversis omnino pe- 74. riodis gyros complent, adeoque varias& continuo mutabi- Ies pofsitiones tam à se invicem, quam ab immotis Stellis cas ———— rvra.—- — m om ultra Weädem Lliscun- 2 0m 5ᷣfra, 0O Uni— Ituens, Mricam etertam dem il. prehen. mπἀì, Am& Terra 4 lla mCe- H¹ N. re vH er se l. e5 Mu⸗ petuo⸗ Um ta- Hmo· . Nec e CCa vob⸗ renta, am ft on Ma- curlus cHelo n Pe mutabi Stells C⁴ DE SVSTEMATE MUENDI. 239 eas sortiri necesse est. Stellas has errantes swe Planetas dicimus, quarum una est ipsissima Tellus nostra habitatio. Quin si Jellurem quiescere, Solemque cirea ipsam motu annuo deferri supponamus; certum tamen est spectatorem in Sole, Telburem eundem in cælo circulum& eodem tem- pore describentem videre, quem nos in Terra habitantes à Sole percurri observamus, uti in sequentibus demonstrabi- tur. Planetarum nomina& Characteres sunt, Saturnus„Ju- piter, Mars&, Tellus 5, Venus, Mercurius qui est Soli proximus. Planetæ omnes Secundum eandem plagam, scil. ab Occi- dente in orientem, circa Solem in orbitis in uno fere plano jacentibus seu non multum à se invicem dehiscentibus, fe- runtur;& orbitarum plana se mutuo secant in lineis quæ per Solis centrum transeunt; adeoque spectator in Solis centro locatus, in orbitarum omnium planis consistet,& Planetas in concava cæli superficie motus suos peragentes, circulosque circa se maximos describentes videbit, unde sit ut singulorum planetarum diversas a Sole distantias oculo- rum acies æstimare non potest. Quo itaque tam distantiæ quam motus Planetarum videantur, convenit ut è Sole mi- gremus, oculusque supra orbitarum plana ascendat, in re- cta quæ per Solem transeat,& ad orbitam Lelluris perpen- dicularis sit,& quanta Terræ à Sole distantia est, tanta et- iam sit spectatoris distantia, in hàc rectà positi. Ex hoc loco cernere licebit Planetas diversis admodum intervallis à Sole removeri,& qui gyros citius conficiunt, ipsi propio- res esse; qui tardius absolvunt circuitus, longius abesse. Erit- que Planetarum talis ordo, qualis in annexâ figurà repræ- sentatur. Ubi in orbitarum centro perstat Sol loco immo- bilis, circa quem volvuntur planetæ sex, Mercurius, Ve- nus, Tellus, Mars, Jupiter& Saturnus, ab occidente in orientem. Secundum ordinem literarum ABCD; Mercurius Soli proximus, circulum suum peragrat, spatio temporis trimestri; deinde Venus paulo majori ambitu periodum ab- solvit mensibus fere octo. Ultra hanc Tellus circuitum Len Cit Planetæ moven⸗ Tur circa Solem ab occideute in orien- tem. TAB. 14. g. 3. Planeta- rum O- 0. 240 DE SVYSTEMATE MUNDI. ficit spatio unius Anni. Deinde Mars biennio cireulum pro- prium complet. At longius multo protenditur orbita Jovis, tardiusque Ille scil. duodecim annorum spatio circulationem perficit. Extimus denique atque omnium lentissimus Satur- nus reliquas omnes orbitas gyro suo continet,& triginta armos ad periodum propriam complendam, postulat. Hoc est antiquissimum Mundi systema à Pythagora ejusque se- quacibus in Græcia ab Orientis populis introductum, quam- vis alterum illud apparens Systema, quod Terram immo- bilem, cælumque volubile ponit à vulgo fuit receptum. Quod etiam Aristoteles reliquique qui post illum in sequen- tibus seculis vixerunt Philosophi, à prioribus magnis viris multum degeneres amplexi sunt, usque ad Nicolaum Co- pernicum, qui verum veterum systema ab oblivione vin- dicavit,& resuscitavit, solidisque argumentis confirmavit. Unde ab Astronomis systema hoc Copernicanum dicitur. Post inventum Telescopium nova spectacula non ante observa- ta, cœlum intuentibus manifestè se ostentabant, quæ syste- ma Antiquum mirifice auxerunt, invictisque argumentis stabiliverunt. Plineta« Planetas Telescopio adjutus, diligentiùs lustrans specta- Ei tor, deprehendet eos Telluris instar, esse corpora Sphæ- Serica rica,& Opaca, nam facies eorum quæ Soli Obvertuntur faca. illuminari, Solisque luce reflexàâ splendere, sacics autem a- versas tenebris obvolvi, eosque umbras in plagam Soli oppositam projicere, conspicimus. Lincaque illa quæ splen- dentem partem à tenebrosa disterminat, aliquando recta ap- paret, aliquando curva,& nunc convexitate, nunc conca- vitate sua lucentem partem respiciet, pro vario planetæ& oculi situ, respectu Solis illuminantis superficiem planetæ sphæricam. Quin etiam pro diverso spectatoris situ nunc major nunc minor illuminatæ facici cernitur portio, Ut in corporibus opacis Spherricis lucenti Soli expositis, fieri o- portet. 1 Pinee Planetarum tres, nimirum Tellus, Jupiter,& Saturnus, secunda- aliis minoribus Planetis continuo stipari Observantur; qui i. Planete secundarii, Lunæ, seu Satellites appellantur. Hi Pri- m Pro. Iopi, tlonem Oatur. Hointa Hoo Ue sc⸗ Juam- Mmo⸗ Ptum. ueh 5 Miis mCo⸗ EMM- Hapt. Polt WWa- We⸗ K DE. SVSTENATE MENDI. 2ATI primarios in suis circa Solem circulationibus perpetuo comi- tantur,& interea etiam unusquisque circa Primarium pro- prium, gyros perficit. Tellus quidem unica tantum comi-— ö tatur Lunà, quam illa secum annuo circa Solem cursu ve-—-—⁸ hit,& præterea circa se, tanquam centrum, menstruo iti- nere gyrare facit. ö Quod autem Luna præ omnibus stellis tanta luce fulgeat & magnitudine Solem ipsum adæquare videatur, in causa est ejus Telluri proximitas, nam è Sole vix sine Telescopio erit observabilis, ac proinde si tantum à Terris distaret, quam Sol, opus esset Terricolis telescopio, quo videa- tur. Jovem quatuor Lunæ tanquam Satellites perpetuo sti- Jupice- pant, quæ diversis periodis atque distantiis circulationes 4ì⁴ν circa ipfum perficiunt. Harum intima ad distantiam 2 dia- metrorum Jovis periodum absolvit, die una cum tribus par- tibus quartis. Secunda 4: diamètris Jovis à Jove distat, & orbitam propriam describit spatio dierum trium, horis tredecim. Pertia diebus circiter septem, horis tribus se- ptemque Jovis diametris cum parte sexta à Jove remota, circulum peragrat. Extima denique diebus sedecim, cum o- ctodecim horis, ad distantiam duodecim circiter diametro- rum Jovis revolutionem in orbita sua perficit. Planetas hos Joviales primus mortalium conspexit ma- 5 ille Galilæus, tubi optici seu Telescopii beneficio, isque cælum sidereum adauxit, Stellas Mediceas eos ap- e quorum motibus observatis non pauca debentur A- ronomiæ atque Geographiæ incrementa. Saturnum in suo circa Solem itinere, non pauciores quam Satur- quinque comitantur Planetæ minores, horum plerique ohρ αìαα magnam vel a Terra, vel à Sole, distantiam;& exiguam u corporum, molem, non nisi longissimis perquisiti Telesco- Ylanetæ 88 se produnt, quorum tempora periodica,& distantiæ à ½αι aturno ita se Rabem Intimus revolutionem conficit die 1& distat à Saturni centro ejus semidiametris 4. 2 ¹σ die- bus 2 horis 17, ad distantiam 5: semidiametris, Saturni periodum absolvit. Vertius 4„horis 13, ad distan- Lig. tiam Saturni annulus. 242 DE SVSTEMATE MUNDI. tiam octo semidiametrorum, integrum circulum describit. Quartus, diebus fere sedecim periodum absolvit, distans a Saturno octodecim semidiametris. Quintus& visorum ex- timus spatio dierum 79F orbitam percurrit, distans à Satur- no 54. semidiametros Saturni. Exornat, præterea, Saturnum Annulus, qui eum medio cingens, nusquam contingit, sed undique ab ejus corpore distans, fornicis instar, pondere libratus suo, seipsum susti- net. Annuli hujus diaméter plusquam dupla elt diametri Saturni,& quanwis tenuis admodum sit superficiei conve- xæ crassities, tanta tamen est annuli latitudo, sive profun- ditas, ut pars circiter media istius spatii quod ab extima e- jus superficie ad Saturnum porrigitur, ab ejus corpore oc- cupetur, reliquo tantum spatio vacuo manente. Quibus Ulibus intervit admirabilis hic anmulus, Perricolas& latet & perpetuo forsan latebit, cum nihil ei simile in rerum na- turà deprehendimus. Suspiciecnda tamen est infinita Maje- stas atque potentia Dei qui nostrã hãc ætate, noya operum suorurn specimina, nobis conspicienda deprompsit. I. E1 10 1V. In qua probatur Sstema superius cxsositum essse verum Mundi. Sstemd. Ontra Mundi Systema in superiore lectione expositum, „ nobis fortasse objiciat aliquis, nos finxisse nosmet in (Elum cvectos,&ordinem atque motum planctarum supra traditum propris lustrasse oculis, sed finximus tantum,& qui proinde ponitur corporum mundanorum ordo sive situs, erit igmentum. An non cädem fingendi licentiâ, alius qui- is Planetarum ordo supponi potest?ꝰ possumus, accedente sensuum testimonio, Terram ponere immobilem, Solem- que atque planetas circa ilam motus suos describentes, atque ex illis positionibus possumus onmes apparentias& phæno- mena explicare. Respondeo quamvis finximus nos in altum sublatos,& cœlo in Solem atque Planetas despexisse, qui tamen ex hâc hypothesi è cœlo conspiciendus erit Planeta- rum situs atque ordo, figmentum non esse; sed ordo ille non te.e‚e SL-3————93‚.3 DE SVSTEMATE MENDI. 243 elcnbit ö ö 2* istans à non minus verus, certus,& indubitatus erit, ac si reverà è Um ex⸗ cælo illum oculis contueri liceret. Nam in nostra Astro- I e Oatur⸗ nomia nihil omnino fingitur, quod non habet naturam du- in cem,& comitem Observationem, quicquid in eã asseritur,& Lope- medio ex rationibus physicis,& demonstrationibus Geometricis ne pore certisiime pendet. Veterum Astronomia sicut& Tychoni- N hasti⸗ ca recte Hypotheses& sigmenta dicuntur, cum ultra suppo- amétti sitionem nudam nihil habeant, quo nitantur sed deformem Conpe⸗ Mundi fabricam exhibeant. At Nostra Astronomia quæ&- Wolun antiquissima Pythagorcorum fuit, undique sibi consentien- tima e. te compagine cOhærens, mirandum in modum Mundi fa- 0 ciem ornat,& splendidissima Symmetria decorat. Nihil est Jubis in rerum natura quod magis monstrat acrem humani ingenii e vim, summamque intellectùs perspicaciam„ quam quod 9910 mens nostra ultra sensuum testimonia, imo repugnantibus Nlge⸗ en e ausa sit se in sublime attollere,& lubtiliflimis suf- eum ulta rationibus, verum Mundi Systema partiumque dispo- sitionem erucre. Quibus vero artibus has arces attigit igneas, paucis hic declarabo. Primo qualiscunque locus Soli concedatur, certissimum Bemos 0 est Veneris orbitam illum cingere, nam aliquando supra So- AHratur lem attollitur Venus, aliquando interius descendit,& inter 2— 2 stum, Solem„& Terram conspicitur. Quod supra Solem ascen- αἀ cir⸗ det m dit Venus, exinde patet quod in conjunctione cum 8Hε hn hoc est cum juxta Solem è Lerrã videtur; plenà& rotun- ——.1 dã facie Fulgentem se Terricolis ostendit. Nam cum Ve- u nus, sicuti reliqui omnes Planetæ, lucem omnem à Sole öl accipiant, necesie est ut ea sola corum facies splendescat quæ delte Soli obvertitur quæ Vero aVersa est, tenebris oνοatur Solm. adeoque cum. I erricolis pleno fulget orbe, facies Soli ob- 43 versa,& ab illo illuminata, Terræ quoque Obvertitur;& me roinde tunc temporis ultra Solem est. In Figura sit S Sol, IAn. 1a. ö Mu Terra, Venus in E, vel Vlocata, facie plenã à Perri- V. 4. . M colis conspicietur, adeoquè in illo casu Venus loca ultra 99 8 dn. peragrat. Quod autem Venus infra Solem 1— escendit, exinde constat, quod in conjunctione cum S8o- le, vel prorsus evanescit, vel corniculata Lunæ instar ap- Hh 2 pa- 244 DE SVSTEMATE MENDI. paret, adeoque ejus facies Solis luce illustrata, vel Terræ aon obvertitur, ut in G, vel parva aliqua ejus pars à Ter- ricolis conspicitur, ut in H.=Unde necesse est ut inter Ter- ram& Solem tunc temporis locetur. Semel quidem Venus visa est nigræ instar Maculæ Solis discum pertransire, quod unicum spectaculum nemini mortalium præter Horoxium nostrum contigit videre, Anno Christi 1639. nec iterum Stella Veneris subtercurret Solem usque ad annum 1761 Mensis Maji die 26 mane; quo tempore rursus in medio disci Solaris exspectanda erit. Præterca Veneris Stella nun- quama Sole digreditur ultra certum ac determinatum inter- vallum 43 circiter graduum, nec unquam Solis oppositio- nem attingit; sed nequę ad quadratum aut sextilem aspectum pervenit, at tales aspectus necessario subiret, si circa terram periodum suam absolveret. Smiles Similiter Mercurius semper in viciniâ Solis, commora- san S. Fur; propius semper abest a Sole quam Venus, adeoque Ve- Merea. neris æmulus in orbita minore, intra Veneris orbitam con- rii mo. clusâ,& Solem ambiente necessario locandus erit. Præci- *. pue vero cum eum Soli quam proximum esse, ostendit e- gregius illius splendor quo& Veneri cæterisque Planetis longe antecellit. Varin Mars cum veniat ad oppositionem Solis, ejus orbita com- ½% Pplectitur terram. Sed& hoc necefsarium est, ut amplecta- 4nie. tUr etiam Solem. Nam cùm venit ad conjunctionem cum Sole, si subter illum incederet, corniculatus appareret instar Veneris& Lunæ: Atqui semper ille rotundam speciem ex- hibet, nisi quod in quadrato cum Sole Aspectu, aliquantu- lum gibbosus apparet. ö ö TAr. Ij3. Referat S Solem, T Terram, circulus MNP R orbi- 6e. F. tam Martis. Patet Martem tam in M quam in P Perricolis . plena& rotunda facie splendere, quoniam in his positioni- ꝛur in bus facies Soli obversa Perræ quoque obyertitur, at in N& νèε R paululum gibbosus apparebit. Præterea Mars Soli oppo- Itnis septies major videtur quam conjunctioni propinquus, adeoque in illo situ septies propius ad Perram accedit, quam m COnjunctione, ubi longissime à Terra distat. Hinc— at —. vJ...eff DE SVSTEMATE MUNDI. 245 1.. stat non Perram, sed Solem in centro dn Wien ＋Ter apparentièe enim demonstrant Terram longislime ab Ho cen- 9 tro distare. ö Preterca cum eadem observantur Phænomena, in Jove Eadim aun& Saturno licet multo minore distantiarum diversirate in Jo- din ve, quam in Marte,& adhuc minore in Saturno quam in Eharo- rum Jove hos quoque Planctas in diversis orbitis ultra Martis 20 5I Sphæram circa Solem rotari necesse est. Præterea Planetæ 34½ medio Imnes E Terrà visi, motus admodum inæquales,& irre- 5 4hm. gulares peragere Observantur, nam nunc progredi, nunc sta- hlek⸗ re, mox regredi cernuntur. At qui e Sole illos conspice- obo. ret, semper uniformi quadam lege unumquemque proprium cdm circulum decurrere videbit. ö am Solitaque, non Terra, in centro orbium Elanetarum CO 7⁷ι locatur, Hanc enim demonstravimus inter Veneris& W, tis Orbitas medium sortiri locum, sed& necesse erit, orbitis ciπeα Ve Ve. uiescentibus, ut Terra quoque circa Solem movęatur, nam 4½. 0oM- ummobilis consisteret, cum intra ambitum orbium quos. El superiores Planetæ Mars, Jupiter,& Saturnus percurrunt, at e. Claudatur, nunquam illos stare, aut regredi, aspiceret Ter- mets ricola. Verum horum Planetarum stationes®ressus non minus quam progressus e Terra observantur; itaque Per- 00. ram in medio partium mobilium, inter Veneris& Martis ca- orbitas constitutam, circulum quoque reliquorum Planeta- cum rum ritu; circa Solem describere concludendum est. Utque nlhr locus Terræ medius est inter Venerem& Martem, ita quo- E que periodus quà cursum suum circa Solem perficit, media Imtl⸗ erit inter periodos Veneris& Martis. Venus enim Octo men- sibus; Perra spatio annuo, Mars biennio circuitus absolvunt: His indubiis rationibus inducti, Pellurem in cælum invexi- 1255 • n mus,& inter Planetas posuimus, Solemque ad centrum de. e onk trusimus. Atque ita ex indubitatis Principiis,& invictis Elancta- NG ratiociniis, verum Mundi systema, ordinem„situm,& mo-. o· tum corporum mundanorum declaravimus 2i⁰ι s, Comparatione factã, miram quandam inter Hlanetarum 4 1— Tempora, quibus circuitus suos circa Solem absolvunt,& feriadi- 9 ꝓpsorum à Sole dislantias deprehendimus harmoniam,& Pro- aa. N⸗ Hh 3 por- —:s:.:s::ss]— Hujus Kegulæ causam Phsi- cam Pri- mus in venit Ne Vbe- FJ. 246 DE SVSTEMATEMUNDI. portionem; nam quo quilibet Planeta Soli propior est, eo citius periodum absolvit,& celerius fertur, secundum da- tam& immutabilem legem, quam omnia Corpora mundana constanter observant. Nempe Quadrata Temporum Pertode- corum sunt cuhis Aistant iarum& Jole proport ionalia. Quod o- mnium primus detexit sagacissimus Keplerus in Planetis pri- mariis. Postea deprehensum est Planetas omnes secundarios tam Saturnios quam Joviales eandem quoque in motibus suis legem observare, eorum enim periodi ita temperantur, ut quadrata temporum periodicorum sint cubis distantiarum 2 centro Jovis, vel Saturni, proportionalia. Ita intimus Jo- vis Satelles distat à centro Jovis diametris Jovis 24& pe- riodum conficit horis 42. Extimus autem circulum proprium percurrit horis 402. Adeoque si fiat ut 1764 quadratum numeri 42 ad 161604 quadratum numeri 402 ita ½ cu- bus numeri 2: ad alium is erit ½ ex quo extracta Radi- ce cubica dabitur 12; qui numerus exprimet distantiam extimi satellitis Jovis, in diametris Jovis, talemque reverâ esse ejus distantiam observationibus deprehensum est. Hujus Regulæ causa Physica Keplerum latuit, qui so- lummodo eam invenit, comparando distantias Planetarum, cum ipsorum Periodis; at gloria illam à priore investigandi & illius causam ex necessitate Physica monstrandi, magno Neuwtono nostro reservata fuit, qui demonstravit salvis na- turæ legibus, aliam regulam in mundo locum obtinere non posse: Quod nos quoque ostendemus cum de causis Physi- Cis agendum erit. ö Cum itaque omnes agnoscunt Astronomi, Legem supe- rius traditam, constanter observari à quatuordecim corpori- bus mundanis, quorum plures circa commune centrum re- volvuntur, nempe à quinque planetis primariis,& novem secundariis,& cum Luna circa Terram, tanquam centrum, gyros ducit; si Sol etiam circa ipsam, circulationem perfi- ceret, congruum esset ut eadem Lex ipsorum motus rege- tet. Adeoque cum Luna diebus 27, Sol 365 diebus, cir- culos absolyvunt,& Luna 60 semidiametris Terræ, à Terra removeatur, si fiat ut 729 quadratum numeri 27 ad 1332253 qua- DE SVSTEMATE MUNDI. 247 quadratum numeri 365, ita 2160⁰0 cubus numeri 6⁰0 ad allum, is erit 39460356 cujus Radix cubica est 340,& ille numerus distantiam Solis exhiberet, si modo in ejus motu locum obtineret eadem Regula qua reliqua ommia corpora mundana motus suos constanter temperant. Verum omnes consentiunt Astronomi,& invictis rationi- bus demonstrari potest, Solem plusquam trigesies magis à Terra distare quam sunt 340 semic iametri Terrestres. Ex quo liquet, si admittatur Solis motus circa Terram Sei non annuus, violari universalem jam traditam Naturæ legem,& ½ concidere motuum proportiones, quæ ut integræ maneant, Perram Terra in suo loco inter Planetas reponi debeat, Solemque vνανer cum iis circumire, quibus positis restituetur pulcherrima cir-———8 culationum Harmonia,& sine omni exceptione, motuum raun ordo manebit inunutabilis. Harmo- Ut Planetarum omnium agnoscimus cognationem, simi- Läi lemque naturam, ex co quod Telluris instar, sint corpora ut opaca, Sphærica, Solisque luce illustrata, circa quem etiam urpora motibus omnino similibus continuo cientur; sic etiam cum ⁷ Naruræ. Sol& reliqua omnia sidera propria luce splendeant,& sedi- hus suis immota conquiescant, simili ratione pro corporibus ejusdem naturæ haberi possunt. Quodque Sol prœæ reliquis Omnibus stellis tantus Perricolis appareat, quodque tanta luce refulgeat, ut ejus præsentia ommnes stellarum flammas splendore suo extinguat, in causa est quod Perra à reliquis Omnibus sideribus immenso intervallo distans, in Solis Vici- nid circa ipsum continuo gyrat. Nam qui fixam aliquam ex codem intervallo, quo nos Solem aspiceret, se Solem no- stro Soli per omnia similem intueri crederet; spectator et- iam à Solè nostro æque remotus, ac nos ab aliqua fixa, eum zellis annumeraret. Fixæ itaque omnes sunt Soles; estque Sol una ex fixis. Quanwis tanta sit Telluris à Sole distantia, ut ex hoc e. spectata Tellus, quasi ut minutum aliquod punctum vide- Bnn tur, ea tamen distantia, ad stellarum fixarum distantiam stancia comparata, tam exigua habenda est, ut etiam si orbita in wütn er⸗ quã diximus Terram circa solem deferri& stellis fixis con- Aansis Pi⸗ Sole. 248 DE SVSTEMATEMUNDI. spiciatur, ea etiam ut punctum apparebit angulusque sub quo orbitæ diameter, ex fixã videtur, tam exiguus est, ut ab Astronomiis acutissimis vix observari hactenus potuit; certe qui in hoc angulo(quem paralaxim orbis annui di- cunt) observando maxime invigilarunt, illum semper uno minuto primo minorem deprehenderunt, adeoque necesse est ut stellæ decies millies aut longius à nobis distent„quam nos à Sole distamus. Hinc sequitur, quod etiamsi Tellus ad aliquas stellas pro- pius uno anni tempore accedat, quam in Opposito, idque intervallo diametri orbitæ suæ, non tamen stellæ illæ ma- jores apparebunt, neque ulla fiet apparentis intervalli inter duas quasvis stellas sensibilis mutatio, propter diversas spe- ctatoris positiones. Sint enim in Terrà, duæ turres sibi invicem propinquæ, à quibus tamen distet spectator spatio decem mille passuum, i5 si per unum tantum passum situm suum mutat„ad ipsas accedendo, tantillo spatio propius admotus, nec turres ma- gnitudine auctas, nec à se invicem longius dissitas conspi- ciet. Itaque cum Tellus una anni tempestate tantum per decies millesimam distantiæ suæ partem ad fixam aliquam accedit, quam aliâ; nulla tamen sensibilis orietur in stella, sitüs aut magnitudinis respectu mutatio. Ighn Hinc ctiam sequitur quod si Sol tantum à nobis distaret, sub pu quantum proxima quævis fixa, angulus sub quo videbitur, Sier di erit decies millies minor quam nunc est; cumque angulus ir sub quo videtur Sol à Terricolis, sit dimidii circiter gra- pparet. dus, seu triginta scrupulorum primorum, ex stellã fixa spe- ctatus Sol sub angulo qui est millesima pars trium serupulo- rum hoc est sub angulo decem circiter serupulorum Tertio- rum videbitur. Contra hanc positionem objiciunt aliqui; si tanta sit fixa- rum distantia, oportet ut stellæ Solem nostrum magnitudine multum superent, nec minores possunt esse quam Sphæra, cujus diameter diametro orbitæ annuæ Telluris æqualis sit; volunt enim stellas, saltem ordinis primi, sub angulo non minore uno minuto videri: cumquè orbitæ Telluris diame- ter Oljectio. ——————————.————————......——— DE SVSTEMATE MUNODI. 235 0 ter e fixis suh majori angulo non cernitur, stellarum diame- 0t. tri diametro orbitæ in qua fertur Pellus, magnitudine non 5. cedunt. Cumque Sphærra illa cujus semidiameter distantiam 6 Lerræ a Sole adæquat, Solem nostrum centies centenis mille ün vicibus superat, toties quoque superabunt stellæ Solem no- Wele strum, adeoque cum enorme intersit magnitudinis discrimen, sam non erunt Sol noster& Fixæ corpora cognata, neque proin- de 80l pro fixaà habendus est. Spo⸗ Sed qui de magnitudine fixarum talia prædicant, mul- Iue tum falluntur, dum tantas iis assignant diametros apparen- rni Sm. tes; eα enim tam exiguæ apparent, si rite observentur, ut aieuai- ler veluti puncta tantum lucentia sine visibili quàvis latitudine 27 ä 45 fe refulgeant; quo fit, ut observationibus nulla earum mensu- νε ra deprehendi potest; cingit quidem flammea omnia corpo- npa- hhe, ra in tenebris visa irradiatio quædam seu capillitium, unde““ um, sit ut centies& pluribus vicibus majores conspiciuntur quam Hlas si sublato capillitio viderentur; multum autem minuitur ca- Ma· pillitium, si per exiguum foramen aciculâ in charta factum Upi conspiciantur, facilius vero& melius huic incommodo me- b detur, Telescopia adhibendo, quæ radios illos adventitios Wem auferunt,& stellas, ut mera puncta lucentia spectandas præ- ela, bent. At Telescopia quamvis multum augeant objectorum diametros, non tamen certas& defmitas stellarum mensuras ket, nobis echibent, cum sidera ut lucida puncta, seu nullius tur, magnitudinis per ea etiam visa appareant; Unde mirum est Quñd pe- E quod Ricciolus Syrii sve Canis majoris stellam posuit sub ιe. r angulo 18 videri. Nam si tantus Syrius nudo oculo ap- e. he⸗ Pareret„ per Pelescopium visus, quod ducenties ampliat 2ur. o0b Objecta quoad diametros, debet ille sub angulo 3600. 110 scrupulorum secundorum seu angulo unius gradus vide- ri; unde& ejus discus Solarem discum quater superare vi- 60 debitur; cum tamen certum est Telescopium illud exhi- 0 bere Syrium ut punctum tantum lucens,& stella Mar- 335 tis non majorem. Mars autem cum nobis proximus atque in marunus adest, sub angulo 30 scrupulorum secundorum 900 conspicitur. Unde diameter Syrii ducenties ampliata, non major erit 30 scrupulis secundis, adeoque angulus sub quo 11 Nu- Fixæ sunt cor- HDora ignea. Hixæe lunt Vo- LeF. 250 DE SVSTEMATE MUNDI. nudo oculo rpparere debet, non major erit 3, unius scru- uli secundi, seu novem scrupulis tertiis: Hoc est Syrius Sol fere æqualis cernitur, si is tantum à nobis distaret quam Syrius. Mirum fortasse quibusdam videbitur, quod stellæ fix Oomnino conspiciantur, cum eorum diametri tantillos subtendunt ad Oculum angulos. Sed flammea& ignita cor- pora ex maximis intervallis cerni possunt, iis scil. unde a- lia corpora æque exiguis angulis comprehensa, prorsus e- vanescunt. Quod comprobat candelæ flamma, quæ noctu ad distantiam duo millia passuum cernitur, cum tamen in- terdiu objectum opacum Solis luce illustratum, etiamsi de- cies& amplius flammam latitudine superat, ex ea distantia videri nequit. Lux enim quam ex se undique defundunt ignita corpora, vegetior multo est, fortiusque fibrillas Re- tinæ vellicat, quam ea quæ à corporibus opacis reflectitur, reflectionibus enim debilis redditur radiorum actio;& inde fit ut corpora lucida in species ampliores spargantur. Immota itaque cæli astra sunt corpora suà naturâ ignea, instar Solis nostri, quæ huic nec magnitudini cedunt, nec multum superant, adeoque, pro totidem Solibus haberi possunt. Concipiendum porro est, Soles hos non in unã cademque superficie hærere, sed per immensa mundi spatia, undique disseminari& longissimis intervallis à se invicem di- Hare; ita ut tantum inter duos quoslibet Soles proximos, interjaceat spatium quantum ad minimum inter Solem no- strum,& Syrium porrigitur. Hine spectator qui alicui So- li propius adest, illum tantum ut Solem conspiciet,& reli- quos omnes Soles ut micantia astra, in cœœlo seu firmamen- to proprio inhærentia videbit. ů Porro non credibile est, Deum tot innumeros Soles in locis tam remotis solitarie locasse,& nulla juxta posuisse corpora quæ horum luce& calore foveantur; hoc certe sapientiæ divinæ minime congruum esse videtur; cum Deus —— frustra creavit, sed confitendum potius est, Solem u- numquemque suo quoque Planetarum comitatu cingi, qul circa Soles hos, diversis periodis, ad diversas distantias, Lunis quoque suis itipati rotantur.(n 6 crl Hrüs etquam Welle tantillos A chk. nde 2. Hs e⸗ du nen h- mul de. bitanta undunt ⁵ Re. Chtur, inde W-i, „Ro Dabert in Patia emdi- mos, MHo- mU⸗ l. E H5N Ouile Celbe Deus lem u. · Ql nuas O DE SVSTEMATE MUNDI. 257⁷ Quam admirabilis& magnitica hine nobis oritur amplitu- iee ein. dims mundanæ Idea. Concipiendum enim est Indefinitum,. spatium mundanum, in quo nmumerabiles locantur Soles, danæ. 2—— illi sunt stellæ quas vel nudo oculo, vel Telesco- pii ope detegimus, harum singuli propriis Planetis stipati totidem Mundos seu systemata constituunt. Et unusquisque Sol in proprio systemate idem mumus Obit, quod in hoc suo fystemate Sol noster. Hinc Mundus existet Divinæ Sapientiæ, Ommipotentiæ, & Bonitatis Theatrum, Gloriæque Immensæ„& Infinitæ Palatium. 1. EV. De Maculis Shlaribus„& Solis,& Planetarum, circa proprios Aves, vertigine, de Sellis Hxis. VB maximam T(lluris à Sole distantiam, Solis conve- Xitas nostris oculis prorsus evanescit, nee mirum Lane Couder:- cum& Lunœ, que nobis multo propius adest,„ Sphærica 7.- superficies à sensibus non percipitur,& tam Lunæ quam stris oca- Solis orbes tanquam disci plani nobis appareant; quorum in——..— medio punctum, quod revera est in superficie centrum, E centrum apparens, dicitur. Et si Solis facies œqualiter u- bique luceret, ob uniformem ejus faciem quæ nullam va⸗- rietatem oculo objiceret, poterit ille circa suum Axem rota- ri,& ejusmodi rotatio nobis non innotesceret; nunc vero cum in Iucidissimo Solari disco,& purissimâ ejus flammâ, sœpe nigræ conspiciuntur maculæ ejus superficiei adhærentes, ex corum motu nobis constat de Solis rotatione; nam bæ ma- ¹ν S. culæ à margine Solis orientali, medium versus progredi cer- 5 nuntur, deinde ulterius provectæ in opposita margine scil. aule. occidentali margine occidere videntur. Et earum aliquæ postquam in oppositã nobis Solis superficie per quatuordecim e circiter dies delituerunt, in margine rursus oriri incipiunt. gaur, Circulus AGHD repræsentent Solarem superficiem nobis 3ι. conspicuam, sæpe vidimus materias quasdam densas& obscu- 1—ũ. ras nubibuscircumterrestribus persimiles in margine Aoriri, Ii 2 quæ 25²2 DE MACULIS SOLARIBUS. quæ paulatim versus B repentes in medio tandem disei CoOn- spiciuntur, deinde per BC ad cireumferentiam progredien- tes, post aliquam moram in D evaneéscunt. 2705 Aliquando macularum aliquæ, interjecto dierum viginti asigao di. Cptem circiter spatio, post digressum ab A rursus in eodem eVse 6. puncto conspiciuntur tantumque temporis per Solis superfi- Ciem nobis aversam transcurrendo impendunt, quantum in redeunt Obversa Solis facie nostro conspectui subjiciuntur. Macula- 2u%) rum motus in disci peripheria A vel D tardissimus apparet, *.& versus medium velocior: Præterea carum figuræ, circa margines Solis arctifsimæ, in medio latæœ,& plena majesta- te sese ostendunt;& hæ apparentiæ respondent materiis qui- usdam densis& obscuris Solis superficici contiguis,& So- lari vertigine abreptis. Quidam existimaverunt maculas has non corpori Solari adhærerè, sed ab codem aliquantulum distare,& circa Solem revolvi ad modum satellitum Jovis; Aacule sed ii facile refelluntur, nam si maculæ in superficie Solis 4.H H non existerent, eadem macula non viderctur per totumtem- lari eæi. Pus semiperiodi in superficie Solari. Sit enim Sol in A visus u ex Pellure B sub angulo DBC 30. minutorum, si macula Tan. 15. ů— 43—.5. Gg. 2. Orbitam HEG extra Solis superficiem percurreret, non vi- debitur Solis discum intrare, antequam ad E pervenerit, ubi recta BED ex terra ducta discumque tangens maculæ orbitam secat,& ductã BG Solem quoque tangere per So- lis superficiem tantummodo decurrere videtur, dum arcum EG describit, qui arcus semiperipheriâ minor erit& tem- pore quod semiperiodo minus est percurretur. Sed ex ob- servationibus constat maculas quæ integram revolutionem absolvunt,(fuere enim nonnullæ, quæ duas aut tres perio- Marue dos absolverunt, singulas nempe viginti septem dierum) ö Wn ille inquam 13=. impendunt, ad hoc ut a limbo occidenta- 4ur Jepe li Solis ad limbum orientalem perveniant; adeoque cum plures in dimidium periodi suæ tempus in transcurrendo Solis discum 6onha. impendunt, ipsarum orbitæ in ipsa superficie Solari exta- aur. Unt. Macularum plures in medio Solis disco primo videri in- cipiunt, alias in codem dissolyi& evanescere—* ö ⸗ 0. mdicic DrOgredieg. um piginti Reodem 05 lpert. uastum in . Macula. Sappatet, Ru„ Ci Maseha Hateris qit Hl, K.Ho. Maculas hs Juantuhm tum Jovi, eie d0d5 otümten AV „maad Et, Dons. eryenert, HaCule peroo· arcum & tel⸗ ex ob- WMionem Spenb⸗ erum) Ident⸗ DE. MACUAIS SSOENRIBUI. 253 sepe plures in unum confluunt, fepius una in plures dif- Ruit. Primus eas Telescopio suo detexit Galilæus, postea accuratius observavit Scheinerus qui magnum volumen de lis edidit,& tunc temporis plures quinquaginta in Sole vi- se sunt. At ab ammo 1653 usque ad annum 1670. Vix una aut altera visa est, exinde sæpe plures una conspectæ sunt, & nulla constanti temporum lege apparent aut evanescunt. Narrant Historici Solem per integrum annum aliquando S pallidum apparuisse,& sinè solito fulgore, calorem tenuem debilemque emisisse, quod credibile est ex co provenisse, quod plures ingentes maculæ non minimam Solaris superfi- ciei pàartem tunc temporis texerunt;& nunc aliquando Vi- dentur maculæ quæ non tantum Asiam, aut Africam, sed totius Pelluris superficiem latitudine superat. Macularum motus est ab occidente in Orientem,& ex eo constat, Axem circa quem vertitur Sol non esse ad planum orbitæ Telluris perpendiculariter erectum, sed ad Mud inclinari,& facere cum Axe orbitæœ qui per Solis cen- trum transit angulum septem circiter graduum,& proinde So- lis Equator, seu circulus in medio inter duos polos, orbitæ planum secabit in linea recta quæ producta orbitæ ocurret in duobus punctis. Et cum Terra in hisce duobus punctis invenitur, semitæ macularum rectæ lineꝶ apparebunt, cum scil. oculus spectatoris est in earum plano. At in alio quo- vis Pelluris situ, cum scil. æquator Solaris supra oculum attollitur, aut infra illum deprimitur, vestigia macularum e- runt curvilinee& Ellipses. Cum splendidissimum Solare corpus obscuris maculis fœ datur, non cogitandum est corpora Planetarum opaca næ vis carere; quibus eorum facies asperguntur. Et reverà Ju- piter Mars& Venus, si Telescopio spectentur, nobis ma- culas suas produnt, ex quarum motu constat has Planetas circa Axes rotari. Simili scil. argumento quo Solarem ver- tiginem probavimus. Venus scil. spatio 23 horarum gyra- tionem circa proprium Axem ab Occidente in orientem per- ficit, Mars similem rotationem horis 24 min. 40. absolvit. Terra vna die ab occidente in orientem etiam circa Axem ö I3 rota· 2. jqpauan- 27 4 Alli- dum per iutegrum annum parUsa se. Ais SFo- lis incli- natur a4 plauum Eclipti- cœα sieuti Folis æ- ucator. lu Pla- netis ma- culè vi- dentur. Plauetæ circa a *es suc- ITantar 25⁴ DEMACULIS SOLARIBUS. rotatur quod ex apparenti motu omnium Astrorum ab orien- te in occidentem nobis constat. In Jove præter maculas, plures sunt Fasciæ sibi invicem parallelæ, at hæ neque candem constantem magnitudinem, nec distantias conservant easdem, nunc crescunt, nunc di- minuuntur, aliquando à se invicem longius discedunt, ali- quando propius accedusit& plures una cum maculis, sub- eunt mutationes. Anno 1665 D* Cassini insignem detexit in Jove maculam, quam per duos annos Observavit, Jovi corpori per totum illud tempus firmiter adhærentem,&ejus figura& positio vespectu Fasciar um probe determinatæ fucre; evanuit tamen illa macula anno 1667, nec rursus usque ad annum 1672 visa fuit, post illud tempus per tres fere an- nos in conspectum assidue veniebat: sœpius deinde à nostris oculis se subduxit,& identidem se conspiciendam præbuit; & ut verbo dicam ab anno 1665 quo primo visa est, usque ad annum 1708 Octies apparuit& eVanuit. Ejus revolu- tionibus sæpius Observatis 5 Cassini comperuit periodum Jovis circa proprium Axem esse horarum ꝗ minutorum 56. Verisimile quidem est, quod Terra stabili magis& tran- quillà fruatur conditione quam Jupiter, in cujus facie ma jores cernuntur mutationes, quam Telluri obtingerent, 1 Oceanus alveo suo relicto per Terras undique se diffunde- ret, novas continentes, nova maria exhiberet, permutato invicem Soli Salique vultu. Mercurius prope Solem continuo commorans, tantaque luce cum videtur, perfunditur cœlum, ut observationes non admittat, quibus ejus maculæ dignoscantur,& Saturni ma- xima à nobis prœ reliquis Planetis distantia macularum vi- sum Oculis adimit. Credibile tamen est illos, prædictorum instar, circa Axem quendam revolvi, nempe ut sæœpius quam semel in unà revolutione circa Solem, cujusque PEla- netæ pars quælibet radiis Solaribus exposita& iis rursus sub- ducta, vicissitudines patiatur naturæ suæ congruas. —.— DECONSTELLATIONIBUS. 255 ab Orier LECTIO VI. micem De Magnituline& Ordine Lirarum, De Constella- adnem, ionihus, Seellarum Catalhgis, AAu ationibus mne dl ů que Rxis accidere Dese sluut. Il, al. IIUod fixæ dispari inter se magnitudine appareant inde 5 fb evenit, quod non omnes pari à nobis distent interval- Ceterit 10½ed quæ propius absunt reliquis tum magnitudine tum „loris luce præcellere videntur; ille interea quæ longius distant „Cus minore& mole& splendore conspiciuntur. Hinc oritur ere, stellarum illa in classes distributio, quarum Classium Prima ue 20 stellas primæ magnitudinis, 2* secundæ, 3 tertiæ,& ita stela- ere al. porro usque ad sextum stellarum ordinem, quæ minimæ Hostris sunt omnium, quæ nudis Oculis videri qucunt. Nam cæ- Tbuut, teræ stellæ, quas non nisi Lelescopii ope detegimus, his uue claslibus non continentur. Licet vero antiquum& vulgo volo- receptum sit sex tantum esse fixarum classes& magnitudines, Ouum non tamen existimandum est unamquamque stellam ad ha- m 5. rum aliquam præcise referri posse, quin potius tot consti- Xttal- tuendi sunt magnitudinum ordines, quot fere sunt stellæ, Ma. nam rarò admodum duæ fixæ cernuntur ejusdem splendoris, Ent, A& istarum stellarum, quas inter primas numerant Astronomi, mnde- apparet magnitudinis diversitas, clarior enim est Syrius, aut Mtato Arcturus, quam Aldebaram, aut Spica, omnes tamen magni- tudinis primæ habentur; sunt quoque nonnullæ magnitudi- iade nis intermediæ, adeo ut alii hujus, alii illius æstimant, v. 50 gr. Canicula quæ Tychoni est magnitudinis 2ε Ptolemeo 1M fuit primæ, quod indicio esse potest, nec esse prirnæ, nec m u secundæ, sed ordinis intermedii. or Verum stellas non tantum magnitudine suâ designant A- Canstel- 205 stronomi, sed quo melius in ordinem referant, eas per situm Lattover. e Ha⸗& positionem ad se invicem distinguunt,& in Asterismos Wüb⸗ seu Constellationes distribuunt, plures stellas uni constella- tioni assignando, estque Constellatio plurium stellarum sibi juxta jacentium systema. Præterca ut stellas omnes facilius in Cœlo notent& observent, constellationes ad formas ani- mantium& rerum quarundam imagines reducunt. Pleras⸗ U que πν⁰έ⁰ι⁷⁰ιέι⁷ιι⁷πι Eadem cœli stel- lati fa- cie e omvibus Planetir pecta- zur. Cæœli Re- Zionej. Vete- rum i- magines XLVIII. 256 DECONSTELLATIONIBUS. que has imagines ex fabulis, seu religione suà in cælum transtulerunt veteres,& recentioribus Astronomis easdem retinere placuit; ut perturbationis periculum evitetur cum observationes antiquæ cumdostris conferantur. Distinctio stellarum in imagines longe antiquissima fuit, iPsi scil. Astronomiœ seu Philosophiæ coœa. Nam in vetu- stislimo libro Job memorantur Orion, Arcturus atque Pleia- des,& multa constellationum occurrunt nomina apud Ho- merum atque Hesiodum Poëtarum antiquissimos, necesse e- nim fuit sic ab initio stellas per partes Wmene„& Ordi- ne quodam designare. Cum immensa admodum sit stellarum distantia, nihil re- sert in quo Solaris nostri systematis loco resideat spectator, sive is sit in ipso Sole, sive in Tellure, vel etiam in Satur- no Planetarum extimo; ex omnibus enim nostri systematis partibus cadem videbitur cœæli facies, eadem stellarum posi- tio atque invariata magnitudo. Planeticolis omnibus eadem spectantur Astra; commune cœælum est, idem eos omnes in- volvit mundus. Cælum stellatum in tres Regiones partiuntur Astronomi, quarum media eas continet stellas, quæcirca plana orbita- rum in quibus deferuntur planetæ jacent,& hoc cæli spa- tium Zodiaci nomine insignitur, ob constellationes ibi po- sitas,& animalia referentes,& extra quod nunquam vi- dentur vagari Planetæ. onam hanc ex utroque latere clau- dunt duæ reliquæ cœæli regiones, quarum una comprehendit Borealem cæli plagam, altera Australem. Veteres cœlum ipsis visibile XLVIII. imaginibus distinxe- runt, quarum duodecim Zodiacum occupant, ejusque Do- decatemoriis nomina imponunt sua, suntque Aries, Taurus, Gemini, Cancer, Leo, Virgo, Libra, Scorpius, Sagitta- rius, Capricornus, Aquarius, Pisces. In septentrionali regione numerantur Imagines XXI. nem- pe Ursa minor, Ursa major, Draco, Cepheus, Bootes, Corona Septentrionalis, Hercules, Lyra, Cygnus, Cassio- peia, Perscus, Andromeda, Priangulum, Auriga, Pega⸗ sus, Equuleus, Delphin, Sagitta, Aquila, Werdnten⸗ 0. DECONSTELLATIONIBUS. 257 10 105& Serpens. Hisce postea adiectæ sunt constellationes Anti- wüctur, noi ex 7½⁷⁵urmibus Uae Aquilam,& Comæ Berenices, ex informibus prope Caudam Leonis. 1. ö 3 Hlit Ad Australem Zodiaci partem sunt Asterismi XV Veteri- 1 Vein. bus cogniti, nempe Cetus, Eridanus, Lepus, Orion, eplein anis major, Canis minor, Argo navis, Hydra Cue 4 Eo. Corvus, Centaurus„Lupus, Ara, Corona 0 1 1 22968 scis Austrinus. Hisce nuper adduntur constellationes XII Wn circa polum Austrinum, quæ nobis Borealem Felluris par- 4 tem habitantibus, ob gibbositatem Terræ sunt inconspicuæ, ulr scil. Phæenix, Grus, Pavo, Indus, Apus, Lriangulum 19.— Australe, Musca, Chamæleon, Piscis Volans, Taucan sive ar Anser Americanus, Hydrus, Xiphias sive Dorado. Kln. Extra depictarum imaginum limites sunt stellæ quædam Selle 10 ad illas irreducibiles, quas ideo informes vocant; ex qui- pol. bus insigniores Astronomi novos aliquando asterisinos con- m ficiunt. ö 6H— Ad Asterismos etiam pertinet Galaxia, seu Via Lactea, Calamia. quæ est circulus latus candore lactis perfusus, nonnunquam Ioni, duplici tramite, plerumque simplici totum cælum ambiens. Wöit. Hunc cæli tractum innumeris minutissimis stellis refertum 11 esse, Telescopio suo deprehendit Galilæus;& quamvis sim- i po⸗ gulæ stellæ nudo oculo sint imperceptibiles; conjunctis ta- 1M men luminibus eam cæli regionem illustrant,& candore suo cau⸗ perfundunt ö eudt Imaginum opée, uti diximus, stellas omnes distinguere & in cælo notare valuerunt vetustissimi Astronomi,& ca- Me- talogos fixarum mirà solertià& curà exinde condiderunt; 2 Hi catalogi recentiorum observationibus adaucti& correcti Ilus, omnes continent stellas visu perceptibiles, imo plures in iis te nunc notantur stellæ quæ non sine Pelescopio videri pos- sunt. nem Hipparchus Rhodius annis circiter ante Christum natum he Nes, 120. primus inter Græcos stellas fixas in Catalogum redu- 30— Ho⸗ Xit, au sus ex sententia Plinii(em etiam Deo improbam) amn rum ca- dege numerare Poste Iio stellas, ac sidera aοι normam eπhρaungere, or. n ganis evcogitatis, per qu& singularum loca atꝗue magnitudines 11 rus E Iona. II—F—3 258 DEFIXARUMCATALOGIS. sgnaret: Uti faacile discerni posset ex eo, non modo an obirent nasa cereuturde stelle, sed an omnuino aliqua transirent moverentur- ve, item an crescerent, minuerenturque, cæœlo in hæreditaté cun- Gisrelicto, siquisquam qui rationem eam caperet inventus esset. Hipparchus ex propriis& antiquorum observationibus 1022 stellas in Catalogum retulit,& unicuique propriam latitudinem& longitudinem tunc temporis competentem ad- scripsit. Prolo- Ptolomeus Hipparchi Catalogum quatuor stellis adauxit rii 10²6 numerando. 759ᷣ Ptolomeum, Ulug Beighi magni 25164te. Tamerlani Nepos sidera observavit& 1017 stellas catalogo lun, suo intulit. Sæculo decimo sexto& sequente, plures V. e a rania nacta fuit cultores, inter quos eminebant Regiomon- aarit. tanus& Copernicus. At onmium conatus superavit nobi- Bbo lissimus ille Astronomus Danicus Tycho Brahe, qui ma- 9 gna& exquisitâ arte facta instrumenta comparavit, quibus 40 eler. CHlum denuo lustraret. IS loca 777 fixarum propriis obser- vauit& Vationibus ex cœlo deduxit,& in Catalogum rétulit. Ke- n plerus quidem in Tabulis suis Rodolphinis stellarum cata- zul. logum exhibet, quem Tychonicum vocat, in quo nume- rantur 1163 stellee, at reliquas præter illas 7 4 Tychone observatas, partim ex Ptolomeo, partim ex aliis diversis authoribus baufit, nihil enim Tycho in proprium catalo- gum retulit„ quod non ipse suis instrumentis calculoque mVvestigaverat. ä Culich Tychoni coœvus Serenissimus Hassiæ Princeps Guliel⸗ nactias: n¹νε dera contemplari aggressus est,& cum Mathematicis iee Pri, Luis Rothmanno& Byrgio, indefesso per 30 annos labore ceps 400 ʃ¹ 8¹0 5 5 Rellar ai. 400 srellas Observavit,& catalogo inclusit, adjunctis stella- servavis. xum IOëis secundum longitudinem ex propriis Observationi- bus computatis. ö ö Ricciolus Jesuita Kepleri catalogum 305 stellis locuple- —* V* Riccielus Caralo tavit,& exinde earum numerus ad 1468 excrevit, sed hunc 2Z7 900 catalogum ex proprus observationibus haud construxit, sed Panenun tantum 101 stellas propriis instrumentis cum Socio Grimal- 5 Lim.. Observavit:& earum loca supputavit; reliquas ex Ty- e one, Keplero& aliis auctoribus deprompiit. Mirum 0 — quod Aellas. n/. litur. Hecun. ＋(al. Onibus Priam Mad- Laulit DEFPIXARUMNCATALOGIS. 250 quod Ricciolus plures stellas, quæ tempore FTychonis in Oculos Omnium incurrebant, quæque ab ipο Tychone rite sunt Observate, tempore vero Riccioli plane cvanuerunt, ctiam adhuc, licet hon amplius conspiciuntur, in catalogo suo retineat, quasi ipse illas observaslet. Bartschius in Globo suo quadrupedali, anno 1635 Ar- gentorati in 4% edito meminit Baycrum in sua Uranome- cria 1725 stellas delineasse; gloriatur etiam quod ipse in 400 GlO501762 stellas designaverat, sed quis eas Oblerva- vit, aut quo anno, non prodit. Stellas ad polum Antarcticum sitas,& nostræ on in- Eamun. ö ö 44766 conspicuas, primus rectè fervavit Cl. meus Collega Ed- ASDyt- mundus Halley qui magno Sidereæ scientiæ amore percitus, 15 longam& periculosam ad Insulam 84 Helenæ suscepit na- vigationem, ut situs stellarum sub polo Antarctico nos la- 0 tentium exquireret, edidit is Catalogum 373 Fixarum au- A. stralium, quarum loca supputavit ad annum 1677.— Ilustris Joannes Hevelius Dantiscanus vir maxime Indu-e scrius& indefessus astrorum cultor, exquisitissimis instru- 1gg½se. mentis& Omni apparatu Astronomico instructus, fixas ma- 4 ser. jori quam antea curâ observavit, loca 1553 stellarum ex pro- prüs Observationibus supputavit,& novum omnino condi- /αν en. dit stellarum catalogum„qui continet stellas 1888, nimi- 41855 rum 9õο veteribus cognitas,& supra Horizontem Gedanen-* sem conspicuas; 603 alias quas ante ipsum nemo rite debi- tis instrumentis determinavit,& 335. circa polum Antar- cticum,& infra Horizontem Gedanensem semper depreslsas ex Catalogo Halleano transtulit. At Catalogum longe amplissimum& correctissimum, bre- a. vi, ut spero, nobis dabit Joannes Flamstedius Astronomus%ιCata- Regius Greenovicensis, in hoc catalogo numerus stellarum ad 3000 ExXcurrit. Et sicut Hevelius duplo plures stellas. Observavit quam Tycho, sic Astronomus noster Britanni- mas. cus numerum stellarum ab ipso observatarum duplo auctio- rem reddidit quam est numerus earum quæ ab Hevelio ob- servatæ fuerunt. Tantum Urania hujus Astronomi debet laboribus,„ ut ne minima quævis conspicitur stella, cujus K K 2 locus ———— Stellæ inermi oculo vi- sthiles numero u0ον mu tæ sunt. Est ta- men slel- larum nameru zmmen- sur. 26⁰ DE FIXARUMCATALOGIS. locus in cælis non melius innotescit, quam plurimarum ur- bium& civitatum situs& positiones, per quas quotidie iti- nera faciunt viatores. Non mirum est quod Astronomi tot pertinaces vigilias, tam Herculeos labores in stellis obser- andis sustinuerunt„cum non alio potuerunt modo investi- gare Planetarum vias,& orbitas in cœo notare, nisi per cognita prius fixarum loca, quibus, tanquam columnis fir- missimis, omnis innititur Astronomia. Ex tribus millibus stellis à Flamstedio in catalogum re- latis, plures sunt quæ non sine Pelescopio videri possunt, adeoque non plures in hemisphærio visibili oculo inermi si- mul conspici possunt, quam mille. Mirum hoc plerisque videbitur, cum hyeme, illuni& serenã nocte, primo intui- tu innumerabiles videntur conspici stellæ. Sed apparentia illa est visus hallucinatio, ex vehemente stellarum micatio- ne profecta, dum oculus confuse& sine ordine omnes si- mul intueatur; at qui distinctè ad singulas attendit specta- tor, nullas inveniet stellas, quæ ab Astronomis non notan- tur; Quod si quis Globum cælestem majoris formæ, qualis est Blavianus, adhibeat, eumque cum cælo comparet, quan- tumvis acri oculo cælum rimetur, non facile tamen stel- lam inveniet vel minimam, cujus imago in superficie istius Globi non depingitur. ö 2 Interim fateor stellarum numerum esse immensum& tan- tum non infmitum,‚ nam qui Telescopio cælum vult in- tueri, ingentem ubique fixarum multitudinem inveniet, quæ nudis oculis se minime produnt, præsertim in viã Lacteã tam confertim reperiuntur fixæ, ut illum cæli tractum sin- gulæ licet imperceptibiles, luce sua, seu candore quc dam perfundant. ö CI. Hookius Telescopium duodecim pedum versus Pleia- des dirigens,(quæ olim septem sunt visæ, at nunc tan- tum sex, inermi oculo visuntur,) septuaginta& octo stellas notavit,& longiora adhibens Telescopia longe plu- res diversæ admodum magnitudinis detexit: vide Microgr. pag. 241. Et Autonius Maria de Rheita in Radio suo side- reomystico pag. 197. affirmat à se per tubum opticum nu- Mera- arum un. oticie it- omi tot H obler. Ihvesti. mil Per Mis fr- um re- Oluunt, ermil rilcne 0 ihtll⸗ Arentia Meatio- nes fl. hectz notan- quals „uan- m stel⸗ e illus Otan- t ih- *5 Aed M sl⸗ Cm Pleia tall⸗ 0⁰⁰⁰ u. Ctogr. 10 se⸗ im vu- Mera⸗ DE MUTATIONIBUS INTER FIXAS 26¹ meratas fuisse in solà constellatione Orionis stellas quasi bis mille. Ex dictis in præcedenti Lectione constat, quam ie vana fuit veterum Philosophorum opinio, qui cælis nimium iucor- saventes quedam iis privilegia sine ratione indulserunt; cos pribi. quippe ab omni mutatione immuncs statuebant; materiam- que cœli à Lerrestri specie diversam elle pronunciabant, hanc corruptibilem esse,& in Varlas sormas mutabilem; il- lam non item, sed sub eadem formâ& facie semper per- manentem nullique mutationi obnoxiam prædicabant. Vidi- mus in Sole atque Planetis quotidie nov½α οπτα generari, rursusque corrumpi,& Elanctarum facies varias mutationes subire. Nec solum in Terrà nostra, aut in nostri systema- tis corporibus locum obtinent mutationes Verum longe ul- terius porrigitur Generationis& corruptionis Principium Princi- inter stellas enim immotas longissune à nobis dissitas domi- πα natur& nullum corpus est quod ejus imperium non patitur. ũ— Perierunt enim stellæ plures à veteribus conspectæ, novæ crrup- renascuntur, ipsæ etiam aliquando perituræ. Quin etiam 4½ 4 quorundam siderum extinguuntur flammæ, quæ post statam 4—8 periodum rursus resplendescent. Inter stellas has maxime sgie. cclebris est illa, quæ in collo Cæti videtur, quæ octo vel novem anni mensibus inconspicua, reliquis quatuor Vel Sal- tribus mensibus varià magnitudine se videndam præbet; hu- 27606 viodsocce jus stellæ superficies corporibus opacis seu maculis maximaâ e, parte tegi videtur, aliquà tamen ejus portione lucidâ ma-& eraa- nente, quæ dum circa suum axem cOnvOlvitur, modo hanc, cunt. modo illam partem nobis obvertit, sed& hujus stelle ma- culæ quasdam mutationes subire videntur; non enim sin- gulis annis eandem obtinet stella magnitudinem„quandoque secundi ordinis fixas superat magnitudine, aliquando inter tertium ordinem vix consistere videtur; nec eodem semper temporis spatio sui copiam facit, nam sæpe non ultra tres menses continuos, sæœpe etiam per quatuor integros& am- plius conspicitur, neque æquis temporum intervallis incre- menta sumit. Præterea ex Astronomorum observationibus constat, sæ- Ssalie E 3 pius nove. Seella v⁰οα in Cassio- Peia. Stella 10ν 1u ectore Cguni. 262 DE MUTATIONIBUS NTER EIXAS. pius novas aliquas prius latentes emicuisse stellas, quæ per aliquod tempus insignes& maxime conspicuæ apparuere; sed deinde paulatim decrescentes, tandem evanuere quafi exstinctæ fuissent. Harum stellarum una ab Hipparcho A- stronomorum principe notata& observata suit, eùmque im- pulit ut fixarum catalogum adornaret, posterisque traderet, ut ex co facile discerni possit an obirent inciperentve steh 16. Post plura deinde sæcula, alia etiam nova Tychoni Bra- heo, ejusque temporis Astronomis, in constellatione Cas- siopejæ apparuit; quæ non secus ac Hipparchea illa Py- chonem admonuit, opus esse ut novum conderet stellarum Catalogum: visa est hæc stella circa Novembris medium Anmno 15723 permansit eodem inter fixas loco, toto appa- ritionis tempore, quod per menses circiter sedecim duravit, tandemque paulatim extincta fuit; magnitudo ejus apparens Lyram aut Syrium inerrantium splendidishimas superabat, Veneris Perigeæ fere æmula, in meridie à non paucis visa est. Sed tandem sensim imminuta evanuit, nec ex eo tem- pore in cælis est conspicienda. Leovicius ex historiis istius temporis tradit anno 945 regnante Othone imperatore, stel- lam novam in Cassiopeja apparuisse, similem ei quæ suo tempore visa est anno 1572. aliud quoque adducit testimo- nium perantiquum, quod anno 1264. visa est in septen- trionali cæli parte, circa constellationem Cassiopejam nova & maxima stella quæ nullum habebat motum proprium, credibile est hanc& supra memoratam quæ anno 945 appa⸗ ruit eandem fuisse stellam cum eã quæ a Pychoneè visa fuit. Anno 1600.& sequenti deprehendit Keplerus aliam no- vam stellam in pectore Cygni quæ multos annos ibidem perstitit,& Hevelio apparuit tertiæ magnitudinis; cvanuit tamen anno 1660 indeque ad annum 1666 latuit, donec in mense Septembri eam denuo conspexit Hevelius nudo ocu- 10, ut stellam sextæ magnitudinis,& quidem in codem lo- co quo fuerit ab anno 1601 ad usque 1662. ö EXx catalogis fixarum liquet plures stellas fuisse à veteri- bus& etiam à Tychone observatas quæ nunc non amplius con — 0 DE MUTATIONEUS TER FENAS. 263 . 9 conspiciuntur. Et speciatim Pleiades vulgo habentur nu- ren ö mero septem at nunc in r 11—5 deen quam sex cerni possunt. Unde Ovidius lib. 3 7⁷ο Fastorum. rcho. Oué septem dici, se tamen esse solent. Clarisimus Montanerus professor Mathematum Bononiæ ahret, literis ad Sociètatem Regiam datis, Apr. 30. 1670. sie 6 fiek seribit. Desunt in cœlo aνπαìς slellæ 244 maguitudiuis in guppi nadισ, usque traustiris, Bayero ę prope canem ma orem uiHra ne Saliie, occasione prie sertim Cometæ Auni 1664 0%sor- 5 Cal vVatæ SG recoguitæ; earum di staritionem Cui auuo dehεeam non l Ty⸗ 20, Doc indubium est Quod die 10. Apr. 1668. ne vestig ium elaum quidem illarum adesse amplius 0hseννσ, ceteris circa éα etiam medum tertiæ& qvartæ maguitudinis immotis, plura de aliarum stel. Oappe⸗ Jarum mutatiouibur plusquam ceutenis at uon tani Ponder is no- MAVIt, Ta Vi. Darens Credibile est stellas has maculis,& corporibus opacis, abat, penitus obsitas& obrutas fuisse;& lucem exinde omnem a- VIA mitisse, quarum proinde Planetarum cohortes tenui admo- 0tem dum reliquarum fixarum luce tantum illustrantur. 1 IL.k. C 1 10 VII. le 0 0 De Motu Telluris annuo circa Solem& circa estimo⸗ proprium Avem,& dù Motu Apparente septen. Hs& cœli inde orto Luhs. Erlustratd cursorie Universali Mundi materialis Fabricd, Biinnrn traditisque quæ de stellis fixis comperta habuimus, ad 3 nostrum Solare accedamus Systema, cujus partes omnes ac- i 0 curatiore intuitu sunt contemplandæœ, nam circa corporum 3 in eo Contentorum motus, motuumque phæenomena præci- bsen pue versatur nostra Astronomia. Mall Et primo à Motu Perræ, domicilii nostri, scil. à nobis Eæor er ipsis convenit ut incipiamus, nam ex nosto motu oritur mo- b0 tus Solis apparens, sine quo reliquorum Planetarum pheno- e em lo: mena, nec explicari, nec computari possunt. Seduostri ö Ostensum est in præcedentibus, Solem nostri systematis Ssea- Vetert corpus maximum& nobilissimum, suique generis unicum, aupius Cehn- capat. 2 (0¹ 266 DEMOTUTELLURIS. centrum occupare, à quo ille undique diffundens radios, Planetarum corpora opaca luce sua illustrat,& calore fovet, atque vivihcat, circa hunc aguntur in orbem diversis Pe- Tellu riodis& distantiis Planetæ omnes, inter quos Pellus nu⸗ 1 0½ 7½% meratur, quæ periodum absolvit spatio unius anni,& in- vtur,& terea circa suum axem vertitur spatio viginti quatuor hora- — interea rum. Cumque distantia Fixarum à FPerra vel Sole sit ad- circa———— I Paam A. modum immensa, respectu distantiæ Perræ à Sole, cadem ren. apparebit cœli stellati facies, idem manebit situs, atque ordo fi- zuemn Xarum ad se invicem, sive è Sole, sive e Terrã, aspiciantur a- e stra. Sed cum corpora omnia longinqua ad cælum referan- tur, Spectator in Sole locatus, videbit Tellurem circulum eie Ter- in cœli stellati superficie maximum, inter fixas describere. 76 Repræsentet S Solem, ABCU) Pelluris orbitam in quà mo- a vetur Tellus ab Occidente in Orientem. scil. ab A per BCD. le spe. Spectator in S Terram in A positam ad stellam Vreferet; garui. cum Terra pervenerit in B, illam juxta stellam in S aspiciet ——.—.—& cum ad C progressa fuerit in videbit, in D vero dela- tã Tellure èe Sole in ꝶ cam spectabit. Et in A periodum per- ficiens rursus in V videbit eam. Hinc si planum orbitæ Telluris ad fixas usque protenda- tur, efficiet in superficie cæli sphærica concava, circulum uem inter fixas peragrare videbitur Pellus, quolibet anno. Eclipti- Circulus hic Eeliptica dicitur,& ab Astronomis in duode- eim æquales partes, quæ signa appellantur dividitur; qua- rum unaquæque nomen sortitur à constellatione quæ tunc temporis, quando nomina imposita fuere juxta illam partem EcVyti. Visa fuit. Partes illæ sunt Artes V, Taur u, Gemini m, cee partes Cancęer S, Lee S, Virgo W, Libra Æ, Scor pio m, Jagitta- anode.-„. α, Capricornur Aqquar ius ν, Piscer x. , E Sole ad Terram transferatur spectator,& ponamus Ter- Motus colis ap. rTam in Clocatam, è quà Perricola Solem observet, is quo- garente que Solem ad cœlum referet,& cum Tellus est in orbitæ puncto C Sol in cælis videbitur in V. spectatorque ille mo- tus annui particeps, Terræ partes omnes in codem ad se invicem situ,& in eadem ab oculo distantià manere vide- bit;& proinde motum illum sensibus percipere non potest ö a DE MOTU TELLURIS. 265 Saadios, ae Solem aspiciens, cum ad D pervenerit Ferra, Solem eHyet, juxta stellam in S Videbit,& eum niter Hxas locum mutas- ells pe: se deprchendet,& ab Vper&& H ad pertransisse, ls nu⸗ D vero ad A progrediens Perra, Sol en cd conspicietur si 3 KM. gna Se&α ercurrisse;& rursus dum semicirculum ABC 0＋ Hora. describit Ferra, Sol per sex signa. L in superfi- e stt 2d. cie cœli sphærica deferri videbitur. Terricola ĩgitur Solem eddem loco revcra immotum cundem in cœœlo circulum describe- cof- re videbit, quem spectator in Sole Perram deprehendet dantura- percurrere. 8. reter. Hinc oritur motus iule apparens Solis versus stellas orien- arechm taliores. Ut si stella observetur prope Eclipticam, una erbere cum Sole oriri aliquod interjectis diebus, Sol magis Ver- u sus orientem promotus videbitur,& stella ante Solem orie- Eer BOD tur, citiusque occidet; sic etiamn quæ nunc post Solis oc- hirmii casum videtur stella, in Ecliptica notabili satis intervallo Aith à Sole distans, post aliquod interjectum tempus, una cum 500 Sole occidet, nec amplius noctu conspicietur: Hunc mo- Um tum motui diurno contrarium, realem esse& Soli revera competentem statuebant Ptolomei sectatores; at illum ap- parentem tantum esse,& ex motu Terrœ ortum hic osten- rotentz Aumielt. Luln Similes quoque motus reliquorum Planetarum Incolæ in Sile 21. Sole observabunt,& unusquisque Planeticola Solem circa dlock. se eundem circulum inter fixas,& eodem tempore, descri- r 2 „ Gl bentem aspiciet, quem idem Planeta, è Sole Spectatus, e, ll in cælo describere videtur, v. gr. Jovis Incola observabit Hartel Solem circa Jovem in orbem agi,& circulum diversum m l quidem à nostra Ecliptica,& per diversas stellas transeun- 2 tem percurrere, spatio duodecim annorum. Eadem ratione& ob similes causas, Sol videbitur ex Sa- Ie turno alium diversum circulum circa ipsum absolvere, spa- —— tio triginta annorum, qui tempus periodicum Saturni com- ebite 2— Cumque impossibile sit, ut omnes hi motus simul —10 int in Sole, nec ratio excogitari potest, cur unus eorum 20 le potius quam reliqui Soli tribuatur; dicendum est, omnes es- Vdde: se tantum apparentes& ex veris motibus Planetarum ortos. Hotel, E Præ- ‚ DI— —..— Teliuvi Poli, Tellaris 7 ＋ Ma-· 2 . TVV Paral- 4 7. „ 97 410rt/ n cireulur. Seusibilis. Nationa- 0 475. TAn. Iy. A. 4 Notatio VLerræ L ½02 ot u adtiurnun appar en- FE Cαli 2 er * 7225 77 8 64 x 22eu 266 D MMO LEELRIS. Præter motum hune Circulationis annuum, Terra etiam circa suum Axem rotatur, ab occidente in orientem,& puncta illa duo in quibus Pelluris Axis ejus superficiei oc- currit, Telluris Poli dicuntur;& si Axis utrinque ad cæ- lum producatur, signabit quoque in cælo duo puncta, qui 52 cœlestes nominantur: unumquodque autem punctum in Lelluris superficie, polis exceptis, ex hujus rotationis na- tura, describet circumferentiam circuli majorem vel mino- rem, prout punctum signatum plus minusve fuerit à polis remotum& poli erunt soli loci in superficie Telluris, omnis rOtationis expertes. Locus autem ille qui designatur à pun- cto, æqualiter ab utroque polo remoto, maximum circu- lum describit,& is Telluris Æquator seu circulus QAqui- noctialis dicitur; reliqui circuli minores paralleli appellantur. Porro si per punctum, in quo insistit spectator, duci intel- ligatur planum Pellurem tangens, ad cælum usque protensum, hoc planum in duas partes cælum dividet,& circulum in il- Io efficiet qui Horiæon dicitur, cœæli partem conspicuam& visu patentem, ab illa infra depressam,& propter Telluris Opacitatem, latentem distinguens. Hic Horizon est proprie Horizon sensibilis, à quo differt rationalis qui transit per centrum Perræ, sensibili parallelus. Hi duo circuli in cælo coincidere censendi sunt, evanescente in tanta distantia i- psorum intervallo, seu Pelluris semidiametro. Cum Werra circa suum Axem rotetur, huic insistentem spectatorem unà cum horizonte suo siinul in eandem plagam (seil. Orientem) rotari necesse est, unde versus ortum po- sita prius inconspicua, retegentur, propter Horizontem in- fra illa subsidentem,& alia versus Occasum abscondentur, Horizonte supra illa elevato;& ideo spectator illa supra Horizontem ascendere sive oriri videbit, hæc infra cundem descendere;, unde& Plagis istis, talia nomina sunt immposi- ta. Hinc provenit motus ille apparens omnium corporum mundanorum, Terræ non adhærentium; quo cœælum omne sidereum& unumquodque in eo punctum præter Polos cir- c⁴a Axem Telluris ad cælum productum ab oriente in occi- dentem rapi,& circulos describere videntur, majores aut NU-· Ird etiam tem,& Hlcièi oc. Cad(ꝙ⸗ , qui ndtumin Onis na⸗ mino⸗ poli „onmhis —a pun. c-a Agi. Iantur. Oihtel Mum, I A& Cllurs 10Hf M per n C¹ Wd DEMOTUTELLURIS. 267 minores, pro majore aut minore ipsorum distantia à polis, qui soli ut poncta immota spectantur.. Licet superficiei Terrestris locus quilibet à qualibet stellã 7 supra Horizontem conspicuã illuminetur, illustratio tamen— à Sole lacta, tanta est, ut Sol præsentiã sud reliquas omnes stellarum fammas extinguat,& diem efficiat; absentia au- tem Solis, ubi is infra horizontem deprimitur, vel quod verius est, ubi Horizon supra illum attollitur, noctem Ell⸗, cit. Cumque Perra figuram Sphæricam& substantiam o- ar. pacam obtineat,& à Sole secundum medietatem superficiei suæ illuminetur, alterà medietate t enebris opertaà manente; circulus ille in Terrà maximus illuminatam Perrœæ faciem a tenebrosa distinguens, Aucio Umbræ Terminator dici po- ι test, ejusque planum erit ad rectam jungentem centra Solis S & Telluris normale. 2 6— Si Telluris Axis ad planum Eclipticæ esset normalis„ π 7e/ Felluris coincideret æquatoris planum cum plano Eclipticæe,& cir- gai, dan culus lucis Terminator in eo casu ů—3 101 per polos transi- ι²ααρι ret,& æquatorem omnesque ejus parallelos in partes œꝗαρ˙— les secaret; adeoque in eoο casii astra omnia una cum Sole anmin tantundem temporis supra Horizontem fierent conspicua, A½. quantum infra eum depressa laterent, diesque noctibus per totum Terrarum orbem perpetuo forent æquales. Verum Axis Perræ non est ad Eclipticæ planum perpendiculariter erectus, sed ad illud inclinatur angulo 66: graduum; nec proinde coincidet planum Æquatoris cum plano Ecli- pticæ. Et si planum æquatoris ad cœlum usque protendatur, effi- ciet in cælo circulum, qui quator seu Æquinoctialis cæ- estis nominatur,& hi duo circuli, Æquinoctialis nimirum & Ecliptica angulum constituunt 23. graduum. Ita verò in suã orbitã progreditur Tellus, ut Axem suum retineat sibi semper parallelum; hoc est, si ducatur linea quæ- vis, axi in quovis ejus situ parallela, Axis ille in omnibus aliis orbitæ suæ punctis eidem lineæ parallelus manebit: nec unquam directionem variabit, sed versus candem mundi plagam continuò dirigetur. Atque hoc necessario fiet 101.2 — TAu. 15. . F. Colurus æHuinc riorum. Colurus Soltitio- ν. 268 1H MOUTL TIEILUNI. si Terra nullo alio motu præter progressivum in orbita pro- pria,& rotatione circa Axem ciatur. Sit enim corpus cu- jus centrum in linea AB feratur,& in A notetur quælibet diameter CD, utcumque ad lineam AB inclinata, si corpus nullum alium præœter progressivum motum habeat, cum ad B pervenerit Diaméeter CD in situ ę priori CD parallelo invenietur, quod si eidem corpori circa Axem C D rotatio imprimatur, omnes ejusdem corporis diametri præter Axem, situs suos constanter mutabunt. At Axis per rotationem il- lam è statu suo non turbabitur, adeoque parallelus, ut prius libi semper mancbit. Hinc constat non opus esse, ut tertius quidam motus Terram exerceat, quo parallelismum Axis sui conservaret, ut quidam somniarunt: ad hoc enim nihil aliud requiritur, quam ut soli prædicti duo motus Terræ imprimantur, nam si tertius nullus eidem insit, Axis necessario erit perpetuo eidem rectæ parallelus, cui semel parallelus erat. Cum planum Aquatoris non coincidat cum plano Ecli- pticæ, hæęc duo plana se mutuo in rectâ lineà secabunt,& communis eerum sectio sibi semper parallela manebit; ob eandem scil. causam, qua Axis Terrœ parallelismum con- servare ostensus est. Sectio itaque illa ad duo opposita Ec- lipticæ puncta semper dirigitur easdemque semper Univer- ＋ 4* 1 partes retpicit. Et circulus in cœlo maximus per Polum quatoris& com- munem illam intersechionem transiens dicitur Colurus qui- noctiorum; sicut alter, hunc ad rectos angulos in polo se- cans, dicitur Colurus Holstitiorum; qui transit per puncta, ubi Ecliptica ab æquatore maxime distat,& tam æquato- rem quam Eclipticam ad rectos angulos secat, adeoque per utriusque circuli polum transit. Quatuor puncta, in qui- bus hi duo coluri Eclipticæ occurrunt, Puncta Cardinalia appellantur, quod Sole in iis existente, quatuor anni Car- dines seu tempestates determinant. Et duæ intersectiones coluri Equinoctiorum cum Ecliptica dicuntur puncta Æqui- noctialia, aliæ duæ in quibus colurus Solstitiorum occurrit Eclipticæ, dicuntur puncta Solstitialia. Aspi⸗ * — V ivi RARA Horizon Sensibilis DE MOTU TELLURIS. 2⁰9 Aspiciat jam ex obliquo oculus orbitam Terræ, cujus re- 5 6. præsentatio secundum leges Artis perspectivæ erit ligura Ova lis seu Ellipsis, in quà medium tenet Sol S, per Solis centrum ducaturrecta V S communi Sectioniæquatoris& Eclipticæ parallela, Eclipticæ in duobus punctis&κ CCurfcls;& cum Fellus in utrovis horum punctorum invenitur, recta illa E quæ Solis& Perræ centra conjungit cum communi plano- rum ectione coincidit, eritque perpendicularis ad Aëem Ter- ræ,utpote est in plano æquatoris, sed& cadem recta est perpen- dicularis ad Planum circuli terminatoris lucis& umbræ, adeo- que Terrœ Axis, erit in plano ejusdem circuli& circulus termi- nator per polos Terræ transibit,& æquatoris parallelos omnes in partes æquales secabit. Perra igitur Iuitium tenente, Sol videbitur inyVcommuni sectione plani æquatoris cum plano Ec., lipticæ, adeoque videbitur in circulo&quinoctiali cælesti, e neque declinabit ad polum Boreum aut Austrium sed inter 24714 utrumque medius æquinoctialem circulum motu diurno appas rente describet,& in hoc situ illustratio Terræ à Sole facta ad utrumque polum A& B pertinget,& parallelos omnes, uti di. ctum est, æqualiter dividet, locusque Lerræ quilibet qui motu diurno æqualiter circumvectus parallelum describit, tamdiu in tenebris quam in luce manebit, hoc est, per totum Terrarum orbem dies noctibus æquantur. Unde circulus quem illo die dol describere videtur, æquinoctialis nomen estadeptus. Terrã motu annuo paulatim versus ad σdelatâ, sectio p‚anorum æquatoris& Eclipticæ sibi semper parallela manens non amplius versus Solem dirigitur, sed in facit cum linea SPjungente Solis& Terræ centra angulum rectum. Cumque unea illa S P non sit in æquatoris, sed in Eclipticæ plano, An- gulus BPS, quem cum eo facit Axis Perræ non erit rectus sed 4½ acutus 66. graduum æqualis, scil. inclinationi Axis erræ ad Ta Planum Eclipticæ. Fiat angulus SLrectus,& circulus lucis πιπ Terminator per punctum L transibit,& arcus BL, seu angu- 5 lus BPL, erit 23; graduum, æqualis scil. complemento anguli BPS ad rectum. Fiat angulus BPE rectus,& recta PE erit in π æquatoris plano, unde ob arcum BE æqualem arcui LL, as. æquali quadranti, rit ablato communi BT, arcus TEæqualis 1 13 LB. Tropici . Cireu li Solares. 2768 ie* Gd. CI sient rwwuse 7 602 ＋— 2 Hhucne- vsimi. 27⁰ DEMOTUTELLURIS. LB, æqualis 23 gradibus. Fiat EMæqualis ET,& descri- bantur per T&M paralleli æquatoris duo MN, TC. Hic di- citur Tohieus Cancri S, ille Tropicus Capricor ni ν& Ter- rãà in hoc situ existente, Sol super punctum Terræ T per- pendiculariter eminet; ubi maxime ad Boream ad æquatore declinat,& circulus, quem tune temporis motu diurno de- scribere videbitur, super circulum C directe eminet& pro- inde Tropicus S cælestis dicitur. Et propter revohutionem 4 7 diurnam circa Axem stabilem omnia paralleli C puncta per idem punctum T transibunt,& Soli directe obvertentur, tunc Sol in meridie fiet verticalis omnibus habitatoribus pa- ralleli TC. Dumque Tellus hanc positionem obtinet, ma- nifestum est, circulum lucis terminatorem ultra Polum Bo- realem B pertingere in L,& citra Austrinum A desinere in F; Per L&F describantur circuli æquatori paralleli, cir- culi illi Polares dicuntur, ille Cticus hic Auntarcticus. & Pelluris Tractus polari Arctico KL inclusus, non obstan- ti revolutione diurna, continua in luce versabitur perpetuo- que die fruetur; ę contrario, quæ circulo Antarctico con- cluditur Terræ portio, continuis tenebris& nocte involxe- tur. Patet porro, cujuslibet circuli æquatori paralleli, in- ter hunc& polarem Arcticum interjecti, partem majorem in luce versari, cujusvis autem qui æquatorem& polarem Ant- arcticum interjacet, partem majorem tenebris obvolvi,& quidem partes illæ majores erunt aut minores, prout circu- I ab æquatore magis minusve distant. Itaque in illo Tel- luris situ, cum Sol in S apparet, Borealis hemisphærii in- colis longissimi fiunt dies, noctes brevissimæ, adeoque il- lis erit æstas. Australis autem Hemisphærii incolæ noctes habebunt longissimas, dies brevissimos,& Hyemis frigora sentient. Et quidem cujusque loci longiores erunt dies longissimi, & breviores noctes brevissimæ, prout locus ille ab æquato- re remotior est. Vidimus etiam ex omnibus parallelis so- lum æquatorem circulum utpote maximum, secari in partes æquales à terminatore lucis, adeoque incolæœ, qui in&qua- tore degunt, soli habebunt per totum annum dies noctibus æquales. Pro- ö „Ccdelcn. PC. Hie d. „&Tet⸗ 1A T＋ Per- Kcbatore diurno de- met& pro- OHtonem duncaper Wrerterr, Atorlbus pa⸗ Chrnet, wa. Dohm Do. A defneen allel, c⸗ II3 FArsHt. non chla ur pemem aCHIO C e iwohe aralel, M mayoremn V Arem Ant ohνον,& rout ccu- i.illo Le Mpherũ u „Woqhe neolæ noc mis go 1 E. MO N E. N 271 XX VVIEAi—2 RN 1 22*— 1 Procedente Perra à& per ν ad ν, quo tempore Sol gna S&& m peragrare videtur, Sol paulatimversusæqu- torem revertitur,& cum ad pervenerit Terra, Sol vide- tur in& ubi communis intersectio æquatoris& Eclipticæ sibi parallela manens per Solem transibit,& tore cælesti conspicietur, ubi rursus dies noctibus æquales efficiet, pari modo quo factum est dum VJerra erat in,& in eo denuo situ circulus lucis terminator per polos transi- bit, adeo ut polo B quo Tellus reliquit, nimirum per semestre spatium perpetua fuit dies, quippe qui in luce ver- sabatur, sicut A polus semestri premebatur noctu. Terrã porro per signa V& H motâ Sol interim per m&* apparenter incedens paulatim ab æquatore versus austrum declinare videbitur,& Terra reverà in S existente Sol inter fixas in videbitur. Et cum Axis B A non mu- Appareu- zece cun St e- *„H Duncio ½0αιινπνα- tiali Au- unnali. taverit inclinationem, sed sibi parallelus, manserit, afpe-.657 ctum& positionem respectu Solis, Terra habebit, omnino sunilem ei, quem obtinebat dum occupabat. Sed cum hàc differentià, quod cum circulus KL, dum Terra te- nebat, una cum tractu Terrœ intus contento totus fuit in luce, jam Perra in S existente totus tenebris tegitur. Et Oppositus FG jam totus est in luce qui prius tenebris fuit in- vVolutus. EXx parallelis inter æquatorem& polum B, arcus illumi- nati seu diurni minores funt tenebrosis seu nocturnis, cujus contrarium prius acciderat; ex alteris versus polum Ajacen- tibus parallelis, arcus diurni jam sunt majores nocturnis, 124 10⁴ cujus oppositum accidebat in priori Perræ positione. Sol quoque verticalis factus erit Tropici MN habitatoribus,& descendet versus austrum a parallelo TC ad parallelum MN per arcum CꝰN 47 graduum. Hinc Sol in quolibet ultra tropicos versus alterutrum polum loco altius ohservabitur in meridiano, seu propius ad verticem accedit per 40 integros gradus una anni tempestate quam in opposità, atque Hœc omnis mutatio non proticiscitur ex eo, quod Perra depri- mitur aut elevatur, sed contra ex eo quod nusquam depri- mitur, nusquam elevatur, sed eundem semper retinet situm D⁰ 2 AUyj½ Mypuncto HUiti 7˙ her ve. / pro- Pidi] cedit aιι Derzicenmn 5* rihus 1l- era Tropi- c⁰s Herꝗ7. integr V 2 radus IVnd aiss: 56 mpes- TA＋ an ½. Quomo- 40 5 œEe omnia ciulinre- præseu- teatun. Axi E- clipticæ. Polus E- clipticæ. 2)j2 DE MOTU TELLURIS. & statum respectu Universi, Solem tantummodo circumiens, qui positus est in medio fere istius orbitæ quem describit Verrœ centrum motu annuo. Hœc Omnia oculis fient manifesta, si in loco obscuro ac- cendatur candela, quæ Solem repræsentet,& Globus com- paretur, cujus diametet sit duorum aut trium digitorum in quo signentur poli, æquator, ejusque paralleli aliquot,& meridiani; deinde ita tencatur Globus, ut ejus Axis non fiat ad Horizontem(qui hic loci Eclipticæ planum refert) per- pendicularis, sed ad illum aliquantulum inclinatus; deinde primo in eo situ ponatur Globus, ut Polorum unus plagam cœli Boream respiciat& lumen candelæ ad utrumque Polum exacte pertingat, hoc est circulus lucis& Umbræ termina- tor per Polos transeat;& probe notetur Axis positio, seu plaga mundi ad quam dirigitur; tandem Circa candelam in Circulo horizonti parallelo, ita feratur Globus, ut Axis ejus eandem plagam scil. boream semper respiciat;& tunc vide- re licebit flammam candelæ eodem prorsus modo illuminare Globum, Polos, æquatorem ejusque parallelos, quo Terra à Sole reverà illustratur,& eadem prorsus conspicientur Phæenomena, quæ prius de Sole& Terra declaravimus. Phænomenis ex vertigine Terræ ortis, similia observari possunt ex alio quovis Planeta circa Axem ratato. L. ęr. cum Jupiter circa Axem suum vertitur spatio decem hora- rum; Jovis incola videbit cœlum omne sidereum& Terram nostram una cum Sole circa ipsum eodem tempore motu ra- idisimo revolvi. At cum Jovis Axis ad planum suæ or- 1155 sit normalis, circulus lucis Terminator semper& ubi- que per polos transibit, unde in Joye dies nochbus sunt per- petuò œquales,& Jovis incola uniformem per totam perio- dum sentiet temperiem, nec æstatis calores aut Hyemis fri- gora pertimescet. Si per Telluris, Solisve centrum(perinde enim est, cum bæc duo puncta è cælo stellato spectata coincidere videntur) erigatur recta ad planum Eclipticæ perpendicularis,& ad cæ- lum usque producatur; dicitur hæc linea Axis Eclipticæ, punctumque quod in cælo offendit erit Eclipticæ 61 u —.———...—.———...—88——.———— Lcumien, W Celcriht bIcoAe. bscom. onm N Quot,& Sponfat ert)per- Cehde PEHam ebohm termina⸗ 10, Ku mm in Ves Vde- Wware Terra Centur Müb, Hervatt . gr. N hora- Kxram W᷑üL- ue Cubi Intpel⸗ Dell: Mmöft. „Cum entur) adcæ- llit“ Plus. Qud DEMOTUTELLURIS. 273 Quod si per hunc Polum,& quaslibet stellas, traducantur Grculi maximi, erunt ex natura sphæræ omnes ad Eclipti- cam perpendiculares. Et secundarii Eclipticæ seu Latitu- dinum circuli nominantur. Et Arcus ejusmodi circuli in⸗ ter stellam quamvis& Eclipticam interceptus, dicitur istius stellæ Latitudo, seu distantia ab Ecliptica. Sicut Arcus Eclipticæ finter initium V& cjus intersectionem cum Secun- dario per stellam transeunte dicitur Longitudo stellæe. Similiter si per polum Lelluris seu quatoris& quælibet. loca in superficie Lelluris traducantur circuli, erunt ommes ad Æquatorem perpendiculares,& secundarii quatoris nominantur; Locorum vero respectu Meridiani dicuntur, quia cum Sol in Plano alicujus Meridiani videtur, incolis 1b illo Meridiano degentibus fit Meridies. Arcus secunda- rii inter locum quemlibet& Æquatorem interceptus dicitur 0oct Latitudo quæ est distantia esus ab Equatore. Et arcus Aquatoris interceptus inter sectionem cjus cum Mquatore, & punctum aliquod in Æquatore ficum dicitur locι Longi- tudo. L CR0 VIII. De Variis alhis Phauomenis eν motu Terræ Penden- Fihus. um Terra cirea Solem ita feratur, ut ejus Axis sibi semper parallelus mancat, necesse erit ut Axis ille di- Vertis armi temporibus, ad diversas fixas dirigatur;& stella seu punctum cœli quod directè supra Polum terrestrem mminet in æstate, in hyeme non directè eidem Polo in- cumbet; sed punctum, cui hyeme dirigitur Axis, à prio- re distabit intervallo diametri orbitæœ Terræ. Sit enim ACBD orbita Terræ, in cujus centro sit Sol S, cum Perra est in A, axis ejus dirigitur ad stellam E, quæ directẽ supra Polum imminet, at cum ad oppositum orbi- tæ punctum B pervenerit Perra, Axis in positione priori parallela, non ad E dirigitur sed ad aliam stellam F, quæ dua f& distabunt à se invicem intervallo&quali A B dia- 93 5 x 7 7 Aenr ＋ V— 18 11—5 IAI mtro Orbite Telluris„Angularis autem seu oblerva 2** Securda- rii Eoeli- pticæœæ. Srellæ Latita- 40. Lougitu- d stellæ. Loci V titudo. Loci loua Ctads. Terræ Aais Aes bert ad dter/ 15 &α divensis auni renepori- Ous airt 2 TAB. Ty. VE. 6. 27⁴4 DE VARIIS PHAENOMENIS larum distantia erit angulus EBF, cui æqualis est angulus AEB per 29. El. I. qui est angulus sub quo videtur dia- meter Orbitæ quam orbem Magnum appellant Astronomi, 22 E Fixa E conspecta. Angulus H1e EBFH vel AEB Paralla- magnt WIO O Oie magni dicitur& si is Observari poterit, daretur fi- Cuid? X&œ E distantia à Terra, respectu Solis distantia ab eadem. Nam in triangulo EAB datur angulus E, æqualis EBF Observatione seil. noto; datur etiam angulus EAB, qui in æquinoctiis est rectus, in Solstitiis autem est æqualis incli- nationi Axis Perræ ad planum Eclipticæ,& universaliter est ubique æqualis complemento declinationis Solis. Un- de dabuntur omnes anguli& latus AB,& proinde per Tri- gonometriam innotescet latus AE distantia Fixæ. Parall. Verum tanta est fixarum distantia ut angulus ille EBF ru, Ecuisitissimis instrumentis vix deprehendi potest;& qui ei viæ oh. investigando quam maxime insudaàrunt, semper uno minu- to primo minorem invenerunt; Et cum in tam parvis angu- Iacerta lis capiendis, error facile admitti potest, qui error in com- est fxa. puto maximas distantiarum differentias producet, istiusmo- ue di. di Observationibus vix tutò fidendum erit. Nam si cum stautia. Flamstedio Parallaxis observata 42 secundorum statuatur, & error in observando admissus sit 25 secundorum in exces- su peccans, qualis error haud facile vitari potest, distantia fixarum plusquam dupla erit ejus quæ ex Observatione pro- dit. Et si minus accurate factæ fuerint observationes, ita ut intra minutum primum non consistant(quales pleræœque sunt) in immensum à se invicem,& a veritate discedent distantiæ, ex talibus observationibus computatæ. Axis Huc usque posuimus, Axem Pelluris positienem stabi- 2 lem& perfectum parallelismnum semper tenuige, neque a- ervar lium habuisse motum quam illum quo circa Solem in or- exactum bem motu annuo defertur. At ex plurium annorum obser- nn vationibus deprehenderunt Astronomi, Axem illum a paral- Ielfmo paululum deflectere, motu quidem lentissimo, ita ut aberratio à parallelismo intra duos tresve annos facta vix sensibilis evadat; plurium tamen annorum decursa satis no- tabilis invenitur. Adeoque dum Phæenomena— 5—0 Xhli- ————=2„.————...S..— Tangalz letir d honomi, Pua. urttur f. bedlem. EBE 3„ Ain Ais mel. Werlͤlter E Un⸗ Per In. EEHT auiei 0 Hial- Meom⸗ Abolro⸗ M Mahiatur, ercel Gttanta Oe P0 Heõ/ 1⁴ Nerague icecent M ab necber mi0. motte⸗ E. I5 . M ⁰ Ho. 0¹⁰¹⁵ Iun bybl. EXTELLURIS MOTUORTIS 25 explicanda erant, de tantillà aberratione omnino tacendum fuit, utpote quæ Phænomena tradita minime turbaret, quæ tamen temporis progressu sensibilis invenitur,& directionem Axis mutari vidimus quamvis cjus inclinatio ad planum Ec- lipticæ immutabilis mancat. Unde Telluris Axi necessa- rio competit alius quidamn motus cujus modus hic exponen- dus est. Sit linea DCH portio orbitæ Telluris, sitque centrum TAnrE. Terræ in C,& e C erigatur recta CE ad planum Eclipti- c& normalis, superficiei cæli occurrens in E, recta(E est Eclipticæ Axis& punctum E Polus Eclipticæ. Sit C ½ E p Axis Terræœ, qui ad cælum productus signabit in superficie Aæis. cœli punctum P Polum cælestem seu Polum mundi, circa quem sidera omnia motu diurno revolvi videntur. Per E & P traducatur circulus maximus EPA, Eclipticæ occurrens in A; hic circulus cum transit tam per Polum Æquatoris quam Eclipticæ Polum, erit ad utrumque circulum rectus & arcus PAmetitur angulum PCH inclinationem Axis Per- ree ad planum Eclipticæ quæ est 66, grad. unde erit arcus EP cus complementum ad quadrantem 23. graduum,& arcus ille metitur angulum ECP, quem Axis Terræ facit cum axe Eclipticæ. Polo E per P. deseribatur circulus minor PFG qui erit Eclipticæ parallelus,& cum A- xis Terræ eundem semper facit cum Axe Eclipticæ in- mutabilem angulum scil. 23: graduum; Polum mundi P in peripheria circuli PFG semper locari necessę est. Quinet- iam si eandem quoque directionem immutabilem retineret Axis, quoties Terra in orbite suæ puncto C invenitur, Po- Do lus Mundi in puncto immoto P semper conspiceretur; ve- rum observatum est Polum in peripherià PF G locum con- 1 3 tinuo mutare;& Axis Terræ qui prius ad P dirigebatur, άι post septuaginta& duos annos ad punctum Q dixigitur uno Wd gradu à P versus anteriora remotus, ita ut Axis Telluris si- Zelgrt ve mundi motu conico feratur seu describat superficiem Co-“ ni cujus vertex est Lerræ centrum C&basis circulus PFG; Et Polus P semper fertur in peripheria PEG motu lentissi- mo,& retrogrado, sive ab Oriente in occidentem,& pe- ö Mm 2 riodum 27⁰ DE VARIIS PHAENOMENIS riodum absolvit in peripheria PEG non nisi post 25920 an- nos, post quod tempus Polus à stella in P digressus ad eun- dem rursus dirigitur. Atque hinc sequitur stellam in Pquæ hodie cum Polo coincidit, post 12960 annos(semiperio- dum nempe motus Poli) per integros gradus 4)7 ab eodem ö Polo dimotam ire scil. cum Polus est in G. 52—— OCirculus maximus EPA, cum transit per Polos tam Ec- 6leνt, lipticæ quam æquatoris, erit ad utrumque circulum per- Salsitios pendicularis. Ac proinde est colurus Solstitiorum,& Ecli- um. pticæ punctum erit Solstitium seu punctum Eclipticæ omnium maxime ab æquatore declinans; cum Axis Perræ productus pervenerit ad situm CO, si per Polos Eclipticæ E& æquatoris Qducatur circulus maximus EO, hic cir- culus erit ad utrumque circulorum, Eclipticæ nimirum& Aquinoctialis, perpendicularis; adeoque Axe Terræ hunc situm tenente, erit circulus ille EH colurus Sol- stitiorum,& B erit Solstitii punctum, adeoque semper u- Paiae na cum Polo regredientur Solstitia,& quidem&qualiter. Foldigia- Nam cum motus Poli in peripheria PFG fuerit PQunius lia recre. V. gr. gradus, erit AB regressus Solstitii unius quoque gra- diuntur. dus sunt enim arcus BA( cum sint paralleli) sirmi⸗ les. Puncta Hinc Solstitii puncta à stellis fixis continuo recedunt, 2 adeo ut si punctum Eclipticæ Solstitiale sit hodie juxta stel. lam A, post septuaginta& duos annos Solstitium erit in B egua umno gradu à stella versus occidentem dimotum. Cum ita- a quèe puncta Solstitiorum continuo regrediuntur, necesse erit Froce- dun. ut puncta æquinoctialia omniaque reliqua Ecliptica puncta simili& æquali motu retrocedant, quippe quæ à Solstitiis dato intervallo distant. Nempe cum inter puncta æqui- noctialia& Solstitia ο gradus semper interiacent quando Solstitia per unum gradum regressa fuerint, necesse erit ut tantundem retrorsum ferantur æquinoctialia puncta; alio- quin non maneret eadem semper distantia corundem à se in- IIius ia Vicem. Puncta itaque æquinoctialia cum omnibus reliquis e Eclipticæ punctis continuo regrediuntur, qui motus dicitur 2, feri in Aalecedentia, seu ad occidentem& contra seriem si- 5 gnorum, —— AIA SSS. IFF 5920 ah. dad eun. nb qlæ Miperio. ebdem am Io⸗ im per⸗ &Ec Cgtcæ Ter Cagti Hio cit- um& Tehræ 580M1 der u. atter. Wns Wege 5 0 unt 14 stel Mi Aeeit Dun Ots 0 uundo elit u Ao⸗ asein⸗ chau detur Lem r Horan EXTPEILLORIS MOTUORTIS. 277 orum, sicut alter motus, quo Terra& Planetæ oπmes feruntur circa Solem ab occidente in Orientem dicitur ficri in Con sequentia, siVe juxta ordinem signorum ab Vad, &C. Motus ille Æquinoctiorum retrorsum dicitur eorum Præceso qua in præcedentia scu antecedentia signorum se- runtur. Cum stellæ fixæ immmobiles maneant,& retrocedat com- munis sectio quatoris& Eclipticæ, necesle est ut fixarum distantia à punctis æquinoctialibus continuo mutetur,& stel- læ ab iisdem punctis versus Orientem magis quotidie promo- veri videantur; unde ipsarum longitudines quæ in Eclipti- 3 ab initio Arietis sive intersectione Eclipticæ& auato- ris vernali Computantur, continuo crescant,;& fixe Omnes videntur ferri in consequentiâ signorum non quod revera in Orientem moventur, sed quod contrario motu regreditur punctum æquinoctii Vernalis, à quo stellarumn longitudines mitium ducunt. Hine fit, quod constellationes omnes mutaverunt loca, que tenebant dum à primis Astronomis observatæ fucrunt; onttellatio Arietis, quæ tempore Hipparchi prope inter- ectionem Eclipticæ& Æquatoris vernalem visa fuit, eidem- que Eclipticæ portioni nomen suum communicavit, nuncç ab eãdem digressa in signo Tauri commoratur sicut& Pau⸗- ri constellatio Geminorum sedem occupat, Geminique in Cancrum promoti sunt,& Cancer Leonem cx sede epu- sit,& hic Virginem e loco detrusit. Ita ut unaquaque cOn. stellatio ex illo tempore è suo in proximæ transivit Iocum. Quamvis autem Constellationes è& locis migrarunt, Eclipti- cσ tamen portiones seu Dodecatamor iæ quas tempore Hip- parchi tenebant sidera, nomina ab isdem sideribus designa- ta adhuc retinent; at ut distinguantur, Portiones Eclipticæ vocantur signa Auastra, Constellationes vocantur signa stel. Vata. Veteres quidam Astronomi sectiones Eclipticæ& Aaqua- toris fixas& immobiles statuebant, at quoniam stellas ab Mutus in — 90 qucutia. Præcè ssio 4/6in 96 7⁰um. Puncto- rum a- quinocti- 5 alium moutus in Anεedge- dentia, esicit muotum Fixarum apρane n t7em in couse- quentia. Constel- lationès Eclipticæ miltauhe unt Lo- &. hisce punctis distantias continuo mutare Observarunt, Flxa- rum sphæram supra Polos Eclipticæ lentissimno motu VOlubi- 1 lem- Annus Maguus Qatd? Motus ILerrasæ- 7⁰⁴⁰ 201115 non est. stas oαι Aie- hu] lomn— giur Hĩjye- im. Appa- reus Go- 1¹⁵ 2 meter major Weme quamn æstate. 278 DE VARIIS HENOMENIS lem posuerunt. Ita ut stellæ omnes circuitus in Eclipticâ aut cjus parallelis absolvant spatio 25920 annorum Post quod tempus Fixæ ad pristinas sedes restituentur. Quod TPemporis spatium, quod ætatem Mundi quinquies superat, Annum magnum vocabant, quo demum finito res omnes codem ordine renasci voluerunt. Præcessionum æquinoctiorum Causam Physicam ante Neuwtonun Astronomorum nemo vel conjecturâ assequi potuerit; at ille perpensis motuùs& Gravitatis legibus, e Higura Lelluris spæroidic motum illum oriri demon- trayit. Et figura sphæroidica ex vertigine Terræ ortum ducit. Quamvis TFerra ita circa Solem motu annuo feratur 3 qualibus semper temporibus periodos absolvat, motus ta- men cjus in suâ orbitã per totam periodum, æquabilis non est; sed nune gradum accelerat, nunc remittit; in aliqui- bus orbitæ suæ locis velocius incitatur, in aliis remissius; adeoque motus apparens Solis in Eclipticà uniformis non erit; nequeę ille quidem conspicitur æquam Eclipticæ portio- nem singulis diebus describere; æstate nostrã segnius incedit, hyeme incitatius ferri videtur:& tanta quidem est motuum disferentia, ut locus ejus in Eclipticà aliquando antècedat duos sere gradus, locum quem teneret, si æquabili motu. latus esset, aliquando per tantidem spatium ab eo deficiat; Præterea Sol observatur in sex signis Borealibus diutius com- morari, per octo integros dies quam in sex Australibus, adeo ut ab Æquinoctio vernali ad autumnale sunt dies 1845, quo tempore unam Eclipticæ semissem motu apparente de- scribere videtur; at ab Æquinoctio autumnali funt tantum dies 178½5 quo tempore alteram Eclipticæ semissem& signa Australia Sol videtur percurrere. Oblervationes quoque ostendunt diametrum Solis apparentem tempore Hyberno, ubi motus ejus est velocissimus, majorem esse quam in æsta- te, ubi Sol tardissimus incedit. Et differentia quidem tan- ta est, ut Hyeme ubi Sol maximus apparet, videtur sub angulo 32& 47, at&state ubi minimus, ejus diameter est 3*. — Eclptis umn, Dost COodd saerat, Somnes amm ante Aegui bls, e dEmon- rtum tur, ut Otüstz. 15 0 gu. Hus; ⁰0n oorto⸗ Loedt, Otuum 66edat motu. Halat, SCom Ubrs, 1 Ite de MUMm In dogde O, Eta⸗ mn tall. tur lub Ete z. EXTEILCRIS MOTU ORIIS. 279 31. 40%, que differentia minuto major est, adeoque lon- gius debet abesse æstate quam Hyeme. 0 His Phænomenis ut satisfacerent quidam Astronomi, or- bitis circularibus pertinaciter nimium adhærentes; statue- bant quidem Tellurem in peripherià circuli æqualiter moveri, & æquales angulos circa centrum æqualibus temporibus de- scribere; at Solem non in istius circuli centro locari suppone- bant, sed extra in determinatà à centro distantia statuebant. Sit Circulus ABCD orbita Terræ, cujus centrum E atque Aras Sol sit in S. Cum Terra est in A, Sol videtur in puncho &cum ad B pervenerit Perra, Sol in S conspicictur;. autem delatâ Tellure, Sol signum tenere aspicietur;& ＋. dum Pellus ab A ad Cpervenerit, Sol unam tantum Ee- 3 lipticæ medietatem motu apparente peragrasse videbi-— tur; alterum autem Eclipticæ dimidium motu apparchte percurret Sol, dum Perra orbitæ suæ portionem CDA descri- het. Et cum arcus ABC arcu CDA major sit, liquet Solem plus temporis impendere debere in percurrendo Eclipticæ femissem VS quam alteram illam V. Præterca cum Ferra in B longius à Sole distet quam in D,& si motus e- jus foret æquabilis, è Sole tamen illius motus conspectus inequabilis aàpparebit, in B tardissimus, in D velocissimus, sed huic motui æqualis est Solis motus apparens Pellure visus, Unde causam reddere facile est, cur Sol æstate nostra lentius incedere, in Hyeme autem gradum accelerare vide- tur. Atque ita motum Solis vel Terræ inæquabilem Obser- vatum non realem esse& Physicum, sed opticum tantum & apparentem statuebant,& exinde oriri quod Sol non in centro orbitæ in E, sed extra in Slocatur,& contendebant spectatorem in E Terram uniformi motu semper deferri vi- Morur plectebantur. Apud eos enim tanquam indubitatum inva- v er- luit Axioma, motus omnes cælesles in se æquabiles esse,& — 9.—„ 47—** reαρrd Cr- orbitas perfecte circulares. At cum accuratiori ⁴*mum cαπ πι lea 227 ———.———FeF.N·.— 28⁰ DE VARIIS PEHENOMENIS lestes motus subjecit Magnus Keplerus, observationibus Tychonis Brahei innixus; Axioma hoc motibus Planeta- rum veris non congruere deprehendit. Et certissimis ra- tionibus ab co ostensum fuit, motus Planetarum veros nec este in se æquabiles, nec eorum orbitas esse perfecte circu- lares. Observationes enim testantur, idque ultra omnem Plaueræ disputationem, Figuram orbitæ Planetariæ esse Ellipiin, si- Ve Ovalem,& a Circulo deficientem, motumque Planetæ Elaghes. in hac EIlipsi inæqualem esse& pro distantiâ suà à Sole in- tendi,& remitti. Ellipsis autem est linea curva, quam Geometræ transver- ½% se Conum vel Cylindrum secando repræsentare solent. At ejus natura sequenti descriptione tyronibus melius innote- scet, quam ex cylindri aut coni sectione. Concipiantur duo Ta. 1C. Pali scu paxilli plano defigi, alterum in puncto H, alterum si. 4. in puncto G,& filum capiatur, quod duplicatum nexis extremitatibus, longitudinem quamvis distantia ꝑaxillorum HG majorem adæquet; illudque filum paxillis circumpona- tur,& in fili duplicaturà immisso stylo palosque circum eundo& filum semper eadem vi adducendo ut scil. illud æqualiter intendatur, linea curva D K B in plano designabi- tur, quæ erit Ellipsis. Et si non mutatà longitudine fili pali tantum HG aliquanto propius ad se invicem adducantur, alia denuo Ellipsis describetur, sed alterius specici quam prior,& ad circuli formam magis accedens,& si adhuc Propius admoveantur Pali, alia itidem habebitur EIlipsis, postremo si conjungantur paxilli, Ellipsis in Circulum mi- grabit. Puncta H& G, ubi Pali figuritur, dicuntur Elli- Hai sen Pseos Foci seu umbilici& Bisecta HG in C, punctum C erit Zxlilet Centrum Ellipsis recta DK per socos& centrum transiens& //½%%% 2— Elihiees utrinque in Ellipsi terminata, dicitur Axis Ellipseos. Hinc —— ———2 — π— 4 — —.— ör.—.—..———e—— apparet si e aliquo puncto in Ellipsi pro arbitrio electo ver- bi gr. B, agantur ad focos duæ linee BH, B G, has duas lineas simul junctas EIlipseos Axi æquales fore, seu longi- tudine fili, dempta H G distantia focorum. Sol non in Ellipseos centro seu puncto Axis medio, sed in focorum alterutro, locatur,& Axis EIlipscos AP 4. ** 15 Vationibmz Planetz tiumis 1a. Veros nec Ede ccu. 14 Omem Lipia, f. e Phhetæ EE Etranfrer⸗ Olent. At Innote Intur duo „ Alterum um nexis Rillorum mponr e Cram cil. A0 delgadt fli R Nucantur, Ci Wl adhuc Elipts; lum mi- ur EIl. N ent siens 4 , EIls chict⸗ V Gs Dng. 10 led sur U⸗ EXTELILURIS MOTU CRIIS. 281 linea sdum, N fumma Apsis seu Aphelium, P 2⁷—. 7 700 eu Beribelium;& SC distafitia inter Solem& centrum E e, lipseos, Excentricitas dicitur: si ex centro ad axem erigattm.. (E Ellipsi occurrens in E& ducatur SE, herc linea dicitur.. Distantia Planetæ media à Sole; æqualis cil. semiaxi e 194.—— CA vel CP, quæ est media Arithmetica inter maxmam& 2e minimam Planetæ à Sole distantiam; verum in orbitis pla- Hadan- netariis Ellipsium formæ à circularibus parum recedunt, ita— ut in orbita Terræ forma Ellipseos talis est, ut Excentrici- tas SC sit tantum partium fere 17 qualium distantia media E SE est 10⁰0⁰0, estque excentricitas dimidia tantum pars istius tricitas quam posuere Astronomi, qui Terram in circulari orbita ite Terræ deferri contendebant. Paalis. Planeta in Ellipseos perimetro fertur, non quidem motu 9755 anete quabili, sed có ratione, ut radius à centro Solis immobili 410 ad planetam ductus,& motu angulari latus verrat seu de- gualis. scribat, Aream Ellipticam tempori proportionalem 77 75 sit Plancta in A, e& quo in quavis temporis Particulâ ad E perveniat,& Area quam verrat radius Sole ad Planetam e e- ductus sit ASB; si deinde Planeta sit in P& ducatur recta 2aasuer SD talis, ut Area PSD sit œqualis Areæ AS;&qualibus tem-. poribus percurret Planeta arcus Ellipticos AB, PD, qui qui- dem erunt inæœquales;& in initio motus quam procime 111 ratione distantiarum à Sole reciprocâã; Nam ohæquales arcas tanto minor erit arcus AB arcu PD, quanto AS altitudo Arœa ASB est major PS, altitudine Arcæ PSD. Eæec omnia à Sa- gacissimo Keplero in Commentariis de motibus stellee Mar- tis abunde demonstrata sunt, atque huic ejus sententiæ o- mnes jam subscribunt Astronomi, cum alia nusla sit quæ phenomenis satisfacit. Circuli arcus, vel angulus, vel A 44 rea A8 tempori proportionalis dicitur aumolia Planetœ 5e Ale. media. Sicuti Angulus ASG cum Planeta est in G, dicitur aia. ejus Auamolia vera: at si Planetæ motus ab&quinoctio ver- Anamo- nali computetur, seu ab initio Arietis; Matur jus is Lon. vere. gitudiuem dicitur, estque vel medius, qualis esset si Plane- Macus in ta motu æquabili orbitam circularem percurreret, velverus, e. qui est motus Planetæ reverà competens,& nunc accelera- Nn 2—7 282 DE VARIIS PEENOMENIS. Deter- tur, nunc retardatur, pro vatiâ distantià Planetæ à Sole. Hac ratione determinare licet locum Planetæ in sud orbi- vetc jn tũ Pro quolibet tempore ex quo Aphelium reliquit. Nem- Ia erbi. pe ita dividatur Area EIlipseos rectà SG, ut fiat tempus 20. Periodicum Planetæ ad tempus datum, ita Arèa totius El- lioscos ad Aream A8SG,& erit G locus Planctæ quæsitus. Methodos autem varias tradiderunt Geométræ, quibus El- lipsis Area in datâ ratione secanda est, de quibus in proprio 10cο erit dicendum. , Cum in æstate Perra longius à Sole distat, Hyeme pro- re Terrã Pius ipsi accedat, mirum fortasse videtur recedente Sole, 7%eι. Perram magis incalescere, Hyeme autem, cum propius So- lor ma I: or Ve. Ii adstamus, ingravescere frigora. At sciendum est, quod caloris& frigoris inerementa non tota pendent ex distantia Solis, sed alieæ potentiores concurrunt causæ, ad harum qua- litatum mutationes producendas. Nam primo directi radio- rum impetus fortiores sumt quam obliqui; Hyeme autem ob- lique admodum Solis lucem recipimus, cjusque potentia non tantum ideo debilitatur, sed etiam quia pauciores in da- tam fuperficiem agunmt Radii, quo magis Oblique ipsis Ob- jicitur superficies. Præterea Hyeme, radii Solares obliquius incidentes magis crassum aëris corpus pervadunt,& longio- re itinere per aera feruntur quam æœstate, quando directius meidunt; unde radiorum vires plures aëris particulas offen- dendo, magis franguntur quam in estate. Atque hinc ratio patet cur Solem in Horizonte possumus sine Oculorum da- mno contueri; quem cum altius ascendit oculi ferre non possunt. Die. Est& alia potentior causa quæ tempestatum varietates in- Zee, AMucit: nempe, notum est quo diutius corpus HI00 du- Len rum& solidum, igni objicitur, eo magis id incalescere at calirem. in&state per sedecim continuas horas Solis ardori Obhici- mur,& per octo tantum horas ejus absentiam persentimus; cujus contrarium Hyeme experimur, unde non mirum crit tantas his tempestatibus oriri caloris& frigoris ditlerentias. Cum Solis potentia maxima sit quando ejus radii sunt di- rectissimi atque dies longissimi, videtur nos debere maxim 10 calo- .—— . Wte L0le m sud eih hut. Ven. itfet tennt a wöels E. Cte quelds „QuihosE. im progis „Hyemesr. edente He, mpropilsor um et, gund tex dt Charumqu. drecti al neautench e potent Habores n Iaue ipso HesObIH M, E I9 ectls v OHen Rinc Lrun erfe Ion Etats Hr u0dl- 11 Hhi et rumer reltas. um d. naams (do⸗ EXTELLURIS MOTU ORT 18. 283³ calores sentire cum Sol Tropicum OCcuPAE A tempo⸗ re propius ad verticem accedit, ejusque radii directiùs, at- que diutiùs nos eriunt; quotannis tamen epeνν⁰n¹αr calo- rem æstivum post digressum Solis à Tropico crescere,& an- num maxime fervere circa finem mensis Julii, cum integro lere signo à Tropico distat S80l. Ut hujus rei causa reddatur, observandum est actionem Solis, qua corpora calefacit, non esse transeuntem, qualis est Cjus illuminatio, sed permanentem, a ut COTHU semel a Sole calefactum, post ejus absentiam per aliquod tempus ca- lidum maneat, scil. particulæ Calorificæ éę Sole in corpus Cale factum continuo recipiuntur, que per aliquod tempus Cidem inhærent,& in ipsum agendo calorem excitant, au- fugientibus autem istiusmodi particulis frigescit corpus, ui- de si plures recipiantur in corpore particusæ calorificæ quam aufugiunt, istius corporis calorem continuo crescere necesse erit. Verum in præsenti casu, post adventum Solis ad Tro- picum, numerus particularum aerem& Terram nostram ca- lefacientium contimnuo crescit, adeoque augebitur sirnul ca- Ior. Ponamus v. r. die, lucente Sole, centum tantum par- ticulas calorificas intra corpus aliquod admitti,& nocte, cum ea sit die brevior, istarum tantum quinquaginta aVola- re, aliis quinquaginta manentibus; proxima die eùdem fere vi agens Sol alias centum particulas cidem corpori immittet, quarum non plures fere quam dimidia pars nocte evadunt, adeoque initio tertii diei muncrus particularumꝰ calefacien- tium centenario augebitur; dum itaque plures die recipiun- tur particulæ, quam nocte aufugiunt, calor necessario cre- scet; at decrescentibus diebus,&noctibus crescentibus, fiet tandem, ut plures absente Sole effugiant particulæ quam die recipiuntur, quo fit ut calor contimuó minuetur, trige⸗ scetque Terra. . 1. De Lund efusaue Phasthus& Motu. Una corporum cælestium omnium, si Solem excipias, plendidisliune lucens, ad Perram nostram proprie per- NII 2 tihet, E. I. TAx 15. bet 1 declarare. Sit S Sol, TTerra, RTS portio S DE LUNA. tinet, cujus est assecla& indivulsa Comes. Adeo quidem in vicinià Perræ semper commoratur, ut è Sole spectata, nunquam arcu decem Minutis primis majore à Tellure disce- dere videretur. Sed terræ perpetuo juncta, ipsique quasi satelles data, una cum cã revolutionem anmuam circa So- lem perficit,& interea etiam in orbita circa Tellurem IPPa- tio menstruo periodum absolvit. Planetæ primarii Solem ut Centrum Motus atque Rectorem respiciunt,& nunc longiffme à Terra digrediuntur, nunc ad eam propius ac- cedunt. Luna tanquam terrestre corpus in nostra viciniã Proprià propensione seu gravitate detinetur; ejufque vi à motu rectilineo eontinuo retrahitur,& eirca terram revolu- tionem perficere cogitur, spatio viginti septem dicrum, ho- rarum circiter septem. Varias continuo Luna subit PBEases, Varias induit formas, adeo ut nultibormi ambage semper torqueat eontemplantium ingenia, crescens semper, aut se- neseens, modo curvata in eornua, modo æquã portionè di- visa, modo sinuata in orbem, mox fulgens orbe pleno, ac deinde repente nulla; alias pernox, alias sera, deficiens, & in defectu tamen aliquando conspicua, uti Plinius nota- Vit, jam vero fit humilis, jam excelsa, nunc in Aquilonem clata, nunc in Austros dejecta, quæ singula deprehendit primus Enaymion, ob quod eum amore Lunæ captum fuisle tama traditur. Est autem Luna corpus sphæricum, Terræ instar, sca- brum, opacum,& densum; Solis luce, non sua, re- splendens; Sol quippe Fons luminis, perpetuo dimidiam corporis Lunaris partem, quæ ipsi obvertitur, illuminat, dum altera aversa a Sole medietas, tenebris obvolvitur; Lunæ autem superficies à Perricolis spectabilis, est ea quæ Lerræ obvertitur, adeoque pro vario Lunæ respectu Solis Terræque situ, variæ videntur Lunæ illuminationes,& Luu- minis vicissitudines;& nune major, nunc minor, aliquando nulla illustratæ faciei pars, ex Terra videtur,& aliquando etiam tota Terræ obvertitur, quæ ut melius intelligantur, li- rbitæ Telluris, quam motu amuo circa Solem i 5 DE LEUNÆ PHASIBUS. 285 BCDEFGEH orbita Lunæ in qua seilicet circa Tellurem fer- Motus tur spatio menstruo ab Occidente in Orientem; qui motus 14½π manteste oculis Observari potest, si enim Luna una cum cidea- Stella aliqua ad Meridianum appellat, postero die serius quam Stella Meridianum attinget, minutis temporis circiter 47,& à Stella Orientem versus 13. gradibus recessit; connc- Cantur Solis& Lunæ centra rectis SL,&per Lunæ centrum transeat planum MI A, cui recta SL sit normalis, planum il- sud effieiet in superficie Lunari circulum, qui erit Vuc Umheæ& fiuitor. Illuminatam scilicet faciem à Tencbrosa di- HeHai- stinguens; eodem modo jungantur centra Perre&. I rcctis LL., quæ sint normales ad aliud planum PLO, etiam per Lunæ cemtrum transiens. Planum illud efhiciet in Lunæ superficie circulum, qui Lunæ Superficiem à Lerra specta- bilem ab aversa& inconfpicua dividet, qui itaque c⁴ιìcùπι¹⁰ns vistonis dici pote Hine patet primo, cum Luna est in situ A, puncto suæ Cralas orbitæ Soli opposito, quod coincidat circubas Lucis finitor aμ. cum circulo Visionis,& tota Lune illustratæ facies Lerræ Obvertitur,& à Terricolis videtur, in quos casu Luna ι-.. na, pernbe, Pie itunium nominatur,& respectu situs ad So- em dicitur esse in oppositione; cum scilicet è Terra, Sol Luna & Luna in oppositis cœæli punctis videntur. Cum ad B per-. venerit Lund, illuminatus semicirculus MPN totus Terræ 4, non obvertitur, sed pars M ë conspectu nostro fsubducitur, adeoque illuminatio spectabilis à circulo deficiet,& Luna gibbosa apparebit, PHasilque erit ea, quæ in figura 2. Tab. XVII. per B notatur: Luna ad Cperventa, augulus CIS Lans est rectus,& illuminati disci MPN, pars media à Perra εαι¹. videtur,& Luna dimidiata apparet, ut in C, fig. 2.& Bisecta seu Dichutoma nominatur: in hoc situ Sάι& Luna 29.75 ee circuli à se invicem distant, diciturque Luna es- se in Aspectu Quadrato seu in Quadratura: Procedente Lu- nà ad D faciei illuminatæ MPN, pars parvya PINPerræ ob- vertitur;& Disci ONP qui Terræ obvertitur, pars maxi- ma ON tenebrosa manet,& proinde o Lunæ figuram sphæ-, ricam& apparenter planam, illustrata pars veluti in cornua. „ cur- vahμι ιι. ———— 286 DE I. UN PHASIBUS. curvata videbitur ubi circulus lucis finitor,& circulus vi- sidnis in angulos coeunt, ejusque Phasis è Terrà spectata ap- parebit ut in D. Tandem Lunaà ad situm F progressà, nul- la illustratæ faciei pars& Perra videbitur, sed obscura& te- nebrosa tota Terræ obvertitur, tuno Luna dicitur esse in conjunctionꝰt cum Sole, cum scilicet Sol& Luna in eodem Nvila-. Ecclipticæ puncto videntur, in quo fit hακιομunium, Noo. nium. nenie seu Iuterlunium Ubi Luna ulterius ad F promovetur, corniculatam seu falcatam figuram rursus induit,& ante quidem novilunium, cornua in Occasum spectabant,& nunc post novilunium, in ortum tendunt: cum Luna ad G pro- Vehitur,& in aspectu cum Sole quadrato venit, bisecta & dimidiata apparet,& in H Gibbosa,& ubi ad A denuo pervenerit, rursus pleno fulget orbe. Elonva-. 21 Lauæ Centris Solis& Lunæ ad Terræ, centrum dicitur Elanga- 4Jale. rio Lunæ à Sole,& arcus MO illuminati semicirculi MON pars illa, quæ Terræ Obvertitur, quique est mensura an- guli quem circulus Lucis finitor& circulus visionis efficiunt, est ubique quam proxime similis arcui EL Elongationi Lu- „ ne à Sole, seu quod idem est angulus. STL est quam pro- ů0—— xime æqualis angulo MLO, quod sic demonstro produca- 71. tur SLũutcunque in X,& erunt anguli LL, MI.Sæquales, utpote uterque rectus est; sed anguli OLS& PLX& sunt æ- quales, ad verticem enim sunt, quare demptis æqualibus, erit angulus MLO æqualis angulo TLX, sed angulus TLX xternus est& œqualis duobus internis& oppositis triangu- Ii SLIL, scilicet angulus 8LL.& TSL.; erunt igitur hi duo anguli æquales angulo MO sed angulus ISL exiguus ad- modum est,& cum maximus, hoc est in quadraturis non decem minutis primis major, nam tantilla est distantia Lunæ à Terra præ Solis ab eadem distantia, ut angulus ille ad So- lem evanescat,& pro nullo haberi possit; est itaque angulus MLOæqualis angulo STL&arcus MO similis est arcui EL. Semicirculus OMP, cum ejus planum per oculum transit in rectam OP projicitur, seu in Lunæ disco, ut recta OP apparet, at circulus Lucis finitor, cum Obliquè& n de- Arcus EL, seu angulus STIL, contentus rectis ductis è echatz V Leldd, nul cur 4& te- Wbele in IWeodem M, Maa. Dopetur, Cante „Cluhe 46po. „bie Adendo Iucts é 2 HOV 13 Ml⸗ Cuht, MUI- müo⸗ roducæ Muales, lunt æ bus, IIX angt- HICu0 5d. 11⁵ 0l Wang 400• allas LI. Hanltt 630⁰ 1AM DE LUNE PHASIBUS. 287 detur, in Ellipsin projicitur; atque hinc data Elongatione Dalfac. Lunæ à Sole, facile exhibetur Phasis, sub qua Luma tunc temporis apparet. Repræœsentet circulus CObpP Lune di- 7/ Aatd cum ë Terra spectabilem, OP rectam in quam projicitur ½½. semicirculus OMp, hanc ad rectos angulos secet alia dia-. meter BC,& posito LP radio, capiatur LE æqualis Co- Van. 17. sinui elongationis Lunæ à Sole,& a Majore BC&. E· 3. miaxe minore æquali LE, describatur semiellipsis BEC, ab- seindet illa ex lunari disco partem illuminatam BFPCPB Terra spectabilem. Cum posito L radio, LF sit cosinus Elongationis Lu- uanti- ne à Sole, erit PF finus versus ejusdem Elongationis; Est- Te que BEC linea(quæ tenebrosam Lunaris disci partem ab teren Muminata dividit) semiellipsis, cujus axis major æqualis ι½ν. est Lunæ diametro, semiaxis autem minor æqualis est Lu- 9180 nœ semidiametro diminutæ sinu verso Elongationis Lunæ à—— Sole. Sit jam OBPC Lunæ discus Terræ Obversus,„ BFC semiellipsis illuminatam disci partem à tenebrosa dividens; ducatur quevis recta GH1N Axi minori Parallela,& ani majori occurrens in M, Ex natura Ellipsis& circuli, erit LP, ad LE; ut MG, ad ME; adeoque per divisionem ra- tionis LE ad PF ut EM ad GH,& duplicando antéeceden- tes PO ad PF ut GEN ad-GH; idem de alia quavis recta N Axi minori parallela demonstrabitur, adeoque per 12 Elementi 5, ut PO ad PF, ita omnes GN ad onmes GH. Sed omnes SN faciunt Lunæ discum Perræ obversum,& ½mnes H faciunt partem disci illuminatam, adeoquè eri PO ad PF seu diameter circuli ad sinum versum elongatio- nis Lunæ a Sole, ut totus Lunæ discus ad partem ejus illu- minatam. Elinc illustratio quolibet tempore à Luna facta est d ejus illustrationem maximam tempore plenilunii, ut sinus versus elongationis Lunæ ad circuli diametrum. Sicut Luna luce Solis reflexa Terram illuminat, sic& Terra plus quam par pari referens, vicislim solarem lucem reflectendo, Lunæ superficiem multò majore luce siquidem cum Terræ superficies sit quindeciès cireiter major inat. lunari, si Luna& Lerra æque in reflectendo polleant, hec GUIIL Terra ju- ＋ ce refñe- V Lu: pertundit, gam illa- —.—.. 0 — —.— ESISISSIIII un — 288 DE LUN PHASIBUS. quindecies plus lucis ad Lunam remittet, quam ab illa ac- cipit. Et Lunicolis quindecies major apparet Terra, quam nobis Luna videtur. In novilunis illustrata Terræ facies tota Lune obvertitur,& tenebrofam Lunæ superficiem lu- Ce illustrans Lunicolis Peniterreum efficit. Hinèe oritur lu- cula illa, quæ in Lunà nova veterique præter argentea cor- Wa apparet, reliquum Lunæ discum, tenebrosum licet, conspicuum exhibens. Cum autem Luna ad oppositum So- lis pervenerit, Terra èë Lunâ in conjunctione cuιm Sole vi- detur, ejusque tenebrosa facies Lunæ oObvertitur, in quo situ è Luna videri nequit, sicuti in noviluniis nos non vi- demus Lunam,& ut verbo dicam, Phases Perræ éë Lund conspicuæ peër omnia sunt similes iis quæ à nobis in Luna ob- servantur. Quamvis Luna Terram circumeundo, orbitam suam de- scrihat spatio dierum 27. horis circiter septem, quod tem- pus enses pertodiene appellatur, tempus tamen quod impendit Luna, dum ab unà conjunctione cum Sole ad proximam per- venit, quod Men sis(nodicus, seu Lunatio dicitur 5 mense Pe- riodico majus est. Nam dum Luna in proprià orbità perio- dum absolvit, interea Tellus ejusque comes Luna, cum suã orbita circa Solem eundo, integro fere signo versus Orientem promotæ sunt,& punctum Orbitæ quod in priore situ, in recta centra Terræ& Solis jungente jacebat, nunc Sole pau- 10 Occidentalior est, adeoque cum Luna ad illud punctum nerit, nondum in conjunctione cum Sole invenitur. Herve 81 enim AB portio orbitæ Pelluris, Perra T, S Sol, ACL orbita Lunæ,& cum Terra est in J sit Luna in Lin conjunctione cum Sole,& dum Luna 25 I. digreditur, or. bitamque propriam I0D describit, Lellus interea per arcum P': defertur,& cum ad venit, orbita Lunæ situm J⁴ar Obtinet, punctumque Orbitæ L erit in recta 7, priorĩ TPIL parallela, unde patet ad. diventa Lunâ„eam totam or- pitam percurrisse, sed nondum ad conjunctionem cum Sole pervenisse, sed opus esse, ut ulterius progrediatur Luna,& quam Solem assequatur;& cum arcum Im describat, priusq SOle.& IKrar 1 58 1 20 6* Luna orbitam absolvat diebus viginti septem, horis circiter se- . mab 12 2 rra, quam ettæ His Herfcim I. W Orur l- Wehtezchr. rofum it, Positund.. um dobft mur, u 0 U05 Nc er e Li MLunch m fam d- quod ten. dimpendt aimampe mensel- bitä pei 4, Cuml Ouenten e Itu, in Hole pau Dundtum venitar. E nLI Tur, Pl ltum l Wli Hole a/& umn drelter e 5 I. U NA. à hoc tempore describet arcum ＋T viginti septem circiter graduum, cui sumilis est arcus M, Ob an- gulum It M æqualem angulo MSL, at vero Ous est ut majore arcu quam MLuna describat,(ob motum Terræ interea factum) priusquam ad conjunctionem cum Solèe per- veniat, inde fit ut Lunatio tota seu Tempus ab uno novi- unio ad proximum, non nisi diebus 29, horis Circiter duo- decim compleatur,& separetur Luna à Sole dietim angulo graduum 12& aliquot minutorum, qui motus Sole diur- nus nuncupatur. 2.95—8 Si planum orbitæ Lunaris coincideret cum plano Eclipti- cœ, hoc est, si Orbita Lunæ circa Perram,& Orbita Ler- e circa Solem, in eodem jacerent plano, semita motus Lunæ in cœælis è terrâ visa eadem esset, quæ est motus So- lis apparens, seu eundem omnino circulum, Eclipticam nempe, quem Sol spatio unius anni conficere apparet, Lu- na mense quolibet percurrere videretur; verum orbitæ Eu- naris planum non oincidit cum plano Eclipticæ, sed se mu- tuo intersecant hæc duo plana, in linea per centrum Perræ transeunte, eorumque inclinatio angulum quinque circiter graduum constituit. Sit A B portio orbitæ Telluris ITerra, circulus CDEHT Lunaris orbita, cujus centrum est centrum Terræ T„dem centro T describatur in plano orbitæ Telluris, circulus CGH, cujus diameter æqualis sit diametro Orbitæ Lunæ: Hi duo circuli cum idem habeant centrum, in recta per Terram transeunte se intersecabunt,& Lunaris orbitæ medietas una CE D supra planum circuli CGHattolletur in Boream, al- tera medietas D F C deprimetur in Austrum, recta CD com- munis circulorum intersectio Linea nodorum dicitur,& an- guli C& D Nodi dicuntur;& quidem nodus C, ubi Luna alcendit supra planum Eclipticæ versus, Boream nodus 4. scendene& caput Draconis nuncupatus,& brevitatis causa sic notatur; alter nodus D, ubi Luna in Austrum descen- dit, Noαuε desceudeus& aude Draconis nominatur, cujus ignum est&& si. Linea nodorum immobilis esset, hoc est non alium haberet motum, præter illum quo circa Solen 0⁰ ler⸗ septem, Terr Luna in Eclipti- ca non movetur. TäB. 17. fia: y. Linea nodorum. Nodus a scendeus. 7. ö Nodi modven- tur motu retregra — 40. Latitudo Lanæ. Circuli Latitu- Adinum ai? Luna in orbitd Elliptica modei ur. 143.17. Hg. 6. Apogeon Lunæ. Perige- 93. D E A. UNA trertur, ad idem Eclipticæ punctum semper dirigetur, ut- pote sibi semper parallela manens, sed linea Nodorum con- tinuo situm mutare deprehenditur,& ab Oriente in Occi- dentem contra seriem signorum motu retrogrado fertur, cir- culumque absolvit spatio annorum fere novemdecim Post quod tempus nodus utervis ab aliquo Eclipticæ puncto di- gressus, ad idem redit, seu in eodem quo prius Eclipticæ gradu è Terra videtur. EX dictis constat Lunam non nisi bis in qualibet periodo in Eclipticà videri, scilicet cum in nodis versatur„IN Aliis orbitæ suæ locis nune magis nunc minus ab Eclipticà dista- re, prout nodorum alicus remotiorem aut propriorem esse contigerit; maxime autem ab Ecliptica distat Luna cum est in E vel E, quæ media sunt à nodis puncta;& Limites vO- cantur. Distantia Lunæ ab Ecliptica ejus Latitudo voca- tur, hanc metitur arcus circuli per locum Lunæ in cælo trans- euntis,& ad Eclipticam perpendicularis, arcus inquam ille inter Lunam& Eclipticam interceptus, metitur Lun ab Ec. liptica distantiam; seu Latitudinem,& idcirco tales Circuli adEclipticam perpendiculares Circuli Latitudinum dicuntur, &Latitudo Lunæ, cum maxima est, ut in E vel F,&qua- lis est quinque gradibus cum octodecim minutis primis, est- que illa Latitudo mensura angulorum ad nodos. 1. TPIOX. ä De Inaquulitate motuum Lunarium, de Lunæ facie, qusque Montibus& Vallibus. Stronomorum observationes testantur, Lunæ distantiam à Terra multum variari,& nunc propius nobis acce- dere Lunam, nunc longius recedere; hoc ideo fit quod Lu- na non in Orbita circulari, circa Terram fertur, sed in El.- lipticà, qualem repræsentat figura ABPD, cujus focorum al- terum tenet Perra,& Axis Ellipseos major AP est linea Apsi- dum; TC Excentricitas, Punctum A summa Apsis vocatur Abogeon Lunæœ, ubi scilicet maximè à Terrà distat, Pun- ctum P ima Apsis, ubi maximè ad Terram accedit, Peri. geon nominatur. Et si orbita Lunæ non alium haberet mo- tum W — — ——— —.— —— ＋ 0 DE INE QUAL. MOTUUMLUNAR. 292 tum præter illum, quo circa Solem fertur, Axis Ellipseos sibi semper Parallelus maneret,& ad idem cæli punctum semper dirigeretur, ad quod cum pervenerit Luna eandem semper à Terra Asantiam obtineret; sed Linea Apsidum est etiam mobilis sicut Linea Nodorum,& motu Angulari cir- ca Terram fertur, secundum seriem signorum seu ab Occi- dente in Orientem, circulum absolxit heg linea,& ad eun- dem situm redit annis fere novem. Motus Lunæ ejusque orbitæ multiplici afficiuntur inæqua- ltate; nam Primo cum Lellus Aphelion tenet, ubi unaà cum Luna longissunè à Sole distat, motus Lunæ aliquantulum Iregaa- acccleratur; Tellure autem ad Perihelion delatà, ubi pro- in. imèe ad Solem accedit Luna, aliquantulum retardatur ejus Zh. motus; unde fit ut minore tempore Luna suam orbitam per- curret, breviusque fit tempus Periodicum Perra Aphelion tenente, quàm cum eadem in Perihelio versatur,& menses Periodici neutiquam sint inter se æquales: 24.: Luna in Sy- zigus id est, cum est in linea quæ jungit centra Solis& Terræe, cœæteris paribus celerrimè moyetur; in Quadraturis tardissimè. Tertid pro varia distantià Lunæ à Syzigiis, hoc est ab conjunctionè seu oppositione, ejus motus inæquabi- lis redditur, motus enim in primo mensis quadrante, sive pergente Lunã a conjunctione ad quadraturam proximam re- tardatur, in secundo acceleratur dum tendit à Quadratura ad oppositionem; in tertio retardatur rursus;& in quarto iterum acceleratur; hanc inæqualitatem in motu Lunæ, primus deprebendit Tycho,& Variat ionem Lunæ appellavit. Variatio 4%. Cum Luna in Ellipsi moveatur, cujus umbilicum te- net Terra, circa quam Areas describit temporibus propor- tionales, oportet Planetarum primariorum more, ut in A- pogeo suo tardius incedat, in Perigeo velocius feratur. 5% Orbita etiam Lunæ est continuo mutabilis,& ejusdem Orliis non eadem manet species, aut figura, sed excentricitas nunc 708. 2 augetur, nunc minuitur,& maxima quidem est cum linea dat Apsidum est in Syzigiis, hoc est cum coincidit cum rectà quæ αì,7 centra Solis& Perræ conjungit; minima autem cum hanc i. rectam normaliter secat;& differentia inter maximam& mi-. 0⁰ 2 nimam 292 DE INERGUALITAT E nimiam excentricitatem tanta est, ut illa semissem Excentri- citatis minimæ superet. nimmn 6⁰0. Ipsum Apogeum Lunare inæquabili fertur motu; quan- Ls do enim est in Syzigiis um Sole progreditur, in quadratu- feriur. ris regreditur,& progressus& regressusilli non sunt&quabiles, sed Lunã in quadraturis versante tardius progreditur, vel for- san etiam regreditur, in Syzigiis versante Luna, Apogeum celerius progreditur. Jeαntimo Nodorum motus retrorsum est minime æquabilis, nam nodi in SVigiis positi penitus quiescunt, dum vero quadratum ad Solem Obtinent aspe- ctum, velocissime in Antecedentia feruntur. Harum omnium inæqualitatum causas, primus& solus detexit sagacissimus Neuwtonus, easque secundum leges Mechanicas ex Theoria Gravitatis oriri demonstravit. Mi- rum videtur, quod etsi Luna sit corporum cælestium omnium nobis maxime propinqua, ad eam tamen accessus patet ma- xime difficilis, cum non sine multo labore& longis annorum observationibus illius irregulares excursus investigari possunt. Solus in Lunà motus æquabilis est ille, quo circa Axem Luna æ. suum rotatur, in eodem præcise tempore, quo circa tellurem zualiter periodum absolvit, undè fit ut Saden fere sui faciem Terræ HV3area 1•* aren Ostendat, sed ea ipsa æquabilitas causa est apparentis inæquali- suum ro- tatis quod Luna videtur e Perra super Axem suum nunc ab or- n. tu in occasum, nunc ab occasu ad ortum paululum librari,& partes quædam in limbo occidentali Lunæ per quoddam spa- tium modo recedunt, modo accedunt, quædam antea visæ oc- cultantur, ac deinde rursus in conspectum veniunt, talisque motus Libratio dicitur; oriturque ex motu Lunæ inæquali Zihratis. in perimetro Ellipseos; nam si Luna in circulo moveretur, cujus centrum teneret Terra,& circa axem spatio temporis Periodici rotaretur, ejusdem meridiani Lunaris planum sem- er per Terram transiret,& eadem ubique Lunæ facies Teurer Obverteretur; at cum Luna in Ellipsi feratur, in cu- jus umbilico seu foco locarur Perra,& conversio Lunæ circa Axem æquabilis est, seu quod idem est, datum quod- libet Lunare meridianum angulos temporibus proportiona- les describit, illud planum non ubique per Terram bit. it a ᷑OTUUM LUNARIUN. 293 6 Sit enim ALP orbita Lunæ, cujus focum tenet: Raanln t un.& cum Luna est in Acjus meridianus MN productus per Ter·* RauN ram transeat; si Luna in orbita absque conversione lata esset, —ꝗ idem meridianus MN sbi semper Parallelus manena& cum „ir Luna ad L pervenerit, meridiamus MN esset m situ POad MN ö z3iiä Parallelo, verum per rotationem Kquabilem, Meridianus MN 21. situm mutat, angulosque describit temporibus proporfion 1 les,& tempore Periodico quatuor rectos absolvit, unde erit rn u situnILn tali, ut angulus QI sit ad rectum, ut tempus quo 0 Luna confecit arcum Al- ad quartam partem temporis perio- dici, sed tempus quo Luna confecit arcum AL, est ad quartam GW artem temporis periodiciut area L ad aream ACLcili- aum es cet quartam partem Arcæ Ellipseos, undè erit angulus QL an M. ad rectum angulum, in adem ratione; est autem arca Wn major area ACL, unde angulus QIL2 recto major erit, sed est aet Me. angulus QLT acutus, major itaque est angulus QI angulo Horun QLT, adeoque Meridianus MN, cujus, planum cum Luna fuit Dauunt. mAper Perram transibat, nunc Lunâ adL. delatà versus Ter- 2Mn ram non dirigitur, unde constat Lunæ Hemisphærium in I E Whurn Tellure visum aliquanto esse div ersum ab hemisphærio, quod amTen WPFerra videtur cum Luna fuit in A/ partesque ultra Qnunc l retegi, quæ prius Luna in AEexistente fuerunt inconspicuæ. At Wncabor cum Luna ad Perigeum pervenerit: in temporè Meridia- heal 92,& nus MN(Emicirculum absolvit, rursusque ejus planum per Per- amsha- ram transibit, ut eadem Lunæ facies E Tellure conspiciatur, I quæ prius in A Visa fuit; hinc patet hanc Lunæ librationem bis le in quovis mense periodico restitui, scilicet cum Luna est in A- pogeo& Perigeo. 45 I 40 di Lunæ superficies tersa& polita esset, ut in speculis, illa non Lunæ su- lucem undequaque reflecteret, sed Solis imaginem exiguam e. umn admodum instar puncti splendidissimè micantis, tantum osten- 23350 1i deret, verum sicut in corporibus terrestribus, sic in Luna A- 5 115 spera& scabra est cjus superficies, qua fit ut lucem solarem h undequaque dissundat& Corpora TFerrestria illuminet. mow. At non tantum inequalis& alpera est Lunæ superficies, E: mon- n sed altissimis montibus profundislimiique vallibus tota blr 0b —• taj nam si nullæ in Luna extiterint eminentiae sve partes re m 0⁰ 3 li. Demon- Vi Fatur Mari in Luna 7asεαg3. dit in phasibus Lunæ decrescentihus In Luus lumine subducuntur. Præterea multæ znentes Cã vern. Ceome- rα Pos⸗ sant monges Lauuares metirs. 294 DE MOTIBEUS ET VALLIBUS. liquis altiores, linèa recta in Dichotomia reliquis Phasibus, semper disterminaret confinia lucis& um- bræ. Verum si tubo optico alpiciatur Luna, confinium iHud in nulla regulari linea, sed dentatum serratum multisque anfractibus intercisum àPParet. Quin etiam in tenebrosaà Lu- næ facie, partes aliquæ à confinio non multum distantes cer- nuntur Solis Luce illustratæ: Et die circiter quarto post no- vilunium in tenebrosa Lunæ facie quædam Cuspides lumino- se, tanquam scopuli aut Parvæ insulæ, apparent, quæ non multum à confinio illustratæ& tenebi osæ partis distant; 2- liæ item dantur illuminatæ parti adhærentes areolæ, paula- tim formam figuramque cum lumine crescente mutantes, do- nec parti illustratæ omni ex Parte annectantur,& cum locis Vicinioribus lumine Pprorsus imbuuntur. Mox quam plurimas iterum noyas in illa tenehrosâ Parte ori entes cernimus,& in locum antecedentium succedentes. Contrarium autem 4CCL „ubi lucidæ areolæ dhærent, paulatim a. „aut Elliptica in que nunc confinio& parti illustratæ à velluntur,& confinio relicto diutius tamen conspiciuntur, quod imposlibile foret, nisi areolæ illæ essent partibus reli- quis altiores, ut Solis lux illas stringeret. Puncta itaque illa, extra lucis confinium micantia, sunt cuspides& verti- ces præaltorum montium, quæ cum altiora sunt quam reli- qua loca vicina, citius à Sole illustrantur, seriusque ab ejus nigricantes maculæ in parte illuminata conspiciuntur, quæ sunt ingentes cavitates seu cavernæ, in quibus cum Sol illas oblique irradiat, ejus- que lux limbum externum tantum attingit profundiores Par- ts obscuræ manebunt; at Sole ascendente plus lucis hau- riunt,& quo altius super illas attollitur Sol, eò vallium um- bræ magis se comprimunt, brevioresque evadunt, usque dum Sol punctum attingit verticale, quo tempore totam illustrat cavernam, umbrã penitus cVanescente;& prædictæ valles æque clare ac montium vertices conspiciuntur; immo multo illis lucidiores. Lunæ itaque superficies Præruptis montibus profundissimisque vallibus ubique scatet. Montes Lunares nostris Terrestribus longe excelsiores de- pre- LUNARIBUS. 2095 Elite prehenduntur; possumt enim Geomcetræ horum altitudinem— Actscum. hacratione metiri. Sit Hemispheriu m Lunæ illustratum E60, 0— anlum ilu ECD Diameter circuli lucis& Umbræ E m—— 5956 mutiche montis, ubi primo illuminari inceperit. Oblervetur Tele- ebroe u. scopio, vel Micrometro, proportio recι AE, ad Luna dia- Hanttzger metrum ED;& quia ES tangit Eunæ uoeret 261 4 o pottro. erit AEC triangulum rectangulum per 16 El. tertii. Adco- es umho. que datis AE,/ EC, dabitur CA„exX qua subductà CB, 95—5— „WEn 1CE, restabit BA altitudo montis Quæsita, v. gr. dltam, Ricciolus quarto die post novilunium, se observasse montem ian He Vat harinæ illuminatum, ejusque distantiam AE a limite E, Dah ni consueto illuminationis, fuisse diametri 1084 99 7 2 am Cimam sextam, seu semidiametri partem octavam: 2 L Dhrh, EC sit partium 8, crit EA harum 514 una, an 5, Gn quadratum lateris EC erit 64, ad—— ade dann 5 ratum 9 lateris AE quod est 1,& per 47. El. priemi, habebitur—00 izin. dratum hypotenusæ AC æquale 65 cujus Radix Quadrata e Ke 8, 062 œqualis AC; unde dempta BC=8 erit AB altitudo montis æqualis o, O62,& est CB, vel CE ad AB ut 800, ad 62, 1 adeoque cum semidiameter Lunæ sit milliarium circiter 182, b* si fiat ut 8000, ad 62, ita 1182, ad quartum, qui erit 9. Altitudo igitur hujus montis novem milliaria adæquat, est- C¹. que altissimis nostris montibus triplo celsior. ö ml. Qui Lunæ vultum Telescopio contemplari velit, cernet il. H Dehs lam mirabili varietate distinctam; Quædam enim partes splen-„ 4 len didissime lucent, quas quidam philosophi Rupes Adaman- riasate wittes tum esse prædicant, alii Unionibus vel Margaritis eas assimi- Adincta. lant, quæ partes videntur montes partesque solidas Lunæ re- espat. præsentare; at alie interim partes, αque non paucæ, nec hal. parvæ, tanquam maculæ obscuriores,& nigri coloris appa- nun rent, quæ Maria, Paludes,& lacus, esse suspicati sunt philo- Ia Luna usale sophi. Verum partes has obscuriores, quas maria appellant, Otan revera non esse liquidas exinde constat, quod si melioris no- dldx tæ Telescopio inspiciantur, innumeris cavernis, seu cavitati- mmo bus vacuis(umbris intus cadentibus) constare deprehen- Upis duntur, quod maris superficiei convenire nequit: quocirca maria esse non possunt, sed materià constant minus candican- esde- tte Ee πϰνπ⁷ιπ — 296 DE MONTIBUS LYUNARIBUS. ö te quam est ea, quæ in partibus asperioribus conspicitur; intra has tamen partes quædam vividiore lumine Rent 3 cæterisque antecellunt. Sed neque nubes ullæ, undèe plu- Nulle viæ generantur; si enim essent, viderentur nune has, nunc raue. illas Lunæ regiones obtegere, atque visui nostro occultari, quod nunquam contingit, sed in Lunâ perpetua apparet se- N renitas. Præterea nec videtur Luna, Atmosphærâ donari; m nam Planetæ& stellæ prope ejus marginem siti, nullam patiuntur refractionem. Adrens. Lunæ faciem(qualem eam exhibent melioris notæ Te- n lescopia) accurate depinxerunt Astronomi Selenographi 7h Florentius Langrenus, Joannes Hevelius, Maria Grimaldus, — 97 325& Ricciolus;& splendentes quoque partes annotaverunt, & quo melius distinguantur, Iis nomina imposuerunt. Lan- gremuis& Ricciolus regiones Lunares inter Philosophos a- liosque insignes viros distribuerunt, quælibetque pars nomen celebris cujusdam Philosophi, vel Mathematici, accepit. At Hevelius veritus, ne de divisione agrorum lites inter philosophos orirentur; Ditiones Lunares ab omnibus eri- puit,& Geographica nostræ Telluris nomina in Lunam transtulit, nullo habito ad figuram aut situm respectu. n N. De Solis& Lunæ Deliquuis, seu de Eclipsibus. Ilhil est in Astronomiã, quod miram humani intelle- dAus solertiam, acremque ejus perspicaciam magis stendit, quam defectuum Solis& Lunæ clara explicatio; & accurata prædictio, qualis apud Astronomos habetur. Subtilis quidem est hæc nostræ scientiæ pars, sed tamen cer ta& indubitata, quà nihil sublimius, aut contemplatione dignius-* ö EÆ1·½z EHst autem Eclipsis vox Græca, ab ei defieio, quæ 0⁴. deliquium, aut defectionem significat, unde ægri& mori- bundi cum deliquium animi,& languor lethalis eos corri- pit, in Eclipsin incidisse dicuntur. Sic etiam Luna, cum orbe pleno fulget, si in umbram Lerræ incidat, vivifica Solis luce spoliata, expallescit;& Sol vicissim interjecta Lu- Na, VBIVII ** *... u Le 47. ⁵ 44906½% I ö 7% ½ 9 N W 1146 WDN VN ltee ö ö 6 0 9 sd 98 MH 900 Id Ur ö 7 ö 10 ＋ N WM W. * . Inyhn, WM. ö W. Wise ö NI N N W h 89050 5 ö W. Introductio adl eram-Aslronoemian fuach. 20-. W. * NI. i6 ＋ ⁷ W—CCI rd 18* ue V VõSV W j I l* W⁊M sf 5 u 47 15 fl lfse 44 2 242——. ö WWA REN 0 I ö x M%HH 4.— * Z —— IVV De 7 Zerte 0 2Z———— ——— — 30 2* 1. 5.. n s J ö,& 05700 V Bνεα Luete e V V 70¹m1 Wade — . 7 E. Blaun 0 abi. N. 408 5 71 SDN 7— 4 2* ¹ 971 1 aur⸗ 440. —————1 0 ＋— SI. Ceze* ——— V K VAB. XIX DE RCLIPSIIUĩS SsOLISs ET L UNE. 297 na, non sibi, sed nobis deficiens, Obscur i videtur; tunc dicmtur Sol& I. una Eclipsm seu deliquium pati. Ut au⸗ tem à primis principiis SSori 0 Sciendum est, corpus ornmne lucenti Soli expositum,. zram projicere in plagam Soli oppofitain cρ¾ʃũñe hæc OUm:. Hhra nihil aliud quam privatio Lucis 13 spatio quodam, ob Solis radios ab Opaco corpore interceptos. Adeoque Werra, opaca cum sit, umbram projiciet in plagam Soli oppo sitam, in quam si incurrat Luna, cam obtenebrescere necesse ost. Et quia figura Lelluris est pherica, Umbræ figura cylin. drica foret, fi Terra Solem magnitudine æquaret: aut si Solem superaret, figura umbræ esset coni Vertice truncati & crassitie crescens;& in utroque casu umbra in infinitum porrigeretur; aliosque Planetas„ Martem scil. Jovem„& Saturnum, tenebris suis involveret. Quod cum nunquam facit, necessario erit Terra Sole minor; in quo casu, figu- ra umbræ est conica in apicem desinens. At Luna, cum ejus diameter in diametro stris ter contineatur, estque diameter Umbræ minor diame- tro Terræœ, erit Terrà multo minor. Sit itacue 3 Sol, I Terra, Conus ABC umbra Tellu⸗ ris; patet nullam duci posse rectam lineam à Sole ad pun- &um quodvis intra spatium ABO, quæ non in Terram in- cidat, adeoque cum opaca sit Terra, transitum Solis radiis negabit,& illustrationem spatii A5C unpediet. Et si Lu- na Soli opposita per hoc spatium transeat, illam tenebris involvi necesse erit, fietque Eclipsis Lunœ tempore Pleni- lunii. Quin etiam Luna suam quoque umbram Conicam in pla- gam Soli oppositam projiciet; si hec umbra in Terram in- Cidat, quod fieri non potest, nisi cum una in conjunctio- ne cum Sole è Perra videtur, Incolæ istius partis in quam incidit umbra, in tenebris includentur, iisque Sol Videbi- tur deficere, quamdiu intra umbram morantur. At cum Luna multo mmor sit quam Perra, cjus umbra non potest H* ral 2 44* nisi partem aliquam superficiei Perrestris nempe BC tege- re,& totalibus tenebris involvere; xeliquis interim circum jacemn Pp Umbræ Terre- A. TCSIT 20 Uuræ Corporic. Figura VUmræ. AB. 20. ＋4 4. BB Sor FPe rã majur est. Tan 20. 6. Tan 21. Quando Ht Ec 12⁷ Nsis 2 2 I. Crand 5„, N 24.l. * Mied Solis. TAV. 21. N. 2. ** Ii 7Aut- 0uι Ter- ræ Locir 7⁴—ES* — Eir- alruibañ rνι. 298 DE ECLIPSIBUS s0LIS E＋T＋ LUNE. jacentes partes quidam Solis radii illustrabunt,& incolæ par⸗ .* ö tem tantum SO 15 disci obscuratam VI ebunt, majorem aut minorem, prout umbræ propiores, aut ab eà remotiores fue- rint. Et speciatim qui circa Pdegu imidiut ö Iseri Videhunr On e dimiclumn Solis ec- Plart Videhunt. Qii Vero regiones ultra Mad Nusque co- lunt, ii nullam Solaris disci partem Obscuratam percipient. Fine patet, nullam unquam fieri posse Echipsin Lune nisi in Plenilunio, cum Luna scil. ad Oppositionem Solis peryenerit; nec unquam contingere Eclipsin Solis, nisi in N Ovilunio„cum Luna in comunctiono cum Sole videtur; Cum ita singulis mensibus semel sit novilunium, se- melque Plenilunium, quseratis fOrtaste Academici, cur non lingulis mensibus Sol& Luna Eclipses patiantur? Et qui- dem si una in Eclipticæ plano semper incederet, cum A- Xis Umbræ TPerrestris in odem quoque sit plano, Luna Umbram Perræ semper in Plenilunio pervaderet, fieretque Lunæ Eslipsis totalis,& centralis. Quin etiam in singulis Noviluniis„ ubi non nimium à Terrãâ distat Luna, illa um- uare 9⁵⁰ Laua E- clipses singulis meusibus non pati- AnFun. Eclipses Lunæ to- zale& çeutra- les. TaAB 2I. Vg. 3• bram in Terram prajicerer,& Solem in aliquibus Terræ locis obscuraret. At Ostensum est, planum rbitæ Lunaris non coincidere cum plano Eclipticæ, sed illud secare in re- cCtã quæ per Perræ centrum transit; adeoque Euna nunquam erit in plano Eclipticæ, nisi cum im hãꝗc rectà, Hoc est in Nodis versatur, adeoque si contingat, ut Luna in plenilu- nio sit etiam in nodorum alterutro, Axis umbræ per Lunæ centrum transibit; fietque Eclipsis totalis& centralis. Ex- ponat circulus MNumbræ VPerrestris sectionem transversam, per orbitam Lune transeuntem, Linea CD portionem orbi- tæ Lunaris, quam percurrit Luna tempore Plenihunii, quæ cum sit exigua, per rectam repræsentari potest. Recta BGA lit in plano Eclipticæ. Sitque Funa cum primo umbram ingreditur. ELuna ultimo egrediens. G Luna in ipso umbræ axe, patet hujusmodi Eclipsim totalem& centralem esse. Et quandocunque Lunæ& umbræ centra in nodo coinci- dunt, fient Eclipses totales& centrales. Hinc Duratio ma- xima Eclipsis Lunaris tanta esse potest, quanta æqualis sit tempori, quo Lunæ motus supra motum umbræ Terrestris inter- DE ECLIPS15US S80LIS ET LINL. 299 interea factum sit per arcum EE, quæ duatuor diametris Tunaribus est æqualis, hoc est duobus circiter gradibus, quem arcum Luna quatuor horis plerumque absolvit. Fieri ctiam possunt Eclipses totales, quæ non sunt cen- rales, ubi nodus non in Axe, sed ne quidem intra umbram ponitur, uti figura ostendit. Potest etiam nodus tantum ab umbrà distare, ut non nisi pars Lunæ illam subeat, fientque Eclipses partiales, uti figura monstrat, que crunt majores, aut minores, prout distantia Nodi ab umbra minor majorve fuerit. Quod si contingat, Nodum tempore Plenilunii, magis tredecim gradibus ab Are Umbra distare, tanta tunc erit Lunæ à plano Eclipticœ distantia, ut ab umbra inteme- rata maneat. Ut umbra Terræ in Lunam projecta eslicit Eclipsin Lu- nœæ; sic vicissim umbra Lunæ, si in terram incidat, efficiet Eclipsun Terræ. At cum Luna multo minor sit Perrà, non potest ejus umbra totum TPerræ discum Penebris involvere, sed exigua tantum ejus pars Obscurabitur;& Eclipses hæ erunt omnes partiales; eœαquc solum partes tenebrescent, in quas incidit umbra Lunæ,& carum Incoιε Solem obscurari Videbunt. Ideoque Eclipses Solis eas appellant, sed improprie, cum Sol lucem omnem illibatam retineat;& tantum eα Terræ partes, quæ sub umbra versantur, lumine orbantur. Sed ut Eclipsium Phænomena melius vobis Academici in- notéèscant; Coni umbrosi, tam TPerrestris, quam Lunaris, dimensiones exhibere convenit. Quod ut facilius fiat, li- bet sequens præsternere postulatum. Si à centro Solis ducantur lineæ rectæ, ad quævis Tellu⸗ ris puncta, eꝶ omnes erunt quam proxime parallelæ, nam parallelæ sunt quæ non concurrent nisi ad infinitam distan- tiam; adecque quæ non currant nisi ad distantiam respe- ctu distantiæ linearum immensam, sunt Physice parallelæ, at tanta est distantia Terræ à Sole ut ejus Diameter si ad di- stantiam illam comparetur, puncti instar habeatur; quod ommes agnoscunt Mathematici, nam Lelluris semidiameter & Sole visa sub angulo prorsus imperceptibili, seu qui ocu- lis distingui nequit, apparet,& tanquam punctum indivi- 1 1 2 IHile P 2— 1uμe Tas 27 Vg. 4. Eclipses partiales. TAB. 21. f. J. 6. Eclipsis Terræ: Lineæ centro Solis ad Terram Zuckæ suut quam YVronimt 7 Par 2.* 4 Ciα, ιιì⁵⅜⁰—ikiärina — —::: 19 ZZZ...l.........eeiee::eeeee···--e— TaAR2r. N· 8• Dimen- sio anguli coui Vm- brosi. TAn. 22. IZ. I. 300 DE ECLIPSIBVUSS SOLIS ET EUNVÆ. sibile videtur; adeoque prœ Solis distantià evanescet,& proinde linee omnes ę centro ad Terram ductæ ů Ertlnnt Physice parallelæ. Præterea, si recta linea in alias duas in- cidens, faciat duos internos angulos æquales duobus rectis. erunt lineæ in quas incidit, inter se parallelæ, Per ↄrop. 29. E. primi. Sit amm AB semidiameter Terræ, C Solis cen- trum, ductis 4C, 5C, per 32. El. primi erunt anguli A, B & Cæquales duobus rectis, sed angulus C cvanelcit, Sest nihilo fere æqualis, cum Lellus è Sole visa, ut punctum appareat, ergo anguli A& B sunt duobus rectis æquales & proinde rectæ AC, BC, sunt quam proximè Parallelxæ. Sic ctiam duo fila, ponderibus appensis pendula, pro paralle- lis habentur, attamen filorum directiones si producantur, con- current ad centrum Perræ, ad quod Graviæomnia tendunt. Quæ de Terrã hic ostensa funt, de Lunà quoque magis vera erunt; nam ejus semidiameter ad distantiam Solis mi- norem habet rationem, quam Perræ semidiaméeter ad ean- dem. At non tantum lineæ à centro Solis ad quævis in Ter- rà Lunave puncta ductæ, pro parallelis habendæ sunt, sed etiam duæ lineæ à centro Solis ad Terræ Lunæque centra ductæ à parallelissimo sensibiliter non aberrabunt. Nam an- gulus quem continent præfertim in Hνειει˙, tam parvus est, ut tuto negligi potest, ejusque neglectus calculum,& Eclipsium Phases, minime turbabit. Hoc etiam Lemma demonstratu facile præmittimus. — trum ductis lineis contentus, æqualis eret ε guem continent re- dG»g4 tangeutes. Namin quadrilatero GAD B, omnes anguli efficiunt qua- tuor rectos, sed anguli A,& B, sunt recti per 18. Elem. tertii, quare anguli AG& D sunt æquales duobus rectis. sed per 13 El primi AGB&AGH sunt æquales duobus re- ctis, quare angulus D erit æqualis angulo AF. Circulus ABK repræsentet elluris globum, AM rectam quæ Terræ& Solis centra conjungit, ad quam sit perpen- dicularis semidiameter JLerræ CB. si à Bad centrum 2——— * V DE ECLIDSIBUS s0LIs ET LUNK. 30r ducatur recta BF, erit illa ad CM parallela, uti Ostensum fuit, saltem recta illa à parallelãà minime positione differet. Fiat angulus BCD æqualis semidiametro apparenti Solis, hoc est equalis angulo sub quo semidiameter Solis è Terra videtur,& per D ducatur tangaens DG/ eritque per Lemma superius traditum, angulus GEF, æqualis angulo BCD/ scu semidiametro apparente Solis, adeoque cum BE ad centrum Solis tendit, recta GEU Solis limbum tanget,& Terram quoque in D stringet& producta cum C concurret in H, eritque angulus 1C(emiangulus Coni umbrosi. Sed quia EE est ad MH parallela, DHC angulus æqualis c- it GEEF angulo, ver 29. Hl. primi hoc est semidiametro apparenti Solis. Adeoque totus angulus coni æqualis ese dia- metro apparenti Solis. Similiter in Luna hoc idem demonstrari potest,& cùúdem V7 em manente Solis diametro, in omnibus sphæris, quæ Tellure n non sunt majores, æquales erunt anguli Conorum quæ um-—1 bras includunt,& Coni umbrosi erunt semper figuræ sim＋ ππ n Ies. Quod hàc etiam ratione demonstrari potesł.——)ꝛ9 Sit XGF Sol, DEH Terra, vel aliud quodvis corpus 4aue, Spheericum Terrà non majus SC linea jungens centra Solis ＋ Terræ; AD recta quæ utramque spherar tangit Cum 8 8.22. productà concurrens in M. Erit angulus AMS semiangulus κ Coni umbrosi. Et in triangulo SDM, angulus externus ADS, æqualis est duobus internis& oppositis DMS,&DSM, sed angulus DSV sub quo scil,& Sole videtur semidiameter Terræ, fere nullus est. Nam Perra, uti spius dictum est, E Sole visa ut punctum apparet. Quare erit angulus DMS semiangulus Coni æqualis angulo ADS semidiametro appa- renti S0lis. Q.E. D. 1. De Penmnbra ejusque Cono„ de Coni umnbrof Altitucline,„ Vubrarum dlidinetris ape parentibus. ræter umbram omni luce privatam, est& spatium quod- Peuum- dam Penumbrosum, quod ab aliquibus Solis radiis:il- ra qaid- lu- ....l.l..e.‚:.e.e‚e.ee...·ñy 3⁰² ö DE PENUMBRA. lustratur, reliquis per opacam Sphœæram interceptis; cujus partes diversos obtinent illuminationis gradus, scil. minores aut majores, prout umbræ propiores sunt, aut ab ed remo- tiores: hoc spatium Nenumbrd dicitur; eamqueè sic determi- namus. Exponat circulus AEFE Solem, EHED sphæram quaimli- bet opacam, V. gr. Lunam, S sit linea centra comjungens; ducatur recta EDO inferiorem Solis limbum, superioremque Lunæ contingens. Item AHP superiorem Solis,& inferiorem Lunæ limbum lambens, quæ rectam SC secent in I. Si ma- nente puncto Limmobili, recta IDOO, velIHP, indefinite pro- tensæ,& Lunæ Globum semper contingentes, motu conico circa Axem IM vertantur, generabitur fuperficies conica In- definita PHDO umbram perfectam includens,& etiam spa- tium circumambiens ODM, PHM, a quo radii ab aliquibus Solaris disci partibus prodeuntes arcentur per interpositam phæram opacam; hoc spatium Penumbra dicitur, quæ ob- scurior est in&V versus coni umbrosi oras quam in V& Nquæ loca à superficie Penumbræœ conica minus distant. Nam loca X& Va minore Solaris disci parte illustrantur, quam reliqua ab axe Coni magis remota. Si itaque Tel- lus intra hoc spatium versetur, quædam superficiei Per- restris pars ad S& potest totalibus tenebris ineludi. Et spe- Ctatores in eã degentes totalem Solis Eclipsun videbunt. At qui extra Umbram degunt, in cono tamen Penumbroso locati, ut ad Qaliquam saltem Solaris disci portionem vi- debunt, reliquà per Lunam tecta. Nam ducatur Q Lunam tangens& ad Solem producta, manente puncto Q, simotu conico circumagatur QD indefinite protensa; superficies quam describit Conicam abscindet Solaris disci portionem aà Luna tectam. Coni penumbrosi dimensio hac ratione habetur. Circu- lus HDL sphæram opacam v. gr. Lunam repræsentet, cujus & Solis centrum conjungat linea SC, ad quam perpendicu- laris sit semidiameter Lunæ CB,& eidem parallela BF, Lu- nam tangens. Fiat angulus BCD æqualis apparenti Solis semidiametro, per D ducatur tangens DG, eritque per Lem- mid, E VV D. DEE ———— Kts; an ma Deaemo Ll cktermi. E (Wuugg, lOrengne 1—606 Mtengrem 11On . OHUld⸗ inero. * Wtu OOn0 Sconlall cham pe agubis Wpostam duα 0· anVG fonene (CAcu- 170005 pendeu Walu 0h d0l Lem. Hd) V. I ALTITUDO CONI UMEBROSI. 303 ö ö semidiametro ma, angulus FEG&qualis angulo B rn r. 1965— Solis; adeoque cum EF ad centrum Solis tendat, 0 ad superiorem marginem continget. Sed& hunam quo- lem ad superio ting ili“ que tangit; adeoque puncto ejus Imanente immobili,i motu(Onico feratur, conum penumbrosum elet. 9 parallelas autem EF, CS, erunt anguli PEEI, EIC alterni &quales. Sed angulus EIC est semiangulus Coni Penum- brosi. Et est FEI semidiameter apparens Solis, erit ita- ö ö 2— 9———1 que semiangulus Coni semper æqualis semidiametro app renti Solis. Conus itaque umbrosus& Penumbrosi pars ca quæ Solem& sphæram opacam interjacet, sunt figuræ simi- lIes& œquales, habent enim angulos& bases quales. Coni umbrosi terrestris altitudo sic invenitur. Sit——. nidiameter Terræ, M altitudo Coni. Posito FPMr erit CT sinus anguli ITIMC semianguli coni, qui æqualis est semi diamietro apparenti Solis, im mediocri ejus distantia, circiter 10/; Fiat Igitur ut sinus 165, ad radium ita semidiameter Terrœ, ad quartum;& invenietur IM æqualis 2148. se- midiametris Terrenis. At quando Terra maxime à Sole qistat„ semidiameter Solis seu semiangulus Coni 4——* 50%& tunc altitudo umbræ evadit æqualis 217 semidiame- tris Terræ. Cum Terræ diameter sit ad diametrum Lunæ ut 105 àd 28. erit Altitudo Coni terrestris ad altitudinem co- ni unbrosi Lunæ in eadem ratione; sunt enim Figuræ suni- les, adeoque erit æqualis 59. 36 semidiametris Terræ. Hinc I distantia Lunæ a Terra ejus mediocrem distantiam(quæ 6⁰ Circiter semidiametris Perræ æqualis est) superet, umbrosus ILunæ Conus ad Terram non pertinget; in quo casu, Ecli- psis potest esse centralis, at non Totalis; sed circa Punam fuminosus Solis circulus quasi annulus, aureus cam cingens, apparebit. Sequitur etiam quod si tempore Eclipseos, Ano. malia Lune minor sit tribus signis, aut major novem, Rerl non potest Eclipsis Solis totalis; in his enim omnibus Ano- malie gradibus, Lunæ distantia est major media. ö Ut inveniatur quanta Terrenæ superficici pars Lunari um- bra involvi potest. Ponamus distantiam Solis esse maximam, in quo casu Altitudo Coni umbrosi est maxima, scil.—1 Altitudo Coni umur si Terræ. TaAB. 2 2. Vg. F. AMhitudo Coni umbræ Lunæ. Quanta juperf- ciet 0 2 resiris pars Um- Prã in- Cludli Po- zesl. FTan 23. Va. 1. uan- Ta mn su- Perficiei Pantem HPenum bra con- tinet. TAB· 23. Hg. 2. Appa- ren dia- meter Umbræ gerrer strir. 30.. DE LATIT. UMEBRÆ ET PENUMBRE. ter 60 semidiametris Terræ. Ponamus etiam distantiam Lu- nœe à Terra esse minimam, ut crassior pars umbræœ in Ter- ram incidat, estque hæc distantia minima æqualis circiter 56. semidiametris Terræ. Sit L.Luna, ABD, Ierra, cujus centrum T, LM altitu- do coni umbrosi, æqualis 60 semidiametris Terræ; I. I' di- stantia Lunæ à Terra æqualis 56 semidiametris. Erit itaque TMæqualis quatuor semidiametris Terræœ, unde PB, ad TIM, ut 1, ad 4, sed ut TB, ad TM, ita smus anguli TMB ad sinum anguli TBM, est vero angulus TMB 15˙ 50⁰ 2 deoque innotescet angulus TBNM 63. min. primis cum 13 se- cundis cui si addatur angulus TMB 155: 5005 habebitur angulus ATB, qui his a8 est æqualis nempe 79 min. prim. quibus æqualis est arcus AB, cujus duplum BAC est 158 min. seu 2 grad. 38 minut. seu milliaribus Anglicanis 180 circiter. Supponimus hic Axem umbræ transire per cen- trum Terræ; At si Axis hic sit ad Terræ superficiem obli- quus, Conus oblique secabit superficiem Terræ& figura umbræ evadet Ovalis. Si quæratur quanta superficiei Terrestris pars potest in Penumbra Lunari contineri; illam hac ratione cexquirere licet. Ponamus apparentem Solis diaméetrum esse maxi- mam, cum scil. Lerra est in Perihelio, estque illa 16: 23. dit jam ABI) Terra, LLuna, AMz semiangulus coni Pe- numbrosi 16 23. unde invenietur altitudo LM æqualis 58 semidiametris terrestribus. Sit Luna in Apogeo, adeoque in distantiâ à Terra maximà, quæ est 64 semidiametris Per- rœ; hinc est TM æqualis TILM&qualis 122 semidia- metris Terrœ, adeoque TB, ad TM, Iad 122; sed per Theo- rema Trigonometricum est TB, ad IN, ut sinus anguli IMMB scil. sinus 16“: 23“ ad sinum anguli MBN, qui itaquèe erit 35: 2. a quo si substrahatur angulus TMB, 16 23,, restabit an- gulus MIB, seu arcus AB 35 25: cujus duplus est arcus CAB æqualis 70. grad. min. 50. qui constat circiter 490 miliiaribus Anglicanis. Si conus Terræ umbrosus, ad Lunæ cœlum plano trans- verse secetur, Sectio fit circulus, quæ umbra dicitur, cu- jus F 65.5 C — —õ“Zŕ 4 DE UMBRT. TERRESTRIS DIAMEIRO. 305 ** jus apparens diameter è centro Lelluris visa sic determinatur: HTcentrum Terræ, CMTsemiangulus Coni umbrosi; E sectio umbræ ad Lunæ cœlum, ejusque diameter EH. Ex noto semiangulo coni innotescet cjus altitudo TM, datur etiam LL distantia Lunæ à Ferra; unde innotescet quodue ML, sed datur angulus EML, æqualis scil. semidiametro do- ls apparenti; anguli autem sub quibus idem objectum vide- tur, sunt reciproce ut distantiae unde videtur objectumʒ qua- re si fat ut IG ad MG, ita angulus EMG notus ad angu- lum ETG, qui propterea innotescet. Quin etiam hàc ratione obtineri potest angulus FTGzscil. */* xXCRER 5 RVNN 5 4 7 datd FT distantida Lunæ à Terra& CT semidiametro Perræ, dabitur angulus CE semidiameter apparens Terræ e Luna Vila que argllavis Luuæ hori Sontalie dicitur, utpote duæ eidem est æqualis; quare in triangulo TFNM est angulus ex⸗ ternus CET, æqualis duobus internis& oppofitis; adeoque si ab angulo CETnoto, auferatur angulus E notus resta- bit angulus ETNMvel ETG apparens umbræ semidiameter. Apparentes autem Terrœ semidiametri seu Lunæ Parallaxes horzontalées, pro variis ejus à Lerrã distantiis, habentur in Tabulis Astronomicis. Sit vel Lportio orbitœ Lunaris, quam Luna prope ple- nilunium percurrit, quæ cum parva sit pro recta haberi po- tia minima. Patet si GL. Latitudo Lunæ major sit quam F. summa semidiametrorum umbræ& Lunæ, tunc Lunam in umbram non incurrere. Neque fiet Eclipsis. At si Latitu- do Lunæ sit huic summæ æqualis, Lunæ limbus tanget um- bram, sed non ingredietur. Si Latitudo Lunæ sit minor sum. mã semidiametrorum umbræ& Lune, at major earum dif- Hre 13 EAE rrle AERNI 1„ A 3 ferentia, fiet Eclipsis partialis. At si Latitudo sit minor eãdem 56— 1*— differentia semidiametrorum umbræ& Lunæ Eclipsis erit totalis. Hinc innotescent termini Ecliptici, quibus i di- stantia Lunæ à nodo sit minor, tempore Plenilunii fieri po- TaAB.22. fg. V. Bara Wal“ la&Lu- — Net 5=t- Tontai Fe. 4. Termini Eclipti- . 9 test 306 DE APPAR. DIAMET. VM5ĩ. LUN. Irdtest Ecclipsis: si major, non potest. Referat&S portionem . 6. Ecliptice,&L portionem orbitæœ Lune, 8L latitudinem Lunæ tempore plenilunii; quæ latitudo sit talis, ut Lunæ limbus tangat circulum umbrosum, sitque Nodus ad Q, an- gulus LSS est inclinatio orbis Lunaris ad Eclipticam 5 cir- citer graduum,& LS Latitudo Lunæ, ubi ejus limbus con- tingit umbram 66. min. Itaque datis LSõ& angulo L invenitur Q8 seu distantia puncti Eclipticæ Soli oppositi, à nodo scil. 754. min. seu 12 gr. 34 unde si longius distet pun- ctum Eclipticæ Soli oppositum, vel Luna à N. nulla erit Eclipsis. Sit LLunæ centrum, ejus Conus umbrosus DME, hic co- . 7. nus ad distantiam Terræ plano transverse secetur, sectio fiet circulus, cujus semidiameter dicitur semidiameter umbræ Lunæ; angulus autem, sub quo semidiameter umbræ ex Lunãà visa apparet, æqualis est differentiæ semidiametrorum Anre. apparentium Solis& Lunæ è Terra visarum. Est enim an— e La. gulus LPD semidiameter apparens Funæ, æqualis duobus in- nari, ternis angulis PLM,&PMI; unde angulus PLMVvelPLT aee, semidiameter apparens umbræ aequalis est angulo LPDdem- %½½. Pto angulo LMP, hoc est semidiametro Lunæ apparenti dem- pta semidiametro apparenti Solis. Apra- Sit LLuna, AMB conus penumbrosus ad terram usque pro- Panam. tensus, ejusque Axis MT; si conus per TtransvVerse lano se- 2r diMa. Cetur, fiet circulus, cujus semidiameter RTL dicitur Penum- meter. Præ semidiameter;& angulus sub quo illa e& Lunâ apparct T0. est TLA, qui cum trianguli LMA extermus sit angulus, erit —.— ls internis& Oppositis LAMLMA; sed angulus LMA equalis internis& oppositis LXM& L.NLIA, 8 ů est semiangulus coni,& æqualis semidiametro apparcnti So- sis& MAI seu CAL æqualis est semidiametro apparenti Eu- nœ, ex Lerra conspectæ, unde semidiameter apparchs Pe- numbræ ex Lunâ visa, æqualis erit summæ semidiametro- rum apparentium Solis& Lunæ. ö 3e Lu. di nullus esset motus Solis apparens, ex motu reali Ter- 2α Se- 1& Ortus, viα Lunæ 4 Hole eadem esset ac VIa in propria or- bita. At quia dum Luna in orbita progreditur, Sol etiam in Ecliptica incedere videtur, via Lune a Sole diversa— TIXB. 23. portionen Atudmem y U Luhe us d O„M. Puem 5 dl SInbscn. ngulo Is Hoppod, Cistetpn. Wnuhet 7% W le* etür,Techoe. Moter umhr Meter Uuhore er umbre& dametroum Est enim a Wisduobusd IMVelbll WoLDDaer NIUI( areune ark tur, motus ipsorum relativus cum velocitatum differentia la VIA LUNÆ A 80LE. 307 Ab Orbitâ Lune, ejusque inclinatio ad Eclipticam major c- rit inclinatione orbitæ Lunaris ad eandem. Sit ALuna- Tan. 25. ris orbiteæ portio,& S& Luna conjungantur in& deinde E. 8. dum Luna in orbita describit spatium VL, Sol in Ecliptica per spatium S motu apparenti feratur, erit SL via Lunæ à Sole. At si duo corpora secundum eandem plagam feran- „quo unum ab altero recedit, idem erit ac si corpus tardius motum quiesceret,& alterum tum esset, ut in Lectionibus Physicis demonstratur. Per Lunæ locum L ducatur BL Eclipticæ parallela, cui sit perpendicularis& B. Et dum Euna in orbità lineam 1 describit motus ejus secundum Eclipticam erit per spatium æquale BL, sit Lαqualis S O, & ducta Q erit ea ad 8L parallela, motusque Lunæ a So- le, idem erit ac si Sol in Q quiesceret,& Luna secundum Eclipticam lata esset, velocitate Bꝰ/, velocitatum scil. diffe- rentid. Cum autem anguli BL&,&BN parvi sint, erit an- gulus BLQad angulum B., ut B/ ad BL; hoc est ut dif- ferentia motuum Solis& Lunæ secundum Eclipticam ad motum Lunæ in Eclipticà, ita erit angulus quem facit or- bita Lunæ cum Ecliptica, ad angulun B, qui æqualis est angulo E, seu LSE angulo inclinationis viæ Lunæ à Sole cum Eclipticã. Hinc quoque innotescet angulus, quem circulus Latitu- dinis per quodvis Eclipticæ punctum ductus facit cum via Lunæ à Sole. Nam in T riangulo Sphærico rectangolo, quem Ecliptica, via Lunæ,& circulus Latitudinis faciunt, datur unus angulus, Inclinatio viæ Lunæ ad Eclipticam,& pasis, distantia scil. circuli Latitudinis à NOdo, unde& al- ter angulus acutus dabitur. 1. E C1I 0. IIII. De Projechione Imbræ Lumaris in Lelluris Discum. Ilinea recta in planum sibi parallelum projiciatur, demis- sis à singulis ejus punctis perpendicularibus in planum, Projectio, seu locus ubi perpendiculares planum offendunt, erit linea recta priori parallela,&&qualis; nam perpendi- 24 2 cula- TAB. 23. V. 9. Projec- 110 UOr- rhogra- phica. Telluri Discus Profec- 210 in Discum Ortho— graph 14— ga. 308 PROIECTIO ORTHOGRAPHICA culares, quæ ab extremis Rectæ punctis in planum ducun- tur, sunt parallelæ& æquales, unde quæ ipsas conjungunt rectæ lincœ, œquales& parallelæ erunt. Hinc si duæ rectæ lineæ sese contingentes, plano alicui sint parallelæ, ipsarum in planum illud Projectiones,& ipsæ rectæ linee æquales angulos continebunt, uti liquet per 10. El. XI. Adeoque si Figura quælibet plana in planum sibi parallelum projicia- tur, Projectio erit figura ei similis& æqualis. At si linea ad planum inclinetur, ejus projectio, demissis perpendicularibus in planum, erit ad ipsam lineam, ut co- sinus anguli inclinationis ad radium. Sit AB linea ad planum inclinata,& DE repræsentet planum ad quod inclinatur, de- missis à punctis A& B perpendicularibus rectis A B erit 426 projectio linee AB, eui si ducatur per B parallela BC per- pendiculari A 4 Occurrens in C, erit BC æqualis 20, sed est BC ad AB, ut cosinus anguli ABC ad radium; unde erit 46 ad AB, ut cosmus anguli inclinationis ad radium. Hind sequitur figuram omnem, cujus planum ad planum proje- ctionis est perpendiculare, projici in lineam rectam. Nam perpendiculares a quibusvis plani punctis in planum proje- ctionis demissæ, semper cadent in communem planorum se- ctionem. Hujusmodi linearum& Figurarum projectio Di- citur Prosectio Orthograuhica. Si per Telluris centrum transire concipiatur Planum, ad quod recta, Solis& Terræ centra conjungens, sit perpen- dicularis, planum hoc in Perrâ efficiet circulum, qui He⸗ misphærium illustratum à tenebroso distinguet; quemque circulum lucis& umbrœ Finitorem in superioridus IeC%παοm. bus nominavimus; hie Telluris Discum appellari illum liceat, qui discus spectatori in Lunæ cœlo,& in recta quæ centra. Solis& Terræ conjungit constituto, directe obvertit Ir,& in illum Æquator Terrestris, ejusque Paralleli, Poli&cir- culi omnes in superficie Terræ projici videntur. Nam re- cte è centro Solis ad quælibet disei puncta censendæ sunt parallelæ, adeoque cum ca linea„quæ ad centrum disci du- citur, sit ejus plano perpendicularis, erunt reliquæ Oomnes, a centro Solis ductæ& per quæœlibet Telluris puncta Wi eunt 2 IN DISCUM TERRN. 309 euntes lineæ, ad disci planum normales. Præterea per con- versionem Telluris circa proprium Axem, Regiones omnes Terrestres, Civitates& oppida, semitas in hoc disco descri- bere à spectatore in Lunæ cœlo conspicientur. Nam verti- gine diurna Æquatorem, vel ei parallelos describunt,& 1 80H sit in Equinoctiali plano, hi circuli, cum in HOC casu sint ad planum disci recti, in rectas lineas projicientur: at in aliis casibus projicientur in Ellipses quæ crunt semitæ, quas spectator loca Telluris in disco percurrere videbit. Et si Liun per Polum Telluris circulus immobilis traducatur„cujus 22064 7Q0 Planum productum per Solem transeat, fiet Meridianus U- niversalis; ad cujus Planum cum locus quilibet pervenerit, Eit istius loci incolis meridies: cum vero locus quilibet mar- ginem disei occidentalem primo attigerit, istius loci incolæ Solem orientem videbunt. At spectator in Lunæ cælo, lom cum in disco Oriri aspiciet;& Versus orientem progredi, cumque meridianum transiverit, locus Sole orientalior factus S01E Terra versus occidentem vergere apparebit; ad mar- ginem denique disci orientalem pervento 100, 15 00C. cidere& in tenebrosâ Telluris parte se abscondere, è Luna videbitur, cum Loci Incola Solem ccidentem& C cOnspe- ctu ejus sese subducentem videbit. Disei magnitudo per angulum sub quo Terræ semidiame- Daci ter Luna videtur, estimatur; Estque idem angulus qui Pa-. rallaxis Lune Horizontalis dicitur. Et si a Lunâ in planum““ Eclipticæ perpendicularis demittatur, quæ Lunæ distantiam ab Ecliptica metitur, erit hec linea plano disci parallela, adeoquè in rectam sibi qualem& parallelam projicietur in planum disci, eritque angulus sub quo projectio è Luna apparet, æqualis angulo sub quo ipsa Pperpendicularis Terra videtur; nam æquales rectæ e æqualibus distantiis directe visœ, sub æqualibus angulis videntur. Via Lunæ à Sole, si ejus capiatur pars illa exigua, quæ Ve La- tempore Eclipsis Disco obvertitur, pro recta linea haberi 1½ potest,& in disco in rectam sibi œqu⁴lem projicietur, ejus- 21 6 que projectio cum circulo Latitudinis projecto eundem an- jecte, gulum continebit, quem via Lunaris facit cum eodem in 24 3 Ecli⸗ —— Fe. 2., sit minor quam VM,& TLR, a 310 PROIECT. PENUMB. IN PLAN, DISCI. Ecliptica. Hanc lineam centrum Penumbræœ in plano disci exceptæ percurrere videbitur. ů— Circulus DEKG Telluris discum repræsentet, cujus semi- nn diameter tot oontineat partes quot parallaxis Lunæ horizon- Lane in talis, seu semidiameter apparens Terræ Luna visa constat senn crupulis. Linea NT sit distantia Lunæ à plano Eclipticæ vrqecla. tempore novilunii in planum disci projecta, tot etiam con- stans partibus„ quot Latitudo Lunæ habet scrupula.& K Eclipticæ portio& viæ Lunaris à Sole portio in disci pla- num projecte. EX centro disci T, in Penumbræ semitam demittatur perpendicularis LV hęc recta metitur minimam distantiam centrorum Disci& Umbrœ Lunaris. Centro V describatur circellus parvus, cujus semidiameter sit æqualis excessui semidiametri Lunæ apparentis supra Solis apparen- tem diametrum: circellus ille umbram unarem exponet, nam ostensum est Umbram illam&una visam æqualem esse differentiæ apparentium diametrorum Solis& Lunæ. Rursus describatur circulus HM priori concentricus, cujus semidia- meter VM sit ad semidiametrum disci, ut summa semidia- metrorum Solis& Lunæ ad diametrum apparentem Terræ, seu ad parallaxem Lunæ horizontalem circulus hic penum- bram Lunarem exponet, in ejus distantiâ à centro disci minimaà. Ostensum enim est semidiametrum apparentem penumbræ huic summæ fuisse æqualem. Adeoque si hic circulus di- cum non attingat, nulla omnino futura est Solis Eclipsis; hoc est si distantia illa VT major sit summã semidiametro- Quadο Lurn disci& Penumbræ, vel quod idem est, major summã Terra ab semidiametrorum SOlis& Lunæ& Parallaxis Lunæ horizon- 2 kalis, nulla habebitur Eclipsis: si distantia V huic summæ ci. sit æqualis, Penumbra Terram stringet, in illam tamen non incurret. At si VT sit hae summaà minor, hoc est si VUT, liquam disci Lelluris par- tem Penumbra teget. Et qui segmento EVMX includun- tur, Eclipsun Solis partialem saltem videbunt. es. Si vero distantia minima LV sit minor differentiâ semidia- Queuο metri disci,& circelli penumbrosi, hoc est si minor sit dif- HelHses ferentid semidiametrorum Solis& Lunæ& Parallaxi Lunæ Tax 24 Cuando Eclipses Partia- Fig 29* * zales. h⁰o TERMINI ECLIPT. IN ECLIPSI 8S0L. 311 Pauo Cl horizontali simul sumptis, circellus umbrosus aliquam.. disci partem percurret, inque iis locis Per quæ transit„Ec·/L. Cus sem. lipsim Totalem Solis efficiet. Eclipsis illa Totalis semper DHöHNn. gat sine notabili morâ, quia circellus admodum parvus est, VIA conftat cum Lunæ apparens diameter Solis apparentem diametrum OEdhticæ parum superet:& raro excessus hic seu diameter umbræ etam con- duobus minutis primis adæquatur, quod spatium in plano u UR disci ab umbra percurretur quatuor circiter horæ nunutis dip. primis; ejus tamen mora in aliquo loco longior esse po- enlen test, ob motum loci interea factum secundum eandem pla- nnman S 0. (Quo Hinc innotescent termini Ecliptici„seu distantia Lunæ e —76 a nodo tempore conjunctionis Ut possibilis sit Eclipsis Solis, 45 3 15j0. Sit enim circulus RO G discus Terrestris, IK linea sit Tan 24. aahtt, intersectio plani Eclipticæ cum plano dilct„estque proje-Vs. 4. Aeneh ctio portionis Eclipticæ in idem planum Nportio viæ Lu- Nuls naris in planum disci projectæ. TV minima distantia cen- Hinn trorum umbræ& disci similiter projecta, æqualis semidia- n metro disci& semidiametro penumbræ simul sumptis: in Hi Triangulo TV, datur latus TV, quod cum maximum Liüt est, 94 minutis primis constat, datur quoque angulus ad peun qui cum minimus est, constat gradibus 5. min. 30. un⸗ I de venietur&Tæquale 986 minutis primis seu grad. 16. nbr: min. 26., cumque in hoc casu penumbra Telluris discum tan- tüm stringit, necesse est ut tempore noviluni Ecliptici Luna à nodo minus distet quam 16 gr. 26. Hamet Referat ut prius RK G discum Terrestrem, E por- LAn24. nm tionem Eclipticæ in disci planum projectam,& semitam 7. orol centri penumbræ per discum transcurrentis, erit ILNLati- ö s.& Caume tudo Lunæ,& IV minima distantia centrorum umbræ& ν menno disci. Sit circulus OP penumbra, à D per VNad/ per- VI. gens, in cujus medio est circellus umbram repræsentans, mediæ. 5 H sitque notum tempus conjunctionis, seu cum penumbræ cen- chdan trum est in N, quod per Tabulas Astronomicas datur; dabitur inde tempus cum centrum Umbræ est in V, hoc est tem- Ki pus Eclipsationis mediæ. Nam in triangulo rectangulo TVN, 0 Itdl. datur TLN latitudo Lunæ,& angulus TINV, quem circulus E Lati- Semidu- varto Ee- 2 607. Locus cui&ol dato tem: poris mo- mento esi vertica: V Elevatie Poli su- 312 DURATIO GENERALIS ECLIPSES, titudinis facit cum via Lunæ unde innotescet VN,& TV, sed ex motu Lunæ à Solè dabitur tempus, quo umbrœæ cen- trum percurrit spatium VN, hoc tempus à tempore conjun- ctionis subductum, vel additum, dabit tempus Eclipsationis mediæ. Præterea in triangulo rectangulo DTV, dantur DT summa semidiametrorum disci& Penumbræ,& TVdistantia minima jam inyenta, ex his innotescet DV,& inde tempus quo umbra percurret arcum DV, hoc est semiduratio Eclipseos in disco,& hinc quoque datur punctum temporis quando Pe- numbra discum primo attingit,& similiter inyenietur tem- pus quando ipsum relinquit. Dato Loco Solis in Eclipticà pro quovis temporis mo- mento, exinde innotescet locus in superficie terrestri, cui Sol eo momento est verticalis, seu in cœli puncto altissimo. Nam loci Latitudo est æqualis declinationi Solis, seu di- ftantiæ ejus ab æquatore;& Longitudo a loco quo tempus computatur habetur, vertendo tempus à meridie in gradus & minuta Æquatoris, singulis horis quindecim gradus, sim- gulisque minutis quindecim gradus mimuta aslignando, v. gr. Longitudo loci in cujus Vertice est Sol, cum Oxonii hora nona& dimidia matutina numeratur, habetur substra- Ortionem Eclipticæ in discum projectam, cui sit normalis B 1913 lum P concipiamus transire circulum IPS qui meridianum Conmuni TD, crit PS elevatio poli supra discum, æqualis distantiæ Solis ab Æquatore. ＋ ＋ 7 Notandum est quando Sol tenet signa ν seu PO — I0G. N UEM PENOMB. PRIM. INCD. zrz Mbre cer potius quando Terra tenet signa opposita, Punctum S, ubi remn meridianus disci peripheriæ Occurrit, cadere ad dextram Cpationt Poli Eclipticæ, at quando in reliquis sex signis sit, pun- utu DI Qum illud erit ad sinistram respectu poli Eclipticæ, secus hata ac fit ubi projectio concipitur feri in plano ad Lunæ cœlum, EO quod est ad planum disci parallelum; quodque per rectam Cuplei jungentem Solis& Terræ centra transit. Possiis Uandbe Ut habeatur angulus KTS/ seu disci arcus RS, inter po- 0 henrkn. lum Eclipticæ& meridianum intercœptus: In triangulo Sphœæ- rico rectangulo RSP, datur arcus RP, distantia Poli Eclipti- α— 2——— cæ, ab quatoris polo scil. 233 grad. Item latus PS æquale aeran. „i ui ö declinationi Solis. Quare per Trigonometriam innotescet la- ⁴ur. 1mi tus RS, seu mensura anguli RTS. In TS capiatur TDæqualis consinui declinationis Solis posito TS radio& erit P Punctum H1N in quod projicitur Polus. ö 4½mi Ut habeatur locus Terræ Q ubi penumbra discum prirrum H 196 attingit, seu ubi Sol oriens in supremo sui puncto deficere ππν 60 videtur, ducatur per polum meridianus P ad punctum Q Terræ ix 100 ubi penumbra primo tangit discum. Et Vaum in triangulo 44½½ι Irrüa rectangulo rectilineo DTVexdatis DTTVinnotescet angu-. lus DV/ cui si addatur vel subtrahatur angulus datus VIP, æiais. 4—7 qui est summa vel differentia notorum angulorum VTN, 437 NTP, dabitur angulus QILP. Einc in Triangulo in superficie „ terræ Sphærico rectangulo S, datur S æqualis declinatio- 2115 ni Solis& arcus Sꝰ qui est mensura anguli ST dabitur inde W. arcus POcomplementum Latitudinis loci Q. Item dabitur Rock SOangulus, ejusque complememtum ad duos rectos, scil. 18 angulus QP; qui est mensura distantiæ meridianorum loci anun/&locdꝭ istius cui Sol est verticalis, cumque locus hic no- tus sit, innotescet quoque locus Q, nam nota est tam Lon- gitudo ejus, quam Latitudo. Deter- Eadem methodo innotescet locus errœ qui umbra totali poun rimo involvitur. Et simili fere ratione habebitur locus terræ 2re 0t⁰„qui umbrà involvitur pro quolibet temporis momento, α 20⁰45 ante vel post Eclipsationis medium. Nam ex dato tempo- 2e ris momento per motum horarium Lunæ àa Sole invenitur re- 550 cta MV,& punctum Min ubi incumbit centrum um- ½⁷⁷d. ＋ bræ ö E Par S0 Jarij dia- metri oε- seurata. TaAB. 2̃f. %. 1. * uanti- 3⁴5 Ec· Jipseos per digi- zoι men- juratur. 314 ECLIPSEOS QUANTITAS VISA. bræ,& in triangulo itaque rectangulo MVT, ex datis MV VV. dabitur M,&angulus MTV cui si addatur vel subtrahatur angulus notus VIP, dabitur angulus MITP; est vero MT si- nus arcus circuli verticalis, qui per verticem loci M& pun- ctum sub Sole transit, posita semidiametro disei 4 radio; si itaque fiat ut semidiameter disci, ad MT, ita Radius ad smum arcus, qui erit distantia Solis à vertice M. In trian- gulo itaque Sphærico in superficie Terræ MPT, dantur PT distantia Solis à polo,& MT distantia Solis à vertice,& an- gusus MIP, unde dabitur Mcomplementum Latitudinis Lo- ci,&angulus M T qui ostendet differentiam meridianorum loci M,&loci illius cui Sol verticalis est; sed datur diffe- rentia meridianorum istius loci cui Sol verticalis est,& loci à quo tempus computatur; quare dabitur differentia meri- dianorum loci M,& locia quòo tempus computatur. Ex qua innotescet locus M. Atque hàc methodo si plura invenian- tur loca, per quæ centrum umbræ transit, lineisque jungan- tur, habebitur semita Umbræ in Telluris superficie. Pars diametri Solaris obscurata innotescet ex loco spectato- ris intra penumbram, seu ex ejus distantia à centro umbræ. Sit enim ASB diameęter Solis diametro Penumbræ EF paralle- la, ducatur recta MCB, Lunam stringens ad dextrum So- laris diametri terminum, GCA vero ad sinistrum Solaris dia- metri terminum tendat: erit angulus ACB æqualis diametro apparenti Solis,& Priangula ACB, MCF erunt similia: sit jam spectator intra penumbram in Glocatus, ducatur recta GCP, tangens Lunæ globum,& erit AP pars diametri Sola- ris à Lunà obscurata spectatori in G, sed recta GA cum per triangulorum vertices ad C quam proxime transit, bases AB, MF similiter fere dividet; unde AP, ad AB, ut GF, ad MF. Est itaque pars obscurata diametri Solaris, ad ipsam diame- trum, ut distantia Loci àa margine Penumbræ, ad Penumbræ semidiametrum diminutam semidiametro Umbræ. Dividunt Astronomi Solarem Diametrum, sicuti etiam Lu- narem in duodecim partes æquales; quas digitos appellant, quibus quantitatem obscurationis dimetiuntur. Et Eclipsun dicunt tot esse digitorum, quot diametri pars obscurata con- stat digitis. Si 24 ECLIPĩSEOS QUANTITAS VISA. 315 Si detur situs loci in disco pro quolibet temporis momen- Dauosin to,& quœratur quæ futura sit Phasis Eclipseos ο momem„ 4o to in loco illo; hæc sic invenitur. Sit 8 situs loci in disco, 4402. quæratur pro illo temporis momento locus centri penumbræ 1ππ in propria semitãà, qui sit M; quo centro& semidiametro 5 equali semidiametro Lunæ describatur circubus AE L, Item aar nba- centro 8, semidiametro SB, æquali semidiametro Solis, cir-. Ecli- culus EBG describatur, quem circulus EEL intersecat in E &F, erit EBFA pars Solis à Lunà tecta spectatori in S. Seno. Nam producatur MA semidiameter Lunæ ut fiat AD per 8 200 22 transiens æqualis semidiametro Solis, scil. æqualis BS, unde erit MD æqualis summæ semidiametroi um Solis,& Lunæ; adeoque semidiametro Penumbræ æqua lis,& distantia Loci à margine Penumbræ erit SD. At quia est BS&qualis AD, erit A Bæqualis SDD. Fiat AN æqualis semidiametro Solis, critque VMN æqualis differentiæ semidiametrorum Solis& Lunæ; seu æqualis semidiametro umbræ: Sed ostensum est esse OS, ad DN, ut pars diametri Solis obscurata, ad So- lis diametrum;& ita quoque erit AB quæ est, ipsi 8&- qualis, ad DN, sed est DNæqualis Solis diametro, quare erit AB æqualis parti diametri Solis obscuratæ. Hinc Cuspidum quoque positio determinatur, nam ducto verticali circulo TSG, arcus GE, GF, ostendunt distan- tiam cuspidum à supremo Solis puncto. Si quæratis, Academici, velocitatem qua umbra Terræ discum percurrit, observandum est, viam Lunæ à Sole in discum projici in lineam sibi æqualem,& parallelam; adeo- que velocitas centri umbræ in propriâ semitâ in discum ex- cepta, æqualis est velocitati quà Luna viam suam à Sole per- currit. At motus Lunæ à Sole est circiter 30 ½ in unà horà, adeoque spatium, quod centrum Penumhrœæ in una horã in- tra discum percurrit, æquale est arcui 30 in Orbita Lunari; verum orbitæ Lunaris semidiameter mediocris æqualis est Go semidiametris Terræ, adeoque 1 orbitæ Lunari æquale erit 6o minutis primis in Perræ superficie, seu uni gradui circuli in Telluris superficie maximi; hoc est 69 milliaribus Anglica- nis;& proinde 30: minuta æquipollent 2104 milliaribus ö RT 2 An· 316 NOVAMETEHODOUS Anglicanis; quod spatium umbra conficit in una horâ. At quamvis hæc sit velocitas umbræ in Disco Terrestri, velo- citas tamen, quà à dato Loco in superficie Telluris recedit, eãà minor est: Nam dum umbra ab occidente in orientem movetur, loca omnia Pelluris interea per vertiginem Terræ diurnam abrepta, etiam ab occidente in orientem sed Lunã tardius, feruntur; adeoque motum umbræ lentius sequen- tes, velocitatem, quàâ umbra ab iis recedit, diminuunt. DEI NVova Methodus computandi Eclipses Slis e date Heo V /ilbiles. Uc usque Generalis Eclipseos Solaris Phænomena ex- posuimus, qualia scil. àa Spectatore in Luna constituto videntur, modumque ostendimus, quo universalis Eclipseos 4un nitium, Medium, atque Finis determinentur. Verum ini- Sa, tium illud atque finis à paucis tantum videri possunt, ab iis Is Lcli: scilicet, qui marginem disci tunc occupant,& prope semi- b%σα tam umbræ locantur, cum interim ex aliis locis versus in- audt, teriora disci sitis nulla videbitur Eclipsis, neque iis Eclipsa- nolsant. Ti Sol videhitur, nisi post satis notabile Tempus, quando scil. Penumbræ margo primo loca illa attigerit: finisque erit e Eclipseos, quando margo eadem reliquerit undèę pro vario 2ie ½ο lochrum situ, varia quoque erunt durationis Tempora, ni sicuti& Eclipseos quantitas, pro diversã distantià locorum sune di- à semita umbræ. ö ‚ versa. Ut igitur Eclipseos particularis Phases, quales è dato loco conspiciendæ sunt, habæantur; liceat novam vobis, Acade- mici, exponere methodum, qua absque molesto illo, mul- tiplici,& laborioso Parallaxium calculo, quo ante nos ute- bantur Astronomi omnes, Phases illæ determinari possint. TAE. 26. Sit itaque semicirculus AEB semidiscus Telluris à Sole illu- 46e.i. minatus, Polus Eclipticæ E, Terræ P. Cum locus quili- bet in Terræ superficie, motu diurno raptus, describit cir- as culum œquatori paralleium,& omnes paralleli præterquam Läpse, in æquinoctiis sint ad planum disci inclinati, projicitur pa- 7665 rallelus loci cujuslibet in Ellipsim, quæ erit semita, in 5—— Sgiansuar. Cr 39 2 resti, jch MrioRredi I Clntem Mhenler UIm tussehen- minun Domenz e. constitato Eclaleo⸗ crum nni. I, a i5 Ole Semt VElas H. ISEafe N mnlqueert 50 vario Len 001A, Locorum Gto co 5, AIUe 10, Mal esue holn. 00 il o Oull Abit cl⸗ Rrerquale ciuur P. à U ler⸗ COMHUTANDOI ECLIPSES SOLARES. 317 gerri videbitur locus in plano disci spectatore in Luna con- stitutO. Sit itaque FXII. D. Ellipsis in quam projicitur paral- lelus loci cujuslibet. Et projiciantur quodue circuli horari, saltem projiciantur puncta in quibus circuli horarii paralle- lum secant, sintque puncta VI VII VIIIIXXXIXIIIII IIIIVVVI. Et hora sextà matutinâ quem intra discum te- net locus erit VI; hora septima in VII invenietur; hora Octava ad punctum VIII deveniet;, nona punctum IXoc- cupabit, atque ita deinceps. Sit CIT portio semitæ centri Penumbræ in planum disci exceptæ, atque hora 244 supponatur centrum illud in 2, ho- ra tertia in 3, quarta in puncto 4 locari, idque ita deinceps. Hora secunda locus in disco punctum II Occupat, itaque distantia centri umbræ à loco erit 2 II. At si distantia illa secundum semitam Umbræ æstimatur, demittatur à loco in semitam perpendicularis III, eritque distantia hac ratione æstimata, æqualis 2 L,& L punctum erit positio loci ad se- mitam umbræ reducta. Hora Tertia centrum umbræ sit in 3, locus autem in III, eorum distantia fit 3 III minor prio- re: hora quarta umbra sit in 4& locus in IV, in quo situ umbra propior ad locum facta erit, ita ut penumbræ margo locum attingat,& Eclipsis incipiat. Hora autem quinta cum centrum umbræ sit in 5& locus in V, magis in Penum- bra involvitur,& magis ad locum accedit centrum umbræ. At hora sexta centrum umbræ est in 6, jam magis in orien- tem promotum quam locus, qui punctum in disco VIoccu- pat, adeoque centrum umbræ locum præteribit;& contin- get tempus minimæ centri umbrœæ& loci distantiæ inter ho- ram quintam& sextam, post quod tempus semper augetur umbræ à loco distantia:& margo Penumbræ tandem locum relinquet, fietque finis Eclipseos. Sequenti autem metho- do Initium, Medium, Finis sicuti Phases Eclipseos è dato loco vilibiles accuratius defmiuntur. Utque hoc fiat duo præmittimus Problemata. KT3 PRO- Positio loci ad semitam C‚ hræ reducta. Drtl.—— 318 NOVA METHODUS PR OBLEM A. I. I7nvenire in Disco Telluris, set um dati loci, pro gquolibet Zemporis momento dato. Sit setnicirculus AEB semidiscus Terræ à Sole illuminatus, A portio Eclipticæ in discum exceptæ ejus Axis SE, Polus E, sitque linea SPilla in quam Axis PTerræ projicitur, atque P projectio Poli. Fiat ut Radius ad sinum Latitudinis loci ita SP ad H punctum H erit projectio centri paralleli. Per H ducatur HG æqualis semidiametro paralleli, seu sinui distan- tiœ loci à Polo, quæ sit ad S perpendicularis,& erit illa semiaxis major Ellipseos, in quam projicitur parallelus loci. Fiat, ut Radius ad sinum elevationis poli supra planum di- sci, ita GHad EHL erit HLsemiaxis Ellipseos minor. In GH capiatur EH, quæ ad GH eam habeat rationem quam sinus anguli circuli Horarii& meridiani habet ad radium; sitque R ad GH perpendicularis. Fiat item, ut Radius ad cosi- num anguli quem circulus horarius facit cum Meridiano, ita GHad D. Denique, fiat ut Radius ad sinum Elevationis Poli supra planum disci, ita D ad QR erit R situs loci quæ- situs in disco pro temporis momento dato. Idem aliten ope circuli horarii perficitur. Sit AO semidiscus illuminatus. Polus P, meridianus uni- Versalis SP, cum peripheria disci conveniens in G, sitque cir- culus horarius pro temporis momento dato FPO. In trian- gulo Sphærico rectangulo PGO, datur PG Elevatio Poli su- pra planum disci,& angulus GPO, quem circulus horarius facit cum meridiano, unde innotescet angulus GOP inclina- tio circuli horarii ad planum disci, item arcus PO& GO, adeoque dabitur Punctum O, ubi circulus horarius convenit cum peripheria disci: ducatur SO, erit illa communis sectio circuli horarii cum plano disci,& sit arcus FP distantia lo- ci APolo, seu complementum Latitudinis. Posito SO radio, sit Sꝰ sinus arcus, cujus complementum est FO, æquale scil. summæ duorum arcuum datorum FP& PO sitque D cosi- nus ejusdem arcus cujus sinus est SQ. Ad Qsuper OS eriga- tur perpendicularis EᷣR, ad quam D eandem habet rationem, quam gunslhe hanmn K hur mue udns Alehhe haui hlen. „ Lertih Hallelos bi danum d. ＋ OH uanm siuus m/ ftgue Vadcf. Wano, u s ohache: DuS vl stque cir Itran Ial fl Sbrs Dnthe 0⁰⁰⁰j L WRA Iante b- 0⁰0, l COMPUTANODI ECLIPSES SOLARES. 319 quam habet radius ad cosmum anguli inclinationis circuli horarii ad planum disci,& erit R punctum quæsitum, quod ostendet positionem loci in disco pro tempore dato. Atque eadem ratione pro aliis diversis temporum momentis aliæ inyeniuntur loci positiones in disco, quæ πnes locantur ad Ellipsun, in quam projicitur. parallelus loci. Hæc omnia patent ex legibus projectionis Ortographicæ. 5.K 0 EII. Invenire tempore Eclipseos, situm centri Penumræ in disco Telluris, pro dato quolibet temporis Momento. Sit ut prius AEB semidiscus Telluris à Sole illustratus, E Axis Eclipticæ, CL semita centri penumbræ per planum di- sei transcurrentis, Axemque Eclipticæ secans in N: cum au- tem centrum penumbræ invenitur in N, celebratur conjun- dio Solis& Lunæ vera, cujus proinde tempus per tabulas Astronomicas datur; datur etiam per easdem tabulas, mo- tus horarius Lunæ à Sole. Fiat, ut parallaxis borizontalis Lunæ ad ejus motum horarium à Sole, ita semidiameter di- sci ad quartam, quæ sit M; erit illa linea æqualis spatio quod intra horam à centro umbræ percurritur in disco. Deinde fiat ut hora una ad tempus interjectum intra conjunctionem veram& temporis momentum pro quo quæritur positio cen- tri umbræ, ita recta Mad aliam: hæc recta ostendet distan- tiam centri penumbræ in propria semita a puncto conjunctio- nis veræ N, pro momento temporis dato. Dabitur itaque positio umbræ pro tempore dato. Quæ erat invenienda. Sit hora quæ immediate præcedit tempus conjunctionis, v. gr. quarta. Fiat, ut hora una ad tempus inter conjun- dionem& horam quartam interjectum, ita recta M ad NA4. Erit punctum 4 situs centri umbræ ad horam quartam. Ca- piantur deinde 4. 3, 3., A. 5, 5. 6 singulæ æquales M,& pun- cta 2, 3, 4, 5, G/ Ostendent situs centri penumbræ pro respe- ctivis horis. TA Hi. B.26. I. Hisce præmissis, sit ut prius AEB semidiscus, CT semita TAnas. centri umbræ supra planum disci, quam secet Axis Eclipti- 2. Cαe in N& cum umbra ad Npervenerit celebratur conjunctio Vvera. 320 NOVAMETH O D Us Catalhs Vera. Sit hora quæ conjunctionis tempus immediate præce- iaicii Ec dit V. gr. secunda,& notentur in semita umbræ ejus lOca ho- lihsear. Calculus In omenti maximæ ohεcuira- tionis. Caldulus Jempo- 1fHinis Eclipse- . ris 1, 2, 3, 4, 5. Item iisdem horis notentur situs loci in disco/ fiantque I1 III IV V. Hora prima distantia centri umbræ a loco est II, hæc ad scalam partium æqualium 2 plicata sit, ejusque magnitudo numeris exhibeatur, ab illa auferatur semidiameter penumbræ, cadem scald dimensa, re- stabit distantia marginis penumbræ à loco. Hora schncia Capiatur rursus distantia marginis penumbræ à loco in II pPo- sito; harum distantiarum differentia, cum margo penumbræ sit in utroque situ loco occidentalior, erit accessus seu mo- tus relativus horarius penumbræ ad locum. Fiat itaque, ut accessus horarius marginis penumbræ ad locum, ad distan- tiam marginis penumbræ à Ioco hora secunda; ita hora una seu 60 minuta ad tempus quartum, quod tempus additum ad horam secundam dat tempus, quando margo penumbræ locum attingit; seu tempus initii Eclipseos ostendet. A positione loci 11 ad horam secundam, demittatur ad se- mitam umbræ perpendicularis 11 4,& cum centrum umbræ sit in 2, Erit distantia loci ad semitam reducti, ab umbra 2 4. Item hora Pertia positio loci est 111, demittatur perpendicula- ris in semitam umbræ 1114, erit distantia centri umbræ à loco ad semitam reducto, 30; harum distantiarum differentia est accessus umbræ ad locum reductum, intra spatium unius horæ: difserentia hæc, ope scalæ, numeris exhibeatur; fiat- que per regulam proportionis, ut accessus horarius umbræ (ad locum reductum) ad distantiam umbræ hora tertia, ita hora seu 60 minuta ad tempus quartum. Quod tempus ho- ræ tertiæ additum dat tempus medii Eclipseos seu maximæ obscurationis quam proxime. Hora quarta centrum umbræœ sit in 4,& locus in puncto IVj horum distantia scalà mensuretur,& quoniam illa mi- nor est semidiametro Penumbræ subducatur hæc distantia, & restabit distantia loci ab occidentali margine penumbræ, qua scil. margo illa loco occidentalior est; deinde hora quin- ta, umbra est in 5,& locus in V, earumqueè distantia 5 v major est semidiametro penumbræ; unde margo 5 222 2322 — SSS0seeFͤe t„K‚ͤlü EE COMPUTANDI ECLIIPSES SOLARES 321 lis penumbræ magis erit in orientem proyecta quam locus; & ante hoc tempus, penumbra locum relicta finem fecerit Eclipseos. A distantia 5 V subducatur semidiameter penum- br, relinquetur distantia occidentalis marginis penumbræ à loco; cumque in priore casu margo fuit loco occidenta- lior,& nunc sit Ioco Orientalior, harum distantiarum sum- ma erit motus relativus umbræ relpectu loci factus in spa- tio unius horæ; fiat itaque, ut hæc summa ad distantiam marginis occidentalis penumbræ à loco horã quartà, ita u- na hora ad tempus quartum, hoc dabit tempus cum ocα dentalis margo locum attinget, eumque relinquet, seu fi- nem Eclipseos ostendet. Accuratius omnia definientur, si loco duarum horarum ante conjunctionem, capiantur duæ semihoræ, quæ con- junctionem immediate præcedunt,& quæratur motus um- bræ ad locum semihorarius,& error qui ex inæquabili mo- tu Oritur minor erit, utpote in minore tempore produ- ctus. ö Motus Umbræ in semita suà æquabilis est saltem in tem- pore Eclipseos pro æquabili habere potest. At motus loci in disco non est æquabilis, sed versus marginem disci con- tractior videtur, in medio per latiora spatia progreditur, præterea calculus supponit motum Rclativum Umbræ ad locum æquabilem quoque esse,& Eclipseos medium seu maximam approximationem centri umbræ& loci, esse ubi linea jungens locum& centrum umbræœ est perpendicularis ad viam Umbræ quorum neutrum præcise verum est,& exinde errorem aliquem oriri necesse est; is tamen hac ratio- ne corrigi potest. Ad tempus Initii Eclipseos, priore me- thodo computatum, inveniatur locus centri Umbræ; item fitus loci in disco pro eodem temporis momento,& in pla- no disci centro umbræ describatur circulus penumbrosus,& si margo penumbræ per locum transcat, tempus computa- tum verum erit. Sin minus, notetur loci& marginis pen- umbræ distantia,& deinde ex dato umbræ& loci motu re- lativo pro semihora, operando rursus per regulam propox- tionum, dabitur verum E Eclipseos. Et simili- ter Accura- tior de- termiua- tio. Errorin, qui oriri potest, corre- ctio. 322 NVOVAMETHODUS ter corrigetur temporis error, qui in fine Eclipseos accidit atque hac ratione non minus accuratè habentur tempora Ec- lipium quam vulgari methodo, quæ fit per parallaxium computum: ubi etiam supponitur motum FLunæ visibilem esse per aliquod tempus œquabilem, qui reverà non minus inæquabilis est quam motus loci in difseo; nam ille per pa- rallaxes continuo mutatur.. E Caanei- Si tempore medii Eclipseos, centro umbræ deseribatur n circulus, cujus diameter sit&qualis diametro Lunæ; item uis ma-. describatur alius circulus, cujus centrum sit locus spectato- xime. ris,& diameter æqualis diametro Solari, horum circulo- rum intersectiones ostendent quantitatem obscurationis ma- XIMmE.—— Si quibusdam minus arrideat Mechanica hæc methodus lineas seu distantias per scalam partium æqualium dimetien- di, possunt Prigonometriam adhibere& lincarum longitu- dines per calculum exquirere methodo sequenti. HMeiho- Sit ut prius AEE semidiscus, P polus Telluris, CNT via Wniim seu semita unbræ supra discum, punctum 2 situs umbræ 3ica di- pro tempore dato,& pro eodem momento situs loci sit II. emi Sit SE Axis Eclipticæ semitam secans in N,& erit SN lati- 606t o. tUNO Lunæ tempore conjunctionis veræ; ducantur ab um. putan di. Pra& loco ad centrum disci rectæ 2 8, II S,& jungatur 2II. 220.3.0 In triangulo rectiineo 2NS datur NS, latitudo Lunæ,& 2N distantia umbræ in propria semita à puncto conjunctio- nis, item datur angulus 2NS inclinatio Semitæ ad latitudi- nis Circuhim, quare dabitur 28,& angulus 28 N. Deinde in triangulo Sphærico PS II. Datur Arcus PS complemen- tum declinationis Solis,& PII complementum Latitudinis loci, item angulus SP I, quem circulus horarius efficit cum Meridiano, unde dabitur SIIarcus, qui est distantia Solis à Vertice, ejusque sinus æqualis est distantiæ S II, posito SE radio item dabitur angulus PSII, cui si addatur vel de- matur angulus notus PSE dabitur angulus NS II: sed da- tus fuit angulus 28 N, unde dabitur totus angulus 2 SII. In triangulo denique rectilineo 28 II dantur 28& IIS & angulus üs comprehensus 28 H quare per Trigonome- triam NᷓD S...——.——.— 833 479 IMI Uadon Ma⸗ 22 Hethodhs Ndetten. mannh II 14 I ub 5elt U. enNRr. Mur ab M. Iu2. Misar— Lune,& COMPUTANDI ECLIPSES SOLARES. 323 triam planam dabitur distantia 2 11, quæ erat invenienda. Hac methodo procedendo non opus est ut situs loci& um- bræ in disco inveniantur, sed erunt illi calculo solum ac- quirendi. ö b. Hinc obiter patet alia methodus inveniendi situm loci in disco, pro temporis momento dato, scil.per calculum trian- guli PS II inwestigando angulum PS II& distantiam SII. Per Eclipses Solares, non minus quam per Lunares, in- 49616 veniri possunt LOcorum in superficie Terræ longitudines; Ae i Observetur in loco, cujus Iongitudo quæritur, momem παμ tum temporis initii vel finis Eclipseos. Sit ilhud„V. gr. e ad horam quintam,& centro Vnempe situ loci in disco soleres pro momento initii vel finis Eclipseos,& distantia æquali ere semidiametro penumbræ describatur arcus circuli, qui semi- tam penumbræ secet. Sitque punctum sectionis, erit il. 26. lud positio centri umbræ momento initii vel finis Eclipseos* Observatæ: scala deinde mensuretur distantia N4α, ex qua data,& ex dato motu Lunæ à Sole dabitur tempus con- junctionis veræ à Meridiano Loci computatum. Deinde, si in alio quovis loco observetur initiumi vel finis Eclipseos, simniliter habebitur momentum conjunctionis veræ secundum tempus à meridiano istius loci computatum,& temporum istorum differentia in gradus æquatoris conversa ostendet Longitudinum Locorum, quæ erat irvenien- a. In praxi convenit semidiametrum disci æqualem decem digitis ponere, ut illa in mille partes ope scalæ diagonalis divila habeatur: Est enim hic numerus qui radium Pabula rem exprimit;& latitudo Lunæ SN omnesque lineæ qua- rum dimensiones quæruntur, iisdem partibus exprimantur. Nam si fiat, ut Parallaxis horizontalis Lunæ scrupulis ex- hibita ad Lunæ Latitudinem, ita 1000 ad quartum;& ca- piatur SNex scala huic quarto æqualis, erit linca bæc la- titudini Lunæ œqualis,& similiter in cœæteris lineis operan- do habentur earum quantitates. Novam itaque methodum vobis, Academici, exposui, qua Eclipsium Solarium momenta—— Phases, Waten E 2 ato Comun- Ceιο vera & visa Misfe- aint. 123.27 1. 2. 324 DE PA RALLAXI LUNEX. dato loco spectantur, definiri possunt, per quam non opus est, ut ad longum illum& mosestum Parallaxium calculum recurratis, ut habeatur locus Lunæ in cœlo visus, tam quoad longitudinem quam latitudinem„quo utuntur Astronomi plerique: methodus enim nostra illa facilior multo est ＋ ut opinor, non minus accurata. Nam in vulgari methodo diversæ Eclipticæ positiones, quoad horizontem nunquam non variantes, in Lunæ locis, sive secundum longitudmem sive latitudinem spectatis, inæqualitatem in ejus motu non exiguam ubique inducunt,& Parallaxes pro Luminarium minore aut majore supra horizontem Elevatione admodum mutantur, adeoque nisi carum habeatur frequens respectus, in errores incidere pronum erit. At quia methodus Phænomena Eclipsium per Parallaxcs computandi, à plerisque Astronomis adhibetur, visum est, illam etiam Vobis exponere: Vos autem in Parallaxium scientia vel per vulgares libros Astronomicos, vel per do- ctrinam Parallaxium a nobis posthac tradendam, fatis in- structos esse supponere liceat. Quibus positis, Principia, quibus fundatur hic Eclipsium calculus, facillimè explicari possunt. Primo conjunctio visa, semitaque Lunæ in cælo visa sunt investigandæ: differunt enim conjunctio vera& visa,& non in eodem temporis momento accidunt; Nam locus Lu- næ visus non coincidit cum vero, qui è Telluris centro con- spiciendus est, quod figuræ inspectione manifestum fiet. Semi- circulus CAB repræsentet Hemisphærium Terrœ, cujus cen- trum P, è quo ducatur recta TLS, in qua sit Luna in L,& Sol longius distans in S; adeoque cum Solis& Lunæ centra in ca- dem recta linea spectantur è centro Telluris, ad idem cæli punctum referri debent; eruntque in conjunctione vera. At Ipectator in superficie Telluris in A locatus, Solis& Lunæ centra ad diversa puncta referet; eorumque distantia erit ar- cus SE ad cœælum productus, punctumque, quod recta LI. per Telluris& Lunæ centra transiens, in cælo offendit, di- citur locus Lunæ verus. At punctum, cui recta per spe- ctatoris oculum& Lunæ centrum ducta in cælo Lrnn dici- *＋4 — 2 X DE PARALLAXILUNÆ 325 dicitur locus Lunè visus. Sint puncta illa 8, E, Arcus SE, di- stantia inter locum verum& visum Parallaxis Lunæ vocatur, & cum puncta L.& T respectu distamtiæ cœli coincidunt, idem erit arcus SE, sive ejus centrum concipiatur esse in L, sive in T, adeoque arcus SE erit mensura anguli SLE, vel huic æqualis ALTL sed angulus ALT est ille, sub quo semi- diameter Terræ A per spectatoris locum ducta è Lunã vi- detur; adeoque Patanaeid Ene est semper æqualis angulo, sub quo semidiameter Terræ per spectatorem ducta è Lunà Videtur. At angulus ille fit maximus, cum semidiameter Terræœ directè videtur, hoc est cum angulus LAT eit rectus, & Luna in horizonte spectatur, unde Parallaxis horizonta- lis est Parallaxium maxima. At si Luna in vertice in Fexi- steret, evanesceret angulus ALP,& Lunæ locus in cælo vi- sus idem esset ac verus, qui Perræ centro conspicitur, in quo situ nulla erit Lunæ Parallaxis. Cun Phænomeni cujusvis Parallaxis sit semper&qualis S nui- angulo, sub quo Pelluris semidiameter per spéctatoris 1o- ν cum ducta, è Phænomeno videtur, Solis nulla erit Paralla- Hi- Xis sensibilis. Nam uti sœpius dictum est, Terra ut pum. um& sub nullo sensibili angulo è Sole videtur. Lunæ au- tem Parallaxis cum illà in horizonte& nobis proxima vide- tur, gradum unum aliquot minutis superat. Hinc sequitur Parallaxes semper reddere locum Lunæ de- pressiorem,& magis àa vertice distantem, quàm revera esset, fl centro Terræ spectaretur hie Paneta;& hæc depressio mutationem loci Lunę secundum Eclipticam quoque inducet, facictque ut ejus Longitudo& Latitudo vise Averis differant. Sit enim in Eigura circulus HCÆ meridianus, ceu circu- TAn 27. lus per Spectatoris verticem& Polum traductus, J. vertex, V à. HEUD horizon loci, CE Ecliptica, in qua sit verus locus Lunæ sine latitudine L; sit circulus verticalis per Lu- nam transiens, cumque Parallaxis femper deprimit Lunam in verticali, locus Lunæ visus magis à vertice distabit, Paralla- quam Vœrus, sit locus visus, erit Lο Parallaxis altitu- ν dinis. Per locum visum o traduci concipiatur circulus ad ½ Eclipticam Perpendicularis ν Eclipticæ occurrens in n, 13 erit eee— —II———————....———..—.——....—— ꝰitssd wö 0— 1————=— SSSI—.** „.ü.————.—— V..—————.. 9R4ß—— 5—3—————.—.———— 2 .—*————*————..— ́—*—7** · 1 ——.— S 5 —.— 326 courorus EcνSIUNV erit punctum illud Jlocus Lunæ visus ad Eclipticam reductus, & Lm erit Parallaxis longitudinis, seu distantia inter locum Lunæ verum& locum vifum ad Eclipticam reductum, ar- Cusque o⁴n seu distantia Lunæ ab Ecliptica in hoc casu erit Parallaxis Latitudinis. 2 28 RI Ut Fhases itaque Eclipsium è dato loco spectabiles per Pa- rallaxes definiantur, necesse erit, ut cognoscantur Lunæ So- lisque loci veri, qui per tabulas Astronomicas pro dato quo- lihet temporis momento habentur, præterea cognoscendus est locus unæ in cælo visus, qui ex loco vero per Paral- laxium calculum institutum, tam quoad Longitudinem quam Latitudinem, definiendus est, quibus cognitis, sic inveniun- tur Tempora& Phases. Sit σ portio Ecliptice, locus Solis tempore conjun- ctionis veræ, locus Lunæ visus ad Eclipticam reductus pro eodem temporis momento;% Latitudo Lunæ visa, 4 Lon- gitudo Lunæ à Sole visa. Exiguo satis temporis intervallo ante conjunctionem veram inveniatur rursus locus Lunæ vi- sus in Ecliptica qui sit, ejusque Latitudo visa sit ½ du- catur% que producta cum Eclipticà conveniat in&, erit 7 Via visa Lunæ à Sole tempore conjunctionis. In trian- gulo%ou rectangulo datur ν differentia Longitudinum à Sole„&c qu disferentia Eatitudinum, unde dabitur angulus %ο seu ꝗ ερ inclinatio viæ visæ ad Eclipticam,& latus 0, ex quo etiam inveniuntur, 1ε επε Nam y est ad 90 ut% ad ετ,& in triangulo 4ε ex datis& angulo&α da- buntur εια, unde dabuntur εε εt. At cuͤm Lunæ centrum in videtur, fit tempus conjunctionis visæ, adeo- que si fiat ut ꝗ o ad ot seu ut ↄι ad Is ita tempus quo Luna percurrit lineam ꝗο ad aliud, dabitur tempus inter conjun- ctionem veram& visam. Exo in viam Lunæ visam demit- tatur perpendicularis. In triangulo rectangulo αm da- tur& angulus, unde dabitur νπ, quæ est minima vi- sibilis centrorum Solis& Lunæ distantia. Si hæc distantia sit major summa semidiametrorum Solis& Lunæ, nulla vi- debitur Eclipsis; sin minor, differentia ad digitos reducta ostendet Eclipseos quantitatem. Ex datis π& angulo 5 inde E 2·. 88 co——— 0 PER ARALLAXE S. 327 Mu —1— inde 6˙n æquali angulo 4, dabitur m,& inde invenitur Wann,. tempus, quo Luna semitæ visee portionem m percurret hoc Walet elt tempus inter conjunctionem visam& maximam obscura- tionem. ehihrdr Initium Eclipseos visibilis sic definitur; sit ↄ ut prius 1— ur Lurdd portio Ecliptice, centrum Solis, via une 7 4, in di As. WOClnl. stantia minima centrorum Solis& Lunmee; ducatur à Sole ad 11 viam Lunæ recta ＋% quœ sit æqualis summæ semidiametro- —1½ rum Olis&und. Lit um eurem ume Kerwien, Wom— incipiet marginem Solis attingere, fietque Eclipseos initium. V2 in triangulo rectangulo επν e datis αν ε½˙m, dabitur angu- 1D 1us α scil. angulus incidentiee; item adecque dabi- tur tempus quo Luna in via visa percurrit spatium qn, quod ole cohhur à tempore obscurationis maximæ subductum dat tempus 2 eductuspro nitii Eclipseos. 2 il,Ione Similiter invenitur tempus finis Eclipseos, sed ut illud Serralo habeatur invenienda est rursus via Luræ à Sole visa post Lunævi conjunctionem, quæ à priore differet: nam reveraà inclina- I7%& tio Viæ Viscee ad Eclipticam continuò mutatur, ob continuas Itu 4 ert Parallaxium mutationes. Quæratur itaque intra horam vel Utl exiguum satis temporis intervallum post conjunctionem Lon- Rudum à gitudo Lunæ à Sole visa, cjusque Latitudo visa,& exinde Wuranguls inveniatur inclinatio viæ visee ad Eclipticam, motusque Lu- GKtus 70, næ à Sole visus, quibus datis, eadem methodo qua initium t ad Eclipseos investigatur, sinis quoque&temporis momentum Wulo d innotescent. Si quæratur Phasis Eclipseos pro dato quolibet temporis am Lunæ Lr Alo⸗ momento, quæratur pro lo momento Locus Lunæ in via In visa, quo centro,& mtervallo æquali semidiametro Lunæ con describatur circulus, item centro, quod sit locus Solis, Cel. describatur alius circulus, cujus semidiameter sit&qualis semidiametro Solis, horum circulorum intersectiones osten- Ba dent phasim Eclipseos, quantitatem Obscurationis& cuspi- cutn dum positionem pro tempore dato. uv. Priusquam huic Eclipsium doctrinæ finem imponamus, Lrechds üccat Phenomenon satis notabile vobis exponere, cjusque 1 causam reddere. 0EN ö ahn nae Scil. Planetæ Prima- 8 scac. 328 MHTUS EBelPsIiuu. Scil. in Eclipsibus Lunæ totalibus, etiam dum Luna pro- pe centrum umbræ versabatur, sœpius ea visa est tenui palli- daque luce perfusa: mirum fortasse plerisque videbitur, un- de oritur hec Lux: quidam enim eam Lunæ nativam esse suspicabantur, alii à Stellis Planetisque eam deducebant, nam interpositio Telluris omnem Solis lucem à Luna arcere,& densissimis tenebris conum umbrosum involvere videretur. At vero cum Terram amplectatur Sphæra Aéris satis crassa, & vi refractiva pollens, illa Solis radios è medio rariore ob- liquissime in se incidentes è propria directione detorquet, itaque illos refranget, ut umbrosum spatium pervadant lu- cis Solaris radii, adee corpus interpositum illustrent, illudque nobis conspicuum reddant. Uti figuræ inspectione manifestum fiet. I..TIGO XV. De Phanomenis eν motibus Telluris dhuorum Pla- netarum Inseriorum Veneris& Mercurii ortis. Ucusque Telluris Lunæque motus contemplavimus, & varia inde orta Phænomena recensuimus. Luna au- tem est Planeta non Primarius, sed secundarius, quæ non aliter circa Solem, systematis nostri centrum, defertur quam quod Tellurem, ad quam proprie pertinet, in annuo suo cursu perpetuo comitatur. At Primarii nostri Systematis Planetæ, qui circa Solem & nullum aliud corpus circuitus perficiunt, sunt numero tantum sex, scil. Mercurius, Venus, Tellus 6, Marso, Jupiter,& Saturnus h, quorum motus indeque orta Phæ⸗ nomena vobis, Academici, sunt nunc exponenda. Et pri- mo Veneris atque Mercurii orbitas Solem ambire, easque intra Telluris orbitam includi, superius demonstravimus, cumque brevioribus Periodis quam Terra circuitus absol- vunt, manifestum est hos Planetas è Sole conspectos, nunc magis nunc minus in cælo A Pellure distare videri,& nuno in Oppositis sitis cœli punctis spectari, munc in eodem cum Tellure puncto conjungi,& cum circa Solem celerius fe- rantur, eos post conjunctionem à Tellure decedere, eam- ö que Rq. 323 2 TAB. XXVITI. VEHNERIS EIT ME R CURKRII. 329 què segnius incedentem post e relinquere aspiciet spectator in Sole constitutus. ö Hinc etiam patet hos Planetas e Pellure visos nunc ma- gis, nunc minus à Solè elongari,& aliquando quoque cum Sole conjungi videri: verum conjunctiones ille non tantum fumt cum Tellus e Sole cum Planeta conjungitur, sed etiam cum eidem Opponi videtur. Sit enim S SoI, ABC orbita. Telluris, FHV orbita Veneris, sitque Perra EWI„NVe.,.* nus in V, in recta scil. quæ So is& Telluris centra πιομ git„ in quo situ Venus e Sole visa in conjunctione cum Nerra videtur, sicut Sol e Tellure visus Veneri conjungitut. At si Terra foret in P, cum Venus sit in E, illa c Sole Dao cox- videretur Veneri opponi;& in contrariis cœli plagis con-. spicerentur hi Planetæ. Verum Spectatore ad Terram sus. translato, Venus Soli non opponi, sed eidem conjungi spe- ctabitur. In primo conjunctionum casu, Venus inter Solem & Terram interponitur; in posteriore, Sol inter Perram & Venerem medius locatur. Prior dicitur conjunctio Infe- rior, Posterior conjunctio Superior. Post utrasque has conjunctiones, Venus à Sole recedere, & indies magis elongari videtur, nunquam tamen Soli op- posita cernitur; sed& nunquam aspectum quadratum, aut sextilem attinget,& omnium maxime à Sole elongatur cir- ca locum illum, ubi linea, Telluris& Veneris centra con- nectens, Veneris orbitam tanget, ut circa D. Nam cum Eirrge Venus ulterius ad H promovetur, ejus locus in cælo à So 2* 1 netæ 4 lis loco minus distarè videbitur quam prius,& antequam Soie. ad locum illum pervenerit, semper à Sole magis recedebat; at loco illo relicto, ad Solem continuo magis accedat: ne- cesse est, ut inter recessum& accessum quasi stationaria re- spectu Ssolis videatur,& proinde ejus motus apparens erit Ehonga- motui apparenti Solis æqualis. Arcus circuli m.imi inter centra Solis& Veneris interceptus dicitur Elongatio husus 2— YPlanetæ Holèe. xima Observandum tamen est, Elongatio Planetæ à Sole, ubi, recta à Planeta ad Terram ducta, Planetæ orbitam tangit„i an- fit tantum maxima in orbè circulari in cujus centro est Sol. 4π . Sann 330 DE VENERIS ET MERCURII Nam in orbitâ Elliptica fieri potest, ut post decessum Pla- netæ à puncto contactus, ejus distantia à Sole crescat; at non pariter crescant distantiæ Solis& Planetæ à Perra, sed potius decrescant, adeoque in duobus triangulis major basis majorem angulum subtendet. Sed cum Planetarum orbitæ ad circularem formam quam proxime accedunt, he minu- tiæ negligi possint. Maxima Veneris Elongatio, seu angulus STLD, observa- tione deprehenditur esse 48 circiter graduum. Et exinde in orbita circulari datur distantia Veneris à Sole respectu VLelluris distantiæ ab eodem. Est enim S ad SD ut Ra- dius ad sinum anguli STD seu Elongationis maximæe. Hinc etiam manifestum est, Venerem, dum illa à con- junctione cum Sole in superiore orbitæ suæ parte, seu à Terra remotissima, ad conjunctionem cum Sole in inferio- re orbitæ parte seu Perræ proxima tendit, semper videri Sole orientaliorem, adeoque toto illo tempore Sole poste- rior occidit Venus, seu post Solis occasum, Vesperusque dicitur, noctis& tenebrarum prænuncia; at dum ab infe- riore conjunctione ad superiorem tendit, Sole occidentalior spectatur,& ante Solis occasum occidit, ante ejus ortum Oritur, adeoque mane tantum conspicietur,& tunc Phos- phorus dicitur, lucis exortum secum afferens. ö Ponamus Venerem atque Tellurem è Sole spectatas in V & Tconjungi, hoc est in eodem Eclipticæ puncto videri. In quo casu Venus& Sol èë Terra in conjunctione spectan- tur. Venus deinde celerius mota postquam ad V rursus pervenerit,& integrum circulum seu quatuor rectos motu angulari ad Solem perfecerit, Perram interea ulterius pro- gressam nondum assequetur; ideoque opus crit, ut ulterius in orbita sua deferatur Venus, quo& Solèe rursus in eadem recta cum Terra videatur, sit recta illa SLM scil. cum Ve- nus sit in L, Tellus sit in M,& necesse erit, ut Venus priusquam Terram assequatur, integrum circuitum, seu quatuor rectos circa Solem, absolvat,& insuper motum angularem æqualem motui angulari Telluris interca facto. Motus autem angulares Telluris& Veneris eeen. O NII decesh elam 04 E crelent: LCA, U TLers Umrai III 727 V Clarum ar dud Ibltz HE Mii Nin , I Malu⸗ · Obeng. Et eya eae Nata„al— A5 IAA ASDud L AK= Maxima IUUD Ar Daste leU 4 „a in 151— A.· II Mierlo · emper vider 1 A* e Sol poste 7 0 ARHa Veherusque Fum M ita. Ma. uut d He PHMNOMENIS. 331 eodem tempore facti, sunt reciproce ut eorum tempora ni periodica; erit itaque, ut tempus Periodicum Telluris ad arp tempus periodicum Veneris, ita motus angularis Veneris ie- qui æqualis est quatuor rectis una cum motu angulari Pel. ½ luris facto inter tempus unius conjunctionis& proximæ eere motum illum Telluris angularem: adeoque per divisionem Rationis, ut differentia temporum periodicorum Telluris“ & Veneris ad tempus Periodicum Veneris, ita quatuor re- cti ad quartum, qui dabit motum angularem Telluris in- ter duas proximas conjunctiones inferiores factum. Tem-⸗ pus autem Periodicum Velluris est dierum 365, horarum 6, feu horarum 8766. Et Veneris tempus Periodicum est dierum 224 horarum 16, seu horarum 5392, quarum dif- ferentia æqualis est 3374 horis. Fiat itaque ut 3374 ad 5392, ita quatuor recti seu 360 gradus ad gradus 575 qui motus æqualis est integræ circulationi& dimidio,& insu- per 35 gradibus,& perficitur hio motus in uno anno& diebus 218. Adeoque si Venus hodièe in inferiori orbitæ parte cum Sole conjungatur, non nisi post Annum septem menses& duodecim dies, iterum Soli juncta conspicietur, & si una conjunctio in initio Arietis accidat, sequens circa septimum Scorpionis gradum celebrabitur. Idem quoque intercedit tempus inter duos quoslibet Veneris situs respe- ctu Solis similes, verbi gratia, inter duas conjunctiones su- periores, vel inter duas proximas Veneris positiones, ubi Illa datam ad eandem plagam à Sole obtinet elongationem. Hoc problema, simileque de Lunæ conjunctionibus cum 4% me- Sole mediis, aliter solvunt plerique Astronomi. Quærunt ee enim motum diurnum Telluris è Sole visum; item V ene- Proble- ris quoque motum diurnum, horumque motuum differenus tia èerit motus Veneris à Terra, diurnus; v. gr. cum mo- tus Telluris medius sit quolibet die 5½& 8, Veneris au- tem motus diurnus sit, L gr. 36. 8. quorum differentia est 37/3 per illud spatium Venus quotidie à Pellure recedere, vel ad illud accedere videtur. Fiat igitur ut 37“ ad gra- dus 360, seu ad 21600 minuta prima, ita dies unus ad patium temporis quo Vemis à Pellure per 360 gradus 9 2 Ccr.- Tan 28. Distan- riæ Ve- nerif d Zerra semper mulabi- 104. 332 DEVENERIS ET MERCURII cesserit, hoc est ad spatium temporis, quo ad idem re- verterit, seu ad tempus inter duas conjunctiones proximas clapsum, quod invenitur esse dierum 583. Verum hæ conjunctiones secundum motus medios seu æ- quales tantum computatæ sunt, ideoque conjunctiones Me- diæ dicuntur. At quoniam Venus& Tellus in orbitis El- lipticis circa Solem ferantur, motusque earum inæquabiles sunt; fieri potest, ut conjunctiones veræ serius aut citius per aliquot dies accidant, quam per præcedentem compu- tum fieri debent. Data autem conjunctione medià, con- junctio vera sic exquiretur. Sit ABCEcliptica, in qua punctum A sit locus conjunctionis media, ad cujus tem- pus, computetur per methodos Astronomis notissimas, ve- rus locus Veneris ad Eclipticam reductus, qui sit D. Item verus locus Telluris sit P,& inde dabitur locorum Telluris & Veneris distantia DT, datur quoque utriusque Planctæ mo- tus angularis pro dato quolibet tempore, v. gr. pro sex ho- ris; quorum motuum differentia dabit accessum vel recessum Veneéris à Tellure, spatio sex horarum. Fiat itaque, ut differentia illa motuum ad arcum DP, ita sex horæ ad tempus inter conjunctionem mediam& veram, quod tem- pus demptum aut additum(prout Venus est orientalior aut occidentalior Tellure) tempori conjunctionis mediæ, dat tempus conjunctionis Verœ. Ex sigura manifestum est Veneris à Tellurè distantiam es- se continuo mutabilem, maximam autem esse cum Venus est in conjunctione cum Sole superiore,& minimam esse cum est in conjunctione inferiore;& differentia quidem tan- ta est, ut illa æqualis sit integræ diametro orbitæ Veneris. Estque distantia Veneris è Lellure in conjunctione cum So- le superiore, ad ejusdem distantiam in conjunctione inferio- re ut ad 6, sexiesque proinde magis Venus ad Tellurem accedit in una positione quam in alterà,& tantum quoque mutatur Veneris apparens diameter è Lellure visa. Sed& distantiæ maximæ& minimæ per excentricitates orbium mutantur; nam omnium maxima fit distantia, quando con- zunctio superior celebratur Venere& Tellure* en 5HA 8 1 5*. 333 Apheliis. Et omnium minima est distantia Veneris à Tel- lure, quando conjunctio inferior accidit, Venere in Aphe- io& Tellure in Perihelio existentibus. Cum Venus si corpus Sphæricum& opacum, Solis lu- ce non sua resplendens, oportet ut ca solum facies lucida videatur, quæ oli Obvertitur, alterum autem oppositum Veneris hemisphærium luce orbetur,& invisibile mancat, quapropter si talis sit Telluris situs, ut tenebrosum iud he- misphærium ei Obvertatur, Venus VTerricolis inconspicua fiet, nisi forte in Solis disco nigræ instar maculæ vidcatur. Si vero tota illustrata facies Lerræ obvertatun, Venus ple- no Orbe fulgens videbitur. Et pro Vario Telluris respectu Veneris,& Solis situ, varia erit forma atque figura, sub qua Venus conspicietur, phasesque subibit, Lunæ Phasibus per ommia simniles. Sit ABCDEEG orbita Veneris; TI. Telluris orbitæ por- Plases tio, sitque Terra in L,& Venus in Ain conjunctione scil. 4⁷ superiore cum Sole. Patet in hoc Planetarum situ, faciem Veneris illuminatam totam Perræ obverti, atque proinde Venus instar Lunæ plenæ, ut circulus lucidus apparebit. Cum Venus ad situm respectu Solis& Telluris, qualis est B, pervenerit; pars aliqua ↄbscuri hemisphærii eidem obver- titur,& proinde Veneris facies à Tellure visibilis, a Circu- 10 deficiet,& gibbosa apparebit; ad C perventa Venere, bemispheerii illustrati dimidium e Tellure videtur, Venuf- que dimidiata apparet ad instar Lunæ in prima vel ultima NUadratura. Venere in D existente, parva tantum illuminatæ superficiei pars Perræ obvertitur, cumque figura Veneris sit spbærica, quæ ob magnam à Terra distantiam, ut plana vi- detur, pars illuminata in cornua à Sole aversa, protendi videtur. Venus cum è Terra in E videtur, in cConjunctio- ne scil. inferiore cum Sole, totum ejus tenebrosum hemi- sphærium Pelluri Obvertitur, Venusque fit invisibilis, nifi forte ut nigra macula, per Solis discum transcurrere videa- tur, quod jucundum spectaculum semel Horoxcio nostro contigit. Easdem phases subibit Venus dum per E G/ ad H transit, scil. circa F corniculata, in G dimidiata,& in H Gibbosa apparebit. Lt 3 Hæ AB. 48. V. 4• 334 DE VENERIS ET MENRCURII a Hee Veneris apparentiæ, etsi nudo oculo se non produnt . telescopio tamen distincte conspiciuntur. Ante inventum telescopium, quando Copernicus Systema Antiquum Py- thagoricum renovavit,& orbi literato proposuit, asseruit- que Planetas omnes, inter quos Terram locavit, circa So- lem in centro immobilem moveri, ei objectum fuit, si ta- lis esset Planetarum motus, debere Veneris Phases Lunæ Phasibus esse similes. Respondet Copernicus, eas reveraà ita esse fortasse venientibus sæculis dignoscent Astronomi. Hanc Copernici Prædictionem primus implevit magnus Ga- lileeus Philosophus lynceus, qui telescopium ad Venerem dirigens, eam Phasibus suis Lunam æmulari deprehendit; quod Systema Pythagoricum mirifice confirmavit. — Si centra SOlls, Perræ& Planetæ rectis jungantur, quæ faciunt triangulum SO,;& per centrum Planetæ eri- gantur plana ad rectas I.O S O normalia, quorum illud ab- scindet Planetæ Hemisphærium Terræ obversum, hoc He- misphærium à Sole illustratum, erit Prianguli T 8O exte- rior angulus ad Planetam 80 æqualis angulo moq, quem „metitur illuminati semicirculi pars, que Terræ obver- , titur. Est enim angulus Sντ æqualis angulo vοπ, nam Itermi. uterque rectus est,& angulus æqualis angulo 20α. aatio. sunt enim ad verticem; quare ablatis æqualibus erit angu- lus S0 æqualis angulo τπ quem arcus 7 metitur. Semicirculi itaque illustrati pars σ quæ terræ Obvertitur, metitur angulum 8 OP,& arcus ille è Terra visus in suum sinum verfum projicitur. Uti de Luna superius ostensum fuit. Hinc illuminatio Veneris è Terra spectata, cæteris paribus est ad illuminationem totam, ut sinus versus anguli Exterioris ad Venérem, ad circuli diametrum. e Quamvis Venus in situ A Terricolis pleno orbe splendeat, 26½ ½ non tamen in ea positione maxime& lucidissime fulget; lacidisi Giminuitur enim ejus splendor ob majorem à Tellure distan- tiam, idque in majore ratione, quam crescit facici illumi- cet erbe. natꝰ pars Terra cohspicua. Nam Veneris fulgor decre- scit in duplicata ratione distantiæ auctæ. At pars illustrata crescit in ratione sinus versi anguli exterioris ad Planetam. t14⸗ Webzn HHA SIE VIS. 337 Eron wan Itaque ejus fulgor maximus non est, cum circa A versatur Ute Wähn Planeta, sed major erit circa O. Sit enim Venus in O qua- e Hgun Pr tuor vicibus Pelluri propior quam in A, in. O lucicder fa- Topchut, Aenit cici Partes datæ sedecics plus luminis ad Tellurem diflun- Lenm, r d. dent, quam cum Planeta est in A. ed In O ficri potest, cum fl. f, ut pars circiter quarta disci illuminati Perræ obvertatur. 2 Phals 1 Adeoque magis augetur Vencris splendor ob dirninutam di- 115, Snn stantiam, quam minuitur idem ob decrescenten Phalim. ii.munn Si quæratur in quo situ Veneris splendor it maximus; 12 euit mann hujus Problematis solutionem dedit COoncinnam 4ummus. 40 0 Geometra& Astronomus Edmundus Halley Collega meus, e ia- e IuCenent mn Actis Philosophicis Londinensibus N. 349, ubi osten- 6144 ef. .1 dit Venerem omnium maxime fulgere, cum elongatur à 0 Sole 40 circiter gradibus, ubi tantum pars quarta disci lu- n minosi& Terra conspicienda sit; in quo situ, Venus die am Pintn& lucente Sole conspecta fuit. Admirabilis est illa Vene- 7606 ris pulchritudo, qua proprio lumine carens,& tantum So- Hume lis mutuatitio lumine gaudens, in tantum splendorem erum- M S0 it, quantum non habet Jupiter, non Luna, cum æque duo ney à Sole elongatur: illius quidem lumen, si ad Veneris lu- eTenahe. men comparetur, majus quidem erit ob apparentem corpo- Nulo ⁰½i ris magnitudinem, at iners, mortuum, ac veluti plumbe- Ii angub /. um videtur; tantum prœæ illa Venus revibrat vegetum splen- Wbus ent a. dorem. 5% Methl Si planum orbitæ Veneris coincideret cum plano Eclipti- Orlit obyent, cœ, Videretur Venus semper in Ecliptica incedere. At mo- Veueris visus in flum tus Veneris non fit in plano Eclipticæ, sed in plano, quod 44 5 rus Oin ad illud inclinatur angulo trium graduum& 24 min. fecat- Ec. AuA. que planum Eclipticæ in linea per Solem tranfeunte, quæ 2. Linca Nodlorum VoOcatur, punctaque ubi orbita Planetæ pro- ů ducta Eclipticam secat Nodi dicantur. Adeoque Venus 7/% nunquam è Sole vel e Tellure in plano Eclipticæ videbi- n, llet tur, nisi cum in nodis versatur; in aliis orbitæ suæ pun- Isne Cttl⸗ ctis nunc minus, nunc magis, ab Ecliptica distabit:&& e mr Sole visa maxima ejus ab Ecliptica distantia erit, cum no- s gce⸗— gradus ab utroque Nodorum removetur. Et it TAB circulus in Eclipticæ plano, LꝝVN orbita Ve- TAV293 1400½3933 D 336 DE VENERIS ET MERCURI LATrroo. neris, quæ planum Eclipticæ secet in lineà Nx; concipien- dum est orbitæ dimidium NLꝝ supra planum Eclipticæ at- tolli, altera autem medietas NV infra Eclipticam deprimi; cum Venus est in orbitæ suæ puncto N, erit in plano Wont⸗ pticæ, ad P autem progressa, ab Ecliptica deflectere vide- tur, longius autem ad Lprovecta planeta, ita ut NL sit cir- culi quadrans, maxime ab Ecliptica recedere videbitur punctumque L vocatur Limes; Nam post digressum ab rursus ad Eclipticam accedit Planeta. Si à Venere in Pad planum Eclipticæ demittatur normalis linea PE,& ducatur SE, angulus PSE metietur distantiam Veneris ab Ecliptica, Larieud& vocatur Latitudo Veneris Heliocentrica, qualis ë Sole vi- apits, detur. Hœc autem Latitudo ex dato Planetæ loco in sua ö ＋4 Orbita, hac ratione exquiritur. Sit arcus NE portio Eclipti- cœ, NP portio orbitæ Planetæ ad cœlum productæ, Plocus ejus, Nnodus; per locum Planetæ transeat circulus ad Ecli- pticam perpendicularis, hujus circuli arcus PE, inter Plane- tam& Eclipticam interceptus, erit distantia Planete ab Ecli- ptica, seu mensuraanguli PSE. In triangulo sphærico PNE, re- ctangulo ad E, datur latus NP distantia Planctæ à nodo, item angulus Ninclinatio planorum orbitæ& Eclipticæ, quare per Trigonometriam innotesoet latus PE, Latitudo Planetæ He- siocentrica, quæ erat invenienda. Latitudo hæc Hcliocen- V trica, quoties Planeta in eodem orbitæ suæ puncto inveni- * Lasado tur, constans& immutabilis est. At Latitudo Geocentrica, n seu distantia Planetæ ab Ecliptica è Tellure visa, etiamsi in e. αemorbite suæ puncto conspiciatur, continuo mutatur * pro vario situ Telluris, respectu Planctæ: Sit enim BTAc N TaAV.29. Hg. 2. orbita Telluris, NP orbita Planetæ, qui sit in P, à quo V ad planum Eclipticæ demitti concipiatur perpendicularis PE. V Hæc linca, in quocunque orbitæ suæ puncto locetur Tel- IV lus, subtendet angulum, qui Planetæ Latitudinem Geocen- tricam metitur. Sit itaque Tellus in I,& Venus in PTel- luri proxima, in quo situ Venus videtur in conjunctione cum Sole inferiorè, ejus Latitudo Geocentrica per angulum ö PTE menfurabitur. At Venere in eodem loco P existente, ů V si Tellus punctum occuparet,& Venerem videat in con- jun- —— LAR. III DE VENERIS ET MERCURII LATITUDINE. 337 junctione superiore, ubi longissime ab illa distat, Latitudo Geocentrica erit secundum angulum PE mensuranda, qui angulo PLE multo minor est, Ob distantiam P- distantia PI nullto majorem. Hæc cadem de Mercurũ Latitudine sunt intelligenda. Unde patet, quod Planetarum Inferiorum, cœæteris paribus, Latitudo vila major est, cum hi Telluri sunt proximi, minor cum sunt remotislimi. Et quidem fie- ri potest, ut Veneris Latitudo Geocentrica major sit Helio- centrica, cum scil. intra Solem& Terram locatur, ubi Tel- Iuri quam Soli propior est. At Mercurius cum semper lon- gius à Tellure quam à Sole distet; semper minor erit ejus Patitudo Geocentrica quam est Heliocentrica, quæ cum maxima est, septem fere gradibus æquatur, tanta enim est inclinatio ejus orbitæ ad planum Eclipticæ. Cum nullius Planetæ orbita jaccat in Ecliptica, sed quæ- lihet eam secat in recta, quæ per Solem transit, necesse est ut Planetæ omnes bis tantum in qualibet periodo, in Ecli- ptica videantur, Cil. cum in propriis nodis versantur aliis Onmibus temporibus nunc magis, nunc minus, ab Ecliptica migrare conspicientur; funt tamen certi& determinati limi- tes, extra quas nunquam divagantur Planetæ. Adeoque si concipiatur in cælo ona, seu spatium latum viginti cir- citer graduum, per cujus medium incedit Ecliptica, hoc spatium Planetas omnes ambitu suo semper continebit,& Zadiacus nominatur, ab imaginibus animalium, seu Asteris- mis qui hanc cæli partem occupant, nomen ducens. Wel⸗- lus regia semper incedens via, nusquam ab ejus medio seu ab Ecliptica deflectit, ideoque neque Sol ab illa declinare Videbitur. Luna& errones quinque ad decem quandoque gradus interdum versus Meridiem, interdum versus Septem- trionem exspatiantes, intra Zodiaci tamen limites motus suos exercent. Hucusque contemplati sumus motus atque Phases Veneris ex ejus situ respectu Soli& Telluris pendentes, Nunc mo- tum ę Tellure visibilem in cælis secundum ZCodiacum per- Zodia- cu saiat Motus enerit in Zodi- 200. endamus. Sit ABC orbita Veneris, PGEFH orbita Pelluris, Tan ag. sit — IMO circulus referat Zodiacum ad Stellas fixas productum: Ve. 3. V Motus Veueris progrese Avas. Motus Aegres sivas. Venut stationa- ria. OQuanalo Venus directa. Cuaudd regredi videre- IVVr. Similes suut hases Mercu- V7ai 2 338 DEVENERIĩS ET MERACURII sit primo Tellus in I:& Venus in A, prope superiorem cum Sole conjunctionem; Patet spectatorem e Tellure Venerem in cælo referre ad punctum Zodiaci L,& si Tellus quie- sceret, dum Venus arcum AB in orbita propria percurreret, illa portionem Codiaci LM deseribere videretur. At quia Tellus interea movetur, cum Venus est in B, appellit Tel- lus puncto orbitæ suæ H, ex quo Venus conspicietur in N, & per arcum Zodiaci LV deferri videbitur; eritque Venus magis in Orientem progresla quam in priore casu. Cum ve- ro Venus adα C pervcnerit, Telhis ad G defertur, ita ut Ve- nus in recta ejus orbitam tangente& in Lodiaci puncto O conspicietur. In quo situ, motus ejus apparens erit fere æ- qualis motui apparenti SOlis. Moveatur deinde Venus ex C ad A rursus,& interea Tellus arcum GEK percurrat,& Ve- nus Circa conjunctionem inferiorem cum Sole videbitur,& in illo situ ad Zodiaci punctum P e Tellure reseretur, cum- que prius in O conspiciebatur Venus, per arcum OP regres- sam esse, seu ab ortu in occasum contra seriem signorum tendere, spectabitur: Cumque in Cuna cum Sole progredi Visa fuit, in Aautem celerrime regredi; oportet ut sit Iocus aliquis medius inter C& A, ubi nec regredi, nec progredi, sed ut stationaria videatur,& eundem in cœlis locum per aliquod tempus conservare. Perveniat jam Venus ad E,& Tellus ad F,& Venus è VTellure videbitur in Eclipticæ puncto Qmagis regressaʒ ubi autem Venus videtur è Pellu- re in recta quæ ejus orbitam tangit, rursus motum progressi- vum cum Sole habebit. Adeoquè inter mutationes cursus, seu inter motum progressivum& regressiyum, Venus morabi- tur nonnihil,& eodem in loco per aliquot dies consistere videbitur; ubi autem Tellus ad D pervenerit,& Venus sit in C, videbitur per arcum odiaci QR motu celeri versus orientem progrediisse. Hinc Venus, cum in superiore cum Sole conjunctione versetur, semper directe incedere, seu secundum signorum seriem moveri conspicitur: At cum est in inferiore conjunctione, seu cum inter Solem& Lerram exi- stet, tunc regredi& contra seriem signorum ferri apparet. Cuecunque de Veneris motibus ostendimus, ca Yo 14. XXIX. MOTUIN 20DIACO, 339 de Mercurio ejusque motibus Vera crunt. At Mercurii con- junctiones cum Sole, Directiones, stationcs®ressus fre- quentiores sunt, quam Veneris, hic enim celerior& in mi- nore orbita latus, epius Lellurem aslequitur quam Venus. Maxima Mercurii à Sole digressio adæquat circiter gradus 33. EX bis patet, quod horum Planetarum motus apPACH tes, C Tellure visi sunt admodum inæquales, qui nun pro- gredi, nunc stare; mo regredi,& rursus stare ccrnuntur: at spectator in Sole locatus, hos Planetas semper codem te- nore progredientes conspiciet. Nam talis est in his Planætis E Terra apparens motuum inequalitas, ut æquabili circa S8o- lem lationi accurate respondeat, unde liquet non Tellurem, ed Solem esse centrum motus Planetarum inferiorum. Sicuti superius stensum fuit, orbitam Telluris non esse Obitæ circulum sed Ellipsim, hoc idem verum erit de orbitis Ve- afa neris atque Mercuri;& cæterorum Planctarum, ꝗdoτ¹m Ellines. ornnium orbitæ sunt Ellipses, quæ non communem Oocum habent, in quo Sol residet, circa quem motibus licet inæ- qualibus Planctæ ferantur, certa tamen& immutabili lege motus ipsorum reguntur; nam ita Ellipseos perimetrum per- currunt, ut ab ipsorum centris, Radiis ad Solem ductis, describant seu verrant Areas Ellipticas temporibus propor- tionales; adeoque in Apheliis tardius incedunt Planetæ, in Periheliis velocius feruntur. Aphelia autem aliter quam Lu- nœ Apogæon vel quiescunt, vel lento admodum motu pro- grediuntur, adeoque saltem per unius hominis ætatem tan- quam quiescentia naberi posfunt. Observandum autem est ercurii orbitam esse ommium maxime ecentricam. Nam ejus Excentricitas est ad distantiam mediam ut 2051 ad 10000 LIE CTIOURVI De Motibus Planetarum superiorum Martis, Jovis Haturm:& Phænomenis indée ortis. NPhænomenis inferiorum Planetarum explicandis satis TAv. 36. diu immoratum est. Ad superiores Planetas eorumque A. i. motus contemplandos accedimus. Sit itaque ABCT orbita VV2 Tel- —— 8—— ————— Tempus determi- nmatur, in 7uo Pla- neta su- perior ad ronjfun- Eionem aut oppo- it innem Hubre- vertitur 34⁰ H MOTIBUS Telluris. Rotentur circa Solem Saturnus, Jupiter& Mars — in diversis ab illo distantiis, diversisque temporum periodis circuitus perficientes; sitque PYV portio Zodiaci, in quo motus suos peragere videntur. Primo patet hos Planetas è Sole visos, posse cum TLerra conjungi vel et iam eidem op- poni. Scil. si Saturnus sit in h, potest Tellus in Mlocari in recta quæ Solem& Saturnum conjungit, in quo situ E Sole videntur Planetæ in conjunctione. Vel potest Tellus in eadem recta in contrarias partes producta, in B scil. exi- stere, ubi e Sole Saturno opponi videbitur: at in hoc situ Solè Tellure visus cum Saturno conjungi apparebit. 2 Pa- tet Planetas hos è Perra visos posse aspectum quemlibet ad Solem obtinere, seu in dato quovis arigulo à Sole elongari, quod in inferioribus fieri non potuit, qui semper in Solis vicinia commorantur. Nam à Terra Lduci potest recta TP, quæ orbitas omnes secat,& cum TS recta Solis& Terræ centra conjungente datum faciat angulum STP, adeoque cum Terra est in P, Saturnus fieri potest in F, cujus elon- gatio à Sole est angulus STF. Præterea quando Perra& qui- libet Planeta superior e Sole in conjunctione videntur, Pla- neta ille e Terra spectatus, Soli opponi conspicietur; eos- que opposita cæli puncta occupare videbit Perricola. Conjungatur quilibet Planeta superior v. gr. Saturnus cum Tellure e Sole spectatus; Post conjunctionem, cum Perra velociore motu angulari feratur quam Saturnus, illam à Sa- turno magis indies recedere aspiciet Solicola; cumque Tel- lus arcum 59 min.& 8 secund. motu medio quotidie descri- bit, Saturnus autem, tantum duo minuta prima, erit mo- tus Telluris à Saturno, e Sole visus, quolibet die 57 min. & g secunda; si itaque fiat ut 57 min.& 8 secunda ad gra- dus 360, ita dies ad quartum, dabitur numerus dierum, in quibus Tellus rursus Saturno conjungi videbitur, æqualis scil. diebus 378. Sed cum Tellus& Saturnus, e Solè spe- ctati, conjunguntur, Sol& aturnus e Tellure visi oppo- nuntur; ergo tempus inter duas proximas oppositiones So- lis& Saturni ex motibus eorum mediis computatas, æqua- tur diebus 378 seu Anno cum diebus tredecim. Idem in- ter- Iter& M Hum perodt W U W 8 Parrst meden n Mhaq, Iι² sue dotest Laz VXI U 005 HEd IE α Lene „AloglE ahds Elen Hed unnus coum cum Tena H1E: mube Lel⸗ ide descri PLANETARUM SUPERIORUM. 34 tercedit tempus inter duas conjunctiones Saturni cum Sole proximas e Pellure visas; vel inter duas quaslibet similes daturni Elongationes à Sole: Tempusque inter conjunctionem & proximam oppositionem est hujus spatii dimidium, nem- pe dies 189. ö Smiliter invenietur Tempus inter duas proximas Jovis cum Sole conjunctiones, aut eidem oppositiones esse æquale Anno una cum triginta tribus diebus. At Mars post unam Oppofitionem, sequentem non attinget, nisi post binos an- nos,& insuper quinquaginta dies. Planetæ omnes Soli Oppositi oriuntur occidente Sole,& occidunt illo oriente; post autem digressum Planetarum a Solis opposito, manent ole orientaliores postque Solis Oc- casum vesperi sunt conspicui, donec Soli conjuncti simul cum illo occidunt& oriuntur, deinde post eorum à Sole re- cessum fiunt sole occidentaliores,& mane ante Solis ortum tantum conspici possunt; nam vespere citius Soli occidunt, donec ad oppositum Solis perveniunt, ubi rursus oriuntur occidente Sole. Utĩ de Inferioribus ostensum fuit, ita quoque superiorum Planetarum orbitæ non jacent in plano Eclipticæ, sed eo- rum omnium plana Eclipticam secant in rectis, quæ per Solem transeunt,& Nodorum Lineæ dicuntur. Punctaque ubi hæ linee Eclipticæ occurrunt, Nodi vocantur. Quarꝰ nec superiores Planetæ unquam in Ecliptica videntur, nisi cum in nodis versantur; in aliis omnibus locis nunc magis, nunc minus, ab Ecliptica deflectunt,& maxime ab illa di- stant cum circa limites seu puncta ab utroque nodo æquidi- stantia versantur, ubi Latitudines maximæ Heliocentricæ sunt quæ sequuntur, scil. daturni Latitudo maxima Helio- centrica est 2 grad. 33. min. Jovis 1 grad. min. 20. Et Mar- tis 1 grad. 52. min. Dato Loco Planetæ in sua orbita, seu distantia ejus à no- do, eadem ratione exquiretur ejus Latitudo Heliocentrica, qua vos Veneris& Mercurii Latitudines invenire docuimus. Latitudines autem Planetarum Geocentricæ, seu distantiæ à Plano Eclipticæ e Tellure viss, ex situ& distantia I ellu- VV3 ris Orhita- rum Pla-· na in- clinan- tur ad Ec lipti- cam. TaB. Z1. Fe: I. Plauetæ superio res pleno orbe saul- Seve Mars in 342 D E MOTIB US. ris plurimum pendent, nam eadem manente Latitudine Pla- netæ Heliocentrica, pro varia positione Lelluris, varia e- rit ejus Latitudo e Terra visa. Sit enim Telluris orbita T 5,‚ superioris vero cujusvis, Martis verbi gratia orbita sit M, cujus planum ad Eclipticæ planum inclinatur; illudque intersecat in linea Nodorum N½. Sit Mars in G,& Tel- lus in T., ut videatur Mars in aspectu ad Solem opposito, X O ad planum Eclipticæ demittatur normalis recta E, herc rœcta subtendit angulum, qui latitudinem Planetæ Geo- centricam metitur. Cum itaque Tellus est in T, inter So- lem& Martem„ Latitudinem Martis visam angulus IE metietur. At si L ellus in, locetur, ut Sol fiat Marti con- junctus, ejus Latitudo ę Terra spectata erit æqualis mensu- ræ anguli&E, qui angulo TE multo minor est,& in eadem fere ratione minor qua distantia Ominor est distan- tia 7C. Si Tellus sit in T, erit Martis Eatitudo Geocentri- ca major Heliocentricà& quando Tellus in? existat, crit Illa hac minor. Eodem modo pro vario situ Martis& Tel- luris, respectu Solis, Latitudo ejus Geocentrica mutatur, ita ut cæteris paribus illa sit minor, quo Mars propior sit conjunctioni cum Sole,& major quo is Solis opposito sit Vvicinior. ů Patet etiam superiorum nullum è Terra visum posse in Solis disco Ipici, ut Veneri& Mercurio contingit. Potest tamen illorum quivis à Sole tegi, quando Planeta cum 11ο conjunctus, sit nodo satis vicinus, ut post Solem latcat. Cum Planetarum omnium facies, quæ Soli obvertuntur, Ollis luce reslexa splendeant, cumque Tellus in vicinia Solis semper apparet è Jove aut Saturno conspecta, horum Planetarum facies quæ Soli obvertuntur, etiamn JLerræ ob- verse erunt; unde iemper Terricolis pleno orhe fulgentes apparebunt hi planetæ. At cum Mars in orbita feratur, Zaararo JU PrOpius à Telluris orbitam accedit, patet ejus faciem aspectu 50li Obversam non semper totam Telluri Obverti, sed circa alen. quadratum Martis cum Sole alpectum, cum seil. Tellus zulum gibb sus. Tau zo natæ e Terra non videbitur,& proinde Phasis Martis erit I. t in Mvel B,& Marsin N aut R, pars aliqua faciei illumi- gibb 0 SIE.j/.„F·RR‚.‚ —„WiEEe A.——„——— H E Ee 7 V 90779/½/8 manhn 71⁴½ Aelue Worelt,&n Wreltdlan- CEoLentr Nlat, ert SN TLer amutur, 2*2* Obvettuntur, PLANETARUM SUPERIORUM. 343 gibbola, at in conjunctione aut oppositione Martis& Solis, totus illuminatus discus ę Terra erit conspiciendus;& præ: sertim in Oppositione Solis, ubi Lerræ proximus rotundam & maxime fulgidam speciem exhibet. Planetæ superiores multo majores videntur in oppositio- nibus Solis, quam in conjunctionibus, nam multo minus àa Tellure distant in uno situ, quam in altero,& distantiarum dickerentia equalis est diametro orbis magni in quo circa So- lem movetur Terra, quæ differentia cum ad semidiametrum Orbite Martis majorem habeat proportionem, quam ad reli- quarum orbitarum erudiametros, maximum equs magnitu- dinis apparentis faciet discrimen. Nam Mars quinquics cir- citer nobis est propior in oppositione Solis, quam cum in ejus conjunctione videtur, adeoque cum Vilibilis cujufvis discus& splendor augetur in duplicata ratione distantiæ di- minuteæ, Mars vigesies quinquies major& sirnul lucidior in Oppositione Solis quam in ejus conjunctione apparcbit. Cum Jupiter quinquies longius& Sole distet, quam Wer⸗- ra ab codem distat; diameter Solis apparens, Jove sub an⸗ gulo tantum sex scrupulorum videbitur, qui nobis est trigin- ta, Solque Jovis incolis Vigesies quinquies minor apparebit quam nobis. Et luminis& caloris vicesimam quintam tan- tum partem à Sole recipient Jovicobe, lius quo fruuntur & foventur Terricolæ. At Saturnus cum decies longius à Sole distet quam nos, Apparens Solis diameter ex illo visus sub angulo trium tantum scrupulorum conspicietur,& Pau- 10 duplo major quam Venus Ferigæa nobis apparebit. Adeo- que Solis discus ex Saturno visiis centies minor apparebit, & tam Lux quam calor in eadem ratione in Saturno mi- nuuntur; unde oportet ut Saturni Regiones ctiam Aquato- rie lint nostris intra Polares circulos inclusis Terris frigi- diores. Planetæ omnes superiores è Sole conspecti, uniformiter secundum eandem plagam& eadem lege, æquabili scil. Arearum descriptione, Iemper progredi cernuntur, unde fit ut cCorum motus angularis circa Solem sit inæequalis, in A· pheliis enim morantes tardius incedunt, ciτrea Perihelia. VCI· Planetæ superio- res iu p- Palsctione &o lis quam 777 conjun- Cione masores. — Bersi- 24 64⁴lb- 7 in Planetis. Planeta- vammo- rusLel- lure con eckt ir- —7—.m— TAV. 30. . 2. Quando Flaneta directus velo Ouando stationa- rius vi- Aetur. 344 DEMOTIB GS. versantes velocius feruntur; at è Pellore visi hi Planetæ, motus admodum irregulares in Lodiaco peragere videntur, aliquando enim progrediuntur ab occidente in orientem, se- cundum veros ipsorum motus, deinde paulatim tardescunt; donec tandem immobiles& quasi stationarii conspiciuntur; mox motu retrogrado ferri,& in plagam motibus veris con- trariam tendere eos aspicimus; rursusque deinde quasi im- mobiles stare apparent; donec post aliquod tempus progre- di,& ab occidente in orientem ferri videntur. Hæ motuum & cursuum mutationes, ex motu& situ Pelluris omnes o- riuntur. Sit PO portio Zodiaci, ABOD orbita Telluris EMGL superioris cujusvis Planetæ Orbita v. gr. Saturni. Sitque Tellus in A,& Saturnus in E, in quo situë Tellure videbi- tur Zodiaci punctum O occupare. Si Saturnus quiesceret, Tellure ad B deventa, videretur Saturnus in Zodiaci puncto L,& per arcum OL secundum seriem signorum seu ab oc- cidente in orientem progressus; verum interea dum Tellus transit ab A ad B, Saturnus fertur motu proprio ab E ad M, ubi in conjunctione cum Sole venit,& ex Terra arcum OQꝗ in Zodiaco confecisse videbitur,& hic arcus est arcu OL majorʒ unde Planetæ superiores cum sunt in conjunctione cum Sole, celerrime progrediuntur, ob duplicem causam, nempe quod revera circa Solem ferantur, tum quod Lerra in ad- verso semicirculo in eandem plagam feratur, circa idem cen- trum; adeoque Planeta quando à Terra est remotissimus& Soli conjunctus citius solito in consequentia signorum ferri apparet; quo in situ dicitur fieri directus. Ad C deventa Tellure, dum Saturnus arcum MG describit, is in Zodiaco in R conspicietur: quando autem Tellus est in E,& Satur- nus in H, Tellus fere in recta movetur quæ per Saturnum transit, vel quod idem est recta Saturnum& Terram con- nectens orbitam Terræ tanget,& Terricola Saturnum ad idem Zodiaci punctum tund referet,& eundem locum in- ter fixas conservare videbit; unde in co situ Saturnus statio- narius apparebit. At Tellure in D translata,& Saturno oppositum— Fun:⸗ S... — —3 —S——.—— — PLANETARUN SUPERIORUNM. 345 r, punctum X tenente, videbitur is locum in Zodiaco Voc- Metem, f. cupare& per arcum PVregrenus. Undẽ liquet Flanctas cum Mruraum, Soli opponuntur semper retrogrados conspici,&in Antece- Oulhiaamu, dentia, seu contra signorum leriem, motu apparcnti terri. WPGSen. Ad A autem rursus delata Pellure„& Sdaturno circa hes⸗ de ulm rente, denuo in statione sua in pundo seil. N permanere Pus punt apparebit Planeta,& tandem cum 1 cllus hun- situm reli— 2hun querit, Saturnus rursus progredi& in directum moveri con- oU0. spicietur. Quæ de Saturno hic ostensa sunt, eadem de Jove& Marte SEMUOH/ intelligenda sunt; qui nunc progredi, nunc stare, mox regre- di deinde stare,& denuo progredi conspiciuntur, Saturni au- tem regressiones frequentiores sunt quam Jovis exinde quod Tellus Saturnum Planetarum lentissimum sæpius asequetur, Ini N IInl. dicue Ar videdt. nund quam Jovem non paulo Velociorem. Quin ob candem cau- 604506 sam Jovis quoque Rene, quam Mar⸗- mTels tis, quia cil. Mars velocior Jove latus, majus der Dal currit& opus erit, ut longiore tempore ad oppositum Solis 14 00 perveniat, quam in 3ove requiritur. 17.4 Sit AC portio orbitæ Terræ, quam tangit recta AN, in Fr. ＋— qua è Tellure ponamus conspici Planetas superiores is Höbaneom Mars in& videatur, Jupiter in,& Saturnus in H, sitque ai Pla- 22⁴7 KLMN portio Zodiaci. Erit Martis locus é Sole visus K, n. ett H. qui est Iocus verus& Heliocentricus; at cum Tellus sit in A, 2encel. ex illo loco Mars ad Zodiaci punctum Nreferetur, quod tIIms& dicitur ejus apparens locus. Similiter Jupiter è Sole visus nomm sem in Lconspicitur, qui est ejus locus verus, at è Tellure ad CcHνεn punctum N refertur. Eadem ratione Saturni verus locus ZOdACO qualis ex Sole orbitæ suæ centro conspiciendus est, erit in X,KSul⸗ M, at locus apparens e Herra visus est in Codiaci puncto ＋Sturnum N. Arcus KNLNMN differentiæ scil. inter locos apparentes eram 60ll& veros dicuntur Parallaxes orbis annui in his Planetis. Per umum ad Solem S ducatur SO ad AN parallela, eruntque per 9. EL. locum il- primi anguli AG&S, ANVS, A5S singuli respective æquales nus salb- angulis KSO LSO& MSO, quorum mensuræ sint arcus KO LONMO. Estvero angulus ANS,Æqualis angulo NSO, cujus Itum 0 XX men˖ Pul⸗ Retro- gradatio- nen, in Marte majores quam in vove& in Jove, majores YJuam iu Zaturgo. 346 DE PARALLAXIORBIS. mensura est arcus NO, qui itaque erit mensura anguli ANS. sub quo semidiameter orbitæœ TFerræ e cœlo videtur sed Ad semidiameter orbitæ Terræ respectu distantiæ cœli, seu fixa- rum evanescit; nam illa e fixis conspecta sub nullo fere an- gulo videtur: cvanescit igitur in cœlo angulus NSO huicque proportionalis arcus NO,& proinde coincidere videntur puncta N&O,& arcus KO LO&MO minime different ab ar- cubus KNLN&MN, qui itaque erunt mensuræ angulorum ACVS AVLSAHES. At illi anguli sunt ut apparentes semidia- metri orbitæ Telluris ex Planetis singulis Vise. In singulis itaque Planetis superioribus, Parallaxis orbis annui est ubi⸗ que ut angulus sub quo semidiameter orbis magni per Ter- ram transiens„ e Planeta videtur;& quo Propior Plancta ad Tellurem vel Solem accedat, eo major fit iste angulus. Hinc Parallaxis in Marte major erit illa Jovis; sicuti in Jo- Ve Parallaxis annua major erit quam in Saturno. At in stel. lis fixis nulla deprehenditur Parallaxis orbis annui. Anguli A ALSAhs sunt quam proxime maximæ E- longationes Telluris à Sole e respectivis Planetis visæ; in Marte adæquat hic angulus 42. gr. adeoque Jellus e Marte conspecta minus digreditur à Sole quam Venus à nobis visa. In Jove maxima elongatio TPelluris à Sole videtur gr. II. quæ est circiter semissis Elongationis Mercurii maximæ à nobis conspiciendæ. In Saturno Angulus hic, seu Elongatio Telluris à Sole maxima minor est sex gradibus,& quarta circiter pars Elongationis Mercurii à nobis visæ, cumque Mercurius raro admodum se nobis conspiciendum præbet, rarissimus e Saturno erit Felluris nostræ conspectus,& for- tasse Saturnus Astronomis nondum innotescit, Globum Lel- luris nostræ in rerum natura existere. Hinc manifestum quoque est, Retrogradationes in Mar- te, majores esse quam in Jove, necnon majores in Jove, quam in Saturno, idque ob duplicem causam, tum quod Mars Pelluri propior sit quam Jupiter,& is quam Satur- nus, tum quod velociore motu ferantur. ö Ex data in quovis Planeta Parallaxi orbis annui, sacile V. alhs nii, l DEPARALLAXIORBIS. 347 innotescet ejus distantia à Sole, respectu distantiæ Telluris ab codem. Nam quoniam in Marte datur angulus A, Pf. quem metitur arcus Parallaxis ammue,& angulus AS, E- ran dj. longatio Planctæ à Sole, observatione aut caloulo cogni- tus, si fiat ut sinus Parallaxis anmue ad sinum Elongatio- ν nis Martis à Sole, ita SA distantia Telluris àa Sole, ad 8S C„allaat distantiam Martis ab eodem, illa dabitur. Hæc Parallaxis an orbis, qua Planetæ citius tunc tardius in cælo videntur fer ri,& nunc in orientem promoveri, nunc in occidentem retrahi conspiciuntur, producit in motibus eorum Inæqua- ain tatem, quæ ab Astronomis Inæqualitas secunda& Optica 4½½π dicitur, ut distinguatur à prima quæ Planetis revera inest, qua inæquabili motu in orbitis suis ferantur: in oppositio- 2ι nibus aut conjunctionibus Planetarum cum Sole, inæquali- tas illa seu Parallaxis evanescit,& idem est locus Planetæ Geocentricus qui Heliocentricus, seu qui ex Sole VIderur. Planetarum duo extimi amplo satis donantur Satellitio, nnn nam Jupiter non paucioribus quam quatuor comitibus sti- Saelli- patus incedit, Saturnus quinque; mirum& jucundum spe- 15. Caculum; hi instar Lunæ nostrœ, primarios suos in Cir- culationibus circa Solem perpetuo comitantur,& interea circa primarios gyros describunt, unde ex Primariis con- specti easdem subeunt Phases, quas nobis Luna exhibet, in Ooppositionibus cum Sole fulgidi& pleni apparent; inde discedentes gibbosi, cumque veniunt ad quadratum cum Sole aspectum, dimidiati; ante conjunctionem corni- culati,& in ipso cum Sole coitu prorsus evanescunt. ETerra visi hi Satellites, quamvis nunquam e Prima- rio suo longe recedant, nunc tamen ei propius admoveri, nunc ab illo digredi conspiciuntur. Sit A3 orbita Perræ 4 1 in cujus medio est Sol, SF sit portio orbitæ Jovis, in qua fa. 7 sit Jupiter in, qui residet in centro quatuor circulorum, quos quatuor Comites, seu Lunæ circa ipsum describunt. Lunæ hæ quando inferiores orbitarum partes LNM descri- bunt, e Sole vel Terra conspectæ, Vorlds occidentem ten- dere videntur, at dum orbitarum partes superiores GHK percurrunt, in orientem secundum veros ipsorum motus pro- I Per—— 4¹⁷fe 7⁰0ι- 2 7½% 95„ 1I . FTael iia Crε uν 2 7 Jole ACtenmn⸗ AMur. 348 DE sUPERIORUM SATELLTriBUs. progredi conspiciuntur. Et cum ad orientem tendunt Lu- næ bis Occultantur, semel quidem in O ab interposito Jo- vis corpore, quod in ręcta est inter Perræ& Jovis centra, terumque in umbra Jovis evanescere videntur comites; quee Occultationes proprie Lunarum Eclipses simt;, quee nunquam contmgunt, niti quando inter eas& Solem Jupi- ter directe interponitur, hoc est momento Plenilunii, S0. lis kumine privantun, sicuti Luna ex Terræ interpositione Ob candem causam desicit. 48 1777 87—..——— Quando eit Sole Orientalior,& Vespertinus ap- 14O Juplter paret, hoc est cum Tellus in A, prius latent pone Jovem, ob comjunctionem visam cum corpore Jovis, priusquam in umbram incurrunt, deinde ab umibra Jovis deliquia patiun- tur. At quando Jupiter est Sole occidentalior, hoc est post ejus conjunctionem cum Sole, ubi is mane apparet, hoc est, quando Tellus circa B versatur, prius in Jovis um- bram incurrunt Lunæ ad V, quam ab ejus corpore occul- tantur in P, cum autem reétrogradæ sunt Lunæ, id est quando tendunt ad occidentem seu Inferiores orbitarum par- tes percurrunt, tunc semel tantum absconduntur, ut in Q, cum ab ipstus Jovis corpore distingui non poffunt, at quando e Sole conspectæ in conjunctione cum Jove in- teriore videntur, seu quando Jovis incola eas Soli jungi conspicit, earum umbræ in Jovem incidunt,& aliqua pars dει Jovis eclipsim exinde patietur;& qui sub umbra de- gunc, Solem eclipfari videbunt. Harum Lunarum tam Jovialium quam Saturniarum Periodi& distantiæ à prima- 118 6e sunt, quæ ad finem Lectionis Tertiæ à nobis tradi- un Ex harum Lunarum motibus& Eclipsibus„ Parallaxis rbis annui& distantia Jovis à Sole optime innotescit. Sit POR orbita cujusvis satellitis v. gr. extimi, sitque Tellus in Orbite suæ puncto A: Oportet observare tempus quan- do post Jovem latet satelles in O, quod ut fiat„Observe- tur momentum quando primo videri desinit, atque iterum ria Jovi, momentum quo conspici incipit, momentum inter hæc medium. erit. momentum temporis, quando in recta per Jo- VIS II DESUPERIORUMSATELLITIBUS. 39 vis& Terræ centra transeunte locatur. Similiter observe- tur Tempus quando Satelles est in medio Eclipsis quam ab umbra Jovis patitur, scil. quando est in V/ ex quibus dabitur tempus quo arcum OV describit;& cum motus Uabilis sit, exinde habebitur arcus OV, ejus circa Jovem æꝗ nam circa Jovem revolutionem absolvit hic satelles horis 402. Supponamus tempus quo Satelles ex Oa tur esse duodecim horarum. Fiat ut 402 horæ ad horas 12 ita 360. gr. ad quartum qui invenietur 10 gr. min. 44. est itaque arcus OV æqualis rad. 10. min. 44. At eit arcus OVmensura anguli O ÆV, seu huic æqualis ALS, Cujus mensura est Parallaxis orbis annui, quæ proinde irmote- eet. In Triangulo igitur A datur arigulus ad,& præ- terea angulus ad A, Elongatio Jovis à Sole ex Terra visa, quem Astronomos tum e calculo, tum ex Observatione cognoscere posse certum est; datur prerterca latus AS di- stantia Perræ à Sole quæ ponatur 100000, Cum igitur in hoc triangulo dantur omnes anguli, uνmim latus; dabun⸗ tur per Lrigonometriam reliqua latera, hoc est latus 8& distantia Jovis à Sole,& latus A& distantia Jovis à Terra. Verum ut hœec exacte habeantur opus est pluribus accura- tisque observationibus, iisque optimo telescopio peractis. per Stellarum Jovialium Eclipses solvitur Problema to- uus Physice nobilissimum, quod dignitatis& admirationis plurimum in se habet; Nuin scil. Lut is motus sit instantantus, * ** aut succeffvus? Ex his enim Eclipsibus demonstratur lu- cem non in instanti propagari, motu tamen admodum per- 7 17½ 27 ＋4 stanti nci,& celeritate incredibili ab astris ad nos pervenire. Nam si Lucis motus instantaneus esset, cum Tellus est in Ia JovVe maxime remota, eodem momento videretur E- clipsis satellitis ac si esiet in& Jovi proxima; nam secun- dum banc hypothesin lux eodem momento, her patia in- definita propagatur, sin lucis propagatio sensibilem aliquam temporis moram requirat, observator ad Xdistantià quæ diametro orbis magi æqualis est, erit Jovi propior quam observator in T locatus, citiufque Eclipsim Videbit, quam qui ex T illam aspicit, unde e& intervallo temporis, ö 3 di- Veuf 350 DESUPERIORUM SATELLITIBUS. distantiæ T proportionato radiorum velocitatem æstimare licebit. Atque ita se res habet, nam quotiescunque Terra Jovi propior accedit, Satellitum Eclipses citius incipiunt, quotiescunque Perra ad T à Jove recedit, Eclipses serius conspiciuntur, quam per computationes factas fieri debent. Hæ quidem anticipationes,& prolongationes Eclipsium Sa- tellitum, per plurimos annos observatæ, à Domino Romero primùm adhibite fuere ad successivam lucis propagationem statuendam, lucemque eadem ratione qua reliqua ommnia cor- pora mota determinato quodam velocitatis gradu propagari evincunt; cui sententiæ plerique Astronomi& Philosophi assensum præbuere. Lucis itaque particulæ, etsi indefinite exiguæ, motu pro- gressivo rectilineari feruntur,& non per undas medii alicu- jus defunduntur, Lucis velocitatem talem esse statuit Ro- merus, ut à Sole ad nos spatio undecim minutorum perve- niat, at distantia illa inter Solem& nos quinquaginta mil- lies millenis passibus non minor est, quod spatium tantillo tempore percurrit lux ut ejus velocitatem satis admirari non poslimus, quæ corporum velocissimorum celeritates in im- mensum superat,& quamvis Tellus celeri admodum motu circa Solem feratur, ejus tamen velocitas ad velocitatem lu- cis comparata, non majorem habet rationem quam motus testudinis ad illam Terræ velocitatem. Pereat EX Eclipsibus Jovialibus hoc etiam commodi nobis deriva- aem Es. tur, quod ex iis in diversis Terræ locis observatis, loco- annn rum longitudines determinantur, sed ut hec methodus de- tu, terminandi locorum longitudines, clarius Vobis elucescat, Locorum quædam hic præmittenda sunt. ö , Si per Terrœ polos& locum quemlibet in ejus superficie traduci supponatur circulus maximus, hic circulus, ob re- volutionem Telluris diurnam, circa axem Telluris etiam vertitur, cumque ejus planum per Solem transierit, ab ommi- bus incolis qui sub illo degunt, Sol in illo existere videbi- tur, iisque Meridtem efficit; ob quam causam, circulus hic Meridianus dicitur, si autem sit alter Meridianus versus oc- cidentem positus, qui cum priore angulum We gra- uun LE. XXI. DE INVENIEVDA LONGTTUDINE. 351 duum constituat, hic una hora serius ad Solem appellet, quam prior; adeoque cum Incolæ, qui sub posteriore Meridiano degunt, numerant mediam diem, seu oram duodecimam prioris Meridiani incolæ horam primam post meridiem nu- merabunt. Similiter si meridianorum angulus sit triginta graduum, hoc est cum arcus auatoris inter Meridianos interceptus sit 30. grad. quando sub occidentaliore Meridia- no est Meridies, sub orientaliore numerabitur hora secunda post meridiem. Atque ita pro singulis quindecim gradibus, quibus Arcus QMaquatoris inter Meridianos interceptus con- stat, tot numerantur horæ quibus incolæ sub Meridiano o- rientaliore anticipant horas, quæ sub occidentaliore Meri- diano numerantur. Et similiter pro singulis gradibus Æqua- toris numerabuntur quatuor minuta Temporis, proque sm- gulis quindecim minutis unum temporis minutum numera- bitur, v. gr. si arcus quatoris inter Meridianos interceptus lit 85. grad. dividendo 85 per 15, quotiens 55 monstrat sub meridiano orientaliore, numerari horam quintam cum qua- draginta minutis, uando incolis sub occidentaliore fit Me- ridies;& quando fit Meridies incolis sub Meridiano orien- taliore degentibus, occidentales numerabunt horam sextam matutinam cum viginti minutis,& differentia inter horas in diversis his locis humeratas semper manet 5& 5, si arcus inter meridianos interceptus sit 85 graduum. E contra datà differentia horarum, quæ in locis pro eo- dem temporis momento numerantur, dabitur exinde Arcus Maquatoris inter Meridianos locorum interceptus; qui Arcus differentia Longitudinem locorum dicitur, quando scil. Longitudines ab aliquo primo Meridiano computantur, ha- betur autem arcus ille multiplicando horarum differentiam per 15,& productus dabit gradus,& si minuta quoque temporis multiplicentur per 15,& productus si superet 60 dividatur per 60 quotiens& residuum dabunt gradus& mi- nuta, qui prioribus additi, conficiunt differentiam Longi- tudinum locorum. Exempli gratià, horarum differentia sit 7& 2 minuta prima; 7 per 15 multiplicatus facit 105,& 22 in 15 ductus efficit minuta 330, seu quinque gradus& 3⁰ 35² E INVENIXNDIA LONVGTrUpNE. O. min. unde longitudinum differentia tota erit 110 grad 30. Hisce præmissis. irn Si in duobus diversis locis„Observetur initium Eclipseos cujutvis e JOVialibus,& notentur horæ quibus in dixversis locis accidit Echpiis, Horarum differentia, si in gradus& minuta Aquatoris vertatur, dabit differentiam longitudi- num locorum. Si habeantur Ephemerides motuum& Eclipsium Jovia- lium pro Meridiano alicujus loci accuratè supputatæ; vice bservatoris in uno locorum, Ephemerides sunt COnsulendæ hora& horæ scrupula quibus initium vel finis Eclipseos 40 cidit ex ĩis sunt eximenda,& tempus in loco dato com 2 ratum cum horã loci in quo observatur Eclipsis, dabit ho- rarum differentiam,& eéxindè Ioi gitudo loci innotescet. Longitudo quoque habetur per observationem Eclipseos Lunaris, aut appulsus Lunæ ad aliquam fixam, sed hæ Phases rariùs conspiciuntur, quam Eclipses Satellitum Jovis. In Terrâ& Solo stabili facile observantur Eclipses;& si idem in mari præstare licuerit, Ars Nautica esset fere per- fecta;& nulli ferè errori obnoxia: verùm in mari, Motus & Jactationes navis omnem observationem Eclipsium impe- diunt. Adeoqueè si aliquis methodum traderet, quã longi- tudo navis in medio maris quovis tempore inveniri possit, i5 solveret Problema Nautis exoptatissimum,& Reipublicæ adeo utile, ut sanctione Senatus nuper facta, Præmia larga inventori tribuenda sunt: exinde plurimi ingenia sua in illo excolendo exercuère& torsère. At nemini hactenus pal- mam in medio positam rapere licuit, etsi varias vias metho- dosque tentaverunt& proposuerunt,& plurimi suarum in- ventionum amore capti, rem à se enestem existimantes, Præœmia postulaverunt, quorum tamen plerique nesciebant demum quid sit Longitudinem invenire. D E COMETIS. 37³ LECOSTIO XVII. De Cometis. Ræter Planetas ordinarios, qui semper in viciniâ nostrâ Cπνε discurrunt; est& aliud quoddam Planetarum Genus, G. qui temporanei appellari merentur, 2515 aliquando in e. nostro cælo sunt conspicui,& post aliquod apparitionis tem- pus rursus à nostro visu se subducunt. Eos in cælesti re- gione collocabant veteres philosophi& longè supra Lunam Vchebant. Nam testibus Aristotele, Senecà, Plutarcho allisque, Pythagorici& Italica secta asserebant, Cometam sse unam ex stellis errantibus sed longis post temporum In- tervallis apparere; idem sensit Hippocrates Chius, ut ex co- dem Aristotele constat. Idem quoque sensit Democritus, ut auctor est Seneca in Naturalium quæstionum lib. vn. cap. 3. Sic enim inquit, Democritus subtilissimus antiquorum o- mnium, suspicari ait se, plures stellas esse qui currunt, intel- ligens Cometas. Sed nec numerum illorum posuit, nec nomina, nondum comprehensis quinque siderum cursibus. Et rursus Seneca dicit, Apollonium Myndium peritissimum inspiciendorum naturalium, asserere Cometas in numero Stellarum errantium poni a Chaldæis, tenerique cursus eo- rum. Apollonius ipse ajebat, quòd proprium Sidus est Co- metes, sicut Solis& Lunæ. Cæterum non est illi palam cursus. Altiora mundi secat,& tumn demum apparet, cum in imum cursus sui venit. Huic sententiæ accedit ipse Se- neca. Non existimo inquit ille Cometem subitaneum esse ignem, sed inter æterna opera Naturæ. Cometes habet suam sedem,& ideo non citò expellitur, sed emetitur spatium suum, nec extinguitur, sed excedit. Si erratica, inquit, Stella esset, in Signifero esset, sed quis unum Stellis Iimi- tem ponit? Quis in angustum divina compellit? nempe hæc ipsa quæ sola moveri credis, alios& alios circulos habent, quare ergo non aliqua sunt, quæ in proprium iter& ab istis remotum secesserint? Ut verò cognoscantur, necessarium 41 Yiuio esse dicit, veteres ortus Cometarum habere collectos; de 44α prehendi enim propter raritatem eorum cursus adhuc non netis. VY Po- 37⁴4 5E COMETI S8. potest, nec explorari an vices servant,& illos ad suum diem certus ordo producat. Tandem sic vaticinatur; Veniet Tempus, quo ipsa quæ nunc latent, dies extrahet,& lon- gioris ævi diligentia. Ad inquisitionem tantorum ætas non una sufficit. Veniet tempus quo Posteri nostri tam aperta nos nescisse mirabuntur; erit qui demonstret aliquando, in aquibus comete partibus errant, cur tam seducti à cæteris cunt, quanti qualesque sunt. Perita- Sed his non Obstantibus tota Peripateticorum secta me- zctietCο tuens, ne Generationes& corruptiones in cælis admitteren- r wuege. Fur, Cometas inter sublunaria corpora posuit. Ilosque esse 674 v4. Meteotén genus contendit. Sed ne hic Jocus iis concedatur, meran. Tepugnant corum Phænomena, vam non in aere nostro illos generari exinde patet, quod longe fupra acrem evehuntur; Cometæ M lOcis enim Telluris maximè dissitis eodem temporis mo- ause mento Videntur; quod ob humilem aeris locum nulli cor- pori aerio contingere potest. Comete At non tantum fupra aerem, sed etiam supra Lunam a- scendere Cometas, exinde constat, quod ex diversis locis 2. VIII„eandem ferè observantur sortiri distantiam à Stellâ ali- quâ vicind. Exemplum sit Cometes ille, quem Tycho Bra⸗ hee Uranoburgi& Hagecius Pragæ in Bohemiâ codem tem- pore Observyarunt, qus: duo loca Latitudine differunt sex gradibus,& præterca sunt fere sub eodem Meridiano. U- terque observabat, quantum Cometa distabat a Stella quæ Vultur appellatur, id est quot Gradibus esset infra eam, erat chim in éeodem verticali cum illa;& uterque reperit andem esse distantiam,& consequenter, uterque inspexit iHlum in eodem cœli punco, quod fieri non potuit. nisi Cometa esset supra Lunam.—6 Bemen. Circulus AB G exponat orbem Terræ, in quã sit AULA. re, noburgum, B oppidum Pragæ, D lIocus Cometæ. Sit FCE Cometas 2 . lapra Xarum cælum,& Stella Vulturis. Ex Uranoburgo 1lo- Ludun. Cus Cometæ ad punctum E in cælo refertur, ezusque distan- . 1— 2 tia à Vulture erit FE,; ex Praga autem spectatus Cometa, in C videbitur, distabitque à Vulture areu F C, qui arcu EE crit minor; Verùm deprehensum est Cometam ex 9390 cTTRT DECOMETIS. 355 bus hisce locis visum eandem obtinuisse distantiam visibilem àa Stellà Vulturis,& arcus proinde FE„FC, fuisse æquales. Tanta itaque est distantia Cometœ à Tellure, ut arcus CE Vanescat. At hoc non quidem Lunæ contingit, adeoque longior abest à nobis Cometa, quam Luna. E centro Telluris viso Cometà, locus ejus in cœlis sit G/ at Terræ fuperficie in A spectato locum E occuparc vide- tur. Prior dicitur locus ejus verar, Posterior visus,& di-. stantia GE qua humilior apparet dicitur Parallaxis, eã sem- per deprimitur Phenomenon versus horizꝛontem. Est autem Parallaxis Phenomeni, ut superius dictum fuit de Lunà, semper æqualis angulo sub quo semidiameter Terræ per lo- cum transiens è Phæenomeno videtur. Quod si nulla fuerit Parallaxis sensibilis, neque angulus, sub quo semidiameter Lelluris e Cometâ apparet, erit sen sibilis. Adeoque oportet, ut Cometa longissime à Lellure distet. Nempe ut diameter Terræ, ut punctum ex Come- tã videatur. Unico filo, in tantæ subtilitatis negotium advocato; Parallaxis, si modo sit sensibilis, deprehendi potest. Nam cum Cometa in fine apparitionis adeo lentescit proprio mo- tu; ut vix incedere videatur, bis observandus est per filum, hoc modo; primò cum valde ab horizonte sublirnis fuerit, notentur binæ stelleæe ei viciniores, inter quas ipse sit collo- catus, in rectà linea, quæ sit Horizonti parallela, quod per fllum indirectum stellis assumptis expositum atque oculis prætensum experiri oportet. Posteaà cum occasurus prope Horizontem fuerit, iterum prætenso filo, expendendum est, an in eàdem rectà lineâà cum iisdem stellis videatur; nam si Parallaxis adsit sensibilis, quæ deprimit sidus, non in eãdem rectãà quæ Stellas conjungit apparebit; sin secus,& in eddem positione, quoad Stellas manèat, indicium est, Cometam nullam subire Parallaxim,& longissime à nobis distare. Nec quicquam hic à refractione timendum est, quæ prope Ho- riꝛontem solet sidera supra verum eorum locum clevare, quia bæc ipsius hallucinatio, tam Stellas quam Cometas æquali- ter elevabit, ac proinde eorundem mutuam distantiam ae 9** po- Cometæ locusve- rur, vi- 45„ Pa- rallaxis. Depre- hensio Paral- laxis Co- meta- rum. Aia me- 4Hoαr be- nieudi Paral- lavev. Cometæ Paral- Laxi or- bis annui sunt ob- noxii. * Nide Neroloni Priaci- Pia 1ib. 3· Quando Cometa retrogra- 4 vide- Ar. uando Airectus, Jusdto iadiur. Cuaudo Iasioce- lerior. 356 DE COMETICS. positionem non mutabit refractio. Observari etiam potest Cometa juxta Horizontem orti- vum, intra binas Stellas, in circulo Horizonti perpendicu- lari,& postea cum sublimior evaserit& non in eodem ver- ticali cum dictis stellis, si apparuerit in eãdem rectitudine nullam patietur parallaxim,& proinde in alto cælo spatia- tur, si verò assumptis stellis fuerit depressior quam in recta lineã fieri debet, habet Cometa Parallaxim. Quod si in his observationibus adsit Cometæ motus proprius, is detrahen- dus erit pro ratione ejus,& temporis à primà observatione usque ad secundam elapsi. * Ut Defectus Parallaxis diurnæ extulit Cometas supra regiones Lunares, sic ex Parallaxi orbis annui, evincitur eorum descensus in regiones Planetarum. Nam Cometæ, qui progrediuntur secundum ordinem signorum, sunt omnes sub exitu apparitionis, aut solito tardiores, aut retrogradi, si modo Terra sit inter ipsos& Solem: aut justo celeriores, si Terra vergat ad Ohenonen⸗ hoc est, si in conjunctione cum Sole videantur, uti fieri in Planetarum motibus obser- vamus. E contra qui pergunt Cometæ contra ordinem si- gnorum, sunt justo celeriores in fine apparitionis, si Terra versatur inter ipos& Solem, aut justo tardiores aut retro- gradi, si Terra sita sit ad contrarias partes. Contingit hoc maximè ex motu Ferræ in vario ipsius situ; perinde ut fit in Planetis, qui pro motu Terræ vel conspirante, vel con- trario, nunc retrogradi sunt, nunc tardius progredi viden- tur, nunc verò celeriùs. Si Terra pergat ad eandem partem cum Cometã,& mo- tu angulari tanto celeriùs feratur circa Solem, ut recta per Terram& Cometam perpetuò ducta convergat ad partes Ul- tra Cometam, Cometa is è Terra spectatus ob motum suum tardiorem, apparet esse retrogradus. Sin Perra tardids Co- meta feratur, Ille(getracto motu Terræ) tardiùs inoedere videbitur. At si Terra pergat ad contrarias partes, Cometa exinde velocior apparebit. Idem colligitur ex curvaturâ viæ Cometarum; pergunt hæc corpora propemodum in circulis maximis, quamdiu mo: .ee 83—.— 8 D E COMETIS. 357 moventur celerius, at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa, quæ à Parallaxi oritur, majorem habet propor- tionem ad motum totum apparentem, deflectere solent ab bis circulis,& quoties Perra movetur in unam partem, abeunt in contrariam: oritur hæc deflectio maximè ex Pa- rallaxi orbis annui, propterea quod respondet motui Perræ, & insignis ejus quantitas Observata ostendit Cometas esse sa- tis longè infra JoVem(ollocandos, ubi consequens est quod in Perigæis& Periheliis, ubi propius adsunt, descendunt seepe inkra orbes Martis& Inferiorum Planetarum. ATerrà recedentibus& ad Solem accedentibus Cometis, augetur corum splendor& lux, quamvis ob auctam corum dislantiam minuitur apparens diameter. Cometarum figuræ Variæ sunt; alii enim erines undique in orbem vibrant, qui Criniti& Cincinnati appellantur, alii autem ad partem cœli Soli oppositam barbam aut cau- dam radiosam emittunt, hique Barbati, Caudatique dicun- tur. Varia observata fuit Cometarum quoduc magnitudo; Plerique seclusâ comà, quando maximi videntur, stellas tantum primæ aut secundæ magnitudinis adæquant. Rt multo majores apparuisse testantur auctores, qualis fuit ille, qui Neronis tempore affulsit,& auctore Senecâ Soli magni- rudine non cedebat. Sic ille, quem Elevelius observavit Anno 1652. Lunà non minor apparuit, luce tamen& splen- dore multum Lunæ cedebat, nam Lumine suo Ppallido& Obtuso tenebricosum& tristem aspectum præbuit. Cingun- tur Cometæ Trnder densà& caliginosâ Atmosphærà, quæ Solis lucem retundet, intus tamen conspicitur Nucleus, qui dissipatis nubibus, quasi corpus Cometæ solidum aliquando lucidè splendet. Cometæ cum tam longe a Terra distent, motum illum apparentem ab oriente in occidentem ex vertigine Telluris ortum& omnibus sideribus communem babebunt. Præter hunc motum est& alius illis propriuss quo non in eodem cæli loco hærent, sed ab e0 in quo primum affulserunt, quotidie recedunt,& per spatia CÆlestia vagartur. Qui Cometa- rum Fi- Luræ va- riæ,& varia magni- rudo. Cometæ IOi communi ·uedi- dentem ferri vi- dentur. Cometa- Vii Mu0- W. 0 Iaer 350 DECOMETIS. inter errantia sidera numerassent, nisi eos Planetarum instar, peculiari cursu errabundos cognovissent. Seneca motum hunc agnovit,& observavit, per lineam in cœlo rectam fie- ri, seu, ut loquuntur Astronomi, per circuli maximi por- tionem. lib. enim Septimo naturalium Quæst. cap. 8. Co- metarum dicit cursum lenem& compositum esse, qui desti- natum iter carpit; non confuse aut tumultuose eunt Come- tœ, ut aliquis credat. causis turbulentis& inconstantibus pelli. In capite 29. meminit duorum Cometarum; quo- rum unus intra sextum mensem dimidiam cæli partem trans- currit. Alter Claudianus, à Septemtrione primum visus, non desiit in rectum assiduè celsior fieri, donec excessit. Modu. Si habeatur globus cælestis, in cujus superficie Stellæ ri- hι½ te sunt collocatæ& depictæ, hàc arte Mechanicâ, via Co- randli cursum mete in cœælis explorari potest. Assumantur quotidie Stellæ comcte quatuor Cometam circumstantes, ita ut is sit in concursu in cœlis. duarum linearum quæ oppositas stellas jungant, quod per filum oculis prætensum atque assumptis stellis& Cometæ Objectum examinari potest, quod in tanto fixarum numero Tav. 3ꝛ. Observare facile erit. Sit v. gr. Cometa in A in medio qua- . 2 tuor stellarum BCDE, ita ut filum per duas BD& Come- tam transeat, similiterque filum transeat per Cometam duas- que Stellas CE. In globo igitur, quo hæ quatuor stellæ sunt locis suis depictæ, extendantur duo fila per binas& binas stellas,& in communi filorum concursu, invenietur Co- metæ locus. Sic quotidie fiat,& pro singulis diebus loca notentur; atque hinc manifestè Cometæ via seu cursus ap- parebit in cælis, qui deprehendetur esse circulum maximum, Omnia enim puncta notata in eãdem peripheriâ circuli ma- Ximi invenientur. Datis autem duobus hujus circuli pun- ctis, dantur ejus inclinatio ad Eclipticam& N odorum loci, scil. ubi extensum filum Eclipticam secat. Ale ne. Aliter etiam viaCometæ propria invenitur observando ejus haαν distantiam quotidie à duabus Stellis, quarum distantia, Lon- nt. gitudines,& Latitudines notæ sunt, e& quibus dabitur locus bam Co. Cometæ in cælo, quæ loca postea in globo cælesti notata ma- naie. nifesté ostendent Cursum Cometæ e Tellure visum esse in por- 10 DE COMET LS. 379 tione Circuli maximi, nisi per motum Terræ ille aliquantu- sum exinde deflectere videretur. Distantiæ Cometæ àa vicinis ellis, accipi possunt per Quadrantem aut Sextantem, ita situm, ut Jus planum fimul per Cometam& Stellam tranteat,& Dioptra una Stellam, altera Cometam alpiciens, gradus in (ircumferentid inter utramque interceptos mamifestabunt. Hinc manifestum est, Cometas moveri in plano, quod per oculum pectatoris, seu potius per Solem transit, nam motus Onmis vilibilis qui in illo plano peragitur, semper in Peri-/ pheria circuli maximi fieri conspicitur. Regularis præterca & maxime proportionatus est Cometarum motus, qui quam. Vis inæqualis est, summa tamen regularitas in ipsa inæqua- litate continuo observatur. ö Proprius hic Cometarum motus, non est idem in Omni- bus; sed varius, nam alii ab occidente in Orientem tendunt; aliorum è contra motus fit in Antecedentia,& cursui Plane- tarum contrarius; omnes diligenter observati deflectunt ad Boream vel ad Austrum; idque Varie, neque Planetarum more comprehenduntur in Lodiaco, sed inde migrant& mo- tibus variis, in omnes cœeiorum regiones feruntur; ali ce- leriùs, alii tardius. Summa ccleritas a Regiomontano ob- fervata fuit, quà Cometa uno die peregit gradus quadragin- ta. Nonnulli sunt in initio velociores quam in fine, alii in Principio,& fine apparitionis tarde moventur, in medio ve- locissime feruntur. Deprehensum est, quod in nonnullis Cometis, antequam penitus disparuerunt, in ultimis scil. apparitionibus, non adeo preecisè in circulo maximo incesserunt, sed aliquantu- jum ab isto tramite deviàrunt; Angulus enim orbitæ Come- tee& Eclipticæ, in provectiore ætate diversus fuit observa- tus quam cum ab ortu adhuc recens fuit, sed deviatio hec apparens, non ex motu Cometæ, sed ex Pelluris motu or- tum trahit; ut in superioridus& inferioribus Planetis eve- Deiatio 704⁴ Ca- mert a Cireulo maximo. niri solet, quorum distantia ab Eclipticâ varia videtur, pro diversà positione Telluris, cum interim ex sole spectatus Cometa, circulum maximum exactissune describere videbi- vur. Quam· Variæ Cometa- rum se- mitæ. Cometæ qu⁴½nd visibiles &quan- do in visi. biles. 360⁰0 DE COMETIS. Quamvis Cometæ motus videatur plerumque in circulo maximo/ semita tamen ejus à circulo diversa& varia esse E„scil. vel linea Recta, Elliptica, Parabolica, aut Iyperbolica, vel alia quævis in eodem plano descripta. Nam omnis motus in quaàcunque semità, qui in plano per oculum transeunte peragitur, in circulo maximo fieri con- spicitur. Philosophi plurimi& Astronomi motum rectili- neum illis tribuerunt. Quæ tamen eorum Phænomenis opti- me convenit Semita, Parabolica aut Elliptica videtur,& quidem si in Ellipticis fœrantur orbitis, eꝶ maximè cxcen- tricæ sunt,& majores Axes ad minores magnam obtinent proportionem; quãà ratione multum 4 Planetis differunt, ui Orbitas Ellipticas quidem, at non multum excentricas, sed ad circuli formam accedentes describunt. Sol autem in ommuni omnium orbitarum tam Planetarum, quàm Co- metarum foco existit;& eàdem lege circa illum moventur Cometæ, quà Planetæ, describendo scil. Areas temporibus proportionales; Unde necesse est, ut similiter ac Flanetæ in Solem sint graves. Cum Cometæ in inferioribus orbitarum partibus versan· tur, seu cum versus Solem descendunt, vel ab illo ascen- dunt, tune solum fiunt conspicui,& deinde àa Sole rece- dentes, in longinquas regiones abeunt,& ex nostro con- spectu sese subducunt; nam ob corum à Sole recessum, mi- nuitur lux, quam ab illo recipiunt,& Ob auctam àa nobis distantiam, minuuntur quoque apparentes diametri, donec tandem insenfibiles evadunt. In Apheliis, ubi in longin- quas admodum excurrunt regiones, ob tantam orbitæ ex- centrieitatem, tardissime incedunt, in Periheliis ubi Soli vicini sunt incitatissuno feruntur motu. Sit S Sol, AbDG orbita Cometæ Elliptica„TC(E orbita Terræ. Si ponamus semiaxem Ellipseos orbitæ Cometicæ centies majorem distantià mediâ Telluris à Sole, Cometa ille periodum circa Solem non nisi mille annis absolvet, nam quadrata Temporum periodicorum Telluris& Cometœæ, de- pent esse cubis distantiaruma Sole mediarum proportionalia- Et Cometa in conspectum nostrum non Venict, nisi cum Vet⸗ DE COMET IS. 367 ndo, propius ad Tellurem accesse- rit, ut in F, deinde post decessum a perihelio, à Sole con- tinuo ascendens Cometa, circa G tandem evanescere inci- pit;& si Aphelii distantia sit ad distantiam Perihelii à Sole ut 1000 ad 1, erit velocitas Cometæ in Perihelio ad velo- citatem in Aphelio, in eadem ratione, nam debet Area ASB æqualis esse Aree DSP, si modo arcus AB D sinc temporibus œqualibus descripti, Velocitas vero circa So- lem angularis, erit in eâ ratione duplicata; adeoque cum Cometa in Perihelio, gradum unum Motu angulari absol- verit, in equali temporèe ubi in Aphelio versatur, non nisi gradus partem Percurret,& ibi lentissimè circulan- do Nures requiruntur anni, ut unum gradum absolvat. um Ellipses, quas describumt Cometæ sint admodum excentricæ, illarum portiones in quibus eTellure videntur moveri, pro Parabolis haberi possunt; nam si Ellipseos fo- cus, in inifinitum alteruter ab altero secedat, vertetur El- lipsis in Parabolamu, sicut(oëeuntibus focis Ellipticis in cir- culum mutatur; unde illorum calculus sit facilior. EX illã enim hypothesi tabulam construxit peritissimus Geometra& Astronomus HLallefus, quâ Cometarum motus facillime com- putentur,& ex illa Theoria ipse plurium Cometarum mo- tus calculo subjecit;& cum observatis tam accurate con- gruere deprehendit, ut eorum differentia raro ad tria minu- ta prima excurrat. Quibus Exemplis abunde satis manife- stum est, quod motus Cometarum, e& hac Theorià, non minus accuratè exhibetur, quam solent motus Planetarum per corum Theorias; quorum loca computata, ab Observa- tis non minore quantitate distare invenimus. Et licet Co- metæ longe majori motuum inæqualitati Obnoxii sunt quam Planetæ; hec tamen Theoria ipsorum motibus visis Optime respondet; unde cum iisdem innititur legibus, quibus Pla- netarum Theoriæ fundantur, eademque causæ Physicæ in utrosque agant,& cum accuratis Astronomorum Observa- tionibus exactè congruat; non potest esse non vera. Quamvis Planetæ omnes ab Occidente in orientem, mo- tibus proprüs ferantur; Cometæ tamen non pauci cOntrarios versus Solem descende Ellipsi- Inn 9⁰ tionen, Fad 4 1001ν di- Aentur describi ber Co⸗ meras, pro Pa- vabolis Haberi polsuui. Cometæ plures a- oriente im occi · dentem 2 2 CUur- Yerantar. 36² E ComT 1S. cursus tenere observantur; eosque ab orĩiente in occidentem. maximã velocitate discurrere cernimus; qualis fuit ille à ⸗ giomontano visus anno 1472, qui quadraginta gradus uno ie confecit. Hine manifeste constat, nullos in cœlo exi- stere vortices, qui Planetas in iis natantes rapidissimo mo- tu circa Solem vchant; nam cum Cometæ in regiones Pla- netarias descendant, necesse erit, ut pernicisimo vorticum Torrente rapiantur; tanta enim foret vorticis juxta Pellurem velocitas, si reverà darentur vortices, ut illam secum vehe- Huenzue ret;& plusquam 20000 milliaria in unà horà conficere fa- Imt Ceret unde& rapidissimum hoc flumen Cometas etiam se- 46%. cum deferret; eorumque motus, si contrarii essent, citò de- strueret. Quis enim non videt nullum corpus contra tam rapidum Porrentem posse diu moveri. At Cometæ obser- vantur plures, qui contrario motu liberrime eunt,& eãdem lege motus conservant, quasi nullum esset medium, quod s obstaret. At hoc naturæ vorticum plane repugnat, nam quod Planetas secum rapit fluidum, alia etiam corpora o- nmia inibi locata secum rapere necesse erit. Quod itaque cum non fit, dicendum est, in cœelis nullam esse resistentiam; adeòque nullum medium, quod cum nostro aëre compara- tum, sensibilem aliquam obtinet densitatem; nam aer noster Projectorum motum non parum obstruit. Besmant itaque Car tesiuni& Lieibnitiani, de Vorticibus suis plura in posterum dicere; cælestia enim Phænomena iis plane repugnant; quique cœlestium corporum motus per 1I1s explicare satagunt, nugas& figmenta imposlibilia no- bis Obtrudunt, nec ulteriùs sunt audiendi. In cœlo Cum Resistentia medii ex ejus densitate oriatur, necesse nullum est, ut ubi nulla est resistentia medii sensibilis, ibi quoque nulla sit sensibilis medii densitas; adeòque cum in cœlis 20 Faibum, metæ ne minimam sensibilem resistentiam patiuntur; sed li- de, berrime tanquam in vacuo motus suos peragunt, minima ortnet quoque erit medii densitas,& fortasse tanta erit medii istius deusita. raritas; ut si Cometas, Planetas, eorumque Atmosphæras . excipias, materia illa omnis, quæ totum spatium Planeta- rium implet, non adæquat illam, quæ in uno digito cubico no- DE COMETIS. 36³ nostri aeris continetur. Hoc enim possibile esse, à nobis in Lechionibus nostri, Vhꝗ sicre demonstratum est. Desinant etiam Philosophi Metaphysicas suas tricas contra Comsre vacuum nobis obtrudere; illæ enim persimiles videntur Ve-. terum Sophistarum, contra motum disputantium, argutiis, cuum, quæ non aliam responsionem merentur, quam ilam Dioge-. nie, qui ambulando illas Confutavit. Sic Hilosop Dos Car firant. resianee œlum intueri jubeamus,& inde non obstantibus subtilissimis illorum tricis, ex phænomenis in illo visis, Va- cui necessitatem manifestà demonstratione colligent. Pauci Cometæ visi sunt, priusquam ad Solem descen- Cometa- dunt;& ex Perihelio, ab illo recedere incipiunt. Nam an- π tequam per Solis viciniam incaluerunt, vix caudas emittunt; adeòque minus notabiles evadunt; post autem ipsorum à Pe- rihelio discessum, ingentes vibrant caudas, quæ constant materià lucidâ, rarà,& subtilissimà, maximo putà calore Solis attenuatà,& maximãà vi è corpore Cometico projectã. Cujus caussa fortasse non dissimilis est illi, quà nuper ex nostrã Tellure, Vapores lucidi ad insignem altitudinem eja- culati fuère; qui per magnam Europæ partem conspecti fuëre,& æmulabatur vapor ille lucidus, tam figurà quam splendore, Cometarum caudas, sed deficiente materià cito evanuit. Illud in Cometis omnibus maximè notandum; quod illo- Candæ rum caudæ semper in partes à Sole aversas extenduntur, id npe- est si Sol sit in Occidente, Cometa directè caudam in orien- in tem projicit. E contra, si Sol fuerit in Oriente, Cauda in auntur 4 occidentem recta dirigitur, mediâ nocte in Aquilonem ten- dunt. Crescunt caudæ, dum ad Solem descendunt, in Pe-— riheliis maximæ sunt, deinde longiùs à Sole recedendo, de- crescunt, donec in Atmosphæram Cometicam se contra- hunt. Caudæę Cometarum, quæ breves sunt, non ascendunt motu 6 e. celeri& perpetuo à capitibus,& mox evanescunt, sed sunt permanentes vaporum& echalationum columnæ, à capiti- Wnri bus motu satis lento propagatæ, quæ participando motum ian-d um capitum, quem habuêre sub initio, per cælos unâ 4ιάα 4 ＋. 4 2 em“ 364 D E COMETIS. Ayyc AMIHNV/* HSRH/— 17* CUm ca pitibus IIIOVCII pergunt: Et inc rursus COHgitur, —— Ipatia COelestia VI refistendi destitui, in quibus non olum solida Planetarum& Cometarum corpora, sed etiam rarissi- mi caudarum vapores, motus suos liberrimè peragunt, ac diutislune conservant. Cometa ille insignis, qui Amo 1680. apparuit, statim post recessum à Perihelio, caudam emittebat plusquam qua- draginta gradus in longum exporrectam; nec mirum, nam tam prope fuit Soli, ut non major quam sexta diametri so- laris Parte ab ejus corpore distabat:& inde Sol maximam cœli Cometici partem e Cometa spectatus occupare,& suh angulo fere 120. graduum apparere videbatur. Calor autem è Sole conceptus ardentissimus fuit, nam ferri candentis ca- lorem ter millies superabat. Hinc necesse est, ut corpora Cometarum sint solida, compacta, fixa,& durabilia, ad instar corporum Planetarum. Nam si nihil aliud essent quam Vapores, aut exhalationes Terræ, Solis, aut Planetarum, Cometa ille in transitu suo per viciniam Solis statim dislipa- — ri debuisset. Ii. Doclrina Yherica, seu＋ De Circulis bæræ. M quilibet Spectator, quemcunque in Universo ob- COeulut 5.—— 4—.—.—— soeckaro- tmeat locum, sit in centro Prospectus proprii; si Cœ ＋. 7 lum intueatur, illud tanquam superficiem concavam oculo 270. tusque omnes cœlestes in illa peragi videbit. Verum cum Telluris à Sole distantia exigua admodum sit respectu illius, quã CHœlum stellatum à nobis distat; ubicunque Perra in suã Orbità locetur; eadem semper cœli facies, cadem astrorum positio, seu configurationes stellarum ex eã aspicientur, quæ N.Vitre- OCulo in ipso Sole constituto apparerent, adeoque nihil re- sus fert, sve centrum Universi sen cœli, in Sole, sive in Teh- dh in lure ponatur. Et si concipiantur circuli quotlibet 2 Tel- zellare lurem transire,& ad cœlum produci, aliique his Paralleli Wine per Solem traduci, hi circuli in cœo coincidere videntur, ö CVA- Zaer. * DOCTRINA SPHERICA. 365 vanescente ipsorum distantià respectu distantiæ Hrarum efertur, circulique hi, Per Solem& Telurem quæ ad illos. Soleni&4 in planis parallelis ducti, in easdem steilas incidere vide- buntur. Ous melius 100⁴ stellarum defimiantur, motusque mn Or- dinem redigantur, convenit in cœlo plures concipere de- scriptos esle circulos, quorum alii sunt maximi, alli mino- res. Circulus in Sphærâ maximus est, qui dividit phæ- ram in duas partes æquales,& idem habet centrum cui centro Sphæræ, adeoque omnes circuli maximi, cum idem habent centrum, sese bifariam secabunt. Circuli minores dividunt Sphæram in partes inaquales, eorumque centra à centro Sphæræ diversa sunt, denominan- tur autem hi circuli a5 aliquo circulo maximo, cu Paral- leli sunt. Quilibet circulus duos habet polos, qui sunt puncta in superficie Sphære, ubique a circulo&quidistantia, ubi scil. linea ad planum circuli recta per centrum ducta, utrinque superficiei Sphæricæ Occurrit. Circuli alii per respectum ad Observatorem definiuntur, ut sunt Horizoh& Meridianus, alii à motu originem du- cunt; hi dicuntur mobiles, quod una cum spectatore locum mutant, illi immobiles, quòd in iisdem cœeli punctis infixi hæerent Qui à motu oriuntur circuli, Præcipui sunt Ecliptica& Mquinoctialis, eorumque paralleli; nam cum Tellus circa Solem motu annuo in orbitâ feratur, Spectator in Sole con- stitutus Ferram in cœlo illum describere circulun: inter fi- Xas„ quem Eclipticam dicimus, conspiciet. Estque ille circulus idem, quem nos in Perrâ locati Solem percurrere motu apparenti spatio unius anni videmus, uti superiùs à nobis Ostensum füit. Dividitur Ecliptica in duodecim par- tes æquales, quæ signa seu Dodecatamoriee appellantur, nomenque habent à Constellatione vicina. Incipiunt ab Æ- quinoctiali vernali, tenduntque ab Occidente m Orientem. Tria priora signa V scandunt ab Equinoctiali in Bo- ream, usque ad Solstitium æstivum. Sequentia tria S Hm 24 3 inci- — X. IAA. Ni. Circùμι Minores. Cireuli A lii im. mobiler alti I* biles. Eclipti- Ca. V.din. C. Eclipti- C2e Se- cundar ii. Lougitu- 4o Stellæ. Latitudo Sellæ. AMquiuo- cłlialir cœlestis. 366 DOCTRINA SPHERICA incipiunt à Cancro descenduntque ad æquinoctialem inter- sectionem autumnalem. Tertia signorum Trias m, in- Cipit à Librà, descenditque versus austrum, usque ad S0l stitium hybernum. Quarta α Capricorno incipit, ten- densque ad MꝘquatorem, finitur in æquinoctio verno. numquodque signum dividitur in triginta gradus,& hinc tota Ecliptica in 360. In hoc circulo semper videtur Sol, qui nusquam ab illo deflectit. At Planetæ ultro Citroque eunt, per spatium octo circiter graduum, adeoquèe si cOn- cipiatur circulus latus seu zona sedecim graduum lata, cu- jus medium tenet Ecliptica, designabit in cœlo spatium in quo Flanetæ motus peragunt,& Lodiacus à Græcis, à La- tinis Signifer dicitur ob igna ibi locata. Si per polos Eclipticæ traduci concipiantur innumeri cix- culi Eclipticæ occurrentes, illi dicuntur Eclipticæ Secun- darii, quorum ope quælibet stella vel quodvis in cœo pun- Cum ad Eclipticam refertur. Nam stellæ cujusvis locus, ad Eclipticam reductus, is erit, ubi ejusmodi circulus Per stellam transiens eidem occurrit. Arcus inter hune Iocum & initium Arietis interceptus,& in consequentia numeratus dicitur Langisudo stellæ. Sicuti arcus circuli secundarii in- ter stellam& Eclipticam est ejusdem stellæ Latitudo. Hine hi Eclipticœ secundarii circuli Latitudinum dicuntur. Lati- tudo est Borealis vel Australis. Nam Ecliptica œlum side- reum in Hemisphærium Boreale& Australée dividit. Cum Wellus circa suum Axem vertatur, exindè fit, ut omnes stellæ cœlumque omne Sidereum circa Tellurem volvi conspiciantur, spatio viginti quatuor horarum, qui motus apparens Diurnus dicitur,& raptu Primi Mobilis fieri concipitur; quasi revera Fellus quiesceret& cœlum circa ipsam volubile esset. Circulus medius inter utrumque Telluris polum, qui quator dicitur, ad cœlum usque productus, efficit Æquinoctialem cælestem,& omnia side- ra, omniaque cœeli puncta præter polos hunc æquinoctia- lem, vel circulum aliquem huic parallelum, majorem aut minorem, prout a Polis remotiora aut viciniora fuerint, de- scribere videntur. ö Aqui: Hia⸗ Mi; DOCTRINASPHÆRICA. 46 Aquinoctialis& Ecliptica, cum uterque sit cireulus ma- ximus, se mutuò bifarlam secabunt, communisque plano- rum sectio, sibi ubique parallela manens, ad idem cœli unctum semper dirigitur(nam hic abstrahimus à motu il- 1 lentissimo, quo Axis Perrœ, vel intersectio Eclipticæ& Aquatoris regreditur). Adeoque cum Sol in Eclipticæ pun- cto videtur, ubi est illa intersectio, hoc est, cum revera Tellus oppositum tenet, Sol motu diurno æquinoctialem in cœlo circulum describere conspicietur. Bis itaque in quo- libet anno Sol motu diurno in Æquinoctiali revolvitur. Scil. cum est in duobus Eclipticæ& quatoris intersectio- nibus Vernali& Autumnali. Quibus temporibus omnes VTelluris incolæ dies noctibus æquales habebunt: unde no- men circulus hic adeptus est. Angulus, quem Ecliptica cum æquatore ad intersectionum puncta facit est 23: gra- duum; exinde discedens Sol, continuo ab æquatore motu apparente declinat versus Boream vel Austrum, circulosque æquatori parallelos motu apparente describit, donec ad no- nagesimum ab intersectione gradum pervenerit, ubi 23 gra- dibus ab æquatore distare videtur, quæ est ejus Declinatio maxima,& inde rursus ad Æquatorem revertere conspici- tur, unde duo minores circuli, quos Sol motu diurno in duabus ejus declinationibus maximis describere apparet, Tropici nominantur, à rανικα verto. Hic in Boreali cæli par- circal te Tropicus Caucri, ille in Australi Tropicus Capricorni dicitur. Nepici. Quã ratione hic motus Solis apparens,& Declinationis mu- tatio, quiescente Sole, ex motu Perræ revera accidunt, superiùs in Lectione VIIAA Ostensum fuit. Sunt& alii duo circuli minores in Sphærâ notabiles, quos circali Eclipticæ Poli motu diurno rapti describere videntur, qui lares. 3: gradibus à Polis æquatoris seu Mundi distant& circuli Polares dicuntur. Hic in Boreali Hemispherio Arcticus à vicinis Ursis, alter Australis illi oppositus Antarcticus di- citur. Si per polos mundi seu Æquatoris traduci concipiantur circuli innumeri maximi, erunt illi secundarii Æquatoris/ quorum ope quævis cæli puncta ad æquinoctialem referun- tur, 368 DOCTRINA SPHERICA. tur, uti priùs per Secundarios Eclipticæ, ad Eclipticam ea Istenso retulimus,& Ascensis Kecta stellæ, vel puncti cususvis, est Kecta. arcus Æquinoctialis inter initium Arietis& punctum inter- sectionis circuli secundarii per stellam transeuntis. Decli- D.. ars autem est arcus ejusdem secundarii inter stellam& æ- 1. quinoctialem interceptus. Estque Borealis aut Australis, prout versus hunc vel illum polum stella declinat,& exin- de circuli hi Declinationum circuli nominantur. Horum Præcipui sunt duo Coluri, quorum alter per puncta æqui- in cο noctiorum transiens vocatur Colurus Æquinoctiorum; Al- ter priorem ad angulos rectos secans& per polos Eclipticæ & Qquinoctialis incedens dicitur Colurus golstitiorum; quo- niam Eclipticæ occurrit in punctis ab Æquatorè remotissi- mis, ubi Sol per aliquod tempus distantiam ab Aquinoctiali vix sensibiliter mutare deprehenditur;& proinde Solstitia hec puncta dicuntur. Circulus in Pelluris superficie inter polos exactèe medius, est Telluris Æquator, cujus productione ad Fixas Aqui- noctialem cælestem generari diximus;& sicuti stellarum loca in cælis, quoad longitudinem& latitudinem definiun- tur per Eclipticam& ejus secundarios; sic per Æquatorem Terrestrem ejusque secundarios per polos Terræ ductos, Terrarum loca& urbes quoad Longitudinem& Latitudi- nem determinari debent. Circulus Aquatoris secundarius Locidle per locum quemvis transiens dicitur istius loci Meridiauus, atanne quoniam quando per vertiginem Perræ circa Axem suum, planum istius circuli per Solem transiverit, erit omnibus in- LSete COlis sub illo degentibus Meridies. Congitud lo i est arous 4.lai. Waquatoris interceptus inter aliquem Meridianum, quem primum vocant, per determinatum locum transcuntem,& Meridianum loci. Veteres Geographi Primum Meridianum per locum Terræ notum& maximè occidentalem traduci hngebant, atque exinde Terrarum loca omnia, quaquà in longum patent, versus ortum determinabant. Ex quo ve- ro navigando deprehensum est, nulum dari locum maximè Occidentalem, paulatim neglectus est modus, à primo ali- quo meridiano computandi. Et quisque locorum 6.—.— 11¹⁶e8 DOCTRINA SPHÆERICA. 369 dines respectu Meridiani urbis propriæ determinat. Latitu- 40 loci est arcus Meridiani istius loci, inter locum& Æqua- torem interceptus, estque Borealis aut australis, prout lo- cus ab ÆEquatorè, versùús hund vel illum polum, distat. Ratione Meridianorum& Parallelorum comparati Inco- I Telluris, alii dicuntur Perieci qui sub eodem parallelo, at Oppositis ejusdem Meridiani semicirculis degunt; hi Tem. pestates anni easdem cxperiuntur, accedente Sole eodem tempore ad utriusque loci verticem,& exinde recedente; at meridiei& mediæ noctis vices subeunt alternas. Alii denique dicuntur Autæci sub eodem Meridiani semicirculo, at Oppositis parallelis habitantes. Ita ut meridies& media nox utrisque simul contingat; at tempestates anni permu- tantur. Alii denique dicuntur Antipodes, quod sub Opposi- tis Meridianis æque ac Parallelis versantes, adversis e dia- metro pedibus incedunt; ideoque vicissitudines æstatis at- que hyemis, nec non meridiei& mediæ noctis, ortus& Occasus siderum omnino planè adversos sentiunt. Quatuor circuli in superficie Telluris minores, qui cæle- stibus ejusdem nominis respondent, nempe duo Tropici& totidem Polares dividunt Terram in quinque portiones, quæ zonꝰ appellantur. Quarum una vocatur Torrida, utroque Tropico comprehensa, inhabitabilis à veteribus credita est, propter nimium æstum: Regiones tamen, quas illa conti- net nunc longè feracissimas esse, vitæ commodis, inco- lisque abundare compertum est; duæ sunt frigidæ Zonæ, sub utroque mundi Polo circulis Arctico& Antarctico in- clusæ,& Ob gelu perpetuum vix habitabiles; totidem tem- peratæ sunt inter Frigidas& Torridam comprehensæ, qua- rum alteram nos incolimus, alteram nostri Antipodes. Has quinque Zonas sic describit Virgilius. 1. Gοικ e. V. 233. Auinquè veueut cœlum Aonæ, quarum una corusco Smper FJole rubens,& Torrida semper ab igui. uam circum etremæ dentrã lævdque trabuntur, Cæruled glacie concretæ, atque imb ibus alxviv. Has inter, mediamque, duæ mortalibus ægrie Munere concessa divum. Aa a ul Periœcgi. Atæci. Antipo- des. Cuingue Conæ. Amphi- feul. Aseii. 3— it. Periscii, 37⁴ 0EFRINA SDHXK K1(A. Qui in Zonàâ Torridà degunt, dicuntur Anphiscit, eo quod eorum umbra meridiana versus utrumque polum di- Versis anni temporibus projicitur. At cum Sol ipsorum ver- ticibus incumbit, fiunt Ascii, quia nullam projiciunt um- bram meridianam; qui Zonas Temperatas incolunt„dicun- tur Hetroscit, quorum umbra Meridiana versus alterutrum tantum mundi Polum porrigitur; qui in Zonis frigidis sunt incole, Periscii vocantur, quia Sole non occidente umbra illis in orbem circumagatur. Hyorizou lensibilis. Qirculi, qui concipiuntur mobiles,& per respectum ad observatorem definiuntur, sunt Horizon& Meridianus. Horizon est magnus ille circulus, quem quisque in planitie aut medio maris positus visu circurnacto definit, quo cæli pars spectabilis ab inconspicuâ dividitur. Dicitur Horixon H.ein Jensibilis à quo differt Rationalis illi parallelus, transiens Kationa- 456. Vori- ZTontin Poli. Zenirh Na- air. Circuli verrica- 4es&A- T'imu thales. Almi canta- rath. Vertica- lis Pri- marius. per centrum Terræ. Nam Phænomena cælestia referimus ad superficiem Sphæricam, Telluri, non oculo concentri- cam. Hi duo Horizontes ad fixas producti coincidere videntur, cum Tellus ad Sphæram fixarum comparata puncti tantum rationem habeat, adeoque qui non nisi puncto distant à se invicem circuli, tanquam congruentes haberi debent. Ho- rizontis poli sunt duo puncta, quorum unum vertici obser- vatoris incumbit& Henith dicitur, alterum huic sub pedi- bus Oppositum Nadir vocatur. Ab his innumeri circuli ad Horizontem ducti, sunt ejus secundarii,& circuli Vertica- ler& Azimuthales appellantur. Horizontis autem paralleli circuli minores Almicantarath dicuntur: voces hœe eab Ara- bibus in Astronomiam sunt introductæ. Inter circulos verticales, eminent præcipuè Meridianus, & Verticalis Primarius; ille per polos& Eenith ductus ho- rizontem intersecat in cardinibus Septentrionis& Austri, il- losque signat. Hic alter est Meridianus ad angulos rectos, & in Horizonte Orientem& Occidentem ostendit. Hi cir- culi Horizontem in Quadrantes dividunt, quorum unusquis- que rursus in octo partes æquales, adeoque Horizon totus in triginta duas partes dividi supponitur, quæ venti sive plagæ nominantur. Alti- 'A 1= S&ÆE&Æ eee 2.....§9————4—.244288— 7————— DOCTRINA SPHERICA. 371 Iurtudo àut epresio Stellæ cujusvis est arcus verticalis circuli inter Stellam& Horizontem interceptus. Stellæ A Sisunthus est arcus Horizontis inter cardinem Meridici ve Septentrionis& verticalem per Stellam transeuntem initer- ceptus, estque vel orientalis vel occidentalis. Ainplit udo 7½½εα vel αcidαuα sideris est Arcus Horizontis inter Pun. ctum, ubi sidus oritur aut occidit,& cardinem Orientis aut OCcidentis, estque illa Borealis vel Australis. Ut in Horizonte omnes Stellæ videri incipiunt,& ap- parere desmunt, sic in Meridiano Stellæ omnes ad maxi- mam altitudinem perveniunt, ubi culminari dicuntur,& infra HOrizontem in eodem Meridiano maximam depressio- nem obtinent. Cum Meridianus tam&quatori quàm Ho- rizonti perpendiculariter insistat, omnium parallelorum se- menta ab horizonte facta, tam supra quàm infra in æqua- 90 partes dividet; unde Tempus inter ortum Stellæ cjus- que Culminationem, æquale erit tempori inter Culmina- tionem& Occasum. Cumque Sol quotidie parallelorum a- liquem motu apparenti describit; quando is ad circulum Meridianum appulerit, Meridies fiet, Mediaque nox, cum infra Horizontem ad eundem pertigerit, unde huic circulo nomen. Nondaesinus gradus est punctum Eclipticæ, quod nonaginta gradibus ab ejus intersectione cum Horizonte di- stat, ejusque Altitudo metitur angulum, quem Ecliptica cum Horizonte facit. Medium cœli dicitur punctum Ecli- pticæ culminans. In signis Ascendentibus, à ad S No- nagesunus est ad orientem Meridiani; in descendentibus à S5 àad%% ad Occidentem positus. Quamvis Horizontem& Meridianum tanquam circulos immobiles supposuimus, motum apparentem cæli tanquam an realem considerando; revera tamen illi soli sunt circuli mo- Aanĩ cir- biles,& Stella vel Sol oritur, quando planum Horizontis Altituds aut De- pressio He ellæ. AZimu- thHuSHel- le. Amplitu- A/ortida Let⁰e- cidua. n Meri- Aiauσ culmi- nant Stellæ. Horixos 6* 5 culi re- vera ns infra descendit, ut Sol vel Stellæ conspiciantur, occidunt- que, quando planum Horizontis supra attollitur, Stellis& Sole quiescentibus, Horizonte interea vertigine Ferræ ra- pto. Sic etiam Ssol& Stellæ ad meridianum loci alicujus appellunt, cum Meridiani planum, quod motu circa Acem Aa a 2 Tcl- biles. Meri- dianat UVuiver- alis. Cireuli 37 DOCTRINA SPHEAICA Telluris angulari fertur, per Solem aut Stellas quièscentes transiverit. Si verò per Solem& Polum traducl concipia- tur circulus immobilis, fiet hic Meridianus non alicujus lo- ci determinati, sed Universalis; fietque Meridies, in loco aliquo, cum Meridianus istius loci, qui circa Axem Tel- luris vertitur, cum plano hujus circuli coinciderit. Cum Meridianus quilibet circuitum seu gradus 360 spa- tio viginti quatuor horarum motu angulari absolvat, neces- se est ut qualibet horà quindecim gradus, hoc est graduum 360 partem vicesimam quartam, motu angulari conficiat, adeoque si concipiatur circulus per polos transiens, qui cum Meridiano per Solem ducto angulum quindecim gre- duum constituat, ad hujus planum cum pervenerit Meri- dianus alicujus loci, post decessum a Meridiano Universali numerabitur in illo loco hora prima post Meridiem; dici- turque circulus horæ primæ. Similiter si alius ducatur per polos circulus, æquatorem secans in tricesimo ab Meridiano gradu, hic erit circulus horæœ secundæ, ad quem cum Meridianus loci alicujus pervenerit, numeratur ibi ho- ra Secunda à Meridie. Similiter si per singulos quindecim QAquinoctialis gradus,& Polos duci concipiantur circuli, di- cuntur illi Horarii,& quinoctialem in viginti quatuor par- tes divident. Et unusquisqꝗue ordine suo horam determinat in loco aliquo numeratam, quando Meridiani istius loci pla- num cum plano circuli Horarii coinciderit. Verbi gratid, cum Meridianus loci coincidit cum circulo, qui angulum cum Meridiano Universali facit 75 graduum, numerabitur in illo loco hora quinta post Meridiem. Quando verò 90 gradus à Meridiano per Solem transeunte distat, fit hora Sexta post Meridiem. Verum si Meridianus loci ut immo- tus spectetur, circulumque per polos& Solem transeuntem concipiamus unà cum Sole motu angulari circa Axem Tel- luris ferri, ut apparenter fit; quando circulus ille coincidet cum circulo, qui angulum quindecim graduum cum Meri- diano loci sacit, erit hora prima,& circulus cum quo coin- cidit, dicitur Horarius primus: huic proximus cum Meri- diano loci angulum triginta graduum constituens, erit cir- culus DOCTRINA SPHERICA. 373 culus horæ secundæ; qui angulum 45. graduum cum Meri- diano facit est circulus horæ Tertiæ, atqu ita deinceps. In quolibet Terræ Ioco, Altitudo Poli seu ejus Elevatio 4½½4 supra Horizontem æqualis est Latitudini loci. Sit circulus erte i HEMeridianus, HCO Horizon, COæquator, Le- Bale- — nith,&P Polus, Altitudo poli seu ejus dil — tantia ab Hori⸗ „onte est arcus PO,& Latitudo loci est Warcus. Et quo- niam arcus P inter pohun& æquatorem est circuli qua- aTuali- —55 0⁰2 TAS 32. drans,& arcus O inter Fenith& Horizontem interceptus 8.. est quoque circuli quadrans, runt a P O inter se æquales; Communis auferatur arcus D,& restabunt arcus PO inter se æquales; hoc est, Latitudo loci æqualis crit Elevationi seu Altitudini Poli supra Horizontem. Hinc habemus methodum Pelluris Perimetrum dimetien- di. Nam si pergamus recta versus Borcam donec Eleva- tio Poli uno gradu crescat,& deinde itineris percursi men- sura quæratur in milliaribus, dabitur numerus milliarium, quæ sunt in uno gradu Peripheriee maximi in Tellure cir- Culi, hic numerus per 360. multiplicatus dabit numerum milliarium in toto Perimetro Telluris,& accuratissimis mensuris invenitur Longitudo unius gradus 69 milliaria An- glicana continere, quæ vulgòo habetur æqualis tantum 60. mülliaribus. I. K CT1O XIX. De Dactrina ShErica. Ngulum, quem aquator& Horizon cum se invi- TAB. 3. Cem laciunt, metitur arcus ÆH, qui est complementum ＋. V. Tatitudinis ad Quadrantem. Adeoque si angulus ille re- Cus sit, Latitudo erit nulla,& Aaquinoctialis per verticem incedet: omnesque Æquatoris Paralleli erunt ad Horizon- tem recti, ideoque hæc Spheræ positio Rec%ι dicitur, in quà paralleli onmes ab Horizonte in partes æquales secan- tur; unde mora cujusvis stellæ supra borizontem æqualis est tempori quo infra eundem deprimitur; poli hic in Ho- rizontem procumbunt, uti figurã manifestum est, ubi pun- Cum æquinoctialis Æ cum vertice seu Zenith coincidit,& Kaa Po Sphers Aect a. TA 32 V. 6. Hyhœra ehl=iqua. quod simul cum Stellâ ascendit vel oritur: sio A'censid obli- 374 DOCTRINA SPHÆRICA Poli PP cum punctis Horizontis HO congruunt. Si ab Æquatore versus alterutrum polum recedamus, Æ quator quoque à vertice recedet,& ad Horizontem acce- det, cum illà faciens angulum Obliquum, unde illa SPhæ- rœ positio dicitur Ohliqua, Polusque, ad quem acceditur, semper supra Horizontem tantum elcvabitur„quantuùm est Latitudo loci; alter tantundem infra deprimetur. F igura annexa hanc Sphæræ positionem exhibet„quam nos,& omnes in Eonis temperatis habitantes, obtinemus„ubi Æ. uator ÆQ bisecatur ab Horizonte, ut in Spheerâ Rectâ, quapropter ubi Sol illum circulum motu apparenti diurno decurrit, diem facit nocti æqualem; at ALquatoris Paral- Ieli non bifariam ab Horizonte secantur, sed qui sunt ver- süs Polum elevatum; singuli majorem partem habebunt su- pra Horizontem extantem, minorem infra depressam,& quò polo propior quilibet circulus, eò major ejus pars su- Pra Horizontem extabit,& qui minus à polo distant quam est Latitudo loci, toti supra Horizontem: attolluntur. Con- trarium accidit parallelis versus Polum depresfum sitis, quo- rum portiones majores infra Horizontem jacent, minores supra clevantur;& qui Polo illi propiores sunt quam est Latitudo loci, perpetuò unà cum Stellis, quæ in iis in- Juduntur, sub Horizonte latent,& nunquam fiunt con- spicui. Hinc necesse est, cum Sol quotidie parallelum a- liquem decurrat, ut ab Æquinoctio verno ad Solstitium æ- stivum dies continuo incremento noctes exsuperent; post Soltitium decrescant ad Æquinoctium autumnale; deinde ad Solstitium Hyemalée dies noctibus continuò breviores reddantur; denique à Solstitio Hyberno ad WMaquinoctium vernum, dies adhuc sunt noctibus breviores„sed rurstis continuo augentur, donec in ipso Æquinoctio fiunt tandem noctibus æquales. In Sphærâ obliquãà Stellæ omnes obliquè oriuntur& Oc- cidunt, utque Ascensio recta Stellæ est arcus Æquatoris interceptus inter initium Arietis& punctum, quod una cum Stella ad Meridianum pervenit, seu in Sphærâ rectd, uc —...— DOCTRINA SPHÆERICA. 375 πìε est arcus Equatoris interceptus inter initium Arietis& 7F punctum ά quatoris, quod cum Stellâ oritur in Sphærãà ob- igua. liquà, codem ordine numeratus, quæ Pro Varià Sphæræ obliquitate varia erit. Ascensionis Rectæ& Obliquæ diffe- Oise. rentia dicitur Diferentia Ascensionalis. 5—— In Sphærà obliquâ est parallelus tantum à Polo elevato a distans, quantùm est latitudo loci, qui Circulus per pet ue Cire Ayparitionis nominatur, seu cirenlus senper apparcutium ma. KMus, intra quem comprehensæ Stellæe nunquam oriuntur, naass. aut Occidunt, sed tamen nunc altiùs ascendunt, nunc hu- miliùs facte ad Horizontem propius accedunt. Huic ad alterum Polum est oppositus circulus Per petus Occuttationis, in quo inclusee Stellee nunquam oriuntur, sed semper ma- nent inconspicuæ. Si Æquator nullum angulum cum Horizonte fac iat, sed Tan 32. cum illo coincidat, in tali positione polus quoque cum Le- V 7 nith congruet,& Æquatoris paralleli omnes erunt Horizon- ti paralleli, ideo talis sphæræ Positio Farallela dicitur, in Shæra qua nullæ Ax& Oriuntur aut occidunt, sed in circulis Hori- lle zonti parallelis perpetuos gyros ducunt. Sol præterea cum 2 ad quinoctialem pervenerit, Horizontem lambit, exinde versus Polum elevatum digrediens nusquam occidit, sed diem facit longissimum sex mensium. At ubi ab Æquatore recesserit ol versùs oppositum Polum, è contrario nun- quam oOritur, noxque illis durac per alteros sex menses. Hunc Sphæræ situm obtinent, qui sub Polis degunt, si qui forte sint, qui has colant regiones. Veteres Geographi Regiones TPelluris per Parallolos& Hiuile Chimata distinguebant; cum enim in Sphærâ Rectd, seu sub nintr. Equinoctiali dies noctibus perpetuo æquantur, si inde per- ů—ñů—.— gamus versus alterutrum Polum, dies æstate fiunt noctibus& CHi. longiores,& quò magis ad Polum accedamus, eò longio-“* res Iunt dies longissimi, donec sub ipsis circulis polaribus nulla est nox. Hinc per parallelos Equatoris, qui augmen- ta dierum horœ quadrantibus notabant, Pellurem diviferunt Geographi. Hoc est, Paralleli illi tantum à se invicem di- stabant, quanto opus sit, ut maxima dies augeatur horœ qua- dran- Stella- run or- rus C& occasus eorum- que spe- CieJ. 37 DOCTRINA SPHERICA. drante de parallelo in parallelum. Posito ergo Equatore primo parallelo, secundus per ea Terræ loca transibat, ubi dies longissima est horarum 12:. Tertius ubi dies est hora- rum 123. Quartus ubi ille 12 horis cum tribus partibus quartis adæquat; atque ita denuo. Duo autem Cejusmodi paralleli Cama constituebant; quæ proinde climata semi- horæ augmento distinguuntur. Potest vero excessus diei Solstitialis supra 12 horas continuò augeri, magis magisque ad elevatum Polum accedendo, donec ad Polarem circulum peryentum fuerit,& ibi Propicus unico puncto Horizon- tem tangens totus eminet,& Sol illum decurrendo, non occidit;, quare dies erit horarum viginti quatuor, qui exce- dit ⁰inoctialem diem horis duodecim, seu viginti quatuor semihoris, vel quadraginta& octo horœ quadrantibus, un- de conficitur tandem numerus climatum inter æquinoctia- lem& Polarem esse viginti quatuor,& Parallelorum esse quadraginta& Octo. Cum Veterum Annus parum cum motu Solis apparenti congruebat, ex dato die mensis quo factum aliquod nota- bant, non statim exinde patebat; quâ anni tempestate illud cvenit. Igitur quando Agricolæ in re Rusticâ aliquod fa- ciendum in stato tempore præcipiebant, tempus illud non per diem Kalendarii Civilis indicabant, quippe eadem dies mensis civilis non semper quolibet anno in eàdem Anni tempestate incidebat. Sed certioribus opus fuit Characteri- bus, ad tempora distinguenda. Itaque Agricolæ, Rei Ru- sticæ scriptores, Historici,& Poetæ tempora per ortus& occasus Stellarum designabant. Ortus& Occasus Stellarum vulgò numerantur species tres; Cosinicus, Achronicus& He- Viacus. Oriri dicitur aut occidere Stella cosmicè, quæ ori- tur aut occidit oriente Sole; ita Stella quæ oritur aut occi- dit mane, cosmicè oritur aut occidit. Achronicè autem ori- tur Stella, quæ oritur occidente Sole, hoc est quæ vesperi Oritur, quando Soli opponitur& totàã nocte fit conspicua. Stella oritur Heliace, quando è Solis radiis emergens, tantum ab illo distat, ut videatur mane ante Solis ortum, Sole nimirum motu apparente a Stellâ versus rece: ente 2...—— NB. XXXLT. * DOCTRINA SPHERICA. 577 dente. Occasus autem Heliacus est, quando Sol ad Stel- lam accedere incipit, illamque radiis suis condens inconspi- cuam reddit, inde Ortus& Occasus Heliacus potiùs Ap- paritio, aut Occultatio dici debent. ů Stelle Omnes fixæ in Zodiaco sitæ, item Planctæ supe- riores, Mars, Jupiter& Saturnus oriuntur Heliace mane, paulo ante Solis ortum,& paucis diebus Poltquam cosmicè Oriuntur; quos nempe Sol motu annuo versus orientem facto antevertit. Occidunt vero Heliace vespere, paulo ante quam Achronicè occidunt. Luna autem, quæ Solem per- petuò antevertit, oritur Heliace vespere, cum mempe nhov⁴ ex radiis Solaribus emergit, occidit vero Heliace mane, cum jam vetus ad conjunctionem cum Sole properat ihie: riores Planetæ Venus& Mercurius, qui aliquando Solem antevertunt, aliquando Solem versus occidentem post se relinquunt, aliquando Heliace oriuntur mane, cum nempe retrogradi funt, aliquando vespere cum sunt directi. Ad Altitudinem Solis vel Stelleæ cujusvis exquirendam u- timur Quadrante mobili, EAD cum dioptris fixXis A, B, vel Ouomodo . Altitudo Solis vel Telescopio in alterutro latere collocato,& filo AC ponde- Srellæ ob. re instructo ex centro perpendiculariter pendente;& Qua- servatar. drans in situ verticali compositus sursum deorsumque Verta- tur, donec lux Solis per foramen anterioris dioptræ in fora- men posterioris radiat, in quo situ si sistatur Quadrans, fi- lum ostendit arcum EC altitudini Solis similem. Nam pro- ducatur A ad Zenith, sitque AH linea Horizontalis, Angu⸗ I EAB AS sunt æquales, uterque rectus enim est. Sed an- guli BACAS sunt quoque æqvales, nam ad verticem sunt, quare demptis æqualibus erit angulus EAC æqualis angulo SAH; angulum autem EAC metitur arcus Quadrantis C, & angulumSAH metitur arcus verticalis circuli inter olem & Horizontem interceptus, unde arcus ille erit similis arcui EC. di Altitudo Stellæ capienda sit, loco irradiationis So- lis, oculari intuitu Stellam per foramina Dioptrarum com- prehendimus,& filum ut ante indicabit quæsitam altitudi- nem. Inventio Altitudinis Meridianeæ Solis Vel Stelleæ habe- tur sœpius Observando& notando, quando illa maxima est, Bpb Nam TaB 33· 22—— Eg. 2. 378 DOCTRINA SPHERICA. Nam maxima altitudo Solis vel Stellæ est in Meridiano. Inventio Latitudinis loci cognitio est fundamentum omnium obser- , Vationum Astronomicarum, adeoquè in primis necesse est, en ut illa accuratè habeatur; Cumquè ostensum sit Altitudinem Poli eidem æqualem esse, illa optimè obtinetur per observa- tionem Altitudinis Poli; verùm cum Polus sit tantum pun- ctum Mathematicum inobservabile, ejus Altitudo non eo- dem modo ac olis aut Stellæ, simplici viãà per Quadrantem exquiri potest; alia itaque adhibenda est methodus ut illa cognoscatur. Et primo invenienda est sectio Plani Meridia- ni cum Horizonte, quæ Linea Meridiana dicitur; quæ fit erigendo Gnomonem, cujus radici seu puncto, apici dire- ctè subjecto ut centro, describatur circuli circumferentia, in Lineæ quam Apicis umbra ante Meridiem incidat,& notetur pun- Cum circumferentiæ in quod umbra cadit: Rursus post Me- Tavenic. Tidiem notetur punctum in eãdem circumfęrentiâ, ubi Api- cis umbra ad illam pertingat,& Recta ducta ex centro cir- culi ad punctum, quod bisecat arcum inter notata puncta interjectum, erit linea Meridiana; Nam Sol ante& post Me- ridiem æquialtus æqualiter à Meridiano distat. Collocetur Tun. 33 igitur Quadrans süper lineà Meridianãà hoc est in plano Me- ridiani,& Stellæ alicujus, quæ nunquam occidit, observe- tur altitudo maxima 8SO, item minima, SO, Altitudinum differentia erit arcus S8, cujus semissis PS addita altitudini minimæ, vel ab Altitudine maximãâ subducta, dabit PO alti tudinem Poli supra Horizontem, quæ æqualis est Latitudi- ni loci. Si habeatur Solis Theoria, ex cognitâ Declinatio- ne Solis inveniri potest Latitudo loci, observando distan- tiam Solis a vertice Meridianam; est enim illa complemen- tum altitudinis ejus, ad quam si addatur declinatio Solis, cum Sol& locus versùs eundem polum ab æquatore distant, aut si declinatio Solis subducatur ab ejus distantia a Vertice, cum Sol& locus siti sint ad partes æquatoris contrarias,& habebitur Latitudo loci. Venum si Solis declinatio major sit Latitudine loci, quod cognoscitur quando Sol a Polo elevato minùs distat quam vertex loci, ut in locis in Zona Torrida sitis sæpe fit, differentia inter declinationem—W —. S· —...2 DOCTRINA SPHÆERICA. 379 & ejus à vertice distantiam est Latitudo loci. Obtenta semel Latitudine loci, Obhliquitas Eclipticæ seu ejus Inclinatio ad Æquatorem facile habetur; observetur enim circa Solstitium æstivum minima Solis à vertice di- stantia. Hec si à Latitudine loci auferatur, modo locas sit polo propior quam Sol est, dabit macimam Solis de- clinationem; quæ obliquitati Eclipticæ est æqualis. Ple- rique Astronomi inclinationem Eclipticæ ad ÆEquatorem, seu maximam declinationem Solis æqualem faciunt viginti tribus gradibus cum dimidio, sed accuratissimæ observatio- nes hodiernæ illam uno minuto minorem esse evincunt. ö Eãdem prorsus methodo observari potest Solis pro quà DeVre. bet Meridie, vel etiam sideris cujusvis declinatio: nem- 71 pe quãndo Sol vel Sidus æquatori propior est quam locus, none co- capiatur differentia inter Latitudinem loci& distantiam si- EHesci— deris à vertice, quæ restat quantitas erit declinatio sideris;—＋* at si vertex loci inter sidus& Æquatorem situs sit, declina- tio sideris erit harum quantitatum summa. ö Datà declinatione Solis, facillimè habetur ejus Ascensio Sr as⸗ recta& locus in Eclipticâ per resolutionem trianguli rectan- li Sphærici: sit enim ÆE æquinoctialis circulus, C Longi- Eeiienea S Sol, à quo ad æquinoctialem demisso circulo rady, de- perpendiculari SD crit arcus SD Solis declinatio,& proin- de in triangulo rectangulo SDÆ, ex datis SD& angulo M, Vn Ec- inclinatione Eclipticæ ad æquatorem dabitur per Trigono- ε, metriam Sphæricam, arcus D Solis Ascensio recta,& Aauier AS locus Solis in Eclipticà: quinetiam angulus Æ S D in- πìε clinatio circuli declinationis seu Meridiani ad Eclipticam. n.. Quinetiam in eodem triangulo SD rectangulo, cum an-— gulus Æ constans sit& immmutabilis; si detur vel latus Æ Ascensio recta, invenire possumus declinationem DS& Lon-* 8 gitudinem puncti S, quod unà cum Dad Meridianum appel- lit„ mediumque cœli dicitur,& angulum DSC, qui est inclinatio Meridiani ad Eclipticam. Vel fi detur ÆS Lon- 900 puncti 8, exinde quoque reliqua invenire possumus, cil. ÆD Ascensionem rectam, DS Declinationem puncti S, & DSC angulum Eclipticæ& Meridiani. B b b 2 Si 380 DOCTRINA SPHÆERICA. Si quotidie methodo ostensã observetur Solis Declinatio, dabitur motus olis, apparens in Eclipticà, cui æqualis est motus Ferræ realis interea factus;& Ohservationibus de- prehensum est, Solem non æquabili motu in Eclipticà in- cedere, adeoque Telluris motus realis circa Solem inæqua- Pilis erit,& in solstitiis nostris&stivis tardius progreditur Verra, in Hybernis velociùs, eâ vero lege perpetuò ince- dit, ut in Elsipseos perimetro feratur, radiisquę ad Solem in ejus umbilico locatum per illam ductis semper describat arcas temporibus proportionales. ö Ouomodꝰ Ex dato loco Solis in Eclipticâ, Horologii automati o- ee, Pe, inveniuntur Ascensiones rectæ fixarum; quod ut fiat, Ee. De. motus Horologii sic temperandus est, ut index viginti det- Juatuor horas numeret, labente tempore, quo fixa aliqua e. à Meridiano digressa ad eundem revertitur, quod tempus veniu. die naturali paulo brevius est, ob motum Solis versus o- . rrieentem interea factum; Horologio sie ordinato, index ad initium numerationis constituatur, quando Sol Meridianum occupat. Notetur deinde tempus Horologio indicatum, quando stella aliqua eundem Meridianum attingit; horæ- carumque partes ab indice percursæ in partes æquatoris con- versæ dabunt intervallum Ascensionum solis& fixæ, quod additum ascensioni rectæ Solis exhibet fixæ Ascensionem re- ctam quæsitam. Datà autem unius cujusvis stellæ Ascen- sione rectà, dantur reliquarum omnium ascensiones. Nem- pe Observandum est tempus, Horologio prædicto notatum, inter appulsum stellæ, cujus Ascensio recta data est,& ap- pulsum alterius cujusvis stellæ ad eundem Meridianum;& hoc tempus in gradus& minuta quatoris conversum dabit alcensionum diflerentiam,& proindè ipsa Ascensio stellæ da- WEE. Sed ex datâ unius cujusvis stellæ Aseensione rectà, alia- rum Ascensiones optimè habentur methodo sequenti, ubi non opus est, ut exspectetur appulsus stellæ ad Meridianum, sed sosummodoò Telescopium est adhibendum in cujus foco TA. 36. Aptantur sila quatuor, quorum duo AE, CD, sese perpen- . 2. diculariter secent, reliqua duo EF, GH his ad angulos 8 ö I — —55 8 Mtio, 5 elt 0 de- Ti. Wua⸗ hut lle⸗ Vem 12 410 Ir Ihu W 50— E. m m; V DOCTRINA SPHERICA. 337 mireckos insistant in communi sectione O. Quibus constru- Ctis dirigatur Telescopium ad stellam aliquam, cujus ascen- o recta& declinatio notæ sint. Atque continuo Vertatur Velescopium, donec in filo AB videatur stella, ejusque motus apparens fiat secundum rectan AB, in quo situ re- cta AB exponet portionem paralleli, quem stella motu diur- no apparenti percurrere videtur, cumque CDhanc ad re- C&os angulos secat, illa circulum aliquem horarium expo- net: In hoc situ figatur Telescopium,& notetur Ohρα Ho- rologi tempus, quo stella cujus Ascensio nota est lineam (ODiattingit. Deinde observetur in Telescopio alia quæli- det stella, illa in rectdà aliquâ LE, ad AB parallela ferri Videbitur,& notetur tempus, quando ad circulum hora- rium CD in O pervenerit. Differentia temporis inter ap- pulsum prioris stcllæ& hujus, ad eundem circulum hora- rium CD, si in gradus& minuta æquatoris convertatur, dabit differentiam Ascensionum rectarum, adeoque si detur alterutrius stellæœ Ascensio recta, dabitur quoque Ascensio alterius. Cum anguli HO& OOH sint æquales, utpote semi- redti, erit QH&qualis O quod si notetur tempus inter appulsum stellæ ad filum OG/& cqus appulsum ad filum O0, dabitur tempus„ quo stella arcum QH paralleli per- currit; hoc tempus in gradus& minuta convertatur,& dabuntur gradus& minuta in arcu paralleli OH,; sed huic arcui œqualis est arcus circuli maximi; sed in inæquali- bus ciréulis, gradus„ quos æquales arcus continent, sunt reciprocè ut circulorum radu, ut inferiùs demonstrabitur. Fiat itaque,‚ ut radius Circuli maximi, ad radium paral- lei IK, qui à radio paralleli noti OB non sensibiliter difflert; hoc est„ ut Radius ad finum distantiæ stellæ à polo, ita numerus graduum& minutorum in arcu 23——— ad numerum graduum& minutorum in arcu QO, qui pro- inde dabuntur; sed est arcus QO differentia declinatio- num stellæe parallelum QK describentis,& illius quæ de- (cribit parallelum OB; unde datà unius stellæ declinatio- ne, dabitur declinatio 3—— methodo plurima- 3 rum 332 DO0CTRINA SPHÆTRICA. rum stellarum Ascensiones rectæ& declinationes inveniri possunt. Quõd in inæqualibus circulis numeri partium similium in arcubus æqualibus sunt reciprocè ut radii, sie demonstratur. Lan.33. Sint inæqualium circulorum, quorum centrum C, arcus AF, V. 4. BEæœquales, ducatur CE,& erunt arcus AD, EB similes; partesque similes numero æquales continebunt, partes voco similes, quæ ad circumferemtias totas candem habent pro- portionem,& Ob æquales AF, BE; erit AD ad AF, ut AD ad BE, sed ut AD ad BE, ita est radius CA ad radium CB; adeoque AD est ad AF, ut CA ad CB; sed est AD ad AF, ut numerus partium in AD, hoc est numerus partium in BE, ad numerum partium similium in AF, quare erit numerus partium in BE, ad numerum similium partium in AF, ut CAad Ch. uomods Datã stelle Ascensione rectà,& declinatione, ejus Longi- d tudo& Latitudo inveniuntur, per resolutionem Trianguli æarun Sphærici. Nam per polos Æquinoctialis& Eclipticæ B, P, Longita. transeat circulus PBÆ, is erit Colurus Solstitiorum. Sit E dine:& rnün n—5—— L½νοì- Equinoctialis circulus, EC Ecliptica, quorum communis Gnet. sectio sit Vsitque stella 8, per quaàm& polum ducatur circu- Lau. 33. Jus declinationis PSF, cum æquatore conveniens in F, erit Le. v. VF Ascensio recta stellæ,& SFE ejusdem declinatio; ducatur per polum Eclipticæ B,& stellam circulus Latitudinis BSO, Cunn Eclipticãà conveniens in Oñ erit VO Longitudo stellæ,& SO ejus Latitudo. In triangulo Sphærico BPS datur PS ar- cus, qui est complementum declinationis datæ, item arcus BP, qui metitur inclinationem Eclipticæ ad Æquatorem, da- rur præterea angulus FP quem metitur arcus FO, comple- mentum Ascensionis rectæ, adeoque datur angulus BPS; in triangulo BPS, ex tribus datis invenitur primò angulus PBS, cujus mensura est OC,& ejus complementum ad quadran- tem est arcus VO Longitudo stellæ,& invenietur præterea B3S, cujus complementum ad quadrattem est SO Latitudo stellæ quæfita. Similiter ex notis Longitudine& latitudine stelle possumus Ascensionem rectam& declinationem ex- Uutrere. 8 Com- DOCTRINA SPHERICA. 383 Comparando Fixarum loca à veteribus observata, cum Fat locis, quæ nunc in Eclipticà obtinent Fixæ, inyvenimus La- titudines non mutari, at Longitudines à Vernali Ecliptica cmiene cum Æquatore intersectione continuò erescere deprehendi- mus; non quòd stellæ revera progrediuntur, sed quod re- n trocedunt puncta æquinoctialia, à quibus Longitudines item. computantur. Pristina Longitudo alicujus fixc, collata cum ca quσ hodie observatur, ostendet quantitatem præcesionis quinoctiorum, quæ in 70. annis fere unum gradum ad- æquat. 0 Atque bãc ratione, stellarum Longitudines& Latitudines inveniuntur,& in catalogum rediguntur Fixæ. Quibus se- mel stabilitis, Planetarum& Cometarum quoque loca per Observationes& calculum innotescunt. Nam si observentur Planetæ aut Cometæ alicujus distantiæ, a duabus stellis fixis notis; hoc est, quarum Longitudines& Latitudines notæ sunt, hoc pacto exquiritur Planetæ aut Cometæ Longitudo & Latitudo ad tempus observationis. Sit EE Eclipticæ portio, cujus polus B, A& Cduœ steE LAn 33. le quarum Longitudines& Latitudines sunt datæ, sitque P V. 6. Planeta cùjus distantiæ à duabus stellis A& C Observatione notæ sint. In triangulo ABC, ex datis AB, CB comple- mentis Latitudinum stellarum& angulo ABC, cujus mensu- ra est arcus EEF, differentia longitudinum, dabitur AC di- stantia stellarum,& angulus BCA. In triangulo APC, dan- tur omnia Latera, unde invenietur angulus PCA, quo ex angulo BCA substracto, relinquetur angulus BCP. Denique in triangulo BCP, dantur BC, CP latera,& angulus BCP, quare dabitur angulus CBP, cujus mensura est arcus OF, differentia longitudinum stellæ C& Planetæ P, item dabitur arcus BP, qui est Complementum Latitudinis Planetæ. Eadem ratione, si observentur distantiæ alicujus Phæno- meni a duabus fixis, quarum Ascensiones rectæ,& declina- tiones notæ sunt, dabitur exinde Ascensio recta& Declina- tio Phænomeni. LE: Aer ce · Ium luci- Mum red— Nit. Suhlatã Armos— Pherd 5 eνc˙ariso simd luce densisi- mis teue- Gris in mo menso ²nvolve- remur. C. repus- culorum causa. 384 DE CREHUSCULIS. * LK T1 N. De Creßusculis,& Siderum Resractione. Pem alia innumera Atmosphæræ beneficia, hoc Etkaln cCommodi ex illà nobis derivatur, quòd lucente Sole cœli nostri faciem undique lucidam& splendentem reddat. Nam si ellurem nulla ambiret aut involveret Atmosphæ- ra, ea sola cœeli pars luceret, quam Sol occupat; aversd a Sole spectatoris facie, is nocturnas tenebras statim senti- ret,& interdiu lucente Sole, minimæ etiam stellæ micarent; cum nullum foret corpus Solis radios ad nostros oculos re- flectens;& radii illi omnes, qui non in ipsam Telluris su- perficiem impingant, oculos præterlabentes, aut. Planetas & alias stellas illuminarent, aut in spatium sese spargentes infinitüm, ad nos nunquam detorquerentur. Verum circumfusa Telluri Atmosphæra, a Sole validè il- lEistrata, lucis radios ad nos repercutiens, cœlum omneè cla- rescere facit;& inde fit, ut Atmosphæræ splendore, stel- larum lumen obscuretur& offundatur. Preeterea, sublatà Atmosphærà, immediatè ante Solis oc- casum splendidissimè luceret Sol, at in momento, cum oc- cidit, statim densissimæ ingruerent tenebræ: tamque subita- neus noctis adventus,& a luce ad tenebras transitus, pa- rum Terricolis commodus esset. Sed per Atmosphæram fit, ut post Solis occasum, etsi nulli directi ad nos pervenire postunt Solares radii, reflexa tamen luce per aliquod tem- pus fruamur,& non nisi paulatim Obrepunt noctis tenebræ. Nam postquam Tellus vertigine suà nos e Solis conspectu subduxerit, nobis Ablimior aer ab illo illustratus manet, cœlumque omne cjus luce perfunditur. Verum magis ma- gisque descendente Sole, minus continuò illustratur aer 3. ad- eo ut postquam decimum octavum infra Horizonten: attige- rit Sol gradum, Atinosphæram ulterius illustrare desinat,& aer totus tenebrescit. 22.—* ö Similiter mane, cum Sol ad decimum octavum ab Hori- zonte gradum pervenerit, incipit Atmosphæram illuminare, Humque luce perfundere, quσe usque ad Solis ortum con- ** ———...———.—2——.—. DE CREHUSCULIS. 385 tinuo crescit. Crepera illa& dubia lux mane ante Solis or- tum& Vespere post ejus Occasum conspicua Cxehusculum di- —5 Citur& ab Atmosphæræ mMuminatione Oritur. 8. Eu Clariis elucefcat, sit AL)ᷣL.circulus in Lelluris su- I.an 32 He Quod ut clarhis e ucescat, sit circulus in hurs E 33 Wl. perficie, concentrichs verticali in quo Sol infra Horizontem existit, circa quem sit alius circulus CBM, includens in eodem plano aeris portionem, duα radios Solis potest refle- 1 cterè,& oculus sit in superficie Telluris in A, Cujus Hori- 10„on sensibilis sit AN: Cum nulla recta duci potest ad A, in- nt, ter tangentem A& circulum AD%er 16 Elitertii. Sole in- on fra Horizontem depresso, nulli radii possunt ad oculum in A — directè pertingere. Verum Sole in rectã GC existente, ab m illo duci potest recta, quæ in Atmosphæræ particulam O 2 incidat, ibique potest radius in CA reflecti,& oculum in . A ingredi; atque hãc ratione Solis radii infinitas Atmosphæ- l ræ particulas illustrantes ab üsdem in oculum detorquentur. ch Tangens AB occurrat superficiei aeris, lucem refsectentis l in B puncto, a quo ducatur BD circulum Telluris tangens in D, sitque Sol in hãe lineà, tunc Radius SB in BA re- 90⁰ flectetur,& oculum ingredietur, ob angulum DBE inci- dentiæ æqualem angulo reflectionis ABE; eritque ille ra- öc bie dius, qui primus mane ad oculum pervenire possit,& tunc „Dd. Crepusculum Matutinum, seu Aurora incipit, vel ultimus ih Vespere, qui ibidem pertinget, in quo casu erit Crepu- Me culi fini. Nam Soleè inferius descendente, particulæ aeris em ad B vel ultra existentes, ab cjus luce illuminari non pos- 1. sunt. 0 Reflectio Atmosphœæræ non videtur esse sola Crepusculo- ½αα lt, rum causa, sed circumfusa Soli aura Atherea, Illiusque n M. quasi Atmosphæra etiam splendet post Solis occasum, cum-inAre- 0. que hæc oriendo& occidendo longius impendit tempus ie quam Sol, ante Solis ortum, Aurora circulari figurâ eni- 436 tetur; quæ scil. est segmentum Circuli Atmosphærœæ Solaris ab Horizonte secti, cujus lux diversa prorsus est ab illa, or⸗ quæ ex illustratione Atmosphæræ Perrestris oritur. Verum We„ Crepusculi ex auraà Mthereâ Soli vicina proyenientis, bre- vior est duratio, quàm illius quæ nostra Atmosphærã ö C4 Ori⸗ 47 386 DE CR EHHUSGO I IS. oritur, quæ Vespere non finitur, nisi cum Sol Octodecim circiter gradus infra Horizontem deprimitur. At verò nul. li certi statui possunt limites, qui initia aut fines Créepu- sculorum definiant. Eorum enim duratio pendet ex quanti- tate materiæ in aere suspensã ad lucis reflectionem idoned 6&& altitudine aeris. Hyeme frigore condensatus aer Bu- 6ln Hre. milis est,& exinde cito finiuntur Crepuscula. ÆAftate ra. ꝛhra refactus aer altior est,& diutius à Sole illustratur, unde ae. Protrahuntur Crepuscula. Quin etiam duratio Crepusculi Matutini brevior est Vespertinà duratione, ob aerem mane densiorem& humiliorem guam Vespere. Censentür autem Crepuscula incipere aut desinere, quando stellæ sexti Ordi- nis primum mane desinunt conspici vel vespere fiunt con- spicuæ, quæ priùs ob claritatem aeris latebant. Ricciolius ex observatis à se Bononiæ, reperit Crepu- sculum matutinum circa Æquinoctia perdurare mane qui- dem horà unâ min. 47., vespertinum autem horis duabus, & non priùs desinere, quàm Sol vicesimum primum gra- dum infra Horizontem attigerit. Æstivum autem matuti- num Crepusculum circa Solstitium horis tribus min. 40. Vespertinum totam ferè seminoctem tenere. Er dura- Hine si detur initium Crepusculi matutini, aut finis ve- 6e. spertini inveniri Potest altitudo aeris lucem reflectentis. sealt in. Nam tune desinit Crepusculum, quando lucis Radius à vent Sole prodiens, Perramque stringens seu tangens, à supre- 2.c, a. mo aëre ad observatoris oculum reflectitur. Et ex noto e tempore, dabitur depressio Solis infra Horizontem; ex qua TaB. z3. Elicitur altitudo aeris. Sit enim SB, radius lucis Tellurem 4. 7. tangens, quæ à particulà aeris B, in supremã ejus regione locatà, reflectatur in lineam AB Horizonti parallelam; e- rit angulus SBN mensura depressionis Solis infra Horizon- tem. Et quia AB Tellurem quoque tangit, erit angulus AED ad centrum, æqualis angulo SBN, seu depressioni Solis, ejusque dimidium AEB hujus dimidio æquale. Sit Solis(excunte Crepusculo) depressio octodecim graduum, angulus AEB, fiet novem gr. quod verum esset, si radius S B, irrefractus Atmosphæram transisset, verum quoniam ra⸗ ———————————— * I. .—„„„„ DE CREPUSCULIS. 387 radius in aere per Refractionemn versùs H incurvatur, mi- nuendus est angulus AEB, quantitate æquali refractioni Horizontali Solis, hoc est, dimidio circiter gradus, unde erit anguli AEB vera quantitas octo cum dimidio graduum; Orro est AEad BH, ut radius ad excessum secantis angu- AEB, supra radiùm, id ést, ut 1COOOO0, ad 1110. Po- sito igitur semidiametro Telluris in numeris rotundis 4000, milliarium, quibus quam proximè est æqualis, erit BH al- titudo Atmospheræ radios Solares reflectentis 44 circiter milliarium: nam ut 100ο, ad 1110, ita 4000, ad 44, per regulam prophortioms. In Cphæ- In Sphærâ rectâ Crepuscula citò finiuntur, ob rectum Solis descensum; in obliquo, longiùs durant, quia obli- rd recta 2 Crepu- ue descendit Soι;& quò obliquior est Sphæra, hoc est, sanlabre- quòo major est loci Latitudo, eò longior est Crepusculi du- ratio, adeo ut, qui ultra 48 gradibus ab Equatore distant, in Solstitiis æstivis aerem per totam noctem clarescentem habeant, nullusque fiat Crepusculorum finis, in quo meræ sunt tenebræ. In Sphærà paralleld Crepuscula per plures menses durant, unde per totum fere annum Solis lummne vel directo vel re- flexo fruuntur incolæ. Si inftra Horizontem concipiatur duci circulus Horizonti parallelus, tantum ab illo distans, quantùm est depressio Solis, cum finiuntur Crepuscula, hic circulus dicitur Cre- pusculorum Finitor. Nam quotiescunque Sol, motu diur- no apparente, hunc parallelum tempore matutino attigerit, initium sumet Crepusculum matutinum, in quocunguꝰ A- quatoris parallelo versetur Sol. Vespertinum autem cessa- bit Crepusculum, cum Sol post occasum, ad eundem Ho- rizontis parallelum pervenerit. Sit in figura HCO Horizon: circulus V ei parallelus Crepusculorum Finitor; EZO Meridianus; R Equa- tor. Patet, quò obliquior est Equator ad Horizontem, eò arcus Equatoris, ejusque parallelorum interceptos inter Horizontem, cjusque parallelum RaX longiores esse. Hi arcus QR, a, ce, h,, Pportiones Aquatoris& pa- 2 ral- V.s a, Circulus repu- sculorum nuitor. PaB.33. L 8. Diversæ Crepu- seunlorum Aduratio- ALe/. 388 DPE(CREHUSCOI 18 rallelorum, intercepti inter Horizontem cuntur Crepusculorum arcus; eorum enim durationem de- terminant,& prout quilibet arcus ad suum circulum, ma- jorem aut minorem Obtinet proportionem, eóο 1070100 AWt brevior erit Crepusculi duratio; quando Sol illum paralle- lum decurrit. Iii Finitore Crepusculorum capiatur quodli- bet punctum 4 per quod Parallelus Mquatoris 44½ transeat: & per 4, concipiatur duci circulus maximus MN qun tangat circulum perpetuæ Apparitionis. Cumquèe Horizon eundem circulum tangat, hi duo circuli cum Aduatorè e- jusque Parallelis quales facient angulos: nam utriusque anguli Mensura est distantia paralleli à suo circulo maximo; eruntque arcus omnes Paralelorum Æquatoris, inter Hori— zontem& circulum MN intercepti similes, es 13. J0 2di ZHeodosit Hherici; adeoque Sol æqualibus tempotibus hos Parallelorum interceptos arcus describet. Circulus MN fi- nitorem VÆX, vel in duobus punctis secabit„Vel in unico puncto tanget. Primò eum in duobus punctis seget, quæ smt 4&%; unde erunt arcus parallelorum dα, h, similes; adeoque, quando Sol hos duos parallelos motu diurno de- scribit, Crepuscula erunt æqualia, at quando aliquem pa- rallelum intermedium percurrit, Verbi gr. ce, Crepusculi duratio brevior erit, nam in hoc casu crepusculi arcus minor est ce, qui similis est arcui 44 vel%,& c& α æqualibus temporibus à Sole describuntur. At in Parallelis longiùs ab&Æquatore distantibus quàam gν commorans Sol longiora efficit crepuscula; nam est arcus crepusculi 4 ma- 3or quam 74, qui à Sole describitur in tempore, quod est equa]e durationi Crepusculi, Sole in parallelo g/ existente. In Parallelis, qui versùs elevatum polum jacent, versan- te Sole, continuò crescunt crepuscula, prout Paralleli illi polo viciniores fuerint; longior enim est Crepusculi arcus 0h%, quum QR,&NVU longiori tempore describitur quam 0%. At si Sol parallelum 8＋ describat, qui cum Finitore non conveniat, Crepusculum per totam noctem durabit. Hinc valde dissimilem servant rationem Crepuscula, ac dies noctesque, in incrementis& decrementis. Nam Sole Per & Finitorem, di- ＋.4.. DE CREPUSCULIS. 399 pergente ab initio Cancri, ubi dies sunt longissimi, ad ini- tium Capricorni, ubi sunt brevissimi, dies continuò nobis decrescunt, è contrario noctes sine intermissione augentur. At vero in Crepusculis aliter se res habet; nam licet in prin- cipio Cancri, seu in Solstitiis, Crepusculum sit longisli- mum, indeque simul cum diebus decrescant, sed non con- tinuò usque ad Capricornum fit hœæc diminùtio: nam in uodam Eclipticæ puncto inter Libram& Capricornum fit Crepusculum omnium brevissinum ac deinceps ab hoc ite- rum augentur Crepuscula, efficieturque umun Crepuscubum æqualè illi, quod in Æquatore fit, antequam ad Capricor-- num Sol perveniat. Et si Sol ultra Tropicum Hyemalem excurreret, Crepuscula adhuc semper fierent longiora, etiam- si dies decrescerent. Et licet dies à Capricorno ad Arietem semper fiunt longiores; Crepuscula tamen mimuuntur, usque ad quoddam punctum, inter Capricornum& Arictem, in quo brevislimum fit Crepusculum: hoc ex sequentibus pa- tebit, in quibus illud punchum determinatur. Secundo, Circulus MN Finitorem in unico puncto tan- Cπα. gat, quod sit a, per quod ducatur Parallelus Æquatoris 44, Hee, in hoc parallelo si Sol versetur, erit Crepusculum omnium— 0 brevissimum. Nam quia arcus parallelorum in Q½ dα, gi, in- ν3 ter Horizontem& circulum M N intercepti, sunt omnes similes, æqualibus temporibus à Sole descendente descri- buntur, sed ob arcus Crepusculorum ce, g, majores quam m vel gi, major erit mora Olis in arcu ce, quam in e˙m, & in arcu g%½ quàm in gi, hoc est, quam in arcu 4a. Ad- eoque Crepuscula in parallelis ë, g%½ longiora erunt, quam in parallelo 4a, in quo igitur Crepusculum fit ommium bre- vissimum. Distantia paralleli ab Æquatore, in quo fit previssimum Crepusculum, sic invenitur. Quoniam Circulus MN& Horizon HO cundem Parallelum tangunt, scil. circulum perpetuæ Apparitionis, æqualiter ad quatorem inclinan- tur, uti ostensum fuit. Est igitur angulus 4½, quem Æ- quator& circulus MN comprehendunt, æqualis angulo F4 Aquatoris& Horizontis: per Zenith& punctuni4 Cee3 du- Mitium GFini⸗ crepus- culi de- zermi- GansF. 390 DE CREPUSCULIS. qucatur circulus verticalis V4, Æquatorem secans in T. In triangulis itaque Sphæricis TV, anguli ad& V sunt recti. Et angusi ad C&/ æquales ostensi sunt item anguli ad J sunt quoque æquales, ad verticem enim sunt. Quareè triangula aTOCV sibi mutuò quiangula existen- tia, sunt quoque sibi mutuò æquilatera; ac Proinde P2 æqualis erit TV, seu dimidio arcùs&V distantiæ Finitoris ab Horizonte& præterea erit aν αqualis QV, sed est 41 &qualis Q, per 13. lis. adi I Heodos. propterea quòd R& de sunt paralleli, adeoque erit 4&qualis OV. In Triangulo Sphærico TQV Rectangulo ad V; datur la- tus LVsemidistantia Finitoris ab Horizonte, item angulus VYOPæqualis FQ4, qui metitur complementum Latitudinis Loci, quare innotescet QV,& huic æqualis Q. A pun- cto 4 in Mquatorem ducatur circulus Declinationis 4 F;& in Trianguso rectangulo Sphærico 4, datur 4& angu- lus ad Q, inde innotescet arcus 4 F, distantia paralleli minimi Crepusculi ab&Æ quatore, seu ejus declinatio, quæ erat in- venienda. Unicâ tantum Analogiâ solvi potest Problema: nam in Triangulo TCV, Radius: Tang: TV:: 0 Lang. Q: sin. W, vel ad sin Sed est sin. Q. cosin Q:: Radius: ο ang. Q, quare ex æquo erit Radius ductus in sin. Q: Tang. TV om. Q:: Radius: sin, Q.(hoc est in triangulo rectangu- 10 Qρ): sin. Q: sin. LF:: Radius sin. Q: Radius* sin. 4F. Adeoque in Analogiâ, cum Antecedentes sint æquales, quales quoque erunt Consequentes. Et erit Radius sin. 4E æqualis Tang. IV cosm. Q. Et resolvendo æquatio- nem in Analogiam, erit Radius ad Tangentem TV, ut co- sm. Qseu sinus Latitudinis loci, ad sinum&F distantiæ pa- ralleli ab Æquatore. QEI. Datã Declinatione Solis, Tempus initii Crepusculi Matu- tini, aut finis vespertini sic invenitur; sit σο parallelus So- lis, cum Finitore Crepusculorum conveniens in ꝝ, Ducatur Polo circulus Declinationis P²y,& in Triangulo Sphæri- c⁰οP, dantur omnia latera. scil. Pcomplementum Lati- tudinis Loci. P complementum Declinationis Solis,& p qua⸗ A. DE sIDERUM REFRACTIONP. 391 æqualis Quadranti plus distantià Finitoris ab Horizonte : unde dabitur angulus PP, hujusque comple- mentum ad duos rectos, scil. angulus 7 PV, unde Arcus quatoris, qui hunc angulum metitur in tempus conver- sus Ostendet tempus initii vel finis Crepusculi CEI. ATMOSPHÆRA Werrestris non tantum Radios SSlares reflectendo claritatem producit matutinam& vVα spertinam, sed& reliquorum omnium siderum radios in se incidentes refrangendo, hoc est, eorum directiones mu- tando, cosque per alias rectas propagando, facit, ut dteł- larum loci apparentes sint a veris diverfi. Multiplici experimento deprehensum est, radios corpo- Iis luminofi, vel etiam cujusvis objecti visibilis, incidentes in medium Diaphanum diversæ densitatis ab co, per quod prius propagati fuerunt, non tendere directè per easdem rectas lineas, sed veluti frangi& flecti, hoc est per aliam viam propagari;& si medium: in quod incidunt radii, sit densiis priore, flectuntur versus rectam perpendicularem in superficiem ad punctum incidentiæ. Si verò rarius sit medium Diaphanum, franguntur radii à perpendiculari di- vergendo. Multos Refractionum effectus in naturà cerni- DDIS. Baculus, cujus una pars in aere extat, altera in aquã, Fractus videtur,& altior apparet quàm reverà est;& Altra mnia altiora seu vertici propiora cernuntur, quam forent, si irrefracti ad oculum pervenissent. Sit in Figurã VQuadrans Circuli verticalis, ex centro Terræ T descriptus, sub quo sit Quadrans circuli Tchluris maximi A B,& correspondens Atmosphæræ Quadrans G H. Sitque ð sidus quodlibet, à quo ercat Radius hucis SE, in superficiem Atmosphæræ in E neidens, cumque hic radius aurà Ethereâ& rarà, seu potiùs ex vacuo, in aerem nostrum densiorem incidat, in E refrangetur verfùs propen- dicularem; cumquè aer fuperior sit rarior inferiore, adeoque densitas medii continuò augeatur, Radius lucis ulterius in aere pergendo, continuo curvabitur;& in curva EA ad Oculum deferetur; hanc curvam tangat in A recta AF,& cundum eius directionem radius EA in oculum recipictur; * cum- Nmo P heræ in ve- rang en- do. Varii Refra- Gionis Fectu 7. Sderum Aejra— CTo. 5.— 34. 2. 392 DE SIDERUMREFRACTIONE. gumque objectum omne videtur in rectà, secundum quam sit Directio radiorum, qui sensorium vellicant; Objectum 8 apparebit in recta AF, hoc est, in cœli puncto Q vertici propiore, quam reverà sidus existit. Et fieri quidem po- test, ut sidus apparcat supra Horizontem, quod infra eun- dem adhuc latet. 4,„Une Kr,. Keiracelio Lnmnaria Sotemn C⸗ Lunam ex . diametro opposita,& quorum unum infra Horizontem Io- Instt Lua: catur, supra Horizontem repræsentet, adeo ut Lune Ecli- W.—— psis videatur, Lund infra Horizontem commorante„Sole nã iufia Autem supra, ut sæpius observatum fuit. Hori- Sidus in vertice constitutum nullam patitur refractionem Samsv. nam radius perpendicularis recta progreditur; at quò obli- zante. uior est radius in aerem incidens, eò major est refractio, ad- Ui 34.— coque in Horigonte refractio est maxima. Et Stella magis 9972. quam 50 gradibus supra Horizontem elevata, nulli sensihili Eima. Obnoxia est Refractioni. In æqualibus à vertice distantiis Ap- 7%% Parentibus, Refractiones sunt æquales, adeoque Solis, Lu- —6 næ,& xarum omnium in Pari Altitudine, refractiones sunt 41.. æquales, contra quaàm cenfuit Astronomiæ Instaurator, Re- Ogie, Hãctionumquèe primus Investigator, Nobilis Braheus. Hinc saderum Ii inveniantur Fixarum Refractiones, dabuntur etiam Solis r, Lunœque& Planetarum ornnium Refractiones;& per Ob- Se, servationes, facilius investigatur fixæ alicujus Refractio lesre. quaàm Solis& Lunæ, quippe horum siderum non satis accu- Huckio. raté notæ Parallaxes, investigationem Refractionum dubiam *reddunt, dum incerta sit quanta loci mutatio Parallaxi ů quanta Refractioni debetur. At Stellæ fixa nulli Parallaxi Obnoxiœ sunt,& tota loci variatio à Refractione pendet. Fixarum, quæ ad altitudinem majorem 50. gradibus per- veniunt, dantur Declinationes, Ascensiones rectæ, Longitu- dines,& Latitudines, satis accuratè; nam in tantã altitudine, carum ręfractiones sunt quàm proximè nullæ. Quibus cogni- tis refractiones prope Horizontem sequenti methodo inqui- Ta 34 Tuntur. Sit OPZHMeridianus, HO Horizon, EQquator, . 3. Polus P, Vertex C, AStella, cujus refractio est investigan- da, Verticalis per Stellam transiens D, Stellæ locus Visus Cʒ .——2 44³Cʃ‚˖CJI*r‚..‚‚RNCJCStr *533˖wH&/,„‚ DE SIDERUM REFRACTIONE. 393 C; arcus ACerit Stellæ refractio. Observetur Distantia Stel- Ee A Vertice visa, scil. arcus C,& habeatur, vel per Alti- tudinem observatam alterius Stellæ extra Refractionis aleam positæ, vel per Horologium automaton, Temporis mo- nentum quo observatio facta fuit. Ex hoc tempore& Ad- Censione rectà Solis, dabitur punctum Æ quatoris eodem momento culminans, scil. punctum Æ. Sed datur quoque π. Stellæ Ascensio recta; adeoque punctum Equatoris B, ubi exi. Circulus Declinationis PAB per Stellam ductus,& quatori gaso. Ooccurrit. Itaque dabitur& quatoris arcus ρ B, qui est men- ura anguli Z. PA: In Triangulo igitur Sphærico A, ex datis lateribus ZP distantià verticis a Polo,& PA comple- mento Declinationis Stellæ,& angulo PA, invenietur per rigonometriam Sphæricam latus A, vera distantia Stellæ a vertice, à quã si substrahatur C distantia visa observatione cognita, habebitur arcus AC Stellæ Refractio, quæ erat in- venienda. Potest enim Fixæ Refractio inveniri, si observetur ejus Rzimuthus, seu arcus Horizontis inter Meridianum& ver- ticalem per Stellam ductum interceptus, scil. DOO, nam ar- cus ille metitur angulum PA, ex quo dato,& lateribus P/, PA, invenietur A vera distantia Stellæ à vertice,& si ab hãc auferatur distantia observata, restabit CA Refra- ctio quæsita. Azimuthus sideris cujusvis observatione optimè innote- Stam scet, si ducatur in plano Horizontis, linca Meridiana AE, Azimu- super quam erigatur filum perpendiculare CA, quod pon- 474 dere appenso facile fit: deinde aliud filum BD, pondere si-Vervario- militer instructum, ita suspendatur, ut Stella ab illis duo- αα bus filis tegatur; adeoque erit Stella in plano verticalis ＋. 34 circuli per duo fila CA D ducti; notetur deinde pun-A. 4. ctum B, ubi filum BD plano Horizontis occurrit,& in li- neã Meridianà punctum A cui filum CA incumbit; sum- ptoque in Meridiano quolibet puncto E, ducantur AB BE, & regulà in partes æquales satis minutas divisãà, capiantur menfuræ trium laterum Trianguli BAE; ex quibus per Trigonometriam investigetur angulus BAE;& innotescit AzZimuthus sideris quæsitus. Ddd EX TAB. 34. .. Radii So- lares pro- pe Hori- Tontem 5prosun- Gdu 1 Armo- sperã im ner- Faucur. 392t1 DE SIDERUN REFRACTIONE. Ex Refractione ratio redditur, cur Sol& Luna prope Horizontem visi, ovalem induunt figuram; nam corum margines inferiores per refractionem multum elcvantur, non item superiores margines; adeoque hæ margines sibi appro- Pinquare videntur,& contractiores justo apparent; inte- rim utrique termini Horizontalis diametri æqualiter per re- fractionem elevati cum sint, inyariata manebit corum di- stantia. Radii Solares, cum sol est in Horizonte, longiore mul- tò itinere per aerem feruntur, quàm cum is prope verticem versatur. Sit enim ABD Tellus,& ECF circumfusa At- mosphæra, cujus Altitudo vulgo æstimatur 50 milliarium. Sit CA radius Horizontalis, EA verticalis„patet esse CA longiorem quam EA, carum autem rationem sic investiga- re licet. Ponatur semidiameter Telluris AT in numeris To- tundis, esse milliarium 4000,& EA 55. Eli C milliarium 4050, cujus quadratum quale est quadratis TA CA. Adeoque si à quadrato ab CI auferatur quadra- tum ab AT, restabit quadratum à CA, hoc est si ab 16402500 auferatur 160000οο, restabit 40250⁰ pro qua- drato lineæ CA, cujus radix est 634. Est igitur CA ad EA sut 634 ad 50, hoc est in majorè ratione quam 12 ad 1. Hinc patet ratio, cur illæsis oculis, possumus Solem Orien- tem aut occidentem intueri; at in Meridiano non sinè ocu- lorum damno aspiciendus est Sol: nam radii Solares in Ho- riz onte per tam crassum Atmosphæræ corpus progrediendo, in particulas innumeras in aere volitantes impingunt, à qui- bus reflectuntur, eorumque vires multùm éxinde debilitan- tur. Patet etiam, cum per tam exiguum spatium progre- diendo tantum debilitantur Radiorum vires, si Atmosphæ- ra nostra ad Lunam eàãdem densitate fe extenderet„uon 80- lem, nedum Lunam aut Stellas, videri Posle. DE PARALLAXI SIDERCLNM. 395 1 6 I. De Parallaxi Siderum. UMmotus omnes apparentes diurni circa Arem TJel- 92007 luris, non circa locum spectatoris cjus superficiem in-rige colentis, peragi videntur, necesse est, ut qui motus side- rum ex Telluris superficie observat, ca inæqualiter move- 177.740 ri alpiciat; nam si mobile aliquod æquabiliter in cinculi pe- gua ripherià deferatur, motus æquabilitas ex nullo alio pun-, Co, prœæter ea, quæ in Axe Circuli locantur, spectari po- aseur. test; unde Phænomeni in cælo locus visus diversus erit, cum è superficie Terræ observatur, quam si ex ejusdem cen- tro spectaretur. Et hæc locorum differentia, cum sidus& superficie Telluris videtur,& ab ejus centro spectatur, Pa- rallaxis dicitur. Sit AB Quadrans circuli in Telluris superficie maximi, n cujus centrum T. Alocus in superficie, ejusque Vertex in 044. cœælis V, circulusque VNH referat cælum Stellatum, linea TAn. 3g. AI) Horizontem sensibilem, in quo sit sidus in C, cujus V6r. distantia à Telluris centro sit TC. hoc sidus& Telluris cen- tro spectatum in cælo Stellato in E conspicietur, supra Ho- rizontem arcu DE elevatum; punctum E dicitur locus Phæ- nomeni verus. At si è Telluris superficie in A Observator illud intueatur, in Horizontis puncto D ipsum conspiciet, quod locus ejus apparens nonunatur. Et arcus DE diffe· rentia inter locum verum& visum dicitur Parallax is Astyi. Si dus altiùs elevetur supra Horizontem in M, ejus lo- cus Verus è Telluris centro visus est P, at visus e superfi- ciei puncto A, est N,& Parallaxis est arcus PN, qui arcu DE minor est: unde Parallaxis sideris in Horizonte exi- stentis est omnium maxima; quò altiùs attollitur sidus, eò minorem patitur parallaxim; si autem ad verticem pervene- rit, nulli parallaxi est obnoxia; nam cum in Qexistit, tam 1 47.7 ex T quam in A, in eãdem recta TV videtur, nullaque est lare di- differentia inter locum verum& visum. Quò longiùs sidus aliquod à Terra distat, cò ejus Parallaxis est minor; ita si· Pæralia- Ddd 2 deris vi⸗ ————. 396 DE PARALLAXI SIDERUN. deris Fà Pellure longiùs remoti Parallaxis est GD, sideris Propioris C parallaxi minor. Hinc patet Parallaxim esse differentiam inter veram sideris à vertice distantiam„e Ter- ræ centro visam,& cam quæ ex ejus superficie conspici- tur. Nam sideris M vera distantia à vertice est arcus VP at ex A conspecto sidere, distantia ejus à verticę est VN. Has distantias metiuntur anguli VTM, VAM, COmprehen- si rectà LV ad verticem duétà,& rectis TM„AM, ex cen- tro& superficie Telluris ad sidus ductis horum autem an- gulorum differentia est angulus TMA. Nam est angulus VAMexternus æqualis duobus internis A M&XTMA; adeoque eft TMA differentia angulorum VAM&VVT M; qui itaque parallaxim metitur;& ideo ipse Parallaxis dici- Perata. tur. Eat autem ubique hic angulus ille, sub quo semidia- 1½. meter Perræ, per locum observatoris ducta, è siderę vide- las san tur, adeoque ubi semidiaméter illa directé Videtur, maxi- 2%e, mus est, hoc est sideris n Horizonte existentis maxima est Tirre Parallaxis;& ascendendo minuitur parallaxis, in cã ratio- penloci ne, quæ in sequenti Theoremate demonstratur. 4, THE OR E M A. 1.. Sinus Parallavcꝗs est ad siuum distauti& fideris ꝗ verticë i. vitecur. Q, in datd ratione, scil. in ratioué semidiametri Telluris 24 distantiam srderie. Parall. Nam per notissimum Trigonometriæ Theorema. In Tri- Saenear hHgu⁰ο ALMM, est sinus anguli AMT, ad smum anguli TANI 2uratio- vel VAM, ut AT ad TM, scil. in constante rationè semi- 2.40 diametri Pelluris ad sideris distantiam. Hine sinus Paral- Aaasis. axis sideris in C, est ad sinum Parallaxis in M, ut sinus un anguli VAC, ad sinum anguli VAM. Itaque si detur side- ellice. ris Parallaxis in aliquà a vertice distantia, dabitur ejus Pa- rallaxis in alià quàvis à vertice distantia. Si Phænomenon aliquod longius 15000 semidiametris elluris ab ejus centro distet, esus Parallaxis etiam Hori- zontalis insensibilis evadit. Nam si sit F ad TA, ut 150⁰⁰ ad 1. seu ut Radius ad sinum anguli TFA, invenietur ille angulus minor scrupulis secundis 13. qui angulus tam exi- guus est, ut nullis instrumentis observari posit. Si⸗ DE PARALLAXI SIDERUM. 37 Si detur sideris alicujus distantia à Telluris centro, da- bitur ejus Parallaxis. Nam in triangulo—＋TN„rectangu ad A, ex datis TA semidiametro Telluris,& TC dista — tia sideris, invenietur per Trigonometriam angulus AC * 7 ö I n Parallaxis fideris Horizontalis:& vicissim si detur Paral⸗ laxis, dabitur distantia sideris à Terræ centro, in codem seil. triangulo, ex datis A& angulo ACP, elicietur di- stantia LC. Si sidus nullum habeat motum sibi proprium, ejus ctistan- tia Vvera à quaàlibet fixa, per arcum circuli mensuranda, semper eadem& immutata manct„ In omni sideris fupra Horlzontemelevatione; at i Parallaxi sensibili sit on⁰vium sidus, ejus distancia Visa à Fixâ aliquà continuo mutabitur; & si fixa sit in eodem circulo verticali cum sidere, sed illo altior, minuitur distantia ascendendo, si humilior fidere sit fixa, ascendendo sidus à fixâ remotius videbitur, quamvis cœntro Telluris conspectum, eandem ubique retinebit di- stantiam, ideoque distantiæ sideris propinqui à fixis Visæ non sunt reales, fed apparentes. Sit Phænomenon seu sidus in Horizonte in C visum, Telluris centro Tcum fixâ E conjungi videbitur, at à spe- Catore in A existente, in eãdem rectà cum fixd D cernitur, & distare videbitur à fixà E, arcu DE, at ubi sidus ad M ascendit, semper videbitur è Pelluris centro in Cohjunctio- ne Cum eàdem stell E, quæ nunc in P existit. At è su- perficie Pelluris ex A scil. spectatum sidus videtur in N, propiùs quidem fixæ quam fuit, dum Horizontem occu- pabat; quare non in codem loco cum fixâà D videbitur, à quà distabit spatio N, posito arcu Pquali ED. Hinc sequitur, si sidus aliquod eandem semper inter fixas con- servet positionem, neque distantias arcuales ab iisdem mu- tare videatur, nulli Parallaxi sensibili erit obnoxium. Quin ctiam si à fixis distantia quidem varietur, sed mutatio sit ea solum, quæ motui sideris proprio debetur, in illo casu nulla quoque est Parallaxis sensibilis; sin sidus magis vel minus à fixä aliquà recesserit, vel ei accesserit, quum po- stulat motus ejus proprius, differentia illa erit Parallaxeοs effectus. Ddd 3 Pa⸗ Per Pa- „ raιανεν, fderum 7 71 VIXIIGd 7 anttæ cCohuiiu mutan— euyr. 4 378 DE PARALLAXI SIDERUN. Paralla- Parallaxis sideris in circulo verticali, mutationem in ejus e. Ioco inducit quoad reliquos Sphæræ circulos, efficitque ut ejus Longitudo, Latitudo, Ascensio Recta,& Declinatio divers videantur à veris, quæ è centro Telluris conspi- ciendæ erunt, unde quatuor præcipuè oriuntur Parallaxium Ipecies. n; Sit IIO Horizon, cusus polus V, EQEcliptica, ejusque Ai. 2. polus P, VA verticalis circulus per sidus transiens, cujus verus locus sit C, at visus sit D, in eodem verticali macis à vertice distans, Parallaxis altitudinis est arcus DC. Per Polum Eclipticæ P,& sideris locum verum transeat secun- darius Eclipticæ, seu circulus Latitudinis PCG,& Gerit verus locus sideris ad Eclipticam reductus, punctumque G ejus Longitudinem veram ostendet; at per locum visum H traductus Latitudinis circulus PDH cum Eclipticà conve- nict in H puncto, quod erit sideris locus in Eclipticâ visus, arcus Eclipticæ GH, interceptus inter duos Latitudinis cir- in, culos, per verum& visum locum transeuntes, dicitur Pa. Zaradi. Lallexi Lin- itudinic. Sideris in C existentis vera Latitudo 211 est CG; at cum in D videtur, Latitudo visa est H; ha- 5 2——— rum differentia CN Parallaxis Latitudinir vocatur. zadiui. Si sidus sit in circulo verticali, qui Eclipticam in nona- gesimo gradu ab oriente puncto intersecat, hoc est, qui E- Clipticæ sit perpendicularis v. gr. in circuli VE puncto c, Parallaxis Longitudinis nulla erit; nam cum circulus ver- ticalis VE, in hoc casu Eclipticæ ad angulos rectos occur- rit, per ejus polos transibit, idemque erit circulus Latitu- dinis, in quo existit verus& visus sideris locus, adeoque l0ci hi ad Eclipticam reducéti in idem punctum incident, & in hoc casu Parallaxis Latitudinis coincidit cum Paral- laxi Altitudinis. Quadrans Orientalis Eclipticæ est, qui inter nonagesi- mum gradum& punctum ejus oriens intercedit. Occiden- talis autem Quadrans est, qui inter nonagesimum& Occi- dentem Eclipticæ gradum interjicitur. Sideris in orientali quadranti existentis Longitudo visa major est quam vera: nam oriente sidere, Parallaxis illud magis in orientem de- primit, ume tcue 1 ch Sa Ahain KOEt male Hm I come. hllns, U5 c- La. Mudo Hz he 2D2. E. It0 6%„ Ner- occul- il⸗ Kodde Lelt, Dal Nael⸗ dder .066— enll NIa n de. ilat, DE PARALLAXI SIDENUII. 309 primit. Sic in figurâ, locum in Eclipticà visum fignat pun- Cum H, magis in orientem promotum quam est Jocus Ve- rus G. At fi sidus sit in Quadranti occidentali, Longitu- do visa minor est quam vera, quoniam Parallaxis in hoc situ sidus versus Occidentem detrudit. Referat jam circulus EꝘ απquatorem, P ejus polum, PVH Meridianum, VCA eirculum Verticatem, per sidus transeuntem; in quo sit Clocus sideris verus„D Vvisus; slint- que PCG, PDH ccundari quatoris sive circuli De- clinationum per locum sideris verum& visum traducti,&- quatori occurrentes in G& H. Punctum Gostendet Ad- censionem rectam sideris veram, H visam, quarum distan- tia GA est Parallavie Ascen sionis recre Declinatio sideris Paral- vera est GC, visa DH, differentia Dechnationum NC di- As. citur Parallaxis Declinationis. Si sidus sit ad orientem Me. e, ridiani, Ascensio recta visa major est verâ, si ad occiden- Paral.- tem, fiet visa minor verâà; at cum sidus in Meridiano cul- ½ e⸗ minat, nulla est Parallaxis Ascensionis recte, propterea ⁰ quod idem Declinationis circulus per vilum& verum lo- cum transit. Varias excogitaverunt Astronomi methodos, ut siderum Parallaxes investigent;& ut exinde eorum distantiæ à Pellure innotescant. His enim cognitis, judieium aliquod de Am. plitudine mundanà ferre licebit. Modos aliquos, quos ad rimandas Parallaxes adhibuerunt Astronomi, liceat nunc vo- bis exponere. Primo Observetur sidus, quando est in eoπαëαm verticali αν circulo cum duabus stellis fixis, sit VB verticalis, in qua ν simul videntur FRÆ C&D,& sidus S, cujus locus Vilus, erit quoque in eundem verticali, qui sit E., unde si sidus nul. lum habeat motum proprium, eundem semper ad HXas C& I D conservabit situm, eritque ejus locus verus in lined per fa. 3. Hxas(D transeunte. Post aliquod tempus rursus observetur sideris positio respectu fixarum, quando scil. non in eodem Vverticali, sed potiùus in Circulo Horizonte æquidistante vi- dentur, scil. sunt fixæ c& d, sitque locus sideris visus e, at verus erit in lincà 4α, que fixas Conjungit: observentur di- 2. 76• Met bo- Aus se- cuuda. Tan.35. 7 4• 49⁰0 DE PARA I. LAXI SIDERUM distantiæ fixarum& sideris à vertice, scil. areus V,cV,& V. Capiantur etiam loci visi e, distantia ea fxã,& fixa- rum distantia 1c. Locus verus sideris est in verticali Ve. per locum visum transeunte, est etiam in lineà 4ec, erit er- 90 in intersectione S. Adeoque Parallaxis sideris est 6. In triangulo æ Vę: dantur omnia latera, quare innotescet angulus VAc: rursus in triangulo Veσ, dantuùr omnia latera, innote- scet igitur angulus 4 Ve, vel ꝗdVS. Deniquè in triangulo VS, datur latus 4V, distantia fixæ 4 à vertice observata cum angulis VS& V4S, mox inventis; quare invenietur latus VS, quod ab Ve ablatum, relinquit arcum Se, Paral- laxim quæsitam. Potest sideris Parallaxis hãc quoque ratione facillimè ob- tineri; nempe observetur, quando sidus est in alquo vertica- li cum quaàvis stellà fixâ vicinâ, ejusque distantia à fixâ ca- piatur: deinde observetur rursus, quando sidus& fixa pa- rem obtinent ab Horizonte altitudinem, harum distantiarum differentia erit quam proximè sideris Parallaxis. Sit Hori- 20n HO, vertex loci V, circulus verticalis VB, in quo ob- servetur sidus in E,& fixa in D, locus autem sideris verus sit S,& SE Parallaxis. Altitudinum differentia DE erit si- deris& Fixæ distantia visa: observetur deinde fixa in 4.& sidus in loco viso e, in eàdem à vertice distantià, erit di- stantia sideris& fixæ de, quam proximè æqualis veræ illo- rum distantiæ. Nam sit 5 locus sideris verus. Et quo- niam Parallaxis se respectu arcùs Ve, parva admodum est; erunt 4σ& σ fere æquales, quod adeo verum est, ut si Parallaxis ge foret unius gradùs, tamen 4e& d Vix uno minuto different. Si itaque instrumento observetur distantia de, notus erit arcus ε, ipsi quàm proximè æqualis;& est As qualis DS, in primà observatione; à DS itaque auferatur Molus tertius. TAx 35. Hg· 5· arcus notus DE,& restabit SE Parallaxis sideris in E obser- Vati. Phænomeni alicujus Parallaxis inveniri quoque potest, observando ejus Azimuthum, distantiam à vertice,&tempus inter observationem,& ejus ad Meridianum 0 Sit HVPO Meridianus, in quo sit vertex V, Po s P,& lit. —H0 DE PARALLAXI SIDERUN. 401 . 1 HO Horizon, VB circulus Verticalis, per sideris locum Ve, verum S& vilum E transiens. Traducantur quoque per lo- ütee— cum verum& visum circuli Declinationum PSPE, observe- M turqueè sideris Aimuthus EO vel angulus BVO, eo modo, WIls aquo in Lectione de Refractione siderum Azimuthos capere Irdte Uilnis Obseryetur quoque sideris distantia a vertice Wad Visa VE,& notetur momentum temporis, quo observatio facta est. Expectetur deinde, dum sidus ad Meridianum appulerit,& momentum appulsus accuratè definiatur, quod Wull fit vel per Horologium Automaton, vel per Altitudinem fi- xœ alicujus notæ. Temporis intervallum inter observatio- nem primam sideris in Verticali,& ejus appulsum ad Me- 1n ridianum, in gradus& minuta Aquatoris conversum, da- 1167 bit arcum quatoris C, qui est mensura anguli VPꝰS. Ita- 35 que in triangulo VPS, datur latus VP, distantia Poli a ver- 1.ni tice,& anguli VPS& PVS unde innotescet arcus VS, ve- 700 ra distantia sideris a vertice, quã ex Observatà VE sublataã, restabit arcus SE Parallaxis quæsita. Ld Notandum est, ut convertatur tempus in gradus& scru- 6555 pula Æquatoris, reducendum est prius tempus in horas& eit se minuta primi mobilis, quæ horis Solaribus sunt aliquantu- 4 lum minores; vel si adhibeantur horæ Solares, pro earum ert d singulis numerandi sunt in Æquatore gradus 15. minut. 2, elb⸗ secund. 27, tert. 51;& proportionaliter pro particulis ad- Gu0• junctis. met⸗ Sit HO arcus Horizontis, AM Meridianus, in quo sit P Aodus „ polus, Vvertex loci, sideris locus visus E, ante appulsum Fan 37 XU⁰ lideris ad Meridianum observetur ejus a vertice distantia VE, 4. 6. 8 Hanta sideris locus verus sit S, Parallaxis SE, inveniatur AZimu- eh thus EVM;& notetur tempus observationis; deinde post Leratlk appulsum sideris ad Meridianum, observetur illud iterum, Oh quando candem obtinet a vertice distantiam Ve, unde cum Visæ distantiæ sunt æquales, erunt quoque veræ distantiæ Oeelt, VS, Væquales. Notetur intervallum temporis inter pri- ens mam observationem& secundam; hoc tempus in gradus& m. d minuta Æquatoris conversum, dabit angulum SP, cujus di- „ KI midium est angulus SPV. Itaque in triangulo SPV/ dantur an- Eee gu⸗ o Lus ιμιν. 40² DE PARALLAXI SIDERUM. guli SPV& SVP, qui est complementum Azimuthi ad 180 gradus, item latus VP distantia verticis& Poli; exinde in- notescet arcus VS, distantia vera sideris a vertice, quæ si ab VE oObservatà distantià auferatur, dabit SE Parallaxim quæsitam. Hæ& praxes ex observatione AZimuthi pendent; at absque illius observatione Parallaxeos cognitio Obtineri potest, per Ascensiones sideris veras& visas, ex quibus Arimuthi cal- culo eliciuntur. Nam observentur distantiæ sideris a duàbus quibusvis fixis, quarum distantia& Ascensiones rectæ notæ sunt;& exinde quæratur sideris Ascensio recta, uti in Le- ctione XX docuimus; deinde cum sidus ad Meridianum pervenerit, rursus capiatur ejus distantia a duabus fixis, ex quibus, habebitur eãdem methodo, Ascensio recta sideris ve- ra, seu punctum, ubi circulus Declinationis per verum side- ris locum transiens Æquatori occurrit. Ex Ascensione rectâ visà sideris in Verticali VB observa- tã,& puncto Æquatoris culminante, dabitur angulus VPE, quare in triangulo VPE, ex datis lateribus VP, VE,& an- gulo VPE, inveniri potest angulus PVE, qui est Azimu- thalis angulus; datã autem sideris Ascensione verâà, quæœ in Meridiano observata fuit,& puncto Equatoris culminante, dabitur angulus VPS, unde in triangulo VPS, ex datis an- gulis PVS& VPS,& latere VP dabitur latus VS, vera si- deris a vertice distantia, quæ si ab observatã VE auferatur, relinquetur SE Parallaxis sideris. ö Ad Ascensiones siderum rectas determinandas, non satis fida est in subtili hoc negotio Temporis observatio, quæ fit Penduli vibrantis ope; si enim unius scrupuli secundi error in mimerando commissus fuerit, hic error producet in Ascen- sione rectã errorem 15. scrup. secund. Ut habeatur vera sideris Ascensio recta, non Opus est e· jus appulsum ad Meridianum observare; sed melius perfici- tur per duas observationes, quarum una peragitur 1 Orien- tali cœli quadrante; altera in Occidentali„ at m utraque par sit altitudo sideris visa. Nam si capiatur distantia side- ris a duâbus fixis notis, in orientali cœli plagã, IN kr DE PARALLAXI SIDERUN. 403 Rnd exinde ejus Ascensio recta Visa, quæ verà major. duo- WW. ps niam Parallaxis deprimit sidus versùs oriemtem; ruriis cn. r sidus ad eandem à vertice distantiam, in Occidentali plagã Aalain pervenerit, capiatur similiter ejus Ascensio recta visa, quæ 061 tantundem minor erit verâ, quantum priòr veram luperabat. üe Nam Parallaxis in equali altitudine tantum sidus ad Occi- Hachn dentem deprimit, quantum priùs Versus orientem illud pro- muh trudebat. Adeoque si Ascensionum visarum differentia bi- sas secetur,& semidifferentia minori addatur, vel à majori au- etem feratur, habebitur vera sideris Ascensio: adeoque punctum „male Equatoris, ubi circulus Declinationis per sidus transiens Eräam eidem occurrit; hoc est, punctum Csed ex dato momen- Tan 35. Hfjel to temporis observationis primes, datur Ascensio recta me- Ilcktoye dii cœli, seu punctum Mquatoris culminans A, unde da- nme⸗ bitur Arcus EC, qui metitur angulum WPC, unde in tri- angulo, VPS, ex datis VP latere,& angulis PVS&VPS, EIM invenietur, ut prius, VS distantia sideris à4 vertiee A WB& vila ablata, relinquit arcum SE Parallaxun Altitudinis, L quæ erat invenienda. ö Rum Omnium optimè& facillimè exquiritur Parallaxis Ascen- e n sionis rectœ, si adhibeatur Velescopium„in cujus foco sunt TAu.36. nmante, quatuor fila ad angulos semirectos se intersecantia, ut in V. 2• lto Ml Lectione XX. expofuimus;& Telescopium dirigatur Ver- cel. sus sidus, atque continuo vertatur, donec in filo transver· Weal, so AB videatur, ejusque motus apparens diurnus fiat secun- dum hujus fili directionem; in quo situ, filum AB expo- Mts net portionem paralleli, quem percurrit sidus,& filum CD „et ilud ad angulos rectos intersecans, circulum aliquem ho- 1 rarium repretsentabit. Notetur deinde temporis momentum, 70 quando sidus in circulo horario CD videtur; dehinc Te- lescopio immoto manente, observetur tempus, quando alia zele aliqua stella, cujus nota est Ascensio recta, ad eundem cir- r culum horarium appulerit. Intervallum temporis inter si- 00 deris& Fixe appultus ad circulum horarium, in gradus& e minuta quatoris conversum, dabit difserentiam inter A- 0 scensionem rectam fixæ,& sideris Ascensionem visam. Cum mls verò sidus ad Meridianum appulerit, rursus Telescoꝑpio ob- Ihttur 1460 2 ser· 4⁰ DE PARALLAXI SIDERUM. servetur,& eadem methodo quæratur ejus Ascensio recta visa, quæ in Meridiano coincidit cum verà. Unde dahi- tur punctum Æquatoris, ubi Declinationis circulus per ve- rum locum sideris Mquatori occurrit; datur itaquè sideris Ascensio recta vera,& datar quoque visa, unde dabitur harum differentia, seu Parallaxis Ascensionis rectæ, quæ ＋e36. est angulus SPE. Et quoniam datur Ascensio visa sideris, 46..& punctum Æquatoris tempore observationis culminans, datur Arcus Æquatoris inter hæec duo puncta interceptus, qui est mensura anguli VPE; itaque in triangulo VPE, dan- tur latera VP, VE,& angulus VPE, quare innotescet an- gulus PVE: ab angulo VPE auferatur angulus SPE, Pa- rallaxis Ascensionis rectæ,& dabitur angufus VPS; deni- que in triangulo VPS, ex datis angulis PVS& VPS,& latere VP, innotescet latus VS, vera sideris à vertice distan- tia, quæ ex visâ ablata, relinquet SE sideris Parallaxim. zrvesti. Si sidus motum habeat proprium, ejus Ascensio recta per 5½%% illum motum continuò mutabitur, nisi in aliquo Declina- quond tionum circulo feratur; adeoque habenda est ratio istius mu- idur ha. tationis; quod fiet, si observetur sideris in Meridiano exi- I 4 stentis Ascensio recta,& cum proximo die rursus ad Meri- zrium. dianum pervenerit, iterum observetur ejus Ascensio recta, Differentia dabit mutationem Ascensionis rectæ, quæ tem- pori intermedio competit; nam in Meridiano existente si- dere, nulla est Parallaxis Ascensionis rectæ. EX his Ob- servationibus cognoscetur motus diurnus proprius sideris se- cundum Æquatorem,& ex motu diurno dabitur motus pro quolibet tempore intermedio: r. si motus diurnus secundum Æq natorem sit 30. min. hoc est, si sideris locus in ÆEquatore quotidie promoveatur spatio 30 min. sitque tempus inter observationem primam in orientali quadranti, & secundamn in Meridiano factam æquale sex horis, huic temporis spatio debetur motus septem; minutorum. Sup- ponamus jam differentiam inter Ascensionem rectam in Ver- ticali,& in Meridiano observatam, esse 20. minutorum, horum septem cum dimidio motui proprio sideris debentur, unde Parallaxis Ascensionis rectæ erit duodecim cum dimi- dio minutorum.* * DE PARALLAXI SIDERUM. 40⁰5 Simili methodo, per Longitudines sideris visas& Veras, investigari possunt Parallaxes; Visa Longitudo habetur ob- servando sideris distantias à duabus fixis, quarum loca no- ta sunt; vera autem Longitudo habetur, capiendo distan- tias a fixis notis, cum sidus est in nonagesuno Eclipticæ Gradu; ubi Longitudo visa coincidit cum verâ. His& similibus methodis, si sidus aliquod habeat Pa- rallaxim scrupulo primo non minorem, illa inveniri potest. In Lunà quidem satis notabilis deprehenditur Parallaxis, que in Horizonte sæpe gradui& amplius æquatur. Sed oreterca non desunt alie Methodi Lunæ peculiares, qui- 505 ejus Parallaxis habetur, quarum unam hic indicarè li- ceat. In Eclipsi Lunæ, observetur quando cornua in eodem Parasla- verticali circulo videntur,& in eo momento capiatur u- triusque cornu Altitudo; Altitudinum semi differentia ad ìα Altitudinem humilioris cornu addita, vel ab Altitudine per me- sublimioris ablata, dabit Altitudinem visam medii inter 9 cornua puncti, 2 quam proximè est æqualis Altitudini 3 centri Lunæ. Sed vera Altitudo centri Lunæ est quàm pro- ximé æqualis Altitudini centri Umbræ supra Horizontem. At datur Altitudo centri Umbræ, quia datur pro illo tem- poris momento locus Solis in Ecliptica,& proinde pun- ctum Eclipticæ huic loco oppositum, in quo est centrum Umbræ, cujus proinde Altitudo pro tempore dato compu- tari potest; nam est illa æqualis depressioni Solis infra Ho- rizontem in eodem momento; quare dabitur vera Lunæ Al- titudo; sed datur per Observationem Altitudo visa, unde & earum differentia, quæ est Lunæ Parallaxis, datur. Quoniam Lunæ distantia à centro Pelluris pro vario ejus ab Apogeo recessu, continuò minuitur, necesse est, ut Pa- rallaxis ejus Horizontalis in eadem ratione continuò augea- tur, sicuti per accessum ad Apogeum minuatur, ideo Ta- S. Pa. bulam condunt Artifices, quæ Lunæ Parallaxim Horizon- talem pro singulis ejus Anomaliœ gradibus ostendit. ů——— Quamvis methodi superiùs traditeæ Lunœ Parallaxim satis uon poresi notabilem esse manifestant, illarum tamen nullæ sufficiunt 1.3 ad Hippar- chi me FHodus Yro nve niendd Paralla ＋ Solis. TAB53.22. Ha. 2. 4⁰6 DE PARALLAXI SIDERCM. ad Solis Parallaxim explorandam; ea enim tam exigua est, ut Observationes requisitæ tam accuratè capi non poslint, quæ ipsam determinent;& error in Observando vix evitari queat, qui non toti Solis Parallaxi æqualis evadat. ů Hic observationum defectus Veterès impulit Astronomos ad alias Soli peculiares ineundas vias, quibus ejus Parallaxim eruerent; quæ quidem methodi, etsi maximum acumen& ingenium veterum ostendunt, parum tamen sunt idoneæ in tam subtili indagine, ad rem ipsam investigandam. Utiles tamen sunt ad demonstrandum, distantiam Solis a Pellure immensam esse respectu distantiæ Lunæ ab cãdem, ideoque à proposito nostro non alienum erit eas vobis exponere. Prima Methodus est Hipparchi, eamque adhibuëre Pto- lemæus ejusque sequaces,& alii Astronomi non pauci. Ni- titur autem in observatione Eclipseos Lunaris,& Principia ex quibus pendet hæc sunt: Primò in Eclipsi Lunari, Pa- rallaxis Solis Horizontalis æqualis est differentiæ inter So- lis semidiametrum Apparentem,& semiangulum Coni Um. brofi. Quod hac ratione facile ostenditur. Circulus AFG repræsentet Solem, DHETellurem, sitque DMH Conus Umbrosus, DMC semiangulus Coni. Ducatur a centro So- IUs S recta SD Tellurem tangens, Erit angulus DSC semi- diameter apparens Telluris e Sole spectata, quæ æqualis est Solis Parallaxi Horizontali. Et angulus ADS est apparens semidiameter Solis e Terra visa. Est autem per 32. Hlem. Primi, angulus ADS externus æqualis angulis DMS& DSM internis; adeoque 94817 DSMequalis est differentie an- TAB. 22. E. gulorum ADS& DNMS. Secundo semiangulus Coni æqua- his est differentiæ Parallaxis Horizontalis Lunæ,& semidia- metri apparentis Umbræ ad Lunæ cælum; sit enim CDE Tellus, CME Conus umbrosus, qui plano transverse ad di- stantiam Lunæ secetur; sectio erit circulus, cujus semidia- meter est FG, quæ ex Telluris centro videtur sub angulo GTF; sed per 32. Elem. Primi est angulus CFTæqualis angulis FMIT&GIF; Adeoque angulus FMTP æqualis est differentie angulorum CET&FTG/ sed est angulus CET Ile sub quo TLerræ semidiameter e Lunæ cœlo videtur, 3 DE PARALLAXI SIDERU.M. 407 ö lael est æqualis Parallaxi Lunæ Horizontali. Et angulus E Hlnt, est semidiameter apparens Umbræ, unde patet semiangu- ten lum Coni esse differentiam inter Parallaxim Horizontalem ö Lunæ,& Umbrœ semidiametrum apparentem. Quare si So- donos lis semidiametro apparenti addatur semidiameter apparens Hhum Umbræ,& a summa aufertur Parallaxis Horizontalis Eumæ, D restabit Parallaxis Horizontalis Solis, quæ proinde ex illis Mei accurate datis habebitur. Verum horum datorum nullum Uits tam accurate innotescit, ut sufficiant ad Parallaxim determi- Lhe nandam; nam ex parvis(in his angulis capiendis) errori- Dpa. Kot bus, qui vix cvitari possunt, ingentes prodibunt errores in ½4 . Parallaxi Solis,& maximæ discrepantiæ in ejus distantia a onsaf. D0• Tellure quæ ex illa pendet. Exempli gratia, Parallaxim 45½ N. Lunæ Horizontalem ponamus esse min. prim. 60. sec. 15. Far I4tdie Solis semidiam. min. 16,& semidiametrum Umbræ 44. min. pe- ä. prim. 30. secund. Ex his colligitur Parallaxim Solis esie 15. n 00- ö secund.& distantiam ejus à Tellure æquari 13000. semidia- Um. metris Perræ; At si error commissus fuerit, in determinan- W da semidiametro Umbræ, sitque ille tantum 12. secund. in nl defectu,& sane semidiameter Umbræ vix tanta Præcisione 909 obtineri potest, hoc est, si 10αο 44%: 30 capiantur 44.: K 187 reliquis manentibus, prodibit Parallaxis Solis 3. se- wet cund.& cjus distantia à Lellure æqualis fere hοοο. semidia- Keld metris Perræ, plus quam quintuplo major quam prior. Si . vero in excessu peccatum fuerit, atque semidiameter Um- bræ ponatur 44“: 42½. reliquis manentibus, elicictur Paral- ö laxis 27. minutorum secundorum,& distantia Solis 7700. 540 semidiametrorum FTerrestrium, fere decuplo minor quam 2—1 per æqualem errorem in defectu elicitur. Si error in defe- 00 ctu admissus fuerit 15. secund. Prodibit Solis Parallaxis ni- 05 hilo æqualis, ejusque distantia infinita. Quare cum ex tan- 1h tillis erroribus, Parallaxis& distantia Solis tam diversæ pro- d deunt, manifeste patet, hac methodo veram Solis Paral- 0 laxim ejusque distantiam obtineri non posse. bls Cum igitur angulus ad Solem, quem Terræ semidiameter Aristar- subtendit, tam exiguus sit, ut observatione deprehendi non ½½ I10 possit, excogitavit Aristarchus damius methodum qua I— —⁰ aum ＋.—— Ta3. 36. V. 3. Aristar- chi me- T0du 5 408 DE P ARALLAXI SIDERVU M. lum ad Solem, quem Lunaris orbitæ semidiameter subten- dit, determinare conatus est. Hic enim angulus sexaginta circiter vicibus priore major est; Ad hujus anguli Ipettiarr tionem sequentia ponit principia. Ostensum fuit in Lectione de Lunæ Phasibus, quod si er Lunæ centrum transeat planum ad quod recta, Solis& unæ centra conjungens, sit normalis, hoc planum Hemi- sphærium Lunæ illuminatum ab Obscuro dividere; adeoque si planum hoc transeat per spectatoris oculum in Pellure Luna tunc dimidiata seu bisecta apparebit,& recta a Ter- ra ad Lunæ centrum ducta erit in plano illuminationis; ad- eoque ad rectam quæ Solis& Lunæ centra conjungit perpen- dicularis erit. Sit S Sol, Perra, AL/ Quadrans Orbitæ Lunaris, recta SLũa Sole ducta Lunæ orbitam tangat in I., & erit angulus LLS rectus; adeoque cum Luna in ELVide- tur, dichotoma apparet: Si itaque observetur momentum Temporis cum Luna bisecta videtur, atque eodem momen- to, capitur angulus LPS elongatio Lunæ a Sole, dabitur hujus anguli complementum ad rectum angulus LS, sed datur latus TI, unde in triangulo SLT re angulo dantur anguli,& latus TL, ex quibus dabitur latus ST distantia Solis a Tellure. Verum maxima est difficultas in determinando temporis momentum, quando Luna est in vera Dichotomia, nam per non ini· patium temporis ante,& post Dichotomiam notabile, im- danea α mo in ipsa Quadratura, ejus Phasis a phasi Dichotomiæ di- ad inve- niendam stingui nequit, uti observatio nos docet,& hac etiam ratio- 551. i. ne Ostenditur. In Lectione de Lunæ Phasibus demonstra- fstanti- Am. tum a nobis est, Diametrum Lunarem esle ad ejus partem a Sole illustratam,& a nobis visam, ut Diameter circuli ad sinum versum elongationis Lunæ a Sole quamproxime, ac- curate autem, ut Diameter circuli ad sinum versum exterio- ris anguli ad Lunam, in trian ulo, quod linee jungentes Solis Terræe& Lunæ centra 4un Uti in Lectione de Veneris Phasibus ostensum fuit. Fonamus jam temporè ve- ræ Dichotomiæ angulum LST esse min. prim. 15, Et semi- diametrum orbis Lunaris æquari 60. semidliametris Telluris, Wi SVOI bten⸗ Onta tga: Waf & hAr. ocite NL, DE PARALLAXI SIDERUM. 4à09 inde elicietur distantia Solis æqualis 13758. semidiametris Terræ. His positis; sit primo Luna in Quadratura in /, hoc est, sit angulus 7 TS rectus,& erit exterior angulus trianguli ad Lunam, æqualis 90. grad. min. 15, cujus sinus versus æqualis est radio, una cum sinu recto min. 15. Itaque ut Diameter circuli ad Radium una cum smu recto minuto- rum 15. sie Lunæ Diameter ad partem ejusdem a Sole illu- stratam e Tellure visam; quare capiendo dimidia Anteceden- tium,& dividendo, erit ut Radius ad sinum rectum min. 15, ita semidiameter Lunæ, ad excessum quo pars illustra- ta e Terra visa semidiametrum superat, est autem sinus min. 15, partium 436. qualium KRadius est 100500,& apparens Lunæ semidiameter est circiter min. 15. Quare fiat ut Ra- dius 100000. ad 436. ita 15. min. ad quartum, qui prodit minor quam quatuor scrupula secunda; At hæc quantitas adeo exigua⁴ est, ut omnem sensum effugiat; adeoque Luna in Quadratura(cum ejus Phasis tantilla quantitate Dicho- tomiam superat) adhuc ut Dichotoma apparebit. Quod si vera Dichotomia in ipsam Quadram incidisset, distantia So- lis fuislet infinita, in Illo enim casu, angulis S&ST/. existentibus rectis, line ST, 87 essent parallelæ& non concurrerent nisi ad distantiam infinitam. Sit secundo elongatio Lunæ à Sole seu angulus STL. 89. r. min. 30. in illo casu, erit angulus exterior ad Lunam G grad. 89. min. 45. Equalis scil. angulis el nl, cujus sinus verfus æqualis est radio, dempto sinu recto min. 15: cumque sit ut Radius circuli ad sinum versum an- guli exterioris ad Lunam, hoc est, ad Radium sinu recto min. 15. diminutum; ita semidiameter Lunæ ad partem ejus à Sole illustratam& à nobis visam, erit dividendo Radius ad sinum min. 15. ita semidiameter Lunæ seu 15. min. ad excessum quo eadem semidiameter partem illustratam& Vi- sam superat, quæ itaque ut in priore casu erit æqualis qua- tuor scrupulis secundis; atque Luna tantilla parte à Phasi Dichotomiæ deficiens, tanquam Dichotoma videbitur, seu ejus Phasis a Dichotomiæ Phasi distingui nequit. Si ita- que in illa apparenti Phasi 111 momentum Dichoto- miæ —9 4 DE PARA LLARI SIDER UN. miæ veræœ; hoc est, cum 30. min. à Quadratura distat elicietur inde distantia Solis æqualis 6876. senichametris ter⸗ restribus. Observationes te stantur Lunam cum à Quadratura 30. min. distat tanquam Dichotomam apparere„& sub ipsa Quadra- tura, ejus Phasin à Phasi Dichotoma distingui non posse immo Dichotoma apparet Luna optimo Telescopio Vila, postquam Quadraturam superavit, ut ipse Ricciolus agno- eit in Almagesti p. 734. Itaque Luna ad minimum per spatium unius hore, tanquam bisecta videbitur, cujus tem- poris momentum quodlibet οαdem jure quo aliud quodvis tanquam momentum veræ Dichotomiæ aslumi potest;& pro infinitis diversis quæ assumi possunt temporum momen- tis, infmitæ diverse elicientur Solis à Terra distantiæ. Hinc manifeste patet, distantiam Solis accurate hac metho- do Obtineri non posse. Cum incertum sit veræ Dichotomiæ momentum, certum tamen sit Phasin illam ante Quadraturam accidere; Riccio- lus assumit articulum temporis medium inter tempus quo phasis Lunæ sit dubia& momentum Quadraturæ. Sed re- CTius fecisset, si assumpsisset tempus medium inter Phasim dubiam quando primo Luna cava videri desüt,& tempus antequam primo convexa apparere incipit, quod tempus contingit post Quadraturam, hac ratione Tellurem ad ma- jorem à Sole semovisset distantiam, quam est illa quæ ex ejus calculo elicitur. Non opus est hanc methodum ad Dichotomiæ phasim alligari, nam in alia qualibet phasi vel à Dichotomia defi- ciente; vel illam superante, possumus Solis distantiam in- vestigare æque accurate ac in Dichotomia. Observetur e- nim Optimo Velescopio Phasis Lune& codem temporis momento cjus elongatio à Sole, dabiturque per observatio- nem pars semidiametri Lunæ illustrata à nobis visa, si hæc à semidiametro deficiat, ab illa auferatur, sin superet, se- niciameter Lunæ ab illa substrahatur& notetur residuum. Fiatque ut semidiameter Lunæ ad hoc residuum, ita Ra- dius ad quartum, hic crit sinus anguli qui ad rectum addi- tus, SISYN.˖·...·.-...e.. C-/—.=.......2. D ——— E DAR AI. I. AXI SIDERUM. Au ö ö tus, vel ab eo ablatus, dat angulum exteriorem trianguli ad Lunam, sed datur Angulus ad Pellurem, qul est Elon- gatio Observatione cognita, quare hic ab exteriore angulo r ablatus dabit angulum ad Solem; quare in triangulo SIT dantur omnes anguli,& latus LL ex iis innotèescet S, Dbi, distantia Telluris à Sole. Sed difficile est observare accu- Wsn rate quantitatem Phasis Lunaris, ita ut non in aliquibus In secundis error admittatur; adeoque neque hac methodo 14- Aulsw tis præcise obtineri potest I elluris à Sole distantia. Ex si· Ucundt milibus autem obseryationibus certum est, Solem longius Wact; 7000. semidiametris 1 elluris ah illa distare. in Cum itaque tanta sit Solis distantia, ut neque Per Ecli-. G pses, neque per Lunæ Phases, ejus cogmitio obtineri pos- Pa. 1550 sit, ad Planetarum Parallaxes Martis scil. aut Veneris in- allaxis vestigandas confugiunt Astronomi, quæ si darentur, Solis άer quoque Parallaxis& distantia per se inscrutabiles, facile e „6 elicerentur. Nam ex Theoria motuum Telluris& Plane- Mar ti Hico tarum, dantur pro quolibet temporis momento, ratio H.. Dpus d0 stantiarum Solis& Elanetæ à Terra;& Parallaxes Hori- Hedle ontales sunt in harum distantiarum ratione reciproca, qua- rPhein e si detur Parallaxis Planetæ cujusvis, dabitur quoque Fa- tenpis rallaxis Solis. ttelapos Mars autem in situ Achronichio, hoc est, Soli oppositus, adm Telluri plusquam duplo propior est quam Sol, unde ejus qu² ex Parallaxis plusquam duplo major erit: at Venus, cum est in Conjunctione cum Sole inferiore, Terris fere quadruplo phasmn est vicinior quam Sol, ejusque proinde Parallaxis in eadem adef ratione major erit: quare etsi exigua Solis Parallaxis sit sen- m 17— bus inobfervabilis, Veneris autem& Martis duplo vel tur e. quadruplo majores Parallaxes possunt oculis nostris manifeste Wolis se prodere. In perscrutanda Martis Parallaxi in situ Achro- Valio- nichio, non parvam impenderunt operam Celeberrimi no- hee stri æVi Astronomi. Eandemque circiter 25. serupulorum et/ E. secundorum, saltem non majorem procerto statuerunt; un- Iuumn. de facili negotio colligetur Solis Farallaxim non majorem 12 Ka- esse 12. secundorum scrupulorum;& inde prodit distantia Mad Solis à Terra circiter 17200. 458 semidiametris 11 X. * Quo pa- CL% Lu- N Pa- rallaxi ad da- uin tem pus cal- culs ina- aotescat. TAn 36. . 1. 401 DE PARALLAXI SIDERUN. Ex observatione Veneris per Solis Discum transcurrentis, quod Anno 1761. continget, methodum exposuit Dominus Elallejus(cui in primis Astronomia plurimum debet) qua Parallaxis Solis cjusque distantia satis præcise, scil. intra quingentesimam sui partem obtineri possit; cujus itaque vera quantitas ad illud tempus dubia manebit. Quoniam methodus ab Astronomis tradita„qua Eclipses Solis prædicentur, postulat, ut Lunæ Parallaxes tam in Lon- gitudine quam Latitudine calculo innotescant; quinetiam quotiescunque locus Lunæ in cælo observatus cum eo, qui Tabulis elicitur ad comprobandam Lunæ Theoriam com- parandus sit, necesse est ut locus verus reducatur ad visum, quod fieri non potest, nisi per Parallaxeos calculum. Con- venit, ut modum exponamus, quo Lunæ Parallaxis ad da- tum quodlibet temporis momentum calculo innotescat. Primo ex Tabulis Astronomicis, computetur locus Lu- næ in Ecliptica, ad datum temporis momentum. Et in fi- gura sit HO Horizon, HO Meridianus, 2 vertex; EC Ecliptica, in qua sit locus Lunæ, ex Tabulis Astronomi- cis notus L, sitque primo Lunæ Latitudo nulla. Ex ver⸗ tice cadat in Eclipticam circulus Latitudinis EN, erit punctum N nonagesimus Eclipticæ gradus. Quoniam da- rur Recta Solis Ascensio,& ex hora data, distantia Solis — gradus,& N ejus à vertice distantia, cujus complemen- tum NA est mensura anguli Horizontis& Eclipticæ. Et quoniam datur locus Lunæ L, datur arcus NL. In trian- gulo —t:ti:;—m— SHAH .—— D. —0— —..—.—— FI.....— urrenti, Don Oet) 4u⁴ Cl. Itta 5 Laqde Eahls mMIM. Uinein o A all Co Uam, 3. Coh. Fadda- A. 0Lu- ih f- * Onom⸗ XVel⸗ „ert Im d⸗ 2 0018 cul- unci Ahti cum eo⸗ 4547 Htur tam can⸗ eM⸗ ptico Men⸗ Et Han- Hul DE PARALLAXI SIDERUM 47½ gulo itaque NL rectangulo, dantur latera&α NI in- de invenietur angulus LN, qui angulus Parallacticus dici- tur,& latus ZL. distantia Lunæ à vertice. Fiat ut Radius n. ö—— ö—— 1 ad finum arcus ZL ita Parallaxis Lun Horizontalis e La- Erur bulis eruenda ad Parallaxim ejus in L, quæ itaque invenie- ais. tur, sit illa OL; ab O in Eclipticam cadat perpendicula- ris O77. In triangulo exiguo LOπν quod pro rectilinco haberi potest, datur præter angulum rectum, Iatus LO,& angulus OLν qualis angulo LN. duare dabitur arcus L Parallaxis Longitudinis,& O Parallaxis Latitudinis, quæ erant inveniendæ- ö Habeat jam Luna Latitudinem aliquam, ita ut cjus locus in Ecliptica sit punctum L, sed in circuli Latitudinis LP, puncto P. Et quoniam angulus NIP rectus est,& datur angulus NL, dabitur ejus complementum ZI. P. In trian⸗ „ulo LP, dantur duo latera scil. Lprius inventum& PLatitudo Lunæ,& angulus LP, quare invenietur la- tus P, cum angulo 2PL: fiat ut Radius ad sinum areus P ita Parallaxis Lunæ Horizontalis ad quartum, sit is Pe, hic arcus erit Parallaxis Lunæ in Circulo Altitudinis. Sit 4 arcus Eclipticæ parallelus& in triangulo exiguo 4P, quod pro plano haberi potest, datur præter angulum re- Cum, latus Pꝗ cum angulo 4 c0omplemento anguli no- ti PL ad duos rectos; quare dabitur P Parallaxis Lati- tudinis& Parallaxis Longitudinis. Nam ob parvam Lunæ Latitudinem paralleli arcus 47, inter duos circulos Latitudinis interceptus vix differt ab arcu Eclipticæ qui iis- dem interjicitur. . CO XAIi. Theoria Motus Telluris Aunmüli. Jucusque generales Planetarum affectiones recensuimus, Pe-. & Phænomena quæ ex illorum motu,& motu Tek reaf. suris conjunctim oriuntur, explicavimus. Transeamus nunc ιe. ad particulares motuum Theorias contemplandas, quibus—9 ingulorum Periodi, a Sole distantiæ, Orbitarum specics, nienda, 1514 E 411 THEORIA MOTUS TELLURIS. & Positiones determinantur; ex quibus datis, eorum loca in Zodiaco, ad datum tempus computari postunt. Et quo- 77. niam Planetarum Theoriæ in motu Telluris fundantur,& T.e Cjus ope investigantur; convenit ut à Theoria Terræ inci- pen dent. piamus.. 745 Ostenfun luit in Lechiono septima, quod ex Telluris perds. motu circa Solem, Oritur epparens Solis motus in Eclipti- servatio- Cd annuns,& quod Sol ex Tellure conspectus videtur eun- nem lei dem in cœlo circulum describere, Ecsipticam scil. quem fuen. sheHa⁴tor in Sole constitutus Tellurem percurrere conspice- 215 Soli*— I 4—— caguosci- Tet. Locus autem Telluris ée Sole spectatus semper è dia- zur. metro opponitur ei, in quo Sol èe Terra visus in Ecliptica apparet; adeoque quando Sol à nobis videtur in Y, Tel- hus revera signum& Occupat; cum hic in S cernitur, illa ½ tenét. Adeoque ex loco Solis apparente, observatione cognito, semper habebitur Locus Telluris in propria orbita e Sole Vilus. Pans Cum Ecliptica&quinoctialem secet in duobus punctis op- ＋7 e Positis, Sol bis in quolibet armo, in Æquinoctiali circulo Selli, Videbitur, cum scil. ad sectiones motu apparenti pervene- eialia. rit; in reliquo omni anni Tempore, vel in Boream, vel in Austrum declinare videbitur; maxime autem ab Æquatore distat, in punctis Eclipticæ ab utraque sectione æque di- stantibus; hoc est, 90. gradibus ab utraque sectione remo- tis; in quibus dum Sol videtur, Declinationem per aliquot dies vix mutare observatur, diesque iidem fere manent lon- gitudine. Et proinde puncta illa quæ sunt initium& Ilnitium ve Solstitia dicuntur. Sicuti puncta Intersectionum A. quinoctialis& Eclipticæ, Equinoctia appellantur, quo- niam Ssol in iis visus, dies noctibus æquales efficit. ————*——. 13—• Dienn Cum sol continuo in Ecliptica incidere,& singulis die- zihur bus gradum circiter unum versus Oriertem promoveri vide- eguales tur; in punctis Equinoctialibus nunquam morabitur,& vHen odem tetporis momento, quo illa attinget, eadem relin- 7 e—7 ＋7. 65 2 nunz, quet. Adeoque licet dies in quo quinoctium celebratur, nπαα½ P Aahai- Equinoctialis dicitur; quod dies ille nocti æqualis cense- Socbialit tur, hoc tamen præœcise verum non est, nisi Æquinoctium zuπgredia- zer. 1 —.—.—22W.x eNn * ＋*2.*—.n SDDSSS— — THEORNA MOTUS TELLURIS. 475 m ⁴οά in ipsa Meridie celebretur; nam si Sol oriens æquinoctium 4000 vernale ingressus fuerit, vespere occidens spatio 12. minuto- mr,& rum ab æquinoctio declinabit; adeoquc dies ille erit duo- a i decim horis longior,& nox sequens brevior. Sed differen- HBc cia tantilla est, ut in rebus physicis negligi possit. Tahrs Temporis momentum, quo Sol Æquinoctia ingreditur, am. ex data Latitudine loci, sic observatione innotescet. In an türehl. 12⁰0 die WMaquinoctii aut circiter, instrumento aflabre lacto, observa- l. n& in gradus& mimita minutorumque partes diviso, capia-, coate tur Solis Altitudo Meridiana; si hæc æ4qualis fucrit Altien, Redh dini Æquatoris, seu complemento Latitudinis loci, Wui- Eabt noctium illo ipso momento celebratur, sin differant, note- „ 10 tur differentia, erit illa S0sis Declinatio. Die deinde sequente, , Mn rursus obseryctur Solis Altitudo Meridiana,& exinde elicia- iiii tur ejus Declinatio, si Declinationes sie inventæ fuerint di- 40010 versi nominis„Pputa una Australis altera Borcalis„ cadet Æquinoctium in aliquo temporis intermedi puncto, inter Wb blervationca clapl. 5sin sint nominis, nondum n factum erit quinoctium Vel Præteritum?: e his decli- nationibus observatis, momentum Æquinoctii hac ratione 29—0 exquiritur; sit CAB portio Eclipticæ, EAQ Hquatoris Lar.36. n arcus, eorumque intersectio punctum A, lt( Declina- V huue tio Solis in prima Observatione, ED ejus Declinatio in se- e dr cundà, erit CE motus Solis in Ecliptica, uni dici compe- 12060 tens. In triangulo Sphærico rectangulo CÆEA, datur an- Hauot gulus A, qui est Inclinatio Eclipticæ ad Qquatorem, 2—0(quam ecione XX. invenire docuimus.) Item O De- ö clinatio Solis observata; invenietur Itaque arcus CA. t Oaum in triangulo AED rectangulo ad D, ex datis 101.„ an⸗ 1 gulo A, invenietur AE, inde dabitur arcus CE, Arcuum seil. CA, AE summa vel differentia. Eiat igitur ut CE ad e⸗ CA, ita 24. horæ ad spatium temporis inter Observationem 8 primam,& momentum quinoctii, quod proinde dabi- / C tur. reln- Si proxime sequenti anno, rursus observetur eju sdem- uanti. ratur; quinocti momentum, tempus intermedium dabit spatium α n celle unius anni Tropici, seu Tempus in quo Sol, vel potius e. OUum ＋er- natur. — MN —..— ————— ————.——————P—‚—————‚....— Anuus Anoma- Jisticus. Motus Solis in Eclipti- d ne- quabilis oHserva- rur. 416 THEHORIA Moros TELIIRI. Terra Eclipticam percurrit, quod annus Tropicus dicitur; quia illo peracto, Anni tempestates eœdem redeunt. VE rum per observationes, spatio temporis tantum annuo di- stantes, non tuto determinatur Quantitas Anni, nec exinde pendens motus Solis apparens, Ieu Terræ Vverus definiri potest, nam error parvus, puta unius minuti, observando admissus, continuo auctus,& annorum decursi„EeOrum nu- mero multiplicatus, in enormem excresceret magnitudinem. Igitur Astronomi accuratius annum definiunt, capiendo duas Æquimoctii observationes, longissimo annorum Intervallo se invicem dissitas,& dividendo tempus inter observatio- nes elapsum, per numerum revolutionum Solis; Quotiens hibebit tempus uni revolutioni seu anno congruens; nam sic error, si quis sit in observando commissus, is in plures annos distributus, insensibilis evadit. Anni tempus sic definitum invenitur constare diebus 365. horis 5. min. 48. secundis 57; quod Tempus minus est Pe- riodo Welluris circa Solem in propria orbita- qui Annus Anomalisticus, vel Periodicus dicitur: nam ob bræcessio- nem Æquinoctiorum, à nobis in Lectione octava explica- tam, qua puncta Æquinoctialia quotannis minutis secun- dis 50. regrediuntur, Solique obviam eunt, Sol prius 20cC˙hio Occurret, quam totum circulum seu orbitar 5 Verit, est autem Periodus seu Annus Anomalisticus dierum 365. horarum 6. min. 9. secundis 14. Si motus Telluris circa Solem æquabi ü ëquales angulos circa Solem temporibus æqualibus d- * CUI- * 1er 8. min. secund. unde motus Solis visus, ejusque locus in Ecliptica ad quodlibet tempus, facili eomputatione inno- tesceret; verum ex Observationibus nstat, motum Solis apparentem minime æquabilem esse,& illum aliquot Ecli- Pticæ portiones velociore gradu percurrere, in aliis lentius incedere;& speciatim in Boreali Ecliptice semicirculo de- scribendo, Sol octo plures dies impendit, quam dum per Australem movetur, qui æquali præcise tempore hunc se- micir- THECRIA MOTUS TELLURIS. 417 S0 ũ—8 lt. ii micirculum apparenter percurreret, ac Priotem: si motu æ⸗ nod quabili lata esset Tellus. Præterea si quotidie observationi- Centt bus factis, exploretur motus Solis apparens in Ecliptica, is Ul aliquibus diebus deprehendetur minuta 61. adæquare,& in Ea aliis minuta 57. non superare. ö ö Omn. Solis motus in Ecliptica diurnus hac ratione exquiritur, 0 sit CB Ecliptica, Qquator, eorum intersectio A, ca- lir motus nh piatur instrumento Altitudo Solis Meridiana,& nota quo- un äin aqueè sit Altitudo Æquatoris in loco observatoris, harum AE snirn ö titudinum differentia erit Declinatio Solis, quæ proinde da- Tan.30. I pitur. Sit Glocus Solis in Ecliptica, FG Declinatio, in trian- Vs. 5. Uun gulo rectangulo GEA, ex dato latere FG& angulo A, in- W I venietur arcus AG distantia Solis ab æquinoctio, seu ejus Ws Longitudo,& proinde ejus Locus in Ecliptica in momento Observationis; diè deinde sequente, similiter in Meridie ex- 505. ploretur Solis Declinatio, quæ sit ML/, ex qua& angulo A, Ve- dem modo innotescet arcus MA, ex illo sublato AG, re- Aunus linquetur arcus Ecliptice Ma Sole uno die descriptus, eelio: cujus quantitas pro Vario Telluris in orbita sua loco, Varia Nplee erit. ö Fecun: Veteres Astronomi, qui nullum in cælis motum prœter f. Eat circularem& æquabilem admittebant, quo hanc inæquabi- Wab.l litatem apparentem solverent, statuebant Tellurem circa crrcuie- Lenm Solem, vel Solem circa Tellurem(perinde enim est) æqua- 5 15 biliter deferri in circulo excentrico; hoc est, in circulo cu- imirn 2„ jus centrum à centro Ecliptice(in quo vel Solem vel Ter- Plica- Wl ram ponebant) distabat, hunc circulum æquabili, ut dixi,. an motu describi voluerunt, ideoque cum centrum Eclipticæ 10 à centro motùs æquabilis distet, Pelluris vel Solis motus ex ih centro Eclipticæ visus inæquabilis videbitur 10 x Sit circulus Ecliptica, cujus centrum tenet Sol, TAu. 36. 99is MNA orbita Lerræ, ejusque centrum C, distans à centro F. •* Eclipticæ recta CS quæ Excentricitas dicitur; Tellus in hoc In circulo motu æquabili moveri supponitur; ideoque erunt Eacen- a anguli omnes circa centrum Cdescripti temporibus propor- πεα be tionales,& ex Cvisa Tellus, non tardius videbitur meedere . in A, quam in P. At ex centro Eclipticœ spectata, quoniam . Ggg in Mall⸗ Qua ra- zioνe Excen- zricitas Aypsi- dam po- si tio in hac Hy: Pot hesi Aermi- Aantuur. 4¹8 THEORIA MOTUS TELLORIS. in A longius distat, quam in P, minores Eclipticæ arcus temporibus æqualibus videbitur describere, in illo, quam in hoc situ. Adeoque Fellure in A existente, ex illa spe. Cator Solem aspiciens in, illum lentiore motu in Ecli. ptica ferri videbit, quam cum Tellus est in P,& Sol in exinde spectatur. Et quoniam Arcus Excentrici NAM major est semicircu- 10,&NPM semicirculo minor, patet longiore tempore describi arcum NAM quam NPM, fed tempore, quo Tel- lus fertur per peripheriam NAM, Sol videtur semicirculum Eclipticæ borealem VS percurrere,& dum Tellus mo- vetur per arcum MPN, Sol per alterum australem Eclipti- cæ semicirculum déferri conspicitur, unde patet ratio bre- vioris morœ in hoc quam in illo. His positis, Excentricitatem orbitæ, Apsidumque posi- tiones, hac ratione determinare licet. Observentur eodem anno, momenta utriusque quinoctii, Vernalis scil.& Autumnalis; item locus Solis in Ecliptica, in alio quovis tempore intermedio, qui sit, Tellure in existente. Cum Tellus est in orbitæ suæ puncto N, videtur Sol in Eclipticæ puncto V, deinde ad L delata Perra, Sol in Nap- paret; ad Mero diventa Pellure, in conspiciendus erit 80l. Ducantur ad Telluris locum in L, rectæ SL, CL, item CM, MN, CN jungantur,& CM, SL se intersecent in O. Ex Observatis Solis locis, dabitur angulus VS,& hujus ad duos rectos complementum æSV. Porro ex in- tervallis temporum inter observationes datis, dantur arcus LM seu angulus LCM, item arcus NAM temporibus pro- portionales, unde& arcus NPM angulus NCM quoque dabuntur. In triangulo Isoscele MCN, ex dato angulo MCN, dabuntur anguli M& Nãd basim, uterque enim est dimidium complementi anguli VCN ad duos rectos. Sed in triangulo MOS, datur ex observatione angulus MSO, hoc est; VSε; unde dabitur quoque angulus MOS dato- rum complementum ad duos rectos,& huic&qualis an- gulus LOC. Ponatur LC Radius Excentrici esse partium 100000. Et in triangulo LCO, ex datis angulis,& Jate- re S·. 2. e. ————— — ·........——— & ACt „ νμι 1h fe. hE. Gau mar ee 0 K Maln on Eligt ti be e pol oHεn 1.& n ente. dolh AH⸗ Userd . lecent l- els N 10000 R0 melt ded 505 dato⸗ 15 M. um e: 1˙ THEORIAMOTUS TELLURIS. 419 LC, dabitur latus OC, sed datur MC æqualis LC; ergo innotefcet MO. In triangulo MOS dantur omnes anguli, & latus MO, inde invenietur OS. Denique in triangulo SOC, ex datis SO, OC& angulo SOC, qui est anguli SON complementum ad duos rectos; invenietur SCEx- centricitas,& angulus OSC, ad quem addatur angulus MSO,& habebitur angulus MSA, seu arcus distantia Aphelii ab Equinoctio, ex quo, datur positio lineae Apsi- Gdum. Q. E. 1. ö Hac methodo, inveniebant Astronomi Excentricitatem SC este partium 3450, qualium Radius Excentrici est 100000. Unde motum locumque Solis ad datum tempus Calculo facili sequente investigabant: sit in orbita Ferræ AP linea Apsidum, A Aphelion, LPellus orbitam circularem vniformiter describens, arcus AL vel angulus ACL tempo- ri proportionalis erit Anomalia Perræ media, sicuti Arcus Eclipticæ παν, seu angulus ASL Anomalia ejus vera, da- ta jam Anomalia media AL, datur ejus sinus L& cOsi⸗ nus OC, cui addatur nota Excentricitas,& dabitur tota S. Fiatque ut 80Q ad LO, ita Radius ad Tangentem an- guli OSL.; qui itaque erit notus. Vel sic. In triangulo SCL, dantur latera SC, CL& angulus SCL complemen- tum Anomaliæ mediæ ad duos rectos, unde invenietur an- gulus LSCVvelLSAAnomalia vera: nempè fiat. ut CI C8 ad CI.CS, ita Tangens semissis anguli LCA, ad quar- tum qui erit Tangens fe. nissis differentiæ angulorum CSL& CLS; hinc cum SC& CL sint datæ& constantes quantita- tes, differentia Logarithmorum CL＋άH CS& CLCS, erit constans quantitas; adeoque si illa semper auferatur à Tan- gente Logarithmicà semissis anguli LCA, dabitur Tangens Log. semidifferentiæ angulorum CLS& CSL, sed datur eorum summa, unde innotescet angulus LSA, qui osten- det locum Telluris in Ecliptica è Sole visum;& punctum Eclipticæ huic oppositum, erit locus Solis e* Pellure ap- Parens. Q. I. In primo Anomaliæ semicirculo ALP, Anomalia media ACL major est verà A8L. Nam est angulus externus AC Ggg 2 ma- auaio Pro- sthaphe- Fesis 4/½˙9 Quid 320 THEONIA MOTUS TELLVRIS major interno& Opposito ASL. Et si ab Anomalia media ACL auferatur angulus CLS restabit angulus ELSC Anoma- lia vera. In secundo Anomaliæ semicirculo PRA, Ano- malia media est minor vera; sit enim Perra in R, erit A- nomalia media arcus APR, vel rejecto semicirculo arcus PR, vel huic proportionalis angulus PCR. At Anomalia vera, rejecto semicirculo, est angulus PSR, qui æqualis est PCR& CKS, unde si ad Anomaliam mediam addatur angulus CRS, habebitur Anomalia vera PSR, locusque Terrœ in Ecliptica; Angulus CLS vel CRS dicitur Æ- quatio& Prosthapheréesis, eo quod nunc addendus sit, nunc suhtrahendus à motu æquabili, quo habeatur motus verus. Hœc veterum Theoria, cum motu Solis apparente ex crassis eorum observationibus elicito, satis accurate congrue- bat; at aliorum Planetarum motus non secundum similem Theoriam peragi, observationes testantur,& agnoscit to- lemæus. Est præterea in ipso Sole Phænomenon, cui non respondit veterum Theoria, quodque illam falsam esse e- Vincit, scil. observationes accuratissime sactæ ostendunt So- lis diametrum apparentem in Aphelio, esse minutorum 31. secund. 29, in Perihelio, min. 32. secund. 33, sed diame- tri Solis Apparentes sunt reciproce ut solis distantiæ à Fel lure, unde prodit veram Solis distantiam cum Perra est in Aphelio, esse ad distantiam Solis in Perihelio, ut 1953. ad 1889. Sed si superius tradita Theoria vera esset, distantia Aphelii esset ad distantiam Perihelii, ut 10345 ad 9655, quæ ratio major est priore; nam si Excentricitas esset par- tium 345, qualium Radius Excentrici est 10ροο Et si diameter apparens Solis in Perihelio sit 32 33,, Diameter in Aphelio erit tantum 30 220 contra observationes. Eal- sa est itaque illa Theoria, quæ tantam ponit Excentricita- tem. Nam bisectà Excentricitate, ejus semissis melius re- spondet diametris Solis apparentibus observatis. At talis Latentin posito quod centrum Excentrici sit centrum quoque motus medii, non æque Phænomenis motuum con⸗ rre Nam observationes testantur Æquationes seu Pro- haphereses duplo majores esie, quam quæ c pisecta Ex- eelr Ed Auane do eld A. Us Homda Eal adHu Oh bur K. t, Md ub ente x Myrue: Muem to⸗ on Hee. 180•* m3l, Calne⸗ etth 0 AllLi V/ 12 E l Heter Lab Lla⸗ 51e. tals Lruln ICMH D᷑ 0 (e. THEORIA MOTUS TELLURNIS. 41 centricitate eliciuntur; adeoque necesse est ut falsa sit illa veterum Theoria. Hæc perspiciens sagacissimus Keplerus, docuit Excentri- citatem bisecandam esse, ita ut centrum Excentricæ orbitæ sit in D, medio loco inter Solem& punctum C, ex quo Fel: luris motus visus æquabilis apparet, punctumque illud CO ab excentrici centro diversum& dimidiâ veterum Excentri- eitate ab eo distans, centrum medii motus dicebatur, quia Eex illo, motus Telluris semper videndus sit ad sensum me- dius inter celerem& tardum ejus in Ecliptica incessum. Verum Copernicus, aliique Astronomi absurdum esse censebant, Pellurem in Circulo deferri, cujus centrum di- versum sit à centro motus æquabilis, ex quo sequeretur Tellurem inæquabili motu peripheriam orbitæ suæ percur- rere contra Axioma ab iis stabilitum quo motum Ommem in Cœælis æquabilem statuebant. Ideoque Keplerus cum de- monstrasset Martem,& Planetas reliquos, non in orbitis Circularibus, sed Ellipticis deferri circa Solem in Ellipseos ocorum uno constitutum, eaque lege motus οrum tenn erari, ut Radii à Planetis ad Solem ducti verrant Areas Eandrns temporibus proportionales, æquum esse censebat ut Pellus eadem lege, in simili orbita circa Solem quoque deferatur: hæc Theoria omnibus Phænomenis ad amussim respondet, sed ex illa sequitur, nulla dari centra motuum æquabilium, ex quibus angulos temporibus proportionales describentes videri possunt Planetæ. Hine tactum est, ut plurimi Astronomi centrum motus æquabilis dari statuen- tes, hanc Kepleri Theoriam rejiciebant, sed Ellipticam ta- men orbitæ formam retinebant;& quoniam in Ellipseos Axe sunt duo puncta in æqualibus à centro distantiis quæ foci appellantur, in quorum altero Sol locatur,& alter à centro Ellipseos tantum distat, quantum Sol; hunc focum dupla excentricitate à Sole distantem, tanquam centrum motus æquabilis ponebant,& ex illo Planetas describere an- gulos temporibus proportionales dicebant. Quod quidem in EIlipsibus parum Excentricis, quam proxime verum est, uti agnoscit Keplerus& in sequentibus demonstrabitur. 6G383 Huic Key Llri correctio Hujus Theoriæ. 422 TEEORIA MOTUS TELLURIS. Huic Hypothesi eo magis favebant, quod nulla illis inno- tuit methodus directa& Geometrica in Kepleri Theoria inveniendi Anomaliam veram, ex media; quod per alte⸗ ram Theoriam facillime præstabant. Ob hunc itaque de- fectum, Astronomi non pauci Keplero νααμειεναι%ν Objicien- tes ad alias Hypotheses veris naturæ legibus minus congruas confugiebant, fingendo punctum aliquod, quod esset cen- trum motus æquabilis, è quo Planetæ angulos temporibus proportionales describere videantur. Cum tamen Theoria Cepleri locum revera in natura obtineat;& observationes testentur Planetas omnes secundum ejus leges motus suos temperari, illa ob defectum Geometriæ rejicienda non est; nec Video cur culpa in Theoriam transferenda sit, quæ A- stronomorum in Geometria imperitiæ potius debetur. Quo autem 4νααμεαιι labes in posterum deleatur, in sequenti Le- ctione methodum ostendemus directam, eliciendi Planetæ Anomaliam veram ex media. I II. De Motu Planetæ in Ellipsi. Et Solutio Problematis EHKepleri, de sectione Areæ Ellipticæ. LEylerus primus demonstravit Planetas non in orbitis circularibus, sed Ellipticis deferri, Solemque in El- Hpseos focorum alterutro situm, ca ratione circumire; ut Radius à Planeta ad Solis centrum ꝓrotensus semper verrat Areas Ellipticas, quæ temporibus quibus describuntur sunt proportionales. Divinum hoc sagacissimi Kepleri inventum, exactissimis Tychonis Braheæ observationibus debetur,& tanto magis In Pla- est suspiciendum, quod illius ope, Univyersales motuum 745%½4e leges, totumque systema Mundanum, hoc est, Philoso- Tempo- plam cælestem felicissime à nemine antea perspectam pa- ul, Pe. tefecit Dominus Nerτtonus. dam uut Demonstravit etiam Keplerus ex observatis motibus, in 2 Cai Universis Planetis Tempora Periodica esse in sesquiplicata ee ratione distantiarum à Sole mediarum, seu Axium majorum 4 2 Lole. EI. Hle d. Ohleeh. CHπ Hetee. Rodhz Tbanz VI᷑IIs WII Ined; „Ox ＋. C¹⁰ Mile. HAnkta II orbits •HEI 1e/ Ut Vexrat Llont Hllmö M5 Hum lobo N ² 5 U Ricta 1 SOLUTIO PROBLEMATIS KEPLERI. 423 Ellipsium quæ sunt distantiarum mediarum dupla, hoc est, Quadrata temporum Periodicorum sunt ut cubi Axium ma- jdrum. Adeoque si in duabus diversis Ellipsibus, Axcs majores nominentur A, 4, Tempora Periodica E, 7, erit TZ: 2:: Aꝰ:&T: T:: A5: 4. Hinc fequitur in dixversis EIlipsibus, Arcas simul, vel nnnr qualibus temporibus descriptas esse, in subduplicata ra- 46 ,. tione Laterum Rectorum Ellipsium: quod sic Ostendo. PIanetis Notum est ex natura Ellipscos quod ejus Area tota sit 7, ut rectangulum sub Axibus. Hoc est, fi Ellipseos majo- Win ris Axcs dicantur A& M, minoris 4&, erit Area El-suns u- lipseos majoris ad Arcam minoris ut A Mad ⁴ nadeO nn que cum de Arearum ratione agatur, bæc rectangula l0- astone C0 Arearum poni possunt. In majore Ellipsi dicatur A Eeun rea in aliquo tempore descripta&, in minore Area eo-. dem tempore descripta vocetur,& tempus quo descri- Vam. buntur Aree vocetur y. EIlipsium Lateraà Recta sint L. &L. Tempora Periodica T. 7. Ex supra explicata Thec- ria est, AN M:: Y I. stem 4 n::: 1: y unde ex æquo N: A M. t“: I: 4: K·. sed quoniam est Axis minor media proportionalis inter A- xem majorem& Latus rectum erit MHA,&in Sa Ii unde X4 L:& α Ar L.:: 42: A, quare. xαL. &XX:: L.: J sunt itaque in diversis figuris, Areæ simul de- scripte in subduplicata ratione Laterum Rectorum. Q. E. D. Cum itaque Lex secundum quam Planetarum motus re- guntur, sit æquabilis arearum descriptio, necesse est, ut non uniformi, sed inæquali celeritate Planetæ in orbitis fe- rantur,& à Perihelio ad Aphelium tendentes, remissiore gradu continuo incedant, ab Aphelio autem ad Perihelion descendentes, gradum accelerent,& in Apheliis tardissime, in Periheliis celerrime moveantur. Et velocitas erit ubique reciproce, ut perpendicularis à centro Solis demissa in re. Pn. 36 ctam quæ per Planetam transit& orbitam tangit. Sit DAE fg. 7. — —4 l Tau.37. 2. 1 Solem in foco S locatum. Sit Ccentrum Ellipseos, Cg 424 80LUTIOPROBLEMATIS KEPLERI. Ellipsis, cujus focus S;& sint arcus A3B, 45 æqualibus temporibus quam minimis descripti; erunt triangula SAB S ⁴οναqualia, sunt enim Areæ quas Radius vector æquali- bus temporibus describit. Ex foco S in tangentes AP; 45 demittantur perpendiculares SP, sꝰ;& erit triangulum SAB æquale SPA, sicut triangulum S ahαquale:& ad. Adeoque erit SP: 5%:: 4%: AE; sed 2%,„ AB cum sint lincæ æqualibus temporibus descriptæ, sunt ut velocitates. Quarè erit velocitas in 4 ad velocitatem in A ut perpendi- culum S ad s/ perpendiculum. Sequentia duo de Planetarum motibus invenit Theorema- ta Cl. Geometra Abrahbamus De Motvre. TRäRkE GaE M A I. Sit APB orbita Elliptica, in qua movetur Planeta circa semiaxis major, CD semiaxis minor; F alter focus,& sit Planeta in P; ductis rectis SP FP, erit velocitas Planetæ in Pad velocitatem in distantia ejus media SD, in subdu- plicata ratione distantixæ cjus EF ab altero Ellipseos foco F, ad ejusdem distantiam à Sole SP. Recta EPG tangat EI- lipsim in P,& à focis in tangentem demittantur perpendi- Culares SE FG;&DH tangat orbitam in D in quam cadat perpendicularis ex S recta SH. I Per Corol. Prop. primæ Princip. Netrton Est Velocitas in P ad velocitatem in D, ut SH seu CD ad SE. Adeoque quadratum velocitatis in P, erit ad quadratum velocitatis in D, ut CD%: ad SE hoc est, ex Ellipseos natura, ob CD/ESEFGut S EHFG, ad 8E4, seu ut FGsad 8 E: sed o5 æquiangula triangula SFPE FPG, est ut FG ad 8E, ita FP ad 8SP. Quare quadratum velocitatis in P, est ad quadratum velocitatis in D, ut F ad SP. Adeoqueè velo- citas in Pest ad velocitatem in Dut VFP ad v 8 P. Q. E. D. THE OREMA II. Rn lisdem positis Radius est ad sinum anguli SPE ut VSHP ad CD. Nam est S P%: SPAFP::SP: FP:: SE: FEG::8E7 S8ENFG SOLUTIO PROBLEMATIS KE LERI. 415 an SEFG: SE%: CD 5 unde permutando SP% SE7 Wual. SPHFP: CD: adecque 8P: SE:: VSPRTP:COD: 0560 sed ut SPad 8 E, ita Radius ad simum anguli SEE. Adeo- Rum que ut Radius ad sinum anguli SPE, ita S Pι ad CD. 5 QE. D. mint Velocitas Planetæ angularis, seu angulus, Wan ad So- ch, lem dato tempore minimo describit Planeta, e ubique re- ad ciproce in duplicata ratione cjus distantiæ à Sole; seu reci- proce ut Quadratum distantiæ: sint AB 4 arcus Elliptici Y 36 qualibus temporibus percursi. Centro S, intervallis S3, S, se 7. describantur arcus minimi BE, Ve, in S% capiatur S π&. qualis 8%& describatur arcus u. Et erit velocitas angu- laris in ad velocitatem angularem in B, ut arcus e ad Waall 11555 arcum n. Sed ratio ëe ad mn componitur ex ratione be 65 ad BE,& BE ad nn;& quoniam triangula B5A, 68 sunt st qualia, erit ë ad BE, ut 85 ad 85%. Est vero BE ad mu Hete(quia sunt arcus suniles) ut sB ad Suu, seu ut SE ad 8/. han Quare erit velocitas angularis in ad vclocitatem angula- 0f, rem in B, in ratione composita SE ad 8%& SE ad 8, hoc E. est, ut quadratum SE ad quadratum S. Sed ut inæquales Planete motus, variaque velocitatis addat incrementa& decrementa manifestius vobis exponantur; Convenit Planetæ motum in diversis orbitæ suæ locis cum Loctas motu æquabili corporis in circulo lati comparare. Sit ita- eoque que Planetæ orbita AEBFE, cujus focus in quo Sol S, Axis 1 3 (ctats major AB3, minor OQ. Centro 8 intervallo SE, quod sit A. 2. 1 00 medium proportionalè inter AK,& OK, scil. inter se- G: miaxem majorem& minorem, describatur circulus CEGE, 05„ hujus circuli Arca erit æqualis Areæ Ellipseos, uti facile 4 est ex Conicis demonstrare. Ponamus punctum aliquod peripheriam CEGE æquabiliter percurrere, eodem tempo- E.D. re quo Planeta in Ellipsi periodum suam absolvit, cumque plancta in Aphelio A existit, punctum æquabiliter ince- dens sit in linee Apsidum puncto C, hoc punctum motu IEI suo, Motum Planetæœ medium seu æquabilem exponet;& ö describet circa S sectores circulares temporibus proportiona- 4 les,& æquales Areis Ellipticis à Planeta eodem tempore 1—15 c riptis. Hh h Sit — IN I 1 ——— 476 SsOLUTIO PROBLEMATIS KEPLERI. Sit jam motus æquabilis, seu angulus circa 8 descriptus tempori proportionalis CSM, capiatur Area A5 qualis secto- ri CSM/& locus Planetæ in propria orbita erit P, angulusque MSD differentia inter motum Planetæ verum& medium erit Æquatio seu Prosthaphæresis,& Area ACDP erit æqualis sectori ODSM est itaque Area CDP Prosthaphæresi seu Æ- . Quationi proportionalis. Adeoque ubi hæce Area est maxi- gabtio. Mia, ibi&quatio erit maxima, sed Area illa est maxima in arn Puncto E, ubi circulus& Ellipsis se mutuo fecant, nam % Ulterius descendente Planeta ad R, Aquatio fit proportio- ———— pher Jes jaunt nalis differentiæ Arearum ACE& EN, seu Areæ GBRm; 7 auarrime. sit enim V locus puncti peripheriam circularem eduabili⸗ ö ö ter describentis,& erit sector CSV æqualis Arcœ Ellipti- 7 ö c²e ASR, unde ablatis spatiis communibus, erit Area AE ö demptà Areaà REm æqualis sectori v5m, scu Aρ quationi. e In Perihelio B coincidit motus æquabilis cum motu vcro, nam est semicirculus CEG æualis semi-ellipsi A EB. I Post decessum Planetæ à Perihelio B, ejus motus motum * medium semper antecedet; sit enim angulusGS tempori proportionalis. Capienda est Area B5 αqualis sectori 682, & erit V locus Plancteæ in sua orbita; unde angulus 35 Hive- major erit angulo G52,& Area GBL Kqualis erit secto- ri SL, qui Equationem designat,& ubi Area G5VL.sit 2uiit. Maxima, ibi æquatio erit maxima, il. in puncto F, ubi ö circulus& Ellipsis se mutuo secant. In& velocitas Flane- tæ est Onmium minima, ob distantiam S& omnium maxi- mam, deinde continuo crescit planetæ velocitas, manet tamen velocitate media minor, usque dum ad E interte- Elʃ. ctionem circuli& Ellipseos pervenit Planeta, ubi ejus Ve- Hattes g Ocitas angularis fit mediæ æqualis, quod sic ostendo. Cum e. Planeta est in E, sit punctum medio motu in circulo ince- imedie dens in ½, sintque Aree circa S codem tempore duam Mi⸗ guali. nimo descriptæ 2½ E,& sector 18, crunt illæ æquales, unde h E ES qualis Iπ u, quare ob S½, ES&dua- A velb- les, erit arcus E S arcui In,& angulus 48E æqualis an- uufe gulo 18, ad punctum itaque E est velocitas Planetæ an- auaime gularis equalis Velocitati medie. Exinde deseendente 2 ö 2 —.— AR. XXVT. SOLUTIO PROBLEMATIS KEPLERI. 4²⁷ ta versus Perihelion, velocitas fit major mediâ,& conti- nuo crescit oh continuo diminutam distantiam, donec iH Perihelio Bfit omnium maxima, ob distantiam SE omnium minimam. Ex quo discedens planeta,& ad Aphelion a- scendens, punctum medio motu incedens post se relinquet, sed ejus velocitas semper minuitur, quo Jongius à Solé ré- cedit, semper tamen manet velocitate media major, usque dum ad intersectionem F pervenit, ubi rursus velocitas fit Velocitati medie æqualis. Deinde ulterius pergendo, con- tinuo decrescit velocitas, donec Aphelion attingit, ubi fit Oomnium minima. Cum̃ itaque Planeta quilibet in diversis orbite suæ pum- dis, inequali velocitate feratur,& sola equalitas, quæ in ejus circulatione circa Solem Observatur, in Arearum de- scriptione consistat; nam Area una cum tempore vniformi- ter augetur. Quo Planete locus in propria orbita ad da- tum tempus determinetur, capienda est Area, quæ sit Tem- pori proportionalis, quod ut fiat, necesse est ut solvatur Problema quod sequitur. PROBLEMA EEPLERI. Zuvenire positionem recte, qùπα per datæ Ellipseor focum al- %erutrum transiens, abscindet Aeem motu suo deseriptam, guæ sit aοìά πrea³m vos iue Hllipseos in ratione A⁴L. Sit nempe EIlipsis APB, cujus focus alteruter S, inve- Tan.37. nienda est positio rectæ S, quæ abscindat aream trilineam. 3• ASP, ad quam Arca totius Ellipseos eam habeat rationem, quam habet tempus Periodicumm Planetæ Ellipsim descri- bentis, ad aliud tempus datum; qua positione inventa, dabitur punctum P, quod Planeta ad tempus illid datum Occupat. Vel sit A semicirculus super Ellipseos Axem majorem descriptus, ducenda est per 8 recta SQ abscindens Aream AS, ad quam Area totius circuli est in eadem ra- tione. Nam per hane circuli sectionem, sectiio Ellipseos quæesita facile invenitur, demittendo à puncto Qin Ellipseos axem perpendicularem HIX, EIlipsi occurrentem in P,& ducta 5P, erit illa recta quæsita,& Plocus Planetæ. Est enim semisegmentum Ellipticum APH ad semisegmentum Hhh 2 ö cir- 423 sO＋UTIO PROELEMATIS KEPLERI. circulare AH, ut H ad H, hoc est, ut Area totius EI-. lipseos ad Arcam totius circuli, uti constat ex natura EI- lipseos: sed est triangulum SPH ad triangulum SH, in eadem ratione, ger 1Ellœιι. Adeoque per 12. El. 5ti. e- rit Area EIliptica AS ad Aream circularem ASO, ut A- rea totius Ellipseos ad Aream totius circuli;& alternando Area Elliptica ASP est ad ejus Aream totam, ut Area cir- cularis ASQ ad totum circulum. Adeoque si habeatur me- thodus ducendi rectam per 8, quæ secet Aream circuli in da- ta ratione, facile erit in hac ipsa ratione secare Aream EI- lipticam. Ipsi Keplero, qui primus problema proposuit, nulla in- notuit methodus directa computandi locum Planetæ ex da- to tempore: ille enim expreslse dicit, nullam esse viam di- rectam, ex dato tempore, inveniendi locum Planetæ seu Anomaliam ejus veram. Ideo illi necesse fuit, per singu- los semicirculi AQ gradus progrediendo, ex dato arcu A, quam Anomaliam excentri vocat, tam tempus per A- ream AS, quæ Anomaliæ mediæ est proportionalis, quam Angulum ASP, hoc est locum Planetæ seu Anomaliam ve- ram,& coëquatam tempori respondentem calculo eruere, & quoniam Geometrice non potuit Keplerus problema so- verée; illi άμετει Objiciebant Astronomi,& eum, quasi causis Physicis nimium indulgentem, à Geometria in diver- sum abiisse censebant, ejusque Astronomiam ex hac Theo- ria pendentem, tanquam minus Geometricam, labefactabant; & ut vitium hoc eflugerent, ad alias transiverunt Hypothe- ses, fingendo punctum aliquod circa quod motus foret œ- quabilis, seu anguli descripti temporibus essent proportio- nales„& exinde data Anomalia media coœquatam seu ve- ram determinabant. Sed computus his Hypothesibus inni- xus, Observationibus non congruere deprehensus est. Nul- lum enim est revera punctum fixum, quod est centrum mo- tus æquabilis, circa quod scil. Planetæ, radiis ad illud du- ctis, describant angulos temporibus proportionales. Sola- que Theoria, quæ Planetarum motibus ad amussim con- gruit, est supra explicata Kepleriana. Omnes itaque Astro- Dom SOLUTIO PROELEMATISs KEPLERIL 429 08 nomi in æternum laudabunt boc Kepleri Inventum, ejus- Wön que cum cœlo consensum præsertim cum elegantem mo- 0 tuum è causis suis demonstrationem nobis patefacit: illud Ot sane Keplerus tanti fecit,(non improbantibus æquioribus in arbitris) ut methodum calculi indirectam sectari maluit, 1 quam aliam Hypothesun à Natura minus probatam com. 1—1 minisci. 1 Quo itaque 2 20ετενοαιασ labem E Astronomia deleamus, ulit mechodum Geometricam hic ostendemus, dud Ellipseos Weal seu(quod illi æquipollet) circuli Area in data ratione se- * canda sit. „ Sit AOB Semicirculus super Ellipseos Axem majorem Tar3/ cteer k. descriptus, cujus Centrum C„ Ellipfeos focus in quo S01 4. m d ocatur sit S, per locum Planctæ intelligatur duci ad Axem L2 En perpendicularis recla Q circulo occurrens in Q, erit Igu. Area AS ad Aream totius circuli, ut tempus datum ad O tempus eriodicum Planetæ, ducatur C, mn quam pro- halt ductam, si Opus sit, cadat perpendicularis S F; est Area Hn AS0 æqualis sectori ACQ una cum triangulo CSꝰ Ie. CcCααCQ* SF, adeoque ob datam C(Q erit Area ASO semper proportionalis Arcui A recta SF, cum IU. Cil. motus sit ab Aphelio versus Perihelion, at cum a Pe- , Wl rihelio ad Aphelion tendit Planeta, fit Area B80 æqualis Icher sectori BC½ Triangulo CS%, adcoque erit illa propor- Hles tionalis arcui E recta S/. Hinc, si capiatur arcus A Ahah vel Ba tempori proportionalis, crit ACHSFPNN vel Rute 30—87/ B, quare erit SFN vel n. e Hinc patet, si habeatur arcus AQ,& ei addatur arcus N Nqui sit æqualis reche S F, erit arcus ANtempor: 965 15 portionalis, Leu Planetæ Anomaliæ mediæ&qualis. Adco- que ex data lanetæ Anomalia vera, facile innotescit eĩ 0⁰⁰ congrua Anomalia media, seu tempus. Fiat enim ut QC 1 ad SC ita 57, 29578„5 qui arcus radio est æqualis, ad ad quartum,& dabitur Arcus æqualis SC in gradibus gradus- Sl que partibus decimalibus. Dicatur hic arcus B. Et quo- ah niam est S C ad SE, ut Radius ad sinum anguli SCEF vel Ime ACO. Fiat ut Radius ad sinum arcus A ita arcus B ad eWo⸗ Hhh 3 quar· 430 80LUTIO PROBLEMATIS KEPLERI. quartum;& dabitur in gradibus& partibus decimalibus, arcus in peripheria A, qui æqualis est rectæ 8SF; cum- que 8E sit æqualis ¶Nᷣ N, dabitur arcus N,& proinde AN tempori proportionalis. 4 Hoc ecemplis in orbita Martis declarare liceat. Hujus Planetæ Excentricitas est ad distantiam mediam, seu semi- axim Ellipseos, ut 14100 ad 152369: adeoque Logari- thmus arcus B, qui æqualis est SC est O. 7244446. Si itaque quæratur Anomalia media, cum Anomalia Excentri est unius Gradus; addatur sinus Log. unius gradus qui est 8. 2418553 ad Log. arcus B, fiet summa 8. 9662990 qui est Logaryhthmus numeri O. oꝗ½533,& exprimit valorem arcus* in partibus gradus decimalibus. Est itaque ar- cus AN tempori proportionalis 1, 092533 seu 15 33˙. Similiter si Anomasia Excentri sit 30 gr. ad ejus sinum Log. addatur constans Log. arcus B,& summa erit o. 4234¹46 Log. numeri 2, 651. Adeoque Anomalia media AN Ano- maliæ Excentri 30 grad. respondens erit 32, 65 1, seu 32 gr. 390.3“. Hæœc methodus expeditior multo,& facilior est illa, quam tradit Keplerus, ubi methodo indirecta,& per positionem Reεπμια Halse, docet pervenire ex Anomalia media ad veram. Deveniamus jam ad methodum promissam directe elicien- di Anomaliam coæquatam seu veram ex media. Sit in fi- gura Arcus AN Anomalia media, seu tempori proportiona- lis, sitque A Anomalia Excentri invenienda. Arcus NQ, dicatur,,& sinus arcus AN vocetur e,& cosinus ,; Ex- centricitas S C sit g. Est sinus arcus AQ æqualis sinui arcus ANENQ sm. AN— sed à nobis ostensum est in E- lementis Trigonometricis, quod si sinus arcus AN sit e, sinus arcus AN, seu arcus AQerit e π εeν½ eνν&c. 1. 1. 2. 1.2.7. 1.2.3 4. Sed est radius qui est 1 ad sinum arcus AQ ut SC velg ad SF vel NQhoc eshꝗ.adeoque erit Fꝗualis ge-νά ρeνσ 2. à 2. 23.2 4 &C. At est SFæqualis arcui NQ seuy, ut ostensum est: dua⸗ — 2 Abus, Culh⸗ HUV Hust eukemt. Laar. 40. K W udt W Vhren Ile — 5.99.• Ker Ondla elicien- TMNH Hona- M EV Ias MI. sslls &. SOLUTIO PROELEMATIS KEPLERI. 437 quare ad hanc diventum est æquationem: geev 1. 2. ＋.&c. proinde Se—.. ＋eV½ εαν 1. 2. 3• 1. 2. 3.4• 1. 2. I. Z. 3. 1.2. 3.4• &c. ge vocetur,& 1 ＋ dicatur 2, item ge sit 6, 1. 2. gc item ge 4,& quatio induet hanc formam. I. 2. 3· 1. 2 3. 4. 4 IS4y νο. Unde per methodum Rever- sionum serierum à Domino Nενπεαιοσ traditam, Hiet.— 2⁵:— 726— 31% ＋4 4½ι. Et quoniam est ＋ 16— 404 — 25 17 2 e iet&c. Si —— 4 4 3 1. 2.34• 4 2a3 44 245 arcus AN superet 90 grad.& minor sit 270, erit ge seu ρα- unde fiet 4 1—& 2. 21· 3.4 ů 4 2a) 44 Series supra posita exprimit quantitatem arcus QN, in partibus qualium Radius est 1, οοοοο. At ut in gradibus gradusque partibus habeatur, fiat ut Radius ad hancce se- riem ita 575 29578, qui est arcus Radio qualis ad quar- tum, hoc est(cum Radius sit unitas) multiplicetur series prædicta per numerum 57. 20578 duem vocms R unde prodit arcus quæsitus 5 in gradibus, gradusque partibus RZ-RꝰS E-R&c. 14 —.— 4 243 4 4 Hujus serici terminus primus R sufficit ad determinan- I 4 dam Anomaliam Excentri in omnibus fere Planetis, nam 11 Marte error plerumque non superat gradus partem ducente- gmam. In Tellure gradus parte decies millesima minor est, sed Exemplis rem declarare liceat.— In Orbita Telluris, Excentricitas est o. 169, posita di- Rantia media scu CO I. Invenienda est Anomalia Excen- tri,& coæœquata cum media est 30. gr. Log. 43² SOLUTIO PROBLEMATIS KEPLERI Log. Excentricitatis 8. 228 1436. Log. g I0g. sin. gr. 30. 9. 69897⁰⁰ Log. R 7581226 Log. RE. 9. 685²³362— Log. 4 Subtr. O. 606337. Log. arcus v sive NQ 9. 6789225 cui respondet numerus o. 4744 seu in sexagesimalibus nu- meris 28. 38: réliqui termini minores sunt gradus parte decies millesima, adeoque negligi possunt. Si itaque à Gra- dibus 30 subtrahatur 28. 38, relinquetur Arcus AO 29 31: 2. Et in triangulo QCS, dantur latera QC CS cum angulo SCQ, unde dahitur angulus QSC, Analogia est ut = CsS seu AS ad C-CS seu PS, ita Tangens semissis summæ angulorum CSꝰ& COS ad Tangentem semissis differentiæ eorundem, unde si à Tangente Log. semissis An- uli ACQ auferatur constans Logarhythmus 0. 0146893, da- bur Tangens semissis differentiæ angulorum CS& CSO, qui in prelentl enxemplo erit 14“: 17: 20 hec àad senu⸗ summam addita, dat angulum AS 29° 3 7½, sed ut in- veniatur angulus ASP, diminuenda est Pangens anguli AS in ratione Axis minoris Ellipseos ad majorem, ab hujus itaque Tangente Log. auferatur Logarhythmus constans o. Oοο 622. qui est Logarbhythmus Rationis Axis majoris ad mino- rem,& restabit Tangens Log. anguli ASP 29°:“: 54 qui est Anomalia coæquata. ö In orbita Martis, Excentricitas est partium 14100, qua- lium distantia media est 152369. Adeoque Logarithmus Rationis SC ad CQerit 8. 9663226 Log g. Quæratur primo in Marte, Anomalia Excentri, cum Anomalia media est unius gradus. Log. Excentricitatis 8. 9663226 I.Og. Sin. I gr. 8. 2418453 Log. 4. Log. R 8. 966²2899 Log. 4 substr. O. 0384299 8. 92786⁰⁰ .20 cui ͥ—— .—4 b. Wne e y: Oam achut emils emists 5An- 0 1950 ell Iurh 1— aue 0.O nho⸗ FOl I Aall mecl V 50LUTIO PRORBLEMATIS KEPLERI. 433 cui Logarithmo respondens numerus. o. 8497, exhibet magnitudinem arcus N,& error minor est gradus parte tricies millesimã. ö 200. Queratur Anomalia Excentri, cum media est grad. 45. Log. Excentricitatis 8. 9663226 Log. sin. 45. gr. 9. 849485⁰ Log. R 1. 758122⁰ Log. RS. 0. 5739²296 Log. a substr. O. 0275²49 Log. Ræ O. 5464047 cui respondet numerus 3. 5 189, qui verum superat centesima & quinquagesima circiter gradus parte,& ut corrigatur er- ror, capiatur terminus seriei secundus Ra 2 RC qui ö 2 44 invenitur o. 065,& à primo auferatur& restabit 3. 5124 qui exprimit arcum N& verum ad partes gradus centies millesimas. ö 3ti⁰o. Quœratur Anomalia Excentri, cum media est grad. 100, in hoc casu est 21 O. 983930. Log. L. 8. 9663²² Log. sin. gr. 100. seu gr. 80 9. 9933515 Log. R 1. 7581220 Log. RS 0. 7177961 Log. substr. 9. 9929598 Log. RS O. 7248363 Huic Logarithmo respondet numerus 5. 3068, qui quin⸗ quagesima circiter gradus parte verum superat, quo itaque corrigatur error, duplicetur Log. E,& producto addatur Log. Ræ.& habebitur Logarithmus E cui respondens numerus est o. 455½, ejusque semissis est o. 02276&qualis RS'. Hic numerus à numero 5. 3968 auferendus est 11 245 Lii 3 43½ 50LUTIO PROBLEVATIS KEPLERI. habebitur 5. 2841 pro quantitate arcus NQ. Et proinde Arcus A Anomalia Excentri erit 94. 7159, qui non de- cies millesima gradus parte à vero discrepat. Notan- dum quamvis secundus seriei terminus sit»RνRει ö 2³4 —„ ejus tamen pars Re sufficit, ut habeatur A arcus A- 4 4 nomaliæ excentri verus ad gradus partes decies millesimas. Obtento arcu A, seu angulo CQ invenitur angulus ASQ resolutione Trianguli QCS in quo dantur latera C 170/9½6 SS cum angulo interjecto QC8, unde inenietur angulus N 58A. Hujus anguli Tangens Logarithmica est capienda& IIN ab ea demendus est Logarithmica Rationis Axis majoris ad TA 37. minorem,& restabit tandem Tangens Log. anguli ASP qui Vs. 3. est Anomalia æquata seu vera. I. E E9 XXV. De Problematis Kepleri Shlutione Newtoniana&- Wardi Hypothesi Elliptica. ö MUem nostra in superiore Lectione explicata,& ea Domini Nechtoni in Principiis Philosophiæ Mathema- TAB. 35. ticœ αì 101. tradita, eidem innituntur fundamento, Quod Ia. 3. Icil. recta SEF Longitudine æqualis est arcui EN. Neuatoui autem methodus fere similis est ei, qua E* æquationibus affectis radicem extrahunt Analystæ,& quidem tanto magis est Estimanda, quod non solum exhibet Planetarum Loca, quorum orbitæ ad circuli formam proximæ accedunt, sed eadem fere facilitate inservit etiam Cometis, qui in orbitis ö maxime excentricis moventur; quod etiam per nostram me- thodum obtineri potest, si modo loco arcus AN capiatur alius arcus ad arcum AQ propius accedens, qui dicatur A Eye & posito sinu arcus A e quæratur sines arcus AꝘ& fiat =— AAN. ö Methodum autem Nereteni cum maxime expedita sit, hic explicare liceat, in gratiam Artificum, qui Tabulas Astronomicas secundum veras motuum cœlestium* —— SOIUTIO PROELEMVATIS KEPLERI. 435 0 1— non ex fictis Hypothesibus condere volunt.— WI Hactenus ostensum fuit, quod si arcus A Q sit Anomalia e 2. Excentri, hunc arcum una cum recta S E ex Sole in radium friu C normaliter incidente, esse tempori proportionalem, Neuro- I. Cum Planeta tendit ab Aphelio ad Perihelion, vel arcum 14.3. 590 B O dempta recta 8 F, esse tempori proportionalem, cum à fe. 3. leld Perihelio ad Aphelion ascendit, adeoque si capiatur Arcus ANVel BNtempori proportionalis, erit arcus QNæqualis 1610 S F rectæ; ut igitur mveniatur, in gradibus& partibus gra. Pauln dus decimalibus mensura arcus in Peripheria AQB, qui a æqualis sit rectæ 8S E, fiat ut CQadCS, ita arcus grad. 110 57. 29578 qui æqualis est radio, ad quartum hic nume- Iau rus exprimet magnitudinem arcus in Peripheria AQB, qui 390 æqualis est S C. Arcus hujus Logarithmus dicatur B. Quo- niam est CS ad S F, ut Radius ad sinum anguli A C fiat ut Radius ad hunc sinum, ita arcus cujus Logarithmus est B, ad alium D; erit arcus ille D æqualis rectæ S F A- 0 deoque si ad datum tempus, Area AS& arcus A Nessent tempori proportionales,& capiatur NP æqualis D, pun- Cum P caderet in Q. Si vero Area AS non accurate Ke tempori respondeat, punctum P cadet supra vel infra A, athem, prout Area AS Qmasor sit vel minor eã, quae est tempori „O proportio nalis. Sit ca AS4,& in Cꝙ cadat perpendicu- Leriun laris SE, erit per hactenus demonstrata, SE NY, unde onbus SESF velsF= SE, hocest fere LEP SQPEQ Mabs vel C½. Quod si angulus CC/ sit parvus, erit Lo CE: C7: LE: O QP%Q/½ unde CEÆEC: C2:: 0 P: Q. Et similiter, cum arcus B est quadrante minor, e- abs rit COECE: CO:: OP: Q/½. Cum Planeta prope Aphelion mme vel Perihelion verfatur, fit CE fere CS& CQECESAS. alut unde QP: Q½:: AS: CA, cum arcus AQ est quadrante minor; A at cum Arcus B est Quadrante minor, erit S5: CB::.. Ghat Fiat ut CS ad CO, ita Radius Rad Longitudinem quan- b dam I., Cerit CQ Est autem Radius ad cost buls num anguli AC Qut SCad CF vel CE, sunt enim CF CE 805& fere æquales; quare erit CESCν cosm A Q unde habe- N ů‚— 441— bitur 436 S8sOLOTIO DPXNOBLEMATIS KREPLERI. bitur Q:Q:: 50CI. SCH cos. AO.CS ErLcoHEHO.I., R K cum àrcus 4Qest quadrante minor; at si is sit quadrante IOi atque hac rationè si capiatur arcus A Q, qui sit aliquan- tisper minor, aut major vero, invenietur exinde arcus Q/, huic addendus vel demendus, qui facit ut Area AS/ sit quam proxime tempori proportionalis;& si loco A Cca- Piatur prius inventus arcus A/& instituatur processus prio- ri similis, invenietur alius A/,& hic similiter, eundem repetendo processum, dabit novum A/, atque sic quan- tumvis proxime ad veritatem accedere licebit. zuelra. Tanta autem est hujus methodi facilitas, ut ea exemplis emphn, Potius quam ulteriore explicatione indiget; adeoque liceat inorbita am in motibus Planetæ Martis experiri. In hac orbita, Mani Logarithmus B est O. 7244446,& Longitudo L. est par- tium 1080631 qualium Radius est 100000. Erenm. Sit primo inveniendus angulus à CQ, cum motus me- ⁰ι dius seu arcus tempori proportionalis sit unius gradus. Quoniam CS est fere pars decima ipsius CA, pono A Qesse O. 9. grad. decima scil. parte minorem motu medio. Ad- datur sinus Log. O. 9. ad Log. B,& fit summa 8. 9205466 Log. numeri O. 08328 f, hie numerus exprimit arcum æ- qualem SFNP,& si arcus A Qfuisfet recte assumptus, foret ANNNPSAQ&QPSO. At in præsenti casu, est QPSO. 01671. A quo si auferatur ejus pars decima, cum A S superat A C decima circiter sui parte, restabit O. 01504, qui additus ad A, dat A/ O. 91504, qui vix mil- lesima gradus parte à vero A/ differt. 0. Sit 2⁴⁰ Arcus à4 Nseu motus medius 2 gr. POno AO. I. 83 ＋I. prioris A Q feré duplum,& ad ejus sinum Log. addendo 05. B, fit summa 9. 2286992. Log. numeri o. 16931; unde crit Q SO. OO0069, à quo si substrahatur ejus pars decima, sit Q/7 O. 00062,& A/ 1. 83 062 qui non decies millesi- ma gradus parte à vero A/ discrepat. Eæxemn- Ziio Sit Arcus tempori proportionalis gr. 3. Ponatur: 7⁷f 4 2, 745 1,83 ＋0. 915,& ad ejus sinum Log.— Exem- SOLUTIO PROBLEMATIS KEPLERI. 437 0 ů————.—„ l do Log. B, habebitur Log. numeri 0. 25392 NP& 25 AN— NP= 2. 74638. Adeoque 7, o fere,& A/=2. 746 sic unica duorum Logarithmorum additione, 0 m arcus A/, qui erit verus ad gradus partes mille- imas. , 470. Sit jam, non gradatim, sed per saltum pergendo, 1 Ol inveniendus angulus AC, cum motus medius est grad. 45. 1V. 0 Pono Arcum A esse gr. 40.& ad ejus sinum Log. addendo ubnh. LOg. B. Fit summa 0. 5320121Log. numeri 3.408, qui u numerus à 45 ablatus relinquit AN.— NP 1. 5919, cujus l excessus supra arcum Aest 1.5919, undè si fiat ut Lꝗ cα˙. AOad L, ita 1, 5919 ad alium, invenietur arcus Q/ gr. 1, 4865. Renpis Adeoque A%, 41.4865 qui non multum supra millesimam lcet gradus partem à vera differt. Sed absque hac proportione, Whta, invenirè possumus A/ capiendo arcum, qui sit aliquantu- fBar lum minor quam AN NP, eidem tamen fere æqualis, scil. sit A 41. 50,& addendo ejus simium Log. ad Log. B. W. habebitur alius NDP S 3. 5132,„ qui ab AN subductus dat Lals 41. 4868 pro novo A/,& hic arcus minore labore crui⸗ Oel.„& aliquantulum propius ad verum accedit quam prior ͤ ⸗—— Post inventum A/ correspondentem motui medio Eæem- Im2 45. gr. rursus si gradatim pergere lubeat, unica duorum“. ptas, Logarithmorum additione habebitur A/½, ad omnes motus 15el medii gradus subsequentes: nempe cum Anomalia media sit Om gr. 46, pono AQ 42, 40,& addendo ejus sinum Log. ad —6 LOg. B, fiet AN-PN— 42.4249, Cui si æqualis ponatur —— novus AQ, habebitur A qui ne millesmna gradus parte à 5 vero A/ differt, sic cam Anomalia media sit gr. 47. Pono 15 AQ 43,36 Priori A½ ＋ incremento istius arcus uni gra- 900 dui motus medii competente,& addendo ejus sinum LOg. — ad Log. B. Summa est Log. numeri 3.640½ qui ab AN 100 ablatus, relinquit ANNP=S 43.3598 novo A½,& hic hleh arcus gradus parte circiter decies millesima aà vero discrepat. 6¹0. Si omissis gradibus intermediis inveniendus est arcus Eæem. Ill A cum Anomalia media est gr. 100, POono AQ gr. 96,& V mal: ů addendo ejus sinum Log. ad constantem B; summa fit Lo- * 91 115 ga- Exem- plau in Cometæ orhita. 4383 s0UTIO PROELEMATIS KEPLERI. garithmus numeri 5.273, unde AN ＋ NP= 94. 727, Itaque 0no secundo A 94. 72,& per additionem constantis og. B, ad ejus sinum Log. provenit log. numeri 5.285, qui ab AN subductus, dat AN-NP 94, 715 A/ quam Pproxime. Similiter si Anomalia media sit gr. 101. Pono AQ 95,7I, ex quo elicitur NP 5,2756 quo numero ab 101 sublato, restabit AN NP 95,7244; atque hac ratione da- ta Anomalia media, si gradatim fiat processus, habebitur angulus ACO, per unicam tantum duorum Logarithmo- rum additionem, quorum, qui constans est, in charta se- orsim servandus, quo labori sæpius eundem exscribendi parcatur. Transeamus jam ad orbitam alterius generis, cujus Ex- centricitas ad distantiam mediam magnam obtinet propor- tionem; sit nempe distantia Aphelii ad distantiam Perihelii ut 70 ad 1; qualis fere fuit istius Cometæ orbita, in qua Cometam periodum suam complere Annis 75, primus de- prehendit Halleius. In hac Or„ecrit AC vel CQ par· tium 35. 5& CS 34. 5. Qualium SB est una,& çon- stans Log. B est 1.7457133. Inveniendus est arcus B7, cum motus medius à Perihelio sit gradus pars centesima. Pono B0 o. 35, ad ejus sinum Log. addatur Log. B.& prodit summa Log. numeri,, 34013 qui ad arcum AN additus, fit, 35013, si hic arcus fuisset o, 35; BQrecte esset assumptus, sed differentia est o, οοι3, unde quo- niam CB est ad SB ut 35,5 ad 1, multiplicetur differen- tia„ ο13 per 35,5& prodibit Q4 O. O04615, unde prodit arcus B O. 354615& error tribus partibus de- cies millesimis gradus minor est. Rursus, sit motus me- dius 0. C2. Ponatur B esse 7π, per additionem con- stantis B ad ejus sinum Log. habebitur Logarith. numeri 0.68998, unde BN. NPονν,& est differentia oοοσο quæ si per 35. 5 multiplicetur& productus à B subtra- hatur restabit B½, ονα,& error gradus partem decies millesimam non fuperabit. Si motus medius sit ½ Pono BO T. 06;& addendo ejus sinum Log. ad constantem B. Prodit Log. numeri 1.03008, cui si addatur BN fit sum- ma 22. 6.8985 SSCTJ— RCI— Wmnn HeEent Gchs, Rin aun Loand Undut Wem El artd, amwh Dhl N En Feikel ha, on Hr XVV etm, ctal rl EDA . , M — 5OLUTIO PROBLEMATIs KEPLERI. 3439 ma 1, 06008, qui major est quam B: quare si differen- tia, οο, multiplicetur per 35.5,& productus ad B0 ad- datur fiet B I, 06284. Similiter cum motus medius sit 04. Pono 30 1,4& invenio NPI, 3604, ad quem ad- dendo ‚04 fit summa 1,40⁰4, qui superat 1,4 Per„οο4 multiplicetur hæc differentia per 35,5& productus„0142 erit æqualis Q½ unde B½ε1,4142 In his omnibus errores sunt admodum exigui,& raro millesimam gradus partem transcurrentes. Inveniendus sit jam arcus Bο, cum motus medius est u- nius gradus. Pono B20 gr.& addendo ejus sin. Log. ad B. Prodit Log. numeri 19. 045, cui addendo 1, summa 20, 045 superat 20,& cum in hoc casu L-Cos. BQsit ad L, ut 1 ad 11,5 fere; multiplico differentiam α45 per 11,5, & productus„5175 ad B Qadditus, dat 20,5175. Pono i- taque secundo B C20, 51& prodibit similiter, ut in præce- dente, NPI9.5092; Cui addendo BN, summa est 20,5092 quæ minor est quam B unde si differentia, oοοε multi⸗ plicetur per 11,5& productus ο9σ subtrahatur à B re- stabit B/205, O08. Sit denique motus medius æqualis 2. gr. Pono BQ gr. 30& irvenietur NP 27.84, cui addendo 2, summa 29,84 minor est quam 30,& si multiplicetur differentia„16 per 6, 3(Nam est L. Cof. B Qad L ur 1 ad 6. 3.).: flet 108/ adeoque hic arcus a B subductus, dat B 28,982 ut vero corrigatur By, assumo B 295& simili processu prodit Bο0 28.9672. Invento angulo AC, angulus ASQ facile habetur, nam in triangulo CS, dantur latera C, CS,& angulus QCS, Tan 3. unde innotescent angulus ASQ,& latus S) deindè fiat ut S. 3• Axis Ellipseos major ad minorem, ita Tangens anguli AS0 ad Tangentem anguli ASP, qui est Anomalia coæquata; Denique fiat ut secans anguli 4⁵⁰ ad secantem anguli ASP, ita Sꝰ ad SP distantiam Cometæ à Sole, quæ erat invenien- da. Vel sic forte facilius invenitur angulus A8SP,& recta SP, invento arcu A datur ejus sinus H,& Cosinus HC3 sed datur 8C, in partibus quarum C est 100000, unde 51 * „ ——.——— ᷓᷓPꝑPDꝑD‚PS‚PSPS/Sitititeieqeqeqeqeqeie‚e‚eeeeeeeeeeeeeee..——. 5 —..-˖⸗˖-⸗— NN 14 ö ＋ II V 4 6 x 11 1 140 16F 11 ů —...——.8..w: Mardi Theoria. 44⁰ SsOLUTIO PROBLEMATIS KEPLERI. bitur HS. Fiat ut major Ellipseos Axis ad minorem, ita Qad PH, qui itaque dabitur. In triangulo, PHS re⸗ ctangulo, dantur latera PH, HS, ex iis innotescet angulus PSHAnomalia coæquata,& latus PS distantia Cometæ à ole Quoniam in Apheliis& Periheliis coincidunt puncta O& N, locusque Planetæ medius idem est cum vero. Et in primo Anomaliæ semicirculo locus medius præcedit verum in secundo verum sequitur; ex determinata positione linere Apsidum in Telluris Orbita determinatur tempus quando lo- cus Pelluris è Sole visus& locus medius coincidunt; quan- do enim Sol apparet in Eclipticæ puncto, ubi est Perihe- lion, tunc Tellus erit in Aphelio, dato autem hoc tempo- ris momento, dabitur inde per Tabulas Astronomicas mo- tus Telluris medius,& arcus AN pro alio quovis temporis momento, arcus enim illi secundum temporum rationes computantur& in tabulis disponuntur. Sed dato, pro quolibet momento, arcu AN, ostensum est qua ratione e- licietur angulus ASP Anomalia Pelluris vera,& locus Solis in Ecliptica apparens. Præter Theoriam supra explicatam Kepleri, secundum quam Planetæ revera motus suos temperant; est& alia Hy- pothesis Elliptica, quam maxime excoluerunt Astronomi duo celeberrimi Isinael Bulialdus,& dethus Mardus Olim in hac Cathedra Professor& postea Episcopus Salisburiensis, e quorum laboribus haud exigua accepit Astronomia in- crementa, cumque illi non desit Elegantia& concinnitas Geometrica, maximaque calculi inde pendens facilitas, li- ceat illam paucis exponere. In hac Hypothesi cum Keple- ro supponitur, Planetarum orbitas esse Ellipses, in quorum foco Communi locatur Sol; præterea supponitur quod Pla- neta unusquisque ea lege in Ellipsis propriæ Peripheriâ de- fertur, ut ex foco superiore Wedanns æquabiliter incedere videatur; radiisque ad focum hunc ductis, describat angulos temporibus proportionales. His positis,& data specie El- lipseos quam Planęta describit, Cl. Wardus elegantem o- stendit methodum Geometricam, qua ex data Anomalia media, vera eliciatur, quæ est ejusmodi. 0 1 ———4F⁰F„EaE Wpord Hobes „2O WMe⸗ Dols Hdum Hachy. Oall mm Entts, 14 U Mitas 9„4f THREORIA ELIIPTICA WARDl. 44¹ Sit 4BP. Ellipsis, quam desoribit Planeta, Linea Apsi- dum Ab, focus in quo Sol residet 8, E superior focus, qui ½ est centrum motus æquabilis. Sit angulus AFL tempori TAu 37. proportionalis, seu Anomalia media, erit I. Iocus Planetæ Ve.. in propria orbita,& angulus 48L Anomalia coæquata seu vera. Producatur FL ad E, ut sit Ft æqualis EIlipseos inceps angulo AFE, dabitur angulus E, cujus duplus æ- qualis est angulo ELS, qui proinde dabitur, sed angulus AFI. æqualis est duobus FSL,& PLS, unde FLS est A. quatio seu Prosthapheresis quæ c& Anomalia media sublata, vel eidem addita, dat Anomaliam veram. I In resolutiene trianguli EFS ex datis EF, ES, cum an. gulo EFS, Analogia est; EF- FS::EH— FS::„ oc Eft 8 ad SP, ita tangens AEE ad Tangentem semissis dif- ferentiæ angulorum E& ESE„ ed ob angulum E æqua- lem LSE angulo, est FSL. differentia angulorum E& PSE; uare angulus qui ex analogia prodit duplicatus dabit an- gulum kESI., Planetæ Anomaliam Veram. Praxis autem fa- Illima est, nam cum As& SP sint constantes& datæ quan- titates, differentia Logarithmorum data erit; duare datus numerus ad Tangentem semissis Anomaliæ mediæ addendus est,& habebitur Tangens semislis Anomaliæ veræ. Porro in triangulo LFS, ex datis omnibus angulis una cum latere SF, invenietur LS distantia Planetæ à Sole. Lan 38. Est quidem hæc Wardi Hypothesis satis utilis approxi- d matio, ad calculum enim abbreviandum inservit, est ta- V Har- men non nisi approximatio,& veritatem non accurate at. r tingit; ejus ratio sic patebit. Sit AE orbita Planetæ, A3 e circulus, eidem circumscriptus. Arcus 40 Anomalia E&., centrici,& AN Anomalia media tempori proportionalis. en Ad centrum C ducatur NC,& à puncto recta QG illi K K Kk Pa- —0 Bulialdi correcti Hujus Hpothe- *Vs. TaAu, 37. Vg. 6. 447 THEORIA ELLIPTICA WAROI. parallela, erit angulus QGA æqualis NCA,&tempori pro- portionalis. Et crit CG fere æqualis CS, sed illa aliquan- tulum minor. A foco S in QC cadat perpendicularis SF, erit hœæc ut prius ostensum fuit, æqualis arcui QN, cujus simus est æqualis GO; sed arcus QN cum parvus sit, ejus sinus erit fere eidem æqualis, unde GO erit fere æqualis SF, sed illa aliquantulum minor. Sed triangula rectangula GOC & SE sunt æquiangula quam proxime; nam NCH angu- lus differentia angulorum NCG& SCF parvus est; adeo- que ob OG fere æqualem SF sed illa aliquantulum mino- rem, erit CG fere æqualis CS, sed illa aliquantulum mi- nor. Focus igitur alter Ellipseos supra punctum Gexistet, sed parum ab illo distat. Quod si ducatur PLad pa⸗ rallela, Punctum L erit etiam supra C, sed parum ab illo distans, unde punctum L& alter EIlipseos focus coinci- dunt fere; sed est angulus PLA æqualis NCAAnomaliæ mediœ; adeoque si à loco Planetæ in sua orbita, ducatur linea ad superiorem Ellipseos focum, illa cum Ellipseos Axe comprehendet angulum qui erit quam proxime tempori proportionalis. Ubi anguli CA& CA vel 8CE parum differunt, hoc est, ubi angulus NCO exiguus est,& Excentricitas orbitæ parva, puncta G& L cum superiore foco fere coincidunt. Adeoque hæc Theoria Telluris motui satis accurate respon- det,; ejus enim orbita parum à circulo recedit, aliis tamen Planetis,& speciatim Marti,& Mercurio non æque con- gruit. Itaque Bulialdus ex quatuor locis Martis à Tychone Observatis, ostendit in primo& tertio Anomaliæ Quadran- te, locum Martis in cælis esse promotiorem, quam per hanc Iheoriam fieri debet. At in Quadrante secundo& quarto, Martis Anomaliam veram minorem esse, quam postulat hæc Hypothefis, ejus itaque correctionem sequentem adhi- buit. Diametro AP, axi majoris Ellipfeos, describatur cir- culus ADP, sit AEL Anomalia Planetæ media, per Lduca- tur recta OLG, ad axem perpendicularis circulo occurrens in Q, juncta FO occurret Ellipsi in V, erit Vlocus Planetæ Anomaliæ mediæ AFL respondens. Angulus autem 8 1% THEORIA MOTUS TELLURIS. 443 Hplo⸗ n lie medie correspondens scil. angulus E Qexpedite inve- 11 nitur, capiendo angulum cujus Tangens sit ad PTangentem n mau AEHL, ut semiaxis major EIlHPIS ad semiaxem mino- His rem. EXx dato autem angulo, AFCVel AFV, similiter ag ut prius ex A FL invenitur Anomalia vera AS V. 00⁰ Calculi quos supra exposuimus, supponunt orbitarum Nal species& Excentricitates sicuti& positiones esse datas. In 0. reliquis Planetis, rationem qua determinantur orbitœ, post l hœec docebimus; in Tellure autem, ejus orbitæ speciem& unnt positionem sequentibus methodis investigamus. ellle, primo observetur Solis diameter,& motus apparcns; 559 r quando enim Terra est in Aphelio, Diameter Slis Videtur 98 40 llo Omnium minima; cum Terra ibi maxime à Sole distet; in gesermi- coiai Perihelio, Soli maxime appropinquans Terricola, ejus dia- ⁴ι¹ur. male metrum maximam conspiciet. Perræque à Sole distantiæ Latur sunt diametris apparentibus reciproce proportionales recta Hs quælibet S exponat distantiam Telluris a Sole in Perihe- Mal 10: fiat ut diameter Solis in Aphelio ad diametrum in Pe- Tan 38. rihelio apparentem, ita PS recta ad S D quæ sit in S pro- A. 1 0⁰ ducta, hæc exponet distantiam Aphelii: bisecetur PD in (bit erit CS Excentricitas orbitæ& C centrum Ellipseos. Foco S Laxe majore PD describatur Ellipsis, erit ila eusdem 00 speciei cum ca, in qua movctur Tellus circa Solem. Ecli- m pticæ autem punctum ubi diameter Solis maxima apparct; l& oppositum ubi minima, positiones Apsidum ostendent. 1010 ded quoniam diameter Solis tam in phelio quam in Heri- 11 helio per aliquot dies vix mutarl VIdre; ditlicile admo- 111 dum crit, positionem apsidum per obfervationcs Solaris 105 ö diametri determinarc. Ideo satius erit& phelii& Perihelil salt Wltan ie& positiones per obscrvationes motus Solis clice- inn re. Nam Velocitas Felluris angularis, eique&qualis Solis 5 apparens„est semper reciproce ut Quadratum distantiæ suæ 1 à Sole, uti superius à nobis demonstratum luit. üi Quo itaque species EIlipsoos, in qua Tellus movetur, Ta. 8. 195 determinetur, observanda est velocitas Solis apparens ma- Ig. 3. — xXima& minima in Ecliptica; minima dicatur A& maxima Womr B;& recta quælibet S exponat distantiam Perihelii Fiat K 2 ut ————...—— —.—..—.——.———— II— ——.— ——.Z 444 THEKORIA MOTUS TELLURIĩ. ut A ad B ita SP ad aliam C;& producatur SP ad D ut SD sit media proportionalis inter SP& C. Exponet hæc linca distantiam Aphelii, adeoque si foco S& axe majore SD describatur Ellipsis, erit illa ejusdem speciei, cum orbi- I ta Telluris. Nam ob PS, SD& C continue proportiona- * 198 5„ Käi E Auad. Auacl.: 5. Drte rea si observentur Solis loca in Ecliptica ubi ejus velocitas est maxima& minima, in iisdem punctis locantur Apsides. Vel denique si observentur duo Solis loca in Ecliptica, ubi cjus velocitates sunt æquales,& bisecetur arcus Eclipticæ interceptus, punctum bisectionis ejusque oppositum loca Apsidum monstrabunt. Verum hæc methodus postulat ob- servationes admodum accuratas, quales non facile obtineri poslunt. 160 Ex Cl. Wardi Theoria, certior elicitur methodus, qua a Rn observationes Solis, temporumque intervalla nota- riam op- tꝗd, una Opera determinari potest& orbitæ species,& Apfi- rinie de. dum Positio, Sit ABPDC orbita Telluris, focus in quo rerh Ein, t S, Ater, ilces A, unanle 5I trla 10. 2e Vellu. Ca Telluris in Ecliptica, quæ dantur ex observatis Solis lo- Wecge, Cis ildem oppositis. Centro F, intervallo FM æquali El- lipseos. Axi majori deseribatur circulus MEHE L, cui occur- Tas.38. runt rectæ FB, FC, FD productæ in punctis G, H, E; du- M. 4. cantur quoque ex foco S rectæ S B, S C, SD, item S G, SH, SE; dantur anguli 5; 5S C, BS D.& CSD, eos enim metiuntur arcus Eclipticæ inter loca observata intercepti, sed cum in hac Theoria, Tellus in Perimetro orbitæ sue, ea lege fe- ratur, ut angulos circa alterum focum F describat tempori- bus quamproxime proportionales, dabuntur anguli BFC, BFD&CF D, capiendo singulos ad quatuor rectos, ut tempus ö inter observationes elapsum, ad integrum tempus Periodicum. Porro quoniam duplex anguli EGS, hoc est, angulus FBS, est differentia angulorum BFHA& BSA, hoc enim supra o- stensum fuit; item, duplex anguli FHS, hoc est, angulus FCS est differentia angulorum CH A& CSA, differentia angulorum BFHC&CBSC, erit œqualis 2 FGS4 2EHS; sed quia dantur anguli BFC, B5C, dabitur eorum differentia, qua- I. ＋** TAB.. 45 E THEORIA MOTUS TELLCRIS. 445 quare dabuntur angulorum FGS& FHS summa. Est au- tem angulus FGS qifserentia angulorum BFA& 5A,& angulus FHS est differentia angulorum HFEA& HSE, qua⸗ re anguli FGS& PIS,&quales erunt differentiæ angulo- rum BFC& GSH: sed dantur anguli BEC& summa angu- lorum FGS& FHS/, quare dabitur angulus GSH, eo- dem modo, dabitur G8E angulus. Similiter est duplex PES differentia angulorum DEA&DSA, item duplex FHS differentia angulorum CFA&CSA, unde 2 ang. FES—2PHS, erunt æquales differentiæ angulorum CFD, CSD, sed dan- tur anguli CED, CSD, undé dabitur semissis differentia eo- rundem, scil. angulus FES EHS; sed angulus FES FEHS, est differentia angulorum CFD& HSE led datur angulus CFD,& FESEHS quodue datur; quare dabitur angu- lus HSE; dantur itaque omnes anguli ad focum E, seil. BFC, BFD,& CE, dantur etiam omnes anguli ad fo- cum S, scil. B5C, 580, CSD, item GS H, 68E,& HSE; hisce præmissis. Exponatur 8H per numerum quemlibet, v. r. 100000. Producatur ES donec peripheriæ circuli occurrat in L, jun- gantur HL, LG,&H6; in triangulo HSL, datur an- gulus HSL complementum anguli noti ESH ad duos re- ctos, item angubus SLH semissis anguli EEFH, pen 20. Hd. 3. datur etiam latus HS 100000, quare dabitur SL; unde in triangulo 8LG, datur angulus LSG qui est deinceps angulo noto ES6& angulus 81. C semissis anguli EFG, Per 20. El. 3. item latus SL., quare dabitur latus 86. In triangulo HS5G Jantur latera ͤHS, 8S 6,& angulus HS quarc dabitur satus HG,& angulus 8 H G. In triangulo iloscele HF G, datur angulus HF G,& basis HG, quare invenietur HF æqualis Axi majori Ellipseos,& angulus GHE, quo ab angulo 8 16 ablato, dabitur angulus FHS. Denique in triangulo FH8, ex datis FE, HS,& angulo FH, in- venietur SF Excentricitas orbiteé,& angulus HSF; à2 quo si subtrahatur HSC angulus æqualis FEHS, restabit CSF angulus, qui Axis positionem& loca Apsidum ostendet. Hæc methodus supponit angulos 30 focum superiorem F E3 de- —....:.'— — TAR 38. Eg. y. 5 ——.7eeé— 446 THEORIA MOTOUS TELLURIS. descriptos sle temporibus Pproportionales, quod verum non est, at in Pelluris orbita, parum Excentrica, anguli ad fo- cum superiorem revera descripti, tam parum differunt ab iis, qui sunt temporibus proportionales, ut nullus exinde potest oriri sensibilis error in determinanda specie& positio- ne orbitæ. Vir celeberrimus Edmundus Halley, quem, ob præcla- ra in Astronomia inventa, omnis laudabit posteritas, me- thodum excogitavit nulli motus Theoriæ aut Hypothesi in- nixam, qua solummodo per observationes, orbitæ Tellu- ris species atque positio determinetur. Sit S Soνι, ABOD orbis Terræ, P Planeta Mars(qui in hanc rem plurimis de causis longe est præserendus) Primo ↄbservetur verum tempus& locus, quo Mars opponitur Soli, tunc enim Sol& Terra coincidunt in linea recta cum Marte, vel(quod fere semper accidit) si habuerit Latitu- dinem, cum puncto, ubi perpendicularis à Marte in pla- num Eclipticæ incidit. Sic in figura S A& P puncta sunt in linea recta; cum autem Martis Periodus constat diebus 687, post illud tempus ad idem punctum P, è Sole conspi- cietur; ubi in priore observatione Soli opponebatur. Ter- ra vero cum non revertatur ad A nisi post 730 dies, cum Mars est denuo in P, punctum B tenebit, Solemque in li- nea 8SB, Martem vero in linea PB respiciet, ex observatis locis Solis& Martis, omnes anguli trianguli BS dantur, & supposito PS constare partibus 10οοοοσ in iisdem parti- bus invenietur distantia SB, ejusque positio: pari ratione post alteram Martis Periodum, Perra existente in C, in- venitur Longitudo linee 8 C, ejusque positio, nec dissimi- liter linea S0,& ejus positio invenietur. Sic ergo diven- tum erit ad hoc Problema Geometricum; datis tribus lineis in uno Ellipseos foco coeuntibus, tam Longitudine quam positione, invenire Longitudinem transversæ diametri, ejus positionem& focorum distantiam. Quod Problema expe- dire docent Geometræ,& quo pacto construitur, nos quo- que in sequentibus ostendemus. ER. Uf. dn Hide K 5 Dal 1a5. otteh u Lal 1 0 ) Din Dpohihur chcUm t Latit ende Wlt Tdebos Ecns I. I. E5) AM H mn erHato Itur, 2 Wone e W. dllm⸗ j Gyel⸗ He Gaa EApe. 5 00— L DE TEMPORIS EQUATIONE. 447 IE XV. De Temporis Maquatione. Icet Tempus in sua natura absolute quantum sit, præ- Morus cipuas Quantitatis affectiones, æqualitatem scil. inæ- Tee- qualitatem& proportionem admittens, ut tamen ejus quan- titas anobis cognoscatur, advocandum est motus subsidium, tanquam mensura, qua temporum quantitates æstimemus, & inter se conferamus; adeoque tempus ut Mensurabile motum connotat. Si enim res omnes immotæ perstarent, nullo pacto quantum effluxisset temporis, possumus perci- pere, sed rerum ætas indiscreta laberetur. Cœterum quia tempus æquo semper fluit tenore, is mo- Propria tus ejus quantitati mensurandæ maxime accommodatus cen- I˙- setur, qui in se summe simplex& uniformis est,& æqua- αι liter femper progreditur, adeo ut mobile ejus Vi incitatum Aocus (altem quoad ad motus sui Periodos) æqualem constanter Vver- impetum servet,& per æquale spatium æquali tempore de-—— currat. Ad communem usum eligendus est motus aliquis maxi- νì σ me notabilis, cunctis obvius& in Omnium oculos incur- rens, qualis est siderum motus, impritnis Solis& Lunæ, zanquam qui proinde non tantum communi generis humani suffragio, πεα ad Hoc suflectus, sed Divino Creatoris nostri consilio, no- nn bis datus est huic usui; à Deo enim pronunciatum legimus. 20bir 1 Fyant Laminaria in Lirmamento,& ivident diem ac uoctem, V. S int in sienn& tempora,& Dies S Aunor. Per motus itaque cælestes,& prœcipue illum Solis apte distinguuntur tempora. Quare Solem quis dicere falsum Aueat. ö Audent hoc Astronomi, qui subtili indagine deprehende- runt, Solis motum uniformem non esse, sed illum nunc gradum remittere, nunę accelerare observant; adeoque tem- pus verum quod æquabiliter semper fluit, non potest accu- rate per ejus motum connotari. Hinc Distin- clio inter Temfus ＋ Pa- HC ⁵ verum. Ah. 38 — E 7 Osteudi :urdies Solares esse inæ- ruales. 448 DE TEMPORIS EQUATIONE. Hinc Tempus quod Sol motu suo commonstrat, quod- que apparens dicitur, diversum erit ab illo quod æquabili semper labitur tenore,& ab Astronomis verum& æquale vocatur; ad cujus normam omnes motus cælestes sunt ordi- nandi. Nam ex inæquali Solis motu, ejusque via ad Æ- quatorem obliqua, sequitur, quod neque dies neque horæ erunt inter se æquales, uti hac ratione ostendemus. Dies Solaris æqualis est illi temporis spatio quod labitur, dum per rotationem VPelluris circa suum Axem, Flanum alicujus Meridiani à centro Solis digrediens volvitur, usque dum ad idem recurrit. Seu est tempus inter unam Meri- diem& illam quæ proxime sequitur. Si Telluri nullus a- lius competeret motus, præter illam circa Axem rotationem, dies omnes Solares eienn inter se& revolutioni Pelluris præcise æquales. Sed quia interea dum TPellus circa Axem rotatur, in propria etiam orbita versus orientem progredi- tur, cum Meridianus aliquis integram revolutionem com- pleverit, non tamen ejus planum per Solem transibit, uti sequenti figura manifestum fiet. Sit enim S Sol, AB portio orbitæ Telluris, linea MD designat Meridianum aliquem cujus planum productum per Solem transit, cum Terra est in A. Progrediatur deinde Tellus in sua orbita per arcum AB ad B, in tempore quo completur una Revolutio Tellu- ris Circa Axem, unde ob absolutam revolutionem, Meri- dianus MD erit in situ ad priorem ejus situm parallelo, adeoque nondum per Solem transibit, neque incolis qui sub Meridiano illo degunt, fiet Meridies, sed opus est ut mo- tu angulari 4 B/ ulterius feratur, ut per Solem transeat. Exinde fit ut dies omnes Solares sunt una revolutione Tel- luris circa Axem longiores. Si Meridianorum plana seu Axis Pelluris, ad planum orbitæ normaliter insisterent,& Tellus æquabili semper motu orbitam suam decurreret, post peractam à Meridiano aliquo revolutionem, Ob πα ad MD Parallelam, angulus 4B, esset œqualis angulo BSA,& ar- cus 4, similis arcui AB,& ob tempora semper æqualia, ar- cus A B& proinde angulus 4 B Fesset sibi semper æqualis, & proinde dies onmes Solares æquales sibi invicem essent, tem- —.—...— Wüe mller Mulsæ Wolen, Telars Avem Ore Wcom⸗ it, wii ollo Mhuem Klaelt am I „Neir elo, uifl DE TEMPORIS EOCUATIONE. 4⁴ tempusque apparens cum equabili congrueret. Verum ho- rum casuum neuter obtinet in natura locum, nec enim terra æquabiliter orbitam suam decurrit, sed in Aphelio Hinorem arcum, in Perihelio majorem, æquali tempore describit, præterea Meridianorum plana non sunt ad Ecli- pticam, sed ad Æquatorem normalia; adeoque motus angu- lares 45, qui preter revolutionem integram spatio dici Solaris acëαεdunt, per arcum AB mensurari non debent, utraque de causa, inter se inæquales hi anguli erunt; dies- que Solarcs inæquales efficiunt. ö Sed hoc fortalse, Auditores, clarius vobis elucescet, si Idem es A reali Telluris motu, ad apparentem Solis tranteamus, is He- enim pro mensura temporis apparentis nobis datus SI i o sciendum itaque diem Naturalem seu Solarem esse illud Henai- temporis spatium, quo per revolutionem primi mobilis ap- 3 parentem, tota Æquatoris circumferentia successive per Me- ridianum transit,& insuper arcus ejusdem respondens mo- tui Solis apparenti in orientem interea facto. At arcus Æquatoris transiens per Meridianum cum arcu Aca, Eclipticœ diurno non est illi semper æqualis, sed%ο modo. major, modo minor, etiamsi Solis motus in Ecliptica æqua- 7— bilis ellet, quod oritur eα Obliqua Ecliptica ad uatorem sunt æ⸗ ositione, uti patet ex adjuncta sigura. Sit Ve Quadrans 79Z„j5 Eewenter⸗ VEOuadrans æquatoris, Arcus VA sit unius gr. Ealhu. qui est quamproime æqualis motui Solis diurno in Ecli- æα diur. ptica, nam motu medio arcum 59“: 87 describit quotidie 385 Sol: fitque AB Arcus circuli declinationis per Solem trans- 90 jens inter Eclipticam& Æquatorem interceptus. In trian- gulo VBA rectangulo, ex datis VA, I. gr.& angulo AVB inclinatio Eclipticæ cum quatore 236. 30. Invenietur Ostendi- latus VB, 54. 1“. sit deinde arcus Eclipticæ VC, SNe, ex elicietur arcus Æquatoris VD, 886. 54 34.»At quando ar- n cus VS fit 9οσ, arcus quatoris VD illi respondens est zs e. etiam oiunde erit arcuum XE, Ddilerentia L. 1. 25: 20½ Arcuum itaque YB, DE differentia erit 10. 25. licet ar- 4 cus Eclipticæ VA& CS quibus respondent, sint æquales. Ex quo manisestum est Hi, arcubus inæ- LII quales ————p Secunda inæqua- Yitatis Merum causa Deter- minatio Aierum media- rum seu aqua- bam. 450 DE TEMPORISs EOUATIONE. quales Æquatoris arcus respondere,& consequenter areus Aaquatoris diurnos qui per Meridianum transeunt& diem Solarem metiuntur esse inter se inæquales. Sed non nascitur, ex hbac unica causa, diurnorum arcuum Mauatoris inæqualitas, nam ipse Solis motus in Ecliptica ap- parens inæquabilis est. Tardiusque incedit diutiusque com- moratur Sol in signis Borealibus, quam in Australibus per octo integros dies, undeè etiamsi nulla esset viæ Solaris ob- liquitas, ex hac sola causa arcus quatoris diurni æquales esse non possunt; adeoque multo magis se prodit dierum inæqualitas, cum ad id concurrunt duæ prædictæ causæ, Solis scil. inæquabilis motus,& Eclipticæ obliquitas, quæ licet interdum sibi mutuo officiunt,& inæqualitatem mi- nuunt, ut fit quando arcus diurni Æquatoris decrescunt propter obliquitatem Eclipticæ, sed crescunt propter ac- cessum Solis ad Perigeum, aut contra, aliquando tamen concurrunt ad inæqualitatem augendam,& neutra illarum ab altera pendet, sed utraque suum sigillatim sortitur effe- ctum. Motus itaque apparens Solis in orientem cum inæquabi- lis sit, ad tempus æquabile(quod eodem tenore semper fluit) mensurandum idoneus non est; adeoque nec dies na- turales& apparentes aptæ erunt motuum cælestium mensu- ræ, de iis Ioquor qui à motu Solis non pendent. Ideoque necesse fuit Astronomis pro his Solaribus diebus alios me- dios& œquales substituere, in quos motus cælestes distri- buerent,& hi motus, cum ad tempus æquale sint collecti, oportet tempus illud rursus in apparens convertere, ut à nobis observentur, qui tempora Solis motu apparenti me- timur& numeramus;& E& contra si aliquid Phænomenon cæleste, Eclipsis puta, tempore apparente observetur,& secundum illam observationem Tabulæ Astronomicæ sunt examinandæ, necesse erit tempus apparens in æquale con- vertere, aliter observata Phænomena à computatis diffe- rent. Quoniam nullum novimus in natura corpus naturale, quod motum perfecte æquabilem conservat,& talis tamen MO —4—— . L DE TEVMPORIS TOUATIONE. 46 motus solus idoneus est ad dies horasque æquales conno- tandas. Convenit ut fingamus aliquod sidus quod in Æ- quatore versus orientem semper incedat,& motum suum nusquam intendat aut remittat, sed uniformiter Æquato- rem percurrat eodem præcise tempore quo Sol Eclipticam deseribere videtur. VPalis sideris motus tempus æquale& verum rite repræsentabit, ejusque motus in Æquatore diur- nus eslet 59: 8“. Qualis scil. est motus medius Solis in Ecliptica,& proinde dies æqualis& medius per appulsum bujus sideris ad Meridianum determinatus, æqualis erit tempori quo tota cireumferentia Æquatoris seu gradus 360 er Meridianum transeunt,& insuper 597: 8“%, cumque hoc additamentum semper idem maneat, dies omnes medii e- runt inter se æquales. Cum Sol inæqualiter seoundum Æquatorem, orientem quai versus promoveatur, aliquando citius hoc sidere Meridia- i i num attinget, aliquando serius ad eundem appellet. Et——— differentia est illa quæ inter tempus apparens& æquabile intercedit. Differentia autem hæc nota erit, ex datis in Æquatore loco sideris,& puncto, quod una cum Sole ad Meridianum pervenit. Arcus enim interceptus si in tempus convertatur, ostendet differentiam, quæ est inter tempus apparens& æquale. Hæc Diflerentia dicitur Temporis Æ- gquatio, estque Tempus illud quod labitur dum Arcus Æ. quatoris inter punctum definiens Solis Ascensionem Rectam & locum sideris ficti interceptus per Meridianum transit. Sit O Æquinoctialis circuli portio, EC Ecliptica, in QGuaana qua sit S locus Solis verus in Ecliptica, SA Declinationis circulus per Solem transiens Æquatori occurrens in A, erit e. A punctum Æquatoris quod simul cum Sole ad Meridianum aια pervenit. Sit ½ locus sideris medio motu in Æquatore—51 progredientis,& cum Sol ad Meridianum pervenerit sidus* Hictum ab illo distabit arcu 2A. Quod si punctum sit puncto A orientalius, serius Meridianum attinget quam A, Tempusque apparens præcedet medium seu æquale. At si punctum 2 sit ad occidentem puncti A, citius illud ad Me- gaande ridianum revertitur, eritque tempus apparens æquabili po-. 2 Hsö.. igillatim 452 DE TEMPORIS EOOATIONE. sterius. Arcus autem Æquatoris Am in tempus conversum est æquatio temporis, quæ addenda est tempori apparenti aut ab illo subtrahenda, prout punctum orientalius est aut occidentalius puncto A, ut fiat Tempus æquabile. Ut situs puncti A respectu ipsius& arcus A„ uantitas dignoscatur, capiatur in Æquatore arcus Ve vel N Hyudti, ualis arcui VS vel S in Ecliptica, unde arcus&⸗ 15, Qualis erit distantia inter Solis locum verum& medium. ur con. due proinde ex dato Anomaliæ gradu dabitur: Arcus ve- 4 sar. 1o AV est diflerentia inter trianguli rectanguli VSA Hy- *„ potenusam VS& ejusdem basim VA& ea per Trigonome- triam etiam dabitur. Est præterea arcus Am æqualis sum- mæ vel differentiæ arcuum As, ²mn, quæ proinde ex illis notis dabitur. Harumn Porro animadvertendum est, in primo& tertio Eclipti- Datiemn cα Quadrante, punctum% cadere ad orientem respectu pun- n cti A, adeoque arcum As in tempus conversum ablatitium evplican èsse, serius enim ad Meridianum appellit punctum9 quam . A. In secundo autem& quarto Eclipticæ quadrante, pun- cdum o cadit ad occidentem puncti A, ideoque eitius per Meridianum transit Waar⸗ A& proinde arcus A in tem- pus conversus, adjectitius& tempori apparenti addendus est, ut habeatur tempus quo punctum Meridianum at- tingit. Sit v. r. Arcus A, 2 gr. ut fit, quando Sol tenet vicesimum Arietis gradum, hic arcus in tempus conversus est scrup. 8, adeoque tempori apparenti adjiciendi sunt scru- puli 8, ut habeatur tempus quo punctum 5 Meridianum ller. Porro in Primo Anomaliæ Solis semicirculo, hoc est, dum Sol in præsenti seculo tendit à septimo gradu S ad septimum Capricorni, medius Solis motus major est ejus motu vero; adeoque locus Solis medius præcedit ejus lo- cum verum, unde in toto hoc semicirculo punctum erit ad orientem puncti& arcus ν in tempus conversus de- trahendus est a tempore quo punctum Meridianum tenet. At in altero Anomaliæ semicirculo scil. postquam Sol Peri- geum reliquerit, motus medius minor est vero,&—5 ² Iuenti Wiet hle Ut „O EI. * medu, Arouy. 1843 Hgonmt. Wualsin. e ex uls o Echht. edupn Hlatitm Run lte, Pul- cti r Mtel⸗ Wedd num à Vehed Nensis scru⸗ um 1, 5 0 4es 5 U⸗ erlt 5 Ce tenet. Per Vchs 80 DE TEMPORIS OUATIONE. 45³ Solis medius verum sequitur, unde punctum m cadet ad ccidentem puncti e, illudque citius hoc ad Meridianum appellet,& propterea arcus in tempus conversus adji- ciendus est tempori in quo s Meridianum oααuαat. Dato autem temporis intervallo inter appulsus punctorum ν& ad Meridianum, item intervallo inter appulsus punctorum A ad eundem, dabitur intervallum temporis inter ap- pulsus puncti ½& puncti A ad Meridianum; hoc est, da- bitur intervallum temporis apparentis& Veri seu æqualis, Quod est temporis Equatio. Ad FTempus perpetuo æquandum, Artifices condunt du- plicem tabulam, una pro arcu νν dα Cunn Anomalia Solis est adeunda,& si punctum m sit ad occidentem puncti S, notant ÆEquationem signo additionis, sin secus, apponunt Hue signum subductionis. Altera tabula construitur pro arcu 74 SA quæ est differentia inter locum Solis in Ecliptica& ejus Tabale. Ascensionem Rectam cujus Æquationes similiter notantur signo Additionis vel Subductionis, prout punctum est ad ecidentem vel orientem puncti A, harum Æquationum summa, si utraque fuerit ejuldem affectionis hoc est, si si- mul adjectitiæ fuerint vel simul ablatitiæ; vel differentia, si suerint diversæ affectionis, componit absolutam temporis Aquationem. Construunt etiam tabulam Artifices ex harum utraque rabaæ compositam, quæ temporanca tantum est& uni circiter se- ½4- Culo sine sensibili errore inserviens, nam per unum fere se- 2 culum idem Anomalie Solis gradus, in eundem Eclipticæ 25999 gradum incidit; adeoque pro spatio quinquaginta annorum, Aquationes duæ in unam componi possunt. Sed ob mo- tum Præcessionis Æquinoctiorum, Apogeon Solis, seu po- tius Aphelion Terræ, locum suum in Ecliptica mutat,& in Orientem una cum fixis progreditur; adeoque diversis se- culis, idem Anomaliæ gradus ad diversa Eclipticæ puncta referentur,& promde una Tabula pro omnibus seculis non Ouunde 6 25—— Aies So- ufliciet. u. — ů 4es 77⁵ Sidus fictum, cujus motus tempus æquabile metitur, sem- abiun per versus orientem uniformiter progreditur. At punctum 4 Er. I11 5 giores. 474 DE TEMPORIS EOUATIONE. A quod Solis Ascensionem rectam definit,& tempus appa- rens connotat, ultra citraque punctum libratur,& nunc ad orientem, nunc ad occidentem Sideris ficti aliquando e- tiam cum illo coincidens invenitur; unde quando puncti A motus relativus respectu istius Sideris sit Versus orientem punctum A magis in orientem promovetur quam sidus,& dies fiunt mediis longiores: nam quo celerius versus orien- tem tendit punctum A, eo dies Solares fiunt Iongiores, nam præter revolutionem cæli integram, majus est additamen- tum arcùs quod diei Solari accedit, ob majus spatium ver- sus orientem confectum. Hinc sequitur, quod quampri- mum motus relativus puncti A incipit fieri versus orientem, dies Solares incipient quoque fieri mediis longiores; de mo- tu relativo loquor qui fit respectu Sideris, nam ejus mo- tus absolutus semper fit versus orientem. At quando pun- Crum A ultra versus orientem delatum rursus ad Sidus 2 accedere incipit, ejusque respectu ad occidentem tendere, tunc fiunt dies Solares mediis breviores; ubi autem maxime à sidere ½ ad orientem aut occidentem recesserit A, ibi dies Solares fiunt mediis æquales,& in illis punctis maximæ fiunt Temporis Æquationes. Ubi autem motus puncti A Versus orientem fit velocissimus, ibi dies fiunt omnium lon- gissimi. Quo autem in puncto, motus hic fit tardissimus, 901 est, ubi motus relativus versus occidentem maximus est, ibi dies sunt brevissimi. In hoc nostro seculo, cum Sol 10. gr. Scorpionis tenet, punctum A à Sidere maxime distat versus occidentem, ejusque distantia est 4. gr. scrup. 2. secund. 45.& proinde æquatio maxima est minut. horar. 16. secund. II. Inde in- cipiunt dies Solares crescere; usque dum Sol ad gradum Aquarii 22 pervenit. Ubi maxime in orientem promotum est punctum A,& à Sidere distat gr. 3. scrupl. prim. 42= Et maxima temporis&quatio est 14: 50%. Exinde motus relativus puncti A est versus occidentem, usque dum Sol gradum Tauri 24m attingit, ubi punctum A est 1. gr. min. 1. Sidere mn oceidentalius;& Æquatio temporis maxima est 4: 6, exinde rursus versus orientem recedit punctum A; ———.—— h , e I 0 00 dud ale, MN lat erlioch HorEen addttn. atium uant sonleem, 5/ Hn cus mo⸗- nao IMl- Hdls 7 endere, WNe A, Dalihe pu A aum lur dlimis, ims tenet, ronde nde v DE TEMPORIS EOUATIONE. 465 usque dum Sol occupat Leonis gradum 325 ubi ab distat gr. I. minutis 28 2& Temporis quatio est 5. min. 53. 160. inde demum motus ejus est versus occidentern; usque dum 5ol ad grad. Scorpionis 10. pervenerit, ex quo ad orientem continuo tendet punctum A. Patet porro quotieseunque puncta A& i. coincidunt, coincidere quoque tempus ap- parens& medium. Hinc si habeatur Horologium Automaton affabre elabo- ratum,& Pendulo instructum, cujus motus ad tempus æ- quale seu medium ordinatur,& Index simul cum tempore æquali congruat. Horologium hoc diversam semper à Sole monstrabit horam, præterquam quater in anno. Scil. circa diem Aprilis quartum, Junii sextum, Augusti vicesimum, & Decembris decimum tertium. Aliis omnibus tempori- bus, Hora Horologii Solarem vel antecedet, vel sequetur, circa autem Octobris diem vicesimum tertium, omnium maxime à Sole differt, ubi ejus motus Solari lentior erit minutis 16. secund. II. Si quæœratis, in quibus punctis, Aquationes Temporis fiunt maximæ. Hujus Problematis solutionem nobis imper- tivit celeberrimus Halleius, vir ob præclara inventa, nun- quam ab Astronomis sine honore nominandus, ad quam solutionem sequentia præmittimus. LEMMA. &/ Hgurâ plana in planum aliquod Orthographice prosiciatur, quod fit demit tenao sfingulis ejur punctis in planum subů5ectum per pendicularer. Figuræ in Plano profectio erit ad ipsam sigu- ram, ut Cosinus Iunclinationis planorum ad radium. Nam figura quævis potest resolxi in parallelogramma vel triangula, quorum bases sunt parallelæ communi planorum sectioni, adeoque erunt parallelæ plano in quod projiciun- tur, unde bases& earum projectiones erunt sibi ipsis æquales & parallelæ, uti à nobis in Lect. XIII. ostensum fuit. Sed perpendiculares à verticibus triangulorum in bases demissæ, funt ctiam ad communem planorum sectionem perpendicu- lares, per 29. El. 1. Et proinde perpendicularium ad pla- num inclinatio æqualis est inclinationi planorum ad se imwi cem. 45 DE TEMPORIS EOUATIONE. TAB. 39. Rg. I. cem. Harum itaque perpendicularium projectiones sunt ad ipsas perpendiculares, ut Cosiuus inclinationis planorum ad radium. Quodlibet igitur triangulum vel Parallelogram- mum projicitur in aliud, cujus basis est æqualis basi IPsius trianguli aut parallelogrammi quod Projicitur,& cajus al- titudo est ad altitudinem trianguli, ut Cosinus inclinationis Planorum ad Radium. Sed triangula& parallelogramma quorum bases sunt æquales, sunt ut perpendiculares à verti- cibus in bases demissæe. Projectio igitur trianguli cujusibet est ad ipsum triangulum in data ratione; adeoque omnium triangulorum Projectiones(hoc est totius figuræ Projectio) sunt ad omnia triangula, in quæ resolvitur figura, in eadem ratione, scil. ut Cosmus inclinationis Planorum ad Radium. Si orbita Telluris Orthographice, demissis pPerpendicula- ribus in planum Æquatoris, projiciatur: Projectio fiet El. lipsis, in cujus peripheria semper movetur punctum quod est extremitas lineæ à Pellure in planum Æquatoris perpen- diculariter demissæ;& hoc punctum motu suo signabit Tel- luris Ascensionem rectam, seu motum ejus secundum Æ. uatorem èę Sole visum, cui semper æqualis est Solis Ascen- 0 recta è Tellure visa. Sit AC Ellipsis in quam pro- jicitur orbita Telluris, S punctum in quod Solis centrum projicitur; VS communis sectio Æquatoris& Eclipticæ, A punctum quod perpendiculum àa Tellure Ellipsi offendit, erit VSA angulus quem metitur Solis Ascensio recta. Dico qam punctum illud A, quod signat motum Ascenstonis re- (tæe„ ita in Ellipsi AEC moveri, ut describat circa S Areas temporibus proportionales. Dato enim tempore, mo- Veatur A per arcum Elhpticum AB, ducantur AS, BS,& trilineum ASB erit projectio correspondentis Aree quam Terra in plano Eclipticæ circa Solem eodem tempore de- scribit. Et proinde erit Projectio ASB ad Aream correspon- dentem in orbita Pelluris, ut Cosinus Inclinationis Æquato- ris& Eclipticæ ad Radium; sed in eadem ratione est tota Area Elliptica VA Cad totam orbitam Telluris, unde per- mutando, erit trilnneum ASB ad totam Aream Ellipticam, ＋EC, ut Arèea in orbita Telluris circa Solem E a DE TEMPORIS LOUATIONE. 477 Iuten ad totam orbitam VPelluris, hoc est, ut tempus quo de- un(cribitur Area illa in orbita Telluris, vel quo describitur * triincum ASB in projectione, ad tempus Lelluris Periodi- Aüs cum, vel tempus quo describitur tota Ellipsis V AC. Ed Sldgh itaque ratione Circa punctum 8 movetur punctum A ut de- hen cribat Areas temporibus proportionales. Oln lisdem positis, centro S/ intervallo SA, quod sit medium Lar 39. ed roportionale inter Ellipseos semiaxemmajorem& minorem, Cujahe describatur circulus, ejus Area æqualis erit Areæ EIIipseos On Ati EX Conicis demnonstrare facile est. Circulus hic Ellipsim Droteih secabit, in quatuor punctis E, FE, G, H. Hœc puncta ostendent nedm Ascensiones Solis Rectas, ubi Temporis Equationes flunt Radum. maximæ. In Peripheria circuli moveri concipiatur punctum endle. aliquod M uniformiter, ejus motus Sideris nostri ficti mn Fet El(V. S. 9. Tah 38.) motum repræsentabit,& describet cir- ca punctum S sectores circulares temporibus proportionales 11 Cumquè Area totius circuli sit Areæ totius Ellipseos æqua. bu Te lis, erunt Areæ sectorum circuli& Areæ Ellipticæ eires m temporibus æqualibus descriptæ semper æquales. Ponamus onten itaque punctum Min Peripheria circuli,& punctum in Pe- Haldd⸗ ripheria Ellipseos signans Solis Ascensionem rectam simul n in recta SM incidere, quæ puncta postea sint in&α A, 5 erit Area LSA Elliptica æqualis Areæ circulari MS ½ν, cum- . que arcus M sit extra Ellipsim, erit angulus MS νminor Hndl, angulo MSA, quorum angulorum differentiam metietur ar- 4⁰ cus A, qui est Temporis&quatio. Cum punctum si- 4 gnans Ascensionem rectam ad intersectionem circuli Ellipseos d pervenerit, ibi ejus motus circa Solem angularis æqualis erit e. motui puncti. Sint enin Areæ ndu, ASE temporibus 5 quam minimis simul descriptæ, erunt illæ æquales: adeoque alt arcus E ductus in SE æqualis erit arcui ν ducto in 8ν, d⸗ unde ob œquales SF, S, æquales quoque erunt arcus EQ, elgol. in; in puncto igitur Fmotus Ascensionis rectæ æqualis Quato- est motui Sideris ficti ½, idem similiter ostendetur in pun- elt tota ctis G, H, E. Sed prius ostensum fuit, in iis punctis, ubi naeper motus Ascensionis rectæ æqualis est motui Sideris ficti, seu Ptcem, Telluris medio, ibi Æquationes esse maximas. In punctis Lelchipta Mmm ita- 0 Tav. 39 ＋ 2 458 pDE TEMPORIS EOUATIONE. itaque F, G, H, E Aquationes sunt maximæ. Si quærantur puncta ubi dies sunt longissimi, vel brevis- simi; hujus Problematis solutionem nobis quoque suppedi- tavit idem nunquam satis laudandus Halleiun, quæ talis est. EIlipsis VS sit projectio orbitæ Telluris ut prius, S punctum in quo Solis centrum, K centrum Ellipseos, pro- ducatur KS utrinque, ita ut KG& SH sint ad KS(quæ est projectio excentricitatis) ut Quadratum Radii ad Qua- dratum Sinus Obliquitatis Eclipticæ; per K ducatur V parallela communi sectioni planorum Eclipticæ& Æquato- ris,& huic ad angulos rectos ducatur K-ν Per G du- catur GE& per H recta EH ad Sπ,& Vparallelæ. Per 8S&E describatur Hyperbola cujus Asymptoti funt FG, FH, hæc Hyperbola ejusque opposita CD Ellipsim in punctis quæsitis secabunt; hoc est, cum Sol est in punctis Eclipti- cœ respondentibus D& B, fiunt dies longissimi,& in B longiores sunt dies quam in D. Puncta autem quæ punctis A& C respondent, ostendent dies brevissimos;& A qui- dem breviores sunt quam in C. 7 Cujus Demonstratio exinde patet, quod punctum Solis Ascensionem rectam signans, ita in Peripheria Ellipseos fer- tur ut describat Areas temporibus proportionales, uti osten- sum est; adeoque ejusdem puncti velocitas angularis est u- bique reciproce ut quadratum distantiæ ab 8, velocitates igitur fiunt maximæ, ubi rectæ ex 8 minimæ in Ellipsim cadunt,& velocitates sunt minimæ ubi rectæ ex S in Elli- psim cadunt maximæ. At constat ex constructione;& Frop. 6²½ lib. 5. Conicorum Apollonii, Hyperbolas descriptas Ellipsun secare in punctis A& D, ubi rectæ SA& SD sunt maximæ,& in punctis B& C ubi 8B, SC sunt minimæ in üs enim punctis cadunt ex 8, rectæ SB, SC, 5D, SA ad curvam perpendiculares. Hinc motus Solis, secundum A- scensionem rectam, erit velocissimus in B& D, ideoque dies fiet longissinus,& in C& A tardissimus,& in iis punctis dies sit brevissimus. LE- —————— 9. V . m winz Höun Lihlenz Rubo Ruial, Wahv N E Dte EE WünR, I Els uts Kaht m, KNE I Iuls Wüh Wan W AUlist Wu Gebalats 2DLhn A Il * Shts Hi 1 MM 9Ke 11⁵ H0l V DE RELIOUORUMPLANET. THEORIIS. 45 IL LETICO XXVI. De Reliquorum Planetarum Iheoriis. Ver explicatam motus Annui Telluris Theoriam, T methodumque traditam, qua Orbitæ forma, Apsidum- 500—00 que positio determinantur; ex quibus cognitis, per Tabu- Aerrne Ias Astronomicas locus Telluris in Ecliptica e Sole visus, Hr. ö ö ria Ter- eique oppositus Solis locus nobis apparens, ad quodlibet tempus computari potest. Ad reliquorum Planetarum Theo- rias exponendas accedimus, quæ non nisi per motum Tel- luris prius cognitum inveniri possunt. Ante omnia, oportet Planetarum periodos, seu tempo- Eacu- ra, in quibus singuli circulationes absolvunt determinare; ι ad quod faciendum, notandum est, quando Planetæ supe- riores sunt in situ Achronicho; hoc est, quando in opposi- ceneri- tione Solis videntur à nobis è Tellurè eos spectantibus, ap- parent esse in eodem Eclipticæ puncto in quo ex Sole vi- Fie. derentur, si ibi constitutus fuisset oculus. Quinetiam cum in ep- inferiores in conjunctione cum Sole& in Solis disco spe- 1—¼ 0 Cantur; ex Solè visi oppositum Eclipticæ locum occupare cainci- conspicerentur. Quoties igitur Planeta aliquis superior in aani. oppositione Solis videtur, Iocus ejus Geocentricus cum He- liocentrico coincidit. At quando inferior in conjunctione cum Sole,& in ejus disco cernitur, locus Heliocentricus oppositus erit loco Geocentrico, seu illi qui ex Tellure spectatur, præterea cum Planetæ inferiores sunt in maximis à Sole Elongationibus; Angulus ad Solis centrum inter re- ctas ad Terram& Planctam ductas comprehensus, æqualis est complemento Elongationis Planetæ à Sole,(nam in or bitis propemodum circularibus, linea orbitam tangens est Perpendicularis ad rectam à Sole ad punctum contactus du- ctam) ac proinde dabitur ille angulus, sed datur punctum Eclipticæ in quo Tellus in illo momento videbitur; unde dabitur quoque punctum in quo Planeta inferior e Sole conspicitur. In his igitur positionibus dabuntur Planetarum loca Heliocentrica. Mmm 2 Si ZTempo- rum De- riodico- rum pri ma De- rermina- 21⁰0. Eyor un- Aem ac- curatiar Deter- minatio. 4⁰⁰ DE R k I. 10 0U Si itaque Planeta aliquis superior, v. gr. Jupiter obser- vetur cum est in oppositione Solis, iterumque rursus cum ad Oppositum Solis pervenit; dabitur arcus quem Planeta e Soleè spectatus interea temporis percurrit; fiat itaque ut arcus ille ad totam circumferentiam, ita tempus inter ob- servationes elapsum, ad quartum, dabitur exinde quam- proxime tempus Planetæ Feriodicum,& similiter ex datis inferiorum locis Heliocentricis eorum Periodos quamproxĩ- me colligere licebit; quamproximèe dico, nam calculus sup- ponit motum Planetæ esse in circulo& per omnem perio- dum æquabilem; quod verum non est, unde non accurate hac methodo dabuntur Planctarum periodi. Sequenti igitur methodo accuratius investigari possunt Planetarum Tempora Periodica. Observetur Planeta quili- bet bis in eodem nodo; id est, binæ fiant observationes, quando Planeta, ad eandem orbitæ partem, nullam habue- rit Jatitudinem, quod tunc solum potest contingere, quan- do Planeta est revera in nodorum aliquo: Pempus inter bi- nas observationes elapsum, æquale erit tempori Planetæ Pe- riodico. Nam cum Planetæ omnes moveantur in orbitis, quo- rum plana ab Eclipticæ plano diversa sunt,& Sol in com- muni omnium orbitarum foco existat, orbitæ omnes Ecli- pticæ planum secabunt in lineis per Solem transeuntibus, quæ ad Eclipticam productæ nodos duos ostendent;& Pla- neta non nisi semel in integra periodo in nodorum aliquo spectari potest. Nodi autem vel quiescunt vel tarde admo- dum moventur; adeo ut spatio unius periodi tanquam quie- scentes haberi possunt. Unde ex dato tempore inter duos roximos Planetæ ad eundem nodum appulsus, innotescet lanetæ Periodus. His iisdem observationibus, cognita prius Theoria motus Telluris, obtineri potest lineæ Nodorum positio, seu pun- cta Eclipticæ in quibus linea Nodorum eidem occurrit. Sit ATB orbita Telluris, CND Planetæ orbita, NS No- dorum linea: Sitque in prima observatione Lellus in P,& Planeta observetur in N. Cumque Planetæ locus è Perra visus per observationem innotescit; Solis autem locus—. ———— 22— ENRNIIX Mter chye⸗ ö Mlz n em Hatz al 1 1 Das Mrch dnde ber ertz Judmmg culgg em h 0n Ad ali pohut Lete Gull Mpationes, am Habue- re, uan nter di⸗ Wanetebe. bild, guo 0lcom mne Ll. Cuntibus, H, KDR: malhuo admo- am qle: ber G00s Vötellet Hölis PLANETARUM THEOKERIIS. 46¹ lud tempus ex cognita Telluris Theoria datur; exinde ar- cus Eclipticæ inter duo loca interceptus seu mensura anguli NT dabitur. In secunda observatione, sit Tellus in,& laneta in eodem Nodo N, unde similiter invenietur angu- lus N? S. In triangulo rectilineo TS:, dantur IS, 75,&. angu- lus TS7, ex nota Theoria Leluris, unde per Trigono- metriam inveniri possunt anguli S L&S7 I, item latus T˖, ab angulo itaque S P dato, auferatur datus angulus NVS,& dabitur angulus N7 ad angulum datum StT, addatur angulus datus N7 S,& dabitur angulus NT; unde in triangulo N7I, dantur omnes anguli, cum latere P prius invento, quare dabitur latus N di- stantia Planetæ à Terra. Denique in triangulo NI S, dan- tur Iatera NT, TS,& angulus NIS observatione cOgni- tus, exinde innotescet latus N Sdistantia Planetæ in nodo exi- stentis à Sole,& angulus TSN qui positionem Nodorumo- stendet. Nam notum est punctum Eclipticæ quod Pellus 680* le visa tempore observationis occupat,& notus est angulus TSN quare quoque innotescet punctum Eclipticæ in quo No- dus Ne Sole videtur,& punctum huic appositum erit alterius Nodi locus, unde notus erit Nodorum litus inveniendus. Hac ratione investigatis Nodorum locis; possumus inve- nire inclinationem orbis lanetarii ad Eclipticam. Scil. ex dato loco Nodi, innotescet tempus quando Tellus e Sole visa idem punctum occupat, quod fit per ejus Theoriam, codem tempore observetur Planetæ Latitudo Geocentrica, ejusque distantia à Nodo Opposito erit tunc Latitudo Pla- netæ Heliocentrica, Latitudini observatæ æqualis, cum Pla- neta à Sole visus tantundem distat à Nodo. Sit enim CD orbita Planetæ, NS½ Nodorum linea, BNT portio orbitæ Telluris, in qua sit Tellus in N, scil. in linea Nodorum, Observetur Planeta in P, eruntque Sol, Planeta,& Pellus omnes in plano orbitæ E lanetariæ. A puncto P ad Eclipti- cam demittatur normalis recta PE,& in plano Eclipticæ du- catur recta NE. Planum trianguli NPE ad Eclipticam re- dum erit,& angulus PNE erit Latitudo Planetæ observa- Mmm 3 ta; Nodo- rum pos „itiones Aeterma- nantur. Inclina- zionesor- bitarum lLetermi- nautur. Lar 39 ＋ 5.• 462 DE RELIOUORUM ta; per S ducatur S ad NP& pe ad PE parallelæ,& planum per 8 e erit ad planum NPE parallelum,& proinde ad Eclipticæ planum normale; adeoque Se com- munis sectio hujus plani cum Ecliptica erit ad NE parallela, quare ob S p, Se parallelasad NP, NE erit angulusp SeLa- titudo Heliocentrica æqualis angulo ENE Latitudini Plane- tæ ë Tellure observatæ, cum illa in Nodo invenitur. Iin 39 Sit 2 portio orbitæ Planetæ ad cælum productæ, 5 . 3. portio Eclipticæ, ½ arcus circuli Latitudinis per Planctæ locum Heliocentricum ductus. In triangulo Spherico re- ctangulo 1½½, ex datis u5 distantia Planetæ à Nodo,& %f ejus Latitudine observata; dabitur angulus nν inclina- tio orbis Planetarii ad Eclipticam. Deter⸗ Inventa semel hac inclinatione, observatione innotescet , H., locus Planetæ Heliocentricus, ejusque à Sole distantia, Hoceneri. quotiescunque ille in situ Achronico seu Soli opposito in- an venitur. Sit AB orbita Lelluris, DEE orbita Planetæ, I.Hanets sitque Planeta in P, Tellus in P,& NSα Nodorum linea, 4gue, in qua sit Sol in S. Locus Planetæ ad Eclipticam reductus 5e, Erit in linea S P, quæ per terram transit; Observetur angulus serve. PTELatitudo Planetæ Geocentrica. Sed datur angulus PSI lar in si. ejus Latitudo Heliocentrica, quia datur distantia Planetæ à 25. Nodo. Præterca per Theoriam motus Telluris, datur S I Tas 40. distantia Telluris à Sole: adeoque in triangulo PSL, ex da- 1. tis Omnibus angulis una cum latere 8S T, dabitur P S distan. I tia Planetæ à Sole, sed datur angulus PSu, ex data lati- tudline Heliocentrica, ex quo innotescet Planetæ locus He- liocentricus in propria orbita: similiter si aliæ duæ habeantur ejusdem Planetæ Observationes in situ Achronico, dabuntur Pianetæ orbita Jocantur,& Sol est in orbitæ foco alterutro; unde ut determinetur Planetæ orbita, ejusque species& po- sitio, describenda est Ellipsis, cujus focus datus est,& quæ per tria puncta transit. Quod Problema expedire do- cent Geometræ,& nos etiam in sequentibus, Problematis solutionem dabimus. Si Planeta sit extra situm Achronicum, nihilominus u— positione& magnitudine tres lineꝶ, quarum extremitates in Tudntr chitut Oduc Der Daz dpheun àNM νfUn Kimotelce dlanta, Ppostto in. 2Planetæ; NuEA, Mreduchs Rrangulus WüsPI Dhnete! dhturo T erch Poditan. dla Hti- Ocas He Wdeabtur Gbultl mtaleslI Alelutko, 65 KPo- elt, te G Dlemats bel mma pe W PLANETARUM THEORIIS. 463 vnicam observationem, ejus à Sole distantia locusque Helio- centricus inveniri potest. Sit PAE orbita Planetæ, IGH Telluris orbita, Tellus in T, Planeta in P, sitque Sol in 8, & NS Nodorum linea. Ex P demittatur ad planum Ecli- pticæ normalis PB, ducatur BE,& producatur ut cum li- nea Nodorum concurrat in N. Erit planum trianguli NPBE ad planum Eclipticæ perpendiculare, cui etiam sit rcta CI normalis, plano orbitæ Planetariæ occurrens in C. E& L in Per umi- cam oh servatio- nem de termina- tur locus Plauetæ Helio- centricus jusqhue 4 Sole di- jineam Nodorum demittatur perpendicularis recta TD,& Hansi juncta DC, erit angulus LDC inclinatio orbitæ ad Eclipti- cam, quæ itaque datur. Observetur angulus TE Latitu- do Planetæ Geocentrica, item angulus BS Elongatio Pla netæ à Sole secundum Eclipticam. In triangulo NLS, da- tur, ex Theoria Telluris, Iatus TS distantia terræ à Sole in momento observationis. Item angulus TSN, ex cognitis locis Telluris& Nodi, datur etiam angulus SILN distantia Planetæ à Sole è terra visa, vel ejus complemeritum ad duos rectos, unde dabitur NT. Et in triangulo rectangulo TSD, ex datis S& angulo ISD, seu TSN, dabitur TD. Quare in triangulo rectangulo TDC, ex datis D& angulo TDC inclinatione orbitæ ad Eclipticam, dabitur exinde PC. In triangulo rectangulo TCN, ex datis PC, IN, dabitur an- gulus TNC. Quare in triangulo NIP, dantur omnes angu- Ii, nam angulus PTN est Latitudo observata, vel ejus com- plementum ad duos rectos,& PNT modo inventus est, si- cuti latus LN, unde innotescet latus IP. In triangulo PTB rectangulo ad B, datur TP&angulus PTB Latitudo obser- vata, unde dabuntur latera TB, PB. Et in triangulo TSB, ex datis TB, TS cum angulo interjecto BTS dabitur SB, (quæ distantia Planetæ à Sole curtata dicitur) cum angulo TSB. Adeoque locus Heliocentricus Planetæ ad Eclipticam reductus. Denique in triangulo PBS dantur latera PB, BS, ex quibus dabitur S distantia Planetæ à Sole,& angulus PSB Latitudo Planetæ Heliocentrica. Data autem inelina- tione orbitæ,& Latitudine Planetæ Heliocentrica, dabitur ejus distantia à Nodo in propria orbita, adeoque ejus locus centricus è Sole visus. 8 exera si- tum A- chroni- cum. TAB 40. V· 2. 464 D E R E LIOUORUM Si hac ratione acquirantur alii duo Planetæ loci Helio- centrici eorumque à Sole distantiæ, habebitur focus scil. cen- trum Solis,& tria puncta data erunt per quæ describenda erit Ellipsis, quæ erit orbita Planetæ. Aliam νcgitaxit methodum Cl. Halleius, qua Planetæ loca centrica, ejusque à Sole distantiæ inveniri possunt, quæ supponit tantum cognitum esse Planetæ tempus periodicum Nempe sit KI.B orbita Telluris, S Sol, P Planeta, seu po- tius punctum ubi perpendicularis à Planeta in planum Ecli- Ppticœæ incidit. Et primo Pellure in K existente, observetur Cqus Longitudo Geocentrica,& ex data Pheoria Telluris da- hitur Longitudo Apparens Solis, quare dabitur angulus PES. Planeta post integram absolutam periodum, rursus ad P re- dibit, quo tempore, Tellus sit in L,& exinde rursus obser- vetur Planeta,& inveniatur angulus PLS Elongatio Pla- netæ à Sole. EXx datis momentis observationum, dantur loca Telluris in Ecliptica è Sole visa, ejusque à Sole di- stantixæ, quare in triangulo LSK, dantur LS, SE,& an- gulus LSK, quare invenientur anguli SLE& SEL.& latus K. Quare si ab angulis datis PES& PILO, auferantur an- guli noti LKS& KLS, restabunt anguli PRL& PLEK noti; Quarè in triangulo PLE ex datis angulis, uno cum latere&I., innotescet PE. Deinde in triangulo PKS, dantur latera PK, EKS cum angulo interjecto PKS, quare dabitur SP distantia Planetæ à Sole curtata,& angulus KSP, ex quo innotescet locus Planetæ Heliocentricus, ejusque à Nodo distantia se- cundum Eclipticam. Est autem Tangens Latitudinis Pla- netæ Geocentricæ, ad Tangentem Latitudinis Heliocentri- cœ, ut distantia Planetæ à Sole curtata, ad distantiam ejus- dem à Tellure curtatam, sed per observationem, datur La- tuαo Planetæ Geocentrica; quare dabitur Planetæ Helio- Centrica Latitudo, ex qua& distantia à Sole curtata, elicie- tur Planetæ à Sole vera distantia desiderata. Si hac ratione acquirantur tria loca centrica Planetæ, tresque corresponden- tes ejus à Sole distantiæ, forma orbitæ& Apsidum positio habebitur; describendo Ellipsim cujus focus est Sol quæ transit per tria puncta data. Ellipsis autem illa sequenti me- thodo determinatur. Sint PLANETARUM THEORIISX. 465 n Sint SD, 8C, Shtres rectæ datæ, in datis positionibus à d Aaien; oco 8, ducantur D C, BC,& producantur, ut sit DRad gaegr Fün CF, ut DSadC 8. Item CE ad BE, ut Cc ad S, ducatur FE, socus da. gbe; in quam ex S cadat Perpenqièmaris SG; bhæc recta dablt W inmin Axis positionem. Dusantur DK, OI BH 40 S6 parahe aars ui- i, lIe,& secetur S Gin A,&⸗ producatur, ut sit& A ad SA, punda Derodi ut KD ad SD,& ita 62 ⁴d 84, Hatque 54 r as 30 a,fen. puncta A a vertices Ellipseos, cujus toci sunt S&α&sig. 7 ö anumk Axis major A0. Et si his Verticibus& focis describatur ö Obe Ellipsis, erit ca cjusdem forinæ cum orbita quæsita. Nam Telnir quoniam est D S 40 CS DE HOE, N DEKadCI; Mulsd Erit permutando DSad DR, ut CS 20 I,& sumiliter erit Healpr SBad BH, ut CS ad CI,& ut D ad E, sednt 5 Iasobler ad DE, ita est per Constructionem 8A ad G A. Et quo- 210 Ll. niam est S A: AG: S „ Cantur seu S:G seu A. Adeoque erit SD: DORE: 8C: 0 e dl. CI:: S8B: BH:: At, Led hæc est proprietas Ellipseos .GM. cujus focus cest 8,& Axis major A utl à Scriptoribus Co- LCI nicis demonstratur,& speciatim à Aiilnio in Elementis Co- üran nicis, Part. IV. Prop 9. vnde liquet Ellipsun 1004158., IKWii;& Axe Aa descriptam transire per puncta BCD. Aere RI- Quoniam in Astronomua, calculus constructione quavis, utcunque concmmna, utilior est; Ellipscos forma& positio Hterd PR ö t sic calculo invenitur, In triangulis D5 C, 58C, eX datis meleet lateribus D 8., n&angulis 1 8 C/ CSB, innotescent Ita L. latera 14½ Capguli S C. S 15, SSe ins Dl. quoniam datur ratio DFad CF,& datur D C, dabuntur Icclt quoque CF,& E; amiliter quoniam datur ratio CE ad BE,&datur CB, dabuntur CE& BE sed datur angulus . B CDæqualis duobus notis D S&BCS, quare dabitur hu- zus complementum ad dus Tectos, scil. angulus FCE. In 2—5— triangulo igitur E CE, dantur latera CF, CE,& angulus „alce. interjectus ECE,; quare invenietur angulus CEE, ejusque al complementum ad eSum, qui est angulus ICE, cui ac. nder datur notus angulus SCB,&Qabitur totus an gulus 5 CI. Et 3pf0 quoniam A et ad IC parallela; erit angulus C S4⁴dualis 50 Clangulo, unde ex noto angulo CSadabitur Axcos positio. Hell lns, Nnn In n Tabalæ D0 ＋ medii uomodl constru- EHun. 466 D E RE LIQVUORUNM In triangulo rectangulo EBH, ex datis BE& angulo E in- venietur BH,& unde ratio BSad BH, quæ est ratio Sr ad Aa,&SA ad AG,& S ad ꝗ G, quarè dabuntur puncta Aãa vertices Ellipseos& foci S&c. Quæ erant invenienda. Superius ostensum est, qua ratione Iocus Planetæ centri- cus per observationem inveniri possit, Iocum autem situm- que Aphelii nunc invenire docuimus, ex quo dabitur di— stantia Planetæ ab Aphelio, tempore observationis, hæee distantia Anomalia Planetæ vera seu coæquata dicitur: de- terminatis autem orbitæ Excentricitate& tempore Periodi- cCO, locum Planetæ medium seu Anomaliam ejus mediam investigare docuimus in Lectione De Folutione Prohlematis Keplert;& exinde ad tempus observationis datum dabitur Planctæ motus medius, locusque, quem in propria orbita is teneret, si ꝗquabili semper motu angulari incederet, quo semel dato, dabitur planetæ locus medius, pro alio quovis temporis momento. Fiat enim ut tempus Periodicum ad tempus inter observationem& momentum pro quo quæri- tur locus Planetæ medius; ita integer circulus seu grad. 360. ad quartum, hic arcus si tempus præcesserit observa- tionem, ablatus à loco prius invento, vel eidem additus, si posterius fucrit, dabit Iocum Planetæ medium ad tempus propositum. Ut facilius obtineatur locus Planetæ medius, ad quodli- bet temporis momentum, convenit ejus motum ex tabulis Astronomicis eruere, in quibus habetur locus Planetæ me- dius, seu Anomalia media, in initio celebris alicujus Eræ, qualis est Æra Nativitatis CHhristi Domini, Nabonassori, Muudi Conditi, UVrbis Conditæ, aut Periodi Juliane; Qui locus pro his Temporum momentis datur, per methodum supra explicatam,& pro meridie Temporis æquabilis, non apparentis habendus est; locus talis Epocha seu Radix dici- tur, à qua tanquam immobili principio motus omnes con- surgunt. Si tempus per Annos à Nativitate Domini, aut ab initio Periodi Julianæ clapsos numeretur, præstat ut Annus ini- tium capiat à Meridie quæ primam diem Januari præcedit, ͤ 1 N. TAB PLANETARUMTHEORIIS. 467 ta ut in Meridie primæ diei Januarii, completa sit prima Anni dies. Fiat ut Tempus Periodicum ad Annum com- munem 365 dierum; ita circulus ad quartum, dabitur Pla- net motus medius in uno Anno,& similiter, flat ut Pem- pus Periodicum ad diem ita circulus integer ad quartum, & dabitur motus medius diurnus; similiterque Operando, dabitur motus Horarius, motusque pro singulis scrupulis primis, secundis,&c. Si motus annuus continuo ad se ipsum addatur, dabitur motus duorum, trium,& quatuor Annorum, sed cum quartus quilibet Annus sit Bissextilis Constans dierum 366, ad motum quarti Anm addendus est motus unius diei. Deinde continuo addendo motum unius Anni, habebimus motum 5, 6,& 7, Anmnerum; sed motus Octavi Anni augendus est motu unius dici vel potius mo- tus quatuor Annorum duplicandus est, est enim Bissextilis. Ex hisce motibus sic collectis, semper rejiciendi sunt integri circuli, nam post circulum peractum, Planeta semper ad cundem locum redit. Hac ratione habentur Planetæ cujussibet motus medii, pro Annis singulis, usque ad 20. Deinde si motus Armo- rum 20 continuo ad se addantur, dabuntur motus in Annis 40, 60, 80, 100, quibus singulis addendo motum decem Annorum dabuntur motus pro Annis 30, 50, 70, 9 100. Et Continua additione motus 100. Annorum rejectis semper integris circulis; dabuntur motus Annorum 200, 300, 400, 500,&c. usque ad 1000. Et similiter progrediendo, obti- nentur motus pro Annis 2000, 3000, 400⁰0, 5000,&c. Atque ita quo usque libuerit progredi liceat. Motus sic collecti in Tabulis sunt reducendi, quæ Tabu- Ie motus medii dicuntur, seu Anomaliæ mediæ, si Ab A- phelio numerentur motus;& pro singulis Planetis in tabu- lis Astronomicis prostant. Verum notandum est, si motus medius sit ab æquinoctio numerandus, loco Temporis Pe- riodici capiendum erit Lempus quo Planeta Zodiacum per- currit, quod Tempore Periodico aliquanto minus est, ob motum quinoctiorum interea in antecedentia factum. Si Planetarum Aphelia moveri supponatur, hujus quoque Nnn 2 mo- Arga- meulumn Latiu- Viuig. 46³ DE RE I. 10 UORUM motus ratio habenda est. Et motus Præcessionis Æquino- ctiorum motusque Apheliorum,(qui quantum constat præ- terquam in Luna sunt omnes æquabiles) pro singulis An- nis; Annorum Decadibus, centenariis,& millenariis sunt similiter computandi,& in Tabulis disponendi, ut pro dato tempore habeantur distantiæ fixarum& Apheliorum ab Qquinoctio. 2 His adjungunt Astronomi alias quoque pro singulis Ano- maliæ mediæ gradibus Tabulas, quibus Anomaliæ veræ correspondentes habentur,& computari possunt per me- thodum à nobis traditam in Lectione de solutione Proble- matis Kepleri, si minuta& scrupula secunda adjiciantur me- dis motibus, capienda est differentia inter Anomalias ve- ras uno gradu à se invicem distantes,& elicienda est pars proportionalis addenda Anomaliæ Tabulari proxime minori, aut ab ea subtrahenda. Pro Solis Lunæque motibus vulgo computantur Prostha- phereses seu Æquationes, quæ sunt differentiæ inter Ano- maliam veram& mediam Hæ ab Anomalia media vel sub- latæ, vel eidem additæ, prout Flaneta fuerit in primo vVel secundo Anomaliæ semicirculo, dant Anomaliam veram. Ex notis Aphelii, Nodique locis, dabitur corum distan- tia, adeoque ex data Planetæ Anomalia vera, dabitur ejus distantia à NOdo, quæ Argumentum VLatitudinir dicitur. per quod& calculum Trigonometricum, facile innote- scit Planetæ Latitudo centrica, ejusque distantia à Sole curtata, quæ est distantia inter Solem& rectam à Plancta ad planum Eclipticæ perpendiculariter demissam. Atque hac ratione locus Planetæ centricus, Latitudo,& à Sole distantia calculo inveniuntur. Quibus investigatis possumus locum Planete Geocentricum seu ëe Tellure visum hac ra- tione éequirere. 0 Inveniendus est primo, locus Telluris in Eeliptica& So- ＋** e visus, ejusque à Sole distantia; item locus Planeta He- ltocentricus, Latitudo,& distantia curtata. Sit I H or- bita Telluris„ in qua sit Tellus in P, AFE orbita Elane- 4% Cujus locus iit,& S Sol, SNNοαοτum Iunea. EX Pia. ö 005 Tarth Neon N Oiib h. llerarg aif dl. u „x Mhelang Inguls malte f sunt per Hione bue Hcantume nomalas ve Duse pat emon, WProstha Wer Au. davel lib⸗ àn Rin Hameam. rum dltn Abitur es 14. Gacitui. Mhote- 4 4 H0 ILlaheta „ x Hoe osunns 1 Il ˙D 0. I He ICH0r 1 F n E 2 PLANETARUM THEORIIS. 40% planetee loco demittatur ad Planum Eclipticæ normalis re- Ca PB, ducta 8& producta occurret Eclipticæ in loco Planetæ ad Eclipticam reducto, qui locus, e dato arcu PN,& inclinatione planorum orbitæ& Eclipticæ datur. Sed datur locus Telluris e Sole visus, adeoque dabitur differentia locorum Terræ& Planetæ, seu angulas LS B qui Commutatio dicitur. Deinde in triangulo TSB, datur TS ex Theoria motus Telluris,& SB distantia Planetæ 3 Sole curtata, quare dabitur angulus S LB Elon atio Plane- tee à Sole, seu arcus Eclipticæ inter locum Solts& Plane- tæ locum interceptus, 8 TB distantia Planetæ 3 Tellure Curtata. At datur Solis Iocus, oppositus est enim loco Ter- re& Sole viso; quare dabitur locus Planetæ in Ecliptica è Tellure visus- Eræterca in duobus triangulis rectangulis PSB. PTB, est Tangens anguli PSE ad Iangentem angu- IPTB, ut TB ad 85, sed ut TB ad 5B, ita sinus LS B anguli Commutationis ad sinum anguli Elongationis S TP. Quare erit ut sinus anguli Commutationis ad sinum anguli Elongationis, ita Tangens Latitudinis Heliocentricæ, ad 2* angentem Latitudinis Geocentricæ. Q. E. I. Sic hac ra- tionè invenire possunt Astronomi ad quodlibet datum Tem- Oris momentum Locum Planetæ Geocentricum„ejusque atitudinem è Tellure Visam. Comparando Klanetarum periodos cum ipsorum a Sole — gistantiis mirabilem videmus cos ubique observare Harmo- niæ legem, scil. OaArAιἀì Temorum Periodicorum sant in omuibur, Propor- ihnalia Cubis distant iarum modliarum“ Oole. sunt enim Periodi& distantiæ mediæ illeæ quas exhibet amexa Tabula. Pcriodi ö Distantiæ mediæ. 13. K. 5 10759 6 36: 26 95³38⁰⁰ 4332: 12: 20 25 520110 G 086:23. 2730 15²2369 3685 39 9. 1000⁰0⁰ 224: 16: 49: 24 7373 — 871.25 15. 35 3880˙ Pla- 47⁰ D E RELICUVORVU V Planetarum Diametros veras,& magnitudines, eos cum Sole comparando, optime determinavit illustris Mathema- ticus Hagenius, in Systemate suo Saturnino; idque metho- do sequenti. Docuit nos novo suo& Divinitus invento Systemate Co- Lren W quamnam inter se proportionem servant, fineu- orum à Sole Planetarum distantiæ. Apparentes vero C0. rundem diametri, quanto aliæ aliis majores sunt, Telesco- pii Ope innotescit, collatis ergo invicem rationibus utrit⸗- que, tum distantiæ, tum magiitudinis apparentis, vera in- de Flanetarum ad se mutuo nec non ad Solem magnitudo cognoscitur, per principia in Lectione prima à nobis ex- plicata. Et ad Saturnum quod attinet primum, Annuli ejus die- meter, quum in minima à nobis distantia, comprehenda- tur angulo 68 scrupulorum secundorum, talis enim ad sum- mum reperitur, cumque minima hæc Saturni distantia sit ad mediocrem Solis distantiam fere octupla, sequitur, si tam propinquus nobis fieret Saturnus quam Sol in distan- tia mediocri, apparituram tunc Annuli diametrum octu- Plam cjus quæ nunc apparet, hoc est 9: 4. Solis autem diameter in media distantia est 30: 30%5 ergO revera, ea erit proportio diametri Annuli Saturni ad diametrum Solis I 9: 4, ad 30.: 303 uoc est, lere qus 11 a 37, Diameter vero Saturni ipsius, ad Annuli diamèetrum se Ha- bet ut 4 ad 9, hoc est, fere ut 5 ad 11, adeoque ad dia- metrum Solis ut 5 ad 37. Jovis diameter cum proxime nobis adest, 64 scrupula secunda comprehendere videtur, cumque bhæc ejus distantia sit ad mediam Solis distantiam ut 26 ad 5. Si fiat ut 5 ad 26, ita 64 ad aliud, invenientur 5: 35 amplitudo angu- li quem obtineret Jovis diameter, si tam propinquus nobis fieri intelligatur, atque Sol in distantia mediocri. Sol au- tem hic apparet diametro 30: 300. Ergo Jovialis diametri ad Solarem proportio erit, quæ 5“: 355, ad 30 307 hoc est, paulo major quam 1 ad 51. ö ö Venus cum Terris proxima est, non majorem subtendit 1 — ＋ 4‚ ＋ 7*4 A—5———.—— 42 U5„ V. maDn Albhser Dult e de Hachende. ad Ium- Hantia st Wur, f Ain dn Hrum Ol⸗ Hlatm Rla el etuum HOs II 41 5/ Im I Ha. Eead da- Lrapah Seilanta u 30 M 15 Lobis 60 ⁰. Garettt p⁰e cch Auhtendh W PLANETARUM THEORIIS. 47¹² angulum quam 85 scrupulorum secundorum. Est autem dltantia hæc Veneris Perigea, ad mediam Solis à Lellure distantiam circiter ut 21 ad 82. Ergo si apud Solem Venus consisteret, appareret ejus diameter duntaxat 21“: 46“5 unde constat ita esse diametrum Veneris ad Solarem ut 217: 46,, ad 3004½5„ hoc est, ut 1 ad 84. At Martis diameter Terris proximi non excedere 30% de- prehenditur. Unde cum distantia Martis minima sit ad me- diocrem Solis, ut 15 ad 41, colligitur ratio diametri Mar- tis ad diametrum Solis, ea en est circiter 1 ad 166, unde Mars duplo minor Venere secundum diametrum, hac ra- tione efficitur. Præterea ex observationibus Hevelii constat, Mercurii diametrum ad Solis diametrum comparatam, se habere ut 1 ad 290. FTerræ magnitudinem ad Solem comparatam diversi au- gores diverfam ponunt; qui parallaxim Solis Horizonta- lem quindecim secundorum fingunt, Solem à Terra 13750 semidiametris distare volunt, quo posito diameter Solis erit ad diametrum Terræ ut 30“: 30 ad 3005 hoc est, ut 61 ad 1. Sed est argumentum probabile, quod hanc proportio- nem paulo majorem facit; nempe quoniam Lunæ diameter paulo major est quam quarta pars diametri Terræ: si paral- laxis Solis ponatur quindecim secundorum, fièret Lunæ corpus corpore Mercurii majus; Planeta scil. secundarius primario major, quod concinnati Systematis Mundani con- trariari videtur. bonatur itaque Terræ semidiameter èë So- le vila, seu quod idem est, Solis parallaxim Horizontalem 10 secundorum; unde Luna minor erit Mercurio, ac prove- nit Solis à Terra distantia plus quam 20000 semidiametris Terræ;& Solis diameter erit 91: vicibus major Telluris diametro; cui proportioni convenit in præsentiarum, assen- sum præbere, usquedum per observationem Veneris in So- lis disco visæ, quod Anno 1761. continget, de eadem cer- tiores simus facti. Est itaque diameter Solis ad Planetarum diametros, in ratione quæ sequenti Tabella exprimitur. Dia⸗ el¹ uns / 72e 7 47² DE-RELIOUORUMPLAN. THEORIISĩ. Saturni 257 ö JOVS 181 Diameter Solis est ad] Martis 6 diametrum, v Terræ ut 10⁰0⁰0 ad 01 2 Weneris 12 Mercurii 4 Adeoque cum Sphæræ sint ut Cubi à diametris Saturnum 257¹353 r 59974¹ Ut I000000000 21 erit Martem Sohad Tellurem 4d 343 Venerem 447½ Mercurium* 6⁴ Hinc sequitur, Solem omnes Planetas simul sumptos, plusquam centies& sedecies magnitudipę superare Satur- nus autem quadringentis vicibus est Sole minor. At quan- titate materiæ bis mille& quadringenis vicibus ei cedit. Jupiter Planetarum maximus plus 160 Vicibus Sole minor lk, at quantitate materiæ, es artem millesimam trigesi- 7— ö 7 ů 7½½ mam tertiam non adæquat; at Ierra nostra si cum Sole comparetur, minima res est,& puncti fere instar; nam tre- Centis millenis vicibus est illo minor. Præterea comparan- ꝗo Planetas inter se; e& his rationibus constat„Jovem reli- quis Planetis omnibus sinuil sumptis majorem existere. Ter- ram autem nostram plusquam 2000 vicibus superare, sed & Stella Veneris quimquies nostra Lellure major est. Sunt tamen duo ex sex Planetis, Mars scil.& Mercurius, quos Tellus magnitudine superat. ö LiECT1I10 VII. De Planetarum Stationibus. II Tellus quiesceret, in eo orbitæ suæ puncto nobis sta- re appareret Planeta inferior sei Soli Propior, ubi recta e Tellure ad Planetam ducta, ejus orbitam tangit. Nam cum Planeta circa iMud punctum versatur, si Perra quiesce- ret, recta ad illam accederet, gusque motus vilihilis 2255 nul- 0 H—— 655 35* Haptos, Hr At guan- dcec. Oe t an igel. O „unmue. Oomgalel⸗ Hyem Rl. E Ler⸗ —, ll. Hult s b. Rret Nam chee Hlbelet l DE PIANETARUV STATIONEBUS. 4s nullus, vel certè omnium minimus. Similiter si Planeta superior, vel à Sole remotior uvie quiesceret, is ë Tel- lure in orbita sua delata spectatus stare videretur, ubi recta E Planetà ad Terram ducta Telluris orbitam tangit at quia tam Terra quam Flanetæ Continuo circa Solem moventur, in quando Plancta inferior in recta tangente ejus Orbitam vi- non sia- detur, tunc etiam motus Perræ interea factus locum ejus vi sibilem mutabit, adeoque nondum stare videbitur Elaneta, on sicuti Ob similem causam, quando Terra in angente orbitæ in ree, suæ per Planetam superiorem transeunte reperitur, seu dum 451ασ ercurrit arcum exiguum qui cum tangemte illa ferè coin- vangit. Cidit, Motus tamen superioris planetæ interea factus, ejus Negae locum visum mutabit. Adeoque neque planeta inferior vi- e, detur stationarius, quando conspicitur in recta quæ tangit 10050 ejus orbitam. Neque superior stare videtur, cum est in paree, recta quæ tangit orbitam TPerræ,& per Terram quoque 5πì. transit. 23n 5 At cum Planetæ omnes nunc drectè incedere, nunc re- 4%½. trogredi videntur; necesse est ut inter motun progressus& se regressus, quilibet Planeta fiat Stationarius,& cundem e. cœlo locum per aliquod tempus(licet illud sit exiguum) conservare videatur; eundem autem locum in cælo Vvisibi- sem obtinet, quando linea Planetæ atque Terræ centra con- Quande nectens ad idem cœli punctum continuo diri itur; at recta eret ila ad idem cœli punctum dirigitur, 08 sibi parallela ar. manet. Nam rectæ è quibusvis orbitæ Telluris punctis si- bi parallelee ductæ, ad candem in cælo stellam diriguntur: istarum enim lincarum distantia respecu distantiæ stellarum evanescit. Ut itaque inveniantur Stationum puncta, inquirendum erit, ubi linea in quâ videtur Elaneta, e Terrà, sibi paral- lela manet. Quod ut fiat, notandum est, si centra Solis, Planetæ,& Terræ rectis conjungantur, formari triangu- lum, cujus duo crura sunt ubique æqualia distantiis Plane- tæ& Terræ à Sole, Basis autem est recta quæ Planetæ at- que Terrœ centra Oonnectit: cumque crura hujus Trianguli m Orbitis circularibus concentricis cãdem semper magnitu- 0⁰⁰ dine 4⁵4 D EPLANETARUV dine maneant, erit ratio sinuum angulorum ad baim s- emper eadem; sunt enim sinus ut latera angulis Opposita. Uti ex Trigonometria constat. IA.4½. Sit circulus B D G orbita Planetæ, cujus centrum5 tenet I. 1. Sol; atque huic concentricus AHK sit Terræ Orbita. Sit⸗ que primo Tellus in& Planeta in orbitæ suæ puncto B. In Triangulo A55, sinus angulorum A& Bad basim AB sunt ut latera opposita SB S A. Ponamus deinde, tempore empore quovis exiguo, moveri Terram in orbità, per arcum exi- —— guum AC/& Planetam interea per arcum D in sua orbita mutaui. deferri: Planetæ& Telluris motus angulares ad Solem eo- 24½%% dem tempore facti erunt reciprocè, ut empora eorum Pe- 7½½½ riodica; nam quo majus est tempus Periodicum eó minor lerem& Peripheriæ portio in dato tempore percurritur. Est itaque 7 angulus A8 C motus angularis Telluris ad angulum B5 0 recspro. motum angularem Planctæ, ut Tempus periodicum lane- *6 eo- tœ, ad tempus Periodicum Telluris, hoc est in data sem- Der ratione. Tempora Bernu. Telluris centrum in C atque Planctæ in D rectã conjun- 60. Hare enr quæ sit ad A B parallela;& in eo casu, uti osten- um est, Planeta stationarius apparet. Recta SA secet(D in M, S D vero producta secet AB in E. Et ob Parallelas ABCD, erit per 29. E. primi angulus SMD æqualis angu- 10 A. Sed per 32. El. primi, est angulus SM Dæqualis an- gulis C& MS C simul; quare erit angulus C æqualis an- gulo A dempto angulo MSC seu CSA. Similiter ob Pã- rallelas AB CO, est angulus SDC, æqualis angulo SEA qui per 32 El. prmi æqualis erit angulis SB BSE, quare angulus 80C æqualis erit S B A& BSE simul sumptis; est itaque incrementum momentaneum anguli 8 BA, æquale motui angulari lanetæ ad olem interea facto. Ced prius ostensum fuit, decrementum anguli A, æquale esse angulo ASC, seu motui angulari Terræœ ad Solem. At hi motus angulares sunt in datà ratione, reciprocè scil. ut Tempora Periodica. Planeta itaque stationarius è Terrã videtur, cum muta- uο momentanea anguli ad Hellurem, est ad mutationem mo- men- fuaohn HScEme eorumbe. Neo mihr E iaque Ium 550 um Hane- d em ci chh „Ualkn Het s Halangt ualban- uals al. 00 b* sbL „0 tsõ 0 „Il Upus l0 wotus e0a Wl Mita⸗ nEMn 0 Dlb STATIONIBVUS. 475 mentaneam anguli ad Planetam, ut Tempus Periodicum Planetæ ad Tempus periodicum Pelluris. Sint duo arcus vel 3„quorum sinus in eàãdem sem- πε⁹. per maneant ratione. Dico eorum cosinus scu sinus com- a E. plementorum ad quadrantem esse in ratione composità ex nuum directà ratione sinuum eorundem arcuum,& reciprocã ra-. tione mutationum momentanearum arcuum vel angulorum, sint V. gr. duo Arcus AM CM, quorum sinus A3B CD/ sune & cosinus sunt S8 SD,& decrescant arcus AM CM m arcus EMGM tales ut arcuum sinus EK GL sint prioribus 44.. AB CD proportionales. Eruntque decrementa sinuum AE ννν&, (H usdem quoque sinubus proportionalia. Sunt AE S. arcuum decrementa momentanea,& arcus li cum sint in- nam mo- definitè exigui pro rectis haberi possunt; ductis RE. FEI nearum ad SNM parallelis, Lriangula AEE ASE erunt æquiangula; an. nam angulus B& AFE sunt recti,& angulus EAF æqualis æem. angulo ASB, nam est angulus SAB utriusque complemen- tum ad rectum. Similiter ostendetur, Triangula CH CS0D ＋. esie æquiangula. Quare Ob similia Triangula. Et CG: CH: CO: Item AF: AE:: 55: A8 vel CS Quarè ductis Antecedentibus in Antecedentes,& Conse- quentibus in Consequentes, erit AE- CG:(HÆAEn SB CS. SD*CS:: SB: SD. Hoc est erit SBad SD in ratione com- positã ex ratione AFad CH,& ratione CGsad AE, sed ra- tio AF ad CH eadem est cum ratione sinuum AB CD. Et Ratio CG ad AE, est ratio decrementorum arcuum AM CcCM in tempore minimo factorum. Est itaque SE cosinus Arcus AM, ad SD cosinum arcùs CM, in ratione composità ex ratio- ne simum corundem arcuum scil. AB CD& ex reciprocâ rationè decrementorum arcuum, scil. ex ratione CGad AE. Einc si Solis, Planetæ stationarii, atque Telluris centra ie ad rectis jungantur, erit cosimus anguli A existentis ad Tellurem Planecas ad COνnum anguli Bad Planetam, in ratione compositã si- d nuum angulorum A& B,& ratione reciprocã decremento- ππie rum angulorum A& B. Sed Ratio sinuum, est ratio di- Tan 41 Qantiarum Planetæ& Telluris à Sole, scil. SB SA,& ra-& 1. 0⁰⁰0 2 tio statio- 476 5 E I. A NET ARUN tio decrementorum angulorum A& B, est ratio temporum Periodicorum Planetæ& VTelluris, quæ dicantur& T Est itaque cosinus anguli A ad cosinum anguli B, cum Pla- neta stationarius e Tellure videtur, ut T&SB ad 7 ＋SA Hoc est cosinus anguli ad Pellurem est ad cosinum anguli ad Planetam in ratione compositã ex directã ratione Tem.- porum Periodicorum Pelluris& Planetæ,& reciprocã ra- tione distantiarum à Sole. g,. Hinœ stationum Puncta sequentis constructionis Opꝰ facil- determi- limè habentur. zalnen Sit AH Portio orbitæ Telluris, GBE portio orbitæ Pla- aun. etæ, quarum centrum commune S. Secetur SA in E, ut Tau SA sit ad SE, ut Tempus Periodicum Telluris ad Tempus .. periodicum Planetæ. Super Diametro AE describatur se- micirculus ABE secans orbitam Planetæ in B. Erit B statio- nis punctum. Et erit angulus SAB Elongatio Planetæ à So- le, quando is stationarius e Terrà videtur. Ducantur ABFEB, & huic parallela SF; angulus ABE in semicirculo est rectus, quare huic æqualis AFS erit etiam rectus. Est præterca AS: AF:: Radius: cosinum ang: A. Item BF: SB:: cosinus anguli SBP ad Radium; unde ductis An- tecedentibus in Antecedentes;& Consequentibus in conse- quentes, crit ASνBF: AEHSB:: cosinus SBF: cosinum anguli A. Ratio itaque cosinus anguli A, ad cosinum an- guli S6ρ componitur ex ratione AF ad BF,& SB ad AS, sed ratio AF ad BF æqualis est rationi AS ad SE seu ratio- ni Tad 7. Est itaque Ratio cosinus anguli A ad cosinum anguli SBF æqualis rationi Iα85 ad 7κ8A. Sed osten- 644 sum fuit, quando cosmus angulorum A& B hanc rationem PInet: Obtinent, Planetam stationarium videri: quare liquet Pun- rellure Ctum B esse locum Planetæ, cum is stationarius apparet. Fos. Hinc patet, quando Planeta inferior stationarius e Fellu- rtus vi- 4eur e videtur, Tellurem quoque ex inferiore Planeta spectatam 9 etiam stationariam videri, locumque inter fixas non muta⸗- ehenr, re; nam ellus stationaria videtur, cum linea ejus centrum Hationa.& Planetæ centrum connectens parallela sibi manet,& quam Hba. diu illa parallela sibi manet, adidem cœli punctum** . La⸗ Lihan Sopel Orbitrhl An Eat 0 Lempis Ibatr fe. H saatio. Ktr4H0- AbPEh, Ie XEn Cults Al- SNOM * CoHhum 2 hum al- 5⁴¹ι⁸ - oHnum Gotten⸗ Wönem Uet Iul⸗ Hlt ö Lella- (atamd aUα trum „Lquan ngetdt. d. S TATIONIBUS. 477 Eadem prorsus ratione inveniuntur positiones Planetarum superiorum, respectu Terræ& Solis, quando illi e Tel⸗ lure conspecti stationarii Lidentur. Scil. inquirendo, ubi⸗ Tellus tanquam Flaneta inferior spectata ex ipsis stationa- ria videretur. Si Tempora Periodica Orent distantiis à Sole proportio- 0 Ahista⸗- nalia, coincidęerent puncta E& A cum puncto G,& in neta stationarius videretur, cum angulus A esset nullus; i oppo- hoc est quando Planeta in conjunctione cum S ole videtur, be si verò S E ad S A majorem rationem obtineret, quam 5 fudko- ad S A, hoc est si S E major foret quam 8 G/ circulus A B E ne cum planetæ orbitam nusquam secaret, adeoque Planeta nun-—— quam fieret stationarius, seu semper directus videretur in- 64. cedere. ubi nulla At neuter horum ca ö illis enim est semper 8 E minor quam 56, quod sic ostendo. 999 Distantia Telluris à Sole S A dicatur 7. Distantia Pla- E netæ S G vel S B sit J. Tempora periodica vocentur I7,& in ↄuam ae- Planetis per universalem regulam, superius in Lectione quar- e, tà explicatam. Est T. 7*::%3 unde T: 7:: ,;— euutt: 71:: V 74½½. Sedeut T ad F ita est S A ad SE; hoc est α:• SA vel— cui itaque æ- qualis est S E. Et quoniam est? major quam 7, erit ι ö 4 74 major quam 7, 4 proinde major quam seu SsB 52 vels 6 major quam 5E, adeoque circulus super diametro A E Planetæ orbitam secabit. Terricola igitur Planetas o- mnes, in datis quibusdam positionibus, stationarios vi- debit. Si calculo uti placeat, angulus ad Tellurem, seu Elon- Lavefi- gatio Planetæ aà Sole, quando is stationarius apparet, sic Latio sta- rionum myestigatur. Posito radio„, sit smus anguli ad Tellurem per co 9 v, eritque sinus anguli ad Planctam&. ponendo ad ꝗ caluvσ sse rationem sinuum seu distantiarum à Sole, cumque sinus anguli ad Tellurem sit 7*, ejus cosinus erit V& 000 3 co· uum in Planetis locum obtinet: in V⁴rene Alia Proble · matis fa cilior Con- Aructio. Ta 41. R. 3. 478 D E PLANETARUM cosinus anguli ad Planetam erit Vr νν ac proinde erit *: ZNT9 E Et quadrando terminos, =2 e en z 65 quare loco F ponendo quantitates hisce proportionales, erit I V. V: ad, hoc est ut ad, un- de erit SVr:& r, VIHr. & vν½ v sinus anguli ad Tellurem ½ α ν ＋7 4¹0 Quadratum cosinùus arcùs cujusvis, est æquale quadrato radii, dempto quadrato sinũs. Erit itaque quadratum co- smus Anguli Elongationis Elanetæ à Sole tempore stationis 75.. equale— Adeoque cosinus erit , h — Sed ut cosimus ad sinum, i ＋ 33———— ed d smum, ita est Radius 3... IT ⁵r Tangentem. Fiat itaque ά-— 2——.— ad Tang 4 IPIEE αα 77 VPFEPV hic terminus erit tangens anguli ad Tellurem. Ex hac A- nalogia calculus facillimè deducitur. Nam si semisumma Logarithmorum/& ½ subtrahatur à Logarithmo ipsius 4 FPabebitur Logarithmus Tangentis Anguli ad Hellurem. Ex eadem etiam elicitur facilis constructio quæ sequitur. Sit HA Qportio orbitæ Planetæ superioris, GB O orbita planetæ inferioris, S centrum orbitarum; producatur A 8, ut occurrat orbitæ inferiori in D; super diametro A D, de- scribatur semicirculus ACD. ExX centro S ad A D erigatur normalis 8 C, semicirculo occurrens in C& jungatur AC, in quà capiatur A Fæqualis S D,& ex F in AS demittatur perpendicularis FE: in 8 C capiatur 8I æequalis AE, jun- ctis AL, erit angulus SAL angulus quæsitus,& 5 punctum hoc est ＋ ad 7, ita radius v ad quartum uadratum u Doe Hauonz e cosimset N et NWuls amuumma mopplus Ieburem. euur. IOobbtz ar 48, , d erngatut AC/ eittatur VE, ö u. ctumn 59 5 STATIONIBVUS. 470 stationis; nam est quadratum ex SCæquale rectangulo AS in SD, æquale 4, unde quadratum ex A æquale qua- dratis ex AS S erit æquale α sed est AC ad AP, ut AS ad AE ut AS ad SL/ ut Radius ad Tangentem an- ——ß— guli SAL hoc est V ad ꝙ ut Radius ad Tangentem anguli Ouæsiti SAL, qui erat inveniendus. Hæœc sufficerent ad determinandum stationum Puncta, si Superior Orbitæ Planetarum essent circuli concentrici; verum cum casculat sint Excentricæ,& Ellipses, anguli tam ad Solem quam——5 ad Planetas stationum tempore Varii erunt,& mutabiles, ά pro Variis locis, quos Planctæ in orbitis propriis, stationum 21 α tempore tenent. Cum itaque in hoc casu pro infinitis Teb E/ spii- suris& Planetarum diversis positionibus, infinitè diversi ι π sunt anguli, stationum temporc illi æquatione Algebraicà. definiri nequeunt, neque potest Problema universaliter con- strui, per curvas Algebraicas, quamvis aliqui hoc Opus susceperunt. At si detur positio Planetæ in propriã orbitã, inveniri potest Positio Telluris in suà, quando Planeta in illo puncto existens e Lellure stationarius videtur: hoc enim est Problema determinatum,& duas continet responsiones, ro duabus radicibus æquationis, Problematis naturam in- Ciudentis. Illius autem Lroblematis solutionem mihi pro summã suà amicitiâ irnpertivit Astronomorum rinceps Do- au Halleius, ad quam intelligendam præmittimus Lem- ma, quod sequitur. Qualescunque sint Planetarum velelluris orbitæ, si ex orum locis Pempore stationum ducantur rect, quæ orbi- tas tangant,& producantur Tangentes, donec concurrant, erunt portiones Tangentium, à mutuo concursu iriter ceptæ, Telluris& lanetarum velocitatibus proportionales. Sint EG AH portiones duæ orbitarum quas Tellus& Pla- TaB neta describunt, AB CD spatia exigua eodem tempore ab iis·A4. 4. dem percursa, tempore stationum. Ducantur CEAE or- bitas tangentes in A& C, quæ concurrant in E,& quia Planeta est Stationarius; erit BD ad AC parallela& proin- de per 24am El. 6＋½ CD ad AB ut CE 4dAE. Sed CDAB cum sint spatia simul descripta, sunt ut Planetarum Ve- 1＋ — 41. Sit 8S Sol, UIRLA orbis Terræ, quam circularem ꝗ ro hac Hs. 5• 48⁰ DE PLANETARUM locitates, quare tangentes CEAE;sunt, ut Planetarum ve. locitates. Hog Theorema est Joannis Bernoulli, in Acfir herolinensibus Editum,& ex parallelismo linearum ACBUD immediatè sequitur; is tamen exinde nullam protulit Pro- blematis Solutionem. Sequitur Solutio Halleiana. P R O B LE M A. Inveuir? Locum Terræ è qus Planeta in dato Orbis sui pur cro vsus, stationartus apparet. vice supponamus, Orbita planetæ, P locus Planetæ datus. Ducatur recta VPQcontingens orbem Flane& in P, occurrens vero Orbi Terræ in V& Q, ac bisecetur Vin R: in eandem autem erigatur normalis PE, quæ sit ad VR vel RQut velocitas lanetæ ad velocitatem Perræ: ac cen- tro R diametro VQ describatur semicirculus, quem contingant rectœ, utrinque de B ductæ& productæ, ut I, BT;& ad quas e centro R demittantur normales R, Rai; ac fiant XK ipsi%& TL ipsi Pꝗ æquales. Dico K, Lpuncta esse in obe Terræ quæsita. Ob similia enim triangula K, B PE, LP est ad ut L sive K ad R% sive RV, ac permutando est ad Kut PBad RV, quas fecimus, ut velocitas Planetæ ad velocitatem Perræ, Verum 2% contingit semicirculum in puncto 6, ac proinde quadratum ex Sαquale est rectangulo VES. Ben 30. 3. E. cumque E facta est ipsi 2% α ualis, K continget orbem Terræœ in puncto K, per 37. 3. El. Pangentes itaque utriusque orbis P, K sunt in ratione velocitatum, ac proinde Pla- neta in P éE Terrà in K visus, Stationarius erit. Eodem omnino modo demonstrabitur rectas TP, LL esse in ratio- ne velocitatum& LL orbem Terræ contingere in L. Jun- c&e denique SK SL designabunt loca Lerræ c ole visæ, ac anguli K SP, LS angulos commutationis quæsitos. Et existente SA lineà Aplidum Terræ, crunt KS A, LSA, anguli anomaliæ verœ Terræ,; unde s. quid erratum fue- rit in supposità velocitate Perræ accuratissunè corrigi po- terit. Al⸗- S T A T H0 Ni5 As⸗ 481 Alterius generis est Problema, Stationis alicusus tempus de- Fuire; cujus Solutio per Geometriam vulgarem exhiberi haud potest ilam tamen per approximationem,& metho- dum indirectam investigavit acutissimus Halicius; in cujus Solutione utitur duobuùs Theorematis à CL Moivre- i tis;& Horum Theorematum de nonstrationes cum in rebus Astronomicis usum habeant, nos dedimus in chne XXN III. Paãg- 424. Sequitur Solutio Halleiana. Qu oties Stationis alicujus tempus accuratè defin ire cupis; Obtentã prius, Constru- CTone dictà, vel calculo rudiori, vel etiam ex Ephemeridi- bus, Stationis quæsitæ die, juxta Tabulas Astronomicas per- fectiores, ad Meridiem istius diei capiatur Locus Solis, uti & Planetæ, tam Heliocentricus quam Geocentricus„ una cum di stantiarum utriusquc à Sole Lo garithmmis,& ut redu- cantur motus ad idem planum, curtetur illa Planctæ. Da⸗ tur itaque Triangulum, SIP CX principiis Aiienne, TAR 413 Ubi S Solem, L FTerram& P Hlanetam designant. Ducantur 2 7 Tangentes Orbis Terræ TO, orbis vero Flaneter PO, con- currentes in O. Jam, si forte contingeret reales Planetarum Vᷓ an esse inter se, ut PQad IQ, sive ut sinus n — ad Sinum anguli TPO, constabit Vlanetas esse in situ Stationi congruo; quia hoc in casu, motus momentaneus Lerre. de T in/ juxta Tangentem IQ latæ, est ad motum anetæ de P in ↄ juxta Tanę gentem PO/ut TQadPQ: pro- inde(per 2 2 VI Elem.) reche TP, 15 parallelæ fiunt, at- que adeo Planeta tal iin 00 inv icem ar apparerent. I eules ter Sümennn der bent veloc itates re S Medis diversorum Nanetarum, sve eœ qui- locitates re: ale buset Um ac— 54 4 Wias emi Xibus transve arsis Orbium æqua- les, Circa Solem circu 1086 discriberent, in subduplicatâ ratione um reciproce. Media autem ve ocitas Planet⸗ est ad V eloci itatem ejt ldem in quovis orbitæ suæ pun Co P vel T, in uh duplicatà ratione diltantia à Sole ad ditantia n equs ab altero Orbitæ Ellipticæ! Foco, quam F&XTF nomina- bimus respective. Polito etiam R Pro semiaxe transverso su- I 14 Hr 411 111t — PP** *.—— ———— /— 482 D E PLANETARUM 216 1 27 17—— 7—*˙7 0 Perioris planetæ,& 5 inferioris, compositis rationibus erit Velocitas inferioris Planetæ ad cam superioris, sVeT? ad 5P ut VRVSPTF ad V-rHSTHPF. Hujus itacue rationis Logarithmus, juxta obliquitatem Tangentis P Qad Eclipticæ planum reductus, habeatur in promptu. Exiisdem etiam distantiis habebuntur anguliS T, S 50/ est enim Radius ad Sinum anguli S, ut SPTE ad semiaxem conjugatum Orbitæ Perræ,; pariterque Rad. ad Sinum 8, ut YSPPF ad semiaxem conjugatum Orbita Planeta. Vel, quod paulo paratius est, llat ut di- stantia Planetæ in Aphelio ad distantiam Periheliam, ita Tan- gens semissis anguli quo distat à perihelio suo, ad Tangen- tem anguli; qui ę dicto semisse sublatus, relinquet comple- mentum anguli SPQad Quadrantem, vel excessum ejus supra quadrantem, prout contigerit vel acutum vel obtu- sum esse; ac reducatur ille angulus, si opus sit, ad Eclipti- cœ planum. His itaque constitutis, ex angulo STP sub- ducatur angulus ST,& angulo SPQ adjiciatur angulus SPT, ut habeantur anguli TP, QPT. Horum sinus, si eandem habeant rationem quam habent velocitates reales in punctis T&P, bene se habet. Sin minus, Logarithmorum utriusque servetur differen- tia, stve Error positionis primæ, ac si ratio Velocitatum minor fuerit ratione Sinuum dictorum, minuendus est an- gulus TSP, addendo vel subducendo motum medium u- triusque Planetæ uni diei competentem:& è contra, si ma- jor fuerit Velocitatum ratio. Calculoque priori omnino si- mili, quærantur denuo Logarithmi dictarum ratiomum, ad Meridiem præcedentis vel sequentis diei, prout casus po- stulat. Dein conferatur differentia horum Logarithmorum, siVe Error Positionis secundæ, cum Errore ad alterum diem invento,& Errorum summa, si diversi signi fuerint, vel differentia, si signi ejusdem, erit ad 24 Horas, ut Errorum alter ad intervallum, quo tempus quæsitæ Stationis distat à Meridie cujus errorem adhibuimus: hoc autem Regulam Falsi callentibus manifestum est. Ad hunc modum Planetarum Stationes intra panca minu- ta ahHr 1 —— 1101/ „ Aiir HHereh. VCCUI el V.IRAtnn D 1 70 CHDuu. 4 — 5N duu¹¹ιι 7½½ HDd Anino H IIIIY I 7 IN ö ᷑ HA 4¹ν² T ATFONIB US. 483 ta Obtinebuntur: ad tollendum autem errorculum à Logari- thmorum dictorum augmento non oπnimodeè æquabili ori⸗ turum, si cui libeat, poterit, ad tempus jam inventum& vero proximum, redintegrato calculo rem penitus verifi- care: sed hac cautelâ non est opus nisi in Marte& Mer— curio. Ut autem res manifestior fiat, adjungam Exemplum Cal- cul stationis Jovis nuperæ in mense Nνεnb. 9.. 17¹⁵7 Exemplum Calculi Sationum. Novemhris g9è. in Merid. No vemb. 10. Merid. Anom. med. X. 9. 10“. 00“. 00“.— 9. 10. F. O0. Mot. med. o. 7.. E 4⁴⁰. I* 0 1 V 25 II. OO.— 2. 25. 15 53 5 6. 28. 53. 17.— 6. 2. 34. 00 Log. dist. à 5. 720650.— 5. 720680 LOg. dist. Oa 4. 994267.— 49 924186. . LOCc. Geoc. 354. 8. 2 Angulus 8IP. 113. 46. 49.— II4. 49. 33. Angulus 5PL. 9. 53. 28.— 48634 Angulus 8TQ. 89. 23. 54.— 59. 23. 4 Angulus SPQ. 2. 41. 20.— Hct Ang. PTQ. 24. 25. 42.— 25 25. 39. & Ang. TIPQ. 192.. 4. 48. 22.20.048. Log. rationis) velocitatum. Log rat. Sinuum) ang. TPO. PTIO J 0. 356757 Error Posit. I. 0.0047—. Error posit. II. oI1564—. Cumque alter errorum est in excessu, alter in defectu, fit ut 16266 errorum summa, ad 4702, ita 24 horæ ad 66 5.. Unde concludere licet stationem Jovis contigisse Nov. g9e 6⁵³ 565 P. M. 3 x P5 2 LE. diversi. ses ab Occasu, quod Itali, Austriaci, DE TEMPORIS PARTTBUS k 1½0. KVIII. De LTemporis Partibus. ILArtes Pemporis omnibus notæ sunt Dies, Horæ Heb- domades,„ Menses,& Anni. Dies Naturalis qui a motu apparenti Solis ab oriente in occidentem definitur est iHud Temporis spatium, quod labitur, dum SolIà Meridia- no/ vel aliquo alio circulo horario digressus ad eundem Pe. volvit; Naturalis dicitur, ut distinguatur ab illa vocis si- gnificatione, qua Dies Nocti opponitur,& Artificialis no- minatur. Non idem Diei initium omnes gentes Observant. Baby⸗ lonii diem auspicabantur ab ortu Solis; Judæi& Athenien- & Bohemi nunc fa- ciunt,& Sole Horizontem occiduum subeunte, horam vi- cesimam quartam numerant, proximam post Solis occasum horam diei primam vocant. Qui diem ab ortu Solis incipiunt, hoc habent commodi, quod ex horarum numero, sciant quantum temporis ela- psum sit ab ortu Solis; qui ab occasu diem inchoant, hoc inde utile capiunt, quod hora statim ostendit quantum temporis ad Solis difcessum restat, ut itinera aliosque labo- res illi proportionari poslint. At his utrisque, hoc est in- commodum, quod per numerationem horarum, Meridiei mediæque noctis tempus non innotescit, quod non nisi sub- ducto calculo illis notum fieri potest, nam diversis anni tempestatibus, tempus Meridiei diversa horà numerabant. Mgyptii olim diem à media nocte inchoabant; à quibus Hipparchus hunc computandi morem in Astronomiam rece- pit, eumque secuti sunt Copernicus aliique Astronomi, ma- xima tamen Astronomorum pars commodius Iduxerunt, diem à Meridie auspicari. Sed mos incipiendi diem à me- dia nocte, obtinet apud Brittannos, Gallos, Hispanos& alias plerasque Europæ gentes. Hora alia est æqualis, alia inæqualis. Hora æqualis est vi- cesima quarta pars Diei Naturalis. Præter crassam illam vul- — guales. gi ivisionem horæ in semihoras& Quadrantes, hodie com- Wu⸗ 10 ＋ II one* VAII. Al H. Athenter. nunc fl. 597„ 8 7.—„ ; calum DE TEMSORIS PARTIBUS. 495 muniter recepta est ab Astronomia translata divisio horæ in sexaginta minuta prima,& miuscujusque minuti primi 111 sexaginta secunda.. Hora inæqualis est duodecima pars diei Artificialis, item ars duodecima noctis; dicitur etiam 7empꝓoranea, quod di- versis Anni Tempestatibus variæ sit quantitatis, nempe ho- ra diurna Æstiva longior est Hybernaã,& nocturna brevior. In die autem Æquinoctiali, hora diurna nocturnœ est æqua- lis; unde horæ&quales quinoctiales dicuntur; his horis usi sunt olim Judæi, Romani, hodieque Furcœ, atque ita meridies semper in horam dici sextam incidebat. Dicuntur etiam hæ horæ Planetariæ, quod singulis his horis, lanetam quendam ex septem præficere usitatum fuit. Ita v. ęu. Die Solis, hora temporaria ab ortu prima, Soli tribuitur, pro- Xima Veneri, tertia Mercurio, atque inde cæteræ ordme, Lunæ scil. Saturno, Jovi, Marti, inde fit, ut diei se- quentis hora ab Ortu prima, Lunæ contingat, ac proinde ihi Hebdomadis diei nomen de suo imponat, quod idem in sequentibus ad septimanæ finem usque continuatur. Hebdomas est septem dièerum Systema; variis appellatio- Hae- nibus Hebdomadis dies distinguuntur. Ecclesia Christiana ades. primum diem, Dominicum vOcat, vulgus Diem Solis no- minat,& soli nostri temporis Phanatici Sabbathum nuncu- pant. Secundum Hebdomadis diem, feriam secundam, tertium, feriam tertiam,& ita deinceps, septimum autem diem Sabbathum nominat Ecclesia. Vulgus autem nomina dicrum à Romanis usitata& à Planetis denominata indita retinet. Mensis proprie est spatium temporis, quod Luna motu Asensen, suo metitur, in quo per Zodiacum integrum defertur, quem ů 5 eirculum duodecies in anno absolvit. Est alius mensis huic atas propemodum æqualis, quem Solis motus metitur, estque metiur. spatium temporis, quo Sol unum signum, seu partem Ecli- pticœ duodecimam, describit. Sed hi menses Astronomici sunt, à quibus differt civilis mensis, qui pro Regni alicu- — 925 Reipublicæ instituto pluribus aut paucioribus constat ebus. Ppp 3 ÆEgy- 486 DE TEMPORIS PARTIBUS. lebant; diesque illi quinque, ex quidus annus constabat, ultra dicrum in mensibus numerum, Epagomenæ diceban- tur. „,; Annus est vel Astronomicus vel Civilis. Anni Astrono- aricn& Mici utramque speciem, scil. Tropicum& Periodicum, in Civuin Hectione XNII. definivimus. Annus civilis idem qui po- liticus in Republica aut Regno aliquo receptus, est quoque ＋ LAuari 3/3. us conformis redditur; ille Lunaris rursus duplex, est Va- 2½1H½. gus vel Eixus. Annus Lunaris vagus constat duodecim mensibus fynodicis, vel duodecim Lunationibus; qui die- E 354 absolvuntur, quibus exactis Annus Civilis denuo incipit. Deficit itaque hic Annus à Solari vertente, qui tempestates reducit, diebus undecim, inde fit ut Annorum initia per omnes Anni tempestates vagentur, idque spatio 32 Annorum, ideoque Annus vagus dicitur. Hac Anni formna utuntur Turcæ& Mahumeédani. Cum duodecim Lunationes deficiunt ab Anno Solari die- bus undecim, in tribus Annis Solaribus, Lunationes 36 seu tres Anni Lunares déeficerent à Solaribus 33 diebus, itaque ut retineantur menses in iisdem Anni Solaris cardinibus, An- no tertio mensis integer superadditur, quod fit quoties opus fuerit ut Anni initium in eadem Tempestate retineatur,& Mensis hic superadditus Embolimæus seu Intercalarius dice- batur. In Annis novemdecim, hujusmodi menses intercala- res sunt septem, Annusque hujus formæ Lunaris Fixus no- minatur. Tali anno usi sunt Græci, hosque imitati Roma- ni, usque ad Julium Cæsarem. g, Annus Civilis, qui ad motum Solis ligatur, est quoque 2.%½ Vel fixus vel vagus. Vagus dicitur Ægyptiacus quo ute- acnun hantur Ægyptii,& constabat diebus 365,& ab Anno Tro- in pico fere sex horis deficit, barum horarum neglectu, fit ut dQuarto quolibet anno, uno die, antevertit hic annus An- num seu Periodum Solarem; adeoque quater 365. annis, hoc est annis 1460, initium ejus vagatur per singulas an- ni Tempestates. Cum duplex, Lunaris, aut Solaris, prout Lunæ vel solis moti- — ie ann ——9— landie II 8 — 1*8 ana 7 V DPE TEMPORIS EKRAIE. 487 2—7 IJ.IIRIn II Cum itaque Annus Ægyptiacus dierum 305, horis fere cdIACE 1 ———— sex deficit à vero Anno Solari, ut Anni omnnes pari Paliu cum Sole progrediantur, horarum excurrentium ratio ne- cessario habenda est; sed convenit quoque, ut Anni Politi- ci idem semper sit initium, atque ut ab initio diei is exor- 3 1 1 ab 1 dium capiat. Non enim incipere debet annus modo ab una die hora, modo ab alia, quod fieri necesse erit, I singulis annis addantur sex excurrentes horæ; sed horæ illæ coacer- Vatæ in tribus annis, additæque sex horis quarti anm diem integrum efficiunt. Hic dies quarto anno additus, illum 140 8 — IFRRrnre eie„ Mernie cum motu Solis rursus congruere faciet. Hœc peripiciens BI 72 IAEAERR Julius Cæsar, quarto cuilibet anno, diem intercalarem ad- ————*————.——— jecit, qui itaque constaret diebus 366.& dies adcus est ＋ menfi Februario. Et cum in anno vulgari dies Februarii 24. dicatur sextus Kalendas Martii, seu sextus ante Kalendas, .—*— 7 1* 17¹ 11 ＋—X statuit Cæsar ut quarto ammo id dicatur bis, ita ut illo an- 3 1.* ＋— s. v4418 21 SANAIER C o, sint bini dies quarum quilibet erit fextus ante Kalendas Hatur. Hæc forma unus 7 3 3 D Nn 288838 R 12— 7„ ＋ anni à Julio Cæsare, apud Romanos Pontifice Maximo, π x*＋— FA5. 5 hect e prople —— instituta fuit,& Juliana vocabatur, cujus tas, ut quartus quilibet Annus it Bissextilis dierum 366, re- liqui tres communes 365 dierum. are tributum, esse nimium; nam Sol suum cursunr in Ecli- ptica absolvit diebus 365, horis 5, min. 49, unde II mi- nutis primis citius cursum redintegrat, quam meipit annus Julianus. Si itaque Sol in quodam anno, vicesimo Martii die Equinoctium, Meridie ingrediatur; proximo anno, un- decim minutis ante Meridiem ad Æquinoctialem circulum perveniet,& anno sequenti viginti duobus minutis ante Meridiem, eundem circulum attinget, atque ita singulis annis, Sol motu suo undecim minutis annum civilem ante- vertendo in Annis 131, integro die Annum Julianum anti- cipabit. Ita Æquinoctium cæleste non in eodem semper anni civilis die hærebit, sed sensim versus initium Anni fe- retur, regresiu tam manifesto ut in dubium vocari non pos- sit. Hino ———.3—. —mmm—m—————————.——..— — EEEE Aunnu Grego- Viit J. Nunus Canicu- Jaris seu Pe vriodlu Sothiaca 488 DE TEMPORIS PARTIBUS. Hinc cum tempore Concilii Niceni, quando termini ce- Iebrandi Paschatis instituti fuerunt, QWaquinoctium Vernale herebat in 21 die Martii, id continuo retro labendo„ tau- 1 dem anno Domini 1572, quo Kalendarium correctum est, deprehensum est ad undecimum Martii diem per integros dies decem ahrepsisse. Adeoquè cum restituere cuperet Gre- 6%0%½½μ¹½ NIII. Episcopus Romanus Mquinoctium ad pristi- nam sedem, dies illos decem è Kalendario exemit, statuit- que ut dies undecimus Martii, vicesimus primus numere- tur;& ne deinceps, simili modo, sublaberentur Anni car- dines, cavit ut centesimus quisque Aræ Christianæ annus communis esset, qui secundum Julium debebat esse Bissex- tilis; at quartus quisque centesimus Bissextilis manexet. Nova hæc Anni forma, ab Episcopo Romano Gregorio XIII. cujus auctoritate stabilita fuerat, Gregoriana dicta st, camque receperunt Galliæ, Hispaniæ, Germania& Italia, Regionesque omnes quæ Pontificis Romani auctori- tatem agnoscunt; sed etiam in Hollandia,& exeunte sæcu- 10 proxime elapso, à multis Germaniæ Reformatæ populis recepta est, Britanniæ tamen& aliæ Septentrionales gen- tes Reformatæ veterem anni formam Julianam retinent. Persœ Formam anni Ægyptiacam etiamnum retinent, in- de fit, ut Æquinoctia non in eodem anni mense semper hæ- rent, sed per omnes menses vagantur,& non nisi post per- actam Annorum 1460 Periodum, initium anni in idem So- laris Anni Tempus recidit. Quod tempus Aunus Magnus Cauecularis dicebatur, seu Periodus Sothiaca, propterea, quod initium ejus sumitur, quando in primo dièe mensis Thoth, seu primo anni die, Canis sidus Oritur Heliace. Sathis enim in lingua Ægyptiorum Canem significat, 12— Græce est Arραμμαν, id est Astrocanis,& ab Astronomis Si- rius dicitur. ö Non solum per annos, sed per plurium annorum colle- Ctiones, tempora distinguebant veteres, quales fuit Jubile- um, annorum 49 vel 50, Fæculum annorum 100, sed o- mnium celeberrima apud Græcos habebatur OHhmpias, con- tinens spatium quatuor annorum. Si- „Ah ů We ö Sicut in cælo sunt certa puncta, a quibus Astronomi in r 20 badh supputandis motibus initium capiunt; ita etiam sunt certa.— Nconddog Temporis puncta, à quibus tanquam radicibus calculi inci- Lem penen piunt;& Res gestæ secundum eriem annorum qui Radi- Iperg. cem illam sequuntur, in Historiis disponumtur. Hæ Radi- ces Epochæ seu Æræ dicuntur; a quibus Anni& Lempora crenit, E. numerantur. Celeberrima& nobis maxime familiaris est ea, Lihus n. quæ à Nativitate Domini nostri JesuiChristi denominatur, eur Aud quæ incipit à Kalendis Januarii, quæ Christi Nativitatem n proxime sequuntur. ö este Verum quamvis Epocha hæc sit ex usu vulgari stabilita, rise man& ubique fere apud Christianos recepta, Angli tamen& 11 Gun Hiberni in negotiis Ecclesiæ& Reipublicæ, Epocha utun- tur integro anno posteriore. Hi enim amnum incipiunt, non à festo Nativitatis Domini, sed à Festo Incarnationis Cena seu Conceptionis, quæ octavo Kalendas Aprilis celebratur: Kom inde fit, ut ab Incarnatione Domini, usque ad Festum An- Cerenn nunciationis Virginis, anni, verbi gratia, 1718, numerant nr Angli annos elapsos completos 1717. A Nativitate autem Domini ad Festum Nativitatis anni 1717, numerant tantüm annos clapsos 1716, cum secundum reliquum Christianum Orbem, tempus illud continet annos completos 1717. In hac re, consentientem habent Angli Dionysium Exi- nl p guum Æræ Auctorem, secundum quem Christus conceptus Rmiten“ est vIII. Kalendas Aprilis primi anni hujus Æræ,& natus 1½U Bruma sequente, exeunte anno 469: àa Reformatione Ka- lendarii per Julium Cæsarem. Hic computus fuit primo univerlaliter receptus, at nune tantum in Anglia locum Ob- tinet. Nam in reliquo Orbe Christiano, ab ista Epocha ö ＋5. tacite secessum est;& opinio communiter recepta est, Chri- 171 stunn natum fuisse Bruma antecedente Incarnationem Dio- nysiam, nempe exeunte anno Juliano 45, atque sic Chri- stum uno anno natu majorem faciunt quam Dionysius Ærœe % Auctor. ö 0õ—. Hoc non obstante, Angli per maximam anni partem, an- num eundem numero designant, cum reliquo Christiano 2 Orbe. At in tribus fere mensibus, tempore scil. inter Ka- 9• Qꝗq len- 49⁰ DE TEMPORIS PARTIBUs. lendas Januarii,& VIII. Kalendas Aprilis, annum uno minorem ponunt,& diversum à reliquis Christianis nu- merant. Celebris quoque est Epocha Mundi Conditi, de qua tamen sunt insignes Controversiæ, dum alii contendunt mundum conditum esse ante Christum natum annis 3950 Alii Christo nascente Ætatem Mundi fuisse annorum 3083. affirmant. Ecclesia Græca,& Imperatores Orientis Epo- cha utuntur, quæ mundum longe antiquiorem supponit secundum enim illorum Æram, mundus conditus est annis ante Christum 550ꝗ9. Inter prophanos Auctores, antiquissima& celeberrima est Olympiadum Epocha, quæ refertur ad Æstatem anni ante Christum 777,& ipsis Kalendis Julii, in Anno Ju- liano retro producto. Non multo posterior est Epocha Romæ seu Urbis Con- ditæ quæ duplex est, Varoniana& Capitolina, prior Ur- bem conditam ponit anno ante Christum 753, altera an- no 752. Era Nabonassari Astronomis semper celebris incipit ad diem 26 Februarii anni Juliani retro producti; Annoque ante Christum 747. Cumque hic dies fuit primus anni QMgyptiaci, Ptolomæus& post illum Copernicus motus siderum per annos Ægyptiacos calculo subjiciunt. ÆEgy- ptiorum enim annus calculo Astronomico imprimis com- modus est, quia nulla intercalatione perturbatus. Sequitur Epocha obituùs Alevandrt Magni die 126. No- vembris. Anno ante Christum 324 qui fuit Vagi Ægy- ptiaci annus primus. Annos Ægyptiacos dehinc computa- runt Theon, Albategnius& alli. Inter Tras Nabonassa- ri& Obitus Alexandri Magni, intercedunt anni Ægyptia- ci præcise 424. Est& Tra Abyssinorum que& Ara Martyrum& Diocletiani nominatur. Est etiam Æra Ara- bum seu Turcarum quæ Hegira dicitur; à fuga Mahume- dis initium capiens. Alia quoque est Persarum Epocha Jesdegird dicta, quas omnes apud Auctores videre licet. Sed præœ omnibus maxime est commoda Juliana Periodus, 1L . U Wmint n aorun Nents. m fup, u Was ee celberm Llatem am Lbi Con- U Mer dr r iunt 0 ½ Aan Wl Heus N KEH· COll- 10 V.. QE ODpul- Mualle IWIll WW. 4 E EIA M Mahume * Epocha elt Ilel. Penodus, DE TEMHORIS PARTIBUS. 49² reliquas fere omnes Epochas gremio suo complectens. Et est Periodus annorum 7980, qui numerus multiplicatione componitur ex numeris 15, 19„28, quorum primus est Cy- CJus Indictionum; secundus est Metonicus„& tertius est Ssolis Cyclus. Primusque hujus Periodi annus fuit ille in quo hi tres Cycli simul incipiebant. Subjungam Tabulam quæ primos Ararum annos, ad annos julianæ Periodi, velad annos ante vel post Christum natum reducit. Christum periodi. Epocha Mundi conditi juxta Græcos Im- 5508 peratores. Anni ante Anni Iul. ö Vulgaris Epocha Mundi conditi. 3050 765⁵ Olympiadum initium. 776 3938 Urbis Conditæ juxta Varronem. 753 3961 Urbis Condite ex Capitolinis Festis. 75² 396²½ MRra Nabonassari. 747 30967 Alexandri Magni mors. 324 4390 An Christ. Annus Epochæ Christianæ vulgaris. 47¹⁴4 Diocletianæ Mræ. 284 4997 Hegira Arabum. 6²² 35335 Jesdagirda Persarum. 196632 3345 LECTIO XXIX. De Nalendario,& Olis seu Periodis. I Alendarium est dierum in amo civili dispositio se- cundum proprios menses,& eorundem in Hebdo- mades distributio, cum Festis, diebusque Juridicis am- nexis. Distributio in Hebdomades, fit per literas Alpha- beti septem priores A, B, CG.9 K. E.. Incipiendo à Pri- mo die Januarii, litera A ipsi apponitur, secundo B, ter- tio C,& ita deinceps, usque ad G, quæ dici septimo af- figitur;& inde rursus incipiendo, octavo iterum apponi- tuür A, nono B, decimo C, atque sic continuo repetita literarum seriè, singuli anni dies aliquam obtinent literam — Distri- Hut io Merum Anni in Hebdo- made,s Herli eriite- vad 7.— 7 5½7ur Habertt priorer in Kalendario,& ultimo die Decembris inseribitur litera A. septem. Qad 2 Nam Literæ Domini- cales. 4⁰² D E EALENDARIO. Nam si 365. dies dividantur per v, proveniunt Hebdo- mades 52,& unus prœterea superest dies. Quod si nullus superesset dies, Anni omnes ab eodem septimanæ die, sem- per inciperent,& quilibet mensis dies in determinatum& statum hebdomadis diem semper incideret; nunc vero, quo- niam in anno, præter hebdomades completas, est unus dies factum est ut in quocunque septimanæ die, incipit annus, in eodem finitur; proximusque annus à proximo dieè inci- pit; v. ęr. in anno communi 365. dierum, si is incipit die Dominica, ultimus anni dies erit etiam dies Dominica. Et primus sequentis anni dies est dies Lunæ. ö Literis hac ratione dispositis in anno communi illa quæ primæ Januarii Dominicæ respondet, per totum illum annum Dominicas indicabit,& quibuscunque diebus„ in aliis mensibus, affigitur illa litera, dies illi omnes erunt Domi- nicæ; ideoque litera illa istius anni Dominicalis VOcatur; sic etiam quæcunque litera apponitur diei Lunæ in Janua- rio primæ, eadem in Kalendario repetita omnes Lunæ dies per totum annum monstrabit, atque sic de cæteris. Si prima Januarii dies sit Dominica, cui respondet lite- ra A, ultima, uti ostendi, erit quoque Dominica. Adeo- que annus sequens die Lunæ incipiet,& Dominica cadet in diem septimum, cui respondit Iitera G, quæ itaque erit litera Dominicalis per totum illum annum; cumquè annus die Lunæ incipit, die quoque Lunæ terminabitur,& in amno sequente prima Januarii dies fiet Martis, Primaque Dominica cadet in sextam mensis diem, cui in Kalendario respondet litera F, atque eodem modo anno sequente lite- ra Dominicalis foret E;& hac ratione literæ Dominicales ordine semper retrogrado feruntur per G, F, E, D, C, B, A. In Kalendariis annuis, quæ Almanachr voce Arabica vo- cantur, litera anni Dominicalis ut facilius dignoscatur, sem- per majuscula pingitur. Adeoque unico intuitu totius anni Dominicas aspicere liceat. Si omnes anni essent gyptiaci, dierum 365, post exa- ctum septem annorum curriculum, jidem mensium dies ad eosdem Hebdomadis dies redirent. Verum quoniam quar- 15 10 Gent aitdt nlca E uil Ihmannum , M 4l5 M Domi vocatur; I Lhus Lmades Handet lle 64 W0 in c ale t ue MS I, H IIA Lendal0 Ente lte maicdls 64 ⁴ U0. I lem- 15 Wi 00 Kxa- ndt²⁰ HUMA. 1⁵ 5E V C18. 493 tus quilibet annus est Bissextilis dierum 366, in quo ultra septimanas 52, supersunt dies duo, si annus ille incipit die Dominica, in die Lunæ terminabitur,& proximus post hunc Bislextilem annus, a die Martis incipiet, primaque ejusdem anni Dominica in sextam mensis diem cadet, cui respondet litera E, pro sequentis anni Dominicali. Atque ita per annum Bissextilem, qui singulis quatuor anmnis re. currit, interrumpitur Literarum Dominicalium ordo, qui non redit, nisi post absolutos annos quater septem seu an- nos 28. Hinc oritur Cyclus ille annorum 28, qui Seris dicitur, quo completo, redeunt anni dies ad easdem septimanæ dies; in hoc Cyclo anni omnes Bissextiles, duas Obtinent literas Dominicales, quarum prima usque ad diem Februa- rii 24, aut 25. Intercalarem inservit; altera per reliquum onmè anni tempus Dominicas indicabit. Nam in anno Bis- sextili, Februari dièes vicesimus quartus,& vicesimus quintus pro eodem habentur die,& uterque cadem literã E insignitur;& hinc interrumpitur literarum ordo, quo dies Hebdomadis commonstrantur; v. gv. sit litera Domi- nicalis initio anni E, vicesimus quartus Februarii in diem Lunæ cadet,& vicesimus quintus in diem Martis; quibus utrisque apponitur litera F; unde sequens litera G quæ prius diem Martis indicabat, nunc ad diem Mercurii appo- netur;& proxima Dominica in primam Martii diem inci- det, cui in Kalendario adhæret litera D, quæ hac ratione per reliquum anni tempus, Dominicalis evadit. Cycli Solaris primus annus est Bissextilis, cui respondent literæ Dominicales G, F. Secundi anni litera Dominicalis est E, tertii D, quarti C; quintus Cycli annus rursus Bis- sextilis est cui congruunt literæ Dominicales B, A,& ita in cæteris. Laterculus sequens ostendit, quæ litera Domini- calis respondet cuivis Cycli Solaris Anno, ut annus Cycli GF½ EA 9 DC13 KE1½ A0 21 CE EP ——————i—i—— 2 E. 20 h 14 ½ 28 22 2 3 E AI A 15 E B I 20 D 24 F 28 A Qdꝗ 3 S0• Cyclus Solis. 494 D EC⏑ł V( I. 15. Solaris inveniatur, pro quolibet Erœ Christiane anno; ad annum Christi currentem addantur 9, quia ab initio Cyclii ad annum Christi primum, novem anni elapsi sunt,& sum- mam diyide per 28. Quotiens ostendet numèerum Cyclorum, qui absoluti fuerunt a primo Cycli Solaris anno, ante Chri- scum ad annum illum currentem, qui restat vero numerus, est Cycli Solaris currens annus, quod si nihil post divisio- nem restet 28. est annus Cycli. Præter Festa stabilia, certis quibusdam anni diebus affi- xa, sunt& alii quoque dièes Festi mutabiles, qui in diver- sis annis, diversis diebus contingunt, qui proinde non e Solis, sed Lunæ motu pendent. Tale est a Deo ipso apud Judœos institutum Faschatir Hestum, cui successit Pascha (Hristianum in memoriam Resurrectionis Domini receptum, & commemorandum. Instituit autem Deus Pascha cele- brandum esse mense primo; decima quarta die mensis, ad Vesperam Levit. cap. 3 Annus autem Judæorum Lu- naris fuit,& Embolismicis ita temperatus, ut is mensis diceretur primus, cujus decima quarta, hoc est Plenilu- nium, vel in diem Æquinoctii Vernalis caderet, vel eum proxime sequeretur. Ecclesia Christiana eandem fere regu- lam observare voluit. Vetuit tamen ne Pascha in ipsa deci- maquarta celebretur, sed die Dominica proxime inse- quenti; eo quod Dominus die Dominica post Pascha Judæo- rum, à mortuis resurrexit. Primo itaque ad determinandum Paschatis celebrandi tempus, constituendum est Æquinoctium, quod diei Mar- tii 21. alfixum esie crediderunt omnes antiqui nec ab ea sede unquam dimovendum; ideoque suum Kalendarium ad banc suppositionem aptarunt. Deinde eum mensem pri- mum, seu Paschalem esse voluerunt, cujus decima quarta aut in A quinoctium caderet, hoc est in diem qui 2 T1. diem Martii, aut proxime illum sequeretur; sed cum menses Ju- dæorum Lunares fuerint, decima quarta mensis dies diem dleniluni immediate præcedit; unde in observatione Pa- schatis motus Lunaris ratio habenda est,& Novilunia& Plenilunia sunt invenienda. Judæis Novilunia per obser- Va iunay DC X la. Eim. umCn mo, MI. sew nurs, Mni ciebus „Qui in dr. Rromnde nue Deo ipsoan ucelt Pt DMinireceptud 5 Pascht c. die meni ⁊ ludeonmn. „U Cetet, Ne em fex Ra. III proNe Hl. *. Palcha. 40¹⁰ DE CYV C lal. 495 vationes solum innotuere, hi enim observabant quando Lu- na primum è Solis radiis emergens Heliace Vespere orieba- tur, illamque diem Lune primam dicebant. At Ecclesia Christiana per Cyclum Metonicum novemdecim annorum Lunationes computat,& ideo dictum Cyclum in Kalenda- rio recepit, ut per illam Lunationcs determinentur. Est autem Cyclus Metonicus ab inventore cjus Metone no- men deducens, qui& Cyclus Lunaris dicitur, Periodus — Novemdecim Annorum, quibus absolutis Novilunia& Ple- nilunia Media ad eosdem mensium dies redeunt, adeo ut quibuscunque diebus N Ovilunia& Plenilunia hoc anno ac- Cidunt, novemdecim abhinc annis, in eosdem dies inci- dent,& ut existimarunt Meton& Primitivi Ecclesiæ pa- tres in easdem dièerum partes scil. horas& minuta. Adeo- que tempore Concilii Niceni circa quod tempus, Pascha- tis Celebrandi ratio determinabatur: Cycli Lunaris! Jumeri Kalendario adjuncti fuere, quos propter Excellentiam& Commoditatem Aureis literis nscribebant Veteres, Amum- que Cycli pro quolibet anno proposito Aureum numerum vocabant. Hac ratione Numeri Aurei diebus Kalendarii appositi fuere, vel certe apponi potuissent. umpto quolibet an- no, pro initio Cycli, cui numerus Aureus I tributus est; Obfervatis, in fingulis mensibus, diebus in quibus Novilu- nia acciderent, eo anno è regione horum dierum apposue- runt Characterem 1,& quia eo anno NOVihmia aceidebant Januarii 23, Februarii 21, Martii 23, Aprilis 21, Maji 21, Junii 19,&ita de cæteris, e regione horum dierum in Co- lumna Cycli Lunaris unitas apposita est. Sequenti anno Ob- servatis Novilumiis, è regione dierum quibus acciderunt, inscripserunt veteres in Columma Numerorum Aureorum Characterem II, nempe ad 12 Januarii„ 10 Februarii, 12 Martii, 10 Aprilis,& ita in aliis mensibus. Idem factum fuit tertio Anno apposito Charactere III, ę regione dierum quibus Novilunia Observabantur,& idem in aliis annis con- sequentibus usque dum absolutus fuit Cyclus annorum 19. Sed numerorum dispositio maxime accurata fit per Ie Attro- AIEDEDDE... —I——..::? 496 DiEs EXCLN. Astronomicas computando pro singulis mensibus, singulis- que Lunaris Cycli annis, novilunia media, iisque diebus quibus ea accidere deprehensum fuerit Cycli Characheres ap- ponendo. Quoniam mensis Lunaris Astronomicus constat diebus 29. horis 12. min. 44. secund. 3. sed vulgus qui mi- nutias distinguere non potest, Menses Lunares ex diebus integris componit, ita ut alternis vicibus Lunationes con- stent 30.& 29. diebus quarum hæ cavæ, illæsplenæ dicun- tur, id exigente quantitate mensis Astronomici dicrum 29, horarum 12, quia autem sunt præterea 44. min. seu fere tres horœ quadrantes in singulis Lunationibus, intra 32. Luna- tiones hæc minuta collecta diem efficient, qui cavo mensi addendus est,& hac ratione Lunationes Kalendarii cum cælestibus fere convenient. ö ö Si detur annus Cycli Lunaris, dabuntur ope Kalendarii, Noviluniorum dies per totum annum, nam in singulis men- sibus numerus Cycli seu Aureus diem ostendet in quo con- tingit NOvilunium medium,& huic addendo dies quatuor- decim, habebitur dies Elenilunii. Veteres existimabant Cyclum novemdecim annorum exa- cCee exhaurire Lunationes 225, adeoque post revolutionem annorum Cycli, Novilunia non tantum ad eosdem men- stum dies, sed etiam ad easdem horas redire. Quod verum non est. Nam in annis Julianis 19, sunt dies 6939, horæ 18. At si singulis Lunationibus tribuantur dies 29. horæ 12. min. 44. secund. 3. ut motus Lunæ postulat, Lunatio- nes 253. efficient 6939 dies, horas 16. min. 31. secund. 45, non igitur Lunationes 253 adæquant annos Julianos 19, sed deficiunt una hora cum dimidia, unde Novilunia post an- nos 19. non redibunt ad eandem horam, sed una hora cum dimidia citius accidunt,& intra annos 304. Novilunia antecedunt annum Julianum una die: satis itaque præcise per tres annorum Centurias numerus aureus Novilunia o- stendet, sine errore 24. horarum seu unius diei. Adeoque tempore Concilii Niceni quando Cyclus NovVemdecennalis Kalendario adaptatus fuit,& per aliquot amnorum centu- rias post illud, satis rite indicabat Cyclus ille Wln ed Wbn, „ Ihe ht TN. nomasgz vugs i es ex d Ladones. Plenæ dr d dierun: A. Keu feretz 32 Lur HE Wendari aun be Kalnd, Tingulisne. erin quoar ds O E rohtinen eoscen mia⸗ Oudhenm M Lale 2 Le „L d ml A E⁰ ulaa Hana o⸗ eeoque cenlds n cl OHuma; 10 5 E C la 8. 457 sed nunc Lunationes intra 304. alms Uno die continuo an- tecedendo, quinque fere diebus citius accidunt, quam tem- Ore Concilii Niceni, seu quod idem esti, Novilunia cæ- lestia Lunationes per Cyclum Aureum compurata, quinque diebus antecedunt. Sed noc non obstante, Ecclesia An- glicana retinet modum computandi Novilunia per nume- 1oS Aureos, sicuti tempore Niceni Concilii in eneie dispositi fuere; adeoque Novilunia sic computata dicuntur Ecclesiastica, ut distinguantur à veris. Et Generalis per- petuaque Tabula quæ: in Liturgia Anglicana habetur, pro tempore Paschatis per hos numeros Aureos secundum diver- as Uteras Dominicales computata est. Primus annus Æræ Christianæ numerum Aureum habuit 2, seu Cyclus incepit anno ante Christum natum; adeoque si ad amum Christi quemlibet currentem addatur 1,& sum- ma per 9. dividatur, qui restat præter quotientem, erit Aurèus istius anni numéerus. Ex Cyclis Solis& Lunæ in se invicem multiplicatis, conflatur tertia Periodus annorum 532, quæ Victoriana aut Dionysiana dicitur à Dionysio exiguo chus inventore. 2—— est Cyclus annorum, quibus absolutis non tantum Novilu- nia& Plenilunia ad eosdem circiter mensium dies redeunt, ed& dies Omnes mensium in eosdem septimanæ dies rece- dunt, adeoque literæ Dominicales& Festa Mobilia eodem Ordine recurrunt. Unde dicitur hic Cyclus, Magnus Cy- clus Paschalis. ö Dato anno ÆEræ Christianæ, ut inveniatur annus Perio- di Dionysianæ, ad annum currentem addatur numerus 457, & summa dividatur per 532, qui restat præter quotientem numerus erit annus Periodi quæsitus. Alterius generis est Problema, datis Cyclorum Solis& Lunæ annis, invenire annum Periodi Dionysianæ, v. gr. sit Cycli Lunaris annus 17, Solaris 21, quæritur numerus qui si per 19 dividatur, relinquentur 17, at si per 28 di- vidatur relinquentur 21, qui ut inveniatur, querantur duo numeri, quorum unum metitur numerus 28, at s1 Pper 19 idem dividatur, relinquentur 17, alterum numerum mati Rrr tur 498 5 E. E 18. tur 19, at si per 28 dividatur idem numerus, relinquentur 21, nam patet horum numerorum summam proposito latislacere. Ad investigationem horum numerorum analyticam 5O namus numerum primum esse 28%,„ Est enim multiplex nu- meri 28,& quoniam hic numerus divisus per 19, relin- gult 17, auferatur à 28, numerus 175• reliquus erit in tiplex numeri 19, ideoque 19 dividet 28v 17, sed divicit quoque 19 numerum 19, quare dividet differentiam nu- merorum scil. ν 17, qui itaque erit multiplex numeri 195 9.„ 19217. it 91 17197,& erit u numerus integer&——. —*** 2 Itaque cum& sit numerus integer, 9 dividet 191.17, sed 9dividit 1824 9, quare patet, numerum ꝗ dividere 8, ad- —.— eoque est numerus integer, sit ille 1,& erit 21,& 9 &E4„5 unde 28v 112= numero primo inveniendo. . ö ö Sit secundus numerus 195, est enim multiplex numeri 19, I 192 0 e—— est numerus integer, sit S0/½ E 28, unde — 28.— U dividat 197. 19, dividet etiam — 9½⁴2, eritque numerus teer, lit iie;, Unde — cumque 9 dividat 187, dividet 5—2 etiam?.-2; ideoque— est numerus integer vel nihil, — 199—2 lit., eritquep2&u 2.— 48 197 281 ½ 21= 1335 est itaque numerorum unus 112,& alter 133, quorum sum- ma 245 proposito satisfacit,& quandocunque Cyclus Solis est 21,& Lunæ 17, annus Periodi Dionysianæ est 245. Hoc idem Problema aliter solvi potest per duos determi- natos& constantes multiplicatores, tales, ut unus dividi possit per 28 sine residuo, at si per 19 dividatur, residuum it 1, alterum dividit sine residuo numerus 19, at si nume- rus 28 cundem dividat, residuum sit 1. Tales 6 iti- dem e E C L HS. 49⁰9 gem inveniuntur ac præcedentes, hac scil. ratione; sit pri- mus numerus 28, alter 195; guare numerus 19 dividet si- ne residuo 28&-T, adeoque dwidet quoque Hν— 1 sit —— unde erit numerus inte- 9 9 ö ger,& minimus numerus qui pro poni potest erit 8, sit 191 I. taque 1= 8, fit I— 175 unde primus numerus 9* I 15 281 1. — 3 5 1915—1„* 28 4 er 476. Sit iterunn ee 2 1— 7—1—* — erit 2.—.—— numerus integer, vel — 199— I nihil. Sit— 1 ⸗ o erit,& ν& 195=:28—1=57. Numeri itaque quæsiti sunt 476& 57.— quoniam numero 47 diviso per 19, restat 1 11.476 per numęrum quemlibet minorem quam 19 multiplicetur, & productus per 19 C idatur, restabit præter quotientem numerus qui 476 multiplicat. Similiter quoniam 57 divi- sus per 28, residuum fit 1; si hie numerus 37 per numerum quemlibet minorem quam 28 multiplicetur,& productus per 28 dividatur, relinquetur numerus multiplicans. Hinc clicitur Canon pro inveniendo Anno Periodi Diony- sianæ qui sequitur. Multiplicetur numerus Cycli Solaris per 57,& numerus Cycli Lunaris per 476. Productorum summa dividatur per 532, qui restat præter quotientem numerus erit annus Pe- riodi quæsitus. Præter Cyclos Solis& Lunœ, est& alius Cyclus qui Iu- gi＋ionum dicitur, apud Romanos receptus, qui nullam ha- bet connexionem cum motibus cælestibus,& est annorum quindecim Revolutio, quibus eepletis, rursus incipit. Fre- quens ejus occurrit mentio in Diplomatibus Cæsariis& Pon- tihcis. Anno ante Christum natum; Indictionis numerus fuit 3. Adeoque si ad annum Christi addantur 3,& sum- ma dividatur per 15, residuum ostendet Indictionis an- mum. ö RII EX 50⁰.n. Ex tribus Cyclis Solis, Lunæ& Indictionis multiplica- tione conflatur Periodus Juliana annorum 7980. Hæc 9 riodus incepit 764 annos ante Mundum conditum,& non- dum est absoluta, adeoque in se complectitur res omnes gestas omnemque historiam,& unus tantum est in tota Periodo annus, qui eosdem habet numeros pro tribus Cy- Clis ex quibus conflatur. Adeoque si Historici notassent in suis Annalibus cujusque armi Cyclos, exinde tolleretur 0- mnis temporum ambiguitas. Annus ante Christum fuit Periodi Julianæ 4713. Adeo- que ex dato anno Æræ Christianæ, annus Periodi Julianæ respondens invenitur ei addendo 4013,& summa est annus Julianæ Periodi. E contra ab anno Periodi Julianæ aufe- rendo 4713. residuum ostendit annum ÆEræ Christianæ. Datis auuis, Gli Joluris, Lunaris, S& Indictioanis, iu- venire annum Periodi Julianx. Problema hoc eodem mo- do solvitur, quo similis Problematis de Periodo Dionysiana solutionem dedimus, scil. inveniantur tres numeri talès, ut Primus sit multiplex numerorum 19& 15, seu eorum pro- ducti 285, at per 28 divisus relinquat numerum Cycli So- laris, secundus sit multiplex numèerorum 28& 155 seu eo- rum producti 420, at per 19 divisus relinquat numerum Cycli Lunaris. Tertius denique sit multiplex numerorum 28& 19, at per 15 divisus relinquat numerum Cycli Indi- Cionis. Horum numerorum summa si mirior sit 7980. erit annus Periodi Julianæ quæsitus. Quod si major fuerit, di- vidatur per 7980,& residuus numerus erit annus Periodi Julianæ. Potest etiam Problema solvi per determinatos,& constan- tes tres multiplicatores, quorum primus sit multiplex nu- meri 285, at per 28 divisus relinquat 1. Secundus sit mul- tiplex numeri 420, at per 19 divisus relinquat 1. Tertius lit multiplex numeri 532, at per 15 divisus relinquat 1. Hi numeri inveniuntur methodo in præcedente Problema- te, de Periodo Dionysiana, ostensa,& sunt 4845, 4200, 6916. Quibus inventis Canon pro inveniendo anno Julia- næ Periodi, ex datis Cyclorum annis est qui sequitur. mutler. He um, Kon. II Ouhez ett nnn 0 tribsC. notalern Oleretur II. Akr 0d¹ Julane Nest unds lanæ aufe. Manæ Raunt, In. cEm mo An tles, u oum pro- Cscl- 5„Kuce⸗ numerm merorum Hd 900 ent Nt/ d. Peroct constan- pler sl 2 nul Tertius Iit l. Hlema⸗ 90⁰ 14•—— ⁰ a 0.. 1 DEHCICIIV. 501 Annus Cycli Solaris multiplicet numerum 4845, Cycli Lunaris annus numerum 4209,& Indictionis ammus nu- merum 6916. Productorum summa dividatur per 7980, omisso quotiente, residuum erit annus Periodi Julianæ. Exemplum hoc anno 1718. Cyclus Solis est 19. Lunæ 9. Indictionis 1I. multiplicetur 4845. Per 19, productus est 9²055/& 4200. Per 9productus est 37809. Denique 6916. in 11 ductus, productus est 7676. Productorum summa est 205931, qui per 7980. divisus, residuum præter quo- tientem erit 6431. annus Periodi Julianæ. E KK Appendix continens Descriptionem,& usumn uuriusqque Ghbi;& Problemata quædam Sphricœh, calculo Trigonometrico absolvenda. Ex Nicolai Mercatoris Astronomia. Orum, quæ ad globos pertinent, quædam sunt utri- communia, quædam vero alterutri peculiaria. Et Comπnium quidem alia sunt extra superficiem globi, alia Vero in ipsa fuperficie. Extra superficiem utriusque globi conspiciuntur. I. Duo Poli, circa quos globi volvuntur, quorum alter Ardckicur, duobus arctis sive ursis vicinis, idemque Sœpten- zrionalis à Septemtrionibus, id est, septem stellis plaustri majoris; alter huio oppositus Antarcticus appellatur. 2. Meridianus Mucue, cujus altera tantum facics, quæ gradibus distincta Vilitur,& per ipsos polos incedit, est. verus Meridianus, atque hæc facies semper obvertenda est. Orienti, quemadmodum polus Arcticus Aquiloni. Divi⸗- ditur autem in quater 90. gradus, quorum bis 90. ineipiunt numerari ab ea parte quinoctialis, quæ est supra Hori⸗ zontem, versus utrumque polum; at reliqui bis 90 gra- dus incipiunt ab utroque polo,& desinunt in Æquinoc- tiali sub Horizonte. 3. Horion ligueus, cujus facies superior refert verum Rrr 3 ů Ho- 592 pDE USU GLOBORNVU U. Horizontem,& dividitur in varios circulos, quorum in. timus continet duodecim signa Cælestia, nominibus& cha- racteribus suis distincta,& in gradùs tricenos distributa. Huic proxime jungitur Kalendarium Julianum pariter ac Gregorianum, utrumque in menses& dies distributum. In extima Ora extat circulus ventorum sive plagarum mun- di, quemadmodum hodie a naucleris appellitantur. 4. Quddraus altitudiuis, cujus margo is, qui gradibus di- stinguitur, applicandus est Meridiani gradui nonagesimo utrinque ab Horizonte computando. Numerantur autem in o gradus ab Horizonte sursum ad ipsum usque verti- Cein Hue Leilitt 5. Curcutus Horarius divisus in bis 12. horas, quarum 12. meridiana sursum versus Zenith, at 12. nocturna deorsum versus Horizontem spectat; utraque vero faciei Meridiani Orientali& gradibus distinctæ congruere debet, ita ut polus indicem horarium gestans ipsum centrum occupet, atquè ipse index motu diurno circumactus ostendat horas in Orientali semicirculo antemeridianas, in Occidentali pomeridianas. 6. Pyxis nautica pedamento imposita, cujus Ope globus ad mundi plagas dirigitur. 7. Semicirculus posstiouis, cujus extremitates cardinibus Meridiei& Septentrionis affigendæ, ita ut ipse semicirculus inde ah Horizonte ad Meridianum usque libere ad quemvis situm elevari possit. Atque hæc quidem extra superficiem utriusque globi visuntur. At in ipsa superficie delineantur præterea hi circuli: 1. HMaquinoctialis, in gradus 360. divisus, quorum nu- merationis initium est a sectione verna, seu principio Arie- tis, indeque continuantur circumcirca, donec ad idem prin- Cipium revertantur. 2. Ecliptica divisa in signa 12,& horum quodlibet in gradus 30. nomina& series signorum memoriâ tenenda. V 1 S H w Hu Aries,; Taurus, Gemini, Caucer, Leo, Virgo, m 2 ＋. 2*0 Libraque. Scorpius, Arcitenens, Caper, Amphora, Atehe CU Wrum I2 oHm Adani pls Weißse Hentel Habas. Robus nbus Cueuhs V Hcbl W M- 0M. 2⁰ et i H D E US U G6 L OBORUM. 503 Eclipticam Sol motu annuo peragrat& si spatium illi addanmis in latum utrinque octo circiter graduum, effici- tur Hdiacus à duodecim asterismis, quorum plerique ani- malium similitudinem quandam habent, ita dictus; atque sub hoc circulo lato Luna& cæteri Planetæ motus suos pe- riodicos exercent. Discernitur Ecliptica ab quinoctiali, quod hic quidem dum volvitur globus, eundem perpetuo situm obtinet, at- que eidem puncto Meridiani& Horizontis adjunctus ma- net; illa vero quolibet momento situm mutat, nunc eleva ta, nunc humilis, nunc huic, nund iti gradui Aquatoris vel Horizontis applicata. 3. Tropici Auo, Cantri nimirum& Capricorni, qui sunt ümites excursuum Solis ab quinoctiali in Boream atque Austrum, includentes utrinque obliquam Solis viam, id est, Eclipticam. Nec inepte dici poterant parallelor um&lic e- reni. Cum erim Sol quotidie alium atque alium Eclipti- cœ gradum Occupet motu suo ammuo⸗ sit ut gradus ille una cum Sole reptus motu diurno, circulum quendam de- scribat Æquatori parallelum adeque tot evadant paral- leli, quot sunt dies à previsiimo ad longissimum. Quan- quam Sol non moratus in eodem gradu, sed revolutionis diurne spatio promotus ad vicinum„ non perfectum de- ribit parallelum, sed lincam potius spiralem; attamen —* LSV harum spiralium distantia cum sit exigua adeo, præsertim prope Tropicos; nihil impedit, quo minus singulæ revo- sutiones, maxime extremæ, hoc est, ipsi Tropici, pa- rallelorum loco haberi possint, id quod usui quotidiano la⸗ tis est,& commoditateè præstat. PHPolares duo, Archicus& Autarcticus de quibus actum est in Lect. VII.& XIX. Atque hec quidem hactenus enarrata utrique globo sunt communia„ quanduam Eclipti- ca& semicirculus positionis proprie pertinent ad globum (Elestem tantum; adduntur tamen etiam globo terrestri, ut PhÆenomena, quæ motum Solis annuum sequuntur,& cuspides domorum, etiam per hunc, quando opus est, ex- plicari possint. Quæ 5⁰4 D E USU GLOBORNUM. Quæ vero alterutri globo peculiaria sunt, partim sunt circuli vel lineæ quædam curvæ, ut in globo cœlesti duo Coluri,& circuli latitudinis; in Terrestri Meridiani, Pa- ralleli& Loxodromiæ, partim vero sunt deformationes, in globo quidem Terrestri Terrarum& Marium, quas Ge- Ographiæ contemplandas permittimus; at in globo C&lesti Fixarum,& qui ex his constituuntur, Asterismorum, sive constellationum, numero 48, quorum 12 Occupant Vodia- cum,& nominibus distinguuntur iisdem, quibus signa Ec- lipticæ anastra, sive Dodecatemoria. Qui vero ab his ver- gunt ad boræam Asterismi numero 21, sic appellantur: VUrnsa minon, Ursa mafor, Draco, Cepheus, Arctophylav (Vootes) Corona Gnossia, Hercules in genibus, Lyra, Cy. gnus, Cassiopeia, Pen seus, Audromeda, Triangulum„Auri- ga, Pegasus, Equiculus, Delphiu, Oagitta, Asqquila, öer- pentarius, derpens. At ab odem Zodiaco in austrum recedunt imagines nu- mero 15: Cetus, Eridauus, Lepus, Orion, Canis major, Canis mi- non, Ango navis, Hyara, Crater, Corvus, Centaurus, Lu- Pa. Ara, Corona australis, Piscis austrinus. Prœæter has imagines 48 nobis conspicuas observatæ sunt aliæ Circa polum australem numero 12. YPhœnix, GErus, Inaus, XMiphbiar, Pavo, Muser, SHyarus, Passer, Apus, Triquetrum, Mausca, Chamaquè leon. Ne quid addam de Via Lactea, quæ est circulus latus, candens, totum cœlum ambiens, nonnunquam duplici tra- mite, at plerumque simplici incedens. Hune veterum non- nulli exhalationem quandam crediderunt in aëre suspensam, at nostrum seculum innumeram minutarum fixarum conge- riem esse deprehendit. Illæ vero stellulæ, quanquam situ & magnitudine differentes, in globo exhiberi non solent, sed Telescopio solo discernuntur; ideoque de iis non est. quod hoc loco ingeramus plura. Descriptionem globorum modo expositam sequitur usus Orundem, qui licet multiplex sit, præcipue tamen, ad rem præsentem quod attinet, his fere Problematis explicari pote robl. Daune Habe oCacl Tum, ge Nt A R. bir Mtur. Mahu ½½4, 0 m, Muri. 10, Iy. Hs Uu- nn m. . Iu. Nt Hhi* V. Hus, Hatzr Müor H, Mah DE US UGLOBORUM 505 Probl. I. Dati in globo terrestri loci lWengitudinem 3³ latitu Jinem inventre. Datum locum advolve Meridiano ænec (intellige semper faciei ejus orientali, numeris distinctæ)& gradus Æquatoris, qui tum sub Meridiano reperietur, quo- cunque numero insignitur, est ipsa longitudo quæsita. Tum ab E quatore computabis in Meridiano æneo ad locum us- que datum gradus latitudinis, quæ erit Septentrionalis, si datus locus ab quatore recedat ad Septentrionem; austra- Ais autem, si-ad austrum. Probl. 2. Datd lon gicudine& Jatitudiut; Iocum cui illa con- Lruat in globo terréestri assfinare. OQuæęre in Aquatore gradum Iongitudinis datæ, atque illum Meridiano æneo advolve. Tum ab Aquatore numera in Meridiano gradus latitudinis datæ versus polum Arcticum vel Antarcticum, prout ipsa latitudo borea fuerit, vel australis;& punctum in quod de- sinit numeratio, est ipse locus quæsitus. Drobl. 3. Glohum utrumque aα datam latitudinem, vel ele- vationeim poli aptare: nec non uadrautem altitudinis puncto ver- ticali applicare; denique ↄlohos Ohe pyvidif uauticœ aα quatuor znunali cardines di sponerè. Si latitudo loci data sit orea, ele- vetur polus arcticus supra Horizontem sin australis, An. tarcticus: Tum à polo elevato versus Horizontem computa in Meridiano gradus elevationis poli datæ,& punctum, in quod desinit numeratio, adjunge Horigonti, ita globus ad datam elevationem poli aptatus erit. Deinde ab Æquatore computa in Meridiano sursum gradus latitudinis datæ(quæ semper æqualis est elevationi poli)& punctum, in quod desinit numeratio, erit vertex dati loci, quod vulgo dicitur Yenith. Huic igitur puncto Meridiani quadrans altitudinis affigatur echleehi suà, ita ut margo gradibus distinctus cum dicto puncto coniscet. Denique pyxis nautica pedamento globi imposita diriget acu magneticà oculum operantis ver- sus austrl& septentrionis cardines,& manus circumducet Horizontem ligneum, doneç Meridianus æneus ad paralle- lifmum cum acu perveniat,& Meridies Horizontis lignei respi- ciat verum Meridiem loci; ita fiet, ut& reliqui cardines globi cardinibus mundi congruant. Curandum est præterea, ut pla⸗ 1 num, 506 D E USUGLOBONUM. num, cui insistit globus, Horizonti parallelum sit, adeo- que Horizon ligneus cum vero Horizonte loci consentiat. Probl. 4. Gradum Lolis, quem tenet in Ecliptica, 0α RKa. Coudarii, Sadjfuncti circuli siguorum, indagare; undequè lo- cum ejus in ipsa Ecliptica assignare. Quœrè in Horizonte li- gneo mensem& diem datum(observato Kalendariorum, Juliani& Gregoriani, discrimine, ne alterum pro altero sequaris perperam;) tum è regione diei inventi in intimo circulo, qui est signorum, invenies gradum,& signum, in quo Sol isto die versatur. Deinde in ecliptica, quæ super- ficiei globi inscribitur, quære primum sigmun modo explo- ratum,& in isto signo gradum ipsum Solis. Accuratius innotescere potest locus Solis, per Ephemeri- des pro dato anno constructas, aut per Tabulas Astronomi- Cas calculo is eruitur. 9—1 Probl. 5. Ascensimem rectam& decliuationem dolis, vel siel. ʒle cuju scbis datæ invenire, indeque indicem horarium Poræ duo- aecimæ aptare. Inventum per Problema præœcedens gradum Solis applica Meridiano& nota gradum Æquinoctialis, qui Meridiano subjacet, is enim est Ascensio Recta Solis quæsi- ta. Tum ab Aquinoctiali computa in Meridiano usque ad locum Solis in Ecliptica,& numerus graduum sic inventus, est ipsa Declinatio Sols„borea vel australis, prout Sol ab Qquinoctiali recesserit versus polum Arcticum vel Antarcti- cum. Dum veèro locus Solis Meridiano adhæret, adjunge indicem horarium horæ duodecimæ Meridianæe. Eodem modo fixæ cujusvis locum applicabis Meridiano,& gradus quinoctialis culminans, erit ipsius fixæ Ascensio Recta; at distantia inter eandem fixam& Æquinoctialem intercepta, Est Declinatio stellæ borea vel australis. Ex dato loco Solis, ejus Ascensionem Reclam&: Declina- tionem, per calculum Trigonometricum, invenire docui- mus in Lectione XIXNX. pag. 379.— Probl. 6. Altitudinem Colis veldatæ Vεe Meridianam ꝗua- Arante, vel alio instrumento tdoneo rimari. 2 1— Methodum docuimus observandi Solis vel Stellæœ altitudi- nem, in Lect. XIX. pag. 377. Probl. DE USU 6GLOBORUM. 50/ 1100 Probl. 7. Dai Deeloriune.&aaine Mler ciand da, W 5 li, vel. sv& cujfusvis, latitudiuem loct, sive elevationem poli %0 i ů Hml Methodus inveniendi Latitudinem loci ostensa fuit, in 1 Lect. XIX. pag. 378.. Probl. 8. Dard ascensione rectd Solis& Frα chfñusvis; dem. Prö pue culminationis ejuscem firæ in venire. Ascensionem k ectam U r—* 12 4 Solis aufer ab Ascensione recta fixæ(suffectis, si opus sit, 1181 360 gradibus,) ita restat arcus Æquatoris à meridie ad mo- quæ. mentum usque culminationis stellær clapsus. Hunc arcum 0 eit convertes in tempus, dividendo gradus datos per 15; nam quotus exhibebit Hοrar; tum gradus à divisione reliquos Eoheme. multiplicando per 4, efficies Hinuta Horaria. Similiter mi- Atonom: nuta gradibus adhærentia divides per 15,& quotus exhibe- bit etlamnum minuta horaris. Denique minuta à divisione , Hl. reliqua si multiplices per 4, habebis secunda horaria. Con- hedu. gatum ex horis, minutis& secundis tempus à meridie SEIAAAM computatum ostendit ipsum momentum culminationis. W, du Probl. 9. Dato loco Colis, vl Hεα cuguναρονιν; Aßcensionem Oi GuEl ejiuε, S Descen sionem 0Ohliquam necnon Amplitudinem ortivam W N. occiduam inventre. Datum locum Solis, vel fixæ, adjun- meltos ge Horizonti ortivo,& nota gradum Aquatoris, qui una E ascendit; hic enim vocatur Ascensio Obliqua Solis, vel Ar stellée. Tum à cardine Orientis, hoc est, ab interfectione de Qquatoris& Horizontis ad locum usque Solis, vel fixæ Pocen arcus in Horizonte interceptus est amplitudo sideris ortiva. x Sin eundem locum Solis, vel stelle, adjungas Horizonti Ne cciduo; orit gradus Hauatoris una descendens, Descensio W obliqua Solis, vel stellæ. Et a cardine Occidentis, hoc est. — ab intersectione alterà Equatoris& Horizontis ad sidus us- n que occidens, arcus in Horizonte numeratus, est Amplitu- A do Solis, vel stellæ occidua. 9½ roblema hoc Trigonometrice sic expeditur. Sit HPOP Tan 41 199 Meridianus, Qaquator, HO Horizon, PPolus, 8 Si- 6. l dus vel Sol in Horizonte cujus Declinatio est arcus SR, or ů—1 punctum orientis vel Occidentis. In triangulo rectangulo rahn or RS dantur RS, declinatio Solis vel Sideris,& angu- 5112 lus 508 D E US U GLOBORUM. 1us Ror S, quem Equator facit cum Horizonte& est æ. qualis complemento Latitudinis loci, ex quibus dabitur ar- cus oν R, qui est differentia Solis vel Sideris Ascensionalis quæ Ascensioni rectæ addita, vel ab eadem ablata Prout Sol vel stella versus Polum depressum, aut clevatum de- clinat dabit Ascensionem obliquam:& dabitur præterea ar- cus ν 8S amplitudo Solis vel Sideris. Differentia Ascensio- nalis quadranti addita, vel ab eodem subducta, prout stella versus Polum elevatum aut depressum declinat, dat arcum semidiurnum, qui in tempus conversus, dimidiatam moram stellæ supra Horizontem ostendet. Probl. 10. Datd Ascen sione dolis, vel fiα, rect pariter atque obliqud; dimidiatam erum moram supra vel infα Ho- rizontem, nec non longitudinem diet& nodc%⁴ĩiis, hboram item or- 1us G occasis Solig inveniré. Dati sideris Ascensionem re- ctam aufer ab obliqua, vel obliquam à recta, prout hæc vel illa major minorve extiterit, quod restat, est Difsãerentia Ascensionalisn. Hanc convertes in tempus(quemadmodum. supra Problemate 8. docuimus) quod, declinante sidere versus Polum elevatum, additum sex horis, declinante au- tem sidere versus Polum depressum, detractum sex horis, exhibet dimidiatam sideris moram supra Horizontem; at. hujus complementum ad 12 horas, est dimidiata sideris mo- ra infra Horixontem. Dimidiata mora Solis supra Horizon- tem si computetur à meridie, extabit hora Occasus Solis; at dimidiata mora Solis infra Horizontem computata à me- dia nocte, exhibet horam Ortus Solis. Porro dimidiata Solis mora supra Horizontem si duplicetur, extat longitudo diei;& dimidiata mora infra Horizontem duplicata est lon- gitudo noctis. Quod si indicem horarium aptaveris horæ duodecimæ, cum locus Solis est sub Meridiano, tum adduxeris locum. Solis ad Horizontem ortivum; ostendet index horam or- tus Solis; eundem vero locum Solis si adduxeris ad Hori- zontem occiduum, ostendet index horam occasus Solis. Undèe porro facile est computare longitudinem dici&. Noctis. Probl. Ib vo le wwent Eem nmat z0n 121 ö Ra. Wumdis, ** * Im iten g. Hlonem ke- Ut h„ ＋ EX ◻ Difereuhi IHwahur amodun. — Na sdere Are ues „em“ ICII) ae, DE USUGELOBORUM. 5⁰9 Probl. II. Dato tempore culminationis siellæ,& dimidintd cgur mord supra Hayi Zontem; horam ortus& occasuis eju sdem Itollæ invenire. Si momento culminationis per Problema 8. invento detrahas dimidiatam stelle moram supra Horizon tem, habebis horam ortus stellæe: at eidem momento Cul- minationis, addas dimidiatam stellæe moram supra Hori⸗ zontem, conflabis horam Oëcasus stellæ, computandam utrobique à meridie. Quod si indicem horarium applices 12 meridianæ, cum locus Solis culminat, tum adducas stel- lam ad Horizontem ortivum vel oσαiduum Ostendet index horam ortùs vel occasus stellæ. Probl. 12. Invenire gradum eclipticæ, qui cum data stella oritur, vel occidit; indeque ortum& oαεαρum scellæ Co simi- cum& Achronicum patefacere. Datam stellam adjunge Ho- rizonti ortivo, vel Occiduo,& nota gradum eclipticæ, qui una Oritur, vel occidit. Tum in Horizonte ligneo quœre signum& gradum, quem cum stella Oriri, vel occidere deprehenderas,& è regione gradus cOorientis reperies in Ka- lendario(Juliano, vel Gregoriano) mensem&. diem or- tus stellæ Cosmici. Et si quæras in eodem Horizonte li- gneo gradum coorienti gradui oppositum, invenies in Ca- lendario mensem& diem ortus stellæ Achronici. At è re- gione gradus cooceidentis reperies diem Occasus Achronici. Denique gradui cooccidenti gradus oppositus patefaciet diem occasus Cosmici. Problematis solutio Trigonometrica hæcęest, sit HOHo- Tav 41. IZOn HZO Meridianus, πÆquator, ECEcliptica. Pun- V4. 7. cum V intersectio Æquatoris& Ecliptice, A Punctum Eclipticæ quod cum data stella oritur punctumque qua: toris simul Oriens sit r. In triangulo Vον A datur 7 Ascensio Obliqua stellæ,& angulus qui est Æquatoris & Ecliptice, item angulus Vαν A altitudo Æquatoris su- pra Horizontem, vel ejus complementum ad duos rectos, unde dabitur arcus Eclipticæ VA,& promde punctum A quod simul cum stella oritur; sed per Kalendarium aut E- phemerides, datur tempus quando Sol hoc punctum occu- pat; unde datur tempus quando stella oritur Cosimice; da- 9113 bitur 510 DPE HSUV 6IOON UM. bitur præterea angulus v AHν½, angulus orientis Eclipticæ. Quando Sol tenet punctum Eclipticæ puncto Aoppositum, stella oritur Achronice. Simili calculo invenitur tempus occasus Cosmici aut Achronici. Prob. 13. Datd latitudine loci,& gradu eclipticæ, qui cum stella oπειιtuνr vεlι εεα⁰í⁷iit; ortum ejus oεαεααsum Heliacum dofi. nire. Datam stellam adjunge Horizonti ortivo, tum qua- drantem altitudinis circumduc in plaga occidentali, do- nec in eo gradus duodecimus(si stesla sit magnitudinis primæ) occurrat ecliptice; tum nota gradum ecliptice, ubi fit occursus, is enim est, qui 12 gradibus elevatur su- pra Horizontem occiduum, quando stella oritur; ergo eo- dem moniento gradus ecliptice oppositus deprimitur 12 gradibus infra Horizontem ortivum;& si quæras hunc gra- dum in Horizonte ligneo, invenies è regione diem ortus stellæ Heliaci, quo nimirum ex radiis Solis mane emerge- re incipit. Si stella fuisset magnitudinis secundæœ, opor- tuisset observare gradum eclipticæ depressum 13 gradibus; pro stella tertiæ magnitudinis 14 grad. depressio requiritur, & sic demceps. Quod fi quæras occasum stellæ Helia- cum, adjunges ipsam stellam Horizonti occiduo,& qua- drantem altitudinis circumduces in plaga orientali, donec gradus in eo 12 vel 13(prout stella fuerit magnitudi- nis primæ, vel secundæœ) occurrat ecliptice, tum gra- dum ecliptice, in quo fit occursus, notabis, nam qui huic opponitur gradus eclipticæ totidem gradibus demer- sus est mfra Horizontem occiduum, qui proinde quæsi- tus in Horizonte ligneo exhibet ę regione diem occasus He- liaci. Trigonometrice sic solvitur Problema. In figura præce- entis Problematis. Sit A punctum Eclipticæ quod simul im stella oritur. Sit punctum Eclipticæ quod tantum 10rizonte distat, quantum est arcus visionis pro ortu Heliaco. In triangulo rectangulo AR datur angu- ¹us KAO,&qualis angulo orientis Eclipticæ,& arcus Ro, ex quibus invenietur arcus A, qui additus arcui VA dat arcum Vo,& punctum Eclipticæ, quod Sol tenet quan- do ———— ＋ — —* —— * —1 —— 8 — — G— Laßtar J MHMi Daatum, ½ HApaz eung 7½ 1•7 Allnt. AIPH etgoth mitur u M. N¹5 Merde⸗ ö Opor 3 Wbos; ritur, Helx Ieuα DE USU G6LOBORUM. 511 ꝗ40 stella oritur Heliace. Similiter occasus ejus Heliacus reperietur. 4 t Probl. 14. Datd latitudine loci,& loco Solis; initium& uem crepusculi matutini& vespertin, ivengre. Composito globo ad latitudinem loci datam„ Der 15051. 3.& aptato indice horario horæ duodecimæ, quando locus Solis est in Meridiano; tum adducto gradu eclipticœ, qui loco Solis Opponitur, ad plagam occidentalem, unà manu voOlvVes glo- bum,& altera circumduces quadrantem altitudinis, do. nec oppositus Soli gradus occurrat gradui quadrantis 8,& ostendet index horam initii crepusculi matutini. Sin gra- dum Soli oppositum adducas ad plagam orientalem, cum- que ibi facias occurrere gradui quadrantis 183 ostendet in- dex horam, qua crepusculum vespertinum desinit. ö Trigonometrica Problematis solutio extat in Lectione XX. 49. 390. 391. 5ro5l.. Datd latitudine loct,& loco Colis, si præterea 2V his tribus, nimirum horà diei vel noctis, nec nou Altitu- dine, Aπ¹mutho Solir velstelle, unicum derur; reliqna and nvenire. Componè globum ad latitudinem loci datam; lo- cum Solis adjunge Meridiano,& indicem horæ duodeci- mæ. Tum si Hora detur, adduc indicem voluto globo, ad horam datam, firmatoque in isto situ globo, adduc quadrantem ad locum Solis, vel stellæ;& in margine qua- drantis habéebis altitudinem quæsitam, ad pedem vero qua- drantis in Horizonte apparebit Azimuthus Solis, vel stel- 12, numérandus ab intersectione Meridiani& Horizontis australi vel septentrionali) ad ipsum usque quadrantis pe- dem. Sin altitudo detur, unà manu volves globum, al-⸗ terà circumduces quadrantem, donec locus Solis vel stel- Ie Occurrat dato gradui altitudinis in quadrante: tum in- dex ostendet horam,& pes quadrantis Azimuthum. Da⸗ to vero Arimutho, adjunge pedem quadrantis ipsi Aximu- tho dato,& volve globum, donec locus Solis vel stelle appellat ad marginem quadrantis gradibus distinctum; o- stendet Sol ipse vel stella altitudinem suam in quadrante, & index horam. Pro- — TAR. 41. . 8. Tanu 41. N. 9. 512 DE USU GLOBORUMN. Problema per Trigonometriam sic conficitur. Sit ut prius HO Horizon, HPO Meridianus, AMquator, J. vertex loci, PPolus, SStella, cujus distantia à vertice est 82Z,& declinatio SP; quoniam dantur Solis& Stellæ A. scensiones Rectæ, dabitur eorum differentia, quæ in tem- pus conversa dabit tempus Culminationis Stellæ. Et arcus qui metitur angulum&ÆPs in tempus conversus ostendet horam noctis; jam in triangulo PS, ex datis P, distan- tia verticis à POlo,& P S stellæ declinatio, si præterea de- tur angulus P qui ex data hora innotescit; invenietur an- gulus Avimuthus stellæ,& arcus 2S ejus distantia à ver- tice. Vel si detur arcus S complementum altitudinis, da. bitur angulus P ac proinde hora noctis,& angulus PS stellæ Arimuthus, vel si detur stellæ AZzimuthus PS, in- venietur angulus PS qui horam noctis dabit,&arcus C S, cujus complementum est altitudo fixæ. Eadem ratione, ex datis altitudine Solis, ex observatio- ne capta,& ejus declinatione, quæ ex tempore per Tabu- las innotescet, invenietur angulus ÆPS qui in tempus con- Versus horam diei ostendet. ö Probl. 16. Datorum in globo terreseri duorum locorum di- stantiam& angulum positionis inπεuiré. Vocemus docendi gratia, unum datorum locorum primum,& alterum secun- aum. Exploratd per Probl. I. loci primi latitudine, com- pone globum terrestrem ad eam latitudinem,& ipsum lo- cum primum advolve Meridiano, firmatoque globo in isto situ,& aptato quadrante altitudinis ipi vertici(ubi tunc erit locus primus) adjunge quadrantem loco secundo. Quo facto numerabis gradus 4stantiæ à vertice ad locum usque secundum,& augulum postionis in Horizonte inter Meridia- num& pedem quadrantis. Trigonometrice sic expeditur Problema. Sit EQqua- tor, P Polus, S& duo loca in Telluris superficie, quo- rum complementa Latitudinum sint PS, Podata;& quo- niam locorum Longitudines dantur, dabitur Longitudinum differentia, scil. angulus SPe, unde in triangulo SeP quia dantur latera SP, H cum angulo 8SP6, invenietur S, di- stantia —.—— ———ñ——— — ⏑—— A ntiad e uuni,& lus P I&, i. E⁸α eryatio- Labu. Puscon. Num i docend m/ecun. Col Hum lb- ⁰ D5E: USsU 6I.ORUN 513 stantia locorum. Quæ in milliaria convertitur, computando pro singulis gradibus, milliaria 60. Invenientur quoque, an- guli PS& PoS, qui sunt positionum anguli. Similiter in cælo si dantur declinationes,& Ascensiones Rectæ duarum fixarum, dabitur earundem distantia, vel si carum Longitudines& Latitudines sint notæ, innotescet quo- que earundem distantia. Probl. 17. Dato rempore& loco: Thema cœli erigeré. Composito globo cælesti(vel si hic absit, terrestri) ad dati 1oci latitudinem, investigatum locum Solis dato tempori con- gruentem adfunge M cridiano,& indicem horæ duodecimæ tum volve globum, donec index ostendat horam datam: vel si accuratius Operari libcat, inventæ per Probl. 5. Ascensioni Rectæ Solis adiice gradus, quot competunt horis& minutis à mieridie elapsis, computando pro qualibet hora gradus 15. & pro quaternis minutis horariis gradus singulos; Abjectis, si sit opus, gradibus 360; ita conflabis Ascensionem Rectam jedii Cœli, sve gradum quinoctialis dato temporis mo- mento culminantem, ideoque sub Meridiano collocandum. Tum semicirculi positionis extremitates cardinibus Meridiei & Septentrionis affige. Moxa gradu quatoris culminante computa in ipso&quinoctiali versus orientem gradus 30,& per ipsum 30 gradum traduc semicirculum positionis,& Ob- serva gradum, quo is secat echipticam, is enim est cuspis do- mus unπdισcime, quam adnotabis in charta. Rursus admove semicirculum positionis gradui quinoctialis, inde à culmi- nante gradu sexagesimo,¬a gradum, quo secatur ecli- ptica, ita acquires cuspidem domus guodecrme, notandam huniliter in charta. Deinde transfer sernicirculum positionis ad plagam occidentalem,& à gradu 4 quatoris culminante computa versus occidentem gradus 30,& Per punctum Æ- quatoris, ubi desinit numeratio, trajice semicirculom Posi- tionis, qui quo loco secat eclipticam, ostendit cuspidem do- mus nonæ. Denique per gradum quatoris inde à Meridia- * X 1 71 7 Ter I. x 275 no 60 trajechis semicirculus positionis ostendit in ecliptica 7.— 888— ＋—„=„„— 4*— RN IA 35 4. 7 Culpidem domus eαιαεα. Iple VerO NMer idianus secatec Uptt⸗ . cam 3i4.. DE US U G(I. 00NUN. cam in cuspide decimæ, at Horizon ortivus quo loco secat ecliꝑticam, exhibet cuspidem ↄrimæ, quæ æscendeus vocatur, & Hloroscopus; occiduus vero Horizon prodit in eadem ecli- ptica cuspidem septimœ, quæ quemadmodumè diametro Op- ponitur primæ, ita& Octavæ opponitur ecundae,& nonæ cer Tia,& undecimæ quinta,& duodecimæ seuta. Probl. 18. Erechi thematis punctum quodvis 4d Hundtum quodvis dirigere. Si Planetæ& aspectui cuivis locum suum assignes in Zodiaco secundum longitudinem& latitudinem, & cligas Planetam quemvis vel gradum eclipticæ, quem di- rigere velis, vocabis hunc, docendi gratià Vocum Vrimum; & locum ad quem istum primum dirigere est animus, voca- bis secunaum. Tum per locum primum„(qui& Significa- 205 dici solet) trajicito semicirculum pofitionis„& quo loco is secat ÆEquinoctialem, eum gradum diligenter notato. Re- tento autem semicirculo positionis in isto situ, volve globum versus occidentem, donec locus secundus appellat ad semi- circulum positionis,& tum vicissim observa gradum Æquino- cialis, qui illi subjacet. Aufer gradum prius notatum à po steriori(suffectis, si pus sit, 360½) quod restat, est arcas directionis quæsitus. — S 2.— 22 ö ＋ 2 —... TRIGONOMETRIXA PLANX ET SPHÆRIC L. 1. E. M E. N 1. 1T EM 5*. N 2.4 A RITHMETIC A LOGARITHMORUM TAaAETn. 47/ TRIGONOMETRIX. PLANÆE ET SPHÆERICA. E. I. E. N 5. E I. N. I. EI100½ I. X datis Trianguli Lateribus angulos,& ex angulis la- tera laterumve rationes,& mixtim assequi, Prigono- metriæ munus est. Ad quod præœstandum, necesse est, ut non tantum Peripheriæ circulares, sed& rectæ lineæ cir- culis adscriptæ, in notas aliquot& certas partes secari suppo- nantur. Placuit itaque Veteribus Mathematicis, peripheriam circu- li in 360 partes(quos gradus appellant) dividere;& unum- uemque gradum in 60 minuta prima,& hæc singula in Go —————v& rursus horum unumquodque in 60 minuta Per- tia,& ita continuo partiri. Et angulus quilibet dicitur esse tot graduum& minutorum, quot sunt in arcu qui angulum ilum metitur. Quidam gradum in partes centesimas, potius quam sexage- Himas partiri volunt:& utilius fortasse esset, non gradus sed& psum circulum in decupla ratione secare; quæ divisio forsan aliquando obtinebit. Verum si circulus constet 360 gradibus, ejus quadrans quæ est mensura anguli recti, erit parum partium 90. Si circulus in 100 partes secetur, Qua⸗ drans crit 25 partium. Complementum Arcus, est differentia ejus à Quadrante. Chorda siVe subtensa est recta linea ab uno Arcùs termino Snus rectus alicujus arcus qui& sumpliciter sinus dici so⸗ ——— 17 518 TRIGONOMETRIÆX PLANÆ let, est perpendicularis cadens ab uno arcus termino ad ra⸗ dium per alterum termimmum ejusdem Arcus ductum. Est igi- tur semisubtenia dupli Arcus; scil. est DE: DO,& cst arcus DO duplus ipsius DB. Hinc sinus arcus 30 gr. æqua- lis est dimidio radii, nam per 15 El. 4. Latus Hexagoni cir- culo inscripti, hoc est subtensa 60 gr. æqualis est radio. Si- nus dividit Kadium in duo segmenta CE EB, quorum unum CE quod centro& sinu recto intercipitur, est sinus com- plementi arcùs DE ad quadrantem) nam est CE. FHU qui est Himus arcus H)& vocatur cosinus. Aterum segmen- tum BE quod sinu recto& peripheria intercipitur, vocatur sauts Versus aliquando dicitur Arcùs Vagitta. Quod si per umim Arcus terminum D producatur àcen- tro recta CG/, doncc occurrat rectæ B G super diamètro ad cjus terminum B perpendiculari; vocabitur in Trigonometria CG Hecaus,&BG Tangeus arcus DB. Cosecans& Cotangens Arcus est secans vel tangens Arcus, qui est complementum alterius ad Quadrantem. Not². Sicut cadem est Chorda Arcus& ejusdem complementi ad circulum. Sic idem est sinus, eadem Tangens, eademque secans Arcus & ejusdem complementi ad semicirculum. Sinus Totus est sinus maximus, seu sinus 9o graduum qui circuli radio æqualis est. Canon Trigonametricus est Tabula, quæ à minuto incipiens, seriatim exhibet quas habent longitudines singuli sinus Tan- gentes& Secantes, respectu radii, qui unitatis loco ponitur, & in partes 10000000 Vel plures decimales dividi intelligi- tur. Adeo ut ope hujus Tabulæ, cujuslibet Arcis vel an- guli sinus Tangens vel secans haberi potest. Et vicissim ex dato sinu Pangente vel secante dabitur qui iis respondet ar- cus vel angulus. Observandum est in sequentibus R esse no- tam Radii, S notam sinus coS cosinus, T notam Tangen- 1u5,„& COI co Tangentis. ——— . I NUT Aceh. Metroad Lamet Arcus, Scut alum. SArcùs umqu Hiens, Lal⸗ 1 . e mex kta lelb· gelr 8. I. E M E N T A4. 519 CONSTRUCTIO CANONIS. PROP. I. THEOREMA. Hatis duobus quibuslibet Trianguli rectanguli lateribus, re. liquum quoque dabitun. Est enim per 47 Elementi primi AC ABACd an ACGEBCAB q& vicissim ACꝗ ABꝗSBCq. 2. unde per extractionem Radicis quadratæ, dabitur Ae VABA＋H B5BCd& AB VACꝗE BC& B· —— ＋ VXACqꝗHABq. PR O P. II. PR OI. Hato DE siuu arcus DB. Iuvenire Cosinum DE. TAn. 42. Ex datis CD radio& DE sinu, in Triangulo rectangu- 10 CDE dabitur per præcedentem CES VCDIEDE PR O P. III. PRO B I. HDato D E siuu arcus cufusuis D. Invenire Dά vενιρ Var.as. siuum arcus dimidii. Hg. 2. Dato DE dabitur per præcedentem CE, ac proinde EB quæœ est differentia inter cosinum& Radium. In Triangulo igitur rectangulo DEE datis. B Gaent 10 5 C emissis D Mest sinus arcus DL arcus DB. 222 ROp.IV. EUR.3E. Dato B M siuu arcus B L invenire siuuim dupli Arcus. Van 43. Dato BM sinu, dabitur per Prop. 2. cosinus CM. Su t autem Triangula CBMDEE æquiangula, ob angulos ad — 7 E&Mrectos& angulum ad 5 communem, quare(per 4. 6 D U 2 D 3 5 4 PEI 4＋˙ 5.9 erit CB: C M:: BD vel 2BM: DE. Unde cum dantur tres priores heus Analogiæ termini, quartus quoque qui est si- nus arcus DB innotescet. Corol. Est CB:; 2CM:: BD:2DE, hoc est, Radius ad an 48 LXAB. 42. . 2. 526 TRIGCONOMETRIE PLANE duplum cosinus arcus: DB ut subtensa arcus DB ad sub- tensam dupli arcus. Item est CB: 2 CM::(23M:2DE.) BM: DE:: CB: CM. unde dato sinu arcus alicujus& fnu arcus dupli, dabitur cosinus arcus simpli. K 40 R. NV. Datis sinubus duorum arcuum νD, Iuvenire N—2 num summæa arcuum. Item EL fiuum disfercntis eorug. dem. Ducatur Radius CD,& fit CO cosinus arcus FD„Qui proinde dabitur, per O agatur OP parallela ad DK. Item ducantur OH E parallclæ ad CB. Et ob æquiangula triangua CDK COPCHIFOHFONI. Est primo(D: DEK:: CO. OP, quæ itaque innotescet. Item est CD: CK :: FO: FEM, adeoque& illa nota erit. sed Ob FOSEOC rit EMMG-ON. Est itaque OP ＋ FM Esinui sum- mæ arcuum:& OPEHM, hoc est, OP-ONEL sinui differentiæ arcuum. Q. E.I. Coroll. Quia arcuum BE B D BF differentiæ sunt æqua- les, erit BD arcus, medius arithmeticus inter arcus BE BF. X. E. VI. Zisdem propositis, Radius est ad auplum cosinus arcus zne— Aii, ut siuus disterentiæ ad disferentiam sinuum cutremo- rum. Nam est CD: CR:: FO: FM, unde duplicando conse- quentes CD: 20K: FO. 2 ENM vel ad FG, quæ est dis- ferentia sinuum ELFI. C.E. D. Co½. 1. Si arcus BD sit 60 grad. Erit disferentia sinuum FIELæqualis FO sinui distantiæ. Nam in eo casu fit CK& sinus 30 grad. cujus duplum æquale est radio, adeoque ob CD=2CE erit FOG. Adeoque si duo arcus BEBF ab arcu 60 gr. æquidistent, erit differentia simuum æqualis smui distantiæ FD. Cor. ———— , J,. M E N N K. 521 X 9 77 D/ A W„ Cr. 2. Hinc si dentur sinus omnium arcuum, dato inter- Wimi Vallo à se invicem distantium ab initio quadrantis usque ad RNUOSVMI————— 1 2* ühü 60 gradus, facile inveniuntur reliqui per unicam additionem. Eftenim sinus 61 gr. sinui 59 gr. U. sin. I gr.& sinus 62 gr.= firmui 58 Rr. E.= sin. 2 gr. Item sinus 63 gr.= sinui 57 gr.— sin. 3 gr.& ita deinceps. amn Cor. 3. Si habeantur sinus omnium arcuum ab initio qua- nie n, drantis, dato intervallo à se invicem distantium, usque ad datam quamvis quadrantis partem, dabuntur exinde sinus PI omnes usque ad hujus partis duplum. eæ omnes OE sinus usque ad 15 gr. Per præccdentem Analogiam inveniri ma possunt sinus omnes usque ad 30 gr. Nam est radius ad du- 1.m plum cosmus 15 gr. ut sinus unius gradus ad differentiam si- N, um 14 gr.&16 gr. ita etiam est sumis 2 Hr. ad differentiam 310 sinuum 13& 17 gr.& ita sinus 3 gr. ad differentiam sinuum Or 12& 18 gr. atque sic continuo usque dum pervemetur ad 4*5 lum sinum 30 gr. ILsan Similiter ut Radius ad duplum cosinus 30 gr. seu ad du- ö plum sinus 60 gr. ita sinus I gr. ad differentiam sinuum 29 untagur& 31 gr.:: Im. 2 Rr. ad Differentiam sinuum 28& 32 gr.:: 3 HE gr. ad differentiam sinuum 27& 33 gr. sed in hoc casu est Ra- dius ad duplum cosinus 30 gr. ut ad 3. ac proinde si mul- tiplicentur sinus distantiarum ab arcu 30 gr. Per Z dabun- tur differentiæ sinuum. n me Similiter in ipso initio quadrantis minutim exquirere pos- smun. sumus sinus, datis sinubus& cosinubus unius& duorum mi- nutorum. Nam ut Radius ad duplum cosinus 2.: sim 1.: dif- serentiam sinuum 1.&3“:: Sm.: differentiam sinuum Oꝰ& oe. 4 hoc est, ad ipsum smum 4. Et similiter ex datis sinubus elk⸗ priorum 4 inveniuntur sinus reliqui usque ad 8& exinde ad 16& ita deinceps. smuum (N PROP. VII. THEOREMA e O0 JIu arcubus eviguis sinus& Tangens eju sdem arcus sunt Juam EBI proximè ad se invicem, in ratione aqualitatis. Nam ob æquiangula triangula CED CBG, erit CE: CB. Ia. VVV D.. 4 ñ——— 522 TRIGONOMETRIÆ PLAN. ED: B G. sed accedente puncto Dad B, evanescit EB respe. (Cu arcus BD: unde fit CE fere æqualis CB. adeoque& E 5 ere æqualis B G. Si EB sit mirior radii parte crit dif- ferentia inter sinum& tangentem, minor qu que tangentis Parte.6s. Co. Cum Arcus sit tangente minor, sinu autem fuo ma- 3or;& exigui arcus sinus& tangens sunt fere æquales, erit ctiam arcus suo sinui vel tangenti fere œqualis, adeoque in exiguis arcubus, erit ut arcus ad arcum ita sinus ad sihum. EP. VIII. Invenire sinum Arcus uuius minuti. Latus Hexagoni circulo inscripti, hoc est, subtensa 6⁰ graduum æqualis est Radio,(er 15tam Ati.) Radii itaque semissis erit sinus Arcus 30 gr. Dato itaque sinu Arcus 30 grad. invenitur sinus arcus 15 gr.(ver gtiam hujus.) Item ex dato smu 15 gr. per eandem invenitur sinus 7 gr. 30. min.& sinus hujus dimidii 3 gr. 45, similiter invenitur;& ita deinceps, do- nec duodecima peracta bisectione, perveniatur ad arcum 52 44 3. 45 cujus cosinus fere æqualis est radio, in quo casu(uti constat ex prop./7.) sunt sinus arcubus suis proportio- nales; adeoque ut arcus 52 44. 3. 45, ad arcum unius minuti ita erit sinus prius inventus ad sinum arcus unius minuti, qui igitur dabitur. Dato sinu unius minuti, invenietur per prop. 2& A, sinus duorum minutorum ejusque cosinus. FPR0D. IK. IIIELORNENMX. S² angulus 54 in peripheria circuli éxislens, hisocetur rectd ID, Et producatur A uoa DE ihsi occurrat Zan eri, S A3. In Quadrilatero A3BD(per 22. 3.) sunt anguli B& ACD Egquales duobus rectis DCEADCA(per 13. I.) unde erit angulus B DCE. Quin etiam est angulus EDAC (per 5. 1.) DAB& est DCEDB. quare Triangula BAD & CED sunt congrua& CE est æqualis AB. SA —2 ⏑2 nums I * E LEMENT A. 4³ PROP. X. THEOREMA. Fiut archt CCD DE EF&c. aquales; Arcuum. Tan 423 §B ICAD AE Se. sabtens& ducantun, erit V 0 ,, e , Producantur A D in H, AE in I, AF in K,& AG in L. ut triangula A CH ADI AEK AF Lsint Isoscelia. Et uoniam angulus BAD bisectus est, fiet 13H1 A per ræcedentem. Similiter erit EIAC, FRK AD, item Sed Triangula Isoscelia A BCAHDAI EARK FAL, ob angulos ad bases æquales, sunt æquiangula. Quare exit ut AB. AC:: AC. AHSABAD.: AD:. AIlACWAEt: AE: AK ALD ＋ AF.: AF: AI. AE-. KG. Q. E. D. Corol. Quoniam est AB ad AC ut Radius ad duplum co- sinus Arcus: AB,(per corol. prop. 5.) œrit quoque ut Ra- dius ad duplum cosinus arcus AB ita: A B. AC:: AC: Z•AB-＋: AD.: AD.IA AE:: AE:: AD AE&c. Sint jam arcus AB BCCD G&c. singula. Erit AB sinus mius minuti,: AC sinus. AD sinus 3. AF sinus 4&c. Unde datis sinubus unius& duorum minutorum sinus omnes reliqui sic facillime habentur. Dicatur cosinus arcus unius minuti, hoc est, sinus arcus 89 gr. 59 Q& fient sequentes Analogiæ, R: 2 Q: Sin. 2.: Sin. J4 ＋ Sin. 3. quarèe dabitur sinus 3. Item R: 2:: S. 3: S. ＋ S. 4. quare dabitur S. 4. Item R: 2: S. 4: S. 3. S.). quare habetur sinus 5. R: 2 Q:: S.5“: S. 4 ＋S. 6 proinde dabitur S.G6. Atque ita deinceps ad singula quadrantis minuta dabuntur sinus. Et quo- niam Radius seu primus Analogiè terminus est Unitas; ope- rationes per multiplicationem contractam& subductionem facillime expediuntur. Inventis smubus, usque ad gradum sexagesimum. Reliqui sinus per solam additionem habentur(per cor. 1. pr. 5. Datis sinubus, Tangentes& secantes ex Analogiis sequen- VVV 2 tibus 6. 52²⁴ TRIGONOMETRIE PLAN 4, 4½ tibus invenire possunt. Ob æquiangula Triangul an C L. un EE CE: ED:: CB: BG. hoc est, coS: S::R: T. 5 ½I. II. E. N:R:cO T. CE: CD:: CB: CG. h. e. cCo S: R:: R: Secant. DE:CD:: CH: CI. h. e. S: R:: R. co Secant. 5SCUI OI. IUM. Magnus ille Geumetra, sammusque Philosophus Dominus Newtonus Primus sories in 7i fiuitum convergentes ex- hibuit, quibus eα datis arcubus, borum fiuus computard possiut. Nam si Arcus dicatur A Radius it unitas in venit g³uνs sinum fore. — A—.— 2—3—28 ö——— ＋.2. 3.1.2.. 4.5. 2. 3.4.5. 0. 1. Z.3.4. 5. 6.7.8.0. Sc. Cesinum autem esse 4.3.0.7.8.9 H As A. . 11.2.3.4 k.2.3. 4. 5.0. 2. 3. 4. 5. 68 Ha series initio quadrautis cum Arcus A parvus est ce- lerrime convergunt. Nam in serie 5pro sinu, si A non Juperet decem minuta, duo primi ejus termini sci, A— A dant senum aꝗd ry Hgurarum loca, si Arcus A non ma- or sit gradu, tres primei ehhibent sinum ad totidem Loca, adeoqus pro primis& ultimis Quadrantis sinubus h& se- ries sunt aumodum utileu. sed quo maßor sit arcus A, eo Pluribus opus ést terminis ut inveniatur sinuus in numeris qui sunt veri ad datum figurarum locum. Tandem autem lentissiue convergunt series cum Arcus fere æqualis est Ladio. Cui rei ut remedium adferatur œgο alies echgi- tawi serier Newtonianis similor, in quibus suppono arcum, cuus siuus quæritur, esse summam vel differentiam duoä rum arcuum scil. esse A vel A.—2: uotosque esse si. aum& cosinum arcus A. scil. sit a sinus arcus A& b ejus cossuus. CJiuus Areus A ½ Per hanc seriem eaprimetur ö 1.4 —*— — 222 CED * — Damn IoI g. ontutn ＋ 7977 ＋ Il. ½. N A— s. ILA 15 autEN VI. V Iagi. M, dub- 2 f. 5 00 hl 1.4 F 1, E M N ＋ A. 525 54 a 2* 2 921 5 2²⁵ 4. 4 4———— ‚———.—&C: 1 V 2. 3.2.5 1.2½3 4 1.2.304.5 9* 4 23 bZ 2. Efus(Osinus b——————＋— ＋. 12 12.3 E. 2. 54 225 b 2 —j.————————— c. 1.2. 3.4. b. 2. 3.4.5 6 Fimiliter sinus Arcus AE est 9 7 bz2 42⁴ 525 3.—— 1 I.. 2. 3 1.8. 3 4 1.2. 3. 4. 2 ——— 8 1. 2. 3.4. Y· 6 Et cosinus est 22 bzv 223 b⁴ 42⁵ 4. b..—.—.—————— 3.2 beE 3 1.2.674 1.2.3.4.) Hrcus A est medius Arithneticus iuter arcus A z. Difsferentis sinuum sunt 5½ A D t b25 aZ5 à5Z——————— 1 2 e6 9 7 bz3 4 2⁰ 25 42⁵ 4.———.———— 1 1. 2. k. 2. 3. 1. 3.4 1. Z. 3. 4· 5 F. 2. 3. 4 5 6 Dade disferentiarum differentia seu disfurentia secunda 42 2 4 2. 2.4. 7. foe.——————— ＋——— 6. 1.2 1.2. 3.4 1. 2. 3. 1. 5. 6 Seu Za 2 2 25 —————————. 1. 2 1. 2. 3.· 4 1. 2. 3. 4· F. 6 uæ serier æqualis est duplio seuus arcus medii ducto in saum versum arcus 2& celerrime convergit. Ades ut VVyV3 2 526 TRIGONOMETRIE PLAN 7½½ ö ů 215 I s st minutum primum, termiuus soriei primur dat dir᷑. l foreutiam secundam adα ν fgurarum loca; secundus au- em terminus ad 25 loca. Hiuc datis siuubus duorum quorumvis arcuum inter- 7 /. 737 1½ 7 22 72 ＋„ vallo minuti distantium, facili aumodum operatione 11 * 7 veniri possiut sinus religuorum omuium arcuum qui fsunt in eadem Hrogtelsione. 2 In serie prima& secunda si Arcus A sil S O erit 4 0 sece & b esus cosiuur fet radiu 6.. ö 6 COHA, 0 FCALIF sou.—— Hinc Aestruchis ter. rial minis ubi ési à& pro b posito 1 series 4eveuiunt Newto- 20 Sa= T unude quoque destructis terminir ubi est& Yro à 10 gosito 1 ru sus prodibunt serier Newtonianæ. Onmes bœ sories αν Newtonianis facilée Ruuut per prop. 5. Huus. E D. 4 X OQ 4— 2— I. Ia Trianculo Rectangulo, si Hypoteun 2 sit Nadius, Iatera ＋ sueut siuus augulorum oppolitorum; si vero crus alterum Jat Neadius, erus religuum est Tangens anguli opposeti, Hypoteuu sa est anguli secaus. Fan.42. Manifestum est CB esse sinum arcus CD, ejusque cosinum 3.). esse AB; sed arcus CD est mensura anguli A,& complemen- g 3. tum mensure anguli C. Præterea in 84. figura posito AB radio, est BCTangens,& AC secans arcus BD, qui est men- sura anguli A,& similiter in eadem figura posito B C radio, est BA Tangens& AC secans arcus B Evelanguli C. Q. E.D. Est igitur, ut ACsecundum datam quamvis mensuram æsti- mata ad BC in eadem mensura æstimatam, ita erit 10000000 numerus partium in quas dividi supponitur Radius, ad nume- rum qui exprimit in iisdem partibus longitudinem quam habet ö 1 smus anguli A, hoc est, Erit AC: BC::R: S, A ö Simili ratione erit AC: BA::R:S., C M ö Item AB: BC:: R: T,A 1 Et BC: BA:: R: I. 92 Iune Wei E. LEM ENCTI A. 527 In his itaque e e tres quælibet, per- Regula am Trium invenietur quarta E.R B. KII. ＋ Trianguαι plani Zatera—＋* 7E Hiuus 1 Hl 0ori. %h½sei orunn Trianguli circulo inscripti latera p rpendicularibus radiis bi- Tau 42. nr Et erunt semilatera sinus angulorum ad Periphe. riam. Est enim angulus EDC ad centrum duplex anguli 564 ad Peripheria m(Per 20. EI. 3.) Cujusque itaque dimidium sc. BDE&quale est 5AC, at que cjus sinus est BE. Eadem ratione erit BF sinus anguli BCA. Et A G erit sinus an- guli ABC. In Triangulo rectangulo est BD BCRadio(per 31.. 10. EI. Z.) sed Radius est sinus anguli recti unde: BC est nus anguli A. In Triangulo Amblygonio, ductis EL Ei it angulus fe. 11. L complementum anguli Aad 43—* rectos(per 22. El. 304 22 pProindeidem erit utriuldue anguli sinus. Est autem BDE(cu- jus sinus est E angulo 1. quare erit&BE sinus anguli BAC. Sunt itaque in omni triengul 0O semisses laterun Imus 8 angulorum PPostrorum, mani 0 um autem est latera esse in- rer se ut ipsorum semisses. Q.E. R OP. II. Iu Triangul Plauo summa Crurum, Aiferentia Crurum Taugens semisuummæ anguloruin 74 basim& Tangens se- adegureutiæ eoruudem funt proportio. naler. Sit Triangulum AECcujus crura AB BC& Basis AC; pro- TaB 423 ducatur AB ad H ut sit BH= B Cʒ erit AH summa crurum, Vs. 12. fiat BI BA,& erit IH differentia crurum. Item est HBC angulus angulis A＋ ACB(per 53 EII.) cujus itaque di- midium EBC semisummæ angulorum A& ACB, ejusque TJangens(posito Radio E) est EC. Ducatur B D. ad AC parallela fiatque HE CD. Et ob HECh erit(per 4. El. 1.) angulus EHBF CBD SBCA(per 29. El. I.) Est ctiam angu- 18 — 5²8 TRIGGNOMETRIR PLANÆ Ius HBD= angulo A: unde erit EBD differentia angulorum AACB; Et EBD eorum semidifferentia, cujus tangens est E D. Per I ducatur IG parallela ad A Cvel BD& fet(per EI. 6.) AB: BI:: CD:DC. At est AB=BI, unde erit & CDSD G. at est CDHF, unde HF G& proinde HGDF&G:HG=DF-DE. Et quia triangula AHC 1HG sunt æquiangula, erit AH: IH:: HC: HG::: HC: HG:: EC: E D. hoc est, erit AH Tumma crurum ad IR differentiam crurumut EC Tangens semissis summæ angulo- rum ad Basim, ad ED Tangentem semissis disserentiæ eorun- dem. Q.E D. PRXOP. XVXIV. In Triangulo Plano„Basis, summa laterum, Di sforentia laterum, Differentia segmentorum basas sunt propor tiona- Iv. Tan.433. Trianguli B CD basis esto DC, centro B radio B Cdescri- Ha.. batur circulus,& producatur DB in G, e puncto B in ba- sin cadat perpendicularis BE, erit DGDB＋BCSsum- mæ laterum,& D H·E differentiæ laterum,& segmenta ba- sis sunt DECE quorum differentia est DE. Quoniam(per Cor. prop. 38. El. 3.) rectangulum sub D DF æꝗgualé est re- 4561.0 sub DG DH, erit(per 16. El. 6.) DC: DG: I E OnN. Datis duarum quarumvis quantitatum summa S aifferen- tia, ipsas guantitates in Veniré. ＋ 43. Si ad semisummam addatur semidifferentia, aggregatum c- Ve. 2. rit æquale majori; si autem a semisummã subducatur semidif- ferentia, residuum erit æquale minori. Sint emim A B B3C duæ quantitates;& capiatur AD C. Fiet D B difleren. tia. Quarum summa est AC, quæ bisecta in Edat AE 16 TI5B XIIT 8 1. E dr k. N TI 4. 529 E Csemisummam& DE vel EB semidifferentiam. Porro est AB=AE＋EB=S semisummæ à semidifferentia,& BC CEEEB S semisummæ— semidifferentia. Nquovis Triangulo plano datis duobus angulis, datur ter- tius qui est summæ duorum reliquorum complementum ad duos rectos. In Triangulo autem rectangulo dato alterutro angulo acu- to, datur reliquus, qui est dati complementum ad rectum. Datis autem duobus trianguli rectanguli lateribus, ut inve- niatur reliquum non opus est canone sed perficitur ope prop. primæ hujus. ö ö Triauguli Rectanguli solutiones Trigonometricæ sunt quæ sequuntur. Datis. Quer. Fiat. ＋ABBC Angusi. AB. BC.: R. Tanguli A. Cujus com-.. cruribus. lementum est Angulus C. 168 B C Anguli. AC: AB:: R. S, Ccujus complemen- crure& tum est angulus A. e, ABXX BCcrusR: I,A:: AB: B C. 3 crure& an- alterum. gulo. IDTTTTT 20 FABNC ACHy-S, C: R.: A B.A. 4crure& an- Potenu- 1 Julo. la. XXX Lu TEKIGONOMETRLE PLAN -=- ͤ.... Iu Triangulis obliquangulis. Datis. 1& latere. —— Quær. Fiat. ö A. B. C&C C&IS, C.S, A.ABBCItem C.S. B. AB angulis AClate-. AB. AC; datis duobus angulis datur 23— tertius, unde casus cum dantur duo san guli& latus; reliqua quæruntur, A. B. C. 0O 19—— in hunc casum. AB. AC S, C. S., A: AB: BC.EtS, C:S. B mnibus ahn- 2 gulis. BC o.: AB: AC. unde datis angulis inve- mnia la- nire licet proportiones laterum, at tera. smon ipsa latera, nisi ipsorum unum Pprius innotescat. 79..50„ — A& BAB: BC. S, C. 8/,A, qui proinde in- duobus la- anguli. veniatur. Sed quia idem est sinus —3 teribus & angulo uni opposito. anguli& ejus complementi ad duos rectos, prænoscenda est anguli A Species. BC&Angull BC AB: BC— AB: B. Iateribus A& C. T, A T CT, A C duobus& 4fanSuo in- — WESNE Oomnibus la- teribus. — unde datur 2 2 differentia angulorum A& C quo- rum summa quoque est nota,& proinde per Problema post prop. 14. dabuntur ipsi anguli. ——— ———— Anguli. Demisso a vertice in Basim perpen- diculo. Quærantur segmenta basis Riat fcil. BC: AC per prop. 14. Fiat scil. BC: A AB:: AC— AB: DC— H5& ex hac analogia dabuntur BD. C. & proinde per resolutionem trian gulorum rectangulorum A5 ADC dabuntur anguli. 4 28 . E M E E X. 731 TRIGONOMETRIL EIEFE.N. .————————— DEHINITIONES. Dhere Poli, sunt duo puncta in superficie Sphæri- cã, quæ sunt Axis extrema. 2. Polus circuli in Sphæra, est puncbum in super- ficie Sphæræ, à quo omnes rectæ lineæ ad circuli circumferentiam tendentes, sunt inter se æquales. 3. Circulus in sphæra maximus est, cujus planum transit per sphæræ centrum,& cujus centrum idem est cum centro Sphæræ. 4. Triangulum Sphæricum est figura comprehensa sub ar- cubus trium maximorum in Sphæęra circulorum. 5. Angulus Sphæricus est is qui in superficie sphæricâ, continetur sub duobus arcubus maximorum circulorum; qui æqualis est inclinationi planorum istorum circulorum. R Oi.. Circuli maximi AC AVB se bisfariam sécant. Tan 43-. . Cum enim circuli habent idem centrum, communis eo- rum sectio erit utriusque circuli diameter, quæ eos bifariam secabit. Cor. Hinc in superficie, sphæræ duo maximorum circulo- rum Arcus semicirculis minores, spatium non comprehen- dunt, non enim possunt, nisi in duobus punctis semicirculo Oppositis, sibi invicem occurrere. PROP. Tan 43. Fg 6• 533 TRIGONOMETRIÆ SPHÆRICÆ 1. I. Si& polo C circuli cujufois AV B. ducatur ad Fus cen- ＋um recta CD, ea adα planum istius circuli perpendicula ris erit. In circulo AFB ducantur diametri quævis EF GEH; Et quoniam in triangulis CDFCDE, sunt CD DF quales CD DE,& basis CF æqualis basi CE(per def. 2.) erit (per 4. El. 1.) angulus CDF= angulo CDE, ac proinde uterque rectus erit, similiter demonstrabitur, angulos CDG CDH esse rectos; uvnde(per 4. El. II.) erit CI perpen- dicularis ad planum circuli AEE.. E. D. Cor r. Circulus maximus distat à polo suo intervallo Qua- drantis; nam ob angulos CDG CDF rectos, erunt ipso- rum mensuræ, sc. arcus CGCF quadrantes. Cor. 2. Circuli maximi per polum alterius circuli tran- seuntes cum ipso faciunt angulos rectos;& vicissim, si cum altero circulo faciunt angulos rectos; transibunt per polum 36. circuli; nam per rectam D C eos transire ne- cesle est. PK. b. 11 Si poι describatur mavimus circulus ECV, arcus CV interceptus inter AAV, ést men sura auguli CAV, vel C(5F. Per corol. 1. præcedentis, sunt arcus AC AF quadrantes, ac proinde anguli AD CADF sunt recti, quarèe(per defin. 6. El. 1I.) angulus CDF(cujus mensura est arcus CF) æqua- lis est inclinationi planorum ACB AEFB, æqualis quoque angulo Sphærico CAF vel CBF. Q. E. D. Cor. 1. Si arcus AC AF sunt Quadrantes, erit A polus circuli per puncta C& F transeuntis, est enim AD ad pla- num FDC normalis,(per 4. El. 1I.) Cor. 2. Anguli ad verticem sunt æquales, uterque enim est æqualis inclinationi circulorum. Item anguli qui sunt deinceps sunt æquales duobus rectis. ö ROP. 1 r Triangula erunt æqualia& Item Triaugula eruut æαι 1. K M E V X 4. 533 RK OP. IV. congrua, si duo latera habeant Juobus lateribus æqualia, anguloe aqualibus lateribus comprehensos etiam æquales. P R O P. V. nalia& congrua, latus cum angu- lis adjacentibus in uno triangulo sit qualè lateri cum angu- lis adiacentibus in altero triangulo. PO. Triangula ꝗquilatera sunt etiam æquiangula. R 0 P. VII. In Triangulis Isoscelibus, anguli ad basim sunt quales. R O P.VIII. Fi anguli ad basim fuerint aqualer, erit Trian- gulum Isosceles. Eodem modo demonstrantur quatuor propositiones præ- cedentes ut in triangulis planis. RE. Quælibet duo trianguli latera reliquo sunt majora. Nam arcus circuli maximi, inter duo quælibet in superfi- cie sphæræ puncta, est via brevissima. DPRDE Quodlibet trianguli Iatus minus est semicirculo. Producantur trianguli ABC latera ACAB, donec con- TAB. 43. veniunt in D, erit arcus ACD semicirculus, qui major est 7. 7: quam AC. PRK.0 P. Trianguli latera sunt circulo minora. Est enim DB＋C major quam B C,(per prop. 9.)& I. XXX 3 utrin-. 7. 73½ TRIGONOMETRIE SPHÆRIC trinque addendo BAÆπrAC, erit DBA＋DCA circulus major quam a, qui sunt tria latera trianguli AB C. P R O P. XII. TaR 43. Iu triangulo ABC, majon angulus A majoni V. 8. lateri subtenditur. Fiat angulus BAD angulo B,& erit ADSBD(per g. hujus) unde BDCSDAÆTDC,& hi arcus majores funt quam AC, est itaque latus BC, quod subtendit angulum BAC, majus quam AC, quod subtendit angulum B. . P. III. Lan. 43. In quolibet triangulo A C, si summa Crurum C lt IE. 7. majon æqualis vel minor semicireulo; internn angulur aαι hasim AC erit major æqualis aut minor αterno& 0Oosito 5 CD. ideoque summa angulorum CB mayon erit, aui æqualis, aut minor duobus rectiis, Sit primo AB＋ B C= semicirculo AD, erit BCSBD; & anguli BCD& Dæquales,(per 8 hujus) unde& angulus BCD erit angulo A. Sit secundo AB＋BC majores quam A B D, erit BC major quam BD, unde& angulus D,(hoc est angulus 4) major crit angulo BCD.(per 12. hujus) Similiter ostendetur, si A5＋BC sint simul minores semicirculo, fore angulum A minorem angulo BCD.& quoniam anguli BCD& BCA suntduobus rectis; si angulus A sit major BCD, erunt A& BCA majores duobus rectis. Si A sit BCD erunt A& BCAæquales duobus rectis. Si vero A sit minor quam BCD, erunt A& BCA minores duobus rectis. Q. E. D. I. KX. P. V. Tas. 43 In quolibet triangulo CHVD, laterum poli, duchis circu- Ii: 9. i ma imis, constituunt alind riangulum MN, nod abblementum est trianguli&Hο nempe latera 1 ＋ 2.—.— E E n —S———— S ä ELEEMENT A. 535 MS N eruut supplementa ad semicirculos arcuum gui sunt mensuræ angulorum D, E, H. Quin etiam men- suræ angulorum M, X, N, erunt supplementa ad semicir- culos, Jaterum 6H1EDEV. Polis G, H, D, describantur maximi circuli X C AM TMNOXXKBN. Et quia G est polus circuli XCAM, e- rit GMSOuadranti,(per cor. I. Prop. 2.)& Ob Hpolum circuli TMO, erit HM quoque Quadrans; quare(per corol. I. Prop. 3.) erit M polus circuli GH. Similiter quia D est polus circuli XBN,& H polus circuli LMN, erunt arcus DNHNQuadrantes; ac proinde(per cor. 1. prop. 3.) Ncrit polus circuli HD. Et eadem ratione, ob G& DX quadrantes, erit X polus circuli GD. Hisce præmissis. Quoniam est NK SQuadranti,(cor. I. prop. 2.)& XB Cuadranti, erunt NK Æ＝¹ XE hoc est NXÆά＝ KBS duobus Quadrantibus seu semicirculo; adeoque est NX supplemen- tum arcus K B seu mensuræ anguli HD G ad semicirculum. Similiter quia est MC Quadranti,& XA Quadranti; crunt MCÆ XA, hoc est, X M＋ AC= duobus Quadran- tibus seu semicirculo,& proinde XM est fupplementum ar- cús AC qui est mensura anguli HGD. Quinetiam, ohMO, NT Ouadrantes, erunt MO＋ÆHNT OTTNME semi⸗ circulo itaque est NM supplementum ad semicirculum aroùs OT seu mensuræ anguli GHD. Q.E. D. Præterea quia DK H sunt quadrantes, erunt DBνυαHT seu K T＋ HD æquales duobus Quadrantibus, seu semicir- culo. Est ergo KT, seu mensura anguli XNM, supple- mentum lateris HD ad semicirculum. Nec dissimili metho- do ostendetur OC mensuram anguli XMN esse supplemen- tum lateris GH. Et B A mensuram anguli X esse supple- mentum lateris GD. Q. E. D. 2³ PRKROP. XV. Triangula quiangula sunt etiam æquilatera. Nam corum supplementa sunt æquilatera,(per 14. hujus) TAB 43. N. 9. 536 TRIGONOMETRIÆ SPHERICE ergo& æquiangula, quare&ipsa sunt æquilatera, per prop. 14 partem secundam. RNOD. KVI. Trianguli tres anguli sunt majores duobur rectis, minores sex rectis. Jam tres mensuræ angulorum G, H, D, una cum tribus lateribus trianguli X NN faciunt tres semicirculos,(per 14. hujus) sed tria latera trianguli XNM minora sunt duobus semicirculis,(per 11. hujus) quare tres mensuræ angulorum GHD majores sunt semicirculo,& proinde anguli GHD majores erunt duobus rectis. 3 Propositionis secunda pars patet, nam in quolibet triangu- 10, externi& interni anguli simul tantum faciunt sex rectos, unde interni sunt minores quam sex recti. R 0. VII. Si puncto E quod circuli AV B E polus non est, in cir- cumferentiam cadant arcus maximorum circulorum NA B RGRV, maximus elt NA,, qui per ejus polum C incedit; reliquus vero minimus, cæteri prout à ma- vVimo recedunt minores sunt, faciunutqué cum priore cir- culo AF B angulum obtusum es parte mavimi arcus. Quia C est polus circuli AFB, erunt CD& huic paral- lela RS perpendiculares ad planum A F, Ductis autem S A S6S8V; erit(per 7. El. 3.) 8S A major quam 8 G,& S8s6 major quam 8 V. unde in Triangulis rectangulis planis RS A RSG RS V, erunt RSꝗ＋π S Aꝗ seu RA ꝗ majora quam RSꝗ＋SGꝗ seu RGꝗ,& proinde RA major erit RG,;& arcus RA major arcu R G. Similiter erunt RSꝗ ùS G q seu RK G q majora quam RS ꝗq＋ν SVq seu RVꝗ& proin- de RG major RV,& arcus R G major arcu RV. 240. ꝗ ꝙ ‚—‚—..C — 2.H eu EEEAIE. 337 240. Est angulus RGA major angulo CGA qui rechis est.(per coroll. prop. 3.) Et angulus KVA major angulo CVA qui quoquè rectus est, quare anguli R GA KVA sunt obtusi. PROP. XVIII. In triangulo rectangulo aοι A, crura angulum rectum con-„ zinentia sunt ejusdem astectionis cum augulis appositis Hoc est, si crure sint majora aut minora Quadrantibus, auguli illis opposeti erunt masones aut minores rectis an- gulis. Nam si A C sit Quadrans, C erit polus circuli AEB, o anguli à G C vel AVC erunt recti. Si crus AR sit ma⸗ jus quadrante, erit angulus A GR major recto(per 17. hu- jus.) Si crus sit minus quadrante ut A X&, angulus A G& erit minor recto. R HNRAI F duo crura triauguli rectanguli(& cousequenter anguli) sent ejusdem ayectionis, id est, utrumque vel majus vel minus Quadrante, Hhpotenusa erit minus quadraute. In triangulo ARV vel BRV, sit H polus cruris A R, & erit RF quadrans, qui major est quam RV(per 17. hujus.) ů TLAB. 43. Fg· G. ERS Ii sint divers astoctionir, Hypotenusa erit major quadrante. Nam in triangulo AR G, est RG major quam RF qui est quadrans. PRO P. XXNI. Hypotenusa sit major vel miuor quadrante, crura angu- li recti, ideoque anguli ophositi suut ejusdem aut aiver- & affectionis, xyy Hæœc TAB3. 43. g. 10.11. Tan. 43. . 12. 538 TRIGONOMETRIÆE SPHERICÆ Hæc propositio est priorum conversa;& facile ex iisdem sequitur. PROP. XXII. In quovir triangudo A C, si anνgut& Cad basim sunt Gusdlen affectionis, perpendicularis A cadet intra triangulum; se sint divessæ affectionis, penpenaicularis cadlet eœtra triangulum. In primo casu si perpendicularis non cadat intra, cadet ex- tra triangulum,(ut in fig. 11.) Tum in triangulo A B P, est AP ejusdem affectionis cum angulo B;& similiter in trian- gulo ACP, est AP ejusdem affectionis cum angulo ACP; ergo cum ABC& AC& sunt ejusdem affectionis, erunt anguli 5C& ACB diversæ affectionis; quod est contra hypothesim. In 2 Jo. Casu si perpendicularis non cadat extra, cadet in- tra,(ut in fig. 10.) Et in triangulo ABP, est angulus B e- jusdem affectionis cum crure A,& similiter in triangulo AC est angulus C ejusdem affectionis cum AP, unde an- 1840 B& C sunt ejusdem affectionis, quod est contra hypo- thesim. DR 0. In Triangulis B ACBVE;redtangulis aι H, si idem fuerit augulus acutus ad Hasim ε A vel B H., Hinus hypotenusarum erunt sinubus arcuum per pendicula- rium proportionalèr. Nam rectæ CD EF perpendiculariter insistentes eidem plano sunt parallelæ. tem FR D P radio O B perpendicu- lares, sunt quoque parallelæ; unde& plana triangulorum EFR CDOP sunt parallela(per 15. El. II.) Quare& Cf E R horum planorum communes sectiones cum plano per B E OO transeunte parallelæ erunt(per 16. El. II.) Triangula igitur CD EFR æquiangula erunt. Quare CP sinus Hy- potenusæ BC est ad CD sinum arcus perpendicularis CA, ut ER sinus hypotenusæ 5 E est ad E F sinumn arcus perpendi. cularis E H.. E. D. PROP. EI. B en erauaj „ aae 455• tr u tu H0 40, O, emn e cadetij Wwbe⸗ i „ud an- I No- Hue. .. 2 D, IM.. U E L. E M E N TI 4. 730 —2 PR O p. XXIV. Zisdem positis, AK sinus basium, taugentibue I G TYNA:. arcuum perpendicularium, sunt Proport ionales.—.— Nam similiter ut in præcedente propositione, ostendetur triangula QAIKH G esse æquiangula; unde QA: AI K EH: H J. P R O P. XXV. In Triangulo ABCrectangulo ad A. Ut cosinus angnli B evi- „„ 9 stentis ad Bam E A ad sinum anguli verticalis ACB, ita cosinus arcus perpendicularis aαι Hadium. Praparatio. Producantur latera BA BCCA ita, ut BE Ta. a3 BFCICE sint Quadrantes, polis B& C ducantur cireu-3 li maximi EFDGIHG.& erunt anguli ad EFI& H re- CTi. Quare D est polus BAE(per cor. 2. pr. 2. hujus)& G polus IE CB, erit etiam AEcomplemento arcus BA, tem FE mensura anguli BGD& DF eorum comple- mentum, erit quoque BCFISmensuræ anguli G,& CE eorum complernentum. Item est CAHD&D C utrius.- ue complementum. Hisce prœmissis, in triangulis HIC DCE rectangulis ad I& F& habentibus eundem angulum Cacutum, ob BA minorem quadrante, erit S, DF: 8, HI:: S, DC:S, HC id est, cosinus anguli B est ad sinum anguli verticalis BCA ut cosinus CA ad Radium. Q. E. D. HR DP. XVI. Casiuus basis cosin. Hypotenusæ:: R co& per- pendicularis. Nam in Triangulis AED CED rectangulis ad E& F; Ta. 43. habentibus eundem angulum D acutum: ob AE qua- He. 13. 1. 5. minorem, est S, EA: S, CF:: 38, DA:, DC. E. D. VYV 2 PROP. 5½%0 TRIGONOMETRIE SPHERICÆ E K D. KXVII. C, Bascos: R.: T, perpendicularis: T, anguli i Tan 43. Nam in Triangulis B AC BEF rectangulis ad A& E.& 2. 13. habentibus eundem angulum B acutum, ob AC minorem quadrante, 5, BA:5,5E:: I, 4 C: I, EF. QE. D. R OP. XXVIII. Co, anguli verticalis: R.: T, perpendicularis: 7, Hypotenu sc. I3„ In Triangulis 61 HD recangulis ad I& H,& 3. habentibus eundem angulum G acutum, ob HD minorem HClen quadrante, elt 3, 6H.S. 1:: 1, 1D.IIk. ERK. S, Hhpoteunusæ: N.:&, perpendicularis: C, anguli adα hasiin. Tav. 43. In Triangulis præcedentibus est S, IF: S, GF::8, HPD: &. 2. 5„. PR OFP. X. Radius: cod. Hnpotenusæ:: T, anguli verticalis. Ccο, anguli ad basimn. 171. 43. In Triangulis HIC DFC rectangulis ad I&F,& ha- pentibus eundem angulum C acutum, ob DF minorem qua- drante, est S, CI·S, CF:: T,HI:T, DF. hoc est, R.cos, 5C: Tang, Co nlb. n e sex præcedentes ad omnes casus triangulo- rum rectangulorum resolvendos sufficiumt, sequuntur un numero sedecim cum suis analogiis ex hisce deductis. Datis Maxit. IEEIN IDmHμn II. E LEMENT A. 541 DauspræterOuær. tt ang rectum—.—. 1AC& B R: co5, CA:: 5, C: cO5, B ejusper 25 La. 43 —5 dem speciei cum CA. inverse 3 AC& E 008.CA K.coS, B.S, Cambi. Per 25 B gui. 5⁸⁰ AC/5/C coS, B:: R: cos, CA ejus- per 25 dem speciei cum ang. B.& 18 BACA BCR:coSs, BA:: COS, A C: cos, BCHper 26 Si BA AC fuerint ejusdem affe-& 19 4 ctionis nec Quadrantes, erit B 20 minor quadrante; si diversæ, erit BC quadrante major. ö SABCIAC cos, BA R.: COS, B C. coS, CAper 26 ö Si BC sit major aut minor qua-& 21 5 drante, BA& CA erunt cjus- dem aut diversæ afsectionis, sed datur B A ejusque Species, ergo B IS, BA: R:: T, CA: T, Bejusdem per 27 6 alfectionis cum latere opposito& 18 23— EEFaCR.S BA T., B. T. AC, chusdemper 27 0 speciei cum B.& 18 8 AE3 D T, B. R L, CA, 5B unbi.per 27 uen. r——— 5EE ACR. 008, Cr T. BC.TF. CA Silper 28 BC sit major aut minor quadran-& 21 9 te, anguli C& B sunt ejusdemaut ö diversæ affectionis, quare data spe- cie ang. B. dabitur A C. ACCBC scoS, CR:: L,AC: T, B C. prout per 28 10 ang. C& A C fuerint ejusdem aut. 2 21 diversæ affectionis, B C erit minor laut major quadrante. VV Da⸗ Ig. 13. TRIGONOMETRIE SPHÆRICÆE Datis e. Tier—** FE— ang. rectum. ö x . E 22* 5—4 ¹l 2 40C0 C EONASr 19— fuerit major aut minor Qua- 21* drante, CA& BA& proinde. 121 anguli erunt ejusdem aut diver- 0 sæ affectionis, sed datur species CA, ergo dabitur species Anguli 40 25 l E 27—ᷣ ̊ 3 1% BCEB ACR:S, BC.: 5, B:S, ACejusdem per 29 U 8 u n... cum B.—— 4&& 18( 13½ ACE 58, 5 3, 40: R:5, BCambigui⸗ per 29 BCACH B 8,5CR:: S, AC: S& Bejusdem per 29 ö 14. 4 119— speciei cum CA. 5 5T, C: R.cof. P.eos, 5 prout per 30 2 anguli B& C ejusdem aut diversæ 19 20 5 affectionis fuerint, erit BCminor aut major quadrante. BCCPB Rcos, BC:: I, C.coT, B. prout per 30 BC fuerit minor aut major qua-AI drante; anguli C& B erunt ejus- 16 dem aut diversæ affectionis. Sed Inr species anguli C. quare da- bitur species anguli B. De Resolutione Triangulorum Rectangulorum Sphæricorum per quinque partes circulares. Jerpensis Analogiis, quibus Triangula Sphærica Rectan- 10 gula solvuntur, Dominus Neperur, nobilis ille Loga- rithmorum Inventor, duas excogitavit Regulas memo- rià facile retinendas, quarum ope Omnes sedecim casus re- solvi possunt; Nam cum in hisce triangulis, præter angulum rectum, sint tria latera& duo anguli, Iatera angulum rechum COiIl E LEMENT A. — 343 comprehendentia, hypotenusæ autem& reliquorum angulo- — rum Complementa, vocavit Nepherus partes circulares. Et rn cum datæ sunt duæ quælibet partes,& quæritur Tertia. Nen Harum trium una, quæ dicitur ꝓarr media, vel adjacet duo- He bus reliquis partibus, quæ itaque vocantur eαπττemæ adja: ¹ center; vel neutri adjacet, in quo casu, dicuntur eœtremæ ³ oopositæ; Sic si, complementum anguli B ponatur pars me- LAv.43. li dia, Crus AB& complementum Hypotenusæ B C sunt par- tes extremæ adjacentes; At complementum anguli C,& la- aer tus AC sunt extremæ oppositæ. Item posito complemento * 0. hypotenusæ B C parte media, complementa angulorum& .— C sunt extremæ adjacentes;& AEB AC crura sunt extremæ per2) oppositæ. Sic etiam posito crure AB parte media, comple- 2.77 mentum anguli B,& A C sunt extremæ adjacentes, Nam V angulus rectus A non intercipit adjacentiam, quia non est —— pars circularis. At eidem parti mediæ complementum angu- * li C& complementum hypotenusæ B C sunt extremæ oppo- 10— sitee. Hisce præmissis. REGULAPRIMA. Epet d In Triangulo Rectangulo Sphrico, Nedtangulum saub Ra- 21 dio sinu partis mediæ 4quale ost rectaugulo sub Tane gentibus partium Adjacentium. REEUILA DE UN D. A. Reclaugulum sub radio& sinu partis mecdiæe, qauale est re. auh CGtangulo sub cosinubus Part ium ofesitarum. Vlyum Utriusque Regulæ tres sunt casus. Nam pars media vel potest esse complementum anguli B vel C, vel complemen- Hecl. tum hypotenusæ BC,; vel denique unum ex cruribus scil. Loge AB vel AC. mewo· Casus 1. Sit complementum anguli C pars media. Et e. Ll 44. as e runt AC& complementum hypotenusæ E C extremæ ad-. Wauhn jacentes. Per Pr. 28. Est ut cosinus anguli verticalis C ad aum Radium, Ita Tangens CA ad Tangentem Hypotenusæ BC coll. Per- 5½% rRIGONOMETRIE SEHERICR permutando erit coS. C: T, CA:: R: T, B O sed ut notum est, R: T, BC:: CoT„ BC: R. quare cos, C: T, AC:.:(OT, BC: R; Unde R cos, CST, AC cOT, BC. Eidem complemento anguli Cparti mediæ, extremæ op- positeæ sunt complementum anguli B& AE,(& per prop. 25.) cosinus anguli Cest ad sinum anguli CDF ut co di⸗ nus D Fad Radium, est vero Sinus CDF SS, AEScOS, BA, & cCOS, DF=8, EF=SS, ang. B unde erit cos, C: cOo8S, BA 218. B: R.& R co, C=coOS. B&. B hoc est, Radius ductus in sinum partis mediæ, æquatur rectangulo sub cosi- nubus extremarum oppositarum. Casus 2. Sit complementum hypotenusæ B C pars media, & complementa angulorum B& C erunt etremæ adjacen- tes. In triangulo DCF(per prop. 27.) Est S, CF: R:: T, DF: T, C. ulide pernmtando S8. CF: I. DF::(R:. C..) coT, C: R. est autem S, CFcoS, BC&T. DFPScOT, B. quare est R α cCο/BCSCτ%οT, C cOT, B. hoc est, Radius ductus in sinum partis mediæ æquatur producto ex Tangenti- bus partium adjacentium extremarum. Eidem parti mediæ, scil. complemento B C, adsunt extre- mæ Oppofsitæ AB A C,&(Per prop. 26.) est co⁸, A: C0ꝗ, BC:: K: cOS, AC. quare erit K ν cο, CcoS, BA c8, AC. Cas. 3. Sit denique A B pars media,& erunt complemen- tum anguli B& A extremæ adjacentes,(& per ꝓr. 27. 5, AB: R:: T, CA I, 5. unde erit 5, A5B: T, CA:;(R: T. B::) COT, B: R. adeoque erit K αS, AB T,CAV coT, B. Præterea parti mediæ AB, complementum BC,& com- plementum anguli C sunt extremæ oppositæ;& in triangu- 10o GHD(per prop. 25.) Est coS. D: S, GH coO, GH: R. est vero cos, D ScoS, AE.= S, AB,&S, G= S. IE= S. BC. Item est cos, GHS8, HIES, C. quare erit S, AB: S8. BC::8S, C: R.& hinc R α 8S, AB=S, 5CNAS, C. ö Itaque in omni casu, rectangulum sub radio& sinu partis mediœ æquale erit tam rectangulo sub oosinubus extremarum OPPO- WDoete teite 1.005 105j Eel E LEMENT A. 545 oppositarum, quam rectangulo sub tangentibus extremarum adacentium. Et proindèe si æquationes illæ resolvantur in Analogias(per 16. Elem. 6.) ope regulæ Proportionis, par- tes ionotæ inmotescent. Et si pars quæsita sit media, primus 2n terminus erit Radius, secundum& tertium occu- pant locum tangentes vel cosinus partium extremarum. Si vero quæratur extremarum una, Analogia incipi debet cum altera, atque Radius sinusque partis mediè, in mediis ponan- tur locis, ut quartum teneat pars quæsita. n Triangulis Sphæricis obliquangulis BCD, demisso arcu Tan 43a. perpendiculari AC, ab angulo C in basim BD,(pro. Vg. 1. 2. ductam si opus fuerit,) ut duo fiant Triangula BAC DAC rectangula; eorum ope resolvi possunt plerique casus Trian- gulorum obliquangulorum. R.0. II. Cosinus angulorum B basim B D, sinubus angulorum Tar. 44. verticahium BC＋ DCA saut proportionales. E. 1. 2. Nam coS, ang. B: S, BCA::(cο, CA: R.)(95,: S, DCA(per 25. huwus.) PROP. XXXII. Cosinus laterum B CC sunt 5roportionales TAX 44 cosinubus basium B D A. Fg. 1 2 Est enim co, BC: COS8, B A::(Co8, CA: R.) coS„DC: C, D A.(per 26 hujus.) P R O P. XXXIII. Finne basium B DA, sunt in reciproca propbortione tau- Van. 44a. gentium angulorum B SD a⁴d Basim B D. Fg· 1. 2. Quia per 27. hujus est, S, BA! R::, A CHI„angulld. Item per eandem, inverse R: S, DA:: TP, ang. D: I, ASO. crit ex æquo in perturbata ratione(per 23. El. 5.) S,B A: S. DA:: T, ang.D: T, ang. B. ů 22 7 PROP 546 TRIGONOMETRIE SPHÆRAICÆ PROP. XXXIV. Tan.34. Tangentes laterum 5 C sunt in recitroca proportioune Fzg. 1. 2. cosiuuum angulorum verticalium 5 CA, H. —— Quia per 28. hufus permutando, Est T., BC: SA & per eandem IX.A„ F. quare ex æquo in perturbata ratione est 1 3 esC DR HP. XXXV. ö ＋35.44. Sinus Jaterum 58C seuubus angulorum aphosetorum Fg. 1. 2. ö 5D suut proportionaler. ö * Quis per 29. mns,„R. O,, A. B & per ealdem inverse R: S, DC.:: S, ang. D: S, CA erit ex æquo in perturbata ratione 5, BC: 8, DC:: 8, D: N 8)/B. 1IR. b. ö Tan 44 In Triangulo quovis Spherico Il5(„ K A ve, HAL V· 3., rectangulum suh sinubus crurum E C ½ A est ad radii quadratum, ut IL seu IA LA disferenlia sinuuyn ver sorum Baser AC,& disfereutiæ crurum IN, ad GN x siunum vensum anguli B. quadrantes;& PN est mensura anguli B, eodem polo B per C describatur circulus minor CEFM, horum circulorum plana recta erunt plano BO N.(per 20. b.)& 20 C1 perpendiculares in idem planum, cadent in communes sectio- NV nes ONEM puta in G& H. ducatur H perpendicula- ris ad AO,& planum per CH H perpendiculare erit Pla- no AOB, unde AI perpendicularis ad HI, erit perpendi- cularis ad rectam CI,(per def. 4. El. II.) est itaque Al si- nos versus arcus AC,& AL simus versus arcus AMEBM BASBC-A. Triangula Isosechlia CFM PON sunt &quian- Polo B describatur cireulus maximus PN, sintque BPBN —..iiiH6H666666.— E. I. EMENI A. 547 æquiangula, ob MENO item CE PO parallelas(per 16. El. II.) quare demissis perpendiculis CH PG in latera FM OTN, Hmiliter divisa erunt Triangula;& erit EM ON:: MI: GN. Itemque ob triangula AOEDHDLMæqui- angula erit AE AO: M at Ostensum est, esse FM: ON:: H: GN quare erit AE ＋ FMad ACO„ON, ut IL κMHad MH GNseu ut IL ad G N. hoc est rectangulum sub snubus crurum est ad quadratum Radii ut differentia sinuum versorum basis& differentiæ crurum BC BA ad sinum versum anguli B. Q. E. D. R OT. VII. Difforentia Sinuum der sorum duorum arcuum MEa in dimi- ium Radii, æqualis est rectangulo sub sinu semisummæ& inu semidisferentiæ eorundem arcuum. Sint duo arcus BEF, quorum differentia EF sit bise- da in D,&erit BD semisumma arcuum,& FD semidif—- erentia. Est GEIL differentiæ sinuum versorum arcuum BEBF; Item est FO sinus semidifferentiæ arcuum. Ob æ- quiangula triangula CDK EEG, erit DEK: GE(CD RE::) CD: FE. Unde est DEνFE seu DRIFO GEA2CDAL V 105... D. P.R OFP. SVII. Sinus versus cujusvi arcur, duchtus in dimidium Radit, qua- lis esi quadruto sinus dimidii Fusdem arcus. Triangula CBMDEB sunt æquiangula ob angulos ad M & E rectos& angulum ad B communem. Quare cstE: E BM BC erit itaque EEB& BCBM M BD& EBA:BC BMXABDZ=BMq. Q E. D. P ROP. XXXIX. In quolibet Triangulo A B C, cujus crura angulum B continentia sint B CAB,& basis enndem an— gulum subtendat; si capiatur Narcus disfe- 6 ½. reu. Tau. 44. R. 4* TAn.44. IS. P. *. TAB. 44. Fg. I. 2. —.....‚.— —MMiiia........:....‚‚..‚.‚..e:‚:‚::::‚.s.···:::.::·..——— 5½4 TRIGONOMETRIE SPHÆERICE renutir crurum— AB. erit Rectangulum ＋ 2 nrum 5 CB A ad quad Radi sinubus cruru ad quadratum Radii ut AC ＋ Nectangulum sub siuu arcus—.—.—.— ACAM 2 ad Quadratum sinus dimidii arguli B. Quoniam est rectangulum sub sinubus crurum AB 3C ad quadratum radii, ut IL ad sinum versum anguli B, vel ut: RILad; R ducbhum in sinum versum anguli B(per Prop. 36. hujus) Est autem R 4 IL= rectangulo sub si- ACÆTπAM AC—AMM nubus arcuum 8 2 2 Item est; R ductus in sinum versum anguli Bæqualis Qua- drato sinus dimidii anguli B. Quare erit Rectangulum sub sinubus crurum, ad Radii quadratum, ut Kectangulum sub AEAN A N smubus arcuum& 2 dimidii anguli B. Q. E. D. suu arcus (per pr. 37. hujus.) ad Quadratum sinus 2 Sequuntur duodecim Casus Triangulorum Spherico- rum obliquangulorum. Datis Quær. ö Fiat. Ang. Ang. 805„Ke(P 3. 5,2, 1 hujus.) Item co S, B: S, BCA:: CO 8, D: 50. 8, DCA(per 31. hujus.) Quare angulo- rum BCACA summa, si perpendi- cularis cadat intra triangulum, vel diffe- é 1 rentia, si extra cadat, erit BCD. Num perpendicularis cadit intra vel extra, co. gnoscitur ex affectione angulorum B& ö(per 22. hujus) quod semel monuisse suf- ficiat. Datis — — ELEMENTA 549 ———.—v———.— *——3————.—— *.—.— Dars. Quær. Fiat. ng. Ang. 008,B C:R:: COT, B:T. BCAPer 30. 6.C.&D. bujus)&S, B CA. S. CAE: coS/ B co8- latere D(per 31. hujus.) Si 3CA sit minor 5B0D, 2030C angulus D erit ejusdem affectionis cum angulo B. Sin BCA sit major h CD, an- guli B& D erunt affectionis diversæ per é conversam pr. 22. CDIBD A. R:coS/ B:: T. BC: T, BA.(per 28. hujus) lateri- 12& coS, C: cCO&, BA: CO⁸, D C: cO,DA bus&(per 32. hujus) horum BA DA summa vel 3 ang. differentia, prout perpendicularis cadit in B. tra, vel extra Triangulum, est qualis BD quod cognosci nequit nisi cognita sit spe- cies alterius anguli D. 5 5E CD5 R: coS B: EC. T,BA(per 28. hufus) Iateri. latns. EC,: CO8, BC:: COS. DA:CO8, DC. bus& er 32. h.) Prout DA similis est aut dis- 4 ang. B. imilis CA vel ang. BD C, erit DC mi- nor aut major Quadrante(per 19& 2 hujus.) ＋ũ;, D, 5B⁰ la- R CO8, B:: T, BC: T, BA(per 28 hujus.) tus. It„I). 15::„ BA.„ K(per 33. hu. 5 B C. la⸗- jus) quorum BA DA summa vel diffe- ele e BC BD Ang. R C08,8::T, BC. IB A(Per 28. hujus.) lateri- D. Et 8, D A: 8, A:: TB:T, D(per 33. hu- 6 bus& ———— —..————— —— —— A 33 ang. B. —— ————— SDC AE oSt5. N.E L.B6F lateri- 25 h.) Et T.D C. T. BC: cCO8, 3B CA:coS, D CA(per 34 hujus.) Angulorum BCA DCA summa aut differentia, prout per- s⸗ e cadit intra vel extra triangu- sum, est æqualis angulo BCD. . 3 Datis. *1 550 TRIGONOMETRIE SPHERIC ELEMENTA. Datis. B, C, ang.& BC la- eie. mnibus lateri- bus. G6, H,I Omni- bus ang. Quær. —C latus. ——— ——— Fiat. 0„Ne„RI„Rer 30 bosusItemeo, DCA.Co8,BeA. I. BC: T, 00(per 31. h.) Si an Ine CA similis sit angulo B(hoc est, fiAD sit similis CA) erit DC minor quadran- te. Si anguli DCA& B sint dissimiles erit DC quadrante major, quod equi- tur(ex pr. 18, 19& 20h.) D.ang. S, CD: S, B:: 8, BC:8, Dqul ambiguus est. Analogia sequitur(ex Prop. 35. hujus.) 8, D: S, BC: S, B: S, DC quod latus ambiguum est. —————— ——— Rectangulum sub sinubus crurum AB C: quadratum Radii rectangulum sub ACÆTAMACAM: sinubus arcuum— 37 2 2 Quadrato sinus; ang. B. per prop. 39. ——— 6 n Triangulo XNM, Est MN comple- latus. ö mentum anguli GH D ad semicirculum. XNcomplementum anguli G& XN complementum anguli D.& angulus& complementum est lateris G D ad semi- circulum. Quare mutatis angulis in la- tera,& lateribus in angulos; eadem est operatio quæ est in casu i½ hujus, cum arcus& eorum complementa ad semi- circulos habeant eosdem sinus. H, I4. XIIII. ———— D E NATURA ET ARITHMETICA LOGARITHMORUM P KR E. K HI.. Zum Indichrum, deinde Fractionum decimalium tutrodu- GFione; un minus tamen adiumenti eν Logarithinis, quam eνσπ uτποομ ihοento, ei accessit: quorum gutdem usum, per omnes diseiplinas mat hematicas latisfime pateutem, quis 2i studiis vel Ieviter imbutus igucra- Horum ohe numeri fore immensi S aliòs plaue intracfabiles siue ullo tædio in or. Ainem coguntun: præseutissimum horum aueslium ubique couspicitur, sive cur sum navis dirigat Nauta, sive rurvarum altiorum indolem in vestiget Geometra, ꝶQtve stellarum loca er— quirat Astronomus„ssue alia naturæ phanomeuna eαhριieet Phy- sicus, sive demum pecuniæ& eν usuris iucrementum computet Nimmatus. Aigumeuto, in quo vensatur hie hbhellus, IIdlustraudo non defuerunt viri in re Mathematica 5primarii. ed eorum alii uem lius ambitum complevi, doctissimè illi quidem, sed magilbris solum 5cripseruut: alit ad Tyronum captum se ac- commodantes, certas quasdans, easque magis ohνιν Loga- vithmorum proprietates selegerunt, iutimam eorum naturam non apuruerunt. Quod igitur adhuc desiderari videbatur, mi- hi in animo crat sufhlere hoc tractatu, qui in id præcipue collimat, ut Loscarit hmorum scieutia tis, qui ultra Avithime- ticæ specios& Geometriæ elemeuta non procesferuut, penitur aliq uandio PpatVat. Mirabilée Logarithmorum Inventum Nepero Scoto Mer— chestoni Baroni debetur, qui Pprimus canouem Logarithimo- rum 4—— olim compendium accepit Mathesis, primo characte- 55½ DE LOGARITHMIS PREHATIO zum dascripsit, confiruxit,& edidit. Edinburgi Auno 1614. Huuc statim ommues Mathematici, Fus utilitatem suspicientes, grati arripuerunt. Et cum de aleis fere omuibus fræœclarie Inventis plures contendunt Geutes, omnnes tamen Neperum Logarithmorum authorem agnoscuut, qui tanti inventi gloria solus sine mulo fruatur. Aliam deiude magis commodam Logarithmorum furmam Ne- perus νcοειt⁴nit,& communicato consilio cum Daomino Hen- rico Briggio, Geometriæ in Academia Oxoniensi Profesfore, hun“ soctum operis sibi adfunxvit, ut Logarithimos in meliorem Formam redactos compleret. ed Nepero demortuo, totum quod réstabat onus in Briggium devolutum est, qui magno la- Vore,& summa quæ pollebat ingenii subtilitatée, canonem Lo- garithmicum secundum novam illam formam compositit, pro viginti primis numerorum chiliadibus(seu ah 1-α απάHοοοↄο aluisque undecim aο οοοðᷓ sque aσ 1ο οοο, pro quibus om- nibus numeris, supputavit Logarit hmos quatuordecim f²u- rarum locis constante-x. Hic cauon editus πν Londini anno 1624.* Enundem Canonem iterato edidit Goudæ apud Batavos, an- n0 1628. Adrianus Vlacq, suppletis, ut docuerat Briggius, chiliadibus intermediis prius omissis; sed brévioribus usus est Logarithiis, utpote qui ad decem tantum gurarum loca con- Tiuuantun. Computavit etiam Briggius Logarithmos dinuum& Tangen- tium, pro singulis Gradibus graduumque centesimis, adα 15 fgurarum loca, quibus adfunvit sinus Tangentes secautes veros seu naturales, quos prius ad totidem loca supputave- rat. Logarithmi sinuum& Tangentium dicuntur sinus S Tangentes Artificiales, ipsi vero sinus G Tangentes, natura- Les vocautur. Has Tabulas simul cum Tractatu de Tabula. rum constructione& usu, post mortem Briggii, sab nomine Trigonometriæ Britannicæ edidit Henricus Gelibrand Lon- dini Auno 1633. Post illud tempus, pluribus in Iocis Tabularum compen- dia prodiere. In quibus sinus Taugeutes, eorumque Dan rithmi, „IV‚...N —2 Lzů„ 0 47.7 I 167 ü W AI 5 III 0 6 Iid. minũ kE. Profe in nelh o, Taln Dnapno l. IMen L. % un. in fil. Int aum Witet Ha· ö 7. VI 2 2 ü„ U selantes nadk. ＋△5 suni 6 ‚ Illlu. sellli. Immile dL com. V. 12 Ha Ithnu DE LOGARTHMIS PREFPATIIO. 553 yithmi, tantum constaut sehbtem notarum locis,& numero. rum Logarit bii enhibentur tantum Pr numeris ab usque ad 10⁰οο- qui pro plerisque casibus susficere possuut. Harum Tabularum disposetio eας mibi videtu, 0Htima, quam primus excogitavit N athaniel Roe Anglus Suffolcien- sis,„ qu½mque, quibusaam in melius mutatis, sequitur Sher- vyinus in Tabulis sui, Mathematicis Londini Auno 1705 edit- tis, in quibus hahentur Logarithii Numérorum omutum ah unitate usquαe aοι οτοοοσ sehιαn 5gurarum notir constan— ter, Logarithmorum quoque differentiæ partesque propor- tionales adscribuntun, quarum ohα Logarithini numerorum usqονα νìά οοοοοο Facile haberi posfunt quateuns scil. hi Logarithmi septem tantum fgurarum notis exprimautur. Practerea in iisdlem prostant Jinus Tangentes& Secanter, um eorum Logærithmis S& diserentiis pro quolibet gradu S minuto Quadrautis, cum aliis quibusdam tabulis Matlle. Practicae in servientibus. I. Doe ortu& natura Logarithimorum. uemadmodum in Geometria, linearum magnitudines numeris sæpe definiuntur; ita quoque in Arithmetica Vicissim expedit, ut numeri aliquando per lineas ex- ponantur, assumendo scil. Iineam aliquam quæ ipsa unitatem repræsentet, ejus dupla numerum binarium, tripla ternarium, dimidia fractionem:,& ita deinceps, exponet. Hac ratio- ne quorundam numerorum Genesis& proprietates melius concipiuntur, clariusque in animo versantur, quam per ab- stractos numeros fieri possit. Hinc si quælibet linea a in seipsam ducatur, quæ ex- inde prodit quantitas, non æstimanda est tanquam dua- rum dimensionum sive ut Quadratum Geometricum cujus latus est linea a, sed tanquam linea quæ sit tertia proportio- Aa aa nalis öSꝗSꝗcMii—— Aeeeeee—=———v. ··..—7» ·‚‚—ʃ — /.ii%iDiDĩñ——mmi‚Di‚i‚iDiD‚D‚DCJCIeIFIFSSEEE--- 550 DE I. OGARITHMIS. nalis lineæ pro unitate assumptæ,& linee 4. Sic etiam si a? per 4 multipliciter, quæ prodit 4 non erit trium dimen- sionum quantitas, seu cubus Geometricus, sed linea quæ est quartus terminus in progressione Geometricà cujus primus terminus est 1 secundus. Nam termini 14 α⁴σ σα⁴ο&c. sunt in continua ratione 1 ad 4:& indices terminis affixi o- stendunt locum seu distantiam, quam quisque terminus ab unitate obtinet. v. gr. ꝗ est ia quinto loco ab unitate, aë in sexto seu sexies magis distans ab unitate quam 4 seu 4, qui immediate sequitur unitatem. Si inter terminos 1& ꝗ inseratur medius proportionalis qui est, ejus index erit„,„ nam ejus distantia ab unitate erit semissis distantiæ 4 ab unitate, adeoque pro V4 scribi potest 44. Et si inter 4& 4 inseratur medius proportionalis, ejus index erit 1 seu, nam ejus distantia erit sesquialtera distantiæ ipsius ab unitate. Si inter 1& α inserantur duo medii proportionales; horum rimus est radix cubica ipsius à, cujus index debet esse. Nam terminus ille distat ab unitate tertià tantum parte di- stantiæ ipsius a, adeoque radix cubica scribi debet per 45. Hinc Index ipsius Unitatis est o, nam unitas non distat à seipfa. Eadem series quantitatum Geometrice proportionalium contimuari potest utrinque, tam descendendo versus si- nistram, quam ascendendo versus dextram; termini enim 2 4 4 Se. Knt Oniies ür. Sacten a a 4 4 progresfone Geometrica. Adeoque cum distantia ipsius ah unitate sit versus dextram& positiva seu ＋ 1, di- stantia æqualis in contrariam partem scil. distantia termi- ni— erit negativa seu— 1, qui erit index termini— pro- 2 2 quo itaque scribi potest 2—. Similiter in termino 2 index— 2 Ostendit terminum in secundo loco ab Ar terminu Htate,“ leu 2„0 Portian dunte 10 Ullllat unitate versus smistram locari, idemque valet terminus 4— àc—. Item 4— est idem ac— Indices enim hi ne- * 4 gativi ostendunt terminos ad quos pertinent, in partem disce- dere contrariam ei, qua ab unitate progrediuntur termini, quorum indices sunt positivi. Hisce Reee a Si super linea AN utrinque indefinite extensà, capian- tur ACCEEG GIIL dextrorsum. Item AT EII Ge. smistrorsum,‚„ omnes inter se æquales:& ad puncta I1 ACEGIL erigantur super AN perpendiculares rece 1 FTAAB CD EF GH IK LM quæ sint omnes continue proportionales, numerosque repræsentent, quorum A sit unitas. Line AC AE AC AIL ALEALE All distantias numerorum ab unitate respective exponent, sVe locum& ordinem quem quisque numerus in serie Geometrice pro- portionalium obtinet, Pprout ab unitate distat. ta AG cum sit tripla rectæ AH erit numerus GH in tertio ab unitate 1oco, si modo CD sit in primo, sic LM erit in quinto loco cum sit AL. 5 AC. Quod si proportionalium extremitates A BD FHEM rec&tis lineis jungantur; figura ZI1 LM fit polygonum plu- ribus aut paucioribus constans lateribus, prout plures aut pauciores in progressione fuerint termini. Si partes AC CEEG—GIIL bisecentur in punctis ceg & rursus excitentur perpendiculares ά- ερ g½ ια Um, quæ sint mediæ proportionales inter AB CD, CD EF, EF GH, GHIK, IK LM, nova orietur proportionalium series, cujus termini incipiendo ab eo qui proxime sequitur mitatem duplo plures sunt, quam in prima serie,& termi- norum differentiæ minores fiunt, propiusque ad rationem æqualitatis accedunt termini quam prius; quin etiam in hac nOVñ⁴ serie, rectæ AL AC distantias terminorum LMCOD ab unitate exponent, scil. cum AL decies major sit quam Ac; erit LM decimus seriei terminus ab unitate,& Ob Ace triplo majorem quam Ac/ Ftertius seriei terminus, mo- a aa 2 do Tan 44 756 D E LOGARITHMIS. do cꝗ sit primus:& inter A B& ef erunt duo medii pro. portionales, inter&B vero& LM erunt novem termini medii proportionales. Quod st linearum extremitates EαFν&c. rectis jun⸗ gantur, fiet novum pohygonum, pluribus quidem, at pre- vioribus constans lateribus. Si rursus distantiæ àααCe e E&c. bisecari concipiantur & inter binos quosque terminos, ad medias illas distantias inseri intelligantur medii proportionales, alia nova orietur Proportionalium series, terminos ab unitate duplo plures continens quam prior. Terminorum vero differentiæ mi- nores erunt; junctisque terminorum extremitatibus, nume- rus laterum polygoni augetur secundum numerum termi—- norum, minora autem erunt latera, ob diminutas termino- rum à seinvicem distantias. Quin in hac nova serie, distantiæ AL AC&c. determi- nabunt terminorum ordines seu locos, nempe si sit AL quin- tuplo major quam AC, sitque CD quartus ab unitate se- rièei terminus: erit LM istius seriei terminus vicesimus ab unitate. Si sic continuo inter binos quosque terminos inserantur medii proportionales, fiet tandem numerus terminorum se- riei, sicut& laterum polygoni major quolibet dato numero seu infinitus; latera vero singula magnitudine diminuta fient quavis datã rectã lineã minora; Adeoque mutabitur poly- gonum in figuram curvilineam. Nam quælibet figura cur- Vvilinea considerari potest, tanquam polygonum cujus latera sunt numero infinita,& magnitudine minima. Curva sic descripta dicitur Logarit hmica, in qua si nume- ri per rectas ad axem AN normaliter insistentes, repræsen- tentur, portio Axis inter numerum quemlibet,& Unitatem intercepta, ostendit locum seu ordinem quem numerus ille obtinet in serie Geometrice proportionalium,& æqualibus intervallis ab invicem distantium. Verbi gratia, si AL sit quintuplo major quam A C, sintque ab unitate ad LMmille termini continue proportionales, erunt ab unitate ad C D du- centi — —— ora se — D E IL OGARITHMIS. 557 centi termini ejusdem seriei, seu erit CD terminus seriei ducentesimus ab unitate;& quicunque supponatur numerus termnorum ab ABad M, erit istius numeri pars quinta nume rus termin orum ab AB ad C D. Cur va Logarithmica potest etiam concipi duobus motibus describi, quorum unus æquabilis est, alter vero in data qua- dam ratione acceleratur, vel retardatur: v. gr. si recta AB super AN uniformiter incedat, adeo ut terminus ejus Aæ- qualibus temporibus, æqualia spatia describat, interea tamen ita crescat AB, ut æqualibus etiam temporibus, incrementa capiat, quæ sint toti lincœe crescenti proportionalia, hoc est iAB progrediendo in α, augeatur parte sui 4,& hinc æquali tempore quando in CD perven erit, augeatur simili parte Dy, quæ sit ad 4α ut incrementum do ad AB: simi- liter, dum æquali tempore ad e, pervenerit, crescat parte 7H, quæ sit ad D C ut D²³ ad ꝗ4c seu ut 20 ad AB, id est, in æqualibus temporibus, incrementa facta sint semper totis proportionalia. Vel si linea AB regrediendo in contrariam partem, in con- stanti ratione minuatur, ita ut, dum æqualia spatia Arπ pertransit, decrementa patiatur A TarAE quæ sint Püis A5 rA proportionalia. Lincæ sic crescentis aut decre- scentis terminus Logarithmicam describet. Nam cum sit AE: 40: Ac: D/:: DC: V erit componendo AB: 44:: 46c: DO :: DC: ,e& ita deinceps. Per hos duos motus, unum scil. æquabilem, alterum pro- portionaliter acceleratum aut retardatum, ipse Neterus Lo- garithmorum originem exposuit, Logarithmum simus cujus- que arcus vocavit, Numerum qui quam prouimè definit linœam quæ æqualiter erœvit, interea dum siuus totius liuea pro. hportionaliter in linum illum Aecrevit. ExX hac Logarithmicæ descriptione constat, numeros omnes mæqualibus distantiis, esse continue prop ortionales. Quin etiam patet, quod si sint quatuor numeri ABCDIKLM tales, ut distantia inter primum& secundum sit æqualis di- stantie inter tertium& quartum, qualiscunque sit distantia A a see ³³⁸ DE LOGARITHMIS. secundi à tertio, erunt illi numeri proportionales. ů distantiæ AC IL. sunt æquales, 13— AB ad Wrderten Dut IK ad incrementum M; unde componendo AB. DC: IK: ML. Et vicissun, si quatuor numeri sint propor- tionales, erit distantia inter primum& secundum, Halt distantiæ inter tertium& quartum.— 2 Distantia inter duos quoslibet numeros, dicitur Logarith- mus rationis istorum numerorum,& metitur non quidem ipsam rationem, sed numerum terminorum in data serie Geo. metrice proportionalium progredientium ab uno numero ad alterum, definitque numerum rationum qualium, quarum compositione efficitur numerorum ratio. di distantia inter duos quosvis numeros sit dupla distantiæ inter alios duos numeros; Ratio duorum priorum numerorum erit duplicata rationis posteriorum. Sit enim distantia IL in. ter numeros IK LM dupla distantiæ Ac quæ est inter nu- meros AB cα, bisecta IL in ob AcI IL, erit ratio IK ad m æqualis rationi A B ad α., adeoqueè ratioK ad LM quæ est duplicata rationis IK ad mn,(per defin. 10. EI. 5.) erit etiam duplicata rationis AB ad cα. Similiter si distantia EL sit tripla distantiæ ACñ erit Ra- tio EF ad LM triplicata rationis ABad CD. Nam ob distantiam triplam, triplo plures erunt proportionales ab EE ad LM quam sunt ejusdem rationis termini ab AE ad CD, at tam ratio EF ad LM, quam ratio AB ad CD, com- ponitur ex rationibus æqualibus intermediis(per. Aehin. El. 6.) Adeoque ratio EF ad LM ex triplo pluribus rationibus composita. Triplicata erit rationis ABad CD. Similiter si sit GL distantia quadrupla distantiæ Ac, erit ratio GH ad LMQuadruplicata rationis AB ad 4d.& ita dein- ceps. Wuneni cujuslibet Logarithmus, est Logarithmus rationis Unitatis ad ipsum numerum, vel est distantia inter unitatem & illum numerum. Logarithmi itaque exponunt dignitatem, locum, seu ordinem, quem quisque numerus obtinet ab uni- tate in serie Geometrice proportionalium. Verpi gratia si ab ‚ UII hn D E LOG ANTITEHMIS. 759 Wam unitate ad numerum 10 sint proportionales numeri 10 000 00⁰ Waan h, hoc est si sit numerus 10 in loco 10 οσοορον per compu- den. tationem invenietur, esse in eadem serie ab unitate usque ad aa, 2 proportionales terminos numero 301⁹ 3⁰ο, hoc est nume⸗ 4 rus binarius stabit in loco 3 01%0 30⁰ε. Similiter ab unitate LO. usque ad 3, invenientur termini proportionales 4 771 213, un dd qui numerus definit locum numeri ternarii. Numeri Ioοοοοοο, Cuserka 3010300, 4771213. erunt Logarithmi numerorum 10, 2, 10 rumen& 388——— ö un, Aan di primus seriei terminus ab unitate dicatur 5, erit se- cundus terminus, tertius),&c. cumque ponitur nume- rus denarius seriei terminus 10 0⁰οο οοσον, erit ½π. Item erit. Item 3νννννg,& ita deinceps. 21 Omnes itaquꝰ numeri erunt potestates aliquæ illius nu- ö meri, qui est ab unitate primus. Et potestatum indices sunt numerorum Logarithmi. ——— Cum Logarithmi sint distantiæ numerorum ab unitate, ut Rn su perius ostensum Uest. Erit Logarithmus ipsius unitatis o, an nam unitas non distat à se ipsa. t fractionum Logarithmi sant negativi seu infra nihil descendentes, hi enim in con- . trariam discedunt partem, adeoque si numeri ab unitate pro- VNuO portionaliter crescentes habeant Logarithmos positivos, seu SbIN ligno affectos, Numeri ab unitate similiter decresoentes, 1040J0, seu fractiones habebunt Logarithmos negativos, seu signo af- CD,an. fectos. Quod verum est quando Logarithmi æstimantur per amb. distantias numerorum ab unitate. Iuanldus At si initium capiunt Logarithmi non ab unitate integrali, Imlte sed ab unitate quæ est in loco aliquo fractionum decimalium, IO 1 ncht verbi gratia à sractione; tunc omnes fractio- 1 00000 0⁰⁰⁰οο s nes hac majores habebunt Logarithmos positivos, reliquæ Aatm minores, obtinebunt Logarithmos negativos, sed de hac re Mem, plura postea dicentur. Habu. Cum in numeris continue proportionalibus DCEF GEH IK&c. distantie CEEG GI&c. sint æquales, erunt ho- I ö rum E Rg. 2. Tan 459. 76⁰ D E LOGARITHMISãS. rum numerorum logarithmi A CAE AG AI&c. æquidif- ferentes, seu Logarithmorum differentiæ erunt æquales. Nu- merorum itaque proportionalium Logarithmi sunt omnes in rogressione Arithmetica. Atque hinc oritur vulgaris illa . definitio, videl. Logarithmi sunt numeri qui proportionalibus adjuncti, æquales servant differentias. In prima quam Nœperus edidit Logarithmorum specie, po- suit terminorum proportionalium ab unitate primum, tantum ab unitate distare, quantum ipse terminus unitatem superabat. h. e. Si v sit primus seriei terminus ab unitate AB, ejus Logarithmum seu distantiam Aꝝ vel By æqualem esse voluit ipsi vν, seu ineremento numeri supra unitatem, ut si v sit I. OOOOOOI, ejus Logarithmum A ponebat o, oοοOοοατ,& hinc computatione facta Numerus Denarius seu 10 erit 23025850 seriei terminus, qui itaque numerus est Logarith- mus denarii in hac Logarithmorum forma,& exprimit ejus di- stantiam ab unitate in partibus quarum v½ vel A est una. At hæc positio omiino arbitraria fuit, potest enim distan- tia primi termini, ad ipsius excessum supra unitatem, datam quamvis habere proportionem,& pro varia illa ratione, quæ pro arbitrio supponi potest, esse inter 2½5&, incremen- tum primi termini supra unitatem& ejusdem ab unitate distan- tiam, diversæ provenient Logarithmorum formæ. Primam hanc Logarithmorum speciem in aliam magis com- modam postea mutavit Neperus, in qua posuit numerum de- narium non esse 23025850ππ, seriei terminum, sed termi- num 1000οοοοο, inque hac Logarithmorum forma, pri- mum incrementum v/ erit ad distantiam Bꝗ vel Au, ut uni- tas seu AB ad fractionem decimalem, o, 434½994, quæ ita- que exponet Longitudinem subtangentis A. Post mortem Veperi, vir summus Dominus Henricus Brig- gine, immenso labore, Logarithmorum Labulas ad hanc for- mam construxit& edidit. In hisce tabulis cum logarithmus denarii seu ejus distantia ab unitate ponitur 1, οοοοοo, sint- que 1, 10, 100, 1000, 1000⁰0&c/ continue proportionales erunt æquidistantes. Quare numeri 100 Logarithmus erit 2 EKE xN;y·w. „ WI MMXXAXYI. ö ³ N — — MNHE CITulll tormi. 7. E Ill * üse DA) MI ＋ * l 4 N. Ifol⸗ hmas 00fll ohal, 1 5 elL 2* DE LOGARITHMIS. 561 ＋/, OOοοοοο. millenarii 3, oοοοοοο& numeri 1000⁰⁰ Loga- rithmus fiet A, οοοοοο& ita deinceps. Hinc Logarithmi omnium numerorum inter 1& 10 inci- ere debent per o, seu debet esse o in primo loco versus sini- stram, sunt enim minores quam Logarithmus numeri 10 cu- jus nitium est unitas;& Logarithmi numerorum inter 10& 100 unitate incipiunt, sunt enim majores quam 1. Ooοοοο & minores quam 2. οοοοο. Item Logarithmi numerorum inter 100& I00d binario incipiunt, sunt enim majores quam logarithmus numeri 100, quem incipit 2.& minores loga- rithmo numeri 1000 qui incipit per 3, eodem modo ostende- tur in Logarithmis numerorum in 1000& 10000, primam figuram Vversus smistram debere esse 3,& in Logarithmis nu- merorum àb 10000 uꝗue ad 100000 prima versus sinistram Kgura erit 4,& ita deinceps. Prima cujusque logarithmi figura versus sinistram dicitur characteristica seu index; quia ostendit altissimum seu remo- tissimum locum numeri a loco unitatum. v. gr. Si index loga- rithmi fit a. numeri respendentis altissimus seu remotissimus versus sinistram ab unitate locus, erit locus decadum. Siin- dex 2, remotissima numeri respondentis figura erit in secun- do ab unitatum loco, hoc est erit centenariorum aliquis. Et index Logarithmi 3 denotat altissimam numeri sui figuram esse in tertio ab unitatum loco,& inter millenarios locari. Logarithmi numerorum omnium qui sunt in progressione decupla aut subdecupla, characteristicis seu indicibus suis tan- tum differunt; in reliquis omnibus locis, üsdem scribuntur notis, v. gr. Logarithmi numerorum 17, 170, 1700, 17000. nam cum sit 1 ad 17, ut 10 ad 170, ut 100 ad 1700, ut 1000 ad 197000; distantiæ inter 1& 17. inter 10& 170, inter 100& 1700, inter 1000& 17000 erunt omnes æquales, adeoque cum distantia inter 1& 17 seu Logarithmus numeri 17sit 1.2304489 erit logarithmus numeri 170 2. 2304482, Logarithmus numeri 1700 erit 3. 2304489 Ob numeri 100 Logarithmum 2. Oooοοοο& similiter ob numeri 1000 Lc- garithmum 3. OO00000 Logarithmus numeri 17000 erit 4.2304489. B bb Sio 5 D E LO GARIHTMIS Sic etiam numeri 6748. 674, 8. 67, 48. 6, 748. O, 673 , 06748. sunt continue proportionales scil. in ratione 40 I, cOrum itaque à se invicem 67483,829175 distantiæ æquales erunt distan- 674,8 2,8291751 ties seu Logarithmo numeri 67½48 1,8291751 10, seu æquales 2, oo00000, 6748 0,8 291751 quare cum Logarithmus nu⸗ 0, 674 8 1,8292751 meri 6748 sit 3, 8291751„re⸗ 0o, 0 674 8 ö 291751 lquorum logarithmu erunt ut in margine. In duobus ultimis logarithmis, Indices tantum sunt nega- tivi, reliquis figuris positivis manentibus, adeoque cum reli- quæ. addendæ sunt, subtrahendi erunt indices,& vi ce Versa. — II. %garitmorumn Arithimetica ubi numeri sunt nι²εegne, Autéegri cum decimalibus adsunctis. uoniam in multiplicatione, unitas est ad multiplicato- rem eut multiplicandus ad productum, distantia inter Unitatem& multiplicatorem æqualis erit distantiæ in- Tan 44 ter multiplicandum& productum; si itaque numerus GH per .7. numerum EF esset multiplicandus, distantia inter GH& productum debet esse æqualis distantiæ AE, seu Logarithmo multiplicatoris, si itaque capiatur GLæqualis AE, erit nu- merus LM productus, hoc est, si ad AG logarithmum multiplicandi addatur AE Logarithmus multiplicatoris, sum- ma erit Logarithmus producti.. In Divisione Unitas est ad divisorem, ut quotus ad divi- dendum adeoquè distantia inter divisorem& unitatem æqua- lis erit distantiæ inter dividendum& quotum. Sic 1 EM per EF esset dividendus, erit distantia EA æqualis distan- Aæ inter LM& quotum, adeoque si capiatur LG 8 85 2., 77 — 1 ＋D Wee 95„ 722 9.91⁷⁵ mintnez u cum Rl Mes, KM. IdIIα nan“ u I* II „ „MM⸗ Hα 0 eau— 16 * D E LOGARITHMIS. 363 A, ad G erlt quotus. Hoc est, si ab AL Logarithmo Dividendi, auferatur GL seu A E Logarithmus dwisoris, restabit AG Logarithmus quotientis. Atque hinc adeo, quæcu mque operationes in communi A· rithmetica perficiuntur multiplica ando aut dividendo numeros majores, ee omnes facilius multo,& expeditius fiunt, per additionem aut subductionem Logarit R Sit exempli Srat ia numerus 758½ m ultiplicandus per 6757 addendo Logarithmos ut in margine vide⸗ — V. 35 2 1 14 IIEIr 25 ù 04F 10 Eit 5 Ha abetur LOgal ritcamus Pl OQUCHI Log. 3. 8801840 1 NAENRNN EEN OHH Cujt 8 index 7 monitrat Cile 1 PI ducto LoOg. 3.8297539 5—————— ＋5 NrH 5 REI 1 NXI 1eptem 1ocOS prœter un atum locum ů 9 7.709938 quærendo in tabulis Logarchn aum hunc, S 7. 79 Vel invenio numerum respondentem mi norem producto esse 5127 8000& numerum producto majo rem esle 51279000, quin capiendo differentias adjunctas,& partes proportionales; invenio notas ante- penultimam& pen I 4.——— 8 E cessario erit 3, ob lepties novem 63 adeoque verus produ- ctus erit 51278173. Siindex Logarithmiesset 8 vel 9, ul. tima vel penultima notæ obtineri non possunt ex tabulis ubĩ Logarithmi tantum constant 7 figurarum locis præter chara- I st, Tabulæ Vlac cquianæe, in em notarun vVel Briggie- atuordecim, adeundæ e- numerus 78976 dividendus sit LOg. 4. 8954004 76R• substrahendo Logarithmum diviso- Log. 2. 4440448 ex Logarithmo dividendi habetur Lo- Iog. 2. 45 1280 8. nm quotientis,cui Logarithmo re- 1991.—5 Wmerns 5 282, 719 qui itaque 17 1. Cum unitas et assum Ptus, cius 871 9 quadratus, dubus, Biquadratus,&c. sinit continue pro portionales, eorum à se mvicem d distal 115 quales erunt. ed itaque est Quadrati distantiam ab unitate, duplam esse distantiæ radicis 39 95 2 al ———— 764 D E LOGARITHKMIS ab eadem: distantiam cubi triplam distantiæ radicis fua, Bi 8 quadrati distantiam esse distantiæ radicis suæ ab unitate qua· 0 druplam&c. Adeoque si dupliciter Iogarithmus numeri, da⸗ ö 120. bitur logarithmus Quadrati, Si triplicetur, logarithmus cu- ö Mn V bi, si quadruplicetur, prodit Logarithmus Biquadrati. Et 4 vice versa si Logarithmus numeri alicujus bisecetur, habebi- ar tur Logarithmus Radicis quadratæ ejusdem numeri: Quin& omni ejusdem Logarithmi tertia pars erit Iogarithmus Radicis Cu- dces bicœæ, òë pars quarta Logarithmus Radicis biquadraticæ,& ita deinceps. t01 Hinc Radicum omnium extractiones facillime perficiun(% tur, secando Logarithmum in tot partes, quot sunt unitates dur in indice potestatis. Sio ut habeatur Radix quadrata numeri 1⁰ 5, cjus Logarithmi capiatur pars dimidia o, 3494850, erit cel hæc Logarithmus radicis quadratæ numeri 5, seu Logarithe 101 mus numeri V 5 Cui respondet numerus 2, 23606 quam pro- ö Xime. Uu Ciar I. 1 5 — Me De Ariuhmetica Logarithmorum, ubi numeri ⁰ sint Vractionès.— uotiescunque Fractiones per Logarithmos tractandæ fue. rint, ad vitandum laborem addendi unam Logarithmi„ 4 partem,& subducendi alteram, expedit ut Logarithmi be! incipiant non ab unitate integrali, sed ab unitate, quæ sit in 1 decimo vel centesimo loco fractionum decimalium, V. g. Po- X* I ö Il Tan4y. ne P O esse& Logarithmos ab ejus loco in- Kal 44. 10605000000(,ů—s ö I. cipere. Hœc fractio decies magis distabit ab unitate versus e sinistram, quam numerus 10 ab eadem distat versus dextram Rüh sunt enim Decem termini proportionales in ratione 10 ad I ab umtate vlque ad O. Adeoque fi& E sit unitas, lus 35 2— Iur Iel. Wuntats 24 umer Ho, eit L⁴ndt. IO- 1 5E 1O6ARITHMIS. 56⁴4 Logarithmus in hac suppositione non erit o, sed erit OA 10 00⁰⁰⁰⁰ο. Namdistantia denarii ab unitate est. I. oo0Oo, unde distantia numeri 10, ab PO erit 11, OO0 oοο Item Distantia numeri 1004 P O, seu ejus Logarithmus à PO incipi- ens, erit 12. Ooo Ooοο& numeri 1000 Logarithmus seu distan- tia àPO erit 13. Oo0 Oοο; atque hac ratione Logarithmorum omnium indices augentur numero 10.&Fractiones quorum in- dices fuerunt I, aut 2, aut 3,&c. fiunt 9, 8, aut 7&c. At si Logarithmi incipiunt à loco Fractionis cujus numera- tor est unitas; denominator unitas centum cyphris adjectis (quod faciendum est quoties fractiones occurrunt minores quam PO) illa Fractio centies plus distabit ab unitate quam 1O ab ea distat, adeoque Unitatis Logarithmus habebit Indi- cem 100. Numeri Denarü Logarithmus Indicem habebit 10I. Etinumeri centenarii Logarithmo congruet Index 102, & ita deinceps Indices omnes augentur numero 100. Fractionum omnium quae sunt majores PO(à quo ini- tium ducitur) Logarithui erunt positivi. Et cum numeri, 10, I, 1. 4.„ 2566½&C. sunt in Continua progressione Geo- metrica ,æqualiter à se invicem distabunt,& eorum proinde Logarithmi erunt æquidifferentes; Adeoque cum Logarith- mus denarii sit 11. OOOOOOO,& unitatis Logarithmus sit 10. O000000o erit Logarithmus fractionis 9. O00000⁰0½& fractionis Logarithmus erit 8, οοοοοο,& similiter in- dex Logarithmi numeri 4σ erit 7. Quin etiam eadem ratio- ne si index Logarithmicus Unitatis sit 100& denarii 101, E- rit index Logarithmi Fractionis 12,„ 99,& Fractionis 448 Index Logarithmi erit 98;& Fractionis 45 index Logarith- micus erit 7&c. Hi indices ostendunt in quo loco ab uni- tate prima fractionis figura quæ cyphra non sit, ponenda fue- rit v. gr. Si index sit 4 ejus differentia ab indice unitatis quæ eft 10 scil. 6 ostendit primam decimalis figuram si- gnificativam esse in 64 ab unitate loco; ergo quinque cy- Phræ versus sinistram ei præponendæ sunt. Ita si Unita- tis index sit 100& fractionis index sit 80, erit prima ejus ligura in vicesuno ab unitatis loco seu 19 cyphrœ præœponendæ crunt. Bb bb 3 Sit 566 DE LOGARITHMIS. Sit jam Fractio GH per fractionem OC multiplicanda Quia unitas est ad multiplicatorem ut multiplicandus ad pro- ductum, erit distantia inter Unitatem multiplicatorem æ- qualis distantiæ inter multiplicandum productum. Quare 11 capiatur GEAC, ad Ierit productus IK. HVt proinde si ab OG Logarithmo multiplicandi, auferatur GI vel AC, restabit OII Ogarithmus producti. 90 4— OAOC, 2 ablata ab O G, e ur OG ＋00—0· 0⁰⁵, hocest, si simnul addantur Logarithmin nult tiplicatoris& mul⸗ tiplicandi,& summa auferatur 5605 arichmus unitatis(qui 10 mper scribitur per 10 aut 100 cum cyp 9500 i5) habebitur lo- garichmus producti. ex. gr. Sit Fractio decimalis o, 00734 per. /0⁰0876 multiplicanda, pono O unitatis indi- cCeme n nesse 100,& fractionum LOS garithmi e- runt ut in margine, qui additi,& rejecto Lo- garithmo Unitatis, dant Logarithmum produ- 97, 865696 , er 1 index 94 Ostendit prin am producti 96j,942504 iguram esse in sexto ab unitatum loco, quin- 94, 8082002 que 12 que Cyphræ pr dirn 9 mt, pro- ductus érit, 0642984 In Divisione, divis⸗ O—— ad 3 otum,& proinde distantiati inter divisorem& unitatem, &qualis erit distantiæ inter dividendum& quotum. Itaque 11 1130110 IK dividenda esset per DC, capienda rit 162 CV& locus quoti erit G. 5. CASOAEOC quæe 240 0¹³ à fit OA＋OI-OCSO. hoc est si addatur mmitatem, ut dividendus ad ö is ad LoOgarit 12 mum dividendi, ð La summa erat 8 dWVisoris, re estabit logat ithmus quotien- 118 2— inumerus— D per IK esset dividendus, capienda erit distantia*. 8IA,& erit 8 T quotiens; cujus Loga- rithmus est OA—000 Sit 0, 367 IKo, O0478. 30145l m un ipsius CD addatur Logarith- m hoc est ejus Indici præeponatur 19, 5403295 1 aut 10,&C& eO suhducatur logarithmus di- 7:6794279 VIloris, restabit LSo- garithmus quotients, cujus 1. 8609016 —. I. monstr d quctienten veslemter mume- 108 DE LOGARITHMIS. 565 7 405 qui sunt à 10 ad 100 quæro itaque numerum logarithmo resyondentem, quem invenio esse 72, 549. Sikractio nis vul⸗ garis verbi gr.: Iogarithmus defiderctur„e Logarithmum 5———. 7 rnnr. ogari ithmus 10,8450980 unitatis, vel quod idem est, ejus in 1 ici Pra⸗ 0, 90309⁰⁰ ponatur 1 aut 10& Rühsducagür ur ab eo mus denominatoris 8, restabit logari Ctionis vel fractionis deenale„875. Ut: Fractionis cujuslibet D C potestate habeantur, ca- 11 4146 piendæ sunt CEEG GIIIL Ingula æquales AC,& E 17 F crit quadratus, H Oubus 1K biquadratus numeri 26 114 2 sunt enim ab unitate continue proportionales. Est Præterca AE.— 2 0 20A— 56 unde OE SOA E AE 200C0A, hoc est logarithmus quadrati est duplus log arith. mi radicis, mi inn 10 arhin mot unitatis. Similiter Od A 4 3ACS30A-30 e O 0-AC 30020 m. garithmo cubi Triplo Logarithmi lateri is minus 5 10lo- garithmi unitatis. Ead len Ralohe, üte A4ACE4OA— 4 40— Srm Co„ 4, Logart ithmus Bi— quadrati. Et umiverlaliter kractionis poteslas sit 2, logarith- mus L, erit logarithmus potet statis 1 I.— 1OA＋ OA, hOC est multi plic cande 15 arith mum fractionis per 2,& — —— producto ab jicien 5 hmum unitatis multiplicatum per 11•— I, habebitur logarithmus potestatis 2 ejusdem fractic U8. 0 8 EX. gr. sit Fractio;., O5 cuñjus quæratur potestas 64! jus fractionis logarithmus est 8, 6989700 qui multiplicatus 74 7 1 per 6 darnumerum 52, 1938200,& EX 52 ablato numero 50 qui est index Logarithmi unitatis in 5 ductus, restabit 1 loga- rithn 118 Duce 17—11 Ocui respondet mumeru — — 5 1.2„ rn 000 0000 15625. nam index 2 Ostenditse figuræ præponendas esse SiE. ractionis, o 05 5 potesta SOctava desideretur, multiplican- do logarithmum per 8, prod dit 69, 5017600, at cum ex nu- mero 69 auferri non Potel st yo, quĩ est septies sindex logarithmi unitatis, quin in numeros negativos deveniatur, pono indi- L — — ST SdTaasac— Z/s—— 36 DE I. 06AKITHMIS. cem logarithmi unitatis esse 100.& index logarithmicus fra⸗ ctionis, erit 98. hic logarithmus in 8 ductus dat 789. 591600 & ex numero 789 rejecto numero v00, qui utpote cum cy- Phris annexis, est septies logarithmus unitatis, restabit 89. 5917600 logarithmus potestatis 8* Fractionis E cui congruens numerus est oοοοο οοοοο 39⁰02. nam cum Iindex sit 89& cjus differentia ab 100 est 113 figura prima fractionis signifi- cativa erit in undecimo ab unitatis loco, adeoque decem cy- Phræ præponendæ erunt. Si in fractionibus, radices potestatum desiderentur. v. gr. Fractionis EF, quæratur radix quadrata. Quoniam Radix est media proportionalis inter Fractionem& unitatem; bise- Ctd AE in C, erit CD radix quadrata fractionis EF. Est 0 vero ACSEAEE— Adeoque OC Logarithmus ö OCAÆGOE Radicis O AACS——.—. Si fractionis GH ra⸗ 2 dix cubica quæratur. Radix illa erit prima duarum mediarum proportionalium inter unitatem& GH, secetur itaque AG in tres partes æquales, quarum prima sit AC, erit CD radix —O0406 Ae quœsita„& quoniam et A C=: 6= 20A406 —— O C scil. Loga- subducatur ab OA, restabit 3 rithmo Radicis cubicæ fractionis GH. Sic etiam fractionis IK radix biquadratica habetur, secando Al in quatuor par- tes æquales. Nam Radix est prima trium mediarum propor- tionalium inter unitatem& Fractionem. Sit itaque A C AI,& erit CD Radix biquadratica Fractionis 1K. O A-0O1— Sed est: Al——— adeoque OC OA— AC 304 01„4 Uni- 4 —— Hs EeSs= — Vear Wur. v. D E LOGARITHMIS. 569 Universaliter si fractionis LM desideretur radix potestatis ö 1O AEOAVÆTOL n, ejus radicis Logarithmus erit———.—, hoc est 7 si indici Logarithmico fractionis, præponatur numerus—1. & logarithmus sic auctus dividatur per, quotus dabit Lo- garithmum radicis quæsitæ. Sic si quæratur radix cubica fra- ctionis: sive, 5 hujus Logarithmo præponatur 2 1, quia radix cubica desideratur,& fiet 29. 6989⁷7⁰οσ cuνjus numeri triens est 9, 8996566&qualis Logarithmo radicis cubicæ fra- Ctionis:& congruens Logarithmo numerus est, 7937 qui erit radix quæsita. GAUlN De Regula Proportionis seu Aurea Logarithmica. inveniendus sit, nos docet proportionis Regula scil. termini secundus& tertius in se invicem ducendi sunt,& pro- ductus dividendus est per primum, qui prodit quotus, exhi- bebit quartum terminum proportionalem quæsitum. At per logarithmos minore labore habetur ille quartus; Nam si è summa Logarithmorum secundi& tertii auferatur logarith- mus primi, qui restat numerus est logarithmus quarti pro- portionalis. Quin etiam& hic labor minui aliquantulum potest, si lo- co Iogarithmi primĩi capiatur ejus complementum Arithmeti- cum, seu differentia logarithmi à numero 100000000,& obtinetur si pro singulis Iogarithmi figuris scribantur carum differentiæ à9. Complementum hoc Ruuhmerter cum reli- quis duobus logarithmis in unam summam conjiciatur,& à summa, unitatis nota in primo versus sinistram loco sita ab- jiciatur, restabit logarithmus quarti termimi quæsiti; atque hoc modo per unicam C trium additionem inveni- 0 tur Diw tribus numeris, qua ratione quartus proportionalis Tan 44. 1½ 8. Tan.44. Vs· 9. 57⁰ DE L. OGARITHMIS. tur logarithmus termini quæsiti. Hujus rei causa hine pate- bit. Sint tres numeri AB C& è summa secundi& tertii. subducendus est primus, non tantum operatio communi mo- do perficitur, sed etiam si assumatur numerus quivis E.& ah co auferatur A, restabit EA si numeri BC&E＋A in unam summam addantur,& è summa trium rejiciatur E restabit B＋ C A. sic si subducendus est numerus 15 85 ex* 23 capio numeri 15 complementum ad 100 quod 23 est 85, hunc numerum addo ad 23& summa fit 108 108. E quo sublato 100 restabit numerus 8. Sequuntur EXempla Trigonometrica Regule proportionis per Lo. garithmos soluta. Sit Priangulum ABC rectilineum, in quo dantur angulus A 36 gr. 46. angulus B 98 gr. 3.& latus BC, 3478.& quæritur Jatus AC. Fiat(Pper ca/. I. Trigon. Planæ) Si- nus ang. A ad Sinum ang. But BC ad A C. Et quia Arith. comp. L,S, B. o. 2228938 sinus Log. anguli A est pri- Log. Sin B. 9.9951656 mus analogiæ terminus ejus Log BC. 3.5413296 Vice substituto complemen- Log. AC=＋. tum arithmeticum Ghuldemd, 13.7593888. & addo Log. BC, Log. 8S, B& prædictum complementum in unam summam,& è summa rejecta unitate quæ est in primo versus sinistram loco, dabitur Logarithmus lateris AC, cui congruens numerus est 5706, zo6Equalis AC la- teri quæsito. ä Sit Triangulum Sphæricum AB C, in quo dantur omnia latera scil. B C= 30 grad. AB24gr. 4.& AC gr. 8. quæritur angulus B. Producatur BA ad M ut sit BM=BC erit AM differentia laterum BCB Aæqualis 5 gr. 56.(Per cas. 1 I. in Triangulis obliquangulis Sphæricis.) Fiat ut rectan- gulum sub sinubus crurum AB B C ad quadratum Radii, ita ACÆTAMACHAAM Rectangulum sub sinubus Arcuum—— 2 quadratum sinus anguli: B. Est — DE LOGARITHMIS. 571 r Ht te ACTAM ACAM —3 Est vero 8 gr. 2.&—.— ⸗ 18 gr. 6. . 2 4 Et quia primus analogie terminus est rectangulum sub simu⸗ itod, bus AB BC,& secundus terminus est quadratum Radii; une Summa Log Sin. AB BC subducenda erit e duplo Log. uon Radii& qui restat numerus addendus est ad summam Log. mast ACTAM AC— AM ehm 8 Quod idem erit ac si singuli Log. 5 perl ö Sinus arcuum AB B C subducerentur à Logarith. Radii, vel Wamal ů si horum sinuum ca- 770 6 Log. S, B C comp. Arith. O. 30102ꝗ9 Piantur com lemen· 5 I 8 P . 0g. S. AB comp. Arith. o. 3898364 ta Arithmetica, atq; ACTAM complementa illa& 0 ö Log. S— 9. 6098803 prædicti sinus in u- FI6 nam conjicerentur 5 ACAM summam. Summa il- —.— 20090.—.— 9. 4923083 la erit Logarithmus 2—— quacrati sinus dimi- Log.S, Ang. B ii i1 2 Log. S,Ang. 19. 79305⁴49 dalnt B; loga- ö ä ö ö rithmi itaque dimi- 0 Dahae 2‚l 9• Log. Sinus anguli B 51 91. 5 56, j u angu 2 ACl. erat Rpentendnd. e omia 490 Gl. V. ⁵ 6⁰0 De Proportionalium Quantitat mui 0•6 j71 ö Quantitatum continuis Incrementis, 42 5 i modo in veniendi per Logarithmos, Terminum 0„ ＋ serie Proportionalium, sive crescentée, sive — Iin Axe Logarithmicæ ubivis capi 45 VIS Capiantur partes quot vo- 8 lueris SVVVVYOGCEcC. æquales,& ad 2— V VOA. eer 2 ö C. ***3929...—.——..—‚—::˖:˖:?x:—.— 7⁷ D E LOGARITMIS. &c. erigantur perpendiculares ST VXVCn&c. ex natura curvæ, erunt omnes continuè proportionales, quin etiam continua incrementa&&X U erunt totis propor- tionalia. Nam b 8 T: VX:: VX. VZ:: VZ: Querit dividendo I:&:: VN: C:: VT.n,& componen- do VX: XX:: H: S:: Qn: n. Hinc si X& sit pars quælibet rectæ 8 T, erit ZE eadem pars rectæ VX/,& Hr quoque eadem pars rectæ V. ex. gr. Si Xsit ST erit VN,&HÆκ VV seu quod eodem reditꝰ erit VXSOTT. T. VCVXNT VX, item In X2.. ö Fiat ut ST ad VX, ita AB unitas ad NR; erit AN SV/ adeoque rectæ SVVVVOGCc. erunt singulæ æ- quales logarithmo ipsius RN,& AV Logarithmus termini VX erit æqualis AS ＋ ANLogarithmo ipsius ST&Lo- garithmo ipsius NR. Item A Logarithmus termini V æqualis erit A8S ＋2 ANLog. ST＋2 Log. NR,& AQ logarithmus Permini Qn æqualis erit A8S ＋— 3 ANLog. 8I＋* 3 Hog. NR. Et universaliter si Logarithmus numeri NR multiplicetur per numerum, qui exprimit termini cu- julvis distantiam à termino primo,& productus addatur Lo- garithmo termini primi, dabitur logarithmus istius termini. At si series proportionalium sit decrefcens; seu si termini in continua ratione minuantur,& Q sit primus, habebitur Logarithunis alterius cujufvis termini, multiplicando Loga- rithmum numeri NR per numerum qui exponit ejus termini distantiam à primo,& subducendo productum è Logarithmo primi. Quod si productus ille sit major Iogarithmo primi termini initio ab unitate ducto; in eo casu ponendi sunt Lo- garithmi incipere ab unitate in aliquo fractionum Decima- lium loco detrusa, verbi gratia ab OP ita Logarithmus nu- meri QH erit O. Exponat jam LM quamvis pecuniam, seu pecuniæ sum- mam à creditore fœnori elocatam, ea lege ut singulis annis, usura annua sorti annumeretur,& fmito primo anno, sit ufu- ra seu lucrum K,& IK aggregatum sortis& lucri pariat 8 ö Ufu⸗ ——— 2. — 2—2—4—3ꝗ9————ß7—.ß,/.————...— ỹDPDPIPeeeeeee**— 3—3——9——— DE LOGARITHMIS. 573 vsuram H quæ sit ipsi IE proportionalis, seu in ratione constanti. Hæc usura H,½ finito anno secundo, sorti aece- dat,& sors ea fit G H, quæ ad finem anni tertii pariat usu- ram F,, ipsi G H proportionalem; Ponamus sortem singu⸗ lis annis augeri parte sui vicesima, adeque erit IK LM＋κLM, GHEIK. LIK. EFGH＋T GH,& ita deinceps. Erunt proinde termini LMI K GHEF,&c. continue proportionales. Quæritur quantum aucta fuerit pe- cunia ad finem quotlibet annorum. Sit LM semiobolus, Anglice Afarthing. Ob LMad IKut 1 ad 14＋4½ vel ut 1 30 15 05. ut AB ad NR, erit NRæT, O5, cujus Logerithmus AN est o. OAT1893, vel ma- gis accurate o. 21½89991. Quæœritur quantum lucri acce- dat semiobolo, qui sexcentis annis fœnori expositus est. Mul- tiplicetur AN per 60⁰ productus erit 12. 7135794. Huic pro- ducto addatur Logarithmus fractionis nempe 97,0177288. (nam est semiobobus pars libræ;) summa 109. 7313082 e- rit Logarithmus numeri quæsiti, cumque index 10ꝗ9 superat indicem Uritatis novenario seu 9, ęrunt in numero respon- dente novem figurarum loca supra locum Unitatum,& nu- merus ille in tabulis quæsitus inyenietur major quam 53865⁰%0000,‚& minor quam 5386600000. Unus itaque miobolus fœnori datus; finitis sexcentis Annis, pariet li- bras Anglicanas plures quam 5386500000) Cui summæ sol- vendæ Vix par erit omnis illa Auri Argentique copia, quæ ab ipsa rerum origine ad hunc usque diem ex terrarum visce- ribus eruta est. Exponat Qri quamvis pecuniæ summam quam post exactum integrum armum debitor creditori solvere tenetur, sed sine usura. Certum est si Debitor nunc totam solveret, illum a- miflurum jus quod habet in usuram annuam quæ ex pecunia illa prodiret; Quin& minor summa foœenori exposita, potest post annum cum sua usura, summam Q adæquare. Minor illa pecuniæ summa, quæ cum sua usura pecuniam Qu ad- æquat, præsens pecuniæ valor dicitur. Sit ANLo- * ga- 574 DE LOGARITHMIS. ö garithmus Rationis, quam sors habet ad aggregatum sortis& ö usuræ, hoc est, si sors sit usuræ annuæ vigecupla, sit AN Logarithmus numeri 14 seu 1, o5,& capiatur QV æqua- 1 lis AN; erit AV Logarithmus præsentis valoris pecuniæ Qn. Patet enim pecuniam V fœnori expositam fmito anno parituram pecuniam Qu, adeoque ut habeatur loga- ö rithmus præsentis valoris, seu V ex Logarithmo A0 detrahi debet Logarithmus AN,& restabit AV logarithmus præsentis valoris vel VZ. Si summa Qn non nisi post duos annos exactos debeatur; à Logarithmo A subtrahendus est numerus 2 AN,& manebit AV logarithmus præsentis valoris, seu summæ quæ pro pecunia Q solvi statim debeat. Nam manifestum est pecuniam VX foenori expositam, spa- tio duorum annorum, pecuniam Qu procreaturam. Eadem ratione, si summa n non nisi post tres annos debetur, à logarithmo Qn subtrahendus erit numerus 3 AN,& qui restat AS, erit logarithmus numeri S L, seu erit S T præ- sens valor summæ Qu post tres annos solvendæ. Et Uni- W versaliter, si logarithmus AN multiplicetur per numerum an- 3 norum, quibus exactis, debetur summa n,& productus N numerus ex logarithmo AQ subducatur, hac ratione dabitur logarithmus numeri, qui erit præsens valor summæ n. Hinc patet si 5386500000 libræ Angl. Societati alicui finitis sex- centum annis solvendæ fuerint; tantæ pecuniæ præsentem va- lorem, vix unum semiobolum adæquaturum. Si in Axe Logarithmicæ ordinentur ad curvam rectæ HG EF, ABCD quæ sint proportionales,& extremitates ipsa- rum FH/, DB, rectis jungantur, 5 productæ cum Axe con- ö veniant in P& K, erunt reche GP AK semper æquales. V Nam ob GH: EF:: AB: CD.erit GH:ES: AB. DR. Sed ob æquiangula, triangula PGH HSE, Item KAB BRD æquiangula erit 56. HS::(GH: FS:: AB: DR:.) KA: BR. Quarum proportionalium consequentes HS 5R ö equales sunt,Antecedentes igitur PG K A æquales erunt. ö . D. 8 EIDIDEDEESR Rhumn 4⁰⁴ ＋.⁵⁰⁴½⁵1 AH D DE LOGARITHMIS. 575 Si rectæ CD EF ad AB GH æqualiter accedant, ut tandem punctum D coincidat cum B,& punctum F cum H, rect DBK FHP quæ prius secabant curvam, verten- tur in Tangentes BT, HV& rectæ AT GV semper si- bi invicem æquales erunt, hoc est, portio Axis AT vel GVintercepta inter ordinatam& Tangentem quæ Subtan- gens dicitur, erit ubique constantis& datæ longitudinis, quæ est præcipua Logarithmicæ Proprietas. Nam in diversis Lo- garithmicis, Subtangentes curvarum species seu formas deter. minabunt. ö In duabus diversæ speciei Logarithmicis, ejusdem numeri ran ag. Logarithmi, seu distantiæ ab unitate, erunt subtangentibus α 2. 3. suarum curvarum proportionales. Sint enim curvæ HBD SNV, quarum Subtangentes sint AT MX, sitque AB— MNSunitati, item D CEV erit AC Logarithmus nu- meri CD, in Logarithmica HD, ad MQ logarithmum numeri QCV, seu ejusdem CD in Logarithmica 8SV, ut subtangens AL ad subtangentem MX. Concipiatur inter- seri inter AB CD vel νV, infinitos terminos con- tinue proportionales, in ratione AB ad 46 vel MN ad n, & Ob ABEMN erit 40 m n. item erit αν. Et ter- mini proportionales cum in utraque figura sint numero æqua- les, divident lineas ACM in partes numero æquales, qua- rum primæ sint A4 Mm, partes itaque illæ erunt totis pro- portionales, hoc est erit& a: Mu:: AC: M Quoniam autem Triangula TAB Be sunt similia(nam pars cur- vÆ 5% coincidet fere cum portione Tangentis) Item trian- gula XMMNo sunt similia. Erit A a vel Be: Gc:: TA: AB Item est ½ vel c: No:: MN Vel AB: MX. Undée erit ex æquo, Be: No:: TA: MX:: A4: Mm:: AC. MAQE.D. AT vocetur 4, ob AB: AT: 4 6 543 5crit 5E..—.—. AB Hinc si detur Logarithmus numeri, qui sit unitati proxi- mus, Tan 45. 576 D E LOGARITHMILS. mus, vel illam minimo excessu superat, dabitur Logarithmi- cæ subtangens, est enim excessus α ad Logarithmum Be ut AB unitas ad subtangentem A T. Vel etiam si sint duo quilibet numeri quam proxime æquales, erit differentia nu- merorum ad differentiam Logarithmorum, ut alteruter nume- rorum ad Subtangentem v. gr. Si Incrementum 0 sit 00000 00000, 00001 02255 31945 60²59,& Be vel 4a logarithmus numeri sit, Ooοο oοοοο οοοο 44408 92⁰98 50062. duobus his numeris& unitati inveniatur quartus pro- portionalis, scilicet 43429 448 19 03251,‚ is numerus dabit longitudinem subtangentis A, quæ est subtangens Loga- rithmicæ quæ exhibet Logarithmos Briggianos. Si Creditor Pecuniæ summam fœnori exponat, ea lege, ut singulis temporis momentis, pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur, ita scil. ut post finitum primum temporis momentum, seu exactam anni particulam indefinite exiguam, usuram poscat tempori proportionalem, quæ sorti adjecta, una cum ipsa, usuram pariat, finito secundo temporis mo- mento, sorti pariter accessuram,& ita deinceps. Quæritur quantum creditori finito anno debeatur? Sit 4 usura annua Unitatis, seu unius libræ& si integer Annus seu 1 dat usu- ram a4, particula anni indefinite exigua M dabit usuram ipsi M proportionalem Mm ια,& proinde si Unitas per MNexponatur, ejus incrementum primum erit aοMm d. Per puncta N concipiatur Logarithmica describi, cujus Axis est OMQ. In hac curva, si portio Axis MQtempus ex- ponat, ordinata QV pecuniam repræsentabit quæ usque ad illud tempus, singulis momentis, proportionaliter cre- vit. Nam si capiantur&c. Mm, ordinatæ I&c. erunt in serie continue proportionalium in ratione MN ad un, id est crescent eãdem ratione, qua pecunia cre- scit. Tangat Logarithmicam in N recta NX, cjus subtangens MX erit constans& invariabilis,& Triangulum minimum Non simile erit Triangulo XMN. At ostensum est, esfe in- crementum ꝝM αNονααerit itaque ο½ No:: No 1 a: ¹ nthni. MH- 00 - IInde. 0 Nah 1 5 Cab SIo Ege, t Eamnue H05 Nua, H², cI Rrüul M2 l lum 45 H. 51¹ 6el Hue N. 2 gels uln Ne N- 0% V. 5E LOGARITHMIS. 577 Notꝛa: L. Sed ut ο ⁴d No, ita erit NM ad MX. Quare 1 erit, ut aad 1, ita NMseu 1 ad MX subtangenti. 2. OQuod si Usura annua sit pars sortis vicesima, seu si sit Kz. 2 Quia in diversis Logarithmorum formis, ejusdem numeri Logarithmi sunt Subtangentibus suarum curvarum proportio- nales: si M tempus Annuum, seu unitatem, exponat, QV erit pecunia quæ finito anno debetur. Ut verò innote- scat CV; Fiat ut MX seu 20 ad o, 4342944(qui nume- rus exponit subtangentem Logarithmicæ, quæ exhibet Loga- rithmos Briggianos) ita Annus, sive Unitas, ad Logarith- wum Briggianum, qui numero QV congruit; logarithmus autem ille invenietur o. 02 17147 cui Respondens numerus Vest 1,05127, cujus inerementum supra unitatem stve sortem„05127 pauxillum superat annuam ufuram, o5. Adeo ut si usura annua centum librarum sit quinque libræ, usura propor tionalis singulis anni momentis sorti 100 adiecta, pa- riet tantum ad finem anni.. sel. a. 9 2 0 Si quæratur Usura ejusmodi, ut singulis momentis pars ipsius sorti continue crescenti proportionalis, ad sortem acce- dat, ea lege ut finito Anno producat incrementum quod sit sortis pars quælibet data v. gr. vicesima. Fiat ut Log. nu- meri 1, O5 ad 1, hoc estut o, o211893 ad 1, ita Subtangens 0,„43⁴²⁴4 ad— 20,49/& erit νά, 0488. Nam si 2 concipiatur pars Usuræ ,oꝗg88 momento respondens, hoc est eandem habens rationem ad„0488 quam habet annus ad mo- mentum,& fiat ut:unitas ad illam usuræ partem, ita sors ad ejus incrementum momentaneum; quæ hac ratione continuò crescit pecunia, ad finem anni augebitur vicesima sui parte. Dd dd CA Fg. 2. Tan.4g. 6 5½j8 DRE LOGARITHMIS VI. De Methodo qua Henricus Briggius Logarithmos suos supe gutavit, ejusqué Demonsiratibo. rithmicæ evidentissime patebit. In qualibet Logarithmica HBD sint tres ordinatæ AB 26 ½ quam proxime æqua- les, hoc est earum differentiæ exiguam admodum ad ipsas li- neas habeant rationem; Erunt Logarithmorum differentiæ differentiis linearum proportionales. Nam cum lineæ sunt quam proxime æquales, propinquissimæ sibi invicem erunt. & pars curvæ Bꝗ ab iis intercepta cum recta linea fere coin- cidet, certe tam prope possunt ordinatæ sibi invicem admo- veri, ut differentia curvæ, à recta ipsam subtendente, ha- beant ad ipsam subtensam, minorem qualibet datà rationem. Triangula igitur Bæe By α pro rectilineis assumi possunt, & ermit euiangula. Quare: Br 5. 7 Aa: hoc est excessus linearum supra minimam A3, erunt loga- rithmorum differentiis proportionales. Hinc patet ratio istius methodi qua tam numeri quam Logarithmi per differentias& partes proportionales corriguntur. Quod si AB sit unitas, erunt numéerorum logarithmi differentiis numerorum propor- tionales. i intra numeros denarium& unitatem capiatur medius proportionalis, seu quod idem est, numeri denarii extraha- tur Radix quadratica, Radix illa seu numerus in medio erit loco intra denarium& Unitatem.& ejus Logarithmus crit dimidius Logarithmi qui denario competit ac proinde dabitur. Si inter numerum priùs inventum& unitatem, iterum inve- miatur medius proportionalis quod fit extrahendo numeri in venti Radicem quadraticam, hic numerus Unitati duplo vi- cinior Nuamvis Briggius lineam Logarithmicam nusquam de- scripsit, quem tamen in calculo adhibuit operandi mo- dum, modique Rationem ex contemplatione Loga- . * N WMaun Derndie H Done Id/ Orthl une u nadnsl dterente Aer lur vemn. H. n. Ne, H WIln. Maut, A. WIR olhus 4„ EUH neee „etrah“. I.* 4** DE LOOGARITHM IS. 579 Eimor.erit quam prior, ejusque logarithmus erit prioris loga- Tithmi semissis, seu Logarithmi denario competentis pars quar- ta. Si hac ratione continuo extrahatur Radix quadratica& bi- secentur Logarithmi, pervenietur tandem ad numerum cujus * distantia ab unitate minor erit parte— 1 00000 00000 000⁰⁰ istius logarithmi qui Denario tribuitur. Briggius peractis 54 Radicum extractionibus; Invenit numerum 1, 0O000 000⁰οο 00000 12781 91493 20032 3442 ejusque logarithmum fore O, 0O000 Oοοο οοοο 5551 1151 31257 82702. suppo- natur Logarithmus hic æqualis A% sive Bi,& sit σ nu- merus radicum extractione inventus; erit differentia vσ qua unitatem superat οο οοοο οοοο 1278191493 20⁰32 Ualeann numerorum ope, logarithmi reliquorum omnium inveniri poterunt ad hunc modum. Inter datum numerum (cujus logarithmus inveniendus sit)& unitatem quærantur (ut superius ostensum est) medii proportionales, donec tan- dem inveniatur numerus tantillo unitatem superans ut umitas prœcedat quindecim cyphras, quas totidem vel plures notœ lignificativæ sequantur. Sit numerus ille 2%,& notæ signi- ficativæ, præfixis cyphris differentiam α denotabunt. Dein- de fiat ut differentia 2ν ad differentiam α ita B, Loga- rithmus datus ad Be vel Aa Logarithmum numeri 40, qui itaque dabitur. Hic Logarithmus toties continue duplicatus quoties extractiones factæ sunt, tandem dabit Logarithmum numeri quæsiti. Hac etiam ratione inveniri possit Subtangens Logarithmicæ nempe si fiat α By:: AB seu unitas: AT subtangenti, quæ itaque invenietur o, 43429 448 19 03251, per quam denique reliquorum numerorum logarithmi innote- Icent, nempe si detur numerus quivis NMejusque Logarith- mus,& quæratur alterius numeri logarithmus qui ad NNI sa- tis accedat fiat ut M ad subtangentem XM ita 20 dif- ferentia numerorum ad N differentiam Logarithmorum Quod si NM Unitas AB dabuntur logarichmi mul- Dddd 2 tipli- 38⁰ D E L. O G ARITHM H5. tiplicando differentias minimas c per subtangentem constan- em A 1. Hac ratione invenientur Logarithmi numerorum 2 398 & inde dabuntur ogarithmi numerorum 4 8 16 32 64 &E. H 27 81 243 Cc. tem 7 49 343&e. loga- rithmo denarii auferatur binarii Logarichmus restabit logarith- mus Quinarii.& proinde dabuntur Logarichmi numerorum 25 125 625&c. Numeri ex his compositi, nempe 612 14 15 18 20 2—4 28&c. facile logarithmis suis instruuntur, addendo logaritlr mos numerorum componentium. At numerorum primorum logarithmos, per tot Radicum extractiones invenire molestum admodum& laboriosum fuit opus. Nec quidem facile fuit, interpolando per differentias Primas, Secundas,& Tertias&c. Logarithmos supputare. Quo itaque absque tanta molestia Numerorum logarithmi ob- tineantur, Magni viri Nerετenus, Mercatur, Gregorius, WVallisius,& nuper Halleius series infinitas convergentes dederunt, quibus expeditius& certius logarithmi, ad quot volueris loca supputati haberi possunt; De hisce seriebus, ru- ditum Tractatum scripsit peritissimus Geometra Halletus in- ter Acta Philosophica Societatis Regiæ extantem, ubi series illas nova methodo demonstrat, modumque computandi lo- garithmos per eas docuit. Liceat hic subjungere hnovam se- riem, ex qua expedite& facile fluunt Logarithmi saltem pro Dumeris majoribus. Sit numerus impar, cujus quæritur I ogarithmus, Nu- meri 2— 1 ＋ I erunt pares,& proinde dabuntur eo- rum logarithmi,& Logarichmorum differentia, quæ di- catur, Quin etiam datur Logarithmus numeri qui est medius Geometricus inter numeros 2— E&α κ Læqua- I I· lis scil. semisummæ logarithmorum. Series 5• α—＋— 42 2423 181 13 I———————&c. erit æqualis logarith- 36⁰ ³ 1512⁰0 ⁷ 25200 8 mo V 8———————————————————— . D E I. O 6ARITHMIS. 30X mo Rationis quam habet Geometricus medius inter numeros S—I&SIV＋TI ad Arithmeticum medium scil. anumerum ZE. V Si Numerus superat 1000, Primus seriei terminus— suffi⸗ 44 cit ad producendum logarithmum ad tredecim vel quatuorde- cim notarum loca, secundus terminus dabit logarithmi loca viginti. At si major sit quam rooοο, primus terminus LOgarithunum exhibet ad octodecim f igura rum loca,& hinc ejus Susus optimus erit, in supplendis lo ogarithmis Chiliadum Briggio præœtermissis; Hujus rei cap iamus exemplum, sit in- veniendus logarithmus numeri 20001. 1ogarithmus numeri 20000 idem est ac logarithmus binarii Ee Indice 4.& differentia Logar ithmorum 20000& 20002„ idem est 30 differentia Logarithmorum pro numeris 10000& 10001, scil. o, 00004 34272 7687. Hæc differentia si per 4 seu 80004 GilitteRertens eut— 0, 00000 00005 42813 . 10 ＋—. 4, 30105 17093 02416 uie quoto addatur log. numeri—.— S e it LO- garithmus numeri 20001. Hinc patet, ut habeatur logarith- mus ad decim loca non opus esse producere quotum Ultra sex l loca At sl logarithmus ad decem tantum figura- rum loca habere velis, ut a⸗/ lacquo in suis Tabulis factum est, duæ 30 nœæ quotientis notæ suffieiunt. Et si hac metho- do compute ntur Logarithmi pro numeris supra 20000; labor 0O¹ mnis VIXI Nuris rit— uam qut in exscribendis numeris im⸗ Hee r. Hæc Series ex iis quæ ab Halleio inyentæ sunt, ö SI 4* & L 01 Icat. — LEnri 7 Lactatum aded . x.*.. eaec3 DE ehenr—QCUl iaute I plura de! 118 scire cC upit, P F latum V.IR I E CENTRALIBUS. 4 385 10 HAN NIS K E ILTIII X EDE CIRISTI OXONIENSIS, A. M. EPIST10LA A D Cldariqsumum Nirum EDMUNDUM HALLEJUX. Geometriæ Professorem dævilianum, E I. E GIBUS VIRIUM CENTRIPETARUM. aud oblitus es, uti arbitror, Vir Clarissime, te, cum nuper esses Oxonii, Theorema, quo lex vis centri- petæ, Quantitatibus finitis exhiberi possit, mecum communicasse: quod Theorema tibi monstravit egre- gius Mathematicus D. Abrabamus de Motvre, dixitque Do- minum Isaacum Newtonum, Theorema, huic simile, prius in- venisse. Cum autem ejus demonstratio perfacilis sit, eam, itemque alia de eadem re cogitata, non possum tibi non im- pertire. Etsi minime dubitem, quin, si idem argumentum Ppertractare libuisset, tu acerrimo quo polles ingenii acumine, rem omnem penitus exhaurire potuisses. EI E. N I.. Si cor pus ur gente vi centripeta in curva aliqua moveatun; erit vis illa in quovis curvæ puncto, in ratione compositaà e airecta rationè distantiæ con poris& centro virium,& recipro- ca rationt cubi perpendicularis àꝗ centro in rectam in eodem puncto cur vam tan gentem demissæ, ducti in radium curvaturæ, guem ibi obtinet curva. Sit QAO curva quælibet à mobili urgente vi centripeta 4 * 2„ 47. ad punctum S tendente descripta. Sitque AO arcus in mi- Fg. 1. 804 nimo ———— 586 5E I. E GeI U nimo quovis tempore percursus, P ejus tangens, A R ra- dius circuli æquicurvi, hoc est cujus peripheriæ pars minima cum arcu AO coincidat. Et sit SP recta à puncto 8 in tangentem perpendiculariter demissa; ducantur Oπ ad SA & Ou ad S P parallelæ. Et exponat Oπ vim qua mobi- le in A urgetur versus S. Vis qua perpendiculariter à tan- gente recedit corpus, erit ut O½, Id est vis tendens versus R& faciens ut mobile, cadem qua prius velocitate latum, describet circulum æquicurvum arcui AO erit ad vim tenden- tem versus S, qua corpus in curva AO movetur, ut OQad Om, vel ob æquiangula triangula ut S P ad SA. Sed cor- porum in circulis latorum vires centripetæ sunt ut quadrata velocitatum applicata ad radios; per Corol. Theorem. A4. Prin cip. Neτπtoni. —— Est vero velocitas reciproce ut SP, sive directe ut— 5F, * adeoque quadratum velocitatis erit ut.—: vis igitur vt Oa ů 8 Pa se vis qua in circulo æquicurvyo moveri potest corpus, erit ut—.—.—: Ostensum autem est, esse SP ad SA ut vis SP. AR tendens versus R, qua corpus in circulo æquicurvo moveri potest, ad vim tendentem versus 8: sed est vis tendens ver- ＋ 1 sus Rut—, adeoque cum sit SP: SA::——½ SP.AR SP.AAR SA S —— erit vis tendens versus 8, ut———. SE SP. πAR 0. Cor. Si curva QA O sit circulis, E it vis centripeta ten- 8A dens versus 8, ut—. Adeoque si vis oentripeta tendat ad 8P. ＋— 5 pun. iculartter 2n ;tendens vei Hotate latu advim tend cur, ut Om A Sedch nt ut quadrata Lorem.. Prit drede vt V. * est cor d AV VIRIUM CENTRIPETARUNM 587 S punctum in circumferentia situm, erit(per 32 tertii) an- gulus PAS ang. AQS adeoquè ob similia 155 8P. 8² ASQ erit AQ: AS:: AS: SP: unde 8SP— 0 S8 SA SAMAE A 8SP. ＋ unde——.—.—.—. ⸗——, hoc est, ob AQ Sb. As. As, datum AQ, erit vis reciproce ut AS. Sit DAB, Ellipsis, cujus Axis DB, foci F& 8, AR, Tan 5. O R duæ perpendiculares in curvam sibi proximæ: ducantur A. 3. KL, O T, in SA,& KM in OR perpendiculares. Quia SA: SK::* FAY＋SA: FS, hoc est data ratione, erunt Te-. Ccarum S A, SK Fluxiones ATL, KVipsis S A, SK pro- Elem. oei portionales;& est AL* lateris recti L. Porro ob ee,. KA ad 5P parallelam, est angulus AS PK ALTOA Zartugte Ob ang. TAO utriusque complementum ad rectum: quare Se, Cen. 4— 1I. 74 84 L 0 8A Milnii. KA: AI.:: SA: 5D, unde SP.—.&KKA—— 2 KA 2 8D Porro ob æquiangula triangul. KMσ, GPS& OTA SPA. Est K M: KE:: GP.GS:: AP: SK Item KÆ:AT SK.SA Item AT: A0 AP:SA Erit K M: AO: AP.:SAr::S ASP.: SA: S A.— I1. 4 SA· —:: 4 AR:— L AKi, unde L.: 4 AK:: 4 AK ö 4AE (AOEEM:AO::) AK: AR ac proinde A R———. ö 1* Eodem prorsus ratiocinio invenietur radius eurvaturæ in Hy- 4 3K. L SA Perbola equals———. 1.8. 285.3 Ee ee 2 In IIIEEEENEl—— 788 DE LE 6ISPUVS Tas4½: In parabola vero facilior est calculus. Nam ob datam sub- 7 Fg. 4 normalem, est Kα semper A E Fluxioni Axis;& trian- 0 gula K M, ATILO, SPA, AKL,æquiangula, unde K M: KL:: AP, SA, item est AT vel K: AO:: AP:SA, un- ö dde M: A O:: APSA:S A—85P: S A: unde erit 20 SP.: SA:: AO EM: AO:: AR: A R, ac promde SA. AK 85 AR— sed elt AI.— lateris RKec I., G& 8 P· 168 LV SA 4 AEK: AL:: SA: SP, quare erit—— S P,& SP ů 2 AK ö LISA“ 4AE. — quare erit AR. vel quoniam est, 4 AK E. LIN S.4 LNVSA AKR-., erit AR—— 23 TAB. 47. 2 8 P 2 8 P .5. Atque ex his facillima oritur constructio, pro determinan- do Radio curvaturæ in quavis sectione Conica. Sit enim A K ö perpendicularis in sectionem occurrens axi in K, ex K su- ö per AK, erigatur perpendicularis HK, cum à S producta concurrens in H. Ex H erigatur super A H, perpendicula- ris HR, erit AR radius curvaturæ. 0 In parabola paulo simplieior adhuc evadit constructio. Nam quoniam ex natura parabolæ est SA E SK,& Angulus ARH ft rectus, erit S centrum circuli per AK H transeuntis, unde myenitur radius curvaturæ producendo 8SA in H, ut SH 8 A,& in H erigendo perpendicularem HR;& R erit ö ＋ 4½. Centrum circuli osculantis parabolam in A. ů 2 Z. 3. Vis centripeta tendens ad focum sectionis Conicæ, in qua corpus movetur, est reciproce proportionalis quadrato distan- 0 LIASA 89854— erit—— 285 8P K AR tiæ. Nam quoniam AR— VIIIUN CENTRIPETARUN. 3589 l 548288 2 wi*——— hoc est ob datam erit vis cer- N. 5 LNSA LNM SA L Döam. 4 meut teete ut—. àe Prondk SA· Sit Ellipsis BAD, quam tangit in A recta GE. Sintque AiL SP per centrum Ellipsis& K A per contactumV transeun- tes, m in tangentem. Erit SPνά K A quar- tæ parti iguræ axis seu quadrato semiaxis minoris O P,& DE. Nam ob æquiangula triang. GBO, GLA, GAEK, GPSS6E, 89328 325 BO: G0 Wmwel, 8SG 06— 5G: 1.61 60:0 ö DE. Di* GA:AK, unde SP: DE:: 50 AEK,&SPARSDENB0 : Iα B. Hinc si Mobile moveatur in Ellipsi, vi centripeta tenden- Eml te ad centrum Ellipsis, erit vis illa directe ut distantia; nam R SPM 4AR INfl est datæ quantitati. Quia est SP α A VOU— 2 SA 50 quantitas data. Vis igitur, ut——— erit, ut SA di- H Mm SP AAR tantia 0 W In figura tertia Demissa ab altero umbilico F: in Tangen- Ta. 4. oit⸗ tem perpendiculari FI. Obæquiangula triangula SAP, FAl, · 32. ENEA NUI crit SA: SP:: FA: FIl.—— unde erit SPAFIS 0 84 12 0 F A —⁰* quadrato semiaxis minorĩs, unde si axis major vo- nr SA 8A I cetur, minor autem 2d, erit SP.& SbE——— da—SA VSESA Eece3 In L)“7“I“II:P:TPT'T'I FTan 4. RAx. 7. 396 5DE LE G I B US 48 PRS„S SA In Parabola est SF d4 S A, posito ejus latere redo ——.— 8 Pꝰ*: Quoniam est IA: O:. AP: 35: 5 K. S8A 44•8 4 ＋ 8p. SA————.—— 3——— * 58A SA SAESA-: d, erit SASR: C:: TA: ö TO, cumque sit ASSA, erit O.— In Hyperbola autem est S V SAESA&. Sit jam QAO, Quælibet curva, cujus arcus minimus sit A O, tangentes in punctis A& O, AP, O7. Radius curvaturæ AR, perpendiculares in tangentes sint SP, Sę, SAN TA erit re r Nam ob æquiangula triangula est FP: AO:: PA: RA& AO: TA:: S A: PA, unde ex quo erit 7P: IA vel 5 A:: SA: RA, est vero PSP, SANSA quare erit RA 8P Hinc si distantia S A, in suam fluxionem ducatur,& di- vidatur per fluxionem perpendicularis, habebitur radius Cur- vaturæ; quo Theoremate facile determinatur curvatura in ra- dialibus curvis. Ex. gr. Sit AQ, Spiralis nautica; quoniam angulus S AP datur, ratio quoque SA ad 8P dabitur; sit SA 58 illa ratio 2 ad, erit SP—＋&SP=——&AR·= ＋ 2 AK 48 ö —.———— unde facile constabit, spiralis nauticæ 0 evolutam esse eandem spiralem, in alia positic ne. I VIRIVUN CENTRIPETARUM. 5For SAE386 5P Quoniam A K erit——.— 8P SPAAR SPÆHSA atque hinc rursus, ex data relatione 8S A ad 8P, facile in- venictur lex vis centripetæ. Exemplum. Sit VAB Ellipsis, cujus focus 8, Axis major Tan.4y. VB=, axis minor 24, latus Rectum E 2 R. Sitque VꝰQ alia curva, ita ad hano relata, ut sit perpetuo angulus VSà angulo VS4 proportionalis,& sit 54 SA. Quæ⸗ ritur lex vis centripetæ tendentis ad 8, qua corpus in curva VꝰQmoveri potest. ö Quoniam angulus VSA est ad VSa, in data ratione; ho- rum angulorum incrementa erunt in eadem ratione, sitque ea 1VOT ratiom adν; unde erit oY-t- 48A Est autem OT—–＝ unde erit. VSA E 8A A/ 14 SA —————. Quoniam autem est SA, SP':: f a. vVSAESAEA. ä 222½ α 8 A ½ d 8A ＋ ε ι A eeR— me εα8 S A—dt mi 4 S HESAE 2* d* 2. WIIRARTTTTRTRTRTRTIIFIIT— zun 8A—A:— zus 8— 8— 4 :: ½ S A— vv 8 A— ½n d ＋ a: ½ aν, un- de erit V mah 8S A—π SA—* M ＋ 4: 1 4: 1 4 8 SA:SP,& SP V in 0 2.. 8 A*.— NM G I R*. Cujus ut habeatur fluxio pro ι& 2 5— L.. F ö 75* D 592 DE LE GIBUS 1d 8 35 SA 4 d. Scribatur& erit S5...—&85.———— ö ö væ, K2 & est ½ S A 2. SANS A,&S p 148A v—2 2 ASAA ,„& reducendo partes ad eundem denomina- X. toremʒ erit 35.——————. V 2 Et in numeratore loco,&, 4 ipsorum valores, ——— ——— 20 e e S A—. TV OHπ⁴½nαισ e- SD v 8A—. ＋ 1d 5 unde erit E.———.——. Zed est——, 8ENνSA*²d²e S A SErναSA 2 n ο A ꝗα σ α ut vis centripeta, quare erit vis, ut—— u d SA—* vel ob datam 23 d in denominatore erit vis„ ut n 8SA— d ＋H d. AR, ——————, vel loco 4 ponendo— erit SA?· 2 αοA— νRÆR 6 Vis ut—— en 5 datam 8* 2 A M*²SAERM＋TRV.„V RViRiu E———— Quae onmia SA 8SA· SA exacte coincidunt cum iis, quæ à Domino Newtono de vi centripeta corporis in eadem curva moti, traduntur, in Pro 44. Princip. Quoniam vis centripeta tendens ad punctum 8, qua ur⸗ gente corpus in curva moveri potest, est semper„aut 8E „ ——8—8—. VIRIUM CENTRIPETARUM. 593 8 P —— hinœ ex data lege vis centripetæ, inveniri potest SP- ν SA relatio Sà ad SP, ac proinde per methodum tangentium inversam, exhiberi potest curva, quæ data vi centripetade- scribi possit. Sit v. g. vis reciproce ut distantiæ Dignitas quæ- 85 4* 8P libet, hoc est, sit—.— erit—— ö 5P;KSA auS A*, S· 68SA ——& capiendo harum fluxionum fluentes; erit 4.S A —— N4* 68 A＋e *85—.——.—.—. undèe erit— 8, SArαe & multiplicando tam numeratorem, quam denominatorem fractionis, per S Aπν& loco— ponendo&, fit d SA.— ö 4v 34 ——— 8, quare erit SP—.—.— VTESAV Quod si quantitas constans e sit nihilo, æqualis erit SP dYVSA* 955 Adeoque, si vis reciproce, ut distantiæ quadratum, pom VAESA potest S e„& curva erit parabola, cujus latus ro- 4⁴³ SA ctum est, velpotest esie SPα——& curva 6.45„7 —** 8 A erit Ellipsis; vel denique potest esse Sαα curva evadit Hyperbola. 11 I I*— SSSIeeeeeeeeXXXVI 594 D E LEGIBUS Si vis sit reciproce ut distantiæ cubus supponi potest, ut S 48 A 39—& curva fit spiralis nautica, vel fieri potest, ut 48A lir— /& curva erit eadem cum ea, cujus V— eSA constructionem à sectore hyperbolæ petit Dominus Newto- 4 84 nus; vel potest esse SP,& ejus curvæ con- VTeSA structionem per sectores Ellipticos tradit idem Newtonus. Cor. 3. Prob. 41. Lih. I. Princip. Si vis centripeta sit reciproce ut distantia; relatio inter SA & SP, æquatione Algebraica definiri nequit, Curva tamen per Logarhythmicam vel per quadraturam Hyperbolæ con- 2 struitur, fit enim SP, ubi L. S A designat Logarythmum ipsius S A. Haec omnia sequuntur ex celebratissima nunc dierum Flu- xionum Arithmetica, quam sine omni dubio primus invenit Dominus Netonus, ut, cuilibet ejus Epistolas à Mallisio editas legenti, facile constabit, eadem tamen Arithmetica postea mutatis nomine& notationis modo, à Domino Leib- n²ο in Actis Eruditorum edita est. Moveatur jam corpus in curva QA O, urgente vi centripeta tendente ad 8;& celeritas corporis in à di- catur C; celeritas autem qua corpus, urgente eadem vi cen- tripeta, in eadem distantia, in circulo moveri potest, dica- tur c. Constat ex heoremate primo, quod si S A exponat vim centripetam tendentem ad 8, vis centripeta tendens ad R, qua urgente, corpus cum celeritate C, circulum cujus radius est AR describet; per 8 P exponetur. Corporum aute m cireulos describentium, virescentripetæ sunt, ut velo- citatum quadrata ad circulorum radios applicata, quare—6 VIRIUM CENTRIPETARUM. 595 I H— SP:8A::—::—„ unde erit SPνά AR: 35.: Wnt ö AR 8A 4& C:c: VSPAAR: SA. 20 Si SP cum 8 A coincidat, ut fit in figurarum verticibus * cFTrit C:c: VXR. VSA. Quod si curva sit sectio conica Rn AR, radius curvaturæ in ejus vertice est æqualis dimidio la- RH teris recti L, ac proinde erit velocitas corporis mVertic%α ö sectionis, ad velocitatem corporis in eadem distantia circu- VX(oh. ö...„ jum describentis, in dimidiata ratione lateris recti, ad di- ö stantiam illam duplicatam. Wtohue —0 saHA SPHSAVSA —*„ uomam elt AIR..n HeH 5 3 Ruen ö—* S S4:—— 54: 55 3:5 A S55 acdeoque e Elgnt 85 gata relatione SP ad S A, dabitur ratio Cad, Ex. Grat. ä Si vis sit reciproce ut distantiæ dignitas ½, hoc est, sit mill 85 8PHSA Menlt— 2— I DII& Erit 8 àiEE EEE 7 adeoque nal SPÆεHSA ES A a*SAV melẽ 5 58P αSAN SA Oll. erit C': c SPHSA:—.——.——.—:: 8 AV: 14 vi ö ar S A G. m— 4 8A*»— 11 Il 2 8 A 2 εs 68 Pe. Unde si ponatur 8P.——.— 2——— IHHH m— 1 0 6 141 ö Ckit e: A. SANY. 2 u caus ö m proinde erit C:c:: V2: V— I. vel 1.7 A&SA,— h16el e E Vres EeS A*— E 1 3 Het IE 5———.—— describentis nam in eo casu est ½ 3& ν 1 2 596 D U k. 6 1 8 — 8 A*— 2 net C ad„ ur4: SA,. 0.. 2R0 enA— 5 estut — — eSA— ad——6, sed est sratio A,— — 2—2 in W— ad—— 6, minor ratione ad—.— 6, seu ratione 2 ad unde erit Cad c in minore ratione quam est v2 ad Vn— I. ⁴ S AV— Samiliter, fi Cipimur Ir. 6τε84*—. se CQad in majore ratione quam est Tad vVν Con. Si corpus in parabola moveatur,& vis centripeta ten- dat ad focum S, erit velocitas corporis, ad velocitatem cor- poris in eadem distantia, circulum describentis ubique ut V2ad 1, nam in eo casu est 1&ν 1— I. Velocitas corporis in Ellipsi est ad velocitatem corporis, in circulo ad candem distantiam moti, in minorè ratione quam VZad 1. Velocitas in Hyperbola est ad velocitatem in circulo in ma- jorè ratione, quam V2 ad 1. Si corpus in spirali nautica deferatur, est ejus velocitas u- bique æqualis velocitati corporis in cadem distantia circulum invenietur es- 2222 R0. VIRIUM CENTRIPETARUM. 597 RO LE M A. Pascto quod vir centripetaà(cujus quantitas absoluta notæ est,) sit reciproce, ut distantiæ quadratum& Froficia- tur corpus secundum datam rectam cum data velocitate. Inveuire curvam in qua movetur corpus. Projiciatur corpus secundum datam rectam AB, cum da- Ta. ta velocitate C. Et quoniam quantitas absoluta vis centri-. petæ nota est, dabitur inde velocitas qua corpus possit circu- lum ad distantiam S A describere urgente eadem vi; est enim æqualis ei quæ acquiritur, dum corpus vi illà uniformiter ap- plicata urgente, cadit per à SA. Sit illa velocitas c. Ex A in AB, erigatur perpendicularis A K,& in ea capiatur S AR, quarta proportionalis ipsis-C&—& erit AR. 85 radius curvaturæ in A. EX R in AS demittatur perpendi- cularis RH& ex Hsin AR perpendicularis HK,& du- cta recta S K, dabit axis positionem; Fiat angulus FAK angulo SAK. Et si FA sit ad 8S K parallela, figura in qua movetur corpus erit parabola. Si autem axi SK Occurrat in E,;& puncta 8& F, cadant ad eandem partem puncti K figura erit Hyperbola, sin ad contrarias partes cadant puncta S& F, erit figura Ellipsis, unde focis S& F& axe SAÆ＋FA describetur sectio, in qua corpus movebitur. ＋ IOAN. IIXIIXINNNRE 2.ĩ——g—— NX * Vide Com- menta⸗- rios ö ( Physi- x ö rhema- * ticos Pari- sienses Anno 1 1710. CoO-Ma- 398 0 H A NVNEH SI E II. M. D.& in Academia Oxoniensi Asronomiæ Prosesso. ris Saviliani, Observationes in éa, guæ edtdit celeberrimus Geometra IOANNES BERNOULLI, In Commentariis Physeco. Mathematicis Parisiensibus Auno 71ο. de inverso Problemate virium Cen- tripetarum. Et efusdem Problemat is olutio uοσνα. obilissimum est problema data lege vis centripetæ inve- nire Curvam quam uesctibit Mobile, de loco dato, secundum datam rectam,& cum data velocitate egre- diens: concessis figurarum curvilinearum quadraturis, ejus so- lutionem perfectam olim dedit Dominus Newtonus in princi- Piis Philosophiæ Mathematicis. Hoc ipsum problema denuo aggressus est vir clarissimus& Geometra celeberrimus Domi- nus Joannes Bernoulli in Academia Basiliensi Matheseos Pro- feslor. qui non pauca eaque egregia ingenii sui specimina jam pridem edidit, quibus Geometriam reconditiorem non parum ditavit. Undę à tanti viri acumine novam pulchram- que Problematis solvendi methodum expectabam. Gestiebam itaque solutionem Bernoullianam perlegere,& cum Newto- niana comparare; quibiis tandem diligentius perlectis& exa- minatis, hæc quæ sequuntur annotavi. ö Dominus Bernoulli eandem præmittit propositionem quam Newtonus problemati demonstrando prius adhibuit:/ estque ea in Principiis XL, non minus pulchra quam demonstratu faci- lis. Scilicet. ö Si corpus cogente vi quacunque centripeta moveatur ut. cunque,& corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintquẽ corum ＋ —— S2=. 922 IT VE 2 —222.—— 4＋ WaMe * H⁰ Htrege W 00 Asun ＋ Ar. VIRIUM CENTRIPETARUM. 30⁰ orum velocitates, in aliquo æqualium altitudinum casu 2 quales,.. rates eorum in omnibus æqualibus altitudinibus Er Sunt æquales. Hujus propositionis Demonstrationem Newtonianam, ait Bernoul 23 esse nimis implicatam,& suam, quamsf um plicio- tem vocat, ejus loco substituit Arpacc ranti v viri liceat mi- Hi Gicere, si quid discriminis sit inter demonstrationem Ber- noullianam& Newtonianam, id in eo situm est, quod hæc multo facilior esse videtur minusque perplexa quam illa. Nam si centro C describantur circuli I, EK, quorum interva al lum DE est quam minimum, sintque cor Aare in D&I Daoddrern uut uales,& ab Nad IK demittaturpei pendicu- lum NIL, fufcoste ndit New/tonus vim celeeee dum DE, esse ad vVim acα eleratricem secundum IK, ut IN ad IT. Nimirum si vis Leenne um D vel IN rn Per rectas DE vel IN, Vis illa séecundum INre tur in duas IT, PN, quarum illa solum, quæ est— 775„ Motun secundum directioneni IK accelerat: accelerationes autem seu velocitatum inerementa sunt ut v ires& tem Pora quibus generantur conjunctim. At tempora ob æquales velocitates In D&I, lunt ut viæ descriptæ DE, 18, quare accele- rationes in decursu corporum per meas DE& IK, sunt ut Kin ad IT& DE ad I K eonjunctim; 1. e. ut DE quad quod est IN quad. ad rectangulum 14 1. 498908 Ob N quad. ITIK, incrementa velocitatum sunt œqua- lia: æquales igitur sunt velocitates in E&K,& codem argumento semper reper. ientur æquales in æqualibus distantiis. Hæc est summa demonstrationis Nevtoni, quæ tam diluc ide eo exponitur, ut inter propositiones elementares paucas fa- Cliores invenies. At 2 sic procedit Domir dus Bern ullius, sed illi sufficit dicere, Mechanicam ostendere vim secundum DE esse ad Vim secundum IK, ut IK ad DE. Mechani- cam etiam ostendere inerementa Len m esse ratione irium& temporum conjunctim,& in 100 notus positis velo- citatibus æqualibus tempora sunt, ut viæ descriptæ DE, IR; && hinc 5(argum htO prorlus simili ei quo 15——— Newtonus) Gg gg COm V V 240 H* 777 TAn 46. 1 2. 1 — * Vide Propos. 39.& 40. Princi- 6⁰⁰ D E I. EGIBVUS concludit incrementum vclocitatis, quod acquirit corpus dum describit IK, esse ad incrementum velocitatis dum describi- tur DE, ut DE IK ad IK κ DE,& proinde veloci- tatum incrementa ubique in distantiis æqualibus esse&- qualia. At si tironibus facilem voluisset tradere demonstrationem. debuisset propositionem Mechanicam citare, eamque ad præ- sentem cafumaccommodare. Et quidem pluribus Verbis opus est, ut hoc fiat per theorema quod innuere videtur, in quo agitur de descensu Gravium in planis inclinatis: nullum enim est hic planum datum, quod recto corporum descensui obstat; imo tantum abest ut corpus à plano COhibeatur, ut è contra à plano seu Tangente per vim quandam continuo retrahitur. rocul dubio igitur manifesta magis foret ejus ratiocinii VIS, si dimislis Mechanicæ propositionibus, rem omnem ex Pro- priis principiis demonstrasset, uti fecit Nevtonus. Namre- lolvendo triang. rectang. KNI in duo triangula æquiangula, est KI ad IN ut IN ad IT, adeoque loco rationis IN ad IT ponere potuisset rationem KIad IN vel ad DE. Si de loco quovis A in recta AC cadat corpus, deque loco ejus E erigatur semper perpendicularis EG Vvi centri- petœ proportionalis, sitque BF G linea curva, quam punctum G perpetuo tangit; demonstrat Newtonus velocitatem cor- poris in Ioco quovis E esse ut aree curvilinee AB GE la- tus quadratum. Adeoque si velocitas dicatur v, erit, ut area ABGE:& sI P sit altitudo maxima, ad quam corpus 5 — G.I 7— 32 7 180 ＋ 5 in Trajectoria revolvens, deque quovis ejus puncto eâ, quam ＋ Orbitæ puncéto;& vis centripeta sit semper ut ipsius A di- gnitas quælibet, scil. ut A., Velocitas corporis in ommi —** 2— V 7 altitudine A erit ut VνP ½ A. * 12— ＋7 17* 62 17 Similiter Dominus Bernoullius ostendit * tro dicatur v, velocitas& vis centripe F—Vꝝ* V 177 1 2 HH 1 Qittaln 1— CEI—7 — ᷑— a, CE— D 5 JenreamnAB E VZOEYν: ubi ex Quadraturis constat esse aream A BE ö— 2 — 46 —— — iuuee wIchcher 45⁰⁷⁰ . VIRIVMCENTRIPETARUM. 651 245—Q.. Perinde itaque est, siv e exprimatur quadratum Veloci tatis per aream A GE, sive 3—— guantitate m huic æ- qualem— 1 0 Vis centripeta ꝙ sit ut 2 A*l seu ½ v—, fit 2 P/ νA·, adeoque 26— ꝙ est 2 2— ＋ 2 ut quantitas P A, ö Describat corpus curvam VEK, Vi centripeta tendente ad C, deturque circulus VXV, centro C intervallo— CV déeeleriptus. Qlit quantitas constans, atque—= 2. Sitque Kl We Curvæ; IN vel DE elementum al.- itudinis, XVel arcus: demonstrat Newtonus E- lementum arcus seu XV exprimi posse per hanc formulam CVINCX —..— niliter ex præmissis Dominus Ber. 25 A A XEUEE ů ö noullius, pofito Aret 151——1 E„& altitudine seu distantia ν, elementum arcus ad hanc reducit formulam scil. Et primo quidem aspectu vi- debatur formula Newtoniana quodammodo simplicior Ber- Oulliana, eo quod paucioribus constat terminis; at re diligen- cius explorata, vidi Bernoullianam formulam omnino cum Newtoniana coincidere; necnisi in notatione quantitatum ab ea differre. Nam si PrO 4 0—7 Vponatur AB GE, pro 46 ponatur Q,& pro A, 2 pro CN,&& pro IN, fit 4 C QVHCXVIN VAV αφν VA K. A561 CA 8 RN CNREN 0 ——— onento loeo—(Auod lacit RAVABGE—S— G gg 2 New- — 6⁰ 1 E LEGIEUS Newtonus commodioris notationis gratia/) Formula Bern FAN. f QGACELIN 3 lana cvadit—.—.— unde constat formulam illa: A VABE non magis à Newtoniana diserepare, quam verba latinis lite 1* F————** Dis scriptis in Graecis cha. 4. ris expressa differunt ab iisdem verl racteribus. Post traditam generalem formulam; descendit Dominus Bernoullius ad casum Particularem, ubi vis centripeta estre. ciproce ut quadratum distantiæ;& Per varias reductiones& Operationes satis molestas, constructionem Ostendit cur quæ urgente ea vi centripeta deseribi quationes reducendo probat esse secti 9 t varum 2943* 4 POhunt, easque adæ- queritur Dominum Newtonum supponere sine demonstra one curvas à tali vi descriptas esse sectiones COmcas. Impossibile est, ut credat nullam Eντ⁰no notam suisse hujus rei demonstrationem; noverat enim, eum primum& 2—71 lum fuisse, qui hane omnem de vi centripeta doctrinam———0 metrice tractavit, quique eam ad tantan perfectionem per- duxit, ut post plures quam viginti annos, parumadmodum reltantisimnis Geometris ei additum fit. Noverat etiam 7 14 C 37 111 V Vronhnnmnmp Hrœtrerg 7 1„ ernouhus NeWtonum, præter generalem problematis inver —D— 9* 688* 9 1—5* PODIeln tl— ＋—81 tiohein ste**=2 6. H HUH⁰0nenn, otendife modum quo formari possunt curpæ, gue Vi centripeta decrescente in triplicata distantiæ rati 4 * 0 14 ratione describuntur, adeoque alterum illum casum norare non 8 8 tuisle. Nec profecto intelligo, qua ratione Bernoullius& C tono objiciat, eum hujus casus demonstratienem prætermi- liE/ Cum ipse non pauca sæpius proposuit Thegremata. rum demonstrationes nusquam dedit;& quidni liceat New- tono ad alia festinanti hoc idem facere? Interim in nova Prin. rihiorum editionè, facilior multo& magis clara, licet tri- bus verhis extat hujus rei demonstratio, quam est Bernoul. Hana. Tandem Bernoullius, ut necessitatem suæ demonstratioh mversi problematis in hoc particulari casu ostendat, E Icte 7 . GI 4 8—.1 197 125 E. SOndel angum CIC„ Iqult 5 quod VIS, Ones conicas. Deinde VIXRIUM CENTRIPETARUM. coz 15 8in Wir 1cã moveatur debet esse Wetibrose⸗ bus 3—.— 68181 ribi Gedere tales Curvas, cum Arue 114711 vires facerè possunt, ut corpus in spirali hyperbolica mo- Veatur. Miror sane, quod vir Cl. suspicetur Neνtonum talemu n. quam duxissc censequentiam. Nam practer spiralem logarithE micam, ostendit Ney tonus, qua ratione al& curvæ, numero infinitæ& diversæ„lormari p ᷣsl. mt, quæ omnes describan- tur eadem vicen tripeta,. Spiralis logarithmica; interque cas reponi debet hæc ipsa Spiralis hyperbolica, ut in sequen tibus ostendemus Erinde autem Loneludi Newtonus sectiones tantum coni- cas necessario describi debere per vim centripetam quadrato cdistantiæ reciprocèe proportion ann n: nempe qu od Ccurv Auride 4 orbiteæ cujuscunque, e& datis veloc citate, vi centri ipeta,& posi- tone Tangentis, datur; datis autem Ultbilie CO Functo ift dus& positione ta ngentis Remp. e slit——— conica, que curvaturam ilam datam habeat. Hoc à m Prius osten- sum est in actis philosophicisI ondinei ac igitur 40, urgente illa i gin W nulla alia a½ cum corpus ꝗe eodem loco, seeundum eandem nn eadem cum Veloe citate,& urgente eadem ι1 Centripeta e cxiens non posiit diversas semitas describerè. Liceat jam mihi Dom inum Bernoul Iiunnimitari,&inver- sum de vi centripeta problema longe Vere,& ad aalam Par ticularem applic e; Ubi scil. vis est reci- broce, ut cubus dittar nti 2— simulque lemonstratio- Neun(0r. 3. gug. 41. inctpiorum Nechκεhut. Quod uut flat, Aurdame ex lis quæ in n Acis Philosophicis No. 317. CxpOsui*, hic præmittenda sunt. Dit VIL Curva quæv„ quam corpus urgente VI centri- peta ad centrum E ten dente describit: hanc curvam in duo- bus punctis infinite — — — 88 — — * — 3 — — — — O — O 0Q⁰ 22 2 — 8 Ute Vicinis T&RK — ＋＋ Ir Heyrnhen 6 2* adquas——⁰ ENrrO 227 El pendi Ulares HQ P, 5 5 CSII. * 9—— Y 7— 2 7 Auhnagr V Hi 10 Keinn* defcribantu 1 KE. E— 10 5„ Aucat tUr—. 2 —* —8*X H3 3. *—— Versa IIet010 1EHOI* 10 ant recie. ED,, 6⁰⁰ 30 E L. EIRU p/ Erit vis centripeta ut Quantitas quod Theore- N 5 ma licet in prædicto loco demonstravimus„ecce aliam ejus demonstrationem. Ex K ducantur K ad CP& KV ad CI parallelæ. Et ob æquiangula triangula ICP, IKN „EKmn, itemque ob IKνά& IP&uiangula. Erit ö I. Vel 15. IKE:% P: K, : IP: Em: I I IN: IK: an: K unde ex quo fiet Ee EIN: IK.: D K, t, K. YVE ——. Præterea tempus quo describitur arcus I K est ut PCVIN area seu triangulum ICEK, vel ejus duplum PCIK; adeo- que si tempus detur erit C κιK quantitas constans. Dato autem tempore, vis eentripeta est ut lineola K a, quæ sub urgente vi illa describitur, adeoque vis centripeta est ut lineo- 14 la illa K 2 ducta in quantitatem constantem* ½IR, X 5 IK hoc est, erit vis centripeta ut*— seu PCIK. PCVIN P/ ——. Quod erat demonstrandum. PGAIN Velocitas corporis in quovis loco est ut via in minimo quo- vis tempore percursa directe,& ut tempus illud inverse; adeo- que& ut IK 4—.— hoc est, velocitas erit reciproce lKR ut perpendicularis è centro in Tangentem. Si distantia corporis à centro dicatur,& perpendicula- ris in tangentem, erit I&ν& P& vis centripeta ex- Por ut quantita VIRIUM WE TARUM. 805 47 poni potest per quantitatem., assumendo quantitatem 5& quamlibet pro F. Adeoquè si cum Domino Bernoullio vim centripetam no- W minemus erit——&——&αꝙ;& capiendo harum P 44 4 0 fluenti quantitatis ꝰ. quantitatum fluentes erit ö 7 At cum velocitas corporis sit reciprocè, ut perpendicula- —— 0 4 ꝝ. ris, ejus quadratum exponi potest per—=. Si itaque velo- 2. . Citas dicatur v, erit—— fluenti quantitatis 5: Quod 2 2 fi A sit locus, de quo cadere debet corpus, ut acquirat in D vel I velocitatem v, dequ e loco corporis Derigatur per- pendicularis DF erit rectangulum D55 DFa= O. Sit. jam BEF G linea curva, cujus ordinat& exponant vires cen- tripetas, seu quantitates&. Fluens d ꝰ crit area . curvilinea ABFD 25² —7 „ adeoque erit v ut aree ABED latus quadratum. Quod si velocitas ea sit quæ ab 4— — infinita distantia cadendo 6Mir tur„erit v seu fluens ipsius „ IRC( 5.7. vOe quale areœ D F O indefii protenle L 7 HRer— ntit& 7 Hinc! CMmpc dab itur dua Altas ＋2 11 2—7 rminis snitis„Quadl, do area illa curviline aterminist litis Sit, Ver⸗ Fr* Irr Hr* 187 7— 41 bi gratia, vis centripeta reciproce ut distantia digiiitas ⁵, 9 8— e 13 6 nC Clt, sit.— 5 si velocitas corporis sit ea u&α acC- mn qaur — Auiritur cadendo ab infinita distantia, erit v D F. & in hisce omnibus casibus area indesinite protensa est 7 quantitas finita. Potest autem corpus in trajectoria revolvi velocitate cujus quadratum vel majus fieri potest, vel minus — II 2* quantitate———, Vel huic æquale. Adeoque erit F. ö 4 * 2—— 2 0* 7—1— I 4 V—. 27 ½.—I ö Hinc urgentibus his viribus, tria curvarum genera descridi possuntprout ę est quantitas positiva, vel negativa, vel nulla. V. G. Si velocitas major sit ea quæ acquiritur ab infinita — distantia cadendo, fit————＋: fi Weloci- 2.. TI— rds fit Iiinor erit——— aane, c 2. ＋*—— —— 2744—22 22— 2 2 E 11 H / 2 n K. R II VCIOCltas cor poris sit ea quæ ab infinito cadendo acquiritur, erit& WEIE —— seu.—.—. At si velocitas major sit aut minor hac velocitate, fiet ut 1 10 8 P Osbensum est—=— 2.5*—*V— VUnde EHE. V½8* * VIxXIM CENTRITETARUHI ce, 8 ö Unde pro: ½&— ponendo earum valores aα& eν, 239—. ae% u L— 4* erit— seu——„& set ² X—*— a— H—— 6²＋ ν— Adeoque si vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiæ 228 hoc est, si sit— 3&m— 1 2. Erit—, Vel— —ᷣ ᷣ —— Vel denique 7——. 6²＋ 5* 53— X IIi primo casu constat curvam esse spiralem logarithmicam: G nam sit 7,& G:: p. adeoque ob constantem ra- 6 tionem& ad a, erit angulus CIP ubique constans. 2 x* Ponamus jam esse——& ex hac suppositione tres π＋ Oriuntur diversæ curvarum species, prout a major est quamõ, aut ci ëqualis, aut minor. Et primo sit major quam. Centro C& ad distantiam TA 4 uamvis datam describatur circulus HVX, cui rectæ C K, Ee. 3• Iproductæ occurrant in& N. Et ll 1N3—— IP.; PC& ita CI.— PC: Pper B:.—D/:/:: Xä— 4³&*.* 2 2² Quare erit VXA TE: A: IN: KN:&:— ——— VXT 4 EKN. Et quoniam est a major quam,—3 6•— 4 quanti- Hx h Las eftt:⸗⸗⸗⸗⸗ett::::::et:t:—.———— 6⁰⁸ DELEGIBUS tas negativa. Sit illa—4, unde fit KN===·.. Di VV—C catur radius circuli HV,& est CK: KN:: CV: VXhoc* 5⁴ ö 23, Atens VX— KVXIV 6 6. 2 vocetur y. Sit—— unde..—.—.—. I 5. 3 644— 7* tem erit*——.—.— H—: h 2* 1 ＋α νν να: quibus valoribus substitutis, — Hl — 902 1 Ernee Sit 0: i Höcteit zulih Ir V 1•5 15 0⁰ 4. ½ Her K IuH EuV,er,ỹo Het 225 V— v 9ul 0 I ad— ut ꝝ Y ad e; hoc est in ratione data: adeoque eo- Hatã V.—* tione rum fluentes, si simul incipiunt, erunt in eadem ratione, tem. ＋ ö Du hoc est erit HV seu ꝗ½ ad fluentem quantitatis— ut ule V—E* De 1 5 ad c. Vad Quod si centro Cradio CV e describatur circulus VL, 62 W. & CG sit Se,&0, fiet arcus uvn——— ve Tioni arcus Qm, quando fluxio est quantitas positiva: sed bi Quan ͤͤb- 1 Sscblitutt, boo el, It 5 Veio... VIXRIUM CENTRIPETARUN. 6⁰9 erando est negativa, ejus fluens est arcus Vn prioris com- plementum. Arcus enim ejusque complementum eandem ha- hent quantitatem fluxionem denotantem, diversis tantum si- gnis affectam; quia crescente uno decrescit alter. ö Hinc est H ad Vu ut u h ad e: sed est CVad CH Ve nt Vé: HL„ u04 en Ve:—.— H, quarcerit C „ Ve —: Vm:: uhe, unde Ve: Vntn: I. ä Præterea ex natura circuli erit CG: CV:. CV. CT, quan- 40%½ T cireulum tangit: hoc esterst 26: C:— CT= X. — Hinc si capiatur angulus VCe ad angulum VC＋ut ad 1. & producatur Ce ad K ut sit CK&E secanti CT, erit K punctum in curva quæsita. Hic obiter notandum est, si½ sit numerus, hoc est si sit 4 ad cvela ad ½ ut numerus ad numerum, curva VI get Algebraica: nam in hoc casu relatio G ad sinum an- guli VCe æquatione definitur,& inde habebitur relatio si- nus anguli VCe ad CT vel CK per æquationem determi- natam,& inde demum dabitur æquatio quæ exprimet rela- tionem inter ordinatam& interceptam àa puncto C incipien- tem. Harum curvarum ordines& gradus in scala æquatio- num Algebraica diversi erunt pro magnitudine numeri v. In his Omnibus curvis sic descriptis Asymptoti positio hac ratio- ne determinatur: fiat angulus VCL ad rectum angulumut 1 ad 1. In eo angulo distantia corporis à centro evadit infi- nita. Jam quad. perpendicularis in Tangentem PC-. 0* ＋ 1.—— 4 ã ubi velt ulunta„ t P—. sen PCS4. Duca⸗ ** III11 tur tur itaque CR ad CL perpendicularis& æqualis rectæ a, & si per R ducatur RS rectæ CL parallela, hæc curvam tanget ad infinitam distantiam, seu erit curvæ Alymptotos. 0 Si corpus in quavis harum curvarum descendendo, ad Apsi⸗ ö dem imam pervenerit; hinc rursus ascendet in infinitum,& a0 aliam curvam priori similem, seu potits ejusdem curvæ fimi.— lem portionem, ascendendo describet.— Curvæ hæ possunt pluribus revolutionibus circa centrum torqueri, priusquam ad asymptoton convergere incipiant,& motus angularis rectæ CK erit æqualis totidem rectis quot mumerus 2 constat unitatibus. v. g. si ꝝ sit 100, perficientur viginti quinque integræ revolutiones, priusquam distantia à Centro evadat infinita. Aucto numero u, eadem manente a, minuitur c: estenim ö 2 4—— —Se&— 4— 6*, unde fiet 4 ½ Et 2 74⁴ ö proinde fiet 2.: O:: ε: ½ 1; adeoque si adæqualitatem accedat ipsius, perveniet quoque 2·— 1 ad rationem æ- qualitatis cum,& proinde augebitur*& in cadem ratio- ne minuetur c. Ponatur itaquè esse fere œquale ipsi, adeo ut cum differentia sit infinite parva, fat numerus infi- nite magnus,& radius circuli e fiet infinite parvus, seu cir- culus in suum centrum contrahetur At sic evanescente 6, non pariter evanescit CV, siangulus VCu sit propemo- dum rectus: nam in omni circulo, etiam minimo, secans an- 2 guli recti est quantitas infinita. Curva itaque hæc, ob nu- D merum infinitum, infinitis numero revolutionibus centrum ambibit, priusquam ad Asymptoton convergere incipiet. 2 C Evanescente autem e fit E& Et quo- ö 0 ö VXATA* U5. a d miam in omni casu est)= E, evanescente c fiet j 0 VVA＋ C ex *HI RRRReteexN*99——— WANe „Ry- d . Mehnz Mcerd Haipiant, redlis aun Percientu. ½h Ultanta 3 estenl 75 F. Lt VIRIUM CENTRIPBTARUM. 611 5 ＋ V 5 2 —, unde capiendo fluentes fiet ⸗— seu x ν＝ V &.& datæ quantitati. Hæc curva est Spiralis Hyperbolica, quæ plures habet no- LAn 46. tabiles propriętates. Si ducatur radius quilibet CIV curvæ He. 4. occurrens in I,& peripheriæ circuli in V,& cX Cad CI excitetur perpendicularis CT, atque IT tangat eurvam in I,& rech CT occurrat in T: erit CT constans recta, æqualis fcil. arcui VE, qua proprietate logarithmicam æmu- latur, cum CT curvæ subtangens dici possit. Sit enim Ra- dius circuli CE S 5, arcus VE a, dicatur CIA&VV ů 5⁴ Ha sit y. Quia est 4ν y erit— Y& y. Por- 2 I.. 5a ro est CV: CI:: VX: NK hoc est h: x:::NR: quæ 2 a x. proinde est—. Et quoniam est IN. NK:: CI: CT. hoc 25 ν est.—:*: CT, erit CT= 2 X Si centro C, intervallo quovis CG, describatur circuli arcus GF, hic arcus inter rectam CV& curvam interce- ptus erit semper æqualis constanti rectæ CT vel 2. Nam uoniam est VLACFPSCVXVVE eritVL:VE:: CV: F:: VI.: GF unde æquantur VE& GF. Si ad CGex C excitetur normalis CREVE vel FG vel 2,& per R agatur KSrectæ CV parallela, erit RS curvæ Asympto- 08. Nam est recta MS æqualis arcui GF;& proinde FS distantia Curvæ ab RS est semper æqualis excessui quo ar- cus superat suum sinum: at cum distantia crescat in infinitum, excessus ille minuetur in infinitum,& fiet tandem data qua- Lis recta minor,& proinde R S erit Curvyæ Asymptotos. Ih hh 3 i νν—⁰π-:——.—— 6¹² DE LEGIPBUS Sit jam major quam 4;& sumiliter, ut in priore casu, a ö ivenietur KN——..: at quoniam- superat 2, e. VVVDO-A— rit c ο 4 quantitas positiva,& K Nfier—— „ N. Her——— ** VEN & ponendo radium circuli EV, invenietur XV O 6 6 —— Ponatur v S Eell———— — V 2 2 4 64 6ααι α Erit quoque*&ν άÆsc6:————— 2 E 2 6 AIc: unde Va ＋— V＋ * 5⁴ His itaque valoribus substitutis fit—— V VVTC 54 ————— 5. Nam tale sumi potest initium arcus HV, V —54 ut simul cum fluente quantitatis crescat& decre CV 15 ö 225²⁷ cat. Flat 4& erit—.—,&—.—..— 2 f. VCTEE E sectori C&V. 32 H 14 2 Est autem——:———ν eσ, hoc estin data V e ö ratio⸗ LL ———— VIRIUMCENTRIPETARUM. 613 64 tione. Adeoque erit sector CXV ad— semper in Ver＋ E est sector Hyperbolæœ, quod sic ostenditur. Centro C semiaxe transverso CVc describatur Hyper- bola æquilatera,& ex duobus punctis Vicinis D& F Ordi- nentur ad axem conjungatum rectæ DB, EF, ducantur item CD, CF. Et incrementum seu fluxio trianguli BCDæ: quale erit BEα BD sectore DCF: unde sector DCF (qui est Fluxio sectoris CVD) æqualis erit BEν BD— in- cremento trianguli BCD. Et si BC dicatur, ob Hyper- bolam, est BD. B3BC＋CV EA＋T: unde BD VS＋TE,& BEBDSSÆHVCT2.. Triangulum au tem BCD est: α Vααν, cujus fluxio est; Vά 2 ö—.— ＋—.—. Subtrahatur hæc quantitas ab α ναεαα, VI i & restabit sector Hyperbolæ minimus CDF α αααπ 2 2 2— 4 2Z*. ————.—. Adeoque VcVά vears VC＋E· 26* · Huens sectoris CD F est æqualis fluenti quantitatis. vCEÆTE* 26⁴ Proinde erit sector CVD fluens quantitatis——. Præ⸗ VLCIN terea DT recta tangat Hyperbolam& occurrat axi conjuga- to in T. Est ex natura CV.V 365 * c TAI. 46. 2. V. ＋ 614 D E LEGIBUS V. ö hoc est S: c:: 0c— CTSA. Atque hinc oritur constru-. ctio quæ sequitur. ö TAr. 46. Centro Csemiaxe transverso CV/ describatur Hyperbo- M. 0. la æquilatera Vm, item circulus Ve. Capiatur sector cir- cularis CVꝰ ad sectorem Hyperbolicam CVin ut u ad 1; tangat Hyperbolam in m recta Tm, occurrens Axi conju- gato in I: producatur Ce ad ut sit Cα CT,& pun- ctum erit in curva quæsita. Nempe talis est ea curva, ut si C&σ dicatur, perpendicularis a C in tangentem ejus de- 4ν r x/ evanescit& perpendicularis fit,& tune coincidit CR cum CV. Si itaque capiatur in axe conjugato CR a, & ducatur RS ipsi CV parallela, erit hæc curvæ Asympto- tos. Si eo usque augeatur a ut fiat quantitas infinite par- ä ö va, tunc evanescet ο,& quantitas——.— fit. v. XVXVX V2 5⁴ — y,& Ha& Y, hoc est rectangulum sub arcu circula- X. ri& distantia curvæ à centro erit semper data quantitas; at- que hac ratione migrabit curva in spiralem Hyperbolicam. Est itaque spiralis Hyperbolica curva media, seu quasi limes, in- ter eas curvas, quæ construuntur per sectores circulares& eas quæ construuntur per sectores Hyperbolicos. Itaquè spi- ralis illa Hyperbolica concipi potest formari vel per sectorem circuli aut Ellipsis, vel per sectorem Hyperbolæ, cujus Axis transversus minuitur in infinitum,& in eadem ratione auge- tur numerus u. Ad eum jam devenimus casum, ubi velocitas corporis mi- nor missa erit semper æqualis—. Quando est infinita Unde si capiantur harum quantitatum fluentes, habebimus VIRIUMCENTRIPETARUN. 65 MWu. nor est eã duæ acquiritur cadendo ab infinita distantia,& ubi——— 4⁰. 4 x ——.—. Et hic simili ratiocinio ac in priori casu, inve- R 6²—* 0 4 Wt 1—7 ö ö nietur KN. ubi necesse est, ut sit majus quam l VVEA 00hf—.—0 — Hinc si ＋ 4dicatur c, fit KN& proin. va/u VI usE- Ha 10 de leuU nhnta& VC& 2 2 5a 5⁴ fclt Sit zam,& nert en—& —6 S V S V V I. C2 c ν* erit ε α, quibus valoribus substitutis fit tepa- 2— 14.—52 2 ———. Nam tale ponendum est CVS EV x* ö Dis 6⁴ initium arcus VX, ut simul cum fluente quantitatis— ul⸗— 6αα ——— eipiat; unde erit.— lechori. CXV in CV S.—465 61% N 2 1 H. 2 14 65 E, ponendo uc⁴. Est vero— ad—.— H vVE— 2 V·— VE· 2*— 9 ut 1 5 ad cë, hoc est in ratione constanti. Quare harum 9— quantitatum Fluentes sunt i in eadem ratione, hoc est Fluens Wbe%. N. quantitatis seu—— erit ad fluentem quantitatis 15 M.—§ TAV 46. H. 7. TAI.46. 616 DE LEGIBVUS 2 EEut ad c. Est autem fluens quantitatis: VS—.—* 26* = sectori CVX,& fluens quantitatis— — Hyperbolæ, quod sic ostenditur. Centro C semiaxe transverso CVc describatur Hyper- pola æquilatera,&ex duobus punctis infinite vicinis E D ad axem ordinentur duæ rectæ BE, DF; ducantur item CB, CD. Et erit fluxio seu incrementum trianguli CBE triangulo CBDBEEF, unde triangulum CB D, seu sector minimus CB D, erit E incremento trian guli CBE— BEVEF. Dicatur CE S/& erit BE VE,&BE EF c. Est quoque triangulum CBES S—c, — 4. ö cujus fluxio est V VS trahatur quantitas ιν α, fit sector minimus CBD 4 à 2 2— 2—.——.— 2—.—.—.*—— VSC.. *— 2 — —unde constat sectorem CBV esse fluentem quanti ꝓꝗV.— 24 tatis Præterea si BT tangens Hyperbolam Axi 2— C6 transverso occurrat in T, ex natura Hyperbolæfit CE:CV 4 V. T, hoc est:0.· 6: CTx. S Hinc deducimus sequentem constructionem. Centro C, ＋28. semiaxe transverso CVSc, describatur Hyperbola&quila- rera VB,& circulus Ce G ex centro C. Ad hyperbolam du- eor 4——L—22 85 E H Urtiten bE= D, seu BE— ETF 1 V VIRIUMCENTRIPETARUM. 67⁷ ducatur recta CB,& hyperbolæ Tangens B Taxi transver- o occurrat in T. Capiatur circuli sector CVe, qui sit ad sectorem Hyperbolicum CVB ut ad 1. In C? capiatur CK CVP,& erit K punctum in curva quæsita, cujus per- pendiculum e centro Cad Tangentem in K demissum, si C& 4 dicatur v, est æquale—.. V* Et in hac curva, urgente vi centripeta, quæ sit reciproce ut cubus distantiæ, movebitur corpus, si secundum directio- nem Tangentis cum justa velocitate exeat. Qualis autem de- bet esse velocitas, quæ faciat ut corpus harum curvarum quam- Vis describat, sic invenietur. Cum velocitas qua corpus in trajectoria quacunque move- tursit reciproce ut quantitasę, assumendo constantem quam- Vis, a, ea semper exponi potest per—. Et si ad Axem CV. 7 ordinentur rectæ, quæ sint reciproce ut cubi distantiarumã centro, seu ut vires centripetæ,& hac ratione formetur fi- gura curvilinea, ejus Area indefinite extensa semper exponi 6² potest per—, ut ex Quadraturis constat. At Area illa est 7* ut quadratum velocitatis quæ acquiritur ab infinita di stantia cadendo, adeoque velocitas hoc casu acquisita erit 0 ut—. Hinc si velocitas illa dicatur 5,& velocitas, qua %— corpus in Trajectoria movetur, dicatur v, talesque assuman- tur quantitates 4&, ut in una aliqva à centro distantia sit 0 0 y:::—:—, èrit ubique in omnibus distantiis y:::— & 2 42& 7 5 K4. 44. 3 Une y Y„ er, e ö 5 VCIO- 6¹⁸ DE LEGIBVUS velocitate descripta erit Spiralis Nautica; vel circulus existen- te P ν& b. 2& Siy sit major quam v, tunc ↄ major erit quam—: erit- 6 aν que illa, ut ex præcedentibus constat, Curva VY ꝰ autem construetur per sectorem Hyperbolicum, ut in ultimo casu ostensum fuit, ubi distantia corporis à centro per con- cursum TJangentis Hyperbolæ cum Axe transverso determi- natur. Si sit minor quam v, at in tantilla ratione ut ma- neat major quam a, curva formabitur per eundem sectorem hyperbolicum. At distantia corporis à centro desumitur ex concursu Tangentis cum Axe conjugato. Si sit 7: v:::, erit in eo casu aο,& curva evadit V spiralis Hyperbolica, ubi est 7. Hinc si de loco VaAÆTxXꝰ quovis projiciatur corpus secundum datam rectam, cum ea Velocitate, quæ sit ad velocitatem ab infinito cadendo acqui- sitam, ut distantia corporis àa centro ad perpendicularem è cen- tro ad lineam directionis demissam, movebitur illud corpus in Spirali Hyperbolica. Si denique sit v' tanto major quam), ut sit etiam ⁊ major quam, curva construetur per sectores circulares. Atque hac ratione datã velocitate semper deter- minari possit relatio quantitatum 4&, ac proindè curva de- scribetur in qua corpus cum illa velocitate movebitur:& vi- cissim data curva, seu datis quantitatibus à&, inyenietur velocitas qua curva illa describitur. Omnium curvarum areæ(si circulum excipias) quæ ur- gente hac vi centripeta describi possunt, sunt perfecte qua. drabiles. Nam primo, in Spirali Logarithmica, quia est V NV CQ 0 2 1„ —, erit KN— ponendo 6*— 4 C: 7 ö V— 4 3 adeo- VIRIUM CENTRIPETARUN. 6 24 VXTC Areæ curvæ. Ponatur v,& Het 24— Q o, unde Q 4α,& area curvæ E84 VX— — 7 2. 5 pirali Hyperbolica evanescit quantitas c, Area Cur- Ver Ht. O 2 Si ½ sit——., ostensum est esse KN V—ꝰ* vexꝰ 3&V unde CIAXKN—. Ve.— SA& adeoque erit triangulum CK I, cujus fluens est 6 a — Areæ curvæ. 46⁰ a Si v sit—.,&a major quam, ostensum est K N VVEÆT& ö a 44 ———, unde KNÆπ: CE—E, cujus fluens est V. VXV 24 ½ vαe= areæ curvæ. At si a minor sit quamᷣ, fit V 2 K N=,& EN C=. cujus fluens est VXI＋TC VVTC 8* Cujus fluens est A—:4 V Areæ. Fiat,& erit Q— 246⸗ 0, seu Q 265 un- de erit Area curvæ semper æqualis αα να νν. Fiat c.—* o seu c SV,& Area curvæ fit 4 c. Undée si ini- tium Areæ non capiatur ab initio iIDiuS seu ubi æ est, sed ubi cest maxima, hoc est si area ab V incipiat, erit— 47. area semper æqualis 4 cα&. De areis quas describunt corpora radiis ad centrum ductis urgente vi centriꝑeta quæ sit reciproce, ut distantiarum cubi, le⸗ 6²»-E VIRIBUS CENTRIPETIS sequentia adnotavit peritissimus Hallejsur. Nempe si corpo⸗ ra diversos circulos vel diversas spirales Hyperbolicas hacle- e describunt; erunt aree sectorum, tam in circulis quam in 151021158 illis omnibus, æqualibus temporibus descri- ptæ, semper æquales: nam velocitates corporum in cir- culis motorum secundum hanc legem, debent esse radiis seu distantiis reciproce proportionales, adeoquè arcus simul per- cursi erunt quoque in eadem radiorum reciproca ratione, un- de statim patebit sectores simul descriptos esse æquales. In reliquis omnibus curvis cum sit velocitas ad velocitatem 2 corporis in eadem distantia in circulo moti, ut— πε ⁴d, 6 4 seu ut— IK ad KN, interea dum corpus in Trajectoria V percurrit lineolam IK, corpus aliud in eadem distantia motum 6 percurret arcum— KN,& area sectoris circuli& Traje- 6 ctoriæ simul descriptæ erunt— KNι CN,&KNHπ ö 2 N quæ duæ areæ sunt in ratione data, scil. ut ad 4. Adeo- que ubi est 4 E, uti fit in Spirali Hyperbolica, area sic de. scripta erit semper æqualis areæ sectoris circularis in æquali tempore descriptæ. Hag. 2 IA XIII. B A ——1 —— D E I. E. G 1B5 VS ATTRACTIONIS:- IO PHVSICES PRINCIIIIS. 6³³ IOr ION Re E& QWade Christi Ovon. A. M. ad Clar. Virum GULIELMUM COCEBURN, „ N 0. 3 . L E G E 8 F T K AIONIIS A 1. 14 EI, e TRADUNTUR Num summa benevolentia& non vulgari amicitia me complexus sis, iniquus essem, vir Ornatissime, nisi remata igitur hæc, quibus non modo rem Physicam, sed& Medicam aliquatenus illustrari posse arbitror, ad te mit- to; munus, uti quibusdam fortasse videri potest, perexi- guum. Tibi tamen& gratissimum foreè spero,& non parvi æstimandum. Cum enim tum Philosophiam Mechanicam pe- nitus perspexeris& in praxi Medica felicissime sis versatus; tum etiam utrique promovendæ gnaviter incumbas, gratissi- ma sine dubio tibi erunt vera Medicinæ principia, quoniam op- time intelligis, quam periculosi ex falsis oriantur errores. Hæœc igitur Theoremata tibi Vir Clarissime, in manus trado, tuo- que arbitrio libens permitto. kK kk 2 Po- conarer aliquam tibi vicissim referre gratiam. Theo- 6²⁴ ATTRACTIONIS LEGES. Ponenda sunt fundamenti loco hæc tria, quibus omnis Phœ- sice innititur, Principia. 1. Spatium hane. 2. Quantitatis in infinitum divisihilitas. 3. Materiæ vis Attractrix. Dari spa- tium inane constat ex motu corporum. Quantitatis in in ni⸗ tum divisibilitatem ex continuæ quantitatis natura demon- strant Geometræ. Materiæ inesse vim attractricem confirmat experientia. Ex duobus primis principiis sequitur. 1 41 1 R EMA I. Materiæ exigua quælibet particula Hotesi ita Satium quantum vis maguum occupare, ut pororum sou omnium mea- suum diametri sint dat rect minorée, vel ut particulę omnes sint à se in vicem remotæ intervallo date recto, 21. nore. THEOREMA II. Dari possunt auo corpora mole æqualia, at pondere seu densitate(id st, gquantitate materiæ) ulcunque inæqua- lia, in quibus eruut meatuum seu pororum summd fere æ. qualev. Sit v. g. digitus cubicus alter auri, alter ałris: quamvis ma- teria in cubo aureo vicesies millies superat materiam in cubo aërio, fieri tamen potest, ut spatia vacua in digito cubico au- ri sint fere æqualia spatiis vacuis in digito cubico aeris, scil. ut auri vacuitates sint ad vacuitates aëris ut 9999οο ad 1000 000. I R E. M A II. Particulæ quæ aquam vel aëεrem vel alia ejusmodi fuida constituuut(si modo se tangant) non sunt absolute solidæ, sed e aliis compositæ Pparticulis multos meatus& poros in- tra se continentibur. Par- —2 — ATTRACTIONIS LEGES. 625 Particulæ corporum minimæ& absolute solidæ, hoc est vacui omnino expertes, vocentur primæ compositionis; Mo- leculæ ex pluribus hisce particulis coalescentibus ortæ vocen- tur particulæ secundæ compositionis; Moles ex pluribus mo- leculis coëuntibus conflatæ, vocentur particulæ tertiæ com- positionis;& sie deinceps, donec tandem perventum fuerit ad particulas, è quibus corporum fit ultima compositio,& in quas eorundem fit prima resolutio. Materiæ inesse vim Attractricem, quã omnis materiæ par- ticula trahit ad se omnem aliam materiæ particulam,& vi- cissim trahitur, primus ex phænomenis collegit Dominus Isaa- cus Newtonus. Vis hæc datà materià in diversis distantiis re- ciprocè proportionalis est quadratis distantiarum; ex qua ori- tur vis illa quam gravitatem dicimus, quâà corpora ommia ter- restria ad terram rectâ feruntur, estque pondus corporum quantitati materiæ semper proportionale. Prolatà hàc, quam ipse primus detexit, materiæ vi Attractrice omnes Planeta- rum motus Cometarumque phases pulcherrime explicavit, physicamque coëlestem, ab iis quæ tot retro fluxerunt seculis Vix dum inchoatam,, felicissime consummavit Dominus Nev- tonus; vir ingenio pene supra humanam sortem admirabili, di- gnusque cujus fama per omnes terras pervagata, cœëli quos descripsit meatibus permaneat coæva. Divina sagacissimi viri inventa sæpenumero mecum reco- lens, in eam tandem cogitationem incidi, principium quoddam Newtoniano non absimile, ad phæenomena terrestria explican- da, adhiberi posse. Post iterata sæpius experimenta, mate- riæ terrestri inesse deprehendi vim quandam attractricem, ex qua plurimorum phænomenan ratio petenda est; meaque hac de re cogitata abhinc quinquennio, Domino Newtono indi- cavi: ex eo autem intellexi, eadem fere, quæ ipse investi- gaveram, sibi diu ante animadversa fuisse. Quæstiones ali- quot ad hanc vim attractricem spectantes, sub finem Optices abhinc biennio latinè editæœ, proposuit Dominus Newtonus; quem cum istiusmodi studia ulterius excolere ætas ingrave- scens,& alia negotia vetant, tanti viri vestigiis insistere, eum- Rk KK 3 que 6²26 ATTRACTIONISLEGES. que longo licet intervallo sequi, haud alienum duxi. Im- Præsentiarum nuda quædam proponam Theoremata, quæ for- tasse aliquando fusius enuntiata& demonstrata, justo volu- mine sum traditurus. 4 RK EM A IV. Prater vim illam Attractricem, qua Planetarum 09. metarumqJué corpora, in propriis orbitis retineutur, alia etiam inest matertæ pocentia, qua singule, ev quebus illa constat, particulæ sé invicem attrabunt,& reciproce 4 e in vicem attrabuntur: quæ vis decrescit in majore quam auplicatà ratione distantiæ augescentir. Theorema hoc multis potest probari experimentis; at ra- tio quã minuitur vis illa, dum à se invicem recedunt particu- læ, num scilicet sit triplicata, quadruplicata, vel alia quæ- vis distantiarum augescentium ratio, quæ major sit duplicatã, nondum æque per experimenta patet; erit fortasse aliquando tempus, cum accuratiore adhibita diligentia innotescet. 1 H E O K ＋. V. S corpus constet eαπ particulis, quarum sangulæ vi pol. lent attradtrice, in triplicataà vel plusguam triplicata ra- gione distantiarum decresceœnte; erit vis qua ab eoο conpore ungetur corpusculum, in ipso contactu, vel intervallo& cou- Lactu infiuite enigu infinite mafor, quam si corpusculum 2½¹ud ad datam d dicte corpore distantiam locaretunr. Vide Prop. 80.& 91. Princip. Newtoni. Lischem Past᷑is, st vis illa attractiva in assignabili distau. tia, ad gravitatem obtincat rationem fiuitam; eadem in ipso countact, vel in distantia infiuite parva, vi Gravitatis erit infiuite major. ＋EEO ATTRACTIONIS LEGES. 6²7 T E1 0 RKE H A VII. Si vero in ipso contactu, vis cor porum attractiva ad gra- vitatem obtineat rationem finitam, eadem in ommui distiantia alsgnabili est vi gravitatis infinite minor, adleoque eva- uescit. TPHEOR E MA VIII. Vis attractiva, qua pollent singule materiæ particulæ in ipso contactu, vim gravitatis prope in immensum snpe- rat; nom tamen est vi gravitatis infinite mafor; adecque, iu data distantia, vis illa ναnνescet. Vis igitur hæc materiæ superaddita, non nisi per spatiola admodum perexigua diffunditur; in majoribus distantiis pror- sus nulla est; unde motus corporum cœlestium(quæ longis intervallis à se invicem disjuncta sunt) per vim hancç attra- ctivam nulla ratione turbari possunt, sed eadem ratione con- 42—— peraguntur, ac si vis illa 4 corporibus iis prorsus ab- Cllet. ö IHEO REMA IX. ci corpusculum aliquod cor pus tangat, vis, quâ urgetur il. aud corpusculum, hoc est, vis qua cum eo cos poré cohæret, erir quantitati contactus proportionalis; nam partes ꝗ con- radtu remotiores nihil conferunt ad cohareuntiam. Adeoque pro vario particularum contactu varii orientur co- hærentiæ gradus; omnium autem maximæ sunt vires cohæ- rentieœ, quando superficies, in quibus se invicem tangunt cor- pora, planæ existunt; quo in casu, cæteris paribus, vis qua corpusculum cum aliis cohæret, erit ut superficierum partes sese tangentes. Hinc patet ratio, cur duo marmora exactissimè polita,& lese secundum superficies planas tangentia, à se invicem velli E DY Tan 47. Ee. 10. 6²20 ATTRACTIONIS LEGES. velli non possunt, nisi a pondere, quod gravitatem aeris in- cumbentis multum superat. Hinc etiam decantatissimi istius problematis, de cohæren- tia materiæ, solutio elici potest. ö H41 E R E M X&. Ea corpuscula facillime ꝗ se invicem separantur, gua. rum contactus cum aliis sunt paucissimi,& minimi; quales contiugerè solent in corpusculis sphæricis infinite exiguis. Hinc fluiditatis ratio redditur. 1 11 E ORKREMA XI. Vis qua corpusculum aliquod adα aliud corpus maxime pro- pinquum attrabitur, quauntitatem suàm nonu mutat, s%iue au. geatur conporis attrapbentis materia, sce minuatur, eadem maueute corporis densitatéẽ,& corpusculi distantia. Nam cum vires particularum attractrices per minima tan- tum diffundantur spatia; liquet partes remotiores ad CD& E, nihil conferre ad attrahendum corpusculum A. Adeoque cadem vi versus B trahetur corpusculum sive adsint hæ par- tes, sive amoveantur, sive denique aliæ ipsis conjungantur. THEOREMA XII. Ci e sit corporis alicufus textura, ut particulæ ultimæ compositionis, per vim quandam externam(Jualis est pon- Aus eas comprimens, vel ab altero corpore proveniens ictus) primigeniis suis contactibus paululum dimoveantun, nec interim in novos contactus commigreut, particule, per vim attractivam sese mutuo petentes, ad contactus primigenios citꝰ redibunt: iisdem vero redeuntibus particularum cor- pus quodvir componentium contactibus& pofitionibus, eadem quoque redibit corporis fgura; adeoque per vim attr aαιεικο½m corpora, pristinas quas amiserunt guras posfsunt denuo ne- cuperare. ö Hinc 5l. V 00 141 V 1. 40 H4. 7N Dal⸗ Ml. I a- 10 M. ＋I u cr· h a . Hoe ATTRACTIONIS LEGES. 6²9 Hinc Elasticitatis ratio reddi potest. Cum autem per vim Elasticam corpora, in se invicem impingentia, à se mutuo resiliant(uti demonstratum est in lectionibus nostris physi- cis) à vi attractiva corporum oriri etiam debet eorundem àa se invicem discessus. TPHEOREMA KXIII. Quod s ea sit corporis tevtura, ut particulæ d priori- gur Contachibus per vim impréssam dimotæ, in alios qui e. jusdem sunt gradus immediate deveniaut, corpus zllud in Yristinam figuram non seè restituèt. Hinc qualis sit textura, in qua corporum mollities consi- stit, intelligi potest. THEOREMA XIV. Particulæ materiæ pro diver sa ipsarum finuctura& com- Positione diversir pollebunt viribus attractivis, puta non erit eque fortis attrattio, cum particula datæ magnitudi- nis pluribus perfurata sit meatibus, ac si omuino solida& vacui eνhers esset. THEO REMA XV. Particularum per fecte solidarum vires attractivæ e f guris psarum multum pendent: Nam si parva aliqua mate- ric particula in laminam circularem indefinite exiguæ crassi- tudinis formetur,& corpusculum in recta per centrum trans- eunte& ad planum circuli normali locetur; sitque distantia corpusculi æqualis decimæ parti semidiametri circuli: vis qua urgetur corpusculum tricesies minor erit, quam si materia at- trahens coalesceret in Sphæram,& virtus totius particulæ ex uno quasi puncto Physico Quin etiam eadem cir- —5— SSSSS IEEV——————————————— 63⁰ ATTRACTIONIS LEGRWDY.. circularis lamella fortius ad se trahit corpusculum, quam alia ejusdem ponderis particula, quæ in tenuem& longum forma- tur Cylindrum. I I1I E R R. M A XAVI. Sales sunt corpora, quorum particulæ ultimæ compofi. tionis magua vi attracliva pol ent, inuter quas tamen par- ticulas plurimi intemfacent meatus, particulir, quas habet aqua, ultimæ compositionir pervii: quæ igitur& salinis par- ticulis fortiter attracte, in eas cum impetu ruunt,& 4 mutus contactu eas disfungunt, cobhærentiamque salium dis- solvunt. T EI RKRE MA XVII. Ci conpuscula duo viribus attrachivis decréèscentihus in triplicata aut plusquam triplicata ratione distantiarum se mutuo petunt; erit velocitas in se invicem impingentium iu- Nnite majon quam in dato intervallo. Vide Prop. 39. Prin- cip. Newtoni. THEOREMA XVIII. Corporis aqua gravioris eo usque diminui potest magnitu- dο, ur tandem in aqua suspen sum maneat, nec vi propriæ Gravitatis descendat. Hinc patet ratio, cur particulæ Salinæ, Metallicæ,& a- liæ ejusmodi, in minima redactæ, in suis menstruis suspensæ hercant. 1 I.O. nal Ma· h V. N hahht 116 I 16 In dhs. Pum s Im il. De 110 ATTRACTIONIS LEGES. 631 IIIEOREMK IX. Corpora majora minore velocitate ad se invicem accedunt, quam minora. Vis enim, qua se mutuo petunt corpora A& B, parti- culis maxime propinquis tantum inest; remotiorum quippe vires nullæ sunt. Non igitur major vis adhibetur ad moven- da corpora A& B quam ad particulas& αmovendas, sed corporum eadem vi motorum velocitates sunt corporibus re- ciproce proportionales: undè erit velocitas quà corpus A ten- dit versus B, ad velocitatem, qua particulac, à corpore so- luta, versus idem B tenderet, ut particula c ad corpus A. Multo igitur minor est velocitas corporis A, quam foret velo- citas particulæ c à corpore solutæ. Hinc fit, ut corporum majorum motus sua natura adeo lan- guidus& lentus fit, ut ab ambiente fluido& aliis circumja- centibus corporibus plerumque impediatur. In minimis vero corpusculis viget virtus,& ab iis perplurimi producuntur ef- fectus: tanto plus energiæ minoribus inest corporibus, quam majoribus. Hinc patet ratio istius axiomatis Chymici, sales non agunt nisi soluti. IHEOREMA X. Duo corpuscula sese non contingenti, adee sibi vicina ocari postunt, ur vis, qua se mutuo petuut, vim Gravi- galis superet. H E OR E M A&XII. S/ conpuseulum in Nuido locatum particulis ambientihus undiq ue ęqualiter trabatur, nullus evinde orietur corpuscu- 11 112 1² TAR 47. g. 11. 63² ATTRACTIONIS LEGES. li motus; quod si ab aliis particulis magis, 2 aliis minus urgeatur, ad eam partem tendet corpusculum, ubi major est attractio:& motus productus inæqualitati attractionis respondebis, scilicet in majori inaqualitate majon erit mo- eus, in minore minon. ＋T I EORH MA XXII. Corpusculæ in uido natantia& magis sè in picem traben- ria quam fauidi particulas intenðectas, depulsis fuidi par. ciculis ad se invicem aeceaent eα vi, qua ipsorum attrachio matua superat attractionem particularum luidi. THEOREMA XXIII Fi corpus aliquod in Ruidh locetun, cujus Hartes flnida Particulas magis ad se trahunt, quam fluidi particulæ 4 e invicem trahuntur; sintque in corpore moatus Hlurimi particulis Nuidi pervii, per hor meatus Ruidum illud cte e difundor;& si partinm in cos pore counexio non tam fe. ma sit, quin ab impetu irruentium particularum superari Possit, onietur eœπindè cor poris immensi dissolutib. Hinc ut menstruum dato corpori dissolyendo sit idoneum, tria requiruntur. 1. Ut partes corporis particulas menstrui ma- gis ad se trahant, quam eœ à se invicem trahuntur. 2. Ut corpus habeat meatus particulis menstrui patentes,& pervios. 3. Ut cohærentia particilarum corpus constituentium tanta non sit, quin ab impetu irruentium particularum menstrui di- velli poslit. Hinc quoque constat particulas Spiritum vini constituentes, magis à se invicem trahi, quam à particulis corporis salini in Spiritu vini demersi. TIECO. XLVII ILAB. ATTRACTIONIS LEGES. 633 THEOREMA XXIV. Si corpuscula in fiuido natantia,& se invicem petentia, Zlastica sint, post congressum,& se mutuo resilient,& in- de in alia corpuscula rur sus impingentia, denuo reflecteu. cur: e quo fieut innumeri alii cum aliis corpusculis com- ictus continuæque resilitionecg. Per vim autem attracti. vame coutinuo augebitur cor pusculorum volocitas,& sen sui patebit partium motur intéstinus; sed prout fortius aut im- hecillius se invicem trabunt corpuscula,& pro varia, qua 5pollent Elasticitate, varii erunt hi motus,& diversis gra- dihus atque temporibus, fient sensibiles, . H%) K E... F conpu scula se invicem trabentia, se mutuo contingaunt, nullus orietur motus; propius enim accederée nequeunt.&- ad exviguum admodum& se in vicem seponautur spatium, orie- rur motus, sed si longius disteut, nou majore vi se invicem trahent, quam fluidi particulas interfectas; adecqqus nullus p5roduc etur motus. ExX hisce principiis pendent omnia fermentationis& effer- vescentiæ Phænomena. Hinc patet ratio cur oleum Vitrio- li, cui paululum aquæ immittitur, effervescit atque ebullit: corpuscula enim salina infusà aquà à mutuo contactu paululum dimoventur; unde cum magis se invicem trahant quam aquæ particulas,& cum undique æqualiter non trahuntur, motum exinde oriri necesse est. Hinc etiam liquet ratio, cur tanta cietur ebullitio, cum limatura chalybis mixturæ supradictæ injicitur:particulæ enim chalybis magna pollent Elasticitate, unde valida oritur refle- dio. Hinc etiam videre est, cur 5 quædam fortiori ö 3 V IXX ·2229312. H 6³⁴ ATTRACTTIONIS LEGES. vi agunt, citiusque corpus aliquod dissolvunt, si aqua dilutio- ra flant. 1 1HIE. O K P. MA XNVI. Ci corpuscula se mutus attrabentia vi Elastica careant, sée invicem non reflectuntur; sed congeries seu moleculas Harticularum esficieut, unde fiet Coagulum& si particu larum sis coacer vatarum Gravitat superet Gravitatem ui- di, succedet quoque Præcipitatio Oriri quoque potest præ- cipitatio νά aπαtτι vel diminuta Gravitate mensirui, in 7⁸ nataut corpuscula. I E E. M A XVII. S/ corpusculorum sesée invicem attrabentium,& in Mui- aο natautium, có sit fgure, ut in datis quibusdam ipso- rum partibus, mafori vi attractiva polleaut, quam in a- Iiis,& major sit in itsdem coutactus; corpuscula illa coi- hunt in cor porae datas figuras habentia,& inde emergeut Corystallisationer; corpusculorumquée componentium Fgu- r, e* data figura Crystalli per Geometriam determina- ri hosfunt. I. IIEOR E MA XXVIII. S corpuscula magis trahantur à Ruidi particulir, quam se invicem; fiet ut quast so mutuo fugientes, sée invi- cem recedaut,& per omue uidum cite diffundeuntur. I1 1. N MAKI F Inter duat Ruidi per ticulas aliquod intercedat corpu— sculum, cujus binæ opposite facies mamimis pollent viribus - ——————————F—F—KFKFK—— 1 lal, Hi fl. ö 6e. 00 ATTRACTIONIS LEGEs. 635 attractivis, hoc interjectum corpusculum particulas fursdi ehi agglutinabit;& plura istiuemodi corpuscula per fiuidum disfusa c³us particulas ommnes in corpus firmum compingent, maidumguè in Glaciem reaucent. IHEOREM A XXX. Ci corpus aliquod mavimam emittat effluviorum coptam, quorum vires attractrices sunt fortisfinæ&; cum lu via hac corpori alicui leviusculo appropinquent, ipsorum vi- res attractrices Gravitatem corporir levioris taudem sa- 5perabunt;& effluvia corpus iliud ad se ursum tratent, cumque mulio magis conferta sunt efflu via n minoribur ab emittente corpore distantiis, quam in majoribur; corpus 4L²e ver sus densiora effluvia semper ur gebitur, donèc tan- dom ipsi corpori esfluvia emittenti adherea⁴t. Hine plurimæ Electricitatis Hœnomena eaplicari pasfunt. Contra nostram hanc de viribus attractricibus doctrinam, fortasse objiciet aliquis; si vis hæc attractrix omni inesset materiæ; corpora ponderosiora& plus materiæ in dato spatio habentia, plus debere attrahere, quam corpora mi- nus gravia, quod experientiæ repugnat Sed huic obje- ctioni facile respondetur. Particulæ scilicet ultimæ com- positionis(quibus solis tribuitur vis attractrix) confertim juxta se invicem locatæ, possunt corpus ponderosum con- stituere, etiamsi ipsæ in se sint rariores, quam ee quæ cor- pus leve constituunt, ultimæ compositionis particulæ, à se mvicem remotiores,& plures& patentiores meatus inter se habentes. Alia multa sunt naturæ phænomena, quæ mihi videntur iisdem principiis explicari posse, uti ascensus succi in plantis & arboribus, foliorum& florum determinatæ& constantes figuræ, corumque virtutes specifice,&c. Multa quoque quæ in corpore animali quotidie ocοurrunt; præcipue quæ ad flui- rr. H.ν x——..—————:— ——*—9—————————ů[„———————— 636 ATTRACTIONIS LEGES. fuidorum cursus secretionesque spectant, ab iisdem materiæ qualitatibus pendent,& hinc morborum Therie& medi- camentorum effectus optime eruuntur. Quantum huic usui inserviant hujusmodi principia melius innotescet ex eo, quod frater meus nunc meditatur, opusculo; qui quidem Mathe- maticas cum Anatomicis rationes consocians in eo elabora- vit, ut aliquam etiam praxi Medicæ lucem afferret. EIN. V —— RERUM ET TERMINORUM. qui in hoc opere explicantur. A. Vdes vide Apsides. Achronicus ortus. 376 Actio Reactioni æqualis. 115& seqq Aquatis rcemporis. ů 47¹ AMauationes Temporis maximæ. 454. 4³7 Aquator seu Æquinoctialis. 266. 366. Æaquatoris secundarii. 273. 367 Mauinoctia. 414 Alexandri mors, Æra. 47¹ Aerractio quid sit. 13 Almicantarath Circuli. 370 Altitudo poli. 373..378 — stellæ. 226. 471 — cConi umbrosæ terræ. 303 — Coni umbræ Lunæ. ibid. Amphiscii. 37⁰ Amplitudo mundana. 251 ortiva& occidua. 371 Anastra signa. 277 Andromèeda. 256 Angulorum mensuræ. 227 — modus observandi. 228 Angulus quid. 517 in circulo angulo quovis re- CTilineo infinite minor est. 41 — sub quo sol ex distantia fixa- rum videtur. 248 — Commutationis. 469 —&aquatoris& Eclipticæ. 367 — Eclipticæ& Meridiani. 379 — Eclipticæ& Horizontis. 412 — Eclipticæ& Verticalis, seu Parallacticus. 413 Angulus Sphæricus. 53 Animalculorum in liquoribus natan- tium magnitudo investigatur. 50 & seqq. Animalculum quodvis est corpus orga- nicum. 51 Annulus Saturni. 244 Annus Magnus. 278 — ‚Solaris Tropicus. 41¹6 — Egyptiacus. 486 — Astronomicus. 486 — Civilis. ibid. — Gregorianus. 488 — julianus. 487 — Magnus Canicularis. 488 — Lunaris Vagus aut Fixus. 486 — Anomalisticus. 416 Anomalia Excentri. 4²8 — Media. 281. 420 — Vera seu coæquata. ihid. 420 Anser Americanus. 257 Antardticus cireulus. 27⁰.367 in Antecedentia motus. 276 Arcticus circulus. 367 Antinous. 257 Antipodes. 309 Antœci. 3³9 Aphelion. 281 Apogei motus. 292 Apogeon. 290 Apparens Solis Diameter. 278. 420 Apparentes Diametri. 229 Umbre& Penumbræ Dia- metri. 304 306 Apparitionis perpetuæ circulus, 375 Agsides& linea Apsidum. 281 Apus. 257 Aq;uarius. 257 Aquila. 257 Ara. 257 Aichimedes anti quorum Physicorum Illustrissimus. Arous. 577 — Complementum. 517 — mensura in peripheria. 6²5 Area Ellipseos inventio, 6²4 Mmmm ö 4. ——* SINI SS.I.—————————— PP INDEX 4vge navis. 257 ri en Eatitudinis. 468 Aries. 256 —; machina bellica, describitur. 97 Aristarehi problema de distantia Solis. 407 Arit bmetica ad rite philosophandum est necessaria. 12. 13 logarithmoru m 562 Ascensio Recta 363 — obliqua. 375 Ascensionalis differentia. 2010d. Ascii. 370 Aspectus quadratus. 285 Asterisini. 255 Astronomicæ Tabulæ. 467 Ahmptotos. 609 Aimospbæræ beneficia. 384 altitudo 385 crepusculorum causa. 384 — resfacli0. 391 Artractionim Theoremata. 624. 626. 627. 628 Auri ductilitas. 43& eqq. Axis in peritrochio desnitur. 101 — EFclipticæ. 174, 276 — Lerræ. 267 — hujus Parallelismus. ibid. Azimuthales circuli. 37⁰ IZimuthus. 37¹ B. Acon(Rogerus) Oxoniensis Phi- 3 losophiam Mechanicam exco- luit. 8 eyenices Comæ. 257 3ernoullius(Joannes) Geometra cele- berrimus. ů 175 a00tes. ö 297 oreafe Hemisphærium. 365 oyleus laudatur. 9 BAHAIdi Correctio Hypothesis Wardi. 4410. 442 C. 4. Aculus loci Geocentrici Planeræ. 4⁰⁸ Calor quare non maximus cum Sol Tropicum Æstivum renet.] 282 RERUM Cancer. ö 256 Canis. 257 Canon Trigonometricus. 518 Capricornus. 256 Caput& Cauda Draconis. 289 Cardanus(Hieronymus) philo sophiam Mechanicam excoluit. 8 Carihesian gravitatem unde dedu- cunt. ö 5 Carthestus nullum Geometriæ usum in philosophia adhibuit. ö —— Eexcogitavir philosophiam, 4 Mechanicæ legibus abhorrentem. ihid. Cassiopejia. 256 Caudæ Cometarum. 363 Celeritas quid sit. 69 Celeritas corporum elasticorum inve- stigata. 144 Centrifu ga vis, quid fit. 197 Ceneripeta vis quid sit. 196 Cenerum Gravitatis quid sit. 124. 125 Chy stallisatio. 634 Circulares partes quotuplices. 543 Circuli divisio in gradus. 227 polares. 367.&§7 — Tropici. ibid. Circulus Æquinoctialis. 366 Apparitionis perpetuæ. 375 — Antarcticus. 367 — Arcticus. ibid. — Arimuthalis. 370 — Crepusculorum Finitor. 387 — Declinationis. 368 — Cclipticæ. 264. 365 — kxcentricus. 279. 417 — Horarius. 37² — Horizon. 228. 266 370 — Latitudinis. 336. 382 — Lucis& Umbræ Terminator. 267 — mavximus in Sphæra. 367 — meridianus. 36⁸ — minor in(hera. 365 — Occultationis perperux. 375 — Verticalis primarius. 370 — Visionis. 285 Climata. 37⁵ Coagulum unde Hart. 674 Cochleæ forma describitur. 64. 6 ————IJJ‚jꝗ—.8— ——— ET TERMINORUM. Cobærentiæ gradus. 6²⁷ Cali materia non incorruptibilis. 261 — regiones. 256 Cœlum non est Fluidum. 362 Colurus Æquinoctiorum. 8 — ‚Solstitiorum. 276. 368 Comæ Berenices. 257 Cometæ Planetarum genus. 353 moribus suis vacuum dari de- monstrant. 363 Cometarum Caudæ. 363 — Cursus in cœlo. 358.359 — Motus. 359 — Orbitæ seu semitæ veræ. 30⁰ — Parallaxes. 356 Commutatio. 469 Coni Ombrosi Altitudo 303 — Angulus. 304 Conjunctio Lunæ cum Sole. 286 Conoides parabolicum. 202 Conus. 204 Copernici Varicinium. 334 Coporis definitio juxta proprietates. 18. 21 Corpus quomodo 4 Cartesianis defini. tur. 20 — spatium idem habent essen- tiale attributum. 21 — Mathematicum an à corpore Physico differat. 32 33 — nullum potest naturaliter in ni- hilum abire 77 — omneest iners materiæ moles. 77 Dper seex quiete ad motum trans- ire non potest 106 — perfecte durum definitur. 125 — wmolle 2ihid. — elasticum. ibid. — pertecte elasticum. 2bid. Cosinus inventio. 519 Cosmicus ortus 376 Crassities quid sit., 18 Crater. 257 Crepusculi initium& finis. 390 Crepusculum, quid? 384 brevissimum. 389 — Durationes diversæ. 388 Culminatio, quid? 371 Cunei materia& forma. 103 Cupri solutĩo. 44 Ocloidis figura describitur. 170. 171 Gelus Lunæ. 491 — Solis. 493 — 5 449 Eclinatio, quidꝰ 36³⁸ —— Solis qua ratione obser- vatur. 379 Desineatio phasium Lunarium. 287 Descensus gravium in plano inclinato. 153 Diameter Solis apparens. 274. 303 uUmbræ Lunaris. 303 306 — umbræ Terrestris. 302 — pemunbræ. 300 Diametri Apparentes. 229 Fixarum. 264 Dic hotomia Lunæ. 285 DiFerentia Ascensionalis. 375 Dierum inæqualitas. 449 Dies noctibus longiores aug ent calo- rem. 282 — Longissimi& brevissimi. 458 — quotuplex. 48⁴4 Directio motus. 73 Discus Telluris. 308 Distantia media. 281 — Solis à Terra, quibus modis investigatur. 406 Distantiarum Proportiones Harmoni- L&. 245 Divisibilitas 25 —in insinitum quĩd sit. 26 quantitatis in infinitum est unum ex tribus Physices princi- piis. 624 Divisio Logarithmica. 566 Diurnusm motus Solis. 417 medius motus. 450. 451 Dodecatemoriæ 264. 365 Dominicalis litera. 49²2 Dorado. 257 Draco. 256 Draconis Caput& Cauda. 289 Duratio projectionis sursum factæ. 19 E. E Lunæ quando. 299. 305 — solis. 297. 31²2 Mm mm 2 Ecli- — —.—.—.— ————————— ISDI TTRTT——— INDEXERERUM Eel pses totales& partiales. 297 — Cenrrales. 301 — Annulares. 303 Eclipsis Terræ. 299 Eclipsium Doctrina. 22 Ecliptica. 264. 365 Echipticæ Secundarii. 366 — oOobliquitas. 367 Axis& Poli. 272. 2/½ Ecliptici Termini. 3⁰y. 311 EFectus sunt causis suis adæquatis proportionales. 77 EFVervescentiæ Phænomena. 633 Elastica vis quĩd sit. 125 — fere omnibus corporibus inest. 138 Elasticitatis ratio. 6²9 Electricitatis phœnomena-. 35 Elevatio Poli Latitudini loci æqualis. —.— 373 Ellipseos Descriptio. 280 Foci seu Umhilici. ibid. EIlipticæ Planetarum orbitæ. 280 — Aren divisio. 427 Elongatio à sole. 186 Embholimaus. 48 Epicuri sententia de divisibilitate. 24 Epocha, quid? 49 Equitlus. 296 Eridaniss. 157 Excentricitas. 281 „— lLnc untabilis. 291 Excentricitatum investigatio in orbitis Planetarum. 462 Excentricus circulus. 279 Extensio omnis in infinitum est divisi- bilis. 30. 31 F. Ermentationis phoœnomena. 633 Festa mobilia. 494 Figura. 28 Figure curvilineæ formatio. 61⁷ Fixæ sunt Soles 247 — stellæ corpora ignea. 25⁰0 Fixarum Ascensiones Rectæ. 380 Catalogi. 257 —(laslses. 255 — Diametri Apparentes. 249 Distantiæ. 247. 274 *„—— Latudines 366 Fixarum LongitudiHnes. 1⁴4⁴. Fixarum Longitudines continuo cre- scunt. 383 — Magnitudo. 249 — Numerus. 258 — Ortus& Occasus. 376 — Refractio 391 Fluidum quid sit secundum Cartefia. noOs. 16 juxta philosophiæ Mathema- ticæ scriptores. ihid. nullum est tam tenax, ut ali- qua vi non possit divelli. 7 Focz seu Umbilici. 280 Fractiones logarithmicæ. 564& seqq. Fractionis radix. 568 G. Alileus novam methodum philo- sophix mechanicæ demonstra- vit. 9 Gallaxia. 257 Gemini. 25 6 Geocentricus locus. 468 Geometria ad retum naturalium scien- tiam necessario tequiritur. est totius physicæ fundamen- tum. ibid. viam ad philosophiam me- chanicam aperit. 10 ad rite philosophandum est nece slaria. 12. 13 Glacies qualem colorem habeat. 82 Glaciei reductio. 635 Globi utriusque Descriptio& Usus. 5or Gradus. 227 Gravitas unde oristur juxta Carte- sianos. 5 62 Cravitas in quantum qualitas dici possit. 13 describitur. 75 Cravitatis centrum quid sit. 124.125 Grus, 257 Gratio Terræ cirea Axem. 266 H. Allefus commendatur. 9 du Hamel(Joan. Baptista) nota- tur. 26.27 ö Hara 1. 1 Harmonia inter Planetarum à Sole di- stantias& eorum tempora Perio- dica. 245. 469 Hebdomas. 485 Hegeira Era. 490 24.04 ortus& occasus. 484 Heliocentrica Latitudo. 336. 341 Hipparohus primus inarum 2610 Cata- logum. 257 Hipparchi problema pro parallaxi Io- lis. 406 Horæ æ quales& ine qunles. 484. 485 — Iemporaneæ& Planetariæ. 485 Horarii circuli. 372 Horologia Sciaterica quam diei horam per tempus stationis solis, tempo- re Josuæ indicarint. 67 Horizon. 220 — sensibilis. 266 —& Rationalis. ibid. HForizontis Poli. 266 genius ab auctore commendatur. 9. 146 Eyperbola. 613 ejus natura. 613. 614 Hperbole cubicæ Quad ratura. 48 155.— uilatera. 616 Hyperbolica Spiralis quid 6¹74 H/ Porenusa. 526. 537 I. Esdagirda ÆEra. 491 Imagines Veterum. 256 Vnpedimentum, ejus definitio. 74 Inæ qualitates Lunæ 3 292 Inæqualitas Optica. 232 Lclindtio orbite Planetæ ad Eeu cam. 461 Inerementum proportionalium Quan- titatum. 771 Index Logarithmicus. 568 In. iictio. 499 Insinitum vocatur quod omni finito ma jus est. 26 Informes stellæ. 257 Jovis Satellites. 347 — Maculæ. 252 — Rotatio circa Axem: ihid. .— Fasciæ. 25⁴4 I—...— RMINORUM. Julianus Annus. 487 Jupiter. 328 K. Alendarium. 22 RKVI Theoria. problema de Sectione Elli⸗ pseos. 4²7 L. Atitudinis inventio. 378 Latitudo quid sit. 18 RWWB 273. 290. 366 — Geocentrica. 336 — Heliocentrica. ihid. — Geographica. 369 Leges naturæ traduntur. 106 Leo. 256 Libra. 256 Limites. 336 Linea quid sit. 18 — nullam habet latitudinem. 27. 28 — Apsidum. 281 — Meridiana. 378 — Nodorum. 288. 461 Litera Dominicalis: 492 Loci longitudo. 273. 368 — situs in disco Telluris. 318 Locus distinguĩitur in internum& ex- ternum. 65 — in absoluruum& relativum. ibid. — Stellæ ad Eclipticam re ductus. 366 — Geocentricus. 468 Logarithmi negativi. ꝗ definitio. 560 Logarithmica curva. 556. 5// Logarithmicus index. 761 Logarithmis urendi methodus. 578 Logarithmorum usus. 5yT inventor. ibid. 552 — canon. 552 — ortus& natura. 53 — formæ. 560⁰ Arithmetica. 962 Longieudo quid sit. 18 — Stellæ 366 Mm mI L. SSDSD•[mR—.—— INDEXRERUM Longitudines Fixarum quomodo inve- niantur. 382 Longitu dinum locorum inyestigatio. 323. 350 Lucis motus demonstratur. 349 Luna Lerræ Assecla. 284 Lunæ Phases. 285 — Lucula. 288 — Lux in Eclipsibus totalibus. 327 illustratio à Sole, ejusque Quan- titas. 287 Nodi. 288 — Kkclipses. 297 — 2 Terra distantia. 304 — Pparallaxis. 325. 405. 41T1 — Variatio. 291 — Apogeon& Perigeon. 290 — klongatio à Sole. 286 — Pacies. 295 — Maculæ. 296 Montes& ingentes Cavernæ. 294 — Libratio. 292 — Motus circa Axem. 292 — Motus ab occidente in orien- tem. 285 — Motus Diurnus. 280 Lunaris Umbræ diameter. 306 — Altitudo: ö 303 Lunarium motuum inæqualitates. 290 Lupus. 257 4. 256 2 M. Aculæ Jovis. 253 Lunares, 295 Solares. 251 Magnes non solum trahit ferrum, sed A ferro trahitur. 117⁷ Magnetis attractionis& directionis causa nondum detecta est. 85 Magnitudo ex quibus consistar. 26 Planetarum. 472 Mars Planeta. 293. 328 Martis Parallaxis Solari duplo major. 411 Materia quid sit. 79 — cœli non incorruptibilis. 261 Media distantia. 281 Medium cœli. 371 Mensit 483 — Synodicus,& Periodicus 288 — Embolimæus. 486 Menstruum ut dissol vendo corpori da- to sit idoneum tria requiruntur. 632 Mercurius Planeta 239. Meridianæ lineæ inventio.* 31 Meridianorum differentiæ. 350. 351 Meridianus circulus. 63 — Universalis. 309. 37¹ Methodus Logarithmis utendi. 578 Metonicus cyclus. 495 mnentum, quomodo alias vocatur. 73 quomodo definitur. 15id. Mous est omnis actionis physicæ fun- damentum. 11 — est affectio corporum nobilis- sima. 6 eo sublato, omnis periret mundi ornatus. 61 — In co vita ipsa consistit. ibiq. — scientia ad philosophandum rite, maxime necessaria est. ibid. — de eo varia Veteribus Philo- sophis futilia argumenta propo- . sita. 62. 64 eorum solutiones. ibid. — AHolutus quid sit. 69 — Definitio. ibid. — Telativus definitur. ibid. — càcceleratus quid. 47 — æquabilis quomodoj fir. ibid. aquabiliter retardatus quid. 1bid. — auabiliter acceleratus quid. ibid. —retardatus quĩid sit. 21b1d0. — quantitas ab illius celeritate est distinguenda. 74 mutatio est proportionalis vi motrici impressæ. 101 Gravium, eorumque sympto- mata explicantur. 153&seqq. apparens quomodo oculis per—- cipitur. ö 226 — Abpparens Solis. 264 æquales quare inæquales vi- dentur. 231 Cometarum. ö 357 Globi in navi cadentis. 233 — Lucis. 340 in Longitudinem. 281 843 Mo- —— — 4.....‚.‚.‚“..‚..„—2— —...— ———— &.... ‚ ET TERMINORUM Nozus Apogei. 292 Medius. 281. 425 — Nodorum Retrogradus. 290 — Plhanetarum circa Axes, 253 —Frogressi vus. 338 — Regressivus. ibid. Motuum Radices seu Epochæ. 466 Mundus nec in æternum existere po- test, nec ab æterno exstitit. 5⁷ Abonassari Æra. 491 N Nadir. 37⁰ Natura methodo simplicissima pro- greditur. 77 Logarichmi. 552 Nauticæ Spiralis descriptio. 618 Neomenia 186 Netonus philosophus summus. Niahil aut Non en habet nullas proprie- tates, aut affectiones. 77 Nodi& Nodorum Linea. 288. 335 Nodorum motus Ret rogradus. 290 Nonagesimus Eclipticæ Gradus. 371 Novilunium. 286 . bitus Alexandri Magni Æra. 491 Obliqua Ascensio. 375 Obliquitas Eclipticæ. 367 Occasus siderum. 376 Occultatio. 377 Odor assæ fœtidæ ad distantiam quin- que pedum sentitur. — canum venaticorum ad certos numeros revocari non potest. y5. 56 Odoris sensus ad quam distantiam se extendat. 457& seqq. Ohmpiadum Æra. 491 Ophiuchus sive Serpentarius. 256 Oppo sitio. 285 Orbis Conditi HÆra. 491 — Annui Parallaxis. 345 Orion 256 Orthographica Projectĩo. 30⁸ Ortus& Occasus Siderum. 376 — Logarithmi. 553 P. Arabola, sive linea parabolica, de- scribitur. 19. 180 aralla vis. 395 Altitudinis. 398 Parallaxis Latitudinis. 398 — Longitudinis. ibid. Lunæ 305. 325. 405. 412 orbis Annui. 346 — Solis. 4⁰07 Paralleli circuli 365. 375 — Climata. 37 Parallelimus Axis Telluris. 267. 274 Pantes circulares quotuplices. 543 Paschalius phi losophiam novis specu- lationibus adauxit. 9 Pavo. 257 Pegasus. 256 Pendulum, machina, quid sit. 162 ejus velocitas in quo consi- stat. 164 Penumbra. 301 Penumbræ dimensio. 302 Perigeon. 29⁰ Perihelion. 287 Periodi Planetarum. 46 Periodus Dionysiana. 497. 498 — juliana. 500 — ‚Sothiaca. 48 Perioeci. 369 Peripatetici quibus auxiliis physicam suam explicarunt. 12 Peripheriæ circularis divisio. 517 Periscii. 37⁸ Perscus: 256 Phases Lunæ. ů 285 — Veneris. 333 Philosopbi quot generum fuerint. 11712 — quid statuerint. ibid. Philesophiæ naturalis objectum sunt cor- pota corporumque in se invicem act iones. 76 Philosophia Meehanica diu delituit. 8 Philosopbia à quibus sit exculta& ad- aucta 9 — socierates à regibus institu· tæ magnum ei incrementum dede- runt. 9 totius mundani systematis à Newrono est patefacta. 623 Phenix. 267 Physica omnis actio à motu dependet. 12 Physiaa quibus innitatur principiis. 6³4 vy- ——— IXIIIIDIIIISISIISCSSZSB IND EX Physicæ ret ad Geometriam& ad A- rithmeticam sunt reducendæ. 93 Piscis. 256 Planeta quando directus& velox. 344 — quando Stationarius. ibid. — quando retrogradus. 346 Planetæ Secundarii. 24⁰ — Corpora Opaca Sphærica 240 — IIuferiores. 328 — saoperiores. 339 — non in orbibus circularibus sed ellipticis deferuntur. 6²3 — eirca solem moventur. 623 Planetarum ordo. 239 — daistantiæ quam proportionem obtinent ad Periodos. 245. 469 motus Apparentes inæquales. 297. 34 planetas solem circumire demonstra- tur. 243 Plantæ ex innumeris heterogeneis con- stant partibus. 9⁰0 Platonici physicam suam larvis& hie- roglyphicis velarunt. 11 — Aiscipulos suos nisi serò ad philosophiam perdiscendam ad- miserunt. ꝛbid. Plenilunium. 285 Polares Circuli. 270.367 Polus Eclipticæ. 272 — Horizontis. 37⁰ — Mundi. 275 — 1u Sphæra. 531 Poh gonum. 55 5. 556 Ppondera cotporum quantitatibus ma- teriæ sunt proportionalia. 96 Præcessio Equinoctiorum. 277 Præcipitationis origo. 6²⁴4 Principia, quibus innititur Physica. 624 pꝛoblematis Kepleri solutio. 4²7⁷ Projectio Orthographica. 308 — Ombræ in Discum Telluris. Did. Profectionis sursum fadtæ duratio. 190 Pyosthapheyesis. 4320 Punctum Mathematicum non est ma- teria, sed in ea consistit. 28 pandia Solstitialia& Æquinoctialia regrediuntur. 276 R ER UM Punctum quĩd sit. 18 Tythagorict physicam suam larvis& hieroglyphicis velarunt. II uadratura. 185 — RAyperbolæ eubicæx. 48 de Qantitate motuum Theoremata. 86. 87. 89. 90. 91. 92. 93 Qalitatis natura demonstratur. 13& ses. QVantitas acceleratrix cujusvis vis, quid lit. 76 — quæxquæ ulterius dividi po- test. 41• 3 3 Quantitat motus est vis sau energia, qua mobile secundum directionem suam tendit. 14⁰ Anni 4¹6 Quies absoluta quĩid sit. 69 — relativa definitur. ibid. — est corporis cujusvis in eodem loco permanentia. 20d. Qiiescere& ramen moveri quo quis dicatur. 1bid. R. Adix sen Epocha. 466. 489 — ractionis. 5⁰⁸ quadratica. 578 Recte posirionis inventio. 6²4 Reauctio ad Eclipticam. 366 Reractio. 391 — aAtmosphenæ. 392 — ejus investigatio. ibid. Refraclionis varii effectus. 391 Regule dux ad triangula rectangula Iesolvenda. 543 Rerfog radatio Planctarum. 338. 345 ͤ 8. Agitta. 256 Sagitta aliquando Arcus. 618 Sagittarius. 256 —— Sales vi attractiva pollent. 6³⁰ Saturni Annulus. 142. 47⁰0 Satellites. 241 Saturnus Planeta. 241. 328 Scorpio. ö 256 Fecans in trigonometria quid. 518 Hector hyperbolæ. 613 Helenographia. 296 Sinus Arcus. 518 Sinus —— 197 90 remm. H R. RHI, O leiadem 777 IWd. M. rET TEHRMINONAUN. Sinus rectus. 6517 versus. 518 — arcus dimidii inventio. 519 dqupli arcus inventio. ibid. iarcus unius minuti inventio. 522 Sol, licet lucem emittat, nihilde sua magnitudine amittit. 55 — circa Axem rotatur. 251 — nostri Systematis centrum. 263 — qua ratione, in ellipseos foco- rum uno situs, circumeat. 623 Soli Maculæ. 252 — Axis inclinatur ad Eclipticam. ö 253 — Apparens motus. 264 — motus mquabilis„. servatur. 416 — Ascensio Recta Declinatio Lon- gitudo ex quibus datis invenian- tur. 379 Soliditas definitur. 19 à Peripateticis Impenet rabi- litas dicitur. 2bid. aliter à Philosophis, aliter,à Geometris capitur. 19, 20 Solstitia. 368. 414 Spatium vocatur, in quo omnia cor- pora locari& moveri cernimus. 20, 21 ab omni corpore vacuum de- monstratur. 24 — hujus spatii natura non defi- nitur. 24. 25 — quiĩd sir. 65 — in absolutum&c relativum distinguitur. 0 ;percursum quid sit. 73 — ejus longitudo. ꝛbid. — inane, unum ex tribus phy- sices principiis. 6²⁶ Speckaor est in centro prospectus pro- prii. 238 Spbæra Recta 373 — Obliqua. 374 — barallela. 375 Sphæræ poli. 531 Spiralit Hy perbolica. 61¹1 — RVyperbolica quid? 61¹4 nauticæ descriptio. 618 Statera quænam sit machina. 100 Slaliones Planetarum. 338. 344 Scellæ fie sunt soles. 247 — informes. 257 — Hhova. 161 — quæ periodice apparent& eva— nescunt. 261 Stellarum ordo. 255 Catalogi. 259 Subtilitas materiæ ex auri ductilitate probatur. 43 — particularum lucis nemo mortalium afslequi potest. 96 Superficies quid sit. 18 — ejus extrema dicuntur liner. 2bid. —an sit perfecta plana. 28 — non est materialis. ibid. quales colores accipiunt 82 & segq. F, Abule Astronomicæx, 466& seqq. Tangens quid. 518 Taurus. 256 TLelescopii Bene ficia. 230 Te/ luris Poli. 266 Tellus circa solem movetur& circa Axem. 245. 264 Lempora Periodica. 469 Zemporis Æquatio. 471 partes 447 Tempus in absolutum&e relativum di- stinguĩtur. 66 accelerari aur retardari ne- quit. 67 Termini Ecliptici. 305, 311 Terra non sol movetur. 70 Lheoremata raritatem& renuitatem materiæ spectantia. 5 7. 580 — de Motus quantitate& spatiis à mobilibus percursis. 86 motuum Comparatorum. 86 87.89 90 91.92. 93 Attractionis. 624& eq. Theoria motus Telluris. 413 ö‚ Planetarum. 459 Tleoriste qu ibus incumbendum 15.17 Tormenta bellica quomodo dirigantur. 186 Nnnn Tor- —— , ——————— Torricellius philosophiam novis spe- culationibus adauxit. 9 Trianguli rectanguli solutiones Tri- gonometricæ. 529 Triangulum. 25 æ quale& congruum. 533 — æquiangulum. 535 — Sphæricum obliquangu- lum. 545 eorundemque angulorum duodecim casus. 548 riiangulus rectangulus. 7²7 ambylogonius. ihid. — Sphæricus. 9Iru Trigonometria plana. 517 —— Sphærica. 531 Trigonometriæ Definitiones. 5¹7 munus. ibid. Trigonometricæ trianguli solutiones. 529 Tigonometricus Canon. 518 Trochleæ definĩtio. 102 Tropicus Cancri& Capricorni, 270. 36⁷ V. Acuum aliquando necessario da- tur. 23 probatur duobus axiomati- bus. ibid. Velocitae, qua corpus movendum est, invenitur. 98 Veneris à sole digressio maxima. 330 — Phases. 333 — Pulgor. 334 Venus, Planeta. 239. 332 — i1n sole vila, 332 — quando maxime lucida. 324 Veritas argumentis suffulta validissi- mis, licet conceptu sit difficilis, non est deserenda. 40 Verticalis Primarius. 370 Via lactea. 257 NDEX RERUM ET TERVHNORUV. Via Lunæ à Sole. 306 Virs contrariæ quænam. 75 motrices æq̃uales quænam sint, ibid. Virgo. 256 Vis impressa quid sit. 7 — in quo differat à vi motrici. 152d. — motrix deseribitur. ibid. — centripeta qualis. 75 — quid sfit,& quæ ita dici possit. 196. 197 — eenrripetæ effectus. ꝝ& seqq. — centrifuga quænam. 75 —— eseribitur. 197 — itutiva æqualis est vi compressi- væ. 14² — attractrix materiæ est unum ex tribus physices principiis. 6²2⁴4 Visio quomodo fit. 226 Vita in motu consistit. 61 Umbilici seu Foci. 280 Umbra corporis. Vmbræ Lunaris Altitudo, 301 0 30*. 303 — Diameter. 0 — Ierræ Altitudo. 353 Vmbrosi Conĩ Angulus. 301 Vnitas quid. 523 Volatus avium unde dependat. 120 Vortices in cœlo nulli sunt. 36² Urbis Conditæ Rra. 490 Vse duæ. 250 W. Allisius laudatur. 9. 146 Nien(Christophorus) Astrono- miæ Profeslor, laudatur. — 146 257 Eniih. ö 37⁰ Zodiaci Latitudo. ibid. ZAodiacus. 366 Vne qux& quot, 369 — zoh . diat, 44 2/6 renee 3 aue iadi 19.J ſis&ſ T w Nlcomprell 14 eſt mnum ex is, ag n6 bl ' 9 32,p; 30f 39) 301 ſ4) ldat. J0 d. 341 490 16 9 ¹s) Afteohr , laudatul — ———— 2— 7 * e * * * ——ꝛ—X—ꝛ— em“*— ————— 2 DE —— „h Magenta Chart l an 1 5 — Q O — 0 O 50 — — 9 Co