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ͥᷓꝑͥͥꝑ··Q—/qł—
I 1 Anfangsgruͤnde
der hoͤhern
echanik von der Bebbegung feſter Koͤrper beſonders
die praktiſchen Lehren
enthalten.
—
—
Abgefaßt von
Abraham Gotthelf Käͤſtner
Köͤnigl. Großbritann. Hofrathe; Profeſſor der Mathem. und Naturl. der Goͤtt. Koͤn. Geſ. der Wiſſenſch. der Koͤn. Schwed. und Preuſſ. Akad. der Wiſſ. der Erfurtiſchen Churfuͤrſtl. Geſ. nuͤtzl. Wiſſ. der bononiſchen Akad. der Wiſſ. der peruſiniſchen Academiae Auguſtae Mitgliede; der Koͤn. deutſchen Geſ. zu Goͤttingen Aelteſten, Mitgliede der Leipziger deutſchen Geſellſchaft, und Geſellſchaft der freyen Kuͤnſte, und der Jenaiſchen latein. und teutſchen Geſellſchaften.
Der mathematiſchen Anfangsgruͤnde vierter Theil; erſte Abtheilung.
Goͤttingen Im Verlag der Wittwe Vandenhoek 17˙66.

—
— I—
————
——

Dem Hochgebohrnen Freyherrn Herrn Friedrich Augußt von Hardenberg
Koͤniglich⸗Großbritanniſchen und
Churfuͤrſtlich⸗Braunſchweig⸗Luͤneburgiſchen
Hochbetrautem wirklichen Geheimden Rathe
Meinem gnaͤdigſten Herrn.
—— —** 1 2 .

——————————V——
1 3 1 1

F *
Hochgebohrner Freyherr Gnaͤdigſter Herr
Hochgebietender Herr Geheimder Rath
Ew. Excellenz verſtatten gnaͤ digſt, daß zu Bezeugung mei⸗ ner unterthaͤnigſten Ehrfurcthh Denenſelben gegenwaͤrtiges Buch, als eine Probe uͤberrei⸗
4 3 che,

—————————— , 5
—————————
che, wie ich auf hieſiger Univer⸗ ſitaͤt, mit Ausbreitung des mir gnädigſt anvertrauten Theils der Gelehrſamkeit beſchaͤfftiget bin.
Ohne die Wahrheiten, wel⸗ che es enthaͤlt, zu wiſſen, begreift man nicht, wie die Kraͤfte der Ratur auf unzaͤhliche Art von den Menſchen zu ihrem Vorthei⸗ le und irer Bequemlichkeit an⸗ gewandt werden: Gleichwohl iſt in unſerer Sprache noch kei⸗ ne Anleitung zu ſo wichtigen Kenntniſſen vorhanden ge⸗ weſen.
In
—

In der That koͤnnen auch nur auf einer hohen Schule, die einen ſo gnaͤdigen Schutz ge⸗ nießt, als die Goͤttingiſche, die Lehrer daran gedenken, den al⸗ lerbekannteſten Anfangsgruͤn⸗ den auch hoͤhere Wahrheiten beyzufuͤgen, ohne welche oft dasjemge nicht einmahl zu brauchen iſt, wobey der Hau⸗ fe gemeiner Gelehrten ſtehen bleibt, wenn er ja noch bis da⸗ hin koͤmmt.
Das Wohlergehen Ew. Exc. und Dero hohen Geſchlechts, das ſchon um die hieſigen Lande
4 4 ſo

ſo groſſe und ſo vielfache Ver⸗ dienſte hat, wird ſtets der Ge⸗ genſtand meiner eifrigſten Wuͤn⸗ ſche ſeyn; der ich mit tiefſter Devotion verharre
Hochgebohrner Herr Geheimder Rath
Gnaͤdigſter Herr Ew. Hochfreyherrl. Excellenz
Goͤttingen den 27. Sept. 1765.
unterthaͤnigſtgehorſamſter
Abraham Gotthelf Kaͤſtner.
ef

er.
Vorrede.
De Statik, die in den gewoͤhnlichen An⸗ leitungen zur Meßkunſt, den Nah— men der Mechanik fuͤhret, betrachtet nur das Gleichgewicht, da von entgegengeſetzten Kraͤf⸗ ten jede die Bewegung hindert, welche die andere gern hervorbringen wollte: die Me⸗ chanik, wie das Wort jetzo genommen wird, betrachtet wirkliche Bewegungen. Dieſer Wiſſenſchaft ihr Gegenſtand iſt alſo von je⸗ ner ihrem ohngefaͤhr ſo unterſchieden, wie Krieg von dem, was wir Friede nennen, was
5 ei⸗

—— ———————.
Vorrede.
eigentlich nicht Ruhe, ſondern Gleichgewicht iſt, und oft ſo unterbrochen wird, wie wenn bey einer Waage, das eine Gewicht eine Ueberwucht bekoͤmmt, die ganze Maſchit ne in Unordnung bringt, und, ſo gut als ſein zu ſchwacher Gegner, endlich zu Boden ſtuͤrzt. Dieſe Vergleichung der Statik und Mechanik mit Frieden und Kriege muß man ichi über ihre Graͤnzen ausdehnen. Die Mechanik erfodert vielmehr Kenntniß und Anſtrengung des Verſtandes als die Statik: daß es aber
nicht ſo ſchwer ſeyn moͤchte im Kriege als im Frieden groß zu werden, das zu muthmaſ— ſen, verleitet mich faſt die groſſe Menge von den Geſchichtſchreibern verewigter Helden, mit der geringen Anzahl ſolcher Regenten ver⸗ glichen, deren Andenken noch Jahrhunder⸗ te nach ihnen geſeegnet iſt.
Die Kraft der Schwere, von der wir faſt jeden Augenblick Empfindungen haben, wird in der Statik zuerſt betrachtet, und ſie macht auch in der Mechanik den Anfang. Die Geſetze, nach denen ſchwere Koͤrper fallen, wie Galilaͤus ſolche im Anfange des vorigen Jahrhunderts entdeckt hat, ſind die erſten Geſetze bewegter Koͤrper geweſen, die man
hat
——————————õ—y

Vorrede.
hat kennen gelernt. Von allen andern Kraͤf⸗ ten, machen wir uns nur Begriffe, indem wir ſie uns als Schweren vorſtellen, die ſich etwa in der Staͤrke, der Richtung u. d. g. von unſerer Schwere unterſcheiden, faſt wie wir von andern Geiſtern nur in ſo weit Be— griffe haben, in ſo fern wir uns dieſelben als Seelen vorſtellen, die von unſerer See— le nur in der Vollkommenheit, Verbindung mit Koͤrpern u. ſ. w. unterſchieden ſind. Ich duͤrfte bald die Vergleichung noch weiter trei⸗ ben, bey dem Geiſterromane, der unter dem Nahmen des Comte de Gabalis bekannt iſt, an gleich ſinnreiche Unterſuchungen uͤber ſol⸗ che Kraͤfte denken, dergleichen es in der Na⸗ tur geben koͤnnte, aber nirgends giebt, und fragen, ob ſolche Erdichtungen berechnen, nicht eben ſo was iſt, als ſich mit Sylphen und Gno⸗ men beluſtigen. Weil ich das letzte, als eine Er⸗ goͤtzung nicht tadele, weil ich einem Dichter gern ins Reich der Moͤglichkeiten folge, ſo wird man leicht urtheilen, daß ich auch den Mathematikverſtaͤndigen gern in dieſes Reich begleite, doch daß es nur eine Luſtreiſe iſt, weil ich in der wirklichen Welt genug Ge— genſtaͤnde, die meiner Aufmerkſamkeit wehrt ſind, finde, und weil auch unter den Gedich⸗
ten,

————8Jööͤöͤöͤͤſͤſͤſſ ————.—-——
Vorrede.
ten, Hallers Alpen mich beſſer unterhalten, als Zachariaͤs Schoͤpfung der Hoͤlle.
Mir iſt in deutſcher Sprache kein Buch bekannt, aus dem man mit einiger Gruͤnd⸗ lichkeit und Vollſtaͤndigkeit, die Lehren der hoͤhern Mechanik lernen koͤnnte, die in der Naturkunde, beym Maſchinenweſen, faſt bey allen Kuͤnſten ſo unentbehrlich ſind. Da ich dergleichen abzufaſſen unternahm, mußte ich mich auf das am meiſten Brauchbare ein⸗ ſchraͤnken.
Den Anfang macht die Bewegung der Koͤrper, bey denen weder Groͤſſe noch Ge⸗ ſtalt betrachtet wird, und die man alſo blos als bewegte Puncte anſieht. Herr Euler hat die dahin gehoͤrigen Unterſuchungen faſt er⸗ ſchoͤpft(*), ich habe in dem, was hierbey blos auf Rechnungen ankoͤmmt, lediglich ſei⸗ ner Anleitung gefolgt, nur die Rechnungen erlaͤutert, wo er geuͤbtere Leſer vorausſetzen konnte, als ich. Da ich aus Hrn. Eulers Buche, als es noch ganz neu war, dieſen
Theil
(*) Mechanica ſ. motus ſcientia analytice expo- ſita. Petrop. 1736; 2 Quartbaͤnde.
——————————

Vorrede.
Theil der hoͤhern Mechanik durch eignen Fleiß erlernt, uͤber alle Schwierigkeiten, die in den Rechnungen vorkommen, die Erlaͤuterungen aufgezeichnet, und in Leipzig unterſchiedene⸗ mahl nach der Anleitung dieſes Werks be⸗ ſondern Unterricht ertheilt habe, ſo iſt mir bey gegenwaͤrtiger Arbeit das ſchwerſte gewe⸗ ſen, ſolche Unterſuchungen auszuſchlieſſen, die durch ihre Schoͤnheit reitzen, bey der Kuͤrze aber, die ich mir vorſchreiben mußte, von unentbehrlichern verdraͤngt wurden. Die erſten beyden Abſchnitte enthalten dasjenige, was ich hier aus Hrn. Eulers beyden Quar⸗ tanten anzubringen wagte. Den dritten, wo Koͤrper von gegebener Groͤſſe und Ge⸗ ſtalt betrachtet werden, habe ich auf Joh. Bernoullis Lehre, wie bewegende Kraͤfte einen Hebel drehen, gegruͤndet, und damit unterſchiedene nachdem angeſtellte Unterſu⸗ chungen verbunden. Da Hr. Euler von Be⸗ wegungen feſter Koͤrper kuͤrzlich ein eignes Werk herausgegeben hat, ſo habe ich aus demſelben im 216. u. f. Abſ. des III. Abſchn. die erſten Gruͤnde allgemeiner Lehren davon vorgetragen, aber auch daſelbſt angezeigt, warum ich mich darein nicht weitlaͤuftiger eingelaſſen habe. Doch ich will hier meinen
Leſern

———Z—’—’—————————n—————
d.
——
Vorrede.
Leſern nicht das ſagen, was ſie aus dem Inn⸗ halte vor gegenwaͤrtigem Buche gleich uͤberſe⸗ hen koͤnnen, ich will nur noch das erinnern, daß ich nebſt der Brauchbarkeit der Lehren, die ich hier vortrage, zugleich auf ihre Gewißheit geſehen habe. Etwas das Hr. d' Alembert vor mir geſagt hat, wuͤrde ich ohne ihn auch ſagen, aber damit bey meinen Landsleuten nicht ſo viel Glauben finden, als wenn ich einen auslaͤndiſchen Gewaͤhrsmann anzufuͤh— ren weiß: daß man in der Mechanik manch⸗ mahl nur bemuͤht geweſen iſt, das Gebaͤude hoch aufzufuͤhren, ohne ſich zu bekuͤmmern, ob der Grund feſt genug ſey(*). Hr. d' A⸗ lembert, hat dieſen Grund an unterſchiede— nen Stellen ſcharf gepruͤfet, ob er allemahl einen beſſern gelegt hat, will ich nicht ſagen.
Unſere Kenntniß der wirklichen, oder, wie ich ſie lieber nennen wollte, der ſcheinbaren, Welt, gruͤndet ſich auf Erfahrungen und Schluͤſſe, die ſich daraus herleiten laſſen. Ohne Ausmeſſungen und Berechnungen iſt hier nichts zuverlaͤſſig und beſtimmt; die Ana⸗ lyſis und beſonders die Rechnung des Unend⸗
lichen
0) Dynamique pref.
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lichet
lern
derſt ſen! det neuc
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Vorrede.
lichen ſind nothwendig die Natur kennen zu lernen, wie es nothwendig iſt, Latein zu verſtehen, um den Cicero und Virgil zu le⸗ ſen; Sie werden durch ihre Anwendung auf die Kenntniß der Natur erweitert, und mit neuen Kunſtgriffen vermehrt, wie man in der Sprache der roͤmiſchen Schriftſteller, durch fleiſſiges Leſen geuͤbter und vollkommener wird. Nun aber giebt es Leute, die nicht die Sprache der Schriftſteller wegen lernen, ſondern die Schriftſteller der Sprache wegen leſen. Es waͤre gut, wenn die Mathema⸗ tikverſtaͤndigen es nie ſo gemacht haͤtten. Mei⸗ nes Erachtens wenigſtens iſt in der Theorie die edelſte Beſchaͤfftigung: Denken; Beym Rechnen verbindet man Zeichen eben in der Abſicht, daß man ſich die Muͤhe an die Bedeu⸗ tung der Zeichen alle Augenblicke zu denken er⸗ ſparen will. Aber bey der erſten Anordnung und Verbindung dieſer Zeichen muß man die Begriffe wohl kennen, die man durch ſie aus⸗ druͤcken will, und genau wiſſen, wie weit ſich dieſe Begriffe durch Zeichen ausdruͤcken laſſen. Eben dieſe Sorgfalt iſt bey dem Ge⸗ brauche der gewoͤhnlichen Woͤrter zu beobach⸗ ten. Ich habe geſucht hierinnen nichts zu verabſaͤumen, und daher wird man haͤufige Stellen

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Vorrede.
Stellen in meinem Buche antreffen, wo lan⸗ ge nach einander philoſophirt und nicht ge⸗ rechnet iſt. Es hat mir geſchienen, als koͤnn⸗ te ich ſo, manche Sachen, die bisher faſt als Geheimniſſe ſind vorgetragen worden, auf gemeine und jedem begreifliche Saͤtze bringen, wie die Lehre von der Traͤgheit J. Abſchn. 20.§. und der Gegenwirkung III. Abſchn. 125.§. oder was ſich ſicher ausmachen laͤßt, von dem Ungewiſſen abſondern, wie bey dem Geſetze der Stetigkeit III. Abſchn. 183.§. Ich weiß nicht, ob ich mir auch ſchmeicheln darf, die Wahrheit und Nothwendigkeit der Formel, auf welche ſich die ganze hoͤhere Me⸗ chanik gruͤndet, im J. Abſchn. 65.§. vollkom⸗ men offenbahr gemacht zu haben.
Ich habe zugleich allemahl ein Augenmerk mit auf die Geſchichte der Wiſſenſchaft ge⸗ habt, nicht daß ich alle Schriften ſorgfaͤltig haͤtte anfuͤhren wollen, denn das heißt die Geſchichte der Buͤchertitel, ſondern daß ich, ſo oft es die Gelegenheit gegeben hat, ange⸗ zeigt habe, wie und von wem die Wiſſenſchaft nach und nach iſt erweitert worden. Wenn man auch verdienten Gelehrten dieſes Anden⸗ ken nicht ſchuldig waͤre, ſo iſt es doch aüe
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Vorrede.
mahl fuͤr uns wichtig, zu unſermeigenen Vor⸗ theile zu wiſſen, was bisher iſt gethan, und wie eine Erfindung aus der andern iſt herge⸗ leitet worden. Bey dieſer Gelegenheit will ich noch einen hiſtoriſchen Zuſatz zu des ll. Abſchnitts 56. Abſatze 216. S. beybringen, den ich an ſeiner Stelle einzuruͤcken vergeſſen hatte.
Es iſt daſelbſt von Uhren geredet, deren Pendel einen Kegel beſchreibt. Huygens mel⸗ det das weſentliche dieſer Uhren, naͤhmlich die Vorrichtung, daß das Gewicht auf ei— nem paraboliſchen Sphaeroid geht, ganz am Ende des Hor. oſc. unter der Aufſchrift: Horologii ſecundi conſtructio. Der un⸗ gedruckte Aufſatz, den Leibniz, wie ich im Buche erzaͤhle, erwaͤhnt, muß etwa eine aus— fuͤhrlichere Beſchreibung ſolcher Uhren ent— halten haben, denn das Horol. oſc. iſt ſchon zu Paris 1672. gedruckt worden.
Andere Geſchaͤffte haben mich jetzo verhin⸗ dert, die Anwendungen der hoͤhern Mathema— tik auf den Druck und die Bewegung fluͤſſi⸗ ger Koͤrper beyzufuͤgen. Sie ſollen nebſt ei⸗ nigen andern zur Mechanik gehoͤrigen Unter⸗
8 ſuchun⸗

Vorrede.
ſuchungen, den Innhalt eines zweyten Ban⸗
des, wie gegenwaͤrtiger, ausmachen, der die⸗ ſe Einleitung ergaͤnzen wird. Ich werde mich, wie bey dem jetzigen Bande geſchehen iſt, bemuͤhen, das Philoſophiſche dieſer Leh⸗ ren auf deutliche Begriffe und unlaͤugbare Wahrheiten zu gruͤnden, und das Mathema⸗ tiſche ſo vorzutragen, daß jemand, der die vorigen Theile meiner Anfangsgruͤnde, be⸗ ſonders die Analyſis ſich wohl bekannt gemacht hat, keinen Anſtoß findet, nuͤtzliche Wahr⸗ heiten durch eignen Fleiß daraus zu erlernen. Goͤttingen im September 1765.
Abraham Gotthelf Kaͤſtner.
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Innhalt.
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Innhalt.
Bar Erſter Abſchnitt. — die⸗ Von wende freyer Bewegung der Puncte. hehen Abſatz. Leh⸗ 1. C. Von der Bewegung uͤberhaupt ⸗ 1 bare 2. C. Von der Traͤgheit- 20 ema⸗ Von den Kraͤften.. 27 r die Geſetze fallender Koͤrper ⸗ 28 be⸗ 3. C. Allgemeine Geſetze der Wirkungen der acht Kraͤfte. ahr⸗ Bewegende und beſchleunigende Kraft 48 Betrachtungen uͤber die Veraͤnderungen nen. der Geſchwindigkeit, welche beſchleu— nigende Kraͤfte bey wirklichen Bewe⸗ gungen verurſachen. 51 iner. 4. C. Von veraͤnderlichen Kraͤften ⸗ 83 5. C. Vom Wiederſtande 2 3 2 106 6. C. Von der Bewegung in krummen Linien 160
Freye Bewegungen, und Bewegungen nach vorgeſchriebenen Wegen ⸗172 Bewegung geworfener Koͤrper, in die eine beſtaͤndige Kraft, wie unſere Schwere, wirkt 8., Bewegung in krummen inien, wenn Centralkraͤfte wirken⸗;⸗ ⸗ Wie hier die Gleichungen auf rechtwink⸗ lichte Coordinaten gebracht werden 214 Weg eines Koͤrpers, wenn ſich die an⸗ ziehende Kraft verkehrt, wie das Qua⸗ ſ drat der Entfernung verhaͤlt 220. u. 234 ha 1. 2 Warum
—

Innhalt.
Warum die Abſciſſenlinie auf die krumme Li⸗
nie ſenkrecht ſeyn muß ⸗ 232 Was fuͤr eine Kraft noͤthig iſt, eine Eliipſe
um ihren Brenunpunet zu beſchreiben ⸗ 238 Anwendung auf die phyſiſche Aſtronomie ⸗ 241 Krumme Ainien, wenn ſich die Kraft verkehrt,
wie der Wuͤrfel der Entfernung verhaͤlt 258 Wenn die krummen ALinien bey Centralkraͤften
algebraiſch werden⸗ 263
Iſochrona paracentrica bey freyer Bewegung 265
Zweyter Abſchnitt.
Von
Bewegung der Puncte auf vorgeſchrie⸗ benen Wegen.
Erklaͤrungen und Vorerinnerungen ⸗Abſ. Von dieſer Bewegung im leeren Raume ⸗ 11 Vom Falle auf einer gegebenen Linie ⸗ 19 Vom Falle im Kreiſe— 21 Huygens Saͤtze von der Schwungkraft 124 Von der Schwungbewegung 2 3 25 Lehnſaͤtze vom Integriren. 30..32 Endliche Schwingungen im Kreiſe- 33
Unendlich kleine ⸗ 34
Die Tiefe des freyen Falls in einer Secunde 45
Allgemeiner Fuß..
linie von einerley Zeiten des Falls(tauto- chrona)— ⸗ ⸗ 2 3
Drit⸗
—õ——————J—
—,

—
J nnhalt. Dritter Abſchnitt. — Von der
Bewegung feſter Koͤrper, deren Groͤſſe und Geſtalt beſtimmt ſind.
Bewegende Kraͤfte am Hebel Abſ. 1 Moment der Traͤgheit 3 3 Mittelpunct des Schwunges 3— 6 Fuͤr allerley Ebenen 4.-⸗ 17 Schwung nach der Seite und nach der Flaͤche;
(in latus und in planum) ⸗ ⸗ ⸗- 25 Von runden Koͤrpern ⸗ ⸗ 30 Anwendung auf die Pendeluhren ⸗ 32.,37 Von der Ueberwucht 2.. ⸗ 38 Beym Hebel.. ⸗ 39. 52
Moment der Traͤgheit fuͤr ein Parallelepipedum 53 Fuͤr einen ſenkrechten Cylinder, der ſich um ſeine Are dreht ⸗. 3
. z4
Ueberwucht bey Rad und Welle, die Theorie mit Verſuchen verglichen. ⸗ 57. 79 Der Mittelpunct des Stoſſes 80 Von der Friction 2— 81.95
Die Geſetze des Stoſſes und damit verwandte Unterſuchungen*—- 96 Stoß harter Koͤrper 2 2. ⸗ 104 Wirkung und Gegenwirkung 2 ⸗ 125 Stoß elaſtiſcher Koͤrper 2 ⸗ 132 r Be⸗

Innhalt.
Bewegung des Schwerpuncts bey dieſem Stoſſe
Veraͤnderungen der Geichidiniieit bey dieſen Stoſſe
Gleichheit zwiſchen den Suunnzer der Pr ente aus den Quadraten der Geſchwindigkeiten in die Maſſen, vor und nach dem Stoſſe ⸗
Anleitung dieſe Saͤtze durch Verſuche zu weiſen
Mittheilung der Geſchwindigkeit Veniitkeſt mehrerer Koͤrper ⸗ Schiefer Stoß ⸗ 2 Stoß an Hinderniſſe die nicht weichenr ⸗. Geſetz der Reflexion bey elaſtiſchen Koͤrpern Dieſes Geſetz aus Unterſuchung des kirzeſten Weges hergeleitet 3 Ueber die WVardielchang des Suoſes mit dem Drucke ⸗ ⸗ Aus fortgeſetzten Drückungen tändnei Bewe⸗ gungen entſtehen ⸗.. In wie fern lebendige und todte Kräͤfte als Din⸗ ge, die ſich nicht vergleichen laſſen anzuſe⸗ hen ſind ⸗ ⸗ Wie man die Geſetze des Stoſſes duc die Integralrechnung findet ⸗ Ueber das Geſetz der Stetigkeit ⸗— Wenn es keine vollkommen harte Koͤrper giebt, ſind die Koͤrper ohne Ende theilbar ⸗ Worauf der ſtaͤrkſte Beweis des Geſetzes der Steetigkeit beruht. 2 4
—————— a

2
Innhalt.
In der gemeinen Geometrie findet es nicht
ͤberall ſtatt 3. 199 Worinnen es eigentlich beſteht„ 189 Ob es den Uebergang aus einem Zuſtande in
den andern begreiflich macht?. ⸗ ⸗ 191 Die Vorſtellung einer ſtetigen Giöſſe 1 ein
abſtracter Begriff— 194 Wenn man das Geſetz der Sretigkei anbrin.
gen kann ⸗. 195
Warum es bey Erſheinnagen gilt? ⸗ 196 Anwendung deſſelben anf e einen phyſiſchen
Verſuch—.. 2 197 Vom Maaſſe der Kraͤfte 198 Leibniziſches und carteſiſches Maaß 201 Von der Erhaltung der lebendigen Kraͤfte ⸗ 205 Von dem Satze der kleinſten Wirkung ⸗ 209
Gruͤnde allgemeiner Unterſuchungen der Bewe⸗ gung ſeſter Koͤrper, nach Hrn. Eulers Ver⸗ fahren, in ſ. Theoria motus corporum ri- gidorum ⸗.— ⸗ 216 Verwandelung der Formeln fuͤr die veraͤnder⸗ te Bewegung I. Abſchn. 74. u. f. in ſolche
die das dortige v nicht enthalten ⸗⸗ 217 Zerlegung einer Kraft oder Bewegung, in
drey auf einander ſenkrechte 3 226 Jedes Koͤrpers Schwerpunct zu finden ⸗ 227 Warum man dieſen Punct hier M likeſpuner
der Traͤgheit nennt? 228
Eines Koͤrpers Bewegung zu efinmmen, wenn Kraͤfte in ihn wirken, deren mittle⸗ re

Innhalt.
re Richtung durch den Mittelpunct der
Traͤgheit geht ⸗. 231 Von der drehenden Bewegung 233 Die Gewalt, welche die Axe leidet, um die
ſich eine ſehr duͤnne Scheibe breht⸗ die auf
ſie ſenkrecht iſt 3. ⸗ 238 Vom Momente der Traͤgheit in Fürpern, de⸗
ren Geſtalt durch drey rechtwinklichte Co⸗
A
ordinaten gegeben iſt. 3 241 Wenn dieſes Moment fuͤr eine Axe gegeben iſt, es fuͤr eine parallele zu finden 2 24)
Das Moment der Traͤgheit eines Koͤrpers fuͤr jede Are zu finden, die durch den Mittel⸗ punct der Traͤgheit geht 3 247 Die Lage der Axe durch den Mietelpunct der Traͤgheit zu finden, fuͤr welche das Mo⸗ ment der Traͤgheit ein groͤßtes oder klein⸗ ſtes iſt 2 ⸗ 2 ⸗ 250 Es giebt allemahl gewiß drey ſolche Aren 253 Um jede von ihnen kann ſich der Koͤrper frey drehen ⸗ ⸗ ⸗ 254
Erſter
——————

——
1
Erſter Abſchnitt freyer Bewegung der Puncte.
J. Cap. Von der Bewegung uͤberhaupt.
„Wem ein Koͤrper ſeinen Ort aͤndert, ſo
ſagt man er bewege ſich. Der Ort wird offenbahr durch ſeine Lage gegen andere Koͤrper be⸗ ſtimmt. Wenn wir einen Menſchen in der Ferne auf dem Felde ſehen, und nicht eigentlich erkennen koͤnnen, ob er fortgeht oder ſtille ſteht, ſo werden wir acht geben, ob er ſeine Lage gegen unbewegli⸗ che Gegenſtaͤnde, einen Baum, einen Huͤgel u. ſ. f. aͤndert oder nicht.
2. Wenn alſo der Menſch ſtille ſtuͤnde, und der Baum oder Huͤgel ſich von ihm entfernte oder ihm naͤherte, wuͤrde wohl dieſes heiſſen der Menſch ver⸗
Matheſis ater Theil. A aͤnderte

2 ET(O) ‿‿
aͤnderte ſeinen Ort, und bewegte ſich alſo? Mit dieſer Spitzfindigkeit hat man noch im vorigen Jahrhunderte die verwirrt, die die copernicaniſche Weltordnung verketzerten. Man bewies ihnen ſo, daß die Erde ſich bewegte, ſie moͤchte nun um die Sonne oder die Sonne um ſie gehen, dieſe Ketzer⸗ macher, waren keine beſſere Beſtreitung werth. Wer nicht Luſt zu Zanken hat, wird leicht unter⸗ ſcheiden, ob ein Koͤrper ſeinen Ort veraͤndert, oder ob andere Koͤrper ihren Ort um ihn aͤndern.
3. Die Koͤrper, B; C; D; E; I. Fig. vermit⸗ telſt der man den Ort des Koͤrpers A beſtimmt, von deſſen Bewegung die Rede iſt, moͤgen ſeyn was ſie wollen, und liegen wie ſie wollen. Wenn der Koͤrper von A nach F geht, ſo wird man ſeine Be⸗ wegung daran erkennen, daß er ſich von der Ge⸗ gend wo B; E; liegen entfernt, nach der wo C; D; befindlich ſind zugeht. Daher kann man ſich eine groſſe unbegraͤnzte Ebene vorſtellen, in der die Be⸗ wegung ſo erkennt wird, daß der Koͤrper einen Theil dieſer Ebene verlaͤßt und nach einen andern zugeht. Dieß iſt hier eine Abſtraction von der Art wie die Abſtraction des geometriſchen Raums.(Geom. 3 Erkl.). Das heißt man alſo den abſoluten Kaum, und die Bewegung des Koͤrpers in dieſem Raume, die abſolute.
4. Denn man kann die Bewegung eines Koͤr⸗ pers, in Abſicht auf einen andern ruhenden oder bewegten betrachten, und ſo heißt ſie relativ. Wenn ein Schiff auf der offenbahren See von Winde z. E.
b gerade
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? Mt vorigen aniſche nen ſo, um die Ketzer⸗ werth. unter⸗ t, oder
. hermit⸗ limmt, n was un der ne Be⸗ er Ge⸗ 6,. ch eine ie Be⸗ CTheil ugeht. vie die Geom. oluten dieſem
es Koͤr⸗ den oder „Wenn ndeE.
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Ax(O)£ 3
gerade nach Norden getrieben wird, ſo wird ſeine abſolute Bewegung daraus geſchaͤtzt werden, wie⸗ weit es von ſeiner erſten Stelle fortgeruͤckt iſt. Waͤre aber AF der Weg dieſes Schiffes auf der See und MN der Weg eines andern; ſo wuͤrde die relative Bewegung darauf ankommen, wieweit das andere in N vor dem erſten in F voraus waͤre, ob ihre Wege parallel, oder wie ſie gegen einander geneigt waͤren u. ſ. w.
5. Wenn man von dem Wege eines Schiffes, eines Menſchen, einer Bombe die durch die Luft fliegt u. ſ. w. redet; ſo bekuͤmmert man ſich hier nicht um die Geſtalt, Groͤſſe, und alles was dieſe Din— ge als Koͤrper von einander unterſcheidet, und ſieht ſie daher blos als bewegte Puncte an. Iſt aber die Rede von einer Bewegung die man nicht ſo be⸗ trachten darf, ſo kann man die Bewegung jeden Punctes dieſes Koͤrpers einzeln betrachten. Wenn ein Rad auf einem geraden Wege fortgewaͤlzet wird, ſo beſchreibt der Mittelpunct eine gerade Linie die mit dieſem Wege parallel geht, und jeder Punct im Umfange eine Cyeloide.(Alg. 597).
6. Man kann bey der Bewegung auf den Weg ſehen der zuruͤckgeleget wird, und auf die Feit in welcher ſolches geſchieht. Wenn ein Koͤrper in ei⸗ ner geraden Linie geht, ſo heißt dieſe ſeine Kich⸗ tung, geht er in einer krummen ſo aͤndert ſich ſei⸗ ne Richtung alle Augenblicke.(Geom. 6 Erkl.). Der zuruͤckgelegte oder beſchriebene Weg heißt auch der Raum. Beſchreibt ein Koͤrper in einer ge⸗
2 wiſſen

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4 A(O)£ V
wiſſen Zeit einen gewiſſen Raum, und in jeder fol⸗ ten genden gleich groſſen Zeit, eben ſo viel Raum, und wel ſindet dieſes Statt, ſo klein, oder ſo groß man auch ſch dieſe Zeiten annimmt, ſo heißt ſeine Bewegung 1 gleichfoͤrmig(motus vniformis) und man ſagt er fänn behaͤlt immer einerley Geſchwindigkeit. Seine Ni Geſchwindigkeit waͤchſt, oder ſeine Bewegung wird Abi beſchleunigt(acceleratus) wenn er in jeder der Abi folgenden Zeiten von eben der Groͤſſe, mehr Weg vhr zuruͤcke legt, als in der vorhergehenden, und wenn diti er auf dieſe Art immer weniger Weg zuruͤcke legt, V gſta ſo wird ſeine Bewegung vermindert(retardatus). Beydes gemeinſchaftlich heiſſt eine veraͤnderte Be⸗ V g1.
wegung(Lvariatus). unn
7. Grundſatz. Wenn ſich die Koͤrper M. N; in (2 Fig.) jeder fuͤr ſich, gleichfoͤr§mig bewegen, und die Raͤume AB; EF, in gleichen Zeiten beſchrei⸗
ben, ſo iſt die Geſchwindigkeit von M in der Ge— Iuric ſchwindigkeit von N ſo vielmahl enthalten, ſo viel⸗ 6. mahl ABin Eß enthalten iſt. Jedermann wird Ge. ſagen, daß N, drey; viermahl geſchwinder geht 1 als M, wenn EF, drey; viermahl ſo groß iſt als Ge. AB. Wege alſo, die mit gleichfoͤrmiger Be⸗ R wegung in einer Zeit zuruͤck gelegt werden, iin verhalten ſich wie die Geſchwindigkeiten. 8. Grnndſ. In eben der Fig. muͤſſte EG= AB, 60 in kuͤrzerer Zeit beſchrieben werden, und zwar in odet der Haͤlfte, dem dritten Theile u. ſ. w. der Zeit in Naun welcher Aß beſchrieben wird, nachdem N zwey, dann dreymahl u. ſ. w. geſchwinder gienge als M. Zei⸗ de. ten
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X(o)£ 5
ten alſo in denen einerley Wege beſchrieben werden, verhalten ſich verkehrt wie die Ge⸗ ſchwindigkeiten.
9. Juſ. Waͤre alſo z. E. AB= 7 EF= 9 ſo koͤnnte man ſagen die Geſchwindigkeiten von Mund N verhielten ſich wie 7:9(7) und wenn allsdenn AB in 9 Minuten durchlaufen wuͤrde, muͤſſe EG= Aß in 7 Minuten durchlaufen werden(8). Man wuͤrde alſo ſagen koͤnnen des Koͤrpers M Geſchwin⸗ digkeit heiſſe 7; des Koͤrpers N ſeine 9; Und ſo laſſen ſich Zablen ſtatt der Geſchwindigkeiten nennen.
10. Aufg. Der Koͤrper M, legt den Raum AB= S, in der Zeit T; und N den Raum EF=ſ in der Zeit t zuruͤck. Man ſucht die Verhaͤltniß ihrer Geſchwindigkeiten.
Aufl. Man ſetze P legt HI= S in der Zeit t zuruͤck. So iſt
Geſchw. von M: Geſchw. von P=t: T(8)
Geſchw. von P: Geſchw. von N= 8:ſ(7)
Alſo(Ar. V. 50) Geſchw. von M: Geſchw. von N=§. t: ſ. T Iſt alſo die geſuchte Verhaͤltniß der Geſchwindig⸗ keiten C:c, ſo hat man 8 1
C:e= S. t:ſ.= F 3 1 oder die Geſchwindigkeiten verhalten ſich wie die Raͤume mit den Zeiten dividirt.(ſunt in ratione compoſita ex directa ſpaciorum& reciproca tem-
pPorum Ar. VI; 1.). A 3 11. Zuſ.

„——8u ———„—————
V 6 X(oO)** V
11. Zuſ. C. T:c.t= 8:ſ; die Raͤume verhal⸗ 4 ten ſich wie die Producte aus den Geſchwindigkei⸗— ten in die Zeiten. 5
8 6.. den
12. Zuſ. T:t= G: ¼ die Zeiten verhalten ſich wie die Raͤume mit den Geſchwindigkeiten di⸗ ſt vidirt. and
13. Anm. Wenn ſich ein Paar Groͤſſen von einer Art be⸗ 23 ſtaͤndig wie ein Paar Groͤſſen von einer andern Art verhalten, 1 ſo druckt man dieſe Verhaͤltniß oft ſo aus, als ob die Groͤſſe t von einer der von der andern Art gleich waͤre. Selbſt in V(== ſolchen Faͤllen, wie die wovon hier die Rede iſt ſagt man z. E.„„der Weg von dem Orte bis zu jeuen beträͤgt ſechs(=5 „Stunden;, d. i: Er verhaͤlt ſich zu jedem andern Wege, nie wie ſechs Stunden, zu der Zeit die der andere Weg erfo⸗ uſs dert. So heiſſen in der Geometrie, wenn K einen rechten ſc Winkel die Ausdruͤcke K= 900;3 5 R= 600 weiter Glüg nichts als R: R= 90:60. Man wird glſo verſtehen at was folgende Gleichungen ſagen wollen: 19
8 8 b Nnn
C=; 8=CT; T= u
4 inbim ſie bedeuten naͤhmlich nur, vorhergehende Proportionen. Geſetzt ein Koͤrper lege in*· Min.= T einen Weg von bite r 37= S zurück. So heißt ſeine Geſchwindigkeit*; d. i.(= T Wenn man jedes andern Koͤrpers Weg in Fuſſen, und die 7 Zeit in Minuten ausdruͤckt, ſo verhaͤlt ſich deſſen Geſchwin⸗ v digkeit zu jener wie der aͤhnliche Quotient bey ihm zu dem nein vorigen. Wenn des andern Körpers Weg 16 in 20. Min. dric iſt, ſo iſt ſeine Geſchwindigkeit= ½5= ¾ d. i. ſie ver⸗ V haͤlt ſich zu jener wie † ½= 28:15 oder in eben der(I; Zeit da der erſte Koͤrper 28 durchlaufen wuͤrde, durch⸗ V laͤuft der andere 15. So wird man ſich leicht auch Exem⸗ e undn pel fuͤr die andern Gleichungen machen koͤnnen. V
Man
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—,
erhal⸗ digkei⸗
halten en di⸗
Art be⸗ halten, Groͤſſe lſt in tman ſechs Wege, gerfo⸗ rechten weiter erſtehen
tionen. deg von 3: d.i. und die eſchwin⸗ zu dem 0e Min. . ſie ver⸗ eben der , dutc⸗ ich Erem⸗
(o)£ 7
Man koͤnnte die Geſchwindiakeit c, die erfodert wird den Raum in der Zeit r zu durchlaufen, gleichſam zur Ein⸗ heit der Geſchwindigkeiten annehmen, und fragen, wie vielmahl jede andere groͤſſer oder kleiner waͤre als ſie. In dem Falle waͤren in der eigentlichen Gleichung C= 65 5. die kleinen Buchſtaben gegeben, und behielten unveraͤnder⸗ lich ihren Werth, wie ſich auch die Werthe der groſſen aͤnderten. 3. E. wenn t= 20 M;[= 16 ſo waͤre C= c.
8 8. T8. ½= c. 4. ℛ. Itt alſo 8§‿136 T= 7M. ſo iſt
== 5c. Waͤre 8§= 12⸗ T= 19 M. ſo kätne
T (=4. 1. C= ½ u. ſ. w. Wenn man alſo ſtatt einen einzigen Buchſtaben r, ſchreibt, der ungeaͤndert bleibt wie ſich auch 8, T, C, aͤndern, ſo giebt es eine eigentliche Gleichung C=r 5 wo C durch c als die Einheit aus⸗ gedruckt wird. Man muß aber 8 und T in eben ſolchen Maſſen ausdruͤcken wie Kund t; Z. E. die Raͤume beyde in Fuſſen, die Zeiten beyde in Minuten. Denn ſetzte man in vorigen Exempel 8= 144“, dasIAo Secunden, ſo Et.— waͤre zwar der Ausdruck C= f:— S noch ſo richtig
C=c. 7M. 144“ 3 II4o Ser aber man muͤßte ohne Zweifel
die Groͤſſen von einerley Art durch einerley Einheiten aus⸗
druͤcken. Eben ſo waͤre 8. CT und alſo 8S= e. C
CT wenn e= 1.; wo wiederum f und S; t und T; Ct
¹ und C, in einerley Einheiten auszudruͤcken waͤren.
24 Waͤre

——,———y——y ————
8(0O)£
Waͤre c= 1;= 16˙, t= 20 M; ſo kaͤme 8F= ½§. 1 CT= 4. CT. Nun ſey C= 1½ das iſt C= ½½ c; die T= 7 M. ſo iſt 8§= 4. 1.7=;3 welches 3 giebt, weil dsvpe die Raͤume hier in Fuſſen ausgedruͤcket werden, und mit Rlerd vorigen uͤbereinſtimmen. täü
14, Lehnſatz. Bey jeder veraͤnderten Be⸗ 1 wegung wo die Geſchwindigkeit nur alle⸗ ne mahl endlich bleibet, kann man annehmen, haft daß unendlich kleine Theile des Raumes V in unendlich kleinen Zeittheilchen, gleich⸗ foͤrmig beſchrieben werden. Dieſes gruͤndet iſ ſich auf die bekannten Begriffe der Rechnung des V lente Unendlichen.(Anal. des Unendl. 37. 38,§.). Die V uu⸗ Geſchwindigkeit von Q3 F. ſey v in 8; uin T A und die Bewegung beſchleunigt, alſo u— v. ſo wird ST in kuͤrzerer Zeit durchlaufen, als wenn Giſ ſie gleichfoͤrmig mit der Geſchwindigkeit v beſchrie⸗ und ben wuͤrde, aber in laͤngerer Zeit, als wenn ſie gleichfoͤrmig mit der Geſchwindigkeit u beſchrieben 19 wuͤrde. Weil nun die Veraͤnderung der Geſchwin⸗ 1 dine digkeit ſtetig angenommen wird, ſo kommen v— und u einander ſo nahe als man will, wenn S und 11 T einander ſo nahe kommen als man will, oder 4— man kann allezeit 8 T ſo klein annehmen, daß die 1,1 Zeit durch 8 T von der Zeit die v, und von der die a u gaͤbe, ſo wenig als man will unterſchieden iſt. frn.
Die bisherigen Lehren, von unveraͤnderlichen fin und veraͤnderlichen Geſchwindigkeiten und ihrem nun Verhalten zum Raume hat Colin Mac Laurin, Trea- s20 tiſe on Fluxions B. I. ch. I. ſehr weitlaͤuftig aus einan⸗ alſo der geſetzt, und aus der euklidiſchen Erklaͤrung der ngg, Praportion bewieſen. 17. Zuſ.
———————J—————————————————

leich⸗ uͤndet Sdes Die in T v. ſo wenn ſchrie⸗ enn ſie rieben hwin⸗ den v S und , oder aß die der die iſt. erlichen ihrem „ Tres- seinan⸗ ung der
z. zuſ.
(e)£2 9
15. Zuſ. Wenn alſo u= vdv; ST= ds; die Zeit durch 8 T,= dt ſo iſt ds= vdt(13) oder ds verhaͤlt ſich wie vdt, welches man auch durch ds= evdt auszudruͤcken pflegt, wo e eine Zahl bedeu⸗ tet die fuͤr jedes andere s, v, t, einerley bleibt(1 3).
16. Zuſ. Dieſes gilt der Weg RST mag ge⸗ rade oder krumm ſeyn, weil die Schluͤſſe ſich nicht auf das Gerade gruͤnden.
17. Aufg. Die Geſchwindigkeit in jeder Stelle iſt als eine Function des zuruͤckgelegten Raumes gegeben. Man ſucht die Zeit die jedem Raume zugehoͤrt.
d Aufl. Alſo ſind in—== dt die veraͤnderlichen Groͤſſen von einander geſondert(An. des Un. 405) und t= 1 ds
V 18. Ex. Die Geſchwindigkeit verhalte ſich wie eine Potenz des zuruͤckgelegten Raumes; oder es
ſey v=sn ſo iſt dt=sS'nds; und t= Conſt † 1=n . Nuun ſoll die Zeit von dem Augenblicke
8
1=-n an gerechnet werden, da die Bewegung ſich an⸗ fing, d. i. da ein Raum beſchrieben zu werden an⸗ fing. Alſo verſchwindens und t, zugleich, wenn
nun 1n bejaht iſt, ſo verſchwindet sISn fuͤr s= o, und iſt da Conſt=o. Das ereignet ſich alſo wenn n verneint iſt, was es auch da ſeyn mag, oder wenn es bejaht aber kleiner als 1 iſt. In
A 5 dem

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10 Je(0.)
dem erſten Falle verhaͤlt ſich die Geſchwindigkeit verkehrt, wie eine gewiſſe Potenz von bejahten Exponenten des Raumes, z. E. wenn n=— 2 ſo iſtv== oder die Geſchwindigkeit verhaͤlt ſich ver⸗ kehrt wie das Quadrat des zuruͤckgelegten Raumes, und nimmt alſo ſo ab, wie dieſes Quadrat zu⸗ nimmt, daß ſie nach Zuruͤcklegung des dreyfachen Raumes, neunmahl kleiner iſt, als nach Zurückle⸗
. 3. gung des einfachen; da waͤre denn t= oder die
Zeit verhielte ſich wie der Wuͤrfel des Raumes, und zum dreyfachen Raume gehoͤrte 27mahl ſo viel Zeit als zum einfachen. Iſt n ein bejahter eigentlicher Bruch, ſo waͤchſt die Geſchwindigkeit zugleich mit dem Raume, aber laͤngſamer als er, ſo daß ſie fuͤr den doppelten Raum noch nicht doppelt iſt.
Iſt aberen bejaht und S 1 ſo wird 1⸗n ver⸗ neint, unds auf eine Potenz dieſes Exponenten er⸗ hoben, unendlich fuͤr s= o alſo muͤſſe Conſt unend⸗
1— n lich ſeyn, und t=+— zeigt an, daß ei⸗
ne unendliche Zeit verflieſſen muͤßte bis der Raum s zuruͤckgelegt wuͤrde; d. i. daß er nie zuruͤckgelegt werden kann. Eine ſolche Bewegung alſo iſt nicht moͤglich, wo die Geſchwindigkeit gleich vom An— fange der Bewegung mit dem Raume zugleich, und ſchneller als er wuͤchſe.
d Eben das gilt fuͤr n= 1; wo d t=— und t=
Conſt+ 1s; denn fuͤr= o iſt auch 1I8=—. 19. Anm.
19. len, findet nie, jene kehrt gehenſ gegebe dieſe⸗ An.d. b 8 ſid dit nüng 1
10, 1 ſe wict derheſct roneh wiſ

ndigkeit eejahten —— 2 o
ſich ver⸗ aumes, rat zu⸗ hfachen truͤckle⸗
der die
s, und el Zeit tlicher ch mit ſie fuͤr
en ver⸗ ken er⸗ unend⸗
daß ei⸗
Raum kgelegt ſt nicht im An⸗ ich, und
and t=
00. . Anm.
T(o) ᷑ 11
19. Anm. Man kann ſich eine krumme Linie vorſtel⸗ len, deren Abſeiſſe=s; ihre Ordinate=v hieſſe. So findet man hier die Ordinate t, einer andern krummen Li⸗ nie, fuͤr eben die Abſciſſes; dieſe Linien heißt man ſcalas, jene velocitatum, dieſe temporum, und die Aufgabe lehrt alſo eine aus der andern finden, d. i. wenn jene ge⸗ geben iſt, jede Ordinate der andern finden, die zu einer gegebenen Abſciſſe der erſten gehoͤrt. Fuͤr n=- 2 ware die ſcala velocitatum eine Hyperbel vom dritten Grade, wie An. d. Un. 115 und die ſcala temporum eine cubiſche Para⸗ bel. In aͤltern Schriften z. E. Hermanns Phoronomie, ſind dieſe Linien ſehr gebraucht, deren wirkliche Verzeich⸗ nung meiſtens entbehrlich iſt.
20. Anm. Bisher habe ich Bewegungen betrachtet, oh⸗ ne mich um die Kraͤfte zu bekuͤmmern, durch welche ſie verurſacht werden. Dieſe Betrachtung kann man zur Pho⸗ ronomie rechnen, ſo wie in der Dynamit die Kraͤfte ſelbſt mit in Erwaͤgung gezogen werden.
II. Cap. von der Traͤgheit.
21. Erf. Wenn wir einen Koͤrper der ſtill zu liegen ſcheinet nur auf einer wagrechten Ebene fort⸗ ſchieben wollen, ſo fuͤhlen wir daß Gewalt dazu noͤthig iſt, und ſagen in dieſem Verſtande er wie⸗ derſtehe uns. Dieſer Wiederſtand ruͤhrt nicht von der Schwere her, die uns nur hinderlich ſeyn kann wenn wir ihn heben(Stat. 3). Eben ſo brauchen wir Gewalt einen Koͤrper der ſich bewegt, aus ſeiner Richtung zu bringen, ſeine Bewegung zu beſchleunigen, oder zu vermindern.
22. Zuſ.

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12(0O)£
22. Zuſ. Heißt man alſo Zuſtand eines Koͤr⸗ pers, die Ruhe wenn er ſich nicht bewegt, Rich⸗ tung und Geſchwindigkeit, wenn er ſich bewegt, ſo finden wir, daß wir ohne Anwendung einiger Gewalt, den Zuſtand eines Koͤrpers nicht aͤndern koͤnnen, und nehmen alſo dieſes fuͤr das Merkmahl an daran wir Koͤrper erkennen. Eine Erſcheinung die wir vor uns wegtreiben koͤnnten, ohne dabey zu empfinden, daß wir die geringſte Gewalt anwendeten, wuͤrden wir fuͤr nichts koͤrperliches halten. Selbſt fuͤr ein Geſpenſt wuͤrde ſie uns zu zart ſeyn, denn Geſpenſter ſollen ja manchmahl gefuͤhlet werden.
23. Zuſ. Es ſieht alſo wenigſtens ſo aus, als ob in dem Koͤrper etwas waͤre, das ſihn in dem Zu⸗ ſtande in dem er iſt zu erhalten ſtrebte und jeder Bemuͤhung ihn aus dieſen Zuſtand zu bringen hinderlich fiele, und den Zuſtand nicht eher bis es uͤberwunden iſt, aͤndern lieſſe. Dieſes kann man die Traͤgheit(inertiam, vim inertiae) nennen. Daß ſich eine ſolche Erſcheinung in den Koͤrpern ereignet, iſt ſo gewiß, ſo gewiß es iſt, daß es uns ausſieht als drehte ſich der Himmel um uns wie eine hohle Kugel. Der Nahme Traͤgheit laͤßt ſich alſo gewiß mit eben ſo viel Rechte brauchen, als die Vorſtellung der hohlen Himmelskugel. Aber wuͤrklich ſo was anzunehmen, und ſolches noch dazu Kraft zu nennen, dazu ſind wir ſo we⸗ nig berechtiget als die wirkliche Umdrehung des Himmels zu behaupten. Dieſe ſogenannte Kraft, hat vieles, das ſelbſt die fuͤr wunderbar und von
der
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der T erklaͤ uͤbt n ſieww genw his m was i teden Vo Nei
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21 pers muthe

nes Kor⸗ t, Rich— bewegt, einiget aͤndern terkmahl heinung dabey zu endeten, Selbſt 1, denn den.
us, als em Zu⸗ n jeder bringen r bis es un man nennen. doͤrpern es uns ins wie eit laͤßt rauchen, eskugel. ſolches ir ſo we⸗ ung des nte Kroft und von
der
(o)£ 13
der Vorſtellung anderer Kraͤfte ganz abweichend erklaͤren, die ihr am meiſten gewogen ſind. Sie uͤbt niemals fuͤr ſich eine Wuͤrkung aus, nur zeigt ſie wenn ſie gleichſam aufgefodert wird, eine Ge⸗ genwirkung. Ein Koͤrper der ſtill liegt thut nichts, bis man ihn bewegen will, alsdenn hindert er dieß was ihn bewegen will. So iſt dieſe Kraft, ſo zu reden nur ein Wiederhall anderer Kraͤfte.
Vocalis nymphe quae nec reticere loquemti.
Nec prior ipſa loqui didicit, reſonabilis Echo.
Metam. L. III.
Sie hat auch keine beſtimmte Groͤſſe denn ſie wiederſteht viel oder wenig, nachdem die Gewalt der ſie ſich wiederſetzet groß oder klein iſt.
24. Zuſ. Weil die Traͤgheit das Merkmahl der Materie iſt, ſo iſt alle Materie traͤge, ein Ding naͤhmlich, das ſolches nicht waͤre, erkennen wir nicht fuͤr Materie. Bey ruhender Materie, kann ſich alſo die groͤſſere Menge von der gerin— gern durch nichts als durch mehr Traͤgheit unter⸗ ſcheiden, oder die Traͤgheit verhaͤlt ſich wie die Maſſe, noch einmahl ſo viel Maſſe hat noch ein⸗ mahl ſo viel Traͤgheit, welches die Traͤgheit mit dem Gewichte der Materie gemein hat und aus ei⸗ ner aͤhnlichen Urſache, weil nehmlich auch alle Materie die wir kennen, ſchwer iſt(Stat. 9.).
25. Zuſ. Wenn wir den Zuſtand eines Koͤr⸗ pers ohne unſer Zuthun geaͤndert ſehen, ſo ver⸗ muthen wir was anders muͤſſe das gethan haben,
was

14(o) ☛ V
was wir zu dieſer Abſicht haͤtten thun muͤſſen(20) der Zuſtand eines Koͤrpers aͤndere ſich alſo nicht he von ſich ſelbſt, ſondern nur vermoͤge einer aͤuſſern aus- Urſache. Ein ſtillliegender Koͤrper, werde immer de ih liegen bleiben, ein bewegter, immer nach der ſcyſt
Richtung und mit der Geſchwindigkeit die er jetzt bat fortgehen, wenn nicht aͤuſſere Urſachen, jenen
in Bewegung ſetzen, dieſen aus ſeinem Wege brin⸗ 39 gen, oder ſeine Geſchwindigkeit aͤndern. nes 9. innerf 26. Zuſ. Alles dieſes heißt meiner Einſicht V d nach ſo viel: Aenderungen in dem Zuſtande des 8
Koͤrpers geſchehen nicht ohne Urſache: Unſere Em⸗ V pfindung lehrt uns, ſo oft wir nur wollen daß wir 4 eine ſolche Urſache die ſich auſer dem Koͤrper be⸗ udi ſindet, abgehen koͤnnen, auch daß andere auſſer dem dn Koͤrper befindliche Dinge eben ſo was thun. Ei⸗ 81 ne Quelle der Veraͤnderung in dem Koͤrper zu muthmaſſen haben wir nicht die geringſte Veran⸗ lbeine kaſſung, alſo leiten wir alle Veraͤnderungen von in den aͤuſſerlichen Urſachen her, und beurtheilen was to an dieſe Urſachen thun muͤſſen, aus dem was wir inmer thun. So iſt die Traͤgheit weiter nichts als der düſer Satz des zureichenden Grundes auf die Veraͤnde⸗ ſöhwi rungen des Zuſtandes der Koͤrper angewandt. ſogh Wer behauptet daß ſie aus dem Begriffe des Koͤr⸗ dmi pers flieſſe, der hat voͤllig Recht denn wir haben imm uns dieſen Begriff nach unſern Empfindungen ge⸗ ſ. macht, und folglich die Traͤgheit mit hinein bewe gebracht. 1 Nach meine
27. Anm.
————————

ſſen(u) lſo nicht waͤuſſern e immer nach der e er jetzt I, jenen ge brin⸗
Einſicht nde des ere Em⸗ daß wir per be⸗ ſer dem n. Ei⸗ rper zu Veran⸗ ſen von in was as wir als der eraͤnde⸗ ewandt. des Koͤr⸗ rhaben ngen ge—
binein
7. Anm.
Bx(O)£ 15
27. Anm. Ich habe hievon etwas umſtaͤndlicher bey Cadwallader Coldens Erklaͤrung der erſten wuͤrkenden Ur⸗ ſache der Materie gehandelt; die ich 1728. überſetzt her⸗ aus gegeben habe, 96 u. f. S. auch in einer Vorleſung die ich 1763. in der hieſigen Koͤnigl. Geſellſch. d. Wiſſen⸗ ſchaften gehalten.
Von den Kraͤften.
28. Erkl. Kraft heißt was den Zuſtand ei⸗ nes Koͤrpers zu aͤndern ſtrebt. Eine ſolche Kraft aͤndert den Zuſtand eines Koͤrpers entwedet gleich⸗ viel, er mag ruhen, ſich ſchnell oder langſam be⸗ wegen, oder ſie wirkt anders in einen ruhenden, anders in einen verſchiedentlich bewegten Koͤrper und aͤndert ſo nicht aller Zuſtand gleichviel; jenes heiſſt eine abſolute, dieſes eine relative, Kraft.
Wenn ich meine Hand an eine ſtillliegende Ku⸗ gel bringe, und ſolche fortzugehen noͤthige, ſo bringt meine Hand anfangs viel Veraͤnderung in der Kugel hervor; ſie erzeuget Geſchwindigkeit wo anfangs gar keine war. Beweae ich meine Hand immer mit einerley Geſchwindigkeit fort, ſo wird dieſer Geſchwindigkeit die immer wachſende Ge⸗ ſchwindigkeit der Kugel immer naͤber kommen, folglich dieſe immer weniger und weniger durch den Druck meiner Hand vergroͤſſert werden, dem ſie immer mehr und mehr ausweicht. Dieſes wird ſo weit gehen, daß die Kugel ſich zuletzt ſo ſchnell bewegt als meine Hand, und daher von derſelben Nachfolge nichts mehr empfindet. Die Art wie meine Hand hier wirkt zeigt wie relative Kraͤfte
wirken

„————oöoooöoöoooo —————————
A 31
16 2(0o)£.
wirken. Fuͤhrte ich meine Hand viel ſchneller fort als die Kugel vor ihr herlaͤuft, ſo wuͤrde ich dadurch der Kugel Gang immer beſchleunigen und deſto mehr immer ohngefaͤhr gleichviel beſchleuni⸗ gen, je groͤſſer die Geſchwindigkeit meiner Hand in Vergleichung mit der Geſchwindigkeit der Ku⸗ gel waͤre. Denn jemehr dieſe Verhaͤltniß der Geſchwindigkeiten ſtatt findet, deſto weniger weicht die Kugel der Hand aus, und deſto naͤher koͤmmt alſo der Fall dem Falle da die ruhende Kugel, von der Hand, der ſie alſo noch gar nicht auswiche, den Anfang ihrer Geſchwindigkeit erhielte. Setz⸗ te man alſo der Hand Geſchwindigkeit unendlich groß in Vergleichung mit der Geſchwindigkeit der Kugel, ſo waͤre es ſo viel als wiche die Kugel ihr gar nicht aus, und die nachſchiebende Hand, wuͤr⸗ de alſo jeden Augenblick, der Kugel Geſchwin⸗ digkeit um einen unendlich kleinen Zuwachs ver⸗ mehren, der eben ſo groß waͤre als der Anfang der Geſchwindigkeit, den ſie den erſten Augenblick, in der ganz ruheenden Kugel erreget hatte. Denn fuͤr dieſe Hand ruht die Kugel beſtaͤndig, und weicht ihr inemer nicht mehr aus, als im An⸗ fange. Das waͤre ein Bild einer abſoluten Kraft.
Die Geſetze fallender Koͤrper.
29. Erkl. Wenn ich einen Stein auf der Hand liegen habe, ſo merke ich nicht, daß es mich mehr oder weniger Muͤhe koſtet ihn zu erhalten, ich mag die Hand hoch oder niedrig halten, 85
nahe
——
nahe me,
—
der! die eine der ſch, viel c ſam
3! ſehenm dolſe End in ale und
32 falen:
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ſchneller uͤrde ic gen und chleuni⸗ r Hand der Ku— niß der rweicht koͤmmt el, von swiche, Set⸗ endlich keit der ugel ihr d, wuͤr⸗ eſchwin⸗ chs ver⸗ Anfang enblick, hatte. caͤndig, im An⸗
Kraft.
v.
eer Hand
es mich
erhalten,
ten, ihn nahe
(O) ☛ 17
nahe bey dem Erdboden oder auf einem hohen Thur⸗ me, tragen.
30. Zuſ. Die Gewalt welche verurſacht, daß der Stein fallen wuͤrde wenn ich ihn nicht hielte, die Schwere, wirkt alſo in eine gegebene Maſſe, eine gegebene Menge koͤrperlicher Theile, wie hier der Stein iſt mit einerley Staͤrke, dieſe Maſſe mag ſich befinden wo wir ſie nur hinbringen koͤnnen, viel oder wenig uͤber die Flaͤche der Erde erhoben ſeyn.
31. Zuſ. Worinnen nun auch die Schwere be⸗ ſtehen mag, ſo iſt doch das offenbahr, daß wir uns vorſtellen koͤnnen als ob ſie die Koͤrper gegen die Erde zuſtieſſe, und ſie ſtoͤſſt einen Koͤrper, er mag in allen den Stellen wo wir hinkommen koͤnnen, und in allen den Stellen mit gleicher Staͤrke.
32. Zuſ. Wenn man einen Koͤrper in A4 F. fallen laͤſſt, und er ſich nach der Linie AP bewegt, ſo faͤllt er ohne Zweifel aus A herab, weil er in A einen gewiſſen Stoß von der Schwere bekoͤmmt; Und weil die Schwere in C, P, u. ſ w. uͤberall wo er hinkoͤmmt auch ſo wuͤrkt wie in A, ſo bekoͤmmt er uͤberall neue Stoͤſſe; jeder Stoß, erfordert wie alle Wirkungen eine gewiſſe Zeit. Wenn man ſich alſo vorſtellt, er habe die erſte Geſchwindigkeit mit der er aus A zu fallen anfing durch einen Stoß in⸗ nerhalb einer gewiſſen Zeit erhalten, ſo iſt der Stoß eben ſo ſtark den er in D, oder P u. ſ. w. in eben der Zeit erhaͤlt; Von jedem Stoſſe ent⸗
Matheſis ater Theil. B ſteht

18(O)£☚ᷣ
ſteht eine gewiſſe Geſchwindigkeit. Dieſe Ge— kann ſchwindigkeit bleibt wenn keine aͤuſſerliche Urſachen fal ſie aͤndern(24), und zu ihr koͤmmt immer eine ſer neue durch den neuen Stoß; ſo wird alſo der Koͤr⸗ 1 per mit einer beſchleunigten Bewegung fallen. hat
33. Zuſ. Wenn man ein paar Koͤrper von glei⸗ n chem Gewichte, das iſt, die die Hand wenn man ki ſie haͤlt gleichſtark druͤcken, z. E. ein paar bleyerne un Kugeln von einer Groͤſſe, neben einander hielte, di daß ſie einander beruͤhrten ſonſt aber nicht zuſam⸗ brs menhiengen, und ſie beyde in einem Augenblicke V beſt fallen lieſſe, ſo wuͤrden ſie beyde in gleicher Zeit na gleich tief fallen, und in einem Augenblicke die Er— V ein de erreichen: denn es iſt nichts bey der einen das in hier einen Unterſchied von der andern verurſachen ſahn koͤnnte. Dieſe beyden Kugeln wuͤrden alſo hier ae zugleich ſo fallen, ohne daß eine der andern Be⸗ eine wegung beſchleunigte oder hinderte. Und wenn auſt man ſie nun bey ihren Beruͤhrungspuncte an ein⸗ V de ander leimte oder ſonſt verbaͤnde, daß ſie nun ein afd Ganzes ausmachten, ſo muͤſſte dieſes Ganze voͤllig in g ſo fallen wie zuvor die einzelnen Theile fielen, und den Erdboden genau in eben der Zeit erreichen. 8 Denn weil keiner von den einzelnen Theilen in des hn andern Bewegung einen Einfluß hatte, ſo wird In
auch nun da ſie zuſammenhaͤngen, jeder Theil eben in ſo fallen, wie er von dem andern abgeſondert ge⸗ b 4 1 fallen waͤre. Alſo faͤllt die doppelte Maſſe eben ſo Ag
wie die einfache. Und da man eben dieſen Schluß 4 1 von drey vier oder mehr gleichen Koͤrpern machen 9 )
kann,
—————...:—————

ſe Ge⸗ rſachen er eine er Koͤr⸗ en.
on glei⸗ in man leyerne hielte, zuſam⸗ blicke r Zeit ie Er⸗ en das eſachen ſo hier rn Be⸗ wenn an ein⸗ un ein voͤllig n, und reichen. nin des ſo wird eil eben dert ge⸗ eben ſo Schluß machen kann,
(o)£. 19
kann, die man jeden fuͤr ſich in einem Augenblicke fallen lieſſe, und die auf einerley Art fallen werden ſie moͤgen zuſammenhaͤngen oder nicht, ſo erhellt daß ein Koͤrper der viel und einer der wenig Theile hat, eine greſſe und eine kleine Maſſe, ein Cent⸗ ner und ein Quentchen, wenn ſie zugleich zu fal⸗ len anfangen, in gleichen Zeiten gleich tief fallen werden. Der Wiederſtand der Luft, der macht daß eine Feder langſam zu Boden flattert, wenn der Stein neben ihr ſchnell herabſinkt, wird hier beyſeite geſetzt; daß dieſer allein aber dergleichen Unterſchied zwiſchen dem Falle der Feder und des Steines ausmacht, iſt ſo offenbahr, daß ſich die Phyſici ſchaͤmen ſollten, dieſerwegen einen Ver⸗ ſuch mit der Luftpumpe anzaſtellen, wenn ſie ſich anders ſchaͤmen duͤrften zu ſpielen, und dieſes nicht eine Schuldigkeit waͤre die ihnen ihre kehrlinge oft auflegen. Bey den Geſetzen der Beſchleunigung des Falles hat man alſo auf die Menge der Maſſe, auf die Groͤſſe des Gewichtes nicht acht zu geben, ein Koͤrper wird wie der andere beſchleunigt.
34. 5uſ. Das Geſetz dieſer Beſchleunigung zu finden, nehme ich noch bey 31 an, die Schwere bringe als eine abſolute Kraft(27) in gleichen Zeiten gleiche Veraͤnderungen in dem bewegten und in dem ruhenden Koͤrper hervor. Faͤllt er alſo aus A wo er ruhig lag, in einer gewiſſen Zeit= T durch A und in der naͤchſt folgenden gleichen Zeit durch BC, und in der dritten eben ſo groſſen Zeit durch CD, ſo wird er in B eine gewiſſe Geſchwindigkeit
B 2 haben,

20 e(0)
haben, die waͤhrend des Falles durch AB von Nichts an, bis auf ihre Groͤſſe erwachſen iſt. So viel nun dieſe Geſchwindigkeit betraͤgt; ſo viel wird auch zu ihr waͤhrend des Falles durch BC hinzu kommen, ſo daß die Geſchwindigkeit des Koͤrpers in C noch einmahl ſo groß iſt als in B. Wenn naͤhmlich die Schwere in B in ihn zu wuͤrken auf⸗ hoͤrte, ſo koͤnnte er, mit der Geſchwindigkeit die er in B hat, in der Zeit T einen gewiſſen Raum= u mit gleichfoͤrmiger Bewegung zuruͤcklegen. In der gleichen Zeit aber, wuͤrde er mit der Geſchwin⸗ digkeit die er hat, wenn er von A bis C gefallen iſt, den Raum 2u zuruͤcklegen, wofern die Schwe⸗ re erſt in C in ihn zu wirken aufhoͤrte. Dieſes fließt aus der Vorausſetzung, daß die Schwere
wie eine abſolute Kraft wirket. Denn ſo muß ver⸗
moͤge ihrer Wirkung in dem Koͤrper eben ſo viel neue Geſchwindigkeit in der zweyten Zeit als in der erſten entſtehn, obgleich der Koͤrper in der erſten aus der Ruhe ſich zu bewegen anfieng, und in der zweyten Anfange ſchon eine Geſchwindigkeit hatte. Eben ſo, bekoͤmmt der Koͤrper waͤhrend ſeines Fal⸗ les durch CD ſo viel neue Geſchwindigkeit, als er waͤhrend des Falles durch BC bekommen hatte; al⸗ ſo hat er in D dreymahl ſo viel als in B, oder wenn die Schwere in D in ihn zu wirken aufhoͤrte, wuͤr⸗ de er mit der Geſchwindigkeit die er da hat in der Zeit T, gleichfoͤrmig den Raum zu beſchreiben, alſo verhalten ſich die Geſchwindigkeiten in b, C, D, wie die Zeiten die der Koͤrper braucht durch AB, AC, AD, zufallen, und da man die erſte Zeit
die
——˖—P.y.y,·——

Wenn n auf⸗ die er m=u In hwin⸗ fallen ſchwe⸗ ‚ieſes hwere aß ver⸗ ſo viel sin der erſten in der hatte. es Fal⸗ als er te; al⸗ er wenn e, wuͤr⸗ tin der hreiben, 8, ,D, ch A3, te Zeit
die
Ar(O) Bs 21
die fuͤr Aß noͤthig iſt, ſo groß oder ſo klein als man will annehmen kann, ſo erhellt uͤberhaupt, daß ſich hier die Geſchwindigkeit in P wie die Zeit verhaͤlt, die der Koͤrper noͤthig hat durch AP zu fallen. Faͤllt alſo der Koͤrper in einer gegebenen Zeit = T, durch die gegebene Hoͤhe AB= S, und hat in B eine gegebene Geſchwindigkeit=C; ſo ſey AP=ſ; die Zeit die er braucht bis in P zu fallen =üt; die daſige Geſchwindigkeit= c; ſo iſt c= 5 und alſo, weil ſich nur c, t, aͤndern, d=. dt, oder die Geſchwindigkeit waͤchſt, wie ſchon erin— nert worden, in gleichen Zeiten gleichviel. Dieſe Bewegung nennt man gleichfoͤrmig beſchleunigt
(Vniformiter acceleratum)(6).
35. Aufg. Die Vergleichung zwiſchen s und t zu finden. C. t dt
Aufl. ds= ecdt 45)= 33) alſo
8= er weil s= o fuͤr t= o. Wenn t= T.
. e CT 2 8
iſt 8§; alſo 8= 2 oder e= ST und §. t2.
8= I. Sind alſo 8, T, aus der Erſahrung
bekannt, ſo findet ſich s fuͤr jedes angenommenet, die Raͤume s: S verhalten ſich alſo wie die Qua⸗ drate der Zeiten, oder der Geſchwindigkeiten(33).
B 3 36. Suſ.

——ÿ—ÿ—;—ꝛ——————me888— —
2
.
22 T(o) ☛
36. Zuſ. Wenn man die Zeit in lauter gleiche Theile, jeden= T eintheilt, ſo wird inm ſolchen Theilen, oder in der Zeit m T, der Raum ma S, und inm † ſolchen Theilen, oder in der Zeit (m4+ 1) T, der Raum(m+ 1) ⸗*8 beſchrieben, alſo in dem m † ten Zeittheile der Raum(m+ 1)* — m*). S=(2m+ 1)8. Es iſt aber 2zm † die m †p te ungerade Zahl, wenn die erſte iſt. Al⸗ ſo wachſen die Raͤume wie die ungeraden Zahlen Es ſind naͤhmlich= und 8= geſetzt.
Zeiten oſ123 4/ 5
Raͤume O[14 916 25
Unterſchiede 13(5 7 9
Wie groß eigentlich ſ füͤr ein gegebenes t oder umgekehrtet fuͤr ein gegekenes( iſt, findet man ſo daß man durch die Erfahrung beſtimmt, was fuͤr ein S einem gegebenen J zugehoͤrt, oder, daß man, in einem einzigen Falle ausmacht, wie tief ein Koͤrper in einer gegebenen Zeit faͤllt. Alſo nehme ich in der Folge 8; und I, als Groͤſſen an die durch die Erfahrung ſind beſtimmt worden.
Verſuche, die erſt weit unten(im II. Ab⸗ ſchnitte 43.§.) köoͤnnen, erklaͤrt werden, haben gelehrt, daß ein Koͤrper in einer Secunde durch 15625 Tauſendtheile eines Rheinlaͤndiſchen Fuſſes falle. Dieſe kaͤnge ſey=8; und T= 1 Sec. ſo iſt[= 15625. t⸗; das iſt, wenn man die Zeit des Falles in Secunden ausgedruͤcket hat, darf man nur dieſer Zahl von Secunden ihr Quadrat mit
15625
———— ———O———————————
cund
=S
Sean
39 dite Ech falle
den
1
was
635) al

oder man timmt, oder, , wie Alſo en an hen.
. Ab⸗ haben durch Fuſſes Sec. ſ eit des rf man rat mit 11625
T(O)£ 23
17625 multipliciren, ſo hat man die Hoͤhe des Fal⸗ les in Tauſendtheilchen eines rheinl. Fuſſes.
In 10 Secunden fiele ein Koͤrper durch 1762500 ſolcher Tauſendtheilchen oder durch 1562, 5 Fuß.
37. Aufg. Aus der Hoͤhe des Falles die Zeit
zu finden. . 7— 1 Aufl. t⸗= S alſo te„. I
38. Zuſ. Haben 8, I, die Werthe(36) ſo iſt ſ t EF und daher iſt die Zahl fuͤr S als eine
Quadratzahl vorzuͤglich beqguem, und wenn man die Hoͤhe des Falles in Tauſendtheilchen eines rhein⸗ laͤndiſchen Fuſſes ausdruͤckt, ſo gibt die Quadrat⸗ wurzel daraus mit 125 dividirt, die Zeit in Se⸗ cunden. Statt der Diviſion mit 125; kann man mit ☛☚, das iſt mit 0,008 multiplieiren.
Fuͤr[= 1000 000 iſtt=,= 1000. 0, 008 = 8 oder durch 1000 Fuß faͤllt ein Koͤrper in 8 Secunden.
39. Aufg. Wenn der Koͤrper mit der Geſchwin⸗ digkeit die er in Phat, ohne fernere Wirkung der Schwere, ſich noch eben ſo lange als er herabge⸗ fallen iſt, gleichfoͤrmig bewegte, den Weg x zu fin⸗ den den er in dieſer Zeit=t zuruͤcke legen wuͤrde.
Aufl. Es iſt x=ect(13) wo e eben das was in(35) iſt, weil die Bewegungen durch dſ (35) und durch x, beyde gleichfoͤrmig ſind, und alſo dſ:x= cdt: ct(11) welches nicht waͤre, wenn
4 e in

24(0O)&
e in(35) und hier nicht einerley bedeutete. Alſo 28 G. t 2St²
x= ET.(35.34)= e (35). Oder, mit der Geſchwindigkeit die der Koͤr⸗ per in P hat, und vermittelſt des Falles durch AP erhalten hat, kann er in der Zeit die er gebraucht hat durch Ap zufallen, noch einmahl ſo weit ge⸗ hen, als die Hoͤhe ſeines Falles betraͤgt.
So erhaͤlt er in einer Secunde durch den Fall eine Geſchwindigkeit mit der er in einer Secunde 31, 25 rheinl. F. durchlaufen kann.
49. Aufg. Zu finden, wie hoch ein Koͤrper her⸗ abgefallen ſeyn muͤſſte um dadurch eine gegebene Geſchwindigkeit zu erhalten.
Aufl. Geſetzt er ſoll die Geſchwindigkeit haben, vermittelſt welcher er den Raum a in der Zeit b durchlaufen koͤnnte. Man ſucht die Hoͤhe ſ, durch die er fallen muß dieſe Geſchwindigkeit zu erlangen. Weil er durch den Fall von der bekannten Hoͤhe Fin der bekannten Zeit T(36) eine Geſchwindigkeit Cerhaͤlt, mit der er in dieſer bekannten Zeit den Raum 2.§ durchlaͤuft(39) ſo verhalten ſich die Geſchwindigkeiten C und die gegebene, wie
2
1 5(10). Da ſich nun ihre Quadrate, wie die Raͤume verhalten, durch die ein Koͤrper fallen
4 1 4 92 a2 muß, jede von ihnen zu erhalten(35), ſo iſt rr:5z T⁊ a2 =8:1 r 1=—.— S:f oder ſ
42.

er Koͤr⸗ rch Ab raucht
eit ge⸗
n Fall ecunde
er her⸗ gebene
haben, Zeit b durch angen. hes in digkeit it den in ſich
, wie ate, wie e fallen
2 32
4²
* o)£. 25
41. Zuſ. Der Koͤrper erlangt dieſe Geſchwin⸗ a4 T 1 a I2² 2 b-S 258 42². Ex. Ein Koͤrper ſoll in 3 Minuten durch 7000 Fuß gehen. Will man alſo die Zahlen(36) gebrauchen, ſo iſt b= 3. 60 Sec. u. a= 7000 000 49 000 000 000 000 Tauſendth. alſo 1=,eee. 1Ee
Durch Logarithmen kann man dieſes ſo berechnen
log 36= 1,5563025
log 3600= 3, 5563025
log 15625= 4, 193 8200
digkeit in der Zeit(37) t=
9,3064250 12 T+log 49= 13,690 1961 4, 3 837711
giebt= 24197 , 7 600 000. 1
Die Zeit i
3 ſt 2. 3z. 60. 15625 alſo log 360= 2,5563025 log 18625= 4, 1938200
Secunden.
6, 7501225 6+ log 7= 6, 8450980 0, 1449765 giebt t= 1, 3963 Alſo erhielte der Koͤrper dieſe Geſchwindigkeit, wenn er 24, 197 Fuß tief fiele, welches in 1, 3963 Se⸗ eunden geſchaͤhe.
B 5 43. 3uſ.

—õõõ——„. ———————.—
26(O)££ 43.Zuſ. Jede Geſchwindigkeit, die ein Koͤrper V wite
auch auf andere Art erhalten hat, koͤnnte von dem anfh Falle von einer gewiſſen Hoͤhe herab herruͤhren. der Dieſer, einer gegebenen Geſchwindigkeit e, zu⸗ V Kſt gehoͤrige Hoͤhe(altitudo velocitati debita) heiſ⸗ glei ſev; wenn nun S einer andern Geſchwindigkeit C zugehoͤrt, ſo iſt † 8: v= C:c(37). Wenn ¹ man alſo jede Geſchwindigkeit durch die ihr zugehoͤ⸗ tunge rige Hoͤhe ausdruͤckt, ſo kann man allemahl Py ſtatt c Sen ſchreiben, weil ſtatt jeder andern Geſchwindigkeit bbene eben ſo die Quadratwurzel aus ihrer Hoͤhe koͤmmt. V din 2 glei⸗ So wird in z5; dſ= ecdt= e.. dt nun d 2 8„ v 278. v. d don2 dt.= 55 Alſo in den ſn Zahlen(36) c=: S8= 250 und d.1= f 250 v. dt. Jeg Und weil e fuͤr alle gleichfoͤrmige Bewegungen b 3 einerley iſt(13), ſo gehoͤre eine gewiſſe Geſchwin⸗ b 34 digkeit der Hoͤhe k in Tauſendtheilchtn des rheinl. ul; Fuſſes ausgedruͤckt zu, und heſey die Zeit in Se— wani cunden, ſo wird der Weg den der Koͤrper mit die⸗ M ſer Geſchwindigkeit in dieſer Zeit zuruͤcklegt, 250. du. h.. k Tauſendtheilchen des rheinl. Fuſſes ſeyn. u 44. Anm. Dieſe Geſetze fallender Koͤrper hat Galilaͤus 3 zuerſt gewieſeu Diſcorſi e dimoſtrazione matematiche in- nih. torno à due nuove ſcienze attenenti alla Mecanica& i S. Movimenti locali Leid. 16 38. Sie finden ſich daſelbſt im zeug. dritten Geſpraͤche(giornata). inO 45. Aufg. Ein Koͤrper wird von K 5Fig. ge⸗— rade in die Hoͤhe geworfen. Die Geſezwinzigfen dt, mi

Koͤrpet on dem uͤhren. —, zu⸗ ) heiſ⸗ digkeit Wenn gehoͤ⸗ ſtattc ikeit mt.
nun
den 41
ingen win⸗ heinl. Se⸗ t die⸗ 250. n. lilaͤus
ne in- a Ki bſt im
g. gei digkeit mit
RX(oO) ExX 27
mit der man ihn wirft, und mit der er alſo zu ſteigen
anfaͤngt, iſt ſo groß, als ſie durch einen Fall von der Hoͤhe k, waͤre erlangt worden. In der Zeit t ſteigt er durch Cõã=X Man ſucht die Ver⸗ gleichung zwiſchen x und t.
Aufl. Die Schwere wirkt hier des Koͤrpers Rich⸗ tung entgegen, wie ſie zuvor ihr gemaͤß wirkte. Sie vermindert alſo des Koͤrpers Geſchwindigkeit eben ſo wie ſie ſolche vorhin vermehrte, in gleichen Zeiten gleichviel, und der Koͤrper ſteigt mit einer gleichfoͤrmigen verminderten Bewegung(mo⸗ tu vniformiter retardato). Wenn KL=k und er von K bis nach L geſtiegen iſt, ſo wird da die Ge⸗ ſchwindigkeit mit der er anfieng voöoͤllich vernich⸗ tet ſeyn. Denn wenn er von J. nach K hernnter gegangen waͤre, ſo haͤtten die Stoͤſſe der Schwere dieſe Geſchwindigkeit in ihm erzeugt. So viel ſie ſolchergeſtalt in ihm erzeugt haͤtten, ſo viel muͤſſen eben die Stoͤſſe ihm wegnehmen, wenn er ihnen entgegen von K nach L ſteigt. Eben ſo muß er in Q die Geſchwindigkeit haben, die er durch einen Fall von L bis Q bekaͤme. Denn ſeine Geſchwin⸗ digkeit in Qmuß ſo groß ſeyn, daß ſie durch alle die Stoͤſſe, die er in dem Wege Qbekoͤmmt, ver⸗ nichtet wird, das iſt ſo groß als ſie durch alle die Stoͤſſe die er in dem Wege L Q bekaͤme koͤnnte er⸗ zeugt werden. Alſo gehort ſeine Geſchwindigkeit in O; der Hoͤhe k-Xx zu. Das Element Qq= dx, durchlaͤuft er in der Zeit dt, ſo daß hier dx; dt, k-Xx ſind, was in(43) dſ; dt, v, Vnan
alſo

28&(oO)£‿+½
8 S8* alſo da= 1=.(k-x) dt oder Ii=. dt= d x Sdy 2 7(K- x)— vy wenn k-Xͤ= V;, Alſo †
t= Conſt- 2 yν= Conſt- 2(k-X); Nun iſt fuͤrt= o; X= o; Alſo o= Conſt- 2 k und 278 T —.t=.(Mk-=P[k-X]I) oder t= SS k-=TTk-X]). In den Zahlen(36) t= o, 008.(k-=P[k-X])(38).
So wird die Zeit aus der Hoͤhe gefunden. Um⸗ gekehrt iſt 125t= k-(K-X) oder k-X=k- 250 tP kK+ 1252. ttalſo X= 2z50t kK- 1252. t* aus der Zeit, den zuruͤckgelegten Raum zu finden.
46. Zuſ. In eben der Zeit haͤtte der Koͤrper mit der anfaͤnglichen Geſchwindigkeit den Raum 250. t7— k zuruͤckgelegt(43), welcher um 125. 125. tt groͤſſer waͤre als der wuͤrklich zuruͤckgelegte Raum X. Der nur angefuͤhrte Unterſchied iſt alſo im Aufſteigen verlohren gegangen. Dieſer ver⸗ lohrne Raum koͤmmt lediglich auf die Zeit an, und iſt fuͤr alle k einerley, d. i. zweene Koͤrper die mit verſchiedenen Geſchwindigkeiten zu ſteigen anfan⸗ gen, verlieren in gleicher Zeit, gleichviel Raum. der Verluſt der Geſchwindigkeit iſt+ k-(k- X) und alſo auch fuͤr einerley Zeit einerley= 125t, wenn gleich k verſchieden iſt. Dieß iſt den Be⸗ griffen der gleichfoͤrmig veraͤnderten Bewegung ge: maͤß

5
—,. dt=
28 T
Nun iſt
k und 1
8
BT(oO)£☚ 29
maͤß, wo die Verminderung ſich nach der Zeit, nicht nach dem richtet was anfangs da war.
47. Zuſ. Fuͤr X= k iſt die Zeit des Aufſteigens durch die ganze Hoͤhe Kkl;= 0, oos.. k ſo groß als die Zeit in welcher der Koͤrper eben ſo hoch durch LK herabgefallen waͤre(38), wie man leicht vor⸗ ausſehen konnte. Und heißſt dieſe Zeit= b ſo iſt kK= I125. 127. bb= 1762 5 5 b.
So hoch muͤſſte ein Koͤrper geſtiegen ſeyn, wenn von dem Augenblicke an da man ihn ſenkrecht in die Hoͤhe warf, bis an den Augenblick da er wie⸗ der an ſeine erſte Stelle zuruͤckfiele, die Zeit 2 b verfloſſen waͤre.
Fuͤr einen Koͤrper der auf dieſe Art eine Minute lang unterwegens waͤre, waͤre b= 30 Sec. und er waͤre alſo in 30 Sec. der Minute erſter Haͤlfte auf 1F5625. 900 Tauſendtheilchen des rheinl. F. = 14062, 5 Fuß geſtiegen. Dieſe Hoͤhe gehoͤrte der Geſchwindigkeit zu mit der man ihn aufwaͤrts warf. Die zweyte Haͤlfte der Minute uͤber erlangte er eben die Geſchwindigkeit durch den Fall wieder. Dieſe Geſchwindigkeit iſt(39) ſo groß, daß er da⸗ mit in 30 Secunden 281275, oder in einer Secun⸗ de 937,5 Fuß durchlaufen wuͤrde. Eine ſolche Geſchwindigkeit lieſſe ſich z. E. durch Pulver gar leicht hervorbringen, wenn nach Eulers Rechnung (Erlaͤuterte Artillerie 128 S.) bey einem gewiſſen Verſuche die Geſchwindigkeit einer geſchoſſenen Kugel 1625 F. in einer Secunde betrug. In der Natur aber, aͤndert der Widerſtand der Luft alles
. was

30(0O)£△ε
was von den Geſetzen fallender Koͤrper iſt geſagt worden, mehr oder weniger, nachdem er mehr oder weniger betraͤchtlich iſt.
III. Cap.
Allgemeine Geſetze der Wirkungen der Kraͤfte
Bewegende und beſchleunigende Kraft.
48. Grundſ. Wenn in die Maſſe b die ganze Kraft q wirkt, ſo wirkt in einen Theil der Maſſe n b, der Theil der Kraft 5q.
Wenn ich meine Hand mit einer gewiſſen Ge⸗ walt anſtrenge, eine Laſt zu erhalten oder zu heben, ſo koͤmmt offenbahr auf die halbe Laſt, die Haͤlfte dieſer Gewalt, der dritte Theil auf den dritten Theil u. ſ.w. D. i. alles wuͤrde vollkommen ſo wie jezt erfolgen, wenn ich den zehnten Theil meiner Gewalt anwendete, und nur den zehnten Theil der Laſt vor mir haͤtte. Man kann ſich hier meine Gewalt aus ſo viel Theilen zuſammengeſetzt vor⸗ ſtellen, ſo viel Theile die Laſt hat, jeder Theil der Gewalt bringt in ſeinem Theile der Laſt das her⸗ vor, was der andere in dem ſeinigen hervorbringt, daher geht in jedem dieſer zehn Theile der Laſt, alles ſo vor, wie es vorgehen wuͤrde, wenn ſie nicht zuſammen hingen, und jeder einzeln die Wirkung des zehnten Theiles der Gewalt empfaͤnde.
49. Erkl. Die ganze Gewalt die in eine Maſſe wirkt, heiſſt die bewegende Kraft(vis motrix)
die
eeläͤn. Bew ſee ein

ſt geſagr er mehr
en der
raft. ganze Maſſe
en Ge⸗ heben, Haͤlfte dritten ſo wie neiner eil der meine t vor⸗ eil der s her⸗ vringt, , alles nicht irkung
Maſe otrix) die
(0) 31
die welche in jeden Theil wirkt, die beſchleuni⸗ gende(acceleratrix).
Zwey Pfund ſind noch einmahl ſo ſchwer als ein Pfund, alſo haben ſie noch einmahl ſo viel bewe⸗ gende Kraft. Aber jeder Theil der zwey Pfund iſt ſo ſchwer als ein gleich groſſer Theil des einen Pfundes, alſo iſt die beſchleunigende Kraft in bey⸗ den einerley. Man ſtellt ſich naͤhmlich die Wir⸗ kung der Schwere in eine ſchwere Materie die aus lauter gleichen Theilen beſtuͤnde, ſo vor, daß ſie jeden Theil gleich ſtark ſtoͤſſt; Eine Maſſe alſo die aus mehr Theilen beſteht, bekoͤmmt nach dieſer Ver⸗ haͤltniß mehr Stoͤſſe, aber jeder Theil von ihr wird auf einerley Art geſtoſſen, er mag mit den uͤbrigen verbunden, oder einzeln und ohne Zuſammenhang mit ihnen ſeyn. Daher ſinken viel Theile die zu⸗ ſammenhaͤngen, eben ſo wie wenig Theile(33). Und dieſes wird die Urſache der Benennungen erlaͤutern. Zwey Pfund die ſinken, haben mehr Bewegung, als ein Pfund, eben deßwegen weil ſie einerley Geſchwindigkeit haben, und bey einer⸗ ley Geſchwindigkeit offenbahr da mehr Bewegung iſt, wo mehr Maſſe iſt. Alſo iſt das was beyde Gewichte beſchleunigt einerley, und eben deßwe⸗ gen hat die groͤſſere Maſſe mehr bewegende Kraft.
Man ſetze ein Pfund, auf eine Flaͤche, wie ei⸗ ne Tafel, von einem Quadratfuſſe, die aber fuͤr ſich kein Gewicht hat: Auf eben eine ſolche Flaͤche von 2 Quadratf. ſetze man zwey Pfund. Die letzte Tafel wird dadurch noch einmahl ſo ſchwer werden
als

32(0) ☛£☚£
als die erſte. Aber jeder Theil der letzten, wird die nur eben ſo ſtark beſchwert als ein gleicher Theil koͤm der erſten. Denn die zidey Pfund theilen ihre(die Laſt in noch einmahl ſo viel Theile ein als das eine. Doe Die bewegende Kraft der letzten Tafel wird alſo einen noch einmahl ſo groß, ihre beſchleunigende Kraft ſen, aber eben ſo groß ſeyn, als die aͤhnlichen Kraͤfte Thei der erſten ſind. ſaark! 50. Zuſ Wenn der beyden Maſſen a, b, bewe⸗ Eo gende Kraͤfte p, q, ſind, ſo deihaitn ſich ihre be⸗ 3 1 en ſchleunigenden Kraͤfte wie:*. Denn es ſey V Vl a=me; b=ne ſo verhalten ſich die beſchleunigen⸗ V d” den Kraͤfte, wie die Theile der bewegenden, die de dit auf gleiche Stuͤcken e beyder Maſſen kommen, das ſn nochn iſt wie 2 welches vorige Verhaͤltniß giebt. niche Wenn 3 Pf. auf einer Tafel von 5 Quadrat⸗ teni fuß, und 7 Pf. auf einer von 19 F. laͤgen; ſo kaͤ⸗ b=ts me auf einen Quadratfuß, der erſten 3 Pf. und der b ön zweyten 5, ſo wuͤrden ſich alſo die beſchleunigen⸗ dugenſ den Kraͤfte verhalten. Stw 51. Zuſ. Umgekehrt wenn f g; die beſchleuni⸗ ſud genden Kraͤfte in den Maſſen a, b, ſind, ſo iſt die d Verhaͤltniß der bewegenden fa:gb. 4 Wie ſtark ein Stein meine Hand druckt lehrt e6. mich die Empfindung; dieſer Druck, iſt ohne Zwei⸗ d fel die Summe von allen einzelnen Drucken der V en Theile des Steines, da jeder dieſer Theile mit ei⸗ V 34 ner gewiſſen Staͤrke die fuͤr alle einerley iſt, durch V
die

ſ wird Thel n ihte eine. d alſo Kraft Kaaͤfte
bewe⸗ re be⸗
es ſey ügen⸗ „ die n, das
iibt.
adrat⸗ ſo kaͤ⸗ ad der aigen⸗
leuni⸗ iſt die
t lehrt Zwei⸗ jen der mit ei⸗ durch
die
x(o)£‿ 33
die Schwere geſtoſſen wird. Der ganze Druck koͤmmt alſo heraus, wenn man einen ſolchen Stoß (die beſchleunigende Kraft) durch die Menge der Theile(die Maſſe) multiplicirt. Es waͤre ja bey einer andern Einrichtung der Natur moͤglich gewe— ſen, daß eben der Stein, ohne mehr oder weniger Theile zu bekommen, meine Hand noch einmahl ſo ſtark gedruckt haͤtte. In dem Falle wuͤrde der Stoß der Schwere auf jeden Theil des Steins, noch einmahl ſo ſtark geweſen ſeyn, als er jetzt auf eben dem Theil iſt. Geſetzt nun ich legte in einer Welt, wo dieſe doppelt ſo ſtarke Schwere ſtatt faͤn⸗ de, nicht eben den Stein, ſondern einen andern der dreymahl ſoviel Theile haͤtte auf meine Hand, ſo wuͤrde jeder Theil dieſes dreyfachen Steines mich noch einmahl ſo ſtark, und der ganze Stein wuͤrde mich 3. 2= 6 mahl ſo ſtark druͤcken als der einfa⸗ che mich in der jetzigen Welt druͤcket. Hier waͤre f=I; g= 2, a= 1; b=z und fa: gb= 1:6.
Bey einem ſchweren Koͤrper, iſt alſo die beſchleu⸗ nigende Kraft, die Staͤrke des Stoſſes den die Schwere auf jedem Theil ausuͤbt, die bewegende, ſein Gewicht, naͤhmlich die Staͤrke des Stoſſes ſo vielmahl genommen, ſo viel Theile der Koͤrper hat. Daher iſt es gut dieſe beyden Woͤrter, jedes in ſei⸗ ner eigenen Bedeutung zu gebrauchen, und durch Schwere die beſchleunigende Kraft, nicht aber das Gewicht anzuzeigen.„Die Schwere eines „Centners iſt 100 Pf., iſt ein gewoͤhnlicher Aus⸗ druck, ſtatt deſſen ich aber lieber ſagen wollte? „das Gewicht eines Centners ꝛc.„
Matheſis ater Theil. C Etwas

34(o)£.
Etwas wie eine ſolche Schwere die von der un⸗ Kraſ ſrigen unterſchieden waͤre, kann man ſich ſo vorſtel— g. len: Ueber die Rolle D, 6 Fig. gehe das Seil 1 CDA, da bey Aein groͤſſer Gewicht als bey C haͤnge; folglich wird A ſinken wollen; Es zu un⸗ heu⸗ terſtuͤzen, waͤre nur eine Kraft A— C noͤthig. 4 Man hat alſo hier eine Maſſe A, die die Hand, beue von der ſie unterſtuͤtzt wird, nicht ſo ſtark druͤckt, ſclen als ſonſt eine Maſſe von ehen der Groͤſſe thun wuͤr⸗ de. Die Verbindung zwiſchen A und C, macht ſfti daß es eben ſo viel iſt, als waͤre die Rolle nicht da, ſ,ii ſondern es befaͤnden ſich beyde Maſſen A und C Ei zuſammen uͤber der Hand, es druckte aber Amit der S ſeinem Gewichte niederwaͤrts, C mit den ſeinigen ſtiefeh aufwaͤrts, ſo wuͤrde von der Hand zwar die Maſſe Geuie A+C, aber nur ein Gewicht das ſo groß waͤre als der Unterſchied beyder Gewichte, getragen wer⸗ dmuln den. Man ſtelle ſich die Maſſen in Theile von nitgis einerley Groͤſſe in beyden getheilt vor; die Staͤrke beueg des Stoſſes den die Kraft der Schwere jedem ſolchen Theile giebt heiſſe g; ſo iſt der Maſſe A duogedes Gewicht g. A niederwaͤrts, und eben ſo der Maſſe Innſt C Gewicht, wenn ſie an dem Seile haͤngt nieder⸗ waͤrts= g. C. Wenn ſie ſich aber auf der Hand ſtlearz⸗ unter der Maſſe A befindet, ſo iſt dieſes Gewicht beb aufwaͤrts gerichtet und das vereinigte Gewicht der ddi Maſſen A und C wie ſie ſo auf der Hand liegen 5* niederwaͤrts= g. A-g. C; wo man das aufwaͤrts un
gerichtete als verneint anſehen kann. Alſo hat uͤber tbal der Hand eine Maſſe A+C die bewegende räi Kraft callinig

der une vorſtel⸗ Seil bey( zu un⸗ oͤthig. Hand, ruͤckt, wuͤr⸗ macht ht da, nd C Amit nigen Maſſe waͤre m wer⸗ e von Jeaͤrke jedem aſſe A Maſſe jeder⸗ Hand ewicht ht der liegen fwaͤrts at uͤber egende
Kraſt
E(oOo) ☛ 35
Kraft g.(A-C) und folglich die beſchleunigende g(A-C)
A+ C
Es ſey g. A= 10 Pfund, g. C= 1 Pf. ſo iſt die bewegende Kraft 9 Pf. und weil die Maſſe welche bewegt iſt, A+ C= 11C iſt, ſo koͤmmt die be⸗
. g.(100-C ſchleunigende Kraft=— vr g; oder es iſt ſo viel, als wuͤrkte in jeden Theil dieſer Maſ⸗ ſe, eine Schwere die„ der unſrigen waͤre.
Ein anderes Beyſpiel einer ſolchen Veraͤnderung der Schwere gibt die Statik. AB G F.“* ſey eine ſchiefe Flaͤche, Cß horizontal, AB ſenkrecht. Das Gewicht P auf ihr nach einer Richtung die mit AC
P. A B parallel geht zu erhalten, iſt eine Kraft A6 noͤthig(Statik 9K.). Wenn alſo der Maſſe P bewegende Kraft nach der Verticallinie, durch P
P. A B ausgedruckt wird, ſo iſt X ihre bewegende
Kraft nach der Linie AC; und folglich ihre be—
AB ſchleunigende Kraft nach dieſer Linie= o wenn die beſchleunigende Kraft nach der Verticallinie= 1 geſetzt wird. Waͤre C= 30 Gr. alſo AB= X A C; ſo wollte b laͤngſt AC ſo hinabgehen, als wuͤrde es von einer Kraft getrieben, die unſerer Schwere aͤhnlich, nur halb ſo groß, und ſtatt der Verti⸗ callinie, nach AC gerichtet waͤre.
C 2 Be⸗

36(O)£☚£
Betrachtungen, uͤber die Veraͤnderung der Geſchwindigkeit, welche beſchleu⸗ nigende Kraͤfte bey wirklichen Be⸗ wegungen verurſachen.
51. Lehrſ. Jede Kraft ſtrebt Bewegungen her⸗ vorzubringen.
Bew. Der Zuſtand eines Koͤrpers, iſt Ruhe oder Bewegung. In jenem Falle aͤndert er ſich nur ſo daß die Ruhe ſich in Bewegung verwandelt, in dieſem nur ſo daß die Bewegung vermehrt oder vermindert wird. Was Ruhe in Bewegung zu verwandeln oder die Bewegung zu vermehren ſtrebt, das ſtrebt ohne Zweifel Bewegungen hervorzubrin⸗ gen. Und eben ſo, was Bewegungen durch ent⸗ gegengeſetzte vermindert wie etwa die Schwere die Bewegung des Aufſteigens(45). So weit alſo ſtrebt vermoͤge(27) jede Kraft, Bewegungen hervorzubringen. Nur zwo Ausnahmen ſcheinen hievon zu machen. Die Traͤgheit mindert Bewe⸗ gungen. Eine Kugel die ich an eine andere ru⸗ hende anſchiebe, verliert dadurch etwas von ihrer Geſchwindigkeit, und man ſagt der Wiederſtand der ruhenden Kugel, ihre Traͤgheit, habe ihr ſolches benommen. Hieruͤber habe ich mich ſchon 22 u. f. erklaͤrt. In den Faͤllen da man ſagen kann die Traͤgheit uͤbe Gegenwuͤrkungen aus, kann man auch ſagen ſie ſtelle die Erſcheinung einer Kraft dar, ſie vermindert Bewegungen eben ſo, wie entgegen, geſetzte Bewegungen ſolches thun wuͤrden. Aber
ſtrebs
ſtre Schl das witke ten w ſo lan kung heit! es bed Viln beſond
übeiger
Eine andern dbern eines eines falen V Terſa u Kra doos le Pll . entue einem

derung ſchleu⸗ Be⸗
gen her⸗
ſt Ruhe t er ſich wandelt, hrt oder
gung zu
en ſtrebt, rzubrin⸗ arch eut⸗ Schwere So weit gungen ſcheinen t Bewe⸗ dere ru⸗ oon ihrer ſtand der ſolches n 22 1. kann di kann man Kraſt der entgegen, n. Aber
ſtrebt
(Oo)£2 37
ſtrebt ſie wohl Bewegungen zu vermindern? Schwerlich kann man ein Wort von ihr gebrauchen, das eine beſtaͤndige Thaͤtigkeit, eine Bemuͤhung zu wirken, die allenfalls nur durch Hinderniſſe aufgehal⸗ ten wuͤrde, anzeigt, da ſie ganz unthaͤtig ſcheint, ſo lange ſie nicht Gelegenheit hat ſich einer Wir— kung entgegen zu ſetzen. Eben das, daß die Traͤg⸗ heit nie ſtrebt Bewegungen hervorzubringen, macht es bedenklich, ihr den Namen Kraft beyzulegen. Will man ſolches thun, ſo macht ſie allein eine ganz beſondere Gattung von Kraͤften aus, von der alle uͤbrigen unterſchieden ſind.
Eine andere Art von Dingen, die Bewegungen ändern, oder eigentlich gar aufheben, iſt die un— uͤberwindliche Feſtigkeit unbeweglicher Koͤrper; eines Tiſches auf den man ein Gewicht fallen laͤſſt, eines Nagels an den man was henkt, das herab⸗ fallen wuͤrde wenn man es truͤge. In eigentlichen Verſtande ſagt man auch nicht daß ſolche Dinge ei⸗ ne Kraft haͤtten, was man ihnen zuſchreibt iſt ein blos leidender Wiederſtand(reſiſtentia mere paſſiua).
52. Zuſ. Die Wirkung einer Kraft, beſteht entweder in einer wirklichen Bewegung, oder in einem bloſſen Drucke, wenn jene gehindert wird.
So macht die Schwere daß ein Koͤrper wirklich faͤllt, oder daß er die Hand druckt die ihn aufhaͤlt.
73. Zuſ. Wenn alſo ein paar beſchleunigende Kraͤfte, jede in ihren Koͤrper wuͤrkt, ſo kann man dieſe beyden Wuͤrkungen unter zweyerley Umſtaͤn⸗
C 3 den

38(O).
de mit einnnde vergleichen: 1) wenn keine Bewe⸗ dern gung, 2) wenn eine erfolgt. ſo
74. ʒuſ Im erſten Falle wird es natuͤrlich dig ſeyn, die Vergleichung durch den Druck den die* Koͤrper ausuͤben anzuſtellen. Dieſen Druck koͤnn⸗ 9 te man als die bewegende Kraft anſehen; und wenn 1 alſo die Maſſe m von der einen beſchleunigenden 1 Kraft f, die Maſſe M von der andern F getrieben 1 wuͤrde, und der Druck der erſten Maſſe ſich zum Druck der andern wie peb verhielte, ſo wuͤrde man t aus 51. ſetzen fin: FM= p: P..
55. Zuſ. Aber wenn eben dieſe beſchleunigen⸗ den den Kraͤfte ihre Maſſen wuͤrklich bewegen, ſo fragt Zir es ſich wie da ihre Wirkungen zu vergleichen waͤ⸗ vb ren? Auf die Maſſen ſelbſt, koͤmt hier nichts an, ſade weil jede beſchleunigende Kraft, ſo zu reden, mehr⸗ 1ong mahl in mehr Theile wirkt. Eigentlich zeigt f:F hen hier die Verhaͤltniß der Staͤrke der Stoͤſſe an; 5 Von denen Stoͤſſen, deren Staͤrke durch f ausge⸗ ſtes druͤckt wird, geſchehen in die Maſſe m ſo viel, ſo r viel ſie Theile hat, und von denen welcher Staͤrke fe F anzeigt, in die Maſſe M ſo viel, ſo viel dieſe R Maſſe der vorigen gleiche Theile hat, und bey der ſen wirklichen Bewegung, koͤmmt es, ob M ſchneller der oder langſamer als m gehen ſoll, nicht darauf an, 6s ob M mehr oder weniger Theile hat, denn wenn gi f= F waͤre, ſo wuͤrden ſich beyde Maſſen auf einer⸗ tic ley Art bewegen, wie ſich auch die Mengen ih— ve rer Theile verhielten, und jeder Theil der Maſſe äber m; er mag einzeln oder in Verbindung mit den an⸗ ehje
dern

Bete⸗
zuͤrlich en die koͤnn⸗ wenn enden ieben zum man
gen⸗ fragt
waͤ⸗ s an, nehr⸗ fif an; sge⸗ el, ſo taͤrke dieſe ey der neller ff an, wenn einer⸗ en ih⸗ Maſſe den an⸗ dern
(o)£2 39
dern betrachtet werden, bewegt ſich auf einerley Art, ſo wie ihn ſeine Kraft f treibt(49). Alſo hat man die Wirkungen der beſchleunigenden Kraͤfte, blos nach der Bewegung die jede in einer gewiſſen Zeit hervorbringt zu ſchaͤtzen, ohne auf die bewegten Maſſen zu ſehen.
56. Zuſ. Wenn man Bewegung betrachtet, oh⸗ ne auf die bewegte Maſſe zu ſehen, ſo bleibt wei— ter nichts uͤbrig als daß in einer gewiſſen Zeit, ein gewiſſer Raum zuruͤckgelegt wird. Wenn alſo die Kraft f macht, daß dasjenige was ſie bewegt in einer gewiſſen Zeit durch den Raum z geht, und die Kraft F macht, daß was ſie bewegt in eben der Zeit durch den Raum Z geht, ſo wuͤrde es wohl natuͤrlich ſeyn, dieſe Kraͤfte in ſo fern ſie Urſache ſind daß dieſe beyden Raͤume beſchrieben werden, nach den Raͤumen als ihren Wirkungen zu verglei⸗ chen, und alſo f:F= Z: Z zu ſetzen.
77. Zuſ. Wenn die Kraͤfte nach eben dem Ge⸗ ſetze wie unſere Schwere beſchleunigen, und fuͤr irgend eine Zeit T, die in ihr beſchriebenen Raͤu⸗ me 2:72 ſich wie f:F verhalten, ſo werden ſich die Raͤume die in jeder andern Zeit m T vermoͤge die⸗ ſer Kraͤfte beſchrieben werden auch ſo verhalten. Denn nach dem angenommenen Geſetze ſagt man (35) T=: mz² T2= 2:mz welches den Raum gibt der vermoͤge der Kraft f in der Zeit mT zu⸗ ruͤckgelegt wird, und eben ſo wird in dieſer Zeit, mꝰ2. vermoͤge der Kraft Fzuruͤcke gelegt. Dieſe Raͤume aber verhalten ſich wie die beyden vorigen. Es erhellt daß miauch kleiner als 1 ſeyn kann.
C 4 58. Zuſ.

4ao&(0) X
58. 3uſ. Wenn die Zeit IT endlich iſt, ſo kann Keät man nicht den ganzen Raum z als die Wirkung jeden der beſchleunigenden Kraft anſehen, und es erfor⸗ Rät derte eine beſondere Unterſuchung auszumachen wie⸗ ſchlo viel eigentlich von der beſchleunigenden Kraft her— V ſchin ruͤhrt, denn wenn die Kraft, in der Haͤlfte der V Zeit, oder ſonſt in einem Augenblicke zu beſchleu⸗ V 6 nigen aufhoͤrte, ſo wuͤrde doch in dem ruͤckſtaͤndi— 3 gen Theile der Zeit, ein Theil des Raumes, mit anf der ſchon erlangten Geſchwindigkeit beſchrieben wer⸗ bum den(33). Dieſe Betrachtung koͤnnte zweifelhaft 3 machen, ob ſich die Raͤume wie die Kraͤfte verhal⸗ Ss ten muͤſſten, von denen ſie eigentlich nicht die un— in us mittelbaren Wirkungen ſind. Daher kann man die Zeit unendlich klein annehmen, wo die Be⸗. ſchleunigung beyſeite geſetzt wird(14) und jeder aibe Raum voͤllig als die Wirkung der Kraft in dieſer zin Zeit anzuſehen iſt. Wenn ich einen Koͤrper auf hm einer horizontalen Ebene fortſchiebe, wo er jeden V 8 Augenblick ſtehen bleibt, ſo bald ich zu ſchieben V d aufhoͤre, ſo iſt der Raum durch den ich ihn fort— 6 gefuͤhret habe, voͤllig die Wuͤrkung meiner Kraft V 8 und ihn in eben der Zeit, auf eben die Art noch V 6 1 einmahl ſo weit zu fuͤhren wuͤrde noch einmahl ſo Naa viel Kraft erfordern. Wie ich in dieſem Gleich⸗ 35 niſſe annehme, daß in der endlichen Zeit keine V 5 Beſchleunigung erfolgt, ſo ſetzt man bey gegen— 1 f waͤrtiger Unterſuchung zum voraus, daß dieſe Be⸗ d ſchleunigung die unendlich kleine Zeit uͤber wegfalle. u Der 57. Art. zeigt nun, daß dieſe Raͤume, die man ut eigentlich als Wuͤrkungen der beſchleunigenden in
4
Kraͤfte
——

hegen⸗ eBe⸗ gfalle eman enden Fräͤfte
(O) 41
Kraͤfte anſehen duͤrfte, ſich eben ſo verhalten wie jedes Paar andrer in gleichen Zeiten beſchriebene Raͤume; und daß man alſo die Verhaͤltniß der be⸗ ſchleunigenden Kraͤfte, durch endliche Raͤume, die ſich abmeſſen laſſen angeben kann.
Geſetzt ein Koͤrper der 4 Fig. durch AP gefallen waͤre, haͤtte in P die Geſchwindigkeit c, mit wel⸗ cher er in der Zeit dt, den Raum Pæ= ecdt durch⸗ laufen wuͤrde, wenn ihn die Schwere dieſe Zeit uͤber nicht beſchleunigte, oder er in P keinen neuen Stoß von der Schwere bekaͤme; wenn er aber die⸗ ſen neuen Stoß bekoͤmmt, ſo durchlaͤuft er in die⸗ ſer Zeit mit der Geſchwindigkeit cdec den Raum Pp= e.(c† dc) dt: ſo iſt p= e. dc. dt das was eigentlich wegen der Wirkung der Schwere dieſe Zeit uͤber iſt beſchrieben worden, und verhaͤlt ſich alſo, wenn dt einerley bleibt, wie dc.
79. Zuſ. Hier alſo ſind f, F, Kraͤfte von den Bewegung herruͤhrt. Vorhin(54) waren es Kraͤf⸗ te vermoͤge der die Maſſen druckten. Man darf alſo nicht ohne Beweis annehmen, daß beyder Verglei⸗ chungen ihrer Wirkungen mit einander beſtehen koͤn⸗ nen. Denn f, F, koͤnnte in 54. was anders als in 56. bedeuten; weil Kraͤfte die Bewegung und Kraͤf⸗ te die Druck verurſachen, wohl zweyerley ſeyn koͤnn⸗ te. In der That ſtellen wir uns freylich vor, daß der Druck daher ruͤhrt, weil ſich die Maſſe die ihn ausuͤbt bewegen will, und aufgehalten wird, und daß umgekehrt Bewegungen erfolgen, wenn den Druck nichts aufhaͤlt, aber man kann allemahl noch — C 5 fragen,

4²(OoO)£
fragen, ob eben die Maſſe, die den doppelten Druck 6 ausuͤbt, wenn ſie ſich wirklich bewegte, auch die(ſ doppelte Bewegung haben wuͤrde, ob naͤhmlich achn uͤberhaupt wenn m= M waͤre ſich zugleich der Druck de vonm zum Drucke von M, und 2:Z, beydes wie f⸗F ſcut verhalten koͤnnte. Wenn die Maſſe Qauf meiner nuf rechten Hand mich ſo ſtark druckte als die Maſſe 2. Q zuh! auf meiner linken, ſo wuͤrde ich ſagen, die Schwe⸗ degt re, in ſo fern ſie eine Kraft iſt von der Druck her— daß: nihat⸗ ſen uͤber meiner rechten Hand noch einmahl belan ſo ſtark als uͤber meiner linken, aber wenn ich die nmd Maſf ſer 4 und 2 Q beyde in einem Augenblicke fallen nh lieſſe, vuͤrde ich wohl ſchlieſſen duͤrfen, daß in der veet erſten kleinen Zeit vom Anfange des Falles, Q derene noch einmahl ſo tief fallen wuͤrde als 20, das iſt, 6* daß die Schwere uͤber meiner rechten, in ſo fern chmn. ſie Bewegungen verurſacht auch noch einmahl ſo 31 ſtark iſt als uͤber der linken? Mich deucht es darf kin wenigſtens nicht ohne Beweis angenommen wer⸗ den daß eines aus dem andern folgt. Die Schwe⸗ un. re koͤnnte uͤber meiner rechten Hand wohl noch ein⸗ ſe mahl ſo ſtark drucken, ohne noch einmahl ſo ſchnell unſ zu bewegen; und wer dieſer Schwuͤrigkeit noch ii mehr Gewicht geben wollte, duͤrfte ſich nur darauf um berufen, daß die Maſſe beym Drucke, aber nicht ſr bey der Bewegung in Betrachtung gezogen wird, nif (32) und alſo die Verhaͤltniß der Kraͤfte aus dem ſe Drucke zu ſchaͤtzen, hierinnen was in Betrachtung 3 koͤmmt, das beyſeite geſetzt wird, wenn man ih⸗ per re Verhaͤltniß aus der Bewegung ſchaͤtzt. 1 orp
60. Zuſ.

Druck uch dee ähmlcc Druck die f. meiner ſſeꝛ. Schwe⸗ ck her⸗ umahl ich die fallen in der 6,0 as iſt, ſo fern ahl ſo darf wer⸗ chwe⸗ hein⸗ ſchnell noch darauf rnicht witd, 1s dem chtung nan ih⸗
. 3uſ.
2(o)*☚☛☚ 43
60. Zuſ. Sollen alſo beyde Ausdruͤckungen (56; 54.) zugleich wahr ſeyn, ſo muß meines Er⸗ achtens folgendes dargethan werden: Eine Kraft die unſerer Schwere aͤhnlich, aber ſtaͤrker oder ſchwaͤcher als ſie iſt, wirke in einer Maſſe, die ich auf der Hand liegen haͤtte, ſo daß ich dieſe Maſſe zu haltenn mahl mehr Kraft brauchte, als wenn die gewoͤhnliche Schwere, in dieſe Maſſe wirkte, d. i. daß dieſe Maſſe, ohne mehr oder weniger Theile bekommen zu haben, mich n mahl ſtaͤrker druckte, n mahl ſchwerer waͤre, ſo wird eben die Maſſen mahl ſo tief fallen, als ſie in eben der Zeit faͤllt, wenn die Schwere in ſie wirkt, oder als jeder an— derer Koͤrper vermoͤge der Schwere bey uns faͤllt (32). Dieſes iſt die Abſicht folgender Unterſu⸗ chungen.
61. Lehrſ. Ein Koͤrper wie ihn unſere Schwe⸗ re niederwaͤrts treibt, wuͤrde in einer unendlich klei⸗ nen Zeit durch den Raum AB; 4F. fallen. Ich ſage, ihn dieſe Zeit uͤber aufzuhalten,(wie wenn man ihn ſo lange auf der Hand truͤge,) iſt eben ſo viel als ſeine Maſſe, die nur traͤge aber nicht ſchwer waͤre, in dieſer Zeit durch BA zu fuͤhren, daß al⸗ ſo meine Hand den blos traͤgen Koͤrper durch BA zu fuͤhren, eben die Bemuͤhung anwendet, als den ſchweren Koͤrper in A zu erhalten.
Bew. Indem meine Hand den ſchweren Koͤr⸗ per dieſe Zeit uͤber haͤlt, ſo leidet ſie beſtaͤndig ſei— nen ganzen Druck, und hindert beſtaͤndig daß der Koͤrper nicht durch AB faͤllt. Eine Begebenheit
hindern

44 x(o) 2
hindern daß ſie nicht geſchiht, oder dieſe Begeben⸗ heit, nachdem ſie erfolgt iſt, wieder aufheben, und gleichſam ungeſchehen machen, das beydes iſt wohl einerley. Ich ſetze alſo ſtatt der Bemuͤhung mit welcher meine Hand das Sinken des Koͤrpers hin⸗ dert, diejenige Bemuͤhung mit welcher ſie dieſes Sinken ungeſchehen machte, das heiſſt: den Koͤrper wenn er in einer gewiſſen Zeit bis nach B geſunken waͤre, in der naͤchſtfolgenden gleichen Zeit wieder in die Stelle A, aus der er ſank, zuruͤckbraͤchte.
Waͤhrend dieſer zweyten Zeit aber, muͤſſte die Schwe⸗ re nicht in den Koͤrper wuͤrken, denn ſie hatte ſchon die erſte Zeit gewirkt den Koͤrper zu ſenken, und wenn ſie alſo dieſe Zeit noch fortfuͤhre zu wirken, ſo haͤtte die aufhebende Hand, mit zwo Wirkungen der, der vorigen und der, der jetzigen Zeit zu thun; da doch die Frage nur iſt wie die Wirkung der erſten Zeit ſoll aufgehoben werden.
Waͤre der Koͤrper wirklich durch Aß gefallen, ſo haͤtte er in B eine gewiſſe Geſchwindigkeit, mit welcher er aus B weiter fortgehen wuͤrde, wenn auch die Schwere da in ihn zu wirken aufhoͤrte; mit welcher er in Bauf etwas das ihn da aufhalten woll⸗ te, ſtoſſen wuͤrde. Die Hand, die ihn durch BA zuruͤcke fuͤhren, und dabey eben das thun ſoll, was eine Hand thaͤte, die ihn in A erhielte, braucht dieſe Geſchwindigkeit nicht zu zernichten, dieſen Stoß nicht erſt auszuhalten. Denn wenn beyder Haͤn⸗ de Bemuͤhungen gleichguͤltig ſeyn ſollen, ſo ent⸗ ſteht dieſe Geſchwindigkeit nicht, weil der Koͤrper
nicht

geben n, und wohl g mit z hin⸗ dieſes oͤrper unken ieder ſchte. hwe⸗ chon denn aͤtte ,der doch geit
len, mit venn mit woll⸗ BA „was aucht Stoß Han⸗ ent⸗ oörper
nicht
&(0O)& 45
nicht faͤllt. Die erhaltende Hand, braucht ohne Zweifel einerley Bemuͤhung in welcher Stelle der Linie Aß ſie den Koͤrper auch erhaͤlt. Man laſſe ſie alſo, die Zeit dt uͤber, den Weg Aß hinunter gehen, und immer den Koͤrper tragen: So wird ſie eben das leiden, als wenn ſie ihn dieſe Zeit uͤber in Aerhalten haͤtte; der Koͤrper aber wird vermoͤ⸗ ge der Schwere durch Aß geſunken ſeyn: denn waͤ⸗ re er nicht ſchwer geweſen, ſo waͤre er in A ruhig geblieben, wenn gleich die Hand unter ihm weg nach B gegangen waͤre; die Hand zog ihn nicht nach ſich, ſie verſtattete ihm nur ſie zu begleiten, und ohne Schwere hatte er keinen Trieb ſie zu be⸗ gleiten. Gleichwohl wird ſolchergeſtalt der Koͤrper in B keine Geſchwindigkeit haben, denn er iſt nicht durch Aß gefallen, ſondern hinabgetragen worden; die Geſchwindigkeit entſteht nur aus dem wirklichen Falle; Sonſt muͤſſte ein Stein den ich in der Ta⸗ ſche einen Berg hinab trage, unten im Thale die Geſchwindigkeit haben, die er haben wuͤrde, wenn er vom Berge ins Thal herabgeſtuͤrzt waͤre. Hier hat alſo die Schwere den Koͤrper durch Aß geſenkt, ohne daß in B eine Geſchwindigkeit entſtanden waͤ⸗ re, und die tragende Hand hat dabey beſtaͤndig eben das gethan, was ſie gethan haͤtte, wenn ſie ihn die⸗ ſe Zeit uͤber in Kerhalten haͤtte. Soll alſo die er⸗ hebende Hand eben das thun, das iſt, ſoll ſie das geſchehene ungeſchehen machen, ſo muß ſie den Koͤr⸗ per, wie er in B ruht, und bloß traͤg, aber nicht ſchwer iſt, wieder durch BA hinauffuͤhren, und zwar in eben ſo viel Zeit, weil es in mehr oder we⸗
niger

46(o) ☚
niger Zeit verrichten, heiſſen wuͤrde: in eben ſo viel Zeit weniger oder mehr thun.
Auf eben den Schluß werde ich folgendergeſtalt kommen: Man ſetze, der blos traͤge Koͤrper, ruhe ohne einige Wirkung der Schwere in A; Meine Hand aber fuͤhre ihn in der Zeit dt durch Ab hin⸗ auf. Das waͤre alſo die Wirkung meiner Hand dieſe Zeit uͤber in dem blos traͤgen Koͤrper. Dieſe Wirkung wird vollig aufgehoben, wenn die Schwe⸗ re in den Koͤrper wirkt, und meine Hand ihn ſol⸗ chergeſtalt eben ſo lange in Aerhaͤlt. Die Schwe⸗ re muͤſſte alſo, wenn ſie alleine geweſen waͤre, in dem blos traͤgen Koͤrper, dieſe Zeit uͤber eben das, nur entgegengeſetzt gewirkt haben, was meine Hand in dem blos traͤgen Koͤrper wirkte, das iſt, der Druck muͤſſte ihn durch den Raum AB= Ab ge⸗ ſenkt haben. Wenn den Koͤrper zugleich, in einer⸗ ley Zeit, eine Gewalt durch Aß ſenken, und eine andere durch Ab= Aß erheben will, ſo wird er ohne Zweifel in A bleiben, und auch ſonſt nicht, als wenn Ab= Aß.
62. Zuſ. Dieſe Schluͤſſe ſehen die Schwere blos als eine abſolute(27) uͤberall gleich ſtark wirkende(30) Kraft an vermoͤge der ein Koͤrper druckt, und wenn er nicht gehindert wird ſinkt. Ob eine gegebene Maſſe vermoͤge dieſer Kraft ſo und ſo ſtark druckt, ſo und ſo tief ſinkt, das hat in ſie keinen Einfluß. Sie gelten alſo von jeder andern Kraft die der Schwe⸗
re in den erwaͤhnten Stuͤcken aͤhnlich, nur ſtaͤrker
oder ſchwaͤcher waͤre: wie ſ0. erklaͤrt. 63. Grundſ.
64 Naun eben⸗
Dda ineber ſedan
die be grnde. V der M ſer den bader die m

(O)£ 47
63. Grundſ. Die Maſſe n. m in einer gewiſſen Zeit durch einen gewiſſen Raum fuͤhren, heiſſten mahl ſo viel thun, als die Maſſe m durch eben den Raum in eben der Zeit fuͤhren.
Denn man kann ſich ſtatt der groſſen Maſſe, n Maſſen jede=m vorſtellen, in deren jeder das ge⸗ ſchiht, was in der einzigen m geſchiht.
64. Grundſ. Die Maſſe m durch den n fachen Raum fuͤhren, heiſſten mahl ſo viel thun als ſie in eben der Zeit durch den einfachen fuͤhren.
Denn wenn die Maſſe einerley bleibt ſo thut man in eben der Zeit nur in ſo fern mehr, in ſo fern man ſie durch einen groͤſſern Raum fuͤhrt.
65. Aufg. In I. 5 Fig. befinde ſich die Maſſe m; in A4 Fig. die Maſſe n. m, zwo Kraͤfte, die unſerer Schwere aͤhnlich, nur an Staͤrke von ihr unterſchieden ſind, wirken in dieſe Maſſen; in m die beſchleunigende Kraft p; in n. m die beſchleuni— gende Kraft p(49). Das heiſſt gleiche Theile der Maſſen m; um, uͤben, jener den Druck p, die⸗ ſer den Druck np aus, daß alſo der ganze Druck beyder Maſſen gleich iſt, oder die eine Maſſe in L. die andere in A zu erhalten, gleichviel Gewalt, naͤhmlich m. p=nm. ap noͤthig iſt((0). Wuͤr⸗ den ſie aber da nicht erhalten, ſo ſaͤnke m durch L 0 in der Zeit in welcher n.m durch Aß ſinkt. Ich ſuche die Verhaͤltniß der Raͤume LQ:AßB.
Aufl. Eine Hand welche dieſe Zeit uber min. erhaͤlt, thut eben das was n Haͤnde zuſammen tha⸗ ten, deren jede, eben ſo lange eine von denn Maſ⸗
ſen

48(0O) ☛
ſen in Kerhielte. Aber eine gewiſſe Zeitlang den ganzen Druck mp in L oder den ganzen Druck nm p in Aerhalten, iſt ſo viel, als in dieſer Zeit, die Maſſen m durch QL oder n. m durch B4 erhe⸗ ben(61). Da ſich alſo erhalten ſtatt erheben ſe tzen laͤſſt, ſo werden folgende Schluͤſſe zuſammen⸗ haͤngen, wo ich allemahl einerley Zeit verſtehe.
1) m durch QP erheben iſt ſo viel als n. m durch BA erheben.
1!) n. m durch B A erheben, iſt n mahl ſo viel als m durch B A erheben(63). Alſo iſt
IIl) m durch QL erheben, n mahl ſo viel als m durch BAerheben. Aber
IIIl) m durch n. BA erheben, iſt n mahl ſo viel als m durch BA erheben(64). Alſo iſt
V) m durch QL erheben, ſo viel als m durch
n. BA erheben(III; IIII). Nun iſt
VI) Eine Maſſe durch einen gewiſſen Raum erhe⸗ ben, ohnſtreitig nicht ſo viel als eben die Maſſe durch einen andern erheben. Daher koͤnnen die beyden Raͤume(V) nicht unterſchieden ſeyn, oder
es iſt
VII) QL= n. BA.
Es verhaͤlt ſich alſo der Druck der in jeden Theil der erſten Maſſe wirkt, zu dem Drucke der in je— den gleichen Theil der andern Maſſe wirkt, wie der Weg der erſten Maſſe zum Wege der zweyten. Auch wenn die Wege in endlichen Zeiten beſchrieben
werden(78). 6 er „Erkl.
einel wen! ande Kraſ triehi 61 der d. Deucs ſochenn zuan Geui Och) mahl ſeyn. amte anda () md. fben Verh Gla 6 wasi Otuf
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mM

lang den n Drück eſer Zei A exhe⸗ eeben ſe ammen ſtehe.
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erhe⸗ Maſſe gen die n, oder
n Theil er in je wie der n. Auch chrieben
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X(Oo)£☛ 49
66. Erkl. Eine unveraͤnderliche Kraft heiſſe ich, vermoͤge der eine gegebene Maſſe uͤberall gleich ſtark druckt, eine veraͤnderliche vermoͤge der die⸗ ſe Maſſe in andern Stellen anders druckt.
So iſt die Schwere unveraͤnderlich(28). Wenn einerley Maſſe zu erhalten in L. 5 Fig. mehr oder weniger Kraft noͤthig waͤre, als in irgend einer andern Stelle z. E. Qder Linie LQ, ſo wuͤrde die Kraft vermoͤge der die Maſſe laͤngſt L O hinabge⸗ trieben wird, veraͤnderlich ſeyn.
67. Zuſ. An jeder Stelle, L oder O, wird ſich der Druck den die Kraft da verurſacht, mit dem Drucke vergleichen laſſen, den die Schwere verur⸗ ſachen wuͤrde. Wenn z. E. einen Eubikzoll Bley zu erhalten, in L dreymahl, in Q viermahl ſo viel
Gewalt noͤthig waͤre, als bey der Wirkung unſerer
Schwere noͤthig iſt, ſo wuͤrde die Kraft in L drey⸗ mahl, in Q viermahl ſo ſtark als unſere Schwere ſeyn. Sie laͤſſt ſich alſo als eine veraͤnderliche Zahl anſehen, die ſich auf die Schwere als eine unver⸗ aͤnderliche Einheit bezieht; ſo waͤre die Schwere (1) g=I geſetzt, dieſe Kraft in L.=; in 0= 4 und koͤnnte uͤberhaupt als eine veraͤnderliche Groͤſſe fbetrachtet werden, das iſt f:goder f: waͤre eine Verhaͤltniß von der ſich nur das vorhergehende Glied aͤnderte.
68. Zuſ. Dieſe Veraͤnderung, wird, wie alles was in der Natur geſchiht, durch unendlich kleine Stufen geſchehen. Iſt Qk 5 Fig. unendlich klein, ſo wird die Kraft in Q=k in k abet=f† dfſeyn.
Matheſis 4ter Theil. D 69. Zuſ.

50(oO)£☛
69. Zuſ. Man kann alſo dergleichen Kraft ſich allemahl wie eine veraͤnderliche Schwere vor⸗
ſtellen. Sie wird ſich naͤhmlich von der Schwere in nichts unterſcheiden, als daß ſie nicht uͤberall gleich ſtark iſt.
70. Aufg. Ein Koͤrper in den eine veraͤnderli⸗ che Schwere beſtaͤndig wirkte, iſt in der Zeit t, durch die Linie LQ=xX gegangen, und hat in Q die Geſchwindigkeitu, und die Kraft in Qiſt= f. Man fragt wieviel ſeine Geſchwindigkeit in der un⸗ endlich kleinen Zeit dt zunehmen wird.
Aufl. Man ſetze, in eben den Koͤrper haͤtte un⸗ ſere unveraͤnderliche Schwere gewuͤrkt. Er waͤre
in eben der Zeit durch die Linie AP= y(4 F.)
gefallen, und haͤtte da die Geſchwindigkeit c. In der Zeit dt, legt er wegen der Wirkung der Schwe⸗ re den Raum e. dc. dt zuruͤck(58). Und eben ſo muß er in gegenwaͤrtiger Aufgabe, in eben dem Zeittheilchen wegen der Wirkung der Kraft f, den Raum e. du. dt zuruͤck legen, weil f dieſes Zeit⸗ theilchen uͤber eben ſo wirkt, wie unſere Schwere(69. 68.). Dieſe beyden Raͤume aber verhalten ſich wie g:f(65). Alſo iſt g:f= dc: du oder du= fdc 3 C
72. Zuſ. Weil c===. t(33) wo die groſſen Buchſtaben unveraͤnderliche Groͤſſen bedeuten, ſo iſi dar 3 1 iſt L=I 41 alſo du= S5. 2 dt, oder wenn
8— 1

raft ſch tre vor⸗ öchwete
uͤberall
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— groſſt uten, d der wenn —1
—
0 9
(O)£ 71
g= I geſetzt wird, verhaͤlt ſich du wie fdt; da⸗ her man auch den Ausdruck du= fdr gebrauchen kan(13).
73. Anm. Auf dieſer nun gefundenen Gleichung beruht alles was ſich von Wirkungen anderer Kraͤfte als unſerer Schwere ſagen laͤſſt. Sie ſelbſt aber beruht auf(65). Da⸗ her habe ich mich bemuͤht den dortigen Beweis ſo uͤberzeu⸗ gend als moͤglich darzuſtellen, oder, wenn ich nicht ſo gluͤck⸗ lich geweſen ſeyn ſollte, einen Beweis zu geben, der voͤlli⸗ gen Beyfall faͤnde, doch deutlich anzuzeigen, worauf der Beweis ankommen muß, und was eigentlich dabey zu be⸗ denken iſt, welche Abſicht die ganze Unterſuchung von 76⸗ 65. hat. Die groͤſſten Lehrer der Mechanik finden hier Schwierigkeiten. Herr Daniel Vernoulli hat den Aus⸗ druck(72) unter die blos zufaͤlligen Wahrheiten gerechnet und geglaubt, es koͤnnte auch eben ſo gut du= fa dtu. ſ. w. ſeyn(*). Daher hat ſich Hr. Enler bemuͤht einen Be⸗ weis zu geben(*½), damit aber Hr. D'Alembert nicht uͤber⸗ zeugt(***). Der letztere, will die Gleichung(72) als eine Erklaͤrung deſſen, was man unter beſchleunigender Kraft verſteht annehmen. Dabey werden die Erinnerungen die ich 59. gemacht zu erwegen ſeyn. Souſt waͤre dieſes Ver⸗ fahren ſo beſchaſſen, als wenn ich ax— v2 fuͤr die Erklaͤ⸗ rung der Parabel annehmen, und was darauf ſolat auf die Parabel anwenden wollte, die aus dem Kegel geſchnitten wird, ohne gewieſen zu haben, daß dieſe Erklaͤrung ihr zukoͤmmt. Daß man aber beyde Betrachtungen des Drucks und der Bewegung hier vereinigen muͤſſe, hat Hr. Euler ſehr richtig erinnert(***⁴). Wenn mir mein Verfahren
D 2 gelun⸗
—
(†) Examen principiorum Mechanicae Sect. I.§. 1. Comm. Ac. Imp. Petropol. T. I. p. 127
(** Mechanica L. I.§. 146- 152.
(**) Dynamique art. 19.
(*/¼) 1. c.§. 213,
0
———
— 82
——— ———— 1 2 .
——,
—

52² TA(o) gelungen iſt, ſo wird es zugleich Carteſens Grundſatz der Mechanik(T) erlaͤutert haben.
74. Zuſ. Der Raum der wegen Wirkung der Kraft f im Zeittheilchen dt zuruͤckgelegt wird, iſt
6 f. edcdt(70)=efdt. Fdt(72) und verhaͤlt ſich
alſo wie fdtz. Er iſt ein unendlich kleines der zweyten Ordnung, weil er mit einer unendlich klei⸗ nen Geſchwindigkeit, in unendlich kleiner Zeit zu⸗ ruͤckgelegt wird.*
75. Zuſ. Der Geſchwindigkeit u, gehoͤre die Hoͤ⸗
. C V he v(433 34) zu; ſo iſt u=—— alſo du=
Cd C Cd — folglich(72) T. fdt=. oder
27 8. V 2 V 278 dv i re hr
76. Aufg. Die Differentialgleichung zwiſchen x und der Hoͤhe welche der Geſchwindigkeit zuge⸗ hoͤrt zu finden.
2.8 G. v Aufl. dx=eudt(15)= SET.. dt Vv 29
d N 5.)
278V
oder dv=fdx.
77. Anm
*
—
1) Mechanica in R. des Cartes Opuſc. Poſthumis(Am- ſtelod. 1701. 4.).
——
77 1E I Bew ſchwit den 4. gleich Py. —
I
M
3 ni g zurüͤn de Hl V digkein dder d V wenn ſü halten⸗ enn

ndſat de ung der vird, iſ haͤl ſch nes der lich klei⸗ Jeit zu⸗ die Ho⸗
du=
oder V
viſchen zuge⸗
V — dt
r(oOo)£☛ 53 77. Anm. Mit dieſer Gleichung verbindet man dx=
8 —. P v. dt, ſo hat man alles was vou veraͤnderten
Bewegungen zu wiſſen verlangt wird, weil alles auf Ge⸗ ſchwindigkeit, Raum, Zeit, und Vergleichung der treiben⸗ den Kraft mit der Schwere ankoͤmmt. Dieſe letztere Ver⸗ gleichung druͤckt man der Kuͤrze wegen ſo aus: d
— 8 4 dt wom S= 25o in den Zahlen(36) alſo
2 8 m= e daber oder T 12 G4= r und der Raum
(24)==. 250, 2§0.fdt*== 31250 fdt“e
78. Zuſ. Iſt f unveraͤnderlich, ſo iſt v= fx.
79. Zuſ. Wenn X der Raum iſt den ein ande⸗ rer Koͤrpet in den die unveraͤnderliche Kraft F wirkt zuruͤckgelegt hat, ſo gehoͤrt ſeiner Geſchwindigkeit die Hoͤhe F. X zu. Sollen alſo beyde Geſchwin⸗ digkeiten(78; 77.) gleich ſeyn, ſo iſt Xx= f: F; oder die Koͤrper haben gleiche Geſchwindigkeiten, wenn ſich ihre Wege verkehrt wie die Kraͤfte ver⸗ halten. Die Koͤrper brauchen nicht gleich zu ſeyn, wenn die Kraͤfte ſo wirken wie unſere Schwere(32).
80. Aufg. Wenn föunveraͤnderlich iſt die Zeit des Falles durch x zu finden.
Aufl. r mdl(78) alſo
72)= 3 Ter
t= 2zm— oder= 55 wenn X in Tauſend⸗
theilchen de rheinlaͤndiſchen Fuſfe gegeben iſt. D 3 81. Aufg.
————— — 7——
——
——

54 2(o)£
81. Aufg. Bey einer unveraͤnderlichen Kraft hat der Koͤrper ſchon in L eine Geſchwindigkeit die
der Hoͤhe c zugehoͤrt, man ſucht ſeine Geſchwin⸗
digkeit in Q.
Aufl. Hier muß dv= fax ſo integrirt werden, daß v= c fuͤr X= o; Alſo iſt v=fx †c.
— m dx 82. 3uſ. dt=„(&xX)(7) alſo(nach Ana⸗
lyſ. des Unendl. 245.§.) t=. 2.(fx e)* † Conſt; Und weil X= o fuͤr t=o ſo iſt Conſt=
2 m 2
— alſo t= 3[(fx c)*= c*] wo 2m= ½ wenn x und c wie 80 gegeben ſind.
IIII. Cap. Von veraͤnderlichen Kraͤften.
83. Erkl. In der Linie APC 7 Fig. befindet ſich ein Koͤrper irgendwo in P; Er wird nach Cmit einer gewiſſen Kraft getrieben, die durch des Pun⸗ ctes P Entfernung von dem gegebenen Puncte C, gegeben iſt, ſo daß ſich dieſe Kraft in b, zu der Kraft mit welcher er in Agetrieben wurde, verhaͤlt, wie eine gewiſſe Function von Cb zu der aͤhnlichen von CA. Alsdenu heiſſt C der Mittelpunct der Kraͤfte(centrum virium) und die Kraft, eine Centralkraft.
84. Zuſ.
8 herr als lich ihn) wärs len u ihmis geſiet ſrun
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kunga und ſe d d gebe te gi virde daß ck federm re t Ech g die h
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efindet „Cmit Pun⸗ ncte 6. zu der erhaͤl, ulichen net der t, eine
(O) 55
84. Zuſ. Ohne zu unterſuchen, wo dieſe Kraft herruͤhrt, iſt doch offenbahr, daß ſie eben ſo wirkt, als ob C den Koͤrper anzoge. Der Erfolg iſt naͤhm⸗ lich einerley ob Cihn anzieht, oder ob was anders ihn nach Czu ſtoͤſſt; ſo wie wenn in C ein Magnet waͤre, das Eiſen in ſeiner Nachbarſchaft auf einer⸗ ley Art nach ihm zugehen wuͤrde, es moͤchte von ihm angezogen oder von irgend einer Materie an⸗ geſtoſſen werden. Ohne alſo etwas von dem Ur⸗ ſprunge einer ſolchen Kraft zu entſcheiden, kann man ſie hier, wo es nur auf Berechnung ihrer Wir⸗ kungen ankoͤmmt, als eine anziehende betrachten, und das Geſetz nach dem ſie ſich aͤndert, das Ge⸗ ſetz der Anziehung nennen.
85. Zuſ. Es wird eine gewiſſe Entfernung f, geben, wo dieſe Kraft p, der Kraft unſerer Schwe⸗ re gleich iſt. Ich meyne, wenn CE=f waͤre, ſo wird ein Koͤrper in E, daſelbſt erhalten zu werden, daß er ſich nicht nach C ſenkt, eben die Gewalt er⸗ fodern, mit der man ihn bey uns wo unſere Schwe⸗ re wirkt, erhalten muͤſſte. Setzt man alſo unſere Schwere= 1; ſo iſt in E, die veraͤnderliche Groͤſſe p= 1; Ich verſtehe durch p, wie in 67 durch f, die beſchleunigende Kraft.
86. Zuſ. Wenn ein Koͤrper den eine ſolche ver⸗ aͤnderliche Kraft ptreibt, den Weg AP= X7 Fig. zuruͤcke gelegt hat, und ſeine Geſchwindigfei in P der Hoͤhe v zugehoͤrt; ſo iſt aus 77; 78; dv=
= dt, p aber eine Function von D 4 Cb.
mdx pdx und

56 X(O)£☚2
CP. Nun muß CA gegeben=a ſeyn; ſo iſt CP das ich y nennen will=a-X und dy=- dx und
m d A.
87. Aufg. Die Kraft verhalte ſich wie eine Po⸗
tenz von CP, oder wie yn wo n auch eine gebro⸗ chene oder verneinte Zahl ſeyn kann. Der Koͤr⸗ per ruhe Anfangs in A, und werde von ihr in Be⸗ wegung geſetzt. Man ſucht ſeine Geſchwindigkeit in jeder Stelle P.
Aufl. Es iſt alſo goder 1:p=fn: yn folglich
dv=— p dy und
yn yn † 1 dv=— dy(86) und v= Conſt—-—.
k.(„rRfn Nun ſoll v=o fuͤr y= a ſeyn. Alſo iſt o=— n+ 1 n† n † Conſ-— oder v 2 2—
(n+ n)fn(n† 1) fn an T†(aXn
(† f
88. Anm. Weil v waͤchſt ſo muß dv bejaht ſeyn. Das zeigt auch die Differentialgleichung an; denn dy iſt ver⸗
neint und daher—yn dy bejaht, weil y bejaht iſt. Eben das erhellt ſogleich aus dem Ausdrucke(a- X)n dx.
89. Zuſ. Wenn n†½ bejaht iſt, ſo verſchwin⸗ det yn † fuͤr y= o, und die Geſchwindigkeit in G gehoͤrt der Hoͤhe zu. Iſt aber n+ 1
(n+ 1) f¹ ver⸗
hdf
verne gonn
kit?
druce tes d digkn -l Vepe welc nn à
lalgſr.
Corſi to D ſt( V 9 V Stelr⸗ wie 9
d (n.I. digt
(Ari. nen? Falles

iſt Cb IX und
ine Po⸗ gebro⸗ 3 Koͤr⸗ in Be⸗ digkeit
aglich †
— 1)1n 0— .1
(Co) ☛ 57
verneint, ſo wird yn † 1 fuͤr y= o unendlich(Tri⸗ gonometrie 4. Erkl. 4. Zuſ.) und die Geſchwindig⸗
—on+ keit in C gehoͤrt der Hoͤhe welcher Aus⸗ (n+ 1) f* druck, unendlich, und wegen des verneinten Wehr⸗ tes von n† 1, bejaht iſt. Alſo iſt da die Geſchwin⸗ digkeit unendlich.
56. Zuſ. Fuͤrn † 1=o oder n=— 1 wuͤrde der Wehrt von v(§) unendlich zu werden ſcheinen, welches anzeigt, daß die Integration auf Logarith⸗ men ankoͤmmt(An. d. Un. 219.). Die Differen⸗
fd tialgleichung wird naͤhmlich d 1ee alſo v=
Conſt-fly und o= Conſt-fla daher v=kl 2.
wo die Geſchwindigkeit in C auch unendlich groß iſt(An. d. U. 244.).
91. Zuſ. Fiele ein anderer Koͤrper aus einer Stelle deren Weite von Mittelpuncte=b waͤre, wie voriger aus A; und waͤre n† 1 bejaht, ſo gehoͤrte ſeine Geſchwindigkeit in C, der Hoͤhe
n+ 1 1—. Alſo verhielten ſich beyde Geſchwin⸗ (n+ 1) f
digkeiten wie Pant 1 Pbnr†. oder ſie waͤren (Arithm. VlI. Cap.) in der 2.—
nen Verhaͤltniß der Entfernungen des Anfangs des Falles vom Mittelpuncte. D.s 92. Anm⸗
mahl genomme⸗

58(0O)£.
92. Anm. Von dem Mittelpuncte ſagt man daß er in
der n fachen Verhaͤltniß der Entfernungen,(in n plicata
diſtantiarum) anziehe.
93. Zuſ. Man kann fragen, was der Koͤrper machen wird, wenn er in C gekommen iſt. Ver⸗ moͤge der Geſchwindigkeit die er da hat, wuͤrde er ohne Zweifel fort uͤber Chinaus nach OQ zu gehen wollen. Wie ihn aber die Kraft bis nach C zu zo⸗ ge, ſo zieht ſie ihn wenn er uͤber C hinaus will zuruͤck, und wenn ſie ihn aus C nach O laͤſſt, ſo vermindert ſie alſo wenigſtens ſeine Bewegung durch CO, wie ſie die durch PC beſchleunigte. Man kann ihn anſehen als wollte er von C aus nach ſteigen und die anziehende Kraft wirkt alſo in ihn wie die Schwere in 45; nur mit veraͤnderlicher Staͤrke.
94. Zuſ. Aber eben weil die Kraft hier veraͤn⸗ derlich iſt und ſelbſt unendlich werden kann, iſt die Entſcheidung der Frage hier ſchwerer. Mir ſcheint die Sache nicht unentbehrlich genug in Anfangs— gruͤnden, daß ich mich dabey weitlaͤuftig aufhalten ſollte. Ich will nur eine Erinnerung dabey machen.
97. Zuſ. So richtig es ſonſt iſt, daß Linien die aus einem Puncte nach entgegengeſetzten Seiten gehen, als bejaht und verneint unterſchieden wer— den, ſo wenig darf man doch hier CQ=—yſetzen. Denn wenn man ſolchergeſtalt die Kraft in Qdurch
. 11 ausdruͤcken wollte, ſo wuͤrde dieſer Aus⸗ druck in dem Falle da n eine ungerade bejahte oder
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vern anze: ohn ſo ui verſ Pi Zahs waöſt anef fernc Für ſe andens hüiftds woid dee re rich: Kran liinn V ſoſten V b
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Koͤrper Ver⸗ uͤrde er u gehen zu zo: us will äſſt, ſo gdurch Man ach 0 in ihn erlicher
veraͤn⸗ iſt die ſcheint fangs⸗ halten nchen. nien die Seiten en wer⸗ Fſetzen. Odurch
ſer Aus⸗
bte der ber⸗
+(O)£ 79
verneinte ganze Zahl waͤre, einen verneinten Werth anzeigen; unter einer verneinten Kraft wuͤrde man ohne Zweifel das Gegentheil der bejahten, und al⸗ ſo in Q eine fortſtoſſende wie in P eine anziehende verſtehen, da doch beydes anziehende ſeyn ſollen. Waͤre n ein Bruch deſſen Nenner eine gerade Zahl waͤre, z. E.= † ſo zeigte dieſer Ausdruck gar was unmoͤgliches an, und doch iſt offenbahr, daß eine Kraft, die ſich wie die Quadratwurzel der Ent⸗ fernung verhaͤlt, ſo gut in Qals in P anziehen kann. Fuͤr eine gerade ganze Zahl gaͤbe dieſer Ausdruck die Kraft in Q mit der in Peinerley. Da er aber in den andern Faͤllen offenbahre Unrichtigkeiten giebt, ſo hilft es nicht, daß er in dieſem Falle von ungefaͤhr was wahres giebt. Man muß naͤhmlich uͤberlegen, daß die Linien CQ und Ob hier in Abſicht auf die Kraft nicht als entgegengeſetzt betrachtet werden, weil die Kraft von allen Seiten her in gleiche Entfernungen gleich ſtark nach Cwirkt. Die Kraft ſoll in Qeben ſo ſtark, und eben ſo nach O gerichtet ſeyn als in P, wenn CQ=CP. Alſo muß ſie ſich zu der Schwe⸗ re verhalten, wie die Potenzen des Grades n von †y und von f; denn ſo verhalten ſich, die Kraft in P und die Schwere, nicht aber wie die Poten⸗ zen des Grades n von—y und f.
96. Anm. Die hiebey befindliche Schwierigkeit wird man beſſer kennen lernen, wenn man Hrn. Eulers Mecha⸗ nik I. Th. 269. 273.§. nachleſen will. Man ſ. auch Ro⸗ bins Remarks on Mr. Eulers Treatiſe of Motion&c. p. 10. wo die Erinnerungen gleichwohl mit mehr Haͤrte als Ein⸗ ſicht abgefaſſt ſid. Denn(p. 13.) daß die anziehende Kraft einen Koͤrper nicht aus dem Mittelpuncte treiben koͤnnte,
4 rir † 19 1 4

60 A*(o)£˖*
ſchickt ſich gar nicht hieher, weil nur davon die Rede iſt, V an der
ob er mit der Geſchwindigkeit weiter fortgehen wird, mit welcher er da anlaugt.. d de 97. Aufg. In der Vorausſetzung 87. die Zeit 10 e, zu finden, in welcher Ab zuruͤckgelegt wird. k mdy(n+† 1)fn hen.
4 6;,—(
Aufl Ans 86; 87. iſt dt(an+ 1 yn † 1) d Dieſer Ausdruck laͤſſt ſich ſo allgemein nicht allge⸗ braiſch integriren, oder auf bekannte Quadraturen bringen(An. d. Un. 411. V.) man ſucht alſo be⸗ ton— ſondere Faͤlle wo es angeht. vr an 98. Exempel. Wenn n= 1 oder die anziehen⸗ — 21
de Kraft ſich wie die Entfernung verhaͤlt. dt dy 21 dy: a (———— in der
alſo(An. d. Un. 281. r=1)= Conſt-P 2 f. B ſin 10 (y: a) und weil t=o fuͤr y= a; wo B ſin 1= 1 G Au wenn 1:* die Verhaͤltniß des Durchmeſſers zum b
Umfange, und alſo 2 der Umfang fuͤr den Halb⸗ ſo un
meſſer 1 iſt, ſo iſt o= Conſt-Pf 2 f. ½ alſot=m. Pat.( z Biin T.) m T 2f. Bcoſ-X.
99. Zuſ. Fuͤr die ganze Zeit durch AC, iſty= o lne und ſie wird m.+. 2 f. ½ ¶. In ſie hat alſo die Groͤſ⸗ ſe von AC keinen Einfluß, oder alle Koͤrper, die 256 in verſchiedenen Entfernungen von C ſtille liegen, fen
werden von dieſer anziehenden Kraft in einer Zeit an

Raͤe if vird, mit
die Zei wird.
+)el yn † ¹) t allge⸗
raturen alſo be⸗
ziehen⸗
A(O) ☛☛ 61 an den Mittelpunct gebracht. Durch aber wird
der Koͤrper in der Zeit mo2f. B ſin e gefuͤhrt.
100. Zuſ. Es wird nicht undienlich ſeyn, dieſe Rechnung durch ein beſonderes Exempel zu erlaͤu⸗ tern. Man ſetze die anziehende Kraft ſey in der Entfernung von 500. Fuß der Schwere gleich; ſo iſt f= 5000 00(36) 2 f= 1000 m= 2 ½ (77) und jeder ſtilliegender Koͤrper wird in der Zeit von 1Oedear— 2. 3, 1415— 6, 28 Secun⸗
250. 2
den an den Mittelpunct gebracht. Durch PC
y ka welches B fin= 300= r gibt, geht er
000. 2, 14159 0. 6
1 in der Zeit von= 2, oy Secund.
Iady 101. Lehn u integriren. hnf. y-y*) zu integ Aufl. Man ſetze 1. und ferner a=r
12 ſo verwandelt ſich das Differential in dzir
r. n)aen iſt das Integral(An. d.
Un. 281.) r. B ſin 4. ſo genommen, daß es fuͤr
2. z=o verſchwindet, da denn B ſin den klein⸗ ſten Bogen bedeutet der dieſem Sinus zugehoͤrt.
102. Zuſ.
——W ᷣiũ— ã——— —. 8— 8———, 7 8— *

52(oO)&¼
102. Zuſ. Sollte dieſes Integral, fuͤr y verſchwinden, ſo muͤſſte man gleich anfangs daſſe⸗
be= r. 3 ſn= Conſt ſetzen. Weil nun 2= a
=r fuͤr y= a iſt, ſo kaͤme o= r. B ſin 1+ Conſt oder(100) Conſt== rr folglich das Integral
= r.(B ſin=r) r. B eoſ..
103. II. Ex. Die Kraft verhalte ſich verkehrt wie das Quadrat der Entfernung.(in reciproca
3.0.. dt duplicata diſtantiarum) ſo iſt n=— 2 und 1
5—2 dy. Was hier in dy multiplicirt wird,
2.(a iſt die Puadeaauuie aus— 5 G—) 2 das iſt aus—: iſt a y 18. d3— y) aus a V2. Gr ve) folglich iſt das Diſſerential zur rech⸗ 7 a d ten Hand 4 Den unveraͤn⸗
f 7(ay-y*) derlichen Factor beyſeire geſetzt, ſo zerlegt man den veraͤnderlichen folgender Geſtalt: weil d'(ay= v²)
kady-ydy. y dy Ea dy ——, 2 ſo iſt. 2.) 7 5 2 (aVy- y(ay-y 7(Ay-v*) — —dP(ay-y²); Alſo(102) 1‿., 85
ren. Med
10
der g gekeh Wäre
Naumn So w

fͤr 7n 95 daſel n 2= +† Conſt Integtal
verkehrt ciproca
dt
m
irt wird, ) y
der aus
ur rech⸗
nveraͤn⸗
nan den ay-y) ady
(0O) 63
m 7 a
2. B coſ(ayv); folglich t=.
.F-= (Xa. BcoA(ay»).
Fuͤr die Zeit durch Ab; das Integral naͤhmlich iſt ſ genommen, daß es fuͤr y= a verſchwindet und alſo da=o iſt wo die Zeit durch AP anfaͤngt.
Fuͤr die Zeit durch AC iſt alſo y= o und dieſe
. m a man a Zeit;= †—. 1a. B cof- 1=,.
104. III. Ex. Wenn die Kraft ſich verkehrt wie der Wuͤrſel der Entfernung verhaͤlt, oder n=— 3; dy f.
111——— Sriger chn ſe=j nach gehoͤriger Rechnung — 34„ 2—ydy f, as= v*] davon das Integral al⸗
gebraiſch iſt, naͤhmlich—(a⸗*- vy*²) wel⸗ ches fuͤr y= a verſchwindet und alſo die Zeit durch AP giebt. Durch AcC iſt ſie— Andere E⸗ xempel wo die Zeit algebraiſch wird giebt Euler Mech. I. 289. u. f.
105. Anm. Wie man bisher aus dem gegebenen Geſetze der Kraft die Bewegung beſtimmt hat, ſo kann man um⸗ gekehrt aus dem Geſetze der Bewegung die Kraft finden. Waͤre z. E. die Vergleichung der Geſchwindigkeit mit dem
IVv Raume gegeben, ſo ſaͤꝛde man die Kraft d= e(76) So wenn ſich die Geſchwindigkeit wie der Raum verhielte
oder

—
—
— 2
— —
64 A(O)£
oder v= 5 † waͤre, wo f eine bey ſolcher Gleichung
erforderliche beſtaͤndige Groͤſſe,(wie e in 15) bedeutet ſo waͤre v=— und ber alſo muͤſſte ſich die Kraft auch wie der zuruͤckgelegte Raum verhalten. S. Eul. 326.
u. f.§. V. Cap. Von dem Wiederſtande.
106. Erkl. Ein Koͤrper der durch eine fluͤſſige Materie geht, muß Theile von ihr aus den Stellen treiben in die er gehen will. Hiezu muß er noth⸗ wendig Kraft anwenden; und daher geſchiht in ihm das, was geſchehen wuͤrde, wenn eine Kraft die nach entgegengeſetzter Richtung wirkte ſeine Bewe⸗ gung hinderte. Daher ſtellt man ſich eine ſolche hindernde Kraft vor, die man den Wiederſtand nennt.
107. Zuſ. Dieſer ruͤhrt nur von der Traͤgheit her. Haͤtten die Theilchen der Materie einen ge⸗ wiſſen geringen Zuſammenhang wie Oel und an⸗ dere zaͤhe Feuchtigkeiten haben, ſo wuͤrde noch eine andere Kraft ſie zu trennen, ihre Zaͤhigkeit zu uͤber⸗ winden, erfodert. Dieſe Art von Wiederſtande betrachte ich hier nicht. Wenn ſich die Zaͤhigkeit in eine vollkommene Feſtigkeit verwandelt, ſo wird aus dieſem Wiederſtande, der Wiederſtand feſter Koͤrper, den Galilaͤus zuerſt in der(44) angefuͤhr⸗ ten Schrift zu betrachten angefangen hat.
103. Zuſ.
kannt
1 it alſor Zeir ſehr einet wͤr Ges⸗
der digß 6 Win
10
Sh ſet( dern druc
zlge des, ſande fann
Si

Gleichen bedeutt die Kraft Eul. 326,
fluͤſſige Stellen rnoth⸗ in ihm raft die Bewe⸗ e ſolche rſtand
raͤgheit nen ge⸗ und an⸗ dch eine zu uͤber⸗ erſtande aͤhigkei ſo wid ad feſter ggeführ⸗
6. Zuſ⸗
E(o) 65
108. Zuſ. Der gegenwaͤrtige Wiederſtand(106) iſt ſtaͤrker wenn der Koͤrper geſchwinder geht, und alſo mehr Kraft anwenden muß, ſich in eben der Zeit durch mehr Theile Platz zu machen. Daher ſieht man ihn als eine relative Kraft(27) an, die eine Function von der Geſchwindigkeit des Koͤrpers waͤre. Das Geſetz dieſer Function, heiſſt das
Geſetz des Wiederſtandes. Verhielte ſich z. E.
der Wiederſtand wie das Quadrat der Geſchwin⸗ digkeit ſo hieſſe man dieſes Quadrat das Geſetz des Wiederſtandes.
109. Suſ. Man nehme an, fuͤr eine gewiſſe be⸗ kannte Geſchwindigkeit ſey der Wiederſtand unſerer Schwere gleich, oder, der Koͤrper, der ſich mit die⸗ ſer Geſchwindigkeit bewegt, empfinde ſo viel Hin— derniß, als ob ihn unſere Schwere niederwaͤrts druckte. Die Hoͤhe, welche dieſer Geſchwindigkeit zugehoͤrt, heiſſe der Exponent des Wiederſtan⸗ des. Alsdenn laͤſſt ſich die Staͤrke des Wieder⸗ ſtandes fuͤr jede andere Geſchwindigkeit finden, wo⸗ fern das Geſetz des Wiederſtandes gegeben iſt. Sie wird naͤhmlich ſich zu der Schwere verhalten, wie ſich ein paar aͤhnliche Functionen der beyden Hoͤhen, der die der andern Geſchwindigkeit zuge— hoͤrt, und des Exponentens, verhalten, z. E. wie derſelben Quadrate(108.).
110. Zuſ. Wenn der Wiederſtand fuͤr eine ge⸗ wiſſe Geſchwindigkeit, in einer gewiſſen Materie ſtaͤrker iſt als in einer andern, ſo muß es wohl da⸗ her ruͤhren, daß einerley Koͤrper, in der Zeit in
Matheſis 4ter Theil. E welcher

66&=(o)
welcher er mit dieſer Geſchwindigkeit einen gewiſſen Raum zuruͤcklegen wollte, ſich in jener Materie durch mehr Theile Platz machen muß als in dieſer (106), daß alſo jene dichter iſt als dieſe. Wenn ein Koͤrper einen Zoll weit in Queckſilber geht, ſo muß er vermuthlich da mehr Theilchen wegſtoſſen, als wenn er eben ſo weit in Waſſer ginge. Die⸗ ſes macht alſo begreiflich wie bey Materien von ver⸗ ſchiedener Dichte, einerley Geſchwindigkeit verſchie⸗ denen Wiederſtand finden kann. Der Exponent des Wiederſtandes wird dieſen Unterſchied anzei⸗ gen. Er wird in Queckſilber kleiner ſeyn als in Waſſer, das heiſſt die Geſchwindigkeit, die in Queck⸗ ſilber eben ſo ſtarken Wiederſtand findet, als ob die Schwere entgegen wirkte, wird nicht ſo groß ſeyn als die welche eben den Widerſtand im Waſſer fin⸗ det. Denn einerley Geſchwindigkeit findet im Queckſilber groͤſſern Wiederſtand, alſo muß die, die eben ſo viel als im Waſſer finden ſoll, kleiner ſeyn. Man wird leicht ſehen, daß ich mich der Beyſpiele von Queckſilber und Waſſer nur bediene, dieſe Ge⸗ danken zu erklaͤren, und mich in die Frage nicht einlaſſe, ob wirklich in gleichem Raume, Queckſil⸗ ber mehr Materie als Waſſer enthaͤlt, welches in der Naturlehre muͤſſte ausgemacht werden. We⸗ nigſtens enthaͤlt es mehr Materie die ſich uns durch Gewicht und Wiederſtand empfindlich macht.
111 Zuſ. Materien alſo die nach einerley Ge⸗ ſetze, z. E. beyde nach dem Quadrate der Geſchwin⸗ digkeit wiederſtehen und in ſo weit aͤhnlich heiſſen, unterſcheiden ſich doch durch den Wiederſtand, den
ſie
ſie eir den O poner⸗ andet? wennit derſe9 nerla beydes Falle berqnick der r ut geben ſ wieder den d IIſtl gebenai 148 un ühers lierenwi Ahe Hät digket unſerant ſey V du Weedee 7 G ſop aͤigkan
der(

gewiſen Materie in dieſer Wenn geht, ſ gſtoſſer, . Die⸗ von ver⸗ verſchie exponent d anzei⸗ als in Queck⸗ le ob die roß ſeyn aſſer fin⸗ ndet im nuß die, ger ſeyn. eyſpiele ieſe Ge⸗ ge nicht Queckſil elches in 1. We ns durc ct. rley Ge zeſchwin⸗ ) heiſen, and, den
ſi
(o)£ 67
ſie einerley Geſchwindigkeit entgegen ſetzen, durch den Exponenten der Geſchwindigkeit. Dieſer Er⸗ ponent iſt alſo in jeder Materie nach ihrer Dichte anders, er wird ſich ſelbſt in einer Materie aͤndern, wenn ſie nicht gleichfoͤrmig iſt, d. i. wenn ſich derſelben Dichte aͤndert. So wiederſteht, bey ei⸗ nerley Geſchwindigkeit, unſere Luft ſtaͤrker, naͤher bey der Erde, wo ſie dichter iſt. Alſo waͤre fuͤr den Fall eines Koͤrpers in unſerer Luft der Exponent veraͤnderlich, und waͤre alſo durch die Stelle, wo der Wiederſtand ausgeuͤbt wird, gegeben.
112.Zuſ. Soll eine wiederſtehende Materie ge⸗ geben ſeyn, das iſt, ſoll man wiſſen, wie ſtark ſie wiederſteht, ſo muͤſſen, das Geſetz und der Expo⸗ nent des Wiederſtandes gegeben ſeyn.
113. Aufg. Ein Koͤrper bewegt ſich in einer ge⸗ gebenen wiederſtehenden Materie in der Linie AP; 4 F. und hat in P die Geſchwindigkeit welche der Hoͤhev zugehoͤrt. Man fragt wieviel er davon ver⸗ lieren wird, indem er den Raum Pp= dx durchlaͤuft.
Aufl. Der Exponent des Wiederſtandes ſey= q. Haͤtte der Koͤrper, die ihm zugehoͤrige Geſchwin— digkeit(43) ſo litte er einen Wiederſtand, der unſerer Schwere= 1(72) gleich waͤre(109). Nun ſey V die Function von y, die das Geſetz des Wiederſtandes ausdruckt, und Q die aͤhnliche von 7 q ſo verhaͤlt ſich der Wiederſtand den die Geſchwin⸗ digkeit q findet, zu dem welchen v findet, wie
... V Q:V;(109) weil alſo jener= 1ſo iſt dieſer= 82 E 2 Das

68 2()£☛
Das kann man alſo als eine Kraft anſehen, wel⸗ che die Bewegung hindert(106), wie p(86) ſie
1 r. V beſchleunigte, alſo iſt hier dv=- dx. Der
Wiederſtand im ganzen betrachtet, iſt zwar eine relative Kraft(108). Aber der beſtimmte Wieder⸗ ſtand, der einer gewiſſen Geſchwindigkeit— v zu⸗ gehoͤrt, iſt in dieſem Augenblicke als eine abſolute zu betrachten. Er hindert naͤhmlich die Bewegung dieſen Augenblick uͤber, eben ſo, wie eine abſolute die ihm gleich waͤre, ſie hinderte.
114. Zuſ. Q iſt entweder unveraͤnderlich, oder durch die Stelle P, folglich durch x gegeben(111) und alsdenn eine Function von X; aber V eine von
d— d x v. Daher ſind in der Gleichung v= 5
die veraͤnderlichen Groͤſſen allemahl von einander abgeſondert(An. Un. 405.).
V 115. Anm. S bedeutet eine der Bewegung entgegen,
geſetzte beſchleunigende Kraft(49) die man alſo mit der Maſſe des Koͤrpers multipliciren muͤſſte, wenn man die aus ihr entſpringende bewegende Kraft haben wollte. Da⸗
mit man aber dieſe Unterſuchung nicht ohne Noth verwi⸗
ckelter macht, ſo ſetze man die Maſſe unveraͤnderlich, oder vergleiche nur den Wiederſtand den einerley Koͤrper in ver⸗ ſchiedenen Materien leiden.
116. Aufg. In einer gleichfoͤrmigen Materie (111) die nach einer Potenz der Geſchwindigkeit widerſteht(in ratione multiplicata celeritatis) verlangt man die Bewegung eines Koͤrpers zu beſtimmen, den
auſſer

den, we
(86) X. Der
war eine Wieder⸗ v zu. abſolute ewegung abſolute
h, oder n(111) eine von
— dx
einander
entgegen,
» mit der man die llte. Dar th verwi⸗ lich, oder zer in ve⸗
Materie indigkeit verlangt zmen, den
auſſer
2(o) X 69
auſſer dem erſten Stoſſe, mit dem er in Bewegung geſetzt worden, ſonſt keine Kraft treibt.
Aufl. Seine Geſchwindigkeit in A 4 F. gehoͤre der Hoͤhe c zu. Auch ſey AP= x. Der unver⸗ aͤnderliche Exponent des Wiederſtandes=—k, und das Geſetz vm der Wiederſtand ſoll ſich naͤhmlich wie die Potenz 2m der Geſchwindigkeit verhalten. Alſo iſt(113) V= vm; Q=km und dv=—
m d d 1—m VIIIdX V X V oder= alſo——= Conſt- Km v km 1 m
X Im· Fuͤr X=o ſoll ſich v in cverwandeln, alſo iſt K
CI=W(Corſtundy 1=m=.(1.m) 1—m km Wennm n ſo laͤſſt ſich dieſes ſo ausdruͤcken:
1-m(1=m) x 3 6 = Pm. im y. Für me1 ſſ — 1) X —— En 1) alſo v= c. vm 1 cm- I km m- I km
. Fuͤr m=I iſt die km.(m- 1)cm= I.x
d d Differentialgleichung=—— logarithmiſch,
(An. Un. 218) und lv= conſt- alſo le= E 3 Conſt

Er(6) Conſt und lv= le— Poder P=lc-lv=.
X Nun ſey le= 1(An. Un. 232.) ſo iſt Kle= X X X
—— C— und auch=le k alſo le k=folglich e kK= X
c—
—
F oder v= c. e k So findet man alſo fuͤr
jedes angenommene X die zugehoͤrige Potenz von e, und berechnet daraus v.
117. Zuſ. Dieſes letzt gefundene gilt alſo wenn ſich der Wiederſtand wie das Quadrat der Ge— ſchwindigkeit verhaͤlt. Da verſchwindet nun die Geſchwindigkeit nicht eher bis Xx unendlich wird, oder der Koͤrper geht unendlich weit fort, ehe ſeine Bewegung durch den Wiederſtand vernichtet wird.
118. Zuſ. Wenn m S oder die Materie ſtaͤr⸗ ker als nach dem Quadrate der Geſchwindigkeit wie⸗ derſteht, ſo verſchwindet v auch nicht eher, als bis x unendlich wird, und iſt ſonſt uͤberall endlich,
auch wenn c unendlich waͤre, denn da kaͤme v= m- I km
1(m- 1)X ches c bey m= z auch v unendlich. Das heiſſt: Ein Wiederſtand der dem Quadrate der Geſchwin⸗ digkeit gemaͤß waͤre, lieſſe einem Koͤrper der ſich mit unendlicher Geſchwindigkeit zu bewegen anfinge, immer noch unendlich viel, aber ein ſtaͤrkerer Wie⸗
derſtand
Gegentheils waͤre fuͤr ein unendli⸗
—
iw alch: . uus e- niitt 6. Gen
1
V Hng

alſo fuͤt zvone,
owenn er Ge⸗ nun die ) wird, ehe ſeine wird.
ie ſtaͤr⸗ eit wie⸗ als bis endlich, me v=
anendli⸗
s heiſt: eſchwin⸗ ſich mit anfinge, rer Wie derſtand
(o)££☛ 21
derſtand verminderte dieſe anfaͤngliche Geſchwin⸗ digkeit, auf eine endliche.
119. Zuſ. Wenn der Koͤrper zuvor ſchon ehe er mit einer endlichen Geſchwindigkeit in Aange⸗ langt war, ſich(117) in eben der Materie be⸗ wegt hat, ſo muß er irgendwo eine unendliche ge— habt haben. Die Stelle zu finden, ſetze man den Nenner von v naͤhmlich kmr(m- 1) cmI
kln 1 X=o dieſes gibt Xx=— 3 verneint, (m- 1). cm I weil ſie ſo weit uͤber A hinaufliegt. 120. Juſ. Fuͤrm= verſchwindet die Geſchwin⸗
1 Smpm
C
digkeit wox= So tief unter Ageht
1— in alſo der Koͤrper, und bleibt da ruhig liegen.
121. Zuſ. Fuͤr m= o waͤre der Wiederſtand unveraͤnderlich und der Schwere gleich. Auchv= c-X der Koͤrper ginge naͤhmlich mit der gleichfoͤr⸗ mig verminderten Bewegung in(45).
122. Zuſ. Wenn der Wiederſtand ſich wie die
Geſchwindigkeit verhaͤlt, alſo m= X ſo iſt vx= c⸗* EX X
L5 oder= Pe-pPv; was rechter
Hand ſteht, iſt die Geſchwindigkeit die verlohren worden iſt, indem der Raum X iſt beſchrieben wor⸗ den, und ſich alſo wie dieſer Raum verhaͤlt. Newt.
Princ. L. I. Pr. 2. E 4 123. Aufg.
—

172(0O)£
123. Aufg. Bey(116.) die Zeit t zu be⸗ ſtimmen.
Aufl. Fuͤr m= iſt(das m von(86) jetzo beyſeit geſetzt)
2 m— 2
m m- I deeL in)e„ dx
(c. km:(m- ¹))
T
2 m 2
(kn.(r; cm=.).(m- ¹). cm-I dx
(m- 1). cin 1.(erkem:(m. 1))
Der Zaͤhler mit An. Un. 245. verglichen, iſt
dorten c a X p p† 1 4 I 2 mm— I hier 1lm(m- 1). c-I. x 2 m-2 2m=2
alſo t= m z⸗(lm †(m- 1). em- 1x)(2m- 1)(2m- ²)
(2 m-).(m- 1). cm- 1..(c. km:(m- ¹)) + Conſt
Nun iſt t=o fuͤr X= o alſo
2. K m.(2m- 1):(2m- 2) 0+ Conſt und (2m- 1).cm=I(c. km:(m- ¹))
2m- I
(zm²-m):(: m- 2) 1— 2.(KIn+(m-n). cin-I x) 2m- 2. 2k
—
N8
(2m- 1). em-.(ckm:(m- ¹))
Eben
MPan V in dn nd he 8 adet)

m-Ldx
(O) X 73
Eben das kann auch gebraucht werden wenn m 1 weil man die Verkehrungen 117. nur machte, daß uͤberall bejahte Exponenten kamen.
X: 2 K Fuͤr m= iſt dt= dxe
Den Zaͤhler zu
integriren iſt in An. Un. 242. dorten em
I hier o=
2 K 2 Ke X: 2 K 2 k = ſt;=— alſo t+ Conſt; und 0— Conſt qlſo te 2.(e. 4-9) c
Wenn man in dieſem Werthe der Zeit, die Laͤngen in Tauſendtheilchen des Rheinl. Fuſſes ausdruckt, und alsdenn was herauskoͤmmt mit 250 dividirt oder mit 0, 004. multiplicirt, ſo hat man die Zeit in Secunden(77).
124. Zuſ. Weil e g 1(An. Un. 232.) ſo iſt ei⸗ ne Potenz davon, deren Exponent unendlich iſt, auch unendlich, und folglich wird fuͤrm= 2, der unend⸗ liche Raum, in welchem der Koͤrper ſeine Geſchwin⸗ digkeit voͤllig verliert(1 16) in unendlicher Zeit be— ſchrieben. Eben ſo verhaͤlt es ſich auch wenn m 1 da allemahl 2m 1. In dieſem Falle findet ſich die Zeit in welcher die unendliche Geſchwindigkeit die der Koͤrper ehe er in Aanlangte irgendwo haͤtte,
E 5 auf

74 ExN(O) ½
auf die endliche in A iſt vermindert worden(118) aus dem ihr zugehoͤrigen dort gefundenen Werthe 2 KiII von x;z Sie iſt alſo ImI, verneint,
(2m- 1). c 2 weil ſie vor der Ankunft in Averflieſſt. Iſtm=1 ſo wird man den gefundenen Ausdruck der Zeit ſo zu ordnen, daß der veraͤnderlichen Groͤſſe Potenz allemahl einen bejahten Erponenten hat, zweene Faͤlle, 2ꝛm— und 2m 1 uneerſcheiden muͤſ⸗ ſen; wie man eben deßwegen in u6. die Faͤllem= 1 undm n unterſchieden hat. So wird man nach gehoͤriger Anordnung dieſes Ausdrucks finden, daß
fuͤr m= t, der endliche Raum in welchem die
Geſchwindigkeit vernichtet wurde(119) in unend⸗ licher Zeit, aber fuͤrꝛ m=I in endlicher beſchrie⸗ ben wurde.
125. Zuſ. Fuͤr 2m= 1 muß man die Zeit un⸗ mittelbar aus der Differentialgleichung ſuchen.
2 Mkdx Naͤhmlich(121) dt=— Dalſo(An. Un. Conſt 218) t= 2 kl=(c)= und o= 2 kl Conſt pcc) Alſo Conſt= 2(ck); undt= 2 k.] 2(cle)
pP(c b welches fuͤr den Raum in welchen
hier die Geſchwindigkeit vernichtet wuͤrde(119) auch unendlich wird.
125. Zuſ⸗
⸗
andch diem ſcht dl Difat ſenvn Aug. der io len ze

rden(u n Werte
verneint
4
ſtme er Zeit ſo e Poten „zweene den muͤſ em S nan nach en, daß hem die unend⸗ beſchrie⸗
geit un⸗
ſuchen. An. Un,
2 P k 2 Pkl welchen
e(1¹9)
25. 3uſ.
(O)£2 27
125. Zuſ. Der Koͤrper verlieret ſeine Geſchwin⸗ digkeit erſt in unendlicher Zeit, das iſt nie, wenn m nicht kleiner als ½ iſt(124. 123.).
126. Aufg. Der Koͤrper wird waͤhrend ſeiner Bewegung von einer abſoluten Kraft p getrieben, man ſucht dv.
V Aufl. D) dv=pdx-— dx wenn die Kraft ſeine Bewegung beſchleunigt; oder I!) dv=—
V P dX- 82 dx wenn auch ſie ſeine Bewegung hindert.
127. Zuſ. Man ſieht p wenn ſie nicht unver⸗ aͤnderlich iſt, als eine Function von x an. Denn die Staͤrke dieſer Kraft wird, wo ſie ſich aͤndert, ſich nach der Stelle aͤndern, wie in 83. Weil nun V eine Function von v iſt(113), ſo ſind in der Differentialgleichung(126) die veraͤnderlichen Groͤſ⸗ ſen vermengt(An. Un. 407.) und in der groͤßten All⸗ gemeinheit hat man keine Methode ſie von einan— der zu ſondern. Drey Faͤlle wo dieſes angeht fal⸗ len in die Augen.
128. I. Fall. Wenn p und q(113) beyde un⸗
veraͤnderlich ſind; da iſt auch Qunveraͤnderlich und dv V= dx wo auf der linken Seite alles Ver⸗
aͤnderliche durch v gegeben iſt. Dieſes findet ſtatt, wenn ein Koͤrper, den eine unveraͤnderliche Kraft treibt, in einer Materie die durchaus einerley Dich⸗
te

75 LN(o)*
te hat, z. E. ein Stein in Waſſer, ſinkt. Waͤre P. Q eine unveraͤnderliche Groͤſſe= A alſo A ſo haͤtte man auch die veräͤnderlichen Groͤſſen von
einander geſondert und
¶ V A— dX. 129. II. Fall. V= v; alſo auch Q=q; und 9 deeh da e dx; wo q eine Function von X iſt
(114). Man vergleiche dieſes mit ady=byn pdx-†yp dx An. Un. 412;(wo in der erſten Zei⸗ le der 356. Seite; ady ſtatt des Druckfehlers adx ſtehen muß) ſo iſt
dorten a ybſqſn p z 1 fâ* hier IIſvi p ſoſ g e.— Die dortige Integralgleichung O wird alſo hier =2 d Conſt— 1= ſz. 1* pdx oder conſt=i2 3
wo ſtatt z der nur angezeigte Werth zu ſetzen iſt. Welches Conſt† v. ef(dx: q)= ſef(dx:—). pdx
giebt, wo alles wenigſtens auf Quadraturen ge⸗ bracht iſt(An. Un. 406.).
130. III. Fall. Man verſuche ob ſich(p— ) dx- dv= o auf eine gleichartige rationale
Gleichung bringen laͤſſt, mit der man nach An. Un. 413.
—
41:13 henn
„
wio¹0. Vrn
diemu zenogi de X” da6 nebir Ia n mn= 9-e0 nitäs dera
*-
u 66 0 G uoen
a.7.
uni tero ten, g

= by ken Zei⸗ kfehlers
uren ge⸗
ch(p- rationale
An.Un. 413·
(O) ☛ 77
413. verfahren koͤnnte. Soll nun dieſes geſche⸗ hen, ſo muͤſſen ſich Vwie eine Potenz von v; qundp wie Potenzen von x verhalten. Denn waͤre z. E. V nicht wie eine einzige Potenz von v, ſondern wie die Summe von etlichen; ſo muͤſſten dieſer Poten⸗ zen Exponenten unterſchieden ſeyn, und ſo beſtuͤn⸗ de Vdx aus verſchiedenen veraͤnderlichen Theilen, da in dem einen die veraͤnderlichen Groͤſſen zuſam⸗ men nicht die Abmeſſung wie in dem andern aus⸗
machen koͤnnten. Dieſes voraus erinnert, ſetze
man q=BXg wo B eine Potenz des Exponenten
B= von einer unveraͤnderlichen Linie bedeutet, da⸗ mit q eine Linie wird, die ſich wie die Potenz 8 der Linie x verhaͤlt, z. E. wenn 8=g ſo waͤ⸗
48 re q— Su Ferner iſt peeine Zahl(67) und zugleich eine Function von X(126) alſo, weil es eine Potenz ſeyn ſoll p= Cx) ſo, daß C einer unveraͤnderlichen Kiineſehunens vom Exponenten—) bedeutet. Nun ſalS auch eine Zahl ſeyn(113)
und weil die Functionen ſich nur wie einzelne Po⸗ tenzen verhalten ſollen, ſo muß ſich V:O verhal⸗ ten wie eine gewiſſe Potenz von y, zu eben der
von q(113). Alſo ſetze man VGO= VAq vA.: BG X8. Solchergeſtalt wird die Glei— chung des ſin von gegenwaͤrtigen Abſatze;
C 4 dx- dv=o oder B2G
(C.

78 X(o)£
(C. B.2xa†-va) dx-Bax Badv=o.
Die vergleicht ſich nun mit der An. Un. 418. fol⸗
gender Geſtalt. Es iſt dorten x y a Inſm ſb qſpe frs
hier[X vſC. Baορναι-=I αſo,Be 82Qp 0
Die dortige Vergleichung zwiſchen den Exponenten heiſſt alſo hier ſo:
(o- 24 1).(O-- y)=(0-ga. 1).(o0- a) oder(α.⁸— 1).(a8+)=(2½- 1). 4 welches (a- 1).=(-1) α giebt. Soll ſich alſo gegen⸗ waͤrtige Gleichung gleichartig machen laſſen, ſo muß
a.— 1:2= B= 1:*) ſeyn.
Fuͤr eine gleichfoͤrmige Materie(111) iſt q unver⸗ aͤnderlich, alſo= o und„=—. Soll alſo
die Gleichung hier gleichartig werden, ſo muß ſich p wie die Potenz— verhalten wenn ſich der
Wiederſtand wie die Poten, à von v verhaͤlt. 131. Aufg. In einer gleichfoͤrmigen Materie, wo ſich der Wiederſtand wie das Quadrat der Ge⸗ ſchwindigkeit verhaͤlt, wird ein Koͤrper von einer unveraͤnderlichen Kraft= getrieben, man ſucht ſeine Geſchwindigkeit. Aufl. Hier ſ d(113) unveraͤnderlich, es ſey
V =k; ſo iſt— S=; P=g; und(126) dv=(g-
P) dx. Alſo in An. Un. 422.(wie 119). dorten
Die dit X bolcta. den; Ji mulren.
em
d4
alſo (r-9 4
Feſts 1=9)
316
V fangen e
Xbap
neint jg

32 0 donenten (0- a) welches gegen⸗ ſo muß unver⸗ doll alſo nuß ſich ch der
lt.
daterie, der Ge⸗ m einer n ſucht
es ſey =(g-
dorten
ET(O) 79
dorten vIXaſbſnſq p 2 1—X:k
hier vIXTTg oI f ſe Die dortige p und q naͤhmlich, die Functionen von x bedeuten, koͤnnen auch beſtaͤndige Groͤſſen wer— den; weil man ſie als beſtaͤndige Groͤſſen in X- multiplicirt anſehen kann.
So wird die dortige Gleichung O, hier
Gonf Sde
— 1 — 1. N
Den Theil rechter Hand integrirt man aus An.
Un. 242. es iſt naͤhmlich
dorten«m
hier o V 1: k alſo das Integral kex*: k. Folglich Conſt+ (v=gk). eX:k= o. Es ſey die Geſchwindigkeit Pc fuͤr Xx:o ſo iſt Conſt v-gk= o da man denn v= gk+(c-gk). e-X:k findet.
132. Zuſ. Wenn die Geſchwindigkeit im An⸗ fange=o iſt, ſo iſt v= gk.(1—e—X K). Wenn xX waͤchſt, ſo iſt das Differential von e-X:k ver⸗ neint,(weil in An. Un. 241; das dortige m hier == 1:k) alſo nimmte X:K ab, wenn X waͤchſt. Nun iſt es= fuͤr X=o folglich fuͤr jedes bejah⸗ te x, kleiner als 1, wie auch ſeyn muß wennv be⸗ jaht und die Geſchwindigkeit moͤglich ſeyn ſoll. Wenn alſo x waͤchſt, nimmt das was rechter Hand
von
= g. fex: k. dx.

—
80*(0) ☚
von abgezogen wird ab, und die bejahte Groͤſſe v waͤchſt; Alſo nimmt die Geſchwindigkeit immer zu, wird aber doch nicht unendlich, weil fuͤr x=,
e-X:k verſchwindet(man ſehe 124.) und v= gk wird. Alſo naͤhert ſich die wachſende Geſchwin⸗ digkeit immer der Graͤnze P gk.
133. Zuſ. Finge der Koͤrper in 131. ſeine Be⸗ wegung mit der Geſchwindigkeit †† g Kan, ſo wuͤrde ſeine Bewegung gleichfoͤrmig, es waͤre naͤhmlich in 131; v= gk. Dieß erhellet auch wenn man v= gk
in der Differentialgleichung dv=(g- C). dxſetzt, denn da iſt allemahl dv= o.
134. Zuſ. Wenn cgk, ſo iſt in 131; alle⸗ mahlvgk ſo lange Xx endlich iſt. Gleichwohl waͤchſt v immer, denn weile—X:Kabnimmt,(132) ſo wird von gk immer weniger und weniger abge⸗ zogen, und ſo naͤhert ſich v eben der Graͤnze gk die es erſt fuͤr x= erreichte.
135. Zuſ. Wenn c= gk ſo iſt in 131. alle⸗ mahl v= gk wuͤrde aber= gk fuͤr x= o. Daes ſich alſo dieſer Graͤnze naͤhern muß, und zuvor groͤſſer iſt, ſo wird des Koͤrpers Bewegung hier vermindert.
136. Anm. Wenn der Wiederſtand verſchwaͤnde, oder der Koͤrper in einem leeren Raume ginge, ſo muͤſſte k=
V ſeyn, damit P verſchwaͤnde. So wuͤrde ſich die Diffe⸗
rentialgleichung 131. in dv=gdx wie in 76. verwandeln. Den Ausdruck von v, den man am Ende von 131. fand, wuͤrde
2
—
1³
0
gät 3* uK ſchran. unduff der ſ
.

Gräſen mmerſu, X= o. dv=g!
je ſchwin
eine Be ſo wuͤrde zmlich in v=gb
lxſth,
1; alle⸗ ichwohl nt,(132) rabge⸗ gk die
1. alle⸗ Daes
zuvot ng hiet
de, odet ſte k=d ie Diff wandeln. 1. fand,
würde
(O) ☛ 81
wuͤrde man hier folgendergeſtalt brauchen. In An. Un. 239. ſetze man ſtatt des dortigen x hier— S. ſo hat man fuͤr jeden Werth von k.
X X2 X3
2 kK2 o K Folglich c= gk mit dieſer Reihe multiplicirt, und was ſich aufhebt weggelaſſen.
CX CXZ EX3
V=—— ⏑% 6 6 K 2 K 2 6 K ³ gX gXIM gX4 X— 5——. 0 †+ g 2 k 85 6 kK ² 24 K3
Fuͤr k== bleibt nur c† gx wie in 81.
137. Anm. Wenn ein ſehr dichter Koͤrper ſich in einer ſehr dunnen Materie bewegt, wird k ſehr groß ſeyn(110) und da findet man v ziemlich genau durch die erſten Glie⸗ der der Reihe(136).
138. Aufg. In 131. die Zeit zu finden.
Aufl. d d X
ufl. dt= Tegk(- gk).e- X:k) 1313 wegen des m von 8§6. das man weglaͤſſt ſ. 123. am Ende). Dieſes zu integriren ſetze man e X:k= 2, davon man das Diſferential vermittelſt An. Un. 241. findet, und c-gk=b ſo wird dt=
—kdz Noch ſey gk4† bz=r= oder 2=
(86;
2+(gk+ b z) 2—= g!— 2 kd
3 5 B ſo wird— Was in dr mul⸗
tiplicirt iſt, hat zum Nenner(r+ ‿ g k).(r= g b) Matheſis Ater Theil. F und

8²(O)
und laͤſſt ſich alſo nach An. Un. 361. zerlegen. Es iſt naͤhmlich
dorten M N p-qz 8 p V 1 4 hier[= 2 kfr=-gk NgkrI=T gk r=p gk — 2 k K
alſo A= pgk-=Pgk
Ferner, wenn das dortige M, N, hier noch eben die Bedeutungen behalten, aber der andere Bruch ge⸗ ſucht wird
wren P= d. 3 e. g hier gkAr gb Pr+†gk — 2 K' K Ae—,—. alſo Ae e e 1 Folglich dt= 2 dr- E. dr und r †gk rP gk „ I†rgk (An. Un. 218.) t=7— 3 lr=Eeg* Conſt Nun iſt t= o fuͤr x= o, dde 2= oder r= c+ g —=z l (gk+ b)=pe; alſo o= e
rgk 1e 0
Conit undt= E. 02 7 gk 1= gk
g Nun iſt ree 355 wenn man mit dem Zaͤhler
oben
tes
d womas candes
5
Ziith V b er.
Der

Ir und
onſt
(o)&☛ 83
f C K) 2 oben und unten multiplicirt en—
—
gk E g L)= errek(EeEeL)⸗ e und eben ſoge-o. eg Folglich t= E((r. g k)— 1b z- 21( ce eh AI(c*)) r(—+†l—) weil-gke=b
Aber 12— 1= alſo die Werthe von r, z, und
b wieder Hergeſteüde
f=e IES c. gbtebek Vg Ne †‿gk
womit man wie in 123. verfaͤhrt die Zeit in Se⸗
cunden zu finden.
139. Zuſ. Fuͤr c= o iſt das was hinter den
Aee r kr„. Zeichen desLogarithmen ſteht ek i-egk
gk X:K X2 2 k —— X:k(e—Me. )(re 1*T eX: 2 k Der Logarithme hievon iſt IEeX“kK- 1) †ex*: 2b) e
8 2 Folglich

84 N(0O)*½ Folglich wird fuͤr dieſen Fall. 1— tee 277 1CT(exik- 1)+ex*: ²K)
140. Zuſ. Hier laͤſſt ſich aus der gegebenen Zeit der Weg x finden. Denn: bedeutet die Menge von Secunden, durch welche die Zeit auszudruͤ⸗ cken iſt,
3 k—„ ſo iſt t=- E1 Shae Pex: 2k)
oder 125 tT E ä 1P(e*⁴ kK- 1) Pex: 2k)
Weil nun was linker Hand ſteht mit le= 1 mul⸗ tiplicirt, den Logarithmen einer Potenz von egiebt, die eben dieſes, was mit le multiplicirt wird, zum Exponenten hatte, ſo hat man auf beyden Seiten Logarithmen und dieſelben weggelaſſen,
g e 125 t K=(XkK- 1) eX:2 K WMan nenne was linker Hand ſteht n; daß n- exX: 2 kK= P(e x: K- ¹); wenn man auf bey⸗
den Seiten quadrirt, findet ſich endlich XS2kK.
5. alſo==— 2 und 1= 2 k.(12 4
„ —
gL - In). Aber In= 125 t:; alſo X= 2 kl
n 4—259t Pgk. Iſt ſo k in Tauſendtheil⸗
chen des rheinl. Fuſſes, t in Secunden gegeben, und

K)
enen Zei ‚Menge uszudru⸗
exib) X. 2k)
mul⸗ egiebt, ird, zum
Seiten
n; daß auf ben
2k.
1
(= 2
endthei⸗
ggeben, — und
&(e)£* 85
2
1 ge⸗ braucht, ſo findet man x in Tauſendtheilchen des rheinl. Fuſſes.
141. Zuſ. Fuͤr ein groſſes k(137) faͤnde man in(130⁰) die Zeit folgendergeſtalt beynahe, durch eine Reihe wo man x.: k fuͤr klein annaͤhme. Man
druͤcke erſtlich(ex:k- 2) durch eine Reihe aus, die ſi h fuͤr ein kleines L naͤhert. Dieſes geſchicht folgendergeſtalt:.
Es ſey=w; ſo iſt(An. Un. 239.) ſtatt des
. A 2. n und wird der natuͤrliche Logarithme von
dortigen x hier 5= wa geſetzt
X:k 3 4 v 6 eX1kK.-I== wa.(i++. N. Vee
= wa. S alſo die geſuchte Wurzel=w. 70 S. Man ſuche alſo 7— 8= 1. y An. endl. Gr. 625. wo y=* † g* 6.+† W... alſo die
Potenzen dieſer Ra zerſt gehoͤrig berechnet 1— Ey= 1+1. wW2+ ½ wa+ W5 245 W
1 2— E— 5 83—. 22 4 8 2. 8 V3=— 1—— +† 18. y+ 1.8+ 16. 8 — 14G 4—— 5 128. 16
Wenn man die Bruͤche gehoͤrig juſgunnen rechnet ſo findet man 8= † 1w2+s wa w+†
ws. 3. 8. 5. 48 W F 3 alſo

86(O)
alſo -(eX:K- 1)= w+ w Sw5 †+ 12 w”* 1 8 4 5 8 I2 9 * 3. 5. F. 48 7
8 XIK=I E H gF. Jh. S el en 45 ken
die letzte Reihe aus An. Un. 239. ſtatt des dortigen x hier X: 2 k oder wa geſetzt.—
Beyde Reihen zuſammen nun, machen eine aus, deren Logarithmen man nehmen ſoll.
In der Formel alſo fuͤr 1Cr u) An. Un. 220.
ſetze man u dem veraͤnderlichem Theile der aus bey⸗ den einzelnen zuſammengeſetzten Reihe gleich, ſo iſt w3 † F w4+ W*
u= w † w**† 5 1u3==2 2 4 41 Fu⸗ †;z= —z u— ¼— T† rus= 4. der Logar.= w †+ 2 wW † a WS
Ich zeige hier nur wie die Rechnung muß ge— macht werden, und ſtelle deßwegen ihren Anfang vor. Nimmt man in der Reihe fuͤr u mehr Glie⸗ der, z. E. die erſten 9, da man auf die 9 Potenz von w koͤmmt, und ſo weit habe ich die Reihe vorhin angegeben, ſo kann man in dem Logarithmen auch bis auf dieſe Potenz von w gehen, zu welcher Abſicht man von den Reihen, die die Potenzen von u ausdruͤcken, alle Glieder berechnen muß, in de⸗ nen die 9 Potenz von w, oder eine niedrigere be⸗
ſindlich iſt. Die⸗
d reche
man bere
wied
nunos
ein i
die 80 fen. z3 ſaͤnddr da de chen waͤr
Stl b
A
det, Kraft wegu die ve
V b

artigen e aus,
.220. 5 bey⸗ ſo iſt
5 5 W
ß ge⸗ nfang Glie⸗ Hvoteng Reihe thmen velcher en von
in de⸗ ere be⸗
Dien
A(O) ☚2 87 Dieſer Logarithme nun, ſo weit als man ihn be⸗
k rechnet hat, mit 27— mulitpplicirt giebt t. Wenn
man den Logarithmen bis auf die 9 Potenz von w berechnet hat, und alsdenn ſtatt w ſeinen Werth wieder herſtellt, ſo findet man nach Eulers Rech⸗ nung Mech. L. I. 453.
= X t=(2+ f+
84) 46050 K4“ Welches fuͤr ein unendliches k,(136) die Zeit wie in 80 giebt, wenn man noch mit m(77) mul⸗ tiplicirt.
142. Aufg. In einer Materie wie(131) wird ein Koͤrper in C7 Fig. mit der Geſchwindigkeit die der Hoͤhe c zugehoͤrt aufwaͤrts nach A gewor⸗ fen. Die unveraͤnderliche Kraft g wirkt ihm be⸗ ſtaͤndig entgegen,(wie wenn ein ſchwerer Koͤrper der Richtung der Schwere entgegen, in einer ſol— chen wiederſtehenden Materie aufwaͤrts geworfen wuͤrde). Man ſucht die Geſchwindigkeit in jeder Stelle P; wenn CP= x.
Aufl. Hier iſt dv=-(g+ P) dXx. Es aͤu⸗
dert ſich naͤhmlich in 131. blos die Wirkung der Kraft g, welche dorten beſchleunigte, hier die Be⸗ wegung hindert, daß alſo die Veraͤnderung von v die von ihr herruͤhrt,—gdx eben ſo iſt wie die aͤhn⸗
, F 4 liche

38(o) X
liche Veraͤnderung in 131+gax war, die Kraft thut naͤhmlich hier eben ſo was wie die Schwere in 45. Man koͤnnte nun dieſe Differentialgleichung wie in 131. integriren. Es iſt aber nicht noͤthig dieſe Arbeit von vornen anzufangen. Denn da hier und dorten, g nur entgegengeſetzte Zeichen hat, ſonſt alles einerley iſt, ſo darf man nur in der dor⸗ tigen Integrale— ſtatt+g ſchreiben. Alſo wird fuͤr die jetzige Unterſuchung v= e X:K.(c4+ gk) — gk.
143. Zuſ. Wenn der Koͤrper bis an A ſteigt, alſo daſelbſt die Geſchwindigkeit verſchwindet, ſo
. 1— iſtoee* k.(c† gk)=gk oder er=e—Xk
T gk 36, Zk X— c4 gk das iſt! ehk oder Xx= kl—=CaA
144. Zuf Fuͤr eine duͤnne Materie,(137) und
ein x das in Vergleichung mit k nicht allzugroß iſt, findet man v beynahe ſo daß man die Potenz von e nach 136. in eine Reihe entwickelt. Da iſt XZ2 3
denn= e-( †).(X-+5E)
2 k 145. Anm. In 47. war das Steigen durch KL den
Fallen durch L K aͤhnlich. Dieſes kaun hier nicht ſeyn,
weil beym Steigen, beyde Kraͤfte, g und der Wiederſtand
hindern, beym Fallen jene beſchleunigt. Wenn die Ma⸗
terie, beym Fallen, an ſtatt zu wiederſtehen fortſtieſſe, ſo
wuͤrde ein Fall in ihr dem Stoigen in der wiederſtehenden Naterie aͤhnlich ſeyn.
146. Aufg. In 142. die Zeit zu finden. — Aufl.
*
Au duͤrfte Ende! Aber druck. ſolche wird h Kreis V dt=;

ie Kriſt hwerein leichung noͤthig da hier en hal, der dor⸗ ſo wind c*)
) und zugroß DOotenz Da iſt
KL den üt ſeyn, derſtand de Ma⸗ iieſſe, ſ tehenden
*
Aufl.
(eO) ☛ 89
Aufl. Nach der 142. gemachten Erinnerung duͤrfte man in dem Werthe von t, welcher 138. am Ende gefunden worden, nur=g ſtatt †g ſetzen. Aber da kaͤmen unmoͤgliche Groͤſſen in den Aus⸗ druck. Nun weiß man aus An. Un. 324. daß ſolche Logarithmen Kreisbogen bedeuten. Man wird alſo die Differentialgleichung fuͤr die Zeit durch Kreisbogen integriren. Wie naͤhmlich in 138; dt=— war, ſo wird hier dt=— 2 kK dr
——. 72—-X:k r= Tgk“ und b=c†gk; r==(c †gk). e
— gk ſeyn. 2 K dr: Pgk Alſo iſt dreie preſ. 14 1
Un. 299). gk k r. t= Conſt- 2 9 28 tang Fgl Und weilt So fuͤr x= o oder r⸗= e, d iſt k t 27 Stong g— B tang 2—e'
Man ſebe in Trigon. 10,G. 4. Zuſ. dorten T t .) c r bier FgkſF g ſo iſt die Tangente des Bogens, der den Unter⸗ ſchied beyder angezeigten Bogen ausmacht, nach e-=r).gk
folglich(An.
gehoͤriger Rechnung

90(oO)£
k e- r). Pgk 1— 27 g. Btang Fr
von r wieder hergeſtellt.
oder den Werth
K t=2⸗=. Btang 8 gk+‿(c. e X K.(c† gk)-cg k) 147. Zuſ. Man ſetze ſtatt x die ganze Hoͤhe CA(143) auf welche der Koͤrper ſteigt, nun ſey
4 X 7 uͤberhaupt e=X:k= y ſo iſt- ly alſo hier l g k 1— 51= Iy oder fuͤr gegenwaͤrtigen Falle= X k g Kk = s daher iſt die Zeit des ganzen Aufſteigens
——— B tang 7—. 8 8 148. Zuſ. Wenn alſo gk=c wird in 147. der k Bogen= 450 und die Zeit 275 4(¶100).
149. Zuſ. Wuͤrde ein Koͤrper mit unendlicher Geſchwindigkeit aufwaͤrts geworfen, ſo bekaͤme der Bogen(142) eine unendliche Tangente, und wuͤr⸗ de alſo= ½— und die Zeit des Aufſteigens waͤre
k 2) in welcher endlichen Zeit doch ein unendli⸗ cher Raum(143) zuruͤckgelegt wuͤrde. 150. Zuſ. Waͤre ſtatt e; die Hoͤhe CA gege⸗
*— 3 c+ k ben, alſo(143) CA= a= kl 21 alſo es:
(cgk-(gke XK.(c— g)- g 2 K 2)
finden
4 K— 1 berdent
V dae
V aſodiat
1ſ gegalſ 7 3 — 3 V fiht, 1 ſid. iſ ug und h. Hand b veiß 6 und ke te= ut und a

u Wer
Neaka) )- egh) e Hoͤhe nun ſe hier!
- X:k
jeigens
47. der (100).
dlicher zmme der dwuͤr⸗ 3 waͤre
nendli⸗
A geg⸗
peul
— —
L(o) 2* 91
gk. 1 Ss ſo faͤnde man die Zeit(147) 27 2 5
B taag(e**K. 1). 151. Zuſ. Sie fuͤr ein unendliches k(136) zu
finden iſt aus(141) ea: k. 1)= †.(1+
9A... 4 2 .) welches ſich fuͤr ein unendliches k in—
verwandelt der Bogen, dem dieſe unendlich kleine Tangente zugehoͤrt, iſt ihr gleich(An. Un. 301) 3 3
k alſo die Zeit= 27—= 2,—. 8 3 8
152. Zuſ. Wenn die Zeit(150)=t Secunden gegeben iſt, ſo findet man die Hoͤhe a ſo: t=rE
8 =. B tang r-(ea K- 1)(140) alſo 125 †
= Btang(ea: k. 1). Was nun linker Hand ſteht, laͤßt ſich berechnen, weil t, g; k; gegeben ſind. Die Zahl, welche aus dieſer Rechnung koͤmmt, iſt die Laͤnge eines Bogens, deſſen Halbmeſſer=1, und die Tangente, die Wurzelgroͤſſe zur rechten Hand iſt. Aber weil man dieſes Bogens Laͤnge weiß, ſo weiß man auch wieviel er in Graden haͤlt, und kann alſo aus den Sinustafeln ſeine Tangen⸗ te= fuͤr den Halbmeſſer= nehmen. Folg⸗
lich hat man die gegebene Groͤſſe T=(e* K-¹), und a=kl(CTTX 1).
153. Zuſ⸗

92 r(O) ☛☚ᷣ.
153. Zuſ. Wenn man in 150; x ſtatt k ſetzt, ſo wird die Zeit durch einen Bogen beſtimmt, deſſen Tangente nach 141. die Reihe ws iſt. Die⸗ ſe Reihe ſetze man ſtatt t in An. Un. 299; ſo findet ſich dieſer Bogen; durch ein Verfahren, wie das, welches in 141. den Logarithmen gab; und alſo den Werth von w wieder hergeſtellt, die Zeit nach Eulers Rechnung(Mech. L. l. 453.)
X XZ2 X3 XA4
X g a9*
154. Aufg. Ein Koͤrper wird aus C7 F. ge⸗ rade in die Hoͤhe geworfen. Man weiß die Zeit t, wie lange er unterwegens iſt, bis naͤhmlich an den Augenblick da er wieder in C zuruͤckkoͤmmt. Man ſucht, wie hoch er aufgeſtiegen, wie lange er geſtiegen, wie lange er gefallen iſt, mit was fuͤr einer Geſchwindigkeit er zu ſteigen anfing, und mit was fuͤr einer er in C zuruͤckkoͤmmt.
Aufl. Die Hoͤhe, auf die er geſtiegen iſt, heiſſe x; ſo iſt die Zeit des Aufſteigens aus 150 und des Fallens aus 149 zuſammen addirt, die gegebene
„ k Zeit d= 2 5[B tang 7(ex:k. 1)+
(ex:k- ¹) †exk)] Kann man hieraus Xx finden, ſo weiß man einzeln wie lange der Koͤrper geſtiegen und gefallen iſt, man hat auch die Geſchwindigkeit mit der er aufſtiege aus 140. weil das dortige a bier xX, und alſo dieſer Geſchwindigkeit Hoͤhe= gk. (ex*: k. ¹) iſt, ſo wie der Geſchwindigkeit, mit der
er
2—
240 kK 2 11 1344 kK 46080ka—

tt k ſi t, deſſen 4 Die ſo finde wie das, alſo den eit nach
4
7F. ge⸗ die Zeit nlich an koͤmmt. lange er was fuͤr und mit
„heiſſe und des egebene
ner
finden, eſtiegen udigkei dortige! he= „mit der
er
&(0O)£ 93
er zuruͤckkoͤmmt, die Hoͤhe, wie ſie in 151. ausge⸗ druckt iſt, zugehoͤrt.
155. Zuſ. Fuͤr ein groſſes k, und kleines X; (137) iſt durch eine Reihe die ſich naͤhert die Zeit des Steigens in 153; und des Fallens in 141. gegeben.
Alſo Inden ſ ſich hier beyder Seane
X2 t=r.(44 120k2 3 e. die man nach 123. in Seeunden findet.
156. Zuſ. Dieſe Reihe laͤſſt ſich nach 35 endl. Gr. 690. umkehren. Die dortigen x; y; X;; ſind hier t; X; 1; 4; ſo findet man nach Eulers Rech⸗ nung Mech. L. I. 454.
S gt ———. X= tT g.(1 215. 15 k² 22 9. 15. kK 2.) 1 T de g4,02 — 2—— 2 0 eet E. 24 216.15 k² 2 26, 225 K*)
157. Sufe. Die Zeit des Fallens iſt um X
724 5 t de 3 3 k 9 groͤſſer als die Zeit de
Steigens.
158. Zuſ. Druͤckt man ex: k durch die Reihe nach An. Un. 239. aus, ſo gehoͤrt(154) der Ge⸗ ſchwindigkeit mit walchen der Koͤrper aufſtieg, die
X3
X4 Hoͤhe gx.(1— 6 1) und der mit welcher

94 x(o)&£
welcher er zuruͤckkoͤmmt, die Hoͤhe gx.(1— X 4 X3 X4 2 kK Okz-r)
2 4ℳK
159. Anm. Man nimmt an, daß in der Natur der Wiederſtand ſich nach den Quadraten der Geſchwindigkeit daher ſieht man andere, Vorausſetzungen die man beym Eul. Mech. L. I. 469. ſequ. unterſucht findet, nur als Uebun⸗
gen der Rechnung an. Warum man aber dieſes voraus⸗ ſetzt, und wie man das bisherige anwendet, das kann nicht gewieſen werden, bis andere Unterſuchungen, als uͤber die Bewegung bloſſer Puncte angeſtellt ſind.
VI. Cap. Von der Bewegung in krummen Linien.
160. Aufg. Ein Koͤrper will(§. Fig.) mit der Geſchwindigkeit Ny, den Raum Aß in der Zeit dt beſchreiben. Es wirkt aber in Aeine Kraft p in ihn, vermoͤge der er(74) in eben der Zeit AC beſchreiben wuͤrde, wenn er keine andere Richtung als die ihrige haͤtte. Ihrer Richtung Winkel mit der Richtung des Koͤrpers, oder CAß hat den Si⸗ nus k. Wenn nun der Koͤrper wuͤrklich in dieſer Zeit AD beſchreibt, ſo ſucht man I) wie viel er von ſeinem erſten Wege abgewichen iſt, und II) wie viel ſich ſeine Geſchwindigkeit veraͤndert hat; oder B4D und dv. 1—
Aufl. Der Koͤrper iſt anzuſehen als wuͤrde er in A von zwo Kraͤften, von einer nach Aß von der andern nach A Cgedruckt, die ſich wie dieſe Linien
ver⸗
vethit grauit
gen
mit 2 ſn B2 Vin alſo n man t aſo=
un De Fr deein hähg und 8 4D- Nauets vethe 1] b aber d
V 2 1 Poten
der er ſtatt

K.(1
Natur dr windiſſit beym bu⸗ als Uebun⸗ es voraue⸗ kann nich ls uͤber di
men
) mit der der Zeit Kraft p eit AC ichtung nkel mit den Si⸗ in dieſer el er von wie viel der B40
erde erin von der ſe linien
ber⸗
ν) 0O)* 95
verhielten(65). Man ergaͤnze alſo das Parallelo⸗ gramm unter AC und Aß, ſo iſt AD deſſen Dia⸗
dt gonale(Stat. 62.). Nuiſ AB=
dt² (77) daher BD= AC in Vergleichung
mit Aß; unendlich klein. Da nun ſin BAD: ſin BDA= BD: AB; ſo verſchwindet auch der Winkel DABin Vergleichung mit BDA=DAC; alſo kann man annehmen ſin BDA= fin CAB; man nehme Ab= Aß ſo iſt B b= B D. ſin BDA alſo= k. BD und Bb A= R— BAb= R alſo Bb k. AC kpdt. AB AB 2m,v Sur J Ferner wird der Weg AD angeſehen, als wer⸗ de er mit der Geſchwindigkeit beſchrieben, die der Hoͤhe vPdy zugehoͤrt. Nun iſt AD= AB bD und bD== BDz— Bb== BD⸗.(— k) alſo AD=ABTBD. 7(1— k) und weil ſich die Raͤume in einer Zeit, wie die Geſchwindigkeiten verhalten v: T(v+ dv)= AB:AD auch I v7(v dv) v=ABAD= Ab
Iv aber(v+ dv)= Pv. y= v
und AC
ſin BAD=
V (An. endl. Gr. 625.) wo man die hoͤhern Potenzen von dv weglaͤſſt, weil nur Wiſterentſale der erſten Ordnung geſucht werden. Alſo laͤſſt ſich, ſtatt AB, BD ihre Werthe geſetzt, die letzte Pro⸗
portion

96(o) ☛
dv dt-** Ddt= v m m
portion ſo ausdruͤcken: y:
7(1— ka) oder, die aͤuſern und mittlern Glie⸗
(1— k 9 dr= 5 7. Fuͤr Il. 161. Zuſ. Wenn ADrd.= A ED7 (1— k*), ſo 6 AedsuDn(e.)
u. p⸗-(1— k² 9, Soder dv= p;(1— ka).
AB= pr(1— kz). ds— p. BD.(1— kz) das letzte Produet aber verſchwindet in Anſehung des erſten; weil BD, gegen ds verſchwindet. Alſo iſt dv= pP 1k⸗) ds.
162. Juſ. Man ſetze naͤchſt zuvor ehe der Koͤr⸗ per in A kam, hat er den Weg ZA= AD be⸗ ſchrieben, und beſchreibe durch die Puncte Z, A, D, einen Kreis deſſen Mittelpunct O ſey, daß alſo der Winkel DAO unendlich wenig von einem rechten unterſchieden iſt. So ſind O2= OA= OD und ZA, Ab; als Wege die in unendlich kleiner Zeit beſchrieben werden, gerade Linien, daher AZLOA=AAOD und die Winkel 0A=AOD und OZA= OAZ= OAD= ODA= RO AOD. Weil nun Aß die Verlaͤngerung von ZA iſt, ſo iſt BàAD= BA0— OAD= Z2 A02 — OAD= A02: Nun iſt Bb in Anſehung AB unendlich klein, alſo als ein Kreisbogen der mit den Halbmeſſer Aß beſchrieben waͤre anzuſehen. Daher wegen der gleichen Winkel,(aus Geom.
der multiplicirt
Bb A D 44. S. 11.Z.).= A0 163.
16¹ ten 9 einerſ ſchre Linies 24,0 40⁶ le iſs mallu
Gie nakt 1üt beſhe dv=) 1t dert ds 4 =r
ri M

5 päön ann ern Gle
1 Fürll †bbr
1—k) 1— ¹)
-ka) das zung det t. Ali
der Kär AD be⸗ e7, A,D) ßalſo de mrechten = 0D h kleinet , daber = A0! = R— g von24 + A0¹ hung Al n der mit nzuſchen is Geon⸗
16*
(O) 97
163. Zuſ. Ein Koͤrper der nach der verlaͤnger⸗ ten Richtung ZA weiter fortgehen wollte, und von einer Kraft in A, nach AD abgelenket wird, be⸗ ſchreibt alſo ein Stuͤckchen ZAD einer krummen Linie, das man als aus zwey geraden Elementen ZA, AP zuſammengeſetzt anſehen kann, und wo A0O der Halbmeſſer der Kruͤmmung an dieſer Stel⸗ le iſt, der folglich auf der krummen Linie Nor⸗ mallinie faͤllt. Es ſey alſo AO=r; AD= ds; ſo iſt feArAl Pnb das iſt, weil hier der Unter⸗ ſchied zwiſchen Aß und AD, in Vergleichung mit
2 4
.. AB ihnen verſchwindet= b welches(160.) r=
164. Zuſ. Wenn die Richtung der Kraft auf die Tangente Aß faͤllt, ſo aͤndert der Kraft Wir⸗ kung den Weg des Koͤrpers nicht, ſondern nur ſei⸗ ne Geſchwindigkeit. Man heiſſt ſie eine Tangen⸗ tialkraft, und fuͤr ſie iſt k= o.
165. Zuſ. Geht dieſe Kraft(164) nach Aß ſo beſchleunigt ſie des Koͤrders Bewegung und es iſt dv= † p ds(161).
166. Zuſ. Geht ſie aber nach A2; ſo vermin⸗ dert ſie die Bewegung, und weil dv= p. coſCAB. ds(161) und hier CAB= 2 R, ſo iſt cof CAB= =1(Trig. 3. Erkl. 3. Zuſ.) alſo dv==pds wie gleich aus der Entgegenſetzung mit 165. erhellt.
Matheſis Ater Theil. G 1067. Zuſ.

98 e(0)£☛
167. Zuſ. Fuͤr eine Kraft deren Richtung auf A0O fiele, eine Normalkraſt, waͤre k=t alſo dv= p. o. ds(161). Dieſe Kraft aͤnderte alſo die Geſchwindigkeit nicht, wohl aber die Richtung um
1 dt. 4 4 den Winkel aupn(160. I.) und ihre Groͤſſe waͤre
2m p=—(163). Waͤre die Normalkraft nicht da,
ſondern nur eine Tangentialkraft, oder auch gar keine, ſo wuͤrde der Koͤrper, der in dem Elemente des Kreiſes ZA, in Aanlangte, nach deſſen Ver⸗ laͤngerung Aß fortgehen(22), und ſich ſo vom Mit⸗ telpuncte O entfernen. Da die Normalkraft noͤ⸗ thig iſt, ihn von dieſem Wege um den Winkel
BAD abzulenken, und zu machen, daß er in dem
Kreiſe um O auch auf der andern Seite von OA noch fortgeht, ſo folgt, daß jeder Koͤrper der in einem Kreiſe gehet, an jeder Stelle nach der daſigen Tan— gente fortzugehen ſtrebet, und aus dieſer Richtung durch eine Kraft, die nach des Kreiſes Mittelpuncte zugeht, getrieben werden muß, wenn er den Kreis zu beſchreiben fortfahren ſoll. Dieſes Be— ſtreben, ſich von des Kreiſes Mittelpuncte zu ent⸗ fernen, heiſſt vis centrifuga. Man empfindet es, wenn man ein Gewicht das an einen irgendwo be⸗ feſtigten Faden gebunden iſt, noͤthigt ſich mit dem Faden herum zu ſchwingen, denn da ſieht man wie es den Faden ausdehnt. Eben ſo auſert ſie ſich wenn man andere Koͤrper ſchwingt. Daher koͤnnte man ſie bequem die Schwungkraft nennen. Ihr
Maaß
ne ba vieſi A undrn mt- eine kraft ten d alſo Folgl Paus
das ol

tung aß = alſ ealſo de Ptungum
ſſe ware
nichtde
auch gat klemente en Vet⸗ öm Mit⸗ raft n⸗ Winkel ein dem OA noch in einem
jen Tan⸗
lichtung elpuncte mer den ſes Be⸗ e zu ent indet es ndwo be⸗ mit dem man wie t ſie ſch eer koͤnnte nen. Ihr
Macß
) o) 99
Maaß giebt die Normalkraft von der ſie aufgeho⸗ . 2 V— ben wird—, oder ſie verhaͤlt ſich zur Schwere
wie die doppelte Hoͤhe welche der Geſchwindigkeit zugehoͤrt, zu dem Halbmeſſer des Kreiſes in dem ein Koͤrper mit dieſer Geſchwindigkeit geht.
168. Aufg. Indem ein Koͤrper der krummen Li⸗ nie AMB 0F. Element Mm= ds beſchreibt, wird er von zwo Kraͤften, einer normalen(167)= N und einer tangentialen(164)= getrieben. Man ſucht wie jede des Koͤrpers Bewegung aͤndert.
Aufl. Seine Geſchwindigkeit in M gehoͤre der Hoͤhe v; ſo iſt ‧Nr= 2v(167) und dv= Pds (165; 166).
169. Aufg. Indem ein Koͤrper der krummen i⸗ nie AMB Element Mm beſchreibt, treibe ihn ei⸗ ne beſchleunigende Kraft P nach MC; man ſucht wie ſie ſeine Bewegung aͤndert.
Aufl. Man faͤlle C ſenkrecht auf die Tangente, und mr ſenkrecht auf CM; auch heiſſe Ur= dy, mr=dXx. So llaͤſſt ſich die Kraft nach MC; in eine Normalkraft nach TC; und eine Tangential⸗ kraft nach VI zerlegen, welche ſich wie die genann⸗ ten drey Richtungen verhalten werden,(Stat. 62). alſo T.P=WMI MG= y ls
P:N= MG CI= ds dx Folglich in 168; ſtatt T; N; ihre Wehrte durch Pausgedruͤckt geſetzt, 2vds= Prdx; dv= †Pdy das obere oder untere Zeichen in der letzten Glei⸗ G 2 chung

100 O) ☛
chung gebraucht, nachdem der Winkel CMm, den die Richtung der Kraft mit dem Elemente Mm, in welchem der Koͤrper geht, macht, ſpitzig oder ſtumpf iſt.
170. Anm. Wenn verſchiedene Kraͤfte in M in dem Koͤr⸗ per nach verſchiedenen Richtungen wirken, und alle dieſe Richtungen nur in einer Ebene liegen, ſo laͤſſt ſich jede in eine Normale und Tangentialkraft zerlegen, und ſo erhaͤlt man aus allen zuſammen eine Normal⸗ und eine Tangen⸗ tialkraft.
171. Zuſ. Wenn ein Koͤrper nach MP9F. gehen will, und eine Kraft nach MC in ihn wirkt, ſo bringt ſie ihn aus ſeinem vorigen Wege in den Weg Mm; wirkt nun in m, eben dergleichen Kraft ferner in ihn, deren Richtung noch in der vorigen Ebene CMm liegt, ſo wird er von maan ſeinen Weg wie⸗ der aͤndern. Und wenn ſo dergleichen Kraft be⸗ ſtaͤndig in ihn wirkt, es mag derſelben Richtung ſich immer parallel bleiben, oder andere Lagen be⸗ kommen, wird er ſeinen Weg alle Augenblicke aͤn— dern, und ſolchergeſtalt eine krumme Linie beſchrei⸗ ben. So verhaͤlt es ſich mit einem Steine den man ſchief aufwaͤrts wirft. Die Schwere zieht ihn be⸗ ſtaͤndig nach Richtungen nieder, die auf die Hori⸗ zontallinie, welche wir hier als gerade annehmen, ſenkrecht, und alſo unter ſich parallel ſind; ſo ent— ſteht die krumme Linie in der er wirklich fliegt, in ſo fern man hier den Wiederſtand der Luft beyſeite ſetzt.
172. Erkl. Eine ſolche Bewegung wo der Weg des Koͤrpers nur durch eigentlich in ihn wirkende
Kraͤfte
doch,
5
Kraͤ liber oder fale gen dem! einel die Der
ſoi
zwar ſcütfi
ſehn,
ſcha
den feſti Faden und di gungen fünſe 1 ren? V ſentr man 10.5 Man und 1 ier

m, den Mm i r ſtunnj
dem Kat⸗ alle dieſe ſichjedein ſo erhät e Tangen⸗
F. gehen ſo bringt deg Mm; erner in n Ebene Veg wie raft be⸗ Richtung agen be⸗ licke aͤn⸗ beſchrei⸗ den man t ihn be⸗ ie Hori⸗ mehmen, ; ſo en⸗ diegt, in beyſeite
der Weg wirkende
Kräfte
(O)£ 10†
Kraͤfte beſtimmt wird, heiſſt man frey(motum liberum,) ſie mag in einer krummen Linie wie 171. oder in einer geraden Linie, wie bey einen ſenckrecht fallenden Koͤrper, geſchehen. Es giebt Bewegun⸗ gen wo ein Koͤrper nicht den Weg nehmen kann, nach dem er vermoͤge ſolcher Kraͤfte gehen wolte, ſondern einen vorgezeichneten Weg nehmen muß und wo alſo die Kraͤfte nur die Geſchwindigkeit aͤndern koͤnnen. Dergleichen iſt wenn eine ſchwere Kugel auf einer ſchiefen Flaͤche herabrollt. Die Schwere beſtimmt zwar hier die Lage des Weges der Kugel auf der ſchiefen Flaͤche(Stat. 9§.) aber dieſer Weg muß doch, der Flaͤche wegen, eine ſchiefe gerade Linie ſeyn, und die Schwere kann ihn nicht, wie ſie fuͤr ſich allein thun wuͤrde, zu einer lothrechten machen. Eben ſo muß ein ſchwerer Koͤrper der an einem Fa⸗ den gebunden iſt, um die Stelle wo der Faden be⸗ feſtigt iſt einen Kreis beſchreiben, wenn man den Faden geſpannt, aus der lothrechten Lage bringt und den Koͤrper nur fallen laͤſſt. Solche Bewe⸗ gungen nach vorgeſchriebenen Wegen werden erſt kuͤnftig betrachtet, zunaͤchſt folgen die freyen.
173. Aufg. Eine unveraͤnderliche Kraft= g de⸗ ren Richtungen alle auf eine gegebene Linie AP; ſenkrecht ſind, wirkt beſtaͤndig in einen Koͤrper den man aus A nach einer gegebenen Richtung AH 10. Fig. mit der Geſchwindigkeit Pe geworfen hat. Man ſucht die krumme Linie AMD die er beſchreibt, und ſeine Bewegung in ihr.
Aufl. Es ſey ſin HAB=, coſ HAB= A, der Koͤrper habe in M die Geſchwindigkeit v.
G 3 MP,

1oa. T(O)
MP, mp ſenkrecht auf AB, werden der Kraft Richtungen alſo MP mit MC 9 F. einerley ſeyn. Folglich iſt das mr der 9 Fig. hier ein Perpendi⸗ kel aus m auf Mb; das iſt hier Mr= dx wenn AP=xX; und ſo 9F. Mr, hier=mr= dy wenn MP= y. Endlich P(169) hier= g. und der dor⸗ tige CMm hier=PMm ſtumpf. Alſo aus 169. dv==gdy und 2vds= grdx. Die erſte Glei⸗ chung integrirt giebtv= c= gyweilv= c fuͤr y= o. Die andere zu integriren, muß manr durch Groͤſſen die zur krummen Linie gehoͤren ausdrucken. Es iſt aber, wenn dx unveraͤnderlich geſetzt wird(An. 3
—dss Un. 543. III.) r= Trdr alſo, ſtatt v ſeinen
Werth geſetzt Scs
erth geſetzt zd'y nen Werth dx*+† dy geſetzt(An. Un. 266.) 2cddy= 2z gyddy-gdx*- gdy=. Wenn nun ds== dx² † dyz und dx unveraͤnderlich, ſo iſt dsdds= dyddy, imgleichen das Differential von ds dds d dieſes Di daf mn ds dirt = de un ieſes Differentia mit dividirt,
— ds dd oder das Differential von 1ᷣ☚= dir. Nun ver⸗ wandelt ſich die Gleichung ſtatt ddy ſeinen Werth 2cdsdds zgydsdds
=C=gy oder ſtatt ds ſei⸗
sßtj 1— 2 geſetzt in gdsz oder 2 eCdds gydds 1 in— f;—= 2dy oder in
d ds

r Kruf ley ſeyn, erpende X wenn Iy wem der dor⸗ aus 169. ſſte Gla⸗ üry=o. Groſſen Evit ard(An⸗
v ſeinen
ds2² ſer
n. 266.) denn nun „ſo iſt tial von
dividirt,
tun ver⸗ nWerth
52 oder
oder in
dds
(o) ☚ 153
dds gdy e da auf beyden Seiten logarithmiſche Differentiale ſtehen, ſo iſt nach An. Un. 407. das Integral 12 Se2
dx Conſt dx
ds=- gy: Nun iſt uͤberhaupt ds oder= Mrſna Mr und fir Feo, m AB VIm= cof m Mr und fuͤr=o⸗ mMr= I
weil die gerade Linie AH des Koͤrpers erſte Rich⸗ tung und folglich eine Tangente ſeines krummen
d Weges AMD iſt. Alſo wird daſelbſt 43= coſ
Conſt. M HAB= A und X== daher uͤberhaupt=
dX2 A2 C 3 daraus folgt
X⁴ oder 7——
dxz(c-gy-Xc)= Xcz dyz oder dx.(νε Sgdx—gdy gy)=AdyT c oder vc= ae Sw rechter Hand ſteht, vergleiche man mit An. Un. 245, ſo iſt dorten! cſ a X 3 le
alſo ‿= Conſt 2(*c-— gy) und weil
X u y N naleich verſchwinden, o= Conſt † 2&Æᷣ oο G 4 alſo

104(o)£☚
alſo-gx=XTc. 2(εε y)- o) oder gX=2XEC- 2XT(A4* c⸗— gcy). Daraus fin⸗ X X ANZC; die Gleichung der krummen Linie in welcher der Koͤr⸗ AgX LEX per geht, ferner c=gy oder v= c= 4 e. fuͤr ſeine Geſchwindigkeit. Endlich dy=
. gX J14 .— Se,) 4X, woraus nach gehoriger Rech⸗
2=(e, nnng ds ee.(1⸗ z2e 1Wer) ds erzc. vd⁴X folgt. Alſo iſt fuͤr das Element der Zeit(77) m ds mdx
=—= und die Zeit, welche fuͤr x= o ver⸗
det man,(An. endl. Gr. 191. I.) y=
NV XSC 4 mXx ſchwindet,=
174. Anm. Wegen der verſchiedenen Kunſtariffe zu in⸗ tegriren die bey dieſer Aufloͤſung vorkommen, und um die⸗ ſe Aufgabe aus eben den Formeln 168. außzuloͤſen, die in den folgenden Aufioͤſungen muͤſſen gebraucht werden, habe ich nicht den kuͤrzeſten Weg erwaͤhlt, den man ſonſt⸗ bey dieſer Unterſuchung fuͤr ſich gehen koͤnnte. Es wird indeſſen nicht undienlich ſeyn, auch ihn hier anzuzeigen. Der Koͤrper werde aus A nach All, ſo geworfen, daß er in einer gewiſſen Zeit z. E. einer Secunde, AN durchlau⸗ fen wuͤrde, wenn ihn die Kraft g nicht niederwaͤrts zoͤge, die hier der Schwere aͤhnlich, oder die Schwere ſelbſt iſt. Dieſe Bewegung des Koͤrpers zerlegt ſich in eine horizon⸗ tale AK und eine verticale kN. Um KN naͤhmlich wuͤr⸗ de er in der Secunde geſtiegen, und um AxK von ſeiner
erſten
—
erſten ſeyn. zonte auch horg⸗ Verti ab, gendd die e in ihr Vint der A- felan, gevir ihn de Mmbe iiga de ein auch gen m fühken einer V if, be aner E n u in wegun ſo eh witkt viet HM NA b ſ iſ PH.
V

2o) dhe raus fi
Mac der Kat⸗
92 3 4 c
d p— ger Rech
2——
e Zeit()
— 0 ver⸗
fe zu in⸗ umdie⸗ ſen, die werden,
aan ſonſ, Es wird zuzeigen. , daß er durchlau⸗ aͤrts öge, ſelbſt i horizon⸗ nich vr⸗ pon ſeiner eeſten
(0O) 105
erſten Stelle, horizontal vorwaͤrts nach B zu, gegangen ſeyn. Die Kraft iſt nur dem Steigen, nicht dem horis zontalen Fortgehen hinderlich. Der Koͤrper ruͤckt alſo, auch wenn ſie in ihn wirkt, um AkK in einer Secunde horizontal fort, das iſt, er befindet ſich irgendwo in der Verticallinie NGK, nur kann er nicht ſo hoch in ihr ſeyn, als er ohne die Wirkung der Kraft waͤre, er iſt alſo ir⸗ gendwo unter N, in G. Weil er nun die Hoͤhe NG. um die er wirklich mehr geſtiegen waͤre, wenn die Kraft nicht in ihn gewirkt haͤtte, waͤhrend der Seeunde durch die Wirkung der Kraft verlohren hat, ſo kann man ſich nach der Art zu ſchlieſſen, die in 61. iſt gebraucht worden, vor⸗ ſtellen, die Kraft habe die erſte Secunde uͤber nicht in ihn gewirkt, ſondern ihn bis in Nſteigen laſſen, und bringe ihn die folgende Secunde wieder durch NG herunter. Man betrachtet naͤhmlich zwo Wirkungen die in einer ein— zigen Secunde zuſammen geſchehen ſo, als geſchaͤhe erſt die eine allein in einer Seeunde, und denn die andere auch allein, wieder in einer Secunde; beyde Betrachtun⸗ gen muͤſſen wohl zu einerley Beſtimmung deſſen was erfolgt fuͤhren. Solchergeſtalt iſt NG, wie tief der Koͤrper in einer Secunde faͤllt, wenn die Kraft g in ihn wirkt, das iſt, wenn§ den Fall eines ſchweren Koͤrpers bey uns in einer Secunde bedeutet,(wie 36) ſo iſt NG= g. 8(65) weil unſere Schwere= 1 geſetzt wird.
Ginge der Koͤrper vermoͤge der ihm eingedruckten Be⸗ wegung, wenn g nicht wirkte in der Zeit t. durch AH; ſo erhellt voͤllig eben ſo, daß er wenn g.in ihn dieſe Zeit uͤber wirkt, ſenkrecht darunter in M ſeyn wird, HM wird ſeyn, wie tief er in dieſer Zeit vermoͤge der Kraft faͤllt, alſs HM= t=. NG(80⁰)= t². g. S
Nun ſey AN=b, alſo NK=b.; AK= bA; ſo iſt t in Secunden ausgedruͤckt AHI= bt(11) Xx= bt
X PH=btu, y= btHM-t= gS. Weil alſo t= G 5 ſo

106(0o) Lr
ff e Sen ann derhalt ſieß dee Ge⸗ ſo iſt=„ Nun verhaͤlt ſich die Ge ſchwindigkeit mit welcher der Koͤrper geworfen wird, zu der Geſchwindigkeit die ihm der Fall einer Sceunde gaͤbe =Pc:7§(43) mit jener beſchreibt er p. mit dieſer 2§ in gleicher Zeit(39) alſo iſt c:§= b: 28 oder b Sc und L wie vorhin — 2———wi in. 2 d ven 4 X 2C 175. Suſ. Der krumme Weg des Koͤrpers AMDB, ſchneidet die Horizontallinie ſo oft als„= o;
LX
folglich zweymahl, fuͤr x= o und für o= 65— 4X△³
2c 5 und der Koͤrper geht ½ durch AMBD in der Zeite 5 176. Suſ. Weil 2 X ½= ſinz HAB(Trig. 19. S. 5. Z.) ſo heiſſe man ſin 2 HAB= z; da iſt denn die Weite des Wurfs(amplitudo iactus) AB=
2 ℳ C
das iſt fuͤr Xx oder AB=
g.
177. Zuſ. Wenn alſo die Geſchwindigkeit des Wurfes und die Kraft, einerley bleiben, ſo aͤndert ſich doch AB mit dem Winkel des Wurfs. Es ver⸗ halten ſich naͤhmlich die Weiten des Wurfes, bey einerley Geſchwindigkeit wie die Sinus der dop⸗ pelten Neigungswinkel. Es ſey der Neigungswin⸗
.. 5 20C kel= R- ſo iſt die Welte des Wurfs—. ſin
(R- 26) Esſey der Neigungswinkel ½ R ſo iſt die
dem
(p5,
N Nit zonac

ich die ge
fen wird, 1 Sccunde gi „ mit dieſr Lahe 25
die vothin
ers AMD ls v 4 g 9 daf
oͤrperge
(Trig. da iſt dem 1) 4B=
gkeit de ſo aͤnden
Es ver urfes, b s der doy zungent
rfs 25
R 46 ſſ die
(o)* 107
die Weite des Wurfs—. ſin R+ 2G) Aber
8 RX+ 2 G=2zR-(R- 2) Alſo ſin(R+ 2)= ſin (R- 2) alſo ſind fuͤr zwo Neigungen die Le ſo viel unter 450 als die andere druͤber iſt, die Wei⸗ ten der Wuͤrfe einerley.
178. Zuſ Unter den Umſtaͤnden(177) iſt die Wei⸗
te fuͤr das groͤſſte« am groͤſſten. Das groͤſſte ⁊ aber iſt=1= ſin 900 Alſo geht der Wurf unter
2 dem Winkel von 450 am weiteſten, und iſt (176).
179. Zuſ. Die Zeit durch AM verhaͤlt ſich zur Zeit durch AG=AP:AK(173). Aber die hori⸗ zontalen Bewegungen in dieſen Zeiten waͤren AP; AK,(174) alſo iſt die horizontale Bewegung gleich⸗ foͤrmig.
180. Zuſ. Bey Wuͤrfen mit einerley Geſchwin⸗ digkeit aber unter verſchiedenen Winkeln verhalten ſich die Zeiten AMDB wie die Sinus dieſer Win⸗ kel(175).
181. ZFuſ. Juͤr das groͤſſte y, ſtan—= o(An.
g 1 Un. 155) oder See= r3) das iſt, wenn DE die⸗
2X△⁴ ſelgroͤſſte Ordinate iſt, AE=-—==EAB(17 55 ‚— 4 und die groͤſſte Ordinate ſelbſt DEeLen
2 X△½
—

108 sn(0) ☚*£
g. AB2²—
4.4A7 5 ley Geſchwindigkeit des Wurfes, wie das Quadrat des Sinus des Winkels.
82. Suſ. Man ziehe MQ mit AB gleichlaufend, und heiſſe DQ=u; QM=w'; ſo iſt— 8 5
und verhaͤlt ſich alſo bey einer⸗
— U
und Xx= 4 8-w(181) dieſe beyden Werthe in die Gleichung zwiſchen x, y(173) geſetzt, findet man 4.u= wa. Alſo iſt(An. endl. Gr. 349) der Weg AMDB eine Parabel, deren Axe DE; ihr Scheitel D; ihr Parameter 18
ſo wie das Quadrat vom Coſinus des Winkels des Wurfs verhaͤlt, wenn c einerley bleibt.
183. Fuſ. Des Brennpuncts F Weite vom Schei⸗
tel(An. endl. Gr. 359) iſt 2, und MF= DQ —
† DF(An. Lanl Ger. 30) DL ME TDF=
2
r NGs= t X as gehoͤrt die Geſchwindigkeit! in M der öbes M. 184. Fuſ. Auch EF=(42—- X²).— g(SS;; 183) welches nebſt A E(e) vermoͤge des pythagori⸗ ſchen Lehrſatzes, AF=2 giebt. 185. Suß
2, der ſich al—
zuetſ 16 Man de de dr 0 nrich 4 Rieole ſie nn Enlehr Nwüſs ſa 2 Van gfiho aus dcj cellaun⸗ courg ſteini Dhoon nicze,
auch Dresd;
och d

bey einer
s Quadta
ichlaufen, 2
der ſich d inkels des mn Schei⸗ F=D 0 † DF= 173) alp eg. MF.
81; 19) oythagott
8y dul
(0O)£ 109
185. Fuſ. Die Parabel zu beſchreiben nehme man AE und ED aus 181; da man denn ſie um die Are DE vermittelſt des Parameters(182) oder auch wenn man den Brennnunct F nach 183 findet, aus An. endl. Gr. 361. beſchreibt.
186. Zuſ. Fuͤr g= 1 iſt die Kraft unſere Schwe⸗ re; ſchief geworfene Koͤrper fliegen alſo in der ge⸗ fundenen Parabel in ſo fern der Wiederſtand der Luft ſolches nicht aͤndert. Dieſes hat Galilaͤus zuerſt entdeckt, im(44 angefuͤhrten Buche, 4 Geſpr. Man hat es folglich auf die Bewegung der Koͤrper die durch Pulver fortgetrieben werden, beſonders der Bomben angewandt, wovon man bis dahin ſehr unrichtige Begriffe gehabt hatte, dergleichen beym Rivault Elements de l'Artillerie(Par. 1605) der ſie noch von jemand anders ſoll erborgt haben. S. Eulers erlaͤut. Art. Vorr. 45. S. Anm. b. und beym Rivius in ſ. geometriſchen Buͤchſenmeiſterey zu finden ſind. Die Galilaͤſche Theorie iſt in Blondels Kunſt Bomben zu werfen(Sulzb. 1685. uͤberſetzt) aus⸗ gefuͤhrt, auch in einer Schrift von Halley die ſich aus den philoſophiſchen Tranſactionen in den Miſ- cellaneis curioſis Vol. I. p. 304. befindet. A diſ- courſe concerning gravity&. Der Graf Herber⸗ ſtein hat unter dem Nahmen Amari a lapide dieſe Theorie ſehr weitlaͤuftig ausgefuͤhrt. Artis tech- nicae via plena& facilis&c. Stettin 1736. Man ſ. auch Birnbaums Unterr. fuͤr einen Artilleriſten, Dresd. 1752. Ehrenſverd, Anledning til ſkiuta och kaſta bomber. II. Bok. Belidor hat im Bom⸗
bardier

110„E2(0)
bardier Frangois noch dieſer Theorie Tafeln gerech. net, und mit Erfahrungen uͤbereinſtimmend gefun⸗ den. Man ſetzt naͤhmlich zum voraus, daß einer⸗ ley Menge von Pulver, einerley Kugel oder Bom⸗ be mit einerley Geſchwindigkeit forttreibt, und al⸗ ſo c auf die Ladung ankoͤmmt, und wenn dieſe nicht geandert wird, einerley bleibt, wie ſich auch der Winkel aͤndert. Man wirft alſo die Bombe mit
einer gegebenen Ladung, unter einen gegebenen
Winkel, und miſſt die Weite des Wurfs, ſo kann
man daraus berechnen, wie weit der Wurf mit eben
der Ladung unter einem andern Winkel gehen ſoll
(177). Belidor berichtet, daß die Rechnung ziem⸗ lich mit der Erfahrung uͤbereingetroffen. Uebri⸗
gens iſt dieſe paraboliſche Theorie des Bombenwer⸗
fens nicht richtig, weil der Wiederſtand der Luft
ſehr betraͤchtlich iſt, den man gleichwohl hier bey⸗
ſeite ſetzt. So ſehr ſich alſo die franzoͤſiſchen Ar⸗
tillerieofficiere daruͤber wunderten, daß die Verſu⸗
che mit Belidors Tafeln uͤbereinſtimmten, ſo ſehr
kann ſich auch ein Mathematikverſtaͤndiger daruͤber
wundern, nur aus andern Urſachen. Die Bemuͤ⸗
hungen geworfener Koͤrper Bewegungen in wiederſte⸗
hender Luft zu beſtimmen, gehoͤren nicht hieher, und
man iſt darinnen noch nicht bis auf etwas zur Aus⸗
uͤbung leicht brauchbares gekommen, wie aus Eulers Abhandlung, Mem. de Ac. de Pruſſe 75 35 p. 321. erhellt. Wiewohl neuerlich der Hr. Graf Henning Friedrich v. Graͤveniz in einer 1764. zu Buͤtzow in Begleitung Hrn. Pr. Karſtens vertheidigten Ab⸗ handlung von der Bahn der Geſchuͤtzkugeln Hrn. Eulers
Eulere bringe boliſch etwas wil ie 887 daß al A-
V genſtat wie wi iſ, das nin ſi dne o uctſt Pamm, Glleic bekeen duac ga n beſtim kel an den ¹
8

ln gerth nd gefune daß eine der Bom⸗ , undal dieſe nicht auch de ombe mi gegebenen , ſo kan mit ele gehen ſ ung zien. Uebe⸗ nbenwer der Luf hier bey chen Ar⸗ Verſu⸗ ſo ſehr daruͤber Bemi⸗ iederſte⸗ her, und zur Aus⸗ s Eulers 1b. z2¹ Henning ͤtzowin gten A heln Hmn. Eulers
&(0) ☛☚£ 111
Eulers Erfindungen der Ausuͤbung noch naͤher zu bringen bemuͤht geweſen iſt. Weil alſo die para⸗ boliſche Theorie, doch immer noch in Ermangelung etwas beſſern muß zu Rathe gezogen werden, ſo will ich noch folgendes von ihr beyfuͤgen.
187. Aufg. Aus A einen Koͤrper ſo zu werfen, daß er einen gegebenen Gegenſtand M trifft.
Aufl. Alſo muß gegeben ſeyn, wie hoch der Ge⸗ genſtand uͤber den Horizont durch A, erhoben, und wie weit auf dieſen Horizont bis gerade unter ihn, iſt, das iſt, es iſt Mb=k; PA=b; gegeben, und man ſoll alſo durch zweene gegebene Puncte A, M; eine Parabel beſchreiben, deren Axe auf Aß ſenk⸗ recht ſteht. Hier iſt alſo ſowohl HAB= A als der Parameter, und c, unbekannt, die 173 gefundene Gleichung fuͤr die Parabel gibt hier, k; b; ſtatt
Ab b2
y; X, und g= geſetzt k= A e wo zwo un⸗ bekannte Groͤſſen, naͤhmlich HAß dem die Sinus zugehoͤren, unde, vorhanden ſind. Da nun ſonſt gar nichts angegeben wird, ſo iſt die Aufgabe un⸗ beſtimmt, und man kann nach Gefallen, den Win⸗ kel annehmen, und daraus c, oder c und daraus den Winkel beſtimmen.
188. Fuſ. Der Winkel ſey gegeben, man nenne 2
ihn ſo iſt k= b. tang aæ— oa e'daraus fin⸗ b⸗ 3 det man 8==z(b tanga-)' wo alſo die Ge⸗
ſchwin⸗

112(O)&☛
ſchwindigkeit des Wurfs durch gegebene Groͤſſen
beſtimmt wird. Ferner iſt(181) AE= 2 b² à b²
4 X△*.(b. tenga«-k) 2.(b. tang a— K) tang a. b ² b ²
2.ranga) 2 b- 2z k. cotaæ auch ED
4². b— b2. 4 ½.(b. tangæ— k) 4 cot a.(b- k. cot a)
3„ da ſich alſo die Parabel
1
und
(182²) a= b. tang α—
nach 185. zeichnen daſſ 189. Zuſ. Aus der gegebenen Weit⸗ des Wurfs AB= e fuͤr einen gegebenen Winkel a ündet man ſin 2 4(1 81).
190. Aufg. Fuͤr einen gegebenen Winkel a; iſt die Weite e; alſo c(189) bekannt. Man ſucht den Winkel,„ unter dem ein Wurf, mit eben der Geſchwindigkeit, M 188 trifft.
Aufl. Hier muß man in 188;) ſtatt e tihrel
ben und c als bekannt anſehen. Weil nun 2
= ſeecn(Trig. 4. Erkl. 5. Zuſ.) ſo iſt k= b. tang?
— 2. 2. 5 2. 5 ſec ² oder k+† fesb'ney Fetmne)
alſo(An. endl. Gr. 78) tang 7=+
4⁰²— 4ke. (—) wo c aus 189 zu nehmen iſt. Es
V
V 5b
2 ⁶
1 1y.
uſß⸗
199. ine B fen wo⸗ welhear
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giebt untete den do mit der
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ie Griſe .— 2A
—
4- k)* ED
— un ot)
e Parche
es Wurn indet mu
kel a; it
Nan ſuch
eben der
A ſchrei 1 col, b. tang!
un
tangyi
e
5*1
hmen it E
(0)£ 113
Es giebt alſo zweene„ die der Frage genugthun, wie zweene Winkel einer Weite(177). 191. Suſ. Wenn 2= 450 ſo iſt c= e(189) und
e2²— 26 K tang= 5( 1).
192. Suſ. Iſt«= 150 ſo iſt c= e und tang y= 2e 4 e²— 4 ke b+.—- 1).
193. Suſ. Wenn die Aufgabe moͤglich ſeyn ſoll ſo muß 4c⸗*- 4kce nicht kleiner als be ſeyn.
104. Exempel. Mit einer gewiſſen Ladung iſt eine Bombe unter 150; auf 58 Ruthen weit gewor⸗ fen worden. Man verlangt den Winkel, unter welchem man mit eben der Ladung einen Gegenſtand treffen wird, der 50 R. weit vom Moͤrſer entfernt, und 12 R. uͤber den Horizont des Moͤrſers erhoben iſt. Hier iſt nach 192 3 e= 53= c; b= 50; k= 12; e*- ke= 53.(58— 12)= 2663;
4.(e2— ke) 4.(ex— ke)— b 2 alſo 52—1 oder S—
4. 2668— 2500 8172
=. Daher der irrationale 250 2500 1
8172 90,299 Theil=—=
un tan— 56 und g„
106 † 90,3 99
=(116+ 90, 399). 0,oz, dieſes
giebt fuͤr das obere Zeichen 4, 12798 und fuͤr das untere 0,51202. Dieſer Tangenten Winkel in den Tafeln zu ſinden, darf man nur die Tangenten mit dem Halbmeſſer der Tafeln 10 000 000 multi⸗
Matheſis 4ter Theil. H plici⸗

114(O)£
pliciren, da ſie ſich denn in 41275800, und 5120200 verwandeln, und zu 76023 und 2706 gehoͤren.
196. Fuſ. Fuͤr ein gegebenes c und b, bleibt k noch veraͤnderlich, wenn„ ſich aͤndert. Das iſt, mit einerley Ladung, kann man, bey verſchiedenen Winkeln des Wurfs hoͤhere oder niedrigere Gegen⸗ ſtaͤnde treffen, die aber alle einerley horizontale Ent⸗ fernung vom Moͤrſer haben. Man ſuche welcher unter dieſen Gegenſtaͤnden der hoͤchſte iſt. Alſo iſt
k b². tang4
in 190; Jrancn ound folglich o= b-
*dtangy E
3 C 7 1 alſo tang/= † fuͤr den Winkel unter welchen man
den hoͤchſten Gegenſtand erreicht. Dieſes hoͤchſten
Gegenſtandes Hoͤhe, oder das groͤſſte k ſelbſt iſt,
den gefundenen Werth fuͤr tangn, in die Gleichung I 52
zwiſchen k und tangn, geſetzt; c—. 1
197. Suſ. Man kann b ſo klein als man will, aber nicht groͤſſer annehmen, als den weiteſten Wurf 20 (178). Folglich iſt in 196; tang nicht kleiner als 1; ſie nimmt aber bis auf 1ab; wenn b bis auf 2c wachſt, oder je weiter der dort beſtimmte Ge⸗ genſtand ruͤckt, deſto kleiner iſt der Winkel unter den man nach ihm werfen muß, bis dieſer Winkel auf 45 Gr. abgenommen hat.
198. 3uſ. Man ſuche die kleinſte Geſchwindig⸗ keit,(die ſchwaͤchſte Ladung) mit welcher ſich ein gegebener Gegenſtand treffen laͤſſt. Hier ſind in 190; k; b; gegeben, c; h; veraͤnderlich, und man
ſucht

20, Und nd 27⁰6
bleibt! Das ſſ ſchiedenen re Gegan atale En jhe welche! Alo ſ b. tana
—
20 lchen mu
s hoͤchſte ſelbſt iſ Gleichung
will, aber Wurf ꝛc leiner als bis auf nmte Ge⸗ unter den inkel auf
hwindig r ſich ei er ſind in und man
ſuht
r(O)£☚ 115
ſucht das kleinſte c. Die Gleichung 4 ck+ b2== 4c. b. tangn- b2. tang 7, diſfesontitr⸗ibt⸗(K-b. tangn). dc= b.(28 b. tangn). dtang« woraus 2c= b. tangy folgt. Dieſen Werth der Tangente ſtatt ihrer in die Gleichung 190 geſetzt, koͤmmt re—1) und daraus c= ke+ 4 b*
k b2 und c t 3;»ʒMan braucht vor
der Wurzelgroͤſſe das Zechen weil—, den Werth von c verneint, und alſo die Wurzel daraus, die Geſchwindigkeit hier unmoͤglich geben wuͤrde. Folg⸗ 2& k+† P(k*²+ b*) oder tang= 5; Man multiplicire oben und unten mit(kK²*+† b ²)-k 3 d und cot„= (kK²+ b)=k“ 7—(k²+ b ²)— k k² 3 k 5,(bz*1)=.
lich iſt
ſo koͤmmt tangn=
b2 e 12) 1). Nun ſey der Winkel MAP=g
ſo iſt g= tang(R- 9) a cot= tang ę. Sec(R= 9)= tang( e alſo in Trig. 19. S. 10. Z. ſtatt des dortigen T hier tang(R- g) ſo iſt cota oder tang(R- h)=
alſo R-I= R- Goder R= 27—G. H 2 alſo
(Sec(R-9)- Setzt man
tang

u16(0O)£2
alſo R-=h- g. Es ſey Al. eine Verticallinie Be ſo iſt R-n= LAH; und 7-= HAM,’; Die Richtung AH; alſo nach welcher man werfen muß, M mit der geringſten Ladung zu treffen, halbirt den Winkel zwiſchen der Verticallinie, und der Linie
1
.
0 nach dem Gegenſtande. V 1 199. Fuſ. Die Ladung zu finden, die die Bomben eim mit einer gegebenen Geſchwindigkeit forttreibt, das ml iſt die ein beſtimmtes e gibt, erhoͤhe man den Moͤrſer fem in einem bekannten Winkel a; und vermehre oder y) u! vermindere die Ladung ſo lange bis die Weite des vi d Wurfs 2 c. ſin 2«« wird(189). V Kärpet 200. Fuſ. Setzt man hier ſtatt c ſeinen Werth V du. aus 198; ſo hat man wie weit die ſchwaͤchſte Ladung. handie werfen muß mit der ſich ein gegebener Geenſtann og treffen laͤſſt. nir. 201. Fuſ. Wenn man die kleinſte Ladung(200) Liuf gefunden hat, koͤnnte man folgendergeſtalt den Moͤr⸗ ſu⸗ ſer richten, daß man damit den Gegenſtand trifft: (11 F.) An ſeine Muͤndung A, die wie ich voraus⸗ 3 ſetze auf ſeine Axe ſenkrecht iſt, lege Pnah einen ebe⸗ i nen Spiegel, ſehe darauf laͤngſt eines Senkbleyes Gleit LA herab, und erhoͤhe oder erniedrige d Moͤrſer ſo lange bis man im Spiegel den Gegenſtand M ſieht. Wenn dieſes geſchicht, ſo iſt AH die Are b nnſe des Moͤrſers, welche den Winkel zwiſchen dem ein⸗ 1) fallenden und dem zuruͤckgeworfenen Strahle MAl. ſein halbirt, und der zuruͤckgeworfene Strahl AL iſt den( vertical, alſo hat AH die gehoͤrige Lage( 198). gegen ann Bewe⸗ i4

ticalline M; De fen muf, lbirt den der Linie
Bomben eibt, di nMorſe hre ode zeite de
1 Werth e Ladung d
-genſtan
ig(200)
en Mor⸗
dtrifft: voraus⸗ nen ebe⸗ nkbleyes Moͤrſet ſtand die Are demein⸗ dle Mal- Al if 198).
Bewe⸗
(o) ½. 117
Bewegung in krummen Linien, wenn in den Koͤrper Centralkraͤfte (83) wirken.
202. Aufg. Ein Koͤrper iſt in A 12 F. nach ei⸗ ner gewiſſen Richtung geworfen worden. Es zieht ihn aber beſtaͤndig eine veraͤnderliche Kraft P, nach einem gegebenen Puncte C, daß er alſo eine krum⸗ me Linie AM beſchreibt. Die veraͤnderliche Ent⸗ fernung des Koͤrpers vom Mittelpuncte, CM heiſſe y; und P ſey eine Function davon. Man ſucht wie die krumme Linie AM, und die Bewegung des Koͤrpers in ihr beſchaffen iſt.
Aufl. I. Auf die Tangente M IT, falle das Per⸗ pendikel CT= p; des Bogens AMElement Mm ſeyids, man beſchreibe mit CM den Kreisbogen Mr= dx ſo iſt mr= dy. Weil nun CMT= Cm M† MCm und MEm unendlich klein iſt, ſo iſt wegen der rechten Winkel bey T; r; QCMTO AMmr und Mm:mr=CM:MI oder ds. (v²- p*)= ydy, und mr: Mr=MT:CT oder dx.+(vy⸗— p⸗*)= p dy folglich beyde nur gefundene
d. Gleichungen verbunden; 45— und der Halb⸗
C
meſſer der Kruͤmmung r= 1 1(An. Un. 596.
II.). Nun bedeuten hier dx und dy eben das was ſie in 169. bedeuten. Alſo finden die dortigen bey⸗ den Gleichungen auch hier ſtatt, die letzte, nach gegenwaͤrtiger Figur, mit dem untern Zeichen, und wenn man ſie verbindet, aus ihnen P wegzu⸗
H 3 ſchaffen,

11K X(0o)£
ſchaffen, ſo koͤmmt rdvdx=- 2 vdsdy oder d 2 dsd dy 4 J. Setzt man 5 ſtatt r, und
——
v Ldx y ds dv z dp 8 3 ſtatt d vſo iſt deren Integrale lv
E 3
ſt = Conſt- 2lp oder v= 9. Nun ſetze man
die Geſchwindigkeit, mit welcher der Koͤrper in A geworfen wird, gehoͤre der Hoͤhe c; und das Per⸗ pendikel aus C auf die Richtung, nach welcher er ge⸗ worfen wird, auf die daſige Tangente der krummen Linie AM(wie in 173. erinnert worden) heiſſe h; die Weite CA ſelbſt ſey a, ſo iſt v= c fuͤr p=h
2
2
4. ch daher uͤberhaupt v= pa.
II. Alſo das Element der Zeit oder die Zeit durch ds p ds Mm;—
III. Die krumme Linie ſelbſt zu beſtimmen ſuche man die Gleichung Prdx= 2 vds ſo zu aͤndern, daß man darinnen alles durch y; p; und dazu gehoͤrige Differentiale ausdruͤckt; P iſt ſchon eine Function von y. Solchergeſtalt ſetze man ſtatt v ſeinen Werth (1), und verwandele ſie dadurch in Ppardx= zch ds.
ds Nun ſetze man auch ſtatt r und ihre Werthe,
2 ch² dp
3*
ſo koͤmmt Pdy=
IIII.
daher nien, ſehn dr kr leiten Elle ſad. ſach Gle donn Kreis krumn
V
Zait
20 29
e V Zeit
V her Bo tev wer

dy od
T, und egraſe l
ſetze ma
per in 4 das Per cherer g⸗ krummaj
heiſſeh, fuͤr b=”
Deit dir Zeit durc
nen ſuch dern, daß
gehörige Functiol en Werth — 2ch*G.
Werth
TIl
,(O) 119
IIII. In dieſer Glelchung ſind die veraͤnderlichen Groͤſſen von einander geſondert(An. Un. 405). Man kann ſie alſo allemahl wenigſtens auf Qua⸗ draturen bringen(daſ. 406) das iſt eine Gleichung zwiſchen y und p finden, die nach Beſchaffenheit der nur erwaͤhnten Integration algebraiſch iſt oder nicht. Eine ſolche Gleichung, enthaͤlt etwas das allen Puncten der krummen Linie gemein, und nur den Puncten einer gewiſſen krummen Linie eigen iſt, daher iſt ſie wie andere Gleichungen krummer Li— nien, nis eine Erklaͤrung der krummen Linie anzu⸗ ſehn⸗ Nur laſſen ſich aus ihr die Eigenſchaften der krummen Linien nicht allemahl ſo bequem her⸗ leiten, als aus den Gleichungen, die wir ſonſt als Erklaͤrungen krummer Linien zu brauchen gewohnt ſind. In der Folge wird man dieſes zu erſetzen ſuchen. S. unten 214. Wenigſtens dienen jene Gleichungen die krumme Ainien zu verzeichnen, denn aus ihnen findet man welche wiſchen y und Kreisbogen(An. Un. 598) vermoͤge der ſich die krumme ALinie verzeichnen laͤſſt(daſ. 104).
203. 3uſ. Weil pds= 2CMam, ſo iſt die
— 84 1 Mm Zeit durch Mm(oa.LI)= eee; und alſo die 2, dem Ausſchnitte ACM Zeit durch AM,= b 3*.Da⸗
her verhalten ſich die Zeiten, in denen verſchiedene Bogen AM beſchrieben werden, wie die Ausſchnit⸗ te von CA an gerechnet, und in gleichen Zeiten werden gleiche Ausſchnitte beſchrieben.
H 4 204. Suſ.

120(O) ☛£
204. Zuſ. Die Geſchwindigkeiten aber in ver⸗ ſchiedenen Stellen, oder die v; verhalten ſich verkehrt wie die Perpendikel auf die Tangenten (202. I.).
205. Anm. Die beyden naͤchſten Saͤtze gelten, was auch
die anziehende Kraft fuͤr ein Geſetz beobachtet, wenn ſie
nur immer nach O gerichtet iſt. Denn man fand ſie, in⸗ dem man aus zwo Gleichungen, P, welches die Groͤſſe der anziehenden Kraft bedeutete, wegſchaffte. Von dem erſten macht Newton den Anfang der Unterſuchungen von den Centralkraͤften Princ. L. I. Sect, II. Prop. 1. und erweiſet ihn ohngefaͤhr wie ich Aſtron. 277. gezeigt habe.
206. Juſ. Wenn man r in Ppardx= zchads
4 ds. laͤſſt, aber ſtatt d ſeinen Werth ſetzt, ſo koͤmmt
pir Dieſen Satz hat Moivre erfunden,
S. Keils Aufſatz an Halleyn, de legibus virium centripetarum in Keils introduct. in phyſ.& aſtron. ver.(Leiden 1725.) 585 S. und Joh. Bernoulli Op. T. I. n. 90. d. 63. Die Erfindung der Glei⸗
zch*d chung P== chꝰ dp
ps„ eignet Keil ſich zu.
207. Zuſ. Iſt P durch y gegeben, das iſt, iſt die Kraft gegeben, ſo ſindet man vermittelſt der Integration in 202. die krumme Linie, die bey der Wirkung einer ſolchen Kraft beſchrieben wird. Iſt aber die krumme Linie gegeben, die bey der Wirkung einer unbekannten Kraft beſchrieben wird, ſo iſt eine Gleichung zwiſchen p: y, gegeben, aus der man alſo die Kraft P findet(206).
208. Fuſ.
20 Conl P der Oder Koͤrp Mitt den ei
209 gleih Tange ugehu 20, oeen de R Czn. alſ I per, gehort war, n Aſot rimm, die Ge hat de die Ge ine! telpun digkei mang wegt, eyn,

lten ſcc angenten
wasauch wenn ſe d ſie, i Broͤſſe de dem ann von der erweiſe
koͤmmt
rfunden,
viriom aſtron. ernoulli Glei⸗
itt, iſ elſt der bey der rd. Jſ Virkung „ſoit der mn
8. zuſ
D(O) æ 121
208. Zuſ. Weil dv=- Pdy(169) ſo iſt v= Conſt-ſP dy und alſo eine Function von y; weil P dergleichen iſt. Folglich einerley fuͤr einerley y. Oder wenn in der krummen Ainie, in welcher der Koͤrper geht, eine gewiſſe Stelle ſo nahe bey dem Mittelpuncte iſt, als eine andere, ſo hat er in bey⸗ den einerkey Geſchwindigkeit.
209. Zuſ. Bey Stellen die vom Mittelpuncte gleich entfernt ſind, muͤſſen die Perpendikel auf die Tangenten gleich ſeyn, oder gleichen y, gleiche p zugehoͤren,(208. und 202. II.).
210. Fuſ. CE ſey eine gerade Linie deren Lage gegeben iſt. Man ſtelle ſich vor ein Koͤrper, den die Kraft P angeht, bewege ſich in dieſer Linie nach C zu. Man nehme CN=CM=y y und Cn=Cm, alſo Nn= dy; gehoͤrt die Geſchwindigkeit des Koͤr⸗ pers, der in EC herabgeh zt, in N der Hoͤhe v; ſo gehoͤrte die in n einer Hoͤhe zu die um Pdy kleiner war, weil P dy dieſer Hoͤhe Differential iſt(86). Alſo iſt dv=— Pdy, weil v wachſt indem y ab⸗ nimmt, und folglich hatte der eine Koͤrper in n eben die Geſchwindigkeit, die der andere in m hatte. So hat der Koͤrper der ſich in EC bewegt, uͤberall eben die Geſchwindigkeit, die ein anderer, der die krumme Linie beſchreibt, in eben der Entfernung vom Mit⸗ telpuncte hat, wenn nur irgendwo beyder Geſchwin⸗ digkeiten in gleichen Entfernungen gleich ſind. Setzt man alſo deſſen Geſchwindigkeit, die ſich in EC be⸗ wegt, ſoll ſich in E anfangen, oder daſelbſt=o ſeyn, ſo kann man aus der gegebenen EC die Ge⸗
H 5 ſchwin⸗

z22(0)£
ſchwindigkeit in M iedeh. Dieſe EC wird im fol⸗ genden, die Weite welche die Geſchroindigt eiten beſtimmt, heiſſen.
211. Zuſ. Es muß naͤhmlich EA ſo groß ſeyn, daß ein Koͤrper der von der Kraft P in EC ange⸗ zogen wird, in A die Geſchwindigkeit hat, die der Hoͤhe o c zugehoͤrt(202. I.) dieſes iſt aus 86. zu fin⸗ den. Die dortigen A; P; C; p ſind hier E; N; C; P; und man ſindet alſo wie dorten, die Ge⸗ ſchwindigkeit in einer unbeſtimmten Stelle N, das iſt v durch einen Ausdruck gegeben der die noch un⸗ bekannte CE als unveraͤnderlich, und CN als ver⸗ aͤnderlich enthaͤlt. In dieſem Ausdrucke ſetze man CA= aſtatt CN, ſo muß er den Werth von c geben. Alſo hat man eine Gleichung wo CE durch gegebene Groͤſſen beſtimmt wird; daraus alſo EA gefunden wird, weil CA=a.
212. Exempel. P ſey= dem p(87), ſo ſind die
dortigen a; y; hier CE, CN; und lletan v=
CEn+ CNn*1 En†r an. folglich eũ (n+ 1) fI.(n+† 1)f ² oder nI-((a+† 1) fn. c†an†)= CE. 212. 3uſ. Der Winkel MOm heiſſe dw; ſo iſt dx= ydw(Geom. 44 S. II a.) did ds=
(y“ dw“+ dy*). Alſo(202. I. e oder p=
2 dw
FG* dw= †dy*]
und die Zeit, in welcher der Bo⸗ gen
gen N
(202.
wegun durch! unben waͤchſ Anali digkeil nagmd kil al
aucch e aufdien che e Sͤte folglie
d nacſt chen
ſdie be ſiſt un

wird imſi⸗ ndigkenen
groß ſeyn ECang. at, diede 186. zufr Hhier k; R u, die Ge elle N de die noch ur Nals be- ke ſetze na zerth vone » CE dac 1s alſo E
ſo ſind di haupt v=
4I n†.
———
1f” 3I.
dw; ſoiüj nd ds=
x — oderp⸗ m b
her der d⸗ ger
8
82 7 d (0o)*. 123
—
gen Mm, oder der Winkel MOm beſchrieben wird F2 hce wegung des Koͤrpers ſo betrachtet, in ſo fern da⸗ durch der Winkel A CM, deſſen einer Schenkel CA unbeweglich liegen bleibt, um das Stuͤckchen MCm waͤchſt, ſo giebt dieſes eine Winkelbewegung, wie Analyſ. endl. Gr. 590. die ihre gewiſſe Geſchwin⸗ digkeit(velocitatem angularem) hat, mit der ſich naͤhmlich der Winkel aͤndert. Da man hier den Win⸗ kel als den Raum anſieht, welcher zuruͤckgelegt wird, ſo iſt wie in(13) die Winkelgeſchwindigkeit= MCm hc
72(212).
213. Zuſ. Auf entgegengeſetzten Seiten der Li⸗ nie CA13 F. ſey CM= CN. Man nehme gleiche Elemente der krummen Linie MUm= Nu, ſo wird auch Cn=-m ſeyn. Denn weil die Perpendikel auf die Tangenten bey Mund gleich ſind(200); ſo iſt CMm= CNma. daher in beyden Dreyecken zwo Seiten mit den eingeſchloſſenen Winkeln gleich und folglich Cm= Cn anch MCm= Nén.
Da dieſer Schluß von jedem Elemente auf das uaͤchſtfolgende fortgeht, ſo werden zwiſchen die glei⸗ chen Winkel MCO, Ne=, gleiche und aͤhnliche Stuͤcken der krummen Linie MO, Nu fallen.
Wenn CA eine Normallinie an A iſt, ſo ſind die beyden gleichen Elemente AE, Aß gleichviel gegen CA geneigt, oder der Winkel, den jedes mit Ca macht, iſt unendlich wenig von einem rechten unterſchie⸗
den.
(202. II.) Wenn man naͤhmlich die Be⸗

12(o)£ den. Daher ſind CB, CEats Hypothenuſen gleich.
Und ſo gehet der nur angezeigte Schluß fort, und
AEMOD; ABNOD; ſind aͤhnliche Haͤlften. Wenn alſo ein Koͤrper in A ſenkrecht geworfen wird, ſo be⸗ ſchreibt er allemahl eine krumme Linie davon AD eine Are iſt, die die krumme Linie in aͤhnliche Haͤlf⸗ ten theilt.
Und weil es gleichviel iſt ob der Koͤrper in A ſo geworfen wird, oder in ſeiner Bewegung mit dieſer Richtung da anlangt, ſo theilt jede gerade Linie durch C, die auf der krummen éinie welche der Koͤr⸗ per beſchreibt irgendwo ſenkrecht ſteht, ſie in aͤhn⸗ liche Haͤlften. Auch muß CA auf die krumme Linie in D ſenk⸗ recht ſeyn, wenn ſie ſolche in D wieder ſchneidet.
214. Aufg. Die Gleichung zwiſchen y, und p (202. IIII.) auf eine zwiſchen rechtwinklichten Coor⸗ dinaten, CP=X; PM= 2,(12. F.) zu bringen.
Aufl. I. Wenn Mr ein Bogen mit CM beſchrie⸗ ben iſt, ſo iſt y. Mr= 2 ACMr= p. Mm, weil &Mmr mit MrC verglichen verſchwindet. Druckt man alſo, Mr durch x, 2, aus, ſo laͤſſt ſich p da⸗ durch ausdrucken, und dieſen Werth ſtatt p in 202. IIII. geſetzt, giebt eine Gleichung zwiſchen x und z. In der Rechnung wird es bequemer ſeyn, y bey⸗ zubehalten, da man nach vollendeter Rechnung al⸗ lemahl z=(y*-X²) wieder herſtellen kann.
II. Nun
daher
=upd
(-u liht d

ſen glach fort, und en. Venn vird, ſobh davon A0. liche Haſf
eer in A mit dieſe rade Lime e der Kat ſie in ähr
in D ſen ſchneidet
y, undy dten Coor⸗ bringen.
beſchrie Im, well :. Druck ſich p de P in 202. nX und?. n, y ber⸗ chnung al kann.
IIL. Nn
T(0) X 125
X II. Nun ſey Coſ MCP oder alſo(An.
adun Unendl. 296) d MCP==un); weil nur⸗
Mr.— dMCP=mCM=(Geom. 44 S. 11 Z.) ſo iſt —ydu ndr Le— V2 5 Mr== n) u P= Ss.(1— u²)⸗ Aber ds?= dx²+dz“ und X= uy; z=y(1-— u*²) daher dx= udy †ydu; dz=(1 u*). dy
— uy du
Macht man hievon die Quadrate und
= u) ſucht daraus ds; ſo findet ſich endlich p= 7((irujdy y du:) — 2 ch2dp III. Vorhin(202. IIII.) war Pdy⸗=—;
wo P eine Function von y iſt. Des linken Theils Integral, ſo genommen, daß es fuͤr y= a ver⸗
h2 ſchwindet, heiſſe Y; ſo iſt= Conſt—
— und weil p=h fuͤr y= a; ſo iſt o Conſt c alſo = d191 und p=h—— eine Function von y die der Kuͤrze wegen Q beiſſen ſoll. IIII. Beyde Werthe von p(II; III.) gleich ge⸗ U
ſetzt geben Q= u*) dy* † Jus) wor⸗
aus

126 e(o) ☛☚£
3 du Qdy hdy Pec
aus—/52 21 2 (i u*) w-y⸗-Q⸗*) yrT-((c-v)yy²-ch²) folgt. Hier ſind die veraͤnderlichen Groͤſſen von einander geſondert, und die Integration laͤſſt ſich entweder algebraiſch bewerkſtelligen oder auf Qua⸗
.. X draturen bringen. Weil man nun alsdenn—
F ſtatt u; und(X⸗+ 2²) ſtatt y ſetzen kann, ſo hat man zwiſchen X und z1; eine Gleichung auf eben die Art wie man eine zwiſchen u und y hat.
215. Suiſ. Der Differentialgleichung linker Theil (214. IIII.) iſt=B ſinu;(An. Un. 281) der rech⸗ te Theil muß alſo auch ein Bogen ſeyn(An. Un. 4⁰⁷) wenn die Integralgleichung, d. i. die krumme Linie, algebraiſch werden ſoll.
216. Zuſ. Man ſetze er laſſe ſich auf die Geſtalt XdZ.. FXE 2) ringen, mo Z eine Function von y iſt, und X; A unveraͤnderliche Groͤſſen ſind, ſo A d2. iſt er=.„(r alſo B ſin u= Conſt † A=
A⁴ Don Gathna Kn e X-Bſin 2. Weil der Halbmeſſer= 1, ſo iſt 2
nur eine Zahl, oder ſeine Abmeſſung= o;(Trig. 19 S. 1 Anm.) und ſo ſind X; A auch Zahlen, das letzte zwar, weil ſich ſonſt ſein Quadrat nicht mit dem Quadrate von 2 vergleichen lieſſe, das erſte, weil das Differential darinn als ein Factor vor⸗
koͤmmt,
komu Nati druck iſtn ſichd durch endl. wird vonx
ſſceg ſeyn.
Conl † f nCo ein ms it ryr r und fannmer a, do denend
b A lieſſe m; 1 Schl 217 inaten en ſin dil ij

gye
Vy- c zn 1 ſſtſ ſch Aw Päde n kann,
ng auf ehe hat.
linker Thi 1) der reg (An. U
die krumm
die Geſtal tion von ſind, ſe = Conſt-
—, ſo iſ!
o;(dih hled de nicht mi
das erſte Factor dor
koͤnunt,
(0O) 137
A„. koͤmmt, keine Abmeſſung hat. Iſt alſo eine
Rationalzahl, ſo laͤſſt es ſich als ein Bruch waus⸗ drucken, wo m; n; ganze Zahlen ſind. Folgl ich iſt n. Bſinu=n. Conſt Lm.B ſin Z. Nun laſſen ſich die Sinus der Bogen n. B finu; m. B ſin 2; durch n; m; u; Z; olgebriſch ausdruͤcken 6 An. endl. 175.) Man heiſſe alſo dieſe Sinus v; w; ſo wird v eine algebraiſche Function von u; das iſt von x und y=(22+ X²), und w eine algebrai⸗ ſche Function von Z; d. i. von»=(22 †εXZ) ſeyn. Alſo iſt B ſinw= n. Conſt— B ſinw und n. Se B ſin v+ B ſin w= B ſin(v(1-w²) (1-— vz)(Trig. 19 S.). Es iſt aber n. d CAnſ als der Unterſchied zweener Bogen, auch ein Bogen von einem gew iſſen Sinus, welchen Si⸗ mus ich b nennen will. Alſo koͤmmt b= v(1-w ²) w(1-—va) eine algebraiſche Gleichung zwiſchen v und w; d. i. x und z. Daß dieſelbe oft ſehr zu⸗ ſammengeſetzt werden wuͤrde, geht mich hier nichts an, da ich hier blos die Umſtaͤnde betrachte unter denen die Gleichung algebraiſch werden kann.
216. Fuſ. Waͤre aber nicht rational, ſo lieſſe ſich ſolches nicht durch u ſo ausdruͤcken, daß m; n; ganze Zahlen wuͤrden, und fielen alle dieſe Schluͤſſe weg.
217. Anm. Eine krumme Linie naͤhmlich, deren Coor⸗ dinaten auf Potenzen von irrationalen Exponenten erho⸗
ben ſind, iſt der voͤlligen Schaͤrfe nach, nicht aigebraiſch,
weil ihre Gleichung von keinem gewiſſen Grade iſt n endl

128(0O)£
endl. 467). Wenn z. E.= 27 3 ſo iſt beynahe Xx= 3
100— 1 8 55 2 1(0 oder XOO= 2173 und naͤher x= 21568 oder
XIO00= 21732 und ſo kann man der Wahrheit im⸗
mer naͤher und naͤher kommen, aber nie Potenzen von x und 2 angeben, die ihr voͤllig gemaͤß waͤren. Alſo kann man dieſes keine algebraiſche Gleichung nennen.
2 8
dz: A — 3: 42)
218. 3uſ. Es iſt aber(215) f S
= B ſin(Z: A)(An. Un. 281). Es ſey dieſer Bo⸗
gen was An. Un. 329; a genannt wird, ſo iſt wenn man der Kuͤrze wegen, ⁊ ſtatt †— ſetzt.
dorten c l„f——1 hier 2:A(A=- 22):2 2 d?7: A A2=22)—
7(r= 2s:A⸗) 2 P(A 2) †n Eben ſo, koͤnnen ſtatt der dortigen a; c;*; hier
B ſin u; u;(1-— u⸗) geſetzt werden. Die Glei⸗
du 8— X. dz: A
chung alſo F=) e ar) giebt* 7(1-—uz)—ux
1—= IA. 4, 7 i-=ue) Tu, ⸗(onſt †. 2.]
7(Az- 22)- 227 4
(A==zz wo ich=. Conſt annehme
weil bey der Integration doch eine unveraͤnderliche Groͤſſe addirt werden muß„ und ich die Ge⸗
ſtalt derſelben hier nach Gefallen annehmen kann,
da die Groͤſſe ſelbſt nachgehends durch gehoͤrige Rechnung
wenr
z·60
Mva linken 12) unn

Zahrheit in otenzen v . Aſſo kam n.
17:A dieſer Be ſo iſt wen gt.
1
)†²2“ c;„p hie Die Gle
iebt! ²) 9
2²)- 12 72²
b.
ſt anneyne
raͤnderlih h die Ge men kam h gehi
Rechnung
(O)£* 129
— 12
Rechnung beſtimmt wird. Alſo ir=— ondn.(Tebar e e ſz,,
(Ar=22)2e V(1-— u²) †ux (i— u⸗)=— un
2— 72 X . 5 5 d2r)” Man heiſſ M was zur Rechten ſteht, und multiplicire auf der linken Seite Zaͤhler und Nenner mit(7(1— u) †un) ſo verwandelt ſich der Nenner in 1— u⸗— ux⸗ = 1 und es koͤmmt((1— u⸗*)+un)== M oder M= I
2 z. M
M³ ) oder auch,
wenn man die Bruͤche umkehrt
X
Conſt
(1- u⸗)= P M- ux, daher u=
—7 M 1 2— X— 2
, Es ſey Conſt 4.= E, ſo iſt,
Zaͤhler und Nenner mit(A2- Z2) † 2 multi⸗ TAE=2=)t222²)⸗
plicirt, M=Ez.
(N(Az- 72)+ 22). Daher u=
M= L. A*G EG(A=-22) 4ℳ AA 2 ½. A* 2E.(A2-2²) † 2*
In dem letztern Theile multiplicire man Zaͤhler und Nenner mit G-(A=- 2²)— 22)“* wodurch ſich der Nenner in 2z E. A**ℳ³ verwandelt, ſo wird u=
7 Matheſis ater Theil. J E.

130 r(0) 89
E.((Az= 22)+ 299(r(A=- 2⸗)- 22)* 2 2. A3 2 z. E. AM 1
7(As=C)=n a
A) 18
Nun ſetze man E=
A A³ — 4 u ts 2 eTer) wodurch nichts einge ſchraͤnkt wird, weil C eine unbeſtimmte beſtandige Groͤſſe bedeutet, die ſich am Ende durch gehoͤri— ge Rechnung beſtimmen laͤſſt, ſo koͤmmt u oder X(C(A⸗ C=)-Co r(A⸗=-22)+ 22)* 4 2. A2*³ (A⸗-C=)+ Cx).“*((A=-22)=22)* 2. A2*³ wo Z eine Function von y iſt, und alſo wenn man ſtatt y ſeinen Werth ſetzt, gar leicht eine Gleichung zwiſchen x und z erhalten wird. 219. Zuſ. Fuͤr X= iſt x= ZLyT-(A=-C=)-Cy P(A=- 22) 94² 3
220. Aufg. Die anziehende Kraft verhaͤlt ſich verkehrt wie das Quadrat der Entfernung. Ein Koͤrper wird aus A ſenkrecht auf CA geworfen. Man fragt was er fuͤr eine krumme Linie beſchrei⸗ ben wird.
Aufl. I. Die 202; 214; genannten Dinge heiſ⸗ ſen hier eben ſo, nur daß h= a und f ſey, was es
85
I falt muß. ſſ Vaſi vunt ds de zud fine fonder Aawe
Hiert
af⸗
— ft⸗,

M¹
7) 13
hts einge
beſtaͤndig rch gehar⸗ imt u oder
²) † 1²)
———
2)-22)
—
wenn man -Gleichung
erhaͤlt ſ ing. Ei geworfe ie beſchut Dinge heſ ey, wase
6
(0) 131
85 war, ſo iſt hier P, das p in 87; und das daſige n=- z alſo P=fzy- 2² und(a14. IIII.) Y=
12 12 ſoi uIn du 1 alſo in 214; II Ee a dy c cy“* a“ c- 12y= 8 ry)
II. Was rechter Hand ſteht, muͤſſte auf eine Ge⸗ ſtalt wie 215. erfodert wird, gebracht werden. Da muß man alſo ſtatt y eine andere veraͤnderliche Groͤſ⸗ ſe ſetzen, und dieſes wuͤrde meiſtens auf gluͤckliche Verſuche ankommen. Ware nur das Quadrat von y unter des Nenners Wurzelzeichen, ſo koͤnnte man das Verfahren An. Un. 404 anbringen. Da aber die Irrationalgroͤſſe drey Theile hat, ſo muͤſſte man zu dem daſelbſt XXXXV. angefuͤhrten Schriftſteller ſeine Zuflucht nehmen. Oft aber kann man in be⸗ ſondern Faͤllen, viel leichter als mit einer ſolchen Anwendung einer allgemeinen Methode fortkommen. Hier kann man folgendergeſtalt verfahren.
III. Man behalte Y bey. Es iſt naͤhmlich y=
21 aafsdY
fa f ind dye⸗.Dieſe Werthe in ad c 3.
v((C 16 v2— a2c)(2 14.IIII.) geſetzt, erhaͤlt man
aunu d 3 B(E f2)-L.= 7(1-u⸗) p( by=F²) 1d e
0
a426
3₰ 2 Hier

332(o)££ Hier ſetze manY= Bw alſo dI= dw, ſo koͤmmt
du d w 7(1-— u⸗) 7(B2-w²). Alſo iſt in 215 und hier; Z=w; A= B; A= 1
„
X folglich nach 219; nur u ſtatt 7 geſetzt u=— w. T(B=- C=)-C. †(B2-w²)
B* Nun iſt u= 1 fuͤr y= a; und fuͤr eben den Werth B(6-C von ywird Y= o undw= Jz alſo 1— 6 1 — W
daraus erhaͤlt man C= o, folglich u=; Man
muß das Zeichen— brauchen, damit fuͤr y= a; u=+† 1 wird.
IIII. Folglich-B. u= Y-B, woraus man(fe 2ac)
2
fe22.= rhsſt. Alſpiſt ſtatt u geſs⸗ u=—— erhaͤlt. Alſo iſt, 7 ſtatt u geſetzt,
(fa- 2 ac) x+† 2ac= f? y. Nun ſtatt y ſeinen Werth geſetzt und quadrirt, findet ſich 22= 424 c- 4a=c.(f-- z ac)- 4ac.(f*- ac)
f ⁴ † f4⁴ X 14 XS; die Gleichung gehoͤrt alſo einer krummen Lihie der zweyten Ordnung und die Abſeiſſen ſind auf der Are genommen, weil jeder zwo gleiche entgeg gengeſe tzte Ordinaten zugeboͤren. Iſt nun f2 Sac ſo iſt der Coefficient bey X* verneint, alſo giebt es kein 2 fuͤr unendliche X, nnd die linie iſt eine Ellipſe(An.
enbl.

kömm
(fe=230 geſetzt,
y ſeinen h 22⸗ -3c) — Linie de fder A engeſebte ſo iſtde jein 2 i pſe(An.
endl
A) O) ☛ 133 endl. Gr. 465). Iſt aber f* Iac, ſo iſt ſie eine
Hyperbel.
V. Die Arxe wird von der krummen Linie in zween Puncten A, B, 14 F. geſchnitten, weil die Glei⸗ chung 22= o zweene Werthe von x giebt. Dieſe Gleichung wird X 2— X 2— o. Wenn f² Sac, ſo iſt das letzte Glied verneint, und die Gleichung hat eine Folge der Zeichen, des zweyten Gliedes Cbeſſicient mag bejaht oder ver⸗ neint ſeyn, alſo eine verneinte Wurzel,(An. Un. 190. nach Verb. des Druckf.) daher fallen die beyden Warzli CA, CB auf verſchiedene Seiten des Pun⸗ ctes C; Iſt aber f⸗ Iac, ſo iſt gewiß fo= zac, alſo der Gleichung zweytes Glied verneint, und beyde Wurzeln bejaht, oder A, und B, fallen auf eine Seite von C.
VI. Von den Wurzeln(V iſt eine bejahte CA= a.
Man heiſſe die andere K; und mache aus(X- a). (X-K) die Gleichung X*—(a † K) x+aKkK= o, welche mit voriger einerley ſeyn muß, ſo iſt K= fi- ac
VII. Fuͤr die Ellipſe(IIII iſt dieſes die vernein⸗ te Wurzel(V) CB; weil alſo das verneinte blos die Lage von C aus bedeutet, ſo iſt der eigentliche
2 Werth von CB= ee. Alſo die Axe der El⸗ af* lipſe—. G ſey ihr Mittelpunct, ſo iſt
J 3 4—

134 2(o)
a.(fa 2Ca)
a- LAB oder CG= Man ſetze Gb
=t; ſo iſt x= t CG, und dieſen Werth in IIII a3cſa
geſetzt koͤmmt faz?= 4ac(f2= ac) t Eine
Gleichung fuͤr Abſciſſen aus dem Mittelpunete der llipſe. G
VIII. Wenn alſo hier t= o; ſo iſt die halbe
5 3 C andere Are GD= a c und die Weite des
A
Brennpunctes vom Mittelpuncte der Ellipſe(An. a.([2= 22 endl. Gr. 376)=(AB2-GD⸗)= 4 ac)
=6G0; alſo iſt C der Ellipſe Brennpunct, und der Koͤrper beſchreibt eine Ellipſe„ deren einer Brennpunct, der Mittelpunct der Kraͤſte iſt.
2
2
40 De VIIII. Der Parameter der Cllipſe(An.
4 a2 C
2
endl. 366)=
a2cC. p⸗(202. II.) alſo, den Werth von p aus 214. III;
und den von Y aus 220. genommen; v= acCy-evI“ aà y 221. Zuſ. Die Weite welche die Geſchwin⸗ digkeiten beſtimmt(210), findet ſich aus(211) da⸗ ſelbſt
X. Die Geſchwindigkeit zu beſtimmen, iſt w

() ½* 335
ſehe G ſelbſt n== 2 geſetzt. Sie iſt alſo(-f c)= th in lll— af A(220. VII.) o)t“ Eime 1— 1 dee
222. Fuſ. Ob eine Ellipſe oder Hyperbel beſchrie⸗ uncte der ben wird, koͤmmt auf die Geſchwindigkeit des Wurfs,
auf c, an(220. IIII.). Im letzten Falle naͤhm⸗ lich ginge der Koͤrper um C als den Brennpunct
die halbe 4 e 8 bat der Hyperbel in der Haͤlfte der Hyperbel die nach C
eite des zu hohl iſt herum, denn daß ſein Weg gegen den Mit⸗ telpunet der Kraͤfte hohl ſeyn muß iſt offenbahr. ipſe(An. Iſt fe= ac ſo wird eine Parabel dueſ deren (f1=aa-) Sleichung⸗ z2= 4a-— 4ax, ihr Brennpunct C, der -f- Parameter 4CAe 4a iſt, wie man ſich leicht dar⸗ „und dal aus uͤberzeugen kann, daß a-Ab ſtatz x geſetzt, 1* einal die Gleichung 22= 4 a. AP giebt. aſte iſt 223. Anm. D Die Are Aß iſt bejaht, verneint, oder un⸗ 4(An endlich; nachdem— groͤſſer, kleiner, oder ſo groß als o
iſt(220. VII.). Dieſes ſtimmt mit dem Uebergange der Ellipſe in die Hyperbel durch die Parabel, zuſammen(An. endl. 391; 381.). iſt v= 224. Zuſ. Fuͤr f⸗= 2 ac werden beyde Aren (22. VII; VIII.) gleich, jede= 2 a; und GC= o; 214. II alſo wird ein Kreis beſchrieben, deſſen Mitrelpunct der iteneninee der Kraͤfte iſt.
1⸗ 25. Zuſ. Ich habe CGG= a- xAB angenom⸗ A men, n,(22o. VII.) alſo den Mittelpunct der Kraͤfte, in denjenigen von beyden Brennpuncten geſetzt, der
eſchwir⸗ am weiteſten von A liegt. Der hieraus gefundene
au) do Werth fuͤr CG, iſt bejaht, wenn f⸗ S 2ac; im
ſibe 3 4 ent⸗

136 Ar(Oo) ½
entgegengeſetzten Falle aber verneint, und da iſt C der naͤchſte Brennpunct bey, weil dieſes anzeigt, es ſey CA=XAB.
226. Suſ. Es ſey AB= E; der Parameter= L, ſo findet man aus 220. VIIII, c= 25 Werrh vonc; in dem Werthe von E(220. VIlI.) ge⸗ braucht, iſt a= 5 Es kann naͤhmlich a; CA oder CB bedeuten, denn E= GA und— G(220. VIII. und An. endl. Gr. 376; 366.).
227. Fuſ. Die periodiſche Zeit oder die Um⸗ laufszeit, in welcher der Umfang der ganzen Ellipſe AMBHA durchlaufen wird iſt= 2. der elliptiſchen Flaͤche 4. der ell. Fl.
ac(203— fl. (226). Da nun der Ellipſe kleine Are= f E. L (An. endl. Gr. 366) ſo iſt die elliptiſche Flaͤche r. E E IL.. :‚—(An. Un. 626.) alſo die Umlaufs⸗
7 E E 228. Zuſ. Da fuͤr einen gegebenen Mittelpunct der Kraͤfte das Geſetz des Anziehens, und f gege⸗ ben ſind, ſo ſetze man, um einen Mittelpunct be⸗ wegen ſich zweene Koͤrper in Ellipſen, deren Aren 4 E, e,
zeit=
und dieſen
P6,
T:t⸗ zettn zuln,
quipl
ſich 22(t
ſolcheh die gt ſeinenn
b Hälfte
fernunde Gi ens a , daeſer B ald von alo d ware würden ihn a 6
—
ſk=
als i. ten n von Zeit
te vo

dde ſt z anjeigt jeter=l nd dieſen VII.) ge Es kan E= GA
An. endl
die Um, r ganzen d iſt er el. Fl
ttelpunt d gege unct be ren Aren
be
X(o)£&☛£ 337
E, e, ſind, die Umlaufszeiten heiſſen T, t, ſo iſt Tit=EZ: ed oder T:t=E': e: die lmlaufs⸗ zeiten verhalten ſich alſo wie die Quadratwur⸗ zeln aus den Wuͤrfeln der Axen(in ratione ſeſ- quiplicata axium) oder ihre Quadrate verhalten ſich wie die Wuͤrfel der Axen.
29. Anm. Weil in AB die Brennpuncte liegen, ſo iſt ſolches die groſſe Are(An. endl. Gr. 376.), alſo CA die groͤſſte, OB die kleinſte Entfernung die der Koͤrper in ſeinem ganzen Umlaufe von C haben kann, folgslich die Haͤlfte von beyder Summe, oder 1 E, die. nirrher. Ent⸗ fernung, welche ſich alſo wie E verhaͤlt. So ſagt dieſer Satz einerley mit Aſtron. 266.
230. Fuſ. Wenn c= o, ſo waͤre 22= 0(219. IIII.) und AB= a(daſ. VII.)= AC= 2. CG fuͤr dieſen Fall. Alſo laͤge G mitten zwiſchen A und B als den heden Brennpuncten, deren Entfernung von einander, die Axe waͤre. Das verwandelte
alſo die Ellipſe in eine gerade Linie AC. Dieſes waͤre die Aufgabe 87 für n=- 2. Aus 214. III. mürd e hier p= o wie natuͤrlich iſt, weil CA
hre eigentliche Tangente iſt, auch aus 220. X;
(a- yV)f*
V= a7 wie in 87; und aus 227, wo hier
. T a a E=a; die Zeit noch einmahl ſo groß
als in 103. das dortige m hier beyſeite geſetzt. Dor⸗ ten naͤhmlich war nur die Zeit des Niederganges von A nach C berechnet worden, die Leenndöttige Zeit iſt die, welche ein Koͤrper in der Ellipſe brauch⸗ te von A durch B wieder nach A zuruͤck zu kom⸗
Q⸗ 19 J S men,

138(0O) ☛
men, alſo noch einmahl ſo groß. Iſt alſo dieſe Anwendung von 220. auf c= o erlaubt, ſo wird in 87 fuͤr n=— 2, ein Koͤrper, der in c mit unend⸗ licher Geſchwindigkeit angelange iſt, von da wie⸗ der nach A durch CA zuruͤckkehren, und ſo hin und hergehende Bewegungen machen.
231. Anm. Die Urſache warum man h= a geſetzt, wird ſich aus folgender Betrachtung zeigen.
232. Aufc. Die Differentialgleichungen in 214; wenn M auf A faͤllt auszudruͤcken.
Aufl. I. Weil hier y= a= X ſo wuͤrde in 214.
. 1— d MCP II, u= 1; und alſo(r. uu) oder u
= 0, dieſes waͤre noch nichts Ungereimtes, es
zeigte nur, daß bey A der Winkel ACM ſich un⸗
endlich ſchneller veraͤnderte als der Quotient Das wuͤrde ſich ſo erklaͤren laſſen. 1 II. AE 13F. ſey das erſte Element der krummen Linie; da M auf A, und m auf E faͤllt; ſo iſt das erſte y= CA= a⸗z dem erſten X; das zweyte y waͤ⸗ re CE; man beſchreibe mit CE den Kreisbogen Efs ſo i6 Ak der Unterſchied zwiſchen dem erſten und zweyten y; alſo das erſte dy== Af. Man laſſe von 1d das Perpendikel Ee auf CA, ſo iſt das zweyte X= Ce; alſo das erſte dXx=-Ae. Nun iſtfEC= R=ACE; eEC=R-ACE, aſſo faͤllt f zwiſchen A und e und es iſt fEe=xACE un⸗ endlich klein, folglich auch deſſen Tangente 46
un⸗
mmendl chung zweyte⸗ dergle
Ef=]
der Ure
chung?
. und dn Vute
ſaus dan =h we nen falſ der Win nacht,

alſo di t, ſo witd nit uneni on da wi ſo hin un
geſetzt,wid en in 2
de in 214 d MCP du
mies, 6
d ſi ich u
orient-
krumm ſo iſt d
zeyte yn reisbogen dem erſtn f. Mm ſo iſt do
e. Nuu „alſo äll A0CE ⸗ ef
gente f.
(O)££ 139
unendlich klein, alſo verſchwindet fe in Verglei⸗ chung mit Ee oder es iſt ein unendlich kleines der zweyten Ordnung, wenn AE, und daher E Ee, dergleichen der erſten Ordnung ſind. Folglich iſt
f Ef=p(Ee* †+ef*)= EerEe..= Ee bey⸗
der Unterſchied naͤhmlich verſchwindet in Verglei⸗ chung mit jedem.
III. Nun iſt hier der erſte Winkel MCP= o, und der zweyte=ACE= der Veranderung des Winkels MCb an dieſer Stelle. Der erſte Quo⸗
. X ſt. Ce a-Ae tient— iſt= 1; der zweyle= „ z der zehtef
Af-Ae fe... X 1— alſo des Quotienten Veraͤnderung
fe hier=——; beyde Veraͤnderungen alſo mit ein⸗
3. ACE Ef. ac ander dividirt ge ben- 16= unendlich
(II.).
IIII. Aber fuͤr y= a und 1= u wuͤrde in 214. II; — as du
——— a* du aus dem Nenner naͤhme. Und doch ſollte es da = h werden. Die dortige Rechnung giebt alſo ei⸗ nen falſchen Werth fuͤr pan der Stelle A, ſo oft der Winkel, den die Tangente daſelbſt mit der Axe macht, der Winkel EAC, kein rechter iſt. Hier⸗ aus
— alſo Xa nachdem man die Wurzel

140(oO) ☛☚£
aus wuͤrde ſich ſchon die Nothwendigkeit der Vor⸗
ausſetzung 231 zeigen. Es iſt aber wohl noch der
Muͤhe werth zu unterſuchen, warum die Rechnung dieſen Mangel an ſich hat.
V. Sie gruͤndete ſich darauf daß pds= Mr. y
Vr oder ad.= ſin Cm M. Wenn nun M auf A faͤllt, und ſich p; y; in h, a; verwandeln, ſo ſoll
h ſolchergeſtalt t= f ſin CEA ſeyn, wie auch richtig
iſt, weil CEA von CAE nur unendlich wenig un⸗ terſchieden iſt, und alſo mit ihm in endlichen
— h—. Groͤſſen einerley Sinus hat. Es muß alſo in
Mr... dem Ausdrucke des Quotienten— Mim wie dortige
Rechnung ihn gaͤbe, etwas liegen, das nicht ver⸗ ſtattet ihn da wo M auf A faͤllt anzubringen, wenn nicht h= a
VI. Dorten ds zu finden brauchte man dz, wel⸗ ches aus der Gleichung 22= y?-Xæ gefunden ward,
*
man brauchte zwar dorten uy ſtatt x, es muß aber
offenbahr einerley Werth von d⸗ berauskommen,wenn man hier 22 2—»2-X= differentiirt, und wenn man in
X dem dortigen Werthe von de, wieder ſtatt u ſetzt.
Nun wirebiiig man hier ſo, daß man die hoͤ heren Potenzen der Differentiale nicht weglaͤſſt(An. Un.
.
Un.16 dx
— 1
4.9.9. werden, erſte 7⸗ Fe=¹0. an den heiſen
Differen ahr ſe
dortige: Fir ſch ennicht dy beyde doch lich wäre„t den We ſuchen, ſtaͤnden
VII
Krhalt m
keinen E

hl nochd 9 eNechnun
48 Ar. un Maſ eln, ſeſt auch riche . 141 h wenigu endlich
nuß alſi
die dottt
nicht v gen, we
n dz, m nden wand 5 mußc zahr nmen wen denn man
att u ſih
nnn die egliſt 1
(O) ‿2 141
2
1 Un. 16) ſo iſt z dz+ d22= y dy- XdX- dx*²
; Hier koͤnnen wegen der Erinnerung An. Un.
a. a. O. die Quadrate von dy und dx weggelaſſen werden, wenn y= a= X; Aber weil daſelbſt das erſte 2= o; und das zweyte=Ee iſt, ſo iſt hier Ee= dz und die gefundene e Diffrenti algleichung an den Punct Agebracht, muß dzs= yd y=XdX heiſſen. Alſo iſt klar, daß was aus der dortigen Differentialgleichung folgt, bey dem Puncte Anicht wahr ſeyn kann, wofern es nicht Umſtaͤnde giebt, unter denen aus der dortigen und hieſigen einerley folgt.
VII. Man koͤnnte aus jeder den Werth von dz ſuchen, und ſehen, unter was fuͤr Umſtaͤnden der dortige fuͤr y= a mit dem hieſigen einerley gaͤbe. Fuͤr ſich betrachtet, koͤnnen dieſe beyde Gleichun⸗ gen nicht gleichguͤltig ſeyn, weil fuͤr x= y= a; was bey beyden rechter Hand ſteht einerley bleibt, und doch nicht 2 d 2= dz2 ſeyn kann, wo nicht 2= dz waͤre, welches nicht ſeyn kann. Man kann aber den Werth von Mr:ds am Puncte A aus jeder ſuchen, und ſehen, ob beyde unter gewiſſen Um⸗ ſtaͤnden uͤbereinſtimmen.
.2 X VIII. Wenn man in 214. II; 7 ſtatt u ſetzt, ſo alt M X d v VG d X— erhaͤlt man Mr=———— Jerein hat 2 he y a). Hierein hat 2
keinen Einfluß, und alſo iſt dieſer Werth auch fuͤr 7— 2

142 B(o)&ᷣ☛
y= awahr. Sein Nenner wird alsdenn= 0; Man darf aber nur ſetzen das erſte y und x, ſey jedes von a um ein unendlich kleines der zweyten Ordnung un⸗ terſchieden, welches hier eben ſo viel iſt, als ob man jedes vollkommen= a ſetzte, weil man bey dem Unterſchiede zwiſchen dem erſten und zweyten y oder X, nur unendlich kleine der erſten Ordnung be⸗ trachtet. Nimmt man nun dieſes an, ſo iſt 1(v2=XZ) unendlich klein von der erſten Ord⸗ nung(An. Un. 4.) und giebt mit Mr hier= AE
multiplicirt ein unendlich kleines der zweyten Ord⸗
nung wie der hieſige Werth von Xdy-ydx naͤhm⸗ lich a.(dy-dX)= a. fe(II.) wirklich iſt.
. yVdy-XdX. dXx² † dz“ oder ds?²= ELün. ar) Idpüd y=XS Xdy-y dX
und daher ſi— und daher ſin CmM(V) ry2(dx⁴dνυexydyda) (VnII.).
XI. Man ſetze ef= w; ſo iſt fuͤr den Punct A; dy=Af; dx==(Af+† w)(lI) und daher aus X; und V; ſin CAE=
2. W 7(a*.[(Af+† w) ²2+ Ats ſ— 2 as. Af.(Ar † w))
— I.
Xll. Aber fuͤr den Punct A, dz=(a.(dy- dx)) Vh=P aw(XI) geſetzt, giebt dx*+† dν oder ds==(Af+† w) 2+ a. w. Und weil hier Mr
= Ef
1
Ef von
AW Af
N- fEA ſchvind von end dieſen,
rdnun nit 3.
bein dſa T ſo muß
Einus NlIII ü 1 eA
klkad
NX. endlich Auch nur enn werden ſten Or endlich
Ne

0; M ſdeste dnung ur iſt, alsdh l man ba zweyten dnung b in, ſo i ſten Od dier= A! yten Ouͤ dx naͤhm ſt.
tt, koͤum
den Pu und dahr
KrTI
ui
1 hier 1 =f
—(0) ☛ 143 =Ef= Ee(II.)= dz(VI.) ſo iſt des Sinus Ee
—„
1
von CAE wahrer Werth
a W
Af † 2. Af. w † w2+ a. W
XIII. Es verhaͤlt ſich w: Af= tang e Ef: tang fEA. Da nun eEf unend liich kl ein iſt(II, ſo ver⸗ ſchwindet w in Vergleichung mit Af, wenn fEA von endlicher Groͤſſe, das iſt CAE ſchief iſt. In dieſem Falle iſt Af unendlich klein von der Viſten Ordnung, alſo ſein Quadrat von einerley Ordnung mit a. w, in Vergleichung mit beyden aber ver⸗ ſihwpinden 4 f. w und w2. Der Sinus(Xll) wird
h alſo P Ai n und wenn er=„a. ſeyn ſoll V)
ſo muß h. Af= a.(a-h). w ſeyn. So kann der Sinus Xll. jede Groͤſſe haben.
XIIII. Soll er aber= ſeyn, ſo ſind bey ihm Zaͤhler und Nenner glei ich, und( Af+† w) 2= d oder
w= Af; d. i. e muß auf A fallen, oder der Win⸗ kel EAC ein rechter ſenn
XV. Dieſes findet auch ſtatt wenn EAC un⸗, endlich wenig von einem rechten unterſchieden iſt. Auch alsdenn ſagt man e falle auf A, weil hier nur endliche Groͤſſen als unterſchieden betrachtet werden, die ſich in unendlich kleinen von der er⸗ ſten Ordnung unterſcheiden. Alsdenn iſt Af un⸗ endlich klein von der zweyten Ordnung wie w; und im Nenner(XII) verſchwinden die Quadrate und
2 Af. w

144(0O) ☛& ᷣ
2 Af. w in Vergleichung mit a. w und der Sinus XII wird= 1.
XVI. Naͤhmlich in XIHI; XV; iſt EE=Ee= aw(Xil) und allemahl Ee=Ef, alſo der Quo⸗
Mr. E tient Imn welcher bey A ſich in E verwandelt hier= 1. 2
XVII. Da alſo der Ausdruck in N für ſia CmM welcher bey der Rechnung 214. zum Grunde liegt, (V) am Puncte A nur alsdenn waͤhr iſt, wenn CAE=R, in welchem Falle er daſelbſt mit dem Ausdrucke, der dorten gewiß wahr iſt, uͤbereinſtimmt (XIIl), ſo kann man die Rechnung 214. in dieſem Falle ſicher brauchen, weil der Ausdruck der bey ihr zum Grunde liegt, ſonſt uͤberall, und auch bey A wahr iſt. In jedem andern Falle aber wuͤrde ſie unſicher ſeyn, denn ſie nimmt etwas an, das nur in allen andern Stellen der krummen Linie, als A, und folglich nicht in allen wahr iſt.
p
233. Anm. Das Verfahren 214. findet alſo nur als⸗ denn ſtatt, wenn man durch O eine Abſciſſenlinie ziehen kann, die auf der krummen Linie irgendwo ſenkrecht ſteht. Es ſetzt daher zum voraus, die krumme Linie, welche be⸗ ſchrieben wird, ſey ſo beſchaffen, daß man aus C auf ſie eine Normallinie ziehen kann, wo auch C angenommen wird. Auf jede algebraiſche Linie laͤſſt ſich aus jedem Pun⸗ ete eine Normallinie ziehen, alſo iſt dieſes Verfahren fuͤr alle algebraiſche Linien zulaͤnglich, und blos fuͤr dieſe braucht man es, weil man tranſcendentiſche krumme Li⸗ nien eben ſo guk auf andere Art, als durch Gleichungen zwiſchen rechtwinklichten Coordinaten anzugeben, gewohnt iſt. Daß bey dieſen letztern nicht allemahl aus jedem Pun⸗ cle
tte eint garith CM 1.— 22
„ 6 einer einen —5 die Ge häng. a d 4 el
af vebſt d dem
ſtumm
2
hen der—. he falgih
IL. ken V alſo w
— —

der Sine
b E=Ee⸗ der Quo
verwandel
rſia Cmll inde liegt iſt, wem tmit den einſtimmt in dieſem der bey i uch bey wuͤrde ſe , das ur nie, als⸗
ſo nur a linie ziche krecht ſih „welchel §Cauf ſe ngenomma ſedem Pur rfahren ſ F fuͤr diee frumme l leichungen e,gewohnt jedem por
(l⸗
A(o) 145
ete eine Normallinie koͤnne gezogen werden, wird die lo⸗ garithmiſche Spirallinie An. Un. F 10. erlaͤntern, auf die CM nie ſenkrecht ſtehen kann, wenn nicht das dortige m= o da ſie ſich in einem Kreis verwandelte.
234. Aufg. Ein Koͤrper wird in M 14 F. nach einer gegebenen Richtung geworfen, die mit CM einen ſchiefen Winkel CM T macht, deſſen Sinus = s; gegeben iſt, ſo wie die Weite CM= y; und die Geſchwindigkeit des Wurfes, der Hoͤhe v zuge⸗ boͤrig. Der Punct C zieht verkehrt wie die Qua⸗ drate der Entfernungen an; Man ſucht die Ellipſe die er beſchreiben wird.
Aufl. I. Die geſuchten Groͤſſen ſind hier a; c; nebſt den daraus in 220. gefundenen Groͤſſen, und dem Winkel MCa, welcher die Lage der Are be⸗
2 a²C—„ ſtimmt. Nun war in 220. X; p⸗= alſo iſt
2
hier— das iſt die gegebene Groͤſſe se=— folglich=c.
II. Eben daſelbſt aber iſt aus dem dortigen zwey⸗ ten Werthe von v; ac= av- 5+†f*; die Axe alſo elche in 226. E heiſſt, iſt nach 220. VII; Eegen
Matheſis ater Theil. K III.
——— —————
——

146 E(o)£᷑ III. Der Parameter aber(226; und 220. VIlIl)
2 2 und hier l; L=—
IIII. Alſo ſind E; L; durch die gegebenen Groͤſ⸗ ſen, folglich ſelbſt, gegeben; und ſo findet man durch ſie a vermoͤge 226; und wenn nun a gefunden iſt, auch c;(hier I.).
V. Aus den gegebenen Groͤſſen, unmittelbar a und o zu finden ſetze man den Werth von ac in II,
2 2
— —
(D ſo koͤmmt az.(vy-f²) † f2y a= 82vy:
fæ=y y(fa- 4. sz. yv(fæ- vy)) 2.(f²— vy) woraus e nach l. gefunden wird.
a
und daher a=
VlI. Die halbe kleine Axe † E. L(22) findet
VY f2—Vy VII. Des Winkels MCA, Coſinus iſt(220. fz⁊y— 2 a²c IIII.) u=— Nun iſt hier aus(I; III.) f2. L fz.(y- IL) a.(ay-L.) 2 alſouer r Se.I(2 a⸗L) y 2 3 Man nenne Q den Irrationaltheil von a(226) daß 22=E Q wo Q*=Ez2-E. L(das doppelte Zeichen vor der Wurzelgroͤſſe kann hier verſtanden werden. Bedeutet a das laͤngſte Stuͤck der Are von O bis an den Scheitel A; ſo muß man † brau⸗ chen,
ſich aus II; II; hier= 2. s. y
2 a2C=
chen,
u==
1
und (L-=: 2).
—
nun 1
ii
ches me te C MC
VII i
3. nent, ner, den alſ bel,
3o. ſollange 634. her vert nzieht,

0. VI
en Grie det man gefunden
ttelbat ac inl
=S2vy
-V))
4(220) doppelt erſtanden der Are 1+ brau
chen,
x(0O)£ 147
chen, aber— wenn a= CB ſeyn ſoll(226),) ſo iſt (E O).(2y= L zy.(E Q-L)
und Nenner mit E-L-OQ, ſo wird u=
(LE-=V). Q-(Qy-L). E zy-l.
2y. 6dL-E) 2y.r(E=L) 1) Da
L
Man multiplicire Zaͤhler
L nun F aus II; III; gefunden wird, ſo erhaͤlt man
fz— 282 vy (f*- 4s vyf=+ 482 v2 y ²) ches man verneint nehmen muß, wenn a, die Wei⸗
te CB bedeuten ſoll, da Cof MCA=- Coſ MCB iſt.
endlich u= wel⸗
VIII. Des Winkels MA Tangente iſt=u
u 1 282 Vy(1— 82)
235. Fuſ. Die Axe E(234. II.) iſt bejaht, ver⸗ neint, oder unendlich, nachdem, fꝰ groͤſſer, klei⸗ ner, oder ſo groß als vyziſt. Nach dieſen Umſtaͤn⸗ den alſo iſt die krumme Linie eine Ellipſe, Hyper⸗ bel, oder Parabel.
236. Fuſ. Da E; L; nie unmoͤglich werden kann, ſo lange man fuͤr y, v,s, f. moͤgliche Werthe annimmt (234. II; III.) ſo beſchreibt um einen Mittelpunct, der verkehrt wie die Quadrate der Entfernungen, anzieht, jeder Koͤrper, wie er auch geworfen wird,
K 2 einen

— —
148(o)£.
einen Kegelſchnitt, in deſſen einem Brennpuncte C liegt.
237. Anm. Kepler hatte aus den Beobachtungen ge⸗ ſunden, daß die Planeten in Elliyſen um die Sonne gin⸗ gen, die im Brennpuncte dieſer Ellipſen laͤge(Aſtr. 247.). Newton zeigte alsdenn, daß dieſes geſchaͤhe, wenn die Planeten gegen die Sonne mit einer Kraft getrieben, oder von der Sonne mit einer Kraſft angezogen wuͤrden, die ſich verkehrt wie das Quadrat der Entfernung verhaͤlt Princ. L. I. Pr. 11. Ich halte den Beweis hievon nicht fuͤr ganz uͤberfluͤſſig. Ueberhaupt aus der krummen Linie das Geſetz der Kraſt zu finden, muͤſſte man eine Gleichung zwiſchen p und y haben, aus deren Differentialgleichung ſich Pnach 206. durch y ausdruͤcken lieſſe. Fuͤr algebrai⸗ ſche krumme Linien alſo, muͤſſte man aus der Gleichung zwiſchen z und x; die zwiſchen p und y ſuchen, alſo 214. umkehren. Bey den Kegelſchnitten aber weiß man ſchon ſo viel Eigenſchaften, daß man ſich vermittelſt derſelben, dieſe weitlaͤnftiegre allgemeinere Bemuͤhung erſparen kann. Ich will den Beweis, daß ſich die Kraft verkehrt wie das Duadrat der Entfernung verhaͤlt, wenn ein Kegelſchnitt um ſeinen Brennpunct beſchrieben wird, vortragen, dabey ich aber, um nichts unerwieſenes vorauszuſetzen, folgen⸗ des erweiſen muß.
238. Lehnſatz. AMB 14. F. iſt eine Ellipſe de⸗ ren Are AB= a; Mitkelpunct G; beyde Brenn⸗ puncte F, C; kleine Are DH= e; Parameter= b; Ferner AP= x, GP= u= a-X; PM=y; M0O iſt die Normallinie an M; und von O ein Perpen⸗ dikel OR auf MC gelaſſen. Man ſucht MR.
Aufl. Weil MO den Winkel FMC halbirt(An. Un. 90.) ſo iſt MR= MO. coſz FMC. Da nun aus der Rechnung des Unendlichen M O bekannt
ſeyn
6,95
(dig. endl. .FlL. MC= hergehen
TM.N

unpuncte
chtungen Sontie i Aftr. 14) e, wena e trieben, an wuͤrden, nung daßet hievon iit ummen la ne Glaihe ntialgleiche Fuͤr alge der Gleihe en, alſo:n eiß manſte elſt derſhe erſparenin rkehrt wieie n Kegelch tragen,dn ſetzen, ſi⸗
Eliyſed ‚de Bm mmeter= 12y, M ein Perre M.
albirt *. Da run O bekant
ſn
(O)*£ 149
ſeyn muß, ſo ſuche man coſe FMC auf eine leich⸗ te Art zu beſtimmen, dieſes wird alſo MR geben. ſFMC Aber(coſ FMC) ²2= 3—(Trig. 19. FM=+ MC2-FC⸗ S. 9. Zuſ.) und coſFMC= e EI MG (Trig. 20. S.). Es ſey FC= T(a⸗- c*) An. endl. 376.)= 2e, ſo iſt(coſ F M C)*= 2. FM. MCFMz+ MC=- 4e⸗- E MS aber weil FM + MC= a(An. endl. 378.), ſo iſt des naͤchſtvor⸗ hergehenden Bruches Zaͤhler= a-- 4e“= c* auch
FM. MGC=(4—=).(½a†)(eben daſ.)
4 e² u² 44— 166 2u ². folglich coſ FMC . MR ac. vder MO T(a“*- 16e- u⸗*)“ b(a.z2*) Kegelſchnitte p=
Ferner fuͤr die
(An. Un. 524) hier=
5(An. endl. 366.) daher 1+† p⸗= 4 V2 4 12 2 eb 35 wo aus An. endl. 368; der Zaͤhler=
22 e* aa- 16ez u* +e: u⸗.(c*- a²)= 4
K3 Alſo
c2 wird.

(o)&
c⸗(a- 16e* u²) 2 42
Alſo iſt aus An. Un. 526; MO=
²
und daher M=—= Pb. oder: An einen
willkuͤhrlichen Punet der Ellipſe M, iſt aus dem Brennpuncte eine gerade Linie, und auf ſolche ein Perpendikel von dem Durchſchnitte der Axe mit der Normallinie dieſes Punctes gezogen. Zwiſchen dieſem Puncte und dem erwaͤhnten Perpendikel iſt alsdenn auf der gezogenen Linie CM, ein Stuͤck MR, dem halben Parameter gleich enthalten.
Weil OMC= OM, ſo ſind die Perpendikel aus O auf MC, MF, und die von ihnen auf bey⸗ den Linien abgeſchnittenen Stuͤcken gleich. Alſo gilt dieß von jedem Brennpuncte.
Weil ferner dieſes abgeſchnittene Stuͤck nur durch des Parameters Groͤſſe, keinesweges durch die Axe, beſtimmt wird, ſo iſt der Satz von allen drey Ke⸗ gelſchnitten wahr, weil die andern beyden ſich von der Ellipſe nur in Abſicht auf die Are unterſchei⸗ den(An. endl. 384; 391).
239. Aufg. Ein Koͤrper beſchreibt um den Brenn⸗ punct C 14. F. die Ellipſe AM deren groſſe Axe AB=E; Parameter=L; Mittelpunct= G; CpP =X; PM=z, CM=y y, das Perpendikel auf die Tangente, CT= p; man ſucht das Geſetz der Kraft.
Aufl. Die Normallinie MO ſey=w; undr heiſſe der Halbmeſſer der Kruͤmmung bey M, ſo 1
CMI
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weil n. —4 A 4; fh0
An. Ur⸗ meßete b verbeſſ
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1401: Nuutlich vathält, . desn dechrie. Erener V zuerſti Arftüſe ziehende beſcha tralkri wie au zu fnr iſt vie gleichu der ku
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n einer
aus dem ſolche ein e mit de Zwiſchen pendikel in Stuͤc n. pendikel uf ber⸗ d. Alſg
nur durc die An drey K ſich ber
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Bkenee roſſe Ne -6; 0! dikel auf heſetzde
; undt N, ſoit Clll
A(e)£‿ 151
6 MR
L weil nach 238; MR= IL; P= z w. Es ſey CA
= a= dem Perpendikel aus c auf die Tangente in A; folglich(206) P= 2 2. Aber, wenn man
An. Un. 547. in dem dortigen Ausdrucke des Halb⸗ meſſers der Kruͤmmung durch w; den Druckfehler verbeſſert, und 4 ſtatt 64 lieſt, auch r, L. ſtatt der
aW dortigen 2, b, ſetzt, ſo iſt r= e alſo hier por=
LV 3 Tauc 3. — und P= S. Die Kraft verhaͤlt ſich al⸗
ſo verkehrt wie das Qnadrat der Entfernung.
240. Anm. Newton hat 239. erwieſen, aber nicht deutlich gezeigt, daß umgekehrt, wenn ſich die Kraft ſo verhaͤlt, ein Kegelſchnitt beſchrieben wuͤrde. Denn im 17 S. des 1. B. nimmt er ſchon an, es werde ein Kegelſchnitt beſchrieben, und ſucht nur was es fuͤr einer fey. Dieſe Erinnerung hat Joh. Vernoulli mit Grunde gemacht, und zuerſt in den Mem. de Ac. des Sc. 1710. eine allgemeine Aufloͤſung der Aufgabe gegeben: Ans dem Geſetze der an⸗ ziehenden Kraft die krumme Linie zu finden, die der Koͤrper beſchreibt, welches man die verkehrte Aufgabe der Cen⸗ tralkraͤfte genannt hat, weil Newton nur gewieſen hatte, wie aus der gegebenen krummen Linie das Geſetz der Kraft zu finden ſey(Op. Io. Bern. T. I. n. 86.). Dieſes letztere iſt viel leichter als jenes. Denn es braucht nur die Ver⸗ gleichung zwiſchen p und y oder p und r, aus der Natur der krummen Linie, und folglich nur zu differentiiren, da jenes zu integriren erfodert. Daher iſt auch jenes nicht
K 4 eher

(O)*
eher bewerkſtelliget worden, bis Bernoulli durch ſeine Er⸗ findungen, die Integralrechnung betraͤchtlich erweitert hatte, dieſes aber war bald in der Gewalt derjenigen, die ſich bey der erſten Bekanntmachung der Rechnung des Un⸗ endlichen, mit differentiiren beſchaͤfftigten. Keil hat nach Joh. Bernoulli dieſe Erfindung in die Ausdruͤckungen der Flurionenrechnung uͤberſetzt, und den Newton gegen Ber⸗ noullis Erinnerungen auch hier nicht gluͤcklicher als ſonſt vertheidiget. Introd. ad Phyf.& Aſtr. ver.(Leid. 1725.) P. 598.
Anwendung des bisherigen auf die phyſiſche Aſtronomie.
241. Aufg. Zum voraus geſetzt, daß die bishe⸗ rigen Berechnungen bey den himmliſchen Koͤrpern ſtatt finden, die Umlaufszeit(227) in Secunden anzugeben.
Aufl. Sie fand ſich aus 202; II; welches mit m ſie nach ⸗7. muß multiplicirt werden. Sie iſt alſo, E und f in Tauſendtheilchen des rheinlaͤndiſchen Fuſ⸗ ſes ausgedruͤckt, Secunden. Bey den himmliſchen Koͤrpern aber, wo gewoͤhnlich iſt, die Laͤngen durch Halbmeſſer der Erde anzugeben, muß man dieſen Ausdruck darnach einrichten. Es ent⸗ halte der Halbmeſſer der Erde a Fuß= 1000 Tau⸗ ſendtheilchen, und E enthalte Halbmeſſer der Er⸗ de, folglich G. a. 1000 Tauſendtheilchen eines Fuſ⸗ ſes; aber f enthalte„ Halbmeſſer der Erde, alſo
ErE à. B. 1000 V. a. 1000 Tauſendth. ſo iſt— 5
— —
241 LI ſi = a det mai ſes nun ducts e
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A(O) 153
⸗
10„ 10.&; 6,, —— und daher die Umlaufszeit= 7
1
5 7.. 8. 10à 25. 7 242. Exempel. Setzt man mit Eulern Mech, L. I.§. 670; 4= 20302353 ſo erhaͤlt man oa = 203 023530= 14248, 63. Die Ganzen fin⸗ det man gleich in Ludolfi Tetragonometria. Die⸗ ſes nun mit—.= 0, 4 multiplicirt, und des Pro⸗ ducts letzte Zifer als ungewiß weggelaſſen, giebt 3:2 569, 945.. 7 Mengen von Halbmeſſern der Erde bedeuten.
die Umlaufszeit„wo und“,
243. Aufg. Um zweene Puncte die beyde v. w. d. Qu. d. E. anziehen, wie etwa C, C, 13; 14;3 F. ſeyn moͤchten, gehen zweene Koͤrper in bekannten Umlaufszeiten. Man ſucht daraus wie ſich die Staͤrken der anziehenden Kraͤfte beyder Puncte ge⸗ gen einander verhalten.
Aufl. I. Wenn beyde Puncte nicht gleich ſtark anziehen, ſo wird, gleiche Entfernungen von bey— den genommen, der eine in dieſer Entfernung ſtaͤr⸗ ker anziehen als der andere. Dieſe Entfernung ſey = a, und die Kraft, mit welcher der eine Punct in dieſe Entfernung anzieht, verhalte ſich zu unſerer Schwere wie P: 1; die Kraft, mit welcher der andere
KF anzieht

154(o)£☛
anzieht wie p: 1; oder die Gewichte dreyer Maſſen, deren eine auf unſerer Erde laͤge, die andern beyden in Entfernungen= a vom erſten und vom zweyten Puncte waͤren, verhielten ſich wie 1; P; p; Un- ſerer Schwere aber, ſey die anziehende Kraft des erſten Punctes in der Entfernung P; des andern in der Entfernung gleich. So iſt, wegen des an⸗ genommenen Geſetzes a?: Fæ= 1: P und f2:a²2= P:1; Alſo P.p= E2 ſ2.
II. P, p, ſind veraͤnderlich, in jeder andern Ent⸗ fernung naͤhmlich anders; da aber die Entfernung, fuͤr welche beyde gehoͤren, hier aus der Rechnung gegangen iſt, und ſich die Verhaͤltniß P:p durch die Verhaͤltniß der Quadrate von zwo unveraͤnder⸗ lichen Groͤſſen F, f, gibt, ſo erhellt, daß die Ver⸗ haͤltniß der veraͤnderlichen P:p unveranderlich iſt, und das wird alſo die Verhaͤltniß der anziehenden Kraͤfte ſeyn.
III. Der Koͤrper, welcher um den erſten Punct geht, beſchreibe eine Ellipſe, deren groſſe Axe E iſt,
in der Umlaufszeit T; der, welcher um den zwey⸗
ten Punct geht, eine Ellipſe deren groſſe Axe e iſt, in der Umlaufszeitet; ſo iſt(227)
. EE epe Toer= 7 Folglich EE epe E e³ F f=Z 77. 1 alſo(1) Pp= Fr:
oder die anziehenden Kraͤfte verhalten ſich, wie die Wuͤrfel der Axen mit den Quadraten der — 1 Zei⸗
Feiten mittle 144 der zu benplar wie ſic te gege 24 neten, man ſo ander v
146.
laufszei de Per
de Se⸗
ſtigen den ib

r Maſen rn berden n zweyten
p; U⸗ Kraft d anderni des an⸗ f* 4 4¹—
dern Ene tfernung Rechnung :ꝛp dun veraͤnde, die Va⸗ derlich i zziehenden
ken Punt Are Li den zwey Areeiſ
*(0)* 155
Zeiten dividirt. Statt der Axen braucht man die mittlern Entfernungen(220).
244. Juſ. Der erſte Punct ſey die Sonne, und der zweyte ein Hauptplanet, der ſelbſt einen Ne⸗ benplaneten um ſich hat, ſo hat man auf dieſe Art, wie ſich die Schwere gegen die Sonne zur Schwe⸗ re gegen den Hauptplaneten verhaͤlt.
245. Zuſ. Sind aber beyde Puncte Hauptpla⸗ neten, die Nebenplaneten um ſich haben, ſo kann man ſolchergeſtalt die Schwere gegen beyde mit ein⸗ ander vergleichen.
246. Fuſ. Da noch keire Entfernungen und Um⸗ kaufszeiten, von Nebenplaneten um den Merkur, die Venus, den Mars bekannt ſind, ſo kann man die Schwere gegen dieſe Koͤrper nicht mit der un⸗ frigen und der gegen die Sonne vergleichen. Bey den uͤbrigen Hauptplaneten aber geht dieſes an.
247. Exempel zu 244. Die Schwere nach der Sonne mit der unſrigen zu vergleichen.
Hier iſt der Nebenplanet der Mond; alſo E= der Axe der Erdbahn; oder der doppelten mittlern Weite der Erde von der Sonne;
T= dem Sonnenjahre.
e= der doppelten mittlern Weite des Mondes von der Erde,
t= dem periodiſchen Monate(Aſtron. 213).
Weil mir hier mehr daran gelegen iſt, das Ver⸗ fahren des Erfinders dieſer Berechnung, Newtons zu erlaͤutern, als die Rechnung ſelbſt aufs ſchaͤrfſte zu bewerkſtelligen, ſo will ich ſeine Zahlen aus der
Londner

156 X(0O)&x
Londner Ausgabe der Principior. v. 1687. dazu an⸗
nehmen, obgleich jetzo richtigere bekannt ſeyn moͤch⸗ ten. Er ſetzt alſo = 27 Tage 7 St. 43 M.(Princ. L. III. Pr. 8. Cor. 1. e= 60(daſ. Pr. IIII.). Die Weite der Erde von der Sonne, die er an⸗
nimmt, muß man daraus berechnen, daß er die
Horizontalparallaxe der Sonne 20 Sec.(Prop. VlII. Cor. 1.) ſetzt. Alſo iſt, den Halbmeſſer der Erde zur Einheit angenommen, die Weite der Sonne
1 ſin 20 Sec.(Aſtr. 155). Man fin⸗
der aber aus An. Un. 285. und 309. ſin 20 Sec. = 0, 00009696; Daher die Weite der Sonne= 10313= ½ E. Endlich ſetze ich T= 365, 25 Tage, und nehme t= 27 ½ Tag ⸗= 27, 335.
von der Erde=
E. Alſo iſt P: Pe e.. 12 11 Nun„. à 14 E= 4, 0133850 1t= 1, 4366396 Iz e= 1, 7781512 1IL= 2, 5625902 E= 2, 2352338 t 5 2— 1 3 T 1.1259505 E3 1-2= 6,7057014 t² 17☚—= 2, 2519012 12. 1= 4, 453 8002
Dieß III. Pe von kl und j fahren nachd tiger denel
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T(o)* 157
Dieß gaͤbe P:p= 28430:1. Newton brinc. L. III. Prop. 8. hat 28700: 1. Dieſer Unterſchied kann von kleinen Aenderungen in den Zahlen herkommen und iſt hier nicht betraͤchtlich, da ich nur das Ver⸗ fahren erklaͤren will. Jeder, der andere Zahlen, die nach dem jetzigen Zuſtande der Aſtronomie fuͤr rich⸗ tiger gehalten werden, brauchen will, kann mit denſelben dieſe Rechnung wiederhohlen. Daher ſte⸗ hen ganz andere Verhaͤltniſſe der Schweren in der Ausgabe von Newtons Princ. c. comm. le Seur& Jacquier a. a. O. Die Erklaͤrer aber, muthmaſſen nur was fuͤr Zahlen dabey zum Grunde liegen, und haben die Verhaͤltniſſe nicht wirklich berechnet.
248. Suſ. So erhellt wie man die noͤthigen Groͤſ⸗ ſen aus der Aſtronomie vorausgeſetzt, Newtons Zah⸗ len a. a. O. oder aus andern gegebenen Groͤſſen an⸗ dere finden kann.
249. Fuſ. So hat man die Verhaͤltniß F:f= N P: p.
250. Exempel. In den 247. gefundenen Zahlen = 28430:1= 168, 61:1 Da nun f= 1 weil man bey unſerer Schwere, die Koͤrper auf der O⸗ berflaͤche der Erde, oder um ihren Halbmeſſer vom Mittelpunct der Erde, den man eigentlich als den anziehenden Punct betrachtet, entfernt annimmt, ſo muͤſſte ein Koͤrper, der nach der Sonne eben ſo ſtark ſollte getrieben werden, als bey uns nach der Erde, von der Sonnen Mittelpuncte 168, 6 Halbmeſſer der Erde entfernt ſeyn.
aFt. Anm.
———ͤ——
—
1 2

158 A(o)£‿
251. Anm. Euler Mech. L. I.§. 666. ſagt er ſetze mit Newton bey der Sonne und der Erde p:p= 227512:1, meldet aber nicht, wo Newton dieſe Verhaͤltniß angebe. An dem 247. angefuͤhrten Orte, ſteht 1692 82:1 und ſo wird ſie bey Mac Laurin Account of Newt. diſcov. B. 3. ch. F. wiederhohlt. Nimmt man aber Enlers Verhaͤltniß an, ſo folgt F:f= 227512:1= 476, 98:1.
252. Zuſ. Wenn in 242. die Rede von Umlaufs⸗ zeiten der Planeten um die Sonne, alſo die Son⸗ ne der anziehende Punct iſt, und man nach 251; „= 477 ſetzt, ſo koͤmmt jedes Planeten Umlaufs⸗
„69,945.7„3: 2 feit. 3 477 5 3, 141592653 ſetzt(An. Un. 308) 3, 75 37.67+8 Secunden. 2s3. 3uſ. Die Geſchwindigkeit eines Planeten in A, ſeiner entfernteſten Stelle von der Sonne C; (226) der Sonnenferne(Aſtr. 235.) aus der Geſtalt von deſſelben Bahn zu finden, verfaͤhrt man fol⸗ gendermaſſen. Es ſey die Axe= E, die Weite der Brennpuncte CF 14. F;= D. In 220. VII. war
2
oder wenn man 7=
2 die Are E= e und a= E† ½ D(226) alſo
fz.(E- a) Der R. E=D rh deree EeESS)
2 74. Anm. Druͤckt man hier E, D, f, in Halbmeſſern der Erde aus, und nimmt ſolchergeſtalt 62= S5 51 ſlan (denn das hieſige k iſt das dortige FK;) ſo koͤmmt c= 227512.(E-D) 5
(P). in Halbmeſſern der Erde.
2§5. Ex.
26 668. kömmt Erde keit, les dis
Wi digkei R, ls. ten g? daraul
ſch ue 8 Ges dr eins Weur
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G85,

er ſezene
227f1t. niß ang, 2:undſt liſcov. h z
Verhün .1.
Umlouſs d die So
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man 7⸗
3,gT
8 Plaein Sonel, der Geſt t man fl Weitede 5. VIL.nN
(220) 10
albmſen 27712. ommte⸗ de.
H. E
T) O)£☛ 159
255. Ex. Setzt man mit Eulern Mech. L. I.§. 668. fuͤr die Erde E= 41312; D= 743 ſo koͤmmt nach Eulers Rechnung c= 5, 323, oder die Erde hat in ihrer Sonnenferne eine Geſchwindig⸗ keit, die ein ſchwerer Koͤrper am Ende eines Fal⸗ les durch 5, 323 Halbmeſſer der Erde haben wuͤrde.
Wollte man zur Uebung hieraus dieſe Geſchwin⸗ digkeit der Erde wirklich berechnen, ſo faͤnde man, & aus 242. angenommen, die Hoͤhe des nur erwaͤhn⸗ ten Falles 108069425 Fuß; die Quadratwurzel daraus iſt nach Ludolfs Tafeln 10397 und verhaͤlt ſich zu o, 145 wie die Geſchwindigkeit der Erde zu der Geſchwindigkeit, die ein Koͤrper durch den Fall, der eine Secunde lang dauerte, erhaͤlt(36; 42). Wie vielmahl alſo die Geſchwindigkeit der Erde groͤſſer iſt, ſindet man leicht durch die Logarithmen.
10397600 Es iſ aberl=21= 4, 9199044= 108 83158
oder der Erde Geſchwindigkeit iſt 83158 mahl groͤſſer. Sie durchlaͤuft alſo in einer Secunde 83158. 31, 25 Fuß(39) oder 2598687 Fuß.
256. Fuſ. Sieht man mit Newton Princ. L. I. Prop. 7. die anziehende Kraft als eine gemeine Ei⸗ genſchaft der Materie an, ſo verhaͤlt ſich die ganze anziehende Kraft eines Weltkoͤrpers wie ſeine Maſ⸗ ſe. Und ſo kann man aus 248; die Maſſen der Weltkoͤrper mit einander vergleichen.
In Rewtons Zahlen(247), verhalten ſich die Maſſen der Sonne und der Erde wie 28700:11.
257. Suſ.

——
—— —
—
—
160.(oO) ᷣ☛᷑
257. Zuſ. Die Dichtigkeiten verhalten ſich wie die Maſſen mit den Groͤſſen dividirt(Hydr. 31). Newton ſetzt a. a. O. Prop. VIII. cor. 3. die Durch⸗ meſſer der Sonne und der Erde wie 10000:208; Alſo ſind dieſer beyden Koͤrper Dichtigkeiten wie 28 700 1 100003 160005 2085 1: 2085 28700 7 Das letzte Glied findet man vermittelſt der Logarithmen 3,871 daher ſich die Dichtigkeiten der Sonne und der Er⸗ de wie 100:387 verhalten.
Ein anderes Exempel zu 202.
259. Aufg. Die Kraft verhaͤlt ſich verkehrt wie der Wuͤrfel der Entſernung, man ſucht des Koͤr⸗ pers Weg.
Aufl. I.
„Alles wie geſetzt; iſt P= 55 alſo in Ars uuIl;
.)= Gle eichung fuͤr die krumme Linie Vaſeher y und piiſt.
II. Auch iſt aus 202; I;
I 1 .
f III. Es ſey c= ſo kommt aus(I) p=
12
ch*— de oder v=c- f.
b
oder der Winkel CM T, deſſen Sinus F iſt, iſt
beſtaͤn⸗
Un.
die Ci vom II2 fu rae Ffunde L 7. Vnn
. 97 A in bri ſe darrr⸗
359
diten t. ſebt, A ſte h
260. iimnt,
dher ds⸗ m ſat.

ten ſch Hndr.- die Durt 5000 1; gkeiten n
Das li
thmenzy und dere⸗
2.
eerkehrt ht des K f; iſt D⸗
1 1) 9.
umme L
QX(0O)£ 161
beſtaͤndig ſo groß, als der Winkel bey A, deſſen Si⸗ h
nus—. Alſo wird hier die Logarithmiſche Spirale,
die den erwaͤhnten Winkel macht, beſchrieben(An.
Uln. 510). Weil bey ihr v= ſo verhaͤlt ſich die Geſchwindigkeit verkehrt wie die Entfernung
vom Mittelpuncte. 3
f IIII. Es ſey c= h; ſo koͤmmt=
ahy 7(az h*+(a⸗- h*) y²*) rale(An. Un. 599.). Joh. Bernoulli hat zuerſt gefunden, daß ſie dieſem Falle genug thut. Act. Lr. Lipf. 1713. und Op. I. I. n. 90.§. 65.
V. In andern Faͤllen, lehrt Euler Mech. L. I. §. 671. die Gleichung auf rechtwinklichte Coordina⸗ ten bringen, und die algebraiſchen krummen Linien, die darunter enthalten ſind, finden.
259. Zuſ. Die Weite, welche die Geſchwindig⸗ keiten beſtimmt, wird, wenn man n=—3 in 211
die hyperboliſche Spi⸗
2
f. ſetzt,= af; alſo bey der logarithmi⸗
ſchen Spirale(258. III.) unendlich. 260. Juſ. Weil y abnimmt, wenn ACM zu⸗ nimmt, ſo iſt Ar== dy, und daher aus 202; I; 13. F.
ydy der ds= th„ oder ds Sp⸗), in der lonoriegmiſthen Matheſis 4ter Theil. 8 4 Spi⸗
—————
——

162 R(O) ½
1 I alſo. ſo
Spirale aber p= 3
wird, ſtatt e ſeinen Werth aus 258; II; gebraucht, . 3 2 . d 2.—.. in 202. II. das Element der Zeit The) vdy. Dieſes ſo integrirt, daß es fuͤr y= a ver⸗ ſchwindet, gibt die Zeit durch den Bogen AM; a(a2— y²) 3 1³ 3 8.—— ) Uebrigens iſt hier v= 255.
(V b) y
261. Fuſ. CoſCMT= 5(a⸗=- h*)
a
hier—
.Nennt man ihn alſo k; und die Zeit
(260)= T; ſo findet man y= P(a⸗- kf T 21).
. 6. 4. 262. Zuſ. Fuͤr y= o, iſt I= In die⸗ ſer Zeit alſo koͤmmt der Koͤrper durch unzaͤhlige Umwindungen der Spirale in C.
263. Anm. Man hat beſonders die Geſetze der anzie⸗ henden Kraft betrachtet, wo ſich algebraiſche krumme Li⸗ nien geben. Dieſes findet auſer den beyden Faͤllen 220; und 258. V. auch noͤch ſtatt, wenn die anziehende Kraft ſich wie die Entfernung ſelbſt verhaͤlt, oder n= 13 da wird eine Ellipſe beſchrieben, deren Mittelpunct in C iſt. Bey andern Geſetzen der anziehenden Kraft, giebt es doch gewiſſe Bedingungen, unter denen die krummen Linien al⸗ gebraiſch werden. Mir iſt es hier nicht verſtattet davon, und von den fernern Unterſuchungen, die man uͤber die Wege angezogener Koͤrper anſtellen kann, weitlaͤuftiger zu handeln. Ich will nur noch eine kurze Unterſuchung einer beſondern krummen Linie mittheilen.
264. Aufg,.
8
I V V V V
464 Kraſt” krumme in gleiche von huf diſſtr
N. 9
Afle aber naer gen Dh⸗
I Du ſch mr aib
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7
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de krumne
Faͤllenu
lehende e r n= n
unct in eit
giebt d
men einien ſtattet dan nan über eitlaͤuftigen
ſuchung ane 64. Auſc
(Oo) 2 163
zes Aufg. Ein Koͤrper, der nach C von einer Kraft Pg ges ogen wird(12. F.), bewegt ſi in der krummen Linie AM ſo, aßß er ſich dem Puncte C in gleichen Zeiten gleichviel naͤhert, oder gleic hweit von ihm entfernet; Na ſucht die Beſchaffenheit dieſer krummen Linie, und das Geſetz der Kraft. Aufl. I. Ich nenne alles wie in 202; beſchreibe aber noch mit dem Halbmeſſer CD= b einen Bo⸗ du
gen DB= u; wo Bb= du, und daher dx= S.
II. Die angenommene Bedingung erfodert, daß ſich mr oder dy wie das Element der Zeit verhaͤlt. Man ſetze alſo das Element der Zeit= n. dy, wo n eine unveraͤnderliche Groͤſſe bedeutet. Alſo iſt
mp ds aus 202; II;
2 1e Aber pds= ydx= nbhpc
m y*
= ndy(wo m aus 77 iſt).
2 d 1 3(Il). Alſo du=—
A. d 3 .dy dafuͤr ich 3 ſchreiben will. Folg⸗
A 8 lich u= Conſt- 1 und weil u=o fuͤr y= a; ſo
A..= a)— a) aX⁸
iſt u und—— ü y, da man alſe ij 4- u y, da man alſo das jedemu zugehoͤrige y finden und daher die krun⸗
me Linie verzeichnen kann(An. Un, 598.). III. Wenn die Zeit als eine Zahl angeſehen, oder ihre Abmeſſung= o geſetzt wird, ſo iſt von m(77) 8 2 die

164. X()£
7 1 mp ds die Abmeſſung ¾; folglich 1 von Sree und daher o von n; und 2 von A.
IIII. Weil CMm= 2ꝛR- CmM- MCm und
Mom unendlich klein iſt, ſo iſt tang CMlm== — d. tang Cm M(Trig. 4. Erkl. 1. Zuſ.)=—
dy —ydu CI— p y(0— MT T(y*- p*) welches ſich
A
—h fuͤr A in a n) verwandelt. Dieſe Tangen⸗
te des Winkels, den die krumme Linie bey A, uͤber Caà, mit CA macht, heiſſe— O; ich ſetze naͤhmlich, daß der Bogen AD mit Ca, einen ſtumpfen Win⸗ y du b dy fuͤr y=a; oder wenn y= a geſetzt wird, ſo muß
du bO. du ſeyn. Da nun uͤberhaupt aus II; dy
kel macht, wie Mm mit CM, ſo iſt O=
*bO à = ys ſo iſt= 22 oder*= ab O. Der II. ge⸗
fundene Werth von y verwandelt ſich alſo„in y= ab O a O FS u oder, b= 1geſetzt, in y= 5 welches von der An. Un. 599. II. gefundenen Gleichung nur darinnen unterſchieden iſt, daß dorten †u ſteht. Naͤhmlich dorten nahm y ab, wenn u wuchs(daſ.]) das iſt, u bedeutet des Bogens BE Fortſetzung un⸗ G ter
ter Ca. züſehen die hipi iſ, in gleichen von ih V. (l gib= wilkäro
9 Spiran heke. bor zar a
ſo verfe g
demi( (d ſ.
Fſbejd leßte A ſten, wen ches enth
r)n

und dahe
MOm W CMm — x
—,
dy
welches
eſe Tae
bey A lt e nahnit mpfen W
1”
1” -d, ſom
ichung m 4u ſtc s dil ſeßung l
te
EX(G) 165
ter CA, und iſt alſo wie eine verneinte Abſciſſe an⸗ zuſehen. Folglich iſt die gefundene Gleichung fuͤr die hyperboliſche Spirallinie, welches alſo die Linie iſt, in der ſich ein Koͤrder dem Mittelpuncte C in gleichen Zeiten gleichviel naͤhert, oder gleichviel von ihm entfernet.
V. In X= ab0(IIII) den Werth von A geſetzt ma O. (Ih giebt n= c woraus man ſieht, wie die
willkuͤhrlich angenommene Zahlen beſtimmt wird.
VI. Das Geſetz der Kraft, vermoͤge welcher die⸗ ſe Spirale beſchrieben wird, iſt zwar ſchon aus 258; IIII. bekannt. Wollte man es aber hier unmittel⸗ bar zur Uebung von(207) finden, ſo koͤnnte man
Xd— ſo verfahren. Aus du= 1(II.) findet man
AXd (vermoͤge l.) dX= en daher Mm oder ds= dy. (b=.) V2 d
u by und aus(II); pd⸗ oder p=
y 7(bz y n) letzte Ausdruck iſt zum Differentiiren am bequem⸗ ſten, weil er nur an einem Orte was Veraͤnderli⸗ ches enthaͤlt. Alſo dp= X.-.-— 2X2y 3.(b² 4† X3 dy (b* y²+ X*) 3:2
L—
„ 5
=X.(b= †* y ²)—4 denn der
— 2 2 2*y ²)—2² woraus man dp=

166 Ce) ☛
3 2 ch=* d = dr 3 findet. Alſo iſt(206) 8 1 19 oder P= 2 ch⸗
und die Kraft verhaͤlt ſich verkehrt wie der
Wuͤrfel der Entfernung, und wenn dieſes mit dem gewoͤhnlichen Ausdrucke einer Kraft, die ſich ver⸗ kehrt wie der Wuͤrfel der Entfernung verhielte, 3
5(87) uͤbereinſtimmen ſoll, ſo muß f= 2h⸗ ſeyn, wie in(258. IIII.).
Vll. Eine krumme Linie, welche die in der Auf⸗ gabe erfoderte Eigenſchaft hat, heißt man dieſerwe⸗ gen iſochronam paracentricam, oder curuam acceſ- ſus& receſfus aequabilis. Gegenwaͤrtige iſt die einzige, welche mit freyer Bewegung beſchrieben wird. Leibniz hat zuerſt die Frage vorgegeben(Act. Er. Lipf. 1689. p. 198.) in was fuͤr einer vorge⸗ zeichneten Linie, wie gleichſam in einem Canale, ein Koͤrper den unſere Schwere treibt, ſich bewegen muͤſſe, um ſich einem Puncte in gleichen Zeiten gieichviel zu naͤhern, oder von ihm gleichviel zu entfernen. Dieſer Weg hat die erwaͤhnten Nah— men erhalten. Aber dieſe Unterſuchung gehoͤrt nicht hieher.
Zwey⸗
V V
er ba wütt6 dehe doern 205 M.
1 kuun w in M ben. ben n ten -ℳ Sch alſo in l. nicht
geng. keit

1 —oderb.
art wie
s mit d le ſich ue verhie
= zeb
n der N dieſern aam acce- ige iſt d beſchriene xgeben(ae einer votg Canale, ch bewegn hen Ziie gleichviet zonten Ni- gehort n
8 0) 167
*( 8S,SSSSSSSSSSB34
Zweyter Abſchnitt
von Bewegung der Puncte auf vorge⸗ ſchriebenen Wegen.
1. Erkl. Wenn ein Koͤrper durch aͤuſere Hin⸗ derniſſe nicht ſo gehen kann, wie er vermoͤge der bisher betrachteten Kraͤfte gehen wuͤrde, ſo iſt ſeine Bewegung nicht frey, und wenn die Hinderniſſe ihm den Weg, den er nehmen muß, vorzeichnen, ſo wird ſich fuͤr dieſe Bewegung der auf dem Titel gebrauchte Nahme am beſten ſchicken. Man ſehe l. 172.
2. Zuſ. Geſetzt, ein Koͤrper ſey genoͤthigt auf der krummen Linie BM 15. F. zu gehen, und befinde ſich in M, ſo daß er zunaͤchſt das Element Mm beſchrei⸗ ben muß. Sollte er den Weg Bm frey beſchrei⸗ ben, ſo wuͤrde, wo aulch ſeine Bewegung herruͤh⸗ ren mag, nach I; 168. in M eine Normalkraft
2V 3 5. 2 =— vorhanden ſeyn. Sie iſt des Koͤrpers
Schwungkraft entgegengeſetzt(I. 167.)) Wenn alſo ein vorgezeichneter Weg den Koͤrper haͤlt, wie in I. 172. erlaͤutert wird, ſo iſt dieſe Normalkraft nicht noͤthig, ſondern die ihr gleiche aber entge— gengeſetzte Schwungkraft, wird durch die Feſtig— keit des vorgezeichneten Weges aufgehalten, und
8 der

168(O)
der Koͤrper druckt mit dieſer Schwungkraft ſenkrecht auf ſeinen Weg. Gehoͤrt das Element Mm zu ei⸗ nem Kreisbogen, deſſen Halbmeſſer MO= r iſt, und ſoll der Koͤrper Mm mit einer freyen Bewegung beſchreiben, ſo muͤſſen ſolche Kraͤfte in ihn wirken,
... 2V daß er in M mit einer Gewalt nach MO zu ge⸗
trieben wird(I. 167.). Iſt aber BMm eine feſte Roͤhre, in welcher der Koͤrper gehen muß, ſo ſind dergleichen Kraͤfte nicht noͤthig, aber der Koͤrper wird auf Mm ſenkrecht, oder nach der Richtung OM
. 2V mit einer beſchleunigenden Kraft drucken, welche
nun die Schwungkraft(vis centrifuga), heiſſen wird. Ich erinnere mit Fleiß, daß dieſes eine be⸗ ſchleunigende Kraft iſt(49). Da v und r beydes
2v„ Linien ſind, ſo iſt— eine Zahl, und die beſchleu⸗
nigende Kraft unſerer Schwere, iſt die dazu gehoͤ⸗ rige Einheit(I. 85). Waͤre alſo des Koͤrpers Maſſe= A; welches auch ſein Gewicht ausdruͤckt, ſo waͤre die bewegende Kraft, mit welcher er auf
Mm druͤckte,— A d. i. Mm leidet einen ſo ſtarken
ſenkrechten Druck, als ob ein Gewicht von der nur angezeigten Groͤſſe(aber ein Gewicht das ſenkrecht auf Mi druͤckte) da laͤge. Alſo muß die Roͤhre da⸗ ſelbſt ſo feſt ſeyn, daß ſie ein ſolches Gewicht tragen kann, welches dem Gewichte des Koͤrpers, gleich, groͤſſer, oder kleiner, iſt, nachdem 2v, ſo groß als * groͤſſer, oder kleiner iſt. 3. 3uſ.

ft ſenkaet Mm za i 0 r ſi Bewegun hn witte
M0 zu ge
deine fiſ ß, ſo ſid der Koͤrye
htung Ol ken, welh
), heiſtn ſes eine le ir bende
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dazu geſt⸗ § Koͤrpen ausdrict her eraf
ſo ſtettn
on der ſenktact Roͤhrede⸗ it tragen s, glch groß a
3. Ä
(O)£ 169
3. Fuſ. Iſt alſo ein Koͤrper durch einen Stoß etwa in Bewegung geſetzt worden, und wird er ge⸗ noͤthiget in einer ſolchen Roͤhre zu gehen, ohne daß weiter eine Kraft in ihn wirkt, als der erſte Stoß, ſo druckt er beſtaͤndig mit der angezeigten Gewalt auf die Roͤhre. Man ſetze BM liegt auf einer ho⸗ rizontalen glatten Tafel, und der Koͤrper, welcher auf der hohlen Seite der krummen Linie, bey B liegt, bekoͤmmt da einen Stoß nach der Tangente bey B. So wird, den Wiederſtand der Luft bey⸗ ſeite geſetzt, dieß ein Beyſpiel des angefuͤhrten ſeyn.
4. Zuſ. Hier entſteht alſo Druck, oder Kraft aus Bewegung, daß es alſo nicht zu entſcheiden iſt, ob Kraͤfte der Urſprung der Bewegung, oder Be⸗ wegungen der Urſprung der Kraͤfte ſind.
g. Zuſ. Wirkt in den Koͤrper in M eine Kraft nach OM, ſo aͤndert ſolche die Geſchwindigkeit nicht, ſondern nur ſeinen Druck auf Mm. Es ſey eine ſolche
2 V f Kraft= N ſo iſt der Druck nun— Ndas obere
Zeichen, wenn dieſe Normalkraft mit dem Schwun⸗ ge, von dem des Koͤrpers Druck herruͤhrt(2), ei⸗ nerley Richtung, das untere, wenn ſie die entge⸗ gengeſetzte hat. Im letzten Falle wird der Koͤrper in dem vorgezeichneten Wege mit freyer Bewegung
2 V 24—. gehen, wenn N= 1., da er naͤhmlich auf ſeinen
Weg nicht druckt. 1 5 6. Fuſ.
—
——

8
6. Zuſ. Treibt den tialkraf ft I. wenn ſie d die Be
wenn ſie ſolche hi wert.
*— b 5 1. gentialkraft ſtrebt nicht
dern, und alſ iſt wegung frey iſt ode
es er 7. Zuſ.
Koͤrper i ſdt iſt dv—
degung beſchleu unigt,
G f 1 6 noch ein
n M eine Tangen⸗ + Tds das obere Zeichen, Aus J. 168. Denn die Tan⸗ des Koͤrpers Weg zu aͤn⸗
ihr gleichguͤltig, ob die Be⸗
nicht. Wiederſtand R vorhanden,
das untere,
den man allezeit als eine hindernde Tangentialkraft anſehen kann, ſo iſt dv= Tds-Rds.
9. Suj. Wenn ein Koͤrper wie in(3) irgendwo z. E. in B, einen Stoß bekoͤmmt, ſo wird er ſich nach der Roͤhre Tangente bey B zu bewegen anfan⸗ gen; waͤre gleich der Stoß nicht nach dieſer Tan⸗ gente gerichtet, ſo wuͤrde ſich ſeine Gewalt in zween The ile zerlegen laſſen, in einen der bey B ſenkrecht auf die Roͤhre, und in einen der nach der Tangente bey B gerichtet waͤre. Der erſte Theil wuͤrde durch der Röoͤhre Feſtigkeit aufgehoben, und ſo bliebe nur der andere. Auf dieſe Art, lange der Koͤrper, oh⸗ ge daß weiter was in ihn wirkt als der erſte Stoß, in M mit der Eſhendiäen c an. Mit ſelbiger wird er in dem naͤchſtfolgenden dt, das Stuͤck My der Verlaͤngerung des Elements 72 M. aus dem er koͤmmnt, beſchreiben wolle. Weil ihn aber der vor⸗ gezeichnete Weg noͤthiget nach Mm zu gehen, ſo wird ſich ſeine Geſchwit digkeit in zween Theile zer⸗ legen muͤſſen, deren eine nach MN ſenteet auf Mm, der andere nach Mm gerichtet iſt. Nur der letzte wird beybehalten, der erſte aber durch die Fe⸗ ſtigkeit

e Tang e Jeich, as untt in die Ta⸗ Jeg zu b die B.
orhanden ntialkrai
irgendwe rd er ſich en anfan⸗ teſer Tan in zweun G ſenkract rTanger⸗ ʒuͤrde dal blieben Koͤrper
rſte Stt tit ſelbin
Stuͤc zus dem er der bo⸗
gehen, ſ Theile zer krecht al
Nur d nch diege
ſtigti
(e) x 171
ſtigkeit der Roͤhre vernichtet werden. Es ſey vym ſenkrecht auf Mm, ſo iſt der Theil, welcher bleibt, Mm
W c und alſo der Verluſt der Geſchwindigkeit
My= Mm — W.c. Aber Mm= F(M1*-m**)=
. 1. 3 My=W. Iſt nun der Winkel m My, wie bey krummen Linien ordentlich angenommen wird, un⸗
2
endlich klein, ſo iſt My— Mm= 1V. unend⸗
lich klein von der dritten Ordnung, weil my in Ver⸗ gleichung mit My unendlich klein iſt. Alſo iſt der Verluſt der Geſchwindigkeit kleines der zweyten Ordnung: das iſt die Geſchwin⸗ digkeit c bleibt ungeaͤndert, weil in zween naͤchſt nacheinander folgenden Zeittheilchen, ihre Veraͤn⸗ derung ſolchergeſtalt nur unendlich klein von der zweyten Ordnung waͤre, welches in unendlich viel ſolchen Zeittheilchen, oder in einer endlichen Zeit, etwas unendlich kleines von der erſten Ordnung be⸗ tragen wuͤrde, daß ſich alſo die Geſchwindigkeit in einer endlichen Zeit, nur unendlich wenig veraͤnderte. Weil my, My, Mm, die Bb, Aß, Ab der 8. Fig.
„
1y
„c ein unendlich
. Mvz(s— ſind, ſo iſt aus l. 163; r= n alſo der cds² Verluſt der Geſchwindigkeit. Allemahl un⸗ endlich

172 A o) A
endlich klein von der zweyten Ordnung, wenn der
Halbmeſſer der Kruͤmmung nicht unendlich klein iſt.
2
d erſelbe unendlich klein, ſo kann endli derſelb dlich klein, ſi 8
ſeyn, und der Koͤrper leidet ploͤtzlich einen endlichen Verluſt ſeiner Geſchwindigkeit. Das kann ſich nur da ereignen, wo die krumme Linie eine Spitze
hat, und der Koͤrper, indem er gerade auf ſie an⸗
ds 2 ſtieſſe, alle Bewegung verlieren muͤßte. Iſt 8
unendlich klein von der erſten Ordnung, ſo iſt der Verluſt der Geſchwindigkeit von eben der Ordnung. Da aber ſolche Stellen, wo der Halbmeſſer der Kruͤmmung unendlich klein iſt, nur ſelten und von einander entlegen ſind, ſo wird auch zwiſchen ihnen, die Bewegung des Koͤrpers doch nach dem bisher ausgefuͤhrten gleichfoͤrmig ſeyn.
9. Aufg. Zu machen, daß ein ſchwerer Koͤrper in dem vorgeſchriebenen Wege BM ohne das Rei⸗ ben geht, das ihm hinderlich ſeyn wird, wenn man eine Roͤhre nach der Geſtalt BM kruͤmmen, und ihn darinnen zu gehen noͤthigen wollte.
Aufl. QOs ſey die Evolute von BM(Un. 563). Man ſtelle ein Blech, das nach QOs gekruͤmmt iſt, vertical, und befeſtige daran einen Faden SOM, an deſſen Ende M der Koͤrper haͤngt. Wenn man den Koͤrper der Wirkung der Schwere uͤberlaͤßt, ſo wi⸗ celt er den Faden von QO ab, und beſchreibt ſo BM. Iſt A der unterſte Punct, und liegt der Fa⸗ den, wenn er durch A geht, gleich ſo, daß er eine
andere

wena de hklein ſ
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rendliche kann ſch ne Soig auf ſie i
91
ſo iſt de
Ordnung neſſer de rund von hen ihnen em bishe
er Korre
das Nii wenn mm nen, und
Un. 36) uͤmmtiſ §0 M an man den gt, ſo ſcreibt ſ t der J aß er ein lle andele
(0O) ᷣ☛☛ 173
andere krumme Linie soq beruͤhrt, ſo wird er ſich beym Aufſteigen des Pendels auf d dieſelbe aufwickeln, und das Pendel wird alſo in der krummen éinie ſtei⸗ gen, die aus der Aufw ſekeinmng von ſog enkſteht, das iſt, in der, nur ruͤckwaͤrts gegangen, die aus der Abwickelung von qof entſteht. Sind daher 00 und qof einerley, ſo wird das Pendel in einen Bogen ſteigen, der dem Bogen B4 gleich und aͤhn⸗ lich iſt, und ſo abwechſelnd in gielchen und aͤhnli⸗ chen Bogen ſteigen und fallen. Nur muͤſſen beyde Bogen bey Aeine gemeinſchaftliche horizontale Tan⸗ gente haben. Soll BM ein Kreis ſeyn, ſo wird QOsſein Mittelpunct. Man darf den Faden naͤhm⸗ lich nur an einem Puncte beſeſt ſigen⸗ MoO iſt der Halbmeſſer der Krümm nung, und wird mit der Kraft geſpannt, mit welcher der Ko rper Mm, wenn es ein Theil einer feſten Roͤhre waͤre, druͤcken wuͤrde (2). Iſt daher der Faden nicht ſtark genug, ſo wird er reiſſen. Er muß ſich aber durch den Schwung nicht laͤnger ausdehnen laſſ n, ſonſt wuͤr⸗ de der Weg des Koͤrpers nicht die Linie werden, die aus der Abwickelung QO entſteht. In der vöͤlli⸗ gen Schaͤrfe muͤßte der Faden ſelbſt als ein Koͤrper, der mit bewegt wird, betrachtet werden, welches hier, da wir nur von bewegten Puncten reden, nicht angeht. In der Ausuͤbung laͤßt ſich die Maſ⸗ ſe des Fadens leicht beyſeite ſetzen. Aber auch das Gewicht am Faden, kann nicht, wie hier angenom⸗ men wird, ein Punct ſeyn. Man muͤßte ſich alſo begnuͤgen, daß es nur einen ſehr kleinen Raum ein⸗ naͤhme, daher ſich ein Kuͤgelchen aus einer ſchwe⸗ ren

174 x(o)£
ren Materie am beſten dazu ſchicken wuͤrde. Ge⸗
rade Linien, oder krumme, die Spitzen oder Wen⸗ dungspuncte haben, laſſen ſich durch eine ſolche Ab⸗ wickelung nicht beſchreiben.
10. Anm. Ich handele in der Folge nuͤr von der Be⸗
wegung auf Linien. Die Bewegung auf Flaͤchen zu un⸗ terſuchen wuͤrde mir zu weitlaͤuftig fallen.
Von der Bewegung eines Koͤrpers auf einer gegebenen Linie im leeren Raume.
. 11. Aufg. Ein Koͤrper bewege ſich in der Linie AMB 16. F. von A nach B; Es wirke beſtaͤndig in ihn eine Kraft nach M mit der Axe Ab parallel. Man ſucht die Geſchwindigkeit des Koͤrpers in jeder Stelle, die Zeit die er braucht, jeden Theil der krummen Linie zu beſchreiben, und den Druck auf jede Stelle.
Aufl. Man ſetze er habe den Bogen AM be⸗ ſchrieben. In A, M. gehoͤren ſeine Geſchwindig⸗ keiten den Hoͤhen b, v, zu. Es ſey AP= xX; PM= y; AM=S; die Kraft nach MF ſey= p. Man zer⸗
-„„,.. M P dX lege ſie in eine Tangentialkraft= IE D=*
MN pdy a und eine Normalkraft= WE P= s Jene
vermindert hier des Koͤrpers Geſchwindigkeit. Al⸗ ſo iſt(6) dv==pdx und v= Conſt-ſpdx. Man 4 nehme
dehidch v= 1G.
lio
in Ein ihre V theiſe. nit
nſtr ſwig Mies, wilen

rde..
oder N..
ſolche!
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ſchen zul 30!
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der Lini⸗ ſtaͤndig 1 b paralle ers! in ſe
(O)£ 175
nehme ſpax ſo daß es fuͤr X= o verſchwindet, ſo iſt
v= b- ſpdx, fuͤr die Geſchwindigkeit. d's
(b- ſpdXx)
in Secunden gefunden wird, wenn man in dieſen
ihrem Werthe, die Laͤngen in Tauſendtheilchen des
rheinlaͤndiſchen Fuſſes ausdruͤckt, und ihn alsdenn
mit 250 dividirt(I 44.)
Und die Zeit iſt t= 1 wo die Zeit
Der Druck endlich auf die krumme Linie in Miſt
ds I G).
2. Fuſ. Wuͤrde ein Koͤrper in A mit der Ge⸗ ſchwindigkeit, welche der Hoͤhe b zugehoͤrt, auf⸗ waͤrts geworfen, und wirkte in iün eine, wie man will, veraͤnderliche Kraft p, nach PK, ſo waͤre in 4 dy= pdx((I. 76.) alſo V=. ſpe IXx wie hier. Daß alſo der Koͤrper gleichviel Geſt chwind digkeit ver⸗ liert, er mag ſich um die Hoͤhe Ab, ſenkrecht durch Ab ſelbſt, oder auf dem Wege AM, was auch ſol⸗ cher fuͤr eine Geſtalt hat, erheben. Der Verluſt ſeiner Geſchwindigkeit köͤmmt nur auf die Hoͤhe an, auf die er ſteigt.
13. Zuſ. Kaͤme der Köͤrper von B herunter, ſo beſchleunigte ihn die Kraft, und es waͤre in M, dv= †pdx eben wie in P, wenn er von C nach A fiele.
14. 3uſ. Es ſey AC ſo groß, daß AC, ſtatt x in ſpdx geſetzt, dieſes Integral, ſo wie in II. deſar⸗ den,= b wird. So wird die Geſchwindigkeit d
da

876(o)*
von A an ſteigenden Koͤrpers verſchwinden, wenn er durch den krummen Weg AM, oder durch den geraden AC frey geſtiegen iſt. Er wird alſo von B durch BMA oder von C durch CbA aus der Ruhe zuruͤckfallen, und einmahl wie das andere, in A wieder die Geſchwindigkeit haben, die er, waͤhrend des Falles durch Caà, wenn immer die veraͤnderli⸗ che Kraft p in ihn wirkt, erlangen kann.
45. Zuſ. Die Zeiten, in denen der Koͤrper durch Mm und durch Pp ſtiege, verhalten ſich wie ds: dx.
16. Zuſ. Iſt alſo AM eine gerade Linie, ſo wird dieſe Verhaͤltniß unveraͤnderlich= 1:coſ MAC oder wie die Laͤnge AM zur Hoͤhe AP.
77. Zuſ. Wenn dx unveraͤnderlich iſt, ſo iſtr= — ds3 d xddy den von v(11) in den Ausdruck der Schwungkraft (2) geſetzt, koͤmmt der voͤllige Druck(aus 11) pdsa dy- 2.(b-ſpdx) dXxddy ds³ 8 18. Anm. Die Dinge, welche in dieſer Frage vor⸗ kommen, ſind: Eine krumme Linie, Kraft, Zeit, Ge⸗ ſchwindigkeit und Druck. Wie hier aus den erſten beyden die letzten drey ſind gefunden worden, ſo laſſen ſich aus jeden zweyen dieſer fuͤnf, die drey uͤbrigen finden, welches zehn Aufgaben gibt, deren Aufloͤſung ſich aus gegenwaͤrti⸗ ger herleiten laſſen.
19. Aufg. Ein Koͤrper, den eine unveraͤnderli⸗ che Kraft parallel mit Ab 17. F. treibt, falle auf AM, aus der Ruhe von A. Man ſucht ſeine Ge⸗
ſchwin⸗
(Un. 543. III.) alſo dieſen Werth, und
ſchwi Druſti
A
Kra dil Ver 19* kraſit weil) Kräͤtth kuͤht in ande r

nden, den er durch de d alſo von § der Ru dere, in er, waͤhlen veraͤnde 1.
örper dut die ds: dh
inie, : cofMA0
ſo iſtr⸗ zerth, un
hwungkte k(aus
Frage „Zeit, erſten benn ſen ſich een, waht gegenwin
veraͤndet „ falle of tſeine Ge
ſchvir⸗
A(O) ☚ 177
ſchwindigkeit in M, die Zeit durch AM, und den Druck auf M.
Aufl. Es ſey AP= x, PM= y, AM=s; die Kraft die in(11) p hieſſe, hier=g. Aus dem Verfahren in 11. erhellt, daß hier die Tangential⸗ kraft beſchleunigt, folglich dv= †gdx und v= gx weil die Geſchwindigkeit in A= o. Wegen des Kruͤmmungskreiſes, ſtelle man ſich in einer will⸗ kuͤhrlichen, beſtimmten Entfernung von Ab, eine andere Axe BQ mit Ab parallel gezogen vor, der PM verlaͤngert in Qbegegne: So waͤre wie in(17) 1= 5 Fiu M Weil AMß; PMO, unver⸗ aͤnderlich ſind, und hier AP waͤchſt, wenn B0/ ab⸗ nimmt, ſo iſt ds==dM, dx=-dBO; dy=
+ ds3
dQM alſo ddy=-ddQM und r= dxdTy und
die Schwungkraft, ſtatt v den Werth davon geſetzt,
2gXdXddy gᷣdy 4 dazu addirt, den voͤlligen Druck 8 ds giebt. ds
Die Zeit iſt—(11).
20. Zuſ. Die Geſchwindigkeit verhaͤlt ſich bey einerley Kraft, wie die Quadratwurzel aus ApP, der Hoͤhe des Falles, daß alſo hier die Geſtalt des Weges gar keinen Einfluß hat.
21. I. Exempel. AM 18. F. ſey eine gerade Linie, deren Winkel PAM mit der Verticallinie AP zum
Matcheſis 4ter Theil. M Co⸗

178 r(O)£☚. Coſinus n habe, ſo iſt X=ns, die Zeit durch AM ds 8 2 A M ſo=1=27—= Weilr= ð alſo Pgns gn- g. Ab W 88⸗
verſchwindet die Schwungkraft,(es iſt naͤhmlich auch ddy= o, weil dy und dx beyde unveraͤnder⸗
— LgdyV lich ſind) und der Druck iſt ETgn n*)= g. PM
AM
21. Zuſ. Die Zeit des ſenkrechten Falles durch AP waͤre 2(I. 8o.) alſo iſt aus 20; 8
Zeit d. AP: Zeit d. AM= AP AM; Zeit d. AM: Zeit d. AK=PAM:PAk Zeit d. KP: Zeit d. Ak= AP: TAM. Ak Sollen alſo beyde Zeiten gleich ſeyn, ſo iſt AM: AP= AP: Ak oder wenn PK auf A ſenkrecht iſt, ſo geht ein Koͤrper auf dem ſchiefen Wege Ak in eben der Zeit herab, in der er gerade durch AP fiele. Wenn g die Schwere iſt, ſo erlaͤutert dieſes den Fall der Koͤrper auf ſchiefen Ebenen(Stat. 95.).
22. Zuſ. Die Zeit da ein Koͤrper aus der Ruhe
PK ich KP gi 4 ie in 21 22—=, durch KP ginge, waͤre wie in 21; cofAbK
P Aber coſAPK= Xe alſo waͤre dieſe Zeit=—
oder

it durch Weil 1— 9) iſt naͤhui unverande
-(1-mſc
Falles dur
AK
1. AK
, ſo iſtal ſenkrechti Wege A de durch
ert dieſesn Stat. 95
us der R Pk
—
g. col
A(0O) /179
oder der Koͤrper geht in eben der Zeit durch Pk, in der er durch Ab ſiele.
23. Suſ. Ein Kreis, der AP zum Halbmeſſer haͤtte, wuͤrde wegen des rechten Winkels Akb, durch k gehen. Alſo kaͤmen Koͤrper durch die Seh⸗ nen AK, Kb dieſes Kreiſes in eben der Zeit, in der einer durch ſeinen Durchmeſſer Ab ſenkrecht fiele. Und weil es hier blos auf den rechten Winkel bey Kankoͤmmt, ſo erhellt, daß 19. F. alle Sehnen AK, Azk, AzK u. ſ. w. aus dem oberſten Puncke A, auch KP, 2KL, ZKb, u. ſ. w. aus dem unter⸗ ſten B in einerley Zeit, naͤhmlich in der Zeit des Falls durch den lothrechten Durchmeſſer Ab beſchrie⸗ ben werden.
24. II. Ex. Hier iſt die natuͤrliche Stelle der Saͤtze von der Schwungkraft, die Huygens zuerſt ohne Beweiſe bekannt gemacht hat. Keil introd. ad phyſ. ver. ed. Leid. 1725. p. 196. hat Beweiſe von ihnen gegeben. Dergleichen ſich auch in Huy⸗ gens Schrift de vi centrifuga in ſ. oper. poſthum. finden. Ich will die Saͤtze nach Huygens Ordnung beybringen.
Bey den erſten Saͤtzen, bis was anders erinnert wird, ſtelle man ſich einen Faden, an dem ein klei⸗
ner Koͤrper befeſtigt iſt, auf einer glatten horizon⸗ talen Tafel mit dem andern Ende angebunden, vor. Man ſpanne den Faden gerade aus, und ge⸗ be nun dem Koͤrper einen Stoß, ſenkrecht auf die Laͤnge des Fadens. So wird der Koͤrper anfangen einen Kreis zu beſchreiben, deſſen Halbmeſſer des
M 2 Fadens

180 r(0O)£☚2
Fadens Laͤnge iſt, und den Faden mit der Schwung⸗ kraft dehnen. Da weiter keine Kraft in ihn wirkt, wird die Bewegung gleichfoͤrmig ſeyn.
I. Satz. In einem Kreiſe ſey der Halbmeſſer r. die der Geſchwindigkeit zugehoͤrige Hoͤhe=e, die Schwungkraft p, und R, C, P, ſind eben das fuͤr
.. 1 2 C 2 0 einen anderen Kreis. So iſt P= T,P= R(2).
C Wenn alſo O:e= Rer ſo iſt: 5 oder P:p = R:r. Die Schwungkraͤfte verhalten ſich wie die Halbmeſſer, wenn ſich die Geſchwindigkeiten ſo verhalten.
II. Satz. Fuͤr R=riiſt P:p= C:c die Kraͤfte bey gleichen Kreiſen, wie der Geſchwindigkeiten Quadrate.
III. Satz. Wenn C=c ſo iſt P:p=r: R. Bey gleichen Geſchwindigkeiten ſind die Schwungkraͤfte verkehrt wie die Halbmeſſer.
IIII. Satz. Wenn die Zeiten, in denen beyde Kreiſe beſchrieben werden, T, t; heiſſen, ſo iſt we⸗ gen der gleichfoͤrmigen Bewegung, und da ſich die wirklichen Raͤume, die Umkreiſe, wie die Halb⸗
TT KR meſſer verhalten; t: T= Fꝙ: Fo(I. 12). Aber
R c: C=r. p: R. P(I. Satz) alſo tTen 7—
folglich, wenn p= P, t: T= FTr;T R. Bey gleichen
Könt alsln. mecat vorts denee nen! 8.
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rr:R. W wungkriſ
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. n), A
A(0)£ 181
gleichen Kraͤften verhalten ſich die Zeiten wie die Quadratwurzeln aus den Halbmeſſern.
V. Satz. Soll die Kraft des Schwunges der Schwere gleich ſeyn, ſo iſt 2c= r(2), oder der Koͤrper muß eine ſo groſſe Geſchwindigkeit haben, als er erlangen koͤnnte, wenn er durch den Halb⸗ meſſer herabfiele. Unter den Umſtaͤnden, die ich vor dieſen Saͤtzen erklaͤrt habe, wuͤrde der Koͤrper den Faden eben ſo ſtark durch den Schwung ſpan— nen, als wenn er an einem gleichen Faden, lothrecht herabhinge.
VI. Satz. Aufg. In einem wagrechten Kreiſe, wie bisher angenommen worden, koͤmmt der Koͤr— per, vermittelſt des ihm gegebenen Stoſſes, in ei— ner gegebenen Zeit=t herum, und ſpannt den Fa⸗ den ſo ſtark, als er daran ruhig herabhaͤngend, durch ſein Gewicht thun wuͤrde. Wie groß iſt des Krei⸗ ſes Halbmeſſer?
Aufl. Des Kreiſes Umfang iſt 2rw wenn 1:7 die Verhaͤltniß des Durchmeſſers zum Umkreiſe iſt. Da nun dieſes der mit gleichfoͤrmiger Bewegung be⸗ ſchriebene Raum iſt, ſo iſt maus J. 77. verſtanden,
Nun ſoll 2c=r ſeyn(V. S.), alſo
„ C
2
t iſt mæ. 2 2r= t woraus 1= mn⸗ folgt. Iſt
t in Secunden Vraeheditt, und S der Fall in einer
S. t2 ſo wirdr= 1 2
2
Secunde, alſo m=——
M 2 Huygens

182(0O)£☚£
Huygens VI. S. iſt hievon nur ein beſonderer
Fall naͤhmlich fuͤr t= 1 Secunde; Wenn man 8
aus l. 36. und I. 77. aus Geom. 44.S. 5. Z. nimmt, da ſich der erſten Zifern Quadrat leicht vermoͤge der Quadrattafeln macht, ſo iſt 2r= 1, 5827 rheinl. Fuß, fuͤr t= 1 Sec.
VII. Satz. AM 16. F. iſt eine krumme Linie, die um ihre lothrecht ſtehende Axe Ab ein Sphaͤroid be⸗ ſchreibt, deſſen horizontale Durchſchnitte alſo Krei⸗ ſe ſend, welche die Ordinaten PM zu Halbmeſſern haben. Man legt einen ſchweren Koͤrper, auf ei⸗ ne willkuͤhrliche Stelle des Sphaͤroids M, und giebt ihm einen Stoß, vermoͤge deſſen er einen ſol⸗ chen horizontalen Kreis zu beſchreiben anfaͤngt. Die Frage iſt, wie groß die Geſchwindigkeit ſeyn muß, damit er von der Schwere nicht niedergezogen wird, ſondern in dem Kreiſe fortgeht.
Aufl. Die Geſchwindigkeit gehoͤre der Hoͤhe o zu; Es ſey Ab=X; PM= y; OM die Normalli⸗ nie. Der Schwung treibt den Koͤrper nach MQ
5
nach Ms mit der Kraft=1; Man ſetze MO, Ms, verhalten ſich wie dieſe beyden Kraͤfte. Soll der Koͤrper in M, und ſo in jedem Puncte des Kreiſes mit PM, weder ſinken noch ſteigen, ſo muß aus dieſen beyden Kraͤften eine zuſammengeſetzte entſte⸗ hen, die ihn ſenkrecht auf das Element der krum⸗ men Linie bey M andruͤckt, alſo davon voͤllig auf⸗ gehoben wird; dieſe Kraft MN alſo, muß auf der
Nor⸗
2„ 2 2C*.„ mit einer Kraft= 53 die Schwere treibt ihn
b auf 4 V nie N
G&ap JA
8 Ianet n V
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E. wij

beſonder enn man 8. nimm t vermiͤg 827 rheinl
Linie, d haͤroid be⸗ alſo Krei⸗ bmeſſen “ auf ei⸗ M, und einen ſol⸗ ngt. Die ſeyn muß gen witd
der Hohen Normal⸗ nach A.
treibt in
MO, W Sol de es Kreiſe muß ad hte entſt der kun⸗ voͤllig aſ duß auf di Mo
(o)** 183
Normallinie OM Verlaͤngerung fallen. Weil nun MS= 2N und QN: MQ= PO: Mb, ſo iſt 1: 2c vᷣd 2cdy 2:y oder dx=—. Waͤre alſo die y d X v
krumme Linie gegeben, ſo koͤnnte man
„ y dx 4 aus der Gleichung Ir finden.
c wie es er⸗
fodert wird,
Ex. Waͤre das Spharh ein Kegel, der auf ſeiner Spitze ſtuͤnde, alſo AM eine gerade Li⸗ nie und y= nx ſo kaͤme c= X x.
Iſt die krumme Linie nicht gegeben, g aber c eine
cdy Function von y, ſo laͤßt ſie ſich aus dx=- durch die Integration finden. Verhielte ſich die Geſchwindigkeit, wie die Or⸗ v2— 2 ydy dinate, oder waͤre c= de ſo kaͤme dx=—,p
und die Integration ſo verrichtet, daß xX x und y zu⸗ gleich verſchwinden, bx= y, fuͤr eine Parabel. Von dieſen allgemeinen Betrachtungen, enthaͤlt Huygens VII. Satz nur einen beſondern Fall. Er verlangt naͤhmlich, daß der Koͤrper einerley Zeit brauchen ſoll, um das ganze Sphaͤroid herum zu kommen, wo auch Mgenommen wird. Folglich iſt t
2m fr. =t in VI.
eine beſtaͤndige Groͤſſe, und aus
5 2 v2 4 n² V S. wird hier, y ſtatt r geſetzt, c=—
M 4 Alſo,

184 N(o) ☛½
4 2
Alſo, das unmittelbar vorhin gebrauchte b=—
4m: 2 und die krumme Linie eine Parabel deren Parame⸗ t² ter ira
Auf einen ſolchen Paraboliſchen Sphaͤroid alſo, koͤmmt ein Koͤrper allemahl in einer Zeit herum, wo man ihn auch hinlegt. Huygens Vergleichung des Parameters mit der aͤnge eines Penduls ſe unten 50.
VIII. Satz. Ein Faden iſt in A 18. F. befeſtigt, und hat an ſeinem andern Ende ein ſchweres Koͤr⸗ perchen, AP ſey lothrecht. Man bringt ihn in die ſchiefe Lage AM und giabt dem Koͤrper einen Stoß⸗ ſenkrecht auf die lothrechte Ebene PAM, vermoͤge deſſen er einen Kreis deſſen Ebene auf Ab ſenkrecht ſteht, und der P zum Mittelpuncte hat, zu be⸗ ſchreiben anfaͤngt; ſo wie AM die Flaͤche eines ſenk⸗ rechten Kegels zu beſchreiben anengk, deſſen Axe = AP ware. Man fragt wie groß die der Ge⸗ ſchwindigkeit zugehoͤrige Hoͤhe, e, ſeyn muß, da⸗ mit er dieſen Kreis zu beſchreiben fortſetzt, und ſo der voͤllige Kegel beſchrieben wird.
zuuft. Der Koͤrper wird in M von der Schwung⸗ kraft 5e vii ‚ nach MN, und von der Schwere=1
nach MO getrieben. Man ſetze die Linien MN, MoO, verhalten ſich wie beyde Kraͤfte. Soll ein Kegel beſchrieben werden, ſo muß ſich der Winkel
PAM,
orand: din n
bert Op. 3 Necll 9 V W oder ſ mach, der 3

t 4m2
en Paran
aͤroid ale ſeit herun ergleichung Penduls
„befeſtigt deres Koͤr ihn in di inen Stoß I, vermä à ſenkrec hat, zu Heines ſen deſſen die der( umuß, d etßt, undſ
Schwun⸗
chwere⸗
dr Vii M
(O)£☛ 185
PAM, durch beyder Kraͤfte Wirkungen, nicht aͤn⸗ dern: Alſo muß aus beyden, eine Kraft nach MN, der Verlaͤngerung von AMentſtehen, die alſo durch die Feſtigkeit des Fadens, voͤllig aufgehoben wird. Alſo muß d MO oder MN: NlI= Mb: Ab ſeyn,
PM= oder es iſt vi 1= PM: Ab folglich c=Ap. Es
1 ſey PM=r, AP=a alſo c=—; ſo wird aus dem
VI. S. t= 2 mmp za, daß u alle ſolche Kegeli in gleichen Zeiten beſchrieben werden, wenn ſie einer⸗ ley Hoͤhen haben. Soll din Sthwungkrafe der
Schwere gleich ſeyn, ſo iſt⸗= alſor= a, und
PAM= AMb= 45. Anm. Wenn die Geſchänndigkeit⸗ dehhe da Stor dens
Koͤrper giebt, kleiner iſt,
hoͤrt, ſo beſchreibt der Koͤrper keinen Kreis, ſondern eine elliptiſche Figur, die eigentlich nicht in einer einzigen Ebe⸗ ne liegt. Joh. Bernoulli hat dieſes zuerſt erinnert, und braucht es die Verruͤckung der Axen der Planetenbahnen dadurch ſinnlich abzubilden, denn die Axe dieſer Ellipſe verruͤckt ſich Nouv. Penſ. ſut le Siſt. de Deſcartes§. 48. Op. T. III. n. 138. Vollſtaͤndiger unterſucht dieſes Euler Mech. L. II.§. 396.
VIIII. Satz. Der Winkel AMb heiſſe, und AM=e ſo iſt a= e. ſin G, auch t= 2 mt(ae ſin) oder bey Kegeln, die einerley Winkel an der Spitze machen, verhalten ſich der Zeiten Quadrate, wie der Faͤden Laͤngen e.
M 5 X. Satz.

186(O) ☚
X. Satz. Und allemahl wie die Hoͤhen(VIII. S.).
XI. Satz. Und bey kTherker L ge des Fadens, wie die Sinus der Winkel, welche der Faden mit dem Horizonte macht, oder der Coſinus des Win⸗ kels an der der ehiie
XlI. Sasz. Die Zeit des Falles durch 2. a, des Keg ha de dopp zelte Hoͤhe, iſt 2m 22(I. 8o.). Alſo
verhaͤlt ſich t zu ihr= r 1(VIIII. S.).
Dieſes wird alſo auch noch gelten, wenn der Fa⸗ den nur ſehr wenige aus der lothrechten Lage erhoben iſt, und alſo einen ſehr ſpitzigen Kegel beſchreibt, deſſen Grundflaͤche ein ſehr kleiner Kreis iſt. Dieß nennt Sunrhats circuitus minimos facere, und re⸗ det an gegenwaͤrtigem Orte nur davon.
Alsdenn koͤnnen Hoͤhe und Laͤnge des Pendels, AM und Ab, fuͤr gleich angenommen werden.
XIII. Satz. Wird ein ſehr ſpitziger Kegel, wie in XII. S. be eſchrie ben, ſo iſt beynahe a= e oder ſin= 1 alſo die Zeit in ueie er beſchrieben wird u e ſo groß als die Zeit, in welcher im VI. S. ein Kreis beſchrieben wird, deſſen Halb⸗ meſſer des Pendels Laͤnge e gleichet, wofern in die⸗ ſem K Kreif ſe die Schwungkraft der Schwere gleich iſt.
XlIII. Sa. Durch eine Hoͤhe, welche der Laͤn⸗ ge des Fadens gleich iſt, faͤllt ein Koͤrper in der Zeit am e(I. 80). Soll die Zeit dieſes Falles ſo groß ſeyn, als die Zeit des Umlaufs im VIIII. S. ſo erhaͤlt man 1=„¹. 2 ſin g; alſo verhaͤlt ſich ün 6: 1= 1: x* das iſt, wie das im Kreiſe beſchrie⸗
bene
1 bene M ln fm⸗ — u Mar 1 nm 6 giebt XV. H der Foͤl⸗ Auftu RB.loc
Aat nung, n beſchrich di viad MWI Fedend s ich än Faden pirddat ines Man nf
gedd ditd

(VIIlS. es Faden, Faden mit des Wie
2. 3, des 80.). A inn der Fe ge erhoben beſchreibt, ſt. Dieß
, und re⸗
s Pendels
erden.
Kegel, wi a=e oͤ rieben wih welcher i ſſen Hab⸗ fern in de egleichif
he der lit per in d eſes Fales nVIIII.. erhaͤlt ſch ſe beſchri
bene
o) 187
bene Quadrat, zu dem Quadrate von des Kreiſes Umfange.(Jenes Quadrat naͤhmlich hat zur Seite 1„. wenn der Durchmeſſer wie hier= 1). Man wuͤrde alſo ſin beynahe berechnen, wenn 1 2 man— aus Geom. 44. S. 5. Zuſ. naͤhme. Huygen 4 giebt dieſen Winkel= 20 54 an. XV. Satz. Die Kraft zu finden, mit welcher der Faden AM 18. F. geſpannt wird. Aufl. Dieſe Kraft verhaͤlt ſich zur Schwere wie . 6 MI: MO oder wie AM: Ab, und iſt alſo.
Huygens 15. Satz lehrt nur, daß ſich die Span⸗ nung, wenn verſchiedene Kegel von einerley Hoͤhe beſchrieben werden, wie die Laͤnge der Faͤden verhaͤlt, d. i. wie e bey einerkey a.
XVI. Satz. In C 21. Fig. ſey das Ende eines Fadens CA=rn befeſtiget, an deſſen anderem Ende ſich ein ſchwerer Koͤrper befinde. Man hebe den Faden ausgeſpannt in die wagrechte Lage CA, ſo wird das Gewicht bey A anfangen, den Bogen AM, eines lothrechten Kreiſes ABDE zu beſchreiben. Man fragt, wie ſtark dieſer Kreis in jeder Stelle M gedrucket, das iſt der Faden nach CM geſpannt wird.
2 d Aufl. Aus 19. iſt hier der Druck e Aber
CQ*†+(PO-PM)2= CM= das iſt in den Bedeu⸗ tungen

188(0O)
tungen von 19; X£‿ tr-y)*=r? folglich X*+‿y⸗ T d 2 X = 2ry, und ds=—*,; alſo der Druck= 1 †
. r r
In B eiſt er 3. dreymahl der Schwere gleich. Der Faden wird da ſo ſtark gezogen, als wenn das dreyfache Gewicht ruhig in B herabhinge.
Braͤchte man den Faden in die Lage CM, und . 2 B lieſſe indem los, ſo waͤre in Bdie Schwungkraft 250
weil der Koͤrper da die Geſchwindigkeit haͤtte, die ihm
der Fall durch QB gabe. Der Faden wuͤrde alſo
in B von dieſer Schwungkraft, und von der Schwe⸗
re geſpannt werden, oder ſeine Spannung verhiel⸗ 2B30
te ſich zum Gewichte des Koͤrperswie—= † 1:1.
Waͤre BM= 609 ſo waͤre CQ=Er= BO alſo die Spannung noch einmahl ſo ſtark als das Gewicht.
XVII. Satz. Ein Koͤrper ſoll ſich durch den gan⸗ zen lothrechten Kreis ABDEA ſchwingen. Wie ſtark wird er den Faden in B ſpannen?
Aufl. Es erhellt, daß zu dieſer Abſicht noͤthig iſt, dem Koͤrper in A noch einen Stoß nach der Tangente bey A zu geben, denn lieſſe man ihn wie im XVII. S. blos fallen, ſo haͤtte er in B die Ge⸗ ſchwindigkeit, die durch einen Fall von der Hoͤhe CO erhalten wird(20), und die wuͤrde er wieder verlieren, wenn er von B durch BD eben ſo hoch wieder
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ſtoſt und di Gewib erwd ehneth .„ wütd) Kit
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(o) e8i 189
wieder ſtiege(14). Der Stoß muß al ſo wenigſtens ſo ſtarck ſeyn, d daß d er Koͤrper aus B bis E ſteigen, und daſelbſt den Faden mit einer Gewalt, die ſeinem Gewichteg gleich iſt, ſpannen kann. Eine ſtaͤrkere Gewalt ſchadet nicht, wofern nur der Fade n ſich nicht dehnen laͤßt, da er ſonſt ſeine Laͤnge everaͤndern wuͤr⸗
de: Aber ſchwaͤcher darf die Gewalt nicht ſeyn, ſonſt wuͤrde der Schwung den Koͤrper nicht hindern nach EC zuruͤckzufallen. Wenn alſo v die Geſchwindig— keit in E heißt, ſo muß wenigſtens= 1 das iſt
= Fr ſeyn, oder der Koͤrper muß in E wenigſtens die Geſchwindigkeit haben, die der Hoͤhe 2 r zuge⸗ hoͤrt. Nun verliert er, waͤhrend des Steigens durch BDE ſoviel Geſchwindigkeit, als der Hoͤhe ar zugehoͤrt. Alſo muß ſeine Geſchwindigkeit in B we⸗
. 5. nigſtens der Hoͤhe—r zugehoͤren, und daher iſt ſeine
Schwungkraft 5 mahl ſo groß als die Sühnere Nun ſpannt er in B den Faden nach Cß erſtlich mi dieſer Schwungkraft durch ſeine Maſſe urlesphert (2), und denn mit ſeinem Gewichte, weil die Schwe⸗ re da von B ſenkrecht herabdruͤckt, alſo mit einer Gewalt, die ſeinem ſechsfachen Gewichte gleich iſt. Iſt der Faden zu ſchwach ſoviel zu tragen, ſo wird er reiſſen, an ſtatt daß ſich der Koͤrper an ihm ganz
herumſchwingen ſoll.
Man ſetze der Faden ſoll nach CA geſpannt wer⸗ den, und ſo der Koͤrper ohne ſonſt einigen Stoß, nur vermoͤge ſeiner Schwere fallen. Nun wollte
man
† 8 8
—————— —— 4— 5 4 8— 8 5 4 ℳ 4 1 2 2 2. 4 1 4 .* 5* 32—. 9 1 4 1. 3 “ 4. e 3Ae 4

190(O) ‿+£
man in P einen Nagel einſchlagen, dergeſtalt, dda wenn der Faden in die Lage CB koͤmmt, der Koͤr⸗ pee an ſtatt durch B0 zu ſteigen, einen Kreiß um F mit der Laͤnge des Stricks des Fadens PB= FG beſchreiben muͤſſte, indem ſich der Faden um den Nagel ſchlaͤnge. Man ſucht F.
Der Koͤrper verliert, indem er ſich um die Hoͤhe BG erhebet, ſo viel Geſchwindigkeit als dieſer Hoͤ⸗ he zugehoͤrt, was er auch, ſich ſo hoch zu erheben, fuͤr einen Weg nimmt; Er hatte aber in B die Ge⸗ ſchwindigkeit, die er durch den Fall von der Ho her erhaͤlt. Alſo gehoͤrt ſeine Geſchwindigkeit in G, der Hoͤhe r- 26E, und ſeine Sthwungkraft daſelbſt iſt re. Soll dieſelbe der Schwere gleich ſeyn, damit er nicht nach GE zuruͤcke faͤllt, ſo iſt 2r-—
4BF= BF oder BP=— Geoͤſſer darf BF nicht
ſeyn, aber wohl kleiner.
So weit Huygens Saͤtze. Ich habe ſie hier a⸗ nalytiſch vortragen wollen, da ſie viel ſcharfſinnige Anwendungen der bisherigen Lehren veranllſſen. Erweiterungen dieſer Unterſuchungen, dergleichen z. E. Joh. Bernoulli Act. Er. Lipſ. Iun. 1715. Op. T. II. n. 97. geliefert, gehoͤren nicht hieher.
Von der Schwungbewegung. 25. Erkl. MAN 19. Fig. ſey eine krumme linie, deren Ebene lothrecht ſteht, und AO ſey in dieſet Ebene lothrecht, durch der krummen Linie niedrig⸗
ſte
wiederde initar MA,? ſes hi Mtod
ſder ſot w
46., dogen. dorher
khrt.

ergeſtalt g it
ens P=
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als dieſer! h zu erhe r in B die on der hi digkeit in kraft dat
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hiehet. gung.
rumme l” ſey in diß
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ap / der ſ F 5
ten Kreiß T
(O)** 191
ſte Stelle. Es wirke eine unveraͤnderliche Kraft
mit Oa parallel, und in M werde ein Koͤrper ge⸗ legt, ohne daß man ihm weiter einen Stoß gebe. Die Kraft wird machen, daß er durch Ma herab⸗ geht, und weil er in A die Geſchwin dig kkeit hat, die bey der Wirkung dieſer Kraft durch einen Fa 6 von der Hoͤhe PA erlangt wird, ſo wird er mit die⸗ ſer Geſchwindigkeit wieder zu ſteigen anfangen, und durch AN wieder auf eben die Hoͤhe gelangen. In Niſt ſeine Geſchwindigkeit durch die beſtaͤndigen Gegenwirkungen der Kraft vernichtet, alſo ſinket er wieder durch NAzuruͤck, hat in Awieder die vo⸗ rige Geſchwindigkeit erhalten, und ſteigt damit wieder durch AM; und ſo wird er, wenn ſanſewihe⸗ in ihn wirkt als die Kraft, immer wechſelsweiſe durch MA, MN fallen, durch AN, AM, ſtei eigen. Die⸗ ſes heißt die Sehrvugberwecn motus oſcil- latorius.
—
Die Kraft heiſſe g. ſe gehoͤrt die Geſchwin⸗ digkeit in A, der Höbe;.Ab zu(I. 79.), oder wenn die Kraft; g wiekt, ſo gibt ein Fall durch die Hoͤhe Ab eben die Geſchwi ndigkeit, als bey der Wirkung unſerer Sch 8 ere ein Fall du zurch die Hoͤhe g. AP. Dieß: iſt zu Erlaͤuterung deſſen noͤthig was in der Erklaͤrung von der Geſchwindigkeit in A ge⸗ ſagt wird.
26. zuſ. Das Fallen gef ſchieht a llemahl durch den Bogen der krummen Linie, durch welchen das naͤchſt⸗ vorhergehende Steigen geſchehen war, und umge kehrt. Waͤre der Koͤrper durch bEMA gefallen,
und

192 A(0O)£
und durch ANFD geſtiegen,(man ſieht leicht, wel⸗ che Puncte gleich hoch angenommen werden) ſo fiele er nun wieder durch DFNA. Waͤhrend des Stei⸗ gens durch FD, hat er ſo viel Geſchwindigkeit ver⸗ lohren, als ihm die Kraft nehmen konnte, indem er ſich um GC erhob, und waͤhrend des Fallens durch DE, gewinnt er wieder ſo viel Geſchwindigkeit, als ihm die Kraft geben kann, indem ſie ihn nach CG ſenkt. Alſo hat er in einerley Puncte F allemahl einerley Geſchwindigkeit, und beſchreibt folglich beym Stei⸗ gen das von Faufwaͤrts gehende Element, und beym Fallen das gleiche, von F niederwaͤrts gehende in gleichen Zeiten. Daher bringt er gleich lange Zeit uͤber dem Steigen durch AD und dem Falle durch Da zu.
27. Zuſ. Sind die Bogen Aß, AD, gleich und aͤhnlich, ſo ſteigt der Koͤrder, nachdem er durch DA geſallen iſt, durch Aß eben ſo, wie er durch AD ſteigen wuͤrde, und alſo braucht er da zum Fallen und Steigen in jedem Bogen, immer gleiche Zeiten. Sind aber dieſe beyden Bogen nicht gleich und aͤhn⸗ lich, ſo wird nur die Zeit des Ganges durch BAD, der Zeit des Ruͤckganges durch DaAß gleich.
28. Erkl. Ein Hingang durch BAD, und ein Ruͤckgang durch DAß zuſammen, heiſſen ein Schwung(oſcillatio).
29. Zuſ. Waͤre auch BAM nicht eine zuſammen⸗ haͤngende einzige krumme Linie, ſo lieſſe ſich doch dieſe Bewegung bewerkſtelligen, wenn AD und B4,
zweene Bogen verſchiedener kruͤmmer Linien, bey A
Keine? Daher! Bogend
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eine 9
V aun

leicht,u den) ſo fae d des E digkeit w nte, inde allens dar digkeit, cCG ſen ahl einen! beym Et t, und ber gehende lange⸗ Falle dur
' gleich w er durchl „durch 9. IFallenun ſche Zein ch undih durch lal eeich.
), und heiſſen i
zuſamme ſe ſich d D und 34 inien, be
4
A(O)£˖‿ 193
A eine gemeinſchaftliche wagrechte Tangente haͤrten. Daher braucht man nur die Bewegung biü h e einen Bogen B4 zu unterſuchen.
Xn dx
7(bX- XZ) eine ganze bejahte Zahl iſt.
30. Lehnſatz. zu integriren, won
b- 2X
Aufl. Man ſetze+(bXx-X=)= u
, X d
ded= du. Ferner 1 U
4 dX ubn Pr+ uz alſo
dx mb- dx. nd zdnoder(x“e 1mb)
U dx= 2uz² dz+ 2.(b- 2) dx. Nun nehme man
2= A+† X CX2.+ Gxh+ HxhA I. Nxn ſo findet man
z.(b- 2X)= Ab+† Bb X+ bC] Xz...
— 2 A]— 26 . † bIIxhT 1.. bNIxn — 2]— 2 M] nei= 2 BPbX+ 4bCIxX2..
— 2B3)
+ 2ch † l). bIIxb †1...+ zk. bNN JxXN — z h0— 2(K- 1) M]
Matheſis 4ter Theil. N Dieſe

194(O) ☛☛£
Dieſe beyden Reihen zuſammen ſollen 2xn— 2b ausmachen. Alſo iſt A=— 2zmb u= 1, und(2k+ ¹) (1 4n M). 2 bN- zkM= z alſo N= Ga ijb. A und N aus den beyden Coefficienten beſtimmt, die mit den Gliedern linker Hand einerley Potenzen von x zugehoͤren. Uebrigens muß jeder Coefficient der Summe der beyden Reihen,=o ſeyn, alſo iſt 2 A 48 2. Ch-. 1) G. S S,ü.-H=(2 h+ 3) b 3 Iſt alſo einer von den Coefficienten der Reihe z,=o ſo iſt es auch der naͤchſtfolgende, und die Reihe bricht ab. Man ſetze alſo N= o, ſo wird die Reihe 2=A +xX † Mx 1. Nun iſt jeder Coefficient, der Reihe z, der vorige mit einem Bruche multiplicirt, deſſen Zaͤhler das doppelte des Exponenten iſt, wel⸗ cher in der Reihe 2, dieſem Coefficienten zugehoͤrt, und der Nenner um eins groͤſſer iſt. Iſt alſo der zweyte Coefficient, oder der zum Exponenten 1 ge⸗ hoͤrt, Ab- ſo wird der dritte 4. 3. Ab— 2 der vierte 5. 4. ½. Ab 3, und ſo, den Werth von A ſtatt ſeiner geſetzt, der h† te, welcher zum Ex⸗ ponenten h† gehoͤrt 2.(h+† 1). 2 h. 2(h= 1)..6. 4. 2 (zh+ 3).(2zh+ 1)(2h-1) 7. 5. 3 Nun ſoll N=o ſeyn, alſon M==; wenn man nun aus dem nur gefundenen allgemeinen Ausdrucke der
So werden
—2mb n-2-—h
des j n-A gieb- .
m=
dasen einennl

e nb. d(ak
So werde
beſtinne Potene Coeffiein
d, alſoſ . Iſt a
= ſol bricht ab leihe 22. fficient, nulkipliet zten iſt n en zugen! Iſt alit nenten n . Ab“ erth val
er zum(
22 21nb*9
; wennme n Ausdrut- d
(0O)£& 195
des Coefficienten, den fuͤr M zu machen, h 1= n= ſetzt, und den Werth von A der ſich hieraus giebt=- ſetzt, ſo koͤmmt (2zn- 1).(2n- 3).(2n- 5). S. 3. 1.
n.(2n- 2)-(2n-4). G. 4. 2 und ſo iſt das Integral durch einen ſummatoriſchen Theil und eine endliche Reihe gegeben.
Wenn eines Kreiſes Durchmeſſer=b; Abſeiſſe vom Scheitel=X ſo iſt die Ordinate u= †.(bXx
b dX —X2) und(duz+† dx²)= Alſo ein Bo⸗ gen deſſen Querſinus xX fuͤr den Halbmeſſer 1 b waͤ⸗
hdx. 4 re=ſ. Dieſes Bogens Sinus fuͤr eben den
Halbmeſſer waͤre u; und des aͤhnlichen Bogens Si⸗
nus, der 1 zum Halbmeſſer haͤtte, waͤre
zu b dx Alſo iſt ½ b. B ſin ¼.=—
ſo verſtanden, daß es fuͤr x= o verſchwindet. Alſo iſt des nur gefundenen Integrals ſummatoriſcher
. Das Integral
2 U 2 5 Theil=mbu. Bſin—.. Fuͤr x= b wird daraus
mb 1. wenn 1: die Verhaͤltniß des Durchmeſſers zum Umkreiſe, alſo x der halbe Umkreis fuͤr den Halbmeſſer=1 iſt. Welches alſo das gefundene Integral fuͤr x=b iſt, weil alsdenn u=o, und die endliche Reihe us alſo wegfaͤllt.
R 2 31. 3uſ.

196(o)
31. Fuſ. Es bedeute eine ganze bejahte Zahl. X(bX=XZ2) dx (bX-=Xz)
3” laͤßt ſich dieſes Dif⸗
Weil x*(bx-X*) dXx=
ba L. dæx xx⁄ v+2 8 (bXx-X²)(bX=X ferential durch eine erelnn dewandun des Lehn⸗ ſatzes integriren. Wenn naͤhmlich u hier eben das bedeutet, was es im Lehnſatze anzeigte, ſo ſetze man zuerſt das dortigen=z † ſo wird das dortige m, welches hier nun heiſſen ſoll (2+ 1).(27- 1) 5. 3. 1 K(2 †.2). 2 6. 4. 2 ſich die dortigen Groͤſſen A, B,. und die dortige
†Idx
; daraus finden
X Reihe 2, die hier g heiſſen ſoll, und es itt
=abæ 1. Bſin. Dn. g. 44 b
Nun ſetze man im Lehnſatze auch n= † 2, ſo
wird das dortige m das nun heiſſen ſoll (2+ 3).(22+ 1). 3. 1
(2 x+ 4).(22+ 2) 6. 4. 2 Daraus geben ſich wiederum die dieſem Werthe von n zugehoͤrigen Coefficienten A, B,... und die Reihe 2, die fuͤr die⸗
&+ 2 ſen Fall? heiſſen ſoll, und es iſt=.
bz† 2. B ün 21u. 7. Folglich das ganze Inte⸗ gral
zuft verſcli

jahte Ju lh. — X²) 2
dieſesd
ig des 1 jer ebende
ſo ſeten. s dortigen
raaus fitd
die dorn
us gebent zugehetg die fünit kz dx 1
—
u ganze In gu
&(o)££ 197
gral fXr. u. dx(— X). bz 2. Bſin 4(bę⸗* „). u, das fuͤr X= o verſchwindet. Lehnſ. Den Werth von— ee . eb 2 8 32. Lehnſ. Den Werth von ee zu finden, wenn X= b; und das Integral fuͤr x= o verſchwindet..
Aufl. Dieſes Differential iſt
I 7(23=) ten Factor durch eine unendliche Reihe aus. Oder 1 weil dieſer Factor= X ſo ſuche man C. 7 6 1— 6C 9
Man ſetze 2ꝛa=c, und drucke den letz⸗
*— nur die unendliche Reihe fuͤr(1—). Aus Un.
X 50. wird ſie 1 †.... um ein allgemeines Glied
von ihr zu finden, uͤberlege man, daß der Coeffi⸗ cient zu der Potenzen, ſo ausſehen wird 2—1
—x—
4⁴
1 d 10 d
.(An. endl. 141. vermoͤge
1. 2. 3., n der An. Un. 46. erwieſenen Allgemeinheit der Bi⸗ nomialformel). Nachdem nun n gerade oder un⸗
gerabe iſt, ſo ſind zugleich dieſer Coefficient, und N 3 die

198 X(o)£
xX die zugehoͤrige Potenz von=, bejaht oder verneint,
und alſo iſt der Reihe unbeſtimmtes Glied allemahl . 8 1. 3⸗ S...(zu— 1. X 1¹] bejaht, oder t 2-. 4. 6 zꝛn(‿
Das vorgegebene Differential verwandelt ſich alſo I
X F x-x=) Fe(1 †. X 1. 3.(n- 1) ...).) C 2. 4. 1.. 2
Das Integral hievon waͤre uͤberhaupt(30)
in folgendes Product
n 21u 1 X. dX+. 3. 5(2n1) — ſ 675 0
(B iin b zc u 2. 4. 6. an
1 ndx
t 2... Dieſes Integral ſo genommen, C u
daß es fuͤr X= o verſchwindet, und alsdenn dar⸗ innen X= b geſetzt, giebt fuͤr den erſten Theil der unendlichen Reihe, jeder der folgenden wird
I. 3. 5.(zn- 1) 1. 2.4.6. 28 cn 63¹) das iſt
( 3 G w. Alſo das In⸗
b 3 tegral⸗. F-r.(()⸗. 2 6. 4*)*.(x⸗
1.3.). 63 5(22.. 4
mbn g.
Der
ket die durche
ſo inte alsden⸗ Nnge V(itt, d rechnun r:
2 Fg
räcte fient te

der vernein
genomme
lsdenn do n Theild enden wi
das iſ
llſo das
*(o) E 199
b Der Coefficient bey jeder Potenz von— iſt das
Quadrat des zugehoͤrigen Binomialcoefficienten von
— 1
nd. 4—2.
3. Aufg. B A iſt ein Kreis, deſſen Mittelpunct O. Bhan ſucht die Zeit des Ganges durch jeden Bo⸗ gen EA.
Aufl. Es ſey OA= a; AG=b; ſogehoͤrt in A die Geſchwindigkeit der Hoͤhe gb(25). Es ſey AP'= x, ſo iſt PM= P(zax- X) und Mm=
d — 22) In M aber gehoͤrt die Geſchwindig⸗ keit der Hoͤhe g. GP= g.(b-X). Alſo iſt die Zeit a dX Mm,= Di durch Mm Fe.ar. Dieſes ſo integrirt, daß es fuͤr x=o verſchwindet, und alsdenn X= b geſetzt, giebt die Zeit durch EA.
Nun gibt das Differential(32) mit 2 multipli⸗
cirt, das gegenwaͤrtige, alſo iſt nach gehoͤriger Be⸗ rechnung die Zeit durch Eà
17 2 a b b b 2 g.(1+† 1.+ 2.( † B3.()*..
4(22 3. 5.(E)“. n
welche eihe convergirt, weil bc, und die Coef⸗
ficienten lauter eigentliche Bruͤche ſind, indem je⸗ N 4 der

202 T e) X
der Factor des Nenners um 1mehr iſt als der dar⸗
uͤber ſtehende Factor des Zaͤhlers.
34. Suſ. Wenn b unendlich klein wird, ſo wird die Zeit durch einen unendlich kleinen Bogen
35. Zuſ. Vielleicht wuͤrde man bey dem erſten Gedanken von einem unendlich kleinen Bogen, er⸗ warten, die Zeit durch ihn unendlich klein zu fin⸗ den. Die geringſte Aufmerkſamkeit aber wird ſo⸗ gleich entdecken, daß dieſe Erwartung ungegruͤndet waͤre. Die lothrechte Kraft wird an jeder Stelle des Weges, den der Koͤrper nimmt, in zweene Theile zerfaͤllt, deren einer, auf das Element ſei— nes Weges an ſelbiger Stelle ſenkrecht iſt, und voͤl⸗ lig aufgehoben wird, der andere mit dieſem Ele⸗ mente parallel geht, und der iſt eigentlich was den Koͤrper laͤngſt dieſes Elementes hintreibt, eben wie die grauitas reſpectiua bey einer ſchiefen Flaͤche (Stat. 102.). Die Elemente, welche der Verti— callinie A0 19. F. zunaͤchſt liegen, ſind faſt wag— recht, alſo iſt der Theil der lothrechten Kraft, der mit ihnen parallel wirkt, unendlich klein, und die⸗ ſes findet gleich im Anfange der Bewegung bey E ſtatt, wenn EA unendlich klein iſt, Alſo brau⸗ chen dieſe unendlich kleinen Kraͤfte, eine endliche Zeit, den Koͤrper durch einen unendlich kleinen Raum zu bringen. Jede von dieſen Kraͤften fuͤr ſich, wuͤr⸗ de den Koͤrper in einer unendlich kleinen Zeit, durch einen Raum bringen, der unendlich kleiner waͤre, als
— der
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dem erin Bogen, lein zu der wind ngegrind eder Etll in zyen
lement i ſt, undti dieſem E ich wasd t, ebente fen Fli der Veit d faſt ve Kraſt, d 1, undde egung be Alſo bu⸗ n erdlch nen Nam rſich,wü⸗ geit drf ware,dü da
(O) ☛ 201
der Raum, durch welchen ihn in eben der unend⸗
lich kleinen Zeit, eine endliche Kraft fuͤhrte. Aber dieſer letztere Raum waͤre unendlich klein von der erſten Ordnung, folglich iſt jener Raum unendlich klein von der zweyten, und wenn alſo EA ſelbſt un⸗ endlich klein von der erſten Ordnung iſt, ſo kann man ſich ſolches in unendlich kleine Theile von der zweyten Ordnung getheilt vorſtellen, deren jeder in einer unendlich kleinen Zeit, alſo das Ganze in ei⸗ ner endlichen beſchrieben wird.
36. Zuſ. Weil man ſich den Bogen EA allemahl in Theile, die in Vergleichung ſeiner unendlich klein ſind, eingetheilt vorſtellen muß, ſo kann man ihn in(34) nicht mit ſeiner Sehne, der geraden Linie EA verwechſeln, wie man ſonſt bey unendlich klei⸗ nen Bogen thut. Denn jedes Element des Bogens EA hat eine andere Neigung gegen den Horizont, da die Sehne immer einerley behielte. Daher iſt die Zeit(34) von der durch die eihiüra 8e
ne EA unterſchieden. Die letzter
(23), und verhaͤlt ſich zur erſten wie 1: x. Alſo die Zeit des Falles durch den Durchmeſſer, oder des Pendels doppelte Laͤnge, zur Zeit eines ganzen Schwunges= 1: r.
37. Fuſ. Iſt AN= Ed auch unendlich klein, ſo iſt die Zeit eines Hinganges durch EAN, oder Ruͤckganges durch NAE, eines halben Schwunges
5 4. (28)==
N 5 38. 3uſ.

202 x(o)£☛‿
38. Zuſ. Dieſes bleibt fuͤr unendlich kleine Schwin⸗ gungen auch noch wahr, wenn gleich g nicht unver⸗ aͤnderlich waͤre. Denn da ſich die Veraͤnderung der Kraft nach den Hoͤhen uͤber A richten wuͤrde, ſo wird ſie fuͤr unendlich kleine Höhen unendlich klein ſeyn. 7
39. Fuſ. Waͤre EAN ein unendlich kleiner Bo⸗ gen irgend einer andern krummen Linie, ſo wuͤrde man ſolchen fuͤr einen unendlich kleinen Kreisbogen annehmen duͤrfen, der O zum Mittelpuncte haͤtte, ſo daß a der Halbmeſſer der Kruͤmmung fuͤr die ge⸗ gebene Linie bey A waͤre.
40. Fuſ. Gehoͤrten EA, AN, zu zwo unterſchie⸗ denen krummen Linien, deren Kruͤmmungshalbmeſſer in A, a und a waͤre, ſo waͤre die Summe des Fal⸗ les durch EA, und des Steigens durch AN, oder 7..( a 4 a)
7 25
41. Fuſ. Wenn im Kreiſe, b nicht unendlich klein, aber doch ſehr klein iſt, ſo kann man fuͤr die Zeit eines ſolchen kleinen Niederganges, der Reihe
die Zeit des halben Schwunges=
b beyde erſte Glieder 1+† 44 behalten. Sie ver⸗
haͤlt ſich alſo zur Zeit des unendlich kleinen Nieder⸗ ganges, wie 4c † b: 4c oder wie der vierfache Durchmeſſer um des Bogens EA Querſinus ver⸗ mehrt, zum vierfachen Durchmeſſer ſelbſt.
Es bedeute t die Zeit des unendlich kleinen Schwunges, I die Zeit des endlichen kleinen, ſo iſt
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, b T=t. G 0) daß man alſo dieſe aus jener fin⸗
T.— 1+b 1
. b. 2 C (r=). 5 1
den kann. Umgekehrt iſt auch t=
Geſetzt t waͤre eine Secunde, und man wollte wiſſen, was dieſer Unterſchied zwiſchen t und T in einem ganzen Tage betruͤge der 24. 3600= 86400 Secunden haͤlt. So iſt 86400 t= 86400 T— b ze.86400. T, oder, wenn man I, eine Secunde nennt, da man eigentlich t ſo nennen ſollte, ſo hat der Tag, dieſer unrichtig ſo genannten Secunden
86400 zu wenig, und eine Uhr die dergleichen
Seennden wieſe, ginge in einem Tage um ſo viel ihrer Secunden zu langſam.
Exempel. Wenn ein Pendel das 3 Fuß 8 Lin. pariſer Maaß lang iſt unendlich kleine Gaͤnge in ei⸗ ner Secunde macht, ſo fragt ſich wieviel eben dieſes Pendel langſamer gehen wird, wenn es einen Bo⸗ gen beſchreibt, deſſen Sehne 6 Zoll iſt.
Hier iſt a= 3. 144+† 8Lin= 440 Lin; alſo c= 880 Lund die Sehne 6. 12 Lin= 72 lin. Daher die halbe Sehne oder BC 21. F.= 36 und O02= 440*—722= 193600- 1296= 192304 Daher wie man ohne Rechnung aus Ludolfi Tetragono-
metria

204(o)
metria findet 0C= 438,53— und a-OC oder b=
1,47+ daher= 4
—— o, 00041761. 4 C 4 4. 1. 10 2 4 ½
—4=8 Weil dieſes 2 5 ſo iſt das Quadrat davon— 25 und wenn man alſo das Quadrat und hoͤhere Poten⸗ zen weglaͤßt, ſo begeht man einen Irrthum, der erſt 10 000 000 mahl genommen ganze, hier naͤhm⸗ lich Secunden gaͤbe, hier alſo dergleichen nicht ge⸗ ben kann, da nur mit 86400 multiplicirt wird. Es iſt aber 0,00041761. 86400= 36,08... Man
koͤnnte ſich auch die Diviſion erſparen und
86400 durch Logarithmen berechnen. Alſo ginge dieſes Pendel in 24 Stunden ohngeſaͤhr 36, 1 ſeiner Secunden zu langſam. So laͤßt ſich die Tafel beym de la Lande expoſition du caleul Aſtronomique art. 25 3. berechnen, wo dieſes Exempel das letzte iſt.
Wenn die Sehne e heißt, ſo iſt OC= 7(zc2—
2
e² e
e⸗)= 7(c2— e⸗)= k.(e Fers-— al⸗ 2 C 40
e² b 6².
ſo b=— und—=. Da nun dieſes mit
86400 multiplicirt giebt, wieviel Secunden das Pendul zu langſam geht, und ſich hierinn bey ei⸗ nerley Laͤnge des Pendels nur e veraͤndert, ſo ver⸗ haͤlt ſich alsdenn dieſe Zahl von Secunden, wie das Quadrat der Sehne. Und weil fuͤr die Sehne= 6 Zoll, die Zahl der Secunden beynahe 36 iſt, ſo giebt 1 das
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2(o)£☛ 205
das Quadrat der Menge von Zollen, welche auf die Sehne gehen, die geſuchte Zahl von Secunden. Z. E. wenn eben das Pendel einen Bogen beſchreibt, deſſen Sehne 3 Zoll iſt, ſo geht es in einem Wege 9 Sec. zu langſam. D. l. Lande a. a. O.
42. Fuſ. Wenn man in I. go, m beyſeite ſetzt, und f=g, t= der Zeit(34) annimmt, ſo fiele der
Koͤrper in dieſer Zeit, durch die Hoͤhe 2
vierten Theile des Schwunges(40).
43. Fuſ. Die Zeit eines unendlich kleinen Nie⸗ derganges, und alſo auch eines halben oder ganzen ſolchen Schwunges, verhaͤlt ſich bey einerley Kraft wie die Quadratwurzel aus des Pendels Laͤnge(34). Ein langes Pendel alſo, ſchlaͤgt nach dieſer Ver— haͤltniß langſamer; ein z. E. viermahl kuͤrzeres, noch einmahl ſo geſchwind.
44. Suſ. Bey verſchiedenen Kraͤften, aber ei⸗ nerley Laͤnge des Pendels, verhalten ſich dieſe Zei⸗ ten verkehrt, wie Quadratwurzeln aus den Kraͤf⸗ ten. Alſo geht ein Pendel von gegebener Laͤnge, da langſamer, wo eine ſchwaͤchere Kraft wirkt, und dieſes Pendel muͤßte alſo verkuͤrzt werden, wenn es bey dieſer ſchwaͤchern Kraft, ſo geſchwind gehen ſoll, als es zuvor bey der ſtaͤrkern ginge. Dieß dienet zur Erlaͤuterung bey Aſtron. 210. Bey der Wir⸗ kung einer ſchwaͤchern Kraft faͤllt ein Koͤrper lang⸗ ſamer, oder braucht mehr Zeit durch eben die Hoͤhe zu fallen(I. 80.), woraus das gegenwaͤrtige begreif⸗ lich werden wird.
2 a 3, dem
45. Aufg.

„ .
-——
206(Oo)£☚ ☚
45. Aufg. Wenn a, als die Laͤnge eines Pen⸗ dels, das bey der Wirkung unſerer Schwere jeden unendlich kleinen Hingang oder Hergang in einer Secunde, alſo einen Schwung in zwo Secunden macht, gegeben iſt, zu finden, wie tief ein Koͤr⸗ per in einer Secunde bey uns faͤllt.
Aufl. In einer halben Secunde faͤllt er durch die 42. angegebene Hoͤhe, alſo in der ganzen vier⸗ 712 a
mahl ſo tief(I; 35.) durch die Hoͤhe—e.
2
Huygens(Horologium Oſcillatorium P. IIII. 981 Prop. 25.) ſetzt a= 19e pariſer Fuß= 2 ½23 par.
= 1⁄. 1432 rheinl. Aus den Werthen von
= 1. z(Arithmet. 3. C. 3.§.) und ½4328(Geom.
2. S. 2. Anm.) findet man durch die Decimalrech⸗ nung a= 3, 16610359. Euler Mech. II. B. 279.§. ſetzt es= 3, 16625, der Unterſcheid hat, wie in der Folge erhellen wird, nur einen unbetraͤchtlichen Ein⸗ fluß. Ich habe aus meiner Zahl die Rechnung folgen⸗ dergeſtalt gefuͤhrt: wenn man ν ‿άf, 5707 96326 ſetzt(Geom. 44. S.), ſo findet man vermoͤge der Zuſammenſetzung des Quadrats, aus den Tafeln in Ludolfs Tetragonometria Tabularia 4 Qα¶= 2, 46740109 davon die Haͤlfte genommen, und mit meinem a multiplicirt, giebt die Hoͤhe(42) = 3,9060237 und dieſes viermahl genommen, die Hoͤhe des Falles in einer Secunde 15, 62 41048 ſtatt deſſen
4. 4 beſtimwſt läßt ſh ruhfet ds Goli Seaundee enndenpe? nor de ds 2 winde n dem 6 nicht di was ſiſ Aus dern jde lheu gen Ger- eihelt hi der wh tungenn an„lhe Arsübh- .9. des (Hor. b lasdiſh genau; maaſſn ſe iſ 9

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r(0)£ 207
deſſen ich(I. 36.) aus Eulern Mech. L. I.. 2203 15, 625 angenommen habe.
Hieraus folgt alſo m= 2z ½s(I. 77.)= 0,004 Die Zeit in Secunden zu finden, muͤſſen mit die⸗ ſer Zahl die Formeln 33; 34; 37; 40; multiplicirt werden, nachdem man die Laͤngen in Tauſendtheil⸗ chen des rheinlaͤndiſchen Fuſſes ausgedruͤckt hat.
46. Anm. Wie die Verſuche, dieſe Laͤnge des Pendels zu beſtimmen, in voͤlliger Schaͤrfe muͤſſen angeſtellt werden, laͤßt ſich hier noch nicht erklaͤren. Man wird die Schwuͤ⸗ rigkeit dabey aus 10. einſehen. Haͤtte man nur die Zeit des Ganges eines Pendels, deſſen Laͤnge man wuͤßte, in Secunden, ſo lieſſe ſich aus 43. leicht die Laͤnge des Se⸗ cundenpendels beſtimmen. Man duͤrfte zu dieſer Abſicht nur die Schlaͤge eines Pendels von bekannter Laͤnge, eine gewiſſe Zeit, z. E. eine Stunde lang zaͤhlen. Die Zeit wuͤrde man wohl etwa nach einer Sonnenuhr, oder nach dem Stande der Sterne beſtimmen muͤſſen, wenn man nicht dabey ſchon eine Secundenuhr gebrauchen, das iſt, was hier noch geſucht wird, als bekannt annehmen wollte. Aus der Aſtronomie wird begreiflich ſeyn, wie man eine jede Uhr dazu brauchen koͤnnte, die nur einen gleichfoͤrmi⸗ gen Gang haͤtte, und die Moͤglichkeit einer ſolchen Uhr erhellt aus Stat. 145. Man muͤſſte naͤhmlich den Gang der Uhr, den man an ſich ungeaͤndert lieſſe, aus Beobach⸗ tungen kennen lernen. Ich zeige dieſe Dinge nur kuͤrzlich an, um zu weiſen, wieviel noch den hieſigen Lehren zur Ausuͤbung fehlt.
47. Anm. Huygens wollte den dritten Theil der Laͤnge des Seeundenpendels als einen allgemeinen Fuß angeben (Hor. oſc. P. IIII. Pr. 25.), welcher alſo 1, 055 des rhein⸗ laͤndiſchen betruͤge(45). Die Laͤnge des Secundenpendels genau zu finden, moͤchten wohl nicht alle, die mit Fuß⸗ maaſſen zu thun haben, Geſchicklichkeit genug beſitzen, und ſie iſt auch, wie aus der(44) angef. Stelle der ſen.
erhellt,

208 T(O0O)£—&
erhellt, nicht uͤberall einerley. Daher ſchlaͤgt Condamine Voy. de la Riv. des Amaz.+ des Pendels unter dem Ae⸗ quator, aber Bouguer fig. de la terre p. 300. 3 deſſen in der Breite von 450 vor.
48. Zuſ. Bedeutet a die Laͤnge des Secunden⸗ pendels bey uns, ſo wird ein Pendel von der Laͤn⸗
f 6 ge f,* Secunden ſchlagen(43).
Wird fuͤr k der Halbmeſſer der Erde= 20382230 rheinl. Fuß angenommen, ſo iſt die Zeit eines hal⸗ ben Schwunges eines Pendels von dieſer Laͤnge, ohngefaͤhr 2536 Sec.(Euler Mech. L. II§. 183.).
Die Rechnung iſt permoͤge Ludolfs Quadratta⸗ feln und der Logarithmen bis auf 100 00o ſehr leicht zu machen: Aus Ludolfs Quadrattafeln faͤllt f zwiſchen die Quadratwurzeln von 20 38256,09 und 1nn,316 man kann es alſo 4514, 6 annehmen.
Nun iſt 145 14, 6,= 3, 6546192 I3, 661= 0, 2502,633(45)
3, 4043569 Dieſer Logarithme gehoͤrt zu 2537+
49. ʒuſ. Wenn die Laͤnge des Secundenpen⸗ dels bey uns, und h deſſelben Länge, wo eine Schwe⸗
3 re= k ſtatt findet, bedeutet, ſo iſt(37) er2 =r 22 oder h=a. g.
Iſt
Ff (Eul⸗ Secutt Fuß.
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Pendi Hur.
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8 3 m.

(0) ☚ 209 tCondanin
nter dan Iſt auf der Oberflaͤche der Sonne, g= 1222 . J deſen(Eul. Mech. L. I.§. 211.) ſo wird die Laͤnge des Secundenpendels daſelbſt= 3, 1661 14*.2=77, 221
„ 41 . I. Leunie 50. Fuſ. In 24. VII. Satz, iſt die Zeit= 2m ☚ en der l aus 37; 45; ſo groß als der ganze Schwung eines
Pendels, deſſen Laͤnge der halbe Parameter waͤre. Huygen a. a. O. nennt jeden Hingang oder Hergang einen Schwung. Eben ſo iſt daſ. im XIII. S. die
2039f t 53 1 Zeit ſo groß als der Schwung eines Pendels, deſ⸗ eſer Län ſen Laͤnge—e. Dieſe beyden Ergaͤnzungen zu 24,
9.18.) geſetzt, hat man alles, was in Huygens dorten an⸗ gezeigter Schrift gelehrt wird.
Duadrat 51. Suſ. Man ſetze, zwey Pendeln, deren Laͤn⸗ oſchrli gen a,, ſind, ſollen durch die Schweren g,, n fäll getrieben werden, man hebt aber zum Anfange der 36,9! Bewegung eines eben ſo walt aus der lothrechten annehn Linie als das andere, daß der Winkel EOA(19. F.)
b und folglich ſein Querſinus fuͤr beyde einerley iſt.
(9) So iſt die unendliche Reihe(33) fuͤr beyde einer⸗ ley, und wenn die Pendeln auch Schwuͤnge von endlicher Groͤſſe beſchreiben, ſo kann man doch die⸗
ſe Schwuͤnge, welche ſich durch aͤhnliche Bogen er⸗
kcundenne ſtrecken werden, leicht mit einander vergleichen. ine Scr Die Zeiten ſolcher Schwuͤnge naͤhmlich verhalten
¹”.. 81* ) xp- ſich wie †—: )a p g 7
52. Zuſ. Die Zeiten ſind alſo gleich, wenn ſich die Längen wie die Schweren verhalten. Bey gleich Watheſis ter Theil. O langen

210 x.(o) ☛£
langen Pendeln verhalten ſich die Zeiten verkehrt wie die Quadratwurzeln aus den Schweren, die Mengen von Schwuͤngen, die in gleichen Zeiten ge⸗ ſchehen, werden ſich verkehrt wie die Zeiten ver⸗ halten, in denen einzelne Schwuͤnge geſchehen, alſo ordentlich wie die Quadratwurzeln aus den Schwe⸗ ren. Joh. Bernoulli Op. T. I. n. 90.§. 6. 7. 8.
Die Linie von einerley Zeiten des Falles (tautochrona).
53. Aufg. Ein Koͤrper, der 16. F. in B gelegt, von dar aus der Ruhe bis A faͤllt, braucht dazu ei⸗ ne gewiſſe Zeit. Man ſucht, wie die krumme Li— nie EBMA beſchaffen ſeyn muß, wenn der Koͤrper in jeden andern Punct E gelegt, eben ſo viel Zeit brauchen ſoll, von E aus der Ruhe durch EA zu fallen: So daß er gleichviel Zeit braucht, bis A zu fallen, an welche Stelle der krummen Linie man ihn auch legt. Von dieſer Eigenſchaft heißt die Linie tautochrona, im Deutſchen koͤnnte man ſie die Linie von einerley Zeiten des Falles nennen.
Aufl. I. Wenn AP= x, AM= sS, AC= h, ſo gehoͤrt in M die Geiihdindigielt den Hoͤb he Ph-=—X)
und dasElement der Zeit iſt h) 95 8.Dieſes muß
ſo integrirt werden, daß es fuͤr s= o verſchwindet, ſo giebt es die Zeit durch Ma; In dem ſolcherge⸗ ſtalt gefundenen Integrale ſetzt man Xx=h, ſo koͤmmt die ganze Zeit durch BA. Und dieſe ganze Zeit ſoll
einerley
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en verdeh. veren, h Zeiten 1 Zeiten we hehen,a en Schne 7. 8.
es Fall
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Dieſesme
(0o)££Q 211
einerley bleiben, h mag groß oder klein ſeyn. Al⸗ ſo muß ihr Werth ſo beſchaffen ſeyn, daß er h nicht enthaͤlt.
II. Man ſetze ds= pPdx, wo man alſo wird ſu⸗ chen muͤſſen, wie p beſchaffen iſt.
III. Weil h dem beſtimmten Bogen Aß zugehoͤrt, und fuͤr einen andern Bogen AE eine andere Groͤſſe naͤhmlich AD ſtatt h kaͤme, ſo kann der unbeſtimm⸗ te Werth von s, der nach Gefallen AM, Aß, AF, u. ſ. w. bedeuten kann, h nicht enthalten; folglich auch nicht ſein Differential, und auch nicht p.
.. IX IIII. Alſo iſt die unbeſtimmt tA ſo iſt ſti e Zeit h=S)
Da ſich jedes Integral durch eine Reihe ausdruͤcken laßt, ſie mag nun endlich oder unendlich ſeyn, ſo ſetze man das gegenwaͤrtige= Axin † xn+† 9. Hier erhellt das erſtlich die Exponenten alle bejaht ſeyn werden, weil das Integral fuͤr Xx= o ver⸗ ſchwinden ſoll: Ferner ſoll dieſe Reihe kein heent⸗
halten, wenn man X=h ſetzt. Alſo iſt A= h III
G Bar, a tg..: wo F, G,..⸗ beſtaͤndige Groͤſſen
ſind, die kein h enthalten, und das unbeſtimmte
. dX X Im X m 9 Integral iſt ſ=E. F.(*, C„AX m 4. Integral iſt T=(hen ,heeGn)..
Wenn man auf beyden Seiten differentiirt, mit
2* . 1.&

212(0) ☛ dx dividirt, und mit x multiplicirt, ſo koͤmmt
— X
=) auch einer Groͤſſe gleich, in der x und h
zuſammen keine Abmeſſung ausmachen, oder wo
kein h iſt, wenn X= h geſetzt wird. Nun iſt 1 1
1— 1 e 7.4(=E)
und aus An. Un. 50.
1 giebth- 5. 0- N) eine Reihe wo x und h zu⸗
ſammen die Abmeſſung— ½ haben. Alſo muͤſſen in px die Abmeſſungen von x und h zuſammen † ½ ausmachen. Aber p enthaͤlt kein h(111). Folg⸗ lich muß in p die Abmeſſung von x allein— X ſeyn; oder es iſt p= Cx-— ⁵ wo C eine beſtaͤndige Groͤſſe iſt, die kein h enthaͤlt.
V. Alſo iſt ds= CxX Edx und s= 20X wo die Conſt die man addiren ſollte= o iſt, weil x und s zugleich verſchwinden.
VI. Die geſuchte krumme Linie iſt alſo eine Cy⸗
cloide, wie ſie von einem Kreiſe beſchrieben wird, deſſen Durchmeſſer= C. C(Un. 559.) oder umge⸗ kehrt eine Cyeloide, die von einem Kreiſe beſchrie⸗ ben wird, deſſen Halbmeſſer= b iſt, hat zur Glei⸗ chung s= 27 abx, und iſt alſo die geſuchte krum⸗ mne Linie.
VI..
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V Fad. gritt MAt ka;
VS jeden des Nr em =ce derCs dergic und ſ gehn b a halerg ſe dhe te, d VWI cloĩde ſo en gen d. (n 1 des in geben

ſo kännt der X undh
„ oder wo Nuſſt
n. Un. 59.
und h z
muͤſſen in mmen+† J. Folh 1— ſern dige Giiſ
1 CX 7 h weil xunj
ſ einel ben wi der unge e beſchri⸗ zur Ghe hte kum⸗
1”
X(0) ☛△△ 213
A4— VII. Das Element der Zeit— ſrerjwird nun dx 3. 2b= ⸗) Aus(31) giebt dieſes ſo inte⸗
grirt, daß es fuͤr x= o verſchwindet, die Zeit durch 2P(hXx-X ²).. MA, FP- 2 5b. B fin und die Zeit durch
BA; oder jeden anderen Bogen, wie EA, 2 5b.
VIII. Soll dieſe Zeit des Niederganges durch jeden Bogen der Cycloide, ſo groß ſeyn als die Zeit des Niederganges des Pendels in(34) durch einen unendlich kleinen Bogen, ſo iſt des Pendels Laͤnge a= 4b, ſo groß als der Halbmeſſer der Kruͤmmung der Cycloide bey A(An. Un. 557. 1II.). Die Nie⸗ dergaͤnge durch die Cycloide und folglich die halben und ganzen Schwuͤnge, ſo groß auch die ihnen zu⸗ gehoͤrigen Bogen ſeyn moͤgen, dauren allemahl ſo lange, als unendlich kleine Niedergaͤnge, halbe und ganze Schwingungen eines Pendels, deſ⸗ ſen Laͤnge der doppelte Halbmeſſer des Kreiſes waͤ⸗ re, der die Cyeloide beſchreibt.
VIIII. Wenn Q08 15. F. ein Bogen einer Cy⸗ cloide wie bea in der 32. Fig. der An. des Un. iſt, ſo entſteht aus der Abwickelung 15. F. eben der Bo⸗ gen der Cycloide BMaA, nur in verkehrter Ordnung (Un, 590. VIIII.). 1
X. So laͤßt ſich alſo nach(9) ein Pendel machen, das in einer Cycloide, endliche Schwuͤnge von ge⸗ gebener Dauer macht.
9 3 Sollen

214 b(0O)£2
Sollen die halben Schwuͤnge ſecundenlang dau⸗ ren, ſo iſt aus VII. und 45; 4b= 3, 1661 oder der
Halbmeſſer des Kreiſes, welcher die Cycloide be⸗
ſchreibt= 0, 7915 rheinl. Fuß.
54. Zuſ. Huygens hat die Eigenſchaft der Cycloi⸗ de, daß die Schwuͤnge durch groſſe und kleine Bo⸗ gen in ihr gleich lange dauren zuerſt entdeckt, aber nicht ſo, daß er eine Linie geſucht haͤtte, welche dieſe Eigenſchaft beſaͤſſe, ſondern er iſt bey Unter⸗ ſuchung der Cycloide darauf gekommen, mit wel⸗ cher krummen Linie ſich die Geometern des vorigen Jahrhunderts ſehr beſchaͤftiget haben. Man wird aus 53; V; VI; leicht ſehen, wie dieſes geſchehen kann, obwohl Huygens einen andern Weg gegangen iſt. Er hat im II. Th. des horolog. oſc. dieſe Leh⸗ re, und im lII. die von der Abwickelung deßwegen abgehandelt. Die Anwendung hat er im lI. Th. beſchrieben. Er verlangte das Pendel zwiſchen ein Paar nach der Cycloide gekruͤmmter Bleche 63; VIIII) zu henken. Nach ihm hat man dieſes Ver⸗ fahren wieder beyſeite geſetzt. Als die Urſache wird zuweilen angegeben, daß die Cyeloide dieſe Eigen⸗ ſchaft nur im leeren Raume, nicht in wiederſtehen⸗
der Luft hat. Ich ſollte faſt eher glauben, daß es
daher ruͤhre, weil Huygens bey ſeiner Vorrichtung der Uhren dem Pendel groͤſſere Schwuͤnge zu geben genoͤthiget war, als man es jetzt vermittelſt des en⸗ gliſchen Haakens machen laͤßt. S. des P. Alexan⸗ ders Unterricht v. Uhren 3. C. 117. S. der deutſch. Ueb. Daher man ſich vielleicht jetzt den Gebrauch der Cycloide eher erſparen kann.
55. Suſ.
A Bey rung! (Co—. Er B. allgel Dand gege gbt
„katel
Geſt rimmee de Bi der Ge)
1 gen un rien VI. G kͤtze anden uas,
ſind, terier nicht geber ckun
eu

lang der
oder d cloide
er Chel feine Br ckt, aher e, welch y Unter mit wel zvorigen ſan witd heſchehen gegangen dieſe Leh⸗ deßwegen m l. J. viſchen i eche( ieſes V ſache wid ſe Ein⸗ derſteher n, daße vrrichtung zu geba ſt des er . Aleren⸗ er deutſch Gebrauch
§.N
(o) ☛☚ 215
55. Fuſ. In der Analyſis 53. bin ich, nur mit Beyfuͤgung einiger Erlaͤuterungen und Veraͤnde⸗ rungen die zur Erleichterung dienten, Hrn. Eulern Comm. Acad. Petrop. T. VII. p. 49. u. f. gefolgt. Er hat aber ſo wohl daſelbſt, als noch mehr im II. B. ſeiner Mechanik dieſe Unterſuchungen noch viel allgemeiner angeſtellt, und weitlaͤuftiger ausgefuͤhrt. Denn obgleich die Cycloide der Frage unter den gegebenen Einſchraͤnkungen allein genug thut, ſd gibt es doch noch mehr tautochronas, wenn man lauter halbe Schwingungen betrachtet, oder das Geſetz und die Richtungen der Kraft anders an⸗ nimmt, oder den Wiederſtand der Marterie darinn die Bewegung geſchicht mit in Rechnung zieht; In der Ausuͤbung hat meines Wiſſens keine einigen Gebrauch gehabt als die Cycloide.
56. Zuſ. Man hat noch verſchiedene Unterſuchun⸗ gen uͤber die Bewegung der Koͤrper auf gegebene Li⸗ nien angeſtellt. Ein Exempel iſt J. Abſchn. 265. VlI. angefuͤhrt. Linien in denen ein Koͤrper in der kuͤrzeſten Zeit von einer gegebenen Stelle an eine andere gegebene koͤmmt, heißt man brachyſtochro- nas, u. ſ. w. Man hat dieſe Unterſuchungen fuͤr Kraͤfte, deren Staͤrke und Richtungen veraͤnderlich ſind, auch fuͤr Bewegungen in wiederſtehenden Ma⸗ terien angeſtellt. Endlich iſt auch die Bewegung nicht nur auf gegebenen Linien, ſondern auch auf ge⸗ gebenen Flaͤchen betrachtet worden. Dieſe Entde⸗ ckungen findet man groͤſtentheils im II. B. von Hr.
Eulers Mechanica. Hieher gehoͤrt die Bewegung O 4 um

216 X()£
um ein paraboliſches Sphaͤroid(24; Vll. Satz), dieſe iſt zu einem gewiſſen Gebrauche in der Ausuͤ⸗ bung vorgeſchlagen worden. Man hat Uhren ge⸗ macht, wo ſich das Pendulum nicht, wie bey den ge⸗ woͤhnlichen, hin⸗ und herſchwingt, ſondern immer in einer Rundung herumgeht,(alſo eine Art eines Kegels beſchreibt). Ihr Gang macht kein Ge⸗ raͤuſch, und ſie ſind daher von manchen geſucht wor⸗ den, ſie in Schlafkammern zu haben, wo ſie die Ruhe nicht ſtoͤren. Leibniz, der dieſes berichtet, ſetzt hinzu, Huygens habe einen Aufſatz davon ver⸗ fertiget, der nicht gedruckt worden, und darinn ſtatt der Cycloide, einen paraboliſchen Koͤrper ge⸗ braucht, die Schwingungen gleich zu machen. Man eibnizens Anmerckungen, die ſich am Ende von
Sullys Rèégle artificielle du tems(Wien 1714.) be⸗
finden. Das muß alſo das erwaͤhnte Sphaͤroid ſeyn. Aſtronomen werden ſolche Uhren nicht ver⸗ langen, denn ſie wollen die Pendelſchlaͤge hoͤren.
1. 9ſt 4. Kreſſe ihe heißt,) Nunuu in ihn wegen. gebtate ce ſch Nat che b ches) rechte einen hen aus de

der Aa Uhren bey deng ern inme Art eins kein Ge ſucht wer wo ſie de berichtet avon ver⸗ a darinn urper ge⸗ en. Man Ende vo 1714.) be Sphärai nicht wen e hoͤten.
—
O
x(O)£X 217 4e X ed E Ke e ee Se)
Dritter Abſchnitt
von der Bewegung feſter Koͤrper, deren Groͤſſe und Geſtalt beſtimmt ſind. Bewegende Kraͤfte am Hebel angebracht.
1. Aufg. CBA ſey eine unbiegſame gerade Linie,
22. Fig. die ſich um C in einer Ebene, wie Kreiſe beſchrieben werden, drehen laͤßt. In B iſt an ihr ein Koͤrper befeſtiget, deſſen Maſſe auch B heißt. Ich ſehe aber dieſe Maſſe, noch als einen Punct, ohne Groͤſſe an. Die Schwere ſoll jetzt in ihn keine Wirkung haben. In A wird eine be⸗ wegende Kraft(I. 40.), deren Groͤſſe meiſt, ſo an⸗ gebracht, daß ihre Richtung in der Ebene, in wel⸗ che ſich die Linie drehen laͤßt, auf CA ſenkrecht iſt. Man ſucht die beſchleunigende Kraft(I. 49.), wel⸗ che B dadurch bekoͤmmt.
Wollte man ſich von dieſer Aufgabe ein ſinnli— ches Bild machen, ſo ſtelle man ſich auf einem wag⸗ rechten Tiſche, eine Stange Ca vor, die ſich um einen Nagel in C, in der Ebene des Tiſches dre⸗ hen kann. Die Maſſe der Stange muß man hier aus den Augen ſetzen, und ſie nur als eine Linie,
O 5. wie

218(o) ☛
wie den mathematiſchen Hebel betrachten. An ihr ſey die Maſſe B befeſtigt. Weil derſelben Gewicht von dem Tiſche getragen wird, ſo koͤmmt hier nur die Maſſe in ſo weit ſie traͤg iſt, in Betrachtung. In A ſey ein Faden angebunden, an welchem ein Gewicht m unter den Tiſch hinunter haͤnge, ſo daß es ihn laͤngſt des Tiſches, ſenkrecht auf Ca zieht.
Aufl. Die beſchleunigende Kraft, die der Koͤrper in B bekoͤmmt, wird ihn von B nach Bb ſenkrecht auf CB treiben. Sie heiſſe u, ſo iſt u. B ſeine bewe⸗ gende Kraft, und CB. u. B ihr Moment(Stat. 38.). Dieſes muß ſo groß ſeyn, als das Moment m. CA
1 m. CA der Kraft in A(Stat. 37.). Alſo iſt u= Ch.
m P Wenn CA= p; CB=q.
Es wird niemanden befremden, daß ich vom Momente rede, deſſen ich in der Statik bey ſchwe⸗ ren Koͤrpern gedacht habe, und doch hier die Schwere beyſeite ſetze. Der Begriff des Moments erfodert blos Kraͤfte die unter ſich parallel und ſenkrecht auf eine Linie, die ſich um einen feſten Punct drehen laͤßt, wirken. Die Schwere iſt von dieſer Art, aber hier wird eben das angenommen.
Die Zeichen, deren ich mich bediene, recht zu verſtehen, darf man nur acht haben, daß Cß eine Linie durch die beyden Puncte, aber u. B mit dem
Multiplicationszeichen in der Mitten, ein Product
aus zwo Groͤſſen, u, und B bedeutet.
. 2. Suſ.
27 der he men iſ chen, witd ſe den K Ka gf ihrigen de NM
andere
16
Sül denun werder dieſr iſ
Kact b 8
e ſe gleich ſen v her; ollen eihr
ſa

ken. Aa 1 ben Gent umt hier m Jetrachtun welchen 1 Pnge, ſodh fCA ziet e der Korne ſenkrecht a ſeine bewe (Stat. 39) ment m. CA m. Ch
u=
daß ich te ik bey ſc die Schre ents erfede ſenkrecht a unct duie dieſer
e, recht daß Ch ann „B mit di ein Produi
2
(e)*☛ 219
2. Zuſ. Wenn in einer unendlich kleinen Zeit der Hebel aus ſeiner erſten Lage in die Cha gekom⸗ men iſt, ſo kann man die beſchleunigende Kraft ſu⸗ chen, in ſo fern ſie dieſen Winkel aͤndert. Das wird ſo geſchehen: Von einer andern beſchleunigen⸗ den Kraft, ſoll eine Maſſe in eben der Zeit durch Aa gefuͤhrt werden, in welcher die Maſſe B von der ihrigen durch Bb gefuͤhrt wird. Auf die Groͤſſen der Maſſen koͤmmt hier nichts an(I. 4. 2 Dieſe
m. andere beſchleunigende Kraft, iſt olſp d 55. p
(I. 65.)=— 8 wenn die Bogen aͤhnlich ſind.
Soll ſtatt B eine andere Maſſe E, in der Ent⸗ fernung CE=r, um eben den Winkel fortgefuͤhrt werden, um den AK fortgefuͤhrt wird, es mag nun dieſer Winkel ACa oder ein anderer ſeyn, ſo giebt dieſes auf eben die Art in A eine beſchleunigende mp² Kraft= 1..
Soll alſo dieſer letztere Winkel mit ACa einer⸗ ley ſeyn, ſo ſind beyde beſchleunigende Kraͤfte in A gleich, alſo iſt re. E=. B, oder wenn zwo Maſ⸗ ſen ver mittelſt ihrer beſchleunigenden Kraͤfte in glei⸗ cher Zeit um einerley Winkel fortgefuͤhrt werden ſollen, ſo muͤſſen ſie ſich verkehrt, wie die Quadra⸗ te ihrer Entfernungen vom Mittelpuncte verhalten.
3. Zuſ. Weil die bewegende Kraft m, mit der Maſſe dividirt, die beſchleunigende gibt, und die

220 Z*(o) ‿
* ſo muß die Maſſe= 4 ſeyn. Das 9 wenn eine Maſſe von dieſer Groͤſ⸗ ſe in A gebracht, und dagegen B weggenommen wird, ſo gibt m dieſer Maſſe in A, eine beſchleu⸗ nigende Kraft, vermoͤge welcher in gleichen Zeiten eben der Winkel beſchrieben wird, der vermoͤge der
beſchleunigenden Kraft beſchrieben wurde, die m der Maſſe B in ihrer Stelle gab.
In einer andern Ordnung laſſen ſich dieſe Schluͤſ⸗ ſe ſo vortragen: Die bewegende Kraft m, fuͤhret B durch Bb, alſo den Hebel um den Winkel ACa fort: Man fragt, wenn B weggenommen, und ei⸗ ne andere Maſſe, P in A geſetzt wuͤrde, wie groß dieſe Maſſe ſeyn muͤßte, damit der Hebel noch in eben der Zeit von eben der bewegenden Kraft m, um eben den Winkel verruͤckt, oder dieſe neue Maſ⸗ ſe um Aa fortgefuͤhrt wuͤrde.
Es wird alſo die beſchleumigende Kraft nun 5
ſeyn, und hier 9) ſt u= Aa: Bb das iſt
pa F= b: woraus=
In der Folge werde ich den Ausdeun⸗ brauchen: die Maſſe P an A ſey der Maſſe B an B gleichguͤl⸗ tig, und wegen dieſer Gleichguͤltigkeit, heißt das Product aus einer Maſſe in das Quadrat ihrer Ent⸗ fernung, CB⸗. B= CAs. P, das Moment der
Trͤg⸗
Taͤg der de lüin naͤhni ein M Entſer ſer E und ol die me 4 ſen die und ali tgende ie gur könnmtf de wf zuſame bringen
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Zb das
folgt.
ck bruuthe gleichgl :, heißt d t iheer E Joment de
Lg
(0) ½£☚. 221
Troͤgheit aus einem Grunde ohngefaͤhr wie der, der den Nahmen Moment in die Statik einge⸗ fuͤhrt hat(Stat. 38.). Gleichguͤltige Maſſen naͤhmlich haben einerley Moment der Traͤgheit und ein Moment der Traͤgheit mit dem Quadrate einer Entfernung dividirt, gibt die Maſſe, die in die⸗ ſer Entfernung eben das Moment der Traͤgheit hat, und alſo daſelbſt jener Maſſe gleichguͤltig iſt, fuͤr die man das Moment der Traͤgheit berechnet hatte. 4. Zuſ. Wenn in F, B, E, u. ſ. w. 23. F. Maſ⸗ ſen die ich eben ſo nenne, zugleich befeſtigt ſind; und alle zuſammen von einer in A angebrachten be⸗ wegenden Kraft, ſo ſollen fortgefuͤhrt werden, daß die ganze Linie CA an der ſie ſind, in die Lage Ca koͤmmt, ſo ſtelle man ſich dieſe bewegende Kraft, die nun m heiſſen ſoll, aus verſchiedenen Theilen zuſammengeſetzt vor, der Theil a ſoll Câ in Ca bringen, wenn B allein da waͤre; der Theil BP wenn E, und der Theil ⸗ wenn Fallein da waͤre. Folg⸗ lich wird a eben das thun, wenn B nicht da waͤre,
2
CBZz. B 3 aber ſtatt deſſen in Adie Maſſe l in A waͤ⸗
re. Und ſo thun,, eben das, wenn die Maſ⸗ ſen E, F, weg, und ſtatt ihrer in A, Maſſen von
(E. F CEZ. ER den Groͤſſen Cxe und ⸗ waͤren. Da nun
die bewegende Kraft m= a‿+ 7, ſo erhellt, daß ſie von der Beſchaffenheit ſeyn muß, daß ſie in ei⸗
CBa. B+ CEa. E+ Cb⸗. F ner Maſſe 4 EA* 4 die ſich in A befaͤnde,

222(o)££
befaͤnde, eine beſchleunigende Kraft wirckte, ver.
mittelſt welcher Ca in der Zeit dt, ſich in Ca ver⸗
ruͤckte. Es verſteht ſich, daß ſich in Ca ſonſt kei⸗
ne Maſſe, als die nur genannte befaände. Manbe⸗ greift, daß dieſes gilt ſo viel auch Maſſen ſind, und daß die Maſſe in A, allemahl das ſeyn muͤßte, was herauskaͤme, wenn man die Summe der Producte aus jeder Maſſe in das Quadrat ihrer Entfernung durch das Quadrat von CA dividirte.
So iſt das Moment der Traͤgheit der Maſſe in A ſo groß, als die Summe der Momente der Traͤg⸗ heit der einzelnen Maſſen(3), und der Punct A iſt fuͤr die traͤgen Maſſen ohngefaͤhr ſo was, wie der Schwerpunct fuͤr ſchwere(Stat. 43.).
5. Fuſ. Eben das wuͤrde auch noch ſtatt ſinden, 24. F. wenn CB, CE, CF, nicht auf der Linie CA laͤgen, ſondern Arme eines Winkelhebels aber alle in einer Ebene durch CA waͤren, die ſich denn alle zu⸗ gleich um einerley Winkel verruͤcken muͤſſen. Denn wie in Stat. 5§. erhellt, daß dieſer Winkelhebel dem geradelinichten gleichguͤltig iſt.
Vom Mittelpuncte des Schwunges.
6. Erkl. Die unbiegſame Linie 23. F. ſey nun
mit Gewichten B, E, F, beſchwert. Wenn ſie nun in ſo befeſtigt iſt, daß ſie ſich darum in einer loth⸗ rechten Ebene bewegen kam; und wenn man ſie in eine ſchiefe Lage bringt, ſo wird ſie ſich nach Art ei⸗ nes Pendels hin und her ſchwingen. Das heißt
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*GO) 223 vieckt, 1 ein zuſammengeſetztes Pendel(pendulum com- c in Cate poſitum). Ein ſchwerer Punct an einem mathemati⸗ Cd ſonzit ſchen Faden, wie II. Abſchn. 33; betrachtet worden, de. Manke heißt ein einfaches.
4 ſj.. e 4 ſinſhe 7. Zuſ. Die Gewichte muͤßten nicht eben als üfßt,n ſchwere Puncte betrachtet werden, ſondern man
dr Preͤn koͤnnte ihre Groͤſſe und Geſtalt mit in Erwaͤgung Entferuu ziehen. Man koͤnnte ſich in allen Puncten der Li⸗ nie, Gewichte vorſtellen, und dadurch die Linie in der Maſei einen ſchweren Koͤrper, verwandeln, wie den ma⸗
nte der dri thematiſchen Hebel in den natuͤrlichen(Stat. 48.). Punct A Man koͤnnte ſich die Linie nach CZ verlaͤngert vor⸗ dos, wied ſtellen, und auf beyden Seiten des Punctes C Ge⸗ ) wichte annehmen. Dieſes zeigt, daß es eine groſſe
. Mannichfaltigkeit zuſammengeſetzter Pendel geben ſtatt fide kann.
de dee 8. Erkl. Läͤßt ſich ein einfaches Pendel finden, dennſ 3 das ſeine Schwuͤnge in gleichen Zeiten mit den zu⸗ niſen 6 ſammengeſetzten vollbringt, ſo nehme man einen A s Punct, ſo weit von C, als die Laͤnge dieſes einfa⸗ Vinkelht chen Pendels. Dieſer Punct heißt der Mittelpunct des Schwunges,(centrum oſcillationis). Dieſe Unterſuchung betrifft alſo nichts weiter, als die Laͤn⸗ wungei ge des erwaͤhnten einfachen Pendels. Huygens, der Erfinder dieſer Lehre, braucht dieſe Redensart Hor. . J. ſeym oſc. P. IIII. Demn h 9. Aufg. An einer mathematiſchen Stange 25. F. ineinenid die ſich um C drehen laͤßt, ſey ein ſchwerer Punct m niße B feſt. Die beſchleunigende Kraft der Schwere Rahad ſey=g, daß alſo das Gewicht= g. B iſt. Die
Das heit S V 3 Stange

224()
Stange ſey aus der lothrechten Lage in die ſchieſe, welche die Figur darſtellt, gebracht Man ſucht was fuͤr eine Gewalt das Gewicht in dieſer Lage der Stange anwendet, ſie um C zu drehen.
Aufl. Dieſe Gewalt muß nach B ſenkrecht auf die Stange, in der Ebene gerichtet ſeyn, in wel⸗ cher ſich die lothrechte Linie B befindet, nach wel⸗ cher die Schwere das Gewicht treibt. Stellt alſo die letztgenannte Linie die ganze Laſt des Gewichtes vor, und iſt QT mit Ca parallel, ſo zerlegt ſich dieſe Laſt in einen Theil nach T0, deſſen Wirkung die Feſtigkeit der Stange voͤllig aufhebt, und ei⸗ nen Theil nach BT, der die Stange um C drehen
B T' will. Dieſer letzte iſt g. B oder g. B. ſin wenn
n den Winkel bedeutet, den die Stange in ihrer jetzigen Lage mit der Verticallinie macht. Das Gewicht wendet alſo bey dieſer Lage der Stange eben ſo viel Gewalt an ſie zu drehen, ſo viel Ge⸗ walt ein Gewicht= g. B. ſin anwenden wuͤrde, ei⸗ nen horizontalen Hebel zu drehen, an dem es in ei⸗ ner Entfernung= Ck von ſeiner Unterlage ſenkrecht herabhinge.
Oder, man kann die Smngei in ihrer jetzigen La⸗ ge als einen Hebel betrachten, an dem ſich in B das Gewicht g. B. ſiny befaͤnde, deſſen Schwere aber nicht der unſrigen parallel, ſondern ſenkrecht auf die Stange wirkte.
n.. Zuſ. Das Moment, mit welchem die Stange
Vedreht wird, iſt CB. 2.B. ſin z.
n. CE.g.
y. C4.( dreht dem! der E wird mäͤgen be
I.
hebel, eahmt. ſchwere auch a Punct wichte ſesiger alle Sühwe ttein hon w ſiſt, he, uj Eben gebrar tes ru 63,( 1 ein ' b
b

in die ſci Man ſuct ieſer(ageie en.
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Stellt a es Gewicht ſo zerlegt ſt ſen Wirku ebt, und, um(drehe
„B. ſm nwe
tange in ih macht. D e der Sta , ſo viel den wuͤrde, mdem esin tlageſentne
rer jezigene ſich in b Schwere ot
ſenkrecht u
in die Sten⸗
Ju
18. W
☛ Co)£ 225
12. Zuſ. Und fuͤr ein anderes Gewicht, E, iſt es CE. g. E. ſiny.
13. Fuſ. Wenn A beyder Schwerpunct, alſo Ca.(B+ E)= CB. B+ CE. E iſt(Stat. 44.) ſo drehte ein Gewicht g.(B E) in A die Stange mit dem Momente CA.(B†E). g. ſiny das iſt, mit der Summe beyder Momente(11. 12.), und alſo wird die Stange mit gleicher Gewalt gedreht, es moͤgen jene beyden Gewichte oder dieſes einzige an ihr ſeyn, wie der Hebel(Stat. 46.).
14. Fuſ. Da das Verfahren der Statik mit dem Hebel, wie gezeigt worden iſt, hier voͤllig nach— geahmt werden kann, ſo mag die Stange ſo viel ſchwere Puncte enthalten, als ſie will, ſie moͤgen auch alle auf einer Seite oder auf verſchiedenen des Punctes C liegen; Allemahl werden alle dieſe Ge⸗ wichte zuſammen das thun, die Stange aus ihrer jetzigen Lage in die naͤchſte zu bringen, was die Sum⸗ me aller dieſer Gewichte in ihrem gemeinſchaftlichen Schwerpuncte angebracht thun wuͤrde.
15. Fuſ. Waͤren, 24. F. B, E, F, ſchwere Pun⸗ cte in einer Ebene, die ſich um eine wagrechte Axe, von welcher ſie in C durchbohrt wuͤrde, ſo drehen lieſſe, daß ſie immer in einer lothrechten Ebene blie⸗ be, und haͤtte man dieſe vermittelſt der beweglichen, Ebene verbundene Gewichte, aus derjenigen Lags gebracht, in welcher ſie vermoͤge ihres Gleichgewich⸗ tes ruhig haͤngen bleiben, ſo wuͤrde jedes die Linie CB, CE, CF, an der es ſich um C bewegen kann, in eine andere Lage zu bringen ſuchen, und durch
Matheſis 4ter Theil. P die

220(o) ½☚˖
die gemeinſchaftliche Wirkung aller zuſammen, wird die Flaͤche gedreht, und jede Linie auf ihr durch C, aus ihrer jetzigen Lage in eine andere gebracht wer⸗ den. Ich ſage die Ebene zu drehen, und ſo jede Li⸗ nie durch C aus ihrer jetzigen Lage in die naͤchſte zu bringen, werde einerley Gewalt angewandt werden, es moͤgen ſich die Gewichte auf die beſchriebene Art auf der Ebene ausgetheilt befinden, oder es mag ihre Summe in ihrem gemeinſchaftlichen Schwer⸗ puncte A beyſammen ſeyn. Denn wie ſchon in(5) erinnert worden, laͤßt ſich jeder Winkelhebel wie ACB, ACE, u. ſ. w. auf einen geradelinichten brin⸗ gen, wo eben die Gewichte in eben den Entfernun⸗ gen, nur alle in der geraden Linie Cà befindlich waͤren; und ſo erhellt die Sache aus(14).
16. Fuſ. Wenn die Linie CA in die verticale La⸗ ge koͤmmt, ſo ſind alle Gewichte auf der Ebene in Bewegung, und weil nichts da iſt, das ſolche Be⸗ wegung ploͤtzlich aufhuͤbe, ſo ſetzen ſie dieſe Bewe⸗ gungen fort, und die Linie CA ſteigt alſo wieder auf der andern Seite aus der lothrechten Lage. So macht die ganze Ebene Schwingungen; unendlich kleine, wenn CA unendlich wenig aus der lothrech⸗ ten Lage gebracht war.
17. Aufg. Die Laͤnge eines einfachen Pendels zu finden, deſſen unendlich kleine Schwingungen, mit den unendlich kleinen der Ebene(16) in gleichen Zei⸗ ten vollendet werden.
Aufl. Die Ebene wird ſo gedreht, als waͤre ſtatt der auf ihr ausgetheilten Gewichte, ihre Sum⸗ me

ſammen, d
fihr dur
gebracht ie
und ſo jede! die naͤchſen
dandt werde
ſchriebene! oder es m hen Schne e ſchon in nkelhebel inichten be en Entſernu CA befndli
(14).
e verticale der Eben das ſolche e dieſe Be zt alſo wih ten lage. n; unend der lothr
en Pendets, gungen, ſ
gleicheng⸗
t, ab bi
ihre
(0)£☛ 22)
me in A(15), das iſt als waͤren in den Stellen B, E, F, nur Maſſen, ohne Schwere, und in A eine bewegende Kraft g.(B † E+ F). Da man nach l. Abſchn. 49. u. f. jedes Gewicht als eine be⸗ wegende Kraft anſehen kann. Dieſes bringt nun die gegenwaͤrtige Frage auf(5). Dieſe bewegende Kraft naͤhmlich, dreht die Ebene auf einerley Art, es moͤgen ſich die Maſſen B, E, F, an ihren Stel⸗ len befinden, oder man mag ſtatt jeder in A die gehoͤrige ſetzen; das iſt, man mag ſtatt der Maſ⸗ ſen, die auf der Ebene ausgebreitet ſind, die Maſſe 4 Ee E in A bringen. Soll
aber dieſe Maſſe in A von der daſigen bewegenden Kraft g.(6E F) bewegt werden, ſo giebt dieſes fuͤr .. CA.(B ET†F
die beſchleunigende Kraft ES Bi cl⸗Tere 5 Die Linie Ca, und mit ihr die Ebene wird alſo ſo gedreht, als wenn in A, die nur gefundene be⸗ ſchleunigende Kraft, und zwar nach Art der Schwe⸗ re vertical wirkte; das iſt, CA, und mit ihr die Ebene, wird ſich wie ein Pendel ſchwingen, das die Laͤnge Ca haͤtte, und von der nur erwaͤhnten beſchleunigenden Kraft getrieben wuͤrde. Man ſe⸗ tze die Kraft g,= 1= unſerer Schwere, ſo iſt aus II. Abſchn. 37. ſtatt der dortigen a, g, hier Ca, und die gefundene beſchleunigende Kraft geſetzt, das Quadrat der Zeit eines halben Schwunges dieſes Pendels T7. 2.(CBz. B+ CEz. E† CFz. P)
(5ETF. GA man P 2 ſetße

228(O)£½᷑X
ſetze ſolches ſo groß als das Quadrat der Zeit eines halben Schwunges eines einfachen Pendels, deſſen Laͤnge a iſt, und das von unſerer Schwere getrie⸗ ben wird, oder= xν. 2a ſo koͤmmt die Laͤnge dieſes (CB⸗. B 4(Ez. E CEz. E
Pendels a= Ea. EEE Oder, man finde die Summe aller Producte aus jedem Ge⸗ wichte in das Quadrat ſeiner Entfernung von Cz dieſe dividire man, durch das Product der Entfer⸗ nung des gemeinſchaftlichen Schwerpunctes aller Gewichte, von C, in ihre Summe; Oder mit an⸗ dern Worken; Man dividire die Summe der Mo⸗ mente der Traͤgheiten der Maſſen(3) durch das Moment der Summe ihrer Gewichte(Stat. 46.). Der Quotient iſt die Laͤnge des geſuchten Pendels. Iſt alſo CO= a ſo iſt O der Mittelpunct des Schwunges(§). Dieſe Regel gilt, wie in die Au⸗ gen faͤllt, ſoviel auch Gewichte, und in was fuͤr Stellungen ſie auf der Ebene ſind. Zuſ. Wenn B=E= F oder alle Gewichte gleich ſind, und ihre Zahl=n iſt, ſo iſt
(CB⸗ † CE⸗ A Penr k e CA. n. B 4
CB=+ CE=+ CF=..
n. CA
oder die Summe der Quadrate aller Entfernungen der Gewichte durch das Product aus CA in ihre Menge dividirt.
18. Aufg.
ſciſen C Figura ner lt Man
Ao. vos dh de Sit
Enrfero
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ü drate N und G endlich Ordin dr E. dos C deSir ſnd dieſe m ſolchelg llls Mnen Il gen Figum Wert,

Zeit ein dels, deſe vere getne ange diſ
jedem C. ng von, eer Entfe netes ale er mit o eder M durch do Stat. 46, Pende lpunct d ſe in die! in was
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ttfernung CA inih
19, Aſ
(oOo)£* 229
18. Aufg. MN iſt eine gegebene ebene ſchwere Figur, die durch CP, in aͤhnliche Haͤlften getheilt wird. M0= QX ſind ihre Ordinaten auf die Ab⸗ ſciſſen BP, ſenkrecht. Cß iſt auch gegeben. Durch C geht CG, eine wagrechte Arxe auf die Ebene der Figur ſenkrecht, und die Figur ſchwingt ſich in ei⸗ ner verticalen Ebene, die auf dieſe Axe ſenkrecht iſt. Man ſucht den Mittelpunct des Schwunges.
Aufl. I. Es koͤmmt hier alſo darauf an zu ſehen, was die Gewichte, ihre Entfernungen von C, und die Summe der Producte aus den Quadraten dieſer Entfernungen, in die jeder zugehoͤrige Gewichte ſind.
II. Durch einen willkuͤhrlichen Punct Q der Or⸗ dinate PM, ziehe man Qk der Linie B parallel, und eben ſo qr durch einen Punct, der jenem un— endlich nahe iſt. Iſt nun pm eine unendlich nahe Ordinate, ſo iſt QqrR ein unendlich kleiner Theil der Ebene, den man als ein Gewicht anſehen kann, das CQ zur Weite von C hat. Man ſuche alſo die Summe aller CQ⸗. Qr, die in Mp enthalten ſind. In pX ſind eben ſoviel, alſo darf man nur dieſe Summe verdoppeln, um die Summe aller ſolcher Producte in Mn zu haben.
IlI. Weil nun die Figur MCN unzaͤhlich viel Mu enthaͤlt, ſo muß man nun die Summe aller in Il. gefundenen Summen ſuchen, die in der ganzen Figur enthalten ſind. Sie waͤre der Zaͤhler des Werthes von a(17).
P 3 IIlI.

230 x(O)£‿
IIII. Der Nenner iſt die Summe aller Producte, deren jedes ſich durch CP. Mn ausdruͤcken laͤßt(An. Un. 637.).—
V. Es ſey alſo CB= e, BP=X, PM= y= PN PQ=u, ſo iſt Qr= dudx, und CQ. Qr=[X+ e)* Tu⸗ J. dudx. Dieſes iſt das Differential der Summe in ll. Man findet alſo dieſe Summe, wenn man dieſen Ausdruck ſo inagrirt, daß nur u in ihm als veraͤnderlich angeſehen wird, denn fuͤr alle die in Pm enthaltenen Producte bleibt einerley x und dx; Folglich iſt das Integral(X+ e)⸗. udx † Fus dx, welches fuͤr u=o verſchwindet, und folg⸗ lich die Summe aller dieſer in Pr enthaltenen Pro⸗ ducte anzeigt. Alſo iſt, u= y geſetzt, die Summe aller in PM enthaltenen Producte(X† e) ². ydx † Fys dx, welches verdoppelt die Summe aller in Mn enthaltenen Producte giebt. Folglich wird der
III. angezeigte Zaͤhler 21((X e). ydXx † ſy2dx.
Und da der Nenner 21(X †e). ydx iſt, ſo wird 1(X†e)². y. dx † ſysdx 2 f(X+e) y dx grale nehmen laſſrn, wenn die Gleichung fuͤr die krumme Linie gegeben iſt. Sie muͤſſen ſo genom⸗ men werden, daß jedes fuͤr x= o verſchwindet. Will man die Schwingungen eines beſtimmten Stuͤcks der Figur etwa DB haben, ſo ſetze man BE=c, da denn auch die Ordinate Eß beſtimmt iſt, und man in dem Integrale, dieſe Ordinate und c, ſtatt y und x ſetzen muß.
wo ſich die Inte⸗
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19. Fuſ.
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(o) EX 231
19. Zuſ. Sollte ſich die halbe Figur BMDE al- lein ſchwingen, ſo waͤre ihr Schwerpunct zwar eben ſo weit von einer Linie die durch C mit den Ordi⸗ naten PM parallel geht, ſo weit der ganzen Figur DMBNF ihr Schwerpunct davon entfernt iſt, wie ſich aus An. Un. 637. herleiten laͤßt, aber der hal⸗ ben Figur Schwerpunct befaͤnde ſich nicht in CE und alſo nicht in einer Weite von Cmit dem Schwer⸗ puncte der ganzen. Darnach muͤßte alſo die Rech⸗ nung vermoͤge 17. geäͤndert werden. Ich erinnere dieſes nur zu zeigen, daß der Grund in(17), die Unterſuchung nicht auf den Fall(18) einſchraͤnke. Ich finde aber nicht noͤthig, ſie mit einer weitlaͤuf⸗ tigern Rechnung allgemeiner vorzunehmen, ohne ſie dadurch zur Ausuͤbung brauchbarer zu machen.
20. Exempel. Die Figur ſey ein Rechteck, deſ⸗ ſen mit BE parallele Seiten jede=c, die andere jede= 2f, ſo iſt f= y und der Zaͤhler= fX‿e)“. fdx † fdXx= z. f.(x+† e)+† f2XX Conſt Weil nun dieſes fuͤr X= o verſchwinden ſoll, ſo iſt Conſt =— fes Und ſo der Nenner 1 f.(X†e)“+† Conſt wo Conſt=— ½ fe⸗. Alſo iſt (XT e)+†f= X- e*
(XTe)=-ez:
21. Die Figur ſey ein Abſchnitt von einem Krei⸗ ſe, deſſen Halbmeſſer=r; ſo iſt y= T(2X XP) alſo IXe)2.†(a1X-X). dXx ᷣſ(2rx-X²).(2rX-X).dx
f(X Te). T(zrx-Xz) dx Das Differential des Zaͤhlers iſt
P 4 e*.
a= 5.

232(o) ☛
e*..(2X-X²). dx †(2+ 31). x. †(zrx-Xa). dx 4 X Qꝛ0C rXx-x*). dx
Dieſes laͤßt ſich nach lI. Abſchn. 31. integriren. Es iſt naͤhmlich fuͤr das erſte dieſer drey Differentiale, a. a. O.
I; 31b=aſSXA[ee u
hier 2ro ½-—1= zr- 4 X(2zrX-=X²)
Man findet g und daraus, daß in dieſen Reihen die Coefficienten beym Exponenten n in der Bedeu⸗ tung II; 31; verſchwinden. Es iſt aber n= 1 fuͤr 9, und= 2 fuͤr„. So wird alſo, mit der beſtaͤn⸗ digen Groͤſſe es multiplicirt, des erſten Differen⸗
2 2 2 tials Integral. B ſg v. Man haͤtte dieſes kuͤrzer daraus finden koͤnnen, weil dieſes Differential, e⸗ mit dem Abſchnitte eines Krei⸗ fes, der zwiſchen x, u, und dem beyden zugehoͤrigen Bogen enthalten iſt, multiplicirt ſeyn muß. Indeſſen wuͤrde man doch zu Il; 31. bey den folgenden Diffe⸗ rentialen ſeine Zuflucht nehmen muͤſſen, und daher wollte ich dieſen Satz auch hier gleich anwenden. Fuͤr das zweyte Differential, den unveraͤnderli⸗ chen Factor beyſeit geſetzt, iſt, II, 311«X 2u9 X7
hier 1 ½- 1r-= X8 2 e 3
Daher iſt dieſes zweyten Differentials Summe, wieder mit dem unveraͤnderlichen Factor multiplicirt (ze † r).(½ 98. B ſin-(r2 PPrX- †X²) u).
Fuͤr
—

N=X'3
griren.( ffferentin
(am-N
en Reißn der Beda⸗ u= fu der beſtan Differen X. ue“)
—
2 oͤnnen,we eines zugehorie 7. Indeſe den Dff
und da nwenden. veraͤnden
1.1 Summ, ultioliet -1L)u'
g
—-ͤ-—
(o) ½£☚ 233
Fuͤr das dritte Differential iſt, wieder den un⸗ veraͤnderlichen Factor beyſeit geſetzt.
II; 31 2. 2 SrX XZ hier 2 rir 6 II; 31AX 7 35r3 1 218 hier uss 3z 1r e
Und daher das Integral des dritten Differentials, wieder mit dem beſtaͤndigen Factor multiplicirt 12 ra. B in u.-(·urs+†* r⸗X †, 2 Xa- X')u Dieſe drey Integrale zuſammen addirt, geben den Zaͤhler von a.
Dieſer Zaͤhler wird ( b5 ter,†zr⸗) B ſin—
2
4= ze⸗ benn x2† X= er⸗— Fre T r) L r
Und der Nenner wird
31⸗.(e†) B ſin 2 1 4 4& †. 1X r
. uU
————
—* 2 12 r)* Fir den ganzen Kreis iſt u= o und x= 2ꝛr alſe Bfn=(II. 30.). 2e2+ 4re † zr Fuͤr ihn alſo iſt a= Ferr P 5 22. Lehrſ.

————— ——————
—
—
——— ———— —— 8
—
234(o)£˖˖ 22. Lehrſ. Die Ebene MBP, 27. F. ſey an ſich
nicht ſchwer. Es befinde ſich auſer ihr ein Gewicht
S, davon ein Perpendikel auf die Ebene gefaͤllt 80
ſey. Vermittelſt dieſes Perpendikels, das weder
ſeine Lange noch ſeine Lage veraͤndern kann, ſey das Gewicht mit der Ebene verbunden, ſo daß ſich ei⸗ nes ohne das andere nicht bewegen kann(wie etwa wenn ſich S am Ende einer Stange befaͤnde, die in Qfeſt ſtaͤcke). Unter dieſen Umſtaͤnden wird die Ebene um eine wagrechte Axe CG, die auf ſie ſenk⸗ recht ſteht, ſich eben ſo ſchwingen, als ob das Ge⸗ wicht in 0 waͤre.
Bew. Man nehme CG=„S. Das Beſtre⸗ ben des Gewichtes 8 zur Bewegung kommt darauf an das Rechteck Cs um die Are CG zu drehen. Es iſt aber klar, daß hiezu einerley Gewalt noͤthig iſt, ſie mag in welcher Stelle der Linie SQ man will angebracht werden, denn die Laͤnge des Hebels, an dem die Gewalt angebracht wird, bleibt allemahl = GS, und ſonſt aͤndert ſich auch nichts. Alſo kann man annehmen dieſe Gewalt ſey in Q.
23. Zuſ. Wenn QO in der Ebene Möb parallel mit PB iſt, und ſich in der Ebene 800 wo man will Gewichte befinden, ſo ſchwingen ſolche ſich zu⸗ ſammen um CG, als ob ſie ſich in QO, jedes an der Stelle, wo das Perpendikel von ihm auf Q0 trifft, befänden.
24. 3uſ. Waͤre OP= o, daß 0O mit Bb zu⸗ ſammen ſiele, ſo gaͤbe dieß eine ſchwere Ebene B8P 28. Fig. die auf BMb ſenkrecht waͤre, aber die Axe
CG,
00 1” Dieſen Balb, auf ihſt ticalent
8 K d ſcwine Ger . 1. ruf hwinſg Seiter des Ei wind

ſen anſt ein Gewic gefäll K das whe nn, ſen d daß ſcch (wie ein nde, dien en wird nuf ſie ſet ob das E
as Beſtr umt daral drehen. t nothig t Q man w s Hebeloee ibt allen chts.! nO.
1Bb paru- 90 wo m olche ſic O, jedes m auf
mit b e eEbenebb aber die 4-
(0O)£x 235
CG, um die ſie ſich ſchwingt, in ſich enthielte. Dieſe Ebene B8, ſchwaͤnge ſich naͤhmlich ſo, daß BMb, der ich jetzo kein Gewicht gebe, beſtaͤndig auf ihr ſenkrecht bliebe, ſich ſelbſt aber in der ver⸗ ticalen Flaͤche ſchwaͤnge, die auf CG ſenkrecht iſt. Iſt nun 8P ein Perpendikel von einem willkuͤhrli⸗ chen Puncte der Figur 38P, auf Bb, ſo bleibt die⸗ ſe SP beym Schwingen der Axe(G beſtaͤndig pa⸗ rallel und in einerley Entfernung von ihr. Die Figur B8P aber ſchwingt ſich eben ſo wie ſich die Linie Bb ſchwingen wuͤrde, wenn ſie in jedem Elemente Pp, das Gewicht des Elements PS der Figur haͤtte.
25. Erkl. Von der Ebene BMb, die ſich in ei⸗ ner auf die Are des Schwunges ſenkrechten Ebene ſchwingt(18), ſagt man ſie ſchwinge ſich nach der Seite(in latus), aber von B8P, in der ſich die Are des Schwunges ſelbſt befindet(24), heißt es: ſie ſchwinge ſich nach der Flaͤche(in planum).
Den Unterſchied leichter zu merken, bedencke man, daß wenn die Luft wiederſteht, jene Schwin⸗ gungen den geringſten, dieſe den ſtaͤrkſten Wieder⸗ ſtand finden, oder, mich eines kriegeriſchen Gleich⸗ niſſes zu bedienen, daß eben der Unterſchied iſt, ob man mit einem breiten Degen hauet, oder fuchtelt.
26. Aufg. Wenn ſich eine Figur nach der Flaͤ⸗ che ſchwingt, deren Haͤlfte B8 6 iſt, ſo daß ſich auf der andern Seite von Bb eine aͤhnliche Haͤlfte befin⸗ det, den Mittelpunct des Schwunges zu finden.
Aufl. Es ſey CB= e, Bb=Xx, PS= y, weil man ſich jedes Gewicht ydx vorſtellen kann, als
waͤre

—
236(Oo)£ᷣ.
waͤre es in P beyſammen, ſo iſt die Summe der Producte aus jedem Gewichte in das Quadrat ſei⸗ ner Entfernung von c;=ſX X† e)*. ydx welche fuͤr die ganze Figur verdoppelt werden muß. Daher wird die Laͤnge des einfachen Pendels, das ſich in glei⸗ chen Zeiten mit dieſer Ebene ſchwingt, die ich a ſX+† e) ². ydx ae ſ(x†) yd 27. Zuſ. Wenn die Figuren in 26; und 18. ei⸗ 2 1V dx. f(X †e) vdxX 28. Erempel. Fuͤr das Rechteck(20) iſt 3(X+ e)3— e³] (XT e)*— e* 29. Fuͤr den Kreis(21) iſt ſ6X+ e)2(2rX X 2) dx α† e). 7(zrX-XZ) dx Dieſes wird a96 21. leicht gefunden, und iſt
ſe? ud art(Sr- 3.).n
ſz exudx= er⸗+(ex*— Trex- r e). u Ix2udx= Fr“] †(XS- TgrXx²2- ErX- sr3) u Fuͤr den Zaͤhler. Der Nenner bleibt wie in 21. 4e²+ ger+ r* 4 Ce †r)
nennen will
nerley ſind, ſo iſt a-a=
&e
—
Fuͤr den ganzen Kreis iſt æ=
30. Aufg. Die Linie BM 29. F., um die Are Bb gedreht, beſchreibt einen runden Koͤrper, der ſich um
um die Mittel A9 ſchrei (G einer at in Sqit unends gen ll. NMPS, ſinent
IM ſc L vads 9 S: 3 Bagann ſelen n
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LS, Li frunni anſehen de(ant ducte der zi aus dem puncte

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(0) ☛ 237
um die Are CG ſchwingt. Man ſucht fuͤr ihn den Mittelpunct des Schwunges.
Aufl. I. MeP ſey die Figur, die den Koͤrper be⸗ ſchreibt, in der Lage, daß die Axe des Schwunges CG auf ſie ſenkrecht ſteht: S6 ſey dieſe Figur in einer andern unbeſtimmten Lage, wo der Punct M in 8 gekommen, alſo SP= Mb iſt. So haben die unendlich nahen Puncte M, m, ein Paar Kreisbo⸗ gen Ms, mſ, beſchrieben, und zwiſchen den Ebenen MPS, mpf iſt ein unendlich ſchmahles Stuͤck des Koͤrpers enthalten.
II. Man faͤlle SL auf die Ebene Möb ſenkrecht, SX ſey ein Element des Bogens Ms, und A mit SL parallel, die Puncte L, A, ſind in MP(Geom. 47. S. 2. Zuſ.). Iſt ſo das aͤhnliche Element des Bogens mſ, und ſtellt man ſich durch 1,, Paral⸗ lelen mit SL vor, die in mp eintreffen werden, ſo gibt ſich ein Priſma, deſſen obere Grundflaͤche SLAx, die untere ihr gleich und aͤhnlich, die Hoͤhe= Pp iſt. Die Seitenflaͤchen ſind, ebene Flaͤchen durch Ax, LS, LA, auf die Ebene mp ſenkrecht, und die krumme Flaͤche des Koͤrpers SXaſ.
III. Dieſes Priſma kann man als ein Gewicht anſehen, das ſich auf der Ebene BMb, in L befaͤn⸗ de(22). Man finde alſo die Summe aller Pro⸗ ducte aus jedem ſolchen Priſma in Cl.*². Sie iſt
der Zaͤhler von a(17); der Nenner iſt ein Produck
aus dem Gewichte des Koͤrpers in ſeines Schwer⸗ punctes Entfernung von C.
Im.

238**(o)&
IIII. Es ſey CB= e, BP= x, PM= y, ML= u, alſo LA= du, LS= PN(zyu- u²) ſo iſt das Priſma(11)=(zyu- u*). du. dx und ſein Pro⸗ duct in CB ² wird [G+ e)* †+†(y- u) 2J. P(zyu- us). du. dx.
V. Dieſes integrire man ſo, daß y, x, dx, als unveraͤnderlich angeſehen werden, und das Inte— gral fuͤr u= o verſchwindet. So hat man die Sum⸗ me aller Producte, deren Priſmata zwiſchen den ebenen Flaͤchen MbS, mpf, MPpm, SPpſ, und der krummen Molm enthalten ſend. Denn fuͤr alle die⸗ ſe Priſmata bleibt einerley y, X, dx.
VI. In dieſem Integrale ſetze man u= 2y. So hat man die Summe aller ſolcher Producte, wenn BSP mit BMb in einer Ebene auf die Linie BP an⸗ dere Seite faͤllt, ſo daß MBP und PBS zuſammen die ganze ebene Figur ausmachen, die durch BP in aͤhnliche Haͤlften getheilt wird.
VII. Die in VI. gefundene Formel integrire man ſo, daß x, y, nun veraͤnderlich ſind, und das In⸗ tegral fuͤr x= o verſchwindet; So hat man die Summe aller ſolcher Producte, deren Priſmen auf einer Seite der ebenen Figur liegen, davon BMb die Haͤlfte iſt.
VIII. Aber dieſe Priſinen machen die Haͤlfte des Innhalts; des Koͤrpers aus, und die Producte ſind auf einer Seite der VlI. genannten Figur wie auf der andern. Fuͤr den ganzen Koͤrper alſo verdop⸗ pele man VII. ſo hat man die Summe aller Pro⸗ ducte aus jedem Gewichte in das Quadrat ſeiner
Ent⸗
Entfer ſt aust VIIV des belf [urt

=, M: ¹) ſo iſt u ind ſein a
lu. dx.
„ X, Gx, ĩd das In nan die Si zwiſchen d
Ppl, undé nfuͤr aled
u= zy.( ducte, wm Lnie bor⸗ 88 zuſanme e durch be
integrit und das, hat mand Priſmena davon U
ie Hälſted Pproduckeſt igur wieu
alſo verde ne aller Ne
uadrat ſin Er⸗
(o) ☚ᷣᷣ 239 Entfernung, oder den Zaͤhler(III). Der Nenner iſt aus der Lehre vom Schwerpuncte bekannt.
VIIII. Das Differential IIII. mit Beyſeiteſetzung
des beſtaͤndigen Factors dx, giebt
[(X+e)* †+† y*l. LS. du — zyu. LS. du + u2. L8. du Fuͤr alle drey Theile iſt in II. 31] u bſX hier LS 2y ſu Fuͤr den letzten Theil iſt II; 3117 61 g
ſD hier[2£☚ 1*—.LS- Er. LS2
II, 1 X 7
25) 3SyLS*y L83
hier us 8 24. 12 4 und das Integral
15 iy* Bſn— glS“ ney.L.Sa-ry².LS-»:)-LS
welches wie ſeyn ſoll, fuͤr u=o verſchwindet.
Fuͤr des zweyten Theils veraͤnderlichen Factor u. LS. du iſt
II; 31[½ ½ 18
bier[1 13 1- y-= 2.
II; 31 Aà1„
8 syu.
hier zuiy- zu⸗
Das

240(o)£ Das Ihtegr
ys. Bn2(4 LS=— † y. LS- y²). LS alſo des eigentlichen zweyten Theils Integral, die⸗ ſes mit— 2y multiplicirt, oder LS
—ya. B ſin y(*LS=-Ty. LS- y*²). 2y. LS
Eben ſo lieſſe ſich das Integral von LS. du fin⸗ den, da es aber der Abſchnitt des Kreiſes Ms iſt,
LS LS.(v
ſo iſt es= Fy.JB ſin F 6— Alſo des
erſten Theils Integral[ † e)⸗ ²). 8 iee
LS (X e)“+ y* J. 3
Jedes dieſer drey Iucegrale verſchwindet fuͤru= o.
X. Setzt man nun nach VI; u= zy, ſo wird LS
B ſin N„naͤhmlich der halben Peripherie, wenn
mder Halbmeſſer iſt; denn die verſchwindende LS gehoͤrt hier als Ordinate zu der Abſciſſe, die dem Durchmeſſer gleich iſt.
XI. So fallen alſo alle blos aſgebraiſchen Theile aus den Integralen weg, und die, welche den Kreis⸗ bogen enthalten, zuſammen addirt, geben I1(XX† e)*. y* † y* J. a.
reiſen Dod 1e Dor⸗ (e:
Beſ
dete ſe n nug zu! Hordl, detned d IAc de Verjahn,
luda 3 V Ma.
b

(O)£. 241 XII. Alſo iſt der Zaͤhler(VlII.) 72)(IX2y dx+ 2fexy ²dx+ ſe?ydx †‿ ½ ſy4dx). z. ntacegſ XIII. Der Nenner wird aus An. Un. 648;3 ntegral, ſ T. Iy.(X e) dx. XIIII. Folglich †*). 2).l K yd † 2ſexy ↄ2dx+ſe?y 2dx † ſya dx Ae ſy2.(XT e). dXx denis XV. Exempel. Es ſey der Koͤrper ein Stuͤck
einer Kugel, vom Halbmeſſer r; ſo daß B der Pol des Aſſo Kreiſes den PM beſchreibt ſey. So iſt y²= 2rX-x Des Zaͤhlers Differential iſt LS(ze rx †(r* † 4er— e*) X* †ſr- 2e)X ³- 3Xa). dz . Des Nenners ſeines iſt (zrex— e IXx-X²). dx
+ 21. det fürt⸗ Bevnde alſo integrirt, wird enr † r.(r+† 4er— e*) x+‿ ½ ſr- 2e X*- Be X 3 ey, ſi 4 re †.(2r- e). X— X X ripheriem Fuͤr die ganze Kugel iſt x= ar, und ldeh 7r2+† 10er †* zwindende 22(re)
eiſſe, der ſe 31. Anm. Der Erfinder dieſer Lehre, Huygens gruͤn⸗ dete ſie auf eine Vorausſetzung, die nicht allen offenbahr ge⸗ nug zu einer Vorausſetzung vorkam. Man kann ſie im
iſchen d Horol, oſc. P. IIiI. hypoth 1. ſehen. Jacob Bernoulli he den Kit leitete dieſe Unterſuchungen aus dem Hebel her. Mem. de geben l'Ac des Sc. 1703. Op. Iac. Bern. n. 98, vermöge eines
Verfahrens, das ſich ohne groſſe Weitlaͤuftigkeit nicht wohl anders anbringen laͤßt, als bey ebenen oder koͤrperli chen 1' Matheſis Ater Cheil. Q Fign⸗

342(0)£
Figuren, die von einem Durchmeſſer, wie Bb in den zu⸗ letzt gebrauchten Zeichnungen iſt, oder durch eine ſolche Ebene, in aͤhnliche Haͤlften getheilt werden. Johann Bernoullin gelang es hier, wie bey andern Gegenſtaͤnden, die er zugleich mit ſeinem aͤltern Bruder betrachtet hat, die Sache allgemeiner und leichter abzuhandeln. Er hat es 1714. in den Leipziger Actis Eruditorum, und den pa⸗ riſer Memoires der Ak. der Wiſſ. bekannt gemacht. Op. Io0. Bern. T. II. n. 96. Aber im 1111 Th. ſeiner Wercke 177. N. 9. Abſatze ſteht das, was ich hier(7) zum Grun⸗ de gelegt habe, ſo wie das, wovon ich in(1) den Anfang mache, in den vorhergehenden Abſaͤtzen ausnefuͤhrt iſt. Die Formeln in 18; 263 30; finden ſich beym Jacob Ber⸗ noulli a a. O. nur daß bey ihm e= iſt. Er hat auch verſchiedene Exempel dieſer Aufgaben, in drey Tafeln ge⸗ ſammlet. Die leichteſten dieſer Exempel findet man in den Wolfiſchen elementis mechanicac§. 433 fqq. berech⸗ net, das etwas ſchwerere aber vom Kreiſe(21; 29) iſt da nicht beruͤhrt. Es iſt noch uͤbrig, daß ich die hieher ge⸗ hoͤrigen Lehren, welche bey den Pendeluhren wirklich ge⸗ braucht werden, vortrage. Sie finden ſich in Huygens oft angefuͤhrtem Buche b. IIII. Pr. 23. ſequ.
32. Aufg. Den Mittelpunct des Schwunges eines ſehr ſchmalen und duͤnnen Priſma zu finden, deſſen Laͤnge CD 30. Fig. waͤre, wenn es in C auf⸗ gehenkt iſt.
Aufl. Die Ebene, welche das Priſma, ſenkrecht auf CD durchſchnitten gibt, ſey= B; ferner Cb = X. Das Priſma laͤßt ſich in Elemente zerlegen, deren jedes zwiſchen ein paar unendlich nahen Durch⸗ ſchnitten enthalten, alſo Bdx iſt. Und weil das Priſma ſchmal und duͤnne angenommen wird, ſo iſt die Flaͤche B ſehr klein, und kann ohne merkli⸗ chen Irrthum fuͤr einen Punct angenommen wer⸗
den,
den, C; und Des Pt 2X ente
C-
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332 lich, doye der in di Oicke hl feeler, ſt enen Mn nd umn: üüh wieh zal üet danden gn Clenent? Anal. An kerſuchon dir alenn in dir hin in Gebt
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d-
(O)£☚˖ú. 243
den, alſo iſt x die Entfernung des Elements von
C; und ſein Moment der Traͤgheit(3) XEZ. Bdx
Des Priſma Schwerpunct iſt von C um die Weite
x entfernt, und ſein Gewicht iſt B. x. Alſo iſt ſX². Bdx
39— F. BX
33. Anm. Dieſe Auftoͤſung iſt zum Gebrauche zulaͤng⸗ lich, da bey den Uhren, die Pendelſtange ein Stab iſt, der in Vergleichung mit ſeiner Laͤnge wenig Breite und Dicke hat. Wollte man die Unterſuchung allgemeiner an⸗ ſtellen, ſo muͤßte man das Priſma in Elemente zerlegen, deren Momente der Traͤgheit ſich nicht ſo leicht angeben, und ſummiren lieſſen. Es muͤßte ein Verfahren ohnge⸗ faͤhr wie bey den runden Koͤrpern(30) angeſtellt werden, weil aber hier eine Bequemlichkeit, die der Begriff des runden gab, wegfaͤllt, muͤßte man die Lage eines ſolchen Elements des Priſma, durch drey Coordinaten, wie in Anal. endl. Gr. 376. beſtimmen. So koͤnnte man die Un⸗ terſuchung fuͤr jeden gegebenen Koͤrper anſtellen. Es ſcheint mir aber, wenigſtens in Anfangsgruͤnden, uͤberflüſſig, ſich in die hiezu noͤthige Weitlaͤuftigkeit einzulaſſen, da mir kein Gebrauch davon in der Ausuͤbung bekannt iſt.
34. Aufg. An dieſem Priſma(32) befinde ſich nun noch ein Gewicht in D, feſt, daſſelbe nehme einen ſehr kleinen Raum ein, daß man alle Entfer⸗ nungen jeder Stelle dieſes Gewichtes von C;= CD ſetzen kann. Man ſucht den Mittelpunct des Schwunges, fuͤr dieſe Pendelſtange mit der dar⸗ an in D befindlichen Linſe. D bedeutet alſo der Linſe Schwerpunct.
Aufl. I. Das Gewicht der Pendelſtange heiſſe b, ihre Laͤnge CD ſey= f. Das in D befindliche Ge⸗
92 wicht

244 T(O)£
wicht heiſſe C von a.
Die Summe aller Producte aus jedem kleinen Gewichte, in das ſich CD theilen laͤßt, in das Qua⸗ drat ſeiner Entfernung iſt. b. f2(33). Die Ent⸗ fernung jedes Theiles, aus denen das Gewicht in D beſteht, von C, iſt= CD= f, man nehme die Theile alle von gleicher Schwere an, und ihre Men⸗
ſo iſt je⸗
Man ſuche zuerſt den Zaͤhler
ge ſey=n, daß eines jeden Gewicht=—,
des ſolche Product= 6.., und weil ihre Menge
=n iſt, ſo iſt aller Summe= fa. c. Alſo iſt der geſuchte Zaͤhler= f⸗.(½ b †o). Der Nenner iſt die Summe der Momente, wel⸗ che das Priſma CD, und das Gewicht in D ge⸗ ben, wenn man ſie als an einem Hebel, deſſen Unter⸗
lage in C waͤre angebracht, betrachtet. Er iſt alſo = Ef. b+ f. c. b+c 2 b+ 6c Folglich a= ee. f— 35 60. f
6c+† 3b b B. Suf. 1= Se.⸗= T)⸗ Alſo iſt allemahl klänger als a. Der Ueberſchuß der Laͤnge der Pendelſtange uͤber die Laͤnge des ein⸗ fachen Pendels, betraͤgt aber deſto weniger, je groͤſſer e in Vergleichung mit b, je ſchwerer die Linſe in Vergleichung mit der Pendelſtange iſt.
II. Zuſ.
I mein ni ftichen deſen di gcht di hinans,
e Kelinn hehergels dr Nihl
Sb. K, G für den ſeine G
8
ha nteren

——QC—O—Q—O——C—;—x—x—xxx:::——-—-,———
2(o)*☛ 245
t den z0 II. Zuſ. Wenn man die Gewichte b. c, und die
Laͤnge f, hat, ſo laͤßt ſich daraus a finden, und ſo jedem klt wird begreiflich werden, wie ſich die Laͤnge des ein⸗ in dasd fachen Secundenpendels, vermoͤge einer gewoͤhnli⸗ ). dees chen Pendeluhr, wo das Pendel kein einfaches ſeyn kann, finden lieſſe.
s Gewicht:.
b III. Anm. Bey dieſen Uhren haͤnat das Pendel insge⸗ nan nehme 1677— nd ihreg mein nicht unmittelbar an C, ſondern an einem duͤnnen ela⸗ d ihre ſtiſchen Bleche, das uͤber C hinausgehet, und vermittelſt deſſen das Pendel ſich verlaͤngern und verkuͤrzen laͤßt. Auch il, ſoiß geht die Pendelſtange ein wenig unter dem Gewichte O
hinaus, das ſich auch an ihr verſchieben laͤßt. Wer die⸗ lihre M ſe Kleinigkeiten berechnen wollte, wuͤrde ſolches nach der P hrtnns vorhergehenden Anleitung leicht thun koͤnnen, ob es gleich der Muͤhe kaum werth ſeyn duͤrfte.
36. Zuſ. Sollte in E noch ein kleines Gewicht
Cib*= kK, da CE= h waͤre, angebracht werden, ſo ſey Komente, fuͤr dieſes Pendel p die Laͤnge des einfachen, das icht in D ſeine Schwuͤnge in eben der Zeit macht, und es iſt deſſen Ur F bf=+ f2c+ hak t. Eriſ D= zib te nk 2bf⸗ † öf=c P vh⸗. k
zb+ 6fc+ Ghk — Wollte man dieſes kleine Gewicht verſchieben, das
b untere aber unbeweglich laſſen, ſo lieſſe ſich dadurch die Bewegung des ganzen Pendels ſo einrichten,
r Ueberot daß die Schwuͤnge in gegebener Zeit geſchaͤhen. 4 Man ſuchte naͤhmlich wie groß h fuͤr ein gegebenes
aänge desin— wenige, p ſeyn muͤßte. So ſande ſe. dee g
1. 2 /ſ2 ſhnat h=zpc 4 tange iſ
Q Soll 39 3

246(o)£
Soll es hier zwo Stellen unter C geben, wo ſich das Gewicht k anbringen laͤßt, ſo muͤſſen beyde Werthe von CE bejaht ſeyn, alſo muß pf.(½ 5+c) — f⸗.(½ b e) ſeyn, daraus folgt, daß p kleiner ſeyn muß, als die Laͤnge des einfachen Pendels fuͤr(34).
Wenn man von C die gehoͤrige Laͤnge fuͤr a nimmt, ſo ſind von dem Puncte der ſich ſolcherge⸗ ſtalt giebt, die beyden Stellen fuͤr E, gleichweit entfernt, eine daruͤber, die andere darunter.
Dieſe Entfernung betraͤgt viel oder wenig, nach⸗ dem p viel oder wenig von f unterſchieden ſeyn ſoll.
Soll die Aufgabe moͤglich ſeyn, ſo muß was un— ter dem Wurzelzeichen ſteht, nicht verneint ſeyn, alſo iſt ½ pek †(½5+c). fp= Eb+c) f⸗*+† gf⸗ wo g nicht verneint ſeyn darf.
Daraus folgt
9 f.(b+ 20)
k
4 P+ 20)*†ak.( b4c †g)
Weil p doch bejaht ſeyn ſoll, muß man das obere Zeichen vor der Wurzelgroͤſſe brauchen.
Die Stelle des Gewichts E zu finden, wo es macht, daß das Pendel am geſchwindeſten geht, ſetze man p ſo klein, als es werden kann(II. Ab⸗ ſchn. 5, das iſt g= o. Folglich
p= T.(T.l(b e) 4k(Cb† c)]-= b- 2c)
oder
oder woral⸗ j oder 3 mit in Kag ges fſ imm A ſhef d g iſts d e, ite danCf Vat l daß gelze 9 d Erſe⸗ ain V 1 u funde en möͤgl ge z dorte
c b

muͤſſen be
Pf. td daß p chen Pen
laͤnge ſit, ſich ſolche F. gleich arunter.
wenig, ne den ſeyn ſ muß was verneint
re)fer,
1e*g) nan dasl in.
onden, wo indeſten d kann(l
-ra
t
(0O) 247
oder auch 1p⸗ k+(½b+c) fp=(½5 c) f* woraus h= folgt.
37. Aufg.(B 29. Fig. iſt ein duͤnner Faden, oder eine duͤnne Stange, da man aber das Gewicht mit in Betrachtung zieht: daran haͤngt an B eine Kugel. Man ſucht den Mittelpunct des Schwun⸗ ges fuͤr dieſes aus einer Stange und einer Kugel zuſammengeſetzte Pendel.
Aufl. 1 Man kann alſo Cß als ein Priſma an⸗ ſehen, deſſen Durchſchnitt in der Weite w von C, die Flaͤche M habe. So iſt das daſige Element dieſes Priſma= M. dw, und weil das Priſma duͤn⸗ ne, iſt w die Weite jeder Stelle dieſes Elements von C; alſo das Product aus dem Quadrate dieſer Weite in das Element=wꝰ Mdw.
II. Die Summe dieſer Producte, ſo genommen, daß ſie fuͤrw= o verſchwindet, und alsdenn w= e geſetzt; dazu aber die Summe der Producte aus allen Elementen der Kugel in die Quadrate ihrer Entfernungen von C addirt, gibt den Zaͤhler von a in(30).
III. Die erſte dieſer beyden Summen iſt ½Mes.
IIll. Die zweyte hat man ſchon in 30. XV. ge⸗ funden, ſie ſteht aber dorten nicht einzeln ausge⸗ druckt. Um die dortige Rechnung hier ſo viel als moͤglich zu nutzen, uͤberlege man, daß gegenwaͤrti⸗ ge zweyte Summe, das Integral von dem iſt, was dorten des Zaͤhlers Differential heißt, nur daß ſol⸗ ches noch mit x multiplicirt werden muß, denn in
9Q4 dem

——
—
—ö————
———y———— — jjjÿäjÿääjjäÿöäöäöäöäöa5/amʒ— — ¹————
248(o)£
dem Ausdrucke fuͤr a(30; XIIIl.) hob ſich im Zaͤh⸗ ler und Nenner auf, weil man dorten die Maſſe von e nicht betrachtete; da dieſes hier anders iſt, ſo muß man den dortigen Zaͤhler von a hier ſo nehmen, wie er(30; XlI.) genommen wird, wo a noch in ihm iſt. V. Alſo iſt das Differential der zweyten Sum⸗ me, die ich hier ſuche (2zesrx †(r*-† er- e*) Xx*+(r- 2e)x ³- 4XEA4). xd VI. Dieß integrirt, daß es fuͤr x= o verſchwin⸗
det, und im Integral X=*r geſetzt, gibt die ver⸗ langte zweyte Summe:(½e⸗ † zer † r). 4r37.
VII. Die Summen IIlI. und VI. zuſammen, ge⸗ ben den Zaͤhler des hieſigen a. VIII. Die Gewichte des Priſma und der Kugel,
413
ſind Me und 3 ihre Schwerpuncte von Cum ke und um e Trentfernt. Alſo iſt das Moment ihrer Summe oder nach(17) der Nenner von a;
Me* LI. Me* † 3(e †r). 7.
VIIII. Folglich . 3Mes+(xea † er †+† 7. r²). 4rx — Me*+†4. r3.(e†r). 7
X. Dieſes giebt wie gehoͤrig fuͤr M. e= o den
Werth 30; XV.
Xl.

ch ingi n die MW anders it ſi
er ſo nehme vo r wot
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-3X),nt
o verſchni gibt die w
Er). 4r'
ſammen,
id der K cte von(
das Men ger von
+(c) ᷣl△‿ 249 Xl. Das Gewicht des Priſma Me ſey= V, der
3 = P ſo iſt Vèe2+ ſe?²+ 2er+ 2 12) P Ve+†e †r) P XII. Alſo a—(r†e) ar?* P- Ve*²- ½ Ver
WVe+(e †r) 5 Um ſo viel iſt der Mittelpunct des Sihoungeßs un⸗ ter der Kugel Mittelpuncte.
XIII. Dieſe Formel iſt einerley mit der, welche de la Lande Expoſition du calcul Aſtronomique art. 25 2. aus den Mem. de P'Ac. des Sc. 1735. gibt. Sein P, u, b, a, ſind bey mir P, V, r. r Pe, denn es iſt vermuthlich ein Druckfehler, daß b den Durchmeſſer der Kugel bedeuten ſollte, da ſich ſeine Formel voͤllig in meine verwandelt, wenn man es fuͤr den Halbmeſſer annimmt. In der Aſtronomie braucht man zuweilen ein ſolches Pendul, wenn man Beobachtungen an einem Orte anſtellen muß, wo man die Uhr nicht bequem in der Naͤhe haben kann. Die Regeln, die de la Lande a. a. O. giebt, wenn man die Groͤſſe der Kugel, oder das Gewicht des Fadens beyſeit ſetzen wollte, ſind hier 34. und 30. XV. Auch iſt fuͤr V= o in Xll. hier, a-
Kugel ihres 4
(r† e)= alſo deſto kleiner, jen klei⸗ ner r in Vergleichung mit e iſt.
Q5 XII.

250&(oO)
XIIII. Anm. Wenn der Ansdruck(XII) verneint wird, ſo faͤllt der Mittelpunct des Schwunges uͤber der Kugel ihren. Dieſes geſchieht allemahl wenn r= o, da iſt r†e
Ve Wenn man a aus XI. fuͤr r= o ſucht, und denn hier e durch a ausdruͤckt, ſo gibt dieſes einerley
mit f— a(53 I.) wie ſich gebuͤhrt. Die dortigen t, b, c,
ſind hier r † e; V P.
Von der Ueberwucht Stat. 151.
38. Vorerinnerung. Kraͤfte, mit denen Ma⸗ ſchinen bewegt werden(Stat. 114.), koͤnnen von verſchiedener Gattung ſeyn, und richten ſich nicht allemahl nach ihren Maſſen. So kann eine Feder bey einer geringen Maſſe eine ſtarke bewegende Kraft haben. Geſetzt, eine mathematiſche Stange CA, die ſich um C 22. F. drehen lieſſe, wuͤrde in B von einem Gewichte nach Bb, in A von einer Feder nach aA getrieben, ſo daß Feder und Gewicht einander ent⸗ gegengeſetzt in die Stange wirkten. Wenn ſie ein⸗ ander nicht blos erhalten, ſondern eines, z. E. die Feder, die Ueberwucht erhaͤlt, die Stange fort⸗ ſchiebt, und damit das Gewicht erhebt, ſo erhellt, daß man die ganze Kraft der Feder, als eine be⸗ wegende wie mi(1) anſehen kann, daß dieſe bewe⸗ gende Kraft ſowohl die eigene Maſſe der Feder mit fortfuͤhrt, als die bewegende Kraft des Gewichts zu uͤberwaͤltigen hat. Man muß alſo bey A die bewegende Kraft, und die Maſſe, bey welcher die⸗ ſe Kraft befindet, jedes beſonders betrachten; 0
eben
ſt ſe 6 1 uner Vin Ma
4 b 3 6ls
50 che 1

—
*(O)*☛£ 251 vetnein
ber der gun eben dieß muß auch bey B geſchehen, wenn die Un⸗ zo, da irn terſuchung ſo allgemein ſeyn ſoll, daß ſie auch ſolche Faͤlle enthaͤlt, wo B durch andere Kraͤfte als durch
ir woſt ein Gewicht getrieben wird. dieſes ein ortigen b 39. Aufg. BO4A ſey ein mathematiſcher Hebel
31. F., der ſich um O drehen laͤßt. In A ſey an ihm eine Maſſe P befeſtiget, die ich als blos traͤg t betrachte, und eine bewegende Kraft= p treibe A
nach einer auf CA ſenkrechten Richtung; derglei⸗
chen Maſſe und bewegende Kraft in B ſind Q, q,
it denen 1 die bewegenden Kraͤfte aber wollen den Hebel nach können verſchiedenen Seiten drehen. Man ſetze die in A ten ſich i iſt ſtaͤrker, und bringt den Hebel in die Lage aO, inn eine ge es verſteht ſich, daß man die Bewegung in einer wegendecn unendlich kleinen Zeit= dt betrachtet, und alſo den e Stangel Winkel a0OA= OB unendlich klein annimmt. vuͤrde in 3i Man ſucht die beſchleunigende Kraft, mit welcher iner Federn A bewegt wird.
teinander. 3
Vennſei Aufl. Weil man die bewegenden Kraͤfte p, q, nes, z.C. als Gewichte anſehen kann(Stat. 24.), und p den Stangeir Hebel niederwaͤrts, q aufwaͤrts drehen will, ſo ſu⸗ bt, ſo eth che man, was fuͤr eine bewegende Kraft in A ange⸗ als ein bracht, den Hebel ſo ſtark drehen wuͤrde, als ihn dieſe be ꝗ in B angebracht drehet. Dieſe geſuchte bewe⸗ der Fede gende Kraft muͤßte naͤhmlich mit q einerley Moment
6. b des Genc haben, ſie waͤre alſo=(Stat. 37). Es iſt ſſo bey Ad 2
welcherd alſo einerley, ob p an A und q anß den Hebel dre⸗ raachen; 1n hen, oder ob jene bliebe, ſtatt dieſer aber an A eine 9 Gewalt

—
—
—
* 1 —
—————
252(0o)£☚ᷣ2
b Gewalt der Richtung, nach welcher p wirkt, entgegengeſetzt, angebracht wuͤrde. Die Gewalt
alſo, mit welcher A niederwaͤrts getrieben wird,
iſt p- 2=E 35 oder der Unterſchied der ſta⸗ tiſchen Momente(Stat. 37.), mit a dividirt. Dieß iſt als die bewegende Kraft an A anzuſe⸗ hen, wenn beyde Kraͤfte q, p. zugleich auf die er⸗ waͤhnte Art wirken. Wenn man es alſo mit der Maſſe dividirt, welche davon bewegt wird, ſo hat man die beſchleunigende Kraft. Dieſe Maſſe iſt P in A und Q in B, oder ſtatt der letzten eine gleich⸗ guͤltige in A, die man aus(3) faͤnde. Es ſind
nahmlich dorten BqpP X b ² hier b a—a2 2
pa— qb als eine bewegende Kraft
Man hat alſo
b 2 anzuſehen, welche die Maſſe Pe fortfuͤhrt. (pa- qb) at
Folglich iſt die beſchleunigende Kraft 22.5 b=.
40. Zuſ. Die Geſchwindigkeit, welche in einer unendlich kleinen Zeit in Kentſteht, iſt(I; 72.) pa-— ab
22 ⁵T b5O adt; damit wird von der uͤberwie⸗
gendeu
hau Naſſ docten wit d plieir
1. hwie gedafß

ſcher pui Die Gene trieben ni chied derſ
dividirt. an AK angi
ich auf din
alſo mit
wird, ſo leſe Maſel
ten eine glit
de. Esſt
egende K
Q fottfte (Da=oh. — 42. P bi elche in en iſt(1 9 der uͤberwe
rendn
(oO) ☛ 253
genden Kraft der Raum Aa beſchrieben. In glei⸗ cher Zeit aber beſchreibt B, oder die Laſt(Stat. 51)
b.„ den Raum BG=—. Au; und hat alſo die Geſchwin⸗
41. Aufg. Nun ſey der Hebel ein ſchweres ſehr duͤnnes Priſma, deſſen Seitenflaͤchen mit den Grund⸗ flaͤchen rechte Winkel machen, ſein Schwerpunct ſey Z. und ſein Gewicht= V. Man ſucht wieder die beſchleunigende Kraft in A.
Aufl. I. Vorlaͤufig erhellt, daß V ſowohl die Maſſe des Hebels, als ſein Gewicht bedeutet, im letzten Falle naͤhmlich muß man ſich die Maſſe V mit der Schwere, welche= geſetzt wird, multi⸗ plicirt vorſtellen.
Il. Man wird alſo folgendes zu ſuchen haben, 1) wie groß die bewegende Kraft in A iſt? 2) was ſie da fuͤr eine Maſſe zu bewegen hat?
III. Auf die erſte Frage heißt die Antwort
— gb-V. OZ a— qb- V. e P 4.(Stat. 51.)= P- wenn
2 O0Z= e.
IIII. Die andere Frage laͤßt ſich ſo beantworten: die Maſſe, welche in A, den Maſſen P, OQ, und V, zuſammen gleichguͤltig ſeyn ſoll, muß ein Mo⸗ ment der Traͤgheit haben, das den drey Momen⸗ ten der Traͤgheit dieſer drey Maſſen zuſammen de⸗
ek

254(oOo)£
2
.. b chet(3). Die beyden erſten ſind P4 8; man muß alſo nur noch das dritte ſuchen
V. Die Unterſuchung allgemeiner zu machen, ſoll die Lange des Hebels nicht nothwendig BA= b †a, ſondern=l ſeyn, ſo daß er ſich wo noͤthig uͤber B hinaus erſtrecken kann, wenn Z wie in der Figur zwiſchen O und B liegt, und 2 b. Es iſt naͤhm⸗ lich wegen ſeiner priſmatiſchen Geſtalt A.—=!, wenn das eine Ende des Hebels in A iſt.
VI K heiſſe ein Querſchnitt des Hebels oder ein
Durchſchnitt mit ſeiner Grundflaͤche parallel, in ei⸗
ner unbeſtimmten Weite OK= w von O. Ihm unendlich nahe werde ein anderer Querſchnitt ge⸗ macht, ſo enthalten beyde zwiſchen ſich ein Element des Hebels Kdw.
VII. Weil der Hebel ſehr duͤnn ſeyn ſoll, ſo iſt eine Linie, die von O nach irgend einer Stelle des Querſchnittes, der O am naͤchſten liegt, gezogen wird, nur unmerklich laͤnger als OZ, und eben ſo iſt es mit jeder Linie nach irgend einer andern Stel⸗ le des Elements(VI) beſchaffen. Alſo iſt das Mo⸗ ment der Traͤgheit dieſes Elements=Kwadw.
verſchwindet
Kw 3 3 fuͤr w= o, und gibt alſo die Summe der Momen⸗ te der Traͤgheit, aller Elemente die von O nach K liegen, oder das Moment der Traͤgheit des Stuͤcks OK.
VIII. Das Integral davon
VIIII.
V ſich vo und v Man! entgeg! jaht un einer l ob ſei terlagen einerſer Weite
1 1
alſo

G
42; ma
zu machenſ gbA= b; oͤthig uͤbn
in der gin Es iſt ni lt A2=)
iſt.
ebels oder
arallel, in on O. h uerſchnitt h ein Eler
eyn ſoll, ii eer Stelle iegt, geßr . und ebn andernE. o iſt dan =Kw 2dw.
verſchwit
der Mane⸗ oon O nudh
t des Etü
Väl
&(0)£☛☛£ 255
VIIII. Alſo w= ½! e geſetzt, des Theiles, der ſich von O ans Ende nach der Seite B zu erſtreckt, und w= OA= l-e geſetzt, des Theiles OA. Man begreift leicht, daß Linien, die von O nach entgegengeſetzten Seiten zugehen, hier nicht als be⸗ jaht und verneint betrachtet werden, weil es bey einer blos traͤgen Maſſe keinen Unterſchied macht, ob ſie ſich auf einer oder der andern Seite der Un⸗ terlage befindet; der Maſſe Kdw naͤhmlich iſt in A einerſey Maſſe gleichguͤltig, jene mag ſich um die Weite w von O nach B oder nach Azu befinden(3).
X. Des ganzen Hebels Moment der Traͤgheit iſt alſo FK(x1+ e)⸗ †(11-e)⸗J= kl.(xũ² † 3e²)=+ Kle“ weil K. I= V.
12
Xl. Den drey Maſſen(lII iſt alſo in A die Maſſe 72 V. 12 † Kle Ob2 — ble †+— † gleichguͤltig.
Xll. Folglich die beſchleunigende Kraft daſelbſt (pa- qb- Ve) 2
V. 12+† K. l. e⸗ † Qbz Pa=:
42. Zuſ. Iſt die Unterlage im Schwerpuncte, alſo e=o, ſo iſt l= a(41. VlIIII.) und des He⸗ 2
bels Moment der Traͤgheit und die beſchleu⸗
(pa b) 2 nigende Kraft=„Va* † Ob= bas. Sie giebt, mit dt multiplicirt, die Geſchwindigkeit des Pun⸗
ctes

256(o)£☚☚
b ctes A, und dieſe mit multipl., die Geſchwindigkeit
(pab- qbz). dt des Punctes B oder der Laſt=a Vap a* e.
43. Fuſ. Man ſetze, der Hebel reibt ſich etwa in den Zapfen, um die er ſich an O drehen muͤßte; So erhellt, daß dieſes Reiben fuͤr ſich allein eine gewiſſe bewegende Kraft an A, aufhalten koͤnnte. Ich will ſoviel ſagen: wenn der Hebel blos mathe⸗ matiſch waͤre, und weder die Maſſen Q, P, noch die bewegende Kraͤfte q, p, an ihm waͤren, ſo wuͤr⸗ de man in A eine gewiſſe bewegende Kraft die ich = G ſetzen will, anbringen koͤnne, die genau von dem Reiben erhalten wuͤrde, und alſo den Hebel noch nicht drehte, aber wenn ſie im geringſten ver⸗ ſtaͤrkt wuͤrde, ihn drehen wuͤrde. Es iſt alſo klar, daß man dieſe Kraft von p abrechnen muß, oder daß p an einem Hebel, der ſich reibt, nicht mehr thut als p-H an einem Hebel, der ſich nicht reibt, thun wuͤrde. Bey dem Hebel, der ſich reibt, muß man alſo p-S ſtatt des p ſchreiben, das man vor⸗ hin am Hebel, der ſich nicht reibt, gebraucht hat⸗ te. So wird die beſchleunigende Kraft(42)
(PT= Oa2—ba. bS und die Geſchwindigkeit der [(PpT=O) b- Db=dt Laſt(42) as VTa*P† b⸗ 3
44. Zuſ. Ob der Laſt Geſchwindigkeit, bejaht, 0, oder verneint iſt, ſieht man aus derſelben Zaͤh⸗
ler.
let.) die bit iſt eim undg. geſetl 4 nur itt braudt 52* di oxtges eit zum etage aßſch 46. p vet heit r den h
gerin Ne
4. het zu ds„ zuſt witd
46 von( der zu vernei raft m

(0O) ☛ 25
eſchwindit, ler. Im erſten Fall geht es, wie die Figur und i die bisherige Unterſuchung ausdruͤckt; Im zweyten
Cb:). dt iſt ein Gleichgewicht; im dritten uͤberwiegt die Laſt, nup und geht nach der Richtung, die der B entgegen⸗ geſebt iſt. iibt ſche 45. Fuſ. Haͤtte die Laſt keine bewegende Kraft, drehenmn nur ihre Traͤgheit, ſo waͤre qꝗ= o, und die Kraft ſich allin braucht uͤberwiegend zu ſeyn, weiter nichts als daß halten kin pPS S. d blos m Dieſes faͤnde ſtatt, wenn Q wie auf einem Tiſche, ſen Dhn fortgeſchoben wuͤrde, da hat man nur mit ihrer Traͤg⸗ wäͤren, ſen heit zu thun, ihre Schwere wuͤrde von dem Tiſche eKraſt i getragen. Waͤre der Tiſch nicht vollkommen glatt, die genn daß ſich Q auf ihm riebe, ſo kaͤme dieß mit zu H. alſo den h 46. Zuſ. Bey P, mit dem die bewegende Kraft geringſinr p verbunden iſt, koͤnnte die Betrachtung der Traͤg⸗ Es iſt alt heit wegfallen, wie wenn Wind oder Waſſer auf nen muß, den Hebel in A ſtieſſe, oder eine Feder, deren Maſ⸗ bt, nicht ſe gering waͤre, da in ihn wirkte. Alsdenn waͤre ſcch nicht im Nenner(43) P= o. ſch rebn 47. Fuſ. Die Geſchwindigkeit der Laſt verſchwin⸗ das mu det zweymahl, nachdem einer der beyden Factoren gebrauct des Products[(p-O). a— 4b]. b verſchwindet. e Kraft Zwiſchen dieſen beyden verſchwindenden Werthen
wird ſie alſo einen groͤßten haben.
48. Zuſ. Laͤgen B und A beyde auf einer Seite von O, wie in der 22. Fig. daß der Hebel von der zweyten Art waͤre(Stat. 26.), ſo waͤre b .. verneint, wenn aber alsdenn die bewegende igkeit hn Kraft g noch niederwaͤrts ginge, ſo muͤßte die an derſelben 3 Watheſis Ater Theil. R⁸ d5
windigket

T(Oo)£☛
A, oder p-S aufwaͤrts gehen, alſo verneint ſeyn; ſo wird(pP—H). b ebenfalls bejaht, und der Aus⸗ druck der Geſchwindigkeit(43) läßt ſich fuͤr dieſen Hebel ungeaͤndert brauchen. Waͤre aber an eben dieſem Hebel q aufwaͤrts gerichtet, alſo verneint, ſo bliebe p-S niederwaͤrts gerichtet und bejaht; In dem Zaͤhler der Geſchwindigkeit waͤre alſo (p-H). b verneint, aber— q. b bejaht. Iſt alſo (pP- H). ab— qb in 43. bejaht, ſo iſt es hier, wenn die Buchſtaben eben die Werthe behalten, verneint. Das Bejahte in 43. bedeutete, daß B in 21. F. ſteigt, und eben ſo bedeutet das Verneinte hier, daß B in 22. F. ſinkt, dieſes heißt aber eben, daß die Kraft uͤberwiegend iſt, wenn q ſo B aufwaͤrts treiben wollte nachgibt, und B ſinken laͤßt.
49. Aufg. In 43; B, die Stelle der Laſt, zu fin⸗ den, wo ſie am geſchwindeſten bewegt wird.
Aufl. Man ſehe alſo b als veraͤnderlich an, und ſetze das Differential der Geſchwindigkeit=o(An. Un. 155.) dazu braucht man nur den Zaͤhler dieſes mit dt dividirten Differentials oder[(X V+ P) a2 4 Ob⸗ J.(a.(P-)— 24 5b)— 2Ob.(s.(P=O) bq)= o zu ſetzen. Dieſes giebt b⸗= — 2aq.( V P V P
Se he L.4 3¹ a2 Daraus erhaͤlt man, Rſtatt V†b geſetzt, de eer+(p-O)2. Q. R) 8 Q.(P= H) —qR q² R2
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(o)£. 259
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aber an e.(P=SO L. l e
alſo verner 2² R2²) da aher 2 a C.ꝓ-H)- 1
t und beie()* t kin(1 44.— 9)oder b: a== 1 X(1 † ahßt. Je(——
ſtes hienn TeS): 2. 92 Es erhellt, daß man alten, verne 4. 4— ina..Jit in den Umſtaͤnden, unter welchen die Aufgabe iſt hiet di betrachtet worden, den bejahten Werth von b neh⸗ daßdes men muß. Der verneinte zeigte eine Stelle der . 4 3 b fwaͤrts in lLaſt im Arme OA an, und weil fuͤr ſelbige— der laſt eine groͤſſere verneinte Groͤſſe als— 2 waͤre, ſo wie⸗ egt wid derſpraͤche er der Bedingung der Aufgabe, daß OA derlic. die halbe Laͤnge des Hebels ſeyn ſoll.
lgkeit=. R hn 50. 3uſ. Wenn qꝗ= 0(45) ſo iſt b=+ 2& -I(CIv4 F1. FZuſ. Waͤre aber Q=o unter ſolchen Um⸗ b².(. 5 ſtaͤnden, wie 46 fuͤr P= o angibt, ſo ſcheint der § giebt b
b Werthvon— was Ungereimtes zu geben. Aber
Daraus b im erſten Ausdrucke von 2(40) iſt der Irratio⸗
R 2. 0) naltheil==A= J. ſo daß die folgen⸗ 4² A„. 9 0 4 7 den Glieder alle, ſteigende Potenzen von ent⸗ -Hj 1 ¹ R 2 halken,

260(o) ☛
halten, wie man aus dem binomiſchen Satze(An. Un. 46.) leicht herleitet. Folglich iſt, das obere LPS 3
Zeichen gebraucht, a 2 q ‿ wo fuͤr 0— 0 die folgenden Theile alle verſchwinden, und dieſes
5 den voͤlligen Werth von giebt. Eben das folgt
auch, wenn Q in dem Zaͤhler=o im Anfange der
Aufloͤſung(49) verſchwindet, denn da wird Ra⸗. (3.(pä- H)- 2b)= o.
52. Anm. Dieſe Unterſuchung gruͤndet ſich vornehm⸗ lich, wie die vom Mittelpuncte des Schwunges, auf die Momente der Traͤgheit(3), und wird alſo, nicht in Ab⸗ ſicht auf die Analyſis, ſondern unur in der Rechnung ſchwe⸗ rer, je weitlaͤuftiger die Rechnungen fuͤr dieſe Momente werden. Deßwegen wird der Hebel hier fuͤr ein duͤnnes Priſma angenommen, eben wie die Pendelſtange(33). Wollte man dieſes nicht vorausſetzen, ſo muͤßte die Sum⸗ me der Momente der Traͤgheit fuͤr jede Figur des Hebels muͤhſamer geſucht werden. Eine der leichteſten Proben hievon waͤre folgendes.
53. Aufg. Der Hebel ſey ein rechtwinklichtes Parallepipedum; Sein Durchſchnitt der Laͤnge nach durch den Mittelpunct der Schwere ſey Aß CD 32. F., der Schwerpunct Z. Er liege in O, ei⸗ ner gegebenen Stelle der Linie CD, auf. Man ver⸗ langt ſein Moment der Traͤgheit zu wiſſen.
Aufl. I. Durch einen willkuͤhrlichen Punet P der Linie CD,. ſchneide man den Hebel mit einer Ebene, die auf AC ſenkrecht jſteht, und alſo ſeiner Grund⸗ flaͤche parallel liegt. Dieſe Ebene will ich einen
Quer⸗
Orer te und des h Hebe het, als di jige mulij für ih in unge lih kel einen 9h hn 1 immt heilch Mowe⸗ wieden heit, 2 ſch Ke ſieht, andere,
Es ſey

Sezeh ſt, das de
wo für G n, und din ben das ſ
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et ſich bong vunges, al ſo, nicht in Rechnungſt. dieſe Mum r fäͤr ein de endelſtange, mmͤßte diee Fiaur des
eichteſten h
echtwinltt der Langen ſey Abl liege in 0. nuf. Mur wiſſen. en Punctl it einer Ehe ſeiner Grud wil i in Ome
(o)£ 261
Querſchnitt nennen. Zwiſchen dieſem Querſchnit⸗ te und einem ihm unendlich nahen iſt ein Element des Hebels enthalten. Weil aber dieſes mit dem Hebel eine Grundflaͤche von betraͤchtlicher Groͤſſe hat, ſo kann man es nicht mehr wie in 41. VIII. als einen Punct anſehen, der von O nur eine ein⸗ zige Weite haͤtte, mit deren Quadrate er muͤſſte multiplicirt werden, um das Moment der Traͤgheit fuͤr ihn zu finden. Man muß alſo dieſes Element, in unzaͤhlich viel, in Vergleichung mit ihm unend⸗ lich kleine Theilchen zerlegen, deren jedes man fuͤr einen Punct annehmen kann, man muß eines ſol⸗ chen Theilchens Entfernung vom Puncte O unbe⸗ ſtimmt ausdrucken, und derſelben Quadrat mit dem Theilchen multipliciren, ſo hat man des Theilchens Moment der Traͤgheit. Daraus wird man durch
wiederhohlte Integrationen das Moment der Traͤg⸗
heit, des Elements und des Hebels finden.
II. Der Querſchnitt(I) ſey HGFE 33. F. ſo daß ſich HG in der Ebene befinde, die auf AC ſenkrecht ſteht, und die eine Seite des Hebels, wie HE die andere, alſo der BC 32. F. parallel und gleich iſt. Es ſeyn alſo ſeine drey Seiten AB= l, BC= HE — m, HG=n.
III. Op 32. und 33. Fig. ſind einerley und=w. Auch ſey ZQauf den Querſchnitt ſenkrecht, folglich PQ= m, ſo wird dieſe Linie PO. gehoͤrig verlaͤn⸗ gert, den Querſchnitt halbiren, und ſein Durch⸗ ſchnitt mit ABCD ſeyn. Man nehme PI= y, IS= z, li= dy, Sſ= dz ſo iſt TStſ= dydz die
R 3 Grund⸗

262(oO)£☛
Grundflaͤche eines kleinen Priſma dydzdw das man ganz anſehen kann, als waͤre es von O um die Wei⸗ te Os entfernt, weil dieſe Weite fuͤr jeden andern Punct unendlich wenig von Os unterſchieden iſt. Aber 082= Oba+ PS2= w2 † vy² † 22). Alſo iſt dieſes Priſma Moment der Traͤgheit(w² 4 V2 † z2) dzdydw.
IIII. Man integrire dieſes ſo daß nur 2 als ver⸗ aͤnderlich angeſehen wird, ſo koͤmmt[(w⸗+ y⸗). r+ T 23 dydw. Dieſes verſchwindet fuͤr 2=0
und giebt alſo die Summe der Momente der Traͤg⸗ heit fuͤr alle ſolche Priſmata, deren Grundflaͤchen an der Linie lS von! nach S liegen, oder das Recht⸗ eck IT ausfuͤllen, alſo iſt= m geſetzt[(w2+y⸗). m † Fms Jdydw die Summe der Momente der Traͤgheit fuͤr alle Priſmata deren Grundflaͤchen das Rechteck lk ausfuͤllen, oder das Moment der Traͤg⸗ heit eines Priſma, daß mdydw iſt.—
V. Dieſe Summe integrire man wieder ſo, daß man nur y veraͤnderlich ſetzt. So koͤmmt(wꝛ my + Fmys† Fmy) dw, welches fuͤr y= o verſchwin⸗ det, und alſo die Summe der Momente der Traͤg⸗ heit fuͤr alle Priſmata mdydw(IIII) giebt, deren Grundflaͤchen lk, an der Linie Pl anliegen; Setzt
wa=mn mn man alſo y= In= PE ſo iſt 4 4†
mon—.
dw die Summe fuͤr alle ſolche Priſmata, deren Grundflaͤchen von P bis E gehen, d. i. das Moment der Traͤgheit fuͤr Xn. mdw, das halbe Ela⸗ ment des Hebels(1). VI.
VW. wie l O lieg PHI l die Lo be El hat,, gehire
iſ ben
ganzen
gefand
VIl.
ſch ſ
walche dN bels VII de Vo 00=. das N hels ſes, Vend heit

(O) ☚‿ 263 düeden VI. Das Element des Hebels wird von ABCD ede 4 wie HF von bO in aͤhnliche Haͤlften getheilt, und erſhen O liegt dergeſtalt, daß wie auch 8 in, der Haͤlfte
Mid Pf liegt, allemahl ein Punct in der Haͤlfte PGeben ) 1 die Lage gegen Ohat. Daher gehoͤren fuͤr das hal⸗ naͤgheit be Element des Hebels, das PG zur Grundflaͤche
hat, eben die Momente der Traͤgheit, die fuͤr das nur 2 als gehoͤren, das PH zur Grundflaͤche hat, und alſo [(vz iſt beyder Summe, das Moment der Traͤgheit des ndet ſür ⸗ ganzen Elements, doppelt ſo groß, als was in V. nente derd gefunden worden, naͤhmlich Grundt mn.(w2+ r 2 † m ²) dw. oder dasg VII. Dieß nun integrire man, daß w veraͤnder⸗ zt(² S W 3 na w m* w Ku lich iſt, ſo koͤmmt mn.(†—) rundfläche welches fuͤr w= o verſchwindet, alſo die Summe ment der d de Momente der Traͤgheit aller Elemente des He⸗ b bels giebt, die von O nach P liegen. wieder ſ VIII. Wenn O vom Mittel N der Linie CD um kömmt die Weite NO= e entfernt, alſo OC= ½1 †e; „Z vetſt 0D=*l-=e ſo gibt jenes ſtatt wein Vll, geſetzt, rente der d das Moment der Traͤgheit fuͤr das Stuͤck des He— 1) giebt,i bels, das ſich von O bis C erſtreckt, und eben ſo die—
ſes, fuͤr das Stuͤck, das ſich von O bis D erſtreckt.
inliegen; 6. 1 1 Beyde zuſammen alſo geben das Moment der Traͤg⸗
heit fuͤr den ganzen Hebel
mn 13 21 14 21) .=—(— † m²l †—+ ze
che Priſne 3 4 † 4 3.
dit VIIII. Wenn 07= c, ſo iſt e⸗= C=NZ*= ter, ca= zm⸗. Dieſes in Vlll. geſetzt, giebt das ün zid R 4 Mo⸗

— ——
——
————, —*
—— —
364(oO)£☛.
mnl l2 m 2 n*
Moment der Traͤgheit ·(+ 3²³)
4 2 V.( †m= † n²) 12 ſe oder mnl= V iſt.
X. Eine Linie von einer Ecke des Hebels in ei⸗ ner Grundflaͤche durch Z nach der entgegengeſetzten Ecke der andern Grundflaͤche, eine Diagonale des Zebels hat zum Quadrate m⸗ †n⸗ †l⸗. Man kann alſo das Moment der Traͤgheit(VllII) durch dieſe Diagonale ausdrucken.
XI. Wenn man annimmt, der Hebel ſey in ſei⸗ nem Schwerpuncte 2Z unterſtuͤtzt, ſo findet man auf eine aͤhnliche Art ſein Moment der Traͤgheit
.(2 Pm⁊* Pn⸗ bes*— 2 Man darf naͤhmlich nur ei⸗ ne Linie durch Q mit Pl parallel bis an IK ziehen, und ſolche y nennen; Z aber kann nun das Stuͤck von lk heiſſen, das von dem Orte, wo dieſe Pa⸗ rallele in IK einſchneidet, bis an S geht, oder es iſt nun 2=IK- xm. Ferner ſey 20= x; ſo iſt 282= X* †ys † zs welches mit dzdydw multipli- cirt, und nach voriger Art integrirt, das jetzo ge⸗ ſuchte giebt. In dem Integrale, das man zuerſt findet, ſetzt man z= Fn, ſo hat man die Summe aller Momente der Traͤgheit, die dem dzdydx zu- gehoͤren, deren Grundflaͤchen an der einen Haͤlfte der Linie IKanliegen, und weil 2 gegen beyde Haͤlf⸗ een einerley Lage hat, ſo giebt dieſes berwee
dieſe
T†V. es wenn des Hebels Maſ⸗
dieſe6 ſüͤlen. XI. b mente! Xlll Fall d des der te man die bew 40, 30 Plll geA erchwi. ſern vemeine (al) ni vie die 2 mm. D das Reſt AM; dha Er uda nennt de 1 Sach ſit ausd 64. mit kät und ditte, g
64. ſinkrech dieſch

J n*
—*
sHebelsche
Hebels in gegengeſeßt lagonale †². M (Vllli) de
ebel ſey i ſo findet n der Tri
ühmlich ir
an lK ji un das E wo dieſe geht, ode = ſj Fcw muli das jeto as man ui die Sum m dadyGu einen hiſt w berde hiſ es vetdorn
(0eO)£‿ 265
dieſe Summe fuͤr alle deren Grundflaͤchen IK aus⸗ fuͤllen. Das uͤbrige geht ferner wie vorhin.
XII. Das Moment VIIII. iſt alſo= dem Mo⸗ mente XI.+† V. c*.
XIII. Man ſieht leicht, wie fuͤr gegenwaͤrtigen Fall die Frage(41) zu beantworten waͤre. Statt des dortigen Moments der Traͤgheit(41;3 X.) müß⸗ te man nur das hieſige VIIII. ſetzen, und wofern die bewegenden Kraͤfte p, q, nach den Richtungen AD, B0, wirken, waͤre OD= a; OC=b.
XlIil. In der That verwandelt ſich auch der hie⸗ ſige Ausdruck VIIII, in den 41; XlI. wenn m, n, verſchwinden, oder der Hebel ſehr duͤnn wird. In ſo fern iſt alſo die gegenwaͤrtige Unterſuchung all⸗ gemeiner, als die(41). Gegentheils aber iſt die (41) nicht auf ein Parallelepipedum eingeſchraͤnkt, wie die jetzige.
XV. Anm. Euler de machinar. vſu maxime lucroſo Comm Petrop. T. X. p. 67. hat 12§. dieſer Schrift das Reſultat gegenwaͤrtiger Unterſuchung, wie in X; XII; ohne die Art, wie es gefunden wird, angegeben. Er redet zwar daſelbſt von einem priſmatiſchen Hebel, und nennt deſſen Diagonale AC 32. F. iſt aber offenbar ſo, wie die Sachen hier erklaͤrt worden, zu verſtehen. Uebrigens iſt aus dieſem Aufſatze das bisherige von 38. an; auch bis 64. mit den Anwendungen und Zuſaͤtzen, die die Deutlich⸗ keit und die Verbindung mit dem vorhergehenden erfor⸗ derte, genommen.
54. Auſc. Das Moment der Traͤgheit eines ſenkrechten Cylinders(G. 53. S. 8. Z.) zu finden, der ſich um ſeine Axe dreht.
R 5 Aufl.

266 r(o0) ☛
Aufl. Des Cylinders Querſchnitt ſey 34. F. ein Kreis mit dem Halbmeſſer OB= b, ſeine Laͤnge =l. Es ſey OP= x, ſo hat der Kreis mit dem Halbmeſſer Ob, den Innhalt Xν(G. 44. S. æ iſt das dortige P) alſo iſt ſein Differential, oder der Ring zwiſchen den Umkreiſen, die OP und Op zu Halbmeſſern haben= 27 ckx und das ihm zugehoͤ⸗ rige Elèment des Cylinders= 2x MNͥdx. Nun ſind im Ringe alle Theile vom Mittelpuncte, und eben ſo im Elemente des Cylinders, alle Theile von der Are um die Weite X entfernet, alſo iſt jedes ſolchen Theiles Moment der Traͤgheit, ſeine Maſſe mit x⸗ multiplicirt, daher das Moment der Traͤgheit des Cleneſeie des Cylinders== 2lX3 dx davon das In⸗
tegral— das Moment der Traͤgheit des Stuͤcks
vom Eylinder, das Ob zum Halbmeſſer hat, und rla4⁴ folglich des ganzen— 5=.— wenn des Cylin⸗
ders Maſſe=
55. Zuſ. Man ſehe nun Ob als einen unveraͤn⸗ derlichen Halbmeſſer eines Cylinders an, deſſen Maſſe= P iſt, ſo iſt deſſelben Moment der Traͤg⸗
—
das Moment der rahsn des hAowette Rin⸗
ges, der BP zur Breite hat= 5(Oße 04)=
—
71
— „ 4
3 C 2
0b:).
7.2 ſich die gedreht der gan) finden zoſaanme kade, d der Sh kechnen, jieſer N
qolgedas
ben an cfdrig g oiverſc Rächen derJuſe kann be drr V. mib
9 And on die beſ
Au Kraft 5. g. der heweg auf d Mom denn

A(O) ☚ 267 t ſey 4 5,
b, ſiw a(OB⸗-OP⸗).(O5⸗ OP⸗)= 3—. 2 8ℳ——. 0 2 aih h.O8 † OP⸗)=—.(O8⸗ †
r(G,4 of⸗)
ferential, 6. Anm. Aus dieſem Beyſpiele wird man ſehen, wie die Ob und ſich die Momente der Traͤgheit ſolcher Koͤrper, die um Axen das ihm un gedreht werden, finden laſſen. Wenn man das Moment . N 1 der ganzen Maſſe, die ſo gedreht wird, nicht auf einmahl . Nn finden kann, ſo muß man die einzelnen Theile ſuchen und uncte, und zuſammen ſetzen. So muͤßte man z. E. bey einem Muͤhl⸗ eTheile d rade, die Momente der Wellen; der Arme, des Kranzes, iſt ſedesſt der Schaufeln, kurz aller Theile des Rades zuſammen⸗ ne Miſin rechnen, das Moment des ganzen Rades zu finden. Aus . ele h dieſer Vorerinnerung wird man verſtehen, warum in der
er Träͤghat Folge das Momenteines gewiſſen Ganzen mit einem Buch⸗ X davonde ſtaben angezeigt, und vorausgeſetzt wird, man habe es gehoͤrig gefunden. Wenn ſich naͤhmlich ein ſolches Ganze heit desen auf verſchiedene Arten zuſammen ſetzen laͤßt(wie z. E ein Muͤhlrad), ſo muß ſein eigentliches Moment fuͤr jede Art wmeſſer hat, der Zuſammenſetzung beſonders gefunden werden, und man kann bey einer allgemeinen Betrachtung es auf keine an⸗
wenn des dere Weiſe angeben, als daß es das Moment des Gan⸗
zen iſt.
57. Aufg. An einer Welle 35. F. iſt die Laſt Q einen une und am Rade die Kraft P angebracht. Man ſucht ders an, l die beſchleunigende Kraft, die den Punct A treibt. ment der Aufl. Es ſey AO= a, O03= b; die Maſſen der
. Kraft und der Laſt P, Q, ihre bewegenden Kraͤfte nterſchid p, J, der ganzen Maſchine, naͤhmlich des Rades, indichan der Welle, und alles was auſer Kraft und Laſt muß
bewegt werden, Moment der Traͤgheit in Abſicht O5s-l⸗ auf die Axe, um die ſie ſich drehen ſoll= M. Das Moment in der Bedeutung Stat. 38. iſt a.= b. wenn keine Friction da iſt, oder a.(P O)- bq beſn
3 die
1

90) die alſo
268(o) ☛
die Friction fuͤr ſich allein, in A eine bewegende Kraft= O aufhalten koͤnnte. Sind nun P und 0 wie gewoͤhnlich dergeſtalt mit Rad und Welle ver— bunden, daß ſich P ſo geſchwind als der Punct A, O ſo geſchwind als der Punct B bewegen muß und ſie nach Tangenten des Rades und der Welle wir⸗ ken, ſo iſt es bey der Bewegung eben ſo viel als waͤren P, Q, unmittelbar an den Puncten A, B, al⸗ ſo iſt an Ader Maſſe Q eine Maſſe Lbe. und der
1 M Maſſe der Maſchine eine Maſſe 2— gleichguͤltig;
alſo iſt die beſchleunigende Kraft in A; mit welcher
P niederwaͤrts getrieben wird, nach eben dem
a.(Pä= C) bqg= b2+ M
a(P+ 9b=
a²
Verfahren wie in(39)
a.(pP- GH)-bq.. MPa⸗+ Ob
59. Zuſ. Dieſe beſchleunigende Kraft mit dt mul⸗ tiplicirt, giebt die Geſchwindigkeit des Punctes A,
b und dieſe Geſchwindigkeit mit 2 multiplicirt, die
Geſchwindigkeit des Punctes B oder der Laſt(Stat. ab(D O)- b2q NMPa+ b 59. Zuſ. Aus Urſachen, die leicht in die Augen fallen, iſt hier alles wie in 43, nur daß ſtatt des dortigen Pa“* V hier M, und alſo ſtatt des dorti⸗ gen
dt wird.
60.1 ghheigte uſd 40.
61. I dLs det mar
vas in
nner d
gſſeher
die g

E(o)£ 269
eine benene d nunbun gen 1V ſer zu ſchreiben ſind. Man findet
und Weltg s der 3 alſo auch den Halbmeſſer der Welle, an der die Laſt
wegen mi am ſchnelleſten bewegt wird aus 49, nur die jetzt der Welen eaͤhſes Veraͤnderung gemacht, daß alſo hier
35 ben ſo dil R=—— iſt. Dieß giebt b=
ncten 4,3. Ob⸗ eteeeeuer J*+ Qa2(p-O)*(M4 Fn ,H=S)
60. Fuſ. Man ſieht leicht, daß ſich mit der an⸗ gleichgl gezeigten Veraͤnderung die Folgerungen aus 43. und 49. hier auch anbringen laſſen. nach d 61. Zuſ. Wenn man den Werth von b(59) in 9) 1. den Ausdruck der Geſchwindigkeit(58) ſetzt, ſo fin⸗ det man dieſe groͤſte Geſchwindigkeit ſelbſt. ¹ was in dt multiplicirt wird, iſt
1 Qa².(péO)*
2..L=T†r(† MP(M+ Pa²) q*)† 62. Zuſ. Fuͤr q= 0(45) waͤre(59) b=
raft mitt M4 Pa des Punche l
A; mit w
In(61) ziehe man die Wurzel ſo aus, daß 1
rultipliein, unter dem Wrzeläeſchen, als der zweyte Theil an⸗ a.(P=SOO
der laſt. geſehen wird, ſo iſt ſie qPM b 5 alſo
td. die groͤſte Geſchwindigkeit uͤberhaupt 24 4
t in die A
r daß ſet ,,= wovon fuͤr q=o nur
ſtatt dssde 2FL(M Pa²).O):
1 der

270(o)££ der zweyte Theil, als die hieher gehoͤrige groͤſte Geſchwindigkeit ſtehen bleibt.
63. Fuſ. Fuͤr Q= 0(46) b(49) zu finden, zie⸗ he man in des Zaͤhlers Irrationaltheile die Wurzel
„2 0 2 wirklich aus, ſo wird der Zaͤhler 2 5 2
a.(P= H)
2 gefundene, fuͤr Q=o der voͤllige Werth iſt. Eben ſo ziehe man in(61) die Wurzel wirklich aus, ſo daß
2»„,. und alſo b=. wo das hier
mals der erſte Theil der Groͤſſe unter dem Wurzelzei⸗
chen angeſehen wird, ſo koͤmmt die Geſchwindigkeit 2 2
— 17 r 2)... und das hier gefundene iſt
fuͤr Q=o ihr voͤlliger Werth.
64. Anm. Da die Geſchwindiakeit der Laſt, nicht al⸗ lein auf die Kraft p, ſondern auch auf die Beſchaffenheit der Maſchine ankoͤmmt, ſo erhellt’, wie unrichtig ein ge⸗ woͤhnlicher Ausdruck der Schriftſteller von Maſchinen iſt, daß man allemahl an der Geſchwin igkeit, mit welcher die Laſt bewegt wird, ſo viel verliere, ſo viel man durch Er⸗ ſparung an der Kraft gewinne. Der Lehnſatz(Stat. 1)
dien ein Merkmahl der Gleichgewichts anzugeben, aber man
darf ihn nicht auf Maſchinen in wirklicher Bewequng er⸗ ſtrecken, weil da ihre Traͤgheit mit in Betrachtung zu zie⸗ hen iſt. Die Kuͤrze verbietet mir aus der 73. XV. ange⸗ fuͤhrten Schrift noch die dort befindlichen Unterſuchungen uͤber die ſtehende Welle(Stat. 71) und die Verbindung mehrerer Raͤder beyzubringen; es wird aber noch der Muͤ⸗ he werth ſeyn zu zeigen, wie man die wirklichen Bewe⸗ gungen in 77. berechnen kann.
65. Aufg. Die Zeit t zu finden, in welcher P in 57. durch den Raum X ſinkt. Aufl.
V
Auf
dene be men wi
6b. Naum.
6. gegeben
ſekanm darinnen die üde
68. M
44m

20 10) Zu 271
Srige au Aufl. Wenn im[.Th, 80; f die hier 57. gefun- dene beſchleunigende Kraft bedeutet, ſo iſt vollkom-
finden, 4;; x! die Dey men wie dorten t=2m)“ 7» W0 M=z5550,9040
ax„(p= 66. Zuſ, Aus der gegebenen Zeit findet ſich der | fit? Raumx= ECH
0 das hy ] 67. Zuſ. Sollte ein gegebener Raum in einer iſt. Ey gegebenen Zeit beſchrieben werden, ſo fände ſich aus, ſody 4m?x;;
Burzelz f=>77. Daalſo der Werth von t gegeben iſt, vindigfei
ſo kann man in ſeinem Ausdrucke(57), von allen undene| darinnen enthaltenen Gröſſen, eine finden, wenn die übrigen gegeben ſind.
ft, nid 68. Zuſ, Der Raum der Laſt iſt AE(58) Beſchaffen) bfr?
(chtig eit Ei am?(66).
(ſchinen+.
un; 69. 3uſ, Und t=2m7" 277(65).
KEN
ain 79. Zufs Und f= 07(97); 0 71. 3uL, Wenn IE und Laſt nur als Gewich- * Dia te 700 Dp iſt(51) p= BP: q= O; und' f= Yerbind 00: o< deu 7- Pa?-< Qb2*:
Bf)
". 73. Zuſ, Eine Art, dieſe Unterſuchungen mit wede! Verſuchen zu ver gleichen, wäre folgende: Um die
"WW Rollo

272 Zz(6) 2%
Rolle D 6.F. gehe ein Faden, an dem die beyben Gewichte C und A hängen. Hier wird in71.b=2= dem Halbmeſſer der Rolle ſeyn, und ſich daraus f und das Uebrige berechnen laſſen. Dürfte man die Maſſe der Rolle als ſehr gering anſehen, ſo wäre M=0 und f= eib wo P-Q und Q die P+Q
Gewichte C, A, bedeuteten, Dieß iſt ſchon1 Abſchn, 50. 5. gewieſen, nur daß man dorten die Ueberwucht bey A ſeßt. Wenn man aber wirklich ſo verführe, wie die 6, Fig. darſtellt, ſo müßte auch das Gewicht des Fadens beyſeit geſeßt werden, denn da das Stück des Fadens von der Rolle bis C, nebſt dem Gewichte Cniederwärts zieht, ſo wird das was nie- derwärts zieht, immer wachſen, je tiefer€ ſinkt, und je weiter D erhoben wird. Man würde alſo die Gewalt, die niederwärts treibt, oder was in l.Abſun., 51x die bewegende Kraft an A genannt wird, nicht für unveränderlich annehmen können, daher auch die beſchleunigende Kraft ſich beſtändig ändern wür« de. Der Faden muß aber die Gewichte zu halten ſtar?, und damit ſich die Zeit des Falles abmeſſen läßt, lang ſeyn; daher kann man ohne merklichen Fehler ſein Gewicht nicht beyſeite ſeßen. Dieſe Unbequemlichfeit zu vermeiden, befetiige man ge- rade unter D eine andere Rolle von gleicher Gröſſe? und führe den Faden wie ein Seil ohne Erde um bende Rollen herum. Wenn man nun zwiſchen Geyden Rollen, auf einer Seite C,-auf der andern D, an den- Faden befeſtigt, ſo bleibt immer auf
Geyden
hepden ſich ſe! andern Benn man a! de ſich, 0,088 dens,| halben|
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die birfy 71, b=12 < daraus! fte man)
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1 Abſt leberwuß ) verfühn 15 Weid h da di nebſt der 3 wos nh yx€ ſini "de alf) inl, Ahl vird, 1 daher ndern: € zu ell 5 abm mert en, Zu Je man icher 0 m Ww m zwi Der att immer 4 boy
Zz(0) 2x 273
beyden Seiten der Rolle gleichviel vom Faden, weil ſich ſoviel als auf einer Seite hinuntergeht, auf der andern um die unterſte Rolle wieder hinaufzieht. Wenn man alſo den gänzen Faden wiegt, ſo kann man annehmen, die Hälfte ſeines Gewichts beſin- de fich allemahl auf jeder Seite der Rolle, undſtatk Q, das Gewicht D-+ dem halben Gewichte des Fa- dens, eben ſo att PO, das Gewicht C+ dem halben Gewichte des-Jadens brauchen,
74. Exempel. Nach der beſchriebenen Vorrich- tung hart man an eine Schnur ohne- Ende; die 8 Z2orh wog, auf einer Seite 66 Loth auf der andern 64 befeſtiget. Man nimmt an das Reiben habe I Zofh betragen. Die Frage iſt, wieviel Zeit die 66 2orh gebraucht haben 55, 890 rheinländiſche Fuß zu ſinken.
Hier iſt P=66+4, D=, Q=64+4, alſo (73) f=+F3, Y=55890, alſo in(69) t=0,008. 7"(55890.138)» Die Zahl unter dem Wurzelzei- <en iſt 7712820, deren Wurzel= 2777,1 daher t=22, 2168 Secunden.
Das Exempel ſieht in C. G. Schobers Verſuch einer Theorie der Ueberwucht, gegen zuverläſſige Experimente gehalten(Leipz, 175x) 32. 8% Dieſes kleine Werf enthält mehr neues und brauchbares, als viel andere tiefſinnige Abhandlungen. Das theoretiſche davon iſt im vorhergehenden mit ent- halten, die Verſuche aber, dergleichen meines Wiſ- ſens ſonſt niemand angeſtellt, gehören dem Herrn Bergrath Borlach und dem DIe zu; Auf bey-
HJatheſis 4ter Theil. der

274 Zz(0) zx
der Einſichten und Geſchicflichfeit in der Mechanif, „hat Deutſchland und beſonders Sachſen Urſache ſiolz zu ſeyn, Drey Verſuche für das hier berechnete Exempel gaben 23 3 223 22; Secunden, Der Fall iſt dorten 54 pariſer Fuß; die ich mit 1,035 mul- tiplicirt habe, um ſie auf rheinländiſche zu bringen ( Geom. 32. S. 2. Anm,), Erinnerungen von dem vortheilhafteſten Gebrauche der Maſchinen kann man daſelbſt 36. GS nachleſen.
75. Zuſ, Die Friction beſtimmt man insgemein ſo, daß man die Maſchine ins Gleichgewicht bringt, und auf einer Seite nach und nach ſoviel zulegt bis eine Bewegung erfolgt. So erhält man aber nur - die Gränzen, zwiſchen welche die Friction fällt, Denn wenn z. E. in einer Wage auf jeder Seite 10 Pf. lägen, und ein Zuſaß von 3 Quentchen auf der einen Seite noch keinen Ausſchlag gäbe, aber 3. Q. einen Ausſchlag verurſachten, ſo würde man ſchlieſſen, daß die Friction mehr als x aber noch nicht x Qu. betrüge, Und ſo könnte man wohl dieſe Gränzen enger zuſammen bringen, allemahl aber wäre das was wirklich einen Ausſchlag, eine Bewegung, verurſacht, etwas mehr als die Friction, Hier aber läßt ſich D völlig genau beſtimmen, wenn alles Uebrige im Verſuche genau gegeben iſt. Auch dieſe Erinnerung macht Schober 34. 35. 6.
76. Exempel. Wenn alle gegebene Gröſſen wie in 74. bleiben, nur OD unbekannt, und durch den Verſuch t=22 Sec, iſt, die Friction P zu finden.
Es
(70), ſeiſt: [=
des y
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0 ſteig hieſs vz ieß an kuchen müßt wut, ur det dal NEN hurv igen ſehton Dara ſt nur y fen y 6 i bejah diſen
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GIE meme Si wr erden 3 als Cor 1 III IRENE R AI IGEE ISD M nan mt. atis A 4 Zim dna
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Urſeceiy 110-068 22-0"
e berehn) SE MEADE 138[FT 42G; aber auch  4. 0, 000016, 55890:
1,035 n(729) f= EEEEES, Weil 22=2.1x in Ahn ſo iſt der Diviſor= 11, 11, 4. Daraus findet ſich jen vorl f=0,00739. Folglich 2-PD=0,008739.138 wel-
hinen Ey<hes P=0, 98018 giebt, vorhin war DP= 1 Loch ' angenommen.
| inSgemw 77. Suſ. Der Punct A wird nach der Seite wo icht bring P liegt zu bewegt, oder P geht nieder, und die Laſt l zulegt h Q ſteigt, wenn tf bejaht, das iſt, wenn der Zähler n aber 11 dieſes Werthes in 57. bejaht iſt. Würde aber die-
tion fäl ſer Zähler oder 2.(p-P)-bq verneint, ſo zeigte jeder G1) dieß an, daß A nach der entgegengeſeßten Seite ge= venten trieben würde, alſo P ſteigen, und die Laſt ſinken gäbe, de müßte, dieſe nähmlich hätte alsdenn die Ueber- würde mn wucht. Jn dieſem Falle ſcheint es, als dürfteman x abruf nur den Zähler des Werthes von€ verneint ſeßen, e mant vder als würde er=(a(p-P)- bg). a, dazu denn eben 1, m der vorige Nenner, auch den vorigen Werth von f, ſchlag, 1 nur verneint gabe, und das wäre alſo die beſchleu- die Frit nigende Kraft, mit welcher A nach der entgegenge-=
ſeßten Seite, oder P aufwärts getrieben würde.
mil y Daraus würde man für den Raum, um welchen die ( Laſt ſänke, in 68. völlig eben den Werth finden, 33,» nur verneint, weil ſich das vorige Steigen in Sin- Gröſſen! ken verwandelt. Die Zeit fände ſich völlig wie in 1d durd 69, und die Gröſſe unter dem Wurzelzeichen wäre zu finden bejaht, weil beyde y, und f, verneint ſind. Jn- 6 deſſen zeigt eine kleine Ueberlegung, daß der Werth
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276 zX(0)&%
von feine geringe Aenderung leiden, ſonſt alles nur
jekt geſagte bleiben wird. Man fand nähmlich tf bd aus der bewegenden Kraft, die p=<>=- ane
genommen wurde- und niederwärts gerichtet war, Iſt ſie verneint, und alſo aufwärts gerichtet, ſo iſt klar, daß der Theil dieſer aufwärts gerichteten Kraft,
b der blos auf p und g anfömmt, nun 2=-p ſeyn
wird; da aber die Friction, die aufwärts und die niederwärts gehende Bewegung, eine ſo ſtark als die andere hindert, ſo iſt klar, daß mit ihr die be-
wegende Kraft. aufwärts<<= p=D ſeyn wird,
und dieß iſt der Zähler des Werthes tf, für die ent- gegengeſeßt gerichtete beſchleunigende Kraft(bq= 2p-aO). a der alſo nicht völlig dem Zähler des Wer- thes des vorigen f entgegengeſeßt iſt, weil ſich in beyden- aO befindet. Mit dieſer Veränderung des Zählers bleibt übrigens alles, wie jeßt iſt gewieſen worden 2'
78. Zuſ. Ein Fall hievon wäre, wenn man ein Gewicht Q an eine Welle henkte, das Rad aber le- dig lieſſe, da wäre(71) P=0 und der Werth der Kraft, welche A jeßo beſchleuniget, bekäme aus (77) zum Zähler(bQ-aO).,a. Hier aber wird es natürlicher ſeyn, die Friction ſo zu beſtimmen, daß ſie» an B erhalten fann, alſo by= aP iſt; folg lich wird hier 1= STEEN;
79. Exempel,
rauh leßten
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geh! |"

POE ulf-fntenlknnnee AUER R Tales= Kia Rnetiak iti enke iki 33. 0 2 20<A 2 MELT IIIS ZUR RATS aN an 2 La.. ae 5<eblrgnn ern r= ume nR
%Z-(0)*= 277
nh ß N':> 2+ SE?
ie 79. Frempel,. Es ſey ſtatt des Rades eine cy- 1 y lindriſche Scheibe, wo 3=0,44 des pariſer Fuſſes,
240)| b=0,0453 der Scheibe, dem ihre Maſſe propor«
jw tionirt iſt, 166 Loth Q= 9 Loth PV= 1,75 2oth. richtet 13 Man fragt, wie viel Zeit Q braucht, durch 49 pa- tet, fy riſer Fuß zu ſinfen,
eten Fu, In dieſem Exempel beym Schober 42, 6. iſt die | Maſſe der Welle nicht angegeben. Weil man aber -? ſy die Welle für einen Cylinder von gleicher Länge mit eig wdh der Scheibe annehmen darf, wo die Zapfen, auf denen » ſtart 4 ſie ruht, beyſeite geſeßt werden, ſo iſt ihre Maſſe ihr die== 106 und aus 54. das Moment-der Trägheit 4 T: 106 ſeyn wi) der Scheibe= 5772.% 442.525 05,447: M007:Der für die 0,04 Zz 106 0,0,04 4 Kraft(iy. Welle= r:- E uu Or 045? Ir ZE- lerdes Th 07 045* 55  alſo M= 53.(9,44 ENSE Dieſes zu fin- 0000 den, laſſen ſich die Logarithmen mit Vortheile ge- „IE brauchen. Jn dem leßten Factor nähmlich iſt des T leßten Theils Logarichme= 4.(190g 45= 3)>2- en 4.(log 44-2)= 4log 45= 12-2l0g 44-8. Die- Nu ſes gibt den Logarithmen-4, 67425543 dazu 9 „Deh addirt, gibt den Logarithmen dieſes Bruchs in befamty 1000 000 000 Theilchen(Arichm. V-C.33-)- Er ber m gehört zu 21181 und giebt alſo dieſen Theil mme) 0,000021i18L Piſ; pv aber 0,442?= 0,1936
054193621561
rap S 3 welches

273 S2(5) ZL
welches mit 53 multiplicirt, M'= 10, 261912593 gibt. J< habe nur gewieſen, wie man M völlig genau berechnen ſollte, man ſieht leicht, daß ſolche Scharfe, nicht nöthig iſt,
Nun iſt Qb*=0, 502025. 9 daher der Nenner
M+Qb?=10,235137 dafür ich 10, 235 annehmen
will. Jm Zähler iſt Q-V=7, 25 und ab=0,0198 alſo der Zähler 0, 14355 deſſen Logarithme iſt -5S+10214355 und des Nenners. ſeiner-3+1o0g 30235, daraus findet ſich log f=5-4-3,1469153 alſo f= 0,01403.- Nun iſt die Frage vermöge 69; T aus y zu finden. Es muß aber y in Tauſendtheil- hen des rheinländiſchen Fuſſes ausgedruckt werden, Es iſt aber der Logarichme der Menge rheinländi- ſcher Fuſſe die 40 pariſer gleichen aus Geom, 32. S.
2. Anm, log 40+ log; und dazu 3 addirt, weil
man hier Tauſendtheilchen verlangt, giebt log
y= 4, 6170418, Wotl nun loga== 2+ log 44 a und logb=-3+ log 45 ſo iſt log 7=“"K67
2097598+1 alſo log--=+5, 5072820 davon
log f abgezogen, giebt log-14-=7,3503667 ſolches
hafbirt und dazu 1og zm=-3-+1o0gg addirt, gibt log t=1,5782733 alſo t= 37,87 Secunden. Scho- bers Verſuch- gab 39-S.. Der Unterſchied iſt bey der Schwürigkeit, Zeit und andere Gröſſen aufs
ſchärfſte
ſar ft, betrach!
go, trum pe wo man wie ſeit |„wi igen! Beweg! wie das? fine ve) jetrieben!
Bin ANN Cuno 0 pet de Pun houll; Bern, T ter wel ſchieden VWehrh hat ode

26190) mM vil
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anneh )=0,00 rithme| 30 69153 al möge 6, ſendtheil t werden, heinländt om, 32,
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%X.((0-) XX 279
ſchärfſte abzumeſſen, und dem Wiederſtände der Luft, welcher die Zeit des Falles verlängert, nicht beträchtlich.
20. Erkl. Der Wittelpunct des Stoſſes(cen- trum percuſlionis) eines Körpers heißt die Stelle, wo. man ſich ſeinen völligen Stoß vereinigt vorſtellt, wie ſein Gewicht im Schwerpuncte. Dasjenige alſo, worauf dieſe Stelle anſtößt, empfindet den völligen Stoß des Körpers, und hält feine fernere Bewegung auf, wenn es nicht ausweichet, eben wie das, was den Schwerpunct eines Körpers hält, ſeine völlige Laſt trägt, oder von ſolcher niederwärs getrieben wird. Es erhellet auch, daß bey einem Körper, deſſen Puncte ſich alle nach parallelen Li- nien mit gleichen Geſchwindigkeiten bewegen, die Mittelpuncte des Stoſſes und der Schwere einer- ley ſind.
Die Theorie dieſes'Punctes wird mir für meine Abſichten zu weitläuftig. Wallis hat ihn meines Wiſſens zuerſt betrachtet, und gefunden, daß er in manchen. Fällen mit dem Mittelpuncke des Schunges einerley iſt, daher Stone(analyſe des inf. pet. compren, le calcul. integral, Sed, 7.) bey= de Puncte für einerley angenommen. Joh. Ber«- noulli aber in ſ, Anm. über dieſes Buch(Op. 10. Bern. T.IUL n. 170; 181.S.) hat erinnert, un- ter welchen Umſtänden beyde einerley oder unter- ſchieden ſind, und in welchen Fällen alſo Stone die Wahrheit, obgleich nur von ohngefähr, getroſſen hat oder nicht. Daß, auf eben die Art, in Car- res Methode pour la meſure des ſurfaces, das
S 4 un-

+
285 ZZ((0,)) ZL
unrichtig iſt, was nach den erſten vier Aufgaben: des 4, Abſchnittes folgt, hat. ebenfalls Deſoguliers
erinnert, Courle of Exp. philoß App. to Vol, Il, DP. 549.(Lond, 1745:31:4%:) WREN Bon der Friction.
81. Aufg, Auf der wagrechten Ebene AB(36. F.) liege ein Körper, deſſen. Gewicht= Q. Nach ei- ner horizontalen Richtung GH, die durch ſeinen Schwerpunct gebet, ziehe ihn ein Gewicht P, das an dieſem um eine Rolle. gelegten Faden, herab- hängen fann, Man ſucht wie dieſes Gewicht ſin- Fen wird,'
Auf), Weil des Körpers Laſt von der Ebene ge- fragen wird, ſo kömmt hier blos ſeine Maſſe in Betrachtung„* das Gewicht, in dem es ſinkt, muß ſolche mit ſich ziehen, Es iſt alſo ſoviel als ob die bewegende Kraft des Gewichts P; in die Maſſe P-+Q ausgebreitet wäre;:daß daher die beſchleuni-
m-t gende Kraft in dieſer Malt BIEQ iſtz oder das
Gewicht wird auf eben die Art fallen, als wenn es von einer Kraft der Schwere getrieben würde,
|. b irlichen Sch| die PFG der bey uns. natürlichen Schwere wäre
(wie in 1. Abſchn, 5x.). 82. Juſ. So wird das geringſte Gewicht, die » größte Maſſe fortziehen, nur etwa ſehr langſam. Wäre z.-E..Q=v9, P=1 ſo würde P ſo ſinken, als
als wen würde, rheinl, 337] jedem(3 Hinder? he mit; Die 0:3 u finde davon 11 find, d3 je; dq ew] Dy Veſſet, Ne eige] 381, zu
Heiner emm ds | We G
ner eſ dich ni;
ſhon" 84,7 tin(5
dieſe da wicht? dis the]

2X(0) ES 281
als wenn es von+Z%5 unſerer Schwere getrieben kW, würde, alſo in einer Secunde durch 3, 15625 des WW rheinl, Fuſſes(1, Abſchn, 37. und 58).
23. Zuſ, Wenn alſo jede Maſſe Q, nicht von jedem Gewichte P fortgezogen wird, ſv muß eine Hinderniß da ſeyn, und man ſieht leicht, daß ſol- Pate<e nur im Reiben( Stat. 150.) beſtehen kann. (ehs Die Gröſſe dieſes Reibens in einem beſondern Falle
urch ſeim zu finden, hat man P ſolange vermehrt, bis Q dt P, dw davon iſt fortgezogen worden. Wenn man z, E- (1; pere fand, daß bey Y=+Q, noch feine Bewegung er? ewicht ſü folgte, aber ſolches geſchah, wenn P einwenig gröſ- ſer war, ſo hat man geſebt,'das Reiben betrage X
-Chene(x! des Drucks, den die Laſt Q auf die Ebene ausübr, e Maſch die ſie trägt.- Es iſt offenbahr, daß'man ſo nicht ſinkt; my die eigentliche Größe des Reibens, ſondern Grän? (als db) zen, zwiſchen dic ſie fällt, findet 3 ſo, würde 5 Q „die I kleiner, und+ Q+e gröſſer als die Friction ſeyn, » beſchlm wenn das leßtere eine Bewegung hervorbringt. Dieſe Gränzen ſind deſto näher beyſammen, je klei=
oder ner e iſt, aber die eigentliche Friction wird dadurch
doch nicht bekannt.. Crinnerung. äſt
300 ſchon(75) gemacht worden.|
wet? vi! 84. Zuſ, Die eigentliche Friction ſey=P, ſo '“6
iſt in(31) die beſchleunigende Kraft EIC Wenn
wicht d! dieſe das f im 1. Abſchn. 80. bedeutet, und das Ge-
7 langſam wicht P in tr Secunden. durch m Tauſendtheilchen
fp jure) des rheinländiſchen Fuſſes geſunken iſt, ſo iſt dieſes
nN S5 1

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232 ZE(0) 28€
X SIR tE ai IE FEN 1 13 f= 775707 und 0=> f(P+Q). Wennman
alſo die Zeit genau wüßte, in der P durch eine ge- gebene Höhe ſänfe, ſo lieſſe ſich daraus die Friction völlig genau berechnen, und dieß wäre der einzige Weg dazu. Wegen der Schwuürigkeit dieſe Zeit und Höhe genau anzugeben ,' die ich auch ſchon(79) bemerkt habe, dürfte wohl in der wirklichen Aus- übung vas vorhergehende Verfahren, welches nur ziemlich enge Gränzen angiebt, eben ſo viel Rich- tigkeit. verſprechen.
85. Auf dieſe Art die Gröſſe des Reibens zu be- ſtimmen(83) iſt Amontons- zuerſt gefallen, und hat aus ſeinen Erfahrungen. geſchloſſen, das Rei- ben betrage ohngefähr+ des Drucks, und ändere ſich nicht, wenn ſich dieſer nicht ändert„ obgleich die Flächen, die ſich an einander reiben, gröſſer oder kleiner werden. Mem. de 1'Ac. des Sc. L699« p- 1203 2063 Parent har dieſe Unterſuchungen wie-
-derhohlt, und ſeßt es 575 des Drucks, Mem. 172%
06. Erkl, Eine ſchiefe Fläche wie AC 6.F.* laſſe ſich nach Gefallen erhöhen oder ſenken, wie wenn in C ein Gewinde wäre, um das ſie ſich dre- hen lieſſe, daß man den Winkel ACB nach Gefal- len vergröſſern oder vermindern könnte, wobey BC ſtets horizontal bleibt. Auf ihr liege eine Laſt wie P; deren Gewicht man a nenne. Wegen der Fri- etion, wird dieſe Laſt nicht gleich bey jeder gerin- gen Neigung der Fläche herabgehen, ſondern nur erſt, wenn der Winkel ACB eine gewiſſe Gröſſe er-
; langt
langt jo
(aſt wl mani hewink1
87.4. die Erſa) Frick
Nuf,3 veht mi9 und die 9! telben. Weiſt afehalty diſe vaſt?
88.) (tion, y Geen h| " Daran vchte Eb wird(34: nen eino (aet 1 vin eine dir voll)
ud tat,
Ran bes rige, nur
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but 21 dnnn du NEWA a Ale- Kin Äeaie ilieninnk Minne di<< töte d nah Daf DE IEE AE I n.- dae md vn b> fm bfai AUE MERE ERL 20-5 BI
Z7z(0)*Xz 283
Ma, langt hat. Der größte Winkel ACB, unter dem die "mw Caſt noch liegen bleibt, ſo daß ſie herabgeht, wenn
urch eing man ihn nur ein wenig vergröſſert, heißt der Ruz die Fricty bewintel(angulus quietis).
' der ein) 87. Aufg. Wenn der Ruhewinkel=9 durch t dier 3 die Erfahrung iſt gefunden worden, die Gröſſe der
'y Friction zu beſtimmen.
Fliden yy
welches m Aufl. Die Laſt wird an die ſchiefe Ebene ſenk-
0 viel Ri recht mit der Gewalt a. col ds angedrückt( Stat, 98) | und die Gewalt, welche ſie längſt der Cbene hinab
bens 31h treiben will, iſt 3 lins( Eben daſ,). Dieſe Ge-
WE walt iſt genau der Friction gleich, durch welche ſie
v." aufgehalten wird. Alſo iſt die Friction, welche
|| dieſe Laſt auf der ſchiefen Fläche hat,=2, lin 9.
„und ändt
ert, aby 88. Man heiſſe dieſe Friction f; und DO die Fri- iben, 91) ction, welche eben die Laſt auf einer wagrechten des Sc, 1! Ebene hätte(84). Beyder Verſchiedenheit kann uchungey nur darauf anfommen, daß die Laſt auf eine wag- Mem, 1 rechte Ebene anders, als auf die ſchiefe angedruckt | wird(ich ſeße nähmlich übrigens, daß beyde Cbe- e AC N nen einerley Beſchaffenheit in Abſicht auf ihre Rau- ſenken," bigfeit u. d. g. haben). Da nähmlich f=a. lins 26 jow von einem Druce a. cols und 2 von einem Drucke 05h der völligen Laſt=a herrührt, ſoiſt f: 0=24. col: 2 e, wo m"
eine(ſt! und ſtatt fſeinen Werth geſeßt O= el tangd. gen der p' ) Jeder gy" ſondern ferie!
[uy
Man begreift, daß dieſes Verfahren, wie das vo- rige, nur Gränzen giebt.
89, Wenn

284 Zz(0) Zz
29. Wenn 5=mn ſo iſt n=tangs. Man fin- det alſo den Winkel der- Ruhe, wenn n gegebeniſt, oder n wenn der Winkel der Ruhe gegeben iſt. Weil hier der Sinus totus=1, ſo. muß man den Logarithmen der Tangente in den Tafeln, zufinden, 10 als den Logarithmen des Halbmeſſers ver Tafeln addiren, oder esiſt 164+l0gn=logtab tang 9. So findet man für n= wie Amonkons ängiebt, log tabtang d= 10-13=9;5228738alſ00=1 826%
90. Wenn man aus dem Ruhewinkel, n findet, ſo müßte man eigentlich logn=1ogtab tango= 10 ſeßen. Dieß aber würde einen verneinten 2Logarich-
ma
n geb velin<nur ke: alſo O= men geben, weil n.<2 13 Man ſeße: alſo 0= 7755
ob gleich die Verſuche wenigmahl eine ſolche Schaär- fe zuverläſſig geben werden, ſo muß man 4 zum vorigen Logarithmen addiren, oder es iſt logm= log trabtang 0-6.
Bilfinger Comm, Petrop. T. Il. p. 493. leq. haf
das Reiben auf dieſe Art unterſucht, und den Ru- hewinfel allemahl zwiſchen 12 und 15 Gr. gefunden, Nimmt man ihn 13 Gr. 30M. an, ſo wird nach der nür gegebenen Regel log m=3, 3823537 wel- ches m= 2400 giebts oder es wäre O==10,24.43» die Friction ohngefähr x des Drus. - Aus dem Ruhewinkel die Frickion zu berechnen, würden in der Formel n=ta2ngs die Tangenten ſelbſt, auf dem Halbmeſſer 1 angebracht, noch be- quemer gebraucht werden. So fände man hier glei) tang 8 oder n=0, 2400788.
91, Wenn
ou Ruhe! pinwntd einer€9 ſch u" (Sut. gähn = 4,094 ſe ein M alſo 01% zG, dia
ieß wi6 bh der 1Z die bewegt nder nähm"! de verh! gende, 1
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%%(0) 28% 285 Anh 91. Wenn nun ACB=« etwas gröſſer als der  Ruhewinkel iſt, ſo geht die Laſt längſt der Fläche Jegeben j hinunter, als wenn ſie nach dieſer Richkung von uß mah einer Schwere getrieben würde, die ohne Friction Mn Iny ſich zur natürlichen Schwere wie lin: 1x verhielte 5 der Teſt(Stat. 98). Die Friction der Laſt a auf dieſer [ang 0, G Fläche, wird ſich vermuthlich nach ihrem Drucke ngiedt, ly=a. coſa, richten, und man nimmt alſo an ,' daß Sthias, ſie ein gewiſſes Stück dieſes Druckes ſeyn, und ſich, el, 1 finde alſo durch 12. 2. cola ausdrücfen laſſe. PWetrüge 1200-11 z. E. die Friction+ des Druces, ſo wäre 1%=+. on Lgarit Dieß wäre die ganze Frickion einer gegebenen Laſt; m) bey der Friction, ſo etwas wie im[. Abſchn, 49 3 Im die bewegende Kraft, das was dorten die beſchleu- PENN nigende Kraft war, wäre hier zz cola-. Wenn Ache Ci nähmlich die ganze Friction ſich allemahl zum Dru- mn(fe verhält, wie 4:1, ſo wird ſich dieſe beſchleuni- ift og: gende, vder hier, eigentlicher zu reden, hindernde Kraft der Frickion, die man ſich in jedem Elemen- 103 fe te der Maſſe vorſtellen muß, zur natürlichen Schweer ind den re verhalten wie 4. col2:1, fund v 400 Die Kraft alſo, welche jede Maſſe wirklich längſt 003537 der gegebenen Fläche hinunter beſchleunigt, iſt Ea ſin 2-1 cola. Daher durchläuft der Körper auf IE der ſchiefen Fläche, einen Raum=m Tauſend» berech! theilchen des rheinländiſchen Fuſſes in+45. 77 1 bete) Zuges EPR 605 Secunden(1, Abſchn. 80), Wenn 3 a dieſe Menge Secunden=mn geſeßt wird, ſo-iſt klar,
daß ſich zx berechnen lieſſe, wenn&, a, in, durch
eine 91, Im

SES ER E M
286' Zz(0) Zz
eine Erfahrung gegeben wären. Weil nähmlich 125, 125=15625 ſo iſt 15625,0?, ſin 2- 15625, 02. ſind m
coſa 15625; 121 cola 17 m. ſec&; 15625,02;
Dieſes Mittel ſchlägt Herr Euler vor die Fri- ction zu beſtimmen, ſur le frottement; Mem. de PAc. de Prußle 1743; p. 130. Jc< habe dabey eben die Erinnerung wie(84), wozu hier noch die Schwürigkeit den Winkel genau zu meſſen kömmt, wenn man dorten die ähnliche Schwürigkeit, die Lagen der Ebene und des Zuges der Kraft P genau wagrecht zu erhalten, nicht rechnen will. Herr Euler erinnert ſelbſt a. a, O. 132. S. daß die Zeit, welche ein Körper braucht, auf einer ſchiefen Fläche 15,625 rheinl, Fuß herabzugehen, nie gröſſer als 3 Sec. ſeyn kann. Und da ſich mit einer ſo langen Ebene ſchwerlich Verſuche würden anſtellen laſſen, ſo begreift man, daß eine ſehr genaue Abmeſſung FleinererZeittheile als Secunden bey dieſem Verſuche nöthig wäre. Daß übrigens die Friction eigenk= lich aus der Bewegung muß berechnet werden, hat auch Schober erinnert(55).
92. Aufg. Cin Rad deſſen Halbmeſſer CA iſt
colſ&=m und 16=
tang&-
(37. Fig.) liege mit ſeinem Zapfen LBM inder Lagery
ſo daß der Zapfen auf B ruht, ſein Halbmeſſer iſt BC; was von der Stelle B des Lagers getragen wird, Heiſſe P 3; es wird die Hälfte des Gewichts ſeyn, das Rad, Welle, und die etwa an der Welle ME
2aſt,
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Lz(0) Zz= 287
Faſt, haben, die Friction verhalte ſich zum Drucke == 14:1, und ſey alſo=: P. Man ſucht, wie groß eine Kraft in A nach der wagrechren Linie AP ſeyn muß, die mit der Frickion in B im Gleichgewichte iſt, ſo daß die Friction überwunden wird, wenn man die Kraft ein wenig vermehrt.
Aufl. Wenn dieſe Kraft F heißt, ſo kann man die Friction als eine ihr entgegengeſeßte Kraft in B anſehen, und beyder Momente ſind gleich: alſo FE, CA= PSCB und; F= WB. it
93. Zuſ. F iſt deſto kleiner, je kleiner der Halb- meſſer des Zapfens in Vergleichung mit dem Halb- meſſer des Rades iſt, Dieſes zeigt, in was für Abſicht man die Zapfen dünn macht, wenn ſich die Friction gleich nur nach dem Drucfe richtet, und alſo= P bleibt, der Zapfen mag dünn oder di> ſeyn. Das Moment dieſer Friction nähmlich iſt an einem dünnen Zapfen geringer, und es wird da- her, ſie zu überwinden, weniger Gewalt am Ra- de erfodert, als wenn bey eben dem Rade, der Zapfen dicker wäre,
94. Zuſ, Eine ſolche Kraft nach AP aber ändert ſelbſt die Friction, denn wenn der Druck P nach der 2othlinie CB geht, und dieſe horifontale Kraft da- zu kömmt, ſo entſteht aus beyden eine mittlere Kraft, nach deren Richtung das Lager in einer Stel« le, die von B nach E zu liegt, gedruckt wird, Die- fes veranlaßt neue Unterſuchungen, die Hr. Euler ſur la diminution de la reſiſtance du frottement
Mem,

0> es 2X.(0) 2X
'Mem. de l' Ac. de Pr. 1748. p- 133» Weifet 4&
trieben hat. v 95. Mich hier in dieſe Unterſuchungen weiter einzulaſſen, ſchrecft mich nicht ſowohl ihre Weitläuf- tigfeit, als die Ungewißheit der Gründe, die man hier vorausſeßen muß, ab. Wenn man von der Friction was allgemeines lehren will, ſo muß man annehmen, ſie richte ſich blos nach dem Druce, ohne daß'man auf die Gröſſe der Flächen, die ſich an einander reiben, ſehen dürfe. Amontons, wel- ' c<her dieſen Saß zuerſt gelehrt, geſteht ſelbſt, daß | er unerwartet ſey. Sturm Miſc. Berolinenſl., 1710; 4,4 Claſſ. Math. art. 29. hat gegründete Erinnerungen 11910 10 09 M8 dagegen gemacht, auch Leibniz eben daſ. art, 3 9. ge- 449 wieſen, daß man bey der Friction verſchiedene Ar- ten der Bewegung unterſcheiden müſſe. Gegen- theils hat Camus, Waite des forces mouvantesL. LL ch. 4 le. 4. dieſen Saßzdurch Schlüſſe und Erfah- rungen darzuthun geſucht, aber'"Muſſchenbröf, Phyk T.1. c. 9. durch Verſuche, die zwar nur im kleinen, aber mit allem möglichen Fleiſſe gemacht worden, j zu finden geglaubt, daß das Reiben ſich nicht wie der Dru verhält, daß es ſich, bey unverändertem Druce, ändert, wenn ſich die reibende Oberfläche ändert, daß es bey einerley Materien nicht immer ; einerley bleibt, daß es in andrer Verhältniß wächſt, als.die Geſchwindigkeit. Die, wel<e annehmen, das Reiben verhalte ſich wie der Druck, ſiimmen doch in der Verhältniß, die es ſelbſt zum Drucke haben ſoll, nicht überein(853 993)- Und die wahre Gröſſe des Reibens aus der Bewegung, aus der ſie
feſch! Verſul! ausgeſ? ten geb! warten? aus gut Wie dy. dem V- nen 9 führung Architdt
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X=(0)&% 2892
ſie ſich ailein finden läßt, zu beſtimmen, erfodert Verſuche, bey denen man der Gefahr zu irren ſehr ausgeſeßt iſt(843 913). So viel Schwürigkei- ten gehoben zu ſehen, wird man woh! hier nicht er- warten, alſo wird man zufrieden ſeyn, daß man ſie aus gegenwärtiger kurzen Abhandlung fennen lernt, Wie das Reiben unter der Vorausſeßung, daß es dem Drucke gemaß iſt, bey verſchiedenen Maſchi- nen berechnet wird, kann man ſchon aus den ange- führten Schriften ſehen,.denen man noch Belidors Archite4t. Hydraul. Ll B,. 2. Cap. imgleichen Herrn Jens Krafts Foreläsninger over Statik 2c.(den 11, Band ſeiner zu Soroe 1764. herausgek, Foreläs- ninger over Mekaniken) in der fünften Vorleſung, beyfügen Fann. Im Didionaire Encyclopedique findet ſich auch der Artifel Friction vom Hrn, d'A- lembert ſehr umſtändlich ausgeführt,
Die Geſetze des Stoſſes (Leges motus; ſ. confli&tus corporum). und damit verwandte Unterſuchungen. 96. Erkl, Ein Körper, der ſeine Bewegung
nicht fortſeßen kann, ohne einen andern vor ſich aus
der Stelle, wo er ſelbſt hin will, zu treiben, ſtößt denſelben 5; und zwar gerade( direue), wenn die &inie, nach der ſich ſein Schwerpunct bewegt, auch durch des andern Körpers Schwerpunct geht, und auf die Ebene, in der beyde einander berühren, ſenkrecht ſteht; ſonſt ſchief( oblique).
97. Wenn man auch gleich hier auf die Schwere der Körper nicht acht giebt, ſo betrachtet man doch
UJ7atheſis 4ter Theil, DT den

290 xL(0)&*%|
den Schwerpunck als die Stelle im Körper, deren Zurückhaltung den Körper dergeſtalt aufhalten, und die völlige Gewalt, die er weiter fortzugehen an- wendet, hemmen fann, wie die Unterſiüßung des Schwerpunctes i in der Seatik, des ganzen Körpers Laſt, zu ſinken, verhindert. Cben ſo heißt man "von zween Körpern den gemeinſchaftlichen Schwer- punck, auch hier, die Stelle wo der Schwerpunct wirklich iſt, wenn ſie beyde ſchwer und an einem He- bel angebracht ſind. Man bedient ſich dieſes Nah- mens auch hier, wenn man die Maſſennur als träg oder auch unter andern Umſtänden betrachtet, da ſich ihre bewegende Kräfte nicht wie ihre Maſſen verhalten. Der Nahme: VUliittelpunct der t)aſ; ſen iſt zu dieſer Abſicht von Daniel Bernoulli Trai t€ du flux.& reflux. ch, 1. vorgeſchlagen worden, Man könnke auch, wenn ein neuer Nahme nörhig wäre, mit Sam."König, Ülittelpunct der Träg- heit ſagen. S. deſſen Abhandlung de centro in- ertiae; Ad. Erüd. Lipſ, lan, 1738; P.35»
98. Um dieſe Unterſuchung nicht-gleich anfangs durch die Mannichfaltigkeit der Geſtalt der Körper, der Austheilung der Maſſe in ihnen,( da etwa ein Körper aus Materien von verſchiedener Art, aus Zinn und Bley, eins an einer Stelle, das andere an der andern beſtehen Lone) u. ſw. zu verwickelt zu machen, ſtelle ich mir Körper vor, die ONE einerley Materie enthalten, und eine ſolche Geſialt haben, wo ſich der Schwerpunct leicht angeben lößt, z. E, GENIE, Kugeln, u, d, g.
99. 34
99: unterſt! allein? fait gef: ſo geſt Richtul wie wen ſche dir Gel fann 1m] voten 1 fut, ED Penn ich M: Intfernue ene mdf um dien ſhwindy
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Zz(0!):ZX 291 Ötpet, des; ufhalten 1 99.„Tc< betrachte ferner die Bewegungen der zugehen; unterſchiedenen Theile eines Körpers, in ſo fern ſie pſühung» alle in parallelen einien mif einerley Geſchwindig- nien Rim Feit geſchieht, ſo daß jede Stelle des Körpers ſich NNN ſo geſchwind als der Schwerpunct- und nach einer 4 Schw Richtung bewegt, die dieſer Nichtung parallel iſt,
Zhen wie wenn man einem Würfel auf einem glatten Ti-
2 ſche einen Stoß gäbe, der durch des Würfels 424084 Schwerpunct, mit dem Tiſche parallel ginge. So ) Vtejes 70 Fann man alſo den ganzen Körper, als einen be-
Inur dl wegten Punct betrachten, und ſeine Geſchwindig- achtet, Feit, iſt die Geſchwindigkeit ſeines Schwerpunctes, ihre Maſ Wenn ſich eine Kugel während ihres Fortlaufens rde?) wälzet, ſo wird jeder Punct von ihr nach ſeiner moulli Ti Entfernung von der Are, um welche ſie ſich wälzt, agen wet eine andere Geſchwindigkeit haben, mit der er ſich ſahme nit um dieſe. Are bewegt, dieſe unterſchiedenen Ge- nctderQy ſchwindigkeiten alſo, kann ich bey dem Stoſſe ei- de cent ner Kugel, die ſich wälzt, nicht in Betrachtung 35 ziehen, ich ſtelle mir ihn nur ſo vor, wie er erfol-
gen würde, wenn die Kugel, ohne zu wälzen, an-
leich anf) ſtieſſe.
[€ der Fiz
(da em 100. Erkt!. Ein Körper heißt hart, wenn er zer Antw durch den Druck oder Stoß ſeine Geſtalt, die La- das u ge ſeiner Theile gegen einander nicht ändern läßt; zu verw: weich, wenn er dieſes geſtattet, und die Theile died in der Lage gegen einander bleiben, in wel-
oldhe Oj<e ſie durch die äuſerliche Gewalt ſind gebracht mgeben worden; elaſtiſch( federhart), wenn ſich die Lage der Theile und die Geſtalt ändern laſſen,' aber nach-
N 0 32 gehends

292*Zz(0) Zz
gehends beydes ſich wieder ſo herſtellt, wie es vordem Stoſſe geweſen iſt.
101, Grundſ, Wenn eine gegebene Maſſe mehr Geſchwindigkeit bekömmt, als ſie bisher hatte, ſo wird man ſagen, ſie bekomme in eben der Verhälk- niß mehr Bewegung. Bey zwo gleichen Maſ- ſen, verhalten ſich alſo die Gröſſen ihrer Bewe- gungen wie die Geſchwindigkeiten,
102. Grundſ. Wenn zwo Maſſen, z. E. eine einfache und eine doppelte, ſich mit gleichen Ge- ſchwindigkeiten bewegen, ſo ſind in der doppelten noch einmahl ſo viel Theile, als in der einfachen, und jeder ſolcher Theil hat eben ſo viel Bewegung, als der gleiche Theil der einfachen, folglich iſt in der doppelten Maſſe noch einmahl ſoviel Bewegung als in der einfachen: Alſo verhalten ſich, bey glei- <en Geſchwindigkeiten die Gröſſen der Bewegun- gen wie die Maſſen.
103. Aufz. Die Maſſen M, m, haben die Ge- ſchwindigkeiten C, c, man ſucht die Gröſſen ihrer Bewegungen mit einander zu vergleichen,
Aufl. Man ſeße eine Maſſe N, die ſo groß als m ſeyn ſoll, habe die Geſchwindigkeit c; ſo ver- halten ſich die Gröſſen der Bewegungen
von M: von N= C:c(101)
von N: von m= M:m(102)
von M: von m= MC:mc(Arithm. V; 50) oder die"Gröſſe der Bewegung verhält ſich wie das Product aus der Maſſe in die Geſchwindigkeit.
Stoß
.
104,1 fomme fen gera die eſ verhalt de Mſp ſen, aw? völig vs
Zul at eine 14 kB ſann(ive |, tO den, Ml her weng qe Ort, | 105,5 je yaye (ANNE; ohne def jen andy führten|; verlich, 106,3 Damen Anandery Velvegun ben müßj Fign |
|

XX(0)&X% 293
vie eS Nerhy|
(yl Stoß harter Körper. e Meſſen) 104. Lebrſ. Die beyden Maſſen(103) ſollen voll- poop kommen hart ſeyn, und mit ihren Geſchwindigfei- der Verh ten gerade gegen einander ſtoſſen; Es ſollen ſich aber leichen die Geſchwindigkeiten verkehrt, wie die Maſſen ier Yz verhalten, alſo MC==me ſeyn, Ich behaupte bey-
de Maſſen werden einander, wo ſie zuſammenſtoſ-
zj. CE, ſen, aufhalten, und jede der andern Bewegung : gleichen| völlig aufheben. der dopp Zew: Vermöge der Vorausſeßung, und(103) der einfal hat eine ſo viel:Bewegung als die andere, und bey- ( Bewegt de Bewegungen ſind einander entgegengeſeßt; Es flglich ij kann alſo wegen der angenommenen Härte der Maſ- el Bewe ſen, feine von beyden Bewegungen fortgeſeßt wer- ſich, byy4 den, ohne daß die andere aufgehoben würde. Da- der Bey) her werden beyde, als entgegengeſeßte, ſonſt glei- <e Gröſſen, einander aufheben., haben)! 105. Zuſ. Dieſes müßte plößlich, ſobald die Kör-  per zuſammenſtoſſen, geſchehen, denn ſobald die eichen, Körper einander berühren, kann keiner weiter fort, die ſog! ohne den andern zurückzutreiben, und keiner kann feit e;|! den andern zurücktreiben; Ehe ſie aber einander be- ngen rührten, war keiner des andern Bewegung hin- derlich. 106, Anm. Beym Gleichgewichte am Hebel(Stat, 5 1) RETN| waren ein paar Maſſen in.die Umſtände geſeßt, daß ſie hm, v; Y einander deßwegen nicht beweaten, weil ſie im Fall einer lt ſich wt“ Bewegung, gleichgroſſe entgegengeſetzte Bewegungen has pwindigtt ben müßten: dort alſo entſtand Feine Bewegung, weil
gleichgroffe entgegengeſeßte nicht zugleich entſiehen konn- D43 tenz
En

-
294. X=:((0:) 2
fen; hier hört die Bewegung auf, weil gleichgroſſe enk- gegengeſeßte, die vorhanden waren, nicht zugleich fort» geſeßt werden können,
107. Zuſ; Ware aber einer von beyden Körpern oder wären ſie alle beyde weich, wie wenn man Klumpen von naſſen zuſammenhängendem Thone ge- gen einander triebe, ſo würden die Theile, die zu- erſt in Berührung kommen, einander ausweichen, ein Körper würde in den andern einen Eindruck ma- hen, und die Geſtalten der Körper würden ſich da- durch ändern: dieſe Veränderungen hervorzubrin- gen, die Theile aus ihren vorigen Stellen zu trei- ben,„gehört Kraft/ uud jeder Körper alſo, der dergleichen bey dem andern thüt, wird dadurch ſelbſt Veränderungen in ſeiner Bewegung leiden(1. Ab- ſchn. 26). Alſo kann ſich jedes Körpers Bewegung nach und nach ändern, und endlich verſchwinden.
108. Zuſ. Weiche Körper nun würden in den Umſtänden, in die ſie ſich vermöge(107) gebracht härten, beyſammen bleiben;. Federharte aber, wer-
den wieder die vorige Geſtalt und Lage der Theile zu erhalten ſuchen.| Es ſey vor dem Stoſſe,€ der Kugel"M5 g, der Kugel m, Durchmeſſer, daß al- ſo die Linie durch beyde Mittelpuncte und den Be- rührungspunct im Anfange des Stoſſes AC,=> + ſeyn würde, wenn dieſe beyden Kugeln ohne Stoß an einander gelegt.würden, oder auch, wenn ſie vollfommen hart wären... Wären ſie aber jeden; Hart( wie z. EC. elfenbeinerne Billardbälle), ſo ward bey B durch den Stoß jede etwas platt, und AC ward kleiner als f-+ g.. T8 iſt auch offenbahr, daß
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van fil! Berge? fleine 7 gegangen rührten! ſes wirt3 Yeni fortzuge+ und fle jeder 819 andern. 19 05510)
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Zz(9) zz 295
igt m! nele 4 man ſich vorſtellen kann, vom erſten Augenblick der Berührung an, ſeyen die Kugeln, eine gewiſſe
e"ſpinp 2;: 4., Ö 3::?d Ä
en Rit Fleine Zeit, immer mehr und' mehr gegen einander
wenn m gegangen, und haben einander, da wo ſie ſich be-
W
1 Thore g rührten, immer plätter, und-plätter gedruckt, die- ſes[vieh ſo lange dauern, als jede Kindel noch) eine
ile, die) je u Bemühung anwendet, nach ihrer Richtung weiter indrug 3 fortzugehen, und ſo lange wird AC immer kleiner
IE und fleiner werden. Wie aber dieſe Bemühung
den ſich| ZE;
2 jeder Kugel durch die ähnliche entgegengeſeßte der
ſen 4; mdern immer vermindert wird, ſo kann man vor- u ausſeßen, daß ſie einmahl aufhören werde, da denn
vi) AC am kleinſten ſeyn wird, alsdenn wird jeder Ku- gel Federkraft ſich beſtreben, die platte Geſtalt, wel- den(1.7) che ein Theil der Kugel bekommen hatte, wieder Beweg„Ln Dien SER MAE
; in die vorige runde zu verwandeln, Daraus folgt wvinden nothwendig, daß jede Kugel in die andere ſo wirkt, Iden in) daß ſich AC von der kleinſten Länge, die es zuleßt 07) geh gehabt hatte, wieder vergröſſert; Sind nun beyde teaber! Kugeln'vollfommen federhart, ſo bekommen beyde » der Wt ihre vorige Geſtalt SIEM wieder, und die be- toſſ, iN ſchriebene Wirkung jeder in die andere dauert alſo ſer, daf ſo lange, bis wiederum AC=f+8g geworden iſt. ind den) Jes A0,7! 109. Zuſ, Dieſe Wirkungen aber müſſen in der "ugeln d)! Geſchwindigkeit jeder Kugel noch etwas änders ver- „auch, 1 urſachen, als was da wo ſie ſich nicht ereigneten,. » aber it bey blos harten, oder weichen Kugeln, ſtattfand. (e), pm Man wird alſo nicht ſchlieſſen dürfen, daß auch die tu federharten ihre Bewegung völlig verlieren. Weil bale, y ſich die Bewegungen, De bey ihnen nach dem Stoſ-
1; ZE 4: ſe;

296 zz(.)&L
ſe ſtatt finden, in der Folge eben ſo leicht und deut» lich allgemeiner werden beſtimmen laſſen, ſo will ich mich damit hier bey dem beſondern Falle, da ſich die Maſſen verkehrt, wie die Geſchwindigkeiten verhalten, nicht weitläuftiger einlaſſen. Was ich 1083 109; geſagt habe, iſt nur in der Abſicht vor gebracht worden, zu zöigen, warum bey federhar- ten Körpern etwas anders erfolgen kann, als bey unelaſtiſchen. Da ferner die Betrachtungen dieſer beyden Abſäße nicht auf die verkehrte Verhältniß der Geſchwindigkeiten und der Maſſen gegründet ſind, ſo werde ich dieſe Betrachtungen in der Folge auch bey aligemeineren Unterſuchungen zum Grunde legen föunen.
110, Aufz. Zweene unelaſtiſche Körper 38. Fig, deren Mäſſen M, m, heiſſen, begegnen einander gerade mit den Geſchwindigkeiten C, c, die ſich wie man will verhalten können. Man ſucht ihre Bewegungen nach dem Stoſſe.
Aufl. Wenn die entgegengeſeßten Bewegungen nicht gleich ſind, wie in 1045 ſo ſey der hier zuerſt genannten Maſſe ihre gröſſer, oder M.C> mc
Man feße die Geſchwindigkeit C=<7- c4+h; ſoiſt
der Maſſe M ihre Bewegung= mc+ Mh. Von dieſer Bewegung wird der Theil mc durch die glei- <e entgegengeſeßte Bewegung der Maſſe m aufge- hoben. Alſo behält M noch die Bewegung Mh übrig, mit der ſie in ihrer Richtung fortgehen will. Die Maſſe m aber liegt in dieſer Richtung vor ihr,
denn
denn 2 und hi DE ihre D% en 08 werde9 der NB walt„Dp walt 09€ Mjd X pon, 196 jm 68 Mil S h ſhe Wil wS Rehen indem) 4 ſind,(ih ver Beh mel
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ct und bey ſen, ſo WW m Fall, y windigfin n, Weit Abſicht w vey federhu nn, als ungen div Verhält m gegrün in der Fe zum Gru!
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denn beym Stoſſe, waren beyde Maſſen aneinander, und hier iſt nichts vorhanden, das ſie getrennt hät- te. Dieſe Maſſe iſt zwar nun bewegungslos, denn ihre Bewegung war durc den entgegengeſeßten glei- <en Theil der Bewegung der Maſſe M aufgehoben worden, aber ſie iſt noch träg, und kann alſo von der Maſſe M nicht ohne Anwendung einiger Ge- walt vor ſich fortgeſchoben werden. Weil dieſe Ge- walt angewandt werden muß, ſo wird die Maſſe M ſich nicht mit der Geſchwindigkeit bewegen kön- nen, mit der ſie ſich bewegen würde, wenn näch dem Stoſſe, m plößlich vernichtet würde, und al- ſv M nichts vor ſich fortzuſchieben fände. Wie ſie ſich fortbewegt, wird ſich ſo beurtheilen laſſen: weil nur die Bewegung M.h vorhanden iſt, die Maſſen aber, welche zuſammen fortgehen müſſen, indem eine die andere vor ſich herſchiebt, M+ m ſind, ſo kann man ſich vorſtellen M. h ſey die Gröſſe der Bewegung in einer Maſſe= M+m, Dieſer geſammten Maſſe Geſchwindigkeit heiſſe x; ſo iſt
; Mh MC-mc (M+m). X= M.b odet XA 222 MEDI Mit dieſer Geſchwindigkeit werden alſo nach dem Stoſſe beyde Maſſen zuſammen, nach der Richtung fortgehen, nach welcher zuvor die ginge, welche die größte Bewegung hatte.
111, Zuſ, Jn der Vorausſeßung 104. wird x=0 aber verneint, wenn man mc> MC ſeßte, Als- venn nähmlich würde M von m überwältigt, und müßte nach der Richtung, die m zuvor hatte, rück-
T5 wär?s

WW...
295 4%. 19.) 22
wäh gehen, Die verneinte Geſchwindigkeit zeigt aim, daß ſie nach dem entgegengeſeßten Wege ge-
WERL ie vejaht zeigte ſie, daß M mit ihr den Weg.
ferner fortſeßte, nach welchen es vor dem Stoſſe gegangen war.;
112. ZUſ. War m vor. dem Stoſſe ruhig, ſo iſt c= 0 uid die gemeinſchaftliche Geſchwindigkeit
: M.C nach dem'Stojſe= AW ERN 113. SUſ, Cs ſey M=-» ſviſt TEES-=-7
m GE III SU:; MNT alſo, mit Weglaſſung unendlich kleiner der
höhern Ordnungen, X=0====>, Die un-
endlich groſſe Maſſe, leidet nähmlich einen unendlich Eleinen EF ihrer Geſchwindigkeit, und„wenn ſieruhete, alſo C= 0, ſv befömmt ſce nach der Rich- tung, 1 106 ver m an ſie anſtieß, eine unendlich
1] vb;' SEB mc., e, Fleine Geſchwindigkeit+ Eine Erläuterung hie- =
von möchte, geben, wenn man miteinem Hammer an einen groſſen Felſen ſchlägt.
Jeder Stoß bewegt alſo jede Maſſe, nur zuwei- len mit ſehr fleiner, oder gar verſchwindender. Ge- ſchwindigkeit, Ctwas ähnliches iſt in(31) angezeigt.
114. Aufg. Die beyden Maſſen(110) bewegen FR mit ihren Goſchwindigfeiten, nicht nach entge-- gen-
=
aengeſ [op Rit ſwerON Pan? | Aul RaſeQ wird nicht) /% niet& fynq D4 Win 407117)
Gſonid vita 39) fnecgy NEN
15 nan 11 irt ky
ich 5 vor(94 j de daa
||

DE 2 18geade m WED„SM= KERLE ANGREELEED ERES EEE LRA EIIIE IRE IIN ZE DERE RER m nm iE u vain
Zz(le) Zz 299
ndi. ß 4 Reit py gengeſeßten Richtungen, ſondern beyde nach einer- 196: ley Richtung, und M der Maſſe m nach, mit gröſ- JE ſererGeſchwindigfeit. Alſo wird m von M eincehchltz Sy
Man ſucht die Geſchwindigkeit nach dem Stoſje.
Aufl. M wird fich beſtreben, der langſamern vihig, it Maſſe m Geſchwindigkeit zu vergröſſern: dadurch ſcwindiz wird M etwas von feiner Bewegung verlieren, aber
nicht mehr als m gewinnt, weil M nichts weiter wirkt, als m zu beſchleunigen, und ohne Wir- MOWEN Fung feine Bewegung verlohren gehen kann, Die- RET ſe Wirkung der Maſſe Min m wird ſo lange dauern, bis der Maſſe m anfängliche Geſchwindigkeit ſo vi iel h fleine) zugenommen, und der Maſſe Mihre ſoviel abgenom- men hat, daß nun beyde Maßen ſich mit einerley
1. UG Geſch windigkeit x bewegen; denn wenn m ſo ſchnell
En vorausgeht, als M nachfolat, ſo iſt offenbahr, daß inen une Feines mehr in das andere wirkt, Nun hat alſo die t, udn Maß» M+m zuſammen die Geſchwindigkeit x; nachdals und folglich die Bewegung(M+m)x, welche= MC
+ mc ſeyn muß, weil von der Bewegung nichts" verlohren PD ſondern nur etwas aus der auterun) Maſſe M in die Maſſe m übergegangen iſt. Folg-
ine un
M.C+mc
1em Dann lich iſt x=-„A. 115. SUſ. Dieſe Formel wird aus der 110; wenn » mur zs man dorten die Geſchwindigkeit der Maſſe 170 6.0 neint ſeket, welches ſo viel ſagen will, daß ihre 0 Richtung in gegenwärtigem Falle der Richtung im 10) ve) vorigen enkgegengeſeßt iſt. Ich habe aber geglaubt,
: na ent)! daß die wenigen Schlüſſe, mit denen ſich gegen: Ni wärkige

300 ZZ(0) XT
wartige Auflöſung aus den erſten Gründen herlei- ten läßt, hier ſchon ihre Stelle verdienten,
116. Zuſ. Man könnte hier die Schwürigkeit ſinden ,. daß dieſe Formel(114) einen Werth für x ZU geben ſcheint, auch wenn c ſo groß, oder gröſ«- ſer als C wäre, da doch fein Stoß erfolgen fann, Wenn c= C, ſo giebt ſie x= C, eine offenbahre Wahrheit. Wollte man aber c=> C ſeßen, fo muß man überlegen, daß in der Formel M, C, m, c, völlig alle auf einerley Art enthaiten ſind, und alſo nichts iſt, das in ihr die vorhergehende Maſſe von ver folgenden unterſcheidet, Es iſt alſo ganz will- führlich m für die vorhergehenden anzunehmen, und wenn man c= C ſeßen wollte, würde man nur die Benennungen ändern, und die vorhergehende M nennen müſſen.
117. Zuſ., Wenn M=mz ſo iſt die Geſchwindig- Feit nach dem Stoſſe=>.(C-c) in(110) und =.(C+c) in(114); oder wenn die Maſſen gleich ſind, iſt ſie beym Begegnen die halbe Summe, und beym Folgen der halbe Unterſchied der Geſchwin- digkeiten vor dem Stoſſe.
118, Zuſ, Wenn in(110) C=-cz ſo iſt die Ge-
M- ſchwindigkeit nach dem Stoſſe= LL ſie verhält ſich zu der Geſchwindigkeit, die jeher Kör- per vor dem Stoſſe hatte, wie der Maſſen Unter- ſchied zu ihrer Summe.
119. Zuſ. Jn 114. verliehrt M die Geſchwindig-
56 m. Feit C=-X=
oder
(C- M+m digfeit
6) und m gewinnt die Geſchwin+
digfeit 2
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Xx(0) xXx 301
vünden hoy, Hi digkeit x=c= Za; alſo verhalten ſich, die Yerth ih verlohrne und die gewonnene Geſchwindigkeit ver« 6, dera kehrt wie die Maſſen. folgen fm 120. Zuſ: Daß in 114; M ſo viel Bewegung ne offenhy verliehrt als m gewinnt, iſt ſchon daſelbſt ange C ſehen,| nommen worden, Daher iſt auch(M+m).x= el M, Cm; MC+ mc die Bewegung nach dem Stoſſe ſo groß ind, und als die Summe der Bewegungen vor dem Stoſſe, de Maſſey und es bleibt folglich einerley Gröſſe der Bewegung, ſo ganz 1) wenn die K örper einander folgen. Daß aber nicht mehmen,t allemahl einerley bleiben kann, wenn ſie einander bes Am gegnen, erhellt aus 104; und weilin1105;(M+m).x ergehend!'=MC-mc;, ſoiſt da die Bewegung nach dem Stoſs ſe, der Unterſchied der Bewegungen vor demStoſſe. - Geſchwir 121, Zuſ, Die Veränderung, welche M in ſeiner in(110) Bewegung leidet, oder was übrig bleibt, wenn Maſſen ql! man ſeine Bewegung nach dem Stoſſe, von der vor » Summ! dem Stoſſe abzieht, iſt beydemahl M.(C-x); wo ver Oeſch man ſtatt x nur jedesmahl ſeinen Werth ſeßen muß. Sn 122. SUſ, Bey folgenden Körpern, in 114. iſt ſo iſt die) die Veränderung der Bewegung, welche m leidet, me, oder, was übrig bleibt, wenn man ſeine Bewegung I+m vor dem Stoſſe, von der nach dem Stoſſe abzieht, die ſehr! offenbühr m.(x-c), von der aus 119; 120; erhellt, Raſſen In daß ſie der Veränderung der Bewegung gleich iſt, welche M leidet. (Geſchwin) 123. Zuſ. Aber bey begegnenden Körpern(110) die Poſa" muß man die Veränderung der Bewegung, welche
j.44 m

302 22:(0). 22
m leidet, folgendergeſtalt betrachten: Die Ge.
ſchwindigfeit m, welche m der Richtung von M entgegen hatte, wird völlig aufgehoben, und eine neue=x nach der Richtung erzeugt, Fie M hat, und die der vorigen Riemens der Geſchwindigkfeit c, entgegengeſeßt iſt; oder m verliert die Bewe- gung mc, und befömmt die Bewegung mx. Die völlige Aenderung alſo, welche die Bewegung von m leidet, iſt mc+mx; Aber aus 110 iſt hier Mx+ mXx=MC-mc oder m.(cC+X)= M.(c-Xx)= der Veränderung der Bewegung, welche M leidet(121).
Daß dieſes auch noch ſtatt findet, wenn M= 3 erhellt aus 113, weil da M.(C-x)=m.(C+c) und m.(c+x)=m(c+C). Wenn ſich nähmlich des unendlichen Körpers Geſchwindigkeit unendlich wenig ändert, ſo gibt dieſes eine endliche Aende- rung ſeiner Bewegung.
124. Zuſ, Sowohl bey folgenden als bey begeg- nenden Körpern leiden beyde Maſſen gleiche Wer- änderungen ihrer Bewegung,
Wirkung und Gegenwirfung.
125. Wegen der Trägheit(1. Abſchn. 25.) kann Fein Körper in dem andern eine Veränderung her- vorbringen, ohne ſelbſt eine zu leiden. Wie man nun die Veränderung, die der wirkende Körper lei- det, als eine Gegenwirkunt des leidenden anſieht (1. Abſchn. 23), ſo ſagt man; die Gegemvirt: ng fey der Wirkung gleich(ais aequaiis readioni) das iſt: Cin Körper, der in den andern wirkt, lei- ver
vet eben! Folglic' gröſſer! ner, ſa inderun Verand! (Grund 1] Birfu
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det eben deßwegen eine Veränderung, weil er wirkt: Folglich iſt die Weränderung, die er leidet, weder gröſſer noch kleiner, als ſeine Wirkung: Nicht Flei= ner, ſonſt wäre ein Theil ſeiner Wirkung ohne Ver-= änderung in ihm; nicht gröſſer, denn wenn er nur Veränderung leidet, weil er wirkt, ſo läßt ſich kein Grund von einer gröſſern Veränderung, als ſeine Wirkung iſt, angeben,
126, Wenn ein Körper in den andern wirfr, und die Veränderung gelitten har, welche man als des andern Gegenwirfung anſieht, ſo kann man ſich vorſtellen, es ſey dadurch des(I Trägheit auf- gehoben,„und er laſſe ſich nun von dem er ſien, als wenn er nicht mehr träg wäre, bewegen. Man macht ſich nähmlich von der Trägheit des andern Körpers, blos die Vorſtellung, daß ſie aufgehoben zu werden, eine gewiſſe Veränderung des erſten er- fodere(1. Abſchn. 23.), iſt alſo dieſe Veränderung erfolgt, ſo iſt die Trägheit aufgehoben.
| 127. Ein Pferd, deſſen Kraft ſo ſtark iſt, daß es aufs höchſte 10 Centner ziehen könnte, iſt an ei= nen Stein geſpannt, der 8 Centner wiegt. Hier ſtellt man ſich nun vor, das Pferd wirkemit 8 8 Cent- nern, mit 4 ſeiner Kraft, in den Stein, und das Seil, Vermittelft deſſen es argeſpannt iſt, ziehe wegen ſeiner Spannung das Pferd eben ſo ſtark ge- gen den Stein zurück; und benimmt dadurch dem Pferde 4 ſeiner Kraft: das Pferd geht alſo derge- ſtalt fort, als ob es nur noch 2 Centkner, vder+ ſsiner vorigen Kraft hätte; und der Stein folgt
ihm
mr II REER III IT SII ENER III IAI EIR CORI IIG ABE SEE ele ae tI

304 Zz(0) Zz
ihm ſo nach, als ob er nun nicht mehr träg wäre, feine Gewalt mehr erfoderte fortgeführt zu werden, Ein Pferd nähmlich, daß nur dieſes x Kraft hätte, und einen bloſſen geometriſchen Körper nach ſich zö- ge, würde eben ſo fortgehn, wie das Pferd, das die ganze Kraft hat, und den vorerwähnten Stein nach ſich zieht.
So läßt ſich eins von den Exempeln erläutern, das Newton Princ. Leg. mot. 3. zu Erläuterung des Saßes giebt: daß der Wirkung allemahl eine glei- <e Gegenwirfung entgegengeſeßt iſt, oder zweener Körper Wirkungen allemahl gegenſeitig, gleich, und einander entgegengeſekßt ſind,
128. Man muß hiebey vornehmlich bemerken, daß-nicht alle Gewalt des wirfenden Körpers, in den andern wirkt, ſo wie man die Wirkung. des Pferdes in den Stein nicht 10 ſondern 8 Centnern gleich ſeßen muß. Die Gegenwirkung hebt von der Gewalt des wirkenden Körpers nur den Theil auf, der zur Wirkung angewandt ward; mit dem Reſte wird die Bewegung forgeſeßt, daß nun feine Ge- genwirkung mehr in Betrachtung kömmt, Was dieß alles ſagen will, wird aus 125 5.1263 oſfen- bahr ſeyn.
129. Das bisherige gehört noch zur Lehre von ver Trägheit im 1. Abſchn. und erfoderte gegenwär- tige Erläuterung, weil die hier erflärten Redens- arten bey Unterſuchung des Stoſſes gebraucht wer- den. Oefters werden ſie auch gemißbraucht, man findet Naturforſcher, die ſich die Gegenwirkung als
etwas
|
etwas? ffr, Nicht porbra, peechet und ds Zelle! Gull 1 uf jilden M durch ix ung ve ol "T jW UW (3 ws Leller/ dieſes Pprtgeon (5 Te quchey mathoy din hz ne hy wan ſo fall) ſem,| ehr) „Jiatyn, griffs 4 „ie
WI

ZX(0) 8x 308
Mh etwas vorſtellen, das in der That dem Körper, der
:€ m ſtößt, entgegen ſtieſſe, und Bewegungen, die der
wu Richtung ſeines Stoſſes entgegengeſeßt ſind, her« "
39 vorbrächte. Sie legen leicht zu bewegende Kör» 5 Pferd perchen, Sand u. d. g.( Bleykugeln oder Schrook
ähntent; ſind dazu faſt noch beſſer) nahe an den Rand eines
Tellers, geben dem Teller an der entgegengeſekten en erläu Stelle einen Schlag, und finden alsdenn, was (äuferun) auf ihm lag, näher als zuvor bey dieſer Stelle: da mahl dm bilden ſie ſich ein, was auf dem Teller lag, habe , Ker zin durch die Gegenwirkung, eine Bewegung der Rich- ſeitig, 4% tung des Schlages entgegen bekommen, und ſey
dieſerwegen nach der Stelle, wo der Schlag ge- 2 00 ſchahe, zugegangen; Sie bedenken aber nicht, daß lich bmz der Teller dem Schlage ſchneller gehorſamt hat, 1 Kiri als ſich die Wirkung deſſelben in das, was auf dem Wirkung Teller lag, fortpflanzen konnte, daß alſo eigentlich 8 m dieſes liegen geblieben, und der- Teller darunter ng hebt fortgegangen iſt, alſo ſich die geſchlagene Stelle den I des Tellers dem, was darauf lag, nicht dieſes ihr, mit dem? genähert hat. Jn unterſchiedlihen Sammlungen nun fel mathematiſcher und anderer Spielwerke, findet ſich jmmt,* ein ähnliches Kunſtſtück. Man legt auf ein Glas 55126; eine hölzerne Scheibe und darauf ein Stü Geld,
Man ſchlägt die Scheibe geſchwind vom Glaſe weg, zur ſt! ſo fallt das Geld in das Glas. Schwenter ma«- ete gem them. Erquikſt. 10. Th. 19. Aufg. wo man noch „ien Ay mehr ſolche Künſte antrifft deren einige auch von obrauft! Naturforſchern als Beweiſe ihres unrichtigen Be» 5 y griffs von der Gegenwirfung ſind angeführt wor=
hm! den. Ein Kind pflegt wohl die Stelle des Erdbo- E17 UJarheſis 4ter Theil, u dens,

306 Zz(0)'ZXLZ
dens, auf die es gefallen iſt, oder den Tiſch, an dem
- es ſich mit dem Kopfe geſtoſſen hat, zu ſchlagen,
Ich vermuthe indeſſen nicht, daß ein Kind für ſich allein vermögend wäre, einen ſo tiefſinnigen Schluß zu machen, daß ein Ding etwas thut, wenn es weiter nichts thut, als mir nicht ausweichen, d,i. das es etwas thut, wenn es weiter nichts thut, als etwas nicht thun, Das Kind lernet ohne Ziveifel dieſen Schluß, wie andere erſte Gründe ſeiner Phi- loſophie, von ſeiner Wärterinn; und eben weil die Wärterinn keine rechte gründliche Philoſophinn war, ſo hatte ſie nicht daran gedacht, daß dieſes thun, nur eine Gegenwirfung iſt, ſonſt würde ſie dem Kinde begreiflich gemacht haben, daß es den Tiſch ſelbſt geſtoſſen hafte, und der Tiſch eben ſo viel Recht hätte, es wieder zu ſchlage
- 139, Auch beſſere Naturforſcher, als die, wel-
he ſo gröblich irren; ſcheinen mir ſich von der Wir-
fung und Gegenwirkung nicht:allemahl vorſichtig
genug ausgedruct zu haben, wenn ſie als Erempel
davon ſolche anführen, die meiner Einſicht nach dazu
nicht eigentlich gehören. Newton bringt an der 127.
angef. Stelle,; zwar nichts vor, wobey ſich eine ſfol-
<he Erinnerung: machen lieſſe, aber mir ſcheint nicht,
daß er mit Recht aus dieſem Sake das gegenſeitige Anziehen der. Weltkörper herleite; Prince. L. Ill. Pr. 5. cor. 14- Dieſes folgt meines Erachtens nur aus der Vorausſeßung, daß alle Materie anzieht, und alle Weltkörper aus Materie beſtehen. Zwar. alsdenn gebe ich gern zu, daß das Anziehen gegen- ;-
ſity! wenn Stein! 127, 1 nen, ſe einen Gli hat vo nigt 1 per gege leßten| nicht das Wyne den) veiß weiß vage, 1,0, y ſes ausf Orundy üpher id lern Weſs H 131,4 IH ſage bitracht leich fin änderun iſt ſv gu (124), 1 döt der den,€ ſo würde
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52%(0)'2=Z 307
ſeitig ſeyn müſſe, wenn man es ſich ſo vorſtellt, wie wenn ein Pferd vermittelſt eines Strickes einen Stein zieht:: da werdeich aber mich darüber wie in 127. erflären. Sollte das, was wir Anziehen nen: nen, eine Erſcheinung ſeyn, die etwa von dem Stoſ- je einer Materie herrührte, wie man ſich bey der Schwere auf unſerer Erde, beym Magnete, gern hat vorſtellen wollen, ſo ſehe ich nicht, warum nicht eine ſolche Materie nur den angezogenen Kör- per gegen den anziehenden treiben könnte, ohne den leßten auch gegen den erſten zu treiben, warum ſie nicht das Eiſen nach dem Magnete treiben könne, ohne den Magnet gegen das Eiſen zu treiben? Ich weiß wohl, daß alle bekannten Anziehungen, die magnetiſchen, die elektriſchen, die chymiſchen, u. f. w. gegenſeitig ſind, ich behaupte nur, daß die- ſes aus der Erfahrung, nicht aus dem erwähnten Grundgeſeße der Bewegung hergeleitet werden muß, daher ich nicht glaube, daß Graveſand El: Phyl. L.1.c. 156. mit Recht den Magnet zu Beſtätigung dieſes Grundgeſeßes gebraucht hat,
131, Jn der 125. erklärten Bedeutung alſo, kann ich ſagen, daß bey den Körpern M, m, die vorhin betrachtet worden, Wirkung und Gegenwirkung gleich ſind. Was nähmlich M wirkt iſt eine Ver- änderung der Bewegung in m; dieſe Veränderung iſt ſo groß„* als diejenige, welche M ſelbſt leidet (124). Alſo kann die Veränderung, welche M lei- det, der Gegenwirkfung von m zugeſchrieben wer- den,- Sähe man m als den wirfenden Körper an, ſo würde er nicht mehr Veränderung in M hervor-
U 2 brin-

308 Sc(0)&x%
bringen, als er ſelbſt leidet, und das lieſſe ſich der Gegenwirkung des M zuſchreiben. Es iſt alſo gleichgültig, welchen man als den wirkenden und wel- chen man als den gegenwirkenden anſehen will, Dieſes ſindet ſelbſt in dem Falle ſtatt, wenn m ru- hete, da man uach den bisherigen Vorſtellungen, den Verluſt der Bewegung, den M leidet, als eine Wirkung von m anſehen kann. Hätte M ruhig gelegen, und m wäre mit der Geſchwindigkeitic daran geſtoſſen, wäre aus 1103; wiein1125; die Ge.
mc ſchwindigkeit nach dem Stoſſe Mm eßt man
MmC M+m nach der Richtung, nach der ſich m bewegt, das iſt, nach einer Richtung die der, nach welcher vorhin M an das ruhende m anſtieſſe, entgegengeſeßt iſt, Dieſe Bewegung alſo, welche jeßo das ruhende M bekömmt„iſt. ſo groß als die, welche vorhin das bewegte M verlohr; und wie der leßtere Verluſt die Bewegung verminderte, welche M nach einer gewiſſen Gegend hatte, ſo iſt die Bewegung, welche jeßtim ruhenden M entſteht, als eine Verminderung der Bewegung o nach eben dieſer Gegend, als eine VerminderungeinerBewegung, welche M nach dieſer Gegend haben künnte, anzuſehn, Alſo leidet das be- wegte M, wenn es an das ruhende m mit der Ge- ſchwindigkeit c ſtößt, eben ſo viel Werminderung ſeiner Bewegung, als das ruhende M leidet, wenn m, mit der Geſchwindigkeit c daran ſtößt, nurnach
den
nun c==Cz3 ſo bekäme M eine Bewegung
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1 1 eier WI Scat ME DE SELETL Baxmann 2 Dau FLIT NENE Ea uh im=< III ZiMrrute Slet Dea uh
XX(0)>< 3099
den Begriffen der entgegengeſeßten Gröſſen, die Bewegung, die hier entſteht, als eine Verminde- rung unter 0 angeſehen. Wenn alſo M mit einer gewiſſen Geſchwindigkeit an das ruhende'm ſtößt, ſv geſchieht eben das, was geſchehen würde, wenn m mit eben der Geſchwindigkeit an das ruhende M ſtieſſe, und dieſes wird zeigen, wie man auch hier behaupten kann, es ſey gleichgültig, ob man den ruhenden oder den bewegten Körper für den wirken- den annehmen will.
Stoß elaſtiſcher Körper.
132. Grundſ, Wenn m nicht vollkommen hart iſt, ſo wird durch eben die Wirkung, welche M in m ausübt, die Bewegung von m zu verändern, auch die Geſtalt von m an der Gegend, wo beyde Korper einander bezühren, verändert.
I< ſeße zum voraus, daß die Richtung des. Stoſſes durch des Körpers M Schwerpunct geht, der in der Linie BC liegen mag(96), Wäre nunm volifommen hart, und beyde Körper berührten ein- ander in B, ſo wäre, wofern die Körper einander begegnen, der Erfolg der Wirkung des Körpers M dieſer, daß die Geſchwindigkeit, mit welcher ſich der. Schwerpunct nach der Richtung CB bewegen will, vernichtet, und in eine nach der entgegenge- ſeßten Richtung BC verwandelt würde, welches plößlich geſchehen muß, wie in(105). Iſt aber m nicht vollkommen hart, ſo wird der Theil von m, wo die erſte Berührung bey'B geſchieht, auszuwei-
U 3<en

319 zz(0) Z*<
hen ſuchen, welches nicht anders geſchehen kann, als daß er nach der Gegend zurüfgeht, nach welcher in Abſicht auf ihn, der Schwerpunct von m liegt; weil aber der Körper m doch nicht flüſſig iſt, folg- lich ſeine Theile zuſammenhängen, ſo wird dieſer rückwärts gehende Theil, andere mit ſich nachzie- hen, andere vor ſich ſchieben, und dadurch der Be- wegung, welche der Schwerpunct nach der Rich- tung CB fortſeken wollte, hinderlich fallen: So wird alſo dieſes Shwerpunctes Geſchwindigkeit, durch eben die Wirkung vermindert, vermöge der ſich, mit dem beſchriebenen Zurückweichen des Thei- les bey B, die Geſtalt des Körpers m an dieſer Stel- le ändern wird. Daurek nun die Wirkung des Kör- pers M in m noch länger, ſo fommen immer mehr Theile von m, mit M in Berührung, und des Kör- pers m Geſtalt wird immer mehr und mehr geän- dert 3 dieſe Theile alle aber, indem ſie auf die vor- beſchriebene Art ausweichen, hindern die Bewe- gung des Schwerpunctes nach der Richtung CBim- mer mehr und mehr; und wenn ſolche endlich gar vernichtet iſt, und die Theile bey ihrem Ausweichen ſich doch immer nach der Seite, wo Cliegt, zu ziehen müſſen, ſo treiben ſie zugleich den Schwerpunct endlich nach eben dieſer Seite zu gehen.
Wenn m dem M nicht begegnet, ſondern von ihm eingehohlet wird, und die Theile von m, wel- <e zuerſt. in die Berührung kommen, dem ſchneller als ſie folgenden M ausweichen, und dadurch nach der Gegend C zu, in den Körper m hineingetrie-
werden,
werden) punets) Da laßt ſu ebenfall m ſchn"! dau? vungfen vm MY Geſprl Dieſ] Fimmeny niht gun füt, vd
133, 4 andern) leder, 4 (131), (Manz ſiſt, 5 Körper df ſich ſe de Au] ſen wi) ſeterH;, debe an, iu bep fin
| |

ven fah 4; <) welche) on m li ig iſt, / wird diz ſich nah,
ur< der, < der It fallen: 6 <windigt) vermöge)
)e11 des Y dieſer E; ung des) immer! und des d mehr yt s auf die n die Z! htung
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ſonder" von m," vem ſe! dadurd Aineinget! - wn!
zZ(0) Z2< ZIE
werden, ſo beſchleunigen ſie eben dadurch des Schwer- puncts Gang-nach dieſer Gegend.
Was bey begegnenden Körpern von m geſagtiſt, läßt ſich offenbahr auch von M ſagen, wenn dieſes ebenfalls nicht vollFommen hart iſtz Folgt M, dem m ſchneller nach, als ihm m ausweicht, ſo werden dadurch die Theile von M, die mit m in Berüh- rung kommen, zurücke in'M gedrückt, und der Gang von M wird dadurch ebenfalls verhindert, und ſeine Geſchwindigkeit kleiner gemacht.
Dieſe Erläuterungen ſchienen mir nörhig, voll: kfommen deutlich zu machen, daß bey Körpern, die nicht gänzlich hart ſind, einerley Wirkung ihre Ge- ſtalt, und ihre Bewegungen ändert.
133. Zuſ, Die Wirkung jedes Körpers in den andern, iſt die Aenderung der Bewegung, die er leidet, und in einem ſo groß als in dem andern (131).
Man begreift leicht, daß hieraus nicht zu ſchlieſ- ſen iſt, daß die Aenderung der Geſtalt in beyden Körpern glbich groß ſeyn müßte. Denn auſerdem, daß ſich überhaupt nicht ſagen laßt, worinnen die Gröſſe einer ſolchen Aenderung beſtehe, und alſo der Ausdruck in dieſer Allgemeinheit gedankenleer ſeyn würde, ſo könnte auch ein Körper wegen gröſ- ſerer Härte u. d. g. ſeine Geſtalt ſchwerer als der an- dere ändern laſſen, und alſo würde einerley thätige Wirkung, bey beyden doch verſchiedene Folgen ha- ben können,
U 4 134. Auf,

312 ZR(0) x=
134. Aufg, M und m 11053 ſind nun vollfom- men elaſtiſche Körper, ſonſt älles wie vorhin; man ſucht ihre Geſchwindigfeiten nach dem Stoſſe.
Aufl. 1. Es iſt flar, daß während des ganzen Stoſſes, die Wirkung des einen Körpers in den andern, und die elaſtiſche Kraft des andern beſtän- dig gegen einander ſtreiten; weil es aber nicht ſo leicht iſt, die Veränderungen, die hier nacheinan« der folgen, deutlich zu überſehen, ſo kann man ſich den Stoß, wie er bey vollkommen harten Körpern ſeyn fönnte, als vollendet vorſtellen, und nach- gehends betrachten, was die elaſtiſche Kraft in ſei- nen Folgen ändert. Es iſt nähmlich einerley, ob' dieſe Aenderung am Ende ganz betrachtet wird, oder ob die einzelnen Aenderungen, aus denen ſie nach und nach entſkeht, zuſammen gerechnet werden, wie es einerley iſt, ob ich am Ende des Jahres meine „ganze Ausgabe dieſe Zeit über, von der Einnahme abziehe, oder ob ich dieſen Reſt mühſamer durch !'Abziehung jeder einzelnen Ausgabe gefunden hätte. Cin ähnliches Verfahren iſt l. Abſchn, 61. beobach« tet worden. 3
11. Ich ſtelle mir alſo die beyden Körper 38.4.“ „in B an einander liegend in den Umſtänden vor, in denen ſie nach dem Stoſſe(110) bleiben würden, wenn fie nicht elaſtiſch, fondern nur-weich wären. Alsdenn härte jeder ſeine Geſtalt etwas geändert, , wenn es z.'E, Kugeln wären, ſo wären ſie an B an einander platt gedrückt. Ihre Geſchwindigkeit aber, würde wie bey ganz harten Körpern ſeyn.
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x%(0)*L 313
IIC. Dieſe Veränderung der Geſtalt, die einer von dem andern, ich will ſeßen m von M gelitten Hatte, rührte von der Würkung des Körper8 Min m her(1323 133), da ſich nun wegen der vollkom. menen Federkraft, die Geſtalt inim wie zuvor wieder Herſtellen ſoll, ſo müſſen die Theile von m, die we- gen dieſer Wirkung auf die 132, beſchriebene Art find in m hineingedrückt] worden, ihre vorige Stel- len in Abſicht auf den Körper m,(nicht eben in Ab- ſicht auf den abſoluten Raum 1, Abſchn, 3.) wieder einzunehmen ſuchen, daß der ganze Körper m wie- der ſeine vorige Geſtalt bekömmt, ob er gleich ſelbſt vielleicht auf einem andern Plaße wäre, Dieſes Beſireben, bey den erwähnten Theilen, ſeßt, wenn es vollendet werden ſoll, eine Wirkung zum voraus, von der die Wirkung völlig aufgehoben wird, welche die Theile in ihren bisherigen gewaltſamen Zuſtand gebracht hatte, eine Wirkung alſo, welche der Wir- Fung des Körpers M inm, gleich aber enfgegenge- ſeßt ijt; da nun die Wirkung des Körpers M inm darinnen beſtund, in m die Veränderung der Be- wegung m.( c+x) hervorzubringen(123), ſo muß die jeßt erwähnte Wirkung der Theile, die ſich wie: der herſtellen, eben ſo viel Bewegung im Körper M hervorbringen, ſo viel Bewegung der Körper M in m hervorgebracht hatte, ſie in ihren gewaltſa- men Zuſtand zu verſeken; dieſe Bewegung aber, die ſie in M hervorbringen, muß eine Richtung haben, die der Richtung entgegengeſeßt iſt, nach welcher M in m wirkte: Nach der leßten Richtung nähmlich wirkte M um dieTheile aus ihrer erſten Lage
5 in

314 S2(i0-) 32%
ineine gewaltſame zu bringen, alſo müſſen die Thei-
le, wenn ſie ſich wieder in ihre erſte Lage bringen ſollen, nach der entgegengeſeßten Richtung wirken. Indem ſie nähmlich ſich wieder in dieſe Lage zu brin- gen ſuchen, ſo ſtoſſen fie eben ſo gegen M, wie M gegen ſie ſtieß, als es ſie in die gezwungene Lage brachte.
Il. Die Federkraft des Körpers m, benimmt alſo dem Körper M, von der Bebens: mit der er nach ſeiner anfänglichen Richtung fortgehen woll- te, ſo viel, ſo viel die Wirkung des Körpers M in m beträgt, dieſe Wirkung„in in 123. angegeben; und wenn män ſie von der Bewegung abzieht, die der Körper M nach dem Stoſſe hätte, wenn m oh- ne Federkraft wäre, ſo kömmt die Bewegung des Körpers M nach dem Stoſſe in gegenwärtigem Falle aus 12353 Mx-M.(C-x)=M(2x-C)=
M.[(M-m.). C=-2mc] (110) M ate.
„V. Folglich die Geſchwindigkeit(103) (M-m).C-2mc 6 NIE
Vl. Was die Federkraft von M in m verändert, wird man auf ähnliche Art folgendergeſtalt berech- nen: Jn M wurden ebenfalls Theile, vermöge der Wirfung zuſammengedrut, die m in M ausübte, und ſie üben bey ihrer Wiederherſtellung eben die Wirkung in m aus; da ſie nun bey ihrer Wieder- herſtellung, nach eben der Gegend, wo C hinliegt, wirken, nach derm ſo ſchon nach dem Stoſſe gehen
wollte,
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wollte diem fraft 1 Gtoſſ,
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136]
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„an ſelt) (dev) iſt, v gibt jj 0

Ez,(0)*L 315
000 wollte, ſo vermehrt ihre Wirkung die Bewegung, af die m nach dem Stoſſe hätte, wenn M ohne Feder- |(Wel kraft wäre: Alſo iſt die Bewegung die m nach dem DEN EStoſſe hat, wenn die Federkraft von M zugleich Duhgene ly wirft mx+ m.(c+Xx)(123)=m.(C+ 2X)= 1gene(y m.[(M-m).c+2MC] ME m(110).
nN, benim; WEIT 3 VW 1 VILL Alſo die Geſchwindigkeit(103)
g, mit)
|;(M-m). c+2MC rtgehenm!. Rötpers N| M+m . angegebn 135. Aufg. Elaſtiſche Körper M und m folgen abzieht) einander, das übrige iſt alles wie in 114. Man wennn ſucht ihre Geſchwindigkeiten nach dem Stoſſe, wegung Aufl, l. Eben ſolche Betrachtungen, wie die Genn voriger, zeigen, daß die Federkraft von m, in der
1,(2x-0/: Bewegung, welche die andere Maſſe nach dem Stoſ- ſe harte, wofern Feine Federkraft vorhanden ware, ſo viel vermindert, ſo viel dieſer andern Maſſe Wirkung in die genantte betrug. Aus 1313 1223
3 iſt dieſe Wirkung m.(x=) und aus(114) die nur M.(MC+mc genannte Bewegung M- 4 Wenn man 1||: 7000 jenes von dieſem abzieht, und den Werth xaus 114, (a) an ſeine Stelle ſekt, ſo gibt ſich die Bewegung, wel- M ausiht<he M nach dem Stoſſe hat, wofern m, federhart
ebm iſt, und dieſe Bewegung mit ihrer Maſſe dividirt, “ m des Körpers M Geſchwindigkeit ] 709. 2.428 0 ER 20G ) M+m
ſem wolt) 11. Der

ZIG. ZL(0)&*L
11. Der Maſſe M Federkraft vergröſſert auf eben|
die Art der Maſſe m Bewegung, die aus 114. zu nehmen iſt, um ſo viel als der leßtern Maſſe Wir- kung in die erſte nach 122. betrug, daraus findet man eben ſo des Körpers m Geſchwindigkeit (m-M). c+2MC
M+ m;
111. Man begreift, daß die Geſchwindigkeitinl. aus 1343 Vz und die in Il aus 134; VI; wird, wenn man c in 134, verneint ſeßt, eben wie in115,
136. Zuſ. Die Rechnung nahm an, daß nach vem hier betrachteten Stoſſe, beyde Körper in bey den Fällen, des Begegnens und des Folgens, nach der rechten Hand deſſen, der die 38. F.+ anſteht, gin- gen. Solchergeſtalt ſest M in beyden Fällen ſeine Bewegung in der Richtung fort,die es vor demStoſſe hatte, m'aber thut ſolches nur im zweyken Falle des Folgens, im erſten Falle ändert es die Rich- tung, die es vor dem Stoſſe hatte, in die enkge- gengeſeßte. Kömmt nun eine der hier berechneten Geſchwindigkeiten nach dem Stoſſe, verneint her- aus» ſo zeigt dieſes an,«daß der Körper, dem ſie zugehört ,. die Richtung nehme, welche der jeßt er- wähnten entgegengeſeßt iſt. Wenn alſo die Ge- ſchwindigkeit des M verneint wird, ſo wird M re? flectirt, und geht wieder nach der Gegend zu, wo es hergekommen iſt. Die Geſchwindigkeit von m aber kann nie verneint werden, denn in 1343 VIl; iſt mc<< MC(110) und in1353 IL. iſt c<S C(114). Gleichwohl ſagt man auch mit Recht, m werde im Falle

AI TENBTE: eren I REET ORION 3 078 mmer Een SAH LIEBER LIN GARNET BORON<ibade un DI CERGES AH Ef 3 Sh VA DIORTE LET aum 0 EEDREEREETÜEN 5 EE p.
Zz(0)&X 317
Wett wh Falle des Begegnens reflectirt, weil es nach der
. 1) Gegend, wo es vor dem Stoſſe herkam, zurück. nMaſſ Y kehrt. Cs würde dieſes zwar auch ohne Federkraft daraus fü thun, aber nicht ſo ſchnell, als wenn die Feder- ndigfeit Fraft wirkt,
137. Suſ. Wenn in 135; 1; M Sm, wird das
erſte nie reflectirt, auch nicht wenn C<2 2c, ſoll
vindigfel| es aber auch für C= 2c nicht reflectirt werden, ſo 45 VIl; wd muß m(C-2c)>M.C ſeyn. Sind dieſe beyden Producte gleich, ſo verſchwindet der Zähler der Ge-
|
GID ſchwindigfeit, oder M bleibt ſtehen.
en) vj| 138. Zuſ, Wenn M=mz ſo wird die Geſchwin-
Körper in digfeit in 1355; Vz;=> c, und die in 134; VIl;
Folgend 1=C;z oder: Gleiche Maſſen, die einander begeg-
Fe anſieht nen, Fehren von einander mit verwechſelten Ge-
nja Jchwindigfeiten zurück,
vordenen 139. IUſ, Iſt alſo c=0, oder ſiößt eine Maſſe jwenten an eine ihr gleiche ruhende an, ſo bekömmt die, wel-
es died: che geruhet hatte, der anſtoſſenden Geſchwiadigkeit,
In die und die anſtoſſende bleibt ſtehen..
et bera 140. Zuſ, Waren in134 5; die Geſchwindigkeiten Verne vor dem Stoſſe gleich, ſo verhielten ſich die nach
eper, M dem Stoſſe; in V; VIl; daſelbſt wie M= zm: zM- m. 04 141. Zuſ, Wären in 134. die Bewegungen vor alſo die dem Stoſſe gleich, ſo wären die Geſchwindigkeiten
0 wird nach dem Stoſſe, in voriger Ordnung=C; cz oder egen) py jeder Körper kehrt mit ſeiner Geſchindigkeit zurück. igfei- Er hatte nähmlich, ohne Federkraft ſeine ganze Be- MDH wegung verlohren, und bekömmt: alſo durch die Fe- 47 in derfraft eben dieſelbe wieder, nur rüfwärts.
vn ſ 142, Zuſ.
pj

318 2058:---0.0.3.' Ws.)
142. Zuſ, Wennman das ruhende M; und went
M an das ruhende m"ſtößt, ſo verhalten ſich die Geſchwindigkeiten, die dortenyM, hier m, befom- men, aus 1343 Vz VIl; wie=mc:+MC. Alſo verkehrt wie die Maſſen, wenn jeder der bewegten Körper mit einerley Geſchwindigkfeit'an den andern ruhenden ſtieſſe. " 143. Zuſ, Wenn in 134. keine Reflection ge- ſchieht(136), ſo läßt die Geſchwindigkeit des M ( daſ. V.) von der Geſchwindigkeit des m(daſ. V1!.) abgezogen, c+C oder der Unterſchied der Geſchwin- digkeiten nach dem Stoſſe, iſt ſo groß als die Sum- me derſelben vor dem Stoſſe.
Es erhellt zugleich, daß m ſchneller vorangeht, als Mnachfolgt, wie nöthig iſt, wenn nur ein Stoß geſchehen ſoll, weil ſonſt die Körper einander ein- hohlen und zum' zweytenmahle ſtoſſen würden.
144. ZUſ,. Wenn aber daſelbſt M reflectirt wird, ſo wird der Werth der Geſchwindigkeit 134; Vz verneint(136). Da nun das Verneinte blos die Richtung anzeigt, ſo iſt die wirkliche Gröſſe der Ge- ſchwindigkeit von M nach dem Stoſſe, alsdenn der Ausdruck 1343 V. mit entgegengeſeßtem Zeichen ge- nommen. GSolchergeſtalt zu der Geſchwindigkeit 1343 VII; bey welcher ſich nichts ändert, addirt, muß er auch c+C geben, weil er mit den Zeichen wie ſie 1343 Vz ſtehen, abgezogen, dieſes ga (143). Hier alſo iſt die Summe der Geſchwindige- keiten nach und vor dem Stoſſe einerley. Wenn nähmlich hier' jede Geſchwindigfeit bejaht genom-
men wird. 145.
eines ſchied Gtoſf 140 Ausdt nähm! um mu Jung au Orr diet, feht (145)! fen nd derfell;

zZ(%))<ZZz 319 M; Unt 145. Zuſ, Wenn in 1353 M niche veflectirt wird, halten ſh ſo ziehe man ſeine Geſchwindigkeit( daſ.[.)'von des ier m, befn m Geſchwindigkeit(daſ. 11.) ab; der Reſtiſt C= c; FMC, bejaht(114), alſo geht m nach dem Stoſſe, ſchnel- ' der benen ler voraus als M folgt, wie wieder zu Vermeidung an den ahn eines zweyten Stoſſes nothig iſt, und.;die Unter-
ſchiede der: Geſchwindigkeiten nach-und. vor dem Reflectim) Stoſſe ſind einerley,
digfeit da) 146, Zuſ.. Würde aber M reflectirt, ſo. wäre der 5 m(daſ Ausdruck ſeiner Geſchwindigkeit(1353 1.) verneint; dder Geſt nähme man ihn nun mit entgegengeſeßten Zeichen,
ßalsdie Eu um nur dieGröſſe derGeſchwindigkeit, nicht ihreRiche fung auszudrücken, ſo würde er auf dieſe Art zu der ller voran) Geſchwindigkeit 1353 II; in der ſich nichts ändert, ad-
murine) dirt, eben das geben, was er, ſo wie er 13535 L x einande) ſteht, davon abgezogen, gab, Alſo iſt vermöge 1 MDÜtDen,(145) gegenwärtig die Summe der Geſchwindigkei- VAN ten nach dem Stoſſe ſo groß, als der Unterſchied teflectir derſelben vor dem Stoſſe.
0 jeh 147, Dieſe Verſchiedenheiten laſſen ſich folgen- Gröſſede! dergeſtalt überſehen: Die Körper gingen
» alsdimt vor und nach dem Stoſſe
em Zein I) nach verſchiedenen Ge- Da iſt die Summe der jeſchwindyy! genden; Geſchwindigfeiten vor ndert, ab und nach dem Stoſſe ei- it den 3410! nerley 144.
. dieſs 4 11)- einerley Gegend Da iſt der Unterſchied Geſchwin) der G, vor und nach dem rl, Du Stoſſe einerley 145. wjaht 9710?
| I11)

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A-„wertet 6 Abeln „eeantur=> m org: Den 7 mn IE
320 2(0) 25%
III) Vor dem Stoſſe na) Der Unterſchied der verſchiedenen,;nach dem Geſchw. nach dem St, Stoſſe nach einerley iſt der Summe der G. Gegenden vor d. St. gleich 143.
U1l) Vor dem Stoſſe naß Die Summe der G. einerley, nach dem nach dem St. iſt dem Stoſſe nach verſchie= Unterſchiede der G., v. denen Gegenden dem Stoſſe gleich 146,
148. Zuſ: Wenn man die berden Bewegungen nach 1343 1I; VI; wie ſie da ſtehen, zuſammen rechnet, ſo iſtihre Summe= MC- mc; dieſes gilt aiſo für 147. 1IL(136),
149--Zuſ, Würde aber M reflectirt, ſo müſſte man den 1343 Vz geſundenen Ausdru> ſeiner Ge- ſAmiapglen, mit entgegengeſeßten Zeichen nehmen (136), eben dieſes alſo auch mit der Bewegung 1343 II. thun, dieſe alſo von der Bewegung der Maſſe m 134; VI; abgezogen, gäbe eben das, was ſie in148 mit den Zeichen, wie ſie 1343 ll; ſteht, addirt gabe; oder der Unterſchied der Bewegungen nach dem Stoſ- ſe, wäre hier ſo groß als der Unterſchied der Be= wegungen vor dem Stoſſe- zFür 1473 1.
250. Zuſ. Wenn man aus den Geſchwindigkeiten nach dem Stoſſe, wie ſie in 1353!3 1lz berechnet ſind, die Bewegung jeder*Maſſe berechnet, und beyde Bewegungen zuſammen addirt, ſo finder ſich ihre Summe ſo groß als der Summe der Bewegun- gen vor(dem Stoſſe. Hier muß Mnicht refiectirk werden, und dieß gilt alſo für 147; 11.
351, Zuk
31 der J de'G nett, fung, Oröſſ mit(! von) das,! addirt Bewe Sumt
| 152, Gum Bewe wil vy ſchied nach (Gloſſe (131),
13] ung| Corte Welt y würde, verlöh der] Erin Cartex 0,49
M

| ]
Inferſchid) y . nach dine umme ded
Ot, glei 1; umme dy) m St, ih hiede derh, foſſe glei]
1 Betpegu en, zuſem 3= me; h
iet, ſom eud ſein eichen ni Bewegung, gungdet NN , Was NEN, ht, addity nach deme: ſchied da) 47; c<windigl? TS. ham) ; 1; 700 verechnet, 1 „ſo find der Dent" nicht mofet? ll,
151,%*
ZZ(0)„zx 321
151, Zuſ, Würde aber M reflectirt, ſo würde der Ausdruck ſeiner Bewegung, wie man ſolchen aus der Geſchwindigfeit auf nur erwähnte Art fände, ver. neint, und wenn man, ohne Abſicht auf die Rich- tung, welches das Werneinte ausdrückte, nur die Gröſſe dieſer Bewegung zu haben, den Ausdruck mit entgegengeſeßten Zeichen nähme, ſo gabe er, von der Bewegung der Maſſe m abgezogen, eben das, was der Ausdruck(150) zu dieſer Bewegung, addirt, gäbe. Nun wäre alſo der Unterſchied der Bewegungen nach dem Stoſſe ſo groß, als die Summe vor dem Stoſſe. Für 1475 111,
152. Zuſ, Alſo bleibt nur in 147; Il; einerley Summe der Bewegungen, alſo überhaupt einerley Bewegung, vor und nach dem Stoſſe(150). Und weil von zwo bejahten Gröſſen, der bejahte Unter- ſchied allemahl kleiner iſt als die Summe, ſo iſt nach dem Stoſſe weniger Bewegung, als vor dem Stoſſe in 1473 Ul;(148) aber mehr in 147; 1Ulz (151)
153. Zuſ. Wenn man alſo die Gröſſe der Bewe- gung wie(103) ſchäßet, ſo iſt es falſch, was des Cartes Princ. P. Il. art. 40 ſeg, lehrt, daß in der Welt immer einerley Gröſſe der Bewegung erhalten würden, und nur was ein Körper an Bewegung verlöhre, in den andern überginge, worüber ſchon der P. Daniel in ſ. itin, per mund. Cartel, Erinnerungen gemacht hat, Ueberhaupt iſt des Cartes. in Beſtimmung der Regeln der Bewegung a. a. O. nicht glücklich geweſen, und eben ſo unglück-
UJatheſis ater Theil, X lich

322 zz.( 09) XxX
lich ſind ſeine Nachfolger im Beweiſe derſelben ge weſen, davon man in Lipltorpii Speciminibus phi- loſ. Carteſ. P, Il. Proben findet.!
- 154. Erkl. Zweene Körper beſchreiben in glei- <en Zeiten die Räume V z vz welches alſo auch die Verhältniß ihrer Geſchwindigkeiten gibt, daß man ſagen kann, die Geſchwindigkeiten ſelbſt verhalten
ſich wie V:vz Der Körper Entfernung ſey anfangs
=
1. Wenn ſie nach entgegengeſeßten Gegenden gegeneinander gehen, ſo iſt ihre Entfernung nach Ablauf einer Zewiſſen Zeit, a-=(V+v) das iſi, ſie find einander um den Raum V+v näher gekom- men, oder um eben ſo viel, als wenn einer geruht, und der andere ſich ihm mit der Geſchwindigkeit V4+v genähert hätte. Das heißt ſie nähern ſich mit der Summe der Geſchwindigkeiten,
11. Gehen ſie nach entgegengeſeßten Gegenden von einänder, ſo iſt ihre Entfernung nach Ablauf
der gegebenen Zeit, a4+(V+%v) öder ſie entfernen
ſich von einander mit der Symme der Geſchwin- digkeiten.- Ul. Folgt der ſchnellere mit der Geſchwindigfeit V dem langſamern nach, ſo wird ihre Enkfernung a4+v-V=a-(V-v) wo V=v bejaht iſt. Sie nähern ſich alſo einander mit dem Unterſchiode der Geſchwindigkeiten, . MI Folgt der langſamere mit der Geſchwindig-
„keit V dem ſchnellern, fo wird ihre Entfernung
a4+v=V, wo v=V bejaht iſt. Sie entfernen ſich
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Sto; eina C+? |) dem(5
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eſd) 23%(4.0.9568 7. 323 WINNEN:;
iminibg 4 ſich da von einander mit dem Unrerſchiede der Ge.
ſchwindigfeiten,
eben ing„455: öuſ, Man ſeße, der bisher betrachteten ela- alſo aub) ſtiſchen Körper M, m, Geſchwindigkeiten nach dem iht, NN Stoſſe, heiſſen V, v, ſo
bſt verhin[) näherten ſie ſich in 145, I; einander vor dem 9 ſey any Stoſſe mit C+c(1543 1.)3; und entfernen ſich von
einander nach dem Stoſſe mit V+v(154; 1l1,)=
en Gegen) AER 1753 e): Feen Il) In 147; Il; näherten ſie ſich einander vor v) das(j| dem Stoſſe mit C=c(1543 Ul,), und nach dem näher gf Stoſſe iſt v gröſſer als V(145), und ſie entfernen ; ſich von einander mit v=-V(1543. 111;)=C-e
einer gm! eſc<windy!(1473 Il).
ie nähen) I11) In 147; Il; näherten ſie ſich vor dem Stoſ- eiten, ſe, mit C+c(1543 1,), und weil v>V(145), ſo
entfernen ſie ſich nach dem Stoſſe mit v= V(1543
AEN IL)=C+e(1473 I11,). ſie entftr 1) In 1475 III; näherten ſie ſich vor dem
7 Gis Stoſſe mit C=c(154; I111.), und entfernen ſich nach dem Stoſſe mit V+ v(1545 11)=C ſ 4 (1543 III).
eſhwindy: ve Entfem„Die Körper enkfernen ſich alſo nach dem Stoſſe ht if,& mit der Geſchwindigkeit von einander, mit der fie
Unterſht ſich einander vor dem Stoſſe näherten, Man drück? dieſes auch ſo aus: Es werde bey ihnen einerley ce- leritas reſpediua erhalten,
Qeſchminth Enſe) 156. Suſ. In gleichen Zeiten vor und nach dem je ente Stoſſe; z. E. eine Minute vor, und eing Minute
j X: 2' nach

324 zx(0) ZL
nach dem Stoſſe, haben ſie gleiche Entfernungen; denn wenn die Geſchwindigkeit, mit der ſie ſich vor dem Stoſſe näherten, die ich Z nennen will, ihre
Entfernung in einer gewiſſen Zeit von a bis aufo| verminderte, ſo wird nach dem Stoſſe, eben dieſe.
Geſchwindigkeit, mit der ſie ſich. entfernen, ihre Entfernung von o bis auf a bringen. Man be- greift, daß hier die Zeit, welche der Stoß etwa dauert, nicht in Betrachtung gezogen wird. Nah- me man ſie für merklich an, ſo müßte man die Zeit vor dem Stoſſe, bis zu ſeinem Anfange, und die Zeit nach ihm von ſeinem Ende an rechnen.
Von der Bewegung des Schwerpuncts.
157. Aufg. Die Maſſen M, m, bewegen ſich mit den Geſchwindigkeiten C, c, in der geraden Li- nie AB, 39. F. gegen einander. Man ſucht die Be- wegung ihres Schwerpunctes( dieſes Wort in der 97. erklärten Bedeutung genommen)).
Aufl. 1. Wenn die Maſſen in A, B, ſind, ſey er in K; und in L, wenn ſie durch die Wege AD z; BE, in D; E, in der Zeit T, gekommen ſind. Man nehme in der Linie AB; einen Punct Q, nach Ge-
QA.M+QB.m
fallen, ſo iſt QK= NE(Stat, 45.)
AB.m =QA+ Mam wenn man Um AB ſtatt QB
ſet, Oder
11)

5%(0) Zz 325
Neee 1. Die Entfernung des Schwerpunctes, von et ie ſw dem unveränderlichen Puncte Q, beſteht aus zween en wil iy Theilen; der Entfernung der Maſſe M von Qz; und n a bis aff;: m ſe, eben dy dem Producke aus Mami" derMaſſen Entfernung, fernen, iy DE.m n May IL. Alſo iſt QU=QD+G337- r Stoß m n wird,)) III, Folglih QU- QK oder KL= AD- e man die!(AB- DE). m ange, un)) M+m echnen, V. Es iſt aber AD=C.T und BE=«.T, folg-
lih AB=DE+(C+ c).T, daher(Ul) CG, T+ des(C+c).T.m MC-mc ,.
ALE oder KERLE
» beweg) VI. Der GENT enfen ſich alſo von Q, der gerad, DETECH, zm; ) 14 ſ mit der Geſchwindigkeit 3 DET Kömmt der 5 Wort 1 Werth dieſer Geſchwindigkeit verneint heraus, ſo ), nähert er ſich Q mit dieſer Geſchwindigkeit(136). B, ſind! VILL. Tſt MC-mc=0, ſo ruht er bey der Be- Gege AD); wegung der Körper, ſonſt nie. ſind, W VIIL Ginge m nicht nach Q zu, ſondern nach :Q, mb der entgegengeſeßten Seite, ſo müßte man ſeine (Ent4 Geſchwindigkeit( wie in 136) als verneint anſehen,
und eben ſo die Geſchwindigkeit von M, wenn die- ſe Maſſe nach Q zu ginge.
AB fat VIII Wenn ſich alſo dieſe Körper aus den Stel-
len A, B, mit den Geſchwindigkeiten W,.w, von
] X% 3 einan-

326 ZL(0) zx
einander entfernen( wie elaſtiſche Körper, die nach
dem Stoſſe nach verſchiedenen Seiten gehen ,) ſo
darf man nur= W,=w, ſtatt C, c, ſeßen, und der Schwerpunct entfernt ſich von Q mit der Geſchwin-
'“MW digkeit Wen 4 Die Geſchwindigkeit
W iſt nach Q zu, die w von Q abwärts gerichtet; hat ein Körper eine andere Richtung, ſo nimmt man ſeine Geſchwindigkeit verneint.
X. W bedeutet hier die Geſchwindigkeit mit der M nach Q zugeht. In 1343 Vz ward die Geſchwin» digfeit gefunden, mit welcher M nach dem Stoſſe, nach AB ginge, alſo ſich von Q entfernte. Wenn dieſe Geſchwindigkeit verneint ward, ſo bedeutete ſie, daß M nach Q zu ginge, wie hier W; wenn ſie aber verneint ward, ſo ward ihr dortiger Aus- druck mit entgegengeſeßten Zeichen bejaht, dieſer muß alſo hier für W angenommen werden. Für w gilt der Ausdru> der Geſchwindigkeit 134; VI. wie er dort ſteht, wenn man nur in VIUll. ſtatt w, W, ihre jeßt angegebenen Werthe ſeßt, ſo kömmt mw- MW=MC- mc
XT, Alſo bewegt ſich der Schwerpunct nach dem Stöſſe nach eben der Richtung, und mit eben der Geſchwindigkeit; wie vor dem Stoſſe, daher er in der Vorausſeßung VIl; vor und nach dem Stoſſe
ruhte, dieſerwegen ſagt man: der Zuſtand des
Schwerpunctes wird durch den Stoß nichr geändert.'
XIl,
zl ſe eln in iht Art e! zu ve Gröſf Grö)! Die:
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Z*=z(0) zXz 327
XI1l. Er behält alſo auch vor und nach dem Staoſ- ſe einerley Gröſſe der Bewegung, wenn man ſich- in ihm die Maſſen vereinigt vortkellt„. auf welche Art einige Carteſianer den Saß ihres Lehrers(153) zu vertheidigen geſucht haben. Dieſe beſtändige Gröſſe der Bewegung; heißt„Joh. Bernoulli Gröſſe der Richtung/ quantites de diredion).
Diſe. für le mouvement ch 4. art. 8. Op. 1. UE
Xl. Nach dem Verfahrenin l.... VI laßt ſich darthun, daß der gemeinſchaftliche Schwerpunct ſo vieler Körper als man will, ruhe,oder ſich gleichförmig in einer gegebenen geraden Linie bewege, wenn dieſe Körper ſich gleichförmig in gegebenen geraden Linien bewegen, Man darf zu dieſer Abſicht nur jedes Kör- pers Bewegung in zwo zerlegen, da allemahl die eine einer gegebenen Linie, die andere einer andern parallel iſt. Dieſes hat König in der(97) angeführten Ab- handlung Theor. Il. bewerfſtelliget, und Theor, WL. gewieſen, daß, wenn ſo viel Körper, als man will, auf was für Art man will, durch Anziehen, Stoſſen, u.ſ. w. in einander wirken, der Zuſtand des Schwerpunctes dadurch nicht verändert werde. Newton Princ. Leg, mot. 3. cor. 4. hat dieſes ge- kehrt, aber auf feine überzeugende Art dargethan. Manſ. hievon auch d' Alembert, dynamique art. 68%
Noch einige Säße von den Veränderun- gen der Geſchwindigkeit.
158. Die Geſchwindigkeit des Körpers M nach dem Stoſſe(1343 V.), ziehe. man von ſeiner Ge- X 4.* ſchwig-

328 zz(0) 2x ſchwindigkeit vor dem Stoſſe ab, der Reſt iſt
CE 2 6 Eis WEISEN So viel Geſchwindigkeit hat er vere
„lohren. Hätte m geruht, ſo betrüge dieſer Ver-
C, luſt 7-- 3 Beyde verhalten ſich alſo wie die Sum-
me der Geſchwindigkeiten zu der Geſchwindigkeit des Körpers M.
159. Die Geſchwindigkeit in 1355 1; iſt von der in 1343 Vz nur darinn unterſchieden, daß c das entgegengefeßte Zeichen hat, Alſo verliehrt M in
; EE SENG E); 1353 1; die Geſchwindigkeit 234553 und die- ſer Verluſt verhält ſich zu den, welchen es litte, wenn m ruhte, wie der Unterſchied der Geſchwindigkei- ken zur Geſchwindigkeit des Körpers M, 160. Wenn m vor dem Stoſſeruht, ſo bekömmt 2. Beek: BVI es nach dem Stoſſe die Geſchwindigkeit Men: C (1353 ID). Jſt M gröſſer als mz ſo iſt der in C multiplicirte Factor, gröſſer als 13 aber kleiner als 23 Eine gröſſere Maſſe, gibt alſo einer kleinen ru» henden mehr Geſchwindigkeit, als ſie ſelbſt vor dem Stoſſe beſaß, aber nicht noch einmahl ſoviel.
161, Wenn,m vor dem Stoſſe ruhte, ſo hat die
zuvor ſchon bewegte Maſſe nach dem Stoſſe die Ge» SAM<= 17 ſchwindigkeit MIT C(1353 1). Dazu C ad-
dirt, giebt die Geſchwindigkeit der zuvor ruhenden Maſſe
Raſſ ſeul die€! an ſie" 16) Gteſ; <s (eſch! -=M: feit 0) dV ſen zu
| medern | wie died ſE Jaſſy 161
ſer al: [nah 03 ſe aſſe! mh
+(160)€ | ſo viel? |W8in%
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1; iſtver) » daß ch erliehrt ) -; un es[itte eſn M,
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ZzXx(ee)&X 329
Maſſe nach dem Stoſſe; Alſo iſt der vor dem Stoſ- ſe ruhenden Maſſe Geſchwindigkeit nach dem Stoſſe z die Summe, von den beyden Geſchwindigkeiten der an ſie ſtoſſenden Maſſe, vor und nach dem Stoſſe. 162. Der Maſſe M Geſchwindigkeit vor dem Stoſſe, verhält ſich zur Geſchwindigkeit der Maſſe m nach dem Stoſſe=M+m: 2M(165) und zu dee Geſchwindigkeit, welche M ſelbſt verliert(158) =M Hm: 2m, und zu ihrer eigenen Geſchwindig- Feit vor dem Stoſſe, wie M=m: M+m. Dieſe drey Vorhältniſſe ſind alſo; wie die Summe derMaſ- ſen, zur doppelten vorhin bewegten, Wie die Sum- me der Maſſen zur doppelten vorhin ruhenden, und wie die Summe der Maſſen zum Unterſchiede. Die- ſe.Säße 161; 162 gelten, die vor dem Stoſſe bewegte Maſſe, mag gröſſer oder kleiner ſeyn, als die ruhende. 163. Wenn m vor dem Stoſſe ruht, und gröſ:
ſer als M iſt, ſo. iſt des leßtern Geſchwindigkeit
nach dem Stoſſe(161) verneint, eine kleinere Maſ- ſe alſo, die an eine gröſſere ruhende ſtößt, wird alle- mahl reflectirt; der in C multiplicirte Factor aber (160) iſt<< 13 alſo bekömmt die gröſſere Maſſe nicht ſo viel Geſchwindigkeit,als die kleinere Maſſe,von der es in Bewegung geſeßt ward, vor dem Stoſſe beſaß.
Die Summen der beyden Producte aus jeder Geſchwindiäkeit Quadrate in ihre Maſſe, ſind vor und nach dem Stoſſe, einander gleich.
164, Die Quadrate der beyden Geſchwindigkei- ten 1343 V 3 VIL; ſind ein paar Brüche, deren ge- S5 meinz-

<= <Tre
7 Z Saa een GERHSi
=
3309 Zz X(0) Z*X
meinſchaftlicher Nenner( M+m)>? iſt,“ Die Zäh- ler ſind
(M-m)2,C2-2.(M-m).mCec+ 4m2c2 und „(M-m)2.c*?+ 2.(M-m). MCc+4M2C2 eWenn man den erſten Zähler mit M, den zweyten mit m multiplicirt, und beyde Producte addirt, ſo iſt ihre Summe( M=m)2.(MC2 mc?)+ 4Mm.
(mc?+ MC*2)=(M+m)2.(MC2 4 mc); dieſe-
Summe mit dem gemeinſchaftlichen Nenner darun- fer, gibt die Summe der beyden Producte aus je- der Geſchwindigfeit nach dem Stoſſe ihrem Quadra- te in ihre Maſſe; dieſe Summe iſt alſo= MC2 + mc2, ſo groß als die Summe der beyden Pro- ducte, aus dem Quadrate jeder Geſchwindigkeit, vor dem Stoſſe in ihre Maſſe.
Weil von den hier gebrauchten Geſchwindigfei- ten, die in(135) nur dadurch unterſchieden ſind, daß än ihnen c das entgegengeſeßte Zeichen hat, ſo iſt auch für ſie gegenwärtiger Saß wahr, weil das Quadrat von c einerley bleibt, was auch c für ein
„Zeichen hat,
Wie vorhergehende Säßze durch Verſu- de können gewieſen werden.
165. Wenn Verſuche mit den bisherigen Lehren verglichen werden ſollen, ſo.muß man Körper mit gegebenen Geſchwindigkeiten an einander können ſtoſſen laſſen, und auch die Geſchwindigkeiten, wel- *he ſie nach dem Stoſſe haben, zu meſſen im Stan- de ſeyn. Ein zuverläßiges Mittel, einem Körper
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zz(0) zL 331
eine gewiſſe beſtimmte Geſchwindigkeit zu geben, iſt, wenn manihn von der Höhe herabfallen läßt, welche dieſer Geſchwindigkeit zugehört(l. Abſch. 43). Der Wiederſtand der Luft wird nicht ſo gar beträchtlich ſeyn, wenn man dichte Maſſen von nicht allzugroſſen Höhen faklen läſſt. Weil uun die'Geſchwindigfeit bey einerley Höhe einerley iſt, durch'was für einen Weg auch der Körper gefallen iſt(ll. Abſchn. 20), ſo wird ſich dieſes auf verſchiedene Arten erhalten laſe ſen. Folgende möchte eine der beſten ſeyn: Man ſtel. le ſich an O 21 F, einen Faden vor, an deſſen Ende A eine Kugel hängr: Wenn man den Faden mit der Kugel in die Lage OE erhebt, ſo wird die Kugel in A mit der Geſchwindigkeit anlangen, die der Höhe AG zugehört. Gegentheils, wenn ſie, vermittelſt eines in A erhaltenen Stoſſes, bis in E ſteigt, ſo Hat ſie in A die Geſchwindigkeit gehabt, welche der Höhe AG zugehörte(1, Abſch. 45).
Man hänge alſo ein Paar Kugeln P, Q, 40. F, an Fäden von M ,N, ſo, daß in dieſer verticalen Lage der Fäden der Kugeln Berührungspunct mit ihren beyden Mittelpuncten in einer wagrechten Linie liegt. Wenn man nun jede Kugel in der Vertical- fläche dur< MN erhebt, ſo daß jeder ihr Faden ſo ſtark geſpannt bleibt, als in der verticalen Lage, oder daß jede wie ein Pendel gehen muß, fo ſtoſſen ſie zu unterſt gerade an einander. Man kann jeder Kugel vermittelſt der Höhe, durch die man ſie fallen fäßt, eine willführliche Geſchwindigkeit geben, und alſo kann man die Höhen ſo nehmen, daß dieGeſchwin- digfeiten gegebene Verhältniſſe haben, Wie groß
die

332 xz(0) z2L
(4) die Geſchwindigkeit iſt, welche jede Kugel nach dem (14 Stoſſe hat, läßt ſich aus der Höhe wahrnehmen, auf K» welche ſie nach dem Stoſſe wieder ſteigt. Man |, wird leicht ausdenfen können, wie Maſchinen zu 4119 dieſen Werſuchen einzurichten wären. Mariotte ' Hat dergleichen ſchon gebraucht; de 1a percuſſion des corps,(Oeuvr. de Mr, Mariotte Haag 1740 TT. 1.) und Nollet Mariottes Maſchine bequemer ge»
macht Legons de Phyf. T.1 4, Leg, 3. Sed,
Bon der Mittheilung der Geſchwindig
1900„ eit vermittelſt mehrer Körper. FUR E 8 1.0, 0)(1490 166. Aufs. A, B, C, ſind drey Maſſen, von de- m ar| nen die leßten beyden ruhen. Die erſte ſtößt an die 104(41) zweyke mit der Geſchwindigkeit a an, und die zwey- | 110 JNBNG fe mit der hiedurch erlangten Geſchwindigkeit an 04|| iK die dritte, Man ſucht der leßten Geſchwindigkeit. ji| 900„ Aufl, Für die erſte und zweyte Maſſe iſt jj"00 in 135; U- M|mIClIc 1100008“Wwhier 2: A[BL a:|-v "!. tx|; ,Ä | 1 y 30 alſo der zweyken Maſſe Geſchwindigkeit= AIB; NNEN': TAX ' 4| Auf eben die Arr der dritten Maſſe Geſchwindig- | vn 11,44 Fei 2B 2Aa 4ABa | MCE ABT ABLACALBCIBE: TIMES ENEN| 4- e e e e | Hätte die erſte Maſſe unmittelbar an die dritte (m„04 64 geſtoſſen, wenn nähmlich B nicht da geweſen wäre, DA)|| DAUs MEETS; 2Aa 900 00)!„ſo ware die Geſchwindigkeit der dritten ATC ge- 0: weſen,( 1:6) Dieſe 1500 SONORH
Die!
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und deit hwindight ſchwindigy
Naſſe if
an dieht! geweſen 7,00 wenn py "hl
M
zz(0) X= 333
Dieſe unmittelbar erhaltene Geſchwindigkeit,
von jener mittelbar erhaltenen abgezogen, läßt 2B B
(2 DMC-56) 2. 5 Din man die beyden Brüche, deren Unterſchied den er- ſten Factor ausmacht, auf einerley Benennung bringt, ſo wird der Unterſchied der Zähler(A-B). (B-C); dieſes iſt bejaht, wenn A, B, C, nachein- ander kleiner, oder auch, wenn ſie nacheinander gröſſer werden, ſo daß die Gröſſe von B, zwiſchen die Gröſſen von A und€ fällt, im erſten Falle nähmlich ſind beyde Factoren dieſes Unterſchiedes bejaht, im zweyten ſind beyde verneint. Alſo läßt die unmittelbare Geſchwindigkeit von der mittelba- ren abgezogen, allemahl was bejahtes; das. iſt: Wenn zwiſchen zween elaſtiſche Körper ein dritter gelegt wird, der gröſſer als einer von den beyden äuſerſten, und kleiner als der andere iſt; und wenn man einen von den äuſerſten, an dieſen mittlern ruhenden, mit einer willkührlichen Geſchwindigkeit anſchiebt, ſo wird von dieſem mittlern, dem an- dern äuſerſten ,. der auch geruhet hatte, mehr Gez ſchwindigkeit mitgetheilt, als derſelbe erhalten hät- te, wenn der mittlere nicht da geweſen wäre, und der erſte äuſerſte mit ſeiner Geſchwindigkeit unmit- telbar an den leßten geſtoſſen hätte,
167. Aufg. Wenn A, a, C, gegeben ſind, zu finden wie groß B ſeyn muß, damit die von ihm an€ mitgetheilte Weſchwindigfeit die größte mög= liche wird,
Aufl,

334 Z*X(0) X=
: Ded IE 520 4A2 Aufl. Dieſe Geſchwindigfeit i't=5T CTB Y GUTE Wenn man nähmlich in ihrem vorigen Ausdruce Zähler und Nenner mit B dividirt. Jm gegenwär- tigen nun, iſt nur der Nenner veränderlich, und man überſieht alſo gleich, daß dieſe Geſchwindig- Feit am größten wird, wenn der Nenner gegenwär- tigen Ausdrucks am kleinſten wird. Dieſes ge- ſchieht nun vermöge der Methode der größten und kleinſten, wo ſein Differential verſchwindet, alſo
A.C.-dB ZIE; 3+FWB=0 oder B?2=A.C, das iſt, wenn
der mittlere Körper die mittlere geometriſche Pro- portionalgröſſe zwiſchen den beyden äuſern hat.
+ 168. Aufg, Cine Reihe Körper ABC...O (41. F.) deren Maſſen in einer geometriſchen Pro- greſſion fortgehen, liegen ruhig. Man giebt dem erſten die Geſchwindigkeit az mit welcher er an den zwveyten ſtößt, dieſer giebt vermittelſt der erlangten Geſchwindigkeit demz dritten eine gewiſſe Geſchwin- digkeit, und ſo der dritte dem vierten, u. ſ. w. Man ſucht des leßtern Geſchwindigkeit.
Aufl. Der Erponent der Verhältniß ſey n, ſo daß der zweyte Körper B=nA, der dritte C=n2A, und ſo derrteK=n"7"A; der(r+1)te;L=2a2A Des, rten Geſchwindigkeit ſey u; ſo iſt die Ge-
2K1
ſchwindigkeit des nächſtfolgenden EEB(wie in
166) 7
oder d' Körpet 2 =)| 1-40 iſt, al genom! pers(! fin Dr.
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f Z%(0) XT 335 4% e=-1 FEE IN RIE 2U IM 2 4 VRAGEN 166) T6* Man NE DUUEGEN GETAN 25 ;+ oder die Geſchwindigkeit eines gewiſſen beſondern M" 44 Körpers in dieſer Reihe, ſey a mit der Potenz von Beden: S:; nderlic, y; rq multiplicirt, deren Exponent um eins kleiner Geſchwin)
nor gegen: iſt, als die Zahl des Körpers. Wenn dieſes an- Dieſs genommen wird, ſo iſt des nächſifolgenden Kör- d|
[] 2 y t größten) pers Geſchwindigkeit(EY, oder ſie iſt auch <windet, I
ein Product aus a in eine Potenz von.+7 deren
das iſt, 11: DOEH;; | Exponent um eins kleiner iſt, als die Zahl des Kör- metriſche) pers. Gilt alſo das angenommene Geſeß für einen
uſern ha, Körper, ſo gilt es für alle folgende, Nun iſt. abex
110. zweyten Körpers Geſchwindigkeit=35 3 Van gieht 1482» und für ihn r=1; Alſo gilt für ihn die- IE ſes Geſeß, ſo wie es r=1 geſeßt, für den evſten iſ Geſtn gilt. Alſo iſt es für alle wahr; und 6 Geſchwin- " Wh digfeit des(r41) ten Körpers iſt(=). 3.
niß fon)? Trempel. Wenn die Körper in der Reihe Ig ite 01) Z3 X3--. Abnehmen, oder n=, ſo iſt dieſe Ge- WIEN ſchwindigkeit(4)"a; alſo wenn 106 Körper wären, WEN oder r+ 1=1003 des hunderſten Geſchwindigkeit
hv(4) 29.2. Man findet dieß durch die Logarithmen "(me 1 wenigſtens einigermaſſen ſo;
1) log

336 EX(06) Zz
log 4:= 9, 6020600 * log 3:Z 0,4771212 log 4=0,1249388 abgezogen von „109l0g4=12, 49388 läßt
99102+=12, 36894' Weil ein ſo groſſer Logarithme nicht in den Tafel ſteht, ſo ſuche man ihn um 8 vermindert in den Tafeln auf; ſo fällt er zwiſchen die Logarichmen von 23385 und von 23386; alſo die Zahl die dem gefunde- nen Logariſhmen zugehört zwiſchen 2338522200000 und 2338600020000 oder die Geſchwindigkeit des hunderſten Körpers iſt mehr als 2 338 599 000 000 mahl gröſſer als des erſten ſeine,
Stieſſe der erſte Körper unmittelbar an den leßten an, ſo wäre des lebten dadurch erhaltene Geſchwin-
2 Aa ERR digkeit=-=.3, welches of- A+(=) 223 Es 29"+1 fenbahr nur ein wenig“* iſrals 1 iſt, wienach 165
auch ſeyn muß; woraus man ſieht, wie ſehr die Geſchwindigkeit durch Dazwiſchenſeßung vieler Körper verſtärkt wird, bey jeden nähmlich was we- niges, aber das oft wiederhohlt.
169. Die Wahrheiten von 132...168, machen Huygens Buch de mota corporum ex percuſlione in ſ, Op. poſthum. aus; wd ſie aber auf andern Gründen beruhen, und ſynthetiſch ausgeführt ſind. Huygens und Wrenn haben, jeder für ſich, im vo- rigen Jahrhunderte die Geſebe des Stoſſes faſt zu
- einer
einer unterſ bo die, fen dat be, da die R! deutlid jeder J
170, Huyge! de 34 Die ma pom c
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KEENE en een A Sv RÄT ir 3 EN BRENDA CA ZHS
ZZ(09)&x 337
einer Zeit enkdeckt. Man hat ſie nachgehends auf
unterſchiedliche Arten darzuthun geſucht. Jc< ha- von be die gegenwärtige, wie ich bey eignem Nachven-
fen darauf gekommen bin, erwählt, weil ich glau-
be, daß ſich, wie in 132,.135. verfahren worden,
die Richtigkeit deſſen, was man annimmt, am In den?) deutlichſten überſehen laßt, welches* ich nicht von Indert in! jeder Abhandlung dieſer Lehren ſagen kann.
Van 170. Das Erempel(168) macht den Schluß von WEIN Huygens Buche, Er giebt aber daſelbſt eine an- zu fuhh dere Zahl an, weil er ſich vielleicht verrechnet hakt. * 5 Die wahre hat Joh, Bernoulli gegeben diſc. für le 5654 mouv. chap. 4. art. 15.
. an derſh 171. Wenn die Bewegung in dieſem Erempel ene Geſte vom kleinſten anfinge, alſo B=2A. C=2B u.ſ,w. wäre, ſo wäre n=23z und des(r+1)ten Geſchwin- 1, welt digkeit(3)"a, kleiner als a wie gehörig(163) alſo die Gröſſe ſeiner Bewegung(*)*. 4.2". A=(4)*.A2.
„wien?“ redet a. a. O. davon, wie in dieſem Falle „wie ſep? die Gröſſe der Bewegung vermehrt werde, welches eßung ſich aus gegenwärtiger Betrachtung wird herleiten
mlich wn laſſen. Weil er ſich aber nicht deutlich erklärt, und ſeine angegebene Zahl ſowohl als die andere falſch 169, m ſeyn könnte, ſo überlaſſe ich dieſe Unterſuchung nach
c peri der gegebenen Anleitung anzuſtellen, jemanden, der
+ auf a ſich daran üben will, da an der Sache ſelbſt üÜbri-
geführt(% gens nichts gelegen iſt.
fich, im
vſe ji| Vom (in Latheſis 4ter Theil, 9

338 XR(0) Z8 Bom ſchiefen Stoſſe.
172. Den ſchiefen Stoß zu unterſuchen, darf man nur den bisherigen Betrachtungen die Zerle« gung der Bewegung beyfügen,
Geſeßt, zwo Kugeln deren Mittelpunctke A, PB, ſind, 42. F, ſtoſſen ſo an einander, daß vor dem Stoſſe, ihre Geſchwindigkeiten und Richtungen AD; BE; ſind. Weil im Stoſſe, die Mittelpuncte mit dem Berührungspuncte in einer geraden Linie AB liegen, ſo zerlege man die Geſchwindigkeit AD in die beyden Theile AE, DE, deren der erſte nach AB gerichtet, der andere darauf ſenkrecht iſt; Eben ſo werde BF; in BG, FG, zerlegt. Man ſehe al-
' ſo die beyden Körper an, als ſtieſſen ſie mit den
Geſchwindigkeiten AE=C; BC==c; gegen einan- der,(fiele G nach eben der Seite von A, nach wel- her. E fällt, ſo folgte A dem B nach,) und ſuche dar- aus jedes Geſchwindigkeit nach dem Stoſſe(1343 133553)- Was hieraus für A folgt, werde durch AH ausgedrückt. Man ziehe AL der ED parallel und gleich, ſo hat A die beyden Geſchwindigfeiten AH, AL; aus denen die mittlere Al entſpringt, oder AI wird den Weg und die Geſchwindigkeit von A nach dem Stoſje anzeigen. Cben ſo verfährt man für B.
Ich berrachte hier blos die Geſchwindigkeiten der Mixttelpuncte. Es iſt offenbahr, daß die Körper durch einen ſolchen Stoß noc< Bewegungen um Aren befommen, und ſich wälzen werden, welche Unter- ſuchung ich hier wie in(99) beyſeite ſeße. | Vom
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ZZ(0) XL 339 Vom Stoſſe an Hinderniſſe, die nicht weichen.
173. Lehrſ, Wenn ein elaſtiſcher Körper nach der Richtung DE 43, F. ſenkrecht auf eines elaſti- ſchen unbeweglichen Körpers Ebene ſtößt, ſo ſpringt er mit der Geſchwindigkeit zurück, mit der er an- geſtoſſen har,
Dew. Wäre feine Federkraft da geweſen, ſo hätte der Körper beym Anſtoſſe ſeine Bewegung völ- lig verlohren, und wäre in E liegen geblieben; Ey härte nähmlich das gethan, was nothig war, ſeine Bewegung dem unbeweglichen. völlig mitzutheilen, obgleich daraus in dieſem keine wirkliche Bewegung erfolgt, eben wie wenn ich mit meiner völligen Ge- walt an eine Mauer drücke, von mir alles geſchieht, was mir möglich iſt, eine Bewegung hervorzubrin- gen, obgleich Feine ſichtbare erfolgt, Weil nun vermittelſt der Federkraft die Veränderung wieder hergeſtellt wird, die er gelitten hat, ſo erhellt wie in 1343 111; daß er die vorige Bewegung, und. al- ſo die vorige Geſchwindigkeit rückwärts bekomme.
Eben den Schluß bringt man heraus, wenn in 1353[; c=0 und m==5%» geſeßt wird, denn da wird des Körpers M Geſchwindigkeit nach dem Stoſſe-C+c==C. Eine Maſſe aber die nicht weicht, fann als unendlich angeſehen werden, weil jede endliche ruhende Maſſe durch den Stoß eine gewiſſe Geſchwindigkeit bekäme; und die Maſſe al- ſo, welche nicht weicht, ſelbſt unendlich ſeyn, oder mit einer verbunden ſeyn muß, die man als unend-
| Y 2 lich

pi
349 zX(0) 2%
lich anſehen kann, wie wenn eine Marmortafel auf dem Erdboden läge 3; da ſie keinem Stoſſe auswei- <en wird, der nicht ſiark genug iſt die Erde zu verrüden.
174. Auf. Der elaſtiſche Körper ſtößt an eine unbewegliche elaſtiſche Hinderniß nach DH an, wel- <he mit der Ebene, an die er ſtößt, den ſchiefen Winkel DHA macht: Man ſucht hier, wie er zu- rückprallen wird,
Aufl. Man zerlege die Bewegung, die er nach DH hat, in zweene Theile, einen der auf die Cbe- ne ſenkrecht, den andern der mit ihr parallel geht, ſie ſind DE und EH; dem Theile DE wiederfährt was in 173. iſt gewieſen worden, EH aber wird auf keine Art verändert, weil ihm die Ebene nicht im Wege iſt. Alſo wird ſich die Bewegung des Kör»
pers nach dem Stoſſe, auch aus zween Theilen zu-
ſammen ſeßen laſſen, einem, welcher der Ebene pa- rallel, und des ähnlichen Theiles der vorigen Be- wegung Verlängerung iſt, HG=EH; und einem, der auf ſie ſenkrecht ſteht GF= ED; dieſe zuſam- mengeſeßte Bewegung iſt alſo HF, Sie liegt mit DHiin derEbene durch DE, FG, welche auf die zurück- werfende Ebene ſenkrecht ſteht, und es iſt FHG= DHE; der Körper prallt alſo in einer Ebene, wel- <e durch die Linie nach der er. auffiel, auf die zu-
rückwerfende Ebene ſenkrecht feht, und ſolche in AB
ſchneidet, unter ehen dem Winkel zurück, unter dem er aufgefallen iſt, und beſchreibt HF mit eben der Geſchwindigkeit, mit der er DH beſchrieben
hatte,
hatte, 10
175 MC Ebene
nea MC; zum ſe wegun fels zu
176,
Rötper
mel e aeht Theile an lichen
huf bi. wo ſe ſine! ke, w dendiv über Ebene hen ſo pers| hndl Wire

morty; toſſe aus
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ſtößt(ny DH(111 / den ſoy Y, Wie
y, diem p auf die rallel a , wiede [ aber wi)! Shonen! ung ds) en Will! der Edt! vorige ; und dieſe Mw Site lieg uf dies 8 EPE: Chew, 1 „ auf ewt d ſoldeln: wd, HF mit ] Geſe!
poi []
IEA 1 EE 0 IHE SEHEN 2-40 3 Da ER 2 Nawe 5 EIER AE ERN 1 Gr I ARINRT NEST 1552
2%(0) xx 34k hatte, dergleichen thut auch das Licht( Katoptr.
1.2427
175. Zuſ. Wenn der Körper mit der Bewegung M. C nach DH anſtößt, ſo iſt ſein Stoß auf die Ebene nur ſo ſtark, als ob er ſenkrecht auf die Cbes-
DE ne AB; mit der Bewegung Zy: M.C= Gn DHE,
M. C anſtieſſe. Oder der ſchiefe Stoß, verhält ſich zum ſenkrechten, der mit eben der Gröſſe der Be- wegung geſchähe, wie der Sinus des Einfallswin« Fels zum Sinus totus,
176. Auft, D„EF, ſind gegebene Puncke, Cin Körper ſoll aus D an eine gegebene Cbene, und von ſolcher durch F, zurüfgehn. Man fragt, wie er gehen muß, wenn ſein Weg, der aus beyden Theilen von D an die Ebene, und von ihr wieder an F zurü, beſteht, der kürzeſte unter allen mög« lichen ſeyn ſoll.
Aufl. 1. Man laſſe von D, Fz; auf die Ebene Perpendikel, DE, FG, durch die Puncte E, G, wo ſie die Ebene ſchneiden, ziehe man die gerade Linie AB. J< behaupte zum erſten, daß die Stel- le, wo der Körper an die Ebene treffen muß, ir- gendwo in AB ſey, Man wird ſich davon leicht überzeugen, wenn man ſich irgend einen Ork der Ebene vorſtellt, welcher auſer AB liegt; l-mag eie nen ſolchen Ort bedeuten, und der Weg des Kör- pers müßte alsdenn aus ein paar geraden Linien Dl und IF beſtehen, die ich, die Figur nicht zu ver- wirren, ſo wie einige folgende, der Einbildungsfraft
Y 3 zu

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342%%(6) 8L
zu erſeßen überlaſſe. Weil die Ebete, von der jeßt die Rede iſt, und in der ſich 1 befindet, auf der Ebene durch AB, DE, FG, ſenfrecht ſteht( Geom. 47. S.), ſo. wird ein Perpendikel von 1 auf die Ebene DEGF gefällt, in der Ebene ABI liegen (G. 47. S. 2.Z.), folglich AB irgendwo, in L, ſchneiden. Wenn man ſich nun DL; LF, gezogen einbildet, ſo ſind.die DreyeFe DLI, FLIl, bey L rechtwinklicht, folglich DI= DL; FI S-FL; und der Weg DL+1F<< DI+IF; EinWeg, wie der leßtere, Ffänn alſo nie der fürzeſte ſeyn/ weil ſich auf die erwähnte Art, allemahl ein kürzerer angeben läßt. Dieſes deutlich zu zeigen! hat mit nöthig ge- ſchienen, da es von den gewöhnlichen Schriftſtellern Gey gegenwärtiger Abhandlung übergangen wird, weil ſie nähmlich gleich ſtatt einer ganzen Ebene Hur die Linie AB betrachten. Dieſes iſt eine Unvoll- ſtändigfeit von der Art, wie wenn in der Statik ſkatt der ſchiefen Fläche, oder in der Katoptrik ſtatt Des ebenen Spiegels, nur gerade Linien betrachtet werden, Wer es nicht zu rechtfertigen weiß, warum man unter ſolchen Umſtänden nur eine gerade Linie beträchtet, der kann nicht ſagen, daß er die Unter- ſuchung mit gehöriger Gründlichfeit angeſteilt ha- be, er verräth ſich vielmehr, daß er die Sache nie in der Nakur ſelbſt betrachtet, ſondern nur ein Bild Havon das er in einem Compendio gefunden, ange- ſehen, und vielleicht dieſes Bild wieder in ein Com- pendium, das er ſelbſt abgeſchrieben hat, nachge- zeichnet habe,
11, Es
1, wol FG= GH= r(! =0ſ Klein es nid) der in jede d Fiel| bern 11 Mme |, we jegeng gum
Recht
nN jeßiget Gröſ dividit quadei
(e=x) (e-x
Dieſe:

zLZ(oo)&X 343 Von berg et, Wh Il. Es ſey alſo DH4+HF der Weg des Punctes, eht(Oly wo H in der Linie AB liegt. Man nenne DE=b, "WEN FG=c, EG=2e und 8 ſyEH=e-Xx ſo iſt
ABI(py GH=e4+x und DH(bb+(e-x)?)> HE= | r“(bb+(e4+x)2). Wenn man alſo«DH+4HP
dwo, i1| 1=0 ſeßt, ſo wird DH+HF ein Gröſtes öder ein FLU, b Kleinſtes(An. Un, 161). Kein Gröſties aber kann SEL es nicht werden, denn man fann H ohne Ende in eg, Ni der tinie AB hinausrücen laſſen, da klar iſt, daß mp jede der Linien DHA, HF, ohne Ende wachſen fann. eau Fiele ſolchergeſtalt H nicht zwiſchen E und G, ſon- WE dern linfer Hand von E: ſo befäme e-x oder EH Otiſtib einen verneinten Werth, weil es auf die Seite fie- vA le, welche der, wo es in der Figur hinfällt, enk- 1.58 gegengeſeßt iſt. Auch dieſe Betrachtung wird 1ns- ge gemein nicht angeſtellt, ſondern angenommen, die inem Rechnung werde ein Kleinſtes geben, ohne darzu- 007) thun, daß ſie kein Größtes gebe, 0 III. Die beyden Diſſerentiale nun ſind zuſammen n betet(e-x)dx(e+x)dx veiß, a NS DEINGENTE En REICD HOE gerabe I' HK D-TX nt Zee(6-706:9 dis[Int jeßiger Vorausſekung. Daraus findet ſich, die goſpel Gröſſen auf verſchiedene Seiten gebracht, mit dx „Gif dividirt, mit beyden Nennern multiplicirt, und 0 eM) quadrirt, bb.(e+x)?+[(e+x)(e-Xx) 12?=cc. 4(c-x)?+|(e+x).(e-Xx) 12 alſo b.(e+ Xx)= 0 e.(c-b)
nein(e-x) und(b+c)x=(c-b). e alſo x=7 Im ny BFE
;; b Dieſes giebt e=x oder EH= Je und ce Xoder
1, 6 Y 4 GH=

<=====
mn nm rauer Z<====
ene mmer eä a Ek bdm SI Ln ..-> mes emm we al << em eigie mfr 2 ZI
344.&X(0) ZL
206..." EH
GH GH= BUT alſo 2.00 oder DHE= FAG,
Der fürzeſte Weg iſt alfo der, welcher bey der Re- flerion(174) beſchrieben wird. INIT. Der fürzeſte Weg ſelbſt iſt x“(bb+
4abbec MEC> Fro tte[Ce+ec)
1482)
V. Für b=c iſt x=0 und der kürzeſte Weg 2)(bb+ee).
Betrachtungen über die Vergleichung des Stoſſes mit dem Drucke.
177. Es giebt Schriftſteller, welche den Stoß mit dem Drucke durch ihre Wirkungen haben ver- gleichen wollen. Camus, Trait des forces mou- vantes P, 1. ch. 3. Pr. 5. verfährt folgendergeſtalt:
- Man lege auf einen Ambos eine bleyerne Kugel,
und ſchlage mit einem Hammer, der ein Pfund ſchwer iſt, ohne Gewalt( ſans violence) daraufsz ſie wird dadurch platt werden: Eine gleiche Kugel, eben ſo platt zu drüFen, wird man ein Gewicht von zweyhundert Pfund darauf legen müſſen, Pr. 4. be- ſchreibt er, wie dieſes Gewicht anzubringen iſt: Er ſchließt alſo, der Schlag des Hammers ſey ei- nem Gewichte von 200 Pfunden gleichgültig. 178. Man ſieht leicht, wieviel Unbeſtimmtes in dieſem Verfahren iſt, Ohne Gewalt iſt nichts ' geſagt,
gſa) ſom; undi eigen ſtellet Gef terut er ſid Fall) ſhwi ſmn mer ſen olieſ alen zum 17 mit ſhel| wers ſsY jenes ferien tige Und( wißh D Bey 779; hen; | |

Fürze]
wald rut,
he den€; jen habt) ; forces 1 gender; nern& er ein) ne) gleichen 1 Oewiatt en, Pr,p) bring mers(1) gultig, eſtimmt! alti ng 00)
ZZ(0)&xX% 345
geſagt, denn Gewalt muß allemahl beym Schlage ſeyn; Camus hat nur gemeint: ohne groſſe Gewalt; und da kann man nicht ſagen, wie viel Gewalt er eigentlich verlangt. Man fann at dieſe Schrift. ſteller ſehen/ wie nachtheilig bey ſo viel praktiſcher Geſchiflichfeit- als er zeigt, der Mangel ganz leich- ter und gemeiner theoretiſcher Einſichten iſt. Hätte er ſich darauf beſonnen, daß ein Körper durch den Fall von einer gegebenen Höhe eine gegebene Ge- ſchwindigkeit erhält, ſo würde er ſich hier ſehr be- ſtimmt haben ausdrücken können. Statt den Ham- mer mit der Hand zu führen, dürfte man nur ſein Ciſen von einer gegebenen Höhe herabfallen laſſen: ſo lieſſe ſich allemahl beſtimmen, wie hoch er herab- fallen müßte, um die Kugel ſo und ſo weit platt zu machen.
179. Auf eine ähnliche Art lieſſe ſich der Stoß mit Gewichten vergleichen, wenn man in eine Wag- ſchale ein Gewicht legte, und ſähe wie hoh ein flei- neres herabfallen müßte, jenes zu erheben. Die- ſes Verfahren würde bequemer und zuverläſſiger als jenes ſeyn, weil die verſchiedene Feſtigkeit der Ma- terien und andere Umſtände, die bey jenen Unrich- tigkeiten machen können, keinen Einfluß haben, und blos die Frickion des Wagbalkens hier Unge- wißheiten machen könnte,
Da die größte Maſſe von der kleinſten kann in Bewegung geſeßt werden(113), ſo würde man in 1795 die Berechnung im voraus ſo anſtellen kön- nen: Wenn die kleine Maſſe a von der Höhe u,
Ys5 alſo

346 X(8) zx
alſo mit der Geſchwindigkeit 77a(1. Abſchn. 43.) auf die Wagſchale fiele, ſo gäbe ſie(die Federkraft beyſeit geſeßt) der gröſſetn M; die Geſchwindigkeit
myyu M4m drucks iſt die Höhe k(1. Abſchn, 45) auf die er in oO, 008.37 Secunden ſteigt, weil nähmlich in der dortigen Rechnung hier x=k geſeßt wird. Hiebey muß man ſich vorſtellen, die Maſſe m wer- de gleich nach dem Stoſſe weggenommen,' ſonſt wür- de ſie, indem ſie zu ſinken fortfährt, ferner in die Bewegung der Maſſe M vinen Einfluß haben. Solchergeſtalt laſſen ſich Stoß und Gewicht nicht ſo vergleichen, daß man nur ſehen wollte, was für ein Stoß ein Gewicht erhöbe, ſondern man muß beſtimmen, was für eine Geſchwindigfeit er dem Gewichte aufwärts giebt. Cben ſo hat man fei- nen Begriff in 177; wie viel der Schlag gethan babe, wenn man nur weiß, er habe die Kugel, ſo und ſo weit platt gemacht. Ein Schlag, der eben dieſes in geringerer oder gröſſerer Zeit verrichtet hätte, wäre ohne Zweifel ſtärker oder ſchwächer ge- weſen.
130. Daß aus fortgeſesten DrüFfungen Bewe- gung entſtehen kann, zeigt die Schwere. Ein Stein, der auf einem Tiſchblatte eine Secunde lang liegt, thut dieſe Secunde lang nichts weiter, als daß er es drückt. Man ſeße, das Tiſchblatt ſey für ſich nicht ſ<werz mon ziehe die Füſſe darunter plößlich
weg,
aufwärts(115). Das Quadrat dieſes Aus-
weh, ) Dau ohne blatt gehen konnt forty, er ni iml.] alſo unter Fele| ur als ſtell uf Query ohne* einjelt hervor Jung( das,» ſogen jählich Yvon lung, ven fg digfei dieſes 181, Kreſt iht| |
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geſeßt mi) taſſe m
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weg, ſo wird der Stein mit dem Tiſchblatte fallen. Dauert der Fall eine Secunde lang, ſo hat der Stein ohne Zweifel dieſe Zeit über in das bewegte Tiſch- blatt nicht anders gewirkt, als zuvor in das vorher- gehende, denn daß die Füſſe weggezogen wurden, Fonnte in ſeiner Wirkung nichts ändern. Aus fortgeſeßtem Drucke entſtehet alſo Bewegung, wenn er nicht aufgehalten wird; welche Betrachtung ſchon iml. Abſchn, 52. u. f. ausgeführt iſt. Will man alſo lebendige und todte Kräfte(wie Stat. 1.), ſo unterſcheiden, daß bey jenen Bewegung, bey dieſen Feine hervorgebracht wird, ſo muß man ſich dieſe nur als einen einzigen Druck, der aufgehalten wird, vorſtellen, denn weil durch die Hinderniß, dieſer Druck aufgehalten wird, ſo iſt Flar, daß er bey fort- dauernder Hinderniß, auch immer fortdauern kann, ohne Bewegung hervorzubringen. Was aber ein einzelner Dru, in einer unendlich kleinen Zeit Hervorbrächte, wäre eine unendlich kleine Bewe- gung(wie im 1. Abſchn, 58), und daher wird ſich das, womit endliche Bewegung verbunden iſt, die ſogenannte lebendige Kraft, als eine Summe un- zählicher Drucke, als ein Jntegral anſehen laſſen, davon ein Druck das Element wäre. Die Vorſtel- lung, die ich im 1. Abſchn, a. a. O. von beſchleunigen- den Kräften und den Veränderungen der Geſchwin- digkeit, die ſie verurſachen, ausgefährt habe, wird Dieſes erläutern,
181, Man hat alſomit Recht lebendige und todte Kraft in dieſem Verſtande als Dinge, die ſich nicht vergleichen laſſen, angeſehen, da dieſe ein Ele-
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348%%.(0) 2X ment von jener iſt. Der AusdruE iſt nicht ſo rich«
tig, deſſen ſich einige bedient haben, daß die todte
Kraft mit der lebendigen, wie eine Linie mit der ' Fläche zu vergleichen wäre, denn die Fläche iſt nicht das Integral der Linie. So wenig aber ſich auch auf dieſe Art todte Kraft mit lebendiger vergleichen läßt, ſo wenig läßt ſich do< auch läugnen, daß dieſe von jener könne hergeleitet werden, wie nur iſt gewieſen worden, ſo wie Gegentheils auc) Dru> aus Bewegung folgt(1. Abſchn. 4).
192. Bey Körpern, die niht vollfommen hark ſind, dauert der Stoß eine Zeitlang(132), und man kann ihn als eine Reihe von Drücfungen an- ſehen, die dieſe Zeit über geſchehen. So laſſen ſich die gefundenen Formeln für die Bewegungen nach dem Stoſſe(1103 134), auch durch die Inte» gralrechnung finden, wenn man ſich vorſtellt, in die Körper wirke eine gewiſſe Kraft, nach den Ge- ſeßen beſchleunigender Kräfte, wodurch. ſich jedes Geſchwindigkeit, nach dem 1. Abſchn. 76. u.ſ, w. angegebenen Formeln, ändert. Es ſey zwiſchen ein paar Körpern, deren Maſſen A; B; ſind, eine Fe- der, deren ausdehnende Kraft=P geſeßt wird, oder die vermittelſt ihrer ausdehrenden Kraft das Ge- wicht P tragen könnte. Wenn die Körper ſich
einander nähern und endlich zuſammen kommen,
wodurch die Feder zuſammengedruckt wird, ſo wird ihre ausbehnende Kraft in jeden wirken, und dar- aus eben das erfolgen, was geſchehen würde, wenn
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ches denn die Geſchwindigkeit jedes Körpers ver- gröſſern oder vermindern wird, nachdem eine ſolche Kraft ſeiner Richtung gemäß oder ſelbiger entge- gen wirkt. Dieſe Veränderung der Geſchwindig- feit geht vorerwähntermaſſen durch, unendliche klet- ne Stufen, die Zeit über da der Stoß dauert. Sind die Körper nicht elaſtiſch, ſo dauert der Stoß nur bis die Feder völlig zuſammengedruckt iſt; ſie dehnt ſich aber alsdenn nicht wieder aus einander, ſie war nähmlich nur ein ſinnliches Bild desjenigen, was in beyden Körpern die Bewegung nach und nach ändert. Sind die Körper elaſtiſch, ſo ſeßt ſich die Feder nach ihrer Zuſammendrüung völlig wieder in ihrigen vorigen Zuſtand. Auf dieſe Art hat Herr Culer Comm, Petrop. T. V.p. 159. Ddie- ſe Unterſuchung angeſtellt, und ſolches Mem. de 1'Ac. de Pr. 17453 P+ 50 wiederhohlt, An dem leßtern Orte zeigt er noch umſtändlicher, wie man die Star- fe des Stoſſes meſſen könne, wenn man ihn als ei- ne Summe unzählicher Drückungen betrachtet. Es ſchit ſich hiezu der Eindruck, den ein ſtoſſender Körper in dem andern macht, welcher Eindruck bleibt, wenn die Körper nicht elaſtiſch ſind. Chen ſo läßt ſich die Härte eines Körpers mit der Härte eines andern vergleichen, wenn man die Eindrücke, die beyde etwa von einerley Stoſſe litten, mitein- ander vergleicht, Man muß aber die Zeit dabey allemahl in Erwägung ziehen, Die Berechnungen,
welche

350 ZX(0) 5.
welche ſich auf dieſe Begriffe gründen, hier beyzu« bringen, iſt mir zu weitläuftig, da ſie nur die ſchon befannten Geſeke des Stoſſes geben, und ihnen zu einem praktiſchen Gebrauche, Stöſſe oder Härten mit einander zu vergleichen, meiner Einſicht nach noch ſehr viel muß beygefügt.werden. Ein Exem- pel dieſer Anwendung findet ſich in Culers erläut, Artill, auf der leßten Seite, wo man aber anneh- men muß, daß die Geſchwindigkeit bekannt iſt, mik der eine Kugel aus einer Canone fährt.
Ueber das Geſeß der Stetigkeit.
183. Bey den nur angeführten Unterſuchungen ſeßt man zum voraus, daß ſich eines Körpers Ge- ſchwindigkeit nicht plößlich, ſondern nur durch ur. endlich kleine Stufen ändere. Eben das kann man
'-auch von der Richtung ſagen, Ein Körvyer, der
refiectirk wird, ändert, wenn man die Sache auf dieſe Art betrachtet, ſeine vorige Richtung nicht plößlich in die entgegengeſeßte; ſeine Geſchwindig- keit nach der erſten Richtung wird immer geringer und geringer, verſchwindet endlich, und verwan«- delt fich alsdenn in eine nach der entgegengeſeßten Richtung. Das iſt das Geſetz der Sterigykeit auf dieſe Gegenſtände angewandt, Man behauptet nähmlich vermöge dieſes Geſeßes allgemein, daß Feine Veränderung plößlich geſchehe, ſondern daß jede, allemahl durch unendlich kleine Stufen gehe, davon in der Geometrie der Gang eines Punckes in einer Frummen Linie ſchon ein Beyſpiel iſt(Geom, 6, Erfl, Anm,).
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184. Dieſes Geſeß der Stetigkeit findet bey völ- lig harten Körpern nicht ſtatt(132), und dieſer Grund iſt für einige Mathematikverſtändige zuläng- lich geweſen, zu läugnen, daß es vollfomtnen har« te Körper geben könne, Denn die Frage, ob es unter den uns bekannten welche gebe, muß ſchon, vermöge der Erfahrung, verneint werden,. Auch die härteſten Materien, mit denen wir Verſuche anſtellen können, haben einen Grad der Federkraft. Dieſes zeigt unter andern der Schall, den ſie ge- ſchlagen von ſich geben, und der nicht anders als aus Erſchütterungen der Theilchen der Körper und durch die umliegende Luft, begreiflich iſt, welches Claſticität vorausſeßt, Wenn man auf eine ſpie- gelglatt polirte ſtählerne Ebene haucht, daß ſie da- von makk wird, und alsdenn darauf eine Kugel von harten Steine fallen läßt, ſo bezeichnet die Kugel, auf der Stelle, wo ſie auffiel, einen run- den Fle, der deſto gröſſer iſt, je höher ſie herab- gefallen war, zum Beweiſe, daß ſie an derBerühwr,98- ſtelle platt geworden war, und dieſes deſtomehr, je ſtärker ſie aufſchlug: Ihr Zurückſpringen rührt von der Wiederherſtellung ihrer vorigen Geſtalt her.
185. Man ſieht leicht, daß die Körper ohne En- de theilbar ſeyn müſſen, wenn es feine vollkommen harte geben kann. Denn ſonſt würden die Theil- chen jedes Körpers auf die man zuleßt käme, doch Atomen von unveränderlicher Härte ſeyn 3; Derglei- chen anzunehmen, war Newton geneigt, und hält die Härte für eine Eigenſchaft jeder einfachen Ma.- ferie Optic, qu, 22. und anderswo ſtellt er ſich vor,
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jede Art von Materie, Waſſer, Erde u. ſ. w. müſ- ſe aus einer ihr eigenen Gattung ſolcher unveräne- derlichen Theilchen beſtehen, woraus begreiflich werde, wie dieſe Materien, ſo lange wir Nachrich- ten von ihnen haben, immer einerley Eigenſchaften behalten können. Beſteht nun ein Körper aus ſol- <en feſten Atomen, ſo werden diejenigen derſelben, die zuerſt mit den Atomen eines andern Körpers in Berührung kommen, ſolche plößliche Veränderun- gen ihrer Geſchwindigkeit und Richtung leiden müſ- ſen, wie bey harten Körpern geſchehen; und ſo läßt ſich die Möglichkeit ſolcher plößlichen Veränderun- gen nicht läugnen, wenn man nicht zugleich die un- endliche Theilbarkeit der Materie annimmt, Herr Beguelin in einer Abhandlung ſur!' exiſtence des corps durs Mem. de| Ac. de Pr. 1751.(der Titel dieſes VI1.Dheiſes hat durch einen Drufehler 1752.) p- 337. hät zu zeigeh geſucht, das Geſeß- der Ste- tigfeit finde ſelbſt bey dem Stoſſe elaſtiſcher Kör- per nicht ſtatt. Cr ſeßt nähmlich einen elaſtiſchen Körper aus kleinen harten zuſammen, die ſich an. einander laſſen, und wieder auseinander bege- ben'und da brauchte es wohl nicht ſo viel Weit- läuftigfeit, darzuthüun, daß mit denen, von dieſen kleinen harten Theilchen, die zuerſt in Berührung fommen, eben das vorgehen muß, was mit ganzen groſſen harten Körpekh vorginge.
186. Der Wiederſpruch zwiſchen dem Geſeße der Stetigkeit, und vollkommen harten Körpern,-den Herr Euler als einen Beweis der unendlichen Theil-
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barfeit der Materie anſieht, lieſſe ſich gleichwohl auf eine Art heben, die der P. Boſcowich, in ei- ner Abhandlung de viribus viuis Comm. Bononienſ, T.IL P. Il. angegeben hat. Was. wir nähmlich einen Stoß nennen, geſchieht nicht vermittelſt wirklicher Berührung. Körper, die ſich einander nähern, wirken in einander durch anziehende und zurücktreibende Kräfte, und ſo ändern ſich ihre Ge- ſchwindigfkeiten, wie die Geſchwindigkeiten fallen- der oder ſteigender ſchwerer Körper, nach dem Ge- ſeße der Stetigkeit. Cben. wie nach der newkoni- ſchen Erklärung, Licht das gebrochen wird, ſeinen Weg nicht plößlich in der brechenden Fläche, ſon- dern, wegen der anziehenden Kräfte der Mittel, ehe es dieſe Fläche erreicht, nach und nach ändert.
187. Hiebey wird man aber wohl natürlich auf die Frage kommen: Ob denn das, Geſeß der Ste- tigfeit, in ſolcher Allgemeinheif.und Schärfe dar- gethan ſey, daß ſich dergleichen. Folgerungen dar- aus machen laſſen. J< muß äeſtehen, daß mir kein ſtärkerer Beweis. davon bekannt iſt, als die Erinnerung, daß es in unzählichen Fällen in der Natur, vermöge der Erfahrung, richtig befunden wird. Ob man dieſerwegen Wrechtige.". es auf alles zu erſtrefen, was auch nicht unter unſere Er- fahrung fällt, davon will ich jedem ſein Urtheil überlaſſen.
188. Der Aehnlichfeit wegen erinnere ich hier gleich nur dieſes: das Geſeß der Stetigkeit in der Geomatrie, wird bey krummen Linien unverbrüch-
Watheſis ater Theil, 454,07 lich

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lich in Acht genommen; aber kann es auch bey gera- delinichten, Figuren beybehalten werden? Jſt es ſchlechterdings unmöglich, daß ein Punct ſeinen Weg plößlich ändert, ſo kann fein Punc* in dem Um» fange eines Viere>s ber Dreyecks herumgehen. Wenn alſo das Geſeß der Stetigkeit in der Geo- metrie ſo groſſe Ausnahmen leidet, ſo kann dieſes ſchon einen Zweifel erregen, ob es auch in der Me- <hanif ganz allgemein ſeyn mag,
189. Dieſes wird ſich am beſten erläutern, wenn
man unterſucht, was eigentlich dieſes Geſeß der Stetigkeit, befiehlt. Jede Veränderung ſoll durch unendlich kleine Stuffen geſchehen. Nach den Begriffen vom Unendlich kleinen, die mir allein die richtigen ſcheinen(Geom. 11. S, 3. Zuſ, 12. S, 12. Zuſ, An. Un, 1, u. f.), kann ich dieſes nicht an- ders als ſo ausdrüken? Zu jeder Veränderung ge- hören wenigſtens zweene Zuſtände, ein vorherge- hender und ein folgender, die beyde dergeſtalt von einander unterſchieden ſind, daß ſich der Unterſchied dieſes von jenem angeben läßt. Nun verbietet das
Geſeß der Stetigkeit der Sache, die verändert.| -wird, ſogleich aus jenem in dieſem überzugehen.
Sie muß durch einen mittlen Zuſtand durchgehn, der vom vorhergehenden nicht ſoviel unterſchieden iſt, als der folgende, Und weil ſich der Unterſchied dieſes mittlern Zuſtandes und des vorhergehenden, no wird.angeben laſſen, ſo muß zwiſchen beyden ein neuer mittlerer Zuſtand ſeyn, und dieſes immer ſo fortgeſeßt werden, bis der Unterſchied zwiſchen
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eu bon dem vorhergehenden Zuſtande, und ſeinem nächſt. vn? Ry folgenden ſich verlieret. So lange die Menge die. weten ſer Zwiſchenzuſtände ſich angeben läßt, ſo lange läßt in den Ih ſich auch jedes Unterſchied von ſeinem nächſten an« ; hetungy geben: Alſo muß ihre Menge gröſſer, als jede gee it in der h gebene Menge werden, wenn dieſe Unterſchiede ver«
|v fann dy ſchwinden ſollen, und ſo ſtellt man ſich unzählich ich in dar) viel Zuſtände, jedem von ſeinen nächſten unendlich
wenig unterſchieden vor. Ehe ſich eines Körpers
Geſchwindigkeit a in& verändert, muß ſie ſich inu, rläutern, deren Gröſſe zwiſchen a und& fällt, verändern, und eſes eſt) noch zuvor in v, deren Gröſſe zwiſchen a und u fällt, rung ſel) u. ſ-w. Dieß iſt eigentlich die Bedeutung des Aus= 1, Nat drucks, daß die beyden nächſten Geſchwindigkeiten
» mit ale v und v+dv ſind(1. Abſchn. 14), 368 199, Wenn mittlerer Zuſtand ſo viel heißt, als “EN ein Zuſtand in den etwas kommen muß, ehe es aus aer einem vorhergehenden in einen folgenden kommen ef IN kann, ſo räume ich willig ein, daß jede Verände-  rung, durch einen oder mehr ſolche mittlere Zuſtän«- der Unty“ de geſchieht, daß die Raupe ſich als Puppe zeigt, n verbiet! ehe ſie als Schmetterling fliegt, daß aus den die ven Speiſen, die wir zu uns nehmen, anfangs Chylus, übe"? denn Blut, und darnach erſt Fleiſch und Knochen nd du" werden; dieſes will weiter nichts ſagen, als daßin
/ untaſ der Natur Ordnung und Zuſammenhang iſt; Aber er Untww daß dieſer mittlern Zuſtände unzählich viel ſeyn rhergem" müſſen, davon giebt die Erfahrung mir keinen Be« viſchen bey weis; denn, daß ihrer oft ſoviel ſind, daß wir ſie ) dieſs m? zu zählen ermüden, daß
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356 5%(0) XZ
ihre Gränze ſchwimmt und in einander fließt v. Halley und es ſich damit verhält, wie bey dem Regen- bogen
In quo diuerſi niteant cum mille colores
Tranfitus ipſe tamen ſpedantia lumina fallit
Vſque adeo quod tangit idem eſt, tamen vItima
diſtant. Metamorph. VI. 65.
Dieſes beweiſt nur, daß die Sache uns ſo vor- kömmt, nicht daß ſie ſo iſt; ſo könnte man auch ei- ne zark gezogene gerade Linie in allen ihren Theilen für wirklich gerade, oder gar für eine geometriſche gerade Zinie erklären, und für gewiß ſeßen, daß ein Stück Glas ein continuum vom Glaſe ſey,
Tt91. Zäßt ſich denn etwa durch Schlüſſe aus Be- griffen, hierinnen mehr darthun, als durch die Er- fahrung? Muß zwiſchen jedem Zuſtande und ei- nem andern, deſſen Unterſchied vom vorigen anzu- geben iſt, einer ſeyn, der ſich weniger unterſchei- det? Könnten nicht zweene Zuſtände unmittelbar nach einander folgen, deren jeder ſo beſtimmt wäre, daß ſich angeben lieſſe, worinnen er ſich von dem andern unterſcheidet, ſo daß man zwiſchen bende Feinen einſchieben könnte, dieſen Unterſchied zu ver- mindern? Die Vertheidiger des Geſekes der Ste- tigkeit behaupten, ohne daſſelbe laſſe ſich nicht be- greifen, wie ein folgender Zuſtand aus dem vor- hergehenden entſtehe, wie die Geſchwindigkeit& nach a entſtehen könne, wenn nicht v zwiſchen beyde fällt,
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fällt. Ich will jeßo nicht fragen, ob nian ohne das Geſeß der Stetigkeit begreifen könne, wie ein folgender Zutiand aus dem vorhergehenden entſteht, ich will erſt frägen:' ob man es dadurch begreift? Dieſes Begreifen müßte etwa ſo zugehen: Wie enk- ſteht' der leßte Zutiand aus dem erſten? durc) einen mittlern; und dieſer aus dem erſten? wieder durch einen mittlern; und dieſer aus dem erſten? wieder durch einen mittlern?....+« Heißt das meine Frage beantworten, wenn man mir immer befiehlt ſie von neuem zu thun? Ich ſtelle mir einen Genea- logiſten aus den Zeiten vor, woman die Geſchlecht- regiſter aller groſſen Herrn bis auf Adam anzuge- ben wußte. Zwiſchen Ihro Majeſtät und Adam, ſagt er, iſt ihr Herr Vater gottſeeligſten Anden- fens( denn damahls ſuchten noch alle Könige dieſen Ehrentitel nach ihrem Tode zu haben) und zwiſchen dem und Adam, ihr Herr Großvarer, und zwiſchen dem und Adam, ihr Herr Großgroßvater„und ſo iſt immer zwiſchen einem ihrer Ahnen und Adam wie- der einer, nie aber kömmt man auf einen, zwiſchen dem und Adam keiner wäre, Jh glaube, das wä- re für den König etwas ſubtil geredet geweſen, hät- te ſich der Ehrenhold aber deutlicher ausgedrückt und geſagt: IJ. M. ſtammen von Adam her, aber von keinem ſeiner Söhne und Töchter, ſo würde er für, feinen Stammbaum vermuthlich. eine ſchlechte Belohnung erhalten haben=-. Und das hieſſe doch, nach dem Geſeße der Stetigkeit begreiflich machen, wie ein König von Adam herſtammt,
Z3 3 192, Viel-

358 Z%(0)&2X
192, Vielleicht iſt dieſes mein Gleichniß nicht ganz ein Gewäſch. Es kann erläutern, wie ſich ein leßter Zuſtand aus dem erſten, ohne das Geſeß der Stetigkeit begreifen lieſſe. Kann ſich ein Zu- ſtand vom nächſtvorhergehenden nicht durch ſo be- ſiimmte Unterſchiede abſondern, wie Sohn vom Vater, und doch eben ſo von ihm entſtehen? Ich weiß niemanden, der das Gegentheil dargethan hätte, Wenn zweene harte Körper einander mit gieichen Bewegungen begegnewy> ſagt Joh. Bexr-
noulli(diſe. für le mouv. ch, 1, art. 7.), ſo fönnen ſie einander nicht ſogleich aufhalten, ohne plößlich aus
der Bewegung in. die Ruhe, aus dem Seyn ins
Nichtſeyn, überzugehen, das iſt aber wieder das-
Geſeß der Stetigkeit=-. Dhne Zweifel ſieht Ber- noulli alſo für ungereimt an, daß Ruhe gleich aus Bewegung folgen ſoll. Aber iſt es nicht begreiflich gentg, daß zwo entgegengeſeßte gleiche Bewegun- gen einander aufheben, daß Nichts bleibt, wenn 4< von einem Dinge etwas wegnehme, das ihm gleich iſt, und daß alſo Ruhe eine unmittelbare Folge aufgehobener Bewegungen iſt? Ohngefähr dieſe Erinnerung gegen Bernoullin macht Mac Lau- rin Account of Sir Iſaac Newtons philofophical diſcoveries B. 1. ch, 4. p. S8. Wie Ruhe gleich auf Bewegung folgt, iſt meines Erachtens nicht unbegreiflicher, als wie geringere Geſchwindigkeit auf gröſſere folgt. Ein Grund der Folge muß da ſeyn. Jn einer unendlichen Reihe mittlerer Ge- ſchwindigkeiten, ſehe ich denſelben nicht. Auch ſehe ich nicht, wie dieſes Geſeß der Stetigkeit, oder
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wie man es ſonſt ausdrüEt; daß die Natur keinen Sprung thues ſelbſt bey unendlich kleinen Verän» derungen, die man doch annehmen muß, erhalten werde, denn unendlich kleine Sprünge ſind doch auch Sprünge, und ſcheinen mir der Stetigkeit ſo ſehr zuwieder als groſſe. Dieſe Erinnerung, die der Herr v. Maupertuis macht Mem. de l'Ac. de Pr. 1746. p. 284. gilt beſonders wieder diejenigen, die das Unendlich kleine in etwas eigentlicherm Ver- ſtande nehmen, als ich,
193. Folgendes, deucht mich, wird etwas zur Erläuterung beytragen: Wenn wir uns Etwas als ſtetig(continuum) vorſtellen, ſo unterſcheiden wir ſeine Theile durch nichts weiter als durch ihre Gröſe ſe: In der Natur finden wir, wenigſtens ſo weit als unſere Erfahrung geht, daß jeder Theil aus dem ein Ganzes beſteht, beſtimmt, und von dem andern noch durch andere Eigenſchaften, als blos durch die Gröſſe unterſchieden iſt. Daher laſſen ſich in dem angenommenen Stetigen, Abſchnitte machen, Stü- &>en von einander ſondern, wo man will, aber nichk in wirklichen Dingen. So unterſcheiden ſich der geometriſche Raum, und der natürliche Körper (Geom. 3. Erkl.) Den Raum, den ein HaufenSchieß- pulver einnimmt, kann ich durch geometriſche Cbe- nen in Theile, wie ich will, abſondern, und die- ſe Theile zuſammen machen allemahl das Ganze aus: Im Schießpulver ſelbſt würden dieſe Cbenen oft Körner zerſchneiden, und als Pulver 3; zerſtören, daß man nach vollendeten Abtheilungen nicht ſoviel
Z4 Schieß«

360 Z%(0)&x
Schießpulver mehr hätte, als zuvor. Dieſes, was ſo offenbahr bey dem Stetigeniſt, deſſen Theile alle zugleich da ſind(imultaneum), wende man auf das an, deſſen Theile nach einander folgen( fucces- ſiuum), Zweene nacheinander folgende Zuſtände, Fönnen jeder eben ſowohl ihre weſentlichen Gränzen baben, wie zwey aneinander liegende Pulverfkörn- hen. Der Geometer kann den Raum dieſer bey- den Körnchen, wie er will eintheilen, aber daraus folgt nicht, daß er eben die Körnchen als Körnchen ſo eintheilen könne 3; Und ſo kann er ſich die beyden Zuſiände?, nur nach dem Zeitraume, den ſie ein- nehmen, vorſtellen, und dieſen Zeitraum in mehrals zweene Theile theilen, und ſich in jedem Theile ei- nen andern Zuſtand vorſtellen, alſo zwiſchen die beyden erwähnten ſoviel mittlere, als er will, ſeßen; welche mittlern ſelbſt alsdenn Theile des einen oder des andern ſeyn würden, wie die Theile des Raums der beyden Pulverkörn<en, Theile dieſer Körnchen heiſſen könnten, Wenn aber dem Geometer das bey ſeiner abſtracten Vorſtellung frey ſteht, folgt, daß eben das in der Natur ſelbſt ſtart finde? Jc< glau- be vielmehr Gründe für das Gegentheil zu ſehen.
- 194. Was wirklich vorhanden iſt, iſt in aller Abſicht beſtimmt, hat ſeine eigene Gränzen, und bleibt nicht das Ding, das es iſt, wenn man in dieſen ihm weſentlichen Beſtimmungen und Gränzen was ändert. Bey abſtracten Begriffen laſſen wir dieſe jedem Dinge eigne Beſtimmungen von ſei- ner Vorſtellung weg, und denken nur an das, was
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2226-0 0.) 2220 361
AE es mit mehrern gemein hat. Die wirkliche Sachen Mb ſind alſo ganz was anders, als die abſtracken Vor- gen(frz ſiellungen von ihnen. Das iſt ho offentlich ſo lange 0 Di ausgemacht, als die Streikigfeiten der Nomina. I. Jium und Realium ins Reich der Vergeſſenheit ver- m wieſen ſind. Daher kann man ſich in der Abſtra- HUR cfion Beſtimmungen und Abſonderungen nach Ge- m dieſet ip fallen erdenken, die in der Wirklichkeit nicht ſtakt er den finden. Wenn v in v+dv fließt, ſo nennt einer als Kör der Marhematikverſtändigen, welche die Lehre vom () die bey Unendlichen am gründlichſten vorgetragen haben, - den iet Hauſen El. Arithm. Schol. Pr. 20; dv, ſeiner Na- min meh fur nach unbeſtimmbar(natura ſua indeterminabi- m Theil lem). Wie kann man alſo ſagen, die Verände- zwiſchen rung der Geſchwindigkeit werde begreiflich, wenn er will, ſs aus v, v+ dv wird, das iſt, wenn zu v etwas des einen! kömmt, das ſich nicht angeben läßt? Sollen v und (le des Ats v4 dv beyde was wirkliches ſeyn, ſo muß jede für leſer Kom ſich was beſtimmtes ſeyn, und kann alſo das zweyte meter de aus dem erſten durch einen Zuſaß werden, der ſich (, fold! nicht beſtimmen läßt? Barrow, von deſſen Lehren e? 504 nur noh ein kleinex Schritt bis zur Rechnung des eil zu ſet Unendlichen war, drückt ſich hierüber ſehr richtig j ſo aus:„Eine flieſſende und ungewiſſe Gröſſe ha- iſt ide„ben, heißt feine haben; was iſt, iſt au eine be- rann m„ſtimmte Art, was überall iſt, iſt nirgends 8,,(de- mn ſultoriam& indeterminatam quantitatem habere, und Ori elt habere nmullam, eſt enim aliquid determinate 1[aſm? quicquid eſt, quod vbique eft nullibi eſt, Leet. gen vn Math. 2.1666, quinta p, 262. ed. Lond, 1684.). m das UN 35 195. Als-

362%X2(9)%L)
195. Alsdenn alſo fann man meines Erachtens, das Geſeß der Stetigkeit anbringen, wenn in einer
Reihe nacheinander folgender Zuſtände nichts ange-
nommen wird, das einen von dem andern durch be- ſtimmte Gränzen abſonderte., So verhält es ſich bey der ſich beſtändig änßernden Geſchwindigkeit eines fallenden Körpers, wie ich 1. Abſchn, 68. ſchon angenommen habe, und bey dem Stoſſe nicht voll- Fommen harter Körper. Erhellt aber aus der Na- fur der Sache, daß nach dem jebigen Zuſtände, nicht jeder andere ihm nach Gefallen nachfolgen könne, ſondern ein gewiſſer beſtimmter folgen müſ« ſe, der ſich von jenem, auf eine Art die ſich ange- ben läßt, unterſcheidet, ſo möchte Mac Laurin, wohl recht haben, wenn er Treat. on Flux.F. 5 20. rem.) ſagt: das Geſeß der Stetigkeit werde ohne zureichhenden Grund für allgemein angenommen. MiHh deucht, aus ihm zu ſchlieſſen, daß es keine Harten Körper geben könne, iſt man nicht mehr be- rechtiget, als daraus zu folgern, daß es keine gera- delinichten Figuren geben könne.
196, Hiebey kömmt meinem Urtheile nach vie- fes darauf an, ob man blo8 von Erſcheinungen, . oder von dem Wirklichen redet, das die Erſcheinung darſtellt, beſonders, wenn voniden erſten Urſachen dieſer Erſcheinungen die Rede iſt. Jc< kann ohne Irrthum ein Stüc Glas als ein continuum anſe« hen; es ſtellt ſich allen meinen Empfindungen ſo dar 5 und doh fann ich durch Schlüſſe verſichert ſeyn, daß es feines iſt, Wie man alſo die Stetigkeit in
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197 bill tiners (1, henen Fung
Rräft

Ai zugleich vorhandenen Dingen, als eine Erſcheinung nicht 4 mit Recht gebraucht; ſo kann man auch eben ſo weit
eb; die Stetigkeit in der Folge gelten laſſen* Daher un iſt dieſes Geſeß in Berechnung der Naturbegeben- erhält jj ten von groſſen Nußen; denn unſere ganze Kennt»
(3 Erehteg
Nwinbi niß der Natur, iſt doch nichts weiter als eine Kennt MI niß von Erſcheinungen, die uns ganz was anders je nict wl
darſtellen würden, wenn wir das wirkliche in ihnen ' aus der] ſähen. Wer aber dieſes Geſeß auf das wirkliche en Zuſiiu) erſirecen will, muß ſeine Schlüſſe durch ein ande»
0 nadfy res Verfahren rechtfertigen, als durch ein ſolches, folgen wobey der Verdacht übrig bleibt, er habe Bilder ve iO für Sachen genommen. ) Say lun; Die bisherigen Gedanken(183..5> 196,) ſind von . mir, mit noch mehr Erläuterungen, in einer 1750 bi zu Leipzig herausgegebenen Schrift, de lege con» EE unu in natura gusgeführt worden, Sie ſcheinen 00"Nn mir hier ihre natürliche Stelle zu haben, da der ut vu Skeoß der Körper zu ſolchen Betrachtungen Veran- es Feintyp laſſung giebt, und es mir auch von Wichtigkeit ſchiene, den Gebrauch, den man von dieſen mathe. Dd matiſchen Lehren hat machen wollen, zu zeigen und Dm fen Erſin 7197. Eine richtige Anwendung dieſes Geſeßes on Urhn will ich doch hier noch beybringen, weil ſie nebſt h Fann 0)! einer Probe von ſeinem Gebrauche, auch die vorhin mum(L Abſchn. 21. 1, f. und hier 125. 1. f, 1.177) gege nene benen Begriffe von der Trägheit, der Gegenwir- fer Fung und der Vergleichung lebendiger und todter
tetigfeit Kräfte erläutern kann, Bey Gelegenheit derTräg, zuglei) heit

364 3%(0) 22
Heit ſtellen einige Nakurforſcher Verſuche an, da- von ſich das Weſentlichſte ohngefähr ſo beſchreiben läſſt. Das Gewicht C 1. Taf. 6 F. ſoll auf einer „Unterſtüßung, einem Brete oder ſo was liegen, daß es nicht ſinkt, aber vermittelſt des Fadens der von ihm nach der Rolle D geht, in die Höhe gezo- :gen werden kann; dieſer Faden geht um die Rolle, auf der andern Seite herum, und hat an ſeinem Ende das Gewicht, A. Seine Länge, von dieſer andern Seite der Rolle, bis an das dortige Ge- wicht, oder was in der Figur von der Rolle bis
an A herunter geht, heiſſe x; A ſey gröſſer als C; Nun hebe man A auf, daß der Theil des Fa- dens von der Rolle bis an dieſes Gewicht, nicht ' mehr geſpannt bleibt, halte es alſo ganz nahe an die Rolle, und laſſe es fallen. Wenn nun da der Faden nicht zu ſtark iſt, ſo wird er reiſſen, man bemerkt aber nicht, daß ſich das Gewicht C erhübe. Auch wird der Faden unker dieſen Umſtänden reiſe ſen, wenn er gleich viel ſchwerere Gewichte als dieſe beyden ſind, an ſeinen Enden tragen könnte,
Drey dieſem ähnliche Verſuche beſchreibt Herr Prof. Winfler in ſeinen Unterſuchungen der Na- tur und Kunſt,(Leipz. 1765) 1. Abſchn. von derKraft der Trägheit 2. Haupkſt, Er führt den'Faden ſtatt einer Rolle über zwo, oder braucht ſtakt der Rolle einen Wagebalken, welches hier nichts ändert. Er drückt ſeine Folgerung daraus dergeſtalt aus: die - Stärke der Trägheit, übertkreffe die Laſt ihres eig- nen Körpers. Mich deucht, nachſtehendes iſt die
natürliche Erklärung des Verſuchs, der FEE Uſ-
Aufi blide
gende dieſer bli, des( feitj fine

REH SEHR ROSE. NEN WIE EHE VIE IDEGÖSGENT EEE, 50m aD H 3 EE Rr Gir nt afp, aD 2 Se Heeg iE 7 Ne CHIN EE Rag dus
EX((0:) zz 365 in“ feh Aufmerkſamkeit verdient, weil er beym erſten An- foll auf daw blicke unerwartet ſcheint. ) Was litgp Wenn A von der Rolle herabfält, ſo fängt es '8 Fady den Faden nicht eher zu ſpannen an, als bis es ie Höhe durch die Längex, des von der Rolle herabgehen- m die Rl den Fadens gefallen iſt,„jn dieſem Augenblicke jet an ſeim da es den Faden zu ſpannen anfängt, hat es alſo e, von diy die Geſchwindigkeit w welche der Höhe x zugehört dortige U. Abſchn. 43) 3 und erhielt dieſe Geſchwindigkeit der Rel) inder Zeit 0,008 7x Secunden(Ul. Abſchn. 38) ginge „ gröſſe alſo mit derſelben, in dieſer Zeit gleichförmig, durch Theil des] ven Raum 2x,(1. Abſchn. 39) folglich in einer Se- ewicht, cunde durch den im 2507“ x welchen Raum man ganz nh Durch w ausdrücen kann. Nun wird aber, wenn der nun) Faden nicht reißt, Cmit A zugleich fortgeführt reiſſen, 1 werden. Dazu iſt in dieſem Augenblicke nöthig, icht Ce) daß ſich die Bewegung der Maſſe A, wie beym Stoſſe nſtände! unelaſtiſcher Körper, und nach den Geſeßen der jichte dl Wirkung und Gegenwirkung unter beyde Maſſen, nnt, die bewegte und vie ruhende mittheilt, ſo daß bey« 69 der gemeinſchaftliche Geſchwindigkeit es= ie gen ded! „vondeh I< rede hier, wie man leicht ſieht, von dem was on Fahr fit ſich im erſten Augenblicke ereignet, denn in dem fol- att der Au! genden wird A durch die Schwere beſchleunigt. Mit gändet t dieſer Geſchwindigkeit alſo müßte in dieſem Augen- alt aus; blick, A ſinfen und C ſteigen. Weil aber vermöge oft irt des Geſeßes der Stetigkeit eine ſolche Geſchwindig- endes fi) Feit in C nicht plößlich ent?ehen Fann, ſo wird es . M0. eine gewiſſe, vielleicht kleine, äber doch beſtimmte
"Wt Zeit

366„<zx(0) zz
Zeit dauern, bis C ſolche erlangt, und vor Ablauf dieſer Zeit, hat C anfangs gar keine, und denn, doch nur eine geringere Geſchwindigkeit, das iſt, es iſt in Vergleichung mit A als ruhend anzuſehen, „dem es nicht ſo ſchnell folgt, als A' vorausgehn will, Der Faden wird alſo zwiſchen beyden ſo gezogen, als wenn er bey C an was unbewegliches geheftet wä- re; Daß ihn das bewegte Gewicht A unter dieſen Umſtänden zerreiſſen kann, wenn er gleich ſtark ge- nug wäre, es ruhig zu tragen, wird niemanden be- fremden, der ſich aus(180) erinnert, was für ein Unterſchied unter Dru> und Bewegung iſt. War- um aber€ ruhig liegen bleibt, wird begreiflich wer» werden, wenn man überlegt, daß der Faden eher reiſſen kann, als eine merkliche Geſchwindigkeit
in€ erregt wird. Der Faden reißt alſo frey-
lic?) nicht wegen des Gewichts von C, ſondern wegen ſeiner Trägheit und des Geſeßes der Stetigkeit, welches leßtere den Grund angibt, warum C ſich nicht bewegt. Und weil auf dieſe Art kleine Gewichte einen Faden zerreiſſen, der gröſ«- ſere ruhig tragen konnte, ſo erfolgt hier aus der Trägheit und dem Geſeße der Stetigkeit. mehr als aus der bloſſen Laſt der Gewichte erfolgen würde, Ina dieſer Bedeutung läßt ſich alſo meines Erach- tens der Ausdruck rechtfertigen, die Trägheit des Gewichtes ſey ſtärker als ſeine Laſt, den ich gleich- wohl nicht brauchen werde, weil er obenhin betrach fet, dem Grundſaße zu widerſprechen ſcheint, daß die Trägheit, wie das Gewicht, der Maſſe propor- tionirt iſt,: Wollte
erw man! 0( tiiehe
müßt dieH
wn

Zzz(0)%*Xx 367 nd vor Aly Wollte man die fortgeſeßte Bewegung nach dem I 4 vn erwähnten erſten Augenblicke betrachten, ſo dürfte NA vA man nur nach 1. Abſchn, 51. 34. Seit. ſich vorſtellen, p ne daß C ſo fällt, als würde es voneiner Schwere ge- "aus gehny CG 10 gezogen trieben, die+A der unſrigen wäre, Dieß alſo
eheftet 1: he' müßte im 1. Abſchn. 81. ſtatt f; ſtatt des dortigen c, eich fü die Höhe geſekt werden, welche der vorhin beſtimm« nieman ten gemeinſchaftlichhen Geſchwindigkeit im erſten was fir Augenblicke des Falles zugehörte, ing iſt Y Qa.=o<[ ogreiflihn In Hrn, Winklers Verſuchen war c=3 Loth,
Tc A=2Pfund, 25 x 2oth=89,5 Loth, x=5 Fuß. Swi Ein gleicher Faden trug an jedem Ende ruhig 3x Pf. 1068 bis er riß. Wenn man die Fuß für rheinländiſche
E a annimmt, und x==5000 ſeßt, ſo iſt? 5000=70,710 6 27 und A fällt durch ſeinen Theil des Fadens in |"4 0, 008. 7, 0710= 0,565 Secunden; Mit der Ge- Keas ſchwindigkeit, die es am Ende dieſes Falls hat, veil 6 ginge es in einer eben ſo langen Zeit durch 10 Fuß, je m und in einer Secunde durch 250. 70,710 oder durch Diet ASM 17,677 Fuß. Drückt man die Geſchwindigkeit eit mars durch dieſe Menge von Fußen aus, ſo wäre die ge- igen Nn meinſchaftliche Geſchwindigkeit, mit der ſich beyde Hs Maſſen im erſten Augenblike bewegen müßten Traghet
en ic ge 897 5 EDE=16 F in einer Secunde, Seßt mon "hin fert"; 89,5+8
ſpent, M im[. Abſchn. 41; S=15625; T=1=b; a=160003 affe up ſo findet man die Zeit, in welcher eine ſolche Ge-
ſchwindigkeit durch die Wirkung unſerer Schwere galt m

368“X(0) 8% 16000 64
entſtünde= 0, 512 einer Secunde,
31250 325 Dieſes wird begreiflich machen, wie eine gewiſſe Zeit nöthig iſt, ſie durch jede andere Wirkung zu erzeugen, und wie es möglich iſt, daß der Faden reißt, ehe ſie iſt erzeugt worden. Man hat ſchon längſt ähnliche Verſuche gemacht, dergleichen Herr W. auch anführt, da man ein dünnes Stäbchen auf ein paar Gläſern zerſchlägt, ohne daß ſie um- Fallen; Schwenter math, Erquikſt. X. Theil 3. Aufg. Haf dieſe Begebenheit im Grunde ziemlich richtig bare, ob er ſich wohl nicht ausführlich und deut- lich genug ausdrückt.
Vom Maaſſe der Kräfte.
798. Ein ſchwerer Körper, der aus K5. Fig. bis L ſteigen ſoll, muß bekannter mäſſen mit der Geſchwin- digkeit aus K zu ſteigen anfangen, die er vermöge des Falls durch UK erhalten hätte, weil dieSchwe- ve ihm im Aufſieigen eben die Geſchwindigkeit nimmt, die ſie ihm im Fallen gegeben hatte. Und eben ſo muß ein Körper, der aus Q bis in A 7. F. ſteigen ſoll, in Q mit der Geſchwindigkeit zu ſtei- gen anfangen, die ihm der Fall durch AQ gegeben Hatte,“ Die Quadrate der Geſchwindigkeiten alſo mit denen beydg Körper zu ſteigen anfangen, verhal- ten ſich wie die Höhen auf welche ſie ſteigen(1. Ab- ſchn. 43).
199. Nimmt man alſo an, daß ſich die Kräfte,
„zyit denen beyde Körper ſteigen, wie die Höhen ver- halten,
halte mahl verh eſd "| Wi Geſe verl
jah!

R SORG RIE. EE IEE VNENTEGESGEEESee1 25 uml HÖC Bai a Dra atfpeid, uad SO AU GEHE SEE 5 Sr GERING IZT u 15 bg
|%xX(0)&% 369 ner Giry) halten, auf welche ſie ſteigen, daß der Körper zwey- 9 00 mahl ſoviel Kraft hat, der zweymahl ſo hochſteigt, ſo le eine mf verhalten ſich dieſe Kräfte, wie die Quadrate der e Wirkun Geſchwindigfeiten; der noch einmahl ſo hoch ſtei- daß der?) gen ſoll, muß ſein Steigen mit der vierfachen G6o- Man hat ſchwindigkeit anfangen, und verliert, bis er alle rgleichen Geſchwindigkeit, und damit alle Kraft zu ſteigen mes Stif verliert, viermahi ſoviel, als der nur Dur die ein: ne daß ſe! fache Höhe ſtieg.
„Weilz] 200. Sind alſo die beyden Maſſen M; m; die jem"" anfänglichen Geſchwindigkeiten C; e; und ſtellen lic un) ſich eine Maſſe N=M vor,, die mit der Geſchwin-
digfeit c zu ſteigen anfängt, ſo verbinde man nur mit 1993 den offenbahren Saß, daß bey einerley
fte, Geſchwindigkeit die Kräfte ſich wie die Maſſen ver-
is halten werden; alsdenn iſt
et Kraft von M: Kraft von N= C*:c*?(199)
€ der Od 7:
his ehe) Kraft von N: Kraft vonm=M;m alſo
Die er vn)= 1556
veil diet Kraft von M: Kraft von m= M, C2-in, c?
3 eſn oder die Kräfte in der angenommenen Bedeutung
jen hatt, 0! verholten ſich wie die Producte aus den Quadraten
bis in 474 der Geſchwindigkeiten in die Maſſen,
digfett"7 201, Auf dieſe Betrachfungen hat Leibniz die
0 AQ nur gegebene Ausmeſſung. der Kräfte gegründet,
digen" die man von ihm die Leibniziſche nennt, AQ Er,
Kae Lipſ„Mart. 1686, p- 161. Er ſeßte ſolche den
ſteigen(7 Carteſianern entgegen, welche die Kraft eines Kör- ,- Pers durch das Product aus ſeiner Maſſe in die Ge-
(Gd) vie) ſchwindigkeit, aus dem Grunde maaſſen, weil zwee-
WE WIatheſis arer Theil, Aa ne 0|

379 Z*=z(0) Z*L
ne Körper, deren Bewegungen einander entgegen- geſeßt ſind, einander aufhalten, wenn dieſes Pro- duct bey einem ſo groß als bey dem andern iſt(Star. 533 hier 104). Leibniz beruft ſich zu Beſtätigung ſeiner Lehre noch auf den Saß, worauf Cartes die Statik gründet, daß ſo viel Kraft nöth!g ſey, ein Pfund durch die vierfache Höhe, als 4 Pf. durch die einfache zu erheben( Stat. 543 hier 653 73), oder daß die Kräfte gleich ſind, wenn KL:QA= m: M welches alſo nach 198; C*:c*=m: M giebt, Dieſes noch weiter zu erläutern, hat er Specim. dynamic. A. E. Apr. 16953 die Kräfte in kodte und lebendige(Stat. 1.) getheilt 3 und die erſte in Ver- gleichung mit der leßten elementariſch genannt(181), wie nach ſeinem Erinnern ſchon Galiläus, die Kraft des Sroſſes unendlich genannt hatte, wenn man ſie nähmlich mit dem bloſſen Drucke der Schwere vergleicht. Daher pflegt man eben dieſe leibniziſche Berechnung der Kräfte, das 113aas der lebendis gen Rräfte zu nennen, weil es für Kräfte ange- nommen wird, bey denen ſich wirkliche Bewegung befindet, ſo die das carteſianiſche für odte gilt,
202, Dieſe Ausmeſſung der Kräfte hat eine Streitigkeit veranlaßt, deren Geſchichte allein ei- nen Band, wie gegenwärtige Mechanik iſt, aus- machen würde“, da ſich die gröſten Mathematikver» ſtändigen getheilt, und einige die Kräfte auf die carteſiſche, andere auf die leibniziſche Art gemeſſen haben. Da die leibniziſche Ausmeſſung in der 199 angenommenen Bedeutung.der Worte offenbahr iſt,
ſo
fendt junge uch( ine Birk ihre) gend) Zeitet tracht! Zeit (pffrit Jeſſen| nin tha en ſolche geweſ!
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die el 8 uter (eichteſ fünnen
20) leimor h&, we dene(f fa Y
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22.(6).ZxLz 371 ſo ſieht man ohne Weitläuftigkeit, daß die Strei.
Der Enten
H tenden das Wort Kraft in unterſchiedenen Bedeu- Bun tungen müſſen genommen haben, Es erhellt dieſes | Dele auch aus den mancherley Beweiſen, die jeder für uf Cart) ſeine Meynung angeführt hat. Es ſind allerley Whg ſy Wirkungen der Körper berechnet worden, daraus S4. bw ihre Kräfte zu ſchäßen; Man hakt ſolche Wirkun- Ner 65,7 gen durch Verſuche ausmachen wollen, man hat die m KLO: Zeiten, in denen die Wirkungen geſchehen, in Bex =m:Mgh trachtung gezogen, weil einerley Kraft in anderer vat er Spade Zeit was anders wirkt u. ſ, w. Kurz man hat niche fe In tty geſtritten, ob die Kraft durch C. M oder C2, M zu leerſte in meſſen ſey, ſondern ob man C. M oder C2. M Kraft genannt; nennen ſoll, Dieſer Streit iſt alſo, ihm den rech- aus, die ten Nahmen aus der griechiſchen Gründſprache zu te, wen geben, eine Logomachie: geweſen; doch iſt ſelbſt ein € der Cit? ſolcher Wortſireit, in der Mathematik lehrreicher (eſe Leibrl) geweſen; als Wortſtreite in andern Theilen der Ge- 3 der lch) lehrſamfeit zu ſeyn pflegen. Denn die vielfältigen Kräfte Unterſuchungen, Auflöſungen von Aufgaben u. d. g- <e Bet die er veranlaßt hat, haben doch unſere Kenntniß e fodte gul wirklich erweitert. Jc< nenne daher einige der ; vornehmſten hieher gehörigen Schriften, und dar- Ahe Hf! unter mit ſolche, die man etwa in Deutſchland am (hte alt) leichteſten wird haben, und ſich daraus unterrichten mnie iw können.:! fte 203.„Joh. Bernoullis oft angeführter diſe. ſur ſe le mouvement(1 S7. XII.) gehört vorzüglich hie- , Net guſt ber, wo das leibniziſche Kräftenmaaß durch verſchie- ond dene Gründe iſt vertheidigt worden, Jn dem er= fenburl ſten Bande der Comm. Pecrop, findet man unter-
Aa 2 ſchiedene“
= wen arm mens- WREN 1"MELA Ala Bittet„etui IEE

372'" ZL Co) ZL
ſchiedene Aufſäße wegen dieſer Streitigkeit, die da- mahls Mode war; Als: Bilfinger de Virib. corp. moto ihſitis& illarum menſura p. 43. Wolfs Prin- cipia dynamica p. 217. beyde für 2eibnizen. Wolfs principiis dynamicis hat Jac, Jurin principia dy- namica entgegengeſeßt, Philoſ. Tranſat. n. 4793 art. 43 auch Tranß 1. 4763 art. 143 eine Unter- ſuchung des Maaſſes der Kräfte bewegter Körper mitgetheilt, und einen entſcheidenden Verſuch in dieſer Streitigkeit vorgeſchlagen. Wolf hat auch von. den Maaſſe der Kräfte in ſ, Colmologia gene- rali Se, IL c. 4+ gehandelt. Joh. Bernoulli de vera notione virium viuar. earumque vſu in dyna micis AQ, Er. Lipf. 1735; Mai, p. 210.0p. 1.1 n. 145.- Eine ziemlich) vollſtändige Sammlung deſſen, was ſich hierüber ſagen läßt, iſt Dialogo di Vincenzio Riccati della Compagnia di Geſu; dove ne' congreſſi di piu' giornate, delle forze vi- ve e dell azioni delle forze morte ſi tien diſcorſo, Bologna 17493 419. Quartſeiten. Das Werk iſt in Geſprächen abgefaßt, welchen Vortrag die Jta- liäner noh ſehr lieben, und der ſich hier wenigſtens gut ſchi>t. Della Forza de" corpi che chiamano viva libri tre, del Sigr. Franceſco Maria Zanotti &C Bol. 17523 311. Quarkſeiten, enthält viel Er- innerungen, beſonders im Ill B. gegen das, was 'Riccati für'das Maas der lebendigen Kräfte geſagt hatte, Herr Z. hat ſich bemüht, wie er ſich aus- drückt, die Frage blos durch metaphyſiſche Unter- ſuchungen(col ſolo diſcorſo metafiſico) zu erläu- fern, ohne aus der Geometrie und Mechanik was
weiter
weitet
meiſte
vitib, v animad Anmer! Einwet Krafte dilſerta moti Lettre ſtionde fet, jons ph Ihtgegen
"mſen
jeuſh
Onde Heinfit nterſch Jef (ſien u finde wa vil 1733;
wum n ves;€ Neinſ rium v gif de fipeH 2 Dif
|

Zz<Z=(0)*= 373
weiter anzunehmen, als die befannkeſten und ge- meinſten Lehren, Felicis Anton, Bal: l1aM opuſc. de virib. viv. das zu Bonon. 1752, mik lac, Marilcotti animaduerſion. herausgef, 56. Quartſ, enthält auch
fgfeit, Nah de Vir, m ' Wolf Pe nien, Ay)
 Anmerkungen über den Riccati. GSarfſinnige 1 34 Einwendungen gegen die Beweiſe des leibniziſchen 3 eine(1 Kräftenmaaſſes finden ſich in des Hrn. v. Mairan wegter Au diſſertation ſur? eſtimation& la meſure des forces Äs Verſt motrices des corps Nowuv. Ed. Par. 1741; wozu Dolf hat Lettre de Mr, le Mairan a Madame*** ſür la que» [mologi zz ſtion des forces vives gehört, darinnen er beantwor- Berl tet, was die Marquiſe v. Chatelet in ihren lnſtitu- e vluini tions phyſiques ihm für das leibniſche Kräftenmaaß 10,0p.] entgegengeſeßt hatte. Dieſes, mit der Fr. Mar- je Sam!* quiſe Antwort iſt von der Frau Prof. Gotrtſchedinn t, ED deutſch überſeßt, Leipz. 1742 herau“sgefommen. aonia d(6 In Leipzig ſind zwiſchen dem noch lebenden Hrn. Pr. delle for Heinſius und dem ſeel. M, Friedr. Wilh. Stübner ß tien dil! unterſchiedene Streitſchriften über das Kräftenmaaß Das VJ gewechſelt worden. Dahin gehören eine 1733 vom ortrag dt, erſten unker dem ſeel. Hauſen vertheidigte Di ſpura- Piep wenn tion'de viribus motricibus,» Stübners Diſp,. con- che chin ira virium menſuram Carteſianam, pro Leibnitiana; Maria Zu 1 733; Eben deſſ. demonſtratio veräe menſurae vi- mä rium motricium viuar. HSHeinſius Animaduerſio- agen 8, nes; Stübners amica reſponſio ad animaduerſiones „Fräſe Heinfi 1734; Heinſ. Notiones& diſcrimen vr- . iw rium viuar.& mortuar, 1735. Cinen kurzen Be- pf griff der Geſchichte dieſer Streitigkeit, hat der je- ico) zu Bige Hr. Pr. Arnold zu Erlangen, daſelbſt 1554 in Mehl 2, Diſputationen de viribus viuis earumque menſu-
wi Aa 3 xa

374 EZ28%(0) 28%
1a gegeben, davon er die erſte unter dem Hrn, Pr.
v. Windheim, die andere ſelbſt als Praſes ver--
theidigt. Hauſen hat in einem zu Leipz, 1741, her- ausgebenen Programma ad ſolemnia promotionis magiltror. von der Gegenwirkfung gehandelt, dem in eben dem Jahre ein anderes ad memoriam Geye- rianam..- celebrandam gefolgt iſt, wo er das Ges wiſſe in dieſer Streitigkeit ſehr wohl angegeben hat. I< will das Weſentliche ſeiner Gedanken, ſo, wie ich es am beſten mit gegenwärtigem Lehrbegriffe ver- binden kann, vortragen, weil meiner Einſicht nach, in ſolcher Kürze ſich nichts beſſers von dieſer Sache ſchreiben läßt.
204. Während der Zeit, da eine Maſſe A, von einer beſchleunigenden veränderlichen oder unverän- derlichen Kraft fz; getrieben, den Raum dx durch- läuft, nennt Hauſen die Kraft dieſer Maſſe Afdxz worunker er alſo die bewegende Kraft(1. Abſchn. 49.) verſteht; dieſes iſt= Adv(1 Abſchn, 76.), folglich, wenn ſich die Bewegung von der Ruhe anfing, die Summe dieſer Kräfte lAfdx= Av, welches ſich wie Au? verhält(1. Abſchn. 75.). Da matt ſich nun bey jeder Bewegung, auf was für Art ſie"auch entſtanden iſt, vorſtellen kann, ſie ent- ſiehe durch anhaltende Wirkung einer beſchleunigen- den Kraft, ſo erhellt, daß man ſagen kann: die Summe aller Kräfte, durch welche eine gegebene Bewegung erzeugt werden kann, verhalte ſich bey einer gegebenen Maſſe, wie das Quadrat der enk-
ſiandenen„Geſchwindigkeit, und bey unterſchiede-
nen Maſſen, wie das Product aus dieſem Quadra- te
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XX(0) XxX 375 nd te in die Maſſe. Es iſt aber offenbahr, daß eine 0% vorhandene Bewegung zu vernichten eben eine ſo Wl groſſe Summe von Kräften nöchig iſt, als ſie zu "Mv: 4 erzeugen. Nimmt man f unveränderlich an, ſoiſt NELE die Summe= Afx, und verhält ſich alſo auch,
N wie die Maſſe mit dem zurückgelegten Raume mul- “ 4 vs! tiplicirt. In dieſer Bedeutung alſo läßt ſich ſa- POE gen, die Summe der Kräfte, die eine gewiſſe Be- 1: wegung erzeugen, oder ſie vernichten, verhalte ſich SOG wie das Quadrak der entſtandenen oder vernichteten Cf Geſchwindigkeit. Man ſieht leicht, daß dieſe Schlüſ- n dieſer Eil ſe Hauſens mit den leibniziſchen(200) auf. einerley
Grunde beruhen, und eine gewiſſe Bedeutung des
Maſſe 4! Wortes Kraft voraus ſeßen. oder un aum ch Von der Erhaltung der lebendigen 4; Maſt M"! Krafte. aft(1,06 205. Den Saß(164)-hat man alſo dergeſtalt „Abſchn, ausgedrüct: bey elaſtiſchen Körpern bleibt die von der Summe der lebendigen Kräfte vor und nach dem (Afdy=! Stoſſe einerley. Man hat dieſes die Erhaltunt hn, 53), der lebendigen Rräfte genannt, und als ein all- „auf wiſt gemeines Geſeß der Natur angenommen, Ia 145; 1 Fann,(uw! Mx?+ mx?= MC2+ mc? geſeßt, gibt'C=c, beſchlungtt alſo eine Bedingung, unter der kein Stoß geſchieht, gen fam; und eben die Vorausſeßung in 110 gebracht, gibt
c=-C eben das vorige(111). Alſo findet die Er-
haltung der lebendigen Kräfte bey ganz harten Kör-
adraf de pern nicht ſtatt. Aber eben das war noch ein Grund
- unterſhi) mehr(192), ſolche Körper aus der wirklichen | Welt zu verbannen,
2 4(a) eſe Zu; h Aa 4 206, Die-
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Auiidn...... 4. amian-“ »<-. KEIT TEEL: 2 wnn wh. uuiititgen 2% 3 DE Ne vn. 6 ln M2ld

376 2(0) Z=
206, Dieſes allgemeine Geſeß, wird folgender: geſtalt ausgedrückt, der Gründ davon läßt ſich ei: nigermäſſen aus 254. einſehen: So viel Maſſen al5 man will, A, B, C,.... wirken in einander durch Fäden, unbiegſame Stäbe(wie Stat, 12.), Fe: dern u, ſw. und machen ſolchergeſtalt ein einzittes beroetiliches Syſtem aus. In einem gewiſſen Augenblicke, haben dieſe Maſſen in dieſer Verbin: dung die Geſchwindigkeiten K, L, M,... es md- gen nun dieſe Geſchwindigkeiten, nur durch der Maſſen gegenſeitige Wirkungen in einander, oder auc) noc< dür beſchleunigende Kräfte, die in die Majſen wirken, beſtimmt werden. Man ſeße im
„Anfange der Bewegung, hätten die Maſſen die Ge-
ſcywindigkeiten k, 1, m, und ſtelle ſich nun vor, ih- xe Verbindung würde aufgehoben, ſie machten kein Syſtem zuſammen äus, ſondern jede ginge für ſich, nur allenfalls von ihrer beſchleunigenden Kraft ge- trieben, den Weg, den ſie vorhin als ein Theil des Syſtems nahm, ohne übrigens in die andere zu wirfen. Wenn jede dahin gekommen iſt, wo ſie in? vörhin erwähnten Augenblicke, als ein Theil
"des Syſtems war, ſo haben ſie die Geſchwindig:
Feiten x, A, 4... Alsdenn ſagt man es ſey A. K? +BLLI?4C MP, A(k> 4x2) 4 Bo(12422)
+ C.(m?+ 12)... oder die Summe der lebendigen
Kräfte ſey in beyden Fällen einerley: Es gehe nähm- lich durch die- Wirkungen der Maſſen in einander, die ſie im Syſtem ausüben, nichts von lebendiger Kraft verlohren, wie das Geſeß erfodert, daß im- mer einerley lebendige Kraft erhalten wird.
207:40
907 (Frem) bung! am be nird ſ bewert nur eil
Di ge die? zes ſe) derVe nen 7 heſſe- jieſe 1a 08 3x er ſh
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207. 1. Es wit nöthig ſeyn, dieſes durch ein Exempel zu erläutern: Die ſchon bekannte Erfin- dung des Mittelpuncts des Schwunges ſchickt ſich am beſten dazu. Aus gegenwärtiger Vorausſeßung wird ſie folgendergeſtalt in dem einfachſten Falle bewerkſtelligt, der hier zu meiner Abſicht, da ich nur ein leichtes Beyſpiel ſuche, am geſchiteſten iſt.
Il. Inder 22. F. ſind an einer unbiegſamen Stan- ge die Maſſen B, A, E, der Mittelpunct des Schwun- 928 ſey in O und die Stange mache im Anfange mit der Verticallinie durch C, um welches ſie ſich dre9t, einen Winkel, deſſen Querſinus= w für den Halb- meſſer=1x iſt. Wenn nähmlich CE in der 21, 5. dieſe Lage vorſtellte, ſo ware AG: CE=w: 1, wor- aus zugleich erhellt, daß CE. w= AG oder daß in der ſchiefen Lage der Stange 22. F. die Puncte E, A, O,B, um die Höhen CE.w; CA.w; CO.wz "CB. w; fallen müſſen, wenn jeder für ſich in die Ver- ticallinie durch C ERIN ſoll.
II. Nun ſeße man in O ſey der Mittelpunct des Schwunges und CO=24; die Geſchwindigkeit, mit der O in einem gewiſſen Augenblicke der Bewegung in dem Elemente des Kreiſes ſortgeht, den es be- ſchreibt, heiſſe uv, Wenn ſich die ganze Stange zugleich bewegen ſoll, ſo müſſen die Geſchwindig- keiten der Maſſen A, B, E; 0 En GB 23 E-I;
a 2 a ſeyn, und haben alſo zu u unveränderliche Verhält- niſſe, wie ſich auch u ſelbſt ändern möhte, Wenn ah u nun die Geſchwindigkeit bedeutet, mit wel-
Aa 5<her

378 2%(6) zz
her O in die Verticallinie kömmt, ſo ſind die le- GA2. u2„CB2. u*
bendigen Kräfte der Maſſen=== A;>23 4= PF 4+.' WEGE UEE BEE
a?
II1T. Wären aber die Maſſen, jede für ſich, oh- ne an die Scange beſeſtigt zu ſeyn, aus den Stel- len, die ſie in der ſchiefen Linie CABE einnahmen, bis in die Vertkicallinie gefallen, ſo hatten ſie jede durch thren Fall durch ihre vorhin angegebene Hö- Hhe(11), eine Geſchwindigfeit erlangt, deren Qua» Drat ſich, wie dieſe Höhe verhielte, und alſo gäbe jede Maſſe mit ihrer Höhe multiplicirt, ihre leben- dige Kraft, wenn ſie ſolchergeſtalt für ſich-ohne die Verbindung mit den übrigen gefallen wäre. GSol- len alſo die gegenſeitigen Wirkungen der Maſſen, wie ſie mit einander verbunden ſind, im Ganzen der lebendigen Kraft nichts ändern, ſo müſſen die le- bendigen Kräfte, welche die Maſſen ohne Verbin- Dung hätten, zuſammen ſo viel betragen, als die lebendigen Kräfte, welche ſie in der Verbindung ha- ben. Das iſt die Summe der Producte aus den
Maſſen in die Höhen(11) muß ſo groß ſeyn, als,
die Summe der lebendigen Kräfte,
V. Daß in O der Mittelpunct des Schwunges iſt, will vermöge der Erklärung deſſelben(8) ſo viel ſagen: Man ſoll ſich in O einen ſchweren Punck vorſtellen, daß CO ein einfaches Pendel wä- re: dieſes einfache Pendel, ſoll aus der ſchiefen La- ge in die verkicale, in eben der Zeit kommen, Nn
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Zz(6) 4% 379 0%| welcher die Stange aus der ſchiefen Lage in die ver- A. 208 ticale kömmt. Solchergeſtalt hätte das Gewicht ' des einfachen Pendels, wenn es in der Verticalli- nie anlangt, die Geſchwindigkeit, die es durch die Höhe ſeines Falles CO, w=-aw(ill) erlangt. Die- Er ſi; ſer Höhe alſo gehört die PERE uin IMK, vw u*? 5 den Ey zu, daher iſt u*= aw und> 2551 folglich die einnahn) ten ep lebendigen Kräfte nach Illl,„(ei Neeb His CAL ANA CE BE ARCH EEN Er 0 A2.20)= eren? 1d alſo W"RER 76 „ihrel+CB2, BZ CE*,E. 7608 welches ſich-ehu)"CA2.A+CB2,B+CE2,E.. M RAL AZE LB BEE GEE ! a als die bekannte Regel(17) giebt. üſſen VI. Dieſes Verfahren hat zuerſt Joh. Bernoulli ne Deh diſc, iſur le mouvem, chap. 14. gewieſen. en, dit VI. Man ſeße ein Syſtem mit einander verbun- bindung dener Gewichte A, B, C,...(wie etwa ein zuſammen- z ehe ma geſeßtes Pendul) bewege ſich, und vom Anfange ß ſun, 4 der Bewegung, bis an einen gewiſſen Augenblikf, ſeyn dieſe Gewichte, um die Höhen a,b,c, geſun- Schm fen; ihr gemeinſchaſtlicher Schwerpunct aber um ſelben(4) Die"Höhe v; So ſind dieſer Gewichte lebendige '(ren Kräfte A.25B.b, C.C..« Und wenn man ſich ed die ganze Maſſe im Schwerpuncte vereinigt vor- (Apfels ſtellet, wäre ihre lebendige Kraft, die ſie als ein| as Punct, durch den Fall erhalten hätte=(A+ B
mi FP C...).v

385 EEE(-5-) 52x
+C3:Y V. Aendert ſich nun, durch die Wirkung der verbundenen Gewichte in einander, nichts im Gan- zen der lebendigen Kraft, ſo haben die verbundenen Maſſen ſo viel lebendige Kräfte zuſammen, ſo viel ihre Summeim Schwerpuncte vereinigt haben wür» de, vder es iſt(A-+B-HC..). v=4A.,24B.b+C.c und vormöge dieſer lebendigen Kraft/ würde der Schwerpunct ſo hoch wieder ſteigen können, ſo tief er gefallen iſt, die Gewichte mögen in der VWerbin- dung bleiben oder nicht. Dieſen Saß hat Huygens zum Grunde ſeiner Abhandlung, vom Mittelpuncte des Schwunges gelegt. Hor. Oſc. P. IL hypoth.u Der Nahmen: lebendige Kraft» und Erhaltung der- ſelben, hat er ſich nicht'bedient, ob er wohl auch den Saß 164 gefunden. Weil Huygens Woraus- ſeßung bey der Lehre vom Mittelpuncte des Schwun- ges etwas dunfel ſchien, hat man dieſe Unterſu- chung, wie ſchon gezeigt worden, ſicherer anzuſtel- len geſucht. Die Vorausſeßung hat Joh. Ber- noulli de ver. not. vir. vin.%. XXV. auf die ange- führte Art gerechtfertiget.
208. Von dem Geſeke der Erhaltung der leben: digen Kräfte, kann man eine kurze Ausführung beym dAlembert Traite de dynamique IL,P. ch. 4. nach- leſen. Es iſt, ſeitdem Joh. Bernoulli ſeinen Ge- brauch gewieſen hat, mit groſſen Nußen auf viele und ſchwere mechaniſche Auſgaben angewandt wor- 'den, die man dadurch eben ſo, wie aus den ge- wöhnlichen mechaniſchen Grundlehren, aber viel leichter, QufiÖſer, daher denn dadurch ſelbſt Unter-
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xz(0)&%» AZx vL Ie ſuchungen ſind vollendet worden, die wenigſiens eine Wh Zeitlang, für die befannte Anwendung der übrigen RE mechaniſchen Grundlehren zu ſchwer waren, Da- On, IW hin gehört die Bewegung fiüſſiger Körper, die Hr. aden) Daniel Bernoulli in|, Hydrodynamica, ſolcherge- FB. b+ ſtalt abgehandelt hat, da ſein Water Joh, B, erſt / wine einige Zeit darnach,"Mittel fand, ſie aus den ge- Wen, fen wöhnlichen Säßen herzuleiten, Einzelne Proben der Yet von dem weitläuftigen Gebrauche dieſes Geſeßes an- at Du zuführen, läßt der Raum nicht zu, nur einige Bey- Nittelpun ſpiele zu geben dienen lo. Bern. rheoremata de con- [[. bypot ſeru. vir. vivar. Comm. Perr, 1.11, p, 2029. wonur haltung) die Säke ohne Beweis und Auflöſung ſtehen, aber * wohl x! Op. T.I1IL n. 128. findet man ſie auch mit Anzej- 18 Ve gung der Stellen, wo ſie weiter gusgeführt ſind, es Ehn eſe Une) Von dem Satze der kleinſien wr- Wirkung. 16 M 209, Unter dieſem Nahmen hat der Herr v.Mau- | pertuis eine Lehre, aus welcher ſich Unterſuchungen in der Mechanik anſtellen laſſen, bekannt gemacht, 19 der Wh Da dieſelbe viel Auſſehens gemacht hat, ſo iſt 18- Fran thig, von ihr hier wenigſiens einige Nachricht zu ch.ch ertheilen, D. | ſem- 210, Erel, Die Gröſſe der Wirkunt(quan- n auf vt rite d AQion) heißt beym Hrn, v. M. das Product
aus der Maſſe eines Körpers in ſeine Geſchwindig- 18 by Feit und in den Raum den er durchläuft. Wena abit u! ein Körper aus einem Orte in den andern gebracht Of: Unte wird, ſo iſt die Wirkung deſto gröſſer, je gröſſer
jug! 8
vandt

508 Z2(0) xX
die Maſſe iſt, je ſchneller die Geſchwindigkeit, und je länger der Raum iſt durch den er geht.;
211. Satz der Kleinſten Wirkung. Wenn ei- ne Veränderung in der Natur geſchieht, ſo iſt die
„zu dieſer Veränderung erforderte Wirkung die klein« ſte die möglich iſt.
212. Aufg. Die Geſeße der Bewegung vollfom- men harter Körper'aus dem Saße der kleinſten Wir- fung herzuleiten,
Aufl. Zwo harte Maſſen A, B, folgen einander mit den Geſchwindigkeiten a, b, jene mit der gröſ- ſern, daß alſo B von ihr erreicht und geſtoſſen wird, Nach dem Stoſſe haben, wie leicht zu ſehen iſt, beyde einerley Geſchwindigkeit, die x heiſſen mag. Weil in einer gegebenen Zeit, bey gleichförmiger
, Bewegung, der Raum ſich wie die Geſchwindigkeit
verhält, ſo kann man auch ſagen, die beyden Maſ-
ſen, haben vor dem Stoſſe in einer gewiſſen Zeit, die Räume a, b, durchlaufen, und durchlaufen nach dem Stoſſe in eben der Zeit, jede den Raum X. Die Veränderung alſo, welche ſich ereignet hat, iſt eben ſo, als wenn während der Zeit, da ſich A, mit ſeiner Geſchwindigkeit a durch den Raum a be- wegte, dieſe Maſſe, auf einer mathematiſchen Ebene, rückwärts wäre geführt worden, ſo daß fich dieſe Ebene mit der Geſchwindigkeit a=x durch den Raum a-=x rückwärts bewegt hätte; Und als wenn B während der Zeit, da,es ſich durch den Raum b mit der Geſchwindigkeit b bewegte, von eben einer ſolchen Fläche, mit der Geſchwindigkeit
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&<Z(0)&% 3832 gelt m x= b durc< den Raum x- b wäre vorwärts ge« dt, führt worden. Von dieſen mathematiſchen Flä« , Wem<en nähmlich, benimmt die etſte der Geſchwindig- t, ſoity keit, die A vor dem Stoſſe hatte, ſo viel als A im ng die; Stoſſe verliert, und die andere ſeßt der anfängli-
<hen Geſchwindigkeit von B ſo viel, als B im Stoſ- ſe gewinnt. Da nun die Bewegung der mit den
uy Körpern beladenen Flächen einerley iſt, die Kör- ie per mögen auf ihnen ruhen oder. ſich bewegen, ſo ſind die Gröſſen der hervorgebrachten Wirkungen Jen Ema A(a-x)2?; 8,(x-b)2, deren Summe ein Klein- nit deg ſtes ſeyn ſoll; alſo iſt ihr Differential=o geſeßt: ſtoſſen 1) A2+ Bb u ſehn!-23A+ 24Ax+ 2Bx-2Bb=0 woraus x= u folgt, wie in 114. Appinid 213. Aufg. Aus eben dem Saße, die Geſeke venderä; der Bewegung bey elaſtiſchen Körpern herzuleiten. wiſſen) Aufl, Die Maſſe A durchlaufe vor dem Stoſſe aufen mit der Geſchwindigkeit a, den Raum a, nach dem n Raum: Stoſſe mit der Geſchwindigkeit& den Raum xz met hot j B, b,(3 bedeuten eben das bey der andern Maſſe, die da(04 von A eingehohlt wird. Wenn man die vorigen Kaum Betrachtungen(212) wiederhohlt, ſo findet man Gemitſt endlich die hervorgebrachten Würkungen A.(a=«)*;z m, iw B.(2-b)2 deren Summe ein Kleinſtes geſeßt, a=-x hh gibt= 2Aada+ 2Aad2+ 2BR4/- 2Bbd2= 0
„ Ys Weil man ſich nun den Stoß elaſtiſcher Körper ſo ' vorſtellen kann, als wären ſie blos hart, und eine Fe
durch'! ari: wagte, 1 der zwiſchen ihnen, die im Stoſſe zuſammengedrückt NIPKA e!';
pindiglet würde und ſich wieder ausſpannte, die Feder aber
1) mit

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mit ver Geſchwindigkeit zuſammengedrückt wird, mit der ſich die Körper einander nähern, alſo mit ihrer relativen Geſchwindigkeit, und folglich mit eben der Gewalt ſich wieder ausdehnt, ſo iſt bey elaſtiſchen Körpern, die relative Geſchwindigkeit vor und nach dem Stoſſe einerley, alſo P2=2a-=b und P=a-b+2, und dR=d4x5 dieſer Werth von dſ3 in die nur gefundene Gleichung geſeßt, gibt erſilich= 242+ 2A%+ 2B.- 2Bb= 0 und nun ſtatt 3 ſeinen Werch geſeßt, kömmt= 2 Aa+2A2 4 2Ba- 2Bb+ 2B2= 0 und Daraus%= A-B). a+ 2B-A)b+2 (A 7 DUE oder BL ETNIENN<=; 0
wie in(135)+ 214. Das bisherige(210... 213) iſt nur mit ei- nigen Abkürzungen und Erläuterungen aus des Hrn. v. Maupertuis Elſay de Colmologie überſeßt, der 1750 beſonders herausgefommen iſt, aber auch in den unterſchiedlichen Ausgaben ſeiner Werke, und gleich im l. B. der zu&yon 1756. in 4. Ockavbänden Herausgef. Oeuvres de Mr. Maupertuis zu finden, Chriſ>lob Mylius hat ihn deutſch überſeßt; Ver- ſuch einer Coſmologie von dem Hrn, v. Maupertuis Berlin 1751. 82, Eben das ſteht auch ſchon in den Mem. de Ac. Roy. de Pr, 1746, p+ 263. uf. Weil vermöge dieſes Saßes ſo viel als möglich mik ſo wenig als möglich ausgerichtet wird, hat man ihn auch das SGeſerz der Sparſamkeit genannk. 215. Jc<h habe hier nur einen Begriff von dieſem Saße- des Herrn von Maupertuis geben wol r
Erze voni! regel fung Sah! in den Dieſe lic€ fen 00ju| ſorgt ebm/ NG Recha vs ſi ſinſtu wert [eint ſauf erfen oegebe Origin fonte 1 ht( MUfſch
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% pM Er zeigte ſelbſt noch unterſchiedl liche Anwendungen
' 500 von ihm, und d glaubte daran eine fruchtbare Grund-
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» ij 4 regel der Mechanik zu haben, die ſelt der Erhal WO E
tung der lebend! gen Kräf te vor zuziehen wäre. Herr
NYwiny Sattuel[ König mach e Erinnerungen dagegen, die Ce in den März der At. Erud. 1551. eingerüc ft wurden
; M Dieſes hat einen Streit veranlaſſet, deſſen umſtän| 9 geen liche Geſchichte ich aus Achtun gfür d die Wiſſenſchafs 7.0 Wt ten ungern abfaſſen würde, ob ich gleich mit den Nahe;' dazu gehörigen Nachrichten ziemlich vollſtändig ver- Var 4 ſorgt bin, und darunter aud) vielle icht manche nicht (B-Abh eben ſchr befannte beſie, Zum Glücke, gehört f Ar! ein gt voſſer Theil dien Streit es nicht ei NE t zur
; es Mechanif, und das h at doch Gelege! heit gegeben, daß ſich Leute in In St eit gemengt haben, die
ſ we; ſonſt um eine mathematiſche Frage ſich nicht befüm- Wee mert hätten, H err K, ZEI ein Stück aus einem ae leibniziſchen Briefe angeführt, welches Herr v, M, 43 ſo aufnahm, als ha 2 ihm Herr K. dadurch vor- a werfen wollen, er habe 2, Erfindung für ſeine aus- Octeti gegeben, dieſc ſerwegen von K,. fodertke den Brief im is zu Originale k darzuſtel len) und als K, dieſes nicht chun erjeBl v fonnte, d ie Könt 8 Je fiſche Akademie veran- Maye laß Gte ein Urtheil über K. zu fäl Ten, das unter der
wh jw Aufſchrif f Jugement GE 1 Ac. Roy. des Sc.& b. 1.
Pp» 20%) für une lettre pretendue& de Mr. de Leibniz'zu Ber- mog lin 1752. hevausfam, K. gab vagegen Ap pelau 0, im public du jugement de 1'Ac, Roy. de Berlin&c. zu t genann) Leiden 1752. heraus. Herr v. Voltaire verfertigte : pon di! bey dieſer Veranla ſung gegen den Herrn v. M, die
bon mol hiſtoire du 0060"ur Akalaa, die Seance memorable ( UJatheſis 4er Theil, Bb und

386 Xx(0) 8%
und andere luſtige Schriften, Es iſt ſonderbar, daß Herr v. V. nach dem Character, den man ihn ſonſt beylegt, ſich wieder das Geſeß der Sparſamkeit erklärt hat. Unter dem Titel: Vollſtändige Samm- lung aller Streitſchriften, die neulich über das vor- gebliche Geſeß der Natur von der kleinſten Kraft in den Wirkungen der Körper entſtanden ſind; iſt zu Leipzig 1753 eine Sammlung derjenigen Schrif- ten, deutſch überſeßt herausgekommen, die eigent-
lich das Geſeß der tleinſten Wirkung gar nicht be-*
treſſen, ſondern, wie ich ſchon erwähnt habe, ſich mit einem andern bey dieſer Gelegenheit erregten Streite und größtentheils mit Perſönlichkeiten und Spoöttereyen beſchäfftigen. Lehrreicher i in der Haupt- ſache ſind Herrn Eulers ditl. de principio minimae adionis Berl. 17533 und franzöſ. in den Mem. de 'Ac, de Pr. 1751. p. 199; wo ſich auch p. 169. deſſen Harmonie entre les principes generaux de repos&.de mouvem, de Mr. de Maup. und p. 246 deſſen elay d'une demonſtration metaphyſque du pr. gen. de l' equil. befinden. Im J. 1752. gehört P+ 293 hieher eine Antwort des Herrn v. M. ge- gen den Hrn, d' Arcy, Ant. Brugmans proeve over de waare grondwetten der beweging en ruſt Seid, 17533 iſt gegen den Hrn, v. M. Zu einer ähnlichen Anwendung der Lehre vom Gröft en und Kleinſten auf die Mechanik gehören unter andern auch Hrn. Eulers beyde Additamenrta zu ſ. Merhodo inveniendi CUruas NGT minimive Propi iCtate gaudentes (Genf 1744.)z3 wo er im erſten gewieſen hat, wie aus Betrachtung der gröſten und kleinſten, die Krüm- mung
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ne Abe SETZT, GIE im MERS 1 DRE Ag GE EIER IRE rz NMB.) Zr) gi NZ zZ A ii Sr VEIEL:- 4ER EIN ER u ZE ZURN OBE KE. 3) Hider
6 ZX(0)%L 0 : altica) zu beſtim- derber) zarter Bleche(curua elaſtica) zu b an iy| en iſt, im AVENten MEN DELE nichts wiederſteht, opa Wege geworfener Körper, dene! ind , /* DJ G c.+ n ige Cam: am größten oder am kleinſten wir 10p H h' 4 1190 inde allgemeiner Unterſuchungen der BD ung feſter Körper. ven Ib Beweg: g gen eines feſten Körpers gene 216, Wie die 2222000 beſtimmen ſind, hät 0- benen Getialt zu 4 , died von Jeder gegebenen Gel> GENESEN principe de aar nid Herr Euler decouverte c 7 ie Pr.17504 P. 185. it hab mecanique NEM:+ 4“7. 4 den Mem.de l Ac. vet ew gewieſen, und jolches HNA 1 heoria motus cor- (6 Y s[44 ij: IchFelt Roy. de PF. 1 785 8. als bs. YUM nach) einem noch nder rum ſolidorum ſeu rigidorum, ier ausoeführt 17 PS tfahren, vollfommener ausgeführt. Dio mit verbeſſerten 570307! 5.8 Mſcpt. ſchon I761 fertig ven Men Dieſes Buch, MINE WINNEN darauf angenom- d) 0,1 eſen, da ſchon Prän ve jeßigen Jahrs Ap! gew/ iſt erſt in der Oſtermeſſe jeßigen Fah genen men worden, iſi und ich erhielt es, als von ge- n 4 SCEFTOmmen ERA c 6 SI ze und p; herausget 1.50 ſchon alles bis auf jeßige Un- phylg: genwärtigem, Werke| var, die ich eben nach dem 56 terſuchung ELSE HERZ GIT Schriften un; angeführten ältern Aufſaße 3 WU Was ich die- Tad il der Kön, preujf. dif. OYIEGGEN« 5 Yferte ich dem pro chon abgefaßt hatte, opferte ich 110 ſerwegen etwa ſchon abgefaßt ha(l mich in den Em Ui,; 4 er willig auf, und wiü mich) e Vortheile meiner Leſer IN; Indeſ- er pid C* Theoria motus richten." Ind 9 Guſt! folgenden nach ner Schranfen, die im mir ſekßen :„ud. ſen werden ELE: WUND RiBenen 6.„2 muß, allzugroſſe Dzeit al Kids);,< Hob Allge- 0 imuenin: f il die Unterſuchungen i vaude verbieten, wei 65 5“, vorträgt, noch ſehr weit ZEHN inbeit, in welcher Hr: E, vortr; 1"Ie: Ef€ meindett,'nf jind a! ER von praktiſchen Anwendungen entfernt ſind, 1, die Suu 0
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388 xx(0) ZL
die ich hier mein Augenmerk vornähmlich gerich- tet habe.
217. Herr Euler hat ſtatt der Formeln der Zeit, derGeſchwindigfeitu., ſ.w., die er bisher beſtändig, ge- braucht, und dadurch ihren Gebrauch faſt allgemein gemacht hatte, i in dieſem-Werfe andere bequemer gefunden... Jh bin genöthiget dieſe neue Formeln 5 beyzubringen, wel damit meine Leſer bey- derley Arten verſtehen, a 18 auch weil ich ſonſt die jeßigen Wahrheiten aus Hrn. E, neuer Sprache in ſeine alte überſeßen müßte, Der Unterſchied de- ſteht hauptſächl ich darin,? daß Jeet. Euler dieGe- ſchwindigkeit nicht mehr durch die ihr zugehörige Höhe ausdrüct, welches ib ſonſt ſelbſt ſo vor- theilhaft geſe ſchietiän hatte, und ſtatt der Zahl 15625 (1,A(bſchn. 36.) jeßt einen Buchſtaben ſekt; Dadurch erhalten die Formeln eine allgemeinere Richtigfeit, da dieſe Zahl wegen des' SEIEN s der Erde nicht überall einerley iſt(Aſiron, 209.) auch vielleicht ſich ändern könnte, wenn die Erde ſi in ißt immerin alei- <her Zeit um ihre Are 1098 Die neuen Ausdrüce laſſen ſich leicht folgendergeſtalt aus den vorigen her- leiten,
Verwandlung der Formeln für die ver“ änderte' B EE 1. Abſchn. 793 u. f. imſolche, die das d dortige V“
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VIII, Von einem Kreiſe deſſen Halbmeſſer=1; PI werde in einer Secunde, mit der Geſchwindig Feit Wl. 77 u(I1.) der Bogen Y beſchrieben, in eben der Zeit 41, ND aber mit eben der Geſchwindigkeit der Bogen w, v 79.0: 3 im

MRD»X%(0)&*L
ay| H fs j (M 1701) im Kreiſe deſſen Halbmeſſer r iſt, ſo iſt1:r=%4:w vort 1 111 12 1078 Ww;; hjer it 119) und alſo Y= 5 welches man die WinkFelge-|' (AE ſchwindigkeit wie 1. Abſchn. 212. nennen darf, mit je 4). E08 dieſer Geſchwindigkeit nähmlich wird der Winkel, p7 18 19.09: den 7 mißt, beſchrieben,: qus jp' 7 2 WE EIN 09 4 VII, So wird die Schwungfraft(VIl.) 7, 1 'j 218. Zehnſ. PSQ 46.3. iſt ein gegebener Win- 2 1904 Fel=€; Eine Linie VS; die ſich nicht in ſeiner Cbe- (8 ne befindet, macht mit ſeinen Schenkeln, gegebene vi HI iu NSP= 85 VSO B; Man ſucht VSW||. =0;3 ihre Neigung gegen die Ebene PSQ.| 0, 1]"+20[. Wenn man Sals den Mittelpunck einer|| Kugel anſieht, und S?=8Q==SV nimme, ſo giebt 16 ſich ein ſpheriſches Dreyec> 054 zin demſelben 4. ſind die Seiten VPE=8&; VQ=P; QP=e; alle| 4 | gegeben. Nun iſt VW=VS. in8, WS=VS.| It. cofs. Und wenn VT auf SP ſenkrecht iſt, alſo iv 07 TW ſenkrecht auf SP ſteht(Geom, 46. S. 19 6. Zuſ.), ſo it VI=VS, fin z, folglich des ſphä-| | VW dind 00 71 riſchen Winkels P Sinus====575* Da nun 4 dieſer Sinus aus- gegebenen Seiten gegeben iſt (ſphär. Trig. 8. S.) ſo iſt 6n0= ſina. lnP.| Il. Die Denn Schlüſſe bequem hier anzuwen-|; den dient folgende Vergleichung: Es iſt| ß dorten BIPJA| KINIM|[1:37 NAND bier'P/VIQj(S SIT|wy u 1114.08 Dorfen 15:00|'h| ö; "9 44)

.
Zz(oo) Xx 391 ſo iſt litzy;:
; vorten w) u!p| m|f KPN die Wirtiy hier lin„| coſa| in jcoſPp|nej coſe|inP|(in+P jennon». IIT. Folgl iel)
a. je( inz( DFZ e). ſin+(2- 227 IE vd der Y- SI DI IEEE 2 vs ſinz! ſina. fine
aus ſich vaP und in's giebt.
ASEN aft(VIL)-! 180 MB col?-ſin&. coſe
; IIU, Oder aud) cot 1= ſine. fin& q600honan IE: 219. Zuſ, Wenn QSP= 90 Gr, alſo lne=1; ſo yt in ſeiner][ coll„Be Fifin 22-coſ(32) wmFalmn» poly> WES I EE Mb Dan 1. ECB NEE wird colP= 5: daber fin Ep an Judy) 37 Ä 2280 und 6a8=7“((n22'= coſ(22-) und coſs=7“ ; y Cola2 4 col?). ttelpunt4 3;'
AE 20. 3ul. Es iſt klar daß in 218; 1; auch kus NTTI, ND)-«. "5= ſin BZ, im Q und daß 6nQ und col Q aus ſn P DET) „? aj und coſP, werden, wenn man nur 2; 43 ſtatt a; 2; nN- ſet. Folglich iſt in 219. auch lin€=77(lin 9*= 14 IM COl22> nfrecht ift,) t (Geom, 401 221. Suſ, Sin WST= Tw Aber WL= VT glich ds Mt ce.)=VS. ſina. coſP. und SW=VS, coſs alſo ----, Im'; ſin&.cofP [wz SENN SEGER ut' col.) eiten gegn ' 3 cof/3 14 Int 222, QU. In: 219. wird ſin WST'= 275 y hier anus EE ie eU; 7 vs iſi Eu 21-5--<>= E Nun iſt Fi(cola?+ col22) coſa? Cor: 4?

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392.<X(02) 2X der Diviſor dieſes 8 die Secante eines olf
& Bogens deſſen Tangente= Go03> Wenn man alſo4
dieſen Bogen=D nennt, ſo iſt lin WST=775 =colO(Trig: 4. Erkl, 5; Zuſ.).
223. Iuſ, Aus den unmittelbar gegebenen&; Gz finder man O durch die Logarithmen. Man muß hur, die 20garithmen der Tafeln zu brauchen, ſo verfahren, wie bey Trig. 21. S. Hewieſen worden. Alſo findet man auh WST=50*-02.
oſ 224. Zuſ. Alſo iſt cold= OE welches 8 durch
die Logarithmen giebt. u Han ſtatt colD ſei- nen Werth aus(222) ſeßt, ſo erhält man für coſs auch hier den ſchon(219) gefun dene n Werth.
225. Zuſ. Aus 2223 findet man
T ZI col? 1... 00er NM O2=== coſa? 2 Col(42
EF IE. 1- col(3? 1 cola? col(32 wu
Daher ſin OD oder-col WST=
(1 cof(32)
MIE
Coſa. daher aus col 8,
==== 219: H ola?+coli22).“ 9;
nD= coſa,
226. Auf.
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2(pp): ZXT 393
226. Aufg. Eine Kraft=V iſt nach SV 46, F. gerichtet.. Man ſoll ſie in drey Kräfte zerlegen,
'deren Richtungen 8?;' 8Q; SR; alle ſenkrecht auf
einander ſieben.
Aufl, 1, Man fälle VW ſenkrecht auf. die Ebe- ne. und nenne die Winkel wie in 219. So zerlegt ſich die gegebene Kraft, in eine welche nach
VW VW auf dieſe Ebene ſenkrecht, alſo= 765 M== V.ſind iſt, und eine welche in dieſer Ebene nach SW SW gerichtet, alſy= 475. V=V- coſ3 iſt.
I1. Die leßte Kraft zerlegt ſich i in eine nach SP;
3
ST welche Ww V. coſös,, und eine nach TW oder 8Q;
TW m welche 57» V- colo iſt.
1; 11, Weil 75= coſ WST, ſo wird aus(222)
SW die Kräft nach SP=7, col 3. in O= cola. V(226).
K7
TW Und weil ww= TSW, ſo wird die Kraft nach
SQ:==:V2 5. COL Q-(222)= COL 134. V(220) Ebon ſo, wenn man VSR= 90 Gr-08= ſekt, iſt die Kraft nach VW oder SR(1.)=V. col Y, III], Die drey Kräfte verhalten ſich alſo wie die Coſinus der Winkel, die ihre Richtungen mit der Richtung der mittlern Kraft, die in ſie zerlegt wird, Oder wenn ſie P, Q; R, heiſſen, ſo iſt Db 5 cof

394 xX(0) 28%
CcoſVSP= coſy=
"oe
CONV SO== X0018=
col VSR<= CONV
<IZ<| O<|»
V. Weil col'y=(nds, ſo iſt aus 219; col'y? == ſin 22=coſ[2?= 1=coſa?2= col(22; alſo cola? + coſſ22+ coſy?= x; die Werthe dieſer Coſinuſſe aus(IIIL) geſeßt, fömmt P>+Q?+R2=V2.
'VI. Berantermaſſen laſſen ſich Bewegungen wie Kräfte zerlegen. Eine Bewegung nach 8V wür- de ſich auf die beſchriebene Art, in drey Bewe- gungen nach SP, SQ, SR, zerlegen laſſen. Jn- dem ein Körper aus 8 in V kömmt, entfernet erſich von. den Ebenen PSR; QSR; RSP; in der hier an- genommenen Vorausſeßung, daß dieſe drey Ebenen ſenfrecht auf einander ſtehen, um die Linien TW; T'S; WV; da ſich nun dieſe Linien gegen SV wie die Kräfte verhalten, in welche eine Kraft nach 8V, die man durch V ausdrückte, zerlegt würde, ſo er- hellt, daß wenn nun V die Geſchwindigkeit bedeu- kete, mit der SV beſchrieben würde, dieſe Geſchwin- digkeit ſich in drey P, Q, R, nach den genannten drey Richtungen zerlegen lieſſe.
227. Auf. Jedes gegebenen Körpers Schwer- punct zu finden,
Auſt. 1, Durch eine willkührliche Stelle O, des Körpers 44. F. ziehe man ein paar wagrechte Linien OA,OB, eine ſen>recht auf die andere,und OC, aufdie
Cbene
(beneh geben ſ anderſ ment di Naſe TN avf (mfc) „WM 1,
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11;| KG, IC bager MV W| wel darum! Qewah nichts 1 vpn L|
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IERS EG 25
R XX(0)&8% 395 Ebene BOC, folglich auf OB und OC ſenkrecht. So geben ſich drey Ebenen die rechtwinklicht auf ein- ander ſtehen AOB; BOC; COB. Jn ſey ein Ele- ment des Körpers, das man dM nenne, die ganze Maſſe des Körpers heiſſe M. Man fälie von Z; ZY auf die Ebene AOB, und von Y; YZ auf OA aus 219: e ſenkrecht, win auch ZX ſeyn wird SEEBIUG S. v[02; alfo; 7. Zuſ.).“ Man nenne OX= x; XY=55 SENG he dieſer Cofn=Z. Die kage des Clements Ziſtd durch vieſed drey YI REP Linien gegeben(wie in Alg. 514.). Bewegung! IT, I ſey der geſuchte Schwerpunck, I IK» 19 nach 81! KG,.1G; mit ZY; YXs: ZX;3 parallel.>»Brr- alſo in drey? die Lage des Schwerpuncts zu beſtimmen, wird man en loſſe), OG; KG; 1G; ſuchen müſſen. , entfernt! 111, Wenn Z ſinken will, und die Linie OB unbe« ; in der hi! weglich bleib en ſolle, ſo muß ſich die Cbene BOC dieſe dre) darum, wie um eine Are drehen. Man ſuche die 1 die Zint! Gewalt welche Z dazu anwenden würde, wenn ſonſt en gegen? nichts im Körper ſchwer wäre; oder: das Moment 1e Kraft von Z, für die Are OB. gt würde,| III. Man fälle von Z auf OB ein Perpendikel: windigfet Es ſey ZT in der 45. F., die ich) beſonders( gezeichnet » dieſe Gynt habe, die 44 nicht mit allzuviel Linien zu verwir- h den gun ren,„weil man ſich die 45 leicht in die 44 gehörig hineingeſeßt vorſtellen kann, da der Punct D.iv- Pörpers Ch gendwo in der Linie OB ſeyn muß. Dieſe TZ alſo | iſt als ein Arm eines Hebels anzuſehen, wo T die + Stelle 0,1 Unterlage, an Z ein Gewicht iſt, das man mit wagt vochte(ut einem Perpendikel aus der Unterlage auf die Rich- NUE| tung der Kraft multipliciren muß, um ſein Mo- ( menf
».nw eum eri EIn mE FL. MO CA Ae fä m. tween ZEI ere enn=<<--=

SEE NI ITR
E22 Gan Ig
396 528 689 2 6.). Nun iſt ZY, die
ent zu bekommen( Stat, Richtung der Kraft, auf die 248 BOA, folglich 0 TY in dieſer Ebene, echt, alfo"Has Mo- nent= TY. dM. Eben dieſe TY ſteht ber auch 2. Z
. (&
PE [:X; Te
nba auf OB,(G. 46, S, 6.3.) und iſt alſo =0OX(G. 12, S. 3. Zuſ..) alſo das Moment(U1.) =XdM.;
V. Wenn die KEG beyſammen wäre, hätte ſie für die Are OB ein Moment, vs der Summe aller dieſer Moti Li wäre(Stat. 45,)z al-
ſx M ſo wäre OG. M= ſxdM; daher iſt OG==.
“VI. Betrachtet man Z in ſo. fern es die Ebene POA nicht um OB, ſondern um OA drehen wollte, ſo wäre der Arm des Hebels XZ; und das Moment YX. Z oder y. dM, und KG. M=ſydM oderKG= ſydM IRG
VII. Das bisherige, ſtimmte mit dem Verfah- ren, wie man den Schwerpunct durch Verſuche fände( Stat. 49.) ſo überein; Man verſchöbe den Körper, bis er ſich nach einer Linie, die mit OB parallel ginge, ins Gleichgewicht ſtellte, dieſe Linie wäre GK: Und nun brächte man ihn nach einer Pa-
rallele mit OA ins Gleichgewicht, die ginge durch
K; ſo hätte man zwo Schwerebenent, durch die bey- den jeßt gefundenen Linien, ſie ſchnitten einander im"Durchmeſſer der Schwere Kl; und es bliebe alſo noch übrig auszumachen, wo 1 in ihm läge.
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(Etat,

XU(00... 2250 397
Zu dieſer Abſicht müßte man-ntip den Körper an- ders auflegen, daß OC horizontal würde,
Vill. Man läſßſe alſo alle die gezogenen Linien un- ter ſich in ungeänderten 2agen bleiben, und ſtelle ſich die ganze 44. F- nur ſo vor, als wenn die'Cbe- ne AOC hori izontal wäre 3; und um die Axe OA ge-
dreht werde: ſollte, Hier ſtünd D XY vertical, und Z wollte nach einer Parallele mit dieſer inis ſinken 3 der Arm des Hebels wäre yZ; und aus X ein Perpendik/l auf eine Parallele mit XY gefällt, mit YZ parallel und eben ſv großz folglich das Mo« ment=2z. dM; und des Schwerpuncts Weite von der Ebene BOA; nähmlich EI
VII, Durch die drey Weiten, OG von der Ebe- ne BOC(V.) GK von der Cbene AOC(VL) undIK von der Ebene AOB iſt des Schwerpuncts Stelle gegeben..
228. DUſ. en der Unterſuchung des Schwer- puncts, wird.die ie Schwere als eine beſchleunigende Kraft Mr IEN die nach paraiien Richtungen mit gleicher Starke in jedes Element des Körpers wirkte, oder: vermöge der jedes Element des Kör- pers eine bewegende Kraft bekömmt, die ſich wie die Maſſe dieſes Ekements verhält, und wo die be- wegende Kräfte aller Elemente parallele Richtungen haben, Aus dieſer Vorausſeßung findet man den Schwerpunct, einen Punckt,.in dem alle dieſe be- wegende Kräfte vereinigt können geſeßt werden ( Stat, 48). Hiebey alſo wird weder eine gewiſſe
Starke
ec lo te

398 ZX(0) 88
Stärke der Df NENE Kraft der Schwere,
noch eine gewiſſe Linie, der ihre Richtungen paral- lel ſeyn ſellen n, zum vorausgeſekt, Eine ſtärkere oder ſchwächere Schwere, davon im 1. Abſchn, 111. Cap. Begriffe gegeben ſind, geben bey ZNR Örper, ei: nerley Schwerp punckt, Der Mittelpunct einer Kue gel wird ihr Schwerpunct bleibe, ſie mag auf der Erde, oder auf ver Sonne failen, obgleich die Schweren nach dieſen beyden Körpern ſehr unter- ſchieden ſid(1. Abſchn, 247.). Und, wenn ein Körper nicht ſchwer wäre, aber Krafte nach hori« zonkalen, oder gegen den Horizont unter einem ge- gebenen Winfel ſchiefen Richtungen auf die vorbe- ſchriebene Art wirkten, ſo würde ſich ihre Wirkung allemahl auch im Schwerpuncke vereinigen laſſen, und was dieſen Pynct, mit der Summe alier die- ſer Kräfte, ihrer Richtung en tgegengeſck 3f aufhält, den ganzen&K Körpe rv 11 Ia den Schlüſſen nähmlich, durch die zan ven Schwerpunct beſtimmt, wird nur das an ZIEHEN, daß ſie parallel, nicht nothwendig, daß ſie vertical ſind. Wemnn ein Kör- per längſt einer ſchiefen Ebene hinabgeht, ſo läßt ſich die gramnras reſpediua(Stat. 162.) als eine Schwere anſehen„ die mit der Ebene parallel wirk- te. Wenn ein Wind horizontal weht, ſo wirken die ſolchergeſtalt bewegten Luſttheilchen in einen Windmühlenflügel, wie eine wagrechte Schwere in ihn wirfen würde( Stat. 135.). Hieraus er- hellt, daß man ſich die Wirkungen ſolch er Kräfte allemahl im Schwerpuncte des Körpers vereinigt vorſiellen fann, Wem indeſſen der Nahme des
Schwer-
Gchwer! nit geh ſen Punt heit(97) 1,ſ,1v,| 229, de, ſol oder wen nung v Summe Product: ſobid 6 Eptte uf 0 | nene tehunet die drey ſimmt 1 Fm
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[231,2 fn, der Dünct der deſſelben.
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Zz(0) ZZ 399
Schwerpunctes anſtöſſig iſt, wo an die Schwere nicht gedacht wird, der kann in ſolchen Fällen die- ſen Punct den Mittelpunct der Maſſe oder der Träg« heit(97) nennen, wie Hr, Euler Theor, mot. 6. 284. u, ſ. w, thut.
229. 3uſ: Wenn ſich I in der Ebene AOB befän«- de, ſo ware 1K; folglich(227. VIII.) ſzdM=o oder wenn man jedes Ciement, mit ſeiner Entfer- nung von dieſer Cbene multiplicirte, ſo müßte die Summe der Producte verſchwinden, daß iſt die Producte auf einerSeite derEbene zuſammen müſſen ſoviel betragen, als die Producte auf der andern Seite zuſammen. Eben ſo etwas folgt für die Ebe- nen BOC; AOC; aus 227; III; VI; wenn ſich I in einer von ihnen befände, Iſt alſo O der Mit- telpunct der Trägheit ſelbſt, ſo verſchwinden alle die drey Integrale durch welche OG; GK; Kl; be- ſtimmt wurden, oder die Momente um den Punctk O ringsherum heben einander. auf,
230. SUſ, Ein Körper, den nur eine Kraft treibt, deren Richtung durch den Mittelpunct der Trägheit geht, befömmt nur eine fortgehende Bewegung (wie 99.), keine wälzende, und ſo verhält es ſich alſo wenn in ihn Kräfte wie(228) wirken,
231. Aufg. Wenn in einen Körper Kräfte wir- Fen, deren mittlere Richtung durch den Mittel- punct der Trägheit geht(wie»228), die Bewegung deſſelben zu beſtimmen,
Aufl. l. Weil die Bewegung nur fortgehend iſt (2302), braucht man nur die Bewegung des Mit-
tels

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tkelpuncts der Trägheit zu beſtimmen(99), in dem rzn ſich die Maſſe. des Körpers und die ganze be.
„„wegende Kraft, die in ihn wirkt, vereinigt vorſtel-
len kann(228).„Die Maiſe ſoll M, die Kraft V, heiſſen- Wirken unterſchiedliche Kräfte in den Kö per, ſo bedeutet V ihre mittlere(Stat. 60.), von der'ich annehme, ihre Richtung gehe durch den Schwerpunct. Wenn dieſe Kraft veränderlich iſt, ſo bedeutet V die Gröſſe, die ſie am Ende der Zeit rt haf.
Da man alſo von dem ganze“. Körper nur ſeinen Mittelpunct der Trägheit, welches noch 1 44. Fig, ſeyn mag, zu befrachten nothig bat, ſo kann man hier dieſe Figur folgendergeſtalt brauchen. O ſey
'„s&in Unbeweglicher Punct in dem abſoluten Raume
C1. Abſchn. 3.), durch den die'dreny Linien-OA, OB, OC, auf einander ſenfrecht ſtehen. Z dedeute nun nicht einen Punct des Körpers, ſondern die Stelle in des Schwerpunckes W»g9 1Z; wo er ſich am En- de dep. Zeit r befindet, 7Y=-z iſt auf die Ebene BOA und YX=y auf OA ſenfrecht, auchOX=x,
Ii Den Weg nun, den der Schweryunct von
Z aus weiter fort wirklich nimmt, zerlege man (226. Vl.) in dreyerley Bewegungen(wie 1. Abſchn, 743 die frummlinichte Beweaung, in eine hori- zonkale und eine verticale zerlegt wird), die erſte von ihnen ſey mit OA, die zweyte mit OB, die dritte mit OC parallel, Durch die Bewegung än- dert nähmlich der Punct ſeine Lage gegen jede der drey Ebenen BOC, COA, AOB;, von denen er ſich, in
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in der Ordnung wie ich ſie genannt habe, in der EN 6 Zeit dr um dx; dy, dz, entfernt; Nähert er ſich be: 1 einer von dieſen Cbenen, z. Ex. AOB; oder behält er IEE noch die vorige Weite von ihr, ſo iſt das Diſfferen- tial, das der"Veränderung ſeiner Entfernung zuge- hörte, z. E, dz, verneint oder=0«.
IIII. Nun zerlege man auch V in drey Kräfte, deren Richtungen mit den genannten drey Linien pa- M 0042 ſie ſollen(226- 111.) P; Q; R; heiſſen,
Q, e Pörper hel SIe M3 M beſchleunigende Kräfte ſind,
die nach ven Richtungen x; yz zz; wirken, ſo iſt, [0 Ton jede in(217 3 1.) ſtatt f geſeßt, und die Gleichung auen, mit M Hpi
bſoluten! Mddx= 2gPdr?; Mddy= 2gQdt2; Mddz=28Rdt? ey Untonl wo man das Element der Zeit, für beſtändig Lem annimmt.
| V. Die Kräfte P, Q, R, können durch die Coor- KI6; Mie 81 2 INE CUS | auf des dinaten, oder durch die Geſchwindigkeit===, die
ich v nennen will,(was in 217 5 1]. w genannk wur«- Swen! de, die Verwechſelung mit dem v der Formeln, aus ne, zert den die neuen hergeleitet wurden, zu vermeiden) en(wiel gegeben ſeyn; da alsdenn aus der Analyſis muß ge- in enth braucht werden, was dieſe Gleichungen nach der Art vird), 0/0 wie die veränderlichen Gröſſen in ihnen vermengt +o mit Ob! ſind, zu integriren u. ſ,w. dienlich iſt.
pf Vl. Der Weg des Mittelpunctes der Trägheit E Ren 7 ſ' heiſſe s 3 und ds ſey das Element davon, das in der
OU WIRST Watheſis 4ter Theil, Cc Zeit

402„x(0) XL
- 110908 Zeit dt beſchrieben wird. Man kann ſich leicht| jed 91/3: 41 überzeugen, daß es 77(dx?+ dy?+4z*) ſeyn wird.„70 ) 16.08 Um die Figur nicht mit mehr Linien zu verwirren,“M | SEMENNND ſo ſoll 1Z dieſes Element bedeuten; Alſo ſind OG,(Q-? 11 24088: OX; GK, XY; KL, YZ;'drey Paar einander unend- 4:4 lich naher xz; yz; Z; da dasleßte in jedem Paare um+19; ein Differential vom erſten unterſchieden iſt. Ei-| j ne: Parallele mit GX durch K bis an XY gezogen, ät R iſt=GX==dx; zwiſchen ihr und GX iſtauf YXein L.- Stück= KG=- y enthalten, und das übrige von' 3, YX iſt= dy; alſo iſt KY?=dx? 4 dy?. Eine Li- ZM) nie mit KY parallel durch[ bis an YZ gezogen, iſt 6 ==KY und zwiſchen ihr und KY fällt von ZY ein 90 0 Stück=IK=2z;3 das übrige von YZ iſt alſo=dz| | und 12? als die Summe der Quadrate, dieſes Ue-/ Wmp= brigen, und der leßtgenannten Parallele, iſt alſo|; dx?+dy?+42? dq=- ; ds dds| Vil. Alſo iſt aus:(V.) vdv= TETE 02 dxddx+ dyddy+ dzddz| 2; p.(dzd = dad 25 den W VII. Daher aus(T11I,) vdv= 75.(Pdx+| M6; Q4y+Rdz) welches die Diſferentialgleichung|| R für die Aenderung der Geſchwindigkeit iſt,| un wo das VIT Den Weg(VI.) zu beſtimmen, ſeßeman| vorfön | dy=pdx; und dz=qdx; alfo. ds= 7“(i+pp| 232, |+ qg) aud) ddy=pddx+ dpdx; daber aus(II," Oringen
| ) ji j die

CARTE TET DETINEZDNG ATEN IENIIHGENEES»: 700001 HE GIRO IE EINEIDE REN IO ORRS IAB RE R RÄCHEN NIEREN ins SIEREN EE- X
ZL(0) z2< 403 wia die Werthe der. zweyten MU VEURN geſeßt 11 25 Qdt34% 2p/ 28 D dr? |U vering--== 4 dp.dx=0der 7. dt2. fe fut M M M einander uy(Q-Pp)=4p dx; Und eben[0 EUERE js Pomy+ dq dx; daher wieder aus III;=>;(R- Pg) el en"W,( an XY(eue dt3==4qdx. Kieu X. Die beyden Gleichungen, die rechter Hand das Wbrigy* dpdx, dgdx; ſtehen haben, mit einander dividirt, +y?, Ein! 5 Q-Pp“ dp il't von U Pqdp oder P.(44p-pdg)+ Q4q-Rdp=0 Weit Liſi alſ?: dy dn dxddy-dyddsz ate, dieſs! nunp=55 4= ſeiſt dp= dx? s navele, aan EEE 28 18 Para Urdydt ed I WRE SALER SI PRMLEE dx? as We 1280, dydxddz- dydzddy|? mufin: pdq=|-7.- Dieſes giebt P.(dzddy- dyddz) 4+Q(dxddz- dzddx)+R(dyddx -dxddy)= 0, welches die Differentialgleichung für „ den Weg des Körpers iſt. Fi XL. Dieſe Gleichung läßt ſich auch ſo AINIUSEE NE d dz venialgugm P;/-dz2:5d T+Q. dx*. iE+R. dy? d= 0, feit if wo das unveränderliche IN dt.ike mehr cm vorfömmt, E11 232..J< habe dieſes mit als eine Probe bey- 190) bringen wollen, wie Herr Euler im angef, Werke WE Cc 2 die
M. an. mw Samwinabmnm<his Än erte Een REDE II Et MOE Lau Mile Bitt„umu ZES-».. CRE

404%*Zz%(0)&Z%
die Bewegung der Puncte betrachtet, dergeſtalt nähmlich, daß unterſucht wird, wie ein bewegter Punct ſeine Stelle in Abſicht auf drey gegeneinan- der lothrechte unbewegliche Cbenen ändert, undſein Weg in drey mit drey gegebenen Linien parallele Wege zerlegt wird. Bewegt ſich der Punct immer in eines Ebene, ſo zerlegt man ſeinen Weg in zwee- ne, die rechtwinklichten Coordinaten parallel ſind,
wovon ein Erempel ſchon 2313 lll, angeführt worden,
Von der drehenden Bewegung.
233+ Wenn ſich ein Körper um eine feſte Stelle drehen muß, wie in gegenwärtigem Abſchnitte auf verſchiedene Art betrachtet worden, ſo können nicht alle Theile gleich geſchwinde gehen, vermöge ihres Zuſammenhanges hindert“oder befördert jeder die Bewegung, die der andere ohne dieſen Zuſammen- hang hätte, und ſo muß die 2Lage der Theile, und was injedem beſonders vorgeht, betrachtet werden, wovon die Berechungen. des Mittelpunctes des Schwunges, und der Ueberwucht Proben ſind. Ein Körper kann aber zugleich auch im Ganzen ſei- ue Stelle ändern, indem ſeine Theile ſich nicht nach parallelen Linien bewegen, wie eine Kugel, die im Fortlaufen“ſich wälzt. Die unterſchiedenen Bewe- gungen, die hiebey vorfommen, laſſen ſich folgender- geſtal? aus einander ſeßen. Man kann zuerſt allein betrachten, was für einen Weg des Körpers Schwer- punct, vder welches einerley iſt, ſein Mittelpunct der Trägheit, nimmt, und mit was für einer Ge-
' ſchwin-
ſchwind fortge) eum pt fung bd ſt, wi! dem ni ſnten| dreht, Fortri he ſieht Körper hon wir als Nhe! ib ſc<
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NI man ſe
| 234, ſen Ed fich mich ve dreh wo fie? 1Wole h per drel ändern, ſtellung ſens ſid 1677 elne iin

Y |%L(vo,))%S 405 wi ſchwindigkeit er geht: dieß kann man des Körpers eM fortgehende Dewetzung, ſein Fortrucken(mo- ey Gegen tum progrefliuum) nennen, und ſie nach der Anlei- ne; uh fung betrachten, die für bewegte Puncte bekannt nien van iſt, wie 231. geſchehen iſt. Wenn ſich nun auſer- er Punct im dem nicht alle Theile des Körpers nach parallelen 1 Weg in z Linien bewegen, das iſt, wenn der Körper ſich wparal|; dreht, ſo ſtelle man ſich vor, das nur erwähnte geführt we) Fortrücken werde gehemmt, der Schwerpunct blei- he ſtehen, und unterſuche alsdenn, wie ſich der Weg, Körper um dieſen ſiillſiehenden Schwerpunckt dre- hen wird. Den Schwerpunct kann man ſich leicht ine feſte 6; als ruhend vorſtellen, wenn man annimmt, er be. 1 Abſchnitt finde ſich in einer Ebene, die mit eben der Geſchwin- ſo könn digkeit zurückgeführt wird, mit der er vorwärts , vermög!) geht, Hat man alſo jede Bewegung, die drehen- ordert je! de, und die fortrücende einzeln betrachtet, ſo kann ſen Zuſam man ſie nun mit einander verbinden. er Teil! 234. Wenn beym Drehen des Körpers, nicht nur achtet 1) ſein Schwerpunct, ſondern auch eine gerade Linie, telpunet ſich nicht mit dreht, alſo der Körper ſich um dieſel- t Probe| be dreht, ſo heißt dieſe Linie eine Axe; die Stellen im Op wo ſie des Körpers äuſere Fläche ſchneidet, können [e ſich nia! Pole heiſſen, und dieſe Are, um welche ſich der Kör- Kugel, per dreht, kann immer einerley bleiben, oder ſich Nedenen Ds ändern.- Man wird ſich dieſes leicht durc< die Wor- n ſich fol ſtellung einer“ Kugel, die während ihres Fortlau- nn ue fens ſich wälzt, erläutern können. Rn 235. Aufg. Ein Körper ſoll ſich gleichförmig um nE eine unbewegte Are drehen, Man verlangt zu wiſ- FEI Cc 3 ſen ſym/

zZ
406 x(0)&X
ſen, was für Kräfte in die Axe würfen, ſolche aus ihrer Laze zu bringen, rund was für Kräfte alſo müſ-
ſen angewandt werden, die Are in ihrer Stelle zu
erhalten,
Aufl. EC 25. F. ſey die Are; und in T ein Ele- ment des Körpers=4Mz von dem ein Perpendikel auf die Are gefällt, TB= x ſey, Man begreift, daß ſich dieſes Clement in einem Kreiſe bewegen wird., deſſen Halbmeſſer"]'B iſt. Wäre es ganz allein, ſo würde es die Are nach der. Richtung/1'8, mit der Schwungfraft ziehen, die ihm ſeine Ge- ſchwindigkeit gibt, es iſt nähmlich offenbähr einer- ley, ob TB ein Faden wäre; vermittelſt deſſen das Element und die Are zuſammenhingen, oder ob. die Feſtigkeit des Körper, beyde verbindet. So iſt in 217. VILL; r=x;3 und des Elements beroetten? de Schwunttraft(1. Abſchn, 49.) 1327 ZUM:
Y* 28
Wenn man ſich alſo den Körper in lauter ſolche Elemente getheilt vorſtellt, und jedes Schwungfkraft auf dieſe Art beſtimmt, ſo giebt aller Summe, die Gewalt, welche die Are leidet, und dte alſo gegen- ſeitig muß angewandt werden, ſie in ihrer Stelle zu erhalten. Die Winkelgeſchwindigkeit wird für alle Elemente gleich angenommen, wenn ſich der Körper gleichförmig dreht 3 denn alle Elemente müſ- ſen ihre Kreiſe in einer Zeit durchlaufen, daher frey- lich die, welehe weiter von der Are entfernt ſind, ſich ſchneller bewegen müſſen, wie, wenn ſich die Erde um ihre Are dreht, ein Punct im Aequator
ſchneller
|(nele (leme! würde! andern von dt dieſen! |(eſch? hören? unde + ſo,(if ware]
ſchreib!
37
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WIENER En wemerue en wr DIRE 7 Neuen erer E EEN GTE 2 2085 19:7 LE NE EHE- SRI 3 DIRE 7 GR Ee REI 7.- S GE CE Zi pe mr DE BEI ENG a Ie Beifeid DI IGEN ASCH EI 7 SG KS AIRNGE GEIGE 5 IgE DEE
LX(0) SW 4,07
pfa he ſchneller geht, als einer im Polarkreiſe. Hätte. ein je Sü Element mehr Geſchwindigkeit als das andere, ſo Mb würde es wegen der Feſtigkeit des Körpers, des andern Bewegung beſchleunigen, ſo wie es ſelbſt dinT(inl von dem andern gehindert werden würde. Bey ein Perpoy) dieſen Wirkungen der Elemente in einander, könn- Man bezy te ſich der Körper nicht gleichförmig drehen, Sie Kreiſe bonn hören gegentheils auf, wenn er ſich gleichförmig dreht, Wäre es und jedes Element beſchreibt da ſeinen Kreis eben
v.Richtun]* ſo, als wenn es allein ohne die übrigen vorhanden wäre, wie bey einer blds forkgehenden Bewegung
m(a! m feln,
offenbahr 4(99) jedes Element in ſeiner Parallele, ſo geht, als teſt deſs ob es allein da wäre. en, oder; 236. Zuſ, Bey dieſem gleichförmigen Drehen indet,€ bleibt jedes Elements Schwungfraft ungeändert, ents bew! die Richtung derſelben aber, welche ſtets nach dem CEE Elemente zugeht, änder? ſich beſtändig, wie ſich Bem der Halbmeſſer des Kreiſes, den das Element be- ii". ſchreibt, um ſeinen Mittelpunct dreht. pig 237. Zuſ, Die völlige Gewalt zu finden, welche FEE die Stelle B der Are von allen Elementen des Kör- 4:0; pers ausſteht, findet ſich ſo: Man ſtelle ſich einen NE GUN Schnitt des Körpers durch B ſenkrecht auf die Are 0. JMG EF vor. Jedes der Elemente, die an denſelben green gränzen, übt in Beine Gewalt wie(235) aus: Alle wenn 9% dieſe Kräfte bringe man in eine zuſammen, ſo hat CiementT man das verlangte. Folgendes wird dieſes er- en, dag läutern, ee 238. Auf, Eine ſeht dünne Scheibe, deren wenn“| Maſſe=M, ſoll ſich um eine Are drehen, die ſenk- (im if Cc 4 vecht | Nu

408 22(0) 2X
recht auf ſie ſteht; Man verlangt die Gewalt wel- <e die Are leidet.
Aufl, DBF 26.F. ſoll die Scheibe, und CG die Are ſeyn, welche bey C durch die Scheibe geht. In Q ſey ein Element der Scheibe, und EQ=r;
„1. dM alſo deſſelben Schwungkraft IEEE- Man ziehe
28
in der Ebene der Scheibe ein paar Linien CE, CH, ſenkrecht auf einander, die unbeweglich liegen blei-, ben, indem ſich die Scheibe dreht; CQ aber dreht
ſich; Von einer unbeſtimmten Stelle, die Q beym Drehen bekömmt, fälle man auf CE das Porpendi-
fel QP=y; und nenne CP=x,, ſo zerlegt ſich die| Schwungpfrafe in zwo Kräfte, davon eine nach CE| gerüchtet=7- die Schwungkraft=“ I. x
die ander? nag PM mit CH paallel gerichtet;
P“ 7 Ve IM 4 WW Schwungkraft= LIL ſeyn wird. Was
man nun mit Q gemacht hat, mache man in dem Augenblicke, da Q ſeine vorhin erwähnte unbeſtimm- fo Stelle einnimmt, mit jedem andern Elemente der Scheibe, So geben alle zuſammen eine Kraft
„
+ ſxdM nach CE; und eine= 71 10M
= 2.2' nach CH.
Dieſe heyden Integrale geben ſich durch den Mit- kelpunct der Trägheit oder der Schwere(228). Er ſey in O; und von CE um die Weite OS, von CH
um
punk
|D pi (5,18! zen
119: 9) | vw ſhw4s! vo 119) Fall)
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CEST ESE EEN RERE REINRASSIGE SISI RR RERE nä
zZ(02), ZE 409
um die Weite CS entfernt, ſo iſt ydl=05.M; ſxdM= CS.M, wie aus den Methoden ven Schwer- e) und(7) punct zu finden An. Un. 637. leicht erhellt, Al- Cheibt 4 M- yy „und Cf; ſo i| E O5. M die Kraft nach CH und 577
|; Zie RE 2225. 02200 | Mar CS. M die nach CE; Wenn man ſich alſo COQ g230-
+„ANM A KIS' Zier 5 gen vorſteilt, ſo entſteht aus den beyden Kräften eine nien CE,(y VEN
je Oetvalty
(feleant 7 7- CO. M nach CO; mit welcher€ von der win em 58(2 . aber dy drehenden Scheibe gezogen wird.
e, dieOh
Y.- 5-:
das Peryy 239. Iuſ. Dieſe Kraft iſt nach dem Schwer- wledt(id puncre gerichtet, und verhält ſich wie deſſelben Wei- eine fe vom Mittelpuncte des Drehens'C. Sie ver-
9) ſchwindet alſo nur alsdenn, wenn ſich die Scheibe
=---- um ihren Schwerpunct dreht. In jedem andern Falle, leidet die Are eine Gewalt, der man eine Wei gend gleiche entgegenſeßen muß, wenn ſich die Are nicht verrücken ſoll, Dieſe Gewalt wird in gleicher
"."“ mird Ni M Stärke rings um die Are herum angewandt, weil » man in! ſich der Scheibe Schwerpunct, in unveränderter ate unbeſint Entfernung rings um die Are bewegt, daher muß Element die Are nach allen Seiten rings herum gleich feſt 4 eine fi gehalten werden, wenn ſie nicht weichen ſoll, Die- v,9.0 fe Gewalt iſt endlich ſv groß, als diejenige ſe yn wür- =. de, welche die Maſſe der Scheibe im Schwerpun- p1: cte vereinigt, und mit eben der Winkelgeſchwindig- ; Feit gedreht, ausübte, Denn dieſer Maſſe Schwung- jp Mt E u ſ Fraft wäre.„CO.M. 4,0 di N| Cc5 240

410 LX(10) zx
240. Bey dieſer Probe,“ wie das Drehen be- trachtet wird, muß ich es hier bewenden laſſen, weil . allgemeinere Unterſuchungen, dergleichen Culer Theor. mot. S. 338 lq9q. giebt, mir hier zu weit: läufrig werden,;
Vom Momente der Trägheit.
241. Wenn ein Körper ſich um eine Are z. E. OA; ,44.F. drehen fann, und ſein Element dM in Z; um die Weite Z&X=rz von dieſer Are entfernt iſt, ſo iſt deſſelben Moment der Trägheit r2dM(3). Bedeutet alſo lſrx24M die Summe aller ſolcher Pro- ducts durch den Ganzen Körper, ſo iſt ſolches das Moment der Trögheit des ganzen Körpers. Die- ſe Summe iſt nicht als was Veränderliches, ſon- 'dern als eine beſtändige Gröſſe anzuſehen, die durch die gänzliche Geſtalt und Beſchaffenheit des Kör- pers bejiimmet wird,
242. Man ſese, ſich die folgende Vorſteilung zu erleichtern, die Maſſe des Körpers ſey in lauter - gleiche dM eingetheilt, deren eines die Entfernungr, das zweyte R, das dritte g u. ſ.w. von der Are ha- be: man ſeße die Summe aller dieſer Momente = kk. M wo k eine unveränderliche Linie bedeuten ſoll, ſo iſt(r?+R? 4+-2?...).dM=k? MunddM=
1:?
I EEE INE
des in M multiplicirten Bruches, unzählich viel Quadrate enthält, und alſo durch dieſe Multipli- cation
.M Esiſt klar, daßder Nenner
cation tig, he verſiat! Korper! me.der went,
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24) eines K be für| (Ebene| ihr entf 50 je qt die RK=c Cn =|k*M ent in +4 das Me Are,| +22! ſidM= F(k?. weil 2.
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LE ACHSE LIEN: 8 NIGERIA NRHA BENS» 1m WEEIÖRE 3, DBI MEN GdI Erd mne IBES AI NEEB ius MEERE IREN
; z2(0)&T 44 mn cation ein ünendlich kleines Stück von M wie gehö- leihen| rig, herausfömmt; fo! glich iſt dieſe Borausfeßung “4 bie Än verſtaktet„ und man kann das Moment des ganzen Eu Körpers oder ſr24M=k2M ſeßen. Dieſe Sum-
ne der Momente iſt allezeit bejaht, weil jeves Ele- 19 1187 ment, und jedes Quadrat ſeiner Entfernung bejaht Nagel, iſt, auch wäGſt ſie mit der Maſe des HRE: M 243. Aufz. Wenn das Moment der Trägheit 100: eines Körpers| für die Axe OA, gegabena daſſel- fr Neon be für die Ne 03 zu ſinden, die mit jener in der en(in Ebene BOA parallel geht, und um die Weite c von une rd
anderlict zuſehen, di
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0 Vorſtel! xs ſey 11! die Entſt „von ders dieſer 2 € Unte um ke M ui
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ihr entfernt iſt,
Aufl. Die Figur wird übrigens verſtanden wie in 2275 1; 1; und BO, KG, YX, ſchneiden verlän- gert die neue Are in 0, 9,x, ſo ſmd Oo=Gg= XX=€ 0X="x N= 70 4 2 5 und 124 NE; 0er 102" FyJ0M, das gegebene Moment des Körpers =k*?M; Tn Abſicht der neuen Are, hat das Ele- ment in Z, zum Momente der Trägheit Z82, aM =(27?+(c+5)2). dM, m die Summe hievon iſt das Moment der Trägheit de es Koörper5,.für die neue Are. Sie iſt(2?+y?+ 2+&)uM= k? M +16? dM+ ſi cydM. Aber ſc?4M= c?M; unhd ſydM= M. GK(227; VI.); folglich dieſes Moment =(Kk?+ 6*+ 2. GK). M=(k?+ gK?-GK2), M weit e*+26 GK=(c+GK)?- GR? gK>DEK2.:
244. Zuſ/ Weil 8K*=p1?=1K*? und/GR?.= G12-1K2, ſo iſt das nee Moment auch(k?+gl? -“ G12), M und alſo größer oder Fleiner als das alte, nachdem der Mittelpunct der Trägheit 1; von der
neuen

[|
412 X=(0) xx
neuen Axe mehr oder weniger entfernt iſt/ als von der alten,
245. Zuſ. Wenn Gl=0 wäre, oder, die alte 'Are durch den Mittelpunct der Trägheit ginge,
und für ſie das Moment Mk? wäre, ſo wäre es für die neue(k? 4-812). M alſo gröffer. Dadber giebt unter unzählich viel parallelen Aren, diejenige das kleinſte Moment, die durch den Mittelpunct der Trägheit geht.
246. Zuſ. Wenn man das Moment für eine Are durch den Mittelpunct der Trägheit hat, ſo hat man es für ſolche, die mit ihr parallel gehen. Da- her darf man nur die Momente für Aren durch den Mittelpunct der Trägheit ſuchen. Da aber dieſer Aren unzählich viel ſeyn können, ſo wird jede wohl ein ander Moment haben, und weil für feine das Moment unendlich werden oder verſchwinden kann, ſo wird es wohl unter dieſen Aren welche geben, deren Moment ein gröſtes oder kleinſies iſt, undes iſt der Mühe werth darüber einige Unter Uhungen anzuſtellen.
„247. Aufz.„Das Moment der Trägheit eines
Körpers in Abſicht aufeine Are' zu finden, die durch.
den Mittelpunct der Trägheit geht.
Aufl. l. Jn der 47. F. ſey 1 der Mittelpunct der Trägheit, durch ihn gehen 18, lA, IC, auf einan- der ſenfrecht, und von Z, der Stelle eines Ele- ments des Körpers ſey ZY auf die Ebene B1A, YX
auf[A ſenfrecht, und IXN=x3 XY=y; YZ=25,
das Moment der Trägheit, in Abſicht auf eine der
der'dy tung? Rom: Atel
n| alſo a ſchneid Loge d dinien ihr N: Ert FE eijerley 415.) 44.04 Daher dor hie
II. IH; un YhY= nähml ſikben (iM fAgend 7141 dieſes| die Vu Yeſn pynent bir der

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><(0) ZL 413
Ni hn der'drey Linien[A, 1B, IC, lieſſe ſich nach. Anlei- tung 241; u.f. finden: Hier aber verlangt man das
„oder, heb Moment der Trägheit in Abſicht auf eine andere
wäghelt in Are IG.
j Mind Il. Man lege durch IC, und lG eine Ebene, die
M alfo auf AB fenfrecht ſteht(Geom. 47. S.), fie
NHR: ſchneide dieſe leßtgenannte Ebene in 1F; weil die
Lage der Linie[G gegen die vorhin angenommenen jp" Linien und Ebenen, gegeben ſeyn muß, ſo iſt auch ent für ein; ihr Neigungswinkel gegen die Cbene BlA gegeben.
eit hat, 4 Er iſt FlG=O; Man vergleiche ferner die 47. und lel gehen, 3 46. Fig. mit einander, ſo iſt folgendes in beyden pen dun) einerley
Da ah! 4% F.| 11 IB|1A! IG| IF| FIG| FIA wird) 46.F. 18| SQ/ SP| SV| SW| WSV| WST
«fur im Daher weiß man-aus 222; auch den Winkel FlA, fänd: der hier 7 heiſſen ſoll.
29 111. Man fälle von Y das Perpendikel YX, auf Jie IE,
IF; und nehme als zwepte. Coordinaten IX2=x2;
Untertudn XzY=42 3 YZ=2z2=2 än, Manbezeichnet hier
nähmlid) die zwwepten Coordinatfen mit den Buch- Trägyetun ſtaben der alten, nur mit einem beygeſeßten Unter- nden; dW ſcheidungszeichen, wie dergleichen bey auf einander | folgenden Gliedern einer Reihe in Anal. endl. Gr: Nittel? 724 3 15 u, f. w. geſchehen iſt. Jnsgemein wird IC, uf 0! dieſes Unterſcheidungszeichen rechter Hand oben an de eins die Buchſtaben geſeßt; weil es da dem Seßer mehr gene Bib]- Beſchwerung macht, undauch leicht mit einem Ex-
0108 ponenten: verwechſelt werden kann, ſeße ich es lie- vy ber darneben; Und nehme eine Zifer, welche die
vit auf „lt zweyten

414 Zz(45) 2<
zvoepten gleich andeufer, ſtatt eines einzelnen Strichs. Die Ordinate YZ iſt zwar beydemahl eis nerley, ſie kannaber hier ein beſonderes Zeichen er- fodern, weil man zu bemerken nökhig hat, ob dieſe Linie unkfer den. drey. erſren Coordinaten, oder une- ter den drey zweyten betrachtet wird.
I11. Die Vergleichung zwiſchen den zweyten Coordinaten und den erſten zu finden, dienek folgen- des: Wenn IF und YX einander in O ſchneiden, ſo iſt x2 oder IX2=10+OX32 z; äber wegen der Ver- ticalwinkel bey O, und der rechten bey X und X2 iſt
X X
DERT 4== da GE IEE XYX2= 143 Alſo coly= 75. daher 10 öf und OX2= YO.fin7 auch OX=x. t3ang1y daher YO'=
X Y>X.ta8857) und xX2= ae+ y. 009= X. tang Ys
EE 0072
ßny=Yy. fnq4 X.(ee 22) X. COC+ Y. 10%
V. YX2=y2>= cof. XO=. Col-X.tangi-
cColn>=y. col- X. ſinn. VI, Endlich iſt wie ſchon erwähnt z2=. .- VH. Weil die Ebene CIF, ſenfrecht auf BlA ſteht 1), ſo.iſt YX ſenkrecht auf die Cbene CIF(G-om, 47:'S. 1, Zuſ.) in dieſer leßten Ebene iſi auch 1G, VII. Man ſielle ſich dritte Coordinaten vor, die ſich auf[G, wie die zweyten auf?X beziehen. Die- fes geſchieht folgendergeſtalt: Man fälle von Z auf die Ebene CIF ein Perpendifel, dieſes iſt mit YO PQ=
prall! ver Eb! (Ö, 47: die auch lich mit md das rollelen
VII genannt lelen ZU M7 ZYX un Ötolt, 0 ft, bis ſelbetrar hte G x2, Unt dieſe El yl die( FiG, w AIF vod täten x: aider ſt; R; Zt, deß ald iſt, wie x] Chordin teit very dif'el vor

ZE EEN WSIS TISREÜS TRIER 7 e; engen wg EIE PIE NIGE iu bike SLS HES REEG: ENEN EEN» ee EIE 3, DE IR Re I DIE Eid IEEE IGI IE Ster GUR=TC
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. zZ(0) ZzXE 415 "ih parallel( VIl. und Geom. 46,S.) und. daher in ir ber endo. der Ebene durch OYZ; die auf AIB ſenfrecht ſteht Nes Zihne
(G. 47. S.) und daher CIF in einer Linie 300 N jah 4 die auch ſenkrecht auf AlB ſieht(G. 47, S.)» folg naten, dem lich mit YZ parallel iſt(G, 46. S.); alſo ſind NZG
), und das Perpendikel von Z auf die Cbene ClF, Pa- en den 3 rallelen zwiſchen Parallelen, folglich gleich, 1, Vienet Jip VIIIT, Die Parallelen, zwiſchen denen die nur 0 ſchnedy genannten Parallelen enthalten ſind, ſind als Paral- wegendal lelen zwiſchen Parallelen auch gleich 3 Eine äſt dey Xundl: ZY= z= 723 die andere, weil ſie in der Ebenen 4 ae ZYX2 und FIG, Durchſchnitte liegt, geht von der BT 2:4, 4 Stelle, wo das Perpendikel von Z in die Cbene FIG 4 daßal: triſſt, bis an X2,' Man kann alſo die Stelle Z auch AI 8 ſo betrachten, daß ſie dur drey auf einander ſenk-= 109= X tü! rechte Coordinaten beſtimmt wird, von denen die X2, und z2 in der Ebene FIG liegen, und yz auf yt vieſe Cbene ſenfrecht ſteht. Hier bedeutet alſo . y2 die SENS des Punctes Z von der Ebene 10 7 FiG, wie vorhin z2 feine Entfernung von der Ebene AIF bodeutete 3; Und wie vorhin die beyden Coordi- naten x2 5 Y2.5 in der Cbene AIP ſenkrecht auf ein- nf 22 ander ſtanden, ſo ſtehen jeßo die beyden Coordinaten ht auf 148 x2, 22 5 in der Ebene FlG ſenkrecht auf einander, ve CIE daß a alſo nun die Ordnung der Buchſtaben x, zZ, y, bA iſt; wie ſie vorhin. X,-3, 2, war;
X. In dieſer Ordnung nun laſſen ſich die dritten
dinafen Coordinaten bequem folgendergeſialt mit den zwey-
! jehen N
lw vn ten vergleichen, Von der Stelle, wo das Perpen- fa!. 3 difel von Z in FIG trifft, fälle man auf iG ein Per- (65"W j
pendifel,

46. TW: 0.05 00%
pendifel, welches zwiſchen ſich und[, auf IG ein Stück abſchneide, das man x3 nenne, Dieſes ab. geſchnittene Stäck, und das Perpendikel; das es abſchneidet, liegen beyde in der Cbene F1G, in der auch x2, 725 liegen(V1111.); Man nenne alſo die- ſes Perpendikel z35 das Perpendifel von Z auf die Ebene FiGaber, oderdes Punctes Z'Weite von die- ſer Ebene nenne many3 wie eben dieſe Weite auch vorhin(VIII!) yz hieße,
Xl. Nun wurden in l111; x2, y2, aus X, y, ver- mittelſt folgender Betrachtung hergeleitet: x ward auf 1A genommen, und x2 auf eine Linie, IF, die mit l1A den Winkel 9 machte; y, und y2, waren Perpendikel darauf, aus dem Puncte der Ebene AIF, in den ein Perpendikel von Z auf dieſe Ebene trifft. Hiemit vergleiche man nun, was Vl11,,X, -vorfömmt; x2 wird auf 1F genommen, und x3 auf einer Linie 1G, die mit IF den Winkel O macht (X.), 225 und, z3» ſind Perpendikel darauf, aus dem Puncte der Cbene FIG, in den ein Perperdi- fel von Z auf dieſe Cbene trifſt(X; VIill1.). Alſo muß man x3» 235 durch x2, z2, auszudrücken, das thun, was man that x2, y2, durch x, y, auszudrü- >en, nur daß ſtatt 1 hier 9 kömmt.
X1L Daher iſt aus(1111) x3=x2. cof9+22. lin 9.
XIIL Und aus(V)2z3-==22. col)-x2,. ſind.
XIII. Endlich ſchon aus X; y3=Yy2«.
XV. Aus dieſen nun gefundenen Ausdrückungen für die dritten Coordinaten, ſchaffe man vermöge 11115 V; VI; den zweyten weg; ſo iſt
X3= X
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dT auf! 17 x C xX3=X. coſy. col94+y, ſin 7. col0+2. ſin 9 me Dieſs S veidih pv Y3= Y- Coſy. fin Fl vv- ne FIG, k; z3=Z. COl09-x. Coſy. in V-=y. fin 7. inß "nenne Die zweyten Coordinaten dienten nähmlich nur zu fol von Zus einem Mittel, die dritten mit den erſten zu verglei- eite zyt chen„ welches eigentlic) verlangt ward, vi“" 464 Y», dieſe Weit XVI. Wennman ſich aus 241. erinnert, wieda-
ſelbſt des Punckes Z Entfernung von der Axe OA ),(US 3, 44. F. gefunden worden, ſo wird man aus(Xl.) geleitet; 11 leicht einſehen, daß die Weite eben dieſes Punctes ine Unie 18, von der Are IG zu ſuchen, folgende Wergleichungen „und yz! anzuſiellen ſind nete de( 44. Fig.| Cbene OXY| OX! XY| YZ , auf die! Hier Ebene FIG| x3| z3|y3 1, wahl Folglich iſt das Quadrat der Weite des PuncktesZ, Ju v von der Are[1C; die Summe der beyden Quadrate Dimi von y3, und z3 3 welche man aus XV. findek, Pal Sappyl ES, pf nn Von dieſen beyden Quadraten iſt en ein Virt E „VII das erſte yY2. cdly?= 2Xy. coly. fing 4+x2. 0072 wSzudri das zweyte y?.la92.109?+ 2Xy. coſy. ſin 7. in 9* YX, v,(Wp 4+xX2. coln2. ſin 92= 2yZ. col). ſin 9. ſinq= 2X2, nt,- coſ0, find, coſy+22. coſ0)? 1 oD Jedes Glied dieſer beyden Quadrate mit dM mul- [hy= X, tiplicirk, und die Summe dieſer Producte für den 1-12 ganzen Körper gefunden, gibt das Moment der 1 Jusdridy Trägheit des ganzen Körpers für die Axe 1G(242). fe man WW,, FEN Watheſis 4ter Theil, Dd XVIh,
v iſt

= um7
418 Z>X%(0)*L
XVIL Es ſey für den ganzen Körper ſxxdM= A; ſiyydM=B.ſzzaeM=C ſxydM=D; frzdM=E;(jgzdM=F ſo iſt das nur erwähnte Moment, der Trägheit' A.(finn?+coſy2. ſin 92)+ B(c0Olz2-4-(in 72, ſin 92) +C. coſ92*-2D, fin 1, coſy. coſ92- 2E, coſy, ſin9. coſ9-2F. ſing. ind. coſd.
XVIIL A, B,C, ſind wegen der Quadrats, die ſie enthalten, nothwendig bejaht; D, E, F, fön« nen nach Beſchaffenheit des Körpers auch verneint ſeyn.
249. Zuſ, Wenn IG mit IA zuſammen fällt, ſo verſchwinden beyde Winkel(2473 1l.) alſo auch
„ihre Sinus; aber ihre Coſinus werden= 13 Da-
her wird das Moment der Trägheit für die ArelA; B+C; Fällt 1G auf IB; ſo wird 9= 0, aber 1=90 Or; alſo in9=0, cold= 1; ſmq=1, coſy= 03;'und das Moment für die Are 18; AC; Fällt 1G auf IC, ſowird 9=90 Gr; q=0 alſo in0= 13 col)=0; ſiny=0; coly=1 und das Moment für die Are[C; A+3; Wenn man alſo dieſe drey Momente anders woher weiß, ſo findet man daraus A, B, C.
250. Aufg. WennlG die Are bedeutet, für wel- die das Moment der Trägheik ein größtes oder klein- ſtes iſt, die Lage derſelben zu finden.
Aufl,[.
Yu finden, (ndern Rome denn 4
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Il, einne dy.(VN die bey ns du! dv it fit
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WIESEL ACHSE RER 185). MIGEHSIIEINEHENWEN ENE» 1510 WT 1 Dian RED NEIGE Ed Ma IRT due Sta EINEIN
4 ötpe%X'(:0.) ZS 419 ne Aufl, l. Hier iſt die Frage die beyden Winkel zu W=p finden. Weil nun jeder ſich ohne den andern ver- t Trägh ändern fann; ſo ſeße man in dem Ausdrucke des fp(| Moments der Trägheit(247. XVIU.) erſt 1, allein, NE denn 9 allein veränderlich, und das jedesmahlige W=2bq Differential=0. I1. Bey der erſten Vorausſeßung muß man ſich 'Wadreh, erinnern, daß dſin= coln. dq und d coſn==- ſinn. D,E,P,4 dz.( Anal, Unendl. 281. und 296.). Dieſes dient 5 Quch vemy die beyden Diſferentiale des Sinus und des Coſi- nus durch das einzige des Winkels auszudrücken, So iſt z. E. das Differential deſſen was in A mul- mmen fil tiplicirt iſt: 2ſny. dſinq+ lin 82. 2. coly. d col1 Il,) ally= 2 ſiny. coſy, dy- 2. in02, coſy. ſin. dy= den=1:) 2. liny. coſy. coſ02. dy. Cim Nia Ny TEN 111. Wenn man ſo durchgängig verfährt, das Eun I Differential=o ſeßt, und denn mit> 2 coſ9. dy bis Ny] dividirt, ſo kömmt yo Or; 1-(A-B). ſin 9. coſn. coſ9+D.(coſ12-finn2), coſ) 0; coltz-E. ſn. ſin 9+ F. coſy. m 0= o A+; Io Daraus wird, die beyden leßten Glieder auf die 3 woher andere Seite gebracht, und gehörig dividirt ſin 0(B-A). nm. coſy4+D(coſy* fin?) Gorge ber tangd= E. finq-F. coſy ute, furt tog derm welches ich nennen will, da m den Zähler, und
fl n den Nenner bedeutet. nV, 1 ' Dd 2 III

420 zz(0) Zz<=D
INI. Wenn män nur 9 veränderlich ſest, und eben ſv die Diſferentiale der Sinuſſe und Coſinuſſe - durch des Winkels ſeines ausdrücet, damit! man, wenn das Differential des Moments" der Trägheit =0 geſeßt wird, durch das Differential des Win- Fels dividiren Fann, ſo erhält man: 2A. coly2, ſin9. coſ0 4+ 2B ſ[y2.(9. cold-2C(0.
col9+ 4D. ſy. coſy.(9. ceſf =2E, coſy.(coſ9*=192)-.2Fſy-(coſ92?-(92)=0 Dieſes läßt ſich aus Trigon, 19, S. 5, Zuſ. folgen- dergeſtalt ausdrücken A. col;*?. 29+B.;?.9-C.1294 2D. ſy. coſy. 29 -=2E,.'coſn. icCol24- 2 F.f7y. col20=5 Wiederum die beyden leßten Glieder auf die andere Seite gebracht, und gehörig dividirt, giebt ſin 29 2E. Coty 4- 2F. ff
Colzy ver GREG coly?-HB.472?-CF+2D.(y. coli
2
3. ned V. Aus(1.) findet Man EE u TEE oder(Trig. Dv: S, 6. PRE;
VI, Beyde Werthe dieſer Tangente[11k; Vz; ſind nun gleich zu ſeßen. Wenn man pe die Multi- plication jedes Zählers mit dem an dern Nenner aus der herausfommenden Gleichung die Geſtalt der Brü<e wegſchafft, und auf der linken Seite des
Gleich-
leit ſiehet Eic6
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Vl rof Inder Iplielt ber
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M SERENGETI EIENR CE WSI SCHES DIEN. Es ME EEN EROGDNEENS 14m IERE 1 DERI ET a IG Eid, Wg EIE A ISE M Ee III EE 205 Meiden EE
0] Y x(0)&*Zx 421 erlich ſe Ne IE 3; AEI femle, Gleichheitszeichens nur was in nn multiplicirt iſt, | Oy e f 00: ban ſtehen läßt, ſo hat man XE, DU NW 4 its der 4%(E. coſy+Fſy).n?=E,(coſy+ F. ſo). m? 4-mn, jr, SI 8 4 7 ential des)(A. coſy?+Bſ7?- C+ 2D.ſ1. coſy) n ſ(E. coſy+ EF. ſy), m 0, col) 4 FEE L+. A,coſy?+Bſy?-C+2D.[4. coſy) welches ich m.(p+9) nennen will, "oi(IN 010=167: 00. ? VILL Nun betrachte man beſonders die beyden -<R69 5 WO 70 DARE E 2 36 DU, Gröſſen p, und q; Man ſeße in der erſten ſigttm, in der zweyten ſiatt n, ihre Werthe(!il.), und mul- 2D,[1,0 ktiplicire wirklich/ rechne alsdenn zuſammen, was Kp in beyden in E, und in F, multiplicirt iſt, wobey ! man bemerken muß, daß die Quadrate des Sinus er auf vw und des Coſinus zuſammen=1 ſind, ſo findet man Nip? ata EEN p+q=E.(Bſn-(Cſa+D. coſy)-F.(A: coly- ue C. coſy+D,ſ7). (41), VIIL Nun fann man ſtatt m auch ſeinen Wehrt 4508 ſeßen, und ſo m.(p+q) ausdrücken, auch in dem „2 0m linfen Theile der Gleichung ſtatt nn ſeinen Wehret | ſeken. Jn. der Gleichung, welche ſolchergeſtalt ;<= herausfömmt, würden der Sinus und der Coſinus in jedem Gliede zuſammen drey Abmeſſungen aus- 11:0 machen, wenn man wirklich multiplicirte, Ehe 5+ if man, aber dieſes thut, ſeße man überall t.col1 wrd) DIe, H ſtatt ſn wo tr des Winkels 1 Tangente bedeutet, ſo nE wird man col] gar aus der Gleichung wegſchaffen FE fönnen, und ſie wird ſich in folgende verwandeln: nee Sof
c= 10 2ÄAE VIE“ Übrage.- moon oer bt"

422"XZ(0) ZS (E+Ft)(F-Er)?=(D+(B-A).t-Dr2). (D.E-A.F4+C.F+(B.E-C.E-D.F)t) welche geordnet folgende giebt: o=E.F.F-D.D.E4+(A-C).D.F +t(F3-2E,EF4+D.D.F+(A-2B4+C). D.E UAB) UB 2 C)09 +12.(E32. EEE 4 DDiE 4(B=2A4:0)D.F-H(A-B).(B2.C)-E) 47:(BjE.FZ Di DaF 4-4B2 09: Di EI:
VIIIL Lieſſe ſich aus dieſer cubiſchen Gleichung
et finden, ſo hätte man den Winkel 1; und alſo auch vermöge(111.) den Winkel 9, und beyde zuſammen gäben die Lage der Are, für welche das Moment der Trägheit ein größtes oder kleinſtes iſt. X. Aus Ill. würde auch( Trig. 19, S, 5. Zuſ,)) 1(B-A)ſ214D.coſ2 1 tang 9= E.[7- F. coſy
.
251. Iuſ, Die cubiſche Gleichung(250. VIN) hat zum wenigſten eine mögliche Wurzel. Es giebt alſo wenigſtens eine ſolche Are wie geſucht wird.
252. Zehnſ. Aber ein Gröſſtes muß nothwendig zwiſchen zween verſchwindende Wehrte der verän- derlichen Gröſſe oder zwiſchen einen verſchwindenden und ein Kleinſtes, oder zwiſchen zwey Kleinſte fallenz Und ein Kleinſtes liegt, wenn es bejaht iſt, alle-“
mahl
mahl grö (An, hw nd| Inter
| 2 nich liegt 3 ave) | dis ale vy un) nan| Derlei | 1350 Ran 1 wenn)
alf

, Gi dtm
oth) der vin wenden nte falt) ; iſt, a
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TRE R TEEN REER IRE ESSE ZEN
Ks jr
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mahl zwiſchen zwey Gröſſten, iſt es eine verneinte gröſſte Gröſſe, die als ein Kleinſtes angeſehen wird (An, Un, 253.), fo kann es zwiſchen zween ver- ſchwindenden Wehrten, oder zwiſchen einem ſolchen und einer verneinten Gröſſe, die ein Kleinſtes(alſo unter den verneinten Gröſſen ein Gröſſtes) iſt, oder zwiſchen zwo ſolchen Gröſſen liegen. Alles dieſes iſt aus An. Un. 153. klar, und läſſt ſich durch die daſelbſt 163. u, f. betrachteten Linien erläutern,
253. JZuſ, Nun kann das Momenk der Trägheit nicht verſchwinden noch verneint werden, folglich liegt das Gröſſte oder Kleinſte, das der Are 251, zugehört, zwiſchen zwey kleinſten oder größten; die alſo den beyden andern Aren zugehören. Es muß alſo drey ſolche Aren geben, und die cubiſche Glei- dung muß drey mögliche Wurzeln haben, welches man ſonſt aus ihrer Betrachtung ſelbſt ſchwerlich herleiten würde,
254. Man heißt dieſe drey Aren, Hauptaren. Man kann zeigen ,- wie alle drey gefunden werden, wenn man eine weiß; daß ſie ſenkrecht auf einander ſtehen, u. ſ, w. Sie haben unterſchiedene merk- würdige Eigenſchaften, beſonders beym Drehen der Körper. Wenn ſich nähmlich ein Körper um eine ſolche Axe dreht, ſo leider ſie dadurch keine Gewalt, und bleibt daher ruhig, ohne daß ſie von einer äu- ſern Kraft gehalten würde, daher nennt man ſie auch axes gyrationis liberos,. Daß es drey ſolche
Aren

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Aren in jedem Körper geben müſſe, hak zuerſt der kön, preuſſ. Hr. Geh, R. v. Segner in ſ, zu Halle 1755 herausgegebenen Programma Specimen theo- riae turbinum, gewieſen.
Aus dem Angeführten ſieht man ſchon was für weitläuftige-Rechnungen dieſe Unterſuchungen, und Anwendungen, dadurch ſie erläutert werden müßten, erfodern, daher wird man ſich für gegenwärtige Cin« leitung mit dem, was ich hier beygebracht habe, begnügen, und dieſes deſtomehr, weil die vollſtän- dige Ausführung in Hrn, Culers theoria motus corp. rigidorum, von jedem, der ſich meine Anlei- tung in gegenwärtigem Buche wohl zu Nuße ge- macht hat, ohne Anſtoß kann geleſen werden, wenn er nur durch groſſe Rechnungen nicht ermüdet wird, Es würde alſo unnüß. ſeyn, noch einiges aus Hrn, Eulers Werke beyzubringen, da dieſes allemahl für kurze Anfangsgründe zu viel, und für etwas Voll.
ſtändigers, wein man nicht alles abſchreiben
wollte, zu wenig wäre,
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