den- nohel eirer id Mathemna nach il (err. iei. GIüv. ie!⸗ Giesser V —4— % Untersuchung | über den eigentlichen Sinn der höheren Analysis, nebst einer idealischen Übersicht der Mathematik und N aturkunde nach ihrem ganzen Umfang. wi Pi* YPIHI TaımrrTe\ / BIBLISTIER\ iin ä f VE NITEL EEE ELBE TERERTERN FDRONIGL\ ANNE N> Von Ernst Gottfried Eisch&x ZU NUROL: a a Mit einer Kupfertafel. Dierlilsn, bei Sohaun Friedrich Weiss. 1808. . nr ri Sc ARC „Göttlic Willst W A nn nissen ee Tr ARCHIMEDES UND DER SCHÜLER. En Archimedes kam ein wilsbegieriger Jüng- ling, Weihe mich, sprach er zu ihm, ein in die göttliche Kunst, Die so herrliche Frucht dem Vaterlande ge- tragen Und die Mauren der Stadt vor der Sambuca beschützt. „Göttlich nennst du die Kunst? Sie ist’s, erwie« dert der Weise, Aber das war sie, mein Sohn, ch’ sie dem Staate gedient. Willst du nur Früchte von ihr, die kann auch die Sterbliche zeugen, Wer um die Göttin freit, suche in ihr nicht das Weib.“ SCHILLER.. ER einer ERSTE ABHANDLUNG. Versuch einer idealischen Übersicht der Naturkunde nach ihrem ganzen Umfang. el D. ideal. was IC nen G Zweck: sich ei und ı tens | nunf griffen gehob: fodert, dersell scheint auf de genüger ben Mif Vaesrs sche dh einer idealischen Übersicht der Naturkunde. ri sich der Leser bey dem Ausdrucke idealische Übersicht bestimmt das denke, was ich wünsche, wird es nöthig seyn, über ei- nen Gegenstand, der nicht eigentlich zu dem Zwecke meiner Abhandlung gehört, der aber an sich einer umständlicheren Erörterung bedürftig und im höchsten Grade würdig wäre, wenig- stens ein Paar Worte zu sagen. Kant hat in seiner Kritik der reinen Ver- nunft eine höchst merkwürdige Classe von Be- griffen unter dem Namen Ideen bestimmt aus- gehoben und die Philosophen dringend aufge- fodert, seine genaue und scharfe Bestimmung derselben rein und unverfälscht zu erhalten. Es scheint mir nicht, als hätten Kants Nachfolger auf der speculativen Bahn seiner Auffoderung genüget: denn ihre Systeme sind gerade diesel- ben Mifsgriffe in Ansehung des Idealischen, vor A denen Kant die Philosophie verwahren wollte. Sollte ich kurz und falslich erklären, was eine Idee sey, so möchte ich etwa so sagen: Jede Geisteskraft ist in sich selbst unbeschränkt, wird aber begreiflich in jedenı bestimmten Fall nur in einen bestimmten Grade, also beschränkt, angewendet. Jeder Begriff, welcher durch eine beschränkte Anwendung eines Zweiges des Vor- stellungsvermögens erzeugt wird, ist ein'nicht- idealischer Begriff; aber die Vorstellung von etwas, das durch eine schlechthin unbeschränkte Anwendung derselben Kraft erzeugt werden würde, ist ein idealischer Begriff, eine Vernunftidee. Beispiele mögen dils erläu- tern. Die Vorstellung von irgend einem Mit- theilungsmittel unserer Gedanken und Gefühle, ist der nichtidealische Begriff einer Sprache; in diesem Sinn giebt es Wortsprachen, Zeichen- sprachen(durch sichtbare Zeichen), es giebt eine Augensprache, eine Fingersprache u. s. fi:„aber die Vorstellung von einem absolut vollkomme- nen Mittheihingsmittel ist der idealische Begriff oder die Idee einer Sprache. Die Einbildungs- kraft vermag die Vorstellung jeder Grölse zu vervielfältigen, oder dieselbe zu theilen, und da- durch Vorstellungen von bestimmten Grölsen zu erzeugen; die Vorstellung von einer absolut un- beschränkten Vervielfältigung oder Theilung führt auf die Ideen des Unendlichgroflsen und Unend- lichkleinen. Die Ideen beruhen also auf der ab- soluten Unbeschränktheit jeder Geisteskraft, und sind fi rermO und n beschr und$ die d heit. sind Ide und die tige iges genüg gende Idee muls lichen ist Sie Ideen ak Ein Jität geme kein frem. könn dem nicht darste irisch ollke, eine Jede wird nur ber UR- r ad Pe r 0) sind folglich in dem Wesen wunsers Vorstellungs- vermögens gegründet. Sie entstehen von selbst, und nothwendig, sobald sich der Geist der Un- beschränktheit seiner Kraft deutlich bewulst wird, und sie sind im Grunde selbst nichts anders, als die deutliche Vorstellung dieser Unbeschränkt- heit. Dafs diese Vernunftideen verschieden sind, von ästhetischen oder dichterischen Ideen und noch mehr von Schwärmereien und Hirngespinsten, fällt deutlich genng in die Augen; aber es liegt aufser dem gegenwär- tigen Zweck, diese Begriffe und ihr gegensei- tiges Verhältnils zu erörtern. Hier mag es genügen, über die Vernunftideen noch fol- gende Bemerkungen beizubringen. Was die Idee in absoluter Unbeschränktheit enthält, das mufs dem menschlichen Geiste in jedem end- lichen bestimmten Grade erreichbar seyn, sonst ist sie keine Idee, sondern ein Hirngespinnst. Ideen sind ferner offenbar allgemeine Be- griffe; denn sie entkleiden ihr Object von allen Einschränkungen, also auch von aller Individua- lität, und sie haben daher mit allen andern all- gemeinen Begriffen dieses gemein, dafs sie durch kein wirkliches Object rein und unvermischt mit fremdartigen Bestandtheilen dargestellt werden können. Aber sie unterscheiden sich von an- dern allgemeinen Begriffen dadurch, dals sie nicht einmal in einem Object, wie diese, darstellbar sind, weil sie absichtlich alle em- pirische Einschränkungen abschneiden. So ist 6 z. B. alles, was tvesentlich zu dem empiri- schen, also nichtidealischen Begriffe ei- nes Menschen gehört, in jedem von der Na- tur vollendeten Individuum vollständig dar- gestellt, nur vermischt mit der Unendlichkeit aller seiner Individualitäten. Die /dee von ei- nem Menschen hingegen, d.h. der allgemeine Begriff, den wir uns von einem Menschen ma- chen müssen, insofern er mit absoluter Vollen- dung das wäre, was er nach seinem ganzen We- sen seyn kann, oder seyn soll, diese Idee ist offenbar nur ein blofses reines Gedankending, das in der Wirklichkeit nur annähernd, und doch immer nur in unendlichen Abstand von der Idee dargestellt werden kann: denn Ideen bezeichnen blofs Zielpunkte, denen sich alles empirische nähern soll, ohne es je zu erreichen. Es ist, dünkt mich, schon aus dieser kur- zen und daher unvollständigen Darstellung sicht- bar, dafs die Ideen von unendlicher Wichtigkeit sirrd für allen theoretischen und practischen Ge- brauch der Vernunft. Ideen und Ideale sind nothwendige Erzeugnisse der Vernunft, nicht Schimären, womit sie diejenigen verwechseln, welche alles Idealische für ein Spielwerk der Phantasie halten, dessen der vernünftige Mensch wohl entbehren könne; aber man muls eine Idee auch nicht als das in endlicher Entfernung liegende Ziel auf einer Laufbahn betrachten, das man erreichen solle; denn was nicht erreicht werden kann, das kann auch kein Gesetz befch» len, 7 welche Thätig Hinstr Guten schlec | ders das sen: ben; oder einer einen Forsc Jahrhı schaft Physi \oaoı klar schaf beite, kel, dach unte) der Entst Idee: Yen 7 len, zu erreichen. Ideen sind Gesichtspunkte, welche die Richtung bestimmen, die unsere Thätigkeit nehmen soll: denn nur durch das Hinstreben des einzelnen und aller zum idealisch Guten, Wahren und Schönen ist Erhebung vom schlechtern zum bessern möglich. Auch jeder Wissenschaft und jedem Theile derselben liegt eine Idee zum Grunde, welche das höchste nie erreichbare Ziel derselben in ei- nem einzigen einfachen Begriff zusammendrängt. Dunkel oder deutlich mufs jedem, der eine wis- senschaftliche Arbeit treibt, eine Idee vorschwe- ben; ohne sie ist alle Thätigkeit mechanisches oder zweckloses Streben.. Die falsch gefalste Idee einer Wissenschaft weiset der Geistesthätigkeit einen unrichtigen Zielpunkt an, und führt die Forschung auf einen falschen Weg, so dafs sie Jahrhunderte lang den Fortschritt der Wissen- schaft hemmen kann, wovon die Geschichte der Physik bis auf Baco und die Geschichte der Phi- losophie bis auf den heutigen Tag zwey sehr klare Beyspiele.=efern. Selbst den ersten Schöpfern einer Wissen- schaft schwebt bey ihren unvollkonımenen Ar- beiten eine Idee vor; aber dann gewöhnlich dun- kel, und verworren oder gar verfälscht. So dachte man sich in den Zeiten des Alterthums unter Physik die Lehre vom ersten Ursprunge der Dinge; daher nannte man sie von gvumw Entstehungslehre. Difs war eine- verfälschte Idee: denn sie ‚stellte der Naturforschung ein Ss 8 Ziel auf, das überall auch nicht einmal in irgend einem endlichen Grade erreichbar ist. Zugleich verfälschte sie die Methode, weil sie als Erkennt- nilsquelle die metaphysische Speculation aufstellte, die immer ins Leere geführt hat, und ewig da- hin führen wird, so oft sie etwas sucht, was aulser dem Bewulstseyn liegt. Daher konnte diese Physik nichts anders seyn, als was noch bis auf diesen Augenblick der gröfste Theil der speculativen Philosophie ist, ein ewiges Hin- und Herschwanken von einem System zum an- dern, so lange, bis der immer rege Geist des Menschen, durch günstige Umstände geleitet, erst einen nicht unbedeutenden Vorrath ächter, pro- befester physikalischer Kenntnisse zu Tage geför- dert hatte, aus deren Betrachtung man die rich- tige Methode der Wissenschaft lernen‘ konnte. So entdeckte sie Bace, und empfahl sie eindrin- gend und nicht ohne Erfolg allen Naturfor- schern die mit und nach ihm lebten. Aber über der Idee der ganzen Naturkunde lag den- noch ein gewisses Dunkel, selbst nachdem Co- pernicus und Keppler und Galiläi und Newton auf der von Baco bezeichneten Bahn grofse Schätze gefunden hatten. Denn ob sie gleich ganze Provinzen im Reiche der Naturkunde ent- deckt hatten, so lagen doch alle ihre Entdeckun- gen nur auf einer einzigen Seite dieses weitläuf- tigen Reichs, auf der Seite der mechanischen Naturlehre. Von den übrigen weitläuftigen Ge- bieten dieses Reichs hatte man kaum eine dun- Be kai Al hhrhur ıs Hay einen' schon entdec Theil kent acht beh wal dur 30 ei Theil der ı: lische und: Bene sensch bestin falleı fang Nat Scha tause geäft gen in A sich sie ei 9 kele Ahnung: denn man hatte zwar Chemie seit Jahrhunderten‘ getrieben, aber man trieb sie nur als Handwerk oder als geheime Kunst, nicht als einen Theil der Physik; auch hatten die Ärzte schon manches im Felde der organischen Physik entdeckt; aber auch sie sahen es nicht für einen Theil der Naturlehre an, sondern blofs als Hülfs- kenntnifls ihrer hülfsbedürftigen Kunst. Dem achtzehnten Jahrhundert war das Verdienst vor- behalten, jeden Theil der Naturkunde in seinem wahren Rang anzuerkennen, jeden derselben durch wichtige Entdeckungen zu erweitern, und so eine idealische Ansicht des Ganzen und aller Theile möglich zu machen. Um so auffallen- der ist es, dafs man in unsern besten physika- lischen Schriften nichts, als zufällig aufgefalste und nach keinem sichern Leitfaden geordnete Bemerkungen, über das Ganze der grofsen Wis- senschaft und ihrer Theile, überhaupt wenig scharf bestimmtes und befriedigendes findet. Noch auf- fallender aber ist die Erscheinung noch am An- fang des neunzehnten Jahrhunderts sogenannte Naturforscher zu sehen, welche von neuem dem Schattenbilde nachlaufen, das vor Baco fast zwey tausend Jahre lang den menschlichen Verstande geäfft hatte. Ich hoffe, dafs diese vorläufigen Bemerkun- gen hinreichen werden, allen Mifsverständnissen in Ansehung des Ausdrucks, idealische Über- sicht der Naturkunde, vorzubeugen. Ich setze sie einer empirischen Übersicht entgegen. 10 Die letzte betrachtet die Wissenschaft blofs in ‚ihrem wirklichen Zustande und sie fragt blols, was ist da? nicht, was kann, was soll da seyn? Die idealische hingegen erhebt sich über die Wirklichkeit und bestimmt den möglichen Umfang der ganzen Wissenschaft und ihrer Theile; aber sie bewirkt dies nicht durch Spiele des Witzes und der Phantasie, die so oft für Vernunft-Ideale gelten müssen, sondern dadurch, dafs sie von dem deutlich erkannten Zweck aller einzelnen Theile zu der Idee des Ganzen empor- steigt und von da aus, als von einer Höhe, der ganzen Wissenschaft und aller Theile Umfang, Gränzen, eigenthümliche Beschaffenheit und wirk- lichen oder möglichen Anbau überschaut. Ich werde versuchen, eine solche Übersicht der Naturkunde zu geben. Kann ich es nicht in der geistreichen Manier thun, in welcher das Publicum erst kürzlich eine idealische Übersicht der ehrwürdigen Alterthumskunde erhalten hat, so wird man doch, hoffe ich, Sachkennitnilfs, deut- liche Begriffe, Unbefangenheit und Eifer für Wahrheit und Wissenschaft nicht vermissen. Naturkunde, Ich nenne den gesammten Inbegriff aller physikalischen Wissenschaften mit einem einzi- gen Namen Naturkunde(physica universalis): Im al If ei sondert und Kl gensch: den. ug ner neh dop dar dumm Veran sens, der ge sense Umfa Verän V Nahır nis Ihre bes turl man Zwec Was je 3ıı denn alle diese Wissenschaften bilden nicht etwa blofs ein zufällig zusamnıengefügtes Haufwerky sondern sie werden durch eine einzige einfache und klare Idee zu einer einzigen grofsen Wis- senschaft von unermelslichem Umfang verbun- den. Der Zweck jeder einzelnen Naturforschung ist ganz unzweydenutig deutliche Erkenntnils ei- ner Erscheinung, die wir durch die Sinne wahr- nehmen. Diese Erscheinungen aber sind von doppelter Art. Entweder stellen sie sich uns dar als wirklich bestehende Dinge, Körper, Na- turwesen, oder sie zeigen sich uns als blofse Veränderungen in dem Zustand eines Naturwe- , und so ist die einfache klare Idee, welche der ganzen Naturkunde zum Grunde liegt: wis- senschaftliche Erkenntnils des ganzen Umfangs aller Naturwesen und ihrer Veränderungen. Vermöge dieser Idee zerfällt die gesammte Naturkunde in zwey grolse Zweige: in die Kennt- nils der Naturwesen selbst, und in die Kenntnils ihrer Veränderungen. Jene nenne ich Natur- beschreibung(physica historica), diese Na- turlehre(physica dogmatica). I. Naturbeschreibuns. Der erste Theil ist nichts anderes, als was nıan gewöhnlich Naturgeschichte nennt. Ihr Zweck ist, durch genaue Kenntnifs alles dessen, was jeder Art von Naturwesen eigenthümlich ist 12 zu einem allgemeinen Überblick aller erkennbaren Naturwesen, und ihres Verhältnisses unter sich, gegen uns und gegen die ganze Natur zu ge- langen. Die unermelsliche Menge von Naturge- genständen macht eine Eintheilung derselben un- umgänglich nothwendig, weil ohne sie Verwir- rung unvermeidlich und Übersicht unmöglich seyn würde. Die systematische Anordnung er- scheint also, aus diesem Gesichtspuncte betrach- tet, als wesentliches Erfodernils der Wissen- schaft; doch mufs der Naturforscher wohl be- merken, dafs sie nicht das Einzige und Höchste, dafs sie nur Hülfsmittel ist, jedes einmal ent- deckte Naturwesen gleichsam festzuhalten, indem man ihm seinen Platz in dem Systeme anweiset. Blofs die Uebersicht zu erleichtern und jedes wirkliche Naturwesen im System, jedes im Sy- steıne aufgeführte in der Natur wieder finden zu können, ist der Zweck des Systems; es ist nicht die Wissenschaft selbst, es ist nur das Register derselben. Und so wie das Register eines Buchs tadelhaft ist, wenn es das Aufschlagen erschwert, eben so ein naturhistorisches System, wenn es das Auffinden der Naturkörper erschwert; ein Vorwurf, den man mit Recht jedem künstli- chen System machen mufs, da es mich immer in Gefahr setzt, den Eichbaum von der Hasel- staude nicht ohne Hülfe des Mikroskops unter- scheiden zu können. Bei jedem Versuche ein künstliches System durchzuführen, liegt allezeit das Milsverständnils zum Grunde, als sey das durc harm Denk die$ Gesta wird au wall \u un köl zuse Sch Das 13 System die Wissenschaft selbst, oder das Höchste in derselben. Aber die Erfahrung lehrt, dafs auch ein natürliches Systemı nicht vollständig durchzusetzen ist. Woher‘das? Unser Geist und das Weltall, die Innenwelt und die Aulsen- welt, sind zwar innigst verbunden, aber dennoch beide in sich selbstständig und von einander un- abhängig. Die Aufsenwelt ist nicht nach un- sern Denkformen gearbeitet: es ist in ihr un- endlich mehr als unser Geist, in dieser Spanne Zeit, in dieser beschränkten Organisation des Körpers fassen kann; und selbst das wenige, was durch den engen Canal der Sinne in uns konımt, harmonirt nur deswegen nothdürftig mit unsern Denkformen, weil es bei dem Durchgang durch die Sinne auf eine uns unbegreifliche Art, die Gestalt der Vorstellungen annimmt: aber nie wird sich die unendliche Natur vollkommen an unsere Denkformen anschmiegen: denn sie wollte uns verwahren vor dem Irrthum unsere Vorstellungen für die Natur selbst zu halten, der uns zu der grölsten aller Thorheiten verleiten könnte, uns selbst für Schöpfer der Natur an- zusehen, weil wir in einem gewissen Sinn Schöpfer unserer eigenen Vorstellungen sind.— Das einzige haltbare naturhistorische System ist ein wohlgewählter Mittelweg zwischen dem natürlichen und künstlichen: denn es soll eben sowohl den Ansprüchen der Natur, als den Ansprüchen unserer Denkkraft Genüge thun. Blols hierin liegt der Grund, warum das 14 Linneische System in der Botanik jedem andern den Vorzug abgewonnen hat, und ihn stets be- haupten wird, so lange die Pflanzenforscher den Geist desselben nicht verkennen werden. Das höchste Ziel der historischen Naturkunde so wie alles wissenschaftlichen Forschens über- haupt, sind allgemeine Ansichten, und zwar nicht blofs empirische, sondern idealische. Aber der einzige zulässige Weg zu dem Achtideali- schen, ist mühsanıes Studium des Einzelnen, nicht voreiliges Streben einer ungezügelten Phan- tasie. Die genaue Kenntnifs des einzelnen muls erst zu empirischen allgemeinen Ansichten füh- ren, in deren sorgfältigem Studium die Vernunft allein den sichern Leitfaden in das heilige Land des Achtidealen hinüber finden kann. Daher ist und bleibt eine genaue, möglichst vollstän- dige Kenntnils des Einzelnen die wesentliche Grundlage der Wissenschaft, und die genaue mit philosophischem Geiste durchgeführte Beobachtung eines einzigen Geschöpfs, von seinem Beginnen an bis zu seinem Untergang, in allen seinen Verhältnissen gegen Wesen derselben Art, gegen Naturwesen anderer Art, gegen uns selbst, gegen die ganze Natur, bringt der Wissenschaft mehr wesentlichen Gewinn, als hundert neue Namen im Systeme. Man würde mich aber gänzlich milsverstehen, wenn man glauben wollte, als tadelte ich das Aufsuchen, Bestimmen und Ord- nen neuer Gegenstände: nichts weniger, als das, vielmehr ist diese Arbeit nothwendig, verdienst- Jich velche ls 6: mehr merkl ten V regls! Jede ge Ihn wi bu die N grolse orga Natur dern schreil bung den| Mi be nn lich und durch die Idee der Wissenschaft selbst, welche möglichste Vollendung und Überblick des Ganzen verlangt, geboten. Ich wollte viel- mehr die innere Würde der Naturgeschichte be- merklich machen, die oft von Nichtunterrichte- ten verkannt wird, indem sie die todten Nanıen- register für das Wesen der Wissenschaft nehmen. Jedes vorhandene Wesen und sein Verhältnifs gegen das Ganze ist ein Gedanke der Natur;. wer ihn studiert beschäftigt sich mit einem hohen würdigen Gegenstand. Der unendliche Umfang der Naturbeschrei- bung macht Unterabtheilungen nothwendig, und die Natur bietet uns dieselben seibst dar in dem grolsen Unterschied nichtorganisirter und organisirter Körper, und in der organischen Natur in dem Unterschied nichtempfinden- der und empfindender Wesen. Die Naturbe- schreibung wird also drei Theile haben: Beschrei- bung der nichtorganisirten, der nichtempfinden- den und der empfindenden organisirten Wesen: Mineralogie, Botanik, Zoologie. 1)“Moin era lvo: 8 Vie. Der erste Theil der Naturbeschreibung, inso- fern er die ganze nicht organisirte Natur unnfas- sen soll, existirt gewissermalsen noch jetzt nur in der Idee. Doch würde es nur mälsiger Zu- sätze bedürfen, um sie in den Weg einzuleiten, den die idealische Ansicht der Naturkunde vor- u a 4 | 16| Be schreibt. Die Mineralogie ist bis jetzt nichts als| N die Kenntnils des Gesteins, das der Fleils des MM Bergmanns, aus dem Innern der Gebirge zu| il Tage fördert. Aber dieses Gestein umfalst nicht|| ‚die ganze nichtorganische Natur: denn es fin-| ke den sich in diesem Naturreiche auch luftförmige|\ und tropfbare Flüssigkeiten von mancherlei Art.. Dahin gehören alle ausdehnsamen, permanenten| oder dunstförmigen Flüssigkeiten, aus denen der i Luftkreis gemischt ist, oder die sich in vulcani- schen Gegenden, und in unterirdischen Höhlen entwickeln: ferner alles Gewässer des Erdbo- dens, das Meerwasser, das sülse Landwasser, f alle Arten mineralischer Quellen, auch Naphta- quellen u. s. f£ Lauter Gegenstände, die ein nil allgemeines physicalisches Interesse, und zum ln Theil sogar für den Bergmann noch ein beson- it deres Interesse haben. Widenmanns Vorschlag, u ein viertes Naturreich unter dem Namen At- ber mosphärilien einzuführen, gründet sich au- de genscheinlich auf die richtige Bemerkung, dals IC es eine nicht unbeträchtliche Anzahl von Kör- t pern giebt, für welche sich in der ganzen Na- Y turbeschreibung kein Platz findet. Allein es ist, di dünkt mich, auch sichtbar, dafs seine Atmos- w phärilien kein eigenes Naturreich, sondern blofs de ein Theil der anorganischen Natur sind, und ni dals sie daher nicht der Gegenstand einer eige- Ü nen Wissenschaft seyn dürfen, sondern nur ei- eir nen Zusatz zu der Beschreibung der anorgani- sch schen Körper ausmachen müssen. Wird die wac 2 Mine- mung 17 Mineralogie nicht als Hülfswissenschaft- des Bergmanns, sondern als ein Theil der histori- schen Naturkunde bearbeitet, so kann sie ohne= dils nicht vermeiden, einen Blick auf den Bau unseres ganzen Weltkörpers zu thun, und dann dringen sich die jetzt fehlenden. Gegenstände von selbst auf; aber auch bei der Beschreibung der eigentlichen Fossilien macht der physicali- sche Gesichtspunkt darin einen wichtigen Unter- schied, dals die Gebirgskunde bei weitem. als der wichtigste T’heil erscheint; da hingegen für den Bergmann die Kenntinils der aineralogisch ein- fachen Fossilien wichtiger ist. Eine Wissenschaft, die durch ein Bedürf- nils ‚des Lebens erzeugt worden, bleibt oft. lange Zeit in den Gränzen der- beschränkten Idee, welche dieses Bedürfnifs darbietet, als wagte sie nicht, sich über diese Idee zu erhe- ben,. und den Rang einzunehmen, der ihr in der Reihe der Wissenschaften gebührt. Viel- leicht wäre aus der Feldmiefskunst der: Aegyp- tier nie eine allgemeine Gröfsenlehre geworden, wären die Griechen nicht durch ein höheres Be- dürfnils, als die Anwohner des Nils, getrieben worden, sich mit ihr zu beschäftigen. Wenn der Geist mehr ist, als der Körper, so muls nicht das Bedürfnils, sondern die Vernunft den Umfang der Wissenschaften bestinnmen. Es ist eine verkehrte Ansicht der Dinge, die Wissen- schaften zu Dienerinnen des Bedürfnisses zu machen; nur freundliche Gehülfinnen des Le- [2] ıB beng können und sollen sie seyn. Geistesthä- tigkeit ist das Höchste im Menschen, also Zweck an sich, abgesehn von allem Einflufs auf das gemeine Bedürfnifs. Was dieses fodert, ist nö- thig, aber oft sehr unwichtig; was die Wissen- schaft fodert, ist wichtig, aber oft für den gemeinen Nutzen entbehrlich, Nöthig und wichtig sind Begriffe, welche die Menschen immer und ewig verwechseln.. Der beschränkte Name, Mineralogie, darf eben so wenig hindern, ihren Begriff einem hö- heren, wissenschaftlichen Bedürfnils gemäls zu erweitern, so wenig der eben so beschränkte Name, Geometrie, gehindert hat, aus ihr eine allgemeine Theorie der Gröfsen zu machen. o) Botanik. Der zweite Theil der Naturbeschreibung, die Botanik, umfalst denjenigen Theil der organisirten Naturwesen, dem Empfindung bey- zulegen uns nichts berechtigt: denn Empfin- dung kann nicht ohne Bewulstseyn, sey es auch noch so dunkel, gedacht werden; und Bewulst- seyn den Pflanzen beizulegen, hielse mindestens gesagt, eine Hypothese aus der Luft greifen. Die wenigen Erschemungen, welche einen Ge- danken an Empfindung veranlassen könnten, ha- ben nur eine sehr entfernte Ähnlichkeit mit der thierischen Empfindung, und zeigen nichts, was mit der Vorstellung eines organischen Mechanis- mi die aus, zus des i | | er i| mus unvereinbar wäre: Die Pflanzen machen u| die niedrigere Classe der organisirten Wesen as| aus, in denen sich blos organisch bildende und Ö-| ınischende, aber nicht jene höheren Lebenskräfte Ur des Tieres äufsern. Bildende und mischende an= Kräfte wirken zwar auch in der nichtorganisir- nd ten Natur, denn der Krystall bildet sich aus chen gleichartigen Theilen, und sein Stoff mischt sich aus ungleichartigen Bestandtheilen; aber y darl alle Wirkung geschieht hier nur von aulsen, n hö- nur durch zufälligen Zug und Stofs des benach- s au barten Körpers. In den Pflanzen mufs eine in- inkte nere, unsichtbare, geheimnilsvolle Kraft liegen, eine| welche den Stoff, der in ihren Wirkungskreis kommt, beherrscht, und die sichtbar sich berüh- renden Theile zwingt, sich nach ganz andern Gesetzen zu bilden und zu mischen, als aulser ihren Wirkungskreis, ja nicht selten auf eine Ing, den Gesetzen der Mechanik und Chemie ganz. ie entgegengesetzte Art. In der Anzahl der Indi- hev- viduen machen die Pflanzen die gröfsere, in der: up Anzahl der Arten, die kleinere Hälfte der orga- nisirten Welt aus. Dennoch ist der Umfang lt» der Botanik unermefslich. Kenner zählen schon steng jetzt gegen dreilsigtausend botanisch bestimmte fen. Arten, und doch ist der von Pflanzenforschern Ge untersuchte Erdstrich nur ein sehr kleiner Theil ‚hr des trockenen Landes. Und von dem grölseren it der Theil der untersuchten Pflanzen wissen wir we« er nig mehr, als den Namen und den Wohnort, von nis: ihren Eigenheiten aber nur gerade das wenige; 20 was zur Anweisung eines bestimmten Platzes im System unumgänglich nöthig ist. Sehr klein ist aber die Anzahl der Pflanzen, die man in allen Perioden ihres Daseyns sorgfältig beob- achtet, deren Eigenschaften, deren Verhältnifs ‚gegen Boden und Clima, gegen die übrigen Gewächse, gegen das Thierreich etc., man un- tersucht hat, so dals man sagen könnte, man kenne ihre natürliche Geschichte in einer gewis- sen Vollständigkeit. Man sieht leicht, dafs nach allem bisher vorgetragenen, für das wesentlichste in der Bo- tanik ungefähr dasjenige zu halten sey, was Linne Philosophia botanica nannte, und wo- von unser berühmter Wildenow in seinem Grundrifs der Kräuterkunde die Grund: züge so schön zusammengestellt hat. Aber offenbar können alle die allgemeinen Ansichten, welche hierher gehören, innere Haltbarkeit und Vollendung nur durch die genauste Kenntnis des einzelnen erhalten, die sich aber viel weiter erstrecken muls, als auf das, was das System fodert. Die Beschäftigung‘mit der Pflanzenwelt ist übrigens der lieblichste Theil der gesammten Naturkunde. Wem es gelingt, sich den Sorgen des Lebens und dem:Gewühl der Geschäfte zu entzieheu, der weihe sich dem Dienst der Pflan- zZenkunde. Über ihr schwebt ein freundlicher Engel, der fromme Ruhe und kindliche Heiter- keit über den Geist ausgielst. D unstre Theil denje welc Th der nisch stuz pind der b wirke also\ Stoll: höhr such worf beyv nich! mit- schät; die sc latzes Sehr man Jeobs Itnifs tigen Nne ma r Keys v ı bisher der Bo- ‚1 Was I wos einem rund® Aber chten, und nmils weiter System relt ist mmten sorgen fie zu Plan licher Jater- 21 3) ZE6E Vo g Te, Der dritte Theil, die Zoologie, ist ganz unstreitig ‚der weitlänftigste und schwierigste Theil der’ historischen Naturkunde. Sie umfalst denjenigen Theil der organischen Natur, in welchem sich die höheren Lebenskräfte regen. Das Thier hat Sinne und Gliedinalsen; jene als Werkzeuge des Empfindens, diese als Werk- zeuge des Wollens.. Durch jene wirkt die Aus- senwelt auf die innere wundersame Kraft im Thiere, wir nennen sie Geist; durch jene wirkt der Geist, nicht nach dem Gesetz, einer mecha nischen Nothwendigkeit, sondern sich selbst be- stimmend,‘auf die Aussenwelt zurück._ Em- pfindungsvermögen und Willenskraft, sind we- der bildende noch mischende Kräfte; was sie wirken,- sind Vorstellungen und Handlungen, also weder körperliche Form, noch körperlicher Stoff; es sind Wirkungen einer ganz eigenen höheren Art, die wir lediglich durch unser eige- nes Selbstbewulstseyn kennen. Wer sie glaubt, aus Gesetzen der Mechanik und Cheıinie erklä- re.ı zu können, der macht einen ähnlichen Ver- such, als der, welcher die Bewegung eines ge-, worfenen Steins erklären wollte aus einem ihm beywohnenden Vorstellungsvermögen.— Es ist nicht möglich, die Anzahl der Thierarten, die mit uns diesen Erdball bewohnen, auch nur zu schätzen; selbst die Anzahl derer zu schätzen, die schon so weit untersucht sind, dafs man sie \ N N i j nn —— 22 durch Namen und Character unterscheiden kann, ist schwer, weil man sie aus hundert Büchern zusammenlesen mülste. Des kleinen, oft kaum sichtbaren Gewürms und der Insecten, ist eine unendliche Menge; aber selbst die Zahl der grö- fseren Thiere ist erstaunend grols. Wie uner- melslich viel ist hier noch zu beobachten übrig! Nur einige der grölseren Thiere sind es, deren natürliche Geschichte, deren Lebensweise, deren Eigenschaften, deren Verhältnisse gegen die übrige Natur, wir etwas vollständiger kennen. Die zahllosen Schaaren kleiner Wesen, die jeden Winkel füllen, wo Nahrung für sie ist, kennen wir gar nicht oder nur sehr oberflächlich. Aber wozu nützt es, höre ich, dunkt mıich, fragen, wozu nützt es, jedes Insekt, jeden Wurm, jedes dem Auge kaum sichtbare Thierchen zu kennen? OÖ des ewigen Fragens in der Wissen- schaft! Was nützt es? Ist Forschen nicht Geistesthätigkeit? Ist Erkennen dessen, was da ist, nicht der höchste aller Genüsse, Geistesge- nuls? Wenn der unbegreifliche Urheber unsers Daseyns uns Augen gab, mit denen wir sehen können; wenn er sichtbare Gegenstände vor sie -hinstellte; wenn er uns einen Verstand gab, der begreifen kann, was wir sehen; war es nicht sein Wille, ist es nicht unser Beruf, dafs wir sehen, dals wir forschen, dals wir begreifen sollen? Zwar, wenn die Zoologie uns nichts weiter ge- ben sollte, als den System- Namen und den künstlichen Character des Thiers, so wäre sie unetel satt de uns bl des Me das Sy schaft, nen das Stuf wer gera eine sichte E in allı Zoolog bach ir buch Auch| die a schuch von was enthäi Zoolo in di stab Thier eigner würde, nn, 25 unstreitig eine unfruchtbare Wissenschaft: denn statt der Natur, die wir haben wollen, gäbe sie uns blofs ein einförmiges, dürftiges Machwerk des Menschen. Aber ich sage es noch einmal: das System ist das blofse Register der Wissen- schafi. Nur höhere Ansichten der Natur kön- nen die Vernunft befriedigen; nur sie können das menschliche Geschlecht zu einer höheren Stufe geistiger Vollkommenheit erheben! Und wer kann wissen, ob nicht vielleicht dereinst, gerade die Beobachtung der kleinsten Insecten, einen glücklichen Kopf zu den herrlichsten An- sichten der Natur hinleiten können! Es läfst sieh schwerlich ein schönerer, und in aller Absicht zweckmäfsigerer Plan für die Zoologie erdenken, als. der, welchen Blumen- bach in seinen kleinen, aber inhaltreichen Hand- buch der Naturgeschichte befolgt hat. Auch hier sehe ich die allgemeinen Ansichten, die er dem Ganzen und jeder Classe voraus- schickt, als das wesentlichste, als die Frucht von der Kenntnifs des einzelnen an; das System, was auf die allgemeinen Betrachtungen folgt, enthält nur die Beläge derselben. Aber.die Zoologie ist so weitläuftig, dals, wenn man sie in diesem Geiste nach einem grölseren Maafs- stab ausführen wollte, offenbar jede einzelne Thier- Classe überflüssigen Stoff zu einem eignen Werk von grolsem Umfang darbieten würde. 24 1I.: Naturl:eh0r:e In der Naturbeschreibung waren die Naturwesen selbst, oder vielmehr das Bleibende und Charakteristische ihrer Erscheinungen, der Gegenstand der Betrachtung. In der Natur- lehre ist es nicht das Bleibende, sondern das Veränderliche der Erscheinungen, was man zu erforschen sucht, und so ist klar, dafs durch diese beiden Theile das mögliche Gebiet der gesammten Naturkunde gänzlich erschöpft ist. Die Veränderungen der Naturerscheinungen ‘ sind kein zufälliger regelloser Wechsel dersel- ben, sonst würde überall keine wissenschaftliche Untersuchung derselben- möglich seyn. Alle Veränderungen in der Natur stehen unter ewi-. gen, unveränderlichen Gesetzen, und so ergiebt sich aus den ersten Begriffen, dals die Erfor- schung der Naturgesetze der eigent- liche, ja der einzige Zielpunkt des Stre- bens für den dogmatischen Naturfor- scher sey. Zwar setzt man gewöhnlich noch einen zweiten hinzu, die Erforschung der Ursachen: allein ich hoffe den Leser zu über- zeugen, dals er sich an dem ersten allein be- gnügen könne und müsse. Nicht als hielte ich die Erforschung der Ursachen für unwichtig oder entbehrlich, sondern: ı) weil der zweite Zielpunkt schon in dem ersten enthalten, also seine besondere Aufstellung überflüssig ist; dem, har,' setze3 meine desse) könn wah seh sac da die de seyl che biete den| Vorst erker über Phil ste erf die end mar lisch wei leid lehr Spec magı die ende der Ne m ta sm tals dh yehiet de oft ist, Inngen dersel= aftliche Alle F eWie piebt ‚1for« Isente die atuıfor ich noch ng der au über- len be- elle 1U 25 denn, ist die Ursach einer Erscheinung erkenn- bar, so bietet sie sich bey Erforschung des Ge- setzes von selbst dar: 2) ob es gleich ein.allge- mieines Gesetz unsers Vorstellungsvermögens ist, dessen wir uns schlechterdings nicht entschlagen können oder dürfen, jede Veränderung, die wir wahrnehmen, als Wirkung einer Ursache anzu- sehen, so begreift man doch leicht, dals es Ur- sachen gebe, die nicht erkennbar sind. Denn da unsere Vorstellungen von den Dingen nicht die Dinge selbst sind, so können die Ursachen der Erscheinungen nur in so fern erkennbar seyn, als sie in den Vorstellungen liegen, wel- che uns die Aussenwelt durch die Sinne dar- bietet. Dagegen müssen alle Ursachen, die in den Dingen selbst liegen, ohne mit in unsere Vorstellungen überzugehen, für uns absolut un- erkennbar seyn. Diels ist der Sinn eines Satzes, über welchen alle denkende Naturforscher und Philosophen einverstanden sind, dals wir die er- sten Ursachen der Dinge nicht kennen. Nun erfodert aber das Wesen einer ächten Idee, dafs die Geistesthätigkeit, welche sie fodert, in jedem endlichen: Grade erreichbar sey(S. 5); stellt man also das Erforschen der Ursachen als idea- lischen Zielpunkt für den Naturforscher auf, so weilst man ihm ein unächtes Ziel an, das sehr leicht in das Land der Träumereien führt. Auch lehrt die Geschichte der Wissenschaft, dafs ‚alle Speculationen über die Ursache der Schwere, der magnetischen Anziehung, über die Natur des e 26 Lichts etc.,„ die Wissenschaft nicht um eine Haarbreite gefördert haben: 3) vielleicht könnte man aber glauben, dafs die Kenntnils der Ge- setze selbst mangelhaft bleiben müsse, wenn die Ursache nicht erkennbar ist; aber glücklicher Weise lehrt die Erfahrung, dals wir gerade die Gesetze der Schwere und die Bewegungen des Lichts vollständiger kennen, als die Gesetze ir-- gend einer bekannten Ursache von Erscheinun- gen. In der That begreife-ich auch nicht, was man noch weiter verlangen könne, oder wün- schen dürfe, als vollständige Kenntnifs der Na- turgesetze: denn man denke sich einen Natur- forscher, vor dem alle Naturgesetze enthüllt lä- gen, würde wohl für diesen irgend eine Er- scheinung unerklärbar seyn? Und, was kann man denn noch weiter verlangen, als Erklärung der Erscheinungen? Ich wünsche, dafs alle den- kende Naturforscher diesen Bemerkungen eine ernstliche Beherzigung schenken mögen, um nach- und nach immer mehr alle Köpfe auf den einzigen sichern Weg aller Naturforschung hin- zuleiten. Um nun die gesammten Theile der Natur- lehre erschöpfend aufzufinden, bemerke ich zuerst, dals der Naturforscher entweder blofs einzelne Classen von Erscheinungen, d. h. solche,. die nach ähnlichen Gesetzen erfolgen, oder das Ganze der Erscheinungen zum Gegen- stand seiner Betrachtung macht. Hierdurch zer- fällt die gesammte Naturlehre in zwei grolse % 27 Abtheilungen, die ich die besondere und die allgemeine Naturlehre nennen will*). In jenen ist eine besondere Art von Naturer- scheinungen, in dieser der ganze Zusammen- hang aller Naturerscheinungen, der Gegenstand der Betrachtung. In der besondern Naturlehre dringt sich uns der grolse Unterschied nichtorgani- scher und organischer Erscheinungen wieder auf. Sie zerfällt also in anorganische und organische Naturlehre. So mannigfaltig die Erscheinungen in der anorganischen Natur sind, so lassen sie sich doch erschöpfend in zwei Classen bringen; sie sind entweder räumliche, oder materielle Veränderungen. Jene betrachtet die mechani- sche, diese die chemische Naturlehre. In der organischen Naturlehre wird man in der Folge Unterabtheilungen machen, und beson- ders die Naturlehre der Pflanzen und Thiere unterscheiden müssen. Aber der gegen- wärtige, noch sehr mangelhafte Zustand der Wis- senschaft verstattet, sie noch zu verbinden. *) In meinem Lehrbuch der mechanischen Natur-Lehre, so wie in meiner Dissertatio de disciplinis physieis, heilst jene die theoretische, diese die angewandte Natur. lehre. Die hier gebrauchten Benennungen schei- nen mir expressiver, ob sie gleich von dem ge- wöhnlichen, etwas unbestimmten Sprachgebrauch abweichen, Durch diese drei oder vier Theile ist also das Gebiet der besondern Naturlehre völlig er- schöpft. Die allgemeine Naturlehre betrachtet den ganzen Zusammenhang der Naturerscheinun- gen, und dief$ entweder nach Verhältnissen des Raums, oder der Zeit. In der ersten Rücksicht ist sie entweder physische Erdkunde, oder physische Sternkunde, je nachdem sie den Zusammenhang der Erscheinungen, entweder blols auf unserm Wohnplatz, oder aufser dem- selben betrachtet. Nach Verhältnissen. der Zeit betrachtet das Ganze der Erscheinungen die Ge- schichte der Natur, die man mit der Natur- beschreibung(oder, wie man sie gewöhnlich nennt, Naturgeschichte), nicht verwechseln mufs. Sie versucht in dem gegenwärtigen Zustand der Natur Data aufzufinden, um die ehemals wirk- lichen, oder künftig möglichen Zustände der Na- tur zu beurtheilen. Eine Wissenschaft, die aller- dings mehr in der Idee, als in der Wirklichkeit existirt. Indessen gehört sie zu einer idealischen Übersicht des Ganzen, und was man unter dem Namen Geologie vorzutragen pflegt, enthält ei- nige nicht zu verachtende Bruchstücke derselben. Ehe wir die einzelnen Theile der Naturlehre durchgehen, wird es nöthig seyn, von einem Begriff zu reden, der auf allen Seiten physikali- scher Werke vorkommt, von dem Begriff einer Naturkraft. Erscheinungen, die nach gleichen Gesetzen erfolgen, rühren nicht nothwendig von einerlei Ursachen her,(eine gleichförmig be- schleunigte Bewegung kann von einer ganz an- dern Kraft, als der Schwere, bewirkt werden); dagegen zeigt sich oft, dals sehr verschiedene Erscheinungen dennoch eine und dieselbe Ur- sache haben(man erinnere sich der mannigfalti- gen Wirkungen der Wärme). Wann man be- rechtigt ist, eine Menge ähnlicher oder unähnli- cher Wirkungen einer und derselben Ursache zu- zuschreiben, so nennen wir diese eine Natur- kraft. Aber es frägt sich, auf welche Art man sich überzeugen könne, dals mehrere Erschei- nungen von einer und derselben Ursache her- rühren? Ist die Ursache wahrnehmbar(wie z. B. die Wärme dem Gefühl, das Licht dem Auge), so belehrt-uns die Erfahrung davon unmittelbar: ist aber die Ursache nicht wahrnehmbar,'so kann die Überzeugung blofs dadurch entstehen, dafs sich ganz bestimmt, und mit mathematischer Genauigkeit, das Daseyn eines und desselben Grundgesetzes in allen noch so verschieden schei- nenden Wirkungen darthun läfst, so’ wie New- ton zeigte, dals bei dem Fall eines Körpers und bei der Bewegung eines Planeten ein und das- selbe Gesetz zum Grunde liegt. Ist ein solches einfaches Gesetz für eine ganze Classe von Er- scheinungen gefunden, so hat man einen dent- lichen Begriff von der Kraft, und es ist möglich, eine haltbare Theorie derselben auszuführen, wenn auch das innere Wesen der Ursache,(wie z. B. bei der allgemeinen Gravitation), uns völlig un- m I Ü | | | | en 30 bekannt ist., Da das Streben nach den höchsten und einfachsten Naturgesetzen der eigentliche idealische Zielpunkt des Naturforschens ist(S. 24)s so liegt darin vermöge des blofsen Begriffs schon das Bestreben, alles auf die einfachsten Natur- kräfte zurückzuführen. Daher die Regel: man müsse zur Erklärung der Erscheinun- gen so wenig Naturkräfte als möglich annehmen. Aber diese Regel wird sehr oft gemifsbraucht. Eine gewisse Ähnlichkeit in Er- scheinungen, deren Ursache nicht wahrnehmbar ist(Polarität des Magnetismus, der Elektricität, der Krystallisationsfähigkeit etc.), berechtigt mich durchaus nicht, sie einer einzigen Kraft zuzu- schreiben, sondern nur die ganz bestimmte Ent- hüllung eines einzigen Grundgesetzes, aus dem sich alle Verschiedenheit ihrer Wirkungen deut- lich ableiten lälst. Vereinfachen zu wollen, ehe man ein solches Gesetz gefunden hat, ist eine der Wissenschaft höchst nachtheilige Voreiligkeit, welcher sich z. B. diejenigen schuldig machen, die es als eine ausgemachte Sache ansahen, nicht als blolse Vermuthung aufstellen, dals Gravita- tion, Cohäsion, Adhäsion und Afhnität blofs modificirte Wirkungen einer und derselben Grund- kraft seyn. Auch hier zeigt sich, wie wichtig es sey, dals der Naturforscher nur die Untersu- chung der Gesetze zu seinem Ziel mache: denn diese wird ihn gegen jeden voreiligen Schluls verwahren. A) Die besondere Naturlehre enthält, ———— A EEE nach. drei H miscl gen leh Nat Erl seh) nen perlic Abänı Bey.d Sinne) mit K irgend der e die Körn Die ten ı Arter Theo stimr besrä lehre, teste, sche u 31 nach dem was oben auseinander gesetzt worden, drei Haupttheile, die mechanische, die che- mische und die organische Naturlehre. 4) Mechanische Naturlehre, Räumliche Veränderungen sind Bewegun- gen, und so ist die mechanische Natur- lehre die Wissenschaft von den bewegenden Naturkräften in der nichtorganischen Welt. Die Erfahrung hat uns aber in diesem Gebiete zwey sehr verschiedene Arten von Bewegungen ken- nen gelehrt. Bey der einen sehn wir eine kör- perliche Masse, mit unendlich mannigfaltiger Abänderung der Umstände, ihren Ort verändern. Bey ‚der andern sehen wir blols gewisse, unsern Sinnen wahrnehmbare Wirkungen, in einem mit Körpern erfüllten Raum fortschreiten, ohne irgend eine bewegte Masse wahrzunehmen. Von der ersten Art sind die Bewegungen, welche die, Schwere, der Anstols undurchdringlicher Körper und die magnetische Kraft hervorbringt; Die Bewegungen des Lichts sind von der zwei- ten Art. Wärme und Electricität bringen beyde Arten von Bewegungen zugleich hervor. Die Theorie der eben genannten Naturkräfte be- stimmt die einzelnen Abschnitte und den wohl- begränzten Umfang der mechanischen Natur- lehre. Um aber diese Gränzen auf das bestimm- teste wahrzunehmen, mufs man die mathemati- sche und physische Bewegungslehre unterschei- 52 den. Jene ist, wie ich in der folgenden Natur Abhandlung darthun werde, durchaus nichts, ganze als: ein Theil der reinen'Mathematik, der nichts die physischen Begriffe von Masse und Kraft besteh nicht kennt; sondern.blofs von der Geschwin- a„ Absel digkeit und Richtung eines bewegten Punktes' handelt. Die physische Bewegungslehre wen-| Schv det diese reine Bewegungslehre auf caie Naturer-| die scheinungen an. Daher ist ein grolser Theil Ne der mechanischen Naturlehre mit der Mathema- bez tik so innig verbunden, dals er ohne dieselbe un nicht verstanden, folglich auch nicht genug- die thuend vorgetragen werden kann. Das eigen- schr thümliche Geschäft des Naturforschers hierbey ser/ ist, bey jeder Classe bewegender Kräfte die Besri Grundbegriffe und die Gesetze, nach: welchen topfl jede Kraft wirkt, genau zu bestimmen; die wei- Noch tere Ausführung, die Anwendung auf alle Er- übrige scheinungen, welche eine mechanische Natur- a kraft hervorbringt, kann dann offenbar nichts, der ı als mathematische Arbeit seyn. Daher kommt Kühn es, dals man einige Abschnitte der wmechani- meh schen Naturlehre unter dem Namen, ange- dals wandte Mathematik, abgesondert vorzutra-| mal gen pflegt, was für den ersten Unterricht nicht bieter zu mifsbilligen ist; in einer idealischen Über- sicht der Wissenschaft aber erfodern die Ge- Natn, setze einer richtigen Topik, diese Abschnitte| sehen zur Physik, nicht zur Mathematik, zu rechnen.\ schlee Sollte:es einst dem Scharfsinn der Naturforscher ‚ auch] gelingen, die Grundgesetze aller muechanischen Ben. Natur- 35 Naturkräfte völlig zu enthüllen, so wird die 15, ganze mechanische Naturlehre beinahe aus ler nichts, als aus Anwendungen der Mathematik ft bestehen. Vor jetzt sind es nur zwei grolse 1 Abschnitte, nebst ihren Unterabtheilungen, bei ioN welchen dieser Fall eintritt: die Gesetze der Schwerkraft sind durch Galiläi und Newton, die Gesetze der Bewegungen des Lichts durch\ Newton vollständig enthüllt worden. Auf jene beziehen sich Statik und Mechanik ‚ Hydrostatik und Hydraulik, Ärostatik und Pneumatik: auf Peng- diese Optik, Dioptrik und Katoptrik. Doch ige schwanken wir auch jetzt noch in einigen die toey ser Abschnitte, selbst in Ansehung- der ersten die Begriffe, welches namentlich bei der Bewegung ‚hen tropfbarer und luftförmiger Massen der Fall ist. wel- Noch mangelhafter ist unsere Kenntnifs der Er- übrigen mechanischen Naturkräfte; doch ist schon jetzt-die Lehre von der Wärme und von ıchts, der magnetischen Kraft auf einen Punkt ge- AAN führt, wo sie der Beihülfe der Mathematik nicht ehat mehr entbehren können; auch sieht man, ange dals sogar die Electricität hin und wieder zu un mathematischen Betrachtungen Veranlassung dar- - cht bietet. BR- Der. Aus dem, was hier über die mechanische. RN Naturlehre gesagt worden, ‚wird man leicht ein- sehen, dals dasjenige,.. was mıan gewöhnlich schlechtlin Physik, oder Naturlehre, oder auch Experimentalphysik nennt, nichts an- den ders sey, als die wıechanische Naturlehre, nach [3] R 34 der hier entwickelten schärferen Bestimmung des Begriffs. Nur hat man bisher dem, was wesentlich dazu gehört, noch allerlei dürftige Bruchstücke aus andern Gebieten der Naturlehre angehängt: aus der neuern Chemie, die Lehre von den Luftarten; aus der physischen Geogra- phie, etwas über die Atmosphäre; aus der Astronomie, einige Notizen von dem Weltge- bäiude. Kein Wunder, dafs man bei einer sol- chen Vermischung ungleichartiger Dinge eine scharfe Gränzlinie zwischen diesem und andern Theilen der Naturlehre, besonders der Chemie, nicht zu finden wufste. Aber alle jene Bnuich- stücke müssen selbst bei dem ersten Vortrag abgeschnitten, und denen Theilen der Natur- lehre vorbehalten werden, wohin sie gehören. Aus jenen übel verbundenen Bruchstücken lernt der Lehrling nichts gedeihliches, und man entzieht der so weitläuftigen und wichtigen me- chanischen Naturlehre die nöthige Zeit. Dals es unschicklich oder anmafßslich sey, auch jetzt noch, wie vor hundert Jahren, diesen Theil der Naturlehre allen Physik zu nennen, als ob Chemie und Physiologie u. s. w. nicht eben so gut Physik wären, fällt von selbst in die Au- gen. Es ist hier der Ort, noch ein Paar Worte über den Ausdruck, Experimentalphysik, zu sagen. Insofern der Naturforscher in al« len Theilen seiner Wissenschaft durch Versuche die Gesetze der Naturkräfte ausmitteln muls, könnte man die ganze Naturlehre Experimental- pink n fen eine hunden, Theil< neuen aber& welch mail tel, ein Man Inte thema dachte ihrer R nannte die an ganz at andern \n Wi: lm der\ dern, sehen, der Gi Quelle uns bı den,; zu um: den, desen jan as OD 35 physik nennen: man hat aber seit Newtons Zei- ten einen eigenen Begriff mit dem Worte ver- bunden. Als unter Newtons Händen der grölste Theil der mechanischen Naturlehre zu einer neuen Wissenschaft umgeschaffen wurde, die aber grölstentheils nur denen zugänglich war, welche in die innersten Geheimnisse der Mathe- matik eingeweiht waren, dachte man auf Mit- tel, mit Newtons herrlichen Entdeckungen auch ein grölseres Publicum bekannt zu machen. Man fing daher an, blofls die Resultate tieferer Untersuchungen vorzutragen, und statt der ma- thematischen Beweise, durch sinnreich ausge- dachte Versuche, gleichsam nur eine Bürgschaft ihrer Richtigkeit aufzustellen. Diesen Vortrag nannte man Experimentalphysik, eine Methode, die an sich gar nicht zu milsbilligen, und dem ganz analog ist, was man nicht nur in allen andern Theilen der Naturlehre, sondern in al- len Wissenschaften überhaupt thut. Es ist über- all nur wenig Geistern verliehen, die Schätze der Wahrheit mit eigener Hand zu Tage zu för- dern, und mit eigenen Augen den Fundort zu sehen, wo sie liegen. Wie klein ist selbst in der Geschichte die Anzahl derer, welche sie aus Quellen studieren können, wir übrigen müssen uns begnügen, das, was Männer vom Fach fan- den, auf Treue und Glauben anzunehmen und zu unserm Nutzen und Frommen zu verwen- den. In der mechanischen Naturlehre hat in- dessen diese Methode den Nachtheil' gebracht, 56 9 seyn kann, in jeder Naturerscheinung bestimmt N zu unterscheiden, ob sie mechanisch oder che- kel ın misch, oder in welcher Rücksicht sie das eine ei oder das andere sey, Aber dennoch ist es auch ug, hier nicht möglich, die deutliche idealische Gränzlinie in der Wirklichkeit überall zu beob- u achten. Es giebt Naturkräfte, welche mecha- en nisch und chemisch zugleich wirken,. z. B. hen, Wärme und Electricität; hier ist in beiden Ge- ien ı bieten die Überschreitung der idealischen Gränze eien unvermeidlich. In andern Fällen ist eine Beob- bend achtung der Gränze möglich, aber nicht rath- in de sam. Die Veränderungen des Agregatzustandes weder sind chemische Erscheinungen. Der mechani- von de 39 sche Naturforscher mufs wenigstens davon Kenntnils nehmen, dals es verschiedene Agre- gatzustände der Körper gebe, weil die Gesetze der Bewegung dadurch sehr modihicirt werden; indessen kann er den chemischen Erörterungen beinahe gänzlich ausweichen, wenn er es blols als unmittelbare Thatsache annimmt, dafs es feste tropfbare und luftförmige Körper gebe; aber er thut doch sehr wohl, wenn er die che- mische Seite des Gegenstandes nicht aus der Acht lälst, weil er sonst leicht, z. B. bei äro- statischen Versuchen, in Gefahr konımen kann, Wirkungen der Luft und des ausdelinsamen Wasserdunstes zu verwechseln. Um den Inhalt der chemischen Naturlehre mit einiger Anschaulichkeit darlegen zu können, ist es nöthig, den Begriff einer materiellen Veränderung, ob er gleich an sich nicht dun- kel und zweideutig ist, dennoch etwas näher zu beleuchten. Dafs Holz, Stein, Metall, Wasser, gemeine Luft u. s. w. Stoffe von ganz verschie- dener innerer Beschaffenheit seyn, sagen uns alle unsere Sinne; auch sehen wir täglich vor un- sern Augen Umwandelungen der Körper vorge- hen, die wir für neue Schöpfungen würden hal- ten müssen, wenn nicht das bei den auffallend- sten Umwandelungen doch stets sich gleichblei- bende Gewicht aller Materie uns helehrte, dafs in der Natur kein Stäubchen wägbaren Stoffes weder entstehe, noch untergehe. Wir sehn(um von den zahllosen zauberähnlichen Uniwandelun- 4o gen zu schweigen, welche täglich unter der Hand des Chemikers hervorgehen) wir sehen das Eis zu Wasser, das Wasser zu unsichtbarem Dunste werden und umgekehrt; wir sehen das Eisen sich in Rost verwandeln und tausend Körper in Staub und Moder zerfallen; wir sehn den brenn- baren Körper sich in Rauch und Dunst umwan- deln oder gänzlich verschwinden. u. s.£ Dils sind materielle Veränderungen, und die eigenthümliche allgemeine Aufgabe der Chemie ist: den Grund und die Gesetze dieser Verände- rungen zu.erforschen. Will man die Auflösung dieser Aufgabe, so weit sie bis jetzt die Che- mie gefunden hat, in einen einzigen allgemei- nen Satz zusammenfassen, so muls man sagen: es gebe eine nicht grofse Anzahl wesentlich ver- schiedener Grundstoffe, aus deren mannigfalti- ger Mischung alle körperliche Verschiedenheit hervorgehe, Im Wesentlichen scheint diese Ant- wort zwar nicht von der verschieden zu seyny welche schon Aristoteles auf die Frage gab, in- dem er alle Körper aus den sogenannten vier Elementen zusammensetzte: auch beantworteten die Naturforscher nach ihm die Frage’ eben so, nur dafs sie andere Elemente an die Stelle der Aristotelischen zu setzen versuchten; dennoch ist ein sehr grolser Unterschied zwischen der ältern und gegenwärtigen Vorstellungsart. Was man bis in die letzte Hälfte des vorigen Jahr- hunderts Elemente nannte, waren entweder Stoffe, die man aus unzulänglichen Gründen ps as bite, W tes, 0 iberall| racter A oder© sen I terhit die| auch Eler gebe aus 1 Versuo fingege obgleicl solche Disen ben, un scheide NN der| dern aus ı tischei zwar sensch; Salzes; eines A RL ut ERS oma At blofs ats der gemeinen Erfahrung aufgegriffen hatte, wie das Wasser und die Luft des Aristo- teles, oder es waren Stoffe, von denen man überall keinen deutlichen und bestimmten Cha- racter angeben konnte, wie des Aristoteles Erde, oder es waren blofs hypothetische Wesen, wie sein Feuer, nebst den Elementen, welche spä- terhin Paracelsus, Becher und zuletzt Stahl in die Chemie einführten. Eben deswegen war es auch nicht möglich, von den Mischungen dieser Elemente deutliche und bestimmte Begriffe zu geben, und die Zusammıensetzung der Körper aus ihnen durch syntletische und analytische Versuche darzuthun. In der neuern Chemie hingegen hat man es als Grundsatz anerkannt, obgleich nicht ganz consequent befolgt, nur solche Stoffe als Grundstoffe zuzulassen, deren Daseyn sich durch wirkliche Darstellung dersel-. ben, und durch genaue Bestimmun gihrer unter- scheidenden Eigenschaften auf eine völlig un- zweideutige Art darthun läfst; die Mischungen der Körper aber nicht errathen zu wollen, son- dern sie gerade nur so anzuerkennen, wie sie aus unzweideutigen, analytischen oder synthe- tischen Versuchen hervorgehen. Hierdurch ist zwar die Anzahl der Grundstoffe bis gegen vier- zig angewachsen; allein wem ist es unbekannt, welche bewundernswürdige Fortschritte die Wis- senschaft seit der Anerkennung dieses Grund- satzes gemacht hat? In einem Zeitraum kaum eines halben Jahrhunderts hat der Fleifs und ee rn ni ana nn Rn nn Men= r 42 Scharfsinn der Chemiker fast die ganze Körper- welt analysirt; ein auffallender Beweis, dafs der Weg der Erfahrung der einzig richtige im Reich der Naturwissenschaft sey. Dieser rasche Fort- schritt der Chemie und das eigenthümliche ih- rer Erkenntnilsart geben derselben ein eigenes, höchst anziehendes Interesse. Der Chemiker scheint einen Sinn zu haben, der den übrigen Sterblichen mangelt, indem er in allen Körpern um sich herum die Grundstoffe wahrnimnit, aus welchen sie die Natur mit geheimnilsvoller Kraft gemischt hat! Aber täuscht sich der Che- miker nicht, wenn er seine vierzig Grundstoffe für die einfachen Elemente der Körperwelt hält? Allerdings würde er sich täuschen, wenn er difs wähnte. Aber der gründliche Chemiker ist weit von dieser Behauptung entfernt; er unter- scheidet sorgfältig zwischen Grundstoffen und Elementen, die erstern sind ihm diejenigen Stoffe, die er nicht weiter zerlegen kann, im Ansehung der letztern bescheidet er sich, sie nicht zu kennen: ja er sieht ein, dals der menschliche Geist nie zu einer sichern Kennt- nifs derselben gelangen könne; aber er begreift auch deutlich, dafs die Grundlage eines haltba- ren Gebäudes eben nicht nothwendig einfach, sondern nur fest seyn müsse, und dals er eine feste Grundlage seiner Wissenschaft nur dann haben könne, wenn das Daseyn seiner Grundstoffe gewils ist, mögen sie übrigens in sich einfach oder noch so zusanımengeseizt seyn, zum sen ode Ioen:| Ihn ei dem$ hinzu } weit wei fol: The schur turköi von g ken w Liste feste ı Dia US dir Fle aus ae ae— un sung Fun nn nn RE 45 als man will. Mag dann immerhin die Zeit ei- nen oder alle seine Grundstoffe noch ferner zer- legen: keine Entdeckung dieser Art bezüchtigt ihn eines Irrthunmss, sondern fügt nur zu dem Schatz schon erkannter Wahrheiten neue hinzu*). Die chemischen Arbeiten, welche auf Er- weiterung der Wissenschaft abzwecken, sind ent- weder practische oder theoretische. In Ansehung der erstern begnüge ich mich, folgendes wenige zu bemerken. Ein grolser Theil dieser Arbeiten hat den Zweck, die Mi- schung und chemischen Eigenschaften aller Na- turkörper kennen zu lernen. Diese Arbeit ist von grolser Wichtigkeit: denn ihr allein verdan- ken wir es, dals die Chemie gegenwärtig in der Liste der unzersetzten Grundstoffe eine völlig feste und ganz durchgeführte Grundlage besitzt. Dafs aber diese Arbeit grolse Schwierigkeit haben müsse, und in der That nur eine Sache des glücklichen Genies, verbunden mit grolsem Fleils und Geschicklichkeit, sey, ist schon dar- aus klar, dals sie auch unter den guten Che- *) Bestätigt es sich, dals der problematische Stoff, den man vermittelst der Voltaschen Säule aus den Alkalien abscheidet, metallisch sey, so braucht deswegen in einem mit Kritik geschriebenen Lehrbuche der Chemie auch nicht eine einzige Periode abgeändert zu werden; sondern es erhält blofs der Abschnitt von den alkalischen Grundla- gen und von den Metallen einige Zusätze, Re, .= jun nn ee nme rn N m— een nn mon anne sn ng en an 44| mikern so wenigen mit dem seltenen Erfolg hu eines Klaproth oder Vanquelin gelingt, Ein an- in derer Stof zu praktischen Arbeiten liegt in den je Le künstlichen Producten der Wissenschaft selbst. au der Noch sind lange nicht alle mögliche Mischungen da T der Grundstoffe bekannt; von andern kennt man sahet noch nicht genau, entweder die Bestandtheile—\\ oder das quantitative Verhältnils derselben. Be- aim sonders ist die letzte Arbeit weitläuftig und Un schwierig, aber für die Theorie von grolser Zu Wichtigkeit. Endlich gehören hierher die Ver- na suche, die bis jetzt unzersetzten Grundstoffe zu| get zerlegen: eine Arbeit, bei der wir, wie die vie-| Vers len fruchtlosen Anstrengungen einiger Chemiker dersp zu beweisen scheinen, mehr von dem glückli- Kunst chen Zufall, als von dem Fleifs und Genie wer- einzig den erwarten müssen. im Sı Die theoretischen Untersuchungen sind in voral dem Gebiete der Chemie beinahe ganz neu, und N haben daher, wenn ich so sagen darf, noch| Kim nicht das volle Bürgerrecht erhalten, weil die um frühern Versuche dieser Art nicht geeignet wa- the ren, den Chemikern Vertrauen zu dieser unge- sie wohnten Ansicht ıder Gegenstände einzuflölsen. Ber Es wird daher nöthig seyn, etwas umständlicher ch über diesen Gegenstand zu reden, DBergmans Dah Verwandschaftslehre verdient Achtung als erster F bede Versuch; aber ihr Urheber war nicht genug Ma-| wich thematiker, unı seiner Theorie vollkommene Be-| gelie stimmitheit und innere Haltbarkeit zu geben. Ber Indessen fand_sie Beifall durch ihre grolse Ein- katze y 45 fachheit und durch die Vortheile, welche sie auf den ersten Blick versprach; sie ging daher in alle Lehrbücher über, und herrscht darin bis auf den heutigen Tag. Dals die Erfahrung mit der Theorie nicht harmonire, nahm Bergman selbst wahr, aber er versuchte die auffallendsten Abweichungen durch sinnreiche Hypothesen oder durch die Betrachtung besonderer mitwirkender Umstände als erklärliche Anomalien darzustellen. Zu eben denı Zwecke haben andere Chemiker nach ihm ihren Scharfsinn erschöpft, aber ohne gedeihlichen Erfolg; es giebt eine Menge von Versuchen, welche: dieser Theorie geradezu wi- dersprechen, andere, die nur durch unnatürliche Künsteleien mit ihr zu vereinigen sind, keinen einzigen, dessen Erfolg man ohne einen Cirkel im Schlielsen zu begehen, aus dieser Theorie voraussehen könnte. Nach Bergman haben sich, in England Kirwan, in Frankreich Guyton Morvau, und be- sonders in Deutschland Richter, sehr eifrig mit theoretischen Untersuchungen beschäftigt. Aber sie gingen alle bei ihren Arbeiten von der Bergmanischen Theorie und, zum Theil auch von anderweitigen unrichtigen Hypothesen aus, Daher war der Erfolg ihrer Arbeiten nicht so bedeutend, als mıan hätte erwarten sollen. Das wichtigste hat unstreitig. der deutsche Chemiker geliefert. Es macht seinem Scharfsinn Ehre, dals er zuerst die merkwürdigen Neutralitätsge- setze wahrnahm, welche aus der ganz einfachen 46. ; nee Beobachtung fliefsen, dafs neutrale Mischungen ji sich nie anders, als neutral zersetzen. Auch Br verdanken: wir ihm eine unendliche Menge uns quantitativer Bestimmungen von Mischungsver- ni hältnissen, deren Werth sich indessen erst nach| sch oftmaliger sorgfältiger Wiederholung aller Ver-| ber suche wird bestimmen lassen. Essäst m der} kalt That zu beklagen, dafs dieser sinnreiche Kopf Si sich durch eine nicht genug gezügelte Phanta- vol sie öfters zu Übereilungen und schimärischen. Vorstellungen hat verleiten lassen; auch war es h weder für die Wissenschaft, noch für die Aner- so kennung seiner eigenen reellen Verdienste zu- dalı träglich, dals er seinen Vortrag mit algebrai- Einf schen Formeln überlud, die sehr oft nicht aus ung der Tiefe geschöpft waren. Durch alle diese Klırl Arbeiten wurde die DBergmanische Theorie vird, nicht verdrängt, sondern im Gegentheil ihre und\ Mängel künstlich verschleiert. Man hat sie da- Bestin her in allen Lehrbüchern beibehalten, aus Ge- Maß, wohnheit und in Ermangelung von etwas Bes- als serem. Das letzte ist indessen gegenwärtig at nicht mehr der Fall, seitdem Berthollets Scharf- Kr: sinn tlıeils die Widersprüche und die gänzliche übe Unhaltbarkeit der Bergmanischen Theorie un- eher widerleglich dargethan, theils an ihrer Statt cher Grundsätze aufgestellt hat, deren Richtigkeit um I. die so einleuchtender wird, je tiefer man in sie| geht eindringt und je mehr man sie mit der Erfah- schic rung vergleicht. Zwar umfassen diese Grund- schaft sätze noch nicht das ganze Gebiet der Chemie Luke \e Y 47 mit gleichem Erfolg; aber sie verbreiten doch über einen grofsen, wichtigen und wohlbe- gränzten Theil derselben ein auffallendes Licht, nämlich über alle Erscheinungen, bei welchen sich nichts, als das Spiel wahrnehmbarer, wäg- barer Stoffe zeigt; also besonders über die weit- läuftige und äufserst wichtige Lehre von den Salzen, wo Berthollets Grundsätze sogar eine vollständige und strenge mathematische Theorie möglich machen würden, wenn nicht hiebei zum Theil Kräfte mitwirkten(besonders Cohä- sionskräfte) deren Bestimmung durch Mafs und Zahl sehr grofse Schwierigkeiten hat. Auch den Einflufs der Wärme auf die chemischen Erschei- nungen hat Berthollet mit so befriedigender Klarheit auseinandergesetzt, dafs es sichtbar wird, es fehle uns auch hier zu einer strengen und vollendeten Theorie nur an einer genauen Bestimmung ihrer Wirkungen nach Zahl und Mals. Es wird indessen immer sichtbarer, dafs aulser der Wärme auch das Licht, die Electri- cität, und wer weils was noch für unsichtbare Kräfte, bei vielen Erscheinungen mitwirken, über welche man eine volle Aufklärung nicht eher erwarten darf, als bis es dem menschli- chen Geiste gelungen seyn wird, die Gesetze dieser unsichtbaren Kräfte zu enthüllen. Wie geht es zu, dafs diese Theorie, welche die Ge- schichte einst als eine Epoche in der Wissen- schaft auszeichnen wird, bei den meisten Che- mikern, selbst in Frankzeich, nicht die lebhafte 48 Aufnahme Aindet, welche sie verdient? Vielleicht erklärt sich die Erscheinung durch folgende Be- merkungen: ı) Die Unbrauchbarkeit der bishe- rigen Theorie hat nicht nur Mifstrauen gegen alle Theorien erregt, sondern das Bedürfnils hat die Theorie in einem gewissen Sinn entbehrlich gemacht: die vollständige empirische Kenntnils von dem Verhalien eines jeden Reagens gegen alle übrige Stoffe vertritt ihre Stelle und macht, dafs der Chemiker beinahe eben so sicher arbei- tet, als ob er eine Theorie hätte: 2) Der Urhe- ber der neuen Theorie, der eben so bescheiden als scharfsinnig ist, nennt seine Theorie einen Versuch, und gesteht, dafs sie nicht erschöpfend sey; aber leider hat die Bescheidenheit in un- serm Zeitalter immer‘das Schicksal, kein Zu- trauen zu erwecken: 3) Berthollets Theorie ist in der That schwierig; sie macht es sichtbar, dals die Theorie der Chemie so einfach nicht seyn kann, als man bisher glaubte, dals man mit einer einzigen Verwandschaftskraft nicht ausreicht, und dals bei dem einfachsten Versuch mehrere Kräfte, die sich nicht isoliren lassen, in Betrachtung zu ziehen sind, um über den Erfolg gehörig zu uriheilen. Auch wird es sichtbar, dafs man eine Theorie der Chemie nicht wird vollenden können ohne Beihülfe der Mathematik, mit der sich angelegentlich zu be- schäfügen die Chemiker in ilırenı Gebiete bisher hr onI Ir; aa- 2\ sehr wenig Veranlasmuag gehabt haben. 4) In denı schreibseligen Deutschland kamı noch der Um- pier Wi frih zu hal in$ förde bem gen fein wie Fests sale erwoge behaupı strenge wird, heit zu Aritt derha Schwi ihm s stimm: mn *) Ei als Abh; teuer 49 Umstand hinzu, dafs kurz nach der Erscheinung der Bertholletschen Verwandschaftslehre einige junge Chemiker die Feder ergriffen, um über oder wider dieselbe zu schreiben, offenbar zu früh und ohne den"Gegenstand durchdrungen zu haben; ein Verfahren, das offenbar der gu« ten Sache der Wahrheit und Wissenschaft nicht förderlich seyn kann. Endlich mufs ich noch bemerken, dafs die theoretischen Untersuchun- gen in diesem Felde untrennbar mit den aller« feinsten Experimentalarbeiten zusammenhängen, wie überall in der Naturlehre, wenn es auf Festsetzung und Berichtigung der ersten Grund» sätze ankommt. Alle Schwierigkeiten reiflich erwogen, So sage ich nicht zu viel, wenn ich behaupte, dafs das ganze Leben und die ange- strengte Kraft der besten Köpfe erfoderlich seyn wird, un der Theorie diejenige Vollkommen- heit zu geben, deren sie empfänglich ist. 6) Organische Naturlehre,' Die arganische Naturlehre ist der dritte Theil der hesondern Physik. Es ist son- derbar,' dals der menschliche Geist oft so viele Schwierigkeiten findet, gewisse Begriffe, die sich ihm selbst aufzudringen scheinen, rein und be- stimmt aufzufassen*). Der unendliche Unter- *) Eine Erscheinung die viel häufiger vorkommt, als man glauben sollte. Die zweite und dritte Abhandlung werden sogar Beispiele im Feld der reiuen Mathematik bemerklich machen. [4] rn 3 n A u=> 50 schied des nichtorganischen und organischen spricht sich aus in jedem Stein,. in jeder Pflanze, in jedem Thier; und doch hat man erst in unserm Zeitalter wahrgenommen, dafs es unumgänglich nothwendig sey, die Untersu- chting der organischen Wesen, als einen eigen- thümlichen Theil der Naturlehre, abgesondert zu behandeln. Wie sehr man vormals den Un» terschied organischer und nichtorganischer Er- scheinungen verkannt habe, ist daraus klar, dals man sich von jeher so viel Mühe gegeben hat, die organischen Erscheinungen blofs als das Produkt mechanischer und chemischer Kräfte darzustellen. Wunderbar, dafs es noch jetzt Physiologen giebt, welche in der Bildung fester organischer Theile nichts, als Crystallisatio- nen*), in der Entstehung organischer Säfte nichts, als chemische Mischungen erblicken. Ein gründliches Studium der Mechanik und Chemie mufs jeden unbefangenen Kopf über- zeugen, dafs alle Mechanik nicht hinreicht, ein einziges Blutgefäfs; dals alle Chemie nicht hin- reicht, einen einzigen Tropfen Blut zu erzeu- gen; dafs in diesem geheimnilsvollen Theil der Schöpfung eine höhere Art von Kräften und unsichtbare Stoffe, deren Daseyn wir nur ahnen können, eine Rolle spielen. *) Wörter sind freilieh an sich willkührlich; abex sie sind es nicht mehr, wenn sie dienen, Vorur- theile fortzupflanzen. | Bau des| | im Ve tirleh nenten hearbeı aber\ schon Umt Dur dies sen: so. desseı dentlic D AUsser beiden zur s \asseı cha die R Organ Es ist mie der a schen Äizt ei schen jeder man dafs 1SU- gen- ndert n In r Er ', dals n hat, das räfte etzt ster tio» äfte en. und here ‚on t hin erzelle | der ı und ahnen — N aber Forur- ae 3 nl ur ln nn nenn nn nn 2 et ehe e- 51 Noch giebt es kein einziges Werk, welches den Versuch enthielte, die ganze organische Na- turlehre, auch nur in ihren allerersten Ele- menten, zu umfassen. Nur einzelne Theile sind bearbeitet; das Ganze existirt erst in der Idee: aber der Umfang der bearbeiteten Theile macht schon jetzt sichtbar, von welchen unermeßslichen Umfang das Ganze einst seyn werde. So tiefes Dunkel indessen noch auf einigen Gegenden dieses Gebietes, besonders auf den ersten wis= senschaftlichen Begriffen und Grundsätzen, liegt, so lassen sich doch die grölsern Abtheilungen desselben schon jetzt ziemlich bestimmt und deutlich unterscheiden; Dals man bei einer vollständigen Bearbei- tung dieser Wissenschaft die Naturlehre der Pflanzen und Thiere gänzlich werde trennen müssen, fällt in die Augen. In jeder dieser beiden Wissenschaften aber wird sich, wie es mir scheint, alles unter drei Titel bringen lassen. a) Den ersten Theil nenne ich den me- chanisch-organischen. Sein Gegenstand ist die Kenntnils der räumlichen Erscheinungen im organischen Körper, also der Bau derselben.. Es ist mit einem ,Worte das, was man Anato- mie der organischen Körper nennt. Difs ist der am meisten angebaute Theil der organi=- schen Naturlehre, weil schon im Alterthume der Arzt einsah, dafs ihm die Kenntnifs von dem Bau des menschlichen Körpers unentbehrlich sey. 52 1/4 Dieser Theil der Naturlehre hat eines Glückes ge- suchen nossen, dessen sich kein anderer rühmen kann, dr ne nämlich, dafs er von seinem ersten Ursprung Yon de an auf keinem andern als dem richtigen Wege, ind ei auf dem Wege der Beobachtung und Erfahrung Natur bearbeitet werden konnte, indem es auch dem ganist stumpfesten Kopfe einleuchten mufste, dafs hier am nur die Sinne und das Messer, nicht metaphy- thin sische Vernünfteleien anwendbar sind. Wer er sollte also nicht glauben, dafs nach den Jahr- a hunderte lang fortgesetzten Arbeiten der scharf- kar sichtigsten Beobachter, die Wissenschaft vollen- sam det seyn müsse? Und doch findet der einsicht- A vollste Zergliederer, selbst im Bau des einzigen be menschlichen Körpers, fortdauernd unerschöpfli- na chen Stoff zu neuen Entdeckungen. Und was Teen ist der einzige menschliche Körper gegen den ehr ungeheuren Umfang des ganzen Thier- und in Pflanzenreichs? Wer sich einen angemessenen Gef Begriff von diesem Umfange machen will, der A betrachte Lionees Werk über die Weidenraupe, ne und werfe dann einen Blick auf das zahllose= Heer von Pflanzen und Thieren, die neben uns pi diesen Erdball bewohnen. h; b) Den zweiten Theil nenne ich den che- n misch-organischen. Er untersucht die ma- Be terielle Beschaffenheit aller Stoffe, die entweder= in den organischen Körpern enthalten sind, oder höhe ihnen ihren Ursprung verdanken; er ist mit ei- kan nem Worte die chemische Untersuchung der or- Wenn ganischen Körper. Nichts ist mehr geeignet, ee FERNE FROH RER 53 en den Unterschied des Organischen und Anorga- ar nischen sichtbar zu ae, en die Resultate Br der neuern Chemie über diesen Gegenstand. ie Yon der ganzen Anzahl körperlicher Grundstoffe E sind es kaum vier bis fünf, aus welchen die nn Natur die ganze unendliche Mannigfaltigkeit or- we ganischer ui mischt; aber alle ee Mischun- A Eu tragen” jeder Beziehung einen so eigen- Mi thümlichen Character an sich, dafs wohl kein Y gründlicher Chemiker ihren wesentlichen Unter- en schied von chemischen Mischungen verkennen charl- kann. Der Chemiker kann sehr leicht den or- Ai ganischen Stoff zerstören, und ihn bis in seine a Grundstoffe zerlegen; aber er kann ihn nie aus 5 diesen Grundstoffen wieder zusammensetzen; ja, li er kann bei einer stufenweise fortschreitenden wa Zerlegung auch nicht einen einzigen vorwärts den gethanen Schritt wieder rückwärts thun. Die und organische Mischung kann lediglich nur in den Ber Gefälsen des organischen Körpers entstehen, der und ursprünglich nur während und durch das aupt, organische Leben. Dafs aber der ganze Umfang Iılose eigenthümlicher Erscheinungen, wodurch- sich Mu Pflanzen und Thiere bis zum Menschen herauf auszeichnen, weder blo[s räumliche, d. i. me-| cher chanische, noch blofs materielle, d. i. chemische e m Erscheinungen, mit einenı Worte, nicht blofs weder äulsere Erscheinungen, sondern innere durch 1, oder höhere unsichtbare Kräfte bewirkte seyn; dils nit ie liegt in der ganzen Geschichte jedes organischen 7 0r- Wesens, dils liegt in den Erscheinungen des ‚nel, “ Bi BE”-: N 5 m enen— z che ER j rt>= ne nn RER I= ne aan 54 R k hule thierischen Lebens, difs liegt vor allem in den. Erscheinungen des Empfindens, Denkens und ei: Wollens, so wie sie uns unser eigenes Selbstbe- Re wulstseyn unmittelbar darbietet, so klar vor Ei Augen, dals es schwer zu begreifen ist, wie ein er denkender Kopf in seinen eigenen Gedanken er nichts, als Bewegungen der Fibern des Gehirns, wer oder chemische Mischungsveränderungen seiner kl Säfte sehen könne. Ich bin überzeugt, dafs ein Do gründliches Studium der Mechanik, Chemie, pi Mathematik und Philosophie Milsgriffe dieser der Art unmöglich mache. wm Ich hoffe, diese wenigen Bemerkungen wer- a den es hinreichend sichtbar machen, dafs die ine Untersuchung der organischen Stoffe, als solcher, BR ein ganz eigenthümliches und sehr schwieriges de Geschäft sey, welches nicht nur sehr vielum- bi ü fassende gründliche Kenntnisse und Geschicklich- Thal keiten, sondern in der That einen ganz eignen Vege innern Beruf des Genie’s voraussetzt. Eine sol- den| che Untersuchung, welche zur festen Grundlage it dienen soll, einer Wissenschaft, die gröfsten- an theils noch neu, aber die wichtigste von allen 5A Theilen der Naturlehre ist, eine solche Unter- mi suchung zu einem blofsen Anhang der Chemie dal zu machen, kann nur so lange verzeihlich seyn, wer als man das wahre Verhältnifs der Dinge noch Iati nicht deutlich eingesehn hat. run c) Der dritte Theil der organischen Natur- win lehre ist der physiologische. Sein Zweck dem ist: die Gesetze der organischen Kräfte zu ent- ten k 55 dan| hüllen. Er soll also ganz eigentlich die Theo- und| rie der organischen Naturlehre enthalten,- tbe-| geachtet das Bedürfnils schon seit Jahrhunderten vor| gereizt“hat, wenigstens die Physiologie des ein menschlichen Körpers zu studiren, so muls man ken dennoch gestehen, dafs diese Wissenschaft bis ins, jetzt mehr in der Idee, als in der Wirklichkeit einer vorhanden ist. Das ewige Wechseln der soge- I en nannten Systeme(das rechte Wort. heilst Hy- ei pothesen) ähnlich dem, was wir auf dem Felde dieser der speculativen Philosophie wahrnehmen, be- weist in jedem Fall, adals man in einer Wissen- vers schaft noch nicht einmal den richtigen ‚Weg der die Untersuchung, geschweige denn feste Wahrheit er, gefunden habe. Aber ich bin ‚überzeugt, dafs ‚eg die Zeit einst kommen werde, wo man, gelei- A tet, durch ein gründliches- Studium aller übrigen ns Theile der Naturlehre, durch Beobachtung des Weges, auf welchem man hier Wahrheit gefun- en Be den hat, durch ein tieferes und philosophisches lage Studiunı der Mathematik, wodurch ıman allein En zur vollendeten Deutlichkeit in Begriffen gelan- An gen kann, wo man, sage ich, durch diese Hülfs- er mittel geleitet, es allgemein anerkennen wird, ea dafs man in diesem Gebiete der Naturlehre so sem, wenig als in irgend einem andern durch Rat Ei lation, sondern nur durch mühsame Zergliede- rung sicherer Erfahrungen festen Fulstritt ge- ; winnen könne. Aber wahr ist es, dals es in re dem ganzen Umfang menschlicher Wissenschaf- WEL ten kein Gebiet giebt, wo es schwerer ist, sichere eille ml}— np en en nn. 56 Beobachtungen, Versuche und Erfahrungen zu machen, als in der Physiologie. Selbst die speculative Philosophie kämpft mit geringern Schwierigkeiten. Denn was in unsernı Bewulst- seyn liegt, lälst sich gar wohl beobachten und zergliedern, sogar noch leichter, als der Chenuiker einen Körper analysirt. Der Physio- loge hingegen soll das Innere eines lebenden organischen Wesens studiren, dessen Äufse- res ihm nur seine Sinne zeigen; er soll Ver- suche mit demselben anstellen, d. h. er soll al- lerlei mechanische und chemische Mittel auf dasselbe wirken lassen, und sehen, welche Wir- kungen sie haben; aber die Beobachtung hat gelehrt, dafs alle diese Mittel in demı lebenden organischen Wesen nach ganz andern, noch völ- lig unbekannten Gesetzen wirken, als in der todten Natur; und da jedes organische Wesen selbst, in einem ununterbrochenen Wechsel von Veränderungen begriffen ist, und in einer un- trennbaren, zu seiner Existenz nothwendigen, Verknüpfung mit der Aussenwelt steht, so kann der Beobachter sogar bei keinem einzelnen Ver- such mit Sicherheit wahrnehmen, ob eine Er- scheinung, die er vor sich hat, eine Wirkung seines Versuchs, oder zufällig einwirkender Um- stände sey. Nur dann erst, wenn er tausend- mal beobachtet, tausendmal den Versuch wie- derholt hat, kann er dahin gelangen, wohin der Chemiker meistens durch einen einzigen ge- langt, zu wissen, was das angewendete Mittel vie: Unno sen P Mögl Wahı grit auf un \6 der such all \eı N zu die ern ılst- ten der 80» en User Ver« I al- auf Vir- hat kung Um- sende wie» n der pr ittel ee, 97 wirke.. Aber Schwierigkeit einer Sache ist nicht Unmöglichkeit. Lie[se sich auch aus der gan- zen Physiologie nichts anderes zum Beweis der Möglichkeit, auf dem Wege der Erfahrung zur Wahrheit zu gelangen, anführen, als der Be- griff der Reizbarkeit, den Haller offenbar nur auf dem Wege der Beobachtung finden konnte, und der ewig als ein Grundsatz für die Physio- logie feststehen wird, so würde dieses einzige Beispiel schon hinreichend seyn, den richtigen Weg vorzuzeichnen, den der Physiologe neh- men mufs. Aber unstreitig werden noch Jahr- hunderte verstreichen, ehe man sich auch nur der richtigen Methode zu beobachten und Ver- suche zu machen in einem gewissen Grade von Vollkommenheit bemächtigen wird, Allgemeine Naturlehre Wir haben die Theile der besondern Näatur- lehre durchlaufen; es folgt die allgemeine Physik. Sie hat es nicht, wie die besondere, mit eimzelnen Klassen von Naturerscheinungen zu thun.. Vor ihr liegt das ganze grofse Buch der Natur aufgeschlagen; sie soll im Zusam- menhang die Charactere lesen, deren Alphabet die besondere Naturlehre untersucht. Sie zerfällt von selbst in zwei Theile. Die Naturerschei- nungen, in welche sie Licht und Ordnung brin- gen will, sind entweder diejenigen, welche uns zunächst umgeben, welche wir mit allen unsern 58 Sinnen beobachten können, oder es sind diejeni-| durch gen; welche sich jenseits unsers Luftkreises blofs Adeın dem Auge aus unermelslicher Ferne zeigen, Sie I. gelbst ist also theilde physische Erdkunde, theils zum Astronomie, beide nach ihrem ganzen Um» unse fange genommen. eg | gb 7) Physische Erdkunde. BR. d Die physische Erdkunde betrachtet den n Bau unsers Erdballs und aller seiner Theile. N Von der Mineralogie unterstützt, betrachtet sie ti zuerst seine festen Massen, den Bau und Gang au des Urgebirgs und des Ganggebirgs, die vulka- Sch nischen Berge, die Schichtungen der Flötzhügel Gest und des flachen Landes, selbst ins Innere der selh: Erde wagt.sie, 30 weit es ihr vergönnt ist, ei- kun; nen Blick. Minder beschränkt verweilt länger Thei ihr Blick auf der weit ausgedehnten Oberfläche, han wo er nichts als organische Wesen, und selbst vn in der obersten Schichtung des Bodens fast gı nichts, als Stoffe organischen Ursprungs wahr- N nimmt. Staunender fand schon ihr Blick, selbst N in der Tiefe, Überreste früherer organischer h. Schöpfungen, welche wunderbare Ahnungen von Re wechseinden Schöpfungen erregen. Von den Ei festen Massen geht die Betrachtung zum Wasser| N über, das in einem ewigen Kreislauf, nicht un- ii ähnlich dem Umlauf des Blutes, begriffen ist, Be indem es sich als Dunst in den Luftkreis er- zit 4 2 fe hebt, als Regen und Schnee zurückkehrt, und EN lofs Sie ils Us 59 durch Quellen, Bäche und Flüsse, wie durch Adern dem ewig bewegten Ocean zuströmt, der selbst unzählbaren Schaaren organischer Wesen zum Aufenthalte dient. Das Luftnieer, welches unsern Erdball umfliefst, ist em reichhaltiger Gegenstand der Betrachtung. Die physische Erdkunde untersucht die Mischung, die man- cherlei Bewegungen desselben und die zahllosen chemischen, elektrischen und optischen.Erschei= nungen, die wir Meteore nennen. Endlich, nachdem sie die grolsen Theile des Erdballs be- trachtet hat, wirft sie noch einmal den Blick auf das Ganze zurück, entlehnt von ihrer Schwester, der Astronomie, die Kenntnifs der Gestalt,. der Gröfse und der Bewegungen des- selben, und zeigi, wie die wechselnde Einwir- kung des allbelebenden Sonnenstrahls in. jedem Theile derselben den Wechsel des Tags und.der Jahreszeiten hervorbringt. Kein Theil der Na- turlehre ist mehr geeignet, demı Menschen die Schranken seiner Erkenntnifs fühlbar zu ma- chen. Wähnt er vielleicht, in der. besondern Naturlehre eine bedeutende Höhe erklimmt zu haben, so fühlt er hier fast auf jedem Schritt, wie grols der Umfang dessen sey, was er nicht weils. Fast überall mufs er sich begnügen zu. sagen: so ist es. Selten nur kann er das wie? und warum? beantworten. Nur einzelne Stel- len im grolsen Buche der Gottheit kann er ent- ziffern, das Ganze bleibt ihm immer und ewig ein unbegreifliches Wunder; aber jede Stelle, die = a nt z”) r b ae na sn ne En res hl see Bun tra Brass mn sun Tai SS I“ P) 60 er lesen kann, sey ihm hoch und heilig; denn jede ist— ein Gedanke der Gottheit! Wenn jeder Blick zur Erde den Menschen an seine Verwandschaft mit dem Staube erinnert, so läfst ihn jeder Blick zum Hinimel seinen al dircl les Eine höhern Ursprung, seine höhere Bestimmung, ahnen, RR\ sy Ars er on om e, Die Sternkunde, sie ist der Triumph des menschlichen Geistes, eine lange Stelle im Buche der Natur, rein und lichtvoll aufgeklärt durch die tiefsten Geister die lebten, zwar nicht jedem zugänglich, aber um desto ehrwürdiger und heiliger, die letzte Stelle im Buche der Natur, die mit einem Blick das Weltall um- falst. Weislich liefs die allgütige Mutter uns am Firmament nur das Begreifiiche, nur das dem menschlichen Geiste Zugängliche, die Be- wegungen der nähern Weltkörper sehen, um uns den Aufschwung zu der hohen Idee des\ Unendlichen zu erleichtern. Aber deutlich ge-| nug zeigt sie uns in jedem Irrstern einen Erdball; in der Sonne einen Weltkörper höhe-|/ ren Ranges, in jedem Lichtstern eine Sonne, n und zaubert dadurch wundersame Ahnungen| I über Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft ins 8 Herz. Sie wollte uns einladen, die Allgütige, d sie wollte uns reizen, immer tiefer einzudrin-| be gen in die Wunder der nähern Natur, und uns Sie ph des e m klart icht ger der M- ın3 das Be- un & des ch ger einen r höhe Sonne, nungen unft ins Nsütgt nzudin« und un9 61 so auf einen Weg führen, wo Ewigkeiten hin- durch fortgesetztes Streben uns dem höchsten alles Genusses, dem Anschauen des Al und des Einen entgegenführen kann. Aller dieser Wissenschaften Inbegriff ist die Naturkunde! Aber haben wir ihren Umfang auch wirklich erschöpft? Ist nicht alles, was ist, Natur? Ist nicht auch des Menschen Geist ein Theil der Natur? Ja sg ist's. Empirische Seelenlehre ist Naturbeschreibung des Gei- stes; speculative Philosophie, gelangt sie einst zur Wirklichkeit, so wird sie nichts seyny als die Naturlehre der geistigen Kräfte. Vernunftlehre und Mathematik sind schöne schon vollendete Theile derselben. Auch Geschichte,. ist sie etwas anderes, als fortgeführte Naturge- schichte des menschlichen Geistes? Auch Alter- thumskunde, ist sie etwas anders, als eben diese Naturgeschichte des Geistes aus einem schönen Zeitraume der Vergangenheit, vorzüglich geeig- net, das Hohe, das Geistige, das heilige Idea- lische, wonach jedes edlere Herz strebt, gleich- sam herabzuneigen zur Wirklichkeit, und so den Geist für dasselbe zu erwärmen und zu beleben? Ja, es, giebt nur eine Wissenschaft! sie heifst Naturkunde. Was wir Wissen- schaften nennen, sind nur Zweige der einen, 62 verbunden durch ein schwesterliches Band, jede die andere ehrend, keine die andere zurück- stolsend, keine der andern die Hülfsmittel ent- ziehend, deren sie bedarf, um in gleichem Schritt emporzuklimmen zu den Höhen des Lichts, die lieblich und liebevoll das Auge des Sterblichen reizen, sollte auch die geheimnils- volle Hand, die uns leitet, nur das Geschlecht, nicht den Einzelnen zum Ziele führen: el a ZWEITE ABHANDLUNG. Versuch einer idealischen Übersicht der Mathematik nach ihrem ganzen Umfang. ee ee ee D: sich d dienen einzeli wm, Gm der pün von zu| ahını heit Wisse ist ni zum Z, tler er 65 Versuch "einer idealischen Übersicht der Mathematik nach ihrem ganzen Umfange. Ds. Mathematiker pflegen bekanntlich selten sich des zusanımenhängenden Vortrags zu be- dienen, sondern sie zerstückeln den Vortrag in einzelne Sätze; und soll die Form schulgerecht seyn, so setzen sie über jeden Satz, Aufgabe, Grundsatz, Lehrsatz u. s. f£ Der grölste Theil der Leibnitz- Wolfischen Schule glaubte in der pünktlichen Beobachtung dieser Form den Grund von der absoluten Gewilsheit der Mathematik zu finden, und hoffte daher, durch Nach- ahmung derselben, die mathematische Gewils- heit auch auf andere Felder des menschlichen Wissens verpflanzen zu können. Der Versuch ist nicht gelungen; entweder führte er nicht zum Ziele, wie in der speculativen Philosophie, eder er wurde lächerlich, wo man ihn sonst [5] ER 66 auszuführen unternahm. Man ist jetzt wohl all- gemein überzeugt, dals diese Methode nur das äulsere Fachwerk der Wissenschaft sey. Aber merkwürdig ist es immer, theils, dafs andere Wissenschaften dieses Fachwerk nicht annelı- men, theils, dafs es die Mathematik fast noth- wendig zu fodern scheint. Es kann daher nicht ohne Interesse seyn, dieses Fachwerk etwas nä- her zu beobachten. Die Logiker sagen uns: ein Grundsatz bedürfe keines Beweises, ein Lehrsatz sey dessen bedürftig; eine Aufgabe fodere etwas, wozu Auflösung und Beweis nöthig sey; ein Postulat fodere etwas, wozu man keines von beiden bedürfe. Fragt man, wie das zugehe? so sagen sie, dals gewisse Sätze unmittelbar und durch sich selber deutlich seyn, andere nicht. Difs alles ist richtig, aber es bleibt noch immer die Frage übrig, wie geht es zu, dals gewisse Sätze unmittelbar deutlich sind, andere nicht? Ich erinnere mich nicht, hierüber irgend- wo etwas befriedigendes gefunden zu haben; da es aber mein Geschick gebietet, mich mit jedem Jahre wieder in den Elementen, wie in einem Wirbel, herumzudrehen, so habe ich es mir zu einer heiligen Pflicht gemacht, die Kraft, welche ich der Erweiterung der Wissenschaft nur selten opfern darf, wenigstens durch unab- lässiges Streben nach vollendeter Deutlichkeit in den ersten Begriffen ihrer festesten Begründung zu widmen. Meine gegenwärtige Ansicht von ren ein sch thei seyT nenn schur 67 dem Fachwerk der Mathematik. ist kürzlich folgende: Der unmittelbare Zweck jedes einzelnen mathematischen Satzes ist dreifach: ı) Vollen- dete Deutlichkeit im Begriff einer Grö- Ise,(z. B. Erklärung des gleichseitigen Dreiecks, oder Erklärung einer Quadratzahl); 2) Her- vorbringung einer Grölse, dem Begriffe semäls(Construction eines gleichseitigen Dreiecks; Erhebung einer Zahl zunı Quadrat); 3) Erweiterung der Kenntnifs einer Grö- fse durch Bemerkung von etwas, dasin der construirten Grölse liegt, ohne im Begriff gedacht zu seym(z.: B. Bestim“ mung der Winkel in gleichseitigen Dreieck, oder Untersuchung des innern Baues einer Qua- dratzahl aus Theilen der Wurzel). Die meisten Grölsen, welche der Mathema- tiker betrachtet, sind zusammengesetzt, d. ihre Vorstellung, ist aus ungleichartigen Vorstel- lungen gemischt.(So liegen in der Vorstellung des Dreiecks die Vorstellungen, Fläche, Linie, Begränzung u. s. f. in der Vorstellung der Qua- dratzahl die Vorstellungen von Produkt, Facto- ren, Gleichheit u. s. f.) Wenn sich in irgend einem Object ungleichartige Bestandtheile unter- scheiden lassen, so muls jeder dieser Bestand- theile für sich betrachtet, etwas gleichartiges seyn. Was aber durchaus gleichartig ist, nenne ich materiell-einfach.. Die Vermi- schung des Ungleichartigen setzt also das: Da- = Besen DD mo m nn ee u ud et 68 seyn des Gleichartigen oder materiell- Einfachen voraus. Also müssen allen mathematischen Be- un griffen einfache Begriffe zum Grunde lie- ee gen, d. h. Begriffe, die etwas durchaus Gleich-= artiges vorstellen. Von dieser Art sind in der Eu Geometrie die Begriffe von Punkt, Linie, Ha Fläche, Raum, in der Arithmetik Einheit und Inte Vielheit. das Auf diesem Unterschied einfacher und zu- sammengesetzter Begriffe von Grölsen, verbun- der den mit dem obigen dreifachen Zweck der ei mu Sätze, beruht die Eintheilung aller mathemati- schen Sätze, und man übersieht schon, dafs e2 wir sechs Arten derselben erhalten müssen, drei, Palo die es mit einfachen Begriffen, und drei, die Voral. es mit zusammengesetzten Begriffen zu thun sung haben. einfach Die Natur und unser eigenes Vorstellungs- ich se vermögen geben uns allezeit das Zusammenge- seite setzte früher als das Einfache; denn die allge- ns B meine Aufgabe, welche die gesamımte äulsere als und innere Wirklichkeit dem Verstande vorlegt, win) ist eigentlich, in dem Zusammengesetzten das den Einfache zu erkennen. Ich will daher von den erha zusammengesetzten Begriffen zuerst sprechen. ı) Erklärungen,(definitiones) sind Zer- welc legungen eines zusammıengesetzten Begriffs in Gröf einfachere; soll die Erklärung absolute Deut- Begr lichkeit geben, so müssen die einfacheren Be- gedac griffe, die sie enthält, von neuem zerlegbar Kreise seyn, bis zum schlechthin einfachen.(Z. B. uß d sich je chen Be- lie- ich- der nie, und | zu bun- der nati- dalg el, 69 Quadrat ist— ein Parallelogram— ein gleich- seitiges— ein rechtwinkeliches; Parallelo- gram ist ferner— eine vierseitige Figur— eine parallelseitige; Figur endlich ist— eine Fläche— eine begränzte. Offenbar sind difs lauter Zerlegungen der Vorstellungen, die bis in das ganz einfache fortgeführt werden können.) 2) Eine Aufgabe(problema) ist die Fo- derung, eine zusammmengesetzte Grölse zu con- struiren. Ein zusammengesetztes Object kann nur durch eine zusammengesetzte Operation construirt werden; eine zusammengesetzte Ope- ration setzt das Daseyn einfacher Operationen voraus; die Aufgabe mufs folglich eine Auflö- sung haben; d. h. sie muls mir sagen, welche einfache Operationen und in welcher Ordnung ich sie verbinden müsse, um das zusammenge- setzte Object zu erhalten. Sie bedarf auch ei- nes Beweises; denn sie mufs mich überzeugen, dals ich durch das vorgeschriebene Verfahren wirklich und vollständig und genau das durch den Begriff bestimmte zusammengesetzte Object erhalte. 5) Ein Lehrsatz(theorema) ist ein Satz, welcher behauptet, dafs in einer construirten Gröfse etwas enthalten sey, was zwar durch den Begriff bestimmt war, aber in demselben nicht gedacht wurde. Dafs sich zwei Sehnen im Kreise in proportionale Stücke schneiden, oder dafs die Quadratwurzel einer ganzen. Zahl, die sich nicht unter den ganzen Zahlen findet, sich = Su neues== En Sa ae= ah Er un ed Sm Ann eng Sorgali: x Dosen t 70 des ung überall nicht obne Fehler in Zahlen ausdrücken fenhar lasse, dils sind Eigenschaften-zusammengesetz- gen,\ ter Objecte, die offenbar im Begriffe derselben einfach nicht gedacht wurden.— Dals ein Lehrsatz(lasse eines Beweises bedürfe, bedarf selbst keines Beweises. har Bei einem einfachen Object findet der- Kin selbe dreifache Zweck statt, den wir eben ange- Di geben haben; vollständige Deutlichkeit in der Be Vorstellung, Construction und erweiterte Kennt- ha nils. Wir haben aber, wie es scheint, nur zwei" Classen von Sätzen für sie übrig: Postulate für a die Construction, und Axiome für die Erweites rung der Erkenntnils über den Begriff hinaus. a Indessen findet sich die dritte Classe leicht ge- N nug auf. Sie liegt in der Classe der Definitio- Me) nen. Jedermann weils, wie viel man an der ei Definition einer geraden Linie gekünstelt hat, 2 ohne eine befriedigende zu finden. Aber die ter\ gerade Linie und die Linie überhaupt, ist nicht a das einzige, was sich nicht definiren lälst. Eu-= klides Definition von Punkt, palst eben so gut“ auch auf den Zeitpunkt, und enthält üıberdieses 2 kein einziges positives Merkmal, also keine te wahre Zergliederung des Begrifls. Seine Defini- len tion von der Ebene ist ein Grundsatz, keine zu Definition. Kurz es ist sichtbar, dals Punkt, fen Linie, Fläche und Raum lauter einfache, klaı und in sich selbst gleichartige Vorstellungen kein sind, die eben deswegen keine Definition zu= volle lassen, weil die Definition eine Zergliederung seyn 23 der Jaty die oht Eur 0 gut rdieses keine Deini« keine unkt, nfache, Jungen 1 ZU gi des ungleichartigen ist. Man mufs folglich of- fenbar diese Begriffe von den Definitionen tren- nen, und so erhalten wir in Beziehung auf die einfachen mathematischen Begriffe folgende drei Classen von Sätzen: ı) Grundbegriffe(notiones primae), de- ren Gegenstand ein in sich einfaches und gleich- förmiges Elementar- Object der Mathematik ist. Die Logiker irren sich, wenn sie den einfachen Begriffen Deutlichkeit absprechen; denn was kann deutlicher seyn, als die Begriffe der ein- fachen mathematischen Objecte? Ist es nicht klar, dafs man überhaupt alle Deutlichkeit leug- nen müsse, wenn man sie den Grundbegriffen ab- spricht? Denn ich möchte wohl wissen, wie es möglich wäre, aus lauter undeutlichen Be- griffen einen deutlichen zusammenzusetzen? Aber die Logiker haben den innern Bau unse- rer Vorstellungen, der in der Mathematik siche- rer, als irgendwoanders aufzufinden ist, noch nicht genug studirt. Ihre Erklärung der Deut- lichkeit mufs anders gefalst werden, wenn sie nicht zu Widersprüchen führen soll. Kant ur- theilte nicht richtig, wenn er die Logik für vol- lendet hielt; aber dieser Gegenstand würde uns zu weit von unsern gegenwärtigen Zweck ent- fernen. Ich berufe mich daher blofs auf das klare Bewulstseyn eines jeden Menschen, dafs keine Vorstellung bestimmter, unzweideutiger, vollendeter, also mit einem Worte deutlicher seyn könne, als die Vorstellung einer Linie oder 72 irgend eines andern einfachen mathematischen m Objects. Ein Streit hierüber würde übrigens A nicht das wesentliche meines Vortrags treffen. Is k 2) Ein Foderungssatz(postulatum) fo- den T dert die Construction eines einfachen mathema- in ge tischen Objects; z. B. eine gerade Linie durch N zwei Punkte zu ziehen; eine Ebene durch drei a Punkte zu legen u. dgl. mı. Die Foderung Ber geschieht aber offenbar nicht an die Hand, er sondern an die Einbildungskraft. Die mit bir ; der Hand gezogene Linie ist bekanntlich keine| die Linie, sondern nur ein mangelhaftes Bild des- ler sen, was sich der Verstand denkt, und die Ein- sich bildungskraft im Innern realisirt; ich kann sie| schie auch nicht verlängern, so weit ich will, sondern gezo; nur so weit, als meine begränzte Tafel reicht,| zeste Die innern Operationen: der Einbildungskraft uf hingegen sind. absolut unbeschränkt; an sie frager kann ich die Foderung machen, die gerade Li-| duch nie so, weit ich nur will zu verlängern u. s.£. fache Wäre die Operation der Hand-gemeint, so wäre die dils keine ganz einfache Operation, sie erfodert mehr als ein Instrument, und lälst also eine ger Zergliederung oder eine Auflösung zu, Die\ Gn Operation der Einbildungskraft hingegen, wenn| Sätz sie eine Linie, eine Fläche constrmirt, ist eine zu. völlig gleichförmige, also ganz einfache Opera-| betr tion, und es hat also keinen Sinn, wenn ich die eine Zergliederung derselben, d. h. eine Auflö- sond sung fodere. lief 3) Ein Grundsatz(Axioma) setzt et- One 73 ‚was zu dem Begriff eines einfachen Objects hinzu, was nicht in dem Begriffe gedacht war. Was kann aber zu der Vorstellung des Einfa- chen noch hinzukommen, was nicht schon da- rin gedacht wäre? Lag noch etwas anders darin, so war es ja nicht einfach! ‚Ganz richtig; auch setzt der Grundsatz in der That nichts zu dem Begriff eines einzelnen Objects hinzu, sondern er betrachtet nur zwei einfache Objecte in Ver- bindung mit einander, und bemerkt, was aus dieser Verbindung entstehe. Zwei Punkte fal- len zusammen: zwei gerade Linien schneiden sich nur in"einem Punkte: durch zwei ver- schiedene Punkte kann nur eine gerade Linie gezogen werden; die gerade Linie ist die kür- zeste. Ausdehnung zwischen zwei Punkten u. s.£ Bei solchen Sätzen nach einem Beweise fragen, hat wieder keinen Sinn; denn was durch die unmittelbare Verbindung zweier ein- fachen Objecte entstehe, kann auch nur durch die unmittelbare Anschauung erkannt werden. Man muls Euklides Geist bewundern; der gewils keine ganz deutliche Einsicht in den Grund dieser Classification hatte, und doch die Sätze so richtig sonderte, dals nur wenig daran zu ändern ist. Alles, was die einfachen Objecte betrifft, schickt er voran, und dann lälst er erst die übrigen Sätze folgen. Die Grundbegriffe sonderte er zwar nicht von den Definitionen, liefs sie aber nach einer ganz richtigen topischen Ordnung auf einander folgen, und vor den zu- 74 sammengesetzten Begriffen vorangehn. Seine Postulate sind nicht vollständig, aber das feh- lende lälst sich leicht ergänzen, Die Axiome geben zu mehreren Bemerkungen Veranlassung: dafs Gleiches zu Gleichen gesetzt, gleiche Ag- gregate gebe u. dgl., ist nicht ein Axionı der Geometrie, sondern der allgemeinen Mathema- tik; alle‘ rechte Winkel einander gleich sind, ist kein Axiom, sondern ein Corollar zur Definition des rechten Winkels, so wie die Gleichheit der Halbmesser und Durchmesser ein Corollar zur Definition des Kreises. Nach den hier aufgestellten Begriffen ist es möglich, die wahren Axiomıe methodisch,: also vollständig aufzufnden. Es kommen in der Mathematik noch einige Benennungen von Sätzen vor, die sich aber blofs auf zufällige Stellung, nicht auf Zweck und Inhalt der Sätze beziehn. Ein Zusatz (corollarium) ist ein Satz, der durch einen un- mittelbaren Schlufs aus dem vorhergehenden folgt, also aus einem andern Grunde, als die Axiome und Postulate, keines Beweises bedarf. Oft ist das Corollar wichtiger, als der Satz, wor- aus es folg. Eine Anmerkung(scholion) nennt der Mathematiker alles, was nur beiläufig bemerkt wird, nicht nothwendig in die Folge der Sätze gehört. Ein Lehnsatz(lemma) ist jeder Satz, der dem Inhalte nach in einen an- dern Abschnitt gehört, aber hier, wo er steht, nur um eines folgenden Beweises willen ent- lehnt wird, 75 Ungeachtet die Beobachtung dieses Fach- werks nicht den eigentlichen Grund von der Gewilsheit und Deutlichkeit der Mathematik ent- hält, so ist doch nicht zu leugnen, dals sie die Deutlichkeit ungemein beiördert, indem sie die Aufmerksanıkeit auf jeden einzelnen Schritt hef- tet, den man thut, wodurch falsche Schritte we- nigstens erschwert werden. Dafs man aber fest auftreten kann, liegt nicht in der Methode des Gehens, sondern offenbar in dem festen Grund und Boden, den man unter sich hat. Es liegt mit einem Worte in der absoluten Deutlichkeit und Vollständigkeit der Grundbegriffe so wohl von den Grölsen selbst, als von ihrer Constru- ction. Der Grund dieser Vollständigkeit und Denutlichkeit jedes: Grundbegriffs liegt aber darın, dals. diese Grundbegriffe Geschöpfe unsers ei- senen Vorstellungsvermögens, also auch ganz und vellständig in demselben enthalten sind. Bei allem, was von aulsen in mich kommıt, kann ich nie wissen, ob ich das Ding ganz habe; was in mir und durch mich selbst erzeugt ist, be- sitze ich ganz und vollständig. Aber die ma- thematischen Grundbegriffe sind nicht willkühr- liche Erzeugnisse der Einbildungskraft, wie die Ideale der Kunst; sondern dem Wesen unsers Vorstellungsvermögens wesentlich zugehörige. Darum sind sie in jedem Kopfe vorhanden; sind in jedem Kopfe die nämlichen; nur in dem ei- nen dunkel, in dem andern klar, in einem drit- ten deutlich gedacht. Aber ihre Zusammen- Z —= nd u ne er un 2“. Dr SER DEEP ee En ne abge nn el_ mn ich, 76 setzungen sind willkührlich, wenn gleich an ge- wisse Hhegeln gebunden; das heifst, die Regel ist nothwendig, und in dem Wesen des Vorstel- lungsvermögens gegründet; aber ob ich nach der Regel construiren will, das steht bei mir; daher kann die Vorstellung einer Parabel, oder eines Integrals in einem Kopfe fehlen, ohne dafs ihm etwas abginge, was wesentlich zum Vor- stellungsvermögen gehört; aber die Vorstellung von einer Linie, von einer Zahl, kann in kei- nem Kopfe fehlen. Nach diesen Erörterungen kann es nicht schwer seyn, die Idee, welche der gesammten Mathematik zum Grunde liegt, rein und deut- lich aufzufassen. Die Lehrsätze der Mathema- tik sind es eigentlich, in welchen sich die idea- lische Tendenz des Ganzen offenbaret. Denn selbst das Problem hat nur den Zweck, Stoff zu neuen Untersuchungen herbeizuschaffen. Der Zweck jedes Lehrsatzes aber ist etwas zu er- kennen, was in einem gegebenen Zusammen- hang von Grölsen zwar nicht unnuittelbar ge- dacht war, aber doch durch denselben bestimmt ist. Der idealische Zweck der Mathematik kann also kein anderer seyn, alsı Erkenntnifls al. les dessen, was durch irgend einen ge- gebenen Zusammenhang von Grölsen bestimmt ist. Gegeben aber ist ein Zusam- menhang von Gröfsen nur dann, wenn er durch die Einbildungskraft nach nothwendigen Regeln (oder wie Kant sagt, nach Begriffen) in einem 77 anschaulichen Bilde dargestellt ist, in welchem ich, weil es mein eigenes Geschöpf ist, auch das wahrnehmen kann, was meine Willkühr bei der Construction nicht hineingelegt hatte, son- dern was von der Natur der Grölsen, die ich construire, abhängig ist. Die Hervorbringung eines anschaulichen Bil- des in der Einbildungskraft heifst Constru- ction. Es findet aber in der Mathematik eine doppelte(aber auch nur eine doppelte) Constru- ction statt. Entweder ist das Bild, welches die Einbildungskraft producirt, selbst eine Grölse, oder es ist ein blols willkührliches Zeichen, an welches wir die Vorstellung von einer Gröfse durch dasselbe unerklärliche Kunststück der Geisteskraft anknüpfen, durch welches wir mit dem leeren Schall der Worte Begriffe verbinden und damit denken. In denı ganzen Umfang unsers Vorstellungs- vermögens konimt nur eine einzige Art von Grölsen vor, die unmittelbar durch sich selbst und ohne willkührliche Zeichen darstellbar ist: die räumliche Gröfse. Die übrigen Gröfsen sind, wie alle allgemeine Begriffe, ‚nicht abgeson- dert darstellbar, aber wohl sind sie darstellbar in sinnlichen Gegenständen. So ist die Zahl in jeder Menge sinnlicher Gegenstände vollkommen dargestellt; aber ich kann sie schlechterdings nicht für sich allein darstellen, sondern ich muls mindestens Punkte oder Striche, also etwas, was nicht Zahl ist, zu Hülfe nehınen, um sie dar- 78 zustellen. Es ist nicht einmal nothwendig, dafs die Dinge, welche ich zähle, an sich sinnliche Dinge sind; man kann blofse Vorgtellungen, ja sogar Nullen zählen. Vermöge dieser doppelten Constructionsart zerfällt die Mathematik in zwei grolse Gebiete, welche ich die räumliche Mathematik und die allgemeine Mathematik nenne. Bei der idealischen Übersicht einer Wissenschaft kommt man sehr leicht in den Fall, gewisse bestimmte Unterschiede deutlicher wahrzunehmen, als sie der empirische Gang der Wissenschaft unter- scheidet. Dann fehlt es an Worten, diese Un- terschiede zu bezeichnen. Difs. ist der Grund, warım ich die obigen Ausdrücke statt der gangbaren Arithmetik und Geometrie wähle, um diese für einen weiterhin zu machen- den Unterschied aufzubewahren, ohne jedoch, wie sich zeigen wird, von dem gewöhnlichen Sprachgebrauch sehr weit abzuweichen. Gemeiniglich unterscheidet man die beiden Theile, von denen ich hier rede, so, dals man sagt: die Arithmetik sey die Lehre von den discreten Grölßsen, die Geometrie von den stetigen. Der Unterschied ist nicht unrichtig; denn alle räumlichen Gröfsen sind stetig: die Zahl hingegen als Grundbegriff der Arithmetik ist eine Menge von Einheiten, also wenigstens in der Vorstellung discret, Aber man setzt auf diese Art den wesentlichen Unterschied beider Theile ins Object der Wissenschaft, und dils was bei e liche beser ansch kann. I kan bei dafs liche " ja Asart Jete, und Det der on imme ls sie ınter« Un- nd, netik stend au 79 ist wenigstens nicht genau; denn wer weils nicht, dafs Körper, Flächen und Linien, also stetige Grölsen, Gegenstände arithmetischer Un- tersuchungen seyn können, und dafs umgekehrt die Findung einer Wurzel in Zahlen, also ein eigentlich arithmetisches Problem, der Gegen- stand einer geometrischen Construction seyn könne.- Eigentlich sind allgemeine und räum- liche Mathematik blofs zwei verschiedene Methocen, mathematische Fragen aufzulösen. Denn auf der einen Seite schlielst die allge- meine Mathematik stetige Gröfsen aus ihrem Gebiete gar nicht aus, sondern unıfalst alles, was Grölse ist. Auf der andern Seite aber ist bei einer geometrischen Construction das räum- liche selbst nicht nothwendig der eigentliche Gegenstand der Betrachtung. Denn da jeder anschauliche Gegenstand Bild einer Gröfse seyn kann, so kann auch die räumliche Größe blo- [ses Bild irgend einer andern Gröfse seyn. So kann z. B. die Linie das Bild einer Zahl(wie bei einer geometrischen Wurzelausziehung), oder irgend einer andern Gröfse, z. B. einer Zeit, einer Geschwindigkeit u. s. f. seyn, wie so oft in der reinen Mechanik geschieht. In der That ist auch keine mathematische Frage erdenklich, die nicht eben sowohl geometrisch, als arithme- tisch aufgelöst werden könnte. Denn wie spe- ciell sich auch die Frage auf eine eigene Art von Gröfsen beziehen mag; so ist doch leicht einzusehen, dals das Specielle in jedem Fall nur II a m han N 80 Hülle einer allgemeinen mathematischen Frage der ist. Wer nach der Zunahme eines Capitals geh durch Zinseszins fragt, will eigentlich nur wis-| der nt sen, wie die Glieder einer geometrischen Reihe ı| Al wachsen, und diese läflst sich eben sowohl 9€0- i grlse metrisch, als arithmetisch construiren. u. dsl. nl.| is giebt aber noch einen andern allgemei-| nem nen Unterschied in der Betrachtung der Gröfsen,| Min der in beiden Gebieten statt findet und eine Un-| terabtheilung derselben bestimmt. Dils ist.der| hei Unterschied beständiger und veränderli- ma cher Grölsen. In der Mathematik der beständi-| rei gen Grölsen setzt man, dals ein gewisser Zu- ron sammenhang unveränderlicher Grölsen(wie z. I oo gug B. in einer algebraischen Gleichung oder ın Mec einer gegebenen geometrischen Figur) vor mir gebüh liege, und die Frage ist, was dadurch bestimmt Ic sey. In der Mathematik der veränderlichen Grö- hing; [sen setzt man, es liege ein Zusammenhang von duch Grölsen vor mir, deren einige oder mehrere sch gleichförmig wachsen oder abnehmen(wie z. B. nicht in einer Function oder in der Frage über die den Bewegung eines Punkis, dessen Geschwindigkeit Sac} gleichförmig wächst); und die Aufgabe ist, was hierdurch für bestimmte Veränderungen in dem ı ganzen Zusammenhang dieser Grölsen entstehen. Die Mathematik der veränderlichen Gröfsen ist ganz eine Erfindung der neuen Zeiten, und man die G sieht aus den Fortschritten, welche diese Wis-| Diese senschaft gemacht hat, von welcher unendlichen Gröfs Wichtigkeit sie ist. Übrigens findet der Begriff| Yehnmen der| Tage itals WiS= ihe £0- A. el» indI- Zu- vere 1. D. er die ligkeit {, was n dem stehen. sen it ‚d man 5 Wise| dlichen Begriff der 81 der Veränderlichkeit, wie die beigefügten Bei- spiele zeigen, sowohl in der allgemeinen, als in der räumlichen Mathematik statt; und es zer- fällt daher jedes dieser beiden Gebiete in zwei grolse Theile, Die allgemeine Mathematik des Beständigen nenne ich reine Arithmetik; die allgemeine Mathematik des Veränderlichen Analysis. Die räwnliche Mathematik des Beständigen heifst reine Geometrie; die räumliche Mathe- matik des Veränderlichen ist nichts„ als die reine Bewegungslchre, ich nenne sie Pho- rometrie, um sie von der physischen Bewes gungslehre zu unterscheiden, welcher der Name Mechanik ethymologisch und herkömmlich gebührt. Ich hoffe, diese Eintheilung des ganzen Um- fangs der reinen Mathematik, die sich gewils durch Einfachheit und Klarheit empfiehlt, werde sich auch bei der näheren Auseinandersetzung nicht als geschöpft aus den Quellen der dichten- den Phantasie, sondern als aus der Natur der Sache abgeleitet, bewähren. I. Allgemeine Gröfsenlehre, In der allgemeinen Grölsenlehre wird die Gröfse construirt durch willkührliche Zeichen. Diese sind von doppelter Art; Zeichen für die Gröfsen selbst, und für die mut ihnen vorzu- nehmenden Operationen. Der. Grölsen- Zei- [6] o) 82 chen giebt es zwei Arten: bestimmte(Ziffern) und unbestimmte(Buchstaben). Zu den Operations- oder Rechnungs- Zeichen gehören ı) die sogenannten algebraischen; dils sind die Zeichen der gemeinen Rechnungsarten nebst der Potenzerhebung und Wurzelausziehung. 2) Die sogenannten transcendentischen sind zuerst diejenigen, durch welche man andeutet, dafs zu einer Zahl der Logarithmus oder umge- kehrt genommen werden solle; ferner mehrere Zeichen, die ursprünglich aus der Trigonometrie genommen sind, aber bekanntlich einen rein arithmetischen Sinn haben können, die Zei- chen nämlich, durch welche man in der Trigo- nometrie andeutet, dals man zu einem Bogen irgend eine trigonometrische Linie, oder umge- kehrt, nehmen solle. Ich erinnere mich nicht, irgendwo den Unterschied beider Operationen recht deutlich auseinander gesetzt gefunden zu haben. Es wird daher nicht überflüssig seyn, ihn hier anzugeben. Was durch eine alge- braische Rechnung gefunden wird, ergiebt sich entweder durch eine einzige Operation, ob- gleich diese in gewissen Fällen unendlich seyn kann, wie z. B. bei Woürzelausziehungen, ja selbst bei nicht aufgehenden Divisionen: oder durch eine bestimmnite endliche:Zahl solcher Operatio- nen. Was durch eine transcendentische Operation bestimmt ist, kann nur durch un- endlichvielmalige Wiederholung bestinm- ter algebraischer Rechnungs- Operationen gefun- ur tl stell Ands Oer: eine| lichen Grüß das ı Jedk Me nau Arit ‚Ziffen) Zu den gehören duls sind ten nebst aan: 1en sind ndeutet, r umge mehrere ometrie 7 rein Zei- 1igO- gen nge- icht, nen \ zu seyn, alge- ebt sich N; ob- ch seyn ja selbst r durch )perat- tische rch un eshnlli- | gelun- 85 den werden, die man nicht als blofse Theile ei- ner einzigen Operation, wie bei den Wurzelaus- ziehungen, ansehen kann. Iım Grunde sind die algebraischen Operationen die einzigen Elemente alles Rechnens, und wenn z.B. der Logarithnaus einer Zahl gesucht wird, so sind es offenbar lauter Operationen dieser Art, die man anwen- det. Aber will man diese Rechnung durch algebraische Zeichen andeuten, so sieht man leicht, dals es nur durch eine Zusammensetzung von unendlich vielen geschehen könne. Die unendlichen Reihen, durch welche man Loga- rithmen und trigonometrische Verhältnisse vor- stellt, sind im Grunde nichts anders, als die Andeutung der unendlich vielen algebraischen Operationen, die man vornehmen muls, um eine solche Gxölse zu finden. Für den gewöhn- lichen Gebrauch sind daher Tabellen bei diesen Grölsen ein. unentbehrliches Bedürfnifs, wo ich das ein für allemal berechnet finde, was ich in jedem einzelnen Falle durch eine desto grölsere Menge von Operationen suchen mülste, je ge- nauer ich das Resultat haben wollte. Die allgemeine Mathematik theile ich in Arithmetik und Analysis. An Arithmerik Ich verstehe also unter Arithmetik die Lehre von beständigen Grö/sen, sofern sie dursh willkührliche Zeichen construirt werden. Ich weiche daher hier von dem ge- 54 wöhnlichen Sprachgebrauch etwas ab, der eigent- lich die ganze allgemeine Mathematik, obgleich etwas schwankend, so nennt. Die Arithmetik in dieser engeren Bedeutung hat drei Abschnitte: ı) Zahlen-Rechenkunst; 2) Buchstaben-Rechenkunst; 3) Algebra. Der erste ist die Theorie der Rechnungsopera- tionen in bestimmten Zeichen(Ziffern); der zweite ist eben die Theorie in unbestimmten Zeichen(Buchstaben); der dritte ist die Lehre von den Gleichungen, Um den idealischen Zusammenhang dieser Theile zu übersehen, bemerke ich, dals die Algebra eigentlich der Hauptabschnitt der Arith- metik und die beiden ersten nur Vorbereitungen dazu sind. Das Problem nämlich, welches die Arithmetik der beständigen Gröfsen. aufzulösen hat, allgemein ausgedrückt, lautet so: einen gegebenen Zusammenhang beständiger Grölsen symbolisch zu construiren, und alles zu finden, was durch denselben bestimmt ist. Und man sieht leicht, dals dieses die Idee der Algebra ist. Aber vor ihr müssen die einfachen Elemente aller arithmetischen Operationen erklärt seyn, welches in den beiden ersten Abschnitten geschieht. B. Anal y31:8, Die Analysis ist die Theorie der veränderlichen Gröfsen, sofern sie dur werde ınd ve sch a bei mar aber Gräi Ich nen stm hätte gereh der. die würde zvar B Setzt, Y die Fri gehören ga diese gem nennt des möcht Schwi sie zu bol 1 Sc Lusam indi g € igent- gleich netik itte; Sopent- ); der mmten Lehre Tieser die th» gen die sen nen ‚sen inden, \ man bra ist, \emente t seyn, chnitten je der m se 85 durch willkührliche Zeichen construirt werden. Der Unterschied zwischen beständigen und veränderlichen Gröfsen ist so wichtig, und so sichtbar, dals es in der That auffallend ist, zu bemerken, wie unsere besten Schriftsteller, zwar nicht ihn übersehn,(denn wer könnte das?) aber doch ihn nicht scharf herausheben, und die Gränzen, die er vorschreibt, deutlich beobachten. Ich weifs keinen einzigen Schriftsteller zu nen- nen, bei welchem ich eine deutliche und be- stimmte Erklärung von der Analysis gefunden hätte. Hätte man diese gesucht,(und unser eben gegebener Begriff mufs sich, dünkt mich, jedem, der die Sache kennt, als richtig aufdringen); so würde man eingesehn haben, dafs die Analysis zwar Buchstaben- Rechnung und Algebra voraus- setzt, wie alle spätere Theile einer Wissenschaft die früheren; aber dals sie nicht zur Analysis gehören. Selbst Segner und Kästner, unsere genausten Verfasser von Lehrbüchern, beobachten diese Gränzen nicht. Die Analysis theilt man bekanntlich in die gemeine und in die höhere Analysis; Be- nennungen, die’ich den Ausdrücken Ana lysis des Endlichen und Unendlichen vorziehen möchte. Der Begriff der ersteren hat gar keine Schwierigkeit. Das allgemeine Problem, welches sie zu lösen hat, ist folgendes: aus der sym- bolischen Construction eines gegebenen Zusammenhangs veränderlicher und be- ständiger Grölsen(welche der Analyst 86 eine Function der veränderlichen Grö- fsen nennt,) alles zu finden was durch denselben bestimmt ist. Dieser Begriff hat keine Schwierigkeit: wir halten uns daher bei demselben nicht auf. Was aber die höhere Analysis betrifft, so sagt zwar jedem, der sie kennt, ein klares unzweideutiges Bewnulstseyn, dals sie etwas an- ders sey, als die gemeine Analysis;. indem sie eine eigene(lasse sehr allgemeiner Aufgaben umfafst, und diese nach einer ganz eigenen Me- thode behandelt. Allein dieser ganze Calcul, der an Scharfsinnigkeit alles übertrifft, was man sonst scharfsinnig nennt, wurde von seinen beiden Erfindern auf einen Begriff gegründet, den we- der die ersten Erfinder selbst, noch irgend ein Analyst nach ihnen, zur vollendeten Deutlichkeit hat bringen können. Leibnitz nannte ihn das Differenzial einer veränderlichen Grölse, und erklärte dieses durch die unendlich kleine Veränderung einer Function, welche dadurch entsteht, dafs eine in ihm enthaltene veränder- liche Grölse eine unendlich kleine Veränderung Teidet. Newton nannte ihn die Fluxion einer veränderlichen Gröfse, und erklärte diese durch die Geschwindigkeit, mit der sich eine Function ändert, wenn eine in ihr enthaltene veränder- liche Gröfse mit einer bestimmten Geschwindig- keit wächst oder abnimmt. DBeruligt mıan sich nit diesen Erklärungen, so hat übrigens die Worterklärung der höheren Analysis nicht die seit eineil Größse au hr ment der den Re m st st fi deı sic] stm wol dür, Mit lich chen genan "SE U Grö- urch F hat t bei ehrt, Knres Was Me lem se ılgaben n Me- ıl, der sonst iden we- ein keit ıın ölse, eine „durch ander» nderung ın einer se durch Function reränder- hwindig- an sich send die ihr die ae ums sn rer 67 geringste Schwierigkeit. Sie lehrt: entweder aus einem gegebenen Zusammenhang veränderlicher Gröfsen, den Zusammenhang ihrer Differenziale zu finden: oder umgekehrt, aus einem Zusam- menhang von Differenzialen den Zusammenhang der zugehörigen veränderlichen Grölsen zu fin= den. Jenes geschieht in der Differenzial- Rechnung, dieses m der Integral-Rech- nung. Da die ganze folgende Abhandlung be- stinmt ist, diesen schwierigen Gegenstand voll- ständig zu erörtern, so halte ich es für über- flüssig, bier noch etwas hinzuzufügen. 1l. Die räumliche Mathematik. Wir kommen zu dem zweiten Haupttheil der Mathematik, den wir räumliche Mathema- tik genannt haben. Sie hat es mit der einzigen in unserm Vorstellungsvermögen vorkommen- den Grölse zu thun, welche unmittelbar durch sich selbst darstellbar ist; so dafs sie einer Con- struction durch Zeichen, zwar wie jede Grölse, wohl empfänglich, aber nicht schlechthin be- dürftig ist. Wir theilen sie, wie die allgemeine Mathematik, in die Theorie des Unveränder- lichen und in die Theorie des Veränderli- chen im Raume. Jene haben wir Geometrie genannt, diese Phorometriıe. ————— A. GG ed mMmerrie: Das allgemeine Problem,'welches die er- stere aufzulösen hat, ist: einen Zusammen- hang räumlicher Gröfsen, der durch ei- nen Begriff oder Satz gegeben ist, zu construiren, um dadurch alles zu fin- den, was durch denselben bestimmt ist. So constmirt die Geometrie ein Dreieck, seinenı Begrilfe gemäls, um die Eigenschaften desselben kennen zu lernen, d. h. alles zu finden, was durch drei Linien, die in emer Ebene emen Raum begränzen, bestimmt ist. So construirt sie einen Kegel, eine Kugel und einen Cylin- der von gleichem Durchniesser und Höhe, um zu untersuchen, was für ein Verhältnils die so bestimniten Räume haben u. s. f. Da die Geo- mıieirie die ausgedehnte Grölse selbst, nicht ein blolses Zeichen derselben betrachtet, so hat sie, zwar nicht an Gewifsheit, aber wohl an An- schaulichkeit einen Vorzug vor der allgemeinen Mathematik. Anch ist,eben deswegen ihre Me- thode ganz eigenthümlich. Die allgenieine Ma- thematik rechnet, d. h., alle ihre Operationen sind im Grunde nichts, als Vermehrung und Verminderung der Grölsen nach mehr oder minder einfachen Regeln. Die Methode der Geometrie ist: unmittelbare Anschauung und Betrachtung der Grölse selbst. Sie sucht alles auf, was aufßser den bestimmenden Stücken im Objecte selbst liegt, und betrachtet, ee len» del» rail fin It st, einen selben ‚was emen int ein sie, Al- nen & Me« e Ma- tionen 5 und le der nung rt se enden chtet, 89 in welchem Verhältnifs jedes, was sie wahr- nimmt, gegen die bestinmmenden Stücke stehe; sie vergleicht alle Theile und Bestandtheile des Objects unter sich, und mit andern schon be- kannte ÖObjecten, um so wo möglich seine Erkenntnils zu erschöpfen. Um aber den Geist der Geometrie ganz aufzufassen, ist noch zweier- lei zu bemerken. ı) Die Objecte der Geonie- trie können nicht blofs unmittelbar, sondern auch, wie alle Gröfsen überhaupt, mittelbar durch willkührliche Zeichen construirt werden, d.h. die geometrischen Gegenstände sind einer arithmetischen und algebraischen Behandlung empfänglich. 2) Da die Zeichen, durch welche man Gröfsen in der allgeımneinen Mathematik vorstellt, gänzlich willkührlich sind, so können die Objecte der Geonzetrie selbst als Zeichen je- der andern Art von Gröfsen gebraucht werden: so kann man die Linie als das Bild einer Zahl, einer Zeit, einer Geschwindigkeit, einer Kraft u. s.£ betrachten, und so selbst jede solche Frage, welche nicht räumliche Grölsen betrifft, in das Gebiet der Geometrie herüber- ziehen. Kurz die geometrische Methode ist im Grunde eine eben so allgemeine Methode als die arithmetische, und jede mathematische Frage läfst sich daher eben so wohl geometrisch, als arithmetisch und algebraisch untersuchen. Es hat aber jede dieser Methoden ihre eigenen Vor- zuge;...Die geometrische hat den Vorzug der Anschaulichkeit und äufseren Evidenz; aber sie 90 giebt in der Anwendung auf äufsere Gegen- stände der Sinne nur sehr mangelhafte Annähe- rungen: denn die wahren Objecte der geometri- schen Untersuchung sind blols- im Kopfe, und können äufserlich nur annähernd, und wegen der Beschränktheit der Sinne nur sehr mangel- haft dargestellt werden. Dagegen hat die arith- metische Methode den Vorzug, dafs ihre Zei- chen nicht mehr oder weniger gelten, als die Begriffe, die man an sie knüpft; sind diese also richtig, so sind ihre Operationen entweder ganz fehlerfrei, oder wenn man sich einer Näherungsmethode bedient, so kann man die Annäherung zu jedem Grade von Genauigkeit treiben. Bei der geometrischen Methode sind in der Anwendung auf die sinnliche Welt zwei Quellen von Fehlern unvermeidlich, Unsicher- heit der sinnl&h gegebenen Grölsen, und Un- sicherheit der mit ihnen vorzunehmenden Ope- yationen. Bei der arithmetischen Methode ist blels die erste Quelle von Fehlern unver- meidlich. Die reine Geometrie:hat es blofs mit der Construction beständiger Gröfsen zu. thun; denn wenn sie auch zuweilen von dem Begriff einer Bewegung Gebrauch macht, so geschieht es doch mehr einer Bequemlichkeit wegen, als weil es nothwendig wäre; wenigstens ist in kei- nem Falle die Bewegung selbst der Gegenstand der Betrachtung. Hierin liegt der Grund, war- um die sogenannten genetischen Erklärungen zit hiwel | beque gel Ein! dan \ıc egen- Jdhe- etri= und ‚gen Igel« the la» 3(die diese veder iner die VeL« der hun; egnift hieht „als \ kei« stand wäle op’ zen 91 nicht ganz rein geometrisch sind, ob sie gleich bisweilen, besonders in der Stereometrie, grolse Bequenilichkeiten gewähren, und an sich der geometrischen Evidenz nicht den geringsten Eintrag thun.‘Man hat daher eigentlich nur dann Ursache, denı Begriff der Bewegung mög- lichst auszuweichen, wenn man einen Versuch machen will, wie weit sich der ganz reine Vor- trag der Geometrie treiben lasse. Wie weit difs möglich sey, zeigt deutlich die Geometrie der Alten; doch sieht man leicht, dafs die Einmi- schung frenider besonders arithmetischer Begriffe (Zahl, Verhältnils, Vervielfältigung, Theilung u. s.£.) zum Theil selbst in den allerersten Be- griffen der Geometrie ganz unvermeidlich sey. Überhanpt lassen sich in keinem Theile der Mathematik die idealischen Gränzen weniger ge- nau beobachten, als in der Geometrie. Schon in der Analysis ist es schwer, und wenn es möglich ist, nicht rathsam, den geometrischen Ansichten auszuweichen: aber in der Geonietrie ist die Einmischung der Zahlen- und Buchsta- ben- Rechnung ein wesentliches Bedürfnifs ge- worden; indem man offenbar die Lehre vo der Ausmessung der Linien, Flächen und Räume, gegenwärtig, un der mannigfaltigen Anwendungen willen, als einen integrirenden Theil der Geometrie ansehen mufs. Es ist da- her zwar nöthig, sowohl in der Elemientar- als höhern Geometrie, den reinen Vortrag bis zu einem gewissen Punkt streng zu beobachten, um ————— | ü \i a 92 den Geist der Wissenschaft zu erhalten; aber ich. halte es für tadelhaft, diesen Versuch zu weit zu treiben. So gewils es eine kleinliche Ansicht der Dinge ist, immer nur in der Wis- senschaft- Nutzen, nicht Wahrheit, zu suchen, eben so gewils ist es ein Vorurtheil, zu glau- ben, dals jede Rücksicht auf Anwendung die Wissenschaft erniedrige.e Im Gegentheil mufs jeder, der die Dinge unbefangen betrachtet, ein- räumen, dals jede wissenschaftliche Theorie um desto sorgfältiger bearbeitet werden mülse, je fruchtbarer sie sich in der Anwendung zeigt. Man theilt die Geometrie in elementare und höhere. Die Gränze zwischen beiden ist zwar im Grunde nur willkührlich gezogen, aber doch natürlich und sehr bestimmt. Alles was durch die gerade Linie und durch den Kreis construirt werden kann, gehört in die niedere Geometrie, alles, wobei andere Curven vorkom- men, in die höhere. Die Elementar- Geometrie theilt man in Planimetrie(oder Epipedometrje), und Ste- reometrie. Jene umfalst alles, was in einer Ebene construirt werden kann, also Linien, Winkel und ebene Figuren; diese begreift alles, was sich nur in einem Raume von drei Dimen- sionen construiren lälst. Jeder dieser beiden Theile hat wieder einen rein geometrischen und einen aus Verbindung von Geometrie und Arithmetik gemischten Theil,. In. der Planimetrie enthält dieser ge- un 93 wischte Theil die Lehre von der Ähnlichkeit der Figuren, von ihrer Ausmessung und die Lehre von der Berechnung der Dreiecke. Die letzte ist für die Anwendung von solcher Wichtigkeit, dafs man zweckmälsig gefunden hat, ihr durch den eigenen Namen der ebenen Trigono- metrie den Character€iner eigenen mathema- tischen Wissenschaft zu geben. Es erstreckt sich aber ihre Anwendbarkeit nicht blofs auf Natur- und Kunstgegenstände, sondern man weils, dals sie für alle Theile der Mathematik selbst, besonders für die Analysis, von unendli- cher Wichtigkeit ist. Man miufs daher in der Analysis entweder sehr viel verlieren, oder zu einem höchst gekünstelten Vortrag seine Zu- flucht nehmen, wenn man den Versuch, sie rein vorzutragen, hartnäckig durchsetzen will. Zwischen der Planimetrie und Stereometrie ist bisher eine Lücke gewesen, welche Monge und Lacroix sehr glücklich durch die Geome- £rie descriptive, die ich im deutschen Projectionslehre nenne, ausgefüllt haben. Man bedient sich in der Stereometrie perspecti- vischer Zeichnungen, ohne vorher den Lehrling in den Stand zu setzen, dals er sie verstehen könne. Zwar kann und mufs man sich auch wirklicher körperlicher Figuren beim mündli- chen Unterricht bedienen; aber man sieht auch leicht ein, dals ihr Gebrauch nur sehr einge- schränkt ist,.und dals er bei dem schriftlichen Unterricht aus Büchern ganz wegfällt. Dals die 94 Perspective, die man-bisher als einen Theil der angewandten Mathematik vorgetragen hat, sehr wenig aus der Physik voraussetze, be- merkte schon Kästner in seinen Anfangsgrün- den, und liefs sie daher gleich auf die Elemen- tar-Geonmietrie folgen.“Sie braucht aus der Phy- sik nichts als den Begriff eines Lichtstrahls, und das Gesetz seiner geradlmigen Bewegung; aber beides gehört gar nicht zum Wesen dieser Wis- senschaft, und sie erscheint als vollkommen reine Geometrie, wenn man die allgemeine. Auf- gabe, welche sie aufzulösen hat, auf folgende Art ausdrückt: es sind zwei Ebenen der Lage nach gegeben, nebst einem Punkt aufser ihnen; von diesem Punkt zieht man unbegränzte gerade Linien durch bestimmte Punkte der einen Ebene; man soll die Durchschnittspunkte die- ser Linien mit der andern Ebene fin- den. Wenn man diese Durchschnittspunkte in der zweiten Ebene Projectionen von den Punkten in der ersten Ebene nennet, so ist auch dieser Begriff rein geometrisch. Übrigens ist der Begriff einer Projection bei sehr vielen ma- thematischen Untersuchungen von Nutzen, und verdient schon deswegen in die Elementar- Ma- thematik aufgenommen zu werden. Die Stereometrie wird also folgende Ab- schnitte haben müssen. ı) Die Projectionslehre; 2) Die Lehre von der Lage der Ebenen; 3) Die Lehre von den Körpern, soweit sie ohne Arith- Theil hat, be- Tün« en- Phy- S, und er er Wis- ommen 1e Auf Isende der nkt eht :ch 16; I&« IN- mn den audı 18 ist Me und “Ni. Ab» lehre; ) Die rithe 95 metik vorgetragen werden kann. Difs sind die rein geometrischen Abschnitte. Vermischte Ab- schnitte sind: 4) die Ausmessung der Körper, und 5) die sphärische Trigonometrie. Die höhere Geometrie hat ihren schö- nen rein geometrischen Character im den neuern Zeiten zum Schaden der Wissenschaft beinahe ganz verlohren. Es ist wahr, die Anwendung der Analysis auf die Curven, giebt ihrer T’heo- rie eine so bewüundernswürdige einfache Ansicht, dafs es kein Wunder ist, wenn sich die Mathe- matiker haben verleiten lassen, über derselben die Methode der Alten beinahe zu vergessen. Aber auf der andern Seite gewährt wieder die rein geometrische Methode so wichtige Vortheile, und beschäftigt den Scharfsinn auf eine so ei- genthümliche Art, dafs jedem, der es mit der Wissenschaft gnt meint, die Aufrechthaltung der Methode der Alten am Herzen liegen mus, Man sollte daher in jeden Lehrbuche wenigs stens die Lehre von den Kegelschnitten erst im Geiste der Alten vortragen, ehe man ihre ana- lytische Behandlung zeigte. Ein gewisser Mit- telweg, den einige eingeschlagen haben, die Lehrsätze aus den Alten, und die Beweise aus der neuern Analysis zu nehmen, scheint mir nicht zweckmälsig. Seit Newton wülfste ich in der That keinen Geometer zu nennen, der beide Methoden so vollkommen vereinigt hätte, als dieser eminente Geist. ER WER EEE ER TE. Eee ren Ri a u 96 B.:-Pho ro:metrtrie Ich komme zu dem letzen Theil der reinen Mathematik, zu der reinen Bewegungslehre, die ich Phorometrie genannt habe. Der bloßse Zu- sammenhang, in welchem ich diese Wissen- schaft hier aufstelle, wacht es schon’ sichtbar, dafs gie nothwendig als Construction des Veränderlichen im Raum zur reinen Ma- thematik gerechnet werden müsse, weil sonst hier eine grofse Lücke. bleiben würde, welche man nothwendig auszufüllen suchen ımulste, wenn sie in der reinen Mechanik nicht schon längst und höchst vollständig ausgefüllt wäre. Bisher schwankte diese Wissenschaft, die man bald reine Mechanik, bald Dynomik, bald höhere Mechanik nannte, inımer auf den Gränzen der reinen und angewandten Mathematik hin und her, als ob ihre Abkunft wirklich unsicher wäre. Indessen fühlte es jeder, der sich mit ihr be- schäftigte, dals es lauter rein mathematische Arbeiten waren, die er unter Händen hatte. Wie geht es also zu, dafs man dennoch nicht wagt, ihr ganz bestimmt den Platz anzuweisen, der ihr gebührt, und sie als wirkliche reine Mathe- matik zu behandeln. Der Grund ist nicht schwer zu finden. Einige Begriffe, die unleugbar von physischem Ursprung sind, die Begriffe von Masse, Beharrungsvermögen, und beson- ders Kraft, laufen durch alle Theorien ‚der Me- chanik hindurch, von den ersten Begriffen und Grund- che Nas: Scha Allee fur St behiel specie gen Tr B. glei ganz weo Kıafı gehöi über 1 tülp: einen e, die x Zu- Nissen Schkha, Ion Any nen Ih. eil song , welche " mälıe, ı£ schon E wäre, le an höhere on der ı und ware, ir be« yatısche te, Wie ht wagt, en y der » Matie« it schwer har von riffe von nd beson ] der Ib. iffen und Grunde 97 Grundsätzen an, so dals sie untrennbar dazu zu gehören scheinen. Difs ist aber unrichtig, und nur eine Folge des Ganges, welchen der menschliche Geist bei der Erfindung. dieser Theorie genonimen hat. Die erste Verse zu diesen Untersuchungen sind lauter Aufgaben der Physik: der freie Fall, und die W urfbewe- gung eines Körpers, die Schwingungen eines Pendels, einer gespannten Saite, die Bewegun- gen der Weltkörper: dils waren die Enre ende, welche den menschlichen Geist zuerst reizten, die allgemeinen Gesetze der Bewegung aufzusu- chen; und hier hatte man es freilich überall mit Massen und Kräften zu thun. Es gelang dem Scharfsinn, alle diese Fragen in viel gröfserer Allgemeinheit aufzulösen, als in der sie die Na- tur selbst vorgelegt zu haben schien; und so behielt man die Begriffe, welche blofs dem speciellen Fall, von welchem man ausgegan- gen war, zugehörten, auch in der allsemeinen Theorie bei. Der freie Fall der Körper war z. B. ein von der Natur aufgestelltes I Problem; es war die Wirkung einer physischen Kraft, der Schwerkraft. Man fand, die Bewegung sey eine gleichförmig zunehmende, und man entwickelte ganz allgemein die Gesetze dieser Art von Be- wegung: aber die Begriffe von Masse und Kraft, die der speciellen physischen Aufgabe zu- gehörten, schlichen sich unvermerkt mit hin- über in die allgemeine Theorie, aber ganz unnö- thig: denn das allgemeine Problem lautet so: [7] m—— ES WE TE ES OR 07, 98 wenn sich ein Punkt so bewegt, dafs seine Ge- schwindigkeit in jedem Augenblick um gleichviel zunimmt, wie grols wird seine Geschwindig- keit, und sein zurückgelegter Weg, am Ende je- des Zeitraums seyn? Wer sieht nicht ein, dals diese Frage eine rein mathematische ist, und mit den Begriffen von Masse und Kraft gar nichts zu schaffen hat? Die unnöthige Einmischung jener physi- schen Begriffe in die Theorie, hat hin und wie- der ganz ohne Noth Schwierigkeiten veranlafst, weil der Begriff einer Kraft etwas idealisches an- zeigt, was an sich gar nicht anschaulich ist. So hat man öfters Schwierigkeiten gefunden bei der Lehre von der Zusammensetzung der Kräfte, die in der That ein Cardinalpunkt für die ganze Mechanik ist; und man hat sehr künstliche Wege versucht, um diese Schwierigkeiten zu heben. Sie verschwinden aber von selbst, so- bald man das rein mathematische und physische trennt. Die rein mathematische Frage heifst: wie kann ein Punkt zwei Bewegungen von ge- gebener Richtung und Geschwindigkeit auf ein- mal haben? Und wer sieht nicht ein, dafs, diese Frage zu beantworten, die ersten Elemente der Geometrie hinreichen. Die Beantwortung der physischen Frage aber, von der Wirkung zweier zugleich thätigen Bewegungskräfte, ist offenbar nichts anders, als die einfache Anwendung ei- nes rein mathematischen Satzes auf einen phy- at Ma sich tisch als N an m tun; dem Verh; ine Ge eichvie] windig- nde je- n, dals t, und valt gar " phyai. nd wie: ranlalst, 165 an» h ist, ı bei räfte, anze„ liche \ zu , 50 ysische heilst; von ge« auf ein- [5, diese ante der ung. der 5 zweiet offenbır luy&le a Phye 99 sischen Fall. Selbst die allgemeine Theorie der Centralbewegungen läfst sich von allem phy- sischen entkleiden und als eine rein mathema- tische Frage darstellen, wenn man nur bemerkt, dals das Gesetz und der Ausdruck der Kräfte nichts anders ist, als das Gesetz und der Aus- druck der in jedem Augenblick zu der schon vorhandenen Bewegung in gewissen Richtungen hinzukonınmenden Geschwindigkeiten. Man bedenke nur, wie man dazu gekommen ist, Kräfte in mathematische Formeln zu bringen? Kraft ist die ihrem Wesen nach völlig unbe- kannte Ursache einer Bewegung, also gewils nichts melsbares; was wir messen können, ist lediglich ihre Wirkung, die Bewegung, welche wir ihr zuschreiben. Die Größe der Bewegung aber ist das Produkt der Masse und Geschwin- digkeit; und da die Masse immer eiwas bestän- diges ist, so ist jeder Ausdruck der Kraft of- fenbar nichts, als der Ausdruck für das Gesetz der in jeden Augenblick entstehenden Geschwin- digkeit, nıultiplicirt mit einem beständigen Coef- ficienten; ‚und dieses sind lauter rein mathema- tische Begriffe. Wenn man sagt,«die Central- kraft der Sonne stehe im verkehrten Verhältnils mit den Quadraten der Entfernung, so sagt man nichts anders, als: der Zusatz an Ge=- schwindigkeit, welchen ein Körper in der Rich- tung gegen das Centrum der Bewegung in je- dem Punkte erhält, stehe in dem gedachten Verhältnisse u. s.£ 100 Die Trennung des rein nıathematischen und des physischen ist also hier möglich; und sie würde für beide Wissenschaften von grolsem Nutzen seyn. Sie füllt eine Lücke, die sonst ın der Mathematik bleiben würde, und macht die theoretische Untersuchung der Bewegungen of- fenbar einfacher und leichter. Die Physik aber bringt sie der reinen Idee der Wissenschaft näher, indem sie nicht mehr gezwungen seyn würde weitläuftige und schwierige mathematische, Theorien aufzunehmen, sondern, so wie sie mit Recht sich schon jetzt nicht für verpflichtet hält, die Lehrsätze der Aritlumetik und Geometrie zu beweisen, berechtiget ist, sie aus ihrem ei- genthünnlichen Gebiete zu entlehnen; eben so würde sie nach Absonderung der Phorometrie die Lehrsätze dieser Wissenschaft entlehnen dürfen; und als mathematische Arbeit würde ihr blofs die ganz specielle Anwendung derselben auf die Naturerscheinungen übrig bleiben. Ich mufs noch ein Paar Einwürfe erwäh- nen, die man vielleicht meiner Ansicht der Phorometrie entgegenstellen wird. Die Theorie des Veränderlichen im Raume, wird man viel- leicht sagen, ist schon in der höhern Geometrie realisirt, indem man Abscissen, Ordinaten, Bö- gen, Flächen, kurz alles, als veränderliche Grö- {sen behandelt. Dafs diese Ansicht ‚der Curven phorometrisch sey, ist richtig; aber es ist auch klar, dals hier die Bewegungen nicht Zweck, | 101 und| sondern blols Hülfsmittel sind. Es wird wohl | sie| niemand leugnen, dafs es die Elementar- Geo- sem| metrie nur mit beständigen Grölsen zu thun An 9 habe; und würde sie aufhören, die Theorie be- die ständiger räumlicher Gröfsen zu seyn, wenn df- man dergleichen phorometrische Ansichten in der sie aufnähme, was gar wohl möglich ist, und Schal sogar bisweilen geschieht! Die Mathematik be- seyn darf eines Theiles, wo die Bewegung nicht ische, Hülfsmittel, sondern Zweck ist. e mit halt, Ein anderer Einwurf, dem ich entgegensehe, tie ist der, dafs der Begriff der Bewegung selbst i- kein mathematischer, sondern ein empirischer so Begriff sey. Ich mufs diesen Einwurf um so lie mehr erwarten, da Kant selbst und sein Com- n; mentator Schulze in Königsberg, der ein guter IR mathematischer und philosophischer Kopf war, lie und aufser ihnen vielleicht noch viele andere, diesen Begriff zu einem empirischen machen, Aber was ist denn die Bewegung eines wäh Punktes? Kann man anders antworten, als es der sey eine stetige Veränderung seines Orts im Beorie Raume? Und ist Veränderung etwas anders viele als successive Verschiedenheit? Nun möchte ich yiehie doch wohl wissen, wo ‚in dieser, dünkt mich, I sehr vollendeten Analyse des Begriffs das Empi- iR rische läge? Im Punkt? Oder im Ort? oder im irve Raum? Oder in der Succession? Oder in der such Verschiedenheit? Oder in der Stetigkeit?— Ich ech, gestche, es würde mir ganz unbegreiflich seyn, 102 wie man den ganz rein mathematischen Ur- sprung dieses Begriffs verkennen könnte, wenn ich nicht wülste, wie oft der innere Ursprung eines Begriffs verwechselt wird mit seinem Über- gang aus dem dunklen ins deutliche Bewulst- seyn. Die Vorstellung vom Raum muls offen- bar allen andern Vorstellungen äulserer Gegen- stände zum Grunde liegen: denn wie könnte ich mir etwas als aulser mir vorstellen, ohne dafs ich vorher schon eine Vorstellung von dem Aufsermir hätte? Aber zum deutlichen Be- wulstseyn bringen wir ihn allerdings erst da- durch, dafs wir Ausdehnung und Entfernung mit den Sinnen wahrnehmen.\Eben diese Be- wandnifs hat es nicht nur mit dem Begriff der Bewegung, sondern überall mit allen mathema- tischen Begriffen. Ihr Ursprung liegt in dem Wesen unseres Vorstellungsvermögens; aber zum deutlichen Bewulfstseyn kann sie nur die sinn- liche Wahrnehmung bringen? Ich schliefse diese Übersicht der reinen Ma- thematik mit einem Rückblick auf den unge- heuren Umfang derselben. Wer sie in allen ih- ren Theilen gründlich kennen will, mufs ihr sein ganzes Leben widmen, und doch ist dieses in der That nicht hinreichend, sich alles wich- tige, was man entdeckt hat, völlig anzueignen. Difs zeigt sich unter andern sehr deutlich in der schon erwähnten Erscheinung, dals es ge- genwärtig nur wenige Gelehrten dieses Faches 103 Tal| geben möchte, welche in der höhern Geometrie wenn| in dem vollen Besitz der rein geometrischen al| Methode wären. Gewils hat diese Methode eben Über= den unwiderstehlichen Reiz, der allen Theilen Nulst- der Mathematik eigen ist, in einem vorzüglich Aen- hohen Grade. Ihre Vernachlässigung ist also u wohl nicht einer Geringschätzung, sondern dem Könnte zu grolsen Umfang der Wissenschaft zuzuschrei- I, Ole ben. Ich möchte daher vorschlagen, bei jeder on dem-Academie der Wissenschaften einen eigenen Ge- en Be- lehrten für die reine Geometrie anzustellen, um 'st dar den Geist der alten Methode nicht unter der nung Last der neuern Analyse erdrücken zu lassen. - . der ma- Die angewandte Mathematik. dem zum Was ist nun die angewandte Mathema- INN- tik? Die allgemeine Idee derselben hat keine Schwierigkeit. Sie ist Anwendung der rei- nen Gröfsenlehre auf empirische Ge- n Mi genstände. Jeder wahrnehmbare Körper hat extensive Grölse; jede Eigenschaft, jede Kraft unge» eines Dinges, intensive; wir können nichts be- len ih- ul ihr trachten, nichts uns vorstellen, nichts denken, + dieses worauf der Begriff der Gröfse nicht auf man- wie nigfaltige Art anwendbar wäre. Das idealische eignen, Feld der angewandten Mathematik ist daher in Tch n der That nicht kleiner, als das Universum selbst, Be unsere eigene Geisteskräfte nicht ausgenommen. Faches Hieraus erklärt sich die besonders in allen Thei- 104 len der Naturlehre sichtbare Erscheinung, dafs die Wissenschaften, je weiter sie angebaut ‚wer- den,. sich dem Gebiete der Mathematik desto mehr nähern, und dasselbe oft in ganz uner- warteten Stellen berühren: eine Erscheinung, welche ohne Zweifel in Zukunft immer häufiger sich zeigen wird. Es ist daher unstreitig interessant, die man- nigfaltigsen Anwendungen, welche schon jetzt von der Mathenaatik gemacht werden, in einem leichten Umrifs zu übersehen. Einen richtigen idealischen Leitfaden hierzu aufzufnden, dürfte schwer seyn, da diese Anwendungen äufserst mannigfaltig und die meisten nur sehr zufällig entstanden sind. Ich mufs mich daher begnü- gen, einen empirischen Leitfaden gefunden zu haben. Wir wenden die Mathematik an, entweder auf Werke der Natur, oder auf Werke des Men- schen. Jene ist physische angewandte Ma- thematik, diese will ich die technische nennen: Physische angewandte Mathematik. Die verschiedenen Theile der erstern lassen sich ziemlich leicht nach den verschiedenen Theilen der Naturkunde übersehen. 105 daß In der Naturgeschichte haben uns kürz- > lich Haüy’s schöne Entdeckungen zu einer un- -sto erwarteten Anwendung in dem Gebiete der an Mineralogie geführt. In der Botanik und 15 Zoologie sind wir noch nicht so weit, Glei- get ehungen für die Curven angeben zu können, ' welche die idealische Gestalt des Blatts der Eiche | oder Linde, oder die Gestalt der Krystall-Linse Ma im Auge bestimmen. jetzt| inem| In der mechanischen Naturlehre igen| herrscht die Mathematik überall. Daher rite| 1st| ı) Die mechanischen Wissenschaften, ig| welche die Lehre vom Gleichgewicht und ü- von der Bewegung fester, tropfbarer und zu N ausdehnsamer Körper enthalten: Statik und | Mechanik, Hydrostatik und Hydraulik, Ae- \ rostatik und Pneumatik. \er| \en« 8) Die optischen Wissenschaften, Ma- welche die Mechanik des Lichts enthalten: ei Optik, nebst Lamberts Photometrie; Diop- trik und Katoptrik. Die Lehre von der Wärme, von der Electricität k und magnetischen Kraft machen Hoffnung zu künftigen neuen Theilen der angewandten Ma- thematik, und man wagt es schon jetzt, das Wort Thermometrie auszusprechen, 106 Die chemische Naturlehre berührt in ihren neuen theoretischen Untersuchungen die Gränzen der Mathematik; und wenn auch jetzt noch die Anwendung fast lediglich auf die Lehre von Verhältnissen und Proportionen be- schränkt ist, so kann man doch mit vieler Zu- versicht erwarten, dals einst die Zeit kommen werde, wo man die Auflöslichkeit eines Salzes für jede Temperatur, oder die. Dichtigkeit und andere Eigenschaften der Mischungen durch analytische Formeln oder krumme Linien con- struiren werde. Hales schrieb eine Statik der Gewächse, Bo- relli über die Bewegung der Thiere. Beides sind mangelhafte Versuche, welche aber dennoch die Möglichkeit sichtbar machen, die Anwendun- gen der Mathematik in das Gebiet der organi- schen Naturlehre überzutragen. Vielleicht ge- lingt es unsern Enkeln glücklichere Versuche zu machen. Die physische Erdbeschreibung hängt mit der mathematischen innigst zusammen; und die Astronomie ist durchaus mathematisch; und von welchem Umfang! Soll ich noch Anwendungen auf eine gei- stige Naturlehre erwähnen? Die Berech- nung der Wahrscheinlichkeit zeigt, dals die Idee nicht sciıimärisch ist. I 107 Technische angewandte Mathematik. Das Wort technisch ist bei der Benennung der technischen Mathematik in etwas weitem Sinne zu nehmen. Es soll nicht blofs die An- wendung der Mathematik auf Künste anzeigen, sondern im Gegensatz der physischen Mathema- tik Anwendung auf alles, was nicht unmittelbar Werk der Natur ist. Es dürfte schwer seyn, hier in den Objecten der Anwendung einen Leitfaden zu ihrer Classificirung zu finden, da sie so viel- fach und von so äulserst mannigfaltiger Art sind. Dagegen geben die gesammten Theile der reinen und angewandten Mathematik selbst ei- nen bequemen Leitfaden ab, an welchem sich alle erheblichen Theile der technischen Mathe- matik ziemlich leicht und vollständig aufzählen lassen. Zwar entlehnen die technischen Anwen- dungen das, was sie bedürfen, oft aus verschie- denen Theilen der Mathematik, indessen ist doch gewöhnlich ein bestimmter Theil derjenige, aus welchen sie vorzüglich schöpfen. Die arithmetischen Operationen der reinen Mathematik wendet man an, in der ge- meinen practischen undkaufmännischen Rechenkunst; in der politischen Arith- metik; in der Berechnung der Glücks- spiele. Aus der Geometrie schöpft das meiste, dessen sie bedarf die gemeine Feldmelskunst Be Zei-—_ In ne DEE EEE, DO. ee ER ee TED EEE 108 °. Pr.|:[, oder practische Geometrie; desgleichen die| de Markscheidekunst.| zuanl Als Anwendungen der mechanischen| Wissenschaften mufs man betrachten: die practische Mechanik oder Maschinenlehre, die ein sehr weitläuftiges Feld wird, wenn man die unzähligen zum Theil höchst sinnreichen sc Maschinerien dazu rechnen will, welche in den j ni Künsten gebraucht werden; ferner Hydrotech- Bw nik. Auch lassen sich am schicklichsten hierher w rechnen die in der That. sehr mannigfaltigen M und weitläuftigen Anwendungen der Mathematik lei auf alle Zweige der bürgerlichen und der dals Kriegsbaukunst, ob diese gleich nicht allein eben aus der Mechanik, sondern besonders auch aus schw der reinen Mathematik sehr vieles schöpfen. zähle Endlich gehört hierher noch die Geschütz- br» kün:st. Art u Die Lehrsätze der ‚optischen Wissen- ger schaften finden ihre Anwendung in der prak- fi tischen Optik, d. i. in der Lehre von der tech- R nischen Zusammensetzung aller Arten von opti-| m; schen Werkzeugen; desgleichen ın der Per-| telı spective, sofern man sie nicht als reine Ma- a thematik behandelt(S. 95. f.), sondern eigent-| Be lich für den Künstler bearbeitet, I | in) Auf den astronomischen Wissenschaf-| stren ten beruhen die mathematische Chronologie, die en die tire, Yun euchen in den tech- ierher tigen natık der lein aus en. [Z« ‚SEN« prak« r tech- N Optie ! Per- ne Ma eigent- schaf- en La u en nun nn 109 die Gnomonik, und die so wichtige Steuer- mannskunst. Difs sind die gröfsern Parthien mathemati- scher Anwendungen auf Geschäfte- und Verhält- nisse des Lebens; der kleinern sind unzählig viele; denn es giebt wohl keine Handarbeit, welche nicht Veranlassung zum Rechnen und Messen, dem der es versteht,"darbieten sollte, Verbindet man hiermit eine andere Bemerkung, dals die Mathematik in ihren Elementarübungen eben so leicht, als in ihren höchsten Theorien schwer sey, dafs der stumpfste Kopf wenigstens zählen lerne, dafs die mathematische Elemen- tar- Operationen die leichteste und einfachste Art des Verstandesgebrauchs, und die Fähigkeit zu denselben ein Gemeingut aller Sterblichen sey; eine Bemerkung, deren Richtigkeit bestä- tigt wird durch das Vergnügen, welches allen verständig unterrichteten Kindern das Rechnen macht, durch die Fortschritte, welche auch mit- telmälsige Köpfe darin machen, besonders aber durch den auffallenden Erfolg wohl überlegter Pestallozzischen Übungen: bedenkt man endlich, dals die Mathematik die einzige Wissenschaft ist, in welcher vollendete Deutlichkeit der Begriffe, strenge Richtigkeit und Evidenz der. Schlüsse erreicht werden kann: kurz, erwägt man den I | - Ze——— 110 eigenthümlichen Charakter dieser Wissenschaft und ihr Verhältnils gegen unser Vorstellungs- vermögen: so muls es jedem Unbefangenen ein- leuchtend werden, dafs das Studium der Mathe- matik bei weitem das wirksamste Hülfsmittel für die Bildung der intellectuellen Geisteskraft sey, an welchen schlechterdings jeder Mensch in ge- wissem Grade Antheil nehmen kann: ein Vor- zug, durch welchen sich die Mathematik von je- dem andern Bildungsmittel des Verstandes un- terscheidet. Namentlich kann das Studium der Grammatik, so wichtig es in anderer Rücksicht ist, doch dieses Bildungsmittel nicht ersetzen: denn es mufs doch, dünkt mich, für jeden un- befangenen Beurtheiler einleuchtend seyn, dafs es nicht möglich ist, einem Kinde von einem Casus oder Modus einen so richtigen und deutlichen Begriff, als von einer geraden Linie und einem Kreise beizubringen; da die gramma- tischen Begriffe eigentlich zu den feinsten phi- losophischen gehören, wobei selbst geübte Den- ker Schwierigkeit finden, ganz ins deutliche zu kommen. Das Smdium der Grammatik zu früh angefangen, dürfte daher vielleicht den Verstand mehr verbilden, als bilden; denn es ist wohl der geradeste Weg zur Seichtigkeit, wenn man frühzeitig gewöhnt wird zu glauben, man ver- stehe etwas, was man nur halb, oder weniger als halb gefalst hat. Dals man die Frage aufgeworfen hat: ob mi irkel den: of Mer bel Me eil w w oh ein. kung unen nissen liche das( Hiera der| den 27 s J Schaft man den grolsen Haufen der Menschen ungs- aufklären solle? kann nur durch die Vieldeu- - tigkeit des Worts aufklären entschuldigt wer- athe- den: denn wenn man die Frage bestimmter fü so falst: ob man die Geisteskräfte jedes t sy, Menschen zu wecken, zu üben und zu in ges beleben suchen solle? so kann wohl kein n Vor- Mensch von hellem Kopf und reinem Herzen von je einen Augenblick anstehen, wie sie zu beant- les un worten sey. Die Frage kann nur seyn: auf m der welche Art man aufs zweckmälsigste, und cksicht ohne Nachtheil des Ganzen, die Kräfte jedes er einzelnen Menschen bilden könne? Die Erhal- > tung der menschlichen Gesellschaft erfodert eine dals unendliche Menge von Geschäften und Verhält- EN nissen, unter welchen sehr viele niedrige, klein- In liche und den Geist beengende, aber doch für ine das Ganze schlechterdings nothwendige sind. IMa- Hieraus folgt, dünkt mich, unwidersprechlich pie der Grundsatz: dafs man den Verstand dessen, - den eine höhere Hand auf eine niedrige Stufe des Glücks gestellt hat, mehr intensiv, als ex- En tensiv bilden müsse. Menschenfreundliche Män- Verstand ner, in deren Hand Gott das Geschäft legte, ist wohl mittelbar oder unmittelbar künftige Generatio- ch nen zu bilden! O sorgt dafür, dafs auch der armseligste, der verlassenste, nach dem Beispiel des edlen Pestallozzi geübt werde, in den ein- fachsten Verstandesarbeiten, in den ersten Ope- rationen des Rechnens und Messens. Difs wird ihm das kleinliche Geschäft, das er als Mann man Vel- “weniger hat: ob 112 treiben mulfs, nicht, verhalst machen; er wird es mit Liebe treiben, weil er es mit dem Gefühl geistiger Selbstthätigkeit treibt; und doch wer- det ihr ihn auf der Stufenleiter empfindender und denkender Wesen heben. Aber verschont ihn mit einer extensiven Ausbildung, die er auf seinem Standpunkt nicht fassen, die sein gefes- selter Fufs nicht verfolgen kann und darf, die ihn mit seinem Geschick unzufrieden, die ihn unglücklich, und vielleicht moralisch schlechter machen würde. den ird es sefüh] wer ender chont er auf Kia. tt, die die Ahn hlechter DRITTE ABHANDLUNG. Untersuchung über den eigentlichen Sinn der höheren Analysis. 18] | di \ı pri scha We keit wis 61 Geh Mor. sten einsti bende, Köpfe 4 nen me nen nn— es nn Fu DE a Un Lies mc hu.n.g über den eigentlichen Sinn der höhe- ren Analysıs. 1, PinBerveUn: WVonendeig Deutlichkeit der Grundbe- grilfe ist für die feste Begründung einer wissen- schaftlichen Theorie zwar von unschätzbarem Werthe, aber nicht von unbedingter Nothwendig- keit. Nur dunkle Begriffe sind der Tod alles wissenschaftlichen Fortschreitens; dagegen würde es nicht schwer seyn. zu zeigen, dals aulser dem Gebiete der Mathematik, z. B. in der Logik, Moral, Rechtslehre, Politik, u. s.£& die wichtig- sten Untersuchungen, deren Richtigkeit die Über- einsimmung aller selbstdenkenden, wahrheitlie- benden, und durch keine Sophisterei verdrehten Köpfe verbürgt, dennoch blofa auf mehr oder Be RR= Sn nr han Te 116 minder klaren, nicht auf deutlichen Begriffen beruhen. Ja selbst in dem Gebiet der Grölsen- lehre giebt es einige wenige Punkte auf welche sich eben diese Bemerkung anwenden lälst. Kein gehörig unterrichteter kann an der Richtig- keit der Lehrsätze von Parallellinien, oder an der Haltbarkeit unserer Theorie ven den Loga- rithmen zweifeln, und doch beweisen die be- kannten Schwierigkeiten dieser Theorien, dafs in den Grundbegriffen, worauf sie beruhen, noch irgend ein Mangel an vollendeter Deutlich- keit versteckt liegen müsse. So wahr und hali- bar übrigens eine auf blofs klaren Begriffen be- ruhende Theorie seyn kann, so ist sie doch von der Seite jederzeit in einer ungünstigen Lage, dafs sie Bedenklichkeiten, Zweifeln, und Angrif- fen blofs gestellt ist, die sich bei der innigsten Überzeugung von der Richtigkeit der Sache, dennoch nie ganz siegreich zurückschlagen lassen*). *) Ich möchte die sehr wichtige und fruchtbare Lehre der Logıker von deutlichen, klaren und dunkeln Begriffen selbst als Belag zu dem In- halt dieses$. aufstellen. Denn der Begriff eines Merkmals, dessen sie sich bei dieser Classifica- tion bedienen, ist so vage und unbestimmt, dals es unmöglich ist, vermittelst dieses Begriffes eine deutliche und scharf bestimmte Erklärung jener drei Arten von Begriffen zu geben, Denn ein Merkmal kann die zufälligste gar nicht zum Wesen des Dinges gehörige Sache seyn. Wenn ED— | | | 9 unserer Anal dal de der B Newt as d En per a; 17 hi 2. Das auffallendste Beispiel zur Bestätigung a unserer Bemerkung dürfte wohl die höhere Iche Analysis geben: denn man muls gestehen, Abt| dals der eigenthümlichste Grundbegriff derselben, u| der Begriff eines Differenzials, oder wie ihn an Newton nannte, einer Fluxion nichts weniger, Lip als deutlich ist, Selbst die beiden scharfsinnigen ie ie Erfinder des Algorithmus der höhern Analysis, daß in ‚noch in eh man sagt: eine Fläche sey die Gränze eines i Körpers, so giebt man unstreitig ein richtiges I halı- Merkmal an, das aber nur eine äufsere Bezie- n be- hung ausdrückt, welche nicht zum Wesen der von Sache gehört, und das Innere des Begriffs einer ag6, Fläche nicht im geringsten aufklärt: denn eine ? Fläche kann man sich gar wohl auch ohne einen: il. Körper vorstellen. Ich möchte daher diese drei sten Arten von Begriffen auf folgende Art bestimmen. che, Deutlich ist ein Begriff, wenn ich ihn nicht agen nur im Ganzen vollständig und genau aufgefalst habe, sondern mich auch der einfachen Begriffe bewulfst bin, aus denen er, als aus ungleichartigen sl Bestandtheilen zusammengesetzt ist. Klar ist ein Begriff, den ich zwar im Ganzen genau und re Lehre vollständig aufgefafst habe, ob ich gleich seine en und Bestandtheile gar nicht, oder nur mangelhaft dem In« darlegen kann. Dunkel ist endlich ein Begriff, zift eines_ wenn ich nickt einmal seinen Umfang, und seine Classihca Gränzen vollständig, und bestimmt aufgefalst at, dals 65 habe. Vom Kreise hat einen deutlichen Begriff ‚iffes eine der Geometer, einen klaren fast jedermann, einen ung jenet dunkeln der welcher ihn noch mit einer Ellipse Denn ein verwechseln kann. Die weitere Ausführung die- ich, zum ses Gegenstandes würde eine eigne Abhandlung Wenn erfodern, 115 schwankten, wie'wir zeigen werden, in der ge- nauen Bestimmung, oder im Gebrauche dessel- ben. Die vortrefflichsten Analysten nach ihnen, haben mancherlei Wege versucht, die Schwie- rigkeiten zu heben, auf welche jener undeut- liche Begriff führt, aber dafs keiner von allen diesen Versuchen seinen Zweck vollkommen er- reicht kaben könne, ist schon daraus klar, dafs ein vollkommen gelungner Versuch längst jede andere Vorstellungsart verdrängt haben mülste, welches der Fall nicht ist. 5. Es liegt am Tage, welche erstaunens- würdigen und alle Erwartung übertreffenden Fort- schritte die Gröfsenlehre in sich selbst und in allen ihren Anwendungen durch den Algorith- mus der Diiferenzial- und Integral- Rechnung gemacht hat. Und je vertrauter der Analyst mit den Geheimnissen dieses Calculs wird, um so unerschütterlicher wird seine Überzeugung von der strengen Richtigkeit desselben, ob er gleich nicht im Stande ist, sich gewisse Paradoxien be- friedigend aufzulösen. Versucht er es den Be- griff des Differenzials zu analysiren, so sieht er sich gezwunger, den Begriff des Unendlich- kleinen entweder, wie es Leibnitz, Euler, Segner, und andere thun, unverhülit hin- einzulegen, oder ihn, wie Newton, Maclau- rin, d’Alembert, 1’Huilier und andere, künstlich zu verschleiern, und wir werden in der Folge sehen, dals difs, und warum es unver- meidlich sey. Aber was ist eine unendlich kleine ak ım sieder zyunge greiic was? etand die hat, hälst deg| schein setzen, die Ide Bestim uner hem selh: lieg Stre 119 ge- kleine Gröfse? Kann ein Ding, was man bald sel» als im strengsten, Sinn= 0 zu setzen, bald u| wieder als eine wirkliche Grölse anzusehen ge- Be zwungen ist, etwas anders seyn, als ein unbe- übe greifliches Mittelding zwischen Nichts und Et- \en was? und sträubt sich nicht der gesunde Ver- ee stand des Mathematikers mit vollem Recht ge- Be,‘ gen einen solchen Mysticismus? je| 4. Und doch beweiset nicht nur der glän- zende Erfolg, den ein methodischer Gebrauch dieses Begriffs in der höhern Analysis gehabt hat, dafs er kein Hirngespinst sey, sondern es JEns- Bi: läfst sich auch aus anderweitigen Gründen trotz > des Widerspruchs, den er in sich zu tragen th= scheint, seine vollgültige Realität aufser Zweifel setzen. Zu dem Ende bemerke ich zuerst, dafs hit die Idee des Unendlichen in ihren beiden Bestimmungen, als unendlic hgrofs, und Wi unendlichklein, nicht etwa blofs der hö- AN hern Analysis, sondern der ganzen Mathematik, n be- selbst in ihren allerersten Begriffen zum Grunde ne liegt. Man mufs Euklides zweites Postulat aus- a streichen, wenn man nicht die Unendlichkeit Alich- des Raums voraussetzen will. Denn ist= Euler, Ravm nicht absolut ab Eroelz d. h. anendlER \it hin grols, so kann ich eine Linie, eine Fläche, ei- nen Raum nicht, so weit ich will, sondern N nur bis zu den Gränzen des Raums erweitern. ander, i Die absolute Unbegränztheit der natürlichen Bl Zahlenreihe führt nothwendig auf die Idee des 13 ınvei®>. 1, ni Unendlichgrofsen, oder setzt dieselbe, gerade SO, nendlich wie Euklides zweites Postmlat, voraus. Und da der Begriff der Zahl auf alle erdenkliche Arten von Grölsen anwendbar ist, so ist man’ auch ge- nöthigt, die Anwendbarkeit der Idee des Unend- lichgrolsen, auf alle Arten von Gröfsen einzu- räumen. Eben so führt die absolute Unbegränzt- heit in der Theilung einer jeden Grölse, noth- wendig auf die Idee des Unendlichkleinen, Euklides beweiset im ersten Satz des zelınten Buches, auf eine Art, die Niemand in Anspruch nimmt, oder nehmen kann, dafs man durch fortgesetzte Theilung auf Gröfsen komme, welche kleiner sind als jede gegebene; hieraus aber folgt durch einen Schluls, gegen welchen die feinste Dialektik nichts aufbringen karın, dafs es kein Hirngespinst sey, Grölsen zu denken, welche kleiner sind, als alles, was gegeben werden kann d.h. welche unendlichklein sind. Ich gestehe indessen gern, dals Schlüsse dieser Art den Verstand mehr zwingen, als überzeugen. Der Mathematiker ist gewohnt die Realität eines Begriffs nur dann erst einzuräu- men, wenn er ihm in einem wirklichen Fall realisirt vorgelegt wird. Aber auch an solchen Beweisen für die Realität der Idee des Unend- lichen fehlt es nicht. Die Tangente und Secante des rechten Winkels sind von jeher unendlich gro[s gewesen, und werden es in alle Ewigkeit bleiben; und zu sagen, dals der rechte Winkel keine Tängente habe, ist eine dialektische Sophi- sterei, die man nur machen kann, so lange mıan " en dns eig endichk Min m Einwer gegen Weist weis zul dal ’ au ist, unc wer klein stand die R Ne w Werden IZi» üilte nen, hnten pruch Aurch elche aber die t die ZUFÄU» n Fall solchen Unend- Secante endlich gwigkei Winkel e Sophi- 11 an u 121 das eigentliche Wesen der mathematischen Un- endlichkeit noch nicht deutlich aufgefalst hat. Man macht indessen gewöhnlich viel weniger Einwendungen gegen das Unendlichgrolse, als gegen das Unendlichkleine; aber glücklicher Weise existirt auch für dessen Realität ein Be- weis, gegen welchen die feinste Dialektik nichts gültiges einwenden kann; und es ist sonderbar, dafs die Vertheidiger des Unendlichkleinen, nicht mit Nachdruck Gebrauch davon gemacht haben. Im sechzehnten Satz des dritten Buchs beweist Euklides so streng, als irgend etwas bewiesen werden kann, dals der Winkel eines Kreisbogens mit seiner Tangente kleiner sey, als jeder spitzige Winkel; d. h. kleiner als jeder Winkel, der gegeben werden kann; und dennoch ist man gezwungen, nach den ersten Begriffen von einer Grölse, diesem unendlich kleinen Winkel eine gewisse Art von Gröfse beizulegen: denn er wird grölser, wenn man den Halbmes- ser des Kreises kleiner nimmt, und umgekehrt; und ungeachtet er, wie Euklides streng erweiset, durch keine gerade Linie getlieilt werden kann, so kann er doch, was eben so streng erweislich ist, durch Kreisbögen von grölserem Halbmesser und zwar schlechthin ins Unendliche getheilt werden, Hier haben wir also eine unendlich- kleine Gröfse, in einem anschaulichen Gegen- stand vor uns, und man mufs einräumen, dals die Realität eines Begriffs, durch Darlegung ei- nes wirklichen Falls, nicht strenger erwiesen werden kann. Es würde nicht schwer seyn aus dem gan- zen Umfang der'Mathematik, und selbst aus den Elementen derselben mehrere Sätze anzuführen, von denen man dreist behaupten hann, dafs ihre ersten Erfinder nur durch Betrachtung un- endlich kleiner Gröfsen auf sie gekommen sind, und nur auf diesem Wege sie finden konnten: denn der Begriff dringt sich bei vielen Gelegen- heiten unausweichlich auf: man kann ihn durch künstliche Wendungen verschleiern, aber man kann ihn nicht beseitigen. Ich halte es aber für überflüssig hier mehrere Beispiele aufzustellen, da der einzige angeführte Satz, die Realität des Begriffs, trotz seiner widersinnig scheinenden Natur doch auf eine Art darthut, welche die schärfste Kritik aushält. 5. Betrachtungen dieser Art hellen zwar das Dunkel nicht auf, was auf diesem Begriffe liegt, aber sie zeigen doch unwidersprechlich, dafs er‘ keine Schimäre, keine Geburt der schwärmenden Phantasie, sondern aus dem We=- sen des Vorstellungsvermögens selbst entsprun- gen, und untrennhar mit der Mathematik ver- bunden sey. Die Gründe welche sich dafür auf- stellen lassen, scheinen mir so evident, so un- zweideutig, dafs ich schon lange, ich gestehe es, nicht blofs milfstrauisch gewesen bin gegen je- den Versuch das Unendliche aus der Mathematik zu verbannen, sondern dafs ich dils für ganz unausführbar gehalten habe. Daher glaube ich, man müsse diesen sonderbaren Begriff aufzuklä- rer, nie h jst det B thümlich Begnie ins nl nothw Nach in obı lös Zn kanı Verst hat, ı zu he mw sichtb dem wur Ne FÜN- ver- auf ) UN 16 6, n Ie- matik ganz e Ich, uklä- 123 ren, nicht ihn zu verdrängen suchen. Unstreitig ist der Begriff des Unendlichen von ganz eigen- thümlicher Art, und von andern mathematischen Begriffen sehr verschieden; aber dils berechtigt uns nicht ihn zu verwerfen, sobald er sich als nothwendig aufdringt. Bei öfters wiederholtem Nachdenken über den Begriff des Differenzials, bin ich auf eine Vorstellungsart gekommen, die ohne allen Mysticismus jede Schwierigkeit zu lösen scheint. Ihre Auseinandersetzung ist der Zweck der gegenwärtigen Abhandlung. 6. Ehe ich aber diese Ansicht darlegen kann, halte ich es für nöthig, die vornehmsten Versuche durchzugehen, die man bisher gemacht hat, um die Schwierigkeiten der höhern Analysis zu heben; denn ich würde etwas überflüssiges zu unternehmen scheinen, wenn ich es nicht sichtbar machte, dafs alle bisherigen Versuche denı Begriff des Unendlichkleinen auszuweichen, nur sinnreiche‘ Verschleierungen desselben sind. = x- r an a nn a ah an De Re TG ae ar un. RR Yan Venen al Iirschleie age AU unteysuc Method welch‘ | kan nl.| ein e sic Über die Unzulänglichkeit aller bisher ge« ji machten Versuche, die Grundbegriffe der die höheren Analysis aufzuklären, dur des ı jedes 7 Zus den Versuchen, dem Begriff des Un- Poly endlichkleinen auszuweichen, mufls man schon einhe die Exhaustionsmethode der Alten rech- Tang nen. Es ist nöthig, hier von ihr zu reden. it, Denn ob sie gleich den Begriff des Differenzials Gm nicht ersetzen, noch zur alleinigen Grundlage Au der höhern Analysis dienen kann, so wird sie er: doch bei sehr vielen Theorien unentbehrlich, so Gr bald man den Versuch macht, den Begriff des Ba Differenzials ganz zu entbehren. In der That wein kann wohl die strengste Kritik nichts gegründe-| such tes aufbringen gegen den allgemeinen Gang der| analy Schlüsse, der bei dieser überaus scharfsinnigen entha Methode zum Grunde liegt, Demohngeachtet fürcht dürfte sie, gerade in dem Fall, wenn sie ange- Fehler ZZ— wendet wird,-um den Begriff des Unendlich- lichklein che \en. als lage id sie ich, 80 yilf des ey That gründe: ang der sinnigen ngeachte sie ange“ nendlich“ 125 kleinen auszuweichen, nur zu einer Künstlichen Verschleierung desselben führen. Es würde eine eigne Abhandlung erfodern dieses allgemein zu untersuchen: denn der Grund liegt nicht in der Methode selbst, sondern in den Objecten, auf welche sie angewendet wird, weswegen die Un- tersuchung nur durch Induction geführt wer- den könnte. Wir müssen uns daher begnügen, einen einzigen Fall anzuführen, nach welchem sich aber die übrigen leicht werden beurtheilen lassen. Die Alten bewerkstelligten bekanntlich die Vergleichung des Kreises mit dem Dreieck durch die Exhaustionsmethode, Die ganze Stärke des Beweises beruht darauf, dals der Perimeter jedes äufsern Polygons gröfser, jedes innern Polygons kleiner ist, als die Kreislinie, oder einfacher, und in neuern Ausdrücken, dafs die Tangente eines Bogens grölser, die Sehne kleiner ist, als der Bogen, Das letzte folgt aus dem Grundsatz, dafs die gerade Linie die kürzeste Ausdehnung zwischen zwei Punkten sey. Das erste nahnı Archimedes gleichfalls als blolsen Grundsatz an: man hat aber längst die richtige Bemerkung gemacht, dafs dieser Satz eines Be- weises bedürfe, und man hat verschiedene Ver- suche gemacht, diese Lücke auszufüllen. Man analysire jeden solchen Beweis, und alle darin enthaltene Begriffe, so weit als mıöglich, und ich fürchte, man wird jederzeit, entweder einen Fehler im Beweis, oder den Begriff des Unend- lichkleinen versteckt finden. Eben so einfach 126 als sinnreich ist z. B. die Art, wie der neuere Euklides, Legendre in seinen Elemens de Geömetrie diese Lücke ergänzt, Er giebt L. IV. Pr. IX.(p- 115.) folgenden Satz: wenn über den Endpunkten einer geraden Linie eine krumıme oder gebrochene, oder gemischte, aber nur nach auswärts convexe Linie beschrieben ist, so ist dieselbe kleiner, als jede sie einschlie- [sende und blo[s auswärts convexe Linie. Den Beweis führt er auf folgende Art. Wäre die eingeschlossene Linie nicht kleiner, als jede ein- schlielsende, so mülste es unter allen einschlie- [senden Linien eine geben, welche die kleinste wäre. Nun giebt es aber keine solche kleinste: denn welche einschlielsende man auch für die kleinste annehmen mag, so lälst sich jederzeit leicht zeigen, dals es noch kleinere gebe. Folg- lich ist die eingeschlossene Linie kleiner, als jede einschlielsende. Ich weils nicht, liegt(die Schuld an meiner Einsicht, oder an dem Be- weis, er hat mir nie ganz befriedigend geschie- nen. Der Schluls, dals, wenn die eingeschlos- sene Linie nicht kleiner sey, als jede einschlie- [fsende, sich unter den- einschliefsenden eine kleinste finden müsse, scheint mir nicht ge- nau, es mülste, dimkt mich), heilsen: so müs- sen sich unter den einschliefsenden welche fin- den, die kleiner als die eingeschlossene Linie, oder auch derselben gleich sind. Dann verliert aber der Beweis seine ganze Kraft, denn ränunıt man als denkbar ein, dals unter den einschlie- Mm ab; beso game wäre stmmn gegeh ver G die vo ler er de iebt nn ine her Kin schlit: Da e die ein» hlie- 1ste te; ie Nee 03) hlie« ine ge müs hn« ‚nie, rliert ut lie= en nn 107 (senden Linien kleinere seyn könnten, so mufs man auch vor dem Beweis als denkbar einräu- men, dafs alle einschliefsenden Linien. kleiner seyn könnten, und dann folgt aus dem Beweise weiter nichts, als dals es unter ihnen keine kleinste gebe; nicht aber, dals sie alle grölser seyn, als die eingeschlossene. Wenn man bei einem Beweise untersuchen will, nicht ob der Satz richtig, sondern ob in der Formı der Schlüsse ein Fehler sey, so scheint mir kein Mittel sicherer und leichter zu seyn, als dals man.die blo[lse reine Form der Schlüsse abgesondert betrachte, indem ıman statt der besondern Gröfsen, welche der Satz enthält, all- gemeine Zeichen wählt. DBei unserm Beweise wäre nun der Fall folgender. Es ist eine be- stimmte Gköfse A(die, eingeschlossene Linie) gegeben, mit welcher eine Unendlichkeit ande- rer Gröfsen derselben: Art(die einschliefsenden), die wir als Werthe einer veränderlichen Gröfse vorstellen können, und mit x bezeichnen wol- len, in einer gewissen gegebenen speciellen Verknüpfung(des Einschlielsens und Einge- schlossenseyns) stehen, die zwar unınittelbar über das Verhältnils ihrer Grölse nichts aussagt, woraus man aber durch Schlüsse eine Verglei- chung abzuleiten versucht. Es soll also, und zwar durch einen indirecten Schluls, gezeigt werden, dals A kleiner sey, als jeder Werth von x. Zu dem Ende werde ich sagen maüs- sen: wenn A nicht kleiner ist, als jedes x, so nn 128 müssen die einzelnen Werthe von x entweder alle, oder einige derselben kleiner als A, oder auch A gleich seyn. Nur im zweiten Fall (wenn einige x kleiner als A sind\ darf ich annehmen, es gebe unter ihnen ein Minimum; im ersten Fall ist dils nicht nothwendig u. s:£. Wenn der Beweis in unzweideutiger Strenge geführt werden soll, so sehe ich in der That keinesandere Möglichkeit ein, als dals man ihn lediglich von gebrochnen Linien erweise, und dann schliefse, was von jeder nur erdenk= lichen gebrochnen Linie gilt; das gilt auch von einer krunımen. In diesem Schlufs würde aber der Begriff des Unendlichkleinen versteckt lie gen: denn eine krumme Linie kann nur durch Hülfe dieses Begriffs als eine gebrochene be= trachtet werden. Aber ich bin auch überzeugt, dafs jeder Versuch, dem Unendlichkleinen aus- zuweichen, bei ähnlichen Fragen, nur auf Ver«- schleierungen desselben hinauslaufen nıöchte. In der That begreife ich auch nicht, wie irgend ein Übergang vom Geraden zum Krummen an- ders ınöglich sey, als durch das Unendlich- kleine: denn difs ist das einzige, was eine ge- rade und krumme Linie gemein haben können, und worin alle Verschiedenheit zwischen gerade und krumm gänzlich verschwindet. Überhaupt aber dürfte derselbe Fall überall eintreten, wo zwei zu vergleichende Grölsen bei jedem end- lichen Werth ungleichartig sind, aber im Un- endlichkleinen als gleichartig erscheinen. 8. Die ne nn N Iat, di iichern herube bringe dus 7 zu ders seit Be; zu gril erste Besril Grund nunftel welche iim ol ferenzi \en w de: man gie) als€ einm det, zu fi der| Unen« wenn| Sucht, reder der Pall a 129 8. Die neuern Versuche, die man gemacht hat, die höhere Analysis gegen den Vorwurf zu sichern, dals sie auf unsichern Grundbegriffen beruhe, lassen sich unter zwei Abtheilungen bringen. Entweder behielt man den Begriff und das Zeichen eines Differenzials bei, und suchte nur den Begriff so zu bestimmen, dals die Wi- dersprüche, auf welche er zu führen schien, be- seitigt würden; oder man verwarf den ganzen Begsiff, und suchte auf andern Wege zu dem zu gelangen, was man vermittelst jenes Be- griffs gefunden hatte. Diejenigen, welche den ersten Weg einschlagen, legen entweder den Begriff des' Unendlichkleinen unverhüllt zum Grunde, und suchen nur durch allerlei Ver- nünfteleien die Widersprüche zu entkräften, auf welche er zu führen scheint; oder sie suchen ihın gleich anfänglich in der Erklärung des Dif- ferenzials auszuweichen. Ob mit Glück, wol- len wir in der Folge untersuchen. Was Versu- che der zweiten Art betrifft, so scheint es, wenn man den Begriff eines Differenzials ganz auf- giebt, in der That möglich, und zwar auf mehr als eine Art, älles, was man gewöhnlich durch einmaliges oder mehrmaliges Differenziren fin- det, durch Operationen der gemeinen Analysis zu finden, wodurch auch für die Operationen der Integralrechnung der paradoxe Begriff des Unendlichen als entbehrlich erscheint.” Allein, wenn man entweder die entfernteren Sätze auf- sucht, welche einer. solchen Theorie mittelbar [9] ’ 130 zum Grunde liegen, oder wenn man versucht, sie auf Gegenstände der Geometrie und Mecha- nik anzuwenden, so kommen eben die Schwie- rigkeiten, denen man ausweichen wollte, wieder unverdrängbar zum Vorschein. 9. Unverhüllt legten den Begriff des Un- endlichkleinen zum Grunde, Leibnitz, die Bernoulli, l’Hospital, Varignon, Euler, Segner, etc. Aber in’ der That schwankte in der Erklärung des Differenzials niemand mehr als der Erfinder. Selbst seine allerersts Erklä- rung des Differenzials trägt, sogar im Ausdruck, den Charakter der Unsicherheit. Nachdem er in der Abhandlung, NMova methodus tan- gentium etc.(Act. erudit. 1684. p- 467£.) den Algorithmus der algebraischen Differenziale blofs historisch dargelegt hat, fährt er.(p. 469.) fort: Demonstratio omntium faecilis erit in his rebus versato, et hoc unum con- sideranti ipsas 9X, 9» 95 9W, 92, ut ipsarum X, Y> V> Wı 2(cujusque in sua serie) differentiis seu incrementis et decrementis momentaneis proportiona- lis haberi posse ete. Bis dahin hatte er, wenn x die Abscisse, und y die rechtwinkliche Ordinate einer Curve ist, VPxX angesehen als eine beliebige Linie, und 9y als die vierte Pro- portional®e zur Subtangente, Ordinate, und 9X. Weiterhin betrachtet er die Tangente ausdrück- lich als die geradlinige Verlängerung eines un- ent Junge Just gnid par a scharf nung Plnxte Heine im, den alle ich ger 151 Rn endlichkleinen Bogens. In spätern Abhand- Et: lungen, besonders in der, De motuum coe- re lestium: causis(Actiers 1689:-P:..82..6) jeder spricht er nicht nur bestimmt von infinite parvis, sondern sogar von incomparabili- ter parvis, und scheint die höhern Differen- {es Une ziale nicht anders als durch diese Erklärung tz, de retten zu können. Ich führe difs nicht an, um Zug ein so grolses Genie herabzusetzen, im Gegen- ankte in theil scheint mir daraus hervorzugehen, dals ein d mehr so feiner philosophischer Kopf die Unsicherheit Erkli eines blols klar aufgefalsten Begriffs viel lebhaf- druck, ter wahrgenommen habe, als seine Nachfolger. m er ban- 10. Newtons Fluxionen sind schon eine 7&) scharfsinnige, doch nicht vollständige Verschleie- nziale rung des Unendlichkleinen. In dem Begriff der 469.) Fluxionen kommt unmittelbar das Unendlich- erit kleine nicht vor: denn sie sind Geschwindigkei- 1 co ten, nut welchen sich veränderliche Größen än- 97, ut dern. Auch weicht er sinnreich dem Begriff in im sua allen Lehrsätzen und Aufgaben aus; und so viel kis et ich finden kann, ist in dem ganzen scharfsinni- rbiold- gen Werke, Methodus fluxionum, nur eine hatte er, einzige Stelle, wo sich der Begriff unverhüllt wirkliche hervordrängt; nämlich blols in dem Beweis, schen. al(nicht in der Auflösung), des ersten Problems; ierte Pro- Data relatione, quam invicem habent und dk fluentes quantitates, determinare re- uch lationem, quae inter earum fluxiones ug un intercedit etc. Er fängt diesen Beweis mit 132 Folgenden Worten an"): fluentium quanti- tatum momenta(videlicet earum par- tes indefinite parvae, quarum ac- cessione in indefinite parvis parti- bus temporis quantitates ipsae jugi- ter augentur) sunt ut velocitates qui- bus fluunt aut erescunt etc. Man weils, dafs Newton die Herausgabe dieses unendlich wichtigen Werks sehr lange ver- zögerte, ohne einen andern Grund anzugeben, als dafs er den Streit nicht liebe. Ohne Zwei- fel befriedigte ihn seine Ansicht des Grundbe- griffes nicht, und difs bestätigt sich noch mehr dadurch, dafs er in seinem zwar früher heraus- gegebenen, aber später ausgearbeiteten Princi- piis philosophiae naturalis, von den Fluxionen keinen Gebrauch macht, sondern für sie die Gränzverhältnisse substituirt, von wel- chen gleich umständlicher die Rede seyn wird. Niemand hat sich wohl gröfsere oder viel- mehr unsäglichere Mühe gegeben, die Fluxions- rechnung von dem Vorwurf eines Mangels an Evidenz in ihren Grundbegriffen zu befreien, als Maclaurin, und doch kann er in dem wichtigsten Fundamentalsatz seiner Theorie, im ı4ten Theorem des ersten Buchs, den Begriff von etwas, das kleiner ist als alles, was sich *) In Castillons Ausgabe von Newtons Opusculis, Vol. I. p. 59. et Ära rer eg din ah te nn Samaarn 0=- eb ER 4 zö@ u Ber—.) | 155 anti geben läfst*), nicht ausweichen, und in der An- par wendung auf besondere Gegenstände der Geome- ac- trie und Mechanik kann man doch, wie wir in der urkie Folge allgemein zeigen werden, der Betrachtung jugi« unendlichkleiner Grölsen nicht entgehen. gie Man hat übrigers beide noch, und nicht ohne Grund, getadelt, dafs sie in die Grundbe- ausgabe griffe der Analysis, mechanische Begriffe, Be- ge ver wegung und Geschwindigkeit einmischten, ıgeben, was zwar der. Evidenz keinen Eintrag thun Zwei- würde,(denn jene Begriffe gehörig gefalst, sind ındbe- reine mathematische Begriffe) aber doch den mehr Gesetzen einer richtigen Topik nicht gemäfs ist.» u3- ı3. Keine Vorstellungsart ist in den neuern 1 Zeiten beliebter geworden, als die Theorie der de Gränzverhältnisse.\ Dafs Newton sie schon in fi seinen Principiis gebraucht habe, ist schon wel- oben erinnert worden; und die ganze erste Se- a ction des ersten Buchs enthält in elf Lehrsätzen Sl vielleicht das scharfsinnigste, was sich über diese Son Vorstellungsart sagen lälst. Nach ihm hat be- a sonders d’Alembert dieselbe dringend empfch- ekrkie len, und l’Huilier hat sie besonders sorgfältig, An auf Veranlassung einer Preisfrage der Kzl. Acad. ie, im der Wiss. in Berlin für das Jahr 1786 aus- ‚Beni geführt**). yas sich *) In Pezanas fr. Üb. Traite des fluxions par Mac- De: laurin, Paris 1749. Vol. I. p. 45. N**) Exposition elementaire des principes des calculs ICHS, C. a R= ak superieurs, par l’Huilier& Berlin, Die neue Aus- 154 Um diese Vorstellungsart richtig zu würdi- gen, ist es nöthig, die Idee welehe ihr zum Grunde liegt, kürzlich auseinander zu setzen. Es sey. y gleich irgend einer Function von x, oder y=Fx: man nehme an, x wachse um die beliebige Gröfßse Ax, und y gehe dadurch über in ytAy, so lälst sich beweisen, dafs seyn werde =ptaAxtrAg+sär Freie, wo pP, q, r, S etc. in allgemeinen Functionen von x, und nach gewissen Gesetzen von der ursprünglichen Fx abhängig sind: in besondern Fällen kann ein oder der andere dieser Buchsta- ben einen beständigen Werth erhalten, oder auch=o oder selbst unendlich grofs werden. Nun ist klar, dafs, so lange Ax irgend eine be- stimmte Gröfse hat, wie klein sie auch seyn mag, das Verhältnifs Ay doch von Ax abhän- 5 A& gig sey. Stellt man sich aber Ax vor als eine veränderliche stetig abnelımende Gröfse, so lei- det auch das Verhältnifs Ay eine stetige Verän- derung, und wird endlich Ax=o, so bleibt ER blos übrig—=p; für diesen Fall schreibt Ax gabe dieser Schrift hat den Titel: Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elemen- faris 1795. al würdi- ! zum setzen. on x, Mm die h über N seyn Ic, tionen n der ıderm 18ta= der len. be- eyıl yÄN- ‚ eme v le Verän. bleibt schreibt — pIoruIm elemen- 155 man nun statt A das Differenzialzeichen, und f g; so erhält man>—p; d. h. es folgt aus die- x ser Betrachtung, dafs das Differenzialverhältnifs By:; h °Y eine bestimmte Function von X, und in be- x sondern Fällen auch eine beständige Gröfse, oder — 0, auch sogar unendlich grols, kurz, was man will,.seyn könne. Ist nun p eine Fun- ction von X, SO ist klar, dals auf sie alle die Schlüsse angewendet werden können, die man bei der ursprünglichen Function gemacht hatte; dafs folglich der zweite Differenzial- Quotient En eben so als der erste eine Function von X U s.£. seyn könne. Und so scheint in’ der That auf eine sehr einfache Art der Algorithmus der Diiferenzialrechnung nach seinem ganzen Um- fang gerechtfertigt werden zu können, ohne dafs man nöthig habe, den zweideutigen Be- griff des Unendlichkleinen zu Hülfe zu nehmen. Wir wollen diese Vorstellungsart etwas ge- nauer zergliedern, weil die Schwierigkeiten, auf welche diese Analyse führt, gröfstentheils die nämlichen sind, die sich bei jeder andern Vor» stellungsart finden, 12. Erstlich. Da die sirenge Richtigkeit e fe) 7; der Gleichung>— p schlechterdings voraus- x setzt, dals der strengste Sinn 9x0 sey; wor aus eben so notlıwendig folgt, dals auch 4y=0 156 sey, so nöthigt die obige Darstellung zwar ein- zuräumen, dafs der Quotient 3 jede Grölse vor- stellen könne; aber über die innere Möglich- keit, dals zwei strenge Nullen ein bestimmtes Verhältnifs haben können, giebt weder diese, noch irgend eine andere mir bekannte Vorstel= lungsart einen befriedigenden Aufschlufs. 15. Zweitens. Nimmt man die erste Schwierigkeit für beseitigt an, so zeigt zwar diese Vorstellungsart sehr befriedigend, dafs man den Werth des ersten Differenzial- Quotienten = einer zweiten Differenzial- Operation wunter- werfen könne, und beweiset auf diese Art im allgemeinen die Möglichkeit höherer Differen- zial- Ausdrücke, aber sie giebt durchaus keinen befriedigenden Aufschlufs darüber, wie man berechtigt sey, jedes einzelne Dilferenzialzeichen als eine veränderliche Grölse, oder auch das eine als eine veränderliche, und das andere als eine beständige Grölse anzusehen und zu behandeln: denn das thut man offenbar, indem man sich erlaubt statt 9 5) z. B. zu schreiben 7 x ox2 Und so führt die Idee der Gränzverhältnisse ge- rade auf dieselbe Schwierigkeit, als die unver- hüllte Idee unendlichkleiner Gröfsen: dagegen hat die letzte den wichtigen Vorzug, dals aus ihr der Algorithmus der höhern Analysis auf eine viel einfachere Art abgeleitet werden kann. 14. Drittens. Wenn der Algorithmus in air; eilt tora wand tenz Gr r ein. ' VOre ich» mtes liese, stele edle zwar\ 3 man ienten Ntere sich 92y L—' 0x? se ge- ————r unver agegen [5 am is auf kann, u in 157 strenger Allgemeinheit erwiesen werden soll, so setzt die Theorie der Gränzverhältnisse den Satz voraus, dafs jede Function in eine Reihe ver«- wandelt werden könne, deren Glieder nach Po- tenzen irgend einer in der Function enthaltenen Grölse fortschreiten. Es fragt sich also, auf welche Art man vor der höhern Analysis zur Überzeugung von der allgemeinen Richtig» keit dieses Satzes gelangen könne? Mir scheint kein anderer Weg offen zu seyn, als der einer vollständigen Induction. Diese hat bei algebrai- schen Functionen keine Schwierigkeit. Was aber die transcendentischen betrifft, so scheint die Sache mehr Schwierigkeit zu haben. Zuerst ist es wohl nicht möglich vor der Integral- Rechnung auch nur den Begriff transcendenti- scher Verhältnisse in völliger Allgemeinheit auf- zufassen. Doch würde difs auch nicht unum- gänglich nothwendig seyn: wofern sich nur der Beweis für diejenigen transcendentischen Ver- hältnisse, welche schon die gemeine Analysis kennt, ohne Schwierigkeit geben lälst. Allein hier scheint mir, ich gestehe es, eine unüber- windliche Schwierigkeit-zu liegen. Mir ist keine Art bekannt exponentielle oder logarithmische Functionen in Reihen zu verwandeln, wobei man der Betrachtung unendlichkleiner Gröfsen aus dem Wege gehen könnte. Was die trigono- metrischen Functionen betrifft, so haben sich einige. Analysten eines Vortrages bedient, wobei sie der Schwierigkeit zu entgehen scheinen. Sie 138 nehmen die beiden bekannten Reihen, welche en den Sinus und Cosinus durch den Bogen aus- Di drücken, als gegeben oder als willkührlich ge- find bildete Reihen an; untersuchen die Eigenschaften| in derselben, und suchen dann aus diesen zu be- at weisen, dafs die eine der Sinus, die andere der die Cosinus eines Bogens sey. Allein ich zweille, a dafs sich dieser letzte Beweis in erforderlicher|\ Strenge führen lasse. Zwar läflst sich leicht be- weisen, dals beide Reihen, wern man jede zum Quadrat erhebt und sie dann addirt, nothwendig die Summe ı geben, woraus strenge folgt, dafs, wenn man die eine als den Ausdruck eines Si-| j nus betrachtet, die andere den Cosinus eben-| di desselben Bogens vorstelle: auch muls man ein-| räumen, dals dieser Bogen irgend eine Function| gr der veränderliche Gröfse x sey, nach deren Po-| tenzen beide Reihen geordnet sind: dals aber| diese Function uichts anders sey, als diese ver-| änderliche Gröfse x selbst, difs strenge zu er-| a weisen, dürfte, wie ich glaube, sehr schwierig| seyn. 15. Viertens. Es giebt eine grolse Menge von Aufgaben, wo man einen Differenzialaus- druck sucht, nicht durch Differenzirung einer gegebenen endlichen Function, sondern durch unmittelbare Betrachtung eines gegebenen Ver-|: hältnisses gewisser Grölsen, oder einer geome- trischen Figur. Von dieser Art sind fast alle Anwendungen der höhern Analysis auf die hö- R here Geometrie und Mechanik. Es scheint mir FR vuL, 159 velchk ee. S sogar, als müsse man die Methode, einen 2 Differenzial- Ausdruck unmittelbar zu Be finden, in gewisser Rücksicht für das Eigen- aften thümlichste der höhern Analysis ansehen, indem ıbe- sie auf diesem Wege Aufgaben auflösen kann, N der die man durch andere Mittel entweder gar nicht, ei, oder nur mit grofsen Umschweifen würde auf- eilt lösen können. Denn wenn jeder Ausdruck, der cht be integrirt werden soll, auf keinem anderen Wege, le zum als dem der Differenzirung einer endlichen wendig Function, gefunden werden könnte, so liefe der ‚ dal wichtigste Theil dieser erhabnen Wissenschaft, s Sim wie mich dünkt, auf nichts, als auf ein sinnrei- ben« ches Spielwerk des Scharfsinns hinaus: denn das ein« hielse nichts anders, als einen Weg AB mit ion grolser Kunst von A nach B zurücklegen, blofs Po- zu dem Zweck, um eben so künstlich wieder von ber B nach A zurück zu kommen, also am Ende Vel- nichts weiter zu finden, als das, wovon man \ el. ausging. Kann man hingegen auf irgend einen wieng Weg unmittelbar nach B kommen, ohne durch A zu gehen, so begreift man, dafs man oft Meng: durch den Rückweg von B nach A Wahrheiten zialause entdecken könne, zu welchen kein anderer Zu- 5, einer gang offen seyn möchte. So viel ist wenigstens durch unstreitig, dals die unmittelbare Aufsuchung on Verr von Diferenzial- Ausdrücken eine Sache von der seome- grölsten Wichtigkeit sey, und ich begreife nicht, a lk wie man bei dieser Arbeit der Betrachtung un- die hie endlichkleiner Gröfsen entgehen könne. Ver- pr WE sucht man es, sa sieht man sich genöthigt zu ı40 den lästigen Weitschweifigkeiten der Exhau- stionsmethode seine Zuflucht zu nehmen, gegen welche ich meine Bedenklichkeiten schon oben vorgetragen habe. ı6. Ich mufs hier noch eines Versuches er» wähnen, die Schwierigkeiten der Differenzial- Rechnung zu heben. Der in Königsberg ver- storbne Johann Schulz liefert in seiner Entwickelung einiger mathematischen Theorien(Königsberg 1803. Seite 179.), eine Abhandlung: Über das Fundament der Differenzial- Rechnung. Ich muls geste- hen, es scheint mir, als wäre Niemand dem deutlichen Begriff eines Differenzials näher ge- kommen, als er. Er zeigt sehr befriedigend, das Differenzial sey nichts, als die Gränze einer ver- änderlichen Gröflse, oder ihrer Function, und daher im strengsten Sinn= o. Aber er macht es durchaus nicht anschaulich, dafs und in wel» chem Sinn man eben diese Null auch als eine wirkliche Gröfse betrachten könne und müsse, Er betrachtet die Differenziale als absolute Nullen, und sieht den Algorithmus der Diffe- renzial- Rechnung nicht als ein nothwendiges Erzeugnils der Vernunft an, sondern nennt sie eine heuristische Fiction. Er betrachtet also im Grunde die Differenzialzeichen als leere und an sich bedeutungslose Formen, mit denen man aber nach gewissen sinnreich erdachten Gesetzen eine richtige Rechnung führen könne. Eine Vorstellungsart, deren vollständiger Beweis, W0- ı4ı hau fern er möglich ist, nur durch sehr tiefe meta- e physische Erörterungen gegeben werden könnte. ben 17. Wegen dieser Unzulänglichkeit aller Versuche, den Begriff des Differenzials aufzuklä-+ ” ren, scheinen mehrere der grölsten Analysten ge- EN neigt, den ganzen Begriff als völlig unhaltbar = aufzugeben. Hieraus sind verschiedene höchst u sinnreiche Versuche entstanden denselben ent- mas behrlich zu machen. Der scharfsinnigste und am Na vollständigsten ausgeführte Versuch ist unstreitig der der, welchen der ehrwürdige La Grange in er seiner Theorie der analytischen Functio- lem nen geliefert hat: Doch ist nicht minder sinn- Ber reich die Art, wie Pasquich, Grüson und las neuerlich auch Langsdorf eben diesen Zweck I= zu erreichen suchen. So verschieden übrigens nd diese Theorien sind, so lassen sie sich doch un- ht ter einen allgemeinen Gesichtspunkt bringen. d- Nimmt man nämlich von irgend einer Function ine fortschreitend das erste, zweite, dritte Differen- Isse, zial u. s.£ so weils man ı) dals jedes Diffe- lute renzial bestehe aus einer bestimmten Function, Diffe- die man den Differenzial- Coeflicienten nennt, diges multiplicirt in ein Differenzialzeichen, 2) dafs 1t sie jeder folgende Differenzial-Coefhcient von dem t also vorhergehenden, so wie der erste von der ur- un sprünglichen Function, nach einem und dem- man selben Gesetz abhängig sey- otzel Da nun jeder dieser Coefhicienten im Allge- Eine meinen» betrachtet, eine bestimmte endliche oe Function ist, so muls es auch einen. endlichen “ en aa nn ee oa za Eu— Ag ig= en& ER u— mn ne I ee 2 142 Weg durch lauter analytische Elementar- Opera- tionen geben, zu jedem Coefhicienten den nächst- folgenden, oder umgekehrt aus diesem den vor- hergehenden zu finden. Jenes muls offenbar ein vollständiges Surrogat für die Differenzial- Rech- nung, dieses für die Integral- Rechnung geben; und so scheinen in der That Theorien möglich zu seyn, bei welchen man dem zweideutigen Begriff eines Differenzials gänzlich ausweichen könne. Allein gekt man aus diesen Theorien heraus, einerseits in die entfernteren Sätze, auf welchen sie in ihrem ersten Ursprunge beruhen, anderseits auf diejenigen Fälle ihrer Anwendung, wo ein Differenzial- Ausdruck unmittelbar ge- sucht wird, so stölst man auf dieselben Schwie- rigkeiten, von welchen wir schen oben(. 14. und(. ı5. geredet haben. 19. Das Resultat aus allem bisherigen dürfte folgendes seyn. Der Begriff des Unendlichen und seine besondere Bestimmung als Differen- zial ist keine willkührliche Erfindung, die man beliebig annehmen oder verwerfen könnte. Er muls vielmehr nothwendig aus dem Wesen un- serer Vorstellung entspringen, weil wir ihm nicht ausweichen können: man muls ihn daher auf- zuklären suchen. Aber es liegt auf demselben eine gewisse noch nicht.aufgeklärte Undeutlich- keit, vermöge deren er einen Widerspruch in sich zu enthalten scheint; indem man durch gleich stark bindende Gründe gezwungen. ist, das Differenzial einınal im strengsten Sinne= 0 1435 pera- zu setzen, und doch auch wieder auf der. andern chst- Seite als eine wirkliche Gröfse zu behandeln. vor- Ob mein Versuch, diesen schwierigen Gegen- stand aufzuklären, die Prüfung einer strengen Kritik aushalten werde, mufs ich dem Urtheil einsichtsvoller Leser überlassen, doch hoffe ich, dafs man bemerken werde, der Versuch sey igen nicht entsprungen aus einem zufälligen Einfall, veichen sondern aus dem sorgfältigen Bestreben über das 1eorien Wesen unseres Vorstellungsvermögens selbst, wo e, auf möglich, zu deutlichen Begriffen zu gelangen. uhen, ung, 56 a Mn 2 1)"52 222 nee Vle= II. Versuch den Begriff des Differenzials völlig aufzuklären. 19. Die Logiker sind einverstanden, dals der analytische Gang der eigentliche und ur- sprüngliche aller Untersuchung sey: denn Syn= thesis setzt allezeit Vollendung der Untersuchung und Übersicht des Ganzen voraus*). Ich glaube daher, dafs es überall von Nutzen sey, neue Ansichten wissenschaftlicher Gegenstände zuerst analytisch vorzutragen. Selbst Newtons grolse Ent- *) Es wird kaum nöthig seyn zu bemerken, dals hier nicht von mathematischer, sondern von logi- scher Analysis und Synthesis die Rede ist. Die Analysis betrachtet ihren Gegenstand zuerst in einzelnen Fällen und steigt: von da allmählig zu allgemeinen Ansichten empor. Die Synthesis hin- gegen hebt umgekehrt mit allgemeinen Begriffen und Ansichten an, und steigt von.da allmählig zur Anwendung auf einzelne Fälle herab. suchte unm Ing gu m; Un be: ein, nur Rän wol ters einfac constr nzals dafs ur- Synie ung be neue zuerst zrolse Ent en, dal son log Die erst IN ählig zu jesis hin Begnien Iimillig nn 145 Entdeckungen würden früher gefalst, und ihre Richtigkeit allgemeiner anerkannt worden seyn, wenn er vor denı streng synthetischen Vortrag, in seinen Principiis, wenigstens einige seiner me- chanischen Unter suchungen, in ihrer ursprünglich analytischen Gestalt dem Publikum mitgetheilt hätte. Aus dieser Ursache werde ich hier den ana- lytischen Gang vorziehen. Ist meine Ansicht die richtige, so wird.der synthetische Vortrag in der Folge nicht die geringste Schwierigkeit haben. 20. Seitdem ich den Begriff des Differen- zials für nothwendig und unausweichlich halte, habe ich geglaubt, nicht sicherer ihn zur vollen- deten Deutlichkeit bringen zu können, als wenn ich ihn zuerst: in geometrischen Constructionen betrachtete und ihn dann erst ganz allgemein auf alle Arten von Grölsen anzuw den ver- suchte; weil die räumliche Gröfse 8. einzige unmnttelbar anschauliche in dem ganzen Um- fang, unsers Vorstellungsvermögens ist. Ist übri- gens die geometrische Methode, wie wohl Nie- mand bezweifeln wird, von eben so allgemeinen Umfang, als die arithmetische, so ist nicht zu besorgen, dafs man auf diesem Wege einen zu eingeschränkten Begriff finden werde, wenn man nür''zuletzt alles,- was: aus" dem Wesen des Räumlichen entspringt, gehörig absondert. Wir wollen daher hier einen solchen Gang der Un- tersuchung befolgen, dal wir zuerst einige sehr einfache Functionen, die sich leicht geometrisch construiren lassen, nebst‘ihren Differenzialen, in Lo] Betrachtung ziehen; tınd versuchen wollen, ob wir nicht in der Constructivn, käur und be- stimmt, dasjenige aufiinden können, was durch die Differenziale vorgestellt wird. Gelingt uns dis, so wollen wir den so gefundenen Begriff allgemein zu machen und auf alle Arten von Grölsen anzuwenden suchen. oı. Man betrachte ein Produkt von drei veränderlichen Gröfsen vxz nebst dessen Diffe- renzial xzz9v+tvzax+tvxodz. Ein solches Pro- dukt kann am einfachsten construirt werden durch ein Parallelepipedum von drei veränder- lichen Dimensionen. Die Entstehung eines sol- chen Parallelepipedi kann man sich auf folgende ’Art vorstellen. In dem Punkt A. Fig. ı. denke man sich drei Linien AB, AC, AD senkrecht aufeinander, und zwischen den Schenkeln der rechten Wähkel BAC, BAD, CAD unbegränzte Ebenen. Man denke sich ferner drei bewegliche Flächen, von denen die eine, von.der Ebene DAC an, aufwärts sich parallel fortbewege bis in die Lage BH, und der zurückgelegte Weg AB sey= v: Die zweite Ebene rücke, aus der Lage BAD gegen die rechte Seite fort bis in die Lage CH, und es sey AC=x. Die dritte Ebene endlich rücke von vorne nach hinten aus der Lage BAC bis in die Lage DH, und es sey AD= z: so ist das ganze Parallelepipe- dum AH= vxz: die drei Endflächen aber BH+OH,-+DH, durch welche das Parallelepi- pedum beliebig begränzt worden, sind= scl ach inde dritte chied Tenzia anders BH, hesth yon Nic fin kaı Üb: wei len, oh nd bes durch &t uns Bernif en von von Ari en Difk. hes Pro- werden eränder= 165 Sole Igende denke recht | der anzte Jliche Kihene ege bi te Weg aus der t bis in )ie dritte ten aus und& lelepipt- hen aber ırallelepi= 2„em sn 147 xz+vz+vx. Die erste von diesen Endflächen BH= xz bezieht sich auf die veränderliche Gröfse AB= v: denn sie ist dadurch entstan- den, dafs eine Ebene aus der Lage DC in die Lage GF, um die veränderliche Entfernung AB=W fortgerückt ist, und sie ist von dem ersten Gliede unsers obigen Differenzials nur darin verschieden, dafs hier 9v fehlt: die zweite Endfläche CH= vz bezieht sich auf die ver- änderliche Größse AC= x, und ist von dem zweiten Glied des Differenzials blofs darin ver- schieden, dafs hier dx fehlt: eben so bezieht sich die dritte Endfläche DH= vx auf die ver- änderliche Linie AD= z, und ist von dem dritten Stück des Differenzials nur darin ver- schieden, dafs hier 92 fehlt. Das ganze Diffe- renzial von vxz scheint also in der That nichts anders vorzustellen, als die drei Endflächen BH, CH, DH; doch mit einer eigenen Neben- bestimmung, welche durch die beigefügten Diffe- renzialzeichen angedeutet wird. Es scheint mir nicht schwierig, diese Nebenbestimmung aufzu- finden. Zwischen einem Körper und einer Fläche kann gar keine Vergleichung, fölglich. auch kein Übergang von dem einen zum andern gemacht werden, wofern man nicht beide unter einen gemeinschaftlichen Begriff subsummiren kann. Dils hat auch keine Schwierigkeit: denn man kann eine Fläche jederzeit vorstellen, als einen Körper, in welchem einer seiner Dimensionen bis auf Null abgenommen hat; Eine Fläche für 148 sich betrachtet kann jederzeit als ein Produkt von zwei Dimensionen angesehen werden; soll sie aber als ein Körper mit einer verschwunde- nen Dimension symbolisch bezeichnet werden, so nıuls ein dritter Factor hinzukommen, wel- cher nıir andeutet, dafs eine Dimension ver- schwunden sey, und welche? mit einem Wort, es muls ein Differenzialzeichen hinzukommen, denn dieses deutet. mir beides an. Nach dieser Ansicht der: Sache stellt also das Differenzial xzavtvzoax+tvxoz nichts anders vor, als die Summe der Endflächken BH+CH+DH, nur nicht als blofse Flächen, sondern als Körper mit einer verschwundenen Dimension vorgestellt. 00. In der That kann auch der Sinn des Differenzials gar kein anderer seyn, als der hier angegebene. Difs scheint mir völlig evident zu werden, wenn man auf«ie Grundregeln zurück- geht, nach welchen die Differenzial- Ausdrücke gebildet werden. Das Differenzial von vx2z findet man nach diesen Grundregeln bekanntlich auf folgende Art: Man schreibt v+Av statt v; x+Ax statt x, z+Az statt z, wo AN AW NZ Stücke von beliebiger Größse sind. Sollte dils in der Figur vorgestellt werden, so mülste man jede der drei vLinien AB; AC, AD um ein Stück von beliebiger Grölse verlängern, und durch die Endpunkte derselben drei neue Flä- chen, parallel mit den schon vorhandenen End flächen, legen, wodurch der Körper auf drei Sei- ten vergrölsert erscheinen würde. Dieses ver- das Punk 149 rodukt x R&; gröfserte Parallelepipedum würde gleich seyn . ar(v+Av)(x+Ax)(z+Az). Entwickelt man unde- diese Formel, so erhält man :iden, S VRZ Ei+x2Av+vzAxtvxAz a+zAvAx+xAvAz+vAxANz )+-NAvAxAz. ken Da die Zeichen Av, Ax, Az Linien von belie- N biger Länge anzeigen, so stellt jedes einzelne en Glied dieser Formel, weil es lauter Produkte Fan die von drei Faktoren sind, einen Körper vor, wo- „ zur von ıman sich durch genauere Betrachtung aller r mil einzelnen Theile mit Rücksicht auf die Figur 1 leicht‘ überzeugen Mann. Das erste Glied vxz des ist das unvergrölserte Parallelepipedum selbst: hier läfst man dieses weg, so stellt das Aggregat der zu übrigen Glieder die Zusätze- vor, welche der ück- Körper über seinen drei Endflächen erhalten hat. ücke Man lasse nun die drei Linien Av, Ax, Az Yxz bis auf Null abnehmen, nnd setze in diesem antlich Sinn dafür dv, 9x, 92, so stellen die drei Glie- statt v5; der der zweiten Reihe drei Körper mit einer \x, A2 verschwundnen Dimension vor, das heifst drei te dils Flächen, nämlich unsere oben betrachteten End- ste man flächen. Die Glieder der dritten Reihe stellen um ein vor drei Körper mit zwei verschwundenen Di- , und mensionen, das heilst drei blofse Linien; und ue Fl» das Glied in der vierten Zeile stellt einen Kör- an End per von drei verschwundnen Dimensionen vor, rei Sei das heilst einen blolsen Punkt. Da nun ein a5 Vefe Punkt gegen eine Linie, und eine Linie gegen nn SER ET EEE REED EI 100" CE OLE SER) ER en— di 150 eine Fläche im strengsten Sinne= 0 ist, so ist Y klar, dals wenn man auch die dritte und vierte I Zeile weglälst, die übrigbleibende zweite Zeile ki nichts anders sey, und seyn könne, als ein" streng richtiger Ausdruck für die drei Endllächen hühe unsers Parallelepipedi. Und so scheint aus die- AU ser Betrachtung, wie mich dünkt, ziemlich evi-= dent hervorzugehen, dafs die eigentliche Funda- se) mental- Operation der Differenzial- Rechnung de wohl auf nichts anders führe und führen könne, x als auf einen eigenen, aber streng rich- ie tigen Ausdruck für die Endgränze einer 2u Function. 235. In dem besondern Fall, von welchem wir hier reden, könnte man das Differenzial Aust auch für einen Ausdruck der drei Anfangs- Plich Gränzen unsers Körpers, AE+AG+AF, hal- ıber| ten: allein schon aus dem, was im vorigen(. is ei gesagt worden, ergiebt sich, dafs das Differen- it, zial nur ein Ausdruck der Endgränzen sey,[N Denn wenn man in der vollständigen Entwicke- Di lung der Formel(v+Av)(x+Ax)(z# Az)\ blols das erste Glied vxz wegläfst, so ist das ggregat der übrigen Glieder der vollständige wi Ausdruck nicht für die Anfangstheile, son- Re dern für die Endtheile des Körpers: läfst man M also in diesen, Av, Ax, Az, verschwinden, so BL kann das Übrigbleibende kein Ausdruck für die?= Anfangsgränzen, sondern nur für die End- gränzen seyn. Zum Überflufs kann man sich A noch durch eine geoınetrische Betrachtung hier- tenz "EEE 80 ist Vierte Zeile ; ein ächen I die- Ch eyie Fund chnung könne, rich» einer ‚hem nzial g5- hal- n 6, reN« Loy ‚wicke« 1+A1) ist das ständige &, Ne st man nden, 50 Für die ie End- an sich 4 hier« 151 von überzeugen. Der Körper ACDEBIKL, Fig. ı., stelle eine abgekürzte vierseitige Pyra- mide vor; die Grundfläche derselben AE sey jetzt von beständiger Grölse, und= b, die Höhe AM der ganzen unverkürzten Pyramide ACDEM sey auch von beständiger Grölse und — a: Die Höhe AB der abgekürzten Pyramide sey veränderlich und= x; so wird die Höhe BM der abgeschnittenen Pyramide BMIKL= a—x seyn, und nach bekannten Lehrsätzen der Ste- reometrie wird sich die untere Grundfläche AE zur obern BK verhalten, wie a®:(a—x)* folg- ( KESN ZI aA x D. 2 welches eın lich wird BK gleich seyn Ausdruck für BK, als blofse für sich bestehende Fläche betrachtet, seyn würde. Betrachtet man aber BK als Endgränze eines Körpers ER als einen Körper, dessen Höhe verschwunden ist, so muls man den Ausdruck noch mit dem Zeichen der verschwundnen Höhe, d. i. mit dem Differenzialzeihen 9x, wmultipliciren. Auf diese ı—x)?b Art erhält man denselben Ausdruk G dx, welchen die Regeln der gemeinen Differenzial- Rechnung geben. Denn es ist die Pyramide MAE= tab und die abgeschnittene MBK AN —on em also die abgekürzte Pyramide 2 (a—x)?’‘ AK=t1ab—}b——-, wovon das Diffe- a= renzial die eben für die Endgränze BK gefun- = es nee (a—x)?b a2 dene Formel X ist. Dagegen würde der Ausdruck für die Anfangsgränze A:E==:bax seyn. 24. Schon diese Betrachtungen zeigen, dafs es gar wohl möglich sey, sich wenigstens in ei- ner geometrischen Construction bei jedem Diffe- renzial- Ausdruck etwas bestimmtes, deutliches und sogar anschauliches zu denken. Auch zei- gen sie,.dals es so widersprechend nicht sey, als es auf den ersten Blick scheint, ein und dasselbe Ding einmal im strengsten Sinn= 0 zu setzen, und dann wieder als eine wirkliche Grölse zu betrachten: denn die drei veränder- lichen Endgränzen unsers Parallelepipedi sind, gegen den Körper verglichen, im strengsten Sinn nichts: aber an sich betrachtet ist ihr Aggregat eine völlig bestimmte Gröfse, und zwar in un- serm Fall eine Function von 8. undz. Es ist daher klar, dals man ferner nach einem Dif- ferenzial von diesem ‚Differenzial fragen könne. Denn wenn AD Fig. 2. eine von den Endgrän- zen unsers Körpers etwa GF(Fig. ı.) also AC=zundAB=x wäre, so ıst die Fläche AD für sich betrachtet— xzZ; und sie ist ent- standen dadurch, dals AB in die Lage CD, AG in die Lage BD fortgerückt ist, folglich ist CD+BD ihre Endgränze, und diese als blofse Linie betrachtet it= x+z: betrachtet man aber CD, als eine Länge x, deren Breite z ver- schwunden ist, so muls man sie durch xdzZ em ey dals ei Iife- liches N 2. Nil“ nme, gin- also Fläche tt ent» ), AU ch ist blolse man Z.Vele 103 155 und aus ähnlichen Gründen BD durch zox, also die ganze Endgränze= x92-+zIx setzen, wie‘ es die Regeln der Differenzial- Rechnung geben. Auf eben die Art kann man ferner nach einem Differenzial dieser Endgränzen fragen, und wenn AB. Fig. 5. eine der veränderlichen Seiten des vorigen Parallelogramms= x vor- stellt, so mufs man sich diese Linie entstanden denken dadurch, dafs ein beweglicher Punkt C von A aus bis B fortgerückt ist. Die End- gränze dieser Linie ist dann der Punkt B selbst; dieser für sich betrachtet ist= o, als Endgränze der Linie x aber mufls er durch 9x vorgestellt werden. Nun scheint es zwar, dafs man mit den Differenzial- Operationen amı Ende sey, und dafs ınan nach einem ferneren Differenzial dieses Punktes nicht fragen könne; doch siehet man leicht ein, dafs der Grund davon nicht in dem allsemeiwenBegriffiseiner: Endgränze; sondern in dem besondern Wesen räumlicher Grölsen liege. ‚. Es zeigen fermer die angestellten Betrach- tungen durch Induction eines wirklichen Falls, dals es nicht widersprechend sey, eine ganze Reihe von Grölsen, A(Körper), B(Fläche), C(Linie), D(Punkt) zu denken, welche in solcher Beziehurg auf einander stehen, dals jede folgende gegen die vorhergehende schlechthin verschwindet, oder unendlich klein, und da- her umgekehrt jede vorhergehende gegen die folgende unendlich grofs ist. Es ist daher 154 auch nicht widersprechend zu sagen, D sey ge- gen C ein Unendlichkleines der ersten, gegen B der zweiten, und gegen A der dritten-Ord- nung u: dgl. m. Und wenn gleich auch hier die Reihe von beiden Seiten abbricht, so liegt doch der Grund davon sichtbar in dem We- sen des Raums, nicht in dem allgemei- nen Begriff einer Grölse. 25. Indessen lassen alle diese Betrach- tungen immer noch ein Paar Hauptpunkte im Dunkeln. Denn erstlich bleibt noch immer der Verdacht, als sey alles gesagte nur eine Ei- genthümlichkeit des Raums, nicht eine allge- meine Eigenschaft aller Functionen. Doch wird der aufmerksame Leser in den Schlüssen des oosten(. nichts finden, was nicht auf alle Ar- ‚ten von Grölsen anwendbar. wäre: aber es wird zweckmälsig seyn, die vollständige Erörterung dieser Frage bis zu dem Ende dieses Abschnitts zu versparen. Eine zweite Dunkelheit rührt aber daher, dafs diejenige Gröise des Differen- zials, welche wir bisher in einer geometrischen Construction betrachtet haben, genau erwogen nur die Grölse des Diffevenzial-Coefficien- ten ist; wir haben aber im vorigen Abschnitt gesehen, dafs der Algorithmus der Differenzial- Rechnung selbst jedes einzelne Differenzial- Zei- chen dv, 9x, 9z als eme wirkliche veränder- liche oder beständige Grölse behandle- Difs scheint nicht nur ohne Sinn, sondern sogar widersprechend: denn das Differenzial- Zeichen ey 7 ges jegen Ord« hier legt We» lkle etrach« kte im immıer 1e Eie ılge- wird ng uttg ühırt [eien- ischen wogen ICiEN. schnitt ‚enzial» 1- Zei« ränder- 155 ist offenbar ein Stellvertreter für Null, und scheint sich von dem gewöhnlichen Zeichen der Null, blols durch mehrere Bestinmutheit zu un- terscheiden, indem es zugleich andeutet, welche der veränderlichen Grölsen Null geworden sey, und ob wir gleich gesehen haben, dals ein und dasselbe Ding in gewisser Beziehung in strengsten Sinn Null, in anderer Beziehung aber eine wirkliche Grölse seyn könne, so scheint dils doch auf die einzelnen Differenzial- Zeichen gar nicht anwendbar zu seyn: denn in unsrer Construction waren v, X, Z Längen, folglich sind dv, 9X, 9z Punkte, und diese noch als wirkliche Gröfsen anzusehen, scheint geradezu widersprechend. Doch glaube ich, dals auch dieser dunkle Punkt sich ganz befriedigend auf- klären lasse. Aber die Sache liegt etwas tiefer als das vorhergehende; daher wird es nöthig seyn, erst einige anderweitige Betrachtungen vorauszuschicken, die zwar mehr: von. meta- physischer als mathematischer Art sind, welches indessen der Sicherheit unserer Theorie keinen Eintrag thun wird, weil hier die Metaphysik auf festem Grund und Boden seyn möchte. Ei- gentlich ist es auch nur der gewählte analytische Vortrag, und die Nothwendigkeit, gewisse sehr einfache Begriffe zur vollendeten Deutlichkeit zu bringen, was diese Betrachtungen nöthig macht. Bei einem künftigen synthetischen Vortrag möchte davon nicht mehr übrig bleiben, als etwa bei dem Vortrag der Geometrie nöthig, ist, 150 um den Begriff des Raums zur Deutlichkeit zu bringen. 26. Ich erinnere mich, öfters gehört und gelesen, und ehemals selbst geurtheilt zu haben, dals es uns an einer Mathematik des Inten- siven fehle. Gegenwärtig halte ich dieses Ur- theil für ungegründet.: Das Intensive ist an und für sich nicht anschaulich, kann also nicht, wie u das Extensive unmittelbar, sondern nur mittel- har durch willkührliche Symbole construirt wer- den; es ist folglich ein Gegenstand der allge- weinen Mathematik*), diese aber erstreckt sich auf alle intensiven Gröfsen ebensowohl, als auf «lie extensiven. Was uns in Ansehung der in- tensiven Gröfsen fehlt, ist mehr der Mafsstab zu gewissen Arten derselben, als die Methode ihrer Behandlung(denn diese ist vollständig in der allgemeinen Mathematik enthalten). Für einige Arten haben wir auch diesen. Z. B. für Masse, speciisches Gewicht, bewegende oder beschleunigende Kraft etc., und dann fehlt uns zu ihrer mathematischen Behandlung nichts; bei andern, z. B. der Wärme, der Lichtstärke etc. sind wir nahe- dabei, ein Mals Zu finden, und sobald wir es vollständig haben werden,'wird ihre Theorie keine Schwierigkeit haben; ob wir en ”) So nenne ich den ganzen arithmetischen Theil der Mathematik. Man sehe die zweite Abhand- lung S. 76— 8ı, wo auch der Begriff einer Construction allgemein erklärt ist. teit mu und haben, INten« ht, wie “ mittel. irt wer« r allge- kt sich Is auf Tr iN- sstab hode in Für ‚ für oder It uns hts; bei ärke etc, en, ud 1, wird A oh wit — ] chen Theil te Abland rl at 157 je ein Mafs für Geisteskräfte finden werden, läfst sich nicht sagen; aber fänden wir es, so würden sie sich, eben so wie andere intensive Grölsen, dem Calcul unterwerfen. 27. Aulser dem Mals, das uns bei vielen intensiven Grölsen fehlt, vermisse ich aber auch noch im allgemeinen eine deutliche Kenntnils der reinen Denkform, die der Vorstellung jeder empirischen intensiven Grölse zum Grunde liest. Denn so wie bei jeder Vorstellung einer enıpirischen extensiven Grölse die reine Denk- form des Raums, d. h., der rein geometrische Begriff der Ausdehnung, zum Grunde liegt, ohne welchen gar keine einpirische Ausdehnung ge- dacht werden kann: eben so mufs jeder Vor- stellung einer empirischen intensiven Grölse eine reine Denkform, d. h., ein rein mathematischer und von allen empirischen entkleideter Begriff des Intensiven zum Grunde liegen. Mir ist nicht bekannt, dals irgend ein Philosoph oder ‚Mathematiker versucht hätte, diesen Begriff deut- lich zu entwickeln; aber täusche ich mich nicht, so liegt gerade hierin die Quelle aller bisherigen Mifsverständnisse, in Ansehung der höhern Ana- lysis. Aber auf welchem Wege sollen wir die reine Denkform des Intensiven aufsuchen? Auf keinem andern, als auf dem man allein die reine Denkform des Extensiven zum deutlichen Bewulstseyn bringen kann. Man wird z. B. (uni mich einer sehr passenden Erläuterung zu bedienen, die Karsten in seinen Anfangsgrün- 158 den B.1.$. 347 giebt) dem, in dessen Kopf sich, der letzte Begriff noch nicht deutlich abgeson- dert hätte, sagen: er solle sich einen beliebigen Körper von ganz bestimmter Grölse, Gestalt und Materie, etwa einen Cubikzoll von Holz, deutlich vorstellen; er solle diesen Körper in Gedanken in eine andere Materie(etwa Wachs). einschlielsen, dann solle er den hölzernen Kör- per im Gedanken vernichten, so werde ein lee- rer Raum von. der Gestalt und Grölse des ver- nichteten Körpers übrig bleiben, und diese Vor- stellung ganz allgemein und unbegränzt genom- men, sey die reine Denkform des Exten- siven. Auf eben die Art betrachte man: irgend eine beliebige empirische intensive Grölse, suche ihren Begriff aufs schärfste zu fassen, lasse dann alles empirische hinweg, und überlege, was. dann in der Vorstellung noch übrig bleibt. Wir wollen auf diesen Weg die Absonderung des reinen Begriffs versuchen. 28. Man stelle sich eine körperliche pris- matische Röhre vor, von beliebiger Länge, von einem Quadrat-Zoll Durchschnitt, und an dem einen Ende verschlossen. Drei Cubik-Zoll der- selben mögen mit Luft von einer beliebigen Dichtigkeit gefüllt, und mit einem bewegli- chen Stempel gesperrt seyn. Da Dichtigkeit eine intensive Grölse ist, so überlege man, um den Begriff derselben aufs schärfste aufzufassen, auf welche Art sie vermindert oder vermehrt werden könne, Das erste geschieht, wenn sich bild ve dan he DE sich JESON« bigen vestale Yolz, Per In Wadıs nen Kür« ein Iee« des ver. ese Vor- genome xten irgend suche dann was: Wir z, des 1e prite Ne, von an dem Zoll der« peliebigen bewegli ‚htigkeit man, um ufzulasser, p vermelf wenn sch 159 die in der Röhre befindlichen 3 Cubik-Zoll Luft gleichförmig in einen grölsern Raum, z. B. von 6 Cubik-Zoll, verbreiten. Das letzte geschieht, wenn eben diese 3 Cubik-Zoll in einen kleinern Raum zusammengedrängt werden. Nehmen wir bestimmt an, sie würden in den Raum eines einzigen Cubik-Zolls zusammengeprelst, so ist die intensive Grölse der Dichtigkeit drei gewor- den, wenn man die anfängliche eins setzt, Warum das? Offenbar aus keinem andern Grunde, als weil die drei Cubik-Zoll Luft, wel- che verher neben einander vorgestellt wurden, jetzt in einander gedacht werden. Nun lasse man die empirischen Vorstellungen von Luft, Dichtigkeit, Pressung hinweg, und behalte blofs die reine Operation des Verstandes oder der Ein- bildungskraft übrig, so wird man finden: die reine Denkform des Intensiven bestehe blols darin, dafs etwas Gleichartiges, was vor- her im Raum neben einander war, jetzt in einander gedacht wird. Soll aber dieser Begriff ganz rein seyn, so mufs das Gleich- artige nichts empirisches seyn. Was kann also dieses Gleichartige im reinen Begriff seyn? Of- fenbar nichts, als der Raum selbst, denn die- ser ist die einzige ganz reine und völlig gleich- artige Gröflse, von der wir eine anschauliche Vorstellung haben. Es scheint mir hieraus ganz unzweideutig zu folgen, dals die Congruenz völlig gleicher räumlicher Grölsen in einem und demselben Raume, der wahre 160 Urbegriff oder die reine Denkform des Intensi- ven sey. In dieser Vorstellung liegt gar nichts mystisches oder widersprechendes,. denn die er- sten Grundsätze der Geometrie berechtigen mich, jeden Punkt, jede Linie, jede Fläche, jeden Raum, aus so viel congruirenden Punkten, Li- nien, Flächen, Räumen bestehend, als ich will, wir vorzustellen, d. h., ihnen jede beliebige in- tensive Grölse beizulegen. Wenn ich also zwei geometrische Cubik- Zolle vor mir:habe, so muls es mir jederzeit verstattet seyn, anzuneh- men, dals der eine z. B. aus drei, der andere aus zwei congruirenden Cubik- Zollen entstan- den sey. Hierdurch gewinnt nun zwar keiner von beiden das allergeringste an extensiver Gröfse, und ist daher in dieser Rücksicht einer dem andern völlig gleich: aber die Vor- stellung von drei Cubikzollen, die ich in dem ersten vereinigt habe, bleibt doch für meinen Verstand immer etwas anders, als die zwei Cubik-Zolle, die in dem letzten vereint sind. Jene drei, und diese zwei Cubikzolle waren vorher im Raume neben einander; jetzt denkt sie sich der Ver- stand in einander, d. h. nach der obigen Erklä- rung intensiver Grölsen, der Verstand hat das extensive Verhältnils 3:2 in ein intensi- ves verwandelt. 29. Um allen Mifsverständnissen möglichst vorzubeugen, bemerke ich noch folgendes. Sollte jemand bei einer solchen durch Congruenz. ent- stan- AANS ntensi. nichts lie ers nich, ebige I Iso zwei ade, 50 nzuneh- andere ntstan= reiner iver icht Yor« ıch eibt AN) die ın 1, und Raume ler Ver- n Eikli- hat das ntensi- z, eiıle 2 stan« 161 standenen intensiven Grölse eines Raimes, einer Fläche, einer Linie, eines Punktes, gleichsam an eine vermehrte Dichtigkeit des Räumlichen oder Extensiven denken, der würde den Sinn der Erklärung noch nicht scharf gefalst habenz ja er würde, dünkt mich, zeigen, dals er selbst den Begriff des geometrischen Raumes noch nicht ganz rein aufgefalst habe. Der Raum ist nichts als die reine Vorstellung von Ausdeh-» nung; er enthält nichts materielles und darf nichts enthalten, wie fein man sich es auch denken möchte: denn alles materielle ist enıpi- risch. Hat man den Begriff rein gefalst, so wird mıan leicht begreifen, dals in dem Raum von drei Cubik-Zollen, selbst wenn sie neben einander sind, nicht mehr Materie enthalten sey; ‚als in dem Raum eines einzigen; nämlich gar keine; und eben so verhält es sich, wenn man die drei Cubik- Zoll in einander denkt: Drei Cubik-Zolle neben einander enthalten nur mehr Vorstellung, nicht mehr Materie, als ein einzelner, aber eben so enthalten auch drei Cubik- Zolle in einander mehr Vorstellung, nicht mehr Materie, als ein einzelner, Der ganze Unterschied ist nur der, dafs das Nebeneinan« der anschaulich, das“Ineinander blofs denk= bar ist. Dals aber das Intensive überhaupt nichts anschauliches sey; darüber ist man, dünkt mich, wohl allgemein einverstanden. 50. Aus diesen Betrachtungen folgt, wie ich glaube, wenigstens soviel unzweideutigz [rl ı62 dafs es keinen Widerspruch enthalte, sondern vielmehr den Regeln des Denkens und den ersten Grundsätzen der Geometrie gemäfs sey, sich in irgend einem räumlichen Object eine intensive Grölse zu denken. Liefse sich nun aus anderweitigen Betrachtungen zeigen, dafs man vermöge eines unstreitigen Grund- satzes genöthigt sey, unter gewissen Umständen zwei Punkten, zwei gleichen Linien, Flächen, oder Räumen, dennoch ein ungleiches Ver- hältmifs beizulegen, so würde man nicht berech- tigt seyn, dils als einen Widerspruch anzusehen, sondern man könnte und mülste dieses Verhält- nils als ein intensives betrachten. Darf man aber difs, so mu[s man auch eins räumen, dafs man jeden zwei Objecten, welche extensiv betrachtet gleich sind, im allgemei« nen, jedes denkbare Verhältnils intensiv bei- legen könne, es sey rational oder irrational, be= ständig oder veränderlich. Denn eine zuneh« wende Intension wächst eben so stetig als eine zunehmende Extension.‘ Und wo Stetigkeit in der Veränderung einer Grölse ist, da finden alle erdenkiichen Verhältnisse statt. So lange man blols mit beständigen Grö- fsen, oder auch mit einer einzelnen verän- derlichen Gröfse zu thun hat, kann, wie es mir scheint, die Nothwendigkeit intensive Ver hältnisse zu setzen gar nicht eintreten. Betrachtet man hingegen einen Zusammenhanr» ver- änderlicher Gröfsen, so ist nichts gewöhnli- 163 "ebalt, cher, als dafs, z.B. zwei Linien zu gleicher Zeit Ns und b. ae\: ER verschwinden, also in Punkte übergehen. Diese semäls Punkte, als solche betrachtet, sind unstreitig von a einander in der Anschauung nicht verschieden; Ne ach und wären sie durch das Verschwinden zweier elpat, gleichen Linien entstanden, so würde auch der 'lml Verstand keinen andern, als den örtlichen Un- an terschied zwischen ihnen finden können. Sind Fläche, sie aber aus ungleichen Linien entstanden, so 1es Ver ist ihre Entstehungs-Art verschieden, und ' berech: sie sind also in dieser Beziehung für den Ver- zusehen, stand nicht mehr gleich. Findet nun z. B. bei Verhälte zwei ungleichen Linien, die aber zu gleicher Zeit verschwinden, bei jeder Grölse vor dem 1 eine Verschwinden, und wenn sie nach dem Ver- ‚elche schwinden in die entgegengesetzte Lage über- neie gehen, auch bei jeder Gröfse nach dem Ver- schwinden ein unveränderliches Verhält- , bes nifs statt, so nöthigt der blofse Begriff der Un- AUC veränderlichkeit, d. h. ein Grundgesetz des als eine Denkens, nämlich das Gesetz der Stetig- gkeit in keit, an dessen Richtigkeit wohl noch den alle Niemand im Ernste gezweifelt hat*), beiden Linien selbst im Verschwinden, also als Punkten, sen Grör verän®*) Ich kann mich nicht überreden, dafs Herrn Langs- , wie dorfs Zweifel gegen dieses Gesetz ernstlich ge- sive Ver meint sind. Einem so guten Kopfe hätte es iucht entgehen können, dals er bei seiner Vorstellungs- Betrachtel= z art, um ein Paar scheinbaren Widersprüchen zu ng Fel® entgehen, sich in eine Unendlichkeit wirkliche: ewöhnlis Widersprüche verwickle, 16% noch eben das Verhältnifs beizulegen, und dafs difs, vermöge des wohlverstandenen Begriffs von Intension ohne allen Widerspruch geschehen könne, ist, dünkt mich, nach dem vorhergehen- den hinlänglich klar. 51. Die scharfe Begränzung eines reinen Verstandes-Begriffes, die vollständige Absonde- rung alles empirischen und fremdartigen, ist keine leichte Operation der Denkkraft. Sie macht selbst: dem Geometer, der doch sonst an eine scharfe Begränzung seiner Begriffe gewöhnt ist, Schwierigkeit, sobald er gezwungen ist, in das Gebiet des Nichtanschaulichen, des blofs Denkba- ren, überzugehen. Noch schwieriger ist sie für den, der sich ausschliefsend mit empirischen Gegenständen beschäftigt. Die scharfe Zergliede- rung des Innern unserer Vorstellungen erfodert angestrengte Aufmerksamkeit nach innen, und anhaltende Übung; so lange man diese nicht hat, und so lange ein Begriff nicht rein aufge- fafst ist, sieht man Dunkelheiten und Schwierig» keiten, wo keine sind. Mag daher meine An- sicht noch so richtig und scharftreffend seyn, so erwarte ich dennoch, dafs sehr viele meiner Le- ser dieselbe nicht sogleich befriedigend finden werden. Ich halte es daher für nöthig mehrere bestimmte Beispiele zur Erläuterung hinzuzufü- gen, weil die wiederholte Anwendung eines noch. nicht zur völligen Dentlichkeit gebrachten Begriffs das sicherste Hülfsmittel ist ihn aufzuklären. 20. Die Linien AB und AC Fig. 4. durch- nd dals ffs von cheher Isthen« 3 Tenen Absındas ‚Ist keine ie. macht an eine öhnt ist, ın das Jenkbas ie für schen liede« ‘odert und nicht ale hwierige eine Än« seyn, 80 einer Le d finden mehrere inzuzuli- nes nodı on Begrils Jären, h durch“ 165 schneiden sich unter einem gegebenen Winkel CAB, den wir mit dem einzigen Buchstaben A bezeichnen wollen. In denı beliebigen Punkte B sey BC bis zum andern Schenkel senkrecht ge- stellt, so verhält sich AB: AC= ı: Sec. A. Eine vierte bewegliche Linie bc rücke von A gegen BC parallel fort, so weils man aus der Elemen- tar-Geonıetrie, dals auch die Stücke bB und cC sich bei allen Lagen der Linie bc dennoch un- veränderlich, wie AB: AC oder wie ı: Sec. A verhalten. Difs bleibt auch dann richtig, wenn die Linie bc über BC hinaus, z. B. in die Lage Ay rückt. In dem Augenblick nun, wo die Linie BC von bc gedeckt wird, gehen die ab- geschnittenen Stücke in die blofsen Punkte B und© über, die, als blofse Punkte oder exten- siv betrachtet, einander gleich sind; aber sie sind durch das Verschwinden ungleicher Linien, von einem absolut beständigen Verhältnifs, entstanden. Difs Verhältnifs kann in keinem Punkt des Fortrückens unter- brochen seyn, also auch dann nicht, wenn sich be und BC decken. Es nöthigt uns also die Vorstellung von einem absolut beständigen Verhältnifs, nun den blofsen Punkten Bund C eben das Verhältnils beizulegen, und man kann difs ohne Widerspruch, wenn man sagt, das extensive Verhältnils gehe bei dem Verschwinden der Extension in ein intensives über. Übrigens würde man eben das Verhältnifs den Punkten Bund überall beilegen müssen, die Linie BC » 166 sey aufgestellt wo sie wolle, selbst wenn sie in A stände, wo sogar B und C für die An- schauung in eins zusammenfallen, aber von dem Verstande doch noch immer als zwei Punkte be- trachtet werden können. Ein sehr anschauliches, wenn gleich in gewisser Rücksicht beschränktes Bild, von der Entstehung dieses intensiven Ver- hältnisses läfst sich auf folgende Art geben. Man lege den Linien: AB und AC ein rationa- les Verhältnils bei, und denke sich auf beiden eine beliebige Menge von Punkten in gleicher Entfernung von einander gestellt, so dafs da- durch beide Linien in eine Anzahl unter sich gleicher Theile getheilt werden; so wird sich die Anzahl der Punkte auf AB zur Anzahl der Punkte auf AC, wie AB: AC, verhalten, wenn man auf jeder Linie den Anfangspunkt nicht mitzählt.e Man nehme an, dafs durch das Fortrücken der beweglichen Linie von A aus gegen BC, alle diese Punkte mit fortgerückt, also näher an einandergedrängt würden, und zwar so, dafs sie sämmtlich immer zwischen bc und BC blieben, und gleiche Entfernung von einander behielten. Sobald nun BC von bc gedeckt wird, so liegen alle Punkte, die vorher auf den Linien.bB,cC nebeneinander waren, jetzt ineinander, und man mufs also jetzt den blofsen Punkten B und C eben das Ver- hältnifs intensiv beilegen, was vorher extensiv vorhanden war. 35. Verändert sich der Winkel A, so ver- ander tenine dr tj Linie{ was Punk Wer der Pu Fliche auch vorges E { und ann we dem Werde hältnis m sie Ans dem £ be= liches, rankteg en Ver geben, rationa« beiden leicher ls das - sich ı die der enn icht das aus LohL, und nschen ernung von be vorher waren, ;o jetzt as Ver- oxtensiv so vel* 165 ändert sich seine Secante; folglich hängt das in- tensive Verhältnifs der Punkte B und C von der Gröfse dieses Winkels ab. Ist daher die Linie AC wie Fig. 5. krumm, so sieht man leicht, was es mit dem intensiven Verhältnifs der Punkte B und C für eine Bewandnifs habe. Wenn eine durch C gezogene Tangente mit AB den Winkel 9 macht, so verhalten sich die Punkte B und C unter ähnlichen Voraussetzun- gen, als wir. bei Fig. 4. machten, wie ı: Sec. 2. Da aber der Winkel 2 für jeden Punkt der Curve von anderer Grölse ist, so ist das Verhält- nils von B und C veränderlich. Und da der Winkel 9 als eine Function von AB, oder BC, oder von dem Bogen AC, oder auch von der Fläche ABC angesehen werden kann, so wird auch dieses Verhältinifs als eine solche Function vorgestellt werden können. 54. Man stelle sich die beiden Figuren 4 und 5 als zusammengehörig vor, indem man annimmt, dafs die beiden beweglichen Linien, welche mit bc bezeichnet sind, sich in beiden Figuren zu gleicher Zeit in A befinden, und von da gleichförmig gegen BC so fortrücken, dals sie, in einem und demselben Augenblick, BC in beiden Figuren.decken, so ist klar, dafs die beiden Flächenräume, welche in beiden Figu- ren zwischen bc und BC enthalten sind, in je- dem Augenblick ein anderes Verhältnifs haben werden. Da aber die Veränderung dieses Ver- hältnisses vollkommen stetig geschieht, so ı68 wird es in dem Augenblick, wo sich be und BC decken, von einer bestinimten Grölse seyn. Eben dieses Verhältnils wird man alsdann den beiden wit BC bezeichneten Linien beizulegen genö- thigt seyn, wenn man das Gesetz der Stetigkeit nicht verletzen will. Sind nun diese beiden Linien einander extensiv gleich, so. wird man ihnen jenes Verhältnils, das ihnen vermöge des Grundsatzes der Stetigkeit zukomnit, ganz als ein intensives beilegen müssen. Es ist aber auch der Fall möglich, dals beide Linien schon extensiv das richtige Verhältnils hätten, dann ist ihr extensives Verhältnils das Verhältnils der Gleichheit. Sind endlich beide Linien ungleich, aber in einen: andern Verhältnils, als in vorigen Fall, so nıufls mıan ihnen ein intensives Verhält- nifs von solcher Gröfse beilegen, dals dieses, nit ihrem intensiven Verhältnils zusammengesetzt, dasjenige Verhältnils gebe, was den Linien, inso- fern sie als verschwundene Flächen betrachtet werden, zukommt. Käme z. B. den beiden Li- nien nach dem Gesetze der Stetigkeit das Ver- hältnils 12:25 zu, und sie sind extensiv gleich, so ist ihr intensives Verhältnils= ı2:25; hät- ten sie aber schon an und für sich das exten- sive Verhältnifs 12:25, so wäre ihr intensives 4:1; wäre endlich ihr extensives Verhältnifs 5:5, so müfste man ihnen das intensive 4:5 beilegen, damit beide zusammengesetzt das To- tal- Verhältnils ı2: 25 gäben. Es ist hieraus klar, dafs das intensive Verhältnils zweier zu- = eich yilkibı til gm I 7 at| Stell Es ep! un Grun. scher halb daı in wi und Bl N. Eben \ beiden A genöe Seigkeit st baden Wir yon mnÖgt{a ganz al ist. aber ien schon n, dann tnils der ngleich, ‚origen erhält« s, mit esetzt, , 1N30« trachtet) ıden Lie das Ver- iv gleich, 25; hät las exten« intensive Verhältniß nsive 45) ‚t das To st hieraus ‚weier ZU« 169 gleich verschwindenden Grölsen in keinem Fall willkührlich, sondern durch das Gesetz der Ste- tigkeit völlig bestimmt, und daher einer stren« gen mathematischen Theorie empfänglich ist. 55. Eben diese Begriffe lassen sich auch auf Flächen anwenden, insofern man sie als Stellvertreter verschwundener Körper betrachtet. Es seyen AE und FK, Fig. 6., zwei Parallel- epipeda: ihre Grundilächen BC und GH seyn ungleich, aber von beständiger Grölse; ihre Hö« hen AD und FI aber sollen sich umgekehrt wie die Grundflächen verhalten: so sind beide Kör- per einander gleich. Nun stelle man sich. vor, dals in beiden eine Ebene von der untern Grund- Bäche gegen die obere parallel fortrücke, und zwar so, dals sich ihre Entfernung von der obern Grundiläche überall umgekehrt wie die Grundflächen verhalte, so bleiben stets die zwi«- schen ihnen und den obern Grundflächen ent- haltnen körperlichen Räume einander gleich. In dem Augenblick nun, wo die beweglichen Ebnen mit den obern Grundilächen zusanımenfallen, werden diese die Stellvertreter der verschwund- nen Räume, und man ist daher durch das Ge- setz der Stetigkeit genöthigt, sie in dieser Beziehung als gleich anzusehen, ob sie gleich, vermöge der Voraussetung, extensiv ungleich sind. Man kann sie aber als gleich vorstellen, wenn man ihnen ein intensives Verhältnils bei- legt, was dem umgekehrten der Grundflächen gleich ist. 170 Man sieht leicht, dafs, wenn wir andere Körs per als Parallelepipeda, oder für die Veränderung der Höhen ein anderes Gesetz angenommen hät= ten, die Verhältnisse anders ausgefallen wären. In allen Fällen aber würde die Endgränze, vermöge des Gesetzes der Stetigkeit, ein bestimmtes Ver- hältnifs A:B erhalten haben; als selbstständige extensive Grölsen betrachtet würde ihnen ein anderes Verhältnils a:b zugekonimen seyn; aber das erste Verhältnis A:B würde nur dadurch als wirklich vorhanden dargestellt werden kön- nen, dals nıan es als zusammengesetzt ansähe, aus denı extensiven Verhältnils a:b und einem intensiven«:£& von einer solchen Grölse, dafs A:B= a«:b£ wäre: wodurch#:% in keinem Fall der Willkühr überlassen bleibt. 56. Diese Betrachtungen führen uns wieder auf den Begriff des Differenzials zurück, der erst durch sie Vollendung und innere Haltbar-» keit erlangen kann. Wir wollen die Anwendung sogleich in einiger Allgemeinheit machen. Da keine Function einer veränderlichen Gröfse x erdenklich ist, die nicht durch eine krunıme Linie geometrisch construirt werden könnte, so sey AC Fig. ıı1. irgend eine Cuve; AB=x eine Abscisse derselben; BC=y die zugehörige Ordinate, und y irgend eine beliebige Function von x, die wir durch Fx vorstellen wollen: also die Gleichung der Curve y=Fx. Man schneide auf der Abscissenlinie, von B aus diesseits oder jen- seits, ein Stück von beliebiger Grölse Bb=Ax gb, un Cy him eilt, tel hy er der C setzt, zieh hy Gle sicl ver jeder durch Gesetz BE dı =; Punkt teniv Bein € Kör erung 1. In tnöge N Vere tanllep en ein n; aber ladurch 1 kön- nsähe, nem dalg em der der DA» dung, ‚Da ie x unıme te, S0 h=Xx ehönige ınction n: also chneide ler ei” =ix 171 ab, und errichte in b die Ordinate bc, und ziehe Cy durch C parallel mit Bb; so ist Cy= Bb =— Ax, und cy als die Zunahme der Ordinate it= Ay. Eine Gleichung zwischen Ax und: Ay erhält man, wenn man in der Gleichung der Curve x+Ax statt x und y+Ay statt yv setzt; man erhält so y+Ay=F(x+Ax) und zieht nıan hiervon y= Fx ab, so bleibt übrig Ay=F(x+Ax)— Fx, welches die verlangte Gleichung zwischen Bb und cy ist. Stellt man sich nun vor, es bewege sich bc gegen BC, so verändert sich das Verhältnils von Bb zu cy in jedem Augenblick, aber stetig und nach einem durch die obige Gleichung für Ay bestimmten Gesetz. In dem Augenblick, wo sich bc und BC decken, verwandelt sich Bb in den Punkt B=09x und cy in den Punkt C==9y. Diese Punkte extensiv betrachtet sind gleich, aber in- tensiv muls man ihnen nach allen bisherigen Betrachtungen das Verhältnifs beilegen, welches dem Quotienten N nach der obigen Gleichung x für Ay zukommt, wenn mn Aax=oıx=o also auch Ay= 9y= 0 setzt. 537. In eben der Figur nenne man den Bogen AC= z, so wird Co= Az, und wenn bc mit BC zusammenfällt, so wird derselbe Punkt C, der vorher das Differenzial der Ordi- nate war, nunmehr das Differenzial des Bogens = 9z. Aber in dieser Beziehung wird ınan ihm gegen 3x ein anderes intensives Verhältnils bei- 172 legen müssen, weil er aus einer andern Gröfse und nach einem andern Gesetz entstanden ist. Diese intensive Grölse kann man finden, wenn aus der Natur der Curve eine Gleichung zwi- schen dem Bogen und der Abscisse bekannt ist; und zwar auf die nämliche Art, wie das Ver- EIN] ie hältnifs er: gefunden wird, 59. Um wo möglich jeder Bedenklichkeit über unsere Theorie des Differenzials vorzubeu- gen, wollen wir die Sache noch einmal von ei- ner ganz andern Seite ansehen, und zeigen, dals sich die Nothwendigkeit, den Differenzialen eine intensive Grölse beizulegen, noch aus einem ganz andern Grundsatz, als aus dem Grundsatz der Stetigkeit, ableiten lasse: aus dem Grundsatz nämlich, dafs gleiche veränderliche Grö- fsen, wenn sie Functionen von einander sind, auch gleiche Differenziale haben müssen. Dieser Satz ist eigentlich nur ein Corollar eines andern ganz allgemeinen und un- zweideutigen Grundsatzes, da[s gleiche Ver- änderungen, mit gleichen Grölsen vor- genommen, auch gleiche Resultate ge- ben müssen; und als solches hat der Satz hinlängliche Evidenz, selbst dann, wenn der Begriff des Differenzials nur klar, aber nicht deutlich aufgefafst ist: denn wenn man sich nur die Differenzial- Operationen als Veränderungen vorstellt, die nach bestimmten und feststehen- den Hegeln mit Formeln vorgenomnien wer- len ist, wenn & 2Wi= Int Ist; dar Vere nklichkei orzubeu. von 6 en, daß en eine ı ganz tz der udsatz Grö- nder aben x an nd Uns e Ver en Yor« ate ges der Satz venn det ber nicht sich nut derungen eststehel- en wel« 175 den, ihr Sinn sey übrigens welcher er wolle, so folgt schon daraus, dals sie gleiche Resultate geben müssen, wenn sie mit gleichen Grölsen nach gleichen Hegeln vorgenommen werden. Daher hat auch noch Niemand diesen Satz be- zweifelt, und selbst Herr Langsdorf, der doch das Gesetz der Stetigkeit anzugreifen versucht, lälst meines Wissens diesen Satz unangetastet. Wir wollen auch hier nach der oben(. ı9, und 20. angegebenen Methode die Sache in einer ganz einfachen geometrischen Construction be= trachten, und nur dabei, statt eines undeutlichen Begriffs vom Differenzial, den im vorhergehenden deutlich bestimmten Begriff einer Endgränze zum Grunde legen. Wir betrachten wieder die bei- den Parallelepipeda AE und FK Fig. 6. Die Grundfläche BC des ersten sey= ı; seine Höhe AD sey veränderlich und= y; folglich sein räumlicher Inhalt= ı.y oder y. Die Grundfläche GH des zweiten sey von ande- rer Gröfse, als die Grundfläche des er:ä sten, aber sie sey beständig, und= b; seine Höhe FC veränderlich, und=x; also sein räumlicher Inhalt= bx. Nun nehme man an, dals y und x so wachsen, dals sich in jedem Augenblick verhalte b:ı= y:x, so wird durchgängig seyn yı=& b& in welcher Gleichung offenhar y,(oder ı.y) nicht die Höhe AD, sondern der ganze Baum AE ist. W 174 Sollte marı nun zuerst eine Gleichung fin- den zwischen zwei zusammengehörigen End« theilen, so mülste man die Höhe x um den Endtheil Ax,; und die y um den Endtheil Ay wachsen lassen, doch so, dals noch immer sich verhielte bereyt Ay#A® Auf diese Art hätte man also y+tAyz=lbx+tbAx und wenn man hiervon y= bx abzieht Nyi='b:Ax Soll dieser strengrichtige Ausdruck der End- theile verwandelt werden in einen eben so strengrichtigen Ausdruck für die Endgränzen, so müssen die Dimensionen Ax und Ay ver- schwinden, d. h. in 9x und 9y übergehen, und so erhält man den strengrichtigen Ausdruck oy= ba9x. Nun lehrt aber der Anblick der Figur, dafs die Endgränze des ersten Parallelepipedi das Parallelo- gramm DE sey; also wäre DE=9y oder 1.9y die Endgränze des zweiten Parallelepipedi ist das Parallelogranını IK, folglich wäre IK=box. Und so erhalten wir durch lauter Schlüsse, deren strenge Richtigkeit wohl Niemand bezweifeln kann, die Folgerung, dals DE= IK sey; wel- ches aber der ausdrücklichen Voraussetzung, dafs BC und GH ungleich sind, widerspricht, wo- fern man DE und IK,(eben so wie BC und GH), blols für sich als selbstständige ausge- dehnte Grölsen betrachtet. Aber da dennoch in allen nacht gen Irene‘ DE= Bey mul ein des ung fin. ı End: um den heil üy ter sich as die aullelo« \er 1.93 di ıst das bax. Und ge, deren yezweifeln sey; welr zung, daß icht, wo“ BO md ige ausge“ lennoch I 175 allen unsern Schlüssen durchaus kein Fehlschlufs nachgewiesen werden kann, so muls es einen gewissen Sinn geben, in welchem man mit strenger Richtigkeit sagen kann, dafs wirklich DE= IK sey, und dieser Sinn liegt in dem Begruf einer Endgränze. Denn als solche mufs DE nicht als eine Fläche, sondern als ein Parallelepipeduni betrachtet werden, dessen Grundfläche DE, dessen Höhe aber ver- schwunden oder 9y gewörden ist. Als End«- gränze betrachtet muls ich also diese Fläche nicht blofs durch DE, sondern durch DE.dy und aus eben den Gründen die Endgränze des andern Körpers durch IK.dx vorstellen. Ich hätte also oben nicht schreiben sollen DE—= oy sondern DE.3Ay= ı.9y, und eben so nicht IK= bdx, sondern IK.9x= badx, woraus ganz richtig: folgt DE I= B Gel)-ER =GK=b. Da aber durch richtige Schlüsse gefolgert wörden, daß ı.y=b.9ax so folgt auch: DE.95=1JK.3% ein Satz, der etwas ganz anderes sagt, als DE= IK, und der, ohne einen Widerspruch einzuschlielsen, richtig ist, aber auch nur auf diese einzige Art als richtig darge- stellt werden kann, wenn man den heiden Differenzialen 9x und 9y ein intensives Verhält- nils von solcher Grölse beilegt, dals dxsody DE: ER) So beschränkt der besondere Fall ist, an; 176 welchen wir diese Betrachtung angeknüpft ha- ben, so ist es doch nicht schwer einzuseheny dafs sich ähnliche Betrachtungen bei jeder durch eine räumliche Construction vorgestellten Fun- ction würden anstellen lassen. Ich habe absicht- lich eine solche Functional- Gleichung y= bx gewählt, wo y und bx in der Construction als zwei verschiedene, und nur bei allen Ver« änderungen gleichbleibende Grölsen erschie- nen. Hierdurch erhielt y gewissermalsen eine doppelte Bedeutung, indem es einmal den gan- zen Körper AE, und dann auch eine mit x gleichartige Gröfse, nämlich die Höhe AD, anzu- zeigen schien. Eigentlich ist nur das letzte die wahre Bedeutung von y, und in jedem Fall, wo man irgend eine beliebig zusanımengesetzie Function Fx mit einem einzelnen Buchstaben y bezeichnet, findet etwas ähnliches statt. In je= dem Fall, wo man y= Fx setzt, muls ı.ar sich den Factor ı bei y ausgelassen denken, und dieses Product so bestimmen, dals y eine mit x gleichartige Gröfse, und die beigefügte Einheit so beschaffen sey, dals dadurch auch ı.y und Fx gleichartige Gröfsen werden. Dils ist deswegen nöthig, weil ofenbar alle Evidenz der höhern Analysis auf einer deutlichen Einsicht in das g Wesen des Differenzial- Verhältnisses— ber >. ruht. Ein jedes. Verhältnifs setzt Gleichar- tigkeit seiner Glieder voraus, Sind aber y und x ungleichartige Grölsen, so sey der Be- griff der wür weis Schrei 177 ipft ha griff des Differenzials welcher er wolle, so können sehen, wohl 3y und 9x nicht gleichartig seyn. Man durch wird folglich bei jeder erdenkbaren Erklärungs- t Fın« art, in einer solchen identischen Gleichung sicht y= Fx, den scharfen Begriff von y immer so j=bx bestimmen müssen, dals y und x gleichartige tion dl Größen werden. Noch anschaulicher wird die en Ver Sache, wenn man unsern bestimmten Begriff 1 erschiee des Differenzials als Endgränze auf geometrische [sen eine Constructionen anwendet: denn wäre y ein den gan Körper und x eine Linie, so wäre dy eine e mit x Fläche und dx ein Punkt, zwischen welchen ) anzu schlechterdings kein endliches Verhältnifs denk- ates die bar ist. Dals es aber, wenigstens bei jeder geo- ı Fall, mıetrischen Construction, möglich sey, y nebst esetzie seinem Coefhcienten'ı so zi bestimmen, dafs ben y y mit x und ı.y mit Fx gleichartig werde, In je= ist leicht einzusehen. Denn wäre x sowohl als Na Fx eine Linie, so ist auch y eine Linie und una mit x gleichartig, der Coefhcient ı aber ist dann ne die blofse Zahl ı, ohne räumliche Dimension. © Einheit Wäre x eine Linie und Fx eine Fläche, so nid Fi müulste man y und- al Linien betrachten; se dann ist y ze gleichartig... und a, nn ” höhern Fläche, also mit Fx gleichartig. Wäre x eine Linie und Fx ein Körper, so mülste man y als Linie und ı als Fläche denken, wodurch wie= gz der die erfoderliche Gleichartigkeit entstehen r würde. u. s. f£ Doch läfst sich auch der Be Gleich weis gleich ganz allgemein führen. Denn man in 1 schreibe 1.y= ı.Fx und denke sich ünter er Dir [ı2] Di 178 der Einheit bei y etwas mit Fx gleichartiges; so behält man die Freiheit, sich unter y und der bei Fx befindlichen Einheit jede Art von Grö- (sen, welche man will, zu denken, wofern sie nur gleichartig sind. Man wird also auch berechtigt seyn, beide mit x als gleichartig zu denken. Mit Rücksicht auf diese Bemerkungen würde es möglich gewesen seyn, alles, was wir aus dem Grundsatz der Stetigkeit abgeleitet ha- ben, auch aus dem Grun dsatz von der Gleichheit der Differenziale gleicher Functionen abzuleiten; nur würde der Gang des Vortrags an Einfachheit verlohren haben, eben deswegen, weil wir mit den hier ange- stellten Betrachtungen hätten anfangen müssen. Übrigens hängen die gedachten beiden Grund- sätze so unter einander zusammen, dals sich ei- ner aus dem andern ableiten lälst, so dafs, wer den einen bestreitet, auch den andern in An« spruch zu nehmen gezwungen ist. 29. Wir haben bisher unsern Brgriff des Differenzials als Endgränze blols auf räum- liche Gröfsen angewendet, und im Grunde ge- zeigt, dals dieser Begriff ohne Zweideutigkeit, und auf eine ganz strenge Art, auf dieselben Resultate führe, und auf keine‘ andern führen könne, als auf eben die, welche der Leib- nitzische Algorithmus*) der Differenzial- %) Die Newtonische Darstellung dieses Algorithmus in der Methodus fluxionum ist in der That 179 hantiges; Rechnung giebt. In der That ist auch zwischen und der der Leibnitzischen und der hier aufgestellten u Grö- Ansicht gar kein anderer Unterschied, als der, Lie nur dals der Leibnitzische Begriff einer unend- Verchtigt lichkleinen Veränderung ein undeutlicher, enken, und daher schwankender Begriff, die V orstellung Igen würde einer End gränze hingegen ein völlig be- stimmter, und im Gebiete räumlicher Gröfsen, sogar anschaulicher Begriff ist, der, wie ich ad WI AS geleitet ha- von der glaube gezeigt zu haben, in allen seinen Be- gleicher stimmungen,' deren die Differenzial- Rechnung der Gang bedarf, auf den ersten Grundgesetzen unseres n habeny V orstellungsvermögens beruht. er ange= Um daher die Differenzial-Rechnung oder müssen. vielmehr die ganze höhere Analysis aufs voll- Grund» ständigste zu rechtfertigen, scheint in der That sich eie" nichts weiter nöthig zu seyn, als nach zu zei- [s, wer gen, dals unser Begriff vom Differenzial, mit al- in An« len seinen Folgerungen, auf jede nur erdenk- liche Art von Gröfsen anwendbar sey, und dafs rorilt des wir den hier gewählten Gang, zuerst blols von auf räume räumlichen Grölsen zu reden, lediglich deswegen jrunde gt gewählt haben, weil auf diesem Wege allein die ideutigkeit, möglichste Anschaulichkeit zu erhalten war. f dieselben 40. Es ist hier der Ort, nunmehr eine scharf- ern führen bestinumte und schulgerechte Definition des Dif- der Leib- ferenzials zu geben. differenzil- _—_— schon eine Künstelei, welche daher entsprang, Alooniihmus dafs Newton dem zweideutigen Begriff des Un« der That endlichkleinen ausweichen wollte, ın ar*/ 1850 Das Differenzial einer veränderli- chen Gröfse, ist ihre Endgränze, sym- bolisch vorgestellt als ein verschwin- dender Endtheil. In dieser Erklärung ist nichts, was blofs auf räumliche Gröfsen beschränkt wäre. Denn dafs jede endliche Grölse begränzt sey, liegt un- mittelbar in der Vorstellung einer endlichen Größe. Bei jeder solchen Gröfse kann und mufs sich der Verstand einen Anfang und ein Ende denken, also wenigstens zwei Grän- zen, von wo aus man die Gröfse auf doppelte Art entstehen lassen kann, entweder vom An- fang gegen das Ende vorwärtsschreitend, oder vom Ende gegen den Anfang zurückge- hend*). Bei der Vorstellung einer verärnder- lichen Gröfse schreitet man allezeit von einem gewissen Anfangspunkte, welchen man willkühr- lich wählt, bis zu einem beliebigen Werth der Grölse vorwärts. Die Endgränze, welche die Gröfse bei diesem Werthe hat, und ihr Zusam- menhang mit der veränderlichen Gröfse ist der eigentliche Gegenstand, welchen die höhere Analysis betrachtet. Dafs dieser Begriff einer Endgränze, so allgemein betrachtet, nichts an- ”) Beiläufig bemerke ich, dafs hierauf die innere Möglichkeit des Positiven und Negativen, und die absolut uneingeschränkte Möglichkeit, diese Begriffe auf alle erdenkliche Arten von Grö- (sen anzuwenden, beruhe. nder]j. ‚$syM« chwin- Ik auf Den dafs lien Ne adlichn kann und g und ein ei Grän- f doppelte om An- eitend, ickge- ränder- einem lkühr- ıth der \che die x Zusam ge ist der je höhere griff einer ichts an« —, f die innere leg ativen, Möglichkeit, ven von 610 181 schauliches sey, wird man hoffentlich nicht als Einwurf gegen seine Realität aufstellen: denn eben der Einwurf könnte nicht blofs gegen den Begriff der Endgränze, sonden gegen den Begriff der Gröfse überhaupt gemacht werden. Blofs die räumliche Grölse ist unmittelbar anschaulich; die Gröfse allge- mein genommen kann wohl gedacht, aber nur mittelbar in Symbolen angeschaut wer- den*), So wie also jede Gröfse überhaupt einer Darsteilnng durch Symbole empfänglich ist, eben so mufs dieses bei der Endgränze einer verän- derlichen Grölse möglich seyn. Da aber etwas Begränztes und eine Gränze desselben, wenn man jedes für sich be- trachtet, zwei ungleichartige Dinge sind, so ist ein Übergang von einem zu dem andern nur dadurch möglich, dafs man sie unter ei- nem gemeinschaftlichen Begriff subsumirt, ver- ") Wer hieran noch zweifeln könnte, den bitte ich zu überlegen, wie er wohl eine Zahl anders anschauen wollte, als in Symbolen; es seyn nun zählbare Dinge, also etwas ganz anderes, als die blofse reine gedachte Zahl selbst, oder willkühr- liche Zeichen. Übrigens bedarf es wohl kaum einer Erinnerung, dafs das Wort Anschauen, hier, und wo es sonst in dieser Abhandlung ge- braucht worden, nicht ein Ansehen mit dem Auge, sondern die Auffassung einer un- mittelbaren Vorstellung des Dinges durch die Einbildungskraft bedeute. 182 möge dessen sie als gleichartig betrachtet wer- den können. Dieses geschieht dadurch, dafs man die EZndgränze vorstellt, als einen verschwindenden Endtheil: denn eine Gröfse und ein Theil derselben sind gleichartige Grölsen*). Es ist also in unserer Definition nichts ent- halten, was nicht auf alle erdenkliche Arten von Grölsen anwendbar wäre; und wir wollen nun- mehr zeigen, mit welcher Leichtigkeit sich alle Grundregeln der Differenzial-Rechnung aus die- senı Begriff streng ableiten lassen. 41. Die erste Grundregel der Differen- zial-Rechnung ist wohl, dafs jedes Differenzial im Verhältnils zu seiner veränderlichen Gröfse im strengsten Sinn= o sey. Und dils folgt unmittelbar aus dem Begriff sowohl einer End- gränze, als eines verschwindenden End- *) Zwar ist die Vorstellung einer Endgränze als eines Endtheils nur idealisch; aber alles Idea- lische richtig-gefalst, und richtig verstanden, ist ein nothwendiges, und zum denken unentbehr- liches- Erzeugnils unserer Vernunft. Daher trägt auch Niemand Bedenken zu sagen: wenn ich mich auf einer Linie AB dem Punkte B nähere, und ihn nun wirklich erreiche, so ist meine Entfernung von demselben Z o gewor- den, als ob die Congruenz zweier Punkte noch immer eine wirkliche Entfernung wäre, Einige Bemerkungen über den Ursprung der Ideen findet man in der ersten Abhandlung. = 185 a nes theils. Der Ausdruck x+9x sagt in der That 1, dals nichts mehr als der Ausdruck x allein. In dem einen ersten Ausdruck ist blolfs die Endgränze aus- I eine drücklich.durch ein Symbol bezeichnet, die in "charge dem andern Ausdruck stillschweigend und nicht abgesondert gedacht wird. Man kann also im Ich strengsten Sinn sagen, dals xt 9x=x sey. Sind Arten von aber v und w mit x gleichartige Grölsen, so ist len nun. auch vt9x=v, und v+wox=v. Denn was sich alle das erste betrifft, so ist eine Gränze Null nicht ‚aus dies nur gegen das, was sie begränzt, sondern gegen alles, was zu dem Begränzten ein bestimmtes Diferen« Verhältmifs hat. Ist aber dieses richtig, so muls erenzial auch vtwoax=v seyn: denn vtwox=w Größe(+3%)); haben aber v und w. gegen x ein; folgt w: End- bestimmtes Verhältnils, so gilt difs auch von End- dem Quotienten AZ also ist Dry Iıx—= WOr«- w w w Bin aus der Satz v-wox:=v streng folgt. yanze als 42. Ferner ergiebt sich unmittelbar aus alles 1er unserm Begriff die allgemeine Methode, wie der Rei symbolische Ausdruck für ein Differenzial zu unentbelt“ e suchen sey. Man sucht nämlich einen Ausdruck aher trägt wenn ich e B nähere, für einen beliebigen Endtheil der veränder- lichen Grölse, und substituirt alsdann für das ist meine Symbol des endlichen Endtheils das Symbol des 0 gewol- verschwindenden, d. h. ein Differenzialzeichen. Punkte u Wir wollen dieses Verfahren auf bestimmtere zäve, Eine 2 Fälle anwenden. der Ideen RT A x 2 2 Es sey Fx irgend eine Function einer ein- 184 zigen veränderlichen Gröfse x. Man setze xtAx statt x, und entwickle F(x+Ax) in eine Reihe nach Potenzen von Ax, so ist bekannt, dafs man eine endliche oder unendliche Reihe von folgender Form erl:ält*): Fx+Ax)=Fx+PAx+QAx?’+RAx?’+ etc. wo P, Q, R etc. Functionen von x allein sind, ohne Ax zu enthalten. Dals das erste Glied Fx seyn müsse ist daraus klar, weil, wenn man AxZo setzt, die ganze Reihe in Fx übergehen mufs. Läfst man dieses erste Glied weg, so ist das Aggregat aller übrigen Glieder der vollstän- dige Ausdruck für den positiven oder negati- ven Zusatz, den die Fx erhält, wenn x in x+Ax übergeht; d.h. PAx+tQAx?+RAx’+ etc. ist der symbolische Ausdruck für einen End- theil der Function, und Ax ist dasjenige Sym- bol, von welchem allein die Gröfse des End- theils für jeden bestimmten Werth von x ab- *) Bei einem synthetischen Vortrag ist es nicht nöthig, diesen Satz in seiner ganzen Allgemeinheit vorauszusetzen; sondern man entwickelt jede ein- zelne Fundamental- Formel nach den bekannten Regeln der gemeinen Analysis. Difs hat bei alge- braischen Functionen nicht die geringste Schwie- rigkeit; und für die transcendentischen giebt dann die Differenzial- Rechnung selbst mehr als ein Mittel an die Hand, sie in Reihen aufzulösen, und so die Allgemeinheit des obigen Satzes durch Induction darzuthun. art star x+Ax Reihe dafs ® von hat, ein and, te Glied enn man bergehen LEN, vollstän- negati- x M es nicht semeinheit t jede ein- bekannten ır bei alge- te Schmie- ojebt dan ‚hr als ein aufzulösen, atzes durch 135 hängt. Vertauscht man dieses Symbol mit 9x, so geht der Endtheil in die Endgränze über, und man erhält für dieselbe Pox+ Q9x*+ Rox?-+ etc. In dieser Reihe verschwindet aber gegen jedes Glied Mox” das nächstfolgende Nax”+!. Denn Mox"+ Noxr+I= Ndx"(+ ax) M — Nox“(=)=, Mo&®(4) also verschwinden gegen das erste Glied P9x alle folgende, und so behält man blols eb Dieses Verfahren betrachte ich als die zweite Grundregel der Differenzial- Rechnung. 45. Es sey eine Function von x ein Agr gregat mehrerer Stücke V, X, Z, so dals FxK=V+X+Z wo V, X, Z jedes für sich eine Function von x ist, so ist unmittelbar klar, dals für einen be- liebigen Werth von x jede dieser Functionen 'ıhre eigne Endgränze habe, die auf dieselbe Art, als im vorigen$. gezeigt worden, gefunden wer- den kann, und dals das Aggregat dieser End- gränzen die totale Endgränze der Function Fx sey. Demnach ist ofx=9V+H9X+92, welches eine dritte Grundregel der Diffe- renzial- Rechnung ist. Wäre eins dieser Stücke, etwa V, eine be- ständige Grölse, so fällt seine Endgränze ganz 186 weg, weil die Differenzial-TRechnung blofs die Endgränzen des Veränderlichen betrachtet. 44. Wir haben oben(40) gesagt, jede Größse habe wenigstens zwei Gränzen. In der That kann sie deren mehrere haben. Denn wenn eine Gröfse in mehr als einer Art veränderlich ist, so gehört zu jeder einzel- nen Art von Veränderlichkeit eine eigne An- fangs- und Endgränze. So hat ein Parallelepi- pedum, weil es in Länge, Breite und Höhe ver- änderlich vorgestellt werden kann, drei Anfangs- und drei Endgränzen. Aber dils ist so wenig eine Eigenthümlichkeit räumlicher Grölsen, dafs sie diesen als solchen vielmehr nur in ei- nem sehr beschränkten Grad zukommt; indem es uns, vermöge der Natur unsers Vorstellungs- vermögens, unmöglich ist, uns etwas raum- liches von mehr als drei Dimensionen vorzu- stellen. Dagegen kommt die Möglichkeit meh- rerer Gränzen, der Grölse allgemein ge- nommen, ganz uneingeschränkt zu, und selbst jeder räumlichen Grölse kommt sie uneinge- schränkt zu, sobald man sie als Gröfse über- haupt in einer symbolischen Construction be- trachtet. Denn betrachtet man eine Function von so vielen veränderlichen Gröfsen als man will, z. B. F(v. w.x. z), so kann man bei jedem beliebigen Werth der sämmitlichen verän- derlichen Gröfsen fragen nach der Endgränze, welche sie in Ansehung einer einzelnen verän- derlichen Größe, z. B. in Ansehung v hat. [3 die jede ol Denn t Art einzal« ne An allelepi- he ver- nlangs- wenig lsen, in ei- ndem )rZU- meh- \ ge- \ selbst neInge- se über- tion be- Function als man man bei en veräl- Igränze, = ver 0 Y hat, 187 Auch ist es klar, dafs man diese Endgränze fin- den werde, wenn man blofs v um einen End- theil Av vermehrt, und dann nach der allgemei- nen Grundregel(42) verfährt. Auch ist es un- mittelbar klar, dafs die ganze Endgränze, welche die Function in Ansehung aller veränderlichen Grölsen hat, nichts anders seyn könne, als das Aggregat aller einzelnen Endgränzen, welche der Function in Ansehung jeder einzelnen veränder- lichen Gröfse zukommen. Und so ergiebt sich nach der hier aufgestellten Ansicht ganz unmit- telbar aus dem Begriff des Differenzials eine vierte Grundregel der Differenzial- Rech- nung, deren Beweis sonst einige Weitläuftig- keit macht. Eben diese Schlüsse lassen sich insonderheit unmittelbar auf. Produkte und Quotienten ver- änderlicher Grölse anwenden, wodurch die Auf- fiindung der Fundamental- Formeln für diese Fälle sehr einfach wird. 45. Wir haben bisher gesehen, dafs, und in welchem genau bestimmten Sinn, ein jedes Differenzial= o sey, und was aus diesem Begriffe folge. Jetzt müssen wir zeigen, dafs, und, in welchem bestimmten Sinn, jedes ein- zelne Differenzial dennoch als eine wirkliche Grölse angesehen werden könne und müsse, und was aus dieser Ansicht folge. Wir betrachten zu dem Ende wieder Fx als eine Function einer einzigen veränderlichen Gröfse, und bezeichnen ihren Totalwerth, in . ee EEE EEE 188 dem oben(6. 58. genauer bestimmten Sinn, durch y, so dals y=Fx. Nach 6. 42. ist x+Ay=Fx+PAx+QAx?’+RAx+ etc, woraus folgt: AY-pı+ QAx+RAx?-+ etc, Nx Lälst man nun in Gedanken Ax bis zum Ver- schwinden stetig abnehmen,' so verändert sich auch das Verhältnifs N stetig, und sobald Ax x verschwindend in 9x übergeht, so geht auch Ay in 9y über, und man behält blofs ey: p =—? Difs ist also ein bestimmtes Verhältnifs, welches den Endgränzen dy und dx, ver- möge des Gesetzes der Stetigkeit, zu- kommt. Nun sind diese Endgränzen zwar im strengsten Sinn Zo, aber doch nur relativ ge- gen y und x, und alles, was mit diesen gleich- artig ist, An sich betrachtet aber können sie gar wohl selbstständige Grölsen seyn, und da- her wirklich ein bestimmtes Verhältnifs gegen einander haben, wie dils das Beispiel von Flä- chen als Gränzen eines Körpers, oder von Li- nien als Gränzen einer Fläche, anschaulich macht. Wir haben indessen in mehrern Fällen(beson- ders(. 38.) gesehen, dals dieses äulsere Ver- hältnifs zweier Endgränzen von demjenigen verschieden sey, welches ihnen als verschwin- denden Endtheilen, vermöge des Gesetzes der ten Sim, 2, ist + etc, tt, zum Ver ändert sich sobald Ax ‚auch Ay tnils, ‚ ver , ZU- ar m UT ge« dach nnen sıe und da ls gegen | von Flir 7 von Lie lich macht, :n(beson- sere Ver denjenigen verschwin- egetzes der 189 Stetigkeit, zukommt. Dieses letzte Verhältnifs mulsten wir, selbst bei extensiven Gröfsen, als ein intensives betrachten; und dals man es eben so betrachten müsse, wenn nicht bestimmt von räumlichen Grölsen, sondern von Grölsen überhaupt die Rede ist, kann, dünkt mich, noch weniger Bedenken haben. Denn wenn x und y nicht räumliche Grölsen seyn sollen, so müssen, sie selbst schon als intensive Grölsen gedacht werden; daher kann man auch wohl bei ihren Endgränzen an kein extensives Verhältnils denken; und gebietet uns ein unstreitiger Grund- satz, ihnen ein gewisses völlig bestinnmtes Ver- hältnifs beizulegen, so kann difs kein anderes, als ein inneres oder intensives seyn. In der That sind hier'alle Bedingungen zur Entstehung eines intensiven Verhältnisses vorhanden. Diese Bedingungen waren, dafs, zwei zugleich ver- schwindende Grölsen aus Grölsen entstanden seyn mulsten, die vor dem Versehwinden entweder ein ganz unveränderliches Verhältnifs hatten, oder ihr Verhältnifs, wenn es veränderlich war, doch stetig änderten, so dals im Augenblick des Ver- schwindens ein bestimmtes Verhältnils gegeben war; und man sieht leicht, dafs in jedem Fall Ay und Ax dergleichen Grölsen sind. Die in- nere Möglichkeit aber, zwei verschwindenden Grölsen ein intensives Verhältnifs beizulegen, be- ruhte im Grunde darauf, dafs eine Gröfse, die in einer gewissen Beziehung Nichts ist, auch bei jeder beliebigen Vervielfältigung, in eben die- 190 ser Beziehung Nichts bleibt, dafs aber dennoch jede Vervielfältigung an sich eine wirkliche Ver- mehrung in der Vorste llung,.d. h. eine wirkliche Vorstellung von einer intensiven Grö- fse ist. Schreibt mir daher das Gesetz der Ste- ie gay tigkeit vor, dem Quotienten GE B. den Werth xX 3 zu geben, so mögen immer dy und 9x, mit yundx verglichen, jedes=o, und inso- fern einander gleich seyn, so kann mir nicht verwehrt seyn zu sagen: als gleich und relativ — o betrachtet,“will ich beide« nennen, aber nun dy=53«= und 9XZ2« setzen, wodurch al- e Bi: B lerdings=” 3 wird. Sofern aber& Zo ist, können die Zeichen 3 und 2% nichts, als Sym- bole einer Intension seyn. Ich zweifle nicht, dafs mehreren meiner Le- ser auch hier das Intensive einigen Ansto[s ma- chen wird. Aber ich bitte sie, zu bedenken, dafs nun einmal dem Iutensiven alle äufsere An- schaulichkeit abgeht; dafs wir aber uns deswe- gen doch der intensiven Gröfse nicht entschla- gen können: denn wir treffen sie unausweichlich in der Wirklichkeit und in unserm eigenen Vor- stellungsvermögen an, und wir mülsten die ganze allgemeine Mathematik ausstreichen und uns blofs auf Geometrie einschränken, oder we- nigstens die Buchstaben in unsern Formeln nichts als räumliche Grölsen bedeuten lassen, wenn wir uns der intensiven Grölsen entledigen woll- ten, dünn Te je i ltig docl der [se heit derse t dennoch; liche Ver. dh. eine även Gröc {der Sten den Werth d 9x, mit und inso« mir nicht ınd relativ ıen, aber durch al» =o ist, 3 Sym- er Le« „is mas aenken, Isere An ns deswe« t entschla« ugweichlich genen Vor- nülsten die eichen und n, oder we ymeln nicht ssen, wein edigen wol 191: ten. Können wir difs aber nicht, so bleibt doch, dünkt mich, kein anderer Rath übrig, als das Wesen der Intension und die Grundform dessel- ben in unserm Vorstellungsvermögen recht sorg- fältig zu studiren, und einem ungewohnten, aber doch sonst genau bestimmten Begriff, das Wi- derspänstige zu benehmen, das er auf den er- sten Blick zu haben scheint. Das Resultat unserer obigen Betrachtungen wäre also: dals dy und 9x zwar relativ gegen y und x im strengsten Sinn=o sind, dafs man aber dennoch beiden eine innere Grölse ohne Widerspruch beilegen kön- ne, und vermöge des Gesetzes der Ste- tigkeit,_beilegen müsse. Difs wäre die fünfte Grundregel der Differenzial- Rech- nung. 46. Vermöge des Gesetzes der Stetigkeit ist ei ao y- blofs das Verhältnifs 323 nicht aber die absolute Grölse jedes einzelnen Differenzials be- stimmt. Hieraus folgt, dafs man jederzeit be- rechtist sey, eines der beiden Differenziale, wel- ches man will, als eine beständige Gröfse, und nur das andere als veränderlich anzusehen. Da ferner ein Verhältnifs nicht geändert wird, wenn ınan beide Glieder mit einer und derselben Grö- (se multiplicirt, so wird man jederzeit die Frei- heit haben, beide Differenziale mit einer und derselben Gröfse, z. B. mit y oder x, oder mit 192 ä g9y2 mit V(+—;» oder womit man sonst will, zu multipliciren, also ya 9y7..x9y yoy y% r>) ———- oder=——; oder= ax 9x yox V(9x2+9y?) zu setzen, und dann in irgend einem dieser Brüche beliebig den Zähler oder Nenner als eine beständige Grölse, und mur das zugehörige an- dere Glied als veränderlich zu betrachten. Dils ist eine sechste Grundregel der Differenzial- Rechnung. 47. Da man bei jeder veränderlichen Grölse, sie sey extensiv oder intensiv, nach einer Endgränze fragen kann, so ist klar, dals man auch nach der Endgränze eines Diffe- renzials fragen könne, sobald man es als eine veränderliche Grölse betrachtet, d. h: dafs man von einem Differenzial ein zweites Differenzial nehmen könne. Auch ist klar, dafs dieses zweite Differenzial völlig nach denselben Grund- regeln, als das erste, gesucht werden müsse, weil ein Differenzial, als veränderliche Gröfse betrachtet, von andern veränderlichen Gröfsen in nichts, als in der symbolischen Bezeichnung verschieden ist. Es ist ferner klar, dafs alles, was bisher vom ersten Differenzial gezeigt wor- den, auch auf das zweite anwendbar sey, und dals man daher ferner ein drittes, viertes, fünf- tes. Differenzial, und so fort, ohne Ende suchen dürfe. 195 sonst dürfe. Diese unbegränzte Möglichkeit höhe- rer Differenziale findet sogar bei räumlichen Grölsen statt, da man selbst den Punkt als eine >, y2 5>& — veränderliche intensive Gröfse betrachten darf. ux? Eu. B —. Sie ist also auf keine besondere Art von Grö- :Oy-} x. r ee [sen beschränkt, sondern findet nur dann Grän- ‚ ÜRker x ES.. peu.= B rn ey zen, wenn ein niedrigeres oder höheres Diffe- als eine= renzial-Verhältnifs nach dem Gesetz der Stetig- keit beständig wird. Setze ich dann das eine ; 2 Differenzial beständig, so bin ich gezwungen An auch das andere als beständig zu setzen, und dann fallen alle höhere Differenziale weg, weil ; die höhere Analysis blols die Endgränzen des ichen Veränderlichen betrachtet. Und so rechtfer- nach tigt sich die siebente Grundregel der Diffe- dals renzial-Rechnung, und zwar serade die, welche iffe- gewöhnlich am meisten Anstofs macht; nämlich Bee die Entstehung der höhern Differenziale. gan 48. Es sey y eine Function mehrerer ver- venzal änderlichen Grölsen, als y=F(v.w.x. 2.) 3 dieses Ferner seyn 9y!, ay", oy!!, Jy!Y die partialen ı Grund- Differenziale, welche sich nach der Reihe auf n musst, die veränderlichen Grölsen v, w, x, z beziehen ne Größe(44), so hat man 1 Größen oyl=Pav ‚zeichnung yT—Qdw [5 alles Ivy ZH Rg ayV= 8S9z ge, un und gay= oay!+9y"!+oy!! 4 ayW, tes, Fü= P9v+Q9w+ Roax+ Saz nde zuden Nun ergiebt sich aus den partialen Diiferenzial- dürfe, 33] 194 ay 11 ow Gleichungen, dals die Verhältnisse—; ' v ga y III g y IV ER er er siämmtlich durch das Gesetz der Stetigkeit bestimmt sind. Folglich ist man be- rechtigt, jedes der Differenzial-Zeichen 9v, gw, 3x, 9z, desgleichen 9y', 9y"; ya OL folglich auch 9y selbst, als veränderliche Grö- (sen anzusehen und als ‚solche zu behandeln. Da aber auch hier das absolute Mafs völlig un- bestimmt ist, so wird man auch hier irgend ei- nes der Differenzial- Zeichen als eine beständige Gröfse betrachten dürfen, welches wir als eine achte Grundregel der Differenzial- Rechnung ansehen können. 49. Ich glaube, dafs durch alles bisherige, alle Fundamental- Operationen der Dif- ferenzial-Rechnung, aus welchen sich alle übrigen verwickeltern ohne Schwierigkeit ableiten lassen, eben so streng gerechtfertigt sind, als es bei irgend einer andern Art von mathematischen Operationen möglich ist. Auch ergiebt sich dar- aus ein ganz bestimmter Begriff der Differenzial- Rechnung, der durchaus nichts zweideutiges oder problematisches in sich schliefst. Sie ist die Methode aus dem symbolischen Aus- druck einer veränderlichen Gröfse, ei- nen symbolischen Ausdruck Für die Endgränze zu finden, welche sie bei je- dem beliebigen Werth hat. Durch eine Rechtfertigung der Differen- dann nn= nen ef upmostenn sn nn a ge De nme ee mm nn nenn>. 195 N zial-Rechnung ist aber auch zugleich die wir ganze Integral- Rechn ung gerechtfertigt, ee und ihr Begriff völlig bestimmt. Man stelle sich zwei Functionen von x vor, \ be- Fx und px, welche blofßs um eine beständige ıaW, Grölse C verschieden sind, so dafs Er=prrC, WW, so ist klar, dafs ihre Differenziale 9Fx und 2X 1e Güü- gleich sind, weil die Differenzial- Rechnung die ande. Endgränzen beständiger nicht beachtet. lig ı- Sind hingegen Fx und ex wesentlich verschie- end&i- den, nänlich in der Art ihrer Zusammensetzung, tändige d. h. ihrer Entstehung aus x, so ist klar, dals Is eine sie wohl zufällig für gewisse Werthe, aber nung unmöglich für alle erdenkliche Werthe von x gleiche Endgränzen haben können. Denn es ist erige, unmittelbar deutlich, dafs zwei veränderliche Dif-. Grölsen, die schlechterdings für alle Werthe von ı alle x völlig gleiche Endgränzen hätten, höchstens \eiten nur um einen beständigen Anfangstheil ae verschieden seyn könnten. Hieraus folgt aber, aüschen dals zu jeder Function nur ein Differenzial, sich date und umgekehrt, zu jedem Differenzial nur eine ferenzial- Function, doch im letzten Fall mit Hinzufügung eideutiges einer unbestinmten beständigen Grölse, gehöre, Sie ist Es ist folglich durch die Function das Differen- en Au zial, und umgekehrt, durch das Differenzial die äfge, dr Function völlig bestinmt, und es muls daher Für die ein Übergang von dem einen zum andern durch e beije analytische Operationen jederzeit möglich seyn. Da aber der Übergang vom Differenzial zur ;fforen« Function nichts anders seyn kann, als der um- 1 196 gekehrte Weg, auf dem die Differenzial- Rech- nung von der Function zum Differenzial ge- langt, so sieht man leicht ein, dafs wenn dieser letzte Weg fest und bestimmt ist, der umge- kehrte eben so bestimmt und fest seyn werde. Offenbar lassen sich eben diese Schlüsse auch auf Functionen mehrerer veränderlichen Gröfsen, desgleichen. auf die Integration höherer Differenziale, anwenden. Denn jedes höhere Differenzial steht gegen das riächst niedrige voll- kommen in demselben Verhältnils, als ein er- stes’ Differenzial gegen die zugehörige endliche Function. Was den Begriff der Integral- Rech- nung betrifft, so ist sie die Methode aus dem symbolischen Ausdruck einer End- gränze, den symbolischen Ausdruck des Begränzten, wozu sie gehört, zu finden. 50. Es ist noch übrig von der geome- trischen Construction der Differenziale zu reden. Aus dem, was schon oben(15) über diese Operation gesagt worden, ist klar, dals sie einer der wichtigsten Gegenstände der höhern Analysis sey, und dafs in ihr eine unerschöpf- liche Fundgrube neuer Entdeckungen vermittelst der Integral- Rechnung liege. Ich halte es da- her für zweckmäfsig, ihr einen eigenen Abschnitt zu widmen. hlüsse Hichen \öher höhere e voll ein&r° ıdliche ech- aus .nd- des len. me- \e zu ‚) über dals sie höhern srschöpt- ymittelst te eg die Abschnitt 197 mE NETTER SELIEAOTETEEETEREN Zur IF? Uber die geometrische Construction der Differenziale. a Merätteriche Gröflsen constmirt man, im allgeineinen, geometrisch auf fol- gende Art. Man stellt sich vor, dafs in einer Fläche gewisse gerade oder krumme Linien, oder in einem Haume von drei Dimensionen gewisse zusammenhängende Linien und Flächen der Lage nach gegeben und unbewegt seyn. In ei- nem solchen Zusammenhang von Linien und Flächen lälst man dann einen Punkt, eine Linie eime Fläche von einer gewissen Anfangs- gränze an fortrücken. Hierdurch werden von den unbewegten Wheilen Stücke von veränder- licher Grölse abgeschnitten, deren gegenseitiger Zusammenhang und Verhältnifs den eigentlichen Gegenstand der Betrachtung ausmachen, indem man Gesetze aufsucht, nach welchen für jede Seeger eg a U 198 beliebige Lage des bewegten Theils alles übrige veränderliche in der Construction bestimmt wer- den könne. So construirt man z. B. eine Para- bel in einer Ebene, zieht eine beliebige Abscis- serlinie, lalst auf dieser eine andere unbegränzte Linie unter einen beständigen Winkel fortrücken und sucht das Gesetz, nach weichem sich hier- bei die Ordinate oder die parabolischen Bögen und Flächen verändern. Oder man kehrt arıch die Frage um. Statt dals mıan vorher ein Gesetz suchte, nach wel- chem sich gewisse Grölsen verändern, nimmt man ein Gesetz, nach welchem sich irgend eine veränderliche Grölse verändern soll, als gegeben an, und sucht nun eine geometrische Constru- ction ausfindig zu machen, in welcher sich ge- wisse Grölsen diesem Gesetze genläls verändern; d. h. es ist in einer symbolischen Construction, (in einer Formel), y gegeben, als eine Function von einer oder mehreren veränderlichen Grö- fsen,, also y=:F'(v:.x. 2),„und man. sucht eine räumliche Construction ausfindig zu ma- chen, in welcher sich eine veränderliche Linie, Fläche oder Raum, die man y nennt, diesem Gesetze gemiäls verandern, wenn gewisse andere Linien, Flachen, Räume, die man v, x, z nennt, sich dem Gesetze gemäls verändern, welches die Function ausdrückt. Bei dieser Arbeit öffnet sich ein unbegränzter Spielraum für den mıathemati- schen Scharfsinn und Erfindungsgeist, indem in der That jede Function nicht nur auf eine, rige Ver Ira= ige zte ken ÜÜhte son Statt wel« immt eine ben trü- 56 In; ON on Krö« sucht, L Mies Linie, diesem andere z nennt, Iches die net sich ıthemati- ndem in uf eine 199 sondern auf unendlich mannigfaltige Arten con- struirt werden kann. Der einfachste Fall ist der, wo y gegeben wird durch irgend eine beliebige Function einer einzigen veränderlichen Grölse x, also y=Fx. Für diesen Fall hat man sich schon längst einer eben so einfachen als sinn- reichen Construction durch krumme Linien be- dient, deren innere Möglichkeit und uneinge- schränkte Anwendbarkeit sich leicht einsehen läfst. Denn. da zu jedem bestimmten Werthe von X, die Function sey beschaffen wie sie wolle, jederzeit ein oder mehrere bestimmte Werthe von y gehören, so ist klar, dals man jederzeit y als Ordinate einer krummen Linie, und x als Abscisse derselben betrachten, und zu jedem beliebigen x die Endpunkte der Ordi- nate, d. h. die zugehörigen Punkte der Curve, finden, und so die Curve selbst construiren könne. Aber man sieht auch leicht ein, dals eben der Zweck auf mehr als einen andern Weg erreicht werden könne. Man nimmt z.B. einen festen Punkt an, und zieht durch diesen eine unbewegliche Linie; dann legt man durch eben den Punkt eine bewegliche Linie, und nimmt an, sie drehe sich um denselben; man betrachtet nun x als den veränderlichen Winkel, den beide Linien einschliefsen, und y als die Länge der beweglichen Linie von dem angenommenen fes- ten Punkt an, so wird durch die Endpunkte dieser Vectoren eine Curve bestimmt seyn; und man sieht leicht ein, dafs man für eine und 200 dieselbe Function nach diesen beiden Methoden zwei ganz verschiedene Curven erhalten werde. Auch ist es eben nicht schwer einzusehn, dafs man die nämliche Function y=Fx noch auf wmancherlei andere Arten construiren könne, in- dem man die Freiheit hat, nach Belieben x und y, durch gerade oder krumme Linien, durch Win- kel, durch Flächen, durch Räume vorzustellen, und die Bedingungen der erforderlichen Bewe- gungen auf unendlich mannigfaltige Art abzuän- dern. Mehr Schwierigkeit macht es, wenn ‚man Functionen von mehreren veränderlichen Gröfsen durch eine geometrische Construction anschaulich machen will, und mir ist nicht be- kannt, dals irgend ein Analyst hierüber schon allgemeine Regeln gegeben hätte; doch be- greift man wenigstens leicht, die allgemeine Möglichkeit, Functionen von zwei und drei veränderlichen Grölsen in einem Raum von drei Dimensionen zu construiren. Mehrere Be- merkungen hierüber liegen aber von meinem gegenwärtigen Zweck entfernt. 52. Die beiden im vorigen$. bemerklich gemachten Methoden gehören in zwei verschie- dene Theile der Mathematik. Die erste, wo die veränderlichen Gröfsen gegeben sind, und das Gesetz ihrer Veränderung gesucht wird, gehört, sobald dabei Curven vor- kommen, ohne Zweidenutgkeit in die höhere Geometrie: denn sie ist eine eigene Me- thode, die Eigenschaften der Curven zu rg u Tyan A Saeeienie Pr} nl 1oden erde, dals auf iN« ıdy, in tellen, Bewe- bzuän« wenn lichen ıchon f be= chon be- eine rei von ebe- einen. nerklich rerschie« Größen inderung ven vol e höher ne Ne- veD zu 201 untersuchen. Aber sie setzt Analysis voraus, weil sie eigentlich für das Gesetz der Verände- rungen einen symbolischen Ausdruck, d. h. eine Function sucht. ud Die zweite, wo das Gesetz durch eine Fun- ction gegeben ist, und dazu räumliche Größen gesucht werden, welche diesem Gesetze gemäfs sich verändern, gehört eben so unzweideutig in die Analysis: denn sie ist eine eigene Me- thode, die Eigenschaften einer Fun- ction zu untersuchen. Aber sie setzt offen- bar höhere Geometrie voraus, weil die geome- trische Construction der Functionen fast in je- dem Fall nicht ohne Curven auszuführen ist. Sind diese Bemerkungen gegründet, so Folgt daraus, dals Analysis und höhere Geometrie ein- ander wechselseitig voraussetzen, folglich nicht gänzlich isolirt vorgetragen werden kön- nen.und dürfen. Es scheint mir daher in der That, ich kann es nicht leugnen, als wenn un- sere trefflichsten Mathematiker in dem Vortrag dieser beiden Theile nicht den richtigsten Weg einschlügen. In der höheren Geometrie hat man den Weg der Alten gänzlich verlassen, und ver- bindet sie vom ersten Anfang an mit der Ana- Iysis, wodurch die reine geometrische Ansicht gänzlich verlohren geht. In der Analysis hin- egen scheint man gerade auf der entgegenge- etzten Seite zu weit zu gehen. Man legt es 2 s recht geflissentlich darauf an, die Analysis ganz rein vorzutragen, und sie durchaus von aller 202 Geon:etrie zu entkleiden; hierdurch verliert man aber nicht nur für das Ganze den höchst wich- tigen Vortheil der unmittelbaren Anschaulichkeit, welchen die Geometrie allein gewähren kann; sondern man schneidet eine ganze höchst frucht- bare und scharfsinnige Methode ab, die Functio- nen zu behandeln. Nach meinem Bedünken sollte man in beiden Wissenschaften erst emen beträchtlichen Theil ganz rein vortragen, um. den Geist derselben sichtbar zu machen und ihn zu fixiren: aber von einem gewissen Punkte an sollte man beide Methoden verbinden. Aber auch bei dieser Verbindung könnte und mülste man doch die Gränzen beider Wissenschaften nicht aus dem Auge verlieren. In der höheren Geometrie ist immer die Untersuchung der Curven der Zweck, und der Gebrauch der Fun- ctionen nur Mittel. In der Analysis ist es um- gekehrt. Sollte ich ein Werk über die höhere Mathematik ausarbeiten, so würde ich zuerst die Lehre von den Kegelschnitten ganz rein nach der Methode der Alten vortragen, und dann die Theorie der algebraischen Fun- ctionen ganz rein analytisch folgen lassen. Von da an würde ich Geometrie und Analysis ver- binden, doch so, dals ich in den einzelnen Ab- schnitten bestimmt bemerkte, ob sie zur höhe- ren Geometrie oder zur Analysis gehörten. 53. Wir müssen noch eine andere Bemer- kung, aus den oben(51) angestellten Betrach- tungen ableiten. Wenn irgend eine Function sul man Ich- ceit, nn; Cht= 0» ken einen ‚um d ihn unkte Aber ülste ten ren 203 vor mir liegt, so ist es immer entweder eine Frage aus der Physik, oder aus andern Theilen der angewandten Mathematik, oder auch eine Speculation aus der reinen Mathematik, wodurch mir diese Function gegeben wird.‘Die verän- derlichen Grölsen v, x, y, z können in derglei- chen Fragen, Grölsen von jeder erdenklichen Art, sie können räumliche Gröfsen, aber sie können auch Zeiten, Geschwindigkeiten, Kräfte, Massen, Capitalien, Zinsen etc. seyn, kurz, was man nur will. Aber es ist klar, dafs, wenn ich die Function geometrisch construiren will, ich gar nicht nöthig habe, daran zu denken, oder auch nur es zu wissen, was die Symbole v, x, y, z ursprünglich bedeuten. Ist nur die Form der Function völlig bestimmt, so darf ich mir unter diesen Symbolen völlig nach Belieben Linien, Winkel, Flächen, kurz jede Art räum- licher Grölsen vorstellen. Zeigen nun aber jene Symbole ursprünglich andere als räumliche Grö- [sen an, so ist klar, dals die ganze geometrische Construction der Function im Grunde selbst nur eine symbolische Construction ist: denn da jedes beliebige Zeichen ein Symıbol seyn kann, so kann auch jede räumliche Grölse zu einen Symbol dienen; und diese Art von Sym- bolen hat vor den Buchstaben den wesentlichen Vorzug, dals sie die Verhältnisse der betrachte- ten Grölsen anschaulich darstellen. Es kann aber auch der Fall eintreten, dafs eine solche Construction nur zum. Theil symbo- 204 lisch ist. Von dieser Art sind fast alle geome- trische Constructionen in der höheren Mechanik, wo gewisse Linien die wirklichen Wege beweg- ter Punkte, also räumliche Gröfsen, andere hin- gegen Zeiten oder. Kräfte oder Geschwindigkei- ten, also intensive Grölsen vorstellen. Ich bitte den Leser diese Ansicht bestimmt und deutlich aufzufassen: denn wir werden sehen, dafs die geometrische Construction der Differenziale in jedem Fall symbolisch sey, und dafs es nur darauf ankomme, den Sinn dieser Construction sich bestimmt und deutlich zu denken, um ein- zuschen, dafs die Schlüsse, die man aus ihnen ableitet, bei Anwendung der nöthigen Aufmerk- samkeit, eben so zuverlässig und streng sind, als es irgend eine Art von mathematischen Schlüs- sen seyn kann. Dals aber die geometrische Construction der Differenziale keinen andern, als einen symboli- schen Sinn haben könne, läfst sich schon aus unserm Begriff vom Differenzial allgemein und durch einen einzigen Schlufs ableiten. Denn wir haben gesehen, dafs das eigenthümliche Ver- hältnifs der Differenziale, nämlich dasjenige, wel- ches durch das Gesetz der Stetigkeit bestimmt ist, jederzeit ein intensives Verhältnils sey; und es ist unmittelbar einleuchtend, dafs inten- sive Verhältnisse im Raume nicht anders, als symbolisch dargestellt werden können. Wir wer- den sehen, dafs diese Darstellung nicht nur an- schaulicher, sondern in mehrerem Betracht ex- geome« Chanik, eWeg« ® hin« Hi Sheie 1 es nur hruchon m ein« Ihnen Nerk- sind, lüs- der boli- N a08 n und Denn he Ver- &, wel. stimmt nur al cht 205 pressiver sey, als die Darstellung durch Buch- staben; und ob sie gleich in gewissen Fällen die Unbequemlichkeit hat, dals sie die darzustellen- den Verhältnisse nicht genau, sondern nur an- nähernd sichtbar macht, so kennt man doch in jedem Fall die wahren Verhältnisse und die Be- dingungen der Annäherung genau, und kann sich daher jederzeit gegen Trugschlüsse sichern. Eine ins einzelne gehende Entwickelung dieser Methode wird dieses alles anschaulicher machen. Von dem Differenzial einer geraden Linie. 54. Die Grölse der Linie AB Fig. 7. sey veränderlich, ihr unveränderlicher Anfangspunkt sey A, und AB eine beliebige Grölse derselben. Ein Punkt C rücke von A gegen B; je näher dieser Punkt an B kommt, desto kleiner wird der Endtheil BC, den er abschneidet. Ist der Punkt C in B selbst angelangt, so fällt er mit B zusammen und bildet die Endgränze von AB; in dieser Lage sind die beiden congruiren- den Punkte, als eine Linie von der Länge Null vorgestellt, das wahre Differenzial von AB. Es ist nöthig, diese Vorstellung noch ge- nauer zu analysiven. 55. Obgleich bei einem für sich allein be- trachteten Punkte gar nicht die Rede seyn kann von einer Richtung, so verhält es sich doch anders, wenn ein stetig bewegter Punkt einen unbewegsten deckt, und nun diese beiden con- 4 gruirenden Punkte als eine verschwindende 4 206 Linie vorgestellt werden. Wo sich anch der Punkt C auf der Linie AB befinden mag, so hat der Endtheil CB unverändert immer die- selbe Richtung, und eben diese Richtung mıufs man daher, vermöge des Gesetzes der Stetigkeit, auch selbst noch in dem Augenblick des Ver- schwindens, der Linie CB beilegen*). 66. Wir haben ferner im vorigen Abschnitt gezeigt, dals man jedem Differenzial, selbst dann wenn es ein bloflser Punkt ist, eine intensive Grölse beilegen müsse, die zwar im allgenıei- nen ganz unbestinnmt, aber in einem. Zusam- menhang mehrerer Differenziale dem Verhält- nisse nach völlig bestimnit ist. Diese innere Grölse eines Differenzials ist, wie jede Gröfse überhaupt, symbolisch darstellbar, unter dem *) Einem Punkt eine Richtung beizulegen ist nichts weniger als ein blofser Einfall,. am aller- yyenigsten ein neuer Einfall. Man hat es gethan, so lange Geometrie existirt, aber vielleicht ohne sich dessen bestimmt und dentlich bewulst zu seyn. Eben der Leser, der etwa hierbei Austols finden möchte, hat gewils sehr oft gesagt, und wird noch ferner sehr oft sagen:.eine krumme Li- nie,!habe: in. jedem Punkt eine’ andere Richtung. Man vergleiche hiermit den Begriff einer krummen Linie, als einer solchen, in wel- cher kein Theil, der sich angeben läfst, gerade ist; sö sieht man leicht, dafs man in der That in solchen Ausdrücken jedem Punkt einer krummen Linie eine Richtung beilegt, nam- lich die Richtung der Tangente. [72 Pr ıch der 8, 9 r die- muls Ibschnitt bst dann ntensive IIgenei- Zusam« 'erhält- Innere srölse dem ist \ Aler- serhan, Ahr vune {zu seyn, ols fi den und wird mme Li. andere len Begr f ‚inw el. ben lälst, Jals man ın m Punkt legt, nalll 207 Bilde einer Linie; und es fragt sich nun, wie diese Darstellung auf das zweckmälsigste zu ma- chen sey. Es kann offenbar keine expressivere Darstellung geben, als wenn man einen Theil der Linie AB selbst, und zwar einen an B dis- seits oder jenseits anliegenden Theil Bb oder Be zum Symbol wählt. Denn einmal stellt ein solcher Theil unmittelbar die Richtung dar, die man nach dem vorigen$. dem Differenzial beilegen mufs; und dann stellt er, weil er an B anliegt einen Endtheil der veränderlichen Grölse vor, den man nur in Gedanken darf in Null übergehen lassen, um'den scharfen Begriff der Endgränze oder des Differenzials zu haben. Auf ähnliche Art könnte man bei der analyti- schen Entwickelung einer Differenzial- Formel (42), ohne Nachtheil der strengen Richtigkeit aller Schlüsse, das Zeichen Ax beibehalten, ohne es mit 9x zu vertauschen, wenn man nur be- stimmt merkte, dafs es jederzeit als verschwin- dend gedacht werden mülste, so oft es das wirk- liche Differenzial oder die wahre Endgränze von x vorstellen sollte. Fermer wird sich bei der weitern Entwickelung zeigen, dafs dergleichen Endtheile wie Bb oder B#2, wenn mehrere Dif- ferenziale unter einander in Zusammenhang ste- hen, vorzüglich geeignet sind, das wahre Ver- hältnifs, welches ihnen nach dem Gesetz der Stetigkeit zukommt, anschaulich darzustellen. Endlich liegt selbst darin Ausdruck, ob man das Symbol des Differenzials disseits oder jenseits B 208 abschneidet, indem dadurch angedeutet werden kann, ob es als positiv oder negativ anzusehen sey. Denn wenn zwei Endgränzen durch ent- gegengesetzte Bewegungen entstehen, so müssen sie, in Beziehung auf diese ihre Entstehungsart, selbst als entgegengesetzte Grölsen angesehen werden. Von dem Differenzial der Winkel- und Kreisbögen. 57. Wenn Fig. ı0. der Schenkel AC des Winkels ACB als unbeweglich, der Schenkel BC äber als beweglich gedacht wird, so- ist AC die Anfangsgränze des veränderlichen Winkels; die Linie BC aber ist die Endgränze, also das Differenzial desselben. Da aber das Diffe- renzial jederzeit als ein verschwindender End- theil, also als gleichartig mit seiner veränderli- chen Gröfse gedacht werden muls(40), so muls die Linie BC vorgestellt werden als ein Win- kel, dessen Schenkel zusammenfallen. Soll nun die innere Gröfse dieses Differenzials symbolisch construirt werden, so mufs über oder unter BC ein neuer Schenkel b C gezogen werden, der mit BC einen beliebigen kleinen Winkel macht, also einen Endtheil des Winkels BAC vorstellt. Die Gröfse dieses Winkels ist im. wahren Diiferenzial= o, aber die anschau- liche Größe, die man ihm giebt, ist ein Sym- bol der intensiven Gröfse, welche man in einem eTe- 8°5 rden ehen ent= sen aut, seien md Ü des enkel AC cels; das ffe- nd= erlie nula Wın- allen, enzyals [s über gezogel kleinen Winkels nkels ı5t ‚2.09 gegebenen Zusammenhang veränderlicher. Grö- fsen, diesem Differenzial beilegen mufs.. 58. ‚Da aber die. Winkel stets nur: in Be- ziehung, auf Linien betrachtet, ‚und ihre Grö- [se aus Linien- Verhältnissen abgeleitet wird,.so muls nothwendig die Gröfse, ‚sowohl endlicher Winkel als ihrer Differenziale, auf ir- gend eine Art durch Linien dargestellt. wer- den... Dils geschieht schon in der- Geometrie durch Kreisbögen, die man zwi- schen, den Schenkeln aus‘der Spitze der Winkel beschreibt. Um aber ein. einziges allgemeines Mals für alle Winkel zu haben,- mıufs man den Bogen jederzeit mit dem Halbmesser= ı be- schrieben annelımen. Nun sey CD=ıy, so ist DE das Mals des Winkels ACB, und eben so ist Ee das symbolische Mals des Differenzials. Man kann daher, wie gewöhnlich,“den Wirkel ünd sein Mafs mit einerlei Buchstaben bezeich- nen, und z. B. sowohl ACB als DE= setzen; und eben. so, wenn man BCb als. die symbo- lische Construction der innern Gröfse des Diffe- renzials betrachtet,., so ist es,nun einerlei, ob mansagt,..es.sey DCb.= 99, oder es sey Eee,=/2%6 59. Hieraus ergiebt sich ferner die Art, wie überhaupt das Differenzial eines Kreisbogens zu construiren sey.. Es sey. mit einem beliebi- gen Halbmesser CF=x der Bogen FGg be- schrieben, und, wie vorher, sy CD=ı; AC5 oder DE=P, so ist aus bekannten Gründen der [14] REG 2310 Bogen FG=re. Das wahre Differenzial die- ses Bogens ist der Punkt G; die innere Gröfse dieses Differenzials aber kann durch den Bogen Gs vorgestellt, und in Büchstaben durch r99 ausgedrückt werden.‘Denn denkt man sich BC in seiner beliebig angenommenen Lage unbe- wegt, und führt die bewegliche Linie bC an BC heran, so verhält sich ununterbrochen DC:FC=Ee:Gg, d.i ı:r=9p9:r9P. Man'muls also den bloßen Punkten E und G, sobald man sie als Differenziale von DE und FG betrachtet, noch immer das Verhältnifs Ee:Gg oder ı:r beilegen. 60. Wenn sich ein Winkel verändert, da- durch, dafs sich einer seiner Schenkel nicht um den Scheitelpunkt des Winkels, sondern um ei- nen beliebigen, in dem Schenkel selbst irgendwo angenommenen Punkt dreht, so äudert difs die geometrische Construction seines Differenzials. Man denke sich Fig. 4. die Linie BC um den Punkt B beweglich, so ist, wenn die Linie DA eine beständige Lage hat, der Winkel BCA veränderlich. Es fragt sich, wie sein Differen- zial vorzustellen sey. Man nehme die anfängli- che Lage der beweglichen Linie beliebig an: sie sey 2. B. anfänglich in der senkrechten Lage BE gewesen, und habe sich nun bis in die Lage BC gedreht, so ist auch hier BC die Endgränze, also das wahre Differenzial des Winkels BCA. Soll aber die innere Gröfse dieses Differenzials 211 al die. geometrisch construirt werden, so mufs man die Gröbe Linie noch etwas weiter, etwa bis in die Lage Bogen BD, fortrücken lassen, so zeigt der Winkel ‚199 DBC die Grölßse an, um welche der Winkel h BC BCA durch die fortgesetzte Bewegung der Linie Inbe- abgenommen hat, wel BCEA—BDA=DEBC. Ga Dieser Winkel DBC stellt also einen Endtheil rochen unsers veränderlichen Winkels vor, und als ver- rot. schwindend gedacht ist er dessen Differenzial. und 6, Hätte man nun BCE= 9 gesetzt, so würde und FG man die innere durch DBC äulfserlich vorge- Ee:6g stellte Grölse seines Differenzials durch—9® bezeichnen müssen. , da on Von dem Differenzial krummer Linien überhaupt. ER 61. Es sey AB Fig. 8. irgend eine krumme mp Linie, A der Anfangspunkt, von wo aus ein ; ür beweglicher Punkt gegen den beliebig angenom- us. nenen Punkt B auf der Curve fortrückt. Hat BC um der bewegte Punkt B erreicht, so ist B die End- \je Linie gränze oder das wahre Differenzial des veränder- el BCA lichen Bogens AB. Da aber in dem Begriff Diferen- des Differenzials die Vorstellung liegt, dals es anfänzli eine Linie sey von der Länge Null, so kann o An: se und mufs man zunächst nach einer Richtung Lage BE dieses Differenzials fragen. Diese kann keine die ap andere seyn, als diejenige, welche die Curve bräne selbst bei ihrer Endgränze hat, also die Rich- 3 BCA tung der Tangente BC. Da aber die Tangente .] und die Curve den Punkt B auf völlig gleiche fFerenaa 25 BEN EEE user 212 Art gemein haben, so dafs man B mit eben dem Recht für Gränzpunkt der Tangente als der Curve nehmen kann, so ist klar, dafs in dem Differenzial aller Unterschied zwischen gerade und krumm gänzlich aufhöre, und dafs man daher berechtigt sey, das Differenzial einer Curve nach Belieben, entweder als eine gerade oder auch als eine krumme Linie von beliebiger Art, nur von der Länge Null zu betrachten. Aber dieser Umstand macht einen Unterschied in der sym- bolisch- geometrischen Construction des, Dille- renzials. 62. Um nämlich die innere Grölse eines solchen Differenzials unter einem anschaulichen Bild darzustellen, nıufs man, wie bei der gera- den Linie, diesseits oder jenseits B einen belie- bigen kleinen Theil der Curve, Bb oder Bß abschneiden. Soll nun das Differenzial als. ge- rade vorgestellt werden, so gehört zu den bei- den Endpunkten desselben eine und dieselbe Tan- gente CD; man muls folglich in der Zeichnung B# als die Verlängerung von CB, oder BL als die Verlängerung von DB ansehen, Betrachtet man hingegen das Differenzial als ksumm, so darf in der symbolischen Constru- cion B&# Fig. 9. nicht als Verlängerung der Tangente CB betrachtet werden, weil B% insofern es als krumm vorgestellt wird, in je- dem Endpunkt eine andere Tangente hat. Denn obgleich auch jetzt, in dem wahren Differenzial durch B, als Punkt, nur eme einzige Tangente t eben als der ı dem eund daher it nach er auch rt, au r. dieser er Syll> 5 Diße- 2. eines lichen gera- belie- B% 5°* ‚ beis me chnung der BL ansehen. zial alt Constnus ung der veil B& , ine t, Dem fferenzi) Tanzatie ie) 215 gelegt werden kann, so geschieht es doch in den beiden Fällen, wo man das Differenzial als gerade oder als krunım betrachtet, in einem verschiedenen Sinn. Im ersten Fall dürfen die Tangenten durch B und 8 auch nicht einmal als verschieden gedacht werden, weil durch zwei Punkte nur eine einzige gerade Li- nie gezogen werien kann. Im zweiten Fall hingegen muls die durch B gezogene Tangente im‘wahren Differenzial betrachtet werden, als zwei Tangenten, die einander decken, d.h. die einen unendlichkleinen Winkel oder einen Winkel=o einschliefsen. Dieser Begriff kann symbolisch nicht anders anschaulich gemacht wer- den, als dadurch, dafs man nicht nur durch B die Tangente BC, sondern auch durch£ die Tangente 8D zieht. Da im wahren Differenzial & den Punkt B, und£D die Linie BC deckt, so ist der Winkel, den die durch B und 8 gezoge- nen Tangenten einschliefsen, auch hier im streng- sten Sinn=o, aber difs in einem andern Sinn, als im ersten Fall. Dort war er absolut Null, d. h. es existirt kein Winkel, auch nicht einmal in der Vorstellung. Hier ist er nur relativ Null, als Winkel zweier congruirenden Linien, kurz als ein Differenzial, dem eine innere Grö- [se zukommt, welche durch ein äufseres Sym- bol, also durch einen wirklichen Winkel, dar- gestellt werden kann und muls. Ist nämlich B ein beliebiger angenommener Punkt der Curve, und# irgend ein anderer als beweglich g& en 3+ nn FREE 3 EEE EEE ER EEE RETTET a ee rn Den nn || 814 | I dachter Punkt, so gehört zu 6, bei jeder endli=- wi chen Entfernung von B, eine eigene Tangente| u N ßD, welche gehörig verlängert mit BC einen| un | N Winkel von bestimmter und von der Natur der ia, Il Curve abhängigen Grölse macht. Aber dieser| Aut il| Winkel ist, sobald man# beweglich setzt, selbst mi eine veränderliche Grölse, welche abnimmt, je| wa näher# an B rückt, und welche verschwindet, m wenn£& den Punkt B erreicht. Es ist also BG| die Endgränze oder das Differenzial dieses Win-| | kels, und der Winkel, den BC und&D ein- El schliefsen, die symbolische Construction der in- E id tensiven Gröfse, die mıan diesem ‚Differenzial% | wird beilegen müssen, in Verhältnils gegen an- eu dere Winkel-Differenziale, die etwa bei Betrach- el \ tung einer solchen Figur vorkommen. So gräl könnte man z.B. von B sowohl als von 8 nach tele I| irgend einem unbeweglichen Punkt E zwei Li- ngl || nien ziehen: dann hat der Winkel BE%& auch bei die jeder endlichen Grölse von B& seine bestimnite IN Gröfse, und verschwindet, wenn£ mitB zusam-{st menfälltt. Das Verhältnils aber, welches der bi | Winkel der beiden Tangenten zu dem Winkel| ri | der beiden Vectnren EB und E23 hat, ändert| M sich stetig, und wird in dem Augenblick, wo A ' beide Winkel verschwinden, noch eine bestimmte ge | Grölse haben, welches nur dadurch anschaulich w | gemacht werden kann, dafs man durch B und an & zwei Tangenten, so wie zwei Vectoren zieht. ‚5 Sch Zwar können die beiden in der Figur auf diese| sich Art anschaulich werdenden Winkel nicht das AD endlie 1gente einen Ir der dieser „slhse ML,\R ıwindet, so BÜ 5 Wine D em der in renzial 1 an« trache So nach | Li» I bei me ZUSAM hes der Winkel , Andert ick, WO estinnnite schaulich ch B und ven zieht, auf diese nicht das 215 wahre Verhältnifs der Differenziale darstellen, ‚aber sie stellen es doch desto genauer dar, je kleiner man sie nimmt, und es ist kein ‚Irrthum mög- lich, sobald man: diese beiden Winkel für nichts nimnit, als was sie sind, für mangelhafte Re- präsentanten zweier intensiven Gröfsen, deren wahres Verhältnifs man aber anderweitig,_ver- möge des Gesetzes der Stetigkeit, kennt. Vom Differenzial einer Fläche. 63.: Wenn sich eine ‚gerade Linie in einer Ebene in irgend einer andern"Richtung als ih- rer eigenen fortbewegt, so’ beschreibt sie allezeit eine Fläche, deren Anfangsgränze. die Linie selbst, in ihrer ursprünglichen Lage, deren End- gränze eben diese Linie: in irgend ‚einer andern beliebigen Lage, ist. Unter den unendlich man- nigfaltigen Abänderungen, mit denen man sich die Bewegung einer Linie denken ‚kann, sind es nur die beiden einfachsten Arten, fast-ausschlie- fsend, welche die Aufmerksamkeit der: Analysten beschäftigen: nämlich das parallele Fort- rücken, und das Drehen um einen Punkt. 64. Es sey AC Fig. 11. irgend eine Curve, AB die Abscissenlinie, und zu.dem: Punkte C gehöre die Abscisse AB=x, und die ‚recht- winkliche Ordinate BE=y. Day und x ver- änderliche' Gröfsen sind, so liegt darin still- schweigend die Vorstellung: die Ordinate habe sich von dem Punkte A an, oder aus der Lage AD, oder auch von irgend einer-andern belic- 2:70 bigen.Anfangsgränze, parallel fortbewegt; wäh- rend dieser- Bewegung aber sey auf derselben ein beweglicher Punkt fortgerückt, und‘ habe die krummıe Linie. AC beschrieben, dem Gesetze gemäls, dafs die Gleichung zwischen x und y ausdrückt. Derjenige Theil dieser beweglichen Linie, der zwischen der Abscissenlinie, und dem beweglichen Punkt enthalten ist, beschreibt bei dieser Bewegung die krunımlinige Fläche ACB, und wenn man diese Fläche in einer beliebigen Lage>’der Linie BC betrachtet, so ist BC die Endgränze dieser Fläche, folglich, als ein ver- schwindender. Endtheil vorgestellt, das wahre Differenzial der Fläche ABC. Will man die in- tensive Gröfse dieses Differenzials geometrisch construiren, so muls man rechts oder links von BC eine’ neue Ordinate’ bc, und durch C eine Parallele’Cy mit Bb ziehen, so ist das kleine Rechteck BCyb die. geometrisch- symbolische Construction des Flächen- Differenzials; und da CB=y, und Bb die symbolische Construction des: Differenzials von x, also in diesem Sinn, Bb= 9x ist, so ist das Flächen- Differen- zial== ydx. Erwägt man aber, dafs be und BC im währen Differenzial einander decken, also einan- der gleich sind, so ist klar, dals man auch den Raum BCcb als das Differenzial der Fläche be- trachten dürfe. Difs stimmt auch mit dem ana- Iytischen Ansdruck dieses Differenzials völlig überein. Denn da wäh- selben e die Netze nd y lichen 1d den ibt bei ACH, iebigen 6 die n Vele wahre e iN« risch von eine eine sche nA da uchon . Sinn, ifferen- BC im ) ea uch den äche ber em and s völlr SEE EEEHETEEBEETEEUER 217 BCcb=BC,b+Cyc=yax+#9x.9y; so verschwindet# 9x.oy als ein Differenzial der zweiten Ordnung, gegen y9x. In der That ist auch Cyc in deın wahren Differenzial ein blolser Punkt, also gegen BC nichts; und nur in. der symbolischen Construction, welche die inneren Verhältnisse der Differenziale darstellt, erscheint es als Dreieck. 65. Das eben betrachtete Dreieck Ccy ist besonders geeignet, das Wesen dieser symbolisch- geometrischen Gonstrnctionsart aufzuklären. Der Punkt C kann eigentlich in dreifacher Rücksicht als ein Differenzial betrachtet werden, Er ist erstlich das Differenzial des Bogens AG; zweiten’ das Differenzial der Ordinate BG; drittens, so wie man in der symbolischen Construction Bb oder Cy für das Differenzial der Abscisse AB, nehmen kann, eben so ist es im wahren Differenzial emerlei, ob man. der Punkt B oder C dafür nimmt. Aber es kom- mien diesem Punkte C, in jeder dieser drei Rücksichten andere äulsere Bestimmungen, und innere Verhältnisse zu. Als Differenzial. des Bo- gens muls man ihm diejenige Richtung bei- legen, welche eine Tangente der Curve in dem Punkte C hat; als Differenzial der Abscisse, hat er die Richtung Cy; als Differenzial der Or- dinate, die Richtung BC oder cy. Denkt man sich also in dem Dreieck Ccy, die Linie Cc als gerade, und in der Richtung der Tan- gente CE, so stellen die drei Seiten des Dreiecks = a ee ei nme x 218 Ccy, die Richtungen dieser drei Differenziale anschaulich, und in strenger Richtigkeit dar. yen Aber eben diese drei Seiten versinnlichen auch in st die innern Verhältnisse dieser drei Differen- CBE ziale. Denn setzt:man y=Ay; CGy=Ax,= Marl Cc=Az, und betrachtet sie als endliche End- lich theile, so werden sich aus der Gleichung der| N Curve genaue Ausdrücke für die Verhältnisse| St Ay R Ay; finden lassen. Läfst man einen die- ı Ax Az| 1 ser Endtheile stetig abnehmen, so nehmen auch| h hl die beiden andern stetig ab; folglich verändern sich auch die beiden gedachten Verhältnisse stetig.|: | Aber die für sie gefundene Ausdrücke bleiben| un | streng richtig, wie klein man auch die End- ge | theile nehmen mag. Je kleiner sie aber sind, die | desto mehr nähern sie sich den. Verhältnissen untl der Seiten eines rechtwinklichen Dreiecks von und Il den oben gedachten drei Richtungen, und es ist| sch ||' klar, dafs sie in dem Augenblick wo die End-£ 7, | theile in Differenziale übergehen, dieses Verhält- || nils streng erreichen. Dals aiso in der symbo- h :ı lischen Construction Cc keine, gerade Linie ist, a 8 aber doch als eine solche betrachtet wird, kann li 8 keinen Irrthum erzeugen, weil im wahren Diffe-| p, | renzial alle Verhältnisse wirklich so sind, wie| 5 E man sie in der symbolischen Construction an-" nimmt. Es ist daher z. B. keine Annäherung, sch sondern ein strengrichtiger Satz, wenn man wir # sagt, es sey das Differenzial des Bogens, oder Bi EU 98 Fairy Fall enziale E dar, auch Ieren- =x, 1 Inte ang der hältnisse nen die» en auch rändern stetig, leiben End- sind, issen von rt % Inde \ erhält« symbo- inte it, rd, kann ven Dife« ind, wie jchion ante näherung, venn an en; od 219 66. Es ist ferner klar, dafs ein Dreieck, des- sen Seiten die gedachten drei Richtungen haben, in strengsten Sinne ähnlich sey denı Dreiecke CBE, dafs also auch dieses Dreieck die inneren Verhältnisse unserer drei Differenziale anschau- lich darstelle. Da aber schon durch zwei Seiten eines rechtwinklichen Dreiecks alle übrigen Stücke desselben bestimmt sind, so ist klar, dafs der Winkel. CEB und ECB mit den Differen- zialen in einer ganz bestimmten Verbindung ste- he, so dafs diese ‚Winkel gegeben sind, wenn eines der Verhältnisse= oder gegeben ist, X und umgekehrt. Hierauf beruht bekanntlich die gerade und umgekehrte Methode der Tangente, die Lehre vom Gröfsten und Kleinsten, die Be- urtheilung der.Wendungspunkte, der Spitzen, und der ganzen Gestalt einer Curve, kurz ein sehr. grofser und wichtiger Theil der höheren Theorie der krummen Linien. 67. Es sey AB Fig. ı2. wieder eine belie- bige Curve; AC eine unbewegliche‘ Anfangs- gränze, und BC eine um den Punkt© beweg- liche Linie. Während sie sich dreht, rücke ein Punkt auf derselben fort, und beschreibe nach einem Gesetz, das dürch eine Gleichung zwi=- schen BCZx, und dem Winkel BCAzg s« geben ist, die Curve AB. Die Fläche ACB wird also durch die Bewegung der Linie CB beschrieben, und ihre Endgränze ist in jedem Fall die Linie CB. Soll diese Linie das wahre 220 BB Differenzial der Fläche seyn, so mufs sie vor- gestellt werden, als eine mit ACB gleichartige Fläche, deren Dimension aber in der Richtung der Bewegung=o ist: d.h. sie mus vorger steilt: werden, als eingeschlossen von zwei aus C laufenden Linien, und einem Bogen der Curve. Ist also Bb eine symbolische Construction von dem Differenzial des Bogens, so ist der Sector OBb die symbolische"Construction von dem. Differenzial der Fläche. Umi dieses Differenzial durch eine Formel aus x und 9 auszudrücken, beschreibe man aus C den Kreisbogen B£#. Dieser Bogen steht senk- recht auf bC, und darf, da£ und B im wah- ren Differenzial zusammenfallen, als gerade an- seschn werden. Da ferner im wahren Differen- zial auch b und B congruiren, so darf aus eben dem Grunde auch Bb als gerade betrachtet wer» den. Daher kann man das Flächen-Differenzial CBb betrachten, als ein geradlinises Dreieck, dessen° Grundlinie Cb, und dessen Höhe Be ist, Wir haben also CBb=3Cb,B#; es ist aber Be=x99(59), und BC=6Czx, also gbZ9x, und Cbzx+9x; folglich CBbzz3(x+9x)x92. Da aber xt9xzx(4r), so ist CBbrx?9p. 68. Wir haben oben(40) erwähnt, dafs man sich die Erzeugung veränderlicher Gröfsen nicht blofs durch parallele und drehende Bewer» e Vor artige tung rger au Game, on von ' sector n dem Formel an aus - senke wahe e an erEN» eben wers nal releck, he Bf kl ze lich hnt, dalı . Größer ide Bewer 221 gung; sondern noch auf unendlich viele ändere Arten im Rawıne anschaulich machen könne. Wir wollen noch‘ ein einziges leichtes Beispiel einer anderen Art von Flächenerzeugung hinzufü- gen. Man stelle sich einen Kreis von unbeweg- lichem Mittelpunkt, aber veränderlichem Durch- messer vor;. so liegt darin die Vorstellung, dals er so. entstehe und wachse, wie etwa auf ruli- gem Wasser Kreise durch einen hineingeworfenen Stein entstehen. Der Halbmesser dieses Kreises habe eine beliebige Gröfse x erhalten, so ist seine Peripherie, als eine Fläche olıne Breite he= trachtet, seine Endgränze, oder sein wahres Dif- ferenzial. Will man dieses Differenzial symbo- lisch construiren, so mufs mıan innerhalb oder aulserhalb der Peripherie in einer beliebigen klei- nen Entfernung eine neue concentrische Peri- pherie beschreiben, ‚Der Ring zwischen. beiden Peripherien ist die verlangte Construction,. aus welcher sich ‚leicht eine genaue Formel für das Differenzial ableiten lälst. Gesetzt ınan hätte die zweite Peripherie aufser der ersten beschrie- ben, so ist ‚der. Halbıneser des äulsern Kreises —=x+09x, und der Halbinesser. des innern Krei- ses=x. Die Fläche des äulsern Kreises ist also=(x tax)" max”+aoaxox+ a9x’ —=»#x?+02ax9x(41); die Fläche des innern Kreises ist=#x°; folglich der Ring zwischen beiden Peripherien, oder,.das gesuchte Dikeren- zial=2rx9x. 222 Von dem Differenzial eines körperlichen Raums. 69. Wenn sich eine bewegte Ebene in ei- ner ihrer eigenen Dimensionen,(also blofs nach Länge oder Breite), fortbewegt, so durchläuft sie nichts, als einen Flächenraum. DBewegt sie sich aber in einer Richtung, welche mit ihr ei- nen Winkel macht, so beschreibt sie einen kör= perlichen Raum. Auch hier sind unter den un- endlich mannigfaltigen Bewegungen, die man einer Fläche beilegen kann, das parallele Fortrücken einer Ebene, und die Um- drehung um eine feste Achse, die einfach- sten, und fruchtbarsten. Es wird aber hier hin» reichend seyn, nur die erste in Betrachtung zu ziehen, da es der Zweck dieser Abhandlung nicht seyn soll, eine Anleitung zu der Differen- zial-Rechnung zu geben, sondern nur dem auf- gestellten Begriff eines Differenzials, durch An- wendung auf die wichtigsten Fälle die möglichste Anschaulichkeit zu verschaffen. 70. Es sey also ABC Fig. 13. eine be- wegliche Ebene von beliebiger Gestalt und Gröfse. Sie rücke fort, parallel mit sich selbst, in der Richtung AD, die auf der Ebene ABC senk- recht ist. Die Fläche selbst verändere im Fort- rücken ihre Gröfse nach einem gegebenen Ge- seiz, und sie sey EFG, wenn sie in den Punkt E anlangt. Man sieht leicht, dals ihre Gröfse irgend eine Function von AE=x seyn werde, die wir durch Fx oder y bezeichnen wollen. hen In ei nach läuft er sie t Ihr die ıen kör« den un ie man rallele e Um- einfache r hine ng zu dlung fereNe ı aufe 1 An« ne eine bes nd Grölse, t, im der ‚BC senk- m Fort ohenen Ge* den Punkt ihre Größe seyn werdy yon. wol. 225 Ist die Fläche in E angelangt, so ist EFG die Endgränze des zwischen ABC und EFG durchlaufenen Raumes; und diese Endgränze, vorgestellt als ein mit ABCEFG gleichartiger Raum, ist das wahre Differenzial dieses Rau- mes. Um die innern Verhältnisse dieses Diffe- renzials sichtbar zu machen, lege man über oder unter E noch eine dritte parallele Fläche efg mit der Voraussetzug, sie gey nach dem- selben Gesetz als EFG entstanden; so kann der Raum zwischen EFG und efg als die symbo- lische Construction des Differenzials angesehen werden; nur mufs man diesen Raum als einen prismatischen betrachten: denn da EFG und efg im wahren Differenzial zusammenfallen, so müssen sie auch in der symbolischen Constrüc- tion als völlig gleiche Flächen betrachtet wer- den. Das Differenzial des Körpers ABCEFG ist also ein prismatischer Raum, dessen Grund- fläche EFG=y, oder=Fx, und dessen Höhe Ee=9x=o ist; es wird also gleich seyn yoax, oder 9x Fx. Allgemeine Bemerkungen. 71. Es würde unnöthig seyn, die Beispiele mehr zu häufen. Aus allen geht eine und die- selbe Regel für die symbolisch-geometrische Con= struction der Differenziale hervor, welche von der Fiegel der analytischen Construction nicht we- sentlich verschieden ist.- a 22% Nachdem man mit sich selbst einig gewor- den, welcliie Theile einer Figur und in welcher Art sie veränderlich seyn sollen, so nimmt nıan diesen Voraussetzungen gemäls eine beliebige Endgränze an. Diese Endgränze ist das wahre Differenzial, insofern dasselbe unmittelbar an- schaulich ist. Um aber die innern, an sich nicht anschaulichen Verhältnisse der Differenzial- gröfsen wenigstens symbolisch anschaulich zu machen, schneidet man disseits oder jenseits der Endgränze einen beliebigen Endtheil des Verän- derlichen, den angenommenen Gesetzen der Ver- änderlichkeit gemäls, ab. In dergleichen End- theilen sind alle innem Verhältnisse der Diffe- renzialgrölsen versinnlicht, zwar gewöhnlich nur annäherungsweise, aber man ist aufser aller Ge- fahr eines Irrthums, wenn man nur statt der Verhältnisse, welche in der Figur vor Augen diejenigen setzt, welche in dem Au- liegen; genblick, wo ein Endtheil in eine Endgränze übergeht, nach. dem. Gesetz der Stetigkeit ein- ireten. In Ansehung dieser Andet aber nie eime Zweideutigkeit statt, weil die Richtungen, die man den Differenzialen. in dem Augenblick des Verschwindens beilegen mufs, in jedem Fall völlig bestimmt sind. 72. Wir haben oben,(besonders$-. 15: einer eigenen Methode, Differenzialausdrücke un- mittelbar zu finden, erwähnt, als einer der wichtigsten Operationen der höhern Analysis, in- dem durch sie eigentlich die Integral-hechnung neuen st hen besch nein in IN die gu ne tm) Tar alle beile besti Verka] & gewor- welcher mt man Wichige {8 yahre ittelur an- I, an Sl Jiffereninl. haulich zu eniseits der les-Verän- ı der Ver- hen End- r Diffe- lich nur ler Ge- at der Augen en Aus naginue aka eIN- or mie eine ngen, die enblick des jedem Fall ders$ 15r) isdrücke UI. als einer des Analysis, W* „leRechning neuen 205 neuen und unerschöpflichen Stoff zu Erfindun- gen gewinnt. Man kann auf keinem andern’ Wege leichter zu deutlichen Begriffen über die Beschaffenheit und die innere Möglichkeit dieser Methode gelangen, als durch Betrachtung der geometrischen Construction. In den meisten Bei- spielen, von denen wir in diesen Abschnitt Ge- brauch gemacht haben, legten wir keine'be- stimmte Function, zum Grunde; sondern wir nahmen,(z.B.$. 653— 66.), blofs an, dals sich eine Ordinate rechtwinklich auf einer Abscissen- linie fortbewege, und bei dem Fortrücken sich nach einem gewissen Gesetz verändere. Wir hatten aber nicht nöthig, dieses Gesetz zu be=- stimmen, sondern es war hinreichend einzuse- hen, dals auf diese Art irgend eine Curve beschrieben werden mıüsse. Dieser blofse alloe- nıeine Begriff einer Curve führt auf die bestinim- ten Begriffe von Tangenten, Subtangenten, Nor- malen, Subnormalen, von Winkeln, welche diese Linien bilden, von Flächen, welche sie unter sich und mit der Curve einschlielsen, von Körpern, welche entstehen, wenn man der Fi- gur irgend eine Bewegung in einer dritten Di- zıension beilegt, u. s. w. Da nun die Rich- tung einer Curve in jedem Punkt durch ihre Tangente völlig bestunmt ist, so sind überhaupt alle Richtungen, welche man den Differenzialen beilegen muls, vermittelst jener Begriffe völlig bestinunt: woraus folgt, daß man die innern Verhältnisse der Differenzialgröfsen in jedem Fall, [15] a II 226’ ‚1 il in strenger Richtigkeit anschaulich machen h Bi könne, selbst dann, wenn ihre unmittelbare i 1 BR Construction nur annähernd ist. So stellt z. B. W N das kleine Differenzial-Dreieck Ccy Fig. ıı. die Me | innern Verhältnisse der Differenziale nicht genau mi N dar, weil Cc nicht gerade ist; aber das Dreieck| sh I EBC stellt dieselben in. vollkomminer geome- Mr trischer Strenge dar. Hieraus wird begreiflich, 4£ wie es möglich sey, ganz allgemeine Differenzial- k Ausdrücke für Tangenten, Subtangenten, Nor- e \ malen, Subnormalen, für Winkel der Curve mit| s \ einer solchen. Linie, für Flächen der Curve u.\ N ii| s.£& zu finden, ohne dafs man nöthig hat, an N R eine bestimmte Gleichung der Curve zu denken. ie l In solche allgemeine Differenzial- Ausdrücke,| | kann man ferner bestimmte Bedingungen hin- I | eintragen; man kann z. B. nach einer Curve V ı fragen,. deren Tangenten, Subtangenten, Bögen, hl Flächen etc., sich nach einem ganz bestimmten RS Gesetz ändern, das entweder durch blofse Spe- RE culation, oder durch physische Aufgaben veran- A lafst seyn kann, und so erhält man ganz be- h stimmte Differenzial- Ausdrücke, ohne 6 noch.die Function£d..3. Sdie Gleichung h der Curve) zu kennen, der sie zugehö- R ren. Auf diesem Wege kann also die Integral- f Rechnung Stoff erhalten, den sie nicht aus der 2 eigentlichen Differenzial-Rechnung, sondern aus j a der unmittelbaren Betrachtung der Endgränzen N und ihrer innern Verhältnisse schöpft; und hier- do durch allein erhält sie den Charakter einer ganz machen ttelbare zZ, B. FEONR greillich, erenzial« 1, Nor« ve mit urve 1. at, an enken. rucke, hin» urve )gelly unten it» veräl« ınz be» , ohne jchung zugehö- Integul- it aus der ndern aus ndgränzen und hie” einer ziNZ 97 bestimmten, eigenthümlichen, und wnentbehr- lichen Wissenschaft. Indessen ist die hier er- wähnte Methode nicht ausschliefsend der geo- metrischen Construction eigen. Auch bei der mittelbaren Construction durch blolse algebrai- she Symbole ist sie anwendbar. Statt zu sagen, man wolle diese oder jene ganz bestimmte Fun- ction von x mit dem Buchstaben y bezeichnen, kann man sagen: y solle irgend eine Function von x seyn, die man mit einem solchen unbe- stinmmten Zeichen wie Fx oder 9x andeutet. Man kann dann ganz allgemeine Regeln ent- wickeln, wie man, unabhängig von der beson- dern Beschaffenheit der Function von x, die fe)= Werthe von—» oder von y9x, oder von x V(oy?”+9x”), oder von irgend einer andern beliebigen Function dieser Differenziale finden könne. Man kann alsdann bestimmte Bedingun- gen in diese Formeln hineintragen, und nun fragen, welche Function von x die veränder- liche Grölse y seyn müsse, um jener Bedingung Genüge zu thun. Es ist auch leicht einzusehen, dafs diese blofs analytische Methode noch von allgemeinerer Anwendbarkeit sey, als die geo- metrische, die bei Functionen mehrerer verän- derlichen Gröfsen, und bei Differenzial- Glei- chungen oft ziemlich verwickelt werden dürfte; und man darf nur einen Blick werfen, auf die unschätzbaren Bereicherungen, welche die hö- here Analysis dem Tiefsinn eines Lagrange 228 verdankt, um sich von der unendlichen Frucht der barkeit dieser Methode einen richtigen Begriff he zu machen. Aber man wird auch leicht zuge- un 1 ben, dals diese Methode sehr abstract sey, und je n dals es nicht wenig Übung in abstracten Denken Iysis eıfodere, sich von denı Sinn, der auf diesem der Wege gefundenen Sätze und Formeln, recht be-& sc stininıte, deutliche, und festgefalste Begriffe zu N so machen. Denn da sie ganz im Allgemeinen N 6 bleibt, so arbeitet sie auf einen Gebiete, wo i b II; nichts unmittelbar anschaulich ist. Es ist aber k st || sichtbar, dafs es unendlich leichter sey, durch|( ul unmittelbare Anschauungen als durch nuittelbare| 6 in blofs willkührlichen Symbolen, zu bestimmm-» W | ten und deutlichen Begriffen zu gelangen. Die ta | geometrische Methode behält daher immer ei-\ tiv | nen unschätzbaren Werth; von ihr mıufls der Tnı \| Vortrag ausgehen, und wo sich abstracte Unter-| ale | suchungen auf sie zurückführen lassen, gewinnt StR i| gewils der Lernende sehr viel.|[ | 75. Ich hoffe, der Leser werde sich nach f 'aufmerksamer Durchlesung dieser Abhandlung| nıit völliger Befriedigung überzeugt fühlen, dals die einfachen Regeln der Differenzial- und In« tegral- Rechnung, die man ursprünglich aus N den paradoxen Begriff des Unendlichkleinen ab=\ geleitet hat, einer strengen Rechtfertigung und| aller der Evidenz empfänglich sind, an welche man sonst in der Mathematik gewöhnt ist. Es | | | } | | | | la | ist eine auffallende, obgleich eben nicht seltene ||| Erscheinung in der intellectuellen Welt, dafs |!| | | a B_ r Zn an Se N a on ur age rmee meer— Auen ei nenn Tre 229 "richte al hliche Geist,} iner der menschliche Geist,. wenn er nur von reiner, Begrif heiliger Wahrheitsliebe beseelt ist, aus dunkeln zuge und mifsverstandenen Begriffen, dennoch oft- ‚und die richtigsten Resultate zieht. Die höhere Ana- Daiken ly:is beweiset, dals dieses sogar in denı Gebiete Äisem der Matheniatik möglich sey: häufiger dürfte echt ion sich indessen der Fall auf dem Felde der Philo- orten| sophie ereignen. So wie aber auf dem ersten emeinen| Gebiete, durch völlige Aufklärung der Grund- Bw) begriffe, gerade die kunstloseste von allen Vor- ist aber| stellungsarten völlig gerechtfertigt wird, eben so durch dürfte, wenn es einst noch dem menschlichen ttelbare| Geiste gelingen sollte, diejenige Wissenschaft zur MM« Wirklichkeit zu bringen, welche er seit zwei- Die tausend Jahren unter dem Namen der specula- r de tiven Philosophie vergebens sucht, ihr höchster ; der Triumph nur darin bestehen, dafs sie alle die ntere allgemeinen Aussprüche, welche der unverkün- winnt stelte gemeine Menschenverstand uber die äau« fsere und innere Welt fället, vollkonımen recht= ch nach fertigen würde. andlung len, dals und Ine lich aus ar einen ab« sung und in welche kit 3 ht seltene it, dals VDruckrehler Seite 9 Zeile 7 v. u. statt Verstande lies Verstand — 25—.13 v. 0. st. können 1. könne — ib.— 5v.u. st, Maalsstab 1. Malsstab = 127.— 73 v..0.'st. jenen]. jener —= 41— ı5v.u. st. Bestimmun gihrer 1. Bestim- mung ihrer —- 45— 7v.0.st.:die l..Die —.52= ıı v. u,ostBomees 1. Lyouer’s — 59—.ı4 v. u. st. des Tags 1. der Tage — 100— 14 v. 0. st. berechtigt ist 1. sondern be- rechtigt ist — 150— ııv.o. st. allerersts 1. allererste — ib.— 78 v.u. st. proportionalis:]. propor- tıonales — 135—, 2 v.u. st. der strengste 1. im strengsten 8 3 v. 0. st. gegeben]. gegebene — 2142,— 29V. usst unserer Vorstellung}. un- seres Vorstellungsvermögens — 15— ıv.o.st. z2dx liess zIx ausdrücken — 168— 13 v. 0. st. extensives l. intensives — ib.— ı8v.o. st. intensive]. extensive 7175. 5 32V. U,sLea.y les 2.0Y S. Um mehrerer Deutlichkeit willen ersuche ich den Leser noch folgende kleine Abanderungen zu machen: 85. Z. 13 und ı4 v. u. statt: aber dafs sie nicht zur Analysis gehören: lese man: dafs aber dennoch Analysis etwas ganz anderes sey, als Algebra. 101. Z. 10 v. o. setze man hinzu: Eben so braucht man bisweilen in der Algebra den Be- griff einer Veränderung als Mittel, nicht als Zweck; in der Analysis hingegen ist dieser Be- griff immer Zweck, nicht Mittel. 198. Z. 4 und sv. u. statt: sich dem Gesetze gemäfs verändern, welches die Function aus- drückt. lese man: sich auf beliebige Art ver- ändern. 210. Z. 12 v. u. statt Fig. 4. lies Fig, 14. 224. Z. 14 v. o. statt in lies im. nn x” ee ee e gr M Be a 8» 7 ich den/ 7(@) K achen: x |;: 3 Z : nicht&:—H| 1F ß aber| 6 Y, als K| a FR A B> Eben on|/> h\/| B; den Be. B I En RR\ H /n nicht als A= 22= ieser Be« R D a: z— 1 Gesetze ER 2 BB ION Allde j ALL vel« D 6 8 4 9 8 V I, D diu. V Än ensssneoeAgh tanatelastanatantatann äegi Kareaxrnndadal düſüiüiſinmniſſiſidſüſ nnnſiſ Oem 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 CI 4—— Blue Cyan Green Vellow Hed Magenta —————————