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Fr ößrentheius
aus der angewandten Mathematik
zur
Ucbung der Anglyſis:
Zur angehende
Feldmeſſer, Ingenieurs und Baumeiſter.
BIBLIO 11 133.X 10: KOI JN
NOS eite H,; DES LAND? 495) zu MOVE TEER/
Entworfen
von
%. A. Eh) telWe Königlich- Preußiſchen Deichinſpektor des Ober- Oderbruchs und der Königlichen Sozietät der Wiſſenſchaften zu Frankfurth an der Oder Mitglied.
Berlin, Friedrich Maurer, 179%

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0: Ziveck meiner Bemühung bey Aufſebung des gegenwärtigen Werks iſt, dem Anfänger die Anwendung ſeiner erlernten Analyſis zu et: leichtern, indem ich ſolche auf die Entwickelung ſolcher Fragen, welche in ver Ausübung vor- kommen, angewandt habe, Das herrſchende- Vorurtheil, daß man ſich in den meiſten Fällen mit einigen Erfahrungsſäßen, ohne Hülfe der Algebra, ſehr gut behelfen könne, iſt noch immer ſo allgemein, und die Liebe zur Bequemlichkeit ſindet ſo viel Gefälliges bei dieſem falſchen Grundſaßs, daß ſelbſt die überzeugendſten Ein»
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wendungen dagegen noh nicht diejenigen Wür- kungen hervor bringen konnten, welche ſich davon erwarten ließen. Auch ſcheint die Einwendung derjenigen, welche behaupten, daß ſie bei ihrer vielfältigen Praxis nie Gelegenheit fanden, ſich der Algebra zu bedienen, noch immer einiges Gewicht zu haben; indeſſen, wenn man be- denkt: daß es ſchr ſchwer iſt, von einer Wiſſen- ſchaft Anwendungen zu machen, welche man höchſtens dem Namen nach kennt, ſo wird dieſe Einwendung von ſelbſten weg fallen.=- Sollte ich ſo glücklich ſeyn, dem angehenden Baumei- ſter nur einen deutlichen Wink zu geben, daß ihm zur richtigen Ausübung ſeiner Wiſſenſchaft etwas mehr nöthig iſt, als ein Paar geometri- ſche Lehrſäße, die man auswendig gelernt hat, ſo würde ich meine geringe Arbeit für hinläng- lich entſchädiget anſehen,
Um nicht bereits geſagte Dinge noch ein-
mal zu wiederholen, ſo ſind beſonders die An- SUM MU D
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fangs8gründe der mathematiſchen Wiſſenſchaften (1780) und die mathematiſche Analyſis(1786) von Hrn, Karſten zum Grunde gelegt worden, und ich bin bemüht geweſen, nur ſolc<e Auf- gaben zu wählen, von welchen mir noch nicht bekannt war, daß ſie bereits auf dieſe Art aufge- [öſt ſind; einige wenige aus8genommen, welche mir hierher zu gehören ſchienen, Allein eine kleine Vergleichung wird es, wie ich mir ſchmeichle, zeigen, daß ſolche nicht mit Unrecht hier aufgenommen ſind.
Es iſt möglich, daß, vielleicht durch eine andere Einkleidung, ſich verſchiedene der hiex vorgelegten Aufgaben noch kürzer auflöſen laſ- ſen“ daher wird mir überhaupt jede Bemerkung darüber deſto angenehmer ſeyn, weil mir in vie? len Fällen kein Vorgänger bekannt war, und ich, von allen öffentlichen Bibliotheken abge- ſchnitten, mich keiner als meiner Handbiblio- thef bedienen konnte,
F 23:00»4afe 7... dv Tr 79 714 47.

Die Aufgaben ſelbſt ſind dergeſtalt geord- PE net, daß man von den leichteren nach und nach zu den ſchwerern übergehet, ohne daß hierbei auf die verſchiedenen Wiſſenſchaften, worunter ſie gehören, Rückſicht genommen iſt, Auch 9
v| 24 I ce N F 5408 0 ſind, zur Abkürzung vieler Rechnungen, am Ye Ende des Buchs, noch verſchiedene nüßliche Auler Tafeln beigefügt worden, vt Wenn durch dieſes Werk einiger Nußen Eine Fi Heſtiftet wird, ſo würde vielleicht eine Fortk- Aus de den
ſeßung deſſelben vorzüglich hydrauliſche Aufga- j i3 ben enthalten, welche dem praftiſchen Hydro- Die Mn fechniker unentbehrlich ſind, echt Küſtrin im Monat Januar 1793, wan
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PIS 2 1067) 231 2 SU 237
Aus der gegebenen Menge Faſchinen, die Dauer der Arbeit zu finden.; Z;;; SAG HEE 5 Die Kronenbreite eines Deichs, aus der Länge, Höhe und den Koſten deſſelben zu finden..; PEE IEEE- Eine Figur in eine ähnliche größere zu verwandeln, 67... 24
Aus den gegebenen Dimenſionen eines Brunnen und dem Gelde, welches auf jede Tiefe zugelegt werden muß, die ſämmtlichen Arbeitsfoſten zu beſtimmen, 5, 4,
Die Anzahl der Arbeiter bei einem Baue zu finden. 62.162
Verſchiedene Preiſe der Faſchinen aus befannten Sum- men zu beſtimmen,,.; 3> 32228. 6.
Die Höhe und Entfernung eines Orts, zu. deſſen Fuß man nicht kommen kann, durch den Schatten zu MEME ie ui in 0(SMI SR ASE ESE GE: Ss
Die Menge der auf verſchiedenen Bauſtellen abgelade- nen Mauerſteine zu finden, wenn gewiſſe Verhält- niſſe befannt ſind..:.; 5 ZUGE
Ein Trapez in mehrere gleiche und parallele Theile zu theilen.» 9»+...* 4 s 9. 10,
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Jedes andere Viere>, 2 12;: HES IT,

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„3.-.- Nuwent Verſchiedene ſchon bekannte Arten dieſer Theilung. Anwen .* 4,»., 6. DT. Antnerk./ Tür ein " Aus der Breite und Höhe eines Walmdachs, die Größe|" der Sparren und Eſparren zu finden,.,, 5, x2, 6(m ys Det Anwendung auf beſondere Fälle.=.- 4 CG 13% Or! ' Aus der Weite und Höhe, einen gedruckten Bogen mit Nys der dem Zirkel zu beſchreiben.< 3. 20220 14: ain 4. beſ, Dieſen Bogen mehr hohl oder flach zu zeichnen, 404055 Wie Reuß einen ſolchen Bogen zeichnen lehrt, Unterſu- ET <ung über die Richtigkeit dieſer Auflöſung,„04.165 ſs de Den Innhalt einer Zone, in welcher ſich der Mittel- N punkt der Kugel nicht befindet, aus der Höhe und) Fortgeſ den Durchmeſſern der obern und untern Kreisflä-' gohlerl <en zu finden Mit Beiſpiel.: N S0:217| 4 3 SPRenn der Mittelpunkt in der Grundfläche liegt, und 5 N Dot pin nur die Höhe und der Durchmeſſer der Grundfläche 0 befannt iſt, Mit Beiſpiel„.|; AEZEUSHEH(0:0 m ſeid Unter gleichen Bedingungen den Innhalt eines Kugel- A.| ESR ES Bs abſchnitts zu finden. Mit Beiſpiel,.+, 6 19 y Dei der „. Aus der Krone, Grundlinie und den heiden Doſſirungen| Die K Ee eines Deichs, den Flächeninnhalt ſeines Profils zu 4 D finden: M Beiſprele mere: Hs H 04 04:57 00 20,| un ; EE HE;; wir Aus dieſen Stücken das Profil zu zeichnen,„, ASTE|( % u „“ 1 Die Breite der Krone eines Deichs zu beſtimmen, da-| R. mit derſelbe dem Druck des davorſtehenden Waſſers"4 hitnläuglichwiderſtehe 4 1 0027 SEE j Nh / | 4
erden ee R SN SINNEN a MEN IEE an mak ei MI RL Ear an eä en eu ni dem Eo 2255 daum när DO A. RIEN

[) R IR h | | "* j Anwendung auf Flußdeiche,-; 5; 6.743627 MF,) | Für eine gegebene Laſt die nöthige Stärke einer Kette i! zu beſtimmen. M, Beiſp, 3 3 3* 46.520 01| Aus dem Innhalt und Umfange eines. Rechtecks, ſeine 3 i Grundlinie und Höhe zu finden. M. Beiſp,. 8, 2x, | )| Aus der bekannten Zeit, in welcher mehrere Quellen fe einen Behälter füllen, dieſe Zeit für jede Quelle 5, beſonders zu finden, NEE RO>. 4:.20,4.268 Eine Siehl- oder Schleuſenthüre ſo' aufzuhängen, daß db, ſich dieſelbe, wenn kein Druck von innen vorhan- den iſt, von ſelbſten verſchließt. 5 5 TIMEO 5270 | Eortgeſekte Unterſuchung> 2 1 BIE ESI 56% 1788 > Fehlerhafte Beſtimmung der Hrn, Silberſchlag und'* u| Brahms. SSE ZIE 8220 ZNM ere | | Bei einer einfachen Schleuſe, die Höhe des Waſſers ſo 73| zu beſtimmen, damit die Thüren gleichen Druck 5. R leiden. M. Beiſp. GENE EIE NSEMOT 2065 307 E! Bei doppelten Schleuſenkammern. M. Beiſp.+. 50,71% CJ: | Die Kraft zu finden, welche erfordert wird, um eine | Laſt über eine Rolle zu ziehen, wenn auf Frikzion |.| und Steifigkeit des Seils Rückſicht genommen '| wird; nebſt den neuſten hierher gehörigen Bemü- 1: 5 TEUNLUHSSOU S6 1 ES DEU NEEF WENET EEREN€ R 2.2130 7 SE | | Dieſe Kraft zu finden, wenn die Rolle mit in die Höhe ) gezogen: wird?" MHD 07 05, 053 Aelpb 3.400008 33, Dl 2,

Bei einem Flaſchenzuge von jeder Anzahl gleicher Rollen dieſe Kraft zu finden, M. B.;.. M0,
Aus der Kraft und Laſt, die nöthige Anzahl der Rollen zu finden, M. B. 4 8;; 221207 30%
Wenn. der Flaſchenzug aus zweierlei Rollen beſiehet. M. 3).*.....,
9
Die Frikzion zwiſchen den Kettenſchafen zu finden. 50274 Weitere Ausführung.. 4: S< 6 S
Untet ſuchung über das Maximum,. DETE.
Die Kraft zu finden, welche erfordert wird, ein Schuß- rett aufzuziehen. M. B.;;> 2486. 40:
Wenn ſolches vermittelt einer um einer Welle befindli-
<en Kette geſchehen ſoll, M. B.,; e** 706747, Vergleichung zwiſchen der Feſtigkeit einer Welle und
eines Balkens.- Ä Z; 449 40146,.1427 Die Stärke einer eichenen Welle zu finden.; SETZER
Aus der an einer Welle befindlichen Laſt und ihrer Länge, den nöthigen Durchmeſſer derjelben zu finden.. S. 44,
Den körperlichen Innhalt eines kreisf ſörmigen Ringes zu finden. M, B, 5; S: IETER
ab
Den Inh. und das Gewicht einer Kette zu finden, MN. B DD,.....*+ 9 s. 46,
Eine Deichecke ſo abzuſchneiden, daß der IBerth des Landes nicht von den Dei ichfoſten übertroffen wird, SE47,
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Weitere Auseinandetſeßung, N 2- ESG EIR; Allgemeinere Ausfährung. M B,; 3 136249,
Durch einen gegebenen Punkt eine Deichlinie zu ziehen, welche das meiſte Land einſchließt. M. B. 08 6 60.
Mit einerlei Deichsfoſten mehr Land einzuſchließen.. 6, 51, Fortſeßung.. R+ N 3.; 0.46.4562. Eine Höhe vermittelſt des Barometers zu meſſen.. 5. 53, Den Innhalt eines Kreuzgewöslbes zu finden,. 27.502754
Wenn ſich die Gänge rechtwinklicht ſchneiden;+ ,- 5, 5x,

Erfläarivng der
vorkommenden Abfüörzungen.,
(R.) heißt Rechenkunſt, (G.)- Geometrie, (St.)- Statik,
Hft.)-- Hydroſtatik. (M. L.)- Maſchinenlehre.
Dieſe Abkürzungen beziehen ſich auf Karſtens An- fangsgründe der mathematiſchen Wiſſenſchaften; 1022.00 d(GL7.80);
(M. A.)- Mathematiſche Analyſis, von demſelben Verfaſſer. zx, Zeigt die Zahl 3,14159.., oder die Peripherie für den Durchmeſſer 1 an, 7. Das Gewicht eines Rheinländ. Kubicfußes Regenwaſ: ſer= 65,3064 Berliniſchen Pfunden,
N= F 0, 007007] BN, Su DH
n/ſ0 üb

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Gy.
MN 1eaape: In einem gemeinſchaftlichen Depot befinden ſich 1800 Sc<oc> FSaſchinen für 3 Baue. Bei dem erſten Bau ſollen täglich 34 Schock, bei dem zweiten täglich 46 Schoc>, und bei dem dritten ſoll überhaupt+ aller Fajſchinen verar- beitet werden. Wie lange wird die Arbeit dauern, und wie viel Faſc<inen müſſen zu jedem Zaue genommen werden, damit alle Arbeiten zugleich fertig ſind und auf der erſten Bauſtelle noch 50 Scho> FSaſchinen übrig bleiben?
Auflöſung. Wenn X die Zeit bezeichnet welche zur Beendigung der Arbeit erforderlich iſt, ſo kommen: 34 X+T 50 Schock zu dem erſten Baue, 46 X. z- zü dem zweiten, zu dem dritten; es iſi daher
+ Sa O Ww
90 X-+ 500= 1800 alſ9 == 1= 165 Sade:
Folglich werden erfordert? zum erſten Baue 6025 zum zweiten- 7A7E» zum dritten 450
enen e<mmermng 20002
alſo überhaupt 18006 Schock Faſchinen.
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MER VC GIU a a Ze 5% We pe 37“dü KE 7 Lemon<=a enen Oe 14 n DIED| Aufgabe. Ein 200 Ruthen langer Deich von| in 12 Süß Höhe und einer 2 und 3 6 zigen Doſſi- 0 rung*) hat 3000 Rtbhlr. gePoſtet;. wie breit war ſeine„. wenn man weiß,+ jede Schacht- rurthe mit 8 Groſchen bezahlt worden iſt?| Auflöſung. Man ſeke die Krone des Deichs= 5. 0] ſo erfordert die 2 füßige Doſſirung auf 12 Fuß Höhe, eine Grundlinie von 24 Fuß, und die 3 füßige 36 Fuß. Da nun ves trapezförmigen Profils obere Breite= X und die Grundlinie= 24+ 36+ X= 60+ X iſi, ſo findet man ſeinen Inhalt(G. 5. 223.)= COO 22x 14 12<=(X 320) 12: alſo der Inhalt des ganzen Deichs =(X+ R Kubikfuße. e Aber 8 Gr.= 3 Neählr., daher iſt die Anzahl der Schacht- Auf 2- (. EEN 8 242000 BA OO: EZ J ruthen des Deichs=“> oder= 2222, 144'Kubikfuß: ſchreibe Z 17 Es= 5 Än man erhalt alſo: auf AB; .| ſoiſiat (NE 30) 12... 200..12.22.60005 144 Dder! je X+ 30.22 folalich| Ve
X= 15 Fuß. EE a es- dr B„. zw&- AB Dieſes giebt den Fühalt des 5 ganzen Deichs it Schacht» ABCD ZCS ISD AUBE COPEN
ruthen=========== 9000. ) 144 O9
Rechnet man nun jede Schachtruthe zu 8 Groſchen, ſs
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Fommen 3000 Nthlr., wie erfordert wird.- Dut
,| an IN I 1BEIE 6yz *9 Unter einer 3 füßigen Doſſirung verſieht man, daß auf jeden; Suß Höhe, 3 Fuß für die Grundlinie kommen,;
ara-I ZERI TETE I ARIE ARTE EE:

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Gemmer I5
5.128627 Aufgabe. Eine gegebene Figur ABCDE in eine andere ähnliche zu verwandeln, welche dem Inbalte nach dreimal größer iſt. ; K
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3 Fan..-. > 4 < (2“ Y 4 Pp* * El '» T * ET
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Auflöſung. Man nehme AF= 3, AB und be- ſchreibe über A F einen halben Kreis, In B eyrichte man auf AB die ſenkrechte Linie BG und nehme AH= A G, ſo iſt A H die Seite der geſuchten Figur AH IKL,
Dent es iſt. AF AB= AGOS! 6! 186.) oder 3. AB. AB= AH>?, daher weil AB?= I AH?2, ſo iſi die Fläche ABCDE= 5AHIKL,(G,5. 204.)
/ S. 4
Aufgabe. Ein Brunnen ſoll 5 Fuß im Durchmeſſer weit, auf eine Tiefe von 48 Suß gusgegraben werden: wie viel wird man für das Ausgraben bezahlen müſſen, wenn bei der

76 EEE dberſten 1 Suß hohen Lage die Schachtruthe 6 Groſchen Foſtet, auf jeden Fuß tiefer aber noch 2 Pfennige zu dem Preiſe der vorhergebenden x Schachtruthe zugelegt werden muß.| 3 Auflöſung. Um dieſe Aufgabe allgemein aufzuls- 9 ſen, ſei der Durchmeſſer 5= 23 die Tiefe 48= bz; der] Preiß von einer Schachtruthe in der oberſten Schicht oder;;f 6= c, und die Zunahme des Preiſes auf jede folgende 7"m tiefere Lage oder X= 4, ſo iſt|[ey EF(c+ 09% Gc+ 2 W))5- CE+ SD 55-4 TEEN Auf der Preiß für jede Schachtruthe in der erſien, zweiten, heitsleu dritten, 2. 20. Lage. Es wird daher dieſer Preiß in der hat wa bteit Lage='€+(b-- 1) dſeyn.; Jede dieſer einen Fuß hohen Schichten hat an Inhalt j y <== Scachtruthen.(G. 8. 346.) Wenn daher die| un Koſten des Ausgrabens= X geſeßt werden, ſo findet man:' 3 4.7747; 4 X=[e+G+D+C+29+....c+b-14.] 27
1222 AI ſb 444+20+344....-+ G-4.1; Es ſind |
vder wenn man die Glieder der arithmetiſchen Progreſſion ſummirt.(R. ß. 152.)
2 I as bd(2, a y- 55 SERRE: 247 ml; 3 100 14 D=<» I= fz 9(b-/ j =. 155 au('
Für den gegebenen Fall erhält man:- 0678503.200.48! 3%,8 ». Gf RUE 25 EEN EU SIA Gr.
FEEN<: 9 Daher betragen die Koſten für das Ausgraben 805-Nthhr. KE 9 2
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Aufgabe.» Ein Baumeiſter wurde um die Zahl ſeiner Leute gefragt.und antwortete: Die Hälfte ſind Hiaurer, x Zimmerleute und x Stein: metzen. Drei Handlanger laden Steine ab, 5 fahren Schutt und Z aller Zandlanzer trägen Uiortel und Steine zu. Wie viel jind Arbeits- leute geweſen?;
Auflöſung. Wenn X die Anzahl ſämmtlicher Ar- beitsleute und y die Anzahl der Handlanger bezeichnet, ſo- hat man:
ZEI 2 NV.= 01.0007
y= 32 für die Anzahl der Handlanger. Nun iſt ferner
ZNR EN 2 00-122)== DE U0D.CX:
Es ſind alſo bei dieſem Baue geweſet: 84 Maurer, 28 Zimmerleute, 24 Steinmeßen, 32 Handlanger.
168 Arbeitsleute. CG. 6 Aufgabe. Zei einem Zaue ſind zweierlei Saſchinen verarbeitet worden. LTtan weiß, daß 20 Schock von der erſten und 8 Schock von der zweiten Sorte 20 Rthlr. 8 Gr., und daß 5 Schock von der erſien und 26 Schock von der zweiten
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13===== Sorte 26 Rthlr. 2 Sr. gekoſtet haben. Wie groß war der Preis von jeder Sorte?
Auflöſung. Wenn jedes Schock von dep erſten
Sorte X Rthlr. und von der zweiten y Rthlr, koſtete, ſy
hat man:
5X+26y Z265 22, Dieſe Gleichung mit 4. mulz I IR Sit:. tiplizirt, giebt:
v ' EZ- 20X+104y=22„ und davon die erſte abgezogen, ſs ; wird: UV. 252 961= joder 2 NIS I 3 2 5 20(22 b jd. YZ--=-==-. Exviſtaber: 2.496 24 67 21 dN IEE HI GESESSEN 3 UNE GESEHEN GE>.<= wem 2 20 20
Daher hat das Schock Faſchinen von der erſten Sorte 16 Gr, und von der zweiten 21 Gr. gekoſtet. SE2U7:
Aufgabe. Eine Zöhe A B, zu deren Fuß man nicht Fommen Fann, ohne Inſiraunient ver- mittelſt des Schattens zu meſſen,
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ueuneeueenneEneReIe neee RCe.,hEE wWee:l,5MeWeReN(AK tn Tee ee GEE
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Wie groß- Auflöſung. Man ſetze mit B auf gleichem Hori- zonte in C ven Stab C D lothrecht, und bemerke die Vers
der Mien: Jängerung von A D in E, den Schatten des Stabs in F,
Foſtete is und der Höhe AB in G. Hat man alsdenn gefunden:
DIESER 1== 2056.05 GTZZES SUNDEM ONS SCHE VAT BB E=X ſo iſt, weil D F mit A G parallel läuft:(G. 8. 174.) EN NIG DE AE und
7:0 7: Eg mul: DO IB DIE 26 aher EE BSTEG ZZ DiC+ A 87 70der dae), ſ9 EE NE 4 202 ZElaG A:€ NEG EL b FUr a<< 5 bZ3 UD C= iE8 Fuß Wo AB= 30 Fuß. SHI Zuſatz. Die Entfernung BC= y kann leicht aus der 1 Sorte Weite EC dgefunden werden. Denn es iſt:
EF SEGC= EG: EB oder
b BHWB=& 1 c4 1„Daher TR. Gs 1761) 1 Fuß bc+ by= cd folglich ti verz VZ
Wennb= 3, c= 28 und d= 13 Fuß iſt, ſv findet matt
KE EMR 7-5 DLM)€ 0 REIEN KG 4
VZ BCE=== 935 Fuß. 3
8. 9.
Aufgabe, Zei drei verſchiedenen Bauſtel- len ſind U7auerſieine abgeladen worden: an der erſten und zweiten 7000, an der zweiten und drit- ten 5080 Stück, und man weiß, daß auf der drit- ten ſich halb ſo viel als auf der erſien und noch
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3
72

ZO EIE EIER 960 Stu:k mehr befinden. Wie viel Steine ſind
auf jeder Bauſtelle ausgeladen worden?
Auflöſung. Die Anzahl der Steine auf der erſten Bauſtelle ſey x, auf der zweiten y, und auf der dritten z, ſo iſt nach den Bedingungen der Aufgabe;
NI VUE 2 70007 NEE URZ 241502007 11, 2522 5 X-+.060.
Man ziehe I]. von 1. ab, ſo wird dea u 0 4.3200) 8/0) und wenn man hierzu 11. addirt: X> 5X++ 2960 oder Z X= 2960 folglich xX= 5920. Anzahl der Steine auf der erſten Bauſtelle.
== BLOND--- zweiten- 2 2 2,026--- dritten
Dieſes giebt:
X+= 5920 4 1080 25000 V. UCH ZIEZN OSONH 3202011 SOOO ZIE 5 4 SC20E 1 000113929
wie erfordert wird.
04110
Aufgabe. Bin gegebenes Trapez ABCD in mehrere gleiche Theile, 3. 33. in 3, ſo zu thei- len, daß die Theilungslinien mit der Seite AB Paragliel laufen.
EF
Ed FE aus. är

- 9|] teine ſind
17
" der erſten
dritten 7,; : B 17 R-E G/ N? DIE SC ;/ ; 0. : 2 Jauſtelle,; G Q Auflöſung. Man ziehe DE mit BC parallel, be- ſchreibe über AB einen halben Kreis, trage BE aus BinF und laſje auf AB die ſenkrechte Linie> G fallen. Ferner theile man GA in drei gleich große Theile G. 1712 22:88 errichte auf A B die ſenfrechte Linien 1. H, 2. I, und nehmeBK, BLBH, BI. Wirdnun KM, LNmit "XB CD E D parallel gezogen, ſo beſtimmen fich dadurch die 0 zu thel-
Punkte M, N, durch welche die mit A B parallele Thei- Zeite 4) lungslhinien gehen.
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Der Gründ dieſes Verfahrens läßt ſich einſehen, wenn man A Dund BC bis Q verlängert; alsdenn iſt(G, 5, 186.)| BF? oder
| .=| | |
DEF=-""4B BG 2 A BEEBiG.| BK:=1AB Bi Z=AB(BG-E AG):| DL?= AB Bl== AB(BGE 2A060.| BA>= MB. AB= AB WEL AG).' Ferner:.| AQDC;AQMO-QD2?:QM?(G, 5, 204.) oder| = BE: BRK" pdDer ZB G:BG+1 AG, folglich CG. S8. 164.) AQMO-AQDCt:AQDCZBG-H1AG-BG;BGoder SYED O ER AXO DU=== AG“BG. Auf gleiche Art findet man: Stap DIN C+ AQUDE== AGBG. ev DABESAQDE= NG: BG, folghlith( wegen Gleichheit der Verhältniſſe: j| Trap. DMOC.: DNPC;: DABC=| Z 2.= 2 Z- SE ET Zuſa. Sollte das Trapez ABCD Qach einem andern Verhältniſſe eingetheilt werden, ſo läßt ſich leicht einſehen, daß man nur nöthig hat die Linie G A nach die- ſem Verhältniß u theilen, und übrigens auf eine ähnliche Art wie vorhin zu verfahren.) Sollte von dem gegebenen Viereck keine Seite mit der andern parallel ſeyn, ſo läßt ſich durch eine ſchr einfache" Operation dem Vierecs die erforderliche Geſtalt geben.. der Anmerkung. Die Auflöſung vorſtehender Aufgabe hat ſchon Hr. G. R. Höhm in der Meßkunſt guf dem Dan

|
Wehiit 186,)
lich
EN >-idn omepoob 0 www ii I
Felde(1759. 8. 105. abgehandelt, allein in den Zu- ſäen welche der zweiten Auflage( 1779.) angehängt ſind, erſucht derſelbe(Seite 1x.) dieſe Aufiöſung 6. 105. weg zu ſtreichen, und giebt daſelbſt eine nicht ninder- weitläufige. Da- nun: Hr. G. O. B. R. Schulze im erſten Heft ſeines Taſchenbuchs( 1782 gleichfalls eine ſehr verwickelte Aufiöſung mitthei it ſo wird die hier gegebene nicht ohne einigen Vor-/ theil ſeyn.
Im DIE 1.4 des Hrn. P. Ü7apers prafti- ſchen Geometrie((1783.) 5. 309, I1ſten Zuſ. findet man dieje IE gleichfalls, aber auf eine andere Art aufgelößet,;
OQO ji [SD] .
Aufgabe. A gegebenen BreiteBC-=b
13S und ZHöbe AD- h eines; Walm dachs, die Länge
des Sparrens AF= x und des Eckipärrens AC-=y3u finden.
Auflöſung. Es iſt AF?= AD?+ DF2,(6, 5. r08.) oder x= M b* folglich X. Z(02+ ZE b2);
Damit nun die Neigung der Fläche A B C gegen den Ho- 3 4
|]
127 4-7

24 zee.
rizont, der Neigung des Dachs ACK gleich iſt, ſo wird erfordert daß DG= DF alſo AG= AF ſey. Man hat daher AG= x und AC? ZAG?+ GC? oder VE= R SIP mE 12P0 200 2012 F6la lich y=P(124 x b2),
VEFEE ET Zuſatz. Fürh T<nbiſt XN 220 VE END GELTISUND NV ZZ X DEUCE 021-0207 can erhält daher bei altdeutſchen Dächern wo h= b iſt: X=SSbV5= 111804.b, beinahe= 232 b. Y= 320.106. 1,224745. b,. beinahe=-22 b. Bei Rirchdächern woh> 2 b iſt, hat man: N= DUET E14 2200055221 0 beUNA0e== N= DWT 241291320". b; beinahe== 2
SIE IDE 2 1107 707107,9 0, Beitahe= 7
WZ E06 H 3P= 1-0, 806025 a b5 beinahe== Für h= x biſt:
X= sbV 13= 0,600925. b, beinahe= 3b.
Wer 2= 0,/781736. b, beinahe= z Für h= biff:
X 42 ZI0S 0445== 0,559017. b, beinahe=-34b,
YZ Hb. In dem Falle daß b= x wird, erhält man
AC? 4A6G2?+ 6 C2 oder
V|== 0= 1 23627 folglich Y«>20 05= 1,138034:b, beinahe= 42:b.
CC GEE GGG GEGGEEEBEEZZZ BER 73 7 SSS SSS
hd
Auf

) ſt:
25 STHLAL: Aufgabe. Einen gedruckten Bogen BGA mit dem Zirkel zu beſchreiben, wenn die halbe Weite BC und die Höhe A C gegeben iſt.
Auflöſung. Man theile die Winkel B A D, ABD in zwei gleiche Theile durch AE, BF; ſo iſt, wenn GH auf A B ſcnkrecht ſiehet, GH=< AH der Halbmeſſer des Bogens AG, und GI=IB der Halbmeſſer des Bogens GB,
Dieſes läßt ſich leicht einſehen wenn man KL durch G
auf GH ſenkrecht zieht. Alsdenn iſt der Winkel
BAG= GAD, vermöge der Zeichnung, und
BAG ZA GRO. 69 82.5 daher
GAD=< AGK. Aber
HAD HRGTRHvD: 220100 HAD? GAD= WER 2 AiG KR odee
HAG= HGA, folglich(G. 8. 63.)
MA==HG: Auf gleiche Art findet ſich: 1G= 1B. D.5
||

26 GNLEEIN GERT ETISISOR
P-“"K 3
Ä KP ASER AR AIIERTT UL ENSTLEIE?T RAIL 78 0<
2:€:. il E v URS 8& s. Z>. pt ESE 87 p i O+1 5 4:7 uw) ;»' Zuſa85. Soll ver Bogen AGB mehr oder weni- ger gegen D geFrümmt ſeyn, ſo nehme man BE willfür-
lich größer(Fig. 1.) oder Fleiner(Fig. 2.) an. Wird nun DP= DB und der Winkel PBG= DAE genommen, ſo wird die auf der Mitte von A G errichtete ſenkrechte Linie M H den Mittelpunkt H für den Bogen AG, und die;
Linie GH den Mittelpunkt I für den Bogen GB beſtimmen. Um den Grund hiervon einzuſehen, verlängere matz
H M bis K und ziehe die Linie KGL, ſy iſt der Winkel| Yat ( eine! GAH= AGH, weil AAXHMZGHM, und" ve GAD= AGK, weil A AKM= GKM, folglich üs GAH+ GAD ACH+ AGR. Aber' 7 GAH+ GAD 90? daher|D: 8 AGH LAGK= 962;|». telpy
N
; SP
CC. E TTT EEETEESSSSSESS SZ SSS SS JJ, JZ aide rr ema GR SSS a<

GE TERE EITE GDE 27
Folglich iſt KL eine gemeinſchaftliche Tangente des Bogens
AGund GB.(G.S. 140.)
] Anmerkung. Herr€. Woltmann im zten Theil ſeiner ſchäßbaren Beiträge zur hydrauliſchen Architektur
EG:(1792.) S. 17. hat dieſe Art, Bogen nach dem 5. 14,
|; zu zeichnen ſehr ſchön auf die Abründung der vorſtes- 2 henden E>en bei Deichen angewandt. Ganz. allge- meine Unterſuchungen hierüber findet man in Hrn, H. R Räſtners geometriſchen Abhandlungen(1790.) 1, Theil, 44. Abh. 6.4 164 1: | 2 S | A EEE; ent H SN< F, fil: 5: Es ird SI“X +3 Z“ en, 2 Z I hte> die 1 eU)-,: M Tn der Anweiſung zur Zimmermannskunſt von C. S. nag Reus(1789.) 5. 167. befindet ſich noch eine andere Art einen gedruckten Bogen zu beſchreiben. Es ſey AB die D Weite des Bogens und CD die Höhe deſſelben. Mat lich nehmeBF=B Es theile CF in drei gleiche Theile, und
mache FG= ICF und CH TI CG. Wird alsdentn
GI ZHI GH genomtnen, ſo ſind G und H die Mit- teipunkte der Bogen BK und AL, und I der Mittelpunkt

<uiEE
1.5 KR: 0 n 28| des Bogens KDL, Weil aber dieſe Regel ohne allet|(imd Beweiß vorgetragen iſt, ſo kann auf folgende Art die|: Fi Zuverläſſigkeit derſelben unterſucht werden. 8. 172 Man nenne BC=a, CD=b, CG=x, ſoiſt abe GT='2x00BG ZER= 222 x Fe Aber C1I=V(G12-- EG?) oder| CT Z VRR 02 NZ ix 10 35 10100 weil) 1“
CI+ CDGI-+GK ſein muß, oder 73 M
m XV3+ b Z2x-+a--Xx oder| pp xV3- x=Za--b, ſofindet mant mw CG=x-< id, oder beinahe| ab4 ; 0/ 7320508| == 2==- 0/1 Wo Der Schlet„2- beträgt, = ZE:--b) Sy SAAPNS 5 DOs 2 S. 17,| 6 Aufgabe, Den körperlichen Inhalt einer| Zone zu finden, in welcher ſich der DrTittelpunkt| der Rugel, woraus ſie geſchnitten iſt, nicht beſins| det, wenn der Halbmeſſer der obern und untern| Rreisfläche nebſt der Zöhe der Zone gegeben ſind,| 198 Le M em SEE REEZERENT 55 und IE:' g:.3:- a.:| ſeht 30 ui KG| oe SIERRE LEN:| D68 + GEE artig aaanatnn|: Auflöſung. Wenn HI der Durchmeſſer der Kugel| iſt, woraus die Zone A BDE geſchnitten worden, ſo ſey| CIKM ein Quadrat, in welchem die Diagonal CK gezo-| m gen iſt. Alsdann kann man fich vorſiellen, daß durch die| dier ZT Z- EE= a- Pr A5 I xd hof 141 SA 4 2,„& 377 3 L- 217+h WM 14/ Y-|:
1 E65 Bs Jug iih SELIM 2 2465.8), 3i- A Haſch M Cine Sap(fe
RRC fL. Ier d ſar». bie Ee CSEA cl A 4k 1eLerGEkOk)- Ze zelte|
EE Ef 4445 46 55 nk(tgrlksh); vd 714 0 199
SESSSSZESPEESESS STREITEN NEN NER ZF, ...>> er i“ Ny] pl-0 S I“ enn ME EINE ZEH Ee.

L6P8R nk Ei 1% 446+R) 4<f WF rki+ 14 kEFE= Imi%4/ HE 56 3)
GERE E Sanaa 25
=wmmmwungean-. rr=<
n. Umdrehung um FG, die Fläche F GD B eine Zone, die Fläche rf G QP einen abgekürzten Kegel, und die Fläche f FGVT einen Cylinder erzeuge. In der Geometrie wird aber bewieſen daß die Zone A BD E und der abgefürzte Kegel OPQR dem Cylinder STVW gleich ſind. Af Er OBR/ Man ſeßze die gegebenen Größen GD= a,+B-b, ' FG= hs die unbefannten CI=r, CGS t- und den Inhalt der Zone ABDE= z, ſo iſt FP-FCZt+h; GQZ GC=tr, alſo der Inhalt des Cylinders STVW=r?h. abgek. Keg. OPQRZ Erh[t-+ b)?+(1 kh)+ 1279, 1. ( Käſtn. Geomet.(1786) S. 394.) 4 Z7zhſt?+ ht+ 412], folglich Z<Z7h(1?-= t*?-- ht--4,h2), Es iſt aber C 12= CG?+ GD?= CF*?+FB? oder iner 2>= 1+ a? Z(t+h)2?+ b? daher net 432. b?= h* fins vu 2h- rn Sekt man nun in die für z gefundene Gleichung nd, x?= t?+ a?, ſo erhält man
zh(t*?+a?--t? 1h2)= rh(4?--ht--Zh2) und wenn man ferner den für t gefundenen Werth hineits ſetzt, ſo iſt
- z= zh(a2--h. LIP= Itt)
D= h(a32--322 4 3b24+ 362--4h2) folglich IS ZGB€ ap BADE eim 66
gel Beiſpiel. Bei einer Zone ſei der Halbmeſſer der
fe untern Kreisfläche a= 7 Fuß, der obern b= 5 Fuß und
ei die Höhe der Zone h= 3 Fuß, ſo iſt der Inhalt
4 zZ=Z. 3,1416. 354943* SEM 7: Fuße,
Thu Sbdr Arpa hr) 2 Pirk ODS 8 a" 423 OFC-- AEH 3:7;--[al Oeuu da] „Jes FP- Lale 2 SEALER 6:7 Mmi0S
„ahh 0705 ME et 9: JE GE=-?(5,5*--(A BE rt
"Cy- JENE 204-4 16 200007 LE elk4 8) 8 7. 00
||

.| 30 en nenen 6."485 FEN Erſter Zuſatz- Liegt der Mittelpunkt der Ku:| DC gel in der Grundfläche der Zone, ſo wird a=r alſo 7? Zrt?=-h* ſebt man dieſen Ausdruck in die gefun- den dene allgemeine Formel, ſo findet mann den Inhalt einer| VZ Zone in deren Grundfläche der Mittelpunkt der Kugel liegt.|. = 37h(312+ 3(172==.2)/+ h2) dder 8-78; 4 = Frh(3 1222623.| IG Beiſpiel. Wenn der Halbmeſſer der untern Kreis-| fläche, welcher zugleich Halbmeſſer der ganzen Kugel| iſt, x= 6 Fuße und die Höhe der Zone 1= 2 Fuße gege-| 02 ben ſind ,. ſo findet man den körperlichen Inhalt: =S+3, 1416.2(3. 36-4)= 217, 81. K. Fuße. VTO:- Zweiter Zuſatz. Für b T- oerhält man aus dem 5. 17. den Inhalt eines Rugelabſchnitts) F = zm a+ 1); Beiſpiel. Wenn der Halbmeſſer von der Grund- D fläche des Abſchnitt8 a= 5 Fuße und die N00en==3 7 Fuße iſt, ſo findet man den Inhalr des Kugelabſchnitts <= 2.4 3/1416+ 3.(3.25+ 9)= 4260,.29,-8. Fuße.: s IE 22, b=“ Aufgabe. 4us den beiden Doſſirungen C= AB, DCund der obern und untern Breite A 19;| BC eines Deichs, den Slächeninhalt ſeines Pro-) fils zu finden. | ;| leicht C E E B| ma | es| | | | ;|

Auflöſuns. EsWiBC.>=a,/ AB=Sb, AD= cs DC= dd, DREIER Winkel ABC= 5. Man ſeße BES a-- c= fynd den(7 Inhalt vort dem Travez ABCD-=TOQ, ſoiſt X= b.fin. 2 ,:C(G+5. 259) und
2 22. 14:2 Co: T(G, 5.262.) Aber Sin 9=V ache Ab: GS EIN 4-
folglich(G. 6. 223.) Q=Zz2 06 00= 3204+ bin. 7
=zG+9bV(4 KE BEIGE ie+==)
412 b?
' 0|
uA: FEV[exfb+624b3= 07 WARD 02202 143|
ZLLEV[CCFb)2= 42).(42== Ci==b)2)|
||
|]
BEV[eHh+o.db-d.CH-b.ernn]
% eiſpiel.. Wenn in einem beſondern Falle a= 60, bb. 22, C= 18/0.= 22 FUß 4 0:MILDIL== 425. DaNer
0 zr(96.32-52.12)= 642,8 Fuße. 4.42
CS. 21. Zuſatz. Dieſe Auflöſung kann allgemein ange- wandt werden, weitn aus den 4 Seiten eines Trapez der
Flächeninhalt gefunden werden ſoll.
Auch läßt ſich aus den 4 gegebenen Seiten das Trapez leicht verzeichnen, weil man ny BE=a-=--c, AB=a ynd AE=> dyjehmen darf, ſv iſt der Winkel 8 beſtimmt.

2 fam EG
AB- 6.1225 geſat Aufgabe. Aus der gegebenen Waſſerhöhe 3 vor einem Deiche, nebſt der innern und äußern Doſſirung deſſelben, die Breite der Rrone zu be- wit ſtimmen, damit derſelbe dem hydroſtatiſchen ſent Drucke des Waſſers hinlänglich widerſtehe, Dei "DX S NT ſou) : S(it, :== bon 3:= dil C G FE B wel Auflöſung. Man ſeße die gegebene lothrechte Höhe 4 AF=aund das Verhältniß der Grundlinie zur Höhe bei Rl der äußern Doſſirung= m 2 x, bei der innern= 085 E2 mw. Das ſpezifiſche Gewicht des Waſſers ſey= V, der Deich-| jelg erde= e, und die Frikzion welche entſiehet wenn man die' Deichmaſſe A B CD längſt der Linie BC horizontal weg-| ſchiebt, verhalte ſich zum Druck<= z; 1. Nimmt man| nun zu mehrerer Sicherheit an, daß der Deich von dem R Davor ſtehenden Waſſer durchdrungen werde und ſet die| fw Breite der Krone AD= x, ſo verhält ſich| may ITM= AFF B alo lau FB=ma, undeben fo CG=n a, daher iſt der Flächen- pZ inhalt| ſch des Profils ABCD= xa-+ Ima?+ Ina? und Z das Gew.v. ABCD=(e=%).(x+ Z ma+Zna) 45 (Hft. 6. 26.) xt Das Waſſer welches vor dem Deiche ſteht, verur-; facht einen vertifalen Druck auf die äußere Doſſirung : AB
ZZ LZ EE II IR

We) SI ee & -..». = barg > *7
AB 2 4 2 BPI 0080 2782 COfi, S1
Cim f„+ Cou:s TIES tſſerhdhz geſammte Druck auf die Fläche
d Außen BC:(eV). FEM aF Znaim a?
1e zu" Die Frikzion welche von dieſem Druck herrührt, muß
aiſche; mit dem horizontalen Druck ves Waſſers im Gleichgewicht Zz y--“€ 3 2+ 2408 E
[FP ſeyn. E8s iſt aber dieſer Druck= 3 a* 9. Soll nun der
Deich dieſer Preſſung nicht nur das Gleichgewicht halten, ſondern auch mit eigem hinlänglichen Ueberſchuß widerſie- hen, ſo wird für die Ausübung ,/ wo die Erde nicht immer von einerlei Güte iſt, und wo durch eine einzige ſchwache Stelle die größten Unglücksfälle zu beſorgen ſind, der Wi- derſtand des Deichs wenigſtens dreimal ſo groß angenom- men werden müſſen als das Gleichgewicht erfordert. Man
e Höhe erhält daher:
wl(ev)(xz(mn) ad ar Eima? Y] ZE 29, pDer
he bei
IE pe-< PDRA Z 2 8 VE m 979== 7 106650)(mE 0) 28“ Deiche 4 folglich:
ant die u ER NSE ie DU AGETE(82 GE 2m ACHE III
| 2“(e=V)
wege
man O2 220
Dem? ZU Zuſatz. Gewöhnlich wird bei FSlußdeichen die t die änßere Doſſirung 3füßig und die innere 2füßig angenom-
men; es iſt daher m= 3, u= 2, und weil es nicht er- laubt iſt auf laufe“ gute Erde zu rechnen, ſo kann man
icheltz“=> ſeen. Der Kubikfuß Deicherde wiegt im Durch- ſchnitt 100 Berliner Pfunde, daher iſt e=- y= 100-= 65,3 - 34, 7, folglich
a)4 GE 3 GN 2 IHT LER 22 10,300,24 ; 34, 7 oder beinahe: verw x=+a, für die Breite der Krone. 171114 C
EDLE 5*

AINTREE VEECHRETUREUET SZ REER
Us „A
V. V+. aa 4. -,
Aufgabe. Wie ſtark möſſen die Schapen einer Rette ſeyn, damit ſolche ohne Gefahr zu
„m.
zerreiſjen, ein Gewicht von Q 38 tragen kann?
Auflöſung. Die geſuchte Dicke der Kette ſey X.
Zerreißt nun dieſelbe, ſo muß ſich eine Schafe entweder an zwei verſchiedenen Stellen oder nur an einer trennen. Man ſeße die abſolute Feſtigkeit eines Cylinders von der Dicke x= f, ſo wird im erſten Falle für das Zerreiſſen die abſolute Feſtigkeit= 2 f zu überwältigen ſeyn. Im zwei- ten Falle iſt zwar nur die abſolute Feſtigkeit f zu überwälti- gen; allein die untere Schafe, welche die obere zerreißt, würkt in der Mitte eines Hebelarms, alſo kann man ſich auch hier vorſiellen, daß die abſolute Feſtigkeit 2 f zu über- wältigen iſt. Damit aber die Kette für allem Zerreiſſen ſicher ſey, ſo wird man die abſolute Feſtigkeit derſelben nur halb ſo groß in Rechnung bringen können, daher iſt QT 6 Für eine beſondere Materie ſey m die abſolute Feſtigkeit von einem 7] Zolle derſelben, ſo erhält man: Q=" 27 X folalich
SES Q= TZ 1283270 ve
“zm m
wo Q, min Pfunde und x in Zolie ausgedrückt Ys
Zeiſpiel. Es wird die Dicke einer geſchmiedeteig eiſernen Kette verlangt, welche mit Sicherheit eine Laſt von 6000 Pfund tragen kann.
In des Hry. D. Achard Experimentalphyſik(1791) r. Ih. S. 37. findet man für dieſen Fall m zwiſchen 70000 ind 80000 Pfund, Nimmt many zur Sicherheit m=70000,
w. a" N„ 2“ KZ Een NIA NN EN fR KE ndr nb nnn en won MD, mr= 4. am. a ai m
FENN
es HIE 6 II-0
iſ
==> <== 208

Shep fo iſt
ate:|
wn x= 1,128 V 222= 0,33 Zolle oder 3, 95 Linien.
50 zy* 70070
Fahn? S. 25-
: Aufgabe. Aus dem gegebenen Inhalt CG
€ ſeyx N 2!;
ſy, ynd dem Umfange a eines Rechtecks ſeine Grund»
)eHEN EL 2
"00 linie und Zöhe zu finden.
Venn, 4 SIE ee
M Auflöſung. Man ſeße vie Grundlinie= x, die
ME= Xy, und
| zwei: n is
IE Za> x+-y, daher
IG VZ er=== 1% 1 alſo
Weißt, X
jan ſich X“<= 2 3x«+2 0==70%% folglich
1 über S2 4a„uE V(7 27= Q) und
reiſſen PE 2 PTS TS AEREEUCH
eur Dieſe Ausdrücke geben doppelte Werthe, weil matt
die Höhe auch als Grundlinie oder umgekehrt anſehen kann.
Beiſpiel. Mit einem 80 Ruthen langen Zaune iſt
igfeit ein Morgen Land zu 180[7 Ruthen gerechnet, rechtwinks-
licht eingeſchloſſen, wie lang und breit iſt dieſer Zaun ge- weſen? Es iſt alſo hier die Länge oder xX== 20 1 Wi220= 20/1.) 14/8321::124,832. Nuthett, und die Breite oder
def=Z 20.= V 220 Z 20=- 14,832= 5, 168 Ruthen.
e daß Anmerkung. Weder in den RVarſtenſchen Anfangs- gründen, noch in der mathematiſchen Arndlyſis befin det ſich die Auflöſung- der vollſtändigen quadratiſcher
1791) 4 Es DE MEI IUE Gleichungen; weshalb hierbei entweder der Auszug
(02% aus den Anfangsgründen oder jede andere Anleitung
0000, zur Algebra benukt werden kann,
C 2

BEE<< PESSNSRESSSSINERNNE“ SEEN
Dd
emmnnnn emm emen mmm
G3
67..2602
Aufgabe. Ein Waſſerbehälter hat von drei Buellen Zufluß. Die zweite Quelle füllt den Behälter in 5 der Zeit an, darin ſolcher von der erjien gefüllt wird; und wenn die dritte Quelle noc: 6 Stunden länger als die erſte läuft, ſo wird der Behälter gleichfalls angefüllt.
ÜD7an frägt in wie viel Zeit jede Guelle den Behälter für ſich füllen würde, wenn bekannt iſt, daß aile drei Quellen dieſes in 9 Stunden leiſten Fönnen?
Auflöſung. Sekt man die Zeit in welcher die erſte Quelle den Behälter füllt= x; ſv iſt dieſe Zeit für die zweite Quelle IE und für die dritte Quelle= x+ 6. Wird nun die ganze Waſſermenge in dem vollen Be- hälter= 1 geſeßt, ſo verhält ſich
3 X»
S C s . S0 Ahz=ikt SELE EE 1(10.4711-- die Waſſermenge welche
die erſie ie in 9 Stunden giebt.
22 0-2 IE EI Waſſermenge der zweiten Quelle. X+6:9 ZZ 1: 5 Waſſermenge der dritten Quelle.
Dieſe zuſammengenommen müſſen der Waſſermenge im ganzen Dehälter gleich ſeyn, alſo
27 9
Ga-+ 5
i NE EGRL REB= 1, oder mit 2x(x4-6) mültiplizirt 18(16) 5:27:00 4 6).25.48.X.2 23.04 6). Alles aufgelöſt und die Gleichung geordnet, giebt [Niet
2X?-- 51 X= 270= 0; mit 2 multipliziee:(447
X7==<= X== 425 Z104
Nr II
119
au

MW voir de füllt er voy
dritte
Läuft,|
le den 'annt 1j1den
8 eſte
h Ber
„vv
velche giebt, (E elle,
menge
pliziet 6).
Hieraus erhält man:
ZZG GT+ 135)- X+ 22 oder ME 1“
NE 207 Folglich wird die erſie Quelle den Behälter in 30 Stunden anfüllen.! Für die zweite Quelle iſt die erforderliche Zeit 2 X= 21 30= 720"Stunden und für die dritte: X+ 6'Z 30+6= 36' Stundett. Dieſe Aufgabe wird für jeden andern Fall oder allge- mein aufgelöſt, wenn man 22,6 Z b:und'9=€ ſebf/-alsdann iſt.Wie vorhin
> SEE H Seme H
x DEG== 1022208 ZE VADEr = c I SE ver
S2 4€ PZ 0 L DIEFS MN NAZI Db) Mutiplizirt
ac(Xx+b)+ c(x+b)+ arx=Zax(x+b); aufge lößt und geordnet: ax2+(ab--2ac=-c) x=(abe+ bc)-o, vder
.]<== 20.2.. b: Ea 3 UW LIEN NENZDAGT c= 5; daher a a iE eke+| GIE ea 4 m eEi). 22 42 a
Wenn man den Ausdruck unter den Wuarzelzeichen auflöſt und abkürzt, ſo erhält man: 22c4c-ab TÜ Vſ[e*?(22+ 1)?+ ab(ab+ 20)] 3/45- 5
2 4
C3

38 GTE
ve.
Aus dieſem allgemeinen Anusdruck läßt ſich für jeden
gegebenen Fall x geradezu NE alſo für das vorige
Beiſpiel 2.2.9-49--2.,6 FV[92(2.2--1)?-|- 2,6(2.6-42.9)] RES 2.7: 17+ 33 ZZ<== ZZ Z2% Z.3 GS.442778
Aufgabe. Eine Schleuſenthüre A D unter einem Winkel ABC= 9, ſo gegen die Vertifal- linie CB zu neigen, daß ſole, wenn ſie um den rechten Winkel D AE bis E geöfnet wird, ver- möge ihres Gewichts hinreichend iſt, die Rei- bung an den Zapfen zu überwältigen, und ſich daher, wenn kein Druck von innen vorhanden iſt, von ſelbſten verſchließen muß,
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GEE SPEERE 3
Auflöſung. Wenn die Länge der Thüre AB= a, die Breite AE.= b; das Gewicht dertfeliben=P, und der Schwerpunkt der Thüre in G liegt, ſv wird ſeine ſenkrechte 5 Entfernung von ABDTEG=-Tb ſeyn. Durch G ziehe man die vertikale Linie GK, und G I in der Ebene BE mit AB u ſo iſt der-Winkel KGL-S ABC= (G."'S. 282: X“Ferner ſey GM auf der Ebene BE ir recht, ſv zerlegt ſich die Du P in zwei andere Kräfte M und N nach G M und GN, und es verhält ſich:
PF MEN ZGRUTTGESESOTCEIO- Iſber KGL 9, daher NU=P 00902 NT== PIC0110 Man ſeße. die Halbweſſer der Zapfen bei A, BSr, g, und das Verhältniß der Frikzion zum Druck bei A, B=<m,n; ſv iſt der von M herrührende Druck auf jeden dieſer Zapfen ZIM,(St. ſ. 101.) und das davon herrührende Mo- ment der Frikzion bei A'=TZ Z mr P ſin. O unnd beitBie ime BIO Ferner verurſacht die Kraft N auf den Zavfen bei B einen Druck nach der Richtung AB=<N=PVcolf 2, und es iſt das davon herrührende Moment der Frikzion= 100 04(ONE L-I08 D1520) Nach den Bedingungen der Aufgade ſollen nun dieſe wer Momente init dem Momente FG. M im Gleichgewicht
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Z xb 7 ſeyn, es iſt daher(+ 20 Ploſe+ 282 4 NINT UIEES(rp 74 un ty D Zb Pi in40e= EDC 2+ 207 Pa?+ zn Pcol. 2, 132 a He,
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45:;===
C2' 28: Zuſatz. Soll die Weite A C= x gefunden wer? 145% ERES; Se ſO UTECO- 02570 Tot 0i== 22 TpDder Weil A C1a22 gen BC nur ſehr klein iſt: AC BI640=<<===„daher TIT 4n 22 hs(aar! Ds br 3(b ZZ 52 5=-“ mm 5) und wenn man m= un=D T ſekt KE dA MBIT 3 CD= 125100) Beiſpiel. Wenn die Länge der Thür a= 16 Fuß,
die Breite b= 9 Fuß, der Halbmeſſer c= 4x Zoll,
und e= 1 Zoll,- ſo iſt:
viral Bf Met Gf 2 Dp M5, 308,4 9.42 42 1)
Anmerkung. Dieſe Aufgabe hat zuerſt Hr.!Brahm
in dem erſten Theil der Anfangsgründe der Deich- und Waſſerbaufunft( 1767.) 6. 131. aufgelöſt, und Hr, O.€. R. Silberſchlag hat dieſelbe mit ihren Feh- lern in den zten Theil ſeiner Hydrotechnik(1773.) S. 489. aufgenommen. Dergleichen Fehler findet man in dieſem Werke mehrere; und es iſt überhauvt bei dem Gebrauche. deſſelben dem angehenden Waſſerbau- meiſter die größte Behutſamkeit zu empfehlen, weil die theoretiſchen Säke darin meiſtenthei!s ſchwankend und fehlerhaft ſind. Die praktiſchen Lehren dieſes Werks bleiben freilich immer noch ſo Etwas, das
demjenigen gefallen muß, welcher noch feine Erfah-.
riütigen angeſtellt hat; allein wer Gelegenheit findet," H ſelbſt Beobachtungen anzuſtellen, dem wird es nicht fehlen, ein gleiches Urtheil hierüber richtig zu finden,
L y
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aaa anaaa) 41
CG. 207 Aufgabe. Wie hoc< muß das Waſſer in der Rammer BCDE einer Schleuſe ſtehen, damit beide Schleuſenthüren AB, DE gleich ſtark ge: | drückt werden?-
-
-=>
--=
= Men..<i
Juß, Ze, Auflöſung. Die Höhe AB des Oberwaſſers über
dem Fachbaum ſey a; des Unterwaſſers E F= db; und m das Gefälle von B bis E oder BG Sc. Ferner die ge- a ſuchte Waſſerhöhe D E in der Schleuſenkammer= x, ſo - it, wenn man die Breite der Schleuſenrhüren ſowohl als Zeh: VZ TL ſC6T„Der 2 Druck gegen ABZ Fa?= EE(x=)?,(Hfi. 8. 19.) und EE Druck gegen DEZ 3 x*-=- 5 b*?. | hei Weil nun beide Preſſungen einander gleich ſeyn ſollen, ſs in erhält man: M 2432- XZ(Xc)? ZF x*=F b7, oder 4% SAE MERING GSE DIN= ZxX*?--5b7?, oder dieſes SII 12(22 Nb z20 210 B==1 017 folalich 4 das Ei elke(E82 2 HENNE 2082 NHE en| 6.28 Cn EI BdB lar EH findet! E15/ 4: 150 Beiſpiel. Wenn die Höhe des Oberwaſſer8AB= 6 inde, Tuß, des Unterwaſſers FE T 7 Fuß und das Gefälle
Cs

42 GI 4“ uy nme
BG==151 NU GHUT/- ONWIND are 1 6 Db 7 und c= 5, alſo 5 LV[2(36449)= 257
le] „
IE EEE >. M3
= 8, 5205 Fuß.
BG== 8) 52051151 3/5205 IC>= WED OSI 2 MITONS:
DE 8/5205-- 7= 1,5205 Wenn daher das Oberwaſſer 2,48 Fuß über dem 7 Waſſerſpiegel der Schleuſenkammer ſiehet, ſv muß das/ Unterwaſſer nur 1, 52 Fuß niedriger ſiehen. j ; Der Druck gegen| 6 4 SEE 2 zz 12 E20 AIZ 4X 801, UND gegen' DE= 4 200, 3- 49= 11580; N 67 130 W 5uſjſatz. In dem Falle daß ab iſt, erhält mat( SAW ENSE RL CH) X= ZDeiſpiels Es ſeya=s5, c= Got 1] 617 V(4. 25= 36) „Aba== 07 1 SUB. 5 2 Bei 3 NONE 8| N B 7 I eſe SOZ WL 45 DEE I 30N 2450,
Druck gegen AB=z 25=
Eu izn 1 R| 25 E02; R Anmerkung. Man ſicht hieraus, daß es ſehr fehler- haft ſeyn würde, wenn man die Waſſerhöhe AC<DB nehmen wollte, weit in dieſem Falle die Thüren bei; D E einen weit größern Druck als bei A B leiden Aut würden,
Pn iH
-- DE=2.49-
"Ee
SIEGES: a...---> 5- urde&; p->-t <=. u. ME LIE neee EEN Gee anm Nä Ain NN AI naden ni nnn man mne MIDI md Ie enen gg 2 ME ne...

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GAREN Ie ERICH AEZEES REUE GE 43
ſp| 6.7:
ß; Aufgabe. Wenn eine Schleuſe aus zwei Rammern beſtehet, alſo in AB, DE, GH Chgy- ren hat; man ſoll die Waſjerhöhen in beiden Schleuſenkammern ſo beſtimmen, daß alle Thü- ren einen gleich ſtarken Druck leiden.
dein: I,|: ( Siehe Kupfertafel, Fig. 1.)
Auflöſung. Man ſeße die Höhe des Oberwaſſers AB= des Unterwaſſers IH= bs:-das Gefälle von B A bis E> c, das Gefälle von E bis H oder LK> ds EEE E29
X= DE, die Waſſerhöhe in der erſten Kammer, Y=GH, dieſe Höhe in der zweiten Kammer.
Alsdenn iſt der Ueberſchuß des Drucks
vy gegen AB= Xa?--Z(x==c)2, gegen DE I Zx*= X(y= d)7,
-
gegen GHZ Zy*--Z b2?:(Hfi. 8. 19.) folglich
342=(X= c)2= 3 2== 22;
das
EN EN OE 2 NE 08 DEU WS
Beide Gleichungen aufgelöſt, nach y geordnet und die erſie mit 2 multiplizirt, giebt: HENZE EB COXS SEB III EZ 7 I. y*--4y-ZxX*- Zb?+ ZE d? Zo, Die Gleichung Il. von 1. ſubtrahirt, ſo wird 2x?-=-2 0X+ dy= 22-- 3b*+ c*--342? Zo, älſs
210,9 a 4038-332?+ 222 4-0?= 2 024-022 es Ä
- um 2d 4“
Aus I findet man:
VY* Z20X3 22 4 a+ b>= c2,

nen<eeeennge<<< wen niueeanwenggeenwee. mengen
44 Man ſeße:
2 2*-+ b*==2 c*+ d? 2., 1118
22+ b*== c*="8 5F8" Wird HE 40x 3x I€ = 244 oder y 27770 7724 " 42450 y2 SEE IE WE8 NAAUD 222| 4 d* T
VE= 2,6 X== X 1 8) daher
0;& PING ACHSEN Welge k CR ESI EI 82 4 4* Hieraus findet man, wenn alles aufgelbſt und Kach x geordnet wird:
*
I x3+ zG+ 2d%-- 38) x?+22 ZETER
-F ZETA RER E O. 9 So bald yun aus dieſer Gleichung der Werth für x gefun- den iſt, ſo läßt ſich leicht daraus
Ee NUS REES- TZ finden.
ZIEHN ET IAU La 4004) IE OUCH Sd Fuße gegeben, ſo iſt &== 1071 2= 47:4 UND
AI 2.446" M Se I==|
3 9 9 9
Wenn in der Aufgabe ſelbſt nichts Unmögliches liegt, ſo muß es für x einen poſitiven Werth geben, welcher zwi- ſchen c und c+ aenthalten iſt. Man hat alſo nur nöthig hier den Werth für x zwiſchen 5 und 11 zu ſuchen, und man findet, wenn in der Gleichung x= 6 geſekßt wird,

fun
liegt, ' zwe ndthiy 1,
- win,
eiten Reſt 2427, 22235<für x-<5 iſt" dieſer"Reſt:= -- 369, 775 woraus ſich ſchließen läßt, daß der geſuchte Werth für x ſehr nahe bei 6 liegen muß. Man nehme daher x= 6/1! ſo findet man den Reſt=-- 11, 013 folglich liegt der geſuchte Werth zwiſchen den Grenzen 6 und 6, i. Nun kann man annehmen, daß ſich die Unter- ſchiede kleiner Reſte ſehr nahe wie die Unterſchiede der für x geſeßten Zahlen verhalten, alſo
38; 235 SOT ZEE 1 22 SOO iS Wird dieſer gefundene Unterſchied 0,0712 zu 6 addirt, ſo erhält man mit hinlänglicher Genauigkeit
SI 650712 SU pe 2)
-.
- für die Höhe des Waſſerſiandes in der erſien Schleuſett>
kammer. Hieraus folgt ferner: += 4. S. 6071-3 6, 071?-+ 107 2067 y= 8,418 Fuße,| als die Höhe des Waſßerſtandes in der zweiten Kammer.
oder
021227 - Aufgabe, Ueber eine Rolle BD hängt die Lafi Q an einem Seilez wie viel Kraft V wird man an dem vertikalen Seile D V anwenden müſen, um dieſer Laſt ſowohl als der Steiſig- Peit des. Seils und der Frikzion am Zapfen€ das Gleichgewicht zu halten?
*) Wollte may ſich in andern Fällen mit dieſer Zahl noch nicht begnügen, ſo kann durch die Fortſetzung dieſes Verfahrens, die Wurzel ſo genau beſtimmt werden als es verlangt wird,

' 46 FREENET Auflöſung. Vor der eigentlichen| Auflöſung dieſer Aufgabe wird es nicht n undienlich ſeyn das nöthige von der Stei- N figfeit der Seile überhaupt auseinander te zu ſeen, weil in den neuſten deutſchen< Lehrbüchern noch nichts davon enthal- tet iſt. Ö Wenn d, D die Durchmeſſer zweier D vj Rollen; 3, A die Durchmeſſer der darü- VN ber hängenden Seile und q, Q die daratt hängenden Gewichte ſind; wenn ferner (3 f, F die nöthigen Gewichte vorſtellen, z-- welche zur Ueberwindung der Steifigkeit( erfordert werden, ſo verhält ſich nach den K neuſieit im großen angeſtellten Verſuchen des Hrn. Cou-( lomb,(man ſehe deſſen Abhandlung: Theorie de machines» ſ ſimples, in den Memoires de mathematique& de phyſique. Tome X. Paris 1785. S. 260. u. f.) ſehr nahe*). d =.= F: f, folglich NEI€: 2 ROS 24. 22 0 1 vder wenn man 556=& ſeßt, und dieſe Zahl durch Verſuche beſtimmt, ſo iſt| v HE= q- x *) Eigentlich iſt A? zu großz bei neuen Seilen müßte es 41,2, und vw bei alten ganz abgenußten A2-* ſeyn z3 eben ſo muß D1,2 ſtatt D de
geſelzt werden. Auch wird noch exfordert: daß für jede Art von Seile eine beſtändige Größe addirt wird, welche abey in der F! Ausübung ſehr wohl weggelaſſen werden kann. gef
FE
GGS SS SBBSBEZZZ TT LLE WR ESN 1080 SIE as abi

v ai/ 4.7 Eichert Die Zahl k wird ſich.nun wohl aus deg vortrefflichen 9 licht Coulombſchen Verſuchen am ſicherſten beſtimmen laſſen. Eta Berechnet man aus ſieben Gn vierzig daſelbſt angeführ- inan) . ten Verſuchen dieſe Zahl 7 3 ſo findet ſich, daß unter utſchen nhl: denſelben 0,0035647 das in hält.
; In dem dazu gehörigen Verſuche iſt 4= 3,98 Linieg, jiveie DD,=72 730000,= 2123 Pfund, und FE=6 Jl; dar: dieſes giebt; ara EEE= 6,0035647.= Kk, ferner; 3 98. 3, 98. 212,5 ellen, wo alles im pariſiſchen Maas zu verſiehen iſt., Will matz ifigfeit alles in rheinländiſchen Linien und Zollen, und in berlini- ch den ſchen Pfunden ausdrücken, ſo kann ſolches nach den am Coy: Eade dieſes Buchs angehängten Tafeln geſchehen; matz NENE findet daraus: yfique« Kk> 0,0034441;
daher iſt: H 0 f= 9,00344..<- 93 da alsdenn 7 in rheinländiſchen Linien, d in dergleichett Zolle, und q, fin berliniſchen Pfunden ausgedrückt iſt. dy Wird nicht die größte Genauigkeit erfordert, ſo ift nahe genug Va N: q-. 300 AA Nach der hier vorgelegten Aufgabe hat man daher, 1,8, ud wenn der Halbmeſſer der Rolle= r, des Bolzens= 2. fiatt D der Durchmeſſer des' Seils= 2? und das Verhältniß der Met vol Frifzion zum Druck SIDE Nolle y11d Bolzen=; 1
ein geſeßt wird;
„ammo.-= wetten wunde mw ert ef

IEEE SEGEL NE
48 die Steifigkeit des Seil8= k<Q,
- 2
N a& das Moment derſelben= x.K-- Zs 00 TE R02/02
rx den Druck auf den Bolzen=Q+ V, die davon herrührende Frikzion==(Q+ VJ), und das Moment derſelben D«++---+-&2e(QT+V)5 DAS INHMENT DEr LU= ie.- ee a ev 50 xrQ Für das Gleichgewicht wird erfordert, daß dieſe drei Momente, dem Momente der Kraft r V gleich ſind, alſo EV 0 0 ER K0E20 1 212.60 1ND.0D021 rVw eV Zr Q+zkr2Q+0 Q, folglich FRE DEE ZRRSSE A0 » Sham 142 2
Beiſpiel. Ueber eine meſſingene Rolle, derett Halbmeſſer 3 Zolle groß iſt, ſoll an einem 12 Linien dicfetn Seile eine Laſt von 500 Pfund in die Höhe gezogen wer- den. Der Halbmeſſer des eiſernen Bolzens iſt= 3 Zoll; wie viel Kraft wird man wegen dieſer Laſt anwenden müſſen?
Hier äſen: X 1 DEAD UE ZöW ZE Q> 500, daher MUL OPT SPE H24 NG ZEE 705 Ia>. 500= 584, 48 berlin aB: SELLS EG 2
Anmerkung. In dieſer und in den folgenden Auflöſun- gen iſt das Gewicht der Rolle nicht mit gerechnet worden, weil ſolches größtentheils in Vergleichung mit der Laſt unbeträchtlich iſt. Sollte es indeſſen erfordert werden, ſo wird ſich daſſelbe ſehr leicht mit in die Rechnung bringen laſſen.:
Ea SE-HEE
ve das der da
he dy

S
9. 33+ Aufgabe. 307 der Rolle BD in 1: befindet 6... m ſich die Laſt Q. Das eine Ende des Seils iſt in
A befeſtiget; man 170 U die Größe IE„Raft V beſtimmen weiche erfordert wird an vem andern
(Q+y) Ende des vertikalen Seils DV, der Laſt Q ſoe rQ Wohl als der Steifigkeit des Seils und der Frik- dieſe divi zion am 2olzen€ das Gleichgewicht zu halten. Id, alſo M
Auflöſung. Der Halbmeſſer der zich Rolle nid des Bolzens ſei r, 2; das Ver-
häleniß der Frifzion zum Druck zwiſchen
ö
Rolle und Bolzen= 2: x 3 die Dicfe des
Seils=„3 Ferner werde das Seil AB €, deren 6 ESG t, ſo iſi; tit einer Kraft 8 geſpannt, ſo| ten diefen/
ogen wet-
> 5 zol;
a
nwenden x 2 die Steifigkeit des Seils= k ISE, das Moment derſelben=«++++ 3 K92S;3 der Druck auf den Bolzen= 8+ V, eri, das Moment der Friktion==+++ H E(ST+V). Nun wird für das Gleichgewicht erfordert, daß dieſe Juſidſan? beiden Momente niit vem Momente r. 8, dem Momente -gerechnei der Kraft r. V gleich ſeyn müſſen, alſo: rgleichun) rVrS+321k328+8(S8+V) oder 8 indeſſ!) DN EEN NE ZI GEIE daher leicht m NEE+1ik82? 4 zg„gs XT== 6 8 7
3, 33
ZZ ZZ ZE IN SERE HE Senne er mi rb wma br, Gee ir ÄR NAIR NN dnnn em unmnmmt dD. vm uri Äh Men niü Äbn ÄR nE

menen Binn mms
50===
Aber weil alles im Gleichgewicht ſeyn ſol, ſo iſt: S+YV=Q daher" 820--V7 alſo
WIE RP ZUE kens(Q--V) oder 20 WAT ERN a 6 64 SE 168.0, oder
F= ug E80
ar4+2k92 IIe IA aL GE Q, folglich
F= 8 Yu€
Beiſpiel. An einer meſſingenen Rolle, deren Halb- meſſer 2 Zoll.iſt, hängt eine Laſt von 600 Pfund. Die Dicke des Seils iſt 14 Linien, und der Halbmeſſer des eiſernen Bolzens= 3 Zoll, Wie viel Kraft wird man an- wenden müſſen, um dieſe Laſt, welche vertikal aufgezogen werden ſoll, bei dem kleinſten Ueberſchuß zu überwältigen?
rer if 2 8. 34 0= 14, K= 285 1-3, und Q> 6003 daher Pa DAZ ISET Sr 2, 4266 v= 215 Z 196 82 ZUGE 2926 602 4+ 3- 3335- 196 41 3266
= 336, 52 Berliniſche Pfunde,
S. 34-
Aufgabe. Wenn an einem FSlaſchenzucge t Rollen von gleiher Größe befindlich ſind; man ſoll die Rraft V finden, welche der Laſt Q, der Steiſigkeit der Seile und der Frikzion an den Bolzen das Gleichgewicht hält

GIII IEEE 25h S ß ſi;
Q, ode eren Halb- fund, Die meſſer des 'd man an- aufgezogen rwältigen? LEE : 609;. i | Auflöſung. Wenn beiſtehende Figur die beiden Kloben vorſtellt, an welchen die erſien Rollen BD, EG fiſtbar ſind, ſo kann man ſich hinter dieſen Nollen die übrigen hinzu denfen. ſchenzudt Man ſee den Halbmeſſer der Rollen= r, den Halbs» ich ſind, nenen der Bolzen= 83 und weil hier t Rollen ange- : Loft Q nommen ſind, ſo hängt die Laſt Q an t Seilen, weshalb on an dvs man die verſchiedenen Spannungen der Seile, auf nach-
ſtehende Art bezeichnen kann. D 2
. nager zum! FE ERT TT<P WCHEWEERE ENG mri füh fb biin bn EREN.- nnn II HIST SSE INNE IE INIST ZEICHNEN

< c> EEN DRES 22
Die Spannung des erfien Seils FG= Ss 4 des zweiten Seils EB= 8' des dritten Seils DG= 8" 11: NAP MER I eg 3 ynd die Spannung des leßtet vder N= Sie Weil man nun ohne Nachtheil vorausſeßen kann, daß alle Seile mit einander parallel ſind, ſo iſt nach dem vor-| hergehen S. SI LU R Een S; oder wenn man| |= nE 3 Ml ii= A ſeßt, r=&g SIZ ASS. Senner nach den 8 32487= AS: SE rA 087 SLZ ABL SIT NN+) und endlich STEEZ IAS G UEZ20 vder wenn alles dur< A und 8 ausgedrückt wird; S5 16:5 SCHALS SIZE AF ES SC 5A3. SS DE ZZ ATS: Weil dieſe Spannungen alle für den Fall beſtimmt find, daß V mit Q im Gleichgewicht iſt, ſo muß auch: SINE 15 1 2 II ZO ſe Aus den zuleßt gefundenen Ausdrücken für die ver- ſchiedenen Spannungen, läßt ſich aber leicht die Summe derſelben nach(R. 8. 183.) beſtimmen, wenn man die j
N

en<= Gais Ida In SIR /? S 177... 33 g! Glieder der geometriſchen Progreſſion ſummirt und mit 8 g multiplizirt; man erhält alsdanmn:
A. At-- T
' I FAF A FME+ AZE<=----, daher
SEE 2 AtTI1--5 ;== GL ER SAE DD el: AEN, dk Q A-1i. ein vor A 8-==== 6" A PI
Aber V= St!= A!. 8, folglich
WZ Se- OD
NE ER LIE
IEE 17 1 7 32 22 Ms: 7 Sobald alſo A=< Tz KT& 8 aus den gegebeiten
Wr ER
Größen beſtimmt iſt, ſo läßt ſich nach der vorſtehende Formel der Werth für die Kraft V leicht beſtimmen.
Zeiſpiel. An einem Flaſchenzug befinden ſich ſechs gleich große Rollen mit eiſernen Buchſen. Der Halbmeſſer jeder Rolle iſt 4 Zolle, der Halbmeſſer der eiſernen Bolzets inien. Wie viel Kraft wird erfordert werden, um bei dieſer Einrichtung eine Laſt von 800 Pfund, bei dem kleinſten Ueberſchuß, in die Höhe zu ziehen?
?
Z Zoll, und die Dicke des Seils x5 L
Hielt R= 440 8 ZUE, EMO EURO Zu FU ee 61.“ 4= 200. beſit t=6u1d Q= 80 uch: Man erhält alſo: 4- 2. 50+ IOO 2, | A= AEI HEI TES Dual zB EEE 1, 114/74 ß ; HE die ver Lp, 4,1147 ZZ 050472588 Ge 6. Log. 1,1147 D= 0,2829480-= Log. 1,9184 mag 7 18.0,08 FL SRO 2 BO LOOOF=== 10001271 28 SEEDANFX D 3

- IBS FRAZ SEIN GEDEEBEGLEDE I| 54 ZEIGE
IE EE 2 A) iz 2702 85 A“ 4 ASI== TH 0184
At+1.. At> 0,2201 folglich <=. 800= 154/4 Pfund.
6 35
Aufgabe. Wenn man mit einer gegebe- hen Rraft V, eine gegebene Laſt Q, vermittelſt eines Slaſchenzugs in die Höhe ziehen ſoll, wie viel Rollen wird man nöthig haben, um die Laſt Q nebſt den übrigen Hinderniſſen der Ze- wegung zu überwältigen; vorausgeſerzt, daß die Größe der Rollen und die Dicke des Seils gegeben ſind.
Auflöſung. Wenn der Halbmeſſer der Rollen rc, der Halbmeſſer der Bolzen- und die Dicke des Seils 3 ge- geben iſt, ſo erhält man nach dem vorhergehenden 5,
Att Al
VA'T1--VZQA'TY1I--0 A!, oder BE VATI-QATI+0 A ZV, oder A! VN A--Q0A4+0)=V, daher V
Se RERE FETE ODE EN 1 GE 5507 AW ZE(Ns 55 228-)
203,4= t Log. A= Lots:[- 55) folglich (R. 5. 227.)
.= 0. NN 808.[Q2=A 60 Zz Log. A Beiſpiel. Mit 150 Pfund Kraft ſoll eine Laſt von
500 Pfund gehoben werden; wie viel Rollen wird der
Faſt
NZ
fed (e1
gr

' gegebe, mittelſt ſoll, wie um die ) dev Be: ent, daß des Seils
Rollen r, eils 7 ge: "n ß,
€ Laſt von wird vr
=== 55
Flaſchenzug haben müſſe, wenn r= 4 Zoll, s= 5 Zoll, T= 10 Linien, KZ 555 und== 2 gegeben iſt? Aus den gegebenen Größen findet man
IIIS ZU== T- 1147
V0Q4 VI'200. 180,2 2/17600912-
2og.[= A(Q--V)]= Log. 63,975= 1, 8060103:
Loa. A= 209. 1,1147<= 0,0471; folglich
T= 25.1761= 17.206= 7,8. 0,0471 T
Es werden daher, wenn die Laſt durch die gegebene Kräft, überwältiget werden ſoll, wenigſtens 8 Stück Rol- ſen von der beſtimmten Größe erfordert.
6.: 36. Aufgabe. Ein Flaſchenzug beſtehet aus Paar Rollen von zweierlei Durc<meſſernz; wie groß muß die Rraft V ſeyn, um der Laſt Q, der Steifigkeit der Seile und der Frikzion an den Bolzen das Gleichgewicht zu halten. (Siehe Kupfertafel Fig. 2.) Auflöſung. Der Halbmeſſer der kleinen Rolleis FG, H I ſei a, ihrer Bolzen«x. Der Halbmeſſer der großen Rollen BC, D E ſey b und ihrer Bolzen 3. Bei den kleinen Rollen nenne man:
die Spannung des erſten Seils K1-='sS des zweiten SeilsHF= S' des dritten Seil8 GI= 8" Waſa fai De Lede Heatier 2 des lezten Seils GE== 8*:
welches zugleich die Spannung des erſten Seils bei des großen Rollen iſt.
mes

56 nannwannn nene| Seßt man ferner bei den großen Nollen:| und die Spannung des erſten Seil 8 GE=T| des zweiten Seils DB= T| des dritten Seil8 CE=T"| PRONS N PM SIODUM SIEPE: 27| des leßten Seils CV=T**] Ei ſo iſt dieſe lebte Spannung mit der Kraft GITI alſo| Bn v. Wenn man nun zur Abkürzung der Rechnung aas ZR Siefert 300 Ef 24% ſät b+zk82+ ug==B, feht, 'b-«ugß ſo iſt nach der Auseinanderſekung 5. 34.| Hie Svannmnmiig 8=1,8 0 5... A,8'. 8//„== f%2 ie.| vu SE RAE Sz M== cl: fol ZE 22.000|; PD== SB2ZZZ6 m 4 Bl Ties NV Et Soll nun Q mit V im Gle ichgewicht ſeyn, ſo wird 57 daß alle vorſtehende Spannungen der Seile,
ſammen genommen der Laſt Q gleich ſind, oder dat „= GIESE SSTRE S8 ZES AE 425 6 0 800589 637 Summirt man die erſie Reihe, in welcher 5 vor
zu int. ſo erhält man: vie ei ME% - GE EE 882 wql “Ds I
rof

42 IS-ADBINGESLITTE ZEEISED Y SITE AR I
A
und die Summe der Reihe in welcher T vorkömmt, iſt z=
BE 1208 KZ
ART ZI Bi+1--B
5 5. A--1 B--x
VEZ7DANer
Q=„18 ; Es iſt aber: , Aſt MS!== ASE U1D== 15== 207020708 V 40. ERL SATU A! NET AtBr“ Dieſe Werthe in die für Q gefundene Gleichung ge- feßt, giebt: A! TI u 5 VV pvr 3<= 183
j..! 42 LE ARE ZZIODEN: A=1.'A!B*! B--1 B;“
EE BGB AZE) G ds een ELITE EPN NER ABE(A ZD(BID Man bringe beide Brüche unter gleiche Nenner, ſo iſt: Q HAT I DBD+ A! B(A=iJB! 4 AtB(A<1).(6=1)-. folglich die geſuchte Kraft: AB“(A--T)(B=1) Q AFT DBE 1 IAO A ENBEZEEN N So oft alſo A= 2-38 5 TEE 109 Mi Es%
wird BPttz hk: Fug befannt iſt, fo kann
„Vz;
9 daraus der Werth für V beſtimmt werden.
+T“, Beiſpiel. Vermittelſt eines doppelten Flaſchen-
voy zugs von 6 Paar Rollen, ſoll eine Laſt von 1000 Pfund in die Höhe gezogen werden; wie viel Kraft wird zur Ueber- wältignng dieſer Laſt gehören, wenn der Halbmeſſer der großen Rollen 4 Zolie, der kleinen Rollen 3 Zolle, der
«x..
= 3

wen ete- ate>
53 ze)
Halbßmeſſer der Bolzen 3 Zoll, und die Dicke des Seils 10 Linien beträgt? Die Rollen haben eiſerne Buchſen und drehen ſich über eiſerne Bolzen.
Hieraus ergiebt ſich:
ui WE WEINE Nie WIE IE 100 Big SIE Banne 22 2 At=1610100 O1== 1059: | 3 1 BINS BG LOO u 71 2 Maz 3 TE 365.<<-=<<2= 1,1583 24 7.52 TL. 545. 100+ 2. 4 Bt: RR GZT AIT 474 BE
203.A= Log. 1,1583 Z0,0638211 204. A? Z6P2098.1/1583=0,3829266| L09. 45 57 27200: 1,1583==0/449727=209.2,7973- Log.(A: 1)= Log. 0,1583=0,199-- 1 280g.(A*T!-- 1)= Log. 1,7973 0,2546206 LOOS DE 20 491 UAZE= OvOATT SSO 20g. B!= 620g. 1,1147 Z0,/2829480Z=L0g.1,9184,. 280g.(B=--1)= Log. 0,1147=0,0595634> 1 20g.(B'-- 1) Log. 0,9184 5,96309319= 1.
| Dy O, 3825266|" O, 2829480- übt uF 150 OD, 199 I i OLOSOSO24 1| 4 Gd 5, 008.[AB(A= 1).0B-410]) Z=1CO0N OF OSLO TE| iw 0, 2546206|; 0,0595634= I! j EBSEES EG iſi O, 3141840== 1= Log.[(A*T"== 1)(B==1)]|"
=="200..0/ 2061

nem=m<aeeennn 55
8, 3829266 0, 0471589 0, 199 065/-- 1 O, 96303191
0, 5923230=1= Log.[A*B(A=-1)(B!== 1)]
= 206. 0,39% Hieraus findet man die nöthige Kraft: 2 O) 08407 TT 0,2051 T 0,3915
S. 37-
Aufgabe. Wenn eine Laſt Q lothrecht an einer Rette hängt, welche ſich um eine Welle aufwickelt. L7an ſoll die Rraft P beſtimmen die erfordert wird, um der Frikzion zwiſchen den RettenſchaPen und derLaſt R das Gleich- gewicht zu halten.
(Siehe Kupfertafel, Fig. 3.) Auflöſung. Die Linie A C ſei ein horizontalex Durchmeſſer der Welle; iſt nun die Kette von B bis E auf- gewickelt, ſo bleibt noch der lothrecht hängende Theil E Q übrig, und jede Schafe wie EF, wird ſo lange bei E Frik- zion verurſachen, bis ſolche gegen den verlängerten Halb- meſſer C E ehen dieſelbe Lage wie E D hat.
Man ziehe E G auf E F ſenkrecht, ſo iſt E G die Rich- tung nach welcher die Frikzion zwiſchen den Kettenſchafen, der Bewegung widerſtehet. Nimmt man nun an, daß ſich der ſenkrechte Druck zur Frikzion= 1: z verhält, ſo iſt« Q die Größe der Frikzion nach der Nichtung E G. 7 Man nehme:
EF: EGER!“
. 1000= 148, 8 Pfund.
1,9184,

6o WERE NEIN DESDE
und zeichne das Parallelogramm EFGH, fy wird eine Kraft R nach der Richtung H E, dem Widerſtande, wel- eher vom Druck Q und der Frikzion z- O entſiehet, alsdenn das Gleichgewicht halten, wenn ſich verhält:
BRE SOZIA R FUGSTSSEO SL 0AVer
RZ= E. ADE
EF
Man ziehe EK ſenfrecht auf E C, ſviſt EK die Rich- fung nac welcher die Kraft P' würkt. In der Verlänge- rung von H Ee ſey ELZEH und LK,LMmit EM EK parallel, ſv zerlegt ſich die Kraft R in zwei andere Kräfte, nac EM IR EK, wovon die erſte durch den feſten Punkt C aufgehoben wird. Es muß daher die Kraft P(ab der
Richtung E K eben ſo viel würken, als die Kraft R nach.
der Richtung E L, wenn ſich verhält:
RE DSZ PV 8 8: SE SKA DD eVS<= EN BUSE Ki. Hieraus findet man:
ER EK EH PZ IrTEG RE== EH EE OZLDDEer: EK 0)
Ge Fra SEI
Die Größe der Linie EF im vorſtehenden Ausdruck, iſt in allen Lägen der Schake E€ einerlei, dahingegen die Linie ER ſich in jeder Lage ändert. Für die Augsübung wird es ain ſicherſien ſeyn, wenn der größte Werth von E K in Rechnung gebracht wird. Weil nun E Knie größer
als EH werden Fann, ſo verwandelt ſich unter dieſer Vor- AUSTBUNGE REINE ve daher iſt;
Nach den Vorhergehenden verhält ſich: EE EGT ZUL 126 eſoN YD:
iſi!

(wird fine ide, Wil:
. AlSdeph
ach der
R yach
ud, md übung ih von größer ' Dot
61
ELLE ELLER NS SICH
EG: EF ZSIbereGG: S108:5) EH ZV(EG 1 EEN ZV(4% EB 1 E Fz =EFV(1+22), daher;
EH- GE Dm 430 TZ»)) u(+2) folglich
P= VKL+ u*).0Q. Sind die Kettenſchafen wie gewöhnlich von Eiſen, ſs iſt nach Covlomb bei EEG Eiſen,«==, alſo WIG ai JZ 1 2== x, 04002654 folglich:
PHZ= 1504 4.006 SE einn
| 2
Anmerkung. Eine Anwendung dieſer Formel findet maa im 9, 41. S. 38-|
Erſter Zuſatz. In der Auseinanderſeßung vor- ſehender Aufgabe, iſt wegen der leichtern Auflöſung vor- ausgeſeßt worden, daß der größte Werth von EK= EU werden kann. Man ſieht aber leicht ein, daß dieſes nur alsdenn. ſtatt findet, wenn es möglich iſt, daß der Winkel CEH ein rechter wird. So oft alſo der unveränderliche Winkel CED+ FEH größer als 90* iſt, wird das Maximum für EK, auch fieiner wie EL.
Man ſeße den Winkl CED=, FEH 8, ſo iſt EK= Maximum, wenn CEF SCED SS, alſo CEH-2+ gift.
Es iſt aber der Winkel
ELK= CEL= 180%== CEH= 1862== Te 48): ferner verhält ſich(G. 8. 258.) ERGE REG An ERZE Gm EIWRTODEer = fin, 99*; lin, 180*--(*+ 2), dahey iſt

62 ne nee am
EK= EL fin. 1802--(«a+ 8) oder PERG Z BEE SO0T(GZL=12989).
In dem rechtwinklichten Dreieck C EN verhält ſich: EC; CN= fn.902/4 ſin.«.,. daher iſt:
SINS EEE 4 EC 6| 0 Sekt man den Halbmeſſer der Welle AC= r, und| in die innere Weite der Kettenſchaken= w, ſo iſt EN=3w,| und weil GN von A C nur ſehr wenig abweicht, CN=+;| n alsdenn iſt(G. F. 108.)| N EC= Vr? 4+ 22), daher'
L VC 2) Ferner iſt:(G. LF. 258.) ECE EN= ſin ENC nE CN doer KO AWD 1.2.0 2 00.2.1009: 2 coß.2 2 daher
CO GG R R EEN EEE? 2V(1?+ 1w?)
SUPI=
iv Aus gleichett Gründen findet man:" EHS Ai. 007 EHT n:7FE H /10der fo FUE SER 200 002 0000222 000er| Mw Sin. 8-2: PE| de EH|| Ferner:- EH: EF> fin. EFH: fin, EHF, oder| Q Zn 500% 25024, Daher| m Cn 8 EF EH€
Aber nach(G. 5. 233.) iſt:| Sin,(4+2)= fin. 4, col 8+ coſ, x fin. 8 oder 25 EEE| 4 Ww«EF TVa*+1w2)"EH 2VG2*+1w?)* EH* Da nun: EK=ZEH„ün(s+ 8), ſo wird
CC EEG<< GG ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ<< ZS SS SSS SNN SSEN

' oder her
et
P== ee folglich IE 1 5126:
EITE ST Und dieſes iſt der eigentliche Werth/ welcher für P allemal! in Rechnung gebracht werden müßte, ſv oft(4-+ 2)> 90* iſt; wenn man hingegen nicht auf die größte Schärfe ſieht, ſo wird man ſich in den meiſten Fällen mit dem im vorigen S. gefundenen Werthe begnügen können.
Anmerkung. Hr. Coulomb 4, a. O. 5. 149. erwähnt der Reibung zwiſchen den Kettenſchaken, und es iſt ſehr zu bedauern, daß derſelbe keine Verſuche über dieſen Gegenſtand mitgetheilet hat.
9. 39. Zweiter Zuſatz. Will man noch unterſuchen, wie ſich die Weite der Kettenſchake w gegen den Halbmeſ- ſer der Welle x verhalten müßte, damit die Kraft P ſo klein, als es nur möglich iſt, werden kann, ſo läßt ſich dieſe Unterſuchung durch Betrachtung der Figur ſelbſi, oder durch Differenziiritng der gefundenen Formel nach (M. A. 5. 44-) atiſiellen, wenn man w variabel und x conſiant annimmt. Zur Erleichterung der Rechnung ſeße man; en HNL Sir 12-4 dL um2 E25 4040
p= Ty Q alſo(M. A. 8. 35=)
I
Z2.
AE
EZ en Zz 2.:
AE 40.= dy yd ZOON= 2 VGZ.
Nin eten REET EEN NENNEN Te TTT CN TTI 2ER n= Zern

64 Enie
und weiin mait ſubſtityirt und abkürzt: dE GE 1 200020..--2W
«+ Ferner
EEA SEIS: 7 da2P 2 W-3uwir-21 dw es> n Seßt man nun: ar' ---= 0, ſo findet ſick 7„ ſofi ſich w= 2&r; alſo d* P SELEN 2» PN -2, u pe IEEE H, welches eine nega- CWS> five Größe iſt, es wird daher für Ww TEE; 2 zZ E:
die Funkzion P ein Maximum.
Te kleiner w gegen r iſt, deſto kleiner wird P werdet. Wollte man w> 2& rx nehmen, ſo wird zwar der Aus- druck für P auch kleiner; alsdenn ſeßt dieſes aber voraus, daß der Winkel H EC< 90% ſey, gegen die Bedin gung des vorigen ß.3 es muß daher dieſer Fall hier 2450610) oſ- ſen werden.
Hieraus folgt, daß es am vortheilhafteſten iſt, die Kettenſchafen allemal ſo kurz zu nehmen, ais es die übri- gen Umſtände erlauben.
Wenn der für w gefundene Werth in die Gleichung des 8. 38. geſeßt wird, ſo findet man;
r 22'-T; in Tete ER ENE
SUV WIE LEI BUT ii
Aus
EEE 2m MIE 220 MIE ee AE IEIR ERZ GH nn NN NIZ enen gn NNN Ge ae Een 5- Sia SWE=
ſch
Fett

GENI TNENNO DEE) 65
Aus der Betrachtung der Figur, kann der Werth von w für das Maximum von P, ohne Diſfferenzialrechnung gefunden werden. Deniz für CEH= 90", erhält EK ſeinen größten Werth= EL; alsdann iſt aber«+ 8= 95"
daher| Sin. 2= coſ. 4, oder wenn man ſubſiituirt [77 w"7 EE vlglich EGER EG SFOR W=5;2 4.1 leg 3% ies
Aufgabe. Die Rraft zu beſtimmen welche anfänglich erfordert wird, ein Schußzbrett bei einem Wehre aufzuzieben.
Auflöſung. Wenn a die Breite des Schußbretts,
epd +. h die Höhe des Waſſers vor demſelben, und q das Gewicht 1079, dieſes Schußbretts- anzeigt; wenn ferner x die zum Aufs- ingung ziehen nöthige Kraft bezeichnet, ſo iſt(Hſt. 8. 19.) (hl Zz ah2%= dem Druck des Waſſers gegen das Brett. Wegen Unebenheit der Fugen, kann man die Frikzion !=* des Drucks ſeßen, daher iſt: Fah? y= der Frikziotnt EG welche bei dem Aufziehen überwältigt werden muß. Hierzu ubrl-
noch das Gewicht q des Schußbretts, giebt; X ZZ 82 AD Gers eidung Beiſpiel. Ein 4Fuß breites und 210 Pfund ſchwe- res Schußbrett, vor welchem das Waſſer 35 Fuß hoch ſtehet, erfordert demnach zum Aufziehen eine Kraft von IZZ+0 SE+ 210= 752,3 Pfund. SEAL Zuſatz. Soll das Schußbrett vermittelſt einer "“ Kette, welche über eine Welle befeſtigt iſt, dergeſtalt auf- ; E

emen ewe wee anm III DR DINI nei delte rin ne nn Ani 3 ii A RÄ nie
66 Gu
gezogen werden, daß man vie Welle vermittelſt eines Hez bebaums umdrehet, ſo ſey q das Gewicht des Schußbretts mit der Kette, q' das Gewicht der Welle, r der Halbtneſſer derſelben, e der Halbmeſſer des Wellzapfens und. b die Entfernung in welcher die Kraft x vom Mittel- punkt der Welle wärkt. Nun wird die Umdrehung der Welle erſilich durch den Widerſtand 52027+ 9 Z=Q verhindert, welcher bei dem Aufziehen des Schußbretts überwältigt werden muß; zweitens durch die Frikzion der Kettenſchafen beim Aufwickeln um die
Welle; und drittens durch die Frikzion an den Wellzapfen.-
Die Kraft welche erfordert wird, um die Laſt Q und die von derſelben entſtehende Frikzion zwiſchen den Ketten- ſchaken, zu überwältigen, findet man nach dem g5. 37. =: 55 Q. Der Druck von den Zapfen der Welle auf die Pfannen iſt= Q+ q'+ x; und wenn daſelbſt das Ver- hältniß der Frikzion zum Druck=<«: 1 geſeßt wird, ſy findet man dieſe Frikzion=«(Q+ q'+ x).
Iſt nun M das Moment des Hebebaums gegen die Axe der Welle, ſo erhält man für das Gleichgewicht zwi- ſchen den Momenten des Widerſtandes und den Momen- ten der Kraft:
Ze OE FRICQs R IIIS Y ZGB INE, oder Q Ger+ 1 e) Te gaM b x--«ex, folglich -- QGirFu eo+ weg-M
Ke ERZI IE oder
. b-z eg
x= Gar Grue)+ueg-M “= b--ug Y
- übri
EEE Gü. 2 050
<< iZ

(NS Des
MN 14908 r'c< den
frichen 9 durch um die (zapfen, 0 und Kettent- 5487 auf die 5 Yer- 1d, ſo
ey die ht zwi- Romeh
er folglich
67
Beiſpiel. Es ſeya-<4Fuß, nh DTFuß,r=
3 Zoll DT Fuß,+e-=4 Linien: SC Füß 7 b:=- 4 Fußs
= 210 Pfund, q9'= 60 Pfund und M= 80. Wentt
ferner die eiſernen Wellzapfen in hölzernen Pfannen lau- fen, ſo iſt-=* und man erhält
uf(E2Z22+10) 45-8 4. 20 YET 5-36. 60 4 H
21-.= 5,9 36
xX= 20 Pfund. SG. 42. Aufgabe. Die reſpektive Feſtigkeit einer Welle, mit der Feſtigfeit eines Balkens von eben der Viaterie zu vergleichen, wenn beide einerlei Länge haben, und der Durchmeſſer der Welle, der Zöhe und Breite des Balkens gleich iſt.
HL Auflöſung. Man ſceßce ABDODEDTEF= 275 WEM== 0 P/ O1= VZ 2010/DIe reſpektive Feſtigkeit der Welle APBQ=P des Theils8PAQP=p des BalkenS8SDEFG= Qs ſo kann mant, bei gleich langen Balken ihre reſpektive Feſtigkeit, durch ein Produkt aus der Breite in das Qua- drat ihrer Höhe, ausdrücken,(Karſt, Lehrbegr. 3, Theil (1769,) S. 192.) Daher iſt E 2

68 Eamminenkemmeniunaane]
dp=y?dx; aber I y*? Zax-- x? daher PZſ4(2xX=Xx?) dx ZZ 24x72=-4x3+ Conft, Zur==. 0 wirld'P1=. 0„alfo Conſt:=.0,, daher iſt PZ 2x?(2=-Zx) Für x= a erhält man: P.= 2. a2:(a= 5 a)= 2 23, Aber Qr=a 7 a> Karſt: a+ a: O7-alfs P+ Qi 22228642
|| I] DP wie? m
FIZ Es iſt daher eine Welle nur 5 ſo ſiark als ein Balken; wel- eher mit ihr gleiche Länge, Breite und Höhe hat.
Anmerkung. Man könnte bei der Vergleichung der reſpertiven Feſtigkeit der Welle mit der reſpektiven Feſtigkeit des Balkens, annehmen, daß die brechende Fläche der Welle ſich um die Axe E F drehen müſte, und dann würde man ſich vorſtellen können, daß ihre abſolute Feſtigkeit, in dem Mittelpunkt der Kreis- fläche A P B Q, vereinigt wäre. Nach dieſer Voraus- ſezung liegt aber ein vollkommen feſter Körper zum Grunde, und es wird erfordert, daß ſich um den am tiefſten liegenden materiellen Theil des Bogens A QB, die ganze Kreisfläche bewege. Dieſes findet aber bei feinem Körper, mit welchem Verſuche angeſtellt wer- den, ſtatt; am allerwenigſten aber kann dieſes bei Wellen angenommen werden, wo ein einziger Punkt dem Druck des ganzen reſpektiven Gewichts widerſte- hen müßte. Es ſchien mir daher die hier gebrauchte Vorſtellungsart, diejenige zu ſeyn, welche beſonders hei Holzarten, der Natur am nächſten kommt.
Bei vollkommen harten Körpern wäre eigentlich: EQ 7€ AZ 222014195:
[|

(jf, wel-
ung der peftiven chende |) müſte, daß ihre - Kreis/ Joraus: rt zum en am AQB, her bei ((t wet/ eſes bei viderſte rauchte ſonden 13
gentlig:
Erkin nnn 69
GO. 43-
Aufgabe. Line frei liegende eichene Welle iſt 10 Zoll ſtark und 16 Fuß langz mit wie viel Gewicht wird man dieſelbe in ihrer Hiüitte mit Sicherheit beſchweren können?
Auflöſung. Den körperlichen Inhalt der Welle findet man=
OUTS SSO UIT 6= 18 1 722) KUbiLfUBE. CO492 2462) alſo ihr Gewicht nach U7uſſchenbröks Tafeln(Stat. 5. 12.)
0, 020181722 65 2.001 1523/0329 Der lin2VPfund: Sekt man von zwei verſchiedenen Balken die Längen TL,[l, die Breiten B, b; die Höhen K, h, und die zum Zerbrechett nöthigen Gewichte P, p, ſo iſt(Karſt. Lehrb, a. a, O.)
B.H? b.h2
TEN=P: 0 alo
P?21.24 iD 2
= ZZ 1voder wenn man p B 112"0102 4 PLE; B. H? n ſeht
64 ZB P= 1.--.
Sobald alſo die Zahl n aus hinlänglichen Verſuchen bekannt iſt, kann man allemal das zum Zerbrechen nöthige Gewicht beſtimmen. Die vollſtändigſien Verſuche ſind von Hrn. Büſſon angeſiellt worden und in den phyſiſchen Ab- handlungen der Pariſer Akademie vom Jahre 1741 be- ſchrieben. Wird daſelbſt unter allen Verſuchen das Mit-
SELN PET| tel für die Zahl 2 genommen; ſo findet ſich, wenn
man das Gewicht des Balkens mit zur Laſt rechnet, n= 560, welches auch gut genug. mit den weniger be- E3

ename eeezeun wid wean ge IETI REIN
„eo frächtlichen Verſuchen des Hru. Belidor in der Science des Ingenieurs(1734) Liv. IV. Chap. IIL. übereinſtimmt. Wenn b, h in Rheinländiſchen Zollen; 1 in Fußen und p in Berliniſchen Pfunden ausgedrückt wird, ſo iſt: nN== 5102
Für b= hiſtp=545. EE Berlin. Pfund; bezeich--
net alsdann q bei einer Welle deren Durchmeſſer mit der Breite b übereinkömmt, und deren Länge= 1iſt, das zum Zerbrechen nöthige Gewicht nebſt dem Gewicht der Welle, ſo iſt 8. 42.
125 z=u0018 2 alſo
3
AI RE b* MES BB DRS I HT SAQU 2-4 VDE J
| Va Ey = .*.
Wird nun die geſuchte Laſt= V geſeßt, und zur Si- cherheit vor dem Zerbrechen, die Hälfte der zum Zerbre- <en nöthigen Kraft genommen, ſo iſt:
ps-=---- XI bs'
ZA<< V.4 523/93= 3. 26487-1) folglich
b*; =<== 523,93= 10851 Berl. Pfund. | S. 44- Aufgabe. Aus der gegebenen Länge 1, und der Laſt V mit welcher eine eichene Welle
in der Dritte beſchwert werden ſoll, die nöthige Stärke derſelben zu beſtimmen.
Auflöſung. Wenn b der geſuchte Durchmeſſer der Welle iſt, ſo findet mag nach dem vorhergehenden 5, das Gewicht der Welſe=
hr SSE NENAD NE een enen un men imd> ee SE DINI RR
eb

(Bemme wen 7" " 8 SET IEn..0+-929... 65,306 20,334» 1; b*, däher Uſt ind ebendaſelbſt: ſt: ViKZZ+ BZ 1612511622 Gezeih Zyl! nunl= 20 Fuß und V= 16000 Pfund gegebeit, ſs erhält mai: 1-1 u 16000 22.) b332E 0; 231 420102 /DDer ſt, das EZ| <t der EI UG(OS R SB GINN 7 1022(8 Aus dieſer kubiſchen Gleichung läßt ſich der Werth für b leicht beſtimmen. Denn man ſieht bald„. daß b zwiſchen I2 und r3liegen muß, weil fürb= 12 der Reſt=-=-134,93 und fär b> 13 dieſer Reſt=+ 315,89 gefunden wird. Auch folgt aus dieſen verſchiedenen Reſten, daß der wahre ut Gis Werth für b, näher bei 12 als bei 13 liegt; ſet man da- Zerhtez ber b= 12,3 ſo erhält man zum Reſt=- 7,361; für b= 13, 4 iſt der Reſt=+ 36,601, daher verhält ſich auf eine | ähnliche Art wie im ß. 31. 0 437 GO2 LOI 020 20.0/.OK071: und wenn der gefundene Werth zu 12, 3 hinzu geſeßt wird, ſo iſt:; Mund, der geſuchte Durchmeſſer derWelte b=12, 3167Nheinl. Zolle. Anmerkung. Jn des Hrn. G. O. B. R. L7ö6nnich Lehr- buch der Mathematik(1784.) zter Theil. Seite 116 inge!, bis 129. findet man Über die Feſtigkeit der Materia- ' Welle lien überhaupt, und beſonders über die Stärke der jöthige- Balken, ſehr lehrreiche Unterſuchungen. ſer de!% ZE; j 96,08 Aufgabe. Den körperlichen Inhalt eines
Freisförmigenn Ringes zu finden. E* 4

N- Rac SEEGER IG IIM, EOÖZAA I
Auflöſung. Wenn man ſich vorſiellt, daß ſich die da Kreisfläche E F, deren Mittelpunkt C iſt, in der Entfer- nung DE um die Axe AB drehet, ſo wird dadurch ein y V ſolcher Ring erzeugt werden. Man ſeße die halbe innere| Ä Weite des Ringes, oder den Halbimeſſer DE= R, die m halbe Dicke des Ringes oder den Halbmeſſer CE Tr. Mitumt man ferner A P= x und in der darauf ſenkrech- ten Linie PN die Sehne MN= y, ſo iſt die auf der Mitte von MN errichtete ſenkrechte Linie GH= x, und man erhält;-| PIZ DCR 424|M PM=PH--MAZR+r-3zy; PNS PHI HN ZWE 4 ZF| MH VIGH(EBF--GH)).(G.S. 186.) oder XN= VCI X 1X 201
Derjenige Theil, welcher durch Umdrehung der Fläche|| MGN um die Axe AB erzeugt wird, heiße V, ſo iſt die- j Fläche welche durch Umdrehung der Linie M N entſtehet| x(P N?-- P M2).(G. FS. 252.) oder y
=[( RAF r H Ep)?==(R+ 1== 3 y)27 y <= 121085 160),v: Man erhält daher auf eine ähnliche Art wie(M.A. 5. 72.)|
dV: 2 2 R+ x). 52 d xDoder j;
ZZ 444(R+ ro dex(2 1x==.x2) alſo EF
NE FERS H HWSNUE HUMGE RG: ſich
[|
'(22> GEMIS LL ap „33. 45:5 E. Su"/ Dp(u Pr ZL. LÖ ae- 1 SI. Var 7r
// 2; eff I 2 PY ZEE 4. ofs fen SEEL-7r
;| uuip 0Er um KHUGER 20 jd AM M ge Lop GENET AE ZIERTE 65 EN 1/ 4 daes; HE v| Dae(üs 244 Ee<"55 PI 03 ZE Y«Lw lples &- 7 GANS) Zer Hep: ZU ds 4 1 2 Gr Fedfiferen 2m(247) En E- nN+ JEIN er E ui uw dp“ E 5 2 Ps EE!- DI M 55 Ml Mr)1 7 77 Y»<=. rl“7“'*
zz...) NANEAEN M----: ve SIE it ÜS GGG GGG EE<< SIE R aet wee bangen lea Ei 1 EEN I

GRD ORI GOK HES HETERIGHEN TRIE 73
MENTE 2 Nach(M. A. 8. 87. 4ker Zuſ.) findet man das Integral Vv Z=47(R+1)[z1r? Acſinv.<==z(r=x) V(2rx=-x2?)]
Für x= 2r wird Acſliny. Z= Acſinv. 2*, yd 36 7
ſicht der vorſichende Ausdruck verwandelt ſich in:
Entf 47(Rr) Er* 4-08
rh ein daher iſt der körperliche Jnhalt des ganzen Ringes
innere ZEN DUDE GERE 1):;
R, die Seßt man die ganze innere Weite des Ringes, oder SEE: 2R= Dund die Dicke deſſelben 2 c= d, ſo findet man trech- den geſuchten Inhalt
vf der== 5 56 dD 1-2)
10.00 Beiſpiel. Wenn die innere Weite eines Ninges
6 Zoll beträgt und ſeine Dicke 2 Zoll, ſo iſt D=<6, d=2, folglich findet man ſeinen Inhalt =*.9,8696, 4.(6+ 2)= 78,9568 Kubikzolie.
),) oder| S. 46. Aufgabe. Den körperlichen Inhalt und das Gewicht einer Rette zu finden.
Fläche
; die Auflöſung. Die gewöhnlichen
het Kettenſchakfen kann man ſich vorſtellen,
Ä als, als wenn ſolche aus zwei halben
2] Ningen E A F und G BH, und aus zwei Zylinder E G und FH zuſammen- geſeßt wären.
8.72) Sobald nun die innere größte Weite
einer Schake AB= a und die kleinere EF=GH-=-b nebſt der Dicke d gegeben ſind, ſo läßt ſich der Inhalt derſelben leicht finden. j
5““: E 5

= NE< zg
74 GR
Nach dem vorhergehenden 5. iſt der Inhalt von EAP und GBH = 2 427 C02=74)7: und nach(G. 5. 345.) findet man den Inhalt der beiden Zylinder E G und FH: = 7 4*(2-==b); folglich iſt: der Inhalt einer Zettenſchake =zirdiſz(b+4)4+2(a-b)].
Sind nun überhaupt n Schafen, und m iſi die Ver- haltnißzahl von dem ſpezifiſchen Gewicht der Materie der Schaken, ſo findet man(St. 5. 12.
das Gewicht der ganzen Rette <= 2 20m 05(2.(Q0;+ dL 1265(a-b)].
Beiſpiel. Eine Kette von geſchmiedetem Eiſen beſtehet aus 290 Schafen. Bei jeder Schafe beträgt die innere gröſte Weite 3 Zoll, die kleinere 1 Zoll und die Dicke 4 Linien oder 3 Zoll; wie groß iſt das Gewicht dieſer Kette?
Zur Auflöſung der gefundenen Formel hat man: 2=Z3/ b= 1, 4=Z3;3 0= 200 und weil alles in Zollen gegeben iſt y= x5x3.+ 65, 306= 0, 0378.
Ferner iſt für geſchmiedetes Eiſen, m= 8,286, da- Her das geſuchte Gewicht der Kette
= 0,785+ 0,0378. 8,286+ 200-. 3(3, 1415.4+ 4) = 44,738 Berlin. Pfund.
Anmerkung. Man befindet ſich bei Anordnung einer Maſchitte oder bei Verfertigung eines Anſchlags,'? bfters in Verlegenheit wegen der richtigen Beſtitti- a mung des Gewichts einer Kette, weil im erſten Falle al der Dru>, welcher von der Kette herrührt erfordert“ f Bp wird, und im zweiten Falle die Beſtimmung des
Preijfes einer Kette, von ihrem Gewichte abhängt. meh
=== EEE aM 222008 Ame MII SSH aN H in NNEN AR GA A wade ken Ian 2 eO SF SET€

WEAR
er betet
ie YRer- vie der
A
11 Eiſen rügt die ie Dicke y Kette? t man; | Zöllen
6, du-
+4)
ng einer (nſchlags, ſien Fall! wung ds abhangt,
S. 47-
Aufgabe. Die Lage B A C einer austre- tenden Deichsecke iſt gegeben, man ſoll dieſelbe durch eine grade Linie P Q, welche bei P und Q gleide Winkel formiret, ſo abſchneiden, daß keine größere Deichslinie angegeben werden Fann, welche zugleich noch ſo viel Land mehr mit einſchließt, damit der dadurc< erhaltene Vortheil eben ſo groß iſt, als die Vermehrung der Roſten für die längere Deichslinie beträgt.
A
-22090001,0:42
'DhBDB-»iz=Wwmwaöäve»cg»- »
Auflöſung. Wenn PQ die geſuchte Lime und PBCQ ein Theil des einzudeichenden Landes iſt, ſo ſey NBZ ANC= 1070er Winrel BAD Zz, 0 AC= AP ZAQ=xz, die Deichlinie BBQC= yz die Fläche BPOGC=:2:
Iſt nun eine Quadratruthe bedeichtes Land, a Rthir. mehr werth), als eine Quadratruthe unbedeichtes, und

„0 EIER
«
koſtet jede Ruthe Deich b Rthlr., ſo muß, wenn die Deichskoſten den Werth des Landes nicht überſteigen ſollen,
jede neue Ruthe Deich eine Fläche von pl Ruthen ein-
ſchließen. Denn IRthlr826b;Rthlv.- Doe Re 2 mD R. 2
Weil vorausgeſeßt iſt, daß die Linie PQ die Bedingungett der Aufgabe erfülle, ſo wird ſich auſſer P Q keine andere Linie wie p q angeben laſſen, welche auf jede Ruthe Deich
b Le ie = 0 Ruthen Land einſchließt; es muß daher der leßkte
Streifen PQ vw der Fläche z, oder dz, für den Zuwachs ay, dieſe Eigenſchaft haben: alſo
b
= 2 4dz= 1: dy, oder DE med
8... dy
Es iſtaber BP=0&=--x35 BD-=-c lin. u: PR Xln. x DR=(c==x)Coſ0--"6G,S:2578)
Ferner z 5(BD+ BR) DR:(GG. C.223.) oder =/(c ſin.«+ xſin.«)(c=-- Xx) col.€ =(c*=-x*2) ſin, 2 col. x, alſo dz>=-- 2xdxfin 2 coſf,«,
Weiter iſt: y Zi2=BP,4-2.2BP.R(oder Z 2(c=XxX)-+ 2 x fin. x, alſo
dy=<--2dx+ 2 dx in. 23 daher 2= dz SERER I D Epe IE folglich a dy=2(1=(in. a) dx b I=> ſin. z X oom>.=. 2(1in.%. COL.%
Pr Rc:

FMG äl
I25 1 LIE),
IE GAT
Wehn die 78 5
1097) Anmerkung. Im zweiten Theil der gerühmten Beiträge fj: zur hydrauliſchen Architektur, Seite 15. findet Herr||
Feh it: TC. Woltmann::[|
IEE 1
X>=- Cot.« Coſec.&, a
welches aber offenbar ein Verſehen iſt und davon her- rühret, daß daſelbſt nur der Ort geſucht. wird, wo Guttget das Dreieck C p r den Bedingungen ein Gnüge leiſtet. Durch folgende Unterſuchung wird man ſich leicht
175 überzeugen, daß wenn nach dieſer Formel gerechnet wird, noc< mehr Land mit Vortheil hätte eingedeicht ' leßte werden können. wachs„S. 48- Zuſa. Soll die gefundene Linie P Q die vortheil- hafteſte ſeyn, ſo muß jede größere Eindeichung nicht ohne Nachtheil geſchehen können; d. h. jeder Zuwachs an Land wie P pq Q wird nicht hinreichend ſeyn, die vergrößerten 40 Deichskoſten zu beſtreiten. Wendet man alsdenn die von Hrn. W. angegebene Formel >» Sarg- Cot. x. COleC.:4= 7 id auf ein Bei- (1 ſpiel an und ſekt:
BAC=60* inda=b, ſviſi
b *= 30* und=-= Ly,
da alsdann auf jede 7 Ruthe Landes, eine Ruthe Deich kömmt. Cs iſt alſo
BEURON 2020222 T-(fin. 30292 3, 4641,
Nimmt man nun z. B. Pp=0,46413 ſo iſt DID 1,35 Rr= 0,4018; alſo
SISAL ICHS SEEKS Sen erging Bir ÄRA Nr dena en ud 5 vu fi Moe R RIEN ZÜGEN

Fläche PpqQ= 1,299 D Ruthett: und die neue Deichlinie Ppq Q=3,928 Ruthen; wird hiervott die Deichlinie PQ=73,464 abgezogen, ſo erhält matt 0,4645 welches anzeigt, daß wenn man noch 1,299 UU R. Land eindeicht, ſo muß die vorher angenommene Deichlinie P Q um 0, 464 Ruthen vergrößert werden. Hieraus folgt, daß man das Stück Land P p q Q noch mit großem Vortheil eindeichen kann, weil nach dem Vorhergehenden, die Eindeichung nur als- denn aufhört, wenn jede Q Nuthe Land, mehr als eine Ruthe Deich erfordert. Man findet alſo nach dieſer For- mel x zu groß, oder die Deichlinie zu klein, und es muß die Linie P Q näher gegen A liegen, weil noch mehr Land mit Vortheil einzudeichen iſt. Wendet man die vorhin gefundetye Formel
b I-fſin.a
EE GANSPCOL es. auf dieſes Beiſpiel an, ſo iſt:
I= fin. 302
= iZ AP;
>.
ſin. 39" cof. 302 Hat nun dieſer Werth von x die gehörigen Eiget- ſchaften, ſo muß auf jede O Ruthe der Fläche PpqQ mehr als eine Ruthe Deich, und auf jede 3 Ruthe der Fläche P vw Q weniger als eine Ruthe Deich kommen. Man ſeße 3. B. Pp: 0, 15473 ſ0.if DE=/075 FR= 07 1245 die Fläche PpqQ= 0,144 9 Ruthen: die deshalb nöthige Vergrößerung der Deichlinie = 0,154 Ruthen, wie erfordert wird.

de
tern be hält wt EE di muß Nuthey ) Stüd n Fann, ur als- [8 eine 4% For- es muß h' Land
Cigett- vaQ the der net,
GTE EEFEEEIRIET 79
Ferner iſt v 5 ZD 0,654. RES PZ OF M2:4 Fläche Pv wQ= o,165 77 Ruthett,- die deshalb nöthige Vergrößerung der Deichlinie = 0,154 Ruthen 3; woraus ſehr leicht folgt, daß die gefundene Formel die Bedingungen der Aufgabe erfüllt.
3.. 49.
Aufgabe, Die vortretende Deichsec>keBAC, nach den Zedingungen der vorbergebhenden Auf» gabe, durch eine grade Linie PQ mit einer ger gebenen Linie MN parallel, abzuſchneiden,
Auflöſung. Man bezeichne die gegebenen Witg- ff BAC, AMN,/ ANM, durc«, 8, v, und die Linien.A B, A Pdurch c, x, ſoiſt:
BiCi= ut(G. 8, 258.) in. y
56) NNZ P anten

ſin. Y DR>I(c-x) ſin. 8. Sekt man nun die Fläche BP QC= z und die zugehdÖ- rige Deichlinie BP Q C=y, ſo erhält man:
= 3(2+ SUE:<)-(c==:XxY ln.
in. fin. y
QC=(e= x) lin. 8>
ESO TE CH SWS GM EN ELE 4 M Pauker mi
2 lin, y d Zz IERT<== R; d X. 7 SI g 2 ſin. y I xX fin. 0(c=x) fin..& C-=- X* == EEE ſin. A? ſin.& dy== I AR I 0 .Y ſin. y Hieraus folgt wie im 6 47. ſin,« ſin. 2 NSE. d X b WIRÜIZEEE ſin. Her SATEE SÜDEN fin. L in.& Ee DDr ſin. 1“ ſin. M DE 2 17
a.B+ fin y=(fſin. x b fin, EFH ſin. y= ſin,& ERST VIN RZ 2
Hieraus kann man die im 58. 47. gefundene Formel DIM herleiten. Beiſpiel. Wenn die Richtung N M eines Strohms mit der verlängerten Deichlinie B A einen Winkel BM N = 50* einſchließt, und die verlängerten Deichlinien ſelbſt ſich unter einem Winkel 3 A C= 84% ſchneiden. Jeder Morgen eingedeichtes Land iſt 65 Rthlr. mehr werth als ein Morgen uneingedeichtes Land, und jede laufende Ruthe Deich koſtet 28 Rthlr. Wie groß wird die Linie AP
> Zz

[2]
A P für den Anfangspuvnkt der mit N M parallelen Linie PQ genommen werden müſſen, damit dieſe Linie, die übrigen im V8. 47. feſigeſeßte Eigenſchaften, erhält?
Wenn der Morgen eingedeichtes Land 65 Rthlr. mehr iverth iſt, als ein Morgen unoingedeichtes, ſo iſt dieſer ' Werth: für eine Q Ruthe= 555= 32= as ferner
b.= 30, alfo: bu 39:36... 1080 2 12 13 Weiter hat man=.= 84%, 8.221569, 9.22 366«8,8 = 46%, folglich: 1080+(fin. 502?+ fin. 462= fin. 84%) "„= 13. lin, 842. ſin. 589. nm 6 Bedient man ſich zur Abkürzung der Rechnung der Loga- rithmen, ſo kann die Nechnung auf folgende Art ausge- führt werden. Sin. 502==Ü0) 7660444 ode Sin. 46*= 09193398
e zug,
.
1, 4853842 SIN, SA 10/0945 2.18
N0'09 O/ 49080240 10 0, 6909598==> 1 Log. 1082-= 3, 0334238 nel(eicht, 2, 7243836 ; Log, 13: 2251/4430433 Log.' lin. 84*= 9,9976143== 10 Log. lin. 9, 8842540= 10
Log. lin. 46*= 9,8569341= 0
Strohms | BMN ien ſelbſt . Jede 30, 8527457=- 30= 0,8527457
1, 8716379=
(EN O O ||
werth als' 4-8 (aufen)! Log. 74,411 3 folglich iſt: die ſinie X== AP== 74,41 Ruthen.
% aP 3

Zrewrpiiinerenmnenttgrnun g p owner wr1 MIEREN IE Ig mE
6 50.
Aufgabe. Zwei-Deichlinien B A, C Aa, ſchneiden ſich verlängert in A und bilden daſelbſt eine vottretende Ecke. Der Punkt D iſt entwe- der die Ürfitte einer Anhöhe, oder es liegt vor derſelben ein tiefexy Rolf,(gouffre) welcher nicht mit eingedeicht werden ſoil; es wird verlangt, daß man durc den Punkt D eine Linie PQ der- geſtalt ziebet, damit durch dieſelbe der größt mögliche Raum BP Q C eingeſchloſſen werde.
; Auflöſung. Wenn der Raum BPQ C ein Matxi- | mum ſeyn ſoll, ſo wird erfordert daß A PQ ein Minimum werde.„Man ſee den Winkl BAC=«=; AE=a, die auf AK ſenkrechte Linie ED= b und ziehe QF mit DE parallel. Ferner ſey AP=x, FQ=y, ſoerhält man: z
PE> xXx-- a, AB=1y cot 4.-(G164257.) PEZ UNE ZUA URZ=EXG==ZVUCO L's
Es verhält ſich aber:| EEN. ED= 4:08: FQ oder X di br X=> 5GO tie 8.0.5 daber XyY=ay=bz--bycot, s, oder
GGG ABE LL ZZ 2222 ui eg ASt m Nan SSEN
I> autem>> Wedl...- ur TE u.

00.00
en doit
iſt enty;
liegt vw Oer nid verlangt, PQ der: Y größt verde,
ng Maxi- Rinimun Ema
QF mit jalt man;
der aher
R. b x 1:5 Xa 4 b cot mw. Der Inhalt des 4APQ ſey=z, ſoiſt: I. bx? GEE cot, a-=-b cot.> ZA ſekt:
Zb x?
==.
LEENI VZ
EEN oder wennn man
Der Werth von x für das Minimum von z kann nun nach
(M. A. 5. 44.) beſtimmt werden.. Denn: AEZ DR AIS DRS bin 7 Dx A EEE SINE FEED TEAEE TAC) ZIEKE: SEE CEE RER I Nr 28 NDER SL NOUBET für 4 dx?(x= A)> dz
-=-- Zo wirdZb x?= bx A, folglich
KI DUA NC a==1DE COL. 7). Hieraus erhält man:
EZEEE A 20 28 b I 7 GEIE NEE NEE NTT SEAN 3
ee verzi GO 0 b
Weil aber der Punkt D allemal zwiſchen den Litzien AB, AC liegen muß, ſo läßt ſich leicht einſehen, daß
jederzeit=> cot.« wird AEDANRCHNE ES 22200056 110 poſi- b a= beot,&
tive Größe, folglich muß z ein Minimum werden, wenn X=2(a- beot.«) genommen wird.
Beiſpiel. Es ſey der Winkl BAC=682, AE Z35/Ruthen,, ED Z=74, Ruther,- ſo: wird:!«= 6982 M 21505 Di== EE/2DAVer:
=2(G5=242c0t 689)=2.G5--44 225275809 AP= 58,687 Ruthen. F 2

R aEEGERGZGZ GGG<<< R Brenn<< II SUIT ZEIGE 70 IR PIERER IGEIEI BERRIES NINT NO TDEREIONE 7 73 SEIN dn uE nern wen ME en ddr um
64 AEG
O5
Aufgabe. Zur Anfertigung eines neuen Deichs A BC, welcher an die mic ihm parallele Anböbe D C, vermittelſt des QGuerdeichs BC ſenkrecht anſchließen ſoll, iſt eine beſtimmte Summe Geldes bewilliget. Es fragt ſich: ob man mit eben der Summe, oder welches einerlei iſt, mit einer eben ſo langen Deichlinie AEF, nicht noc“ einen größern Raum einſchließen kann; und welche Lage muß die Linie EF ha- ben, damit das eingedeichte Land ſo uäroß weyr- ve, als es ohne Vergrößerung der Deichlinie möglich iſt.
> Y 1000207200676 70707(288 00067 G8/0008708
Auflöſung. Man ſeße: A EFG--Parallelogram BCGE- z, ſo muß nach den Bedingungen der Aufgabe, z ein Maximum ſeyn, welches nach(M. A. Vſ. 44.) ger funden werden kann.
Es ſeyBC= a, BE=x, ſo iſt FE=a+x, daher? EGZ VAG E22= 22. 07(22x+x?) alſo SEEG=.5 4.(Gax4> 227, Parallgr. BCGE= ax, folglich N Z=zaV(2ax4+ x?)= äx5 alſo
82.- a(a+ x) dx 3)(22x+ 53)
== a Z 0, 0dep
,
SEEN EE
de
ein

0 Niny
Para
<s bt
ſtimm) ich: eb einerlei AEF, ließen EF ha- ; Wer: <linie
(Ögrans vfgade, 44.)
„ daher: „alſo
85
84x22 V(22x+ x2), oder weiin ntatt beide Theile der Gleichung quadrirt und ordnet: x?+ 23 X= 22> 0, folglich X 2<= ä0 WADE I SAU BOR== 1) =="0 1547. a, oder beinahe
= 2
-- 55 4. Hieraus findet man ferner. CFZFG-CGZV(24.0/1547.a4F0,1547 742) 0,1547. 4, =Z0,4224,2= 55. a beinahe. GS: 152,41
Zuſatz. Soll der Deich durch eine krumme Linie, unter obiger Bedingung, an die Anhöhe KD ſchließen, ſo iſt bekannt, daß unter allen Linien von gleicher Länge, die Kreislinie die größte Fläche einſchließt.
Iſt daher H der Punkt, in welchem der geſuchte Kreisbogen die Linie B A berühret, ſo ſey BH= y. Als- dann mußH I= Xa 7x=Za+ yſeyn, dahey wird:
Y Za(x= 1). 0,/57079. a, vder beinahe
VE 2122
Um zu finden wie viel die Kreislinie H 1 mehr Raum einſchließt als die grade Linie E F, ſo heſtimme man: Quadrant HKI-(HEGK+EFG) ZEE I A== HAW 2 AX== 1x WD= O, 78539. 4*=-0,41609. a?== 0,28867, a*= 0,08063. a* oder beinahe 25 27/ welches der Raum iſt, der gewonnen wird, wenn man ſiatt der Linie 8y den Bogen Hl annimmt.
Anmerkung. Dieſe Aufgabe iſt nach Brahms a. a. O. Iter Theil 9. 165 und iſt zu ſchön als daß ſie hier über- gangen werden könnte. Jedem Freunde der Wiſſen- ſchaften wird noch lange das Andenken dieſes würdigen Mannes ſchäßbar bleiben,
TT 3

) 6, 53 Ob gleich nachſtehende Aufgabe in dem 2ten Theile der Karſtenſchen Anfangsgründe ſehr ſchön durch Elemen- taranalyſis aufgelöſt iſt, ſo wird dennoch nachſtehende Auf- löſung durch Integralrechnung, ſich leichter überſehen laſſen.
Aufgabe. Vermittelſt des Barometers
eine Zöhe zu meſſen. RTC Auflöſung. Die Barometerhöhe in A fey =“, inB= 8 und die Höhe AB= x. Wächſt nun x um dei Theil d x, ſo muß die Barometer- höhe 8 um den Theil-- d 8 zunehmen, und die Luftſäule von der Höhe d x muß eben ſo ſtark drücken, wie die Queckſilberſäule von der Höhe d a.
Iſi nun D die Dichtigkeit der Luft bei A, und D“ bei B; ferner 9 die Dichtigkeit des Queckſil- bers, ſo wächſt der Druck der Luft um den Theil D'dx, wenn der Druck der Queckſilberſäule um den Theil-- 3 d 28 zunimmt. Man hat alſo
WEA 210 250020
Es verhalten ſich aber die Barometerhöhen wie die Preſſungen der Luft, und dieſe, wie die Dich- tigfeiten derſelben, alſo:
D/2+B
0, daher
8. GR CE 6 ERN D hn REES Ä FA
-.4x=Z-- 38.48, oder
-= DX===“2; al(01677: 21: 62162. 4. 2.)
D? D»* WE SEIS EEE 0 01a onſt. 78 vi in og. nat, 8+ c Es iſt aber der Modul von den briggiſchen Logarithmet
= 0,43429453 ſeßt mant dieſen= m, ſo erhält man für
.< AATDIWENTETNEEN
[S7] =.
900 ms

==="Ge
das gemeine kogarithmenſyſtem
7 hi MB: Log, 8 h Ely EE AESSR NIN conſt. ende Für x= 0, wird 8== alſo coult.=<22-, daher hen l aſſe,= 6 m X%“: zz 00.+“Log. 2 E09. 92227.) folglich deter EE g E g 3 ſolgiich SEN)& M NNZ= Log.+ | SEEE: 250 Für die Höhe A C T- y ſey die Barometerhöhe in Dichſt C= 8', ſo iſt nach der eben gefundenen Formel: lometer- 215 S und die EEE m D IEEE 1 ſd fark k Seßtman BC Ty=x=z, ſo wird: Höhe 63. ZZ NV<= 32€ I( Lög.<--“ Log.-) oder (A, und. m D ß R Dueckſil-==-.(Log. 4-- Log. 8'=- Log. 4+ Log. 2), folglich en Theil> “ L= 5605 Loo. 2% ſaule um DU DE 6E24087 alſo Wenn das Queckſilber 14 mal dichter, und die Luft 800 mal dünner als Waſſer iſt, ſo ſteigt das Queckſilber hett wie im Barometer auf 27x Pariſiſche Zolle. Man erhält daher: je Dich- a Z 273 Zolle, 3= 14, D= 573, alſo iE EE eh fe gg 709200 Zolle m D O/ 4342945 = 159160: Fuß== 0850 Toiſen folglich ). 2 ZZ OSSOL MOG-=(1-- 55) 10000 Log. u 4.7) wo z in Toiſen gefunden wird.
Verlangt man dieſe Höhe in Rheinländiſche Fuße aus- nſt.. gedrückt, ſo kann die in Pariſiſchen Fußen ausgedrückte ' Zahl 6. 9850= 59100 leicht in Rheinländiſchen angegeben werden, denn nach den angehängten Tafeln findet man:
E&
Vd 4
zarithmen |: man fü

83“, GE“| SIIOO'(F FN aA IERE Wi 51750| 162| 6; 9315| 029| Q
: TO24 11500| 61168; folglich if Wi
zZ 61168,7. Log.-
/ Da alsdann z in Rheinländiſchen Fußen beſtimmt wird.')!
Anmerkung. Hr. Bouguer findet aus Beobachtungen:
zZ zZ(1-75) 10000 Log.-
| w
' und Hr. de Lüc: 4'/ Zz ZZ 16000 Log...|| R
R R:
folglich iſt der hier gefundene Werth för z, zwiſchen' dieſen beiden durch verſchiedene Beobachtungen ge;; fundenen Werthen enthalten, und kann daher mit deſio mehr Sicherheit in der Auzübung angenom? A men werden,
Sollte die Temperatur der Atmoſphäre in B und
C verſchieden ſeyn, ſo müſſen zuvor die gefundenen fel
Barometerhöhen noch berichtigt werden.| S. 54»
Aufgabe. Den körperlichen Inhalt eines ju Rreuzgewölbes ABCA'B' zu ſinden, wenn ſol:) Pes a einem Rreisbogen gewölbt iſt.| DER!(Siehe Kupfertafel Fig. 4. und 5.);
-Auflöſung, Es ſey ADECF der achte Theil des
gänzen Gewölbes( Fig. 4.); der Winkel AB/A! unter wel-|
<A: die Gänge ſich ſchneiden ſey«. Man ziehe BG Di
EE 74-3 WIR<005 EE eu SESIS-- ET I RR R Eme wrde amet diente Wia EEN-. 9

<== 89
(Fig. 5.) ſenkrecht'auf die verlängerte Linie B' A, fo iſt BG der Durchmeſſer desjenigen Kreiſes, nach welchem das Gewölbe geründet iſt, alſo der Bogen B 8 G eine halbe Kreislinie.
Man ſee AP= x, die auf der Grundfläche B AB' ſenkrechte Linie PM= y: und die Weite des Gewöslb- bogens oder GE> a. Ferner ſey PQ, PR, MN,
| M Smit A B' parallel, ſo müſſen alle Punkte in der Linie : SN gleich hoch liegen, daher iſt tungen:; R SZ DIME V 7
Weil F der Mittelpunkt der Fläche A B A'B' iſt, fs wid AD=DE, alſo AP=P OQO=>x."Danny <A BA=«4= BAG, ſif.(G:58. 255.) RG=AP,ſin 2=x fin. x; und ferner(G. 5. 186.) RS= Vi(GR.R B) oder
vird,
zwi WviT Y=Vſzxfin. a(a=-x ſin.«) JZ V[axfſin, 4== x? ſin. 42] ngen 986,... jet DU Sekt man nun den Inhalt des unbeſtimmten Stücks
[|-- V' in, APMNQ=v„ſo iſt
; dV=Fläche PM NQ.dxZ=PM.PQ. dy Ble=ZYyXdXZ=xdx V(a2xfin,&-- x? ſin,«2); undenen folglich: j V=ſxdxV(axfſin x==x* ſin. 2*) oder = Sli«x dx(2-x2 YI. ſin.&
It eines Um die Integration zu bewerkſtelligen, ſeße man "1" ſols 2X x2 2, ſoiſt
in, x
2X a xdxdz, oder
ſin.& heil des M I ME Hm dE nter wel 55 ſin. x 2 iche B0 Dieſe Werthe in die zuletzt für V gefundene Formel geſeßt,
F 5
Ki Sa em ergeben mii en mmm, ee irn Ee Än NÄF arenen nm 8 amm nd ffn nden Fann

90 emen
giebt: WER R MES;- Z) 57
2 lin.& 2
ZEaſ dr 2 fin 2[EZ dz. Das zweite Puteglal 56 NN“20 finden; denn:
--Z ſin,„ſz ELE IEE 42 Mi. Z2L 0„conſt. oder
Iſin. 2 SE H
11:2 17[62- xX?)?|+08.
Das erſte Integral 5 aſ2? dx 170 man nach(M. A.
5. 87. 4ter Zuſ.) wenn daſelbſt: in
und es iſt:
zaſdx V(ZL EDE--
ſin
3 ſiatt 2 r geſeßt wird,
42 2 ſin.& E21.. Acſinv..X=- 4ln.2*
GR EAU:„I N 7 z ET x») 2277 X)|+ cont,
Beide Integrale zuſammen geben:
a* 2 lin. N= 205. Acſiny. ZEE 16.00.&* a a 2"Gr 2) ----==> zum, R. FE 4 zin H in, x
TZ fn 20.- N Z fin.&(8 425 23||- conſt.
Für x= 0 wird V=0 alſo Conſt.= 0, und man erhält nach vorbergegangener Auflöſung und Zuſammenziehung:
PE k Vi.= ZE ACHny- EEE„X-- 16.0n.&* a 42 el I. SANDE << 1 1 SE; 8 in's EE(=» 2) H GE es Es iſt aber AD=< Ea Wenn daher AP= ün.% ZEPENENEE;
a
AD wird, ſo iſt x=
En
, alſo P= Körper ADECF= [77
Ke a<zE

Fconſt, NR, A.
wird,
| erhält iehung:
SE gt
2 lin. ax a 16 m&5* 3 lin.& Zz AS za y a a“"fin, ZuG EE Sm wm 1220078 TEE 2lin. 227 HN«a? a* === Acſinyv. 1---2- EE IL NETZ 558 HENG 17757 G 24 77)(3====: vder weil Achnv 11= 27 ſo iſt der e" ar Körper ADECF=-- 7 2 32 Jin 22 24 in. H a? 7 EN 6 SUNG 2- A 3;
Weil man nun denjenigen Theil des Gewölbes, welcher über A FD' oder BF D' ſichet, auf gleiche Art findet, ſo folgt daraus, daß die vorſichende Formel den achten Theil des ganzen Gewölbes angiebt, daher findet man den Inhalt des ganzen Kreuzgewölbes .
3 0422
DEO AF2CG482 47
(nN 42 4 Beiſpiel. Wenn ſich zwei Gewölbe unter einem Winkel von 75 ſchneiden, und es iſt ihre Bogenweite oder a= 12 Fuße, ſo findet man, wenn zur Erleichterung der Rechtzung, die Logarithmen genommen werden: Log. 0, 4520648 Log. 1728
---
0,6552008= I
=. wu
2, 8927445 = 9, 9849438= 10 oder .=0,9849438= 1, daher 200.(Gn 752)2= 800900975922 070600876-- 1. Zieht man dieſe lette Zahl von 2, 8927445 ab, hält man:
Nun iſt Log. lin. 75*
ſo er-

Goa. 2 2.2728 (ANS ZSF LD) Z
Nach den Tabellen ſtimmt hierzu die Zahl 837,0658 3 es iſt
Daher der Inhalt des geſuchten Krenzgewölbes
= 837,0658 Kubikfuße.
= 2, 0227509.
G.. 54.
Zuſatz. Durchſchneiden ſich beide Gewslbe unter einem rechten Winkel, ſo wird«x= 907, alſo lin. 90%= 1 und man erhält aus der Formel im- vorſtehenden 5. für dieſen Fall, den
Inhalt des ſich xechtwinklicht ſchneidenden Kreuzge- wölbes<
*% -= 5 zy a3 oder
== 014520048)+ 232.
5-1 55:
Aufgabe. Ein rechtwinklichtes Rreuvzge- wölbe ſoll einen Fuß dier und 15 Fuß im Lichten weit ſeyn, man frägt: wie groß iſt der körper- licye Inhalt des einen Fuß ſtarken D7auerwerks?
Auflöſung. Man ſeße die innere Weite von 15 Fuß = d, und die äußere oder 17 Fuß=D, ſo iſt nach dem Horhergehenden 5. der geſuchte Inhalt
S2 X== 5). 0D02--=:42 3% = 0,4520648«(17?=- 15*); = 0,4520648«1538= 695,275 Kubikfuße,

8;
e ühter 02228
y. für
wenge
veya: „ichten Örper-: verfs? 113Fuß a dem
kim) 122
Von den nachſtehenden Tafeln.
OD; folgenden Tafeln ſchienen mir um ſo viel mehr hierher zu gehören, da ſolche bei der Aufisöſung der mei- ſien mathematiſchen Aufgaben die Rechnungen ſehr abzu- kürzen dienen, indem ſie nicht nur die weitläuftigen Multi- plikationen und Diviſionen erſparen, ſondern auch, zur Vermeidung der gewöhnlichen Rechnungsfehler, nicht wenig beitragen. So viel mir bekannt iſt, ſind ſolche zum erſtenmale hier abgedruckt.
Um den Gebrauch und Nußen zu zeigen, werde ich die wegen jeder Tafel nödthige Bemerkungen auf einander folgen laſſen, und ihre Anwendung durch einige Beiſpiele erläutern.:
Hr. G. O. B. R. Schulze, im erſten Hefte ſeines Taſchenbuchs(1782) 8. 486, hat bereits den Nußen von andern dergleichen Tafeln gezeigt.
I. Tafel. Dieſe ſekt voraus, daß ſowohl für das zehntheilige als auch für das zwölftheilige Maaß, einerlei Länge zur Ruthe angenommen worden iſt. Sie hat eine doppelten Nußen; weil ſie zuerſt dazu dient, jede gegebene Anzahl zehntheiliger Längenfuße in zwölftheilige zu ver- wandeln; oder wenn es beſondere Umſtände erfordern, ſo findet may in der daneben ſtehenden Abtheilung, die dein

94 m
ſelben entſprechenden zwölftheiligen Fuße, Zolle, Linietz und Skrupel, bis auf Zehntheile des Skrupels genau. In den Tafeln ſelbſt leſe man ſiatt: Zht. zehntheilige; Zwt. zwölfsheilige; FS. Fuße; Z. Zolle; L. Linien: S. Sfrupel.
Daſſelbe gilt von den Abtheilungen für die Zolle, Linien und Skrupel. j
Bei dieſer und allen folgenden Tafeln, die XVte aus- genommen, iſt das neunfache jedes Werthes angegeben, auch wo es die Umſtände erforderten, findet man das 10, 12, 144 Und 1728fache deſſelben.
14:“Zöfel Dieſe enthält umgekehrt die Verglei- <hung der zwölftheiligen Fuße u. ſ. w. mit den zehntheili- gen, bis auf Zehnmillionentheile genau.
III. IV. V. VI. Tafel. Bei dieſen Tafeln iſt
"gleichfalls zum Grunde gelegt, daß einerlei Quadratru-
the in 100 oder 144 Quadratfäaße u. ſ. w.; und einerlei Kubikruthe in 1000 oder 1728 Kubikfuße u. ſ. w. einge- theilt iſt. Sie ſind bis auf Zehnmillionentheile genau be- rechnet, und zu der leßten Dezimalſtelle, iſt allemal noch I hinzu geſeßt worden, wenn auf dieſelbe eine 6 oder höhere Ziffer folgte.
Außerdem iſt hier noch der Dezimalbruch auf die un- cergeordneten Maaße, bis auf Zehntheile eines Skrupels genau, reduzirt. N
Erſtes Beiſpiel. Es ſollen 743, 680743 zehn- theilige U Fuß in zwölftheilige verwandelt werden.
Man ſchreibe die gegebene Zahl auf nachſtehende Art, ſo findet man aus der erſten Abtheilung der 111, Tafel:

Wt, Uhiog en, 9e Zut,
Sf, ie Zeh,
Vie aus: gegebe, das 10,
| Veralei- zehntheili-
Tafeln if wadratry- 1d einerlei Ww, einge enau be- mal noch 4 6 oder
wf die vr | Gfrypels
743 jeht
en, ehende A! „Tafel:
aman ee 95
„700|. 1008, 40 57,6 3 4, 32 0, 6 0, 864 0, 08 O, LIS2 O, 0007 O, 001008 O0, 20004 O, 0000576 O, 000003 O, 00000432
1070, 9002699 zehntheilige OD Fuß. = 743, 680743 zwölftheilige c) Fuß. Zweites Beiſpiel. Werden zugleich die Zolle, Linien und Skrupel verlangt, ſo findet man nach der zwei- tei Abtheilung der II1. Tafel:
Fuß. Zoll. Linien. Skrupel. Fuß 700I 1008 4 57 86 576| 9.0.0724: 3 4 46 IT 74, 9 Zoll 60 124 59 1 130/ 2 8 16 84 113, 4 Linien 7 20 129, 9 Skrupel 40 I 27000 1070 S7... 3 129 2: 4 91065/1432.3.01 Zht.. DD Maaß.= 743 F. 68 Z. 7:6 5,43 O.
Z3wt, 9 Maaß. Auf gleiche Art wird das zwölftheilige Maaß durch
. eine leichte Rechnung, in zehntheiliges verwandelt.
VIE VIE:EX. Tafel. Dieſe dienen dazu, jede gegebene Anzahl zwölftheiliger Zolle, Linien und Skrupel, in zwölftheilige Fuße, nach Längen, Flächen- oder Kör- permaaß zu verwandeln.

|
Mt 4
96
Die äligegebenen Werthe ſind bis auf Tauſendmillio- gnentheile genau, nur daß bei dem Körpermaaße, aus leicht einzuſehenden Gründen, noch einige Dezimalſtellen mehr beigefügt ſind.
Beiſpiel. Wenn 137[7 Zoll, 46[5 Linien, 129 D Skrupel zwölftheiliges Maaß in Fuße dieſes Maaßes ausgedrückt werden ſollen, ſo kömmt die Rechnyng nach der VIII. Tafel auf folgende Art zu ſiehen.
Q Zolle 100| 0, 6944444 39| 0, 2083333 7| 0, 0486111 c) Linien 40| 0, 0019290 6| 0, 0002893 a Skrupel 100| 0, 0600339 20| O0, 0600067 9| 0, 0000030
6, 9536507 D Fuß = 137 01.3746 6.06.1207 G.
X. Tafel. Hier iſt zum Grunde gelegt, daß nach Eiſenſchmidt, 14400 Rheinländiſche Fuße= 13913 Pa- riſiſche Fuße ſind, und darnach iſt die Größe des Längen,
Flächen- und Körperfußes für beide Maaße ſo beſtimmt,
daß es leicht iſt, jede gegebene Anzahl RNheinländiſcher Fuße in Pariſiſche, und umgekehrt, zu verwandeln.
Ferner ſind zu mehrerer Bequemlichkeit bei vorkom- menden Rechnungen, die nöthigen Logarithmen beigefügt worden.
Beiſpiel, Wären 817,346 Pariſiſche Kubikfuß gegeben, und man ſollte dieſelben in Rheigländiſche verz
| wandeln, ſo iſt:
800
wüde gennggenennen=<enzerneenn<eneZeunen,«»vwewervenemmenezeezzuneeanmee=zun=ezeeengzee.--
EE AEN

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Maaßes j1g nach
aß nach 913 Pa- Längen, beſiimmi, (ändiſcher eln.
| vorfom:- beigefügt
Fybikfuß diſche ve!
jw
en R ee IV FEIEREN 97 890| 886, 98261 160) 11.087282 7: 19 SE LETOLC9S O, 3 O, 332018 0,04 0, 044349. 0,006 O, 006652
906, 21461 Rheinländiſche Kubikfuß ZZ 011678 346 Pariy iſchen Kubiifuß.
AI. Tafel. Dieſe enthält eine Vergleichung des Berliniſchen Pfündes mit dem Pariſiſchen, wenn nach Rruſe voräausgeſekt wird, daß 10188 Berliniſche Pfunde = 9750 Pariſiſchen ſind.
XI NIH. Tafel. Bei diefen Tafeln iſt gleich- falls nach Kruſe ängenommen worden, daß 9728 Berli- niſche Pfunde= 9750 Cöllniſchen, und daß 10188 Cdlni- ſche Pfunde= 9728 Pariſiſchen ſind.
-
XIV. Tafel. In dieſer Taf thält die erſte Abtheilung das Gewicht von einem? andiſchen Ku- bikffuß Regenwaſſer, bei einer MEAT vont 64 dis 66 gahrenbeitſchen Graden, in Berliniſchen Pfunden<= Hierbei ſind die neuſien IREN aus Hru. Säarſtens Na-
5
Dc 19;
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+ . 1, JWD ETHIK «
turwiſſenſchaft( 1785.) S. 34. zum Grunde geiegt.
Die zweite Abtheilung dieſer Tafel enthält das Viel- fache der Zahl.-; Dieſe wird ſehr häufig gebraucht,
wenn aus dem Gewichte eines Körpers, ſein Inhalt ge- funden werden ſoll.
Die dritte Abtheilung giebt das Vielfache von dem Gewichte eines zwölftheiligen Kubikzolles an; und von der leßten Abtheilung gilt ebendaſſelbe, was von der zwei- ten geſagt worden ift.
Erſtes Beiſpiel. Wenn 87 Fuß 29,64 Zoll itt Rheinländiſchem Kubikmaaß gegeben ſnd, wicviel“ wird eine eben ſo große Menge Regenwaſſer in Beriiniſchen
Pfunden wiegen G
DE mme rich Überein dbi m iln ERLEN a in AE Bank am

98 Finnen
Fuß 80| 5224, 512 7| 457, 1448 Zoll 20 O, 75586 I O, 34014 0,6 O9 O2207 0,04 O, GOL St
5682, 77698 Berliniſche Pfunde =.dem Gewichte von 87 F. 29,643. Regenwaſſer. Zweites Beiſpiel. Soll hingegen der Raum gefunden werden, welchen 736, 94 Berliniſche Pfunde Re- genwaſſer einnehmen, ſo findet man denſelben=> 535, 94 7
(St. 8. 19.) daher nach der zweiten Abtheilung der XIV. Tafel TOO TO /177084 30| 0, 45936 6 O, 091872 O; 9 x| O, O1378L O, 04 O, OOOÖ6I2
IT, 28402 Rheinländ. Kubikfuß Regetzwaſſer welche 736,94 Berliniſche Pfunde wiegen.
„AN: Tafel. Die oft erwähnten mühſamen Ver- ſuche des Hru. Coulomb, laſſen ſich zwar nicht wohl mit einem Blicke überſehen, und unter allen Umſtänden unbe- dingt anwenden. Um aber doch einigermaßen die Frikzion bei verſchiedenen Körpern mit mehr Genauigkeit als ge- wöhnlich geſchiehet, in Rechnung zu bringen, ſo iſt unter allen dieſen Verſuchen eine mittlere Zahl genommen, und Daraus dieſe Tafel zuſammengeſeßt worden.
Von den Brüchen, welche in den Abtheilungen ſtehen, zeigt der Zähler und Neuner, das Verhältniß der Frikzion zum Druck an.
Z. B. Bei trocknem Eichenholz auf Tannenholz, verhält ſich im Anfange. der Bewegung, die Frikzion zum Drit= 21:7.
XVI. Tafel Die in der Mechanik gebräuchliche Galliläiſche Zahl g, oder der Weg welchen ein frei fal-
[4
fü

jehwaſſe, vr Ramm unde Ne- E
PEI 94
lng der
jehwaſſer
men Yer wohl mit en unbe: Fritzion als ge- iſ unter ey, vd
en ſiehe, y Frikzion
nnenholz, jon zum
väuchlich! n fee fal
99
lender Körper, nahe an der Oberfläche der Erde, itt der erſten Sekunde zurück legt, iſt hier in Rheinländiſchew Fußen bis auf Tauſendtheile genau angegeben, und dar- nach ſind die übrigen Werthe von 2. V gund V- berech- net, welche bei dem Falle der Körper und beſonders in der Hydraulik von vielfältigem Gebrauche ſind.
Erſtes Beiſpiel. Wenn nach der Größe des Raums gefragt wird, welchen ein Körper bei dem freie
Falle in 13,5 Sekunden durchläuft, ſo iſt dieſer Raum (Karſt. Mech. 58. 19.)= 8+ 13, 5*= 8+ 182,253 daher:
100| 1562, 5 8o| 1250, 09 2 31, 250 O, 2 3, 1250 O0, 05 O, 7812
"2847, 6562 Rheinländiſche Fuß 7 welche ein frei fallender Körper in 13,5 Sekunden durchläuft.
Zweites Beiſpiel. Wenn ein Körper am Ende ſeines Falles eine Geſchwindigkeit von 15,8 Fuß in einer Sekunde erlangt hat, wie groß iſt der Raum durch wel- <en derſelbe gefallen iſt?
Dieſen Raum findet man(K. M, 8. 29.)
8„E50 82:2. 2407643 daber 43 43 20011132 49| 0, 04 9| 0, 144
3, 9942 Rheinländiſche Fuß, welche det
Körper durchlaufen muß, um eine Geſchwindigkeit vo
15,8 Fuß zu erlangen.
Drittes Beiſpiel. Ein Körper iſi durch einett Raum von 38,6 Rheinländiſchen Fuß frei gefallen, wie groß iſt ſeine am Ende des Falles erlangte Geſchwindigkeit?
G 2

TOO INS
Nach Karſten a. a. O. iſt dieſe Geſchwindigkeit =2.Vg.V 38,6= 12,4256. V gund man erhält: IO| 39, 52847
2 7, 905094 O, 4 1, SSLL388 0, 02| 0, 0790569 0, 005 O, 0197042 O, 0006 O, 0923717 49, 116496 Rheinländ. Fuß, Geſchwin- digkeit welche ein Körper durch den Fall von einer 38,6 Fuß großen Höhe erlangt.*
Viertes Beiſpiel. Wie viel Zeit wird erfor- dert, wenn ein Körper dur einen Raum von 37, 5 Rhein- ländiſchen Fuß, frei fallen ſoll?
Dieſe Zeit findet matz a. a. O.
- Tis 220 IEEE| = Wb S 2:4 EEE SANSUN AKE H
(0.
6| IT, 5178932%
“DA her:
T
PUIG OSLO2.5 2082
O+ 02| O,x0050596 E O, 003| 0,. 000756869 Of-0007- O/ 10001771
1, 549187 Sekunden, welche ein Körper nöthig hat, um bei dem freien Falle einen Raum von 37,5 Fuß zu vurchlaufen.
Es würde mir ſehr angenehm ſeyn, wenn ich erfahren könnte, ob ſchon Taſeln berechnet ſind, welche für jeden Durchmeſſer von 1 bis 1009 die dazu gehörige Kreisfläche, bis auf neun Dezimalſtellen genau, angeben. Hyx. H. R. Räſtner erwähnt in der zweiten Sammlung der geometri- ſchen Aufgaben(1791.) 121ſte Seite, einer ſolchen Tafel in Zeyers Conometria mauritana(1619.) nach welcher die Kreisflächen bis auf fünf Dezimalſtellen genau angegeben find. Die von mir berechnete Tafel wäre ich bereit, we- gen ihres mannichfaltigen Nukens, mitzutheilen, ſobald ich die Verſicherung erhalten hätte, daß noch keine derglei- c<en öffentlich bekannt ſind.
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di!

Mi erhä:
Yeſchwitt: 8 1068 T q'(| nN, SEE WIe UME die Bergleichung und das Bielfache
verſ<hüuiedener
'd erfoy- 5 Rhein-
in der| Mathematik gebräuchlichen Größen
enthalten,
n Körper wm von
erfahren für jeden veibfläche, Hy, H. R, geometri- 4 Tafel in yelcher die angegeben ereilt, wer „y, ſobald me derglet

C-LT

LZ Ta el|
Vergleichung des zehntheiligen Längenmaaßes mit dem zwölftheiligen.
Zht.Fuße.| Zwölſthl. Fuße. FN: 3 L S7 I I; 2000000 La 2 28 4010-1 2 2,4000000 26 1 A 00 1.0012 - 316000000 354 e, 24 4458 4 418000000 Me Ie 7 22/4 5 6;0000000 682011027120 6 712000000 72. 2: 40 29,6 7 8,42020000 Su 46%“Ue 8 916000000 GA 76 2. 1418 9 I0; 8000000 104 1:96. Te 214
6S 1 2/0000000 124=. 05 0,:0
Zht. Zolle.| Zwölſfthl. Zolle. EIBL ILE S.
I 1]4400000 OM Tn 5. 1314 2 218800000 0417251016877 2 4/32000200 O4 8.1 124 KOI at 57600000 De O4 EIE 5 7 ZODODOO NL 408+ 76 Ze. 478 6 8,6400200 Or= Sel Te 1072 7 T0/0800000 O4 1047505 175 8 T1I75 200000 OF 65 122/79 9 12,9600000 185 O< 11, 1672 TO 14,/4000009 INH 08: 02) 164!

104
Fortſetzung.
(Längenmaaß.)
Zhe Linien,
Zwölfthl. Linien.
hand 0110" 08.215.007 6 O3. 13
2 6/OOOO 3,45 60000 511840000 6,9 120000 8;6400000
Zht: Skr.|
Zwölfthl. Skrupel,
em
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ORSONTODTE OZ OG
A wz Ww .+.*.
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207200089 AER OOO 6; 2208000 872944000 TO0/3680000 T 22416000 FA 5 85 2000 16:5 888000 T8:;6624000 ON GOODO

165
« LL S0 0F 8a; Vergleichung des zwölftheiligen Länggenmaaßes mit dem zehntheiligen, |Zwr. Fuße| Zehnthl. Fuße.+ 5 3 8 SC I 0,8333333 MN-C-Os+ 308 373 p 1,6666667 WET 2870: 8 2617 3 275000000 MEST, 1008.00, + 34923339 33 342 1 34.1 Ze 373 5 4j;1666667 ACK EL 86,2 T 007 6 510000000 SEE OLA O9. 0, 7 518333333 5420 8%| Z+C 313 8 6,6666667 GEMEN 196,21677 (e' 715000000 I ENSE. 4.04..2207 IO 613333333 85 24 13001373 II 9;1666667 SDR 2765 PL 67 T2 I O0/;0000000 OLSON 170x105 Zwt. Zolle.; Zehnthl. Zolle. 3. L: S:20/8 I 0,6944444% 6 94 2 1;3888889 19 GG33 S9 3 2;0833333 24 21104. 4 ZIL LLT UO 2424178 7 218 5 3/4 722222 3.414. 712 6 4j1666667 45 118. O7 ET 41 SGCTTTEL GT SEH Q1C88*-O4 8 SISYSSS56 NES3ES 8975 9 6;2500000 6. 23 5/0 10 6;9444444 GAS. 00 7 CMI LT 716388889 MITA C6E:-- B59 "ee 013 3333323 HEAL 30 3,3 (€ 7 Ss

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Fortſeßung.
(Längenmaaß,)
Zwkt. Linien.;
4 ud 12,9|
Eu a Dat LIES 4, Sire gen| rup.
Zwt. St
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H FORST" 09 270001 EL 208.09 X
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Zehnthl. Linien. 27 S. 015787037 O+ 5,8 111574074 I, 176 WEL ZSE A TT. el 2/3148148 28. 2217 278935185 Z+ 859 3/4722222 3. 4417 410505259 4. 075 4;6296296 M. 6:3 512083333 5. 2,9 517870370 5. 718 63.6527 407 0: 3,6 69444444 6.01 914 Zehnthl. Skrupel. S. 0/45822531 0/5 09645062 T/O 1/4467592 Ty4 11920/0123 I,9 2]4112654 2,4 218935185 29 313757716 3:4 318580247 3:9 413492778 4:3 4/:8225308 4/8 513047839 513 SI78723709 5:8
7
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N
ZZ

107
7 5 | II1. Tafel, Vergleichung des Zehntheiligen Slächenmaaßes mit dem zwölftheikigen, Zht. Fuße| Zwölfthl. Fuße. GS 31 LZ 31,S;
I T/AXOOOOD MO TNIGZ UE 50, WILO
) 2 28.800009 KW 2T BZGA O2. 50719 3 413200000| 4« 46%. 11, 47/9
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5 7206000011279 2726. AT5, 28:8
6 8;6400000 S. 92, 23. 518
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9 1222/9600000! 1127 139,45 134,"80,6
LO 1714/4000000] 147 5770>66, 57,6
20 1728/8000000) 267 TE5.K:-128. LbLS/2
320 1043/2000000 43, 26 LI1I5.“28/8 49| 5716000000| 57: 86, 57. 86,4
SO. 1172/0000000; 72: 0, 0. On
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9 38,65983526 2; 38,6 180) 42,9981696 Os 2,9 20 8S5,9963392 0. 85,8 3 1258,9945088 O7 128,7 40 171,9926784 I, 2,756 'SO 214,9908480 1; 1,045 60 2579890176 14 113,4 ZO 300,9871872 DE 12,3 69 343,9853568 2."S5,2 90 386,9835264 2. 9,81 LOO 429,9816960 2. T41,0

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3 Fortſetzung. (Körpermaaß.) zwt.- Linien.| zehnthl, Linien.? S, 4,7. 0,1938067 O0. 193,8 - 0,3870134 0. 387,9 3 0,5814201 D. 881,4 4 0,7752268 O 775,2 5 0,9090335 0. 969,0 6 1,1628402 1. 162,8 7 1,3596469 I. 350,6 8 1,5504536 IL 550,4 9 1,7442603 I, 744,2 10 1,9380670 I, 938,1 20 3,8761340 Z..„S70,1 309 5/81 42010 Ne 0.681432 40 7,7522680 7... 492413 52 9,69033509 9: 690,3 60 11,6284020 TI. 5.6264 70 13,5664690 13.: 566,5 8o 15,3045360 15. 504,5 99 17,4426030 17- 442,6 100 19,3806700 10: 386,7 200 38,76013399 38. 761,3 300 58,1420098 58." 142,0 499 77,5226798 77« 522,7 500 90,9033497 96. 903,3 600 116,2840197 316. 284,0 7039 135,6646896 135-s 604,7 800 155,0453596 1555 45/4 900 174,4260295 174. 526,0 1000 193,8066995 193« 806,7 1728 334,8979767 334: 898,0

[PD]
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Fortſeßung. (Körpermaaß.)
Zwt. Sfrup. Zehnthl. Skrup. S. I O, 1121566 OM 2 O, 2243133 0,2
3 0,3364700 2, 4 0,4486266 0,4 5 0,56007833 0,6 6 0,6729399 0,7 7 0,7850966 0,8 8 0,8972532 0,9 9 1,0094099 T,0 IO 1,1215665 T,I 20 2/24 31331 2,2 39 33646996 3,4 49 4,4302662 4,5 50-5,0078237 5,6 60 6,7293993 6,7 70 7,8529658 758 609 69725324 9,0 90 70,06940989 TOT ICO 11,2159055 11,2 200 22,4 313310 22,4 300 23,6469964 33,6 409 44,8626619 44,9 500 56,0783274 56,1 600 07,2939929 67,3 7009- 78,3096533 78,5 800 69,/7253238 89,7 900 100,94093893 100,9 1000 112,1566548 112,1 - 1728 143,8
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Vergleichung der Zolle, Linien und Skrupel des
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Vergleichung der Zolle, Linien und Skrupel des 2 zwölftheiligen Slächenmaaßes, mit den Fußen deſſelben.
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0,055555556 0,662 500000
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0,000434928
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Zwölfthl. Fuße.
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Vergleichung der Zolle, Linien und Skrupel des j ; zwölſtheiligen Rörpermaaßes, mit den Fußen
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X. Sa fel,
Vergleichung des Rheinländiſchen Fußmaaßes ' mit dem Pariſiſchen. Längenmaaß,.
Rhl. F.| Pariſer Fuße. Par. F.| Rheinl. Fuße. I 0,9661806 I T,03530032 2 1,93236I1 2 2,0700065 3 2,8985417 3 3,1050097 4 3,8647222 ä 4,1400129 5 4,8309028 5 S,/1750102 6 5/7970833 6 6,2100194 7 6,7632639 7 7,2450226 ö 71294444 ö 8,28002509 9 8,6950230 9 9,3150291 L02-7 70/900180072= T0/0850583 4
Log. 1,035C032.= 0,0149417. Flächenmaaß.
Rhl. F.| Pariſ. Fuße. Par. F.| Rheinl. Fuße. I 0,9335249 I IT. O712317 2 1,8070097 2 2,1424%34 3 2,80051 46 2 3,21Z30951 3 37340194 4 4,2849268 5 4,0675243 5 5,3501585 6 5,6010292 6 6 4273902 7! 6,5345 3492 7 7,4986218 8 7,4680389 ö 8,5098535 9 6,491543/7 9 8,6 410852
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128
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Tafel.
Vergleichung des Berliniſchen Pfundes
mit dem Coöllniſchen.
Berl. Pfd| Cölln. Pfunde.|Cölln. Pf.| Berlin. Pfunde. T 1,00226015 1 0,99774360 2 2,2045230 2 1,9954878 3 3,0067485 3 2,9932308 4 4/00904060 4 3,9909744 5 5,0123070 5 4,9887179 6 6,0135691 6 5,9864615 „ 7,0158306 7 6,9842051 8 8,0180921 8 7.1819487
„ul: 9,0203536 9 8,9796923
Log. 1,0022615= 0,000968I0.
Log. 0,9977430
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XkCE,. Eig F04, Vergleichung des Cöllniſchen Pfundes mit dem Pariſiſchen, 'Cöll. Pfd.| Pariſ. Pfund. jPar. Pfd«| Cölln. Pfund. x 0,9548488 I 1,0472802 2 1,9099977 2 2,0945724 3 2,86454605 3 3/1418585 4 3,8193954 4 4191847 5 4,7742442 5 5,2354399 6 5,7290930 6. 6,2837 171 7 6,6839419 7 733102033 8 7,03879027 8 8,3782895 9 8,5936396 9 0,4255757 Log. 0/9548488= 0,9799346--! 3 Log. 1,0472862= 0,09200653- [Ss- 2 XIV,

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Pfunde,
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394399 83717! 310033 782895
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7.29 Ö==» | XIN 2 Wa fel Gewicht eines Rheinländiſchen Kubiffußes Re- genwaſſers und der davon abhängigen Zahlen, in Berliniſchen Pfunden. N ER 12; T 65,3064 I 0,01 5312 2 T130,6128 2 0,030624 3 1953/9192 3 0,045930 4 261,2256 4 0,00 248 5 326,3320 5 0,076560 6 391,8384 6 0,091872 7 457,/1448 7 0,107184 3 522,45'2 8 0,122496 4 587,7570 9 0,137808 Log. 65,3064= 1,8149557 Log. 0,015312= 0,1850443= 2 “/ I 1 1728 7.3773 x 0,037793 I 20,459891 2 0,075580 2 52,919752 3 O,/113379 3„yl“:79,379074 4 O/151172 4 105,/839594 5 0,188995 5! 1 1132/2094560 6 0,220758 6 158,759340 7 0,26455! 7 185,219238 8 0,302344 Q 211,079129 9 0,3401 37 9 2328,139020 Log: 0,037793= 92,5774120= 2; Log. 26,439891= 1,42258892. -= d | SI EEEEEETSCSSSSKSSSEEEEEETTe TTI IEIRT ITIANREEF TTPERARRÖAA ADT ezeee rr II Ge
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3398 G. Zz X V-. T qa f e[l. Verhältniſſe zwiſchen Frikzion und Druck nach Coulomb. Rach vorherge- 2 gangener Be- Im Anfange der p wegung. Bewegutig. 41, 3 vb<= Reibende Körper.== S S 2 2 |» SI SS S Ie AES Es(125 2 j* |= 2.|= =| j.jSiels S|= >>|= 32 M 52 es Ie SIS|S|SISIS(S|S|S|S/S E GENE SIGG EGhh SIE Eichen auf Eichen> 36 /EX u Es|- EEE Tannen auf Tannen| 5 3 Ulmen auf Ulmen DIES EE II Eichen auf Tannen[z3 2 Steineichen aufGuajac 8: Z5 8. EE Steineichen auf Ulmen 1535| 135 Buchsbaum a. Guajach|53|[53.. Buchsbaum auf illmeng 1135| 1|>> Eiſen auf Eiſen We! EE> Kupfer auf Eiſen-(5| x[5. EI ZS z5h2)| 7 EASE I 2540 4045 AIN SST ICH WUM 1823 zt) HEGE Ee SE EE u Ain 923 KI PE 02100 193 EI Kupfer auf Eichen SEE EI 2 Kea-»*
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D= tes Talg Trocken mit kreuzenden Faſern
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Vielfaches derjenigen Zahlen, welche bei dem Falle der Körper vorkommen,
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--“ 41,=> 9. ft, DC 1.,m, DE = 43.= 10, ft. D= Gs in. EpderBT. z= -.. 57,== 11, fi. Bt== 1) 1. m.(Bt= 1)
Nachricht an den Buchbinder, Die Kupfertafel wird am Ende des Buchs ſo änge> bunden, daß ſolche ganz ausgeſchlagen werden kann.
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I, A, Eytelweins Aufgaben zur Uebung der Analyſis,
gr. 8. Berlin, bey Friedrich Maurer, 1793. bey Entfernungs des Druckorts eingeſchlichen,
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- Su] bdOh-1u ad ian een LAD TZS LCTE UN DE Zz|> CIE<<=-|
144 2 I7a22b EE IE URZEITEN IE m R ZSCE I CD I 288 Hiernach iſi die folgende Rechnung zu verbeſſern, -- 39=" 24. Und Seite 40 Zeile 12, iſt ſtatt der daſelbſt geführ-?
ten Rechnung, folgendes zu ſeen? Dieſe Kraft N preßt ferner den Haken bei A, nach der Richtung
I
;>.D 2. ALE, mit einer Kraft= ER N, Ut, den Hafen bei B, nach entgegen? “Db geſeßter Richtungs/ mit einer Kraft==- N5(St. 8. 133.) und 542; bmr man erhält das Moment dieſer Preſſungen bei A<=---P Col. 25 24
neb and bei B=-- P Coſ, 2.
Nach den Bedingungen der Aufgabe ſollen nun dieſe fünf Mo- mente, mit dem Mum FG.M im Gleichgewicht ſein, es iſt daher: HP: SINO== x mi BP. Sin, O+5 ne P Sin. Q.-r 5 2.02P'Col,2
Dx.E b
eb + 222 BP Co. 0+ ZP Col 2.
BHO KS pi8n, Oder alles mit=> multiplizirt und geordnet?
Gab= 3amr= 3208) Sin, 0=(4ane+ 3bmt-+h3bng) Coſ. 2, folglich(CG. 8. 232. "ate(42 Le 502-+ 3-bmr
Hieraus findet man im 45 SA BBEG(42 3-36)- 3 38m, 2 777741== mr== D2,)
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(4. 16. 12, 3.9.12)-|- 3.9,12.2
A 34 9 112 1) Zeile 10, ſtatt x? leſe man 32 = 1, 82=== 32
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= 20. muß hinter% ein Punkt fein, --- 4. hinter 25 ein Komma.
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