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der

S W

Die
allgemeine Umkehrung der Reihen
neb ſt
Anwendung derſelben
auf die
vollſtändige Löſung numeriſcher Gleichungen.
Von Ferdi d K mathematiſches Seminar Univerſität Gießen 3 a (4 — Z. &— Gießen.
Sſ e e n
(Geyer's Kniverfttäts-Buchhandlung.)
1 8 5 0.

Druck der Univ.⸗Buchdruckerei von G. D. Brühl I. in Gießen.
—

Seinem
nnhe
dem
Herrn Franz Koska,
Hauptmann in der K. K öſterreichiſchen Artillerie
widmet dieſe Abhandlung als ein Zeichen ſeiner Verehrung
Ferdinand Berz,
Rittmeiſter in der Gr. Heſſ. Gendarmerie.

auf
me
ol

Porliegende Abhandlung bezweckt zunächſt die vollſtändige Loſung numeriſcher Gleichungen, baſirt auf die Umkehrung der Reihen, welchem Gegenſtande von Seiten der Mathematiker vielleicht nicht die Auf⸗
merkſamkeit geſchenkt wurde, die er verdienen möchte.
Der Natur der Sache gemäß geht der wirklichen Löſung der Gleichungen die Umkehrung der Reihen
voraus und dieſelbe dürfte wohl in ihrer allgemeinſten Geſtalt dargeſtellt ſein.
Da ſich durch die Umkehrung nur die reellen Wurzeln einer gegebenen Gleichung unmittelbar beſtimmen laſſen, die Löſung einer Gleichung aber unvollſtändig bleibt, wenn man nicht auch die imaginären Wurzeln kennt, ſo fand ich in der Bildung der Gleichungen der Produkte und Summen der Wurzeln der gegebenen Gleichung ein Mittel auch dieſe zu beſtimmen, — ein Mittel, das wegen ſeiner Allgemeinheit auch zugleich
die Beſtimmung der reellen Wurzeln der gegebenen Gleichung geſtattet.
In den vorliegenden Unterſuchungen glaube ich die Löſung numeriſcher Gleichungen, bis einſchließlich des ſechſten Grades, vollſtändig behandelt zu haben, und es dürfte wohl daraus zur Genüge hervorgehen,
wie man bei der Löſung der Gleichungen höherer Grade zu verfahren habe.
Ich übergebe dieſe Abhandlung dem ſachverſtändigen Publikum alé einen Beitrag zur Löſung der Gleichungen, wünſchend, daß dieſelbe keine ungünſtige Aufnahme finden möge.
Gießen, im Juni 1850.
Der Verfaſſer.

b

Entwichelung
des
—*
n u m 5
von der Form:
F B C DF In
1. Es ſei geſtattet die Entwickelung dieſes Polynomiums, auf welche ſich die Umkehrung der Reihen gründet, als bekannt nachſtehend vorauszuſchicken.
In den meiſten Lehrbüchern der Mathematik findet man die Entwickelung deſſelben auf nur wenige Glieder ausgedehnt; die Beſtimmung einer größeren Anzahl von Gliedern, zugleich nach den binomiſchen Entwickelungen geordnet, möchte zur beſſeren Erkenntniß des Fortſchreitens der Glieder wohl etwas beitragen.
—

7 = A + Bx + CR* † DR + En Fx* 6
Vr = An B Xn An—F X†n Ar— G 25 FnAB nA.2B0 4 nAr2. ſ2BD nAe. 2 BE nA2.2BF nz 2 3 3 S G 2 CD 6 + nAn B 3B0 +nzAn3. 3 BE 3BC ſ BCD 8 n B 6 † n An—. 44B*D 4n 6B0 +nz An5 5 B4 C Fnz ne B* †n Anm. Die in obiger Entwickelung vorkommenden Faktoren n, m, n, ſind Binomialcoefficienten; es iſt daher allgemein: — n(n 1) (n ( + 2) (n — m + 1) m Fn

.P
+ G* + H pJR † Kx † Lx +. + nB + nAn—2.] + 2 B G + nAn—2., 4 2 BH + 2 C G + 2DE † 2 DF †+ E* † nAn + 3 B*F †nAn./ + 3 B* G † 6B CE + 6 BCF † 3BD + 6BDE + 3 CD + 3 C* E + 3 C D* F nAn. + 4B* E FnAn—4. + 4 B* F † 1BCD + 1WB*CE + 6 B*D? + 4 BC* 5 E 5 B* D †nzAns., +† 5 B* E † 10 B*C* + 20 BCD + 10B* C* + ne Ar—6 6 B*C † nAn6. + 6BD 15 B C* + n A— B* + n An— 7 B C + B*
naAn—2
+ n An4.
+ nSAn—5.
+ nAn7.
.
+ n 5 An—9
N X* +†n An1 K,
+ 2 BJ † 2CH + 2D 6G + 2 EF
4 nA4 3Bf
+ 6 B CG + 6BDF † 3BE* + 3 C*F † 6CDE
+ D
+ 4 B*G + 12B CF + 12BDE
+ 12BCE 12BCD*
+ 4 CD + 5 B F
4 20B CE + 10B* D + 30BC D
5 B C*
+ 6 B* E † 30B CD
+ 20B* C*
* 7 B*D + 21B* C*
8B“C
B*
Rn An—1 L.
+nz An—2, + nz An—
n⸗
+ n An—4.
+ nz A 5
n⸗ An—6
+ n A
+ n, An—
†no A0.
4 2 BK 6 + WDH + 2 E G + F
+ 3 B*J + 6 B CMH + 6 BD6G 6 BEF + 3 C* G †6CDF + 3 C E + 3 D* E
+ 4B H + 12BCG + 12 B*DF †6 B*E + 12 BCF † 24BCDE +† 4 BD*
4 4 C5 E
+ 6 C*D* 5 B 6G † 20B* CF + 20 BDE † 30B*CE † 30BCD* — ,
+ 6 B“F
† 30 BCE + 15 B D² 460 BCD + 15 B* C* + 7 Be FE
+ 42 BCD + 35 B* C* + 8B“D + 28 B' C*
9 B* C B1o
—
5 3 6 3 3 3 2

Umkehrung
des
—
P u n 5
von der Form:
In —= AyP By CyP P
2. Die praktiſche Brauchbarkeit des zu entwickelnden Umkehrungsgeſetzes hängt ab von einer detaillirten Darſtellung und verſchwindet ganz bei einer combinatoriſchen. Sie hängt aber auch ab von einer ſchnellen Convergenz der entwickelten Glieder, und wo letztere fehlt, kann ohnehin von einer Anwendung des Umkehrungsgeſetzes bei numeriſchen Beſtimmungen keine Rede ſein. So umſtändlich daher auch die detaillirte Darſtellung ſein mag, ſo iſt ſie doch der combinatoriſchen vorzu⸗ ziehen, umſomehr, da man bei einer ſchnellen Convergenz der Glieder mit der Anwendung weniger ſchon ausreicht.
Des nothwendigen Zuſammenhanges wegen ſoll das, was zu dem Verfahren der Umkehrung gehört, erwähnt, die Um⸗ kehrung ſelbſt aber detaillirt dargeſtellt werden. Wird dabei die Grenze der praktiſchen Brauchbarkeit überſchritten, ſo möge dieß in der Schwierigkeit, dieſe Grenze zu ziehen, ſeine Entſchuldigung finden.
3. Soll die Darſtellung einer veränderlichen Größe xn, ausgedrückt durch auf einanderfolgende Potenzen einer andern veränderlichen Größe Jy, deren Erponenten in einer arithmetiſchen Progreſſion fortſchreiten, umgekehrt werden, ſoll man näm⸗ lich dieſe veränderliche Größe J durch aufeinanderfolgende Potenzen jener veränderlichen Größe un ausdrücken, ſo kann dieß bekanntlich geſchehen, wenn man y gleich einer hypothetiſchen Reihe mit unbeſtimmten Coefficienten in Potenzen von xn ſetzt, deren Erponenten daſſelbe Bildungsgeſetz beobachten, wie die der gegebenen Reihe, nämlich auf folgende Art:
Hat man obige Gleichung und will y durch Xn ausdrücken, ſo muß dieſe Umkehrung für jeden Werth der Coefficienten
A, B, C, D „guültig ſein; man erhält aber für B, C, D. 0 n und hieraus ax, D ſo daß daher der veränderliche Faktor des erſten Gliedes der hypothetiſchen Reihe wird. Behält man nun weiter zwar für B ſeinen Werth bei, ſetzt aber C, D, . . . = 0, ſo hat man
xn = Ayb + ByP. Da nun der veränderliche Faktor des zweiten Gliedes der gegebenen Reihe, yPd, aus dem veränderlichen Faktor des erſten Gliedes gebildet wird, wenn man erſteren mit yd multiplizirt, aus
N —— XP L aber folgt: 74 — xP,

5
6 M ſo muß auch der veränderliche Faktor des erſten Gliedes der hypothetiſchen Reihe, XP, mit XP multiplizirt werden, um den veränderlichen Faktor des zweiten Gliedes zu erhalten, wenn die hypothetiſche Reihe nach dem Geſetz der urſprünglichen Reihe gebildet werden ſoll. Daher ergiebt ſich das zweite Glied der hypothetiſchen Reihe gleich
n (4 1) b
n (20 4 1) Auf demſelben Wege erhält man als drittes Glied der hypothetiſchen Reihe: cev P n (34 4 1)
als viertes: dX P Unter der Vorausſetzung alſo, daß
ngU n440
A. Hieraus ergiebt ſich, wenn man auf die Bedeutung der Coefficienten a, b, e, d . . . . keine Rückſicht nimmt ur n(q†r) n(2 +r) n(34 †r) bei welcher Darſtellung nun die Coefficienten a, b, c, d. .. noch zu beſtimmen ſind, was auf folgende Art zu geſchehen pflegt:
Man ſubſtituirt die urſprüngliche Reihe in die hypothetiſche für n, bringt die Gleichung auf 0, ſo ergeben ſich, nach⸗ dem man die urſprüngliche Reihe auf die verſchiedenen Potenzen der hypothetiſchen Glieder erhoben hat, aus der Summe der Glieder eines jeden Coefficienten = 0 geſetzt, die Coefficienten der hypothetiſchen Reihe a, b, c, d . . .
Man hat demgemäß:
r P
yr [Ayp ByP4 — Dyp Ts4
20 +r B CD
+.
5. Die Auflöſung dieſer Potenzen, mit Hülfe des (1.) entwickelten Polynomiums, enthält 7.). Aus ihr ergeben ſich die Gleichungen:
1 D . P r— 2 p q+r— p 20 +r 6†] P2 P
u. ſ. w. Die Beſtimmung der Coefficienten a, P, e, d. . aus dieſen Gleichungen enthält (8.)

6. Das Geſetz des Fortſchreitens derſelben ergiebt ſich, bis auf die Bildung derjenigen Faktoren der einzelnen Glieder, welche aus den gegebenen Coefficienten B, C, D, E gebildet ſind, und welche wir zuſammengeſetzte Faktoren nennen wollen, leicht; aber auch das Bil⸗ dungsgeſetz dieſer zuſammengeſetzten Faktoren iſt nicht ſchwer einzuſehen ſo iſt: . und ergiebt ſich aus den Entwickelungen des Polynomiums (1.) nur erſcheinen die einzelnen Glieder in dieſer Entwickelung gruppenweiſe in 2 . vertikaler Richtung, wie ſie bei der Umkehrung in horizontaler vorkommen. k 4 F
Daher laſſen ſich die aus den gegebenen Coefficienten zuſammenge⸗ P ſetzten Faktoren auch aus den bereits entwickelten Faktoren ſämmtlicher vorhergehenden Coefficienten ableiten.
Es iſt nämlich der zuſammengeſetzte Faktor des mten Gliedes des sten Coefficienten gleich dem zuſammengeſetzten Faktor
des (m — 1)ten Gliedes des (S— 1)ten Coefficienten, multiplizirt mit B + dem„ (m — 1)ten „ „ G— Wten „G + „ „ (m — 1ten en „D + + „ „ (m — 1)ten „ „ G— hten .
7. Es ſei:
n(ꝗfr) +r
n(2ꝗPr)
4
dX B =
† n(4q†r) 6 P
—
—

b n(q) n(20 r) n(3 †r) n(44.41) 5 S r S — 3 — r— 2p 6 r— 3p r— 3 p Ty 3Bc 3 r— 4 p 5 b B Ltr-p Lr—P . 4r— — B.4 S 6 P qFr— 2 p qr— 2 p B . [LE 0 P 2 qEr— 3 p TLA 3 S W 244r—P +c. A P Fo 4 B 6 P 2 9 2r— 2p +e I4 B 1 aur — — 40r

+ Cyb† 24 + Dyb + Pyp4
S. Es ſei: Xn = AyP + ByP† 1E 1 6 Zc ſo iſt: an b + dz b + ex P + fx P —+ g P + hx P + ix P + kX P + Ix P + . Fortſetzung des Coefficienten 1i: P= „ „ k: PaPr 2p 20r 2 2 P P 2 pL3Lr 2 p L34Er 3p 30Er r r p†3+r r +3 2r p pr p —+ 9 4 † 2c. A 3 pgEr 6 46 2 44Lr pr 6 4 6 † . e F aßbc A 3 B0. 4 ,, r petr 2pese r 2hsr 3e 1 F — — ſaBEC]. 4 * 5 [2BE2CD). A 5 2 5 [3 BD† 0. A 3 460. A 3 . 4 . 3 L6gEr 3 2p 60r 3p†60+r 4p6gr r r 6 r 60+r 2p+6 — — 6 2+6 3 +6 2p+6+r 3p-†6+r 4p†6+r S6 encn. A 5 e rtect 3B E6BCD†C. A S. . [iBD6BrCe. A ES czc S Pte —— r p 2 Frq†r 2p7e 3p7 c 4 2p 3he e „ p e lB6cxph. 4 2 .IBrh. †sce] A —Er 2p8ar 3 80r S r pSPr 8. 2p8+r 8 2 3 2pstr 3p4 JA 2BIC6. †Ee. A e ſat.6cncr. Fscpn. A p IBV 404 — — 2 5 — — —. KA v PE BH E v 2 po 2 3 † eßecr c6.. D. 4 pL1or 2oar 3p100r 1piOꝗr t nacrt lnnt 0b
Anm. Die in den zuſammengeſetzten Faktoren zur Erſparung des Raumes auͤsgelaſſenen und durch Punkte bezeichneten Glieder ſind in (1.) gruppenweiſe in vertikaler Richtung enthalten und können, da die Endglieder hier angegeben ſind, daſelbſt leicht entnommen werden.

— 8pr
5B“6 +. + C1. A 8
3 p 2pe 3 4ee 6 7eer 8 4 y 5 8pPOEr Pe 2pee 3e ee öe 6 B⸗ † 2pee 3ee ee 6 7e er — i 8B 0. A P* 2 3 4 5 6 5. 8 5 5 T 6 3 4 . ———. . B A k 5 6 7 8 9 op 104r pC1Oꝗr 4p†10-†r 5pFOPr Se 7p1Ogr Is3 PsB 0. A „ PFO†r 3pF1Og†r 4p†10†r 5p†10+†r 6pF10ꝗ†r 7+10g†r 8p†10g+r 9B0 PF1Oq†r 9pF10qfr P 2 3 4 5 6 7 8 p 2 3 4 5 6 7 5 5 F 75 pöEr B 5 36 at 5 6 7 2 3 4 — SpAEr 7 p†7†r Pßepoßc. A n t e 2 3 7 5 . B 4 5 6 p 2 5 4 3 6 7 S 7p 80r „ 5BE† + 10 B C]. A P p-Fq†r 2p†8q+r 3p†8q†r 1pTsq†r 5p†S†r [6B D +15B02] 4A p pS†r 2p†Sq†r 3pFSq†r 4p†q+r 5p-†Sq†r 6p†S+r 2 3 4 5 6 5 S p 2 3 4 7B —t pCoctr 2p.ot 3p.og4b.otr 3bor ptotr 2e 3l.49 BB. BC. A „ bt P ee Pßc P 2 3 4 5 6 7 5pL10Lr 6p.104br pqr 2p10gr 310gr p10tr 30r eße eee 3Pgt 4peodetr peoge pe0 —t — 5 — [6BeF†. †15B*C. A 2 2 S ſs'p35Bc. A

10
Umnkehrung des von der Form:
5 5 —+ Cye + Dyi + Eye —+ ..
9. E⸗ möchte nicht ohne Intereſſe ſein, die jenſeits unter (S.) entwickelte Umkehrungsformel noch in allgemeinerer Geſtalt darzuſtellen. Es kann ſich nämlich der Fall ereignen, daß, um das arithmetiſche Geſetz der Erponenten in die gege⸗ bene Reihe zu bringen, mehrere der Coefficienten gleich Null geſetzt werden müſſen, und daß alſo alle mit ſolchen Faktoren behaftete Glieder der Entwickelung wegfallen. Daher wäre es intereſſant, eine Umkehrung zu kennen, die ſich auf die oben gegebene Gleichung gründete, weil in derſelben kein Geſetz der Erponenten ausgedrückt und man daher bei ihr nicht genöthigt iſt, Coefficienten gleich Null anzunehmen.
Die Umkehrung für dieſe Reihe läßt ſich aber aus dem Umkehrungsgeſetz (S.) folgendermaßen ableiten:
10. Man überzeugt ſich, bei Betrachtung deſſelben leicht, daß die Zahl der entwickelten Glieder durchaus nicht abhängig iſt von den Erponenten der veränderlichen Größe J, ſondern bloß von der Eriſtenz der Coefficienten A, B, C, D. . . . . daß alſo, die Erponenten der veränderlichen Größe y mögen ſein, welche ſie wollen, bei der Umkehrung immer dieſelbe Anzahl Glieder in den Verbindungen von B, C, D. . . . zum Vorſchein kommt.
Denkt man ſich nun in der Umkehrungsformel die Summanden der Coeffienten a, b, c, d... mit ihren zugehörigen Potenzen von X wirklich multiplicirt, ſo findet man eine große Verwandtſchaft zwiſchen den Exponenten von A und den Erponenten der damit multiplicirten Potenzen von xn. Es ergiebt ſich nämlich, daß die Erponenten von N, abge⸗ ſehen von p, welches in denſelben als Summand des Zählers überall fehlt, denen von A ganz gleich und zwar poſitiv ſind,
während die Erponenten von A negative Zeichen haben. Wären daher letztere aus anderen Gründen bekannt, ſo könnten erſtere daraus abgeleitet werden.
11. Der Erponent von A in dem erſten Gliede jedes entwickelten Coefficienten b, c, d. . .. ergiebt ſich aber aus dem
Erponenten von des homologen Gliedes der urſprünglichen Reihe, und zwar indem man zu demſelben r addirt, dieſe Summe durch p dividirt und das Zeichen —
So ſ B der S n von y des mit dem gſ E behafteten während der Exponent von A in dem erſten Gliede des Gliedes der urſprünglichen Reihe: Coefficienten e P 4
P iſt. Auf dieſe Weiſe laſſen ſich die Erponenten von A der erſten Glieder aller entwickelten Coefficienten b, c, d, e... aus
den Gliedern der urſprünglichen Reihe ableiten, und aus den Exrponenten von A in den erſten Gliedern ergeben ſich die S nenten von A in allen übrigen Gliedern.
12. Wie wir bereits geſehen haben, ſind die Verbindungen der Coefficienten B, C, D, E.. der urſprünglichen Reihe in der Umkehrung conſtant und können leicht entwickelt und nach Belieben fortgeſetzt werden.

11
Weiß man nun z. B., daß in irgend einem Gliede der Entwickelung etwa eine Verbindung B* C⸗ vorkommt, ſo ergiebt ſich der Erponent des zugehörigen Faktors A aus dem erſten Gliede des Coefficienten b und dem erſten Gliede des Coeffi⸗ cienten c, wenn man dort bei b den Erponenten von A mit dem Erponenten von B, nämlich mit 3, hier bei c mit dem Erponenten von C, nämlich mit 2, multiplicirt, von dieſer Multiplication aber r ausſchließt, alsdann beide Produkte addirt und dieſer Summe wieder r hinzufügt. Man erhält auf dieſe Art, daß dem Gliede in B' Ce der Faktor
n E +n A P „ und mithin weiter der Faktor x P entſprechen.
Auf dieſelbe Weiſe ergiebt ſich, etwa für die Verbindung B⸗D, der Erponent des zugehörigen Faktors A aus dem erſten Gliede des Coefficienten b und dem erſten Gliede des Coefſicienten d, wenn man dort bei b den Erponenten von A mit dem Erponenten von B, nämlich mit 4, hier bei d mit dem Erponenten von D, nämlich mit 1, multiplicirt, von dieſer Multiplication aber r ausſchließt, alsdann beide Produkte addirt, und dieſer Summe wieder r hinzufügt. Man erhält auf
n(4 + N
dieſe Art, daß dem Gliede in B“D der Faktor A P „ und mithin weiter der Faktor x P entſprechen.
18. Wenden wir dieſes Verfahren bei der Umkehrung obiger Reihe an, ſo finden wir, daß wir als erſte Glieder z. B. der Coefficienten b c d [Dieſe Buchſtaben hier in der Bedeutung (8.) genommen.] folgende Größen — — BA à — — ſien
3b +2e Gr 3 b + 2c+r— 5a und daß der Verbindung B*C2 der Faktor: A a, und mithin weiter der Faktor: x 3 der Verbindung 4bCd†r 4bCd-tr— 5½
B⸗D aber der Faktor: A a„ und mithin weiter der Faktor: X 2 entſprechen.
11. Das Bildungsgeſetz der Coefficienten ergiebt ſich hauptſächlich aus den Erponenten der zugehörigen A. Nennen wir die Glieder der entwickelten Coefficienten G.), in welchen die Summe der Erponenten der urſprünglichen Coefficienten B, C, D, E.. gleich 1 iſt „erſte Glieder der Entwickelung“, in welchen ſie gleich 2 iſt, „zweite Glieder der Entwickelung“, .. in welchen ſie gleich N iſt, „Nte Glieder der Entwickelung“; ſo finden wir, es beſteht der Coefficient jedes Nten Gliedes aus N Fakto⸗
ren, von denen der erſte = der letzte um p kleiner als der Zähler des Erponenten von dem zugehörigen Faktor A, und
jeder vorhergehende der übrigen N— 2 Faktoren um p kleiner iſt, als der folgende, das Produkt ſämmtlicher Faktoren dividirt durch das Produkt 2. 3.4... N. Zu bemerken iſt noch, daß wenn N eine gerade Zahl bedeutet, das bezügliche Glied poſitiv, wenn N aber eine ungerade Zahl ausdrückt, das bezügliche Glied negativ iſt.
15. Wenden wir dieſes wieder auf die Umkehrung der oben angeführten Reihe an; ſo erhalten wir als vollſtändiges Glied für die Verbindungen B⸗D und B'C*: 4b +4 4 i
4 a à 6 5 6 5BD. A
3b + 2c+r 3 b+ 2c-†r— 5a 2. 10B C2 4 2 2
r 3b-P2eEr— 42 3bt2epr3 3bF2epr— 2 3 b + 20 +r— 2 3 6 5
während (S.) liefert:
p+7ꝗ—+r 2p+ 7 —r E 4 p + 7 —+r F 2 3 4 5 5
n (7†r) I5B D + 10BC. A P
Die Umkehrung obiger Reihe enthält (16.), bei welcher nur eine Verſetzung der Faktoren in der Weiſe angeordnet iſt, daß der Zähler des letzten Faktors die zweite Faktoren⸗Stelle, der Zähler des vorletzten Faktors die dritte Faktoren⸗Stelle u. ſ. w. einnimmt.

16.
Es ſei: ſo iſt:
— A B 0 D
= 8 b+†r — * a e+r c+r— a 2 4 2 b +r 2 b+†r— 2 a T a 2 a a S CA x BA 4 +r d +†r— a p b+e +r b +e+r— 2 a 3 4 35 4 3 b +r— 3 a r 6 T +c+r— a a a 3 3 a a e+r e +r— * b CLLr— 2 a 2b PePr 2 b Ler— 3a 15 2 6 4 b +r 4 b †r— 4 * r 8 r— a 6 6 c+†r— a b+c+r— 2 a 3 5 r — a r— 2 a +r— 3 a 5 X 2BDA 3B 0 A 8 5 . 2cGr 2c +r— 2 a 2 — F S 5 Fr f +r— a p b †e+†r bBe + r— 2 a i 1 4 2 b + d+r 2 b +†d +r— 3 a 3 4 3 2 3] 3 3 b +c+†r 3 b +c+r— 4 a r * +e+†r— a 5 S 2 b +r— a 2b+†d+†r— 2 a . ₰ 5 6 — b+c+r— a c+r— 2 a b+c+r— 3 a S F X „ 2B EA . 3 3B DA 5 . 5 4 46B CA S * c+ d +r— 2 a b+2c+r— 3 a 5 b r 5 b +r— 5 a * * 5 3 * 5 à 2 a 2 3 a* 2 3 4 5 2 b te—r 2 b Ge+†r— 3 a 51 44 3 4 p 1 . 3 b +d+r 3 b +† d†r— 4 a r r b+†f-†r— a 5 5 — 2P†e+†r— a 2b+e+r— 2 a 3 4. à + r— a +d+r— 2 a 3b†d+†r— 3 * 5 6 6 X § 2B E 5 „ 3B E A 2 3 6 8 T 4BD A S c + e+ r— 2 a 4 b +†e+ d+r— 3 a 5 5 2 2b† 2c+r— 4 a 5 . a* 2 à* 2 3 B 2 3 4 4 2d +r 2d+ r— 2 a 8e 36 3 +r 3 c+r— 3 a 4 6 3 4 b +†e+r 4 b +e+r— 5 a r 2d+r— a 5 c+r— a c+r— 2 a 3 6 r b+c+r— a b.pc r— 2 à +c+r— 3 a b+c+r— 4 a S 6 5 2 5 C 6 . 3 6 . 5 5B CA 6 b +r 6 b +r— 6 a r 6P†r— a 6b†r— 2 a 6b+r— 3a 6 b†r— 4 a 6 b+†r— 5 a . . 2 ——— B A à 2 3 4 5 6 h†r h†r— a 1 b +g +r — 2 a 5 47 21 44 2 b +† f+r 2 b + f+†r— 3 a 1 1 3 b +e+r 3 b +e—r— 4 a r 8 5 + +r— a A S . 5 r 2 b +r— a 2 b r— 2 a à a r 3b†er— a 3be+r— 2 a 3b+e+r— 3 a 4 a 6 2B64 5 2 5 3B F A 5 3 3 5 „4B E A e+†f+r — 2 a t b+e†e+r b+c+e+†r— 3 a 2 b + e 4 pr 2 b+e+†d+r— 4 r— — — † — à 2 — 2, — S c+f+†r— a 20PA 7 S b+c+e+r— a b+c+e+r a 630CEA 5 * 2 2b†c†d+r * b+†c+ d+r à 2P†cd+r— 3a 128 CPA 6 a* 2 a* 2 3 a* 2 3 4 d +e+r d +e+r— 2 a b+ 2d +r b † 2d†r— 3 à c r * r bdr bed * r P†3c+r— a P†3c+†r— 2 a P†3c+†r— 3a . 2edPr 2c+d tr— 3 a * 2c+d+†r— a 2c+d+r— 2 a 30DA 6 3 5 à* 2 3 41bGLr— 5 2 5 b +e +r 5 b +e+r— 6 a 4„ * 5 P†c+†r— 5 a 66 0C 4 a F 3 4 5 a* 2 3 4 5 6 . 3 b + 2c +ir 3 b 2 c+ r— 5 a 7 b +r 7 b + r—7 a 2 5 7 b + r— 5 7 b+†r— 6 a 8 6 5 8 7 à5 3 3 4 5 37 3 3 . 5 — 7 5 S i+r 1+r — a JA * * + ..

Umkehrung
des
—*
u m 5
von der Form:
1 = Ay + By? + Cy + Dy + Ey“ + . . .
17. Setzen wir in der allgemeinen Umkehrungsformel
(8.) oder (16.)
— T = 1
n= 1 —
q= 1 c = 3
E 4 E 4 e= 5 ſ üi
ſo ergiebt ſich das Geſetz für die Umkehrung obiger Reihe nach der Darſtellung (18.). Die Beſtimmung der erſten 11 Glie⸗ der dieſer Umkehrung enthält (19.).
r— 4½

14 18. 1 4 B C D Eys Fye + Gy + Hy“ M + Kyno 2 Ly + 6 d R —1 a A 55 85 6 — —8 —9 — — 8 ℳ — — 10. A ſ3BF † 30b] † 1.11. A* ſaBE. †4BC* — d .1 4 — 12 — 13 5 — 14 15 2 — ſ X* . ₰ 2 X 5.
X7 1
4 4D + 36 A B E † 72 AB CD † 12 A C — 120 AB*D — 180 A B*C + 330 AB C — 132 Bel. I; — [A H — 9 AB G
990 A B C — 1287 AB*C + 429 B“]. — [A'J — 10 Ae BH — 10 A C6 — 10 ADF — 5 A F + 55 AB6 + 110 A BCF 2860 A BCD + 1430 A B* C* — 2002 AB*D — 5005 A B C2 + 5005 A B“ C — 1430 B]. . A B) — 11 A C H
286 A B 6 — 858 A B C F — 858 AB*D E — 858 A B C*E — 858 A B C D? — 286 A CeD + 1001 A B“ F † 4004 A“ B' CE
10 19448 AB0 + 4862 B]. 8 — [A1. —12A BK — 12A CT — 12A*D H— 12A E 6 — 6 A F 78 A B*J † 156 A B CR
546 4 BF — 1092 4 B C*F — 2184 ABCD E — 364 ABD — 364 A CE — 546 A Crh † 1365 A B“6 † 5460 ABCF
43680 A.B C⸗D — 10920 ABC. † 12376 A B'F † 74256 A B'CD † 61880 AB·C — 31824 A BD — 111384 A B' C* † 75582 AB*C
Anm.
Die in den zuſammengeſetzten Faktoren (18.) zur Erſparung des Raumes ausgelaſſenen, und durch Punkte bezeichneten, Glieder ſind in (1.)
——
ßz
ß
—94
110
7 Ve
†65
— 16

15
Fortſetzung des Coefficienten K: — 3 186 34 B*
0 — 21 „
ss0 5 — 14 5 15 usb + oB c +3 A6B se oßece †.. 5 pC 1 — 16 5 F 6 3 p 1 17 — 18 ſer c lsB oßB itc — 17 — 18 — 19 3 s †. o e. a. Ie 1Bz Be B C+ 3.18 A ſsB*D 28B*07] 5 3 — X* 6 S ² . „c BP B ß 0 s B*0 † 428 —— [A6—8NBpsMch (36 aoy— Apt Aener † ocR ABP t C*D — 165 ABE — 495 AB0D — 165 AB C + 495 A BeP soynoAspE sAcE F 0Ph — 22Ar 660 A.B CE — 330 A B D — 660 A B C*D — 55 X C 715 Bh A*BC 6 + 132 A BDF + 66 A B 1 † 66 X 0 F + 132 ACDE † 22 Nb⸗ vot 2oo e 6oo ABC*P + 1001 XB C*— 3003 A B*E — 15015 W B“C D— 10010 A B0 8008 A B'D † 24024 ABC7 6 + 166 W0DF 78 N0E 78 MDeg — 361 MBHI — 1092 BC6— 1092 ABeDF 501 o460 ABDE † 8190 AbBCeE + 8190 A B*CD* + 35460 A B C* D † 273 A G — 4368 A⸗ B F — 21840 ABCE — 10920 ABeD X*
ruvpenweiſe in vertikaler Richtung enthalten und können dort, da die Endglieder hier angegeben ſind, leicht entnommen werden. in C⸗
00 4

— *
we
der de
allgemeinen Umkehrungsformel
auf die
Töſung numeriſcher Gleichungen.
I. Peſtimmung der Wurzeln im Allgemeinen
1. der reellen Wurzeln.
20. In der Darſtellung (18.) ſind die Coefficienten A, B, C, D. . . . zwar willkührlich gewählte, jedoch con⸗ ſtante und für ſich unabhängige Größen, hingegen X und y veränderliche Größen und ſowohl von einander als auch von den gegebenen Coefficienten abhängig.
Legt man aber X, ſowie den Coefficienten A, B, C, D. . . . beſtimmte Zahlenwerthe bei, ſo muß auch y einen
beſtimmten, von dieſen Größen abhängigen Zahlenwerth erhalten, und könnte mittelſt der Umkehrungsformel (19.), inſofern eine Convergenz der entwickelten Glieder ſtattfände, beſtimmt werden. Zu einer praktiſchen Beſtimmung von y wäre ſogar eine ſchnelle Convergenz nothwendig. Die Angabe, wann für die verſchiedenen Werthe der Coefficienten B, C, D, . . eine ſolche ſtattfinden muß, iſt großen Weitſchweifigkeiten unterworfen; begnügen wir uns mit einer Unterſuchung, unter welcher Vorausſetzung Convergenz ſtattfinden kann.
v bedeutet daher einen kleinen ächten Bruch, ſo iſt klar, daß auch dieſer Faktor einen dem Werthe von Null um ſo näher kommende Größe bezeichnen muß, je größer n iſt; ſo daß alsdann jedes folgende Glied einen immer mehr und mehr ſich der Null nähernden Faktor erhält. Fin⸗
Wir ſehen, es hat das nie Glied der Entwickelung den Faktor
den wir daher Mittel, ₰ ſo zu beſtimmen, daß dieſe Größe kleiner als die Einheit wird, ſo werden wir auch in den meiſten A
Fällen Convergenz und, je nach Maßgabe der Kleinheit dieſer Größe eine ſchnellere Convergenz in der Umkehrung erhalten.
21. Um die deutliche Einſicht in die Natur dieſes Gegenſtandes mehr zu erläutern, ſei es erlaubt, unſere Unterſuchung an eine geometriſche Betrachtung zu knüpfen und die Methode der Conſtruktion der Gleichungen hier einer Erörterung zu unterwerfen. Da wir aber x mun nicht mehr als veränderliche, ſondern als conſtante Größe anſehen, ſo wollen wir die Gleichung (18.) in der Geſtalt in Betracht ziehen, ſo daß wir daſelbſt — a für X, b für A, e für B x. ſchreiben.

22. Man ſubſtituire in derſelben für y nach und nach die numeriſchen Werthe . . . (m + 1), m, . 4, 3, 2, 1, 0, — 1,
m1
— 2, — 3, — 4, — m, — (m † 1), . . und bezeichne die hierdurch entſtandenen Werthe analog durch . ., 2,
— m —(m†1)
2 m r
Eine Zuſammenſtellung der ſo gefundenen Werthe von Z würde für die vorgelegte Gleichung eine Wurzeltafel bilden, welche zu dem Auffinden der Wurzeln in ähnlicher Beziehung ſteht, wie z. B. eine Tafel der Quadratzahlen zu der Operation des Quadratwurzelziehens.
23. Wählt man nun eine gerade Linie als Abſciſſenare und in ihr einen Punkt als Anfangspunkt der Coordi⸗ naten, trägt von ihm aus, rechts und links, die verſchiedenen Werthe für y in beliebigem Maßſtabe auf, errichtet in den entſprechenden Punkten ſenkrechte Ordinaten, welche man den entſprechenden Z gleich macht, und verbindet die End⸗ punkte dieſer Ordinaten mit möglichſter Beobachtung der allmäligen Krümmung durch eine ſtetige krumme Linie, ſo hat man durch dieſes Verfahren die vorgelegte Gleichung conſtruirt. Die ſo erzeugte Curve bildet einen fortlaufenden Zug, erſtreckt ſich nach beiden Richtungen ins Unendliche, bietet keine Knotenpunkte dar, und kann verſchiedene Biegungen haben. Die Zahl dieſer Biegungen kann bei einer Gleichung von dem Graden gleich und kleiner, aber nicht größer ſein als n—1. Die Entfernung der Durchſchnittspunkte dieſer Curve mit der gewählten Abſciſſenare von dem Anfangspunkte der Coordinaten giebt an, für welche Abſciſſe die zugehörige Ordinate gleich Null iſt, oder für welchen Werth von y der gegebenen Gleichung Genüge geſchieht, bezeichnet alſo jedesmal eine Wurzel der Gleichung.
2A. Da das Glied mit dem höchſten Erponenten, durch das fortgeſetzte Subſtituiren eines größeren und größeren Wer⸗ thes für y, zuletzt größer werden muß, wie die Summe aller übrigen, und da ferner dieſes Glied bei den Gleichungen eines geraden Grades, man mag y poſitiv oder negativ nehmen, immer poſitiv iſt, bei den Gleichungen eines ungeraden Grades aber poſitiv und negativ wird, je nachdem man für y einen poſitiven oder negativen Werth annimmt; ſo werden auch die Ordinaten Z bei den Gleichungen von geradem Grade zuletzt immer nach einer und derſelben Seite der Abſciſſenare, bei
den Gleichungen von ungeradem Grade aber nach entgegengeſetzten Seiten der Abſciſſenare fallen.
Hieraus folgt, daß bei der Conſtruktion der letzteren Gleichungen immer ein Durchſchnitt der Curve mit der Are ſtatt⸗ finden muß, ſowie daß bei der Conſtruktion der erſteren Gleichungen éntweder kein Durchſchnitt ſtattfindet, oder daß ſich die Durchſchnitte paarweiſe ergeben.
Daher haben die Gleichungen von ungeradem Grade mindeſtens eine reelle Wurzel, die von geradem Grade aber entwe⸗ der keine reellen Wurzeln, oder dieſelben paarweiſe.
Da aber jede Gleichung vom nten Grade auch n Wurzelwerthe geſtattet, ſo müſſen die übrigen imaginär ſein und, n mag eine gerade oder ungerade Zahl bedeuten, immer paarweiſe vorkommen.
25.
Das von y unabhängige Glied a bezeichnet immer die Ordinate des Anfangspunktes. Iſt a =0, ſo iſt auch immer ein Werth der Wurzel =0.
Iſten eine ungerade Zahl und a negativ, ſo iſt wenigſtens eine reelle Wurzel poſitiv, iſt a poſitiv, ſo iſt dieſelbe W
Iſt n eine gerade Zahl und a negativ, ſo iſt immer eine reelle Wurzel poſitiv, die andere negativ.
Iſt a negativ und folgen die poſitiven Glieder, falls ſolche vorkommen, alle unmittelbar auf das ef Gleichung immer eine reelle poſitive Wurzel.

18
26. Durch das bisher angeführte Verfahren läßt ſich die ungefähre Größe einer reellen Wurzel leicht beſtimmen, die man (auch ohne die Conſtruktion wirklich auf dem Papier auszuführen) alsbald erkennt, ſobald zwei auf einander folgende Werthe für Z entgegengeſetzte Zeichen erhalten.
Will man ſich dem Wurzelwerthe mehr nähern, ſo kann folgendes Verfahren eingeſchlagen werden.
Es ſei: A10 die Abſciſſenare, „ ihr Anfangspunkt, XE V6N ein Theil der conſtruirten Curve, ( ihr Durchſchnittspunkt mit der Are, EN eine, Curve und Are ſchneidende, gerade Linie, D ihr Durchſchnittspuukt mit der Are, BF = 7, die Oidinate für die Abſeiſſe 4Bm, m†1 F CE = Z, die Ordinate für die Abſciſſe AC= m—+1, alſo B — Ferner ſei: „6=y, ſo iſt BD DC = BF CP m m+1 AD=u, oder 1 m m1 m D G= und t B D=t, alſ Z + 2 1) u = m —+t 3) = u
Finden wir daher noch x, ſo iſt dann auch y vollkommen beſtimmt. 4) Für 2 = 0 iſt y = m.
27. 1) Bezeichnen die gegebenen Coefficienten a, P, c, d, . . . alle oder zum Theil ſehr große Zahlen, ſo kann
man öfters die Rechnung zur Beſtimmung der Ordinaten Z ſehr abkürzen, wenn man die Wurzel y, nach bekannter Weiſe, mit einer und derſelben Größe, am bequemſten mit 10 oder einer Potenz von 10, dividirt und nur die ganzen Zahlen beibe⸗ hält, die Brüche aber oder Decimalſtellen außer Acht läßt, weil es vorerſt nur auf einen Näherungswerth der Wurzel ankommt.
2) Ebenſo kann man, wenn a, b, c, . . . „kleine Zahlen bezeichnen, zur Beſtimmung des Annäherungswerthes die
Wurzel mit einer und derſelben Größe multipliziren. Iſt nämlich die gegebene Gleichung 0 = a + by + e + d und ſetzt man
im 1. Falle im 2. Falle ſo iſt: 1 b e d
2 %0 — 10 n 3 —+ 10 (1—1) b V + 10 (1—2) C v2 + 10 m (1—3) d vs + v
de

19
28. Da es ſich bei der Beſtimmung der Abſciſſe 4 0 = u nur um einen annähernden Werth für 460 = han⸗ delt, ſo kann der Werth von B = t der Bequemlichkeit wegen ſo abgekürzt werden, daß man nur wenige Decimalſtellen beibehält.
29. Der fär u gefundene Werth iſt von dem Werthe y noch um die Größe v verſchieden (26. 3.). Setzen wir daher in der gegebenen Gleichung:
0 = a + by + cy + dy + ey —+ fys + gVe—
ſo ergiebt ſich: X 3 + dus—+ 3du* 3 q +eu —+ 4eus + 6eu* + e + fu—+ 5 fu? + 10 f u —+ 10 f u + 5 fu —+ † X* + g u + 6g u* —+ 15g u* + 20 gus + 15g u* —+ 6gu — g +hu'f + 7 hus —+ 21 hus + 35 h u —+ 35 h us + Ahu* + 7 hu —8 8i + 28 i u + 56 1 us + 70 1 u⸗ + 56 i us — 9 k us + 36 k u“ —+ 84 kus + 126 k u* —+ 126 kut + 84 kKu —+ . — 1un —+ 101 u —+ 45 1 us + 120 1 u —+ 210 1us —+ 252 1u* —+ 210 1 u“ +. .. +mu + 11 mu'* + 55 mu? + 165 mus + 330 mu* + 462mus — 462m u — +nu + 12 n ui + 66 n u** + 220 nu? —+ 495 nus —+ 792 n u“ —+ 924 nu“ +. . +o uj + 13 0 u** + 286 0 u0 — 715 0u0 + 1287 0 us + 1716 0 u* +. .. +pu + 14p us 91 p + 364 p u + 1001 pui + 2002 p us + 3003 p us +qu+ 15 u* + 105 q u* + 455 q u + 1365 qu + 3003 qu** + 5005 q u —+
30. Die Umkehrung dieſer erhaltenen Reihe, welche (aus 18.) abgeleitet werden kann, ſoll nun der Bequemlich⸗ keit wegen noch einmal, und zwar mit Berückſichtigung der möglichen verſchiedenen Vorzeichen der vier erſten Coefficienten A, B, C, D dargeſtellt werden; ſo daß man nur nöthig hat, bei negativen Vorzeichen der folgenden Coefficienten E, F, G . .. deren ungeraden Potenzen mit entgegengeſetzten Vorzeichen anzuſetzen.

20
32.
4 A* N B 24* 0 AP
nn m 1 F — B* 5 S W W NW
14 400 21 4 CD 3 AP 6 A CR A F⸗ v v v v v E0 640 2C eE AeE7e V vV v v1 Vr V v
0 = + A — Bx —+ CX † DX + EX + Fx“ + 6x + 4
5
2A* C⸗ AP In un
5 0 AE 1W IV 1V
14 4 C. 21 CD 3AD 6 ACE A p v v v V v
42 A 0 84 4 C D 28 ACD 28 A CE 7ADE 74A CF 4* 6 V v VI v v v1 v
+

21
36 0 = — A + BX + CX* + DX + EX + FX —+ GX + .. 2
D
7
1 .
n A⸗E
W V W
14 A C — 21 A CD 3 AP 6 A CE A F
v V v v v
aC S4 2CD 2CE 7AeDE7C4e vl v vI v vI vI vI
34. 0 = — A — BX + CX t DX + EX + FX + 6 + AC 2 0 4D 5 IM In 5 A“ C* 5 A C A“E
1V [V 1V
14 4 C — 21 A 0D 3 4D 64 0B AP
1 B* 3 Bs B* 4 5 Bs v V V V v 42 4 0 84 A 0 DD 28 4 CD 28 A CeE 7 A DE 74CF 4*6 vl vl v vl vl vI vI 4

22
36
5 1 B 2A*C AD IM I 5ACD AE 1V V 1V 14 A C* 1 A CD 3 A D 6 A CE A F v V V V V A0 y 28 ACD 28ACeE 74DPE 74 CF A⸗6 F F vl VI VI vV vI V VI 0 A0 B S B? I u 5 A C 5 4 CD AE 5 1V 1V 1V 14 4 C 21 CD 3AD⸗ 6 A CE A F V V V V V
42 A C — 84 A“ C* D 28 As C D* CE Bi Bꝰ 1 Bꝰ B F* VI VI VI VI VI VI
As G 6
VI
S n

23
37. 0 = — A + BX — CX + DX + EX + FX + 6GX + .. A X = —+ 1 B 6 2 63 0 III III * F IV IV IV 14 A C — 21 4 C D 3AD 6 A CE Ap v V v v v
42 As C* 84 A C* D 28 A CD 28 A C* E 2 7 Ao D E 7 As C F A G
Fiõ Fꝰ Fꝰ F F F VI VI VI VI VI VI VI 38.. 0 = — A — BX — CX*+ DX + EX + FX + 6X +. 1 B
A*C
D
1 B B*
II III
A“ E
1 B B IV IV IV
. 14 4 0 B 3 A D* E 4E
V V V V V
28 A C D* 28 As C* E 8 4PE A*6 VI VI VI VI VI VI VI
4*

24
39. Nicht immer erlangt man durch das (in 26.) angegebene Verfahren und die (nach 29.) erfolgte Umformung der gegebenen Gleichung bei der Umkehrung die zur Beſtimmung einer reellen Wurzel nothwendige ſchnelle Convergenz, vielmehr iſt man, zur Erzielung einer ſolchen, manchmal genöthigt, eine Korrektur des für u erhaltenen Werthes vorzunehmen, was auf folgende Weiſe geſchehen kann.
Aus den Umkehrungsformeln (31. bis 38.) ergiebt ſich:
— Setzt man nun u = u † F und =
ſo erhält man durch neue Subſtitution für y in die gegebene Gleichung (nach 29.) für weine convergentere Reihe als vor⸗ he
10. Es kann ſich ereignen, daß bei der (nach 22.) vorgenommenen Subſtituirung der verſchiedenen Zahlenwerthe für y die Ordinaten Z bis zu einer kleinen Größe abnehmen und alsdann wieder wachſen, ohne daß ſich für fie entgegengeſetzte Vorzeichen ergeben. In ſolchen Fällen geht eine Biegung der Curve nahe, entweder über oder unter der Abſciſſenare, weg, oder berührt dieſelbe, oder ſchneidet ſie in zwei nahe bei einander liegenden Punkten, ſo daß die zwei ſich ergebenden reellen Wurzeln wenig von einander verſchiedene Werthe haben.
In den beiden letzteren Fällen wird man zwar immer noch von der Umkehrungsformel Gebrauch machen können, weil
das von der Unbekannten unabhängige Glied, und mithin das erſte Glied der Umkehrung bis zu Null einer Verkleinerung 7
fähig iſt; es können aber auch, bis zur Erzielung eines zur Convergenz genügend kleinen Werthes von
F hierbei öfters meh⸗ 7
rere Korrekturen (nach 39.) nothwendig werden.
A1. Iſt in der gegebenen Gleichung 0 —= 3 b der abſolute Werth von a — P= c . . . ſo kann meiſtens die Größe u, ohne Anwendung des Verfahrens (26.) und bei großer Ungleichheit dieſer Coefficienten ſelbſt y mittelſt einer der Umkehrungsformeln (31. bis 38.) leicht beſtimmt werden.
42. Bei der Anwendung dieſer Umkehrungsformeln wird man ſich am bequemſten der Logarithmen bedienen, aber beſſer thun, das erſte Glied F durch wirkliche Diviſion zu berechnen, weil man dadurch in den Stand geſetzt iſt, die Größe X
genauer zu beſtimmen, als es ſonſt die Grenze der Tafeln zuläßt.
2. der imaginären Wurzeln.
13. Wir haben die Operationen zur Beſtimmung einer reellen Wurzel der gegebenen Gleichung 0 = a + bPy + cy? + dy + ey + . . damit begonnen, daß wir numeriſche Werthe für y nach und nach ſubſtituirten, um zwei entgegengeſetzte Werthe, + Z und
S* zu erhalten, aber bereits (40.) angegeben, wie ſelbſt bei dem Vorhandenſein reeller Wurzeln, für den Fall nämlich, daß ſolche nahe bei einander liegen, nicht immer entgegengeſetzte Z durch dieſes Verfahren erhalten werden.
Da man aus einer gegebenen Gleichung nicht immer ſogleich zu beurtheilen im Stande iſt, welcher von den drei (in 40.) erwähnten Fällen ſtattfindet, ſo wird es ſchon ſelbſt bei dem Daſein reeller Wurzeln wünſchenswerth, für den Fall aber, daß keine vorhanden ſind, nothwendig, ein Verfahren zu kennen, nach welchem alle Wurzeln, reelle und imaginäre, auf eine und dieſelbe Weiſe beſtimmt werden können. Dieſes Verfahren beſteht in Folgendem:
im
d

25
11. Es ſei die gegebene Gleichung 0 = a + b + cy + dy + ey + fy + + Man ſetze dafür: 0 = (A + By + Cy + Dy + —+ Vr2) (A + By —+ y'*)
a = 4A
b = PA + 4B CA + P B + 4 ſo ergeben ſich hieraus: „ d = PA + CB + B
e = A + B —+ C — B + N ſ n Gleichungen mit n unbekannten Größen, wodurch die Unbekannten 4, B, 0, D, . . . . A, B durch die Bekannten eig beſmnt ſinh Für eine gegebene Gleichung von dem Grade n gelangt man auf dieſe Weiſe auf Gleichungen von dem Grade
da aber die Größen 4A, B, 0, D. . . . A, B immer reelle Größen ſind, ſo müſſen dieſe hervorgebrachten Gleichungen auch immer reelle Wurzeln haben und daher das Umkehrungsverfahren auf ſie Anwendung finden.
A5. Zur Beſtimmung der imaginären Wurzeln einer gegebenen Gleichung iſt es daher erforderlich, die vorgelegte Gleichung in eine andere mit reellen Wurzeln zu verwandeln, ſo daß man die Beziehungen dieſer reellen Wurzeln zu den imaginären der gegebenen Gleichung kennt, und man daher im Stande iſt, dieſe aus jenen abzuleiten.
A6. Obgleich dieſes Verfahren (44.) auch zur Beſtimmung der reellen Wurzeln anwendbar iſt, ſo wird man ſich deſſelben, ſeiner Umſtändlichkeit wegen, doch nur bei der Beſtimmung imaginärer Wurzeln bedienen, oder etwa dann davon Gebrauch machen, wenn es zweifelhaft iſt, ob die vorgelegte Gleichung reelle Wurzeln habe oder nicht.
Die Beſtimmung der Anzahl aller reellen und imaginären Wurzeln einer Gleichung beliebigen Grades liegt über der vor⸗ geſteckten Grenze dieſer Abhandlung.
H. Gleichungen des zweiten Grades.
A7. Die gegebene Gleichung ſei 1) 0 = a + by + y*, ſo iſt bekanntlich 2) V = — 2 P — à oder, nach dem binomiſchen Satze entwickelt: 4 b B h* b* a* 2as 5 a* 14 a* 42 a* w 5 6 b* ₰ W ð
Die Löſung 2) iſt richtig für jeden Werth von a und b und immer zuläſſig, y mag reell oder imaginär ſein; die Formeln 3) und 4) aber ſetzen voraus, daß die entwickelten Reihen convergent ſeien, wenn ſie zur Beſtimmung von y brauch⸗ bar ſein ſollen.

26
Sind die Wurzelwerthe reell, ſo kann durch eine Umformung der gegebenen Gleichung immer Convergenz der Reihe erzielt und daher die binomiſche Entwickelung zur praktiſchen Löſung einer gegebenen numeriſchen Gleichung brauchbar gemacht werden. Es möge hieraus hervorgehen, wie die Löſung quadratiſcher Gleichungen mittelſt des binomiſchen Satzes identiſch iſt mit ihrer Löſung mittelſt der Umkehrung der Reihen (49. 5.)
18. Aus (47. 3. und 4.) folgt, daß wenn der eine Werth von y bekannt iſt, und man denſelben mit entgegengeſetz⸗ tem Vorzeichen zu — P addirt, der andere Werth von J gefunden wird.
19. Für y = m ſi 5 = 48f ſoi 0 — 66. 2) m+1 — 2) — 6 und es ergiebt ſich (nach 29.), indem man ſetzt: 3) v = u† 0 = + a + bu + b + u + 2 u + x* 4) 0 = + A + B. X 22. Hieraus folgt (nach 31.) 5) eine mit 47. 3.) identiſche Reihe. 1. Beiſpiell. 50. Löſung der Gleichung 0 = 5 + 30 + y* a b 0 Für J = 0 iſt Z = + 5 daher u = 0 — , nämlich u = — 0,17 beinahe (28.)
— u= + 0,0289
„ V = Nach (49. 4.) iſt daher:
0 = + 5 1 = + 0,0023971679029 — 5,10 4 30 2 III = 4 0,0000000000313
4 0,0269 054 * 1 0,0023971679342
0 = — 0,0711 2566 „ * II = — 0,0000001937429 8 B = + 0,0023969741913
u—
Da A negativ gefunden iſt, ſo ſind die Glieder in ungera⸗ den Potenzen von A (49. 5.) mit entgegengeſetzten Zeichen zu! 7 = — 0,1676030258087, der eine Werth, nehmen, oder es iſt nach (33.) aufzulöſen. — — 29,8323969741913, (48.) der andere.

27
. Seiſpiel.
81. Löſung der Gleichung 0 = — 21 + y* a 4 5 Für y = + 4 iſt Z2 = — 5 daher u = 4 + 5 nämlich u = 4,5 beinahe (28.) 5 F Nach (49. 4.) iſt: folglich nach (39.) — u = 4,5 + 292, nämlich u = 4,58 beinahe * 2 — 20,25 9 * * u² — 20,9764 = — 075 + 91 + 0 = — 0,0236 + 9,16 4 + 2 A B daher: I = + 0,0025764192139 II = — 0,0000007246653 III = + 0,0000000004076 IV = — 0,0000000000002 + 0,0025764196215 — 0,0000007246655 — 0,0000007246655
1 = 4+ 0,0025756949560
u = + 4,58
y = 4 4,5825756949560
3. Beiſpiell.
52. Löſung der Gleichung 0 = — 282429536481 † yꝛ Es ſei y = 10 v (. 1.) alſo 0 = — 28,2429536481 + v. Für v= † 5 iſt 2 = — 3 daher u = 5 + — „ nämlich ſu = 5,3 beinahe 6 „ 48 u = 28,09 Nach (49. 4.) iſt: folglich nach (39.) 0 = — 28,2429536481) u = 5,3 + vh nnlich u = 5,31 + 28,09 + 10,6 . 1 + x* u* = 28,1961
0 = — 0,1529536481 + 10,6 2 + 2 ſ0 = — . 4 2*

28
daher I = + 0,00441 1831271 II = — 0,000001832792 III = + 0,000000001522 IV = — 0,000000000001 + 0,00441 1832793 — 0,000001832793 — 0,00000 1832793 1 0,004410000000 u = + 5,31 = 4 5,31441 = 4 531441 III. Gleichungen des dritten Grades. 53. Die gegebene Gleichung ſei 1) 0 = a + by †+ cy? + ys.
Setzt man dafür:
M 0 = (A By †y*) (a †y), nämlich: 3) 0 = Aa + (Ba + 4).y + (a +† B). J + Jo, 20 àa — ₰a [7) 0 = — a + b. a — c. a + a*
ſo iſt: 5) 5 = Ba + 4 und es folgt: 8) 0 = — a“ + ac. 4A — P. A + 4 6) 6 3 9) 0 = — (be — a) + (P† e*). B — 2e. B + B'.
51. Nach 7. S. 9. iſt man in Stand geſetzt, jede der Größen a, A4, B, da ſie ſämmtlich reelle Größen bezeichnen, mitteiſt der Umkehrungsformel zu beſtimmen und daher auch die imaginären Wurzeln, im Falle die vorgelegte cubiſche Gleichung deren hat, unabhängig von der reellen Wurzel zu finden.
Es iſt indeſſen nicht nothwendig, ſämmtliche drei Gleichungen zur Beſtimmung der Größen a, 4, B aufzulöſen, es genügt vielmehr die Löſung einer, da, nach 4. 5. 6., wenn eine derſelben bekannt iſt, immer die beiden andern leicht gefunden wer⸗ den können.
Die Gleichung 7. hat große Uebereinſtimmung mit der Gleichung 1., beide unterſcheiden ſich nur durch die entgegen⸗ geſetzten Zeichen der ungeraden Glieder und es geht daher aus denſelben hervor, daß, wenn a poſitiv geſunden iſt, y negativ gefunden wird und umgekehrt.
55. Hat man nun entweder (aus 53. 1. oder 7.) N oder a beſtimmt, ſo iſt:
1) 4—= oder 4₰ = b — ca + a* b à 2)
und die beiden andern Wurzelwerthe ſind:
5 3 — 4 6 = — 4 4(2) — 4. oder

36. Iſt e= 0, alſo die gegebene Gleichung 1) 0 = a † by + y*
ſo iſt: und ferner: 2) 0 = — 4 b. 4 + 4 (33. 7.) 5) A=Pa 655. 1.) 3) 0 = — 21— P. 4t4 (33. 8.) 6) B = — 4 G5. 2.) 40) 0 = + + b. B + B 633. 9.)
29
Aus 6. folgt, daß, wenn der Coefficient des Gliedes mit dem zweit höchſten Erponenten gleich Null iſt, den Größen
B und a immer gleiche, aber entgegengeſetzte Werthe entſprechen.
Die beiden andern Wurzelwerthe ſind:
5 3 4 — (2) — * G.
4.) 57. Iſt auch b = 0, alſo die gegebene Gleichung 1) 0 = a + y* ſo folgt: a a 9 (66. 7.) Beiſpiel. 58. Löſung der Gleichung 0 = — 350 + 54y — 17y2 † y à b c 16 182 Für y = 14 iſt 2 — — 182 daher u = 14 + 155 nämlich u = 14,95 beinahe
daher (nach 29.)
u? = 223,5025
u“ = 33 41,362375
0 = — 350 + 807,3 + 354 — 3799,5425 — 508,3 — 16 . + 3341,362375 + 670,5075 ⁰ + 44,85 — 0 = — 0,880125 + 216,2075 5 A B C

alſo (nach 33.)
1 = † 0,004070742226 II = — 0,000002134526
i = + 0,000000002238 ir = — 0,000000000311
IV = + 0,000000000000 IV = — 0,000000000002 . oooaoro7au6 — 0,000002134839 — 0,0000021 34839
X = + 0,004068609625
u = + 14,95
= 14,954068609625, der eine Werth der Unbekannten.
Ferner iſt (55. 4.):
a = — 14,954068609625 3 a = — 44,862205828875 — c = + 17 + 5 —= — 17 a — c = + 2,045931390375 3 0 † c = — 61,862205828875 a — c — 1022065695187 — = — 30,931 102914437 der erſte Theil der beiden andern Werthe. 2 2 — b= — 54 — ——. * — P= — 22,358542804232, das Quadrat des zweiten Theils der beiden an⸗ dern Werthe. (14,954068609625 Alſo die drei Werthe: = 1,022965695187 + — 22,358542804232 2. Beiſpiell. 59. Löſung der Gleichung 0 = †+ 181 — 102y † 117 + N. a b c — 17 18 2 Für y = — 17 iſt 2 = + 181 [„ daher — 17 S nämlich u = — 17,42 beinahe — 18 u = — 5286,210488 folglich (nach 29.):
0 = + 181 . + 1776,84 — 102 Dieſe Gleichung liefert zur Beſtimmung von X + 3338,0204 — 6 x* eine ſchon ziemlich convergente Reihe. Wollen wir — 5286,21 0488 ð + 910,3692 — 52,26 + N den Grad der Convergenz vergrößern, ſo haben
wir (nach 39): 0 = 9,640012 425,1292 4 — 41,26 hn

31
u = — 17,42 — 0,027 0 = + 181 nämlich: + 1779,1554 02 2 3 u = — 17,4427 + 3346,72561619 ð — 383,7394 + 11 2 u = + 304,24778329 — 5306,902809592483 ) + 912,74334987 — 52,3281 † ** 3 u = — 5306,902809592483 0= — 0,021793102483 + 427,00394987 4 — 41,3281 4 + x. 3 A B C 3 daher (nach 37.) Ferner iſt (55. 4.): 8 1 = + 0,000051037941 1938 a = + 17,4426489618066886 1 I = + 0,0000000002521155 1 3 1 3 M = + 0,0000000000000024 1 — = + 3,2213244809033443, III = — 60,0000000000000003 2 der erſte Theil der beiden andern Werthe. 1 = + 0,0000510381933114 3 0 = + 52,3279468854200658 3 u = — 17,4427 + c = + 1 3 a †e 7 = — 17,4426489618066886, = + 31,6639734427100329 der eine Werth der Unbekannten. ——— = — 101,999932813675174 — b = + 102
— — P= +† 0,000067186324826
das Quadrat des zweiten Theils der beiden andern Werthe.
— — b = 4 00081967264701,
der zweite Theil der beiden andern Werthe. Alſo: + 3,229521 2073734
V 4 32131277544332
„ die beiden andern Werthe der Unbekannten.
3. Beiſpiell.
60. 1. Löſung der Gleichung 0 = — 2433600 + 80137 7 — 722 y2 + y. a b c Es ſei: 10 . v = y, nämlich 0 = — 2,433600 + 8,0137 v — 7,22 v + v (27. 1.) 5 Für v= + 5 iſt 2 = — 12 †, daher u = 5 + , nämlich j u = 5,6 beinahe 6 — 36
us = 175,616 5 *

folglich (nach 29.):
0 = — 2,433600 8 daher u = 5,6 + ₰ = 5,6 0,4 beina 39. 4 44,87672 + 8,0137 2 + 175,616 + 94,08 — —6 3 = — 8,36008 + 21,2297 1 + .. folglich: 0 = — 2,433600 17 daher u = 6 — — —= 6 — 0,06 beina 4 48,0822 † 80137 6 — 259,92 * 259,9 86,64 + .. + 216 + 108 u = 35,2836 0 = + 17286 folglich: 0 = — 2,133600 +† 47,601378 + 8,0137 ] .4 — 254,747592 — 85,7736 + 209,584584 + 105,8508 + 17,82 + 2* 0 = + 0,004770 + 28,0909 4 3 10,60 4 + 1 A B 6 daher (nach 31.) Ferner iſt (55. 4.) I = — 0,00016980588019 a = — 593,983018323819 I = — 0,00000001088040 — c = + 722 HI = — 0,00000000000139 a — c = + 128,016981676181 — 0,00016981676198 — = + 61,008490838095, IMI = 4 0,00000000000017 5 32 2 der erſte Theil der beiden andern Werthe. U = 5,94 42 6 — — „ 2 C S — + c = — 2503,949054971457 —102— 7 = + 593,983018323819, — — 1251,974527485728 der eine Werth der Unbekannten. a — c 3 — 130137000072006 — b = — 80137 das Quadrat des zweiten Theils der beiden andern Werthe = + 0,0000720965 3 — = 0008490 der zweite Theil der beiden andern Werthe. Alſo: beiden andern Werth Unbek —= die beiden andern Werthe der Unbekannten. 7 63,9999090

33
61. 2. Löſung der Gleichung 0 = — 2433600 + 80137) — 722 + y. Es ſei 10 v = y, nämlich 0 = — 2433,600 + 801,37 v — 72,2 v2 + v. 5 Für v= 5 iſt 2 = — 103, ſo, daß hier offenbar einer der in (40.) erwähnten Fälle eintritt. Nehmen wir fuür 6 3e 3 vden Werth von u = 6, oder für y den Werth von u = 60 und ſubſtituiren in 8 die gegebene Gleichung 60 + x für y, ſo ergiebt ſich: 5 8540 0 = — 8580 + 4297 4 + . ., daher (nach 39.) u = 60 + 62 beinahe, 6 6 6 . 2146 5 3 folglich 0 = — 2146 + 2141. 1 +† . . Fi = 63 beinahe, o= — 50 s.4 i 6o 63 beinhe,
539750
= 60 + 2 + 1 + 0,5 † 0,25 = 63,75 beinahe, u. ſ. w.
Wir ſehen, daß für unſer Beiſpiel jede folgende Korrektur die Hälfte der vorhergehenden iſt (beinahe) und ſchließen,
(weil a + 3 — 1 + — ₰ †... = 2 a iſt), daß die Summe ſämmtlicher Korrekturen: 2 + 1 + 0,5 + 0,25 +† .. nahe = 4 ſei.
Setzen wir daher U = 60 + 4 und y = U † X, ſo folgt: 0 = — 2433600 + 5128768 + 80137 6
— 2957312 — 92416 — 722 ) R 262144 +† 12288 + 192 0 = 0 S 5 Hieraus ergiebt ſich: X= 0 und X = 265 + 70276
5 329 — 503083018323 — 64,016981677 A. Beiſpiell. 62. Löſung der Gleichung 0— — 5 2 5 a b 1 S 2 iſt F nämlich 6 beinahe, 3 216 u? = 4,2436
us = 8,741816
— —— S ———

folglich (nach 29.) Dieſe Gleichung liefert zur Beſtimmung von x eine 0 = — 5 ziemlich convergente Reihe. Wollen wir den Grad der — 4,12 — 2 . Convergenz vergrößern, ſo haben wir (nach 39.) 3 + 8,741816 + 12,7308 + 6,18. X* + X 2,06 + = 209 heinahe. 0 = — 0,378184 + 10,7308 1 + 6,18. 2* + N. u2 = 4,3681 us = 9,129329. Folglich: Hieraus ergiebt ſich (nach 33.) 0 = — 5 1I = + 0,00456318 II = — 0,00001175 2 1 2 — 4,18 2 2 II = 4 0,00000006 II = — 0,00000001 + 9,129329 + 13,1043 + 6,27. X + R* — — —— + 0,00456324 — 0,00001176 6 — 0061 111043 . 4 + 1 —000001176 A B = 0,00455148 u = + 2,09 Alſo der eine Werth der Unbekannten J = + 2,09455148 folglich (nach 56. 7.) der erſte Theil der beiden andern Werthe 6 = — 1,04727574 a N G) = 4 1,09678647 — 3 (3) = — 329038942 a 2 mithin das Quadrat des Lten Theils der beiden andern Werthe — 3 — P= — 1,29035942 folglich die beiden andern Werthe der Unbekannten = — 1,04727574 + V — 1,29035942 63. böſung der Gleichung 0 = — 18 4 6 2 Für 7 = 2 iſt Z = — 10 daher u = 2 + 29, nämlich — 5 3 — 62 u = 15,625. folglich: daher: u = 2,5 + 1855 / nämlich u = 2,62 beinahe
u = 17,984728

35
folglich: daher (nach 33.) — 18 I = 4 0,000741 6040246 II = — 0,0000002099147 1 2 17,984728 1 4 20,5932 7,86 X † X 111= 4 0,0000000001188 Ml = — 0,0000000000198 — 0015272 4 20,5932 4 4 7,86. 12 ₰ 25 0o0o7a6otasn — 0,0000002099345 3 A — 0,0000002099345 3 =100007413942089 262 daher der eine Werth der Unbekannten J = 4 2,6207413942089 3 und (nach 57. 2.) die beiden andern Werthe J= — 1,3103706971045 4+ 2,2696286241346 — 3 6. Beiſpiell. 64. Löſung der Gleichung 0 = — 282429536481 + V. Es ſei 106 v = y, nämlich 0 = — 282,429536481 † vs. (27. 1.) Für v= 6 iſt 2 = — 66 daher u = 6 + T nämlich u = 274,625 folglich: daher — — 9 20 g — — . u = 6,5 + nämlich u = 6,56 heinahe + 274625 + 126,75 4 + 126 ʒ —— = 43,0336 0 = — 7804330181 4 12675 1 us = 282,300416 folglich: daher (nach 33.) — 282,429536481 1 = 4 0,0010001524467 M = — 0,0000001524854 1 2 + 282,300416 + 129,1008. 2 + 19,68. * + 5 III = 4 0,0000000000464 III = — 0,0000000000077 — 0001000132493 E — o120120481 11291008 4 19,68 4 0,0010001524931 0,0000001524931 A B C — 0,0000001524931 = 4 0,0010000000000 u— 656 v= † 6,561
= 3 6561

36
IV. Gleichungen des vierten Grades.
65. Erſte Auflöſung. Die gegebene Gleichung ſei 1) 0 = a † Py + cy + dy + y. Hat dieſelbe reelle Wurzeln, ſo beſtimme man deren zwei, y = — a, J = — b, mittelſt der Umkehrungsmethode. Es ergiebt ſich alsdann: 0 = (A 4 By † y*) (a † y) (b † ) nämlich: A = ab 3) 0 = (A † By 4 J) (A 4 By † y*) B = a b. 4) 0 = AA— (B A AB)y + (A † BB † y + (B 4 B)y + y. 66. Aus der Vergleichung von 1. und 4. folgt: à 2 1) A= F oder A= c — A — dB + B b a B — 4 B und die beiden andern Werthe ergeben ſich: EN ab—d a † b — d 3 (a † b) †d 3) „= — 34(2) — A n 5 †ab — e 67. Zweite Auflöſung. Man ſetze für die gegebene Gleichung (65. 1.) 1) 0 C 1 5 ſo ergiebt ſich: 2) 3) b = 8 A + 4B 5) — B † 3 und man erhält hieraus: 6) 0 = a“ — a'c. A+a (Pd — a). A — ſa (d? — 2 c) + b2]. As + (b d — a). A — c. A+ A⸗ 7) 0 = Id (Pe — a d) — b*]) — d (Pd e?— 4 a). B+ [d (P † 2ed †c*— 4 al. B? — d (4e †d*). Be
+ Ee 4 34*). B— 3d. B + Be.
Die Gleichungen 6. und 7. müſſen, da A und B reelle Größen ausdrücken, auch immer reelle Werthe für die unbe⸗ kannten A und B ergeben; ſie müſſen aber auch, da ſie von geradem Grade ſind, dieſe Werthe paarweiſe zulaſſen.
Aus Gleichung 6. ergiebt ſich dann der eine Werth für A, der ondere für A, und ebenſo aus Gleichung 7. der eine Werth für B, der andere für B, weil dieſe Größen (in 1.) auf ganz gleiche Weiſe verbunden ſind und mit einander paarweiſe, nämlich A und B mit A und B, verwechſelt werden können.
Dieſe Auflöſungsmethode iſt, wie man leicht einſieht, jedesmal zuläſſig, die Wurzelwerthe der Gleichung (65. 1.) mögen reell oder imaginär ſein. Man wird indeſſen am füglichſten von ihr nur dann Gebrauch machen, wenn man ſich überzeugt hat, daß die gegebene Gleichung keine reellen Wurzelwerthe hat. Iſt dieſes der Fall, ſo genügt die Auflöſung von nur einer
der Gleichungen (6. 7.), weil ſich, wenn man einen de Werthe von A, B, A, B kennt, die andern (aus 2. bis 5.) leicht ableiten laſſen.

37
68. Hat man A oder B gefunden, ſo iſt 5 1½* — Welcher von dieſen beiden Werthen B oder B S oder A entſpricht, darüber entſcheidet die Formel: b A — d A b — cB + d B — Bs 5
Die vier Wurzelwerthe ſind alsdann:
— — 2 4 (2) — 4 n — — 24H(—*
69. Iſt d = 0, nämlich die gegebene Gleichung:
1) 0 = a + Py +† cy †y, ſo iſt W 0 = a“ — a'c. A — a. A + (2ac — bP²). As — a. A“ — c. As + A⸗ (67. 6.) 3) (B (B) 667 7.)
Aus dieſer letzteren Gleichung geht hervor, daß, wenn in einer biquadratiſchen Gleichung das vorletzte Glied fehlt, B mittelſt einer cubiſchen Gleichung beſtimmt werden kann. Man wird daher, wenn eine vollſtändige biquadratiſche Gleichung
gegeben und eine ganze Zahl iſt, immer am vortheilhafteſten die Gleichung ſo umformen, daß das Glied mit dem zweit⸗ höchſten Erponenten wegfällt.
1. Beiſpiell.
70. Löſung der Gleichung 0 = 4 a b c d Nach (67. 6.) iſt 0 = + 1 — 4 A — 5 A* — 9 As — 5A — 4 As As, daher 0 5 50 9 95 S nach (41. und 36.) S — = nämlich u = 0,19 beinahe u? = 0,0361 Folglich (nach 29.) uꝰ = 0,006859 0= + 1 u = 0,00130321 — 0,76 — 4 uꝰ = 0,0002476099 — 0,1805 — 190 Xx2 uꝰ = 0,000047045881. — 0,061731 — 0,9747 — 5,13 — 9 — 0,00651605 — 0,137180 — 1,0830 — 3,80 — 0,0009904396 — 0,02606420 — 0,274360 — 1,4440 — 3,80 5 + 0,000047045881 —+ 0,00 14856594 + 0,01954815 + 0,137180 8 + 0,5415 + 1,14 + X 0 = — 0,009690443719 — 7,0364585406 4 — 11,46781185 22 — 14,106820 X — 8,2585 4 — 2,86. 15 + Xs. A B C D E F

Daher (nach 38., mit Berückſichtigung von 30)
Ferner (68. 2.) iſt:
— 5
i= 0,000000005236 ( = + 0,25, nämlich V= 0,000000000058 1 = 4 530167247974 1 = — 0,001377176268 A = 4 0,18861972402 1 = — o0oooozooto S In = — 0,000000013874 () 1 4 1 1—e2 4 174029220376 3 6 —reene 1 G)* 1— e=4 13192013507. 4 0,000000005294 Mithin 0 8 18192013507 A= 0,188619724025 Man findet (nach 68. 3.) leicht, daß B dem oberen und B dem unteren
T= 5,30167247974 (67. 2.) gefundenen Werthe entſprechen.
Nun ergeben ſich (nach 68. 4.):
= — 090060067535 4 00,90960067535) — 330167217974.
= 4 0,40960067535 4 77040560007335) — 01886107202. Nämlich:
= — 090960067533 4 725500115
7 = + 0,40960007535 † — 0,02084701078.
2. Beiſpiel.
71. Löſung der Gleichung 0 = + 10 + 53y + 23 + 9y* + N. à b c d 10 2300 1058000 9000 Nach (41. und 31.) iſt u—= — 53 — 7S — I18155153 nämlich
Folglich (nach 29.):
= + 10
— 11,13 + 533, . 1,0143 — 9,66 4 23 .2 0,083349 + 1,1907 † 9 . 0,00194481) — 0,037044 + 0,2646 — 0,84
— 0,19710419 + 44,493656 1 + 17,5946. 2 + 8,16. 1 + x B C D
A
u = — 0,21 beinahe u? = † 0,0441 us = — 0,009261
ſu?= + 0,00194481

Daher (nach 33.) 1= 1 000142903918 = — 000000776027 1II = 4 0,00000002718 IMI = — 0,00000001594 W = 4 0,00000000014 W = — 0,00000000012 0,0044299665 — 0,0000077763 — 0,0000077763 = 3 0,0014221902 = — 0,21 F 557 78098, der eine Werth der Unbekannten. 4 Für y = — 6 iſt Z = — 128 daher u = — 6 — nämlich u = — 66 beinahe u = † 1897,4736 folglich: 0 = + 10 daher u = — 6,6 — 2 66 beinahe — 308 + 1001,88 — 3036 nämlich —= — 67 — 2587,464 4 1176,12 6 18974736 u 6 = — 300763 0 — 2 = † 2015,1121 ſ 3355,1 5 2 + 1032,47 22 — 2706,867 + 1212,03 — 180,9 4 2015,1121) — 1203,052 ꝙ + 269,34 5 + A B 6 D (daher nach 34.): 1 = — 0,01780872545 II = 4 0,00014354234 u = — 0,00000231396 I = 4 0,00000040831 1 — — 0,00000001645 W = + 0,00000004662 „ —= — 0,00000000105 = 4 0,00000000040 0,00000000002 = 4 0,00000000055 h 0,00000000001
+ 0,0001439982
— 0,0178110569 + 0,0001439982
= — 0,0176670587 u = — 6,7
= — 6,7176670557, ein zweiter Werth der Unbekannten.
6 *
39
1 1 3
—

40
Nun hat man nach Formel (66. 4.):
a = + 0,2055778098 3 (a + b) = + 20,7697346055 b = + 6,7176670587 + d= 9 a 4 5 = 6,9232448685 — = 4 148848673027 a + b— d = — 2,0767551315 — 4 3 (4 — = 4 13,4561122735 = — 108887n66 ab = 4 1381003280% — 6 — 23 der erſte Theil der beiden andern Werthe der 3 Unbekannten. daher das Quadrat des 2. Theils der beiden andern Werthe der Unbekannten = — 6,1628844436 folglich „ = — 1,0383775657 4 — 5,765835
3. Beiſpiell. 72. Löſung der Gleichung 0 = 18 + 192 + 503 — 48y* + yn. Setzen wir behufs der Wegſchaffung des vorletzten Gliedes
ſo iſt: 0 = 12546 — 1560. v — 361 v + v* und man erhält, nach (69. 3.): 0 = — 2433600 + 80137. (B*) — 722. (B*)* †+ (Bi)s,
welche Gleichung bereits (60. und 61.) aufgelöſt wurde. Nehmen wir = ( ſo folgt: S 8
Daher: A — 51 B = + 8 (nach 68. 2.) 6 und ferner 5 * (nach 68. 3.) Daher ſind die vier Werthe: v= — 4 4 V57 Nämlich = 4 16,18535771872, v= + 4 4 252 V = — 60,185352771872, = 4 32186414056239, v = 16 + 5. = — 0,186414056239.

41
V. Gleichungen des fünften Grades. 73. Erſte Auflöſung. Die gegebene Gleichung ſei
1) 0 = a + by + cy † dy“ + ey“ + ys. Dieſelbe hat mindeſtens eine reelle Wurzel. Man beſtimme dieſe Wurzel, y = — a, mittelſt des Umkehrungsverfah⸗ rens, ſo ergiebt ſich: 2 0 = (A 4 By + Cy + Py* + J9 (a † ) 3 0 = 4Aa + (5 a † y + (Ca † 50) + (Da 4 00 + (a † Dy + y. Aus der Vergleichung von 1. und 3. erhält man: 4) — oder A= b — ca † da' — ea + as, h à 5) B = c — da + ea — a, c b a d c b à 3 wodurch nunmehr die Herleitung der vier andern Wurzeln auf der Löſung einer biquadratiſchen Gleichung beruht. 71. Zweite Auflöſung. Die gegebene Gleichung (73. 1.) habe mehr wie eine reelle Wurzel. Man beſtimme deren drei, J = — a, V = — b, = — e, mittelſt des Umkehrungsverfahrens, ſo ergiebt ſich: ¹0 0 = 4A † By v (a+ M ( (e† nimlich: W abe
B = ab ac+ be C = a4b†e 3) 0 = AA † (BA † ABy+ (CA BB My? + (A CB† B)ys + (B + GMy †ys. Aus der Vergleichung von 3, mit (73. 1.) laſſen ſich verſchiedene Gleichungen zur Beſtimmung von und B durch die bekannten Werthe von A, B, C ableiten. Aus 4) A = d — eC + Ci — B 5) B = e — C folgt die Formel, welche mit der biquadratiſchen (66. 4.) und der cubiſchen (55. 4.) Aehnlichkeit hat:
a Fb Fe — e 3 (a † b † e) †6 „ 4
Y
†a (b +c) +be — d
——
75. Dritte Auflöſung⸗ Setzt man für die gegebene Gleichung (73. 1.)
0 2 ( (1 B 7) 3) 0 = (A + By + J*) (4 † By † Cy* + y*) ſo folgt: 4) A a = 4AA 9) a = Aa 5) b= BA AB b = 6A+ 45 100) e= B a †z. 6) c = C A + BB † A c = CA † B5 +† 4 ) d= A 08 P B d = A † 053 + B 8) — B† 0 — 3 † C
—————————— ——

42 Aus (4. bis 8.) ergiebt ſich:
11) o = abel⸗ A + ſa (d — e) + b(b? — 3 ac †ade).A“ — [2a (a — be) †ac (e — 2d) † b* d]. As + lae (e? — 3d) + ae — b (P— ce)-Ae — le (be — a) — 2bd + c*]. A + Ce W (ad — be) (e— de) — a? † be Ga — pe) + ſcs † a (d? — 4 b) — de (c? †bd— 4ae) † 4e (b' — ac)1. B + ſb (d? — 4 b) — c (ed — 7a) — ae (4e? † 9d † ee(d — 3 5b) e(e b41 B + ſ4ad — e (d? — 4 b) — de (d? † 4ce) † 16 ael. B' + [d (d? — 2 b) — e† 3de (de † 2 e) — 2e (b — ce) — Nael⸗ B 2d)]. B + ſ3 (d? — b) + e?(e? † 9d) F4cel. Be — ſe †e (4e? † 9d)]). B + [3d † 6er. Bo — 4e. Bo† Bid.
Die Gleichungen (t1. und 12.) üefern, da ſie von geradem Grade ſind, die reellen Wurzeln paarweiſe. Aus 11. ergiebt ſich ein Werth für A, der andere für A, aus 12. der eine für B, der andere für Z.
Durch dieſes Verfahren wird die vorgelegte Gleichung in eine vom erſten und in zwei Gleichungen vom zweiten Grade zerlegt (75. 2.), wobei noch zu bemerken iſt, daß die correſpondirenden Größen A, B und A, B gehörig zu ſondern ſind. (78.)
76. Hat man A, & und B, B beſtimmt, ſo ergiebt ſich der eine Werth der Unbekannten, V= — a, (aus 75. 9. u. 10.) nämlich: à . 1) oder N
und die vier andern Werthe ergeben ſich nach den Formeln (68. 4.).
. Es iſt nicht nothwendig, beide Gleichungen (75. 11. und 12.) außzulöſen, es genügt vielmehr die Beſtimmung von nur einer der Größen A oder B, da ſich dann die correſpondirende, B oder A, leicht (nach 75. 4. bis 8.) daraus ableiten läßt.
Hat man A gefunden, ſo ergiebt ſich:
— — 0 ( i „ Hat man B gefunden, ſo iſt: 3)
2e — 4B H
3 B
0 4 ( ) —e—eg
Zur Beſtimmung von B (oder A) muß man beide Formeln 1. und 2. (oder 3. und 4.) auflöſen, weil jede Formel zwei Werthe für B (oder A) liefert. Von dieſen zwei Werthen iſt nur derjenige zu beachten, den beide Formeln überein⸗ ſtimmend geben. Man hat hierdurch zugleich die Probe, ob der für A (oder B) gefundene und ſubſtituirte Werth richtig

43
iſt oder nicht. Letzteres iſt der Fall, wenn man aus 1. und 2. (oder 3. und 4.) keine gemeinſchaftlichen Werthe für B (oder A) erhält. [Siehe 100.)] Hat man nunmehr A und B beſtimmt, ſo findet ſich:
5) F oder A= c — eA + (2A — d) B + eB' — Br, 1 a B 6) 5 = ₰ — P B = d — A — eB † B B
wodurch die vorgelegte Gleichung nunmehr in eine vom zweiten Grade und in eine vom dritten zerlegt iſt. G5. 1. oder 3.)
78. Wollte man ſämmtliche Größen A, A, B, B aus den Gleichungen (75. 11. und 12.) beſtimmen, ſo iſt man noch genöthigt, wenigſtens von einer der Formeln (77, 1. bis 4.) Gebrauch zu machen, um nämlich die Größen A, B und A, B paarweiſe zu ſondern und nicht etwa A, B oder „, B als zuſammengehörig zu betrachten.
i piel.
79. Löſung der Gleichung 5 à b c d e
Nach (75. 12.) iſt: 0 = — 8414 + 12509. B — 6657 B † 3201. B* — 1746. B* + 320. B + 11. B — 7. B'* + 21. B* — 8. B* + B'v.
ſSir B = — 38 f 2= — 38845) dahet u — 3 — — — — 30 beinahe Hieraus ergiebt ſich (nach 29.) 0 = — 33845 — 631311.2 +. .. Mithin: — = — 3,0 — 0,05 beinahe, nämlich: 0= — 8414 — — 3,05 — 38152,45 + 12500 1 u = + 9,3025 — 61926,7425 06 u = — 28,372625 — 90820,772625 + 89331,91 0 i = + 86,5365062 — 151092,739912 + 198154,41 + 21301 †.. d = — 263,9363441 — 84459,630100 ) + 138458,41 — 902 + 29768 u = + 3805,0058494 + 8855,064343 — 17419,80 + 44278 — 6242 u = — 2455,2678406 + 17186,874884 1 — 39445,28 + 38799 — 21201 u = + 7488,5669140 + 157259,905193 1 — 412485,00 + 473343 — 310389 u? = — 22840,1290876 + 182721,032700 — 539176,82 707117 — 540963 un= 4 69662,3937171 + 69662,393717 — 228401,29 † 336985 — 294632 0= 818935700 — 757866,76 4 1346331 4 — 1119138. 4 .
A B C D

44
folglich (nach 32.) Nach Formel (77. 3.) iſt: 1 = + 0,001080580 e = — 7 † eB = + 18,591793886 N = + 0,000002074 — dB = — 3,048917339 — B = † 28,342421376 1 II = + 0,000000008 — 10,048917339 + 46,934215262 † 0,001082662 2e = + 4 — 10,048917339 — — M = — 0,000000001 — 4 B = † 12,195669358 c — dB + e B — B = + 36,885297923 4 0,001082661 2e—48= 4 16,195660338 2 u = — 3,05 2e — 4B 8 = — 3048017339 e= 2 nämlich: — B = + 6,097834679 G = + 5,186910896 Te — IB B = † 9,295896943 e — 2B= + 8,097934679 B = — 28,342421376 = — 5,186571678 B = † 86,413699976 c — dB +eB — a S * — — 628 * 1 0000339218 das Quadrat des zweiten Theils von A, daher der zweite Theil von A = 4 0,01841788 Es iſt „ erſte 2, 2,29589694 folglich I. A = + 2,25906118 Nach Formel (77. 4.) iſt: d = — 1 — b = + 28 + e B = — 56,684842752 — 2eB = † 12,195669358 + cB = + 21,342421376 — B = — 86,413699976 + 3 B = † 27,887690829 — 4B*= 9,295896043 143,098542728
4— 2 B † 3 B = † 39,083360187
d — 2eB + 3B'* 2 der erſte Theil von A.
= †+ 19,541680093,
daher das Quadrat des zweiten Theils von A
† 58,638318319
— b+ cB — dB + eBs — B 2
+ 58,638318319
= — 84,460224409
= + 381,87726085
= + 297,41 703644
Aus der Vergleichung von I. und I. folgt:
Es iſt:
Nun ergiebt ſich (nach 77. 5.) 77 7 ( 77. 6.)
§ 7.)
folglich der zweite Theil von A = + 17,24578315.
folglich M. A 5 36,78746324
+ 2,29589694. A = + 2,29589694. B = — 3,04891734 4 = 4 18,29350407 B = 4 12,09783468
C = + 5,04891734.

8s0. Daher zerlegt ſich die gegebene Gleichung in
1) 0 = 2,29589694 — 3,04891734 9 + y 2 0 = 18,29350407 + 12,09783468 + 5,04891734 77 + y. a b c Aus 2. folgt: für y= — 3 iſt 7 = 0 beinahe, daher u = — 3 und 0 = + 0,440256051 + 8,80433065 X+ ... daher u = — 3 — S2 = — 3,05 beinahe und 0 = — 0,00996316 + 9,20693891. 2 — 4,101082661. 12 + 2. * 88 A B C Daher (nach 37.) Nun iſt (nach Formel 55. 4.) 1 = + 0,00108214 a = + 3,04891734 3 a = + 9,14675202 n = 4 0,00000052 — c = — 5,04891734 †e = 4 5,04891734 8 — 6 3 — 14,19566936 2 — — 5 704 * der erſte Theil der beiden andern Werthe. 2 09783468 a — c 3a ein Werth der Unbekannten. 2 — b = — 12,09783468 daher das Quadrat des zweiten Theils = — 5 folglich ein zweiter und dritter Werth der Unbekannten 7 = — 1 +† — 5 0* 5 Aus Gleichung 1. ergeben ſich leicht der vierte und fünfte Werth von y = .
wodurch die Aufgabe gelöſt iſt.
s1. Hätte man aus der erhaltenen Gleichung des zehnten Grades (79.) noch einen zweiten Werth für B, nämlich B, geſucht, ſo hätte man gefunden: für 5 iſt — 0, daher
6 b (77 3 —
d 6 . folglich ergiebt ſich (nach 76. 2.) ſogleich y = — 3,04891734
und die gegebene Gleichung zerlegt ſich (nach 75. 2.) in: 0 = (6 † 2y 4 *) (3,04891734 + 7) (2,29589694 — 3,04891734) + y¹) woraus ſich die Wurzeln wie in (S0.) beſtimmen.
2. Beiſpiell.
82. Löſung der Gleichung 0 = 118 + 94 7 — 51 y — 23 y + 3y + V. a b c d e
Man findet leicht, daß — 1, — 3, — 5 nahe Wurzeln der Gleichung ſind. Setzt man daher nach und nach u = — 1 u = — 3 u= — 5
ſo ergeben ſich (nach 29.):
¹) 0 e W 0 = — 2 — 140 1 + 48X* 31 * — 122 + X* 3) 0 = — 2 + 504 2 — 506 X* † 167 2* — 221 + 5
.

46
Daher 1) nach (33.) W nach (34) 3) nach 37.) I = + 0,0166666666 I = — 0,0142857142 I = + 0,0039682539 1 1 III = + 0,0000004346 III = — 0,0000006854 II = + 0,0000158095 2 2 1 III = + 0,0000009645 III = — 0,0000006455 III = + 0,0000001259 3 3 1 IV = + 0,0000000004 IV = — 0,0000000035 IV= + 0,00000000 12 3 + 0,0166680661 — 0,0142870486 IV = + 0,0000000000 I = — 0,0000601852 I = 4 0,0000699708 1 0,0039841905 1 1 2 IV = — 0,0000000039 IV = + 0,0000000083 III = — 0,0000000207 2 2 2 IV = — 0,0000000174 IV = + 0,0000000158 IV = — 0,0000000004 — 0,0000602065 0,0000699950 —0,0000000211 X = + 0,0166078597 = — 0,0142170536 X= 4 0,0039841694 u = — 1 u = — 3 —— = — 0,983392140 y = — 3,014217053 = — 4,996015830 Nun hat man (nach 74.) a = 4 60,983392140 b †e = + 8,010232883 u = † 3,014217053 e = + 4,996015830 a (b + e) —= + 7,877200056 — be = 4 15,059076111 a + b †e = 4 38,993625023 — 0 — + 23 —= 6 = 8 — 45,936276167 = + 2,996812511 2 5 = — 44,923530756 der erſte Theil der beiden letzten Werthe. 3 (a 4 b + e) = 4 26,980875069 daher das Quadrat des zweiten Theils der beiden letzten Werthe —= + 1,012745411 . S = †+ 14,990437534 und der zweite Theil der beiden letzten Werthe = + 1,006352528 Es iſi dei eſ = + 2,99681 2511
3 + 4,003165039 folglich ſind die beiden letzten Werthe von „ = 4 1,990459983
VI. Gleichungen des ſechſten Grades.
s3. Erſte Auflöſung. Die gegebene Gleichung ſei
1) —
Hat dieſelbe reelle Wurzeln, ſo beſtimme man zwei, J = — a, 7 = — b, mittelſt der Umkehrungsmethode. Es ergiebt ſich alsdann:
2 nämlich: A = ab,
B a4 b
4) 0 = 414(3A4B) (CABBA (DA0BPyA V O (SMy⸗

47 SA. Aus der Vergleichung von 1. und d. erhält man:
à
1) oder A= c— eA A— (d — 27A) B† (e — 320) B— fB† Be, àB 2) R 4 . B=d — fA— (e— 2A) B†fB — Be, 6 c a †bB 3 B* 3) A C=e — A— fB† B, BbB B
wodurch nunmehr die Herleitung der vier andern Wurzeln auf der Löſung einer biquadratiſchen Gleichung beruht.
S5. Zweite Auflöſung. Die gegebene Gleichung (83. 1.) habe mehr wie zwei reelle Wurzeln. Man
beſtimme deren vier, y = — a, = — b, V= — e, V= — d, mittelſt des Umkehrungsverfahrens, ſo ergiebt ſich: 1) 0 = A By †y) (a †y) (b †)) (e†y) (d†y) nämlich: A = abed, 2) 0 = (A By† y2) (A † Py † Cy +† Dy†y6) Babe Fabd Facd†bed,
C = ab +ae FadFbe†bdFed, Dafb†e+†d, 3) = AA (BA† A B) vf CABhMy (DACRBy(A PR Gy(B D)yeye.
Aus der Vergleichung von 3. mit (83. 1.) laſſen ſich verſchiedene Gleichungen zur Beſtimmung von ₰ und B durch die bekannten Werthe von A, B, C, D ableiten. Aus
⁴) A= e — fD + Dr — C
5) = — D folgt die Formel, welche mit den Formeln d. 6.), (66. 4.), (55. 4.) Aehnlichkeit hat:
a †bp†e+d— f abed 3laed 2 6) 2 —— . 5 Fa(b†e†d) †b(e † d) Fed—e
86. Dritte Auflöſung. Die gegebene Gleichung ſei auf die Form gebracht:
¹) 0 e dye Setzt man dafür:
9 0 = (4 + By † Cy + Dy † y) (A† By + y2) 3) 0 = ( 5y † 7* (A † By ) (A +† By 4 J*) 4) 0 = G 4 5y ) (4 + By 0 Dy 4 y) 5) 0 = (1 † By † V2) (A † By† Oy + Py † y)
ſo folgt aus (1. u. 2.) aus (1. n. 4½ aus (1. u. 5,) 6) — 3 b = BA † 45 P = BA †42 8) e = 0A † BB † 4 = CA † B5 † 4 e = 0A 5B 4 ) 4 = 5A † 08 + 4 = Da CS 42= 5 084 5 10) e = A + DB † 0 e = A 6 e= A† DB 0 11) 0 = B + D o = 5 † 0 83 † 5
„1l

48 aus (1. u. 3.) 19 a = A A, 13) 6 und es ergiebt ſich (aus 6. bis 11.) 14) 0 — — 6 (ae — 5 d) . Ae + la(a † d*) + a* e(p' — 2 + ſa(e?— 2 c) †ab(P— de)]. A“ + la (c?— 2 ae†3bde e²) † P* (P? — 4 a c)]. Ab + ſa* 2a— 342) a e (P?— ae²) †Pd(3 ac — b)] A⸗ — ſae(ae— 2 c²) Fab?The(be — ad). An + ſac(2e? — c) † P'(e — e2) — 3abd] A + ſe (c“ — 3 b d) † a (3d? — 2 a) + b'el. As d
à
2b(de — P)]. A + [Lae — c* + bd]. A + [2ce
15) 0 = b(b— d e) †d* (pe— 3 d) + [bede — be(e? — 3 c) — d' (c? †bd) — 3 a d3 b 4 e)]. B + [2d(cd?— 3 P']. B + ſe'(e? — 4c) — d(Ace† d') † be(de — 5 b) + 7 bed +† a (3d' — Wa 2e(9 c — 2e²))) B' — [2ed(4e — e¹) + 2de(de — 3 b) †2bee— 6 a (3 b + de)]. B' + [(ce — 9 a) Ge' — 6 0) 6 12 b]). Bs + [2de (2c— e²) † 2 b (e? †5 e) + 24 (d? — 15 a)]. B + ſ[e? (e?† 2c) — 3(Pd†Sae) — 7c2]. B + [6d(e — e²) †12 be]. B' + ſLe(2e? — c) — 26a]. B* + [2 (5b — 3d e)] B + [2 (3e?— c). B — 2d B + 4e B + B'. Die Gleichungen 14. und 15. liefern, wie aus der Darſtellung 6. bis 11. zur Genüge hervorgeht, jedesmal drei reellè Werthe für die Unbekannte, da 14. den Größen A, A, A und 15. den Größen B, B, B entſpricht.
Durch die Beſtimmung dieſer Größen wird die Gleichung (S6. 10) in drei Gleichungen vom zweiten Grade zerlegt (S6. 3.), wobei noch zu bemerken iſt, daß die correſpondirenden Größen A, B; S, S; A, B gehörig zu ſondern ſind. (S9.)
S7. Hat man aus jeder der Gleichungen (86. 14. u. 15.) zwei Werthe, nämlich A, S und B, B beſtimmt, ſo ergeben ſich auch die beiden andern (nach 86. 12. u. 13), nämlich:
) A = — — 2 (9 5
SS8. Hat man aus einer der Gleichungen (86. 14. u. 15.) einen Werth, nämlich A oder B, beſtimmt, ſo ergiebt ſich jedesmal der correſpondirende, nämlich B oder A aus folgenden Formeln, welche aus (S4.) abgeleitet ſind. Hat man A
gefunden, ſo iſt:
¹) (4 ) ( 9 22 A— 0 A⸗† A. B b A B 4 B. à 4 à
Hat man B gefunden, ſo iſt:
3) 0 = — 4 (e— BeV† B). A — (e 3B¹). A + A', à h — d E B
* — — — — ——— 2 913
4) o = ₰ (38 1 + Ab.
Bei der numeriſchen Anwendung der Formeln 1. u. 2. (oder 3. u. 4.) bringt man dieſelben am füglichſten durch Sub⸗ traktion auf den 2. Grad. Uebrigens iſt auch hier das in 77. nach 4. Geſagte zu berückſichtigen.
Durch die bloße Beſtimmung zweier correſpondirenden Werthe, A und B, beruht nunmehr die Herleitung der übrigen vier Wurzeln (nach 83. 3. u. S4.) noch auf der Löſung einer biquadratiſchen Gleichung.

49
89. Von den Formeln (88.) iſt auch noch dann Gebrauch zu machen, wenn man die Größen A, A, A, ſowie B, B, B unmittelbar aus den Gleichungen (S6. 14. u. 15.) abgeleitet hätte, damit die correſpondirenden, Au. B, &u. Z, A u. B gehörig zuſammengeſtellt werden können.
1. Beiſpiel.
90. Löſung der Gleichung 0 = 3 — 13y + 1772 — 5y + 6y +y. a b c d e
Nach (86. 14.) iſt: 0 = — 243 + 1377 A — 1269 A2 + 4374 A — 1935 A“ + 6226A — 563 A + 6495 A — 991 A ℳ 2819 A⸗ — 1406 A1 — 188 A1 + 176 A — 17A — 6A + An.
Für 3 ſt 0, daher:
Nach 1iſt 0 = 4B + B⸗
0 = 6 + 18B + 13 B + B ier ich B ) Von dieſen Werthen iſt der obere zu verwerfen, — 1 weil nur der untere beiden eubiſchen Gleichungen
entſpricht, daher: B 1 folglich: —
Nach (S84.) ergiebt ſich nun leicht: 4 = 1, B = — 4, C = 4, D = 1, mithin iſt
0 = 1 — 4y 4 4y7 + y + y die noch zu löſende biquadratiſche Gleichung, deren Löſung bereits in (70.) erfolgt iſt.
Beiſpiel.
91. Löſung der Gleichung 0 = 11 † 2y + 15y* + 2y + 4y + ye. a b c d e
Nach (S6. 15.) iſt: 0 = 8 — 428B 4 192 B2 — 4063 B + 1972 B + 1950 B⸗ — 56 B — 1907 B + 84 B — 150 B⸗ — 28 B1 + 66 B — 4 B + 16B + Bi Hieraus ergiebt ſich (41.) u = + — 4 .. = 0,02 beinahe, und es folgt:
42 8 0 = —+ 8 . — 8,56 — 428 + 0,0768 7,68 — 0,032504 — 4,8756 — 3 78 — 4063 + 0,00031552 + 0,063104 — 7328 6 + 157,76 — 0,0000062400 + 0,0015600 + 7,8000 — 0,0000000036 — 0,0000011 00 — 0,00896 — 0,0000000024 — 60,0000008 — 0,005128 — 0,01068 + 0,0000000000 + 0,0000000 + 0,000000 —+ 0,00001 — 0,5153822460 — 425,1309379 — 46,891462 1 — 3897,45963 4 + ..
A B C D
S

Folglich (nach 38) Nach Formel (88. 3.) iſt: Nach Formel (88. 4) iſt: 1 = — 0,00121229 a — = — 000000016 — 0,0512203 — 48 058712 — —= — 53,22671 1i — + eB = + 0,00141188 d + B = + 0,00000012 u = + 0,02 + 14,96383688 B = 001878736 —- 6 2 5 nämlich — 3 B = — 60,00105891 — — 000017 B = + 0,00035297 — 4,00105891 5122654 4 B = 4 0,00000663 ſigñc B = + 0,00000012 0 = — 11 +† 14,96384. A — 4,001059 . A + A? 0 = + 5,5 — 53,22671. A †+ 51,22654 A + A daher 0 = † 15,5 — 68,19055. A † 55,22760 A
— 0,9043595 Hieraus ergiebt ſich A = S66 von welchen Werthen der untere zu verwerfen iſt, da nur
der obere beiden eubiſchen Gleichungen entſpricht.
92. Für u = — 2 geht die gefundene Gleichung des 15. Grades (nach 29.) über in: 0 —= + 8 † 856 5 — 768 + 192 3 + 32504 — 4063 . 5552 — 63104 417328 — 0 + — 62400 + 156000 — 156000 + 78000 — 19500 — 13440 + 8960 — 3360 + 244096 ) — 854336 + 1281504 — 1067920 + 533960 + 21504 — 66016 + 150528 + 94080 + 76800 — 345600 + 691200 — 806400 + 604800 — + 143360 — + 1430080 — 376320 — 135168 + 743424 — 1858560 + 287840 — 287840 — 16384 + 98304 20336 + 450560 — 506880 — 131072 + 851968 — 2555904 + 4685824 — 5857280 — 860160 + 1863680 0 — — 1960 + 850560 X — 3811830 X* + 8260257 . X* — 11111888. † A B C D F Folglich (nach 37) Nach Formel (S8. 3.) iſt: Nach Formel (S8. 4.) iſt: 1 = + 0,00230436 — — = † 8,5 11 = + 0,00002398 e = + 15 1i = 000000050 — 48 = + 3,995342 — = + 0,500583 W = 4 000000001 + es = + 15,962760 4 0,00232885 † 3. = 4 15973607 — 0,500583 III = — 0,00000012 083705 X = + 0,0023287 — 3 8 = — 11,972070 —= — 1,995345 8 — — 1,5076713 53 folglich: 5 —= + 0 = — 11 + 30,883709. 4 — 15,972070 . + A 0 = + 5,5 + 0,500583. 3 — 4495928. 3 † 3 8. = + 15,92561
daher 0 = † 16,5 — 50,383126. + 11,476142.
4,033822 Hieraus ergiebt ſich A = 0 356428
obere beiden cubiſchen Gleichungen entſpricht.
von welchen Werthen der untere zu verwerfen iſt, da nur der

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93. Es ergiebt ſich nun (nach 87.) 11
— 0507355 10338
B = — 0,0187876 +† 1,9976713 = + 1,9788838 und die gegebene Gleichung zerlegt ſich in Hieraus beſtimmt ſich: 0 = 0,9043595 + 0,01878756 7 + y = — 0,0093938 + — 5,55773 0 = 4,033796 — 1,9976713 + y = + 0,9988356 + 533 0 = 3,015331 + 1,9788838 + yr. = — 0,9894419 + — 7035535
— ——————————————
Note zu 1A.
94. Die in 44. aufgeſtellte Behauptung, daß man durch die daſelbſt angegebene Zerlegung einer gegebenen Gleichung des nten Grades zu n(n — 1) ten „ . Gleichungen des Grades gelange, kann auf folgende Weiſe allgemein eingeſehen werden. Es ſei die gegebene Gleichung 0 = a + Py e d
4 n 1 2 3 3 2 2 „ 2 2 und — w, — w, — w, — w, „— N ſeien die n reellen oder imaginären Wurzeln derſelben, ſo läßt ſich dieſelbe bekanntlich folgendermaßen durch ihre 5 Wurzeln ausdrücken: 12 81 n 1 2 3 4 1 0 = w.W. W. W. wW † + (VwWwW .. Zerlegt man nun die gegebene Gleichung in
0 = † By † CN + D .. . J ) (1 4 27 40
nämlich:
ſ 4 n ( *4 n 23 2 1 6 + ( +† wy + „ ſo iſt jede der Größen A und B durch zwei Wurzeln der gegebenen Gleichung dargeſtellt. Dieſe zwei Wurzeln ſind aber aus denen Wurzeln ganz willkührlich herausgenommen und folglich ſind für A ſowohl als für B ſo viele verſchiedenen Werthe vorhanden, als ſich überhaupten Größen zu zwei n(n— 1) . 22 n(n — 1)ten 5 verſchiedene Werthe, daher müſſen auch die für A oder B erhaltenen Gleichungen von dem „ Grade ſein.
verbinden laſſen, daher
95 Da die Größe A aus dem Produkt und die Größe B aus der Summe zweier beliebigen Wurzeln der gegebenen Gleichung beſteht, ſo
wollen wir die Gleichung für A die Gleichung der Produkte und die Gleichung für B die Gleichung der Summen der Wurzeln der gegebenen Gleichung nennen.
Note zu A5. 96. Sind die ſämmtlichenen Wurzeln einer gegebenen Gleichung von geradem Grade imaginär, alſo von der Form:
ſo iſt klar, daß unter den (in 94.) erwähnten Verbindungen dieſer Wurzeln, die Verbindungen der conjugirten Wurzeln, werden dieſelben
nun zur Bildung von A durch Multiplikation oder zur Bildung von B
2 durch Addition hergeſtellt, immer reelle, alle übrigen Verbindungen aber imagi⸗ näre Größen liefern. Die Zahl der reellen Wurzeln der für die Werthe A und B gebildeten Gleichungen iſt daher ſo groß, als Paare conjugirter
8 2 D 5 8 Wurzeln vorhanden ſind, folglich, unter obiger Vorausſetzung, immer = — und ihre Form für A: a“ + a, b' † 6',
B 2c. 2b,

Folglich iſt die Zahl der imaginären Wurzeln = — (n — 2) und ihre Form ergiebt ſich:
für A: ab — aß + (ab † ab) — be — 67+† 6e† bM — de 5 i ab +† aß † (ab — ah) ve +† 6 4 6e — 5 a b — aß — (ab †aß) 7 be — 67 — 6e + bN — ac —
b†e† 6†V—1 a e + l N
5 5 p 6 a e 6
a †e † 6— V
3 6 )
n. ſ.
97. Hat eine gegebene Gleichung von ungeradem Grade nur eine reelle Wurzel, iſt alſo die Zahl der imaginären = n — ſ
beſe Paar imaginäre conjugirte Wurzeln, daher iſt auch die Zahl der reellen Wurzeln der Gleichung der Produkte oder Summen
n —
Wurzeln der gegebenen Gleichung, unter obiger Vorausſetzung, immer = und die Zahl der imaginären =
98. Befinden ſich unter den u Wurzeln der gegebenen Gleichung m reelle, wo m der Natur der Sache gemäß mit der Zahlen entweder gerade
oder ungerad iſt, ſo ergiebt ſich leicht, daß die Gleichungen der Produkte und Summen der Wurzeln der gegebenen Gleichung (n +† m — 2) m imaginäre Wurzeln haben, und daß daher die Zahl der reellen Wurzeln gleich — — (m — 2) iſt.
Aus letzterer Formel ergiebt ſich, für m = 2, ſogleich, daß es für die Zahl der reellen, alſo auch der imaginären Wurzeln der Gleichungen der Produkte oder Summen der Wurzeln einer gegebenen Gleichung von geradem Grade einerlei ſei, ob die gegebene Gleichung keine oder zwei reelle Wurzeln habe.
———
Note zu 69.
99. Nach (69. 3.) iſt man nach Wegſchaffung des Gliedes mit dem zweit höchſten Exponenten in den Stand geſetzt, iede gegebene Gleichung des vierten Grades mittelſt einer cubiſchen Gleichung zu löſen, ein Umſtand, der lediglich von einer, man fönnte ſagen, zufälligen Eigenſchaft der Gleichung (67. 7.) herrührt. Dieſelbe hat die Eigenthümlichkeit, daß die Coefficienten des Gliedes mit dem zweit höchſten Erponenten der gegebenen Gleichung (65. 1.), nämlich d, zum Faktor haben. Wird daher d = 0, ſo verſchwinden alle Glieder in ungeraden Potenzen und die geraden Poten⸗ zen B', Be, Be, da ſiſich durch (B'), (B'), (B) ausdrücken laſſen, machen die Auflöſung mittelſt einer cubiſchen Gleichung möglich. Die Gleichun⸗ gen der Produkte und Summen der Wurzeln der gegebenen Gleichungen anderer Grade beſitzen dieſe Eigenſchaft nicht, und fönnen auch daher nicht auf
einen kleineren Grad reducirt werden. „
„
Note zu 77. 100 Die Doppelformeln für B und A (77. 1. bis 4.) laſſen ſich auch in einfache zuſammen faſſen. Man erhält leicht: a A (b — d A) + A (c—6 A) à (a —e A*) + A (P— A*) a B (e — 2 B) +aſc — B) B*]
2 — [c— d B— (e — B) Baſc — de (d+ e¹) B — he † 2 B) (e — 2B)
1) B
aber die Anwendung der Doppelformeln dürfte doch der Anwendung der einfachen vorzuziehen ſein, theils weil letztere, namentlich für A, umſtändlicher theils weil erſtere zugleich eine Probe für die Richtigkeit des ſubſtituirten Werthes abgeben, was bei den einfachen Formeln nicht der Fall iſt. Dieſe Bemerkung hat auch Gultigkeit für die Doppelformeln (SS.).
ſind,
C8 — D —— 060 — ) S2—
—