Die
neb ſt
Anwendung derſelben
auf die
allgemeine Umkehrung der Reihen
vollſtündige Löſung numeriſcher Gleichungen.
Von
Ferdinand Rerz,
Rittmeiſter in der Großberzoglich Heſſiſchen Gendarmerie.
Mathematiſches Seminar Univerſität Sießen
— „
Zweite Abtheilung.
cee — — ——
Darmſtadt.
Hofbuchhandlung von Guſtav Jonghaus. 1861.

Tuchdruckerei von
Gbr.
Kichler
in
Darmſtadt.

Juni 1850 erſchien von mir eine Monographie über die allgemeine Umkehrung der Reihen und deren Anwendung auf die Löſung numeriſcher Gleichungen. Als eine zweite Abtheilung derſelben übergebe ich hiermit die in dieſer Beziehung fortgeſetzten Studien dem ſachverſtändigen Publikum.
Es iſt hierin das allgemeine Glied der Umkehrung beſtimmt, die anfänglichen entwickelten Reihen ſind ſum— mirt, die Bedingungen für die Convergenz der umgekehrten Reihen ſind näher erörtert und letztere dergeſtalt an⸗ geordnet, daß ihre Fortſetzung keinen Schwierigkeiten unterliegt.
Durch die Anwendung der erhaltenen Summenformeln auf die Löſungen der Gleichungen beſchränken ſich dann, ſobald convergente Reihen gebildet ſind, die ganzen Rechnungsoperationen auf ein einmaliges Quadratwur zelausziehen und die ſogenannten vier Species.
Schließlich iſt die Umkehrung der Reihen auch auf die Löſung der transcendenten Gleichungen angewendet und hierdurch ein directes Verfahren zur Löſung derſelben ermöglicht.
Es mag hier noch erwähnt werden, daß die in einigen Erxemplaren der erſten Abtheilung enthaltene Anzeige von einem Fehler in dem Coefficienten von Bo der Formel (Ss6. 15.) auf einem Verſehen beruht. Eine wieder⸗ holte Ausrechnung der genannten Formel ergab ihre vollſtändige Richtigkeit, welche ſich auch durch Subſtituirung von Zahlenwerthen leicht nachweiſen läßt.
Darmſtadt, im Juni 1861.
Der PVerfaſſer.

—
Umkehrung
des
Polynomium 3
von der Form:
0 = A + Bx Cx D E F G6 H
101. Wr wollen die Umkehrung dieſes Polynomiums, welche bereits in (31.) enthalten iſt, noch einmal vornehmen,
dabei aber das Bildungsgeſetz der Coefficienten der entwickelten Glieder ſtreng beibehalten und die Glieder ſelbſt nach den Stellen ordnen, welche ſie vermöge der Entwickelung einzunehmen haben.

ee—
cœh⸗
—
S-
c—
——
cœ-
c—
v. — — — 5 — — — — — —
v — — S 8 S 5 5 * S 8 8 8 — — — S —
c „ 8 = —— — S — S ₰ S2
— — — — 35 — 00
A + Ba + Cx + DX + Ex + Fx*
6 B
6 6 8
6
12 B
1 C B
16 6 B
20, AC1B
2 B
24A0B
2
2
M = mſ1]
—
ech⸗
c
—
Sih-
S
——
cœl-
—
3
5
13
156 A .
17 0
19
219 Ai.
2310A1s.
. 2511A¹* .
+ GX5 + HXx“ + JX +.
6D B
20 D. B6 —
36
B14
2 B—16
B—18
B20
B22
B24
cch⸗
—
S-
c—
——
o⸗
4 6 4 2 0 0 2 0
8 A
10, A
124 As
145 A5
166 A0
187 A
20 3 A
229 Ai
2410 A
30
4CM + 4 0 E). B-1 +
co-⸗
[ 5 CD † 5 0 E. B +
—
[ 6 CD + 605 El. B6 +
S-
I 7CD 70 P Bn
cſ
I 8 0 D 80 E.B4
——
[ 90D† 905 E].B3
ooſ-⸗
[10CP + 1000 E]. B
ſCoD* [CD † 0E. B.
m1] [E
5 92A 1134* 1344* 15 4* 17 A11. 10
2164¹⁵
23 A1*
3 C De +2.
10 D 2.
[502D 2.
6 0 D +2.
[70CD +†2.
80D +2.
90 D 2.
ſoCD +2.
B
0
E 30*.
E 405
E 504.
E 60*.
E 70.
E 80*.
E 905.
E 1000.
— — —————— ————————
5
——
6
8
.
— 112 4
144A10
1.16 41
118641
1207405
3 22 41
4⸗CoD†3.
0D3.
[6.0D+3.
[7CD3.
[8CDp3.
[9CD+3.
2,C D. F 200
4,0D. F 420⸗
5C D. F 503.
60D. F 604.
7CD. F 705
80 D. F 8200
90 . F4 90
mſE]
Mn
6
—
S 8 £
Co. Ep302. Ep4 C*. E5 C4. Ep605. E7C5. Ep80.
p90.
3 —
3 B—1
B
B
B
5 B—1
B
. B2⁵

+ —
3. 3 C D?. F†3. 3 C D. E?†2320 D. G +† 32 C. 2EF †3 C?. H].
C B
2. 22C D. G + 2200 2EF† 2 C. H]. B 10 — 4. 89A5.
3 4. 4 C Do. E 3. 4 0 De.F3.400 D. Ee 2. 420D. 6 42 02. 2EF 4 C5. H
1.15 A11 ſ50 D † 4.540 D. E3.500 De F†3.520 D Ee2.5CD. 6 4 5 C5. 2PF p50.. 5
4. 175412 ſ60 Do † 4.6.CDo. E3.60 D F 3.6 C D. E 2. 60 D. G 6 C4. 2EF p60.
†1 19 A1 [750D* + 4. 7.0 Do
† 21 A8C Do † 4.8.0 P
— —
E+ 3. 7 C D?. Fp3. 73C D. E? +† 2. 72C0D. G + 72 C5. 2EF † 7C6.
EF3.8 C De F3. 820CD. Ee 2.8CD. G 4 8 C. 2EF p80.
S. —5 5
H.
H.
H.
B-2 — 4.1040
B — ½ 121
B6 — 414541.
B— — ½.164.
B-20 — ½ 18A
B- — 4200414
5. 55C D. E4.
6e0 De †5.60 D.. E4.
[70De +5. 7202D. E4.
Fortſetzung der Horizontalreihe 8. „ 9. + 2200. F* + 2, Co. 2EG †2 C. J. B1 — . „ 10. + 30 F* † 3 0 2E6 † 3 C2J. B6 —. . 11 + 420* F² + 4,02 2EG + 4 0.N. B5 —. „ 12. + 50 F 5 „ „ 13. F 6204. F* † 601 2E6 †6 C. J. B— .
„ 14. + 7205. F? + 70 206 7
S S. S — „ S „S „ S 1 8
—
„8S „S „S 2. 2 C D H
3. 3 C D?. 6 † 3.35C D. 2EF †2.320 D. H † 300 . Es
4C Do. Fp6. 4,C D?. PeP 3. 4 0 De. 6 + 3.420 D. 2RF2.40 H 40 E⸗
5 0 D'. F †6. 5.0 D?. E? † 3.50 D? 6 + 3.502D 2EF †2.50D. H † 502 Fs 6 C Do. F P6.6.CD. E † 3. 6 CD?. G † 3. 6C D. 2EF 2.62C D. H † 6305. Es
7CDe. Fp6. 7CD?. E† 3. 730 6 +3. 700D. 2EF 2. 70D. H 7,04. Pe
— S — S 2 „2 —5 5 8 E — 8 E *

102. Wenn man das Bildungsgeſetz der Umkehrung der Reihen (101.) näher unterſucht, ſo ergibt ſich, daß ſämmtliche Glieder der Entwickelung Funktionen von A und B ſind, daß ſie ſich vertikal ordnen nach auf einander folgenden Potenzen von A und daß der Exponent von A zugleich die Zahl der Horizontalreihe bezeichnet — von dem erſten Gliede der Ent⸗ wickelung an gezählt — in welcher ſich ein fragliches Glied vorfindet.
Sämmtliche Glieder der Entwickelung bilden unendlich viele Hauptgruppen unendlicher, in vertikaler Richtung fortſchrei⸗ tender, Reihen. Die Hauptgruppen folgen ſtaffelförmig aufeinander und ihre Vertikalreihen ſchichten ſich ſelbſt wieder in ihren Anfangsgliedern ſtaffelförmig und bilden Gruppen unter ſich.
Die erſte Hauptgruppe beſteht nur aus einem einzigen Gliede, jede der zweiten und dritten Hauptgruppe aus einer einzigen Vertikalreihe, die vierte Hauptgruppe beſteht aus zwei Vertikalreihen, die fünfte aus drei, die ſechſte aus fünf, die ſiebente aus ſieben, die achte aus eilf Vertikalreihen 3c. Ueberhaupt iſt die Zahl der Vertikalreihen einer Hauptgruppe ab⸗ hängig von der Zahl der Glieder derjenigen Klammer, in welcher D, D?, Do, Du ꝛc. erſcheint, was (nach 6) aus der Ent⸗ wickelung des Polynomiums (1.) ldaſelbſt mit Berückſichtigung von EQl.) D für 6 geſchrieben) hinlänglich erhellet.
103. Die allgemeinen Glieder der entwickelten Vertikalreihen ergeben ſich leicht aus den bereits entwickelten Gliedern, da das Geſetz des Fortſchreitens derſelben klar vorliegt.
Bezeichnet m die Zahl und u den Werth des allgemeinen Gliedes irgend einer Vertikalreihe der Entwickelung, wobei m jedesmal die Zahl der Horizontalreihe, alſo den Exponenten von A bezeichnen ſoll (102.), ſo wollen wir den Buchſtaben m noch mit charakteriſtiſchen Zeichen verſehen, um zugleich die Zahl der Hauptgruppe und die der betreffenden Vertikalreihe auszudrücken.
Es ſei allgemein ma der Werth des mit An als Faktor behafteten Gliedes der qten Vertikalreihe der pten Hauptgruppe.
Vertikalreihen, deren allgemeine Glieder die Form haben:
p pH p†2 p3
wollen wir correſpondirende Reihen nennen. Die allgemeinen Glieder der entwickelten Vertikalreihen ſollen nun, nach correſpondirenden Reihen geordnet, nachſtehend zuſammengeſtellt und aus ihnen wieder die allgemeinen Glieder der correſpondirenden Reihen abgeleitet werden.
Allgemeine Glieder der Bertikalreihen.
2 104. 1) H = — . 2 Qm — 2)1 An(m — 1) CnDo. B—2n1 2) M= + — (2m — 3) n 3 An (m — 2)1 Cm 3) B— 2†2 1 3) ℳ= — —3 (2m — 4)n 4 An(m — 3)% Cn De. B n
4) ü — S 5 (ZIm S 5 Am (m 2 4) Cm7D3. B 2m†4
1
5) M Qm — 6) n—6 An (m — 5)4 CmD4 B 2m†5 1
6) = En — 7)n A(m — 6)% CDh. Brf
P 5 M = — m — p)n- p 1) Cn rDr 31 6

iche zen nt⸗
rei⸗ hren
iner
detn, vobei
aben reihe
thend
9)
10)
1¹)
12)
13)
14)
15) 16) 17) 18)
19)
20)
21¹) 22) 23)
24)
25)
M Mmn
9 Mn
In
f A IV I
Mn
P
M
— — 3 Em — 4)% An. (m — 3) C*— D IR). B
—= — — (Zm — 6)m. Am 3(m — 5)3 Cm—8 D2 [E] B 2m†5
U 6
— + (Zm — 7) m 7 Am 4(m — 6). Cm 10 D [(E) 2 B 2m+6
— (m — 8)n6 An 5(m — 7)6 Cw 12 D [E]. B wt
1 m — 8
= + (Zm — 9) n 6(m 48)5 Cm14 D5 (E)] B ms
ſ
1 6 2 N 2 — — G n — Pe A — 3n — pF0e e Den B
1 Em — 5)n3 A. (m — 4) C Do ſp) B
m
m — 5
6
— — Gm— 8) 4 40n — 7) Ce Do [F] Bt
m — — + Em — 9) % 4A. 50n — 8) Cr Pe IFl. B t — e 6 1 m m— 2p†+5 5 2 m = (— 1) — p
— — Em — 6) % An 20I0 — 5) C* Do IM]). Bt
— 4 — — Em — 7)0 7 An 3(m — 6) Cn D. [Pe) . Bnt⸗
m — 6
De B
—
— Em — 9) A Bln — 8) C*15 D. [Ee. B
P
1 m— 2p† p—6 72 — 2 n-†p—
3 3 3 „ 1 2

26) 27) 28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
m. 5 (Qm — 6) 6 (m — 5) Do [6] 6 —
1 m 6 m — — 2m†6
f, = — G 6 en ſp ſ zu, —= (— 1) — (2m — p)n ( P 6 Dr [6h B
M —— 5 (Zm — 7)m 22(m — 6)2 [2 E F] 6
M — — — (Z2m — 8)25 3 (m — 7) 3 Cm— 10 D [2 EF] 2 B 2mp7 —
Ku — ₰— 1 (m — 9)n9 Am . 4 (m — 8)4 Cm — 12 Dꝰ [2 E F] B— 2m5 mM —
ji = — — (Zm 10)n 0 Am 5 (m — 9)5 Cm14 D [2 EF) B n m — *
W
1 m . m— 2 p†6 50 56 — 2 m†p—1 — (— 0 En—p) (— 5h0n—p 1h Ce rePr.B
Hn — (2m — 7) m—7 (m — 6) Cm—7 Do [H) B rſ6
m — 6
Hü. —= — (Zm — 8) n— An 2(m — 7)2 Cm—9 D [E) B m
— m 9 3 m — ſ
Qm S (p 6)m P + 1)y—6 S [H B 2m†p1
P
m —= — — (m 6 m —
9
Mmn — — (m — S 9 An ⸗ 4(m — 8)4 Cm D [Es] * B 2m†8
füin — — (m 10 Am . 53(m — 9)5 S D² [E] . B2m†9 m . p
d
— „— —
— —
—

7
105. Aus dieſen abgeleiteten allgemeinen Gliedern (iu) der correſpondirenden Reihen ergiebt ſich, daß einige ihrer
Coefficienten und Faktoren beſtändig ſind, andere ſich ändern, ſowie daß jedes allgemeine Glied einen beſonderen, nicht mit
den Größen m und p behafteten, (hier eingeklammerten) Faktor hat. Es läßt ſich daher aus denſelben noch allgemeiner weiter ableiten:
p —1 1 6, S6 — Em—p)n An (p—)(—pf1)p 0n2p47 Dp-s [y) B2np in welcher Darſtellung die Buchſtaben a, 6, „, „, V noch näher zu beſtimmende Größen bezeichnen.
106. Wenn man nun die Umkehrung der Reihe, noch weiter als bisher geſchehen iſt, fortſetzt, ſo ergiebt ſich für den mit den Größen m und p nicht behafteten Faktor [) daſſelbe Bildungsgeſetz, welches für den zuſammengeſetzten Faktor (6.), beziehungsweiſe das Polynomium (1.), ſtattfindet und man hat nur nöthig in (1.)
ſie für F für D ſür ſür N ſ w zu ſchreiben und dabei die Stellenzahl, beziehungsweiſe den Exponenten von X um 2 zu vermehren, damit zugleich die für N nach und nach beſtimmten Größen in Gruppen gehörig geſchichtet werden. Daher wollen wir den Faktor U Polynomial⸗ Faktor nennen und denſelben, um ihn alsbald von den übrigen Faktoren zu unterſcheiden, einklammern. Demgemäß ergeben ſich für [V) nach und nach die Werthe:
k, 1 M, H, K, L.,
ſ
welche wir zur deutlichen Ueberſicht und zugleich geordnet nach den Hauptgruppen in nachſtehendem Schema (109.) zuſam⸗ menſtelleu.
107. In dieſem Schema enthält die erſte Horizontalſpalte die Stellenzahlen der Hauptgruppen der Entwickelung und die unter denſelben befindlichen, in den Vertikalſpalten ſtehenden, Größen ſind die, nicht mit den Größen m und p behafteten Polynomial⸗Faktoren der zuwachſenden allgemeinen Glieder der correſpondirenden Reihen. Es läßt ſich nun nach dieſem Schema die Zahl der Vertikalreihen jeder Hauptgruppe (102.) weiter beſtimmeu.
Man erhält aus ihm
für die Hauptgruppe: 1 17 die Zahl der Vertikalreihen des Zuwachſes: . 7 8 1 und hieraus die Zahl ſämmtlicher; Vertikalreihen: 5 13
wenn man jedesmal die Zahl der allgemeinen Glieder des Zuwachſes zu der Zahl der Vertikalreihen der vorhergehenden Hauptgruppe addirt.
108. 1) Wenn man die Formel (105) mit den Formeln für p (104) in Bezug auf die Exponenten von D vergleicht, ſo findet ſich, daß ſo oft p um eine Einheit zunimmt, dies auch mit den Erponenten von D der Fall iſt und daß für dieſe Formeln 0 = p — 6 nämlich p = iſt; d. h. 6 iſt ſtets gleich dem Index des Polynomial⸗Faktors [V) und der kleinſte Werth von p iſt ſtets gleich 6. Laſſen wir daher p in 6 übergehen, ſo beziehen wir die betreffende Formel, anſtatt auf alle Vertikalreihen correſpondirender Reihen, nur auf deren erſte Vertikalreihe.
2) Vergleicht man die Formel (105.) mit den Formeln 04.) in Bezug auf a, ſo findet ſich, daß dieſe Größe jedesmal die Zahl der Faktoren von (den etwaigen Zahlen-Coefficienten nicht mitgerechnet) ausdrückt. Durch weitere Vergleichung dieſer und der auf dieſelbe Weiſe noch weiter entwickelten Formeln findet ſich ferner:
und

— — ———
109.
5 che
zur
m 4
Beſtimmung des Polynomial⸗Faktors [) der allgemeinen Glieder der Enwickelung.
12 13 14 15 F F 5 F ( F 8 E 2EF 2E6 2EH 2E) 2PK 2E. 2EM 2EN 250 2EP 2E0 F 2F6 2FH 2F 2HK 2F. 2FM FN 20 2FP 62 26H1 207 26K 261. 26M 26N 260 H 2H) 2HK 2HI. 2HM 2MHN J 2MK 2M. M R 2kl. Ee 3EF3E6 3RH 3Ee 3EK 3Bel. 3M 3EN 3B0 3EP 2.3EFG 2.3EFH 2.3bF 2.3RFK 2.3EF. 2.3hM 2.3EFN 26 2.3H0H 2.30 2.3E6K 2.3GL. 2.3B6M 3EH* 2.35H) 2.3EHK 2.3EKHI. 3EN 2.3EK F 3 3EH 32) 3FK 3PI. 3FM 3h0 2.3F6H 2.36) 2.3F6K 2.3FCI. pn 23 23H 3F.) 6* 30 Hl 30 36K 36H* 2.30H) R⸗ E 4F 4E 4EH 4B 4EK 4E. 4EM 4 Eeß2 2.4EF6 2.4 EFHI 2.4 EF 2.4 EFK 2.4 EeFl⸗ LEG 2.4 EGH 2.4 EG 2.4 EGK 4, H 2.4 EH 4EF 3. 4EpeG 3.4EFH 3.4.EF 3.4FK 3.4FFG? 2.3.4EFGH 2.3.4PP6 3.4EFRH⸗ 4h6 3.4EGM F 46 4FR 45) 4F0 2.4FeR 4FG5 b 5EF 5P6 5H 5E 5EK 5,FoF? 2.5 EFG 2.5 EFH 2.5EF.) 5F62 2.5 EGH 5 EF 3.5 EF2G 3.5 E2FH 3.5⸗EFG 5EF 4.5EF6 F5 Es 6EoF 6E6 6E 6,FF 2.6 EF6 6EF P

—
9
110. Will man die Betrachtung (107.) weiter fortſetzen, ſo iſt es nothwendig, das Schema (109.) ſelbſt nach (106.) weiter zu entwickeln. Es ergiebt ſich noch aus (109.), ſchreibt man:
IV V VI N S ſi S ſi U für C; wo alſo ſelbſtverſtändlich die Zahlen 'vM * Stellenzeiger ſind (die mit dem Werthe von 6, für a = 1, und mit
dem bezüglichen Exponenten von X der gegebenen umzukehrenden Reihe (101. 1.) übereinſtimmen), daß man für die Produkte der Coefficienten E, F, 6, H, . . . . die Größe 6 erhält, wenn man jeden Stellenzeiger eines Buchſtaben mit ſeinem Ex⸗ ponenten multiplicirt, dieſe Produkte addirt und von dieſer Summe 2mal (die Summe der Exponenten weniger 1) abzieht.
So erhält man z. B., daß für das Produkt E? F (= 6 6) die Größe
111. Hiernach erhält man in Bezug auf die reinen Potenzen der gegebenen Coefficienten E, F, G, H, . . . . 1) Die erſten Potenzen der verſchiedenen Coefficienten E, F, 6, H, . . . . beginnen mit derjenigen Hauptgruppe, deren Stellenzahl gleich dem Exponenten der zugehörigen Potenz von Xiſt.
IV 2) Die Potenzen von E (= C) überſpringen ſtets eine Hauptgruppe.
Es beginnen alſo: Ea mit der Hauptgruppe: 20 + 2 = 6 3) Die Potenzen von F (= G überſpringen ſtets zwei Hauptgruppen. Es beginnen alſo: mit der Hauptgruppe: 30 + 2 = 6 4) Die Potenzen von G (= 8) überſpringen ſtets drei Hauptgruppen. Es beginnen alſo: 6 G mit der Hauptgruppe, 4a + 2 = 6 ſ 5) Die Potenzen von é (= u) überſpringen ſtets n — 3 Hauptgruppen. Es beginnt alſo: Co mit der Hauptgruppe: ( 2) a 2 6 Hieraus folgt noch: 6) Für —0 iſt — a = 1 und u = 3 iſt 6 = 3.
112. Es geht aus dem Bisherigen hervor, daß jedes Glied der Entwickelung vollkommen beſtimmt iſt, wenn man den Erponenten in von A, das iſt die Zahl der Horizontalreihe, ſowie die Stellenzahl p der Hauptgruppen, welche das fragliche Glied in der Entwickelung einnimmt, und außerdem ſeinen Polynomial-Faktor [U) kennt, und wir wollen daher in Zukunft den allgemeinen Werth jeden Gliedes durch dieſe drei Größen bezeichnen.
Schreiben wir demgemäß
) 1 mſU) anſtatt Ma, ſo iſt die allgemeine Form der correſpondirenden Reihen 6 6†1 62 p p+1 p2
und ſubſtituiren wir für „und „ ihre (108.) gefundenen Werthe in (105.); ſo geht dieſe Formel über in:
P
. 1 c m m —2 0 3) mſy] = (— 1) 1. (Lm — p)n p An (P— 6 + c ) % (m — p+ 1)y v. Cn25 a

10
welche Formel wir als das ganz allgemeine Glied aller Vertikalreihen der Umkehrung betrachten köunen und in welcher a und 6 von der Größe [) abhängige Größen ſind.
Da wir ſpäter das ganz allgemeine Glied mit ſeinem folgenden Gliede vergleichen werden, ſo wollen wir Letzteres aus demſelben ableiten. Schreiben wir in obiger Formel m + 1 für m, ſo erhalten wir das folgende Glied der vertikalen Richtung, nämlich:
4) ſ] 1 — (2Im — p† 2)n p1 Amfi (p — 6 + ca (m — P† 2)y 6 44
m + 1 m 6 Cm 26a2 Dy-6ſh] 8 B dieſes folgende Glied ausgedrückt durch die Zahl der Horizontalreihe des vorhergehenden. Schreiben wir aber in Formel 3) P+1 für p, ſo erhalten wir das folgende Glied der horizontalen Richtung, nämlich: ph 1 6 m m— 0— 5 ſ S (ZIm — p — 1) m p1 An (p— 6 + a + 1)(m — ph-6 Cm 2p6 a dieſes folgende Glied ausgedrückt durch die Stellenzahl der Hauptgruppe des vorhergehenden. 113. Nach Formel (112. 3.) laſſen ſich nunmehr die allgemeinen Glieder der correſpondirenden Reihen, ohne vorher
die allgemeinen Glieder der betreffenden Vertikalreihen zu kennen, mit Hülfe des Schemas (109.) leicht fortſetzen. So folgt auf den Polynomial⸗Faktor E (104.) in der Vertikalſpalte 8 (109.) aufwärts der Polynomial⸗FaktorF?.
Für denſelben iſt alſo (108.)
— und — daher: 1) Zn — [E — — Em P)n p (p 6 [F*] B Ferner folgen noch in dieſer Rubrik 8 (109.) die Polynomial⸗Faktoren: E = 6 ſ ſe 6 2 5 J — P P 2) Kl = m [2E6] = (— 1) 1. — 91 (Zm — p)m p An (P— 6)2(m — P† 1)n6 P P 3 —2 — —2 m — mſM = (— 1) 1 em p) 6 2rs Dy- ſI. Bmp Alsdann folgen im Schema (109.), Vertikalſpalte 9, von unten der Ordnung nach die Faktoren: ( für ſie iſt a = und 9 = 9, daher: K 1
4) Rhn — mſ3Rh 2 (— 1)* 1 —— (Em S ſi Am (p 6) (m p + 6 Cn 2p†7 Dy— [3E2F) B— 2m†p—1
5) Mun = mſ2F0] = (— 1) . — Fenp
6) An [2EH] = (— 1) 1. — 1 (Zm — p)n A (P— 7)ꝛ(m — p-† 1)p— Cm2ps Dy ſ2EH). B—mp—1
ü — n lR) — (— 1 En— pe —9) 0u—p CrrtDr — 6 ſp
111. Noch iſt für die entwickelten Vertikalreihen (101. 2) Folgendes zu bemerken: 1) Bei allen correſpondirenden Reihen folgt auf das dritte Glied jeder vorhergehenden Vertikalreihe das erſte Glied der
folgenden Vertikalreihe horizontal.
un
di

11
2) Da, je nach dem Grade der umzukehrenden Reihe, nämlich dem Grade der vorgelegten Gleichung, Vertikalreihen verſchwinden; ſo könnte man dieſe auch nach den Coefficienten der verſchiedenen Potenzen von x in Klaſſen eintheilen. Iſt die Gleichung vom erſten Grade, ſo verſchwinden alle Vertikalreihen und es bleibt nur das einzige Glied der erſten Hauptgruppe X = — AB1. Iſt ſie vom zweiten Grade, ſo verſchwinden alle Vertikalreihen mit Ausnahme der einzigen der zweiten Hauptgruppe, um deren Werth das einzige Glied der erſten Hauptgruppe zu vermehren iſt.
Wir können daher die Reihe, deren allgemeines Glied (¶04. 1.) iſt (wofür wir nach (112. 1.) mſ1] ſchreiben), die Vertikalreihe des zweiten Grades nennen.
Iſt die vorgelegte Gleichung vom dritten Grade, ſo verſchwinden alle Vertikalreihen mit Ausnahme der erſten Vertikal⸗
reihe einer jeden Hauptgruppe und wir können daher die Reihen, deren allgemeines Glied u — m1) iſt, die correſpon⸗ direnden Reihen des dritten Grades nennen. Um dieſe Bezeichnung aber in Einklang mit der vorhergehenden zu bringen, müſſen wir noch annehmen, daß für die correſpondirenden Reihen des dritten Grades, welche den beiden erſten Hauptgruppen zur Beſtimmung von x noch zuzufügen ſind, p nicht kleiner ſein könne als 3, daß mithin das allgemeine Glied der erſten
Vertikalreihe der correſpondirenden Reihen des dritten Grades —= m1] ſei.
Iſt die vorgelegte Gleichung vom vierten Grade, ſo verſchwinden alle Vertikalreihen mit Ausnahme des erſten Gliedes der Entwickelung, der Vertikalreihe des zweiten Grades, der correſpondirenden Reihen des dritten Grades und derjenigen cor⸗ reſpondirenden Reihen, deren allgemeine Glieder den Polynomial⸗Faktor E, E?, E', Ei, haben und welche wir corre⸗ ſpondirende Reihen des vierten Grades nennen wollen und zwar wollen wir diejenigen in E, erſter Klaſſe, diejenigen in E² zweiter Klaſſe, diejenigen in Es, dritter Klaſſe u. ſ. w. heißen. Dieſe Betrachtung kann man mit allen übrigen Coefficienten fort⸗ ſetzen, wo dann die Zahl der Klaſſe jedesmal mit dem Werthe von a übereinſtimmt und es ergeben ſich daher die correſpon— direnden Reihen, deren allgemeine Glieder den Polynomial-Faktor F, G, H, J, . . . . haben, als ſolche der erſten Klaſſe des Hten, Gten, 7ten, Sten u. ſ. w. Grades.
3) Bei correſpondirenden Reihen des nien Grades iſt ſtets der kleinſte Werth, welchen man p beilegen kann, gleichen und zwar für die erſte Vertikalreihe der erſten Klaſſe (108. 1.)
4) In jeder folgenden Hanptgruppe, von der dritten an gerechnet, beginnen neue correſpondirende Reihen, welche durch ſämmtliche Hauptgruppen ohne Ende fortlaufen. Die Zahl des Zuwachſes dieſer correſpondirenden Reihen wächſt mit der Zahl der Hauptgruppen in vermehrtem Verhältniß.
5) Es iſt ſowohl für die Vertikalreihe des 2. Grades, als auch für die correſpondirenden Reihen des 3. Grades ſtets 6 — a = 2 ſfolgt aus 111. 6. und 7.], wodurch beide im Zuſammenhange mit einander ſtehen und unter ein und daſſelbe allgemeine Glied (104. 7.) ſubſumiren.
6) Würde man demgemäß die Vertikalreihe des 2. Grades als die erſte Vertikalreihe der correſpondirenden Reihen des 3. Grades betrachten, ſo würde das einzige Glied der erſten Hauptgruppe das erſte Glied der Vertikalreihe des 2. Grades bilden.
115. Wir haben bisher den Werth des allgemeinen Gliedes u, — m [9) durch den Exponenten m des Faktors A, nämlich durch die Zahl m der entwickelten Horizontalreihen ausgedrückt und es iſt klar, daß für dieſe Ausdrucksweiſe die Zahl m nicht mit der Gliederzahl der Vertikalreihen übereinſtimmt, weil keine der Letzteren mit einem, den Faktor A in der erſten Potenz enthaltenden, Gliede anfängt. Um das allgemeine Glied auch mit der Gliederzahl jeder Vertikalreihe in Ein⸗ klang zu bringen, ſei m“ der Exponent von A, mit welchem Faktor das erſte Glied einer Vertikalreihe beginne, ſo läßt ſich hieran leicht folgende Betrachtung knüpfen:
Die Vertikalreihen, deren allgemeine Glieder ſind:
beginnen mit der Horizontalreihe 3; 5; 0 S daher: 2p — 3
Hieraus ergibt ſich: e3 1e

12
In gleicher Weiſe findet ſich für die Vertikalreihen, deren allgemeine Glieder ſind:
m [ mi 2g m ſ m ſ6] m“ = 2p — 6 = 2p — 6 + 1 —1 m [E] m 3 m [2E) m ſ2E] m = 2p 7 = 2 — 8 † 2 — 1 m [E] 25 — 6 2 8 34 ſ . und allgemein m 1
Es ſei nun „ die Gliederzahl des allgemeinen Gliedes jeder Vertikalreihe, ſo iſt:
+ 1 daher 3) 1 = m — 2p 4 6 — 4 2 und 4) m = 4 2p — 6 4 —2
Ebenſo ließe ſich die Stellenzahl jeder Vertikalreihe einer correſpondirenden Reihe durch die Stellenzahl p der Haupt⸗
gruppen ausdrücken. Nach (108. 1.) iſt 6 der keinſte Werth von pz dieſer Größe entſprechen daher nach und nach die Werthe:
6 6 6 Bezeichnet daher die Stellenzahl einer Vertikalreihe, welche ſie in der correſpondirenden Reihe einnimmt, ſo iſt und 6
116. Subſtituirt man weiter den ſo erhaltenen Werth von m (115. 4.) in die Formel (112. 3.); ſo erhält man das ganz allgemeine Glied aller Vertikalreihen, ansgedrückt durch die Stellenzahl « der Glieder, nämlich:
ſ — —1 1 9 2 2 2 — 24 1) p W] ( 1) 5 — u + 3p 26 —+ 24 4) †p—a—2 c.—1 Ppß ſy]. B2 3p 26 Setzt man in dieſer Formel für „nach und nach: ergiebt ſich: 9 — W S 5 2p—6 Fa—1 . (p DpP6 [y] B— 3p 26— 241 . 1 2 2 3 2 3) 22p —6 †6—2 6 26 + 20)p 6 A ( — 6 (p — 6 † a + 0 6 p — — = 1 2 9 2 2 A2 p—6 Taf 3 2p—6Fa 2 ſl P Gp p — 3p 26— 20—
ti

13
welche Ausdrücke allgemein das erſte, zweite, dritte u. ſ. w. Glied einer jeden Vertikalreihe, ausgedrückt durch die Stellenzahl der Hauptgruppen, bezeichnen. Um den allgemeinen Ausdruck der folgenden Vertikalreihe dieſer correſpondirenden Reihen zu erhalten, haben wir nöthig p +1 für p in Formel 1) zu ſchreiben. Man erhält: [9 = (— 1. — S p — 6 + a + U ( † p — 6 † h1 C—1 Pp6 ſy]). B2u8p †3624
Setzt man in dieſer Formel 1 = 1, ſo ergibt ſich der allgemeine Ausdruck für das erſte Glied der folgenden Ver⸗ tikalreihe
p†1
. 2— 1
e Dp6 ſy]. B5p6
Schreibt man in (112. 5.) für m ſeinen Werth aus (115. 4.) oder ſchreibt man in (16. 1.) —2 für und p†l für p, ſo erhält man in Bezug auf die Formel (116. 1.) das folgende Glied der folgenden Vertikalreihe in horizontaler Richtung, nämlich:
p†1
7 —— —— = — P 5 0) (u— M2p—6a [
1 2 6 6 — —
(p—6 a† 1 a (†pP— 6 †a — 2½ 3 00—5 Dp6f 5
117. Die Formeln (116. 2. und 6.) werden uns ſpäter dazu dienen, das erſte Glied irgend einer Vertikalreihe einer correſpondirenden Reihe mit dem erſten Gliede der folgenden Vertikalreihe zu vergleichen. Wir werden aber auch nöthig haben, das erſte Glied einer Vertikalreihe irgend einer Hauptgruppe mit dem erſten Gliede einer Vertikalreihe irgend einer folgenden Hauptgruppe zu vergleichen, ohne daß beide Vertikalreihen denſelben correſpondirenden Reihen angehören. Zur Be⸗ ſtimmung der hierzu nöthigen Formeln bezeichne [) einen in einer folgenden Vertikalſpalte (109.) enthaltenen Polynomial⸗ Faktor, wenn [U) einen in einer vorhergehenden Vertikalſpalte enthaltenen Polynomial⸗Factor ausdrückt; ſo iſt klar, daß, je nach dem Werthe von [) in Bezug auf [), die Größe 6 übergeht in 6 + 1, 6 + 2, 6 + 3, u. ſ. w. a aber hierbei ungeändert bleibt oder auch übergeht in a + 1, 0 + 2, u. ſ. w.
Schreibt man nun [) für [W] und geht 1) 6 in 6 + 1 über, während a ungeändert bleibt, ſo ergiebt ſich aus i G)
1 & c 2p—6— — —= 3 P— †a I2p6a—1 e [8] B— 3p26— 2 0 2) Geht aber 6 in 6 + 2 über und a in a + 1, ſo ergiebt ſich aus (116. 6.): 1
+1 8 — [3] = (— 1) . (3p — 26 + 2 0 — Dp A2 p—6 Fa 5 c1
2 p —6 a—1
118. Es geht aus den bisher entwickelten allgemeinen Gliedern hervor, daß ſich wohl für kleinere numeriſche Werthe von p und m die betreffenden numeriſchen Glieder leicht beſtimmen laſſen. Werden aber die Werthe von p und m einiger⸗ maßen groß, ſo erſchwert ſich die numeriſche Ausrechnung, der vielen Faktoren der Coefficienten wegen, faſt bis zur Unmög⸗ lichkeit der Ausführung. Dieſe Unmöglichkeit ergibt ſich uuzweifelhaft für ſehr große Werthe von p und m.
Um daher doch die Natur der entwickelten Reihen auch für ſehr große Werthe von p und m kennen zu lernen, iſt es nothwendig, die Quotienten der verſchtedenen Glieder der verſchiedenen Reihen in Betrachtung zu ziehen, ſowie die Beding⸗ ungen kennen zu lernen, unter welchen Convergenz der entwickelten Vertikalreihen ſtattfindet. Da ſich aber dieſe Bedingungen am beſten aus den Summenformeln dieſer Reihen ergeben, ſo wollen wir nunmehr das Summiren der (101. 2.) entwickelten Reihen vornehmen und wir wollen hierzu einen elementaren Weg einſchlagen.

14 Bummirung der Bertikalreihen.
119. Wir haben in der erſten Abtheilung dieſer Abhandlung zur Beſtimmung der reellen Wurzeln einer vorgelegten Gleichung ſtets nur die vorderen Glieder der erſteren Vertikalreihen in Anwendung gebracht und waren hierbei, wie die vorgelegten Beiſpiele nachweiſen, manchmal genöthigt, um mit möglichſt wenigen Gliedern zur Beſtimmung der Wurzeln auszureichen, mehrere 13 Transformirungen der Gleichungen vorzunehmen, beziehungsweiſe die Wurzeln auf 1 bis 2 Decimalſtellen annähernd zu be⸗ . ſtimmen, bevor wir von der Umkehrungsformel Gebrauch machten. Zu dieſer Unbequemlichkeit geſellte ſich die Unbeſtimmt⸗ 1 heit, bis zu welcher Stelle genau die angegebenen Formeln die Wurzelwerthe liefern, ſowie die Ungewißheit, ob nicht ſpätere Glieder doch wieder einen beträchtlichen Werth erhielten, durch deren Vernachläſſigung Fehler in das gefundene Reſultat über⸗ gegangen ſeien. Dieſe Inconvenienz läßt ſich zwar in der Anwendung dadurch beſeitigen, daß man die gefundene Wurzel 3 durch Subſtituirung einer Probe unterwirft — nichts deſto weniger bleibt es aber wünſchenswerth, das Verhalten aller nach⸗ folgenden Glieder ſchon aus den Coefficienten der gegebenen oder transformirten Gleichung zu beurtheilen und nachzuweiſen.
Dieſer Nachweis läßt ſich auf die Summenformeln der Vertikalreihen gründen, durch welche wir zugleich Formeln er⸗ halten, welche ſelbſtredend ein weniger oftes Transformiren erheiſchen; dem Geſchäft des Summirens ſelbſt ſollen einige Hülfs⸗ formeln vorausgeſchickt werden.
I. Hülſsformeln zur Zummirung der Pertikalreihen.
120. Schreibt man in dem allgemeinen Binomial⸗Coefficienten nn (1. Anm.) für n, ſo iſt
O. M e
m Cle M M 1. 2 5 3 G [Die Faktoren des Zählers verkehrt geſchrieben und jeden, den erſten ausgenommen, mit — 1 multiplicirt oder dividirt) alſo: 1 1 k-1 1 4 3 1) G) — n (n — Für k = 2 iſt: 3 5 1 — m—1 1 3 1 j — jſt · 1 . 1 m U 1 U 121. Nun iſt: 1 3 3 E= ½) (m — % 92 9 2 %½ 2 ½ 1 m 1 (2m — 3) (2m — 5) Gm — 7) . . . 5 3 2 3 1 Eu 2 Qm — 3) Qm — 4) 2m — 5) 2m — 6) 5 4 112 6 — 34(m — 2)2 m — 1) 2m 1. (2m — 2) (Im — 3) . . (n † 1) m 1 (m — 1) (m — 2) . . S 2 ſt 1 1 (m — 1) (m — 2) . . .. 1 —= — Em — 2) n
Hieraus und aus (120. 2) folgt:
2em—1
)

0 2
3) 9)
5)
) 2) 3
4)
15
1 1 1 . 1 G. 2) ()4 122. Nun iſt (121. 1): 1 eem (e (n 3(n 2) (n 2 3 (m — 4) (m — 3) (m — 2) 122
— 1 — 5 Em — S 5 m (Zm — 3) —5 2
Hieraus und aus (121. 1.) folgt: 1 2m—2 m 1 5 1 m 1
123. Es iſt (120. 3):
1 U 1 S m m 1 2 3 1 W 2 . 3 2m (Z2m — 1) n 9 9 m —8) 5 6 1 (m — 3) 6 (m — )4 (m — ) Im 1 2m (2m — 1) (2m — 2) (m † 3) (m †2) n + Um (m — 1) (m — 2) 5 4 3 1 2m m — 1)( 2m — (m + 3) m† 2(m+† 1) m(m — 1) (m — 2) . .. 3 1 3 — m (m — 1) ( 1 1 1 m — m — m n Fn Em)n Zn Hieraus und aus (120. 3.) folgt: G2). — G En. G (2), — Gn
124. Wenn man die entwickelten Glieder der verſchiedenen Potenzen von a + b der Ordnung nach mit m, m † 1, m+2, m +3 u. ſ. w. multiplicirt, ſo ergibt ſich:
ma ₰+ (m† 1) b = (a b) (m a + (m† 1) b) m a? + (m†1). 2ab ₰+ (m 2) b? = (a†b) (m a + (m† 2)b) m a* † (m†1). 3a?b + (m†2). 3ab? + (m†3) bs = (a † b) (m a + (m 3) b)
m a“ † (m†1). 4asb † (m2). 6a?b? (m 3). 4ab? 4 (m 4) bi = (a pb) (m a + (m 4)b)
u. ſ. w., daher allgemein: m an † (m†1). nan 1b † (m†2) n2an 2b? † (m3) n2an 3b5 + . . . = (a†b)(m a † (m†n)b). 125. Multiplicirt man die entwickelten Glieder der verſchiedenen Potenzen von a + b der Ordnung nach mit
mz, (m † 1)2, (m † 2) ), (m + 3)2 u. ſ. w., ſo ergibt ſich: — () Ima † (m1) .b1(ab) ⸗
mza + (m† 1)2 b mza? + (m-† 1)2.2ab + (m†2)2. b? = (a†b) [ma + + 22(a† b)b*
mzaꝰ + (m† 1)2. 3a2b + (m†2)2. 3ab? + (m† 3)2. b? = (a-†b) [ma + (m†5). Fb 3 (a b) p? mꝛat + (m †1)2. 4a5b † (m†2)2. 6a?b? † (m† 3). 4ab? † (m† 4)2b = (a b)“ ſma + nen † 4(a b)?b? un. ſ. w., daher allgemein:
mzan + (m† 1)2nan 1b + (m† 2)2 nzan 2b? +† (m† 3)nabs + = (a-†b)ſma + (m†2n— 1) 2. + n(aſb)n2. b?

16
126. Auf gleiche Weiſe findet ſich: 1) mza +† (m †1)2. nan1b † (m2)3 n2a —2b? † (m†3)a. nzan b †... = (a †b)1 [u + (m(m†3 —)—n2b] + nzm(a †b)2b? † ns(a Fb)rbo 2) mza † (rPma b + (m † 2). n2. an 2b? † (m †3)4. nz. an 2 (4w) 4 maa + (m(m(m Hn—6)—1211)8n—6)b] nm(ab b nzm(a †b)n Sb Pnab) be. Von der Richtigkeit dieſer Formeln, ſowie der Zten in (124. und 125.) überzeugt man ſich auch, wenn man die Größe (a + b) — wirklich entwickelt, dieſe Entwickelung mit dem betreffenden Faktor multiplicirt und dieſem Producte die weiteren Summanden beifügt.
127. Aufgabe. Es ſind nachſtehende Reihen gegeben, man ſoll ihre Summenformeln beſtimmen.
1 IV
1) 8 = 1 21 + 422 6 7 4) 8 = 1 + 5½ + 72 + 92 + I1 V
2) 8 = 1 + 32 ₰+ 522 ₰+ 725 + 5) 8 = 1 + 62 + 822 + 10 25 † IM V
3) 8 = 1 + 42 ₰+ 6 12 ₰ 8625 + 6) 8 = 1 + 72 + 922 + 11325 +
1 Auflöſung. Nach (123. 2.) kann man für s, da die Coefficienten der Reihe von der Form (Zm)n ſind, ſchreiben:
1
8 daher iſt:
1 u — (1 — 4) Ferner iſt: = 1 + 37 + 5272 + F (= 8) mithin:
22 1 11 — 3 3 . S. — — Wendet man nun die bekannte Formel der Binomial⸗Coefficienten (a † 1)n = an † an an ſo ergibt ſich aus 2)
II 1 8 = 1 + 212 + 422 + 6 25 + —
11
—5 und es folgt:
9) 8 = Auf gleiche Weiſe ergibt ſich: K W 5 W
w V S 8—8
— 1) 8= ½2 12) 8 fow. Es ergibt ſich nun:
1 1V 1— 32 U 5 1 1 2 ¶— 42)
m 1 1 — 52 + 52 1
(Aus 16.)
[u — 4) + 1 4 —= 4 )7 [u — 42) ½ — 1 22)
(Aus 19.)
w 8 (Aus 17. und 19.)
M V 1V —— (Aus 18) und 20) oder auch 12), multiplicirt mit 22*)

17
128. Aufgabe. Es ſind nachſtehende Reihen gegeben, man ſoll ihre Summenformeln beſtimmen. 1) — m + (m † 1) 22 + (m † 2) 42 + (m + 3). 6 25 + 6 — (n 1) + (m † 2) 32 + (m † 3) 52 + (m 4). 72 † 3) 6 = (n+2) + (n †3). 4 † (n 4) 6½2 † ( †5). 82 † . 9 6 = (n † 3) † (n † 4). 5 † (n †5). 7%2 † (n †6). 9 † ... e (n
N 6) 8 = (m † 5) +† (m † 6). 72 + (m † 7). 9 27 + (m + 8). 11 25 +. ſ . 1 Auflöſung. Die Reihe 1) iſt die binomiſche Entwickelung von 8 = (1 — 42)— (127. 7.), deren Glieder der Ordnung nach mit m, m + 1, m + 2, u. ſ. w. multiplicirt ſind; daher ergibt ſich nach (124. 5.) daſelbſt — 4 für n, 1 für a und — 4 für b geſchrieben:
—
II
1 3/ 7) 6 = (1 — 42) % [m — (m — 4) 42]. Ferner iſt: — 11 —= (n 1) † (n † 2) 32 4 (n † 3). 52 † (m 4) 7 † . . . (= 5), mithin: I I —— Wendet man nun wieder die bekannte Formel der Binomial⸗Coefficienten (127.) an, ſo ergibt ſich: I 1 6 = m + (m † 1) . 212 + (m † 2). 4 2 + (m + 3) 6 25 + . (= 6) 1 + 1 + 212 + 4 22 + 6326 — II + (m † 2). 2 + (m† 3) 412 + (m † 4) 6 25 + . — und es folgt: 11 1 1 ſ 3 6 11 2 2 IV u 8— 5— — — — — v — 5 9) 6 — —,—. 6öbenſo folgt: 10) 6 = —,— ) ſ Durch Subſtituirung ergibt ſich weiter: 3 1 m — (m — ½) 42 13 6 (1— 42) ½ u f 5 1 6 6— n] u 1 1 ſ. 15) 6 = 60— 2) — n— 2.5 3 1v F 1 1 — 60— 3)— n(1—2)— 32 52 5 Er 1 1 10) 6 60— 4 22) — n(— 20) — 4(1— 9.8242 v 1 18) 6 = ſ6 (1 — 52 + 5 2²0) — m — 334) — 51 (1— 29).3 6— 202] S n. ſ. W 129. Wird m = — 4 geſetzt, ſo erhält man: 1 4— 182 3 8 1) 8 = — (Aus 128. 13.) 128. 5.) 22 — (1 — 42 + 22²) + 4 — 82 — + 22) nämlich den Werth von und ebenſo (1— 42) (— 42) ½ v 2 — 92 22 (1 — 2) õ den Werth von s (127. 13.) in (128. 17.) — — . 3* bſiitns 6 a—22 (1 — 42 + 22²) — 2 †+ 32 + 27 ſubſtituirt.
6

18
Durch weitere Reduction findet ſich:
1 8 [Q — 42) — 1 4 22) 2 2 ½* 1 + 9 F — 42) ⸗ (1— 42) V 6 [— 42) ½ — 1† 22].2 22* — 3 4) 248 2.223 8 + (127. 19.) 130. Wird m = — 5 geſetzt ſo erhält man: 5— 22 5 7 + 293 2 + 3 11 2 + 4‧13. 2 + Qus 128. 6.) 3 2 5 — 222 5 3 5 (1— 22) den Werth von . und ebenſo von Durch Reduction findet ſich weiter: N [u— 42) — 1 † 22].2 22* — 225⁵ = — + 7 — 1 = 3 k (1— 42) 6 (1— 42) (1— 42) ½ — 42) ½ — 1 + 22] 32 3 (1 —? — 1 [a= thin: 6 3 — (1— 42) ½ Mithi n — 4 — 1 † 243 4) 225 8 = 21.5 — 3 (1 — 2) 225.8 — la S 3 (29. 3. und 127. 19.)
131. Aufgabe. Es ſind nachſtehende Reihen gegeben, man ſoll ihre Summenformeln beſtimmen.
1
— m, + (m 1)1 22 + (n † 2)2. 4 22 † (n † 3)1. 6 25 † ..
2) S = (n 3 1) ₰ (n 2)2 32 +† (m † 3)2 522 + (n 4). 7623
3) S = (n † 2), + (n 3) 4. (n † 4 6 † ( †5). 82 †.
) S= ( 3) † (n † 4) 52 † (m †5) 71 † (n † 6. 9 +.
5 n b( 6) 8 10
6) S = (n † 5) +† (n † 6)2 7 † (n † 7)2. 922 † (n † 9 117 + .. U
1 Auflöſung. Die Reihe 1) iſt die binomiſche Entwickelung von s8 = (1 — 42)— (127. 7.), deren Glieder der Ordnung nach mit me, (m + 1)2, (m † 2)2 u. ſ. w. multiplicirt ſind, daher ergibt ſich nach (125. 5.) daſelbſt — ₰ für n, 1 für a und — 4 für b geſchrieben:
1 7) S = (1— 42)— Imz — (m — 2) m 22] † 6 (1 — 42)— 2*. Ferner iſt: 6 6 2 5 = (n † 1 ½ † (m † 2)2 32 † (m † 3)2 5225 + . (= S), mithin: 1 — 8) S = — Wendet man wieder die bekannte Formel (127.) an, ſo ergibt ſich:
S = m + (m + 1) ½ 32 + (m † 2)½ 5225 + ( † 3) 7225 +. †m † (n † 1) .3 + (m † 2) .52 + (m † 3) 725 + .. S = m + (m † 1)2 212 + (m † 2)2 . 4 22 + (m † 3)2 6 25 + .. = S) + (n † 1. 2 † (n † 2)5 402 † (n † 3) 64 †. + m + (m † 1) 22 + (m † 2) 422 + (m† 3) 625 + 2 + (m † 1) . 2 + (m † 2) .42* + (m† 3) 62* + .

8 = m + (m † 1)2 22 + (m † 2)2 4 ½ + (m † 3)2 625 + .. (= S) †m † (n † 1) .2 † (u † 2) .4 ½ † (m † 3) 640 + . . . (= ) † (m † 2) 2 + (m † 3)2. 42 + (m † 4)2 625 + .. (= S2) und es folgt:
1 1 1 1n 1 U IV 111
1 S — S — X S — S — 3 X S — v 9) S= —— GEobenſo folgt: 10 S = — — 1) S — ——2 12) S—= Es ergibt ſich nun durch Subſtituirung weiter: 3 1 m. — (m — 2) m. 22 62* S— — - 42) n 1 1 m f1 S 1 1 15) S = S— 2)— , — 2.6])3 1v F 1 1 „ 16) = S — 3) — m(1—) — 3 6 + m 2 1 1 1 17) 8S = S (1 — 42 + 22²) — m (1 — 2) — G — 9)6 — 24 3] v 1 1 1 18) = S(1— 52 + 52²⁵) — m (1 — 32 † 2²) — 5 (1 — 22) 6 + m (3 — 22) 2 + 522 8 — 22 6 p 132. Wird m = — 5 geſetzt, ſo erhält man: 1 15— 70 2 62 — Aus 131. 13) V us 131. 6) 15 — 70 2 62* 52 (1— 22) (5 — 22 2) 5 2 — — 2 2. S — ſa C— 580)— 15 0— 4 42) † ½ 4. S 5 (3 — 22)2 +
1 1 1 nämlich den Werth von S und ebenſo die Werthe von s (130. 1.) und s (127. 13.) in (31. 18.) ſubſtituirt. Durch Reduction findet ſich weiter:
L 1— 32 [d — 42) — 1 + 22½ 225 5 S = — —1 + 3) 22. 5 .
42) 3 [ — 42) ½ — 1] 2 2* 62* 5 (1 — 22 2 — 1 — † 6 d— 42) % ¶— 42) 8 d— 42) v V 1v [0 42) % — 1] 422 22* 62* 4) 225 S = — 524 6 5 — (1— 42) (1— 42) ½ 1 (— 42) ,
u ſ P.
19
W nwWn S — S — 5 2
und ferner:
n. 127 190)

20
HI. Jummenformeln.
133. Wir wollen, indem wir die Summe jeder Vertikalreihe (101.) mit S bezeichnen, die in (104.) angenommenen charak⸗
p teriſtiſchen Zeichen dieſem Buchſtaben beifügen und es bedeute allgemein S. die Summe der qten Vertikalreihe der pten Hauptgruppe. Analog wollen wir die Summe der erſten 7 (= p— 6 † 1) (15. 6.) Vertikalreihen einer und derſelben correſpon⸗
direnden Reihe mit d. bezeichnen, dabei aber die Werthe für q = 1 und p = 1 nicht anſchreiben. Hiernach iſt:
2 2 4 5 5 5 6 6 2) Su 6 Su — CTu 3) Su Sin = En 2 3 3 5 6 6 6 7 7 T + S — T Cu Su — Tu Tu — S — T 3 4 4 6 7 E 4 5 5 — i ſ ſp W 131. Es iſt Es ſei ſo iſt: 2C 20 1) 2) — H 3) 0 — 5) 8S = — 22 B 8 135. Es bezeichnet: 2 1) S die Summe der Vertikalreihe des 2. Grades. Es ſei: 0 2 1 A0 2) — 3) ſo iſt: 11 5) 8 = +† 1 —1 — (4) 44 + 22 4) S = — 1 2 470 B + G)2 4 * — 4 4140B — (4)3 4*25 . — 1 620 B — 85 — (2m — 2) n—2 Am Cm—1 B 2m†1 —+ (— (I)m 4nm (121. 2) und es folgt: 1 [10) T = (1† 28) — 1 = (1— 42) — 1 u 2 — 1) 5 ₰ 2 [a428 2 68] 11 8) S + 8 = (1 28) — 1; 4— 3 [a280 B 1 oder ſetzt man der Kürze halber: 2 B 11 1 11 — — ſo folgt:
Anmerkung. Löſt man die Größe 1 (135. 10.) wieder in eine Reihe auf, ſo erhält man, weil der Wurzelgröße (1— 42) zwei gleiche, aber entgegengeſetzte, Werthe entſprechen: [— 1 — 1 + (4) 42 — (4)2 42 + (4) 3 4 ½ —
II Da aber T nur die Summe der oberen Reihe ausdrückt, ſo folgt, daß der Größe (1 — 42) % nur ein einziger Werth, und zwar der poſitive, entſpricht.

21 136. Es bezeichnet:
1) S die Summe der erſten Vertikalreihe correſpondirender Reihen des dritten Grades. Es ſei:
A0 1 5) 28 = — 2 —1 — 2 — 1 (4) 42 + 22 G0. G 4 2* 40) 8 — + 1. 1 30ACDB 6 1 m(m— 3B—2m + (m— 2). (2m— 3) A S (— 1) (m — 2) (4)n .4*2* (122. 2) 11 Hieraus ergibt ſich, daß 2 8 gleich der binomiſchen Entwickelung von — (1 — 42) “ iſt, deren Glieder der Ordnung nach mit — 2, — 1, 0, + 1, + 2 u. ſ. w. multiplicirt ſind. Setzt man daher (124. 5.) a = 1, b = — 4, n = 4 m = — 2, ſo ergibt ſich: imn 1— 32 — 2 = — : 6 2 8 1 daher M 1V 7 S (127. 19.) 111 S 1 F — 47 + 7 8 127. 20. [a— —1] 4 e cn 2) 2 8 8 2 1 BD u n n n S T 3 9) S— — — (135. 10. und 134. 6.) 1+T)2
137. Es bezeichnet:
.
4 1) S die Summe aller Glieder der zweiten Vertikalreihe correſpondirender Reihen des dritten Grades oder die Summe aller Glieder der erſten Vertikalreihe der vierten Hauptgruppe. Es ſei:
20* 1 IV A0 ſo iſt: 4 l E 6 1 5 6 — ½12 10. ACDB 12 1 — m— 4 — — En (n3)An0hPrß-2 — + daher: (129. 2.) Mithin iſt: und folglich:
IV
1V 1/ 7 2 3 8) S = 2.225 5 2 (129. 4.)
( — 42)7. q = 4)d— 42)7

22
11 11 w m 88 8* n m 8 8 S 9) S = 28 — ſ I a†h.2 40290 1†7 s6. 7) (38. 6, 135. 10 (34. 5, 134. 6 und und 134. 6.) 135. 10)
138. Es bezeichnet:
4 1) Sn die Summe aller Glieder der zweiten Vertikalreihe der vierten Hauptgruppe. Es ſei: AC
IV — Su 3
2 C* 4
u 6 ſo iſt: 2 1 1V 5) 3 8 — 1 (1 8 3 CRB 8 daher: v 1V v 6) 3 8n = 8 27. 5) 7) Sn = 224 8 IV 1 I11 L 8) 8 = 22⁵ 8 + E SE — (1 — 42) 64*2 (136. 7.) (135. 6. u. 134. 6.) w m 1 4 5 W 9) 8. — 8 — — 2 100 Su = — 30 8 P
139. Es bezeichnet:
5 1) S die Summe aller Glieder der dritten Vertikalreihe correſpondirender Reihen des dritten Grades oder die Summe aller Glieder der erſten Vertikalreihe der fünften Hauptgruppe. Es ſei:
L A0 ) F5 8— 8 S ſo iſt: 5) 3 8 — 1 2 9 + 1 155 63. + 1 5 15 25 ₰+ — daher: 6) 8 2 9 3 11 2 43 130 25 5 15 2 32. 2.) mithin: V V ) 8 — 8 und folglich: 2 W [(1— 42) — 1] 42* 2½* 62* 2) S = — 5 (1 — 22) 225 8 ¶ — 42) ¶ — 42) (1 — 42) 8 ¶— 42) (1— 42) ½ 6 1 V 1V In T8S2 85 38 9) — n 4 (1+ 28) 0+ 7) s (1† 28) (1— T) 37. 7. (134.5, 136. 7.) (135. 10, 134. 5.) q37. 9.) (34. 5, 135. 10.) V — n S* 38* 5 BD 10) 18 4 4426 4 6028] 11) S = 30 8

1) 2²)
²
6)
8)
10)
¹) ²)
4)
6
140. Es bezeichnet:
5 Su die Summe aller Glieder der zweiten Vertikalreihe der fünften Hauptgruppe. Es ſei:
23
20* 5 V AC F S S 3) ſo iſt: 5 1 V
3
Nun iſt: VI a30. 2); daher: X N W — 42) ½ — 205 630 4)
(1— 42) ,
v 1V m 8 36 v w m 8 38
5 138. 7.) 35. 6 u. 10) 5 BDE N S Su 111. Es bezeichnet: 5 Su die Summe aller Glieder der dritten Vertikalreihe der fünften Hauptgruppe. Es ſei: — 2 A0 F5 Su — Su ſo iſt: 5 1 V Su = A5CoFB6 5) 2 Su = 1
B + 7 .2
+ 4 113 4 . AsCFB12 5
+ . . = 8 (127. 6) alſo: V V N IV Su = 225 8 = 224 8 — 225 8.2 27. 22.) v 1v u W m 5 B Su = Su — S2 = Su + 48.8 8) Su = 3c 8m
(138. 7.) (136. 7.) (134. 6.)

24
Convergenz
der
entwielten Reihen.
112. Es dürfte ans dem Bisherigen erhellen, wie man verfahren könne, wollte man das Geſchäft des Summirens der Vertikalreihen fortſetzen. Wir wollen uns indeſſen mit den bereits gefundenen Reſultaten begnügen und nunmehr unter⸗ ſuchen, ob, wie weit und unter welchen Bedingungen die gefundenen Summenformeln zur Beſtimmung der reellen Wurzeln numeriſcher Gleichungen ausreichen.
Da die Zahl der Vertikalreihen, und mithin auch die Zahl der Summenformeln, eine unendliche iſt, ſo bilden ihre Summen ſelbſt wieder eine Reihe von einer unendlichen Anzahl Glieder, welche wir die Summenreihe nennen wollen.
Soll nun eine geringe Anzahl der vorderen Glieder ſchon ausreichen, einen genäherten Werth ſämmtlicher Glieder zu beſtimmen, ſo muß die Summenreihe ſelbſt ſchnell convergiren und wollen wir mit den gefundenen ſieben Summengliedern den wahren Werth annähernd beſtimmen, ſo wird der Unterſchied des genäherten und wahren Werthes mit der ſechſten Haupt⸗ gruppe beginnen.
Uebrigens laſſen ſich aus den bereits gefundenen Reſultaten folgende Schlüſſe ziehen:
1) Die Summenreihe iſt eine rekurrirende Reihe und es läßt ſich jedes folgende Glied durch die vorhergehenden Glieder ausdrücken.
2) Die Wurzelgröße des zweiten Gliedes der Summenreihe iſt in allen folgenden Gliedern enthalten und es ſind letztere nicht mit Wurzelgrößen behaftet, welche ſich nicht auf die Wurzelgröße (1 — 42) zurückführen ließen.
3) Wird daher für dieſe Wurzelgröße die Convergenz der entwickelten Glieder, alſo die Convergenz der Vertikalreihe des zweiten Grades, nochgewieſen, ſo iſt hierdurch zugleich die Convergenz aller Vertikalreihen feſtgeſtellt.
4) Von dieſer Feſtſtellung iſt jedoch der Fall ausgeſchloſſen, in welchem für die Vertikalreihe des zweiten Grades der ge⸗ ringſte Grad von Convergenz ſtattfindet, nämlich wenn 1 = 4 iſt (152.). Daß für dieſen Fall ſchon die erſte Ver⸗
tikalreihe der correſpondirenden Reihen des dritten Grades, und ſomit auch jede folgende Vertikalreihe, divergirt, er⸗ m
hellet aus Formel (136. 8.), aus welcher ſich S = c0 (für 1 = 42) ergibt. Wir wollen nun die (in 20 vernachläſſigte) nähere Unterſuchung über die Bedingungen der Convergenz der durch die Umkehrung erhaltenen Reihen allgemein vornehmen und unterſcheiden dabei: I. Convergenz der Vertikalreihen. II. Horizontales Abnehmen der correſpondirenden Reihen. II. Staffelförmige Convergenz der correſpondirenden Reihen.

25
I. Convergenz der Bertikalreihen.
113. Wenn man das allgemeine Glied (112. 3.) durch ſein vertikalfolgendes (112. 4.) dividirt, ſo ergibt ſich: n [9
2 ſ die aufeinanderfolgenden Glieder der Vertikalreihen S ſy Qm — pF2Qm—p ſind abnehmend, wenn: m†1 Um + 1) Cn — 2 p†6— a2 2) 8 — Qm — pEm — p) 40 iſt. Subſtituirt man in dieſer Ungleichung für m (aus m †D(m — 2p5— a2 115. 4.) ſeinen Werth, ſo erhält man: dieſe Ungleichung ausgedrückt durch die Gliederzahl 2 4+ 3 p — 26 + 2 4— 2) E ſ allgemeinen Vertikalreihe. Setzt man in dieſer (2p6 Pa— Ungleichung „ = 1, ſo erhält man: 4) B — Sp 26 20) Gp 2624— 1) 40 für welche Bedingung das erſte Glied jeder Vertikal⸗ 2p— 6+a reihe größer wie das zweite iſt.
1AM. Nimmt man (in 143. 1.) den Werth von m ſo groß an, daß gegen ihn die übrigen Summanden als ver⸗ ſchwindend klein zu betrachten ſind, ſo geht dieſe Gleichung über in:
) Uim. — Sſt daher 2) B? = 440
welche Bedingung ſich auch aus (143. 3.) ableiten läßt, ſo kann man ſagen: Findet dieſe Ungleichung ſtatt, ſo ſind ſämmtliche Vertikalreihen für ſehr hohe Gliederzahlen abnehmend.
145. Soll eine Vertikalreihe auch für die Anfangsglieder abnehmend ſein, ſo muß die Ungleichung (143. 4.) ſtatt⸗ finden. Legt man in derſelben der Größe p einen ſo hohen Werth bei, daß dagegen die übrigen Summanden als verſchwin⸗
dend klein betrachtet werden können, ſo geht ſie über in: 1) B 6
Dieſe Ungleichung wird um ſo kleiner, je größer p wird, daher wird ſich immer (C o gedacht) ein Werth p“—= p ergeben, für welche dieſelbe übergeht in:
2) B 6
Hieraus folgt: Wie groß auch die Ungleichung (144. 2. oder 143. 4.) ſein möge, ſo nehmen doch die Anfangsglieder der, hohen Stellenzahlen der Hauptgruppen entſprechenden, Vertikalreihen ſtets zu, oder es iſt für hohe Werthe von p ſtets:
3) 2[9) — [W). Auf gleiche Weiſe findet ſich auch für hohe Werthe von p: P
116. Da es uns bei der Beſtimmung der Quotienten, welche man erhält, wenn man jedes Glied einer Vertikalreihe durch ſein folgendes dividirt, hauptſächlich auf die Beſtimmung der Coefficienten⸗OQuotienten ankommt, ſo wollen wir dieſe be⸗ ſonders in Betrachtung ziehen, zu dem Ende die Coefficienten der Umkehrungsformel (101. 2.) ausrechnen und den Coefficien⸗ ten eines jeden Gliedes jeder Vertikalreihe durch den Coefficienten des folgenden Gliedes dividiren.

0 = A + B + C2* + DR* + Ex“ + Fx* + 626 + Hx“..
S
C. m[9)
6
(Siehe 147. 1.)
(Siehe 104.)
2 S 1 AC 5 2 2A C* Bo 3 1 5 A05 3 4 3 4 14 Ao C* 2⁵ Bo 5 1 42 A5 C5 6 1 3 132 A7C6 7 1 429 As C7 8 1 3 ½ 1430 A 05 *5 5 1 32 4862 A10 00 15 10 35r 16796 A1C10 11 3 ½ 12 1 m+ 1
4) Allgemeine Glieder: — m [1] ()
———
— S+ S— 0d —— S† S eo
S+
21 A C*D 6
84 A C5 D
330 4 CD
B2
32 12874* C5 D
B4
5005 4 C D
B6
19448 41 CD
B8
75582 A020
B2⁰
enM
— Sd*
6
c
OO* —
—
28 As C D* B*
180 A70* D*
B1
990 A CDe
B1⁵
5005 4 CD
B1⁵
24024 A10 C5 D?
B17
S
B1
Qm — 1) (2m — 2)
Sm — m—5
d) 6n—3)
†mlI) 60
(m† 1) (n — 2)
4
— m1) 60
— n I
1001 400P.
10920 A1 C2 D.
0
vcſ⸗
Su
6
9n
6 1.
6 11 n
6 12
S
B11
660 A C D?E
B¹³
6006 A1 O* D? E
B¹⁵
43680 A CeDß *77
Fn . 5 AE Sm B5 6 40 S Ay B“ ß . 1 5 7 28 As C2 P 8 7ADE 7A5 CF B F B 1 120 A7 C5 P 12 AD 72 ACDE 36 A C2F 6 ßñ 5 F7⁵ Bo 7 1 495 As C*E 165 A C D⸗ 495 A C2DE 165 As C*F Fi 5 F 8 1 2002 A C5 P 1430 4 C2 D 5 2860 A CDE 715 A CaF 4 5 1 41 8008 Ao C6 E 10010 A1 C5 Dz 6 15015 A10 C4D P 3003 4 C5 46 ß 3 B6 Bi6 1 10 1 ₰ 31824 A107£ 61880 A1 CDo 74256 A C5D E 12376 A1 C6F 4 Bis Bis 6 11 1 11 1 ₰+ 5 12 1 1 Gm — 3) (m —5) (m — 3) Gm — 4) m— 3) m— 3) Gm — 5)m — 3 (n † 1) (m — 3) (mP) (m —6) (n PD (n— 4) GnPD) (m—9) 5 5 2 + m [1] + m [E] + m ſF) —.— c·—— ———— — —
Sm — 9) Gm —5)
(n † 1) (n — 8)
B17
m —2) (m †1)
— n [p
00.)
S—
2 (m

27
Anmerkung. In dieſer Darſtellung bedeuten die unter die Vorzeichen der entwickel⸗ ten Glieder angeſchriebenen Zahlen, die Werthe der entwickelten Glieder (nach 103.), bei welchen der Werth für p = 1 und d = 1 nicht ange⸗ ſchrieben iſt, und die zwiſchen die Vertikalreihen angeſchriebenen Bruch⸗ reihen enthalten die Coefficienten⸗Quotienten der bezüglichen Glieder. Außerdem iſt dem erſten Gliede der Entwickelung ſein Summenzeichen unterſchrieben und die Summenzeichen der Vertikalreihen ſind den⸗ ſelben überſchrieben. 6 S. 6 6 7 Su Sn 6 Sin B 6 S 8 7 7 8 A DF 4 A“ E? 8 A C G Sy So A7H 6 B 7m 7w 1 7 7n 114 114 5 ⁸ 7 7 2 9 90 As CD F 3 45 As C E? 45 As C? G 5 Fin S 9 As DG 9 As E F 9 As C H — S 1 8 1 8. 1 Sn 1 Sn 660 A C* DF 330 Ab C2 E? 220 A C5 G S 55 4 D F 55 A D E? 110 A C D G 110 Ab CEF 55 A 02 H 8 9m 1 Vyn 9 2 9n 9w 9* 1 9 1 9n 6 5 „ 15 15 7 7 6 4004 A10 C5 D F 2002 A10 C3 E? 1001 A C G S 286 Ao Do E 858 A10 0 D?F 858 A10 C D E? 858 A C02DG *5 858 A1 C EF5 286 A C5 H *5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 10n 1 10n 1 10 1 10 1 10n 1 10„ 1 10. 1 10 0 1 5 8 58 44 5 9 4, 5 64 5 4 21840 A1 CLDF 10920 A1 CaE 1 4368 A1 C5G 11 273 5460 A1C DeE 77 8190 A C2D?F *71 8190 A CDeEe 5460 A10 DG 77 5460 A1C5 EF 82 1365 A11 04 H 4 B7 S 3 3 Bi B 6 F* i 3 12 n 1 fln 1 1 1 11 1 1n 1 1 1 Il 1 12 n 12 12* 12 12 * 12 n 12 b 12 12 v1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 m — ) (m —5) Sm — 4) m — 5) Qm— 4) m —5) m — 5) m — 6) Em 5m 0 Qm — 5) m — 6) Em —5) (m — 5) Gm — 5)m — 6) m — 5) Gm —6) Qm — 5)Gm —6) dn (m F) (m— 6) (m T 1) (m— 5) (m †0) (m — 10) (m F1) (m — 9) (m F) (m — 8) (m F0) (m — 7) (m F) (m — 7) (m Mm —7) 6 6 6 7 7 7 7 — m [F] — m [6] + m E) + m [F) + m [E* + m [6] + m 12EF) + m IHM (16.) 21.) (26.) (6.) (11.) (17.) 22.) (27.) (31) (36. —— — — ———˖———,————————— 5

28
117. Es folgt aus (143. 1.):
Cnl 1 ¹) = S enn man aligemein unter C. m ſy) den Coefficienten von m [9) (m Fm — 2p6— a2) verſteht.
Nach dieſer Formel ſind in (146. 3.) die Formeln für die Coefficienten⸗Quotienten der Vertikalreihen beſtimmt, indem jedesmal für p, 6 und a die zugehörigen Werthe geſetzt wurden.
Aus letzteren Formeln ergeben ſich dann die Coefficienten⸗Quotienten der einzelnen Glieder, welche in (146. 2.) vertikal aufwärts zwiſchen die entſprechenden Glieder angeſchrieben ſind.
Es iſt klar, daß mittelſt dieſer gehörig beſtimmten Coefficienten⸗Quotienten die Coefficienten der folgenden Glieder leicht beſtimmt werden können, wenn man den Coefficienten des zuletzt beſtimmten Gliedes durch den betreffenden Coefficienten⸗Quo⸗ tienten dividirt.
Dieſe Coefſicienten⸗Quotienten (146. 2.) ſind, wie die zugehörigen Formeln, ſo dargeſtellt, daß nur ihre Nenner die ver⸗ änderliche Größe enthalten. Da dieſe Nenner bei manchen Vertikalreihen ab⸗ und wieder zunehmen (bei der Quotientenreihe
3 der Vertikalreihe m ſ1] findet ſich z. B.: 35 —= 33½ — 374), ſo müſſen ſich zwei um eine Einheit verſchiedene Werthe für m finden laſſen, für welche ſich gleiche Nenner ergeben. Um dieſe Werthe von m zu beſtimmen, haben wir nur nöthig, in dem Nenner des allgemeinen Coefficienten⸗QOuotienten (m + 1) für m zu ſchreiben und die ſo veränderte Größe der urſprüng⸗ lichen gleich zu ſetzen. Man erhält:
Enpmep. npetmpe
önnp n ünt hierc p'5 p — 46 40 — 6 S (3p—26 20— 2p (p26 2u 2) P 2pP—2020— 3) (2P— 20 20— 3)
3) m 6
— p 6 wodurch ſich zwei Werthe für m ergeben.
118. Es liegt in der Natur der Sache, daß der Größe m (147. 3.) nur poſitive Werthe = 2 p — 6 + a —1 (15. 2.) entſprechen und daß gefundene poſitive Werthe — 2 p — 6 + a — 1, oder negative Werthe, zu verwerfen ſind. Nun läßt es ſich leicht nachweiſen, daß, wenn man unter dem Wurzelzeichen (147. 3.) die Größe
— 3 3p—26 † 2 0— 2) P QpP— 26† 2 4 — 3) addirt, hierdurch die Größe unter dem Wurzelzeichen eine Verminderung für jeden gehörigen Werth von p, a und 6 erleidet.
Da die Wurzelgröße ſelbſt durch dieſen Kunſtgriff rational gemacht wird, ſo geht die Gleichung (147. 3.), in Bezug auf das negative Vorzeichen der Wurzelgröße hierdurch über in die Ungleichung:
— 2 p'ſopEQp— 6 6 — 0) — 9 — 4p4
—
3) — — 2 p— 6 † 4 — 1. Daher um ſo mehr: 4) m = 2p — 6 + a — 1.
Hieraus geht hervor, daß das negative Vorzeichen der Wurzelgröße (147. 3.) gänzlich zu verwerfen iſt und daß mithin dieſer Formel nur ein einziger Werth für m entſpricht.
oder, die Diviſion ausgeführt: 2) m — — Nun iſt aber:
119. Um zu unterſuchen, für welche Werthe von p poſitive Reſultate für m erhalten werden, wollen wir zuerſt den Nenner — 4p +† 46 — 4 4 + 6 in beſonderen Betracht ziehen. Man erhält alsbald als Bedingung ſeines poſitiven Werthes: 1) 4 6 — 4 0 + 6 — 4 p oder: 2) 6 — a + 2 — p. Wir haben bereits (108. 1.) geſehen, daß der kleinſte Werth von p = 6 ſei.
Qm — prPQm — pE i d 5 *) Aus der Differenzialgleichung õn Tn p a o ergibt ſich:
MSpSPGP QP26e als Marimum oder
— Ap FF— La5 Minimum.

29
Setzen wir 6 = p, etwa 6 + k = p, wo k ſelbſtverſtändlich, wie die Größen und P, nur eine poſitive ganze Zahl bedeutet, oder gleich Null iſt, ſo folgt:
3) — a + 3 — k oder: 4) 2 — k + a. Wir ſehen aus dieſer Ungleichung, daß ſich zur Beſtimmung von k und a nur ſehr wenige poſitive ganze Werthe ergeben. 5) Setzen wir k = 0 und a = 0, ſo iſt 6 = 2 (111. 6.), daher auch p = 2 und die Formel (147. 3.) bezieht ſich auf die Vertikalreihe des zweiten Grades. Es wird aber für dieſe zuſammengehörigen Werthe m = — 1, welcher
Werth zu verwerfen iſt. Hieraus ergibt ſich: die Nenner der Coefficienten-Quotienten der Vertikalreihen des zweiten
Grades nehmen fortwährend zu und es iſt: 2 (Z2m— 1)
m+1 Setzen wir k = 1, ſo folgt (aus 4.) a = 0 und man erhält 6 = 2 und p = 3.
6) Setzen wir a = 1, ſo folgt k = 0 und die Formel (147. 3.) bezieht ſich dann auf diejenigen Vertikalreihen, für welche
lim —
K. und p= 6 iſt, alſo auf jede erſte Vertikalreihe correſpondirender Reihen der erſten Klaſſe aller Grade (114. 2.). Da es ſich nun leicht nachweiſen läßt, daß für dieſe zuſammengehörigen Werthe auch der Zähler des in Betrachtung gezogenen Bruches (47. 3.), mit Bezugnahme auf das poſitive Vorzeichen der Wurzelgröße, und ſo auch der Werth von m poſitiv iſt, ſo kann man ſagen: Die Nenner der Coefficienten⸗Quotienten jeder erſten Vertikalreihe correſpondirender Reihen der erſten Claſſe aller Grade nehmen bis zu einer gewiſſen Größe ab, dann wieder zu und es iſt:
Qm — n† 2) (Zm — n+ 1) (m+† 1) (m — n+ 1) 7) Da es ſich ferner nachweiſen läßt, daß, für p= 6 und a —= 1, der Zähler des in Betrachtung gezogenen Bruches
¶47. 3.) ſtets poſitiv und ſein Nenner ſtets negativ wird, und dieſe Vorausſetzungen für einen poſitiven Werth von m nicht ſtattfinden können, ſo erhält man: die Nenner der Coefficienten-Quotienten aller übrigen Vertikalreihen nehmen beſtändig ab und es iſt für dieſelben lim
lim —
Qm — p† 2) (Zm — p+ 1) (m † 1) (m — 2 P†6— a† 2) „
150. Subſtituirt man die zuſammengehörigen Werthe, nämlich 1 für a unden für p und 6 (114. 3.) in Formel (147. 3.); ſo geht dieſelbe über in
¹) — Hiernach iſt: für n = 3
„ n = 4 „ n = 5 m = 13,5 + 4 V651 = 26,257 „ n = 6 m = 19,5 + 4 VI333 = 37,755 . . „ n = 7 m = 26,5 + 4 V245I = 51,253
d. h. es liegt der kleinſte Nenner der Coefficienten⸗QOuotienten der Vertikalreihen, deren allgemeine Glieder ſind:
nſ1] m [E n [F) u6] zwiſchen der 9. u. 10. 18. 26 u. 271 88. 1 39 51. u. 52. Horizontalreihe (146.)
Wir ſehen, daß die Formel (in 1.) für m interpolirte Zahlen liefert. Legen wir einen Werth darauf, ganze Zahlen für m zu erhalten, ſo haben wir die Wurzelgröße dieſer Formel rational zu machen und wir berückſichtigen, daß für ungerade
n die Werthe zu groß, für gerade n zu klein gefunden wurden. 10

30
2 Subtrahirt ) man unter dem Wurzelzeichen 6. ſo ergibt ſich: D
Addirt für ungerade n für gerade n 2n* †n— 3 +n — 2) n = 21%— §) u — 2 Daher für jeden poſitiven ganzen Werth von n 4) m = —
Bezeichnet N den Werth des kleinſten Nenners, ſo erhält man denſelben, wenn man den (in 4.) modulirten Werth von m für m in den Coefficienten von A0 (143. 1.) ſubſtiturrt und daſelbſt n für p und 6, und 1 für a ſchreibt. Es ergibt ſich: 4ſan? — 1(— 1) ſ4n 3 )
5 — e fnꝰ †2n— 1C 1) [4n? — 2n— 1(— 1)7) 3 4 151. Aus den in (146.) berechneten Coefficienten⸗Quotienten geht hervor, daß ſich für die Quotienten der Glieder 5 3 3 6 10 [E]
ergibt, welches derjenige iſt, dem ſich (nach 144. 1.) alle Vertikalreihen bei einer ſehr großen Wollte man nun die Frage aufwerfen, bei welchen Vertikalreihen ſich der Coeffi⸗ icienten des Nenners, in
der Coefficienten⸗Quotient 4 Gliederzahl immer mehr und mehr nähern. cienten⸗OQuotient 4 auch bei den anfänglichen Gliedern ergibt, ſo haben wir nur nöthig, den Coeff (143. 1.) gleich 4 zu ſetzen, woraus ſich findet:
p*+ 5 p — 46 4a — 6 1) m — 5
Betrachtung (149.) Anwendung findet. Daher erhält man, daß ſich nur für die erſten e aller Grade bei den anfänglichen Gliedern Coefficienten-Quotienten
und für welchen Werth von m die Vertikalreihen correſpondirender Reihen der erſten Klaſſ
gleich 4 ergeben. Subſtituirt man nun wieder die zuſammengehörigen Werthe,
Formel, ſo geht dieſelbe über in: 2)
nämlich 1 für a unden für p und 6 (114. 3.) in obige —
ſo erhält man für m diejenigen Werthe, welche für m in (150. 1.) gefunden wur⸗
Es ergibt ſich daher der Coefficienten⸗Quo⸗
den, wenn man daſelbſt die Wurzelgröße in Abzug bringt, dagegen 0,5 addirt. tient 4 bei den Vertikalreihen, deren allgemeine Glieder ſind:
4 5 7 mſ m R m p] u6] m II durch Diviſion der Coefficienten 501 o0 uh] 20 [6] 2h
152. Wenn man ſich die Ungleichung B? = 4 A0 ſo klein wie möglich denkt, ſo wollen wir dafür ſchreiben: B = 4 A0 und dieſe Gleichung als die kleinſte Ungleichung betrachten, für welche wir auch (nach 135. 3.) ſchreiben können: 1 = 4z. Nun iſt aber (nach 135. 6.) 11 4) Hieraus geht hervor, daß die Vertikalreihe des zweiten Grades ſch
. = (1 — 42) . Daher für unſere Annahme: und es folgt: eine convergente Reihe. on bei der kleinſten Ungleichung n B oder für die Bedingung nP11] ch iſt mit der Bedingung für die Möglichkeit der Wur⸗
convergirt, ſowie daß die Bedingung ihrer Convergenz indentiſ zelgröße (1 — 42) .

5)
6)
1)
31
Mit Berückſichtigung von (142. 3. und 4.) läßt ſich ſomit auch die Convergenz aller übrigen Vertikalreihen durch die Bedingung P B — 4 A0 d. h. für die Bedingnng lim feſtſtellen, und es folgt weiter: mPW
daß die Vertikalreihe des zweiten Grades ſchneller convergire, wie olle übrigen Vertikalreihen.
II. Horizontales Abnehmen der correſpondirenden Reihen. 153. Wenn, ohne das Vorzeichen genommen, ein Glied irgend einer Vertikalreihe einer Hauptgruppe größer iſt, wie ein mit ihm in derſelben Horizontalreihe ſtehendes, alſo mit demſelben Exponenten von A behaftetes, Glied einer Vertikalreihe einer folgenden Hauptgruppe, ſo wollen wir beide Glieder horizontal abnehmend nennen. Läßt es ſich insbeſondere nachweiſen, daß bei correſpondirenden Reihen das dritte Glied jeder vorhergehenden Vertikal⸗ reihe größer ſei, wie das erſte Glied der folgenden Vertikalreihe (114. 1.), ſo nennen wir die correſpondirenden Reihen in ihren erſten Gliedern horizontal abnehmend.
154. Dividirt man das allgemeine Glied jeder Vertikalreihe correſpondirender Reihen (116. 1.) durch ſein horizontal⸗
folgendes (116. 7.), ſo ergibt ſich für zwei horizontal aufeinander folgende Glieder zweier Vertikalreihen correſpondirender Reihen der Quotient:
P
F2p 6 La —2 9 Q 3 26 2 — 0 ( — 6 6
1) p+1 S 0 62 BD 2— und beide Glieder ſind horizontal abnehmend, wenn 2) Qu † 3p — 26 + 2 6 — 4) (P— 6 1) . C2 — (n— 1) (— 2) BD iſt. Dieſe Ungleichung wird um ſo größer, je größer p, und um ſo kleiner, je größer „wird. Denkt man ſich 1 ſo groß, daß die übrigen Summanden gegen „ als verſchwindend klein betrachtet werden können, ſo geht dieſelbe üder in: 3) welche Ungleichung immer kleiner wird, je größer man „annimmt. Es wird ſich daher ſtets (B und D S o gedacht) ein Werth , —= ℳ ergeben, für welchen ſie übergeht in: 4)
Hieraus geht hervor, daß, wenn auch zwei aufeinander folgende Vertikalreihen correſpondirender Reihen anfänglich horizontal abnehmen, ſie doch ſtets ſpäter für hohe Werthe von „ wieder horizontal zunehmen und es läßt ſich, die Convergenz jeder Vertikalreihe vorausgeſetzt, folgern, daß, wenn für ſehr hohe Werthe von die Glieder der folgenden Vertikalreihe unendlich klein von der kten Ordnung, die Glieder der vorhergehenden Vertikalreihe unendlich klein von der (k+ 1)ten Ordnung ſind.
155. Wenn man die Gleichung (116. 4.) durch die Gleichung (116. 6.) dividirt, oder in (154. 1.) 1 = 3 ſetzt, ſo ergibt ſich: „ S gp 2922 g e 1) pFI F 2 BD
²)
und die correſpondirenden Reihen ſind in ihren erſten Gliedern horizontal abnehmend, wenn der erhaltene Quotient ein unächter Bruch iſt. In dieſem Falle iſt: Gp — 26 † 24 † 2) ( — 6 † 1) . 60 = 28b.

32
¹) 2) 3)
4)
4)
5)
)
2)
3)
4)
¹)
2)
1)
2)
156. Iſt für dieſe Ungleichung: [) = 1, nämlich a = 0 und 6 = 2, ſo iſt (3p — 2) (p — 1) 6 = 2BD,
(p— 2) 02 —= 2BD, [9] = E, nämlich a = 1 „ 6 = 4, „„ (3p — 4) (p— 3) 0 —= 2Bb, [9) = C — 280, ſ W aus welchen Formeln hervorgeht, daß für p = [W = 1 die kleinſte Ungleichung, nämlich: 0
ſtattfindet und daß alſo, wenn dieſe Ungleichung ſtattfindet, die übrigen noch mehr ſtattfinden; d. h. findet dieſe Un⸗ gleichung ſtatt, ſo nehmen alle Vertikalreihen correſpondirender Reihen in ihren erſten Gliedern horizontal ab und es iſt:
P 9880 5—6—3 S —W.
157. Es ſei (155. 2.), (unter der Vorausſetzung C 0 (8p — 26 † 2 4 2) — 6 1) 0 = 230
ſo folgt, ſubſtituirt man für p immer größere und größere Werthe, ſo daß endlich die übrigen Summanden als ver⸗ ſchwindend klein gegen p betrachtet werden können:
3 6 welche Ungleichung immer kleiner wird, je größer man p annimmt. Es wird ſich daher ſtets ein Werth p = p er⸗ geben, für welchen
3 iſt. Daher kann man ſagen: Für hohe Stellenzahlen der Hauptgruppen nehmen die correſpondirenden Reihen in ihren erſten Gliedern ſtets horizontal ab, oder es iſt, für große Werthe von p, ſtets
p P†1
= 7.
MI. Staffelförmige Convergenz der rorreſpondirenden Reihen. 158. Wenn, ohne das Vorzeichen genommen, ein Glied irgend einer Vertikalreihe einer Hauptgruppe größer iſt, wie ein, in einer der folgenden Horizontalreihen ſtehendes, Glied einer folgenden Hauptgruppe, ſo ſagen wir: beide Glieder nehmen ſtaffelförmig ab.
Läßt es ſich insbeſondere nachweiſen, daß bei correſpondirenden Reihen das erſte (oder zweite) Glied einer vorhergehenden
Reihe größer ſei, wie das erſte Glied der folgenden, ſo nennen wir die correſpondirenden Reihen für das erſte (oder zweite) Glied der Vertikalreihen ſtaffelförmig abnehmend.
159. Wenn man die Gleichung (116. 2.) durch die Gleichung (116. 6.) dividirt, ſo ergibt ſich:
P Ep0an66 B
v+1 3 p — 26 ₰+ 2 0 3p — a) (3p — 26 + 2 4 — 1) . A
— Gp — 36 F 2 3p — 25 24) (3p — 26 † 26 — 1) AP und die correſpondirenden Reihen ſind für das erſte Glied ſtaffelförmig abnehmend, wenn der erhaltene Quotient ein unächter Bruch iſt. In dieſem Falle hat man: B — (3p — 2 6 + 2 4 + 1) (3p — 26 + 20) (3 — 26 + 24— 1) 42D SGp — 6 Fa 1) Gp — 6 †e) P— 6 †¹)

33
Wenn man in 1) der Größe p beſtändig größere und größere Werthe beilegt, ſo werden endlich die übrigen Summanden der Coefficienten als verſchwindend klein gegen p betrachtet werden können und die Formel geht über in:
P ————
lim 1 2p — 6 + a — 2 [U 4B* 8
3) Dieſer Quotient gibt uns das Mittel an die Hand, die ſtaffelförmige Convergenz der correſpondirenden Reihen für die erſten Glieder ihrer Vertikalreihen feſtzuſtellen. Betrachten wir nämlich die erſten Glieder aller Vertikalreihen einer correſpon⸗ direnden Reihe der Ordnung nach als zuſammengehörige Reihenglieder und vergleichen ſie mit den Gliedern der Vertikalreihe des zweiten Grades für ſehr hohe Werthe von m, ſo ſehen wir, daß, weil für letztere noch Convergenz für die Bedingung
L
lim. —— = 1 (52. 4.) ſtattfindet, ſtaffelförmige Convergenz der correſpondirenden Reihen für die erſten
m + 1
Glieder ihrer Vertikalreihen beſteht bei der Bedingung:
v 6 nämlich bei der Bedingung: 6)
160. Iſt (159. 2.)
1 B* (3p — 26 + 2 a + 1) (3p — 26 + 24) (3p — 26 + 2 4 — 1) AD, Qp — 6 †a ¹) Qp — 6 4) P — 6 0) 5 B und denkt man ſich für— — . den größeren Werth 40 aus (143. 4.) geſetzt, ſo iſt auch: 2)
Legt man nun p einen ſo großen Werth bei, daß gegen ihn die übrigen Summanden als verſchwindend klein betrachtet werden können, ſo folgt:
3) 2p . BC — 34AD. Dieſe Ungleichung wird immer kleiner, je größer man p annimmt, daher geht ſie endlich (für p“ — p und B und C O gedacht) über in:
4) 2p B0 — 34 Folglich kann man ſagen: Nehmen die Vertikalreihen der correſpondirenden Reihen anfänglich vertikal ab, aber dabei für das erſte Glied ſtaffelförmig zu, ſo nehmen ſie doch ſpäter ſtets für das zweite Glied ſtaffelförmig ab.
161. Es läßt ſich leicht zeigen, daß, wenn 1) 2B0 — 34A0 iſt, die Ungleichung 2) (2p — 6 +a +† 1) (p— 6 + 1) B0 = (3p — 26 + 2 4 + 1) . A0
noch um ſo mehr ſtattfindet. Folglich kann man ſagen: Findet die Ungleichung 1) ſtatt, ſo iſt das zweite Glied jeder
Vertikalreihe correſpondirender Reihen ſtets größer, wie das erſte Glied der folgenden, nämlich immer:
— — 2 + 2 p — 6 Pa—2 [) — [pV
oder die correſpondirenden Reihen nehmen, die Ungleichung 1) vorausgeſetzt, für das zweite Glied ſtets ſtaffelförmig ab.
p ieſe g gi ch, ——————— — j . 1 Dieſe Ungleichung ergibt ſich au 2 — [) Tp — gedacht, wenn man die Gleichung (116. 3.)
durch die Gleichung (116. 6.) dividirt.

34
162. Iſt 1) 2B0 S 340, 2 und 8) B = 240, ſo folgt: 3)
Die beiden erſten Ungleichungen ſchließen daher immer die letzte, nämlich die Bedingung (159. 5.), ein.
Pon dem Anſchluſſe der, in den einzelnen Bauptgruppen neu zuwachſenden, correſpondirenden Reihen (114. 4.) an Pertikalreihen der vorhergehenden Hauptgruppen.
163. Faſſen wir die Reſultate der bisherigen Unterſuchungen für die Eigenſchaften der entwickelten Reihen noch einmal zuſammen, ſo erhalten wir, anſchließend an (102. Ue Sid
1) Sämmtliche Vertikalreihen convergiren, wenn die Bedingung ſtattfindet B — 4A0 (152. 5.) und zwar um ſo mehr, je größer dieſe Ungleichung iſt.
2) Die Vertikalreihen einer und derſelben correſpondirenden Reihe convergiren nicht alle gleich ſtark, ſondern es convergiren die vorhergehenden Vertikalreihen ſtärker, als die folgenden. (152. 6. und 154. 4.)
3) Die erſten Glieder der anfänglichen Vertikalreihen correſpondirender Reihen nehmen, wenn die Bedingung (143. 4.) ſtattfindet, ſtets ab, dagegen nehmen die der ſpäteren zu; die Vertikalreihen ſind daher, unter der Vorausſetzung (143. 4.), anfünglich durchaus abnehmende, dann ſpäter in ihren erſten Gliedern zunehmende, convergente Reihen.
4) Die correſpondirenden Reihen ſind, für die Bedingung 20 ₰ BD, ſtets in ihren erſten Gliedern (156.), und, für die Bedingung 202 — BD, (C S O gedacht), bei hohen Stellenzahlen der Hauptgruppen in ihren erſten Gliedern horizontal abnehmend. (157. 4.)
5) Die correſpondirenden Reihen convergiren bei der Bedingung 46“ —= 27A2D für die erſten Glieder der Vertikalreihen ſtaffelförmig. (159. 5.)
6) Convergiren ſämmtliche Vertikalreihen und convergiren die correſpondirenden Reihen für die erſten Glieder ihrer Vertikal⸗ reihen ſtaffelförmig, ſo iſt das erſte Glied der erſten Vertikalreihe aller correſpondirenden Reihen größer, wie jedes andere Glied der betreffenden correſpondirenden Reihe.
7) Das Geſetz der Convergenz der correſpondirenden Reihen beruht alſo einzig und allein auf dem gegenſeitigen Verhältniß der Coefficienten A, B, C und D.
161. Da indeſſen die entwickelten Vertikalreihen aus einer unendlichen Anzahl correſpondirender Reihen beſtehen, ſo iſt das Convergenzgeſetz zwar auf jede correſpondirende Reihe für ſich anwendbar, es bleibt aber noch das Verhalten neu zuwachſender correſpondirender Reihen, bezüglich ihres Anſchluſſes an die Vertikalreihen vorhergehender Hauptgruppen, zu unter⸗ ſuchen übrig. Wir werden in dieſer Beziehung damit ausreichen, wenn wir das erſte Glied der erſten Vertikalreihe einer neu zuwachſenden correſpondirenden Reihe (163. 6.) mit dem erſten Gliede einer geeigneten Vertikalreihe der vorhergehenden Haupt⸗ gruppe vergleichen, weil dann im Uebrigen alle bisher gezogenen Schlüſſe für die neu zuwachſende correſpondirende Reihe Gültigkeit haben. Iſt nun das erſte Glied der erſten Vertikalreihe einer neu zuwachſenden correſpondirenden Reihe kleiner, wie das erſte Glied einer bezüglichen Vertikalreihe der vorhergehenden Hauptgruppe, ſo ſind wir gewiß, daß, wenn überhaupt aus dem Verhältniß der gegebenen Coefficienten A, B, C und D die Convergenz⸗Bedingungen der einzelnen correſpondirenden Reihen erhellen und das erſte Glied der bezüglichen Vertikalreihe der vorhergehenden Hauptgruppe auf die verlangte Genau⸗ heit des zu beſtimmenden Reſultates keinen Einfluß hat, auch der Werth des erſten Gliedes der erſten Vertikalreihe der neu zuwachſenden correſpondirenden Reihe auf die verlangte Genauheit des zu beſtimmenden Reſultates keinen Einfluß ausübt, und

35
daß dieß auch wegen der vertikalen und der für die erſten Glieder der Vertikalreihen ſtaffelförmigen Convergenz der correſpon⸗ direnden Reihen mit dem Werthe der ganzen correſpondirenden Reihen der Fall iſt.
Iſt aber das erſte Glied der erſten Vertikalreihe der neu zuwachſenden correſpondirenden Reihe größer, wie das erſte Glied der bezüglichen Vertikalreihe der vorhergehenden Hauptgruppe, ſo iſt die Vernachläſſigung der neu zuwachſenden corre⸗ ſpondirenden Reihe, beziehungsweiſe ihrer anfänglichen Glieder, auf die verlangte Genauheit des Reſultates entweder von Ein⸗ fluß oder nicht, und iſt in ſpeciellen Fällen hierüber zu entſcheiden.
Es geht hieraus die Nothwendigkeit hervor, allgemein feſtzuſtellen, unter welchen Bedingungen ſtets das erſte Glied der erſten Vertikalreihe neu zuwachſender correſpondirender Reihen kleiner ſei, wie das erſte Glied einer Vertikalreihe der vorher⸗ gehenden Hauptgruppe, und hierbei iſt vorerſt zu unterſuchen, mit welchen Vertikalreihen der vorhergehenden Hauptgruppen die erſten Vertikalreihen neu zuwachſender correſpondirender Reihen, beziehungsweiſe deren erſte Glieder, am zweckmäßigſten zu vergleichen ſind.
165. Zum Zwecke dieſer Unterſuchung wollen wir das Schema (109.) einer weiteren Betrachtung unterwerfen. Dividirt man in demſelben jeden zweiten Polynomial-Faktor einer jeden Horizontalſpalte durch den dritten, den dritten durch den vierten, den vierten durch den fünften u. ſ. w.; ſo iſt, bezeichnet ſ) jedesmal den folgenden Polynomial⸗Faktor, wenn [) den vorhergehenden ausdrückt, ſtets: 1 5 5 1) 2 = einem der Quotienten: — wobei, wenn für ſV) die Stellenzahl 6 (108. 1.) entſpricht, 6 + 1 die Stellenzahl für l) bezeichnet, der Werth von a aber für beide Polynomial-Faktoren derſelbe bleibt. Dividirt man nun die Gleichung (116. 2.) durch die Gleichung (117. 1.), ſo ergibt ſich:
P
2 in 0 4 alſo iſt für abnehmende Glieder: 3) Qp — 6 + a) B [9) = (3p — 26 +† 24 — 1) A. 9).
Dieſe Ungleichung findet aber, weil 6 — a eine poſitive Größe bedeutet, immer ſtatt, wenn 4) 2B [) —= 3A ſc] iſt.
166. Wenn man in dieſe Ungleichung die Werthe aus (165. 1.) nach und nach ſubſtituirt, ſo ergeben ſich die Un— gleichungen: 26 — 3A) und finden daher dieſe Ungleichungen ſtatt, ſo nimmt jedes erſte Glied der erſten ſ2ten, 3ten, 4ten . . . 26 — 3A6 (p— 6 † 1ten] Vertikalreihe neuer correſpondirender Reihen in Bezug auf ein ihm bezügliches erſtes 2B66 — 3AM, Glied einer Vertikalreihe der vorhergehenden Hauptgruppe ſtaffelförmig ab, wenn man unter dieſen nenen 2R ð correſpondirenden Reihen ſolche verſteht, welche nicht mit einem, ſich unter den beiden erſten Polynomial⸗ Faktoren einer jeden Horizontalſpalte des Schemas (109.) befindlichen, Polynomial-Faktor behaftet ſind, weil bei der gegenwärtigen Unterſuchung nur die übrigen Polynomial⸗Faktoren, nämlich alle von einſchließlich dem dritten jeder Horizontalſpalte an gerechnet, durch die Größe [3] dargeſtellt wurden.
167. Es iſt aber nothwendig, daß für unſere Unterſuchung auch die beiden erſten Polynomial-Faktoren jeder Horizon⸗ talſpalte in dieſer Weiſe durch ſ) dargeſtellt werden.
Wählen wir nun unter den beiden erſten Polynomial⸗Faktoren jeder Horizontalſpalte des Schemas (109.) für [V) und [B] zwei Werthe dergeſtalt, daß, wenn dem Polynomial-Factor [y) die kleinſte Stellenzahl der Hauptgruppen, nämlich , entſpricht, dem Polynomial-Faktor ſc) die Stellenzahl 6 + 2 zukommt, dabei zugleich a in a + 1 übergeht, ſo erhalten wir, wenn wir die Gleichung (116. 2.) durch die Gleichung (117. 2.) dividiren:

²)
1)
2²)
)
4)
¹)
3)
Subſtituirt man dieſe zuſammengehörigen Werthe in (167
P 1+ 2 p — S a 2 [9) EP a) (à + 1) BD [) —
—
1 . (3p — 26 2 0 — 1) — 00 1 †2p— 6 Pa—1 [3] Da wir hier das Glied in [3] mit dem Gliede in [W] der unmittelbar vorhergehenden Hauptgruppe vergleichen, ſo iſt hierfür 6 = p — 1, und wenn man dieſen Werth von 6 in die vorhergehende Gleichung ſubſtituirt, ſo erhält man:
P
B
S oe S 168. Setzt man nach und nach: p— 3 ſo wird:
Subſtituirt man nun dieſe zuſammengehörigen Werthe in (167. 2.), ſo geht dieſe Gleichung über in:
12— [ 2 2 35 BD — = — daher iſt für ſtaffelförmig abnehmende Glieder:
3 — 1) BD — 8N
Dieſe Ungleichung wird um ſo größer, je größer man p annimmt. Die kleinſte Ungleichung findet ſtatt für p = 3,
woraus ſich ergibt:
BD — AE. Findet daher dieſe Ungleichung ſtatt, ſo finden alle übrigen noch mehr ſtatt, und es iſt: P p†1
p—3
5 5 R1 2
— [E —
169. Setzt man nach und nach:
p= 6, S
24 ſo wird: —
2.), ſo geht dieſe Gleichung über in:
[ (3p — 2) ( — 4) Bb daher iſt für ſtaffelförmig abnehmende Glieder:
(3p — 2) (pP— 4) BD = 4 (2p — 3) AE Die kleinſte Ungleichung findet ſtatt —5
Dieſe Ungleichung wird um ſo größer, je größer man p annimmt. woraus ſich ergibt:
8BD — 9A.

4)
1)
²)
Findet daher dieſe Ungleichung ſtatt, ſo finden alle übrigen noch mehr ſtatt und es iſt:
6 7 8 9 0 11 7 p]) = 3 [2hp]; 10 ſeRp]) = 11 [3peh); 13 [3heh] = 14 ſahoh; p
Fſ-er
170. Setzt man nach und nach:
p= 9, 13, 15,
a = 2, 8 4, 5 ſo wird: 3, E F 4. EE⸗ 5. EP S
Subſtituirt man dieſe zuſammengehörigen Werthe in (167. 2.), ſo geht dieſe Gleichung über in:
2 (3p — 3) (p — 7) BD Z 6 daher iſt für ſtaffelförmig abnehmende Glieder: 3 p 5
Dieſe Ungleichung wird um ſo größer, woraus ſich ergibt:
BD = 4 (2 — 4) Aß.
je größer man p annimmt. Die kleinſte Ungleichung findet ſtatt für p
= 9,
6N Findet daher dieſe Ungleichung ſtatt, ſo finden alle übrigen noch mehr ſtatt.
ſp 171. In gleicher Weiſe ergibt ſich allgemein, daß — 3r — 6, 3r — 4, 3r — 2, 3r, = 2 6 +r — 3 — 1 —= SB [6 Er— EF (r— EFr 8 C S rFFr 1 P 8 1
zuſammengehörige Werthe ſind, in welchen r nach und nach in die Größen 3, 4, 5, übergeht.
6
Subſtituirt man dieſe zuſammengehörigen Werthe in (167. 2.), ſo erhält man:
2 2 T7p — r daher iſt für ſtaffelförmig abnehmende Glieder: 3 p
1— 2 l5
BD = 4 (2p — r+ 1) . AE Die kleinſte Ungleichung findet ſtatt für p= 3r — 6,
5 Dieſe Ungleichung wird um ſo größer, je größer man p annimmt. woraus ſich ergibt:
(4r— 8) BD —= (5r — 11) . AE

38
Findet daher dieſe Ungleichung ſtatt, ſo finden alle übrigen noch mehr ſtatt und es iſt:
3r—6 3r—5
P 6 [F] = 1Färhſ(r — 2) EFr), nämlich: 3 4 6 7 9 10 12 13
311) —= 4 [E]; 7 [F] = 8 ſ2EF); 11 [Fe]) ₰ 12 [3EF*]; 15 F 16 wenn manſr nach und nach = 3, 4, 5, 6, . . .. ſetzt.
172. Läßt man r auf dieſe Weiſe fortgeſetzt wachſen, ſo erhält man aus (171. 4.) als Grenze die Bedingung 1) 4BD — 5Al und findet dieſe Ungleichung ſtatt, ſo finden alle übrigen noch mehr ſtatt. Um jedoch dieſe Ungleichung mit den Ungleichungen (66.) und der (161. 1.) in Einklang zu bringen, wollen wir
die kleinere Ungleichung 2) 4BD —= 6AE nämlich 2BD — 3AE
ſpäter (175. 3.) als Bedingung unterſtellen: wenn dieſe ſtattfindet, ſo findet die Ungleichung (171. 4.), beziehungs⸗ weiſe (171. 3.), noch um ſo mehr ſtatt.
173. Dieſer Betrachtung können in Schema (109.) alle Polynomial⸗Faktoren unterworfen werden, welche die beiden erſten jeder Horizontalſpalte ſind und zwar können hierbei alle, welche ſelbſt Earrts als Faktor enthalten (Po ausgeſchloſſen),
einmal durch ſ) ausgedrückt werden. Diejenigen dieſer Polynomial⸗Faktoren aber, welche den Faktor Ears nicht enthalten, werden hierbei ſtets nur durch
ſy) ausgedrückt. Es findet ſich aber für dieſe, wenn man ſie durch [8] ausdrücken will, ſtets in einer vorhergehenden Ver⸗ tikalſpalte ein, bereits durch [3) ausgedrückt geweſener, Polynomial⸗Faktor, der nun durch ſ) ausgedrückt, für:
W) kE kF kG kH
6 einen der Quotienten: p 6 1
liefert, in welcher Darſtellung k jedesmal irgend einen Zahlen⸗Coefficienten bezeichnet oder gleich Eins iſt.
Hiernach fallen aber dieſe, den Faktor Pa—s nicht habenden, Polynomial⸗Faktoren der erſten und zweiten Stelie jeder Horizontalſpalte in die Kategorie (165. 1.), wodurch nunmehr alle Polynomial-Faktoren ohne Ausnahme einmal durch ſc) ausgedrückt ſind.
von der Wöglichkeit der Ungleichungen, welche nothwendig ſind, durch das Umkehrungsver- fahren ronvergente Reihen zu erhalten.
171. Bringt man eine gegebene, reelle Wurzeln enthaltende, Gleichung von der Form:
1) 0 = a + by + cy + dy † ey + fy6 + nach (22. bis 29.) auf die Form: 2) 0 — B C DP
ſo läßt ſich die Behauptung aufſtellen, daß durch eine ſolche Transformirung ſtets die Ungleichung B = 4A0 erzielt werden könne, und es kann dieſelbe auf folgende Weiſe allgemein eingeſehen werden. Es ſei:
1 2 3 eine gegebene cubiſche Gleichung und — w, — w, — w ſeien die drei Wurzeln derſelben, ſo läßt ſich dieſe Gleichung
vekanntlich folgendermaßen durch ihre Wurzeln ausdrücken: 3 12 13 2 3 1 2 3 4) 0 = www + (ww +† ww † ww)y † (v†w †w)V +
„ „ 3 . * * . Bezeichnet nun — w einen nahen Werth einer der drei Wurzeln, etwa der Wurzel — w, und ſubſtituirt man denſelben für u (nach 29.), nämlich — w + x für J, in 4), ſo geht dieſe Gleichung über in:

39
1 2 3 + [(w — w) ₰+ (w — w) + (w — w) V X. Setzt man der Kürze halber:
— w = W „ — W = V: —— W: ſo iſt: 3 2 1 2 2 2 3 6) o — WW † WW (W † ) W) 4 ( † 2 4 26) 4 x. 4 0 b
3 3 Da nun der Werth von w dem Werthe von w beliebig nahe gebracht, alſo der Werth W beliebig klein erhalten wer⸗ den kann, ſo laſſen ſich die Größen A, B, 6C auch ſtets ſo beſtimmen, daß 2 1 2 3 23 1 2 3 7) [WW † (W W) W) —= 4 WWW (W W + W) nämlich B
iſt; weil bei A die Größe als Faktor, bei C und B aber nur als Summand und Faktor eines Summanden erſcheint. 8) Ganz ähnlich läßt ſich der Beweis für die Möglichkeit der Ungleichung B? —= 440 bei allen, reelle Wurzeln enthal⸗ tenden, Gleichungen höherer Grade, ſowie für die Möglichkeit aller Ungleichungen führen, bei welchen die Größe A als Faktor auf der kleineren Seite des Ungleichheitszeichens erſcheint. 9) In gleicher Weiſe läßt ſich zeigen, daß die Ungleichungen, in welchen A nicht als Faktor auf der kleineren Seite des Ungleichheitszeichens erſcheint, nämlich in welchen der Faktor A gar nicht vorkommt, zwar ſtattfinden können, nicht aber bei einer beliebigen Verkleinerung von A nothwendig ſtattfinden müſſen.
Anwendung des Umkehrungsverfahrens, beziehungsweiſe der Summenformeln, auf die Beſtim- mung der reellen Wurzeln der Gleichungen.
175. Iſt für eine vorgelegte Gleichung von der Form: 0 = a + by + cy? + dys + ey + fy + . . . .
ein annähernder Werth u für v beſtimmt, ſo bringe man durch Subſtitution von u + X für N die Gleichung auf die Form:
0 (29.) ſo, daß hierfür die Bedingungen ſtattfinden: 1) B* — 2AC (162. 2.) 4) 2BE — 3AF (162. 1.) (166. 3) 2B60 — 34AE (172. 2.) 6 2B6 . iſ w.
Denkt man ſich die Ausführung, eine unendliche Anzahl von Gliedern zu beſtimmen, für möglich, ſo würde eine kleine Ungleichung bei der Bedingung B? = 2A6 ſchon ausreichen zur Beſtimmung einer jeden Vertikalreihe, und ebenſo eine kleine Ungleichung bei jeder der übrigen Bedingungen zum abnehmenden Anſchluſſe jeder folgenden Vertikalreihe an die Summe aller vorhergehenden, alſo zur Beſtimmung der Größe X.
Da es uns aber in der Ausführung darauf ankommt, die zu ſuchende Größe nur mit wenigen Gliedern zu beſtimmen, ſo iſt es nothwendig, dieſe Ungleichungen möglichſt groß zu erhalten.
Auch hängt die Größe dieſer Ungleichungen von dem Grade der Genauheit ab, bis zu welchem die Unbekannte beſtimmt werden ſoll. Es muß daher die Ungleichung B? —= 3A0 ſo groß ſein, daß ſchnell convergirende Vertikalreihen beſtehen und dieſe daher in ihren erſten Gliedern ſchon raſch abnehmen.

40⁰
176. Und hier ergibt ſich wegen (145. 3.) für das Umkehrungsverfahren ſtets eine Grenze in ſeiner Anwendung. Zur Beſtimmung dieſer Grenze, für welche nämlich die in ihren ſämmtlichen Gliedern abnehmenden Vertikalreihen der correſpondirenden Reihen in ſolche, in ihren Anfangsgliedern zunehmende, Vertikalreihen übergehen, ſei:
AC 1 3 1) —— nämlich —
2 Schreibt man nun p †1 für p in den Coefficienten von A0 (143. 4.), ſo muß zwiſchen den ſo veränderten und
den urſprünglichen Coefficienten von A60 fallen, d. h. es muß ſein:
* 2 1 (3p — 2 6 + 20) (3p — 26 20 — 1) 8 5 — — Hieraus findet ſich: 4 (6— 0) — 5 1 ſp (e) 6— 3)
92 Ze größer ſich hierbei p ergibt, deſto ſchneller convergiren die Vertikalreihen und deſto weniger Glieder hat man zur Beſtimmung der Unbekannten bis zu einem verlangten Grade der Genauheit nöthig.
4) Da mittelſt der vorhergehenden Formeln, weil die Größe unter dem Wurzelzeichen nie eine reine Quadratzahl iſt, nur irrationale Werthe, und mithin für p interpolirte Zahlen, gefunden werden, wir aber ein Intereſſe daran haben, ganze Werthe für p zu erhalten, ſo kann man, wenn ſich der angehängte Decimalbruch größer als 0,5 ergibt, denſelben ganz weglaſſen und die Zahl um eine Einheit vermehren; iſt aber der angehängte Decimalbruch kleiner als 0,5, denſelben
blos weglaſſen.
177. Es ergibt ſich noch aus (176. 3.), daß man für 6 — —= 2 den kleinſten Werth für p erhält, daß alſo die correſpondirenden Reihen des dritten Grades (114. 5.) früher in ihren erſten Gliedern zunehmende Reihen liefern, wie die correſpondirenden Reihen aller höheren Grade.
Für 6 — a = 2 gehen die Ungleichungen (176. 3.) über in:
1 11
p= () †
2 Iſt daher eine vorgelegte Gleichung von einem höheren als dem dritten Grade, ſo dienen doch vorſtehende Formeln
zur Beſtimmung der Grenze der Hauptgruppen, für welche noch ſtets in ihren Anfangsgliedern abnehmende convergirende
Vertikalreihen erlangt werden.
c2
do
178. Zur Beſtimmung der Unbekannten X (175.) kann man ſich nun der in der erſten Abtheilung angegebenen Me⸗ thode (42.) bedienen, indem man gliedweiſe vorgeht, oder der in dieſer Abtheilung berechneten Summenformeln, oder auch man kann beide Methoden mit einander verbinden, indem man die Summenformeln theilweiſe anwendet und den Reſt glied⸗ weiſe beſtimmt. Um indeſſen dieſen Reſt bequem berechnen zu können, darf die Zahl ſeiner Ziffer die Grenze der Mantiſſe der Logarithmentafel nicht überſteigen. Es ſoll an einem numeriſchen Beiſpiele das Geeignete gezeigt werden (186.)
Bei dem Gebrauche der Summenformeln erſtrecken ſich ſämmtliche Rechnungsoperationen auf das einmalige Ausziehen einer Quadratwurzel auf die Anzahl der Decimalſtellen von der verlangten Genauheit der Wurzel und ſodann auf die bloße Anwendung der ſ. g. vier Species.
Es kann übrigens hier nicht mehr darauf ankommen, ſämmtliche Wurzeln einer vorgelegten Gleichung zu beſtimmen, da hierüber das Nöthige in der erſten Abtheilung bereits abgehandelt iſt. Es dürfte vielmehr die Beſtimmung einer einzigen Wurzel einer gegebenen Gleichung hinreichen, die Richtigkeit der gefundenen Summenformeln und ihrer Anwendung durch
Zahlenbeiſpiele nachzuweiſen.

41
179. Löſung der Gleichung 0 = — 5 27 —+ J (62.) à b d
1) Da für dieſe Gleichung c = 0 iſt, ſo wird der Bedingung (175. 2.) nicht entſprochen und es iſt daher, bevor wir die Umkehrungsformel anwenden, eine Transformirung vorzunehmen.
S
daher u = 2 nahe eine Wurzel der Gleichung; folglich nach (29.): — 0 = — 5 — welche Gleichung den us = 8 + 8 6 12 * Bedingungen (175.)
10 4 6.2 + 25 nunmehr entſpricht. A B C D 2) Nach (176. 1.) iſt, ohne Berückſichtigung der Vorzeichen, — = 6 i) 1 oder (nach 176. 4.) 5 6
5 6 ſo daß alſo die Vertikalreihe m ſ1) eine in ihren Anfangsgliedern noch abnehmende, dagegen die Reihe m (1) eine in ihren Anfangsgliedern zunehmende, convergirende Reihe für unſer Beiſpiel liefert. 3) Da hier die Zahl p die Grenze von (146. 2.) nicht überſteigt, ſo kann ihr Werth auch ſchon durch Vergleichung
von — (= 16 ½) mit den Nennern der Coefficienten⸗Quotienten der correſpondirenden Reihen des dritten Grades ge⸗ funden werden. Es iſt nämlich 13½ — 16 ½ — 18 ½, woraus daſſelbe hervorgeht.
4) Vergleichen wir mit den Nennern der anfänglichen Coefficienten-Quotienten der Reihe m (1], ſo ergibt ſich,
5 6 6 6 daß 18 ½ — 16 ½ — 104 iſt, daß alſo auch — 10 = 11 = . . . und mithin 10 das größte Glied der Reihe
m [1) für unſer Beiſpiel iſt. Mithin iſt daſſelbe dasjenige, welches zur Beſtimmung, bis zu welcher Grenze die Wurzel durch die vorhergehenden Reihen gefunden wird, am meiſten einwirkt. Man erhält aus: log. 1001 = 3,0004341 ( 0 —
daß der Werth von 10 mit der 12. Decimalſtelle beginnt. Genügt uns daher eine Genauheit von 11 Decimalſtellen, ſo können die gefundenen fünf Summenglieder in Anwendung gebracht werden.
6
=
180. Die Anwendung der Summenformeln ergibt: 5 „ 11 34. 3.) T = + 0,113552872566 (135. 10.) 8 —= + 0,12 20 ¶ † 28)“ = 4 1113552872566 E= 0,094627393805 635 13)
log. (A*D) B
0 0,0000000 — 4
Wollen wir unterſuchen, bis zu der wievielten Stelle genau der Werth E mit
3 3
dem Werthe von X übereinſtimmt, ſo haben wir nur nöthig, den Werth von 3 (146. 2.) zu beſtimmen. Man erhält aus: log. 3 = 0,0000000 — 4
3
daß der Fehler mit der vierten Decimalſtelle beginnt und daß die Wurzel, da 3 negativ iſt, zu groß gefunden iſt. Es ergibt ſich weiter:
13

0,12 B0 20 — 4
35508 1113552872566 . = 4 0,107763181216 8S = — 0,000076092139 36. 10) n 2 = 41,056776436283 6 0094627392805 6 S —= — 0,113881590608 S = 0,094551301666 633. 1.) 1†T — 0,113552872566 S = — 0,000328718042 (136. 9.) log. 3 = 0,4771213 Wollen wir unterſuchen, bis zu der wievielten Stelle genau der Werth SE mit log. (AsD²) = 0
4 übereinſtimmt, ſo haben wir nur nöthig, den Werth von 5 o B 4
log. 5 = 0,4771213 — 7
dem Werthe von * (146. 2.) zu beſtimmen. Man erh ält aus:
daß der Fehler mit der ſiebenten T Decimalſtelle beginnt und daß die Wurzel, da . poſitiv iſt, zu klein gefunden iſt. Es ergibt
ſich weiter: B 4 0,002903225806 S = 0,000000180442 as7. 11) S 3093563717 3 3 — 0003223563717 d35 9) E = 4 0094551301666 addirt: = — 0,006126789523 1 N — 6 E = 4 0,094551482108 3 8 2 4 13 oooobb04e32 12 1025) 1†T lil 28 = — 0,000657436084 1V S = ₰ 0,000002806245 (137. 10.)
1 Wollen wir unterſuchen, bis zu der wievielten Stelle genau der Werth * log. (AD²) = 0
mit dem Werthe von übereinſtimmt, ſo haben wir nur nöthig, den Werth von 7 d. E. log. Bio = 00000000 — 10
(46. 2.) zu beſtimmen. Man erhält aus: log. 7 — 00791812
daß der Fehler mit der neunten Decimalſtelle beginnt und daß die Wurzel, da negativ iſt, zu groß gefunden iſt. Es ergibt ſich weiter:
8 —= 4 0,001728
Kü S* [78
1†T 38 —= 4 0,005184 = 40,001826694387 IV S 2 = 4 0,000421436004 58 = 0000014031225 8 addirt: = 0,001840725612 0002003225606 u d28 5(+ 8)8 = — 0,001840821035 I1 V — + 0013626344708 S = — 0,000000095423 (139. 10.) B“D* 5
addirt: = + 0,016951006518 60

— — 0,000000000563 39. 11.) auf 11 Decimalſtellen genau. (179. 4.) 4 C = ₰ 0,094551482108 Es iſt: u = + 2 C = + 0,094551481545 55 1) 6 mithin: X = + 2,09455148154
181. Genügte eine Genauheit von 11 Decimalſtellen nicht, ſo iſt man genöthigt, eine weitere Transformirung der transformirten Gleichung (179. 1.) vorzunehmen. Beſtimmt man den erſten Näherungswerth nach (134. 1.), ſo erhält man:
S— 01 daher nach (29.) u— 2 —— und nun nach (176. 1.) — 2 [ 1323 6 = + 4,41 5 v5 us = ₰+ 9,261 A 5 6 D daher nach (177.) 73,9 ſ oder nach (176. 4.)
ſo daß die Vertikalreihe 6 [1) eine in ihren Anfangsgliedern noch abnehmende, dagegen die Vertikalreihe m [1) eine in ihren Anfangsgliedern zunehmende convergirende Reihe für unſer Beiſpiel liefert.
10 55 0362
log. A5 = 0,0679682 — 11
Will man unterſuchen, bis zu wieviel Decimalſtellen genau die Wur— G 0 0
zel durch die fünf erſten Summenglieder beſtimmt wird, ſo ergibt ſich aus
(146. 2.): 003450626 — 14 log. 5 0,1533935 — 23
6 daß der Werth von 9 erſt mit der 23. Decimalſtelle beginnt, mithin die gegebene Gleichung mit Hülfe der fünf gefundenen Summenglieder auf 22 Decimalſtellen genau beſtimmt werden kann.
Genügte eine Genauheit von ſieben Decimalſtellen, ſo kann die Wurzel vorſtehender Gleichung ſchon mittelſt des Sum⸗ 2 3 mengliedes T beſtimmt werden, wie aus dem Gliede 3 (146. 2.) hervorgeht. Denn es iſt:
log. A = 0,3559894 — 4
log. D = 0, daher der Unterſchied des genäherten und des wahren Werthes mit der d. E. log. Bt = 0, 7984806 — achten Decimalſtelle beginnt.
Die Rechnung ergibt:
log. 3 = 0,1544702 — 8 2 = + = + 0,003047269 134. 3) bis auf die achte Decimalſtelle richtig. Wenn man dieſem 1 — 4 = + 0,987810924 Werthe von ² noch den Werth von 3 —= + 0,000000014 6 — 42) = 4 0,993886775 hinzufügt, ſo erhält man: (1— 42) — 1 = — 0,006113225 d35. 10) 6 — 0,005448519 B Es iſt: —
—= ₰+ 0,891269841
daher: X = + 2,094551481 T = — 0,005448533 (135. 13.) noch auf neun Decimalſtellen richtig.
26

44
182. Genügte aber eine Genauheit von ſelbſt 22 Decimalſtellen nicht, ſo iſt man abermals genöthigt, zu transformiren. Der erſte Näherungswerth für der transformirten Gleichung (81.) ergibt ſich wieder nach (134.⸗1.), nämlich:
S = — 0,005 beinahe und O = — 5
— 4,190
4 9,195007375 [ 13,167075 4 6,285 4 2 o = F 0,005007375 11167075 1 4 6,285 1 †
us = 4+ 4389025 A B C D
u5 = + 9,195007375
und nun nach (176. 1.) — 3962446 daher nach (177.) 881,862 p 882,8
(176. 4.) 882 — p — 883; ſo daß alſo die Vertikalreihe u [1) eine in ihren Anfangsgliedern noch abnehmende, dagegen
883 die Vertikalreihe m [1]) eine in ihren Anfangsgliedern zunehmende, convergirende Reihe liefert.
Will man wieder unterſuchen, bis zu wieviel Decimalſtellen genau die Wurzel durch die fünf erſten Summenglieder beſtimmt wird, ſo ergibt ſich aus: 6 6
daß der Werth von 9 erſt mit der 33. Decimalſtelle beginnt, mithin die gegebene
o D. 5 6 Gleichung mit Hülfe der 5 gefundenen Summenglieder auf 32 Decimalſtellen,
d. E. log. Bi 03767878 — 14 32 zu welcher Genauheit die Wurzel dieſer Gleichung bereits von Fourier be⸗ ſtimmt wurde, berechnet werden kann.
log. 9 = 04136414 — 33
183. Löſung der Gleichung 0 = + 10 + 537 + 237 9V J (71.) A B C D E welcher Gleichung die Bedingungen (175.) bereits entſprechen, weßhalb ſich auch ohne Transformirung convergente Reihen ergeben. Vergleiche hiermit (41.)) Nach (176. 1.) iſt für unſer Beiſpiel — — = 12,21
nach (176. 4.) 4 0 5
ſo daß die Reihe m [1 eine in ihren Anfangsgliedern noch abnehmende, dagegen die Reihe m [1) eine in ihren Anfangs⸗ gliedern zunehmende convergente Reihe liefert. Da hier die Zahl p die Grenze von (146. 2.) nicht überſchreitet, ſo geht aus den Nennern der Coefficienten⸗Quotienten, nämlich: daſſelbe hervor.
Durch Mitanwendung der Formel (139. 11.) zur Beſtimmung von y wird daher die (176.) geſteckte Grenze für die Anwendung des Umkehrungsverfahrens überſchritten.
Außerdem ergibt ſich aus (146. 2.), daß die Reihe m [E) noch in ihren Anfangsgliedern abnehmend, dagegen die Reihe 6 5 m [E) in ihren Anfangsgliedern zunehmend iſt, weil 10 = 12,21 . . — 14 ½ iſt. Vergleichen wir „ mit den Nennern der anfänglichen Coefficienten⸗Quotienten der Reihen m [1) und m [E), ſo ergibt ſich, daß, weil 18 ½ —= 12,21 . — 10 ½2
6 6 6 6 und 14½ ₰= 12,21 . . —= 9 1% iſt, die Glieder 10 und 9u die größten Glieder der Reihen m [1und m [E) und mithin diejenigen Glieder ſind, welche zur Beſtimmung, bis zu welcher Grenze die Wurzel durch die Summenformeln gefunden wird,
am meiſten einwirken. Nun ergibt ſich log. 10 = 0,3149934 — 8 und log. 9 = 0,6741700 — 8, ſo daß alſo die bedeutlichen Ziffer beider Glieder mit der 8. Decimalſtelle beginnen. Da aber die Grenze der Anwendung des Umkehrungs⸗ verfahrens durch die Mitanwendung der Formel (139. 11.) überſchritten wird, ſo können wir nicht mehr hieraus erkennen,
6 6 ob die bedeutlichen Ziffer der Reihen m ſ1) und m [E] mit der achten Decimalſtelle beginnen.

184.
2,30 7 = 2805
S =
S.
S* 11 8
2 addirt:
11 6 17 (1+ 28)
11
28
IV
Die Anwendung der Formeln ergibt:
008187967 — 0,1637593 0,6724814 0,8200496
a4. 3) 34. 5.)
— 0,1 799503
135. 10.)
— 0,2073341 (38. 13)
0,1637593 60,8200496
= — 0,1996944
+ 09100248
01817268
1798306
+ 0,0017765 ₰+ 1,038916
a36. 9.)
—+ 00018456) (136. 10.)
— 0,2073341
— 0,2054885
Se
— 0,0080955
— 0,0180649
— 00036014
5.
— 0,0000544 0,9367932
(137. 10.)
— 00000509, as7 1
— 0,2054885)
— 0,2055394 6133. 1)
8 = — 0,0043915 5 0013245 8 (4 28) —= 4 3,617848 — — 00036415 + 2 — 4 00099694 T8 = 4 0,0294685 addirt: = 4 0,0357964 4M P 8d2 6 IV 58 = — 0,0002721 Spie = — 00074204 11 † 5 (148)8 — 4 0,0074280 8 = 4 0,0000076 = 402815691 8 — 00000021, L = — 0,2055394) 4 — — 0,2055373 1 1 2 1U 8— ooo1mnes IV Su = + 0,0001599 0 26,5600 4 u — — 00242865 11 — ousus/ 1 1V o00544 addirt: = + 604902 1u — 4 (2† 8)8 = — 0,0048931) Su = + 0,0000111 wn — 4 02398547
14
45
39. 10)
39. 11)
(33. 1)
38. 9)
38. 10.)
40. 9)

46
S
7
= + 0,0000026 U40. 10) 4 ⸗ = — 0,0000425 welcher Werth bis zur ſiebenten Decimalſtelle mit dem in En = — o0000309 (133. 2.) (71.) gefundenen übereinſtimmt. 6 — — 02055313 7= E + T = — 0,2055775
185. Wäre aber für unſer Beiſpiel die Richtigkeit von ſieben Decimalſtellen durchaus erforderlich, ſo iſt man genöthigt, die gegebene Gleichung zu transformiren. Man erhält aus (134. 1.) als erſten Näherungswerth:
S = — 49 = — 0,2 beinahe, alſo u = — 0,2 0 u = + 0,04 — 10,6 + 53 X 6 — 92 + 23 — u? = + 0,0016 — 00 + 1,08 ð — 5,4 + 9 0,0016 0,032 + 0,24 ð — 02 + * o— 0 A B C D E Hieraus ergibt ſich — und o 0
3 2 und ferner log. 3 = 0,4985753 — 8, daher die Formel T den Werth der Unbekannten auf 7 Stellen genau liefert. Die Rechnung ergibt:
—= + 0,00221387 (135. 3.) 25 + 1,2569506 o0055718 (1 — 42) = +† 0,9955624
186. Setzt man die Unterſuchung, bis zu wieviel Decimalſtellen genau mit Hinzufügung der folgenden Summenfor⸗ meln die Unbekannte beſtimmt wird, fort, ſo ergibt ſich durch Beſtimmung der Logarithmen der erſten Glieder der Vertikalreihen
(146. 2.), nämlich: daß die Unbekannte mittelſt der Formeln 3 3 log. In 0,3302629 — 11 C auf 10 Decimaſſtellen, 4 3 4 2 S log. 6n = 0,9284347 — 16 T —+ Su 5 — 8390* — ſ 0,0839041 17 + Cu 6 3 6 log. 81 2= 0,4896230 — 20 2 . S C Cnu 77 19 77 log. 9 = 0,4981593 — 22 beſtimmt werden.
Genügte nun z. B. eine Genauheit von 12 Decimalſtellen, ſo könnte man zur Beſtimmung der Unbekannten ſchon mit 2 3 4 der Formel T auslangen, wenn man alle Anfangsglieder der Reihen m [1) und m ([E), deren bedeutliche Ziffer mit den
erſten 12 Decimalſtellen beginnen, dem gefundenen Werthe von d beifügt. Die Rechnung ergibt:

47
—= 4 0,002213875887 3 = 4 0,0000000315192 1 — 4 = —+ 0,991 144496448 4 —= + 0,0000000003488 5 = 4 00000000000032 —= — 0004437597913 0,0000000318712 41 = — 0,0000000000213 4 = — 0005577841681 5 — — 0,0000000000002 Reſt = + 0,000000031849; Siehe folgende Spalte.) — 0,0000000000215 u = — 0,2 40,0000000318712 y = 0,205577809832 Reſt = 0,000000031849
Anwendung der Umkehrungsformel auf die Töſung transrendenter Gleichungen.
187. Das Umkehrungsverfahren leiſtet beſonders gute Dienſte bei der Löſung transcendenter Gleichungen, wenn man bereits einen Näherungswerth kennt und es ſich darum handelt, die Unbekannte noch bis zu einem beliebigen oder verlangten Grade der Genauheit zu beſtimmen.
Man hat hierbei nur nöthig, die vorgelegte Gleichung in Reihen, geordnet nach Potenzen der Unbekannten, zu entwickeln, dergeſtalt, daß das erſte Glied dieſer Reihe, wenn man einen mehr genäherten Werth für die Unbekannte ſubſtituirt, ſich auch mehr dem Werthe von Null nähert. Es wird hierbei jedesmal das erſte Glied die auf Null gebrachte gegebene Gleichung enthalten, wenn man in derſelben u für y ſchreibt.
An einigen Beiſpielen ſoll das Nöthige gezeigt werden.
Anmerkung. In den nachfolgenden Darſtellungen bedeutet: Ln. Natürlicher Logarithmus,
log. Gewöhnlicher Logarithmus, m. WModul des gewöhnlichen Logarithmen⸗Syſtems.
188. Löſung der Gleichung 1) Iſt u nahe ein Werth von y und ſchreibt man u + ux für y, ſo geht die Gleichung über in 2) oder:
—
A B 0 D E F 1
Es ſei z. B. a = 100, ſo ergibt ſich aus den Tafeln der natürlichen Logarithmen leicht, daß u = 30 nahe ein Werth ſidet ſic e
e 5 aſe beinee MWithin ergibt ſich für u = u + ux, nämlich u = 29,5 ein näherer Werth für y, als für u = 30 *).
*) Wir wollen in den folgenden Beiſpielen von der Beſtimmung der Werthe u, u, obſehen und ſtets den zuletzt erhaltenen Werth für
u alsbald ſubſtituiren.

48
Schreibt man demnach 29,5 für u in die Gleichung 3), ſo berechnen ſich die Umkehrungs⸗Coefficienten, wie folgt:
66 II = 2 = — 0,0000001755817 B = † 1293395127687 . I1 = 3 = — 0,0000000000726 3 — 0,0000001 756543 6 1= 4 0,0012408213690 363 ſ 2 6 III = 3 = + 0,0000000000497 4 † 0,00124082 14187 — 0,0000001756543 X= +† 0,0012406457644 uX = + 0,036599050050 Löſt man nun nach (33.) oder nach (146. 2. gliedweiſe u = †+ 29,5 auf, ſo ergibt die Rechnung: v= + 29,536599050050 3 189. Löſung der Gleichung 1) — oder Iſt u nahe ein Werth von y und ſchreibt man u † X für y, ſo geht die Gleichung über in: 3) au† = (U + K) oder 4) (u + ) log. a = a . log. (u+ 2) 3 2m 2 3 2m X 5 5) (u+ 2) log. a = a [s G) + 3 — †5 (c) S Schreibt man in dieſer Darſtellung v für alſo 2 für X, ſo geht dieſelbe, wenn man 2u + * 1— v † = n h in eine Reihe entwickelt, über in: 6) u * (1— 27 4 2 — 2 02 20 — . Uog. u† 2 v n N.. Hieraus ergibt ſich zur Beſtimmung der Umkehrungs⸗Coefficienten die Gleichung: 7) 0 — 18 u — 2 log. uv+2 log. S 42 log. uſ . v — — — + 2m — 4m ʒ + m — m A —— —— —— —— — B C D E
190. Aufgabe. Man ſoll diejenige Zahl ſuchen, welche ihrem gewöhnlichen Logarithmus gleich iſt. Auflöſung. Es iſt hier a = 10 und aus der Logarithmentafel findet ſich leicht u = 1,37 als ein naher Werth von Jy.
Aus: log. u —= 0,1367205671564 und die Rechnung ergibt weiter nach (37.) oder (146. 2.):
log. a = 1 2 3
m = 0,4342944819 III = 3 = — 0,0000000003049 berechnen ſich die Umkehrungs⸗Coefficienten: 3
A = — 0,0002794328435 V = 4 = — 0,0000000000017
B = 4 0,5951478294
1631 — 0,0000000003066
E = — 2,042796
i ſo

49
1 = 4 0,0004695183787 2uv = 0,001287968526
2
II = 2 = 4 0,0000005421795 1 — v= 4 0,999529938493
1 2 8 + 0,0000000012521 2— — 1— 40001288574236 IV = 4 = 4 0,0000000000021 1 W = 41= 4 0,0000000000001 —— = 4 1,371288574236 0,0004700618125 — 0,0000000003066 0000470061506 191. Löſung der Gleichung 1) a = b' + cv. Iſt u nahe ein Werth von y und ſchreibt man u + x für J, ſo geht die Gleichung über in: 2) Nun iſt: 3) und (Ln. c) (Ln. c (Ln. c) . 4) — 1 + daher iſt: A B C b. (Ln. b)“ + cu. (Ln. c)* . ſ C V. 5 — D E
Es ſei z. B. a = 20, b= 4, und c = 5, ſo ergibt ſich leicht für u = 1,53 ein naher Werth von y. Subſtituirt man dieſe Zahlenwerthe in 5), ſo ergeben ſich die Umkehrungs⸗Coefficienten wie folgt:
A = + 0,073132315 — B = + 30,445504069 I = 0,00240207273 C = 4 23,21015 D = 4 11,85569 II= 2 = 0,00000439872 8 1 2 E = + 4,56325 III = 3 = 0,00000001611 6 1 2 Loſt man nach (31.) oder nach (146. 2.) gliedweiſe IV = 4 = 000000000007 auf, ſo ergibt die Rechnung: — 0,00240648764 + + 0,00000000544 2 3 III 3 = 0,000000005397 1= — 0,00240648220 2 3 — IV = 4 = 0,000000000049 + 0,00000000544 V = —+ 1,5275935177 192. Löſung der Gleichung ¹) 5 oder
Iſt u nahe ein Werth von y und ſchreibt man u + x für y, ſo geht die Gleichung über in: 3) oder 4) log. a = (n+ 2) log. (n+ 2)
15

50
5) log. a = (u† 2) [s. u 2 (2) * (322) 1 2 E) 3
Schreibt man in dieſer Darſtellung v für .
alſo — für x, ſo geht dieſelbe, wenn man u † X= u. — in eine Reihe entwickelt, über in:
6) (1 2 4 2 72 4 2 6 + 2 ..) (og. u† — †* v Hieraus ergibt ſich:
²) o — — 2* + log. u + 2 log. log. u log. u B 0 D E Es ſei z. B. A = — 0,0020599913
als ein naher Werth von y 3 0 2,5330579 und es ergeben ſich aus log. u = 0,3979400087
ſo findet ſich leicht u = 2,5 3 = + 16644689812
D= + 2,8225875 m = 0,4342944819 — für die Umkehrungs⸗Coefficienten nachſtehende Werthe: ſ W
Löſt man nun nach (33.) oder nach (146. 2.) gliedweiſe auf, ſo ergibt die Rechnung:
4 — 1 = 0,001237626726 I = 2 = 0,000002331033 m — 3 = 0,0000000087808 in — 3 = 0,0000000032147 v —= 4 = 0,0000000000302 — 4 = 0,0000000000413 „ — = 0,0000000000002 — 3. = 0,0000000000043 = 5 = 0,0000000000000 =5 = 0,0000000000002 00012376355372 — 0,0000023342935 2uv = 0,006176506215 v= 4 0,001235301243 1 — v= 4 0,998764698756 0006184145497 Es iſt: u = + 2,5 daher: — 2506184145497 193. Löſung der Gleichung 1) a = J oder Iſt u nahe ein Werth von y und ſchreibt man u + x für J, ſo geht die Gleichung über in: 3) oder 4) log. a = (u + 2) log. (u† 2) 5) log. a = (u+ )* [us. u + G) — 3 Er) 6 — Gr) Schreibt man in dieſer Darſtellung v für lſo — für X, ſo geht dieſelbe, wenn man
— in eine Reihe entwickelt, über in:

51
2 2 5 6) lo8 4 = (1 † 4 4 8v2 4 1275 4 167 .. . (og. u₰ S 3 ₰ 35 ₰ v . .0 Hieraus ergibt ſich:
U log. u + 4 log. u/. v+8 log. u v + 12 log. u]. vs + 16 log. 2 U ß † 16m + 24 m D E Es ſei z. B. à = 100, ſo findet ſich leicht: als ein naher Werth von y und aus: u = 5,438224 log. u = 0,36772854608697647 m = 0,43429448190325182 oer2 = 0,36776712397282642
ergeben ſich für die Umkehrungs-Coefficienten nachſtehende Werthe: A — 0,0000385778858499 B = + 2,3395031481544092 C + 6,41618421 bLöſt man nun nach (33.) oder nach (146. 2.) gliedweiſe
D = —+ 11,6509839 auf, ſo ergibt die Rechnung: E = + 17,4648429
I = 0,0000164897772761 II = 2 = 0,0000000007457325 rir —= 3 = 0,0000000000000674 0,0000000000000223
F 0,0000164897773435 5
— 0,0000000007457548 — 0,000000000 7457548
2uv = † 0,0000769048433302 u = + 2,332 1 — v= 4 0,9999835109684112 V= † 2,3320769061114375
194. Iſt allgemein die gegebene Gleichung
1) — oder 2) lo. 2 und u nahe ein Werth von y, ſo ergibt ſich für 7 = u + X und X = — als Gleichung zur Beſtimmung der Umkehrungs-Coefficienten: 0 log. a + log. u + 2n log. uſ. v + 2n ſo v? + 2n v + —— + 4n2 8 + 8nelog. u + 12nſlog. u 3 + 8nz — . 60 + 2m + 4nm + 4n + 4n — —— + 8n2 5 † 16 % B C ð + 3 + 3n —— ——
D E

52
Setzt man aber y = u + ux, ſo ergibt ſich als Gleichung zur Beſtimmung der Umkehrungs⸗Coefficienten;
1 4) 0 = — u†m ₰ † ½ e + mn — n 4 †n ₰ — n 4 5 B + nz log. u + nm — n2 ₰ 3 3 C + nz. log. u + nzm — nz. „ 3 5 + nz 10g. u E F 195. Löſung der Gleichung 1) — W oder Iſt u nahe ein Werth von y und ſchreibt man u + un für J, ſo geht die Gleichung über in: 3) a = ſu (1 Pul1 †2 oder 4) 10g 3 3 (1 † W . (1 i .log. [u (1 + x). 6) Es ſei u = U, alſo un = U, ſp iſt Ln. U C 7) U 1 † + ux + uX + S — B 3 ſ
oder, wenn man die von Ln. (1 + 2) wirklich bildet und dann nach Potenzen von X ordnet: 9) 2)* = 1 +u. ( Aus der Multiplication von 7) und 9) ergibt ſich:
S 1 ) S — — M 3 (Ln. U) — 8 6 Multiplicirt man dieſe Gleichung mit — ſo erhält man: 12) U (1 †2) (1 † 2) = 1 + Ln. U. U) ſ. X5 + (Ln. U) †. X +. 1 + u (Ln. U) — zu — (in ) . 3 S 6 + u + ku (Ln. u „ — 6 + u U —= + u + u, (Ln. U) — + us + uz U) + u.

53
Nun iſt: 13) log. [u (1 † 2)] = log. u + mx — . 2* — 4 Multiplicirt man daher dieſe Gleichung mit 12) und außerdem mit U und bringt alsdann die ſo producirte Gleichung auf O, ſo ergibt ſich zur Beſtimmung der Umkehrungs⸗Coefficienten nachſtehende Darſtellung:
14) 0 = — log u † (n. 1) %½ n 1 + 4 Cn. u) ſ. 2 + (Ln. U)? n Pn n. u) A + u (Ln. U) ð — zu + u + zu (Ln. U) /log. u + u* + us + m + (Ln. U) + 1 (Ln. U)] + u + u B + u (Ln. u) 3 + u m ſ U ( 3 — —— D Es ſei z. B. a = 100, ſo findet ſich leicht die Umkehrungs⸗Coefficienten: u = 2,213 als ein Näherungswerth A = ₰+ 0,0001 6643244 und es berechnen ſich aus: B = ₰ 1,8041 7927 log. u = 0,34498 14138 C = + 4,60894634 U = 5,800212019 D = + 6,4375927 LEn. U = 1,7578945 W ſ Nach (31.) oder nach (146. 2.) erhält man: 2 3 I = 0,00009224832 III = 3 = 0,000000000002 2 2 3 II = 2 = 0,000000021 738 IV = 4 = 0,000000000000 n = 3 = 0,000000000010 0000000000002 — 0,0000922 70068 4 0,000000000002 2 = — 0,0000922 7006 daher ux = — 0,0002041 9364 u = + 2,213 V = + 2,21279580636 196. Löſung der Gleichung 1) a = y + b. sin. y.
Iſt n nahe ein Werth von J und ſchreibt man u + x für y, ſo geht die Gleichung über in: 2) a = u + X + b. sin. (u+ 2)

54
i in Zin. u 2 3) — 1 † * bſ u cos X — nämlich b. sin. u 3 [ b. sin. u 4) 0 = — a u b sin. u A B C D E
197. Aufgabe. Von einer Kreis⸗Ebene, deren Halbmeſſer r iſt, ſoll durch eine Sehne der nite Theil abgeſchnitten werden.
Auflöſung. Bezeichnet y den der Sehne zugehörigen Centri⸗Winkel [— 180) in Graden, ſo iſt der Kreis⸗Ausſchnitt
3 = 35 re m, das zugehörige Dreieck = zr?. sin. J und alſo die Gleichung: —= 5 — — Sin. J. Es ſei z B. n = 3, ſo iſt 0 und es findet ſich leicht, daß u = 150 nahe ein Werth von y iſt. Verwandelt man das Winkelmaß in Bogenmaß, ſo ergibt ſich und hieraus beſtimmen ſich die Umkehrungs⸗Coefficienten: — 2,09439510239 A = + 0,02359877557 B = 4186602540378 6 u = 2,61799387799 0 D = — 0,1443375 cos. u = — 0,86602540378 E = — 0,0208333 F = ₰+ 0,0072168 W 6 Löſt man nach (31.) oder nach (146. 2.) gliedweiſe auf, ſo ergibt die Rechnung: 1 = — 0,01264654572 U = 2 = — 0,00002142725 II = 3 —= — 0,00000007261 1V — 4 = — 0,00000000030 Verwandelt man dieſes gefundene Bogenmaß wieder in Win⸗ 2 3 kelmaß, ſo findet ſich: III = 3 = — 60,00000015645 3 4 IV = 4u = + 0,0000000002 1 = — 0,0126682033
u = 4 2,61 79938779 „ = 4 2,605325674
198. Kepler'ſche Aufgabe. Es bezeichne die wahre Anomalie eines Planeten für eine beſtimmte Zeit t, T die Zeit ſeines Standes in dem Perihel, m ſeine mittlere tägliche Bewegung, w den Kreisbogen, der dem Halbmeſſer gleich iſt, und e die Excentricität des Planeten. ſo iſt die bekannte Kepler'ſche Formel: m t Beiſpiel. Mars ſtand 1840 am 8. Januar 9 44“ 0“ (Berliner Zeit) in ſeinem Perihel, ſeine Umlaufszeit beträgt 686,97964 Tage und ſeine Excentricität iſt gleich 0,0932168; in welchem Grade der wahren Anomalie wird er am 24. April um 13 25“ 15“ deſſelben Jahres geſtanden haben?

55
Die Rechnung ergibt, indem wir zehnzifferige Logarithmen zu Grunde legen:
t= April 240 13 25“ 15“ w = 57 17 44 8062 4 0 = 206264,8062 — — 1071536468 2a . log. e = 0,9694941901 — 2 log. 360 = 2,5563025008 log. 686,97964 = 2,8369438661 we = 19227 34519 0,7193586347 — 1 = 50 20 27 4,34519 log. 60 = 1,7781512504 b = — 50 20 27 4,34519 log. m (in Minuten) = 1,4975098851 log. (t— T) = 2,0300069515 log. Im (t— T)] = 3,5275168366 m (t — T) = 3369 122768 Cs ergibt ſich nun leicht, daß für dieſe gefundenen Werthe = 560 9 74,36608 = à von a und b, u = 600 nahe ein Werth von iſt. fr Verwandelt man das Winkelmaß in Bogenmaß, ſo findet ſich: — 0,98003808674 und die Umkehrungs⸗Coefficienten berechnen ſich:
b = — 0,09321679997 A = — 0,01356865237 u = 1,04719755120 B = + 0,95339160001 sin. u = 0,86602540378 0 = 004036405841 0,5 D = ₰+ 0,00776806666
0001683 E = — 0,00336367153 b. cos. u = — 0,04660839998 d Löſt man nun nach (33.) oder nach (146. 2.) gliedweiſe 2 auf, ſo ergibt die Rechnung: II = 2 = — 000000857530 I = ₰+ 0,01423198232 HI = 3 = — 0,00000002348 2 2 In = 3 = ₰+ 0,00000001033 — — 0,00000000001
2 3
V = 4 = 4000000000007 000000859888
₰+ 0,01423199285
[W = 4 = 000000000013 —— — 4 0,0142233939
+ 0,01423199285 u = + 1,0471975512
v = 4 1,0614209451 = 60 48“ 53 ,7856
Der Wichtigkeit dieſer Aufgabe wegen wollen wir das Reſultat einer Probe unterwerfen. Setzen wir zu dem Ende
— S ſo ergeben ſich aus: die Umkehrungs-Coefficienten:
— 1,06465084372 A = + 0,00308350672
sin. u = 0,8746197069 B = + 0,95480759860
cos. u = 0,4848096202 C = + 0,040 76462513 ¹ b. sin. u = — 0,08152925026 h = 4 0,00753206690 3 b. cos. u = — 0,04519240139 E = — 0,00339705209

Rechnung ergibt nach (31.) oder nach (146. 2.) weiter:
I = — 0,00322945352 I = 2 = — 0,00000044527 I1 = 3 = — 000000000012 000322980891 bis zur letzten Decimalſtelle mit dem bereits gefundenen
2 3 Werth von y übereinſtimmend. III = 3 = + 0,00000000026
1= — 0,0032298986 u = 1,0646508437
= 1,0614209451 Löſung der Gleichung
1) a = ( — 7) cos. J + sin. J. Schreibt man u + * für y, ſo iſt: „ Sin. u 3 c 2) N cos. (u † 2) = 7 cos. u e W i 3) — (u† cos. (u † 2) = — ucos. u +† (u sin. u — co8. — — 3„ u. cos. u + 4 sin. u 4 u sin. u — 5 cos. u 5 6 — sin S
Wenn man dieſe drei Gleichungen addirt und auf Null bringt, ſo ergibt ſich zur Beſtimmung der Umkehrungs⸗Coefficienten: (n W cos. u — Sin.
5) O = — a + („— u) cos. u + sin. u — (r — u) sin. u — — —= — —————— 1.2 A B C Gin n 2ee u — 3 sin. u D E F
deren bezügliche Halbmeſſer R und r ſind, iſt ein heilt wird. Die Centrale iſt gleich e, e Scheibe von dem Halbmeſſer r eine cheibe genommen werden, da⸗
200. Aufgabe. Um zwei in einer Ebene liegende Kreisſcheiben, Riemen gelegt, wodurch die drehende Bewegung der einen Scheibe der andern mitget die Länge des Riemens gleich L. Wenn nun mit Beibehaltung der Centrale für di andere von dem Halbmeſſer h eingeſetzt wird, wie groß muß dann der Halbmeſſer H der andern S mit derſelbe Riemen beibehalten werden kann?
R—r
Auflöſung. Der in der Figur verzeichnete Winkel 9 ergibt ſich aus der Gleichung c. cos. 0 = R —r, alſo cos. 0 = —
und hieraus beſtimmt ſich die Länge des Riemens, nämlich:

57
1) L = Rn — (R —r) arc. eos. K Vc — Ebenſo findet ſich: 2) L. = Hr — (H — h) arc. cos. V + Ve — (F — . Nun iſt: 3) c cos. 7 = H — h oder [ = nämlich: 4) 4L = (1+c cos. 7) x — ey cos. V +e sin. J, alſo: 1L. — h 5)
Es ſei z. B. R = 4 und für dieſen Werth von a ergibt ſich (nach 5.)) für u = 720 — nahe ein Werth von y. Es iſt arc. 720 = 1,256637061 c= 12, ſo berechnet ſich: und die Umkehrungs⸗Coefficienten berechnen ſich:
0 = 800 24“ 21 , 354 A = — 0,003980259 arc. o = 1,403348246 B = 1,792699298 und 4 L. = 21,591833689. C = + 0,184286602 Iſt ferner: — ſo findet ſich: D = + 0,401 788881 1537520086 E = — 0,09461 1922 Hieraus findet ſich nach (34.) oder nach (146. 2.): — 1 — = 2 = 0,0000050675
1 2
IV = 4 = 0,0000000001
—
= 0,0000000231
0,0000050676
0,0022202602 II
[i = 3 = 0,0000000024
— 0,0022202857
— 71 32 230070 X= — 0,002215218 log. cos. V = 9,4929321580 u = + 1,256637061 log. c = 1,0791812460
arc. 7 = 1,254421843 log. (e. c08.) = 0,5721134040
c. cos. y = 3,733476344 —
— 4733476344

Wo es in derſelben heißt:
Berichtigungen.
1. Abtheilung.
„die Gleichung der Summen der Wurzeln der gegebenen Gleichung“ ſetze man: die Gleichung der Summen
der entgegengeſetzten Wurzeln der gegebenen Gleichung. Seite 52. Note zu 69. Zeile 3. Anſtatt: „daß die Coefficienten des Gliedes“ ſetze man: daß die Coefficienten der Glieder mit un⸗ geraden Exponenten den Coefficienten des Gliedes.
2. Abtheilung.
Seite 3. Vertikalreihe zü Cs und G' ſind mit einander zu verwechſeln. „ 3. Horizontalreihe S. Anſtatt: SA⸗ ſetze man: SoA' „ 3. Fortſetzung der Horizontalreihe Ue „ E. c zn hm 5 Formel 9 0 m „ An v 6. 30 (Zm —= M (Zm — ( „ keinſte „ „ kleinſte „ 12. Am Ende. „ — „ u m (6 0) s und s ſind mit einander zu verwechſeln. Im allgemeinen Gliede iſt der Faktor D beizufügen. 6 Anſtatt: — ſetze man: 3. „ für welche „ „ für welchen 27. Glied Un D „ indentiſch „ „ identiſch „ üder „ 32 156 „ 4) 4) 5) 00 Eſte S „ „jeder Horizontalſpalte in „ „ jeder Horizontalſpalte, mit Ausnahme des dieſer Weiſe“ Polynomialfaktors lt], in dieſer Weiſe „ 38. (173.) Letzter Satz⸗ „ „ohne Ausnahme“ „ „ „mit Ausnahme des Polynomialfactors [1, ( „ „und es kann dieſelbe⸗ und es kann die Richtigkeit derſelben „ ſ „ u „ „ „beſtimmt werden“ „ „ beſtimmt wird ( „ „in Reihen“ „ „ in eine Reihe e „ „dem Werthe von“ „ „ der ( „ „welche ihrem“ „ „ welche dem Zehnfachen ihres
50, 51, 52, 53. Die Klammern der Umkehrungs⸗Coefficienten A haben nur bis an das Gleichheitszeichen zu reichen.

U⸗

Mu huhua Mun i

—— —.— . —— — 3 3— . —
—— — — . — — —
S S
W W

M X S
W
S
W
oeſ oloo/ suh
der Universität Giessen.
—= ————