SCHRIFTEN DER HESSISCHEN HOCHSCHULEN UNIVERSITAT GIESSEN Jahrgang 1931 Heft 2 Moritz Pasch Zwei Gedenkreden gehalten am 24. Januar 1931 Dr. Friedrich Engel und Dr. Max Dehn 0. Prof. der Mathematik 0. Prof. der Mathematik an der Universität Gießen an der Universität Frankfurt a. M. 1931 VERLAG VON ALFRED TOPELMANN IN GIESSEN Schriften der Hessischen Hochschulen Universität Gießen Jahrgang 1924: Hellenismus Akademische Rede zur Jahresfeier der Hessischen Ludwigs- Universität am 1. Juli 1924, gehalten von Richard Laqueur. 1.20 Mk. Chronik der Hessischen Ludwigs-Universität, vorgelegt am 1. Juli 1924 von dem derzeitigen Rektor Richard Laqueur. 1.— Mk. Die Bedeutung der Hygiene für die Erneuerung des deutschen Volkes. Festrede zur Feier der Reichsgründung, veranstaltet am 18. Jan. 1924 von der Univ. Gießen, gehalten von Emil Gotschlich. 1.20 Mk. Mitteilungen aus der Papyrussammlung der Gießener Univer- sitätsbibliothek. I. Griechische Papyrusurkunden aus ptolemäischer und römischer Zeit. Bearbeitet von Hans Kling. 1.40 Mk. Jahrgang 1925: Der Mythos vom wiederkehrenden König im Alten Testament. Festrede zur Feier der Reichsgründung, veranstaltet am 18. Jan. 1925 von der Universität Gießen, gehalten von Hans Schmidt. 1.50 Mk. Der Historismus und die Bibel. Akademische Rede zur Jahresfeier der Hessischen Ludwigs-Universität am 1. Juli 1925, gehalten von Gustav Krüger.—. 90 Mk. Chronik der Hessischen Ludwigs-Universität, vorgelegt am l. Juli 1925 von dem derzeitigen Rektor Gustav Krüger. 1.20 Mk. .EFin neues deutsches Evangelienbruchstück d. 14. Jahrhunderts aus dem Bensheimer Stadtarchiv, hrsg. von Friedrich Maurer. 1.80 Mk. Jahrgang 1926: Neueres über die Zentralisation der Funktionen im höheren Organismus. Akad. Rede zur Jahresfeier der Hess. Ludwigs-Univer- sität am 1. Juli 1926, gehalten von Karl Bürker. 1.— Mk. Chronik der Hessischen Ludwigs-Universität, vorgelegt am 1. Juli 1926 von dem derzeitigen Rektor Karl Bürker. 1— Mk. Jahrgang 1927: Infektion und lImmunität in geschichtlicher Beleuchtung. Aka- demische Rede zur Jahresfeier der Hessischen Ludwigs-Universität am 1. Juli 1927, gehalten von Wilhelm Zwick. 1.— Mk. Chronik der Hessischen Ludwigs-Universität, vorgelegt am 1. Juli 1927 von dem derzeitigen Rektor Wilhelm Zwick. 1.— Mk. Fortsetzung siehe 3. Umschlagseite. SCHRIFTEN DER HESSISCHEN HOCHSCHULEN UNIVERSITAT GIESSEN Jahrgang 1931 Heft 2 Moritz Pasch Zwei Gedenkreden gehalten am 24. Januar 1931 von Dr. Friedrich Engel und Dr. Max Dehn 0. Prof. der Mathematik 0. Prof. der Mathematik an der Universität Gießen an der Universität Frankfurt a. M. llnn 1931 VERLAG VON ALFRED TOPELMANN IN GIESSEN Am 24. Januar 1931 veranstaltete die Philosophische Fakultät auf Anregung des mathematischen Seminars eine Gedenkfeier für Moritz Pasch in der„kleinen Aula“. Der Rektor, zahlreiche Dozenten mit ihren Angehörigen, Verwandte und auswärtige befreundete Fachgenossen des Entschlafenen hatten sich eingefunden zu einer Stunde weihevoller Erinnerung an den großen Mathematiker, der von der Schwelle des Mannes- alters bis zu seinem hochbetagten Ende der unsrige war: Moritz Pasch wurde geboren am 8. November 1843 in Breslau, studierte dort und in Berlin und habilitierte sich in Gießen am 29. November 1870. Hier verblieb er bis zu seinem Tode(20. September 1930 in Homburg v. d. H.). Zu Ehren des trefflichen Menschen, des bedeutenden Lehrers und bahnbrechenden Forschers beschloß die Philosophische Fakul- tät, die auf der Feier gehaltenen Reden der Herren Prof. Dr. Engel und Prof. Dr. Dehn durch Drucklegung zu erhalten.— Das am Schluß beigefügte Gedicht wurde von unserem verstorbenen Kollegen Honigmann zu Paschs 80. Geburtstage verfaßt. Gießen, im März 1931. W. J. Schmidt Dekan der philosophischen Fakultät. von Münchowsche Universitätsdruckerei Otto Kindt, G. m. b. H., Gießen Wir haben uns heute hier versammelt, um das Gedächtnis von Moritz Pasch zu feiern. In einer Beziehung hat Pasch wohl nicht seines Gleichen in der ganzen Geschichte der Universität Gießen, denn fast volle 60 Jahre hat er ununter- brochen unsrer Hochschule angehört. Auch die Stadt Gießen wird nicht viele Bürger aufzuweisen haben, die, von auswärts zugewandert, ihr so lange treu geblieben sind. Allen seinen Kollegen, die ihm näher getreten waren, kam es so vor, als ob man sich die Universität und die Stadt Gießen gar nicht ohne ihn denken könnte. Wieviele Kollegen hatte man im Laufe der Jahre kommen und wieder von Gießen scheiden sehen, wievielen hatte man das letzte Geleit gegeben, er, der länger hier war als sie alle, erschien als der ruhende Pol in der Erscheinungen Flucht. Zwar konnte man sich nicht ver- hehlen, daß er körperlich hinfälliger wurde, auch abgesehen von den Hemmungen, die ihm die immer mehr schwindende Sehkraft brachte; da er aber geistig noch so rege war, wie nur je, dachte man gar nicht ernstlich daran, daß auch er abberufen werden könnte, und es war eine recht wehmütige Oberraschung, als man hörte, daß er am 20. September 1930 in Homburg v. d. H., wo er Abwechselung und damit Er- holung gesucht hatte, entschlafen war. Er hatte zuletzt noch einige schwere Leidenstage durchzumachen gehabt, zum Glück nicht viele. Diese waren ihm durch die treue Pflegerin seiner letzten Jahre nach Möglichkeit erleichtert worden, aber niemand von seinen Angehörigen weilte an seinem Sterbelager und, nachdem er sechs Jahrzehnte in Gießen gelebt hatte, mußte er seinen letzten Kampf in fremder Umgebung ausfechten, nicht in den vertrauten Räumen seines Gießener Heims. Kußerlich ist Paschs Leben sehr einfach verlaufen. Seit er am 29. November 1870 in Gießen Privatdozent geworden war, hat er seine Kraft nur unsrer Landeshochschule und seiner Wissenschaft gewidmet. Dagegen waren ihm allerdings im Familienkreise höchst schmerzliche Erfahrungen beschieden. Nachdem ihm die Gattin viel zu früh entrissen worden war, mußte er auch die beiden Töchter hergeben, die sehr glücklich 4 verheiratet waren, und die ihn jede mit zwei Enkelkindern beschenkt hatten. Die eine wurde ihm ganz plötzlich entrissen und er mußte auch noch den Schmerz erleben, daß ihr einer hoffnungsvoller Sohn in der Blüte der Jahre dahinschied. Die zweite Tochter erlag einem schweren Leiden, das sie Jahr und Tag von dem Kreise ihrer Familie fern gehalten hatte. Aber alle diese schweren Schicksalsschläge trug er mit rührender Fassung. Er äußerte zwar, daß es ihm schmerzlich sei, in seinem Alter noch alles das erleben zu müssen, nie jedoch war ihm die geringste Spur von Verbitterung anzumerken. Auch seine Laufbahn an der Universität Gießen war ein- fach und weicht in keiner Weise von der üblichen ab. Er wurde zwar schon drei Jahre nach seiner Habilitation, 1873, ao. Professor und 1875 ordentlicher, nachdem er einen Ruf auf eine ao. Professur an seiner Heimatuniversität Breslau abgelehnt hatte, aber erst 1888 erhielt er das bis dahin einzige etatmäßige mathematische Ordinariat, als dieses durch den Tod von Baltzer frei geworden war. Er hat 1883 das Dekanat bekleidet und 1893— 94 das Rektorat. Dieses letztere ist die einzige Gelegenheit, wo er öffentlich aufgetreten ist. Er hat sein Amt mit der ihm eigenen Gewissenhaftigkeit verwaltet und, wie er selbst zuweilen erzählte, den Amtsgeschäften sehr viel Zeit gewidmet. Volle 18 Jahre lang hat er den Vorsitz in der wissenschaftlichen Prüfungskommission geführt und sich dabei als wohlwollender Berater der Kandidaten, als ein wahrer Studentenvater bewiesen. Seine unermüdliche Arbeitskraft, seine Geschäftsgewandtheit und reiche Erfahrung hat er jederzeit in den Dienst der Universität gestellt. Auf einem Gebiete hatte er dabei unbestritten die Führung, auf dem der Satzungen. Bei einer Universität wie Gießen, die noch ein gut Teil Selbst- verwaltung in die neue Zeit gerettet hat, ist die Zahl dieser Satzungen größer als anderwärts, und es verstand sich von selbst, daß bei der Umarbeitung alter Satzungen und bei der Abfassung neuer er in erster Linie berufen wurde, den einzel- nen Bestimmungen die rechte Form zu geben und den end- gültigen Wortlaut festzustellen. Solange er der philosophischen Fakultät und dem Senate angehörte, ist wohl keine Satzung in Kraft getreten, deren Ausarbeitung nicht wesentlich ihm zu verdanken gewesen wäre. Auch seine Eigenschaft als Vor- sitzender der Prüfungskommission stellte ihn vor ähnliche Auf- — 5— gaben, denn es handelte sich des öfteren um Neubearbeitung der Prüfungsordnung. Er erwähnt selbst, daß diese Art von Arbeiten große Verwandtschaft mit den Aufgaben hat, die er sich als Mathematiker stellte, der lückenlosen Darstellung aller Schlüsse und der Ermittelung aller erforderlichen Axiome. Um sich mehr seinen wissenschaftlichen Arbeiten widmen zu können, legte Pasch den Vorsitz der Prüfungskommission nieder, aber er fand bald, daß die dadurch bewirkte Ent- lastung nicht ausreichte. So ließ er sich denn 1911, nach fast Ar jähriger Lehrtätigkeit, pensionieren. Das hatte damals in Hessen noch die Folge, daß er überhaupt auf jede Lehrtätigkeit verzichten mußste und auch an den Geschäften von Fakultät und Senat nicht mehr teilnehmen konnte. Als später für die Professoren auch in Hessen die sogenannte Emeritierung ein- geführt wurde, die diese Beschränkungen nicht mit sich bringt, da erhielt er wieder Einladungen zu den Fakultäts- und Senats- sitzungen. Leider verblieb es für seine Person bei der Pen- sionierung, denn deren nachträgliche Umwandlung in Emeri- tierung wurde zwar von der Universität angeregt, war aber, selbst bei einem so verdienten Manne, etwas so Undenkbares, daß sie gar nicht ernstlich in Erwägung gezogen wurde. Ober- aus gewissenhaft, wie er war, betrachtete er daher jene Ein- ladungen als nicht zu Recht bestehend und hat, soviel ich weißz, nicmals an einer solchen Sitzung teilgenommen. Im Ruhestande war es ihm vergönnt, alle Gedenktage und Jubiläen zu erleben, die vorkommen können. Er feierte den 70., den 80., den 85. Geburtstag. Zum 70., am 8. November 1913, wurde ihm von seinen ehemaligen Schülern, von Freun- den und Verehrern die lebensgroße Plakette überreicht, die heute hier aufgestellt ist und die seit kurzem eine Zierde unseres mathematischen Seminars ist. Zum 80. wurde er von zwei Fakultäten zugleich, der einen in Frankfurt a. M., der andern in Freiburg i. Br., ehrenhalber zum Dr. phil. nat. ernannt. Er feierte das 50 jährige und das 60 jährige Doktorjubiläum, das 50 jährige als Dozent, als ao. und als ordentlicher Professor und zwar konnte er ja, was besonders bemerkenswert ist, an jedem der drei letzten Gedenktage auf fünf Jahrzehnte zu- rückblicken, die er ohne Unterbrechung an der Gießsener Hoch- schule zugebracht hatte. Nur das 60 jährige Dozentenjubiläum 26— war ihm nicht mehr zu erleben vergönnt. Er hätte das am letzten 29. November feiern können. Pasch gehört nicht zu den Mathematikern, die in jungen Jahren die Welt durch neue und überraschende Entdeckungen in Erstaunen setzen. Er war 39 Jahre alt, als er 1882 das Werk veröffentlichte, das ihn in der ganzen mathematischen Welt bekannt gemacht hat und das vor allem ihm in der Geschichte der mathematischen Wissenschaft ein dauerndes Andenken sichert. Es sind das seine„Vorlesungen über neuere Gecmetrie“. Aber auch dieses Werk wurde zunächst nur von wenigen Fachgenossen beachtet, und es dauerte Jahre, bis die Erkenntnis durchdrang, daß hier zum ersten Male eine syste- matische Untersuchung der Grundlagen und der Axiome der Geometrie durchgeführt war. Das Werk wurde der Vorläufer einer überaus großen Anzahl von Untersuchungen ähnlicher Art von andrer Seite und hat den Anstoß zu der neuerem Grundlagenforschung und Axiomatik gegeben, die in den letzten Jahrzehnten mit großem, fast muß man sagen, mit zu großem Lifer betrieben worden ist. Pasch aber betrachtete seine Be- handlung der Geometrie nur als einen ersten Vorstoß in dieser Richtung. Er bearbeitete selbst die Grundlagen der Analysis in ähnlicher Weise, ja er bemühte sich, die allerersten Anfänge des mathematischen Denkens überhaupt aufzuhellen und die Denkvorgänge, die dabei zur Anwendung kommen, in ihre kleinsten Bestandteile zu zerlegen, um alle Quellen etwaiger Irrtümer aufzudecken und verstopfen zu können. Der Beiname eines„Vaters der Axiomatik“, den man ihm im Scherze ge- geben hat, wird ihm wohl auf die Dauer verbleiben. Ganz besonderes Gewicht legte er auf die Darstellung, die, wie er mit Recht meinte, bei den meisten Mathematikern sehr zu wünschen übrig läßst. Es wäre ein unschätzbarer Gewinn, wenn sein Beispiel in dieser Beziehung rechten Einflußs gewänne und Nachahmung fände. Er selbst war sich aber wohl bewußst, daß die ungemein strengen Anforderungen, die er stellte, kaum vollständig zu erfüllen waren, und daß das Ziel, das er sich steckte, für den einzelnen gar nicht erreichbar war, daß man vielmehr nur hoffen konnte, durch die immer erneute Arbeit kommender Mathematikergeschlechter diesem Ziele näher und näher zu kommen, ohne jemals wirklich am Ziele zu sein. —2— Mit diesen allgemeinen Andeutungen über Paschs wissen- schaftliche Leistungen muß ich mich begnügen. Dagegen möchte ich nicht unterlassen, über Pasch als Lehrer etwas zu sagen. Seinen großen Anforderungen in Bezug auf die Darstellung suchte er selbstverständlich auch in seinen Vorlesungen zu genügen. Diese waren infolgedessen inhaltlich und in der Form musterhaft, klar und wohldurchdacht. Darin stimmen alle überein, die ihn gehört haben. Sie erklären jedoch zu- gleich, daß Pasch an seine Zuhörer sehr große Ansprüche stellte. Seine Vorlesungen boten daher zwar den Fortgeschritte- nen ungemein viel Anregung und Förderung, dagegen konnten ihm nur wenige Anfänger wirklich folgen. In den letzten Jahren, ja Jahrzehnten, wird wohl jeder Gießener Pasch von Ansehen gekannt haben, auch wenn er den Namen nicht wußte. Der alte Herr, einst ein rüstiger Fußgänger und eifriges Mitglied des Rennklubs, war oft zu sehen, wie er langsam und vorsichtig die Straßen entlang ging, eine Erscheinung, die niemandem entgehen konnte. Aber nur sehr wenige Bewohner Gießens ahnten, daß der Name dieses anspruchlosen Mannes bei den Mathematikern der ganzen Welt wohl bekannt und hoch geachtet war. Wer mit ihm zusammentraf, der mußte unbedingt den Eindruck gewinnen, daß er einer Persönlichkeit gegenüber- stand, die jedermann mit ungeheucheltem Wohlwollen ent- gegentrat. Ich erinnere mich noch selbst dieses Eindrucks, als ich ihm zum ersten Male begegnete, 1896 in Frankfurt, auf einer der wenigen Naturforscherversammlungen, die er be- sucht hat. Dieses Wohlwollen war nicht etwa bloß äußere Form, es kam ihm von Herzen. Ganz in der Stille gab er gern und hat manche Not lindern helfen. Jede Aufdringlichkeit, jedes sich geltend machen, war ihm fremd. Die Bescheidenheit, mit der er jedermann gegenüber auftrat, war keineswegs an- genommen, sondern durchaus echt. Obwohl er niemandem seine Ansicht aufdrängte, merkte man doch im Umgange mit ihm sofort, daß er eine in sich fest gegründete Persönlichkeit war, seines Wertes bewußt, ein Mann, der seinem Ziele mit un- beirrbarer Folgerichtigkeit nachging, ohne sich durch die Mode oder durch Rücksichten auf die Meinung anderer beirren zu lassen. Seine Urteile über andere Mathematiker waren immer maßvoll, maßvoll war auch seine Polemik gegen solche, die — 8— seine Ansichten bekämpften. Die Gespräche mit ihm würzte ein herzerquickender Humor, der niemals boshaft wurde, den ihm auch die schweren Erlebnisse seines Alters nicht rauben konnten. Mit gutem Humor trug er sogar die großen Unbequem- lichkeiten, die mit der fortschreitenden Abnahme seines Seh- vermögens verbunden waren. Konnte er doch in den letzten Jahren nur mit Hülfe von starken Vergrößerungsgläsern lesen und das kleine Feld, das er so überblicken konnte, schrumpfte immer mehr zusammen. Er ließ sich zwar vorlesen, aber er klagte doch, daß er bei wissenschaftlichen Entwickelungen immer das eine über dem andern vergesse. Es ist begreiflich, daß er unter diesen Umständen oft das Bedürfnis hatte, unter Menschen zu sein und ein Gespräch über wissenschaftliche Fragen oder über die Ereignisse des Tages zu führen. Sein gar nicht gelitten, sondern war bis zuletzt von bemerkenswerter Schärfe. Er freute sich daher Gehör hatte zum Glück über jeden, der ihn aufsuchte, und kam jederzeit gern, wenn er von einer befreundeten Familie geladen wurde. Auch ver- sammelte er noch zuweilen einen größeren Kreis von Be— kannlen bei sich. Die wissenschaftliche Arbeit ließ er selbst in den letzten Jahren nie ganz ruhen, obgleich die Schwierig- keiten, die ihn dabei hinderten, fast unüberwindlich schienen. So schwer sein Leben auch in den letzten Jahren war: Pasch hat das Alles mannhaft ertragen. Die geistige Frische ist ihm bis ins höchste Alter ungeschwächt verblieben. Er hat sein Tagewerk vollendet, wie es wenigen vergönnt 18t. Bei allen, die ihm näher getreten sind, hat er sich ein dankbares Andenken gesichert. Aber auch dann, wenn wir alle, die ihm befreundet waren, nicht mehr sind, wird sein Name nicht ver- gessen sein, sondern in der Geschichte seiner Wissenschaft fortleben. Eine Würdigung seiner wissenschaftlichen Leistungen ist die Aufgabe, der der zweite Teil unsrer heutigen Gedächlnis- feier gewidmet sein soll. Hören wir, was Herr Kollege Dehn aus Frankfurt a. M. uns darüber zu sagen hat. Friedrich Engel. Wir wollen versuchen, uns von den wissenschaftlichen Leistungen Moritz Pasch' eine Vorstellung su machen. Da zu ist es gut, daß wir zunächst darstellen, wie sich die Mathematik in den 50 Jahren vor dem Beginn der Tätigkeit von Pasch entwickelt hat. In diese Zeit fällt zunächst eine großsartige Erweiterung des mathematischen Fel des. Die Untersuchung der projektiven higenschaften der Piguren eröffnete ein neues Reich der Geometrie, Um dieses auch analytisch zu beherrschen, mufbten neue algebraische Methoden geschaffen werden, die ihrerseits wieder die Geo metrie bereicherten. In der reinen Algebra wurde das Problem der Lösbarkeit von Gleichungen vollständig erledigt, und aus diesen Untersuchungen entwickelte sich als neue Disziplin die Gruppentheorie. Die Funktionentheorie, auf das Gebiet der komplexen Gröfsen ausgedehnt, lieferte wunderbare neue Funk lionen, die auch für die Anwendung der Mathematik auf die Physik große Bedeutung hatten. Die Zahlentheorie endlich benutzte zum ersten Male systematisch funktionentheoretische Methoden, die in geheimnisvolle Tiefen der Lehre von den Primzahlen führten. Man kann diese Zeil deswegen mit Recht noch zu der heroischen lpoche der Mathematik rechnen, die mit den Entdeckungen der Renaissance begann. Aber sie ist auch eine Zeit der Wende. Is ist merkwürdig, wie von ganz verschiedenen Seiten her diese neue Phase angeregt wurde Zunächst waren es lorscheinungen in der Theorie dor reellen FEunktionen, die einerseits fFür die Anwendungen bedeutend waren, andererseits„wangen, die Symnbolverknüp fungen in der Analysis schärfer auf ihre reale geometrische und arithmetische Bedeutung hin zu untersuchen. Stetige Funk ltion und Trrationalzahl sind Begriffe, die durch diese Unter suchungen besonders geklärt wurden, Um sie zu erforschen, mufsle man auf die Grundlagen der Arithmetik und die Grund eigenschaften der stetig ausgebreiteten Zahlenmannigfaltigkeit. dos Kontinuums, eingehen. lès erhob sich die leragen worauf beruhl unsere Sicherheit in den mathematischen Folgerungen. was bedeuten sie, in den der Anschauung unmittelbar zugäng- 10— lichen Formen ausgedrückt? Das Fundament unserer Wissen- schaft wurde stärker gemacht. Der systematische Zusammen- hang der Sätze in der Theorie der reellen Funktionen wurde aufgedeckt. Von ganz anderer Seite kam eine ähnliche Wir- kung, nämlich von der Forschung in den Grundlagen der Geo- metrie, die uns wegen Pasch hier gan⸗z besonders interessiert. Der spekulative und zugleich kritische Geist am Anfang des vorigen Jahrhunderts überwand die zweitausend Jahre alte Schwierigkeit in der Behandlung der Geometrie ohne Parallelen- axiom. Durch Kritik und Spekulation zugleich wurde erkundet, was für Erscheinungen auftreten, wenn das Parallelenaxiom nicht gilt, dann aber wurde das vom Parallelenaxiom freie geometrische System, die Nicht-Euklidische Geometrie, aufgerichtet. Ein ungeheurer Fortschritt wurde so in der Mathe- malik durch die gleichzeilige Leistung von Bolyai und Lobat- schewskij gemacht. Die Abhängigkeit geometrischer Sätze von einander wurde erkannt: z. B. der Satz von der Winkelsumme im Dreieck folgt nicht ohne Parallelenaxiom; daß die Lote im Dreieck sich in einem Punkte schneiden, folgt ohne Parallelenaxiom. Auch von Seiten der neuen, projektiven Geometrie aus wurde man zu der Nicht-Euklidischen Geo- metrie geführt, als man, wieder im Geiste dieser zeit, ver- suchle, die Sätze der projektiven Geometrie abzuleiten nur auf Grund projektiver Grundsätze, als man also versuchte, eine innere Geschlossenheit in den Bau der projektiven Geometrie von unten an hereinzubringen. Wir haben hier wieder das Problem der Struktur einer mathematischen Disziplin vor uns. Die Nicht-Euklidische Geometrie kommt natürlich hier-— bei zur Geltung, weil das Parallelenaxiom kein projektiver Grundsatz ist; denn ein Paar von Parallelen wird durch Pro- jektion in ein Paar sich schneidender Geraden verwandelt.— Auch die Untersuchung krummer Flächen führte auf die Nicht-Euklidische Geometrie, denn hier zeigte es sich, vor allem durch die Untersuchungen von Gauß, daß man von einer„inneren“ Geometrie auf diesen Flächen sprechen kann, die sich unabhängig von dem die Fläche umgebenden Raum entwickeln läßst. Manche dieser Flächen haben sogar genau dieselben Eigenschaften wie Teile der Nicht-Euklidischen Ebene, wenn man nur die geometrischen Gebilde der Ebene in ge- eigneter Weise auf den Flächen interpretiert. Wir haben auch — 11— hier eine Strukturuntersuchung: die Dinge selbst sind ganz verschieden, aber ihre Verknüpfungen haben die- selben Eigenschaften. Die weitere Entwicklung dieser Uber- legungen führt, nebenbei bemerkt, über Riemann(1854) zu Einstein, der auch die Struktur der dynamischen Phänomene bei der universellen Attraktion durch die inneren Eigenschaften eines vierdimensionalen Gebildes darstellen konnte. Noch in anderen Gebieten äußsert sich diese Tendenz, und weitere Entdeckungen verstärken sie. Es genügt für unsere Zwecke, auf die vorhin schon erwähnte Gruppentheorie hin- zuweisen. Sie betrachtet Systeme von Dingen, die in be- sonders einfacher Weise miteinander verknüpft sind, ja sie wurde allmählich die Theorie dieser Systeme von Verknüp- fungen selbst, ohne Berücksichtigung der Dinge, die mit einander verknüpft wurden. So lieferte gerade die Gruppentheorie eine Sammlung von Strukturen, die für die neuen Untersuchungen besonders der geometrischen Gebilde von unschätzbarer Be- deutung waren. Diese Phase der Strukturuntersuchungen, der Unter- suchungen der reinen Verknüpfungen, damit verbunden die Auffindung von Analogien in den verschiedensten Gebieten, von Obertragungsprinzipien, dauert noch heute an, ja vielleicht stehen wir noch im Anfang der Entwicklung. Für uns ist von besonderer Wichtigkeit die Untersuchung der Struktur der Mathematik selbst, oder einzelner mathematischer Disziplinen; d. h. auch die mathematischen Sätze sind mit einander ver- knüpft: aus einer Satzsammlung S folgt ein gegebener Satz&, oder A folgt nicht aus S. So bildet also eine mathematische Disziplin selbst wieder gleichsam eine Figur, und die Ver- knüpfungen zwischen den Elementen dieser Figur können ma- thematisch untersucht werden. Die mathemalische Be- trachtung der Mathematik selbst entstand und hat zu wichtigen Ergebnissen geführt. Auf Ar- beiten dieser Art ist die einzigartige Bedeutung von Paschgegründet. In 65 Jahren hat er fast ununterbrochen mathematische Arbeiten vollendet. Ein großser Teil dieser Arbeiten, alle Ar- beiten der ersten 17 Jahre, gehören nicht zu dem genannten Gebiet. Sie beziehen sich auf algebraisch-geometrische Fragen. In diesem Gebiet war Pasch nur einer von Vielen; 12— man kann wohl manchen Namen finden, der für die algebraische Geometrie eine größere Bedeutung hat als der von Pasch. Seine Strukturarbeiten, wenn ich so sagen darf— er selbst nannte sie Arbeiten über heikle Mathematik— gliedern sich in vier Teile: Grundlagen der Geometrie, Grundlagen der Arithmetik, Verbindung der Geometrie mit der Anschauung, Struktur der mathematischen Methode. In den Grundlagen der Geometrie ist Pasch von klassischer Bedeutung, d. h. sein Name wird immer ein Stück Weges bedeuten, das der Grundlagen- Mathematiker gehen wird. In den Grundlagen der Arithmetik halt er eine Struktur in dem System der Eigenschaften der ganzen Zahlen nachgewiesen, was für alle diejenigen von Be- deutung ist, die sich mit der Struktuierung dieses Systems beschäftigen. In den beiden anderen Gebieten hat er die auf- opfernde Anfangsarbeit geleistet für eine der Zukunft vor- behaltene wichtige Entwicklung. Unsere Aufgabe ist die Schilderung der wissenschaftlichen Leistung, aber dies doch nicht allein. Was ist bloße Wissen- schaft ohne die menschliche Persönlichkeit, die sie geschaffen hato? Ich will deswegen versuchen, auch das für die wissen- schaftliche Arbeit bedeutungsvolle Persönliche darzustellen. Daß ich aber mit einem wissenschaftlichen Grundriß angefangen habe, ist wohl im Sinne von Pasch. Denn von Wissenschaft meinen wir ja etwas zu verstehen, und von diesem festen Grund aus soll sich deswegen die Darstellung erheben. An die Darstellung von Persönlichem sind wir weniger gewöhnt, und in jedem Fall bleibt dabei allzuviel Subjektives. Aber wie wichtig doch das Persönliche ist, erkennt man schon daran, daßs Pasch zweifellos aus einem sittlichen Erkenntnistrieb nicht aus raffendem Trieb nach zu entdeckenden Sätzen oder aus sportlichem Vergnügen gerade die Grundlagen der Mathematik behandelt hat. Denn sonst hätte er nicht das un- dankbare Gebiet der Grundlagen der Arithmetik oder der Struktur mathematischer Beweise jahrzehntelang bis in sein höchstes Alter bearbeitet. Zunächst wollen wir uns, wenn auch nur kurz, mit den algebraischen Arbeiten von Pasch beschäftigen. Mit ihnen hat er seine mathematische Produktion begonnen. Er hatte in Breslau gemeinsam mit seinem Lebensfreunde Jakob Rosanes studiert und bei Heinrich Schroeter Anregungen empfangen, 15 Methoden der Algebra zur Bewältigung geometrischer Probleme anzuwenden. Es handelt sich hier hauptsächlich um solche Me- thoden, die im zweiten Viertel des vorigen Jahrhunderts ge- schaffen wurden und deren glänzendster Vertreter Otto Hesse in Heidelberg war. Das Hauptmittel dieser Methode war der von Jacobi und Cayley geschaffene Determinantenkalkül, ferner die Identitäten zwischen Formen, d. h. solchen Poly- nomen, deren Glieder sämtlich denselben Grad in den Vari- ablen haben. Diese Methode ist in der Folgezeit außerordent- lich bereichert worden durch das Hinzukommen neuer Kalküle, nämlich des Rechnens mit Zahlkomplexen, entweder mit be- stimmten höheren komplexen Zahlen wie den Größsen von Graßmann und Hamilton, oder mit den allgemeinen Komplexen von ne Zahlen, den sogenannten Matrizen oder Tensoren. Der Determinantenkalkül ist nur ein ganz spezieller Fall dieses Matrizenkalküls. Diese neuen Methoden, die schon vor Beginn der Tätigkeit von Pasch entstanden waren, hat Pasch nie ange- wandt. Ihm lag das Mystisch-Revolutionäre fern, das mit der Vorliebe für das Operieren mit überanschaulichen Größsen eng verbunden ist. Den wichtigsten Untersuchungsgegenstand in der alge- braischen Geometrie bilden die Invarianten, das heißst solche Ausdrücke in den Koeffizienten einer Form oder einer Trans- formation, die bei projektiver Transformation erhalten bleiben: Bei einer projektiven Transformation möge die Form mit den Koeffizienten a in die Form mit den Koeffizienten a' über- gehen und eine Funktion I der Koeffizienten a gleich derselben Funktion der Koeffizienten a' sein, abgesehen von einem Faktor. der nur von der projektiven Transformation abhängt. Dann nennt man I eine Invariante. Es ist klar, daß diese Invarianten die größste Rolle bei der Untersuchung der projektiven Eigen- schaften der geometrischen Gebilde spielen müssen. Die Inva- riantentheorie wurde teils kurz vor Pasch'’s Beginn, teils mit diesem zusammenfallend erweitert einerseits durch symbolische Prozesse, also eine Art Invariantenkalkül, andrerseits durch Auf- deckung einer höheren Art von Invarianten, der Elementar- teiler, die nicht algebraische Funktionen der Koeffizienten sind, sondern ganze Zahlen, die von den Teilbarkeitseigenschaf- ten gewisser Koeffizientenausdrücke abhängen. Auch von diesen Methoden hat Pasch keine Anwendung gemacht, ebensowenig — 14— wie von der Gruppentheorie. Das lag, wie er selbst sagte, an seiner Eigenart. Er hat nicht leicht neue, komplizierte Methoden angenommen. Er war selbst zu einfach denkend und zu origi- nell. Diese Eigenart kam auch bei seiner Vorlesungstätigkeit zum Ausdruck. Er hat mir einmal seine Verwunderung über die Dozenten ausgesprochen, die so leicht über jedes Gebiet der Mathematik Vorlesungen halten können. Er selbst hat sich immer auf bestimmte Gebiete beschränkt. Nun einige Probleme, die von Pasch behandelt wurden: Seine erste Arbeit(1864/65, mit Rosanes gemeinsam) bezieht sich auf geschlossene Polygone vonn Seiten, die einer Ellipse einbeschrieben und einer zweiten Ellipse umbeschrieben sind. Zwischen den Koeffizienten der diese beiden Ellipsen darstellen- den Gleichungen bestehen Beziehungen. Das Problem reizt zur Anwendung der elliptischen Funktionen, die auch in der ersten Arbeit verwandt wurden. In der zweiten denselben Gegenstand betreffenden Arbeit von 1869 wird dieses fremde Gewand ab- gestreift und das Problem in eleganter Weise algebraisch er- ledigt. Seine Habilitationsschrift(Gießsen 1870) behandelt die Mannigfaltigkeiten, die wohl zuerst von Plücker im zweiten Viertel des XIX. Jahrh. untersucht wurden, nämlich Mannig- faltigkeiten von Geraden im Raum. Hier handelt es sich um dreifach unendliche algebraische Mannigfaltigkeiten von Raum- geraden, die sogenannten Linienkomplexe. Schon Plücker hatte bei solchen Komplexen zweiten Grades bemerkt, daß es in ihnen eine zweifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit von aus- gezeichneten Geraden gibt, die eine charakteristische Brenn- fläche besitzt. Diese wird nun von Pasch für allgemeine Kom- plexe nachgewiesen. Diese Arbeit wurde von F. Klein einige Jahre später in den„Fortschritten der Mathematik“ besprochen. Klein war Schüler von Plücker, und seine ersten Arbeiten be- zogen sich ebenfalls auf die Liniengeometrie. Die Verbindung der mathematischen Arbeiten von Klein mit denen von Pasch sollte später noch von viel größserer Bedeutung werden. In einer Arbeit vom Jahre 1876 behandelt Pasch spezielle Fälle des interessanten Problems: Wann ist eine Form von n Variabeln durch projektive Transformation in eine Form von weniger Variabeln überführbarb? Das identische Verschwinden einer bestimmten Determinante, der Hesseschen Determinante, deren Elemente die zweiten Ableitungen der Form nach den 15— Variabeln sind, ist eine notwendige Bedingung. Iesse selbst meinte, daß diese Bedingung auch hinreichend sei. Pasch be- weist dies für spezielle Fälle. Im selben Jahre wurde das Pro- blem von Gordan und Noether aufgegriffen und vollständig gelöst. Es zeigte sich, daßs Hesse unrecht hatte. Bis zu dem Jahre 1880 sind alle Arbeiten in dem Crelleschen Journal erschie- nen. Von da an veröffentlicht Pasch seine Arbeiten in den Mathe- matischen Annalen. Vielleicht drückt sich hierin eine nähere Ver- bindung mit Klein aus. Eine ganze Reihe von Annalen-Arbeiten beschäftigt sich mit den speziellen Arten von projektiven Ver- wandtschaften in der Ebene. Es werden einfache geometrische Bedingungen dafür angegeben, daß eine von den rationalen In- varianten der Transformation verschwindet. Überall ist es Pasch darum zu tun, anschauliche Resultate zu gewinnen und die alge- braischen Verhältnisse möglichst reinlich und übersichtlich dar- zustellen. Tiefere Ililfsmittel anzuwenden, hat er, wie gesagt. stets verschmäht. An diese Arbeiten schließen sich auch Giebße- ner Dissertationen und Arbeiten sonstiger Mathematiker an. Pasch hat immer großen Wert auf seine algebraische Pro- duktion gelegt. Auf dem Felde, wo er seine jugendlichen Kräfte zuerst übte, hat er bis über das achtzigste Jahr hinaus gearbeitet. Seine letzte Annalen-Arbeit ist noch ein kleiner Beitrag zur algebraischen Geometrie. Es war für ihn sicher stets eine Ge- nugluung, daß er diese Methode vollständig beherrschte; er hal gerne die beruhigende Gewiſheit empfunden, im mathemali- schen Handwerk ein Meister zu sein. Jetzt wenden wir uns wieder dem Teil der Pasch’'schen Tätigkeit zu, der für uns bei weitem am wichtigsten ist, seinen Forschungen auf dem Gebiete der Grundlagen. Im Jahre 1882 erschien sein erstes selbständiges Werk:„NVorlesungen über neuere Geometrie“. Dies Buch hat keine Vorgänger, viele Nachfolger. Es bezeichnet den Anfang einer neuen Lpoche in der Kenntnis des Menschen von seinen eigenen Werken. LEhe wir an eine Darstellung des Inhalts gehen, wollen wir die Vorbedingun- gen für die Entstehung des Buches betrachten. Pasch hal neben dem Unterricht bei Schroeter in Breslau auch die Vorlesungen von Lipschitz, dann aber vor allem in Berlin(nach seiner Pro- motion in Breslau 1865, als 2r jähriger) die Vorlesungen von Kronecker und Weierstraß gehört. Durch diese Männer kam er in Berührung mit der besinnlichen Strömung in der — 16— Mathematik des 19. Jahrhunderts, mit den Bestrebungen, die Substruktur des hohen Baus der Mathematik, speziell der Arith- metik und der Analysis, zu erkennen. Zu derselben Zeit wie Pasch stand auch Georg Cantor unter dem Einfluß der Vor- lesungen von Kronecker und Weierstraß. Es ist merkwürdig, wie dasselbe Milieu so ganz Verschiedenes in den beiden ver- schiedenen Männern hervorrief. In Cantors dem Mystisch-Spe- kulativen zugeneigtem Geist entstand aus den Weierstraß'schen Grundlagen der Analysis die Mengenlehre, die weit über das direkt menschlich Anschauliche hinaus die Regionen des Trans- finiten bewohnt, wo der Mensch sich über sich selbst schwingt und den verschiedenen aktual- unendlichen Individuen, den freien Schöpfungen der Phantasie, anschauliche Namen erteilt und sie miteinander verknüpft nach den in den Regionen des Anschaulichen geltenden Gesetzen. Pasch dagegen führte das Gehörte dazu, überall in seinen Vorlesungen, ob sie nun das Gebiet der Geometrie oder der Analysis betrafen, auf den Grund zurückzugehen und immer eingehender und liebevoller ins Einzelne auflösend diesen Grund zu betrachten und darzu- legen. Das entspricht eben seiner besonderen Anlage, die sich, wie er in seiner Selbstschilderung sagt, schon auf der Schule gezeigt und ihn eigentlich zum Studium der Mathematik ge- führt hat. Und nun gehen wir einen Schritt näher an das Buch heran. In der Vorrede heißt es:„daß die projektive Geometrie unab- hängig von der Parallelentheorie besteht und sich ohne deren Zuziehung begründen läßt, hat zuerst Herr F. Klein bemerkt und mehrfach erörtert.“ Kleins Gedankengang war etwa so: r. Die Verknüpfungen von Punkten, Geraden und Ebenen sind nach Einführung der unendlichfernen Elemente, der unendlichfernen Ebene und ihrer Punkte und Geraden, projektiv invariant. 2. Die harmonische Lage von zwei Punktepaaren ist projektiv invariant, wie sich leicht aus den räumlichen Verknüpfungen ableiten läßt. 3. Durch sukzessive Konstruktion von harmonischen Quadrupelu kann man von drei gegebenen Punkten einer Geraden aus- gehend ein beliebiges Punktquadrupel dieser Geraden annähern. Durch diese Konstruktion ist jedem Punktquadrupel eine Zahl. zugeordnet, das sogenannte Doppelverhältnis, das bei Projektion unverändert bleibt. Drei Punkte auf einer Geraden haben nur mit einem vierten Punkt der Geraden ein vorgegebenes Doppel- — 17— verhältnis. 4. Mit Hilfe der beiden Sätze über das Doppelver- hältnis ist die projektive Geometrie leicht aufzubauen, etwa in der Art der„Geometrie der Lage“ von Chr. v. Staudt(dessen Lehrstuhl in Erlangen F. Kklein eine Zeitlang inne hatte). Klein hatte aber diesen Gedankengang nur skizziert, und seine Durchführung bot einige erhebliche Schwierigkeiten. Zu- nächst mußste Punkt I abgeändert werden, was natürlich Klein selbst bemerkt hatte. Gerade die Einführung der unendlich- fernen Ebene erfolgt ja auf Grund des Parallelenaxioms. Was war ohne das Parallelenaxiom zu machen? Bolyai und Lobat- schewskij hatten die Nicht-Euklidische Welt mit den unendlich- fernen Elementen als Grenzen der endlichen Elemente abge- schlossen. Zwei Geraden einer Ebene hatten dementsprechend einen endlichen Punkt oder einen der beiden auf jeder Geraden gelegenen unendlichfernen Punkte oder gar keinen Punkt ge- meinsam. Hier entstand also zunächst ein großer Widerspruch mit den projektiven Verknüpfungsregeln, die ausnahmslos gelten müssen. Dies Problem hatte schon Klein erfaßt und konnte zu seiner Lösung gelangen, weil er als Repräsentanten der Nicht- Euklidischen Geometrie die von Cayley aufgestellte künstliche Geometrie erkannt hatte. Da sah klein, daß die supraunend- lichen Elemente, die Elemente, die jenseits der Grenzen des metrisch Erreichbaren liegen, als Zentren von Geradenbüscheln resp. als Axen von Ebenenbüscheln aufgefaßt werden können, ebenso wie man durch eine Schar von Parallelen einen unend- lichfernen Punkt bestimmt usw. So sagt er:„Hier anknüpfend kann man rein geometrisch solche idealen Elemente definieren, wobei nur Übung dazu gehört, um sich gerade so sicher in diesen idealen Gebilden wie in den gleichbenannten wirklichen Gebilden zurecht zu finden“(1873). Hier setzt Pasch ein, aber mit einer ganz anderen Einstellung wie Klein. Ihm genügl nicht die Sicherheit, sich in diesen idealen Gebilden zurechtzufinden, sondern er will ihre Eigenschaften vollständig auf die Eigen- schaften der wirklichen Gebilde zurückführen. Denn wenn man für die wirklichen Gebilde noch die Anschauung als Lei- terin der Schlüsse zulassen kann, für die idealen Gebilde be- steht ja nur das Vertrauen, daß sich dort dieselben Verhältnisse vorfinden wie bei den wixklichen Gebilden. klein macht aus Antipathie gegen die nicht intuitive, sondern rein logische Schlußweise in seiner eigentlich künstlerischen Einstellung einen — 18— Fehler im Selbstbeobachten. Er merkt nicht, daß er bei dem „anschaulichen Operieren mit den idealen Elementen“ das Bild der Nicht-Euklidischen Geometrie in der Cayley'schen Form der Wirklichkeit substituiert. Pasch entwickelt aber gerade an dieser Stelle zuerst den axiomatischen Standpunkt. Denn mit den idealen Gebilden verbindet sich keine Anschauung, also darf ich nur aus den für sie abgeleiteten Eigenschaften schlie- Ben. Diese Eigenschaften müssen aber, soweit sie projektiv sind, formal mit den Eigenschaften der wirklichen Elemente überein- stimmen. Also werde ich dazu geführt, ein für die(projektiv-) geometrischen Schlüsse vollständiges System der Eigenschaften der wirklichen Elemente aufzustellen: die Axiomatik ist geboren. Aber klein schreibt noch 1890 mit besonderem Hin- weis auf Pasch:„In der mathematischen Literatur scheint mir betr. der Axiome fast allgemein eine Ansicht verbreitet, welche von derjenigen abweicht, die ich für richtig halte und von der ich in meinen früheren hierher gehörigen Arbeiten Gebrauch gemacht habe, ohne mir des Widerspruchs gegen andere Mei- nungen deutlich bewußst zu sein. Die betr. Ansicht geht dahin, daß die Axiome die„Tatsachen“ der räumlichen Anschauung formulieren und zwar so vollständig, daß es bei geometrischen Betrachtungen unnötig sein soll, auf die Anschauung als solche zu rekurrieren, es vielmehr genügt, sich auf die Axiome zu be- rufen. Ich möchte zunächst den zweiten Teil dieses Satzes be- streiten. Eine geometrische Betrachtung rein logisch zu führen, ohne mir die Figur, auf welche dieselbe Bezug nimmt, fortge- setzt vor Augen zu halten, ist jedenfalls mir unmöglich.“ Für Pasch ist aber die Geometrie gleichzeitig empirisch, also Natur- wissenschaft, in der Herleitung der Kernsätze, der Axiome, und ganz rein deduktiv in ihrem Aufbau aus den Kernsätzen. Klein hat entschieden Unrecht, soweit es sich wenigstens um den Auf- bau der projektiven Geometrie handelt, denn mit den idealen geometrischen Elementen selber hat auch er nicht intuitiv operieren können, sondern er übertrug vertrauensvoll das für die wirklichen Elemente Evidente. Für Klein ist gerade das anschauliche Schließsen das Wesentliche an der Geometrie. So- wie sie algebraisch behandelt wird, wird sie nicht mehr als Geometrie angesehen. Für Klein gibt es neben der sprachlich logischen auch eine anschaulich logische Form der Deduktion. Das ist eine sehr interessante Idee, aber sie wird jedenfalls — 19— heute durchaus nicht als richtig empfunden. Freilich ge- brauchen wir auch in der strengsten axiomatischen Geomelrie heute noch Figuren und schließen intuitiv mit Hilfe der Fi- guren. Aber wir haben wenigstens die moralische Überzeugung, daß jeder der Schlüsse unanschaulich, rein deduktiv gemacht werden könnte, und mehr kann man zur Zeit nicht verlangen; denn einstweilen ist es ja noch ein unberechenbar weiter Weg bis zur völligen Algebraisierung der Geometrie auf jeder Stufe und in allen ihren Erscheinungen. Wir führen noch Pasch's eigene Worte aus seiner Selbst- schilderung an:„Von dem, der an der Mathematik weiterbaut, wird von Alters her verlangt, daßs sein Gedankengang sich auf reine Schlußfolgerungen aus dem Vorhandenen zurückführen läßt: erscheinen in dem Gedankengang Begriffe oder Sätze, die dem nicht entsprechen, so sind diese als neue Grundbegriffe oder neue Grundsätze(neue Axiome) zu betrachten. In dem jedesmal Vorhandenen müssen sich daher gewisse Begriffe und Sätze als Grundbegriffe und Grundsätze erweisen, während alles andere aus diesen abgeleitet ist..... Auf jeder Stufe der Ent- wicklung... ist das Lehrgebäude der Mathematik erst haltbar, wenn sich ein in sich widerspruchsfreier Kern herausheben und der ganze Inhalt aus dem Kern folgern läſst.“ In die Gesamtheit der Strukturuntersuchungen reiht sich die Arbeit von Pasch so ein, daß er versucht, zu den einzelnen fHlauptgebieten, der Geometrie und Krithmetik, eine Sammlung von Kernsätzen zu finden, aus denen alle anderen Sätze rein deduktiv folgen, und die ihrerseits wieder möglichst einfach aus der Anschauung entnommen werden können. Er hat dann auch, noch tiefer dringend, die Struktur der Verknüpfung von Kern- sätzen und allgemeinen Lehrsätzen untersucht. Darauf werden wir spälter zurückkommen. Nun gehen wir dazu über, das Buch selbst zu betrachten. zZunächst werden die nicht metrischen Eigenschaften der Ebe- nenstücke, der Strecken und der Punkte auf diesen Gebilden auf eine Anzahl Kernsätze zurückgeführt. Bei der sorgfältigen Zergliederung der mathematischen Schlüsse entdeckt Pasch hier, woran bisher die Geometer von Euklid an blind vorüberge- gangen waren, die Kernsätze für die Anordnung der Punkte auf einer Strecke, der Punkte und Strecken eines Ebenen- stückes. Jetzt konnten die einfachsten der projektiven Geometrie — 20— angehörenden Lehrsätze für das beschränkte Raumstück rein logisch abgeleitet werden, zum ersten Male streng; d. h. die Voraussetzungen waren vollständig aufgedeckt, die bisher still- schweigend, unbewußzt, intuitiv angenommen waren. Welch ein Weg von den alten Babyloniern vor 4000 Jahren, die den schönsten geometrischen Lehrsätzen als Beweis einfach das Wort„siehe“ hinzufügten, bis zu Pasch! Wie mußte sich die Sprache der Menschen, ja die ganze Denkart verändern, daß eine solche starre Struktuierung des ursprünglichen Gemisches aus Anschauung und Deduktion möglich wurde. Dann kommt die Einführung der idealen Elemente, wesent- lich in der schon von Klein skizzierten Weise. Aber jetzt wird in langen mühsamen Deduktionen nachgewiesen, daß man auch für die neuen Elemente Verknüpfung und Anordnung so defi- nieren kann, daß für die Gesamtheit der wirklichen und idealen. Elemente die für den beschränkten Raumteil ausgesprochenen Kernsätze der Verknüpfung und Anordnung im eryveiterten Sinne gelten. Nun kann ein Teil der projektiven Geometrie entwickelt werden. Hilbert hat im Jahre 1899 genau die Sätze angegeben, die auf dieser Stufe gefolgert werden können. Hiernach kommt die zweite Schwierigkeit bei der Durch- führung des Kleinschen Programms. Um den Punkt 3 zu er-— ledigen, muß man zeigen, daßz man von drei beliebigen Punkten einer Geraden ausgehend durch sukzessive Konstruktion vierter harmonischer Punkte in das Innere jeder Strecke hineinkommen kann. Das kann man auf Grund der bis jetzt ausgesprochenen Kernsätze nicht beweisen, wie Hilbert später(1899) gezeigt hat. Man braucht also einen weiteren Kernsatz. Pasch führt nun hier einen aus der Metrik stammenden Kernsatz ein, nämlich den, daß man durch fortgesetztes Verdoppeln eines Teiles A C einer Strecke AB über den Punkt B hinauskommt. Man kann das Verdoppeln von Strecken leicht mit der Konstruktion vierter harmonischer Punkte in Verbindung bringen und erhält so das gewünschte Resultat über die harmonischen Quadrupel, von dem man auf dem bereits vorgezeichneten Weg zur Begründung der projektiven Geometrie gelangt. Diese Begründung erhält ihren Abschlußz durch die Darstellung der projektiven Trans- formationen in der gewöhnlichen Algebra. Der von Pasch eingeführte Kernsatz ist in der von Pasch gewählten Form identisch mit dem sogenannten Archimedischen Postulat, — 21— das von Euklid und Archimedes bis zu den Mathematikern der Renaissance ziemlich viel benutzt, seitdem etwas in Vergessen- heit geraten war. Pasch kannte es übrigens wohl auch nicht aus der Tradition und hat es erst in der zweiten Auflage seines Werkes mit dem jetzt üblichen Namen bezeichnet. Klein war nicht begeistert von diesem Hilfsmittel. und wollte ihm ein mehr projektives substituieren. Aber das würde den Nachteil haben, daßz es durchaus nicht auf die Anschauung gestützt werden kann. Auch die übrigen metrischen Axiome(Kernsätze) wurden von Pasch eingeführt. Auf die Notwendigkeit, sie ausdrücklich zu formulieren, hatte schon Helmholtz aufmerksam gemacht. Auf Grund der Eigenschaften von Bewegungen als speziell charakterisierter projektiver Transformationen können dann auch die Bewegungen analytisch dargestellt werden. Damit ist wie- der der vom Parallelenaxiom freie Aufbau der Geometrie er- reicht. Im Vergleich zum Wege von Bolyai und Lobatschew skij ist der Weg, den Pasch in Verwirklichung der Ideen von Klein geht, durch Natürlichkeit und Klarheit der Grundidee ausge- zeichnet und wird von keinem später gefundenen übertroffen. Die Benutzung des Archimedischen Axioms freilich läßt sich vermeiden, indem die projektive Geometrie allein mit Hilfe der Existenz der Gruppe der Bewegungen aufgebaut werden kann, wie zuerst Schur 1898 gezeigt hat. Seiner Ableitung liegt eine Idee von Hermann Wiener(1891) zugrunde. Damit haben wir ein etwas stilisiertes Gesamtbild von dem Pasch'schen Buch erhalten. Nur noch eine charakteri- stische Einzelheit will ich hinzufügen. Pasch geht wie die Alten aus von dem Begriff der Strecke, aus der die Gerade durch Verlängerung gewonnen wird. Und in der Tat, die Ge-— rade als Individuum ist keineswegs etwas primitiv Anschau- liches, die unbegrenzt ausgedehnte Gerade, so wie wir sie heute meistens schon von Anfang an in die Geometrie ein- führen, ist kaum vor Desargues(17. Jahrh.) als Begriff ge- läufig. Pasch hatte bei dieser Einführung natürlich kein histo- risch-didaktisches Motiv. Es ist klar, daß die primäre Einfüh- rung der Strecke von Pasch als das Natürliche empfunden wurde. Aus Gründen der Sauberkeit und der logischen Ein- fachheit vermeidet er es, den Winkel einzuführen. Nebenbei bemerkt, das Historische interessierte ihn merkwürdig wenig, 22— das Mathematisch-Historische sicher gar nicht, das Allgemein- Historische, soweit mein Eindruck zuverlässig ist, sehr wenig. Es mag sein, daß ihm das allzu Subjektive bei der historischen Betrachtung unbehaglich war. Das wichtigste Resultat des Buches ist die Sammlung von Kernsätzen. Das erste vollständige Axiomsystem war damit gefunden. Es ist höchst unwahrscheinlich, daß noch eine Lücke vorhanden ist, d. h. daß diese Sammlung von Kernsätzen nicht ausreicht, um die gewöhnliche Geometrie abzuleiten. Und das ist der Sinn von dem, was ich vorhin sagte: eine neue Epoche in der Kenntnis des Menschen von seinen eigenen Werken. Denn von der Struktur dieses seines eigensten Werkes, der Geometrie, hatte der Mensch bis dahin nur sehr verworrene Vorstellungen. Jetzt war ein festes und wohlgegliedertes Fun- dament aufgedeckt. Was war die Wirkung dieses einzigartigen Buches? Zu- nächst jedenfalls war sie nicht groß. In den„Fortschritten der Mathematik“ wurde es kurz von Stolz besprochen. Hier findet sich kein Wort von dem bedeutenden Neuen, der Auf- stellung eines vollständigen Axiomsystems für die Geometrie. Aber es wird doch bemerkt, daß bei Pasch„eine gerade Linie und eine Ebene nicht weiter erklärt oder definiert wird, son- dern daß die Grundeigenschaften dieser Gebilde, wie sie etwa der Beobachtung entsprechen, in einer Reihe von Grundsätzen ausgesprochen werden“. Also der axiomatische Standpunkt, der in voller Schärfe dann von Hilbert in seinen„Grundlagen“ formuliert wird, ist erkannt. Aber schon daß Pasch gar nicht Grundeigenschaften der Geraden, sondern bloß der Strecke ausspricht, wird nicht bemerkt. Wahrscheinlich hat sich der Referent nicht die Mühe gemacht, das auf den ersten Blick nicht besonders ansprechende Buch durchzuarbeiten. Die Wir- kung begann erst um 1890 sich zu zeigen. Es erschienen die ersten axiomatischen Lehrbücher der Geometrie in Italien, das von Peano 1889, das von Veronese 1891. 1890 wies Klein auf das Buch hin, 1893 hielt Hilbert eine Vorlesung in Königs- berg über die Grundlagen der Geometrie, für die er auch das Buch von Pasch benutzt haben wird. Dies war wohl die erste g in Deutschland. 1891 hielt H. Wiener einen Vortrag in Halle, der große Wirkung hatte. Hier wird scharf der axiomatische Standpunkt betont, unter diesem Titel gehaltene Vorlesun — 23— freilich, wenigstens im Referat, der Name Pasch nicht ge- nannt. Im gleichen Jahr schrieb F. Schur in den Annalen über eine Modifikation in der Einführung der idealen Elemenle. 1899 erschienen die Grundlagen der Geometrie von Hilbert. Sie stellten die axiomatische Methode mit solchem Glanze dar, daßs sie ihr nicht nur in der Betrachtung der Geometrie zum Siege verhalfen, sondern weit über die Geometrie hinaus die Betrachtungen in den Naturwissenschaften, ja die Erkenntnis- theorie selbst aufs stärkste beeinflußsten. Schon Wiener hatle das Strukturproblem erweitert, indem er die Abhängigkeit der Sätze der projektiven Geometrie von einzelnen Sätzen(nicht Kernsätzen) als Problem aufwarf. Hilbert aber vertiefte das Strukturproblem außerordentlich, indem er die Unabhängig- keit einzelner Sätze von anderen Sätzen oder Satzsammlungen mit größztem Erfolg untersuchte. Sicher ist gerade durch diese glänzenden und abschließenden Resultate der Sieg der Axio- matik vollendet worden. Kürzer können wir unsere Betrachtungen über das eben- falls 1882 erschienene Werk„Einleitung in die Differential- und Integralrechnung“ fassen. Das Ziel ist viel bescheidener. Das schon in anderen Lehrbüchern, z. B. in dem von Lipschitz, ferner in Schriften von Dedekind und den Vorlesungen von Weierstraß über die Grundlagen der Analysis Entwickelte wird zusammengebracht und äußzerst sorgfältig, auch für das Ver- ständnis von Anfängern passend, dargestellt. Als Mangel dieses Buches hat Pasch empfunden, daß in ihm die Lehre von den natürlichen Zahlen vorausgesetzt wird. Diese Lücke wird erst viele Jahre später ausgefüllt in den„Grundlagen der Analysis“ (1905), über die wir jetzt ganz kurz sprechen werden. Sein Bestreben, in dem unter Mitwirkung von Cl. Thaer heraus- gegebenen Buche war, die Arithmetik zunächst bis zur Dar- stellung der Zahlen im dekadischen System aufzubauen, dann die Irrationalzahlen einzuführen und bis zu den allgemeinen Potenzen und Logarithmen aufzusteigen. Uns interessiert als besonders originell der Aufbau der Lehre von den natürlichen Zahlen, der am ausführlichsten in seinem letzten 1930 heraus- gegebenen Werk„der Ursprung des Zahlbegriffs“ dargestellt wird. Vier Begriffe sind es, die Pasch zugrunde legt: Dinge, Namen von Dingen, Angaben von Dingen durch ihren Namen, früher und später in Bezug auf die Angaben. Wir können nicht — 24= erwarten, daß die Einführung genau der psychologischen Ent- stehung des Begriffs von den Zahlen und ihrer Aufeinander- folge entspricht, aber sie ist doch als natürlich zu bezeichnen. Ob sie freilich den Aufbau genügend struktuiert, ist zweifelhaft. In einer Reihe von sehr spät(nach 1920) entstandenen Aufsätzen für die Annalen der Philosophie und philosophischen Kritik— später gesammelt unter dem Titel„Mathematik am Ursprung“— beschäftigt sich Pasch mit der Frage, wie man zu den Kernsätzen auf natürliche Weise kommen kann. Denn die Kernsätze sind gewiß Resultate der Abstraktion aus einer langen Kette von Erfahrungen. Pasch unternimmt nun hier nicht, die tatsächlichen Erfahrungen, die etwa zu dem Begriff der Strecke geführt haben, zu untersuchen. Das wäre eine Art anthropologischer Untersuchung. Sondern er führt den Leser durch eine Kette von möglichen Experimenten zu diesem Be- griff. So werden die Begriffe des starren Körpers, der stellen- weise„dünnen“, also zweidimensionalen, der eindimensionalen Körper und ähnliches mehr in eingehender geduldiger Zer- gliederung dargestellt. In verschiedenen Arbeiten(s. z. B. Math. am Ursprung VII) untersucht Pasch die Struktur des mathematischen Beweises. Durch sorgfältige Betrachtung gelingt es ihm, uralte Schluß- figuren noch weiter zu zergliedern, wie z. B. den Schluß mit Hilfe der Transitivität der Eigenschaft des Enthaltenseins(modus barbara). Es gelingt ihm, die Voraussetzung der Transitivität auf andere, vielleicht einfachere Voraussetzungen zurückzu- führen. Diese Arbeit wurde von Pasch selbst nur als Vorarbeit empfunden. Sie liefert einen wertvollen Beitrag zu den augen- plicklich sehr intensiv betriebenen Untersuchungen auf dem Gebiet der Logik. Jedenfalls ist die Pasch'sche Analyse eine erstaunliche Leistung des Scharfsinns bei einem Sojährigen Mann. Zum Schluß wollen wir noch versuchen, uns ein Gesamlt- bild von Pasch vor Augen zu führen. Die äußere Erscheinung ist ja weitaus den meisten unter Ihnen gegenwärtig und un- vergeßlich; wie er einem an der Tür seines Arbeitszimmers entgegenkam, die beiden Hände zur Begrüßsung vorgestreckt, die nicht kleine Gestalt vom Alter leicht gebeugt, das gesundfarbene Gesicht mit dem kurz gehaltenen weißsen Bart, die scharfe Brille vor den immer mehr versagenden Augen, der kräftige Bau — 25— des Schädels, der Ausdruck gütig, weise, ein wenig ironisch, gar nicht weich, sondern eher diszipliniert. Eine fast pedan- tische Ordnung in allen seinen Sachen, so daß er jede ge- wünschte Kleinigkeit trotz seiner schlechten Augen sofort finden konnte. Mit einer spartanischen Anspruchslosigkeit hat er sich in den schlimmen Jahren nach dem Kriege eingerichtet. Wir haben ihn bewundert, wie er es durch systematisch durchdachte Anordnung fertig brachte, als über Sojähriger mit einem Ruck- sack als Gepäck ganz allein, über die Umsteigestation Berlin, nach Greifswald zu seinen Kindern zu fahren. Wir haben gedacht, daß er es verstand, die allein absolut sichere Methode der Axiomatik auch auf die Dinge des täglichen Lebens zu übertragen. Und als Mathematiker: man macht sich die Be- schreibung leichter durch Vergleich. Aber keiner unter den Mathematikern der neueren Zeit will mir zum Vergleiche passend erscheinen. Am ehesten möchte ich ihn mit Euklid vergleichen. Euklid's große, unvergängliche Leistung ist sicher die Systematik gewesen. Vielleicht hat Euklid keine ganz wich- tige mathematische Erscheinung als erster erkannt. Aber seine geordnete Darstellung der Mathematik hatte zeugende Wirkung. Archimedes und Apollonios sind ohne Euklid nicht zu denken. Ja, es gibt wenig Menschen, deren Formungen solchen Einfluß auf die Gedankenketten der Nachwelt gehabt haben, wie die Euklid's. Und so wirkt auch Pasch's Werk weiter, wenn es auch natürlich an geschichtlicher Bedeutung mit den„Elemen- ten“ nicht wetteifern kann. Aber es ist aus der Geschichte der modernen Mathematik nicht fortzudenken, weil es ebenfalls fruchtbar weiter gewirkt hat. Als formenden Menschen, als Mathematiker, der stets den größten Wert auf den sprachlichen Ausdruck als den Träger der Gedankenketten gelegt hat, können und sollen wir ihn auch mit Dichtern vergleichen. Und da möchte ich ihn mit dem Manne voll leidenschaftlicher Sittlichkeit, und doch größ- ter Güte, dem großen Formkünstler, der mit fast pedantischer Genauigkeit jede Einzelheit bedachte, mit dem Deutsch-Oster- reicher Adalbert Stifter vergleichen. Ich weiß gar nicht, 0b Pasch Stifter gekannt oder gar viel gelesen hat, aber manch- mal überrascht mich die Khnlichkeit seiner Sprache mit der des Dichters. Das kommt vielleicht besonders in seiner schönen Festrede von 1894„Über den Bildungswert der Mathematik“ — 26— zum Vorschein, wo er übrigens auch begeistert von Euklid als Vorbild spricht. Diese Rede sollte jeder nicht mathematisch Interessierte lesen, der sich ein Bild von Pasch'’s Eigenart machen möchte. Pasch und Stifter haben zweifellos eine innere Verwandtschaft, obwohl ihre Herkunft denkbar verschieden ist. So wie Stifter hatte Pasch eine behutsame gütige Art, mit den Dingen umzugehen. Pasch übte keine gewaltsame Oktroyierung von Symbolgeflechten auf die Wirklichkeit aus, aber doch ver- suchte er mit unbeirrbarer Kraft, Ordnung in die Beziehungen der Außenwelt zu dem Bau der Mathematik zu bringen. In der Geschichte der menschlichen Erkenntnisse hat sein Name eine besondere Bedeutung. Pasch wird stets ein Vorbild sein. Ob man diesem entsprechend handeln möchte, das ist vielleicht Sache des Temperaments, aber als Vorbild werden wir ihn stets empfinden, und sein Wirken wird nicht aufhören. Max Dehn. Moritz Pasch zum achtzigsten Geburtstag am 8. November 1923. „Zwei Punkte“, heißt'’s,„bestimmen eine Strecke“. Darf ich an seinem Ehrentag es wagen, Der Axiomatik Klassiker zu sagen, Was ich für ihn in diesem Satz entdecke? Der Weg, den Du rückschauend heut betrachtest Bis hin zu Deiner Jugend schweren Zeiten, Er folgt auch ewigen Notwendigkeiten Wie die, zu deren Deuter Du Dich machtest. Denn, wo ein anderer sich krümmend windet Im Dickicht der verschlungnen Lebenspfade, Du zeichnest Deinen unverrückbar grade: Die Linie, die Geist und Herz verbindet. Denken und Wollen ist Dir eine Einheit, Nur höchste Klarheit durfte Dir genügen. Es hielt Dich über allen Lebenslügen Des Geistes Schärfe und des Herzens Reinheit. Wer kann an seinem Abend mehr verlangen, Als daßs sich seines Tages Werk ihm male Vom ersten Dämmern, wo es angefangen, In einem einz'’gen ungebrochenen Strahleb Wir andern, die in Wirrnis und Getöse Auf Deinem Weg zu wandeln nicht vermochten, Mit andern Waffen als mit Deinen fochten, Wir beugen uns vor Deiner stillen Größe. Georg Honigmann. ◻● Jahrgang 1928: 1. Mitteilungen aus der Papyrussammlung der Gießener Univer- sitätsbibliothek. II. Ein Bruchstück des Origenes über Genesis 1 28. Bearbeitet von Paul Glaue. 1.80 Mk. 2. Die Gründe der Rechtsbildung. Akademische Rede zur Jahres- feier der Hessischen Ludwigs-Universität am 2. Juli 1928, gehalten von Leo Rosenberg. 1.— Mk. 3. Chronik der Hessischen Ludwigs-Universität, vorgelegt am 2. Juli 1928 von dem derzeitigen Rektor Leo Rosenberg. 1.— Mk. Jahrgang 1929: 1. Wie Deutschland seinen Wirtschaftswald sich schuf. Festrede gehalten an der Reichsgründungsfeier am 18. Januar 1920 von Wilhelm Borgmann mit Ansprache und Schlußwort des Rektors. 1.— Mk. 2. Die Stellung der Philologie in der Universität. Akademische Rede zur Jahresfeier der Hessischen Ludwigs-Universität am 1. Juli 1929, gehalten von Rudolf Herzog. 1.50 Mk. 3. Chronik der Hessischen Ludwigs-Universität, vorgelegt am 1. Juli 1920 von dem derzeitigen Rektor Rudolf Herzog. 1.— Mk. Jahrgang 1950: 1. Der protestantische Mensch nach dem Augsburgischen Be- kenntnis. Rede bei dem Festakt der Theologischen Fakultät am 29. Juni 1930 zum Vierhundertjahr-Gedächtnis der UObergabe der Con- fessio Augustana, gehalten von Heinrich Bornkamm. 1.— Mk. 2. Die Grundlagen der ärztlichen Tätigkeit. Akademische Rede zur Jahresfeier der Hessischen Ludwigs-Universität am 1. Juli 1930, gehalten von Alfred Brüggemann. 1.— Mk. 3. Chronik der Hessischen Ludwigs-Universität, vorgelegt am 1. Juli 1950 von dem derzeitigen Rektor Alfred Brüggemann. 1.— Mk. Jahrgang 1931: 1. Volk und Geschichte. Festrede gehalten am 17. Januar 1951 zur Feier des Tages der Reichsgründung von Friedrich Karl Schumann. 1.— Mk. 2. Moritz Pasch. Zwei Gedenkreden gehalten am 24. Januar 1951 von Friedrich Engel und Max Dehn. 1.— Mk. VERLAG VON ALFRED TOPELMANN IN GIESSEN SCHRIFTEN DER HESSISCHEN HOCHSCHULEN UNIVERSITAT GIESSEN Colour& Grey Control Chart 53222 B11e Cyan Green vellow Hed Magenta White Grey 1 Grey 2 Srey 3 Grey 4 Black von Dr. Friedrich Engel und Dr. Max Dehn 0. Prof. der Mathematik 0. Prof. der Mathematik an der Universität Gießen an der Universität Frankfurt a. M. Np1reennsfanndrn-nnTHnnannHnnnanNnnnunen1nHunnnn1nnnOnVgonn Oſem 1 2 3 5 3 6 59 8 9 10 11 12 13 14 15 16