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Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XXI. Heft
Uber den Zusammenhang einiger Charakteristiken eines einfach zusammenhängenden Bereiches mit der Kreisabbildung
von
WILHELMNM KRAVUS
in Lich(Hessen)
Giessen 1932
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstr. 16
Preis RM. 1.50

Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht. Genehmigt durch die Philosophische Fakultät, II. Abteilung am 14. Februar 1932.
Berichterstatter: Prof. Dr. Geppert. „ Prof. Dr. Mohrmann.
/—
—

Inhalt.
Seite Eipleitungegeg... 83 § 1. Das isoperimetrische Problem............ 5 §2. Die Greensche Funktion und die Koeffizienten der ab-
bildenden Potenzreinoe 10
0
§4.
.Vber die Abhängigkeit der Koeffizienten der abbildenden
Potenzreihe vom Quellpunkt der Greenschen Funktion 19
Uber die Eigenwerte des Bereiches.......... 24

Einleitung.
Eine im Einheitskreise der Ebene reguläre analytische Funktion 2= /†(⁰) läßt sich dort in eine konvergente Potenzreihe entwickeln:
1) 1)= N a, w„ „= 0
und vermittelt eine Abbildung des Einheitskreises auf einen Bereich B der z-Ebene. Dieser Bildbereich ist einfach zusammen- hängend und soll von einer einzigen Jordan-Kurve R begrenzt werden. Setzen wir weiterhin voraus, daß der Bereich B end- lichen inneren Inhalt F hat, so konvergiert
7 2 lim 1[V(oeis) 2gdedo= lim a N na, 272 0
r= 10 1-91 n= I1
und stellt den Inhalt von B:
(2) F= a n e 2= 1 dar.
Der Inhalt und ebenfalls der Umfang, überhaupt die ganze Gestalt des Bildbereiches werden von der abbildenden Funk- tion †(w) bestimmt. Sie hängen also von den Koeffizienten der Potenzreihe(1) ab, und zwar der Inhalt nur von den Absolut- beträgen dieser Koeffizienten. Neben Inhalt und Umfang be- sitzt der Bildbereich B noch andere ihm eigentümliche Charak- teristiken wie z. B. seine Greensche Funktion der ersten Rand- wertaufgabe der Potentialtheorie und deren Integrale, ferner sind auch die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Randwert- problems
(3) Au+ 1à2= O0, 2 E= 0
durch den Bereich B eindeutig bestimmte Größen.

Alle diese Charakteristiken des Bereiches B hängen mit der Abbildungsfunktion ſ() zusammen und müssen sich demnach auch durch die Koeffizienten an ausdrücken lassen. Man kann nun die Frage aufwerfen, wie sich die Eigenschaften des Be- reiches B und diese seine Charakteristiken in den Koeffizienten der Reihe(1) spiegeln und umgekehrt, was man für Schlüsse von den Koeffizienten auf diese ziehen kann. Dieser Fragenkreis tritt als Analogon neben denjenigen, der sich mit der Wechsel- beziehung von Funktion und Koeffizienten ihrer Potenzreihe beschäftigt, und überschneidet sich auch mit diesem. In diesem Zusammenhange sei auf die Ergebnisse von Löwneri¹) und Gronwallz²) und von R. Nevanlinna) über die Koeffizienten einer Potenzreihe, die den Einheitskreis auf einen konvexen bzw. sternigen Bereich abbildet, hingewiesen.
Bei Untersuchungen dieser Fragen wird man auch die an den Bereich B fest geknüpfte Greensche Funktion G(æ, h; S, y) heranziehen und ihre Beziehung zu den Koeffizienten näher untersuchen. Vor allem wird dann die explizite Darstellung des ersten Eigenwertes der Randwertaufgabe(3), für die ja der Kreis die beiden bekannten Minimaleigenschaften besitzt¹), interessie- ren. Dieser erste Eigenwert läßt sich ausgehend von der Integral-
gleichung ⁸* 8
à(x, J)=(GG*νν S,) à(S, 7) dE d= 4
mit Hilfe des von H. A. Schwarz angegebenen Verfahrens der sog. Schwarzschen Konstanten konstruieren. Dieser so einfach anmutende Weg erweist sich aber wegen der Kompliziertheit der auftretenden Integrale der iterierten Kerne als nicht gangbar; er führt aber immerhin zu einer Betrachtung von Integralen der Form
[G, g; s,)'dædg(.= 1, 2, 3.). B
Auch das von Kellogg(Math. Annalen 86) angegebene Ver- fahren iterative. Konstruktion einer Eigenfunktion und des
) Leipziger Berichte Bd. 69(1917).
) Gomptes Rendus Bd. 162(1916).
3) Oversikt av Finska Bd. 63(A) Nr. 6.(1920/21).
) Vgl. Courant, Math. Ztschr. Bd. 1(1918) bzw. Faber, Münch. Ber. 1924 und Krahn, Math. Ann. Bd. 94(1925)
8 0
—

zugehörigen Eigenwertes führt auf dieselben Integrale der ite- rierten Kerne.
In der folgenden Arbeit werden wir für einige Charakteri- stiken eines einfach zusammenhängenden Bereiches den Zu- sammenhang mit der Kreisabbildungsfunktion angeben und untersuchen. Im§1 werden wir eine Lösung für das isoperi- metrische Problem durchführen. Der dort zu gebende Beweis erinnert in seinem Prinzip an den von A. Hurwitl) mit Hilfe der Fourierschen Reihe gelieferten. Im§ 2 werden wir eine Be- trachtung über die Inhalte der von den Niveaukurven der Greenschen Funktion begrenzten Teilbereiche von B anstellen, verschiedene Integrale untersuchen und sie durch die Koeffi- zienten der Potenzreihe ausdrücken. Ferner werden wir eine Ungleichung für das Integral der Greenschen Funktion, erstreckt über B, beweisen, die wir dann im§ 4 zur Abschätzung des ersten Eigenwertes benutzen werden. Im folgenden§ 3 beschäf- tigen wir uns mit der funktionalen Abhängigkeit der Koeffi- zienten an der abbildenden Potenzreihe vom Bildpunkte e=&+ 2n (Quellpunkt der Greenschen Funktion von B) des Nullpunktes der-Ebene. Diese Abhängigkeit wird in gewissen Rekursions- formeln zum Ausdruck kommen, aus denen wir dann noch einige Folgerungen ziehen. Der§ 4 bringt Untersuchungen über die Eigenwerte des Bereiches B, in denen Resultate des§ 3
. 1 4%. benutzt werden. Insbesondere werden wir zeigen, daß F die
untere Grenze für l1, also auch für das Spektrum der Eigen- werte ist.
§ 1. Das isoperimetrische Problem.
Diesen Namen trägt bekanntlich die folgende Problemstel- lung: Es ist diejenige Kurve unter allen ebenen rektifizierbaren Jordankurven von gegebenem Umfange L, die den größten Flächeninhalt E einschließt, zu suchen. Die Lösung dieses Pro- blems ist äquivalent mit dem Beweis der sog. isoperimetrischen Ungleichung (1¹) L=- 4 x 20 und der Bestimmung derjenigen Kurve, für die in dieser Un-
1) Courant-Hilbert, Methoden der math. Physik.
—

gleichung das Gleichheitszeichen gilt. Bekanntlich ist der Kreis
die Lösung des Problems. Hier soll diese Lösung unter Benutzung der abbildenden Potenzreihe gegeben werden. Es sei (2) 2=(wo)= N a, 20,, 1= 0,*) 2= 0
die den Einheitskreis der-Ebene auf den von einer Kurve mit den genanmen Eigenschaften begrenzten Bereich B abbildende Potenzreihe. Der Flächeninhalt F und der Umfang L dieses Bildbereiches werden durch die Integrale
1 22 2 (3) F ſ J⸗(O εν*) 2ρdedoꝰ, L 1 7(à*⁴) dν
0 0 0 angegeben. Wir führen, um die Integration von F(eis) be- quem ausführen zu können, die Funktion F(c) ein, indem wir setzen
f,(20) 2 22. Gn n(ao) 2, 1 (1) F()= V6, 20; 5= a1* 0. „= 0
Zwischen den b, und den a„ besteht diese Beziehung:
(5) n-.,= b0-b„ 1 1 Or 5n. 9. e.... H⸗ 1 00.
n 2— 3 1 Es ist 2 Q 2 L=[F(e*s) 2d9 5 ⸗bn. I erο) 5 D%. 0 n., m= 0 0 Berücksichtigt man, daß 2 2 0 p 0 für n& m f goln m) ˙U9 6 12 für n= m, so erhält man 3 2 f. S 2** (6) L— 5 5, 8). —— 7= 0 *) Ist a*= 0, nuß nach(4) und(5) auch d2= 0 sein, wenn der An-
satz(4) möglich sein soll; wir setzen dann a— 0 voraus, wodurch in(12) bo durch b und b durch b, zu ersetzen ist.
**) V 2 7 7 ) Vgl. dazu Bieberba ch, Berliner Berichte 1924, S. 181f. Dort wird die Frage nach der Konvergenz von(6) und der Existenz des zweiten Integrals von(3) erledigt
8
—
2

Für den Flächeninhalt F ergibt die Integration
00 00 F= 4— 2 n. m d, drn ontm-2. ei n-m) s 0dd, 6 0 n=l m= l1
(7) F=. Vn. a,. 2=1
Zieht man jetzt die Schwarzsche Ungleichung
2 2 n (8) or= e. 6- „= ꝛ1 2 1„=
6) Da,e In D., „= ꝛ1—„= 1
(das Gleichheitszeichen gilt dann und nur dann, wenn alle α, gleich sind), so erhält man
(10) n²ae 2 ü 50-b„=1 5 H1 be-2 t... l = a.Eo-bn 2 2 51·5„2 2* 15,- 1‧50 25, wo das Gleichheitszeichen dann und nur dann gilt, wenn (11) 50·b„- 1 b1 · b„-2 b2 b„-3— 651 bo. ist. Demnach ist n d„ 2 S—[eeen 2. 91 H, 2 2.— 1 15, 222, 21 /n=1 2 oder E 2 . I e
Damit ist die isoperimetrische Ungleichung bewiesen; es bleibt noch die Diskussion der Möglichkeit des Gleichheitszeichens. Notwendig und hinreichend dafür hat sich die Beziehung(11) erwiesen. Es muß also

sein. Die Funktion F(ww) hat also diese Gestalt
7,’, 9. F(4b)= b0— bo 29) 50— b1-10 Da nun 6„„ 77 2 55 (13) p(2)=(20)](5,— 51.2⁰)2
ist, so kann 1() entweder nur eine ganze lineare Funktion, wenn nämlich 51= O ist, oder aber nur eine linear gebrochene Funktion von sein, und also, da der Inhalt des Bildbereiches endlich vorausgesetzt war, nur eine Kreisabbildung vermitteln.
Ob man den Beweis für die isoperimetrische Ungleichung auf diesem Wege schon geführt hat, habe ich aus der Literatur nicht ersehen können.
§ 2. Die Greensche Funktion und die Koeffizienten der abbildenden Potenzreihe.
Wenn o= w(2) die zum Bereiche B gehörige Riemannsche Abbildungsfunktion und G(x, 9; E, 7])) die zur ersten Randwert- aufgabe der Potentialtheorie gehörige Greensche Funktion des Bereiches B ist, so besteht, wenn der Quellpunkt C=&+ 1„ bei der Abbildung durch die Funktion 26(2) dem Nullpunkt ä= O der w-Ebene entspricht, zwischen beiden Funktionen die bekannte Beziehung
„
(1) G(&, 9; S, T))— lg(2)
Im Falle, daß der Punkt& nicht auf den Nullpunkt= 0, sondern auf einen Punkt(⁶) abgebildet wird, braucht man den Einheitskreis nur in sich selbst zu transformieren:
5 1— 20(6) 20(2) und G(æ, y; 5,)== lg w(2; 5) zu nehmen. Aus dieser Darstellung der Greenschen Funktion lassen sich ihre beiden De finitionseigenschaften ablesen: sie ist eine auf dem
10

Rande R von B verschwindende Potentialfunktion und verhält sich in B regulär mit Ausnahme des Quellpunktes, wo sie loga- rithmisch singulär wird.
Die Bildkurven der mit dem Einheitskreis konzentrischen Kreise= 9= 1 heißen die Niveaukurven der Greenschen Funktion des Bereiches B; auf ihnen ist
(2) G(æ, g; 8, 7))=— lgo= c,
wo’c eine positive Konstante ist. Die zu(2) gehörige Umkehrfunktion sei die Funktion
(3) 2= F()= ₰ a, 257,
2—0
und zwar sei sie schon diejenige Funktion, die den Nullpunkt = O0 in den Aufpunkt 2z= der Greenschen Funktion über- führt: do= 6. Der Inhalt eines von der Niveaukurve(o) be-
renzten Teilbereiches B von B ist dann gegeben durch 3 g
9 2 0 (4) FE(C)= Jſ[p(ei*) 29dodoö= z Nn a, 20². 0 0 22—1—
Vollzieht man den Grenzübergang 9— 1, so ergibt sich für den Flächeninhalt des Gesamtbereiches
00 (5) FE= ee e. 7=1
Die Darstellung von F(e) gestattet uns, der Frage des Wachs- tums des Inhaltes der Teilbereiche mit dem Radius 9 des ent- sprechenden Kreises der-Ebene nachzugehen. Zu diesem
F0) und F(O); werden
9 0 8 sie als Funktionen von g in einem rechtwinkligen Koordinaten-
Zwecke untersuchen wir die Funktionen
system aufgetragen, so liefern sie je eine monoton wachsende, nach unten konvexe Kurve. Es ist
2 F 9² 91 9² 9¹ Dabei kann das Gleichheitszeichen dann und nur dann stehen, wenn aa= As=... d„ 0 ist, d. h. wenn der Bild-
bereich B ein Kreis um= ag ist. 11

F()
Die Funktion- nimmt für 9= 0O den Wert 0 an und
90
für 9= l den Wert F. Der Inhalt des von der Kurve F() über 17 (0, 1) begrenzten Flächenstückeswird durch das Integral F 0) do 6 9 dargestellt und ist kleiner, höchstens gleich dem Inhalt des über dem Intervall(0, 1) liegenden rechtwinkligen Dreiecks(0, 1, F),
also kleiner, höchstens gleich F/2.
Damit haben wir die folgende Ungleichung
1
2*
(7) FO do= 5 9 2
* 5
0
bewiesen. Das Gleichheitszeichen kann dann und nur dann stehen, wenn B ein Kreis um den Punkt ⁸= ao als Mittelpunkt ist. Das in der letzten Ungleichung auftretende Integral formen wir nun durch partielle Integration um:
1 1 1 [g) do= F(0) 1g e1— ſ Q F() do==ſu Q F(e) do, 6 6
Ig o F(o) verschwindet nämlich für 6= 1, aber auch für 0, denn es ist schon lim 9- lgo= 0. 60— 0 Nun ist aber 2

—
und also 1 1 2
[A=—[e(Qe*ο) 2⁴edd.
0 0 0
Dieses letzte Integral ist aber nun nichts anderes als das in Polarkoordinaten der-Ebene transformierte Integral der greenschen Funktion, erstreckt über den Gesamtbereich B. Damit haben wir die Relation gewonnen
1 (8)[[oανν/εdeνſ de. 0 7 5 Und mit ihr zugleich die Abschätzung
2
(9)[ſo. 3 8, dada e h.“) B
wo das Gleichheitszeichen nur im Falle des Kreises mit§=&+ 21h als Mittelpunkt gilt.
Die Gleichung(8) erlaubt uns, das Integral über die Green- sche Funktion durch die Koeffizienten der abbildenden Potenz- reihe auszudrücken. Es ist nach Gleichung(4)
(1o)[α,ννεdeds— Ad- 2[ae*)
Die Funktion F(&, 7)=[G(æ,„; S, h) dædy genügt be- 7 9 7 9 B
kanntlich der Differentialgleichung 1F=— 2 und verschwin- det auf dem Rande von B. Derselben Differentialgleichung ge-
nügt aber-auch die Funktion— 5(&+ 7)=—„ ao 2. Schreiben wir demnach die Funktion F(E, h) in der Form
27 28 2 EGE,)= e 7¼
6 do*, —0 2
*) Vgl. M. Müller, Heidelberger Ber. 1929.

so stellt uns
(11) P E, 2)= e
„2=0 eine in B reguläre, stets positive Potentialfunktion dar, die auf dem Rande von B die Werte
„(E,) R(&²+ 7²) R
annimmt und im Innern von B stets=&+ h² ist. Bezeichnen wir mit Rain den kleinsten Abstand eines Randpunktes vom 1..„
Nullpunkt und mit Ruax
2 2 HDie Sti s 1 ſ bri Lmin= P(E, 1]))= Rmax⸗ Die Funktion p(E,) kann übrigens dann und nur dann in B konstant sein, wenn B ein Kreis um
6= 0 ist.
den größten, so gilt die Ungleichung
F(0 Wir wenden uns nun der Funktion- 9) zu und betrachten 0* 1
„
das Integral
1 (12) EO, 3... 2ae J 6— 22. 1l 0 21
Dieses Integral formen wir ebenfalls durch partielle Integration um. Es ist
1 1 FG FGG(1 0 10— 1 7 19 34 t EG) dd 0 3 6 1 27 —FE 7(Q ν⁴) 2ododo. 65
Das auf der rechten Seite auftretende Integral ist nun aber das
in Polarkoordinaten transformierte Integral e eg2 P Tæᷣde „G0(„V; s. D) dæde, 9. J J„-[) 5 B
—

dessen Existenz leicht nachweisbar ist. Damit haben wir die Beziehung gewonnen
A e
B 0
oder, wie man diese auch schreiben kann,
1
1 F (14)( 5(o)—1)dedy de.
B 0
Den Integranden links kann man übrigens geometrisch als
Fläche deuten, ähnlich wie es Jenseni¹) bei ²⁵(·) ² getan hat. Man erhält so eine auf dem Rande von B aufsitzende Fläche, die über dem Punkte einen unendlich fernen Gipfel trägt. Zur näheren Diskussion des Verlaufes dieser Fläche kann man den Winkel α, den die Tangentialebene der Fläche mit der 2-Ebene einschließt, berechnen. Es ergibt sich:
20 t— g„
Ist der Bereich B ein Kreis vom Radius ke, so ist die Fläche eine Rotationsfläche, deren Meridian ein Stück eines Hyperbel- astes ist. In diesem Falle läßt sich auch das Integral(13) an- geben:
(15) ſae v;S,D dædg„= Hz. 2+ 3[Re2—(&½+„²)] B
n(Rä=&.„ey—R E 7n fe
— V8+ 77²
Zu dieser Gleichung kommt man leicht, wenn man zu den Gleichungen(12) und(13) noch die Gleichung(10) vom§ 3 hinzunimmt.
1) Jensen, Acta Math. Bd. 36(1912).

Dem letzten Integral stellen wir das Integral b e=G(,; S,) dad„=' 20(2) dædg 2 B
zur Seite. Transformation in Polarkoordinaten der-Ebene liefert bei Berücksichtigung von Gleichung(4)
. 7 3 n² a 2 (16) 6 G(æ, v; 5, D) dadg 2 2% 1 2=1
Zerspaltet man die Summe rechts, so ergibt sich noch:
1 b e GGe,v: 5,) da do,=E=[Eede V 29 6 (17) oder 1 V(1— 2(2) Idæda. F(e) do. 9 5 Die Integrale über die Funktionen F(), F2) EO) haben
3 2
9 9 wir damit in Beziehung gesetzt zu Integralen der Greenschen Funktion und diese zugleich durch die Koeffizienten der ab- bildenden Potenzreihe ausgedrückt.
Als weiteres Integral dieser Art betrachten wir noch
b 29(2) 2dædg= e 2Gæ, v;,) dædg. e 2₰ A e B B
Man erhält leicht
— 26 d n2 a, ² (18) ſeesdædg=a 8 2 1.„„+ 1 S ae 2 8
Sp- r re——,
SdPp QC 6 rec 8 8—₰ 2
paltung der rechten Summe in&„ 1.** m an ²2 und 1
16
—
I”

—
1 27 2, wo die erste Summe gleich ſſ†ſoe**) 0 0
a Gn
2 d0d
22 ist, die zweite den Flächeninhalt F und die letzte ſ†(e*ο) ²2 10 6 darstellt, führt zu der Beziehung 1 2 (19) A1 Idad?,= FAäL7(eiν) 2— f(O ei⁵) 2gdodo. 0 0 Nunmehr wollen wir die schon in der Einleitung erwähnten Integrale
f(, 7)(æ, y; g, v)Iedæ d„(n= 1, 2, 3 ⸗.)
untersuchen. Wir werden diese Integrale ebenfalls durch die Koeffizienten à, der abbildenden Potenzreihe ausdrücken und diese Relationen finden:
2e Ae! dn en 2*) 5 83 C 2 (20) E(, 7¹) 2 2.„m-l
2= 1
Die Funktionen F,(E,)) sind alle in B positiv und verschwinden auf dem Rande von B. Für sie gelten die Abschätzungen
1 F
n 1 f(&, 7))— 2m 8 ...... 1 f(&, 7) Bildet man also mit diesen Funktionen die Reihe—
— m! = O0
so besitzt diese in der Reihe PF(I+ ½+† 1+† †..) eine Majorante; ihre absolute und gleichmäßige Konvergenz für alle Punkte von B+ R ist damit sichergestellt. Man darf also In- tegration und Summation vertauschen und erhält:
v, E=(E,⸗ 77) (21) ſ ,dady= ne
B 7— 0
Betrachten wir noch kurz die Integrale der ganzzahligen Potenzen 8 der Greenschen Funktion über den Teilbereich B.
„(&, 73 0)= 1¹(æ, g; E, yédædy.
*) M. Müller, Heidelberger Ber. 1929.

n Analogie zum Falle m= 0 bilden wir auch hier die Funktion
1 E(&, 7: 9) er Tlr ral iber das Friterv- und erstrecken ihr Integral über das Intervall(0, 1).
0
Wir erhalten ganz entsprechend
1
5 E„: H 22) E(6,) fn Ee n; 997%(m= 0, 1, 2...).
0
0 In(22) ist(S) als Spezialfall für 0 enthalten. Die Funktionen F,(, 7)) sind Spezialfälle der allgemeinen
Funktion der komplexen Variablen+ 11= 8
46)= AIlG(æ.„;&, n) dady. B
Diese Funktion läßt sich durch eine Dirichletsche Reihe mit nur positiven Koeffizienten darstellen. Es ist nämlich:
1 22 1G= f(— lg †) ²dοds 6 6 1 27. n, 2.(— lg 0) 9²- 1. d9. 2= 1 0
Um die rechtsstehenden Integrale, deren Existenz leicht nach- weisbar ist, zu berechnen, transformieren wir in die Variable
2 2 2=— 2 lg9; 6= O 22 und erhalten: 3 17s 1 16 lg 0)s o² 12— 2s e. da= G 6 8(2))(2 n)*91 0 Demnach ist 23(S+ 1) NI[ao ² (3) 70 2.. D aar.
2=1
In(23) ist(20) als Spezialfall für= m enthalten. Die Darstel- lung der Funktion †(s) durch eine Dirichletsche Reihe gestattet es, der Untersuchung ihres Konvergenzbereiches näherzutreten, was aber hier im einzelnen nicht mehr durchgeführt werden soll. 18
8

Auf diese Weise läßt sich also jedem Bereiche B eine Di- richletsche Reihe mit nur positiven Koeffizienten zuordnen. Ins- besondere entspricht dem Koebeschen Schlitzbereich, auf den der Einheitskreis durch die Koebesche Extremalfunktion abge- bildet wird, die Riemannsche Zetafunktion.
§ 3. Uber die Abhängigkeit der Koeffizienten der abbildenden Potenzreihe vom Quellpunkt der Greenschen Funktion.
Die Formeln des§ 2 machen ersichtlich, daß die Koeffizienten der abbildenden Potenzreihe Funktionen von s und y sind. Diese ihre funktionale Abhängigkeit vom Punkte oder, was dasselbe ist, vom Punkte ⁊, dem Bildpunkte des Punktes b, soll in diesem§ 3 Gegenstand der Untersuchung sein.
Die Funktion (1¹) 2= 9(2b)= 2 b 1⸗
21 leiste die konforme Abbildung des Einheitskreises der- Ebene auf den Bereich B der z-Ebene, so daß dem Nullpunkte der w-Ebene der Nullpunkt der z-Ebene entspricht. Der Bildpunkt des Punktes w= 1 soll der Punkt z= sein:
Wir fragen nun nach der Funktion
0) 2= b)= Dan un,
7= 0 die den Einheitskreis ebenfalls auf den Bereich B abbildet, aber den Nullpunkt der w-Ebene in den Punkt z= E überführt:
6) 700)== 5
Die Abbildung, die diese Funktion leistet, können w ir in zwei Schritten vollzogen denken: Zuerst bilden wir den Einheits- kreis durch die linear gebrochene Funktion
1+ T t— T 4 4= 69) 1 T 25 751 2* 19

auf den Einheitskreis der f-Ebene ab; dabei wird der Null- punkt der w‿Ebene in den Punkt t= r verlegt. Nunmehr bilden wir den Einheitskreis der f-Ebene mittels der Funktion
5,(i 9 G) 1+)— 23 1+ 1. 05
21 8
auf den Bereich B ab. Damit haben wir die gewünschte Abbil- dung geleistet. Es besteht demnach diese Gleichung:
—— 10 N,. 1+ 1 N (5) f(a: 1)= G 6) oder„—,u, 15— 6, 6 7.
Die erste Gleichung besagt, daß Co; †) auch eine analytische Funktion von z oder, wie wir auch sagen können, von& ist:
(o)= /(w. ⁶).
Die zweite Gleichung enthält die Abhängigkeit der Koeffizien- ten a, von ⁊ bzw. E, die durch Koeffizientenvergleich näher untersucht werden könnte. Wir wollen hier aber für den all- gemeinen Fall einen anderen Weg einschlagen: Es ist bekannt- lich
.. ml 4½ 9ꝙ(l) „(m). 4 (6) O(2) 2 T7 9(7— T) mtl 41¹ 3 wo das Integral etwa über den Kreis 16= o 1, der den
Punkt · enthält, zu erstrecken ist. Führen wir die linear ge- brochene Transformation(4) ein, so wird
1—[7 1— T dt⸗ doo;— 7= (1+† 7. 0)2 2 W.
so daß also das obige Integral in das Integral
— 1(/, 1. ℳ F2)me O(C) 11= z e)n 2ae. 5e) 25mtl dn, zu erstrecken über den Kreis V 60— 1, der den 1+†. 2 S
Nullpunkt enthàlt, übergeht. Setzen wir in diesem Integral
20
fü
un
Di de di
um
ur-

für †(w) die Potenzreihenentwicklung ein, so ergibt sich
(1— 7 2)n— 1— — M 8 Gol2e)(7)— a,— n- m-(1+ 7 20) 1 d 3 n=0 1 0 m 1„— 1 1 2X( 2. an(D 2dnf Meo. —,—„ 2 12 /= 0»= 0
Nun ist aber
1 0 für n+— m 0 — n-mel d=
2 A 1 für ĩ m= O0, so daß in der Reihe rechts nur diejenigen Glieder einen Bei- trag liefern, für die n+= m ist. Da zu n= O= m gehört — 1 1. 3 5 3. und(„)= Oist, tritt ao nicht auf. Wir gewinnen somit diese Rekursionsformeln:
2„ (1— 7 2)m 3 m.— 1— 0), 2 7erear.
Für m= 1, 2, 3 lauten sie:
Diese drei Gleichungen werden wir später noch benutzen. Aus den Gleichungen(7) lassen sich die a,(r) rekursiv durch ⁊ und die Ableitungen der Funktion H(wo) in dem Punkter ausdrücken.
Betrachten wir einmal den Fall, daß der Bereich B ein Kreis um den Nullpunkt der z-Ebene mit dem Radius' ist. Dann ist
ꝙ()= K. 20
und also

Es ist demnach (9))= HAr; an⸗⸗ K(l= r); ae(— 1)“„ a oder
4. S„ d J (10)= 5; 221.*(— 1) R, a Diese Beziehungen erhält man natürlich auch aus den Rekur- sionsformeln(7). Im Falle des Kreises läßt sich also die Ab- hängigkeit der Koeffizienten a, vom Punkte ⁊ bzw. E explizit angeben, so daß man diese Abhängigkeit sehr leicht näher untersuchen kann.
Zunächst sieht man sofort, daß alle a, verschwinden, wenn der Punkt auf den Rand des Kreises 12= K oder, was dasselbe ist, wenn der Punkt z auf den Rand des Einheitskreises rückt. Die Funktion /() hat dann die Gestalt †())= a0= E, d. h. sie leistet nicht mehr die Abbildung des Einheitskreises auf den Kreis 2]= F.
Weiterhin wollen wir den Laplaceschen Differentialausdruck
92 2 2. von den Absolutbeträgen der αn() bilden. Man
60 6072 findet
und
und daraus
— 0 2=1
46 47 24 dn=
2=— 1
Wir bilden noch den Laplaceschen Differentialausdruck für a 2: 1
2 9 1 121*= 16 S. 3. Für die 1 as 2(= 2, 3,.) ergeben sich schon wenig über-
sichtliche Ausdrücke.
2
2
uI.

un
Wir kehren nun wieder zum allgemeinen Bereich B zurück und setzen zunächst nur voraus, daß die abbildende Funktion
†()= ao+£‿ ν+£‿ Ʒ ν ‿....
schlicht ist. Für die Koeffizienten al und ag einer solchen Funk- tion gilt bekanntlich die Ungleichungi)
d½, ¹bS 2 2.
Setzt man in diese Ungleichung die sich aus den beiden ersten der Gleichungen(8) ergebenden Ausdrücke für und aa ein, so gelangt man auf bekannte Weise zum Koebeschen Verzer- rungssatz für die Funktion() und ihre Ableitung. Nun be- steht neben der obigen Ungleichung noch die andere, ebenfalls
bei Bieberbachi) sich findende Ungleichung
9½ a= a. 2
Das Gleichheitszeichen gilt hier ebenfalls nur für die Koebesche Extremalfunktion. Bildet man nun mit Hilfe der drei ersten Gleichungen(8) den Ausdruck a— à.., so findet man
1 e)⸗ d 41 36
“ 1
Man gelangt so zu der Ungleichung
29,(r). Ge(2) 39,(r) 3
V 292 r) de i
Der links auftretende Differentialausdruck ist der sog. Schwarz- sche Differentialparameter[&]. für die Funktion(cr). Für ihn gilt also im Falle, daß die Funktion„(o) schlicht ist, die obige Ungleichung. Wie die Funktion„() selbst, kann auch er bei Annäherung des Punktes w an den Rand des Einheitskreises nur wie das Quadrat des reziproken Abstandes des Punktes von der Peripherie unendlich werden. Ist der Bereich B ein Kreisbogenpolygon, so genügt im besonderen die Funktion H(¹) einer Differentialgleichung, deren linke Seite durch den Schwarz- schen Differentialparameter dargestellt wird. Ist die durch die
1) Bieberbach, Berliner Sitzungsber. 1916, S. 940 ff.
b 0

Funktion„(w) geleistete Abbildung schlicht, so kann demnach die obige Ungleichung als Ergänzung des Koebeschen Verzer- rungssatzes aufgefaßt werden.
Wir untersuchen noch die Frage nach dem Verhalten der Funktionen α,(r) auf dem Rande des Einheitskreises. Für den Fall, daß der Bildbereich B ein Kreis ist, verschwinden, wie wir schon sahen, alle α,(r) auf dem Rande. Für den allgemeinen Fall wollen wir voraussetzen, daß der Bereich B endlichen inneren Inhalt hat. Dann existiert das Integral(1 0) von§ 2 und verschwindet auf dem Rande von B. Auf dem Rande müssen demnach alle a⸗ 12 einzeln verschwinden; d. h. alle Funktionen a,(z) verschwinden bei Annäherung des Punktes z an den Kreisrand, falls die Funktion †(ο τ)= a0- α ν+‿ a νιυι‿.. den Einheitskreis auf einen Bereich von endlichem inneren Inhalt abbildet. Aus dieser Tatsache folgt noch auf Grund der ersten von den Gleichungen(8), daß die Ableitung einer solchen Funk- tion(r) bei Ammäherung des Punktes" an den Rand nur von geringerer als erster Ordnung unendlich werden kann.
§ 4. Uber die Eigenwerte des Bereiches.
Schon in der Einleitung haben wir auf die Eigenwerte 1, des Randwertproblemes
(1) A à+‿ 1u= 0, 2, 2 0
und ihre Abhängigkeit von der Gestalt und dem Inhalt des Bereiches B hingewiesen. Nunmehr wollen wir eine untere Grenze, die nur vom Inhalt des Bereiches abhängt, für das Spektrum des Problemes(1) angeben. Wir gewinnen sie mit Hilfe eines von Picardi) angegebenen Verfahrens sukzessiver Approximation für partielle Differentialgleichungen vom ellip- tischen Typus, das wir hier für das zum Randwertproblem(1) gehörige Problem mit inhomogenen Randbedingungen
(2) A u 2 u= 0, 2, t= 1(s),
wo 5(s) eine stetige Funktion der Bogenlänge s auf dem Rande E von B ist, anwenden.
1) Picard, Journ. de Math.(4) Bd. 6(1890), S. 145 f. 24

Die Picardsche Methode zur Gewinnung der Lösung des Problems(2) werde hier kurz skizziert: Man geht aus von fol- genden Gleichungen:
1 21= 0,
(3) Al an, e d e, 1= 0,
7*= 2, 3...
und bestimmt aus ihnen eine unendliche Folge von Funktionen ui, u, ug... derart, daß auf dem Rande
(4) 241 E= 9(8)⸗ 2„,*= 0(= 2, 3.)
ist, eine Aufgabe, deren Lösung nach bekannten Sätzen der Potentialtheorie stets möglich ist. Mit diesen Funktionen bildet man alsdann die Reihe
65) 2e1(E, H)= u2(a, 9)*.. un(. 9) P.
Diese Reihe konvergiert nun gleichmäßig gegen eine Funktion u(æ, 9), die auf dem Rande R von B die vorgeschriebenen Werte annimmt und der Differentialgleichung(2) genügt, so-
lange
(6) 2-M=
1 ist, wenn mit M der Maximalwert von 2.ſau. 9; E, n), dæ dy B bezeichnet wird. Aus dieser Ungleichung folgert man gewöhnlich, daß dies der Fall ist, wenn der Flächeninhalt des Bereiches B nur hinreichend klein gemacht werden kann. Wir wollen hier jedoch den Flächeninhalt von beliebiger endlicher Größe voraus- setzen, dann können wir aus(6) unter Berücksichtigung der Un- gleichung(9)- von§ 2 bezüglich] schließen, daß für
4 F
/
2
die Reihe(5) konvergent ist. Wir können also folgenden Satz
aussprechen:

Das inhomogene Problem(2) besitzt sicherlich Lösungen für alle Werte des Parameters z, für die
-) S⸗sr. Nehmen wir nun an, z falle mit dem ersten Eigenwert des homogenen Problemes(1) zusammen; dann weiß man aber aus der Theorie der linearen partiellen Differentialgleichung vom elliptischen Typus, daß für«= u1 das Problem(2) keine Lösung besitzen kann ¹). Wir schließen also, daß
(8) 11=
sein muß. Für das Spektrum der Eigenwerte des Problemes(1) ist also 4
= S A= e=.= 4,= n=..
F
Die untere Grenze für den ersten Eigenwert ist übrigens der Faktor von n im asymptotischen Gesetz von Weyl-Courant:
42= 4. Der genaue Wert des ersten Eigenwertes ist
4 Q... 41+ cr(B). Dabei ist r(B) eine positive Konstante, die die Abhängigkeit des ersten Eigenwertes von der Gestalt des Bereiches ausdrückt; sie ist für den Kreis bekanntlich kleiner als für jeden anderen Bereich vom selben Flächeninhalt.
Für den Einheitskreis und das Quadrat läßt sich die Un- gleichung(8) numerisch prüfen. Für den Einheitskreis ist J1 nämlich das Quadrat der ersten Nullstelle der Besselschen Funk- tion nullter Ordnung o() und diese liegt im Punkte 9= 2,40483,
: 5 2 4 N 3— 2 so daß also in der Tat 9½= 4 ist. Im Falle des Quadrates mit der Seitenlänge a sind 722 71(m²+ n2²)(7a,= 1. 2, 3..) 2²
1) Lichtenstein, Enzyklop. d. math. Wiss. II. Bd., 3. Teil, 2. Hälfte. 26
die
Wel
ang
80

1)
ner
die Eigenwerte. Auch hier ist
Wir geben noch eine Abschätzung für die Summe der rezi- proken Eigenwertquadrate; für sie gilt die bekannte Relation von E. Schmidt
85 1 2* 2 (9) e[[ερκανιςεν Hαedvdsan. 1 2 85 85
so daß also die Ungleichung besteht
1 2 (1⁰) 2 el Aus ihr kann man übrigens die schwächere Abschätzung 41—
für den ersten Eigenwert gewinnen.
Die Summe der reziproken Eigenwertquadrate läßt sich ebenfalls leicht in Beziehung setzen zu den Koeffizienten der abbildenden Potenzreihe; es ist nämlich
00 1 T 00 a 2 00 4 611) 72 2 A. 2 n. 2 2= a 2—1 B 1 1 wenn wir (12) a, 2dE d= 4, setzen.
Die A, lassen sich für den allgemeinen Bereich nicht explizit angeben; schon beim ersten 4A stößt man auf Schwierigkeiten:
1 22 4A1= I(1=[e e)e)edAsdh, J.(d1— Q**&(eν)ededo; B 00
dieses Integral ist allgemein nicht auswertbar. Wählt man aber als Bereich B einen Kreis oder ein Quadrat, so lassen sich für jenen die 4, einzeln ausrechnen und für dieses
27

läßt sich eine Abschätzung des ersten 41 angeben. Wenn B ein Kreis ist, so gelten die Gleichungen(10) von§ 3 und die 4„ berechnen sich leicht zu:
(18) AaAle 22, n Ln 22 1+ 2 a’(n+ 1)(+ 2)
(= 1, 2, 3,).
Die Kenntnis der A, und der Eigenwerte An für den Kreis gestattet uns, eine interessante Beziehung über die Nullstellen der Besselschen Funktionen abzuleiten:
Bekanntlich sind die Besselschen Funktionen die Eigen- funktionen des Problemes(1) für den Kreis, und die Quadrate ihrer sämtlichen Nullstellen sind die Eigenwerte für den Ein- heitskreis; bezeichnen wir die Nullstellen der aten Besselschen Funktion 7,(o) mit Le„(w= 0. 1, 2,),(= 1, 223] und berücksichtigen wir, daß auch die negativen Wurzeln die- selben Eigenwerte liefern, so ist
Sl 4, n
2—— ⁴ 2— 77¹ 2=l n mm= 1 n= 0
Lm, n„=
Unter Benutzung von Gleichung(13) für R= 1 erhält man:
2 1 2— 2 1 F= b 2„lln, ee l ee 2) 2 ⸗ 2 2 2 16 4—
und also
(14) 2 2] 2 2)
m., N Dm, n
Die rechte Seite hat, wenn T 3,1416 genommen wird, den Wert 0,974. Dieses Resultat steht mit der Ungleichung(10) in Einklang.
Ist der Bereich B ein Quadrat, so läßt sich 41 mit Hilfe des elliptischen Integrals, das die Abbildung des E-Kreises auf das Quadrat leistet, leicht zwischen 2 Grenzen einklemmen.
28
4 (Hes Ich! Oste⸗ und! Im S exan Vorbe schul
IT Herre bert
in Hen ding
M Profe Jaff Dan Prof derum mein ange

den ˖in
ilfe
auf
Lebenslauf.
Am 15. Mai 1907 wurde ich, Wilhelm Kraus, in Lich (Hessen) als Sohn des Kaufmanns Wilhelm Kraus geboren. Ich besuchte das Realgymnasium in Gießen und bestand dort Ostern 1926 die Reifeprüfung. Darauf studierte ich Mathematik und Physik an den Universitäten Gießen, Göttingen und Berlin. Im Sommersemester 1930 bestand ich in Gießen das Staats- examen für das höhere Lehramt und bin seit Herbst 1930 im Vorbereitungsdienst für das höhere Lehramt an der Oberreal- schule in Gießen.
In Göttingen hörte ich Vorlesungen und UÜbungen bei den Herren Professoren: Bernays, Grandjot, Courant, Hil- bert, Herglotz, Prandtl, van der Waerden;
in Berlin bei den Herren Professoren: Hammerstein, Henning, Hopf, von Laue, Planck, Schmidt, Schrö- dinger, Schur.
Meine akademischen Lehrer in Gießen waren die Herren Professoren: Cermak, Engel, Falckenberg, Geppert, Jaffé, König, Schlesinger. Ihnen allen bin ich zu großem Danke verpflichtet. Die vorliegende Arbeit wurde von Herrn Professor Dr. Geppert angeregt. Ihm dafür wie für die För- derung, die ich in meinem Studium durch ihn erfahren habe, meinen verbindlichsten Dank sagen zu können, ist mir eine angenehme Pflicht.

Druck von Oscar Brandstetter in Leipzig.

(ber Kurvenscharen im gewöhnlichen Raume
Dr. Friedrich Wilhelm

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universitäat Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XXII. Heft
Über Kurvenscharen im gewöhnlichen Raume
Dissertation
zur Erlangung der Doktorwürde bei der Philosophischen Fakultät der Hessischen Ludwigs-Universität zu Cießen
eingereicht von
FRIEDRICH WILHELM
geboren in Vorhalle
Giessen 1932
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstr. 16
Preis RM. 1.50

Genehmigt durch die Philosophische Fakultät, II. Abteilung am 14. 2. 1932.
Berichterstatter: Dr. Engel. : Dr. Geppert.
„
1 5
—
—
— —
4 .
Druck der Dieterichschen Universitäts-Buchdruckerei(W. Pr. Kaestner) in Oöttingen

zttingen
I. Kapitel.
Über Scharen von s Kurven, die sich auf Scharen von Flächen verteilen.
1. Eine Schar von 0 Kurven im gewöhnlichen Raume kann dargestellt werden in der Form:
(1)„)=(a a. as); 2= F(æ, a.. A9),
wo die Parameter wesentlich sind. Wir fragen nach den Be- dingungen dafür, daß die° Kurven des gewöhnlichen Raumes so beschaffen sind, daß durch jede Kurve der Schar eine Fläche geht, auf der 0 oder ³ Kurven der Schar liegen. Diese Frage hat schon Finke¹) behandelt. Es soll im ersten Ka- pitel dieser Arbeit nochmals darauf eingegangen werden; denn die von Finke angestellten Betrachtungen lassen sich we- sentlich vereinfachen.
2. Soll durch jede Kurve der Schar eine Fläche gehen, auf der 00“' oder 0“ Kurven der Schar liegen, so kann der Fall eintreten, daß die Schar einer Mongeschen Gleichung ge- niigt. Diese könnte nur linear sein, wie schon Finke gezeigt hat. Sie wäre notwendig integrabel und lieferte durch Integra- tion 00l Flächen, auf denen sich die Kurven so verteilen, daß auf jeder Fläche 00“ liegen. Von diesem Falle können wir absehen und annehmen, daß die Schar keiner Mongeschen Gleichung genügt. Dann können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß die Schar durch zwei Differen- tialgleichungen von der Form 2*= aA(&, Y, 2,"“, 2, 9),
2 7/ 2 6) 9=(æ, y, 2, 9, 2, 9)
1) Finke, Paul, Über Scharen von 00? Kurven im gewöhnlichen Raume; Diss. Greifswald 1909. 1*

— 4—
definiert wird. Wir können hier a... as so wählen, daß sie die Werte Jho, 25, Ge: 2, Ge Von 9, 2, Äé, 2, 9 für a=, sind. Jedoch wollen wir der Bequemlichkeit wegen, solange es geht, die Bezeichnung a.... as beibehalten.
3. Die einer bestimmten Kurve a unendlich benachbarten und sie schneidenden Kurven sind definiert durch die Glei- chungen, die aus
50 69—*⁸νla.— 0 G) 4e 02 · D* da. da,— 0
durch Elimination von æ hervorgehen. Wenn durch jede Kurve a der Schar eine Fläche F hindurchgeht, auf der 0l oder 0o: Kurven liegen, so geht durch jeden Punkt von a eine unend- lich benachbarte, oder es gehen durch ihn°0' unendlich be- nachbarte auf der Fläche liegende Kurven; a wird also von allen unendlich benachbarten unter den auf der Fläche lie- genden Kurven geschnitten.
4. Geht durch jede Kurve der Schar eine Fläche, auf der Kurven der Schar liegen, so verteilen sich die Kurven der Schar mindestens auf eine Art auf 0ls Flächen. Diese Verteilung kann dargestellt werden durch drei von einander unabhängige Gleichungen:
(4) Pi(a.. 4s)— Cr(— 1, 2, 3).
Die der Kurve a,... a, unendlich benachbarten Kurven der auf der Fläche liegenden Schar sind dann definiert durch die drei Gleichungen
5 0„,—„— (5) S* 55 da,= 0(— 1, 2, 3). Da nun durch jeden Punkt æ der Kurve I... ds gerade eine
unendlich benachbarte, auf der Fläche liegende Kurve geht, so bestimmen die fünf Gleichungen(3) und(5) zusammen die Verhältnisse der da,; sie können demnach nicht linear unab- hängig sein.
5. Unter den gemachten Voraussetzungen liefern die Glei- chungen(1) in Verbindung mit den durch Differentiation her-
8VS

sie ind. eht,
rten lei-
lie
— 5— vorgehenden Gleichungen für“, 2, y“ ein nach.... a, auf- lösbares Gleichungssystem. Demnach sind die Ausdrücke y, 02, O„, d, oy“ linear unabhängig in Bezug auf da... dau. Die linken Seiten von(5) lassen sich also so darstellen:
5 6)* da,= I g. d2+ v Ig † 9., d2+ 6, 9,=, 1 2
wo die 44, u*, v, 9., 6, Funktionen von x,.... a. sind. Da die linke Seite von æ frei ist, müssen die Ableitungen der rechten Seiten nach æ verschwinden:
6. Die Ausdrücke, sind eine Basis eines Gleichungs- systems, dessen allgemeinste Basis die Gestalt
3 42= A 9„(A a.. 4,) 7,(—= 1, 2, 3) 1 besitzt, wo die Determinante der d.π½ nicht identisch verschwindet.
Es ist dann klar, daß Relationen bestehen von der Form:
3 (7) 2 42.= r Gr(T, 4,. 45),(= 1, 2, 3). 1
Hat man umgekehrt Ausdrücke 4,, die Differentialgleichungen dieser Art erfüllen, so haben diese die folgende Form:
42,= D 2 Wr(o, ar.. 2s) rg=ao, 1 wo—— a, ist und„= 1 für ⁊, aber)ß= 0 für x. Demnach, ist das Gleichungssystem Q,= 0(i= 1, 2, 3) äquivalent mit(¹)= 0(i= 1, 2, 3). Das System
(5) kann somit durch ein System
2.=
(8) Q.= 4, 9+ M. d⸗+ N 9+ B ⸗+ X, 9“= 0(= 1, 2, 3)
ersetzt werden, das Differentialgleichungen von der Form(7) befriedigt. Es muß andrerseits so beschaffen sein, daß unter den fünf Gleichungen(3) und(8) nur vier von einander unab- hängige vorhanden sind, entsprechend dem äquivalenten System
(3), G).

—
——
— 6—
7. Setzen wir daher in(8) 69=— 0,
so dürfen nur zwei von einander unabhängige Gleichungen übrig bleiben. Das ist aber nur dann möglich, wenn aus(8) eine von òèxν,=“ und òèy“ freie Gleichung folgt:
4+ u0⸗= 0.
Wir sind demnach sicher, daß das Gleichungssystem(8) ent- weder eine Gleichung von der Form
(9) ½—= 40 9 enthält oder eine von der Form (9) 09= 0.
Da die linken Seiten von(8) Differentialgleichungen von der Form(7) befriedigen, so stecken in(8) außer der Gleichung(9) auch die nachstehenden Gleichungen:
2
d 4 (9 a) or(d½— 40%)— 0; d(2— 40%)— 0,..
oder im Falle einer Gleichung(9) die Gleichungen
(9 a¹) d„ 1ä= 0;, dy= 0,...
Auf diese Weise darf man aber nicht mehr als drei von ein- ander unabhängige Gleichungen bekommen. Ist das der Fall
und machen wir in den erhaltenen drei Gleichungen die Sub- stitution&= xe, wodurch wir
(è9)z= a,= dpy;(d²)r= x,= dæao,..(99)x= a⸗= dy
erhalten, so ergibt sich ein System von drei Pfaffschen Glei- chungen in den Veränderlichen e, 25 Na, 2,, und dieses System ist mit einem System von der Form(5) äquivalent; es muß also unbeschränkt integrabel sein. Demnach müssen die Gleichungen(9),(9 a) bez.(9),(9 al) von einander unab- hängig sein und dürfen durch Differentiation keine neue Glei- chung liefern; durch die Substitution æ= x, müssen wir ein unbeschränkt integrables Pfaffsches System erhalten.
8. Diese notwendigen Bedingungen sind nun zugleich hin- reichend. Durch Integration von(9),(9 a) oder(90),(9 a) finden wir nämlich drei unabhängige Gleichungen
(10)
mit den chunger hältniss neue P. nehmer
(11) Jetzt träglie
sind vo minant
(13)
die Scha serer
Sche
wir! scha- scher der T

lehungen aus(8)
() ent.
on der ung(9)
kon ein- er Fall ie Sub-
Tp
en Glei- dieses valent; müssen r unab- ee Glei-
wir ein
ch hin- finden
(10)
— 7—
(= 1,2, 3)
mit den willkürlichen Konstanten ,; dabei sind die drei Glei- chungen do,= 0 mit(3) verträglich und bestimmen die Ver- hältnisse der da,. Führen wir nun vermöge(10)*, c⸗, c als neue Parameter für drei der a, ein, etwa für a,, a., as, so nehmen die Gleichungen unserer Kurvenschar die Form an:
G„(aA d.)= 6.
ꝛ= F(a, A, a. Cr, C., 6n); (11). 2= Z(G, r, e, G1, C., 9).
Jetzt sind die Gleichungen de,= 0(= 1, 2, 3) mit(3) ver- träglich, d. h. die Gleichungen
0 T 0 I
Sa. da,+ 3a, da.— 0, (12) 0 Z 0 Z
Ja. dan+ da, da,= 0
sind verträglich. Demnach verschwindet die Funktionaldeter- minante
8 S V Oa Oau V 644, 82.
identisch, so daß sich a, a, aus(11) eliminieren lassen.
9. Wir erhalten daher eine Gleichung I(o„, J, 2, Gr, GCs, 63)— 0,
die 0os Flächen definiert, auf deren jeder° Kurven unserer Schar liegen, und zwar geht offenbar durch jede Kurve un- serer Schar eine dieser Flächen.
Geht durch jede Kurve eine Fläche, die 0“ Kurven der Schar enthält, so verteilen sich die“ Kurven auf Flächen
J(æ, 9, 2)= kKkonst.;
wir kommen hier auf den ausgeschlossenen Fall, daß die Kurven- schar einer Mongeschen Gleichung genügt, nämlich der Pfaff- schen Gleichung d²= 0.
Geht durch jede Kurve eine Fläche, auf der 0 Kurven der Schar liegen, so ergibt sich durch ähnliche Betrachtungen

—,
—
—
——— —
8—
wie vorhin, daß die Gleichungen(9) oder(9), wenn man die durch Differentiation nach æ hervorgehenden Gleichungen hin- zufügt, im ganzen nur zwei von einander unabhängige Glei- chungen liefern dürfen, die bei der Substitution x= a in ein unbeschränkt integrables Pfaffsches System übergehen müssen.
10. Betrachten wir zunächst den Fall der Gleichung(9)). Dann folgen durch Differentiation sicher drei unabhängige Gleichungen:
(14) 69 0; 09 0; 69— 0. Soll keine neue Gleichung folgen, so muß
96— 6, 9 †. 6, 62 4. 5,„+ 6. d2+„ 9“— 0 eine Folge der Gleichungen(14) sein.
Darin liegt: G,=.= 0.
Demnach hat„“ die Form:
9 b= S(, L, v, g). Diese Gleichung definiert eine Schar von œs Zylinderflächen.
Auf diese Flächen verteilen sich alle co Kurven; auf jeder liegen 00?.
11. Gehen wir nun zu dem Falle der Gleichung(9) über, so haben wir folgende Gleichungen zu betrachten: 62—= 4609,; (15) 3= 1%+ 16„ Oa= 1+ 21„+ 10„.
Die letzte Gleichung sieht so aus:
(16)(A.+ 4α,+ a,— 1*) 9(A,+ α)ù 24!) d9,(.ν)ß D) 9“ = 0. Soll durch jede Kurve eine Fläche mit Kurven gehen, so darf die letzte Gleichung(16) keine neue Gleichung sein. Es folgt: 4)— aa, 1'α‿+, (17) 2 ¼¼= 4.,+ a,
1=.
Hier sind 4, 1¹ 1* ausgedrückt durch æ, g,*,“, 2“, 9“. Dem- nach liefert das System(17) zwei Differentialgleichungen für«:
188)
zu bet wobei entspr sehe d sein.
betrac und b integr demna
7)
(19,)

man die gen hin- ge Glei- v, in ein
müssen. nung(9) bhängige
fflächen. 1t jeder
9) über,
ehen, 80 sein. Es
„Dem-
2n für a:
. d 1 1—= 2= 2[aν a.,+ ,];
. 1..4 1 4— 2 F[aν—+ a]—, C 1 2 laν d. a.] Ca,,.
12. Wir haben dann das Pfaffsche System 02= 40]%,
d) 0æ½= 1„+ 10]9„.
zu betrachten. Eigentlich hätten wir darin x= æo zu setzen, wobei y, a,.. die Werte No, o,.· annehmen und g, dæ... entsprechend die Werte dy, dæn.... Das so entstehende Pfaff- sche System in No, 2o, No, 25; 9u muß unbeschränkt integrabel sein. Wir können aber statt dessen das System(18) selbst betrachten, wo 4 und 1 Funktionen von æ, J, 2, 9', 2˙, y“ sind und brauchen nur zu verlangen, daß das System unbeschränkt integrabel wird, wenn man æ als konstant ansieht. Es muß demnach sein:
071 04 (19) d9„— 09— 0, (19) also αm= O; Gy, Ke,n, Ar ,„= 0; 01 01 Sr 43e 0; z 3. 84.* 34* 0¾ 09 02* 0 9 Ne; 86½
13. Nach der ersten Gleichung(19) muß a in„“ linear sein und die Form
(20) a= u(w, H, e, Y, 2*) † v(E, H, 2, N“, 2*):H haben. Da α= v, ergibt sich aus der zweiten Gleichung (19¹) für v die Bedingung (21) v. ve,+ b,= 0. Für 4 und 1 hat man
5 do 1 1 (2) 1= p 1=, 2(aA&, †)= 2(u/ † vu), was sich aus(21) leicht ergibt. Ferner ist:
4— 7 c= ve 9 b,+ 2'. v,“. v, †(u b.H) ve.
Diese Ergebnisse sind die gleichen wie bei Finke.

— 16—
Es stellt sich heraus, daß die Bedingungen nur von α ab- hängen, nicht von 6. Erfüllt also diese Bedingungen, so
wird jede Schar von° Kurven, die 2=(æ, y,*, y“, 2*, O“) befriedigt, sich auf 0‧ Flächen verteilen; alle Integralkurven der Gleichung 2= a(σ, y, 2,““, 2, 9“) liegen auf 00* Flächen.
Wir haben hier somit die notwendigen und hinreichenden Be- dingungen dafür, daß die Differentialgleichung 2*= a(æ, Y, 2,", 2', N“) ein Integral von der Form 47— BF(2, 7, 21,&)
besitzt. Diese Bedingungen scheinen bisher noch nicht ange- geben worden zu sein. Bei Finke sind sie tatsächlich aufge- stellt, aber ohne daß ihre Bedeutung bemerkt worden wäre.
14. Ist aber die letzte Gleichung(15) keine Identität und somit(15) nicht erfüllt, so geht durch jede Kurve höchstens eine Fläche, auf der Kurven der Schar liegen. Soll dieser
Fall wirklich eintreten, so darf sich aus (a. † 4αε/+‿ α,— 4⁰) 9(,ον‿ α— 24¹) 9,+(mß᷑‿ 1) 9%= 0
durch Differentiation nach æ keine neue Gleichung ergeben. Das führt zu der nachfolgenden zweireihigen Matrix, in der alle zweireihigen Determinanten verschwinden müssen: 1„ 577— 10a., † L,+ α,— 1&, † 1.„)— 241 dA„,— 2 4 B 2 Hier ist
v„
4 d d d 4— 7 1— 7 1 a. 4., † A0 ⅜̈,+ 1 5, a, † e., 40+
† 6,+ 16.+ 1˙6.)(w„*— 4);
2/ 0 d B= 1, †1 aA,+ α,)— 37+ 57.,ᷣ ‿ ακ ‿ 5 a+
+(6+ 16⸗)(᷑*ᷣß‿ D; 7 9227 d C— H,+ Aa.— 34 †+ d-2„— 6„„(&.ν— 4).
Die so abgeleiteten Gleichungen müssen verträglich sein, was dann auf weitere Bedingungen führt; dazu kommt noch die unbeschränkte Integrabilität des Pfaffschen Systems.
wer
Gel Flä chu
die
auf

— 11—
15. Als Beispiel für diese Untersuchungen soll behandelt werden: 2= 0; 9— 0. Geht durch jede Kurve der hierdurch definierten Schar eine Fläche, auf der 0 Kurven liegen? Der Fall, der der Glei- chung 0„= 0 entspricht, ist schon erledigt. Er führt auf die 0l Zylinderflächen
„= Yo † Wor+ 59 a', auf deren jeder die Kurven à᷑= 20+*b liegen.
Es bleibt der Fall der Gleichung= 20. Hier ergibt sich das folgende Pfaffsche System:
09,= 90*,
0g= u/d«+ ud0*, (23) 09 ſz= d2.+ 28 02,
0= u“ dε+ 3 8 2, also 6= a— 0.
Es folgen die Bedingungen der unbeschränkten Integrabilität: u,= 0; à*ν= ,. Die dritte Gleichung(23) verlangt.= 0.
Wir setzen demnach d= Z, wo Z nur von ⁊, nicht aber von abhängt;= ZI 2+‿ Zz, wo auch Za nur von ⸗ ab- hängt. Dann muß sein:
7= 0;.= 0. 7,= a,
Mithin folgt: 3 TL= a= aa.+ 5; äü= as † c. Das Pfaffsche System(23) nimmt die folgende Gestalt an: 0„=(as+ b) 62, (24) 95(ae+‿°) d⸗ †(as+† b) d2, 0„“= 2(as+ 0) d2..
Die Integration ergibt leicht:
ho 3 2+ b2.+ A, (25) 9,= dao 2 † c b. † B,
44 az+ 2c 2+ C.

— 12—
Nun ist: 9e H T † 1 Y a,
27 2= 20+ 20 T.
S
Demnach wird: 2
„= 2 22+ b+ 4+(aa, 2‿ ‿£‿ d+ b+ B) †
+ 1(aaα+ 2 ½ ¾% C)*. Aus
2 1„ 2 0„⸗ 1= 2( † 2x+%† b(, 2Q)+ cr(&, † 24 Q)+ 4+ Be+ 2 a gewinnt man leicht die Gleichung der Flächenschar:
2
2
Es sind dies Flächen. Auf jeder dieser Flächen liegen
(26) 9yäé= e 2*+†(b+ ꝛ) 2 4+‿ Ba † 9
00 Kurven. Daurch jede der 0 Kurven gehen 030“ solcher
Flächen.
II. Kapitel.
I. Sei nun eine sechsfach unendliche Kurvenschar gegeben und zwar zunächst durch zwei Differentialgleichungen von der Form:
(1) 4— a(x, 9, 5, 9', 2* 9, 2⁰) I„„ 7/„“ 27 9= 6(², Y, 2, N, 2, 9“, 2).
In jedem Punkte werden die unendlich benachbarten und
schneidenden Kurven bestimmt durch die Gleichungen
wo òèy und d die schon vorher angegebene Bedeutung besitzen. Soll durch jede Kurve eine Fläche gehen, auf der 0 Kurven liegen, so hat man 00 Flächen, auf die sich unsere cœ Kurven verteilen. Diese Verteilung kann dargestellt werden durch vier von einander unabhängige Gleichungen zwischen den sechs Parametern a,... a,:
(3) ,(4.. A,)=(= 1, 2, 3, 4).
kö-

— 13—
Die der Kurve a... as unendlich benachbarten Kurven der zweifach unendlichen auf der Fläche liegenden Schar sind dann definiert durch vier Gleichungen:
6 5. (49) 2, ir, 1,2, 3, 9) 1 da,
2. Da(2) und(4) nur die Verhältnisse der da, bestimmen, können diese sechs Gleichungen nicht von einander unabhängig sein. Die Gleichungen(4) lassen sich schreiben:
6 (5) Xa p(al. ad) da,= 7, 9+. 2+ v. Og“+ 0. d⸗“+ 6. 09+ 1 + 7, 62= ſt E= 1, 2, 3, 4).
Die linken Seiten sind konstant. Die Ableitung nach æ muß demnach verschwinden. Es ist also:
d dæ 7.= 9 Das Gleichungssystem 1,= 0 kann man schreiben: 4 (6) 0=„= K(x, a,. ds),(= 1, 2, 3, 4), 1
wo die Determinante der& nicht identisch verschwindet. Es bestehen dann Relationen: dnj 4 4 (7)= 2,(w, 2r... Aa) u⸗(1= 1, 2, 3, 1). dæ 1 Genügen die w, solchen Differentialgleichungen, so haben sie die Form: 4* (7) 7,= T*9*(E a,u.. Aa)(Majæ= x0;
das System der h.= 0(i= 1, 2, 3, 4) ist äquivalent mit (Ti)æ= ao= 0. Es besteht also ein Gleichungssystem
(S)„= A+ M, de NJéHp Bd=+‿ X, 09“+ T,02= 0, (= 1, 2, 3, 4),
das Differentialgleichungen(7) befriedigt.

Unter den sechs Gleichungen(2),(8) dürfen nur fünf von einander unabhängige vorhanden sein wie bei dem System (2),(9).
3. Setzt man in(8)
G„—= 62— 0, so dürfen nur drei von einander unabhängige Gleichungen übrig bleiben.
Das ist nur möglich, wenn eine von ù„, d⸗'˙,„“, freie Gleichung besteht
4%+ 40½= 0. Eine der Gleichungen(8) kann man demnach in der Form (9) 02= 109— 0 voraussetzen. Es ist auch hier möglich, daß (9) 67— 0
die Form dieser Gleichung ist. Auf diesen Fall wird beson- ders eingegangen werden.
Nun befriedigt(8) Differentialgleichungen von der Form(7). Wie(9) in(8) enthalten war, so stecken in(8) auch die Glei- chungen:
7 2 7(d=— 15)= 0; 7(C== 48„%)= 0;...
Man darf auf diese Weise nicht mehr als vier von einander unabhängige Gleichungen erhalten.
4. Geht durch jede Kurve a eine Fläche, auf der 0s Kurven liegen, so werden die unendlich benachbarten wieder durch das System(2) definiert. Dieses umfaßt eine Gleichung (9). Durch Differentiation dürfen nur zwei neue daraus her- vorgehen.
Soll durch jede Kurve a eine Fläche mit 0t Kurven hin- durchgehen, so darf sich durch Ableitung nur eine einzige neue Gleichung aus(9) gewinnen lassen. Das wäre nur möglich, wenn unsere 00“ Kurven einer Differentialgleichung zweiter Ordnung genügten, kann also hier überhaupt nicht eintreten.
Hat man endlich durch jede Kurve a eine Fläche, auf der 0 Kurven liegen, so verteilen sich die Kurven unserer Schar auf oll Flächen. Die Kurven genügen einer Differen- tialgleichung erster Ordnung. Der Fall ist auszuschließen.

—
— 15—
5. Hat(9) die Form= 0, so folgen daraus durch Differentiation drei Gleichungen, die von einander unabhängig sind: (10) Oo— 69„= 09= 0, ferner 6, d9 B. 32 6,59 4 H. 6= 4 3„9+ ß„ b2= 0. Das muß eine Folge der Gleichungen(10) sein. Demnach ist 6.= 6,= 6,= 0, oder =;(, Ä, N, Ä). Diese Gleichung definiert 00s Zylinderflächen, auf die sich die Kurven verteilen. Auf jeder liegen° Kurven.
6. Gehen wir zunächst zu der Behandlung des Falles über, daß ³“ Kurven auf einer Fläche liegen sollen, die durch die Kurve hindurchgeht.
Man hat dann:
æ= 10„, (11) O2= N 9+ 10„%
62= 4⁷9“(+ 279+ 1]“„“. Hieraus darf durch Differentiation keine neue Gleichung mehr hervorgehen. Die Koeffizienten der so erhaltenen Gleichung müssen identisch verschwinden.
Man findet so aus:
(12) Oa= 1„ 3499’+† 34d+† 10%% oder a, ε+‿ a, æ+‿ α ετ‿α d i ς † g— 1— 34 9— 34⁷d“— 16, d2— 16, d⸗— 46,„2— 16, g= 46, S9=— 16„9= 0
die drei Gleichungen:
P=— 1+ T(ae— 16,„)+ 1(aA,— 16„)+ 4(a,— 6,)— e. e,= 9 (1) O== 31. 24,.= K.) 4 1ae= Hp)=Pße n,= 0, R=— 34+ 1(A.,— 16,„)— 16„„+.„„= 0.
Diese Gleichungen müssen verträglich sein. Man erkennt leicht, daß man durch Differentiation der letzten Gleichung(13) die Ableitungen von 1 eliminieren und so zu zwei endlichen Glei- chungen für 1 kommen kann.
Die eine von ihnen ist

— —
—
——
— 16— (14) au⁴ᷣ+ v4+= 0,
d 20= 67 6„„+ 6.,+ 4 6,(6„„+ 3%„), d 75 2 „ 2= Je ur= g) K lC7)—ary— 3, † 38,
39 dæ Een, 3 Goe,(6„„ e Miiπ.
Die zweite Gleichung, die sich ergibt, ist für 1 vom vierten Grade, ihre Koeffizienten sind recht verwickelt.
Jedenfalls kann man 7 und seine Ableitungen ausdrücken durch x, y, 9, 9“, 2, 2, 2“ und erhält drei Differentialgleichungen für æ und.
Bei der Gleichung(14) sind hinsichtlich der Auflösung nach 4 verschiedene Möglichkeiten ins Auge zu fassen; dabei muß es freilich dahingestellt bleiben, ob sie in Wirklichkeit alle eintreten können.
Man erhält für 4 einen Wert oder zwei; demnach können wir auch eine oder zwei Flächenscharen bekommen.
7. Es muß nun das Pfaffsche System(11) unbeschränkt integrabel sein in g, ²,, 2', y“, ⸗*. x tritt in diesem System als Konstante auf. Man findet
071 33 64 5+41 32+ 24 35= 0. 01 04 39+ 1 3= 0 04 04 04 04 01 041 — 1 9—„„ 0„ 4. 92+ 24 02* 09 14 0½ 14 0½ 84 04 (15) 0„ 4 9,½— 0. 61 17 64 94„ 01„ 01 S- 6. 39 7 e. O2 04“ G„34 04 04 04 —+ 27— 1„. dy 1 d+ 27 Je 2 5,+ 21 52+ 27 52 04 04 01 04 04 2 2— 07 3 0„ 427 02 0„ r7 02⁷ 4 24 0½
Neben de (16)
Da dies füllt seir
Als Inte
Es folgt Den weggela
Mithin
Hierau
1 Durc
6 lichk renti Also (17)
nicht 15 Diese
letzte Wilhe

— 17— 8. Als Beispiel soll hier behandelt werden:
9— 2= 9.
Neben dem System(11) hat man dann die Gleichung: (16) 0= 179Gẽ+ 34 9+ 34 9. Da dies keine neue Gleichung sein darf, muß sie identisch er- füllt sein. Das führt auf die Bedingungen:
4= 1= 1— 0. Als Integrabilitätsbedingungen erhält man:
4,= 1,= 1„= 0. Es folgt: 14= 4.
Demnach wird, wenn wir den der Bequemlichkeit wegen
weggelassenen Index 0 wieder einführen und x,= 0 setzen: 75= 49% B; 2= 496 4 0; 26= 4%+.
Mithin
2= A4 N“%+ B+(A ℳ%+ C)æ£ 1(4%+ D) a*. 9= J Lν †‿ 4 e. Hieraus folgt: 9 2— A;9= B+ G+ 2 42.
Das sind“ Flächen; auf jeder Fläche liegen σ Kurven. Durch jede der 0 Kurven gehen solcher Flächen.
9. Ist(16) nicht identisch erfüllt, so bleibt nur die Mög- lichkeit, daß Kurven auf jeder Fläche liegen. Durch Diffe- rentiation darf sich aus(16) keine neue Gleichung ergeben. Also darf (17) rr 4 440;+ 64"0 G6= 0 nicht unabhängig bestehen, und es folgt aus(16) und(17)
22711, 37= 0; (18) 42 1IV— 24 4— 0.
Diese beiden Gleichungen sind verträglich, und zwar ist die letzte eine Folge der ersten. Wir haben also: Wilhelm. 2

7 34“* 1— 27 Das Pfaffsche System 62= 409,, d2½= 10 9%+ 40„9„, (19) d= r„+ 2¼ 9“+ 16„“, O= e= 3 39 31*39 3„d9
muß also unbeschränkt integrabel werden, wenn 7, 7“, 4“ wie auch 2, 2, 2 und 9“ Funktionen von und„“ werden. Wir erhalten also das folgende System:
dæ= 1]%9, 6=„9+ 13„, „2 3„ (20) de=( 21r)574(2“— 9 jau, 122 4* 6—— 2——„,/ 9 212 gä= p 9 und folgende Integrabilitätsbedingungen: 1, ꝛ= 0; 4„= 1 4 3 6 21—. C1) P 5(*] 3
5„* 61. 35 Sp„, 5, 1 3,
10. Zur Befriedigung der ersten Gleichung(21) setzen wir 1 gleich einer Funktion von y allein:
4=. Die zweite wird in allgemeinster Weise befriedigt, wenn wir 4= Dp ansetzen, wo I’ die nach 9 abgeleitete Funktion und I,
wiederum eine Funktion von„ allein ist. Aus der letzten Gleichung(21) wird dann
04* 4⁷
— 2 2„,I-2 7 (22) dy(I W) 7 1.
Aus(21) folgt:
(23) Mlithin
oder
Nan hat s (5) 11= wo I, ein
rationale bilitätsbec

— 19—
47 64 4* 04“ 4* 23 8—— 7„„/ (23) 1 7* F 5(E'ée vy. Mithin , e ,, ;,„( I 7r I.)- 12 oder 04 32„, 24 ar=err.r TD- Se v. we 2 4 1 (4)) 041“ 4 3 26I o 1.)= I. so folgt: 0
d C1)= 20(T“ †. E)(Véy 4 V.) = 2II o( Er h V)o. I Vr. Man hat somit:
1
(C) 4= 5
lE E(y. V. e. E. ve)ge L. V. Vé. V.) wo J, eine Funktion von„ allein ist. 1 ist demnach eine rationale Funktion von oy. Nun folgt aus(24) die Integra- bilitätsbedingung:
34˙ 2 44“ 12 3„„// 7 1 1* VW FT ED- 4*] 2T E)-= TI= Tr TTTr vD= G 1 4 (26)„„⸗ = 20T“„9 4 211)— P' 7(I 9. 17)= 32*. 5 2222, 1 2( 9) T.) 5, oder: 31712 be, 61, e,„ 24 p,, 75.„ 72— 72 T'(YI„'+ VI)+ 71—(T 9+† Xr)+ (27)
3 77„ 7J² *„(I+† L.)= 0.
Das ist eine quadratische Gleichung für 4“. Nach(25) muß aber 4“ rational in„ sein. Daraus geht hervor, daß die quadratische Gleichung(27) zwei zusammenfallende Wurzeln
haben muß. Die Bedingung dafür ist die folgende Gleichung: 2*

— 20—
24 6 4 71 1/ 312* F* 7 77 (28). 4,( 9„+ I.)+ z2(1 9„+ I1)= 0. Die in quadratischen Glieder fallen aus der Diskriminante heraus. Da(28) in„ identisch erfüllt sein muß, ergeben sich
die beiden nachstehenden Differentialgleichungen:
(29) 3 V“ 51= 0; (30) Vn V— 6Te F V, A3E.= 0. a“ wird folgende Form erhalten:
„ 47 e 6 ,e,,
4— 17 2T 71(1 9+ 1).
Die Differentialgleichung(29) gestattet die Bestimmung von I;(30) die von Ii. Auf(29) wenden wir die Substitution an:
2 5. Dann folgt I=e vV“= We ee=(e.). Demnach erhält(29) die Form: 32 222= 0. Also wird: — 3 1. 6 2„—, 2„— 3 1 2()9=* Da also 1 3 1 2„. so findet man: v= 4(GyV= c) G) F= 26,0 9) ¹,
I“= 3 61 2— 6.)
Zur Integration der Differentialgleichung(30) benutzen wir die Substitution:
Nlan erbält
w) Aus 30) 00
wird dann:
und mit B6 63)
Da2=
und somit 64) Nach(32) (35) Diese line
facher W
(36)
und

— 21—
Man erhält:
. II=+‿ 5½2 Ii; te(32)—„„ 3 V.= 329 2 2Jr. 1 Aus(30) oder 22 I.— 62 I’+ 31“= 0 wird dann:
2ν V.+ 3²+‿ 2 V.— 52 T’= 0 und mit Benutzung von(32) folgt:
(33) 3%— 52%= 0. Da ⸗2=— G— co), so erhält man; ng 1 3 und somit: (34) 2, ¹= e, a. Nach(32) ist: (35) E.. EGO==, e ¹
Diese lineare Differentialgleichung läßt sich in besonders ein- facher Weise integrieren. Es ist:
1
4 1Y.= (36) dyj 1 ¹0) VI—(„— c)*— .„ 64 7 (1—) und 1„ .—— 5 3* 4 14.. (— co)“(9 co)*
In allgemeinster Form können wir also setzen: g
1 2
(37) 4 5 3—; a e a) (38) 3 4, 1 H.
09 al 2 e) Wir sind nun in der Lage, 1, 1 und 1“ anzugeben. Es ergibt sich:
(39) 4
ir V= 2e1 9 7, To t. ha,

— 22— (40)=„— co)[=y—O o w— a)l Da nun — 1 u 7 7 72 1 4— vr2 7+ FI]J 1 3 F* und
7
4 7 7 2 F= v 2(G co);
VIy II= 2—) 3[3 o)—,(9— e.) und
1 1* 6—„ 2 3Y= 2 G— ce) ſ[c(y9) G †,
so findet man:
41) 1= 4 G=) Tly e' o— ℳ) 11. Nach(20) hat man daher das unbeschränkt integrable Pfaffsche System:
d2= 21(h— c.o.) J9, 9=[—e T= e) 19 † O) e g— e.) 09 † + 20(— G.) 169; 39= 3G en)( 4. C) S9 †..) G G) 9, d=— ere ù— e ¹( O) 69+ 22 G(„—.) 1691.
2
Die Integration dieses Systems ergibt:
40(,— c)* 44A. (43) 20— 21(hey= Go) 1,) 21 9. G.)*+ 4.. 9= 1 Go Coe)(a⸗ 6) Au.
25— 21 6*(9 6) 1(Wo 5 ¹)* 4.. Demnach wird:
²2= 42,(, e,) ¹4. A, †[26(,— e.) ¹9, 4 c) 4 44 4 2 2— 2(9 4 4 (44)+ 20100.(V.—)+A,1æ+ er(g,— c.) a‿£σ‿κρησσ*
, 1 4 „= v, ma4.—a) G toy 4 2ſe.
Um die Gleichung der Flächenschar zu erhalten, müssen wir%,% eliminieren.
Wir find
Mithin w
die Gleic Flächen Es sind Flächen.
1. durch D
(1)
Die al dann i

Wir finden:
=[20r(2 4„eſv.—&o † G 4)x+ 7*92 . 1.(he 2.
4 [a- 4.— A, 2— 4 2
4„— co Mithin wird: 41. 2 ä„ - 4.— 4,— 2*—[2.(2+)* 1— c)— C— (45) . 41 2— 0 2—
die Gleichung der gesuchten Flächenschar. Auf jeder dieser Flächen liegen Kurven unserer sechsfach unendlichen Schar. Es sind das 0s Flächen; durch jede Kurve gehen 00“ solcher Flächen.
III. Kapitel.
1. Sei nun die sechsfach unendliche Kurvenschar gegeben durch Differentialgleichungen von der Form:
2
2* ‿ a(w, Y, 2, Ä, 2, 9), UN=;(x, L, 2,“, 2', g', Ä0). Die allgemeinen Entwicklungen des vorigen Kapitels gelten dann in sinngemäßer Anwendung.
Hat die Gleichung ᷑+ 10%= 0 die Form: ν= 0, so folgt hieraus (2) 6) 69„ ü= 69= O0 und
6, 6„ 6, 11 6 39 B„ 09„ 3. S2 6., 326= 0. Diese Gleichung muß eine Folge von(2) sein. Also ist
6.= 6G⸗= O und„II= 6(E, y, y, Y'“, Y“).
Hierdurch sind“ Zylinderflächen definiert, auf denen die
Kurvenschar(1) liegt. Auf jeder Fläche liegen° Kurven der Schar.
(1)
2. Im Falle einer Gleichung O=— 40 9%= 0 erhalten wir das System

— 24—
02— 409, (3) 6*= 1/0„ † 10%, Oa= 1„+ 24„“ X 1“„. Die letzte Gleichung(3) kann ersetzt werden durch (4)(æ, ‿ 1., † 4α— L) g+(„,+‿ 4„— 2+) d„+ +()— D 9“= 0.
3. Soll durch jede Kurve eine Fläche gehen, auf der* Kurven liegen, so darf(4) keine neue Gleichung sein. Wir brauchen jedoch diesen Fall nicht besonders zu behandeln. Die Kurven liegen dann auf 0“ Flächen (65) 4 F(², Ä, c, 02),
und die sämtlichen auf der Fläche liegenden Kurven erfüllen eine und nur eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. O., die nämlich, die aus
d
25= 5, 2=,—
da
d* F
da
durch Elimination von, c, hervorgeht. Diese muß notwendig mit der Gleichung«= übereinstimmen, also kommen wir auf den im ersten Kapitel behandelten Fall zurück.
4. Soll durch jede Kurve eine Fläche mit gerade“ Kurven gehen, so darf die letzte Gleichung(3) keine Identität sein, darf aber andererseits durch Differentiation keine neue Gleichung liefern.
Es dürfte demnach
(6) kd+ A0%%+ v0%%+ 200%= 0, d. d„ d 11 WO 4= J ν α a.+ 4 Jr. 41 a.+‿1 7, A.— 4, . d 4 d„ 1= d.α,+ 1 ‿1α++ 1' αχ+‿41.)ßͦ— 34, da* das 37 d ä= A.M,+ c.,— 34+ Te uv",
nicht unabhängig bestehen. Es müßten also in der Matrix
a,+ 1,+ 1 ᷣ— L a.,+ 11— 21 aA„„— 1 0 t 2 v 20
alle 20 wir Zu die Bed 80. gehen, liefern. stößt I versch
(8)
6 allein Funk
demn
Es f.

15
25—
alle zweireihigen Determinanten verschwinden. So kommen wir zu Gleichungen, die verträglich sein müssen. Das ergibt die Bedingungen dafür, daß 0' Kurven auf der Fläche liegen.
Soll durch jede Kurve eine Kurven enthaltende Fläche gehen, so darf(6) bei Differentiation keine neue Gleichung liefern. Diese muß vielmehr aus(4) und(5) hervorgehen. So stößt man wieder auf eine Matrix, in der die Determinanten verschwinden müssen.
5. Es sei
277 0, p= 0.
Die Gleichungen(3) können wir in der Form schreiben:
dg,= u*, O„)y=+ 02, (7) 0= u“*+ 28 02,
d“ ſ= u“ d+ 39 2, 0= uIV+ 49 02. Demnach wird ½= lV= 0. Als Integrabilitätsbedingungen erhält man:
8 4= 0; 4.= 4; c) àr,= 212; 4.= 0. 6. Wir setzen also= Z, wo Z eine Funktion von
allein ist; ferner ⁴ ̃ Z'½ 4‿ ⁷εα, wo Z die nach« abgeleitete Funktion Z und Z. eine Funktion von e allein ist. Dann wird
ur,= 2(2*+† Z1);
27 0; M.= 0; demnach hat man: 2— 43 4e= 0, Z'= 42+ B; Zi= Da F. Z— 4„. Pe t C.
2 Es folgt:
6— 4*+ Be 03
(9) à=(42+ B) 2+ D⸗+ E; 3 42*+ 2D2+ J.

*
—
Das System(7) erhält die Form:
69— 4 2+ 82.+ Co⸗
2 4„ 6,=[(A+‿ B) 2+‿ D2 † EId⸗ 2*+‿ B † 3 d⸗; (10) 59é=[A=" 2D.+⸗4 2((4A2+ B)e* De+ FIG⸗=“; 5„= ſ34" 6D⸗+ 3716⸗“
7. Die Integration ergibt:
2
4 2„ %— 6 24+ 2 24+ C=.+ F, 41..— N—— 2 20 24+ Bo 25+ Cæ⸗ 5 2 2*½ 5 Eeo fie G, (11)
9)=(A20+ B) 2*+‿ 20 20, 2+ J2+ 2 E 2.+ H, I= 42 4‿ 3 D** 4 3 12, K. Mithin wird:
4 B
.„ 4 2, ein, 7= 5 2+ 2 22+ Cz+† FX 20 26 Beo 2 C.+ 2 25
2 2 + Ea.+ 2 æ+[A2+ B) 2.²+ 20 2, 23,+ IZ,+ 2 E.+ H] 2+ +[A ◻‿ 3 D=+ 312.+ Kæ,
2= 2 Len o; oder
4 B 9y= 6[2+‿ 2ν σ+ 2[2ꝙ£.‿ 2 σ]+ Cl[a+‿ 24—+
2
Ja
D 7 7 + æ 2[2˙ ‿ ετ‿ Æ Erſa,+‿ 2] Gæ+ 2[2 2νπσ⁹+ Ea AKa. 1+2 56 So wird die Gleichung der Flächenschar: 4 5 (12)„== 6 225„*Ge&*₰2 x‿ Eæer+ l+ 2aue † 4² KaA + H 2 i 5
Auf jeder dieser Flächen liegen 0 Kurven unserer Schar. Es sind oo' Flächen. Durch jede der ο Kurven gehen°“ solcher Flächen.
aus und Kurved eine Flä Von der sehen.
gungen
des ers wir oh chung
ein In
besit

de':;
222 4
ar. Es olcher
IV. Kapitel.
1. Wir knüpfen zum Schluß noch einmal an Nr. 13 unseres ersten Kapitels an. Es soll hier nur kurz angedeutet werden, wie sich das dort gewonnene Ergebnis erweitern läßt. Wir gehen zunächst von den Gleichungen
er
(1) 2= A(E, Y, 2, 9 2', 9, 9 9), OII=;(x, P, 2,, 2', 9, 2, Y“)
aus und suchen die Bedingungen dafür auf, daß durch jede Kurve der durch(1) definierten siebenfach unendlichen Schar eine Fläche hindurchgeht, auf der“ Kurven der Schar liegen. Von dem Falle, daß 6 von 2,*,*“ frei ist, werden wir ab- sehen. Es wird sich dann zeigen, daß die gesuchten Bedin- gungen(wie bei den Gleichungen
20= a(E, 9,*, 9, 2, 99)
9= 6(E, 9, ², 27, 2, 9.) des ersten Kapitels) von 6 unabhängig werden. So gewinnen wir ohne Schwierigkeit die Bedingungen dafür, daß die Glei- chung
„q— 1 7/ u — a(E, 9, 2, 9“, 2, 9;, ,9)
ein Integral von der Form
7 F(E, J, C1,(; c2) besitzt.
2. Nach den in den beiden ersten Kapiteln durchgeführten Untersuchungen dürfen aus
(2) d½—= 409 nur zwei neue Gleichungen (20 dε= 1/9%+ 40 9%, 6«= 409+ 21 09„“+ 40„“ folgen, und O= 1 † 3479+ 34/9“+ 40“
darf keine neue Gleichung sein. Da
Oa= a, dε½+, g, † a, 02+ a d+, d2+ A. †. G„, d9;“ oder

— 28—
(3) da= 1a, g † a, g a.,(4νον+ 40 9%) † ay„+ a.ᷣ,(4 ν+ + 24", 10) αν òοꝗν+2άea, g“, so erhält man: 1=.„„, 344= 1.„+ ν, 34= 1a,+ X/ꝙ+ 24 ᷣ,, Aa,+ α,+ 1αᷣeςο¶ l‿m M.l‿.
(4)
—
3. Das System(4) liefert ein Zweifaches. Es drückt 4, „, 4“, 1 aus durch æ, y, 2,,*, v“, 2,". Für ergeben sich drei Differentialgleichungen:
34— 3 q en,=&r de, † Ar,
d 3 41= 5(M* μ a.) 4 3— G/n Cr—,+ 3 C,(æν CLrn,+ a.*⁷. G„ 1— dæ ½[aν.+,+ 3 Crr,(aνν C*+«.*ν = Hyn,, †&,+§a,(&emχë+ ,) + 3 C, Ta, C+,+ 3 C,(aνν Clen,+ a.*ν l 4. Die unbeschränkte Integrabilität des Pfaffschen Systems (2) zieht noch folgende Bedingungen nach sich:
4,— y iʒ A— 0.
„/ 4„= 4,; 1= 1„„= 0. (6) 4„= 0. 1„= 24,; 1= 24„„= 0. Demnach muß sein: a= 0; (7) grn e= 0 A.„= 0.
Aus der letaten Gleichung(7) geht hervor, daß a in„“ linear ist, also die Form hat:
α= u+ 9 v;
hier ist u abhängig von æ, y, 2, 9“, 2, 9“, 2“; b dagegen ist nach den beiden ersten Gleichungen(7) frei von g und. Dem-
nach jst 0
Für 9 b- Menge rungen 5. 1 Sogar di hat die
ein Inte
Man wi geht dt Nüche, sei geg
Wenn Ableit hängig
dürfe do. und
für mit gesu

9†
lickt 7, en sich
ystems
" linear
st nach Dem-
— 29—
nach ist (x, Ä, 2, 9, 2, 9, 2 9. 9(x, J, 2,*', 2. Für v bzw. seine Ableitungen und für α ergeben sich eine Menge weiterer Bedingungen durch Anwendung der Forde- rungen(6) auf die Gleichungen(5). 5. Man erkennt, daß auf diesem Wege in einfacher Weise
sogar die allgemeine Frage beantwortet werden kann: Wann hat die Differentialgleichung
2⁰—&(æ y, 2, 9', 2,., 9, 2, 9 0) ein Integral von der Form 2= F(a. h, o... Co).
Man wird diese Frage auf die andere zurückführen: Wann geht durch jede Kurve einer Schar von oonn Kurven eine Fläche, auf der n Kurven der Schar liegen? Die Kurvenschar sei gegeben durch die beiden Differentialgleichungen:
u— 1 1(n- 1)„(- 1)„,() 7= A(G. y, 2,",«... 9„ 2„- (+ 1)— 1 1(n- 1)„(ε— 1)(22) Jorto=(w, y, 2, h, 2.. H“ 3, 20, 9 9). Wenn man von dem Falle, daß 6 frei ist von ⸗ und seinen
Ableitungen, absieht, werden die Bedingungen von 6 unab- hängig. Aus der Gleichung
2= 10%
dürfen nur a— 1 neue Gleichungen folgen; die Gleichung für da muß dann identisch erfüllt sein. Daraus ergeben sich 1 und seine Ableitungen, ausgedrückt durch
1„(n- 1)„(n— ¹)). J, Y;, 2, Ö, 4,9);? 9h
für a gewinnt man Differentialgleichungen, die zusammen mit den Integrabilitätsbedingungen des Pfaffschen Systems die gesuchten Bedingungen ergeben.

——
Lebenslauf.
Am 9. 9. 1893 wurde ich in Vorhalle, Kreis Hagen, ge- boren. Ich bin katholischer Konfession. Von 1904 bis 1912 besuchte ich das Realgymnasium zu Siegen, das ich nach Ab- legung der Reifeprüfung verließ. Ich ging nun zum Lehrerse- minar Warendorf, wo ich im Juli 1913 die erste Lehrerprüfung ablegte. Ich verwaltete zunächst eine einklassige Schule in Marienborn(Kr. Siegen), dann eine Schulstelle der Stadt Siegen. 1914 rückte ich nach kurzer Ausbildung ins Feld, erhielt das E. K. II und I, wurde dreimal verwundet und geriet am 26. 9. 1918 in franz. Gefangenschaft. Im Februar 1920 kehrte ich heim und legte im Juli 1920 die Prüfung für die endgültige Anstellung als Lehrer an Volksschulen ab. Im Winterse- mester 1924/25 begann ich in Gießen das Studium der Mathe- matik, Physik und Philosophie. Im Sommer 1929 bestand ich die wissenschaftliche Prüfung für das höhere Lehramt. Ich besuchte die Vorlesungen und UÜbungen der Herren Professoren und Dozenten: von Aster, Cermak, Elbs, Engel, Falcken- berg, Geppert, Hartgenbusch, Horneffer, Jaffé, König, Laqueur, Maennchen, Messer, Schlesinger, Sommer und UIler. Allen diesen Herren schulde ich herz- lichen Dank, besonders Herrn Prof. Dr. Engel, der mich zu meiner Arbeit anregte und mir bei ihrer Abfassung in liebens- würdigster Weise zur Seite stand.
Vom 8. 1. 29 bis 30. 9. 30 betreute ich wieder meine Lehrer- stelle in Siegen, von der ich 15 Monate beurlaubt gewesen war. Am 20. 9. 1930 bestand ich die pädagogische Prüfung für das höhere Lehramt. Vom 1. 10. 30 bis 30. 9. 31 ver- waltete ich eine Assessorenstelle an der Aufbauschule in Hilchen- bach, die jedoch infolge der Sparmaßnahmen der preußischen Regierung vom 14. 9. 1931 einging. So kehrte ich am 1. 10. 1931 zur Volksschule zurück.
Friedrich Wilhelm.

en. ge- s 1912 ch Ab- hrerse- rüfung aule in Siegen. elt das am 256. rte ich gültige nterse- Mathe- ind ich t. Ich sssoren leken- affé, nger, 1 herz- nich zu jebens-
Lehrer- eewesen prüfung 31 ver- lilchen- Bischen 1. 10.
elm.

1
Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Gießen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XXIII. Heft
lterative
algebraische Algorithmen
von
Walter von Bültzingslöwen
Gießen 1933
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Gießen, Bismarckstraße 16
Preis RM. 3.—

———yy—
—e·——
——
—
Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht. Genehmigt durch die Philosophische Fakultät II. Abteilung am 8. Juli 1933.
Berichterstatter: Dr. Geppert. Dr. Mohrmann.

Einleitung.
Die Algorithmen des M(a,b), 1(²,b) und Inn(a, b). . Die Algorithmen des Nag(a,d), u n(a,b) und Mah(e,b).
.. 1 Die Algorithmen des Ma(a,b), Lan(a,b) und Man(²,b).
Verallgemeinerungen der Algorithmen des 1(a,b) und
Mah(e,b).

en———
+ ₰ 8 2 5— 2—— 8— ‿ ₰——— 2—
3S3 2 2———— S B 81 v— ‿ 8 2 E 3. 2— A 8— 3 g=— A 2—
—2 2 B₰ 5 S— 2 S 5— 3 3 3 5 3, 3 8ä 2 S B— S—— 3 8— 2.
— ²B½— Ro.———=—
B
— ͤͤͤͤ.ääöõõqöõqöõqö&qöGö“ —=

I terative algsebr a 1c he algordthmnen
Die vorliegende Arbeit behandelt gewisse iterative algebraische Algori thmen, die durch 2, e 0, 9 24 Möglichkeiten der iterativen Anwendung der Prozesse B,( 25)* 3(also des arithmetischen, geometrischen und narnons enen 2 tie14 Puf zwei beliebige komplexe zahlen entstehen, wobei die Konvergenz in der ganzen Ebene unter- sucht, die Grenzfunktion bestimmt und bei mehrdeutigen Algorithmen
die Uniformisierung behandelt wird.
Unter einem iterativen algebraischen Algorithmus versteht man eine unendliche Zahlen- bzw. Funktionenfolge dereart, daß die folgenden Glieder sich nach einem bestimmten, den betreffenden Algorithmus charakterisierenden Rechenscheme als gewisse algebraische Funktionen der vorausgehenden Glieder darstellen, wobei der funktionale Zusammen- nang zuischen den Gliedern des n-ten und denen des(n* 1)-ten Schrittes für n= 0, 1,2, immer derselbe ist. Beschränkt man sich dabei auf zwei beliebige Ausgangszahlen a und b und zwei algebraische Itera- tionsfunktionen f(a, b) und g(a, b), dann wird also ein iterativer
algebreischer Algorithmus durch folgendes Rechenschema definiert:
a0= a2 bo= b a1= f(ao, bo) b1= g(ao, b 0 22— f(ar, b1) b2— g(A 91, b 1 (1) = f— Aan*1 f(an, dn) P,1 s(an, dn)
Für a= 1, b= 14 und f(1, 142)= F(2), g(1,1*²)= G(z) nimmt
das Rechenschema dieses Algori thmus(1) die folgende Form an:

—
20= 1 bo= 1*2 21 ⸗ P(2) b1= 6(2) 21* 11 1 ⸗ 16 1 21 F(z) a2= f(al, d1)= F() F(21) b2= g(al, b1)= F(2) 6(21) (2) 2 2 e L21 2 22 7(21) 24.1* P(2) P(21) ee F(22) b* F() F(21) FP(z2-1) G(22) G(zu)— P(zn) 19,1*.)(n= O0„ 1,2,...)
- ⸗.
Hierin existiert für solche Werte von z, die innerhalb einer gewissen nicht verschwindenden EKreisscheibe um z= 0 liegen, ein geme insamer Grenzwert der an, bn für n—cc und der Algori thmus(2) konvergiert dann mindestens innerhalb dieses Konvergenzkreises um z= O0 gegen
eine analytische Grenzfunktion, wenn die Funktionen f und g die
(0),
folgenden Bedingungen erfül len
1. f(a, b) und g(a, b) sind homogene Funktionen ihrer Argumente vom Gewichte 1, es gilt also: f(ma,mb)= m.f(a, b), g(ma,mb)= m.g(a, b). 2. Es ist f(a, a)= g(a, a)= a.
3. f und g sind nach Abspaltung des Faktors a reguläre analytische Funktionen der Gröôße z= 5 in der Umgebung der Stelle z= 1, so daß die Funktionen f(1, 1 z)= P(z) und g(1, 14²)= G(z) in der Umgebung von z= O0 in reguläre Potenzreihen nach Potenzen von z mit dem
Anfangsgliede 1 entuickelbar sind. 90
4. In diesen Potenzreihen PF(z)= 2 ² 20 und G(z)= 2 b. 20 genügen 70 n n=d die Koeffizienten 21 und b der Ungleichung e— d11 1.
(1)
H. Geppert, Uber iterative Algorithmen I und II, Mathematische
Annalen 107, 8. 387 und 108, 8. 197.
In fole Mlgorithme imer dist untersuch Ionvergen Ireis un die analy depperts schlosser neitgehe! Beispiel denartig
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Algorit
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—
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-— 3—
Im folgenden sind nun als Beispiele einige spezielle iterative Algorithmen behandelt, in denen die Iterationsfunktionen f und g immer diesen vier Bedingungen genügen. Dabei zeigt die Konvergenz- untersuchung in der ganzen komplexen Zahlenebene, daß das wirkliche kKonvergenzgebiet dieser Algorithmen stets über den oben angegebenen Kreis um 2= 0 hinausgreift. Ferner kann in den hier gewählten Fällen die analytische Grenzfunktion, die in den zitierten Untersuchungen Gepperts lediglich durch ihre Potenzreihe erfeßt wird, fast immer ge- schlossen angegeben oder doch wenigstens in ihren Eigenschaften sehr weitgehend erkannt werden. Als Iterationsfunktionen sind in diesen Beispielen solche algebraische Funktionen gewählt, die durch verschie- denartige Möglichkeiten einer iterativen Anwendung der PrOzeSSe 2*—, (ab)* und auf zwei beliebige komplexe Ausgangszahlen entstehen. Im Reellen werden Iterationen dieser Funktionen bei. Mittelbildungen schon lange verwendet. Der bekannteste, auch im Komplexen untersuchte Algorithmus dieser Art ist der des arithmetisch-geometrischen Mittels. Er gehört mit in die Reihe der hier diskutierten Algorithmen. Sind nämlich Jjedesmal 29 S a und b.= b die beiden beliebigen komplexen Ausgangszahlen, dann gibt für n= 0, 1, 2,. die folgende Zusammen- stellung 9 verschiedene Algori thmen an, die, soweit sie noch nicht bekannt sind, in der vorliegenden Arbeit näher studiert werden:
1. Ein Algori thmus des arithmetischen Mittels:
— L,.— 2n 1 5 Tlan“* dn) bn.1 5 Tan. 1* dn).(A(a, b))
2. Ein Algorithmus des geometrischen Mittels:
4 4. — 2 2 anel(anbn) bn. 1*(an-r1bn) 3 2.(²,b)) 3. Ein Algorithmus des harmonischen Mittels: 2a, b 22., 1 b —un aanel u an,l 2.75 bn.(Ann(²,b)) n n nrl n

———
— 1—
4. Das arithmetisch-geometrische Mittel:
an 1 5 Tlan“ dn) b
201*(Aba.(u.(a,v))
5. Das geometrisch-harmonische Mittel:
r.1*.-en(4,„(a,b)) An(anbn) r1 a b gh*,b]
6. Das arithmetisch-harmonische Mittel: 22. b 4/ n Snl Tan“ bn) bn 1 5(Man(²,b)) n n
7. Ein abgeändertes arithmetisch-geometrisches Mittel:
—— ¼ 17 l 2(au'* dn) bnl—(2n, 1bn) 8(Ma(²,b)) 8. Ein abgeändertes geometrisch-harmonisches Mittel: *( 1 b- zeue l2(A/(aA, b)) anel anen n.l 2 b gh 9, nrl n
9. Ein abgeändertes arithmetisch-harmonisches Mittel:
22 15 n*+ 1 n
—„— 1 An,l Tan* d. b(Man(æ, b))
n*l n
Bei Jjedem Algorithmus ist in Klammern die Bezeichnung der Grenz-
funktion angegeben.
Die Algorithmen des M(aà, b), Mg(³,b) und Mhh(2, b).
Diese drei Algorithmen hängen eng miteinander zusammen, was beson- ders auch bei ihren Grenzfunktionen in Erscheinung tritt. Betrachten wir zunächst den Algorithmus des M(a, b), der durch iterierte An- wendung des arithmetischen Mittels auf zwei beliebige komplexe
Zahlen a und b nach Tolgendem Rechenschema entsteht:
a= a b= b 0 0 8) 5 T—ao: do) b Tar* d0) 22,1= T†an“* bn) b 1 5 Tan.1* bn)(A 0,1, 2,.).
Dieser 41 nicht in und Jines nennen Wü funktion bei nelcl
Grenzfunl
Eine Lös
Nas VWir

—5 ⸗
Dieser Algorithmus ist in a, b homogen von der ersten Ordnung, aber nicht in a, b symmetrisch. Für den Pall, daß die Grenzwerte limes an und Aimes bn existieren und gleich sind, d-h. im Fall der Konvergenz, nennen wir den gemeinsamen Grenzwert der an bn für n—o die Grenz- funktion M(a,b) unseres Algori thmus; de es gleichgültig sein muß, bei welchem Gliede wir mit unserem Algorithmus beginnen, hat diese Grenzfunktion der folgenden Funktionalgleichung zu genügen:
1(a,b)=(b, a*b)). Eine Lösung dieser Funktionalgleichung ist sicherlich die Funktion
1. 2 1.(a,b) ⸗ 5.a* 5 b.
Sukzessive Berechnung der an'bn ergibt:
22u-l, 222-5..„ 2¼ 1)R 2.(Zlur TA-et. e S.A-L.2.h 2=—- 11 22/111 b—(229, z222-2.. 22. 20)-à*(22u 1, 22n 1,— 21. 1) b n. 22n*2 (n= 1,2,3,); was wir auch anders schreiben können: 1-(2n 1)). 2-(2n9*2)). 2,1*5(1* 2)*à* 5(1= 2)-b— = 0, 1,2,... 1-(2n*2) 2-(2773) 19 2.S.. b.1 5(12-à 5·(1*2)⸗b
Man entnimmt dieser Darstellung sofort, deaß die Grenzwerte limes an
und limes bn existieren und gleich sind, 80 daß wir ohne weiteres finden: Tines a 2 Jines b. M,(a,b) ⸗ †.. 5.
5 5Ehn m= n aa 3 3 Diese Grenzfunktion stimmt überein mit der oben angegebenen Lösung der Funktionalgleichung.
Auch geometrisch läßt sich die Konvergenz unseres Algori thmus
für beliebiges a,b beweisen. Es liegt nämlich(Fig. 1) 21 in der

——
MNitte der Strecke ab, b. in
der Mitte der Strecke a1b,
a, in der Mitte der Strecke
2 21 b1 usw. Zeichnen wir also die XKreise Kn um an durch an 2b1(m= 1,2, 3,), dann liegen in Kn jedesmal alle Zahlen a„b für m*p' m-p P= 0,1,2,„ d.h. alle
auf a2n-1'bm-l im Algorith-
mus bei fortschreitendem Index folgende Zahlen, und K, enthält immer K in seinem Inneren, so daß die K, eine Folge
m m-*1 m
ineinander geschachtelter Ireise bilden derart, daß immer L1 vO11-
ständig innerhalb n liegt. Die Radien dieser En konvergieren für
m—cc gegen 0, weil a— b
2... 4 2 n„1= ba.1& 2ſan Ln ist. Die Polge inein
ander geschachtelter Kreise zieht sich also bei fortschreitendem Index m immer mehr auf einen Punkt zusammen und zwar auf 5* 1 5*. Es ist dies der Punkt, den man erhält, wenn man die Strecke ab von a aus im Verhältnis 2:1 teilt, wie eine elementargeometrische Be-
trachtung an Fig. 1 zeigt, Bezeichnen wir nämlich den Punkt a mit A,
b mit B, e mit C und 5*b mit D, dann gilt offenbar: 00:CA= 1:2 und OD: DB= 2:1.
Also schneiden sich nach dem Strahlensatz die Parallele zu OA durch D und die Paral lele zu 0B durch C in ein und demselben Punkt E auf AB und dieser Punkt E ist der Teilungspunkt der Strecke AB im Verhältnis AE:EB= 2:1.
Iterieren wir in derselben Weise wie oben statt des arithmetischen
Iittels da für einen
Algerithm
Auch dies aber nich
vergenz b
genügen.
Sukzes
Die Gren
80 daß p
EVid
8s gilt
Die

urch D f 4
ältnis
ischen
Auch dieser Algorithmus ist in 8, b
—2
Mittels das geometrische, dann erhalten wir folgendes Rechenscheme
für einen lediglich durch geometrische Mittelbildungen entstehenden
Algorithmus: a= 2 b.= b 0 0 t 2 4¼ 21(2obo) b1=(21bo) 4 8 ¼— 2,1*(anbn) 9 ,1*(an. lbn)(n= 0,1,2,...).
.
homogen von der ersten Ordnung,
aber nicht in a, b symmetrisch. Seine Grenzfunktion im FPall der kKon-
vergenz bezeichnen wir mit 1,(²,b). Sie muß der Punktionalgleichung
— t 1„(a,b) ⸗ 1.(b,(ab))
Eine Lösung dieser Funktionalgleichung ist die Funktion
1/3 v273
genügen.
u.(2,b)= 2
Sukzessive Berechnung der anbn ergibt:
40. 2-(22.1)) 7.0— 2-(2n.2)) an* 2.61⸗ 2-(25 ²)) 4,0. 2-(²2 3)) — ◻ bn1 8 b
(n= 0,1,2,.
Die Grenzwerte limes a und Aines bn existieren also und sind gleich,
g80 daß wir sofort finden: 1. 1/3 2/3 Jigeg en= higes ba= 1.(a,) a d.
Evident ist der Zusammenhang des u.(a,b) mit dem 1.(a, b); denn es gilt offenbar die Beziehung: In u2(²,b)= L A(¹n a, 19 b).
Dieser Algorithmus des geometrischen Mittels ist vegen der

— 8—
Doppeldeutigkeit der Quadratwur zel, die bei jedem Gliede auftritt, unendlich vieldeutig und zwar ist die Anzahl der Möglichkeiten von der Mächtigkeit des Kontinuums. Einen dieser Algorithmen zeichnen wir
als Normalalgorithmus aus, nämlich den, in dem stets das Nur ze 12e i-
8 b chen bei an bzw. ba Semäß der Bedingung R(GF L.) O bzw. R() 0 n-1 n (n= 1, 2, 3,...) gewählt wird. Diesen dadurch definierten Zweig der
Quadratwur zel wollen wir den positiven nennen und mit(2.& 1ba 1ℳ bzw.*(a. b J4 vozelehmen; er ist derjenige Nert a, bzw. b, der
n n- 1 n n b b zw. an am nächsten und innerhalb des durch die Vektoren a2,1 bS b Zzw. bn-1'An gebildeten Nänkelraumes, der kleiner als n ist, liegt. Entsprechend nennen wir den anderen Zweig den negativen und
kennzeichnen ihn durch ein negatives Rurzelvorzeichen.
Der Normalalgorithmus, in dem bei jedem an'bn der positive Zweig
der Quadratwur zel gewählt wärd,
4 4¾ an.1(anbn) b*(a, b.)
(n ⸗ 0,1,2,.)
konvergiert gegen 41) ,)(a¹7³. b2/3)(1¹)
, deh. gegen den Zweig 1/3 b27/3
„ der in dem durch die Vektoren a und b definierten Wänkelraume, der kleiner als ist, liegt. Diesen Zweig nennen wir den ersten Zweig 21) a,) und entsprechend den aus ihm durch Drehung im positiven Sinne um 5* entstehenden den zweiten Zweig 22)a,)
1/3„2/38(2 (a/.b 7—6) und den hiäeraus durch dieselbe Drehung entstehenden
.— 3) 2 den dritten Zweig 23)a,)—(a¹73.7 73)(3) der Grenzfunktion. Wir
machen dabei die Voraussetzung, daß a und b nicht zu verschiedenen
Seiten von 0 mit 0 auf einer Geraden liegen. Denn in diesem Pall ist
die Wur zelbestimmung bei 21 nicht eindeutig, die beiden Zweige von
14. 4 (ab)“ sind gleichwertig, es gibt keinen b am nächsten gelegenen Wert.
Man muß sich dann für einen Wert von 21 entscheiden und kann dann
allerdings gtets die! deren lage rechtigten Mlgorithmu grenzerte Die Ges nun in reg regulären algori thmu chendestim ständig hi Die irr die absolu einen geme algori thm ueinsamen keiner Ste Die re dag a und liegen, 8 1 ,d). Tvelg dig doener re- den wir durch un Stelle
tiven d

reig
— 9
allerdings im weiteren Verlauf des Algorithmus nach der obigen Regel stets die Murzelbestimmung eindeutig durchführen. Bei dieser beson- deren Lage der a,b erhalten wir entsprechend den beiden gleichbe- rechtigten Werten 21, die wir wählen können, für einen bestimmten Algorithmus zwei zu der Geraden durch a, O0 und b symmetrisch liegende Grenzwerte(a, b).
Die Gesamtheit aller überhaupt möglichen Algorithmen scheiden wir nun in reguläre und irreguläre Algorithmen. Wir sprechen von einem regulären Algori thmus, wenn von einer bestimmten Stelle ab der Normal- algorithmus auftritt. Jeden anderen Algorithmus, bei dem die Vor zei- chenbestimmung der Quadratwur zeln regelmäßig oder auch unrege lmäßig ständig hin- und herschwankt, nennen wir irregulär.
Die irregulären Algorithmen konvergieren nicht. Zwar konvergieren die absoluten Beträge der ansbn eines irregulären Algorithmus gegen einen gemeinsemen Grenzwert, nämlich den absoluten Betrag des Normal- algorithmus, aber ihre Argumente konvergieren nicht gegen einen ge- meinsamen Grenzwert, sondern sie ändern sich sprunghaft, weil von keiner Stelle ab der Normalalgorithmus gilt.
Die regulären Algorithmen konvergieren, abgesehen von dem Fall, daß a und b zu verschiedenen Seiten von 0 mit 0 auf einer Geraden liegen, stets eindeutig gegen einen der drei Zweige der Grenzfunktion 1.(a2,b). Nir wol len noch etwas genauer studieren, gegen welchen Zweig dieser dreideutigen Grenzfunktion ein ganz bestimmt vorgege- bener regulärer Algorithmus konvergiert. Zu diesem Zweck unterschei- den wir die verschiedenen Möglichkeiten von regulären Algorithmen durch unendliche Dezimalbrüche 0, derart, daß wir in die erste Stelle rechts vom Komma eine 0 schreiben, wenn wir bei 21 den posi-
tiven Zweig, eine 1 dagegen, wenn wir bei a. den negativen Zweig der

— 10 ⸗
Quadratwur zel wählen, daß wir ferner in die zweite Stelle rechts
vom Komma eine 0 bzw. 1 schreiben, um die Hahl des positiven bzw. negativen Zweiges der Quadratwur zel bei b. zu fixieren, daß genau
so eine O oder 1 in der dritten Stelle rechts vom Komma den Rur ze1- zweig bei a22 festlegt, die vierte Stelle den bei b2 usw. So bedeutet z. B. 0, 101 000
. den regulären Algorithmus, in dem bei 21 der nega-
tive, bei b, der positive, bei 22 der negative Zweig der Quadratwur-
1 zel gewählt wurde und von dann ab der Normalalgorithmus gilt. Einen regulären Algorithmus, der in seinem charakteristischen Dezimalbruch von der(m-1)-ten 8Stelle ab einschließlich- und von keiner früheren- ständig nur Nullen aufweist, wollen wir einen Algorithmus m-ter Stufe nennen; also ist durch 0,000 000 der einzige Algori thmus 0-ter Sstufe gekennzeichnet, durch 0, 100 000 der einzige Algori thmus 1-ter Stufe, durch 0,110 000.. und 0,010 000 säind die beiden Algorithmen 2-ter Stufe, durch 0,011 000.„ 0,111 000„ 0, 101 000..„ 0,001 000 die vier Algorithmen 3-ter Stufe bestimmt usw.
Mir betrachten nun unseren Normalalgorithmus des geometrischen
Mittels mit den Ausgangselementen
a. e2kni 0 0
(k, E= 0,1,2..).
a
Durch geeignete WNahl der Zahlenpaare k, K können wir mit diesen Fak- toren 62bn und„2Emi„ die den Wert 1 haben, die einzelnen regulären Algorithmen aus dem Normalalgorithmus heraus aufbauen. Denn je nach der Nahl des Wertepaares k, K erhalten einige auf 2,„bo im Norma la lgo- rithmus folgende Glieder durch diese Faktoren ein negatives Vor zei- chen, ohne daß am absoluten Betrag etwas geändert wird. Offenbar er-
nält man für k= k= O0 den Normalalgorithmus 0, 000 000
...„ für
für k⸗ 0, ier aus dem einer 1 in Algorithmus Algori thmuf hervorgeht 0,1l 000
Binsetzen
anschaulic als Gliede
Dezimalbru
kennen. Di
2

EN.
nau
r ze1- deutet r nega- atvur- Einen ldruch üheren- ar Stufe -ter mus
iden
ehen
n Fak- ogulären e nach 7a lalgo- orzei- dar er-
für
— 11-
X 1, E= o den regulären Algorithmus l-ter Stufe 0, 100 000.. für k= O, E= 1 den 1-ten Algorithmus 2-ter Stufe 0,110 000...„ der aus dem vorangehenden Algorithmus 1-ter Stufe durch Einsetzen einer 1 in die 2-te Stelle hervorgeht, für k= 2, K= O den 2-ten Algorithmus 2-ter Stufe 0,010 000— der aus dem vorhergehenden Algorithmus O0-ter Stufe durch Einsetzen einer 1 in die 2-te Stelle hervorgeht, für k= 0, k= 2 den 1-ten Algorithmus 3-ter Stufe
0,011 000—, der aus dem letzten Algorithmus 2-ter Stufe durch Einsetzen einer 1 in die 3-te Stelle hervorgeht usw. Die Fig. 2 ver- anschaulicht dies geometrisch; es lassen hierin die einzelnen Punkte als Glieder eines bestimmten Algorithmus durch den charakteristischen Dezimalbruch über den Bezeichnungen jedesmal ihre Vorgeschichte er-
kennen. Die Grenzfunktion des mit diesen Anfangselementen 20 ,bo
0,404 0,000———— 2* ——2

— 12
gebildeten Normalalgorithmus—ist 2— S(k- 2kK)/i. 1/3„2/3(1 1.(a,)= 65(a73.7)(1). 88 also je nach der Nahl von k, R gerade ein Zweig der dreideutigen Grenzfunktion, so daß wir je nach dem Zahlenpaar K, E, deh. je nach
dem gerade vorliegenden Algorithmus, entweder den ersten Zweig von
a/3. b2/3, nämlich(2³. v2/3)(¹), als Grenzfunktion erhalten und
2(kr 2K)/4/3 2 hri
zwar dann, wenn der drehende Faktor e den Wert e
2 (n= O0,1, 2,..) hat, oder aber den zweiten Zweig(2³.v2/3)0— wenn nämlich dieser drehende Faktor den Wert 22(3hr1)i73(h= 0,1, 2,.) besitzt, oder den dritten Zweig(aà73.v2/3)(5), wenn
„2(kKr2E)mi/3 den Hert en(3³h*2)mi/5(n= 0,1,2,..) hat. Pür belie- biges k, kK mus stets einer dieser drei Fälle eintreten, da krk eine positive ganze Zahl ist, die entweder durch 3 teilbar ist oder durch 3 geteilt den Rest 1 oder 2 läßt. Die folgende Zusammenstellung zeigt uns, welche Zahlenpaare k, E gewählt werden müssen, um die verschiedenen möglichen regulären Algorithmen zu erhalten. Bei dem einze Inen Algorithmus ist außerdem jedesmal angegeben, gegen welchen
Zweig der dreideutigen Grenzfunktion er konvergiert.
8 I Algorithmus Stufe Grenzfunktion 0 0 0,000 000... 0 1-ter Zweig 1 o 0, 100 000... 1 2-ter„
0 1 0, 110 000... 2 3—ter 1
2 0 0,010 000... 3—ter
0 2 0,011 000... 2-ter n
3 0 0,111 000.. 3 l=ter w
0 3 0, 101 000... 1-ter n
4 0 0,001 000... 2-ter/
0 4 0,001 100... 3-ter n
5 0 0, 101 100... 3-ter n
0 5 0,111 100„.. 2-ter n
6 0 0,011 100... 1 1-ter„
0 6 0,010 100... 1-ter n
7 0 0, 110 100. 2-ter n usw.
Lnn ersieht
inzelnen Tei
verteilen- Der zu dit
littels anal
folgendes Re
Jir können
a u1
Die rezipre littels sir Iittels ni.
die Bezteh

ſen
nach
— 13—
Man ersieht aus dieser Zusammenstellung, in welcher Neise sich die
einze lnen regulären Algorithmen auf die drei Zweige der Grenzfunktion
verteilen.
Der zu diesen Algorithmen des arithmetischen und geometrischen
Mittels analog gebildete Algorithmus des harmoni schen Mittels hat
folgendes Rechenschema:
a=z a p= b 0 0 2a b 2a., b a 0 0 b.. 1 0 1 2 do 1 821*bo 22a, b 22a n41 n— An1 S a. b b,1 2 1¼(n 0,1,2, n n n*1 n
6 1 ⸗ I b-l b
0 0
-1 1„1-1 1.„1 a1=(a* 5.) 5b1* 4(al* b)
Die reziproken Werte der ansbn dieses Algorithmus des harmonischen
Mittels sind demnach den entsprechenden Gliedern des arithmetischen
—-1 Mittels mit den Ausgangselementen a und b
die Beziehung haben:
“
Zab
Inn(², b)= d
Diese Punktion genügt auch in der Tat der aus dem Algorithmus für
die Grenzfunktion geforderten Funktionalgleichung
2ab ).
Mhh(, b) Enn(b„a7 b
gleich, so daß wir

— 14—
Bringen wir diese drei Algorithmen des arithmetischen, geometri- schen und harmonischen Mittels auf die oben erwähnte Form des A1go- rithmus(2)(8. 2), die den Untersuchungen Gepperts zugrunde liegt, indem wir von 29* 1 und bo= 17 ausgehen, dann beginnen die dort
vorausgesetzten Potenzreihen für die erzeugenden Funktionen al= P(²)
und b= G(z) in unseren Beispielen folgendermaßen: Bein l(a, b): F(2) ⸗ 1„ 42 C(z) ⸗= 1. 32 aa ,b): 4 Z2 7 4 1. 1 1,2 3 6„2 1(..=—7—=—z—- 2- Bedm Mg(², b): 5(z)= 1* 22- 32 2 6(z)= 1 4 1½- 22*¾ „— 1 41.2 6 22 5„2 Beim Mnn(²,b): P(z)= 1* 22- ½ 6(z)= 1 4½- 18562 4
Diese drei Algorithmen genügen also nicht dem Permanenzsetze; denn in den Potenzreihen für PGz) und G(z) stimmen die Glieder mit der
ersten Potenz von z nicht überein. Indessen ist in jedem Reihenpaar P(z), G(z) der absolute Betrag der Differenz der Koeffizienten bei
21(nämlich in allen drei Fällen
3* ⸗ 4) kleiner als 1, so das diese notwendige Forderung für die Konvergenz um 2z= 0 gegen sine analytische Grenzfunktion in der Tat erfüllt ist. Die Anfangsglieder der entsprechenden Reihenentwicklungen für die Grenzfunktionen lassen sich mit den in der zweiten Arbeit Gepperts angegebenen Formeln in Uvereinstimmung mit dem Ergebnis der direkten Entwicklung der bekann- ten Grenzfunktionen folgendermaßen berechnen:
4 2
— 2
1(1, 1*²)* 5 504*) 1 5² — 2/F6ü 2, 1,.,2 g(1,1*2)*(1* 2) 1 5 52- 52⁄¾ M( 3612. 2, 2,2 hh(1,¹*²) 3 2 1* 3² 5²—
Die Algorithmen des Nag(²,b), M n(²,b) und Mn(a,b).
Von diesen drei Algorithmen ist der des Mag(a, b), das arithme-
tisch-geometrische Mittel, am bekanntesten. Das Nag(1, ²) konvergiert
der ganze rha⸗ trischen Iit rieldeutig. schen Thetaf kier Jormals scheiden. Dü sinze lnen re algori thmus ſariabelen ſariabe len Alle diese mlrtisohl sei noch, d netrie in? dehr eng
geonetrisc!
schema def.
Uittels ur sonschafte lttel un⸗ 1928, 8.
schen nit des aritl
38, 1929

glieder in lassen aIn in
bekann-
tme-
vergiert
— 15-
in der ganzen, längs der negativ-reellen Achse geschlitzten komplexen 2-Ibene*). Wegen der Doppeldeutigkeit der Quadratwur zeln des geome- trischen Mittels bei jedem Schritt ist der Algorithmus unendlich vieldeutig. Er wird uniformisiert durch die Nullwerte der Jacobi- schen Thetafunktionen. Ahnlich wie oben beim 1(a,b) kann man auch hier Normalalgorithmus, reguläre und irreguläre Algorithmen unter- scheiden. Die irregulären Algorithmen konvergieren stets gegen 0. Die einze Ilnen regulären Algorithmen gehen aus dem uniformisierten Norma 1- algorithmus durch geeignete Hahl des Zweiges der uniformisierenden Vvariabelen hervor, sind also in dieser Ebene der uniformisierenden Vvarisbelen in gewissen Gebieten, Kreisbogendreiecken, lckalisiert. Alle diese interessanten Erscheinungen sind in mehreren Arbeiten enalytisch ³] und gecmetrisoh*) eingehend studiert worden. Bemerkt sei noch, daß natür lich der Algorithmus des 1(2,*) wegen der Sym- metrie in a,b dem des Ag(²,b) gleich ist.
Sehr eng mit diesem arithmetisch-geometrischen Mittel hängt das geometrisch-harmoni sche Mittel zusammen, das durch folgendes Rechen-
schema definiert ist:
ao= 2 bo ⸗ b —( b 4 b zé Lanbg n( n= O0, 122,.) an.(an 7) nr antbn
(2) C. PF. Gauß, Nachlaß zur Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels und der Modulfunktion, Ostwald's Klassiker der exakten Wis- senschaften 225, 1927.(3) L. von Ddvid, Arithmetisch-geometrisches Mittel und Modulfunktion, Journal f. reine u. angewandte Mathem. 159, 1928, 8. 154.(4) H. Geppert, Zur Theorie des arithmetisch-geometri- schen Mittels, Mathem. Annalen 99, 1928, 8. 162. Die Uniformisierung D. Math.-Ver.
des arithmetisch-geometrischen Mittels, Jahresber. d.
38, 1929, 8. 73.

— 16—
Dieses M h(a,b) ist in a, b symmetrisch und homogen vom ersten Grade,
so daß die Beziehungen gelten: n(²,b) 8 1(a1,b) 5 1 n(b,), uen(pa, Pb)= p.- n(²,b). Analog dem Mag(a,) ist es wegen der Synmetrie in a, b auch hier beim
M n(²,b) gleichgültig, ob wir zuerst das geometrische und dann das
harmonische Mittel bilden oder umgekehrt, d.h. es gilt: a, b). u.n(a,b) un„ 5b) Dieser Algorithmus läßt sich durch eine etwas abgeänderte Schreib- wmeise sehr einfech auf das soeben erwähnte arithmetisch-geometrische
Mittel zurückführen:
a01= a-1 b-1= b-1 -1 71.=1- 1-1„ 8 anl*(An bn) b 4(a2 be)(n 0,1,2,.).
n*1
Hier ist der Zusammenhang des n(²,b) mit dem Mag(a,b) evident:
—1— 1— Aag(e„b)= Men(²,b). Diese Relation können wir wegen der Homogeneität und Symmetrie des
arithmetisch-geometrischen Mittels auch so schreiben:
65)
N(2,b)-Man(a,b)= ab
Infolge dieser Reduktion auf den Algorithmus des Ma(a,b) kann also das geometrisch-harmonische Mittel nichts wesentlich Neues bieten: Das Konvergenzverhalten, die Grenzfunktion und Uniformisierung des n(a,b) gewinnt man ohne weiteres durch sinngemäße Ubertragung der beim Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels bekannten
Ergebnisse.
(5) Th. Lohnstein, Uber das harmonisch-géêometrische Mittel“, Zeit-
schrift für Mathematik und Physik XXXIII, 1888, 8. 316.
Die Grenzf
von ersten
1
Setzen wir
die Funkti
ſir det velche kon des arithu das gesamt 2-Ibene d0 1,3,
n de
u la 1
Nir be rithmeti
roziproke
kolgender

trrade,
r bein
eib-
rische
des
7 Leit-
— 172=⸗
Anders liegen die Verhältnisse beim Algorithmus des arithmetisch-
harmoni schen Nittels:
a.= 82 b.= b Zanbn 21,1 I(29 bn) b—(n= 0, 1, 2,...„.
n†1 2. † n n
Die Grenzfunktion Mn(²,b) ist auch wieder symmetrisch und homogen vom ersten Grade in a, b, genügt also den Identitäten:
Nan(²,)— M h(b, e), Mn(², b)— M(2, b),
Mah(pPa, pb)= P-MAh(a, b).
8
Setzen wir=* 2, dann erhalten wir für die Grenzfunktion 1 n(1, ²)
die Funktionalgleichung:
1+2 22 1 ½ 2 4² 1* 1 42 2 Nan(1¹, ² ah 2 f152) 7 Man 1„rrz)e)
Nir betrachten nun Mh(1, ²) als Funktion von z und fragen, für we lche komplexen z-erte der aus a= 1, bo= z gebildete Algorithmus des arithmetisch-harmonischen Mittels konvergiert, d.h. wir suchen das gesamte Konvergenzgebiet unseres Algorithmus in der komplexen z-Ebene derart, daß für jedes z aus diesem Gebiete die Grenzwerte Aines an und limes bn bei 25= 1, bo= z einem geme insamen Werte, dem 1 n(1, ²), zustreben.
Wir bemerken zunächst folgendes: Bildet man den Algorithmus des arithmetisch-harmonischen Mittels, indem man von zwei zue inander reziproken Zahlen 20* 2 und do= a51 ausgeht, dann sind auch alle folgenden Zahlenpaare an, bn(n= 1, 2,3,) zusinander reziprok, da (6)
20-b= a1‧b1= a2 · b2=.—= 1
ist. Diese Eigenschaft werden wir im folgenden benutzen.
(6) A. Kienast, Uber eine Klasse von Grenzwertverfahren, in der das arithmetisch-geometrische Mittel enthalten ist, Vierteljahrsschrift
der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 68, 1923,§. 228.

⅛⅓¼
— 18—
Bs gilt wegen der Homogeneität und Symmetrie:
Mn(1, 2)= 41.(2, 2¼),
worin natürlich alle drei vorkommenden Quadratwur zeln miteinander identisch sein sollen, d.h. bei allen drei Murzeln ist derselbe Zweig zu nehmen. Nir setzen nun voraus, daß 2 nicht negativ-reell und von
O und co verschieden ist. Dann lassen sich die beiden Zweige von 4 charakterisieren durch 1. R(7) O und 2. 8(2⁴) 0. Denn der eine Zweig entsteht aus dem anderen Zzweig durch Spiegelung am Nullpunkt, beide haben also entgegengesetzt gleiche Realteile, sofern nicht ein zweig und damit auch der andere von 5 auf die imaginäre Achse fällt; dies ist aber nach unserer Voraussetzung ausgeschlossen, weil nega- tiv-reelle z-NYerte nicht zuge lassen sind.
Wir behaupten nun: Der die Funktion Man(1, ²) definierende A1go- rithmus konvergiert in der ganzen 2-Ebene mit Ausnahme der negativ- reellen Achse, deh. das Konvergenzgebiet ist die längs der negativ- reellen Achse geschlitzte 2-Ebene.
Die Konvergenz für z= O erkennt man sofort aus dem Algori thmus:
Mh(1,0) 0.
4 2 Wegen Mn(1, ²)= 22. Mn(²2, 24) können wär unsere Konvergenz-
— (2 z 2) beschränken. Wir werden beweisen: Es
untersuchung auf M
ah
5 ₰ 4 4 ist 1(, 2 2) ⸗= 71, wenn wir für z“ den durch R(z2) O charak-
4 4
terisierten Zweig nehmen, und es ist 1.(22, 2*)=- 1, wenn wir den 4 durch R(z2) 0 definierten Zweig von 2 wählen.
Ist dies bewiesen, dann ist damit außer dem Konvergenzbeweis in
dem betrachteten Gebiet zugleich gezeigt, daß
Nan(1, ²)= 24
— 83 8 Ist, wobei der durch R(z) festgelegte Zweig von ²2 zu nehmen ist.
Dser Algori schiedene ² Algorithmus tion dar. A. uuter Aussc!
Der Algol
untersuchen
lie bereits reziproke! Gronmerte Jach Voraus lst der du lich von n
folgt nun
4) alle el 1 und liegencd dsktork
5) der fir
s ge
⁰) je zMe jedesn Uinds,
virke

nder
de ZMeig md von on 1
ar eine lpunkt, lcht ein 3e fällt;
1 nega-
Algo- sgativ-
2gativ-
i thmus:
genz²- en: Is 1 narak-
vir den
feis in
sehmen 18t.
— 19—
Unser Algorithmus liefert also für von negativ-reellen Werten ver- schiedene z gerade den einen Zweig von 44 deh. dieser eindeutige Algorithmus des 1 n(1, ²) stellt einen Zweig einer mehrdeutigen Funk- tion dar. Alle Werte von L n(1, ²) liegen in der rechten Halbebene unter Ausschluß der imaginären Achse.
¼
4 Der Algorithmus des Mah*„ 2 2), dessen Lonvergenz wir nun zu
untersuchen haben, sieht folgendermaßen aus:
a= 21 b= 24 0 0. a1= 32-4(142) 5b]= 224(12)-1 an= 0(2²)= 2)(n= 0, 1,2,)⸗
Nie bereits bemerkt erhalten wir bei jedem Schritt zwei zueinander reziproke Zahlen Q und 61. Im Pall der Konvergenz kommen also als Grenzwerte nur*1 oder-1 als Lösungen der Gleichung z= 251 in Frage.
24 Nach Voraussetzung liegt z2 nicht auf der imaginären Achse; folglich
1
ist der durch die Vektoren 22 und 2* eingeschlossene HNinkel sicher-
*½ lieh von n verschieden, Die Konvergenz des Algorithmus des 2(4,2 4½) folgt nun daraus, daß A*) alle Glieder des Algorithmus in einem durch die Vektoren 5 und 2* und durch zwei bezüglich des Einheitskreises spiege lbildlich -1 liegende Kreise um 0 mit den Radien r und R= rI definierten
Sektorkreisring liegen,
B) der Ninkel dieses Sektors bei fortschreitendem Index im Algorith-
mus gegen 0 konvergiert und
c) je zuei entsprechende reziproke zahlen an= 0(2)
jedesmal ineinander geschachtelten Kreisen liegen, deren Radien
. 2 1„— aA 16„ Sak— mindestens wie die Potenzen Von+ abnehmen, sobald der Sektor
vinkel kleiner als /2 geworden ist.

—
— 20—
A) Man erkennt geometrisch sofort, daß alle Glieder des Algorithmus
— von 1(², 2z ²) sicherlich in dem durch die Vektoren von 5= P; und 24*“/ gebildeten Winkelraume, der kleiner als n ist, liegen. Denn bezeichnen wir ax= Pk und bk= Qk(kK= 0, 1,2,), dann liest
P.) in der Mitte der Strecke P00o(Fig. 3) und 21 erhält man, indem
1 man P, und 20 am Einheitskreise spiegelt und dann die Mitte der Ver- bindungslinie dieser Spiegelpunkte wieder am Einheitskreise spiegelt. Hir fällen nun von 0 aus auf die Strecke Po das Lot, Fußpunkt
sei E. Dann ist r 21, weil Po und 20 reziproke Zahlen charakteri- sieren, E liegt also im allgeme inen innerhalb des Einheitskreises. Nur für 22= 24, deh. für z= 11, l liegt E auf dem Einheitskreise. z=- 1 kommt nach Voraussetzung nicht in Frage und für z= 11 ist, wie sofort ersichtlich, Mn(1, ¹)= 1. Spiegeln wir nun E am Einheits- kreise hinaus nach E' und zeichnen wir dann die Kreise k und K um 0 durch E bzw. E' mit den Radien r bzw. R= 1-1, dann liegen zwischen die- sen Kreisen alle Glieder
von u(2, 22), schlimn-
sten Falles einige darauf.
Denn irgend einem Kreise um 0 zwischen k und K ent- spricht vermöge z'= 2 1,
d.h. durch Spiegelung am
Einheitskreise, wieder ein
Kreis um 0 zwischen k und
K. Denken wir uns nun den
⸗ig. 3. Kreis um O durch P, dann
Hegt disse und I unter se un m Bs muß die 2100 liege formation
2 liegen
durch POo u nird 31 bl hervorg nach der Halbierung er kann a gen und h nach zui 80 auf der de ten Gerad 1(it, ringgebie 3) die Ni Segen 0.
teres aus hervor. Yor einer klein nü dei jede er nicht ren. fi
gen, dal

sgen. liegt nden r Ver- iegelt. nkt eri- ses. kreise. ist,
nheits-
8n die- lieder schlim- darauf. Ireise d I ent- 2 2, ung am eder ein n k und
nun den
— 21—
liegt dieser sicherlich gemäß der Definition von k und K zwischen k und K unter Einschluß der Grenzen; also liegt 21 auch auf einem Krei- se um O zwäschen k und K unter Einschluß der Grenzen. Aber noch mehr. Es muß die Strecke P191 auf der dem Punkte O0 abgekehrten Seite von FL0 liegen. Denn der Geraden durch 200 entspricht durch die Trans- formation /2 der Lreis ko durch 0, Po und Q0, auf dem also auch
921 liegen muß, und zwar entspricht der Strecke P0o der Teil des durch Podo in zwei Teile geteilten Kreises ko, auf dem nicht 0 liegt. 921 wird also als die zu P; reziproke Zahl, d.h. vermöge 2’= 281 aus P hervorgehend, auf kKo liegen und zwar derart, daß die Strecke P11 nach der von O0 abgekehrten Seite von 5 0 abbiegt. Folglich kann der Halbierungspunkt von P191, nämlich P2, nicht in oder auf k fallen,
er kann auch nicht außerhalb K fallen, da P1 und 21 innerhalb K lie- gen und höchstens 21 auf K fällt. Der Kreis um 0 durch P2 liegt dem- nach zwischen k und K, also auch der Kreis um O durch 02 · P202 liegt auf der dem Nullpunkt abgekehrten Seite der durch P1 und 91 bestimm- ten Geraden usw. Damit ist argumentiert, daß alle Glieder unseres u(, 224) sicherlich in dem in Fig. 3 hervorgehobenen Sektorkreil s- ringgebiet liegen.
B) Die Winkel PnOOn(n= 0, 1, 2,..) konvergieren mit wachsendem n gegen 0O. Daß die Mänkel immer kleiner werden, geht bereits ohne we 1— teres aus der Lonstruktion der Glieder Pn; Qn unseres Algorithmus hervor. Indessen wäre aber der Fall denkbar, daß diese Hänke labnahme vor einem bestimmten Grenzlagenwinkel, von O verschieden, beliebig klein würde, so daß diese Grenzlage nicht überschritten werden könnte; bei jedem Schritt würde zwar der Rinkel immer kleiner, jedoch würde er nicht gegen 0, sondern gegen einen Winkel größer als 0 konvergie-
ren. Wir wollen durch direkte Berechnung der Hinkel im folgenden 204-
gen, daß dieser ⸗Fall hier nicht eintreten kann.

—
—————
— 22—
Nir bezeichnen(Fig. 4): WMinkel PO0.= Z2(n= 0, 1,2,); dann
lesen wir aus Fig. 4 ab, weil die Dreiecke PoOP) und P1000; inhalts- gleich sind, nämlich gleich der Hälfte des Inhalts des Dreiecks
P 000: 1'sin Bo= rorlsin 1(80- 31)= Rerlsin 1(80* 81)- ⸗Perner ist:
r RO= rRI= r 2Rg=..= 1, so daß wir schreiben können: 2 sin 10(80- 81) o sin 1(8* B,)* 0 1
1 2 2 †'sin“g,= r1sin 1(0- 81)'sin ¼†(80- 81),
und hieraus erhalten wir nach bekannter goniometrischer Formel:
2 4¼ sin B0
2 rl-(cos 81-— dos 80)
-2 2 cos B)= cos Bo 4 ·11„sin“B.
Nach Voraussetzung ist in unserem Fall hier 0= Bo n; wenn also zu cos B0 die positiv-reelle
Größe 3.r12 sin2s die
0*
für Bo 4 O sicher von 0
verschieden ist, addiert I wird, und diese Sumne 8011 3 4 gleich cos 81 sein, dann 5— 18t 81 SBo Ist etwe 4 schon Bo= 0, dann sind
wir je bereits am Ziel.
8 pie Winkel B0 werden also mit zunehmendem n immer
kleiner und konvergieren
gegen 0, weil die additi-
Fig. 4. ven Größen beim UÜbergang
. oos 81417
Liegt etn 8o“ jedoe und sin 8 das Zusam Vversehre schon als Zunachs: 3. sehr 0 in Algor. Gegend v vird die dektorwi ¹) Nir n au'da ab ſa- b n
r
ſ’n
Neil m

180 zu reelle die on O diert me 8011 dann
ne sind 11.
n 9130 ImerT ieren dditi-
rgang
— 23 ⸗
..—2.2—2 2— von 0os 2 zu cos 8,1 nämlich 4¼ rn1sin 81= † R.sin Bn, für n= 0, 1,2, erst beim Annähern der 2 gegen 0 beliebig klein wer- 2 2 den. Wegen Tn. 1 RE(n= 0,1,2,), wie unter A) gezeigt wurde,
gilt nämlich die folgende Abschät zung:
. 2„ 2 2 2 oos 81= cos So 1 11 sin Bo cos 80* ¼ ·-R. sin B.
-2 2 4—=2 2— cos 82= Gos 81 4 † r.sin 812 cos B0*++ ·R*. sin B0* †- R 2. sin28.
gos 82„1* 908 85* 1.N2(sin28.- sin2,-* sin283-... sin2g). Liegt etua 80 nur sehr wenig unter, dann ist 81 zwar kleiner als 80, jedoch nicht sehr beträchtlich, weil dann nämlich R sehr groß
und sin 80 sehr klein ist. Aber mit Jedem folgenden Schritt geht dann das Zusammenklappen des Minkels immer flotter, flaut dann nach dem Uverschreiten des Winkels„/2 langsam wieder ab und erst wenn 82 schon als sehr spitzer Minkel sich der O nähert, dann erst wird der Zuwachs zu cos 88 kleiner und kleiner, wie es sein muß. Liegt also
B0 sehr nahe an, dann wird unser Sektorwinkel beim Fortschreiten
im Algorithmus zuerst zögernd, aber stetig schneller bis in die Gegend von /2 abnehmen; sobald er aber kleiner als /2 geworden ist, wird die Winkelverkleinerung ständig geringer und konvergiert mit dem Sektorwinkel gegen 0.
C) Wir nehmen nun an, der Sektorwinkel väre kleiner als /2; etwa von
an- bm ab sei dies der ⸗Fall. Dann betrachten wir für n m den Abstand
an- b 5 N. 2 a 1 1 a—d 2 n-1 n.-1[on- 1 n- 1 ſan dn*(an-1“* bnl) 7— — 4— 4 8„,+ 9 4 an-1*n- an-l“ bn-1 1 ba-1 *— b n a d n 2. 2„-l n-1 n- 1 n-1 Heil nun aber der durch die Vektoren ansk und b k eingeschlossene m†K U
Minkel für k= 0, 1,2,. stets kleiner als 2 ist, so gilt(Fig. 5):

—
—
a— b —— 1, , am-k“ m-k “ P so daß für(n-1) m die Abschätzung 8 k7—— 7 8 ſan da ¼ an-1 vn-l Nòæ , N 1 gilt und allgemein für n m: . Xa.—. 1 , N a- b,— a,- b. Z 4 n 2— 2zn-=m Sm 8 △ 2— A Hierin ist also m eine eindeutig fest- 0 gelegte positive ganze Zahl. Der Ab- Pig. 5. stand an- dnp konvergiert demnach für
n—och gegen 0. Nir denken uns nun um a durch a„b., den Kreis K,. m* 1 m'* m 1
Dann liegt wegen b,1]&.a dn sicherlich auch b,l in
8.— m-*1
diesem Kreise K. Darauf denken wir uns den Kreis K2 um an. 2 durch
2. 1„b 1⸗ der völlig innerhalb 1 liegt. In K2 liegt dann b 4 2 usw. Mir erhalten also wieder ähnlich wie beim M(a, b) eine Folge ine in- ander geschachtelter Kreise. Meil deren Radien gegen 0 konvergieren, so folgt daraus nach demselben Schlußverfahren wie beim M(a, b) die Konvergenz unseres Algorithmus u(, 24) bzw. Mh(1, ²) in dem betrachteten dGebiet, d.h. in der längs der negativ-reellen Achse ge- schlitzten z-Ebens.
Damit ist nun aber nicht allein die Konvergenz für alle von noga-
tiv-reellen Werten verschiedene z bewiesen, sondern es folgen ohne
weiteres die Beziehungen:
1(, 2-*)= 71 für R(z*) S0, u(,
2 ¼,=-l für 4(:*) C0, n(1, ²)= 22 für 8(*⁸)— 0.
Führen wir wieder z= 4 ein, dann erhalten wir:
4 M h(a, b)(ab)t, 2(Leb“)— o.
Hier herrscht also Konvergenz für beliebige Lage der a,b in der
gorplexen La Belten von O
Die Diver leicht bevei bilden dann ...⸗; 8 mei entsprä zetztes Vor Glieder sin kommt für I chung deste Ionvergiere haupt ist divergiert
Lan köm algori thmu konvergier den WMeige
Ist also J
vit 3(
à 1st, haber
der dem h̃. liegt, ume „ ausd. denen Sei der Algor den siner 1L-2,
den aude.

zung
fost-
noga-
ohne
Co,
— 25—
komplexen Zahlenebene, nur dürfen und b nicht zu verschiedenen Seiten von 0 mit O auf einer Geraden liegen-
Die Divergenz des Mh(1, ²) auf der negativ-reellen Achse läßt sich leicht beweisen. Es sei a eine positiv-reelle Zahl größer als 0. Nir bilden dann den Algorithmus: ². 1, bo- a; al=——2, v.==;
1 2 1 1— a2
..,. 2.³ b2* 2(denn auba ² an-lbn⸗l ·* 2c bo). Je
2e1„iaresshoude Zzahlen dieses Algorithmus haben immer entgegenge-
setztes Vorzeichen, liegen also auf verschiedenen Seiten von 0. Alle Glieder sind reell. Findet also überhaupt Konvergenz statt, dann kommt für Mn(¹,—a) nur der Wert O in Frage. Es mißte somit die Glei- chung bestehen: Jiges= Jiges(E)= O0. Dies ist aber unmöglich. Konvergieren nämlich die an Segen un dann gehen die F gegen. Uver- haupt ist ja 22=— a für reelles s L p(1,-a) undenkbar. Daher divergiert der Algorithmus des 1n(1, ²) auf der negativ-reellen Achse-. Man könnte hieren anschließend noch die Frage aufwerfen, welcher Algori thmus denn nun gegen den anderen Zweig der Grenzfunktion(ab) konvergiert. Diese Frage läßt sich sofort beantworten. Denn die bei- den Zweige von(abyt unterscheiden sich ja nur durch den Faktor- 1. Ist also M h(², b)=(2b) mi t 2Leh)-o, dann ist I ab—, b)(sbßt mi t 2(E) 0. VNie nämlich aus dem Konvergenzbeweis ersichtlich ist, haben wir bei An(²,b)=(abſt dan Zzweig von(2b)* zu nehmen, der dem Punkt a und damit auch zugleich dem Punkt b am nächsten liegt, und diese Forderung läßt sich durch die Ungleichung 2L) — 0O ausdrücken, wei l a und b nach Voraussetzung nicht zu verschie- denen Seiten von 0 mit 0 auf einer Geraden liegen. Konvergiert a180 der Algorithmus des M. ah(²,b) gegen(ab)t mit 2Ler) Jo, d-h. gegen den einen Zweig von(2b)‧, dann konvergiert der Algorithmus des
1
) Co, d-h. gegen
Ma n(-a,b) gegen(2b)* mit 26**)=o oder R
den anderen Zweig von(2b)t.

— 26—
schließlich sei noch erwähnt, daß man die Grenzfunktion u2r(a, b) sofort aus dem Algorithmus heraus erkennen kann, wenn man einmal die Konvergenz voraussetzt. Denn man bemerkt, daß die Glieder des Algo- rithmus r Beziehung a., b,= a b= 2 b== a2, b enügen Fäthmus de 8 andn n-1 n- 1 n-2 n-2 obo 8enug
und hieraus folgt unter Voraussetzung der Konvergenz, d.h. für
l1imes a= limes b.= 1 a, b): n12 n 5= n an 2) 1¹8 a b.= ab,
à= mn
12(a,b)= ab-
zusammenfassend läßt sich über diese drei Algorithmen des
1(a, d)= 1(a, b)(, b) ung(²,b) und L(a, b)= Mn(², b)
a8o g4 gh sagen: Für a= 1 und b= 2 konvergieren sie im ganzen Innern der längs
der negativ-reellen Achse geschlitzten z-Ebene. Die M(a, b) sind sym- metrisch in a und b, homogene Funktionen ihrer Argumente vom Gewichte 1 und sie genügen der Beziehung, daß M(a, a)= a ist. Außerden genügen sie dem sogenannten Permanenzsatze, d. h. wenn wir identifizieren:
a* 1, be ⸗ 142; 21 ⸗ F(z), b1= 6(2),
dann sind F(z) und G(z) in der Umgebung der Stelle 2= 0 in reguläre Ppotenzreihen nach z mit dem Anfangsgliede 1 entwickelbar, und diese Potenzreihen stimmen außer in den konstanten Gliedern auch noch in den Gliedern mit der ersten Potenz von z überein, deh. diese Entwick-
lungen sehen so aus:
do
1„)—„ 3 2 3 7(z)= 17 120220*032 5... G(z) ⸗ 111216 22„d2 †.... Aus diesen Eigenschaften heraus folgt nun für die drei betrachteten
Algorithmen, daß nach Durchführung von n Schritten im Algorithmus die
Potenzreihen für an und b. in einer nicht verschwindenden Kreissche i-
be un z= 0 schon in den ersten 2u Gliedern übereinstimmen, ein 20e1—
chen dafür, daß diesen Algorithmen eine außerordentlich starke
wopidität:
Aus die: bänderung funktionen untersuche.
2
Es seie
ihnen die
Soide Alg
Ä A
Ader sie zu den bi Aus de
den Zusan

— 27—
Rapidität ihrer Konvergenz gemeinsam 18t(7).
Aus diesen drei Algorithmen lassen sich nun durch eine kleine
1 0—. 2 180 Abänderung des Iterationsprozesses drei neue, bezüglich ihrer Grenz- Benügen funktionen recht interessante Algorithmen gewinnen, die sich ähnlich untersuchen lassen. Die Algorithmen des Mag(a, b), Mgh(a, b) und(a, b). Es seien a und b zwei beliebige komplexe Zahlen. Nir bilden aus ihnen die beiden folgenden Algorithmen des A(a, b) und M2(a, b) ag 9: gab 9.1 2 b- a (a,b) a= a—= a b= b , b) 6 bo b ao 2a 4 b — 3 4— a)—. a.== er längs 21 10 0-* bo) b(a do) 91=(80b0 1* 12* do) 3 4 4 —— b.)* 8„=( 2 b,=„(a. b.) d syn- a2= T(al* bl) b=(a2b1) 22(erbI) 2 1a2 b1 ewichte. 4¼ 4 2—=(„b 8=(a b b„= 40* b . n*1 E(en: bn) bn.1(an. Iba) 2n 71(aubn) n.19 Tan, 1“ 2) genügen (n= 0,1, 2,). en: Bside Algori thmen sind offenbar in a,b homogen vom ersten Grade: 77 (= p.M( 8 M* b)=( Mag(pa, pb)= p.Nag(a,b), Maa(pa, pb)= p. Mgs(a,b). guläre Aber sie sind beide nicht mehr in a und b symmetrisch im Gegensatz diese zu den bisher betrachteten Algorithmen. h in Aus der Definition dieser beiden Algorithmen entnehmen wir sofort ntrick-. den Zusammenhang zwischen 14(2,b) und Mga(a,b): 7 1 6 7„ . Mag(a, b)— M2(b,(a*b)), M.(2, b) 5 Mag(2b-a, a). Diese beiden Gleichungen besagen natürlich dasselbe. Nir wollen un- teten d seren folgenden Untersuchungen den Algorithmus des M(a,b) zu Grunde mus di S legen mit Rücksicht auf noch zu erwähnende Anwendungen, Der zweite sschei- 2 Lei⸗ 62) H. Geppert, UÜber iterative Algorithmen I, Mathematische Annalen
107, S. 387.

— 28—
Algorithmus des M(²,b) stellt ja auch nichts wesentlich Neues dar und unsere Ergebnisse über 1(2,b) lassen sich gemäß der oben ange- gebenen Beziehung durch eine einfache Transformation auf den A1go- rithmus des M(²,b) übertragen.
Wegen der Doppeldeutigkeit der Quadratwur zel bei jedem Schritt im Algorithmus des Ma(a,) ist dieser unendlich vieldeutig, genau 8o wie die Algorithmen des Mag; Mag und Mgh Wir scheiden wieder die nicht abzählbare Menge der möglichen Algorithmen des M(²,b) in
reguläre und irreguläre Algorithmen und zwar folgendermaßen: Wär
zeichnen den Algorithmus als Normalalgorithmus aus, in dem stets das bn 8
Mur zelzeichen bei ba gemäß der Bedingung R:) o oder der damit
äquivalenten Forderung 26Se) 20 gevählt pird. Päessr Normalalgorith- mus führt zum sogenannten einfachsten Mittel I4(a,b), das, wie wir noch später sehen werden, das absolut größte aller Mittel Mag(a,b) überhaupt ist. Ein regulärer Algorithmus m-ter Stufe sei nun ein solcher, der erst von der(m*1)-ten Stelle ab- und von keiner frü- heren ab- ständig sich der oben angegebenen Vorzeichenforderung des Normalalgorithmus fügt, bei dem also nur endlich viele Zahlenpaare der Ungleichung 4GEr) 0O genügen. Also ist der Normalalgorithmus des ag(a,b) ein Algerithmbs von höchstens 0-ter Stufe. Diese regulären Algorithmen führen im allgeme inen zu von O verschiedenen Grenzwerten. Die O erhalten wir als Grenzwert dann und nur dann, wenn abgesehen von ao irgend ein a oder vn verschwindet; dann haben nämlich unend- lich viele b, den Wert O, nach dem auch die an konvergieren. Das folgt aus dem unten angegebenen, auf einem Kreisschachtelungsver- fahren beruhenden Konvergenzbeweise, Weil stets schon der Winkel zwischen den Vektoren von a1 und b1 kleiner als 2 ist, liegt 0 nicht
in dem Kreise un 22 durch 21,5b1 und kommt demnach als Grenzwert nicht
in Frage, und so findet man ohne weiteres, daß die 0 als Grenzwert
sines regul 1nn bo* dings nur 6s ist: 12 für die es Zahlenpaart Diese irre 0, genau
Nenden zu. Zunäch die Lonver
seien a un
schiedenen
sein. Dann

— 22—
8 eines regulären Algorithmus des La(a,b) dann und nur dann auftritt, 8 wenn b,= O0 oder 6, bo oder 20* d,. ist, im letzten Fall aller- dings nur dann, wenn nicht alle an und bn einander gleich sind, d. h. es ist: La(2,0)= Mag(a,-a)= O und Mag(a,a)= O oder a. Algorithmen, tt in für die es keinen Stufenindex m gibt, in denen also unendlich viele 50 Zahlenpaare der Ungleichung 622)= 0O genügen, nennen wir irregulär. s Diese irregulären Algorithmen dss Mag(a,b) konvergieren stets gegen 1 0O, genau wie die irregulären Algorithmen des ¹.(²,) s). 1 Wenden wir uns also den einzig interessanten regulären Algorithmen 3 48s zu. Zunächst wollen wir die Konvergenz des a(a,b) und damit zugleich anit die Konvergenz aller regulären Algorithmen überhaupt beweisen. Es orith- seien a und b zwei beliebige komplexe Zahlen, jedoch nicht zu ver- Vir schiedenen Seiten von 0 mit 0 auf einer Geraden liegend, d.h. es 8011 „8) arg a- arg b ¼(2k /1)-'/, k= 0,1,2, n sein. Dann liegen, wie vom Konvergenzbeweise des Normalalgorithmus frü⸗-. 3 des einfachsten L(4,5) ag des her durch Geppert(1..) aare bekannt ist, b1 im Kreis K gus des mit der Strecke a15b als lären 4 Durchmesser(Fig. 6), kl in werten. K. um a durch a, b, 101g- ehen N 0 ſ 1 h lich 21 und b sicherlich unend- XN. V N. in K mit der Strecke ab 8 4 e als Durchmesser. Dann liegt er⸗ aber auch der kKreis K2 mi t 61 Fig. 6. a1 b] als Durchmesser in K nicht(8) F. Kämmerer, Bin arithmetisch-geometrisches Mittel, Jahresber. t nicht d. D. Math.-Ver. 34, 1925, 8. 87.

— 30—
und in K2 liegen ae und b2. In dieser Weise fortfahrend erhalten wir eine Folge ineinander geschachtelter Kreise Kn derart, daß immer Ln1 in Kn liegt; ihre Radien konvergieren für n cc gegen 0. Daraus folgt aber die LKonvergenz aller regulären Algorithmen des 1(²,d) in der ganzen betrachteten Zahlenebene. Nur wenn arg aà— arg b= ¼(2k1)-:/ (k= 0,1,2,) 1st, tritt bei b eine Doppeldeutigkeit der Quadrat- wur zel derart auf, daß beide Zweige gleichwertig sind d.h. durch die Bedingung 80) 20 nicht unterschieden werden können, weil dann eben 86) ⸗ O ist. Je nach dem Herte von bl, für den wir uns entscheiden, erhalten wir dann zwei, zur Geraden durch a und b symmetrisch liegen- de Werte von Ma(a,v). Wenden wir uns jetzt etwas näher der Grenzfunktion Mag(a,b) zu.
Der Algorithmus verlangt, daß sie der folgenden Funktionalgleichung
genigt: Aag(a,d)= 9.(A·), GEv(a-v))*). Setzen wir hierin 5= z, dann folgt wegen der Homogeneität: 1(²,1)=1. K1*2) G.*⸗))d), 1.(²,1)=(1-22ſt.N. 1*1-z) ³,(2(1-⸗))*),
(LEA CLe 1(2,1) u((K1*2))4,1)
5= u2, 2= 2u2- 4
Hierin substituieren wir nun
(E-(2u2-1)2. Z(L-u.. 2—. Aag(2u-1, 1) Mag(u, ¹)
Für u= cos., 2u 1=⸗ cos 29:
(1- gos2) I4 2(1- 208 29)2
Aa(cos 2w, 1) Mag(cos w. 1)
8
(1- os 2„)* 8 Für 4—9 p
4⸗/—= FGV) haben wir die Funktionalgleichung: agtoos w, 1)
F(2w)= 2-F(w).
In die Lons ten bei Ber arecos 1=
d.. e ⸗ 1;
ist(arccos toutigkeit nrzel in; nöglichen! Diese h. durch löse. riehtige E. dieses Alg verte a un inden er art, das G dersohnet Wsere er) tellung
lelehe

nir
ung
— 31—
Eine Lösung dieser Funktionalgleichung ist sicherlich die Funktion
F(w)= I.n, worin e eine beliebige Konstante bedeutet. Aus dieser
Lösung würde folgen:
2. ¾ 2 † , 14. arccos z, somit M,(z, 1)= 2 oder M.:(z,1)& ag arccos 2
ag 2. 2 4 Lag(a,)= c.14.
arccos 2 b
Um die Konstante c zu bestimmen, könnten wir z= 1 setzen und erhie 1-
ten bei Berücksichtigung nur des Hauptwertes von arccos 2, d. h. für
2) arccos 1= 0: N.(1, 1)= 1= 0. zims?(* Olimes- ⸗ c. 1, ag 2= arccos 2 2 1
d.h. c= 1; es besteht also die Möglichkeit, daß
E= 2eE e=- b- arccos 5 Dn 22(A2² d2N
Ma(a,)=
ist(arccos z= 1 1n(z- 1(1- 22) ¼)) und daß der unendlichen Vie1- deutigkeit im arccos bzw. im In und der Doppeldeutigkeit der Quadrat- wur zel in gewisser noch zu diskutierender Neise die unendlich vielen möglichen Algorithmen des Mag(a,) entsprechen.
Diese hier angegebene Bestimmung der Grenzfunktion Mag(a,b), die durch Lösen der Funktionalgleichung erfolgte, hat nun in der Tat das richtige Ergebnis geliefert. Denn vereits Gauß hat die Grenzfunktion dieses Algorithmus des M,(a, b), wenn auch nur für reelle Ausgangs- werte a und b, bestimnte? und zwar direkt aus dem Algorithmus heraus, indem er geschickt zwei neue Größen in den Algorithmus einführte der- art, daß die Grenzwerte 1imes an und Limes b. als gleich erkannt und bverechnet werden konnten. Er erhielt so als Grenzfunktion für a b unsere erste arccos-Darstellung und für a b unsere zweite In-Dar- stellung der Grenzfunktion M(2,b).
Welcher Zweig der Qusdratwur zel, des arecos bzw. des In dabei zu
69) Gauß“ Werke X, 1(1917), 8. 234.

— 32—
nehmen ist, wenn ein eindeutig bestimmter Algorithmus vorgegeben ist, diese Frage bleibt dabei natürlich offen. Uberhaupt haben alle der- artigen Ableitungen der Grenzfunktion das Unbefriedigende an sich, daß die dabei herauskommenden Funktionen immer unendlich vieldeutig sind und es auch sein müssen, weil sie den unendlich vielen HMöglich- keiten des Algorithmus infolge der Doppeldeutigkeit der Qusdratwur zel bei jedem Schritt entsprechen müssen. Dieser Zusammenhang der ein- zelnen Zweige der erhaltenen Grenzfunktion mit den unendlich vielen verschiedenen regulären Algorithmen soll nun durch die Uniformisie- rung des Algorithmus näher studiert werden.
zu dieser Uniformisierung wird man durch Anwendungen dieses A1go- rithmus, besonders durch geometrische Veranschaulichungen, hinge- führt, Denn, wenn wir einmal nur den Normalalgorithmus betrachten und zwar für positiv-reelle Ausgangswerte 20= 2 und bo= b, dann tritt dieser eindeutige Normalalgorithmus bei gewissen Approximationen des Kreises, also insbesondere bei elementaren Berechnungen der Zahl, auf. Am bekanntesten ist in dieser Hinsicht das Verfahren des Archi- medes, der einen fest vorgegebenen Kreis durch ein- und umbeschrie- bene Polygone approximiert. Ist un(ugn) der Umfang des diesem Kreise einbeschriebenen regelmäßigen n-(2n-) Ecks, Un(Uea) der Umfang des
rege lmäßigen umbeschriebenen n-(2n-) Eoks, dann ist bekanntlich:
1 1.„ 1 1 1 1 1 5L-=.( 2), L=(5²- 2—ſ. Uan 2 Un un uen Uan un Diese Pormeln gelten für n= 3,4,5, NMir sehen, wie der Ubergang - 1-1= 1 von Un„ un nach Uen“ uxn einem Schritt unseres Normalalgorithmus
des Iag entspricht. Ein anderes Verfahren zur Berechnung von u, eben- falls auf diesem Normalalgorithmus basierend, hatten der deutsche
Kardinal Nicolaus Cusanus und nach ihm Descartes ningeschlagen(1¹0).
10 (10⁰) K. Kommerel1, Archiv der Mathematik und Physik 25, 1917, S. 296.
ie Sehsn 1en damn d3 angs u. Di freise, des Bezeichnen
Unfange u e üren 2 rechnen sic
rk.
Is ist: 1 u⸗ 2rn, 30 dann erhä!: auf 5 Dezit pidität de.
Bine an Deutung un
d stamnt v
Ln entniu
voraus si

bergang
Thmus
8, eben-
sche 0 ().
7, s. B4.
— 35—
Sie gehen von einem regelmäßigen n-Eck vom Umfange u aus und berech- nen dann das regelmäßige 2n-, 4n-, 8n- Eoœck mit demselben Um- fange u. Diese regulären Polygone nähern sich mehr und mehr einem Ireise, dessen Radius durch dieses Verfahren bestimmt werden sol1. Bezeichnen wir mit rh den Radius des dem regulären 2K-1n-Eok mit dem Umfange u einbeschriebenen Kreises, mit Rk den Radius des dem regu- lären 2K-1n-Bok mit dem Umfange u unbeschriebenen Kreises, dann be- rechnen sich die rk,Rk rLI= 1(rx* Rk), Rk. 1*(eL. Er8(k= 2,,..).
nach dem Schema des Mag(a,b):
Es ist: l19s rx- 11n2 Rk= r. und, weil u konstent gehalten wurde: u= 2rn, somit ˙= Geht man etwea vom regelmäßigen Sechseck aus, dann erhält man schon nach drei Schritten im Algorithmus die Zahl n auf 5 Dezimalstellen genau, ein schönes Beispiel für die starke Ra- pidität der Konvergenz unseres Algorithmus.
Eine andere, wenn auch von diesen nicht wesentlich verschiedene Deutung unseres Algorithmus für reelle positive Ausgangszahlen a und b stammt von Berchardt ¹¹). Mir betrachten die Norma lalgor ithmen:
a,= a b.= b a,= a b= b 0 0 0 0
—„ †¼ 82. an.l Tan“ dn) b L=(anslön) 2n. 1(anbn) bn. 1⸗ Tan.1* bn)
für a b für a b (n= 0,1,2,). Man entnimmt dem KAlgorithmus ohne weiteres die Beziehung: 1 —* 12(a,b)— 1.(b,(ab))⸗
2. a
woraus sich sofort wegen M4(²,b)= das 12,(2,) ergibt:
arccos † b
12(2, b) e). 8 arccos(Eyt (11) C. V. Borchardt, Sur deux algorithmes analogues à celui de 12
moyenne arithmético-géométrique de deux 616ments, Gesammelte Werke
1888, S. 453.

— 34—
Nir betrachten zunächst den ersten Algorithmus des Va(a,b) für a Ib, beide positiv-reell. Dem Bogen A' des Kreissektors CAA (Pig. 7) schreiben wir den aus p gleichen Strecken M., AlAg,.. Ap-14“ zusammengesetzten Linienzug ein und den aus p gleichen Strecken
BB1, B182,.. P 18 gebildeten Linienzug um. Es sei also die Länge
= p-.... 1= p-U.. AA.. Ap- 14 P u und BB182 Be- 19 p Up Ist dann a bzw b das Verhältnis der Sehne AA zur Länge der gebrochenen Linie BB182 2 1 .. B5-15: b zw. AIA42 Ap-IA und hat 21 b zw. b1 entsprechende Bedeutung für die aus 2 p glei- chen Strecken dem Kreisbogen Al' um- bzw. einbeschriebene gebrochene Linie, dann ist 83 a)= 1a*b) und b=(21b). Ist nämlichr der Radius des
Kreises und der zum Bogen HA
gehörige Mittelpunktswinkel, so
findet man durch eine elemen-
tare Rechnung:
A* A* a= a=———— v=d= gg’— 0 2r-p-tang 9 2r-p-sin † 25 25 11 1* 21⸗——*r ⸗* 2r-2 p-tang 25 2r-2 p-sin 5
Es gehen also al= T†ao: bo) und b-=(areſt 1ediglich durch Ver- doppelung von p aus 20 und bo hervor, Der gemeinsame Grenzwert der annbn für n-e, nämlich(²,b), wird demnach gleich dem Verhält- . 2 2 A 12— nis der Sehne A' zum Bogen AA!. Aus b- a= 22 folgt: AA!= 2 2 4½ 4rap 2zrp(b- a)“; ferner ist A= rw= r.2p.arccos 2&, somit
b* 2 2 1.(e,) ⸗(bE= a2ſt.
2 arccos— b
Beim? positiv-- ien Ireis CAe 34 59,13 d zen Uder.
tare Ber
8 0
Der Gren
142,d
in Uere
Diese unseres gewonne zeigen. legt de einzufü venn wi Dorchax den zm.
faktor
Dann„

Streeken e länge à bzr. e 35152 lende glei- sbogen lebene ist (4nd ¹. us des Bogen 0¹ inkel, 30
elemen-
— 35—
Beim zweiten Algorithmus des V(a,b) läßt sich für aà b, beide positiv-reell, a bzw. b als der reziproke Wert des Flächeninhalts des dem reissektor CAA!(Fig. 7) sinbeschriebenen regulären Polygons
CAAIA... Ap-IA. bzw. umbeschriebenen regulären Polygons CBB1B2..
B9- 10 deuten. Haben dann 21 und b die entsprechende Bedeutung nach
dem Ubergang von p zu 2 p, so gilt: al
1!
(2b)t, b]1= 1(r* b). Elemen-
tare Berechnungen ergeben:
2 1 60o rZain N. No bs T ane F. p P 8 25
2 b. 1
. 2 E 2 per sin 2½ 2 p-r tang 75 Der Grenzwert ist gleich dem reziproken Wert des Sektors CAA“, d. h.
ist:
2 b 2 T(2,b) 2. also wegen w= 2 p-srccos Cft, re
p(b(a-d))*
in Ubereinstinmung mit dem oben angegebenen Resultat.
Diese so ausführliche Darstellung der geometrischen Deutung unseres Algorithmus wurde deshalb gegeben, weil die auf diese Weise gewonnenen Ausdrücke für die an bn uns den Neg zur Uniformisierung zeigen. Beschränken wir uns auf den Algorithmus des Mag(a,), dann legt bereits die Grenzfunktion nahe, cos W= 5 als neue Variabe le einzuführen, wodurch dann die Grenzfunktion eindeutig wird, und, wenn wir uns des weiteren noch die Darstellung der an'bn bei der Borchardtschen geometrischen Deutung ansehen, dann erkennt man auch
den zweckmäßigsten Ansatz von a,b mit Hilfe eines Proportionalitäts-
1 faktors a: a: b= cos oder 2: b= 1— tang w sin W 6a a= b= b= 6 tang N 0 4 Sin w
Dann wird, wenn wir das einfachste Mittel bilden:

— 36—
1— ,— 1 31= 2(20 da)- 2-F.T=nE T dl(21bo) 4 T-
und wir erkennen daraus sofort die allgemeine Darstellung:
1 1 =.=. 2O, 1, 2,.... a 2F. tang w/ſan bn= 4Z. sin wfan(n 22)
Heil limes cos w/zn= 71 ist, so gilt in der Tat limes a,= limes b n= n= c n 1 4 1—.=. und aus(2,b) ² limes a Z z 5 folgt: w. q.= W Na(2,b).
In dieser Weise läßt sich also unser Algorithmus uniformisieren durch Pinführung der uniformisierenden Variabelen w vermöge 5= cos w, denn, wie wir sehen, werden so sowohl die an' bn wie natürlich auch die Grenzfunktion eindeutige Funktionen der Variabelen w. Dabei ist zu vorgegebenem a, b vermöge 3= cos w die Variabele w nicht eindeu- tig, sondern unendlich vieldeutig bestimmt, und zwar entspricht die- ser unendlichen Vieldeutigkeit von w die unendliche Anzahl der mög- lichen Algorithmen des Mag(4,b) bzw. die unendliche Vieldeutigkeit der Grenzfunktion(be⸗ 22)2/arcoos 5. Dieser Zusammenhang soll im
folgenden auf geometrischem Wege genauer studiert werden.
Berechnen wir zu diesem Zweck zunächst einmal Iag(os w, 1):
2²a= cos v= sin w.⸗— 1 p= 1= sin.-—— 0 tang wW 0 sin M 4— 2 w—*1 N 21 1ao: bo) ⸗ cos 2 b=(21bo)= cos 2 = sin w-⸗ 3= sin w- 1 2-„tang w/2 2-Sin w/2 * 1 032„ 1 2 2 22 cos 2 cos 4 b2= Ccos 2 eos 7 ⸗= sinu.— 1—= sin w. 1 4. tang w/4 4. sin w/4 a,= cos 5.. cos.. cos † cos= sin w 4 n 2 2 838 25 2E.-tang wſan b= cos. cos. eos.. cos— ⸗ sin w.——,— n 2 1 S 2u 2n. sin w/22 FE=*. 1. 8—= Zin* ag(cos w, 1)= cos 2 cos x cos 5. cos e;...—
kanntlich, Alfe läng düren Achs wnso, zieht dara mMüschen! ken der p.
dalten vin

— 37—
2: Denn: Le* eos T'sin 5 2 4. cos T- os T- sin 1 2 B. cos. os 1 eos sin 3⸗ oos 2 3 cos 1. 0os 3 cos 5„ wei1
limes 2n., gin 5 n= ⁸— 2
— 13 n, W 1 3
= 1imes 2(25— 3 7(27*—..=w ist. Der Proportionalitätsfaktor d beim Normalalgorithmus des I2(. ¹)= Ia(cos w, 1) hat demnach den wert sin w.
Nir setzen nun 8= z und betrachten
1. den unendlich vieldeutigen Algorithmus des 1(2, 1¹),
20* 2 b. 1 .— ¼* 0b an.1* Tan bn) b.1*(22 1bn)(n= 0, ,2...), 2)¾ mit der Grenzfunktion M“(2, 1)= 2 arccos 2 und 2. den eindeutigen uniformisierten Normalalgorithmus des Nag(2, ¹)= I.(cos w, 1), 2 z in 4 b= sin w- 4 0 tang W 0 sin
1 1
a= säin w.. b sinwu—— ,— (B) n Z2H. Tang w/ 25 n 271. sin w/21
(= 0, 1,2,),
mit der Grenzfunktion ag(cos„, 1)=
Wir fragen zunächst: Wo liegen, wenn wir von einem vorgegebenen Werte 2= 8 ausgehen, die unendlich vielen uniformisierenden Varia- belen w, die durch die Gleichung z= os N zu bestimmen sind? Be- kanntlich entspricht vermöge z= cos w der vollen zwi schen 1, œσ und -1,— längs der reellen Achse geschlitzten 2-— Ebene ein zur imagi- nären Achse der u- Ebene paralleler Streifen zwischen m und(n* 1)7 für n= 0, tl, ¼2,.. wie das in Fig. 8 dargestellt ist. Man er- sieht daraus, in welcher Weise der Vvollen längs der reellen Achse zwischen 1,% und-1, geschlitzten z- Ebene unendlich viele Strei
fen der w- Ebene entsprechen. Zu einem vorgegebenen Werte von 2 er-
halten wir also die unendlich vielen Werte ¼ ³ 2un, wie in Fig. 8

angedeutet.)
3 —— 2 † 1 I. ) 1eA e 4 1 4.2.— 1 15. 14.9: 1 3 . 0* ur] V 1 1 2 0. 8..1— 15 2. 0. 1. 5 1 . 24 1 4 121— 4 4 4—— f ₰A T.S. e ſf A u 1.. 85 ‚ 1 b 1. r⸗ fe. 1 ſ Len„. 5 1 g 571 1of. 19 1 1er le L Pb.Ir 1. Ps 1. 1 55. 4 6 l: 1 1. 1. 1 ſe D 1 D 6 Fig. 8.
Nenn wir nun die beiden Algorithmen(A) und(B) ins Auge fassen und zwar von(A) den eindeutigen Normalalgori thmus, dann können wir zunächst die Frage erheben: Welches w= müssen wir von diesen un- endlich vielen Werten w in(B) einsetzen, damit dieser Algorithmus
(B) mit dem Normalalgorithmus(A) identisch wird deh. immer in ent-
sprechenden Gliedern übereinstimmt, so daß dann Fa(2, 1¹)= Lag(oos R,
=— 2 wird? Für diesen Wert G haben wir zu fordern, wenn wir
= WIr iwg und= 71* ine schreiben für reelles ,, H1,N2:
26ee)= R(cos H/2)= cos(&12n). Cos(& /²) 0, n= 1,2, 3,.. Hierin sind 21/2²ν und S/21 reell, folglich ist Cos(se/2n) stets positiv. Es muß also cos(*/²*) für jedes n= 1,2,3,.positiv sein, deh. es muß cos 8172, cos 91/4, cos*178,.. o sein. Dies ist aber dann und nur dann der Pall, wenn— m 21 In ist. Diesen beiden Streifen E; und E(Fig. 9), von denen jeder der vollen 2. Ebene entspricht, haben wir also den Algorithmus des(2, ¹) O-ter Stufe zuzuordnen, d.h. für z= cos s, aus Eo oder Eo, ist(B) iden- tisch mit dem Algorithmus O-ter Stufe(A)(Norma lalgorithmus) und
0 —. in 4 es ist La(2, 1¹)= Ia(2, ¹) Ta(cos§, 1)= 2
¹)
Pig. Ielchen! 3 0os!
nit den
vird? Of (1)
vir v
bz. in
Bet Itufe gorith
nen n-

— 39—
4 5 Diese beiden einfachsten(Haupt-) Werte der V— 4 2 unend lich vielen w, nämlich und-, sind beide 9. gleichberechtigt und liefern beide das einfachste V f. 2. Mittel: Z.(eos 8,1) ⸗ I.(408- 4,1) ⸗ 5 — sin(4 3 — E. c.— u 4* ¹ R,, Hierauf betrachten wir von den unendlich vie- 1. V I94 len Algorithmen(A) den Algorithmus 1-ter Stufe. 45 I Er ist definitionsgemäß bestimmt durch V V Pig. 9. 26Se) Jo, 26de) o(n 2 2,5,4,..). Nelchen Nert w=„L¹) der unendlich vielen Lösungen der Gleichung z= cos w müssen wir jetzt in(B) nehmen, demit(B) identisch wird 222 mit dem Algorithmus(A) 1-ter Stufe, d. h. dami t u n 1.(².1)= ag(eos„(1¹), 1)= eE- en un- thans wird? Offenbar den Nert=„¹) aus 51 oder 51(Fig. 10), der, wenn gut⸗ wir„0¹)=„0). 16¹) schreiben, im Streifen 1 σ„¹)⸗ 124= E1 (os 2, bzw. im Streifen-2„)⸗= 21 liegt. Denn dann ist in der Tat: ) r 6 26e)= cos„¹½. Cos H)e 4 9, 85 S„e 668e)= 0Oos„(3)⁄2. Cos„¹)/⁄2⁄— 0 3,..(n= 2,3,4,.). tets— 1[ur, wie ohne veiteres evident ist. Für die- tiv fTe e 4 e. se WNerte„L¹) und—„L1) aus 51 b zw. E1 Dies ist also(B) gleich(A) 1-ter Stufe und iesen gwar sind beide Werte in dieser Hin- n 14 Fig. 10. sicht gleichbedeutend. o-ter Betrachten wir nun die Algorithmen 2-ter, 3-ter, 4-ter,. m-ter 3) ider- Stufe von(A), so sehen wir, daß es 2 Algorithmen 2-ter Stufe, 4 A1— mi gorithmen 3-ter Stufe, 8 Algorithmen 4-ter Stufe, 2271 Algorith-
men m-ter Stufe gibt. Nir wollen nun jeden Algorithmus m-ter Stufe

— 40—
durch eine Dezimalzahl 0, folgender Art charakterisieren: Die erste Stelle hinter dem Komma soll den ersten Schritt unseres A1go- rithmus nach 21, b1 darstellen: Wir schreiben eine 0 dahin, wenn
(Sa)„ O, und eine 1, wenn 2(2) 0 gewählt wurde. Analog so11 die zweite Stelle hinter dem Komma den zweiten Schritt nach 22, bg charak- terisieren usw. Bei einem Algorithmus m-ter Stufe ist demnach die m-te Stelle der charakteristischen Dezimalzahl immer eine 1, während
alle Stellen nach dieser 1, also die(m* 1)-te,(m-2)-te, Stelle,
mit 0O besetzt sind. Dann verkörpern also
(¹)
0,000 000. die 0-te Stufe,
(2)
0, 100 000 die 1-te Stufe,
(3)(4)
0,110 000„ 0,010 000 die 2-te Stufe,
(5)(6)(7)(8)
0,011 000„0, 111 000 0, 101 000„ 6, 601 000...
die 3-te Stufe,
(9)(10)(11¹)(12) 0,001 100-„ O0,101 100..„ O„111 100„ 0„01,1 100...„ (13)(14)(15)(16)
0,010 100„ O0,110 100„ O0, 100 100.„ 0,000 100.. die 4-te Stufe usw.
MNie die Streifen der w- Ebene den einzelnen Algorithmen 0-ter, 1-ter, 2-ter, Stufe zugeordnet sind, ist aus Fig. 11 ersicht- lich. Die eingeklammerten Zahlen kennzeichnen immer Streifengebiete von der Breite n, die jedesmal dem Algorithmus zugeordnet werden müssen, der dieselbe eingeklammerte Zahl über seinem charakteristi- schen Dezimalbruch trägt.
Im Gegensatz zu Bo, Eo, gehörig zu 0,000 000.. und E1, E1, ge- hörig zu 0, 100 000„wird das Gebiet E2, 2 2, das die 2-te Stufe
lokalisiert, 2 Streifen von der Breite enthalten, weil es 2 Algo-
rithmen 2-ter Stufe gibt. Der Algorithmus 2-ter Stufe 0,110 000
.„
der aus dem ziner 1 in Denn dzun f bezeichnen, fälfte von 78) co:
21 1 mischen 7
(21),
3 ⁰⁰ 1
ocet
*
44
kür n* 3, ge Algorit 0,010 000 0,000 000 entsprich
3e Heise

— 41—
der aus dem vorausgehenden Algorithmus 1-ter Stufe durch Einsetzen esiner 1 in die 2-te Stelle hervorgeht, entspricht dem Streifen(43). Denn dann fällt, wenn wir mit.» 21) die Lösung von z= cos in(43) bezeichnen,.721/2 in die nach der imaginären Achse zu gelegene Hälfte von(¼2), in der oos(à(2¹)/2))= cos„(2¹)½2 0, d.h. 26Sn) o0 ist; ferner fällt 2v(21)/4 in den Streifen von(I1), nämlich
zwischen 2 und bzw.—/ und—. in dem cos(Kev(2¹)/4))
(21) 22 an dos w. 4 10, d. h. R(d=) So0 ist. Von dann ab ist immer R(p) 0 2 n
S — S
(* μι εν) 6(½α 9 69 K E6 K3, E 3) 62) cota 66) O, G ie i ſae) 6a)
(29)
2,400 000. 0, 110 000 0,010 000.. e g4 180 ee
* = 82 2
r 39 5.. 19005D.. .,191690— 6 9.01 406. 4 100
S
kl.t ExE kꝛ Eʒ Fig. 11. für n= 3,4,5,. So war aber gerede der zu 0,110 000 gehöri-
ge Algorithmus definiert. Der andere Algorithmus 2-ter Stufe, nämlich 0,010 000—, der aus dem vorausgehenden Algorithmus O0-ter Stufe 0,000 000 durch Einsetzen einer 1 in die 2-te Stelle hervorgeht, entspricht, wie man sich analog überlegt, dem Streifen(*4). Auf die- se Weise kommt für Eg, E;=(3)*(44), d-.h. für den Teil der w- Ebene, in dem die Algorithmen 2-ter Stufe lokalisiert sind, das in Fig. 11 gekennzeichnete Gebiet zustande, Weiterhin entsprechen(25), (26),(7),(*8) den 4 Algorithmen 3-ter Stufe und zwar(45),(46), (7),(28) bzw. demjenigen, den man aus den(½4),(5),(*2),(41)
entsprechenden Algorithmus 0,0O10 000 0,110 00oo„ 0,100 000.,
7

— 42 ⸗
0,000 000 durch Einsetzen einer 1 in die 3-te Stelle erhält, also
(5) 0, O11 000...(e) 0, 111 000——.„ (7) 0, 101 000.(8) 0, 001 000—..
Damit sind die Algorithmen 3-ter Stufe, wie in Fig. 11 gezeichnet, in E3, E3=(45)*(6)*(7)*(28) lokalisiert. In dieser Weise fort-
fahrend entsprechen dann
(92) o, ool 100.„(1o0) 0, 101 100.„ (11) 0⸗ 111 100-..(412) 0⸗OI1 100.—„ (15). 0,010 100.(14) 0,110 100. (15). 0, 100 100..(16) 0;,000 100...
Man überschaut ohne weiteres, wie dieses Verfahren weiter geht. A1go- rithmen m-ter Stufe gibt es 29-1 Sie entstehen aus den Algorithmen (m-1)-ter,(m-2)-ter, 1-ter, 0-ter Stufe durch Einsetzen einer 1
in die m-te Stelle der charakteristischen Dezimalzahl. Das gibt dann,
veil 2n-, 2n.5.,.„ 20, 1 2„ 2 4 8,..„ 2355, 24-2»⸗
—2 2—— ⸗ 22-1 ist, wirklich gerade 21=l Algorithmen. Diese
Algorithmen m-ter Stufe sind in dem Streifengebiet der w- Ebene
. 2u1a..„ 2x= bzw.- 23.= 2E Ir ⸗ E
lokalisiert und dieses Ea, En besteht in der Tat jedes aus 22*1
Streifen von der Breite n, die wir mit den Zahlen((2u85l. 1)),
((2u-l. 2).(2ul. 22-1)=* 20) versehen, gereade soviel
1 14
Streifen, wie von der Geraden v= 2 25el, ab gerechnet nach 0 hin
Streifen von der Breite n liegen. Jedem dieser Streifen((2*1, k)), m- 1
K= 1, 2, 3,.. 2 entspricht in der angedeuteten Weise ein bestimm-
m- 1 ter der 2 Algorithmen m-ter Stufe, Nir können demnach schreiben:
worin vermöge z= cos w derjenige Wert von w gewählt werden muß, der
in dem Gebiet liegt, in dem der betreffende Algorithmus des M.(z, 1) 8
Whslisiert is
lut gröste, N
lnn Jullpungt
glber ist al¹
-* Akn
pännen nir je för arccos 2
lebist liegt, das der Doppe nir als zuläs 3us 3 bz. E =r rählen, I voölmen, d. h.
zein. ſeil z9
desteht, gelt

3, der (2,¹) 3
— 43—
lokalisiert ist. Unter allen 14(z,1¹) ist nun das V4(2, 1¹) das abso- lut größte, weil ft und- ff von allen Lösungen der Gleichung 2z= cos w
dem Nullpunkt am nächsten liegen, so daß— b 2w 2in
4 in( 4 2kr) sin 58 t als jeder and 2in.* V. 21 3. 2 55 d g d Z 7 zun) 52* 3 S f*† 1 21] für k= 11, 12, 13, HNeiterhin „2 4 können wir jetzt sagen, daß wir in der Gleichung M“(z, 1)= 4— ag arccos 2
für arccos z gerade denjenigen Zweig zu vählen haben, der in dem Gebiet liegt, in dem der betreffende Algorithmus lokalisiert ist und daß der Doppeldeutigkeit von(1— 22)* die Tatsache entspricht, daß wir als zulässige Werte für w= arccos z immer zwei Werte w und- W aus En bzw. En erhalten; je nachdem, ob wir also für arccos 2 W oder
— y vählen, müssen wir den einen oder anderen Zweig von(1— 22)* (1— 22)¼— 2(1-eos2„)1 Sin 7
arccos 2 4 w
nehmen, d.h. es muß stets 1(2, ¹)= sein. Weil zwischen Na(z, ¹) und 1(2, ¹) der Zusammenhang
2—2z 1(z, ¹)= Aag(2-2, 2)= 2·Aag ,1
besteht, gelten also die folgenden Beziehungen:
2 2 1.(2, 1) 14L M.(22. 1) ag arccos 2 1n(z(22- 1)²*) 2 2 2 1,(,v)=Ee At CGe ag’“*; arccos ð In 2. 4— b 1.(2, 1) ⸗ 221 2L2M.= ² u,(237,1) Se arcoos 2 I 2.=— 2(1 2)* 26 2 2 2 4¼ M*(a, b)— 2(ab-b 4— 2(b— 2927 23— a⸗M2(— 8, 1). ga arcoos& 5 2 In 2b. 2(b“= ab) ² 8
2.
Dieser abgeänderte Mittelprozeß des arithmetisch-geometrischen Mittels steht nun in engstem Zusammenhang mit dem analog abgeänderten geometrisch-harmonischen Mittel.
Das Rechenschema der Algorithmen des Mgn(²,b) und Mng(a,b) für

—y
— 44—
beliebig komplexe Ausgangszahlen a und b lautet folgendermaßen:
ab -1 2a— b 29* 2 b= b 80 F 2 be= b 4 2an, 1bn Zanba 1¼ 15(a dn) b„1 5 1 n*1* a 1 b bn, 1 arlbn)
Diese Algorithmen sind nicht in a,b symmetrisch, aber sie sind in
a und b homogen von der ersten Ordnung, deh. es ist: —= PD.M.. Uen(pa, pb)— p.Man(a,b), ung(pPa, pb) P 1ng(s,b)
Näir lesen aus den Algorithmen heraus die Beziehungen ab:
1n(2,b)= 1(22p,s), 1(a,d) ⸗ 1.9(.). Beide Gleichungen besagen natür lich dasselbe.
Durch eine etwas abgeänderte Schreibweise lassen sich diese beiden Algorithmen auf die oben betrachteten Algorithmen des Lag und n..
zurückführen, so daß man die Grenzfunktionen ohne weiteres angeben
kann: 451⸗ a-1 b0= b-¹ 221⸗ 1 der 8-1 anl= Ceben)s dnl1⸗ 12211“* be) 2211⸗ 10azl. dnl) de1=( nbr (= 0,1, 2,...) 3 12(4, b 2). 85 1. 5= L. g0 2. b 4). ab- arcoos— Ab.In 22. 5.* 20— ab)* LeLe,E ZOa t TaE 1 ab. arccoos b ab. 12 b*+ L⸗ 22) ung(a,) 2
(a2- 2)*(d2- 22²)† Diese beiden Funktionen Mgh(²,b) und ung(²,b) haben tatsächlich den
oben angegebenen Zusammenhang, wovon man sich durch einfache Nach-
rechnung überzeugt.
Ionverge nier dureh geronnenen 1(en) 2 Auslogie d- zichten, 2²¹
Eine gel abgeändert ten Grenzf
plere Lahl
1(2,b) ¹
aàa= a 0
391 1er
Beide Alge
Ian(Da.

sind in
se beiden
1I gà
geben
— 45-
Konvergenzuntersuchung und Uniformisierung läßt sich natürlich hier durch sinngemäßes UÜbertragen der beim Mag(a,v) b zw. Mea(a,b) gewonnenen Ergebnisse auf diese Algorithmen des Mgh(a,b) und ung(²,b) infolge der angegebenen Verwandtschaft in sehr weitgehender Analogie durchführen. Indessen wollen wir auf diese Erörterungen ver- zichten, zumal sie ja auch nichts wesentlich Neues bieten.
Eine gewisse Beachtung verdient hingegen das in analoger Weise abgeänderte arithmetisch-harmonische Mittel wegen seiner interessan- ten Grenzfunktion Man(a,b). Sind wieder a und b zwei beliebige kom- plexe Zahlen, dann bilden wir die Algorithmen des Man(a,b) bzw.
1(a2,b) folgendermaßen:
ab
b. 1=— b. 1⸗ 2 b- a a= a b= b a= a b= b 0 0 0 0 2an 1bn 2a b + an 1 Tant b) bn. 15 2n„1*bn ,1 n bn,1 10 n1“* bn)
Beide Algorithmen sind wieder in a,b homogen von der ersten Ordnung, Man(pa, pb)= p.Mah(³,b), In(pe, pb)= p.Mns(a, b), aber sie sind nicht in a,b symmetrisch. Wir entnehmen unmittelbar
den Algorithmen die Identitäten:
1an(a,)= 12(b.t(a-)), 1(a,)= 13n(b.fT), 1n(4,b)= Ln(262P,s), 12(a,b)= Ln(2 b-a,a).
Diese Gleichungen sagen natürlich alle dasselbe aus.
Schreiben wir die Algorithmen in den reziproken Zahlen,
——————-1-1 a 1 a 1 d 1. b 1 2 1. 2 1 b-1⸗ d 0 1 ℳ1 0 0 0 221 1 2a, b. -1 n n—1-1 1-1—1-1 1 n*1 n — b b= 8. 1„- 1 bar.15 Tan1* ba) an1 3(en n) n41-1 45b 1 an*bn n1 n

— 46=
dann erkennen wir noch eine zweite Funktionalbeziehung:
Len 2 v(a 1. d1). 5 k.)= Van 1 d 1); 1.(a,b) W(, 4)=- 1, W(a,b). Mah(, ½) ⸗ 1.
Beschränken wir unsere Betrachtungen auf den Algorithmus des Man(a,b). Bevor wir die Konvergenz untersuchen, wollen wir rein for- mal die allgemeine Darstellung der an'by und die unendliche Produkt- darstellung für Mah(²,b) ableiten. Wenn wir die 21,bl13 822, bg;... sukzessive als Punktionen der a,b entsprechend der Definition unseres
Algorithmus ausrechnen, dann finden wir:
a= a b= b
0 0
9.= atb b. 2 b(atb
1 Z 1 243 b
2.= a b)(a47 b b ⸗ 4b(arb)(a*‿7 b
2 4(a b 2(a* b)(a* 15 b)
(atb)(at7b)(at3³b). 8b(arb)(aεb)(4*νι1 b)
83 8(a*5 b(a*15 5) 3(a*5 b(a*15 5b)(2765)
Nir erkennen ein allgemeines Bildungsgesetz und beweisen leicht
durch den bekannten Schluß von n auf(n* 1) die allgeme ine Darstellung:
1 2(21b](2*7b)( 2,(22n 3.1)b)(ar(22411) b)
4 22(226b)...(22r(22b 5.2)(2as(222 1.2)b)
d„ Aarb(ar2. 2*[227⸗6. 1) b)(24(22n-1 1) b)„22n. n(2a„6b)...(2av(22u 3.2)b)(2a*(220-1.2)b)(2a⸗(222*1.2) 9)
Wenn also die Grenzwerte limes a und limes b. existieren und es S011 n= lꝝ n. n= lł n
limes an= limes bn= Man(a,b) sein, dann muß gelten: 221*1 b limes 1= 1. Dies ist in der Tat für b O der FPall: 1= 22(222*1.2)b 211 2/41
3 2. b 7 22 2-2»-1. 1 21 lines—ur ⸗ jiges(*) ⸗ jimeg(1— 1. F E 33 2a.(2 n*1. 2) ‧ m= 22n*15 22111 4= 8 22⁵
Im Fall der Konvergenz erhalten wir also für Mah(²,b) die unendliche
Produktdarstellung:
1len)
Unser A nit der 51. Grenzuerte der Frage, abgesehen gezeigt. I demnach id duktes für
Anders
10

mseres
— 42—
1(a, b) ⸗ ath. 2t7h. at3lb. 2t12Tbh. a2 t(222 1.1) ²b h 7——. 2 2 Zar*6b 2a730 b 2a„126 b 22*(22*=1. 2). 27-1 UI(a, b)=ſſa 2d ah* 2n- 1 n= 224(2—2) b Setzen wir a= 1 und b= Z, dann wird: 2 L1e2(Li2z e(L(22n-3. 1) ½2)(1(222⸗1.1) ½ 2. 1 2(262).(2-(2* 3.2) z)(2.(222 1.2)2) „[112LIZLaas(1-(222-3. 1) 2)(1(222-1.1) z) 252u, n(2162).(2(2572 3.2)2)(2(22²2 1. 2) 2)(27(222*1.2)2) 2n-1 1(1 2) 14— 2 3 =1 21(2-2) 2
Unser Algorithmus des MAh(1, ²) ist also im wesentlichen identisch mit der Bildung dieses unendlichen Produktes. Die Frage, ob die Grenzwerte 1103 29 und 11903 b existieren, ist gleichbedeutend mit der Frage, ob dieses unendliche Produkt konvergiert. Daß die limites, abgesehen von 2= 0, gleich sind, wenn sie existieren, ist bereits gezeigt. Das Konvergenzgebiet unseres Algorithmus des Mah(1, 2) ist demnach identisch mit dem Konvergenzgebiet dieses unendlichen Fro- duktes für Mah(1, ²).
Anders geschrieben sieht das Produkt folgendermaßen aus:
2/-1 14(2 1) z 2—1 1n(1, ²)= 1 Lle De.—— 27 4 1)
T 27(2-2)z n=( Dieses unendliche Produkt konvergiert nun absolut und glei chmäßig
und stellt dann also eine analytische Funktion dar, wenn die Reihe
2—1 2—1 2—1 5 2—1 4 2*62 2*†30 2 2+126 2(22n-1. 2) 2
gleichmäßig konvergiert. Dies ist eine Reihe mit lauter positiv-reel- len Gliedern; wir prüfen ihre Konvergenz mit Hilfe des Quotientenkri-
teriums. Sei an das n-te Glied unserer Reihe, dann ist

—
— 48—
221 2:(22n-1- 2)ge 2(22"1-2)2= 8.227-1.. 2.224 12 =——— a*n ſza.(22271.2), 2(22271. 2)2 2(22271. 2) 2 2 1 1- 3. ligeg anrd*1
1 14— 1 22n—2 Zn-2 2 2
wobei wir natürlich z als von 0 und 222. 1) 1(
1 1,2,3,) ver- schieden voraussetzen müssen, damit die oben ausgeführten Divisionen er laubt sind. Unsere angegebene Reihe konvergiert demnach ausschließ- lich dieser singulären Stellen für jedes beliebige z gleichmäßig. Setzen wir also z 0 und 2 ⁴-(2 2n. 1)*¹, d.h. stanzen wir diese Ppunkte auf der negativ-reellen Achse durch kleine um sie herum geleg- te Kkreisscheibchen mit beliebig kleinem Radius aus, dann konvergiert die obige Produktderstellung für Mn(1, ²) und damit zugleich unser Algorithmus des MAn(1, ²) außerhalb dieser Löcher in der ganzen 2-— Ebene. Die Grenzfunktion MAh(1, ²) hat daher einfache Nullstellen bei
1 1 1
- 1.-5. 12⸗ 2r n= 1,2,3,„
und einfache Pole bei
1 1 1 1 „ 25 S 2En-Z„ n 1,2,3,;
diese Pole häufen sich am Nullpunkt, so daß z= 0 für die Funktion Man(1, ²) eine wesentliche Singularität darstellt.
Indessen läßt sich auch unabhängig von diesen Entwicklungen die Konvergenz geometrisch beweisen.
Mir betrachten den Algorithmus des MAh(1, ²) und behaupten zunächst, daß Konvergenz sicherlich dann stattfindet, wenn arg 2 2½ ist. Dann ist nämlich auch der durch die Vektoren von an'bn gebildete Ninke 1 ga stets kleiner als 2 für n= 1,2,3,„ da nach Xonstruk- tion immer alle folgenden Zahlenpaare in dem durch die Vektoren der
vorausgehenden Zahlenpaare gebildeten WMinkelraume, der kleiner als
st, lisgen
bir erg ² ene Jenn nümlic
n ² 1,2,3,
sichtlich,
35,.
Senz folgt
lst nic diner gomi Kazahl vor
4 7 Senorder

) ver- lsionen Schließ- Sig.
38e
n die
zunächst, ist.
lete struk-
en der
r 18 1
— 29—
ist, liegen, wie später noch eingehend diskutiert wird. Es gilt nun
für arg 2 4½ die folgende Abschät zung:
8 4. ane bn 3 2 b(an* bn) a⸗ b 4 1 5 n.* n* 2 an“* öbn an*3b
n t an- dn⸗ n
ſen. 1- 8.1 ſan- ba⸗ n= 0,1,2,..
Nenn nämlich arg 2= 2 und damit zugleich jeder Ninkel anobn für
n ⸗ 1,2,3, kleiner als 2 ist, so ist stets, wie aus Fig. 12 er-
sichtlich, an- dn kleiner als ſen* 3bn. Mir finden somit durch iterierte Anwendung der obigen Un-
7
3664— gleichung:an- bn=
245 se⸗ b9
29 5 1, bo= Z. Für n— cc geht also
.— 2 der Abstand ſen ba gegen 0. Da-
0. 1 6* 2.
n deſ ſaf- deſ. 2 ea baſos pn, ren Konvergenzbeweisen her bekann-
raus folgt aber nach dem von frühe-
n.Sun= ſen ·Spaſ* 6 an bnſoos pn, ten Kreisschachtelungsverfahren die cos.*. Konvergenz, weil die 8941 immer in Pig. 12. der Mitte der Verbindungsstrecke der 6„be liegen. In dem Xreise K. um a durch 20 ,bo liegen 21 und b, in 12 um a2 durch 21, b1 liegen 22 und b2 und K2 liegt völlig in L,
.„ in Ln. u a,1 durch an'bn liegen an.1 und bn. 1 und Ln. 1 liegt
1 in Lni die Radien dieser En konvergieren mit n— gegen 0. Nir er- halten also eine Folge ineinander geschachtelter Kreise, die sich mit n— co auf einen Punkt zusammenzieht, woraus ohne weiteres die Konver- genz folgt. 4— 1. 4 Ist nicht von vornherein der Ninkel 200 bo*— 2, dann wird von
einer gewissen Stelle ab im Algorithmus, d.h. nach einer endlichen
Anzahl von Schritten, nämlich m, der Ninkel anobn kleiner oder gleich
2.
2 geworden sein. Allerdings wollen wir annehmen, daß 2 nicht auf der

— 50—
negativ-reellen Achse liegt. Heil andererseits, wie auch noch bewie- sen wird, alle Glieder unseres Algorithmus in einem bestimmten Kreis- ringsektorgebiet um 0 liegen, weil also die an'bn auf ein gewisses Gebiet beschränkt sind, so folgt dann daraus die Konvergenz für die gesemte 2- Ebene ohne Beachtung der negativ-reellen Achse, die noch gesondert untersucht werden muß.
Hir beweisen zunächst, daß alle Glieder des Algorithmus des Mah(a,b) in einem konzentrisch um 0 gelegenen Kreisringsektorgebiet G liegen, sofern
arg a- arg b(2n-rl)n, n= 0, 11, 42,
ist. Wie schon bemerkt, liegen entsprechend der Konstruktion der an, ba alle Glieder des MIh(a, b) sicherlich in dem durch die Vektoren von a und b gebildeten Hinkelraume, der kleiner als α⁴ ist. Denn bezeich- nen wir a9* Po, be= 20: 21= P1, b1= 921:.. au= Px⸗ bx= ,⸗ dann liegt P in der Nitte der Strecke P0o und 21 erhält man, wenn man o und P) am Einheitskreise nach 20 und P spiegelt und dann die Mitte der Verbindungslinie der gespiegelten Punkte 20P wieder am Einheitskreise spiegelt. Wir zeichnen nun(Fig. 13) 1. den Kreis k' um O0, der die Gerade durch Poo berührt, und 2. den Kkreis k um 0, der die Gerade durch PC, berührt. Mindestens einer dieser Kreise muß innerhalb des Einheitskreises lie- gen, da unmöglich alle 4 Punkte Po⸗ 20, 0, P außerhalb des Ein- heitskreises liegen können, wie man sich leicht überlegt. Der klei- nere dieser beiden Kreise k', k'¹ gei mit k bezeichnet; k liegt dann also säicherlich innerhalb des Einheitskreises. Diesem Kreise k ent- spricht durch Spiegelung am Einheitskreise der Kreis K, so daß K
sicher lich außerhalb des Einheitskreises liegt. In dem durch die Vek-
toren von a,b bzw. Po;o und diesen Kreisring um O0 von k,X bestimmten
Kreisringsektorgebiet G, das in Fig. 13 besonders hervorgehoben ist,

gebiet
ler 2n,
oren Von
bzeich-
0 k'

— 52—
liegen nun alle Zahlen des MAh(a, b), abgesehen einzig und allein eventue 11 von P; und seinem Spi ege 1 b i 1d Pe · Das Beispiel der Fig. 13 ist absichtlich so gewählt, daß Po, PG nicht in G 1iegen.
Daß alle Zahlen und natür lich auch ihre Spiegelbilder bezüglich des Einheitskreises in dem durch die Ausgangsvektoren von a,b bestimmten Winkelraume liegen, haben wir bereits der Konstruktion der an'bn ent- nommen. Daß sie ferner alle in dem erwähnten kKreisringe liegen, folgt daraus, daß FPo,Lo: P1,1; P, 2;.. niemals in den kKreis k'*¹, 20,Pi; 21,P3; 2½,P3;.. niemals in den Kreis k' fallen können, womit dann eben gezeigt ist, daß keiner der Punkte Po, o, o⸗ P1, P, 921, 21, ... Px; Px, x,,.. in den Kreis k gelangen und deshalb keiner der Punkte Po, 0,⸗ Qo, Pi, P1, 21⸗ 21... Px, Pk;., Qk,.. außer- halb K fallen kann. Denn liegt ein Punkt außerhalb K, dann befindet sich sein Spiegelpunkt bezüglich des Einheitskreises innerhalb k. Warum kann nun keiner der Punkte Po,Qo: P1,1: Pg, Q2:...(., Pi; 21,PzZ;(3,Pz;...) in den kreis k't(k) fallen? Vir entnehmen die Lagebeziehungen der einzelnen Punkte der Fig. 13. Zunächst einmal können entsprechend der Definition von k*(k) die Punkte P0,e
1 † 1 1 (., Pi) und P)(4) als Mitte der Strecke POo(CoPi) nicht in k'* (k) liegen; höchstens liegt einer dieser Punkte auf k'(k*). Da nun andererseits 0.(Pz) 1. in dem durch die Vektoren von Qo, P
1
(Pi,¹) bestimmten Winkelraume und 2. auf dem Kreise durch 200P)
(P100), nämlich L.(kI), liegen muß(denn der Geraden durch 25,P; (P1,), auf der ja in der Mitte der Strecke 20P;(Pr1) der Punkt 21(Pg) liegt, entspricht durch Spiegelung am Einheitskreise der
freis L.(XI) durch QoOP)(P00.)), und zwar auf dem Teil des durch
die Sehne QdP)(Pie) in zwei Teile geteilten Kreises K(1z), auf
dem nicht O liegt(weil nämlich 21(P) zwischen Qo, Pj(Pi,) liegt
mid dem o ung an Bi. sbgekehrte Gri10 nuuxt 72( 4 9 dest also auch liegt in d Ninkelraum mei leile nicht 0 1i (2z99) in vieder aub daß immer h1dn e) der Strecl 3s fällt in den Ire 2,) d, kreises, Diese
denutzen

— 53—
und dem G der Geraden durch(0, P)(Pr,Q-) der Punkt O durch Spiege-
lung am Einheitskreise entspricht), so fällt also 21(Pz) auf die 0 „ 60 4:
abgekehrte Seite der Strecke-0P(Pio.) in den Zipfel 0 A% 11—
(Pi 1010), d.h. sicherlich nicht in den Kreis k(k*). Der
1 m
1 l Punkt P2(4) liegt dann in dem durch die Strahlen P), C e(22
91 0) bestimmten Winkelraume in der Mitte der Strecke P 01(4iP;), also auch wieder sicherlich außerhalb k(k*). Der Punkt 22(P;) liegt in dem durch die Strahlen Q&, Pg(Pz 65 02 0) bestimmten Minkelraume und zwar auf dem Teil des durch die Sehne Q1P2(PzO) in zwei Teile geteilten Kreises Lz(kz) durch 010P2(Pz00), auf dem nicht O liegt, d.h. auf der 0 abgekehrten Seite der Strecke 01P2 1 7 4. 1 (z02) in dem Zipfelgebiete 0 2122 2 6(*2 P0302), d-. h. auch
mieder außerhalb k*(k*). In dieser Weise fortfahrend findet man,
1'n'n
daß immer Qn(Fa, I in dem Zipfelgebiete 2(n-1) 1Pa(.
(Q,3) in der Mitte
P/O,O), d.h. immer außerhalb k(k') und P 1,1
n'n'n ð n41 der Strecke PnQn(CaPn. 1) und damit auch außerhalb k*"(k) liegt. Es fällt also keiner der Punkte Po, o, 20, P1, P, 91⸗ 21,.. in den Ireis k, womit bewiesen ist, daß alle Zahlen an„bn(n= 0, 1, 2..) des Mah(, b) und ihre Spiegelbälder bezüglich des Einheits- kreises, außer eventue 11 Po, Po, in G 1iegen müssen.
Diese Tatsache der Beschränktheit aller Glieder des Mah(4, b)
benut zen wir nun, um den Beweis dafür zu erbringen, daß die Ninkel
X(an 0 bn) ⸗ Fn ⸗
nach einer endlichen Schrittzahl m im Algorithmus kleiner oder gleich
„ n= 0,1,2,..
arg(2) ers G—)
2 geworden sind. Daß diese Minkel im fortschreitenden Algorithmus mit jedem Schritt kleiner werden, folgt ohne weiteres aus dem Kon- struktionsverfahren der an'bn Aber es könnte doch dieses Zusammen-
klappen der WMinkel Pr. dei jedem Schritt vor einer gewissen Grenzlage,

—
— 34=
die einem Winkel größer als 2 entspricht, beliebig klein werden, d. h.
die Winkel Pa würden zwar mit wachsendem n immer kleiner, könnten
jedoch eine gewisse Grenze größer als 2 nicht unterschreiten. Deß
dies unmöglich ist, wollen wir im folgenden zeigen.
*1
(2). Beim Ubergang von n zu(n*1) nimmt dann unser Winkel mindestens
Der Fahrstrahl von an teilt gꝓa in zwei Teile(Fig. 14):(1) und
um den Winkel(1) ab, d.h.— ist um mehr
65 3 17. als(1) kleiner als fa- Es ist nun ovi- 741 ¹.
dent, daß diese Winke labnahme(1) nie-
— mals beliebig klein sein kann, solange 2.— 5 1 . 6,A Pæ größer als ist, weil die an'bn Buf ein gewisses Gebiet G beschränkt sind und Fig. 14. 8 immer in der Mitte zwischen a, und n*+1 n
b liegt. Daß die qy nach einer endlichen Anzahl von Schritten ein- mal kleiner als 2 sein müssen, erkennt man auch, wenn man von der
Beziehung ausgeht:
an an*6bn an — 7==——— T1= J(an. 10 b 1)= arg Pen= arg arg(da* 3)„ n= O0,1, .
Die Fig. 15 veranschaulicht die Verhältnisse. Neil alle an'bn in G
liegen, so sind natürlich auch die
an
Lr dsowäne auf ein Gebiet G“. Solange pa größer als 2 ist, liegt 13 in der linken Halbebene, d-.h. in (Ir) oder(I1I). Verschieben wir
—
an. T. nun mit dem Argument fe um
b n drei Einheiten in der Richtung der
positiv-reellen Achse(nach rechts),
a. so erhalten wir die Zahl v † 3, n
die als Argument Ja besitzt. Auf
ziesem Strä ³n in 9*. n qa 8 2 einer end maligen Ve len Achse, Halbebene Ist dan Lonvergenz lusgangse! Lbiegen
mMar beide
dann ist nicht aus. nämlich a 2 3 vi
Bleibt
tiv-reell

len, d.h.
mten
adestens
t um uelr aun evi- )nie- dlange d auf
sind ui
in G auch die et 6G'.
t, liegt
— 55—
a diesem Strahle mit dem Argument Pwe, liegt dann— natür lich wie
2 2. n41
in GI. Es braucht— † 3 nicht in 6G' zu liegen. Stets ist also
n n 2
qr* pw, und, weil alle 5* in G' liegen müssen, wird offenbar nach
n 2. einer endlichen Anzahl m von Schritten die Zahl 5* infolge der jedes- m maligen Verschiebung um drei Einheiten in Richtung der positiv-reel-
len Achse, also nach der rechten Halbebene zu, in dieser rechten Halbebene zu liegen kommen und ein Argument kleiner als 2 besitzen.
Ist dann etwa e 5, dann liegen die Zahlen Pn, Qu in G und die Konvergenz folgt aus der weiter oben angegebenen Betrachtung für Ausgangselemente Po, 2 mit †. 3.
Liegen die Ausgangselemente a und b mit 0O auf einer Geraden und zwar beide auf derselben Seite von 0, deh. gilt die Beziehung
arg a- arg b= 2kn, k= 0, 11, 42,„
dann ist die Konstruktion eines Gebietes G in der angegebenen Weise nicht ausführbar und auch nicht nötig; die Konvergenz folgt dann nämlich aus dem Kreisschachtelungsverfahren des Lh(1, ²) für ſarg 2 — 2 wie oben angegeben.
Bleibt noch die Konvergenzuntersuchung des MAh(1, ²) auf der nega- tiv-reellen Achse. Aus der Produktdarstellung der Funktion Mh(1, 2),
* 2n- 1„— 1(22n- 1. 1)2 MIh(1,²)=
1=l 2.(2226-1-2)2 wissen wir bereits, daß Nullstellen bei - 1,- ½,-F,-1,...„ u* 1,2, 3,.... und Pole bei -,- ½,- 2,- 23⸗... ziee n 1,2,3,„
vorliegen. Für alle z auf der negativ-reellen Achse zwischen zwei Polen herrscht immer Konvergenz, wie wir schon von der analytischen
Betrachtung der Konvergenz des unendlichen Produktes her wissen.

— 36—
Nir können indessen diese Tatsache auch so einsehen: Sei a eine positiv-reelle Zahl größer als O und- a nicht mit einer dieser Nul 1- stellen, auch nicht mit einem dieser Pole identisch. Es liegt also
— a auf der negativ-reellen Achse in einem der Intervalle I, II, III,
.— 1 1 IV,(Fig. 16), deh. zwischen zwei Polen—- (k= 0, 1, 2, y). Zwischen zwei derartig aufeinanderfolgenden Polen
liegt immer gerade eine Nullstelle, die das betreffende Intervall
jedesmal in zwei Teile teilt.
0— 0-—— 0—.ĩ¹ Stel1e 2 7 Fig. 16.
Zunächst soll einmal— a in dem linken Teile eines solchen Inter-
valles liegen, d.h. es s011 4— a L-rr(X= 0, 1,2,...) -1—
sein. Dann bilden wir gemäß dem Algorithmus des Mah(1¹,- a) aus 80* 1 und b.=— a die Zahlen 21,b13 a2, b2;.„ die alle, wie wir der allgemeinen Darstellung der an, bn entnehmen, endliche, von 0 ver- schiedene positive und negative reelle Zahlen sind. Die Konvergenz folgt daraus, daß 2X 1 und bk 1 gleiches Vorzeichen besitzen und zwar in diesem Fall das negative Zeichen. Denn schreiben wir einmal, ausgehend von der allgemeinen Darstellung der 2kX 1“ bk.1⸗ für unser a2kK. 1“ bZ dieé Vorzeichen einer jeden Klammer mit(+) bzw.(-) in
den Quotienten dieser allgemeinen Darstellung, dann erhalten mir: ¶ͥgAghAAAASgAAA ee, eNrzlejſrFfehe. 0—, LLAeAA O. 1.1 6) 5
Von hier ab folgt dann nach dem angegebenen Kreisschachtelungsver-
fahren die Konvergenz.
Liegt andererseits- a in dem rechten Teile eines solchen Inter-
vird, worau
In folge
Hir haben b 1
1
Da es ferne
sein muß,
Funkt ional
In besonde Land
ſenden wir
ſär gewin
11,2) 4
12,)
Dreh Lul

fir:
wer-
— 57—
valles zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polen, d-.h. ist-☚— 1. 2-1 - 2 8= rE(k= 0,1,2, y), dann haben wieder ak.l und
bK. 1 g1ieres doe lolchen, aber jetzt beide das positive Zeichen, weil
L-)aee) ⸗(.). .=KNHe Ne
„ L-LeL)L=N= LLe)LeJG=h=.) r NN NNAN
wird, woraus wie oben die Konvergenz folgt.
Im folgenden seien noch einige Entwicklungen der Grenzfunktionen Mn(1, 2) und Mn(, ¹) aus Funktionalgleichungen heraus hergeleitet. Wir haben bereits die Relation angegeben(8. 46):
Lan(1, ²). 12(1,4)= 1 oder Mn(1,²). An(2, 1)* 2. Da es ferner für die Grenzfunktionen der Algorithmen gleichgültig sein muß, mit welchem Zahlenpeaar an'bn wir beginnen, müssen sie der Funktionalgleichung genügen:
M“r(a„ b.)= M(a b.), m,n= 0, 1,2,...
2b m' m kh men' min 2 A
Im besonderen gilt also:
1.n1,2)= u. 2r2,(el), u(,1)= Mie(ee).
2* 1732
ſenden wir diese Funktionalgleichungen folgendermaßen iteriert an:
5 4² 1432 1. uan(1,2)*= Lan(1,1.52) Me(²,¹) S.Sr Aha. 12521) 1422 M 16² 3 4 ² 1415²2 16 ² ManL¹ esr) ⸗ FrSz Man(1,7152) In(732,¹)= B.172 Uha(T=15z ¹)
162 14312 64 ² 16² 1263² 64 ² Nn(1,1)= 5357 Man(1,12837) Mna(17157; 1) ⸗*22 Ln(7532,¹)
Wär gewinnen damit die Dearstellungen:
11,(1,2)= 452. 4.72. L.5l2 elere 14(2— 12, ah 2 2 2162 2730 2 2+1262 /4=1 21(2 n 1.2) 2 2, d2,)⸗ 1.32 1,162 1,632 172552... f 1 2e. A 2+22 24142 2462 z 24254 2 121 24(22n- 2) 2
Durch Multiplikation dieser beiden Produkte bestätigen wir nochmals

die oben angegebene Relation:
1-(22n. 1)z 1132. 1415 2. LG632. 14255½.. 4 4712 4460z 42522
Mn(1, ²)— Mn(2, ¹)
1l 3 .⁴ ta — + — N do R 1 — d2 T d*
Außerdem gelten die folgenden Beziehungen:
1(u, 1)= 12n(2-u, u) Nn(1, u) 1ne(u, 4*9)
N2n(1, u). A(2-u, u)= u I(u, ¹*). M(u, 1)= u 1.n8,1). v.n(,1)=2 121,). 31,8)=2
4= 241= 2241 MIh(²*1¹, 1¹) MIh(2211, 1) 2*1 Mn(1, 2*1). Mn(1, 2271) ⸗ 2271.
Bezeichnen wir MAh(²*1, ¹)= f(z) und Mn(1, 2*1)= g(z), dann erhalten
wir die sehr einfach gebauten Funktionalgleichungen f1(z) f(2z)= 211, g(z) ⸗ g(2²2)= 2271.
Beiüde Gleichungen besagen natürlich dasselbe. Nir gewinnen hier durch diese Funktionalbeziehung mit unseren Grenzfunktionen den Anschluß
an bekannte Untersuchungen der Funktiona lanalysis; Funktiona lglei- chungen dieses Typus sind nämlich vielfach nach verschiedenen Ge- sichtspunkten hin studiert worden.
Außer diesen Relationen lassen sich aus den Funktionalgleichungen auch sehr leicht Potenzreihenentwicklungen gewinnen. Nir wollen auf diese Neise einige Reihenentwicklungen um den Punkt 1 herleiten.
Wegen Mah(172, 1)= Mn(1, 1* 2) finden wir mit der Reihe für Man(1*2, ¹) zugleich die für Mn(1, 1*²) und zwar folgendermaßen:
4422 4*4 2 2 2 422 22 3.1), Mn(1, 1²)— 1(1, †2).
Mah(1*2, 1) 20
Ersetzen wir in der ersten Gleichung z durch 4, in der zweiten 2
durch 2², dann erhalten wir:
s0 daß die
Lan
1hs
Ferner g11
und die Ne

q·
2)= 22²1.
rhalten
— 59—
(1*²) MAh(1 42, ¹)(1422) Man(¹*², 1),
tt
(1*2) Mn(1,1422) ⸗-(1422) Mn(1, 1 2).
Ansatz: Mh(¹*2, 1)= Mn(1, 1* 2) 00 O12* 22..* 0Kzk.. mit co= 1, weil für 2= 0 M. an(l1⸗ 1)= Mne(1,1) ⸗= 1 sein muß. Mit
diesem Ansatz gehen wir in die Funktionalgleichung: 8 k* (14²) or4²)=(1*22) er⸗.
Ioeffizientenvergleich der(k*1)-ten Potenz von z ergibt:
k K*1 2= 1 ck 14 4 ck4* cr,1* 2ok„ d-eh. 9, I* 1 ck und hieraus c. 2 2 41,3, 4.1.2. 4- 2.2. 40⸗ I 2= 4*2 kK*1 4KV1.1 4kK. 1 4 K-1. 1 4 ¹·1 140 4 K-m†1 1 Die Berechnung der ersten vier Koeffizienten ergibt: 22.= 2, g. 4.„ 242 1 3 2 145 3 205 4 1605 275
so daß die gesuchten Reihenentwicklungen folgendermaßen aussehen:
1, 1, 222, 4,25.— 245 1 Mah(1¹*2, 1) ⸗ 1* 52- 52 708 105 27.. oder
k k-m e-I. S[Lk=er.
Mn(1, 1²) ⸗ 1 4 52— Se2. BESe- 1552885⸗.-. oder k k-m 2- 4 K*1 kK-*1 1(1 112)— 1 ⸗— 5 2 2. Iaa, E=; 6 8
2ab):
Ferner gilt wegen M(a,b) Mah(b, I(.22 5 5 1) ⸗= u2n(1, 122),
und die Reihenentwicklungen sehen, wie man leicht ableitet, so aus:
1 2 28,2 2498,35.„ leh(1512x)- 51*⸗ 1655 k — 5-1. * 1 2(-1)*:1 2,4— 1(22)+ K= O 4-—1 — 1 7 2. 2125 13,(135 8 5 1— 32 75 4552

— 60—
Die Reihe für Mah(1¹, 1*²), die man mittels der Methode der unbe- stimmten Koeffizienten unter Benutzung der Funktionalgleichung 2 2 Man(1, 1*²) ⸗(11 2) MAh(1, ¹* z2) gewinnt, ist die folgende: In dem Ansatz MAh(1, ¹*²)= X c zk mit
5*
c.= 1 genügen die Koeffizienten ci, wie ein Vergleichen der Faktoren
0 k'*
der k-ten Potenz von z in der angegebenen Funktionalbeziehung ergibt,
der Rekursionsforme1
1=)= I L.(2-2)-2E-2))-Er e-2( 201 3) — H). Br A=s(302) 24-G)-)
.()“ 35 er(22) 1(K-2)-=(5)(4 1))⸗
hieraus berechnen sich die ersten vier Koeffizienten zu
2 2 6. 44 2 293 61 33 22 75: 3 10 4 15 57:;
so daß unsere Reihenentwicklung folgendermaßen beginnt:
2 14„3 2 798„4
* 2 2 MAh(1, 1*²) 1 2- – 2 255 2— 165 sß-..
3 45
. 3 3 Heil- wegen MAh(²,b)= 1(2—,²) die Beziehung
Mah(1, 1*2)= 2(1—
besteht, so haben wir damit gleichzeitig die Reihe für 1(1—2
— 14+ 2.1)
Auf ähnliche Weise kann man dann auch noch die Entwicklung für die Funktion Mah(172, 1) gewinnen, entweder mittels einer geeigneten Funktionalgleichung oder mittels einer Verknüpfungsgleichung mit einer schon bekannten Entwicklung. Natür lich kann man auch um alle möglichen anderen Punkte entwickeln, man kann die reziproken Funk- tionen entwickeln, auch mit komplizierteren Argumenten, die Zahl der Möglichkeiten ist hier unbegrenzt.
Welche bekannte Funktion die analytische Funktion Man(1, 2) nun
eigentlich darstellt und ob sie überhaupt eine bekannte Funktion
verkörpert transzendel auf der ne in Nullpun. geschickte oder es ge oine Vesen fache Null besitzt un drücken du bekannten die Eigens endlich vi aber in 6e in geonetr Schliel des Ag,! gen, d. h.
* 1 „412 16
1 rithmus d
küllt. di dis einze suchungen
(12) 29
schen Pro desellsol
tive Algc

unde-
au
tion
— 61—
verkörpert, ist noch unbekannt. Gewiß ist nur, daß es sich um eine transzendente Funktion mit den angegebenen Nullstellen und Polen auf der negativ-reellen Achse und einer wesentlichen Singularität im Nul 1punkt handelt(12). Vielleicht bekomnt man einmal durch eine geschickte Potenzreihenentwicklung Anschluß an eine bekannte Funktion oder es gelingt eine Integraldarstellung. Da unsere Funktion Mn(1, ²) eine wesentliche Singularität im Nullpunkt und im übrigen nur ein- fache Nullstellen und einfache Pole auf der negativ-reellen Achse besitzt und zwar in geometrischer Progression, so ließe sie sich aus- drücken durch einen Quotienten von Funktionen, die ein Analogon zur bekannten Funktion(2) darstellten derart, daß sie mit der-Funkticn die Eigenschaft gemeinseam hätten, keine Nullstellen, sondern nur un- endlich viele Pole auf der negativ-reellen Achse zu besitzen, diese aber im Gegensatz zur Funktion(2) nicht in arithmetischer, sondern in geometrischer Progression.
Schließlich sei noch zusammenfassend über diese drei Algorithmen des Mag, M
gh — 2 gen, d.h. für eo= 1, bo= 142; 81= F(Z)= 14°12*22. d1 ⸗ 6(2)
und Mah gesagt, daß sie nicht dem Permanenzsatze genü-
= 1-412*422... ist er 5 d-, wohl aber ist in allen 3 bzm. 6 Fällen e-- 41 21, deh. die notwendige Konvergenzforderung für den A1go0- rithmus des M!(1, 1*2) in der Umgebung von z= O ist jedesmal er- füllt. Die Potenzreihen selbst sind in der Arbeit Gepperts(¹3) für die einzelnen Algorithmen als Beispiele für seine allgemeinen Unter-
suchungen angegeben. Sie bestätigen insbesondere auch die Richtigkeit
(12) vgl. A. Ostrowski, Ueber einige Verallgemeinerungen des Buler- 1 n schen Produktes(1*)=* T, Verhand lungen der Naturforschenden 8(13). Gesellschaft in Basel XL, 1929, 8. 185. H. Geppert, Uber itera-
tive Algorithmen, II, 1. c.

— 62—
unserer oben hergeleiteten Potenzreihen für MAh(1, 1²) usw., die
wir durch Koeffizientenvergleich aus der Funktionalgleichung heraus gewonnen haben, so daß es sich erübrigt, die Richtigkeit dieser Ent- wioklungen streng zu beweisen etwe durch den Nachweis, daß die dort benutzten Funktionalgleichungen nur diese eine in Potenzreihenform
hergeleitete Lösung besitzen. Verallgemeinerungen der Algorithmen des 1g(a,b) und Mh(4, b).
Die vorstehend behandelten Algorithmen lassen sich im einzelnen durch geschickte Einführung eines Parameters noch verallgemeinern; der einzelne Algorithmus ist dann als Spezialfall für einen bestimm- ten Wert des Parameters in dem verallgemeinerten Algorithmus enthal- ten. Die Algorithmen solcher Verallgemeinerungen sind also neben den Ausgangswerten auch noch von einem Parameter abhängig. Natürlich kann ein Algorithmus in dieser Hinsicht auf die verschiedenste Art und HNeise verallgemeinert werden.
Eine sehr einfache Verallgemeinerung des arithmetisch-geometri- schen Mittels stammt von wintner(14). Ist p irgendeine positiv-reelle zahl, dann lautet für beliebig komplexe Ausgangszahlen a und b das Rechenschema seines verallgemeinerten Algorithmus des 1a(²,b) 80:
a= a b.= b
0 0
4.L(Kan. B))7*
n* 1—(4baMt(n* 0,1,2,).
bn. 1 Die Grenzfunktion im Pall der Lonvergenz sei 1(a,b). Durch eine etwas abgsänderte Schreibweise erkennen wir sofort den Zusammenhang
des Algorithmus des 1p(a,) mit dem des 1I(², b) Lag(²,b):
H.„pP PH. pp
ao= à b0= b.
p. d pP=(„P P) 0.1.,2 an. 1 an' dn) b.(anbn)(n= 0, 1,2,...).
(14)
Aurel Wintner, On a generalization of the Lagrange-Gauss modu-
lar algorithm, Amer. J. Math. 54, 1932, S8. 346.
Polglich
Vie der 4 Algori th
99
Unser Uittels des L.(11
„ verschnil p garant
Nintn à 2 b 7= die Polg monoton stetig y ton nieh verte I
G limes L P 2
dereohne

ss modu-
— 63—
Folglich ist(ur(a,*))= u(a*, dP)= 1. s(a2, bP) und somit 1/b 1,9)=.(2, vP))V.
Nie der Algorithmus des Mag(a,b) ist auch dieser verallgemeinerte Algori thmus in a,b symmetrisch und homogen von der ersten Ordnung:
19(,b)= 1p(b, a), 1(aa, ab) 2-M(2,b).
Unser Algorithmus genügt wie der des arithmetisch-geometrischen Mittels dem Permanenzsatze, wodurch die Konvergenz des Algorithmus des 1,(1,142) und damit die Existenz von 19(1, 1*2) in einer nicht verschwindenden Kreisscheibe um z= 0 für beliebig positiv-reelles p garantiert ist.
wintner betrachtet diesen Algorithmus für positiv-reelle Zahlen 2nß= ba(n= 0, 1, 2,.) und positiv-reelles p und zeigt, daß dann die Folge der 21, 22,.. monoton absteigend, die der b1, be,— monoton aufsteigend ist, deß ferner dei festem p die Größe 19(a,d) stetig von a und b abhängt und daß Np(a,b) bei festem a,b eine mono- ton nicht abnehmende Funktion von p ist, für die die beiden Grenz- werte M 0, b)= 112035 Ip M(a, b)= 1¹255(M. 80²2, 9P)) /p und M(a, b)= 11ne2 N, M(a, b)= 11¹m92(A. g(er, hdne existieren. Diese Grenzwerte
leicht zu
berechnen wir wegen M. g(a, 7)—
Ae(a²— b
1/. 2(adjt,
—
M(a,b)= zu⸗z
⸗ max(a, b),
. 1/p 2 (a, b) 1122
worin max(a, b) die größere der beiden zahlen a und b bedeutet, im * Pall der Gleichheit ihren gemeinsamen Wert). Bälden wir die Grenz-
werte direkt im Algorithmus bei 21, dann erhalten wir bei solcher Ver-
tauschung der Grenzwertbildungen dasselbe. Zwischen diesen Grenzen

— 64—
(2b)* und max(a, b)= à2(wegen a= b nach Voraussetzung) liegen also alle 1p(²,b) für positiv-reelle en= ba und positiv-reelles p. Schließlich zeigt Hintner, daß analog zur Gaußschen Formel für das
gewöhnliche arithmetisch-geometrische Mittel, . 4 4 5 ⸗ lime; Lag(1,2)-In 4 für jedes p der Grenzwert 1/% . 4 ³) 1/ h(p)= 1imeg 1(1,2)-(1n—) existiert, wo a eine stetige positive Variable bedeutet(15). Der Wert h(p) dieses Grenzwertes läßt sich leicht ermitteln zu: p)) 17p.(4. n 4.) /5 h 1 im M(1,.(=In— (p) 4 165( ag„)) 63 5„ 1/ n(p)=(. (o)=(E.) Eine sehr einfach aussehende Verallgemeinerung des Algorithmus
des Ln(²,b) stanmmt von Lienast(16):
a= a2 b.= b 0 0 a, 4 b, p a, b(1*p) n n 21. 12 r bn. 1* be he(n= 0, 1, 2,.).
Dieser Algorithmus ist nicht in a,b symmetrisch, wohl aber wie alle anderen bisher betrachteten in a,b homogen von der ersten Oordnung; seine Grenzfunktion für den Fall der Konvergenz, die wir mit M(pza, b) bezeichnen wollen, genügt also der Beziehung: M(p;qa, qb)= 4.(pza, b). Für p= 1 erhalten wir den oben behandelten Algorithmus des Mn(², b): u(1;6,b)= X n(,d).
Für die Ausgangs zahlen 20* 1 und bo= 112 beginnen die Potenzreihen
für 21 und b folgendermaßen: =—= a1 1 E2 b 1„ PE..... (15)
vgl. auch Zentralblatt für Mathematik 4, 5, 1932, 8. 209.
(16)
Aus einem Briefe von A. Lienast, Lüsnacht(Zürich), an H. Geppert.
Der Algori
er für P? von 1 0 in der 2- späteren
Die Gre
Da I(1;2, funktion dessen in daß die P sammenhan kann für
Die

Aàls0
er das
sihen
— 65—
Der Algorithmus des M(p; 1, 1*2) genügt also dem Permanenzsatze, so daß er für p-l1 sicher in einer gewissen nicht verschwindenden Umgebung von z= 0 konvergiert. Die Frage nach dem gesamten Konvergenzgebiet in der z- Ebene als Funktion von p wollen wir hier offen lassen und späteren Untersuchungen vorbehalten.
Die Grenzfunktion genügt den folgenden Beziehungen:
M(pP; Zz, 1)- 2(;z,1)* 2,
1P;1,z)(P; 1,)
— 2 1 7 14 pz 1* z 2 . 1ꝑ Px. 141. p; 1, 2(sNG.J 12 E=(P; 1.. 1). . 14 1 Für MGp; 1,* 1)= S] lautet diese letzte Relation:
(1*x)-G(x), 6(0) ⸗ 1.
3e Tewee)⸗ (1.J1**ſP*X]
Da M(1;2, b)= Ln(²,b)=(ab)† ist, so könnte man in unserer Grenz-
funktion eine algebraische Funktion in a,b vermuten. Nir wollen in-
dessen im folgenden beweisen, daß dem nicht so ist, indem wir zeigen,
daß die Punktion G(x), die je in einem einfachen algebraischen Zu-
sammenhang mit M(p; 1,x) steht, keine algebreische Funktion von sein kann für pP ⁴ 0, 11. Wir behaupten also:
Die Punktion G(X), die der Funktionalgleichung
2(e))=(1.).6(⸗), 40E)=TE5r)“ 600)= genügt, ist keine rationale und auch keine algebraische Funktion von x für P h 0, 1 1.
T. 6(x) ist keine rationale Funktion. Eine rationale Punktion G(X) als Lösung obiger Funktionalgleichung iIst unmöglich, wie unten ge- zeigt wird.
11. 6(X) ist keine algebraische Funktion. Es 801
—.—2 vn. 1(X)EII g(y)y 2n(*) 0

— 66—
die im Grade von y niedrigste irreduzible Gleichung mit rationalen
Koeffizienten gx(*)(k= 1, 2,.. n), der y= G() genügt. Sicher lich ist also gn(*)* O. Dann gilt auch(¹7)
62(·(x))* 81(f(X))en-1(f(x))... gn(1(E))= 0 oder wegen der angegebenen Funktionalgleichung
(1.)zgn(x). g.(f(·))(1*X)“ 1Gn-1(x)... gn(f(x))= o,
(ee) a en(f(x)) 62()* 24— 67 1(x).„F„—= o (1*)(1*)
Diese letzte Gleichung für y= G(x) muß nun aber mät der oben zuerst für y= G() angenommenen Gleichung identisch sein d.h. in den ein- ze lnen Koeffizienten übereinstimmen, da die Differenz der linken Sei- ten beider Gleichungen identisch verschwinden muß; andernfalls könn- ten vir nämlich durch Subtraktion der einen Gleichung von der anderen eine neue Gleichung erhalten, der auch y= G(x) genügte, die aber dann gegen unsere Voraussetzung von geringerem Grade in y wäre. Es folgen demnach wegen der Irreduzibilität durch Loeffizientenvergleich
die Identitäten
12 81(f(x)) 2(4(.))() en(f(x)) 61(r) 2 E(L)n
Wir setzen nun, da g(*) sicher lich von 0 verschieden ist,
Dus-2o
8
wobei wir die Bestimnung der n-ten Rur zel so vählen, daß die Relation 1/n (&n(4(z)))"/
(44(x)) 74= (1 1 x)
identisch gilt; dann folgt aus
7(7)) 2 G(f 4e))(2a(f(x)))7²
mittels der Punktionalgleichung für G(x)
(12) 7gl. A. Qatrousti, 1. c.(12), S. 162.
Daraus fol stante sei oben angeg Hahl von P Inneren et giert, 80 in der Umd 0(1) kor liegt, so sind. Näh
c- 8)
sein; eir verschiec
Daher ger
die nite das oa algebrai die n-te kür dle
desteht.
oder 3.

zuerst ein-
en Sei- könn- anderen
der
rgleich
¹e lation
— 67—
(f(x))= 8(x), d.h. 8(x)= 8(f(x))= B(f(f(x)))=
Daraus folgt aber, daß die algebraische Funktion 8(x) nur eine kKon-
4
stante sein kann. Neil nämlich der Algorithmus des M(p; 1, 14x) wie oben angegeben dem Permanenzsatze genügt und deshalb bei beliebiger Wahl von p mit der einzigen Ausnahme p=-l stets für alle x im Inneren eines gewissen nicht verschwindenden Kreises um X= 0 konver- giert, so gibt es sicher lich einen reellen Nert Xx=- E mit h0 2 in der Umgebung von xX= 0, für den der Algorithmus des àD 1,1rE-) = G(x) konvergiert, wenn nur dieser Wert 1. genügend nahe an X= 0 liegt, so das sicherlich G(-— und damit auch g(- E.) definiert
sind. Mählen wir nun insbesondere etwa p= 2, dann wird für——=
1 1 (f- EL))pez(k= 0, 1, 2,.) vegen ho= 2 und wegen 2—
2 ha 1. Vea 2.1/he 4 4. 4. 3(4o- ¹)0(2-E) 3(2 E= 3 3 3.. h2 0 usw., allgemein V IEr hL.1= 2, und es müßte dann also k 1 1 1 8 1.— 2 80-)=B- E)-= 3-T.)=.= 80-E)=.e
sein; eine algebraische Funktion mit unendlich vielen vone inander verschiedenen c- Stellen kann aber nur die Funktion 8(x)= ce sein. Daher genigt y= G(x) der Gleichung n-ten Grades
vn ong(x)= 0, die mit der ersten obigen Gleichung natür lich identisch sein muß, 8o daß=z 1 gesetst werden kann. 80 ergibt sich, daß für den Fall einer algebraischen Funktion G(x) dieses 6(x)=(44(x))7²=(g(x)) In d. h.
die n-te Nurzel aus einer rationalen Punktion gn(*)= g(x) sein muß,
für die die Funktionalgleichung g(f(x))= 1) 2 mit g(0)=
besteht.(Natür lich hätten wir auch 8(x)= 5 55 1(k= 1 oder 2
oder 3.. bis n) setzen können, wenn nur 4 3el gX(*) o ist; vir

— 68—
hätten dann nach demse lben Schlußverfahren folgern können, des für
k= 1 G(x) gleich einer rationalen Funktion g(x) mit(111r)g(x)= g(fGx)) sein müste, für k= 2 gleich der Quadratwurzel aus einer rationalen Funktion g(x) mit(1·1)2g(x)= g(f(x) usw. Da aber nur ga(*) sicher lich von 0 verschäeden ist und von den übrigen g(*)
(Kk= 1, 2, 3,.(n-1)) sehr wohl einige identisch verschwinden können, läßt sich hier(x) nur wie oben angegeben definieren und demnach nur allgemein folgern, daß für den FPall einer algebraischen Funktion 6(x) dieses G(x) die n-te Hurzel aus einer rationalen Funktion sein muß.)
Eine rationale Funktion g(x) kann aber diese Funktionalgleichung
2((x))=(1x) g(z), f(=)= Te)JTTE)E⸗=), 8(0) ⸗= 1,
für positiv-ganzzahliges n und p o,*¼ 1 unmöglich befriedigen. Ist dies gezeigt, dann ist zugleich der Fall I erledigt, wonach 6() keine rationale Funktion sein kann; denn dies entspricht unserer Be- hauptung für den Fall n= 1.
Nir nehmen einmal an, g(x) wäre eine rationale Funktion:
a0* 21r* 2212.... 211* g(x)=—„ g(0) ⸗ 1, 20,bO,44 5; 4o.
2 3 be* bI17 1 b2*.. d 7
Negen g(O)= 1 muß a0/bo= 1 sein. Die i Nullstellen des Zählers
1— 0fF aix nennen ir 8.. 31, die J Nullstellen des Nenners
1* bo*..* d r dezeichnen wir mit t1,... t. Demnach können wir schreiben: 4 a a, x* a 5„ 2.(=s,)(*=s,](X-s.) g(x)= 0 1 2—. 1 22 4 — 1. bo* bIr ber.. b.7(x-ti)(* t2).(⸗-ti)
Hierin ist vegen 2o= bo(-31)(—2)..(=1)=(-t1)(-t)..(). Dividieren wir nun Zähler und Nenner unseres Quotienten für g(x) durch dieses Produkt der Nullstellen, und zwar den Zähler durch(-21) .(-si), den Nenner durch(-tI).(-ti), und bezeichnen wir 1hk
v(X= 1, 2, 1),-1th= un(h= 1, 2, 3), dann erhalten wir:
Nir können
1. keines
ist und 2. g(1) 8 irredu
(nn (1.
Diese ldeè
Nir u 1. Veder den Nert Iit; Schreibe
faktore

——
— 69—
(vi** 1)(v* 4 1)...(vi* 1)
8(x)= (i* 4 1)("r* 1)..(v)x 1)
Nir können dabei voraussetzen, daß 1. keines der k oder vI verschwindet, d-.h. daß das Produkt wI-N... Wi-WI.Ve.. 2. 4 0 ist und daß 2. g(x) so weit wie möglich durch Linearfaktoren gekürzt ist, also irreduzibel, so das w n ist.
Die obige Punktionalgleichung für g(x) fordert die Identität:
(rn r.(1*p)(1*xX)(prx))...(—pw*2.(14p)(1*x)(p*x)) (epvix.(1.p)(1-*r)(Pr²))...(-—er 12.(1.p)(rr)(p.)) (vir* 1).(wi* 1)
((1*ν)(1·1)(P-x))¹-1*(1-⸗x).. (vi* 1)(v3r!* 1)
Diese Identität können wir Anoh folgendermaßen schreiben:
4 — 14 p-pw (x.1)5* 1 n(r. 1)5 iama kz2. Ler. 1)(rrr*¹) P pp) P n.21 h
14 p un = f.(5.P † elc xXr1). h= 1
Mir unterscheiden nun drei Fälle: 1. Weder der Zähler noch der Nenner der rationalen Funktion g(x) hat
den WNert 1, d-.h. die w, wie die wu sind alle sicher von 0 verschieden.
k h Mit w wollen wir eine beliebige der Größen A oder un bezeichnen. Schreiben wir dann 2 3 12.— X* 1 als Produkt zweier Linear-
faktoren:
14 p-pu 2 14
X 1=(ax-1)(bx 41 SEeIj. 22. 1=(r:J).) 1 dann sind a und b sicherlich von 1 und 3 verschieden. Denn a,b= 1,5 führt, wie eine leichte Durchrechnung zeigt, für p 0,=l auf w= O0 ... 14p-py 2
was der Voraussetzung widerspricht. Leiner der Faktoren( X 4
x* 1) ist also durch(x* 1) oder(2r.1) teilbar, d.h. sicherlich
hat dieser i. a. quadratische Faktor nicht die Nullstellen-l und+.

— 70—
Es sei nun j-i=n. Dann kann kein Lineerfaktor von
LrpP-PwhA 2 EEE. e. 9)
54-= r.1)44
übereinstimmen mit einem binearfaktor von(X*1), aber 4 14 p-pw Kr 2. 1* 22 h nicht mit einem Li fakt us X* 1) wegen auch nic m inem Linear or von Ah(I*) g
vk vh Ferner kann kein Linearfaktor von
— LEEE
4 in X*. 1) enthalten sein. Folglich muß 2eltees 4 1* p-pw. IG 1 12.e.D⸗.eS-) n=1 PL*p 8o daß w“=* sein müßte, und des weiteren
h 4-1-n 3-i 25 Pak 2 1 1 (x/1)(2r.1) eeen.* 2 x* 1)*). Neil die beiden Exponenten(J- i-n) und(J-1) nicht beide zugleich verschwinden können, steht auf der linken Seite dieser 1letzten Iden-
tität für p 4 O, ¼ 1 und j-in eine ganze rationale Funktion von
mindestens(i“*n)-tem Grade in x, rechts dagegen eine solche von genau
i-tem Grade, was natürlich unmöglich ist.
Ist J- i= O und damit auch kleiner als n, so führt eine analoge Schlußweise auch wieder auf einen Widerspruch, wenn man nur die ge- strichenen mit den ungestrichenen vertauscht.
Ist hingegen j-i größer als O und kleiner als n, dann müßte die
Identität gelten:
— R + —9 — — 1 . . — — ; 8 8 F do † — 4 8 4† — — 1
4 =(x 1) 5-(4-i N(vI*1). kK=l Für p A 11, was wir ja voraussetzen wollen, ist wegen n-(Jj-1)= 0 der Linearfaktor(X/1) der rechten Sseite dieser Identität auf der
linken Seite sicherlich nicht vorhanden, was wieder auf eine Unmög-
lichkeit führt.
2. Der Zähler der rationalen Funktion g(x) hat den Wert 1. Dann sieht
a180 901)
Die Punkt
(
legen j⸗ geite dic handen,
auf eine
NTeil in der rec nicht v
Hier Grenzfu draisoh I(p;l,7 auoh in Vorauss
All rungen Grenzne
Parall

aber
e gen
88-
lie
— 71—
also g(x) folgendermaßen aus:
g(x)= 4
(. xX1 J(vZx- 1)..(v.xv1)
Die Buktienaleloi chung, für g(xX) Loroere die Identität:
(x 1)5( SeS x* 1)= Terene 42* 7 1).
Negen j= O ist für p 11 der Linearfaktor(kr.) von der linken Seite dieser Identität auf der rechten Seite sicherlich nicht vor- handen, weil nach Voraussetzung die h O sind, so daß wir wieder auf eine Unmöglichkeit geführt werden. Einzig bei p= 41 wäre für
= 23 allenfalls diese Identität denkbar, 3. Der Nenner der rationalen Funktion g(x) hat den Hert 1. Dann sieht also g(x) wegen g(0)= 1 so aus:
g(x)=(vIET1)(xv1).e(vix71).
Die Funkjionalgleichung für g(x) fordert dann die Identität: 14 p-pw. kz2². eEr. 1) 2(.1)**20=x* e.* 1).
—
Neil i und n beide größer als O sind und der Linearfaktor(x 1) von der rechten Seite dieser Identität sicherlich auf der linken Seite nicht vorhanden ist, führt auch dieser Fall zu einem Niderspruch.
Hiermit ist unsere Behauptung bewiesen: G6(X) und damit auch die Grenzfunktion M(p; 1,) des Kienastschen Algorithmus ist keine alge- braische Funktion von X; nur für p= 1 reduziert sich die Funktion M(pP; 1, x) auf 6145 algebraische Funktion, nämlich(2. und das steht auch im Einklang mit der Tatsache, daß wir in unserem Beweise p 4 11 voraussetzen mußten.
Allgemein wäre, so bemerkt Kienast, für derartige Verallgemeine- rungen von Algorithmen ein Satz zu beweisen über das Verhalten des
Grenzwertes limes a,= limes b.,= f(p) als Funktion von p, der eine n= l n n= l n
Parallele darstellte zu den bekannten Sätzen von Poinceré und anderen

— 72—
üb 4„— er die Lösungen von Differentialgleichungen als Funktionen eines In 1
evangel direkto!
1 Parameters.
Besuch
Gießen, den 15. Mai 1933. inhsn und bes
studier
Physik
23. Jul
Lehramt
das höl
referer
leir
Ingel,
Lönig,
(Cheni
Die
von He
un nei
nahme,
ständi
Die sche! Dokto

Lebenslauf.
ſeines
Am 19. Januar 1910 wurde ich, Nalter von Bültzingslöwen, dem evange lischen Bekenntnis angehörig, in Gießen als Sohn des Post- direktors Karl von Bültzingslöwen geboren. Nach dreijährigem Besuch der Vorschule des Gymnasiums zu Gießen trat ich Ostern 1919 in die Sexta des Landgraf-budwigs-Gymnasiums zu Gießen ein und bestand dort am 29. Februar 1928 die Reifeprüfung. Darauf studierte ich acht Semester reine und angewandte Mathematik, Physik und Chemie an der Universität Gießen und bestand am 23. Ju11 1932 in diesen Fächern die Staatsprüfung für das höhere Lehramt. Seit Herbst 1932 bin ich im Vorbereitungsdienst für das höhere Iehramt an der Oberrealschule in Gießen als Studien- referendar tätig.
Meine Hochschullehrer in Gießen waren die Herren Professoren: Engel, Geppert, Mohrmann, Falckenberg, Männchen(Mathematik); König, Bothe, Jaffé, Cermak, Uller(Physik); Elbs, Weitz, Meigen (Chemie); Messer, von Aster(Phi losophie).
Die vorliegende Arbeit verdankt ihren Ursprung einer Anregung von Herrn Professor Geppert. Dafür wie für seine vielen Bemühungen um meine mathematische Ausbildung und seine freundliche Antei l- nahme, die mich vährend meines Studiums und auch später noch ständig förderte, bin ich ihm zu großem Dank verpflichtet.
Die Dissertation wurde am 8. Juli 1933 durch die Phi losophi- sche Fakultät II. Abteilung zu Gießen genehmigt. Die mündliche Doktorprüfung bestand ich am 15. Ju1i 1933.
MNalter von Bültzüingslöwen,
Studienreferendar.

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XXIV. Heft
Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung höheren Grades, deren sämtliche Lösungen lineare Differential-
gleichungen höherer Ordnung befriedigen
von
VAX KElLBACH
aus Reiskirchen(Kreis Gießen)
Sießen 1933
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Gießen, Bismarckstr. 16
Preis RM. 1.50

Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht. Genehmigt durch die Philosophische Fakultät II. Abteilung am 28. VI. 1033. Berichterstatter: Dr. Engel 3 Dr. Geppert.
Drud der Buch⸗ und Hkzidenzdruckerei Meyer, Gießen

In der vorliegenden Arbeit sollen Klassen von Differen- tialgleichungen erster und zZweiter Ordnung höheren Grades aufgesucht werden, deren Integration durch die Integration von linearen homogenen ODifferentialgleichungen höherer Ord- nung geleistet wird. Von den gesuchten Differentialgleichun- gen kann man wohl, ohne sie aufgestellt zu haben, voraus- sagen, daß sie y und dessen Ableitungen nur in gewissen Verbindungen enthalten werden. Zwischen den Koeffizienten und ihren Ableitungen werden gewisse Bedingungen be- stehen müssen, die es aufzustellen gilt. Bei jeder Differen- tialgleichung von dem aufgestellten Typus wird man dann entscheiden können, ob sie nach unserer Methode lösbar ist oder nicht.
Für die beiden ersten Fälle wurde keine Literatur be- nutzt. Bei dem dritten Fall wurde zur Lösung der Aufgabe die Dissertation von Jakob Mölll herangezogen. Bei dieser Gelegenheit sei gesagt, daß Wallenberg sich in den„Fort- schritten der Mathematik“, Band 48(S. 490), darüber beklagt, daß Möll Arbeiten von ihm nicht erwähnt. Es wäre in der Tat die Arbeit von Wallenberg Crelle 121(1900), S. 210/217— „Die Differentialgleichungen, deren allgemeines Integral eine linear gebrochene Funktion der willkürlichen Konstanten ist“ zu erwähnen gewesen. Wallenberg benutzt allerdings den Umstand nicht, daß Zähler und Nenner jeder für sich eine lineare homogene gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung befriedigt.
1 Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Gießen 4. Heft, 1922.

4½ 0 0 1

——
I. Differentialgleichungen erster Ordnung und böberen Grades, deren sämtliche Lösungen eine lineare homogene ODifferentialgleichung zweiter Ordnung befriedigen.
a) Für den Falln=2.
Die Differentialgleichung erster Ordnung zweiten Grades hat die allgemeine Form:
(1) v2 22A(X, Vy= B(X, y)= 0.
Hierbei kann αν— G== O vorausgesetzt werden, da sonst die linke Seite ein vollständiges Quadrat ist. a und s sind inner- halb eines gewissen Bereiches reguläre Funktionen ihrer Veränderlichen.
Durch Differentiation von(1) nach x erhält man:
(2) y(2y+ 2)+ 2ay y? † y'(2 x † By) BX 0, eine Gleichung, die eine Folge von(1) ist. Diese Differen- tialgleichung zweiter Ordnung wird im allgemeinen keine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung sein. Es soll nun aber diejenige Klasse von Differentialgleichungen erster Ordnung zweiten Grades(1) aufgesucht werden, die durch Differentiation lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung nach sich ziehen. Sie sollen also eine Gleichung:
(3) y=H(X)y OOy
zur Folge haben, wobei und Funktionen von X allein sind. Damit dies der Fall ist, müssen zwischen den Koeffi- zienten und deren Ableitungen Bedingungen bestehen, die jetzt entwickelt werden sollen.
Jede Lösung der Differentialgleichung(1) ist auch eine Lösung der Differentialgleichung(2) und soll auch eine Lösung der Differentialgleichung(3) sein.

— 6—
Setzt man in(2) für y“ seinen Wert aus(3) ein, So muß jede Lösung von(1) auch der so hervorgehenden Differen- tialgleichung erster Ordnung:
(4) v2(2 1+‿2) y(2 ½y 2 1*+ 2 x † by)+ 2 5y x= O
genügen. Da die Differentialgleichung(4) eine Folge von(1)
ist, So erhält man, für y“ seinen Wert aus(1) in(4) ein—
gesetzt, eine Gleichung:
() y*(2 ½— 221— 4 22+ 2 ax by) 2%y bX— — 2587— 2 y b 0.
Diese Identität zerlegt sich in die beiden Gleichungen:
2%y— 2 al 2 ax— 4 2+ By= 0
2 ν— 281— 2yB+† bx= 0
Aus diesen beiden Gleichungen(ö) lassen sich und als
Funktionen von und und deren Ableitungen ausdrücken.
Zu neuen Gleichungen für und kommt man, wenn man
(6) partiell nach y differentiiert und dabei beachtet, daß und 7 Funktionen von x allein sein sollen.— Das gibt:
2%— 2 y 1 2 xy— 4 2y— 4 42y—† Byy= 0 2 ⁄%+ 2 ay Hy— 2 yI— 2 yyß— 2 y By Bxy= 0 Die 4 Gleichungen(6) und(7) für und müssen mitein-
ander verträglich sein; also müssen alle dreireihigen Deter- minanten der Matrix:
(6)
(7)
y— 21— 2a 4 2 6X Ay— f— 29, (8) 6 1— 2y axy— 2 ay 2 2yy— Head y— uys— ayky— La
verschwinden. Für und ergeben sich aus(6) die Werte: 2 x+/ G— 2 1 By— 2 Bx
9 D 2
4.
(10)„ aer 42 zy ey i kane e 2(u*— 5)

— 7—
Diese Ausdrücke für x und enthalten die Veränderliche y in der Tat nur scheinbar, denn aus den beiden Gleichungen (6) erhält man durch partielle Differentiation nach y unter
Berücksichtigung von(): Y Py 0 A. y dy— 8 7y 0 aus denen: QCy Jy 0 folgt, da die Determinante— nach Voraussetzung von
Null verschieden ist. Jede Lösung einer jeden Differentialgleichung:
v'2+ 2(X,y)y † B,y)= 0, deren Koeffizienten a und B zusammen mit ihren Ableitungen alle dreireihigen Determinanten der Matrix(8) Zzum Verschwin- den bringen, ist zugleich eine Lösung der Differentialgleichung zweiter Ordnung: v= 9GyrG)y wobei sich die Funktionen und aus(0) und(10) be- rechnen lassen und Funktionen von xX allein werden. Die Koeffizienten der Differentialgleichung(1) mögen nun den eben aufgestellten Bedingungen genügen. Dann befriedigen die Lösungen dieser Differentialgleichung(1) auch zugleich die Differentialgleichung(3). Wie findet man nun unter den .2 Lösungen von(3) die Lösungen von(1) 5 Die allgemeinste Lösung von(3) hat die Form:
(11) y= you yoV. Hierbei bedeuten yo und yo“ willkürliche Konstanten, u und v partikuläre Lösungen von(3).
Ich denke mir diese partikulären Lösungen von(3) S0 gewählt, daß für X= Xo: u= 1 u.= o
V= O0 Vv= 1
(12) wird.
Dadurch hat man erreicht, daß(11) die allgemeine Lösung ist, die für X= Xo den Wert y= yo annimmt. Die Ableitung nimmt dann für X= Xo den Wert y’'= yo an.

— 8—
Man weiß, daß sämtliche Lösungen unserer Differential- gleichung(1) die Form(11) besitzen. Es müssen also unter den Lösungen(11) auch diejenigen Lösungen von(1) ent- halten sein, die sich für X= Xo auf y= yo reduzieren. Um diese zu erhalten, setze man y'= you’+ yo V’ in(1) ein, und man bekommt:
(13)(vou vo V) 20,(vou- yo v). S= O. Insbesondere muß diese Gleichung für X= Xo erfüllt sein. Dies gibt unter Berücksichtigung von(12):
(14) yO+ 2 30y 80= 0,
wobei: 10= AX= XoO; B0— BX= Xo y= Y Y= yo
bedeuten. Hieraus ergibt sich für yo“:
(15) yo— 20 X Vao*— 80
Damit ist yo als Funktion von Xo und vo bestimmt, und so- mit sind aus den Lösungen von(3) diejenigen Lösungen von(1) ausgeschieden, die Lösungen von(1) sein können, und die für Xx= Xo den Wert y= yo annehmen. Die Lösung von(1) erhält man aus der Gleichung: (16) y*+ 2y(2ov— you)+ yYo*u— 2 0 yo Vℳ BoV2= O. Die Funktion für y aus(16) muß aber auch wirklich der Differentialgleichung(1) genügen, da sicher eine Lösung existiert, die für X= Xo den Wert y= yo annimmt, und wir andrerseits gerade die eine Funktion(16) erhalten, die als Lösung in Betracht kommt.
Beispiel: Es soll versucht werden, die Lösungen der Differentialgleichung: (17) y² 2 Xy’— 4 X2y= 0 nach unserer Methode zu finden.
Dies ist nur dann möglich, wenn in der Matrix(8) alle
dreireihigen Determinanten verschwinden. In unserem Fall lautet die Matrix:
y— X⁵ X2² Xy+ 4Xy— 4 Xy
(18) 1 0 0 5 4 2— 4X
48
mi
Di
8 di

all
— 9—
In der Tat verschwinden hier alle dreireihigen Deter- minanten. Für und erhält man aus den Gleichungen(0) und(10) die beiden Werte:
1 9=0; 1
Unsere lineare homogene ODifferentialgleichung Zweiter
Ordnung hat dann die Form:
77 2 1 7 (19) S„ F Wie man leicht erkennt, hat sie die Lösung: aXZ (20)=+ b
Aus diesen Lösungen von(20) müssen die Lösungen von(17) ausgeschieden werden; d. h. b ist durch a auszu-— drücken. Setzt man für y und y’ ihre Werte in(17) ein, so erhält man:
a² b 4 Die Lösung von(17) hat also die Form: 4„ a:* 315* 4
b) Hugemeiner Fall.
Die Differentialgleichung erster Ordnung niten Grades hat die allgemeine Form:
11) vI/+ Ar(X.y)y'n-l+ 2,y)yn2.. +. 2n- 1.,y)y+ an G,y)= O Wir setzen voraus, daß die Gleichung(1) keine viel- fachen Wurzeln hat. Dann sind in der Matrix:
21 2 2 3Gg.. Hlon
(2) n(n— 1)(n— 2) 3 An-1
sicher nicht alle zweireihigen Determinanten null, da sonst die Ausgangsgleichung die Form:
(v+ 24) 0
hätte.

— 10—
Differentiiert man(1) nach X, so erhält man:
nvnel 5 1 a1.. dayn-. — 1„ dan- 1. ½ dan 6]2. t.. Pen-iy,. rly.. ue⸗. n dan„ dy y= 0.
Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung wird als Folge von(1) im allgemeinen keine lineare homogene ODiffe- rentialgleichung zweiter Ordnung sein. Es soll nun aber diejenige Klasse von Differentialgleichungen erster Ordnung n-ten Grades aufgestellt werden, die durch Differentiation lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung nach sich ziehen. Durch Differentiation von(1) nach X und Benutzung von(1) soll man also zu Differentialgleichungen von der Form:
(4) y“= Gy N Cy
gelangen, wobei% und Funktionen von X allein sind. Da- mit dies der Fall ist, müssen zwischen den Koeffizienten von(1) und deren Ableitungen gewisse Bedingungen be- stehen, die jetzt entwickelt werden sollen. Jede Lösung der Differentialgleichung(1) ist auch eine Lösung der Differential- gleichung(3), soll aber auch eine Lösung der Differential- gleichung(4) sein. Setzt man daher für y“ seinen Wert aus (4) in(3) ein, Sso muß jede Lösung von(1) auch der so hervorgehenden Differentialgleichung erster Ordnung, die so geschrieben werden kann:
vn(m d) iß 217% ait t d— d)- A Sren e 12 dn) n- Ey † dn=o
(5)
genügen.
———— 0———.

— 8 56—=
Da(5) eine Folge von(1) ist, So muß, wenn man für:
„„n— 1— 4 y’n=— a, ven=1— a, vn 2=.. an-=1V= an
in(5) einsetzt, sich eine Identität ergeben, die sich in die n folgenden Gleichungen zerlegt. d-1. d22
da npᷣy— 1 1£‿ 8 d d= 0
dat dak-t!
dax (6)( k- 1)-k- 19y= K xkx* d dy
dan de en 1ev= nau,; an dy Aus diesenen Gleichungen müssen sich und eindeutig durch aα... on und deren Ableitungen ausdrücken lassen. Dies ist nur dann möglich, wenn in der aus(6) gebildeten Matrix alle dreireihigen Determinanten verschwinden. Aus diesen n Gleichungen für und ergeben sich aber n neue Geichungen für und 7 durch partielle Differentiation von(6) nach y, wenn man dabei beachtet, daß und Funktionen von X allein sein sollen. Das B
dar„ D22. d2ae d822 da G eeere 28 d dy
1, d ) 22 dy:² 5 3 dan 1 an dan do d’a⸗ (1Py 1)?=n 9 7 88 dX 89— dy dy dn dy² 0
Ich erhalte sSo für und die 2 n Gleichungen(6) und(7), die alle miteinander verträglich sein müssen, d. h. und genügen den 2n Gleichungen(6) und(7) dann und nur dann, wenn in der Matrix der Gleichungen alle dreireihigen Deter- minanten verschwinden. Dagegen sind aus dem auf Seite 9

— 12—
angegebenen Grunde nicht alle zZweireihigen Determinanten der Matrix gleich Null. Für und 7 ergeben sich z. B. aus den beiden ersten Gleichungen von(6) die beiden Werte:
d da d d⸗ d⸗ 202(G- ,S 8r) 4⸗ ddr 11) Seri d es
da da de d22 da-As E=⸗ 11 1— 21 d*)- n(— 22
dX d d b8 6) 1——
(8)*¾
ne e n
In diesen beiden Gleichungen für und kommt die Größe y in der Tat bloß scheinbar vor, denn die partielle Differentiation nach y der n Gleichungen(6) ergähe unter Berücksichtigung von() die n Gleichungen: ly Py— 97 Ay 0 (n= 1) 21 y— 2 2 Jy 0
en-1VYOy Non Ny 0 aus denen aber ey= Zy= O folgt, da ja in der Matrix ihrer Koeffizienten(s. 8. 9) nicht alle zZweireihigen Determinanten
verschwinden. Jede Lösung einer Differentialgleichung
n.-ciyn l-...=on-=ly ſeon
deren Koeffizienten ³1.. on zusammen mit ihren Ableitungen alle dreireihigen Determinanten der Matrix der Gleichungen (6) und(7) zum Verschwinden bringen, ist zugleich eine Lösung der Differentialgleichung(4) y= G)y IC)v
wobei sich die Funktionen und aus(8) und(o) be- rechnen lassen und Funktionen von x allein sind. Die Koeffi- zienten der Differentialgleichung(1) mögen nun den oben aufgestellten Bedingungen genügen. Dann befriedigen die Lösungen dieser Differentialgleichung(1) auch zugleich die Differentialgleichung(4). Wie findet man nun aber unter den * Lösungen von(4) die Lösungen von(1) 5
4

Die allgemeinste Lösung von(4) hat die Form: (10⁰) y= you-I. yo V
Hierbei bedeuten yo und yo willkürliche Konstanten; u und v partikuläre Lösungen von(4).
Man denke sich diese partikulären Lösungen u und v nun so gewählt, daß für X= Xo:
(1¹)
wird.
Dadurch hat man erreicht, daß(10) die allgemeine Lösung ist, die für X= Xxo den Wert y= vo annimmt. Die Ableitung nimmt für X= Xo den Wert y’= vo anl.
Man weiß, daß sämtliche Lösungen unserer Differential- gleichung(1) die Form(10) besitzen. Es müssen unter den Lösungen(10) auch diejenigen Lösungen von(1) enthalten sein, die sich für X= Xxo auf y= yo reduzieren. Um diese zu erhalten, Setze man für y’= you+ yo'V’ in(1) ein, und man bekommt:
(12) Gou y VE GCeHu' yo V)SA1.+ + an- 1(You' yo V) an=0
Insbesondere muß diese Gleichung für X= Xo erfüllt sein. Dies gibt unter Berücksichtigung von(11):
(13) vo+(2r*oyo!+.+(an 1)oYo †(an)o 0
wobei:(t)o(di)x=x(a4noo(anx=x, bedeuten. v= Y 9= So
Aus Gleichung(13) ist nun yo als Funktion von Xo und vYo Zzu bestimmen.
Somit sind aus den ᷣ Lösungen von(4) diejenigen Lösungen ausgeschieden, die Lösungen von(1) sind, und die für X= Xxo den Wert y= yo annehmen. Ich erhalte So als Lösung von(1)
u= u= 0 7
1 V= 0 V= 1
y= yo U yo V wobei yo den aus der Gleichung(13) zu bestimmenden Wert hat, und y einer Gleichung nten Grades genügt.

II. Differentialgleichungen zweiter Ordnung und zweiten Grades, deren sämtliche Lösungen eine lineare homogene Differentialgleichung dritter Ordnung befriedigen.
Die Differentialgleichung zZweiter Ordnung und zweiten Grades hat die allgemeine Form:
(1) ym2 †† 22(X, y,y)y B, y,)=O. Hierin sind a und b reguläre Funktionen von x, y und y“, für die die Bedingung: 24-5==O erfüllt Sein möge, da sonst die linke Seite ein vollständiges Quadrat ist. Durch Differentiation von(1) nach X erhält man:
(2) y“(2y+† 22) y(2 x 2ayy † By,)+ 2y, y* r h=o.
Die Differentialgleichung(2) ist eine Folge von(1). Sie wird im allgemeinen keine lineare homogene Differential- gleichung dritter Ordnung sein. Es soll nun aber diejenige Klasse von Differentialgleichungen zweiter Ordnung zweiten Grades aufgestellt werden, die durch Differentiation nach X lineare homogene Differentialgleichungen dritter Ordnung von der Form:
(3) y= G)y v(A)y)y“
nach sich ziehen. Hierbei sollen, und& Funktionen von X allein sein. Damit(2) von der Form(3) wird, müssen zwischen den Koeffizienten von(1) und deren Ableitungen Bedingungen bestehen, die jetzt entwickelt werden sollen.
Jede Lösung der Differentialgleichung(1) ist auch eine Lösung der Differentialgleichung(2) und soll auch eine Lösung der Differentialgleichung(3) sein.
Setzt man daher für y“ aus(3) seinen Wert in(2) ein, so muß jede Lösung von(1) auch der so hervorgehenden Differentialgleichung zweiter Ordnung
() v2(2½ ¾ν 2 2y,) y'(22y 27y 22 22-*+ 22yy+ gy,) 2 y † 2* BX gyy’= 0
genügen.

Da die Differentialgleichung(4) eine Folge von(1) ist, so erhält man, wenn man den Wert für y“? aus(1) in(4) einsetzt, eine Identität, die sich in die beiden Gleichungen
2νy+ 21=— 2% 22+ 2 ayy— 40ay,+ By,= O
5. G 22xy 221„ 28!0 22„,5- a HyY=O zerlegt. Aus diesen Gleichungen(5) folgt für„y+. y’ und: = 47.—5 7 ⸗ (6) 7. 22— 5) y+‿ 7y 22— 3 wobei. By a= 2X 2y y— 2 2-y,+ 2 6 39y“ Syy =— a„ 5 57
Durch partielle Differentiation von(7) nach y und y er- geben sich unter Berücksichtigung, daß und Funktionen Vvon X allein sind, für und die Werte:
6= Ce) G S.()
die(7) befriedigen müssen.
Durch partielle Differentiation von(6),(S8) und(o) nach y und y’ erhält man noch 6 Bedingungen für die Koeffizienten der Differentialgleichung(1) und ihre Ableitungen, denen sie genügen müssen, damit die Differentialgleichung(1) durch Differentiation nach x eine Differentialgleichung von der Form (3) nach sich zieht.
Nehmen wir nun an, die Koeffizienten der Differential- gleichung(1) genügen den oben geforderten Bedingungen. Dann muß jede Lösung der Differentialgleichung
V 2-== 2,(X,v,y)y 8(«,V, y)= 0 auch eine Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung dritter Ordnung:
9Ov E)y»y
sein, wobei sich, und% aus(6),(S8) und(o) berechnen. Wie findet man nun aber unter den Lösungen von(3) die* Lösungen von(1)

— 16—
Die allgemeinste Lösung von(3) hat die Form:
(1⁰) Y= you yo V-- vo w Hierbei sind yo, Yo“ und yo“ willkürliche Konstanten; u, v und w partikuläre Lösungen von(3).
Ich denke mir diese partikulären Lösungen von(3) nun So gewählt, daß für X= XO
u= 1— u= 0 u= 0 (11) V= 0 V= 1 V= O0 W= O W=O W“= 1
wird.
Dadurch hat man erreicht, daß(10) die allgemeinste Lösung von(3) ist, die für X= x den Wert y= yo annimmt. Die erste bzw. zweite Ableitung nehmen dann für X= Xo die Werte y yo bzw. y yo an.
Unter den Lösungen unserer Differentialgleichung(1) müssen auch diejenigen Lösungen enthalten sein, die sich für X= Xo auf y= vo reduzieren, und deren Ableitung für X= Xo den Wert y’'= yo“ annimmt.
Um diese zu erhalten, setze man den Wert
y= voll yo V I yo w in(1) ein, und man bekommt: (12) Gou † y v“ Tyo W“)“+ 22 Gou †yo V yo w0)*6= O Insbesondere muß diese Gleichung für X= Xo erfüllt sein. Dies ergibt unter Berücksichtigung von(11)
(13) yo 2yo o 0, wobei: d-o=(aà)x=Xo;: B0=(6) X= x, v v VY= Vo Y= yo bedeuten. Aus(13) ergibt sich für yo“: (14) yo=— 20 X a4*— 50
Damit ist yo“ als Funktion von Xa, yo und yo' bestimmt. Somit sind aus den Lösungen von(3) diejenigen Lösungen ausgeschieden, die Lösungen von(1) sind, und die für X= Xo den Wert y= yo annehmen.
Die Lösung der Differentialgleichung(1) ist bestimmt durch die Gleichung:

(1) y*— 2y Gou † yo V—%w)+ Go u † yo V)“— — 2 ³% W(Vou yo V) f 80 W2= O0 die sich ergibt, wenn man yo“ mit Hilfe von(14) eliminiert. Beispiel: Die Differentialgleichung
(1) v X“v(— 3X y 2Xy-1) 2Xy— 2yy= 0 soll nach unserer Methode integriert werden.
Durch Differentiation von(1) nach x erhält man: (2) V(2 y X= Z y X 2y X- 1)= 0 Daraus folgt aber die lineare homogene Differentialgleichung dritter Ordnung (3) v— 0 Die Integration gestaltet sich also hier besonders einfach. Ihr Integral ist:
(4) v= 4 bx c
Unter diesen Lösungen von(4) muß man noch die Lösungen von(1) ausscheiden. Setzt man für y, y“ und y“ aus(4) ihre Werte in(1) ein, so erhält man:
a= 2b C Die allgemeinste Lösung von(1) ist also: v=bex bXcC
III. Differentialgleichungen erster Ordnung zweiten Grades, deren allgemeines Integral von der Form y⸗ 3 ist, wobei u und vselbst wieder linearen
homogenen Differentialgleichungen zweiter
Ordnung genügen.
In der Dissertation von Jakob Möll ist die Aufgabe ge- löst, diejenige Klasse von Differentialgleichungen aufzustellen, deren allgemeines Integral die Form:
u (1) besitzt, wobei u und v selbst wieder linearen homogenen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung von der Form:

(2) u“= dou al u
(3) V= ov
genügen. Dabei sind die Koeffizienten α, α und Bo Funk- tionen von xX allein. Von ihnen wird vorausgesetzt, daß sie sich innerhalb eines gemeinsamen Gebietes regulär verhalten. Dann genügt y einer Differentialgleichung von der Form:
(4) 2Sy— 3 y“²+(Vy 3y y)+ ogyy+ y“— + yy+ 5 Vy= O0
wo die Koeffizienten... ,. Funktionen von Xx allein sind und folgende Bedingungen erfüllen:
(5) 21(7+ †. 3)— 001— 00,— 2%= 0
(6)?(51+ 42+ 4003)— 4001(1+ 2“)+. 1(3 1+ 22)— — 02— 165 0
lst nun umgekehrt eine Differentialgleichung von der
Form(4) gegeben, und genügen ihre Koeffizienten den Be-
dingungen(5) und(6), so läßt sich die Integration dieser
Differentialgleichung wesentlich vereinfachen. Das Integral
von(4) hat dann die Form:
u
S
wobei u und v selbst Differentialgleichungen von der Form (2) und(3) genügen, die man ohne Integration aufstellen Kkann. Aber auch jede Differentialgleichung erster Ordnung, aus der durch Differentiation eine Differentialgleichung von der Form(4) folgt, hat ein allgemeines Integral von der Form u v V wenn die sich dabei ergebenden Koeffizienten wi..., nur von Xx abhängen und den Bedingungen(S) und(6) genügen; u und v selbst genügen dann den Differentialgleichungen(2) und(3). Die Koeffizienten ο, αι und po berechnen sich aus den Gleichungen für Gi... z Zu:
(7) 91=— 1 (8) 8%= 7— 1+ 3 2+ 23 (0) 80= 31— 3⁰++ 203.

Es soll nun die Aufgabe gelöst werden, diejenige Klasse von Differentialgleichungen erster Ordnung zweiten Grades von der Form:
(10) v”+ 27,yyy'+ 3 ,y)y= 0 zu charakterisieren, deren allgemeines Integral von der Form
u.—. v= 2 ist, wobei u und v selbst wieder linearen homogenen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung von der Form(2) und(3) genügen. In der obigen Gleichung(10) kann 1*— 5== 0 vorausgesetzt werden, da sonst die linke Seite ein voll-— ständiges Quadrat ist. Dabei sind 7 und à innerhalb eines gewissen Bereiches reguläre Funktionen ihrer Veränderlichen. Da jede Differentialgleichung(4), deren Koeffizienten den Bedingungen(5) und(6) genügen, ein Integral von der ver- langten Eigenschaft hat, So braucht man nur die Bedingungen dafür aufzustellen, daß durch Differentiation der Differential- gleichung(10) nach X solche Gleichungen hervorgehen, die eine Differentialgleichung von der Form(4) nach sich ziehen. Dies soll jetzt durchgeführt werden: Durch Differentiation von(10) nach x erhält man:
(11) y’“(y+ 2)+ 2 y y †y(27X+ 3)+ X= O oder nach y“ aufgelöst: 2yy(r)
12 3= 3 610„ 2y+ 27 Die Gleichung(12) läßt sich aber auf die Form bringen: (13) V= ay bb
Hierbei berechnen sich a und b wie folgt: Aus(12) und(13) ergibt sich: — 2 1— v 2+ 59)— 3 x¼ ayb 2Vy 2
oder (14)— 2 7y y(2 x y) r 2ay y(2 b 2 ad)-2b Setzt man in dieser Gleichung für y“ aus(10) seinen Wert ein, So erhält man die Identität: (15) vy 441 21X— 3y)+ 27„— 5 x= y’(— 2a1+ 2 b)— — 2 as+. 2 b

— 20— Diese Identität zerfällt in die beiden Gle eldumgenn (16)— al+ b= 271 (17)— ad bI= 3. 2
Aus diesen beiden Gleichungen errechnen sich a und b zu:
(18) a— 8⁸ 8 (19) b=——— 32— 8 Durch nochmalige Differentiation von(13) nach x erhält man: (20) S2= ay ly ax v ay br byy
Setzt man für y“ und y“ ihre Werte aus(13) bzw.(10) ein, So ergibt sich: (21) y”“ y'(a ‿ ax- by— 2ay) ab bx— ayd
Jede Lösung der Differentialgleichung(10) ist auch eine Lösung dieser Differentialgleichung(21), soll aber auch eine Lösung der Differentialgleichung(4) sein. Setzt man daher aus(4) den Wert für y““ in(21) ein, so muß jede Lösung der Differentialgleichung(10) auch der so hervorgehenden Differentialgleichung:
eeh See9e dear.Aeiee v) 4 ay†) (22) ¼†‿ y A 2ab-—† 2 bz— 2ayò asy axey- by»
— 2ay 1ονꝙ‿‿ aboiy- bxwiV- ay? ,y)= O genügen.
Da diese Differentialgleichung eine Folge der Differential- gleichungen(10) und(13) ist, Sso muß, wenn man für y“ aus(10) und für y“ aus(13) ihre Werte in(22) einsetzt, sich eine Identität: y'(4 ab— 2a²— 6 a1lb— Aoον- 2703— 4 y 4 ax!+ 3 b ℳ‿
+. 4by T— Sayt— 2 bz 2 ay 3— al, y— ax i y— — by y 2 ay1 1V)—(3 b*— à*˙0— 30 25— b y + 3 5— 5 y+ 2 ax 5+ 2 by?— 4 ay 15— abo y— — bx iy+ ay 5 1 y)= O ergeben.
(24

l-
t:
— 21—
Diese Identität zerfällt in die beiden Gleichungen: 1(— dar— a'y— axy— byy+ 2 ay Ty 3b)+ (3)+ s(— ay) †. 121— y 4ab— 2a—+ + 4ax 7+ 4 byI— Sayl“— 2 bz+ 2ay 5= 0
(29) 10rG= Saaby= b ay d y)+.,(ſ— by). 35— — esy 3 b“— a“*-† 2 ax s 2 by d— 44y 15 0
Man hat also zwei Gleichungen für r.... oß erhalten. Man löse die Gleichungen(23) und(24) nach 2 und os auf. Differentiiert man die so erhaltenen Gleichungen partiell nach y und berücksichtigt dabei, daß n... z Funktionen von X allein sein sollen, so erhält man zwei neue Gleichungen für .. C0g; diese löse man wieder nach und z auf und differentiere wieder partiell nach y. So kommt man zu zwei Gleichungen für u, die miteinander verträglich sein müssen. Löst man beide nach auf und setzt ihre Werte gleich, so erhält man die Bedingung zwischen den Koeffizienten der Differentialgleichung(1) und ihren Ableitungen, der sie ge- nügen muß, damit die Differentialgleichung(1) durch Diffe- rentiation nach x eine Differentialgleichung von der Form(4) nach sich zieht, wobei die Koeffizienten... os Funktionen von xX allein sind, die man berechnen kann.
Jede Lösung einer solchen Differentialgleichung(10)
v”2+ 27, Yyy+ 3,y)= 0 ist Zugleich eine Lösung der Differentialgleichung(4): 27 y o(y) 3y y ev edyy-osy= O Die Funktionen l.... os sind hierbei eindeutig als Funktio- nen von X bestimmt. Genügen nun diese l... oß außerdem noch den Be-—
dingungen(S) und(6), Sso hat das allgemeine Integral der Differentialgleichung:
(10) y+ 27, y)y+ ,y)= 0
7
die Form:. u V
y

wobei u und v den Differentialgleichungen(2) und(3) ge- nügen. Die Integration der Differentialgleichung(10) wird also durch die Integration der zwei Differentialgleichungen: (2) u'“= zou al u (3) V= BoV geleistet. ν, α und Bo sind dabei durch(7),(8) und(o) be- stimmt. Die Lösungen dieser Differentialgleichung(10) be- friedigen zugleich die Differentialgleichung(4). Wie findet man nun aber umgekehrt unter den Lösungen von(4) die . Lösungen von(10) 5 Es seien e und f solche partikuläre Lösungen von(D), daß für X= Xo Wird: 6e= 1 e= 0 1=0 1= 1 Ebenso seien g und h solche partikuläre Lösungen von(3), daß für X= Xo Wird: 2=1 2= 0 h= 0= 1 Dann sind: u= Uoe † uo f V= Vog+ vo'h die allgemeinen Lösungen von(2) und(3), unter uo, ug', Vo. vo“ Willkürliche Konstanten verstanden, und zwar wird für X= Xo: u'“= 20(Xo) uo+ 1(Xo) uo- V= H0(Xo) Vo Die allgemeine Lösung von(4) wird:
u A 7 und es ist leicht, die Größen Vo 119.. 20. Ilo lio l0
So zu bestimmen, daß y, y'“, y“ für X= Xxo vorgeschriebene Anfangswerte yo, Yo“, yo“ annehmen.
Die allgemeine Lösung von(10) ergibt sich nunmehr, wenn man yo“ und yo“ so wählt, daß die Gleichung(13) für X= Xo, y= yo erfüllt wird.
b lenti 2
besi gei
die wyill

ür
e
— 23—
Das beschriebene Verfahren führt z. B. bei jeder Diffe- rentialgleichung erster Ordnung zum Ziele, deren allgemeine Lösung die Gestalt:
49Oa 1 4 Ga
besitzt.
In ähnlicher Weise kann man überhaupt jede Differential- gleichung erster Ordnung behandeln, deren allgemeine Lösung die Form hat: y ist eine solche Funktion von x und von der willkürlichen Konstanten c, die in Bezug auf c rational ist.

Lebenslauf.
Als Sohn des Herrn Jakob Keilbach und dessen Ehe- frau Anna, geb. Gehre, wurde ich, Max Keilbach, katho- lischer Konfession, am 24. August 1906 zu Reiskirchen(Krs. Gießen) geboren. Hier besuchte ich drei Jahre lang die Volks- schule und trat dann in die Oberrealschule zu Gießen ein. 1915 siedelten wir nach Lich über und 1920 nach Undenheim (Rheinhessen). Den weiteren Unterricht erhielt ich in der Oberrealschule zu Mainz, wo ich 1925 die Reifeprüfung bestand. Darauf studierte ich Mathematik und Physik an den Universitäten Gießen, Berlin und München. In Gießen besuchte ich die Vorlesungen der Herren Professoren Cermak, Engel, Falckenberg, Fromme, Geppert, Jaffé, König, Maennchen, Messer, Schlesinger und Steinbüchel. In Berlin die der Herren Professoren Hammerstein, von Mises, Max Planck, Erhard Schmidt, J. Schur und Wehnelt, in München die der Herren Professoren Becher, Caratheodory, Graetz, Hartogs und Tietze. Ihnen allen möchte ich an dieser Stelle meinen Dank aus- sprechen. Besonderen Dank schulde ich Herrn Professor Engel, der mich zu meiner Arbeit anregte und mir bei ihrer Abfassung in liebenswürdigster Weise zur Seite stand. In Gießen legte ich im Sommer 1920 die wissenschaftliche Prüfung für das höhere Lehramt ab. Meine Seminarausbildung erhielt ich unter Leitung von Herrn Oberstudiendirektor Prof. Roller an dem Seminar der Oberrealschule zu Gießen, wo ich auch im Sommer 1031 die Staatsprüfung für das höhere Lehramt bestand.
Seit Ostern 1931 verwalte ich eine Assessorenstelle an der St. Marienschule zu Mainz.

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Gießen.
Herausgegeben von den Direktoren des Seminars. XXV. Heft.
Zwei isoperimetrische Variationsprobleme der nichteuklidischen Ebene
Karl Bechtold
aus Lauterbach/ Hessen.
Gießen 1934
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Gießen, Bismarckstr. 16 Preis RM. 1.50

Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht. Genehmigt durch die Philosophische Fakultät II. Abteilung am 15. 12. 53. 80
N Be Berichterstatter: 86
Dr. Geppert. Dr. Engel.
Dissertationsdruckerei und Verlag Konrad Triltsch, Würzburg

ch In seiner Dissertation„Variationsprobleme der nichteuklidi- schen Ebene“ ¹) behandelt Freidank nur die bekanntesten freien Variationsprobleme und läßt die isoperimetrischen gänzlich au- Ber Acht. Die vorliegende Arbeit untersucht die beiden interes- santesten gebundenen Probleme und zwar das Problem der Kö- nigin Dido und das des tiefsten Schwerpunktes.
¹) Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität
Gieften, XVII. Heft 1929.

Das Problem des größten Flächeninhaltes einer Figur von vorgegebenem Umfang.
Problemstellung: Durch zwei Punkte der hyperboli- schen Ebene A und B soll eine Kurve von vorgegebener Länge derart gelegt werden, daß das von ihr und der Strecke 4B um- schlossene Flächenstück den größtmöglichen Inhalt hat.
I. Die Euler'schen Differentialgleichungen.
Wir wissen schon, daß ganz allgemein auf jeder Fläche die- ses Problem die Kurven konstanter geodätischer Krümmung zu Extremalen hat, wollen aber in unserem Fall diese Kurven wirk- lich bestimmen. Zum Zwecke der analytischen Behandlung wäh- len wir Grenzkreiskoordinaten und haben somit das Bogenele- ment, wenn wir uns die Extremalen bezogen denken auf den Parameter k:
—— Th, 48=—„ 5 e. A5 und das Flächenelement:
d=(1— e ⁸)'. At
Es handelt sich damit um das homogene isoperimetrische Varia- tionsproblem:
12 6„ 1— e). dt= maw., wenn 7 ee e. e. At=Aal. 7„ 8 t 7
1 11
oder, nach der Euler'schen Regel, um die Lösung des Problems:
..—— 6 fI. At= 5Ld- eS)„+ 1 8²+— e 2s„) 2. t= 0
Daraus bekommen wir die Differentialgleichung unseres Extre- malenfeldes:
2
Na be
u-
al

qt.
3
Die Integration liefert nach Verwendung der Substitution&= In:
5
im Falle c: 1 = w,==h(1 e 1)— vo ſ(1— c) im Fall c= 0: 60—„==. VWa
Nachdem wir darin die Substitution rückgängig gemacht haben, bekommen wir das dreidimensionale Extremalenfeld:
1 12 (7— vo)*(4 3) 8 und(7)— 10) V—=
Es zeigt sich leicht, daſß im Fall c-O unsere Extremalen tat- sächlich Kreise sind. Insbesondere finden wir, daß es sich dabei um Feldkreise, Grenzkreise oder Abstandslinien handelt, jenach- dem ob
) ist. Der Fall«=O läßt sich hier nicht entscheiden. Wir erkennen
aber, daß dann die Extremalengleichung Abstandslinien be- schreibt, die von den Koordinatenlinien-yo= O den Abstand
haben.
II. Die hinreichenden Bedingungen für das Bestehen der Extrema. (Die Frage nach der Durchführbarkeit der Weierstraf'schen Konstruktion und die Extremalenhülle.)
Unter der Voraussetzung der Durchführbarkeit der Weier- straf'schen Konstruktion entscheidet sich die Frage nach der Art und dem tatsächlichen Bestehen eines starken Extremums nach der allgemeinen Theorie von Weierstraß mit dem definiten Vorzei- chen der E-Funktion. In unserem Fall wird:

Sr& Pe hr e 2 s
e-21—
Da 2=ee n —— 5e er 1=ese,
2
7— 2— 7 S,2— 6.,
d. h. gleich dem cos des Winkels, unter dem die gemäf der Weier- straß'schen Zusatzbedingung ausgewählten Extremalen die ange- nommene Vergleichskurve schneiden, und E e 3 n2 nirgends 0O wird bei Voraussetzung der Singularitätenfreiheit dieser Ver- gleichskurve, so verschwindet der Ausdruck:
(1— cosa) 1 E2 Ae 5„e
höchstens ordentlich.
Es hängt demnach die Frage nach dem definiten Vorzeichen der E-Funktion ab von dem bestimmten Vorzeichen von 1. Um nun dieses Vorzeichen zu ermitteln, berechnen wir den invarian- ten Weierstraß'schen Ausdruck T:
„ S e e, e T= 38 G) 3, EE) † M. G.— I 5).
Die Extremalen genügen bekanntlich der Differentialgleichung T=0. Bei unserem Problem wird nach Einführung der geodäti- schen Krümmung egNE der Extremalen:
7 =)—Y—— 1= ee o. a.h 4= een.
Da aber ogNE beim Kreis positiv ist, ist das sinngemäft von 0 verschiedene 4 bestimmt immer negativ, und wir sehen, daß un- sere Extremalen das Maximum liefern.
Wie schon festgestellt, ist die wesentliche Bedingung für die Gültigkeit dieser Kritik die Durchführbarkeit der Weierstraß- schen Konstruktion, d. h. die Möglichkeit, aus der dreifach unend- lichen Mannigfaltigkeit der Extremalen genau eine, oder doch nur endlich viele, auszuwählen, die durch zwei fest vorgegebene Punkte geht und dem Integral K=/ G. dt einen vorgegebenen
4
80
tio
ni

er-
en Im 1n.
ng
ti⸗
Wert erteilt. Mit anderen Worten: Wenn das sogenannte räum- liche Extremalenfeld, das durch einen Punkt ausgewählt ist, be- schrieben wird durch:
=(t, a, b)
3= J(“, a, 2) 1
2 2(7, a, b)=[G. di, 70
so gilt unsere Extremalenkritik solange, als die Jacobi'schen Funk- tionaldeterminante
nicht verschwindet.
Wir wollen bei unserem Problem nun diese Determinante unter- suchen. Dazu wählen wir die Extremalen zweckmäßigerweise so aus, daß sie durch den Ursprung des Koordinatensystems gehen. Die allgemeine Gleichung der Feldkreise in Parameterdarstellung finden wir dann nach einfachen geometrischen UÜberlegungen zu:
Eea. VWe,(l cos:)= y sin⸗ „= b. Va= o 1.(1cos) †- a sine.
Darin sind po= Va έα; ¹; b die Koordinaten des Kreis- mittelpunktes und ist der Mittelpunktswinkel der zum Kreisbogen vom Ursprung bis zum laufenden Punkt P gehört. Da nun der Bogen des Kreises mit dem Radius 7, der dem Zentriwin- kel k entspricht, sich errechnet nach der Formel s=t⸗Sin r, so ha- ben wir in:
2= S= a+† b' t die letzte der drei Gleichungen.
Damit wäre zunächst nur die zweidimensionale Schar der Feld- kreise durch den Ursprung erfaßt; wir bekommen daraus aber so- fort die Schar der Abstandslinien durch diesen Punkt, wenn wir zum Kreismittelpunkt einen idealen Punkt wählen, d. h. wenn wir an die Stelle der reellen Mittelpunktskoordinaten die reellen Koordinaten einer Geraden setzen, die dem imaginären Kreis- mittelpunkt entspricht; nämlich:
2; 5,
2— 41;

7=. z.
Wir bekommen also die zweifach unendliche Schar:
r= a V 2*+ 5 1.(1— Coſz)—„Sine „= Ve Soſe). Sim⸗ 2= Der Fall der Grenzkreise erledigt sich hier von selber mit, und es
ist gleichgültig, ob wir sie„noch“ zu den Feldkreisen oder„schon“ zu den Uberkreisen zählen.
Für die Schar der Feldkreise berechnen wir die fragliche De- terminante zu:
A= 2 Va+‿☛L5 Sin ½(2 sintſe— 1 cos:/)(1+(a*+ 5*)(1— cost).
Diese Determinante verschwindet: 1. für sin ½= o; d. h. ᷑= 2 Q α õ= O ist selbstverständlich); 2. 2 sin ½= k cos ²½; d. h. ½= tg /½, also jedenfalls für ei-
nen ersten Wert 2 x.
Der Faktor 1+(a²+ b²)(1— cos t) verschwindet nie!
Wir sehen hieraus, daß der Ursprung— oder allgemeiner gesagt jeder einzelne Punkt— zu sich selber konjungiert ist, und es
kann deshalb nicht ohne weiteres entschieden werden, ob der Vollkreis tatsächlich ein Maximum des Problems liefert. In- dessen werden wir weiter unten zeigen, daft dies der Fall ist.— Was die Punkte angeht, die die Determinante zum zweitenmal zum Verschwinden bringen, so können sie, da sie sämtlich über den O0-Punkt hinausliegen, erst recht nicht erreicht werden und ha- ben für die Gefährdung des Extremums keine praktische Bedeu- tung mehr. Es ist aber interessant, die durch sie bestimmte ein- dimensionale Schar der Einhüllenden unserer Extremalenschar festzustellen.— Bevor wir dies tun, wollen wir erst noch die De- terminante 4 so erweitern, daß sie auch die Schar der Abstands- linien durch den Ursprung erfaßt. Wir verwenden dazu dieselben Transformationen wie auf Seite 5 und erhalten:
1= 2 υ †„* Sin ½(. Coſ— 2 Sin 12⸗(æ*+ 5²) Coſ⸗— 1) †1).
Diese Determinante verschwindet, abgesehen von dem selbstver- ständlichen Wert 2= 0, in keinem zugänglichen Punkt der Ebene.
6
und aufterdem beachten, dafß der Winkel t auch imaginär wird:
80 Sche
ode
0c

lird:
l es on“
ei-
1 3
Wir stellen also fest, daß bei unserem Problem nur die Schar der Feldkreise eine Hüllenschar besitzt; wobei auch die Grenzkreise schon nicht mehr mitzurechnen sind, denn der Grenzkreis würde, als geschlossene Kurve gedacht, dem Integral K einen unendlich grofſten Wert erteilen, was nicht im Sinne der zu treffenden Ex- tremalenauswahl liegt.
Bestimmung der Hülle der Schar der Feldkreise. Wenn eine zweidimensionale Kurvenschar gegeben ist durch: xT= X(4, a, 55) = DJ(n 5), so gilt für den Schnittpunkt von zwei benachbarten Kurven dieser Schar: æ(t+ dt, a da, b db)=(t, a, 5) y(t dt, a+ da, 5+ d65)=„(t, a, 5),
oder nach Taylor entwickelt:
xr, t za da rp db=0
Jt dt Ja dao„ d 0. D. h. die eindimensionale Schar der Einhüllenden unserer Kurven muß folgender Differentialgleichung geniügen:
da i Ja— Jt 2r † db(7 b= J1*½)=0. Im Falle der Schar der Feldkreise durch den Ursprung handelt es sich somit um die Lösung der Differentialgleichung: da( a(1— cost)— b Val † 5 1 sint)+ d5(5(1— cost)+ eVe oder: da(a tg— 5b Var 52 1])+ d5b(5 tg ½ † . aA V e=o
Nun folgt aber für die Hülle aus dem Verschwinden der Determi-
nanten: tg t P½= t% und also wird:

da(a to— 2 b V a e 4. d5(5 2o 2a V 2 5 1=.
Diese Differentialgleichung läftt sich lösen mittels der Substitution
a= a C0S5
b= a. sing.
Damit geht sie nämlich über in: 8
und läftt sich integrieren:
5= o Ar Sin(4)+ const. 2 a
Wenn wir darin die Substitutionen rückgängig machen, folgt:
arctg 5= 1 Ar Sin 8)+ const.
2 2 Gᷓ
Eine einfache geometrische Umrechnung liefert uns die Hüllen-
schar anstatt in a, b— den Koordinaten der Krümmungsmittel- punkte der Kurven— in den Polarkoordinaten 9: G: to sin 1%½ COs ² ⁄½ 9= Ar Sin u 4) arcsin(s 62) const. 3 2 Sin ½ 8 Coſ ⁄%½*.
In dieser Gleichung erkennen wir als Hüllkurven eine Schar von Spiralen, die sich asymptotisch um den Ursprung winden. Wir se- hen aber auch, daß es nicht nur eine solche Hüllenschar gibt, son- dern unendlich viele, allerdings von einander getrennte Scharen, da ja aus der Gleichung toſe= tg ¼%½ unendlich viele Werte to
anfallen.
III. Die Transversalität des Problems und der Beweis für die isoperimetrische Eigenschaft des Vollkreises. Wir wissen, daß unser isoperimetrisches Variationsproblem kei- ne diskontinuierlichen Lösungen im Sinne von Carathéodory be-
sitzt, da die Weierstraf'sche E-Funktion nicht verschwindet. Aus dieser Feststellung folgern wir aber sofort, daft die Transversa-
8
lität neh- und Kre gez unt und halt

3d-
lität unseres Problems im rechtwinkligen Schnitt besteht. Wir nehmen nämlich eine Strecke 48, errichten auf ihr in B das Lot, und fragen uns nach derjenigen Extremalen(nach demjenigen Kreis) von vorgegebener Länge, die von A nach dem Lot derart gezogen ist, daß ihr Endpunkt auf dem Lot frei variieren kann, unter der Bedingung, daß das Flächenstück, das von ihr, dem Lot und der Strecke 4B umschlossen wird, einen möglichst groften In- halt/ besitze.
Angenommen die Extremale k¹ leiste dies. Dann müfte, wenn wir die ganze Figur an dem fraglichen Lot spiegeln, der geknickte Extremalenzug Kðxõ das Maximum des Variationsproblems mit den festen Endpunkten A und A liefern. Dies ist aber nach der obe- ren Feststellung solange unmöglich, als der Zug Kk' einen Knick aufweist. Die einzig mögliche Lösung der gestellten Aufgabe ist also die Extremale e des Variationsproblems mit den festen End- punkten A und 4'. Der Definitionseigenschaft des Kreises gemäf schneidet e aber das Lot B senkrecht, womit die behauptete Transversalität bewiesen ist.
Nehmen wir nun insbesondere die beiden Endpunkte der Ex- tremalen als frei variierend auf einer und derselben Geraden an, so ergeben sich als Extremalen sofort die Halbkreise, die auf dieser Geraden senkrecht aufsitzen. Nach der Spiegelung eines solchen Halbkreises an der Geraden, haben wir im Vollkreis die Figur, die tatsächlich von allen geschlossenen Kurven gleichen Inhaltes den kleinsten Umfang besitzt..

Unb
hand die gel)
Das Problem des„tiefsten Schwerpunktes“.
Wir fragen uns nach der Kurve, in die sich ein homogener, vollkommen verbiegbarer Faden von vorgegebener Länge hängt, wenn er in einem vorgeschriebenen Schwerefeld in seinen End- punkten frei aufgehängt wird. Um dieses Problem mit den be- kannten Methoden der Variationsrechnung erfassen zu können, formulieren wir die Aufgabe dahin, daß diejenige Form des Fa- dens bestimmt werden soll, in der in dem Faden selbst das Mini- mum(möglicherweise auch Maximum) an potentieller Energie auf- gespeichert ist. Dabei werden wir nun sinngemäß unsere Be- trachtung in Beziehung auf die vorgegebenen Gravitationsfelder auf die 3 einfachen Fälle beschränken: Nämlich, daß 1. das Gravi- tationszentrum in einem Randpunkt der N. E. E., 2. in einem Uber- punkt und endlich 5. in einem Feldpunkt liege. Um für den drit- ten Teil eine unmittelbare qualitative Anschauung der Verhält- nisse zu bekommen, wollen wir parallel zu ihm den gleichartigen Fall in der Euklidischen Ebene betrachten.
Die Newton’schen Potentiale für die einzelnen Fälle finden wir bei Liebmann ¹), wo sie abgeleitet werden an räumlichen Flüssigkeitsströmungen aus punktförmigen Quellen, zu:
„— 28. 3.. 1. 71=— 1/½ const e+ C in Grenzkreiskoordinaten,
2. Ve= const· Tg)+ C in Uberkreiskoordinaten,
3. V=— const Colg+ C in Feldkreiskoordinaten.
I. Die Variationsprobleme.
Die Aufgabe, die wir uns gestellt haben, hat durchaus ebenen Charakter, sodaß wir uns bei unseren Untersuchungen beschrän- ken können auf eine Ebene, die das jeweilige Anziehungszentrum enthält. In jedem Falle erhalten wir damit das isoperimetrische Variationsproblem:
Pe Pa IV ds= extremum; 1 ds= datum
P P 5 .
¹) Liebmann„Nichteuklidische Geometrie“ S. 151. G
1
10

nen än- um
che
Unbeschadet der Allgemeingültigkeit der Ergebnisse können wir in den Ausdrücken für die Potentiale die multiplikativen Konstan- ten gleich 1 und die additiven Konstanten gleich 0 setzen. Wenn wir dann jedes einzelne Problem in dem Koordinatensystem be- handeln, das ihm natürlicherweise zukommt, so bekommen wir die drei Variationsprobleme(mit Verwendung der Euler'schen Re-
gel):
12 1. 3 ſ—2) V 11
in Grenzkreiskoordinaten,
12
2. s ſ(Kgy+ a.) Vy+ Cof
71
1.e 0
in Uberkreiskoordinaten,
t⸗ 3. 3 ſ(— Cotg?+) Vr Smr g dt= O
7. 4 in Feldkreiskoordinaten, 72 1 32. 3 1(—=),, k1
in Eukl. Polarkoordinaten.
II. Die Euler'’schen Differentialgleichungen und ihre Lösungen. Die Extremalen eines homogenen Variationsproblems: le 6 1 I(=,„, eν,) dt= O 7 müssen bekanntlich den Euler'schen Differentialgleichungen: d
Hv— 42(Hn)= 0 und,=(7)= o dt 5 dt 6
genügen.
Fassen wir und z als verallgemeinerte Koordinaten auf, so fin- den wir, daß unsere drei Variationsprobleme spezielle Fälle einer
11

maßen ansetzen lassen:
12, 1 8 ſ GG+ h) 2 5+‿ eoh aAt=o. 71 do
Daraus bekommen wir die Euler'sche Differentialgleichung:
CAr
Av,o),, ⸗ eſu s do Nach Elimination des Parameters k d I dr———— (*) 1(O 1= 3 28 8
Diese Differentialgleichung wird nun freilich nicht für jede Funk- tion V(o) einfach zu integrieren sein, in unseren drei Fällen aber
ist die Integration leicht zu bewerkstelligen.
1. Das Anziehungszentrum ist ein Randpunkt.
2 S
Hier gilt:= S;/= und V()=— ⁄½
Die Integration erledigt sich nach einer bekannten Formel ergibt:
„— 5b=— GAr Coſ 9 2A e
2. Das Anziehungszentrum ist ein 7Lrbun i
In diesem Fall wird mit. ‧—=„. 77(o)= Tg„
u— 41(Tg) V(Tg„ g
gröfßteren Klasse von Variationsproblemen sind, die sich folgender-
„ und wir bekommen:
Dan
fün

fler-
Ink- ber
Ind
—
und die Integration liefert die Extremalenschar:
.Ar Cof G.+ 1) g 44
— 5=——„ 3. V 2Vl=
3. Das Anziehungszentrum istein Feldpunkt. Dann ist: o=;, ⸗ü= und 7(o)=— Colg-, also: dꝙ=— C—,—— 4 Cotg)——. V G= Cotg ⸗) c(1= Cokg“ ⸗) Daraus die Extremalenschar:
1
für= 1:= B= VA2 1=— 27 Cotge.;, 2(1—) E— 1 Sr 3 Sle e e el. V 1— G c V G— 1+ 2 3— G*) C—4 für 1:— 5=——— arccos 81.) Lei. V G=1 e=
5a. Euklidisches Anziehungsproblem.
. 1 Hier erhalten wir mit: σ☛᷑t,= und V0⁰)=— 1 ) d 9——6 (—„ C 2 7 Integriert: Wenn= 1: P„— 5 1 4² 2 4— 1 B (1— G) 3— Ao . C. Wenn c-=1:„— 5=— Ar Coſ——. 2 C 1

Wenn 1:„—„—
III. Diskussion der Extremalen.
Um zu erkennen, welche geometrischen Eigenschaften unseren Extremalen zukommen, und wie wir sie sinngemäß zu benennen haben, wollen wir in jedem der von uns benutzten Koordinatensy- steme Kurven aufbauen, die eine ähnliche einfache Rektifikation zulassen wie die Euklidische Kettenlinie.
1. Im Fall der Grenzkreiskoordinaten.
Uber dem Abstand eines jeden Kurvenpunktes P vom Grenzkreis E=&o als Hypothenuse soll ein rechtwinkeliges Dreieck derart errichtet werden können, daß die durch P’ gehende Kathete im- mer konstant gleich a ist, während die durch P gehende Kathete jeweils gleich sein soll dem gestreckten Kurvenbogen, gemessen von einem festen Kurvenpunkt Po, dem die Ordinate vo zukommt, bis P(siehe Figur). Es soll also sein: P
3 2 3 4 2 3
Cof( 6n)= CoſaCoſ(ſYV1 7 25). 5 Po
Nad forE. ven
d7
Inc tiale bler die
mal
Die
gr 8

ren nen lisy- tion
reis art im- ete seT mt,
und einer einfachen Um-
Nach ausgeführter Differentiation nach formung erhalten wir die Differentialgleichung, der unsere Kur-
ven genügen müssen, zu: d= X Sinae b.— 4() Ve 2(2Gina 1)«
25 2— 5
In dieser Differentialgleichung erkennen wir aber die Differen- tialgleichung unserer Extremalen im Falle des Anziehungspro- blems mit dem Anziehungszentrum im Randpunkt, wenn wir nur die dortigen Konstanten mit den Konstanten a und ðo folgender- maften identifizieren:
2
Sso
c= Sina e o 3 ℳ ä= /½2⸗ 6 5
Diese geometrischen Konstanten und oO werden in das Inte- gral auf Seite 15 eingeführt:
—— S— C „ö b= T Sina* 5Ar Coſ— Coſ 24.
Sin 2 Wird nun a als positive Gröſte angesprochen, so muf, damit der Ar Cof einen Sinn habe, gefordert werden:
4 e 3 Coſ 24 Sin 2a, d. h. 5 o— a.
In diesem Falle verlaufen demnach alle unsere Extremalen links
vom Grenzkreis&=&o und kommen diesem im Abstand am nächsten. Setzen wir dagegen l=— à 0, so miüssen wir fordern:
2 6☛— K——— 2 e( ³) Coſ 2 4— Sin 24;, d. n.: 5= 50.. Diese Kurven verlaufen also alle rechts vom Grenzkreis&=&o und haben jeweils den kleinsten Abstand von ihm.
Nach den physikalischen und mathematischen Verhältnissen werden wir perechtigt sein, unsere Extremalen„Kettenlinien ge- gen den Grenzkreis“ zu nennen, und werden jenachdem, ob a po- sitiv oder negativ ist, unterscheiden müssen zwischen links- und rechtsseitigen Kettenlinien.
2. Im Fall der UÜberkreiskoordinaten.
Hier haben wir an die Stelle der Grenzkreise im Fall 1 Uber- kreise zu setzen und bekommen aus den gleichen Uberlegungen wie dort nach den entsprechenden Buchstabenänderungen:
15

Eine analoge Umrechnung wie im vorigen Fall liefert die Diffe- rentialgleichung, der hier unsere Kurven genügen müssen:
Sina d(Tg J) 72 Coi W Gin ae. y)—-=(1— T9„) Tg„) Coſe F 99
Diese Differentialgleichung stimmt mit der für die Extremalen des Problems mit dem Anziehungszentrum im Uberpunkt über- ein, wenn wir setzen: Sin a Coſ 9
e; Tg 9=
Also bekommen wir unsere dreidimensionale Extremalenschar, geschrieben in ihren natürlichen Konstanten, zu: Sin a 2— 5—*+—— e X✕ /., 2 2 Sin a † Coſ„ 4 insa Soe) F= Sin„ E— * Ar Coſ(Sin a † Coſ No) Tg Sin Coſ. Sin à Coſa
Ist nun hieran a positiv+ o, so müssen wir fordern:
Tgo(Sin' a+ Coſ„)— Sin N% Coſ9 Sin a Coſa
1, d. h.+†a.
Wir haben es demnach hier mit Kurven zu tun, die rechts von den Abstandslinien„= Jo verlaufen und nennen sie sinngemäß: „rechtsseitige Kettenlinien gegen die Abstandlinie“.
Setzen wir zum anderen=—*£o, so muf jetzt gefordert werden:=— a. Diese Kurven liegen also alle links von den Abstandslinien)=%, und es kommt ihnen entsprechend der Name „linksseitige Kettenlinien gegen den Uberkreis“ zu.
5. Im Fall der Feldkreiskoordinaten.
An die Stelle der Grenzkreise im Falle 1 treten Feldkreise, und es ist demnach für unsere Kurven zu fordern:
16
Somi
Du mal finc lini den
Die gel
fal
,

fle-
ulen er-
dar,
‧⁴
P Coſ(— ro)= CoſaCoſ 61 V 1 Sinsr„ 1. agr). Po
Somit die Differentialgleichung, der hier unsere Kurven genü- gen müssen:
7= Sin⸗ A Cofge) &%—
. 2
Sinan V(Wn,,= Gofa7 Sme(1—Cotg'r) Sin no
Durch Vergleichen mit der Differentialgleichung für die Extre-
malen des Problems mit dem Anziehungszentrum im Feldpunkt
finden wir, daß diesen Extremalen wieder die bekannte Ketten-
linieneigenschaft zukommt. Zwischen den Konstanten c und 1 und
den Daten der Kettenlinie bestehen dabei die Beziehungen:
G= Siſ⸗ 2= Colg o. Sin no Diese Beziehungen, in der Extremalengleichung verwendet, er- geben: 1 . 2 2—.— falls„o= a4 9=5= † Cotgr, V Cotg'ro 4 1—2 Cotgno Coklgn,
falls:
; 1„, S=i. 3;„ 9- Ar Cof(Sin ro tn e) Cotgr=Sin ro Coſ⸗. V Sinmr,— Sina Sin a Coſa falls 9 Sal. O b=†—e arccos Sin re Cn e) Ee49, Sin⸗eCole V Sin'a- Sinsro Sin a Coſa
Im Falle, daßt a als positive Größe, die von 0 verschieden ist, an- gesprochen wird, muß für la sefordert werden: ina Coſa—Sin ro Coſn Cotgr= Sin Coſ⸗ Si 2 oſ 2 d. h.= o a. Sin no—Sin a Ist nun für positives[ro=aêp, so mufß sein: —.2 1.,2„ — Cotgn(Sin a= Sin 70)— Sin!o Goſse= 1 1 Sin a Coſa
Die letzte Ungleichung ist für positive 7 trivial, die erste liefert:
7= wo a,

und besteht auch sehr wohl für negative Werte von ro, wenn nur gilt. a Setzten wir dagegen jetzt a=— a. κ£μ̈ y0, und ist Q, so haben wir zu fordern:
2.= vo I A.
In dem Falle r ☚. 2 bewirkt a=— nur eine Drehung und keine Gestaltsveränderung der Kurven, nämlich mit Rückxsicht auf:
arccos(— u)= z— arccos z.
Wir sind also auch in diesem Falle, wenn das Anziehungszentrum in einem Feldpunkt liegt, berechtigt, unsere Extremalen Ketten- linien zu nennen, und zwar Kettenlinien gegen die Feldkreise. Die feinere Unterscheidung, rechts-linksseitig, versagt hier notwendi- gerweise, und es muft sinngemäf eine andere getroffen werden, was aber erst möglich sein wird nach einer eingehenden Diskus- sion unserer Kurven.
Za. Im Falle Euklidischer Polarkoordinaten. Hier treten an die Stelle der Grenzkreise Euklidische Feldkreise, und es gilt die Euklidische Trigonometrie. Also wird: P ( v)=a( V1 22 S. dr)*.
Po
Daraus die Differentialgleichung:
1 2 d G) d ꝙ&—+—————— e 0 1 22 G12 1 1 1 ſſſ T To² 70 5
Diese Differentialgleichung stimmt mit der für das Extremalen- feld des Euklidischen Problems überein, wenn wir darin setzen:
e
To 70
Also bekommen wir unsere Extremalen in ihren natürlichen Kon- stanten:
wenn To= 2l&— 5b= † v0 4 6 1 1— 2 4 1
18
wen]
wenl

enn
Wir
eine
um en- Die di- len, us-
ise,
2 2— wenn ro.a:„— 5=
+ s 3 0 G —. —
G u)— 2 4) n 6 ——O alccos
/ 2 21 3 Va— ro 2
Die in dieser letzten Gleichung beschriebene Teilschar unseres Extremalenfeldes wird wieder wie im nicht-euklidischen Fall durch negative Werte von à nicht geändert, sondern lediglich in sich selbst gedreht.
2 2— wenn Ca:— 5= †
falls a positiv-— O; rν ⁄₰☛ aa, dann muß sein:= T0—
falls pos. oder neg.; ²= a2, dann: Z ro † a
falls a neg. ¹=— ã; o² ₰ a:, dann: r Z2 o*† 2
Auch hier sprechen wir unsere Extremalen als Kettenlinien gegen die Euklidischen Kreise an.
In den Fällen der Grenz- und Uberkreiskoordinaten ergibt sich eine unmittelbare Anschauung der Gestalt unserer Extremalen aus den festgestellten geometrischen Eigenschaften; als Bild ver- wenden wir unmittelbar die gemeine Euklidische Kettenlinie. Um uns nun auch eine qualitative UÜbersicht über die Gestaltsverhält- nisse im Fall der Feldkreiskoordinaten zu verschaffen, diskutieren wir die Extremalen des Euklidischen Problems, das sich ja rein anschauungsmäßig mit dem entsprechenden nichteuklidischen deckt.
Die Konstante b setzen wir gleich 0, da dies auf die Gestalt der Extremalen ohne Einfluß ist.
3 2 2 I. aneg.: a=— àã; r0* 2₰ a2.
In diesem Falle verlaufen die Extremalen zwischen&.☚—1 und „=+†1, liegen symmetrisch zu ⸗0 und haben Asymptoten, die jeweils Radienvektoren des Koord-Syst. sind. Für diese Asymp- toten gilt: O=Qoœ 1 1. Im Grenzfall æ= ro kommt Ga=+ 1 b⸗w. =— 1(s. Figur).
00—
II.«pos. oder neg. 72— à2.
1. ro Pos.
Auch hier wieder Symmetrie zu=0 und Asymptoten, für die
aber jetzt gilt: 1290S 2 G. Figur).
2.„o nes.,—— Fo0.

Während in den Fällen I und II die Extremalen ganz in der Halbebene von— 2 bis 2 liegen, können sie jetzt nach Maßgabe
der Gröftenverhältnisse zwischen a und r, den Ursprung um- schlingen, möglicherweise sogar mehrere Male. Es gilt für&o:
ο 2 2(S. Figur).
In der Grenze r— o; aſ— e, aber.³9 ro= endlich, artet die Extremalengleichung aus in die Kreisgleichung:
= 2p— ro= eonst.
Also gehören auch die konzentrischen Kreise um den Ursprung zum Extremalenfeld.
III. pos.* O.„*= at. 1. T0 pos.
Diese Kurven verlaufen alle innerhalb des Kreises mit dem Radius r— a um das Anziehungszentrum und liegen symmetrisch zu= 0. Für=0 wird.ᷣb=0; d. h. die Kurven winden sich asymptotisch um den Ursprung. In der Grenze α— 0; 1ꝗ)— 0, aber rvo— a= endlich, bekommen wir wieder die konzentri- schen Kreise um den Koordinatenanfang(s. Figur).
2. ro neg.=— Fo.
Die Extremalengleichung beschreibt zwei symmetrisch zu ein- ander liegende getrennte Aste. Jeder von ihnen windet sich asymp- totisch um den Ursprung und hat einen Radiusvektor zur Asymp- tote(s. Figur).
Die Extremalen im Falle I und II, werden wir zweckmäßiiger- weise äuftere Kettenlinien gegen den Feldkreis nennen, während wir sie in den Fällen IIe und III mit innere Kettenlinien gegen den Feldkreis bezeichnen wollen. Diese Bezeichnungen verwen- det man dann auch sinngemäß für das nichteuklidische Problem.
Man könnte nun noch daran denken, daß in den Extremalen- gleichungen gemäft der Beziehung i Ar Coſ x= arccos x der Ar Coſ zu einem arccos wird; etwa dadurch, daß die Konstante a imagi- när wird. Wir überzeugen uns aber, daf dies nicht der Fall sein kann, da ein imaginäres a auch das Argument des Ar Cof imagi-
när machen würde.
IV. Kritik der Extremalen nach der Theorie von Weierstraf.
Die Frage nach der Art und dem tatsächlichen Bestehen eines starken Extremums entscheidet sich bekanntlich unter der Vor-
20

ung
ein-
aussetzung der Durchführbarkeit der Weierstraf'schen Konstruk-
tion, die später bewiesen werden wird, mit dem bestimmten Vor-
zeichen der Weierstraß'schen E-Funktion.
Stellen wir diese Funktion für alle unsere Variationsprobleme auf, so entscheiden wir nach einfachen Rechnungen, daß:
1. im Falle, daf das Anziehungszentrum ein Randpunkt ist, die linksseitigen Kettenlinien gegen die Grenzkreise das Maximum liefern, während die rechtsseitigen das Integral zum Minimum machen.
2. im Falle, wo das Gravitationszentrum im Uberpunkt liegt, die linksseitigen Kettenlinien gegen die Abstandslinien die Maxi- malen und die rechtsseitigen die Minimalen des Problems sind.
3. und 3a. bei dem Problem mit dem Anziehungszentrum im End- lichen die äufteren Kettenlinien gegen die Feldkreise dem Inte- gral den gröftten und die inneren Kettenlinien gegen die Feld- kreise diesem den kleinsten Wert erteilen.
Die gestellten Variationsprobleme lassen also sowohl Kurven zu, die ein Minimum als auch solche, die ein Maximum des frag- lichen Integrals ergeben. Beide haben sehr wohl einen physikali- schen Sinn; denn wir können uns einmal fragen nach der Kuryve, in die sich ein in zwei Punkten frei aufgehängter Faden hängt, so daß in ihm das Minimum an potentieller Energie aufgespeichert ist. Das andere Mal können wir uns fragen nach der Kurve, in die wir durch Anbringen äuferer Kräfte den Faden zwingen müs- sen, damit in ihm das Maximum an potentieller Energie vorhan- den ist. In dem Falle, daf das Anziehungszentrum ein Feldpunkt ist, können wir uns die Verhältnisse etwa realisiert denken in einem elektrischen Feld, das von einer punktförmigen Ladung herrührt, während unser Faden auch gleichmäftig mit Ladung be- legt ist. Der Fall des Minimums wäre dann der Fall der Anzie- hung, d. h. der, bei dem die Ladung des Quellpunktes und die Fadenladung ungleichnamig wären, während dem Maximum der Fall der Abstofung, d. h. der der Gleichnamigkeit der beiden frag- lichen Ladungen, entspräche. Beim Abstofungsproblem ist es nun durchaus denkbar und leicht vorzustellen, daß der Faden zu- nächst, ehe das Feld eingeschaltet wird, einigemal um das Zen- trum geschlungen ist. Die Anzahl dieser Schlingen muf aber nach Einschalten des Feldes ganz fraglos erhalten bleiben. Mit diesem Experiment erkennen wir das Wesen der Extremalenschlingen.
V. Beweis für die immer mögliche Durchführbarkeit der Weierstraf'schen Konstruktion in jedem der 3 Fälle.
Die oben ausgeführte Kritik der durch die Eulersche Methode festgestellten Extremalen des Variationsproblems
21

12 6 1(E(7,, a,) n G(7,,* y)).= 0 11
hat bekanntlich ihre Grenzen dort, wo es nicht mehr möglich
ist, durch zwei Punkte eine Extremale derart auszuwählen, daß . 11 D= über sie erstreckt das Integral 4 G(, y,,) dt einen ganz k2
bestimmten Wert erhält. Mit anderen Worten: Es fragt sich, wie weit wir das durch einen Punkt ausgewählte„räumliche“ Extre- malenfeld ausspannen dürfen, ohne an seine Hülle heranzu-
kommen. Unserem Variationsproblem möge ganz allgemein die dreidi- U mensionale Kurvenschar: auf 1 = 7(t, a, 5, 4) Prob Seit = O(t, a, 5, 1) als Extremalen zukommen. Denken wir uns nun aus dieser Schar die eindimensionale Schar .. ausgewählt, die durch zwei vorgegebene Punkte 1 und 2 geht, so bestehen die Bindungen: T1= 7(ki, 9, 5, 4) T½— 7(2, 9, 5, 4) 3 — un „1 d 2(21, C, 5, 4) N72— O(ke, C, 5, 1), 6 und das von 1 nach 2 erstreckte Integral K wird eine Funktion sein von der Form: K= O(Zr, 72,. 5, 42) 5 Die Frage nach der Durchführbarkeit der Weierstraß'schen Konstruktion ist somit gleichbedeutend mit der Frage nach der Auf- We lösbarkeit der Gleichungen für ri, N71,, Ne und K nach kä, ke,, 5, 1. zier Stellen wir uns nun vor, ti und ta ließen sich ausrechnen etwa aus den Gleichungen 1☚= 7(k1,, 5,) und= 7(ka, a, 5, 1) und daraus darstellen als Funktionen von H, a, 5, 1 bzw. von e,, 5, 1; dann 3.. d d. müßte dafür gefordert werden, daß—l und Z— nirgends 0⁄1 0t2 V verschwindet. Die so ermittelten Werte von hl und ta setzen wir 1 4 ein in die drei Gleichungen=&(t-, ¹, 5, 4); Ne= 9(ta, a, 5, 1) D —. 3 und K= G(ti, kz, d. 5, J). Damit kommt es also bei unserer Frage 5 de auf die Untersuchung folgender Determinanten an:
21 Or½
4(ti, ta)=
D
, S2.

lich dab
anz wie
tre- hzu-
idi-
1 mar
tion
worin:
O„ 69)1 5ti. ½ 3 77 0te 4 0 K 5 21 4 0 K ta
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5„ 6), er 5J dts 6E 6ℳ 671 6 K dta
2+ 3e, en e, ie a e e e e
Um diese Untersuchung mit einem Schlag für alle drei Fälle auf einmal ausführen zu können, erinnern wir uns, daf die drei Probleme alle erfafßtt werden von dem allgemeineren Problem auf Seite 12. Dort fanden wir für die Extremalen:
und das Integral K war:
P, . 1 7 4 5„, 1„ 9 d I(G) 3 3 5
do
Wenn wir dieses letzte Integral auch auf den Parameter V(o) be- ziehen, so kommt:
Damit haben wir also mit dem allgemeinen Ansatz folgenderma- fen zu identifizieren:
=G, 2= V(o), 5= b,
37 ä= 2, 4—= C, 4=1,

und bekommen, wenn wir der Einfachheit halber für V(c) einfach
v und für= f(v) setzen, unsere fünf Gleichungen zu:
d I(0) do
ae, dv 5 d eeſ
1 4— dv VGJ— c f) flo)
D1 v2
1 842— 5:‿‿ ſS 4— 5 VG+— f) J W(e A/
Daraus berechnen wir die entscheidende Determinante:
4.+„+ 4)² e(„+ z) 1 N2 eeit N 6½ 2,ſ N 7½ 34 — 6* V1 D2 12 4 Gs)=ee ſeA a, ſee, e ) f(on*) fb*) 1 VWſ⸗ dI1 j Vs dI2 ſ Võſ. d2 0 0 v1 1 3 1 3 0
worin: V=(b+ 2)—«* f().
Diese Determinante können wir leicht vereinfachen zu:
22 2
2 35 I Ar NI, a5 — 0² 21 21
4(bi, ve)=
f(or* flor)„
— 6² — B— 621,92 Fod fG.)
2
f(w f(w*)
4(b¹, v2) verschwindet also, wenn oder wenn 6(b*, v²) verschwindet.
Wir wollen nun zunächst zeigen, daß d(di, vz) nur für den selbstverständlichen Wert i=we verschwindet und sonst nirgends
24
3(tul
Fas

nfach
in der ganzen Ebene. Zu diesem Zweck bedenken wir, daß in al len unseren Fällen N ein Ausdruck von der Form a v2+ 26 v* ist. Wenn wir jetzt die Determinante auf einen Parameter=
hSe boehen, dann ergibt sich nach einer einfachen Um- 64 ay rechnung: 1. V 3 1; aAt E= y(**— 1) ½ 4 AA‿ν 7 V 1 11 71 6(ti, tz)= Lnn 4() 2 2 1 3 7— 3 S It 7—, , 6(.— 1) ½ 0.(t=— 1) ½ dt . t1 11 Integriert: 1 6(ki, 72²)( e 5 D 2— 72 t 1 1 44 Ar Coſte— Ar Coſti—=+— 1,—— V l n V 22— 1 V 2= 1 D=. 1 1 1 72 21
“ o V
Setzen wir darin ta= Coſra; ti= Coſri, so wird schließlich:
3 1[2= 22) Sin(xz2— 11)—
3(E,⸗) a(62—) Sin za Sin 1u
—. 1 9(1, 1²) (— a p) Sin z2 Sin 1 Sis
Fassen wir w(zu, zz) als Funktion der oberen Grenze zz auf, so ist:
9(22— 11) ea(z2— 21)— 3in(a= 2) . d 1 2 Darin Coſ(xz— 11) und Sin(7z=) in konvergente Reihen ent- wickelt: m 42= ,=ſe ay 3 er ay zf ten ay—i

Wir sehen demnach:
O für ze= z, — O für= a, SO für z2= 21.
49
d 1²
Die Kurve=„(zz) hat also an der Stelle zz= u dhein Minimum und eine Nullstelle, während sie vorher dauernd fällt und nach- her dauernd steigt, sie verschwindet somit nur an der Stelle 712= 11 und sonst nirgends.
Diese Funktion ist übrigens schon bei Kneser ¹) untersucht bei der Behandlung des einfachen Euklidischen Kettenlinienpro- blems. Selbstverständlich paßt auch dieses in unseren allgemeinen Ansatz auf Seite 12.
Machen wir nun in der Determinante die Substitutionen rück- gängig mittels:
Sin«= VW=,
so sehen wir, daf das in vi, ve geschriebene w auch nur verschwindet, für ve= Gi, denn in den oberen Substitutionen fordert zz=hi ein- deutig ve= v.
Das Verschwinden der ursprünglichen Determinante 4 kann so- mit wesentlich nur noch abhängen von dem Faktor:
62 1 F(wr) f(w*) V( UI 2 6 vI+ p)-(a ve+ 2 v+) 1
Dieser Faktor aber verschwindet für die beiden Fälle, daſßt das Anziehungszentrum ein Randpunkt bzw. ein Uberpunkt ist, nir- gends in der ganzen endlichen Ebene. Wir überzeugen uns hier-
... 3 25 von leicht, indem wir für einmal— ½ e„,das andere Mal Tgy⸗ setzen. Liegt das Anziehungszentrum nun aber in einem Feld-
punkt, d. h. gilt v=— Cotlgn bzw.„= 1,80 sehen wir, daß unser 7
Faktor verschwindet, wenn einer der Punkte 1 oder 2 in den Ur- sprung hineinrückt. Dies ist aber ganz selbstverständlich, denn im Ursprung als einem singulären Punkt verliert das Variationspro- blem seinen Sinn.
Wir haben also damit erkannt, daß die Extremalenkritik nach der Theorie von Weierstraß keiner Beschränkung unterworfen ist, und daft unsere Extremalenfelder in allen drei Fällen keine Hül-
¹) A. Kneser„Lehrbuch der Variationsrechnung“. 2. Aufl. Braunschweig 1925. S. 182.
26
len be sprund
D
Di einfae V0)⸗ wir à liptis ständ daß natul auf das? trum

num ach- ttelle
ucht pro-
ſinen
ück-
adet, ein-
len besitzen, wenn wir nur im letzten Fall den singulären Ur-
sprung aus dem Feld ausstanzen.
Die behandelten analogen Probleme in der elliptischen Ebene.
Die Euler'sche Differentialgleichung auf Seite 12 läßt sich auch einfach integrieren, wenn wir darin setzen: V(o)— cotg ο bezw. Vc)= tg. Mit diesen beiden Ausdrücken für das Potential haben wir aber die beiden möglichen Fälle unseres Problems in der el- liptischen Ebene vor uns. Die beiden Fälle sind physikalisch voll- ständig gleich und der scheinbare Unterschied besteht nur darin, daß ein und dasselbe Problem auf zwei verschiedene, aber gleich naturgemäßte Koordinatensysteme bezogen wird, nämlich einmal auf ein Polarkoordinatensystem durch das Gravitationszentrum, das andere Mal auf ein solches durch den Gegenpunkt dieses Zen-
trums.

= 1
/
/
3
1
0
4
8
X N8
— fall 7—
8
8
— 7a 1—
— Zall Z.—
—xx;,— H-⸗O
AI Ten Ul nungs Nach ich O. 1926 4 Das f bene an de schen studic die L fung Kenn und als I 88. mein
M D Föph selt, Dr.

Lebenslauf.
Am 15. Oktober 1907 wurde ich zu Lauterbach(Hessen) gebo- ren und bin evangelischen Bekenntnisses. Meine Eltern sind: Rech- nungsrat Karl Bechtold und seine Ehefrau Marie, geborene Weiß. Nach dem dreijährigen Besuch der Stadtschule zu Lauterbach, trat ich Ostern 1917 in die dortige Realschule ein und legte Ostern 1926 an der Oberrealschule in Alsfeld die Maturitätsprüfung ab. Das für das Studium des Maschineningenieurfaches vorgeschrie- bene Werkhalbjahr verbrachte ich in den Magirus-Werken in Ulm an der Donau, um mich hiernach im W. S. 1926/27 an der Techni- schen Hochschule in München einzuschreiben. An dieser Hochschule studierte ich insgesamt 10 Semester und bestand an ihr im S. S. 19290 die Diplom-Vorprüfung und im S.S. 1931 die Diplom-Hauptprü- fung für Maschineningenieure. Dem Wunsche entsprechend, meine Kenninisse auf dem Gebiet der reinen Mathematik zu vertiefen, und um vor allem die Zeit zu nützen, in der ich keine Anstellung als Ingenieur finden konnte, belegte ich im W. S. 1931/2 und im S.S. 1952 Vorlesungen an der Universität Giefen. Von da ab ist mein ständiger Aufenthalt mein Elternhaus gewesen.
Meine Lehrer in München waren die Herren:
Dr. v. Dyck, Dr. Faber, Dr. Finsterwalder, Dr. Zenneck, Dr. Föppl, Krell, Prinz, v. Lossow, Dr. Schumann, Dr. Heinke, Dr. Nus- selt, Dr. Thoma, Marx, Dr. Schwaiger, Dr. Ossanna, Dr. Dorn, Dr. Fischer, Dr. Loschge, Dr. Loewe.
In Gießen hörte ich bei den Herren:
Dr. Engel, Dr. Falckenberg, Dr. Geppert, Dr. Mohrmann, Dr. Jaffé.
Die Anregung zu der vorliegenden Dissertation erhielt ich durch Herrn Professor Dr. Geppert. Herr Professor Geppert ist in liebenswürdigster Weise immer bereit gewesen, mir bei der Be- handlung der Arbeit seinen wertvollen Rat zu erteilen.— Ich bin ihm hierfür zu groſßem Dank verpflichtet.

Mitte

Mitteilungen des Mathematischen Seminars
der Universität Giessen herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XXVI. Heft
Asymptotische Eigenwertgesetze bei Differentialgleichungen vierter Ordnung
von
HEINRICII GORTLER
geboren in Calgary(Kanada)
Giessen 1936
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstr. 16
Preis RM. 3.—

§1 § 2 §3. Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht. Genehmigt durch die Philosophische Fakultät, II. Abteilung§4. am 6. Dezember 1935.
§5⁵
Berichterstatter: Dr. Geppert
— Dr. Ullrich §6 87 §8.
Sc

. Schlußbemerkungen
Inhalt.
. Einleitung
. Die Differentialgleichungen
. Die äquivalenten Variationsprobleme
. Folgerungen aus den Extremumseigenschaften
. Das asymptotische Verhalten der Eigenwerte des transversal
schwingenden Stabes
65. Das asymptotische Verhalten der Eigenwerte der transversal
schwingenden Platte.
. Ausdehnung der Gültigkeit der Gesetze auf allgemeinere
Differentialgleichungen
Seite

Die Differentic
7l)
wobei L sichtlich und k(œ, Separatic
ergibt 8i
6) und
) Die Kons bedingun einen kor frequenz 80 ist n Da sollen 8 die Diff enthalten der Ber- vorkomr Lösung
—
P)
Bezeichn

§ 1. Einleitung ¹).
Die freien Schwingungen kontinuierlich verteilter Massen genügen Differentialgleichungen der Form
(1) LIUIO X Mt= O,
wobei L[U ein linearer, selbstadjungierter Differentialausdruck hin- sichtlich der räumlichen Variablen æ,(,...) bedeutet, t die Zeit und Kk(œ,...) eine gegebene Ortsfunktion darstellt. Auf Grund des Separationsansatzes
(2) MGG... 2)= a,(we...) 1(0)
ergibt sich
—7= 63) e o, also Sie Aelh e. e und (4) Llu]— 1ku= 0.
Die Konstanten a und b bestimmen sich aus den jeweiligen Anfangs- bedingungen. Dem Separationsparameter 4 kommt nach(3) bis auf einen konstanten Faktor die Bedeutung des Quadrates einer Schwingungs- frequenz zu. Soll die Lösung den Charakter einer Schwingung haben, so ist nach(3) zu fordern, daß 71 positiv sei.
Das Eigenwertproblem lautet in dem betrachteten Beispiel: Es sollen solche Werte des Parameters 1 bestimmt werden, für welche die Differentialgleichung(4) bei den vorgegebenen, die Zeit nicht enthaltenden Randbedingungen eine im Grundbereiche G einschließlich der Berandung R stetige und mit stetigen Ableitungen bis zu jeder vorkommenden Ordnung versehene, nicht identisch verschwindende Lösung besitzt.
¹) Auf die folgenden Arbeiten wird im Texte unter den hier angegebenen Bezeichnungen verwiesen:
R. Courant, Math. Ztschr. 7, S. 1, 1920;
CII R. Courant, Math. Ztschr. 15, S. 195, 1922;
CIII R. Courant, Ztschr. f. ang. Math. u. Mech. 2, S. 278, 1922;
CH R. Courant u. D. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Bd. 1, 1931;
F K. Friedrichs, Math. Ann. 98, S. 205, 1928.

Die asymptotische Verteilung der Eigenwerte bei den Schwingungen kontinuierlich verteilter Massen ist von Weyl²), Daviss) und be- sonders von Courant erforscht worden. Während Weyl zu seinen Ergebnissen mittels der Theorie der Integralgleichungen gelangte, konnte Courant die Gesetze in verschärfter und verallgemeinerter Form gewinnen, indem er jene Variationsprobleme seinen Untersuchungen zugrunde legte, als deren Eulersche Gleichungen sich die Schwingungs- gleichungen zufolge des Hamiltonschen Prinzips deuten lassen. Courant hat diese so außerordentlich fruchtbare Methode bei der Untersuchung der asymptotischen Eigenwertgesetze der allgemeinsten linearen, ho- mogenen, selbstadjungierten Differentialgleichung zweiter Ordnung in einer und in mehreren Variablen weitgehend angewandt ⁴). Die An- wendbarkeit auf Eigenwertprobleme selbstadjungierter Differentialglei- chungen vierter Ordnung zeigte Courantò) an dem Beispiel der Schwingungen einer am Rande fest eingespannten, ebenen, homogenen und isotropen, kreisförmigen Platte konstanter Dicke. In der vor- liegenden Arbeit sollen zunächst unter allgemeineren Voraussetzungen über die Beschaffenheit der Platte und über die Gestalt der Rand- bedingungen die Vorteile der Courantschen Methode weiter aus- genutzt werden. Gleichzeitig wird das entsprechende Problem des transversal schwingenden Stabes behandelt. Anschließend wird die Methode auf allgemeinere Differentialgleichungen 4. Ordnung übertragen. Bei der ganzen Untersuchung wurde das Hauptgewicht auf eine konsequente und zugleich möglichst einfache Ausnutzung der Extre- mumseigenschaften der Eigenwerte und ferner der jeweiligen natürlichen Randbedingungen gelegt. Das in dieser Arbeit behandelte Eigenwert- problem der allgemeinsten selbstadjungierten Differentialgleichung vierter Ordnung in einer Variablen ist auf anderem Wege von Davisé) ge- löst worden. Weitere bereits vorliegende Arbeiten nennen wir an gegebener Stelle.
§ 2. Die Differentialgleichungen.
Wir betrachten die Transversalschwingungen eines Stabes und einer Platte bei folgender Beschaffenheit dieser Körper. Die Schwerpunkte aller Querschnitte des Stabes mögen auf einer Geraden liegen(Mittellinie), die wir zur æ-Achse eines rechtwinkligen Koordinaten- systems machen. Der Stab möge sich von æ= 0 bis= erstrecken. Der Flächeninhalt Q der sehr kleinen Querschnitte möge mit æ vari- ieren, jedoch so, daß die Hauptachsen immer dieselbe Richtung bei-
²) H. Weyl, Math. Ann. 71, 441, 1912.
³) H. T. Davis, American Journal of Mathematics, 47, 101, 1925. 4¹) Siehe CI und CIII.
⁵) Siehe CII.
⁶) H. T. Davis, l. c.
behalten, 0 kleiben Sc Die Querso Zur T, A-— punkt der DG) sete Schwingun Die I krümmtem ohne unsc Ausdehnun werde dur Mass ; bzw. T. oder die( auf die Fo mechanisc die sich T,9 in d untersche fläche, 80
6)
Dabei ist
()=
auf die Auf
Different
9
und zu
Wir wo
G1)
81)

Pungen d be- seinen ſkonnte
Form ungen ungs- urant chung n, ho- fang in ie An- ſalglei- el der ogenen r vor- gungen Rand- r aus- m des rd die tragen. f eine Extre- rlichen nwert⸗- vierter 66 ge- wir an
s und Die eraden naten- ecken. vari- bei-
behalten, die wir zur„- bzw. 2-Richtung machen. Die unendlich kleinen Schwingungen in einer dieser Richtungen betrachten wir. Die Querschnitte können etwa Kreise sein, oder etwa symmetrisch zur æ, 9“ö- oder x, 2-Ebene. Die durch die Schwingungen in jedem Punkt der Mittellinie entstehenden Verschiebungen U(œ) und Neigungen U/(G) setzen wir als klein voraus. Die Differentialgleichung der Schwingungen findet sich etwa bei G. Kirchhoff, Ges. Abh. S. 341, 1882.
Die Platte möge einen Bereich B der æ,„-Ebene mit stetig ge- krümmtem Rande R bedecken.(Wir könnten ohne Schwierigkeit und ohne unsere Ergebnisse zu erschüttern, auch Ecken zulassen.) Die Ausdehnung der Platte in der z-Richtung sei klein, ihre Oberfläche werde durch 2z=+ h(, y) gegeben.
Massendichte g und Elastizitätsmodul E mögen Funktionen von æ bzw. æ, y sein. Mathematisch ist es unwesentlich, ob wir und E oder die Querschnitte variabel annehmen, und uns kommt es hier unur auf die Form der Differentialgleichung an. Durch die üblichen elasto- mechanischen Betrachtungen erhält man die Schwingungsgleichungen, die sich nur durch die Abhängigkeit der Koeffizienten von æ bzw. æ,9, in der Herleitung von denjenigen der Gebilde konstanter Dicke unterscheiden. Bedeutet VU die Deformation der Mittellinie bzw. Mittel- fläche, so erhält man folgende Differentialgleichungen.
Der Stab.
1 der(4à3er)re,de=o. Dabei ist
4()= E. I,
KkG= Q-(.
()= geometrisches Trägheitsmoment des Querschnittes in bezug
auf die æ-Achse.) Auf Grund des Separationsansatzes(2) gelangen wir zu der
Differentialgleichung
(8) Llu]l— ku=( u“)“— 1 b u= O
und zu Eigenwertproblemen, wenn wir Randbedingungen hinzufügen. Wir wollen folgende Randbedingungen in Betracht ziehen:
87 u ü— 0 für æ= O und—, Cd) 2= O für æ= O und=1; 97(4 u⁰)= O für a= O und—= 1. 684) u“= hu für æ= O, u=— hu für=!;

(4 u)'= O für æ= O und æ=!,
(STIa) 4
2= O für= O und æ= 1;
2— für= O und=, (SII)—
2= O für æ= O und=;
d= O für æ= O und a=, (8IT1). 5.
4= hu' für x= O, u=— hu für x= 1;
2= Oo für= O und=, (SIII)—
2= O für æ= O0 und æ=l.
Dabei bedeute h, wie immer in dieser Arbeit, eine nicht negative Konstante. Man könnte h= h(w) annehmen und auch negative Werte zulassen, ohne die Richtigkeit unserer weiteren Ergebnisse zu er- erschüttern, jedoch spielen die Randbedingungen, in denen h auftritt, hier nur die Rolle einer Verbindung zwischen den anderen— phy- sikalisch sinnvollen— Randbedingungen. UÜber die physikalische Deutung dieser Randbedingungen sprechen wir an gegebener Stelle.
Die Differentialgleichung(§) ist selbstadjungiert. Es gilt die Greensche Formel
7 (6) ſ Ll[uj dæ ‿4 u v 3—(A un)“ b ſ4 A Aa. 0 und also die symmetrische Greensche Formel 2) 2[u]— u L lu dæ=(4 a“) v²=(4A v) 2)— A(u ν—- v u). 0
Sind u, und ux zwei zu den voneinander verschiedenen Eigenwerten d und Ax gehöõrige Eigenfunktionen eines der betrachteten Randwert- probleme(§1) bis(SIII), so ist
¹ (8) fla L lui]— ui L[un]) dæ=(A.— AL)* Ai, ᷣr daæ= 0. e 0 0
Die mit V1 multiplizierten Eigenfunktionen bilden also ein ortho- gonales Funktionensystem. Wir wollen sie durch die Forderung
1 (9) kundæ= 0
normieren.
8
Als S erhalten N
10
In einer fü
46( 13
Dabei ist
Nach Sel
die wir untersuch (PII) V
(PII') V
PIII:
(EII) b
(ELL)
El)

egative Werte zu er- auftritt, P phy- talische Stelle. Pilt die
u). 0
werten dwert-
ortho⸗
Die Platte.
Als Schwingungsgleichung der transversal schwingenden Platte erhalten wir
02 M 22 U
50²( 0²( 02 U 0² 5 f10 ese e e 50²( 02² 8, 0²2 U L2 4——— 2dr 1 1) Si 1 0 2 5
In einer für die späteren Untersuchungen geeigneteren Form schreiben wir 4 44 U)—(4„„)=—— Bp) Ueæ + 2(Aar,— Bæy) Ue,—(Aææ Bæa) Ur„ k U*= O.
2 Ens —, B= w 4,(y= Poissonsche Zahl) K= 2 h0. 3 1—) ² 1
(11) V
8
Dabei ist 4— Nach Separation erhalten wir die Differentialgleichung
& Llu]l— Aku= 4(4 A u)+(Bp,— 4) Uææ— 2(B— 4 Q ua ) 2
+(Ber— 4æ‿ uν)— uku= O0,
die wir als Eigenwertproblem bei den folgenden Randbedingungen untersuchen werden:
uE— 0, DII 3 2 (—(BAu—(B—= 4)(uæææν‿‿ 2uegændn † 2,„On2))g 0; 20 ER= 0, DII du— 2 [2⁴e 14,—3—4) æeæn Zuegændn P ug,gUn.) 0 du = 0— Grrn Ae= O. 22 2=o 0 (A Au)—(B„)ß)ſ A„) uæxn—(Bæs— Aæ(ur,æœn uæhn) (EIIa) 4 d
+(Beæ— Aæa) nedn e 0, e 0; (EII) 2= 0, Au R= 0;
du 2 e, La (EIE) A= O.(22 229),

Dabei bedeutet», wie stets in dieser Arbeit, die nach dem Inneren von B gerichtete Normale. æn, Yn sind die Richtungskosinus dieser Normalen gegen die æ- und„-Achse.
Die Differentialgleichung(P) ist selbstadjungiert. Es gilt fol- gende Greensche Formel, wenn wir voraussetzen, daß ae= 0, vR= O,
1 v Llu]ldædg“— ſCsda— G— A)( n+ 2 ueg æn Vn B R
0 /J* (12) unu un)]S, 5=(Adude
B
+ G—= A[uææν,,— 2 uæg pe unvvν] dædy
und in symmetrischer Gestalt
3 du ſf(u Llu]— uLü dere-ſlsi 4 29— 40 29]
0
(13)„ 2 G=1)'(uæzæn 2 Dæs æn9In u„,„n) 5
„ O2 —(bææ xnz † 2 veg n Vn/ † v„ Yn) 85 ds.
Ferner möge noch folgende Greensche Formel notiert werden, in welcher an u und v keine Randbedingungen gestellt sind:
5 d v 1.0 ſorldard ſadn 5„4/ 18(44*) GBo Aoo uwan B R
R
—(Bæ— Ax)(uryn d, Tn)
(14)+(Bææ— 4aα u*, Vn vds =[4AAu Av B
+(A„— Bo ue ver—(Aas,— Bæ)(uæ v, 2„ r)
†(Aææ— Bæa) u, vp] dæ dy
10
Aus der bereits bei gonalität Randbediu (15) für mieren:
(16)
Beka die Diffel Schwingu diese Me- Variation
Weg der Neig 8. 340, ed., Vol.
(17)
wobei
das Qu Die lebe

Vn
dæ dyj
en, in
9) Uydn
— un v2)
und also d b du ſtorbd— Lloldædr ſ4(dud,—4udr)as 6 R 0 1 d„ 4 4+(By— A„) ve xn R
=(Bre Are(Geon 1. o va](Ser 43 enva)u — 3 4 Aah ,, A, Jer 0„/„ VVU) Ar, Dn
68.
(Bre dæ)(uæ„n usæn)+(Bææ—- A), Vn v
Aus der ersten symmetrischen Greenschen Formel(13) geht in der bereits bei dem Problem des Stabes gehandhabten Weise die Ortho-
gonalität der mit/ multiplizierten Eigenfunktionen bei einer der Randbedingungen(PII),(PIT),(PIII) hervor. Dasselbe folgt aus (15) für die Fälle(EIIa),(EII),(EII“) und für(PIII). Wir nor- mieren:
(16)(ſkuzdædy= 1. B
Bekanntlich entspringen, wie auch bereits S. 6 erwähnt wurde, die Differentialgleichungen der Mechanik und insbesondere unsere Schwingungsgleichungen einem einheitlichen Variationsprinzip. Da diese Methode dem Wesen unserer weiteren Untersuchungen als Variationsproblem entspricht, gehen wir kurz darauf ein,
Der Stab.
Wegen der vorausgesetzten Kleinheit der Deformation U und der Neigung U ergibt sich(s. hierzu G. Kirchhoff, Ges. Abh. S. 340, 1882, ferner Lord Rayleigh, Theory of sound, 2ud. ed., vol. 1, p. 255, 1926) die potentielle Energie der Deformation zu
1
1 (17) P= 2 ſ4 Warde. 4= F. I, 0 wobei 2 ² 1 Uer S 1 VUe²=
das Quadrat der Krümmung der deformierten Mittellinie bedeutet. Die lebendige Kraft wird
11

¹
1. (17 a) T= ſeveaa K= Oo0. 0 Somit lautet das Hamiltonsche Problem 315
1. J=.ſir Ui2— 4 Urα dædt= extr., 65
und dessen Eulersche Gleichung ist die uns bekannte Schwingungs- gleichung(5).
Die Platte.
Die potentielle Energie wird hier entsprechend durch ein Integral über eine quadratische Form der Hauptkrümmungen 1/., 1/ der deformierten Mittelfläche gegeben(s. Rayleigh, l. c., S. 352):
1 1 1 2 B 1 2 Whs 4,
Wir können, da die Schwingungen als klein vorausgesetzt werden,
4= 4.
1 1 = Wee, N R. ee Dus 1„2 R. R.= Uææ Uus— Uær
setzen und erhalten für die potentielle Energie den Ausdruck 1 (18) P= 2ſ4 D)²2+ 2(B— 4A)(Uræ Uo— Ursdædy, B
(zu welchem noch Randintegrale als Energiegrößen vorgegebener Rand- bindungen treten können, die für die Gestalt der Randbedingungen von Bedeutung werden). Die kinetische Energie wird
1 (18 a) 1= 2ſſr Utdædy, B
und das Hamiltonsche Prinzip liefert als Eulersche Differentialgleichung gerade die Bewegungsgleichung(11).
§ 3. Die äquivalenten Variationsprobleme.
Die auf Grund des Hamiltonschen Prinzips angestellten Be- trachtungen führen uns unmittelbar zu den„klassischen“ Extremums- eigenschaften der Eigenwerte 7 und der Eigenfunktionen à der Pro-
12
bleme()
nun lassen Pulersche atiousprobl Herkunft a-
Als V stetigen 4 wierten A- sonders al-
Satæ I. (81) ¹
mit
hei de
2um
Zustae 1.
von i
9. den und das 1
Die Ausdruc

gungs-
erden,
chung
1 Be- gums- Pro-
bleme(§) und(P) bei den angegebenen Randbedingungen. Denn nun lassen sich auch die Differentialgleichungen(S) und(P) als Eulersche Gleichungen von Variationsproblemen deuten. Diese Vari- ationsprobleme wollen wir im folgenden angeben. Sie sind, ihrer Herkunft aus dem Hamiltonschen Prinzip gemäß, physikalisch sinnvoll.
Als Vergleichungsfunktion lassen wir jede normierte stetige, mit stetigen Ableitungen bis zur dritten und mit stückweise stetiger vierten Ableitung versehene Funktion zu, die gewissen, jeweils be- sonders anzugebenden Randbedingungen genügt.
Der Stab.
Sata 1. Auf das Eigenwertproblem(S) bei einer der Randbedingungen (81) bis(SIII) führt die Aufgabe, den Ausdruck
d'[ꝙl= Dlꝓl+ hlA(0)&²(0)+ 4 0) G ²(0) mt
1 Dlcꝙ.=4 ꝙ 2 dæ 0 bei der Nebenbedingung
¹ HIq=ſoεdæ 1 0 zum Extremum zu machen.
Zusdtae:
I. Im Falle der Randbedingung(8I) ist h= 0 zu Setzen; an Stelle von dſg] tritt D†ꝙq.
2. Im Falle einer der Randbedingungen(II) oder(8II') ist von den Vergleichsfunktionen das Verschwinden in den Endpunkten æ= 0 und æ=! zu fordern. Für die Randbedingung(8II) gilt außerdem das unter I. Gesagte.
3. Im Falle der Randbedingung(SIIa) ist von den Vergleichs- funktionen&(0)= G&()= O zu fordern.
4. Im Falle der Randbedingung(SIII) ist von den Vergleichs- funktionen das Verschwinden von& und von& in den Endpunkten .= O uand æ=l ea fordern.
Die zur Bestätigung dieses Satzes gebildete erste Variation des Ausdruckes d‧— 1 H wird:
13

7 1 7 77/ 2 5lolo A HlI= LA= 1,5 g)a 0
+ h(A00)&) d& 0)+ 4 0)&() 6& 0) a- fle(4G)ß= 1 en
dæ
7 + 4 G 6ꝙ&f
2 —Aν ꝶε r2l4G)⸗„0O) 69(O) 400( 69/0).
Hieraus gehen die oben ausgesprochenen Extremumseigenschaften hervor. Wir erkennen, daß wir durch Hinzufügung von anderen Zusatz- gliedern zu Dſo] bei der Bildung von ol] zu ganz anderen Rand- bedingungen gelangen können. Wir sprechen die Probleme(8I) und (ST') als„frei“ an, weil sich die Randbedingungen als natürliche Randbedingungen einstellen, also keine Forderungen für die Vergleichs- funktionen bringen. Hier tritt uns der wesentliche Unterschied zwischen der Behandlung des Problems als Randwertproblem einer Differential- gleichung und als Variationsproblem entgegen. Die Probleme(SITa), (SII) und(SII) sind als„halbfrei“, das Problem(SIII) als„fest“ oder„gebunden“ zu bezeichnen.(SI) ist die Randbedingung des an beiden Enden völlig freien Stabes,(SII) die des gestützten, d. h. in den Endpunkten festen Stabes, in welchen aber die Neigung beliebig ist,(CIII) die des eingeklemmten Stabes, für den in den festen End- punkten auch die Tangente vorgeschrieben ist.
Die Platte.
Satæ 2. Auf das Eigenwertproblem(P) bei einer der Randbedingungen (PII),(PIT') oder(PIII) führt die Aufgabe, den Ausdruck
Oſ&p ſdauo, 2dhlon vn v„he ſ A(92) d8 B fe bei der Nebenbedingung Hlg= ꝓ dædo= 1 B zum Extremum zu machen.
Zusdätae:
I. Im Falle der Randbedingung(PII) ist h= O zu selzen. Bei den Randbedingungen(PII) und(PII) ist das Verschwinden der Vergleichsfunktionen am Rande zu fordern.
2. Im Falle der Randbedingung(EIII) San die Vergleichs-
funklionen den Randbedingungen&= 0 und 35= 0 zu genügen. 0„
14
Bilde gleichsfun
0=
Wir find bedingun- gestützte uns gew Randbed Sie hab folgendem heranziel Eulersch Randbed daß wir integrale
Wa B= Cons ist, d. h nur die fest ein beliebige bestimm mitgekül 9* lg' 6 Sata 3
(EI
9*

haften (usatz- Rand- 1) und färliche lleichs- ischen lential- §IIq), „fest“ les an . h. in eliebig End-
gungen
Bei n der
leichs⸗
ügen.
Bilden wir die erste Variation und fordern wir von den Ver- gleichsfunktionen das Verschwinden auf dem Rande R, so erhalten wir
1 0= 2 lolol— u Hloll =ſtadAn G 40 Tææ— 2(Bæf— A*g) Ger B +(Bææ— Aææ) of,— uk ꝙ ꝓꝙ& dæ dé R
+ Grfg Vn*)
0 B 4— h4 5—(B— 4)(æαx+2‿ς 2 Gey Tn Vn
d9) 5664 ds. Wir finden die obige Behauptung bestätigt. Es ist(PIII) die Rand- bedingung der fest eingespannten Platte,(PII) die der am Rande gestützten Platte. Wir erkennen aber ferner, daß die übrigen von uns gewählten Randbedingungen(EIIa),(EII),(EII) sich nicht als Randbedingungen dieses unseres physikalischen Problems ergeben. Sie haben nur mathematisches Interesse. Wir werden nämlich im folgenden an Stelle des obigen Variationsproblems auch ein anderes heranziehen, welches ebenfalls zu der Differentialgleichung() als Eulersche Differentialgleichung führt und gerade die eben genannten Randbedingungen liefert. Dieser Ersatz bedeutet nichts anderes, als daß wir zu dem ursprünglichen Variationsausdruck gewisse Rand- integrale willkürlich hinzunehmen.
Während bei der homogenen Platte konstanter Dicke(A= const., B= const.) der Ausdruck(B—= A)(朗 Gæ„) Divergenzausdruck ist, d. h. die Gestalt der Differentialgleichung nicht beeinflußt, sondern nur die Form der Randbedingungen mitbestimmt und daher bei der fest eingespannten Platte weggelassen werden kann oder mit einem beliebigen geeigneten Faktor in Rechnung gesetzt werden darf), bestimmt er hier die Form der Differentialgleichung. Er muß daher mitgeführt werden, und dadurch wird die Abschätzung des Ausdruckes O*[&] erschwert.
Sataæ 3. Auf das Eigenwertproblem(P) bei einer der Randbedingungen (EIa),(EII),(EIT) oder(PIII) führt die Aufgabe, den Ausdruck
O**[ꝙ. ſl(4 G%*+(4„„— B„) Ta— 2(Ars— Bu) Pæ P B
„ 02 (Aææ— B2o) o2] dæ dy«+ h 4A-(or) d 8 e„ R
*) Siehe F., S. 208, auch S. 242; ferner CII.
15

bei der Nebenbedingung Hloœ]= ſſXgdæ dy= 1 B zum Extremum zu machen.
Zasätae: I. Im Falle der Randbedingung(EIIa) ist von den Vergleichs-
fanklionen das Verschzwinden der normalen Ableitung auf dem Rande E zu verlangen.
2. Im Falle der Randbedingung(EII) ist h= O zu seltzen. Bei den Randbedingungen(EII) und(EII') ist das Verschwinden der Vergleichsfunktionen am Rande R zu fordern.
3. Im Falle der Randbedingung(PIII) haben die Vergleichs- d& dv
Wir erhalten nämlich durch zweimalige Anwendung der Gauß- Greenschen Integraltransformation
5 4 5(Srrlgl— u Hlol
funktionen den Randbedingungen& 2= O and= 0 zu genügen. n
/la(4A 1%) l(G /9„— 4„ 9) Ga—(B— 4) p B
0
-0 (,(4⸗ 1 9ꝙ%) 5(By— 4„+) Tæ xn—(B 4)(œy æn+ ꝓpr VYn) 4
+(Bræ—-⸗ 122) eve] 6 ꝙ& ds 39 ſaa122),(a9) 3(⸗ 132), 0 3
— fflaaaerGe= a oTææ— 2(Bg,— 4) Taæy A e. B
(Ber— Aα&s uk g dæ dy
2. 39) ſoe) ſ6o 1= ſA(4— 199 6 dr) 4s. R
N
Auf Grund der betrachteten Randbedingungen und der obigen Zu- sätze finden wir die Behauptung bestätigt. Wir könnten, wie sich aus dem Ausdruck für die erste Variation ergibt, noch weitere, und
16
frei
2Wal„ problem de Bezeichnub bei den Ra- noch daral
Wir
suchungen Gegel
)
bei einer
(E) G) (RIIa)
(EII)
(EII)'
(PIII' Aus
Sata 4. ()
hei d

leichs- nde R
Bei der
leichs- igen.
Hauß-
geln)
1 Zu⸗
zwar„freie“ Randbedingungen formulieren— dasselbe gilt für das Problem des Ausdrucks τπ ⁴— und wir haben dies bereits bei der Bezeichnung der Randbedingungen(in Analogie zu den Bezeichnungen bei den Randbedingungen des Problems(S)) berücksichtigt. Wir werden noch darauf zurückkommen.
Wir wollen noch als Spezialfall für unsere späteren Unter- suchungen das folgende Eigenwertproblem herausstellen:
Gegeben ist die Differentialgleichung
(R) 1(4 Au)— 1 kau= 0 bei einer der Randbedingungen (R) 4A0'ſe= 0. Au a= 0; (RT) 9.(1Aehe o.(4— 239)= 0; 0 d)e 0 du RII 4A— 946. ( 9) Se 1u) I 0, dy n, (EII) 2 22= 0 5 Aun= (EII) 2&= 0,(4— 122); 0„ R (PII) Fhe=O., ee. 3 0
Aus dem Vorangehenden erkennen wir unmittelbar:
Sata A. Auf das Eigenwertproblem(R) bei einer der Randbedingungen (RI) bis(PIII) führt die Aufgabe, den Ausdruck
Sol 2 Jr 3 22ſ 9o)=*Ada) awau 1 ſa ,2 ds B 5
bei der Nebenbedlingung Hꝙ]=OſXodædgy= 1 B
zum Eætremum zu machen.
Zusätae: Es gelten die den Zusätzen des Satzes I entsprechenden Forde- durch
rungen, es ist nur überall„Endpunkt“ durch„Rand“,„G“
⁶ und„S« durch„R“ bzey.„M,„P“ zu erselzen.

Denn es ist ja
5 259 e. AHlgl]==HA(4 4 G)— 1Xp,JJ gdædy
Aalas⸗ 12)*(2)«⸗ ſs⸗(44 G 59ds.
Wir haben ein völliges Entsprechen mit dem Problem(S) und werden im folgenden beide Probleme parallel behandeln. Der Grund für die Herausstellung dieses Problems mit dem ganzen Satze von Rand- bedingungen wird noch exrsichtlich.
Im Hinblick auf eine spätere Verwendung führen wir noch folgende Symbole ein:
Für das Problem(8):
9 lo, v]= Dlw, v] hA(0) G O) ,O) 4 0 G„ 0); 7 D[G,]=4&'dæ, 0
d[o. G]= O[ol, 2 H lo, v]= ſo dæ, Hlo,&l= Hlol. 0 Für das Problem(:
O* ꝙ, o]l= D[ꝙ&, o] h 35 427 7 d8, 3 0* d
7
D'*[o. u ſ 1 ν G—)(Gææ ꝗ Geæ Pg — 2 pægwæg]dædy,
O*[,&]= O*[c„l, fHI[o, v]=1⸗ vdædy, H ſꝙ, ꝙl= H lꝙGl.
Für das Problem(E):
** 15 d 92 Ds[G]= D**[ꝙF,]+ 7. 9d9
d's he 0„
D**[„, p]= 4 1o 1„+(4%— B) Te Pæ B
—(Aæn— Bæ(æ æ Ga)(Aær— Bæa) Pp vvldædy, 9**9, ꝓf Ds ꝓ, H[. 19]= ſſ ꝓ p dædy, H ſqꝙ,— H ſqꝙl. B
18
Fur das P
Dann
(19
und somit teten Eige Differentie der Eigen
(20) Ganz ent
21)
22
(23)
Dam Eulersche Variation valenz de problemes nachdem Variatior gebildet
Der
Satæ 5

werden für die Rand-
e noch
Für das Problem(R):
d[o, v]l= D[o. v] h 4 292 09, 3. 809 07 R Dlo, vl=([A4 dædg, B 9[o, ꝙl= O lcl.
EIlo, vI= ſEondase, H ſqꝙ, ꝙl= Hſ†.
Dann ist für das Problem(§) nach der Greenschen Formel(6)
1
(19) 9[G.»l= ſ p(A Gν⁴dæ 4 G,„,— d)
5' 0
h[A(O)&(O) v(O) 4 0) 90]
und somit, wenn u, und uxpb zwei Eigenfunktionen eines der betrach- teten Eigenwertprobleme des Stabes sind, mit Rücksicht auf die Differentialgleichung(S) und auf die Orthogonalität und Normierung der Eigenfunktionen
(20) 91 ſa für ⸗= M 2 27, 20 ⁄=— , Ganz entsprechend folgt für die Probleme(P),(E) und(R) für,= 7 (21) dO*[ui, ux]= 35 4 0 S us für.= h (22) S lui 2]—. 3 0. (9) 91 A* für.= h Vi, A]= „S
Damit, daß wir die Differentialgleichungen(S),(P) und(R) als Eulersche Differentialgleichungen der in den obigen Sätzen aufgeführten Variationsprobleme nachwiesen, ist noch nicht die tatsächliche Aqui- valenz der Differentialgleichungsprobleme mit den zugehörigen Variations- problemen gezeigt. Der vollständige Nachweis soll erbracht werden, nachdem wir zunächst einige Sätze bewiesen haben und dadurch unsere Variationsprobleme zu einer rekurrenten Definition der Eigenwerte aus- gebildet haben.
Der folgende Satz wird uns im weiteren wichtige Dienste leisten:
Sata 5. ISt ꝙ eine zulässige Vergleichsfunktion, für die am Rande ꝙ& = O oder 29= O oder beides gilt, so bestehen folgende gleichwerltige „ R Beaiehungen:
2* 19

9o= Sr-g O(G- gel²), 1
er.lo olel 0s lol)
Beweis.: Es ist
/ℳ(A2— Buu Oeν— 2(Aæg— Bæ] Gæ Ou Aææ— Bæa] ouejdædy B 1 er.(wer Grfe) dædeν‿ν[Gerdædy(Gyedædy] 2 B 5 B
1a ſfGrer A G„Jdedn B
0 R
„
==ſſoawasa, wegen„— 0 bew. J9 R B
1 ce.(AH'dæ dy]² wegen H&= 1 B
—o(DGN²).
Somit ist 1
Dr= plo toO(DLl²).
Damit ist aber auch die Behauptung
oegl= Og] 0(5[ol 2)
für den Fall, dae„ 0 bewiesen und übrigens auch für den Fall 2„
0 der Randbedingung(EII), wo wegen h= O0 der Ausdruck d˙= D ist. In dem Falle, daß nur.= 0 gefordert wird, müssen wir jedoch noch den Einfluß des Randintegrals
„ſ4„'as . 0„ ER
abschätzen. Vorerst haben wir nämlich dann nur bewiesen, daß
1 Gea Oro= 9l O(Dl22). eine Beziehung, die noch ruhig einen Widerspruch zur behaupteten Relation zuläßt. Die Abschätzung des Randintegrals läßt sich, wie folgt, bewerkstelligen. Zunächst ist
2 0&, 2 4——— „4(S?) ds*(S) 4s.
R R
20
;0 8 Ferner ist
wobei 9
wenn die
daß die l
und hiera
wo die h Esj
womit w Dem
Sata 6.
Schai

ledy
en Fall
D ist. jedoch
4 daß
pteten h. wie
Ferner ist ³)
Ibef'a⸗ 1ov ſſbe teriuea
A(oæ‿‿—σρνν—dæed „Abe oy Jd„ν
wobei D.*[pl] bedeutet, daß in dem Ausdruck D“[g] die Größe B— 4= 1 gesetzt wurde. Unter Berücksichtigung von.= O0 und
1 2
1 2 9
wegen (ſGdA H*dædy= Gᷣ Dlgl B ist ⁹) 1 /˙& Drrol= Dlpl= ſe(S„] ¹s ER
wobei O der Krümmungsradius der Randkurve R ist, und 90 ist, wenn die Kurve nach innen konkav ist. Ferner wissen wir(s. oben),
daß die Ungleichung 1
foe‿ pi]dædy= c„(DIo— 2
gilt. Somit ist
1 0 G 1 d 2,* 1 /G⸗) dS c D lol) 4(o- 914 d*) 29 c12(D[o]] 43, 2* und hieraus folgt notwendig
2 3 4 ſer) ds= Const. Dlola, R
wo die Konstante von ꝙ unabhängig ist. Es ist also
3
5ol= Dlol- ODLeJ),
womit wegen(24) die Behauptung bewiesen ist. Dem Satze 5 entsprechend gilt der Satz:
Satæ 6. ISt ꝙ eine zulässige Vergleichsfunktion, die am Rande R ver- schwindet, so bestehen folgende gleichzwertige Beziehungen:
9lol=la 0ole). 9⸗pl= t[p]*0(6 l4).
) Siehe F., S. 227 und 247. *) Siehe F., S. 243.

Bewvweis: Wie wir gleich zeigen werden, ist unter Berücksichtigung von&.⁵☛f= 0
2G2 25* 82(B— 4 ds, 25) erlp= Srlgl= ſ.— 4).(32) R wobei ç wieder der Krümmungsradius der Randkurve R ist. Nun ist aber das Randintegral, wie aus der Abschätzung zum Beweise des
3
Satzes 5 hervorgeht, höchstens von der Ordnung 0(Dlgrl). In Ver-
bindung mit Satz 5 ist damit die Behauptung bereits bewiesen. Zum Beweise der Gleichung(25) bemerken wir, daß sich durch
zweimalige Anwendung der Gauß-Greenschen Integraltransformation
die Gleichung
o'*e[gl= O*ſol 41((G,—— Ge— 4A) Glh os ds 4G) G en ge ereereee rrenas E
ergibt. Das erste Randintegral rechts verschwindet wegen.†= 0 und für das zweite können wir auch schreiben:
G— 4)*s= G— 4) ſe*‿⁴ᷣ‿ pe Pen— Pu Pun] ds E 15
55 1(B— 4A) ꝙn2² ds ¹⁰), W. 2.Z. W. ₰ 0 7 9
Aus dem Ausdruck[] für den Stab folgt wegen 4= 0, 4k= 0 und wegen(20), daß alle Eigenwerte oberhalb einer gewissen Schranke liegen. Dasselbe folgt für die Platte aus der Gestalt des Ausdrucks d[o] und aus den Sätzen 5 und 6. Wenn wir die Tatsache vorweg- nehmen— der Beweis wird noch erbracht werden—, daß es zu jedem der von uns betrachteten Eigenwertprobleme eine abzählbare Menge von Eigenwerten gibt, können wir in allen Fällen diese Eigen- werte der Größe nach anordnen:
d1 1 42= 4=..,
wobei jeder Eigenwert so oft zu schreiben ist, wie es seiner Viel- fachheit entspricht. Die zugehörigen Eigenfunktionen numerieren wir entsprechend:
2
, A,...
1*
Nach diesen Zwischenbetrachtungen kehren wir nun zu den Ex- tremumseigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen zurück. Durch unsere Variationsprobleme haben wir eine von den Differential-
gleichungen unabhängige Definition der Eigenwerte gewonnen. In be-
¹) Siehe F. S. 242.
22
kannter W lage obige rekurrepter
Satæ d. zulässd-
glol!
zum I (8) bau uert u dann
als M funktie
Bemerkun
durch
Wir valenz d- Eigenwer kann fol Differenti einles Sys zeigen, diesen le Eulersche denn bel zwar eir daß eine Man mu druck 9 ständigk Variatio
2. Eulersch nutzen für dies normier wendig gleichun dings Differer —q—
11

Gun ist ſise des u Ver- D
durch mation
In ds
Z. W.
, 50 chranke Sdrucks Jorweg- 3 es Zu ählbare Iigen-
rr Viel- ren wir
len EXx- gurück. rential-
In be-
kannter Weise ¹¹) gelangen wir von dieser Definition auf der Grund-
lage obiger Numerierung der Eigenwerte und Eigenfunktionen zu einer
rekurrenten Definition.
Sataæ 7. Unter allen bei Gültigkeit der Zusätze zu den Sätzen I bis 4 zuldssigen Vergleichsfunktionen& ist diejenige, welche den Ausdruck d' o] bei der Nebenbedingung
Hol=1
zum Minimum macht, eine Ligenfunktion un der Differentialgleichung (S) bawv.(,(R) bei den betreffenden Randbedingungen. Der Minimum- Wert d' lua] ist der zugehörige Eigenwert 41. Sakzessive geuwinnen zwir dann durch die zusätzlichen Nebenbedingungen
H qꝙ, ui]= 0(5= 7. 2, n.)
als Minimum von*[ den nlen Eigenwert An, und die Eætremal- funklion, welche dies leistet, ist die nte Eigenfunktion un.
Bemerkung- Bei den Problemen(E) und(P) ist in obigem Satze[& durch O*ν[⁹ bauo.*[% ersetet zu denken.
Wir kommen nun dazu, den Nachweis der tatsächlichen Aqui- valenz der oben formulierten Variationsprobleme mit den zugehörigen Eigenwertproblemen der Differentialgleichungen zu erbringen. Man kann folgende Wege einschlagen. 1. Einmal kann man von der Differentialgleichung ausgehen, die Existenz und die Vollständigkeit eines Systems zugehöriger Eigenfunktionen u beweisen, um dann zu zeigen, daß diese u Lösungen des Variationsproblems sind. Für diesen letzten Schritt genügt es nicht, die Differentialgleichung als Eulersche Differentialgleichung des Variationsproblems herzuleiten, denn bekanntlich ist die Erfüllung der Eulerschen Differentialgleichung zwar eine notwendige, nicht aber eine hinreichende Bedingung dafür, daß eine Funktion den Variationsausdruck zum Extremum macht. Man muß vielmehr direkt zeigen, daß die Eigenfunktionen u, den Aus- druck d‿ bzw. O*„&], O**[ Zum Minimum machen. Aus der Voll- ständigkeit des Lösungssystems der u, geht dann hervor, daß das Variationsproblem keine weiteren Lösungen als diese u, haben kann.
2. Wenn man schon die Eigenschaft der Differentialgleichung, Eulersche Differentialgleichung des Variationsproblems zu sein, be- nutzen will, so geht man von dem Variationsproblem aus, beweist für dieses die Existenz und die Vollständigkeit eines Lösungsystems normierter, orthogonaler Funktionen us, und diese u sind dann not- wendig Eigenfunktionen der Differentialgleichung. Daß die Differential- gleichung keine weiteren Eigenfunktionen haben kann, weiß man aller- dings erst dann, wenn bewiesen ist, daß die Eigenfunktionen der Differentialgleichung den Orthogonalitätsbedingungen genügen müssen,
¹1¹) Siehe etwa CI.
23

was sich, wie wir bereits sahen, ohne Kenntnis der speziellen Eigen- schaften der Funktionen allein aus der Differentialgleichung und den Randbedingungen herleiten läßt.
Wir schlagen der Kürze halber den ersten Weg ein und berufen uns bei dem Beweis der Existenz eines vollständigen Systems von Eigenfunktionen der Eigenwertprobleme(S) bzw.(P),(E),(R) auf die Theorie der Integralgleichungen.
Das Problem(8). Die„Greensche Funktion“ G(w;) habe folgende Beschaffenheit: 1. Es sei Ta G(a.&)= 0 für E und 0 2,.
2. G(æ;) sei in dem Intervall Ozæ«! für alle von é ver- schiedenen Werte von æ viermal nach æ stetig differenzierbar. Im Punkte æ= S sei G(æ;&) mit ihren beiden ersten Ableitungen stetig, für die dritte Ableitung gelte dagegen:
Lai(E+s;)— G(&—“; 5)— 1.
3. In æ= O und æ=! genüge G(œ;) einer der Randbedingungen (SI) bis(SIII).
Wir setzen dabei voraus, daß 4=0 kein Eigenwert ist. Ist 1=0 ein Eigenwert, so ist G(æ;) durch die„erweiterte Greensche Funktion“ G(æ,) zu ersetzen, für welche die Bedingungen 2 und 3
wie oben gelten, für die aber an Stelle der Forderung 1 die folgende tritt:
LrG(&)= an( 20(G),
wo die ud die zu 1=0 gehörigen Eigenfunktionen des betreffenden Problems bedeuten.
Die Greensche Funktion des Problems(è) findet sich für eine ganze Reihe von Randbedingungen, unter anderem auch für(I),(SII) und(GIII), in einer Arbeit von Myller¹²) angegeben.
Die Differentialgleichung(S) nebst Randbedingung ist dann äqui- valent der Integralgleichung
1 2()= 4GGE*& ½ G&)-(E)ds. 0
Die Probleme(P),(E),(R).
Wir wählen eine Greensche Funktion G(, 9; E, y) folgender Be- schaffenheit ¹³):
¹²) A. Myller, Diss. Göttingen 1906; s. auch Westfall, Diss. Göttingen 1905; E. Juretzka, Diss. Breslau 1909; W. Sternberg, Diss. Breslau 1912.
¹3) Für den Fall der homogenen, isotropen, kreisförmigen Platte kon- stanter Dicke bei W. Sternberg, I. c., explizit angegeben.
24
wobei 9( stetige Fu
3. 6 bedingung Es i Die Diffe gralgleich
A
Für gleichung reeller Ei Eigenfunl darstellba Reihe na Funktion lst
wobei
80 ist
für die Relation Um geordnet —q—- 14) genügen stetigen

erufen s von uf die
enheit:
lungen
t. ISt ensche und 3 lgende
fenden
r eine
(10)
äqui-
er Be-
tingen 912. 3 kon-
1. Læ,„ G(w, 9; S,)= O in B und auf dem Rande R,(x. ‿☛‿ 5. y), wenn G die Greensche Funktion der Probleme(P) und(E) ist, und 4(4 4 G G. h; 5. v))=O in B+. R, wenn G die Greensche Funktion eines der Probleme() bedeutet.
2. In der Umgebung von æ= S, p=y soll G die Gestalt haben 1 2 G(æ, y;&,)=— Z* log? †. 9(w, 9;&, y),
wobei g(œ, 9; S,) eine mit ihren Ableitungen bis zur vierten Ordnung stetige Funktion ist. Dabei ist rI= G** G,— v)“.
3. G(w, y; S,) genüge in æ, y einer der betrachteten Rand- bedingungen der Probleme(P) und(E) bzw. des Problems(F).
Es ist wiederum vorauszusetzen, daß 1= 0 kein Eigenwert ist. Die Differentialgleichung(P) bzw.(R) ist dann äquivalent der Inte- gralgleichung
2w,)= 101G.,v. S,)) G. 9)(E,)) u(S,*) dEduyj.
Für unsere Probleme folgt dann aus der Theorie der Integral- gleichungen in bekannter Weise die Existenz einer abzählbaren Folge reeller Eigenwerte, ferner die uns bereits bekannte Orthogonalität der Eigenfunktionen, weiterhin die Entwickelbarkeit einer quellenmäßig darstellbaren Funktion ¹⁴) in eine absolut und gleichmäßig konvergente Reihe nach den Eigenfunktionen u, und die Vollständigkeit des Funktionensystems der u. Es gilt die Vollständigkeitsrelation:
Ist = au o); 9) n ui(), 2—1 7—1 wobei
7 7 2s= ſ. us- f. dæ, be= ſkusgdæ, 0 0
so ist 1
6 2) † hdæ= Xlalbs
=1 0 4
für die Eigenfunktionen der Probleme(S) und die entsprechende Relation im Zweidimensionalen der Probleme(P).(E),(R).
Um die Aquivalenz unserer Variationsprobleme mit den zu- geordneten Differentialgleichungsproblemen nachzuweisen, haben wir
¹4) Quellenmäßig darstellbar ist jede, den betrachteten Randbedingungen genügende, in B stetige, mit stetigen Ableitungen erster und stückweise stetigen Ableitungen 2. und 3. Ordnung versehene Funktion.
25

nur noch zu zeigen, daß die Eigenfunktionen us den Ausdruck d[ꝙl zum Minimum machen. Wir schlagen folgenden Weg ein 15), den wir der Kürze halber nur für die Probleme(S) verfolgen, da er sich ganz analog auf die Probleme(P),(E),(R) übertragen läßt.
Sind f und g zwei zulässige Vergleichsfunktionen, die einer der Randbedingungen(§I) bis(SIII) genügen, so ist nach der sym- metrischen Greenschen Formel(9)
FrE— gL. Waæ=.
0 Aus der Greenschen Formel(8) folgt
2 dfI= rLlfldæ
„ 7 = N
1 ⸗ ſarE fldæ, wobei a.= ſafude, Su
—— d**² Ar. 7—1 Nun ist nach der Vollständigkeitsrelation und auf Grund der Ortho- gonalität und Normierung
a4.= O(= 1, 2, n— 1), as 11 also 9[f— Ar. Das Gleichheitszeichen gilt für †= un und nur dafür, womit der Beweis erbracht ist.
Auf Grund der in Satz 7 formulierten rekurrenten Minimum- Definition der Eigenwerte ist es noch nicht möglich, die Eigenwerte verschiedener Probleme zu vergleichen, denn die Konkurrenzbereiche für die Vergleichsfunktionen stimmen schon wegen der verschiedenen Nebenbedingungen H ſ[ꝙ, ui]= 0 nicht überein. Es ist daher von großem Nutzen gewesen, daß man den ten Eigenwert und die nte Eigenfunktion unabhängig von der Kenntnis der vorangehenden Eigen- werte und Eigenfunktionen charakterisieren konnte. Dadurch wurde es zugleich möglich, die Theorie der Eigenwerte von der Theorie der
¹⁵) Siehe auch C I, S. 9.
26
Bigenfunkt eine Nodit
gatæ S. PFerner dingung
und de Durch angegel Sstem der nl ler du gleich Wenn werder 1 2, Beuveis. Den Variation übernehm 1. J Klassische
der vi de sehen, bi „ y. tionen g
von 9 ſ- Als Funk
der n e 2 l Gleichun verschw
Normier plikatio —
16)
Eigenwe 17
9

Olgl u wir ganz
ſer der Sym-
fuidæ,
Ortho-
iit der
imum- nwerte greiche 2denen r VoOn je nte Eigen- wurde rie der
Eigenfunktionen völlig loszulösen ¹⁶). Diese Definition stellt lediglich eine Modifikation des„klassischen’ Variationsproblems dar.
Sata. Es seien vI, Ve,..-, vn/— 1 in B stückeveise stetige Funktionen. Ferner sei ꝙ irgendeine zulässige Vergleichsfunktion, welche den Be- dingungen
Elol= 7.
EAI[GOo vel= O G=„F 2,. n=) und den Randbedingungen der Zusätze zu Salz 1, 2, 3 oder 4 genügt. Durch d(or 262*.: vn— 1] sei die untere Grenze des Ausdruchs 9—&† angegeben(bzuw. des Ausdrucks O*ει ◻ρσ⁹ oder O*εννι[◻⁹1 bei dem geuählten System der vx und allen zulässigen Vergleichsfunſctionen&. Dann ist der n te Eigenwert An der Differentialgleichung(8) bzu.(P),(R) bei der durch den Konkurrenzbereich der ꝙ& bestimmten Randbedingung ¹⁷) gleich dem größten Wert, den diese untere Grenze annehmen kann, wenn für die vi alle zulässigen Funklionensysteme in Betracht gezogen werden. Das ‚Maæimum-Minimume wird erreicht für de= un, d= 1, 2,. n— 1) und&= un.
Beweils.
Den Beweis dieses Satzes können wir für die von uns betrachteten Variationsprobleme unmittelbar aus den Courantschen Arbeiten übernehmen ¹⁰).
1. Für we,= ur(= 1, 2,„— 1),= un, ist auf Grund der klassischen Extremumseigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunk- tioren das Minimum d(ur 302.. Da 1)= An.
2. Wir zeigen, daß bei irgendeiner Wahl des Funktionensystems der ve das Minimum d(ur 1e..Sm 1 1SjAn ist. Um dies einzu- sehen, brauchen wir nur zu zeigen, daß für eine spezielle Funktion „= p', die den Bedingungen des Problems für die Vergleichsfunk- tionen genügt, 0[„&*]= n ist. Denn dann ist erst recht das Minimum
von 0[] für alle zulässigen Funktionen kleiner oder gleich 4n. 1
Als Funktion wählt man etwa eine lineare Kombination ꝓ*=e⸗ A7 71
der n ersten Eigenfunktionen mit konstanten Koeffizienten c. Die
n— 1 Bedingungsgleichungen H[o*, vi= O liefern„— 1 homogene
Gleichungen für die a, denen man stets durch ein nicht identisch
verschwindendes Wertesystem cui, ca,.., cn genügen kann. Die
Normierungsbedingung H ꝙ&*==n kann man durch Multi- 11 plikation der cz mit einem gemeinsamen Faktor befriedigen. Dann wird
¹16) Siehe CI, CII, sowie R. Courant, Math. Ann. 85, 280. 1922. Für die Eigenwerte werden dann neue Existenzbeweise notwendig.
¹²) Siehe Zusätze zu Satz 1, 2, 3, 4.
¹8) GI, S. 18.
274

2
d[ꝓ*ν]= X Xccx d lus, u],
1=1= 1 also unter Berücksichtigung von(20) bis(23)
9[oσ— ci* A.
1—1 Wegen 1.1= lz ist somit
99Ig 2.
§ 4. Folgerungen aus den Extremumseigenschaften.
Es seien un, un die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines der Probleme(E), An, wn jene eines der Probleme(R). Wir beweisen folgenden Satz:
Satz 9. Der Vergleich der Eigenwerte An und un der Probleme
a) d[ꝙꝓ]= min. 5) d**]= min. bei den Nebenbedingungen HIꝙ]l= 1, Hlꝙ]= 1, H ſꝙ, 2⁰4= 0, I[G, us]= 0,
(= 1, 2,„n— 1) wobei von den Vergleichsfunktionen in beiden Problemen enteder 9&
0 J.)= 0 oder 2.) 5= 0 oder 3.) Hla=Se= O gafor- » R
„[R dert wird, ergibt das asymptolische Geselz In um. Beweis: Es werde im folgenden durchgängig eine bestimmte der oben genannten Randbedingungen ins Auge gefaßt, der alle Vergleichs-
funktionen unterworfen seien. Wir führen in dem folgenden Vergleich
nur die sich jeweils ändernden Nebenbedingungen an. Es ist
An= min 9 ſo]bei den Nebenbedingungen H †%, 2Gν½= 0,(i= 1, 2,/- 1)
= min 9[Oo]„„. HſO, a*.]= 0,(7=1, 2,„n/- 1) auf Grund der Maximum-Minimum-Eigenschaft
= 0[), wo PF eine Vergleichsfunktion ist, für die'[g] der unteren Grenze beliebig nahekommt(denn die Existenz einer Extremal- funktion des letzten Minimumproblems ist nicht nachgewiesen),
1 = D**&.m| –⁵ 0(wu nach Satz 5, = d**ꝓ = min**„ bei den Nebenbedingungen H ꝙ&%, us]= 0,(i= 1,2,.ʒn 1) — umn.
28
Ferner:
und in beider (EII)
dagegen der Ra Problen
Problen
stellen, (RIIa) liegt d gegenü
Sata
hei
100!

der sen
der
for-
ben ehs-
eich
Ferner: un= min O**◻⁵%◻ bei den Nebenbedingungen H[%, us]= 0,(= 1,2,„ʒn— 1) = min[G]„„„ H ſqꝙ, 2⁰11= 0,(= 1,2, n- 1) auf Grund der Maximum-Minimum-Eigenschaft,
= O*(cl, wo F eine Vergleichsfunktion ist, für die d*μεεμ„&] der
unteren Grenze beliebig nahekommt, 1
= OU[o+ 0 6 52) nach Satz 5, =9 M. = min 9ſol] beiden Nebenbedingungen H q, πm= 0,(i= 1, 2,n— 1) =1. Es ist also An= An.
Im Falle= 0(mit h= O oder h+ O in dem Ausdruck d[†)) und in dem Falle.(†= O und 83= O genügen die Eigenfunktionen „[E beider Probleme denselben Randbedingungen, nämlich im ersten Fall
(EII) oder(EIT') und im letzten Fall(EIII). Im Falle 5— 0 »[R
dagegen genügen die der Randbedingung(RIIa), die u. dagegen der Randbedingung(EIIa). Daß wir trotzdem einen Vergleich beider Probleme durchführen konnten, liegt eben daran, daß wir in beiden
Problemen den Vergleichsfunktionen dieselbe Randbedingung—0
0„ stellen, während der andere Teil der Randbedingung(EIIa) bzw. (RIIa) sich als natürliche Randbedingung von selbst einstellt. Hierin liegt der wesentliche Unterschied und Vorteil des Variationsproblems gegenüber dem Randwertproblem der Differentialgleichung ¹⁹).
Sataæ 10. Der Vergleich der Eigenwerte An und un der Probleme
a) 9[o= min 5) 9*[o]= min bei den Nebenbedingungen Hlꝙl= 1, HI&]= 1, H qG, 2b4]= 0, H Iꝙ, ui]= 0,
(7= 1,2,.„n— J) wobei von den Vergleichsfunktionen in beiden Problemen enbweder
0 1.)„= O oder 2.) 2[²½‿εƷ4 0 gefordert wird, ergibt das
asgmptolische Geset= 42 Un.
¹9) Hätten wir Satz 5 auch für den Fall bewiesen, daß an die Vergleichs- funktionen keine Rapdbedingungen gestellt werden(freie Probleme), so könnten wir den Vergleich für die in beiden Bestandteilen völlig ver- schiedenen Randbedingungen(RI) und(EI) bzw.(RI') und(EP) in der- selben Weise ziehen.
29

Beweis- Der Beweis von Satz 10 entspricht völlig dem von Satz 9 unter Verwendung von Satz 6 statt Satz 5.
Diese beiden Sätze 9 und 10 ermöglichen uns die Beschränkung unserer Untersuchungen des asymptotischen Verhaltens der Eigenwerte auf die völlig analogen Probleme(S) und(ER). Wir stellen daher die sich gleichzeitig erledigenden Probleme(P) und(E) bis auf weiteres in den Hintergrund.
Courantstellt zwei Prinzipien der Variationsrechnung heraus ²⁰), die für die Anwendung der Maximum-Minimum-Eigenschaften der Eigenwerte bei der Untersuchung der asymptotischen Verteilung grund- legend sind.
1. Wenn man die Bedingungen in einem Minimumproblem ver- schärft, wird der Wert des Minimums nicht verkleinert; wenn man sie mildert, wird der Wert des Minimums nicht vergrößert. Liegen zwei verschiedene Minimumprobleme bei gleichem Konkurrenzbereich der Vergleichsfunktionen vor, und ist für jede zulässige Vergleichsfunktion der zum Minimum zu machende Ausdruck bei dem ersten Problem nicht kleiner als bei dem zweiten, so ist auch das Minimum bei dem ersten Problem nicht kleiner als bei dem zweiten.
Das erste Prinzip sagt uns für unsere Schwingungsprobleme, daß sich beim Hinzufügen bzw. Aufheben von Zwangsbedingungen der Grundton und die Obertöne nur im steigenden bzw. abnehmenden Sinne ändern. Für die„festen’ Schwingungsprobleme(SIII) und(RIII) folgt der
Do
Satæ I1. Sind Bi, Be,- endlich viele Teilgebiele des Gebietes B, welche keine gemeinsamen inneren Punkte haben, so ist die Anzahl N 4) der unterhalb einer Schranke 1 gelegenen Eigenwerte der Differential- gleichung(S) bauw.(R) für das Gebiet B bei der Randbedingung(S1II) bziw.(RIII) mändestens so groß wie die gesamte Anzahl der unter- halb derselben Schranke 1 gelegenen Eigenwerte der Teilgebiete Bi bei derselben Randbedingung.
Der Beweis folgt unmittelbar daraus, daß den Vergleichsfunktionen an den Rändern der Gebiete PB. neue Zwangsbedingungen gestellt werden ²¹).
Ein entsprechender Satz läßt sich für die freien“ Probleme aus- sprechen:
Satzæ 12. Seien B1, Be,.. eine endliche Anzahl von Teilgebieten, welche das Gebiel B lückenlos ausfüllen und keine inneren Punkte gemein haben. Dann ist die Anzahl N() der unterhalb einer Schranke 1 gelegenen, zur Randbedingung(SI) baw.(RI) oder(SI') bau.(RI) gehörigen Eigenwerte der Differentialgleichung(S) bau.(R) für das
20) C. H., S. 353. 2¹) Siehe C I, S. 22.
30
Gebiet gelben Eigenu Der estellten lückenlose eipe Liusc dem Satze freien Pro Wir
bis(SIII dem Sym oberen In Wir
Sata 13
Beu¹ Das gilt: Grenzen
Gehen w über od den Ver gilt für 1. Variat

Atz 9
(kung Wwerte ler die iteres
ſus ²0), der rund-
ver- wenn öbert. lchem t für hende li dem oblem
i Sich ndton adern. t der
es B, N0) ential- 81I) unter-
B; dei
tionen estellt
2 alls-
welche eemein mke? (ET)
r das
Gebiet B kleiner oder höchstens gleich der gesamten Anzahl der zur selben Randbedingung gehörigen, unterhalb derselben Schranke gelegenen Eigenwerte der Differentialgleichung für die Teilgebiete B.
Der Satz folgt unmittelbar aus dem ersten der oben heraus- gestellten Variationsprinzipien ²²). Wesentlich ist die Forderung der lückenlosen Ausfüllung des Gebietes B durch die Teilgebiete Bz, die eine Einschränkung der Anwendungsfähigkeit dieses Satzes gegenüber dem Satze 11 mit sich bringt. Ein entsprechender Satz für die halb- freien Probleme läßt sich auf diesem Wege nicht gewinnen.
Wir vergleichen nun die Eigenwertspektren unserer Probleme(1) bis(SIII) bzw.(RℛI) bis(ERIII) in ihrer Verteilung. Wir legen dabei dem Symbol 1n die Nummer der betreffenden Randbedingung als oberen Index bei.
Wir behaupten:
Sataæ 13. Bei den Problemen(S) und(R) ist slets DTa= JIII
n„, II 17 „ 1 7= 2
III ,
A A 71= 712=
12 71
)
1.„ 2I⸗
A a= n—
Beweis: Wegen der Voraussetzung h=O ist stets[= Dlol. Das gilt aber dann(s. oben, 2. Variationsprinzip) auch für die unteren Grenzen dieser Ausdrücke und damit auch für deren Maxima. Somit ist
1. 1 2, 71¼— 0
ur au. Gehen wir von dem Problem(SI) zum Problem(SII') oder(SIIa) über oder von(§I) zu(SII) für h= O, so bedeutet das, daß wir den Vergleichsfunktionen eine Randbedingung auferlegen. Dasselbe gilt für die entsprechenden Probleme(R). Also wird nach unserem
1. Variationsprinzip
II⸗ 1 12 P 1n 2
II a. L. do Aa: „II I 4,„,
n n
Entsprechend schließen wir durch den UÜbergang vom halbfreien zum
festen Problem III aIE 12= A 2 I, nlla
6, e W. Z.b. W.
²z) Siehe CI, S. 23.
31

Entsprechende Vergleiche ließen sich ziehen, wenn wir den Vergleichs- funktionen nur auf einem Teile des Randes Zwangsbedingungen auf- erlegen würden, also etwa auf einem Teile des Randes freie, auf
dem anderen Teil halbfreie Randbedingungen stellten. sehen, daß die Eigenwerte asymptotisch von diesen Randbedingungen
unabhängig werden.
Die Vermittlerrolle der Größe h zwischen den einzelnen Rand- bedingungen kommt durch folgenden Satz zum Ausdruck.
werte nur im selben Sinne ändern.
geselzten Sinne.
Eigenwert im selben Sinne.
diese.
²3) C. H., S. 357/358.
Wir werden
Sata 14. Wenn sich die Größe h ändert, so kann sich jeder einzelne der zu einer die Größe h enthaltenden Randbedingung gehörigen Eigen-
Denn im selben Sinne ändert sich'[pl und damit die untere Grenze d(vr· bg,..., Vn) und damit das Maximum dieser unteren Grenzen. Daß sich mit h auch die Randbedingungen ändern, hat keinen Einfluß auf unsere Aussage, denn die Randbedingungen, in denen auftritt, sind freie Randbedingungen und werden somit nicht als Forderungen an die Vergleichsfunktionen gestellt.
Sata 15. Wenn man in der Differentialgleichung(S) bau.(R) die Funktion k überall im Grundbereich gleichsinnig abändert, so änderl sich bei jeder der betrachteten Randbedingungen der nte Eigenwert im entgegen-
Sata 16. Wird in den Differentialgleichungen(S) und(E) die Funklion A überall im Grundbereich gleichsinnig abgeändert, so verändert sich jeder
Der Beweis dieser Sätze ist wie bei den entsprechenden Courant- schen Sätzen ²³) zu führen. Zwar ändern sich auch mit A die Rand- bedingungen, aber da 4A nur in den freien Randbedingungen auftritt, gilt auch hier das beim Beweis von Satz 14 Gesagte. Die Operationen der Sätze 15 und 16 lassen eine Mannigfaltigkeit physikalischer Realisie- rungen zu gemäß der physikalischen Bedeutung der Größen und A. So sieht man etwa, daß eine Versteifung eine Tonerhöhung bedeutet, usw. Zwar sind die Sätze 15 und 16 zunächst für(S) und(ER) und also nicht für die Plattenprobleme(P) und(E) ausgesprochen, aber sie gelten nach den Sätzen 9 und 10 jedenfalls asymptotisch auch für
§5 ⁷
1. D Wir! homogenel
4= const. vereinfacht
(8.)
und auch
Gestalt. Für
funktionen
gemeine I
(26)
Für 1= Grades
(26 a)
Jede der! bedingung Konstante der Deter liefert die Im freien St

eichs. auf- auf ſerden nungen
Rand-
ie der Eigen-
ntere llteren „ hat n, in nicht
ſckion k i jeder gegen-
lion 4 jeder
rant- Rand- uftritt, tionen alisie- und 4A. deutet 2) und aber ch für
§ 5. Das asymptotische Verhalten der Eigenwerte des transversal schwingenden Stabes.
1. Der homogene, isotrope Stab konstanter Dicke ²⁴).
Wir betrachten zunächst das Problem der Schwingungen eines homogenen, isotropen Stabes konstanter Dicke. Da in diesem Falle 4= const. und K= const. ist und 4== 1 gesetzt werden kann, vereinfacht sich die Differentialgleichung(S) auf die Form
(So) un,— 1u= O,
und auch die Randbedingungen erhalten die entsprechend einfachere Gestalt.
Für alle betrachteten Randbedingungen lassen sich die Eigen- funktionen der Differentialgleichung(So) explizit angeben, da das all- gemeine Integral bekannt ist, nämlich
u= ci cos Kæ- c. sin e-† Coſ Kæ †. c. Sin Kæ, (26) 4 wobei X= V1. Für 1=0 artet die allgemeine Lösung aus in ein Polynom dritten Grades
(26 a) A= c-e T G e. a3.
Jede der betrachteten— durch A()= K()= 1 vereinfachten— Rand- bedingungen(SI) bis(SIII) liefert vier homogene Gleichungen für die Konstanten c. Damit diese eine Lösung haben, ist das Verschwinden der Determinante der Koeffizienten zu fordern, und diese Forderung liefert die Bestimmungsgleichung für die Eigenwerte 4. Im Falle der vereinfachten Randbedingung(§I) des beiderseits freien Stabes ergibt sich für 1—£³‿ 0 die transzendente Gleichung 6 1 0 — cos kl,— sin K*, Coſ K, S 0— 1 0 sin,— cos NM., Sin kl, e oder (27) 3 Coſ kl cos X= 1, und die zugehõrigen, nicht normierten Eigenfunktionen sind (28 u=(sin Kl— Sin l)(cos kæ+ Coſ Ka) 25)—(cos xl— Coſ Kh(sin kæ+ Sin ka).
24) Siehe hierzu auch E. Juretzka, Diss. Breslau 1909; für den spitzen und den kegelförmigen Stab s. W. Sternberg, Diss. Breslau 1912.
Görtler 3 33

Außerdem ist 41= 0 ein Eigenwert. Die zugehörigen Eigenfunktionen ergeben sich aus der Lösung (29) 2= c e. 1= O ist also ein zweifacher Eigenwert, da zu ihm die zwei vonein- ander linear unabhängigen, normierten Eigenfunktionen (30) 4= 1 und à= 3 V 35
gehören.
Betrachten wir die schärfste Randbedingung(SIII), also das Problem der Schwingungen des beiderseits eingespannten Stabes, so ergibt sich für 4£‿ 0 die Forderung
1 0. 1 0 V ceos kl, sin kl, Coſ kl, Sin k V- V — sin xl, cos xl, Sin xl, Coſ x V oder (27) Coſ kKl. cos Kkl= 1,
also wieder die Gleichung(27). Die zugehörigen Eigenfunktionen sind bis auf einen Normierungsfaktor gegeben durch
u=(sin kl— Sin l)(— cos kæ+ Coſ Kaæ —(cos k!— Coſ kl)(— sin Kæ+ Sin Kao).
Sie gehen durch zweimalige Differentiation aus den Eigenfunktionen(28) hervor. 1=0 ist kein Eigenwert. Es ist also
(31) Y
I„III 1„ 42= In.
Die Wurzeln der Gleichung(27) lassen sich leicht bestimmen. Es ist ²⁵)
3 411=+†˖ 0,01765= 4,7300,
kal=+ 0,00078= 7,8532, 7
kal= 2*+† 0,00003 10,9956, 9
kal= a 14,1372,
²¹) L. Chadenson, J. de l'Ec. Pol. 26, 1927, S. 155; s. auch E. Juretzka, I. c., S. 35 ff.
34
4s Arahl
geich als Rigenwerte von den b
32)
und wegel
63)
Somit gilt
Satz 17. verle
konstan Randbe
wofür
oder
Wir
und verst NOCh) der einer der
a) V Randbedi- gespannt
64
wenn N
8 Ligenwer

tionen
onein-
80 das 6s, 80
en sind
en(28)
immen.
retzka,
Als Anzahl der Lösungen K, unterhalb einer Schranke, also zu- gleich als Anzahl N() der unterhalb einer Schranke 1 gelegenen Eigenwerte 4 ergibt sich somit für hinreichend großes unabhä ngig von den betrachteten Randbedingungen
7 4 (32) vGV. und wegen ℛ—= 1 24 04 (33) 1 1
Somit gilt der
Satæ 17. Die Anzahl der unterhalb einer Schranke 1 gelegenen Eigen- werle der Differentialgleichung(.) des homogenen isotropen Stabes Konstanter Dicke von der Länge! ist unabhängig von den belrachteten Randbedingungen für hinreichend große Werte von 1 gegeben durch
wofur wir auch schreiben können
„4 1⁴ An 75 2 oder lim 4 2—171 N.
2. Das allgemeine Stabproblem(S).
Wir teilen den Stab in y gleichlange Teile von der Länge
und versuchen, eine untere und eine obere Schranke für die Anzahl N-() der unterhalb einer Schranke 4 gelegenen Eigenwerte bei irgend- einer der betrachteten Randbedingungen(§1) bis(SIII) anzugeben.
a) Wir unterwerfen die r getrennten Stabteile der schärfsten Randbedingung(§III), d. h. es sollen alle+ 1 Endpunkte fest ein- gespannt werden. Dann ist nach Satz 11
2. III (34) NG 2 X N. 0, 1=1 wenn NII(7) die Anzahl der unterhalb einer Schranke 1 gelegenen
2
Eigenwerte des iten Teilstabes bei der Randbedingung(III) bedeutet. 3 35

b) Ganz entsprechend stellen wir nun dem Stab in seinen End- punkten und Unterteilungspunkten die mildeste Randbedingung(S1I). Dann ist nach Satz 12
2 635) NG)= DN0h,
1= wenn N() die unterhalb der Schranke 1 gelegenen Eigenwerte des zten Teilstabes bei der Randbedingung(§1) bezeichnet.
Nun gilt es, für die NII() geeignete untere, für die NIO) ge- eignete obere Schranken anzugeben. Wir bezeichnen im folgenden mit A„ die Minima der Funktionen 4 und x im êten Teilintervall.
Wir ersetzen nun in dem iten Teilstab A und k durch die Kon- stanten 1 und S, Das heißt physikalisch, wir vergrößern das Produkt E.I und verkleinern das Produkt 9Q, was physikalisch noch viele Möglichkeiten der Realisierung Zuläßt.
Nach Satz 15 und 16 ist dann
636) VIIG)= N—h.
7. 5 1 ,2 ku die Maxima, mit 4„, kp
wobei NII() die Anzahl NII(a) für den derart abgeänderten Teilstab
bedeutet. Diese Anzahl NIIG) läßt sich aber asymptotisch angeben, denn die Eigenwerte des neuen Teilstabes sind die Eigenwerte der Differentialgleichung
.„ 7 T 2 (37) 4 u— Akynu= O, O0OSa S 1 bei der Randbedingung(GIII), also die mit 2 multiplizierten Eigen- k
22 werte der Differentialgleichung(So) des homogenen isotropen Stabes konstanter Dicke. Nach Satz 17 ist somit für hinreichend große A-Werte
4 1 1 A, 4
1 III 3 (38) N, 2= n. Ain 7.=o. und somit nach(34) de e I. k 639) NO=/ e1 m)
4.35 7,— 1 4 G
Ersetzen wir nun umgekehrt in jedem Teilstab 4) und K(G)
durch 4, und K*,, so erhalten wir auf demselben Wege nach(35)
36
M'
610
Wählle reichend gT dem Ausdr
41
Wir erhalt Spezialfall
Sata 18. Eigenu bedlingu
Es ist
§ 6.
1. Die he
Für 3= C08. diesen 8e
(P
Lu dersel daran, de (3— 4( dedingun wollen d stanz dei vereinfac

8J.
e des
Mee⸗ genden inen 4
² Kon- I das kalisch
eilstab geben, te der
Eigen-
Stabes grobe
= 0,
d kdc à 65)
(40) N⁴)= 7 8 n(1(1+ p), lim„ν—= 0.
71 7=1 A2, 2
Wählen wir nun die Schranke 1 sehr groß und nehmen y hin- reichend groß an, so nähern sieh die Schranken(39) und(40) beliebig dem Ausdruck
/1G
(41) 12i/(e) dæ.(1+. y), lim= O.
Wir erhalten also den folgenden Satz, in welchem der Satz 17 als Spezialfall enthalten ist.
Satz 18. Die Anzahl N() der unterhalb einer Schranke 1 gelegenen Eigenwerte der Differentialgleichung(8) ist für alle betrachteten Rand- bedingungen asymplotisch gegeben durch
4 ¹ 7 171 4 K(w) 3 N) A&☛. U. G cae an. aen= 0
NG) Waa⸗ 2'1
lim—
12 P7
§ 6. Das asymptotische Verhalten der Eigenwerte der transversal schwingenden Platte.
Es ist also
1. Die homogene, isotrope, kreisförmige Platte konstanter Dicke.
Für die homogene, isotrope Platte konstanter Dicke ist 4= const., B= const.,= const., und wir können 4= B= K= 1 setzen. Für diesen Sonderfall vereinfacht sich die Differentialgleichung(P) zu
(P.) 1Au— 14u= O0. Zu derselben Differentialgleichung führt das Problem(). Das liegt daran, daß— wie bereits S. 15 ausgeführt wurde— der Ausdruck
(B—= 4A)(ææ&f, Te9) für B— 4= const. nur die Gestalt der Rand- bedingung beeinflußt. Wir können diesen Ausdruck weglassen und wollen dies auch hier tun, d. h. wir betrachten das durch die Kon- stanz der Koeffizienten vereinfachte Problem() mit den zugehörigen vereinfachten Randbedingungen(RI) bis(III).
Die Differentialgleichung(P.) läßt sich im Falle eines kreis- förmigen Grundgebietes mit explizit bekannten Funktionen integrieren ²⁸).
26) Siehe etwa C. H., S. 264. 37

Es ist zweckmäßig, Polarkoordinaten einzuführen. Mit dem Operator 0² 1 1 02 dn t„ dr t d5⸗ läßt sich die Differentialgleichung(P.) symbolisch in der Form (43)(4— x*)(A+ k²) u= 0 schreiben, wo wieder 1= N*. Setzen wir die Lösung als Fouriersche Reihe
(42) 4
(44) 2=. Wn O) en.
ã=— ◻ so ergibt sich für jedes wn(r) die Differentialgleichung
d2 1 d² 1 d 2n2 68(S. 55. u)(5rre e“.e. Man erkennt aus dieser Schreibweise sofort, daß an(r)= Jn(r) und eon(r)= In(i K T)
zwei voneinander unabhängige Lösungen mit den erforderlichen Stetig- keitseigenschaften sind.(Jn(·)= Besselsche Funktion n ter Ordnung erster Art.) Somit ist
(46) u(r, O)= ſa Jn(xr) b Jn(ikr) A⁸
eine Eigenfunktion der Differentialgleichung(Po), und 1=* ist der zu- gehörige, zweifach zu zählende Eigenwert. Wegen Jn()=(— 1)2 J„— 2) können wir uns auf x beschränken. Der Fall= O bedarf einer besonderen Behandlung. Daß wir auf diesem Wege tatsächlich alle Eigenfunktionen der kreisförmigen Platte gewinnen, folgt daraus, daß jede Eigenfunktion u eine periodische Funktion von d mit der Pe- riode 2-α ist und die erforderlichen Stetigkeitseigenschaften besitzt, um sich stets in eine Fourierreihe der Form(44) entwickeln zu lassen
Die Größen a und b ergeben sich mit den Eigenwerten aus den Randbedingungen(bis auf einen gemeinsamen Faktor, der durch die Normierung festgelegt wird). Wir wollen im folgenden der Einfach- heit halber annehmen, der Grundkreis habe den Radius 1. Dann erhält man unter der Voraussetzung k O0 und unter Berücksichtigung der Besselschen Differentialgleichung
1 2 47) I e= G(— 13 5 ⸗0
bei den verschiedenen Randbedingungen folgende Bestimmungs- gleichungen für a und 5:
38
):
I): EIIq): EII: (EII): (PIII:
Aus diese Gleichung
(I':
(ET):
(EIIa): (EII:
(EII):
(PII:
Wir köl ausschlie
Rücksicl
ES ptotisch dedingun zuziehen k, und schließe Verhalte

tetig⸗ lnung
er 2u- 1) einer h alle 8, daß r Pe- esitzt, assen
s den h die fach- erhält g der
ungs-
y: a-hn— b An(7)= 0, a-), E.) 25 7„(14)— 0;
(R): ae, W) e5 e,(4)= 0, aEe)=— XIe(w)) † b[ih Je in) P= kJeik))= 0; (RFa): a 77 E) 15 ,n o,
a Te e) 15)= 0:
m: a e E 5,(77)— 0, a dnE)— 5 e K7)= 0; (EE): a e G),(7= 0,
a ihe E)— k Je())+ bih R(i-4) XIe(i))= 0; (I: a eE) 5-Je E)= 0, a 2e EM e(= o.
Aus diesen Gleichungssystemen ergeben sich die folgenden transzendenten Gleichungen für K:
(RI): e ſa) i 4—
R P): e G) 0oö
(— Jn(k) 1 Jn( 4) 7 (R Ia): en() e(E)= 0, (EWM: Je(w) In(4)= 0, (EII): In(4)— 1 n e)— 2 4
(PII: De e e In(k) Jn()
Es ist jeweils noch gesondert der Fall= O0 zu untersuchen. Wir könnten den Eigenwert 1=0 hier und auch beim Problem(8) ausschließen, da er ja keine Schwingung ergibt, führen ihn jedoch mit Rücksicht auf spätere Verallgemeinerungen mit.
Es liegt nahe, wie bei der Untersuchung der Gesetze der asym- ptotischen Eigenwertverteilung beim Problem(§o) die schärfste Rand- bedingung(PIII) und die mildeste Randbedingung(RI) heran- zuziehen. Sie führen beide auf dieselbe Bestimmungsgleichung für k, und man erwartet, unter Berücksichtigung des Falles= 0 schließen zu können, daß auf Grund des Satzes 13 das asymptotische Verhalten der Eigenwerte von den betrachteten Randbedingungen un-
39

abhängig ist. Jedoch bereitet gerade der Fall ¼- 0 Schwierigkeiten. Im Falle(PIII) ist— wie im analogen Fall(§III)— 1=0 kein Eigenwert. Während dagegen im Falle(§1) 1=0O ein zweifacher Eigenwert ist und damit ohne Einfluß auf das asymptotische Eigen- wertgesetz bleibt, erkennt man ohne weiteres, daß im Falle der Rand- bedingung(RI) 1=0O ein Eigenwert unendlich hoher Vielfachheit des Problems(P.)— und auch des Problems(R)— ist. Denn jede der unendlich vielen, linear voneinander unabhängigen, im Grundgebiet regulären Potentialfunktionen ist eine Eigenfunktion.
Gourant hat das asymptotische Eigenwertgesetz für den Fall (PIII) der festeingespannten Platte berechnet ²⁷), und aus einer Arbeit von Geppert ³) ergibt sich die Gültigkeit dieses Gesetzes auch für die Fälle(EII') und(EII). Courant vergleicht die Eigenwerte des Problems(PIII) mit den Eigenwerten der festeingespannten kreis- förmigen Membran, die sich als Quadrate der Wurzeln der Gleichung Jn(= O ergeben. Er erhält dadurch als untere Schranke für die Anzahl NüüI(7) der unterhalb einer Schranke 4 gelegenen Eigenwerte des Problems(RIII)
(48) NIIG) Z 4 v.
Um eine obere Schranke für N1II(4) zu gewinnen, bedenken wir, daß nach Satz 13 die Ungleichung NüII(1)= NII(4) gilt. Nun sind wegen Jn(i*)+ 0 für k+ 0 die Eigenwerte des Randwertproblems (EII) gegeben durch die Biquadrate der positiven Wurzeln von J()= O und sind doppelt zu zählen. Somit ist das asymptotische Gesetz für NII(4) gerade dasselbe wie für das Problem der kreis- förmigen, eingespannten Membran. Es ist also wieder
1— (49) NII(4)= S ſ,
4 und somit gilt auch
1— (50) NIIIG)= 71 V1, und wiederum wegen Satz 13
5 1
(51) NII(7)= 41
In jedem der betrachteten Probleme ist X= 0 kein Eigenwert, wie wir noch kurz zeigen wollen. Betrachten wir das Randwertproblem (EII) mit 1=0:
(52) 414u= 0
22) CII.
²⁸) H. Geppert, Math. Ann. 95 S. 519, 1926.
40
bei der R 53)
Nehmen N setzen Wir
wegen(b)
nach(a) Grundgebi Wege der Randi Es is auch für übertragen gebiet B, keit in d
Das denken u in B lieg
64)
wobel oͤ wir berü
b5) nach Sat
66
Jur Flächenin endliche. mit den
67)

ſeiten. kein acher igen- and- it des e der Pebiet
Fall Arbeit hh für e des kreis- chung lir die werte
— wir, sind blems von tische kreis-
bei der Randbedingung (53)(a) 2 R= 0,(b) Au R= O.
Nehmen wir an, es existiere eine Lösung à dieses Problems. Dann setzen wir Au= v. Es wäre also
4= O und vin= 0 wegen(b), und also notwendig v= O. Also wäre Au= O und ä= 0
nach(a) und somit auch àu= 0. Der Beweis gilt für ein beliebiges Grundgebiet B.
Wegen NII(1)= NII'(4)= NIII(7) kann 1=0O auch nicht Eigenwert der Randwertprobleme(EII) und(.III) sein.
Es ist nun noch zu zeigen, daß dasselbe asymptotische Gesetz auch für Nr'() und damit nach Satz 13 auch für Nüla(7) gilt. Wir übertragen zunächst das Gesetz für NIIIO) auf ein beliebiges Grund- gebiet B, um dann auf Grund der bisher bewiesenen Sätze die Gültig- keit in diesem Bereich B auch für NI'() und NüI(¼) auszusprechen.
2. Die homogene, isotrope Platte konstanter Dicke und beliebiger Gestalt.
Das Grundgebiet B möge den Flächeninhalt haben. Wir denken uns das Gebiet B durch eine endliche Anzahl von ganz in B liegenden Kreisen der Inhalte 71,,.., fr so ausgefüllt, daß
„ 64) F= In⸗s,
2—1 wobei ò eine beliebig kleine positive Größe bedeutet. Dann ist, wenn
wir berücksichtigen, daß in einem Kreise vom Radius a
(55) NII()= 417
nach Satz 11 e 5 III— (56) N G21e 1211. — 7—1
Nun schließen wir das Gebiet B ganz in einen Kreis K vom Flächeninhalt F ein und denken uns den Bereich K— B durch eine endliche Anzahl von ganz in K— B liegenden Kreisen Gi, Geę,..:, Gyr, mit den Inhalten /1, †²,..., fr derart ausgefüllt, daß ebenfalls
(57) F f-—= Xf;.
2—1
41

Dann ist nach Satz 11 und nach(55)
VIIG) E NIIG) NA10)
7= 1
. 3 1-. 68) NIIG) Z(e- 2 nju 6 7 V
2—1
Somit ist unter Berücksichtigung von(56) 3 NIIIGA)== 11. 659) Ge EV
Im Hinblick auf den Fall(RI') stellen wir folgende Betrachtung an. Ist un eine Eigenfunktion des Problems(RI), so ist Aun= Vn eine zum selben Eigenwert gehörige Eigenfunktion des Problems(PII)2 insofern nicht Aun= O ist im ganzen Gebiet B. Letzteres ist aber nur der Fall bei den zum Eigenwert 1=0 gehörigen Eigenfunktionen, einer unendlichen Mannigfaltigkeit von linear unabhängigen Potential- funktionen. Denn wäre Aun= 0 und das zugehörige 12 †᷑˖ 0, so müßte auf Grund der Differentialgleichung(P.) un= O sein, un wäre also keine Eigenfunktion. Es ist also die Anzahl der von Null ver- schiedenen unterhalb einer Schranke 1 gelegenen Eigenwerte des Problems(RI) sicherlich nicht größer als NIII().
Nun bedenken wir, daß wenn h von Null nach positiven Werten anwächst, die Eigenwerte stetig mit h wachsen. Es ist also die Anzahl NI'(7) vermindert um die zwischen Null und dem ersten von Null verschiedenen Eigenwert von(RI) liegende Anzahl der Eigen- werte von(RT') für kleines h nicht größer als NIIG4). Jene Anzahl der zwischen Null und dem ersten von Null verschiedenen Eigenwert von(RI) liegenden Eigenwerte von(RI') ist aber gewiß endlich ²⁹). Diese Anzahl sei gleich x. 1= 0 selbst ist ein einfacher Eigenwert von(RI'), wie noch gezeigt werden soll. Es ist also, wenn wir noch Satz 13 berücksichtigen,
(60) NII(7)= NIG0)= NII() X † 1,
und somit für großes 4 auch
29) Nach der Theorie der Integralgleichungen ist GG 9; E, 7) dædyYdé dy B B
2 ———, und hieraus ergibt sich schon, daß ein von Null verschiedener Eigen- 2=1 4„ wert nur endliche Vielfachheit besitzen kann.— Wir werden übrigens auf
anderem Wege zeigen, daß NIIa(y) endlich ist, und die Eigenwerte von(RT“) gehen für h— œ in jene von(RIIa) über.
42
6!)
und damit
62)
Da S ist ein bes notwendig hängigen
Nach der Randt
0I
(ID
eine dem aussprech
zu ersete den Verg nur gefo stetige 20
Nun
663
und unte
(664
Also ist
Wir gleichsku Dann ist
(65)
Das gilt Lum Mi gemeine!
——
3

Verten do die n von Ligen- nzahl nwert ich ²9). nwert n wir
ſdé dy- Eigen-
us auf
EI)
1r f 61 NI)= 661) NIG)V1, und damit nach Satz 13 62 NIIa ³☛ω I☛—— (62) Ce, NI=EG)
Da Satz 13 einen Vergleich von NI“(4) mit NII() nicht zuläßt, ist ein besonderer Beweis der Gültigkeit des Gesetzes auch für NII(2) notwendig. Wir führen einen von den letzten Betrachtungen unab- hängigen Beweis ³⁰).
Nach CI läßt sich für die Eigenwerte der Membran bei einer der Randbedingungen
(eT). dh (MII) 2 R= 0
eine dem Satze 8 völlig entsprechende Maximum-Minimum-Definition aussprechen. Es ist nur Dſ[o] durch
D[9] ſfloen o²] dæ dy«
zu ersetzen.(M I) stellt sich als natürliche Randbedingung ein. Von den Vergleichsfunktionen wird, von den Randbedingungen abgesehen, nur gefordert, daß sie stetig seien, stetige erste und stückweise stetige zweite Ableitungen besitzen.
Nun ist bei einer der Randbedingungen(MW I) oder(MWII)
(63) Dælo]= o Aodæ dy
und unter Anwendung der Seiowenesetien Ungleichung (64)(Dlol)“=ozdæd[A ꝓ)2dæ dy. Also ist 4 6
(Dr lol)e= Dlol.
Wir fordern bei dem Problem(EÆII) von den zulässigen Ver- gleichsfunktionen, daß sie am Rande Rü von B verschwinden. Dann ist für jede dieser Funktionen
(65) ldxluuun., 1—'s d[bi, be,, un- 1).
Das gilt insbesondere für jene Funktion&, welche die rechte Seite zum Minimum macht. Das Minimum der linken Seite, das im all- gemeinen durch ein anderes ꝙ erreicht wird, muß also auch kleiner
30) CII, S. 199.
43

sein oder höchstens gleich dem der rechten Seite. Dabei haben wir als zulässige Vergleichsfunktionen nur jene des Problems(FE) betrachtet. Das Minimum der linken Seite wird aber erst recht kleiner als das der rechten Seite, wenn wir auf der linken Seite die umfangreichere Klasse der Vergleichsfunktionen des Membranproblems zulassen. Die obige Ungleichung besteht auch für die Maxima-Minima dieser Aus- drücke, wenn wir alle zulässigen Funktionensysteme der va betrachten. Es ist also
„ II 2 II (66)(T 4 S Ap n'
wobei die ersten unteren Indizes auf die Membrane bzw. die Platte hinweisen. Es ist also die Anzahl NII(7) der Werte b2„ unterhalb
einer Schranke 47 nicht größer als die Anzahl der Werte Aur„unter- halb 1. Nach CI(Satz 19, S. 43) ist also
7 5 21— f) (67) NIG) 2 12V7.
Nun ist nach Satz 13 NIII(4)= NII(7) und somit ist unter Berück- sichtigung von(59)
— 38 VII—— (68) NI() 1.
woraus wiederum nach Satz 13 auch das Gesetz(62) für NII(2) folgt.
Indem wir in den letzten Betrachtungen das Membranproblem(MII) durch das Membranproblem(MI) ersetzen und von den Vergleichs- funktionen ꝙ fordern, daß die normalen Ableitungen auf dem Rande R von B verschwinden, erhalten wir das entsprechende, bereits aus- gesprochene Gesetz(62) für NIIa().
Es bildet also lediglich das Problem(ÆI) eine Ausnahme, und zwar auch dann nur, wenn wir den Eigenwert 1=0, der physikalisch keine Schwingung, sondern eine Gleichgewichtslage bedeutet, hin- zunehmen. Für die Abzählung der von Null verschiedenen Eigenwerte des Problems(EI) dagegen gilt, wie bereits erwähnt wurde, das- selbe Gesetz. Für die Kreisplatte erkennt man dies unmittelbar aus der Gleichheit der transzendenten Bestimmungsgleichung der Eigen- werte des Problems(EI) mit der des Problems(PIII).
Satæ 19. Bei allen betrachteten Randbedingungen mit Ausnahme von (I) ist die Anzahl N() der unterhalb einer Schranke 1 gelegenen Eigenwerte der Differentialgleichung(Pe) der homogenen, isotropen Platte konslanter Dicke in einem beliebigen Grundgebiet B asymptotisch gleich
3 3
d. h. e.
Dussel verschi heding Vielfac Wir facher Eit dab es ei stetige ul stetigen4 gleichung (Po) bei dem
G) gibt.
1) (69) und weg
70
Somit is Rande v 771) Jede Lö gleichun de
2 a
ca
Wenn y fortschr Maximu angenon 80 lSt)
799

ſchere
Die Aus- hten.
Platte rhalb
nter-
rück-
folgt. .I) eichs- Rande aus-
und alisch
hin- werte
das- r aus ligen-
e Von genen lropen totisch
d. h. es gilt
lim Nd)
V 22 Dasselbe asymptolische Gesetze gilt für die Abzählung der von Null verschiedenen Eiyenwerte der Differentialgleichung(Po) bei der Rand- bedingung(ℛ I), während 4= O ein Eigenwert von unendlich hoher Viel fachheit ist.
Wir haben noch den Beweis nachzutragen, daß 1= 0 ein ein- facher Eigenwert des Problems(RÆI') ist. Wir haben also zu zeigen, daß es eine und nur eine durch die Forderung Hſ[u]= 1 normierte, stetige und mit stetigen Ableitungen bis zur dritten und stückweise stetigen Ableitungen vierter Ordnung versehene Lösung der Differential- gleichung (o) 4142= 0 bei dem Randbedingungssystem
4—₰
(RT)(a) 3 4 2 0.(b)(1— 92)—o gibt. 1) Wir setzen u= v. Dann ist wegen(Po) (69) 419= 05 und wegen(a) ist dv (70 d e
Somit ist v eine Potentialfunktion in B, deren normale Ableitung am Rande verschwindet, also ist notwendig
(71) 9= Q= Gonst.
Jede Lösung unseres Problems erfüllt also notwendig die Differential- gleichung
(72) A= C.
2 a) Es sei C= O. Dann wächst à wegen 5 du 1 Ce*) dn h'
wenn wir von irgendeiner Stelle des Randes R⁵ ins Innere von B fortschreiten. Die Funktion u(æ,) muß also im Inneren von B ein Maximum besitzen. Es werde dieses Maximum im Punkte æ—= 0, ¶=0 angenommen. Entwickeln wir u um diesen Punkt in eine Taylorreihe, so ist wegen uæ= u,= 0 in(0, 0)
. (74) a*ν)= u(0,0)—[uræ O,0) ν ‿ 2 uνπν,æν‿2
+ up„(0, 0) 92..
45

Nun ist nach(72) (75) ux ν(0, 0)+ ug(0, 0) ⸗ 0.
Es ist also gewiß uxrα 0, 0) oder u„,„(0, 0) positiv. Nehmen wir an, es sei urαν O0, 0)= 0. Dann schreiten wir vom Punkte(0, 0) ausgehend längs der xæ-Achse fort und erkennen aus(74), daß u wächst, ent- gegen der Annahme, daß u in(0, 0) ein Maximum besitzt. Dasselbe ergibt sich, wenn wir un,„(, 0)= O annehmen und längs der-Achse fortschreiten. Es kann also nur C=0 sein.
2 b) Es sei C=O. Dann schließen wir entsprechend auf ein notwendig existierendes Minimum der Funktion u in einem inneren Punkte von B. Nach(72) ist
(76) ur ν(0,0)+ u„„(0, 0) 0.
Hieraus folgt in Verbindung mit(74) die Unmöglichkeit eines Minimums von u in(0, 0).
2 c) Es ist also C= 0. Nach(72) ist somit u(, y) notwendig eine Potentialfunktion, für die ferner wegen(73) am Rande
du 77—= 0 10⁰) d R gilt. u ist also notwendig eine Konstante. Wir kommen also in der Tat zu dem behaupteten Ergebnis, daß unser Problem eine und nur eine Lösung besitzt. Ist f der Flächeninhalt von B, so lautet diese
Lösung
(78) u= f
3. Die Probleme(F),(E),(P).
Um die asymptotischen Eigenwertgesetze der Differentialgleichung (R) bei einer der Randbedingungen(RI) bis(PIII) zu gewinnen, ver- fahren wir in völliger Analogie zu unseren Ausführungen bei dem Pro- blem(S). Aus den Ausführungen auf S. 35— 37 werden die Bezeich- nungen ohne weiteres verständlich sein. An Stelle der Randbedingung(§ 1) tritt zunächst(RI'), jedoch indem wir 5 ₰ 0 gehen lassen, erstreckt sich die Gültigkeit auch auf das asymptotische Verhalten der von Null verschiedenen Eigenwerte von(RI), während 1=0 wieder ein Eigenwert unendlich hoher Vielfachheit ist.
Wir erhalten nach den Sätzen 11, 12 und 13, wenn wir das
Gebiet B in ꝛ Teilgebiete mit den Inhalten 1, g, ⸗, fr Zerlegen, 7 T. (79) NYIIG NGC)⸗ D M) 1=1 1=1
46
und, inde
platten el der betret Teilbereich
4 47
60
Für hinre gleichmäß dem Aus
wobei lil
Sata 20 Eigen hellin
Bei Eige
Au folgende
Sate 2 gilt gung
A⸗
W ptotisch beschraä

an, bend ent- belbe chse
ein leren
ums
ndig
h der nur lHiese
nung ver- Pro- ich- 81) eckt von
ein
das gel,
4 3 und, indem wir wieder— durch bzw. m in den einzelnen Teil- k Ln kx platten ersetzen(die Indizes M, m deuten die Maxima bzw. Minima der betreffenden Funktion in dem durch den oberen Index angegebenen
Teilbereich an),
(80) aXAKarm= xa-⸗ 12 Sa /Ae.
7221 7=1 mn
Für hinreichend großes und 1 nähern sich, wenn wir die Teilgebiete gleichmäßig klein werden lassen, die beiden Schranken(80) beliebig
dem Ausdruck K(w. /) ſI nen Jor(1t. a)
wobei lim 17= O0. 1—
Wir erhalten somit den folgenden Satz:
Sataæ 20. Die Anzahl N() der unterhalb einer Schranke 1 gelegenen Eigenwerte der Differentialgleichung(R) ist für alle betrachteten Rand- bedingungen für hinreichend großes 1 asymptotisch gegeben durch
— 44 ſſ K(œ, 9) 3— 42) 4,sh“* 1 n). ve B
d. h. es gilt
1 lim—ſ—— dady. 4* 7 3 4 2 4(E, 9) B Bei der Randbedingung(RI) wird der— unendlich wielfache— Eigenwert 1= O nicht mitgezählt.
Auf Grund der Sätze 9 und 10 können wir nun unmittelbar folgenden Satz aussprechen:
Satzæ 21. Das im Satae 20 ausgesprochene asymptotische Eigenwerlgesel⸗= gilt auch für die Differentialgleichung(P) bei einer der Randbedin- gungen(EIIa),(EII),(EII),(II),(PII),(PIII).
§ 7. Ausdehnung der Gültigkeit der Gesetze auf allgemeinere Differentialgleichungen.
Wir haben bereits erwähnt, daß sich die Gültigkeit der asym- ptotischen Gesetzenicht auf die bisher behandelten Differentialgleichungen beschränkt. Betrachten wir zunächst den eindimensionalen Fall. Die
47

Differentialgleichung(S) des transversal schwingenden Stabes kann als Spezialfall der allgemeinen linearen, selbstadjungierten Differential- gleichung vierter Ordnung aufgefaßt werden. Die allgemeinste Diffe- rentialgleichung dieser Art läßt sich stets auf folgende Form bringen ³¹)
(Sa) Llu]l— uku=(4 u“)“—(pu) gu— uka= O. Wir setzen im folgenden wieder voraus, daß 4= 0, k=O für O=a.= 72, und normieren ebenfalls wie bisher 1 * A2da= 1. 0
Es gilt die Greensche Formel ¹
1 v Llu]— uL loljdæ=(A u'). v—=(4 v)’ u— p dv— v u)) (81) 5 1— — 4(u ν—dj vu). 6
Wir betrachten die Differentialgleichung(Sa) als Eigenwertproblem bei einer der folgenden Randbedingungen:
(Sa)(A an), pa= 0 für aæ= O und æ=, a
2n= O für æ= O und x=!; (SaT'(A u"⁰),— pa= O für æ= O und æ= 1, d
an= hut für= O, un=— hu’ für=;
(Sa TIa)(4 u“)’— p„u= O für æ= O und=!, 3 u= O für æ= O und æ˙=;
ferner bei den Randbedingungen(GII),(SII“) und(SIII). Aus der Greenschen Formel ergibt sich in der üblichen Weise die Orthogonalität der Eigenfunktionen.
Satz 22. Die Eigenwertprobleme der Differentialgleichung(Sa) bei einer
der Randbedingungen(SaI) bis(SIII) sind äguivalent mit dem Varia- kionsproblem, den Ausdruck
Orr(gl ℳ 4&ν‿‿exp ²2+&,*) deæ † h(4 0) G ²½(O) 4 0 G ²00) bei der Nebenbedingung H Lo 85 ꝙ2 dæ= 1 zum Minimum zu machen. 3
3¹) Siehe etwa Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Diffe- rentialgleichungen 1895, Bd. I S. 73.
48
Die Diffe tionsprob bereits in Differenti erbracht, für unsel Win Different gegebene Auch die Randgrö- werden. wichtiger sotrope Grund de Orduung eines Va Win der ange. suchen. auf den 80 könne Different gleichun,
Satæ 2.
dohe des
n al
Görtl

Weise
i einer Waria-
200)
Diffe-
Zusdtae: Es gelten die Zusätze von Satz I, es ist nur(SI) durch(Sal), (ST') durch(Sal'),(SIIa) durch(Salla) zu ersetzen.
Denn es ist
1 5 2(S*lgl— uHlH=((A Gν— G) 2— ukp ò da 9 7 7 + 4 o—(&ν⁴+—f poν ˙ρ 0 0
+ h(4A00) G O) 6GR+.‿⁴ε ⁶0σ⁴σ⁶σ*). Die Differentialgleichung(Sa) ist also Eulersche Gleichung des Varia- tionsproblems bei den angegebenen Randbedingungen. Damit ist, wie bereits im§ 3 ausgeführt wurde, der Nachweis der Aquivalenz des Differentialgleichungsproblems mit dem Variationsproblem noch nicht erbracht, der vollständige Beweis läßt sich jedoch aus dem§ 3 auch für unser Problem(Sa) unmittelbar übernehmen.
Wir sind also in der Lage, jede beliebige lineare, selbstadjungierte Differentialgleichung vierter Ordnung in einer Variablen bei den an- gegebenen Randbedingungen auf ein Variationsproblem zurückzuführen. Auch die Wahl der Randbedingungen kann durch Hinzufügen anderer Randgrößen in dem Ausdruck d**[ol weitgehend verallgemeinert werden. Wir umfassen dadurch eine große Klasse auch physikalisch wichtiger Differentialgleichungen. Es sei nur bemerkt, daß etwa ani- sotrope Stäbe(z. B. technische Anisotropie gezogener Drähte) auf Grund des Hamiltonschen Prinzips zu Differentialgleichungen vierter Ordnung führen müssen, die— als Eulersche Differentialgleichungen eines Variationsproblems— selbstadjungiert sind.
Wir wollen nun das asymptotische Verhalten der Eigenwerte der angegebenen Eigenwertprobleme der Differentialgleichung(8a) unter- suchen. So, wie wir bei dem Plattenproblem den Ausdruck dιε„ auf den einfacheren Ausdruck[ſ&] des Problems(ER) zurückführten, so können wir auch hier das Problem der allgemeinsten selbstadjungierten Differentialgleichung vierter Ordnung auf das Problem der Differential- gleichung(8) zurückführen. Es gilt der
Sataæ 23. Für alle zulässigen Vergleichsfunlctionen ꝙ, für die 1) EHſco— 1 2) Hꝙ, ui.]= O oder Hſqꝙ, 205]= 0, 6= 1,2,„ n= 1), awobei die u Eigenfunktionen des Problems(S) und die un Eigenfunklionen
des Problems(Sa) bedeuten, gill von einem gewissen, hinreichend großen n ab
1 d[]l= S**]+ 0( O*ꝓ ²)
Görtler 4 49

oder, was dasselbe aussagl,
ge-o]= So] 0(sl2).
Beweis: Es ist
7 7 (82) pGH²dæ E c1 ſG2dæ 0 0 und (83) Loεde. C 0
wegen H[&%]= 1. Ferner ist 1 ſoνꝓρæ— ſxdæ † ꝙ ꝙ. 0 0 0 Nun gelten, wie wir noch zeigen werden, folgende Ungleichungen für æ= O und æ=
11 2 1 1 1
.. 1 ſosdæ 4 V 1 wenn ſo:⸗ dæ= 22 ſosdæ.(Fall(a)), d⸗ 4
G Jle,h,
„ foaa 23. 2 frues—, ſeae(Fall(b)); 5 n
3 1 feruef ſwaar 4 0
665)„G)² 9
7 fwrde 0
Nehmen wir zunächst an, es treten die Fälle(a) und(a') ein. Dann ist 1 ſ2 1
1 7 ſodæ 3 foua 4 5 6
2 —
0 0
¹ 1 1 Ie ias ls aesalhe daæ⁴
1 4 ,
1 1 1 1 ſq dar 2 S99 ſozaaſ2 5 5
2
Iousaa 6
wobei
7 1 62 foiu 2 6
wegen Hſo]= 1 eine endliche Zahl ist. Hieraus folgt
50
. 1. Behn feruee 7 3 pf2 dæ,(Fall al)) 0
1 5—. 1 Rehne. fwuaæ⸗ E.wde.(Fall(b).
Auf Grun (87) Wir habe
9** 1 gl
von einen mit der weise des
(88)
Also ist (89) Somit fol
(90) womit di Trei
Diese Un kommend

rungen
8½
x,(Tall(h lo,(Falla
Ir,(rallt
ann ist
1 1
3(Fall(a
2 7 1 (86) ſydaæ= C12 fonawf, 0 0
wo Ci wegen Hqo]= 1 eine nur von x() abhängige obere Schranke ist. Also ist 1
¹ fo'taeſ² 0 Auf Grund der Ungleichungen(82) und(83) ist
ve
Wir haben noch zu zeigen, daß die in den Ausdrücken[g&] und O*s[—&] gleicherweise auftretenden Randgrößen
h(A(O) G²½) 400 Gν 0]
von einer geringeren Größenordnung als die Integrale sind, damit(87) mit der Behauptung identisch ist(S. analogen Schluß bei dem Be- weise des Satzes 5). Wegen(85), Fall(a*) und(86) ist
2 (82¹) ſposda=r 012 0
(87) d ſx]= Oͤlop] wr
7 3 (88) h(A(0) G ²()+ 40 G 0= C. ſo'aaæſe 3 0 Also ist ¹ 2 3 (89) olol= ſo deæ † 0(fæua 4) 0 0
Somit folgt nach(87)
1
60 er.lo= vloOoloJ²),
womit die Behauptung für das Eintreffen der Fälle(a),(a) bewiesen ist. Treten die Fälle(a) und(b') ein, so ist
¹ 1 42 2 3 7 2 2 2 4 72 4 fæꝛax=e G2dr 7 g'z da
39 e 0 6 4 6
2 1 12 ¹ 3
22 ee,„2 Ja 4 b' = 8 gC 2da— ꝙf2 da wegen(b').
0 6
Diese Ungleichung wird befriedigt für den trivialen, nicht in Betracht kommenden Fall= const. und für
J. 1
ꝙf2 dæ**

Dann wäre wegen(b')
ſwar
0
Es wäre also'q] bzw. d** p] für jedes(S. Nebenbedingungen) beschränkt; da aber, wie wir wissen, die Eigenwerte unbeschränkt wachsen, und
min'[p]= O ſun]= In, min 9**[ol= O lun]= un;
1
12 g²v2)8.
also 9[pl= 2n, bzw.'**ꝙl=2 un, kann bei den an ꝙ gestellten 2— 1 Bedingungen 2) des zu be- weisenden Satzes dieser Fall nicht eintreten. Treten die Fälle(al) und(b) ein, so ist wegen(b)
und die behauptete Abschätzung wird sogar übertroffen. Man erkennt ohne weiteres, daß die Fälle(b) und(b') unver-
träglich sind. Denn wegen(b) ist 1
72 28 ꝙ 2dæ= 2
0
beliebig groß wird, muß asymptotisch allein der Ausdruck ſF2 dæ 0
maßgebend sein. Wegen(b') ist aber ¹ 2
1 2 ſguaz⸗ n. ſgede= 2
0 0 Damit sind sämtliche durch die Ungleichungen(84) und(85) gegebenen Möglichkeiten erschöpft. Wir haben nur noch diese Ungleichungen selbst nachzuweisen ³²). Wir betrachten zu diesem Zwecke ein Intervall x bis xa, 0Xa rr l, der Länge a— 21= d. Wegen HIoꝙ]= 1 existiert ein Wert xo(Gr= To.= J) derart, daß
ſoν ‿de= d. G&ν),
3¹) Für den Beweis vergl. ähnliche Schlußweise bei CI S. 14 ff.
52
also
991)
Wegen
wird auf
also unte
Wir wäl
2)
(b)
Dann ist
bzw.
womit durch 9 Mit den Bex tragen.
Satæ?

also
2 ¹
6, 4 (91) ꝓ(xo)=. wobei ¹²=„2ſg) d. 0 Wegen -ungen) ſhränkt ꝙ(ꝛ)— c(wo)= ſ9(E) dæ To wird auf Grund der Schwarzschen Ungleichung 1 1 de. e Gwe)— P lxo)= d.D³dæ 2 To 1 1 d ſœ νdæ 3 0 also unter Berücksichtigung von(91) 1 1„ 2 2 E d ſꝙ2dæ²2+‿₰ unver- 2 ben) 3 Jo 2 0 d 2] Wir wählen nun 1 1—.„ G. ² (a2) 4—[M(.-æ 2. cg, wenn ſwrde 2, 0 e. n eben- 0 92 roßes/ 62 4 2 „au(b) à—= 2, wenn 3 ꝙ,2dæ= 7(=== 0) 0 Dann ist 1 1 12 1 (a) 9* ee) 4wa* 2ſwdæꝑ 0 0 4 2 2 gebenen bzw.(b) 2()= 5 3 m selbst
womit(84) für ein beliebiges& bewiesen ist. Ersetzen wir ꝙ x) bis T„ durch&(), so folgt hieraus(85). Mit Hilfe des nun bewiesenen Satzes 23 sind wir in der Lage, den Beweis des Satzes 9 unmittelbar auf das Problem(Sa) zu über- tragen. Wir erhalten den
xistiert
Sata 24. Der Vergleich der Eigenwerte der Probleme(8) und(Sa). a) olgl= min, 5) d** l= min,
53

bei den Nebenbedingungen o— ¹, EEo—* Hlo, uil= 9, HG, l= 0, E= J, 2,„ n 9)
wobei von den Vergleichsfunktionen ꝙ gefordert wird- I. G& ł= 0 oder 2. G&= O0 oder 3. G= 0 oder 4. w0 Keine Randbedingung gestellt wird, ergibl das asymptotische Geset= AIn= An-. Schließen wir nun in bekannter Weise weiter, so können wir sofort den Satz aussprechen:
Sata 25. Die Anzahl N() der unterhalb einer Schranke 1 gelegenen Eigenwerte der allgemeinsten linearen, selbstadjungierten Dijferential- gleichung vierter Ordnung(Sa) bei irgendeiner der Randbedingungen (Sal) bis(SIII) ist für hinreichend großes asymptotisch gegeben
durch 4 4„—S N)= 12/⸗.(+ y), 7“— 0.
Es ist also
7/7 34 h h We 1/Ahar. 1 2‿ 71 3 Es sei übrigens noch bemerkt, daß der Satz 24 wieder den Vergleich der Eigenwerte von(S) und(Sa) bei den voneinander ver- schiedenen Randbedingungen(Sal) und(§I) bzw.(Sal†') und(81)), (SaIa) und(SIIa) ergibt wie bei dem analogen Satze 9. Durch Hinzufügen von asymptotisch belanglosen Gliedern zu den Variations- ausdrücken der Probleme(§) und(Sa) kann man die Verschiedenheit der sich im Vergleiche des Satzes 24 zugeordneten Randbedingungen noch weitgehend verstärken. Will man feststellen, wann ein linearer Differentialausdruck vierter Ordnung
(93) Llu]= 4 u““'+ Bu+ Cu Du+‿ Eu mit seinem adjungierten Differentialausdruck (94) Mſu]=(4 u])“—(Bu])“+(Cu)“—(Du)+‿ EBu identisch ist, so ergibt der Koeffizientenvergleich
4= 4,
B= 4 4— B,
O== 6 4» 3B 0. J= 4 4 3 20— D⸗ Eäy= 4—— D’+ E.
Diese Bed rungen
95)
Genüge g Wie gleichung
66
bei der!
stationä- Dabei 1 zweimal 0424 ptotische gleichun nicht ei zum Bef gleichun
97
besteht, des Au geführt,
898)
wobei
W Differen trachte
(99) 9

P=O
gestellt
n wir
legenen ential- gungen pegehen
er den er ver-
(8T),
Durch ations- lenheit gungen
sdruck
Diese Bedingungen sind erfüllt, wenn den beiden unabhängigen Forde- rungen
B= 2 4 (95) D= C— 4 Genüge geleistet wird.
Wie man leicht nachrechnet, erfüllt die Eulersche Differential- gleichung des Variationsproblems den Ausdruck
1
O*rs[]=[AiHlds lpldæ
7 = i σ+‿ b G+‿ dν) a&+ b Gꝙ+ c P) daæ 0
(96)
bei der Nebenbedingung ¹
HIol= kGg2de= 1 0
stationär zu machen, diese Bedingungen, ist also selbstadjungiert. Dabei mögen die ap, b,„(= 1, 2) stetige, die b, einmal, die a, zweimal stetig differenzierbare Funktionen von æ im Grundintervall 0=æ-=! sein. Es läßt sich somit sofort das Gesetz der asym- ptotischen Eigenwertverteilung angeben, indem wir die Differential- gleichung auf die Normalform(§a) zurückführen. Letzteres ist aber nicht einmal notwendig, denn eine einfache Abschätzung, wie sie zum Beweise des Satzes 23 vorgenommen wurde, lehrt, daß die Un- gleichung
3 67) 9*relo]= g l] O(6l2l)
besteht, wenn wir au- ag mit 4 identifizieren. Dann ist das Problem des Ausdrucks d*ε*ε*ν] unmittelbar auf das Problem(S) zurück- geführt, und wir können das Eigenwertgesetz aussprechen:
4— 4 (98) NG)= 15 e dæ,
wobei wir annehmen, daß au aa= 0O und K 0.
Wir wenden uns nun den Eigenwertproblemen der linearen Differentialgleichungen vierter Ordnung in zwei Variablen zu. Be- trachten wir zunächst das Variationsproblem, den Ausdruck
(99) d***„.=(ſla. Aꝙ b pr K c diG)(aᷣε beᷣ eνιd p) dædé B
55

bei der Nebenbedingung
Hoꝓl=([kgdædg= 1 B
zum Extremum zu machen, wobei wir von den Vergleichsfunktionen
entweder= O oder Sr e
= O oder beides fordern. Einfache Ab-
schätzungen, wie wir sie zum Beweise des Satzes 5 benötigten,
ergeben
3 —⅜ 4 (100) 9r ole 2AO921 J wobei wir auag mit A identifizieren. Damit ist dieses Problem wieder auf das Problem(R) zurückgeführt. Die zugehörige Differentialgleichung
ist selbstadjungiert, die mit/ multiplizierten Eigenfunktionen bilden ein orthogonales Funktionensystem. Ist die Existenz der Eigenwerte und Eigenfunktionen bewiesen, so können wir sofort das asym- ptotische Gesetz der Eigenwertverteilung angeben, nämlich
(101) v= La Hſ 2-dædy, 1 2 B
wobei wir voraussetzen, daß ar d 0, K 0. Hat man den linearen Differentialausdruck vierter Ordnung
Llu]l= A uœœæ Buxag Cuegg D upp, EHung + Faugææ Guræg Hurge, Kugg
(102)+ Lugæ. Muægy †. Nugp †‿Puæ+ Qug + Ru
und untersucht, wann er mit seinem adjungierten Differentialausdruck
Mlu]l=(A u)æαeνα Bu)æ ᷣ νν Cu)ææg, Du)æ„„(EHu)pyy )
ers—(Ku),
— Cahæaæ—(Gajaag—(Ha (103) CLujee+(Majeæe,+(Nu)p — Suze—(0 u)g + Ru)
identisch ist, so gelangt man auf Grund des Koeffizientenvergleichs zu den Forderungen
56
6) (104)
Von die unabhän ausdrucl
Auc
9*
1105)
bei der
stationä gleichun
(1o)

lonen
Ab.
igten,
rieder hung ilden werte sym-
druck
9999 U9 19
1 3
3 4 1 (2) G= 2 Bæ+ Cp,(4) 4= Dæ+ 2 Ep,
6 Aræ 3 Br„. Cg„— Fa— Gp— 0, 3 Bræ 4 Crg+ 3 D„„y— 2 Gx— 2 H,= 0, Cææ 3 Dæ„+ 6 Epe Hæ— 3 K,= 0,
3 1 6) P= 2 4rææᷣ ‿ Bers Crs D„
(104) 3 1 1 — 2 Fre— Gæy= 2 Hvv- Læ A 2 Mv, 7 3 0 1 (G O= Bee Owau Dne L2Ae 1 3„ 1. — Geæ— Hes,— 3 Ka Me N,
Aæraæ Brers Ceræys Dærsuss Ewss FTæææ— Gææy — Hæuu Kuus Leæ Mes N, Pe ,= O. Von diesen 10 Bedingungen sind nur die numerierten 6 Forderungen unabhängig. Sind diese 6 Forderungen erfüllt, so ist der Differential-
ausdruck selbstadjungiert. Auch das allgemeinere Variationsproblem, das Integral
I“ess[g) IpAs lpldæ do
(105⁵)=lar Tpæ æε bi Gæ dl P, di Pæ e G, 11 9 B
(as Gæ‿ν‿ be Gr cr Pu de pr es Ggr f2 Gdæ dy bei der Nebenbedingung Hlol= kordæ= 1 B
stationär zu machen, führt auf eine selbstadjungierte Differential- gleichung als Eulersche Gleichung. Sie hat die Form Lſu]l— uku= 2 al dg Aeexæ
+ 4(41 b † a bi) Areen
+ 2(a1 ⅓᷑ꝗ ¾£ 4 b bz † a2 cr) Aeægg
+ 4(bi&ᷣ ℳ bz ci) uæggn
2 ci cz usuν
+ Glieder niederer Ordnung
— ku
—0.
(106)
57

Die Differentialausdrücke A[pl] und 42[pl] können elliptisch, para- bolisch oder hyperbolisch sein, und zwar sind sie dies, je nachdem
die Gleichung
a1 d92— 2 bldædy+ crdæ= O bzw.
— ſitun a2 dy=— 2 bz dædu+ dæν+0
zwei konjugiert imaginäre, zwei reelle zusammenfallende oder zwei verschiedene reelle Scharen von Charakteristiken liefert, d. h. je nach- dem ba²— as ca=,= oder= 0 ist 6= 1, 2).
Für die Eulersche Gleichung(106) ergeben sich die vier Charak- teristikenscharen aus der Gleichung
0= a ag d.„4— 2(M1 be † a2 b1) dys dæ +(a ⅔£ρ 4 b bz+ a2 ci) d*ν dæœ — 2(bi cæ ℳ b ci) dg dæs+ ci cz dæ⁴ =(a1 dyν— 2 b dædé+ crdæ(a doue— 2 b dæds dæν.
(108)
Hieraus folgt in Verbindung mit(107):
Sataæ 26. Die Charakterisliken der Differentialausdrüche Ai[o] und A2[] des Variationsproblems(105) bleiben erhalten als Charaktteristilen der Eulerschen Differentialgleichung des Variationsproblems.
Nur wenn 1[o] und A2[ol dieselben Scharen von Charakteristiken haben, läßt sich der Ausdruck dε*τ*ν*ε&] auf die Form 9*◻*◻*ε„&] bringen, weil sich nur dann gleichzeitig, d. h. durch dieselbe Variablensubstitution, die Differentialausdrücke A[] und 42[gl] auf die Form
(109) a A+ Glieder niederer Ordnung
bringen lassen. Dann ist das Variationsproblem unserem Vergleich mit dem Problem(R) zugänglich. Im allgemeinen wird es also nicht möglich sein, die Eulersche Differentialgleichung des Problems(105) und damit überhaupt eine selbstadjungierte Differentialgleichung vierter Ordnung auf die Form
(110) 4 A Au+ Glieder niederer Ordnung— Iku= 0 zu bringen. Für die selbstadjungierten Differentialgleichungen der Form(110) gilt jedoch folgender Satz: Satæ 27. Jeder lineare selbstadjungierte Differentialausdruck der Form(110) läßt sich in der Form (Pa) A(4 u)+† Llu]— 1 u= 0
schreiben, wo Llu] ein selbstadjungierter Differentialausdruck zuweiter Ordnung bedeutet.
Beweis. Aus der Form(110) folgt in der Koeffizienten-Bezeichnungs- weise von(102):
58
Dabei sin Differentic
0=444
wo Llu
mit L'*= ausdruch
Aus gleichun Variatio-
olg.
bei der
zum Mir Randbec bei sole dem Vei können gekügten —
3³)

zwei nmach-
arak-
2d.
und skiken
stiken lingen, ution,
gleich nicht
(105) vierter
1 der
der
veiler
Ungs-
0 1 J 5 Mæ+ N,.
Dabei sind L, M, N, R von 4A unabhängig verfügbar. Somit lautet die Differentialgleichung(110) 0= 4 41A2 2 de dae 2 49 ueæy 2 Aæ uege,* 2 4„ ug„„ † Luæzæ Mug, † Nugs 3 1 0 1 0 +(Laæ e e 41 4) ur 2 Te. e e 4)ut Ru- n = 4 4 4 u)+(L— 4;) u æ † Mury,+(N— 4 A) un, 38 1 1 0 rG 44 2 Mou⸗ 3 2V..SNäv= A4) ue-4 Ru- 1 ka = 4 4 4 u)+ Lſu]l— 1 u, wo Llu]= EFuer Mury* N=* a
0—
* 1 1 4 +(E.— 2 1) uæ—( 2 Mæ+ v.) u, Ru
mit Lr= L— 44, N=N=*— 14 ein selbstadjungierter Differential- ausdruck zweiter Ordnung ist 3³³).
Aus diesem Satze folgt, daß jede selbstadjungierte Differential- gleichung vierter Ordnung der Form(110) sich auf das äquivalente Variationsproblem, den Ausdruck
d[o]l= A AH‿ Gee ‿ MGr G&£‿N* Gg RG2 dædy B bei der Nebenbedingung HIo]l=(kpedædy= 1 B
zum Minimum zu machen, zurückführen läßt, wenn geeignete homogene Randbedingungen vorgeschrieben sind. Damit ist aber das Problem(Pa) bei solchen Randbedingungen durch unsere bekannten Abschätzungen dem Vergleich mit dem Problem(R) zugänglich. Die Randbedingungen können wieder durch den Einfluß von dem Ausdrucke d&] hinzu- gefügten Randintegralen weitgehend verallgemeinert werden. Setzen
33) Siehe etwa J. Horn, Partielle Differentialgleichungen, 2. Aufl. S. 8, 1929.
59

wir nur noch voraus, daß diese Randintegrale gegenüber dem Aus- drucke'[p] asymptotisch belanglos seien, so können wir sofort aussagen, daß bei allen so entstehenden Randwertproblemen der Differentialgleichung(Da) die Eigenwerte dem Gesetz
NO0)= nſ dædy-(1+ y)(r,e0)
Es sei noch bemerkt, daß wir die Betrachtungen dieser Arbeit ohne Schwierigkeit auf entsprechende mehrdimensionale Probleme übertragen können; man hat dazu nur wieder das betreffende Problem auf das der Differentialgleichung
(111) AAu- lu=
zurückzuführen, für welches bei entsprechenden homogenen Randbe- dingungen die Eigenwerte asymptotisch anzugeben sind.
Welches Gesetz einerseits für jene selbstadjungierten Differen- tialgleichungen vierter Ordnung gilt, die sich nicht auf die Form(110) bringen lassen, welches Gesetz andererseits für nichtselbstadjungierte Differentialgleichungen schon bei der einfachen Form
(112) AAu+ Glieder niederer Ordnung— 4 b u= 0
folgen.
gilt, für die wir kein Variationsproblem anzugeben vermögen, diese Fragen stehen noch als nächstliegend offen. Es ist jedenfalls zu erwarten, daß die Gestalt(112) der Differentialgleichung, also im wesentlichen die Glieder höchster Ordnung, für daß Gesetz der asymptotischen Eigenwertverteilung maßgebend sind.
Das asymptotische Verhalten der Eigenwerte nichtselbstadjun- gierter Differentialgleichungen ist von Geppert ³⁴) im Falle der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung untersucht worden. Geppert konnte zeigen, daß für das gekoppelte System
. L lul 1= 0 (113) Mlol+ 1u= O0,
mit L u]l= A u+ a(w, Y) ue+ b(, O) ug c w, J)u und mit Mſa] als dazu adjungiertem Differentialausdruck, die— stets reellen— Eigen- werte demselben asymptotischen Gesetz gehorchen, wie jene der ein- fachsten selbstadjungierten Differentialgleichung (114) Au 4u= 0 UÜbrigens läßt sich jeder lineare homogene elliptische Differentialaus- druck zweiter Ordnung auf die Form Llu] bringen.
Im Falle der Differentialgleichung
(115) Llu]l 1ku= O
³¹) H. Geppert, Math. Ann. 95 S. 519, 1926, und 98 S. 264, 1927.
60
werden Gepbe läbt, au
1l
gilt, d. Eine Au jedoch
71 Eigenw und ir Randbe dieser Differe und vI die Fo
und T
bringer adjung Varia-
wie s 420 Geset: Eigen,
1 1

rbeit leme lem
ldbe-
bren- 110) ierte
jese rten, chen chen
Iun- aren eden.
als gen- ein-
aus-
werden die Eigenwerte im allgemeinen komplex: 42= 100)— 7 1). Geppert konnte zeigen, daß(für Kk= 1, aber, wie sich leicht zeigen läßt, auch für KX= K(œ, 9))
1 (116) 4 9= 0(o
gilt, d. h. der Imaginärteil des Eigenwertes ist asymptotisch belanglos. Eine Aussage über das asymptotische Verhalten des Realteils Alu) ist jedoch noch nicht gewonnen worden.
§ 8. Schlußbemerkungen.
Zum Schlusse stellen wir in einer Tabelle die asymptotischen Eigenwertgesetze zusammen, wie sie sich in den Courantschen Arbeiten und in unseren Untersuchungen unabhängig von den betrachteten Randbedingungen ergeben haben. D2(x), D2(, y), D4() bedeuten in dieser Tabelle der Reihe nach die allgemeinste lineare selbstadjungierte Differentialgleichung zweiter Ordnung in einer und in zwei Variablen und vierter Ordnung in einer Variablen. D²(x) läßt sich stets auf die Form
Au+‿ A'u+ qu+ 1k u= 0
und D2(, 9) auf die Form 4 Au+‿ Aæ ur A9 u, qu 1ku= O bringen. D4() habe die Gestalt(Sa). D4(x, p) bedeute eine selbst-
adjungierte Differentialgleichung vierter Ordnung in zwei unabhängigen Variablen der Form
4 Au+ Glieder niederer Ordnung— Iku= 0,
wie sie in dieser Arbeit behandelt wurde. Sei ferner in allen Fällen 4* O und X=O im jeweiligen Grundgebiet. Dann gelten folgende Gesetze für die Anzahl N() der unterhalb einer Schranke 4 gelegenen Eigenwerte:
DFſo) Die, V)
do
1 k 7 K 5. /taw.uy ve 71 dædy-(1+ y) B
(lim*= 0)
4—

Es sei noch bemerkt, daß sich die Reihe D2(), D2(œ, g),... der oben angegebenen Differentialgleichungen auch bei mehr als zwei Variablen der Courantschen Methode zugänglich erweist, wenn man unter D(ν,,..., n) die Differentialgleichung
4 Au † Ar ur, Aar re.· Aæp uæn gu 1k u= 0
versteht. Sie ergibt sich als Eulersche Differentialgleichung des Problems, den Ausdruck
9lo] I flA νν‿ρ‿σmuηρη‿αε+&*)] daæi dæsdæn
bei der Nebenbedingung [Aſ rxoœνde dæ... da= 1 B
zum Minimum zu machen. Alle Betrachtungen lassen sich ohne Schwierigkeit übertragen, und man erhält als Gesetz für N)
1 X 5 5 B 6 4—2
wobei für die Cn folgende Rekursionsformel gilt:
„= G— 14 4
„ ee,,, 1u Auf die Möglichkeit der entsprechenden Verallgemeinerung bei den Differentialgleichungen vierter Ordnung haben wir bereits hingewiesen. Zu untersuchen bleiben Differentialgleichungen höherer Ordnung und auch ungerader Ordnung. Bei letzteren wird man zunächst schief- adjungierte Differentialgleichungen betrachten. Die Eigenwertprobleme dieser Differentialgleichungen führen ³⁵) auf Integralgleichungen mit schiefsymmetrischem Kern.
35) T. Lalesco, Introduction à la Théorie des équations intégrales, Paris 1912, S. 73 ff.
Am! des Archite zu Calgar Deutschlan Ostern 19. als Baual Architektu bis Zum Universitä dann bis Université wissenscl matik un als Ergä Novembe Seminar 1934 bis matischel wöchiger als Assi
In Mathem: Hochsch Perron, bei den
Die verehrte Stelle fi sowie f Dank 2
Ei Osann-

ohne
den lesen. und chief- bleme 2 mit
males,
Lebenslauf.
Am 26. Oktober 1909 wurde ich, Heinrich Görtler, als Sohn des Architekten Heinrich Görtler und seiner Ehefrau Cäcilie, geb. Kionka, zu Calgary in Kanada geboren. Im August 1923 siedelte ich nach Deutschland über und besuchte bis zur Ablegung der Reifeprüfung zu Ostern 1928 die Oberrealschule in Gießen. Nach halbjähriger Tätigkeit als Bauarbeiter studierte ich zunächst im Wintersemester 1928/29 Architektur an der Technischen Hochschule München und anschließend bis zum Wintersemester 1930/31 Mathematik und Physik an der Universität München. Mit einsemestriger Unterbrechung studierte ich dann bis zum Sommersemester 1933 Mathematik und Physik an der Universität Gießen, um daraufhin im Wintersemester 1933/34 die wissenschaftliche Prüfung für das höhere Lehramt in reiner Mathe- matik und in Physik als Hauptfächer und in angewandter Mathematik als Ergänzungsfach abzulegen. In der Zeit von Ostern 1934 bis November 1934 befand ich mich zur Ausbildung am Pädagogischen Seminar der Oberrealschule Gießen und versah dann vom 1. November 1934 bis zum 4. August 1935 die Hilfsassistentenstelle am Mathe- matischen Seminar der Universität Gießen, wohin ich nach acht- wöchigem Dienst beim Ergänzungsbataillon Gießen am 1. Oktober 1935 als Assistent zurückkehrte.
In München hörte ich Vorlesungen über reine und angewandte Mathematik bei den Herren: Föppl, Lense, Sauer an der Technischen Hochschule und bei den Herren: Carathéodorg, Hartogs, Lettenmeyer, Perron, Tietze an der Universität. In Gießen hörte ich Vorlesungen bei den Herren: Engel, Falckenberg, Geppert, Grötzsch, Mohrmann.
Die Anregung zu der vorliegenden Arbeit verdanke ich meinem verehrten Lehrer, Herrn Professor Geppert, dem ich auch an dieser Stelle für viele wertvolle Ratschläge bei der Ausführung dieser Arbeit sowie für stete Förderung meiner Ausbildung meinen tiefempfundenen Dank zum Ausdruck bringen möchte.
Ein wesentlicher Teil dieser Arbeit wurde mit dem Preise der Osann-Beulwitz-Stiftung der Universität Gießen 1935 ausgezeichnet.

einf

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XXVII. Heft
Krümmungsverhältnisse von Niveaulinien in der Kreisabbildung
einfach-zusammenhängender schlichter Gebiete
von
LUDWIG KNOLIL
geboren in Heubach
Giessen 1937
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstr. 16
Preis RM. 2.25

Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht. Genehmigt durch die Philosophische Fakultät, II. Abteilung am 18. Juni 1936.
Berichterstatter: Dr. Geppert Dr. UIIrich.
Kapité
Kapit
Kap
Ka

(
§ 2.
§ 3.
§ 4. § 5. § 6.
Inhaltsverzeichnis.
Kapitel I. Scheitel, Scheitelbildpunkte, Scheitelbildkurven § 1. Scheitel einer ebenen Kurve. 3. § 2. Das Verhalten der Bildkurve bei schlichter
konformer Abbildung § 3. Scheitelbildkurven
Kapitel II. Lokale Untersuchungen der Scheitelbildkurven durch Reihenentwicklungen. § 1. Das Kurvensystem— J 22f,(z)= 0 in der Um.
gebung des Nullpunktes 7.. Der Einfluß einer n-fachen Nullsselle der Schwarzschen Ableitung im Nullpunkt auf die Koeffizienten der abbildenden Potenzreihe Die Umgebung eines beliebigen Kurvenpunktes der Kurve— 3 22’,(2)= 0.
Die Scheitelbildkurve— J(z-— z0) ²(z=l)S, 2= 0 Das Verhalten am Rande.—— Das Kurvensystem Jh,()=
Kapitel III. Polygonale Bereiche
8 1.
§ 2.
8 3.
§ 4.
Die Abbildung des Einheitskreises oder der
oberen Halbebene auf ein geradlinig-begrenztes
Polygon. Die Krümmung der Niveaulinien Das Kurvensystem— Jz2f,(z)= 0.
Das Kurvensystem Jh,()= 0
Kapitel IV. Beispiele
. Daäs Zweieck
Das Dreieck
Das reguläre n-Eck Das halbreguläre 2 n-Eck mit gleichten Winkeln Das halbreguläre 2 n-Eck mit gleichen Seiten und seine Grenzfälle.
27— 36

Seit einiger Zeit werden differentialgeometrische Fragen der schlichten konformen Abbildung in steigendem Maße untersucht. Vorliegende Arbeit befaßt sich mit den Außerstwerten der Krüm- mung oder den Scheiteln auf den Niveaulinien eines einfach- zusammenhängenden schlichten Gebietes, wenn der Aufpunkt im Innern bezw. auf dem Rande liegt. Dabei spielt der Schwarzsche Differentialausdruck eine wesentliche Rolle, wie schon die Be- stimmung der Scheitel auf einer ebenen analytischen Kurve in der komplexen=-Ebene zeigt(K. I§ 1). Zur Feststellung der Art der Scheitel(Maxima, Minima, Wendepunkte der Krümmung) werden Kriterien angegeben.
Für je einen der vier Typen von reellen Orthogonalsystemen von Kreisen in der z-Ebene bilden die Punkte, denen auf den zu- gehörigen Bildkurven der-Ebene Scheitel entsprechen, ein Kur- vensystem(Scheitelbildkurve). In den Gleichungen für die Scheitelbildkurven treten Potentialfunktionen auf, die gewisse Gesetzmäßigkeiten für das Verhalten der Kurven in der Umgebung ein- und mehrfacher Punkte zur Folge haben. Darauf hat schon Gauß in seinem ersten Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra (Art. 21 und 23) hingewiesen. G. Pick ¹) machte zum erstenmal auf die Bedeutung der Schwarzschen Ableitung für die Scheitel einer Niveaulinie aufmerksam. Doch unterscheiden sich die Pick- schen Ausführungen von den folgenden sowohl in methodischer als auch in sachlicher Hinsicht; auf die gemeinsamen Punkte wird später jedesmal hingewiesen.— Im dritten Kapitel werden die behandelten Methoden auf konvexe Vielecke angewandt, um die Zahl der Scheitel der Niveaulinien in der Nähe des Randes, die Zahl der Nullstellen der Schwarzschen Ableitung und die Höchst- zahl der Doppelpunkte der Scheitelbildkurve im Einheitskreis bezw. in der oberen Halbebene festzustellen.— Im letzten Kapitel bestimmen wir für eine Reihe von Vielecken ohne und mit Ecken im Unendlichen die Anzahl der Scheitel auf sämtlichen zu ge- wissen Aufpunkten gehörigen Niveaulinien.
Ein Bericht über die Arbeit ist in„Deutsch. Math. II(1937) S. 343— 344“ erschienen.
¹) Pick, Rend. Circ. Mat. Palermo 37(1914), S. 341— 344.

KAPITEL I.
Scheitel, Scheitelbildpunkte, Scheitelbildkurven.
§ 1. Scheitel einer ebenen Kurve.
Die Krümmung einer analytischen Kurve z= z(t)(ti=t= t2) in der komplexen z-Ebene ist bekanntlich
1 9 1 2 2²). 22 -o Kee...=
Dabei bedeuten die reelle Veränderliche t den Kurvenparameter,
.
Z
9 den Winkel der im Sinne wachsender Werte von t orientierten Kurventangente gegen die positiv-reelle Achse und do dessen Anderung beim Fortschreiten um das Bogenelement ds= 22—
2. dt(dt 0). Die Krümmung kann wegen des analytischen Charakters der Funktion z= z(t) in dem bezeichneten Intervall von t niemals singulär werden(z 0).
Unter einem Scheitel einer ebenen Kurve verstehen wir eine Kurvenstelle, in der die nach dem Kurvenparameter gebildete
erste Ableitung der Krümmung verschwindet.
22 2 22 .. 3 5 3 Für den Differentialausdruck—,— 2 die Schwarzsche 2 2
Ableitung der Funktion z(t), führen wir das Symbol z,(t) ein, das gegenüber den in der Literatur üblichen Bezeichnungen für unsere Untersuchungen am bequemsten ist. Die Scheitel unserer Kurve werden demnach durch die reellen Lösungen der Gleichung
(2) 2⸗ 0)— 0
2) J bedeutet Imaginärteil, R Realteil.
6

1
aus dem Intervall ti St=tza geliefert. Es seit= t, eine gewünschte Lösung. Um zu entscheiden, ob ein Maximum, Minimum oder ein Wendepunkt der Krümmung vorliegt, müssen wir die Ordnung und das Vorzeichen der ersten für t=t, nicht verschwindenden
n höheren Ableitung—(n/= 2, 3...) feststellen, die wegen 3
des analytischen Charakters von z(t) existiert. Wie man leicht ein- . 3.„ Sh. sieht, ist gleichzeitig J 2,(ta)²) zum ersten Male von Null ver-
schieden. Nach bekannten Sätzen der Analysis erhalten wir: Ist die zum erstenmal für t, nicht verschwindende höhere ℳb- leitung des Imaginãärteiles der Schwarzschen Ableitung 2,(t) von ungerader Ordnung, so liegt ein Minimum oder Maximum der Krümmung vor, je nachdem diese Ableitung positiv oder negativ ist. Bei gerader Ordnung handelt es sich um einen Wendepunket der Krümmung. (2-¹)
0 Ns. G.*o W
) der Krümmung(n= 1, 2, 3...). J z,(tz)*† 0 Wendepunkt
§ 2. Verhalten der Bildkurve beischlichter konformer Abbildung.
Wird das schlichte einfach-zusammenhängende Gebiet G2, in dem die betrachtete Kurve liegen möge, durch die in C, regulär- analytische Funktion=f(z) umkehrbar eindeutig und konform auf das Gebiet GC der z-Ebene abgebildet, so ist die Bildkurve 10= 10(t)=(z(t)), bezogen auf denselben Kurvenparameter t, wiederum analytisch(f†(z)= 0 in GC.).
Ihre Krümmung ist:
. 2ee A7 1 Kſa e 42 ) Ka= fe n I E 31 f= d 2

Für die Scheitel der Bildkurve kommen die in das Intervall ti StSte fallenden reellen Lösungen der Gleichung
(5) J dO()= 5[2.(t)+ 22(2))— 0
in Frage. Der erste Bestandteil dieser Gleichung rührt von den
Scheiteln der Ausgangskurve her, der zweite ist durch die konforme
Abbildung bedingt.
Damit für die Krümmungsverhältnisse der Bildkurve ledig- lich die Abbildungsfunktion maßgebend ist, gehen wir von Kreisen und Geraden aus.
a) Kreis.
Wir betrachten den Kreisbogen z=T eig mit dem Halb- messer r und dem Kurvenparameter&(0= Gr.= G.= G=21). Die Krümmung der Bildkurve ist dann
1(2 G. KX= T Rli⸗ ge
Wegen 2,(ꝓ)= 4 finden wir für die Gleichung in G zur Be- stimmung der Scheitel:
0)— J 22*†(z2)=— J E eꝛiy(r eiy)= 0
Formel(6) ist ziemlich bekannt ¹⁴), Formel(7) leitete G. Pick ¹) auf anderem Wege ab. Ist G% eine gewünschte Lösung, so haben wir es mit einem Minimum oder Maximum zu tun, je nachdem die Ableitung der linken Seite von(7), gebildet nach ꝙ, an der Stelle ꝙ&e positiv oder negativ ist.
(8)— R[2 227/4(2) 23(2)]„, eio,— 0 Win der Krümmung Auf das Verschwinden von(8) und von noch höheren Ableitungen der Krümmung gehen wir an dieser Stelle nicht weiter ein. Wir merken uns lediglich für später an, daß
4) Z. B. Study-Blaschke, Vorlesungen über ausgewählte Gegen- stände der Geometrie. Band 2. Leipzig u. Berlin 1913. S. 114.
8
ode

19*S222 E== Z 12l222 eyeuf, J4 3 f err e)
(Sa) T9[—S2 2 G== Jl422 f G) u1, 5[3 2 e) e h(2) 2 h, 2) 2ſ,(2) b. Gerade. Als weiteres Beispiel untersuchen wir die Bildkurve des Radiusvektors z= rel mit dem Kurvenparameter 1
(0=rSrSrz). Ihre Krümmung ist:
i Se, 0 K= Gee Se mi
Die Schwarzsche Ableitung z,(r) verschwindet. Die Glei- chung zur Bestimmung der Scheitel
1 22
(10) J 22 †(2)= J eꝛig f.(reio)= 0
hat bis auf den Faktor 1² dieselbe Gestalt wie Gleichung(7), sie ist jedoch nach r aufzulösen. Es sei r, eine gewünschte Lösung aus dem zugrunde gelegten Intervall. Je nachdem esig h.(ꝛ, eig)
positiv oder negativ ist, haben wir es mit einem Minimum oder Maximum der Krümmung zu tun. Verschwindet dagegen die erste Ableitung von(10), so müssen noch höhere Ableitungen, gebildet nach r, untersucht werden. Als n-te Ableitung finden wir leicht
I ebeg f⸗ eig), auf die die Betrachtungen über Formel(3) zu übertragen sind.
c) Besonders einfach gestalten sich unsere Formeln, wenn wir von einer Strecke ausgehen, die zu einer der Achsen parallel ist.
2= X+ 1) xi SX IX= konst.
oder 2= X. 1) Ji.) xc= konst.

Für die Krümmung der Bildkurven erhalten wir:
11— 3 h(2)— 1(2)(2) an K= ſsr 9. K= p Rpr In beiden Fällen verschwindet die Schwarzsche Ableitung
z,(x) bez. z.(y). Die Gleichung(5) zur Bestimmung der Schei- tel nimmt die Form an:
(12) J7.(r z po)— 0 J(x. 1)= 0
Ist x bez. y, eine Lösung, so handelt es sich um ein Minimum oder Maximum, je nachdem
(15) I.+ ν 20 R.h(xe 7)) 2 0
positiv oder negativ ist. Ist allgemein die n-te Ableitung der linken Seite von(12), gebildet nach dem Kurvenparameter,
J e 290) Je h ,)
(n= 1, 2, 3..) zum erstenmale von Null verschieden, so gilt das am Ende von§ 1 Gesagte wörtlich.
§ 3. Scheitelbildkurven. a) Der Aufpunkt im Innern.
Wir legen als Gebiet C, den Einheitskreis z= 1 zugrunde. Nach physikalischen Vorstellungen nennt man die Bildkurven der Kreise ⸗=,= konst.(02r= 1) die Niveaulinien des Ce- bietes Go mit dem Aufpunkt 200= f(0), die Bildkurven der Radiivectores arg z=„= const.(0==2 2) die zugehörigen Stromlinien.
Die Punkte z, denen Scheitel auf den Niveau- oder Strom- linien entsprechen, mögen Scheitelbildpunkte genannt werden. Der Ort der Scheitelbildpunkte für die Niveaulinien mit dem Auf- punkt= f(0)— kurz Scheitelbildkurve genannt— wird nach (7) von den im Einheitskreis verlaufenden reellen Zügen der Kurve
10
(14)
gebilde Stromli hat aul
Satz gi und, W
Rande.
Mittel, (01
so erh Mittel-
zentris überge innere
gehöri ſt=
hervo
in d Bezie
(15)
Wie jeder

92
(14)— 3 22 7,(2)= 0
gebildet. Dieselbe Scheitelbildkurve erhält man nach(11) für die Stromlinien. M. a. W.: Wo eine Niveaulinie einen Scheitel besitzt, hat auch die hindurchgehende Stromlinie einen Scheitel. Dieser Satz gilt für jeden inneren Punkt des Gebietes Co als Aufpunket
und, wie wir in b) sehen werden, auch für Aufpunkte auf dem Rande.
Die Niveaulinien für den Einheitskreis selbst, mit dem Mittelpunkt als Aufpunkt, sind die konzentrische Kreise z= r (OIr=1). Liegt der Aufpunkt zo jedoch nicht im Mittelpunkt, so erhalten wir eine Schar von Kreisen mit dem nichteuklidischen Mittelpunkt z,, die durch=— 29
ZZo— zentrischen Kreise= O mit dem Euklidischen Mittelpunkt 5= 0
(O= zo= 1) in die kon-
übergeführt werden. Auf Grund dieser Betrachtungen kann jeder innere Punkt w= J(z0) zum Aufpunkt gewählt werden. Die zu- gehörigen Niveaulinien gehen aus den konzentrischen Kreisen
6= 0O(O= 0= 1) vermöge der Abbildungsfunktion
hervor. Bei der Transformation der Scheitelbildkurve
— Je ½=0
in die z-Ebene berücksichtigen wir die leicht nachzuweisenden
Beziehungen g,()=(z) 63) 2.(5) 25()= 0 (15) dz(a. zo 1)2 d 5 1— 20 20
Wie man mühelos nachrechnet, ist die Schwarzsche Ableitung
jeder linearen Funktion mit nicht verschwindender Determinante
11

gleich Null. Für den Ort der Scheitelbildpunkte in der z-Ebene finden wir
(16) J.= 2a(2. 2o LD2,)== O.) Für zo= 0 geht(16) in(14) über.
Für spätere Untersuchungen über die Art der Scheitel einer Niveaulinie bedarf es der Transformation des Ausdrucks
— R[2 62 3,() 1= 33 4,(5)] auf die Veränderliche z. Wegen
— 2— 2 2 29 9, S- E g(O)e dee e z(2)(1- 29 29
(1— 20 20) ³ — 2 2 20)— †,(z)(2z— 20)(2 20— 1] stimmt das Vorzeichen von— R2& g.(C)+. 6 ½&,() Jmit dem Vorzeichen des Ausdrucks (17)— R(= 20)*(2z 20— 1) 22 †(2)(1+ 29 20— 2 2 20)— — f(2)(2—= 20)(2 251)]
überein.
b) Der Aufpunkt auf dem Rande.
Sobald die Randkurve des Gebietes Ga in unseren Betrach-
tungen eine Rolle spielt, wollen wir sie als stückweise glatt, d. h. aus endlich vielen analytischen Kurvenbögen zusammengesetzt,
voraussetzen. Dann ist nach einem bekannten Satze von H. A. Schwarz durch die Funktion w=/(z) eine umkehrbar eindeutig und stetige Abbildung des Einheitskreises z)= 1 auf die Randkurve von GCa, gewährleistet. In den von den Eckbild- punkten verschiedenen Punkten des Einheitskreises ist die Abbil- dung regulär, wie im Innern im engeren Sinne konform(f'(z)+† 0), in den Eckbildpunkten dagegen quasikonform. In diesen Punkten hat die Schwarzsche Ableitung Pole zweiter Ordnung ⁵).
5) L. Lichtenstein, Enz. d. math. Wissensch. II C 3, S. 273— 276 und H. A. Schwarz, Ges. Abh. Band 2. Berlin 1890. S. 65— 33; 84— 101; 211— 259.
12
erwäl wand den kurve dem
liche halte
6—
heits Diei reell

ene
Lassen wir den nichteuklidischen Mittelpunkt zo der in a) erwähnten Kreise längs des Radiusvektors arg zo nach außen wandern, so erhalten wir als Grenzfall eine Schar von Kreisen, die den Einheitskreis im Punkte zo von innen berühren. Die Bild- kurven jener Kreise sind die Niveaulinien des Gebietes Gx, mit dem Aufpunkt 0 auf dem Rande. Ob der Randpunkt ein gewöhn- licher oder ein Eckpunkt ist, ist ohne Einfluß auf das reguläre Ver-
halten der Gleichung der Scheitelbildkurve im Aufpunkt. Durch
-(20= 1, 5, beliebig, jedoch Jg.= 0) wird der Ein-
heitskreis= 1 auf die obere é-Halbebene(=§+ 1) abgebildet. Die in zo einander berührenden Kreise gehen in die Parallelen zur
reellen Achse über. Für die Abbildungsfunktion erhalten wir
0— 9(6).
Die Scheitelbildkurve für die Niveaulinien des Gebietes Go mit dem Aufpunkt= †(z0)= h(00), also für die Bildkurven der Geraden= konst.( o) besteht nach(12) aus den reellen Zügen der Kurve
— — 00
5(e)= 0,
soweit diese in der oberen Halbebene verlaufen. Auf denselben Kurvenzügen liegen die Punkte ð, denen Scheitel auf den zu- gehörigen Stromlinien, also auf den Bildkurven der Halbgeraden S= konst. 0, entsprechen; der für Aufpunkte im Innern des Gebietes Ga aufgestellte Satz über die Scheitel von Niveau- und Stromlinien gilt demnach auch für Aufpunkte auf dem Rande.
(2— 20)
d 2 3
Unter Berücksichtigung von(15) und—=— d'? 2o(,— 80) finden wir als Kurvengleichung für die Scheitelbildkurve im
Innern des Einheitskreises
4 2.— (19)— J 6, 202 ſ.(2)= 0, 20= 1. 0

16) formal z%ß= 1, so wird man ebenfalls auf diese
Setzt man in( Gleichung geführt.
Für spätere Untersuchungen über die Art der Scheitel be- darf es noch der Transformation von J’,() auf die Veränder-
liche z. Wegen
Lol
„ e. L.GE)= e e 235[440 20) f7]
stimmt das Vorzeichen von J h.() mit dem Vorzeichen von
(20) R()( 20 ſr(2) 20(2. 20)
überein. geb

KAPITEL II.
Lokale Untersuchungen der Scheitelbildkurven
durch Reihenentwicklungen.
§ 1. Das Kurvensystem— J 2*(2)= 0 in der Umgebung des Nullpunktes.
Zur Untersuchung des Kurvensystems(I, 14) in der Um- gebung eines Kurvenpunktes z1(zi= 1) entwickeln wir die im Innern des Einheitskreises reguläre Funktion 22/(z) nach Poten-
zen Vvon 2— 21.
—(⁰— 2²)(*- ¹) (1) 226(2)= 212ſ,(21)+ 2[„ Dſ e ehe
„! 2,—1
2
90) 212 ſ. 1I2= 2u 2)
Aus dem Imaginärteil des ersten nicht verschwindenden Gliedes dieser Reihe, der gleich Null gesetzt die Gleichung der Kurven- tangenten in z darstellt, lassen sich gewisse Rückschlüsse auf das Verhalten der Kurve in der Umgebung des Berührungspunktes
ziehen.
Ebenso schreiben wir die Reihenentwicklung für 2 227(2z)+. + 23 /6(2z) hin, da das Vorzeichen, das der negative Realteil dieses Ausdrucks trägt, für die Art der Scheitel von Bedeutung ist. Auf den Fall, daß— Rl2 22 ſ1(2)+. ½ν †(z) verschwindet, gehen wir später ein. 6) Der Strich am Summenzeichen soll darauf hinweisen, daß Funktionen/ bo)
mit negativem Ableitungsexponenten nicht auftreten. In allen höheren Dif- ferentialquotienten der Schwarzschen Ableitung ist das Argument z1 weggelassen.
15

2)
S— (2) 222 6 2). 2 ⅞(2)= 2 212ſz5(z1)-2l 7(20*. ſeee I)/s t
2—1
(„- ¹)(v)(l)„ + 3»* 1) 21%+ 3„+ 2) 21 213 G II= 2i ⁰) Für Scheitelbildpunkte in der Nähe des Kurvenpunktes z1 stimmt das Vorzeichen von— Rſ2 227,(2)+. 23(2)Imit dem Vorzeichen überein, das der negative Realteil des ersten nicht verschwindenden Gliedes der Reihe(2) trägt. Wir untersuchen zuerst die Umgebung des Nullpunktes.
3 1 ☛ 21e de) 3 (5)— J2 7(2)—— 2 h(0)— 0 9=o Für f.(0)+†. 0 besteht die erste Näherungskurve— J22 f.(O)= 0 der Scheitelbildkurve aus zwei sich rechtwinklig schneidenden Geraden*). Hat die Schwarzsche Ableitung im Nullpunkt eine
(n— 1)(n) n-fache Nullstelle((0)=(0)== ſ.(0)= 0, J. 0) n+ 2(n) so zerfällt die erste Näherungskurve— J2 h(0)= 0O in„ 2
verschiedene Geraden. Der Nullpunkt ist ein(n+ 2)-facher
Kurvenpunkt. Die Tangenten folgen unter dem gleichen Winkel
— aufeinander. Ebenso setzen wir in(2) z21= 0. Das Vor- n+ 2 2 n*2(n) zeichen von— Rz(0) entscheidet über die Art der Scheitel- bildpunkte auf den n+ 2 Tangenten. Durch Einführung von Polarkoordinaten erkennt man, daß das Vorzeichen jenes Aus- n*2(n)
druckes bei Berücksichtigung von— J 2 4.(0)= O mit dem 2 Vorzeichen von(— 1)(K= 1, 2,„ 2n*8 4) übereinstimmt,
wenn die einzelnen Halb-Tangenten fortlaufend nummeriert sind. Zeichenwechsel tritt ein, wenn man zu benachbarten Halbtangenten übergeht. Ein Ersatz von k durch k n+ 2 liefert nur für ungerades n Vorzeichenwechsel; m. a. W.: Auf ein- und derselben Tangente liegen nur für gerades n auf verschiedenen Seiten des
Nullpunktes Scheitelbildpunkte derselben Art.
7) Darauf hat schon Pick, J. c., hingewiesen.
16

Bei einer n-fachen Nullstelle der Schwarzschen Ableitung Js(z) im Nullpunkt(n= 0, 1, 2...) tragen bis zu einem gewissen 2 ſ= Ri(0=R=) alle Niveaulinien OIr Ri mit dem Auf- punket ao= †(0) 2 n+ 4 Scheitel. Maxima und Minima der Krüm- mung wechseln einander ab, WMendepunkte treten nicht auf.
§ 2. Der Einfluß einern-fachen Nullstelle der Schwarzschen Ableitung im Nullpunkt auf die
Koeffizienten der abbildenden Potenzreihe.
Ist ÿ= a1 2+. a 22+..(a1 ⁵ 0) die Reihenentwicklung um z= 0 für die Funktion, die den Ein- heitskreis auf das Gebiet Cao abbildet, so fragen wir nach den Bedingungen, denen die Koeffizienten a, genügen müssen, damit (n— 1)(n) fr(0)=(0). h(0)= 0, 7,(0) †0 ist. Wir behaupten, daß die ersten n+ 2 Koeffizienten sich folgender-
maßen durch a und ausdrücken lassen.
(4) d„=— 2)= 1. 2, 3,„n.
Den Beweis führen wir durch vollständige Induktion. Zunächst
berechnen wir unter der Voraussetzung, daß Js(0)=,(0)= 8-.
= ſ;(0)= 0 ist, die v. Ableitung 4.(0) im Nullpunkt.
(9) 2 /„% 5s(0) au= J()[(3 3 2
ꝛ)!(1+ 0 1a⸗ Lv ndi-,
— 2ℳ„„)!(2 †*)! aee adeha!
Daß unsere Behauptung für v»=n= 1 richtig ist, bestätigt man leicht. Angenommen, sie wäre für»= richtig. Dann finden wir: 10) 1 h(0) a=(3+ n)! ag-ar—„ 3(2 n)!— 1
4— 1
17

n* 2 =(3+ o)! ſer a1—— 1
(n) Dann folgt aus J.(0)= 0 die weitere Beziehung as‿μ e
und damit die Richtigkeit für v=n 1.
Unsere Potenzreihe lautet daher:
.„ 4 (5)= f(z)= ai 2+. ae 22 4 2f 2 2‿½¶+‿ 1
2(a* 2) 22— ae n*+ 2 n+ 3 1 42 7—
Nach Abspaltung des Faktors al z bilden die ersten n+ 2 Glieder eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied I und dem
. 19 Quotienten— z. 41
§ 3. Die Umgebung eines beliebigen Punktes der
Kurve— Jez A)= 0 a) Einfacher Punkt.
Für einen einfachen Punkt unserer Scheitelbildkurve muß der Imaginärteil des ersten Gliedes der Reihe(1) gleich Null sein, der Koeffizient von(z— z1) darf nicht verschwinden. Aus der Tangentengleichung
. 2—2 2 3 5 J 2 1[2 21 ſ5(21) 21 5(20)1= 0 1
lesen wir ab, daß der Winkel z der Tangente gegen die umgekehrte Richtung des Radiusvektors z, in einfachen Punkten sich stetig ändert.
J 21 3z,(21) R 122 21 1 7G2n) 2 21 3z(2
122
13

QA
Je nachdem— RI2 212(21)+ 21 †(21)] positiv oder ne- gativ ist, entspricht dem Scheitelbildpunkt zi ein Minimum oder Maximum der Krümmung. Das Vorzeichen jenes Ausdruckes ist auch für Scheitelbildpunkte in der Umgebung von z:, die in erster Näherung auf der Tangente liegen, maßgebend. D. h.: Auf der Tangente eines einfachen Kurvenpunktes, die den Radiusvelctor des Berührungspunktes nicht senlerecht schneidet, liegen Scheitet bildpunkte derselben Art. Steht dagegen die Tangente auf dem
2
d— d ꝙ& wir müssen als Näherungskurve für die Scheitelbildpunkte die 1.
d X⁵ 0 oder J[5 z18 f.(24) 219 fr(⁷)] 0(nach I, 8a), so erhalten wir
für die Gleichung der Schmiegungsparabel ³)
1 29 hs(2i)„ 2 u= 4 3
Radiusvektor senkrecht, so verschwindet im Punkte zi, und
Schmiegungsparabel benutzen. Falls für z2= 21
21— —— ſo?,— 1= u+ 1(u, v reell).
3 21* s(21) 21
Das Vorzeichen von— R[2 22 f(2.) 23 5.(z)] auf der
Schmiegungsparabel stimmt für hinreichend kleine Werte von u überein mit dem Vorzeichen von
IJ[5 21373(21)- 2n 4s(21)] 9). Während dem Bildpunkt von zu ein Wendepunkt entspricht,
ergeben sich für die Scheitelbildpunkte auf der einen Parabelhälfte
Maxima, auf der anderen Minima der Krümmung.
b) Zweifacher Punkt.
Die Bedingungen für einen zweifachen Punkt der Scheitel-
bildkurve sind- — J 212(20= 0 (6) 2 2I F(Zi) e 75(29)= 3 21 7,(20) 21 75(2i) ⁵ 0
s) A. Brill, Vorlesungen über ebene algebraische Kurven und Funktionen. Braunschweig 1925. S. 43 ff.
19

Aus der Gleichung der Doppeltangenten
A2= L a e 1 g. 4 †" J(321 ſ(Z) I 214/(21))— 0 1
ist ersichtlich, daß die Tangenten aufeinander senkrecht stehen.
Dann und nur dann, wenn J 21 f.(z1)= 0, geht eine der Doppel-
tangenten durch den Nullpunkt. In diesem Falle entspricht z1
... d4 R
einem Extremum der Krümmung, wenn für z= 21 S oder O
R[15 213 f,(21) 9 21 4(z1). 21 5(21)1] ungleich Null ist
(nach I, 8a). Im allgemeinen( O oder 3 2,14(z1)
handelt es sich um einen Wendepunkt der Krümmung.
Die Art der Scheitelbildpunkte in der Nähe des Doppel-
punktes wird durch das Vorzeichen von o 2 r ſa ,, 4 † (2) R 63 21 35(21) 21 h.(21)) 1
auf den Dappeltangenten als der ersten Näherungskurve festgelegt. Auf ein- und derselben Tangente wechselt das Zeichen im Doppel- punkt, ausgenommen den schon in a) auftretenden Fall, wenn eine der Tangenten auf dem Radiusvektor senkrecht stehen sollte. Wie in a) müssen wir in diesem Falle das Vorzeichen des negativen
Realteiles von(2) auf der Schmiegungsparabel 1 Nla 2te, G,) f en,)l-e, a=— 5———— 92 6] Rl[3 213 /G(21)+ 28(20]J] feststellen. Wegen(6) ist der Nenner des Bruches ungleich Null.
Für hinreichend kleine Werte von v stimmt jenes Vorzeichen über-
ein mit dem Vorzeichen von 1 2, 1 n An 2 (8) 3 R 15 L1(2) 9 271 ℳ(20). 21—s.]Je.
Den Scheitelbildpunkten, die näherungsweise auf der Schmiegungs- parabel liegen, entsprechen wie dem Doppelpunkt selbst Maxima
oder Minima der Krümmung, jenachdem die geschweifte Klammer
20
Schei unter
Schei trifft, Punk gemã
Wo 0 bede
lasse

er-
Q2
m 1er
von(3) negativ oder positiv ist. Wegen der Voraussetzung
+† 0 für z= z, kann diese Klammer nicht verschwinden. Auf
das Verschwinden von noch höheren Ableitungen der Krümmung gehen wir auch hier nicht weiter ein.
Ahnlich sind die Verhältnisse für einen n-fachen Punkt der Scheitelbildkurve(n= 3, 4.). Die Tangenten schneiden sich
unter dem gleichen Winkel 2. Was die Art der Extrema für n
Scheitelbildpunkte in der Umgebung des mehrfachen Punktes be- trifft, so sind bei ungerademen die Aussagen für den einfachen Punkt, bei geradem n die Aussagen für den Doppelpunkt sinn- gemäß zu übertragen.
§ 4. Die Scheitelbildkurve — J(E— 20)(z 20— 1)(2)= G.
Dieselben Methoden lassen sich zur Untersuchung des Kur- vensystems(I, 16) anwenden. Für die Entwicklung um den Auf- punkt z0 erhalten wir:
(o)(2- 20)2(z 25 1) 1(2)=(2— 20)(1— 20 20) 7(20) (0)(* 1)(2— ²)»+ 2 6) 2 l⸗⸗ h.(20) ü H ſe(20) e e 20)][— 22—.
für die Entwicklung um einen beliebigen Punkt za:
(10)(2— 20) 20 1) 7ℳ 2)= 20)(24 2o 1)2ſ2 71) ſ= (o)(— ¹)(- 2).(“- ³) + 1 Tan Geh, L e e(e) LA h „ 1 4- 4)„ 6) er s d A
*
„„**** 82 wo die Koeffizienten ae, be, c, und au, be, c-, dy, e, Konstanten
bedeuten, die sich leicht durch v, 20, 20 und v, 2z0, 20, z1 ausdrücken
lassen.
21

Jede Nullstelle von f.(2) im Einheitskreis führt zu einem Scheitel auf der Niveaulinie durch den Bildpunkt, gleichgültig 0 der Aufpunkt zo liegt. Eine n- fache Nullstelle liefert einen n-fachen punkt der Scheitelbildlurve, dessen Multi plizitãt sich noch um 2 erhöht, falls der Aufpunkt mit ihm zusammenfällt. Es können jedoch auch einzelne Koeffizienten der Reihe(10) verschwinden, und mithin mehrfache Punkte auftreten, ohne daß eine Nullstelle der Schwarzschen Ableitung vorliegt. Ihre Lagen sind aber nicht mehr unabhängig vom Aufpunkt.
Auf die lokalen Untersuchungen ein- und mehrfacher Punkte einzugehen erübrigt sich, da das Kurvensystem durch eine lineare Transformation in ein solches übergeführt wird, wie es im vorher-
gehenden§ behandelt wurde.
§ 5. Das Verhalten am Rand.
Für die Untersuchung des Ortes der Scheitelbildpunkte in der Nähe des Einheitskreises spielt die Voraussetzung, daß der Rand des Bildgebietes stückweise glatt ist, eine wesentliche Rolle. Wie schon in I,§ 3 b erwähnt, hat die Schwarzsche Ableitung in jedem Eckbildpunkt z, einen Pol zweiter Ordnung. Bedeutet x den Innenwinkel einer Ecke der Randkurve, so gelten folgende
Reihenentwicklungen*²):
1 I=aA 4 GOf=2 e— a,he= 2)..„kl=t. (11) e e 31 5(2)=(2— 20)3(2—=2.)2 2 t
Das Kurvensystem
0=— J2*p,= as()—
2 2.
hat in ze einen zweifachen Punkt. Eine der Doppeltangenten be- rührt zugleich den Einheitskreis, die andere schneidet ihn recht-
) L. Lichtenstein, 1. c.
22
entnin Minin Krüm Die e hängi
(13)
ist,
nied; (14) erhal
Scho punl
kein
aucl
(15)

winklig. Uns interessiert nur die in das Kreisinnere gehende Halb- tangente. Die Niveaulinien haben in der Nähe einer Ecke der Randkurve Scheitel, die in erster Näherung auf der Halbierungs- linie des Eckenwwinkels liegen. Wie man der Entwicklung von 3 2„ Z. (1)=Rſ22 2) uf-I=Ce R(u,)— e
entnimmt, haben wir es bei einspringenden Eeken(a* 1) mit Minima, bei ausspringenden Ecken(a= 1) mit Maxima der Krümmung zu tun.
Die erste Näherungskurve und die Art dieser Scheitel sind unab- hängig vom Aufpunkt, da
(15) 0=(E 2o)(e2o 1) 7)= 1‧„ 2 2e 2. — 2(1— A 2.— 20*I(2)
ist, und da wir in der Reihenentwicklung von(I, 17) für die niedrigste Potenz
3
—„2— 6(—— (14)(1— a*) z.— z0 R„2e) erhalten.
In den übrigen Punkten des Einheitskreises verhält sich die Schwarzsche Ableitung regulär. Unter ihnen können Scheitelbild- punkte sein. Auch auf diese darf die spezielle Lage des Aufpunktes
keinen Einfluß haben. In der Tat bringt J 2ah.(2.)= 0( 2,=1)
auch (15)— J(2= 20)2(2, 20= 1) ſs(2⸗)=— 22— Z0 ſ6 z, 7.(2a)
zum Verschwinden. Ebenso ist das Vorzeichen des Ausdruckes (I, 17), für den wir nach leichter Umformung
(16)—[2.— 20 RL2 221,(2) 22(2.)] erhalten, unabhängig vom Aufpunkt zo(zh σ 1).
Diese Betrachtungen behalten ihre Gültigkeit, wenn der Aufpunkt auf den Rand rückt, da für zb= 1 die Formeln(I, 16) und(I, 17) in die Formeln(I, 19) und(I, 20) übergehen.
23

§ 6. Das Kurvensystem Jh(8)— o.
Analog läßt sich das lokale Verhalten der Scheitelbildkurve (I, 18) in der oberen 5 Halbebene untersuchen. Die Reihen für die Kurvengleichung
117) 0= J„ O= 3 da Ac K) und für die Ableitung
(*+) 2 dis) Js, Ob= S J”, CE— th,
deren Vorzeichen für die Art eines Scheitels von Belang ist, sind übersichtlicher und einfacher als in§ 3. Die Ergebnisse sind genau dieselben. Es ist daher überflüssig, näher darauf einzugehen. Lediglich die Umgebung des Aufpunktes bedarf weiterer Untersuchung. Wir arbeiten im Einheitskreis und gehen von der Scheitelbildkurve(I, 19) aus. Im Punkte zo hat die Schwarzsche Ableitung f.(⸗2) entweder eine reguläre Stelle oder einen Pol zweiter Ordnung. a) Ist zo ein Pol, der zugehörige Bildpunkt also eine Ecke
der Randkurve, so lauten die Reihenentwicklungen für die Kurven- gleichung(I, 19)
1./2— 20 2 (19) 0bg==* J(e) und für(I, 20) (20) 1= e R-e.) 20
zo ist ein zweifacher Kurvenpunkt. Die Tangentengleichung
—J3)= 0 zeigt, daß die eine Tangente den Einheitskreis
berührt, die andere ihn senkrecht schneidet. Uns kommt es nur auf die Halbtangente durch den Kreismittelpunkt an.
Liegt der Aufpunket in einer Ecke der Randhkurve, so haben von der Schar der Niveaulinien diejenigen, die ganz in einer hin- reichend klein gewählten Umgebung der Ecke verlaufen, je einen
24

Ve
ür
und nur einen Scheitel, der in erster Näherung auf der Halbierungs- linie des Innenwinkels liegt. Je nachdem die Eekce ein- oder aus- springend ist, liegt ein Minimum oder Maximum der Krümmung vor.
b) Verhält sich die Schwarzsche Ableitung f.(²) im Punkte
zo regulär, so erhalten wir die Reihen
— 1 A 2—2o I» 2(v) 194) 0=. T e 2—0
und
4+2 Aſ 2— 20 S„ 2(v) 9)—„! R 2⁰ 20 /,(20)
2—0 ¹) Ist f⸗(20)+ 0, so hat das Kurvensystem(I, 19) in zo einen
vierfachen Punkt. Von den 8 Halbtangenten
G8)=3=e e
2 0Js(o kommen für uns nur diejenigen in Frage, die von zo aus in den Einheitskreis hineinlaufen. UÜber die Art der Scheitelbildpunkte in der Umgebung von zo gibt das Vorzeichen von
(24)— 4 R(A) ⸗e(20)
Auskunft, das beim ÜUbergang zur benachbarten Halbtangente wechselt.
Von den Niveaulinien haben diejenigen, die ganz in einer hinreichend klein gewählten Umgebung des Aufpunketes verlaufen, 4 bez. 5 Scheitel, von denen einer im Aufpunkt sitzt. Bei 4 Scheiteln berührt eine Kurventangente zugleich den Einheitskreis, und der Bildpunket f(zo) übernimmt die Rolle eines Eatremums der Krüm- mung, da auf ein- und derselben Niveaulinie zwischen zwei
Extrema derselben Art mindestens ein Extremum der anderen Art
liegen muß. Bei fünf Scheiteln übernimmt der Aufpunkt die Rolle eines WMendepunkttes.
25

6) Xhnliche Ergebnisse finden wir bei einer n-fachen Null- stelle der Schwarzschen 4bleitung(n= 1, 2, 3...). Nur treten jetzt n+₰ 4 bez. n+ 5 Scheitel auf, von denen wiederum einer im Aufpunkt sitzt. Für geradesn übernimmt der Aufpunlet die Rolle eines Faxtremums, wenn die Kurventangente zugleich Kreis- tangente ist: n 4 Scheitel. Sonst die Rolle eines Wende- punletes: n 5 Scheitel. Für ungera des n tritt anstelle
des Extremums im ersten Falle ein Wendepunket, im zweiten Falle
anstelle des Wendepunktes ein Eatremum der Krümmung im Auf-
punkt.

btelle Falle Auf
KAPITEL III.
Polygonale Bereiche.
§ 1. Die Abbildung des Einheitskreises oder der oberen Halbebene auf ein geradlinig-
begrenztes Polygon ¹⁰⁸).
Das einfach-zusammenhängende schlichte Gebiet Go der 20-Ebene, das den unendlich-fernen Punkt nicht im Innern enthält, sei ein geradliniges Vieleck. Tritt= oo als Randpunkt auf, so ist er als Ecke mitzuzählen. Die Funktion= †(z), die die umkehr- bar-eindeutige und konforme Abbildung des Einheitskreises 2σα☛ auf das n= Eck vermittelt, genügt bekanntlich der Differential-
gleichung
) D 4 (1) ·,—„ /= 3, 4, 5, 7(2) 2—
Den Ecken„„die in der Reihenfolge nummeriert sind, wie sie W 8„ beim positiven Durchlaufen des Polygonrandes angetroffen werden, v 8 1— 29. 3 entsprechen die Punkte Zz,= eiLy(0=&= G== S„=6 2). Der Winkel, um den man die in eine Ecke w, einlaufende Polygon- seite im positiven Sinne drehen muß, um sie in die aus der Ecke auslaufende Seite überzuführen, ist 4 Q. Zu ausspringenden Ecken gehört ein positives 1„, zu einspringenden Ecken ein negatives 75; „=2 1 liefert eine Ecke im Unendlichen; 1,=— 1 kommt wegen der Schlichtheit nicht vor. Die Summe aller Winkel ist gleich 2. 1
(2), 7e= 2 72
7—1 Durch Integration von(1) gewinnen wir die Abbildungsfunktion. C' und C“ bedeuten zwei komplexe Konstanten.
10) Vergl.: L. Lichtenstein, l. c., Study-Blaschke, I. c. und F. Ringleb, Über die konforme Abbildung von Polygonen. Diss. Jena 1926.
27

3 (6)= C⸗=—+C, C=*0
F(e z(E ee(2— 22)² Bekanntlich sind in(3) noch 3 reelle Konstanten willkürlich. Die Vorgabe der Werte f(0) und arg †(0) oder †(0) und eines der Werte z, oder dreier Werte z, legen die Abbildungsfunktion ein- deutig fest.
Geht man von der oberen&⁵Halbebene aus, so hat die Ab- bildungsfunktion= h() dieselbe Form wie(3), nur liegen jetzt die Eckbildpunkte C,= E,( 1 E X§) auf der reellen Achse.
5 1 ½ (4) 2z 7 7 7 6(— 5 ⁄(— E2)“(— 8,)“**
Ist 5,= 0, so fällt der entsprechende Faktor im Nenner des Integranden fort. Man kann nicht mehr über 3, sondern nur
-O EC*0
noch über 2 reelle Konstanten willkürlich verfügen.
§ 2. Die Krümmung der Niveaulinien.
Die Krümmung der Niveaulinien mit dem inneren Aufpunkt 1% ü= f(0) ist nach(I, 6)
1 1—2 7 4,[„ G Ke er e[ee
Für konvexe Vielecke(,— 0) sind alle Faktoren auf der rech- ten Seite positiv, gleichgültig wo z im Innern und z, auf dem Rande des Einheitskreises liegen. Da jede Funktion, die den Ein- heitskreis schlicht auf das n-Eck abbildet und den Nullpunkt z= 0 in einen beliebigen inneren Punkt von Ge überführt, vom Typus(3) ist, so folgt, daß alle Niveaulinien eines konvexen Viel-
ecks stets positiv gekrümmt sind, gleichgültig welcher innere Punkt zum Aufpunkt genommen wird ¹¹). Dieser Satz behält auch für Aufpunkte auf dem Rande seine Gültigkeit, wie die nach(I, 11)
gewonnene Formel
¹11) Darauf hat schon Study l. c. hingewiesen. Einen Beweis für be- liebige konvexe Bereiche findet man bei T. Ra do, Math. Ann.(1929) S. 428/429.
28

kt
— 8— F—
2
2, ⸗ ise,
5— 8,
27
271 für die Krümmung der Bildkurven der Parallelen„j= konst. ( 0) lehrt. Wenn der Aufpunkt in einer Ecke sitzt, so fallen
der zugehörige Faktor des Produktes II und das zugehörige Glied der Summe N weg.
§ 3. Das Kurvensystem— J 227,(2)= 9.
a) Die Schwarzsche Ableitung
2 4 d 2 2 n G 10 feeg 1 zeel 8 32,.ſele
2 e
der Abbildungsfunktion(3) hat in den Eckbildpunkten z,, wie schon früher erwähnt, Pole zweiter Ordnung. Der zugehörige Innenwinkel ist G=(1— p). Für das Kurvensystem (I, 14) erhalten wir die Gleichung
1 2 n Z 2„ 1² 8)— I2=— 224 Jh, 0. (8) J 22/52). 0 Wegen 2 2„ A, L— pp]* 23., ne,.=Sſ= f(erk-eer eaſſ 9J 2 e, e, e 101 2 S 2 3
ist der Einheitskreis darin enthalten. Da wir leicht nachrechnen,
1. daß mit z= z, auch der Punkt z=— ein Kurvenpunkt ist, liegt 5 71 das Kurvensystem(8) spiegelbildlich zum Einheitskreis.
b) Verlauf der Scheitelbildkurve in der Nähe des Einheitskreises für konvexe Polygone.
Die Schnittpunkte des Einheitskreises mit den aus dem Kreisinnern kommenden Kurvenzügen sind mehrfache Punkte.
Einmal sind wegen(II, 11 f.) die Eckbildpunkte Doppelpunkte. 29

Sodann liefern die Nullstellen von 2 22/,(2) 2ſs(2) für 2z= 1 mindestens zweifache Punkte. Die Zahl dieser Nullstellen soll für konvexe Polygone bestimmt werden. Es ist
n n 2 ¼ 2„ 2 (10) 222 7,e) fe)e 1.— 2 2ν 1, 2—1
und R2 2 /,2) 2271(2)⸗ e1= 0
= 1
(11) 1G)= J2 22 2)+ 2 ¼(z)=n= Z22424 leg——
& GPp ² O— P G Oo ctg cts, er
Die Funktion 7() wird in negativ oder positiv unendlich, 2 2 3 P je nachdem man sich von der einen oder anderen Seite nähert. Da
in dem Intervall&=O=cP wegen
d„ 1 H-g, 2 41évG= SS22, ſes 12r ers 2
ſet A Je lei5 2
O-g„, 2 G Gr ere 5 0
G 2 3+2 ctg⸗
ttg
1(c) monoton zunimmt, hat(11) genau eine Nullstelle im Inter- vall arg z, Sarg z= arg zo1. Diese Nullstelle— sie sei z— ergibt einen Doppelpunkt und keine höhere Singularität, da mit 1'() auch Rſ3 2 †(2)+ 24/”(2)] für z= 1 nicht verschwinden kann. Den Scheitelbildpunkten, die in erster Näherung auf der
2—25 durch den Nullpunkt gehenden Halbtangenten J=. 2
2* R—20 des Doppelpunktes z“ liegen, entsprechen Minima * Ppelp 9 3 P
2
der Krümmung, da
(12)= R
**ℳ
2— 2,
2— 2,„, * Rls 1e.) en Ir er)!== R n l.)=o (II. 7).
Z
30

ima
0
3 7).
Niveaulinien in der Nähe des Randes eines konvexen n-Eoks tragen 2n Scheitel;/ Maxima und n Minima der Krümmung. Die Maxima liefern in erster Näherung die Schnittpunkte der Hal- bierungslinien der Innenwinkel mit den Niveaulinien.
c) Die Zahl der Nullstellen von J,(z) und von 2() 2¼(2) im Einheitskreis für konvexe Polygone.
Das Polynom P(2)= anz an-- 1 22 1... Ta 2 ao,
in dem die Koeffizienten a komplexe Zahlen sind, von denen einige, aber nicht alle gleich Null sein können, heißt symmetrisch, wenn die Koeffizienten je zweier gleich weit von den Enden ent- fernten Glieder bis auf ein und dieselbe multiplikative Konstante e vom absoluten Betrage 1 zueinander konjugiert— komplex sind:
an-u=& An(4= O, 1,.„ n)
Wir werden folgende Hilfssätze benutzen, die sich leicht herleiten lassen ¹²).
Hilfssatz 1: Ein Polynom m. Grades p(z) ist dann und nur dann symmetrisch, wenn
F)= e 52)=²„ e) ¹)
Hilfssatz 2: Gleichzeitig mit z= zö ist auch z= 5, eine Nullstelle 4
des symmetrischen Polynoms p(z). Für zà= 1 ist dieser Satz
trivial. Für zau= 0 sagen wir im Sinne der Funktionentheorie:
Rücken l einfache Nullstellen in den Nullpunkt, so wandern gleichzeitig l einfache Nullstellen nach z= 00. Nach Abspaltung des Faktors z' pleibt ein Polynom vom Grade m- 21 übrig
1 (I muß kleiner sein als die nächste ganze Zahl vor 5
12) Vergl.: Bieberbach-Bauer, Algebra, Leipzig und Berlin 1928, S. 169 ff. und A. Cohn, Math. Zeitschr. 14(1922), S. 110— 148.
— 2 13) H()=an? a c

Die Nullstellen der Schwarzschen Ableitung(7) stimmen
überein mit den Nullstellen des Polynoms
91 2)=2 2„(7, ee(e ee 14),
= 1 v= Sl 4 1 das wegen 5 H(z)= 2 5.=)= hr(2)„ K1= II 22 „ 1
ein symmetrisches Polynom mit 2n— 4 Nullstellen in der vollen
⸗.Ebene ist, jede Nullstelle so oft gezählt als ihrer Multiplizität entspricht. Da für konvexe Polygone(,= 0)
D Laen ſas-
(15) Rlae 2)) V i⸗= 15 2 L 1οlets 2e- ctg 1= 1 v= S1 ist, verschwindet die Schwarzsche Ableitung der Abbildungsfunk- tion eines konvexen n-Ecks auf dem Einheitskreis nie, im Innern (n— 2)⸗mal. Die Nullstellen des Ausdruckes 2 f(2)+ 124Of= 4. 2 2 2„ Ap(22 2e]
1= 1 v= S(2=2, 5(2— 2„
2
22= 2 e
stimmen überein mit den Nullstellen des Polynoms 9,(2)= 2 Ae(En 2n 2(e— 2, 25 11(2 2 1= 1„ 1 41 pe(z) ist ein symmetrisches Polynom mit 3— 4 Nullstellen in der vollen z-Ebene.
Da nach b) für konvexe Polygone n Nullstellen auf dem Rande liegen, bleiben gemäß Hilfssatz 2 jen— 2 Nullstellen für das Innere und Xußere des Einheitskreises übrig.
1 2= 2,([2.=3 1) eine Efache Nullstelle von 2 f.(z)
† 27,(2)„ 8s0 verschwinden auch noch die(1— 1)— ersten Ab-
leitungen: 2 5(2) 4 2 5(2)= 0 3 r() 2 6(2)= (1⁴) ee,([a,=1)=l,2, n=2. (kr1) fG 1(2) 4+ 2 0(2)=0 aber C 2)(2) 2 6“(2) †0
3) Die beiden Striche am Produktzeichen sollen andeuten, daß die Faktoren für=n und A= wegzulassen sind.
32²
Liegt unmit (14† Reihe Zusal
fache
bild n-Ecl Dopl

llen ität
10
unk.
ern
a in
dem für
Ab-
Liegt z,+† 0 auf der Scheitelbildkurve, so haben wir es, wie wir unmittelbar der Reihenentwicklung(II, 1) entnehmen, mit einem (1+ 1) fachen Punkt zutun. Für z,= 0 lehrt ein Blick auf die Reihe(II, 3), daß sich die Multiplizität noch um eins erhöht. Das Zusammenfallen von 7 Doppelpunkten führt also zu einem(1+ 1)⸗ fachen Punkt, umgekehrt ist ein(1+ 1)-facher Punkt 7 Doppel- punkten gleichwertig. Im Sinne dieser Zählweise kann die Scheitel- bildkurve— J22*ſ,(z)= 0 für die MNiveaulinien eines konvexen n-Ecles mit einem beliebigen inneren Aufpunket höchstens n— I 21 besitzen. Ein Doppel- punket tritt infolge der Verhältnisse im Aufpunket stets auf.
Doppelpunkte im Einheitskreis
§ 4. Das Kurvensystem Ihe(a)= 0.
Die Untersuchungen des Kurvensystems
1
(1) J9 HO= 1 1 1% 7 Jſe
4= 1 2—1— 5 bez. (15 b X h.(O⸗ 1. 2 2 4, 4, Rſee e JoO= 1,3 SzeSe. e * 1 7 22 J, 1 1= o, 2 2 9 1 6( 5) wenn der Aufpunkt in der n-ten Ecke sitzt(,= 00), als des
Ortes der Scheitelbildpunkte für die Niveaulinien mit dem Randpunkt%= h(00) als Aufpunkt führen zu Ergebnissen, die denen des vorhergehenden Paragraphen analog sind. Die reelle Achse übernimmt die Rolle des Einheitskreises.
b) Das Verhalten in der Nähe der reellen Achse für konvexe Polygone.
Wie man den Formeln
4„ 2 1 1 72² 1 1 030 2,G)= ,3, 5eelE-g,=E,[E B,5=.
1 1 1 7 he(&)=+ 2 Tne— le) 1 1 e=e eele

bez.
. 1*2—= 1 n- 1 1 1 2 1 1 . 1 2„[=. 4 s. lE=.t— n— 1 1„ 4 2(§ ‧—)* „ 1 1 1 12 1 14 (16 b) b.(5§)= 422e—[2(9 1*) k
1 1
entnimmt, treten für konvexe Polygone, abgesehen von den Eck- bildpunkten&, im ersten Fallen— 1, im zweiten Falle n— 2 im
Endlichen gelegenen Doppelpunkte des Kurvensystems(15) auf der reellen Achse auf. Um die Umgebung des Aufpunktes zu unter- suchen, arbeiten wir wieder im Einheitskreis σ 1. Im Falle (15a) haben wir es nach(II, 21) und(II, 23) mit einem vierfachen Punkt zu tun, dessen eine Tangente wegen(9) zugleich den Einheitskreis berührt. Für Scheitelbildpunkte in der Nähe des Punktes zo kommen nur die Halbtangenten in Frage, die von diesem Punkte aus in den Einheitskreis eindringen. Scheitel- bildpunkte, die in erster Näherung auf der Halbtangente durch den Nullpunkt z= 0 liegen, gehören wegen— 4 R(e, euf(20)= 0 (II, 24 und III, 13) zu Minima der Krümmung. 1
Für konvexe Polygone haben daher alle Niveaulinien in einer hinreichend klein gewählten Umgebung des Aufpunktes, der keine Ecke der Randhkurve ist, stets vier Scheitel, von denen eiĩin Scheitel, ein Minimum der Krümmung im Aufpunkt selbst zu suchen ist.
Im Falle(15b)(der Aufpunkt sitzt in einer Ecke) haben
wir es mit einem Doppelpunkt zu tun. Es gilt das, was in K. II §6a gesagt wurde.
c) Die Zahl der Nullstellen von DH,() und H,(b) in deroberen ͥHalbebenefür konvexe Polygone. Die Nullstellen von
1„„(E,— E,)² -1 zele) 4,8 2 27(.-== E,)7(— 5,)*
34
stimm
das W lauter eine
in de
erhal
(175
(182
verg
das 2— stell
(18t
Das

stimmen überein mit den Nullstellen des Polynoms
q1()= X 1 1,(S,— E,) II“(= 5)* 1¹¹), 2—1 2—1 0 1 das wegen IXe do(Ee 5„)*—₰ 0 stets vom Grad 2n— 4 ist und
lauter reelle Koeffizienten hat, sodaß mit=h, auch 5 5 2
eine Nullstelle ist. Daher hat die Schwarzsche Ableitung 5()
in der oberen Halbebene n— 2 Nullstellen. Dasselbe Ergebnis
erhalten wir für /— 1 n— 1 n— 1
(17b) 5s() 1 2 Z4, 4,(6,— 5) 1 7,— e
4„r=12er(— k, 1(—, 2 n=l(§— 5„)2²
Die Ableitung des Schwarzschen Differentialausdruckes
1 2 2(5,— 5)*(2 5— 8, 5) 18 h(6)=——= 4 4 Llen, 4 G) 2 4= 1„ 1(— 5,)2(— 55)
vergleichen wir mit dem Polynom qe()= 13 7,(E,— E)*(2 5—,— E)“( 9) 14),
das stets vom Grade 3— 5 ist. Da H,() auf der reellen Achse n— 1 Nullstellen hat, bleiben für die obere Halbebene n— 2 Null-
stellen übrig. Dieselbe Anzahl von Nullstellen finden wir für
1*1(E, 5)(2 5— 8,— 55) 18b) S,(6)=„—, G) 4 2 u=1 v= 1( 5„)3(E=)“
n—1
eee
Das zum Vergleich herangezogene Polynom
2—1 2— 1 /—1 74()=22 4„ 7o(Ea= 30)2(26= 5,= ⸗) 1(5- 3„). 24— 1„ 1 4— 1 21 21 =27, Sa, I e„) 2—1 2—1
ist zwar vom Grade 3 n— 6, dafür hat aber S,() auf der reellen
Achse nur n— 2 Nullstellen.
15) Der Strich am zweiten Produktzeichen bedeutet, daß der Faktor für
.²m=„ wegzulassen ist.
35

Ist der Punkt, der Kurve(15) eine I-fache Nullstelle von 5.(6)(7= 2, 3 2), so ist er, wie sich aus der Reihen-
entwicklung(II, 17) ergibt, ein(1+ 1) facher Punkt unserer Kurve, der, wie im vorhergehenden§, 7 einfachen Doppelpunkten gleichwertig ist.
Für konvexe n-Ecke hat der Schwarzsche Differentialaus- druck h() und seine 4bleitung in der oberen Halbebene je — 2 Nullstellen. Die Scheitelbildkurve kann daher ebenda höch- stens n— 2 Doppelpunkte haben.

öch.
KAPITEL IV. Beispiele. § 1. Das Zweieck.
Study’¹) u. a. haben die Gültigkeit der Schwarz-Christoffel- schen Integralformeln(III, 3 u. 4) auch für n= 2, für die Ab- bildung des Einheitskreises und der oberen Halbebene auf gerad- linig-begrenzte Zweiecke nachgewiesen. Eine Ecke liegt stets im Unendlichen, etwa die Ecke 2. Wir unterscheiden folgende Z ecke:
wei-
a) 1= 12= 1. Beide Ecken liegen im Unendlichen: Parallel-
streifen.
b) 1 2 1 0. Die im Endlichen gelegene Ecke ist der Scheitel
des konvexen Winkels ανπα‿.(1— AL) A.: Konvexer Winkelraum. Den Fall 11= 0(Halbebene) schließen wir aus.
c) 02 d— 1. Konkaver Winkelraum.
d) 2=— 1. Das Zweieck besteht aus der längs einer Halb-
geraden aufgeschlitzten Vollebene. Den Fall 1=— 1 brauchen
wir nicht zu berücksichtigen; er liefert mehrblättrige Winkelräume. In allen vier Fällen ist das Zweieck bei vorgegebenem 11
durch 3 reelle Konstanten bestimmt. In den Abbildungsfunktionen
(1) und(2) dagegen treten 6, in(3) 5 reelle Konstanten auf.
d 2
D=G e 0
5 d g. 2 S'õo e C 4( 51) 4(— 52) 2

C X O und C“ sind komplexe Konstanten. Um die 3 bez. 2 willkür-
lichen Konstanten festzulegen, kann man einander entsprechen
lassen:
1. Je einen inneren und einen Randpunkt.
2. Je drei Randpunkte.
3. Je zwei Randpunkte, wenn man eine der 4 in C“ und( enthaltenen reellen Konstanten vorschreiben will, nämlich die- jenige, die auf die Lage des Zweiecks einflußlos ist.
A. Der Aufpunkt im Innern des Zweiecks.
Lassen wir in der Abbildungsfunktion(1) den Punkt z= 0 dem vorgegebenen Aufpunkt und zz= 1 der Ecke= co ent⸗ sprechen, so sind die übrigen Konstanten G, C“ u. 21([211= 1) durch die Lagen des Zweiecks und des Aufpunktes bestimmt.
Daß für konvexe Zweiecke die Niveaulinien stets positiv gekrümmt sind, zeigen die Formeln III, 5 und 6(n= 2) für innere Aufpunkte und für Aufpunkte auf dem Rande.
Das Kurvensystem(III, 3) zerfällt für n= 2 in die Kurven
= O und(4b) 6
R 2(1— 20— 2— — 1)(2— 21)
d,
4 Ga)(2— 1)(2— 21)
Die erste Gleichung liefert den Einheitskreis und die Gerade
(5) x(1— x1)— yy= 0,
die den Winkel zwischen den beiden Einheitskreisradien arg z= 0 und arg z= 9i halbiert. Dieser Geraden entspricht im Zweieck der Kreisbogen durch den Aufpunkt mit dem Mittelpunkt in der endlichen Ecke bez. im Parallelstreifen die Strecke durch den Aufpunkt, die auf den Seiten senkrecht steht. Die zweite Gleichung,
liefert für z1 † 21 die Kurve dritten Grades (6)[1+ 221[z(1— 21)— 2(1— 21)]— 222[z1— 211= 0,
die durch den Nullpunkt geht und, wie folgende Rechnung zeigt,
mit jedem Kreise[z=r(0=r= 1) zwe i Punkte gemeinsam hat. Die Gleichung(6) führt nämlich im Verein mit der Kreis- gleichung x †*= T zur Gleichung
1— X 2 (7) X— 1 4—————— 14— 0,
geie aſins en 7ie e
38
R—

die-
uece
nden
die eine die Gerade(5) senkrecht schneidende Gerade darstellt, deren Abstand vom Nullpunkt kleiner als r ist. Die Gerade schneidet mithin den Kreis[z= r in zwei reellen Punkten, die zur Geraden(5) symmetrisch liegen. Für zu= 21 artet die Kurve (6) in die reelle Achse aus.
Das Vorzeichen des negativen Realteiles von(III, 10) für 72= 2,
ne, ſeI 2eNXſi t2 teee J
22
auf den Kurven(4a) und(4 b) stimmt mit dem Vorzeichen von
1 2 7 8— 7 1 () 11 R—
2—2
5 1 21 überein, da——[— 0(Cleichung der Scheitel- 2 2 21
bildkurve), 7 stets positiv und R 1 1.1] stets 4 2—1 2— 21
negativ ist, also im Falle(4a4) mit dem Vorzeichen von 41, im
Falle(4b) mit dem Vorzeichen von— 1.
Gleichgültig, welches der oben aufgezählten Zuweiecke wir betrachten, gleichgültig, wo der Aufpunkt im Innern liegt, stets haben alle Niveaulinien vier Scheitel. Je nachdem das Zuweieck konvex oder konkav ist, entsprechen den Scheitelbildpunkten auf der Geraden(5) Minima oder Maxima, den Scheitelbildpunketen auf der Kurve(6) Maxima oder Minima der Krümmung.
B) Der Aufpunkt auf dem Rande.
¹) Liegt der Aufpunkt ¹0% nicht in einer Ecke des Zweiecks, so gehen wir von der Abbildungsfunktion(2) aus und setzen 51= 1, 52= 1. Die Scheitelbildkurve(III, 15a) zerfällt für n= 2 in die Kurven
(a) Rſr o und(9 b) J 5 lu— o,
also a) in die gleichseitige Hyperbel*+ 72= 1. 39

b) in die reelle und imaginäre Achse.
Der positiv-imaginären Achse entspricht im Zweieck der Kreis- bogen durch den Aufpunkt, der auf peiden Seiten senkrecht steht, im Parallelstreifen die Senkrechte im Aufpunkt auf den Seiten. Jede Parallele zur reellen Achse hat mit den Kurven(9) drei
Punkte gemeinsam.
Das Vorzeichen von
SG=An IlEr I RIEr erlt
1 4
1 2 1 IRTEL- SI SIEet
auf der Scheitelbildkurve stimmt in beiden Fällen(Ha) und(0b)
mit dem Vorzeichen von
dio)„Klebr b
überein, also im Falle a) mit dem Vorzeichen von— 1 im Falle b) mit dem Vorzeichen von+† 11.
Auch dieses Mal haben alle Niveaulinien vier Scheitel, den vierten Scheitel liefert der Aufpunkt selbst. Je nachdem das Zweieck konvex oder konkav ist, ents prechen den Scheitelbild- punkten auf der gleichseitigen Hyperbel Maxima oder Minima der Krümmung, den Scheitelbildpunkten auf der positiv-imaginären Achse Minima oder Maxima der Krümmung. Im Aufpunket selbst ist im ersten Falle ein Maximum, im zweiten Falle ein Minimum
zu suchen. 6) Liegt der Aufpunkt in der Ecke= 00, 80 gehen wir von(3) aus und setzen 81= 0. Falls der Aufpunkt in der Ecke 11
sitzt, brauchen wir in dem Abbildungsintegral(3) lediglich 11 durch 72 zu ersetzen. Für den Ort der Scheitelbildpunkte in der
oberen 6. Halbebene erhalten wir aus (11) n=
die positiv-imaginäre Achse, der im Zweieck die Winkelhalbierende bez. im Parallelstreifen die Mittellinie entspricht.
40
stim
VOI
eckhs Sche das
Max
(12

Das Vorzeichen von
1 =— A 42 J 58
stimmt auf der positiv-imaginären Achse mit dem Vorzeichen von— 1 überein.
J 9(5
Jede Niveaulinie, deren Aufpunkt in einer Ecke des Zuei- echs sitzt, hat im Innern einen einzigen Scheitel. Der Ort der Scheitel ist die Winkelhalbierende bez. die Mittellinie. Je nachdem das Zuweieck konvex oder konkav ist, handelt es sich um ein Maximum oder Minimum der Krümmung.
§ 2. Das Dreieck.
9 b) a) Das gleichschenklige Dreieck. Die Funktion 22 dz 12 2——G ſ—,— 1 012))(2z 21) 71(2— 22)72(2— 25) im 0 7 mit den komplexen Konstanten C— 0 und(“ bildet den Ein- ate..—.... 4 heitskreis z=1 auf ein gleichschenkliges Dreieck der-Ebene b dus mit den Außenwinkeln 11, 12 N, 13 y= er ab. Wir lassen bild. noch den Fall zu, daß die Spitze 1 auch im Unendlichen liegen der 1 1 2*.. ,en kann(A1= 1, 2 12= 0 oder 0= 12— 2) Uber die drei in ( elbst(12) noch w l inliehen Konstanten verfügen wir so, daß mum ₰— 12 (15) 21= 1, 23= 22 Cosge ⸗(7 0)- wir Aus(13) folgt, daß wegen 1.= Aa die zyklische Summe 4—11 42(21— 22)² h 4. 3. 71 1 verschwindet und die zyklische Summe 1 der 5 —₰ A1 2(21— 22)223 für positive 12 negativ-reell, für negative 72 positiv-reell ist. Die Schwarzsche Ableitung 2 2TAr A2(21= 22)2 23—
eende(14)(2)——
[z2ν— 22(1+ 2,+ 22)+ 2(1+. 22 22)— 112

hat in z= 0 eine einfache Nullstelle. Weitere Nullstellen treten
in Übereinstimmung mit dem, was wir in K. III§ 3 c gefunden haben, nicht auf. Für die Scheitelbildkurve(I, 14) gewinnen wir die Gleichung
(15)[1— 221[z= 2(=-Lz)(1+22 2 2)— 22222(22)(1 † 22) †
+(te²+ 2 t2) 22 22— z22(1 4 22 ℳ 22 2²)]= 0,
4 2— 372. 7. wobei 14 22 4 22=——, üů= t, gesetzt ist(—=.— 1 für 2 2— 4 5 2 1 —— I I). 2— 2
Unser Kurvensystem zerfällt: 1. in den Einheitskreis z2= 1, 2. in die reelle Achse, 3. in die Kurve
. 1 22 2⸗
16 COs2— t.. c0S S—1= O,
(16) 9-— 1, lcsg LL—
wie Division des dritten Faktors in(15) durch 22 22= und Ein-
führung der Bezeichnungen
1 z2+= 27COs, 7 †(eo p= 2 für 0 7 1)
lehren. Aufgefaßt als quadratische Gleichung in cos ꝙ sind beide
Lösungen von(16),
— 1 1 n u eer rleanen und (17b) 208 G=—— 1— t] C08 G 2 5—1 72 2 absolut genommen kleiner als 1. Jeder Kreis[z=T(0 Ir=1)
schneidet daher die Kurve(16) in 4 reellen Punkten, von denen
je zwei zur reellen Achse spiegelbildlich liegen.
Das Vorzeichen von(I, 8),
3 3 23=ee, e. 18) R= TA 42(z1— 22)2 2 d ſe ee ee j zu 42(21— 22) 23 auf dem Kurvensystem(15) stimmt in der Umgebung des Null-
punktes mit dem Vorzeichen von— 12 cos 3& für sin 3 G ⸗‧= 0
42
übe!
Min kön. Sche mal
Kur steh
unel

für
Ein-
beide
1¹)
lenen
überein, ist also bei positivem(negativem) 1. für= 0, 2 n, ³ r. .,. 1 5(A:.. Minus(Plus), für= S,, 3 Plus(Minus). Diese Zeichen
können sich auf den 6 von z= 0 nach außen laufenden Zügen der Scheitelbildkurve nicht ändern, sonst müßte(18) mindestens ein- mal verschwinden, was nach K. II§ 3 a zur Folge hätte, daß die
Kurventangente auf dem zugehörigen Radiusvektor senkrecht
stehen würde. Der Tangens des Winkels 1, tg 1=7 5 müßte dr unendlich werden, was aber wegen So 5( 1 dz⸗ 2(b1) sin ꝓ* 32 dqrr——( 1 dr 2(p= 1)2 sin**τ 2
für 0OIr=I niemals eintreten kann.
Im Innern eines jeden gleichschenkligen Dreieckes einschließ- lich der Grenszfälle, für die die Spitze im Unendlichen liegt, gibt es einen und nur einen Aufpunkt derart, daß alle Niveaulinien Konstant 6 Scheitel tragen. Den Punkten auf den 3 Zügen der Scheitelbildkurve durch die Eokbildpunkte entsprechen Maxima oder Minima, den Punkten auf den 3 übrigen Zügen Minima oder Maxima der Krümmung, je nachdem das Dreiech konvex oder nicht konvex ist. Für jeden anderen Aufpunkt liegen auf den
Niveaulinien anfangs 4 Scheitel.
b) Das konvexe Dreieck.
Der eben aufgestellte Satz behält seine Gültigkeit für be- liebige konvexe Dreiecke. Wiederum darf eine Ecke auch im Unendlichen liegen. Anstelle der 2 letzten Bedingungen in(13) tritt
2 ₰ 1 12(21— 22)= 0.
Für die Gleichung der Scheitelbildkurve(I, 14) erhalten wir
43

A d 12(21— 29)² 23
BZ=————— ( S2 le=er Ie a) r e-n-.ee)—2eeed Die Scheitelbildkurve ist eine Kurve 9. Grades. Zur Bestimmung ihrer reellen Schnittpunkt mit den Kreisen[z= y ersetzen wir überall z. 2 durch 1* und sehen diese Größe als konstant an. Wir erhalten eine Kurve 3. Grades, die nach dem Bézoutschen Theorem höchstens 6 reelle Schnittpunkte mit den Kreisen hat.— Wenn man die Riemannsche Fläche der Funktion 1*%= 22,(z) be- trachtet, so sieht man leicht ein, daß die Scheitelbildkurve(I, 14) im Innern des Einheitskreises keine Gebiete eingrenzen kann.— Unsere Scheitelbildkurve hat in z= 0 einen dreifachen Punkt, 6 ihrer Züge erreichen nach III§ 3 b den Einheitskreis. Demnach müssen mindestens 6 Schnittpunkte auftreten. Daraus folgt:
Im Innern eines jeden konvexen Dreiecks(im erweiterten Sinne) gibt es einen und nur einen Aufpunkt, für den alle Niveau- linien konstant 6 Scheitel tragen.
Dasregulären-Eck.
Die Funktion „ r Ar 0O 16 (20)= C. 6/= 3 1 8(2 1)5 bildet den Einheitskreis z=11 auf ein reguläres n-Eck der 10-Ebene ab, wobei die Mittelpunkte beider Figuren einander ent-
2 E sprechen. Die Halbmesser arg Z=——(= 0, 1... n— 1) gehen n in die Halbmesser des Umkreises über, die in den Ecken endigen, 3 211 1 die Halbmesser arg z=—— ò in die Berührungsradien des n
Inkreises.
Für die Schwarzsche Ableitung erhalten wir:
2/—2 (21) 9E)= 2 M 1) ee i
16) Study-Blaschke, 1. c. und Ringlebh. 1. c.
44

—
Sie hat in z= O eine(n— 2)-fache Nullstelle. Setzen wir 5=, so finden wir für die Scheitelbildkurve(I, 14) die Gleichung
(22)(1—65 GO H= O.
Durch die Substitution 6= 2“ wird der Einheitskreis[z=1 auf die n-blättrige Einheitskreisscheibe 1 abgebildet. Der Win-
N 1... kelraum—„= arg 2=„ entspricht einem einzigen Blatt, das längs der negativen reellen 6-Achse aufgeschnitten ist.
Unsere Scheitelbildkurve zerfällt: I. in den Einheitskreis z= 1
2. in die 2 n Halbmesser arg z 2(4E= O9, 1, 2.„ 2— 1) n
Das Vorzeichen des Ausdrucks(I, 8) 2 3. 1 2s)=Rls=t, O erſ, GO= 27 1) Rſe g⸗)
für reelle= ist Plus oder Minus, je nachdem é negativ oder positiv ist(— 1— 8=+† 1).
Alle Niveaulinien mit dem Aufpunkt in der Mitte des regel- mäßigen n-Ecks haben 2n Scheitel. Die n Maxima der Krümmung liegen auf den Halbmessern des Umkreises, die in den Ecken endigen, die n Minima auf den Berührungsradien des Inkreises.
Da der Ort der Scheitelbildpunkte für die Niveaulinien mit dem Ort der Scheitelbildpunkte für die Stromlinien zusammen- fällt, so können die Stromlinien, sofern ihre Krümmung nicht konstant und gleich Null ist, nur auf dem Rande des regulären n-Ecks Scheitel haben. Den Fall n= 4(Quadrat) hat W. Rott- sieper in„Graphische Lösung einer Randwertaufgabe der Gleichung A u= 0“(Dissert. Göttingen 1914) gezeichnet. Doch ist diese Zeichnung auf S. 32 insofern nicht ganz richtig, als die Stromlinien in dieser Zeichnung auch im Innern nahe am Rande Scheitel tragen.
§ 4. Das halbreguläre 2n-Eck mit gleichen Winkeln.
Unter einem halbregulären 2 n-Eck(n= 2, 3, 4,...) mit gleichen Winkeln verstehen wir ein 2 n-Eck, dessen Innenwinkel
45

und je n nichtaufeinanderfolgende Seiten einander gleich sind.
Alle Ecken liegen auf einem Kreise. Für den niedrigsten Wert von n erhalten wir ein Rechteck. Die Funktion ¹⁷)
2 d 2 5„ 2 1„. (24)—( 1(ESe zI+ C“ C'†O,[221=1
bildet die Einheitskreisscheibe 2= 1 auf ein halbreguläres
2 n-Eck ab. Der Mittelpunkt des Kreises geht in den Mittelpunkt 274 2 des Vielecks, die Punkte 2= 2, 61 und z= 22 e*
(k= 0, 1, 2,... n— 1) in die Ecken über. Den Einheitskreis-
1
ni. durchmessern durch 2= ⸗ entsprechen aus Symmetrie- gründen die Mittellinien(Verbindungslinien der Halbierungs-
punkte gegenüberliegender Seiten). arg za= G(0= G&e=—,)
2 n bestimmt das Seitenverhältnis zweier ungleicher Seiten a und b, das eine monotone Funktion von Ga ist.
b b 0== für 01.Ge=, 2 2 1
b 2 I 1 4o für„— 2 2 /7 M n 7. 5 7 Für= 5 erhalten wir ein regelmäßiges 2 n-Eck, für= 0,
regelmäßige n-Ecke(für n= 2 Parallelstreifen). Wir setzen fest, daß a stets die größere, b die kleinere Seite sein soll. Daher
71 dürfen wir uns auf das Intervall 0= 92= beschränken. 2 n
Für die Schwarzsche Ableitung finden wir
1(üö— 1) tz 22— 4(2 n=1)— tn 2. A.2(b l)“2 (25) f.(2z)= 2 2[22„— 2 t 1 3
N. werin 7,= 222 22,(2 2 O für 0O= arg 22) gesetzt ist.
Wieder machen wir von der Substitution ᷑= 2) Gebrauch und erhalten für die Gleichung der Scheitelbildkurve(I, 14)
47) Ringleb, 1. c.
46

sind.
zt ist.
und
(6) LI=SEILE-EIl201)e(EH)=(4(22 1)— e)(1-E(EH—
2(n- 1) te(1+)2+ 2 n.(4— te²) C= 0 Wir beschränken unsere Betrachtungen auf den Winkelraum , ass⸗„ dem ein einziges Blatt der längs der
negativen reellen Achse aufgeschlitzten§-Ebene entspricht. In den übrigen Blättern und Winkelräumen wiederholt sich alles.
Unser Kurvensystem(26) besteht: 1. aus dem Einheitskreis ⁵= 1,
2. aus der reellen Achse. Beiden Kurven, in ihrem Gesamt-
verlauf durch alle Blätter hindurch, entsprechen der Ein- e
72
heitskreis z= 1 und die 2n Halbgeraden arg z= (k= 0, 1,.. 2„ 1).
3. aus der Kurve
(27) 2(n— 1) t2 4 cos— ſ4(2 7— 1)— t²] cos+‿ 2(n— 1) ¼,+
+ 2 12 4(4—t 2)= 0 Dabei haben wir folgende Abkürzungen benutzt: 2 (28)—2 ,e 1 1 35 Mit z=Tr(OIr=1) nimmt/= R und wegen 37— 0
d* auch—(O0==1) monoton zu. Die gegenseitige Zuordnung von r, R und ꝗ in dem Intervall Null bis Eins ist eindeutig. Die reellen Schnittpunkte der Kurve(27) mit den Kreisen[./= KR werden geliefert durch die beiden Lösungen der in cos% quadratischen
Gleichung(27).
2 15—[4— t. ²ſ4(22 1)2(14n(n l)²)t,?² (29) cos= 4(22 11)= 22 41 l4(Lt4n nõ)DJ42Jte] Beide Lösungen sind positiv-reell. Da aber der Nenner kleiner, das erste Glied des Zählers größer als 3(n— 1) ist, fällt die Lösung mit der positiven Quadratwurzel wegen der für reelle
geltenden Bedingung cos= 1 weg. Damit die voneinander
47

unabhängigen Größen—, n und tz wenigstens die zweite Lösung
dieser Bedingung genügen lassen, muß— größergleich ço sein
2(⁷b— 1) 12 27,— 1)— n
wie man aus(20) durch Beseitigung der Quadratwurzel findet. Da der Nenner größer, der Zähler kleiner als 4(n— 1) ist, so ist
ddo
qo ein echter Bruch, der wegen= O eine monoton abnehmende
2 Funktion von arg z,= 9 ist. Dasselbe gilt für die zugehörigen
... Werte Ro und ro. Für&= 2 ist qo= 0, die Kurve(27) geht 2 n in die imaginäre Achse über, unser Vieleck in ein regelmäßiges
2 n-Eck.
Die Kreise= R(0=R=Ro) schneiden unsere Kurve nicht, im Gegensatz zu den Kreisen 6= R(Ro= KR=1), deren 2 Schnittpunkte mit(27) in der rechten Halbebene symmetrisch zur
reellen Achse liegen.
Das Vorzeichen von(I, 3) stimmt für reelle mit dem Vor- zeichen des Ausdruckes
2„2 8
überein, der für negative stets positiv, für positive& zuerst
(0==KRo) negativ und dann(Ro=S=1) positiv ist.
Die Niveaulinien eines halbregulären 2 n-Echs mit dem Auf- punlet in der Mitte haben zuerst(O0Ir S=ro) 2n und dann (ro Ir=1) 4n Scheitel. Auf den Mittellinien der größtzeren Seiten liegen stets Minima, auf den Mittellinien der kleineren Seiten anfangs Maxima, später Minima der Krümmung. Da auf ein- und derselben Niveaulinie zwischen zwei aufeinanderfolgenden Minima mindestens ein Maximum liegen muß, sind im zweiten Falle die 2n übrigen Scheitel Maxima der Krümmung. Von ihnen liegen je zwei aufeinanderfolgende symmetrisch zu der zwischen ihnen hindurchgehenden Mittellinie. Ebenso entsprechen den
2 ½ Ti n Punketen zu= ro e n(k= 0, 1,.„ n— 1) Maxima der
Krümmung.
48
Di

ndet.
o ist hende rrigen geht
n. Biges
Lurve ſderen
h zur
Vor-
zuerst
Auf- dann ſeren neren H auf enden veiten ihnen schen
den a der
§ 5. Das halbreguläre 2n-Eck mit gleichen
Seiten und seine Grenzfälle.
Unter einem halbregulären 2 n-Eck(n= 2, 3, 4..) mit gleichen Seiten verstehen wir ein 2 n-Eck, dessen Seiten und je n nicht aufeinanderfolgende Innenwinkel einander gleich sind. Jen nicht benachbarte Ecken liegen auf einem Kreis um den Mittel- punkt des 2 n-Ecks und bilden die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks. Anstelle der Innenwinkel betrachten wir die Außen- winkel 0 und 41 Q die an den Ecken 0, 2, 4.. und 1, 3, 5... auftreten. Unter Wahrung der Bedingung(III, 2)
n(40 41)= 2
legen wir unseren Untersuchungen alle möglichen halbregulären 2 n-Ecke für— 1= o= X† 1 zugrunde, indem wir die Ecken mit geraden Nummern fest, die mit ungeraden Nummern auf der Symmetralen je zweier aufeinanderfolgender fester Ecken vom Unendlichen nach dem Mittelpunkt wandern lassen. Wir benutzen die Abkürzungen:
2 2— 1— H
l1= n 0— 1 ,—
3(n— 1) l ist eine monoton zunehmende, t eine monoton abnehmende
Funktion von 70.
A.. 3, 4, 5...
3 1 170= 1=—(+ 1) 2=1+
n2— 1 Das Polygon besteht aus der Vollebene, die von den festen Ecken aus in Richtung der zugehörigen Kreisradien nach dem Unend-
lichen geradlinig aufgeschlitzt ist.
2 I. 1 Sees ,)
3 22 1 2= 1— 2 1 2(n- 1)2
Die Polygonseiten bestehen aus 2 Halbgeraden, je 2 Halbgeraden
laufen von einer festen Ecke ins Unendliche.
49

2
2 III.—(1—„) 1O;—(ny— 1)!1=— 1; 1—— 1, 2
Wir haben es mit einem n-zackigen Stern zu tun. IV. 40= 0 1=— 1 42=— 2.
Regelmäßiges n-Eck. 1 V. 0 46— 1 120,— 2= tz*—.
Konvexes Polygon. Die beweglichen Ecken springen stärker aus als die festen.
VI. 0o= 7— 0 t,=+ l⁹. 0 3 2
Regelmäßiges 2 n-Eck.
2 — VII. 011 œ= 4.*2.
Konvexes Polygon. Die festen Ecken springen stärker aus.
d0
VIII 45=, 1= t,= 2.
Regelmäßiges n-Eck.
0
2 22— 1 IX.=4o=1. 1 7n 1;, 2= ee(1— 32 9) n 2(n— 1)²
n-zackiger Stern. Im Gegensatz zu III springen die festen Ecken aus.
B. n= 2.
Die Fälle III und IV sind schon in II enthalten, VIII und IX werden sinnlos, V und VII führen zum Rhombus, VI zum Quadrat.
Im folgenden schließen wir für A. die Fälle IV, VI und VIII, für B. den Fall VI und in II den Fall)= 0(Parallel- streifen) aus, da diese Fälle uns nichts Neues liefern.
50
Mitte n— 22½ l
Aus
und?
zoger Num liche
scho.

—9
aus
cken
1 M drat.
und allel-
Die Funktion ¹⁷)
Ge) See h— C G
bildet den Einheitskreis z6=1 auf ein halbreguläres 2 n-Eck mit
gleichen Seiten ab, wobei der Mittelpunkt des Kreises in den 24 ... N 1 Mittelpunkt des Vielecks, die Punkte z2 ½= en(A— 0, 1 2— 1) in die Ecken mit geraden Nummern, die Punkte 2 ½ 11 2 7 Z2 ½ 1=e, in die Ecken mit ungeraden Nummern übergehen.
2 F 65
71
Aus Symmetriegründen entsprechen den Radien arg z=
2+.. und arg z— m die vom Mittelpunkt des Vielecks aus ge-
zogenen Halbgeraden durch die Ecken mit geraden und ungeraden Nummern. Falls die Ecken mit ungeraden Nummern im Unend- lichen liegen, haben wir unter den zugehörigen Halbgeraden die schon oben erwähnten Symmetralen zu verstehen.
Für die Schwarzsche Ableitung finden wir
(35) Js(2)= 2(⁰ßv 1)72 ede 55„.
Die Gleichung des Kurvensystems(I, 14) lautet daher, wenn wir wieder in der 5-Ebene arbeiten,
(64) ſ1=slie allGe De-e(1 s 5)(e-e)--(1=5 5)l
Wie in§ 4 beschränken wir uns in der z-Ebene auf den Winkel-
raum— 2 Iarg 2=+ 3. Unsere Scheitelbildkurve zerfällt: n n 1. in den Einheitskreis z= 1 2. in die reelle§-Achse, der in der z-Ebene die 2n Halb- geraden arg z= 16(k= 0, 1,.„ 2— 1) entsprechen. n
3. unter Benutzung der Abkürzungen(23) in die Kurve
(35) q cos+‿ν te cos"+ 1= 0.

Aufgefaßt als quadratische Gleichung in cos p sind die Lösungen
3 42 ſ 7 (36) C08%=— 4— 1—,
nur in den Fällen V und VII reell. Die Lösung mit der positiven Quadratwurzel muß ausscheiden, da sie absolut genommen größer als eins ist. Damit wenigstens die andere Lösung der Bedingung
cos%%= 1 genügt, muß q größergleich qo sein.
25 1 7,„ (67) 4= 40o, t2 827 22— 4]
Wegen— 0 ist qo eine monoton abnehmende Funktion
0 d te
von ta.
Im Grenafall ſte= 0 ist—o= 0(reg. n-Eck). Im Falle V ist cos stets positiv und eine monoton abnehmende Funktion von— bez. von 5ſ. Die Kurve(35) verläuft im ersten und vierten Quadranten der 6-Ebene symmetrisch zur reellen Achse. Durch Spiegelung an der imaginären Achse gewinnen wir die Kurve für den zugehörigen Fall VII. Für VI artet sie in die imaginäre Achse aus. Im Einheitskreis ◻σ 1 wird die Kurve(35) auf den n-ten Teil des eingenommenen Kreissektors eingeschnürt und wieder-
holt sich n-mal.
Das Vorzeichen von(I, 8) stimmt für reelle 56— 1 5=S=I) mit dem Vorzeichen von
2 Se. 4 E* (58)— l8 1 2 e 4
5li.er- überein. Fürsternförmige Polygone(I, II, III, IX) ist wegen te= 2 die eckige Klammer positiv. In den Fällen I, II, III trägt dieser Ausdruck das Vorzeichen von s, im Falle IX das Vor- zeichen von—§.
In einem sternförmigen halbregulären 2 n-Eck mit gleichen Seiten(ohne oder mit Ecken im Unendlichen) haben alle Niveaulinien mit dem Aufpunket in der Mitte 2n Scheitel. Die Minima der Krümmung liegen auf den Strecken, die den Mittel-
52

tiven
bößer
eung
ktion
Ile V ktion lerten Purch ee für Achse
n-ten
ieder-
punkt mit den einspringenden Ecken verbinden, die Maxima auf
den Symmetralen je zwweier benachbarten eins pringenden Ecken.
Für konvexe Polygone ist(38) im Falle V für negative S negativ, für positive& zuerst(0 S= ko, wenn Eo der zu do gehörige Wert ist) positiv und dann(So=§= 1) negativ, da wir für die eckige Klammer in(38)(˙‧— To)(d— 71) schreiben können; qo hat die Bedeutung(37), qi dieselbe Bedeutung, jedoch mit der positiven Quadratwurzel. Im Falle VII vertauschen sich die Aussagen für positive und negative S.
In einem Konvexen halbregulären 2 n-Eck mit gleichen Seiten haben die Niveaulinien mit dem Auſpunkt in der Mitte zuerst(= ro) 2n und dann(ro 1 6 1) 4n Scheitel ¹³). Auf den Strecken, die den Mittelpunkt mit den stärker ausspringenden Ecken verbinden, liegen zuerst Minima und dann Maxima der Krümmung. Da aber im letzten Falle auf ein- und derselben Niveaulinie zwischen 2 aufeinanderfolgenden Maxima mindestens ein Minimum liegen muß, sind die weiteren 2n Scheitel Minima der Krümmung. Von derselben Art sind die Scheitel in den Bild-
2 ⁵ 21 2 1 2 punkten von 2*= 70&*(Fall V) bez. 2* 75*(Fall VII) für— 0, 1,..„„.— 1.
¹s) Dem Wert d entspricht der Wert ro.

Lebenslauf.
Am 6. Dezember 1909 wurde ich, dem evangelischen Be- kenntnis angehörig, als Sohn des Lehrers Jakob Knöll und seiner Ehefrau Anna geb. Weber zu Heubach im Odenwald geboren. Nach achtjährigem Besuche des Gymnasiums zu Mainz bestand ich im Frühjahr 1928 die Reifeprüfung. Ich wandte mich dem Studium der Mathematik und Physik(Hauptfächer), der Chemie(Neben- fach) und der angewandten Mathematik(Ergänzungsfach) an den Universitäten Frankfurt, Wien und Gießen zu. Im Sommersemester 1933 bestand ich die wissenschaftliche Prüfung und im Herbst 1935, nach zweijährigem Vorbereitungsdienst an hess. höheren Schulen, die Staatsprüfung für das höhere Lehramt. Seit 1. April 1936 bin ich zur Mitarbeit für die von der Göttinger Gesellschaft der Wissen- schaften veranstaltete Herausgabe der Gesammelten Werke von C. F. Gauß herangezogen. Für das Sommersemester 1937 wurde mir die außerplanmäßige Assistentenstelle am Mathematischen Seminar der Universität Gießen übertragen. Außerdem nahm ich in diesem Jahre an zwei militärischen Ausbildungslehrgängen teil.
Meine akademischen Lehrer in Mathematik waren die Pro- fessoren: Siegel, Furtwängler, H. Hahn, Menger, Engel, Falckenberg, Fromme, Geppert, Mohrmann.
Die Anregung zu vorliegender Arbeit gab Herr Professor Geppert. Es drängt mich, auch an dieser Stelle meinem verehrten Lehrer für die allzeite Hilfsbereitschaft und wertvollen Ratschläge bei der Abfassung dieser Arbeit sowie überhaupt für die Bemühungen um meine mathematische Aus- und Weiterbildung aufrichtigst zu danken.
Die Dissertation wurde am 18. Juni 1936 durch die Philo- sophische Fakultät II. Abteilung der Universität Gießen genehmigt. Die mündliche Prüfung fand am 25. Juni 1936 statt.
Ludwig Knöll Studienassessor.
——

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Gießen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
Be. XXVIII. Heft
da Funktionentheoretischer 35 Beweis des Fünfscheibensatzes
von
Pro· ANASIASSIOS O. PAPASPIROS
aus Levadia, Griechenland
Gießen 1939
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Gießen, Bismarckstr. 16
Preis 1.50 RM

D 26
Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht
Genehmigt durch die Philosophische Fakultät, II. Abteilung
Tag der mündlichen Prüfung: 6. Juli 1938
Berichterstatter: Dr. Ullrich
Dr. Geppert

1. Einleitung. Wir gehen aus von einer Riemannschen Fläche W, die einfach zusammenhängend und offen sei. Wir untersuchen sie über mehreren punktfremden Kreisscheiben oder auch allge- meiner gestalteten einfach zusammenhängenden Gebieten, die in diesem Zusammenhang gewöhnlich als Scheiben ¹) bezeichnet werden.
Aus Annahmen über das Verzweigungsverhalten von Wüber mehreren Scheiben kann darauf geschlossen werden, daß Wbei konformer Abbildung vom Grenzkreistypus sei, d. h. nur in den Ein- heitskreis abgebildet werden kann.(Ahlfors'sche Scheibensätze).
Die Beweise des Herrn Ahlfors für die allgemeinen Scheiben- sätze sind zwar methodisch sehr elegant, aber doch so tiefliegend, daß die Scheibensätze nur schwer zugänglich sind. Nur in einem einfachsten Sonderfall, dem Dreischeibensatz ²), hat Herr Xhlfors einen rein funktionentheoretischen Beweis veröffentlicht; im all- gemeinen Falle aber hat er die typischen Schlüsse der konformen Abbildung zugunsten allgemeinerer topologisch-metrischer Me- thoden aufgegeben.
Es bietet ein gewisses Interesse, jetzt, nachdem die Sätze selbst gesichert sind, die funktionentheoretischen Methoden nochmals aufzugreifen und mit ihrer Hilfe den Zugang zu den
¹) Diese Bezeichnung verdankt ihren Ursprung dem in Note 2 genannten
Satz von Ahlfors, der sich auf drei solche Kreisscheiben bezieht. Da der Aus-
druck„Dreikreisesatz“ bereits festgelegt war und sich dort auf drei Kreislinien
bezog, so wurde jener Satz als Dreischeibensatz bezeichnet. Das hat sich ein- gebürgert.
²)„Uberlagert die Fläche drei Scheiben nur mit unendlich-vielblättrigen
Plächenstücken, so ist sie grenzkreisartig“. Das ist offenbar eine sehr weit-
gehende Verallgemeinerung des Picardschen Satzes.

—
———
Scheibensätzen zu suchen. Wir übertragen hier die Ahlfors'sche
Methode vom Falle des Dreischeibensatzes auf einen anderen sehr wichtigen Grenzfall und beweisen den Fünfscheibensatz.
Fünfscheibensatz. Ist die Fläche Wüber fünf frem-— den Scheiben§r(= 1.. 5) in allen ihren Teilen verzweigt, derart daß keine dieser Scheiben von einem schlichten Blatt überdeckt wird¹), so ist die Fläche grenzkreisartig.
Diesen Satz hat Xhlfors[2, 5] mit einer kurzen Beweisskizze angegeben, den Beweis mit funktionentheoretischen Mitteln aber nicht ausgeführt. Unser Beweis folgt in einigen Punkten der Ahl- fors'schen Skizze, benutzt aber eine Reihe von Verbesserungen
die die funktionentheoretischen Methoden seitdem verschiedent- lich erfahren haben.
A. Vorbereitung des Beweises.
2. Durchgehende Annahmen für den Beweis. Dem Beweise des Fünfscheibensatzes legen wir folgende Konfiguration zugrunde:
Die fünf Scheiben Sr([¶•Oͦä= 1,... 5) mögen analytischen Rand haben. In der ganzen Arbeit setzen wir immer, wenn von einer Scheibe G die Rede ist, die folgende Uberdeckungseigenschaft voraus: Die Riemannsche Fläche WQüberlagert§ mit gewissen Flächenstücken S, die alle mindestens zwei- blättrig sind.
¹) Den Fall, daß eine noch so kleine Scheibe von W gar nicht oder im ganzen nur mit endlich vielen Blättern überdeckt würde, können wir aus- schließen; denn dann wäre die Fläche schon nach dem Liouvilleschen bzw.
Picardschen Satze grenzkreisartig.
4

eise de: and einer chaft mit
vei-
Wir verbinden nun§i mit Se mit einem einfachen stückweise analytischen Bogen Ciz usw. bis Ss mit Si durch Car; diese Bogen sollen untereinander punktfremd sein und auch mit den Scheiben, die sie verbinden, nur die Endpunkte gemein haben.
Zur Vorbereitung des Beweises werden wir Ausschnitte aus dieser Konfiguration, ihre UÜberlagerungen in der Fläche W und deren schlichte Bilder näher zu untersuchen haben. Ohne Ein- schränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, daß alle Scheiben im Endlichen liegen.
3. Schlichte Abbildung von W. Die Fläche W kann nach dem Hauptsatz der konformen Abbildung schlicht abgebildet werden in den Kreis 2= R= od; und es ist gerade unsere Auf- gabe festzustellen, ob R= 00(Grenzpunktfall) oder R= 00 (Grenzkreisfall) eintritt.
Die Abbildung erfolgt durch eine Funktion z(w), deren Um- kehrung w(z) eine in 2— KR meromorphe Funktion ist und als
Erzeugende von W benzeichnet wird.
4. Eine Scheibe. Betrachten wir nun eine Scheibe S. W überdeckt S mit gewissen Flächenstücken S, die alle mindestens zweiblättrig sind. Ihnen entsprechen in der z-— Ebene vermöge der Abbildungsfunktion 2(w) gewisse Gebiete, die wir als Scheibenbilder S bezeichnen.
Ist ein S endlich-vielblättrig, so wird sein Scheibenbild S einem Teilkreise 2=r K angehören oder, wie wir sagen wollen,„im Endlichen geschlossen sein“.
Ist dagegen ein S unendlich-vielblättrig ¹), so muß das Scheibenbild S dem Kreise 2= K beliebig nahe kommen; oder,
wie wir auch sagen werden,„ins Unendliche reichen“ ²).
5. Bogen. Neben den Scheiben betrachten wir abgeschlossene analytische Bogen C in der w-Ebene, ihre Uberdeckungen C in
¹) Das ist insbesondere der Fall, wenn W eine nicht fortsetzbare Fläche ist und das betrachtete S eine Randstelle der Fläche enthält. Vgl. 9. ²) Für endliches R im Sinne der hyperbolischen Geometrie.

—
der Fläche W und deren Bilder C in der 2-Ebene. Für diese C gilt entsprechendes wie bei Scheiben: Sie gehören einem Kreise 2= Ir= Kan, wenn C engdlich-vielblättrig ist und aus lauter flächeninneren Punkten besteht, reichen aber ins Unendliche, wenn
Cunendlich-vielblättrig ist oder in eine Randstelle von W mündet.
6. Zwei Scheiben.„Hantel“ Bia,„Bäume“ Bie. Wir behan- deln jetzt die Figur Bia, welche aus zwei Scheiben Si und Se und einem Bogen Ciz besteht, der diese verbindet; und wir unter- suchen die UÜberdeckungen Bis dieser Figur in der Fläche W: Unter der Annahme, daß Si und Se nur mindestens zweiblättrige Uberdeckungen in W besitzen, wird jedes Biz notwendig unend- lich-vielblättrig sein, oder in Randstellen über Ciz münden: auf jeden Fall wird sein 2-Bild Bie„ins Unendliche reichen“.
In der Tat: jedes Si(i= 1,2) wird wegen unserer Annahmen, daß alle Snur mit mindestens zweiblättrigen Flächenstücken von W überlagert seien, notwendig an mindestens zwei Bogenbilder Ciz anstoßen, die zu neuen Scheibenbildern S,(= 2,1) führen; für diese gilt aber dasselbe usw. Es hängen also stets unendlich- viele Si. Se in jedem Bis zusammen, es sei denn, daß einer der
folgenden Fälle eintritt:
a) Die stetige Fortsetzung wird durch eine Randstelle der Fläche gehemmt, welche in einem Ciz auftritt. Dann muß aber das Bogenbild Cis oder das Scheibenbild, wenn die Randstelle über einem Treffpunkt von S mit O liegt, ins Unendliche reichen.
b) Bie enthält eine geschlossene Figur, abwechselnd aus je p Scheibenbildern Si, Se und Bogenbildern Ciz. Dieser Fall kann nicht eintreten. Wir behaupten: Biz hat baumartige Struktur: Denken wir die Scheibenbilder stetig auf Punkte zu- sammengezogen, so lassen sich je zwei Punkte eines so abgeän- derten Bie auf eine und nur eine Weise verbinden, wenn die Verbindungskurve ganz dem abgeänderten Bie angehören soll. Der Beweis gelingt mit Hilfe des Argumentprinzips; wir schicken ihm folgende Erklärung voraus:
6
alsc
ang

ſliese C
kreise
lauter wenn
ündet.
Pehan- be und unter- e W: lättrige unend-
Pn: auf
lahmen, en von bilder
ühren;
adlich-
ner der
lle der ber das e über n. aus je r Fall artige te 20l- ggeän- in die soll.
sicken
7. G(E, Bi2²). Wir betrachten ein bestimmtes unter den Bis, es heiße B u². Es läßt gewisse Punkte der z2-Ebene unbedeckt; ² sei ein solcher. Dann bezeichnen wir das größte Gebiet der 2-Ebene, welches E aber keinen Punkt von Bu enthält, mit G(, B 1²).
Die obige Behauptung ist nun gleichbedeutend mit: alle G(, Bu) reichen ins Unendliche.
8. Nachweis der Baumstruktur von Bis. In der Tat: gehörte eines von ihnen z. B. G= G(w., B⸗n*) ganz einem Kreise 2— r= Kan, so enthielte sein Rand, der ja ganz aus Scheibenbildern Si, Se und Bogenbildern Cis besteht, nur endlich-viele solche Bausteine, und zwar je p'(p'= o) Si und Se und 2% Ci:. ISt dann e ein beliebiger zu Biz fremder Punkt der w-Ebene, so wird arg(w-e) bei einem Umlauf um den Rand von Bis, wie er einem vollen Umlauf um G' entspricht, w= 0d offenbar p'-mal um- laufen, ehe wir zum Ausgangspunkt zurückkommen, d. h.
1 2 7 oder n(r., 0)= n(⸗.)= o also wird jeder Wert(fremd zu Bi?) von der erzeugenden Funktion w() in G' genau gleich oft, nämlich p'-mal, angenommen.
Jetzt betrachten wir neben Bie eine entsprechende zweite Figur Baa, die fremd zu Biz ist, aus zwei Scheiben Sa, S und einem analytischen Verbindungsbogen Csa besteht, und benutzen die Annahme unseres Fünfscheibensatzes, daß auch Sa, Su von W nur mit mindestens zweiblättrigen Flächenstücken überdeckt werden. Dann muß es in G' mindestens ein Bild B“½α geben; dieses B“¶ kann G' nicht verlassen, weil es zum Rande fremd
ist; es kann der Fall a) nicht eintreten. B“ enthält höchstens je
d arg(w-)= O= n(r,)— n(r, 0),
2=5 Scheibenbilder Ss, Sr ¹). Es muß also ein Teilgebiet
G”= G(E, B“34)(G’geben, dessen ganzer Rand zu Bs gehört
¹) In ihnen wird ja jeder Wert w von§,(K= 3,4) mindestens zweimal
angenommen.

—
und für das der obige Schluß mit einem p' 5 wiederholt werden kann: In G’ müßte nun wieder jeder Wert w von Biz genau p- mal angenommen werden usw. In endlich vielen Schritten erbhält
7
man notwendig einen Widerspruch, weil poy nach seiner Bedeu-
tung zwar ganz und— o sein muß, andererseits aber= das wird schließlich kleiner als 1. Wir haben damit die Behauptung von Seite 8/9 bewiesen: Jedes Biz ist von baumartiger Struktur,
kurz: ein(topologischer) Baum und alle von ihm berandeten
Teilgebiete G(, Bi) der 2-Ebene reichen ins Unendliche. 9. Ketten. Es sei ein solches Gebiet G= G(, Bi) heraus-
gegriffen; auf seinem Rande— der ganz zu Biz gehört— wählen wir einen beliebigen festen Punkt o und durchlaufen von ihm aus den Rand in einer Richtung— entweder so, daß G zur Linken liegt oder so, daß G zur Rechten liegt. Jedes dieser beiden Rand- stücke nennen wir eine Kette Kiz.
Umgekehrt: durch Angabe einer Kette Kuz in Bie ist ein- deutig ein Gebiet G(, Bie)= Gue bestimmt.
Eig. 2.
10. Drei Scheiben. Endlich untersuchen wir die Verhältnisse, die sich einstellen, wenn wir drei benachbarte Scheiben und ihre beiden Verbindungsbogen zusammenfassen, z. B. Si, Cizs, Ss, s, Sa; diese Figur bezeichnen wir mit Bizs. Wir greifen eine UÜberlagerung S der Scheibe Se heraus und verfolgen von ihrem 2-Bild S'e aus den Baum Buz sowie den Baum B s. Von jedem Scheibenbild, auf das wir bei stetiger Fortsetzung der Figur in z Kstoßen, gehen weitere Bäume Bis, Bes aus; die ganze Figur, die sich so ergibt, bezeichnen wir mit Bizs. Auch diese Figur ist(im gleichen Sinne wie vorher S. 8/9) ein Baum; d. h. zwei
Ketten Kiz und Kas, die von demselben Punkt auf dem Rande von
8
e
1 1

erden u p= erhält edeu-
I das
ptung ſiktur,
deten
Lraus- ählen m aus inken Rand-
t ein-
nisse, 1 und 2, S?, eine hrem edem uT in igur, igur zwei
2 von
S’e ausgehen und ein Gebiet beranden, in das Biss nicht mehr eindringt, treffen sich kein zweites Mal, und jenes Gebiet reicht ins Unendliche.
Der Beweis ist dem obigen ganz ähnlich: angenommen, es gäbe einen zweiten Treffpunkt im Endlichen der 2-Ebene, so gäbe es noch ein zweites, beiden Ketten gemeinsames Scheibenbild S“s und die ganze Figur gehörte wieder einem Kreise 2- Kan,; sie bestünde aus einer Anzahl p o von Scheibenbildern So, einer Anzahl—o von Bildern Ss und einer Anzahl p-qo von Scheibenbildern Si; und sie berandete ein endliches Gebiet G.
Einem vollen Umlauf um G entspricht in der Projektion in der w-Ebene ein p-facher Umlauf um 3o, ehe wir zum Ausgangs- punkt zurückkommen, und daher wird nach dem Argumentprinzip wie oben jeder Wert o, der zu Bizs fremd ist, in G genau p-mal angenommen.
Insbesondere gilt das z. B. für die Werte der Scheibe S; es gibt also in G mindestens ein Scheibenbild Sa, und wir verfolgen von ihm aus den zugehörigen Baum Baa. Andererseits kann G
höchstens 2=5 Scheibenbilder enthalten ¹); jener Baum müßte
also entweder eine in G geschlossene Figur bilden(was wegen der Baumstruktur unmöglich ist), oder er muß G verlassen: Das kann nur geschehen unter Kreuzung mit Biss in gewissen Scheiben- bildern Ss. Damit haben wir grundsätzlich dieselbe geschlossene
Konfiguration wieder, nur in Besa und mit einer kleineren Zahl
5= 5 wie früher ergibt sich jetzt ein Widerspruch.
11. Ursprungsnächste Scheibenbilder. Hat man die Abbil- dungsfunktion z(w) unserer Riemannschen Fläche W bzw. ihre Erzeugende w(z) irgendwie normiert, z. B. durch w(2)= 2+.. so kann man nach dem kleinsten Kreis um 2z= fragen, in welchen mindestens ein Bild der Scheibe eindringt. An Hand des Cauchy-
schen Koeffizientensatzes zeigt man leicht, vgl.[5] S. 7, daß man
¹) Siehe Fußnote 1, Seite 9.

für den Radius py dieses Kreises folgende geometrische Deutung
gewinnen kann: Uber der w-Ebene errichten wir jene Riemannsche Kugel vom Durchmesser l, die die w-Ebene im Ursprung berührt. Die Scheibe Sy wird stereographisch auf sie projiziert, worauf die größte Kugelhaube bestimmt wird, welche sich in ihrem Kugel- bilde einschreiben läßt; durch Drehung der Kugel werde der Haubenmittelpunkt in den Nordpol gebracht und die Haube durch stereographische Projektion in die Ebene zurlckgeworfen; ihr Bild ist ein Kreis vom Radius pr.
Haben wir mehrere(fünf) Scheiben, so bestimmen wir alle zugehörigen Radien pr und bezeichnen den größten von ihnen mit
ro. In den Kreis 2= ro dringen dann Bilder aller Scheiben ein.
B. Hauptteil des Beweises.
12. Gebiete Q zwischen fremden Ketten. Nunmehr können wir in den Hauptteil unseres Beweises eintreten. Wir wählen in 2z Tro ein beliebiges Scheibenbild Su und verfolgen eine von ihm ausgehende Kette Ku; sie trifft den Kreis ke: 2= ro ein letztes Mal und von diesem Schnittpunkt Puz aus verfolgen wir ko in derjenigen Richtung, welche von Puz aus ins Innere des von Kus berandeten Gebietes Gus weist(vgl. S. 10), und zwar so weit, bis wir zum ersten Mal auf eine zu 1, 2 fremde Kette stoßen, z. B. K½4, die von diesem Treffpunkt P'aa an ganz außerhalb von ko verläuft.
Nunmehr betrachten wir den Durchschnitt Q9’ der folgenden
Gebiete: 1. des Außeren des Kreises ko: ro= 2z K
2. des von K“ue berandeten Gebietes Guν 3. des von K’ berandeten Gebietes G’³⁴.
Da nach unserer Konstruktion von ro(siehe S. 12) mindestens fünf verschiedene Ketten den Kreis ko verlassen, muß es auf mehrere Arten möglich sein, das obige Verfahren durchzuführen. Der Rand unseres Gebietes O“’ besteht dann aus den von Puz und von P'³4
10
=2——

orfen;
ir alle en mit
n ein.
önnen len in e von ro ein en wir es von Hweit, ,z. B.
von
enden
ins Unendliche verlaufenden Ketten K“, K'aa und außerdem aus dem Kreisbogen: Pus P’34, den wir inneren Rand nennen wollen, von dem aber unter Umständen noch gewisse Teilbogen durch Stücke der obigen Ketten zu ersetzen sind(Fig. 5).
13. Winkelsumme, 0(r). Für ein solches Gebiet betrachten wir alle Kreisbogen, die es in einem Kreise 2=(ro=r= R) gemein hat; ihre Gesamtlänge heiße r 6(r), so daß 6“%(r) die Summe aller Winkel ist, unter denen die gemeinsamen Bogen von
2= O aus erscheinen.
14. Beweisgedanke. Verzerrungsintegral von Ahlfors. Der Beweis des Fünfscheibensatzes beruht wesentlich auf dem Nach- weis und der folgerichtigen Ausnutzung der Tatsache, daß in einem Gebiet 9’ die Werte einer jeden Scheibe angenommen werden müssen, welche zu dem Wertevorrat auf dem Rande (Bi, Baa im obigen Falle) fremd ist; besonders gilt das von der Scheibe Ss. Diese Tatsache gestattet eine quantitative Er- fassung durch einen Integralverzerrungssatz, den auch Herr Ahlfors lö]l beim Beweise seines Dreischeibensatzes benutzt hat; wir formulieren die Annahmen in geringer Abänderung gegen Ahlfors, ohne daß dadurch der Beweis im geringsten berührt würde: Der Satz bezieht sich auf ein Gebiet, das von O9o durch einen Kreis ki: 2z= ri(ro= ri= R) abgeschnitten wird: Es wird berandet von o und den Stücken der Ketten K’12, K/34 von Ps, P'a bis zu den ersten Schnittpunkten mit ki: 2z= ri und außerdem vielleicht noch von kleinen Stücken der Ketten, die wie
oben(Fig. 3) auf den Bogen— und aufsitzen. 11

——
Es sei dann w(z) eine auf diesem Gebiet(d. h. einschließlich des Randes) meromorphe Funktion mit den folgenden Wertevor-
ratseigenschaften(wie sie sich aus unserem Verfahren ergeben): Auf den beiden Kettenbogen, die k, und ki verbinden, gehört sein Wertevorrat zu punktfremden Punktmengen Bis, Baa; auf dem kleinen Kettenbogen, die auf νο,— aufsitzen, beliebig zu einer dieser Mengen.
Es sei ferner Ss eine fünfte, zu Bia, Ba fremde Scheibe.
15. Satz von Ahlfors. Dann gibt es eine nur von der Konfi- guration Biz, Ba*, Ss abhängige Konstante Ks derart, daß u(z) in O’(ri) notwendig Werte von Ss annehmen muß, sobald das
Verzerrungsintegral .T1
I„ 19*,(r)— K 18t.
0
Da 6(r)= 2n ist, wird das Integral größer oder gleich 2. log 21
also sicher schließlich größer oder gleich Ks, wenn i beliebig groß gemacht werden kann(d. h. wenn in unserem Falle der er- zeugenden Funktion w(z) der Grenzpunktfall für die Fläche W vorliegt.)
Xhlfors formuliert und beweist(siehe[5]) diesen Satz für den Fall, daß Biz Baa durch Scheiben ersetzt werden(bei uns sind es „Hanteln“); der Beweis bleibt auch in unserem Falle gültig; wir
verzichten darauf, ihn hier zu wiederholen.
16. Untere Abschätzung des Verzerrungsintegrals I. Jetzt greifen wir auf das Verfahren Nr. 12 zurück und wählen zwei verschiedene Gebiete Oo und Q9“o, deren Ränder durch je zwei fremde benachbarte Ketten bestimmt sind; z. B.
Qo K, Ka⸗
O* KN, Kr,,. Um den Ahlfors'schen Integralverzerrungssatz anwenden zu kön- nen, wählen wir die größte unter den Konfigurationskonstanten K,..„ Ks und bezeichnen sie mit K.
12

eblich tevor- eden): rt sein k dem
einer
Konfi- (2) in
d das
1 kön-
tanten
Schneiden wir die beiden Gebiete O“, O“o mit der Kreislinie 2= r(ro=r= R), so gilt für die Winkelsummen: 0%(r)+ 6“%(r)= 2x und nach dem Satz vom arithmetischen und harmonischen NMittel: 1 1 4 2 () 0(r) G(r)— 0%(r)+ 6%(r) TX
Wir multiplizieren mit und integrieren von robisr und bekommen: r
2.1 5 dr dr 2 Gdr 2 r 1 0%(r) 5 G(r) 7 To To Vo
17. Annahme des Gegenteils. Jetzt wollen wir annehmen, unsere Fläche W erfülle zwar die Voraussetzungen des Fünf- scheibensatzes, sei aber gleichwohl grenzpunktartig.
Dann können wir er beliebig groß wählen und ihm ins-
besondere einen solchen Wert p geben, daß 2 log 6= 4 K wird,
0
2 XT d. h.= ro e So haben wir:. 8 61— 76⸗(1) 4 6,G) 4 ro vo
Also wird wenigstens eines von den zwei Integralen links größer sein als 2 K.
Es sei Qo das entsprechende Gebiet, qæ sein innerer Rand und 6,(r) die zugehörige Winkelsumme. Oo ist begrenzt von zwei Ketten Ka,+ und K,) † 1,die fremd zueinander sind; o verbindet diese Ketten und hat keinen anderen gemeinsamen Punkt mit einer anderen Kette, die ganz innerhalb Oo verläuft, außer seinen
Endpunkten, und 60(r) genügt der Integralungleichung:
d (2) aie) She
To
15

—
—
—
18. Plan des Schlusses vonen aufen+ 1. Es wird jetzt be-
wiesen, daß man von ro und Oo aus eine Folge von unendlich
vielen wachsenden r: ro, ri,..„ Tn, mit lim ra= b und eine n+
entsprechende Folge von O: Qo, Ol,... Qn,... mit Q,) Qo† für alle» definieren kann mit den folgenden Eigenschaften:
1. Jedes Qa ist begrenzt von zwei fremden Ketten.
2. Q und Q. † haben höchstens eine gemeinsame Randkette, während die zweiten Randketten sich in wenigstens einer Scheibe unterscheiden.
3. Wenn für r.=r= p, 6,(r) die für Qa geltende Winkel- summe ist, so gilt die Integralungleichung:
.
. G) da) 2K.
Un Für ro haben wir ein Gebiet Q3o mit den genannten Eigen- schaften 1, 2, 5 schon nachgewiesen; wir führen den weiter erfor-
derlichen Nachweis als Schluß vonn aufen+ 1.
19. Durchführung des Schlusses von n aufen+† 1. Wir be-
stimmen ra+† 1= p durch die Integralgleichung: 3— (4) r 6,(r) Un Dies ist nach(3) möglich und durch(4) wird r.+ eindeutig be- stimmt. Betrachten wir jenen Kreisbogen von k.+ 1: 2z= Ta+† 1,
der die zwei Qa begrenzenden Ketten Ki. und K.† verbindet und ganz zwischen den ersten Treffpunkten P.: 1 und P.,1 dieser Ketten mit k. † liegt. Er schneidet von Qa ein Teilgebiet Q(ra+ 1) ab, das dem Kreisring ra= z rn+ 1 angehört. Dafür gilt das Xhlfors'sche Lemma und wegen(4) muß in Q9(ra+ ¹) wenigstens ein Scheibenbild fünfter Art eindringen, d. h. K i, i+† 1,, j+ 1 oder Se fremd zu Bi.:+† 1, B).+ 1, die den Werte-
vorrat von w(z) auf den zwei abgrenzenden Ketten enthalten.
14
Ta
un

digen-
erfor-
ir be-
Von diesem Sa aus erstrecken sich wenigstens zwei neue Ketten Ke. x— und Kr. x 4 ins Unendliche, die innerhalb von Qp liegen und als einziges gemeinsames Scheibenbild dieses S'x haben. Für den Kreis k.+ 1:2= r,+†1, und seinen Teilbogen q1 (B.+ 1, B.,+ 1) sind nunmehr eben dieselben Verhältnisse nach- gewiesen, wie sie früher für k,(S. 14/15) bestanden haben. Wir können daher von Ki.:+ 1, K’,) † 1 bzw. Ka. X- 1, Kx. x †‿ aus wieder mindestens zwei Gebiete O9'n+ 1, Q“n+† 1 auffinden, für welche gleiches gilt wie für Oo, nur daß der innere Rand q†1 und Q“ †1 jetzt auf ka †. liegt.
Beide Gebiete besitzen also die erste und zweite Eigenschaft
(S. 14/15); wir zeigen, daß mindestens eines von ihnen auch die
dritte Forderung erfüllt. Beispiel zu S. 16(7= 1.= 3,= 5). Die für die Konstruk- tion wesentlichen Ketten sind durch doppeltes Ausziehen hervor-
gehoben.
Eig. 4.
20. Untere Abschätzung des Verzerrungsintegrals II. In der Tat, es seien 6“ 4+.(r) und 6“+ 1(r) die Winkelsummefunktionen in Oa 1 bzw. Q'n †1. Dann ist G/5 †1(r)+ 62+ 1(r)= 6,(r)
1 4
—
3 1— und somit: 6.() 3 6(I) 6(?).
15

—
—
—
—
—
Wir integrieren in bezug aufr zwischen ra † undp und bekommen:
9 0 0
G dr dr 4 dr
19() 7„ 41(T) 16.G) I/+ 1 Un+ 1 TIn+ 1 Das Integral rechts ist gleich .„ Un 1 4 dr I. . r,(r). r 6,(r) Un Un und von diesen zwei Integralen ist das erste nach Voraussetzung größer als 2 K, das zweite nach(4) gleich K; die Summe links in (5) ist also größer als 4 K und somit ist wenigstens einer von den zwei Summanden größer als 2 K. Wir nehmen für Q. dasjenige von den Gebieten Q’+ und Q“, für welches dies eintritt, und bezeichnen mit 6„+. 1(r) die entsprechende Winkelsummefunktion; dann ist also 5 dr r 5+ 1(r) Un+ 1
—2 K.
21. Widerspruch zur Antithese. Diese Konstruktion läßt sich unendlich oft wiederholen und garantiert somit die Existenz der unendlichen Folge Qo,..., OQn,... mit den genannten Eigen- schaften 1, 2, 5 von Seite 15/16. Jedes Q, enthält als Randstück einen Bogen Q(= 0, 1,...) der Peripherie 2= bH und jedes Qyrist als Teilbogen in Q, enthalten.
Jedes Q, enthält nach unserer Konstruktion von einer Stelle an Ketten jeder der fünf Arten Kis,... Kol, die ins Unendliche führen, und der Bogen Q, muß von diesen Ketten geschnitten werden. Wegen der Einbettung Qo) Qi) Qe)..... muß es also auf z= mindestens einen Häufungspunkt h von Schnittpunkten des Kreises mit fremdartigen Ketten z. B. Ketten Kie und Ketten Kaa geben.
w(z) kann daher an der Stelle h nicht analytisch sein: Das ist ein Widerspruch gegen die Annahme, w(2) sei für alle 2= co analytisch. Damit ist der Fünfscheibensatz bewiesen.
16
2 Fassu Anna blättr mit! über Schei kann biete Kette liche
Folg ganz Kreit

nmen:
tzung nks in n den jenige t und
ktion;
öt sich nz der Ligen- stück
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ötelle dliche nitten 5 also nkten
Letten
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22. Schlußbemerkung. Der Beweis in der vorstehenden Fassung gestattet ohne Schwierigkeit die folgende Anderung der Annahme: Si, Se, Sa werden in W stets nur mit mindestens zwei- blättrigen Stücken überdeckt, eine vierte Scheibe Ga aber nur mit unendlich-vielblättrigen Stücken.
Dann wird schon jedes Scheibenbild Sa die Rolle von Bis übernehmen können: Es reicht selbst ins Unendliche; und aus den Scheiben Si, Sz, Sa, zyklisch durch Bogen Cis, Czs, Cau verbunden, kann man wie oben als 2-Bilder Bäume Bi, Bes, Bau herausgreifen.
Man kommt genau wie oben auf eine Schachtelung von Ge- bieten Oo) Qi) Oe)....„deren jedes von zwei fremdartigen Ketten Kiz, Kas, Ka, Ka berandet wird, und damit auf eine wesent- liche Singularität h im Endlichen der euklidischen Ebene.
Dieser„Vierscheibensatz“(2, 2, 2, 0) enthält eine bekannte Folgerung aus dem Satze von Bloch, daß nämlich eine von einer ganzen Transzendenten erzeugte Riemannsche Fläche schlichte Kreisscheiben von beliebiger Größe enthalte[4l.
17

—
—
+⏑—
‿
◻☛ν
Schriftenverzeichnis.
Ahlfors, Lars:
Sur une généralisation du théorème de Picard. C. R. Acad. Sc. t. 194, 1932, p. 245.
„Sur les fonctions inverses des fonctions méromorphes. C. R. Acad. Sc. t. 194,
1932, p. 1145.
Quelques propriétés des surfaces de Riemann correspondant aux fonctions
méromorphes. Bull. Soc. math. france. 60, 1952.
Uber die Kreise, die von einer Riemannschen Fläche schlicht überdeckt
werden. Comment. math. Helvet. 5, 1932.
„Sur les domaines dans lesquels une fonction méromorphe prend des valeurs
appartenant à une région donnée. Acta Soc. sci. fenn. N. s. A. t. II Nr. 2(1953).
6. Zur Theorie der Uberlagerungsflächen. Acta math. 65, 1955.
10.
.Uber die Anwendung differentialgeometrischer Methoden zur Untersuchung
von Überlagerungsflächen. Acta Soc. Sci. fenn. N. S. A. t. II. Nr. 6(1957).
Nevanlinna, Rolf:
Eindeutige analytische Funktionen. Berlin 1936.
Ullrich, Egon:
Flächenbau und Wachstumsordnung bei gebrochenen Funktionen. Jahres- ber. d. deutschen Math. Vereinigg. 46(1950).
Vorlesungen und Seminar über funktionentheoretische Forschung I. und II. Teil. Gießen, Winter 1937/58 und Sommersemester 1958.
J. land g seiner Reife Unive ein D Fach am
Prüfu
Schul
lands bis 1 Straß 1 zu die zunäãc vom bei I Hier mein, Danl von Erlös Jtelle

,p. 245 „t. 194,
nctions erdeckt
valeurs
(1953).
uchung
1925 (1957).
Jahres-
I. und
Lebenslauf.
Ich wurde am 16. Dezember 1905 zu Levadia in Griechen- land geboren als Sohn des Rechtsanwaltes Georg Papaspiros und seiner Ehefrau Sophia Mpuffi. Im Jahre 1922 erlangte ich das Reifezeugnis des Gymnasiums zu Lev, Hia und besuchte dann die Universität Athen von 1925 bis 1928; im März 1928 erlangte ich ein Diplom über die Abschlußprüfung der Universität für das Fach Mathematik und erhielt darauf eine Anstellung als Lehrer am Gymnasium zu Levadia; nachdem ich 1930 auch die zweite
Prüfung für das Lehramt bestanden hatte, wurde ich an derselben
Schule als Professor angestellt.
Auf Grund einer besonderen Prüfung wurde mir ein Aus- landsstipendium gewährt, um in Frankreich zu studieren; 1952 bis 1935 war ich zunächst an der Universität Paris, dann in Straßburg.
1935 ging ich nach Deutschland; es wurde mein Stipendium zu diesem Zwecke auf weitere zwei Jahre verlängert. Ich arbeitete zunächst in München bei Geheimrat Prof. Caratheodory, dann vom Herbst 1936 bis zum Sommer 19537 in Göttingen besonders bei Prof. Nevanlinna, und ging im Herbst 1937 nach Gießen. Hier arbeitete ich unter Leitung von Prof. E. Ullrich, der auch meine Doktorarbeit angeregt hat und dem ich zu herzlichstem Dank verpflichtet bin.
Zum Zwecke weiterer Studien in Deutschland wurde mir von der Griechischen Regierung für das letzte Jahr nach dem Erlöschen des Stipendiums Urlaub erteilt. Zur Zeit ist mir eine
Stelle an der Anagyrios Oberschule in Spetsai zugewiesen.

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& Grey Control Chart 1
Green vellow Hed White Grey! SGrey 2
Soſour
Blue Cyan
Magenta Grey 3 Grey 4 Black
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