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8. DEZ. 1981 24
1 ¹. 01 D
69. EP 2003

MITTEILUNGEN
DES
MATHEMATISCHENSEMINARS
DER
UNIVERSITAT GIESSEN
HERAUSGEGEBEN VON
F. ENGEL UND H. GEPPERT
IIl. BAND
GIESSEN
VERLAG DES MATHEMATISCHEN SEMINARS, GlESSEN, BISMARCKSTRASSE 16
Preis: RM. 16.—

XI.
XII.
XIII.
XIV. XV.
XVI.
XVII. XVIII.
XIX. XX.
INHALT DES II. BANDES.
Friedòricy Dörr. Zur Invariantentheorie Mongescher Systeme gegen- über Berührungstransformationen.
Aart Schweißgauth. Ueber partielle Differentialgleichungen erster Ordnung mit vollständigen Lösungen von besonderer Art.
Aart Zaber. Differentialgleichungen, die eine irreduzible Gruppe von Berührungstransformationen gestatten.
Reinrich Wi. Kräfte, deren Bahnkurven Kegelschnitte sind.
Withelm Nämmerer. Die trilineare alternierende homogene Form in acht Veränderlichen.
Watter Neumer. Ueber gewöhnliche Differentialgleichungen, die lineare homogene Form erhalten können.
Otto Freidank. Variationsprobleme in der nichteuklidischen Ebene.
Saut Steinbach. Pfaffsche Gleichungen als Schnittbedingungen von Kurvenscharen.
Aurt Freidank. Die Verbiegung der konisch-zylindrischen Flächen.
Fottfrieò Stratemeger. Entwicklung positiver Zahlen nach Stamm-
brüchen.

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
mit tätiger Beförderung der Giessener Hochschulgesellschaft herausgegeben von den Direktoren des Seminars XI. Heft
Zur
Iavariantentheorie Mongescher Systeme
gegenüber Berührungstransformationen
von
FRIEDRICH DRR
Giessen 1923
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16
Preis GZ. 0,80; für das Ausland 1 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer, Giessen

Inauguraldissertation der Philosophischen Fakultät II. Abt. der Universität Gießen.
Genehmigt 26. Juni 1923.

Einleitung.
Nach einem bekannten Satze von Lie stellen die(n+ 1) unabhängigen Gleichungen: (1) Qxr(zX.. Xn P 1, 3 1... Yn 1)= 0(Kk= 1... n.*+. 1) dann und nur dann eine Berührungstransformation dar, wenn die aus
1.. n*1 80 80 1(ne.- — dXI 82
n
(i= 1... n+† 1)
durch Elimination der 42 rentstehenden Gleichungen nach 3r.. En † 1 pr... pn4† 1 auflösbar sind; die Auflösbarkeit nach ZXIL... An+† l Pi..Pn+ 1 ist damit von selbst vorhanden. Fassen wir zxi... xn† 1 als Parameter auf, so definieren die Gleichungen(1) eine Schar von οnde Kurven K im Rn*2: ZXI... Nn+† 1, die einem ganz bestimmten n-gliedrigen Mongeschen System: (2) Mi(2XI... Xn. 1, dz: dxi:...: dXn †1)= 0 i= 1.. n) genügt, das aus 89 t.A1dHr (3) 9¼= 0, 82 d 2 3 8 X, durch Elimination der Parameter zxi.. xn+1 hervorgeht. Betrachten wir andrerseité ZXITS.-Xnſl als Parameteér,
GX= O,(K= L. n 1)
so definiert(1) eine andre Schar von l Kurven K im Rn 2 5 5 1 Yn G1, die wieden einem ganz bestimmten n- gliedrigen Mongeschen System:

4
(2) M. IxiTn-1; dz: dæi: dzn 4)= O0o d= 1.. 1 genügt, das aus 1 n+1 8 2 3 = 1. 1 (3) 44= 0 8. dz 3 drn 2„ 0(kKk n-* 1)
durch Elimination der Parameter 2zX... Xn+ 1 entsteht.
jedes dieser beiden Mongeschen Systeme stellt die Schnittbedingungen für die Kurvenschar dar, die dem andern Mongeschen System genügt.
Ist: (4) z= zExp), I.= L(7Xp), pr= pr(2Xp)(kK=.„ †1) die Auflösung der aus(1) durch Elimination der Au ent- stehenden Gleichungen nach zæp, so stellt(4) die durch(1) bestimmte Berührungstransformation dar. Die Gleichungen: (5) 3= 3(2 Xp), Th= vL(2 XPp)(K= 1...,n+† 1), in denen zx als Parameter aufzufassen sind, definieren dann eine Schar von n Vereinen von je ntl Elemen- ten und stellen gerade die Kurvenschar K dar. Bei der Berührungstransformation(4) geht diese in die Schar aller Hunkte über. Bezeichnen wir die Substitution(4) durch „I]“, so wird:
[Ls]= O(k= 1... n †. 1),
und die Gleichungen: 1... n*1
842 ½ V d Aw 52 dz 2. d, dXv= O(K= 1... n+ 1) „—
sind ein(n+. 1)-gliedriges Pfaffsches System in den(2n+ 3) Veränderlichen 2Xp. Da sich die α aus(1) eliminieren lassen, so können wir sie auch als Funktionen von zX, zx So bestimmen, daß sie die letzten 2(n+. 1) Gleichungen von (10 befriedigen. Dann wird:
V 1... n+†— 1.. u+ — ſde 5 2[Akx] Ak— ◻‿[Ak] 5 V 8(d2— D d Xp)
v„—„
Das Pfaffsche System 4— O enthält also die allgemeine Pfaffsche Gleichung:
die bleit
d0
Ooder

e
eine
1.u b=dz- p dx.=0.
2 die bei allen Berührungstransformationen des Rna invariant bleibt. Aus[Qx]l= 0 folgt nun:
dH 1.ArIdo. ſ
Hale= de dl k d2 d.†— d X„* 8 3 3 4. 89. + 2 d dr,= 0 oder eo. (6) Ak=(dZ.- 4 dxo „ dX, (K= I... n+ 1) 1...n*+ 1 =e.; esan 87 7 83 dr, 0
Diese Identitäten sagen aber aus, daß das(n+. 2)-gliedrige unbeschränkt integrable Pfaffsche System: (7) dz(ZXp) 0, drk(7æ XPp)= O0o(K= 1.. n* 1), das wieder die Schar K definiert, gerade(n+ 1) voneinander unabhängige Pfaffsche Gleichungen enthält, die von den Differentialen dp frei sind, nämlich die Gleichungen 4= 0. Unter ihnen befindet sich, wie wir eben gesehen haben, die allgemeine Pfaffsche Gleichung D= 0.
Ganz Entsprechendes gilt nun auch für die Kurvenschar K. st: (40 2= Zz(zxp). Xxk XI(zrp), Pk= pr(zxp)(kK=l.. n*1) die Auflösung der aus(10 durch Elimination der rent- stehenden Gleichungen nach zZXp, so stellt(40 die 20l(4) inverse Berührungstransformation dar. Die Gileichungen:
(5) 2= 2 XxK k(kK.. en 1), in denen nun 2x als Parameter aufzufassen sind, definieren dann ebenfalls eine Schar von ents Vereinen von je on!
Elementen und stellen gerade die Kurvenschar K dar. Deuten wir die Substitution(4) durch„l)]“ an, so Wird:

(K=I... n+* 1)
1.. n+1 d92¼ 8 89ο— dn 3(SL dv-
Diese Identitäten sagen wieder aus, daß das(n+ 2)- gliedrige unbeschränkt integrable Pfaffsche System: (70 dz axp)= 0, dXx(axp)= 0(K= I... n*. 1), das ebenfalls die Kurvenschar K definiert, gerade(n+. 1) voneinander unabhängige Pfaffschen Gleichungen enthält, die von den Differentialen dp frei sind, nämlich die Gleichungen Vx= 0. Unter diesen befindet sich die allgemeine Pfaffsche Gleichung:
1.vh.l D= dz- Y pvodro=c. 2
Nun gelten aber die folgenden ldentitäten: 80 1— besesf 131= 3, V 5 d2 1 d3 I dz l d2 dz vermöge deren:
(4M VE,[VxI== Ar(k= 1.. n. † 1)
wird. Damit ist bewiesen, daß jedes der beiden(n+. 1)- gliedrigen Pfaffschen Systeme(6) bzw.(60) bei Ausführung der durch(1) bestimmten Berührungstransformation in das andere übergeht.
„[zl= 2z usw.,
Offenbar besteht zwischen den n-gliedrigen Mongeschen Systemen(2) bzw.(2) und den(n+ 1)-gliedrigen Pfaffschen Systemen(6) bzw.(6) ein wichtiger Zusammenhang. Es wird sich zeigen, daß dieser Zusammenhang, der im Kapitel l aufgedeckt werden soll, es uns ermöglicht, eine Invarianten- theorie von n-gliedrigen Mongeschen Systemen gegenüber allen Berührungstransformationen des Rn* aufzustellen.
Zunächet noch ein paar Bemerkungen zur Invarianten- theorie der Pfatfschen Systeme.
1 G tesi woll
setzt gege seine
alls, Lur P Syste Wir
„die! lt die il „ihm
lebig
Wora
8
belieb 68)
Wo
geset

—
—
1..„n Ist 4= 2 adXi ein beliebiger Pfaffscher Ausdruck
n den Veränderlichen XI... Xn und Rf eine beliebige infini- tesimale Transformation in denselben Veränderlichen, so wollen wir:
1.. n *= Z7.!fX 2 a X X,— 4, ſ)
setzen und deuten damit schon an, daß das neue Symbol gegenüber allen Punkttransformationen des Raumes XI... XI seine Gestalt behält. Insbesondere sagt die ldentität: 84, f.= O
aus, daß die lineare partielle Differentialgleichung Xf= O0 dem zur Pfaffschen Gleichung 4= 0 kovarianten(n— 1)-gliedrigen System von linearen partiellen Differentialgleichungen angehört. Wir wollen in diesem Falle kurz sagen, daß die inf. Trf.+f „die Pfaffsche Gl. 4= 0 befriedigt“ oder auch„ihr angehört“. lst LAx, Xfy= O(K= 1... m), so werden wir sagen, daß die inf. Trf. f„das m-gl. Pf. S. 4x¼= 0 befriedigt“ oder „ihm angehört“.
Sind Rf und Yf zwei beliebige inf. Trf. und 4 ein be- liebiger Pf. A., So Wird:
1..n -X4, Bf)= ·(Aa VX A. YXX0
X4, Df)=(ka N.+ a. X YX),
woraus wir durch Subtraktion den Satz finden:
Sind RXf und Yf zwei beliebige inf. Trf. und ist 4 ein beliebiger Pf. A., so gilt immer die Identität: 68)(XA, Yf)= 4,(Ne)) †X 4. Yf), WO
Yf— AYf=(YA)
gesetzt ist.

Kapitel l. S. vo
Das nogliedrige Mongesche System und das zugehörige 19, („+† U-gliedrige Pfaffsche System. e (13)
In diesem Kapitel wollen wir zeigen, daß zwischen der Gesamtheit aller n-gl. M. S. im Rn2 einerseits und der auch Gesamtheit aller gewissen Bedingungen genügenden(n+ 1)-gl.
Pf. S. im Ran-“e 3 andrerseits ein eindeutig umkehrbares Ent-
sprechen stattfindet. lch schlage hierzu einen Weg ein, den
mir Herr Professor Engel angegeben hat und der darin be-(14) steht, daß wir ein n-gl. M. S. im Rn †2: 2XI... Xn †l auch und e als ein System von Diff.-Gl. für die Vereine von Elementen in ein zXp des Rn-2 auffassen können. Durch Hinzufügung der tiation allg. Pf. Gl. D= O gelangen wir nämlich zu einem(n+†. 1)-gl: Pf. S., das gewissen Bedingungen genügt und das M. S. in den Lieschen Elementkoordinaten darstellt. Der Vorteil dieser Methode für unsern Zweck besteht darin, daß Wir an Stelle des n-gl. M. S. selbst das äquivalente(n+ 1)-gl. Pf. S. untersuchen können, das bei Ausführung einer Btrf. wieder in ein(n+† 1)-gl. Pf. S. übergeht, während das M. S. nicht durch jede Btrf. wieder in ein M. S. übergeführt wird.
Wir denken uns also im Rn: ZXp ein System von n unabh. M. Gl. vorgelegt:
(9) FI(EXX. IAZ X1.. Xn)= O(1= 1... n) wobei die Akzente die Ableitungen nach der unabh. Ver. x bezeichnen, und fügen die allg. Pf. Gl.:
1 n D= dz— pdXx- 2 Pk dXL= O
hinzu. Die Bedingung der vereinigten Lage:(15) 1..n 2'— p— 2 D. r= 0

rige
der der -Cl. Ent. den be- auch enten
der )-gl: S. in orteil
Wit 1)-gl. Btrf. M. S. wird.
VOn
Ver.
ist dann eine von den Gl.(o) unabh. Beziehung, sodaß wir das vereinigte S. der Gl.(0) und(10) nach den(n+ 1) Größen 2 XI... Xn sicher auflösen können, etwa in der Form: (11) 2'= d(zXP), XX= x(2Xp)(K= 1...n).
Wir erhalten so in den(27+. 3) Ver. 2 Xp das folgende S. von(n+ 1) unabh. Pf. Gl.:
(12) 4== dz— ͥdXx= 0, 4= dXX— x dXx=(k=éI. n), das wegen:
1..n (13). D= 2 p 0=0
k
auch die allg. Pf. Gl. D= O enthält, denn es ist: 1...I D=4= 2 p4.=. k Außer(13) gelten noch die weiteren Identitäten: (14)(EXX.Xn G.1.)= 0(i= 1.... n) und ebenso, wWenn wir die Substitution(11) durch Einschließen in eine eckige Kklammer andeuten, die durch partielle Differen- tiation von(13) und(14) nach ppi... pa Lewonnenen:
1... n d. 8 da t de zu 1.. n d 8 da db. 2 pe dp dP Wen der de. 9.. 1.1 dI1 da ⁸ 811 u l e ſaia de Fo d d2x— 2 dp. e dX dp
Aus ihnen lassen sich leicht die folgenden n(n+ 1) Identi- täten linear ableiten:
(e,s= 1... m) (15) dFi leenſedkrſ a
in denen:

S= 1 11)
es= dp⸗ 5 4„ dp; 98 dop. J dp zu setzen ist. Erteilen wir dem s einen bestimmten Zahlen- wert, so stellt uns(15) jeweils ein in bezug auf die(n*ℳ1) Größen Gs, 0(K, S= 1... n) lin. und hom. S. von(n+. 1) Gl. dar, dessen Koeffizientendeterminante— die Funktionaldeter- minante des vereinigten S.(O) und(10) in bezug auf z'X1... Xn — auch nach der Substitution(11) nicht id. verschwindet. Daraus folgt aber, daß die Größen., ouo sämtlich id. Ver- schwinden müssen. Statt dessen können wir auch sagen:
Die Funktionen α... an Sind sämtlich Lösungen des
n-gl. SIpD.: 5 df df
(16) Hfe Sp. 5 0(S= 1.N),
Woraus wiederum: (21422)= O(i, K= 1... n) folgt. Die Gl.(16) bilden also ein n-gl. vollst. S. in den (2 2 † 3) Ver. zxp und haben als solches gerade(nℳ†. 3) unabh. Lösungen, etwa: (17) 2XXI.Xn, 6(2XXI... AnPDi..Pn), wo p=E= O sein muß. Dann müssen alle Lösungen, insbes. aαν.. æn Funktionen der(n-† 3) Größen(17) allein sein, also: (18) α‿ηα 2 UxXI... XG), axl= Hx(XXI... XnG)(K=I... n). Die eben aufgestellten Bedingungen sind jedenfalls zur Aquivalenz der Systeme(12) und(O) notwendig. Sie sind aber auch hinreichend, wie wir nunmehr zeigen wollen. Wir behaupten, daß jedem Pf. S. von der Form: (120 D= 0, 4= dx— aFddx- O d= 1. u), wWofern nur die Funktionen α.... an sämtlich Lösungen des vollst. S.(16) sind, ein M. S. von der Form(0) entspricht. In der Tat, setzen wir:
1 p
so ist auch a eine Lösung von(16) und das Pf. S.(12)) enthält die Gl.:
.n Pr-x= a,
bA.
1.n 4=0 2 D 4.= dz— adX= 0.
W die Grẽ
können frei Sel
Zunäc
(n-l) (10)
ernält, der B gesete S1I.
(16)
inv. h die di
(20)

1 Sagen: Len des
9,
in den ) unabh.
„ insbes. in, also: 1. W. falls Zur Sie Sind
Wollen.
D),
gen des tspricht.
§.(12)
Wählen wir als Basis aller Lösungen von(16) wieder die Größen(17), so gelten die ld.(18). Wegen
da 1-—.n da
können nun die Funktionen a, r... æn nicht sämtlich von frei sein, sodaß wir durch Elimination von aus den Gl.: 2= A(zXXI.. Nn 69), Xk= ax(2XXI.. Xn 0)(KkK= 1.. n) tatsächlich das gesuchte M. S. von der Form(0) erhalten.
Da die inf. Trf. des vollst. S.(16) nur die Ableitungen fp, fpi.. fon enthalten, So befr. sie sämtlich das Pf. S.(12). Wichtiger für uns ist, daß sie es auch inv. lassen, und zwar wird sogar:
2.4= 0, 42 41= 0(. S= 1... II). Setzen wir für 4 seinen Wert ein, so ergibt sich: 92D= 44= 1... n!).
Wir behaupten jetzt, daß jedem S. von(n†. 1) unabh. Pf. Gl. in den(2/ 3) Ver. zXxp, das die allg. Pf. Gl. D= 0 enthält, von den Diff. dp dpr... dpa frei ist und bei einer ihm angehörenden n-gl. SiT. inv. bleibt, ein n-gl. M. S. im Rn* entspricht.
Mit Hilfe der allg. Pf. Gl. D= O können wir nämlich zunächst aus den übrigen n Pf. Gl. dz eliminieren, Sodaß das (n+ ¹)-gl. Pf. S. die Form:
1...n.l (1⁰) D= O. 44= I eddx= O(i= 1.. n) erhält, wo die an¹ Funktionen der(27 † 3) Ver. 2Zxp sind und der Bequemlichkeit wegen wie früher X= Xnl, P= pn gesetzt ist.
Dieses S. soll nun noch bei einer n-gl. ihm angehörenden Si L.
(160 f(S= 1. n) inv. bleiben. Wir betrachten zunächst die(2n †+ 2)-gl. Si T., die die allg. Pf. Gl. D= O befr., Sie hat die Form:
df df 1„

— 12—
wo die Funktionen QXx,, Qpo beliebig wählbar sind, und ist charakterisiert durch die Id.:
1... n*1 92— 2 Px 2Xx, mit Hilfe deren 1. n+ 1 (21) 2D=— 2(CQpr dxx— LXx dpa)
wird. Da der Ausdruck rechts von da frei ist, gilt der bekannte Satz, daß außer der id. Trf. keine inf. Trf. der Schar(20) die allgemeine Pf. Gl. D= O inv. läßt.
Die von uns gesuchte n-gl. SiT. muß nun in(20) ent- halten sein und ist dadurch bestimmt, daß sie noch das S. (19) inv. läßt. Soll aber die inf. Trf. Qf dieser Bedingung genügen, so muß zunächst:
25 2 2 d
sein. Wählen wir als Basis der gesuchten n-gl. Schar die n unabh. inf. Trf.(16), So sind die n Gl.:
42 D= 0(s=.. W ebenfalls voneinander unabh.. Sie müssen also die n(II.:
44=O(K= 1.. n) nach sich ziehen, und das kommt darauf hinaus, daß wir die Basis(160 so auswählen können, daß
425)= 4.(s= 1...n)
wird. Es ist also:
1... n-1 (16⁰ Q ie a df(S= 1.. m. 74, Das System(10) kann jetzt so dargestellt werden: (190 D= 0, 2.0= 0(S= 1. n),
und darin liegt zugleich, daß es bei keiner weiteren ihm angehörenden inf. Trf. Qf. die aus den„o, f nicht linear ab-—
leitbar ist, inv. bleiben kann, denn sonst müßte es auch die Gl. 20= 0 enthalten, was unmöglich ist. Die Gl.(160
bilden also ein n-gl. vollst. S. in den(2n+ 3) Ver. zXxp, das gerade(n-. 3) unabh. Lösungen besitzt, etwa:
17) 2 wo die p nicht Säm. (160)
sind dahes (19) känn
(194)
1st n
(19) D= und(16) (160)
Dann
und da di (22)
sein. Dar dingungen Ra re äqu. als(12), ausschlien, Statt nutzen:

dind, und
(20) ent. h das S. edingung
char die
e n Gl.:
daß wir
werden:
ren ihm gear ab- uch die
I.(16)
p, das
(17) 2.. XnI. G(2XI... Xn. 1 Pt... Pn. 1), wo die part. Ableitungen: p(S= 1... n+. 1) nicht sämtlich id. verschwinden. Die Gl.: „— df df (16) 42= 5op dp.. yrdy.
sind daher nichts acberes als das 1 Vollst. S.(160, und (19) kann jetzt in der Form geschrieben werden:
(190) D= O, Am=— D= 0 Pid Xxx — GPe dx= 0(i k= 1... n.-*).
Ist nun etwa.== 0, so läßt sich(10) so schreiben:
= O0O(„k=I.. n† 1)
cp. (1909) D= O0, 4¼= dX 0b 1== O(K=I. i 1, i 1.. n1)
und(16) in der Form:
df GPs d 165 43 1=—=.-1, 11...n † 1). (1609 k= dp. p, dp,(s=1. i-*l, i† 1... n† ¹) Dann wird: OP 9 44= Q.„ dX, 8 K ² Gp. 1 und da die inf. Trf. La f das S.(19) inv. lassen sollen, muß GPx (22) 424—=O(k, s=1... n. 1) „p,
sein. Damit ist aber gezeigt, daß das S.(19⁰) den Be- dingungen des S.(12) genügt, also mit einem n-gl. M. S. im RnA äqu. ist. Nun ist das Pf. S.(10) sicher allgemeiner als(12), da(19) auch die Pf. Gl. dXn4+1= dX= 0 nicht ausschließt.
Statt der ld.(22) können wir auch die folgenden be- nutzen:
Pi Q2is Px= GPx L2 Gp.,
die ganz allg. für i, k, l. 8= 1.. gelten. Hieraus folgt insb. für 1= k, S-= i die ld.:
(22 2. 0 wp. LPe(i, kK=1 n*¹) Pi Pk= Di px Px p„...,

die auch allg. gilt, wenn wir verabreden, daß für Gpi= 0
GPipi. auch 2ec(= 1... n+ 1) gesetzt wird.
1 Da sich aus(22)) wieder die Id.(22) ergeben, die ihrer-
seits die notwendige und hinreichende Bedingung dafür dar- stellen, daß(19⁰) bei einer n-gl. ihm angehörenden Si T. inv. bleibt, So gilt:
Satz 1: Mit jedem S. von n unabh. M. Gl. im Rn-.: 2X
jst Vermöge der allg. Pf. Gl. D= O ein S. Von(n-*+ 1) unabh. Pf. Gl. in den(2n+ 3) Ver. zxp äqu., das die allg. Pf. Gl. D= O enthält, von den Diff. dp frei ist und bei einer ihm angehörenden n-gl. Si T. inv. bleibt.
Jedes diesen Bedingungen entsprechende Pf. S. kann in der Form: (19⁰% D= O, Ak= GpPdX— GprdX= O(iK= 1.. n* ¹) geschrieben werden, wo die Funktion die beiden folgenden Eigenschaften hat: 1) Es dürfen nicht sämtliche parft. Ab- leitungen p, id. verschwinden. 2) Es muß: (220 2pe= aD 2,t eü—
1
(ik=... M-1)
.— GP b1. sein, wobei für pi= O auch 1b. 0 zu setzen ist. 1
Umgekehrt entspricht jedem Pf. S.(190, dessen Funk- tion den beiden Bedingungen genügt, ein n-gl. M. S.(0).
Damit haben wir das n-gl. M. S.(12) in den Lieschen Flementkoordinaten zxp dargestellt und den Zusammen- nang, der zwischen den n-gl. M. S. im Rn und den (n- 1)-l. Pf. S. im Ran4+ 3 besteht, aufgedeckt. Jedes den Bedingungen des Satzes 1 entspr. Pf. S. soll ein„MPS.“ heißen.
Bemerkenswert ist, daß(19) allein durch die Funktion « Vollst. bestimmt ist. Das Umgekehrte gilt freilich nicht denn jede bel. Funktion:
O(ZXI... Xn+ 1 00),
die wirklich enthält, liefert uns dasselbe System.
Das del Form ( 2 geschiieb System
In( sein. lSt oh. lol (24) jmmer de Von(16 hölen 80 des S.(. bleibt. 50 beliebige geben, inf. Trf. (25) enthalte
Nu deneen d (26) sei irgen 7) das zug inf. Tff. S.(19“) halten.
dz besteher (28) z
eine Btr
eine So (SVE.

ob S
die ihrer. Jafür dar. SiT. inv.
dn.2.27 1.. 1) unabh. g. Pf. G.
einer ihm
. Kann in
1...n-l)
folgenden paft. Ab-
... n+*l)
mist
zen Funk- M. S.(9). Lieschen usammen- und den Jedes den 1»MPS.
Funktion lich nicht
Das zu(19⁰) kovariante(n†+‿ 2)-gl. SIpD. kann nun in der Form: (23) Af=Ixfl= 0, Prf=[xufl=O(K= 1.. u. †. ¹) geschrieben werden, und hieraus sieht man sofort, in welches System(23) bei einer Btrf. übergeht.
In(23) muß auch das n-gl. Vollst. S.(160) enthalten sein. Ist eine bel. Lösung dieses vollst. S., so gehört die 1pD.[otl= O wegen:
(24) Cdm,[PfII)= p(1, k= 1. u* 1)
immer dem S.(23) an, und umgekehrt muß eine Lösung von(16“) sein, wenn die lpD.[ofl= O dem S.(23) ange- hören soll. Da die ld.(24) von der jeweiligen Darstellung des S.(19) unabh. ist und auch bei einer bel. Btrf. erhalten bleibt. so ergibt sich ein einfaches Verfahren, um zu einem beliebigen vorgelegten MPS.(19) sofort die n-gl. Si T. anzu- geben, die es befr. und inv. lassen. Sie muß ja die n unabh. inf. Irf.:
(25) 2,9= A[oll)(s= 1. Tn)
enthalten und ist dadurch bestimmt.
Nun enthält das System(23)(n†. ¹)-gl. vollst. Systeme, denen das S.(16) ebenfalls angehört. (26) Xrf= Oo(K= 1.. n*- ¹) sei irgendein solches vollst. S. und (27) dz(2Xp)= 0, dxx(ZXp)= O(kK= 1.. n † 1) das zugehörige(n+†. 2)-gl. unbeschr. integr. Pf. S.. Da alle inf. Trf.(26) das Pf. S.(19⁰) befr., Sso muß das S.(27) das S.(19⁰) umfassen und insbes. die allg. Pf. Gl. D= O ent- halten. Es muß also eine Id. von der Form:
— 1...
dz(ZXP)— 2 pr(ZXp) dxx(ZXpP)= O(ZXPp) D bestehen, und hieraus schließen wir, daß die(27 ‿ 3) Gl.: (28) z= z(Xp), xx= xx(XP), pr= pr(ZxXP)(K=L. n† ¹) eine Btrf. des Rn+ darstellen. Die Gl.(27) definieren also
eine Schar von nt Vereinen von je nl Flementen („SVE.“*), die wir auch in der Form:

(r) zExD)=, E(ExXD)=Te(K= 1... n.* 1) schreiben können, wobei z, x als Parameter aufzufassen sind.
Das S.(26) erhält jetzt die Gestalt:
(260 ALf= Irrfl= O(K= 1...n+).
Da aber(26) das vollständige S.(16) umfaßt, so müssen die Funktionen 3, xi... vn“1 auch sämtlich Lösungen von(16) sein, d. h. sie müssen Funktionen von zXI... Xn+ 10 allein sein, etwa:
3= z(2XGO), T.=r(ZXGO)(K= 1... n. †- 1). Durch Elimination von G aus den Gl.: (279)) 3(zxG)= z, TX(ZXG)= xx(K= 1... n+ 1)
erhalten Wir dann im allg.(n- 1) unabh. Gl. in den Ver. ZzX, zr allein, etwa:
(28) B(2X, a= Oo d=. I- 1), die ebenfalls die Btrf.(28) vollst. bestimmen. Nur wenn
alle Funktionen z, x von u frei sind, erhalten wir(n+ 2) unabh. Relationen, denn dann fällt(28) mit(27“) zusammen, und(27) stellt die Schar aller Punkte(„SP.“*) dar.
Wir wollen noch eine etwas allgemeinere Betrachtung anstellen. Wir denken uns eine bel. SVE. vorgelegt: (29) dz(2xp)= 0, dxx(2xXp)= 0(K= 1... n*1) und setzen voraus, daß(29) gerade(q.‿ 1) unabh. Pf. Gl. enhält, die von den Diff. dp frei sind. Unter ihnen muß sich auch die allg. Pf. Gl. D= O befinden, sodaß das(q†. 1)-gl. Pf. S. in der Form:
— 1...n+ 1 1)
(30) D= O0, 4= 3 e dXx= O(i= 1.—) geschrieben werden kann. Da(29) unbeschr. integr. ist, muß es bei allen ihm angehörenden inf. Trf. inv. bleiben. Eliminieren wir mit Hilfe von D= O dz aus den(n† 1) übrigen Gl., so gibt es zu jeder so entstehenden von dz
freien Gl. V= O eine ganz bestimmte inf. Trf. Qf, die D= 0 befr. und für die
2D0=— wird. Da es nur eine einzige gibt, Sso muß diese, da das
2u(20) KO Qf inden (25) Insbesc gan bestin 631) wo schleb Tff. G1) T Nun Snd (32) wieder Vol Da(32) ab (z2) auch q unabh. und inv. I dieser Bes unabh. int den Gl. G ist. Da? fr frei isi daß die i von den f Das c unabh. Lõ (33) Wo die d müssen au S. d. h. S etwa:
z 8 Durc
(34)
ergeben gi
Alein, ety (35) 80

en Ver.
I Wenn
(L2)
ammen,
achtung 1. d)
Pf. Gl. nuß sich
M'-gl.
..d)
egr. Ist, bleiben. l) von dz eD=
da das
zu(29) kovariante SIpD.(m. 1)-gl. ist, das S.(29) befr.. 9f finden wir am einfachsten nach dem Verfahren: (25) 2%=‿, l[pfl. Insbesondere gibt es zu jeder der— Gl. 4,= O eine ganz bestimmte inf. Trf. 4af dieser Art, und zwar ist: 1.., n+l
d = 74.— 11) Q. (31),= Sd4p[ofly= 3 a0 der d= 1. 9),
wo schließlich noch durch f zu ersetzen ist. Alle inf. Trf.(31) müssen das S.(20) befr. und invariant lassen. Nun sind die Pf. Gl.: (32) 2 1A= O(i, K= 1... q) wieder von den dp frei, weil die 4f von den f“ frei sind. Da(32) aber wieder dem S.(29) angehören muß, so muß (32) auch dem S.(30) angehören, und darin liegt, daß die q unabh. inf. Trf.(31) auch das(q. ¹)-gl. Pf. S.(30) befr. und inv. lassen. Sie sind zugleich die einzigen inf. Trf. von dieser Beschaffenheit; denn gäbe es noch eine von(31) unabh. inf. Trf. Qf dieser Art, Sso müßte(30) auch die von den Gl.(30) unabh. Pf. Gl. QD= O enthalten, was unmöglich ist. Da andrerseits jede inf. Trf., die(20) befr. und von den f'r frei ist, das S.(30) befr. und inv. läßt, so folgt auch, daß die inf. Trf.(31) die einzigen sind, die(29) befr. und von den f' frei sind.
Das q-gl. vollst. S. 44f= O hat nun gerade(2n-. 3——) unabh. Lösungen, etwa: (33) 2X1... XI H1 01..GWyn1=q. wo die unabh. Funktionen von zXp sind. Andererseits
müssen auch die Funktionen 3 r Lösungen dieses q-gl. vollst. S. d. h. sie müssen Funktionen der Größen(33) allein sein, etwa: z= z(2XG), rxI= T(2XG)(K= 1... n+. 1) Durch Elimination von i..Gn+. 1—g aus den Gleichungen: (34) z(CXG)= z, xr(2XG)= Xx(K= 1... n+ 1) ergeben sich dann genau(q- 1) unabh. Gl. zwischen 2X, zx
allein, etwa: (35) B.(2X.. Xn l, 3x1. In-1) 0 d=1..—+1).

— 18—
Daß es gerade(q+‿ 1) unabh. Gl. sein müssen, folgt so: man erkennt sofort, daß es mindestens(q.†.ρ½) sind, sodaß nur noch nachzuweisen ist, daß es nicht mehr als(q+. 1) sein können. Wären es nun etwa(q-.1+e) unabh. Gl., S0 würde das bedeuten, daß die Funktionen z xi... xn4l die Funktionen nur in(n-†1— q—*) unabh. Verbindungen:
GIr(CZXIL... Xn-1. Gn. 1—)(T= 1...n+ 1— 4—) enthielten. Die Funktionen: ZX..An+† 1 01... G'n1 q—
wären dann die Lösungen eines(q+†‿)-gl. vollst. S., das in dem zu(29) kovarianten(n- 1)-gl. vollst. S. enthalten und von den fr frei wäre. Wir haben aber bewiesen, daß dieses (n+ 1)-gl. vollst. S. nur gerade q unabh. Gl. enthält, die von den fx frei sind, und daraus folgt unsere Behauptung, daß »v= 0 sein muß. Die Gleichungen(38), in denen nun z x als Parameter aufzufassen sind, stellen die SVE.(29) in Punkt- koordinaten dar und sagen aus, daß diese Schar eine Schar von nte(n- 1— q—-fach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeiten ist. Andrerseits definieren sie eine Btrf., bei deren Ausführung die Schar(29) in die SP übergeht.
Wir haben nun gerade die Umkehrung von dem be- wiesen, was wir in der Einleitung zeigten. Die dort ange- stellte Untersuchung läßt sich leicht verallgemeinern. Wir setzen etwa voraus, daß das S.(1) aus gerade(q‿ 1) unabh. Gl. besteht und eine Btrf.(4) bestimmt. Es stellt dann, wenn wir zr als Parameter auffassen, eine Schar von œn+² ( 1—ch-fach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeiten im Rn* 2 dar und nimmt in den Lieschen Elementkoordinaten die Form(5) bezw.(7) an. Wir bilden jetzt mit Hilfe von(3) und der Substitution(4) das Pfaffsche System(6), das Wieder auf zweierlei Weise dargestellt werden kann. Es besteht aus(q++. 1) Gl., und daß diese alle unabh. sind, sieht man unmittelbar ein, wenn man die Gl.(1) nach(q*&ρ‿) von den Ver. zx auflöst und dann dasselbe Verfahren anwendet. Das S.(6) ist also gerade(q†.)-gl. und von den dp frei, und zwar enthält es die allg. Pf. GCl. D= O. Aus der zweiten Darstellung für(6) ergibt sich aber, daß(6) in(7)
enthalten pf. Ol. entk die alk. P. ausgegange immer dei bleibt, denl- enthalten, G unabh. Rele Genau als Parame ergibt Sich bzW.(6) b übergeht. Die Re Satz 2. bestimmte 1.) die bzw.(4) 7
(1)
2.) die den(n-.* und von d
Jedes Pf. CL. D= gerade(q- Btrf. in dag
t q 2X às Par K im b je durch die Pf. S. ist nun abe D= br st und be (6) und(6 dzw. Mi
K bzw. K

., das in Uten und af dieses die von ung, daß in zr als in Punkt- Schar von keiten ist. sführung
dem be- ort ange- m. Wir ¹) unabh.
In, Wenn n 312 im RaS2 naten die von() (6), das ann. ES ind, sieht Ml) Von nwendet. dp ffei, Aus der (6) in O)
enthalten ist, d. h. also, daß das System(7)(q+ 1) unabh. Pf. Gl. enthält, die von den dpi... dpn1 frei sind, darunter die allg. Pf. Gl. D= O. Von diesem Fall sind wir diesmal ausgegangen und haben gezeigt, daß dieses(q.‿1)-gl. Pf. S. immer bei einer ihm angehörenden gerade p-gl. Si T. inv. bleibt, denn(7) kann keine weitere von(6) unabh. Pf. Gl. enthalten, die von den dp frei ist, weil sonst mehr als(Q 1) unabh. Relationen zwischen 2zX, zr allein bestehen müßten.
Genau das Entsprechende tritt ein, wenn wir 2X als Parameter und zy als Ver. auffassen, und schließlich ergibt sich noch, daß jedes der beiden(q. 1)-gl. Pf. S.(6) bzw.(6)) bei der durch(1) bestimmten Birf. in das andere übergeht.
Die Resultate wollen wir zusammenfassen.
Satz 2. LZLu jeder Betrf.(4) bzw.(40 gehört eine ganz bestimmte Zahl—(1TqIn+. 2). Sie gibt an:
1.) die Anzahl der unabh. Relationen, die vermöge(4) bzw.(4) zwischen den Ver. ZX, zr allein bestehen:
(1) B 1(2X, zx)= 0(i= 1. O,
2.) die Anzahl der unabh. Pf. Gl.(6) bzw.(6), die in den(n+ 2)-gl. unbeschr. integr. Pf. S.(7) bzw.(70 enthalten und von den dp bzw. dp frei sind.
Jedes der beiden Pf. S.(6) bzw.(6) enthält die allg. Pf. Gl. D= O0 bzw. D= 0, bleibt bei einer ihm angehörenden gerade(q— 1)-gl. Si T. inv. und geht bei Ausführung der Btrf. in das andere über.
Ist q=nO, so stellen die Gl.(1), wenn wir zx bzw. ZzX als Parameter auffassen, eine Schar von n Kurven K im Rn-2 bzw. K im Rn 2 dar. Als Elementvereine sind sie durch die Syst.(7) bzw.(7) definiert, die wiederum die Pf. S.(6) bzw.(6) enthalten. Von diesen letzteren jist nun aber jedes ein(n+. 1)-gl. Pf. S., das die allg. Pf. Gl. D= O bzw. D= O enthält, bzw. von den dp bzw. dp frei ist und bei einer ihm angehörenden n-gl. Si T. inv. bleibt. (6) und(6) sind also mit je einem n-gl. M. S. M im Rn2 bzw. M im Rn. 2 äquivalent, und die beiden Kurvenscharen K bzw. K genügen diesen M. S. M bzw. M, aber keiner

von ihnen unabh. M. Gl., Von den beiden M. S. M bzw. M geht jedes bei Ausführung der durch(1) bestimmten Btrf. in das andere über. Andrerseits wissen wir. daß die Kurvenscharen K bzw. K den n-gl. M. S.(2) bzw.(2)) genügen. Deren zugehörige MPS. müssen also in den S.(7) bzw.(7)) enthalten sein. Das ist aber nur möglich, wenn sie mit den S.(6) bzW. (6⁰) zusammenfallen. Die Pf. S.(6) bzw.(6) sind also nichts anderes als die Darstellungen der beiden n-gl. M. S.(2) bzW. (2) in den Lieschen Elementkoordinaten. Es gilt also der für den Ra schon von Lie ausgesprochene Satz 3. Bestimmen die(n+ 1) unabh. Gl.(1) eine Btrf., so stellen sie, wenn wir zx bzw. ZzX als Parameter auffassen, eine Schar von ntt Kurven K im Rn* bzw. Kim Rn*† dar,
die einem ganz bestimmten n-gl. M. S.(2) bzw.(20, aber keiner von ihm unabh. M. Gl. genügen. Jedes dieser beiden n-gl. M. S. stellt zugleich die Schnittbedingungen für die Kurvenschar dar, die dem andern M. S. genügt, und wird von der durch(1) bestimmten Btrf. in das andere M. S. übergeführt.
Damit erledigt sich auch eine andere Frage. Wir hatten festgestellt, daß das S.(23) immer(n†. 1)-gl. vollst. S.(26) enthält, deren zugehöriges(n-+. 2)-gl. unbeschr. integr. Pf. S. (27) eine SVE. darstellt. In Punktkoordinaten bildet diese SVE im allgemeinen eine Schar von end Kurven(„SK.¹) (28), die dem M. S.() genügt, abgesehen von dem Fall, wo(27) die S. P. darstellt. Die letztere genügt jedem be- liebigen M. S., Zu jedem n-gl. M. S.(o) gehört also eine ganze Reihe von SK(28)), und im allgemeinen wird keine von ihnen vor den andern bevorzugt sein. Umgekehrt genügt aber jede dieser SK. nur einem einzigen ganz be- stimmten n-gl. M. S., nämlich gerade dem S.(0), das durch irgendeine von ihnen bestimmt ist. Jede SK. kann nun durch Btrf. in die SP. übergeführt werden, und zwar läßt sich diese Btrf. immer so auswählen, daß sie das M. S.(00) gerade in das M. S. überführt, das die Schnittbedingungen für diese SK. darstellt.
Auf gelegtes Wir elWa lebigen B. untersuche das als e
Die iny.
Das ๠haben, die 1.) Es Ver. zXp u 2.) Es 3.) All Da vA allen Btrf.
Frage: W. §., das I. damit es S Wir behau Das 2 enthält nä angehört. ihm entspr dann das Pf. CL. D die Sp. ül Pi. 8. in 6
enthalten i
Satz 4. MPS. durg Ligenschal

1.
Auf diese Weise finden wir Btrf., bei denen ein vor- gelegtes n-gl. M. S. wieder in ein n-gl. M. S. übergeht. Wir erwähnten aber schon, daß das nicht bei jeder be- liebigen Btrf. der Fall ist, und Wir wollen nun im Kapitel II untersuchen, wie das allgemeinste System beschaffen ist, das aus einer beliebigen Btrf. hervorgeht.
Kapitel II.
Die invarianten Eigenschaften des(n-1)-gliedrigen Pfaffschen Systems.
Das allgemeinste MPS. hat, wie wir im Kap. l bewiesen haben, die drei folgenden Eigenschaften:
1.) Es enthält gerade(n-†. 1) unabh. Pf. Gl. in den(2n+†. 3) Ver. zxp und bleibt bei einer ihm angehörenden n-gl. Si T. inv..
2.) Es enthält die allg. Pf. Gl. D= O.
3.) Alle Gl. des Systems sind von den dp frei.
Da von diesen drei Eigenschaften die beiden ersten bei allen Btrf. des Rna-z erhalten bleiben, so erhebt sich die
Frage: Welche weitere Eigenschaft muß ein beliebiges Pf. S., das nur die beiden ersten Bedingungen erfüllt, haben, damit es sich durch Btrf. in ein MPS. überführen läßt?— Wir behaupten: keine.
Das zu dem(n+ 1)-gl. Pf. S. kovariante(n-+.‿ 2)-gl. SIpD. enthält nämlich(n 1)-gl. vollst. S., denen die n-gl. Si T. angehört. Wir betrachten irgendein solches vollst. S.. Das ihm entsprechende(n+. 2)-gl. unbeschr. integr. Pf. S. umfaßt dann das(n 1)-Ll. Pf. S. und enthält insbesondere die allg. Pf. Gl. D= 0, Stellt also eine SVE. dar, die wir durch Btrf. in die SP. überführen können. Dabei geht aber das(n. 1)-gl. Pf. S. in ein solches über, das in dem(n†† 2)-gl. System:
d2= 0, dXxk= O(K= I...n+!) enthalten ist, d. h. in ein MPS.. Es gilt demnach Satz 4. Das allgemeinste Pf. S., das aus einem beliebigen MPS. durch Btrf. hervorgeht, ist durch die folgenden beiden Eigenschaften definiert:

1.) Es besteht aus gerade(n-+. 1) unabh. Pf. Gl. in den (2/- 3) Ver. zxp und bleibt bei einer ihm angehörenden u-gl. Si I. inv..
2.) Es enthält die allg. Pf. Gl. D= O.
jedes System, das diesen beiden Bedingungen genügt, soll ein„PS.“ heißen.
Wir denken uns jetzt ein beliebiges PS. vorgelegt:
1
..u*1(k)(K); (36) D 3 0. 44gé 2(2r dXx+ 91 dpx)= 0(=1. u). Die ihm angehörende n-gl. Si T., bei der es inv. bleibt,
lautet: 41 1) d 0 d4) — 2 14——=——.. (37) LQif= 1( dpr 61 dS. d n), und zwar ist 2,D=— 4.. Damit diese inf. Trf. das S.(36)
befr. und inv. lassen, ist notwendig und hinreichend, daß
1... n+1 — 1(K k)(K Kͤ—. LAs f=E GI at n)=O(.1=1..n)
und 92 41= 0 mod(36)
ist. Setzen wir: 1... n+1 d 99 (2141= Au D 2(Au d Xx † a d pr),
so müssen die sämtlichen Matrizen:
(1)(n+ 1)„(1)(n+ 1) 2.... En 61..GI
Mn„l)„u1) 501). ,0l) ()„+ 1) 1)„0+!) Au... Au KeAli... All
gerade den Rangen haben. Da aber diese Methode zu sehr umständlichen Rechnungen führt, wollen wir noch ein ein- facheres Kriterium angeben.
Das System(36) muß ja nach dz und nachen von den Diff. dx, dp auflösbar sein, etwa nach dXi... dXp(a εα n) und dpsur 3.. dpsn* 1- wobei die Größen Su... Sn+l die Zahlen 1...(n+. 1) in irgendeiner Reihenfolge darstellen. Das zu(36) kovariante(n+ 2)-gl. SlpD. ist dann nach
Trur.. Ixn4 1, fps... ſpsu auflösbar. Die inf. Trf.(37),
die das 5.(
(r2'2 5. ſegt dab d Ausdrücken
Bilden Methode(2 —..1 lwe. dab die Lahl und die Zal
hören müss Wir also ann werden kal
(36)
Das 2

u Sehf in ein-
on den u& 1) 1 die stellen.
nach f.(37,
——
—
die das S.(37) befr. und inv. lassen, müssen aus den zu diesem (n+ 2)-gl. S. gehörigen inf. Trf. linear ableitbar sein, und darin liegt, daß das zu(37) eheniee n-gl. vollst. S. nachen von den
Ausdrücken fx u†l. fp p auflösbar ist.
Bilden wir nun aber die inf. Trf.(37) nach der Methode(25), so ist das zugehörige n-gl. vollst. S. nach 18A 42:.. fxsnl' fp... ſpn aufgelöst, woraus hervorgeht,
daß die Zahlen Su-... Sn-1 der Reihe der Zahlen a‿ε‿α1...n-H und die Zahlen 1... 2 der Reihe der Zahlen S1... Su†1 ange-
hnören müssen. Ohne Beschranleune der Allgemeinheit können wir also annehmen, daß S,=» ist, sodaß(36) so geschrieben werden kann:
1..n+ℳ1 D= dz— 2 P dx.= 0 8 1... n— u+1 0 41= dx,— 2 G dx+‿b 1.. 4—1 c) (360 2 91 dpr= 0(1— 4) T 1 n.ar! 00) V= dp,— 5 dk dx,+‿ K 1.. a! 60) + 2 t dpr= 0(. A+ 2, n* 1). I Das zu(360 kovariante(n+. 2)-gl. SIpD. lautet daher: d/f 1...ℳ acl d8f Arf=z———— 8 dxXu-k 1 k dx 2. dr e 2 98(K=I.. n-a+ 1) v (36) —dt 1.-ℳ 6) df B. 1== ö. 2 61 dX, 2.n ea 3 39d G=I. 2 4.1)
während das zu(37) gehörige n-gl. vollst. S. die Gestalt erhält:

df 6) 8f di df—0 d — Ti= dp. 261 d A2 k dpPa k 0(. ℳ) 37 3 8/f 6o) d 8d— Y., d Sor de. 0(*‿ρα‿‿ε‿.ν.n+ 1) Es muß dann zunächst: — 20) 90 20)() 3 46)— 44, A1f„= 61 a 1˙⁶ Ar 21 6„ l 9
(O)(o)(o)(v) “ 5 — 3078 6)— 1, 1=) al, beee. IH
1(i) 5) Lal. Defyve e are. 35
(38) 4
a6)— 191.ne
sein, und vermöge dieser Formeln wird:
X= B4f S eeaan tek wena(= 1. a) 622 0) J. A.— 1 b 4,12 11- a. Bu-lf(‿³‿ν2, n+ 1). Jjetzt ist nur noch zu berücksichtigen, daß die inf. Trf. Xif und Yof alle das S.(36) oder, was auf dasselbe hinaus-
1 kommt, das mit(36) inv. verknüpfte S.(360) inv. lassen sollen, und dies drückt sich, da(36) in aufgelöster Form vordegt mit Hilfe von(37“) durch die kenden
(Ar Ei)= An 39. Ait- Ar0). Ba Pl
(B. T.)= B Sen Aif+ B. 400. Ba Alf
(*)
gr Alf Arah).Bat
(39)(Au Yo)= Axb 2 O„(*) (B. Yo)= Br 5, Aif † Br a⸗ Balf
(i= 1.. ℳ; K==I...n— a 1;»= a-L- 2,.„n 1; 1=1..ℳ† 1)
aus, die also mit(38) zusammen die notwendigen und hin- reichenden Bedingungen dafür darstellen, daß(36) ein PS. ist.
Wir be
koy aliale
denen die
(40)
(n-*²)) unab
§., 50 beiri D=Gz 2
durch die (41) bestimmt is vollst. S. K (42) geschrieber
ist. In(44 und zWal stimmte n. weitere un können dieé
(a7) 4. dargestellt
66) 5
Sodaß das
4) J erhält, die
Sollen So ist not (44)
ist. Unter
ergidt Sich

*+ 1).
ad hin- 98. st.
Wir benutzten schon die Tatsache, daß das zu(36) kovariante( ²)-gl. SIpD.(n-+. 1)-gl. vollst. Systeme enthalt, denen die Schar(37) angehört. Sind (40) 3(Zzkp), xx(Xp)(k= lL. n+ 1)
(n-† 2) unabh. Lösungen irgendeines solchen(n. 1)-gl. vollst. S., So befriedigen diese eine Id. von der Form:
— 1... n †1 D=dz(zXp)— 2 px(ZXOPp) dxx(ZXp)= 6O(2Xp)-D, durch die die Btrf.: (41) 3— 3., I Tk, pr— Pk(K=IL...n+ 1)
bestimmt ist, die(36) in ein MPS. überführt. Das(n4 1)-gl. vollst. S. kann dann in der Form:
(42) Prf= I[rrII= O(k=l. n+†1) geschrieben werden, wobei nach der Mayerschen Identät:
P=du dx f(i Ke (P. 1)= 11 2 P.(j, 1...n+* 1)
ist. In(42) muß auch die n-gl. Si T.(37) enthalten sein, und zwar ist sie dadurch bestimmt, daß das durch sie be- stimmte n-gl. vollst. S. außer den Lösungen(40) noch eine weitere unabh. Lösung, etwa w(zXp) besitzt. Demgemäß können die inf. Trf.(37) durch die Symbole:
667) Lnft Pw Paf— Paw P f(i. k=1. n 1) dargestellt werden und wegen Px D= o-dxx(36) in der Form:
— 1— r (360) D= 0, 4m= 7 Lu D= Piw dxx
— Prw. dx= O(p, k== 1..n+ ¹), sodaß das kovariante(n+†. 2)-gl. SIpD. die Gestalt: (43) Af=ſwfl= 0, Prf= Irrfl= O0(Kk= 1...n † 1) erhält, die gerade der Form(23) entspricht.
Sollen nun die inf. Trf. Qf das S.(36) inv. lassen,
so ist notwendig und hinreichend, daß (44)(LAx 4Im, Afy= O0(i, k, l, m= I.. n*+ ¹) ist. Unter Berücksichtigung von
(dxw, Afy=— Paw(Kk= 1.. n*ℳ1) ergibt sich für I= i, m= k:

Pr Prw
(44) P. Prw. Piw= Piw. Prw
+ w. 5(.K-=-=I. I 1)
und dies gilt allgemein, wenn wir verabreden, daß für Pow= O0
P Piw dx
immer Am= d2 gesetzt Wird, denn es muß: dr dr
P. Prw— Pr Piw= d2 Prw— Piw(j, K= I.. n+† 1) sein, und vermöge dieser Id. folgt aus(44) wWieder(44), sodaß wir nur die Id.(44) zu berücksichtigen brauchen und den Satz aussprechen können:
Satz 5: Das allgemeinste PS. kann in der Form: (360) D=0, 4= Pw dxx-Pew dæ= 0(i,k=l. n+- 1) geschrieben werden, wo die Funktionen 3(ZXp), T(zXp), p(EXp) die ldentität D= O(2Xp)-D befriedigen, Paf= lxifl ist und die Funktion w(zxp) den beiden folgenden Be- dingungen genügt:
1.) Sie darf keine Lösung des vollst. S.(42) sein.
2.) Es muß (44) P. Prw † Pr Pw= Piw a An 5(. k==L.. n+ ¹) sein, Wobei für Piw= 0—
zu Setzen ist. Bei Ausführung der Btrf.(41) geht(36“) in ein MPS. über.
Das Wesentliche dabei ist, daß es(n+†. 2)-gl. unbeschr. integr. Pf. S.
(410 dz(ZXp) o, dr(2XP)= O(K= I.. n+† 1) gibt, die(36) umfassen und eine SVE. definieren. Nur wenn unter diesen die SP. enthalten ist, ist(36“) selbst
schon ein dann in e die Sp. u Durch noch nich SK. definie immer duk stmmt, de diesen bei- können w (41) umfal (45) das gerad befr. und i denn es k. (36“¹) geschriebet In(45 S. enthalte brauchen. D=, 80 Gibt darstellen, enthalten, alle von de von den d sein—, Sd ausgewähl enthielte(4 System: (46) das die S1 Seln, Was immer ein oder eine Die K Bedingung Wieder in

1=O
in.
schon ein MPS.. Eine Btrf. führt also(36“°) dann und nur dann in ein MPS. über, wenn sie irgendeine Schar(410 in die SP. überführt.
Durch ein einziges der S.(410 ist(36“) im allgemeinen noch nicht bestimmt. Das gilt nur dann, wenn(410 eine SK. definiert und(36°) ein MPS. darstellt. Dagegen ist(360) immer durch zwei verschiedene solcher Systeme(410 be- stimmt, denn(36“) ist dann die Gesamtheit aller Gl., die diesen beiden S.(410) gemeinsam sind. Um(36“) zu finden, können wir auch dasjenige Pf. S. bilden, das die beiden S. (410) umfaßt, nämlich das(n+. 3)-gl. unbeschr. integr. Pf. S.: (45) dz= 0, dxx= 0, dw= O(k=l. m†*l), das gerade die n-gl. Si T. 42sf definiert, die das S.(36) befr. und inv. lassen. Durch sie ist(36°) vollst. bestimmt, denn es kann in der Form:
(360) D= O, 230= O(S= 1.. n) geschrieben werden.
In(45) sind nun wieder(n+ 2)-gl. unbeschr. integr. Pf. S. enthalten, die aber(36“°) durchaus nicht zu umfassen brauchen. Enthält aber ein solches System die allg. Pf. Gl. D= 0, so muß es auch(36“) enthalten, also(360) umfassen.
Gibt es zwei verschiedene S.(410, die je eine SK. darstellen, die also je(n+. 1) unabh. von den dp freie GCI. enthalten, Sso müssen die gemeinsamen(n+ 1) Gl.(3600 alle von den dp frei sein. Enthielte nämlich(36) eine nicht von den dp freie Gl.— mehr können ja nicht vorhanden sein—, so könnten alle anderen Gl. der beiden S.(410 s0 ausgewählt werden, daß sie von den dp frei sind. Daher enthielte(45)(n+. 2²) unabh. von den dp freie Gl., also das System:
(46) dz= 0O, dx= O(K=l..n-1),
das die SP. darstellt.(36“9) müßte aber in(46) enthalten sein, was unmöglich ist.(36“) ist daher in diesem Falle immer ein MPS. und jedes der S.(410) entweder die SP. oder eine SKk..
Die Kenntnis des allgemeinsten PS. liefert uns auch die Bedingungen dafür, daß eine Btrf. ein vorgelegtes n-gl. M. S. wieder in ein solches überführt. lIst nämlich(36) schon

— 28—
selber ein MPS., so ist(41) die allgemeinste Btrf., die(36“) wieder in ein MPS. überführt, und unsere Voraussetzung besagt, daß die SVE.—— 8 Mps (410 3(2Xp)= z, xx(2XPp)= Xx(K=l.n) d) L
dem n gl. M. S. genügt. Durch Elimination der p aus(410) müssen sich dann mindestens(n-† 1) unabh. Gl. zwischen Aid 3 2, zx allein ergeben, sodaß zwei Fälle eintreten können. ¹ 2 1. Fall:(410) ist die SP.. Dann ist(41) eine erweiterte 3 ebenlall Punkttrf., und es kommt keine weitere Bedingung hinzu. 2. Fall:(41“) stellt eine SK. dar. Dann ist notwendig sein, Wole und hinreichend, daß diese SK. dem M. S. genügt.
Eine Btrf.(41), deren zugehöriges S.(410) weniger als 1 (n- 1) unabh. Gl. zwischen den Ver. 2zX, zx allein enthält, nd führt also niemals ein n-gl. M. S. wieder in ein n-gl. M. S. über.
Führt nun eine Btrf. irgendeine SVE. eines MPS. in folgt. W eine SK. über, so genügt diese SK. Wieder einem ganz gatz? bestimmten MPS.. Aber daraus folgt durchaus nicht, daß wieder in diese Btrf. auch das erste MPS. in das zweite überführt. Ableitunge Wissen wir allerdings, daß diese Btrf. das erste MPS. Liecnoen wieder in ein MPS. überführt, So sind wir sicher, daß sie 1uen es gerade in das zweite überführt. Le 1
i je
Führt dagegen eine Btrf. irgendzwei solche SVE. in je eine SK. über, so genügen diese beiden SK. wieder
einem ganz bestimmten MPS., dessen Bestimmung aber Lenügen. vom Koordinatensystem unabhängig ist. Darin liegt, daß Wir h dieses MPS. aus dem ursprünglichen durch Ausführung der SIpD.(43 Btrf. hervorgeht. leetert also Es gilt demnach und zwar Satz 6: Eine Btrf. führt ein MPS. dann und nur dann Pw wieder in ein solches über, wenn sie irgendeine SVE. dieses sein, Sode MPs. in die SP. oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn ausgewah sie irgend zwei dieser SVF. in je eine SK. überführt. 6 Jede Btrf. dieser Art ist entweder eine erweiterte wird. Punkttrf. des Rna oder eine solche, vermöge deren gerade Das (n+. 1) voneinander unabh. Gl. zwischen zX, zr allein bestehen.(47) Im letzteren Fall genügt die durch dieses Gleichungssystem entsprech definierte SK. dem MPS.. 0 BR 40 Wt)

(36“) tzung
(41) schen nnen. eiterte ninzu. rendig
rer als enthält, . über. 5S. in
ganz tt, daß erführt. MbpS. daß sie
VE. in wieder g àber rt, dab ung del
ur dann . dieses nt, Wenn. hrt.
weitelte n gefade destehen. ssystem
Soll die inf. Btrf.
Bt= Wi= Wer
das MPS.
(19) D= 0, Am= GoprdXE CpgdX= O(J,k⸗=l..n † 1) wieder in ein MPS überführen, so müssen die Ausdrücke: B A= B„ dXX BGk dXI+ 0p d(Wpx)— prd(Woi)
ebenfalls von den dp frei, also: 42(Wp)= 0(ĩ,k, l- 1../n+ 1) sein, woraus insbes.
W.= w(i, k=I... n+† ¹) pi
und (WaN= Woo W(i, k= 1... n 1)
Pipk Pipi Pkpk folgt. Wir können daher den Satz aussprechen:
Satz 7: Eine inf. Btrf. führt ein MPS. dann und nur dann wieder in ein MPS. über, wenn die sämtlichen partiellen Ableitungen der charakteristischen Funktion W nach den p Lösungen des n-gl. vollst. S. sind, dessen inf. Trf. sämtlich dieses MPS. befr. und inv. lassen.
In jedem Falle muß W den Bedingungen:
(WrA= Wuin Wrpr(i, k=1.. n+ ¹) genügen.
Wir betrachten jetzt das zu(360) ai nis(n 2)-gl. SIpD.(43), das bei der n-gl. Schar(37“) inv. bleibt. Es liefert also durch Klammeroperation Aran. eine neue Gl., und zwar muß
Piw(Pr A)= Prw(P A) mod(43)(, K= I...n+ 1) sein, sodaß die neu hinzukommende Gleichung Bf= 0 so ausgewählt werden Kann, daß
(Pr A)= PrwBk mod(43)(K= 1..n!) wird.
Das dem(n+ 3)-gl. SlpD.
(47).Af= 0, Bf= 0, Prf= 0(Kk=l. n*+1) entsprechende n-gl. Pf. S., das die allg. Pf. Gl. D= O wegen (D. B1= nicht enthalten kann, wollen wir in der Form:

— (48) 4%= als(2kp) d;+ 2(2XP) dxs= 0(K⸗= l. ·n)
schreiben und voraussetzen, daß die 40) alle So ausgewählt sind, daß sie bei allen inf. Trf., die(48) befr. und inv. lassen, selber inv. bleiben¹). Da(48) bei allen inf. Trf. 42xf inv. bleiben muß, so sind die Funktionen als*, a* Lösungen des zu(37“°) gehörigen n-gl. vollst. S., d. h. sie sind Funktionen von z, x... xn“ 1, w allein. Nun folgt aus der Jacobischen lIdentität, daß(47) durch Kl.-O. höchstens zwei neue Gleichungen liefert, sodaß drei Fälle zu unterscheiden sind.
1. Fall:(47) ist vollst. und liefert durch Kl.-O. überhaupt keine neue Gl.. Dann ist(48) unbeschr. integr. und bleibt bei allen ihm angehörenden inf. Trf., insbes. bei allen inf. Trf. Prf(K= I...n+ 1) inv.. Daraus folgt, daß die Funk-
tionen ¹, a) Punktionen von z, xi... xn“1 allein sein müssen. Dann geht aber(48) bei(41) in ein unbeschr. integr. Pf. S. in den zæ allein über.
2. Fall:(47) liefert durch Kl.-O. wieder gerade eine neue Gl., Dann bleibt(48), wie sich leicht zeigen läßt, noch bei einer weiteren inf. Trf. des S.(43) inv., die mit der n-gl. Schar zusammen ein(n- 1)-gl. Vollst. S. bilden muß. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir voraussetzen, daß gerade die Gleichungen (42) Prf=Irfl= O0(Kk=l.. n+ 1) dieses(n-+ 1)-gl. vollst. S. darstellen. Dann müssen die
Funktionen a, abe) sämtlich Funktionen von 3, xi.. xn
allein sein.(48) geht also bei(41) in ein nicht unbeschr. integr. n-gl. Pf. S. in zx allein über.
3. Fall:(47) liefert durch Kl.-O. zwei neue Gl., Das S.(48) bleibt dann bei keiner weiteren ihm angehörenden inf. Trf. inv. und kann daher durch Btrf. niemals in ein Pf. S. in nur(n-†. ²) Ver. übergeführt werden, denn dazu ist notwendig, daß es bei einer ihm angehörenden(n-†. 1)-gl. SiT. inv. bleibt.
¹) Daß dies immer möglich ist, sieht man sofort ein, wenn man das zu dieser 31T. gehörige vollst. S. auf seine Normalform bringt.
Diese Führen so läßt sic im Falle Pf. S. im im Falle Pn 42 oder im Falle miemals du
Von b ngl. Pf. S. inv. bleibt, behaupten, charakterist (49) ein bel. n-g ihm angehoé allg. Pi. Gl. integr. sein inf. Trf. in D= ent sein. Füge kann auch deschr. inte ergibt sich 650) ein PS. ig lefert näml entstehende Pi. S.(9. der Fomm( das algemg undeschr. 1
Auf di aler n-g.
gehören al

I. n)
Wählt assen, f inv. en des tionen schen
neue Sind. rhaupt bleibt en inf. Funk- n sein deschr.
e neue och bei n-gl.
Ohne setzen,
en die
En†l beschr.
„Das örenden in Pf. S. wendig, „bleibt.
wenn man ringt.
—
Diese Obersicht ergibt folgendes: Führen wir das PS.(36) durch Btrf. in ein MPS. über, so läßt sich von dem äqu. M. S. folgendes sagen:
im Falle 1 ist es immer ein unbeschr. integr. Pn4.2(n-gl.
im Falle 2 ist es entweder ein nicht unbeschr. integr. Pn* 2 oder kann durch Btrf. in ein solches übergeführt werden;
im Falle 3 ist es niemals in den Diff. linear und kann auch niemals durch Btrf. in ein Pn übergeführt werden.
Von besonderem Interesse ist der zweite Fall, wo das n-gl. Pf. S.(48) bei einer ihm angehörenden(n. 1)-gl. Si T. inv. bleibt, die alle die allg. Pf. GCl. D= 0 befr., Wir behaupten, daß diese Eigenschaft für(48) dann auch charakteristisch ist. In der Tat, es sei (49) 40)= O0.(v= 1.. n) ein bel. n-gl. Pf. S. in den(2n+. 3) Ver. zXp, das bei einer ihm angehörenden(n- 1)-gl. SiT. inv. bleibt, die alle die allg. Pf. Gl. D= 0 befr.,(49) kann zunächst nicht unbeschr. integr. sein, denn dann müßte es bei allen ihm angehörenden inf. Trf. inv. bleiben. Es kann auch nicht die allg. Pf. Gl. D= O enthalten, denn dann müßte es mindestens(n†. 2)-gl. sein. Fügen wir zu(49) die allg. Pf. Cl. D= O hinzu, so kann auch das so entstehende(n 1)-gl. Pf. S. niemals un- beschr. integr. sein. Unter Berücksichtigung der Id.(8) ergibt sich dann, daß (50) D= O, 4= 0.(K= I.. n) ein PS. ist. Das zu(50) kovariante(n+f 2)-gl. SlpD. liefert nämlich durch Kl.-O. gerade eine neue Gl., und dem so entstehenden(n. 3)-gl. SIpD. entspricht gerade das n-gl. Pf. S.(49). Damit ist aber gezeigt, daß jedes S.(49) in der Form(48) enthalten ist.(48) ist also im Falle 2 zugleich das allgemeinste Pf. S., das sich durch Btrf. in ein nicht unbeschr. integr. Pn überführen läßt.
Auf diese Weise haben wir eine wichtige Klassifikation aller n-gl. M. S. im Ra gewonnen: zur ersten Klasse
gehören alle diejenigen Systeme, die sich durch Btrf. in ein

Pn*. überführen lassen oder selber schon solche sind, zur Diese letzteren wollen wir von der
Betrachtung ausschließen und uns im letzten Kapitel nur noch mit denjenigen der ersten Klasse etwas näher be-
schäftigen.
zweiten alle übrigen.
Kapitel III.
Invariantentheorie von M. S., die sich durch Btrf. in Pn† überführen lassen.
Wir denken uns jetzt wieder ein bel. MPS. vorgelegt:
— G..! 6)— (19) D= 0, 4= 2 r dXk= O(1=1. V).
Das kovariante(n. 2)-gl. SlpD.: (51) 421— 0, P.= d.=o(i= 1...n 1) Pi
liefert dann durch Kl.-O. gerade eine neue Gl. Bf= 0, und dem(n+. 3)-gl. SlpD.:
(52) 91= 0, P.f= Oꝗ(=1...n+. 1), Bf= 0
möge das n-gl. Pf. S.:
(53) v= O(=I1. n)
entsprechen, wobei wir uns die vi wieder so ausgewählt denken, daß sie bei jeder inf. Trf., die(53) befr. und inv.
läßt, selber inv. bleiben. Enthält(19) die Pf. Gl.: 1... n*+ (54) 4=„(ZX) dz+ 3 pr(ZX) dX= 0,
so wird wegen P.4= O auch
4,(2 Pi)= P 4, 21)=O(=1.. 1), und diese Identitäten sagen aus: enthält(19) eine Pf. Gl.(54), so ist diese auch in(53) enthalten. Sind also sämtliche Gl. des M. S. Pf. Gl., so fällt es mit(53) zusammen. Diesen Fall selbst Wollen wir nun ausschließen und nur voraussetzen,
daß sich das n-gl. M. S. durch Btrf. in ein Pa+† 2 überführen
8
läbt. Ge S.(52) 1- Of diese wiedel I (55) Lf vollst. ist, in(53) el überhaupt dieses(n den Satz Satz 8 ein(n-1. Btrf. in de dXI übergefühl Für d
M. Gl. nic sprochen. Wir lineares n führen läb
(i
(54) p enthält, vd deschr. int der Fall 80
Lunäc
dab(S) i 3) p= geschriebe
sei wieder
dein, wah
S
st. Infolg

der nur
.in
gelegt:
0, und
Lewählt und inv.
GI.”4,, lche G.
Diesen SSetzen, verfühfen
1
——— —
läßt.(53) muß dann noch bei einer weiteren inf. Trf. des S.(52) inv. bleiben, und zwar können wir annehmen, daß §f diese Eigenschaft besitzt.(52) liefert dann durch Kl.-O. Wieder nur eine neue Gl. Cf= 0, und wenn
(55) 4f= 0, Pff= O0(i= 1.. n+!), Bf= 0, Cf= O Vollst. ist, So Kann das zugehörige unbeschr. integr.(n. gl. in(53) enthaltene Pf. S. so ausgewählt werden, daß es die p überhaupt nicht mehr enthält. Das n-gl. M. S. enthält dann dieses(n 1)-gl. unbeschr. integr. Pf. S., und wir können den Satz aussprechen:
Satz 8: Jedes nicht lineare n-gl. M. S. im Rn+. 2, das ein(n— 1)-gl. unbeschr. integr. Pf. S. enthält, kann durch Btrf. in das n-gl. Pf. S.
dXn— 2GXn1= 0, dXu= O0(K= 1..1 1) übergeführt werden.
Für den R;, wo dieser Fall immer eintritt, wenn die M. Gl. nicht linear ist, hat schon Lie diesen Satz ausge- sprochen.
Wir wollen jetzt umgekehrt annehmen, daß ein nicht lineares n-gl. M. S., das sich durch Btrf. in ein Pae über- führen läßt, ein(n—1 Pf. S.
...*1 (54) V=„(2X) dZ n(ZX)dXxK= O(i= 1. ,n 1) enthält, von dem wir I un nicht voraussetzen, daß es un-
beschr. integr. ist. Wir werden aber beweisen, daß dies der Fall sein muß.
Zunächst muß ja(54) auch in(53) enthalten sein, so- daß(53) in der Form
1..n+1— (53⁰)= ZXpP) dz 2 pX(ZXP) dXX= 0, VG)= 0(i= 1.. n- 1)
geschrieben werden kann. Das zu(53) kovariante SIpD. sei wieder das S.(52), und insbes. möge 9 vG= 0 mod(53)(i= 1.. n- 1) sein, während andferseits Pr)= 0(i= 1..n— 1; k= 1.. n+4 1) ist. Infolgedessen wird aber auch

70,(2Pp)= W Pr, 4f)y= 0 C7G,(BP9)=(Pryh, Bfy= 0(i= 1...n— 1; k= 1.+ 1)
Pro,(B)= QV, BI.= 0; und diese Identitäten sagen aus, daß die sämtlichen Kl.-A. von(52) das S.(54) befr., mit andern Worten, daß dem aus(52) durch Hinzunahme von Cf= Oentstehenden(n- 4)-gl. S.(55) gerade das Pf. S.(54) entspricht. Da also(54) mit (53) inv. verknüpft ist, so bleibt auch(54) bei der inf. Trf. Qt inv., mithin überhaupt bei der(n ²)-gl. Schar (510 Q2f, P.f d= 1.. n.* 1) Wäre nun(54) nicht unbeschr. integr., Sso müßte(51) ein vollst. S. sein, was unmöglich ist.(54) ist also unbeschr. integr., und es gilt
Satz 9: Soll ein nicht lineares n-gl. M. S. im Rn† 2, das ein(n- 1)-gl. Pf. S. enthält, durch Btrf. in ein Pn† 2 über- führbar sein, so ist notwendig und hinreichend, daß das (n— 1)-gl. Pf. S. unbeschr. integr. ist.
Diesen Satz hat auch Ziemke in seiner Dissertation: „Uber part. Diff.-Gl. erster O. mit Integralvereinen, die als Punktmannigfaltigkeiten zweifach ausgedehnt sind“(Greifs- wald 1909) bewiesen. Er macht allerdings die Voraus- setzung, daß die zu dem n-gl. M. S. gehöõrige part. Diff.- Gl. 1. O. gerade 212 charakteristische Kurven besitzt, Was aber mit unserer Voraussetzung, daß sich das n-gl. M. S. durch Btrf. in ein Pn überführen läßt, gleichbedeutend ist. Zu jedem n-gl. M. S. gehört ja eine ganze Reihe von SK. (28)), von denen im allgemeinen keine vor den andern irgend- wie bevorzugt ist. Läßt sich aber dieses M. S. durch Btrf. in ein Pu überführen, so bleibt das zugehörige S.(53) bei einer ihm angehörenden gerade(n+†4 1)-gl. Si T. inv., die alle die allgemeine Pf. Gl. D= O befr., und dem zu dieser Schar gehörigen(n ¹)-gl. vollst. S. entspricht dann ein (n 2)-gl. unbeschr. integr. Pf. S., das eine S K. definiert, die dem M. S. genügt. Diese Schar ist vor allen andern dadurch ausgezeichnet, daß sie mit dem M. S. inv. verknüpft ist. Es gibt immer Btrf., die diese SK. in die SP. und das n-gl. M. S. in ein Pa überführen, das gerade die Schnitt-
bedingun giese 5 5 rgl. M. gilt also Satz Btrf. in ei SK., die M. S. geh Wir das 1-g integf., 5. denn es g §. beff. wird dah ein Pa- 2 wenigel à zr allein integr., S0 in ein n- integr. Pn st, SO mu es dann! gemeineru Satz! P 2 Lgen
Pr2 dar sind.
Die etwas ve Schränken Von(48) inf. Tri,
Setzc
D
1) ci. Differentalg

) ein Schr.
2242, über- das
tion: e als Neifs- oraus- Diff.- t, Was .N. S. nd ist. SK. rgend- h Bti. 83) bei ., die diesel nn ein elinieft, andefn kknüpft nd das Schnitt⸗
bedingungen für diese S K. darstellt. Darin liegt aber, daß diese SK. gerade die charakteristischen Kurven der zu dem n-gl. M. S. genörigen part. Diff.-Gl. 1. O. darstellt ¹). EsS gilt also
Satz 10: Läßt sich ein nicht lineares n-gl. M. S. durch Btrf. in ein Pn*† überführen, so besitzt es eine ausgezeichnete SK., die die charakteristischen Kurven der zu dem n-gl. M. S. gehörigen part. Diff.-Gl. 1. O. darstellen, und umgekehrt.
Wir wollen jetzt noch kurz den Fall behandeln, daß das n-gl. M. S. ein Pn4 ist. Ist dieses nicht unbeschr. integr., so ist mit ihm immer nur die SP. inv. verknüpft, denn es gibt dann keine inf. Trf. in den 2ZX allein, die dieses S. befr. und inv. läßt. Ein nicht unbeschr. integr. Pnr wird daher durch jede Punkttrf. dieses Raumes wieder in ein Pa 2 übergeführt, aber durch keine Btrf., vermöge deren weniger als(n-†. 2) unabhängige Relationen zwischen den zx, zr allein bestehen. Ist dieses Pn andrerseits unbeschr. integr., So wird es durch jede Btrf., die es überhaupt wieder in ein n-gl. M. S. überführt, auch wieder in ein unbeschr. integr. Pn übergeführt. Wenn nämlich(53) unbeschr. integf. ist, So muß es immer von denp frei sein, denn die Puf müssen es dann befr. und inv. lassen. Damit haben wir die Verall- gemeinerung eines andern Lieschen Satzes bewiesen:
Satz 11: Die Schnittbedingungen einer S K., die einem Pn+ genügt, werden dann und nur dann wieder durch ein Pn- dargestellt, wenn diese beiden Pn- unbeschr. integr. sind.
Die Untersuchungen dieses Kapitels lassen sich noch etwas vereinfachen, wenn wir die nicht wesentlich ein- schränkende Voraussetzung machen, daß die Pf. Ausdrücke von(48) alle so ausgewählt sind, daß sie bei sämtlichen inf. Trf., die(48) befr. und inv. lassen, selber inv. bleiben.
Setzen wir der Einfachheit halber
Pk= In+ 1-k, Z= Xan+ 3(K= 1..+ ¹)
¹) cf. Engel:„Eine neue Methode in der Invariantentheorle der Differentialgleichungen“(Leipz. Ber. 1905 S. 161 ff.).

und andrerseits 2=— Xn*1 †k, en+1k= O, kan 3= so nimmt die allg. Pf. GCl. D= O0 die Form:
1.. 2n*3 D= Bes dXxs= 0 8S
(K= 1.1+ 1),
an, und(48) erhält die Gestalt: .. 2n+3
1. (48) 400)= Ba³ dx-= O(= 1. n).
Da die 40) in der angegebenen Weise ausgewählt sind, 80 entspricht der(nä- 1)-gl. Schar aller inf. Trf., die(48) befr.
und inv. lassen, gerade das unbeschr. integr. Pf. S.:
1 2n. 3 1.. 2n+3 (56) 400= Nal dxs= 0, 440 NabsdXs= 0
8 8 d= 1.. n; k= 1.. 21 ℳ 3), Wobei
6)— 8)— d ali) ks d, Ob gesetzt ist und die Identitäten:
(56) a0—+ a0= Ahßb= O0(= 1..,n; k. S= 1..,2n+. 3) gelten.(56) muß nun gerade(n-+ 2)-gl. sein und die allg. Pf. Gl. D= O enthalten, die aber in(48) nicht vorkommen darf. Wir wollen daher
(i= 1.; kK, 8= 1...2/+ 3)
&
4 0— ,a 3= a d= 1. n; S=— 1...2 n+ 2) und 1 1..2n+ 2. 4⁰— 400 3.D= Jaodx.= V0)(= 1... n)
8 setzen und außerdem die Bezeichnungen
()— 400)„(. d) 1)— 900
., 2u+3= 68, aks K 8— es 6k= S s (i= 1.n; k, S= 1. 21+ 2)
und
kX— Bk D-= ekdn+ 3=„ kKsdXS=Vk
(i= 1. n; k= 1. 2+ 2) einführen. Dabei gilt auch
d. 600+ g)——(= 1.. n; k, S= 1.. 2n=2).
SK
3⁰
+
wobei auc müssenl.
Es ha zugeben, d von selbst keiten, der gehörigen
9f=I enthalten, d
gesetzt ist
daß dieses Wü
G) Wn
( W 3
lepräsentie

ry).
nd, S0 ) befr.
——
— 37—
(56) erhält dann die Gestalt:
1.. 2n+ 3 D— 2 88 d XS— 0 1. 27 †2 v)e a0dxs= e 1. un k„ 2 1= 1. n; K= I., an+ 2 (56) 1.22-⁰21) Vk 2 9ks dXs= 0 1., 2n+2„ 1—(i)— 4,*3=— B6s dXS= 0, wobei auch dien Gl. p= O0 alle voneinander unabh. sein müssen.
Es handelt sich jetzt nur noch darum, alle inf. Trf. an- zugeben, die das S.(56) befr., denn sie lassen ja das S.(480) von selbst inv.., Diese Aufgabe bietet aber keine Schwierig- keiten, denn, ist eine beſiebige Lösung des zu dieser Schar gehörigen(n- ¹)-gl. vollst. S., So muß dieses die lpD.
1..n+1/˙d⸗ df 8/% df bf= loil= T(da
dzmis dXs dXS dXn1 6 0
enthalten, wo
df df d71 d8x Sdo s d⸗(S= 1... 27+ 2)
gesetzt ist, und nun ergibt sich aus
7O, 6f)y= O,Cy, Gf)= o,(40, 3,0f)= O
2n+ 3 (i= 1...n; k= 1.. 2n+ 2), daß dieses(n+. 1)gl. vollst. S. durch die lin. part. Diff.-Gl. l.„Ie1 d8/f. Hf (i)= N ali) aco—= Wf=( n.l s dXs dSare e
c) 150 8 d'f G) d'f 9= G=) Wt= X(6 01 d Hs dX1 4s) 0
X5 3 1..+1. 8/f— —(i)— 3560).—— W t= 2(esbr 6s d1] 4= 1. n, K= 1. 2 † 2) repräsentiert wird. Es gelten daher die folgenden ldentitäten:

(58)
V w W 922(ach ac.148 41s99— ,0 „rG) Wof„=N(29 36 k,nls 40, 14s60)= LvW. ei de⸗ 69) 14s 7 410,14s 609) 0 LWIf 2= 2(es da 11s—n14.s6ℳ)=0
( j(j(— LV W 31 ¹(0 0 6n-1 †s— 30 h 1 1s869= o
1.. u
(i,1= 1..,n; K, t= 1.. 21.+ 2). Unter der Voraussetzung, daß(56) mindestens(n+ 2)-gl. ist, sind die Bedingungen(58) nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend.
Das S.(56) stellt eine SVE. dar, die wir durch Btrf. in jede andre Schar dieser Art überführen können. Soll(56) eine SK. darstellen, so lassen sich die Gl.(56) so auswählen, daß sich unter ihnen nur eine einzige befindet, die die Diff. dXn 14k= 1..n+ 1) enthält. Dasselbe gilt natürlich auch für(48)). Die übrigen(n. 1) Gl. von(56) sind dann von diesen Diff. frei und stellen ein MPS. dar, das aber mit dem(n⁴ 1)-gl. S.
(59) D= O, vC= O-(i= 1...n)
durchaus nicht identisch zu sein braucht, d. h.(59) braucht dann kein MPS. zu sein. Wenn dies aber der Fall ist, fallen natürlich diese beiden M. S. zusammen.
Dabei ist folgendes zu beachten. Da zu jeder SK. ein bestimmtes MPS. gehört, so entspricht der Klassifikation aller MPS. auch eine solche aller SK.. Zur Klasse l werden wir alle SK. rechnen, deren zugehöriges n-gl. M. S. durch Btrf. in ein Pnr übergeführt werden kann oder schon selbst ein solches ist, und zur Klasse II alle übrigen. Ist nun(56) eine SK. der Klasse II, so ist klar, daß das zuge- nörige n-gl. M. S. nicht mit(59) zusammenfallen kann,
(!)(i)— — 433 W 3 f)= 2 Hu 11s== s6)=o
weil(48 Soll àls (56) de reichend wiederi alle diejg höriges zur Klas Damit(5 (56) del Bedingun dar, 80! darstellt.
And Falle mi
di n†I
3 6)
Hrrl
Aus ihne
d
9'
k, n-
Snl.
und diese also ein
Normalfor Invariante der Satz durch K.. liefert, au ihn Haug Schen 8y

K. ein lkation werden durch schon n. Ist zuge- Kann,
—
weil(48)) durch Btrf. in ein Pn übergeführt werden kann. Soll also(50) ein MPS. darstellen, so ist notwendig, daß (56) der Klasse I angehört. Das ist aber noch nicht hin- reichend, denn die Gesamtheit aller SK. der Klasse I zerfällt wieder in zwei Unterabteilungen, und zwar sollen zur Klasse la alle diejenigen SK. der Klasse I gehören, die für ihr zuge- höriges n-gl. MS. eine ausgezeichnete SK. darstellen, und zur Klasse Ib alle übrigen. Es ergibt sich dann unmittelbar: Damit(50) ein MPS. daxrstellt, ist notwendig, daß die SK. (56) der Klasse la angehört. Aber selbst diese letztere Bedingung ist nicht hinreichend. Stellt also(56) eine SK. dar, so folgt daraus noch nicht, daß(59) dann ein MPS. darstellt.
Anders ist es, wenn(56) die SP. darstellt. In diesem Falle müssen diese sämtlichen Gl. von den dXn-1k (K= 1...n+ 1) frei sein, und das ergibt die Bedingungen: 400,14s=eh.s e
600n141= O(i= 1..n; k= 1.. 2n H s= 1. n*1)
6) 6n- 14s—o. Aus ihnen folgt aber:
(i) Bh l.es alhn ls—0 4 Xn1*s 60 1s dan 93—0 dXnA 1-s
(= 1... n; k= 1.2n 2; s= 1..+1),
und diese Id. sagen aus, daß(48)) von den p ganz ffei ist, also ein Pn*2 darstellt. Ob sich nun dieses Pf. S. auf eine Normalform bringen läßt, ist eine Frage, die ins Gebiet der Invariantentheorie der Pf. S. gehört. Hier kommt namentlich der Satz in Betracht, daß sich jedes m-gl. SIpD., das durch Kl.— O. bei jedem Schritt höchstens eine neue Gl. liefert, auf eine Normalform bringen läßt. Für m= 2, 3 hat ihn Haußleiter in seiner Dissertation„Zur Theorie der Pfaff- schen Systeme“(Greifswald 1900) bewiesen.

Abkürzungen.
A.= Ausdruck— allg.= allgemein— äqu.= äquivalent— befr.— befriedigen(S. 7)— bel.= beliebig— Btrf.= Berührungstransformation— Diff.= Differential— entspr.= entsprechend— Gl.=Gleichung— gl.= gliedrig— hom.= homogen— Id.= Identität— id.= identisch— inf.= infinitesimal— insb(es).= insbesondere— inv.= invariant— Kl.-O.= Klammeroperation— lin.= linear— lpD.= lineare partielle Differential- gleichung— M.= Mongesche— MPS.= Mongesches System in Ele- mentkoordinaten(S. 14)— part.= partiell— Pf.= Pfaffsche— Dn.ſ.2—
n-gliedriges Pfaffsches System im Rn.2(S. 31)— PS.= System, das
sich durch Berührungstransformation in ein Mongesches System über- führen läßt(S. 22)— S(yst).= System— SiT.= Schar von infinitesl-
42 malen Transformationen— SK.= Schar von Kurven— SIpD.= System von linearen partiellen Differentialgleichungen— SP.— Schar aller Punkte— SVE.= Schar von vereinen von je ull Elementen— Trf.= Transformation— unabh.= unabhängig— unbeschr. integr.= un- beschränkt integrabel— Ver.= Veränderliche— vollst.= vollständig.
Berichtigungen.
S. 4 Z. 7— 4 v. u.: es muß heißen:„Aus irgend n der letzten 26n--1) Gleichungen von(1“) können wir die A⁴x bis auf einen willkürlichen Faktor als Funktionen von zXp, axp bestimmen. Dann wird:“— Z. 3 v. u.: die beiden ersten Male ist die Summe über„k“ zu erstrecken— S. 6 Z. 10: lies:„Pfaffsche“— S. 7 Z. 2: lies:„in— S. 8 2Z. 5 v. ul.: lies: „die totalen Ableitungen“— letzte Z.: links muß„(10)“ stehen— S. 15 Z. 5: lies:„At= G1= 0“— 5. 19 2. 5: lies:„G⸗=gl.= 2. 5 v. u.: in der Mitte ist„bzw.“ zu tilgen— S. 21 Z. 6: hinter„aus“ sind die Worte„einem beliebigen MPS. durch Ausführung“ einzuschalten— S. 22 Z. 13 v. u.: der Index„li“ ist beide Male durch„1“ zu ersetzen— Z. 4 v. u.: lies:„dps u*ℳ2*— S. 23 Z. 8 v. u.: lies:„py“— Z. 4 und 2
v. u.: hinter„S ist einzuschalten:„= O0— 85. 24 2Z. 5: lles: Cpy

8
Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen mit tätiger Beförderung der Giessener Hochschulgesellschaft
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XII. Heft
11
Uber partielle Differentialgleichungen erster Ordnung mit vollständigen Lösungen von besonderer Art
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Giessen 1924
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16
Preis GM. 0,80; für das Ausland 1 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer, Giessen

Abha meine Differ Integt auftre Differ lineare von li jenige
Inauguraldissertation der Philosophischen Pakmultät II. Abt. der Universität Gießen.
Genehmigt am 12. Mai 1024. von lu
Berichterstatter: Engel und Schlesinger. Sitzen
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ersten Küiteri und anged V diese von!

Einleitung.
In einer 1872 in den Göttinger Nachrichten erschienenen Abhandlung hat Lie darauf hingewiesen, daß bei seiner allge- meinen Auffassung des Integrationsproblems einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung neben den gewöhnlichen Integralflächen auch Integralgebilde von geringerer Dimension auftreten können, und darauf eine Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung gegründet. Nach den linearen Differentialgleichungen(welche vollständige Lösungen von Integralkurven besitzen) folgen in dieser Klassifikation die- jenigen Differentialgleichungen, die eine vollständige Lösung von Integralvereinen mit zweifach ausgedehntem Punktort be- sitzen. Mit solchen Differentialgleichungen hat sich zuerst Bäcklund eingehender beschäftigt. Steingräber hat für Differentialgleichungen im R die Kriterien für die Zugehörig- keit zu dieser Klasse aufgestellt, Ziemke hat diese Unter- suchung auf Differentialgleichungen im Rn-l ausgedehnt.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich in den beiden ersten Abschnitten ebenfalls mit der Aufstellung dieser Kriterien, benutzt jedoch im Gegensatz zu Steingräber und Ziemke im Wesentlichen das von Lie schon 1872 angedeutete Verfahren. Im dritten Abschnitt wird dann diese Methode auch zur Bestimmung vollständiger Lösungen von Integral-Ma bei Differentialgleichungen im R, angewandt.

uf stän
§1.
Ordn (1)
nabe ze Kürz gedel gyste

Erster Teil.
Hufstellung der Existenzbedingungen für voll- ständige Lösungen, deren Integralvereine als Punktmannigfaltigkeiten zweifach ausgedehnt sind.
Kapitel I. Die charakteristischen Streifen und Kurven.
§ 1. Die Zerlegung der zu einem Punkt gehörigen Schar von Elementen der Gleichung in ⁴ Bündel.
Die nicht lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung im Rn†!: (1) I(2. X. VX.. Xn 2: p. qL. p.. Pn- 2)= 0 nabe eine vollständige Lösung, die aus Integralvereinen mit zweifach ausgedehntem Punktort(wir nennen diese der Kürze halber Integral-M) besteht. Die n zweifach aus- gedehnten Punktorte seien dargestellt durch das Gleichungs- system:
(2)
2= G(X, y, C.. En) XI= G(«X, y, Ci... cCn) i= 1...= 2) Zur vollständigen Darstellung der Integralvereine hat man dann noch die Gleichungen hinzuzufügen: 8— 4,dn 28 c. 8x. 22 dX
G 8 1.. n-28 D
dy 4er dy
Aus diesem System von insgesamt(n+ ¹) Gleichungen muß sich durch Elimination der willkürlichen Konstanten C... en Wieder die Gleichung(1) ergeben. Löst man die

— 6— Gleichungen(2) nach n- 1 Von den Parametern auf und be- zeichnet den übrigbleibenden Parameter mit X*; oder allge- P, d. meiner: fügt man zu den Gleichungen(2) noch die Gleichung:* die C ¹= 00(2, X, Y,X1... Xn- 2, C... En) keit 1 hinzu und wählt) So, daß das entstehende Gleichungssystem dag nach ci.... en auflösbar wird, so erhält man durch Ein- Tolee setzen in die Gleichungen(3) ein Gleichungssystem Von Integl der Form: Bedin Ledere V tunge „ 3-„) 8* 2 7„ 5 P= 50(2, X, Y,XI... Xn- 2,)=B) legen (4) 1.u22 könne — 8. (cäVü= 00(2, X, Y,.XI... Xn- 2, 9) DI,2.XY,N.... Xal= 2ℳ) Gleicl 3 Durch Flimination von ¾ aus diesem System muß sich duch wieder die Gleichung(1) ergeben. Das System(4) ist also ſnn mit der ursprünglich vorgelegten partiellen Differentialgleichung i de äquivalent. — 45—— werde Sieht man für den Augenblick Z, X,y,X...· Xn- 2 als konstant an, d. h. betrachtet man die zu einem Punkt ge- CI' n nörigen Elemente der Gleichung, 80 zeigen die Gleichungen S h eee 1 erset⸗ (4), daß sich diese Elemente in ebene Bündel anordnen, Vah lassen. Jedes Bündel wird durch einen bestimmten Wert des 3. Ist parameters) charakterisiert und besteht aus den on- 2 En, ſe 1 3 3. 1 deren n-fach ausgedehnte Ebenen die zweifach ausgedehnte Slelhu ebene Mannigfaltigkeit indh G) 3— z2 90(x*) NoGdh y) A — r.— X= bi(X X) 3o(y v)(i= l.. I— 2) Ai 3 Arten enthalten, wovon man sich überzeugt, indem man in der Gleichung Beisp 1...n— 2 n= 3 8 3= 2= pPE= v+ a= y iE=. Raum 1 Erzeu die die Ebene des Elements Zz, X, y,X... Xn- 2, P1..· Pn- 2 ebene darstellt, die Gleichungen(4) berücksichtigt und dann für namlie z z und x.=X.(= 1... n.=2) die Werte aus(5) einsetzt. üiite Ein solches Bündel von En bestimmt also ein Zweidimen- V willci sionales Plement. Die a

— 7—
Deutet man(bei festgehaltenen 2, X, v, X... XI 2) P, d, Pi... Pn- 2 als Punktkoordinaten in einem Rn, so stellt die Gleichung(1) eine(n— 1)-fach ausgedehnte Mannigfaltig- Kkeit in diesem Rn dar. Die Gleichungen(4) sagen dann aus, daß diese Mn- 1 in οl En-— 2 Zerlegt werden kann, wenn die
vorgelegte Differentialgleichung eine vollständige Lösung von Integral-M besitzt. Wir werden diese erste notwendige Bedingung in Zukunft als erfüllt ansehen und unseren Betrach- tungen statt der Gleichung(1) die Gleichungen(4) zugrunde legen. Die G(rôen 2, Xvy,S Xn 2,„, D.. pn.2 können wir geradezu als Koordinaten der Elemente der Gleichung benutzen.
Die Frage, wie zu entscheiden ist, ob die Gleichung(1) durch zwei Gleichungen von der Form(4) ersetzt werden kann oder nicht, und wie im bejahenden Falle die Darstellung in der Form(4) gefunden werden Kann, soll hier nicht erörtert Werden.
Dagegen müssen wir uns überlegen, ob die Gleichung (1) noch durch andere Gleichungssysteme von der Form(4) ersetzt werden kann. Die Mehrdeutigkeit, die in der freien Wall der Punktion 0(2Z, X, v, X... Xn 2. Ci. cn) liegt, ist nicht von Bedeutung. Es kann aber auch der Fall ein- treten, daß zwei wirklich voneinander verschiedene Dar- stellungen der gegebenen Gleichung in der Form(4) möglich sind, Sodaß die Mn— 1, die den zu einem Punkte gehörigen Elementen der Gleichung entspricht, auf zwei verschiedene Arten in En- zerlegt werden kann. Das einfachste
Beispiel einer solchen mehrfachen Zerlegung finden wir für n= 3, wenn unsere Mn- 1(hier eine Fläche im gewöhnlichen Raum) eine Fläche zweiter Ordnung mit zwei Scharen von Erzeugenden ist. Mehr als zwei Zerlegungen einer nicht ebenen Mn- 1 des Rn in En— 2 gibt es nicht. Hätte man nämlich drei solche Zerlegungen, so müßte jede En- 2 der dritten Schar mit je einer aus den beiden anderen Scharen willkürlich herausgegriffenen En-—2 eine En-3 gemein haben. Die on-l En-z, die diese Eigenschaft haben, ohne durch

— 8
die Schnitt-En-z der beiden En-2 zu gehen, liegen aber sämtlich in der En- 1, die durch die beiden En- 2(die ja auch eine En—3 gemein haben) bestimmt wird.
§ 2. Die Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen. Wir benutzen nunmehr die Größen: 2, X. V, r An 2. D..Dn 2
als Koordinaten für die Blemente der Gleichung und wollen in diesen Koordinaten die Differentialgleichungen der charakte- ristischen Streifen aufstellen. Zur Vereinfachung der Schreib- weise bezeichnen wir 2z gelegentlich mit X und führen an passender Stelle für—1 das Zeichen po ein. Die Gleichungen (4) erhalten dann die Koiln
0.. n- 2 (4)=— Vos⸗ 4= Mpen 1 Zur Bestimmung des zu einem nicht singulären Element der Gleichung gehörigen unendlich benachbarten charakte- ristischen Elements benutzen wir folgende Eigenschaften desselben:
1. Es liegt vereinigt mit dem zugehörigen Element der Gleichung.
2. Es liegt vereinigt mit jedem zu dem zugehörigen Element der Gleichung unendlich benachbarten und mit diesem vereinigt liegenden Element der Gleichung.
Die Bedingung dafür, daß zwei einem Element unendlich benachbarte und mit ihm vereinigt liegende Elemente„unter- einander vereinigt liegen“, lautet in den gewöhnlichen Koor-
dinaten 2, X, y, X... XIDH=e, p, q, P.. Dn. 2: 1... n—2
(dx òp-dp dy 3d- dq ²+ dx 5p dp 2X)= O
1 Die linke Seite dieser Gleichung ist nichts anderes als die bilineare Kovariante der linken Seite der Bedingung der vereinigten Lage:
. n— 2 dz— pdXx— gdy Vmox⸗
1
charal 22,) das G möge Koeif das 2. dV. Bedin a) G- b)

n aber à auch
ischen
Wollen arakte- chreib. fen an- nungen
lement rrakte- thaften
t der
lement diesem
endlich unter- Koor-
Man erhält sie daher in den neuen Koordinaten ebenfalls durch Nullsetzen der bilinearen Kovariante der linken Seite der Bedingung der vereinigten Lage:
X*„„ X 4— (6) Ldr. Vp 2,dx Ap.*, dy=c. 1 v v Sie lautet demnach:
k) 5 1 5* 1 8 8 8 5 1 2 . 7 5 X 5) P, F, dX-
1 8 ᷣ + d Dp dy— 5 A P dy=. Ist nun da dX dy dX.... ie ad dPi... dpPn.2 das charakteristische Element, so muß dieser Ausdruck für jedes 82, SX, 3y, 3XI... SXI. 2, M4, 3,.. pn- 2 Verschwinden,
das der Bedingung(6) genügt. Wir drücken daher àz ver- möge(6) durch die übrigen Differentiale aus und setzen die Koeffizienten dieser Differentiale gleich null. Außerdem muß das charakteristische Element selbst mit dem Flement Z. X, V,XI... Xn- 2,„DI... Pn- 2 Vvereinigt liegen, also die Bedingung(6) erfüllen.
Man erhält so die Srienanins
) dXk= HrdXx+ rdy(K=. n 2) b) L P.˙( Gax+ P ⁰ Ghd. 0 NDlbrG(G)(X 41 X) ä r(XA))' 0u Q— BD dy 0.2Jie lor(y) 41( wx 5 1(Xg) 7 7 k(XL) 1
1— dX 30
d) dpa= S 1Xx)+ pPi(2)) dXx+
P(D(Ax) ſe P Or(2)) dy(K= 1... n= 2) Da wede. alle i noch alle von X frei sein können, sei etwa Api ꝗ)v== O. Dann können wir x als unabhängige
*) Wenn nichts Besonderes angemerkt ist, geht die Summation immer von 0 bis n- 2.
d³

Veränderliche benutzen und die Differentialgleichungen der dvy dXx dæ*.
— d charakteristischen Streifen nach 5 P auflösen.
d dX dx*
§ 3. Der Mongesche Kegel.
Wir betrachten einen Punkt P unseres Rn-4l und alle zu ihm gehörigen Elemente der Gleichung. Jedes dieser Elemente bestimmt, wenn es nicht gerade ein singuläres Plement ist, ein unendlich benachbartes charakteristisches Element. Die Punkte aller dieser Elemente sind dem Punkt p unendlich benachbart und bilden einen Kegel Von Fort- schreitungsrichtungen, den man als Mongeschen Kegel bezeichnet. Dieser Kegel wird von den n-fach ausgedehnten Ebenen der zu P gehörigen Elemente der Gleichung um- hüllt.— In dem Rn, dessen Punkte den zu P gehörigen
Elementen entsprechen, entspricht einer von P ausgehenden Fortschreitungsrichtung des Rnl bzw. dem Bündel von n 1 En, das dadurch bestimmt Wird, eine n— 1-fach ausge- dehnte Ebene: einer Fortschreitungsrichtung des Mongeschen Kegels insbesondere entspricht eine Tangentialebene an die Mannigfaltigkeit, die durch die Gleichungen(1) bzW.(4) bestimmt wird.
Analytisch wird der Mongesche Kegel seiner Bedeutung gemäß durch die Gleichungen bestimmt, die sich aus(7 a, b) durch Elimination von X, pi... pn-2 ergeben. Da die (n— 1) Gleichungen(7 a) von den zu eliminierenden Größen nur enthalten, ergeben sich mindestens(n— 2) Mongesche Gleichungen zwischen dz dXxi... dXn- 2dX dy. Der Monge- sche Kegel hat also höchstens ο* Erzeugende. Von den n denkbaren Fällen*) treten demnach hier, wo die gegebene partielle Differentialgleichung in der Form(4) darstellbar ist, nur folgende drei wirklich auf:
1.n Mongesche Gleichungen bzw. eine einzige Er- zeugende. Dann ist die Gleichung linear.
*) Der Mongesche Kegel kann ja im allgemeinen, entsprechend
den n- 1 Elementen der Cleichung, deren Träger der Punkt P ist, bis n- 1 Erzeugende haben.
alle: es de Komr Mon⸗ scheil nältni dy:c Werd einde dieser 7 b)
minan
6)
T Fälle Punki letzte nur e einen Das Falle
benac

n der
lösen.
d alle
dieser uläres Sches Punkt Foft. Kegel ehnten r um- örigen enden 1 von uusge- Schen an die V.(4)
eutung 7 a, b) Ha die Nrößen esche onge- 'n den gebene dar ist,
ge Er-
rechend jist, bis
2. n— 1 Mongesche Gleichungen bzw. ¹ Erzeugende. 3. n— 2 Mongesche Gleichungen bzw..2 Erzeugende. Um diese Fälle analytisch zu unterscheiden, gehen wir
aus von der Gleichung(7 b).
Wenn diese Gleichung nicht von allen Pi frei ist, ist sie bei der Elimination von pi... Pn- 2%⁄ einfach wegzu- lassen. Aus den Gleichungen(7 a) ergeben sich dann, da nicht alle ᷣ&ᷣh O⅙nPs νᷣ von*à frei sein können, durch Flimination von X¾ gerade n- 2 Mongesche Gleichungen.
st die Gleichung(7 b) von allen pi frei, was dann ein- tritt, wenn in der Matrix:
0 ‿ 2 ⁴ 68) 7 1)... 2 2) Jo O) 4n- 20) alle zweireihigen Determinanten verschwinden, so kommt es darauf an, ob sie auch noch von X⁵ frei ist oder nicht. Kommt*à in(7 b) wirklich vor, so erhält man gerade n—1 Mongesche Gleichungen. Wenn aber auch X in(7 b) nur scheinbar vorkommt, so erteilt die Gleichung(7 b) dem Ver- nältnis dy: dx einen festen Wert. Da für diesen Wert dy: dXx alle Ausdrücke) dXx+ 0) dy verschwinden, Werden durch(a) auch die Verhältnisse dXxx: dX(K=O... n- 2) eindeutig festgelegt. Der Mongesche Kegel hat also in diesem Falle nur eine Erzeugende. Damit aber die Gleichung (7 b) auch noch von X frei wird, müssen außer den Deter- minanten der Matrix(8) noch alle Determinanten von der Form: 1 0 i 0 270) 4 0
Man übersieht auch leicht, welche Bedeutung diese drei Fälle für die Gestalt der Mn-1 haben, die die zu einem
Punkt gehörigen Elemente der Gleichung repräsentiert. Im letzten Fall(Fall 1, S. 10) ist diese eine En-l und hat somit
nur eine n- 1-fach ausgedehnte Tangentialebene, die der einen Erzeugenden des Mongeschen Kegels entspricht.
Das Verschwinden der Determinanten der Matrix(8) im Falle 2. bedeutet für die Mn-l, daß je zwei unendlich
benachbarte der sie erzeugenden En-2 eine En-3 gemein 2*
(0)
(i= O... n— 2) identisch verschwinden. vi

haben, also jedesmal eine En- bestimmen, die dann für alle Punkte der En- 2 Lemeinsame Tangentialebene ist, Sodaß im ganzen nur œ* Tangentialebenen, entsprechend den œ Erzeugenden des Mongeschen Kegels, vorhanden sind. Eine solche Mna-1 ist in gewissem Sinne eine Verallge- meinerung der abwickelbaren Flächen des gewöhnlichen Raumes mit ihren ο* Erzeugenden, von denen zwei unend- lich benachbarte einander schneiden, sodaß alle Punkte längs einer solchen eine gemeinsame Tangentialebene besitzen.— In dem noch übrigen Fall besteht die Mn-1 auch aus 01 En- 2. Von diesen haben aber zwei benachbarte nur eine En-4 gemein, und zu den verschiedenen Punkten einer der erzeugenden En-z gehören nacheinander die velr- schiedenen En-1 als Tangentialebenen, die durch sie hin— durchgehen, sodaß die Mn-l im ganzen: Tangential-
ebenen besitzt.
§ 4. Die charakteristischen Kurven.
Bei den Integralvereinen der vorgelegten partiellen Differentialgleichung gilt unser Interesse hauptsächlich den Punktorten; wir werden daher auch von den charakteristischen Streifen, aus denen sich die Integralvereine zusammensetzen lassen, namentlich ihre Punktorte, die charakteristischen Kurven,
zu betrachten haben. Da einerseits-1 charakteristische Streifen vorhanden sind, andererseits durch jeden Punkt des Rnl mindestens eine charakteristische Kurve geht, da Wir außerdem die linearen Gleichungen ausschließen, gibt es nöchstens-1 und mindestens n-! charakteristische Kurven.
Besonders wichtig ist für uns der Fall, daß die Gleichung onl charakteristische Kurven besitzt, da dann, wie sich zeigen wird, stets vollständige Lösungen von Integral-Ma existieren. Bei ontl charakteristischen Kurven gehen durch jeden Punkt des Rn+l einfach unendlich viele, der Monge- sche Kegel kann daher nur Erzeugende haben. Diese
Bedil vorko KurW. wenc Wir ötreil Kurv. Pre (7³) 50 Of unsel sche Matr Dahe schei Von! einl S
ausg Kury ein,
Dam alle
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U könn listis abge
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90(

müür Bedingung ist aber nicht hinreichend, denn es kann sehr wohl odaß vorkommen, daß durch jeden Punkt des Rnl mehr als 1 a9 Kurven in nur ᷣα Richtungen hindurch gehen. Um zu not- Sind. wendigen und hinreichenden Bedingungen zu gelangen, gehen allge. wir von den Differentialgleichungen der charakteristischen lchen Streifen aus. Um allgemein die Anzahl der charakteristischen nend. Kurven zu bestimmen, haben wir aus den Gleichungen(7) längs P.. pn- 2 und X¾ zu eliminieren, indem wir die Gleichungen .—(7a) und(7 b) unter Benutzung der übrigen Gleichungen aus so oft differenzieren, bis diese Elimination möglich wird. In e nur unserem Falle wird das besonders einfach. Da der Monge- einer sche Kegel Erzeugende haben muß, müssen in der Matrix(8) alle zweireihigen Determinanten verschwinden. er Daher kommen pi... pn-z in der Gleichung(7 b) nur hin. scheinbar vor. Wenn nun die Gleichung(7 c) auch noch ential. Von pi... Pn- 2 frei ist, dann bilden die Gleichungen(7a, b, c) ein simultanes System für 2, X... Xn- 2, X,y,X, Sodaß hier nöchstens, und da der Fall der linearen Differentialgleichung ausgeschlossen wurde, auch gerade ontl charakteristische Hjellen Kurven auftreten. Umgekehrt tritt dieser Fall auch nur dann den ein, wenn die Gleichung( c) von pi.. Da. 2 frei ist. schen Damit die Gleichung(7 c) von den p. frei werde, müssen setzen alle Determinanten von der Form: rven, er)— 41 XM) An NN(XM)) 1r1.) tische(10) V des 2rG)- 4 dPsſe er h Kr)) 40) V a Wil bt es identisch ersinwenden tische Unter Zusammenfassung der beiden erhaltenen Bedingungen können wir sagen: Für das Auftreten von ontl charakte- chung ristischen Kurven ist(von dem Fall der linearen Gleichung sich abgesehen) notwendig und we ee daß in der Matrix: ral-M2 Go(V)— do(X* 5 24 9. C)) 700 40 0) Vr 99 †'nä-2V)— Gn-2( Eieee Gohe kLn-2(Xu)) P-2)-20) onge-
iese alle zZweireihigen Determinanten dennseh verschwinden.

— 14—
Auf die Unterscheidung zwischen den noch übrigen Fällen(cnε‿ bis*n- charakteristische Kurven) brauchen wir nicht einzugehen. Es sei nur noch folgendes bemerkt: Denkt man sich die Differentialgleichungen der charakte- ristischen Streifen integriert, und zwar mit der Anfangsbe- dingung, daß für X= Xo werden soll:
y= yO, 2= 20, X= XL, Pk= PR(K= 1.. n— 2),*=*, so werden die charakteristischen Streifen dargestellt durch Gleichungen von der Form:
a) XK= Xk(K= O.. n- 2), y= V
b)*=A C) Du Pr(kK= 1... n= 2)
W0 X, V, A, Pa Funktionen von X, vo, 20, 40, A, po sind.
(12)
Die Gleichungen(12 a) bestimmen dann die charakte- ristischen Kurven. Ihre Anzahl richtet sich danach, wie Viele von den Parametern yo 20 XD.. xO. 24 Po.. po 2 in den Gleichungen(12 a) wesentlich sind. Eine Anderung eines der Parameter yo 20 XO... Xa bewirkt nun sicher eine Anderung der charakteristischen Kurve, die in keiner Weise durch Anderung anderer Parameter ausgeglichen werden kann, denn für X= XOo reduzieren sich ja die Funktionen VNXo.Xn- 2 der Neine nach auf yoXo... Xo 2. DDasselbe gilt, abgesehen von dem Fall der linearen Gleichung, auch für eine Anderung des Parameters Xo. Die Gleichung(7 b) (S. S. 9) bestimmt ja, wenn alle Determinanten der Matrix(8)
dy dx
verschwinden als Punktion von Zz, X, y, X... An 2,*;
und zwar kommt in dieser Funktion, wenn die Differential- gleichung(1) nicht linear ist, X wirklich vor. Verschwinden aber in der Matrix(8) nicht alle Determinanten, so gibt es
keinen Wert von I. der die Gleichungen: C 5X C) dX+ O) dy= O(K= O... n- 2) sämtlich befriedigte, der also bewirkte, daß vermöge der Gleichungen(7 a) dxo... dXn-2 Von X¼ unabhängig würden. Eine Anderung von bewirkt also eine Anderung der Richtung, in der die charakteristische Kurve vom Punkte

rakte- „ Wie in den lerung er eine Weise ferden tionen sselbe
auch ²(7 b) rix(8)
2 A. ential-
winden Libt es
e der
ürden. g del Punkte
XOyOzo Xp... XxO ausgeht und damit eine Anderung dieser Kurve. Demnach sind die nicht wesentlichen Parameter immer unter den Größen po... po zu suchen. Wenn daher gerade 0nls(O= S= n- 2) charakteristische Kurven vorhanden sind, so kommen po... pa- gerade in
s Verbindungen in(12 a) vor. Für s= O0 folgt daraus wieder,
daß bei cntl charakteristischen Kurven in den Differential- gleichungen der charakteristischen Streifen ein simultanes System füf Z, X, y, XI... Xn2,% enthalten ist.
§ 5. Die Schnittbedingungen der charakteristischen Kurven.
Sind die charakteristischen Kurven durch die Gleichungen
(12 a) gegeben, so erhält man die Bedingungen dafür, daß zwei unendlich benachbarte charakteristische Kurven ein- ander schneiden, aus den Gleichungen: (13) 5XX= 0, SV= O(wo sich auf 2⁰, X, y*, Xx,*⁰, py bezieht.) durch Elimination von X. Ihre Anzahl beträgt(n— 1) und wird davon nicht berührt, wie viele der Parameter pi wesentlich sind.
(Engel: Eine neue Methode in der Invariantentheorie der Differentialgleichungen, Leipz. Ber. 1905. S. 165— 166.)
Eine dieser Bedingungen können wir stets angeben, ohne die Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen integriert und damit die Gleichungen(12) aufgestellt zu haben. Die Gleichung:
(1) LPrX= LPAN)2V 0,
welche offenbar aus den Gleichungen(13) folgt, stellt ja die Bedingung dafür dar, daß die beiden unendlich be— nachbarten Elemente, die auf den beiden unendlich benach- barten Streifen zu einem bestimmten Werte von Xx gehören, vereinigt liegen. Nach dem Satze, daß zwei unendlich be- nachbarte charakteristische Streifen, wenn sie durch zwei vereinigt liegende Elemente der Gleichung gehen, ihrer ganzen
*) Das Einschließen in eckige Klammern soll die Substitution(12) andeuten.

— 16—
Ausdehnung nach vereinigt liegen, enthält diese Gleichung xX nur scheinbar. 8 reduziert sich daher auf: (14) or dr.= Dd)=O(Eh= F(29, XO,yX.AD A0) Das gilt ailsamein. welches auch die Anzahl der charakteristischen Kurven sei. Wenn weniger als 502n.l charakteristische Kurven auftreten, zerfällt diese Gleichung in mehrere Bedingungen. Es sind ja dann in den Gleichungen (12 a) po... po 2 Micht alle wesentliche Parameter, sondern sie kommen in diesen Gleichungen und daher auch in den Gleichungen(13) nur etwa in s Verbindungen:
Il,(Do. DPa. 2)(K=.. 8) vor. Setzt man (15) II,(D. bo e)= Cr(K=l. O. so sind nunmehr yozoxXo... Xo„XC... C; Wesentliche Para-
meter für die ntl†s charakteristischen Kurven. Werden nun Lare die Wertesysteme:
Vo20.xO AC.. Cs; Gy ded dX... dXO 2 D, dOO... dc. Zzwei dinea benachbar te eliarakteristischte Kurven bestiummt, die einander schneiden, also die Bedingungen(13) erfüllen, So muß die Gleichung(140, die ja aus(13) folgt, für diese Werte von yozo XO... X und füf alle Werte von pt... Dn=2 die den Gleichungen(15) genügen, erfüllt sein. Die Gleichung (14) zerlegt sich daher in mehrere(in den Differentialen lineare) Gleichungen. Deren Anzahl hängt davon ab, Wwieviel linear unabhängige Wertesysteme po... pa-s es gibt, die den Gleichungen(15) genügen; oder, bei Deutung von pꝗ... Pb— als Punktkoordinaten in einem Rn- 2, Welches die Dimensions- zalll der kleinsten ebenen Mannigfaltigkeit ist, in der die
durch(15) dargestellte(n— 2— s)-fach ausgedehnte Mannig- faltigkeit liegt. Bei n+! charakteristischen Kurven ins- besondere kommen p?... po- in(13) überhaupt nicht vor, können also in(140 ganz willkürlich gewählt werden. Daher zerlegt sich jetzt die Gleichung(14) in die(n— 1) Gleichungen: (16) dXxe=(20 X y XH XOo) dyo(K= O.. 1 2)
Diese sind voneinander unabhängig und stelien somit Lämitlictie c. 1) Slhe ittbedingungen dar. Man eArl daher in
Die! digel
chatal 51*7 Fleme der C gehör von! man! dilden einer
nachb verein 2. B. listisc man
Allgel einric Schar charal nören Eleme st, 80 die Sc Gleich Rück Bedin charal einen
Kurye Lanze Anfan
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der u-! ng in gen ndern mden
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efden
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Dn-2 chung tialen jjeviel le den
.Pn-2 Sions- er die annig- m Is- ht Vor, Dahel (ungen: 1 2) somit aher in geben.
— 17—
Kapitel II.
Die Bedingungen für die Existenz von vollstän- digen Lösungen, die aus Integral⸗-M, besteben.
§ 6. oοn†l charakteristische Kurven.
Besitzt die vorgelegte partielle Differentialgleichung n-! charakteristische Kurven, so ist jede von ihnen Punktort von n-2 charakteristischen Streifen und Träger von n- Flementen der Gleichung. Es genügen daher die Flemente der Gleichung, die zu σ solcher charakteristischer Kurven gehören, um einen Integralverein zu bilden. Die Konstruktion von Iutegral-Ma bietet demnach hier keine Schwierigkeiten; man hat nur Scharen von σ⁴ charakteristischen Kurven zu bilden, derart, daß jeder charakteristische Streifen, der zu einer Kurve der Schar gehört, mit sämtlichen unendlich be- nachbarten Streifen der unendlich benachbarten Kurve durch vereinigt liegende Elemente geht. Eine solche Schar bilden z. B. die l durch einen Punkt des Rn+1 gehenden charakte-
ristischen Kurven; den zugehörigen Integralverein bezeichnet man nach Paul du Bois-Reymond als Integralkonoid. Allgemeiner erhält man Scharen dieser Art, wenn man es so einrichtet, daß zwei unendlich benachbarte Kurven einer Schar sich stets schneiden, denn dann gehen sicher je zwei charakteristische Streifen, die zu diesen beiden Kurven ge- hören und unendlich benachbart sind, durch vereinigt liegende Elemente. Daß dies auch die allgemeinste Art und Weise ist, solche Scharen zu konstruieren, geht daraus hervor, daß die Schnittbedingungen, die im vorliegenden Falle durch die Gleichungen(16) ausgedrückt werden, zugleich(wie man mit Rücksicht auf die Bedeutung der Gleichung(14) erkennt) die Bedingungen dafür sind, daß für Zwei unendlich benachbarte charakteristische Kurven jeder charaktéristische Streifen der einen Kurve mit jedem unendlich benachbarten der anderen Kurve durch vereinigt liegende Elemente geht, mit ihm also seiner ganzen Ausdehnung nach vereinigt liegt. Einer Schar von ᷣ Anfangswerten 20(X) yOXo... X 2,NO, die dem(n- 1)-gliedrigen Pfaffschen System(16) genügt, oder, bei Deutung von
0
3

20, yO, X... XA„,Xo als Punktkoordinaten in einem Rn4 1. einer Integralkurve dieses Pfaffschen Systems, entspricht eine Integral-Me unserer partiellen Differentialgleichung und umgekehrt. Jeder Schar von œn Integralkurven des Pfaff- schen Systems, die den ganzen Rnl ausfüllt, entspricht eine vollständige Lösung, die aus Integral-Me besteht. Damit ist das Problem auf die Behandlung eines(n— 1)-gliedrigen Pfaffschen Systems in(†. 1) Veränderlichen zurückgeführt Diese Aufgabe ist allgemein nicht durchführbar. Wenn daher auch eine vollständige Ubersicht über alle vollständigen Lösungen, die aus Integral-Me bestehen, allgemein nicht gegeben werden kann, so hat es doch keine Schwierigkeit, beliebig viele soiche vollständige Lösungen zu ermitteln. Man braucht ja nur zu den Gleichungen(16) eine Gleichung von der Form: (17) d*.== X(ZL, XO, VO, XO... XG=„,.9) d⁰ (Wo X eine willkürliche Funktion ist) hinzuzufügen, so bilden die Gleichungen(16) und(17) zusammen ein simultanes System mit o Integralkurven, denen eine vollständige Lösung von Integral-Ma entspricht.
Unbeschränkt integrabel ist das Pfaffsche System(16) sicher nicht, da die xν nicht alle von» frei sind.
§ 7. Mebr als ontl charakteristische Kurven.
Wenn die vorgelegte partielle Differentialgleichung mehr
nal charakteristische Kurven besitzt, gehören zu einer
von ihnen weniger als n 2 charakteristische Streifen bzw. weniger als n- Elemente der Gleichung; man braucht daher mehr als solche charakteristische Kurven, um einen Integralverein zu bilden, und der Punktort eines solchen wird daher im allgemeinen mehr als zweifach ausgedehnt sein. Bei entkl charakteristischen Kurven gibt es also nur dann Integral-WMl, wenn es Scharen von kl charakte- ristischen Kurven gibt, die eine nur zweifach ausgedehnte Punktmannigfaltigkeit erfüllen. Jede solche zweifach aus- gedehnte Punktmaunnigfaltigkeit ist dann aber auch Punktort
als
eine leich listis gehe dahe
der FXist wolle Aulsg Gleic einen 1! nabel 0J1— D1.. bestel in Bü t) nl T sind, Lösul (4), N Wir 1 ständi- unser müsse Darsta anstell P
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mit n beson Gleich (18)
D Lösun

+ 1. vieht und faff. dricht Damit jrigen führt. Wenn digen nicht igkeit, nitteln. chung
bilden Iltanes
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m(16)
n. & mehr Lu einel en bzW. Wraucht ſen, um solchen gedehnt es à180 arakte- edehnte h aus- unktoft
einer Integral-Ma, denn auf ihr schneiden sich, wie man sich leicht überzeugt, je zwei unendlich benachbarte charakte- ristische Kurven; die zugehörigen charakteristischen Streifen gehen also durch vereinigt liegende Elemente und liegen daher ihrer ganzen Ausdehnung nach vereinigt.
Obwohl es hiernach nahe liegt, von der Betrachtung der charakteristischen Kurven aus die Bedingungen für die Existenz vollständiger Lösungen von Integral-Ma aufzustellen, wollen wir doch für unsere Betrachtungen einen anderen Ausgangspunkt zugrunde legen, nämlich die durch die Gleichungen(4) ausgedrückte Zerlegung der Schar der zu einem Punkte gehörenden n- 1 Elemente der Gleichung in 1 Bündel von je n- 2 Flementen. Jedes solche Bündel haben wir charakterisiert durch einen Wert von), seine n 2 Flemente sind dann bestimmt durch die Parameter pPi... pn- 2. Jede vollständige Lösung, die aus Integral-Ma besteht, bestimmt nun eine derartige Zerlegung der Hlemente in Bündel; und wenn es(wie es im allgemeinen der Fall ist) nur eine solche Zerlegung gibt, bestimmt sie gerade diese.
Um aber auch den Fall, daß zwei Zerlegungen möglich sind, mit einzuschließen, wollen wir von einer vollständigen Lösung von Integral-Ma sagen, sie gehöre zu der Zerlegung (4), wenn sie gerade diese Zerlegung der Elemente bestimmt. Wir können uns dann darauf beschränken, diejenigen voll- ständigen Lösungen der verlangten Art zu suchen, die zu unserer Darstellung(4) der Elemente der Gleichung gehören, müssen aber dieselbe Untersuchung, falls noch eine andere Darstellung in der Form(4) möglich ist, für diese nochmals anstellen.
Eine vollständige Lösung wird dargestellt durchen Glei- chungen zwischen den Elementkoordinaten
2, X, V, XI... Xn 2,D. Pn=2 mit n wesentlichen Parametern; eine vollständige Lösung ins- besondere, die aus Integral-Ma besteht und zu(4) gehört, durch Gleichungen zwischen den Punktkoordinaten und X¾ allein: (18 G(a,X,v.X... Xn 2,)= C di 1... n)
Denn jeder Integralverein einer solchen vollständigen Lösung scheidet aus den Elementen der Gleichung, die einem
3⸗

— 20—
Punkt seines Punktorts angehören, eines unserer Bündel aus, indem sein Punktort diesem Punkt ein zweidimensionales Element zuordnet. Er bestimmt also 2 WVertesysteme 2, X... XIL 2,X, Y,X und läßt pi... pn- 2 ganz willkürlich. Die Gleichungen(18) müssen nun, da jeder Integralverein von charakteristischen Streifen erzeugt ist, Integrale des Systems der Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen sein. Aus diesen Differentialgleichungen müssen also n Gleichungen von der Form:
(19) dGh(æ, X. y X... Xn 2.)=O-(=.. u) folgen, und zwar durch Weglassung der Gleichungen für dpi... dpn. 2 und Elimination von Di... pn. 2 aus den übrigen.
Dabei verschwinden, unserer jetzigen Voraussetzung über die Anzahl der charakteristischen Kurven entsprechend, nicht alle Determinanten der Matrix(11) identisch. Wir Kkönnen das aber sogar von den Determinanten der Matrix(8) allein voraussetzen. Verschwinden nämlich alle Determinanten dieser Matrix, so hat der Mongesche Kegel nur ⁵ Er- zeugende, und zwar gehört zu jedem Wert von eine ganz bestimmte Erzeugende. Auf jeder Integral-Ma, die einer zu (4) gehörigen*) vollständigen Lösung angehört, wäre dem- nach in jedem Punkte die Richtung der hindurchgehenden charakteristischen Kurven eindeutig festgelegt. Dann wäre aber die Integral-Ma von nur 2 charakteristischen Kurven
erzeugt, was bei mehr als ntl charakteristischen Kurven nicht möglich ist. Wenn in(8) alle Determinanten ver- schwinden, existiert also keine vollständige Lösung der ver- langten Art. Wir setzen daher jetzt voraus, daß dies nicht der Fall ist. Nun sollen aus den Gleichungen(7 a, b, c) durch Elimination der pin Gleichungen zwischen 2, X, y, X... An 2,]* und den Differentialen dieser Größen folgen. Da wir in den Gleichungen(7a) schon(n- 1) derartige Gleichungen haben, muß die noch fehlende sich aus(7 b) und(7 c) durch
*) Wenn der Mongesche Kegel nur œ Erzeugende hat, gibt es
übrigens sicher nur eine Zerlegung der Elemente in Bündel durch zwei Gleichungen(4)
zul L dann - liegt, einen dazug Bünde Punkt dem l deren gewã listisc je ein
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KurVen-
Lurven n ver- er Ver- s nicht hdurch 4=2” in den haben, durch
gibt es ch zwei
Elimination der pergeben. Damit sich aus(7 b, c) sämtliche pi eliminieren lassen, müssen in der Matrix(11) alle drei- reihigen Determinanten verschwinden. Es müssen demnach, da andererseits in der Matrix(8) nicht alle zweireihigen Determinanten verschwinden, solche Gleichungen bestehen: erG)— 10) †(EKEr Kx)— SℳrKe)=—
(20) K
= wDr.)*- 2.-GO.)(i=O... n.— 2)
Zwei passende unter diesen Gleichungen können wir zur Definition von ᷣ under benutzen, die übrigen müssen dann von selbst erfüllt sein.
Die Bedingung, die in dem Bestehen der Gleichungen(20) liegt, läßt eine einfache begriffliche Deutung zu: Wir nehmen einen bestimmten Punkt des Rn.l und greifen eines der l2 dazugehörigen Bündel C) heraus. Auf der Ea, die dieses Bündel bestimmt, wählen wir einen unendlich benachbarten Punkt. Von den n-2 Elementen der Gleichung, die zu dem Bündel C) gehören, wählen wir diejenigen οn- 3 aus, deren zugehörige charakteristische Streifen gerade durch den gewählten benachbarten Punkt gehen. Diese charakte- ristischen Streifen bestimmen in dem benachbarten Punkte je ein Element. Die Bedingungen(20) verlangen dann, daß alle diese Elemente demselben Bündel(d?) angehören. Daß diese Bedingung notwendig ist, liegt auf der Hand.
Wir nehmen an, sie sei erfüllt. Dann folgt aus(7 b, c) durch Elimination der pi:
dX= dXx Trdy. Damit haben wir das totale System: a) dXx= LudX Prdy(kK=O... n. 2) b) da= Sdx Prdy Es kommt nun noch darauf an, ob dieses System unbeschränkt integrabel ist. Setzt man
(21)
, 8 di di Ai= LeSn de . di d 1 8 Bi= Ahr de d dy so lauten seine Integrabilitätsbedingungen(A B) 0 oder
einzeln:

— 22—
a) B(o*½)— A(u)= O K=O... n— 2)
b) B(G)— A(c)= 0 Das sind scheinbaren Bedingungen. Die(n— 1) ersten Gleichungen(22 a) sind aber von selbst erfüllt. Es wird
nämlich B(E— A(l)= r V)— 41 X) r&— 2X01(XO)* kK
(22)
+ 1orO)- 34100= 0 vermöge(20). Es bleibt demnach nur die letzte Bedingung übrig. Sie lautet ausgeführt:
(0 86 0 de d 3 dr 86 d
Gehn, rde) de e Diese Bedingung stellt mit Rücksicht auf die Definitions- gleichungen von und’t eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung zwischen den ursprünglich gegebenen Funktionen So... on- 2, vo.. Dn⸗ 2 dar. Ist Sie erfullt, so ist das totale System(21) unbeschränkt integrabel. Seine Integration ist gleichbedeutend mit der Integration des voll- ständigen Systems Af= 0, Bf= O und kann auf die Integration eines Systems vonen gewöhnlichen Differential- gleichungen erster Ordnung in(n+ 1) Veränderlichen zurück- geführt werden. Hat man das System(21) integriert und dadurch ein Gleichungssystem von der Form(18) erhalten, so findet man die gesuchte vollständige Lösung von Integral-Ma bzw. die Gleichungen, die die Punktorte der Integralvereine darstellen, durch Elimination von X* aus den Gleichungen(18).
Damit haben wir die Bedingungen für die Existenz voll- ständiger Lösungen von Integral-Ma auch für mehr als nt! charakteristische Kurven aufgestellt. Man sieht, daß in diesem Falle zu den Gleichungen(4) höchstens eine einzige derartige vollständige Lösung gehören kann. Gibt es außer den Gleichungen(4) noch eine andere solche Darstellung der Elemente der Gleichung, dann haben wir auch für diese die Bedingungen(20) und(23) aufzustellen. Da es aber höchstens zwei solche Darstellungen von der Form(4) geben Kann kann eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung im Rnr mit mehr als ntl charakteristischen Kurven höchstens
(23)
Wei M Lösun.
F FPxistel mal Z0 versch mabge Vollstã dann e Lösun.

ersten Wird
9)+
mgung
tions- chung benen erfüllt, Seine voll- i die ſential- rück- t und llalten, ral-Ma ereine —(18). voll- n*! ſiesem artige I den
— 23—
zwei verschiedene aus Integral-Ma bestehende vollständige Lösungen besitzen.
Fassen wir die verschiedenen Bedingungen für die Pxistenz vollständiger Lösungen von Integral-Ma noch ein- mal zusammen, so erkennen wir, daß für das Auftreten der verschiedenen Fälle im wesentlichen der Rang der Matrix(11) maßgebend ist. Ist er= 1, so gibt es unendlich viele solche vollständige Lösungen. Ist er= 2, so gibt es dann und nur dann eine, aber auch nur eine zu(4) gehörige vollständige Lösung der verlangten Art, wenn
1. gerade die zweireihigen Determinanten der letzten beiden
Spalten nicht alle identisch verschwinden,
2. die Bedingung(23) erfüllt ist.
lst der Rang der Matrix(11)= 3, So gibt es keine
zu(4) gehörige vollständige Lösung von Integral-Ma.

Zweiter Teil.
Vergleiche mit anderen Methoden.
§ 8. Hbleitung der Bedingungen ohne Benutzung der charakteristischen Streifen.
Die Gleichungen(4) hatten wir erhalten aus den Gleichungen einer aus Integral-Ma bestehenden vollständigen Lösung(2),(3).
Sind nun die Gleichungen(4) vorgelegt, so Kkann die Frage nach vollständigen Lösungen von der Form(2) so gestellt werden: Es ist X so als Funktion x und y(und n willkürlichen Konstanten) zu bestimmen, daß durch Ein- setzen dieser Funktion in(4) diese Gleichungen die Form (3) erhalten. Es müssen also die Gleichungen:
dX dX (24) 8X. 3. ehi(2, X. y, X1... Xn 2,J.)(1= 0. I1—2)
— G(2 Xo Vy, XI... Xn—2,”);
von Funktionen X und X¾ von X, y und n willlkürlichen Konstanten erfüllt werden können. Die Integrabilitätsbe- dingungen von(24) lauten:
2 d) 5 O) dr i 09 dy 4 b1'(X) 5 91 G)
(25)
Das sind(n-— 1) Gleichungen für 82 und 8 und es dX dy
kommt nun auf die Matrix der Koeffizienten an, die nichts anderes ist als die Matrix(11).
Verschwinden in dieser Matrix nicht alle dreireihigen Determinanten identisch, So sind unter den Gleichungen(25) sicher drei, die nicht miteinander verträglich sind. Dann
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(27) 2
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und es
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eihigen Lenl(25) Dann
25—
sind also vollständige Lösungen der gesuchten Art sicher nicht vorhanden.
Verschwinden in der Matrix(11) alle dreireihigen, aber nicht alle zweireihigen Determinanten, so sind sämtliche Gleichungen(25) eine Folge von zwei dieser Gleichungen. Es kommt jetzt darauf an, ob insbesondere alle zweireihigen Determinanten der beiden letzten Spalten(1 1) verschwinden oder nicht. Im ersteren Falle sind unter den Gleichungen (25) sicher zwei nicht miteinander verträgliche; im letzteren Falle dagegen kann man zwei der Gleichungen(25) nach
= und
d. d dy auflösen und hat dann auch die übrigen Gleichungen befriedigt. Die Auflösung möge ergeben: AA 94 (20) dxX= 3(2. X. Y,XL.. XN— 2.2), d7 T(2, X. Y, X..Xn. 2, 2)
(Dabei haben ᷣ und t offenbar dieselbe Bedeutung wie S. 21.)
Die Gleichungen(24) und(26) zusammen müssen, wenn sich für die vorgelegte Differentialgleichung durch unser Ver- fanren eine vollständige Lösung von Integral-Ma ergeben soll, ein unbeschränkt integrables System bilden. Die Inte- grabilitätsbedingungen reduzieren sich, da das System(24, 26) gleichbedeutend ist mit dem totalen System(21), wieder auf die Gleichung(23).
Verschwinden endlich in der Matrix(1 1) alle Zweireihigen Determinanten, so unterscheiden sich alle Gleichungen(25), soweit sie sich nicht auf O= 0 reduzieren, nur um einen Faktor. Man erhält demnach nur eine Gleichung zwischen d7 und 5(Die Gleichung enthält— und d beide wirk- lich, da weder die ρe⁵μ⁴) noch die ½ν alle verschwinden.) Sie aee
(27) 22à 4 5 dr 7 wobei (28):9:T= 9r O.):— 1 O.): †r(X)=&) † =y(er Pr(XO= SrE(XK)) d= O.. n— 2) und
wo à—= 0, weil nicht alle 4 verschwinden sollen. Um nun das System:

dXI d D1(Z, X, Y, X.. Xn- 2,4ℳ);
dX.
(29) d 9(2, X, V, XI... Xn- 2,2);
in allgemeinster Weise zu integrieren, denken wir uns
2, X1... XHD= 2.“ durch das Gleichungssystem:
(30) F(2, N. An 2.»Xy)= C(1=... Mn)
(wo I.... Fn in Bezug auf 2,X... An- 2.* voleillamder unabhängig sein sollen) als Funktionen von Xx und y definiert und fragen nach den Bedingungen, denen Fi... Fn ge- nügen müssen, damit diese Funktionen dem System(20) genügen. Ist F eine der Funktionen Fi... Fn, so ergibt
sich durch Differentiation der entsprechenden Gleichung(30) unter Benutzung von(20): dF V dE 8)*. 8 2— dP 14 d 1 8. dl dX 4 h br⸗ 8)
Maltiplikation mit bzw. und Addition liefert unter Berücksichtigung der letzten Kieins(29): „d d d 8dF
31) X+ 60 0 831 8 dX b dy 240 1 lyda 87.
Dieser linearen partiellen Differentialgleichung müssen
also die Funktionen Fi... Fn genügen(natürlich ist das nur notwendig, nicht hinreichend). Wir können das etwas anders ausdrüicken. Deltten Wif 2, X1... Xn. 2X.y.*. als
Punktkoordinaten in einem Rn+† 2, So sagt die Gleichung(31)
aus, daß die durch(30) dargestellten zweifach ausgedehnten Integralmannigfaltigkeiten des Systems(20) bei der infini- tesimalen Transformation Xf invariant bleiben, daß sie also von Bahnkurven dieser infinitesimalen Transformation er- zeugt werden. Diese Bahnkurven werden bestimmt durch
das simultane System:
auch jeden Syste im F
Vony als nu liefern
man.
wenn Wir 3 die

)
nander efiniert 5 ge n(29) ergibt (30)
t unter
müssen jst das etWas y,) Als Ig(31) dehnten r infini- sie also tion el- t durch
(32)„. oe en),
das wegen(28) mit(7abc) gleichbedeutend ist.
Es wird sich jetzt darum handeln, aus den n4 Integralkurven dieses Systems Scharen von Kurven so auszuwählen, daß die so entstehenden M dem System(29) genügen. Die Integration des Systems(32) möge liefern:
(33) 4) X= Xx; y= V. b)* Kà(K O... n— 2) wo für X= XO jst X XA(K= O n- 2), y= yo,*= 0 kK k. 3 N,.
Deuten wir yo, 20, X... X„,No als Punktkoordinaten
in einem Rn.† 1, so entspricht jeder Kurve dieses Rn41 eine von Integralkurven des Systems(32) erzeugte Ma, und es kommt darauf an, diese Kurve im Rnpl so zu wählen, daß die entsprechende M⸗ im Rnr dem System(20) genügt. Da die Gleichungen(20), insbesondere die Gleichungen:
d,
b P(2n X, Y, i..Xn 2,.)(= O... n 2)
₰
auch für X= xX erfüllt sein müssen, muß die Kurve im Rn41 jedenfalls eine Integralkkurve des(n— 1)-gliedrigen Pfaffschen Systems(16) sein. Diese notwendige Bedingung ist nun, wie im Folgenden gezeigt werden soll, auch hinreichend.
Wir denken uns 20, X... Xb so als Funktionen von yo gewählt, daß die Gleichungen(16) erfüllt sind(Xo wird als numerisch fest bestimmt betrachtet). Die Gleichungen(33) liefern dann eine Parameterdarstellung einer Ma im Rn†: man erhält Xo... Xn- 2,- direkt als Funktionen von x und y, wenn man vermõge(33) vy' als Funktion von x und y ausdrückt. dX dy d die auf S. 15. angegebene Bedeutung, so wird zunächst:
dX Wir bilden die Ableitungen 82(Kä= O. n= 2). Hiat

— 22—
Um zu sehen, ob der Ausdruck auch für beliebiges X den vorgeschriebenen Wert ⁄(2, X, y, Xi... Xn- 2,⁄) an- nimmt, bilden wir:
8. dl9.
d V 1*†/N—, 5, 6 3—— u 8
Gx(XL[l 5 NV) 5 3lor 1 b IOkXI L2! dXx 9 1, 6 S[ d bX] V 3eul e ll 3 lebul(
Dabei wird: 3—,, 8 loxl=[E'α)I3N+ HI 3A 2['XDI5X
—— 5 lDrI= OISV 1920SX AlNGOISXA
Gdle) 6 3 3 dX l RXNI 5 k= 8 kO)YI A 1Xi) i„!
und dahen:
G NI
.& X lbxl 7) Lle) 1— 4*XXiI X
9— lo 0) Sl 4ʃε0] 2ℳA 7 8 3 1, 2„ V 1⁰ K 69 X) f A³ 09 KX 2* Ki) 21 2S V. Wegen(28) verschwindet der Faktor von à& und der Faktor von V läßt sich schreiben:
K
241= le CX)+„ X(X] l4il, sodaß man erhält:
(XX= Lxl?Y)= 4 LOrD+ 5 4Xi)X= ltl ³V) Diese Gleichungen stellen für die Ausdrücke OXX— ν0 V ein System von(n- 1) linearen homogenen Differential- gleichungen dar. Da diese Ausdrücke bei unserer Wahl Von dy“°, dzo,dxx... dxo„„dxo für xX= Xo verschwinden,
müssen sie demnach identisch verschwinden. Die Gleichungen dXI S pa Sind also erfüllt.
Weiter wird nun: dXg dXK 5 Xa dy dX de r( ä= O... n1= 2)
*) Die eckige Klammer soll die Substitution(33) andeuten.
dx Beste brauc
werd
als I
sieht

N rential- Wanl winden, mnungen
dV „. be Dabei ist y dyõ dY. 61 dXa 6 Wegen Se 12 d lex„ ul erhält man daher: de v. dX= 7«l le Ir! leleV[eul. Die Gleichungen dX— S Ok(K= O... n=2) sind also auch erfüllt. Das
Bestehen der Gleichung: 8,+ß 3/ 0
brauchte eigentlich gar nicht besonders nachgewiesen zu dXX d dy als Integrabilitätsbedingung durch Differentiation folgt; man sieht es aber auch sofort direkt ein: Es wird
do dAà zA dpe 1 12, d AA
d d Gdyo dxX 4 3V 3V woraus, wie man sieht, die Gleichung folgt.
werden, da sie aus(K=O 2)
Zu jeder Integralkurve des Pfaffschen Systems(16) gehört also in der Tat eine Integral-Me des Systems(20) und damit eine Integral-Ma der vorgelegten partiellen Differential- gleichung erster Ordnung.
Die eben benutzte Methode liefert übrigens, wie aus dem Gedankengang am Anfang hervorgeht, nur die zu der Darstellung(4) der Gleichung gehörigen Integral-Ma. In dem letzten Falle aber(Rang der Matrix(11)= 1) sind das sicher alle, da es in diesem Falle sicher keine andere Darstellung der Gleichung in der Form(4) gibt.(Vergl. S. 20, Anm.).
Bei Benutzung der ersten Methode war das selbstver- ständlich, da die charakteristischen Kurven natürlich von der Darstellung der Gleichung unabhängig sind.

§ n. Eine andere Bbleitung der Bedingungen für die Existenz vollständiger Lösungen von Integral-Ma bei mehr als"ntl charakteristischen Kurven.
Steingräber und Ziemke haben die Frage nach Integral-Ma unter alleiniger Benutzung der charakteristischen Kurven behandelt, während wir vermöge einer ersten not- wendigen Bedingung(§ 1.) die weitere Betrachtung auf eine bestimmte Klasse von Differentialgleichungen beschränken konnten, bei der sich besonders bequeme Koordinaten für die Elemente der Gleichung verwenden ließen. Bei n†! charakteristischen Kurven unterscheiden sich die beiden Methoden nicht wesentlich, da auch wir in diesem Falle die Integral-Ma mit Hilfe der charakteristischen Kurven konstruiert haben. Dagegen wird, wenn mehr als n†l charakteristische Kurven vorhanden sind, die Untersuchung bei Zugrunde- legung unserer Koordinaten und der damit zusammenhängenden Zerlegung der zu einem Punkt gehörigen Elemente der Glei- chung in Bündel erheblich vereinfacht. Im Folgenden soll der innere Grund für diese Vereinfachung noch etwas deutlicher herausgehoben werden, indem wir unsere Bedingungen für die Existenz vollständiger Lösungen von Integral-Ma noch einmal auf eine andere Weise ableiten wollen, die sich im Gedankengang an Steingräber anschließt, dabei aber doch unsere Zerlegung der Elemente der Gleichung in Bündel sich zunutze macht.
Die Anzahl der charakteristischen Kurven sei n†l†s (1SSSn- 2). Durch einen Punkt gehen dann οS1 charakteristische Kurven, und 2war gehören zu jedem Bündel 00) von Elementen der Gleichung dieses Punktes s. Insgesamt wird eine charakteristische Kurve von s42 anderen ge- schnitten, darunter von osl unendlich benachbarten. Bezieht man die onts charakteristischen Kurven, die einer solchen Kurve unendlich benachbart sind, auf die Punkte eines Rn+ s, S0 entsprechen den s-l Kurven, die die gegebene Kurve schneiden, die Punkte einer Ms †1 dieses Rn4s. Diese Ms4 ist überdies aus 1Es zusammengesetzt, weil jedes- mal den Kurven, die die gegebene in einem Lanz bestimmten Punkte schneiden, eine solche Es entspricht. Steingräber
und Integ dene del Von sche in de Kur 4180 die g gehõ folge 1.
Lelle durch benu einer ja vo listis gehõ Elem Diese Ms à
1.

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nach Schen not- keine inken en für onl deiden le die truiert tische unde- enden Glei- Al der Uicher 2n für noch ch im doch lsich
‿1ℳs 05+! del O.) esamt 21 ge- dezieht olchen +s 80 Kurve Diese jedes- mmten. räbel
und Ziemke wenden nun folgende Uberlegung an: Eine Integral-Ma enthält s+†l charakteristische Kurven, von denen sich je zwei unendlich benachbarte schneiden“*). Aus der Schar der sI charakteristischen Kurven, die einer von ihnen unendlich benachbart sind und sie schneiden, scheidet sie demnach es aus und zwar durch Gleichungen, die in den unendlich kleinen Zuwüchsen der die charakteristischen Kurven bestimmenden Parameter linear sind. Sie bestimmt also auf der Msreine Es Daher kommt die Frage, ob die gegebene charakteristische Kurve einer Integral-Ma an- gehört, die in einer vollständigen Lösung enthalten ist, auf folgendes Problem hinaus:
1. Es ist zu untersuchen, ob die Ms 1 außer den erzeu-—
genden E noch andere Es enthält.
2. Wenn dies der Fall ist, ist zu untersuchen, ob das durch eine solche Es bestimmte Pfaffsche System
unbeschränkt integrabel ist.
Diese Fragestellung vereinfacht sich, wenn man die Zerlegung der Elemente der Gleichung in Bündel, wie sie durch die Gleichungen(4) zum Ausdruck gebracht wird, benutzt. Zu einer und derselben Integral-Ma, wenigstens zu einer solchen, die zu der Bündelzerlegung(4) gehört, können ja von den durch einen bestimmten Punkt gehenden charakte- ristischen Kurven nur solche gehören, bei denen die zu- gehörigen charakteristischen Streifen in diesem Punkte Elemente bestimmen, die zu demselben Bündel C) gehören. Diese Forderung scheidet aus der betrachteten Ms† weine
Ms aus, die aus l Es besteht. Jetzt lautet das Problem: 1. Ist diese ganz bestimmte Ms eine Es, und, wenn sie
eine ist: 2. Gehört zu ihr ein unbeschränkt integrables Pfaffsches System?
*) Die Bedingungen dafür, dabß 08Xl Kurven nur eine Me erzeugen, sind identisch mit den Bedingungen dafür, daß je zwei unendlich benach- barte unter ihnen sich schneiden. Wenn daher 8 1 charakteristische Kurven überhaupt eine Me erzeugen, so erzeugen sie auch eine Integral-Ma, da ja je zwei unendlich benachbarte der zugehörigen charakteristischen Streifen vereinigt liegen.

Man sieht jetzt schon, daß die Frage erheblich einfacher geworden ist; man braucht ja nur eine bestimmte Ms der Ms daraufhin zu- untersuchen, ob sie eine Es ist, während sonstige E;, die etwa noch außer den erzeugenden Es in der Ms enthalten sind, ganz außeracht gelassen werden können, weil zu ihnen(falls sie nicht gerade eine Integral-Me bestimmen, die nicht zu der benutzten Bündelzerlegung gehört) sicher kein unbeschränkt integrables System gehört.
Wir wollen das jetzt analytisch ausführen. Die charakte- ristischen Streifen seien dargestellt durch die Gleichungen(12). Die Gleichungen(12 a) bestimmen dann die charakte- ristischen Kurven. In ihnen kommen, entsprechend unserer Voraussetzung über deren Anzahl(nach S. 15), P?... Pn-2 nur in s Verbindungen II1... IIs vor. Das gilt aber auch für die Gleichung(12 b). Eine Anderung der po nämlich, die die II ungeändert läßt, die also nur die charakteristischen Streifen einer charakteristischen Kurve untereinander ver- tauscht, muß ja X in jedem Punkt der Kurve ungeändert lassen, weil mit jeder Anderung von% eine Anderung der Kurvenrichtung verbunden ist(S. S. 14 f.). Die zu einer gegebenen charakteristischen Kurve unendlich benachbarten charakteristischen Kurven, welche dieselbe schneiden, werden bestimmt durch(13).
Durch die weitere Gleichung(13) 8A= 0 werden ins- besondere diejenigen unter ihnen ausgewählt, bei denen die zugehörigen charakteristischen Streifen im Punkte x, dem Schnittpunkt mit der gegebenen charakteristischen Kurve, Elemente bestimmen, die demselben Bündel) angehören wie die Elemente, die von den zu der gegebenen Kurve gehörigen charakteristischen Streifen bestimmt werden. Die Gleichungen(13) stellen demnach, wenn wir
dyO, dZo, dxO.. d xo„d⸗, dLla... dIl. als homogene Punktkoordinaten in einem Rns deuten, die oben betrachtete Ms †1 dar(zu jedem Wert von x gehört eine der erzeugenden Es); durch Hinzufügung der Gleichung
(130 erhalten wir die Ms, von der wir zu untersuchen haben,
ob 81 festzl Flimi- Man
J ein u folgt, genöf Vollst der F gralw ldenti 10=
Alc· mithit Syste dieses Ausd

racher 1s der hrend in der ferden al-M. egung enört. fakte- u(12). Takte- nseler . Pn-2
auch n, die Schen Vel- ändert g der
einer barten ferden
en ins- een die „ dem Kurve, enöten Kurve -. Die
e, die gehölt ichung haben,
ob sie eine Es ist. Die Untersuchung kommt darauf hinaus, festzustellen, unter welchen Bedingungen aus(13),(13) durch Elimination von x ein n-gliedriges Pfaffsches System folgt. Man sieht, daß hierbei die Zahl s gar keine Rolle mehr spielt. Daß aus(13),(13) wirklich durch Blimination von X ein unbeschränkt integrables n-gliedriges Pfaffsches System folgt, Wenn zu(4) eine vollständige Lösung von Integral- Ma gehört, sieht man auch sofort analytisch ein. Eine solche Vollständige Lösung wird dargestellt durch Gleichungen von der Form(18), und es müssen, da jeder nicht singuläre Inte- gralverein von charakteristischen Streifen erzeugt ist, die ldentitäten bestehen: [Chil= O.(2. r. Xn. 2, X, V. A): GD(2 X. x„ XO, y0..0)
8 n— 21 6=) . dl a.J 2 e e Sr Iee Ba e., d9,o.) 5,) 2 16 d* (1= 1.. 11)
Aus den Gleichungen(13),(130 folgt nun: 3[GI= 0, also auch 8 Ghr(20, X1... XO„ XO. y0. 4)= 0(i=1. m. mithin ein unbeschränkt integrables n-gliedriges Pfaffsches System.
Nunmehr wollen wir die Bedingungen für das Eintreten dieses Falles aufstellen. Wir haben zu verlangen, daßun Ausdrücke von der Form:
1. n— 2 8 ₰ 1 (34) 43 7) brXn C9Y d3A 4 kK existieren, die von x frei sind, wobei in der Matrix: (1(1) 1) 1 Ä3' 41.. Hn Cd (35) 3 20 b Pee den
nicht alle n-reihigen Determinanten verschwinden sollen.—
Die Aufgabe wifd dadurch etwas vereinfacht, daß wir schon
eine Pfaffsche Gleichung der gesuchten Art angeben können,
nämlich die Bedingung der vereinigten Lage, die ja nach 5

— 3 4—
dem Satze, daß zwei charakteristische Streifen, die durch vereinigt liegende Elemente gehen, ihrer ganzen Ausdehnung
nach vereinigt liegen, Xx nur scheinbar enthält. Sie lautet: 1... n 2
Az= 37+ 2 PilbilsVY= PIX= O 1
Nach dem erwähnten Satze hat die linke Seite die Form: 1... n— 2
(35) Az2= 9(do+ pi4 dyo- 5 Podx*)= PDz, wWo„ 1
eine im allgemeinen nicht verschwindende Funktion von 20„XN... AO„, ,0, PO... De„, X ist, die uns nicht Weiter interessiert. Drücken wir in(34) 5 durch Dz, 5V, 3X.. Xn- 2 aus, So gehen diese Ausdrücke über in Ausdrücke von der Form:
1...n—2
G6) ADz+ BX CN+ EA, wo wieder in der
K Matrix:
A(d) B(¹) B(d' CGl) D)
1 n— 2
(37)
A) B¹) Bh)„CIn) D()
. B
nicht alle n-reihigen Determinanten verschwinden. Da Dz selbst schon ein solcher Ausdruck ist, können wir setzen: AG)= 1; B0= B).= Bch= CG=DG O und naben dann zu verlangen, daß in der Matrix:
BGE).. B2 CG))3 [B)... B6 OGol) nicht alle(n— 1)-reihigen Determinanten verschwinden.
Der Ausdruck(36) soll nun von x frei werden, seine Ab- leitung nach x muß also verschwinden. Bei der Differentiation hat man zu berücksichtigen, daß
Gd ä
Die Ableitungen von Z, X... Xn- 2,V, A nach x ergeben sich aus den Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen. Wir setzen zur Abkürzung:

n von weiter Xn-2 on der
in der
Da Dz Setzen: [haben
tine Ab- entiation
ergeben stischen
(39)
(40)
(41)
(42)
dv vPL2 0! dG LSrI O)) ler)= Aꝗꝙ† e GD= Erbr O)!= 8; K dà zPis Gr P*0= 1 und erhalten weiter
d Xxx lon]* Tbal 5(Kk= O... mn-= 2)
Es wird dann:
dD2 da A d 0 d d5
X “ 85—ol+ Ll 25 K= 1... I1— 2) Dabei ist mit Berücksichtigung von(350
5lel= blE X2ND2 2)— P eleY+ 1... n— 2
5 Neua pPi QloX+[ęOLA
3inl= 2WeO⸗„AG)— IIpI 4i ν²*V+
281b .n— 2
.A) u,(2)l? X+[6½0lOA(Kk= 1... n— 2) Hitierentialion von(36) ergibt daher:
. n— 2 as r⸗ Peuw en(2)] 8.]) D2—4
1.. 82 dC I(ArLee NWSA S(o,(hEc(⸗pi 5 as. κ)-5 Gy) ena. 1(Z) 80(2))] Be I 1...n=2 1. n.— 2 dB Wlat 1(Ku)--5 n XE)- P(F ½(2)+ 5())-Bx L. K 1.. nb92 e- Ls.) dE 1.. n=2. 3 2- SEO 6w2OI-B A E2=o k
5*
xX J2X

Das muß für beliebige Werte von
dzo,IXO GXA. 2„Gy0, G*,. dP?... doo. 2 gelten. L2, Xr. 2X 2,2V, A, 9, 21 sind lineare homogene Verbindungen dieser Größen. In Bezug auf ihre Unabhängig- keit sind zwei Fälle möglich. DZ, X1... 3Xn= 2,3V, A, 35 sind stets voneinander unabhängig. Dagegen enthalten d¹ und 5e beide 5... 5Dn 2. Es kKann also zwischen d1 und ds eine Relation bestehen, dann nämlich, wenn aus(30) PDi... Pn-= 2 sämtlich eliminiert werden können. Das tritt (vergl. S. 21) ein, wenn Geletneent bestehen von der Form: (20) 81= ſro1.)= 3„O d= O... n— 2)
Dann besteht die Beziehung:
1= B lAlS
51= 511 lelesℳ 85 la) Wenn eine solche Beziehung nicht besteht, also Pi.--Pn- 2 aus den Ausdrücken für s und l nicht eliminiert werden
(43)
können, dann enthnält l außer DZ, X.... SXn 2,5Y, S4, 35 auch noch eine oder mehrere der Größen 3 Pi... 5Pn- 2, ist also von Dz, SX... 5Xn- 2,5V, MA, 3E unabnängig. In
diesem Falle sind in der Gleichung(42) sämtliche Koeffizienten gleich null zu setzen.
Aus den Gleichungen:
1. n— 2 E= O und C[bkl Bk= 0, — die man so u. a. erhält, geht schon hervor, daß dann sicher keine n— 1 Lösungssysteme B0) C E' existieren, derart, daß in der Matrix(38) nicht alle(n— 1)-reihigen Determinanten verschwinden.
Das Bestehen der Gleichungen(20)) ist also notwendig dafür, daß aus den Gleichungen(13),(13) durch Elimination von X ein n-gliedriges Pfaffsches System kenaf Da die Gleichungen(12) auch nach y, 20, XO... Xo„ ,0, D; p. aufgelöst werden können(jedes nicht singuläre Flerran der Dheicſiue gehört ja einem charakteristischen Streifen an), ist die Substitution l] eine Transformation und kann daher
in den
50 die
als eil- unserel Integr
1
D2², ²) erst di (43) W
60) 31= lr
—+
80 nunme
14 dX
D D ges Interes drückt alls.

(44)
a)
b)
in den Identitäten(20)) weggelassen werden. Wir erhalten so die Gleichungen(20), deren Bestehen wir schon früher als eine notwendige Bedingung für die Existenz einer zu unserer Darstellung(4) gehörigen vollständigen Lösung von Integral-M erkannt haben.
Ist diese Bedingung erfüllt, so haben wir àl durch DZ, 3X... 5 Xn- 2, 3 V, 5A, ds auszudrücken und nachher erst die Koeffizienten gleich null zu setzen. Nach Gleichung (43) wird:
31= lrl 35+ 9 lo'(2)+ S1'(2)]10z+
o G)+* G- A 4G Q) K*(2)l2
+ lo0)+ r0SA+
1.. n= 2
etaeners 8r())5 X
1
Setzt man das in die Gleichung(42) ein, so erhält man neunden Gere Nullsetzen der Koeffizienten:
4— Aae: Vs 1C)-Sr(2)l 4= Dle(2)= er”(2) E= O 1... n— 2 C Alll. B lrl-E= O 1 6 1. n—2. 1 4 V)= 6(= NDAXZ) νν Q* B 4+ 1 ie 59 e)= ADMAGG(2)—= Kr(2))l-E=O D Ae. He⸗ † 8 K)+ pP(E(2)+ 8 ½ ν 2)IB 4 1 Lo. 1 59(Xa) P(6,(2)+ 81/(2))]. E 0 1.—2
a4 1 TN eONB EO) †er Gh.
Die ergi dieser Gleichungen bestimmt, wenn Bi... Bn- 2, D gegeben sind, A bis auf eine additive Konstante und interessiert uns daher nicht weiter. Die zweite Gleichung drückt C linear und homogen durch B1... Bn-2 und E aus. Ihre Differentiation liefert unter Berücksichtigung der

übrigen Gleichungen eine lineare homogene Relation zwischen B1... Bn-, E. Wenn eine solche Relation(mit nicht säâmtlich verschwindenden Koeffizienten) wirklich besteht, gibt es keine(n— 1) Wertesysteme B6),D09, CG, in deren Matrix nicht alle(n— 1)-reihigen Determinanten verschwinden. Wenn dagegen keine solche Relation besteht, können die Anfangswerte von B9)... B0„EG) so gewählt Wwerden, daß die Determinante: Bt...B2e LEG) V
. B00), Rn für X= Xo und daher auch in einer gewissen Umgebung dieses Wertes nicht verschwindet. Die Gleichungen(45 d e) bestimmen dann B)... B0„,EG) als Funktionen von X und C berechnet sich aus(45 b) so, daß auch die Gleichung (45 Cc) erfüllt ist.
Wir haben also zu verlangen, daß in der zwischen B... Bn- 2, E bestehenden Relation alle Koeffizienten
identisch verschwinden. Daraus ergeben sich die Gleichungen:
dl* 8—. 2 5 Sip,(2. Aa+le y) 59 1)— MADG 1(2)+ ⁵ 1..n=2 2½ 6(EXXE) 8XX) Pu( X(2)) i
59* Q) O) 6w26)1= O dle 4 O)&*)— Dre) 5r—4.
1... n— 2
85 Ls(3(Xr' X)-* P G'(2)+(2))* + r(0)+ 8r0))I= 0
Setzt man hierin die Ausdrücke:
dioxl N9„ 7,, 2. 1 2,
dx— ◻ 9 KXE)(EEA So+ 4 0O+ r) 4*(X+ℳ 0)! dla b(KäV= 1.. I1=2) =[re Aer ℳ 44)+ 0 Geℳ 4)+G) ErG
ein, sSo reduzieren sich die Gleichungen auf:
b) G)
l wiede Gleick zusal
vollst C
0
Untel unser keine haber inden Es is gehoͤl (13), sches
selbst

schen nicht steht, deren nden. n die erden,
ebung 45 de)
on X, chung
Schen jenten ingen:
g)h
2))+
2)(eGt p. 9 Xp+‿ ½0-4= u 4 XCX— 34 ½09J= 0O
(47)
1 1
u.(K— 1. n— 2)
b) 15Gy n 3 X) r00— 1(X) e Cr))— r'OA)l=O
Diese Gleichungen sind aber, da die eckigen Klammern wieder weggelassen werden können, nichts anderes als die Gleichungen(22)(mit Ausnahme der ersten*)(K= 0)), die zusammen mit der Bedingung(20) für die Existenz einer vollständigen Lösung von Integral-Ma auch hinreichend sind.
Somit zeigt sich also, daß der zweite Teil unserer Untersuchung, die Aufstellung der Integrabilitätsbedingungen unseres Pfaffschen Systems, überflüssig wird, da sich doch keine weiteren Bedingungen mehr ergeben können. Wir haben damit eine weitere Vereinfachung unserer Aufgabe, indem zu der allein zu untersuchenden Més, wenn sie eine Es ist, allemal auch ein unbeschränkt integrables System gehört. Analytisch heißt das: Wenn aus den Gleichungen (13),(13) durch Elimination von x ein n-gliedriges Pfaff- sches System folgt, so ist dieses unbeschränkt integrabel.
*) Das schadet hier nichts, da die Gleichungen(22 a) ja doch von selbst identisch erfüllt sind.

Dritter Teil.
5nwendung der im Vorbergebenden benutzten Methode auf die Bestimmung vollständiger Lösungen von Inte- gral⸗Ma bei Differentialgleichungen im Re
§ 10. Beschränkung der Hufgabe.
Es liegt nahe, bei der Untersuchung partieller Differential- gleichungen erster Ordnung mit vollständigen Lösungen, die aus Integral-Ma bestehen, in ähnlicher Weise vorzugehen, wie wir das bei partiellen Differentialgleichungen mit voll- ständigen Lösungen von Integral-Ma getan haben. Eine voll- ständige Lösung von Integral-Ma bestimmt ja, enisprechend einer vollständigen Lösung von lntegral-Ma(§ 1.) eine Zer- legung der zu einem beliebigen Punkt gehörigen Schar von
je n3 Elementen, weil jede der ν durch den Punkt gehenden Integral-Mz dort eine Ez und damit ein solches Bündel von οn=-3 En bestimmt. Die Differentialgleichung muß sich also, wenn sie eine vollständige Lösung von Integral-Ma besitzt, durch drei in den p lineare Gleichungen mit zwei Parametern,. 9ersetzen lassen. Wir können daher von dieser Parameterdarstellung der Elemente der Gleichung ausgehen und in entsprechender Weise wie für Integral-M untersuchen, wann ihr wirklich eine vollständige Lösung von Integral-Mz entspricht. Dabei ist jedoch zu beachten, daß wir auf diese Weise nur diejenigen voll- ständigen Lösungen erhalten, die zu der benutzten Parameter- darstellung gehören(S. 19). Bei der Untersuchung der Integral-Ma lag darin keine Schwierigkeit, da die zu einem Punkt gehörigen Elemente der Gleichung auf höchstens zwei verschiedene Arten in ↄl ebene Bündel von je en-— 2 Elementen zerlegt werden konnten. Bei unserer jetzigen Untersuchung kann aber der Fall eintreten, daß sich die
Schal auf u— von wiedt Punk ſeplã Bünd Klal,
sobal brauc 2U 26 beolit ausg Bünd die d bestil nalten Aufg Verla Syste Folg der! der e von
ausg. Zerle
sichtic zusam

dode Inte.
ungen ynnen der le für ndige eh 28 Voll- neler- r del einemn
stells
51-2
Zigen h die
Schar der zu einem Punkt gehörigen Elemente der Gleichung auf unendlich viele verschiedene Arten in ο ebene Bündel Vvon je n-—3 Elementen zerlegen läßt. Deutet man die P wieder als Punktkoordinaten eines Ru, sodaß die zu einem Punkt gehörigen Elemente der Gleichung durch eine Mn. repräsentiert werden, so entspricht der Zerlegung in ebene Bündel eine Zerlegung dieser Mn- 1 in* En- 3. Es ist nun Klar, daß unendlich viele solche Zerlegungen möglich sind, sobald die Mn-l in En- 2 Zerlegt werden kann; man braucht ja nur jede En- auf irgend eine Weise in 3 zu zerlegen. In diesem Fall kann man also nicht von einer bestimmten Zerlegung der Schar der Elemente in Bündel ausgehen, sondern man wird allgemeiner nach allen ebenen Bündeln von je on-3 Elementen bzw. nach allen Ea fragen, die durch die Schar der Elemente der Gleichung eines Punktes bestimmt werden*). Da jede En- 2-n- 2 En-3 enthält, er- halten wir zu jedem Punkt οn- 1 Bündel bzw. E.. Die Aufgabe, aus diesen E, Vereine von je Ea zu bilden, Verlangt die Behandlung eines(n— 2)-gliedrigen Pfaffschen Systems in 2n Veränderlichen. Wir wollen diesen Fall im Folgenden ausschließen und nur von solchen Zerlegungen der Elemente in ebene Bündel ausgehen, die nicht in der eben beschriebenen Weise aus Zerlegungen in α⁴ Bündel von je n-— 2 Elementen hervorgehen. Dabei soll es nicht ausgeschlossen sein, daß die Mn-1 außer der benutzten Zerlegung in*En- 3 noch andere solche Zerlegungen oder sogar eine Zerlegung in l En- 2 Zuläßt, nur dürfen nicht je ⁴ der benutzten*En- 3 in einer En- liegen.
Es versteht sich von selbst, daß bei dem angedeuteten Verfahren nicht immer alle vollständigen Lösungen, die aus Integral-Ma bestehen, aufgesucht werden, sondern eben nu diejenigen, die zu der Zerlegung, von der wir ausgehen, gehören.
Wir führen die Untersuchung nicht allgemein durch, sondern beschränken uns auf die geringste in Betracht
7 n
*) Dabei braucht man natürlich nur diejenigen Bündel zu berück- sichtigen, die in einer Schar von Bündeln enthalten sind, welche zusammen alle Elemente der Gleichung des Punktes umfassen.
6

3 5 fi 1
—
(48)
(49)
(50)
kommende Zahl der Veränderlichen, also auf die Differential- gleichungen im Rs(n= 4)
§ 11. Die Differentialgleichungen der charakteristischen Kurven.
Wir gehen von den Gleichungen: PM= Sk— dr(K= 1, 2, 3) aus und leiten die Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen in derselben Weise ab, Wie dies in§ 2 geschehen ist. Die Bedingung der vereinigten Lage lautet: 1, 2, 3 da- ddy 5(2X= do) dXx= K Die Bedingung dafür, daß zwei einem Element der Gleichung unendlich benachbarte und mit ihm vereinigt liegende Elemente der Gleichung„untereinander vereinigt liegen“, erhält man durch Nullsetzen der bilinearen Kovariante.
Diese Bedingung muß nun, wenn dZ, dy, dXx, dX, d b., dq das charakteristische Element ist, für jedes Element 32, dy, 3 XL, 5¼, Db., O- erfüllt sein, das die Bedingung:
1, 2, 3
32⸗ 42y- 1) 3X
erfüllt. Man hat also diesen Ausdruck für dz einzusetzen und dann die Koeffizienten von 5y, 5 Xx, 5*, Db, d— gleich Null zu setzen.
Zu den Gleichungen, die sich dadurch ergeben, kommt noch die Bedingung der vereinigten Lage(49). Unter Be- nutzung der Abkürzung:
† Xi) HXr)* ½△ ²) Hi Tk E ν) i=*1) r= 41X)-„X) F2) 2i der*uh„.„ de= 1, 2, 3. 2, 3, 1; 3, 1, 2)
erhält man als Difterentialgleichungen der charakteristischen Streifen:
)(
e) d.
ſ Differ Deter daß i Vorko-
nicht änden 3 der b erste nach ldenti beide dXS,C d*, d st, u die m (51 d plieite dxi= (l d)

mtial-
chen
schen en ist.
t der reinigt teinigt riante. 1u, dq 22, Sy,
setzen Lleich
Kkommt er Be-
tischen
— 43—
a) dz= 9 dxi+ 2d X.+ dX;;
b) dy= 1dXx+ 2dx.+†* 3dX;;
C)(0)— q ϋα0) dx: 4 G 7 09— q⁴ 2O0)) dx „h Ar)) dx. 0
(e1*(b.)— q%ε(.)) dXxi G b.)—(b.)) dXx+
4((Q(Lb.)- GG 93(.)) dXa 0
d) 51 C)— q*(⁴.)) d*α Q%(½)) dp (Gi lW da*n(Gr d Tr) dx,
1, 2, 3 e) ⁴d—= V(y)+(o(Z)—%.(y)).(2) Q²] d dd le)(e) e)) r(2)—dx.
Die Gleichungen(51 c) sind sicher nach zweien der Differentiale auflösbar, denn das Verschwinden sämtlicher Determinanten in der Matrix der Koeffizienten würde aussagen, daß in den Gleichungen(48) ¾G und p. nur in einer Verbindung vorkommen. Verschwindet etwa gerade die Determinante:
72 C)— qοιν)*s 0)— ⁴ 0)
22(L.)—%2(b.) 73(L.) d9(g)
nicht identisch, so können wir X zur unabhängigen Ver- änderlichen machen.
Von den Gleichungen(51 d) ist stets eine eine Folge der beiden übrigen, nach der eben gemachten Annahme die erste. Multipliziert man die Gleichungen nämlich der Reihe nach mit dXi, dXa, dxz und addiert, so erhält man rechts identisch null und links einen Ausdruck, der vermöge der beiden Gleichungen(51 c) verschwindet. Wird also dX., dXz, dxs den Gleichungen(51 c) entsprechend gewählt und d*, dp. so, daß die zweite und dritte Gleichung(51 d) erfüllt ist, und subtrahiert man jetzt von der genannten Identität die mit dy bzw. dz multiplizierten beiden letzten Gleichungen (51 d), so bleibt die erste Gleichung(51 d), mit ³α multi- pliziert, übrig. Da nun nach unserer speziellen Annahme dXxi== O ausfällt, folgt daraus in der Tat die erste Gleichung (51 d).
6*

§ 12. Der Mongesche Kegel und die charakteristischen Kurven.
Wir betrachten wegen seiner Bedeutung für die Be- stimmung der Zahl der charakteristischen Kurven wieder den Mongeschen Kegel(Vgl.§ 3.), den wir durch Elimination von q.«b, aus den Gleichungen(51 a, b, c) erhalten. Es erleichtert die Ubersicht über die für uns in Betracht kommenden Fälle, wenn wir wieder q, Pi, Pa, Pa als Punkt- Kkoordinaten eines Ra deuten. Einer Fortschreitungsrichtung des Mongeschen Kegels entspricht ja dann eine Tangential- E an die durch die vorgelegte partielle Differentialgleichung dargestellte Ma. Unsere Aufgabe kommt also darauf hinaus, die Gesamtheit der dreifach ausgedehnten Tangentialebenen dieser Ma zu bestimmen. Es Sind folgende Fälle möglich:
1. Zu allen ο& Punkten gehört dieselbe Tangentialebene. Dann ist die Ma selbst eine Es, die Differentialgleichung also linear.
2. Die Ma besitzt Tangentialebenen. Sie ist dann Umhüllungsgebilde von αs und wird als solches, da zwei unendlich benachbarte Ez eine Ea gemein haben, von Pa erzeugt. Die* Geraden aber, in die wir die Ms zerlegt haben, können nicht jede der 90 1 schneiden; sie müßten sonst nämlich alle in der Ea liegen, die von zwei beliebigen unendlich benachbarten Ee bestimmt Wird. Demnach sind von den ᷣσ* Geraden ſe* in einer der a enthalten, und das ist der Fall, den wir ausschließen wollten.
3. Es bleiben also noch die beiden Fälle und Tangentialebenen übrig. Der erste Fall liegt sicher vor, wenn zu jeder Geraden nur eine Pangentialebene gehört, wenn also die Gleichungen(61 c) von q frei sind. Bei unserer besonderen Voraussetzung über die Geraden- schar gilt aber auch das Umgekehrte: Wenn zu jeder der Geraden verschiedene J'angentialebenen gehören, so besitzt die Ms insgesamt wirklich ⁸ Tangentialebenen. Berechnet man—aus einer der Gleichungen(51 c) und setzt den Wert in die andere ein, so hat man in dieser und den Gleichungen(51 a)
3
wenn
listis mind mind Wir Dami Zunäc Dann Streit besti

Schen
4 Be- vieder nation
Es tracht dunkt. htung ential- chung inaus, benen glich: bbene. chung
dann es, da naben je Wir 501—, der Ea barten eraden st der
d 03 er vol, rehöft, 3. Bei raden- Ijedel ebenen h b er del andele (51 3)
45—
drei Gleichungen zwischen dX,, dXa, dXa, dy, dz und , b. Sind nun nur œ%: Tangentialebenen vorhanden, so müssen sich aus diesen drei Gleichungen durch Elimination von% und b zwei Gleichungen ergeben; X und p kommen dann also in den drei Gleichungen nur in einer Verbindung vor. Das heißt aber: zu je ¹ Geraden gehören dieselben* Tangentialebenen. Diese Geraden müssen folglich in einer Ez liegen, und damit haben wir wieder den durch die Voraus- setzung ausgeschlossenen Fall. Es kommt also lediglich darauf an, ob die Gleichungen(51 c) beide von q' frei sind oder nicht. Die Verhältnisse dxi: dxe?: dxa werden dann und nur dann von q unabhängig, wenn sie so gewählt werden können, daß die Gleichungen (51 c) identisch d. h. für beliebiges q erfüllt sind, wenn also die Gleichungen:
21) dx‿) dXz+ 73) dx.= 0
71(u) dXxi 2(b.) dXz+(l.) dXxs= 0
—’'O) dXxi+ 42.) dXxz+. 3.) dXz= O
41(L.) dxi+ 42(b.) dXxz+ miteinander verträglich sind.
00
63(L.) GX= 0
Der Mongesche Kegel besitzt also Erzeugende, wenn in der Matrix
109) 91(E.) 100) 91˙(9.) (52) 9½ ⁴)(L.) 2*⁴)(p.) 509 73(L.) 93 A) 29z(L.)
alle dreireihigen Determinanten verschwinden; sonst besitzt er 3 Erzeugende.
Nun können wir auch leicht über die Zahl der charakte- ristischen Kurven entscheiden. Da der Mongesche Kegel mindestens Erzeugende besitzt, gehen durch einen Punkt mindestens σ charakteristische Kurven. Insgesamt haben Wir daher entweder Oder charakteristische Kurven. Damit die Zahl der charakteristischen Kurven sei, muß zunächst der Mongesche Kegel* Erzeugende besitzen. Dann erhalten dfe Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen, soweit sie die Ableitungen der Punktkoordinaten
bestimmen, die Form:

— 46—
dz= 1 dXI+ 92 dX+‿ dXa dy= 1 dXI † 02 dXa 03 dX. Wo b:, bz, bz nur von den Punktkoordinaten und von X und „ abhängen. Wenn die Ableitungen von X und p auch noch von— frei werden, dann haben wir ein simultanes System für 2, y, Xi, XZ, X.%, b. und somit 06 Charakteristische Kurven, sind sie jedoch nicht beide von q frei, so besitzt die Differentialgleichung ο charakteristische Kurven. Setzen wir, um die Gleichberechtigung Von X., Xz, Xz Zl wahren, für den Augenblick dXx= bidt; dX= ldt, db.= mdt, So lauten die Gleichungen für l und m: (⁴π00= qο) 1+(G(b.)—.½1εμ= b(O 4.1) — bi(Pa T
Wir wissen, daß zwei dieser Gleichungen nachl und m auflösbar sind, und daß die dritte eine Folge dieser beiden jst. Die Ausdrücke, die wir für l und m erhalten, sind daher dann und nur dann von q' frei, wenn die Gleichungen: 5100)1+(u)-m= Hx,= bi r
1 7 M„ Wr 90O'1- 9(b)-m= bx T; b.
(53) dXt:dXZ: dX. S 51:53:3,
(54)
miteinander verträglich sind. Es müssen also in der Matrix
75( 0' 5 O.) 3 1(b) 52 D3— b3 b2
eo) 220 5309) 930 51 S 52 1 41) 4 1(b.) 02 13— 53 912 1, 1 A
e.) 9 2(b-) 93 11 1 Fa
e(A. a 90) 53(oe) 5- b2,
3) 53—1= b— )
(540
alle dreireihigen Determinanten verschwinden; und wenn eine zweireihige Determinante aus Elementen der ersten beiden Spalten verschwindet, dann müssen auch die beiden zwei- reihigen Determinanten noch verschwinden, die man erhält, wenn man in den betreffenden beiden Zeilen die Elemente der dritten Spalte hinzunimmt
Damit können wir in den für uns in Betracht kommenden Sällen über die Anzahl der charakteristischen Kurven ent- scheiden.
(56)
Von min Fol (57 Wo Ma W

atrix
eine eiden wei- rhält, nente
nden ent⸗
§ 13. Die Integral⸗Mza.
Wir können nunmehr zur Untersuchung etwa vor- handener zu den Gleichungen(48) gehöriger vollständiger Lösungen von Integral-Mz übergehen. Dabei wollen wir nicht(Wie in§ 6. u.§ 7.) von den charakteristischen Kurven ausgehen, sondern, soweit es angängig erscheint, in ähnlicher Weise wie in§ 8. verfahren und die charakteristischen Streifen bzw. Kurven nur da gebrauchen, wo es wirklich von Nutzen ist. Durch eine entsprechende Uberlegung wie am Anfang des§ 8. erkennt man, daß die Bestimmung der gesuchten vollständigen Lösungen auf die Behandlung des Systems: dz= dxi+(2dXx+‿ adXa dy= G1 dXxi+ 42 d X2+† CsdXa hinausläuft. Es muß versucht werden, auf jede mögliche ATt 2, y,*,. Sso als Funktionen von X, Xe, Xs und von 4 Parametern zu bestimmen, daß das System erfüllt wird. Die Integrabilitätsbedingungen lauten:
(55)
d„7 d). do
A.= 9)—.(ℳ)+„”(g.)— 1 d da 75 dXL
—(L dx+ G. 0
(56) B= Ghd e d e d 8. der, de O. 4 1(L+ S.= O
Das sind sechs Gleichungen für die sechs Ableitungen von*, b. nach Xi, X, Xxz, und es kommt jetzt auf die Deter- minante A der Koeffizienten an. Diese läßt sich auf die Form bringen:
(57) A=„L) 0)„0)(L)
wo mit„0),„(b), 0O),„() die 4 dreireihigen Determinanten der Matrix(52), je nach der fehlenden Spalte, bezeichnet werden. Wir unterscheiden jetzt drei Fälle:

A.
Alle dreireihigen Determinanten der Matrix(52) verschwinden. Dann bestimmen die Gleichungen: „41 0) b1 4200) b2 E 300 bz= 0 O 1G.) b1 † † 2(b.) 52 9 3b.) 93— 0 4400 b 4 2O.) bz+ 30.) b3= 0 21b.) b1 0 2b.) bz+ 3(0) b3 0 ohne einander zu widersprechen, die Verhältnisse Pi: Pz: Pa. Wir wählen Hi, be, z so, daß diese Gleichungen erfüllt sind*) und multiplizieren die linken Seiten der Integrabilitäts- bedingungen, also die Ausdrücke Ai, Az, Ag, Bi, B, B3 in passender Weise mit diesen Größen, indem wir bilden:
(58) a41= BAk Pk Ai; b.= BiBa br B Mit Rücksicht auf die Gleichungen für Hi, bz, bs Wird das: 4 do. d d) a4.(‿)(+ di 1 13 SN 28 02 1s D a 89 8 dp— 1(L.)(b1 ◻ 2 53. D... 9 11 8X 2 dX 38X 8 K ¹ 4* K„ O⸗ 0 0 b.=(X)(b 52+ p. S- 1 118, 2,dX 3 dXa 9 89 8*—. +„ 1(b.)(b1 8 b2 3 5 83 2) bi U k 91. 8 dX dXZ 3 dX 11 Setzt man daher: d) d, d* 91= 9. F b—= dX dXZ dX2 (59) d9 dp dp 5 5. h— In 11 dx dX⸗ d
so stimmen die Gleichungen a,= ag= az= bi= bz= b3=0 gerade mit den Gleichungen(54) überein. Wegen(88) folgen nun diese Gleichungen aus den Integrabilitätsbedingungen. Daraus geht hervor, daß diese nur dann miteinander ver- träglich sein können, wenn die Gleichungen(54) es sind. Mit Rücksicht auf die Bedeutung der Gleichungen(54) und des Verschwindens der dreireihigen Determinanten der Matrix (52) heißt das: Wenn œ charakteristische Kurven vorhanden
*)„, Ps, ps haben dann dieselbe Bedeutung wie S. 46.
sind, besit die7 Diest legll folgt nicht man, noch
untel (letz listis jeder listis Wil

Matrix anden
(60)
(61)
— 49
sind, obwohl der Mongesche Kegel nur Erzeugende besitzt, gibt es keine vollständigen Lösungen von Integral-Ma, die zu einer isolierten Zerlegung von der Form(48) gehören. Dieses Ergebnis hätten wir auch durch eine ähnliche Uber- legung wie in§ 7(S. 20) ableiten können. Umgekehrt folgt nun aus dem Verschwinden sämtlicher a und b zwar nicht das Verschwinden sämtlicher A und B, aber wenn man, etwa für== O(alle p dürfen ja nicht verschwinden), noch A= B1= O hinzunimmt, dann folgt daraus A= B2= 4= Bz= 0.
Wählen wir daher, wenn dies möglich ist, l und m entsprechend den Gleichungen(54), so können wir die Integrabilitätsbedingungen(56) in allgemeinster Weise da- durch befriedigen, daß wir die Ableitungen von ¾ und p. nach Xi, Xg, Xa den Gleichungen:
8d)* 8* 82 dp. Ai=„ 3)=——„2) O7n(la)= 2(b.) 01=—0 1 1 3 4 dA 1 2 dX H; 36 dX 7 2%G dX. 1 5 8*⁴ 5 8*⁴ dG— d9 B1=*3);— 209)=c 3(b.)— 2(b)+ T= O 1 1 3 8X 7 2 dr 7 3 8Xx. 1 2 dX 1 87 d* 8) 2 1,1 8X— b dx 13 dX dp. dG d 91 d it Lz d k La de— 1 X XZ X
unterwerfen. Daraus können wir, ganz ähnlich wie in§ 8 (letzter Fall), unabhängig von der Theorie der charakte- ristischen Streifen, schließen, daß die gesuchten Iniegral-Ma jedenfalls von gewissen Kurven, in denen wir die charakte- ristischen Kurven wiedererkennen, erzeugt werden. Denken wir uns 2, y, X, b. durch ein Gleichungssystem Fi(3, y, Xi, Xz, X;, X, b.)= Ci 1- 1 4
in der gewünschten Weise definiert, So folgt daraus durch Differentiation unter Benutzung von(55):
dF. dr d d dE d— dr 1= 1.. 4 d2 1k dy d d db. d K 1.2,3
Multiplizieren wir mit px und summieren nach k, 80 erhalten wir:

— 50— 6 erfüll 1,2,3 dF 1,2,3 d ‚(65) b bk Pk d2 t Na⸗ d. m dß— V 1,2,3 gied 15 bx dn=—0 5 1 k ohne Die durch die Gleichungen(61) dargestellte Ma dim Djese Raume Z, y, XI, Xz, Xs, X, b.) gestattet also die infinitesimale den Transformation: erzel 1,233 1,2,3 df ehr (62) Xi=„ aeeedi 5„ bx OK dd m da ven K dt df dt dafa- 9 dr. 22 dX fes S. ist daher aus Bahnkurven derselben zusammengesetzt. Diese wylr. sind aber, da sie durch das simultane System: Geic d2 6dy G. dre d d). d 68 2 125 128 91 92 93 1 m des 2 bn Tr 2. er Tr noch bestimmt werden,(wenn wir wieder X und b. lediglich als Parameter betrachten) nichts anders als die charakteristischen Wir Kkurven. Wie nun solcher Kurven auszuwählen sind, Volls damit eine Integral-Ms entstehe, sagt uns die Theorie der falls charakteristischen Streifen. Wir denken uns die Differential- ausg gleichungen der charakteristischen Streifen integriert mit der A1= Anfangsbedingung, daß für X= XI Werden soll: Koef Xz= XO, As= A0, y= y, 2= 2⁰0 1+%= 0, B.= M., q= q* Gleic und erhalten: bc (63) z2= 2, y= Y, Xz= Xa. Xs= X, X= A.*=M.—- 0 gih Die Bedingung dafür, daß zwei unendlich benachbarte endh charakteristische Streifen vereinigt liegen, lautet: un (64) dzo= qo dyo †(ν— 4) dxo-+(ν— 409) d Xö. hae Soll nun eine Schar von œ² charakteristischen Kurven X, X eine Integral-Ms erzeugen, so muß jeder charakteristische Streifen, der zu einer Kurve der Schar gehört, mit jedem unendlich benachbarten charakteristischen Streifen, der zu 1 einer unendlich benachbarten Kurve der Schar gehört, ver- dei einigt liegen, die Bedingung(64) also für ein beliebiges q* vn

3(dDm
Awale
ch als ischen
Sind, je der ential- iit der
erfüllt sein. Wir erhalten also die zwei Bedingungen“): (65) dz0= o dXo+ 9 dxο; dyo= 42 dXxo+ 90 dxo
Damit ist unsere Aufgabe auf die Behandlung eines zwei- gliedrigen Pfaffschen Systems in den 6 Veränderlichen 20, yo, X, X9, X*O, Bo zurückgeführt. GCewisse Lösungen können wir ohne Weiteres angeben, nämlich dzo= dyo= d Xo= dx“*= 0. Diesen entsprechen die Integralkonoide d. h. die Ma, die von den durch einen Punkt gehenden charakteristischen Kurven erzeugt werden. Insgesamt erhalten wir deren a'”, also mehr, als zur Bildung einer vollständigen Lösung nötig sind, sodaß wir noch auf mannigfache Weise vollständige Lösungen daraus bilden können.
Als. Integrabilitätsbedingungen des Systems(68) erhalten wir, von dem oberen Index° abgesehen, die beiden Gleichungen A= 0; B1= 0, und es wird jetzt klar, was es zu bedeuten hat, daß von den Integrabilitätsbedingungen des Systems(55) nach Befriedigung der Gleichungen(50) nur noch die beiden Gleichungen A.= 0, B.= 0 übrig bleiben.
Es sei noch auf einen Punkt aufmerksam gemacht. Wir wissen, daß es bei charakteristischen Kurven immer vollständige Lösungen von Integral-Maz gibt(nämlich jeden- falls die Integralkonoide). Es ist demnach in diesem Falle ausgeschlossen, daß die beiden Integrabilitätsbedingungen Al= 0, B1= O einander widersprechen, indem sich die Koeffizienten der einen Gleichung von denen der anderen Gleichung nur um einen Faktor unterscheiden, während die absoluten Glieder nicht in diesem Verhältnis stehen, sodaß sich durch Elimination der Ableitungen von X¾ und p. eine endliche Gleichung zwischen Z, y, Xi, Xz, Xz, X, P. ergeben würde. In der Tat läßt sich auch unmittelbar beweisen, daß die Integrabilitätsbedingungen im Falle von charakteristischen Kurven niemals eine endliche Gleichung zwischen Z, y, Xi, Xz, XZ,*., b. Ilach sich ziellen..
*) Diese Bedingungen stimmen hier nicht, wie die entsprechenden Bedingungen bei onl= 05 charakteristischen Kurven, mit den Schnitt- bedingungen überein; sie folgen zwar aus ihnen, aber es gilt nicht das Umgekehrte.
7*

B.
Wir setzen jetzt voraus, daß in der Matrix(52) nicht alle dreireihigen Determinanten verschwinden.
Nehmen wir(was wir ohne Beschränkung der Allge- meinheit können) an, daß εο* nicht identisch verschwindet, so können wir das Verschwinden von& mit Hilfe eines Proportionalitätsfaktors p ausdrücken durch die Gleichungen:
0.)=„ †0) (66) 3 4 b.)= 9(Lo)
Nun besteht offenbar die Identität:
(67) 510) 0) 9(L.) u) 410 0)— 41(4)(b) 0( 1,2,3).
1
Wit Benutzung von(66) erhalten wir daraus:
( 5 0))„0)=(d(Lb.)+. 9%(G.)) 20L). Wir setzen ⁴). b 1 0)= l.(G.)+ 5401(4)= m, Vobei dann 1= α(= 1, 2,3).
Bilden wir jetzt: 8* 8*¼ dß⸗ Su
3=.— In,— mi.— 18X dX; 1 IdXK 5dX
— 1 3 21 so kommen die Ableitungen von X und g. hier nur in den drei Verbindungen:
d 0. S
ſi⸗= lUI.(= 1, 2, 3) OE() 1 5 OKi dX,
Vvor. Die Gleichungen für u, ua, uz lauten: (08) Ai- oB= hu l(P. oW)
Diese Gleichungen sind nur dann miteinander verträglich, Wenn noch eine Bedingung erfüllt ist, die wir durch Elimination der ui erhalten, nämlich:
1,2,3 1,2,3 * 24 1 P) 2. b G50))(.+† 1)= 0 oder: j 1
A 3 (60) A(0 0.)+= 0“„0.))(O. C 0 6 21(o0) 99 P 4400 409)( 4£‿ 190)= 0.*
*) Die Bedingung, die man erhält, wenn man in(60)„ durch p er- setzt, folgt(wenn„ ι ³= 0) aus(60) vermöge(66),(67).
Inte träg bett Voll
dan (68)
ein

1,2,3).
⸗ m,
in den
äglich, ination
oder:
u
Diese Bedingung muß identisch erfüllt sein, wenn die Integrabilitätsbedingungen des Systems(60) miteinander ver- träglich sein sollen, sie ist also(im Falle B, den wir eben betrachten) eine notwendige Bedingung für die Existenz vollständiger Lösungen von Integral-Ma. Wir nehmen jetzt an, diese Bedingung sei erfüllt. Ist dann us, us, us ein bestimmtes Lösungssystem der Gleichungen (68), So lautet die allgemeine Lösung: u= u ht(=1,2,3) Setzen wir nun die Ausdrücke:
8*⁴ 0) dp. — un— Pht dXI„(u) dX.
in die Gleichungen B= B= B.= 0, die noch zu befriedigen
sind, ein, so erhalten wir:
3„) dO.) dSi.
70)(H“(b.)—= c(X))—=—((b)— ,=—() A
8 H L) 30) dX 8„(b) k dX; 1
++ ur 9, und O)-(ErO.) 410) 50O) 40))t= 0
du dp, du⸗
Hieraus erhalten wir durch Elimination von— 3 dXü“ dXZ' dXZ
zunächst eine Gleichung für t:
1,2,3[u e) 4˙1(B.) 1 X. ‿ z fe 0., (71)„(ah. t== J(—(Q)) W.+ un 2.) 6˙2(b)= 0 1 U 4—(L.) i 1. 1 2 1 0—.,. e, i u, e(X) ˙3(L.)
Wird t= to dieser Gleichung entsprechend gewählt (μό ²= 0!), so reduzieren sich die Gleichungen(70) auf zwei. Ist
dp. ü= Vi( 1.2,3) dX. ein Lösungssystem, so lautet die allgemeine Lösung: db 9,„0.)„. S. VI+(441(G)— 20 JD” und es wird weiter: 1 7 5 0) 0) OONA 8* 0— 1 1 1))*
„)

Setzen wir noch: 0) t (72) vI= Mp unl lto=„ b) VI= L(M)) l: (40) 91 0— u) 91(L.)) Ni, So erhalten wir die allgemeinste Lösung der Gleichungen(56) in der Form:
d*⁴ d L= o e0) Ul (73) d(1=1, 2, 3) — ä= 22„(0) U* dXI 1 1
Dabei bedeutet L, Mi ein spezielles Lösungssystem,
dessen Wahl an sich gleichgültig ist. Wir versuchen nun, durch Bildung weiterer Integrabilitätsbedingungen u zu be- stimmen. Setzen wir zur Abkürzung:
df df 8 d. df
Ti d⸗ 3 Di dy+ L 87 M dp= Zif(1=1, 2, 3), so erhalten wir durch Differentiation von(73) und Elimination der Ableitungen von u folgende Gleichungen für u:
70) La Ee)= LKL))- u 2(L))=0 (74) H⸗ 4 Se T.aed eachah es
lai leO) Lk(EL))=( 2(0)(μν+0) M.)) 2uu((u) Ere es M 9.)) (75)—*lr 2ι u))— Hlu)e,().ροεμ‿.τ M 0)) 7(u 11762,(G)) J- u EGC2LAN)= L(L))-O(2s(M=Za(M))= 0 1,K= 1, 2, 3. Aus den beiden Gleichungen(74) und den drei Glei- chungen(75), die sich allerdings auf zwei reduzieren, darf nun durch Elimination von u keine endliche Gleichung ent- stehen, wenn zu unserem System(58) eine vollständige Lösung von Integral-Ma gehören soll. Es müssen also alle
Gleichungen, die man durch Elimination von u erhält, identisch erfüllt sein.
„77)

(56)
1.
Ist das der Fall, und bestimmen die Gleichungen(74) und (75) wirklich die Funktion u, so sind damit die Ableitungen von X und u. eindeutig bestimmt. Es sei etwa:
(76) 85 1 d. Dann haben wir noch zu untersuchen, ob das System: (55) dzꝝ—‿εενdxe Fadxs; dx*⸗ LidxiLedxe- Ladxs dy= 4 dxi 2 dXz 3 dXs; db.= MidXxr Mdxz MadXa unbeschränkt integrabel ist oder nicht. Die Bedingungen dafür sind: LOXA)=LOC)- 2&ꝗ—12)— Q‿ιασ‿☛αeη-G+ LAL SAOD=LLAOD MLL SIGG)— MLXGM)= O M”XD)— MrCX)-e M(2)— i MX(2)+ M G MG)4† +LMAOO=LMAOD-MXMSAG)= MWM(b)= 0 (i,K= 1, 2, 3) denn die übrigen Integrabilitätsbedingungen haben wir ja durch die Wahl von L, Mi beffiedigt. Sind die Bedingungen(77) erfüllt, Sso erhalten wir nach
Integration des Systems(55)) durch Elimination von X und p. die gesuchte vollständige Lösung von Integral-Ma.
,(0)
2.
Interessanter ist der Fall, daß die Gleichungen(74) und (75) u garnicht bestimmen, sondern identisch erfüllt sind. Es bestehen dann die Beziehungen: d31(Z3(22)— Z2(23))+ 22(Z1(*3)— Z321))+
+ 23(Z2(01)— Z1(22))= 0 2i(Z3(Lea) 22Ls)) 92(21(L.z) Z3(L0) (79)+ 23(22(Li)— Z1(Lz))= 0
21(Z3(Mz)— L2(Ma))+°2(21(Ma)— Za(M0)+
3+ 23(Za(M.)— Z.(M))= 0 (30)„b)e.(La) Za(Liol+„0O)l2,(ME) Za(Mol= O
(78)

2 OEZ XCG))—„½eννέν‿ιτννει‿νο⁴ι, 0) — HAκιμμ ν ε⁴‿‿' Mà 1L)) 24 O) L,EGO) Gα&☚μ☛ðOχœχςι‿Mεειν½ φμ M10) —*O◻φένμ‿ με‿μ M())J= 0 (1.K= 1,2.3) Denken wir uns nun wieder die gesuchten Lösungen des Systems(55) durch ein Gieichungssystem von der Form fr(2, Y, Xi, Xz, Xg,„, b)= Ci(i= 1.. 4) definiert, So folgt aus:
(81)
df d d d. dFi db. dF: 1= 1.. 4 d2 dy da d. 1 0 und den Gleichungen(73) durch Elimination von 25 d u
d de. daß die Fi folgenden linearen partiellen Differentialgleichungen genügen müssen:
(82) Xif= A2kI— 2XZi= 0
Die Gleichungen sind nicht voneinander unabhängig, denn es besteht ja die Beziehung:
a Xif+ 02 Xgf- 3 Xf= 0
Die a können nicht alle verschwinden, da sonst die 91(b) den) und wegen(66) und(67) auch die α u.) den 5 1 0) proportional wären, was im Widerspruch mit der jetzigen Voraussetzung steht. Setzen wir voraus 2= 0, so ist die dritte Gleichung(§2) überflüssig, und wir können, wenn wir setzen: 5= 1; 5= 6z, die beiden anderen Gleichungen ersetzen durch:
p, e, d e d e, S1 Vaf⸗ 2 a2sf= dX, 5,dX bGA= B 2ade br— budady 6 d 3 df G3)+ e= BLed⸗ A(M.—.Ma)dg=O . df 2 d 6 Sf Vei=Laf— B22af=dx, 2dXa s b2rsd?(Sa hae)dy

Die Klammeroperation liefert: NiVz)=(Z12z)+ B1(ZaZa) 2(2123)+ + 2e(81)— 6223061)— L1(62) 1L2(62) Za! — 3 Lei(222s) 22(2av) † A2,22N—
e TaiZadan L2(⁴³))(Z1(43)- La 13
+ 2(Za(a*)— Z1(42) Z3f.
Der Ausdruck in der zweiten Klammer verschwindet ver- möge der Gleichung(78). Es verschwindet aber auch der Aus- druck in der ersten Klammer. Der Faktor von f, bzw. I verschwindet vermöge der Gleichung(70).
Die Faktoren von f und f, verschwinden sogar schon für die einzelnen(Zi2Zr), da ja L., W Lösungen des zuerst aufgestellten Systems der Integrabilitätsbedingungen(56) sind, denn die Ausdrücke Zi(να)— Z() und Zi(k)— Lx(Gi) sind nichts anderes als die linken Seiten jener Integrabilitätsbe- 8*⁴ dp dx d. Li bzw. M. Der Klammerausdruck(V1V) verschwindet also identisch. Demnach bilden die Gleichungen(83) ein zweigliedriges Vollständiges System in den sieben Veränderlichen 2, y, i, XZ, X, X, L. mit fünf voneinander unabhängigen Lösungen. Setzt man diese gleich fünf Konstanten, so erhält man eine Schar von zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten. Die Tatsache, daß die Fden Gleichungen(83) genügen müssen, sagt aus, daß jede Integral-M, unseres Systems(58) aus 1 Solchen Mannigfaltigkeiten besteht.
Es entsteht nun die Frage, wie wir 1 dieser Mannig- faltigkeiten auszuwählen haben, damit eine Integral-Mz ent- steht. Wir denken uns das dem System(83) entsprechende unbeschränkt integrable totale System integriert mit der
Anfangsbedingung, daß für X.= XD, X= Xo werden soll: 1 1
0
dingungen, nur steht an Stelle von
2=20⁰, y= vO,). A0, h.= u0, XZ= 84

538—
So erhalten wir die Gleichungen: (84) XZ= XZ, 2= Z, y= V,*= A., 9.= M wo XS, Z, V, A, M Funktionen der Veränderlichen XI Xz und der willkürlichen Konstanten z0⁰, yo, X0, uo, X sind.
Eine Schar von ⁴2 solchen Ma erhalten wir, wenn wir 2⁰, yo, o, go, xor als Funktionen eines Parameters betrachten. Damit nun die so entstehende Ma eine Integral-Mz des Systems(55) sei, müssen die Gleichungen(55) jedenfalls für X.= X, X2= X) erfüllt sein; insbesondere muß also Werden:
(85) a) dz0= godXx?; dyo= dXxa*)
Weiter folgt aus den Gleichungen(73)(bzw. aus unseren Integrabilitätsbedingungen): 8*⁴ d. dr. Sad, 2u) LA 4 50) Mr.
Daher muß auch sein: (8S) b)„(b'οo deν‿ε‿ ςαο dν=(ε⁵)ο L 0)Ma) dXx.
Diese drei notwendigen Bedingungen sind aber auch hinreichend. Entsprechend wie in§ 8. lassen sich nämlich die Ableitungen der Ausdrücke:
32—[*sl) 5Xs, 5V Ll 2Xa,(A+ L20, M2M
LeL+ 00) Mal5 X nach X und Xz unter Benutzung der Gleichungen(56),(80), (81) linear und homogen durch diese Ausdrücke selbst darstellen.
Daraus geht hervor, daß diese Ausdrücke identisch ver- schwinden, sobald durch geeignete Wahl der Parameterzu- wachse dzo, dyo, dXD, d*o, dpo dafür gesorgt Wird, daß sie für X= XxD alle verschwinden. Es gilt also dann auf der ganzen Ma: däA 8 dXz—73 dX 73
*) Der obere Index°bei einer Funktion soll andeuten, daß ihre
Argumente diesen Index erhalten. **r) Das Einschließen in eckige Klammern soll die Substitution(84) an-
„(p.) v
dne ſ. d X
h. . 9(b.
bedeutet dann die Ableitung. bei deren Bildung
1
deuten; 5.5 x bzw.
XO, 20, NYo, No, ho und Xz bzw. XI Konstant bleiben. *rn) Hier sind die Ableitungen Xi, X=, Xs wieder im gewöhnlichen
Sinne zu nehmen.
d d. d d

wir ten.
eren
——
Es bleibt noch übrig, zu zeigen, daß auch die Gleichungen
de D de pi:; Se6 21(i= 1,2) erfüllt Sind. Es wird 87 22 dto*) dto dr 21˙ 1 4 qi: 5; dr berechnet sich aus: 3 Xg dt 2.(Xi) X. XS) X³(X)+ d tõ dX. dto XESXi)) 21=—= dx d X dto
Nun ist, da die Mannigfaltigkeiten(84) Integralmannig- faltigkeiten des zu(83) gehörenden totalen Systems sind:
; außerdem ist:
. 9 7'(Xi)= 9i— Bi9s; X3X)=—. 9 ( i 73 30 j HPi) 5 X. 73.
ri
Daher wird in der Tat:
d =*1— 61 93+ 61 9s= † und entsprechend 5= 4 ,ſ= 1,2)
1 1 Wir erhalten also wirklich eine Integral-Ma unserer partiellen Differentialgleichung, wenn wir œ von den Ma (84) sSo auswählen, daß die Bedingungen(88 a, b) erfüllt sind. Damit ist unsere Aufgabe auf die Penanelluiie den Pfaffschen Systems(85) in den Veränderlichen 2⁰, yo, XD, 0, 0 zurückgeführt. Jeder Integralkurve dieses Systems entspricht eine Integral-Ms unserer Differentialgleichung; jeder Schar von œ⁵“ Integralkurven, die den ganzen Raum 2⁰, yO, XS,)0, n0 ausfüllt, entspricht eine vollständige Lösung von Integral-Ma. Man kann sich noch fragen, wie die Ma, aus denen wir die Integral-Ma zusammengesetzt haben, mit dem Verlauf der charakteristischen Kurven zusammenhängen. Darüber erhalten wir Aufschluß, wenn wir das totale System, das
diese Ma bestimmt, in folgender Porm schreiben:
a) dz= 21 GxX: 92 dXZ— S3 dX3 b) dy= 41 dX.+ 2 dX2 ℳ d Xa (86) C) d*⁴— L dXI 5 L2 d XZ— La 83 XZ
d) db.⸗ Mu dGXi Mae G Xg 5 Ma d X e)*. 1 d X+ 2 G XZ— 2₰ dX 0 *) to sei der Parameter der zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten,
die unsere Ma erzeugen. 8⸗

————— ——
—
4
Setzen wir nämlich in der letzten Gleichung für die a, ihre Werte ein, so können wir diese Gleichung auch schreiben: 1,2,3 1,2,3 .„, 90) 4 440) dX*() 44(b) dX= 0 1 1
Wegen der Voraussetzung(66) und der Identität(67)
ist das dasselbe wie: 1,2,3 1,28 90) L 941 O) dXi— G) A 9 1(G) dXx= O. 1 1
Jetzt sieht man ohne weiteres, daß die ODifferential- gleichungen der charakteristischen Streifen, soweit sie die Zuwachse der Punktkoordinaten bestimmen, nämlich die Glei- chungen(51 a, b, c) die beiden ersten und die letzte Gleichung (86) nach sich ziehen, daß also jede charakteristische Kurve ganz auf einer solchen Ma liegt. Demnach ordnen sich die charakteristischen Kurven in σ Scharen, von denen jede, obwohl sie Kurven enthält, doch nur eine Ma erzeugt.
Wenn schließlich die Determinante A nicht ver-— schwindet, so werden schon durch die Integrabilitätsbe- dingungen(56) alle Ableitungen von X und bestimmt. Wir erhalten dann wieder ein System von der Form(55)(wie im ersten Unterfall von B.) und haben die Bedingungen(77) aufzustellen, um festzustellen, ob es eine vollständige Lösung von Integral-Ma gibt oder nicht.
Im Gegensatz zu den beiden Fällen A. und B. 2., Wo es unendlich viele vollständige Lösungen von Integral- Ma gibt, gibt es hier nur eine einzige. Diese wird durch ein unbeschränkt integrables System von vier totalen Differential- gleichungen in sieben Veränderlichen bestimmt.
Die Anregung zu der vorliegenden Arbeit gab mir Herr Prof. Dr. F. Engel; für die Bereitwilligkeit, mit der er mir bei ihrer Abfassung stets zur Seite stand, bin ich ihm besonderen Dank schuldig.

mihre den:
(67)

Von den Mitteilungen des Mathematischen Seminars—
der Universität Giessen
sind bis jetzt erschienen:
Heft 1. Heinrich Fuhr, Zur Transformationstheorie der Fuchsschen Funktionen.. Heft 2. Magda Kleberger, Uber eine von Weierstraß ge- Diffe gebene Definition der analytischen Funktion.
Heft 3. Heinrich Gilbert, Die Reziprozität in der Ebene redu als Folge eines Polarsystems und einer narmonischen Spiegelung an einem Punkt 7
und einer Geraden. Heft 4. Jakob Möll, Uber eine Klasse gewöhnlicher Differentialgleichungen höherer Ordnung. Heft 5. Leo Monville, Analytische Beiträge zu Lies Ab- bildung des Imaginären der ebenen Geometrie. Heft 6. Josef Fuhrich, Zur natürlichen Geometrie ebener Transformationsgruppen. 6 Heft 7. Heinrich Lotz, Zur Geometrie der dreifach aus- gedehnten Mannigfaltigkeiten von konstantem Krümmungsmaß. Heft 8. Hans Axel, Die elliptischen Funktionen als auto- morphe Funktionen, die zu einer aus drei Drehungen der Euklidischen Ebene um 1800 komponierten Gruppe gehören. Heft o. Friedrich Kämmerer, Zur Flächentheorie im n-fach ausgedehnten Raume. Heft 10. Abraham Plessner, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen. Heft 11. Friedrich Dörr, Zur Invariantentheorie Monge- scher Systeme gegenüber Berührungstrans- formationen.
Die Hefte 1 und 2 sind soweit vergriffen, daß sie nur noch mit dem ganzen ersten Bande(Heft 1— 10) abgegeben
werden können.— Der Preis des ersten Bandes beträgt: 8 RM.= 10 Schweizer Franken, im Se
Der Preis eines einzelnen Heftes:. V 0,80 RM.= 1 Schweizer Franken.
8 4 5 4011 14

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Gießen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars mit tätiger Beförderung der Gießener Hochschul-Gesellschaft
XIII. Heft
Differentialgleichungen, die eine ir- ftreduzible Gruppe von Berührungs- Transformationen gestatten.
Von
Karl Faber.
Wig⸗
Gießen 1925
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Gießen, Bismarckstraße 16 Preis M. 1.20; für das Ausland 1 ½ Schweizer Franken.

——
Li Abhand
4 lntegrat ſ behand gestatte die bei variant Schließ vorgele matione Normal
Genehmigt durch den Prüfungsausschuß am 24. XI. 1924. gration.
eine ir Berichterstatter: Dr. Engel und Dr. Schlesinger. zulasse öffentli der Di rührun in gein und in Leipzig WWeitel
—
Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht.
—

Lie hat in drei großen Arbeiten, die in den Gesammelten Abhandlungen Bd. V als Nr. X, XI und XIV abgedruckt sind, die Integrationstheorie derjenigen gewöhnlichen Differentialgleichungen behandelt, die eine Gruppe von Punkttransformationen der Ebene gestatten. Er bestimmt zunächst alle die Differentialgleichungen, die bei den Gruppen in der von ihm aufgestellten Normalform in- variant bleiben und führt dann deren Integration im einzelnen durch. Schließlich untersucht er in Nr. XIV, wie man entscheidet, ob eine vorgelegte Differentialgleichung eine Gruppe von Punkttransfor- mationen gestattet und wie man diese gegebenenfalls auf ihre Normalform bringen kann. Lie kündigte an, eine ähnliche Inte- grationstheorie für solche Differentialgleichungen zu entwickeln, die eine irreduzible Gruppe von Berührungstransformationen der Ebene zulassen, ist jedoch nicht dazu gekommen, darüber etwas zu ver-— öffentlichen. Den ersten Teil dieses Planes, nämlich die Bestimmung der Differentialgleichungen, die eine irreduzible Gruppe von Be- rührungstransformationen in der Normalform gestatten, hat G. Noth in seiner Inaugural-Dissertation ausgeführt:„Differentialinvarianten und invariante Differentialgleichungen zweier zehngliedriger Gruppen“, Leipzig 1904. Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist es, für den zweiten Teil dieses Planes dasselbe zu leisten.

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—
Go:
Eine g solche werdes
wenn, 6—1 Differe
mit m r-Ord Wir d Sitzt;
deren einer

Erster Teil.
Die Integration der Differentialgleichungen, die eine irreduzible Gruppe von Berührungstransfor- mationen in der Normalform gestatten.
Jede irreduzible Gruppe von Berührungstransformationen der Ebene ist entweder sechs- oder sieben- oder zehngliedrig und ähn- lich mit einer der folgenden kanonischen Gruppen:
7 1 2 1/ 7 1 1 72 Ge: IDp xq.P- derd xp yQ rp-z d XP 2Xd4Vd
72 2
1 192 1 G= y)p= d-=2y d z ydvd
Go: 1 7 2 1 72 7 1 72 7 GCy z) O).(y)
Eine gewöhnliche Differentialgleichung(r+. m). Ordnung, die eine solche r-gliedrige Gruppe zuläßt, kann auf die Form gebracht werden: d Ir dm Ir
26₰—
2(8=„ Ir d ☛„ d Im 0, wenn Ir— 1 und Ir die beiden niedrigsten Differentialinvarianten von (r— 1)- bezw. r-Ordnung der Gr sind. Durch Integration dieser Differentialgleichung m-Ordnung erhält man eine Gleichung:
Ir= O(Jr- ¹) mit m willkürlichen Konstanten. Dies ist eine Differentialgleichung r-Ordnung, auf deren Integration alles hinauskommt. Dabei schließen 3 d Ir— wir den Fall aus, daß diese Gleichung die Form: e e be-
sitzt; außerdem sehen wir von den invarianten Differentialgleichungen, deren Ordnungszahl kleiner als r ist, ab. Jede Integralkurve einer solchen Differentialgleichung gestattet nämlich mindestens

— 6—
eine infinitesimale Transformation der Gruppe und ihre Integration ver- langt höchstens Quadratur. Um nun die Integration von Ir=(Jr- ¹) zu bewerkstelligen, bilden wir nach der Methode von Lie Hilfs- gleichungen, indem wir Differentialinvarianten einer Untergruppe als unbekannte Funktionen einführen. Durch geeignete Wahl dieser Differentialinvarianten können die Hilfsgleichungen auf gewisse Normalformen gebracht werden. Den inneren Grund hierfür hat Herr Prof. Engel in den Anmerkungen zu Nr. XI(S. 683 f.) ent- wickelt. Daraus geht hervor, daß auch in dem hier vorliegenden Falle diese Gleichungen bestimmte Normalformen erhalten können. lch zeige dies einfach dadurch, daß ich die Integration im ein- zelnen durchführe:
I. Die Differentialgleichung möge die Ga gestatten. Da nach G. Noth) die niedrigsten Differentialinvarianten lauten:
(1)= 5 K= 3 Ka, L.=— 40 KZ+ 45 K K,— 9 K, wobei allgemein:
6) 2 K==B(⸗=4 5.:m) y/3 ist, So kommt alles auf die Integration der Differentialgleichung: (3) LL=„(Li)
hinaus. Faßt man hierin y“ als unbekannte Funktion von x auf, so ist dies eine Differentialgleichung dritter Ordnung. Wir zeigen, daß man deren allgemeine Lösung angeben kann, sobald man eine gewisse Riccatische Differentialgleichung erster Ordnung integriert hat, die wir aufstellen wollen. Wir benutzen dabei die niedrigste Differentialinvariante: K, der Untergruppe:
1 2„d Ga: ſp Xq—--d dt zd-d pv
als unbekannte Funktion und L, als unabhängige Veränderliche.
Wegen des invarianten Bogenelements: 1
(4) do= ys dx der G, findet man: d Ki 3 (5) dao r zKak(i= 4,5. n)
und daher weiter: d L
1 10, do 3
¹) Siehe die vorher erwähnte Diss.(S. 7 u. 8).
dkK, 3 dkKsLa
Alithin i
somit e erster(
6)
st nun: so finde aufgefa Differer nung, L
ebenfal
wird: XGO
ſ
erhält
0)
Man e Lösun- die G reduzi der G. Quadr liefern Konste alsO erster invarie der C

tion ver- (-) e Hilfs- Sruppe ul dieser gewisse rfür hat B.) ent- egenden können. im ein-
Pa nach
eichung:
in X auf, r zeigen, man eine integriert iedrigste
derliche.
Mithin ist:
dk, 3 Ke— 4 K.. KA L
di 1,. Somit erhalten wir wegen(3) die Riccatische Differentialgleichung erster Ordnung:
dE Ea. 6 I F Ist nun: G(K., Li)=& eine Integralgleichung dieser Gleichung(6), so findet man die beiden noch fehlenden Integralgleichungen von(3), aufgefaßt als Differentialgleichung dritter Ordnung für y“, durch Differentiation. Erweitert man nämlich X, f bis zur fünften Ord- nung, so sind nach Lie die Gleichungen:
XOG= c. und XO) XOGG ä= G ebenfalls Integralgleichungen von(3). Wegen:
2 XeOL,= O und X,G) K,=— 3 y“3 wird: 2 0 G 4 02 9 4(5⁵)— 1173 5)(5)— 2 277,3 X— 3y 3 0 K. 6 X 87 e 2- 9 3 R
Durch Elimination von L und K aus: G= Ci, XGG ä= C.⸗, X00 XOSG) O= C. erhält man:
0) V= F(y', Cr, Ca, Ca). Man erkennt, daß die Ausdrücke: X,G X,GXISG G usw. keine neuen Lösungen von(3) mehr liefern, was seinen Grund darin hat, daß die Gruppe G, nicht einfach ist. Die Gleichung(3) ist somit reduziert auf die Gleichung(7), die die invariante Untergruppe der Ga: p, XqQ+ q, q gestattet. Man findet daher durch eine Quadratur y“ als Funktion von x, und zwei weitere Quadraturen liefern schließlich y als Funktion von X mit sechs willkürlichen Konstanten, womit(3) vollständig integriert ist. Im ganzen sind also dazu die Integration der Riccatischen Differentialgleichung erster Ordnung(6) und drei Quadraturen erforderlich.
II. Die gewöhnliche Differentialgleichung möge bei der G, invariant bleiben. Da die beiden niedrigsten Differentialinvarianten der G, lauten:
(8) M.= und Ma= La, L2 1
wobei Li und L, durch(1) definiert sind und: (9) L.= 35 K— 105 K K; †= 63 K K,— 9 K.

(14)
(12) J=
— 8
ist, So handelt es sich um die Integration der Differentialgleichung:
(10) 3= 27(Ma). Wir führen diese Gleichung durch eine Quadratur auf den vorigen Fall zurück.
Zu diesem Zwecke benutzen wir die niedrigste Invariante Lu der invarianten Untergruppe G als unbekannte Funktion und Ma als unabhängige Veränderliche. Mit Rücksicht auf(1),(5) und(9)
wird:
4 dr⸗= 160 K,“— 255 K K,+ 45 K,²+ 63 K Ka— 9K.= La 5 n” hh.
und somit wegen do 3 d Me 1 1 12 d=L 5—5 W. w),
woraus folgt: d LI— Li Me d M,
36 2 M.* Mo) oder durch Integration:
(11) Durch Elimination von M aus(8) und(11) wird La als Funktion von Li mit einer willkürlichen Konstanten bestimmt, womit also durch eine Quadratur die Gleichung(10) auf(3) reduziert wird.
III. Die Differentialgleichung möge bei der Gio invariant bleiben. Diese besitzt als niedrigste Differentialinvariante:
15(84 M. 5 M4)=—(10 M.+ 49)(100 M.+ 2640 Mà ℳ 560 M. 2 7364) 5 (10 M. 49) 2
wobei die Mi Differentialinvarianten der G, sind, die durch die Gleichungen:
(13)
ſ5 a de Li= C. eN 30— 3ℳM 671).
Mi= r(i= 2, a
definiert werden. Li, Le und La sind durch(1) und(O) bereits
gegeben, während:
L.= 840 K,— 630 K K,— 630 K K+ 315 K K.*+ 252 K K,— 27 K L.=— 5775 K,+ 11025 K,¹K,— 630 K5 K,— 4725 K¹2K, — 1134 K 2K,+ 1134 K, K K.+ 324 K K,— 27 K.
und 6
(18) hinaus Wiscl
dA, do

— 9—
iehung.
. Bezeichnen wir das invariante Bogenelement der G, mit: 1 = 2, wonigen(15) de= Li 2do, so lautet das invariante Bogenelement der Gio: riante 1. 1 und N V(16) ds=(10 M.+ 49) do. und() Somit ist die nächst höhere Differentialinvariante der Gio: . d I (17) Me de 5l. 1 95 und es kommt alles auf die Integration der Differentialgleichung: (18) J=„( hinaus. Wir führen sie auf ein gewöhnliches simultanes System zwischen Ma, Ma, Ma und J Lzurück. Zunächst erhält man aus(9),(14) und(5) leicht Ae und d2 als Funktionen der K, die wir durch die L ausdrücken können: dLE. 1 3 d(Ila l⸗ L); dILa 1 3 65=3(— 35L+ 2811 Lz+ 31L3). 21 Funktion Daher folgen weiter aus(13),(15) und den Werten von 412, omit also 3 iert wirdl d die Größen: l di und a als Funktionen von Ma M.. tbleiben. Die Gleichungen(16) und(17) liefern: OM. 2+ 7364) dI 8 —= T ‿(10 M.+ 49) Jr, 1 df so daß wir schließlich mit Benutzung von(12) und(18) erhalten: lurch die
dM. 10. M. 2 M. ſ 1 ds 2(10M,+ 49)4„(S) 4 d M. 7 M.— 2 M. W. † M. . Q.5— ) veds(19) dJ 3(10N. † 49)4.„ J
1 45(84 M.+ 5 M.)— 3 J(10 M,+ 49)2 2KaK, 2Ik dM.—(10 M.+ 49)(1680 M.*+ 5120 M. 4 250 M M.+ 25592)
5 300(10 M.+ 49)7„(I)

—
XI=(10 M.+ 49) 5M. L2(84 M.+ 5 M.);
3 Xf= 5(10M, 49)1 5.
— 10—
Unser simultanes System ist offenbar gleichbedeutend mit der— Mia linearen Vnodenen Bienen Differentialgleichung: Rhins (20) 9 1. 1(0 X 4 JX. 3.= 0, wobei: Lugpe XIf= 150(10— M.*+ 2 M.)(10 M,* 0)* 1. ℳ 100 0M. Lef⸗
— 2 M. MW.+ M.)(10 M.+ 49) 11 Tlsum+ 5M)* Vif (10 M.+ 49) 1—(1680 M.*+† 5120 M,+ 250 M. M.. Ktt + 25592)(10 M.+ 49) 1St 3
ſSM. 5. 9
Xaf=(10 M.+ 49) 45.
Durch Einführung von Weerefen neuen Veränderlichen in Xuf und
X.f müssen diese in solche Transformationen übergehen, die linear
ableitbar sind aus den Transformationen der Gruppe Gao¹), in 8o bes
denen wir die x, y, y durch u, v, w ersetzen und diese dann der
Reihe nach mit VIf..Viof bezeichnen. die ge 419 8
Um die Transformation zu finden, die diese UÜberführung leistet, bilden wir durch Anwendung der Klammeroperation aus Xif und Xa f neue infinitesimale Transformationen. Auf diese Weise könnte man gerade zehn unabhängige Transformationen herleiten. 8 Da jedoch hierzu eine zu lange Rechnung erforderlich wäre, bilden wir nur so lange neue Transformationen, bis wir einige Unter-— gruppen der zehngliedrigen Gruppe erhalten, die wir dann in die und: entsprechenden Untergruppen der kanonischen Gruppe Gi über-— zuführen versuchen. Wir finden so:
0 f 9f
M.“
df 3 0f — 84 10 M.— 4)1M.
1 X,= 15(133 M.+ 10 M. M⸗ 5 M.)(10 M.+ 49) 25 0¹ Ni. 210 M. 4)25. 80 dé nach 1
—(12936 M,— 1680 M. Ms— 250 M. M.+ 35 M.)(10 M.+ 49) Lal.. u=
wobei: 5 1 d (X Xe)=— 100 Xa f;(XXa)= 2 Xrf— 60 Xaf;(X XC)= 50 X, 1; 1
5 1(22
(X. Xz)=— 2 Naf;(X⸗ X.)= 0;(X X,)= 15 Xaf;(X XI)= f W=
.X.)= 5Xf; G.X.)= 0. V
¹) vgl. Lie, Gesammelte Abhandlungen Bd. V S. 686, die Anmerkung zur achtgliedrigen projektiven Gruppe der Ebene.

Xüf und lie linear
J10)), in dann der
fführung tion aus se Weise nerleiten. e, bilden e Unter- un in die d über-
Anmerkung
11
Daraus ersieht man, daß Xa, XI, X;,, X; eine Gruppe bilden, die die invariante Untergruppe X, Xa, X, enthält. Mit dieser vier- gliedrigen Gruppe gleich zusammengesetzt ist die folgende Unter- gruppe der Gio:
X. f= 5(3 V,— 2V)= 5— ue dS G 2u 9 2” 29 2: 7 5—2 1 df dt. Xaf= 4 GVI I⸗) 1Se v 2w J): Xi= 16 V.= S(ur era 5) Setzen wir:
Xaf= 2 Xz f+ 2 X 45 X f, Xaf= ½ XaI-. XA f 4 Xf, so bestimmen gegebenenfalls die Gleichungen: d2— 2, 14= u. 45= 75 die gesuchte Transformation. Es wird:
5 1.=— 1 GA M. † 5 M.)(10M.+ 49) ⸗: 1.=— 3(33M.+ 10 M. M. P 5 M.) 0M. 49) 1,
1 = r oM.+ 40) ²
und: 1— 1u; 1=3u(— 3u 2. ꝛu 1v- w), Aeee-twwwrz-
so daß die Auflösung der Gleichungen: 42=, 44= 11, 4.= 1
nach u, v, w lautet:
u=(84 M.+ 5 M.)(10 Ma B
WW.(84 M. 5 M.) ¹(10 M⸗+ 49) 2—(84 M..5 M.)“(10 M.
+ 5 M4)(10 M.+ 49) 4 15 M.(S4 M.+. 5 M.) ²(10 M. 2
4. 12 2 10 M.+ 49) ²

—
——ÿʒ—————
——-—
2—
— 12—
Durch diese Substitution geht in der Tat die eine viergliedrige Gruppe in die andere über, und außerdem wird aus Xif:
— df XI 1= 59(u⸗ v 2uv)+ 75,31, S u⸗ W2— 4v)- 48uF 100 Suwn aan= 761-96 1.— 3 V. Weiterhin führt die Transformation: (23) 2 l, 5=1w.„=V— Juw
unsere Gruppe Gao über in die projektive Gruppe eines linearen Komplexes:
0 f 9 f 0 f 0 f ff 1 ri 655, 7a1=S,, 7.S 221 5 df 5 2: df d f 0 f ai 6 5' Zaf= HSa, 2,1= A3 53 2734, 0 f„1 0 Tee 660 2di 55 rn 9) 2,i,
tal 1- 65-n). 20f=„(1a 55- v 9),
und zwar werden Va f, Va f, YVA, Y t, vof der Reille nach zu: 1 1 Zuf, Laf, 2 Za f, 2 Zo f, Ziof. Daher verwandelt die Aufeinanderfolge
der Substitutionen(22) und(23) die Gleichung(20) in:
1 (20„334.9007)(2252 f-= 144 2, f— 100 Z0f
J(45 5 1— 135 24 1))= 0 und das simultane System(19) in:
da 1 1 2 C.g dT SD de, aba e .— 5„y J (di) d= 900„(S)(144— 1006)945(6+)) dy 1
————— 272„—* d.J= 900()— 2256— 1007*(45v 135) J)
Setzen wir schließlich noch:
2 E 6„ d 100 X— 45 X J
„
XA X Xa 3 d 900%( 5

— 13
. so erhält(19) die lineare Form: 2 df(190) d X— d X2——— d 1 ſor 225 x 144 45 X J 225 X 135 X J 100— d 8 3 V 100 XS 45 21 J 900% J) 3 und dieses System kann durch eine gewöhnliche lineare homogene Differentialgleichung vierter Ordnung ersetzt werden. Wir haben somit die Differentialgleichung zehnter Ordnung(18) 8 auf ein simultanes System(19) oder(19˙) zurückgeführt; denn linearen sobald(19) integriert ist, findet man alle übrigen Integralgleichungen von(18) durch Differentiation, da die Gruppe Gao einfach ist. Der ü Vollständigkeit wegen werde ich dies noch in aller Kürze durch- 5' führen. Erweitern wir: dt 220 df df 7 Boi= s Va„ Jp bis zur achten Ordnung, So wird: 1 1 1 B4K= BXK 2v" 5, BGK,=—2XK,— 5y“ SkK., dy“ 1 4 1 BG K= XK, 9 y“ 3K,, BGOK,=— XK, 14y“ 3Ka, „ 8 3 6 5 3 nach zu: 5 3 derfolge BO Ks=— 3 Ks— 20 y“ 3 K., daher: 1 B0L,=— 2XL.— 5y“ 3K., BL,=- xL.-* 3)“ 31, 0 4„ k L, LnDl.= Sal. = O Bo L.= L. 49„ 3 4 1, 9 1 4 1 — 2ye(2 Lz 35 112— 42 K La); mithin: ==1 5 BoMe= 3y“ 3Lr 2 1 VI 3K L 1Ma, 1 „ B,GMa=+ y” 3KLi(10 M.+ 49), Ao* 1 1 1— 25 )sj. BM. 5— 2y 311 2(35 42 Ma) 5 v 3 K LI(84 Me 2.)] 5
und somit schließlich:
5

—
————
— 14—
B= ye 3L. 1. 1Ga 1 aß— 51/36 G= 229
Sy 3K, L 1(39 2— 2 1),
Die Integralgleichungen von(190: W.= Ci, W= Cz, Wa=( bestimmen a, 5, y als Funktionen von J; ebenso liefern: B. Gh C., BW=— e;
3. 31 2 und: RL 2 als Funktionen von J. Wegen: 1 112² 1 B,0(y" 3L. ²)= Xy 3L. 2+ 3 S[yn= L. 3) K.L. 2. —, 40 172 B6)(K. Li 2=— 2y“ 3 Li 22 2 Y 3LI 2 K. L 2)
bestimmt B.GB,GOW= c noch x, während weiterhin B,f nichts Neues mehr liefert. Nun 1 aber weiter aus:
„ 0f B, 1— V I YV dy. 9 1. e (B. Ba)= G—)S 2 1* dy 2 v Sr., S80 daß: B49 W— B. B. G W— B,G) B.G W—— B. B. W.
wird. Da aber:
(8)—— 1712 also: B2R. 3y 3.
1
B,6Ay 311 ¹)=Jyye 311 2, B,(K. LA=ye y S”. so bestimmen: B.AGOB,G) W.= c., B09 BoG) We= Ca und y“. Die Integralgleichung: B4GB,GB,GOWi= c, liefert y' und ebenso: B,B,GB,GB,GW= cio
y als Funktion von J, woraus sich endlich y als Funktion von X mit zehn willkürlichen Konstanten ergibt.
/

Zweiter Teil.
Die UÜberführung der irreduzibeln Gruppen von Berührungstransformationen der Ebene mit gegebenen Definitionsgleichungen in ihre Normalformen.
Ist eine gewöhnliche Differentialgleichung m-Ordnung vor-— gelegt, Sso kann man durch ausführbare Operationen entscheiden, ob sie eine Gruppe von Berührungstransformationen gestattet. Wenn dies der Fall ist, kann man die Definitionsgleichungen der Gruppe angeben, aus denen man sofort erkennt, mit welcher kanonischen Gruppe unsere Gruppe ähnlich ist(jedenfalls dann, wenn die Gruppe irreduzibel ist). Dies alles ergibt sich aus den Betrachtungen von Lie in Nr. XIV der Gesammelten Abhandlungen Bd. V, wo dasselbe für die Gruppen von Punkttransformationen in der Ebene durchgeführt ist. Es handelt sich nun darum, die Sub- stitution:
(1) r=T(wyy) v⸗y(X.y.y) v= y(X y, y) zu finden, die die Definitionsgleichungen unserer Gruppe in den Veränderlichen x, y, y' überführt in die Definitionsgleichungen der zugehörigen kanonischen Gruppe G in den Veränderlichen x, y, y“ Dabei soll(1) eine Berührungstransformation darstellen.
Die partiellen Differentialgleichungen:
1 f d r dx d x G(KY.X 9,y, BE, 37, 35..)=c
die die Substitution(1) bestimmen, können nach S. 382 der oben erwähnten Abhandlung auf bestimmte Formen gebracht werden. Ist nämlich D die größte Gruppe, in der die Gruppe G als in— variante Untergruppe enthalten ist, Sso werden durch die Relationen: Li— 0
alle Differentialinvarianten:
Ir r r S 7— S—... Jk(o Y, U* 0X' dy dy

——
— 16—
von D als Funktionen von x, y, y bestimmt:
(2) Ix= Br(X, y, Y), wo die B«x nun als bekannte Funktionen von x, y, y zu betrachten sind. Es handelt sich also darum, die Gleichungen(2) zu inte- grieren. Auch diese lassen sich, wie wir im einzelnen durchführen werden, auf Gleichungen von gewissen Normalformen reduzieren. Das sieht man nach einem von Vessiot angegebenen Verfahren am schnellsten ein. jedoch ist dies zur wirklichen Ausführung nicht so geeignet wie die im folgenden angewandte Methode von Lie, weil bei Vessiot die Hilfsgleichungen noch Parameter ent- halten.
Um die folgenden Rechnungen möglichst einfach zu gestalten, benutzen wir die Operationen:
dfof Mi. af (3) f Y„ 2 dy; 3 y
Wegen der Relation: (4) fß= fig— fen(fix= lfilu)
brauchen wir nur die Operationen fi und fe zu berücksichtigen ¹). Daß(1) eine Berührungstransformation darstellt, ergibt die Bedingung: 6) U= V x U= U’x.
Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns zu der eigentlichen Durchrechnung:
I. Die Gruppe G ist als invariante Untergruppe in der G, enthalten, aber in keiner größeren. Denn diese Gruppe könnte nur die Gao sein, die aber weder die G noch die G, als invariante Untergruppe enthält. Daher fällt für die G, und die G, die Gruppe D mit der Gruppe G, zusammen. Das Reduktionsproblem ist also für beide Gruppen dasselbe.
Nach der zuletzt erwähnten Dissertation(S. 61 f.) lauten die niedrigsten Invarianten der Ga:
1l)= ri U.— xe U 16)= Til D. VI1 T2; jG= xis ye— Ui Xe; IG)= xei ye— Ve1 Te; 16= L U,— Ues Te; IG)= U I1 hr: 160= Die I 5 1iz Vi; 16= Ve1 T— xer Vr; 10)— Ve2 Tr— Ter Ur, z) Näheres hierüber siehe in der Dissertation von L. Gasiorowski:„Uber die Definitionsgleichungen der endl. kont. Gr. von Berührungstransformationen in
der Ebene“, Gießen 1914. Abdruck aus: Prace matematyczno-fizyczne XXVI, Warschau 1914.
oder
(10)
Da m wenn sind
alle bestit Invar
invari (l) der l
Luvo⸗

drachten zu inte- Phführen liuzieren. erfahren führung dde von bter ent-
estalten,
entlichen
der C, könnte wariante G. die problem
uten die
7*.. — her 12;
K 12h—
i:„Uber ationen in ene XXVI
— 17— wobei(ebenda§ 4) die Relationen bestehen:
0) le,— ſo † 2 6)= 0; 2/6)— ſeo †. 1= 0,
während die niedrigsten Differentialinvarianten der G, bestimmt sind durch:
1) 109 6 1) e, iee. ſe,). 100=) jG) 2 1G) C)?(¹)) 68)— ¹ () 2(9) f)= L.((0) 169 1)ee() L jGCh) j 7 j(¹)* jG)
mit den entsprechenden Relationen: (9) 10)— i+† 2100= 0; 2ie— ich i0= 0.
Die Invarianten(8) sind nach dem früheren als bekannte Funktionen von x, y, y zu betrachten. Zunächst erhält man:
Giohr= 19Ge † 1e),(s 0),= 15 e † ſo),
oder (10o)(og ſ),= ic 4. ich;(dog c),= ie † ie. Da man nun natürlich wieder Differentialinvarianten der G, erhält, wenn man auf die Invarianten(8) die Operationen(3) ausübt, so sind durch die Gleichungen(10) unter Berücksichtigung von(⁴) alle partiellen Ableitungen von lg jc als Funktionen von x, y, y bestimmt. Man findet also jc durch Quadratur. Damit sind alle Invarianten der Ga bekannt.
Als unbekannte Funktion verwenden wir eine Differential- invariante erster Stufe:
(11) u= der Untergruppe G;:
7 ö a 135-. d dy 2 ¹ ray rox dy
Zuvor schreibe ich die Relationen an: 411— 10) TI+ 1) T2; 112— 102) T+ 1GG x.; 121= 16) TI 24 100 T; 122— 164) Fr 16) 12, deren Richtigkeit man sofort erkennt. Dann wird:
1 e n 1r r2E Tl=— T. T11) 2(10) 11(16)— 1G)) r Te— 10) Se“) 1
11. 1.(k T22— T2—1 2) 1.00 TI(iG— 16 y xi 432— 10e) re) 1
Faber. 2

— 18—
oder:
(12)
u== 1(i0— 10) u— iG u²; 1u= ie(ih ia)u= ſou⸗.
Daraus ersieht man leicht, daß u, betrachtet als Funktion von x, y, yY, je einer Riccatischen Differentialgleichung erster Ordnung genügt. Die Integration eines solchen unbeschränkt integrablen simultanen Systems erster Ordnung kommt aber hinaus auf die Integration einer gewöhnlichen Riccatischen Differentialgleichung erster Ordnung. Es sei: O(u, X, y, Y)= const.
das Integral der Riccatischen Gleichung. Dann erhält man durch Differentiation neue Integrale der Differentialgleichungen, die x und y' als Funktionen von x, y, y' bestimmen. In der Tat, setzt man:
„N l df d e. t ör 2) dr Kh ör. h 0r.
BeI=y
80 wird: 1 5 J(¹) B 11 3(01 Ve— 12 U)=—2, T1 LI
und es sind daher: 1U) B. G= Su 21 ü= const. TI N2 jC y.“ B B= Duu ſt.)— 2 Su L. yr coſlst. T T1 1 zwei weitere Integralgleichungen, die zusammen mit= const. u, 1) D. 3. 4 und 1 als Funktionen von x, y, y bestimmen. Da aber jy 1 1
schon bekannt ist, so erhält man sofort: xi, xe, vi' und ye. Dem— nach findet man durch zwei Quadraturen x und y' als Funktionen von x, y, y und wegen(5) durch eine nochmalige Quadratur auch y.
II. Für die Gruppe Ga fällt natürlich die Gruppe D mit der Gruppe Gaio selber zusammen, so daß alle Differentialinvarianten der Gio als bekannte Funktionen von x, y, y anzusehen sind. Um aus diesen Gleichungen x, y, y' zu bestimmen, führen wir drei Differentialinvarianten der Untergruppe G, als unbekannte Funk- tionen ein. Damit aber das sich so ergebende simultane System erster Ordnung mit den unabhängigen Veränderlichen x, y, y' auf eine analoge Form gebracht werden kann wie das System(19)) S. 12, muß man die Differentialinvarianten der G, in ganz be- stimmter Weise auswählen. Ich stütze mich dabei auf die Uber- legungen von Herrn Prof. Engel auf S. 718 f. der Gesammelten
Abhand t in solche den G bereicl lesimal
und d erzeug G8. vVon V nicht
lichen gar ni
bis 2 Gleich nehm änder zehn näml
wenn der Wir neue
änder
. df 01 1 1ahf
2
durc.

1L)
genügt. fnultanen legration Prdnung.
in durch r und y' man:
const. u, aber jo)
Dem- nktionen rauch y.
mit der rarianten nd. Um wir drei e Funk- System „y auf m(19) anz be- e Uber- mmelten
,0f f f. dr 1 8 6⸗, f. 1„, 2* 244. pt- vS 1y 3)r h 4 1 o(os 2„5
— 19—
Abhandlungen Lies Bd. V. Daraus erkennt man, daß es wesentlich
ist, in die erweiterten infinitesimalen Transformationen der Gruppe Gio
solche Differentialinvarianten der Gio und noch zehn andere unter
den Crößen r, y, y, xi, wz,„ die dort mit 21,.z9(= 10) bezeichnet sind, als neue Veränderliche einzuführen, daß die infini-
tesimalen Transformationen die Form annehmen: 10
D.t= T A: 210) 52— 3(K= 1, 10), „v= 1
und die Gleichungen Da f= O voneinander unabhängig sind. Dann erzeugen die Daf eine zehngliedrige einfach transitive Gruppe G. S. 719 Z. 12—9 von unten). Wir können aber auch versuchen, von vornherein solche zehn Veränderliche zi.zio oder, wenn dies nicht unmittelbar möglich ist, geeignete Funktionen der Veränder- lichen auszuwählen; dazu brauchen wir die Differentialinvarianten gar nicht aufzustellen.
Erweitert man die infinitesimalen Transformationen der Ga bis zur zweiten Stufe, so erhält man nur neun unabhängige Gleichungen. Man muß also noch Ableitungen höherer Stufe hinzu- nehmen. Es zeigt sich dann, daß die kleinste Anzahl der Ver— änderlichen, die für sich transformiert werden, und bei der die zehn Gleichungen: Da f= O voneinander unabhängig bleiben, 11 ist, nämlich die 11 Veränderlichen:
x y 3 Xz 32 X 2 ee 222 12222 52222, wenn wir der Becluemſichkeit wegen y' durch z ersetzen. Wegen der Relationen(5) können wir ja die Ableitungen von y fortlassen. Wir werden dann versuchen, Funktionen dieser Veränderlichen als neue Veränderliche einzuführen, derart, daß eine dieser neuen Ver- änderlichen ganz herausfällt.
Wir erweitern also zunächst die Transformationen der Gio:
di 1 Ff Df df 01
everag dy 2 G kx 53:
91 1 201 1 t 1 0f.
59; LS 2 735:434, 0— rz)ox 2 53 dy 23˙d3;
durch Hinzunahme der Veränderlichen: T2 32 Te2 322 T222 3222 T2222 32 222. und bezeichnen die so entstandenen Transformationen der Reihe
nach mit X f. X f. 2*
10 f
0 3

————
—
(14) 422 3 mn n S 1 † r.† 3 xe⸗ 9) .22
— 20—
Die zehn Gleichungen:
XIf= O, X.f 0, X11= 0 bilden dann ein zehngliedriges vollständiges System in 11 Ver- änderlichen, das also gerade eine Lösung besitzt, die dann eine Differentialinvariante der Gio ist. Die drei ersten Gleichungen: XI f= 0, Xgf= 0, Xaf= O sagen aus, daß unsere Invariante von r, y, z frei ist. Die vier folgenden Gleichungen: Xf= 0,.,
7
X. f= O lassen sich 3 ineſe df df
*2 d5,. S. 1 e e.. Lean Fn df df df df 13 02 dx.+ 322 5 5222 5* 52222 T,22= 0 a. T2 S.n 2 Tee ze T1222 2,6 veeee 3 14 0 f df d f 32 dz2 3 322 G en 3222 52222 Fee= 0
und die Gleichungen X. f= 0, X, f= 0, Xoof= O vereinfachen sich umhe Berücksichtigung din Tis Gleichungen zu:
be e SeeNeranen t Gr. 5222 3 ⁄en veaysee
T222
— 0;
2 + 323 e+. 3 32 522 J3— 5—
—
+ x*z
52
+(2½ e2 X2 3 wad 1. Ca Lers 3 e dn lr Dnr 0;
3222 df df 1— e—— 0. 22 0 xgz= bz⸗ 0 32222 Die Lösungen der Gleichungen(13) lassen sich sofort hinschreiben, so daß man die folgenden Differentialinvarianten der G, erhält:
u=— 22— 32 122 222. U— nee— 32 Laea⸗; (15) 522— 32 de: 12 J22— J2 T2 v T22 9222— de2 Lzzs; V= 122 322 222— 322 1. 22222. Te J22— 32 Te2 T12 522— 32 8
Führt man diese in(14) als neue Veränderliche ein, so ergeben sich Gleichungen, die sich sofort in die drei folgenden zerlegen:
df 6 df=

chreiben, erhält:
ergeben gerlegen:
0.
— 21—
Diese besitzen, wie man leicht erkennt, die gemeinsame Lösung:
(16) J= 6v--4U— 5 u..
Um die späteren Rechnungen möglichst zu vereinfachen, führen wir in die Transformationen X f,..Xiof die folgenden Größen:
r y z xe ze kee ze2 UV U V als neue Veränderliche ein, was statthaft ist wegen der Relationen: (15) L222= T2 l— 12 V; T2222= T22 D— x½ V;
3222= 322 11— 52 V; 32222= 522 U— 32 V.
Dann erhalten wir:
5=dn f= 189 dn: 1.= s; (1) X= 29 rdr di r X.= t— 3 31- k, NI. e F-.1. be Jze 1= 331. 15 läSiris en ae: Xf= FSt 2- 354 †s3sr 13 1,Si-nwSn. ad 25 3⁄2. 5 3
dy
und weiterhin:
9 1 O e 2 d ee 25 S 5 r3e Sx.(Taer N Tda) Je
dt df — 55* d— Gꝛ* z⸗ unt— ze Fu(2 5. u) JV
0 f
Pee r de⸗neenbie Xof= 2 i n r'5 f. T To2 L= Te 1 d5. d f G1e 13) 53 Aren eo ae Gar aou
— Srau- x.- 4v);

—ᷣᷣ:jʃ—
—
—
22—
1 ef t 31 b⸗— 12)/ 39(b 235'ſ
1 d f br.— 12,).(br.= Treh-vre 2 ⸗ Je⸗ Sn-
des 1 9 1 2 + 2 rr= xa)s⸗ 63.— 5e 2 3—e
1 di 1 +G-— i) e 53 k GGr. r4)Ju— 52rn eu)——2 eu) dr 22
+ bGre 1,)— r G5 P zeu)) du 4 GGr.— rz)(U+ 4)
d f + 3 Tzeꝛ— 3e) u-4 2(T. 3e= 3ree) SV-
Die Form der drei letzten Transformationen legt es nahe, die folgenden Größen als neue Veränderliche einzuführen:
r y z x. 32 xes 3ez2 à 6 y und J, wobei:
(18) a= u, 6= UI 4 v,„= V., J= 6v- 40= 5 u⸗
ist. Diese Größen sind voneinander unabhängig, denn es ist:
(s) u= a, v= L(46— 54*— J, U= 28+ 104— 363) V= y.
Die Transformationen(17) werden bei der Einführung dieser Ver-
änderlichen nicht geändert. In den neuen Transformationen Xa f, Xo f 0 3. 3.
und Xiof kommt nicht vor, weil J eine Invariante der Gio ist;
es kommt aber a J selbst in keiner Verbindung vor. In der Tat, es wird:
dt 1 0I 1„⸗0f df Xsf=(y 3
0 f 0 f — 532 34—(5322 e: 95— 3 da 4 5 be— 321) 57 (17 a). Gara— 55)3:; 1 0 9 f 5 v.2 d f 2 ½ 1 9 Jz Er. r.„(Sr...)a.. 1. 35 4.Gre-ES, f. L.r. 1 3(E a 314) 4 5 ⁰22 1 T2 52 d1+ ke Ne 1— 1e) 9- Ee6— Tea):
21 r3* 5— 2³ 53 1e IE(Paer † Xe32) Jxe
Wir he der G. = Verän
für Sic einfac änder unter sind, tioner
müss daß von 21 ‧2 diese inden
Wege

— 23—
d f
1 2, df. Xf=(Ey— 1 2:3) 8r(or 84 4 1* Sn
dx — 1 81 1 dn Oxr— 2*52 Sr. 5 e“= e 5 4 VTee— 2 1 2*
— 2 rSe)21 (o 2*5*) dz
1. 117) 2— G— 1) 1.S r ze— r3es ℳ. 2 5 pe
5, df df a1))+— r) dS3=.G=. 13,) 34 B(T5er— zr⸗⸗
0 f 0„
I 4 4 d f 64y)y † Gr.— r.) lds— 3 CBer—5e)a-(xe Ta⸗) 2 E— 3ee)
Wir haben somit zehn erweiterte Transformationen(17) und(17 a) der Gio gefunden, die so beschaffen sind, daß die Gleichungen: he, die XIf= O,., Xiof= O voneinander unabhängig sind und die zehn
Veränderlichen:
X U 3 Xz 32 T22 22 1„
für sich transformiert werden. Also erzeugen sie eine zehngliedrige
einfach transitive Gruppe. Dadurch sind die zehn geeigneten Ver-
änderlichen zu. zio bestimmt, und wir können außerdem drei ist: unter diesen, nämlich a, 5, y, die ja Differentialinvarianten der G,
sind, bei dem noch aufzustellenden Systeme als unbekannte Funk- ) V=.* tionen benutzen. Um jedoch diese Aufstellung bewerkstelligen zu können, müssen wir noch solche Differentialinvarianten der Gio berechnen, daß sich vermöge dieser Invarianten, die ja als bekannte Funktionen von X, y, y'’ anzusehen sind, alle Ableitungen erster Stufe von Gio ist; z1 zio durch zi. zio und X, y, y' allein ausdrücken lassen. Zu diesem Zwecke erweitern wir unsere Transformationen nochmals, indem wir die folgenden Veränderlichen hinzunehmen:
Tr 31 Lel 3et Tet 3221 di 91 vr e d J Je. 2 † ne) Fr- Wegen der Relationen:
1 2 rer= †2 r(46— 5— J); zeꝛs= 322 4— 7 32(46— 54— J); (19) 10 10 1 2 0 2 1 O⸗ 2 9 i V 32= 10 G* 54 26): 62 1(J. 10)+ a(4 J+ 104— 66),
f A die man leicht aus(15),(15),(18),(18) gewinnt, wird die Ge- in J samtheit der Veränderlichen für sich transformiert, so daß man
1 1. autßer den Invarianten J, J, Ja noch zehn Differentialinvarianten der Gio erhält. Schreiten wir nun zu deren Berechnung!

—-—————
—
— 24—
Die Gleichungen X f= 0, X.f= 0, Xf= O0 sagen wieder aus, daß die gesuchten Invarianten von x, y, à frei sind. Weiterhin erkennt man, daß die erweiterten Transformationen Xa f, X f von a, 6, y, ai, ¹, yi,» frei werden, weil diese Größen ja alle In- varianten der G, sind. Daher lassen sich die Gleichungen X. f= 0,
X, f= O analog den iejetümeg(13) ersetzen durch:
8 d1 per vi.+ r. 2 tur †+ xern 331=o. 5⸗ Ib⸗ ar 5 d zen 85 zmm S=o Ni A. d E. 755- rue. PrerFr.=o.
* 1 5„. z13 J 1- 11 33. †..=o.
Die Lösungen dieser Gleichungen lassen sich sofort angeben. Man erhält so als weitere Invarianten der G;:
V v= Senn 31 e 1. w)= Le de1— 32 Lel. 1, wuh-= eden. Heran; 32 de Tz 522— 32 T Le S22— 32 122
WG= 52—— be 1, w= T22 32 21— 322 dr; W0GG)— Tg2 5221— 322 L221, Tz 322— 32 T22 T2 Je2— 32 T2 Z d22— 52 T2a
mit den Auflösungen: ſa= w xe= wxe; Far= WOTee= WO xe; Taei= W0 xg WGxe; (o)= w032.= W0) z.; zei= W0322= WJ32; ze21= W) 322— WG32.
Aus(17 a) erkennt man unter Berücksichtigung von(19) leicht, daß die Eineie Transformation Xa f folgende Gleichung liefert:
Asf=— x² i—(Tae⸗ P.) dr ra n—(r3er 5) d. —(Tzeni 3 L Fr 3e A r. 3)5a.— iuenan —zudi rewnawnie Garn=3e 1 2322)121. e—3,t .5 Ge=) 39—. Gzwa 3.3)1— zeſeee nn
9 f haJetne eRteaae. 32 6 6)3f Sli.(9J
. l e 45 4— 165) 20 5*5 J. 507 424(1J 10a3 ame di.
0,
wo die
entsten die ge ausdrü Dann
Was 5
(dl)
(21 3]
Nun gera stäne inder
(21b
Wir und der

wo die Glieder mit x und z weggelassen werden können; die so entstehende Gleichung sei mit A. f= 0 bezeichnet. Da sich nun die gesuchten Invarianten der G durch die Invarianten der G, Xf= ausdrücken lassen, benutzen wir diese als neue Veränderliche. Dann wird:
Asf=— ze Af— ze Bf= 0,
was sich sofort in die beiden folgenden Gleichungen zerlegt:
df df df df Af= w0) Jd 5+ we Jed+ w0) 5(Wo+ G); St * 4 31i.= df 6) 6) 40 G A1 ). †(o 2w 5 2 145⸗ 85 4 0 1 5(21) f + 5(wwG— v a) d( 5 . 1 2 2 † 25 53e 507 24(73 1042— 35151= 0; en. Man 20 d p df df d f d f d f = W0) 64)— wG))5(2- er Bf= W SO(UW W 95n 6 555 3a Se u ö 22221. be(1) 5 GwGa— w) J 1;— 3„04— 3) n — Je L2l, 2 1. — zehe⸗—— 2— 16)—= hebea. 10 G J+ 450 169 8, 0. Nun müssen die erweiterten Gleichungen X. f= 0, X, f= 0, Xiof= 0 WOp; gerade drei solcher Gleichungen liefern, die ein dreigliedriges voll- — w0hz.. ständiges System bilden. Man erhält die letzte dieser Gleichungen, o) leicht indem man aus Le und(21 a) den Klammerausdruck bildet: g liefert: w 2n df 0 Af..5(e) t if 5 dy da, d5. 3) S(21 b) d df 3de+[2(wG= w0)— 3w a+ widſ, 5 ν☚= 0. 0f b' Wir haben es jetzt nur noch mit den drei Gcleinunen G0(21 a) und(21 b) zu tun. Als Lösungen von(21 b) erhalten wir nach ſ der gewöhnlichen Methode: e 2 wWG) WG) WG) WG) WG) a; — zer0 und: P¹)= 2 W0)+ W)p; P= 21— W0)p; pPG= 261 5„(W9— W0l) a) 3 de(93(22) pP= 2„ 5y; pG— 291„ 2(WG— W09)*3 wG) a— w0 6) 1f Benutzen wir diese zusammen mit y als neue Variabeln, so nimmt
(21) die Gestalt an:

(24)
— 26—
3 d f 2 01 d f h 1 df* W0) 3i V d 0w.(u w 4 5+ 555 b q 1 01 St V 4 + W0¹) 5+ 2(W— 209)— 5 50—(2 wWO+ W 5) 5bE q (3 7„ 3 df 1 (21)(pG— pes 6(NꝝvS= wch a)— 2 0 5 ℳ 10758= 1 0 3 O 2ο◻ι+‿10ν— 8⸗)JSg 3pP p 5Gwd 8) — 2w)= w00%⅛)] Sis 0, Aus( 701— und(21 a) geht in eine Gleichung über mit den Lösungen: VNOG) WG WG W a de und: 30 da qu= 5w0 w0 3; 0⸗ q= 5p+(2(w4— w02)— 3w0ha); 49= (6) d*= 5P 2w A3w a); 5= qs= 5p 5(3wa—= 3w0 2w)— 10w— wß; go⸗ 4w= 25p 60J— 304— 8); V q= 25 p+[2— 15 p]— 3a(10 15w a— w 03), 2 So fil die wir zusammen mit 5 in(21) einführen. Die Lösungen der so aus entstehenden Gleichung sind dann die gesuchten Differential- an( invarianten: 1= waoy; 12)= W 2)— Wlha; e 1)k= W— wha; 1)= W)—(W+ w 0) a+‿¶ W) a2; 3 1= qG— 5(i+ icha); i= qe— a(20i+ 2 i+ 5(3i+ 2i+ icha); 1 100= q‿(2i+ a(ich— ica)); i= ν— 5(i+. 10— 51*); h= 10= 4s— 5 3 J. ℳ(10— D)) 11¹0— G— 5aſis+a(j 7+ 41 ³))+† 22(i+ 101 9)— 10 1as— 15i 1) a*.(25) * Diese Invarianten der Gio, die man leicht als Funktionen der Ab- 39= leitungen von x und z angeben könnte, sind als bekannte Funktionen von x, y, y' anzusehen. Wir sind daher jetzt in der Lage, das 6 simultane System für a, 6, y aufzustellen. b Zu diesem Zwecke ersetzen wir zunächst in(23) die puö durch— 2=
ihre Werte und erhalten so:

n der 80 ferential-
a8— 15 1ho 4. der Ab- aktionen ge, das
di durch
(25)
27
d‿ 5 wS w 5,
q= 5(2w+ wy)+ 6(2(6= w09)— 3wa);
4e= 10 1— 5 w„ 5(2w O 3w0—);
q= 1031+ 25y(W= wa)+†. 35(3Wa— 30)+ 2,)
— 10 w— wd 3);
1= 50„— 125 y— 5(0 J— 30 ³*— 85);
q= 50+ 25„[2(w= w) 3w a= WD]- 52 w0/ — 30+ 15 w0y— 3(10 w+ 15 w 4N— w0))].
Aus(24) und(23⁰) ergibt sich durch Elimination von quν
wG= ic † icha; wG= J ſi+ 5(0+
V= ic ic a; w= ita a(ie+ ic+ ic);
so daß aus(23) folgt:
qQ)y= 10 1— 510„+(2 i+ 5100 a);
d= 10 6+ 25 ic)„+ 3(iC 6— 15 1 a— 210); Q= 50„— 125—(9 J— 30 1²— 85);
(23)
w= ic); 1¹1¹ a)— i;
qꝗ)= 50„+ 25„(21— 3 1+ 5 1 a+˖ 3 1+ 56— 30 a1
+ 210 56+ 51G a5— 30 iC a— 15*(2 i+. 51+ 5 ich a)). So findet man denn schließlich durch Elimination von qν, qν, qεν, qεο
aus diesen letzten Gleichungen und(24), wenn man sich außerdem an(19) erinnert, das gewünschte System:
109)— 21,2 5— 5 1G as— 10 i a+ 5100)(a³— 6+ 1)
6 51— 50 51 1(8)— 5(iG)+ 12) a+ 215— 510(5 as— 3 56. 5y)— i u) 5aſ; 7=oi“5ie a+ ieh Gas-† 36) † 201 a* 4 101(.)
+ 50 i09(2 as—„)— 51 a(10— 12+ 25)+ 212)(15* — 46)+ 510(— 15 † 182 56— 4 62— 15 2y+ 35));
6= 10033 5*— 26 62= 1 43 † 8⸗ 10³— 66+ 10)„ /;
„5 3= 120[50 0* 86) 125„ S95—514)† 2 Jea).
—

—Q-——OęñLB—ÿB—ñCQC—⸗Q——Q—Q.OQOQOL—L—
—
—
————
—
Setzt man:
d f Af= J);
d f df Aeien d aF
„ 84 201 431= 34, 556 44 d 20† d f 4. Aaf= B* e- 5 G4— 3a6 †. 57) 55(1¹0— 12 12
† 254,) 5; Nf 3091 J.(36 15) 15 (26) 35 5 42 d;
— 5) df. Aoi=, 2)e
— 2 0f„ 3 1. A,f= d C)
— 3,5 1 2 251.
A,f= 56— a6): g4— 15 3⁵+ 18 6
0 — 4 6= 18207 367)8t;
so läßt sich unser System in leicht verständlicher Weise so schreiben:
50 f+ ido A f- 51 Asf+ ih(As f+ 5 As f)+ 5 i Aaf
+ 10 A, f— 50 10 Asf— 51 Af— 2 10Asf- 51)Af= O; 100 f,+ 21 Af+ 2J(10 A f+ 3 A,)+ 25 Je f
+ 2 6 Alf— 2 A y= O. Aus den Transformationen(26) darf sich durch Anwendung der Klammeroperation nur noch eine neue Transformation Aiof ab- leiten lassen, und diese zehn voneinander unabhängigen infini- tesimalen Transformationen müssen dann eine zehngliedrige Gruppe bilden, die mit der Gi, also auch mit der zehngliedrigen pro- jektiven Gruppe des linearen Komplexes ähnlich ist. In der Tat, durch die Substitution:
(28) 1= La;„=;„= a— Zaß Ay,
(27)
5
die wir ähnlich gewinnen wie(22) in Teil I, erhalten wir:
4— 26) Aaf=
₰
d'
= I
— 1 2===
Daher geh. 4 0,„ übe

* 6)
(25)
Aiedi.
0„' d f df d f A
Af= 25(„8 d2 1208 1e⸗ A14„23).
df af. aefe 571 Se
Ai= 131+, 4= 216,1 an 4+2⸗ 21) 33— 2n)
Df Di 11df 01 ot ofar. a,f= adt 14.1 114 34-1h(81 ‧)
du df As f= A 5z; df ſaar d f 1 401= z 45 e» S]
Daher geht das System(25) durch Einführung der Veränderlichen 4, 4„,» über in:
*= 15 i0h— 50 i 14— 212à— 125 i) 12+ 5 i. T 1⁰);
— 25(5ie+. 125( i) 1012— 5ͦ1½22— 1251( 10);
1a*+ 5i 4— i„+ 10(10— 510)— 125 10 4„— 5icu
„
= 50! = 95[88— 24 4 1257*.
2= 32 3. ℳ 250 31+ 125 0ℳ 10)
2,—
4 25 2= 50i+ 2 J. 1— 3 32+† 1254„].
Dieses System besitzt, wie es sein muß, die projektive Form. Es ist auch leicht einzusehen, daß die drei simultanen Systeme erster Ordnung für 7, u,» hinsichtlich x, bezw. y, bezw. y, die man ver- möge der Relationen(4) gewinnt, auch die projektive Form er- halten. Es geht dies unmittelbar aus der Gruppeneigenschaft

— 30—
unserer projektiven Transformationen hervor. Daher können diese drei Systeme durch Einführung homogener Koordinaten an Stelle von 1, u,» in lineare Systeme verwandelt werden, deren jedes mit einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung vierter Ordnung gleichbedeutend ist(vgl. S. 13). Schließlich kommt die Integration der drei Systeme auf die Integration eines einzigen Systems oder einer einzigen gewöhnlichen linearen Differentialgleichung vierter Ordnung hinaus.
Sobald wir(25) integriert haben, verlangt die Bestimmung von x, y, 3= y’ als Funktionen von X, y, y nur noch Differentiation und Elimination. Die Lösungen von(25) sind ja Lösungen des unbeschränkt integrablen simultanen Systems erster Ordnung für 21..-zio mit den unabhängigen Veränderlichen x, y, yY, das wir gar nicht aufgestellt haben. Da dieses aber die Gruppe(17),(17 a) gestattet, so müssen wir durch Anwendung der Transformationen(17a) wieder Lösungen erhalten, und zwar finden wir auf diese Weise alle Lösungen, weil die Gruppe einfach ist. Wir können dies ohne Rechnung sofort bestätigen. Die Integralgleichungen von(25)
WI r, We E. Wa C
bestimmen 1, u,», also auch vermöge(28) a, und y als Funk- tionen von x, y, y'. Aus der Gestalt der Transformationen(17 a)
leuchtet weiter ein, daß Xe W.= C., XsS W= c⸗
z2 und ze liefern und daher weiterhin: XS X Wi= Ch. auch z bestimmt. Ebenso gewinnen wir aus: No W= C.;, Xo Wz= Ca, Xs Xo WI= Co ree, xe und x, während schließlich Xio X X WI= Cio
auch noch y als Funktion von x, y, y bestimmt.
Universitätsverlag von Robert Noske in Borna-Leipzig.
A Fhefrau lutheris boren. wo icl Unterri die Re zu Gié Ausbile Vorles Falcke Stelle nat m. Anreg deren

n Stelle des mit rdnung egration ms oder vierter
limmung entiation gen des hung für das wir 7),(172) fien(173) 8e Weise hien dies von(25)
Als Funk- nen(172)
I diese 4
Lebenslauf.
Als Sohn des Eisenbahnsekretärs Johannes Faber und dessen Ehefrau Christine geb. Gilbert wurde ich, Karl Faber, evangelisch- lutherischer Konfession, am 27. Oktober 1902 zu Leihgestern ge- boren. Zwei Jahre später siedelten wir nach Reiskirchen über, wo ich drei Jahre lang die Volksschule besuchte. Den weiteren Unterricht erhielt ich in der Oberrealschule zu Gießen, wo ich 1921 die Reifeprüfung bestand. Darauf studierte ich an der Universität zu Gießen Mathematik und Physik, wo ich mich jetzt noch in Ausbildung für das höhere Lehramt befinde. Ich besuchte die Vorlesungen und Übungen der Herren Professoren Engel, Schlesinger, Falckenberg, König, Fromme u. a. Ihnen allen möchte ich an dieser Stelle meinen Dank aussprechen.
Den größten Dank schulde ich Herrn Prof. Engel, denn er hat mich stets durch Rat und Tat unterstützt; er hat mir auch die Anregung zu der vorliegenden Arbeit gegeben und ist mir bei deren Abfassung stets aufs freundlichste behilflich gewesen.

——
—— ꝗ%Dÿqo—-

Mitteilungen des Mathematischen Seminars
der Universität Giessen mit tätiger Beförderung der Giessener Hochschulgesellschaft
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XIV. Heſt
Kräfte, deren Bahnkurven Kegelschnitte sind
von
HEINRICH IHL
Giessen 1927
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16.
Preis RM. 1,20; für das Ausland 1,50 Schweizer Franken

Die Arbelt wurde als Dissertation eingerelcht.
Genehmigt durch den Prüfungsausschuß am 2. 8. 1926. Berichterstatter: Dr. Engel und Dr. Schlesinger.

J. Bertrand hat in einer Abhandlung ¹):„Sur la possi- bilité de déduire d'une seule des lois de Kepler le principe
de l'attraction“ gezeigt, daß die Komponenten einer Kraft: 2 2
d⁊ y
dts
X du à X,y); die bewirken soll, daß sich die Bewegung eines Planeten in einem Kegelschnitt von der Form: A= ax+ by o vollzieht, die Komponenten der Newton'schen Attraktions- kraft sein müssen, nämlich: de
de(X- yeht at⸗(X yt
Am Schlusse dieser Mitteilung kommt Bertrand zur folgenden Problemstellung:
„En sachant, que les planètes décrivent des sections coniques, et sans rien supposer de plus, trouver l'expres- sion des composantes de la force qui les sollicite, exprimée en fonctions des coordonnées de son point d'application.“
In einer späteren Mitteilung ²) hat Bertrand nachgewiesen, daß für die Planetenbewegung nur Zentralkräfte in Frage kommen, da die Möglichkeit einer konstanten Kraftrichtung mit der Forderung einer geschlossenen Planetenbahn nicht verträglich sei.
G. Darboux) hat daraufhin eine vollständige Lösung des Bertrand'schen Problems in der späteren Fassung gelie- fert, ausgehend von der Bewegungsgleichung in Polarform:
= H G, y);
. 41 F== c* 1— 469(c= Flächenkonstante) T G ²
2¹) J. Bertrand, C. R. 84. 1877, p. 671. ²) J. Bertrand, C. R. 84. 1877, p. 731. ³) Darboux, C. R. 84, 1877, p. 760, 936. 1*

— 4—
Indem er hierin die endliche Gleichung aller Kegelschnitte:
1= a cos+ b sin+‿˖ VA cos 2+B sin 2+ H einsetzt, findet er die beiden Gesetze:
1(ax*+ 2 bxy—+ cy²)¹ 2. IE Fz=-— (ax+‿ by+. C0)s Nachträglich wird gezeigt, daß dies die einzigen Möglich- keiten sind.
Später hat G. H. Halphen¹), ausgehend von der Diffe- rentialgleichung aller Kegelschnitte, die von Darboux an- gegebenen Gesetze wiedergefunden*²).—
In der vorliegenden Arbeit wird eine Lösung des Ber- trand'schen Problems in seiner ursprünglichen Fassung gegeben, ohne Benutzung des Halphen'schen Ansatzes, und unter Zugrundelegung der Differentialgleichung aller Kegel- schnitte in der von Study angegebenen Form.
¹) Halphen, C. R, 84, 1877, p. 939. ²) Ref. Tisserand, Mécanique céleste, 1,36.

Nich-
Difſe- R an- Ber-
Ssung
„und
ſegel-
Kap. I. Die Definitionsgleichungen der Kraftkomponenten.
§ 1. Hufstellung von Differentialgleichungen für à(x,v) und(,y).
Es sind für die Funktionen ⁴(x,y) und e(x,y) die Be- dingungen aufzustellen dafür, daß die Integralkurven des simultanen Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung:
4— (1) dũ 2(X,y); 6,(Xy) Kegelschnitte sind. Das simultane System(1) ist gleichbe- deutend mit einer gewöhnlichen Differentialgleichung 3. Ord- nung, die zunächst aufgestellt werden soll.
Durch Differentiation nach der Zeit t und Berücksich- tigung von(1) folgt aus:
99=y d 5= v(A*) y
dt dt dt Bei nochmaliger Differentiation nach t und Flimination von 2 folgt schließlich:
(2) y(ay=)=y lsay 5y v-(a— 9„) y— S. Die Bedingungen für die Kraftkomponenten*, B könnten
in der W9eise gefunden werden, daß man nacheinander y“,
ydV), yeV) ausdrückt durch y“, y“, v, Sowie à und h und deren
partielle Ableitungen, die gefundenen Werte in die Differen-
tialgleichung aller Kegelschnitte:
(3) 9y V) y’2— 48 y“ y“ vHV)+ 40 y"³= 0
einsetzt und verlangt, daß die entstehende Gleichung für
alle Werte von X, y, y, y“ exfüllt ist.

Wesentlich einfacher gestaltet sich die Aufstellung der Bedingungen bei Benutzung der Differentialgleichung aller Kegelschnitte in der von Study¹) angegebenen Form:
9Ey“= y xPex yVY= y XV 5( VV=y XI 0— 45 MNy V vIIEy VxIIXS
yxIV 2X“ y“ y“X“M 40 K y =vX= 0 (Die Akzente bedeuten hier Ableitungen nach t.) Man hat nun zu setzen: Xw= 2G,y), X“= MxX. X+ 2y y, G NX 1V)— X** 2 y Xy* 2 1 ATy 8;...
Die Gleichung(4) erhält bei der Substitution(5) die Form: AaoX= 3 At X y+ 3 AX¹ V2+ Aas X* Y3
— 3 Aas X2 ya- 3 Aw X v Aos y
+ 9 5 B X4*+ 9 B. X3 y+ 9 Be X2„*
— 9 B13 X Y 9 à BoA y 45 52 so X2—
— 90 Ci X y+ 45 ² Co y= 0 Sie kann nur dann eine ldentität in X, y, X, y’ werden, wenn die Koeffizienten A, B, C sämtlich verschwinden. Wir erhalten somit das folgende System von partiellen Differential- gleichungen 3. Ordnung für ³⁴ und B: Ato= 9 82 BxxX 45 66X 6zx+ 40 bk= 0— AbI= 3 62(3 Bxxy xX) 6 2BXxy
+ 15 Bxx(46+ 8 88y)— 15 86(2 Brr— 9XX) A
+ 40 Bz(Gy— 23= 0;
A2= 9 2(Sxyy 2XXY)+ 3 226 XXO 6 /6 G BXxy 2DO
(4)
+ 15 2 bxy— 2w(46x— 2x— 86y) + 15 bb(Goy*+ a6y— 29.G)— 15 BGxX(yy— 2 2xʒy) + 40 6x(Gy— ad“— 40 x= O;
A3= 9 22(3 BMy— xxxX)— 9 6*(32xyy Byyy)
)+ 45 yy 8x— 45 22 SxxX+
(6)
— 54 d(Gxyy— Axxy + 45(Gyy— 2 2xy)(Gax- a6X— B8y)— — 45(Gακ—2 6xy)(4ßy 5 Bay&)— — 240 aybx(Ey= ²3)- 40(Ey= 20 O
Leipziger Ber. 1001. S. 849.
²) Study: Die Elemente 2. Ordnung in der ebenen proj. Geometrie.
‿—
—

vorm:
2den, .Wir ential-
omettie.
B4o= 8 2xXxX 5 x½xε*, 3 826)y— 4 86xBy+ — daaku— 15 2X= 0; B31= 38 83 Byy+ 7 36 29xy 7 aaxxe 13 2xy s— — 16 26xX— 22 266xßy= 15 4252- 15 zygx— +. 15 xE gy— 11 ax? †. 8 4 166r— 4 626»= 0;: B22= 26 2 23+ 19 y, † 8 a332X + 7-1 A2axx— 26 2Xy.+ 23 22 88 y— + 19 a2axx 4 8 2yyßs 7 28;+ 26 1gyy=—0, Cro= Ch1= Co= C= 216+ 268y— aßax— — a2yg= O.
Hierzu kommen noch die Gleichungen: Aos= Ais= A24= Bol= Bi= 0, die aus: A6o= O0 usw. durch Vertauschung von ν mit und xX mit y hervorgehen.
§ 2.
Umformung der Differentialgleichungen für(x, y) und(Xx,y).
Wegen der dentität: (7) 2 Bzz= 2 Bo.+ 6* Bis— 2²3 B0— 2*⁴ B31 kann die Gleichung B2z= 0 weggelassen werden, voraus- gesetzt, daß ᷣᷣ und beide von Null verschieden sind. Differentiiert man die letzte der Gleichungen(6): C= partiell nach x und y, so erhält man zwei Differentialgleichungen 2. Ordnung, die zusammengenommen mit: B.o= 0; Bl= 0 nach, Byy, axy, 6xy auflösbar sind. Unter Berücksich- tigung der Gleichung C= O können diese Auflösungen auf die Form gebracht werden:
7 232XxO2= 10 2466Xx 3 zee 18 416 † 4 2y— 14 82 39 xPBx. 7 228yyg5— 10 22‿νyßt— 3 24BXxX— 18 2„4 4 9162 + 14 63a„gy G 7 236xy 62=—— 2 24Bxx 3 12„v2 1. 9 77 5 + 7 236 x6y; 7 22-xys ä===2 aayys—S 2ager K 2⁹ 2482 1 + 1 2„ 4— 4 222„»28 R+ 7 22a

— 8—
Ersetzt man nun in den Gleichungen Bz.= 0, Bis= 0 die xx, Byy, Xy, Sxy durch ihre Werte, so fallen die übrigen Ableitungen 2. Ordnung: yy, xx Von selbst heraus. Ba1= 0 und Bis= 0 reduzieren sich auf Gleichungen 1. Ordnung, die vermöge C= 0 identisch erfüllt sind.
Damit haben wir die fünf partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung auf zwei wesentliche unter ihnen, nämlich B4o= 0, Boa= 0 Zurückgeführt.
Schließlich ist noch leicht zu verifizieren, daß die drei Gleichungen 3. Ordnung:
Aaz= O; A2.= 0;, As= 0 durch eine einzige ersetzt werden können. 1nd
Vermöge: Aeo= O und Ast= O Kann man nämlich zu— nächst: Bxxx sowie den Ausdruck: 3 Bxxy— Xxxx alls Auz= 0 eliminieren. Das Eliminationsresultat:
21 Aso 2 6 Abl † 61 A2= 0 kann mit Hilfe von C= O auf die Form gebracht werden:
6 226(Gxyy 2xxy) 1 15 2266(2 Axy— Byy) e (0)+ 40 1 15 2„82(2 8xy— AXX)—
— 40 22y=O0.
Ahnlich lassen sich de Cilenungen Az4= O und Ags= 0 in dieselbe Gleichung(o) überführen.
Unter den sieben Gleichungen 3. Ordnung sind somit fünf wesentliche enthalten.—
Für die in§ 2 ff. zu leistende Integration der Definitions- gleichungen wird das folgende, in und BG homogene, System zugrunde gelegt:
—
—
—
—
—
—
Ai= 9*.„yy— 45 da 2 n= 0;
A2= 9 16xxx 43 86xPxX 40 X
As= 3 22(axyy— Byyy)— 6 dayyyßs. + 15 5(Gay— a6y— οαρχ— 15 Ay(2 Axy S Byy) +. 40 3y(4x— By)= 0
A= 3(3 Bxxy— 2XXX) 6 86xxX + 15 BxX Ra 8 8 ν½ 88y)— 15 86(2 Bxy 2XX) + 40 2) 0;*
(6)
1
—

43— 0 somit
nitions- System
—
5 y
As= 94163(xyy— axxy)—* 15 2266(2 axy— + 40 yßx— 15 a6 29,(2 Bxy— ad)— — 40 22„X—o, B1= 8 266xxX— 5 XX ℳ 3 826y— 4 88 xBy + 1180Xx 15 G;= Oö; B2= 8 22yyß— 5 226„y+ 3 22xy— 4 22xα‿ ·† † 11 2y— 15 B y= 0; C= 2²6,4+ a46y— a6x— 832„— 0 Dieses System bleibt ungeändert, wenn man xX mit y und gleichzeitig mit vertauscht.
Byy)—

—
—
—
1 9 4 3
Kap. II. Die Integration der Differentialgleichungen.
§ 3.
Zurückführung des Systems 3. Ordnung auf eines von 2. Ordnung.
Die erste Aufgabe soll sein, sämtliche partiellen Ab- leitungen 2. Ordnung von a, darzustellen durch a und sowie deren Ableitungen 1. Ordnung.
Wenn es gelungen ist, dies für die Ableitungen yyy,
6XX durchzuführen, dann ist damit unsere Aufgabe wegen
der Gleichungen(8) vollkommen erledigt.
Zu diesem Zweck haben wir die Gleichungen: Al= 0 und A?= O einmal zu integrieren.
Da in Al= O die unabhängige Veränderliche y nicht selbst auftritt, kann ay als neue unbekannte Funktion und als unabhängige Veränderliche eingeführt werden. Wir haben Zu setzenl:
dp. 8% dp=9 „=ſ 12() 4*
A= O geht dann über in:
2 2 (10) 9 22p 1— 45 à p 19+ 9 2(9) 40 5b= Oo. ⁴. G
Die Substitution:
pP= aAl. 2(⁶.) bringt den Koeffizienten von— zum Verschwinden; unsere
Differentialgleichung 2. Ordnung kann jetzt so geschrieben werden:
1 9 d. 60 6 5 19 da LZ 2 2) n a
7)

eines
lellen Ab- ma und 5
ngen ayy, de wegen l. A1=0
icht selbst und a als Vir haben
2n; unsere
eschrieben
Das allgemeine Integral dieser Riccati'schen Differential- gleichung läßt sich nach Ausführung der Substitution:
2=
leicht angeben. Man erhält: 2* 1 5 23 M— G 1 d1u Z. 12 8— Cio⁴ Nach Flimination von 3 nimmt das erste Integral von
A= O die folgende Gestalt an:
111),
3 dlαyy— 4 y 23 wo Xi eine willkürliche Pinetion Von X ist. Durch Vertauschung von α mit 8, sowie X mit y erhält man das erste Integral von A2= 0, nämlich: 3 88— 5 85 V (12)= 3 86 x 4 ½ 6 4 6 ⁷ Wir setzen zunächst ausdrücklich voraus, daß weder *Ʒᷣ₰ noch b, noch einer der beiden Ausdrücke:
3 dMyy— 4-y; 3 B6xx— 4 X;
verschwindet. Die Ableitungen yy, Sxx lassen sich nunmehr darstellen
durch: 3 dyy= 424 1a a ar(— X.)):; 3— 1 G 182 3— † 32(6— (13) 3 SxX— 4 5 1 92— 8 3 8(6⁵— N) 1 Vermöge dieser Beziehungen nehmen die Gleichungen (7) die Form an: 21 axx= 10 aß 3(6 VI)— 34 3622 6— — 14 6 ¹2+ 42 216 gX; 21 Byy— 10₰ Ba„ a*—- X 1— 39 28— 6(65- V)— — 14— Bay 42 2— dy gy.
(70 2 2ſ/2 21 ay=— 24 1623=X)“—Sass 163(ti-V) — XDy, 21 6xy=— 2 46 162(61-V')= Sa 62y(ai-Xy)—
+ 7 ybx— 2 Bxby. 2*

——
— f
——
—
I
Damit sind alle Ableitungen 2. Ordnung in der gewünschten Weise dargestellt.
Jetzt handelt es sich darum, die Bedingungen für die Funktionen XI, V aufzustellen, die erfüllt Sein müssen, wenn die Gleichungen(7) und(13):
1. Die Integrabilitätsbedingungen:
Ji= Axxy— 2xyx= 0; J= Byyx— Gxyy= 0:;
Jz= dyyx—*xyy= 0; Jl= Bxxy— Bxyx= O0;
2. Die übrigen Gleichungen 3. Ordnung des Systems(60: Aa= O; A= O; As= 0 identisch befriedigen sollen.
Die Integrabilitätsbedingungen werden zweckmäßig auf die Form gebracht:
J= A Vaz(— X.)-*(182 ayßs— 266 26y) a es(4*— X.)(42 a 6 X4— 28 aaxß— 8 2y8) 4 B 9,(51— V)(140 466y+ 231 462 x— 84 ˙6 ℳ + 912»2)+ B-6(61— V)(210 263 V1— 140 a6y— — 40 25)+ 2—6— gayx(41— X)(1— — Vo(— 100„2— 20 269)= 0; 2= aA ay(2*— XI)(à— 98 6x— 42 266y— 49 6 x— — 21 fray)+. 2— ay(4— X.)-(28 B²a) † 98 aßax— — 147 a48⁵ X/1) 3.=93.(1= VI)(35 a6y— 119 b²„)+ + ˖ b—6(C— V.)(20 426+ 70 a66y— 105 aV)+ + 2 8 jayßx 6— XI)(G— V.)(50 5aν †ℳ + 70 25)= 0. Die beiden anderen Integrabilitätsbedingungen Jz= 0, J.= 0 erhält man aus J.= O und J= O durch Vertauschung von
3, X, Xi, X“¹ mit 8, y, Vi, V“(bezw.) und umgekehrt. Die Gleichung As= 0 geht über in:
As= 2 Fay(41— Xi)(aßax— 9 ²6) 2—32(44— XI)(2 ßa. e.— 36 X)+ + H-2(61— VI)(24 aaxß— 30 36 X— 35 a6y— + 21 29 ies(6— VI)(14 a6 226,—

— 0, 4= 0 hung von kkehrt.
AA= O wird hieraus durch Vertauschung erhalten. Endlich geht As= 0 über: Ab= aA- Say(at— X.)(28 46,— 50 aßax— 16 as— — 5 agy) iay(4t— X.)(10 a8ax †* aAye— — 30 a3X) 8- 96(6— VI)(à— 28 ays*+† 50 488) ℳ +. 16 226X ℳ 6 a6) 8 36(61— Vi)(— 10 aßßy— —* a¹3+ 30 aßtV“) Pa 6- tayx(at- X)(Gi- V1)-¹ (100 ²X b— 100„*)= 0.. Löst man 2 beliebige unter den 7 Gleichungen für X, Vr, X“, Vr auf nach X“, und ersetzt in den übrigen Gleichungen die X, V“ durch ihre Werte, so stößt man auf 5 Relationen zwischen XI, V, ¹, B und den Ableitungen 1. Ordnung von a, 8, die sich sämtlich bei geeigneter Be- nutzung der Gleichung C= O0 überführen lassen in: (14) ii 25) 6 aeiy — Ba,(6i— VI)(3aßax— 2 426-— a²)=0. Um die Auflösbarkeit von zwei beliebigen unter den Gleichungen: d15) 1.; A= O; 1=O; Aa= 0O; As= 0; zu sichern, bedarf es der Voraussetzung, daß y und Bx beide von null verschieden sind.—— Die Auflösungen der Gleichungen As= 0, A.= O0 nach Xa. V sind offenbar:
(16)
A. 7 4,—0 In Verbindung mit(14) sind diese Beziehungen gleich- bedeutend mit dem System(15). Wegen: CG= 2 a25By 82„— 229= 0
kann(14) auch so geschrieben werden: (14)[ee ai= XI)— B3(Gi— V. [3 26y— 2 ayßz † asge= 0.

Setzt man nämlich: C.= 3-6ax— 2 a16x 6 2y; Cꝛ 3 266y—2 2y2+ 22G 3
3C= G—(= 0O. Die Relation(14) ist erfüllt, wenn X., V. der Bedingung: (1) anr(t- X.) H**(61- N)= O Genüge leisten.
Es wird sich ergeben, daß das Bestehen dieser Relation das Verschwinden des zweiten Faktors von(14) nach sich zieht, wodurch die Gleichung C= 0 Zerfällt in die beiden Gleichungen: C= O und Ca= 0.
In der Tat, unter Berücksichtigung von(17) und C= O können die Auflösungen(16) von Az= O und X.= 0 über- geführt werden in:
12 16 X—(2yße 5 aßax+ 2 a1a) X.+ G a6x— 2 216+ ayßt) at; (16) ſ1226“V=(ais 5 aßßy 2 ayſn) V. + G 26ty— 2 1e- 2199) 31. Differentiſert man andererseits(17) partiell nach x und y, S0 ergeben sich für X, V’ die folgenden Ausdrücke: 4 22 X==(2 4¹6— 2 a6½) X.+ 1+(3 6x d— 2 6+ 2y,32) 2½; (18) B ßeV’,=(2 a„s— 2 aßßy) V.+ +(3 2ßſ„— 2 2y32 226¼) 6*. Vergleicht man diese Werte mit den oben gefundenen, dann folgt sofort:
Cz= 3 66y— 2 ayß 920 O0.
Wir haben damit das bemerkenswerte Ergebnis, daß die 7 Gleichungen(15) äquivalent sind mit den Relationen (17) und(19).
Es ist noch der Nachweis zu erbringen, daß auch um— gekehrt das Verschwinden von Ca, also des zweiten Faktors von(14), die Relation(17) nach sich zieht.
dann ist:
2

— 13—
Dies läßt sich in der Weise zeigen, daß man: G= 0 partiell nach x differentiiert, die 2. Ableitungen vermöge(7)) und(13) eliminiert und die ursprüngliche Gleichung C.= 0 in Betracht zieht.—
Damit ist die Zurückführung des Systems von partiellen Differentialgleichungen 3. Ordnung auf ein solches von 2. Ordnung erledigt.
Wir haben jetzt noch das folgende System zu befriedigen:
3 XX=* laycs(at— X.)= 2 4 1L9,GX 26 g::
3 xy=— A iayß(= Xi)+ 3 2yg 6 aA- 2ß 3 Jyy= 2 32(= X)=+ 4 2 y; 3 6xX= B I6s(61— VI+ 46 6:
(20) 3 6xy=— aß I61(Gi— V.)+ 3 2 1Ag— a6 3: 3 6yy= a7s igi 6=V.)— 2 ayß x= 2 22 6; a(2— X.)— 5 25(64— V.)= 0:
3 ¹6ax— 2 216 X—+ aA»6= 0;
3 2ßhy— 2 ays+ 219X= 0O.
flierbei sind die Gleichungen 2. Ordnung(7) und(13)
unter Benutzung von(17) und(19) auf einfachere Formen gebracht.—
§ 4.
Zurückführung des Systems von partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung auf ein solches von 1. Ordnung.
Die Gleichungen: 3 yy= 2 1a,(a*³— X)+X 4 2 y, 3ta= eGW V 4e
des Systems(20) gestatten eine weitere Integration.

— 16—
Zu diesem Zwecke haben wir die auf Seite 8 hergeleitete
Gleichung(11) 2. 2(2*) 2Z 12 A— Ci
zu benutzen, die ja nur eine andere Form der ersten unsrer Gleichungen darstellt. Dabei wird als unabhängige Ver- änderliche aufgefaßt. Die Integration ergibt:
Z2= Cx(4*— c)* A⁴2. Wir hatten gesetzt:
Sy z2=— 00 1
also folgt nach Elimination von z: 2y= Xz(2*l— XI)²³, Anstelle der Integrationskonstanten sind die willkürlichen
Funktionen von X: XI, Xa getreten.
Durch Vertauschung folgt sofort:
5x= Ve(=Va)gs.
Die Zweideutigkeit der Quadratwurzeln ist wegen der willkürlichen Funktionen Xa, Vz ohne Belang.
Zur ähnlichen Darstellung der übrigen Ableitungen 1. Ordnung ax und ſy, haben wir die beiden letzten Gleichungen des Systems(20) nach diesen Größen aufzulösen und ay, 6x durch ihre Werte zu ersetzen.
Für die Ableitungen 1. Ordnung von, kommt dann die folgende Darstellung:
-x= 2 olV(6= VI)= AXg(23— X)*; d„= 91X,(2— X)*; x 83 V2(— VI; 8y= A3Xa(à1— X)¹- a6V(61— Va).
Es ist zu fordern, daß diese Gleichungen: a) die Integrabilitätsbedingungen:
J.= axy— yx= O0; J.= Bxy— Byx= O; b) die noch übrigen 5 Gleichungen des Systems(20) iden- tisch erfüllen.
(21)
A

Man findet: J.= 54 2X 2(a*— X-)— 30 28 V(64 n VI)*—
— 27 XXά(àl— X0+ 18 2VAVa(81— V.) ¹+
+ 12*5X.V(2— X) 4(Gt- VI)—
— 8 ³*⁵ρ ά‿αV(1 X2(65— VAI
— 2 aii X.Vz(2— XI)I(G— VII 6 a3sX:(al— X.)+
+. 8 211V. 4 a6 1VV:= O. J.= O folgt hieraus durch Vertauschung von a, X, X,
Xz mit E, Vi, Vi, Va. Vz' und umgekehrt. Die Gleichungen für axe und a²xy des Systems(20) er-
geben folgende Beziehungen: S= 18 a1X2(2= X.)1— 9 a³⁵ X X(2— X.) ¹+
+ 4 06 XVe(24— XS)-3(6— N—
— 2 a¹ßXaVe(21— X)²(6— V+
+ 0 281V. 2 6eXX: 4 16eX:= O; S2= 18 G*X(2½-— X])½— 9 X Xza8(a- Xi)¹+
+ 2 XXIai8+ 2 aisX:= O. Die den Gleichungen für gyy und xy entsprechenden
Relationen Sg= O und S.= 0 exrhält man wieder durch Vertauschung aus S= 0 und S2= 0.
Man sieht sofort, daß folgende Beziehung besteht: G.— 882= 6(22ε Ve2 2362X /²)= 0. oder (22)*⁵⁴ V2 8 5 X*— 0. Dieselbe Relation ergibt sich bei Elimination von dy, Bx aus der noch übrigen Gleichung: 29 x(a- X.)— b99(6— V.)= O
des Systems(20).
Wegen der Relation(22) sind auch Sa= O und S4= 0 durch die Beziehung verknüpft:
68 2§.=O0

Schließlich kann man sich leicht überzeugen, daß noch folgende Identitäten gelten:
811== 3 5 S2— 2 984. 2 J2 3°84 5 2 8.
Die sieben Gleichungen zwischen ⁊, sowie den will— kürlichen Funktionen und deren Ableitungen, nämlich Ji= O;, Z= O, 8i= 0; 82= O, Sz= 0; 84=O0
aiV.— BiX:= 0; dürfen nun ersetzt werden durch die drei folgenden: S= O; G8.= O0; alV: 3158=O. Differenziiert man die Gleichung: diV=— gXS= O, die ja eine Identität in X,y sein muß, partiell nach X und y, So folgt für Xx“, V?': (23) 9 X+ 2= Xe2 64(5— VI!= W 64(ai X¹)¹;
19 V2=— XVz ³³(— Xü)=— XI ⁸½(64— V1)*
Vermöge dieser Beziehungen können die Gleichungen S2= O und S.= 0 nach Elimination von X, Vz übergeführt werden in:
9 Xl= 4 XIVZ 6(G— VI)t+ 4 XX2A(1—- X0*; 9 VA1= 4 VXz 4³(A- X)¹ 4 V.NVz 6-³(64— V.)¹. Kombiniert man diese Gleichungen mit den Ausdrücken für Xx, Vz2’, so erhält man die einfachen Relationen: 4 XX2 XSXZ= 0. (25) 4 V Vz=VVe= Oo Ferner gilt offensichtlich: 93 N.e=
(24)
(26)
Durch die Beziehungen(22),(28),(26) sind die will- kürlichen Funktionen näher bestimmt.
Wir verbinden zunächst(22) mit(26) und erhalten nach Elimination von, die ldentität:
(27) XX= VV
—
We

Diese Beziehung kann nur gelten, wenn beide Seiten gleich einer Konstanten sind; wir setzen:
2 2 (28) NXN 5 VW 5 durch Integration folgt: (29) Xz=(ax+ by; V.=(ay+ ℳ. Setzt man diese Werte in(25) ein, so erhält man: d e (A † b)— y e
Damit ist der Zweite Teil der Integrationsarbeit geleistet. Das System(21) ist von 1. Ordnung und erfüllt in allge— meinster Weise das System 2. Ordnung(16) sowie die Integrabilitätsbedingungen, wenn die willkürlichen Funktionen die errechneten Werte erhalten, und die Beziehung 28 Ve=— 81 XE= O berücksichtigt wird.—
§ 5.
Die Integration des Systems 1. Ordnung.
Das System(21) ist so umzugestalten, daß die Integra- bilitätsbedingungen identisch erfüllt sind.
Man erreicht dies durch Elimination von bezw. οσ aus den Gleichungen für ⁊ bezw. sy, Vermittels geeigneter Ver- wendung von(22) und(23). Ersetzt man endlich die X, XZ, Vi, Vz durch ihre Werte, so erhält man zur Bestimmung von, das folgende, unbeschränkt integrable, System:
— 2 ac. ay Lc 2xX=( d) ar br 23·] a(ax+ b)¹— d
„er= bI VA X b)i= d;
(21. 1
E 1S. 3 4—; (ay— C) ⁵(ay+. o) e*
— 2 ac ax+†%b„
9 1 4. 15 (ay+. c)(ay+. o): 5 81(ay+ c) e
v
3*

—
—
Die beiden ersten und die beiden letzten Gleichungen dürfen jetzt für sich integriert werden. Es muß nur beachtet werden, daß nach der Integration noch die Relation(22):
(22) as(ay+. C)?— g(ax+ b) ¹= 0 zu erfüllen ist.
Um zu entscheiden, welcher der beiden Faktoren dieser Gleichung verschwinden muß, ist eine der Gleichungen(26) zu Hilfe zu nehmen. Aus:
2 X1 VI B XiV/= O folgt sofort, daß stets gelten muß: (22*) à(ay+ c)— S(ax+. b)= 0; d. h.,% und müssen die Form erhalten: (31) 2à=(aXx+ b) NG,vy);: 8=(ay+ c) N(X.y): Die Zweideutigkeit der Quadratwurzel hat zur Folge,
daß außer dem System(21 4) noch das System(21 b) Zu berücksichtigen ist:
e(-h derb! ⸗ b) d. Av= 1 A. p 1 v=(ax † bht dax-+ b)t— d (21˙5) ix Gw eSt s(G ch e 6— 2 ab aXb——
Ey e(ay e(aw.C t(E l.c)=e
Bei der Integration des Systems(21“₰), auf das wir uns
Zunächst beschränken, gehen wir aus von dem Ansatze(31). Wir setzen aber: à=(ax+ b) W; (32) 3 G 4 84=(Ay O) W
Jetzt kann das System(21“a) übergeführt werden in:
2 aW+(ay+ c) T(ax+ b)?— dW X—— (33). aXx+ℳ b W,=— lα☛ b)= dW:
de W

ſer
— 21—
Wr==:V(Ey c)) Y W 2 a W+(ax+ b) V(ay+ o?— eW
y ay+ Man überzeugt sich leicht, daß dieses System gleichbedeutend ist mit dem folgenden:
WrX=— I(ay+ch—eW (330 V Wy=— Vdax+ by— dW; 2aW=(ax+ b) Wx+(ay+ c) Wy.
Auf gleichem Wege läßt sich das System(21 6) über- leiten in:
Wr⸗=+ zV(ay+ c— eW (34) V
Wy=—(ax+ b= dW; 2 aW=(ax+ b) Wx+(ay+ c) Wy. Beide Systeme,(330) und(34), sind enthalten in der Form: 9 WX= 4 ſ(ay+ c“— eW]; (35) V 9 Wy= 4(ax+ b)?— dW]; 2 aW=(ax+† b) Wr+(ay+.)W). Nach der letzten dieser Gleichungen ist W eine homogene Funktion 2. Grades in ax+ b, ay+ c, wenn a== 0. Aus
den übrigen Gleichungen kann man folgern, daß W eine ganze Funktion sein muß. Wir setzen an:
W= Ax+ 2 BXxy+ Cyt+ 2DkX+ 2 Ey F. Die Homogeneitätsbedingung kommt in den folgenden Re- lationen zum Ausdruck:
Ab+ Bc= aD; (362) BbCe=af; DSFe= an.
Die beiden anderen Gleichungen ergeben folgende Bedin- gungen:
9A=— e; (36 b) 81 B²2= 9 a² ed; 90=— d,
Relationen, die sich aus(36, b) Zusammensetzen lassen, sind weggelassen.—

8 5⁵ 4 6
——
—
—
— 22—
Die Komponenten a,s der gesuchten Kraft nehmen somit die Form an:
aXx+‿ b . 3 (Ax*+ 2 BXxy+ Cy²+ 2 DXx+. 2 Ey+ F)*:; (37) 4 V 4 ay+ C 5
(AxX+ 2 Bxy+ Cy2 2DX+ 2 Ey+† F): Dabei sind die 9 Konstanten: a, b, c, A, B,..., F durch folgende Beziehungen verknüpft:
Ab+ Be=aD;
Bb+ De= aE; (38) Db Ee=aß;,
9(B2- AC)= a2²; Ist a=—= 0, dann sind die Gleichungen(37) die Kompo-
nenten einer Zentralkraft, deren Kraftmittelpunkt vermöge der Translation:
b 5 in den Koordinatenanfang verlegt werden kann. Die drei
ersten Relationen von(38) sind jetzt identisch erfüllt, denn (37) geht bei der Translation über in:
ax .2— 60) As+ 2 3 3+ Cr)
(As+ 2B 5+C2!“ Die letzte der Gleichungen(38):
9(B²2— AC)= a* sagt aus, daß die in dem System(30) auftretende ganze homogene Funktion 2. Grades in s.," nicht in ein vollstän- diges Quadrat ausarten Kkann.
Darboux und Halphen haben auf verschiedenen Wegen für den Fall einer Zentralkraft zwei Kraftgesetze gefunden, von denen eines mit(30) übereinstimmt. Das zweite Gesetz wird sich aus dem bisher ausgeschlossenen Falle:(s. S. 8):
3 dayy— 4-y= O; 3 56xx— 4(= O ergeben(§ 5).—
um
VOl

Im Falle a= O rückt das Kraftzentrum ins Unendlichferne; System(37) nimmt die Gestalt an:
b ——— 5. (40)(AX+ 2 Bxy+ Cy²+ 2DX+ 2 Ey+ F)2 C 2——. (A+ 2 Bxy Cy+ 2 DXx+ 2 Ey+ F) 6 4 Die Gleichungen(38) reduzieren sich auf: (40) Ab+ BC= O; Bb+ Ce= O; Db TEe= O; d. h. in der Matrix: A B D B G P verschwinden alle zweireihigen Determinanten. Der Kegel- schnitt: t AXx*+ 2 Bxy+‿Cy²+ 2 DX+ 2 Ey+ F= O Zerfällt in Zwei, im allgemeinen verschiedene, parallele, gerade Linien. i ' 3 5 6. Der Fall: 3 2dyy— 4-y= O; 3 66xx— 4 bk= 0O. Die in den§§ 3— 5 geleistete Integration des Systems(60 umfaßt nur die Lösungen, für welche die beiden Ausdrücke: 3 2³‿ie— 4 9; 3 B6XX— 4 B X¼ von null verschieden sind. Die ersten Integrale der Gleichungen A= 0, A2= 0 6 hatten wir auf die Form gebracht: — Keev Se lier t 3 12yy— 4 2y 2 3 BBxx— 4 Bx 8* Setzen wir: : 11) 3 42py 1 75=.(CJ)e
So folgt aus A.= 0 zur Bestimmung vVon p:
3= 3 d. h. o= 2 1

— 24—
Ersetzt man in(41) durch seinen Wert, dann kommt: 3 xyy— 5 2»= XI 2; XL= XNX.; (410— 19
3 22yy XI2*³3. Ebenso findet man:
(41) Wir hätten die in§§ 2— 4 durchgeführte Integration
auch in der Weise erledigen können, daß wir einmal von dem intermediären Integral:
12— 6 AG. J. 1 X 7* 3 3 GxX— 5 b2 VL 65 5 das andere mal von dem n Wüerale 3 ³α— 2 2 8. ll. Sy wen a 49 5.
ausgingen.
Die nähere Durchführung des Falles II zeigt, daß eine Beziehung bestehen muß von der Form:
a4 V. 1 X= O. Wir haben die Voraussetzung gemacht, daß weder ⁴ noch identisch verschwinden sollen; also können X., V nur gleich- zeitig verschwinden. Aus dem Verschwinden des einen der beiden Ausdrücke: 3 Ayy—4 2y, 3 88 x—4 6
folgt stets das Verdohvelriden des anderen.
Dieses Ergebnis hätte man auch aus der Symmetrie-— eigenschaft des Systems(6) ableiten können.—
Unter Berendiehſahing von:
3 G2Ay; 4 2y?; 3 Bxx= 4 x*;
können die ibrigen Zzweiten Ableitungen, dargestellt durch (8), übergeführt werden in:
AxX— 2 161 3 2 11„„—= 2 97.— 6 2, 9) 2yby 27 3
2xy= 2. 10 x²y 1 2yß 13,; 6xy 68 S F ³.— 12yx Die Gleichungen(42),(43) erfüllen die Integrabilitäts- bedingungen, sowie die Gleichungen: Az= 0, Al= 0, A5= O identisch.
(43)

T
Aus(42) ergibt sich:
5
(44) 2„= Xt; Bx= V
Setzt man diese Werte in die Gleichungen für axy und Bxy, ein, dann folgt für die beiden übrigen Ableitungen 1. Ordnung: Gx= Vaß 3 XN;
8y= XMA*ß 3 VWN- 16; Die Integrabilitätsbedingungen sind wieder identisch erfüllt. Es sind jetzt nur noch die Gleichungen für xᷣᷣ und 8yy(43) sowie die Gleichung C= 0 2u befriedigen.
C= O liefert die Bedingung: (46) X O BNXV= 0, aus den beiden anderen Gleichungen folgt:
* ³6 ·Cy 30)„6).
also:
(45)
15 S e
Gleichung(46) nimmt bei Benutzung dieser Werte die Form an: (46⁰) G(C 3 vy)— B(b3=0. Auf Grund dieser endlichen Beziehung für α, machen wir zweckmäßig den Ansatz: 2=(b+. 3 X) W,y); 6= c+ 3y) Wy) Einsetzung in(44) Oder(45) ergibt zur Bestimmung von W:
(48)
W== d W;ʒ e d. h. W= AX X+ By †C. Das gesuchte Kraftgesetz hat die Komponenten: „. (AxX By O (49) V C3 v
(Ax By' Die Möglichkeit einer konstanten Kraftrichtung ist in diesem Gesetz nicht enthalten. Die Gleichungen(40) sind
stets die Komponenten einer Zentralkraft mit dem Kraft- 4

——
3
—
—
—
— 26—
zentrum:(—;—) Verlegt man den Ursprung des Koordinatensystems in diesen Punkt, dann erhält(40) die Form:
(Ax+ By † C): 5— 3 Y (Ax By
wo die Bezeichnung der Nennerkonstanten beibehalten wurde. Beachtet man schließlich noch, daß a,ß nur bis auf kon- stante Faktoren bestimmt sind, so darf man auch schreiben: 0= 42 (40)(Ax † By+ C) (Ay By O) In dieser Gestalt haben Darboux und Halphen das Gesetz angegeben.—

Kap. III.
Die Bestimmung der Kegelschnitte, die Babnkurven sind.
§ 7. Der Fall konstanter Kraftrichtung.
Hat die Kraft Kkonstante Richtung, so haben die Kraft- komponenten die Form(40) mit den Bedingungen(402). Die Differentialgleichungen der Bewegung können daher auf die Form gebracht werden:
X b dte⸗[L(cx— by) †. 2 M(cx— by)+ NI (502) dꝰ y C
dte HL(cx— by' 2 M(cx— by) 9 N1 Dabei wurde gesetzt: L==B; M==SS, N= cb und ein gemeinsamer Faktor von, weggelassen. Anstelle der Veränderlichen x, y, die nur in der Ver- bindung: cx— by auftreten, führen wir nun vermöge der Substitution: 8= CX= Dy„= vy neue Veränderliche s,n ein; die Gleichungen(50a) gehen über in de⁵ dts
8 ſ4. 3
dt⸗(La+ 2 Me N) Auf diese Normalform kann das Kraftgesetz(40) übrigens auch durch Drehung des Koordinatensystems gebracht werden.—
¹) Die Bezeichnung der Konstanten wurde beibehalten.

Wir hatten bisher stets den Fall ausgeschlossen, daß einer der Komponenten, verschwindet. Es läßt sich durch Integration des Systems(6) für= 0 zeigen, daß die allge- meinste Form eines Kraftgesetzes mit verschwindender 2-Komponente gerade mit(50˙4) übereinstimmt.
Es ließe sich ferner nachweisen, daß die auf S. 11 aus- geschlossene Möglichkeit einer Abhängigkeit der oder B Komponenten von nur einer Veränderlichen mit Notwendig- keit auf das System(50 2) führt, bezw. auf das hieraus durch Vertauschung von s, 7 entstehende System.—
Die Differentialgleichung 3. Ordnung, mit der(50 ʃ2) äqui- valent ist, kann geschrieben werden in der Form:
(51) f. durch Intregration folgt:
(52) 7
45 (Lee 2 ME+ N' und hieraus, wenn: M²— LN== O: Je= AfA B ILA 2 MEN oder: M=*= l.N (53) 82+ 2 MS N⸗=(C+ Cꝛs+ Cz 7)*.
Bei bestimmter Wahl von L, M, N sind dies die l- Bahnkurven des Systems(50 /2). Zu(502) gehört offenbar die folgende Schar von Kegelschnitten:
(54) L(cx— by)“+ 2 M(cx— by)+ N=(CX+ Cay Cz)².
Ehe wir zur allgemeinen Betrachtung des Falles: M?2— LN= O übergehen, behandeln wir die Möglichkeit: M= O0, L= 0, N== O. Der Kegelschnitt:
L(cx— by)?+ 2 M(cx— by)+†ͤRN= 0 geht dann in die unendlichferne Gerade über. Die Gleichungen (50a) reduzieren sich auf: 4.1a d=y
dt*² 3 dt* 3
.. 3. d' V 5 Dieses System ist gleichbedeutend mit: 1 o0. Die Inte- d X gralkurven hiervon sind die οs Parabeln:
(58) y= Ci X+ CeX- Ca.
(50 b)

Im Falle: M²— LN= O, L=S O zerfällt der Kegelschnitt L(cx— by)?+†..= O in eine doppelt zählende Gerade; die Gleichungen(502) erhalten die Form:
d*X 0. dtz(Px+ Oy+ R)s (50 c) dy— P die(bHbx † Ov N)
wobei gelten muß: Pb+ OQce= O.
Durch eine geeignete Wahl des Koordinatensystems kann wieder erreicht werden, daß die a-Komponente ver- schwindet.(50c) geht dann über in die Normalform:
da de— P (500)—,—0——
dtꝰ* dtꝰ 83 Aus der zugehörigen Differentialgleichung 3. Ordnung folgt: (56) 7= ere Te⸗.
Die Integralkurven sind daher darstellbar in der Form: (56) C(Px Oy O(Ca+ y Ex- OyB-CS=o.
Wir wollen jetzt versuchen, die gefundenen Kegelschnitt- scharen aus den Eigenschaften der zugehörigen Kraftgesetze näher zu charakterisieren.
In den Koordinaten s, konnte die Schar des Kraft- gesetzes(502), im Falle: M²— LN=E O geschrieben werden in der Form:
Lss MS-N==(C+ Cr* Cz„)* Diese Schar von Kegelschnitten ist offenbar ausgezeichnet durch die beiden im Endlichen gelegenen und von einander verschiedenen parallelen Tangenten, in die die Gleichung: LS 2 M N= 0 zerfällt, wenn L== O ist.
Im Falle: L= O rückt die eine Tangente ins Unendlich- ferne. Die Schar besteht dann aus Parabeln.—
Die Integration der Bewegungsgleichungen ergab im Falle: 3 Mz= LN=O;, L== O die folgende Schar von Kegelschnitten:
211 C 8 †. Cxs*+† Cz= 0.

Man überzeugt sich leicht, daß durch die Forderung, die Gerade 8= O möge Polare sein in Bezug auf das im Unendlichen gelegene Kraftzentrum, die vorliegende Schar von ⁵⁸ Kegelschnitten eindeutig bestimmt ist.
8 7.
Die Kegelschnitte bei Zentralkräften.
Zur Charakterisierung der zu den Kraftgesetzen(30) und(40) gehörigen Kegelschnitte machen wir uns die im vorigen Paragraphen genommene Einsicht zu Nutze und ver- muten, daß im Ausdrucke des Kraftgesetzes(30) die Glei- chung:
(57) AEE- 2 BS) C=O
eine ähnliche Rolle spielt, wie die Beziehung: La MSNé= O
bei(50˙2).
Wir fragen nach der Schar von Kegelschnitten, die von den beiden durch das Kraftzentrum gehenden Geraden(57) berührt wird. Da stets: B2— AO== O sein muß, haben wir in(57) immer zwei verschiedene reelle oder imaginäre Tangenten.
Man überzeugt sich leicht, daß diese Schar auf die Form gebracht werden kann:
(58) VAE-2 BEn-C= C † Czs* n.
Die Bestätigung dafür, daß dies wirklich die gesuchten Bahnkurven sind, kann in der Weise erbracht werden, daß man zunächst die zu dem System(30) gehörige Differential- gleichung 3. Ordnung aufstellt und dann zeigt, daß die durch Differentiation und Elimination von Ci, Ca, Cz aus(58) fol- gende Differentialgleichungen 3. Ordnung mit jener Differen- tialgleichung 3. Ordnung gleichbedeutend ist.—
Die Bahnkurven des Analogons zu dem Kraftgesetze (40)), das System(40), sind bestimmt durch die Forderung, daß die Gerade:
(5⁰) AXX By C= O Polare des Kraftzentrums in Bezug auf die Kegelschnitte der Schar wird.

Die Gleichung der Schar kann die Gestalt annehmen: (60)(AX+ By C)= C XI 2 CzRy* z NI. Die Bestätigung dieses Ergebnisses findet in der eben an- gedeuteten Weise statt.
Die Gleichungen(58) und(60) sind in Polarkoordinaten bereits bei Darboux ¹) angegeben. ) Darboux, C. R. 84. 936. 1877.

Lebenslauf.
Als Sohn des Gastwirtes Jakob Ihl und dessen Ehefrau Mathilde, geb. Piée, wurde ich, Heinrich Ihl, katholischer Konfession, am 20. Januar 1901 zu Friedberg in Hessen geboren. Bis zum 14. Lebensjahre besuchte ich die Städt. Musterschule zu Friedberg. Nach privater Vorbereitung erwarb ich im September 1918 die Obersekunda-Reife an der Realschule zu Butzbach und am 1. März 1922 das Reifezeugnis zum Universitätsstudium an der Ludwigs- Oberrealschule zu Darmstadt.
Darauf studierte ich zwei Semester Handels- und Rechts- wissenschaft an der Universität Frankfurt a./ M. Im 3. Semester ging ich zum Studium der Mathematik und Physik über und besuchte u. a. Vorlesungen und Obungen der Herren Professoren Siegel, Epstein und Wachsmuth. Seit dem 4. Semester bin ich ununterbrochen an der Landes-Universität Gießen immatrikuliert gewesen. Ich besuchte u. a. die Vorlesungen und Seminare der Herren Professoren Engel, Schlesinger, König, Falckenberg und Fromme. Ihnen allen möchte ich an dieser Stelle meinen Dank aussprechen. Im Sommer- Semester 1926 unterzog ich mich der wissenschaftlichen Prüfung für das höhere Lehramt und wurde im Herbst des- selben Jahres zum Vorbereitungsdienst für das höhere Lehr- amt dem pädagogischen Seminar des Realgymnasiums zu Darmstadt überwiesen.
Die Anregung zu vorliegender Arbeit fand ich in einem Seminar des Herrn Prof. Engel über partielle Differential- gleichungen im Winter-Semester 1924/25. Bei der Durch- führung und Drucklegung der Arbeit hat mich Herr Prof. Engel stets in entgegenkommender Weise unterstützt, wofür ich ihm zu besonderem Danke verpflichtet bin.
———

1
1
Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
mit tätiger Beförderung der Giessener Hochschulgesellschaft herausgegeben von den Direktoren des Seminars XV. Heft
Die trilineare alternierende homogene Form in acht Veränderlichen
von
WILHELM KAMMERER
aus Büdingen(Hessen)
₰ 2 X S 2 2 Sh u
E
Giessen 1927
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16.
Preis RM. 1,50; für das Ausland 2.— Schweizer Franken

Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht. Genehmigt durch den Prüfungsausschuß am 15. VII. 1927. Berichterstatter: Dr. Engel und Dr. Schlesinger

Vorwort.
Herrn Professor Dr. F. Engel, der die vorliegende Arbeit veranlaßt hat und mir bei ihrer Abfassung jederzeit hilfreich zur Seite stand, bin ich zu großem Dank verpflichtet. Ebenso danke ich an dieser Stelle meinem Bruder, Herrn Dr. F. Kämmerer, der mich durch zahlreiche und mühevolle Kon- trollrechnungen unterstützte. In bezug auf die Symbolik sei auf die folgende Literatur verwiesen: Study, Geometrie der Dynamen, Leipzig 1903, S. 135 ff. Engel, Ein neues, dem linearen Komplexe analoges Gebilde, Leipziger Bericht 1900 S. 126.
Reichel, Öber trilineare alternierende Formen in sechs und sieben Veränderlichen, Inaug.-Dissert. Greifswald 1907.
Weitzenboeck, Komplexsymbolik. Leipzig 1908.
Von der vereinfachten Bezeichnung der Komplexsymbolik wird allerdings im folgenden kein Gebrauch gemacht.
Die Untersuchung der homogenen alternierenden Trilinear- form ist in acht Veränderlichen von besonderem Interesse, da dies der letzte allgemeine Fall ist, wo die Form eine kontinuierliche lineare homogene Gruppe gestattet, und die achtgliedrige Gruppe der Form mit der adjungierten Gruppe der allgemeinen projek- tiven Gruppe der Ebene durch eine lineare homogene Trans- formation ähnlich ist.
Man findet auf diese Weise eine independente Darstellung der Zusammensetzung aller Gruppen, die mit der allgemeinen projektiven Gruppe der Ebene gleichzusammengesetzt sind.

Einleitung. 1...n 1=* Es sei U= 5 Pixj Ui VE Wj eine homogene alternierende Trilinearform in n Veränderlichen. Sind aißxyi die Idealfaktoren von Pixi, 80 läßt sich die Tri- linearform auch folgendermaßen schreiben
1..n U= a Br v VK W=(au)(Gv)„w).
ikj Im folgenden sollen für n= 8 invariante Bildungen der Pixi unter sich bezw. mit gewissen Punkt- und Ebenensymbolen untersucht werden.(Wenn nichts näheres angegeben ist, werde unter Ebene immer eine Hyperebene verstanden.)
Symbolik.
Zunächst wollen wir die einzelnen Symbolreihen unterein- ander so vertauschen und nötigenfalls die Elemente in den De- terminanten so umstellen, daß in jeder Klammer die Symbole mit niederem Index denen mit höherem Index vorausgehen, und die Punkt- und Ebenensymbole am Ende der jeweiligen Klammer stehen. Sodann vertausche man die Elemente jeder Symbol- reihe untereinander derartig, daß im ganzen Ausdruck für jede einzelne Symbolreihe die Elemente in der Reihenfolge βh von links nach rechts auftreten.
Auf diese Weise ist, wenn eine bestimmte Folge der Klammern und Numerierung der Symbolreihen(nötigenfalls noch Reihenfolge der Punktsymbole) gewählt wird, das Vorzeichen eindeutig festgelegt.
Jetzt ordnen wir in einem Matrizenschema in derselben Reihenfolge jeder Klammer eine Zeile, jeder Symbolreihe bezw. Punkt- und Ebenensymbol eine Spalte zu. Nun schreibt man in jedes Feld der Matrix, wie oft das der Spalte entsprechende Symbol in der der Zeile zugehörigen Klammer auftritt.

6
Bei Punkt- und Ebenensymbolen schreibt man am besten( das Symbol selbst. Wenn keine Verwechselung möglich ist, b kann dieses sogar ganz weggelassen werden.
Nach den obigen Festsetzungen ist die folgende Rechen- regel ohne weiteres klar.
——
—
Beim Verschieben einer Spalte(Zeile) über andere Spalten könn (Zeilen) tritt bei jedem Überschieben einer ungeraden Zahl über eine ungerade ein Zeichenwechsel ein.
Dabei ist jedes Punktsymbol als eine 1, jedes Ebenen- symbol als eine 0O zu betrachten. Diese Sonderstellung der
—
——
1 Ebenensymbole, die auch bei allen übrigen Regeln erhalten 4 bleibt, hat ihren Grund darin, daß wir nur Determinanten aus kontravarianten Elementen bilden, und für die skalare Multiplikation das kommutative Gesetz gilt(ux)=(Xu). Vorg 1 Die allgemeinste Verschwindungsregel, die lediglich aus Lan dem Zeichenwechsel beim Umstellen in einer Determinante und beim Vertauschen der aßy und aus der Gleichberechtigung ein aller Symbolreihen folgt(also noch nicht aus dem Umstand, daß— We wir es mit Multiplikation von Determinanten zu tun haben], El- läßt sich jetzt in die Form bringen: na
Läßt sich ein Ausdruck durch Verschieben von Zeilen und Spalten auf dieselbe Form mit entgegengesetztem Zeichen bringen, dun so verschwindet er.
Insbesondere gilt also die Regel: Sind zwei Symbolspalten gleich, so verschwindet der Ausdruck. Denn zwei gleiche Symbolspalten können nur die Form
3 3 2 2 oder 1 1 haben, V
1 1 1 1 ha
41 Wi
und jedesmal ergibt sich beim Vertauschen der Spalten ein 6 d.
Zeichenwechsel. f d.
Bei der Aufstellung der Größen werden wir nur von dieser 7 speziellen Regel Gebrauch machen. Sollte eine Größe infolge
einer komplizierten Vertauschung verschwinden, so werden wir br
dies erst bei Aufstellung der Beziehungen der Größen unter- u
einander berücksichtigen.
—

— 7——
V Sind rixe... Yn XIXZXn 2n Punkte, so gilt identisch 1(ri Te... Tn) CIXg Xn= AG= v.3 Tn)(XIXZ... Xx— 1 TIXg †1... Xn). n Um diese Identität in der neuen Symbolik handhaben zu r können, verfahren wir folgendermaßen: Es sei das Schema h i k 1 m n. r 1 K 1 m. n 1......... e h 1.. m vorgelegt. Dabei bedeuten hik... h' i“ k'*... die entsprechenden 8 Zahlen in dem Matrizenschema. l Nach der obigen Identität läßt sich dieser Ausdruck in 8 eine Summe entsprechender Ausdrücke zerlegen, die man erhält, b 1 wenn man ein Element einer Zeile(wir wählen das letzte
), Element des mit i bezeichneten Feldes der 1. Zeile) der Reihe
nach mit allen Elementen einer anderen Zeile(der».) vertauscht. d Wir betrachten nun die Glieder der Summe, die man dabei durch Vertauschen mit den Elementen des Feldes m' erhält.
Die Elemente dieses Feldes seien in richtiger Ordnung „ 1„„ In,.. I.
Anstatt nun das i. Element m' emporzuziehen, vertauschen 1)
1 wir zuerst mi mit mi. Dies ergibt einen Zeichenwechsel. Wir haben jetzt m heraufzuholen. Um aber die richtige Ordnung wieder herzustellen, müssen wir mi über mi bis ma und mi, m d. h. über i— 1 Elemente schieben und mi über ma bis m.
d. h. über i— 2 Elemente. Diese Operation zieht nochmals einen Zeichenwechsel nach sich.
Anstatt also jedes Element eines Feldes emporzuholen, brauchen wir dies nur bei einem(etwa dem ersten) vorzunehmen und den erhaltenen Ausdruck m'mal zu setzen.
Wir schieben nun die m-Spalte rechts neben die i-Spalte

— 3—
und die Zeile h' i“*... unter die Zeile h i.... Bei diesen Um- stellungen ergibt sich eine gewisse Vorzeichenänderung(— 1)“.
Wir haben jetzt in dem Ausdruck 7 i m... =yr vw.. das letzte Glied des Feldes i mit dem ersten Glied des Feldes m* zu vertauschen. Die Elemente seien in richtiger Ordnung 11... i i... Ur: m
„„ 1-—⸗ WMm Im-. Wm'*.
In der üblichen Symbolik hat der Ausdruck somit die Form (= 1)( i. mi.. I..
m (. i... i I... In..).. Jetzt haben wir das Element i-’ mit dem Element mi zu vertauschen und erhalten somit in der Summe das Glied
e E 1).(i Ll.„. l..)
Um die richtige Ordnung wiederherzustellen, haben wir
mi über m.... mn und i über Ln.. in zu schieben.
Wir erhalten somit
-y y“** 1..)
Kehren wir jetzt wieder zur ursprünglichen Spaltenstellung zurück, so ergibt sich der Zeichenwechsel (— usXIe. r. LV..-l.. ml Im ganzen erhält man somit das Vorzeichen ( Ue t..m 11,1 he..Le rie. 1e.et
Man hat somit auf dem durch i und m' bestimmten Recht- eck die Anzahl der ungeraden Zahlen zu bestimmen, wobei die Ecken i und m' gar nicht oder— und dies ist im Gebrauch zweckmäßiger— doppelt zu zählen sind.
Wir haben jetzt noch den Fall zu betrachten, daß die anderen Eckpunkte ausgezeichnet sind.
—
von II
WO
in

— 9—
Es werde das 1. Element von i“ mit dem letzten Element von m vertauscht.
Man erhält ...(.. 11.. m...
„
(-... m, i... 1.
.e JS.
Um die richtige Ordnung zu erhalten, muß man i über m
m- 1
... m und ma über ix... ir schieben. Auch hier ergibt sich der Zeichenwechsel(— 1)
Es sind also durchweg die linke obere und die rechte untere Ecke doppelt zu zählen.
Wir haben dann noch den Fall zu betrachten, wo das Rechteck in eine Gerade ausartet, d. h. wenn das letzte Element von i mit dem ersten Element von i“ vertauscht wird.
Auch hier schieben wir die Zeile mit i“ unter die Zeile mit i und erhalten —(r).
Bei der Vertauschung ergibt sich der Ausdruck
ſi i).. i.., Eine Vertauschung von il mit i ergibt einen Zeichenwechsel (l)(.......) d.. 11 I.... Le...., d. h. man erhält bis auf das umgekehrte Vorzeichen den ur- sprünglichen Ausdruck wieder.
Bringt man diese Glieder der Summe auf die linke Seite der Identität, so ergibt sich(i“+ 1) mal der Ausgangsterm.
Ehe wir uns bestimmten invarianten Bildungen zuwenden, wollen wir ihre allgemeine Bildungsmöglichkeiten aufstellen.
In der folgenden Tafel sind die Kovarianten nach dem Grad in den paf und der Zahl der auftretenden Variabeln ge- ordnet.

— 10—
Zahl der Variabeln
Grad in 0 1 2 3 4 P ikj Punkte Ebenen P. E. P. E. P. E. P. E. 1 60 3 2 2 0 3 1 3 0 1 112 4 6 6 4 5 1 60 2 1 6 0 2 1 2 7 3 0 8 0 0 11 2 2 9 0 3 10 2 0 3 1 19 0 1 1 2. 5 * 0 4 4 13 1 0 2 1 14 0 2 1 3 15 3 0 16 0 0 1 1 2 2
93
Die Invarianten 8. Grades. Die einfachsten invarianten Bildungen der pix allein sind vom 8. Grad und bestehen somit aus 3 Klammern. Die einzige Form dieser Art, bei der nicht, zwei Zeilen gleich sind, ist
1 1 1 2 3
Aber auch diese Invariante verschwindet identisch. Denn vertauscht man die 2. und 3. Zeile, so ergibt sich ein Zeichen- wechsel. Um den ursprünglichen Ausdruck wiederzuerhalten, müssen aber die 2. und 3. Spalte vertauscht werden und ebenso die 5. mit der 8. und die 6. mit der 7. Dabei tritt kein Zeichen- wechsel mehr auf.
Das Verschwinden läßt sich aber auch durch die Operation 2,4% zeigen. Dabei bedeutet i, k eine Vertauschung eines Ele- mentes der i. Zeile und k. Spalte mit allen Elementen der l. Zeile.
Es verschwinden somit alle Invarianten 8. Grades.
Die nächst höheren Invarianten sind vom 16. Grad und entziehen sich durch die große Zahl der Bildungsmöglichkeiten bis jetzt noch der Untersuchung.

— 11—
Die Kollineationen 8. Grades.
Wir wollen nun versuchen, die einfachsten Kollineationen d. h. Kovarianten mit einem Punkt- und einem Ebenensymbol aufzustellen. Auch diese sind vom 8. Grad.
Man erhält 21 Kovarianten.
Diese sind in der folgenden Tafel zusammengestellt.
(n der 1. Zeile ist u, in der 2. Zeile x zu ergänzen.)
1 1 2 2

— 12—
Zwischen diesen Kovarianten bestehen die folgenden Be-
ziehungen: 1. K. 9 aus 3,3⁄ 12. 3 K 1=— 2 K.— 2 Kiz aus 2, 4 1 2. K.=0„ 3,4/4 13. 2 K g= Ku Ki⸗„ 3,0 3. K, 0„ 3,6⁄འ14. K.=— 2 Ks„ 2,2/3 4. K.= 2 K„ 3,3]4 15. 2 Kis= Kuz+ K„ 3,7/ 5. 2 K,= K.— 2 K.„ 2,3/ 16. 2 Kie= Kas— Ku„ 4, 1/3 6. K.=„ 3,61¼ 17. 2 K= KIA- 2 K 3 K„ 4,13 7. 2 K,=— E.„ 3,5/½% 18. 2 K g= Kis— 2 K2„ 4, 1/ S8. Ke 2 E,„ 3,4½4 19. K 0„ 3,7/2 9. 3 K,= K,— K,— K,„ 2,4 20. Kao=(Vertauschg. d. 3. u. 4. Zeile 10. Kio= 0„ 3,1/4 21. Ke 90.„3.„ 4.„ 11. NI= RKu„ 3,4/4
Löst man diese 21 Gleichungen in der angegebenen Reihen- folge auf, so ergibt sich, daß auch alle Kovarianten 8. Grades mit einem Punkt- und einem Ebenensymbol identisch verschwinden.
Die Linearformen 3. und 5. Grades.
Die niedrigsten Kovarianten, die nur eine Ebene bezw. einen Punkt enthalten, sind vom 3. bezw. 5. Grad und ver- schwinden identisch.
Die Formen 2. Klasse vom 6. Grad. Kovarianten 6. Grades mit 2 Ebenensymbolen gibt es nur zwei:
U Ua 1 u 1 u 1 V 1 V 2 3 2 1 1 1 3 2 1 2 4 2 3 1 1 1 2 3
Aus U 3,1%¼ folgt: = 2 U.
Dies ist die einzige Relation zwischen U und Ua. Wählt man u= v, so wird durch U(oder U) eine Hyperfläche 2. Klasse bestimmt
U.(u, u)= 0. Ihr Polarsystem ist U(u, v).

— 1 3—
Die Formen 2. Ordnung vom 10. Grad. Da die Kovarianten 2. Grades mit 2 Punktsymbolen iden-
24 tisch verschwinden, wollen wir uns den nächst höheren Kovarianten 35 vom 10. Grade zuwenden. 22„ Wir wollen uns dabei auf die Formen 2. Ordnung be- 37) beschränken. 41 Da die Bildungsmöglichkeit sehr groß ist— es ergeben 4¹⁰ sich 388 Größen—, wollen wir die Gesamtheit dieser Kovarianten 41 gliedern, und zwar nach der Zerlegung von 7. 377 Wir bezeichnen die Kovarianten mit A, wenn die erste Zeile X- Klammer die Ziffern 322 enthält; entsprechend B 3211 3 C 31111 D 2221 E 22111 211111 G 1111111(Die Bildungen der Klasse G. verschwinden alle.) Die zweite X-Klammer— sie darf natürlich keine frühere Zifferngruppe enthalten— bildet entsprechend eine weitere Ordnungsmöglichkeit.
Sodann wurden die Kovarianten so geordnet, daß in der 3. Klammer und ebenso dann in der 4. eine möglichst große Zahl entstand.
Bei der Aufstellung wurden alle Größen mitgenommen, bei denen nicht zwei Spalten gleich waren.
Bei der obigen Bezeichnung verteilen sich die Kovarianten folgendermaßen auf die einzelnen Klassen:
Die A-Klasse enthält 12 Größen
„ B-„„ 166„
6„ C-„„ 60„ „ D-„„ 17„
„ E-„„ 12²2„
F- 11„
2) 27 2
Im ganzen ergeben sich somit 388 Kovarianten.
Es ist nun gelungen, alle nicht verschwindenden Kovarianten auf eine zurückzuführen.

—
—
—
Von der sehr langwierigen Rechnung sei hier nur
kleine Probe wiedergegeben:
A1 3 2 2 3 2 2 1 1 3 2 1 1 1 A3 3 2 2 1 3 3 1 1 1 3 1 1 1 As 3 2 2 3 2 1 1 1 1 2 3 1 2 A7 3 2 2 1 3 1 1 1 1 2 1 3 1 2 45 3 2 2 1 2 2 11 1. 3 1 2 An 3 2 2 2 1 11 1 1 2 1
1 1 1 2
ddo
b 00
00
3
1
00
d
b
As
do
1
———
2
eine
2 1
1 2
Zwischen diesen Kovariantenbestehen die folgenden Relationen.
1. A,— 0 aus 2. ½,— A.„ 3. 2 A=„ 4. A⸗= 2 Aio 5. As=— A,„ 6. A,=2 A.,„
3,8¾ 2,4 ½ 3,7³ 3,6%4 2,5 ½ 3,5¾
7. A. A. 8. 2 A,=— As 9. A=
A4= 3A,— A4 10. 2 A1== A, 11. All= 3 Au⸗
A,
aus
5*7
27
3,5⁄4 3,7/4¼
2,6% 2,7% 3,9¼
Gru
die

15—
Die Auflösung ergibt dann:
41=— Au A4.= 0 A.= O 44 O A4= 0 4— 0 A4=+ 3 Ai⸗ A1= 0 A,=— 6 Aiz A=*3 Ai⸗ As=— 3 A12 A12 5 1 A12
Entsprechend verlaufen die übrigen Rechnungen.
Es läßt sich nun vermuten, daß die Formen 2. Klasse vom 6. Grad und die Formen 2. Ordnung vom 10. Grad geometrisch dasselbe Gebilde bestimmen.
Das zu der Form 2. Klasse gehörige Polarsystem ordnet jeder Hyperebene einen Punkt zu, während das Polarsystem der Form 2. Ordnung jedem Punkt wieder eine Hyperebene zuweist.
Führt man beide Polarsysteme hintereinander aus, so ergibt sich eine Kollineation vom 16. Grad, und es ist zu vermuten, daß sich die Invariante 16. Grades abspalten läßt.
Da aber sowohl die Invarianten wie die Kovarianten der Untersuchung nicht zugänglich waren, konnte dieser Punkt nicht geklärt werden.
Die zur Trilinearform gehörige projektive Ga.
Wir wollen nun versuchen, die Untergruppe der projektiven Gruppe des R, aufzustellen, die die Trilinearform invariant läßt.
Die Trilinearform besitzt 56 homogene Parameter, während die allgemeine projektive Gruppe 64 homogene Parameter besitzt.
Die Trilinearform wird somit bei einer 8 gliedrigen Unter- gruppe invariant bleiben, deren infinitesimale Transformationen wir im folgenden aufstellen wollen.
Es liegt nun nahe, eine infinitesimale Transformation zu suchen, die einen willkürlichen Punkt- oder Ebenenparameter enthält. Denn dann hätte man 8 infinitesimale Transforma- tionen.
Da die Gruppe im R, projektiv ist, so müssen die infini- tesimalen Punkttransformationen linear in den homogenen Punkt- koordinaten sein.

— 16—
Es handelt sich somit darum, Kovarianten zu suchen, die ein Punkt- und ein Ebenensymbol und als Parameter noch ein Punkt- oder Ebenensymbol enthalten.
Die einfachste derartige Kovariante ist vom 3. Grad und enthält eine Ebene als Parameter. Es gibt nur eine nicht ver- schwindende Form 3. Grades
(4r u)(a*ο)(61„1 62 2 ³ 66 76 X). Betrachtet man diese Form als eine Kollineation in x und u, die einen Parameter enthält, und bildet man die zugehörige Invariante, so gelangt man zu der auf S. 14 gefundenen Mannig- faltigkeit 2. Klasse vom 6. Grad U.
Der durch diese infinitesimale Transformation gegebene Zuwachs von X bzw. u ist
6 X du (ru)— 1)=(au u)(22)(61 vr 62 2 1s 66 7 X).
Es muß nun untersucht werden, ob bei dieser Trans- formation die Trilinearform invariant bleibt. Führt man sie auf eine Ebene(u) der Trilinearform aus, so ergibt sich +(ar u)(4.)(61„1 /62 v2 43 65 ps 44)(64 V) G4 W). Die Trilinearform erfährt somit den Zuwachs
(a u)(4*)(61„r 62„2 28 32„s 24)(64 v).½ w).
Zzykl. U VvW
Ließe die infinitesimale Transformation den durch die Trilinear- form bestimmten Komplex von ¹4 E invariant, so müßte sich diese Kovariante 4. Grades auf die Form
(ar u)(61 V) Gr W)K bringen lassen, wo K eine Kovariante 3. Grades mit einem Ebenensymbol wäre.
Da diese aber alle verschwinden, so müßte dies auch von der obigen Kovariante gelten, d. h. es bliebe die Trilinearform sogar invariant.
Es gibt 7 Kovarianten 4. Grades mit 4 Ebenensymbolen.
* Pr Pa Pa 1 u 1 u 1 u 1 u 1 V 1 V 1 V 1 V 1 W 1 W 1 W 1 w 1 0 1 0 1 ⁰ 1 ⁰ 1 2 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3
die
rüch

ein
und
als,
1 u 1 u 1 u
1 V 1 V 1 V
1 w 1 1 w
1 1 1 HM. 1 2 1 2 3 2 2 1 3 2 2 2 2
Der Zuwachs der Trilinearform stellt sich dann in der Form
Pi— P. †˖ Pa dar. Zwischen den 7 Größen ergeben sich nur 4 unabhängige Gleichungen
2 Pæ=— 2 P.— 2 P,+ 3 P, aus 1,1%
1= 2 L. 2 P, 3 P⸗„ 2,1 2 Pz=— 2 p. 2 P.— 3 P.„ 3,2 2 Pz= 2 P.= 2 P. 3 P.„ 4,1.
Die Auflösung liefert dann Pi= Pa+ P., P.= Pa* Pa, P== P, Po, P Für P— P.+ P. erhält man 3 Pz+ P,— Pa, d. h. die Trilinearform bleibt nicht invariant. Die nächste in Frage kommende Kovariante ist vom 5. Grad.
Hier gibt es zwei Formen, die sich aber aufeinander zu- rückführen lassen.
T(a2 52 y* 43 6 d. XS)(61 v1 P 64„4. 35 ps) Te=(ar u) 3 22 612 2 13 2 4 X)(y1 y4 34 v4 4⁵ 65„). Aus Ta 2,1 ½ ergibt sich 1= 2 1. Die zu dieser Kollineation gehörige Invariante ist vom 10. Grad. Es ist dies eine nicht verschwindende Bildung der Klasse B.
Führt man diese Transformation auf die Trilinearform aus, so erhält man den Zuwachs
— u)(ae V)(62 W)(y* Gs 66 ys 24 64 5§)(G1 v1 v4 65„5 4s 6 p6)·
Zykl. uVvW
Da auch die Kovarianten 4. Grades mit einem Punktsymbol identisch verschwinden, so kann der durch die Trilinearform definierte Komplex auch hier nur gleichzeitig mit der Trilinear- form selbst invariant bleiben.
Kämmerer 2
— 0.
7

———— 2———— — a— 2— A 5RA4Cee=S ———— 2 2 —
1* 4„ 1 19 u1 19 11n
+ 2 2
2; a 00 a 00 0 o
S 5—— H—— N—
*
2 01— œ 1— 2 1—— 1— 8 0 8 00
A 8 ce 5 c—— 8— ᷑
. 5————-—————— ₰— ν—
3——————— ‿᷑————— ,——
—
B8 3
8 ⁸
B cs 40S 41n 41n 1n 44 AAn
2. 44 ce 8 00 89 c 80
+
4 8—— ᷣ—— ☛᷑—— 4— △ᷣ———
S 5 5 1——;-— e 80— 0 8
— 8— N
A 3 cd 85 89— 2————.
5 ,— 2— 02—————— 02——— 3 8 25— 2——————— 02————— 2 0 1 S —— 8⁸△ N
03 8 0„ 409 u 410 17 0 oe ced M ce ced
8.*—— ᷣ— △„— ᷣ* ₰△—*— △
8. 2 1— S 1—= 1— u— 0 2 oe
— 8᷑———
85 8 80.———— ◻◻———
. ₰—-———————————— 2———
— ,———————— 2— 02———
5
2 f
—&
½ B
5 83 An A Mn 1 41 41
.,—
8 5 o ce 85 eed ed ced
— 80—— N N
* 8—
8 Z 5—— 260 ₰— 050.—— c— 8 c c cd 55— 2—— 8.„— 2— 2— 02— 8 ,— 82——— 2.— 02— 02———— 02— 02———

1 1 23 1 3 2 4
3 1
4 2
5 5
6 6
4 b 7 7
3 8— 8 9 12
10— 11
11 10
12 9
13 13
b 44 19
3 15 20 16 227
17 28
Die
Folgen:
5 1 3
2 2 1 3 2 2 1
III IV V 5 5 3 6 6 4 1 3 5 2 4 6 3 1 1 4 2 2 — 9— 12 12 — 10 11— 11 — 12— 9 7 11 10— 8 — 8 8 10 7 2— 9 16 27 27 21 21 19 24 30 28 27 16 13 30 24 20
Spalten—VI entsprechen dabei
Trr
1 2
VI
u
30 31 32 34
II III 29 33 14 14 15 17 21 19 22 22 23 25 30 28 31 31 3² 34 16 13 17 15 18 18 24 20 25 23 26 26 33 29 34 32
W W
IV 33 19 28 14 22 31 17 25 34 13 20 29
26
Durch Vertauschung von uvw gehen aus den 11 angemerkten Größen alle übrigen nach folgender Tabelle hervor:
31 34 29 32
den folgenden uvw-

—;—ꝛ—ꝛ—ꝛͦͦ-—
—
—
III wn
IV w V n
V v w u
VI w Die gesuchte Kovariante ist
S. 8, 1 Sie.
Um ihr Verschwinden zu zeigen, brauchen wir nur die Re-
lationen §15 2,2⁄à und 815 4,4 ⁄⅓.
Da wir aber später auf diese Kovarianten nochmals zurück- kommen, so sollen hier alle Relationen zwischen den S aufgestellt
werden.
Dazu brauchen wir nur alle die Relationen zu bilden, die aus den angemerkten Größen entstehen, und dann für die dar- in auftretenden Kovarianten der Reihe nach die entsprechenden
Größen der Spalten II bis VI einzusetzen.
In der folgenden Zusammenstellung stehen nach jeder Re-
lation die aus ihr auf diese Weise folgenden Relationen.
In die Tafel wurden alle formell verschiedenen Gleichungen aufgenommen. Sie sind aber, wie die Auflösung zeigt, nicht
alle voneinander unabhängig.
84 28, aus 8 4,1] Sis=— S1,— Sis 84= 28. 8=— 8s— 82 S. e 284 S24— S— S33 8,= 284„ S. 4,1 Ses Ss Oas — 8.= 28 0= Se Sas- Ses—= Sar 82=— 28 5 1 Sis= 2 S14 2 Su0 Sa2
Si6= 2 S21+ 2 Si4+ Sas S2,= 2 821+ 2 S10+ Sa S Sus. Si S1s= 8a2— 2 S31+ 2 8 0 S2o= Sas— 2 828+ 2 824
Sis= 2 S19 Sao„ Sus 4,1
aus 815 4,2%
2 S26 4,1/ 22 S22 4,07
Sis 5,3⁄½
2 S15 4, 7
S16= 2 82— Sao 84,== 2 824— 8
18
S1s—
Se,= 2 S21 Sa0 824= 829— 2 Ses 2 830 S= 2 Sn Ses 8ao= Sis— 2 Se8+ 2 815 8ie== 2Se— In„ 81 4,77 9enm 28⸗8*2 Sr⸗ eee ehn eedn. a, a SuSe asa as
Sa0 A 2 822 5 2 S2s„ Sas 4,1⁄5
—

——
— 21
S24— 81⸗ 42 S22 2 S25
Sao Ses 2 S2-* 2 Sar 2819 ℳ 2 S21+ S26= San 2814 9 2 1 ℳ Sag= Si6 2814 S 2 S19* Saa— ODia
3 819= 2 Sis 2 S2o— 8as 3 816= 2 S* 2 Si⸗ Se 382,== 2 S80 282s— Sis Sis= 2 S28 † 2 S25= 3 S2s„ Sis 4,1 Sas= 2 S2s*+ 2 Sar 43 Sa⸗
Sas= 2 S2s 2 S31*ℳ 3 8a4
81= 28,— 381,— 28,01„ 8. 1,773
aus 4,7%
„ Sis 5,44
S.= 28. 38.— 2 N + Sis
S. 28. 3 81= 2 Sr⸗ * Sis
S,— 2 81— 3 8.— 2 Sas *8o
Sa= 2 8is— 3 82,— 2 S30 8
81 2 8,— 3 81. 2 821 Sa
8,= 2 81% † Sis 2 823 — 3 8s„ S, 1,1%
— 8.=— 2 8,1 † Seo-= 2 Sas — 3 8 — 8.= 2 811+ 824+ 2 S2s — 3 S26 — 812=— 2 810= Sao 28 — 3 Sa2 S12=— 28; 4 Sas 2 Sa — 3 S34 8.= 28. 4 S.. † 28. — 3 84⸗ 3 S14=— 815— 81.* 2 S22 — Sa1 aus S4 5,4%¼ 3 Si9=— S.o— Sas*2 See — 8e 3 821=— S24— Sgo 2 82 — 8as
82— S.— Si+ 3 814 + 2 82— 821= 0
S. S u+ 3 81 + 2 8— 825= 0
S+. Sio— S11+. 3 S21 + 2 822— S22= 0.
„ De 1, 77
4
Aus den Gleichungssystemen 8. 1,7(S1s 2,2⁄¾) und 813 4,1⁄5 (Sis 4,4 ⅓) bilden wir die alternierende Summe und erhalten
0=4 E.= 8. 1. Ja*)— 2(Seo
S1s 5 Si⸗ Sas S Sao— S24)
und 0= S.— 815+f 8i,— S.s+ S30— 8a4, d. h. S.— S,+ 81,2= 0. Die infinitesimale Transformation mit einem willkürlichen Punkt als Parameter läßt also die Trilinearform invariant.
Wir müssen nun noch zeigen, daß die dadurch bestimmten 8 infinitesimalen Transformationen voneinander unabhängig sind. Ist das bewiesen, so ist klar, daß sie eine achtgliedrige Gruppe
erzeugen.

— 22—
Um das erste zu erreichen, benutzen wir eine von Study in einer brieflichen Mitteilung an Engel angegebene Normal- form einer homogenen alternierenden Trilinearform in 8 Ver- änderlichen.
Wir betrachten im ternären Gebiet die Gesamtheit der Formen
1, 2, 3. ai⸗ Xi 0,(ua)(ax)
1 Q mit der Bedingung(aa)= 0.
Es bleiben damit 8 von den 9 Koeffizienten a, willkürlich, die wir als homogene Hyperebenenkoordinaten eines R, deuten können.
Zu drei Formen mit den Koeffizienten a,, au, und au, läßt sich die folgende Invariante bilden
U=(a'a)(Aa')(aua*)—(asa)(a¹as)(Aa⁵).
Eine Vertauschung von a, mit as ändert das Vorzeichen, ebenso eine solche von al, mit au.
Deutet man nun in der oben angegebenen Weise die au a, und ax, als drei Hyperebenen u, v und w, so läßt sich U
1 ¾ als eine homogene alternierende Trilinearform in 8 Veränder- lichen betrachten. Um zahlenmäßig die pii bestimmen zu können, müssen wir
eine bestimmte Zuordnung wählen, etwa die folgende:
11= U 212= Ug d18= Ug 221= Ua A22= U à28= Ug. ag1= U, aa2= Us 285= W u und
entsprechend für an, und au v und w.
1 Bestimmt man in der Trilinearform U= 2 Ai,(Axl àii— al a*n) 1⸗ℳ die Koeffizienten von ui V«Wi, so ergeben sich die folgenden
Werte für die Pixij:
una
fahr

— 23—
ly Die übrigen puf verschwinden. Mit diesen Werten versuchen wir nun, die infinitesimalen Transformationen zu berechnen. f. 21. 0 X 0 X df— 3. 3 beschränken. Es zeigt sich nämlich, daß man schon damit 3
acht unabhängige Transformationen erhält.
Kehrt man von den Idealfaktoren zu den paj Zurück, So
en Dabei können wir uns auf die Glieder mit und
eh, schreibt sich die infinitesimale Transformation ell(ui)(4 ½„½ 33 1. XE)(G1 1 4„4 45 65 ps) 1.. n libt Du Piz Pass PG7 DS4s D 23 X7 Sg. 1
Dabei ist die alternierende Summe über die Zahlen 1, 2... 8 und über die Zahlen 12.. 8 unabhängig voneinander zu bilden.
4 Führt man die Rechnung durch, so ergeben sich, wenn . f 1 X f= X ki, 3 ist, für die e&, die folgenden Werte: 1 1U 2 . 1 1 2 3 ler- 1— XZ 23 . 2— Xa XI— X— XG WIT 3— 2X.— Xs 1 4 †xr—— 5— Xg— 6 e XZ 7+ 2.— ud 8+ x6 Xa— Im allgemeinen wird somit die Kovariante 5. Grades acht unabhängige infinitesimale Transformationen liefern. Um die Zusammensetzung der Gruppe zu bestimmen, ver- fahren wir folgendermaßen: len Wenn die Konstanten ciεν(i,, S= 1,2.. r) die Relationen (4) cigs+ c.= O(ius= 1,2.. r) und
(B) 2(Lir ces— C, Cos ei⸗ GCs]= O0(i,, 8S= 1,2 1) 21

— 24—
erfüllen, so Erkonen die r infinitesimalen Transformationen
df =e) 1X Jx,, e.T)
2, j eine lineare homogene Gruppe mit der Zusammensetzung
1— r = Dcis X⸗f(i, w= 1.. y).
[So z. B. Sophus Lie: Transformationsgruppen I S. 296 Theorem 52.] Nun hat Engel(Leipz. Ber. 1896, S. 87 f.) den Satz bewiesen: Ist cis+† c.s= 0, und läßt die infinitesimale Transformation df 5 EXe f= LCineXj S dXn die Form
1. 5 Ci Xj Ya U j³
invariant, so erfüllen die c. die obigen Relationen B.
In unserem Fall sind ie cis gegeben durch
⸗*. f= Lcis X E, O1—
1 ᷣα/⁸
0f ( 494)(42 62„ s 63 94 X)(61 71 73 64 71 95 5 N5)⸗
und es ist offenbar e,= O. Cins 218 Da aber anderseits 2, NX, f die Trilinearform invariant
läßt, so bleibt auch die Form F invariant, so daß die cas auch die Bedingungen(B) erfüllen.
Die cus sind ganze homogene Funktionen 5. Grades der Pixj und befriedigen die Relationen(A) und(B) identisch.
Wir haben also hier eine independente Darstellung der all- gemeinsten Form der Zusammensetzung gewisser achtgliedriger
Gruppen. Es seien Y, f die infinitesimalen Transformationen, die durch die Kovariante dritten Grades definiert wurden. LW.⸗ Nef=(ar u)(a* W)(61)r 62 72(6 63 v X) Dann bleibt bei der Transformation X, f die Schar der in- finitesimalen Transformationen Y f invariant.

ion
— 25— Jetzt bilden wir V, W.(D⸗ N)=
(ar u)(ae V)(s W)(6s vs 4.4 54 v4 s 65 X)(61„1 be„* vs ℳ„0)
—(aru)(. V)(as W)(62 v2 44 64 4 16 55 X)(61 v1 bs v4 v 1. 66„0)
= Sas— Oas.
Ließe sich(Y.Yh) linear aus N ableiten, so müßte sich Ssg— Sao auf die Form bringen lassen
(ar u)(a² V)(as W)(61 71 4 4 4 45 35 X)(62„2 68 ps p 2 66„e) Sis. Es müßte dann eine Relation der Art Sag— Se= ² 818 bestehen.
Daraus würde aber nach der Tafel auf S. 21 folgen, daß
auch Snh S= Ss Sei, d. h. es müßte 818 So= 8n Sein.
Versucht man aber die auf S. 22 ff. aufgestellten Gleichungen aufzulösen, so erkennt man, daß sich die S nur 5-parametrisch darstellen lassen.
Man erhält nämlich:
S1=— 16 a,— 2 a,— 2 as+ 22 b. Sis=— 2 ag— 2 ag+ 2 b. 2= Sa e e 1 bn 19S 32
3=— 2 a— 16 a— 2 az+ 22 b, 20= 2 a1+ 2 bz 1= 21 39, ae l h. e 23
5=— 2 a1— 2 a2— 16 as+. 22 b3 2= ai+ as+ as 6= a äae Sa l1 b;. as. 2 b. 7=— 22a,+ 2 a,+ 6 b.— 6 b 24= 2 al+. 2 b. 8= a e b. 3 b) eee a. 3 b⸗ 9)=— 2 21 2 9 br= 6 b. 26= 2 bz
10-— 21+ azs*9d 3 b.— 3 b, 2,= 2 aa+. 2 az. 2 b 41 2 a. 3 b. 3 b; 2s= 2 as- 2 b 12=— 22as+ 2 as+ 6 bz— 6 bz 2=— 2 a— 2 as+. 2 b. 13 2 ai+ 2 a.+. 2 b; 30= 2a2+† 2 b;
145 A1 31=— 21+ 2 b
1 5 2 as- 2 bz 2 2 b
16 2 a † 2 as+. 2 bz 33=— 2 au— 2 a⸗* 2 b; 4 2 as+ 2 b. 34= 2 bz
Dabei ist noch b.+ b.+ b.= O. Eine Relation der gewünschten Art ist also nicht vorhanden.
———

— 26—
Die durch die Kovariante 3. Grades bestimmten infinitesimalen Transformationen erzeugen somit keine Gruppe.
Führt man auf das Punktsymbol der Kovariante 3. Grades das durch die Form 2. Klasse bestimmte Polarsystem aus, So kommt man zu einer Trilinearform vom 9. Grad (au u)(aa V)(as W)(61 71 62„2 74 34 v4 2s)( 16 56 76 d- 67 s)
(65 ys y: 68 Ps 9 65 Y)
Eine solche Kovariante kann, da die Invariante 8. Grades identisch verschwindet, nicht direkt mit der Trilinearform 1. Grades in Beziehung gebracht werden.
Da es im ganzen 115 und die daraus durch Vertauschen von uvw hervorgehenden Kovarianten 9. Grades gibt, wurde auf eine nähere Untersuchung verzichtet.
Der Zusammenhang der beiden Kollineationen 3. und 5. Grades ist durch eine Kollineation 8. Grades gegeben, die aber nach dem Früheren(S. 14) identisch verschwindet.
Ist ⸗ kiu, die Kollineation 3. Grades und b⸗ Xxiu, die
vom 5. Grad, so gilt identisch b= O.
Eine weitere Bedeutung der Kovariante 3. Grades ergibt sich aus der folgenden Bemerkung, die ich Herrn Prof. Engel verdanke:
Versucht man die Gleichung(ua)(v5)(wy)= 0 für gegebenes u und bei beliebigem w zu befriedigen, so hat man eine Lösung v= u.
Es verschwindet somit die Determinante der X pujus (, j= 1,2 8). 1
Da sie aber schiefsymmetrisch ist, verschwinden sicher auch alle siebenreihigen Unterdeterminanten.
Es existiert folglich noch eine weitere Lösung. Diese wird geliefert durch
(uai)(da*)(61 62„* 63 X)=(VX).
Denn damit wird
(ua)(VS)(Wy)=(u i)(u ag)(ua 3) Ga p2 Gsys 14 64 74 61)(Wyu).

ſdes
ach
— 27—
Dies ist aber gerade die Größe— P., wenn man darin die drei ersten Ebenen gleichsetzt. Dann verschwinden aber alle P... P,
Die Kovarianten 7. Grades mit drei Punktsymbolen. Zum Schluß sollen noch die niedrigsten Trilinearformen in Punktsymbolen untersucht werden. Diese sind vom 7. Grad in den pixj. I. XyZ in einer Zeile:
Li Le 3 11 X F 2 2 2. 1 X N 2 2 3 2 1 1 1 3 2 1 2 1 2 3 1 1 1 2 3 La 2 1 1 X Y 2 1 3 1 1 2 2 3
Aus L 2,2 ⁄ folgt L= 0 „„ 142 2,3716„= 0 „ 1 ½ 2,5/3„ 14.= 0. II. xy in einer Zeile:
M Ma 3 2 1 X y 3 2 1 X y 1 3 2 1 2 3 2 2 1 2 3 1 1 1 2 3 M M. 3 1 11 X y 2 2 1 X 2 1 3 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 1 1 3 Mo 2 2 1 1 X y 1 2 3 1 2 1 2 2 3 M.= 2 M, aus M 2,%½ 2 M.=— M⸗„ M, 2,4/3 2 M.— 2 M.,+ Li„ M. 1,2/2 2 M.= M. M.„ Al, 1,2 8 M.= M.,+ L.„ M. 1, L 2

— 23—
Daraus folgt M= M.= M.= M.= M,= 0. Dasselbe gilt von den daraus durch Vertauschen von XyZ her- vorgehenden Kovarianten.
Ni* Na* 3 3 2 2 3 2 1 1 3 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 3 Na* Na Na 3 1 3 2 11 3 21 1 1 1 3 2 2 1 3 2 3 2 1 1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 Na Ns No* 3 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 2 3 1 1 2 1 2
(In der 1. bzw. 2., 3. Zeile ist xX bzw. y, z zu ergänzen.) Bei Vertauschen von x y z gehen die Kovarianten folgender- maßen ineinander über: T II III IV V VI
1 1 3 3 6 6 2— 8 2 3 3 6 6 1 1 3 4—5 4 4—= 5 A 8 ⁴ 5—4 6 3 1 6 3 1 e, e 8 8—= 2 2
9 9 9 9 9 9
Auch hier gehen wir nur von den angemerkten Kovarianten aus.
Aus Relationen der Art N. 2,9/⁄1, 3,10/⁄1, 3,10%½ erkennt man, daß die Größen, die durch Vertauschen von Xx mit y, X mit z und y mit Zz entstehen, gleich den ursprünglichen Kovarianten sind, da alle M verschwinden.
Man hat somit nur 4 verschiedene Kovarianten
N1 ie Na— N Na—— N.— N. N. N,
Iwisch
v verscl zurücl
ſ in Pu
Das 2 2¹
Dam-
Dabe
Forr SI!
aus, Spal line

ten
lan, t 2 ten
ſher-
Zwischen ihnen erhalten wir die biei wen.
Ni=— 3 N. 5— N aus N. 1,3⁄½ 2 Næ= Na„ NA 2 543
(Na= 2 N.) Na 2 ,3⁄½)
N.= 3 No„ N. 2,6%
Die Auflösung ergibt N=— 6 N, N.= 3 N, N.=— 3 N.
Während alle alternierenden Trilinearformen vom 7. Grad verschwinden, lassen sich die symmetrischen auf eine Kovariante zurückführen.
Um eine alternierende nicht verschwindende Trilinearform in Punktsymbolen zu erhalten, muß man bis zum 15. Grad gehen.
Nun hat F. Engel den folgenden allgemeinen Satz bewiesen:
Genügen die ci, den Bedingungen(A) und(B), und be- trachtet man Cins iY„ Us als eine Kollineation in X und u
1208 . 21s Xi us, So ist die Invariante Dals àsi eine quadratische Form 18 in y Cigs Caji Se Fi⸗ 18
Das zugehörige Polarsystem ordnet der Ebene u den Punkt
Z Zu uij—(Cirs Cs) Li.
is
Damit geht c Xi y, us über in eine Trilinearform 1 Q8 2 Ams Xi Ye Zs. inε⁸
Dabei sind die Ao 24 in allen drei Indizes alternierend.
In unserem Fall sind die c.s vom 5. Grad, die quadratische Form somit vom 10. und die alternierende Form in Punkt- symbolen vom 15. Grad.
Führt man darin auf jeden Punkt das Polarsystem 6. Grades aus, so gelangt man zu einer Form 33. Grades, die nach Ab- spaltung des Quadrates der Invariante 16. Grades mit der Tri-
linearform 2 Da l ve W identisch werden muß. i⸗c

— 30—
Der Satz, daß die Ans alternierend sind, findet sich übrigens, wie ich nachträglich erfahre, schon in der Abhandlung von E. Cartan und J. A. Schouten,
On the Geometry of the Group-manifold of simple and semi- simple groups.
Akademie zu Amsterdam, Proceedings XXIX. Nr. 6, S. 809, 810; 1926.
10 am 23. Kämme schule ich na der M. Besuch meine ich wi 8. Ser
I gehörf Fron Von Cour Wiee

Lebenslauf.
Ich, Wilhelm Kämmerer, evangelischen Bekenntnisses, geboren am 23. Juli 1905 in Büdingen als Sohn des Lehrers Wilhelm Kämmerer, trat Ostern 1914 nach dreijährigem Besuch der Volks- schule in das Wolfgang Ernst-Gymnasium in Büdingen ein, das ich nach 9 Jahren mit dem Abitur verließ, um mich dem Studium der Mathematik und Physik zu widmen. Nach 2 semestrigem Besuch der Universität Gießen setzte ich 3 Semester hindurch meine Studien in Göttingen fort. Die 3 folgenden Semester war ich wieder in Gießen immatrikuliert, wo ich mich am Ende des 8. Semesters— W.-S. 1926/27— zur Staatsprüfung meldete.
Im Laufe meines Studiums habe ich die folgenden Professoren gehört: 1. in Gießen: Engel, Schlesinger, Falckenberg, Eromme, König, Elbs, Jaffe, Cermak, Messer, von Aster, Raab; 2. in Göttingen: Hilbert, Runge, Courant, Landau, Walter, Ostrowski, Ambronn. Wiechert, Born, Franck, Reich, Goetz.

Über gewöhnliche Differentialgleichungen, die lineare homogene Form erhalten können
2
Dr. Walter Neumer

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
mit tätiger Beförderung der Giessener Hochschulgesellschaft herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XVI. Heft
Uber gewöhnliche Differentialgleichungen, die lineare homogene Form erhalten können
von
WALTER NEUMER
geboren in Mannheim
Giessen 1929
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstraße 16
Preis 2,50 RM.

Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht
Genehmigt durch die Fakultät am 22, Februar 1929
Berichterstatter: Dr. Engel Dr. Schlesinger

§ 1. § 2. § 3.
§ 4. § 5. § 6.
§7.
Inhalt.
Erster Abschnitt. Allgemeine Theorie.
Seite Die Transformationsgruppen der gewöhnlichen Differentialgleichungen, die lineare homogene Form erhalten können........... 1 Die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die vermöge einer Punkt- transformation lineare homogene Form erhalten können...... 5 Übertragung der Betrachtungen des§ 2 auf Berührungstransfor- mationen........................ 12
Zweiter Abschnitt. Anwendung der Theorie auf spezielle Fälle.
Die gewöhnlichen Differentialgleichungen dritter Ordnung, die durch Punkttransformationen lineare homogene Form erhalten können. 20 Die gewöhnlichen Differentialgleichungen dritter Ordnung, die durch Berührungstransformationen lineare homogene Form erhalten können 29 Einiges über die gewöhnlichen Differentialgleichungen vierter Ord- nung, die durch Berührungstransformationen lineare homogene Form erhalten können..................... 41
Herleitung des Systems(64) aus dem System(61) für n 5.... 45

Seit denselben leitungel Auf der 3.. dieses S geschrä treſfend von mil (18) nD Berühr Von Wi
1 tionen (1241 niehts auf ZN von de
(114
Die R Wohlb die al

Nachtrag.
Zu§ 2. Seite 10, Zeile 11 von oben, muß es statt:„... überall denselben...“ so heißen:„... überall dort, wo sämtliche Ab-
leitungen(18) uneingeschränkt variieren können, denselben...“. Auf derselben Seite, Zeile 14 von oben, ist an die Stelle von „.. gestatten.“ zu setzen:„.. gestatten, wenn vermöge dieses Systems die Variabilität der Ableitungen(18) nicht ein- geschränkt wird. Diese Voraussetzung ist erfüllt, wenn das be- treffende System in mehrere getrennte Differentialgleichungen von mindestens erster Ordnung zerfällt, da ja in den Ableitungen (18) nur die Veränderlichen xæ, vorkommen.(Im Falle der Berührungstransformationen müssen diese Differentialgleichungen von mindestens zweiter Ordnung sein; siehe unten§ 3, Ziffer 4.)“
Zu§ 5.
1. Zu den Systemen(114) und(118) fehlen noch zwei Rela- tionen. Die beiden Integrabilitätsbedingungen((124 a), U) und ((124 b), U)(die Bedingung((124 b), U] liefert demgegenüber nichts Neues mehr) führen nämlich in dieser Reihenfolge noch auf zwei neue Relationen zwischen den Größen, A, B, C, D von der Form:
W) aeh † b00 4+ b DOr+ b6 Co— b B) 1=0; da X eo ²u † G.+ àeν Deν ae Ce 1ℳ B) 2 4+
WID0 Q₰ s D ℳ s Ce D es Cie † + e B.+ ed 4 0+ es B 0) 1=0.
Die Koeffizienten a, 50, c, d, el sind noch unbekannte, aber
wohlbestimmte Rationalzahlen. Daß die Relationen(114, VI, VII die angegebene Form besitzen müssen, zeigen einige einfache
51
(114)

Überlegungen, auf die hier nicht eingegangen werden soll; eine direkte und vollständige Berechnung dieser Relationen kommt praktisch nicht in Frage.
Die Substitutionen(144),(145) verwandeln die Formeln (114, VI, VII) in:
(VI) 51— ˙0)= 0;
(VII) S1— d Cν+‿— edG C.+ ed 4 D+ e B0) 6= 0. Das Wesentliche an den Gleichungen(114, VI, VII); (118, VI, VII) ist, daß sie vermöge 1= 0; 5= 0 von selbst be- stehen.
Die Relationen(114, VI, VII), in denen jetzt o nach(113) gleich 4ϑ zu denken ist, sind den Relationen(114, I— V), die Relationen(118, VI, VII) den Relationen(118, I— V) hinzuzu- fügen. Auf den Seiten 31, 32 muß es daher in den Nummern 2); 4) heißen:„(114,— VII)“ statt„(114, I— V)“ und„(118,— VII)“ statt„(118,— V)“.
(118)
2. Seite 39, Absatz 2 von unten, wurde gezeigt, daß die Relationen al zu dem System(122) eine Folge der Bedingungen Fgl(112) für die Differentialgleichung(110) sind. Das Umge- kehrte muß aber auch gelten.
Die Relation(141) nimmt nun vermöge(133, IV),(134),(135)
(VVergleiche dazu die Herleitung von(142) aus(141)) die Form an: (138) 40— 3 ½α 0+3„v 9— 6= 0. Aus(138⁷) in Verbindung mit(137),(138)(siehe Seite 39, Absatz 2 von oben) ergibt sich nun, daß auf Grund des Verschwindens von 7, also wegen(140),(131) auf Grund der Relationen(II auch die Gleichung= 0 besteht und somit tatsächlich alle Gleichungen(112) erfüllt sind.
Wird o durch(113) definiert gedacht, so folgen aus der Gleichung(138]), die jetzt als Folge von(114, III— V) anzusehen ist, und aus(114, I, II) noch die Beziehungen:
(114)(I1) 1 6— Al= 5—*2= 0.
52
linear werden. 1. Gruppe 10) Die ti mit Gt format
weitere der Fo 22)
enthalt
V vom T. 8)
D übrigen invarie 4)

poll; eine
u koumt V
Formelu
O ο=. Erster Abschnitt. VW; Allgemeine Theorie. elbst be-
§ 1. Die Transformationsgruppen der gewöhnlichen lich(113 Differentialgleichungen, die lineare homogene Form erhalten können.
=VI die
u Es mögen zunächst die gruppentheoretischen Tatsachen zu-
ern 2. 4 sammengestellt werden, von denen im folgenden ausgegangen werden
VvI« wird. In Betracht kommen dabei nur Gruppen, die von endlich vielen linear unabhängigen infinitesimalen Transformationen erzeugt werden.
daß die 1. Die intransitiven Gruppen der Ebene sind ähnlich mit den
ingungen Gruppen der Form
s Umge-(1) I G, J G,..„ r w. D 9. Die transitiven imprimitiven Gruppen der Ebene sind ähnlich
34)(135) mit Gruppen, die außer einer Reihe von infinitesimalen Trans-
Form an: formationen der Form(1) noch eine, zwei oder höchstens drei weitere linear unabhängige infinitesimale Transformationen von
Absatz 2 der Form
windens(2) E Gp+ G. 9)&᷑
men C.I enthalten.
lich alle Von den Gruppen(1) interessieren uns hier die Gruppen vom Typ
aus der 83) Xi G) G,..„ Xn G)—; N9.
2zusehen Die Größen Xi,..„ Xn müssen linear unabhängig sein, im
übrigen sind sie beliebig wählbar. Die Gruppe(3) enthält die invariante Untergruppe (4) X T1,„ Xn-.

Es möge mit
65) Ve an-1 E) u.. au(y+ a 9= O die eindeutig bestimmte gewöhnliche lineare homogene Differential- gleichung nter Ordnung bezeichnet werden, von der XI,..„ Xn ein fundamentales Lösungssystem ist. Dann repräsentiert die Gleichung(5), wenn in ihr„ durch y ersetzt wird, zusammen mit der Gleichung= O die Definitionsgleichungen der Gruppe(4). Daher bleibt die Gleichung(5) invariant gegenüber der Gruppe (4), und, da(4) invariante Untergruppe von(3) ist, auch invariant gegenüber der Gruppe(3).
Zwischen den Differentialgleichungen(5) und den Gruppen (3) läßt sich demnach eine eineindeutige Zuordnung herstellen.
2. Mit den Gruppen(3) als intransitiven Untergruppen lassen sich die folgenden transitiven imprimitiven Gruppen bilden:
(6) J Dh..» Xa 2; N g;&(M) P(æ. M 9,
() Xr 9,..„ An g; 9 9; kr() P L= mn(. o) 9;&r(M) P= 72(a,) g: XI9,„ An 9; 9;& G p+ m1(G. y g;& G p † 2(G, y)—; S2 p+ v(, h) 9.
Diejenigen unter den Gruppen(3), die sich zu einer Gruppe(6); (7);(8) ergänzen lassen, sind Gruppen von einem speziellen Typ (3), den wir entsprechend mit I; II; III bezeichnen wollen.
Die Gruppen(6),(7),(8) sind ähnlich mit den Gruppen
(8)
(9) X 9..» Xz; 72. P. d X, u 69),=+ cy X,(i⸗= 1,..„ n); dæ 2) (10) 9, Ä9, E 2,.„ Se g. 7 9; P. Ap; (11) æ g,„ an g; gg; P ep; a o= nn 1) 29,g.
Die Gruppe(10) ist Untergruppe der Gruppe(11). Daraus folgt, daß die Typen II und III der Gruppen(3) zusammenfallen. Die Gruppen(3) vom Typ I sind ähnlich mit den Gruppen ((3),(9)]), die Gruppen(3) vom Typ II sind ähnlich mit der Gruppe
(12) G, eo, o d,„ enl; h. 2

aralls allen. ppen uppe
—
Die Gruppe(10) enthält die 1 Untergruppen
(13) 9,æ,..„ T1;„;(ei er D) p; die Gruppe(11) enthält die ⁴ Untergruppen
(14) G..„ n1 g; g;(ei er æ+ es e) p+† es(n— 1) æg. Die Verhältnisse e,: eg: eg sind dabei ganz willkürlich. Jede der Gruppen(13),(14) ist von der Form(6) und somit mit einer der Gruppen(9) ähnlich.
Wir haben demnach das folgende Kriterium dafür, ob eine Gruppe(3) zum Typ I oder II gehört: Wenn sie in nur einer Gruppe(6) als Untergruppe steckt, ist sie vom Typ I; steckt sie in zwei Gruppen(6) als Untergruppe, so steckt sie auch in ² Gruppen(6), und sie kann zu einer Gruppe(7) und sogar zu einer Gruppe(8) ergänzt werden.
3. Die den Gruppen(63), 69) zugeordneten Differential- gleichungen(5) besitzen konstante Koeffizienten, also die Form
(15) Dla) Je o, hn) e.. eh. Cr. 1. 99,, und umgekehrt genügen je„ linear unabhängige Lösungen einer Gleichung(15) einem Differentialsystem(9)).
Für die Gruppe(12) nimmt die Differentialgleichung(5) die Form an (16)„)= 0.
Die Gruppen((3),(9“);(12) sind invariante Untergruppen der Gruppen(9);(11). Daher gestatten die Gleichungen(15);(16) die Gruppen(9);(11).
Für n= 3(für ⸗ 2, wenn Berührungstransformationen ausgeschlossen werden) ist die größte Gruppe, die von der Diffe- rentialgleichung(16) gestattet wird, die Gruppe(11). Für ⸗= 2 ist die größte Gruppe, der gegenüber die Gleichung(15); 6) in- variant bleibt, wenn diese nicht die Form(16);(15) erhalten kann, die Gruppe(9);(3).
4. Wir denken uns auf die Differentialgleichungen nter Ordnung (5),(15),(16) sowie auf die(◻‿˖ 1)-,(+ 2)-,((+ 4)-gliedrigen
3

Gruppen(3),(9),(11) die allgemeinste Punkt- oder Berührungs- transformation ausgeübt. Die resultierenden Differentialgleichungen und Gruppen bezeichnen wir der Reihe nach mit Don*, DrGy, Dm*; Gn 1, Gn.2, Gn.4.
Jede Gruppe G,+2; Gna+4 enthält eine invariante Unter- gruppe Gn+ 1, durch die sie eindeutig bestimmt ist. Eine Gruppe Gn †1, die ähnlich ist mit einer Gruppe(3,(9));(12), bezeichnen wir mit GIi; Gal 1. Aus Ziffer 2 folgt: Eine G„+ 1 ist dann und nur dann eine Ga1, wenn sie Untergruppe von mehr als einer Gruppe Ga+z ist. Dann ist sie auch Untergruppe von ² Gruppen Gn+2, deren Transformationen insgesamt die Trans- formationen einer Gruppe G,+4 ausmachen.
Aus Ziffer 1 folgt, daß jede Differentialgleichung D) eine Gruppe G,+ 1 gestattet und umgekehrt. Wir wollen nun sagen, die Differentialgleichung Dν) gehöre zu einer Gruppe Ga+ 1, wenn sich das Paar D0ν, G.+ 1 simultan auf die Form(5),(3) trans- formieren läßt, wobei die Gruppe(3) und die Gleichung(5) einander im Sinne von Ziffer 1 zugeordnet sind. Dann gehört zu einer ge- gebenen Gruppe G,+ 1 nur eine einzige Gleichung D*); und eine Do ist dann und nur dann eine Dré*; Dnh, wenn jede Ga+1, zu der sie gehört, eine G. 11; G„ I ist. Jede Gleichung Droν; DnG*) gestattet nach Ziffer 3 wenigstens eine Gruppe G,+e; Gn+ und umgekehrt. Damit eine Gleichung Du) zu gerade einer Gruppe G, 1 gehört, ist notwendig und hinreichend, daß ihre größte Gruppe eine Gruppe Ga1, Ga† oder G,+ ist. Dies ist also nach Ziffer 3 der Fall für a ⸗= 2 bei Gleichungen D0*, die keine DnG sind, und für alle DnC mit n* 3(mit a ⁵ 2, wenn man sich auf Punkttransformationen beschränkt). In allen anderen Fällen gibt es zu einer D) mehr als eine G„+ 1, zu der sie gehört.
5. Die linke Seite der allgemeinen Gleichung Dun) ist eine ganze rationale Funktion Fn von„,„ 1),.. p“, und, wenn nur Punkttransformationen in Betracht gezogen werden, auch von. Zwischen den Koeffizienten der Funktion EF bestehen
4
i
gewſis DH' el wöhnl For In= Rl 1 auf d
Die?
717)

gewisse Systeme Rn, Enl, Fenll von Relationen, je nachdem die Day eine allgemeine Dn) oder eine Di, DnG*) ist. Soll eine ge- wöhnliche Differentialgleichung nter Ordnung lineare homogene Form erhalten können, so muß sie sich zunächst in der Form
„= 0 schreiben lassen. Dann sind die Relationen R,; Fl; FEenll notwendig und hinreichend dafür, daß die Gleichung Fe= 0 auf die Form(5);(15);(16) gebracht werden kann.
82. Die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die vermöge einer Punkttransformation lineare homogene Form erhalten können.
1. Die Definitionsgleichungen der Gruppe(3) lauten:
(a)= O;(b) hæy= 0;(C) 7„= 0; 0n 02— 1 (d) 7=— a, Se t— aon* au hnv.
Unabhängig sind also die+☚½˖ 1 Ableitungen:
O 17 (18) de, 7, he,..„ Jen 1.
Die Gleichung(17 d) ist für„= y offensichtlich erfüllt; für 1
y= ex Xx(w)(unter el,.., en sind n willkürliche Konstanten 7—1
zu verstehen) ist sie nur eine andere Schreibweise von(5). Wenn auf(17) die allgemeinste Punkttransformation
ausgeübt wird, erhalten wir die Definitionsgleichungen der all- gemeinsten Gruppe G,+ 1, die mit der Gruppe(3) durch Punkt- transformationen ähnlich ist. Das neue System muß, ebenso wie(17), aus einer Gleichung Oter, zwei Gleichungen 2ter und einer Gleichung nter Ordnung bestehen.
Bei der Transformation(19) sind nun die beiden Fälle

—
(19 a) Xr 0, (19 b) Xr= 0, Xy † 0 zu unterscheiden. Dem Falle(19 a) entspricht das System
((6) 5= 11; (b) væ= q1 eæ 61, v1 e+ d11; (20)(c) vp= 2 hææ+ 62* V2 a † 2 7;
dn 0n 1„ (d) Sar a.. ene, 3, ne 5
wobei die neuen Veränderlichen wieder mit æ, g statt mit x, y bezeichnet sind. Im Falle(19 b) haben wir das System
(a) 7= 0; (b) Exn= a1&, B1 Ex+ p&*ℳ 918; (21)(c) Sææ= a2 S„+ H2&r † 7„+ 92 F;
n& 0n- 1& (d) dgn e S zut, 3. E T e.
Das System(21) geht aus(20) durch Vertauschung von E und y, æ und„ hervor, wenn nachträglich 4= 0 gesetzt wird. Wir können auch allein durch das System(20) die Definitions-
gleichungen der G,+ 1 repräsentiert denken, wenn wir 1= ◻ zulassen; denn wegen
liegt dann in der Tat(19 b) vor, so daß sich(21) aus(20) durch den Grenzübergang 4— herleiten lassen muß. Wir behandeln zunächst das System(20); seine Koeffizienten bezeichnen wir kurz mit O,. 2. Die Koeffizienten von(20) müssen noch gewisse notwendige und hinreichende Bedingungen erfüllen, damit durch(20) auch wirklich eine(n+ 1)-gliedrige Gruppe definiert wird. Zunächst natürlich die Integrabilitätsbedingungen. Sodann die Bedingungen, 6 die aus der folgenden Forderung hervorgehen: Wenn&, yi;&?, „ Zzwei Lösungssysteme von(20) sind, die die infinitesimalen
6

Transformationen X Q„‚: 8 ᷣ̃+„ε ¶ꝗ(= 1, 2) bestimmen, so soll auch (23) 8s= X&2— XLZ E1,= XI 7— XL 11 ein Lösungssystem von(20) sein.
Wir bezeichnen mit& irgendeine der beiden Größen&n, w- (i= 1,2) und mit 0, 0 zwei beliebige Differentiationen nach æ,„ von beliebiger Ordnung. Dann führen wir die Abkürzung ein:
(24) 0 G 0&— O& J,61=(0 5 05⁵). Für die Größen(23) bekommen wir dann: (25) Es=(EEæ)+ h 2), Ia=(Ena) †(n no).
Die Größen&s,„ sowie ihre Ableitungen sind vermöge(25) und(20) alternierende Bilinearformen in den zwei Reihen von willkürlichen Ableitungen
(26) Teo, We, eee...— 1, 2),
und als solche sind sie lineare homogene Funktionen L(OC,⁹) der Klammern(d ⁶), die sich aus den Ableitungen(26) bilden lassen. Die Koeffizienten der LLCOC⁹) setzen sich ganz und rational aus den G, und ihren Derivierten zusammen.
Mit den Größen ,, w sind die in(20) vorkommenden Diffe- rentiationen vorzunehmen und die erhaltenen Ableitungen in(20) einzusetzen. Von den in jeder Gleichung(20) links und rechts resultierenden Ausdrücken L((dενυ⁷ sind die Koeffizienten der einzelnen Klammern(dG°ν) gleichzusetzen. Die sich dadurch ergebenden Relationen zwischen den O, bilden zusammen mit den Integrabilitätsbedingungen das System von Relationen, das hinreichend und notwendig dafür ist, daß(20) eine Gruppe Gn+ 1 definiert. Dieses System bezeichnen wir mit Qy.
Soll die durch(20) definierte G+ 1 eine Ga 1; G1 sein, so müssen speziellere Systeme al; Qnll von Gleichungen zwischen den G, und ihren Derivierten an die Stelle des Systems Qa treten.
Die Bezeichnungsweise(24) läßt sich ohne weiteres auf be- liebige Definitionsgleichungen endlicher Gruppen übertragen.

3. Wir versuchen nun, die durch(20) definierte G„+ 1 zu einer G+ 2 zu ergänzen. Die Definitionsgleichungen der Gn+2 müssen außer den Ableitungen(18) noch E als unabhängige Ab-
N leitung enthalten. Es müssen somit x,&y, ær, Jyv, 22 durch die unabhängigen Ableitungen ausgedrückt erscheinen. Da die Gn+ 2 die Untergruppe(20) enthalten soll, so müssen die De- finitionsgleichungen der Ga+ 2 vermöge der Substitution= A„j in solche Gleichungen übergehen, die eine Folge der Gleichungen (20) sind. Diese Überlegung liefert das System:
(a) Er= Ahæ †f vrE+f(Ae— 4„1) ¹; (b)&„)ßü= A„+ vr E+(,— 1*) 1; (cC) Hæy= au hæa 61 1„+ Y1 Iæ* 81 E* 641— 1ei) 7;
(d) voᷣ)y= a2 her 62 v2 æ+&2+(d2— 122) 7; dan d2⸗ 72 (e) Gru e en. ehe,. es) es*
Die in(27) neu auftretenden Größen»i, ve, ei,&g, és bezeichnen wir mit O,.
Zwischen den Koeffizienten von(27) besteht ein System 65, von Relationen, das die Integrabilitätsbedingungen sowie die Relationen umfaßt, die sich aus der Forderung ergeben, daß die durch(25) erklärten Größen s, dem System(27) genügen sollen.
Das System O, muß natürlich die Relationen Q, mitum- fassen. Aber außerdem enthält O, noch Gleichungen, die die O, und 6, miteinander verknüpfen. Nach§ 1 Ziff. 4 ist nun die durch(20) definierte G+.1 dann und nur dann eine G 11,
wenn sich aus diesen Gleichungen die O, œ⁸⁵-deutig durch die O bestimmen lassen.
Die Forderung, daß die O, œ-deutig(oder überhaupt mehr- deutig) durch die G, bestimmt sein sollen, muß also auf das System Qall führen, während die Forderung, daß die O, über- haupt durch die O, festgelegt sein können, einerlei ob eindeutig oder mehrdeutig, zu dem System ul führen wird.
8

4. Wenn wir die zu der durch(20) definierten G, †1 ge- hörige Der) finden wollen, müssen wir die G,+. 1 zu einer Gruppe Gn werweitern durch Mitnahme der Ableitungen J, A..„ Nl). Die allgemeine infinitesimale Transformation der G be- zeichnen wir mit
.„ (28) Xw †=&p A,'C..+ Nla) 900)(40= 85).
Die Größen„) sind aus der Rekursionsformel
„ T1y)(- 1) A (= Ane„ 2. (29) 7 2 9J. zu berechnen. Für 1=1 erhalten wir (30) 7’'= Iæ Ch„— Sa) 9 yP—„ 9*.
Die Größen„) sind vermöge(29) und(20) linear und ho- mogen in den Ableitungen(18); wir dürfen also setzen: 5 0n— 1 61) X f== n Vf YofH ne Tif næν Eef. Jn1 Ve-iß 6¹) 1 1= 4 B4+ CG K.: t. Cng, Fi= 4% † Ba CiC...+. Cm 40 G= 0, 1, n— 1). Die Matrix der(π+̃ 1)+ 2) Größen 4, B, C ist wegen (29),(30),(20 a) gleich
0 0O AA(1 259) GC......... Cn
4 1 C1 Coe......... Con
0 0 1—12 e....... Cln G32) 0o o Ar. 6„F
0 0 0 0... Cn-1, 72—1 O-1, 71 denn in„G treten nach(29) höchstens Ableitungen iter Ordnung von, y auf.
Es seien nun
XVn f=&£ m. 1 T. wen gn(= 1,., n+ 1) irgendwelche+ 1 linear unabhängige infinitesimale Trans- formationen der Gruppe Opr, so daß die allgemeine infinite-
simale Transformation dieser Gruppe durch

—
—
——
—
—,—
—
n
n+ 1
63) Xw= I er Xuf 5— 1
dargestellt wird(ei,..., en+. 1 sind willkürliche Konstanten). Die Matrix der Größen&,,„,,),...,„*ον bezeichnen wir mit (34)(& r... v 9); ihr Rang bleibt bekanntlich den Transformationen der Gruppe 60,1 gegenüber invariant.
Die beiden Darstellungen(31) und(33) von Xrν † sind in jedem Punkte(x, 9, Ö,..., 9*) einander äquivalent. Daraus kann man nicht schließen, daß die infinitesimalen Transformationen (31) der Gruppe Ga angehören, wohl aber ist zu schließen, daß die Matrix(32) überall denselben Rang besitzt wie die Matrix(34). Daher muß das System von Gleichungen, das ent- steht, wenn alle h-reihigen Determinanten der Matrix(32) gleich Null gesetzt werden, die Gruppe G gestatten.
Die Matrix(32) enthält zwei von Null verschiedene(+. 1)- reihige Determinanten, die den gemeinsamen Faktor
(35)(1— 19) 2 besitzen, wobei
i e. Cn 1 Gl⸗
(36) 0 O22 c............ C2n— An 0 0......=!, 71— 1 Ge=d n
gesetzt ist. An enthält seinerseits noch eine gewisse Potenz von 1— 1 als Faktor: 4,=(1— 4 9%)„ An.
Die invariante Differentialgleichung nter Ordnung 37) 4⸗—0 ist nun die gesuchte zu(20) gehörige invariante Deh. Wir können uns davon direkt überzeugen, indem wir die Defnitions-
gleichungen(20) in der speziellen Form(17) zugrunde legen. Dann ergibt sich aus(29):
10
38 Nach 6
39)
Hier ist der erst Vorzeic
AL
40)
ist ein defnien Zerleg
b
mit F Deriv vom identit 641) Diese Koeffi nehme Systel lich s plicit dei Ii ganze

di S+ vp v9(E== 1, 2...).
Nach(17ͤ) erhalten wir für die Determinante(36): 9' 9.. 96u!)„0)+ ao 9
(38) 70
1 O.. 0— a. (39) 45,= 0 1 0— a. 0 0 1— an— 1
Hier ist also= 42. Wenn wir die Determinante(39) nach der ersten Zeile entwickeln, erhalten wir in der Tat bis auf das Vorzeichen die linke Seite der Gleichung(5).
Auch
(40) 1— 419= O oder 7= 1
ist eine invariante Differentialgleichung der Gruppe(20); sie definiert eine Imprimitivitätszerlegung der Ebene, nämlich die Zerlegung in die Bahnkurven; denn aus(20 a) folgt ja
Gh,) 1 Sa 5 171 5. Die Größe 45 ist ganz und rational in, 9“,..., 90
mit Koeffizienten, die ganz und rational aus den G, und ihren Derivierten zusammengesetzt sind. Wir können 4n“, abgesehen vom Vorzeichen, mit der in§ 1 Ziffer 5 eingeführten Größe Fn
identifizieren:
(41) Se=
Diese Identität umfaßt eine Reihe von Gleichungen, die die Koeffizienten von Fn durch die G, ausgedrückt liefern. Wir nehmen nun an, die Gleichung(37) bestimme eindeutig das System(20), zu dem sie gehört. Dann muß es umgekehrt mög- lich sein, die G, mit Hilfe der Relationen Qn eindeutig und ex- plizit durch die Koeffizienten von Fa auszudrücken. Die hier- bei nicht verwendeten Koeffizienten von Fn können dann— als ganze rationale Funktionen der O, und ihrer Derivierten— durch
11

—ä
die bei dieser Bestimmung verwendeten Koeffizienten ausgedrückt werden. Damit ist eine erste Reihe von Relationen der Systeme Rn; Rnl; Rall(siehe Ziffer 5 in§ 1) gewonnen. Die übrigen Relationen dieser Systeme ergeben sich aus den Gleichungen On; Qal; Qaf, wenn für die Gn ihre Werte in den Koeffizienten von Fn eingesetzt werden.
Die Fälle, in denen die Gleichung(37) zu mehr als einer Gruppe(20) gehört, sind besonders zu behandeln.
6. Die Behandlung des Systems(21) wird jetzt sehr einfach. Wir können die Bezeichnungen der vorhergehenden Ziffern un- verändert beibehalten. Die Relationen Qs, Qal, Qall zu(21) gehen aus den entsprechenden Relationen zu(20) durch Ver- tauschung von æ und„ und die Substitution 1= 0 hervor. Die Gleichung 4= 0 dagegen ist für sich zu berechnen nach der in Ziffer 4 skizzierten Methode; es ergibt sich im allgemeinen eine Funktion Fn, die von der zu(20) gehörigen verschieden ist. Die Ausführungen von Ziffer 5 übertragen sich unverändert.
§3. Übertragung der Betrachtungen des§ 2 auf Berührungs- transformationen.
1. Im Hinblick auf Berührungstransformationen sind die Veränderlichen æ,,“ gleichberechtigt. Mit Rücksicht auf den isobaren Pfaffschen Ausdruck d„— dæ nennt man æ, N; N Variable erster; zweiter Stufe. Entsprechend sind dann die
Difterentiationen 0 2, 2 als Operationen erster; zweiter Oa u 9 Stufe anzusehen; 15 ist eine Operation erster Stufe. Die Operationen 42 d7st 8 7— 842) J2 Sodn.. dee sind von( s+ 2 ter Stufe. 12
di,... stehend 45) A gewiss die Sich ergeber 446) 47) Aus( Die R
d⸗
J6 Variat zeichne fallen Kompl Wählel das 8' dängig 47) d laSsen.
Neur

Ldrückt VSteme fübrigen hungen ſzienten
s einer
ſeinfach. ern un- 2u(21) ch Ver- or. Die lach der meinen chieden rändert.
hrungs-
ind die auf den V; p ann die
zWeiter
ee. Die
0
— 0 G en 1 An Stelle der Operationen S2. S 87 führen wir die Ope-
rationen
d.90 929 9 (43) 94==S, 5,= de ein; die Umkehrung von(43) ist
0 3 0 0
(44) 57 he de Sh de 57 a.
Die durch Hintereinanderausführung der Operationen da, Dr,..„ D4„,(W, 12,..., im= 1, 2, 3) in dieser Reihenfolge ent- stehende Operation bezeichnen wir mit
(45) d1.. 62 02.— Oar. 1„(11; 12,..„ im= 1, 2, 3).
Zwischen den Operationen(45) von gleicher Stufe bestehen gewisse Relationen, die eine Folge der Relationen sein müssen, die sich durch zweimalige Kombination der Operationen 0,, O ergeben; diese Relationen lauten:
(46) d12— d21= 03, (47) 091= d18, O32= 023.
Aus(46) ist zu ersehen, daß, und 0 nicht vertauschbar sind. Die Relationen(46),(47) entsprechen den Vertauschungsrelationen 09( 902(6 2. dæ du d der' dedh dhde hh dh h
Jeder Operation(45) von ster Stufe entspricht eine bestimmte Variation der Ziffern 1, 2, 3, die wir als Variation ster Stufe be- zeichnen wollen. Die Variationen iν½... im Zur Sten Stufe zer- fallen in mehrere Komplexe, so daß die Variationen desselben Komplexes durch Permutation auseinander hervorgehen. Wir wählen aus jedem dieser Komplexe eine beliebige Variation aus; das System dieser Variationen bestimmt ein System von unab- hängigen Operationen(45) ster Stufe, aus denen sich vermöge(46), (47) die übrigen Operationen(45) ster Stufe linear kombinieren lassen. Die Anzahl der unabhängigen Operationen(45) von ster
Neumer 2 13

,—
—
Stufe ist also gleich der Anzahl der Variationen der drei Ziffern 1, 2, 3 zur sten Stufe ohne Permutation. So groß ist aber auch die Anzahl der unabhängigen Operationen(42) von ster Stufe, wie man erkennt, wenn man die Ziffern 1, 2, 3 durch die Buchstaben a, 9,„ ersetzt.
Vermöge(46) können wir die Operationen(45) ersetzen durch lineare Kombinationen der Operationen (48) Qae,.. 7„,(3u, i8,..„ 1„= 1. 2. Unter den Operationen(48) gibt es dann ebenso viele unabhängige, wie unter den Operationen(45) von gleicher Stufe. Die Operationen d11, d12, de, d Sind unabhängig. Zwischen den Operationen(48) von 3ter Stufe bestehen die Relationen (49) 12 bu= 2 5121, 0122+ d221= 2 d2i2; sie ergeben sich aus(47) durch Einsetzen von(46). Die Relationen Ster Stufe(s-= 4, 5,..), d. h. die Relationen zwischen den Operatio- nen(48) von ster Stufe ergeben sich aus den Relationen(— 1)ter Stufe, indem man in diesen die Operationen(s— 1) ter Stufe da 4,...zu. 1 der Reihe nach ersetzt durch da.. 5.117 da 3 d1.... d24... i6- 1. Die so gewonnenen Relationen gter Stufe sind indessen nicht alle unabhängig voneinander, worauf wir aber hier nicht weiter einzugehen brauchen.
Wir wollen noch die Abkürzung
.. 18— 12/
(50) da 2,.. in f= fi.... 2„(lia... im= 1, 2) vornehmen; f soll eine beliebige Funktion von æ,", 9 bedeuten. In Übertragung des gewohnten Sprachgebrauchs wollen wir den
Ausdruck fai,... zn als Ableitung nter Stufe bezeichnen. 2. Die wirkliche Berechtigung, die drei vertauschbaren 0 1 3 Operationen—,— durch die beiden nicht vertausch- dr g d
baren Operationen 0, d vermöge(43) und(46) zu ersetzen, ent- nehmen wir der Tatsache, daß sich diese Operationen bei Ausübung von Berührungstransformationen unter sich transformieren, ohne Vermittlung der Operation.
14
Wi
61) Ewische 652)
Wenn T rationel 63) 30 dab Aus(5 64)
M gehen über,
E von pe gegeb
T ration der( durcl für d d1, d9: hinzu⸗ gering Austü werde 6-1) Syste
T und Ktante Stuke

Lifkern ber auch ufe, wie Chstaben
en durch
hängige, Prationen onen(48)
elationen Pperatio- - l)ter fer Stufe
.. is-12; 3 elationen ar, Worauf
bedeuten. wir den men.
aschbaren rertausch-
ten, ent- Ausübung ren, ohne
Wir denken uns die Berührungstransformation gegeben: 651) x= X(T, y, y), 7— E'Gr. V, y), 2 ee Pi(c, V, y). Zwischen X, F, P bestehen die Beziehungen (52) 1— PXI— 0, FIn— PXII— 0,
wenn wir die den Veränderlichen x, y, y' entsprechenden Ope- rationen d, da mit dr, on bezeichnen. Aus(51) und(52) folgt nun
663) dr= XI+ Hd, on= XII+ Pda,
so daß in der Tat die d, d unter sich transformiert werden. Aus(53) folgt noch
(54) XI Er—- XII E 5 0.
Mit den Symbolen, d geschriebene Differentialgleichungen gehen also durch Berührungstransformationen wieder in solche über, wobei noch die Stufe der Gleichungen erhalten bleibt.
Es sei nun ein mit den Symbolen 0, ò geschriebenes System von partiellen Differentialgleichungen für eine Funktion U(,, 9) gegeben, das die folgenden Eigenschaften besitzt:
1) Wenn s die höchste in dem System vorkommende Ope- rationsstufe ist, so sollen sich, möglicherweise erst nach Ausführung der Operationen, ò, sämtliche Ableitungen ster Stufe von durch solche geringerer Stufe ausdrücken lassen, während dies für die Ableitungen(— 1)ter Stufe nicht möglich ist.
2) Durch einmalige und zweimalige Ausführung der Operationen 01, de auf die Gleichungen des Systems, zu denen auch die Gleichungen hinzuzunehmen sind, die die Ableitungen ster Stufe durch solche geringerer Stufe ausdrücken, und die möglicherweise erst durch Ausführung der Operationen d, da aus dem System gewonnen werden, sollen nur solche Gleichungen zwischen den Ableitungen (C— 1)ter und niedrigerer Stufe hervorgehen, die eine Folge des Systems sind..
EinSystem mit solchen Eigenschaften ist vollständig integrabel, und die allgemeinste Lösung enthält so viele willkürliche Kon- stanten, als unabhängige Ableitungen(s— 1)ter und geringerer Stufe vorhanden sind.
2* 15

——
Einen Beweis für dieses Theorem findet man in der Disser- tation von L. Gasiorowski(Gießen 1913).
3. Eine infinitesimale Berührungstransformation X= 8p— +,+ r˙o ist bestimmt durch ihre charakteristische Funktion U= y’ E— y, und zwar gilt
5⁵) ⁵= Ua,= N 2= 0, 7'=— U.
Umgekehrt ist jede Funktion U(æ, Py, 9) die charakteristische Funktion der durch(55) definierten infinitesimalen Berührungs- transformation.
Die Definitionsgleichungen einer endlichen Gruppe von Be- rührungstransformationen bestehen aus einem System von linearen homogenen partiellen Differentialgleichungen von der Art des in Ziffer 2 beschriebenen Systems für die allgemeine charakteristische Funktion VU.
Wenn U und VY zwei Lösungen der Definitionsgleichungen sind, so muß auch der Ausdruck 66)(UVj= W= VUe V— Ve U V(U— Ui)— UCTu— Vau) eine Lösung sein.(V] ist nämlich die charakteristische Funk- tion des Klammerausdruckes(X P), wenn Xf, Ff die durch U. V bestimmten infinitesimalen Berührungstransformationen sind.
Wir wollen die Abkürzung verwenden:
67) Can e, ha b„ Va*...* Ua)m=
=(à1 i.. 1l, h e... zm)(, i2,.. 3;, 91, 72Jjm ⸗= 1, 2,0; unter fo soll dabei f selbst verstanden werden. Dann läßt sich (56) schreiben: (58) W=(2,1)—(0,12)+(0,21).
4. Die Definitionsgleichungen der als Gruppe von Be-
rührungstransformationen aufgefaßten Gruppe(3) lauten:
(a) W= h;(b) Ur= 0;
() U=— an-1 Un-1).— d UX+(i'+₰ a 9 Uas. Man findet sie leicht aus(17). Unter Uo soll dabei die durch
659)
16
Be scheide
651 a) 651 b) 8. 64)
de le 662) g tausch erhalt
6s

Disser.
8p+
unktion
rristische t hrungs.
von Be- linearen t des in ristische
chungen
= 1, 2,0); läßt sich
i-malige Ausführung der Operation 0, entstehende Ableitung verstanden werden. In(59) sind die Ableitungen
(60) Uns, D, Uu-..„ U-) unabhängig.
Durch Ausführung der Transformation(51) erhalten wir aus(59) die Definitionsgleichungen der allgemeinsten G,+ 1; sie müssen wieder aus einer Gleichung erster, einer Gleichung dritter und einer Gleichung nter Stufe bestehen.
Bei der Transformation(51) sind die beiden Fälle zu unter- scheiden:
(51 a) XI=E O; (51 b) Xi= 0, IAn 0 (S.(54)). Dem Falle(51 a) entspricht das System:
e) W.= e-e N; 1
(61)(b) Uil=. Cu. 6 Uis.y u 3 U. 0,
(c) Uo= a Un-y; Un- y y Un-) † U-h.:+ +* 0+ 8 Uu2„
während wir im Falle(51 b) das System haben:
(a)= U;
(62)(b) Veiz= a Dere 6 Uei y Ve ed;
(C) Un= a Dla=1- S Un-..+* U+s Uai.
Unter Ua soll dabei die durch i-malige Ausführung von d hervorgehende Ableitung verstanden werden. Das System (62) geht aus(61) hervor, wenn man die Indizes 1 und 2 ver- tauscht und 9= 0 setzt.(62) kann auch aus(61) durch 9ò— erhalten werden, denn es ist
(63) 0= XII/ XI.
In(61) und(62) sind die Symbole dx, on durch die Symbole d1, d ersetzt worden, während indessen in(63) die Symbole dr, verwendet werden müssen.
17

—
—
Wir betrachten zuerst das System(61). Seine Koeffizienten bezeichnen wir wieder mit On. Diese Koeffizienten müssen den Integrabilitätsbedingungen sowie den Bedingungen genügen, die sich aus der Forderung ergeben, daß die Größe(58) das System (61) befriedigt. Die Integrabilitätsbedingungen gewinnt man durch einmalige und zweimalige Ausführung der Operationen d1, d(S. Ziffer 2).
Den Ausdrücken(24) entsprechen die Ausdrücke(57), den Ableitungen(18) die Ableitungen(60).
An die Stelle des Systems(27) tritt hier das System
(a) V= Uuu⸗e U(oi— 0) U G 1) 0, (b) Dr= OU r U..-oo— e) V+o.+ ²—) U; (64)(C) Ur= a Uiu1+ 5 Uu² 7 I. 2 e — n U.— V; () Wn= a Ua-y.+* U e Ur † +— eA TE— r) V.
Wir kommen auf dieses System durch die Überlegung, daß in den Definitionsgleichungen der Gae auch noch die Ableitung D willkürlich ist, sodaß diese Definitionsgleichungen aufgelöst erscheinen nach den Ableitungen Uai, Uz, Uiai, Un; durch die Substitution D= O D+ o U müssen dann die Definitions- gleichungen der Gn †2 in Gleichungen übergehen, die eine Folge von(61) sind. Die neu auftretenden Größen 1, v, a, ² bezeichnen wir wieder mit Ga.
Auf die Herleitung der zu(61) gehörigen Dom wollen wir noch etwas näher eingehen. An die Stelle von(31) tritt hier
(65) Xv f= Wa Vf V of. Ua-=y In-.
Aus(55) und(29) folgt:
(66)=— u(Uaa+ Uau) 7 U22.
An die Stelle der Matrix(32) tritt die Matrix(wegen(61 a) und
18
ö):
67
Die drei dieser I
68)
Die De von 1- ist 669)
die ges
70
die gle nierten eigentl gleichu allen
II Ziffer: Bezeie 6,§2 Indizes Vertau

yStem man ſtionen
„ den
or V;
dab in leitung fgelöst
durch ltions- Folge ichnen
en wir tt hier
a) und
0 0 0 o-1— 1 a G1 0 0
1² 0 0(IPSoeosh) Can 0 0 0 G........ Can 0 0 0 0 0... On- 1, /— 1 Oa.1, 2 Die drei von Null verschiedenen(n+ 1)-reihigen Determinanten dieser Matrix enthalten den Faktor
(67)
„....... Cn
1 ra.......... C2 (68)(1 eg) Aa=(1 O„) 0......... Can
0 0.... On- 1, a-1 On-= 1, n
Die Determinante 4 enthält selbst noch eine gewisse Potenz von 1+oy als Faktor, so daß 4n=(1+eoy)“n„ gilt. Dann ist
die gesuchte D*). Die Differentialgleichung zweiter Ordnung (70) 1+ oy“= O oder—,
die gleichfalls invariant bleibt gegenüber der durch(61) defi- nierten Gruppe, ist nichts anderes als die transformierte un- eigentliche Differentialgleichung= œ²‧, die als Differential- gleichung der Punkte aufgefaßt werden kann und gegenüber allen Punkttransformationen invariant bleibt.
Im übrigen übertragen sich die Ausführungen von§ 2 Ziffer 2— 5 beinahe wörtlich, wenn wir die dort eingeführten Bezeichnungen, Cul, CQalI, On auch hier verwenden. Auch 6,§ 2 gilt unverändert, wenn man von der Vertauschung der Indizes 1 und 2 und der Substitution 9= O anstatt von der Vertauschung von æ und sowie der Substitution 1= 0 spricht.
19

Zweiter Abschnitt. Anwendung der Theorie auf spezielle Fälle.
§ 4. Die gewöhnlichen Differentialgleichungen 3ter Ordnung, die durch Punkttransformationen lineare homogene Form erhalten können.
1. Die Punkttransformationen, die die D) auf lineare homo- gene Form bringen, mögen durch
(71) r= X(o, D), y= YG, 9)
dargestellt werden; æ, y sollen dabei die Variablen der D sein. Es sollen zunächst die über die DG erzielten Resultate an-
geführt werden, wobei wir uns der in§ 1, 5 eingeführten Be-
zeichnungen bedienen wollen. Die Funktion Fa tritt in zwei
verschiedenen Formen auf, je nachdem in(71)
(71 a) Xæ 0 oder (71 b) Xe= 0, X, 0
gilt. Die Gleichung Fe= O lautet im ersten Falle: (40v 1)/—= 3 0 9/2‿ Ai92‿42ùXA) O B 9 Be C+ B B.U Ba N+ B.=0.
Die Relationen Ra sind die folgenden, mit(73, I— VIII) be- zeichneten:
20
(72)
(10
(

homo-
3 Sein.
ate an- en Be- 2 Zwei
(73):
1m
d'V)
41=— 6 A0„+ 40(6 A0+ 42)— 4A02 4A3; B1= 3 A092— 40 5 A0vAo, Ao, 409 4²)+ 1 1 40(2 400 ℳ 2 402A 4u Ae- A22-—2 3A2„
1 2 1 — 3 409 43)+ 40(4oar— 3 Au⸗ 43— 3 4243)† 2
2 4(ſ—3 44— 3 43e † Bs— 4 405 B6;
Se= Aoz Aos Aos, Ao, Ae 402 Aou) Aoa
4 2 2 Aoæ 42— 3 40„ 43+ 3 A29 O g 42) 4
1 1 .491(940w— 3 A0 4 42 ℳ 94, 4) †
. 45(— 10 4,⸗— 10 4— 4 88)— 15 40 Bn;
5 1 1 B=— 3 40„ 4s+9 444 3 42n A 4,(14 As—
— 2 49 43+ 2 A2+ 342 4)† 4⁰⁸— 1, 43—
4 42*+ 66)— 20 40 Bs;
1 B4= 6 A0aν— 40 43 A2+ 3 42 43+ —. 49— 245,— 3 4£ 4 B5— 10 42 Bs;
439= 6 Aoax— oæ 43+ 42— 40 43; 21

19p
(75)
(76) 22
(VII)
(VIII)
2 B5„,=S Aoæxæ ‿Azax— 3 d2a As+ 5 A0„ B6—
+ 3 A0 43 A02(3E44e— 342 2 B⸗)-† 4 . 4(ſ— 15 A0 Be— 2 A3wcn— 3 43 A3z+
T.ee. 3 B9)— 5 A02 Baa;
7 1 B6*— 3 Aoæeœo— 3 Aoææœ 43- 3 A2wer
1
1 342 Bou 3 A2u Bs-2.
1 1 + 3 A2 43+ 3 42z BS— +. 4s(ſZ 24— 3 A3 4. 3 B] 4
2 4 40 ²4s Ba Bae l Aoa— 24 m 34A5s—
2 —2 4 B* 4, B 3 Bw,] 40(ſ-11 40er Be—
2 1 2 — 3 A2 BG— 4 A BGa 3 42 Bsa 3 43 Bs„
2 2 2 — 2 Baν— 3 dsexe— 3 43 43— 3 43z Bw)
Wir setzen nun: 00=— 9 43„ r.— 18 43 A3 G— 4 433— 18 42 BG+ 18 43 B5— — 54 40 43 6— 81 40 B6— 135 A0 6+ 27 B5æ— 54 B6„;
1 „=— 5 40 B6— 43⸗— 3 4 B;
„1=— G /§3 G.
Die Gl VII, S präsen I' 80
Das 8
81)

Bey;
Dann werden die Relationen l repräsentiert durch(73, I— VIID sowie durch die Gleichung
. 1 (77) as(1er3rre fes-vn Swe)
Hierbei soll die Klammer(] um die linke Seite der Gleichung(77) bedeuten, daß diese Gleichung auch für= 0 gilt, nachdem durch Multiplikation mit αᷣα die Nenner fortgeschafft sind. Für = 0O ist(77) von selbst erfüllt.
Das System ERanI endlich umfaßt die Gleichungen(73) sowie die Gleichung
—o.
(78)—0. Man kann diese Gleichung nach Ba, auflösen: 1 1 2 1 1 B6„=— 6 43 α☚— 3 43 43⸗— 37 433— 3 42 BG 3 43B5— 69) 3
1 2 Aoa B6+ 2 Hoa.
Die Gleichung(73, VIII) ist eine Folge von(79) und(73, VI, VID, so daß das System ERall auch durch(73, I—VII),(79) re- präsentiert wird. Im Falle(71 b) lautet die Gleichung Fe= 0: (80) VYV Z 3 9(di A V)Y X B V BeY + Ba 9. B.9= 0.
Das System Eg besteht aus den Relationen:
3 — 40 43 B6— 24o Bo—
1 0) Ba=— A2„—— 3 4A1 4A2;(II) B4=—
2 (IID 4iæ= 42„;(¶V) B2æ=— A29„— 3 A142„;
681) 1 1 1 (V) Blææ=— 3 4142„— 3 42 3 42 Blæ— 1
1 1 42 1 3 4² B2.
Wir setzen nun:
23

82)= 9 A1„„— 18 A1A1,— 4 A1— 18 A1 B2+ 18 4A2 B1— 682— 27 Ben 54 Bia:; 1 63) v=— A1„— 3 41*— B.; (84) v=— G“„, /3%.
Dann enthält das System Ral die Relationen(81) sowie die Relation
1 (85) 15⁸( v9ꝓ 3„ii,+‿ ν+‿2 ve)o.
Über die Bedeutung der Klammer l] siehe die Bemerkung zu(77).
Das System Ranl endlich besteht aus den Relationen(81, I-— IV) und der Relation
1 1 2 1 1 1 (86) Biw‿ü G A1uv+3 414A1„+7 4¹ε+3 41 B2—3 42 Bi4 2 B2„;
(86) geht durch Auflösung von= O nach Bia hervor; Gleichung (81, V) ist eine Folge von(86) und(81, III, IV).
2. Wir wollen nun kurz skizzieren, wie die angegebenen Formeln gewonnen wurden. Das dem System(20) entsprechende System von Definitionsgleichungen der Gruppe Gs+ 1 lautet:
(a)
(87)(b) Iæs= G ax+ 51„+ v+£ 91 1; c) 1„=..2 Jææ˖† 62 1„++ 02 1; (d) Hæxæ= G aa+ 63 v+ ys ha+ d.
Die Relationen, die aus der Forderung hervorgehen, daß die Größen(25) dem System(87) genügen sollen, sind:
() a=— 1;(I) 6= 0;(III) a.= 4²; (88)(TV) r=— Aa 62²;(V)=— 1 ½— 1 62—
(VD) 14= 52;(VII) d2= 2„— 162- Auf die Vorführung der Rechnungen, die die Formeln(88) liefern, muß hier verzichtet werden; wir beschränken uns darauf,
neben den Gleichungen(87), in die die Größen(25) einzusetzen
24
T (8.§ 2, durch
D
91)

die
die
(88) auf,
tzen
sind, die Klammern(24) anzugeben, von denen die Koeffizienten verglichen werden müssen, damit die Gleichungen(88) resultieren. Dann verläuft die Rechnung so: (87), G æ;(87 b), Gh„ iν;(87 b),(æ„να;(87 d), Gyj æ); (87 b), Gæ*ν;(87 G), GGæ„);(87 C), Gh„).
Die Integrabilitätsbedingungen zu(87) erhalten wir alle aus der Relation (89) Seæœy⸗= ayæo, die vermöge(87) und(88) formal herzustellen ist; durch Ver-
gleichung der Koeffizienten„, y, jæ, mææ bekommen wir: (90):
0) 32=— 3 1=æ— 13— 1 ga+ 3 2*; (II) dg=— 53„)h— 3 1 3— 163; (III) p,=— deer=3 2 αε‿deα 2 S2a‿ 63—
— 2 2 ys+ 4(— P3+ 63„— 3 1 63)— 4 632;
3= d S2a— S2rer. 52 63„+ 52„ 3 S2 (TV)*+ 3 7„ 62 63— 9 422 63— 3 Aæu 63— 632—
— 6 ½ 3 7— 3 lxα 3— 7 12 63— 2 ‿ — 52 53Z)— 123xr.
Die Gleichungen(88) und(90) repräsentieren das System Og (s.§ 2, 2). Sie ermöglichen es, die Koeffizienten von(87) allein durch die fünf unabhängigen 1, ag, 5, s, 6 auszudrücken.
Das System(27) lautet hier für/= 3 vermöge(88):
(a) æ= 1 71x⅞☚ 2+„1 E+(læ— 121) 1;
(b)&ßù= 1„„+*e+(,— 1**) ¹; (91)()„xs=— ν † y1 e † Al E+(1— 121));
(dh v= T hæe † 52„ p r ℳ es E+(02— 1 e2) 1;
(e) Hæxææ= ds e‿£‿m/ ꝓ‿ y æ ‿ s E+.(3— 1e3).
Die Integrabilitätsbedingungen zu(91) sind vermöge(88),(90)
sowie der Bedingungen erfüllt, die sich durch Einsetzen der Größen(25) in(91) ergeben. Von diesen letzteren Bedingungen fehlen uns noch die Gleichungen zwischen den Größen G, und G;
25

—
———— ——————
der Gang der Rechnung, die diese Gleichungen zu finden ge- stattet, ist dieser: (91 a)(Enx);(91 d), Eyn);(91 c),(Ey);(91 e),(Enæa);(91 9,
(Enn);(91 e), Ena);(91 e),(). Die gewonnenen Gleichungen sind die folgenden:
()-2=— 1yl+ 1;(II) 2=— 2 1+. 2; (IID) p19,)ü=— Aylæ— e„1. lx;
(IV)= ne‿ † u2- 3abn 1 a3z; (VY) 23=— 3 63„1— S3; 92) VD ee 321r1e A1e 21. we= 0. wobei ET)„= ase= 3 an- 16— 7,
gesetzt ist; außerdem haben wir noch eine Gleichung
(VII)»læææ= ganze rationale Funktion von»i,»læ; O3. Die Bestimmung der Größen 6, durch die Größen 6, er-
scheint nach(92) auf die Bestimmung von» zurückgeführt.
Durch Kombination von(92, VI, VII) bekommen wir die
Gleichung
(93) 3. x= 0,
0)bü= 9 gaᷣ— 18 ag age †f 4 133— 18 4 3 53— 27 153—
— 135 4 3 18+ 54 52 3— 27„gr— 54 3„.
Für„r haben wir demnach die Gleichungen(92, III, VI),(93).
Wenn nun+( 0, so folgt aus(93):
(95) v1=— G /3%.
Nach§ 2, 3 ist daher für-. O die Gruppe(87) eine G51,
aber keine G.i. Das System al besteht also aus den Rela-
tionen(88) und(90) sowie aus der Relation
1 2 das(àe 3ne Kns-vn 2ve)—o,
die durch Einsetzen von(95) in(92, VI) hervorgeht; Einsetzen von(95) in(92, III) liefert nichts Neues.
26
(94)
V Von 11 Integr Gleich 997
erfüllt leitung bedeut enthal (88),( Folge
F Rechni

d1e)
(93).
A 3 1;
Rela-
atzen
(98)
Wenn dagegen c verschwindet, verbleiben zur Bestimmung von„n nur die beiden Differentialgleichungen(92, III, VI); die Integrabilitätsbedingungen sind vermöge(88),(90) und der Gleichung
(97) 0— 0
erfüllt, sodaß die allgemeinste Lösung» den willkürlichen Ab- leitungen»i, viæ entsprechend zwei Konstanten enthält. Das bedeutet aber, daß es l⁵ Gruppen(91) gibt, die die Gruppe(87) enthalten. Nach§ 2, 3 enthält also das System QaII die Gleichungen (88),(90, I— IID,(97). Die Gleichung(90, IV) ist nämlich eine Folge der Gleichung(97), die nach 53„ aufgelöst werden kann.
Für die zur Gruppe(87) gehörige D finden wir nach längeren Rechnungen die Gleichung:
2+ 1g“+ 3 12 6+ 34— X+ 52)— 4203]9*+ + G ⁄+243— 3/52)— 2, 9 4722— 1A, 4 1,ß)— 3 4„52)+— (lan 2122— 4„,13— 3 1262— 529—+= 52)— —(der— lwas— 22+ 13/352)— 14„s]+(1„+ 10 124— — 3 1„ 62— 1(4 2⁄] ℳ 8 122— 2 7„,-r—= 2329+ 2 2²— 9 1„ 6²)+ + 12²(4 42— 4 2ᷣ— 7 2+ 3 a3 62)+ 4 43„½+ 1164 94+ 3 dw+ 9 12— 7„..— 6 76e 9 62— S2— — 1 G6 4, 5 1wag= 8 62a †= 3 a2 62)= 642„,= 443 54] 9 † + 12r— 2 42 ᷣꝗ)+ a3 2 ²P— 3 2r+ 4 1+ 6 7253) 9²+. +(— 4463—„vs) 9 65= 0.
Diese Gleichung besitzt also die Form(72). Nach§ 1, 4 ist die Gruppe(87) durch die Gleichung(98) oder(72) eindeutig be- stimmt. Es gelten also hier die Ausführungen von§ 2, 5. In
der Tat lassen sich die unabhängigen Koeffizienten 1, a, 53, y, 6, durch die Größen 4, B ausdrücken:
1=— 4; dg=— 43; 6= B;
11 12 6b),= h 1 4 n. 7. 3 4e 3 1e 3 40 44.
27

——
—
—
——
Durch Einsetzen der Werte(99) in(90, I, III, IV) gehen die Relationen(73, VI, VII, VIII) hervor. Ferner erhalten wir die Koeffizienten 41, B., B, B, B. ausgedrückt durch 40, 4A2, As, Ba, Ba, und zwar, unter Benutzung von(73, VI), in der Form(73,— V). Ebenso gewinnen wir die Gleichungen(74),(75),(76),(77),(78) der Reihe nach aus(94),(92, VI),(95),(96),(97).
Das dem System(21) entsprechende ist nach§ 2, 6 für 2= 3 wegen(88) und(90): (100)= 0; Er„)y= 52&, 5298; Seæ= 62&x+ S2æ⁸; Sy,„= ag S„,,+ S r„ E— S3 mit den Relationen(: (101) dæ= 3 52 9; æ= 3 52— 2 33 52„; 63Q= 4382— 2„u+ 5263 2 63 62„ys.
An die Stelle der Relationen(94),(92, VI),(95)—(97) treten die Relationen
— 9 13%— 18 23 13)+‿ 4 43— 54/ 18„+ 5462 53—
do zrun,
3 1
1 (103)„= d3, 3 2— 7:; (104)„1=— /3; 1
100) ſosbunn t 32un„ ni vn 2„]= o (106)= 0.
Die zu(100) gehörige DG) lautet:
„ 7
(107) V,= 3 9— ſas h= 3629)h) Sh,s- p— + 62„— as 62) 13+%(62— 62) 19 2= 0. Sie besitzt die Gestalt(80). Das System(100) ist durch die Gleichung(107) eindeutig bestimmt; es wird:
1 (108) d 1, 6 B, 32= B, 6=— 3
Hieraus findet man auf die schon bekannte Weise die zu der Gleichung(80) gehörigen Relationen Eg, El, FlI.
28
44
Die ge die du
1. homoge (109) bezeich Es Sind (109, a) (109, b) 2u unté
In (110)
Wi 1
(111)
W Wische Bedeut
1112) Di 113
Neum

le Zu
§ 5. Die gewöhnlichen Differentialgleichungen dritter Ordnung, die durch Berührungstransformationen lineare homogene Form erhalten können.
1. Die Berührungstransformationen, die die DG auf lineare homogene Form bringen sollen, mögen durch
(109) r= X G. J, 9), y= Y(w, Y, I), UY'= P(w, Y, 9) bezeichnet werden, so daß æ, 9, die Veränderlichen der D sind. Es sind die Fälle (109, a) 4. E0; (109, b) 411= 0,, 0 zu unterscheiden.
In jedem der Fälle(109, a, b) besitzt die DG die Form (110) y 4, e=o.
Wir führen die folgenden Größen ein:
1= 54 4 D²— 18 B 0C0— 18 B D— 36 B.0+ 9 0+ + 18001+ 4 03— 1800,+ 18 02 0— 81 D* 54 D 13; u= 18400— 1840.— 36 4+ 6 B 1+ 6.+ 28 2— — 12 B20— 18 5 D.+ 60002+ 21 12 h— 24 C21— 9 D*; „= 9 41— 18480D+ 1240²2— 184,C— 3640,— 184,D+ + 6 B B+ 24 B ½— 21 B21— 2 B 20+ 6 B, 0— 6 C22;
5= 81 412— 54 421+ 184 B 0+ 184.— 18 4 B— — 364 C2— 18 4. C— 54 A2 D— 4 B+ 18B B,— 9 B22. Wir schreiben nun zunächst eine Reihe von Relationen
zwischen den Größen 4, B, C, D hin und geben dann an, welche Bedeutung diese Relationen haben.
(111)
(112) 4= 0, à= 0,»= 0, 5—0. Die nächste Gleichung ist eine Abkürzung: (113) 2= u/1.
Neumer 3 29

——— ——
30
(IV)
(V)
4+ 0; 1*— 2= 0;
0½= 001+ D*— Co*+. Bo— 4;
ee= beu 4. 1-- 2De',= 4 Cee. 4 2 Be. rvetcoſe35- e-3a- ahe-nr2a- 1.O 4 G)e 1,4,— 140 185—
7 2 2 0111+ 3 Don Cen+ D* 4 D'e 01
D.— 3 Opſee.(D. 20+ 12* 2„e .4 BD)ei- 2D'* ℳ(—OD 7 2DD.)e(CD.— Da 4 1 2 .1G* DD. 2 BD.ſe:(ED.
1 51 3 BD-Du-Ou-2DA 4D: 9B0D—
1 2 3 5 ap)e— 45+ Cr 9 3 Bn 2 410— 2 1 1 1 o. 5 40) B2
11l5
(116) (110)
7118) Es
(119)
(120)
(121)
Es denen o 1) die Forn und zw, leistet. Sein, 80 treten. 2 Difkeren 97=O gie 3) kormati
hinzutr

D.
Nun folgen zwei Abkürzungen:
2 4 „z= 4 De. Pee-(ſ— 3CD 2D.)e*4. BD-
(115) 1 30+ Ha, (116) 1=— 11 /34. 3 1 (117) ru 3 22+ yr 1=.
G1i8)()„= O0;(ID 2= O0,(III) D=— 0; (V 30+ 02= 0;(V) 2 B1½2— B 21²);— 2022= 0. Es folgen wieder zwei Abkürzungen:
0119) w= A B.— 3 B⸗ † 3 40,
(120) 7== 30. 5 1 d20) ſEr—32.Nr 3vr)= o
Es sind nun die folgenden fünf Fälle zu unterscheiden, in denen die Gleichung(110) lineare homogene Form erhalten kann:
1) Notwendig und hinreichend, damit die Gleichung(110) auf die Form„= 0 gebracht werden kann, sind die Relationen(112), und zwar gibt es dann stets eine Transformation(109 a), die dies leistet. Soll dies auch durch eine Transformation(109 b) möglich sein, so müssen zu(112) noch die Relationen(118, III— V) hinzu- treten.
2) Wenn die Beziehungen(114,— V) bestehen, kann die Differentialgleichung(110) die Form(5)— aber nicht die Form 91¶= O— erhalten, und zwar nur durch eine Transformation(109 a);
sie kann
3) die Form(15) erhalten(wieder nur durch eine Trans- formation(109 a)), wenn zu den Relationen(114) die Gleichung(117) hinzutritt.
3* 31

4) Die Relationen(118, I—V) sind notwendig und hinreichend dafür, daß die Gleichung(110) durch eine Transformation(109 b) auf die Form(5) gebracht werden kann.
5) Wenn zu den Gleichungen(118) die Gleichung(121) hinzu- tritt, läßt sich die Differentialgleichung(110) durch eine Trans- formation(109 b) in die Form(15) überführen.
In den Fällen 4), 5) läßt sich die Gleichung(110) nur dann auch durch eine Transformation(109 a) in lineare homogene Form überführen, wenn sie die Form„= O erhalten kann. Damit dieser Fall eintritt, muß zu den Gleichungen(118) noch die Gleichung= O hinzutreten; denn da aus(118, III, IV) die Gleichung 1=0 folgt, liegt dann der Fall 1) vor.
2. Wir wollen nun in einem kurzen Überblick zeigen, wie die in Ziffer 1 angegebenen Tatsachen gefunden werden können. Auf die Vorführung der einzelnen, zum Teil außerordentlich komplizierten Rechnungen muß verzichtet werden.
Das System(61) nimmt für/= 3 die Gestalt an:
(a) Ve= 9h; (122)(b) Uier= G Uuu 5 Uu2 y U+ 5* 0. 1(C) Uiu= a U+Ua yU U.
Wir stellen zunächst die Bedingungen auf, die durch Ein- setzen der Größe(58) in(122) hervorgehen. Die Rechnung verläuft so:
(1220,(11, 12);(122),(11, 12);(122 a), 00, 1);
(122 0),(0, 11);(122 b),(0, 11).
Die erhaltenen Gleichungen sind:
(123):
C) 5= 6;(I!) a= 02⁴ ◻ 21+ 23;
(IID) 09= 012—(el+ 01— 010—°¹;
(V) d= Od 1— y1— 1— 11— 2 11
V) 4— 401 4 401+% 211+ 11— C1— 2 4‿
+ y. Ory ey— O**— 01—„ 0„=0.
32
V
Nun folgen àl
(124) 6
Wir bedingun bedingun vermöge abhängig nun an, von wel wurden: (124)
Wi Relation (125:
0'
(
Gleich

hend 09 b)
inzu. rrans-
dann Porm amit 1 die die
wWie Innen. ntlich
Ein- hnung
Nun sind die Integrabilitätsbedingungen aufzustellen. Sie folgen alle aus den Relationen
(124)(a) U1112+ Uiauu e 2 Uuai;(b) U111s+ U11211— 2 U11ei-
Wir leiten indessen nur diejenigen von den Integrabilitäts- bedingungen ab, die wir später brauchen. Die Integrabilitäts- bedingungen werden berechnet, indem wir die Relationen(124) vermöge(122) wirklich herstellen und die Koeffizienten der un- abhängigen Ableitungen Ii, Vie, I, VU vergleichen. Wir geben nun an, welche von den Relationen(124) benutzt wurden und von welchen Ableitungen dabei die Koeffizienten verglichen wurden:
(124a), Via;(1242), Vu;(1242a), D;(124 b), Uia;(124 b), Vn.
Wir finden dabei(teilweise durch Kombination mehrerer Relationen) die Gleichungen:
(125): ()„=— 52+ 061+ 201 6+ 26; — 1 1 1 1 1 „ 3 2 u— Z— 3+ 3 26+ (10)
1 2 + Z 6+ 3 oy;
72— 671 2ay † 206—= 20 6— 20„ ℳ 5ν1 ℳ (IT)+ 301)— 4 11— 21 2+ 3 012 6— 20216— — 26016— 29016 29106 20 6+ 50u1 †
+ 12⁰1= 0;
(IV) d= 521— 612+ 061+ 2 16;
612— 221*= 0126— 2016+ euo au+ 3uu V)+ 61— 01 62=— 92 1 4 201 1-+ 201 6- 4001 651 † + 200116— 20 61+ 0612 ℳ 02511= 0.
Die Gleichung(125, V) ergibt sich durch Kombination der Gleichung((124 b), Wi.] mit der Gleichung(125, IID.
33

—
—
—
————————
Durch die Gleichungen(123, I, II, IV),(125, I, II, IV) werden die Koeffizienten von(122) durch die vier unabhängigen Koeffi- zienten o, 0, a, ausgedrückt.
Das System(64) wird für/= 3: (a) UVr= OU rU+ i—*) Ui ℳ— 01)U; (b) U= OUa U E— 4‿ + r † ²— GU; (126)(C) V= AU 5 U ν G Q* U ℳ
+ 6— U; (d) Ui= d.UII B Ui+ U+— 0*) +(—) U.
Wir leiten zuerst die Bedingungen ab, die durch Einsetzen von(58) an Stelle von V in(126) hervorgehen; die Rechnung verläuft so:
(126a),(2, 11);(1263),(1, 2);(1260),(1,2);(126),(2, 12); (126 d),(2, 11);(126),(1,2);(126), 0, 2).
Die resultierenden Gleichungen sind:
0) 7= o⸗ er;(11 12= Or+ Qir or— Qu— 21 (III) z= ganze rationale Funktion von z, z1; 03; (IV) 2= 261+ 51;
1 5 1 2 1
V 2=— ar 3 6r 3. 3 061— 3 16;
(127)(VD) 3 1— 5-pr 1 1=”0.
wobei
1 WVIv= eh- al eß— 20
gesetzt ist;
(VII z= ganze rationale Funktion von v, ri; 3.
Die
können! Die chungen (127,] J stimun. zur Verf Relation (12) wobei
1129
zogen i eine R notwen. 94.1 liefert Ve (131) so behe II, III, (131) u Ableite kürlich gebene durch
3. Difkere

Die Aufstellung der Integrabilitätsbedingungen zu(126) können wir uns ersparen, da sie nichts Neues mehr liefert.
Die Gleichungen(127) stellen diejenigen unter den Glei- chungen Oa dar, welche die G, und 6, verknüpfen. Vermöge (127, I,IV, V) ist die Bestimmung der G, zurückgeführt auf die Be- stimmung von z. Hierzu stehen die Gleichungen(127, II, III, VI,VII) zur Verfügung. Die Kombination von(127, VI, VII) liefert eine Relation
(128) 3%%+= 0, wobei
=— 4£‿ 26)3— 9 1— 906,1 ₰ 72 16+ 90161 ℳ 7129) † 18 † e6.+ 61— 20 G— 540— 546—
+ 18 206— a)⸗+ 162 06+ 54061 2771. Wir können daher(127, VII) durch(128) ersetzen. Wenn εμ°, so folgt durch Auflösung von(128): (130) 1=— /3, womit die eindeutige Bestimmung der Größen G, durch die G voll- zogen ist. Durch Einsetzen von(130) in(127, VI) erhalten wir eine Relation für die Ga, die zusammen mit den Relationen notwendig und hinreichend dafür ist, daß die Gruppe(122) eine
G6.1, aber keine Ga, ist. Einsetzen von(130) in(127, II II!)
liefert nichts Neues.
Verschwindet: (131) 0= 0, so behalten wir für z nur die drei Differentialgleichungen(127, II, III, VI) übrig. Ihre Integrabilitätsbedingungen sind vermöge (131) und der Relationen( erfüllt; entsprechend den unabhängigen Ableitungen, z, enthält die allgemeinste Lösung zwei will- kürliche Konstanten, so daß es œ⁵ Systeme(126) zu dem ge- gebenen System(122) gibt. Die Relationen GalI werden also durch(131) und die Gleichungen repräsentiert.
3. Es ist nun am Platze, einige Bemerkungen über die Differentialgleichungen D zu machen, die durch Berührungs-
35

—
—
———
—
——
transformationen lineare homogene Form erhalten können. Wir betrachten zunächst die linearen homogenen Differentialgleichungen dritter Ordnung selbst. Die größte Gruppe, die für n= 3 von der Gleichung(5);(15) gestattet wird, ist, wenn diese Gleichung nicht die Form= O erhalten kann, die Gruppe(3);(9). Die Gleichung“= O dagegen gestattet als größte Gruppe eine irre- duzible 10-gliedrige Gruppe Gio von Berührungstransformationen, mit der alle 10-gliedrigen irreduziblen Gruppen von Berührungs- transformationen ähnlich sind. Unter den oendlichen Trans- formationen der Gruppe Gio befinden sich natürlich auch die oœrendlichen Transformationen der Gruppe(11); da die Gruppen Gs 4, die aus der Gruppe(11) durch Transformation mit den Gœs Transformationen der Gio, die nicht der Gruppe(11) an- gehören, hervorgehen, wieder Untergruppen von Gio sind, So gestattet die Gleichung= O œ́s Gruppen 6344; da jede Gruppe Ga+4 eindeutig durch die in ihr enthaltene G+ 1 be- stimmt ist, so gehört die Gleichung= 0 zu œGruppen G 1. Dasselbe muß dann auch für jede D G gelten, die durch Berührungs- transformationen in die Form= 0 übergeführt werden kann, so daß, bei Berücksichtigung von Berührungstransformationen, eine DG) dann und nur dann eine Ds' ist, wenn sie zu νGruppen G+ 1 gehört. Die zu(122) gehörige Dd) ist die Gleichung:
(132) 1+(— er—*— 29 1 ²— 30 9+(— 20— 301.— — 30+ oG9+(— a+ 20 9+ 36= 0.
Sie besitzt die Gestalt(110). Man findet durch Koeffizienten- vergleichung:
h 6= D;() a= 2 De— G; 6s)[ e e.— De.. 2 Co. 35, CV= 9O+ De— COo+‿ Be— 4.
Hierdurch erscheint die Bestimmung der vier unabhängigen Koeffizienten 9, o, a, 6 und damit der Koeffizienten von(122)
36
139
Aus(12
1135
1125,I

aten-
ägen (122)
auf die Bestimmung von 0 zurückgeführt. Durch Einsetzen der Werte(133) in(123, IID ergibt sich die Gleichung:
(134)
1 4 12=(Lu* 2 Qi+ 20904—— 3 01+%
2 5 3 Be— 2Dre-(20+ D.) e 2 1„% 5 1„. 2 †(-32D= 50⸗ 30.— z9)⸗ 4(4 3 B— 1 1 950ℳ3 3.)e— 2 4— 1 4 00 e G B.
Aus(125, V) folgt:
(135)
(125,
em 3 Deen— Ceu †2 D*+‿ 4 D**ε+%‿
† HD- Opee.4(D.— 20. 4,4 5 D)e4 +2'*(AO2OD2 DD.)e
†OD— G,D Da 3O*p A2DD. † D.) e(2D. A 3B, P— D.— G.+
+ 2 D— 4 5b:— 3 B0D 30
1 2 3 2 Bcii an 5A D 2 O 405 r.
2—— n D+ ½ 5,5— 0.
III) liefert:
37

7 911 3 D Oon— Cen* 2 Der 4 D'He. H(5D.— 8 4 —3OD) er4(D.— 20., 4 3 BD)e † †2'e(O30D2DD.)e“4. en
2 —νο+ D.—9C*D 2DD. 3 BP'e*—4
16 5 5 1 6 7ss) †(21 B. D 7 BD 7 Da 7 Du— 7 CE-4 2 2 25 1 1 1„ +70. 7On. O= 74D.. 4 2 1 1 1 63 O* 7 BD. 4 3 B. D 7 De 21400D— 5 13 2 2 2 e — 7429 4 4 9b.3017 0n=3 502—
2 1 4„ — 21G.*ꝗ+ 126 F-D-= 7 Bu= o.
Wir subtrahieren(135) von(136) und multiplizieren mit 63; dadurch bekommen wir die Gleichung
(137) 1 6 e 0, wo 1, à die in(111) erklärten Größen sind. Wir können daher die Gleichung(136) durch(137) ersetzen.
Endlich liefert die Relation(123, V): (138) 1⁰*— 2 u0+= O, wo» die in(111) erklärte Größe ist.
Hiermit sind die Relationen für o erschöpft. Wir gehen an die Diskussion der erhaltenen Gleichungen. Wenn 1+ 0, so folgt aus(137): (139) e= u1.
Durch Einsetzen in(138),(133, IV),(134),(135) ergeben sich die Relationen(114).
38
EE
(140 80 dab (115) e W endlich bleiben 135 ul gleichu 1= ⸗ (141) die Ve Glieder (142) Wo d. gleichu so ent! 00. Syd repräse B Gleich denen mli p das in
1149
das a Zu di dritte die Gl daß Si

it 63;
daher
sich
Es folgt ferner aus(129): (140) 0= 1,
so daß wir aus(130),(127, VI, VI') die Gleichungen(116),(117), (115) erhalten.
Weun 1= 0 ist, so folgt aus(137) und(138)(o ist ja als endlich vorausgesetzt) auch ½=„»= 0; zur Bestimmung von 9 bleiben dann nur die drei Differentialgleichungen(133, IV),(134), (135) übrig. Aus den Integrabilitätsbedingungen dieser Differential- gleichungen folgt noch eine vierte Relation zu den Gleichungen 14= u=„= 0; sie ergibt sich, wenn wir in der Relation
(141) 9221 9122— 2 9212
die vermöge(133, IV),(134) umzuformen ist, die von o freien Glieder vergleichen; wir bekommen (142) 65— 0, wo 6 in(111) erklärt ist. Da in den genannten Differential- gleichungen die drei Ableitungen ę,, oi Willkürlich bleiben, so enthält die allgemeinste Lösung 3 Konstanten, d. h. es gibt 00s Systeme(122) zu der Gleichung(110); die Relationen(112) repräsentieren also das System alI.
Hier ist noch eine Bemerkung von Interesse. Wenn die Gleichung(110) eine Dih ist, so müssen alle Gruppen(122), zu denen sie gehört, Gruppen 63 1 sein, d. h. die Gleichung(131) muß vermöge der Gleichungen(112) bestehen. Nach(140) ist das in der Tat der Fall.
Wir betrachten nun das System
(a) U= QO Na+ 0 U, (143)(b) Uaie= a Uee+ 5 Uei+ 7 U2+ 3,
(c) Uazz= a es † 6 Ua † y.* 3 U, das aus(122) durch Vertauschung der Indizes 1, 2 hervorgeht. Zu diesem System gehört eine invariante Differentialgleichung dritter Ordnung, die auf analoge Weise zu berechnen ist wie die Gleichung(132) aus dem System(122). Man überblickt leicht, daß sie aus(132) hervorgeht, wenn man die Ziffern 1 und 2 ver-
39

—
——————
—
tauscht und die Koeffizienten 4A, B, O, D der Reihe nach durch — D,— C,— B,— 4A ersetzt. Diese Substitution möge durch
12 4 9 0 6144
bezeichnet werden.
Fügen wir zu(143) die Gleichung (145) 2— 0 hinzu, so haben wir das System(62) für= 3 vor uns. Wegen (145) ist dieses System seinerseits eindeutig bestimmt durch die zu ihm gehörige D, und es folgt aus(133) vermöge(144),(145):
(146) 5=— 4; a= B;= 1 C.
Daraus ist zu entnehmen, daß die zu((143),(145)]) gehörige Differentialgleichung(110) auf Grund der Ausführungen von§ 2, 5 behandelt werden kann. Indessen sind jetzt keine neuen Rech- nungen mehr erforderlich, denn nach dem vorhergehenden er- halten wir alle Beziehungen zwischen den Koeffizienten der zu ((143),(145)) gehörigen Gleichung(110) und den Koeffizienten dieses Systems selbst aus den entsprechenden Beziehungen zwischen den Koeffizienten von(122) und den Koeffizienten der zugehörigen Differentialgleichung(110) durch die Substitutionen (144),(145). Hierbei werden wir auf die Relationen (147) 1 ä= 6, Oo= 4; Dd», Oe= 2 geführt. Es ergeben sich so aus(137),(138),(133, IV),(134), (135) die Relationen(118,— V) in dieser Reihenfolge. Die Relationen(118) müssen auf alle Fälle das Verschwinden von 1 nach sich ziehen; denn wenn 1+ 0 ist, gibt es nach(139) ge- nau eine Gruppe(122), zu der die Gleichung(110) gehört, und das ist dann auch die einzige Gruppe Ga+ 1, zu der diese Diffe-
rentialgleichung gehören kann. Tatsächlich folgt aus(118, III, IV), daß 41= 0 ist.
An die Stelle von(127, VI),(130),(127, VI),(140) treten die Gleichungen(119),(120),(121) und
40
(148)
vermög Buchsta hinzuge
(149) vird S Gleichu wirklich Gleichu W Gleichu reichen gibt. System Defnniti auftrete (135) c
müssen
Tat we genau
Einige Ordnu
150

arch
(148) 60= 6 vermöge dieser letzten Gleichung(148). Die Akzente auf den Buchstaben, 1, sind der deutlicheren Unterscheidung halber hinzugefügt. Der Gleichung(131) entspricht die Gleichung (149) 60 5— 0;
wird sie zu den Gleichungen(118) hinzugefügt, so muß die Gleichung(110) die Form= O erhalten können. Das ist auch wirklich der Fall, denn die Gleichungen(118),(149) ziehen die Gleichungen(112) nach sich.
Wir wollen noch eine Bemerkung anschließen über die Gleichungen(112). Diese sind auf alle Fälle notwendig und hin- reichend, damit es zu der Gleichung(110) œ⁵ Gruppen G341 gibt. Im allgemeinen werden diese Gruppen sämtlich durch Systeme(122) definiert sein. Sollen unter den Systemen von Definitionsgleichungen dieser Ga Systeme der Form[(143),(145)) auftreten, so müssen die Differentialgleichungen(133, IV),(134), (135) eine Lösung 6= œ⁴ oder 0= O0 besitzen, wenn wir
9*— 2 setzen Das bedeutet jedoch, daß die Absolutglieder
dieser für 9' geschriebenen Differentialgleichungen verschwinden
müssen; diese Absolutglieder sind D, 5 D2, 4 Ds, die in der
Tat wegen(118, III) verschwinden. Aus(146) folgt, daß es dann genau ein System((143),(145)) gibt.
§ 6. Einiges über die gewöhnlichen Differentialgleichungen vierter Ordnung, die durch Berührungstransformationen lineare homogene Form erhalten können. Das System(61) lautet für= 4: (a) Ue= O Ui U; 9 (150)(b) Uil=. Ui 6 Ur y Ui U+ e U; () Gl=. 6 s y W ⸗ CU.

Zunächst setzen wir die Größe(58) in(150) ein. Durch die folgende Rechnung:
(150,3),(0,1);(150,O),(12,111);(150,b),(12,111);(150,9, (11,111);(150, c),(0,111);(150 b),(0,11)
erhalten wir die Gleichungen:
0) 02= 12— Qe- 964 910. 02;
(T) 5= 0;(IID) a= 0;(V)= 2 1+ 2;
(151)[V)= d1— Qu11— 2 1; V 4 12+ 4 1— 4 01+ 20110= 0121 en 09
+ 65.— 5.=0.
Die Integrabilitätsbedingungen zu(150) gehen alle aus
(152)(a) 112+ 11211 2 711121;(b) 7111142 e 1uan 2-111121 hervor. Wir berechnen die interessantesten von ihnen:
(152, a), 111;(152, a) O1;(152, b), Ma. Die erhaltenen Gleichungen sind:
—) 5= 1,— 1a— 1ean eA= len an (II) d=— 5.+ 3 016+ 061+ 3%6; ((II)e= 521— 612+ 01+ 3 01 6.
Die Relationen(151, II—V),(153) geben die Koeffizienten von(150) ausgedrückt durch die fünf unabhängigen o, o, a, 5,.
Das System(64) wird für= 4:
)2l O UI(o 4 0— O*) I e(61— 0) U;
(154)(b)De=OU † 00— er)U re*— or)U; C) Uia= OUII p e+— 0) U(E— 0*) U; d) ViII= dU SUi2- y U 2+— on) Ui— on) U. Es genügt, die Bedingungen aufzustellen, die durch Ein-
setzen von(58) in(154) hervorgehen; die Integrabilitätsbedingungen sind dann von selbst erfüllt. Wir haben diese Rechnung:
(154, a),(2, 11);(154, a),(1, 2);(154, d),(2,12); (154 d),(2, 111);(2, 11);(1,2);(154, 0)(1, 2).
(153)
42
155
Die auf die ergibt: (156)
(157)
We (158)
Du Relatio Neues.
Die (159) stellt e
2u(150 erküllt, gleichu Vermög
hi
pliciert

11121
ten
Wir finden dabei:
0) 1= Or— ei;(I).= On+ ir or— u1— 21; 1 1 1 1
(III) 2= 362--h(Vz zu 24*— 1 ¹1;
1 V) 7u †. 3721 e. r. 0,
wobei gesetzt ist:
.3 3 2 2 (V) 9= he e
(155)
(VD x111= ganze rationale Funktion von r, z1; Ga; (VID 71.„„„ 7, 11 0.
Die Berechnung der Größen G, ist somit wieder zurückgeführt auf die Bestimmung von z. Die Kombination von(155, V, VI) ergibt: (156) 3 ¶¶+= 0,
(157)=.8— 6a+ 41+ 40 6+ 44„— 8061+ + 16%— 871+ 89. Wenn α—+–⁹mℳ, so folgt aus(156) (158) 1=— /3.
Durch Einsetzen von(158) in(155, V) erhalten wir eine neue Relation zwischen den G,; dagegen liefert(155, II, VII) nichts Neues.
Die Gleichung (159) 2— 0 stellt ebenfalls eine neue Relation für die G, dar; dann gibt es zu(150) ² Systeme(154), denn die Gleichung(156) ist identisch erfüllt, und es bleiben zur Berechnung von z nur die drei Differential- gleichungen(155, II, V, VID), deren Integrabilitätsbedingungen vermöge der Relationen a und(159) von selbst bestehen.
Für die zu(150) gehörige D findet man nach einer kom- plizierten Rechnung:
43

—
—
————
—
(er+‿ 1) p— 3 2+(ſO 6.— 6 1— 10 0— — oꝛa) ²+(— 1201— 10— 20)— aA—Jg“ † + l3.* 9— 922 7 21 10 02)* 9*(6 e1+ —+ 20 10₰+ 15²— 501½ 13021 ℳ Qꝛa)(— 3 1+ 2+G₰‿ 3 3 0)— 9*ꝓ0[— 0** 130102 A + 10 920 140G 11 012 l. 5 021 50 1 ₰+‿ 19 912* + 30 2+ 2 2)+ 02(— 9 1— 20u— 9˙+ 7⁰+ 9 1)— 40+ Q 5lO 4[ 60 2021 30016 ℳ + 1502+† 16 01*+ O+((— 9 1— 5 eu— 99+ 801+ 901)— 60*+ 40*51 36— Z0u— — 3 1+ 3010+ο 3 1— 4ey+† 6*6) 9? † 406 v 6= 9
Diese Gleichung besitzt die Gestalt:
(A4 ¾ 1„ B„2-(Cy DS Sg Fy† Gννιᷣε‿ν y T9 Kg L= O. Zu dieser Gleichung gibt es nach§ 1, 4 nur eine Gruppe
G4 1. In der Tat läßt sich das System(150) durch die Gleichung
(161) eindeutig bestimmen, da sich die unabhängigen Koeffizienten 9, 0, a, 6, y durch die Größen A, B,. ausdrücken lassen:
M.=— E; 6= L,;„= 44— K;
(160)
(161)
6 1 1
(162)
Es wären nun noch die fehlenden Integrabilitätsbedingungen aufzustellen und die Gleichung(161) nach den Angaben von § 2, 5 weiterzubehandeln. Außerdem wäre noch das dem System(62) entsprechende System heranzuziehen. Letzteres würde wenig Mühe machen, die vollständige Behandlung der Gleichung (161) dagegen würde ganz außerordentliche Rechnungen erfordern.
44
Herleitul Die
S'stems von gleic anch für (664) durc in der IT durch die nigstels
G4+2;* sie eine
G4+2 80 U U den Glei (64) laut
a
Wir hal geschrie
Die (164)( können (163) üb
Die geben 8 (163) u
165
Zu 68) vir
Neume

75 1. 1
ruppe chung lenten 1
ungen Vo
dem Vürde hung dern.
§ 7. Herleitung des Systems(64) aus dem System(61) für n= 5.
Die Bestimmung des Systems(126) durch(122) und des
Systems(154) durch(150), die in beiden Fällen durch Formeln von gleichem Bau geleistet wird, legt die Vermutung nahe, daß auch für beliebiges der Zusammenhang der Systeme(61) und (64) durch analoge Formeln hergestellt werden kann. Das ist in der Tat möglich. Die Rechnung wird wesentlich erleichtert durch die folgende Bemerkung: Jede Gruppe Ga+† enthält we- nigstens eine Untergruppe Gue(m=n), also für= 4 auch eine G4+ 2; Wird die G,+ 2 durch ein System(64) definiert, so enthält sie eine durch(154) definierte Untergruppe GA+.. Da in der GA+ 2 sowohl wie in der G„+ die Ableitungen W, Uig, UW, I VU unabhängig sind, so müssen die Gleichungen(64, a, b, c) mit den Gleichungen(154, a, b, c) identisch sein, so daß das System (64) lautet:. (a) Uei= O UI 1Ue+(+ 0— 01¹) D+(G1— 1 U; (b) Uez= Q Uis+ 1Us+(⸗ 90— 0⁹) U† Ge 2— 1) U; 6163(c) Uir= O Ui. y U 2We- G— 0* U G 02) G; U)= A. Un- 1)+ B Un— 2+ y Un- 3+. Un- 4+
e e..
Wir haben von der Gleichung(163, d) nur die Koeffizienten hin- geschrieben, die in den auszuführenden Rechnungen auftreten.
Die Gleichungen(155, I, ID):
(164)(= 91— 91;(II) z2= 9. †(01+.= 0) 7— 011— 21 können wir aus dem angeführten Grunde sofort für das System (163) übernehmen.
Die übrigen Beziehungen zwischen den G, und den 0, er- geben sich wieder durch Einsetzen der Größe W von(58) in (163), und zwar durch diese Rechnungen:
(165)[(163, d)(2,12;(2,(— 1));(,(— 2));(.— 3); (163, c),(1,2).
Zu diesen Rechnungen ist folgendes zu bemerken: die Größe (58) wird vermöge(163, a):
45
Neumer 4
(d)

—
—
(166) M=(2,1)+†(12,0)—*(2,0)+†.;
die Punkte deuten Glieder an, die für die ersten vier der Rech- nungen(165) nicht gebraucht werden. Auf Grund der Formel (166) übersieht man verhältnismäßig leicht, daß in diesen Rech- nungen die Klammern(2,12);(2, 62— 1));(2,(— 2));(2,(0— 3)) für n= 5 nur in den Ableitungen Mo, Wa— y; Wo),..., Wa— 2; Wo),..., Wo—);; W,.. Wo—„) Vorkommen. Bei der Durch- führung aller Rechnungen(165) erkennt man, daß überhaupt die Bedingung ĩ ‿ 5 notwendig und hinreichend ist, damit allgemein- gültige Formeln erhalten werden(der Fall ĩ= 5 ist, ebenso wie früher die Fälle= 3, 4, für sich zu behandeln). Es empfiehlt sich, jede Ableitung W,..., Wa—„) aus(166) durch Differen- tiation für sich zu berechnen unter Anwendung der Regeln für die mehrfache Differentiation von Produkten; jede Klammer(57) ist dabei formal als ein Produkt aus zwei Faktoren zu betrachten. In der Rechnung werden somit gewisse Polynomialkoeffizienten auftreten. Die Rechnungen(165) liefern nun, in der angegebenen Reihenfolge ausgeführt:
(167) X=(n— 1) ez+ er; —„— 3„— 3 a a (168). 12 1 (169) 1u-3Te e er= 0; WO 2 (170) 12 12 a1 24 5
„ n²(+ 1) nin 1)(n— 1) n(n+, 1) (171) 1u1= ganze rationale Funktion von z, z; On; (172) a„„„„„, 11; Gn. Durch Kombination von(169) und(171) bekommen wir:
(173) 3 ¶%+☚‿ο— 0,
y= n*(n— 1)(¹— 2) an— 6 n(in— 1)(n— 2) a+ (174)+ 4— 1) 0— 2) as+ 12((— 2) aß—
— 6 2(n— 2) 61.+ 12„2„.
Aus(173) können wir jetzt wieder die bekannten Schlüsse ziehen.
46
die duro werden Formeln die dies in Seine gleichun Mathem
2. U sind, vo rentialg Iun die und(80 im Bull gewisse rentialg füllt w Gestalt
1175)
Wo L, dabei i

Wie ehlt tren-
für
67 hten. nten eneen
hhen.
Anhang.
1. In seiner Abhandlung:„Uber die Integration einer Kategorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen 3ter Ordnung“(Anzeiger der Akademie der Wissenschaften in Krakau, Oktober 1897) hat Zorawski die gewöhnlichen Differentialgleichungen 3ter Ordnung, die durch Punkttransformationen in die Form„= 0 übergeführt werden können, auf anderem Wege charakterisiert und genau die Formeln(73,—VII),(79);(81,— IV),(86) erhalten. Formeln, die diesen äquivalent sind, erhielt wieder in anderer Weise Leja in seiner Abhandlung„Invarianten gewöhnlicher Differential- gleichungen in bezug auf Punkttransformationen“(Monatshefte für Mathematik und Physik 1918 S. 204 ff.).
2. Die gewöhnlichenlinearen homogenen Differentialgleichungen sind, vom funktionentheoretischen Standpunkt betrachtet, Diffe- rentialgleichungen mit festen kritischen Punkten. Man kann sich nun die Frage vorlegen, welche von den Differentialgleichungen(72) und(80) ebenfalls feste kritische Punkte besitzen. Painlevé hat im Bulletin de la société mathématique de France Band 28(1900) gewisse notwendige Bedingungen aufgestellt, die von den Diffe- rentialgleichungen Zter Ordnung mit festen kritischen Punkten er- füllt werden müssen. Diese Differentialgleichungen besitzen die Gestalt
(175) 9 ä= LS9 2+ My„+ N
wo L, M, N Funktionen von x, v, 9 sind. Die Größe L muß dabei mit einem der folgenden Ausdrücke zusammenfallen:
4* 47

1 1— 1 2. e. 7e e Zan!); 0; 7(l.‿¶◻+ 1, sonst beliebige ganze Zahl);
1 1 1 1 1 2etes. n Foirs⸗
1 2 1 3 176]2& ‿+ 3 20 a) 40 †))'
1 5 2 6 1 1 2 P); 3ε /)
2 5 3 1 1 So er a, 1(Pe)
1 1 1 1
F(Fe„Ar r eſ a, b, e sind Funktionen von æ,. Ferner ist (177) L=1/D, M= u, N=„»/O,
wo 7, u, v, D teilerfremde Polynome in„ sind. D ist höchstens vom dritten Grade in; der Grad von;» übersteigt den Grad von D höchstens um eine; drei Einheiten.
Wenn wir die Gleichungen(72) und(80) nach„“ auflösen, erscheinen sie in der Form(175), und der Koeffizient von* lautet:
(178)( 3
) gIIA,:
Für 40= O wird der Ausdruck(178 a) gleich Null und stimmt dann mit der ersten Größe(176) überein. In keinem anderen Falle können die Ausdrücke(178) mit einem der Ausdrücke(176) zusammenfallen, auch nicht für a= b= c. Wenn in(72) A4= 0 ist, ist der Grad von D in„ gleich 0, da D= 1 gesetzt werden kann. Weil dann aber der Grad von M; Nin„“ höchstens gleich eins; drei sein kann, muß in(72) noch 4= B= B.= 0 sein, so daß von den Gleichungen(72) höchstens die Gleichungen der Form
3 b)—. c 7
48
(179) 3 feste k. Gleichu 3. ferential trausfor 1918)! dab die (180) die Fori kann:
18l
Die gleichur Relatiol schiede schwind
Da sind, da die For- Beweis Berühr
gleichun — Soga gegeben Grades 1912.

ahl);
(179) J“*(42 9* 43) 9 5 B3 93* B4 92 4 B59 Sb B.= 0 feste kritische Punkte besitzen können, während dies für die Gleichungen(80) nie eintreten kann.
3. In seiner Arbeit:„Invariante Eigenschaften von Dif- ferentialgleichungen dritter Ordnung gegenüber Berührungs- transformationen“(Prace matematyczno-fizyczne Band 29 S. 180 ff., 1918) hat Leja die folgenden Bedingungen dafür aufgestellt, daß die Differentialgleichung dritter Ordnung
(180) Y= G(w, g, Ä, Y)
die Form= O vermittels Berührungstransformationen erhalten kann:
04 ¶ d 2 (181) CD T 3-, v 6%= 0, d ꝙ 2 GI) v= Sar— 3„— 3 w-
Die erste dieser Relationen sagt nur aus, daß die Differential- gleichung(180) die Form(110) besitzt. Diese Form ist in die Relationen(181, II, III) einzusetzen; die Koeffizienten der ver- schiedenen Potenzen von„“ müssen dann in(181, II) einzeln ver- schwinden. Das liefert aber gerade die Beziehungen(112).
Daß die Bedingungen(181) notwendig und hinreichend dafür sind, daß die Gleichung(180) durch Berührungstransformationen die Form= O erhalten kann, ist von K. Wünschmann ohne Beweis ausgesprochen worden in seiner Dissertation„Uber Berührungsbedingungen bei Integralkurven von Differential- gleichungen“(Greifswald 1905). Einen Beweis für diesen Satz — sogar in etwas allgemeinerer Fassung— hat dann W. Herbst gegeben in seiner Dissertation„Monge'sche Gleichungen zweiten Grades als Schnittbedingungen von Kurvenscharen(Greifswald 1912).
49

—
—-—
leh 9. März sekretäl geb. Kr Vorschu da ab! Februar
Semeste 1926 ab lesungel Rickert, Falcker Raab.
Lu pflichte Arbeit

Lebenslauf.
Ich, Walter Neumer, katholischer Konfession, wurde am— 9. März 1906 zu Mannheim geboren als Sohn des Telegraphen- sekretärs Albert Neumer und seiner Ehefrau Katharina Neumer, geb. Kron. In Völklingen(Saar) besuchte ich drei Jahre die Vorschule und bis zum Sommer 1918 das Realgymnasium. Von da ab trat ich in das Gymnasium zu Worms ein, wo ich im Februar 1924 die Reifeprüfung ablegte. Ich besuchte nun vier Semester die Universität in Heidelberg und dann vom Sommer 1926 ab die Universität in Gießen. In Heidelberg hörte ich Vor- lesungen bei den Professoren Liebmann, Bopp, Lenard, Curtius, Rickert, Jaspers; in Gießen bei den Professoren Engel, Schlesinger, Falckenberg, Geppert, Jaffé, König, Cermak, v. Aster, Messer, Raab.
Zu großem Dank bin ich namentlich Herrn Prof. Engel ver- pflichtet; er hat mir auch die Anregung zu der vorliegenden Arbeit gegeben.

Im Sell

——
Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
mit tätiger Beförderung der Giessener Hochschulgesellschaft
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XVII. Heft
Variationsprobleme in der nichteuklidischen Ebene
von
OTTO FREIDANK
Giessen 1929
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstr. 16.
Preis RM. 1.50.

—
— —
—— ꝗy—
—
—
—
Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht. Genehmigt durch den Prüfungsausschuß am 16. Juli 1929.
Druck der Dieterichschen Universitäts-Buchdruckerei(W. Fr. Kaestner) in Göttingen.
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H
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öttingen.
Vorwort.
In den folgenden Betrachtungen dieser Arbeit sollen einige Probleme der Variationsrechnung in der hyperbolischen Ebene behandelt werden. Die weiter unten erhaltenen Resultate sind zum Teil bereits früher auf anderem Wege, also nicht mit Hilfe der Variationsrechnung, gefunden worden ¹). Da jedoch die betreffenden Probleme größtenteils nur angedeutet sind, so wurden dieselben in dieser Arbeit nochmals vollständig durch- geführt. Dies erwies sich insofern als zweckmäßig, als an die erhaltenen Resultate eingehende geometrische Diskussionen an- geknüpft wurden.
Es sollen in dieser Arbeit folgende Variationsprobleme in der hyperbolischen Ebene betrachtet werden:
1. die kürzeste Entfernung zweier Punkte,
2. die optischen Brennpunkte und Brennlinien der Kegel- schnitte, die Newtonsche Anziehung und Abstoßung, die elastische Anziehung und Abstoßung und die Enveloppen und konjugierten Punkte der unter 3. und 4. erhaltenen Extremalen.
94 95
Der eigentlichen Behandlung dieser Variationsprobleme sollen im ersten Paragraphen dieser Arbeit einige Bemerkungen über die analytische Geometrie in der hyperbolischen Ebene vorausgeschickt werden.
Bezüglich der wichtigsten Arbeiten auf diesem Gebiete sei auf die folgende Literatur verwiesen: H. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, Leipzig 1923. F. Klein, Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie, Berlin 1928.
1) H. Liebmann, a. a. O., S. 133. 1*

— 4—
G. Scheben, Brennpunkte und Asymptoten in der nicht- euklidischen Geometrie, Dissert. Bonn 1921.
W. Killing, Die Nicht-Euklidischen Raumformen in ana- lytischer Behandlung, Leipzig 1885.
T. H. Gronwall, On the shortest line between two points in non-euclidean geometry, Annals of Math., Bd. 20, 1918/19, S. 200— 201.
H. Kober, Konjugierte kinetische Brennpunkte, Dissert. Breslau 1910.
Die Anregung zu dieser Arbeit gab Herr Privatdozent Dr. H. Geppert. Für sein dauerndes Interesse und die För- derung, die er meiner Arbeit durch seinen Rat zuteil werden ließ, bin ich ihm zu großem Dank verpflichtet.
81.
In d schnitte stellt we
A. Die mit o
Zu ei Prl. G. S Brennpu Ebene. Kegelsch der späte diejenigen deren P Auch dar ihre Bre sehnitte
Uberpun Es Lage au geometri Von zw. mann ¹)

nicht- in ana.
points B3. 20,
issert.
tdozent ie För- werden
§ 1. Bemerkungen zur analytischen Geometrie in der hyperbolischen Ebene.
In diesem Paragraphen sollen die Gleichungen der Kegel- schnitte der hyperbolischen Ebene in Polarkoordinaten aufge- stellt werden ¹).
A. Die Gleichung der Kegelschnitte in Polarkoordinaten mit dem Pol im Brennpunkt und der großen Achse als Polarachse.
Zu einer vollständigen Ubersicht der Kegelschnitte gelangte Frl. G. Scheben²) bei der Untersuchung der Asymptoten und Brennpunkte der Kurven zweiter Ordnung in der hyperbolischen Ebene. Sie erhielt einschließlich der Kreise 20 Arten von Kegelschnitten. Von diesen Kegelschnitten sollen(hinsichtlich der später zu diskutierenden Resultate der Variationsprobleme) diejenigen ausgeschieden werden, die keinen Feldpunkt besitzen, deren Punkte mithin alle Uberpunkte oder Randpunkte sind ³). Auch dann werden diese Kegelschnitte auszuscheiden sein, wenn ihre Brennpunkte Feldpunkte sind. Ferner sollen alle Kegel- schnitte unberücksichtigt bleiben, deren beide Brennpunkte Überpunkte oder Randpunkte sind.
Es soll zuerst die Gleichung der Ellipse in der angegebenen Lage aufgestellt werden. Definiert man die Ellipse als den geometrischen Ort aller Punkte, deren Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten konstant ist, so hat nach Lieb- mann¹) die Ellipse die Gleichung:
t2+ tz⸗— 2 Coſ 2 t t. Sin 2a= 0,
1) Die Gleichung der Geraden in Polarkoordinaten findet man bei Liebmann, a. a. O., S. 78.
2) G. Scheben, a. a. O.
3) Bezeichnungen nach Liebmann, a. a. O., S. 28. 4) Liebmann, a. a. O., S. 90.

— 6—
wobei 2a gegeben ist durch. ‿= 2= konst. und i und te bestimmt sind durch:
t,= Cbſr= pip- 1x‿— hi9; k,= Coſ7.= peP=Ta— he9. Hierin sind z. B. rr, Mu, Pi homogene Koordinaten des Brenn-
punktes Pi.
Ist 2e der Abstand der beiden Brennpunkte, ferner p die zum Pol gehörige Ordinate und 2 der Abstand dieses Poles vom nächstgelegenen Scheitel der Ellipse, so findet man als
Gleichung der Ellipse:
Tgp Tar ee 49 1+ cos& Hierin ist:
Coſ 2a— Coſ 2e Tg p Sin 2 e T————.—————. 5 Einaa 8—1 Sin a
Tg 2
Führt man in diese Gleichung die inhomogenen Koor- dinaten:
2 9
T. bh=„= g in g ein, so erhält man: „ 2 Tg (- 1 V 1 , (1—*)“ 1— 8*
Faßt man hier x und y als rechtwinklige Koordinaten in der euklidischen Ebene auf, so stellt diese Gleichung eine Ellipse mit dem Brennpunkt im Koordinatenursprung dar. Es ist jedoch zu beachten, daß wegen der Beziehung:
1y.=— 29⸗
sämtliche Feldpunkte der hyperbolischen Ebene innerhalb des Einheitskreises(Fundamentalkreises F. K.) der euklidischen Ebene liegen müssen. Diese Darstellung der Kegelschnitte der hyperbolischen Ebene in der euklidischen Ebene entspricht der von Felix Klein angegebenen. Sie soll den weiteren Betrachtungen zugrunde gelegt werden.
Punkte innerhalb des F. K. sollen als zugängliche Punkte,
Es ist
Es is

1 und
—Jah.
rrenn-
p die Poles
in als
Koor-
ten in 1 eine rr. Es
Ib des ischen hnitte pricht eiteren
unkte,
Punkte auf dem F. K. als unendlich ferne Punkte und Punkte außerhalb des F. K. als unzugängliche Punkte bezeichnet werden.
Der Brennpunkt P. sei ein fester zugänglicher Punkt, während der zweite Brennpunkt P, eine Bewegung vom zu- gänglichen Gebiet über den F. K. ins unzugängliche Gebiet ausführen soll, um schließlich auf der diametral entgegen- gesetzten Seite des F. K. ins zugängliche Gebiet zuriickzukehren. Die auftretenden Grenzfälle sollen im Folgenden betrachtet werden.
a) Die beiden Brennpunkte P und P, fallen zu-
sammen(Feldkreis) ¹).
Es ist: T
gp= konst.;= 0.
Der Kegelschnitt ist der geometrische Ort aller Punkte, die von dem doppelt zu zählenden Brennpunkt konstante Ent- fernung haben.
Die Kurve verläuft ganz im zugänglichen Gebiet.
b) Der Brennpunkt P, falle nicht mit P zusam-
men, liege aber im zugänglichen Gebiet auf derselben Seite des Scheitels wie P.(Ellipse).
Es ist: T= Coſ 2— Coſ 2e.— Sin 2 Sin 2 4 Sin 2a
Der Kegelschnitt ist der geometrische Ort aller Punkte,
deren Summe der Abstände von zwei festen Punkten konstant ist.
Die Kurve verläuft ganz im zugänglichen Gebiet.
c) Der Brennpunkt P, sei ein unendlich ferner Punkt, liege also auf dem F. K.(Elliptische Pa- rabel).
Es ist:
— 1
2 29 3 Tgp=— 1— Tgp⸗= I. 1+ Tg 2
Der Kegelschnitt ist der geometrische Ort aller Punkte,
1) Die in der Klammer beigefügten Bezeichnungen sind Klein, a. a. O., S. 229 entnommen.

——
— 8—
deren Summe der Abstände von dem Grenzkreis mit der Ent-
fernung 2 vom Brennpunkt und dem Feldkreis 7=2 kon-
stant ist. Die Kurve liegt ganz im zugänglichen Gebiet und berührt für= 1800 den F. K.
d) Der Brennpunkt P, liege im unzugänglichen Gebiet auf derselben Seite des Scheitels wie (Semi-Hyperbel).
Es existieren unendlich viele Kurven dieser Art. Ein
solcher Kegelschnitt ist z. B. gegeben durch:
Tgp= Tgs;= 4 1 3 Coſp
Dieser Kegelschnitt ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Summe der Abstände von der Abstandslinie mit der Ent- fernung s vom Brennpunkt und dem Punkte P konstant ist.
Die Kurve besitzt einen Ast und schneidet den F. K. in zwei Punkten.
e) Der Brennpunkt P, sei ein unendlich ferner
unzugänglicher Punkt(Parabel).
Es ist:
T9= 2292; 8= 1.
Der Kegelschnitt ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Summe der Abstände von der Geraden mit der Ent-
8 8 fernung vom Brennpunkt und dem Kreise r= 2 konstant ist.
Die Kurve besitzt einen Ast und schneidet den F. K. in
zwei Punkten.
f) Der Brennpunkt F. liege im unzugänglichen Gebiet auf der bezüglich des Scheitels ent- gegengesetzten Seite von P..
Es existieren unendlich viele Kegelschnitte dieser Art.
Ein bestimmter Kegelschnitt in der geforderten Lage ist z. B. gegeben durch: Tgy= Sin s;= Coſs= 1. Dieser Kegelschnitt ist der geometrische Ort aller Punkte,
deren Summe der Abstände von der Geraden mit der Ent- fernung s vom Brennpunkt und dem Punkte P konstant ist.
Es ist
D deren fernun
D Punkt
9
Es ist
deren stant
1 Punk 1 tracht

Ent.
kon-
ührt
hen wie
Ein
Inkte, Ent- t ist. K. in
Ener
— 9—
Diese Kurve besitzt zwei Aste und schneidet den F. K. in zwei Punkten. Der zweite Ast verläuft ganz im unzugäng-
lichen Gebiet.
g) Der Brennpunkt P, sei ein unendlich ferner Punkt. Die beiden Brennpunkte werden durch die Scheitel getrennt(Konvexe hyperbolische Parabel).
Es ist:
Tgp=— 1; 2= XTg„ 4 1=1.
Der Kegelschnitt ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Summe der Abstände von dem Grenzkreis mit der Ent- fernung s vom Brennpunkt und dem Punkte P, konstant ist.
Die Kurve hat zwei Aste, schneidet den F. K. in zwei Punkten und berührt ihn in einem Punkte von außen.
h) Die beiden Brennpunkte liegen im zugäng- lichen Gebiet. Die Brennpunkte werden durch die Scheitel getrennt(Konvexe Hyperbel).
Es ist: T9„= Coſ 2e— Coſ 2a.— Sin 2e Sin 2a 3 Sin 2 Der Kegelschnitt ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Differenz der Abstände von zwei festen Punkten kon- stant ist. Die Kurve hat zwei Aste und schneidet den F. K. in vier Punkten.
Die beigefügte Tafel(vgl. am Schluß) stellt die soeben be-
trachteten Kegelschnitte bezüglich ihrer Lage zum F. K. dar.
B. Die Gleichung der Kegelschnitte in Polarkoordinaten mit dem Pol im Mittelpunkt und der großen Achse als Polarachse.
Es soll zuerst die Gleichung der Ellipse in der angegebenen Lage aufgestellt werden. Wie bereits erwähnt, kann die El- lipsengleichung auf die Form:
te+*— 2 Coſ 2 a. t t,+ Sin 2a= 0
gebracht werden.

—
————
——
— 10—
Im vorliegenden Falle ist: t= Coſ e Coſr+ Sin e Sin? cos; t.= Coſ e Coſr— Sine Sin/ cos c. Als Gleichung der Ellipse findet man: CTg“*5 1— e cos
Tg'=
Hierin sind die kleine Halbachse 5b der Ellipse und s ge- geben durch:
Ta*h—= Coſ’a— Coſ'e. Sin e .(Eöha Sin⸗a Analog findet man für die Hyperbel die Gleichung: TgE= 5
1— à* cos“
Man sieht ohne Weiteres, daß nur die Ellipse und die Hyperbel und die Ausartungen dieser beiden Kegelschnitte auf die erhaltene Gleichungsform gebracht werden können.
Bei der Ellipse können folgende Ausartungen auftreten:
a) Feldkreis; die beiden Brennpunkte fallen mit dem
Mittelpunkt zusammen. b) Überkreis; die beiden Brennpunkte sind unendlich ferne Punkte.
c) Konkave Hyperbel ¹); die beiden Brennpunkte sind
unzugängliche Punkte.
d) Geradenpaar; die beiden Brennpunkte sind unendlich
ferne unzugängliche Punkte ²).
Im Falle der Hyperbel liegen die Verhältnisse wesentlich einfacher. Läßt man hier die kleine Halbachse 5 konstant und die große Halbachse a sich ändern, so ist der Grenzfall der in dieser Arbeit betrachteten Kegeschnitte durch diejenige Hyperbel gegeben, die den F. K. in zwei Punkten von außen berührt.
Es soll schließlich noch auf Folgendes hingewiesen werden. Die in den beiden soeben aufgestellten Polargleichungen auf-
1) Bezeichnung nach Klein, a. a. O0.
2) Die unter c) und d) aufgeführten Ausartungen kommen für die folg. Betrachtungen nicht in Frage, da beide Brennpunkte unzugänglich sind.
tretend
könner
geschr 9, b, T wie m der K zienter In die den F.
multip sultate Verze bei de der be Achse dann dische die B theori

— 11—
tretenden Koeffizienten von cos bzw. cos' ꝙ&, also
Sin 2e beh Sin'e Sin 22 Sina
können auch in der Form:
Tg 2( Tg'e WI Tg*2 e 1— Tg'e bzw. 2 Tg 2 Tg'*a VM— Tg2a 1— Tg'*a
geschrieben werden. Setzt man also z. B. für die Strecken a, b, r die hyperbolischen Strecken Tga, Tg b, Tgr, so stimmen, wie man sich leicht überzeugen kann, die euklidischen Formeln der Kegelschnitte bis auf die beiden oben angegebenen Koeffi- zienten mit den entsprechenden hyperbolischen Formeln überein. In diesen beiden Koeffizienten sind jedoch die Strecken mit den Faktoren: 1 1 M— Tg92a WI- Tg⸗
multipliziert, die auch in den weiter unten gefundenen Re- sultaten eine große Rolle spielen werden. Das Auftreten dieser Verzerrungsfaktoren ist verständlich, wenn man bedenkt, daß bei der Diskussion beider Kegelschnittsformen eine Bewegung der beiden Brennpunkte bzw. Scheitel in Richtung der großen Achse angenommen wurde. Bei Annäherung an den F. K. sind dann die Maßverhältnisse wesentlich von denen in der eukli- dischen Ebene verschieden. Es sei an dieser Stelle auch auf die Bedeutung entsprechender Faktoren in der Relativitäts- theorie hingewiesen ¹).
USW.
§ 2. Die kürzeste Entfernung zweier Punkte in der hyperbolischen Ebene.
Das Quadrat des Bogenelements hat in Polarkoordinaten die Form: ds= dr+ Sin r.Aqo.
1) E. B. Neumann, Vorlesungen zur Einführung in die Relativitäts- theorie, Jena 1922, S. 69.

— 12—
Die kürzesten Linien, die zwei beliebige Punkte der hyper- bolischen Ebene miteinander verbinden, sind die Extremalen des Var. Probl.
„—. 7 5 ſds= VWI Sin r.Gdr= 0,(— 2)
oder auch die Integralkurven der Eul. Diff. Gl.:
„ 2.„ 7—= 1 7 dr(fw)— 0.— VM Sin r. G*)
Man erhält: d(Cotg?*)
Cotg:) Wotg'a— Cotger 3
„— ß=— Sin= arc cos(— P G Sin R(Eon⸗
oder Tgr cos(— o)= Tga. Die Extremalen sind die Geraden der hyperbolischen Ebene,
deren Lot vom Pol die Länge a hat und bei denen dieses Lot mit der Polarachse den Winkel& einschließt.
§ 3. Extremale Brennpunkte und Brennlinien in der hyperbolischen Ebene.
Führt man in das Quadrat des Bogenelements: ds== dr+ Sin“ r dꝙ die homogenen Koordinaten: „= Sin 1 cos;„= Sinr sin g; p= Coſ? ein, so erhält man: dse= dæ+ dy— dp. Die Transversalitätsbedingung: d, d † f, p= O(f= VWE N==P) liefert:
(1) dæ Oæ+ do«-)y— dp. p= 0.
Es sollen nun die extremalen Brennpunkte und die extre- malen Brennlinien der im Paragraphen 1 erhaltenen Kegel- schnitte bestimmt werden. Die Rechnung soll zuerst an den Kegelschnitten durchgeführt werden, deren Mittelpunkte im
Ursprux Extrem
transve
ausstra
In die Fo
wobei man:

— 13=
Ursprung des Koordinatensystems liegen. Es sollen also die
alen Extremalen des Variationsproblems: 1.0[ds= 0 6 transversal von den Kegelschnitten: 64 Sine
297= L=He(= 235, 4⸗= Sm a) G) ausstrahlen.
In homogenen Koordinaten hat diese Kegelschnittsgleichung
die Form:
Ka+ 9ä GC*p= 0,
wobei 1— 8*= gesetzt wurde. Durch Differentiation erhält
—
man: Kæ. dæ+ 9S 9, ä— G*p p= 0. ene, Lot Analog erhält man aus der Gleichung der Geraden durch Differentiation: Coſ a cos g dæ † Coſ a sin ꝙefßf d«ν— Sin g⸗dp= 0. Die Transversalitätsbedingung(1) liefert mithin: kæ Coſ a cos&.ᷣꝗ†‿ Coſ a sin G.— c.p Sin a= 0. Eliminiert man hieraus Tga, so erhält man als Gleichung der Geraden, die transversal von dem gegebenen Kegelschnitt im Punkte P(x, No, Po) ausstrahlt, G* cos ꝙoe Po æ † G⅞ sin Go Po 9— K cos Go-xe p— sin †o%ᷣo= 0. Von den vier Konstanten xe, h, Po, o müssen noch drei eliminiert werden. Beseitigt man zuerst e, dann mit Hilfe der Parabelgleichung%, und führt man ferner die neue Kon- stante n= 1 und die inhomogenen Koordinaten: — 9 2) 2 8 1 A 9 b„ p ein, so findet man: tre-. s n*.— 8²(C*—= n= b)* gel-(2) 4— 4³(1— G²*): y 60(62— k)
x und y sind die Koordinaten der extremalen Brennpunkte.

—
—
—
14—
Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen a und be-
Side ist, so erhält
man für die extremale Brennlinie die Gleichung:
achtet man, daß v= 1— und=
— v-—= 1. ( Tg*a f Tg*5 4( Tga † Tg*5 N Tg a(1+† Tg’*⁵) Tg5(ESa 1))
Das obere Vorzeichen gilt für die Brennlinie der Ellipse, das untere Vorzeichen für die Brennlinie der Hyperbel.
Ein Unterschied dieser Formeln von den entsprechenden euklidischen Formeln besteht wieder in dem Auftreten der bereits oben erwähnten Verzerrungsfaktoren im Nenner. Ein diesbezüglicher Unterschied war von vornherein zu erwarten, da die Verhältnisse bei Annäherung an den F. K. hier wesent- lich verschieden von denen im euklidischen Falle sind.
Im Falle, daß die Ellipse in einen Kreis ausartet, ist 5 O. Aus Gl.(2) findet man dann x= 0 und y— 0. Die extremale Brennlinie artet in dem Mittelpunkt des Kreises aus.
Ist die Ellipse in einen Überkreis ausgeartet, dann ist 8= 1— Tg*5= 1— c.. Dies in das Gleichungssystem(2) eingeführt, liefert x= ns; y= 0. Die extremale Brennlinie ist mithin ein unendlich ferner unzugänglicher Punkt.
Wesentlich komplizierter liegen die Verhältnisse im Falle, daß die Extremalen des Variationsproblems:
5ſ 6s— 0
transversal von den Kegelschnitten mit der Gleichung: — 8—(⸗— J 9„ 8— Smn 22) 1+s cos f*= gL Ein Z4 ausstrahlen. Die Berechnung der extremalen Brennpunkte und extremalen Brennlinien ist genau dieselbe wie im vorher- gehenden Falle und soll deshalb hier nicht nochmals durch- geführt, sondern sofort das Resultat angegeben werden.
Man erhält für die Koordinaten der extremalen Brenn- punkte die Gleichungen:
Tg⸗*—
— s(en a)(a=s* 1)=3 saA(sn— a)= 4ss(24= 2)
4 a(en— a)s(a— 21+ 1)+ 3 a*(en— a)— a⸗ 2
F' Kurve Brenn.
I' malen
an. I plizie jedocl der S Mä K.
dieser der 1 und der der
3

u-
15—
— Va—*(1— 3)— Zasnſe’n— as—(1— a Tasn) x
n'(a*— 1+ ²)— aen— as T Lo Faßt man hier x und y als laufende Koordinaten einer Kurve auf, so wird durch diese Gleichungen die extremale Brennlinie dargestellt. Der Parameter ist n. Im Falle der Parabel ¹) nimmt die Gleichung der extre- malen Brennlinie, da= 1 ist, die Form: (n—)“— 3(n— a)— a d(— ¹)*+ 3(— a)“— 1 Va— Lanſn— a—(1— an) x aun— an— a
1—
y=
an. Diese Brennlinie, deren Verlauf im einzelnen sehr kom- pliziert ist, wurde vom Verfasser punktweise bestimmt. Da jedoch für die folgenden Betrachtungen nur diejenigen Teile der Kurve von Interesse sind, deren Punkte innerhalb des F. K. liegen, so sollen lediglich die beiden Spitzen A und B dieser Kurve betrachtet werden. Beide Spitzen liegen auf der Achse der Parabel, sind nach dem Brennpunkt gerichtet und werden durch diesen getrennt. Die Spitze A sei nach der konkaven Seite, die Spitze B nach der konvexen Seite der Parabel gerichtet. Es lassen sich folgende Fälle unterscheiden: a) Tgp= 1; A liegt im zugänglichen Gebiet und B im unzugänglichen Gebiet. b) Tgp= 1; A und B liegen auf dem F. K. c) Tgp= 1; A liegt im unzugänglichen Gebiet und B im zugänglichen Gebiet.(Ist 4A ein unendlich ferner unzugänglicher Punkt, so berührt B die Parabel. Für Tgp= 2 berührt der Scheitel der Parabel den F. K. Es liegt dann B in der Mitte zwischen Scheitel und Brennpunkt.) Es liegen also in der hyperbolischen Ebene wesentlich kompliziertere Verhältnisse vor als in der euklidischen Ebene.
1) Siehe§ 1 unter A, e.

———–——
—
—
——
————
— 16—
Von Bedeutung ist hier, daß eine Parabel mit zugänglichen Punkten eine extremale Brennlinie besitzen kann, deren Punkte keine zugänglichen Punkte sind; während umgekehrt eine Pa- rabel, die aus lauter unzugänglichen Punkten besteht, eine extremale Brennlinie mit zugänglichen Punkten haben kann.
Ahnlich liegen die Verhältnisse bei den übrigen Kegel- schnitten mit dem einen Brennpunkt im Ursprung des Koordi- natensystems. Wie im Falle der Parabel wurden hier eben- falls die Brennlinien punktweise bestimmt. Auch hier kann es vorkommen, daß ein Kegelschnitt mit zugänglichen Punkten eine unzugängliche Brennlinie besitzt. Analog ist hier auch der umgekehrte Fall möglich, daß ein Kegelschnitt aus lauter
unzugänglichen Punkten eine extremale Brennlinie mit zugäng- lichen Punkten hat.
§ 4. Das Prinzip der kleinsten Wirkung in der hyperbolischen Ebene.
Es sollen die Bahnkurven bestimmt werden, auf denen sich ein Körper von der Masse 1 nach dem Prinzip der klein- sten Wirkung bewegt. Das zum Extremum zu machende Integral ist das Aktionsintegral der Mechanik, d. h. es handelt sich um die Lösung des folgenden Variationsproblems
6ſVVThds= 0,
wo U das Potential, h die Energiekonstante und ds das Bahn- element bedeutet. In diesem Paragraphen sollen die Probleme der Newtonschen Anziehung und Abstoßung und der elastischen Anziehung und Abstoßung behandelt werden.
A. Die Newtonsche Anziehung in der hyperbolischen Ebene.
In der hyperbolischen Ebene ist das Quadrat des Bogen- elements in Polarkoordinaten gegeben durch:
ds?= dr+ Sin /d„'.
Ferner hat nach Liebmanni) das Newtonsche Potential in der hyperbolischen Ebene in Polarkoordinaten die Form:
u= K Cotg r, 1) Liebmann, a. a. O., S. 131.
Ma
gemac des g
Freic

—.—
=
wobei k eine Konstante ist, die in den weiteren Betrachtungen gleich 1 gesetzt werden soll. Das obige Variationsproblem erhält also die Form:
5 Cotg- † Tg/ VI Sinr G dr= 0.( S 57 Die Eul. Diff.-Gl.: , A, tr)= O liefert: VöDIg I91 Sin e ee VI+ Sin? r.&* Diese Differentialgleichung führt auf das Integral: dr Sin r Woſr Sin+ Tg) Sine⸗ Sine (o.= konst.)
= Sin c.(e= konst.)
ꝓ—&= Sin c
Man erhält:
dt
Sf 9o= 1 2 J.„— 2 WVsin 64‿ 4 Sin⸗e+ Tgh S
= arc 2 3) Wein⸗ 24+ Sinze 9 2 4 1 bei t= Sin e Cotg?—— ist. wobei Sin e Cotg⸗ 2 Sino ist Die Extremalen des vorliegenden Variationsproblems sind mithin durch die Gleichung:
2 Sine G oe 1+ Sin’ c(Sinc+ Tg n)+ 1 cos(†.— Go) gegeben.
Ein Vergleich mit den im Paragraphen 1 erhaltenen Kegel- schnittsgleichungen zeigt sofort, daß die Extremalen Kegel- schnitte mit dem einen Brennpunkt im Pol sind. Die Haupt- achse dieser Kegelschnitte hat das Argument œe. Die beiden Einschränkungen, die dort bei der Diskussion der Kegelschnitte gemacht wurden, sind hier verständlich. Es liegt in der Natur des gestellten Problems, nur Extremalen mit zugänglichen
Freidank. 2

— 18—
Punkten zu betrachten; bzw. Planetenbahnen, deren Kraft- zentren unzugängliche Punkte sind, von den Betrachtungen auszuschließen.
Der Zusammenhang zwischen der Energiekonstanten und
der Integrationskonstanten ist folgender:
a) Ist Tgh=— Sin’c, so ist die Bahnkurve des Massen- punktes in der hyperbolischen Ebene ein elliptischer Kegelschnitt(Tafel, Figur a, b, c, d).
b) Ist Tgh=— Sin'c, so ist die betr. Bahnkurve eine Parabel(Tafel, Figur e).
c) Ist Tgh=— Sin“c, so ist die Bahnkurve ein hyper- bolischer Kegelschnitt(Tafel, Figur f, g, h).
Führt man in die Kegelschnittsgleichung(1) die inhomo-
genen Koordinaten x= Tg r cos(r— Pe) und y= Tgr sin(†— Po) ein, so erhält man:
( Sin(Sin c+ Tg 2) 4 1 ſ
2(Sin e † Tg h) y— 6 4(Sin c † Tg h) Sin“ c+ Tgh
Beachtet man, daß 2 Sin c= Tgp(Siehe S. 6) ist, so be- steht die Beziehung:
oder. 2— 1— Tg*p ,= g„ Tgh 2Tgp 2 Sin 2 Coſ 224=Coſ 2e Da 8— Sin 2a und Tgp= Si ea ist, so er— hält man: ,— 2 Coſ’ 2a+ 2 Coſ 2a Coſ 2 e Tg5= 2 Sin 2(Coſ2 a-— Coſ 2 0) oder
Tgh=— Cotg 2a.
Die Bahnkurven des Massenpunktes sind mithin Kegel- schnitte, deren große Achsen konstant sind.
gegeber
Die bolische dinaten
C. Die In
D
M-
oder
wobei

aft- gen
und
sen-
her eine per-
omo-
be⸗
9 ex-
egel-
— 19=
B. Die Newtonsche Abstoßung in der hyperbolischen Ebene.
Analog läßt sich das Problem der Newtonschen Abstoßung behandeln. Das Variationsproblem hat in diesem Falle die Form:
56ſWTg 1L— Cotgr VI+ Siner. Gdr= 0. Die Extremalen sind durch die Gleichung: — 2 Sin' e 1= MSiſSir 131) cos e)
D
Tgr=
gegeben.
Die Gleichung stellt ebenfalls Kegelschnitte in der hyper- bolischen Ebene dar, deren einer Brennpunkt im Pol des Koor- dinatensystems liegt und deren große Achse das Argument„o hat.
C. Die elastische Anziehung in der hyperbolischen Ebene. In diesem Falle ist zu setzen: ds?= dr'+ Sin r. do, 2=— Tgr. Das Variationsproblem hat mithin die Form: 5ſVWTg h— Tger VWI+ Sinr. g dr= 0. Die Extremalen sind die Lösungen der Eul. Diff.-Gl.
3 6
7,=, 1n)= 0 Man erhält: Sinsr. ꝙG
Tg/— Tger WTg 3 VI1+ Sin r„f*
= Sin c,( konst.)
oder 1 dt C Go 2 Vg n+ Sin h 1—5 4 Sin' e 1. t =— 5 are sin/. (Tgh Sin eh) 1 V 4 Sin' c wobei t= Sin e Cotg'r— TS En 4. jst.

—
— —
—
—
5
** . 1 —
) Tger=
— 20—
Durch Einführung der neuen Konstanten= o— 2³ und
4 unter Berücksichtigung der Beziehung cos 2= 2 cos“α.— 1 erhält man als Extremalengleichung: 2 Sin'e
(Tgh4 Sin“o))= Vg) Sin'o) 4 Sinc 2 UTgh Sin²c)— 4 Sin“e =, 22ein A 2Sn« wes. e= g) (Tgh Sin“*c)— NLTg) Sin c)“— 4Sin'c Nach Paragraph 1 ist dies die Polargleichung der Kegel- schnitte, deren Mittelpunkt Pol und deren große Achse das Argument ꝙ hat. Da das Variationsproblem nur einen Sinn hat, wenn Tg7= Tger= O ist, so ist: (Tg h+ Sin“c)— VUTgh+ Sin’ c)— 4 Sin'ec stets= 0. Die Extremalen des betr. Variationsproblems sind mithin Ellipsen. Der Mittelpunkt dieser Ellipsen ist das Kraft- zentrum der Bewegung.
Durch eine einfache Umrechnung kann die Extremalen- gleichung auf die Form:
3 y g, 5 1
gebracht werden, wo Tg'a und Tg'b gegeben sind durch:
Tge Tgh Sinc+ VTgh+ Sin*— 4 Sin c— Tg 5— 2Sin e
Tgh+ Sin’ c— NTgh Sin c)— 4 Sin'e 1
Hieraus findet man Tg a Tg'b= Sin c. Setzt man diesen Wert für Sinec in einen der beiden obigen Ausdrücke ein, so erhält man:
Tg'a+ Tg*b— Tg’a Tg*b= Tgh, oder
Coſsa Coſ' 5—1 G)—Coſ⸗a Coſe⸗
— Tg h.
Ist barter 8
Füh
Die
fernung
D. Die Es
Mi
zu eine
Di
—

und
sind aft-
alen-
21—
Ist die Länge der Verbindungsgeraden zweier benach- barter Scheitel der Ellipse, so besteht die Beziehung:
Coſ?= Coſ a Coſ b. Führt man dies in die Gleichung(x) ein, so ergibt sich: Tg-?— Tg v.
Die Extremalen sind mithin Ellipsen, bei denen die Ent- fernung benachbarter Scheitel konstant ist.
D. Die elastische Abstoßung in der hyperbolischen Ebene. Es ist: ds= dr+ Sin r. do*˙, U= Tg. Mithin ist: 4 Ng 7+ Tger VWI Sin r. G dr zu einem Minimum zu machen. Die Eulersche Diff.-Gl. liefert: dr 4 Sin r VTgh Sin'r+ Sin“ Tger— Sin⸗c (e, go= konst.)
ꝙ— G= Sin c
Man erhält: . 2 Sin (Tgh Sin“c)— NTgh Sin“*c)+ 4 Sin’e WTg Sin—) 4 4 Sin e (Tgh4 Sin o)— VTgh Sin⸗o 4 Sinsc Dies sind ebenfalls Kegelschnitte mit dem Mittelpunkt im
Ursprung des Koordinatensystems und deren großen Achse das Argument h hat. Da:
Tg5— 5
(3) Tg'r= cos(G 9o)
2 Sinc (Tg h Sin“c)— VCTgh+ Sin’*) † 4 Sine stets=— 0 ist, so sind die Bahnkurven des Massenpunktes
Hyperbeln. Der Mittelpunkt der Hyperbel ist das Kraft- zentrum der Bewegung.

—ᷣ——— —
— 22—
Führt man in Gleichung(3)(wie im Falle der elastischen Anziehung) inhomogene Koordinaten ein, so findet man, daß die Halbachsen der Hyperbel der Bedingung:
Tg'a— Tg'*5+ Tg'*a Tg'b=— Tgh
genügen. Eine geometrische Deutung dieser Bedingungs- gleichung wie im vorhergehenden Fall läßt sich nicht geben.
§ 5. Enveloppen und konjugierte Punkte in der hyperbolischen Ebene.
Im Paragraphen 4 dieser Arbeit wurden die Bahnkurven eines Massenpunktes, der sich in der hyperbolischen Ebene unter dem Einfluß konservativer Kräfte bewegt, bestimmt. Die Bahnkurven ergaben sich dort als Lösung des Variations- problems
ſVV hds= 0,
wobei U das Potential der Kraft bedeutet, die auf den mate- riellen Punkt einwirkt.
In den folgenden Betrachtungen soll die Enveloppe einer solchen Extremalenschar durch einen festen Punkt bestimmt werden.
A. Die Enveloppe der Extremalen des Variationsproblems 6 ſWCotgr 4 Tghds= 0. Nach§ 4, Gleichung(1) waren die Bahnkurven dieses Problems gegeben durch: 1+ NMc(ρ ½) † 1 cos( ‧— G.) wobei zur Abkürzung Sin’c= c und Tgh= h gesetzt wurde.
Durch eine einfache Umrechnung kann diese Gleichung auf die Form:
Tgr—
(1) Tgr+ Wc(+.‿ ½¼)+ 1 Tg?r cos ꝙ cos + VWc(+ h)+ 1 Tg r sin sin„— 2= 0
gebracht werden.
Es8 Punkt 4 Koordina so Iu leg
Die d. h. die
woraus die erha
() FC
wobei Zu
gesetzt Die
Von C A
Hierin
Der gleichun betrach Kurye daß vu
Ma
6)

— 23—
Es soll nun die Extremalenschar durch den beliebigen daß Punkt P. betrachtet werden. Durch entsprechende Wahl des Koordinatensystems wird es stets möglich sein, die Polarachse so zu legen, daß auf ihr P, zu liegen kommt. Die Koordinaten dieses Punktes sind dann: ugs.=,„= O.
den. 3 d. h. die Extremalen durch diesen Punkt erfüllen die Gleichung:
Tgr. VW(ᷣ£ h)+ 1 Tgr. cos Gß— 2= 0,
woraus sich cos e und sin, bestimmen lassen. Setzt man die erhaltenen Werte in Gleichung(1) ein, so ergibt sich:
rven(2) F(r,&, c)= Tgr Tgr.+ Tgr cos(20— Tg r.)
d+ 2 Tgr sin Vu‿ ν- 2 Tgr.= 0, nmt. lions- wobei zur Abkürzung ½=— eut 3 und"= h Tg'r.+ Tgr. gesetzt wurde. 3 Die Gleichung der Enveloppe ergibt sich durch Elimination lnate- b von c aus den beiden Gleichungen: „ O. 31 ,. g. emner 4(O,„, O)= 0;——— 0. immt Die Rechnung ergibt: 4[à Tgr. Tg r(1— cos g) vu]= WſX vu*— g„*]. lems Hierin ist 4= à*—„ p und u= Tg 1.— Tgr cos;„»= Tgr sin c. ieses Der Fall, daß auf der rechten Seite dieser Enveloppen- gleichung bei vu* das(—) zeichen gilt, soll hier nicht näher betrachtet werden. Er liefert(ähnlich wie im eukl. Fall) eine Kurve 6 ter Ordnung. Von größerem Interesse ist der Fall, daß vus das(+) zeichen besitzt. ude Man erhält dann: nung
(3) A[u Tgr Tgr.(1— cos) † vu]= 1„ VW.
Eine Lösung dieser Gleichung ist 4= 0, also a—= 0. Man findet:
— Sin r. Sin r cos&+ Coſ r. Coſr= 1.

— 24—
Dies ist aber die Gleichung eines Kreises in der hyper- bolischen Ebene um den Punkt æ= r.;= O mit dem Radius Null, also der feste Punkt Po.
Eine zweite Lösung der Gleichung(3) ist gegeben durch:
² Tg r Tg 1.(1— cos ꝓ) 4 vu= vVW oder: Tgr ſu Tg'r,.**—(u Tger. 2„ Tgro—) cos ꝓ=— 2„ Tg'r.. Setzt man hier wieder die Werte für u und» ein und 1 berücksichtigt man die in§ 4 gefundene Beziehung h=— Tg2a: so ergibt sich: 2. Tg 2a TZgr.- Tg 2a T9= 3 Tgr⸗(Tg 24 b 1 e a 1) Tgr.(Tg 2a+ 1)— 2 Tg 2 Die Enveloppe ist ein Kegelschnitt, dessen Brennpunkt im Koordinatenursprung liegt und dessen Hauptachse mit der Polarachse zusammenfällt. Zur besseren Diskussion dieses Kegelschnitts soll der Koeffizient von cos auf eine andere Form gebracht werden. Es ist:
cos ꝙ
Tgr.(Tg 2a- 1) Sin 1.
Tgr.(Tg⸗24+ 1)— 2 Tg 22 Sin(4a-— 1.)
Diese Form gestattet sofort folgendes Resultat abzulesen: Der Abstand der beiden Brennpunkte, also 2c, ist 7, d. h. der zweite Brennpunkt der Enveloppe ist der feste Punkt 4 Ferner ist die große Achse gegeben durch 2= 4— 76, wobei a die große Halbachse der Enveloppe und a die große Halbachse der Ellipsenschar bedeutet, die ja nach dem Vorher- gehenden konstant ist.
B. Die Enveloppe der Extremalen des Variationsproblems 6 ſVTg2h— Tg'r ds= 0. Aus§ 4,(2) findet man durch eine einfache Rechnung: Tger he‿ VW- 4 sin 2%e cos 29%
wobei zur Abkürzung Sinec= c und Tgh= h gesetzt wurde.
Die
müssen d
genügen. man die ein, 80 c
9) T
Hierin i Es
d(r
und hie 6) 1
wobei! -2 T9G Es zeichen chung Die

Die Bahnkurven durch den festen Punkt P,(r= 75, 9= 0) müssen der Bedingung:
Tg'r+c)+ Tg'r. Vh+ c)— 4 sin 2 e= 2 genügen. Berechnet man hieraus sin 2&, und cos 2% und setzt man die erhaltenen Werte in die obige Kegelschnittsgleichung ein, so ergibt sich:
(4) F(r,, c)= Tg'r. Tger-h+ Tger. Tger.e Tg*r cos 2(—(Tg'r,— 2)— h Tg'r.) — 2 Tg'r sin 2 Vuν‿ e— 2 Tg*r.= 0. 1
o und—= 2 gesetzt.
Hierin ist h Tger,— Tg“*r 9 0 g 0 Coſ⸗ 20 d 8½
Es ist also:
0(r, ꝙ, G o 10(T. C. 9)= Tger. Tger— Tger cos 2 G(Tger,— 2)
Oe v+ 2G Vaς ‿ νo
und hieraus erhält man nach Elimination von c:
— Tg'r sin 2 G
(5) 1[2 2 Tger, Tg'er-h-—»Tg'r, Tger+ Tger(Tger,— 2)» cos 2 G — 29 Tg'r. Tg'r. h cos 2 9+ 2 Tgr. =— vVWſ u*— 4 4 F), wobei 1= u*— 4 G p und.= Tg'r. Tger— Tg'r cos 2p(Tger,— 2) — 2 Tg'r; v= Tg=r. sin 2 p gesetzt wurde.
Es soll hier ebenfalls auf der rechten Seite nur das(+)- zeichen berücksichtigt werden. Eine erste Lösung dieser Glei- chung ist 7= 0.
Diese führt auf die Gleichung:
Coſ? Coſ r,— Sin? Sin 1, cos&= 1. Dieser Fall liefert mithin wieder den Punkt P,(r= r.,& ‧☚σ0). Eine zweite Lösung ist gegeben durch: 2“ à Tg'r. Tger.h—» Tg'r. Tg'r+ v Tg'r(Tg'r,— 2) cos 2 G — 2 ½ Tg=r. Tg'r- h cos 2 9+ 2 Tger,=—»W.
Hieraus findet man nach Einsetzen der Werte für àQ und" und Einführung der Koordinaten x= Tgy cos; y= Tgr sin f die Enveloppengleichung der Extremalenschar in der Form:

v n, 1 1— Tg'r⸗
Dies ist die Gleichung eines Kegelschnitts mit dem Mittel- punkt im Koordinatenursprung, dessen Hauptachse mit der æ-Achse zusammenfällt.
Aus: n T 2„— SFo y J„= Sg Tg d= Tg h; Tg 5= 1— Tg*r, findet man: 1. 1— Tg'⸗ Foſ²— Foſ*——8 Cofia e) a Mithin ist: Coſ⸗ 1 Coſe— Luſa= werse
also: Tge= Tg⸗, oder= w
Der feste Punkt P, ist der eine Brennpunkt der Enveloppe. Der zweite Brennpunkt ist der zu P, symmetrisch zum Mittel- punkt gelegene Punkt.
C. Die Enveloppe der Extremalen des Variationsproblems
Aus§ 4,(3) findet man: (6) Tg'r+‿— Tger Wh+‿;+ 4 sin 2 G%e cos 2 — Tg=r VW/+ c)“+ 4 cos 2% sin 29— 2= 0. Die Extremalen durch den Punkt B,(= r.,&= 0) müssen der Bedingung: Tg'r.(à+—¶X Tger. V/+)+ 4 sin 2= 20
genügen. Berechnet man aus dieser Gleichung sin 2%0 und cos 2% und setzt die erhaltenen Werte in(6) ein, so ergibt sich:
(7) F(r, o, c)= Tg'r. Tg'r h+ ¹) + Tg'r cos 2(—(Tg'r,— 2)— h Tg'1.) — 2 Tg'r sin 2 p VWα+‿¶ ε— 2 Tgr.= 0,
wobei=— Se und»= Tg,+ Tg, ist. 0
Au Mittelp Haupta
AI
De Der zw punkt
D.
In Punkte

27— Durch partielle Differentiation nach und Elimination von c aus(7) und der differentiierten Gleichung erhält man: ttal. 4[26 Tger, Tger-h—» Tger, Tg'r+» Tg'r(Tg'r,— 2) cos 2 G der— 2u Tg'r. Tger. h cos 2+ 2„ Tg'r,.)=—„à W. 4 hat hier dieselbe Bedeutung wie in§ 5, B. Eine erste Lösung dieser Gleichung liefert wieder den Punkt H,(r= v,= 0). Eine zweite Lösung ist gegeben durch: 2 Tg'r, Tger. h—»Tger, Tger⸗ h cos 2+ 2„ Tger,=—»W. Hieraus findet man wieder nach Einsetzen von à und v: Tg'r(h— h Tg'r.+ Tg'r,(1+ h) cos“)=— h(h+ Tg*r.),
oder nach Einführung inhomogener Koordinaten:
1. NE ⸗— h— Tger.— 1. bppe. 1— Tg'r, ſttel⸗ Auch hier ist die Enveloppe ein Kegelschnitt mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung und der x-Achse als Hauptachse. lems Analog wie im vorhergehenden Falle ergibt sich wieder: Tge— Tg o, also= 7. Der feste Punkt P,. ist der eine Brennpunkt der Enveloppe. Der zweite Brennpunkt ist der zu P, symmetrisch zum Mittel- punkt gelegene Punkt. üssen D. Konjugierte Punkte in der hyperbolischen Ebene. In den folgenden Betrachtungen sollen die konjugierten Punkte des Problems der elastischen Anziehung bestimmt und werden. ache Es sei in der hyperbolischen Ebene eine Extremalenschar
durch den Punkt P. gegeben. Je zwei unendlich benachbarte Extremalen schneiden sich in einem Punkte, den Kober¹) als konjugiert kinetischen Brennpunkt bezeichnet. Der geometri- sche Ort aller dieser Punkte ist dann die bereits oben be- stimmte Enveloppe dieser Extremalenschar.
1) H. Kober, Konjugierte kinetische Brennpunkte, Dissert. Breslau 1910.

28 Die Gleichung der Extremalenschar kann in der Form:
F„, G, e, Gr)= Tgr coss( G0) 1 4. 4. WA; 4e + Tger sin²(— Go h— VWO*— 4%— 20— 0
geschrieben werden, worin Sinec und Tg)h durch c und h er- setzt wurden.
Die zu einer Kurve dieser Schar unendlich benachbarte Extremale hat die Gleichung:
0 ⁷„ O9, 6, 0 G(, G, C, 9o)= 70, 9,(, 9o)+ 14 3 g) de
0 ◻(r, G, c, Go)— + 35 d— 0.
Aus beiden Gleichungen findet man durch Subtraktion und Einführung der inhomogenen Koordinaten x= Tgr cos(— Po), y= Tgr sin(— o) die Gleichung:
dge 2 do[2(G+)*- 4)
NVOo+ o)= 4(r' ℳ y) 4 h t e- 2)(E= v)= 2 Wh+ e)— 4 xy Da die linke Seite dieser Gleichung unabhängig von dem betr. Schnittpunkte ist, so ist die rechte Seite könstant. Für den zu P, konjugierten Punkt besteht mithin die Beziehung:
y-(1— Tg*a)— x(1— Tg 5) † Tgea— Tgb= kxy.(K= konst.)
Setzt man nun x= Tga cos!; y= Tgo sin!, so geht diese Gleichung über in: k Sin 5 Coſ b, Sin 5
9 ◻—— ts Tga 3 Sin a
= 0 h).
Die Wurzeln dieser in tgt quadratischen Gleichung seien tgt, und tgt.. Für das Produkt der beiden Wurzeln findet
man: Sin a
tg h tg 1.=— Sin⸗5 3
1) Eine ausführliche Diskussion findet sich bei Kober, a. a. O.
oder Wer
Da möß er
Aus
Die den kor Weise Probler

barte
29
oder wenn man bericksichtigt, daß x= Tga cost, usw. ist: Tg'a D. Sin 5 x. Tg 5 k Sina w.
Da der Punkt P,(xe, ve) ein Ellipsenpunkt sein soll, so muß er die Ellipsengleichung erfüllen. Es ist also:
L2 v Tg'a 5 Tg-*5
Aus beiden Gleichungen findet man:
= 1.
r.
4 Mg'a Sin ay.+ Tg’ Sin“ b x.— — Tg Sin or.
ve
VTg-a Sin⸗ ay. 4 Tgeh Sine bx.
Dieses Gleichungssystem liefert also zu jedem Punkte P, den konjugiert kinetischen Brennpunkt P,. Auf ganz analoge Weise erhält man die konjugiert kinetischen Brennpunkte des Problems der elastischen Abstoßung.

—- ꝗ ð /ᷣꝑj

als S0

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
mit tätiger Beförderung der Giessener Hochschulgesellschaft
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XVIII. Heft
Pfaffsche Gleichungen
als Schnittbedingungen von Kurvenscharen
von
PAUL STEINBACH
aus Mainz
Giessen 1930
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstr. 16
Preis RM. 1.50

[.da—
Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht. Genehmigt durch die Fakultät am 24. Januar 1930.
Berichterstatter: Dr. Engel. Dr. Schlesinger.
Druck der Dieterichschen Universitäts-Buchdruckerei(W. Fr. Kaestner) in Göttingen.
In
Integral hat Her Scharen Berühru Kurven geben. In der umg mension jedem I ordnet Monges frage: chungen und de ergeben Die
antenth im Jah
Me
dessen vorlieg Stelle: Studien fassung

Jöttingen.
Einleitung.
In seiner Dissertation„Uber Berührungsbedingungen bei Integralkurven von Differentialgleichungen“(Greifswald 1905) hat Herr Wünschmann die Frage behandelt, wann sich bei Scharen von 00" Kurven in der Ebene als Bedingung für die Berührung(n— 2) ter Ordnung zweier unendlich benachbarter Kurven lauter Mongesche Gleichungen zweiten Grades er- geben.
In der vorliegenden Arbeit gehe ich gewissermaßen von der umgekehrten Fragestellung aus. Im Raume R, von„ Di- mensionen denke ich mir ein Mongesches System gegeben, das jedem Punkte einen rationalen Kegel(n— 1) ter Ordnung zu- ordnet und das ich daher durch ein System von*½(n— 1)(n— 2) Mongeschen Gleichungen zweiten Grades darstellen kann. Ich frage: Wann genügt diesem System von Mongeschen Glei- chungen eine Schar von 00“ Kurven, die den Raum ausfüllen und deren Schnittbedingungen lauter Pfaffsche Gleichungen ergeben?
Die Behandlung dieser Frage geschieht nach der invari- antentheoretischen Methode, die Herr Prof. Friedr. Engel im Jahre 1905 in den Leipziger Berichten entwickelt, hat.
Meinem hochverehrten Lehrer, Herrn Prof. Engel, auf dessen Anregung und mit dessen nachhaltiger Förderung die vorliegende Arbeit entstanden ist, sage ich auch an dieser Stelle meinen herzlichen Dank für die reiche Förderung meiner Studien und die stets bereitwillige Unterstützung bei der Ab-
fassung meiner Arbeit.

—
4
—
—
Erster Abschnitt.
Allgemeine Theorie.
Die Veränderlichen im Raume R, bezeichnen wir mit Tr...*p. Wir führen einen Hilfsparameter t ein und fassen
.x, auf als Funktionen dieser Hilfsgröße t. Dann kann ich mir das System von Mongeschen Gleichungen zweiten Grades mit Hilfe zweier homogener Veränderlichen u und p definiert denken durch das System von gewöhnlichen Diffe- rentialgleichungen erster Ordnung
n— 1 — n- 1 n—2. n- 1 32 I,— As e,( 1 Gr. e+ Gn=, 2 97
(1)* do⸗ 2ze 2-1 1- 7—0 ( 1, 2,„= 3).
Die an bedeuten hierbei bestimmte vorgegebene, analytische Funktionen der x,, von denen wir nur voraussetzen wollen, daß ihre Determinante nicht identisch verschwindet
(2) 4= ſ.*0.
Zu den Gleichungen(1) sind noch zwei weitere Gleichungen hinzuzufügen, durch die u und v' als Funktionen von x... e, u und» bestimmt werden, über die ich aber zunächst noch keine Aussagen machen kann. Das System(1) ist bestimmt bis auf eine lineare, homogene Transformation von u und p mit Funktionen der x, als Koeffizienten. Insgesamt habe ich also durch Einführung der Veränderlichen à und v ein Diffe- rentialsystem von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung in der Normalform erhalten.
Ich frage nun: Wann genügt dem durch(1) definierten System von Mongeschen Gleichungen zweiten Grades eine
Schar!
63) deren geben 2 W gegeber
9)
Unsere durch
Vo einer u tisch d halten.
6) so beke
c 2u G die Ko
Sollen muß of (6)
Durch
komme
von M

f mit fassen kann weiten und
Diffe-
ttische n, daß
ungen e, Enr noch ttimmt und 9 be ich Diffe- erster
werten
3 elne
Schar von 0 Kurven (3) I,= T(Z,. 2)
deren Schnittbedingungen lauter Pfaffsche Gleichungen er- geben? Wir denken uns das allgemeine Lösungssystem von(1) gegeben durch 2r= E(, w... ce),
(4) 2 hh(7,&.. Ge), 9= h(E, wr.. 2)-
Unsere Kurvenschar ist dann, wie in(3) bereits angegeben, durch die ersten der Gleichungen(4) dargestellt.
Von einer beliebigen Kurve der Schar(3) gehe ich zu einer unendlich benachbarten über. Dies drückt sich analy- tisch dadurch aus, daß die Parameter c die Zuwachse dc er- halten. Führen wir die Variationsbezeichnungen ein
b u, Sa. (5) Oa.= 2.— Ger,, Oaæ=— 995—
„= 1 so bekommen beim Übergang von einem Punkte P der Kurve c zu einem unendlich benachbaren Punkte der Kurve e+ de die Koordinaten von P die Zuwachse
Oæ,+ a dt.
Sollen sich zwei unendlich benachbarte Kurven schneiden, so muß offenbar sein
„1— (6) Oa a,.= 0. Durch Elimination von? und dt aus diesen Gleichungen be- kommen wir die Schnittbedingungen in der Form eines Systems von Mongeschen Gleichungen
(7) O.(G. G, der. Ae,)= 0.
1
Wir verlangen nun, daß sich als Schnittbedingungen lauter Pfaffsche Gleichungen ergeben, daß also die Schnittbedingungen (7) alle linear und natürlich homogen in den Differentialen werden.
Durch Elimination von k und dt sollen aus dem Systeme (6) lauter Pfaffsche Gleichungen

8
———
—
2
— 6—
2 (8) p(G. 6,) de,= 0 2= 1 hervorgehen. Nun ist aber das System der ersten Gleichungen (6) sicher nach den dc, auflösbar. Wir können infolgedessen die linke Seite jeder Pfaffschen Gleichung(8) durch die òx, ausdrücken
1 (9) D. v(C) dc,= 2. 6.(, G) dæ.. 2— 1 5—1 Die Pfaffsche Gleichung(8) soll aber eine Folge von(6) sein. Setze ich für die òx, ihre Werte aus(6) in(9) ein, so folgt die Bedingung 72 (10) 6,.= 0. 2— 1 Ferner darf, da die linke Seite der Identität(9) den Para- meter nicht enthält, auch die rechte Seite t nur scheinbar enthalten, es muß also die Ableitung nach identisch ver- schwinden. Beachten wir noch, daß gilt
d 9 2 Ga, Oa Oa³ qr Oaæ,— da, 2 32, Oæ,+ S duα‿ 55 0, so folgt 22 42 Oo, (11) D(10 4 ,5)= T.(6, † V. 8. Z2. ſe. 51 41„= 1 O 1 1 + X 6.— u. 26 3,= 1= 0 2— 0
Da die dæ, du und dv vollkommen unabhängige Varia- tionen sind, müssen ihre Koeffizienten einzeln verschwinden. Das liefert zur Bestimmung der 6, zwei endliche Gleichungen
7⁴ Or, Og, 12 3. 2— 3. 7—( 1) 21 du 9 26 d 3
und ein System von Differentialgleichungen 2 ⁴½ ⁴½
1 2
21 1 27 2 Te— (13) 6+ 2 6, 57 0.
3 2= 1
8 benac! Gleich und di ohne Pfaffs Pfaffs Lösun wesen darf d neare Gleich
B halten wir fi Gleich
(14)
(15)
05 die verma den Da für Bedi der g häng
Zunâ

angen essen e dx,
on(6)
n, 80
Para- ſeinbar 1 ver-
— 7—
Soll nun unter den Schnittbedingungen für zwei unendlich benachbarte Kurven der Schar(3) überhaupt eine Pfaffsche Gleichung enthalten sein, so müssen die Gleichungen(10),(12) und die Differentialgleichungen(13) befriedigt werden können, ohne daß alle verschwinden. Sollen alle Schnittbedingungen Pfaffsche Gleichungen sein, so müssen gerade— 2 unabhängige Pfaffsche Gleichungen dieser Art auftreten, das allgemeine Lösungssystem der Gleichungen(10),(12),(13) muß daher— 2 wesentliche willkürliche Konstanten enthalten, d. h. aus(10),(12) darf durch Differentiation und Benutzung von(13) keine li- neare homogene Gleichung zwischen den 6 folgen, die von den Gleichungen(10),(12) unabhängig ist.
Bis hierhin sind unsere Untersuchungen ganz allgemein ge- halten. Um sie auf unser spezielles System anzuwenden, haben wir für die æ, nur ihre Ausdrücke aus(1) einzusetzen. Die Gleichungen(10),(12) und(13) nehmen sodann die Form an
„— 1 2,— 1 19 9⸗swr1)aeeenen=c, 7— 1 1— 0 K 1„— 2 9 2 6. I 4. 5 Clxi ue= 0, 2= 1 1= 0 k (15) 21„— 2„— 2 2 6,( er⸗ u p— 0, 4=1 k= K 3 1 /— 1— 16 d) a n ſr=. v= 1= O0 k Oa,
Die Gleichung(14) ist eine Folge der beiden Gleichungen (15) und kann daher weggelassen werden. Differenziert man die Gleichungen(15) und eliminiert die Ableitungen der 5, vermöge(16), so dürfen sich nur solche Gleichungen zwischen den 6, ergeben, die bereits aus den Gleichungen(15) folgen. Da die Gleichungen(15) zwei lineare homogene Gleichungen für die 6, darstellen, so bleiben, wenn die eben ausgesprochene Bedingung erfüllt ist, im ganzen n— 2 von den Anfangswerten der 6, willkürlich wählbar. Man erhält demnach n— 2 unab- hängige Pfaffsche Gleichungen.
Ich beginne mit der Ausführung der Rechnungen und habe zunächst die beiden Gleichungen(15) total nach? zu diffe-

—-————
——
—
— 3
renzieren. Die nun folgenden Entwicklungen gestalten sich sehr elegant und übersichtlich, wenn ich die Symbole der in- finitesimalen Transformationen
(17) Aerf= D 4= 0, 1 1
einführe. Die Ableitung der a, nach? drückt sich dann fol- gendermaßen durch die 4A, f aus
do, 3 Sar,, Ga 1/„,— 1„ 12 a 7 E, eSe. auuo 2 (18) 6 2— 1 1»= 1 CT,„= O0 21 „— 1 =()4. α ινν.
Multipliziere ich ferner die Gleichungen(16) mit αᷣif miere nach, so erhalte ich
und sum-
2//— 1„„— 1 1 d) Bas==X.)4deuneo. 2—1 2= 1 5 0 5
Nach diesen vorbereitenden Bemerkungen komme ich zu meiner eigentlichen Aufgabe zurück, nämlich die beiden Glei- chungen(15) nach zu differenzieren und die Ableitungen der 6, durch die aus(16) folgenden Werte zu ersetzen.
Ich führe die ganzen Rechnungen zunächst für die erste Gleichung(15) aus. Diese gibt differenziert
n„— 2 2 2„— 2 .2ö=2. n— 2— 85 6 8( uuεu 8—(. Cxe 2An2=kK 1—1 1=—o 5 4=l L=o a 20 (——„—2 0—3— 1„ ,“ n-2— K„„K 1„ + 2½ 1 hu*‿ 2— hu ke b PEu e)= 0. 7—9 4
Benutze ich nunmehr die in(18) und(19) abgeleiteten Beziehungen, so folgt hieraus
2 n= 2n— 1 2 9 n— 2 /ſ— 1., 2 6,— 2( 5) 2enns ni 2 13(4„ Clu— 44 G½) 7=1—09—0 2 00
„— 2, —ſmn= 2 3 — X 2 A.r((— 2— Lb) un ³- p uꝗ+‿ R A“ 2k pbt 5= 0. 5= 0 3
(21)
Es liegt nahe, für den Ausdruck(A αᷣ‿— A z) eine Ab-
kompl. Summe koeffiz In liche chunge chunge dafür liche
dieser
1
binge Matri Buche

fol-
Ab-
9
kürzung einzuführen. Ich bezeichne dementsprechend
(22) A erᷣ a dr Phai
k*
Dann ist (23) Paki—— Phui, Puui— 0.
Wenn ich beachte, daß po= 0 ist, geht die Gleichung (21) über in
71 2/— 4 1 — 6,„ X)*n 7 6— l„— 1) 3, 1„— F„+ 1— k)/2*»ri- b:
rr((— 2— k) u ³εyν ꝙ+‿K u“ 2 p n= 0.
Die linke Seite der Gleichung(24) ist durchaus nicht so kompliziert wie es zunächst den Anschein hat. Denn bei der Summation über ½ von 0 bis»+ 1 bricht wegen des Binomial- koeffizienten die Entwicklung bei= n— 2 ab.
In der Gleichung(24) habe ich für die 6, eine neue end- liche Gleichung erhalten. Diese muß mit den beiden Glei- chungen(15) verträglich, d. h. eine Folge dieser beiden Glei- chungen sein. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, daß in der Matrix der Koeffizienten der 6, sämt- liche dreireihigen Determinanten verschwinden. Die Matrix dieser Koeffizienten ist
„— 2 7— 2 —()«⸗ 2dn 2 p
46=O k /— 2/— 4 6 ar,1 uν‿νν 2 7— 0 k 3 (25) 2„— 4„. 1 2„ „. rA.uhe- „= O 4=O. W.)e 1.— Eh.
2„— 2— 3— K„N 1 n— 2— 7— 1, — 4 crsr(("— 2— k) up k. u 2)). 1= O0 Die Matrix besitzt Kolonnen, von denen ich nur eine hingeschrieben habe. Die dreireihigen Determinanten dieser Matrix bekomme ich, wenn ich in der ersten Kolonne den Buchstaben i, in der zweiten J und in der dritten den Buch-

— 10—
staben F nehme, wo i, J und k irgendwelche der Zahlen 1, 2. 22
bedeuten und ĩ=== k zu gelten hat. Rechne ich diese Determinante aus, So bekomme ich eine
Gleichung von der Form (25⁰) v. A.— 2= 0.
Bei dieser Ausrechnung der Determinanten muß ich für die Summationsindizes, die ich in(25) in allen drei Reihen mit » benannt habe, verschiedene Buchstaben einführen. Ich wähle als Summationsindizes ², v und o und bekomme für. den
Ausdruck n— 2 2/— 2/¼ „— 2„y— nee 4= 2( jur uuℳ.( j e
9= 0 6 v= O0 v
27— 4 e.1m 2 n- 1 „*reAn b„2o 2o 4 N 1=4
ſo. 1, 71, Ori=A, X— Cuus C„ †1, 5 Pa, rε‿2,+ G eνν, ½ᷣ T1, ti-1,—
2902
Ceu, CM„1, 77, 9+ 1-2, X 55 ur Ar†1, 77, 0+- 2, ⸗— Gnur,) 27, 0+1, 3.
Wenn ich die Summe&+‿ ˙†‿ als neuen Summationsindex einführe und diesen wieder mit à bezeichne, geht(26) über in
4 ν— 8 O- 1„„= 2— a— e—— 44= a ee 2 1 a„—1( n— 2 5 2) 4= 0 202o 4 0+ 1— 4/—O.— v—T/
(27) Ta, 0+-A4, k(¾ο‿ά--, rr, 3——(,⁴—z-, Gy †, 2) 5 T. 9-4, 1(&a ,, ,ri, 3
A 1 G. r,,]+ T7. 0+-4,(A*‿σ k Cy 1,⸗ Cu 9, i Crr, 2).
—= 9,¹
Ich gehe nun über zur Ausrechnung der Determinante 2. Es
ist n— 2 7— 2%—— 42=—— 1 A 2 = 0= O0 0 v n/— 2/— 2 (28) 2 de ε‿½—ghweoeu. 0= 0
n— 2— 0„„O— 1„ - 9: 10 5 15) Cu(Kn1., Cox— rr, k 1) 009(G, 7 Goi
— Gn1 ar)+ Aer(&er 2e— rr, 2eei).
Auf Grund einer Bemerkung, die ich schon bei(27) hätte machen können, führe ich hier eine Abkürzung ein. Man sieht nämlich, daß sowohl in(27) wie in(28) auf der rechten Seite
Determir In 27) 8 determin determin
69)
Dies der Ang sofort 1 man mit Indizes der Det tion än
Die in(27)
(30)
Wenn
stimme die ich Ausdru v m Summa-
631)

*44
ſeine
für mit ähle den
19l,
hätte sieht Seite
— 11—
Determinanten aus der Matrix der Koeffizienten, auftreten. In(27) sind es zweireihige, in(28) sind es dreireihige Unter- determinanten. Für die in(28) auftretenden dreireihigen Unter- determinanten führe ich die folgende Abkürzung ein
C u Cun 5— 11 (29) Anl, Gr1.) r.,2— 4* 3 oi Co, Go
Diese Bezeichnung ist vollkommen eindeutig, denn aus der Angabe der Indizes ui, vj, ok kann man die Determinante sofort rekonstruieren. Weiterhin hat sie den Vorteil, daß man mit ihr gut rechnen kann. Permutiert man nämlich die Indizes eine gerade Anzahl mal, dann ändert sich der Wert der Determinante nicht. Bei einer ungeradzahligen Permuta- tion ändert sie ihr Vorzeichen. Es ist also z. B.
17 vi 17 0 4=— 4 u*— K4=— 4 usw. Ok Ok de uK
Die Abkürzung für die zweireihigen Determinanten, die in(27) auftreten, ist dementsprechend
(30) 7 Clnn
** Aui —„j.
C
129
Wenn zwei der vorderen oder der letzten Indizes überein- stimmen, dann verschwindet die Determinante, eine Bemerkung, die ich sofort anwenden werde. Zunächst will ich aber den Ausdruck(28) für, übersichtlicher schreiben. Bezeichne ich u+y mit s und führe ich an Stelle von ½‿.ν fo als neuen Summationsindex wieder à ein, so bekomme ich
32— 7„ 2 2= u! A sntu„u 8. 0 2— 49 j.
6=0 8= 0 44—5
8— 2?
6 i. 2) ae
(31)„=O= JS 2) 3„— 6„— 2 + v 2030—6-0„u-* 1—) 9= 0 8= 0 f5

—
— —
— 12——
Ich möchte hier bemerken, daß die Summation über s eigentlich zu erstrecken wäre von à—(n— 2) bis g. Ich habe aber den Index von Null gehen lassen, da wegen des Bino- mialkoeffizienten diese ersten Glieder doch nicht vorkommen.
Nunmehr erinnere ich mich der oben gemachten Bemer- kung und betrachte zunächst das erste Glied der rechten Seite. Man erkennt sofort, daß ein Glied für= O und à= 1 nicht auftritt. Daraus folgt, daß ich aus dem ersten Summanden von(31) v herausheben kann. Ich bekomme
7„ 2 17. 32— 9 u„„G 82 n— 2 Ae= u ve. à(n— 4— 4— 6).
= 0 8= 0 4+₰ 2— s S8 ſn— Mſn—= 2)„s= p.: 32„2 ſe„Ain 3 ½— 7 u.— 2 55„! 3— An u„0* 1,) 40 8=0 25 5 11
8 2 2
n=— 2ſn 2 4 „=O v ſêS—„) ari-s,x.
In dem zweiten Summanden der rechten Seite von(32) tritt für ‧= 0 kein Glied auf. Ferner fällt, wie man sich leicht überzeugt, in diesem Summanden auch das Glied für u= 3n— 7 fort. Es tritt also kein Glied mit u oder» allein auf, sodaß ich u-v herausnehmen kann und bekomme
3„— 9 u+„— 2 e,= a e ,0— 4— 449)
4—0 8=( 4+‿ 2—s ſn— 2 ſn— 21„s-: 3. (33)„2 96„ 4— 2) 423e 6 3 7— 9 u+ 2— † uoe u..+ 2—9)(2. 2=0 s=0 4.2—5
und daraus folgt sofort
37— 9 u+ 2„— 2 (34) 4= p(ou— u) uen e. 0—4— urs)). 4— 0 5—0 6
—ꝛꝛe
Se die Bec 9 der 80 erha
(ur
(35)=
Au ziehen. tion(63) Seite 8 die Div ich in s dar als können daß die mogene nur die liche F
ganzen
einzige
Da und n zeiten
Gleich

ber 3 habe Bino- inmen. emer- Seite. nicht anden
n(32) leicht 5= in auf,
— 3—
Setze ich nun die für h und, gefundenen Werte in die Bedingungsgleichung(25) ein und hebe gleich den Faktor v, der als Koordinate nicht identisch verschwinden kann, weg, so erhalte ich endlich
37— 9 à+ 2„2 (an— vu) T 4,.(- 4—+8 5 3 4=0 8= 0+ 2— 8 8§ 0 — 2)ſ— 2)„s-„, 2(„ l—„ 4*493. 1 „v— 0 2 4— 8 u 0+ 1, —— 8 7— 2„— 1 (35)=— 2 A(. I) 9= 0 9=O 2=SO 1 ol ⸗, * a. Ses n— 2 Vn— 28 Aen
5 V*1- 2, 1,2 Si e eee e J Vori=S,a⸗ Aarr 6 9.
Aus dieser Gleichung können wir schon einige Schlüsse ziehen. Als Faktor von(uv— wu) tritt eine homogene Funk- tion(3— 9) ten Grades von u und auf. Auf der rechten Seite steht eine solche vom(4— 8) ten Grade. Wenn also die Division ausführbar ist,— wann dies der Fall ist, habe ich in späteren Untersuchungen darzutun— stellt sich(uwo— we“) dar als eine homogene Funktion(n+ 1) ten Grades. ul und v können dann also— immer unter der gemachten Voraussetzung, daß die Division ausführbar ist— angesetzt werden als ho- mogene Funktionen ten Grades von u und v, die freilich, da nur die Differenz(ueν— ou) bestimmt ist, noch eine willkür- liche Funktion enthalten. Ferner ist zu bemerken, daß es im ganzen xn! solcher Gleichungen(35) gibt, die sich auf eine einzige reduzieren müssen, wenn unser Problem lösbar sein soll. Damit will ich die allgemeinen Betrachtungen abschließen und nur noch bemerken, daß man durch Differentiation der zweiten Gleichung(15) und Elimination der 6 vermöge der Gleichungen(16) zu genau derselben Gleichung(35) gelangt.

—y
Zweiter Abschnitt.
Erledigung der Fälle n= 3, 4 und 5.
§ 1. Der Fall= 3. Im dreidimensionalen Raume ist eine Mongesche Gleichung zweiten Grades gegeben durch das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung
(1) 2— gor(Er, Tz⸗ Ts) 2*+ 21,(xr, T., Te) ub As(r, Ta, Ta). 5= 1, 2, 3 A,= E(ar, Ar, J., 2, 9) 2— 7(Mr, Ee, s, ¹, v).
Die an sind gegebene Funktionen. Die Funktionen s und„ werden sich, wie wir bald sehen werden, aus der Forderung, daß die durch(1) bestimmte Kurvenschar nur Pfaffsche Glei- chungen zu Schnittbedingungen haben soll, bestimmen lassen.
Was nun die Ausführung der Rechnung anbelangt, wird man in diesem einfachsten Falle zweckmäßig nicht von der allgemeinen Formel(35) des ersten Abschnitts ausgehen. Es wird hier vielmehr praktischer sein, die Rechnung noch einmal durchzuführen, da die allgemeine Formel erst bei höherem e mit Vorteil zu gebrauchen ist.
Nach den Ausführungen des ersten Abschnitts wissen wir bereits, daß sich nur eine einzige Pfaffsche Gleichung als Schnittbedingung ergeben kann. Unsere Voraussetzung ist 4= alνʃ † 0.
Zur Bestimmung der 6, in der Schnittbedingung
3 3
(2) A 3,2.= 0 14—1
haben wir nach(15) und(16) des ersten Abschnitts die beiden
endlichen Gleichungen
3 3
Z2 6.(ναιέ‿ε‿mχ˙⁹)— 0 5—1
(63)
26,(g àX νν ½)= 0,
9 3
22
sowie
4)
und di lichen
In im ers n= Aus der p.
6)

nd yj ferung, Glei- assen. wird n der 14. Es einmal rem n
in wir
g als
g ist
Heiden
sowie die Differentialgleichungen
„ 3 O Oæœ Oœ (4) 6, 55( 0ℳ„„2 2 1¼¾ 27—,— 6. 2164 3e o † 5)= 0
1 E, Oa,
1
und diese Differentialgleichungen müssen mit den beiden end- lichen Gleichungen verträglich sein. Im Folgenden schlage ich einen Weg ein, der von dem im ersten Abschnitt beschriebenen abweicht, der aber im Falle = 3 der gegebene ist und sehr schnell zum Ziele führt. Aun den Gleichungen(3) kann ich nämlich die Verhältnisse der 6, bestimmen.
(5) 61.62:64—(Aa 2⁰²+ 2 A11 200— 421 9²)(4 2+ 242 220 † An p'):(Auu 2Au uv 4. A v)
Dabei haben die 4A5 die Bedeutung von Unterdetermi- nanten von A, aber es sind, wie ausdrücklich hervorgehoben wird, nicht die zu den ax adjungierten Unterdeterminanten. Da die Determinante 4A als von Null verschieden vorausge- setzt ist, verschwindet keines der 5, identisch.
Aus(5) ergibt sich
(6) 6.= 0(t)(Aν+‿ 2¶ 4, 1 4£‿4, ²).
Durch Einsetzen von(6) in(3) findet man die Relationen
3 3
(7) lor= D. Aer An= D An kla= a A42.=—=—. de. 11 —— 24 42— 0 Aor A2— 2a Cz⸗ K0³— 4
2 au4=== A.
Um nun zu entscheiden, ob die beiden endlichen Glei- chungen(3) und die Differentialgleichungen(4) miteinander verträglich sind, habe ich die beiden endlichen Gleichungen zu differenzieren, die dabei auftretenden Ableitungen der 5, vermöge(4) zu eliminieren und endlich für die 6, die Werte (6) einzusetzen. Dabei brauche ich, wie ich schon am Ende des ersten Abschnittes hervorgehoben habe, die Rechnung nur für die eine endliche Gleichung, etwa die erste, auszuführen. Die erste Gleichung(3) differenziert gibt

—
— 16—
4 3 1 7 dcν d
(8) 2 6.(&νπι⁷ε‿ αν ĩ) ‿ 85 6.(nu+ nr b u d 5
7=1 7=1 T
Benutze ich die beiden Relationen(18) und(19) sowie die Ab- kürzung(22) des ersten Abschnitts, so bekomme ich hieraus
3 (9) 9( ⁵) 2(v⁶ε 35 P2or 24⁹ 5 Pau 9*)(Adr u 5 24 1 200 r 4 2 9*) 21—
+ 9(t)(A£‿ 24 42 v?)(Aαι+‿ ά)= 0. 4—1
0(t) kann nach den gemachten Voraussetzungen nicht iden- tisch verschwinden. Wegen der Beziehungen(7) geht die Gleichung(9) schließlich über in
(10) 4(uv*— ves)— du¹* Vios 4 bu 20* 2 2(2y0r Au † P20: 4⁰) 1 2* 5—(pios 4 2 u 2 pe Au Peun 41)* Av(por** * 2pen 4 u) d v Va1* Aa.
Diese Gleichung läßt sich aber noch wesentlich verein- fachen. Da nämlich'die Determinante der an nach Voraus- setzung nicht identisch verschwindet, gelten Beziehungen von der Form
(11)(A 4)— ³ Parr(E) 4 f. Rechne ich die Klammerausdrücke aus, so gilt andrerseits
85 df (12)(4 4.)— 3(A G— 4, A.α̈ dæ,— 83 Puvk æ,.
Aus(11) und(12) folgt (13) Paui 3 DPurs. Cr
eine besonders für die späteren Untersuchungen äußerst wich- tige Beziehung.
Ich möchte an dieser Stelle betonen, daß die&e&ν nicht nur symbolische Bedeutung haben. Sie können vielmehr leicht berechnet werden, stellen allerdings komplizierte Differential- ausdrücke in den an dar. Es hieße natürlich den Vorteil, den man durch die Einführung der ꝙam gewonnen hat, wieder auf- heben, wenn man ihre Ausdrücke wirklich einführen wollte.
Dan fachheit (14) kar
(15)
Die Satz Zu
Ist zweiten diesem die den Schnitt Pfaffscl werden lichen form.
W bedingt geschriW gegeber

den-
wich-
nicht leicht atial- den auf- ollte.
— 7—
Setze ich in(10) für die pa ihre aus(13) folgenden Werte ein, so folgt bei Benutzung der Relationen(7), da die Deter- minante 4A nicht verschwindet
(14) d— veu“— O102 2* e(— O101 8 G 2) 208 9 f(Ooo— Q201 + Pe) u* 9+(Tepo= Paul) 169+ Pr10 P.
Damit habe ich eine Beziehung gewonnen, die an Ein- fachheit und Symmetrie nichts zu wünschen übrig läßt. Nach (14) kann ich setzen
„— 3 2 2 ,8 = 0. à+%‿ 01 1 † Gror 1 D Peu u— o P.
(15)— 3 e 7„4 9 ä= 0.L+ Gr † GPor 3 v+(roo GPꝛrs) u5+ Po 5.
Die gefundenen Ergebnisse fasse ich in dem folgenden Satz zusammen:
Ist im dreidimensionalen Raume eine Mongesche Gleichung zweiten Grades durch ein System(1) definiert, so gibt es in diesem Raume immer eine dreifach unendliche Kurvenschar, die dem System(1) genügt und für die die Bedingung für den Schnitt zweier unendlich benachbarter Kurven der Schar eine Pfaffsche Gleichung liefert. Diese Kurvenschar kann definiert werden durch das simultane System(1) und(15) von gewöhn- lichen Differentialgleichungen erster Ordnung in der Normal- form.
Wir können die Pfaffsche Gleichung, die wir als Schnitt- bedingung erhalten, selbst aufstellen, zunächst allerdings noch geschrieben in den òxæ. Setzen wir nämlich die in(6) ange- gegebenen Werte für die 6. in(2) ein, so bekommen wir
3 (16) 3(A ν+‿ 24£ 4 b*) d,= 0. 2—1
Führen wir die Anfangsbedingungen ein, indem wir den er, Te, xs, u und v für einen bestimmten Wert von k, etwa für t= to, vorgegebene Werte ν, ν, s, d und vo vorschreiben,
0
setzen wir ferner:.=„,=, G= 2, Sodaß also ist Oæ Oæ Oæ 9— 2 4 2„0 0a.,.— 3e¹ da dæν+ 1
so folgt
Oat, doo, 9
1 0 O ¹¹, 0 dæο 4‿ dn* du 3
Steinbach.

Q————
— 18—
und wir können unsere Pfaffsche Gleichung wirklich in den Differentialen hinschreiben. Sie lautet nämlich
3 (17) 3(44uινι+μ‿ 2 41 do po+ 4°„ 2) dan= 0. 7— 1 Der obere Index Null soll die Substitution k= l° an- deuten.
§ 2. Der Fall ĩ= 4.
Lehrreicher als in dem im§ 1 behandelten Falle= 3 gestaltet sich die Untersuchung für den Fall/= 4. Vorge- legt ist uns also in den vier Veränderlichen xl, x,, s,. das System von Mongeschen Gleichungen zweiten Grades
(1) 2 dεν(T½, e, s,) u Zs(G) 2 v 3() uv˙ a(„) v. 1= 1, /2, 3, 4 4 y S(a, u, 5) 9=„)(, u, 5)
mit nicht identisch verschwindender Determinante. Ich frage: Wann gibt es eine vierfach unendliche Kurven- schar T.= fr(t, ci,&*, es; ¹3), für die die Bedingung für den Schnitt zweier unendlich be- nachbarter Kurven lauter Pfaffsche Gleichungen liefert
(2) 2 6, S.= 0.
1=1 Nach den Untersuchungen, die wir bereits im ersten Ab- schnitt angestellt haben, ist hierzu notwendig und hinreichend, daß die beiden endlichen Gleichungen
4 2 6(4e 22 ο 2a uν 4‿ ααmbᴵ⏑vOe)= 0, 1—1 (3) 4 2 6.(&νπι ‿‿ 2, db+ ½ν ν)— 0
— 1
zusammen mit den Differentialgleichungen
4
3 Gο O Gan,„ Gha⸗
4 31 8( 0-„„3 11„„2 12:„„,. e„,
(4) 6. 216, r 2+ 3 Ga 1„+ 3 ee ud 4‿ 37 9)=0
erfüllt kürlich eben. 3 W für der wendig chung nur N für, de chunge
Summ dizes
N In Re kunder
Setze und s beider Unter sehlie
(6)
+ +

den
an-
urven-
Ab⸗- chend,
19—
erfüllt werden können, ohne daß sich für die 6, neue, von will- kürlichen Konstanten freie, lineare homogene Gleichungen er- geben.
Wir haben nun im ersten Abschnitt die Rechnung bereits für den allgemeinen Fall durchgeführt, es ist also nicht not- wendig, sie zu wiederholen. Ich kann vielmehr auf die Glei- chung(35) des ersten Abschnitts zurückgreifen und habe darin nur= 4 zu setzen. Dann bekomme ich als Bedingung da- für, daß die Differentialgleichungen(4) mit den endlichen Glei- chungen(3) verträglich sind, sofort die Relationen
2(uο- v)(uε⁴ν+ 2 A4½4 20⁰² 43+„ 43)= u Pr + 2u v. Dp A*,+ peA4*+ u* 9s Dprr(A4 A¹) 4p ℳA +(3„e.„ r) 4 ½+ 2u„ T pior 4* pe(A*, 3 A9,) 4(3pen (6) † v) 42 pan 4p+ u* b Piᷣdν 4„ᷣ*(3pe P⸗cn). (48+ 3 44) 4 Apa A*, paer Au]† 2u* T pe A12 4(3pen † P*ur) 4³* p(A*, 3 Au) P perr 4 u p,(3„n ℳ Pn) A4 4 pε&ν εϑ‿pan(A*4‿ 3 A¹)+2uqꝗ D p A44 pr A9 + 9 T Pr A48. Die auf der rechten Seite dieser Gleichung auftretenden Summenzeichen sollen die zyklische Summe über die drei In- dizes 1, J und k andeuten. So ist Zz. B.
2 J101 133— 7101 4*+ p10² 4+ P103 4 3
Nunmehr führe ich die schon in§ 1 benutzten Gan ein. In Relation(13) des erwähnten Paragraphen hatten wir ge- funden
Dar, Gar Cea.
Setze ich die hieraus folgenden Werte für die o in(5) ein und schreibe ich die dreireihigen Determinanten, die dann auf beiden Seiten der Gleichung(5) auftreten, als adjungierte Unterdeterminanten der Determinante 4A, so bekomme ich schließlich die folgenden vier Gleichungen
(6) 2(ueο— vu)(A u+ 42⁴ν τ£εο‿ 25 J. 492 9)= 23(Qro Aau * Ol0s K2)* 2u 2(— 9101 i 0²) 134* O203 4 2¹ ꝗ 103 4 1⁄⁴ 3 2 5²(3 0 4 2*r 85 3 en at Ga2) a⸗*— 9 101* 3 s* 0s) 12³
2*

—
—
5
—
—
20—
+(— Gr*† 4%ro) 416+ 30 s Ko*+ 2 p(3r— 3 Gn— Paor
+ Pau) Aa2οᷣ(Gio Pror 4+ ars) 424+(y— Pro= 3 ena 4. Para) 416
+(— Or* 3%,cs) A0+ u*o(3(3 X GMs)= 4 Pan. Drre) A43
+(4 by= 3 G= Par Pars) 42½ 2(Ploo 3Pr= P 4 is) 41¹ (6)+(Gir= 4 Ge ℳ 3(3 9e1 Pos])) 4*ε*ℳι 20 v(39ꝗꝓ Prr) A2
+†(o Pa) 42G+(Pro= Paiz Para) ia*(Oroi= 3 rns
— Grr 3 9G 1) A0 u p 3 9Ge A32+(4= Tari) 12⁴(3e
+ Paoo Gaes) 416+(3* Pan 4 us † 3%2a) 40 2b Te 4 24
4+ Tal 41u+(Pan— Parr) Ac0]* P(Paꝛo 1 Pse 406)
6= 1, 2, 3, 4.
Dies sind, wie schon einmal erwähnt wurde, im ganzen vier Gleichungen, für die ich zur Vereinfachung der weiteren Rechnungen die Abkürzung einführen will (7) 2(uv—- ve)= Sa. 4— 1, 2, 3, 4.
Sollen sich als Schnittbedingungen lauter Pfaffsche Glei- chungen ergeben, so ist weiterhin notwendig und hinreichend, daß in der vierreihigen Matrix
7 K
sämtliche zweireihigen Determinanten verschwinden.
Unsere nächste Aufgabe wird also sein, die zweireihigen Determinanten der Matrix(8) auszurechnen und die Bedin- gungen aufzustellen, die erfüllt sein müssen, wenn diese zwei- reihigen Determinanten sämtlich verschwinden sollen.
Bei den nun folgenden Betrachtungen spielt die vierreihige Determinante der dreireihigen Unterdeterminanten 4 eine Rolle. Bekanntlich ist
(9) B=[[A4= 4..
Da A nach Voraussetzung nicht identisch verschwindet, ist auch B von Null verschieden. Die zweireihigen Unterdeter- minanten von B bezeichne ich mit Biu, also
110)* u e

— 21=
Ich rechne die zweireihigen Determinanten der Matrix(8) wirklich aus, indem ich für die R und S ihre Werte aus(6) einsetze. Dann folgt
4 N So 11 14 10 2 722² 9„, 2 1(11) 2 8= 2, Ohlos B3= 2(2 ros Sen+ Po* SB) u b(— G01
8+ 3 9ers G⸗s) B2r(ſ— Gror 4 eos) B:+ 2(ſ— Pr ℳ Grr) B.2
— † P B3+ G B1 u* 9*2(Pro= Peor † Pans) B3,+ 2(ſ— Ge⸗ 4 3s Gs) B.+ 2(— Gir ℳ 399,13) B †(39 99= 4 G ℳ 3Gen⸗ + P⸗o?) 5=(— Po⸗ 4 ra) 5 2 0 Pao2) 6*b+ 2os B.2 + Gr) B3 1ℳ u L(4eo= 3er= Paar Pars) B2*(Gioo= 3Pen — ꝙ. † 4 Pau) B4+(Pio— 4 G** 9 is † 3%oa) B5 2(3% bo
Lan— 3 G1=— Par Pare) B4+ 2(— Pror 3e1s+ Pacs) S1 1. 2(— Pia⸗ + 3+ s) B2+(39 00b9 4 Ge 3 e e 4 Po2) 1+(— Tt Gans
3,4 V+ Paas) BI 2(— Gr ℳ G) B2 4 29ens B2]+ b 2(39ð ℳ Geo
Alei.— Pa) H5+ 2(Pꝛoo= Paiz* Pars) P ℳ= 2(Geor— 3%ele= Dao⸗
denc.—3³) B(9ꝙo 3 Gs= 4 9e1 K Pere) B4 †(Pioo 39G21— Pac⸗
† 4 Grls) B(Pi— 4 G20 99Ges ℳ 39Gs) B4 2(3 G,„b= B 9Gn — Pa 3Gu2) B 2(G= TPea Pars) B+ 2(— Pro 3G⸗as) B. (3G 2 4Pen 39Ge12 P) Bs(— Pr ℳ 9G1s Gacs) B2
4— Gn 4 Gens) Br] u b(49Gr] Prrn) Bn(3Ge P⸗wo
— Paee) B1(3 TPr r 4 Pale 3aa) B5 ₰ 2(3G10= Paru) B3 + 2(Oꝛoo— Pae Prrs) B1+2(Peor 3 e⸗— Phao 3%r2s) 5.
igen+(991* 3 Geos= 4 Pa Pare) B4+(4Gb 3G2 r= Pao Pars) B
ſür(Gio— 4 9G, 9 300,) B44 2(3 Gbßbꝑ 3e= Pao1 Gal²) B3 1 b+ 2(ro r= Ger* Prs) B(— Pr*ᷣ+‿ 3 Gers Pars) B* hige V X u v 2ꝗ ½+£%ο 20 B1+ 2(Pa= Pr²) B 3G⸗⸗ B³
eine 4.(Wee P P= Pr) He 4.(Zg A hr= 4 9s 4. Za) B
+ 2(3 ²= Parr) B+ 2(3 e1 Pa Taun) B2+ 2(ror— 3en⸗ — Oor t= 3 G 13) B*£ν(9 G*£˙ 3 Gs= 4 en Par) B 4+‿(4G
ist— 3 pen— Pa ℳ TPas) B2=(Groo= 3 Gen.= Paor 4. 4 1a) S2
fter+ u¹ 9s 1 qe B³ν+‿—&φα—KϑSm⸗+ 2— B1+ 2(Gan= Prr2) B2 ‿ 3 Gr 823
u(4 e Pae) B2(3pen+ P⸗o— 4 Pals* 39 2s) B4 2(3% 0 0) Paeu) B3+ 2(3 G k Paoo= Ga) 2 4 2(Peoo Pas †. Paes) B1 1

—
——
—
—
——
+ u v. Oa20 B4+ Oaan B2+ 2 e⸗ B2+ 2(Pan— Pa2) B.* 3 r⸗ 6* (11)+(4o— Paen) Be+(3 io 4 Pr= Pare) B1 uv(Paꝛr S +. 29o 2 4. 2 82) †. 9„Ga S.
In diesem Ausdruck bedeuten und» irgendwelche der Zahlen 1, 2, 3, 4, jedoch ist κρμα anzunehmen. Statt B³ ist ferner meist nur B' geschrieben worden, sodaß man hier also noch die Buchstaben& und» zu ergänzen hat.
Alle diese zweireihigen Determinanten müssen identisch verschwinden. Folglich müssen in der homogenen Funktion elften Grades(16) von à und v die Koeffizienten der Potenzen von u und v einzeln gleich Null sein. Da aber nicht alle Determinanten Bi verschwinden können, so müssen die Be- ziehungen erfüllt sein
ο= 0 Pao= 0 02— 2o= 0 Ger 2 io= 0 2(ſ— Pto Pror)=— Pl01+ 3eis Pao= 2(ſ— Peor 3Peus 5 Oao³)— Go 4 Geo I* 9 rus* 3% o⸗ (12) 3 oo= 4 Peor 3 eie † Paos= 2(Pꝛo= Peor Pals)= Oro — 3 be— Paor 4 g1s= 2(Peor 3 ele= Paos= 3us) 2(3 2oo— 3e— Pa Pae)= 4 bo 3 Pl= Paor † Par⸗ = 2(eoo— Pais † Psrs)= 3 e ℳ Pao— 4 Gal 4 3 res 9 G 3 G= 4 Gau † aee= 2(3%e1o R Pent= Pa)= 3 eic + Paoo Paer= 2(Pau— Prrs). Sind diese Bedingungen(12) erfüllt, so kann man die Glei- chung(6) durch den Faktor 2(A4εν ⁴4‿ A2⁴ ιη̈ ‿2‿⁴di ν+ 42 M.) durchdividieren und man bekommt (13) uvñ vu= ꝙds+(ſ— Ptr* Prꝛ) u“ b(Gron² Per+ Grs) 1= +(Gebo— Pals Pars) 1 v(Pau— Par2) 49*+ Pa0 v5. Also kann man setzen
(14) u= 0*1 P1 d+ i 20 Tau2 4 D2 Tars 19,— aio V. v— 9 Vv f O0s3 20 O202 2 S(lo+ G 12) 202 9
+†(Peoo † Pa⸗) uν 4‿ Gan N“.
o bedeutet hier wieder eine willkürliche Funktion. Die
Beding ausführ Sie red auf die
(l5
Die Zusamm.
In Mongess tionalen System zweite Monges das Sy Ordnun niert ei Gleich wenn d nung( kann I und p Punkti
W becing in den
(16)

— 23
Bedingungen(12), die erfüllt sein müssen, wenn die Division ausführbar sein soll, kann ich noch etwas einfacher schreiben. Sie reduzieren sich nämlich, wie man sich sofort überzeugt, auf die folgenden acht Relationen
01— 0
G— 0
Q102— 2020= 0
(15) Ga— 290— 0
91 29G 3eis Pas= 0 qaue 2cpau 3o. P= 0 100— 2 4 3 le Par 2gis= 0 a2s— 29 0+ 3+ Pa 2e= 0.
Die gewonnenen Ergebnisse fasse ich noch einmal kur⸗ zusammen in dem folgenden Satz:
In den vier Veränderlichen æ... x. sei ein System von Mongeschen Gleichungen gegeben, das jedem Punkte einen ra- tionalen Kegel dritter Ordnung zuordnet und daher durch ein System von drei linear unabhängigen Mongeschen Gleichungen zweiten Grades dargestellt werden kann. Das System von Mongeschen Gleichungen zweiten Grades sei definiert durch das System(1) von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung in der Normalform. Dieses Mongesche System defi- niert eine vierfach unendliche Kurvenschar, die lauter Pfaffsche Gleichungen zu Schnittbedingungen hat, dann und nur dann, wenn die αᷣ die partiellen Differentialgleichungen erster Ord- nung(15) befriedigen. Sind die Bedingungen(15) erfüllt, so kann man die Funktionen s und y bis auf additive Glieder ou und ov mit unbestimmtem darstellen als ganze homogene Funktionen(14) vierten Grades von u und v.
Wir können die Pfaffschen Gleichungen, die wir als Schnitt- bedingung erhalten, wirklich hinschreiben, zunächst allerdings in den òx,. Aus den Gleichungen(3) folgt
1
64=— 7(6. Ua*† 6. U) (16) 1
6.=-=(6, Ua 6. U)

—
—
—
—
—
24—
Hierbei bedeutet U= Aà*r us+2‿ 2 40* us+(A½+ 3 A ½) u2 2 νν 4‿, v'. 6, und 6, bleiben beide willkürlich, sie dürfen aber nicht identisch verschwinden, da sonst alle 6, verschwänden. Aus (2) ergeben sich also die beiden Gleichungen
Uar da, Us dT,— UI da.= 0
(15) N. da J. U d7.= U, 0.= 0.
Führen wir die Anfangsbedingungen ein, indem wir für einen bestimmten Wert= ko den Veränderlichen x... T., und v bestimmte feste Werte vorschreiben, so erhalten wir die beiden Pfaffschen Gleichungen geschrieben in den Differen- tialen der Konstanten. Ich habe dann in(18) nur für 0 das Zeichen d zu setzen und die V und Ox, mit dem oberen Index Null zu versehen.
§ 3. Der Fall= 5.
In den fünf Veränderlichen x.., ist das System von Mongeschen Gleichungen zweiten Grades definiert durch das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ord- nung in der Normalform
(1) x,= a.r() u ‿ 4αiν(τ) uε ν‿‿‿‿() ν νν ‿‿ 4,() ub ‿ αƷχ() v* 6= 1,.5
= F2, u, v)
9(², 2, 9).
Die ax sind gegebene Funktionen der æ mit nicht identisch verschwindender Determinante, und„) sind noch unbekannte Funktionen, die sich im Verlauf unserer Rechnung bestimmen werden.
Unsere Aufgabe lautet: Wann gibt es eine fünffach un- endliche Kurvenschar
7.—(k;(1,(2, Gg, G4, G5)
für die die Bedingung für den Schnitt zweier unendlich be- nachbarter Kurven lauter Pfaffsche Gleichungen liefert.
5 (2) 6,6z.= 0.
D. die bei
ZuSall-
(9 5
befried willkiür ergeben
Na
wir zu-
(5)(u—
S
die Zyl beide S
hung
rechten sofort fasse
(6) 30(4

r für . T., A 1 wir keren- 0 das Index
ch be⸗
Damit dies eintritt ist notwendig und hinreichend, daß die beiden endlichen Gleichungen
5 2 72(&νπιν᷑Tl⁊õ yandνν ‿‿̈ 3æν ννς‿ c.* ³)= 0 2=éV (3)
1
26(aiuu+ 3½ν ν υ‿42‿ 3*., uv* 4+ 93)— 0
zusammen mit den Differentialgleichungen
Oæ 4 Oc Oc 4 1 12„ 3„, 3 21 2„,2 2 3 6) A. D 8,(Se⸗ 6*4 Ser"'v T6 Ste ub, 4 dus . Bee*)— ,0 Oæ
befriedigt werden können, ohne daß sich für die 6, neue, von willkürlichen Konstanten freie, lineare homogene Gleichungen ergeben.
Nach den Ausführungen des ersten Abschnitts kommen wir zunächst auf die Bedingung
42 3 W ſ3 3 Ns⸗ 5„ u‿ν— 4 2 ſ5( 3 923) 3 ()(uv* n2. 2 1s 2¹)+ 2—8s„*, 4 4+ 2—8, K
12—.. -8r eeJS. SN. — 0„=OKv/M— v— O%=01=04/4+ 1-4, 2 Pori-2, 4, 1 Kurnse.. Das letzte Summenzeichen auf der rechten Seite bedeutet die zyklische Summe über die drei Indizes k, 7, j. Rechne ich beide Seiten dieser Gleichung aus und benutze ich die Bezie-
4 hung„)k= D G.α, So bekomme ich, wenn ich die auf der 5
rechten Seite dann auftretenden dreireihigen Determinanten sofort in ihrer übersichtlichsten Gestalt schreibe und zusammen- fasse
(6) 3(uνν— vu!) A u*† 2 A uν ν(A4+ 3 42) uo*+ 2(4½+ 24) us ds 4(44+ 342) u**4 24 uvs+ Abe]= 112(Qrrr A,+ Gro⸗ ℳ2 . O104 4⁰) I* 3 Gν— O01 55 ⸗o²) 44+ Pios 4* P104— 11* O203 4A
+ Pro⸗ 4*+ 3° p?(201— 3 G* 2ꝙei+ Paoꝛ)⸗ 1¹=(N 9

—
——
—
———
— 23—
t2Gs grus) 44(ſ— P ℳ 39G2us) 4 2„ us A13(29e ℳ G.) ℳ2 3,s 1 G(A4 ℳ 2A2)+ u p(18 9G,%,)b= 18 G,6— 9 en
t Sqau G) 14(S9 ꝗꝓ 99G2u k SGs P) A14 ℳ(— 99½,
+ 18 G,1, 999ns) 1(Pſ—S910 ℳ 189Gs) 13 ℳ(— Gen. Sc⸗
p) A14(— Pr 1891a 999 0) A4 ℳ 99(A 4 2A!)
+ 89εᷣ£ 3uv4(12 9,0 ꝙℳ 69— 5+ 2 Gfrn= Pa P.re) 4 †(SGo= 6021ꝗb= 3G, 2Gens Pans) 44 ℳ(290 b= 6+e= 3G e⸗ Sqaus K Ps) 4(2G b= SGne ℳ 12 Ge s 4. 6G 3) 12 4(Gran
— 29 29u Pa A-(— P SPn ℳ P.6 A144(— Grs ℳ en⸗ 39) A2(—Grr 12 8,14 1 G9G) A4 Ger. A4 Gr A43
† 3 9(169G,= 6G, ℳ 29„b= 3 9, 4+. re) 11+(16 91,* S —SGa= Gar Hr) 41 4ℳ(699ee= SGne G Pr= P. 4. 3913) ℳ4 +(69 rbß— 16— 89*2 ℳ 16 G1s † 299) 4½4ℳ+(3 oo— 29Gn
— Pa Prre) 10 ℳ(Pro= 2l= TPan 4 G 9+. 3 9G) A1(— 2an⸗
(6)—— G⸗ SP G.) 43+(qro— 3%,* 16. 29.) 42 + ½.˖ 3%, s 16 9e1. ScPu⸗) 1+(— P ℳ 6 G.) 4+ℳ† u v⸗ 36 G,
† 16%ꝗꝑ‿ 99 Pa) ℳ14(649G1,= 18 9Gn 4 Sg= 9Gn
† Par) 14(36 9G 1— 18 G,ßb= 18 9G,,= 9 G*+ 99,³) 4½8+(36 ,1 † 18 99 r= 64 912 36 9 2 b= S9* 18 99,12) 1+(18 9+ꝗc+ 9Ge —S= Par k ar) 14-ℳ(99G n= ScP= 99 ℳ 99 20) ℳ6 ℳ(Gro — 8Ps k 18 9.= Paas 99.) 1 ℳ(99ꝗb= 18 9Gere— 99, 436 99,, † 18 G,) 14(Gr— 18pan— 99 † Si9 89³*) 144(ro
— 99ens 36 9914* 189.) 18 Z v(G br=— G.) A484ℳ(16 Gee
t Sp ‿— 39⁰) 14 ℳ(16 910 ℳ 2G b= 39,2 ℳ G) ℳℳ(16 en —169, A 291 2= SP, 6G.3) A14(SGeuo— 2992, A Prn= Gan) ℳ9 †(6Geio 30 nb= 2Pan= Pal Pna) 1+(Pꝛoo= 292s— Gn⸗ 3G,.) A4— G9e † 39 1b= Schs= Prrn G 9.) 13 ℳ(Pern—Sges 16 G4‿— Pls ‿ ScP) 14 4(Tere= GGers= Pens 4 16 9en. 29) A22 3u“b2G, 13-(SG n,= Pa) 44(16 9ze,— Pr
Kurve gunge einzig gung
ddenti 8o be analog auszu Pan L

69 0) 444(12 G 6ꝗb SPar 2G„3) A44 4 3(69 0 Pr — Pn) A1-(Sge P= Pas) 14 †290 P= Jrs P Par⸗) A2 †(Soan= 6 G2n ℳ Pa= 392 ℳ 2,) 14(29,1 ℳ Gen— Pae⸗ — 3s SG 24) 44 ℳ(29ns ℳ Pae Schans 12 9 ea= Pas 6 G) 42ℳ us p SG0bℳA11+ 1899, A1+(189, à=— 8.2) 44
(6)(O à= Pa) A4+(18 G 9r= Pan) A42 ℳ(Sgo Pan — Grs) 14+(18 G, ℳ 9, 1— 99,22) 12 ℳ(SqP P.— 99s Sq..) 13(SGn— 18 9n P= 9G 4 18+6.) A1*] † 3012„ 2g 3„ 1 2G A1 P A1 3G A-(2G920 ℳ G) ℳ2 † Bga= Ga)- 2—e Pa— Pas) 4 4 gau Par ZPan 291*³) 43ꝙ₰ 3uv1bA1+ P A42 Gar A Gn A*(Pa. — Gs) A2 v(gar A2 P A4 † gar A2).
Bei der Bezeichnung der dreireihigen Determinanten sind die zweiten Indizes i, J, k meist weggelassen worden. Sie sind da überall zu ergänzen.
Die Gleichung(6) stellt in Wirklichkeit, da die i, J, K noch zu permutieren sind, 20 Gleichungen dar von der Form
(7) 3(ub— vu) Na= Sa= 1, 2 20.
Wenn unser Problem lösbar sein soll, d. h. wenn die Kurvenschar lauter Pfaffsche Gleichungen zu Schnittbedin- 8 gungen haben soll, so müssen sich die Gleichungen(6) auf eine einzige reduzieren. Die notwendige und hinreichende Bedin- gung hierfür ist, daß sämtliche zweireihigen Determinanten , Se or 8 identisch verschwinden. Rechne ich diese Determinanten aus, so bekomme ich durch eine der im§ 2 durchgeführten ganz analogen Betrachtung, die ich daher im einzelnen nicht mehr auszuführen brauche, eine Reihe von Relationen zwischen den
pau und zwar muß sein

4
——
—
28—
9os= 0 Pio= O Se= 0 e= ee i 2 0— 3 Ge— 0 2 G.)— 3= 0 Q2— 6%14 ²¹— 3)= 0 Os— 6,2o n 3 9= 0 O1— 2 o 2 rls Paos= 0 Q ²= 2 2 2 P.= 0 (8) 2= 3 Gb SP T 0 2ss= 3 Scpe P⸗= 0 i 2 r 2 els Paor 2P2 Pau= 0 9,s4 2Pars 2ee Pa 2 Peio Paoo= 0 4 1co ‿ 9 Go, 12 9% 1½% 6% bM= S t— s= 0 4.,,— 9 9G+ 12%* 6., 12— 8 lM— T.= 0 2eooh 2rrn Pao 2Paes Pais— 2Pa. 9 eo n= 12 e t=— 6G+ Sns Pa 3=
½ S
Sind diese Bedingungen erfüllt, dann kann ich die Glei- chung(6) durch den Faktor von(uv— vu) der linken Seite durchdividieren und bekomme
dv,— vus—(2pes ao) 205*( O101 5*o²) 2u 2 35(loo 2% (9)+ 2 Pen. Tars) v †(3eb 2Pe= TPaor Paea) 1 P; +(2+ P h= T28+ Pa3) 1*v+(Perr— Pss) 99 1(2a⸗* io) vb.
Man kann demnach setzen
u= O*ul+‿ G 1 1+ 2 ꝗr 1% 4(2,+ G) 1+ 2s 202 9
(10) † Pans 10 ²=—(29G*ꝗ Gu0) v..
0%+(2+£ ao⁴)+ ꝙor N(†lοο£‿ 2 24+% 914) 2 9 +(3 Goᷣꝗꝓ¾‿ q*να u*νꝙ+(2+ Po † P.34) 5“*9ð4 G22 v.
Zusammengefaßt können wir unser Ergebnis etwa fol- gendermaßen formulieren:
In fünf Veränderlichen e... xs ist durch das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung(1) mit nicht identisch verschwindender Determinante A4= aœ] ein System von Mongeschen Gleichungen definiert, das jedem Punkte
einen wendi eine¹ Gleicl die pa füllen. U
könner
(ll)
Hierbe
8e komme chunge
(13)
3 einen vorsch Differe (13) fü mit d

0
ei- ite
29—
einen rationalen Kegel vierter Ordnung zuordnet. Die not- wendige und hinreichende Bedingung dafür, daß diesem System eine fünffach unendliche Kurvenschar mit lauter Pfaffschen Gleichungen als Schnittbedingungen genigt, ist, daß die die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung(8) er- füllen.
Um die Pfaffschen Gleichungen wirklich hinschreiben zu können, rechne ich aus(3) 6 und 6, aus. Es ist
1 3 61— 7(Ga 633 Ua 63. Ua 63) ay 4 62— U.(Uus 64 Du4 634— P71 Ga).
Hierbei bedeutet (12) Ua= Aàr uε+‿ 3 A4 u+ 3(A3+ 3 A † A) u 4(A4 + 3 A+‿ 4²½) us ps+ 3(A+‿ 3 A23+ A*) u2 9* 4+ 3 A24 ꝓꝙ 4+‿ A44 90.
Setze ich die Werte(11) für 6, und 5, in(2) ein, so be- komme ich, da 6., 6, und 6, willkürlich bleiben, die drei Glei- chungen
Un da u, Oa.— U12 G— 0 (13) U. Oa. U Oxr,— Uh da,= 0 r, O Wi Oe— Ou O2.,— 0.
Führen wir die Anfangsbedingungen ein, indem wir für einen bestimmten Wert t= to den Veränderlichen feste Werte vorschreiben, so kann ich die Pfaffschen Gleichungen in den Differentialen der Konstanten hinschreiben. Ich habe dann in
(13) für d nur das Zeichen d zu schreiben und die UV und Ox, mit dem oberen Index Null zu versehen.
Dritter Abschnitt.
Die folgenden Untersuchungen geben eine Anwendung auf ein Beispiel und zugleich eine Probe der in den vorangehenden Abschnitten behandelten Methode.
Herr Wünschmann ging in seiner eingangs erwähnten

—
— —
—
— 30—
Dissertation im Falle= 4 von einer Schar von“ ebenen
Kurven aus
(1) 9—(w, do, Gi, d², a), die definiert war durch das folgende simultane System d dy p dh (2) A Sa 1= Y. 1= Je de W(. P, h,, He, Js)
Herr Wünschmann, der die Oskulation zweier unendlich benachbarter Kurven der Schar untersuchte, fand, daß sich als Bedingungsgleichungen drei linear unabhängige Mongesche Gleichungen zweiten Grades dann und nur dann ergeben, wenn den Bedingungen genügt
1.„ 1 d 0.— 20, 4 2 o4- Jr 2⁰+ 202—= 0
dG⁹ 11 3— (3) N= 41+ 7 02 Ge ge; 10%+₰ 1G⸗ 4 10 0 † 5 02 0
1 2
ö * 10 ℳ: 10, C. 20=V. 160, Dabei bedeutet:
,— 5 ½— 5 4= 1, 2, 3.
Die drei linear unabhängigen Mongeschen Gleichungen zweiten Grades, die sich als Berührungsbedingungen ergeben, kann man in den Differentialen der Integrationskonstanten auch hinschreiben und zwar bekommt man die folgenden Glei- chungen
3 1 1 62. 2„ 1„ vo T G— 0— (Gj*— 2 du dy 4 ws d9 du 10 Oa(dy)= 0 0,72,0 7 0 2„ 5 e„o„ 1 0 1 0 0)2 (4) 2„ dy— 3 dYi dyue— 6 0D3 d doe— 5 odo d— 10 os(di) — 0
2anj an,— dry= 2 as dndi— 1 rdl di— S vra d„
3 — I g. d9*)= 0 10 9*—
Hierin bedeuten
Die gPr, Ich Methode schar(1 den Sch das Sys Pfaffscl Gel müssen sein, We d. h. die Um System u und (4) zwa kann ic ich nun chung
drücken
an, 80 genen
zu erhe

un
— 31—
= 1„ 1 G,. h. 1., 9½— 8 2 4 3 3 P⸗; ½ 2 6. 8 G. Ps; 7 1 4 O.=— 6, S 1+‿ 2%%+ 3 0 e.
Die Hi,&s und% bedeuten ähnliche Abkürzungen.
Ich wende nun auf das Wünschmannsche System(4) meine Methode an. Im Raume der Parameter genigt die Kurven- schar(1) dem Mongeschen System(4) und als Bedingung für den Schnitt zweier unendlich benachbarter Kurven ergibt sich das System(2). Die ersten drei Gleichungen(2) sind aber Pfaffsche Gleichungen, sodaß sich folgendes ergibt:
Gehe ich nach§ 2 von dem speziellen System(4) aus, so müssen die partiellen Differentialgleichungen(15)§ 2 erfüllt sein, wenn die Wünschmannschen Bedingungen(3) erfüllt sind, d. h. die Bedingungen(15)§ 2 müssen eine Folge von(3) sein.
Um dies bestätigen zu können, muß ich zunächst das System(4) durch Einführung der homogenen Veränderlichen u und v» auf die Form(1) des§ 2 bringen. Da die Gleichungen (4) zwar linear unabhängig, funktionell aber abhängig sind, kann ich die dritte Gleichung unberücksichtigt lassen. Setze ich nun etwa an dye= 0dy“, so kann ich aus der ersten Glei- chung(4) dye und aus der zweiten dys durch o und dy aus- 2 7 an, so bekomme ich das System(4) ausgedrückt in den homo- genen Veränderlichen u und p
drücken. Nehme ich dann schließlich do= dN und 9=
9— 93 6⁴.*⁴— 3. 3 un (5) d„½— 3. 3 2* ν+ 3. 5 G0 10ν*ꝙ— 4. b* 273; 3 223 3 See 3 6 2 5 9. 3 2) uvr
1 1. —(s6 00 P.— 20 w.)⸗.
Eigentlich müßte ich, um volle Ubereinstimmung mit§ 2 zu erhalten, statt dux schreiben. Dann müßte ich aber

1 4
auch in den Wünschmannschen Bedingungen die æe einführen, was nicht vorteilhaft wäre. Ich lasse also das System in der Form(5). Dann ist
41= I d 29. . arf= 1Sh. 18a a an
46=i, er, T Dabei ist zur Abkürzung gesetzt
5 1— 1 1 711 2 5= 72 3— 45 ꝗꝙ. 10 9⸗— 10(12+‿ G 3.)
, 7 36 3 O 20 GP 10(2,,4 72 2= 2 w. v. we).
Um die Werte der Geu zu bestimmen, brauche ich nur die Beziehungen
(A4 42)— P‿
herzustellen. Rechnet man aus dieser Relation die Ge☚e wirklich aus, so findet man, daß von den Bedingungsgleichungen(15) § 2 im ganzen 6 identisch erfüllt sind. Man braucht nur die beiden übrigen, nämlich
ar 2s= 0
Ogeoe 0
zu untersuchen und überzeugt sich durch Differentiationen und Pliminationen leicht, daß diese beiden Bedingungen in der Tat erfüllt sind, wenn die Bedingungen(2) gelten.
Am tholische bach in schule t ein. M ließ ich Physik vier Sen Sommer
Mei und Do
in muth,
in pert, Messe

Lebenslauf.
Am 16. Oktober 1907 wurde ich, Paul Steinbach, ka- tholischer Konfession, als Sohn des Schreiners Paul Stein- bach in Mainz geboren. Nach dreijährigem Besuch der Grund- schule trat ich Ostern 1917 in das Realgymnasium zu Mainz
ein. Mein Vater starb im Jahre 1919. Im Februar 1926 ver- V ließ ich die Schule mit dem Reifezeugnis, um Mathematik, Physik und Geographie zu studieren. Ich besuchte zunächst vier Semester die Universität in Frankfurt a. M. und dann vom
Sommersemester 1928 ab die Universität in Gießen. ¹ Meine akademischen Lehrer waren die Herren Professoren
und Dozenten:
dir in Frankfurt: Hellinger, Epstein, Ssàsz, Wachs- muth, Meißner, Madelung, Behrmann, Maull;
in Gießen: Engel, Schlesinger, Falckenberg, Gep-
dich pert, Jaffé, König, Cermak, Klute, Lautensach,
Messer, v. Aster.

—
koni
Im Selbs

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
XIX. Heft
Die Verbiegung der konisch-zylindrischen Flächen
von
KURT FREIDANK
Giessen 1931
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstr. 16
Preis RM. 1.50

¹ 5 Die Arbeit wurde als Dissertation eingereicht. Genehmigt durch den Prüfungsausschuß am 14. Februar 1931. Berichterstatter: Dr Geppert. Dr. Engel.
Druck der Dieterichschen Universitäts-Buchdruckerei(W. Fr. Kaestner) in Göttingen.
Die
gung ei genanmt ihnen e wickelb Schar diese ir boux daß es welche lassen, Es blie Lé K.-z. F auf eb

gen.
Vorwort.
Diese Arbeit befaßt sich mit der Möglichkeit der Verbie- gung einer Flächenklasse, die konisch-zylindrische(k.-z.) Flächen genannt werden. Diese sind dadurch definiert, daß es auf ihnen ein konjugiertes Parametersystem gibt, für das die ab- wickelbaren Flächen, welche die k.-z. Fläche in der einen Schar von Parameterkurven berühren, Kegel und die, welche diese in der anderen Schar berühren, Zylinder sind. G. Dar- bouxi¹) hat diese Flächenklasse eingeführt und angegeben, daß es k.-z. Flächen, nämlich die achsenaffinen Flächen, gibt, welche sich derart auf andere achsenaffine Flächen verbiegen lassen, daß hierbei das k.-z. Parametersysstem erhalten bleibt. Es blieb also die Frage noch zu beantworten:
Lassen sich außer den achsenaffinen Flächen noch andere k.-z. Flächen unter Beibehaltung des k.-z. Parametersystems auf ebensolche Flächen verbiegen? Gambier*²) und H. Lieb- mannꝰ) beschäftigten sich später wieder mit diesem Problem und gelangten zu folgendem Ergebnis:
Außer den achsenaffinen Flächen lassen sich keine k.-z. Flächen unter Beibehaltung des k.-z. Parametersystems stetig auf ebensolche Flächen verbiegen, wohl kann es aber Verbie- gungskopplungen, d. h. Paare von aufeinander verbiegbaren k.-Zz. Flächen, geben.
In dieser Arbeit wird nun versucht, das Darbouxsche Problem vollständig zu lösen, indem das tatsächliche Auftreten von Verbiegungskopplungen aufgezeigt wird.
Bezüglich der wichtigsten Arbeiten auf diesem Gebiete sei auf die folgende Literatur verwiesen:
1) G. Darboux, a. a. O., 1. Teil, S. 181— 184. 2) Gambier, a. a. O., S. 291— 314. 3) Liebmann, a. a. O., S. 173— 184. 1*

—
—
————
——41——
G. Darboux, Théorie des surfaces I., S. 181— 184, 2. Auflage, Paris 1914.
M. Lagally, Über gewisse Verbiegungen der achsenaffinen Flächen, Sitzungsberichte d. bayr. Akademie d. Wissen- schaften, Jahrgang 1918, S. 369— 379.
A. Schur, Über Lichtgrenztangentensysteme, Mathem. Zeit- schrift, 24. Band(1926), S. 530— 558.
H. Liebmann, Die Verbiegung der konisch-zylindrischen Flächen, Mathem. Zeitschrift, 30. Band(1929), S. 173—184.
Gambier, Die Verbiegung der konisch-zylindrischen Flächen, Mathem. Zeitschrift, 32. Band(1930), S. 291— 314.
Die Anregung zu dieser Arbeit gab Herr Professor Dr. H. Geppert. Ihm und Herrn Professor Dr. F. Engel bin ich für ihr dauerndes Interesse und die Förderung, die sie meiner Arbeit durch ihren Rat zuteil werden ließen, zu großem Dank verpflichtet.
E' rechtw u und meters Pläche meterl in der Zylino chung
die F. )
Hierin meter

len,
bin
dem
Die konisch-zylindrischen Flächen.
a) Die Gleichung der konisch-zylindrischen (k.-z.) Flächen.
Eine k.-z. Fläche sei durch den Vektor r dargestellt, dessen rechtwinklige Komponenten(æ, 9, 2) Funktionen der Parameter u und v seien. Das hierdurch auf der Fläche bestimmte Para- metersystem sei konisch-zylindrisch, d. h. die abwickelbaren Flächen, welche die k.-z. Fläche in der einen Schar von Para- meterkurven berühren, sollen Kegel, und die, welche diese in der anderen, zur ersten konjugierten Schar berühren, sollen Zylinder sein. Die von H. Liebmann) angeführten Glei- chungen der k.-z. Flächen lassen sich dann zusammenfassen in die Form
1) r= Uv U’u du.
Hierin sind der Skalar U und der Vektor u nur vom Para- meter u und der Vektor v nur vom Parameter v abhängig.
b) Eine Konstruktion der k.-z. Flächen. Man kann die k.-z. Fläche 1) mittels der Kurven v und
w= W'u da
konstruieren, indem man in jedem Punkte von w das mit der in diesem Punkte konstanten Funktion U multiplizierte Vektor- system v zeichnet.(Fig. 1). Ist v eine Gerade, so erhält man demnach eine Zylinderfläche, die jedoch nicht mehr als k.-Z. Fläche bezeichnet werden kann, da auf ihr der Begriff des Konjugiertseins seinen Sinn verliert.
c) Eine Einteilung der k.-z. Flächen. H. Liebmann) hat eine recht vorteilhafte Einteilung
1) H. Liebmann, a. a. O., S. 174. 2) ebenda S. 176.

—
—
6—
dieser Flächen angegeben. Er betrachtet die Kurven, die dar- gestellt werden durch die Vektoren u und— v und teilt die K.-z. Flächen nun daraufhin ein, ob diese Raumkurven, ebene Kurven oder Geraden sind. Da v keine Gerade sein darf, er- gibt demnach die Einteilung folgende sechs Gruppen:
1. Gruppe: u Raumkurve und v Raumkuryve, 2.„ u„„ v ebene Kurve, 3.„ u ebene Kurve„ v Raumkurve, 4.„.„ 3„ v ebene Kurve, 5.„: u Gerade„ v Raumkurve, 6.„ 1 5„ v ebene Kurve.
Fig. 1
Die Bedingungsgleichungen der Verbiegung.
Da im folgenden die Fundamentalgrößen der k.-z. Flächen benötigt werden, sollen diese zuvor bestimmt werden. Aus Gleichung 1) folgt
r.= U(u+ v); r,= WM⸗ r= U(u+ v) Wu; r. Mv;, r,= Gv.
Fundamentalgrößen 1. Ordnung =(La Ce)= W(u v. u v) F=(r. r.)= VU(u †v. v) =(r. r.)= 75(v'. v).
Aus einen 2u v, zweit Nach- ander
Weil

Normalenvektor der Fläche 1 e n N VWGre= r)(r. e)
Fundamentalgrößen 2. Ordnung
Mlu-. v=v)).(u †v— v)
(u, ve u v) VWCGu † v= v)(u † v= v-) M=(r., n)=— 0
L=(La n)—
N=(r n)=— 9 3 444.9. Wu+ v=v)(u † v= v“)
Zwei k.-z. Flächen r Uv ſUlu du; r.— U. v, 4U u. du sind unter Beibehaltung des k.-z. Parametersystems aufeinander verbiegbar, nn die entsprechenden Fundamentalgrößen 1. Ord- nung einander gleich sind. Un(u.+ v. u, † v.)= G(u, † ve u. va) U. V.M. v. v)= V. U.(u. 4 v. v) C2(v. v.)= G2(ve ve). Aus der letzten Gleichung folgt, daß U und U, sich nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden dürfen. Da dieser aber zu v. hinzugefügt werden kann, ist= W.. Da ferner die zweite Gleichung eine Folge der ersten ist, genigen für den Nachweis der Verbiegbarkeit der beiden k.-z. Flächen aufein- ander die beiden Bedingungen (u.+ vr. u. † vn)(u.+ ve u. 4 va) (ol. v.)=(ve vo). Will man den Fall der Kongruenz beider Flächen aus- schließen, so muß man fordern, daß nicht zugleich
J= 1 und N= N
2)
ist. Nun ist aber für
(u. u.)=(u. u.) Le= 1⸗ und für
(WI.v)=. ve) N= N.
Weil ferner zwei aufeinander verbiegbare Flächen in

————
——
.
—
e
4 * 8 1 5 —
——
— 8—
sprechenden Punkten stets das gleiche Krümmungsmaß haben, so genügt bereits wegen M.= M,= 0 eine der beiden Be- dingungen
(un. u.)=(ux. ua) de. ue=(or ve
zum Nachweis der Kongruenz beider Flächen.
3)
Die Verbiegung der konisch-zylindrischen Flächen.
Es sollen nunmehr die k.-z. Flächen auf die Möglichkeit von Verbiegungen untersucht werden, bei welchen das k.-z. Parametersystem erhalten bleibt. Gambieri) und H. Lieb- mann²) haben diese Aufgabe für Verbiegungsgruppen, d. h. für k.-Z. Flächen, die sich stetig ineinander verbiegen lassen, gelöst und nachgewiesen, daß es außer den achsenaffinen Flä- chen keine weiteren Verbiegungsgruppen von k.-z. Flächen gibt. Bezüglich der Lösung dieser Frage sei auf die Arbeiten von Gambier und H. Liebmann verwiesen. Es sei nur er- wähnt, daß die achsenaffinen Flächen zur sechsten Gruppe der Einteilung von Liebmann gehören und die Besonderheit haben, daß die Gerade u senkrecht steht auf der Ebene der Kurve v. Im folgenden werden nur der dritte und vierte Fall der Einteilung von Liebmann nochmals besonders be- trachtet, weil bei diesen und nur bei diesen Verbiegungskopp- lungen möglich sind.
a) Vierter Fall.
In diesem Falle sind u, und v ebene Kurven. Man kann sich nun, wie H. Liebmannè) zeigte, auf die Untersuchung zweier Kurven u und v beschränken, deren Ebenen senkrecht aufeinander stehen. In diesem Falle läßt sich leicht nach- weisen, daß auch die Kurven u, und v. ebene Kurven sein müssen, deren Ebenen gleichfalls senkrecht aufeinander stehen.
Bezieht man die Kurven u., v, und u,, v, auf zwei ortho- gonale Koordinatensysteme, so kann man sie darstellen durch
1) Gambier, a. a. O. 2) H. Liebmann, a. a. O. 3) H. Liebmann, a. a. O. S. 182.
da maà erreich
ist. 4 Differ 4)
und!
Durcl stante durch Kurv- 5)
Weit
und

Flä- chen eiten r er- e der rheit e der vierte s be- opp-
kann hung recht nach- sein tehen. ortho- durch
die Gleichungen 11, 2 L0r in, u,— An i⸗(— 1, 2), 3 M d=— 2 i, v= 2 i C 2, 3), 7 7
da man durch simultane Bewegung der Bezugssysteme stets erreichen kann, daß
2s= dr= 0O und 9— 51= 0
ist. Aus der ersten Verbiegungsbedingung 2) erhält man durch Differentiation nach u und v
4)(u vi)=(ux. ve)
und hieraus folgt die Transformationsgleichung
Durch Differentiation nach v beweist man, daß a eine Kon- stante ist. Integriert man diese Gleichung und beseitigt ferner durch Verschiebung parallel zur Schnittgerade der beiden Kurvenebenen die Integrationskonstante, so erhält man 5⁵) 2, 1= aA dr. Weiter folgt jetzt aus Gleichung 4) 97 1= Aol⁵
und hieraus durch Integration nach p 5⁰) 9,= ao. l, worin eine Konstante ist.
Beachtet man diese Transformationsgleichungen 5), dann können die Verbiegungsbedingungen 2) geschrieben werden in der Form
3, u(1— 25)-24 u. 1.—e= M(4*— 1)— v. † 24 be ℳ 5 3 a oder 3 2 1 G„ 5 7.= 44 † u(1— 5)-2² ³ u,— b 92= v(1— a*)+ bs— 2 be— k und
6*) 552— 9¹2(1— a*) † v.

—
—
—
— 10—
Eliminiert man aus der zweiten Gleichung 6) und aus 6⁰) 5, und 73, So erhält man 7) A(be v— ps v2)— 28 9(b, v,= v v2)— v(B † A1)— Kvps= 0, worin
4= 1— a und B= ac ist.
Jede Kurve u, liefert mittels der Gleichungen 50) und 6)) wegen des Parameters k eine Schar von Kurven us. Die Diffe- rentialgleichung 7) ergibt als Integralkurven die Kurven va. Dann kann mittels der Gleichungen 5) und 6 ʃ) die Gleichung der Kurve v, bestimmt werden. Das Vorhandensein von Bie- gungsgruppen und Biegungskopplungen hängt also ab von der Art der Integralkurven der Differentialgleichung 7). Hierbei ist jedoch zu beachten, daß es Verbiegungsgruppen nur dann gibt, wenn die Gleichung der Integralkurven v. unabhängig ist von a, und k, da sonst keine feste Ausgangskurve vorliegt.
Es soll nun die Mongesche Differentialgleichung 7) integriert werden. Da v, und v, Funktionen eines Parameters u sind und ve,=F 0 sein muß, da sonst die Kurven v Geraden wären, so kann man
. 3 2 einführen. Die Differentialgleichung lautet dann
7) 4(br k'— vo)'= 2 B(b,E— v)— Kk“=(B+† 4)= 0.
Dies ist eine Clairautsche Differentialgleichung. Sie erhält die übliche Form, wenn man die in(vn'— 9) quadratische Glei- chung nach(ve k— be) auflöst. Hierbei muß aber
8) 4+ 0
vorausgesetzt werden. Man erhält das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung, indem man für k' eine Konstante setzt
9) 5,0-e.= 3 BO& VE AMCO= A).
Dieses liefert also zwei Scharen von je 00' Geraden. Die von diesen Geraden eingehüllte Kurve ist ein singu- läres Integral der Differentialgleichung. Schreibt man die
Gleichu 0(4u
differen 0, 80 e
oder W
Entwe lieferte liefert
also ei
Dieser E die D.
ist.
und i

d 6) DOiffe- n v.. hung Bie- n der dei ist gibt, t von
griert Sind Fären,
lt die Glei-
tegral stante
singu- n die
— 11— Gleichung der Geradenscharen in der Form C*(Ab?— 2B b,— L)— 20(4b, v—=— Bo*)+ 4b—(B+† 4 ½)= differentiiert diese Gleichung nach C und eliminiert aus beiden O, so erhält man als Gleichung des singulären Integrals (ε‿¶ 4— 2 B v,— h)( 1½)= 0 oder wegen Gleichung 6) ('4 4 ¼) 6= 0
Entweder ist also pe= 0, dann wäre aber va eine Gerade und lieferte keine k.-z. Fläche, oder er ist B*+ A bh= 0. Dies liefert nach 9) die Geradenschar
9 C— v= 3 C, also ein Geradenbüschel mit dem Scheitel v= 5„ 53 0.
Dieser Fall kommt demnach ebenfalls nicht in Betracht. Es wäre schließlich noch zu untersuchen, welche Lösung die Differentialgleichung 7) besitzt, wenn
4— 0 ist. Dann lautet die Differentialgleichung 70) 2B F(b,&— v.)+ hE“+ B= 0 und ihre allgemeine Lösung 2 C(b. C— v.)+† k C+ B= 0. Das singuläre Integral wird wie oben erhalten und heißt B2= 0.
Für b*= 0 gilt das oben Gesagte. Ist B= 0, dann sind wegen 4= 0 22= 1, α= 0,= 0.
Dann sind aber die Kurven u bis auf eine orthogonale Trans- formation identisch, also wegen 3) die Flächen kongruent. Demnach gibt es im 4. Fall keine k.-z. Flächen, die sich
unter Beibehaltung des k.-z. Parametersystems auf k.-Z. Flächen verbiegen lassen.

—
— 12—
b) Dritter Fall.
In diesem Falle sind u eine ebene Kurve und v. eine Raumkurve oder eine ebene Kurve, deren Ebene nicht senk- recht steht auf der Ebene von u. Man kann dann zeigen, daß u, ebenfalls eine ebene Kurve ist. Bezieht man wiederum
u., vo und u,, v, auf zwei rechtwinklige Koordinatensysteme, so ist
111 d i, u.— Tai 4 1, 2), 4 4 v—„ 1. ve— 25 i(«— 1,2, 3), 7 7 da durch simultane Bewegung der Bezugssysteme us= M= 0 gemacht werden kann. Ebenso wie im vorigen Falle kann
man auch hier die Transformationsgleichungen der Kompo- nenten des Vektors u, in die von u, ermitteln. Sie lauten
10⁰) Llu—— da N,(², 4= 1, 2). Entsprechend wie oben folgen dann die Transformationsglei- chungen der Komponenten von v in die von v.. Es ist
10*) 47. 0 ve A.½(4, 14= 1, 2).
Auch hier sind die an und α‚ Konstanten.
Die zu 10) und 10) inversen Transformationen haben die Form
11) de,= a u, und, ü= DX a 5 64(a,1= 1, 2). 1 3 1 Hierbei ist — 1.. 1— — Aur. Sr, für 1
= 0 1 und
G„5 7 64— A C(², 4 1, 2). 4 Wegen der Beziehung
(u,. vi)—(u,. vz)+ 67 u(4= 1,2),
die aus den Transformationsgleichungen 10) und 11) folgt, er- hält die erste Verbiegungsbedingung 2) die Form
(u. u) 2 X6 2 ℳ(v v.)=(u.. u.)(be v.)(= 1, 2)
oder 12)
1²) p ist ein durch u.
13)
Diese B Kompor Diesem man erl
Die liefert Damit? linke Se
nur dan
ist. De formati erkennt die sicl in eben W d. h. Pe Es geh Kurve v, kön gungsb Gleicha in den
mittels d M-

— 13=
oder 1²⁰(u. 4 u.) 2— 6 8654(u, 2 u)= k 12(o⸗. va)(v.. vi)= k.
k ist eine Konstante. Drückt man in der Gleichung 12) u, durch u, aus, so erhält man
13)(u u.) † 2 D 61 u,—(Tdauz. 2 dνι))= P
1⁶
(4, 1, v= 1, 2).
Diese Bedingung liefert eine quadratische Gleichung für die Komponenten von u,. Die Kurve u, ist also ein Kegelschnitt. Diesem ist der Kegelschnitt us zuzuordnen, dessen Gleichung man erhält, wenn man in 12˙) u, durch u, ausdrückt.
Die Gleichung der Kurve u, enthält die Konstante und liefert deshalb im allgemeinen keine feste Ausgangskurve. Damit aber die Gleichung unabhängig von k wäre, müßte die linke Seite von 13) identisch verschwinden. Dies ist jedoch nur dann der Fall, wenn
6.= 0 und D d.. 3½ 3 fũr 3
ist. Dann liegt aber für die Kurven u eine orthogonale Trans- formation vor und die k.-z. Flächen sind kongruent. Man erkennt also, daß es in diesem Falle keine k.-z. Flächen gibt, die sich unter Beibehaltung des k.-z. Parametersystems stetig in ebensolche Flächen verbiegen lassen.
Wohl wäre es aber möglich, daß es Verbiegungskopplungen, d. h. Paare von aufeinander verbiegbaren k.-z. Flächen gibt. Es gehört nämlich zu jedem Wert der Konstanten k eine Kurve u, und eine u,. Die Gleichungen der Kurven v und v, können aus der Gleichung 12*)» und der zweiten Verbie- gungsbedingung 2) bestimmt werden. Im folgenden sollen die Gleichungen dieser Kurven ermittelt werden. Zuerst werde in den beiden Gleichungen
(ve. v.)—(b. v.)= L und(vi. v.)=(ve. va) mittels der Transformationsgleichungen 10), und d, durch p, und v, außerdem bt und d, durch vi und v, ausgedrückt. Man erhält so

— 14—
93= 41 2+ 2422 9r bs 4 4² g⸗. 242 v1* 2423 b2* A2 2 „—, 72 1„/ 72 12 bM= 4 b+ 2412 b1 F2+ 4 2 b2+ 9⸗,
worin zur Abkürzung die folgenden Konstanten eingeführt wurden
— 2 2— A— 1—,— i⸗ 83(ν α 2 dν 12) 15) A(an dei ℳ d12 222) 421—(aa di de2 2.2) — 2 2„ 2 2 2,= 1 42— Au⸗ 4s=— h— A.= 2.
Um nun d und d, aus 14) zu eliminieren, differenziert man die erste Gleichung nach v, quadriert und setzt dann die beiden Gleichungen 14) ein. Setzt man hierbei zur Abkürzung B An 5=(An F1. 422 92 1 4¹3) — A1 52(Au b † An be † 4)(Au br †. 422 v † 4*3)
16)= 22 2=(Au b 22 433) HBu=— 2*(Au v 412 b+ 413) B== Bs(A F- 22 v+ 43) Ba= b— v,
dann kann das Ergebnis der Elimination in der Form ge- schrieben werden
34 1 2 7„1 2 7 72— 17) B à1 b2+ 2,2 b b A B22 P2 2 B 359, N, ℳ 22 b, b 4 Bas 9 0.
Dies ist eine Mongesche Gleichung 2. Grades in b, be und ps. Jede Integralkurve dieser Differentialgleichung ist eine Kurve v. Um die Gleichung zu integrieren, werde die zugehörige partielle Differentialgleichung 1. Ordnung aufgestellt, indem
,/ ,1 ,1 Ao man, ve und v vermöge
5:94:— 1= fol: fon: los aus der Gleichung 17) eliminiert. Aus der Mongeschen Glei- chung folgt durch Differentiation nach F, v, und v. B 5. B oe Bu D= Pr S2 91 5. B ve+ Ban P2— 97 H13 9* S 9.* H339 93—.
Zur Auflösung dieses Systems nach vi, os und ve muß voraus- gesetzt werden, daß die Gleichungen voneinander unabhängig sind, d. h. daß die Determinante der Ba von Null verschieden
ist. Die einführt
18)
Setzt m. hn, 2 UI Mongesc partielle
oder, w minante 19) Setzt n 20) voraus,
920— U Diskrin
21)
Diese Man er die pal und 0,

eführt
t man m die arzung
49)
m ge⸗
92 0.
und ba. Kurve ehörige indem
n Glei-
voraus- phänglg chieden
ist. Diese wird aber, wenn man mittels 16) wieder die 4, einführt A 4 13 A A4,, Ar= 4.
443 4125 44
18) A= 54
3
Setzt man dies voraus, dann kann das Gleichungssystem nach pi, be und p, aufgelöst werden. Führt man ihre Werte in die Mongesche Gleichung 17) ein, so erhält man die zugehörige
partielle Differentialgleichung
Ba HBa 2 Hua Hu 2 Bu Bu 8,, e e e. d, 12 Bia 273 Hu V Bu B1
B B, Be, lB. E Ba
oder, wenn man wieder die 42, einführt und die Unterdeter-
minanten ihrer Determinante mit b, bezeichnet,
has(vr p+ 5²2 4— 53)— 2(bis P+ bes 9)(br P X b— 9a) 5
l)+ bu P 4 25 DA 4 ber 92.4= 0.
Setzt man 20) 94 0 voraus, dann nimmt diese Differentialgleichung, nach ᷣ̃+
9e)— v, aufgelöst und nach einer einfachen Umformung der Diskriminante, die Form an
b p+ b2 d— 9.= 2¹0)= 1+ b 14 V=(4 F— 24,, p4 A4+ 5„ Has 13 23— 22 12 11 33 Diese partielle Differentialgleichung hat die Clairautsche Form. Man erhält also eine vollständige Lösung, wenn man in ihr die partiellen Ableitungen p und q durch die Konstanten G. und C. ersetzt.
7„,—— 91(1+ b2 C2 Sa
22) 1
5 ſe. 2+ ha⸗ 0.* 3 A(A2 1= 2A 01 0.— A1 02 i 29.
33
Die vollständige Lösung liefert also zwei Scharen von je

16—
Ebenen. Die singuläre Lösung der partiellen Differentialglei- chung wird dargestellt durch die von diesen Ebenen eingehüllte Fläche. Bringt man die Gleichung der Ebenenscharen auf die Form Cr(bas 2 251 91 4 buu) 85 201 2(bas 21 02 b13 b⸗ ba⸗ 91 51²) 4 f 2(bas 2 2,3 ve 5,2) 201 3(ba⸗ 91 b1) 209 Va(bas 9e 52) + b.s b A= 0 und differenziert diese nach C, und C, 01(ba 2— 2b, vi b¹) 4 0.(bas vu 92 b1 iöre ba⸗ vi 51) —(bas b— b 3) 9= 0 0.(bas 971 2 bu⸗ 9 baab 5 512) 5 2(bas 92 223 ve † be2)— (ba⸗ 92 5,) b= 0, dann kann C, und C, nur dann aus den beiden letzten Glei- chungen berechnet werden, wenn die Determinante aus den Koeffizienten von C, und C, nicht verschwindet. Diese heißt
D= 7172— ¹*)—= 0.
Da. 0 bereits früher vorausgesetzt wurde, muß hier also außerdem noch
5² ,2 23) 52— p* 0 sein. Berechnet man nun G. und GC, und setzt ihre Werte in
die Gleichung der Ebenenscharen ein, so erhält man als sin- guläres Integral
72— 0. Ist= 0, so folgt aus 22) der singuläre Punkt 5 5 „— 13 3 2³:„— 0 1 ba⸗ 3 5 bas 4
Ist 5ε= 0, dann wird das singuläre Integral dargestellt durch die Fläche zweiten Grades
24) 411 M 2412 91 v2 A22 2 2 13 91 2 A33 N A32+. ⸗= 0.
Sämtliche diese singuläre Fläche berührenden abwickelbaren Flächen sind nicht singuläre Integralflächen der partiellen Differentialgleichung. Die charakteristischen Kurven der Monge- schen Gleichung sind die Schnittgeraden je zweier unendlich
benachl Flächer diese à singulä Kurven gralkur
Es
stimmt
berührt 26) 4 Die Ric
und die
Da beic
Setzt in 26)
27)
Freidan

erte in Us sin-
t durch
= 0.
elbaren rtiellen Monge- endlich
— 17—
benachbarter Ebenen 22). Die Gratlinien der abwickelbaren Flächen sind Integralkurven der Mongeschen Gleichung. Sind diese abwickelbaren Flächen Tangentenflächen einer auf der singulären Fläche liegenden Raumkurve, so sind die Integral- kurven singulär. Für= 0 sind demnach sämtliche Inte- gralkurven singulär.
Es sollen nunmehr die nicht singulären Gratlinien be- stimmt werden. Die Ebene 22)
80. 70, 8— 25) 1 Has
berührt die Fläche 24) 26) A*£‿ 2A A2 9+ 24 24 9 4 2*= 0. Die Richtungskosinus der Ebenennormalen verhalten sich wie 1: e 1 und die der Flächennormalen im Berührungspunkt wie (A T+‿ 412 9+ 413):(4£A 42): 2. Da beide Normalen parallel sind, folgt
dee 0.. 4 Cek V A(A. O.= 24,,0, 0. Au G. 1p
A An h A3— O1 2 A2 4. 42 7 1. A23—— Gr2. Es ist also 5 44(An 02 42 Cu)* 12 bas bas 27)„„ v—(Au 2— 4 Ce)* v5. 33 38
Setzt man diese beiden Koordinaten des Berührungspunktes in 26) ein, so erhält man
A 9 2=—— 2,— 5 Vn C*— 2Ar 1. Au C †. b⸗
Die Gleichungen 27) liefern eine Parameterdarstellung der Fläche 26), indem zu jedem Wertepaar C. und C, ein Flächen- punkt æ, 9, 2 gehört.
Sind C., und C, Funktionen eines Parameters v, so stellen
Freidank. 2

——õ——
27) eine Kurve auf 26), also ein singuläres Integral dar. Die abwickelbaren Flächen, die die Fläche 26) berühren und die keine Tangentenflächen ¹) an diese sind, berühren die singuläre Fläche in Kurven, deren Tangentenrichtungen in jedem Punkte konjugiert zur Richtung der durch diesen Punkt gehenden Er- zeugenden sind. Die Richtung einer solchen Erzeugenden steht daher senkrecht auf der Ebene der Flächennormalen und ihrer Anderung beim Fortschreiten längs der Kurve. Die Glei- chungen der Erzeugenden sind demnach
91= a a 2
v,=„— C1 7
v= 2+( C.— C. Ca) x.
Die Gratlinie ist der geometrische Ort der Schnittpunkte un-
endlich benachbarter Erzeugender. Die unendlich benachbarte Erzeugende hat die Gleichungen
v= æ+ do+(C.+ Cr do) 6
v,= N+ p do—(C.+ Cl do) 6
v= 2 2 do+‿(1r C.)= C. Ci)+†(Ci Ce=— C. Cr) do G.
Eliminiert man zuerst 6 und r und bestimmt dann die Schnitt-
punktskoordinaten, so folgt(für do— 0)
D= e Oer CIæ‿ 1◻+ 0= e, e— 1 2 28) V2 9 1 7 T C, 0.— C. Oe
D= 2-(C1— O¹) x.
3
Diese Parameterdarstellung der Integralkurve v erlaubt nun die Aufstellung der transformierten Kurve v.. Man benötigt hierzu lediglich die Transformationsgleichungen 10) und die erste der Gleichungen 14).
Es wäre schließlich noch zu untersuchen, welche Lösung die Mongesche Gleichung hat, wenn die Voraussetzungen 20) und 23) nicht bestehen.
Ist 5.= 0, dann lautet die partielle Differentialgleichung
2(br+arn 5s)(bp † 523 2)* bu p † 2 2 p i b 9 42⁸ bi⸗* + 42⸗ Han= 0.
1) s. O. p. 17.
Auch h. Clairauf Konstam 00 Ebel Parabol eine Er.
Ist Verbieg
wenn I 9 ausd
Is ist
Dies ist mation gruent
Im Liebm formati t besti Integral zahl die schränkt groß. J hörigen abwicke die sing Kurye u d und H tung de
Lun
lung aà-

Die d die gduläre unkte n Er- steht ihrer Glei-
te un- abarte
chnitt-
bt nun enötigt
nd die
Lösung gen 20)
eichung
13 2 †
— 19—
Auch hier erhält man wieder eine vollständige Lösung dieser Clairautschen Differentialgleichung, wenn man für p und q die Konstanten C, und C, setzt. Man erhält so eine Schar von Ebenen, die, was sich wie im Hauptfalle zeigen läßt, ein Paraboloid umhüllen. Es handelt sich also hier lediglich um eine Ergänzung des Hauptfalles.
Ist 9s— v= 0, also v,= v,, so folgt aus der zweiten Verbiegungsbedingung
wenn man 5¼ mittels der Transformationsgleichungen 10*) durch v ausdrückt
2(bo= T((ei u.).(aMrνᷣ αmα²)(4,,»= 1, 2).
7 1
Es ist demnach
D a/ für 4
7 1= 0 4„.
Dies ist aber die Bedingung für eine orthogonale Transfor- mation von u, in u,, so daß die beiden k.-z. Flächen also kon- gruent sind.
Im dritten Falle der Einteilung der k.-z. Flächen nach Liebmann gibt es also Verbiegungskopplungen. Die Trans- formationskonstanten an und e, sowie die Kopplungskonstante k bestimmen eine Fläche zweiten Grades, die die singuläre Integralfläche der partiellen Differentialgleichung ist. Die An- zahl dieser Flächen ist zwar durch die Beziehungen 15) be- schränkt, aber trotzdem für jede Art dieser Flächen unendlich groß. Jede liefert unendlich viele Integralkurven v, der zuge- hörigen Mongeschen Gleichung. Diese sind die Gratlinien der abwickelbaren Flächen(ausgenommen Tangentenflächen), welche die singuläre Fläche berühren. Aus der Kurve v folgt die Kurve v, und beide bilden mit den zugehörigen Kegelschnitten u, und u,, die sich gleichfalls durch die Konstanten aᷣ, und k bestimmen, zwei k.-z. Flächen, die sich unter Beibehal- tung des k.-z. Parametersystems aufeinander verbiegen lassen.
Zum Schluß sei noch ein Beispiel für eine Biegungskopp- lung angegeben. Den Konstanten werden die Werte gegeben

————
—

1—4 F. L27Ve V2 h f -4 7 3 N 3 u2 M A 3— 2 7 —— = V. -4 4

——
——
—
—— —
— 22—
d= 2; An= 1; dr= 1; an= 2; l 1;. 1;„= 0.— Dann erhalten die Kurven u, und u, die Gleichungen 13)
(u) 2u 2u+— 3= 0
(u.) 21½+‿ 21*+ d— d,= 0.
Die Kurven u, und u, sind also Kreise.(Fig. 2 und 3).
Die singuläre Integralfläche der partiellen Differential- gleichung ist ein zur æ᷑ Ebene symmetrisch liegendes ein- schaliges Kreishyperboloid mit der Gleichung 24)
4+ 4 9%+† 22— 6 † 2— 22 ů= 0. Auf dieser Fläche werde eine Kurve festgelegt durch die Glei- chungen 0» und,—». Dann lauten die Gleichungen dieser Kurve 27)
„= 1(*b— 1)„= 1*+ 3)
, =, =22en.
Reelle Punkte liegen vor für v+‿— 4= 0, also für 9= 1,25.
Eür»= Öo werden ⸗= O0;= 0;,„= 2. Die Gleichungen der Gratlinie v, erhalten die Form
5 ſ= 20r;, 9,= 9— 7;, 5.= 2 22 2 2 169 4 3 e Für„=+ 1,25 werden pa, pa, ve wie x,„, 2 unendlich. Für v= 4,04(b“— 16— 4= 0) wird= 0 und demnach 9=; ee= 9;„ 2. Die Gratlinie berührt in diesem
Punkte die singuläre Fläche. Für= 0 werden 91=— 1; p= 1(£ V2+. 3); v„=+† ½ V.(Fig. 2).
Die Gleichungen der transformierten Kurve v, heißen 10) und 14)
5= 25— b.+ 1; 5,=„+ 2,— 1; 5.=+† 1 Vo 16 9* 4.
Setzt man hierin die Werte für ba, v,, v, ein, dann lauten
Reelle Für b⸗ nur Pu
AT früher
Die möglich Probler
„N K-Z. PZ H.
daß es biegun in der
1. die Ex und

21,25.
diese Gleichungen
1= 2— 9+ 1+ 1(45+ 1)
„=+ 2„91— 1+ 21(b— 1) 1=— 2,= e VI I695
Reelle Punkte liegen vor für v— 16,— 4= 0, also für[◻1)2☛☚ 4,04.
Für o= o werden 5,= † V2; v=+ 0,1 und— 0,6; e.
=— 0,6 und+ 0,95. Es kommen demnach von der Kurve v,
nur Punkte in Betracht, für welche[o]* 4,04 ist.(Fig. 3). Aus den Kurven u,, v und u,, v, lassen sich nach dem
früher beschriebenen Verfahren die k.-z. Flächen konstruieren.
2„ 169— 4 8 P5-— 4
Q2ᷣ S
Zusammenfassung.
Die Einteilung der k.-z. Flächen von H. Liebmann er- möglichte eine systematische Untersuchung des Darbouxschen Problems:
„Welche k.-z. Flächen lassen sich unter Beibehaltung des k.-z. Parametersystems in ebensolche Flächen verbiegen?“
Hatten H. Liebmann und Gambier bereits ermittelt, daß es außer den achsenaffinen Flächen keine weiteren Ver- biegungsgruppen von k.-z. Flächen gibt, so wird dieses Ergebnis in der vorliegenden Arbeit vervollständigt, indem
1. für den dritten Fall der Liebmannschen Einteilung die Existenz von Verbiegungskopplungen nachgewiesen wird und
2. für den vierten Fall festgestellt wird, daß es keine Verbiegungskopplungen gibt.

Lebenslauf.
Der Unterzeichnete wurde am 14. April 1898 zu Fordon an der Weichsel als Sohn des Vizefeldwebels Adolf Freidank und dessen Ehefrau Elisabeth geb. Dittmann geboren und da- selbst nach evang. Sitte getauft. Ostern 1904 kam er in die Knabenmittelschule I zu Darmstadt. Sein Vater starb im Sep- tember 1906. Ostern 1907 trat er in die Oberrealschule zu Darmstadt ein, die er mit kurzer Unterbrechung bis zu seiner Einberufung in den Heeresdienst am 1. Juni 1917 besuchte. Er nahm als Kraftfahrer am Feldzuge in Flandern teil und bestand im Oktober 1918 in Mons vor einer Kommission die Kriegsreifeprüfung. Nach Entlassung aus dem Heeresdienst besuchte er von Januar 1919 an 4 Semester die Hochschule zu Darmstadt. Er hörte dort Vorlesungen bei folgenden Herren Professoren: Dr. Dingeldey, Dr. Horn, Dr. Müller, Dr. Wiener, Dr. Schleiermacher(Mathematik)— Dr. Schering, Dr. Zeissig, Dr. Wirtz, Dr. Baerwald(Physik)— Dr. Wiener, Dr. Müller, Dr. Henneberg, Dr. Hohenner(Angewandte Mathematik)— Dr. Schrader, Dr. Goldstein, Dr. Berger, Dr. Berghoff-Ising, Dr. Frick(Philosophie). Dann besuchte er ein Semester die Uni- versität Frankfurt a. M. und hörte Vorlesungen bei den Herren Professoren: Dr. Bieberbach, Dr. Schoenfließ, Dr. Szäß(Mathe- matik)— Dr. Wachsmuth, Dr. Born(Physik). Schließlich besuchte er die drei letzten Semester die Ludwigs-Universität in Gießen und hörte dort Vorlesungen bei den Herren Professoren: Dr. Engel, Dr. Schlesinger, Dr. Maennchen, Dr. Brendel(Mathematik) — Dr. König, Dr. Fromme, Dr. Cermak, Dr. Uller(Physik)— Dr. Messer, Dr. v. Aster(Philosophie). In Gießen bestand er im Frühjahr 1923 die wissenschaftliche Prüfung für das höhere Lehrfach. Nach Beendigung seines Probejahres am Real-Gym- nasium zu Darmstadt wurde er am 21. August 1925 zum Stu- dienassessor ernannt. Seit Ostern 1927 ist er am Gymnasium in Büdingen verwendet. Das Thema seiner Dissertation wurde von Herrn Professor Dr. Geppert gestellt und der Unterzeich- nete ist demselben und Herrn Professor Dr. Engel für die wertvollen Anregungen und dem steten Rat zu großem Dank verpflichtet. Die Dissertation wurde am 14. Februar 1931 durch den Prüfungsausschuß der Philosophischen Fakultät II. Abtei- lung an der Ludwigs-Universität Gießen genehmigt. Die münd- liche Doktorprüfung bestand er am 21. Februar 1931.
Kurt Freidank, Studienassessor.
EI
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2880T.
Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars XX. Heft ’
Entwicklung positiver Zahlen nach Stammbrüchen
Dissertation
zur Erlangung der Doktorwürde bei der Philosophischen Fakultät
der Hessischen Ludwigs-Universität
— ·—
zu Gießen
eingereicht von
GOTTFRIED STRATEMEVER
4
„ S⸗
/
„ 4
A
Giessen 1931
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstr. 16
Preis RM. 1.50

—
Genehmigt durch die Philosophische Fakultàt, II. Abteilung am 21. Juni 1931.
Berichterstatter: Dr. Engel. „: Dr. Geppert.
Druck der Dieterichschen Universitäts-Buchdruckerei(W. Fr. Kaestner) in Göttingen
8AIL
al Pos eine Zal
in
W 1

In einem Vortrag, den Prof. Dr. Engel bei der 52. Ver- sammlung deutscher Philologen und Schulmänner in Marburg am 1. Oktober 1913 hielt, behandelt er die Darstellung von positiven Zahlen durch Reihen von Stammbrüchen, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet werden. Eine jede positive Zahl α läßt sich approximieren durch die Reihe
1 1 1 a
1 8
1 2
in der a=a=Sa+†l und in der die%, schrittweise bestimmt werden durch die Forderung:
1 1 1— 1 1 1 1 αε—++V,.+—=«=a+—+—++ 5. 71 72( 71 2- 1 2— 1 In ähnlicher Weise läßt sich a entwickeln in die Reihe 1 1 1 2 4 01 01(2(1(2 L3
Eine dritte Darstellung mit Stammbrüchen für jede Zahl ς 1 ergibt die Cantorsche Produktentwicklung
a= 2.(14 1).(1 1).. 91 2
Alle drei Darstellungen ergeben einfache Bedingungen für die Rationalität der entwickelten Zahl.
Einer Anregung von Prof. Engel verdankt die vorliegende Arbeit ihre Entstehung. Es sollen die eben erwähnten Zahl- darstellungen betrachtet und untersucht werden unter der Vor- aussetzung, daß die einschränkende Voraussetzung von nur positiven Stammbrüchen wegfällt.

1. Abschnitt.
1 Engels Reihe a X 6 2— 1„
1. Eine beliebige Zahl„ sei zu entwickeln in die Reihe
1 1 1 „= 4 6.= s.+ 8..+.. 4. 42 7
3
In dieser Reihe seien die s, entweder+ 1 oder— 1 und die 9,
seien so bestimmt, daß die mit einem solchen 3 abgebrochene
Reihe eben zu groß oder eben zu klein wird. Dies'eben zu groß’' oder'eben zu klein' möge Ausdruck dafür sein, daß, wenn man den letzten Stammbruchnenner einer solchen Partial- summe um eine Einheit ändert, der wahre Wert der darzu- stellenden Zahl entweder gerade erreicht oder nach der ent- gegengesetzten Seite überschritten wird. Je nach der Wahl von a, ist a die größte ganze Zahl, die kleiner ist als y, oder die kleinste ganze Zahl, die größer als„ ist. Der Unterschied zwischen„ und a ist daher eine Zahl, die nicht größer als 1 ist; es kann daher die Betrachtung beschränkt werden auf Zahlen zwischen 0 und 1; also
9224= 1 oder a= 1.
1
1. 2. Ist nun der erste Stammbruch— eben zu klein, dann 1
läßt sich nach obiger Voraussetzung schreiben:
1
———— 1—(— 1) es wird daher 1 1 1
+—= oder—.)ſ= 4. ‧(4.— 1). 14,..(a. 1) 4,ehn(4. 1) 1 1 1 1 Ist dag b roß, also—=——=—, d st dagegen 7 eben zu groß, also 3 2=, ann wird 4— 1—
24..(a 1. 1)
und daher 9.)= 2. ‧(4⁴+ 1).
selb
wir0
meh
Wi
nicl
dah

eihe
lie 9, thene
n zu dab, rtial- arzu- ent- Wahl oder chied als 1 a auf
dann
dann
Die so gefundene erste Partialsumme 3+ 8. 4 wird nun 1 2 selbst eben zu groß oder eben zu klein sein und dementsprechend
wird der dritte Stammbruch 1 zu wählen sein.
Iet z. B. 1.—4— eben zu klein, also 1— nicht 9 9. 44(4.+ 1)
mehr zu klein, also 1. eben zu groß, dann ist 2
11 1 1 — oder(ᷣ1)ß=(ε1). 7, 2.=. 4.= 4.(
. 1 Wird dann 1— 1) eben zu klein, 1 86—) 7 o. 5 4. e,(a.- 1) nicht mehr zu klein, dann ist 1 1 1 1 1 1 1 ——+=-— 71 6 2(4 971 72(.)) daher 1 1 Sa oder 4— 14:(d⸗* ‿ 1).
9.(44— 1) 4,
„;. 1 1*
Folgen also zwei Stammbrüche— und mit gleichem Vor- 1„+1
zeichen aufeinander, dann ist immer:
Qor== 4„(9, 1) oder Heta= 9,(4 4, 8,).
Haben die beiden aufeinanderfolgenden Stammbrüche verschie- dene Vorzeichen, dann ist:
T†1— T„(4. 1) oder LTvrr—(*(7, 8 8,41). Über den ersten Stammbruchnenner läßt sich noch eine be- stimmtere Angabe machen. Sind die Vorzeichen der beiden ersten Stammbrüche gleich, dann ist,—= 2, sind die Vorzeichen verschieden, dann ist.= 1. Bei jeder beliebigen Reihe der betrachteten Art ist daher der zweite Stammbruchnenner nicht kleiner als 2, und da die zu entwickelnde Zahl kleiner als 1 ist, kann der Nenner des dritten Stammbruches nicht kleiner als 3 sein. Allgemein gilt also für jede beliebige Reihe dieser Art, daß. 4„1=(4,— 1) G, für»= 3, 4, 5,....
Durch die Forderung, daß jede Partialsumme dieser Reihen

—
———
— —
—
—
——
————
—
— 6—
eben zu groß oder eben zu klein sein soll, wird es möglich, auch jede rationale Zahl durch eine unendliche Reihe dar- zustellen.
3. Ist umgekehrt eine Reihe X 4 2 vorgelegt und
1— 1„ gilt a=(4, 1)-a, für„— 3, 4,„ qu= 1, 42= 2, dann läßt sich beweisen, daß die Reihe stets konvergiert. Die n. Partial- summe dieser Reihe ist nämlich sicher kleiner als die n. Partial-
summe der Beträge der Glieder, also kleiner als+ 7*1 2. 4. Nun ist 9.=(- 1) 1.=(Cr 1)-9.=(4.— 1)* 4.=(.— 1) ·g.=(4— 1)— Ga— 1)=(.— 1)“ 4.=(4s. 1) 9,(4 1)—(42- 1) 2(4.— 1)
2.= Ge= 1y= Daher ist 1 1 1„— 2 1 1—(a. 1y 1 „ 5 2„ „2 7-„2r. 1)(4*— 1) 1— 1 94 2 434— 1 So ergibt sich 1 1 1
2 1 8,.—=— „2 1 2 91 42 414— 2 Demnach sind die Partialsummen beschränkt, die Reihen sind unbedingt konvergent. Für die unendliche Reihe findet man die gleiche Abschätzung. Bricht man die Reihe mit dem v.
Glied ab, dann läßt sich der Rest der Reihe in gleicher Weise abschätzen.
Es ist dann: 5 1 1 „2 1 ſa T* 9r41— 2 4 ¹). Eine besonders einfache und übersichtliche Gesetz- mäßigkeit für das Fortschreiten der Stammbruchnenner ergibt sich, wenn der Ausdruck a— VD in eine derartige Reihe ent- wickelt wird. Vorausgesetzt ist dabei, daß alle e,= † 1 und
1) Mathematische Zeitschrift, Band 31, Heft 5, S. 767, 768.
od
Br da
tü

— 7—
a ein geeigneter, zu großer rationaler Näherungswert der Quadratwurzel ist. Ist D eine positive rationale Zahl und nicht Quadratzahl, sodaß die Gleichung— Due= 1 durch zwei positive ganze Zahlen t, u(t= u) erfüllt werden kann,
. 4.. dann ist— ein geeigneter Näherungswert. Es ist also zu ent- wickeln 1— W.
Der erste Stammbruch in dieser Entwicklung ist
2 tu Denn es ist 1 e— 1— 0 u(t † u VWD) 2tu 2tu(t † u WD) 2 tu(t u VWD) 3 dagegen 1 1 20, a(t+ u WD) 2tu- 1 denn 2 tu— 1— u(t+ uVWD)= udt— uVVD)- 1= 4— 1=0. t uWD Dieser erste Stammbruch 24 liefert einen neuen Näherungs- wert, da 1 1 25— 1 2 e,, e, ist, und diese k, u, wiederum die Gleichung— D. u*= 1 erfüllen. Man erhält daher die Stammbruchentwicklung: to 1 1 2 9= 2 1, u, 5 2 7, 40 oder 1 to— W=... d0 201 2 wobei 5„= 2 1*= 1, an 27„ 2„(„= 0, 1, 2,). Bricht man diese Entwicklung mit dem n. Stammbruch ab, 1 dann ist der Rest der ganzen Reihe kleiner als ,r. e. 1) OO Es sei umgekehrt die unendliche Reihe gegeben D½ 2,= 1
für sie sei vorausgesetzt:

4, 11= 2 ½, A,, kr= 2 ⁄1,— 1, t,= u, und k,— D.= 1 (= 0, 1, 2,.). Ihre Partialsummen sind monoton wachsend und beschränkt, denn es ist u,= 2 h-· u à)= 2 u: umsomehr größer als u
2 7 3 un= 2t, u.= 2 us umsomehr größer als a
7 26,= 241,
daher
1 1 1 1 1 „21,„I.
Für die unendliche Reihe ergibt sich die gleiche Abschätzung, die betrachtete Reihe ist konvergent.
Aus den Voraussetzungen folgt: e— 2, und 5— 4.(n)- 1 oder fen=——
26„„+ 1„„+1
„
Dann ist
1.
v= 0 Lr³»= 0 l 20
und es ergibt sich
2 0 2— 1 1 oder 1 2 2 3 0/ 2— 1„
Läßt man hier a über alle Grenzen wachsen, dann wird . 3 51..— lim= WD und die letzte Gleichung geht über in
— 00 24„
75 1 — VWD=— 2 N„21 20„
5. Es ist nun die Frage zu untersuchen, welche Bedin-
gungen die 9, erfüllen müssen, damit die durch die Reihe ‿
5 6 dargestellte Zahl 4 rational ist. Um diese Unter-
2=— 1 1 1
suchung in aller Allgemeinheit durchführen zu können, seien
einige Bemerkungen vorausgeschickt.
bru
ode
Fü
Da
un
00

Inkt,
wird
edin- aeihe
nter-
seien
— 9—
Bricht man die Stammbruchreihe mit dem(“— 1). Stamm- bruch ab, dann sei der Rest der Reihe gleich 5 gesetzt, wo 5&
a, immer positiv ist. Es läßt sich also schreiben
82= J. 8, G. d a 82— 82+ 83 02 72 C oder allgemein S— 8„ 8„41 , 72 4 G
Für diese, gilt nach den Erwägungen von oben — 7„(2.— 8, 8,r1). Nun sei die darzustellende Zahl 3 rational, dann sind auch
alle übrigen, rationale Zahlen und es gilt 1 1„
—+—l(“= 1, 2, 3,). y(„ Gr Da 2 ein echter Bruch ist, sei dafür gesetzt 7 ai und 5 1 teilerfremd. Es ist also a 1 S. 1 81 E,(4 G1— b) a 5=+ oder 7 572 55 (d2 1 82 83 1 82 8s(4. G2— 5 41) 2 =—+ oder—— 591 2 2 2 5 g1 9. 5 9192 und allgemein 1 a
Daher ist d1091— 5+ 81 82 C2*
d2 C2— 5 91 1 82 83 d2
d„ G,= 5.-1..9,1+ 8, 8„ Gerr(v= 2, 3,..). Da α= 7,(4.— 8, 8, 1) ist, folgt
5 4- 92.
dr
— y— 7..(4.— 8„ 8„1)
oder 5 91 ·d=.. QGe1—(.— 8, 8, 91) ·Ge

— 10—
Also ist (d.(„—(. 8 6 1) er* 8, 8,41(.,1 oder d— de-
Da andrerseits alle a,= 1 sind, so müssen sie von irgend einer Stelle ab alle gleich sein. Es sei dies für v=n der Fall, dann ist
— 1 8, 8241 a., 2„ are, und daraus folgt G— 8 Sw.
Da α=, 7, ist, ergibt sich als Rationalitätsbedingung
Cari Erri e=(G*— e. 8er). Über die Form dieser Bedingung entscheiden demnach die Vorzeichen von drei aufeinander folgenden Gliedern. Mit ihrer Hülfe läßt sich die Bedingung für den Nenner des mittleren Gliedes gestalten.
0 Umgekehrt ist jetzt nachzuweisen, daß die Reihe X 5 2— 1„ eine rationale Zahl darstellt, wenn von einer beliebigen Stelle
»= u an die Bedingung erfüllt ist:
(r— 8,1 Se 9.(G„)= 8, 8r1). Dann ist 8,„ en „— 8, Syrr„ 1„(,. 5» 8„11)„ Qe³— Sr Se
Summiert man nach v, dann wird
O0 8„— 8 8„ —, Un 8 Snr 7— N 2 und es wird 1 n— 1 5 5 1 71
=.
G1„= 1„ In— En 8n1
Die entwickelte Zahl ist also rational.
Im e
darzt
dem
Ist ganz Ist Lahl
die
ISt
entt
ist

1(„ Stelle
——
2. Abschnitt.
00 Engels Reihe a V. L„2. 71112...9 6. Wie im vorhergehenden Abschnitt kann die Betrachtung beschränkt werden auf die Darstellung von positiven Zahlen, die kleiner sind als 1.
Es sei die darzustellende Zahl„= 1„also 1. Als-
dann läßt sich setzen: 1
1 1 4. 1 Det. 1 2 d1u((1³³) 2 d(r a.) Im ersten Falle ist 4 eben zu klein, e. entweder die darzustellende Zahl oder eben zu groß. Es ist also 1— 1 1 1
(4= 1) 71 1e e.= i)j a demnach ..ᷣꝗß= q— 1 und 1= 2. 1 1 1... Ist—=—+—— und„.,- 1 die größte in enthaltene 4(„,( 92) ganze Zahl, dann ist q,²— 1= α oder.†⁵).
Ist 41 1
———+— 4 1(21 2²) Zahl, dann ist.„)=.- 1.
1 1 Im zweiten Falle ist 5 eben zu groß, 5. entweder die gesuchte Zahl oder eben zu klein, und.= 1.
Es ist daher
und— die größte in, enthaltene ganze
1 1 1 1 —=——= und α—,+ 1. (*† ¹) ſr Gr- 4)) aA Ist 4 1 1 dann ist wieder(,— 1 die größte in
e enthaltene ganze Zahl, also d.— 1—= a, oder.= ¶1%ℳ₰2,
ist 41— 4. dann ist q.)= a, und daher.ꝓß☚. 2.+ 1.
71 u,(a)

— 12
Allgemein ist daher zu sagen: Es ist Lor 81 8„2 ie(„— 8, 8,1 wenn 1 c S2 und Hrir= 4„—* ,i wenn 6,+ α£αρ◻ 82.
7. Ist, 11= 7,— 1, dann ist sicher quν— ,1+ 1, es sind also alle auf g, folgenden nicht kleiner als d,— 1, ja sogar sind alle auf qe folgenden nicht kleiner als 4, die Stamm- bruchnenner einer solchen Reihe werden größer und größer, die Stammbrüche nähern sich mit wachsendem» der Grenze 0.
Alle Reihen dieser Art sind unbedingt konvergent; denn es ist:
„— 1
„”I Ahh, n e. Ist jetzt q,= 2 und Q=(.- 1, dann ist 00 00 ö, „= 1 11 d. Q- 71 dC2.(2-1„= 1(42— 1)
also — S———— 1.———. „= 1(¶1 729„ D 7e. 91G. 2) 8. Die übliche Reihe für e ist eine Engelsche Reihe dieser Art. 1 1
2= 2.34 G1)
2— 1 In dieser Reihe sind alle s, gleich+ 1, daher muß Geι 9, sein.
Es ist in diesem Falle 9,=» 1(»= 1, 2, 3,.).
1 Ebenso zu behandeln ist e“*, wenn α eine positive ganze Zahl. 1 0 1
4* er r e, und. 2 e. Ist in einer Engelschen Reihe dieser Art immer 8,= der(»= 1, 2,.),
dann erhält man eine alternierende Reihe; es ist also immer —1= 2,+ 1. Hierher gehört die Reihe: — S( 1 1 (2*)!(22+ 1)!
„= 1 1
), worin—,=»+ 1.
Auch e* läßt sich in einer solchen Reihe darstellen, wenn wie oben positiv und ganz.
aber
Da
und
0d

sind ogar mm- ößer, 2ze 0.
s ist:
rArt.
immer
ſenn 7
— 13—
9. In eine solche alternierende Engelsche Reihe läßt sich auch a— WD entwickeln, wenn a und D dieselbe Bedeutung haben wie in Nr. 4. Da
— 1.— 0 und— 14.—— 1—=0 [u(t u W) 2 u[u(t u VWD)[u(2t- 1)]
ist, wird der erste Stammbruch dieser Entwicklung ſu—
Also wird 1— 1 1 1 [a(e aVD)] la(2t- 1))[a(2t— 1) 2 aber 1 1 1
—e,—. ſu C uVD)] lu(2t- 1)][u(2t— 1)(G, † 1) Da.ꝗßQ.+₰‿ 1 sein muß, wird hier q.= 2t sein. Es ist 1 1 2 ½
ſu(2t— 1)][u(21— 1) 2¼+ 1)]= ſrr i und daher 23 ( uVD)(44*— 1)
— 0,
denn— 4 ½2— 1— 24- 2:u WD=(— uW)= 0; aber
1 1(21+ 1)
[u(2t— 1) lu(2¼— 1) 24+ 2)]=[s(27— 1) 24+ 2)1“* deshalb 1 grh + Gr)[ee-=1er2I denn 4 ½b 4+ 24— 2—(2+ 1) 6 uW)= 2 Du“— 2tu WDt— uW =(1— u W)(1— 2u)=0. Demnach ist
9,= 241. So ergibt sich raV) G eee u oder 4 1 1 2 ½
=W=[a-Ihl[udte l[uir-I

— 14
4-wd* n) L4u=n— 2 ist ein neuer Näherungs- wert der Quadratwurzel, denn 5. Dur=,(423)== Da.(45 1)—(422— 1)(E— Du*)
— 4f.(442— 1)+ 42=(442— 1) 44- 1- 40) 4 44= 1. Weiterhin wird:
t 1 1 2
WD= lw. Et.=I la.dn 1I la-du=I): als neuer Näherungswert wird gefunden: 5 4(454— 3)
2[u(4— 1)]
Man erhält also die Stammbruchentwicklung:
3— W— 4— 1 1— — uo-(21,— 1)] ſ[us( ,— 1)] lu.(2 ½h— 1)] — 4——+— lu(4 4h- 1)! worin 4= e.(d4. 3) 1,= ae(444,1 1)(»= 1, 2, 3,) und immer 424— Dun.= l. Wenige Glieder der Reihe geben schon einen guten Näherungs- wert. 10. Es sei umgekehrt eine Reihe von der Form vorgelegt:
büe 1 1 „2,(Le eh 1 2. e.=1)e2*) für die gelten mag 72= O„— 1 tar= 1(4 ½,— 3) u,,= u,(4 ½— 1)(v= 0, 1, 2, 3,.).
Diese Reihe ist konvergent, die Partialsummen sind beschränkt.
2 1 1 3 2 ½ 20(wee ii e e=)=, Zo lu.=) = ſe,(2=i. ſa.Gh= IM
e [u.(2 t.— 1
4—— u,+—
——
Für Aus
Es is
oder
Für
in d
oder

Du?)
änkt.
[u-(2 ½,— 1)][u.-(2t.— 1) S[u,-(2 4,— 1) (2 ‧1,— 2) 1 l[u,(24,n— I) u, 1
Die Partialsumme ist kleiner als fe 1 Ferner ist
/— 1(24,— 2) 1 n/ 1
=1[u,(2 7,— 1) 1 d,„2. 2ʃ, und 2„ 1 1 1 1 „Z21, ſur(4t. 1) ſu(4E 1y* fa L 1) 4.12 1— 1—(1- 1=é 1 1 ie 15- i. 1i(T4= 1)) n, 44=2 1521
Es ist also die untersuchte Partialsumme größer als 1 1 [u ·(2to— 1))[ue-(4 ½— 2)] Für die unendliche Reihe findet man die gleiche Abschätzung. Aus der angenommenen Voraussetzung folgt:
4½6,— 1=— 3 20, 2* 5„ k, 2 ½, 5,41= k, Il— 2 ¼, oder=—. u,, lln Es ist also 22 4,=-(s »= 0 1»= 0 0„ 14„1 oder 5,„ 2 51 20 20„= 0 1 Für n-o wird lim la= WD und die rechte Seite geht 5 n— 00 ¹, in die unendliche Reihe über, d. h.
k—— 2 ½— v W)= 2o ſce(An= i
0
oder

—
— 16—
1 1 1 1 „=WD= lu-S,=1I lw. Gt=II bw E4=i
ar de= 1I“ 11. Aus dieser Reihe läßt sich in einfacher Weise eine andere Reihenentwicklung von ganz ähnlicher Form ableiten.
Es ist ko 1 5 W) e,(e) dabei immer — H as 1,
Wendet man auf 4 die obige Entwicklung an, dann wird 1
51 1 1 1 1. VD= ſara i be d i Lu. r=M 1 dt= und da t,= 2 ¼12— 1 und u.== 2 b-un ist, läßt sich für 2 ½— 1 = 4 /1—3 und für 4 l— 1=(2,+9(— 1)=(44- 1) 44— 3) setzen. Es wird daher
1 v5= 1 2* 21,-1,(4 ½1— 3)[2 t, u,(4 ½ 3)(4 5— 1)]. oder t 1 1 . W)= e 2=) 2t,n ee + 1. 1 1—++— 21, u, 2, u,(4 6— 3) 21, u, 481— 3) 47,— 1) wobei 41=(24— 1) 4(24 1)— 31 2,i 1= 25, ar 4(245— 17 11(= 0, 1, 2...).
12. Es sei 4 eine rationale Zahl und gegeben als echter
1
Bruch 3„also d,= b. Zunächst sei b als Primzahl angenommen.
Ist
bis
bes

1 1 8, S 1 ) D—— 1 741 7—— 1 p a 5 7+ 6e) ist, muß. 8, 2,e(C 2 1) sein. Nach den zu Anfang dieses Abschnittes gegebenen Uber- legungen ist 9.— 1=—, q,, wenn 6,= 8„41, dagegen ist 8— 7,=,= 4,+ 1, wenn s,*ℳ 6,1 ist. Es haben alle 1 den * Cp gleichen Nenner 5, d. h. alle 2 sind echte Brüche von der 3 Form* Es ist daher 9„— 1 Cdri 2. 2 Cdpr 2, † 6,er 65.) oder e,een„—¹)—, 5 r Ist S, a,n, dann ist 7,— 1— 5 oder q„= 942. daher 1— 1= dr oder 2,= Se. b' Ist s,=&,ri, dann ist 1—(2.9.)= uri, also 1—— 5 5 5 = See, d. h. wiederum a,= a,. 6,— 1 3 h. 3 Die Zähler der rationalen Brüche 7 nehmen monoton ab.
Da für diese Zähler aber nur die 5 Werte 5, 5— 1, 5— 2,... 3, 2, 1 zur Verfügung sind, muß ein Zähler einmal 1 werden. Es sei dies für»= n der Fall.
4— 1 1. S Dann ist—. 5 2„(4, 9)
Daraus folgt q,= 5+ 5, 8,41 für"v= n.
Ist b keine Primzahl, dann werden die a, solange abnehmen,
4— bis ein a, entweder ebenfalls 1 wird oder ein Teiler von 5.
Das letztere ist der Fall, wenn a,m= b. Dann wird
4 3 1— oder g,= am 4. 8, 3„ 1. 13. Ist umgekehrt bei einer Reihe dieser Art von einer 2 1 bestimmten- Stelle v= n an q,= 5+ 8S„, dann ist 4 1 5 Ge. chter Gp(5+ 8 8„1)[(5 A eyen) 2r1] Für die q, sind nur die beiden Werte 5+ 1 und 5— 1 möglich. dmen. Gleichen, entsprechen auch gleiche«« Wählt man dann
2
Stratemeyer.

— 18—
möglichst zwei aufeinanderfolgende gleiche 6,, dann wird
1 1 8„ 8„41 ——— a,(5 HSen) L[O 5,6.) Ar] oder Cp(b 8, 8„1)(5 4 8, gra) d. h., ü 5, also rational.
Damit sind auch alle vorhergehenden a rational, die dar- gestellte Zahl ist rational.
3. Abschnitt. Cantors Produkte.
14. Zu untersuchen ist die Darstellung einer beliebigen
Zahl α‿α durch ein unendliches Produkt von der Form 00 II(+ 3) wobei s,= ¾ 1. Man kann schreiben 2 1 1 6.—(1 1):⸗
( 1 2—(1)-«. usw. 92
solange die α,— 2.
Ist ein α,„= 2 geworden, dann erst können die e, auch — 1 werden.
Es möge daher zur Vereinfachung der Darstellung die Voraussetzung gemacht werden, daß a, nicht größer als 2 ist.
Es sei 1=,= 2, dann kann«e, nur+ 1 sein. Ferner sei angenommen
8= rr*2
Um das Produkt zu gewinnen, ist zu fordern
— 5,— a.,)= 1+ 7, aber a,= 1+ 6, Es gilt das obere Ungleichheitszeichen, wenn 6, σ‿+ 1, das untere, wenn s,,=— 1. Aus den beiden Forderungen für a,
ergibt sich die Bedingung für Qeρμ☚
oder
also
Ist E
dann
oder
Hier
Ist( Folg Prod
ISt Esi Da
klei dan-
Wer

dar-
bigen Worm
auch
2 die 2 ist. erner
15. Da 8„+ 1 *.2.(1* 41* 4) muß sein 14 2)(1)S14 8„ („ CLe*1(d. 8 541) oder 8 8 1 85 21— 1+„+ 1 T211 2[(9,— 8„ Seen).(9. 3 8,)] 5 also
Lyrr—(g.— 8 89r1) 3(Q. 5 Sp).
ISt e„ 5„e, also
2,=(1 2.(.
74(Tyern— S 82) dann ist 8, 8 8 (ir)d*. 241 EE K 7„(Grr 2 8„2)(C.— 8, 8„ 1) oder 1+ 8—= 1 81
(e*— 8,11 ⁸ ³)* L(4,— 8, ,n1) ·G.+ 6)l Hieraus folgt: 0er1— 5,11 E42=(4,—=& 8,11)(7.+ 8.). Ist O= a,= 1, dann kann s, nur- 1 sein, sonst bleiben die Folgerungen wie vorher. Es gilt daher allgemein für derartige
Produkte: —1— 81 8„2(de 5 6 1¹)(d. 4 8,). Ist 1=.= 2, dann muß ⁄) 2 sein, wenn alle«=+ 1 sind. Es ist 4.— 1 2 G.- 1) G+ 1) oder 4.= 4. 4,— 1=(C.- 1)(C. ℳ 1) oder 4.=.= A usw. Da.)= 2, wachsen die, mit zunehmendem» über alle Grenzen. Ist O= α= 1 und sind alle=— 1, dann kann nicht kleiner sein als 2. Die Bedingung für die Größe der 9, ergibt dann.= 2(v= 2, 3,..). 16. Hier ist die Möglichkeit denkbar, daß alle d,= 2 werden. Dann wäre.
— 1 1— 1 Se a,(¼) 5

—
—
— 20—
Da a,= 1 ist, ist 4%ꝙ έ=(L'. Dies kann aber für beliebig große Werte von n nicht gültig
sein, d. h. es muß ein—, auch einmal größer werden als 2. Ist z. B. 7,— 3, dann ist
Tn*r— 1—(2„— 4)*— 2* Tn2— 1—(Geur— 1)*— 24* UsW.
Es wachsen von dieser Stelle an die g, über alle Grenzen.
Ist 8,=+ 1 und.= 1, dann muß, der Voraussetzung folgend,,=— 1 sein und daher 4.= 2 94—&u E.=(.+ 6) G.— 1). Ist jetzt 8=+ 1, dann ist q.— s.= 3 und, wenn,=— 1,
dann ist a)= 2 und q.+,=(4.+ 1)' und die—, wachsen an. Allgemein wachsen die 9, in allen Fällen, d. h. die Faktoren
des Produktes nähern sich mit zunehmendem» unbeschränkt der Einheit.
17. Liegt umgekehrt ein unendliches Produkt ₰ 8 o 11( 5 2e) 2=— 1„
vor, für dessen Nenner das Bildungsgesetz gilt
T„†+ ²— 8,1 82—(4.—, 8,71) 5(. 55 8,),
dann ist die Konvergenz dieses Produktes bewiesen, wenn für
n+˖ h das endliche Produkt II(14 5 eine von h unabhängige
vv= 1Q obere Schranke gefunden werden kann.
Sind die s, für v= 1, 2,. ʒn alle+ 1, dagegen alle fol-
genden,=— 1, dann ist ohne weiteres einzusehen, daß OO II.(14)= 142. v= N(„ n ebenso ist, wenn alle, überhaupt— 1 sind: 00 II(= 4)= 1-4. 2— 1„ l1
folgt

tzung
an für
ingige
le fol⸗ 16
1 Zu untersuchen ist daher noch(+ 5n f 1( 95 1) wenn 92)„= 29 6=* 1. FEs ist 3 1
1* en( ν☚— 1. 8,
( 2(22= 1) I e. und
1 1 1
1eu 3.
( 7.(24— 1¹) G Daher ist:
8 1 5 1 1 n 1 (*). 14)⸗ i Lue dn) v=n+ 1 1 1„=n 1+ 1 G.u— 1 7— 1 Da- 1+ 1 1+ 1 een 1 2 (3,)( ¹) folgt - 142—2 72 2 7. (1**). II 6* 4)= dTn—?n— In v=+ 1 2 1 85 1 Lrrrrn— 1
-A*e-A.) . In 8„ Tnrhri Also ist umsomehr:
5 n+ h+ 1 1 3 (1**). 11(= 14 e
Ln vä=/+ 1(-— Hieraus ergibt sich die Abschätzung:
8 8 1— .). J. b-=. „v= l+ 1„ Sind in diesem Produkt nicht alle auf«, folgenden=+† 1, sondern sind unter ihnen(ausgenommen e, 21) auch solche, die — 1 sind, dann gilt dieses Ergebnis erst recht.
8„ (ꝗ„½— 8)
18. Nun sei eine rationale Zahl zwischen 0 und 1 oder 1 und 2 gelegen. Dann ist auch jedes Teilprodukt rational.
Man setzt α,==—, a,= b,, beide teilerfremd. Es ist also
2
„

——
—
,——(+ 2).2—n ( 7-(-,1 oder. (4, νεέ*)(+ 2.)(2*εν †‿ Neε ,1) 2„ Grr Daher (a, 20 8) 1*—(apn 5 N4 8,1) [a,(&. 8,)] Gdrr
Ist d,= 1, dann kann man schreiben (4,+ 2, 8,) C,= G,(α X ½1 K 1) 4,(1,+.)= d, ,1. Durch Subtraktion findet man
8 N C 8„G,= d, 8„†1 1,
und es ist
8 1(x, 2 S 4)—„r 5
8„1 Nun ist nach Nr. 14 (4,+ 8,*)—— 2 , 2eSS 1(..) wobei das obere Zeichen gilt, wenn,=+ 1, das untere, wenn&=— 1 ist.
Daraus folgt ( d S(e,(2, 1) Hier gilt das obere Zeichen, wenn s,= 6„z1, das untere, wenn 5, Sen ist.
„
Daher ist
— 1
4*—— 5 8 8„41
„—— 1 2 oder
= p
(„= X. ir 2 8„41 —
(„ X= 2* 8 Sp.
Sind e, und, gleich, dann ist x, q,— d,=„1 und x, ꝗ, =a,+*,, also ist æ,= 2, Sind s, und n1 verschieden, dann ist a,—, G,= ver, und x, q.= a,— x,, also auch z, E au- Dem-
Von
dan
Es

ntere,
wenn
d 1,4, dann Dem-
nach nehmen die, dauernd ab, sind also von irgend einer Stelle v= n alle einander gleich. Also
A= u,—„n,„ K 1, 2n 2,...
Es ist e,x G,— 8, G,= d,&, ¼, d. h. a, ist durch teilbar.
Zähler und Nenner von, müssen daher durch ⁊ teilbar sein, was der Voraussetzung widerspricht. Also ist ½= 1 von»= /n ab.
Deshalb ist α= e und daraus,= 4
9.,(a,— 1) 8
— 1) teres, wenn, e, d. h. 2,= 2,
Ist s,= 6,„1, dann ist—, die kleinste ganze Zahl, die größer als a,, d. h. 9,— 1= a,; ist s,*† a„1, dann ist 2, die größte ganze Zahl, die kleiner als ,, d. h. 6,+ 1= a,, also allgemein
Nun ist g9,=— 8 oberes Zeichen, wenn,= 5„1, un- 2
2,—,=„= N. Es muß demnach sein: (g. · 8 8*1)(,,* 8,)— d,.(Qurr e 5,12)) außerdem ist vorausgesetzt: dT+³— S 8e*2=(4= 5 Sr1)( k. 5,),
also muß d,= 1 sein für»= n. Die Bedingung für Rationalität lautet daher:
D41— Se See(4.— 8» 8,11)(g. 4. 6,). 19. Ist umgekehrt in dem unendlichen Produkt
von einer beliebigen Stelle v= n an immer
Trrr 5 8„4 8„*2(. 2 3„41)(d* 8,), dann ist 2. 8 8, Ao= II(+—. II 61—) „ ä= 1 1„ ä=„
Es ist
8 E„ 5).= 1+ 6 7 G 5(7,=&, Sr.) 9„= 3,3,51

also 0 8 8 8 11,JÄ a ee e. i d 2 II,( 7*„((G.— 8, 37)(,. 8,)„II, T— 8„ 8,1 Da aber — [(. 8 4,*1)(2, 4 8,)](Cer— 81 8„*2) folgt (+ 2)= 1+ E2— „ ä= n„(d„— 8, 8) Daher ist ( 4 wII(1 a.—————).(**½. 8(d Se 52 41)„= 1(„ d. h. α ist rational. t
20 ¹). Ist 1— Da*= 1, dann läßt sich— in ein (W) Cantorsches Produkt entwickeln. Es ist 5 7*(222— 1)+† 1(z6 1) Pa(6 1)(241— 1)= 1(= 1) Nach der Engelschen Formel ist: 7(k+ 1) 1 1 (,V5) rh=ü: 4) 11) 7, 1= 2 ,— 1(»= 0, 1, 2,..). Hier ist tatsächlich
u VD
Die Entwicklung des reziproken Wertes 5 führt zum 0
unendlichen Produkt 1 1 1— 1(1—) ( 6u(tz.+ 1)
dr V) 1 1 e--nhrer.
241.=1(2 49. 1), da 2 4— 1.= z1.
oder
Es ist
1) Mathematische Zeitschrift, Band 31, Heft 5, S. 768.
Das rezip
bruc solel x is von Star verr ein Folg WurC gest
Die

e
n ein
Das unendliche Produkt, in dem alle 8,=— 1 sind, ist der reziproke Wert des Produktes, in dem alle 8,=+ 1 sind.
4. Abschnitt. Die Zahl x.
21. Die Darstellung der Zahl e in einer derartigen Stamm- bruchentwicklung gab Anregung, auch für die Zahl x eine solche Entwicklung zu versuchen. Den Dezimalstellen von x ist irgend eine Gesetzmäßigkeit nicht anzusehen; es war von vornherein nicht ganz hoffnungslos, zu vermuten, daß Stammbrüche vielleicht in ihrer Aufeinanderfolge ein Gesetz verraten könnten. Leider bleibt es aber nur bei dem Wunsche, ein brauchbares Ergebnis ist nicht gefunden. Doch sollen im Folgenden die verschiedenen Entwicklungen, die untersucht wurden, gegeben werden; ein mehr mit Geist und Glück Aus- gestatteter mag vielleicht das Gesuchte finden.
Entwicklung in eine Engelsche Stammbruchreihe.
11 11 2= 3 4++ 4†. 2, e,.
44— 8 7.= 128 541 455 42= 61 4.= 1 629 243 327 166 05980. 44= 5 020
Die vier ersten Stammbrüche ergeben x auf 17 Stellen, mit dem fünften Stammbruch ist x auf 34 Stellen bestimmt. Der nächste Stammbruchnenner hat 35 Stellen, mit ihm ist auf 68 Dezimalstellen festgelegt.
Entwicklung in die zweite Engelsche Stammbruchreihe.
1 1 1 1
, ee, en, nn. 5 S 9,— 300 5,= 3„= 1991
= 2492.

— 26—
Hier ist das Ergebnis weniger befriedigend, man findet damit x nur auf 17 Stellen.
22. Da bei der Darstellung der Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl das Ausgehen von einem Näherungswert sich so fruchtbar erwies, wurde auch für x ein derartiger Versuch unternommen. Es wurde entwickelt:
22 11
7—a—= e 7,.
2.= 791
7.= 3 748 630
4= 15 487 322 375 986. Dies ergibt x auf 26 Stellen.
223 1 11 2
9— 1 338
72= 5 024 828
7.= 66 433 107 258 646. Damit findet man xα auf 27 Stellen. Doch ist eine Gesetz- mäßigkeit nicht zu erkennen. Auch die Entwicklung in eine alternierende Reihe zeigt keine Besonderheit:
22 1 1 1 ———+—
72)= 790 42— 749 896 = 1 270 073 831 726(gibt x auf 24 Stellen).
23. Um auch einen Versuch der Darstellung von Bruch- teilen von α in ein Cantorsches Produkt zu machen, wurde entwickelt:
212 1 1 1 1 4= 1ä= 1)G 1)b 2511 17933003). (12 Stellen).
Dies gab Veranlassung zur Entwicklung
4 22 6 1( 1 5 2 286) 11 22en
Hier
Der
Dies hera nun nich 80 L Ges

damit
einer sich rsuch
esetz- eine
ellen).
Bruch- wurde
Hier ist 22( 1)= 355 7 Lu 2 486 113
Der Faktor(- 11 71 er läßt sich schreiben 22— 535 303 7 1 682 381
Dies ist aber auch Alles, was aus dem bis jetzt Untersuchten herausgeholt werden konnte. Wenn nun trotzdem die Hoff- nung, eine Gesetzmäßigkeit im Bau der Zahl x zu finden, noch nicht aufgegeben wird, mag es darin begründet sein, daß eine so bedeutungsvolle Zahl sich anders als nach einem einfachen Gesetze gebaut garnicht denken lassen will.

———y—
Lebenslauf.
Geboren wurde ich am 6. Februar 1889 zu Mainz. Mein Vater war Lokomotivführer. Nach 3 Jahre langem Besuch der Vorschule des Gymnasiums meiner Vaterstadt trat ich am 18. April 1898 in das Realgymnasium über, in dem ich am 27. Februar 1907 das Reifezeugnis erwarb. Seit Untersekunda trug ich mich mit dem Gedanken, Mathematik zu studieren und Lehrer zu werden. Im Sommersemester 1907 kam ich zur Landesuniversität Gießen, an der ich 8 Semester Mathe- matik, Physik und Deutsch studierte. Ich hörte in erster Linie Vorlesungen von Netto, Pasch, König, Fromme und Behaghel. Im 9. Semester bestand ich die Fachprüfung in reiner Mathematik, Physik und Deutsch für erste Stufe und wurde dann zur weiteren Ausbildung dem Realgymnasium Mainz überwiesen, meiner alten Schule, an der ich noch heute als Studienrat tätig bin. Meine Schultätigkeit wurde nur unter- brochen durch die Kriegsjahre, in denen ich meine Dienstpflicht bei dem Hessischen Artilleriekorps Nr. 25 Darmstadt erfüllte. Kurz nach bestandenem Staatsexamen suchte Prof. Netto mich für eine Arbeit der Gruppentheorie zu erwärmen. Jedoch fes- selte mich die Ausbildung für meinen Beruf derart, nahm auch meine Arbeitskraft derart in Anspruch, daß ein ersprießliches Arbeiten für andere als Schuldinge nicht möglich war. Als
dann die erste Gewöhnung an alles Neue des Berufes Muße
zum Arbeiten hätte geben können, kam der Krieg. Nach seinem so traurigen Abschluß hörten die Leiden für uns in den besetzten Rheinlanden nicht auf. Damals versuchte ich, mich wieder in mathematische Fragen einzuarbeiten, doch fehlte mir noch die Ruhe der Nerven. Auch war die Behand- lungsart mathematischer Aufgaben in der Zwischenzeit eine so andere geworden, daß selbst die größte Neigung zur mathe- matischen Arbeit kaum Erfolg zu versprechen schien. Dazu nahm der Beruf mehr und mehr Zeit in Anspruch. Sehr zu Dank verpflichtet bin ich Herrn Professor Dr. Engel, an den ich mich im Jahre 1928 wandte, daß er mir Anregung zu geben vermochte, der ich nachkommen konnte. Seiner Weisung ver- dankt die vorgelegte Arbeit ihren Ursprung.
Gottfried Stratemeyer, Studienrat.

Nein esuch h am h am cunda lieren n ich lathe- Linie 2 und mg in e und Mainz te als unter- pflicht füllte. mich h fes- a auch Bliches . Als Muße Nach uns in te ich,
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