—88811 eFrin eern nn.

Tn
UB GIESSEN
Wahanagh
11 421 016
1
11.421.016
42 25 M
5 7 4 90

MITTEILUNGEN
DES MATHEMATISCHEN SEMINARS
DER
UNIVERSITAT GIESSEN
HERAUSGEGEBEN VON DEN DIREKRTOREN DES SEMINARS
72. EWOI2 IND L. SCMLHAI NOnN
I. BAND GIESSEN
VERLAG DES MATHEMATISCHEN SEMINARS, GIESSEN,
BISMARCKRSTRASSE 16
Preis: Gz. 8.—; für das Ausland 10 Schweizer Franken.

Jakob Möll,
INHALT DES I. BANDES.
Heinrich Fuhr, Zur Transformationstheorie der Fuchsschen Funktionen. Magda Kleberger geb.
Definition der analytischen Funktion.
Kayser, UÜber eine von Weierstraß gegebene
Heinrich Gilbert, Die Reziprozität in der Ebene als Rolge eines Polarsystems und einer harmonischen Spiegelung
an einem Punkt und einer Geraden.
Uber eine Klasse gewöhnlicher Differential- gleichungen höherer Ordnung.
Loo Monville, Analytische Beiträge zu Lies Abbildung des
Imaginären der ebenen Geometrie.
Josef Fuhrich, Zur natürlichen Geometrie ebener Transfor-
mationsgruppen. Heinrich Lotz, Zur Mannigfaltigkeiten von konstantem Krümmungsmaß.
Geometrie der dreifach ausgedehnten
Hans Axel, Die elliptischen Funktionen als automorphe Funktionen, die zu einer aus drei Drehungen der Euklidischen Ebene um 180⁰° komponierten Gruppe
gehören.
Priedrich Kämmerer, Zur Flächentheorie im n-fach ausge- dehnten Raume.
Abranam Plessner, Zur Theorie der konjugierten trigono-
metrischen Reihen.

m Austausch oder als Geschenk hat das Mathematische Seminar folgende Druckschriften erhalten:
Abhandlungen aus dem Mathem. Seminar der Hamburgischen L versitit Bd. I(1022).
Ini-
Acta litterarum ac scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae(Szeged), Tom. I, fasc. 1, 2. American Mathematical Monthly Vol. 28(1021), 20(1922)
BZulletin of the American Mathem. Society, vol. 27(1920/21), 28 (1921/22).
Christiaan Huygens 1. Jaargang 1921/22
Fundamenta Mathematicae, Warschau, Tom I(1020), II(1921), III(1922), IV(1023).
Norsk Matematisk Forenings Skrifter, Kristiania, Serie I(1921/22).
Norsk Matematisk Tiddskrift, Kristiania, Aargang 1(1010), 2(1020), 3(1921), 4(1922).
Proceedings of the National Academy of Sciences of the U. S. A., Washington, vol. 6(1920), 7(1921), 8(1922).
Publicaciones del Laboratorio y Seminario Matemãtico, Madrid, Tomo I(1916), II(1910), III(1010— 21)
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Tomo 46(1022).
Science Reports of the Tôhoku Imperial University, Sendai, vol. Q (1920), 10(1021), 11(1022).
Tohoku Mathematical Jjournal, Sendai, vol. 17, 18(1920), 19, 20
(192 1), 21(1022).
Col-leccié de Cursos de Fisica i Matematica, I— V, Barcelona. Compte rendu du 4. Congrès des Mathématiciens Scandinaves à Stockholm, Uppsala 1920.
Wissenschaftliche Vorträge gehalten auf dem 5. Kongreß der skandi- navischen Mathematiker in Helsingfors, Helsingfors 1023.

n. C. Archibald, Euclid's book on divisions of figures, Cam-
bridge 1915.
L. Bianchi, Lezioni di geometrila differenziale, vol. I, II 1, Pisa 1922/23.
IL. Bianchi, Teoria dei numeri algebrici, Pisa 1923.
L. Bieberbach, Funktionentheorie, Teubners technische Leitfäden
Bd. 14, Leipzig-Berlin 1022.
L. E. Dickson History of the theory of numbers, vol. I(1910), II(1920) Washington.
MI. Grübler, Lehrbuch der technischen Mechanik, Bd. 1(1021), II(1022), III(1021) Berlin.
G. H. Hardy u. MI. Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge 1915.
L. Heſtter, Was ist Mathematik? Freiburg 1922.
F. Klein, Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd. II, III, Berlin 1022/23.
M. Lecat, Bibliographie des séries trigonométriques, Löwen 1921.
A. Mac Leod, Introduction à la gêéométrie noneuclidienne, Paris 1922.
E. R. Neumann, Vorlesungen zur Einführung in die Kelativitäts- theorie, Jena 1922.
R. Steele, The earliest arithmetics in English, London 1022.
L. Tonelli, Fondamenti di calcolo delle variazioni, vol. I, Bologna 1921.
H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, 2. Aufl. Berlin-
Leipzig 1923.
—
der

Mitteilungen des Mathematischen Seminars
der Universität Giessen herausgegeben von den Direktoren des Seminars
I. Heſt
Zur Transformationstbeorie der Fuchsschen Funktionen
Vvon
HEINRILCH FUHR
Giessen 1921 Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16
Preis M. 4,50; für das Ausland 1 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer, Giessen

lnauguraldissertation der Philosophischen Fakultät der Unlversität Gleßen.
Genehmigt am 7. Februar 1021. Berlchterstatter: Professor Schleslnger.

Einleitung.
linéaires“ ¹) skizzierte Poincaré eine Methode, die für die Fuchsschen Funktionen der„deuxième famille“ und eines„type symétrique“ ²) die unabhängige Veränderliche als den Grenzwert einer Folge von algebraischen Funktionen liefert. Diese Methode schließt sich an den von Poincaré im Bulletin de la soc. math. t. XlI(1883) gegebenen allge- meinen Ansatz der, jetzt sogenannten, Uberlagerungsfläche an, sie wird aber von ihrem Urheber mit dem ausdrück- lichen Hinweis auf ihre Brauchbarkeit zur numerischen Be- rechnung in der Weise dargestellt, daß die zur Anwendung gelangenden algebraischen Funktionen durch Vermittlung des in der Ebene der unabhängigen Veränderlichen gelegenen Polygonnetzes gewonnen werden. Prof. Schlesinger hat dann in seinen Arbeiten ³) das von Poincaré ge- gebene Verfahren in der Weise ausgestaltet, daß er statt ¹) Acta mathematica IV(1884), S. 295 ff. Oeuvres II(1916), S. 385 ff. ¹) Es handelt sich um die Fälle, bei denen alle Verzweigungspunkte der entsprechenden Oberlagerungsfläche über den auf einem Kreise be- findlichen Stellen, al, ae... an der Ebene liegen und alle Verzweigungs- zahlen unendlich groß sind. Auf diese Fälle beschränken auch wir uns In der vorliegenden Arbeit. Indessen wird einer Ausdehnung der Unter- suchungen auf den Fall endlicher Verzweigungszahlen nichts im Wege stehen. ²) Crelles Journal 105(1880), S. 181— 232, ebenda 110(1892), S. 205— 280, Handbuch der Theorie der lin. Diffgln. II.,(1808), S. 208— 328, vgl. Anhang zu Bonola-Liebmann, Die nichteuklidische Geometrie, 2. Aufl.(1919), S. 198— 201.
1 seiner Abhandlung:„Sur les groupes des équations

— 4—
von dem Polygonnetz Von der Ebene ausging, über der die Uberlagerungsfläche aufzubauen ist. Es war dadurch für die in Betracht gezogenen besonderen Fälle(siehe Fuß- note ²)) zugleich ein Existenzbeweis der zugehörigen Fuchs- schen Funktionen erbracht. Dabei führte Prof. Schlesinger ein Iterationsprinzip ein, das später das Verfahren der kranz- förmigen Umlagerung genannt wurde. Auf Veranlassung von Prof. Schlesinger befaßte ich mich mit diesen Fragen von neuem. Es erschien wünschenswert, an Stelle des Verfahrens der kranzförmigen Umlagerung, das für eine numerische Berechnung von Schritt zu Schritt immer größere Schwierigkeiten bereitet, solche Methoden aufzusuchen, die eine numerische Auswertung gestatten. Die Ergebnisse der in dieser Richtung angestellten Untersuchungen sind im Folgenden zusammengestellt. Im§1 wird in üblicher Weise die UÜberlagerungsfläche aufgebaut.§ 2 bringt den Konver- genzbeweis für die sich bei Ausschöpfung der Uberlagerungs- fläche ergebende Funktionenfolge.§ 3 zeigt, wie man im Falle einer symmetrischen Uberlagerungsfläche geeignete symmetrische Teilbereiche auf den Einheitskreis abbilden kann mit Hilfe von algebraisch herstellbaren Funktionen. §4 endlich gibt eine Anzahl Methoden, die durch numerisch auswertbare Folgen von algebraischen Funktionen die Ab- bildungsfunktion der Uberlagerungsfläche liefern.
§ 1.
Wir beginnen mit der Konstruktion der Uberlagerungs- fläche unter der Annahme, daß n. Verzweigungspunkte al, a,. an Vorhanden sind, und daß die zugehörigen Ver- zweigungszahlen sämtlich unendlich groß sind. Von dem Verzweigungspunkt au ziehen wir eine gerade Verbindungs- linie nach as, von dort eine gerade Verbindungslinie nach as us W., endlich verbinden wir So an- mit au. Wir können die Verzweigungspunkte so benennen, daß dieser Kurven- zug sich nicht überschneidet. Wir schneiden die X-Ebene längs dieses Kurvenzuges auf und nennen das eine Ufer des Schnittes das positive, das andere das negative. Die
7 4 1 1
——
ꝛ ͤ———8 π
—,———————
̈

— 5—
Strecke(au, au†) des positiven Ufers bezeichnen wir mit (ax, ax-†:*, die Strecke(ax, ax†) des negativen Ufers mit
(aw, an+,) Wir nennen diese Strecken auch Seiten.
Nunmehr stellen wir uns unendlich viele Exemplare der so zerschnittenen x-Ebene her. Wir gehen von einem von ihnen aus und schmelzen längs jeder Seite ein neues Exem-
plar der X-Ebene so an, daß jeweils eine Seite(au, 24 410* (bezw.(ax, ax †)) mit einer Seite(au, ax+ ¹)(bezw.
(ax, ac)) eines anderen. Blattes vernahtet wird. Dann
bekommen wir einen mehrblättrigen, einfach zusammen- hängenden Bereich Fl über der X-Ebene, der wieder von einer Anzahl Seiten begrenzt wird. Für den weiteren Aufbau dient uns folgendes Rekursionsprinzipt!). Wenn wir die einfach zusammenhängende, mehrblättrige Fläche Fn haben, die von Seiten(ax, ax+) bezw.(ax, au †!) be- grenzt wird, so fügen wir längs aller freien Seiten von Fn neue Exemplare der zerschnittenen XEbene an und be- kommen damit die einfach zusammenhängende Fläche Fn †. Wenn wir diesen Prozeß in das Unendliche fortsetzen,
bekommen wir die zu der Signatur(a¹ 82. 4a) ge- hörige Oberlagerungsfläche.
§ 2.
Für den Falln= 2 spielt der Logarithmus die Rolle einer linear-polymorphen uniformisierenden Variablen. Auch der Falln= 3 kann als erledigt betrachtet werden und zwar durch die Modulfunktion. Mit ihrer Hilfe kann man die zugehörige Uberlagerungsfläche gegenseitig eindeutig und Kkonform auf das Innere des Einheitskreises abbilden und zwar so, daß ein gegebener innerer Punkt Po der Überlagerungsfläche dem Nullpunkt entspricht und die von
¹) Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Differentlal- gleichungen II.(1898), S. 208 ff. Koebe, Mathem. Ann. 67(1900), S. 194 ff. Fricke-Klein, Automorphe Funktionen II(1900— 1912), S. 466,

— 6—
Po ausgehenden Richtungen parallel übertragen werden. Es bleibt also nur noch für n= 3 das Fundamentaltheorem der Uniformisierung zu beweisen. Dazu verfahren wir So. Wir wählen eine Folge Von einfach zusammenhängenden inneren Bereichen Tu der Oberlagerungsfläche mit folgenden Eigenschaften:
1. Jeder Bereich Tw ist Lanz in dem Bereich T+ 1 enthalten(für K= 1, 2, 3.. in inf.)
2. Für jeden im Innern der Uberlagerungsfläche gele- genen Punkt P kann maun eine endliche Zahlen s0 angeben, daß P im lnnern von Tu liegt für k= n. Mit anderen Worten: Die Folge der Bereiche Iu schöpft die Uber- lagerungsfläche aus.
3. Jeder Bereich T Kkann durch y= fr(£) gegenseitig eindeutig und konform auf das Innere des Einheitskreises abgebildet werden.
Wir wollen die Funktionen y= f.(+) 80 normieren, daß ein im Innern von Tu gelegener Punkt Po auf den Null- punkt abgebildet wird und die von Po ausgehenden Rich- tungen parallel übertragen werden. Dann gilt in der Um- gebung von Po die Entwicklung
y== fr()=(— Xo) Cx Dr(+— xo). Dabei bedeutet hier, wie stets in dieser Arbeit, C eine positive Konstante, P eine gewöhnliche Potenzreihe, die sich für X= Xo auf l reduziert. Da Tu Lanz innerhalb von T † legt, wird Ix durch y= fr+ 1 auf ein ganz inner- halb des Einheitskreises liegendes, den Nullpunkt im Innern enthaltendes Gebiet T †“' abgebildet. Mit X= SPx()
wollen wir die Umkehrung von y=(o) bezeichnen. Dann wird durch
y= x+1(x(+)) der Einheitskreis gegenseitig eindeutig und konform auf Ta† abgebildet. In der Umgebung von X= 0 gilt die Entwicklung

——
— 7—
Aus dem Schwarz'schen Lemma) folgt dann C= Ca 1. Die Cx bilden also eine monoton abnehmende Folge. Um zu beweisen, daß sie einem Grenzwert C= 0 zustreben, ziehen wic die Modulfunktion heran. Mit ihrer Hilfe können
wir die UÜberlagerungsfläche mit der Signatur(๠22 33)
gegenseitig eindeutig und konform auf das Innere des Ein- heitskreises abbilden. Wir nennen diese Abbildungsfunktion
y= f G. Sie ist auch in der Uberlagerungsfläche mit der Signatur
24 83.2n) eine reguläre und eindeutige Funktion des
Ortes. Speziell kann sie so normiert werden, daß der Punkt Po bei der durch f(x) vermittelten Abbildung in den Nullpunkt übergeht und die von Po ausgehenden Richtungen parallel übertragen werden. In der Umgebung von Po gilt dann die Entwicklung
y=f(T)=C(r=Xo) P(x.- X); C= 0. Diese Funktion †(x) ist insbesondere auch in jedem Bereich Tr eindeutig und regulär. Während aber auf dem Rande von II r= ist, ist dort f(x)= 1. Nach dem Schwarz'schen Lemma ist deshalb C= C. Daraus folgt, daß die Cx einen von Null verschiedenen, positiven Grenz- wert C haben.
Wir beweisen aus dieser Tatsache, daß die Funktionen r(r) mit unendlich wachsendem Index einer Grenzfunktion
F(x) zustreben, die die gegenseitig eindeutige und kon- forme Abbildung der UÜberlagerungsfläche auf das ganze Innere des Einheitskreises vermittelt.
Dazu schicken wir einige flilfsbetrachtungen voraus. Durch
*
00 1 I k J=(+)- er or X 4-— K= 2 1¾ 6 e— 0
¹) Schwarz, Gesammelte Abhandlungen II(1890) S. 108 ff. Carathéodory, Mathem. Ann. 72(1912) S. 110,

— 8—
werde der Einheitskreis gegenseitig eindeutig und konform auf einen ganz innethalb des Einheitskreises liegenden schlichten Bereich B abgebildet, der den Nullpunkt in seinem Innern enthält. Mit d bezeichnen wir den kürzesten Abstand des Randes von B vom Nullpunkt. Dann gilt ¹)
Daraus ergibt sich
— V·H;————
e. eg 1*3 5 4⸗ 4=
Wir setzen e= 1 voraus, dann ist 1— 2 d= 1.
Der Rand von B nähert sich also mit gegen Null stre- bendem« gleichmäßig der Peripherie des Einheitskreises. Für den Inhalt von B, J(B), gilt also
*(1— e)“= J(B)=n.
Andererseits ist*³)
2 J.B)= a aiſ a Va ſauß. K Z= 2
6 82 24 8 2 3 Lr la,ß=l L=e= 1— 2, 42(12(14 2² und folglich 13 3* 2 92 an* S 22 4 72(1+=)* (1 6 alsO . ſan 5 für= 2, 3 in inf.
¹) Bieberbach, Math. Ann. 77, 1916, S. 170. ¹) Bieberbach, Rendiconti d. Circ. mat. di Palermo 38(1914) S. 99. Bieberbach, Einführung in die konforme Abbildung. Berlin-Leipzig, 1915, S. 96.

— 9— Für.ᷣe= I ist deshalb
2)=e Ee. e
,. 2 1— 0 Mit lim e—= 0 nähert sich also g() in jedem inneren Ge- biet des Einheitskreises gleichmäßig der Funktion x.
Nehmen wir nun einen im Innern der Überlagerungs- fläche befindlichen Bereich C, so liegt dieser Bereich ganz im Innern des Bereiches Tu, wenn k genügend groß ge- nommen wird. Vermöge der Funktion y= fx(x) Wird er auf einen ganz im Innern des Einheitskreises befindlichen Bereich Ce abgebildet. Es läßt sich also ein= 1 angeben, so daß C im Kreise τ= 9* enthalten ist. In diesem Kreise liegen auch alle durch die Funktionen i()(1=*) ver- mittelten Bilder C von C. Man kann nun, da die C, gegen C=O konvergieren, ein so angeben, daß
1- e. ist, für 1+* En
6
m= 1, 2. in inf.
und beliebig vorgegebenes e. Weiter sei n= 2. Durch die Funktion
Cn m— Y= f m(vn y)= 9.„H G)
wird der Bereich Ca gegenseitig eindeutig und konform auf Ca Pm abgebildet, und es gilt in Ca die Ungleichung
4 9. 9. m[On(I— y 1 3 d. h. es gilt im Bereich C
7n m(A)— ha(— 2 1—

— 10—
Damit ist bewiesen, daß in jedem inneren Bereich C der Uberlagerungsfläche die Funktionen fr(x) mit wachsendem e gleichmäßig einer Grenzfunktion †(*) zustreben. Diese Funktion f(x*) bildet die ganze Oberlagerungsfläche auf das ganze Innere des Einheitskreises ab, denn nach unserer oben gemachten Bemerkung nähert sich das Bild des Randes von Tu gleichmäßig der Peripherie des Einheitskreises, wenn k in das Unendliche wächst. Da jeder Bereich Tu von jeder Funktion f+ά Schlicht auf ein Gebiet des Einheits- kreises abgebildet wird, so ist auch die durch †(z) Ver- mittelte Abbildung von Tr schlicht, d. h. die UÜberlagerungs- fläche wird durch f(x) schlicht auf das ganze Innere des Einheitskreises abgebildet und zwar so, daß Po dem Null- punkt entspricht, und die von Po ausgehenden Richtungen parallel übertragen werden.
Die Beziehung zwischen den einzelnen Zweigen der Funktion y= f() ist linear. Zunächst sieht man ein, daß kein Blatt der Uberlagerungsfläche vor einem anderen durch irgend welche Eigenschaften ausgezeichnet ist. Wir können deshalb auch eine Funktion †(x) finden, die die Uber- lagerungsfläche gegenseitig eindeutig und konform auf das Innere des Einheitskreises bezieht und zwar so, daß der Punkt Po, der mit Po dieselbe Koordinate o gemein hat, aber in einem anderen Blatt liegt, auf den Nullpunkt abge- bildet wird, und die Richtungen, die von Po“ ausgehen, parallel übertragen werden.(x) unterscheidet sich von f(x) nur so, wie sich die verschiedenen Zweige von 7(*) untereinander unterscheiden. Ist ½=„(y) die Umkehr von y= f(z), so wird durch
Jy= f.( O)) das Innere des Einheitskreises gegenseitig eindeutig und konform auf sich selbst abgebildet. Die Beziehung zwischen f(r) und(x) ist also eine linear gebrochene Transformation, die die Scheibe des Einheitskreises in sich überführt. Wenn wir den Einheitskreis als Bild einer nichteuklidischen Ebene im Sinne der Bolyai-Lobatschefskischen Geometrie auffassen, so können wir diese Transformation als Verschiebung der

—
— 11—
Ebene in sich selbst deuten. Durch f(x) wird jedes Blatt der Uberlagerungsfläche auf ein einfach zusammenhängendes Gebiet im Innern des Einheitskreises abgebildet. Alle diese Gebiete lagern sich schlicht nebeneinander und erfüllen die absolute Ebene lückenlos. Sie bilden ein Netz von Be- reichen. Jeden dieser Bereiche kann man, wie wir eben dargetan haben, durch eine geeignete Verschiebung der absoluten FEbene in einen beliebigen anderen Bereich des Netzes verwandeln. Die Bereiche sind also im Sinne der Bolyai-Lobatschefskischen Geometrie kongruent. Die Ge- samtheit der so definierten Verschiebungen ist eine soge- nannte Fuchs'sche Gruppe. Die Funktion= p(y) ist die zu dieser Gruppe gehörige automorphe Funktion, sie bleibt bei den Verschiebungen der Gruppe ungeändert. ¹)
§ 3.
Wir wollen nun zeigen, wie man im Falle einer sym- metrischen UÜberlagerungsfläche, d. h. wenn alle singulären Punkte auf einem Kreis oder einer Geraden liegen, die Be- reiche Ta zweckmäßig wählen kann. Durch eine lineare Transformation kann man dann stets erreichen, daß die Verzweigungspunkte auf einer Geraden liegen und zwar etwa alle auf der positiven reellen Achse der ⸗--Ebene. Wir bezeichnen sie der Reihe nach mit α⁵☚‿̈.0, a— d a.= an-1= an= o. Jedes Blatt der Uber- lagerungsfläche zerfällt dann durch die negative reelle Achse in zwei symmetrische Hälften, die von über der reellen Achse liegenden Seiten(ax, a..εα½ begrenzt werden. Wir nehmen nun aus der Oberlagerungsfläche einen einfach zu- sammenhängenden Komplex KX von endlich vielen, nämlich v, Halbblättern heraus. Wir spiegeln ihn über eine seiner Seiten s und erhalten einen zu K symmetrisch gelegenen Komplex Ru. Diesen verschmelzen wir längs der Seite s mit K und erhalten so einen in Bezug auf s symmetrischen, eini fach
¹) S. die Arbeiten von Poincaré in Acta mathematlca l(1882) S. 1— 63, S. 193— 295, IV(1884) S. 201— 312. Oeuvres II(1916) S. 108— 168, 169— 257, 300— 401.

zusammenhängenden Komplex K, von Halbblättern, der einen Teilbereich der Uberlagerungsfläche bildet.
Wir können die Funktion, die die gegenseitig eindeutige und konforme Abbildung von K bezw. Ki auf den Einheits- kreis liefert, algebraisch gewinnen. Wenn wir die Rand- punkte von K mit einander verschmelzen, die in Bezug auf die Symmetrielinie§ Spiegelbilder von einander sind, So erhalten wir eine einfach zusammenhängende, orthosym- metrische Riemannsche Fläche mit endlich vielen, nämlich v, Blättern. Ihre Symmetrielinie wird von s und den Rand- punkten von K, gebildet.
In jeder einfach zusammenhängenden»-blättrigen Rie- mannschen Fläche gibt es aber nach den Riemannschen Existenztheoremen ¹) reguläre eindeutige Funktionen des Ortes, die jeden Wert einmal und nur einmal annehmen. Alle diese Funktionen sind linear mit einander verknüpft und bilden die betr. Riemannsche Fläche gegenseitig ein- deutig und konform auf die schlichte Ebene ab. Zwischen der Abbildungsfunktion y und der Variablen x, über deren Ebene die Riemannsche Fläche aufgebaut ist, besteht eine algebraische Beziehung, die in x linear und in y vom Grade» ist, also von der Form
ao y„y.... gy y
1) 1=— Ho 61 o.... 9,
Diese Beziehung läßt sich algebraisch aufstellen. Wir müssen dazu ausnutzen, daß jür einen über= a gelegenen Windungspunkt(wr— 1)ter Ordnung 1) eine wa-fache Wurzel »= yx haben muß, die das System der Gleichungen (ay= Al G) 4-(K,= A.l G„)y... o d 2)— Ie 63)(an— a])“ †(“m)(v=1A 6, 1)9+.. 4 44(Km 1 Gm)—0 I= 1, 2... Ww«X
¹) Rlemann, Gesammelte Werke(2. Aufl. 1892) S. 104 ff. C. Neumann, Vorlesungen über Riemanns Theorle der algebra- ischen Integrale(2. Aufi. Lelpzig 1884) S. 238 ff, S. 388— 471.

9 4
erfüllt. Jedem Windungspunkt(ur— 1) er Ordnung ent- sprechen also w Gleichungen. Ist l die Anzahl der ver- schiedenen Windungspunkte, so gibt
w...+ wi= 1- 2— 2)
die Anzahl der Gleichungen 2). Unbekannt sind in ihnen die, G und die Werte yx. Bei den a, β kommt es nur auf ihre Verhältnisse an. Es sind also im Ganzen 27+† 1+1. wesentliche Unbekannte zu bestimmen aus 1+. 2„— 2 Gleichungen. Von» können noch drei Werte willkürlich Vvorgegeben werden. Man wählt dazu Zzweckmäßig Werte, die»y in Verzweigungspunkten annimmt. Dann bleiben 1+ 2„— 2 Unbekannten aus ebenso vielen Gleichungen zu bestimmen. Mit Fiilfe eines Eliminationsverfahrens, etwa des Cayley'schen oder Kronecker'schen, kann man nun die Auflösung des Systems von Gleichungen auf die Lösung einer Gleichung mit einer Unbekannten zurückführen, unter deren Wurzeln die Größe steckt, die die Lösung unseres Problems liefert. Die anderen Wurzeln geben algebraische Funktionen», die zu Riemannschen Flächen gehören, die aus der gegebenen durch Monodromie der Verzweigungs- punkte hervorgehen ²). In gewissen Fällen wird die Lösung unseres Problems auf dem eben beschriebenen Weg ein- deutig gegeben.
Einer symmetrischen Umformung der orthosymmetrischen Riemannschen Fläche in sich, So daß die Punkte der Sym- metrielinie erhalten bleiben, entspricht in der y-Ebene die Spiegelung an einem Kreise. Dieser Kreis Kann durch eine lineare Transformation von»y leicht in eine Gerade ver- wandelt werden. Der Symmetrielinie der Riemannschen Fläche entspricht also bei geeigneter Abbildung eine Gerade, insbesondere der Symmetrielinie s von K“ eine Strecke? dieser Geraden. Der nicht von t bedeckte Teil t der Geraden
¹) Riemann, Gesammelte Werke(2. Aufl. 1802) S. 114. ²) Hurwitz, Mathem. Ann. 30(1801) S. 1— 61, Schlesinger, Annales de l'Ecole Normale(lll) 20,(1003), S. 331— 347.

entspricht dem Rande von Ki. Die längs! aufgeschlitzte „-Ebene ist also das gegenseitig eindeutige und konforme Bild von Ki. K¹ geht bei dieser Abbildung in die eine der von t und t begrenzten y-Halbebenen über. Soll nun K guf das Innere des Einheitskreises gegenseitig eindeutig und konform abgebildet werden, so ist mur noch eine lineare Transformation anzuwenden. Wird die Abbildung von Ki auf das Innere des Einheitskreises gefordert, so ist außerdem noch eine Quadratwurzel anzuwenden. Jedenfalls Kkann aber die Abbildungsfunktion eines einfach zusammenhängenden und symmetrischen Komplexes von Halbblättern stets al- gebraisch ermittelt werden.
Als Bereiche Ta wählen wir nun symmetrische Kom- plexe von lalbblättern Ka. Wir können zwischen zwei Arten von Bereichfolgen dieses Typus unterscheiden, deren Behandlung übrigens keine großen Unterschiede aufweisen wird. Als erste Art solcher Folgen bezeichnen wir die- jenigen, bei denen alle Komplexe K dieselbe Symmetrie- linie haben. Bei ihnen bilden wir die gänzen Komplexe Ka auf das Innere des Einheitskreises ab. Die Komplexe Ka wählen wir S0, daß stets Kn in Ka H enthalten ist, und daß durch die Folge der Ka die ganze Uberlagerungsfläche ausgeschöpft wird. Als zweite Alt bezeichnen wir die Folgen von symmetrischen Komplexen, bei denen die Symmetrielinien sn von Ka mit wachsendem der(renze der Uberlagerungsfläche zustreben. Wir wählen die Ka 80, daß ihre Hälften R den folgenden Bedingungen genügen: Ra ist ein Teilbereich von Rn†., und die Folge der Ra schöpft die Uberlagerungsfläche aus. Wir bilden hierbei 1 die Komplexhälften R auf das Innere des Einheitskreises ab. Folgen dieser beiden Arten können natürlich für den Fall der symmetrischen Uberlagerungsfläche in unbegrenzter Zahl angegeben werden. Uns kommt es wesentlich darauf an, solche Folgen auszuwählen, bei denen die algebraische und eindeutige Bestimmung der Abbildungsfunktion ohne Schwierigkeit übersehen werden kann.

§ 4.
Wir beginnen damit, solche Folgen von der ersten Art aufzubauen.
1a) Als den ersten Komplex von Halbblättern wählen wir ein Blatt B1 der Uberlagerungsfläche. Es ist längs der positiven reellen Achse aufgeschnitten. Die Begrenzung des Blattes besteht aus den Seiten(al, ae),(aa, as).. (Aa— 1* a0)*¼,(Ai, a*),(aa, d)(aa. 1 an). Dulch die negative reelle Achse zerfällt B1 in Zwei symmetrisch gelegene Halbblätter Bi und B 1. Die negative reelle Achse ist also die Symmetrielinie s von Bi. Wir stellen uns nun zwei weitere Halbblätter her, eines von der Art Bi, wir nennen es B ¶ und eines von der Arft B¹, wir nennen es B’un. Nun verschmelzen wir die Seite(al, d)“ von B1 mit der Seite(al, da) von But und die Seite(ai, d) von B. mit der Seite(ai, a2)“ von Bu. Der so entstehende Komplex ist symmetrisch in Bezug auf S d. h. in Bezug auf die negative reelle Achse in Bi und bildet einen Teil- bereich der UÜberlagerungsfläche. Wir nennen ihn Be. Durch s zerfällt er in zwei symmetrische Hälften Be und B*. B hat eine Anzahl von freien Seiten, die von B herrühren, nämlich(aa, de)(an- 1, an). Wir bilden nun einen mit B gleichen Komplex von Halbblättern, B2, und einen mit B ½ gleichen Komplex B 2 1. Wir verschmelzen die von B her- rührende Seite(a*, a)“ von Ba mit der Seite(az, aa) von Bi und die Seite(az, da) von Be, die von B1 her- rührt, mit der Seite(aa. ag)“ von B21. Damit erhalten wir einen in Bezug auf s symmetrischen Komplex, der einen Teil der Überlagerungsfläche bildet. Wir nennen ihn Bz. Durch s zerfällt er in Zwei symmetrische Hälften B und B 3. Bs hat Seiten, die von B herrühren, nämlich(da, d). (a2a- an). Wir bilden wieder Komplexe von Halbblättern, die wir geeignet mit Ba längs(as, ad) in Bi verschmelzen. So fahren wir fort, bis keine von Bi herrührenden freien Seiten mehr vorhanden sind. Dies ist nach— 1 Schritten, also bei Ba der Fall. Nunmehr numerieren wir die Seiten

von Ba forflaufend mit 1... n, indem wir an einem End- punkt von s beginnen und in beliebiger Richtung die Be- grenzung von B durchlaufen, bis wir den anderen Endpunkt von S antreffen. Die zu der Seite E in Bezug auf sym- metrisch gelegenen Seite von Ba nennen wir. Wir setzen nun unser Verfahren so fort, daß wir zunächst längs 1 und 1' symmetrische Hälften von Ba, nämlich Bnl, B'un an- schmelzen. Dann erhalten wir Ba+ 1. Wir wiederholen nun das Spiel in Bezug auf Ba so, wie wir es für B aus- einandergesetzt haben, und fahren so in das Unbegrenzte fort. Immer bleiben unsere Komplexe symmetrisch in Be- zug auf s und bilden Teilbereiche der Uberlagerungsfläche. Man gibt sich auch leicht darüber Rechenschaft, daß die Folge der Bereiche B, B=,. in inf. die Uberlagerungs- fläche ausschöpft.
Wenn wir die zu s symmetrisch gelegenen Nandpunkte von Bu mit einander verschmelzen, bekommen wir eine orinosymmetrische Riemamn'sche Fläche Ba von einfachem Zusammenhang. Die aus B+ 1 entstehende Riemannsche Fläche B weist, bezogen auf die aus B entstehende Riemannsche Fläche Bw, zwei relative Windungspunkte erster Ordnung auf. Es genügt, an einem Beispiele aufzu- weisen, wie man die Funktion, die die gegenseitig ein- deutige und konforme Abbildung von B+% auf Ba ver-
mittelt, auffindet. Wir wollen es für B und B tun. B ist die schlichte Ebene. Bæ ist eine zweiblättrige Riemannsche Fläche mit Windungspunkten erster Ordnung über a und aa.
Die Funktion „-—==2 2— e —(12
vermittelt die Abbildung von Ba auf B, und zwar geht dabei der Rand von Ba und die Symmetrielinie s in die reelle Achse über.
2 a) Als Ausgangsbereich B wählen wir wieder ein
Blatt der Uberlagerungsfläche. Durch die negative reelle Achse zerfällt es in die symmetrischen Hälften B, und B.

bei elle
ein elle B3..
— 12—
Wir nehmen nun zwei Halbblätter B1 und B ½2(die B4 gleichen) und zwei Halbblätter B½l und B2(die B glei- chen). Wir verschmelzen die Seite(al, aa)“ von Bi mit (2i, d²) Von B, die Seite(aa, as) t von B. mit(aa, aa) Von Bà, die Sejte(al, a) von B1 mit(as, aa) von Bi und die Seite(az, a) von B: mit(aa, a) von B12. Kurz gesagt, wir schmelzen längs der zwei auf einander folgenden Seitenpaare(al, az),(aa, aa) von Bi symmetrische fHlälften B1 1, B12 und Bi1, B 2 an. Damit erhalten wir den Zzu s symmetrischen Komplex Ba, der einen Teilbereich der Uberlagerungsfläche bildet. Durch s zerfällt Ba in die sym- metrisch gelegenen Hälften B, und B½. Bæ hat im allge- meinen noch freie Seitenpaare, die von B1 herrühren. An die Zzwei nächstfolgenden Seitenpaare(aa, a) und(aa, as) schmelzen wir nun Ba:, Baz(mit Ba gleich) und B'½⁄, B ½ 2 (mit B gleich) an. So erhalten wir Bz. Ba ist wieder in Bezug auf symmetrisch und bildet einen Teilbereich der Uberlagerungsfläche. Wir fahren nun in dieser Weise fort, bis alle von Bi herrührenden freien Seiten verschwunden sind. Möglicherweise ist hierbei zuletzt einmal ein Schritt des unter 1a) angegebenen Verfahrens anzuwenden, nämlich dann, wenn n eine gerade Zahl ist. Wir setzen nun diese Art der Bereichbildung analog der unter 1a) beschriebenen Art ins Unbegrenzte fort. Alle sich so ergebenden Kom- plexe sind in Bezug auf s symmetrisch und die Folge der Komplexe schöpft die Uberlagerungsfläche aus.
Aus Bx entsteht durch Verschmelzung der in Bezug auf s symmetrisch gelegenen Randpunkte eine einfach zu- sammenhängende, orthosymmetrische Riemannsche Fläche Bu. Wenn wir von den durch Schritte des Verfahrens 1a) möglicherweise auftretenden Ausnahmen absehen, die nach der dort angegebenen Weise weiter zu behandeln sind, ist stets die Fläche B+2 bezogen auf die Fläche B. dreiblättrig und weist einen relativen Windungspunkt zweiter Ordnung und zwei relative Windungspunkte erster Ordnung auf. Es genügt an dem Beispiele von B und B2 zu zeigen, wie man in diesem Falle die Abbildungsfunktion

herstellt. B: ist wieder die schlichte-Ebene. Ba ist eine dreiblättrige Riemannsche Fläche. Wir wollen die Halb- blätter, aus denen sich B zusammensetzt in folgender Art bezeichnen: für B1 B1 B 11 Bi 2 schreiben wir 1 1 24 2 3 3—
Die Verzweigungspunkte der Riemannschen Fläche Bæ liegen über a*, a und az. Wir passieren beim Umlaufen von a. folgende Zykeln von Halbblättern(1 2 2 ¼ 1—) und (3+† 3—), beim Umlaufen von as(1+ 3 3+ 1—) und(2*¼ 2—), beim Umlaufen von aa(1† 3 3+ 1— 2+ 2—). Uber ai und az liegt also je ein Windungspunkt erster Ordnung, über a ein Windungspunkt zweiter Ordnung. Durch eine lineare Transformation können wir die Punkte al, as, a³ bezw. nach 0, 1, l) verlegen. Wir können ferner von der Abbildungsfunktion drei Werte vorschreiben. Wir treffen etwa folgende Wahl: in dem über= 0 gelegenen Win- dungspunkt erster Ordnung sei y= 0, in dem über= 1 gelegenen Windungspunkt zweiter Ordnung sei»= 1, und in dem über= œ gelegenen Windungspunkt erster Ord- nung sei y= œ. Wir haben nun aus diesen Festsetzungen die Koeffizienten der Relation
r aolbßt ir e a 9. 60+ 61 y † 52 † 63 93 zu bestimmen. Zunächst haben unsere Verabredungen .Oo)=.i= 92= 3= 0 Zur Folge. az Kann gleich 1 gewählt werden. Dann bleibt †+ ag 92— 1 1— 60= O. Diese Gleichung muß für= 1 die dreifache Wurzel»= 1 haben, also ist a= 3, 14.— 3, 60= 1, und die Transformationsgleichung, durch die B. und B2 auf
einander bezogen werden, lautet, abgesehen von linearen Transformationen in und,
7„3— 3„² 1— 3„

— 10—
3 a) Auch bei diesem Verfahren nehmen wir als ersten Bereich, B,, ein Blatt der UÜberlagerungsfläche. Wir nehmen dann zwei weitere Blätter Bi und B 1. Wir verschmelzen (al, az)* von B. mit(al, a) von Bii und(al, a) von B1 mit(al, a²) von B12. So erhalten wir den in Bezug auf s symmetrischen Bereich B2, der einen Teil der UÜber- lagerungsfläche bildet. Wir stellen uns zwei weitere mit B gleiche Komplexe Ba und B2 her. Ba, B21 und Ba2 schmelzen wir längs der von B herrührenden freien Seiten (aa, as)“ und(ag, aa) aneinander. So erhalten wir den symmetrischen Bereich Bz. Analog dem unter la) ange- gebenen Verfahren setzen wir diese Anlagerungsmethode ins Unbegrenzte fort. Wir erhalten auch hier eine Folge von sym- metrischen Komplexen, die die Überlagerungsfläche ausschöpft.
Durch Verschmelzen der symmetrisch zu s gelegenen Randpunkte von By, erhalten wir eine einfach zusammen- hängende orthosymmetrische Riemannsche Fläche Bx. Die Fläche Bx+ ist hierbei relativ zu der Fläche Ba drei- blättrig. Wir haben jedoch zwei wesentlich verschiedene Arten zu unterscheiden in der relativen Verzweigung von Br 1, in Bezug auf By.
Die erste dieser Arten wird repräsentiert durch die Aus- breitung der Fläche Ba über der schlichten Ebene B1. Der bequemeren Schreibweise wegen wollen wir die Blätter Von Ba numerieren und zwar Bi mit 1, Bii mit 2 und Bi mit 3. Die oberen Halbblätter machen wir durch oben angesetztes +, die unteren Halbblätter durch oben angesetztes— kenntlich. Als Verzweigungspunkte für B kommen nur Gi, a*, aa in Frage. Beim Umlaufen von ai passiert man (1t 2— 2 3— 3+ 1—), beim Umlaufen von a(1 15 3+ 2+) bezw.(2 ⁵ 3—), beim Umlaufen von an(1* 1—) bezw.(2+ 2 3+ 3—). Dies zeigt, daß B über an einen Windungspunkt zweiter Ordnung, und über de und an je einen Windungspunkt erster Ordnung hat. Wir finden also wesentlich dieselben Verzweigungsverhältnisse vor, wie wir sie unter 2 a) behandelt haben.

Um den zweiten Typus von Verzweigung der Flächen B relativ zu Bx in übersichtlicher Weise besprechen zu können, konstruieren wir uns ein Analogon über der schlichten r-Ebene. Anstatt, wie wir es geschildert haben, die Blätter Bii und Biz längs der Seiten(al, a) an B anzuschmelzen, verschmelzen wir sie nun längs der Seiten(aa, a) mit B.. So entsteht wieder ein symmetrischer Komplex B. Durch Verschmelzen der zu symmetrisch gelegenen Randpunkte mit einander erhalten wir die dreiblättrige, einfach zusammen- hängende, orthosymmetrische Riemannsche Fläche B. lhre Windungspunkte liegen über al, a, ag und an und zwar passiert man beim Umlaufen von al(it 1*) bezw.( 2+ 3— 3 9%), beim Umlaufen von an(1+ 2 34 1—) bezw. (2+ 3—), beim Umlaufen von a,(1“ 1— 3+ 2—) bezw. (2*+ 3—), beim Umlaufen von 2(1 1*) hezw.(2. 2 3+ 3—). Uber jeder der Stellen an, G, a, a befindet sich also ein Windungspunkt erster Ordnung. Durch eine lineare Transformation der ⸗-Ebene können wir erreichen, daß aa, d3, an bezw. nach 1, 0O und œ verlegt werden. a wird dann einem Punkt a 1 entsprechen. Von der Abbildungs- funktion y können wir drei Werte beliebig vorschreiben. Wir wählen» so, daß y in dem über O gelegenen Win- dungspunkt den Wert 0o, in dem über 1 gelegenen Win- dungspunkt den Wert 1 und in dem über gelegenen Windungspunkt den Wert œ annimmt. Damit ist zugleich sichergestellt, daß die Symmetrielinie von B(d. h. s und der Rand von B) durch y auf die reelle Achse abgebildet wird. Wir durchlaufen nun die Symmetrielinie in dem Sinne, daß wir der Reihe nach die Werte ², 1, 0 für y antreffen. Die Werte von y, die wir dabei über den Punkten 6, 1, d, der x-Ebene antreffen, wollen wir der Reihe nach benennen und zwar in der durch die folgenden beiden Zeilen angegebenen Art.
Werte:°„ 9 v 1 va 5 0 00 zugehörige · Werte:- 0 1l a 1 a m 0
Dab ES
bes set- wel
Die hab
sei
wi

Dabei isto= Ni=»e-—== O0 unda— 1. Es müssen nun die Koeffizienten der Relation 7= 72.-.-1.J a2 9= †.„ . Bo+ B1*+ He 92+ 83 93 bestimmt werden. Zunächst ergibt sich aus unseren Fest- setzungen: ο α‧= 52= 93= 0, ag Kkann gleich 1 gewählt werden. Dann bleibt 93 †. a2 9*— x 619— 7 So= 0. Diese Gleichung muß für= 1 die Doppelwurzel»= 1 haben. Es muß also
sein. Das ergibt 81= 2- 3 o=— ag— 2. Folglich lautet unsere Transformationsgleichung 3) 33+† ab— x(2 3)+ r(2.+ 2)= 0. Sie muß für= g eine Doppelwurzel haben, deren Wert
wir mit ys bezeichneten. Die Diskriminante dieser Gleichung muß also für= a verschwinden. Das liefert
22ν ν(2 α 3)2 † 18 ae(— a)(2 2 † 3) a(.£2‿ς 2)+ + 443(2 † 3)3— 4 ass a(aa+ 2)— 27 a*(a.+ 2)2= 0.
Diese Gleichung gestattet, den Faktor 4(a— 1) abzu- spalten. Dann bleibt
ar++‿ 2 α †+‿ςα(8 a+† 36+2‿¶ 54+ 27)= 0.
Unter den Wurzeln dieser Gleichung vierten Grades für a. steckt der gesuchte Wert, der die Lösung unseres Problems liefert. Es handelt sich darum, ihn von den unbrauchbaren Werten zu sondern. Das gelingt in folgender Weise. Dem Werte= entspricht außer= 1 der Wert»= ye, der reell, positiv und größer als 1 ist. Aus 3) ergibt sich 2=— aa— 2. Es muß also aa reell sein und a=—— 3. Wir setzen:
f(a)= al † 2 aes † a(8 a+† 36*+ 54+ 27).

Dann ist f(ae)= 4 a2s † 6 ll+ 2(24+ 72 2+ 54) f,(aa)= 12+ 12+ a(48 al † 72) f,(æx)= 24 ag+ 12+ 48
fIV(aa)= 24. Für ae=— 3 erhalten wir die Werte f(— 3)= 27— 27 f,(— 3)=— 54+ 54 f(— 3)= 72— 72 fn,(ſ— 3)=— 60+ 482 flv(—. 3)= 24. Wir finden also folgende Vorzeichentabellen für 1 4 122 für 1,2 à *— 0— 3 a.— 5— 3 f— f+— 7— f—+ .—— —— u,—+ fIV++ flv++. Zwischen α=— œα und=— 3 geht ein Vorzeichen-
wechsel verloren. Nach dem Budan-Fourier'schen Theo- rem¹) hat deshalb die Gleichung 3) für a— 1 eine und nur eine reelle Wurzel, die kleiner als— 3 ist. Durch diese Wurzel wird unser Abbildungsproblem in eindeutiger Weise gelöst. Wir geben noch die Werte für u. 8. W. an, ausgedrückt durch diese Wurzel aa.
Es ist ir=— ag, J2=— ag— 2 „==— a2 † La2*† 39(2. 2 † 3) 4 3 „== a2.= 2 2 1+ 3(2 2 1 3) 1 3 „= 42 42 2 az 1. 3
) Sjehe z. B. Weber, Kleines Lehrbuch der Algebra S. 149.

Die Folgen der zweiten Art, denen wir uns nun zuwenden, unterscheiden sich von denen der ersten im wesentlichen dadurch, daß die Symmetrielinie 5 als Seite des Bereiches mitgezählt wird und somit ihre Vorzugsstellung unter den Begrenzungslinien verliert.
1b) Wieder dient uns ein Blatt der Uberlagerungsfläche als Ausgang. Durch die negative ceelle Achse s zerfällt dieses Blatt Bi in zwei symmetrisch gelegene Hälften B und B41. Wir numerieren die Seiten von B fortlaufend bei a beginnend. Es sei etwa(a,, aa) die Seite 1,(aa, 23) die Seite 2,...(an— 1, 2n) die Seite n— 1, dann ist S= (au, a) als Seite n anzusehen. Mit B. verschmelzen wir nun längs der Seite 1 ein mit B“ gleiches Halbblatt Bn. Dann erhalten wir den Bereich Bz. Wir fassen ihn als Halfte eines symmetrischen Komplexes B auf. Die andere Hälfte von Bz nennen wir B½. Sowohl Ba als auch B)2 bilden Teile der Uberlagerungsfläche. Wir verschmelzen nun Ba längs der von B herrührenden freien Seite 2 mit dem B gleichen Komplex B'. Dann erhalten wir Ba. Ba fassen wir wieder als Hälfte eines symmetrischen Be- reiches Bz auf. So fahren wir fort, bis alle von B, her- rührenden freien Seiten verschwunden sind. Das ist nach n Schritten, also bei Ba+l der Fall. Dann wiederholen wir das Spiel mit Ba+. 1 80, wie wir es mit B, eingeleitet haben, und fahren in dieser Weise ins Unbegrenzte fort. Alle Bereiche B.,, B, B.. Sind Teile der UÜberlagerungs- fläche. Uberdies wird die OÜberlagerungsfläche von der Folge dieser Bereiche ausgeschöpft. Die Transformations- gleichungen, die die Riemannschen Flächen Bx+ 1 und B- auf einander beziehen, werden genau so bestimmt, wie unter la) angegeben wurde.
2 b) Auch hier gehen wir von einem Blatt B. der Uberlagerungsfläche mit den Hälften B, und B“, aus. Wir nehmen dann zwei mit B“, gleiche Halbblätter B' und B 1½ und verschmelzen B' längs der Seite 1 mit B., Buz längs der Seite 2 mit Bi. So erhalten wir den Bereich Ba, den wir als Hälfte eines symmetrischen Bereiches Ba auffassen.

Die andere Hälfte von B sei B'*z. Dann bilden wir Zzwei mit B/½ gleich gebaute Komplexe B/½, und B 22. B 2 bezw. B ½ verschmelzen wir mit Ba längs der von B. herrührenden freien Seiten 3 bezw. 4. Dann erhalten wir Ba. Wir fahren so fort, bis alle von B. herrührenden freien Seiten verschwunden sind. Falls n eine ungerade Zahl ist, kann man, bequemeren Ausdrucks halber, als letzten Schritt einen solchen der Methode 1b) heranziehen. Das Spiel wieder- holt man dann von neuem und fährt ins Unbegrenzte fort. B., Be, Ba... sind Teilbereiche der Uberlagerungsiläche und schöpfen diese aus. Die Transformationsgleichungen
zwischen Bx und B+† fallen unter den bei 2a) ge- schilderten Typus.
3 b) Endlich bietet auch die Ubertragung der Methode 3a) keinerlei Schwierigkeit. Das Blatt B der UÜberlagerungs- fläche und seine Hälfte B, dient uns als Ausgang. Wir bilden einen mit B. gleichen Bereich Bir. Diesen ver- schmelzen wir längs der Seite 1 mit B. und fassen den so entstehenden Bereich Ba als Hälfte eines symmetrischen Komplexes Ba auf. Wir bilden den mit Ba gleichen Kom- plex B*. Diéesen verschmelzen wir mit Ba längs der Von B. herrührenden freien Seite 2. Wir fahren nun in der Bildung der Folge der Bereiche B, Be, Ba.in ähnlicher Weise fort, wie wir es jetzt wiederholt geschildert haben. Man sieht dann ein, daß auch diese Bereiche als Teilbereiche in der UÜberlagerungsfläche enthalten sind, und daß die Folge der Bereiche die UÜberlagerungsfläche ausschöpft. Die Trans- formationsgleichungen, die Br+† 1 auf Br beziehen, fallen unter die in 3a) behandelten Typen.
Die Konvergenz der zu diesen Methoden gehörenden Folgen von Abbildungsfunktionen= fx ist umso stälker, je größer durchschnittlich die Zahl der Blätter von B. relativ zu Bx ist, also bei den Methoden 2 und 3 Stärker als bei den Methoden 1.

Lel
——C————ᷓᷓ
Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
II. Heft
Über eine von Weierstraß gegebene Definition der analufischen Funktion
VOII
MAGDA KLEBERGER
geb. KAVYSER
Giessen 1921
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16
Preis M. 4,50;
für das Ausland 1 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer, Giessen

Inauguraldissertation der Philosophischen Fakultät der Unlversität Gießen. Genehmigt am 21. Oktober 1020.
Berichterstatter: Professor Schlesinger.

Hen.
führungen, die Weierstraß in einer im Sommer 1886 in Berlin gehaltenen Vorlesung über Funktionen- lehre gemacht hat ¹).
Zu Beginn jener Vorlesung definiert Weierstraß eine analytische Funktion durch die Möglichkeit, in der Umgebung jeder nicht singulären Stelle der Ebene der unabhängigen Variablen eine Potenzreihe angeben zu können, die in dieser Umgebung die Funktion darstellt. Aber im Laufe der Vorlesung entwickelt er eine andere Definition. An die Spitze seiner Betrachtungen stellt er seinen Satz über die Approximation stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen:„Es sei x eine reelle Veränderliche, die jeden, dem unabgeschlossenen Intervall(a.. 5) angehörigen Wert annehmen kann; ferner bedeute f(x) eine im Innern des Intervalles reelle, durchweg stetige und endliche Funk- tion von x. Dann läßt sich auf mannigfaltige Weise eine Reihe von ganzen Funktionen flr(), fa(),. der Art bilden, daß für jeden der betrachteten Werte von
f G= A G C.. ist, dabei ist die Reihe l()+†h(T).. in jedem abgeschlossenen Teilintervall von(a 5) gleichmäßig konvergent.“ Der entsprechende Satz gilt auch für stetige Funktionen von zwei und mehreren Veränderlichen. Nun spricht Weierstraß die folgende Definition aus:
D: vorliegende Arbeit gründet sich auf einige Aus-
¹) Eine Nachschrift dieser Vorlesung wurde mir von tierrn Schle- singer freundlichst zur Verfügung gestellt. lierfür sowle für mannig- fache Förderung bei der Ausführung meiner Arbeit spreche ich Herrn Schlesinger meinen wärmsten Dank aus; durch seine Vermittlung hat auch Herr Carathéodory mir Rat und flilfe zuteil werden lassen.

4—
„Sind und w stetige Funktionen der reellen Veränder- lichen x und y, definiert in einem Kontinuum(x, y). so gibt es nach den bewiesenen Sätzen eine ganze Funktion von x und y, mit Komplexen Koeffizienten, die innerhalb dieses Kontinuums den Ausdruck+ 1„w mit beliebiger Annähe- rung darstellt. Wenn es möglich ist, diese ganze Funktion von und y in eine ganze Funktion des komplexen Al- gumentes x‿iy umzuwandeln, so nennen wir † 1„ eine analytische Funktion des komplexen Argumentes x †‿ 1 y.“
Aus dem Doppelreihensatze folgt nämlich sofort, daß „ Piy in der Umgebung jeder Stelle(᷑ ‿¶ y) unseres Kontinuums durch eine gewöhnliche Potenzreihe dargestellt werden kann.
Diese Definition der Funktion einer komplexen Ver- änderlichen beabsichtigte Weierstraß noch zu verallgemei- nern, indem er die Forderung der Stetigkeit für die Funk- tionen und durch eine allgemeinere ersetzen wollte. Dazu brauchte er zunächst eine Erweiterung seines Satzes über die Approximation einer stetigen Funktion durch ganze rationale Funktionen. In der erwähnten Nachschrift der Weierstraßchen Vorlesung finden sich hierüber folgende Aufzeichnungen:
„Wir haben den Weierstraßschen Satz bewiesen für Funktionen f, die in dem ganzen betrachteten Kon- tinuum stetig sind; derselbe bleibt aber im wesent- lichen auch bestehen, wenn die Funktion Unstetig- keiten darbietet.— Wir definieren zunächst eine Unstetigkeitsstelle nur negativ, d. h. als eine solche, wo die Funktion aufhört, stetig zu sein.— Funk- tionen einer Veränderlichen können unstetig werden 1. in einer endlichen Anzahl von Stellen, 2. an unendlich vielen Stellen, die a) diskret getrennt liegen können, in welchem Falle sie sich jedoch an einer Stelle not- wendig häufen milssen, oder b) es können in jeder Nähe jeder beliebigen Stelle Unstetigkeitsstellen liegen.
—

— 5—
8-. ibt Es ergibt sich folgendes Resultat: Wenn man annimmt, on daß(x) stets endlich bleibt, Sso Kkann der Satz, daß es J(x) darstellbar sei in der Form g,(r), wo die — v 5 g,(x) ganze rationale Funktionen sind, aufrecht er- r halten werden mit der Maßgabe, daß die Reihe 7 2&(x) an jeder Stetigkeitsstelle den Wert der 5 Funktion liefert. Wenn die Funktion 7(x) eine Ste- ab tigkeitsstrecke hat, So konvergiert die Reihe&,() v jes in der Nähe jeder Stelle dieser Strecke gleichmäßig. N Eine Darstellung der Funktion an den Unstetigkeits- stellen selbst ist nicht möglich.— Der Beweis dieses Satzes hängt zusammen mit einer Erweiterung des t Begriffs des bestimmten Integrals.“ b Weierstraß gibt nun eine Integraldefinition, vermöge deren jede stets endliche Funktion auch integrierbar ist, so 5 daß also die Riemannsche Integrabilitätsbedingung nicht notwendig erfüllt zu sein braucht. Er sagt so: 1„Es sei ein Intervall(aãa.. b) gegeben, und es gebe in jedem noch so kleinen Teile von(. 9) Stel- len, an denen die Funktion(xα) definiert ist. Errichte ir ich an jeder Stelle, wo die Funktion definiert ist, die 3 Ordinate, so liegen diese Ordinaten zwar unendlich 8 nahe beieinander, brauchen aber nicht Kontinuierlich 3 b 3 aufeinander zu folgen.— Dann kann 7() Ax also 1 a w nicht definiert werden als die von den Ordinaten 5 erfüllte Fläche, wie es für stetige Funktionen möglich und zulässig ist. Wir stellen nun folgende Defini- tion auf: M Denken wir uns jede Ordinate, die existiert, mit 6 einem Rechteck umgeben, dessen Basis gleich à ist; 1 dann greifen diese Rechtecke in einander. Betrachten
wir nun jene Punkte, die innerhalb eines solchen Rechtecks liegen, als eine Punktmenge, so sieht man

— 6—
leicht, daß diese ein Kontinuum bildet. Dieses Kon- tinuum hat einen Inhalt S;, der eine Funktion von
jst. Wenn die Funktion stetig ist, und é nähert sich
der Null, so ist lim Sz gleich dem wirklichen In- 6—0
b halte oder gleich f5() ax; so definierte auch
Leibniz das Integral.
Es läßt sich nun zeigen, daß Sz mit abnehmendem 3 abnimmt und sich folglich für 6= 0 einer Grenze nähert; wir definieren dann:
b
7 dx= lim Sz
2 5— 0 Diese Definition ist eine berechtigte, da sie für stetige Funktionen mit der gewöhnlichen übereinstimmt, und auch die wesentlichen Eigenschaften des Integrals bestehen bleiben. Es ist nämlich:
*— 3 T 7Go ar 1G) àr= 7 G dr a b a
2. 2(C) dx() dx, à. b
wenn wir ſestsetzen, daß Sz positiv zu zählen ist, wenn 5 a:
b .o ax= G- Dh
wo y ein Wert ist, der zwischen dem größten und dem kleinsten Wert liegt, den die Funktion F(x) in dem Intervall(ã.. 5) annimmt;
e 2 4. 7G)&G) ax= hRſ C) Ar,

— 7—
wenn g(r) zwischen a und b sein Vorzeichen nicht ändert und irgend ein Wert ist, der zwischen dem größten und dem kleinsten Wert liegt, den f(x) zZwischen a und 5b annimmt.
„Auf diese Sätze gründet sich der Beweis des
00 Satzes(+)= L 9,(r). „—
Kurz zusammengefaßt beabsichtigt Weierstraß also fol- gendes: Er will mit Hilfe dieses von ihm geschaffenen Integralbegriffes seinen Satz über die Approximation stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen auf beschränkte Funktionen ausdehnen und dementsprechend die auf Seite 4 gegebene Definition einer Funktion komplexen Argumentes weiter fassen.
Es handelt sich also darum: Kann man bei der Definition einer analytischen Funktion(ᷣ †‿ y)=(, y)+† 1„(X, y) die Voraussetzung, daß und„ stetig seien, fallen lassen, und welche anderen einschränkenden Voraussetzungen muß man statt dessen für und w machen?— Der EFrörterung dieser Frage ist die vorliegende Arbeit gewidmet.
Meine erste Aufgabe hat nun darin bestanden, die von Weierstraß gegebene Verallgemeinerung des bestimmten Integrals auf beschränkte Funktionen nachzuprüfen, und dabei hat sich ergeben, daß diese Integraldefinition das obere Darboux sche Integral liefert. Eine gewisse Ab- änderung der Weierstraßschen Definition dagegen führte zum oberen Lebesgueschen Integral und, wenn wir von der Funktion außer der Beschränktheit noch die Meß- barkeit voraussetzen, zum Lebesgueschen Integral schlechthin.
Da sich nun mit Hilfe des Lebesgueschen Integralbe- griffes der Weierstraßsche Approximationssatz auf meß- bare Funktionen erweitern läßt, so ist auf diese Weise der Weg zu der von Weierstraß beabsichtigten Verallgemeinerung des Begriffes der analytischen Funktion in der Weise ge- geben, daß man für die Funktionen(x, y) und p(x, y) nur die Meßbarkeit vorauszusetzen hat.

4 1
— 8—
J.
Wir wollen zunächst die Weierstraßsche Integraldefinition untersuchen. Weierstraß setzt eine beschränkte positive Funktion() voraus, die in einer beschränkten, auf einem Intervall(ã.. 5) überall dichtliegenden Menge A definiert ist. Er macht jeden Punkt von A zum Mittelpunkt eines auf der-Achse liegenden Intervalles von der Länge d — wobei die à für die verschiedenen Punkte von A alle gleich sein sollen— und errichtet über jedem solchen Intervall ein Rechteck, dessen Höhe gleich dem Funktions- wert des Mittelpunktes ist. Ein solches Rechteck wollen wir Rz nennen. Die Menge der Punkte, die innerhalb von
mindestens einem Ra liegen, Sei Bz. Weierstraß bezeichnet den Inhalt von Bz mit Sz und setzt als Definition des be- stimmten Integrals:
b 7G, dx= lim Sz. 4 6—0
Daß dieser Grenzwert existiert, läßt sich wie folgt, zeigen: Mit abnehmendem nimmt die Folge der zuge- hörigen Sz ebenfalls ab. Denn durch Verkleinerung von o
fallen von jedem R rechtwinklige Streifen ab, und, je- nachdem diese dem B erhalten bleiben oder ganz oder teilweise verloren gehen, bleibt B; ungeändert oder es wird verkleinert. Das gleiche gilt für die Inhalte Sz. Da die
Folge der S; beschränkt ist, so existiert Also, lim S; und — 0
zwar unabhängig davon, was für eine gegen Nin Konver-
gierende Folge wir die à durchlaufen lassen.
Wir definieren nun die Funktion f(+) für das ganze Intervall a= X= b, indem wir in den Punkten des Inter- Valls, die nicht der Menge A angehören, ſ()= 0 setzen. Dadurch ändern sich Bz und Sz; nicht.
Die-Intervalle erfüllen auf der α‿ͥchse das Intervall 6 6.. (a= a= 5+ 2). Die Menge Bz können wir
8

— 9—
nun auffassen als Ordinatenmenge ¹) einer in a= X= b definierten Funktion F;(); und zwar ist Fz() gleich der
3 4 5 oberen Schranke von f() im Intervall( 2... X+„
Diese Funktion ist abteilungsweise monoton. Man kann dies folgendermaßen einsehen: ²)
Es sei G die obere Schranke des Wertevorrats der Funktion() im Intervalle(qa.. 5) und B die Menge derjenigen Punkte dieses Intervalls, in deren Umgebung die Funktion() dieser oberen-Schranke beliebig nahe kommt; die Menge B ist abgeschlossen. B sei die Menge aller Punkte, die von den Punkten von B eine
4. 6 3 Entfernung kleiner als 2 haben; diese Menge besteht,
wie man leicht einsieht(etwa mit Hilfe des Borelschen Uber- deckungssatzes) aus einer endlichen Anzahl offener Intervalle. In B hat die Funktion Fz(c) den konstanten Wert G.
Man betrachte jetzt die Restmenge, die von(ã.„.. b) nach Absonderung von B übrigbleibt, und bezeichne mit Gà die obere Schranke der Funktionswerte(r) in dieser Rest- menge. Es sei wieder B. die Menge der Punkte, wo die Funktion f(x) dem Werte GÄ beliebig nahe kommt, und BI die Punktmenge, die in Bezug auf jene Restmenge zu B in derselben Beziehung steht, Wie B zu B in Bezug auf (a.. b); auch B besteht offenbar aus einer endlichen Anzahl von Intervallen. Die Punkte von B. zerfallen dann in drei Kategorien: 1. solche, für die das entsprechende 6-Intervall ganz der Restmenge angehört, 2. solche, deren 6-Intervall von einer Seite in B hinübergreift, 3. solche, für die dies von beiden Seiten her geschieht. Offenbar füllt jede dieser Kategorien eine endliche Anzahl von Intervallen vollständig aus. In den Intervallen der ersten Kategorie hat Fz(x) den konstanten Wert G:, in den Intervallen der
¹) Hier und im folgenden wollen wir die Punkte der x-Achse nicht mehr zur Ordinatenmenge rechnen.
²) Den folgenden Beweis verdanke ich einer Mitteilung von Herrn stud. A. Plessner.

zweiten Kategorie ändert sich F,() monoton, in denen der dritten Kategorie findet das gleiche statt, doch kann F,()
daselbst einmal den Sinn seiner Anderung umkehren. Damit ist der Verlauf der Funktion F,() in der Punktmenge
B+† B klargelegt. Wir verfahren nun in derselben Weise weiter und bekommen dabei stets eine endliche Anzahl von Intervallen, in denen Fa(x) monoton ist. Das Verfahren erreicht aber nach einer endlichen Anzahl von Schritten sein Ende, und damit ist gezeigt, daß Fa(x) abteilungsweise monoton ist. Fa(x) ist also integrabel(im Sinne von Rie- mann), und es ist daher
„ 8,= ſ;,(œ) ar,
b' b lim Sz= lim ſ.(w) ax= lim ſr.(X) d. 6—0 6—*0 6— 0 a Nun enthält die Ordinatenmenge von Fæ(+) die Ordi- natenmenge von f(), daher ist Sz und daher auch lim 85 . 6— 0 nicht kleiner als das obere Darbouxsche Integral
b *(+) ax.
Wir zeigen nunmehr, daß lim Sa mit diesem oberen 6—0 Darbouxschen Integral zusammenfällt. Dazu teilen wir das
Intervall(a... H) in 3 n gleiche Teile von der Länge d durch die Teilpunkte
i, Ig,...Nz n 1(= ACo 1.. I Tan 1= Ce n= 9) und bezeichnen mit M. die obere Schranke von f(Xx) in
(T.... xX, † h). Dann ist identisch 3 n/ n * G 1er r u M, AGs., 4) Ma. 2 5=
n
n L CG; 43, 3) Ma, 1(3, 1— X3.— 2 Mp, 1 1 7=1
—
U

wobei wir j a. 2 X3n 1 5 4 d und außerhalb von(2.. 5) (M)= 0
setzen. Rechter Hand stehen in der Gleichung(*) drei Dar- bouxsche Summen 2.—.+. 2 für f(x) mit der konstanten Intervalllänge 3 d. Wählen wir nun 6= 2 l, so wird M, die obere Schranke von Fa(x) im Imervall(X. S1..XI), und der Ausdruck linker Hand in C) wird das 3-fache einer Darbouxschen Summe für F,(). Es ist daher
3 S2= I S2 A⸗ und folglich auch 86.0
Gehen wir nun zur Grenze für n—°¹, also 7d— 0 über, so konvergiert jede der drei Summen der rechten Seite gegen das obere Darbouxsche Integral von(x), so
daß also b
lm FZ() d‿᷑=() dr 6—=0O; a. wird. Damit ist in Verbindung mit der oben gewonnenen Ungleichung
lim S,= /b dx
6—0 a gezeigt, daß die Weierstraßsche Integraldefinition das obere Darbouxsche Integral liefert. Dieser Integralbegriff würde sich aber zu einer Verallgemeinerung des Weierstraßschen Satzes schon darum nicht eignen, weil ihm die distributive Eigenschaft abgeht.
II.
Wir wollen darum die Weierstraßsche Definition etwas abändern. Wir setzen eine beschränkte, nicht negative ¹)
¹) Die Voraussetzung, daß f(x) nicht negativ sein soll, jst nicht wesentlich und leicht zu beseitigen.

Funktion() voraus, die auf einer beschränkten Menge A definiert sei, und konstruieren dazu eine Menge B;, lassen aber nun die Forderung, daß die Intervalle von der Länge ô, mit denen wir die einzelnen Abszissenpunkte umgeben haben, einander gleich sein sollen, fallen. Eine solche Menge B, besteht dann aus lauter inneren Punkten, ist also meßbar (nach Lebesgue ¹)). Ihr Maß sei m Ba. Von einem Grenz- wert von m Ba für ein gegen Null konvergierendes d zu reden, hat hier keinen Sinn. Wir bilden daher die untere Schranke S aller m Ba und definieren das Integral von ¹(—), erstreckt über die Menge A, als diese untere Schranke S, setzen also
„ 7 0½⸗ S.
Da die Menge B, die Ordinatenmenge O von(x) umfabt, 80 ist , B, a*O,*) folglich auch S hn.
Um die Größe S noch in anderer Weise abzuschätzen, überdecken wir die Ordinatenmenge O mit endlich oder abzählbar unendlich vielen Rechtecken Ra, deren Seiten den Koordinatenachsen parallel laufen und die so beschaffen sind, daß jeder Punkt der Ordinatenmenge O innerer Punkt von mindestens einem Ra ist. Dann läßt sich zu jeder Menge 2R) eine Menge Ba angeben, sodaß die Menge B von der Menge 2Rw umschlossen wird. Wir brauchen zur Konstruktion einer solchen Menge B, nur das ô für jeden Punkt von A folgendermaßen zu wählen: Ist ein Punkt von A innerer Punkt auf der Grundlinie von nur einem Rw, dann sei O höchstens gleich dem kleineren der Abstände des
¹) H. Lebesgue, Thèses: Integrale, longueur, aire. Mailand 1902. ²) Wo mr*O das äußere Lebesguesche Maß von O bezeichnet. ²) Die Menge Rx sei die Menge derjenigen Punkte, die inner-
halb von mindestens einem Rx liegen. Die untere Schranke der um Rx
stimmt offenbar mit dem äuſßeren Lebesgueschen Maß von O überein.

— 13—
A Punktes von den Endpunkten der Grundlinie; sollten beide Sen Abstände gleich sein, so wählen wir ô höchstens gleich 6, diesem gemeinsamen Abstand; ist ein Punkt von A innerer en, Punkt von mehreren Grundlinien, so machen wir Ö höchstens B, gleich dem kleinsten aller Abstände dieses Punktes von bar* den Endpunkten der ihn enthaltenden Grundlinien. Eine h2- solche Menge B, wird von der Menge 2R umschlossen; 2u folglich ist
ere 2m R= m Ba.
er), Da ich zu jeder Menge Ra eine solche Menge B, 8, konstruieren kann, die diese Beziehung erfüllt, so ist auch,
wenn S die untere Schranke aller Um Ry bezeichnet, S—= S. Diese untere Schranke S für die Summe der Inhalte der die Ordinatenmenge einschließenden Rechtecke Ru ist aber das äußere Maß der Ordinatenmenge O. Daher ist aot, 220— 8 und daraus folgt, da wie oben(Seite 12) gezeigt, 8S= m“*O ist, m.O= S, d. h. unsere abgeänderte Weierstraßsche Integraldefinition liefert das obere Lebesguesche Integral.
T. Aber auch dieser Integralbegriff würde sich zu einer el Erweiterung des Weierstraßschen Satzes nicht eignen. en Darum wollen wir von der Funktion †(α) noch voraussetzen, d, daß sie meßbar sei; dann liefert die abgeänderte Weier- on straßsche Integraldefinition das Lebesguesche Integral, und ge wir können leicht unsere Definition auch auf unbeschränkte I meßbare Funktionen ausdehnen.
ur
n III.
d. Wir zeigen nun, wie der abgeänderte Weierstraßsche n Integralbegriff auch zur Definition von Lebesgueschen Doppel- 8 integralen verwendet werden kann.
2 Wir gehen von einer beschränkten, meßbaren, nicht . negativen Funktion f(x, y) der beiden Veränderlichen
und y aus. Diese Funktion sei auf einer beschränkten (zweidimensionalen) Menge A definiert. Wir machen jeden

Punkt von A zum Mittelpunkt eines in der(-y)-Ebene lie- genden Rechtecks mit den Seiten O, und Oz, und zwar möge die Seite d der x-Achse, die Seite òs der„y-Achse parallel laufen; die O, und die òô dürfen für die verschiedenen Punkte von A unter sich verschieden sein. Uber jedem solchen Rechteck errichten wir einen Quader Qas, dessen Höhe gleich dem Funktionswert im Mittelpunkte der Grundfläche ist. Die Menge aller Punkte, die innerhalb von mindestens einem solchen Qaus liegen, sei Baa?,. Als eine Menge mit lauter inneren Punkten ist Bau, meßbar. Ihr Maß sei m B. Unter dem Doppelintegral von f(x, y), erstreckt über die Menge A, wollen wir nun die untere Schranke S aller m Baa, verstehen; es sei also
ſ(, y) x d= 8. A
Der Beweis dafür, daß diese untere Schranke S sich mit dem Maß der Ordinatenmenge, also mit dem Lebesgue- schen Integral deckt, entspricht vollständig dem für eine Veränderliche gegebenen Beweise.
Zu derselben unteren Schranke S können wir auch gelangen, indem wir um jede Ordinate statt eines Quaders einen Zylinder konstruieren, für den der Durchmesser der Grundfläche gleich òô ist.
Diese Definitionen lassen sich leicht auf unbeschränkte meßbare Funktionen ausdehnen. Auch die Voraussetzung, daß(x, y) nicht negativ sein soll, ist nicht wesentlich.
IV.
Wir wollen nun mit Hilfe des Lebesgueschen Integral- begriffes den Weierstraßschen Satz erweitern. Wir gehen aus von einer Funktion(), die in dem Intervall O0= x= 22 definiert¹) und dort meßbar sei. Durch die Forderung
f+ 2 2)= f(†)
¹) Daß das Definitionsintervall 0OIXS2 angenommen wird, ist unwesentlich, denn jede in einem endlichen Intervall definierte Funktion läßt sich in eine derartige Funktion f(x) umwandeln.

ist sie dann in jedem Intervall definiert und auch überall meßbar. Wir entwickeln() in eine Fouriersche Reihe, wobei die benutzten Integrale immer im Lebesgue- schen Sinn verstanden werden sollen, und bilden nach dem Verfahren, das Fejér ¹) für im Riemannschen Sinne integrier- bare Funktionen angegeben hat, das arithmetische Mittel aus den n ersten Partialsummen der Reihe. Setzen wir fGx+ 2 ¼+ fG— 2 ¼— 2,(c)=(b, so bekommen wir
8
1 a⸗ 2 4 CO=, 1? G) Cem,)* Gt.
t
Lebesgue bezeichnet nun&() dt mit(t) und beweist 5
den folgenden Satz: „Die Folge der Konvergiert gegen 1(x) in jedem Punkt, wo(0)= O ist; die Folge der n Kkonver- giert gleichmäßig gegen(x) in jedem Intervall, wo f(—) stetig ist.“ ³)
Ferner zeigt Lebesgue, daß die Punkte, in denen die Bedingung 2(0)= 0 nicht erfüllt ist, eine Menge vom Maße Null bilden, so daß also„fast überall“ ³) die Folge der on gegen() konvergiert.
Nun sind die arithmetischen Mittel on von der Form
do* X( Cos IX Or SiI1 4), 1
¹) L. Fejér, Untersuchungen über Fouriersche Reihen, Math. Annalen Bd. 58.
¹) H. Lebesgue, Recherches sur la convergence des séries de Fourier, Math. Annalen Bd. 61, S. 274 f.— Der Beweis, den Lebesgue in seinem Buch„Leçons sur les séries trigonométriques“(Paris 1906) S. 94 f. gibt, enthält einen Fehler. wie der Verfasser selbst in seinem Aufsatze„Sur les intégrales singulières“(Annales de la faculté des scien- ces de Toulouse, 1900, III. Serie, Bd. I, S. 90) zugibt. Einen andern Beweis gibt de la Vallée-Poussin(Cours d'analyse infinitésimale Bd. II, Louvain et Paris, 1912,§ 154).
²)„fast überall“ bedeutet nach Lebesgue„mit Ausnahme einer Menge vom Mabe Null“.

lassen sich also in beständig konvergente Potenzreihen Pa() entwickeln. Brechen wir Pa(x) nach dem mn ten Gliede ab, so erhalten wir eine ganze rationale Funktion Ga(C), und wenn wir m nur groß genug wählen, so können wir bewirken, daß für ein vorgeschriebenes positives en Da(r)— C(T)l=. en oder on(o)= Gn(A£—=. en wird. Lassen wir nun die n eine mit wachsendem gegen 0 konvergierende Folge durchlaufen, so wird„fast überall“ lim on= lim Ga() n 0 n 00 = G. G) G(o)— G. G(Ga GC)= da(Cl.... = f()+ J2() 4 J2()...
lim»n˖ läßt sich also durch eine„fast überall“ konvergente n
Reihe von ganzen rationalen Funktionen darstellen. Damit sind wir zur folgenden Verallgemeinerung des Weierstraß- schen Satzes gelangt:
Jede in einem endlichen Intervall definierte und dort meßbare Funktion(x) läßt sich auf mannigfaltige Weise in eine Reihe von ganzen rationalen Funktionen fi(), fa(x),
entwickeln, so daß fast überall
(r)= /1 C)+ /2 A&...
ist. Die Reihe konvergiert gleichmäßig gegen(x) in jedem Intervall, wo ſ(x) stetig ist ¹).
V.
Eine entsprechende Verallgemeinerung des Weierstraß- schen Satzes läßt sich auch für Funktionen von zwei Ver- änderlichen durchführen. Wir setzen von der Funktion †(x, y) voraus, daß sie in einem Quadrat O= TX= 2, 0= y= 22 definiert und dort meßbar sei. Durch die Forderung
f+ 22, y)= †(x, y) F(, y+ 29=(X, y)
¹) Eine andere Folge solcher ganzer HPunktionen gibt F. Riesz, Jahresberlcht der D. M.-V. 17(1908), S. 196.
——
————, 8—

al“
Inte mit ah- ort
se r),
2m
ist sie dann in jedem endlichen Bereich definiert und auch dort summierbar. Wir entwickeln f(, y) in eine trigono- metrische Doppelreihe:
7G.„v)=
H 9. lana na cos n. cos n. y bn n. Cos ni Sin na y I1— 0 2=
* 4. n, Sin ni † Cos n+ dn n. Sin n Sin n N wobei die am na, Pn ne, durch bestimmte Doppelintegrale gegeben sind. Wir setzen
1—1 k- 1 AX= 43(am n. Cos ni Cos n. y...) = 0 n.=O und bilden das arithmetische Mittel om n der mn ersten, dieser Partialsummen:
Eine einfache Rechnung ljelekt dann die Beziehung
om n—(r,. y)= 1„ ,fro— Sne9) dp d9, wobei gesetzt wurde:
P D.)= J+ 2„, y+ 2) † f(+ 2 p, y— 2+ J(— 2, y l 2/(x= 2 p, y 2)— 4 F(Xx. y. Wir nehmen nun zunächst an, daß f(x, y) eine stetige Funktion der beiden Veränderlichen x& und y sei. Wir bezeichnen das Maximum von f(, y) mit M, und zerlegen den Ausdruck für omn—(X, y) in 4 Integrale:
N 1 2 2 1— sin m Ssin 2 n- 7r, o)==,„[eG.(Saim„ ain 7) 2 dp do a 6 N N 1 55— 1 1 47.. ,/ 22 nn ſ 5„ a 0
ht k † l † l.,

dann wird
1 a n m sins a sin“ 0
ll=/ Ip(D. 2) dp do,
also m, n— N N 8 M 2 2 sins m p 2 M n In Sinꝰ² 1 Sin*„ 4p dh= n Sin¹ 3
6 0
ſle=
n— und ebenso m— Nun wählen wir und 6 so klein, daß in dem Rechteck
0 p= a. 0= 7= 5 (D, J=e ist. Dann wird N N e 22 7 sin' m p sin 9 m n 5ſ Sin' p sin“* 7 0
0
8 dp d er 4.
A= Wir bekommen also
lim om n— F(x, y)— 0, m3— n— œ
d. h., jede in einem endlichen Intervall definierte stetige Funktion zweier Veränderlichen läßt sich durch eine gleich- mäßig konvergente Doppelreihe endlicher trigonometrischer Ausdrücke darstellen.(Fejérscher Satz für Funktionen von zwei Veränderlichen.)
Wir lassen nun die Bedingung, daß f(x, y) stetig sein soll, fallen, verlangen also nur noch, daß f(x, y) summierbar sei, und betrachten den Ausdruck
71 1 7241 sin mp Sin n 9)⸗ 60

—
—
.—
Das letzte Integral läßt sich bekanntlich bei der Kon- vergenzuntersuchung durch N N
2 2 ſſeG,ien 1 dp a⸗
Emn==
IM N N
ersetzen. Wir beweisen nun, daß Emn und mithin auch omn—(r, y) überall mit Ausnahme einer Menge vom Maße Null, oder kürzer„fast überall“, gegen Null konver- giert. Setzen wir
91 2—ſeo 9) d⁰.
„ 9 9(p. 9) ſſo(D.) dp d2 0 0 N N 2 2
3 i Imn=„ 12ſ(p, 4)( SnMa.en EL)
d.p do,
So wird unsere Behauptung bewiesen sein, wenn wir zei- gen, daß lim Fmz= O ist für alle Wertesysteme x, y, für die 5( m 2ꝗ9)—= 0
pP*0 57 4—0
ist. Dies findet nach einem Satze von Lebesgue ¹)„fast überall“ statt. Die folgenden Betrachtungen beziehen sich nur auf die Konvergenz an solchen Stellen.
Wir zerlegen Fmn in vier Integrale
A J N NT
2 2 2 00 ⁸ f.. 1 2 2 6 e zmn EIISnn 2f e
0 0 2 6 0 0 0 wo O e 1, 0 6 1
¹) Siehe z. B. de la Vallée Poussin a. a. O. S. 115, Remarque.

Nun ist zu zeigen, daß Fmn für fast alle m, n durch geeig- nete Wahl von«, ö kleiner als eine beliebig vorgegebene positive Zahl gemacht werden kann. Das erste dieser vier Integrale strebt bei festen Ö, offenbar mit wachsenden m,
n gegen Null. Die beiden folgenden gehen durch Ver-
tauschung von p und% auseinander hervor; es genügt deshalb das eine von ihnen zu betrachten. Es ist aber 83 0 2
1 sin m Sin E 9)2 „(p. 9)( 3e9) 4 49
m n a² 2 0
6 1 sin m dp. Dla * 5) ſw(o. Md9 0
= mn ε 0
1 Sin* m — 3 O1(P, 5 dp.
Wendet man auf dieses Integral dieselbe Abschätzung an,
die wir im Folgenden bei Frn näher erörtern, dann erkennt
man, daß es mit wachsenden m, n gegen Null strebt. Es bleibt also nur noch übrig, das Integral
0 ⁸ 1) 1. sin m p sin)½ mn In„ſſlw(o, 2)*0„ 9) dIP d 0 0
zu untersuchen. Wir integrieren F 3 partiell in Bezug auf q und erhalten,
2 43 2 Fih. SIII* I1 ⁸ ſ.(p, 9) 3 D dp
12 n n* 0 1 6 2 e 1 ſsin 2 sin 229 e ae e.) s A 0 9

21—
0 8 2 sin m sine n 2£ 0 0 —(2)(3)(4) 5 Fmn Fmin Fmun. Wir zeigen nun zuvörderst, daß Fmn— Ofür 1n„. Durch partielle Integration ergibt sich 60 (2) Sin?²- Sin?²„ 6 Sin² e 209 6) Sin 2 m — Sll. 2— n r. l 14 0 Fmn i„,„ 225(5,)„ u t„„ dp 0 0 2 sin ne ſ'sinz m p O(p,) 3—, ſs— 2 dp. m n a*'e* 2 P 0
Das erste Glied nähert sich offenbar dem Grenzwerte Null; für 1 letzte genügt es zu bemerken, daß wegen lim— G(„, 0)= 0, der Faktor 1(p,*) beschränkt 5, 9— 0 7 8 D ist, um dann durch einfache Abschätzung dasselbe zu er- halten, wie für das erste Glied.
Für die weitere Untersuchung formulieren wir den folgenden Hilfssatz, der sich unmittelbar aus den Betrach- tungen bei de la Vallée Poussin(a. a. O. S. 163) ergibt:
Ist py(t) nicht negativ und das unbestimmte Integral
eine positive Funktion, so gilt: a a
„( 1 F(a) 2 w()
27 4. 1 2 sin 25,d, 2/ 5 dt
8
An a=ist.
Mit Zuhilfenahme dieses Satzes läßt sich nun auch das übrig gebliebene Glied von Fmn abschätzen.— Wir schrei- ben statt des dort auftretenden Integrals, indem wir einen negativen Bestandteil weglassen:

3 60 Sn ſſh2 sin 2m p dp
1 4m und wenden hierauf den Hilfssatz an. Wir erhalten: 0, 0 sinz 2e 1 5M(0, ⸗ 2 O(D, e) us es= vnm 82— t mn aεα p J m 4m
5— und aus der Beschränktheit von Eſg2 folgt, daß auch das
letzte Integral mit n— œ der Null ersireb
Wir gehen jetzt zur Abschätzung von Fra und wenden hier auch partielle Integration an u. Z. in Bezug auf p. Dann kommt
& 10 2 sin m 6 6(6,—) sin² n Q Im= Senn 7 9² 47 ſ Gemr I 9) p a,
„
d e
9(p ,9) 2n n2 sin?² i2 ap d19.
Das erste Ghed ist— mit Vertauschung von p und— schon bei der Untersuchung von Fin erledigt; beim zwei- ten haben wir es, wegen lim 5(„,))b= O, mit dem
klassischen Falle dieses Integrals zu tun; für das dritte Glied verfahren wit wie folgt:
Dieses dritte Glied ist zienben kleiner als
PF ä f 324.fe p, 9) SI ng ap,

ͤ1
da wir ja einen negativen Bestandteil weggelassen haben. Die Anwendung unseres Hilfssatzes ergibt
5) 2 79(0, 9) sin² 1 Q "alekenfetha ennee
5n 2.7 3 I. d7.
8 Das erste Integral rechter Hand ist bereits bei F merledigt, das zweite läßt sich durch geeignete Wahl von d und-
beliebig klein machen, da ja hier 5, O(p,)= 0 ist.
Wir kommen endlich zu FIS. Es ist zunächst
6 2e5,2 F.—, Er dp. ſe.(p. O) Sin229— 45 0 n 4n
und die Anwendung des Hilfssatzes ergibt, daß das Integral kester, Hand kleiner ist als
sin⸗ mp„. 6.— fwo 22 p ne fai d do.
4 Das erste Integral dieser Summe ist bis auf einen Faktor mit Fr2 identisch, es strebt daher gegen Null, das zweite
schreiben wir in der Form
6 2 d9 20.(p, q) sinz m p 8 24, 9² dh
71 4n und integrieren partiell. Es ersit sich dann
n9, e 2 eeſes 5ℳ

— 2, 12s 2) 2n nE ap ag
„G(p. 2) Snnn , 1. dp d.
Das erste Integral echiu Hand strebt zufolge der Beschränkt- (6 heit von Serg der Null zu; das dritte Integral ist mit
Vertauschung von p und— bereits bei FnH erledigt; das zweite ist kleiner als
0
2 ſu 97) sin 2
12. 9²
Wenden wir wieder unseren Hilfssatz 4 20 ergibt sich
2 500(5, 9)„9(p. 9 5 n= n 65 de e 5 A d⸗. 2 T
Das erste Integral ist bereits vorgekommen, es strebt gegen Null; im zweiten können wir«, 6' so wählen, daß es be-
liebig klein wird, da ja lim 57 6(„,)= 0 ist.
Wir finden also, daß„fast überall“
lim om n= F(x, y) m3— n3—
1st ¹).
. ¹) Der vorstehende Bewels ist demjenigen nachgebildet, den de la Vallée Poussin(a. a. O. siehe Fußnote ²) auf S. 15) für Funktlonen einer Veränderlichen gibt. Die B der vorgenommenen Ab- schätzungen verdanke ich Herrn stud. A. Plessner.

—
— 25—
Nun ist das arithmetische Mittel omn von der Form m= 1 n 1
* L(Aik cos ix cos Ey+ Bik cos ix. sin y+..) =0 k=
und läßt sich daher in eine gleichmäßig konvergente Doppel- reihe:
0 0 5 8
PIm, m(x, y)== W lik A 1=0 K= O
entwickeln. Brechen wir diese Doppelreihe mit 7= 75, E= Ei ab, so bekommen wir eine ganze rationale Funktion Gmn(x, y), und indem wir i und hinreichend groß wählen, können wir bewirken, daß für ein vorgeschriebenes positives emn
om n— Gmn(x, y)— emn
wird. Lassen wir dann die emn eine mit wachsenden m, n gegen Null konvergierende Folge durchlaufen, So wird
lim omn= lim Gmn(x, y), m m n n—
wir können also lim omn in der Form
ſ1(.,)* f(t, v) † Ja(, y)
einer„fast überall“ konvergenten Reihe von ganzen rationalen Funktionen In(x, y) darstellen. Damit sind wir zu dem folgenden Satz gelangt:
Jede in einem endlichen zweidimensionalen Bereich definierte und dort summierbare Funktion f(x, y) der beiden Veränderlichen, y läßt sich auf mannigfache Weise in eine Reihe von ganzen rationalen Funktionen n(, y) entwickeln, S0 daß„fast überall“
fX. y)= f(x, y f(x. y †.... ist. Diese Reihe konvergiert gleichmäßig gegen f(x, y) in jedem Intervall, wo(x, y) stetig ist ¹).
¹) Eine andere solche Reihe ganzer rationaler Funktionen gibt L. Tonelli, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 20(1910). S. 1.

Auf diesen Satz kann nun die von Weierstraß erstrebte Verallgemeinerung der Definition einer analytischen Funktion gegründet werden. Es seien nämlich in einem zweidimen- sionalen Bereich„(x, y) und w(x, y) summierbare Funk- tionen der reellen Veränderlichen x& und y. Unter den nach dem ausgesprochenen Satze gewiß vorhandenen Folgen von ganzen rationalen Funktionen, die die Funktion iw„fast überall“ approximieren, gebe es mindestens eine
h(T. y) R F(, y)... t. hn(xr, Jy),
deren EFlemente sich in Funktionen von xχ Tiy verwandeln lassen. Dann möge † 1„ als„Funktion der komplexen Veränderlichen α 1y“ gelten. Setzen wir nun von den Funktionen(x, y) und o(x, y) außer der Summierbarkeit noch voraus, daß sie beschränkt seien, so können wir leicht einen Vergleich der Tragweite dieser Definition und der des klassischen Begriffes einer analytischen Funktion anstellen.
Für eine beschränkte meßbare Funktion f(x, y) sind die arithmetischen Mittel om n gleichmäßig beschränkt; denn
Wenn F. y= M
1st, So wird
8
1
1 7 F G 2 p, y 29)+ fG— 2p, y+ 29) 0
sin m Sin n
2 sin Sin ÜAp à
f(x- 29, y— 29)+‿f 2 p, y 29C
82 2
S 1n4. 4 0
sin m. sin n Q. f sin sin 1 d à 0
Wir verlangen demgemas auch von der zu der Funktion g Tip gehörigen Reihe R1(r. y) fz(X...:,
—--—

— 27—
deren Elemente sich als Funktionen von x‿ darstellen lassen, daß ihre Partialsummen beschränkt seien. Nach einem Satze von Vitali¹) konvergiert dann diese Reihe gleichmäßig und ist infolgedessen eine im klassischen Sinne analytische Funktion. Die von Weierstraß erstrebte Ver- allgemeinerung des Begriffs einer analytischen Funktion führt demnach zu keiner Erweiterung des Bereichs dieser Funktionen.
¹) Auf diesen Satz von Vitali(siehe etwa P. Montel, Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe, Paris 1910, S. 21) und dessen Folgen ffr meine Untersuchungen wurde ich aufmerksam gemacht von Herrn A. Plessner, dem ich hiermit für alle seine wert- volle Hilfe bestens danke. Jener Satz sagt aus, daß eine Folge von holomorphen in einem Bereich gleichmäßig beschränkten Funktionen in jedem ganz im Innern des Gebiets gelegenen abgeschlossenen Berelche Lleichmähbig konvergiert, wenn sie in unendlich vlelen Punkten dieses Gebiets, die jedoch mindestens einen Häufungspunkt im Innern des Ge- biets haben müssen, konvergiert.
Berichtigungen. S. 7 Zeile 6 v. u. lies Summierbarkeit statt Meßbarkelt. S. 7„ 1 v. u. S. 13„ 9 v. u. S. 14„ 8 und 2 v. u.„ lies summierbar statt mebßbar. S. 15„ 2 v. o. S. 16 14 und 3 v. u.

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
III. Heft
Die Reziprozität in der Ebene als Folge eines Polarsystems und einer harmonischen Spiegelung an einem Punkt und einer Geraden.
von
HEINRICH GILBERT
Giessen 1922 Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16
Preis M. 10,—; für das Ausland 1 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer, Giessen

Inauguraldissertation der Philosophischen Fakultät der Universität Cieben. Genehmigt am 3. Dezember 1921.. Berichterstatter: Dr. Grassmann und Dr. Engel.
P.

hen.
Erster Abschnitt.
Die allgemeine reziproke Verwandtschaft und das Polarsystem¹).
Ein Stab E mit dem Anfangspunkt a und dem Endpunkt b sei dargestellt durch das äußere Produkt: (1) labl= E
(2) 2= V W! sei dualistisch entsprechend der Schnittpunkt der Stäbe V und W ausgedrückt. Drei nicht in einer Geraden liegende Punkte
(3) ei= mff,(i= 1,2, 3)
seien als Grundpunkte gewählt. Dabei seien die Punkte f die einfachen Punkte, die m die Massen der Punkte ex. Diese Massen seien so bestimmt, daß das äußere Produkt
(4) leiezesl= 1 und ein beliebiger vierter Punkt e(nicht in einer Geraden mit 2 Grundpunkten) der Einheitspunkt wird, sodab
(5) e= i † e2 e3
Durch
ist. Jeder weitere Punkt x läßt sich dann in der Form (6) X= Niei+ xzez rae. darstellen, wobei die x. Zahlgrößen sind. Wir definieren einen Verwandtschaftsfaktor r durch die Forderungen: (8) eir= Ap ezr= Az. ear= Az (9) Xr= xA+ xA⸗ r3As.
¹) Bezüglich dieses stark gekürzten Abschnitts vgl. H. Grassmann, Projektive Geometrie der Ebene. Lpzg. und Berlin 1900, I. Bd. Seite 1— 35 und II. Bd. 1. Teil, 30. und 31. Abschnitt,

— 4—
Formell kann dieser Faktor r, der eine Reziprozität ver- mittelt, durch den extensiven Bruch A: A, A ev C, g ausgedrückt werden, welcher die Gleichung (11) er= A(i= 1,2,3) und auch(0) zur Folge hat, wenn man für r das Gesetz der Distributivität gelten läßt. Aus den Grundstäben (12) E= lezesl, Ez= lezeil, Ea= leieal!
seien die Stäbe A mittelst der Zahlgrößen a abgeleitet
AI= aiffi lieEe auEs
(13) Az= aaiEt+ aazEz+ a2Ea
Az= aaiEt aeEe asgEa Mit Rücksicht auf
(14)[EiEzEal= I
(15)[AiAA3] a (d. i. die Determinante ſax aus den Ableitzahlen). Den Stäben E., Ea, Ez ordnen wir nun beziehlich die Punkte (10) al=[AAsl, a2=[AsAil, as=[AtAl
(10) r
ist
Zu. Der Verwandtschaftsfaktor
(17) R= 4u a a
Eu Ez, Ez vermittelt dann die adjungierte Verwandtschaft zu r und es
ist ferner: (18)[yz] R= lyr. 29] und
(19) VwWIr= A VR Wnl.
(Bzgl. a vgl. 15). Die Brüche
1 61, 82, C (20 Le et or s, und(21). ) T A, A, A3() R à1, à2, 3
stellen die inversen Verwandtschaften dar. Die Reziprozität wird zu einem Polarsystem, wenn: (22) an= axi ist und es ist dann zugleich
1 E. Ee, Ez
0
(23) XP, ind I.. R= ax.

— 5—
In diesem Fall verwenden wir statt r, R die Buchstaben p, P. Dann ergeben sich folgende Formeln für das Polarsystem:
A, Az As à à à. (25— eee(20 P=„ 1.2 3 ) P el, 62, e 3 Ei, Ea, E. (27) ep= A.(28) EP= a, 1 er, ez, es 1 Ei, Ee, E (29(30=— 42 — D A, Az, As 30, P ai, à, a3 1 1 (31) Arp e 662) arp= E 63) lzl P=[yp 222(34) VWID= AVP.WrI — a 9 (35) p= P(36) 1 1. P 1 1. P 6)* 4(38) 1=
Die Punkte Xx, welche auf ihren zugeordneten Polaren xp liegen, erfüllen die Gleichung
(30)[X-Xpl= 0, welche eine Kurve 2. Ordn. darstellt und die Polkurve des Polarsystems heißt. Dualistisch erfüllen die Strahlen U, welche durch ihre zuge- ordneten Punkte UP gehen, die Gleichung
(40)[U- UPI= O, welche eine Kurve 2. Klasse darstellt und die Polarkurve des Polarsystems genannt wird.
Zweiter Abschnitt.
Die harmonische Spiegelung an einem Punkt und einer Geraden.
Unter dem einem beliebigen Punkt Xx durch die harmonische Spiegelung an dem Punkte s und der Geraden S zuge- ordneten Punkt y soll der zu dem Punkt Xx gehörige vierte harmonische Punkt y verstanden werden in bezug auf das

— 6—
Punktepaar, das gebildet wird aus dem Punkte s und dem Schnittpunkt der Geraden S mit der Geraden[sxl.(Fig. 1) Bezeichnet man diesen Schnittpunkt mit t, so ist
(41) t= S SXl. Ist der Punkt y dann auf der Geraden[sxl so gelegen, daß das Doppelverhältnis der 4 Punkte s, t, X, y, also
(42)(Stxy)=— 1 wird, So wollen wir sagen, der Punkt y sei der dem punkt X durch die Spiegelung an dem Punkte s und der Geraden S zugeordnete Punkt, oder auch, der Punkt y sei der aus dem Punkte X durch die Spiegelung an den Ele- menten s und S hefvorgehende Bildpunkt.
Dualistisch entsprechend sagen wir, ein Stab V gehe aus einem Stab U der Ebene durch die Spiegelung an den Flementen s und S hervor, wenn er dem Stabe U har- monisch zugeordnet ist in Bezug auf das Stabpaar, welches gebildet wird aus dem Stab S und dem Verbindungsstabe der Punkte s und[SUJ.(Fig. 2)
Bezeichnet man diesen Verbindungsstab mit T, so ist
(43 1= s 81. lst der Stab T dann so gelegen in dem Büschel mit dem Scheitel[SU], daß das Doppelverhältnis der vier Stäbe
S, L, U, V. alsO (44)(SIUV)== 1
wird, So sei der Stab V der dem Stabe U durch die Spiegelung an den Elementen s und S zugeordnete Stab genannt, oder, wie wir auch sagen wollen, der Stab V sei derjenige Stab der Ebene, auf welchen der Stab U durch die Spiegelung an den Flementen s und S abgebildet wird.
Bei der im Vorstehenden definierten Spiegelung kann der Punkt s auch als Zentrum der Spiegelung, die Gerade S als Achse der Spiegelung bezeichnet werden.
Um für die durch diese harmonische Spiegelung erzeugte Kollineare Verwandtschaft eine geeignete analytische Dar- stellung zu finden, gehen wir von der allgemeinen Kollineation bp be, ba 2i, e2, ez
(45) k—

— 7—
in der Ebene aus. Die Doppelpunkte a dieser Verwandt- schaft genügen der Gleichung
(46) ak= ra, wobeir einen Zahlfaktor bedeutet, oder der Gleichung 0= a(xr— k),
für welche man auch, wenn man noch (47) a= Aie+ Axez+ Agez setzt, schreiben kann 0= Ater(r— k) Aauez(x— k)+ Ageg(r— k). Die drei Punkte e,(x— k) liegen demnach in einer Geraden, folglich verschwindet ihr äußeres Produkt, d. h. man erhält für die Zahlgrößer die Gleichung dritten Grades (48)[(eir— bi)(ezgr— ba)(ezr— ba)]= 0. Diese Gleichung liefert für die Größeer die drei Werte ri, ra, rz;, Welche die Hauptzahlen des Bruches k heißen mögen. Von der Gesamtheit der Doppelpunkte a, welche für einen bestimmten Wert der Hauptzahl r die Gleichung (46) befriedigen, wollen wir sagen, sie bilden das zu der Hauptzahler gehörende Hauptgebiet¹). Bei ungleichen reellen Hauptzahlen besteht jedes Hauptgehiet aus einem einzigen Doppelpunkt, ist also von erster Stufe, und diese drei Hauptgebiete erster Stufe(Doppelpunkte der Kollineation) bilden die Ecken eines eigentlichen Dreiecks, liegen also nicht auf einer und derselben Geraden*²). Sind zwei Haupt- Zahlen einander gleich, und gestattet der Kollineationsbruch die Darstellung (49) K= e. 41, 2z, az so wird durch ihn jeder Punkt der Geraden[azas] in sein h-faches übergeführt, die Gerade lazas] geht also punkt- weise in sich über; es bleibt daher auf jeder durch den isoliert liegenden Doppelpunkt a gehenden Geraden der Schnittpunkt mit ſaaaz] fest. Also bleibt auch jede durch
²) Vgl. H. Grassmann's gesammelte math. u. phys. Werke I. Bd., 2. Teil. In Gemeinschaft mit H. Grassmann d. J. herausg. v. Fr. Engel, Leipzig 1890, Selte 61 ff.
*) H. Grassmann a, a. O. II. Bd., 1. Teil, Abschnitt 28.

—— 3—
den Doppelpunkt al gehende Gerade bei der Abbildung fest, während ihre Punkte mit Ausnahme der beiden ge- nannten ihre Lage verändern.
Ist Xx ein beliebiger Punkt der Ebene, der nicht gerade auf der Linie[azaz] liegt oder mit dem Punkt an zusammen- fällt, und t der Schnittpunkt der Geraden ſaix!] mit der Geraden ſaaas], d. h.
(50) t= ſaixXx aza], So läßt sich der Punkt x in der Form darstellen (51) X= va,+ wt. Der dem Punkt X in der kollinearen Verwandschaft k zu- geordnete Punkt xk läßt sich dann schreiben (52) xk= gva,+ hwt, und das Doppelverhältnis der 4 Punkte au, t, x, xk hat
den Wert 3 Nimmt es den Wert— 1 an, d. h. ist (53) 4—1 oder(54) g=— h,
H so bilden die vier Punkte au, t, x, xk' einen harmonischen Punktwurf.
Der extensive Bruch bekommt in diesem Falle die Form kK˙— gai,— gaz,— 923
31, à2, 3 und stellt dann eine harmonische Spiegelung dar an einem festen Punkt at und einer festen Geraden[aaas!, wie wir sie oben definiert haben für den Punkt s und die Gerade S. Wenn nämlich zu einem Punkt(Fig. 3)
(56) X= vai wt der zugeordnete Punkt xs= g(va— wt) und zu diesem wieder sein Bild (57) XS A= X= 9¹(va,+ wt) bestimmt wird, so folgt wegen(56) (58) XS*= g*X
d. h. der durch zweifache Spiegelung gewonnene Punkt XS: fällt der Lage nach mit dem Originalpunkt x zusammen. Dieser Punkt Xxs stimmt auch der Masse nach mit dem
(55)
lun

enl
Ikt en.
Originalpunkt überein, wenn
(59) g*= † 1 oder g=+ 1 ist. Das tritt ein, wenn sich für die Hauptzahlen des Bruches k(45) die Werte
(60=+ 1, r.=— 1, rz=— 1 oder(61) r.=— 1, r.=+† 1, rz=+†. ergeben. Dann nimmt(58) die Gestalt an (62) XS= X oder es ist:(63) 2= l,
d. h. die Spiegelung s ist von dem Folgequadrat 1.
Wählen wir etwa
(64) g= † 1,
so ergibt sich für den Verwandtschaftsfaktor o der Spiege- lung die Darstellung à1,— az,— az 3à1, à2, A3 lm Folgenden soll dieser Bruch, d. h. eine Spiegelung vom Folgequadrat 1 zugrunde gelegt werden, da sich durch den Fortfall des Zahlfaktors g die Rechnung etwas vereinfacht.
Wir wollen nun sehen, wie die Punkte der Geraden lazag]l durch die Spiegelung s abgebildet werden. Jeder Punkt x der Geraden läßt sich in der Form
(66) X= xzaz † xaas
(65) ½=
darstellen. Durch Anwendung der Spiegelung s ergibt sich
(67) Xe=—(xzag+ xzaz)== X,
d. h. Alle Punkte X der Geraden ſazas], welche der Achse S der Spiegelung entspricht, werden durch die Spiegelung nur dem Vorzeichen nach geändert. Für die Spiegelung» als Spezialfall der allgemeinen Kollineation lassen sich dieselben Sätze ableiten wie für die allgemeine Kollineation.
Für den adjungierten Bruch 5 erhält man die Dar- stellung Al,— A,— As
689 9=o. A A⸗
Dieser weist jedem Stabe[yzl], d. h. jedem Produkt zweier Punkte y und z des ersten Systems den Verbindungsstab

[ys 2s] ihrer Bilder ys und za im zweiten System zu. Es ist also:
(69)[yzl 5=[ys 281 und im dualistischen Fall:
(70) VVWIs=IVS W3, wobei V und W zwei beliebige Stäbe der Ebene bedeuten. Aus(69) folgt wegen(62) (71)[yzl= lys 28]=[ys 28²]=[yz!
oder(72) 52=1, d. h. f ist ebenfalls vom Folgequadrat 1.
Wir wollen nun sehen, wie die Stäbe des Büschels mit dem Scheitel[AeAs] durch die Spiegelung ₰ abgebildet werden. Jeder Stab U dieses Büschels läßt sich in der Form
(73) U= ue A+ usAz
darstellen. Die Spielung ₰ führt den Stab U in den Stab— U über, denn(74) U5——(ug A. u A3)=— U.
Alle Stäbe des Büschels mit dem Scheitel a=[AAsl, d. h. alle Stäbe, die durch das Zentrum der Spiegelung hindurch- gehen, werden also durch die Spiegelung nur dem Vor- zeichen nach geändert.
Aus den Gleichungen (63) 2=l und(72) 32=1 folgen die weiteren 7 1 1., 75) 3 und(70) 5 3 d. h. die durch den Verwandtschaftsfaktor*() dargestellte
involutorische Kollineation ist identisch mit der durch die 7. 1 1. inverse Spiegelung 8(*) gelieferten kollinearen Ver-
wandtschaft.
Es ist nämlich: 1— 21,+ 22, 33 und 1 Ab A., Ag *+ au,— az,— 33 Al,— Aa,— A. Aus den Gleichungen:
1 1. a2u, a und— Arg— A d= 2, 3)
folgt Glei
506
den

folgen durch die Multiplikation mit— 1 die weiteren Gleichungen 1 1. au, a und Arg=— A(i= 2,3), 4 1 1 sodaß wir die extensiven Brüche— und— auch schrei- 5 9 den können: 1 24, à2,— a3 1 Au Az. A. 3 21, 22, 33 und 5 A. A2 K; 1— 1.— d. h. und 3§.
Im allgemeinen decken sich bei der Spiegelung Original- und Bildpunkt nicht. Wenn aber ein Punkt x auf der Geraden des Stabes ſazas] liegt, oder der Lage nach mit dem Punkte a zusammenfällt, wenn also (77)[x azasl-O O0oder(78) IX all= 0 ist, dann ist auch (79)[X XS]I= O, d. h. Original- und Bildpunkt fallen zusammen. Ebenso wird, wenn (80)[U all=O oder(31)[U a2as!= 0 ist, das Produkt (82) U USl= o, d. h. wenn der Stab U dem Büschel mit dem Scheitel a,- angehört oder sich der Lage nach mit dem Stabe[aaag! deckt, so wird durch die harmonische Spiegelung der Stab U in einen Stab gleicher Lage abgebildet. Für die Spiegelung leiten wir noch zwei weitere einfache Formeln ab. Wenn ein Punkt xX auf der Geraden eines Stabes U
liegt, wenn also
(83)[ U= 0 ist, So folgt, daß die entsprechende Beziehung auch zwischen den Bildern xs und Ug jenes Punktes und jenes Stabes gilt, d. h. daß
(84)[Xs US!]= 0.

Stellt man nämlich den Stab U als äußeres Produkt zweier Faktoren dar, deren erster der Punkt x ist, und deren zweiter y heißen möge, also (85) U= Xyl, so ist(860) Us= Ixs- ys] d. h. Ug geht durch den Punkt xs hindurch. lst x ein Punkt der Achse der Spiegelung und U ein be- liebiger Stab, so nimmt wegen(79) XFE=— X
(84) die besondere Form
(88) USI= O an. Entsprechend ergibt sich für einen beliebigen Punkt X und einen durch das Zentrum der Spielung gehenden Stab U, also wenn
(89)[U s1= 0 ist, aus(84) die besondere Form: (90) Xs U= O.
Dritter Abschnitt.
Die Folge des Polarsystems und der Spiegelung.
Es soll nun diejenige Verwandtschaft zwischen Punkten und Geraden in der Ebene untersucht werden, welche ent- steht, wenn zu jedem Punkt der Ebene die zugehörige Polare in einem Polarsystem p, P bestimmt und diese Polare an einem festen Punkt s und einer festen Geraden 8 ge- spiegelt wird.
Bezeichnet man die Grundpunkte mit ex, es, eg und die drei Stäbe, welche ihnen durch ein Polarsystem zuge- wiesen werden, mit Ai, Aa, Az, wobei zwischen deren Ableitzahlen an die Beziehungen(22) herrschen, so kann der Verwandtschaftsfaktor p durch den Bruch
Au Ar A G0) P el,&a, e
ausgedrückt werden.
(68 Ie.

13—
Die Folge dieses Bruches p und des Bruches 8 in (68), d. h. die Verwandtschaft pe stellt dann eine gewisse reziproke Verwandtschaft dar, denn es ist:
— An, A2. A. A— A2,— A Ab— A.—A ’ 62) p3 ei, eg, es At, A?, Az en. fe, e;
Für einen beliebigen Punkt x (93) xie+† xze xaes ergibt sich als Polare in dem Polarsystem p, P
XP= xiAt x.As+ x⸗As und daraus:
X 1(94) XpS= xAl— xA— xsA, d. h. der Punkt x geht in denjenigen Stab xpy der Ebene über, der aus den Bildern At,— Az,— As der Grundpunkte e¹, ez, eg durch dieselben Zahlengrößen x,, xa, xz entwickelt wird wie der Punkt x aus den Grundpunkten.(Fig. 4) 1 Neben der durch den Bruch ps vermittelten Abbildung der Punkte des ersten Systems soll nun eine direkte Ab- bildung der Geraden des ersten Systems aufgesucht werden. Wenn die Folge aus den zu p und adjungierten Brüchen P und s gebildet wird, so entsteht eine neue Folge Pe, 1 welche als die adjungierte Verwandtschaft zu der durch die Folge pi ausgedrückten Verwandtschaft bezeichnet wird. Sie kann durch den Bruch 3 d1, d2, d a1,— à2,— 33 G5) Lae E, E, an, ae a, dargestellt werden. Durch diesen Bruch wird jedem Stabe[yz] der Ebene der Punkt[yps zp5] zugewiesen, welcher den Schnittpunkt der durch Verwandtschaft po den Punkten Xx und z des ersten Systems zugeordneten Stäbe yps und zpꝰ im zweiten System bedeutet. In der Tat, sind y und z zwei beliebige Punkte der Ebene, so wird nach(33) das Produkt [YzP=[yb 2p..
1
und setzt man noch (90) yp= V, zp= W, so wird nach(70) [VWISs=ſVS W9], also (07)[vz] Ps= ſyps 295].

Dualistisch: Sind V und W zwei beliebige Stäbe der
Ebene, so gilt nach(34)
[VP WP]I= aVW]p. Setzt man
(98) VP= y, WP= Z, So wird nach(69)
[ys z2 8]=[yz], also
(09)[VPs WpPs⸗sl= aVW] p5.
Die Einführung der Brüche 1 1 e:, 62, e3
100)=
(1000) 5 p. e 1 1 E Ee· (10¹) r a, a, an
für die zu pa und Py inversen Verwandtschaften muß an die Bedingung geknüpft werden, daß die äußeren Produkte der Nenner von Null verschieden seien. Ist diese Be- dingung nicht erfüllt, so liegen ausartende Reziprozitâten vor, welche wir von der Betrachtung ausschließen. 1 1 1 1 Von den 4 Brüchen py und Ps und 1 sind die beiden ersten und die beiden letzten gleichartige Größen.
Der Bruch 1 4 hat es mit dem Bruch py gemein, daß er
h wie dieser eine Reziprozität darstellt, aufgefaßt als Punkt- Stab-Zuordnung. Die beiden reziproken Verwandtschaften
1 1 ps und 4 P
identisch oder auch nur bis auf einen Zahlfaktor gleich. Dies erkennt man, wenn man die drei Stäbe bestimmt, die
sind im allgemeinen keines wegs miteinander
1 P im andern Bruch ps zugewiesen werden, und die Aus- drücke für diese Städe mit den Ausdrücken für die Stäbe eip? vergleicht.
Wenn zwischen den Stäben A und E, die Beziehungen bestehen:
(102) A= aufl anfz agks(i= 1,2,3),
durch den einen Bruch
den Grundpunkten el. ez, es
80 18t
Um c
stelle sum.
wobe kKomn.
den!

16 el
unkt- naften
andel
leich. die
62, ez
Aus- Stäbe
ungen
eip auEi+ aleEe+ augE (103) ezbà=— aaif.— aeeEe— aagEz esb=— aaik— l32Ea— agsEa.
— 1 1. Um die Stâbe e, 3 Pp mit diesen vergleichen zu können,
stellen wir die Nenner e, des Bruches p als' Vielfachen- summen der Punkte a, dar. Es ergibt sich:
1 (104) e.= aaua: deae aaias), wobei a die in(15) angegebene Bedeutung hat. Man be-
kommt daher für die Stähe, welche durch den Bruch 1
8 P den Punkten e, zugewiesen werden, die Ausdrücke: 611 B= Lüa,Ei— dEa— aa-) 9 P a 21 2 31 L (108) 621 1 1(a2E. azg Ez— azeEa) 5 L a 2 641 1 1(aiE.— a.gE— aggEa) 9 P a 5 23 2 33 37%
welche sich von den Ausdrücken für die Stäbe eps sowohl durch den Zahlfaktor 1 als auch durch die Vor- zeichen der Ableitzahlen unterscheiden. Wir bilden aus
(105) die Ausdrücke en t und nennen die durch die Brüche
1 a... p5 und 5 vermittelten Reziprozitäten„konjugiert“ zu
einander. Satz: Die(Geraden der den Punkten e durch die konjugierten Reziprozitäten zugeordneten Stäbe e,p r sind im allgemeinen von einander verschieden, d. h. es entsprechen jedem der drei Grundpunkte und damit jedem Punkt der Ebene im allgemeinen zwei auch ihrer Lage nach verschiedene Stäbe, je nachdem man jenen Punkt als Punkt des ersten oder zweiten Systems auffaßt
1 und 8

und also zu seiner Abbildung den Bruch p5 oder
benutzt.
Die durch die Folge des Polarsystems p, P und der Spiegelung 5,* zwischen Punkten und Geraden der Ebene gegebene Verwandtschaft hat also keinen involutorischen Charakter und ist somit eine nicht-involutorische Reziprozitàt.
Es soll nun gezeigt werden, daß jede Reziprozitat r in der Ebene sich als Folge eines Polarsystems p, P und einer Spiegelung 5, s darstellen läßt. Dazu beweise man zunächst, daß sich zu jeder Reziprozität r eine Spiegelung „ finden läßt, welche der Gleichunz genügt:
(106) rs⁵= p, wo p ein Polarsystem bedeutet. Wir gehen aus von der Reziprozität: 1 = B B2. B3
(107) r 1 61, 82, 63
in welcher die Stäbe (108) B= lbebal, B=[babil, Ba=[bibel
aus den Stäben E des Grunddreiecks mittelst der neun Zahlgrößen ba abgeleitet sein mögen
B.= bliEI+ buE*ℳ bisEs
(109) B= baiE+ bzzEz— bzaEs
Ba= baiEi+ baeE2 bagEa.
Das äußere Produkt dieser drei Stäbe B, welches gleich
der Determinante ba ist, möge mit b bezeichnet werden, d. h. es möge (110)[B.B2 B4l= b gesetzt werden. Durch die Reziprozitat 1 Ei, FEa. (111) 5— i, be⸗ P. wird gleichfalls eine Punkt-Stab-Zuordnung dargestellt. Fragt man nun nach den Punkten, welchen durch die
beiden konjugierten reziproken Verwandtschaften r und 4
zwei gleiche Stäbe zugeordnet werden, so mubß ein solcher Punkt a

1 der dene chen ität. ltat r
und
man eung
der
neun
Lleich eden,
17
(112) a= xiei+ xge⸗ xaez der Gleichung
3 b (113) ar= a aR
genügen.
Diese Gleichung ist erfüllt, wie man durch Entwicklung ihrer beiden Seiten findet, wenn zwischen den Ableitzahlen die Beziehungen bestehen:
r2(b2 1— bi2) † xa(ba— bi3)= 0 (114) T1(big— bai)+ xa(bze— bga)= 0 T(bis— bai) † xe(bzs— ba)= 0.
Diese Gleichungen sind aber erfüllt für die Werte:
(115) xr= ba— bzz, I2= bia— bal, x= be— bie: d. h. dem Punkte (116) a ⸗=(bzz— baz)ei+(biz— bzi)ee+(be— biz)es
werden durch die beiden Verwandtschaften r und die
Lleichen Stäbe A zugeordnet.
Wir legen nun ein Fundamentaldreieck fest durch die Punkte e“, ez, ez, von denen sich der letztere mit dem be- sonderen Punkt a decken soll, während die beiden anderen Punkte e, und ez auf der Geraden des ausgezeichneten Stabes A liegen sollen. Dann fällt in der Reziprozität r der Punkt bz auf den Punkt a, während die Punkte b. und bz auf der ausgezeichneten Geraden A liegen.(Fig. 5). Zwischen den Stäben B, und Ei= 1, 2, 3) bestehen daher die Beziehungen:
(117) B2= bziEi+ bꝛ2E. B3= bzzEa. Als Elemente der Spiegelung wählen wir nun erstens einen Punkt s(a!) auf der Geraden A, welche als Achse der Reziprozität bezeichnet werden soll, und zweitens einen Stab S, der bestimmt ist durch einen mit a zusammen- fallenden Punkt as und einen auf der Geraden A liegenden Punkt ag. Diesen Stab wollen wir einen Durchmesser der Reziprozität nennen.

Dabei mögen die drei Stäbe Al= lazas], A2= lagatl, As=[alag] aus den Stäben Ei, Ez, Es abgeleitet sein durch die Gleichungen: Ai= aufl auz (118) Az= a2iEi+ aaeE A3— azEz. Dann ist umgekehrt:
(119) E.= IAA.+ AxA+ AAal,
wobei die An die Unterdeterminanten zu den am sind und a die Determinante ſag bedeutet. Um die Stäbe e,r= B direkt der Spiegelung A1,— Aa,— Ag, A3
unterwerfen zu können, müssen die Ausdrücke(119) für die Stäbe E in die Ausdrücke(117) für die Stäbe B; ein- gesetzt werden. Dann ist:
buu B— a(AuA: S AtA) S baAnA, f A2Aa)
(120) 1 Bz= baAA.+ AlAz) † baAuas+ Aa Az)
Bz= ba93A.
Entwickelt man nun die Ausdrücke für die ers, so ergibt sich: Die durch die Folge rM dargestellte reziproke Ver- wandtschaft wird involutorisch, wenn die Beziehung besteht: bes(Augn— A2ilet) be⸗(Aizan— Aaza2¹)= b(Andie— Aiqzz)—+ bie(A1ade— Azzaee), welche durch Einsetzen der Werte für die Ax die Form annimmt: (121) bai(qzzan+ alzazt)— baz(— azian— auaei)= bi(qezas aecee bie(— azidiz— aua). Wir können daher die Folge 1H zu einer involutorischen Verwandtschaft machen, wenn wir die Stäbe Al und A.
So wählen, daß die Verhältnisse ihrer Ableitzahlen
au und aiz der Gleichung(121) gendgen. 21 22

sal., urch
und
) für ein-
vorm
chen 1 Ae
Verfügt man über die Nenner der beiden Brüche willkürlich, so ist damit der Punkt ai auf Ai festgelegt, und die Gleichung(121) liefert, wenn man noch den einen Zähler aiz willkürlich wählt, für den anderen Zähler au den Wert 2b4 192242— bizazida?— bgiqlege
beage— 2b2de bee Es ergeben sich daher unendlich viele Elementenpaare s, S einer Spiegelung, welche die nicht-involutorische Reziprozität r in eine involutorische Reziprozität p überführt, die also der Gleichung(106) Genüge leistet. Multipliziert man diese Gleichung beiderseits mit ½, so erhält man mit Rücksicht auf*= 1 die neue Gleichung
(123) r= P5
d. h. jede reziproke Verwandtschafter der Ebene läßt sich als Folge eines Polarsystems und einer Spiegelung darstellen.
Es soll nun untersucht werden, in welcher Beziehung die durch Gleichung(121) gelieferten Spiegelelemente zur reziproken Verwandtschaft stenen. Wenn man zu jedem Punkt X der Punktreihe A den zugeordneten Stab xr be- stimmt, so schneidet dieser die Gerade A in einem Punkte [Xx- Al, welcher sich im allgemeinen nicht mit dem ur- sprünglichen Punkt Xx deckt. Diejenigen Punkte x, welche mit ihren entsprechenden Punkten[Xxr A] zusammenfallen, müssen auf ihren zugeordneten Geraden xr liegen, also die Gleichung erfüllen:(124)[X- XrI= O.
Da die Gerade A durch die Punkte e und ex hindurchgeht, so kann man für den Punkt Xx auf der Geraden A den Ausdruck(125) X= ei+ gez einführen und erhält:
[(er+ ge⸗)(en+ gez) r= 0. Daraus folgt die quadratische Gleichung:
b21 b b (126) 92 4. g-ee dn, 22 22
(122) an=
welche für g zwei reelle oder komplexe Werte gi und ge liefert, je nachdem
(bz+† bis)“ 41bz2 ist,.

Wir wollen jetzt die Beziehung aufstellen, welche be- steht zwischen g und ge und den Ableitzahlen vi, ve, wi, wa viei † vee⸗ wiei+ weeꝛ ei+ giez und ei+ geez harmonisch trennt.
eines Punktepaares
welches die Punkte
Setzt man das Doppelverhältnis der 4 Punkte gleich — 1, so ergibt sich für die Ableitzahlen die Bedingung
(127) vewe— 7(g1— g2)(vew we) vw gige= O.
Da diese Gleichung nur die Summe und das Produkt von gi und ge enthält, welche immer reell sind, liefert sie zu jedem Punkt x der Geraden A den entsprechenden Punkt IXr Al, einerlei, ob die Punkte eu-+ giez und ei+ geee, die man als Doppelpunkte einer Punktinvolution auf A auf- fassen kann, reell oder imaginär sind.
Setzt man in die Gleichung(127) für v und va die Ableitzahlen des Punktes au, nämlich aazagz und— aaiazz, sowie für wi die erste Ableitzahl des Punktes as, näâmlich — a gazz, So ergibt sich für wa der Wert:
2 b l.c— bi2l2 de b1d 2 b2dge— 2b22:2+ bi2022 oder nach(122) wa= auagz, also die zweite Ableitzahl
des Punktes aa, d. h.
Wenn die Folge aus einer nicht-involutorischen Reziprozität r und einer harmonischen Spiegelung& an einem Punkte der Achse und einem Durchmesser der Reziprozitât eine involu- torische Reziprozität rH§= p ergeben soll, so müssen die Punkte au(s) und ax([SAih auf der Achse so gewählt werden, daß sie ein Paar einer Punktinvolution bilden, deren Doppelpunkte gegeben sind durch diejenigen beiden reellen oder imaginären Punkte der Achse, welche mit ihren zuge- ordneten Geraden in der Verwandtschaft r vereint liegen.
33
Wir wollen nun untersuchen, ob nicht durch eine be- sondere Lage der Spiegelelemente s, S die Folge aus einem Polarsystem und einer Spiegelung wieder ein Polarsystem ergeben kann.

Von e 2u Punb-
unkt g2?,
auf
92 die 12133, mlich
itzahl
ritätr e der Volu-
die wrählt Ueren
eellen
7 Uge- egen. be- inem stem
Die Bedingung für ein Polarsystem ist dadurch gegeben, daß die beiden konjugierten reziproken Abbildungen py und
1.. „ P jedes Element in zwei zusammenfallende Elemente
überführen.
Diese Bedingung ist in unserem Falle erfüllt, wenn (120) au=— an und au=— aau ist.
Da aber(22) ax= au ist, sind die Bedingungen (129) nur dann erfüllt. wenn
(130) au=— au= 0(131) au=— au= 0 ist. Dann ergeben sich für die Stäbe, die den Punkten e, in den beiden Reziprozitäten poᷓ und 4 † entsprechen,
völlig übereinstimmende Ausdrücke. Für die Stäbe A ergeben sich ferner die Werte:
A— quaEn (132)) A= aaEæ+ a2sEa As= aa2Ee a33Ea.
Es ist: (133) ep= u= auE und(134) e,s= M.= auf, folglich deckt sich die Achse der Spiegelung S(4à) mit der Geraden E.
Da ferner
(135) a,=[AsAs]= Aue;st,
So fällt das Zentrum s(aa) der Spiegelung zusammen mit dem Punkt ex. Die Spiegelung erfolgt in diesem besonderen Fall an zwei Elementen, die im Verhältnis von Pol und Polare im Polarsystem p stehen.
Daher ist:(136) pg uE AeLee 1 dzsfes. lgee- q3,Eg Au= Ag. As 5 S1, S2, e3 A⸗, Aa, A
Satz: Die durch die Folge eines Polarsystems und einer Spiegelung an einem festen Punkte s und einer festen Ge- raden S bestimmte reziproke Abbildung geht in eine involu- torische Abbildung pa über, wenn die Spiegelelemente im Verhältnis von Pol und Polare im Polarsystem stehen.
Di-

Ein anderer Beweis dieses Satzes ergibt sich mit Hilfe eines speziellen Polardreiecks der involutorisch-reziproken Verwandtschaft.(Fig. 6)
Das Polarsystem p sei durch die Polkurve gegeben. Ein beliebiger, nicht auf der Polkurve gelegener Punkt s und seine Polare S mögen als Elemente der Spiegelung gewählt werden. Von einem Punkte a der Geraden S ziehe man die zwei Tangenten an die Polkurve, welche in den Punkten ae und as berühren mögen, sodaß die Punkte ai, az, as ein Tangentialdreieck des Polarsystems bilden und das Zentrum der Spiegelung auf der Geraden ſaaag] liegt. Dann kann man den Verwandtschaftsfaktor p in der be- sonderen Form
(137) p= Ar. Ab. A. darstellen. di, àa, à* Die Spiegelung läßt sich in diesem Fall durch den Bruch A, A., A⸗„. (138) 5=. A.. ausdrücken.
Führt man nämlich wieder die Doppelelemente An— A und A⸗— Az ein, so ergibt sich:
— Ai, As+ A2, As— A⸗— A,(A.+ As),—(Az— A⸗ 0139) S e e. e d. I. aber die Darstellung der Spiegelung durch die Doppel- elemente(68). Die Folge des Bruches p und des Bruches ₰, d. h. die Verwandtschaft p ist dann ausgedrückt durch den Bruch:
—— A, A., A;— 1140) pS A... 44, 4. I Der Bruch p& stellt aber eine Reziprozität dar, welche den Ecken eines Dreiecks ihre Gegenseiten zuweist, folglich
ein Polarsystem.
Es drängt sich nun die Frage auf, ob es in der all- gemeinen reziproken Verwandtschaft, welche entsteht durch die Folge eines Polarsystems und einer Spiegelung, Ele- mente gibt, für welche die durch die Verwandtschaft ps d P mente, wenigstens der Lage nach, übereinstimmen.
und die konjugierte Verwandtschaft 2 zugeordneten EFle-
stante
Velals beliebi ge wäh
Gerade
die Po
D. des el

* 8
——
Das Polarsystem p, P, dessen charakteristische Kon- stante von Null verschieden sei, möge durch die Polkurve Veranschaulicht werden. Als Spiegelelemente sollen ein beliebiger Punkt s und eine beliebige Grade S der Ebene gewählt werden. Dabei werden die Ausnahmefälle, in denen die Elemente s und S im Verhàltnis von Pol und Polare in Bezug auf das System p, P stehen, also S= SP ist, oder der Punkt s auf der Geraden S liegt, also[sS= 0 ist, von der Betrachtung ausgeschlossen.(Fig. 7)
Der Schnittpunkt der Polare des Punktes s mit der Geraden S sei bezeichnet mit a, d. h.
(145) a=[S. Sp), die Polare von a in Bezug auf p mit A, also (146) apA.
Dann ergibt sich für den Punkt a, aufgefaßt als Punkt des ersten Systems der zugeordnete Stab nach(74) (147) apos= An=— A.
In der konjugierten Verwandtschaft 4 a ergibt sich für
4 P den zugeordneten Stab von a wegen(67) und(75) 1 a a 3 P ap
Nach(37) ist aß= ab=A, daher
(148) a—f.=— A. 5
Zwischen den beiden dem Punkte a durch die konjugierten Verwandtschaften zugeordneten Stäben besteht also die . 1 a Beziehung(149) aps- aa p d. h. die beiden Stäbe gehören derselben Geraden an. Analog gilt, da (150) AP= a ist, nach(67) (151) APs=— a, und wegen(76) und(74)
1. a. A a. oder wegen(36)
A— 5 p P 1. a.
5 p
(152) A

I
Satz: Es existiert in jeder reziproken Verwandtschaft, die aus der Folge eines Polarsystems p, P und einer gesch
Spiegelung 5, s entstanden ist, ein ausgezeichnetes Ele- 1 mentenpaar a und A= ap, welches die Eigenschaft hat, st às daß dem Punkt a in den beiden koniugierten Verwandt- 1 V 1 schaften ps und 3 3 zwei Stäbe entsprechen, welche Y ühe⸗ 4 sich mit dem Stabe A in gleicher Lage befinden, während 8 8 dem Stab A in den beiden konjugierten Verwandtschaften p, 22 Ps und 3 2 zwei mit dem Punkt a zusammenfallende monlls I Punkte zugewiesen werden. b einen 3— D V durch 1 metel Vierter Abschnitt. b lu —.. von h Die Kernkurven der reziproken Abbildung. Relati
3 Fragt man nach den Punkten x, welche in der Rezi-
prozität p auf ihren zugeordneten Geraden xp liegen, s0 f ergibt sich als geometrischer Ort dieser Punkte eine Kurve, welch die Punkte dieser Kurve verschwindet das äußere Produkt 2usa
welche die Polkurve der reziproken Abbildung heißt. Für b den I
aus Punkt und zugeordneter Geraden, also lautet die Von Gleichung der Polkurve angeh (183) XX: xPSI= O. 2 eind Diese Kurve wird von jeder Geraden[yz] in zwei reellen b Die( oder imaginären Punkten geschnitten. Substituiert man nàm- enc
lich in die Gleichung der Kurve für Xx den Ausdruck für den laufenden Punkt X+ hz der Geraden[Xy], so exrhält man für den Parameter h ihrer Schnittpunkte mit der Kurve die Gleichung:
(184)[G= bz) G+ hz) PS1= 0
oder(155)[y ypꝰl † hlly. zpI+ h’*lz zp51= 0.
Sind h und ha die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung, und; so wird die Kurve von der Geraden[yz] in den Punkten

4 4 *
(156) X= V geschnitten.
Die Polkurve der reziproken Verwandtschaft[x-XpSl= 0 ist also eine Kurve zweiter Ordnung.
Wir wollen nun untersuchen, in welcher Beziehung diese Polkurve zu den ausgezeichneten Elementen a und A steht.
Zu diesem Zweck fragen wir zuerst, ob es Punkte y, z gibt, welche durch die Polkurve[X · Xxpꝰ]= 0 har- monisch getrennt werden, sodaß also die vier Punkte
(157) y, 2, y hi2. y+ h22 einen harmonischen Punktwurf bilden.
Die Bedingung für einen solchen Punktwurf ist gegeben durch zwei entgegengesetzt gleiche Werte für den Para- meter h, d. h.
(158) hl=— hz oder(150) X= y+ hz, X.= y— hz.
Dieser Forderung wird entsprochen, wenn der Koeffizient von h in der Gleichung(158) verschwindet, wenn also die Relation besteht:
(160)[y z531=—[z ypl.
In jeder Reziprozität gibt es nun spezielle Punkte y, Z, welche diese Bedingung erfüllen. Verschiebt man nämlich den Punkt z, bis er mit dem ausgezeichneten Punkt a zusammenfällt, Sso läßt sich zeigen, daß die Punkte y, die von ihm harmonisch getrennt werden, der Geraden A angehören. Sicher stellt die Gleichung(160) bei festgehaltenem z eine Cerade dar, denn sie ist in y vom ersten Crade. Die Gerade ist aber auch die Gerade des Stabes A, denn verlegt man den Punkt y auf die Gerade A, so ist:
d.(161) ly 2551=[z ypl= O.
(147) aps ⸗=— A ist, wird in der Tat, wenn y auf die Gerade A rückt, y ab5]= O.
Ferner geht auch die Gerade yp durch den Punkt a und ebenso die Gerade ypꝰ, weil a auf der Achse 8 der Spiegelung liegt, also ist auch (162) la yp!= O.
F hiz und X= y+ ha⸗

Satz: Alle Punkte y, welche von dem Punkt a= S. sp] durch die Polkurve[X-XpS]= O harmonisch getrennt werden, liegen auf der ausgezeichneten Geraden A.
Wählt man für y einen der Schnittpunkte bi, bz der Geraden A mit der Polkurve[X xpꝰ]= 0, 80 ist
(163) l[y ypS= O und die Gleichung(155) liefert für h die Werte (164) hl= h= 0. Dann wird aber, wenn (165) y= b. gewählt ist, auch (166) XL= XZ= bi und wenn vy= ba gewählt ist, auch (167) X= X.= ba, d. h.
Die Polkurve der Reziprozität po wird in den Punkten
bi und bz von den Geraden (168) ſbial= Vi und[bzal= V2 berührt.
Aus den beiden Gleichungen, welche man aus(163) erhält, wenn für y die Werte b. und ba eingesetzt werden, (169)[b bPS!= O und[bz bzp1= 0 folgt durch Anwendung der Spiegelung nach(83) und(84) (170) ſie dpl
[bgs- bap]= 0.
Jedes der beiden Punktepaare b., bis und ba, bas liegt harmonisch zu den durch die Spiegelelemente gegebenen Punkten s und t, wobei mit t der Schnittpunkt von S mit A bezeichnet wird, also (171) t=[SAl ist.
Ferner gehören beide Punktepaare der durch die Pol-
Kurve des Polarsystems p bestimmten Involution auf der
Geraden A an, also liegen beide auch harmonisch zu den Schnittpunkten y, und ye der Polkurve[Xx XpI= O mit der Geraden A.
Es existiert aber nur ein Punktepaar, das Sowohl die Punkte y, yz als auch die Punkte s, t auf A harmonisch trennt, folglich sind die beiden Punktepaare ba, bis und
und

SD. len
7
der
tten
163) den,
(84)
liegt enen mit
Pol-
der
den der
die nisch
— 27—
ba, bas identisch. Sind daher in der Reziprozität po zwei reelle Punkte b; und bz auf der Geraden A vorhanden, welche konjugiert sind hinsichtlich des Polarsystems p und zugleich harmonisch gelegen sind in Bezug auf die beiden Punkte s und t, so sind diese Punkte b und ba die Schnitt- punkte der Polkurve der Reziprozität mit der(eraden. Satz: Die Polkurve der reziproken Abbildung py hat mit der ausgezeichneten Geraden A diejenigen Punkte gemein, welche auf dieser Geraden A hinsichtlich des Polarsystems p konjugiert sind und zugleich das Punktepaar s, t har- monisch trennen.
Es sollen nun weitere Punkte der Polkurve[X XpS]= 0 aufgesucht werden. Liegt der Punkt s außerhalb der Pol- kurve des Polarsystems p, so sind die Berührungspunkte d: der von s an diese Kurve gezogenen Tangenten zu- gleich Punkte der Polkurve der reziproken Abbildung p. Für die Punkte di gilt nämlich die Gleichung:
(172)[d dpl=(= 1,. 2). Da aber dip durch das Zentrum s der Spiegelung hin- durchgeht, so ist (173) dp5⁵=— d. (172) läßt sich daher auch in der Form schreiben: (174)[d d.b1= 0, d. h. die beiden Punkte d gehören auch der Polkurve [X xXPSI= O an.
Schneidet ferner die Spiegelgerade S die Polkurve des Polarsystems p, so gilt für die beiden Schnittpunkte X. die Gleichung:
(175)[u xwI=é 0(= 1, 2). Aus dieser folgt durch Spiegelung der Faktoren der
linken Seite (176)[Xxis · XIDSI= 0.
Da aber die Punkte X zugleich der Achse 8 der Spiegelung angehören, 80 wird (177) XW== Xp und(176) nimmt daher die Form an: (178)[X XID9! 0

1
d. h. die beiden Schnittpunkte X, von S mit der Polkurve des Polarsystems p gehören der Polkurve der Reziprozität
ps an. Wir betrachten jetzt die konjugierte Punkt-Stab-
Verwandtschaft, welche durch 4 dargestellt ist. Fragt
man hier ebenfalls nach den Punkten, welche auf ihren zugeordneten Geraden liegen, so ergibt sich für den geo- metrischen Ort aller dieser Punkte X die Gleichung
(179) 3 21 84—
Diese Gleichung stellt eine Kurve zweiter Ordnung dar, welche sich mit der Kurve[X· XPS]I= O völlig deckt. Um dies zu beweisen, geht man von einem Punkt Xü der Polkurve[X · XpP]= O aus. Dann ist: (180)[X· XDSI= O.
Spiegelt man heide Faktoren der linken Seite, so er-
gibt sich: 5 1 (181) r:„]= 0. und daraus folgt nach der ersten Grundgleichung des Polarsystems ¹) 1 (182)*. X1 P L 0.
Da nun(35) v= 5 ist, So läßt sich(182) in der
Form schreiben: 1 a (183) 3 N12 3 5= 0,
d. h. die Polkurven der beiden konjugierten reziproken Abbildungen sind identisch.
Die Punkte, welche sowohl in der reziproken Ver- wandtschaft p als auch in der zu p konjugierten Ver-
1.. wandtschaft, p auf ihren zugeordneten Geraden liegen,
erfüllen dieselbe Polkurve zweiter Ordnung, welche wir die erste Kernkurve der Reziprozität nennen wollen.
¹) Vgl. Hl. Grassmann a. a. O. II. Bd. 1. Teil, Abschnitt 31.
—
—
Di ausge?, welche zugleic weldel
50 in den punkte entwec liegen. punkte Punkte punkte seitig D
0del
indem 8, t un Konstu malige und d die Ke
kurve Vom l z0gen
J ersten Spieg

des
der
Ken
er- fer⸗
en!,
Wil
Die erste Kernkurve der Reziprozität schneidet die aus- ausgezeichnete Gerade A in denjenigen Punkten ba, ba, welche hinsichtlich des Polarsystems konjugiert sind und zugleich durch die Punkte s und t harmonisch getrennt werden.
Schneidet die Polkurve des Polarsystems die Gerade A in den beiden reellen Punkten y, und ye, So wird das Punktepaar bi, bz nur dann reell, wenn die Punkte s, t auf A entweder beide innerhalb oder beide außerhalb der Polkurve. liegen. Faßt man nämlich die Punkte b“, bz als Doppel- punkte einer Punktinvolution auf, die durch die beiden Punktepaare yi, ye und s, t bestimmt ist, so sind die Doppel- punkte reell, wenn die beiden Punktepaare sich nicht gegen- seitig trennen.
Dieser Fall tritt ein, wenn
a) das Zentrum s der Spiegelung außerhalb der Pol- Kkurve[Xx XpPpI= O liegt und die Achse S der Spiegelung außerhalb dieser Kurve verläuft
oder wenn
b) das Zentrum der Spiegelung innerhalb der Polkurve [X XpI= O liegt und die Achse der Spiegelung S diese Kurve schneidet.
In beiden Fällen werden die Punkte b und ba gefunden, indem man die Doppelpunkte der durch die Punktepaare S, t und vyp, vz auf der Geraden A bestimmten Punktinvolution konstruiert. Dann sind vier Bestimmungsstücke der jedes- maligen Kernkurve bekannt, nämlich die Punkte b, und ba und die Tangenten ſabi] und labz] in diesen Punkten an die Kernkurve.
Im Falle a) sind zwei weitere Punkte der ersten Kern- kurve gegeben durch die Berührungspunkte d und da der vom Punkte s an die Polkurve des Polarsystems p, P ge- zogenen Tangenten.(174)(Fig. 8)
Im Falle b) ergeben sich zwei weitere Punkte der ersten Kernkurve durch die Schnittpunkte der Achse S der Spiegelung mit der Polkurve[X xpl= 0.(178)

—õʒꝛ——õ—ʒQ—
—
Wird das Punktepaar s, t durch die Punkte y, und y getrennt, Sso werden die beiden Punkte bi und ba imaginär, d. h. die erste Kernkurve der Reziprozität verläuft, falls sie reell ist, außerhalb der Geraden A, es existieren keine reellen Tangenten von a an die Kurve, a liegt also innerhalb der Kernkurve.
Dieser Fall tritt ein, wenn
c) das Zentrum s der Spiegelung außerhalb der Pol-
kurve[X XpI= O liegt und die Achse S der Spiege- lung diese Kurve schneidet. oder wenn d) das Zentrum der Spiegelung innerhalb der Kurve [XXpI= O liegt und die Achse S außerhalb dieser Kurve verläuft.
Im Falle c) sind vier Punkte der Kernkurve gegeben durch die beiden Berührungspunkte d und da der von 5 an die Kurve[Xx Xxp]= O gezogenen Tangenten und durch die beiden Schnittpunkte der Spiegelgeraden S mit der Pol- kurve des Polarsystems.
Um die Kernkurve vollständig festzulegen, ist noch ein fünftes Bestimmungsstück zu zeichnen.
Zu diesem Zweck spiegelt man den Punkt d an den Elementen s und S.
Es ist:
(185)[di: dipl= 0. Durch Spiegelung der Faktoren auf der linken Seite folgt: (186)[dis dps]= 0 und diese Gleichung nimmt wegen(173) die Form an: (187)[dis dipl= 0 oder(188)[di displ= O. Daraus folgt durch nochmalige Spiegelung (189)[(dis)(dis) p]l= 0, d. h. der Punkt dis gehört ebenfalls der ersten Kernkurve der Reziprozität an. Dasselbe gilt auch für den Punkt ds.(Fig 9)
Im Falle d) existiert auf der Geraden A ebenfalls kein
reeller Punkt der ersten Kernkurve der Reziprozität, und
geiche der K D
S die
linken
0odel(
D verläul (192) von 5
D erste! noch schnei
b

olgt:
an!:
urVe dunkt
kein
gleichzeitig gehört kein Punkt der Achse S der Spiegelunz der Kernkurve an. Denn wäre für einen beliebigen Punkt x der Achse S die Gleichung (190) X · X êSI= O erfüllt, so folgte durch Spiegelung der Faktoren der
linken Seite (191)[Xl xXIPI= O,
oder da Xx. ein Punkt von S ist, (192)[X XIPI= O.
Da aber die Achse S außerhalb der Polkurve l[x X△p]= verläuft, kann für keinen reellen Punkt von S die Gleichung (192) erfüllt sein, also gehört in diesem Falle kein Punkt von S der ersten Kernkurve der Reziprozität an.
Da weder von dem Punkt a reelle Tangenten an die erste Kernkurve der Reziprozität gezogen werden können, noch die durch a gehende Gerade S diese Kernkurve schneidet, kann diese Kurve im Falle d) nicht reell sein.
e) Fallen die beiden Punkte b, und bæ in einen einzigen
Punkt b zusammen, so rückt auch a auf diesen Punkt b und A wird Tangente der Polkurve der Reziprozität in Punkt b(a).
Dieser Fall, ein Sonderfall des Falles a), tritt ein, wenn die Achse der Spiegelung durch den Berührungspunkt einer der beiden Tangenten geht, welche man von dem Zentrum s der Spiegelung an die Polkurve des Polarsystems p, P ziehen kann.(Fig. 10)
Wir wollen nun in der durch die Folge p vermittelten Reziprozität das zugrunde gelegte Polarsystem festhalten und die Spiegelelemente s, S derart variieren, daß die Achse S das Geradenbüschel mit dem Scheitel a, der Punkt s die Punktreihe A durchläuft, wobei jedoch jedesmal das Punkte- paar s, t mit dem Punktepaar bi, bæ einen harmonischen Punktwurf bilden soll. Dann gehören(Fälle a) und b)) die ersten Kernkurven aller durch die Folgen py dargestellten reziproken Abbildungen dem Kurvenbüschel an, welches durch die Punkte b. und ba geht und in diesen Punkten von den Geraden labil bezw. labe] berührt wird.

— —
Sind die beiden Punkte b, und ba(Fall c)) imaginär, so erhält man das Büschel der ersten Kernkurven aller Folgen po, wenn man die Punkte s und t alle Punktepaare einer Involution auf A durchlaufen läßt, deren Doppelpunkte die imaginären Punkte bi und ba sind.
Im Fall e) bi= bz= b entsteht ein Kurvenbüschel, dessen einzelne Kurven in dem mit dem Punkte b zusammen- fallenden Punkte a vierpunktige Berührung miteinander haben.
Für die dualistisch entsprechende Verwandtschaft Ps er- geben sich folgende Sätze ¹):
Die Polarkurve der reziproken Abbildung Ps, d. h. der geom. Ort aller Strahlen U der Ebene, welche durch ihre zugeordneten Punkte UPs hindurchgehen und also der Gleichung[U UPal= 0 genügen, ist eine Kurve zweiter Klasse. Alle Strahlen V, welche von dem ausgezeichneten Strahl A durch die Polarkurve[U- UPsl= O harmonisch getrennt werden, gehören dem Strahlbüschel an, dessen Scheitel der ausgezeichnete Punkt a ist.
Die Strahlen V,= ſbal und V.=[baa] berühren die Polarkurve in den Punkten b, und ba oder: Die Polarkurve [U-UPSI= O wird von der ersten Kernkurve[X XDSI= O in den Punkten b; und ba berührt und gehört somit dem Kurvenbüschel an, welches durch die beiden Punkte b. und b und die beiden Tangenten V, und Va in diesen Punkten bestimmt wird. Vi, Va sind reell oder imaginär, je nachdem b, und ba reell oder imaginär sind. Die Polar- kurve[U-UPs]= O hat mit dem Strahlbüschel durch den Scheitel a zwei reelle Strahlen gemein, wenn dieses Büschel zwei hinsichtlich des Polarsystems p, P konjugierte Strahlen enthält, welche zugleich das Strahlenpaar S, T=[s a! narmonisch trennen.
Liegt der Punkt s außerhalb der Polarkurve des Polar-
systems p, P, so sind die durch den Punkt s an diese Kurve gezogenen Tangenten D, und Dz Erzeugende der Polarkurve der Reziprozität.
¹) Die Beweise, welche den Im Vorstehenden gebrachten dualistisch entsprechen, sind fortgelassen.
— ᷣ--—
Sch ges Pol die Tan KurV e p.
Die schaften
Füj zweiten gie elst 5, S Il die Vels
2)
0) e).
Di des Herr Gedankes und eine weiterzuf Figensch entwicke liebensw

Schneidet die Achse der Spiegelung die Polarkurve des Polarsystems p, P in den Punkten X und X?, so sind die Tangenten D und Uz in diesen Punkten an die Polar- kurve p, P auch Erzeugende der Polarkurve der Reziprozität. Die Polarkurven der beiden konjugierten Verwandt-
schaften Ps und 4 1 sind identisch.
1 Für die Lage dieser gemeinsamen Polarkurve, der zweiten Kernkurve der Reziprozität, ergeben sich wie für die erste Kernkurve je nach der Lage der Spiegelelemente s, S in Bezug auf die Polarkurve des Polarsystems p. P die verschiedenen Fälle:
a) und b). Vi und Va sind hier reell(Fig. 8). c) und d). V., Va sind imaginär(Fig. 9).
e). V, und Va fallen in einen Strahl v 4
und einer harmonischen Spiegelung an einem Punkt und einer Geraden weiterzuverfolgen, und auf Orund dieser Darstellung insbesondere die
3
8 1 zusammen(Fig. 10). ——
—
Die vorliegende Arbelt verdankt ihre Entstehung einer Aufforderung des Herrn Professor H. Grassmann, den von H. Wiener herrührenden Gedanken der Darstellung einer Reziprozität als Polge eines Polarsystems f
4
1
Pigenschaften der Kernkurven der reziproken Abbildung in der Ebene zu 1 entwickeln. Herrn Professor Dr. Grassmann spreche ich für seine liebenswürdige Unterstützung meinen herzlichsten Dank aus.

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
IV. Heft
Ueber eine Klasse gewöhnlicher Differentialgleichungen höherer Ordnung
von
JAKOB MOLL
Giessen 1922
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16
Preis M. 10,—; für das Ausland 1 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer, Giessen
—

In de Differenti
— Lano stanten b X Sind, à
Differenti
Inauguraldissertatlon der Philosophischen Fakultät der Universität Gleßen. Aufstellur
Genehmigt am 26. September 1921. ntegratio
Berichterstatter: Professor Dr. Engel. Ahnl
P. Pivere
de quelq
Doktordis
d'équatio
inconnue
—— Kbeiten d2dE, eentialgle ihrer Beh Verschiec lch tialgleich squations wird die algemeir derselben
1

Gleben.
5 1. Einleitung.
In der vorliegenden Arbeit führen wir die Integration der Differentialgleichungen mit dem allgemeinen Integral
Daro:M): VbsS2800, worin die a, und b; willkürliche Kon- stanten bedeuten, während die ꝓr und s Funktionen von
X sind, auf die Integration von je zwei linearen homogenen Differentialgleichungen r-ter und s-ter Ordnung zurück. Die Aufstellung des betreffenden Paares geschieht dabei ohne Integration.
Khnliche Differentialgleichungen betrachten Appell und P. Rivereau, ersterer in der Abhandlung„Sur les invariants de quelques équations différentielles“ ¹), letzterer in seiner Doktordissertation„Sur les invariants de certaines classes d'équations différentielles nomogènes par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées“ ²). In den beiden genannten Arbeiten kommt auch die unserer Klasse angehörige Diffe- rentialgleichung 3-ter Ordnung vor. Der Weg, der bei ihrer Behandlung eingeschlagen wird, ist von dem unsrigen verschieden.
lch erwähne außerdem Hazzidakis,„Uber eine Differen- tialgleichung 2-ter Ordnung“ ³) und E. Vessiot,„Sur quelques équations différentielles ordinaires du second ordre“*). Dort wird die Differentialgleichung 2-ter Ordnung betrachtet, deren allgemeines Integral ein Quotient zweier linearen Funktionen derselben beiden Integrationskonstanten ist. nn) Journal de math., 4. 5(1889), S. 361— 423.
²) Théèse, Paris(1800).
³) Crelles Journal 90(1801), S. 74—79. ⁴) Toul. Ann., IX(1805) F, S. 1— 26.

— 4— § 2.
Eine Klasse gewöhnlicher Differential- gleichungen höherer Ordnung.
Es sei y= u: v, wo u einer linearen homogenen Diffe-
rentialgleichung m-ter Ordnung:
(1) ula)= aqu arl+....+. am— 111 1) und v einer ebensolchen Gleichung n-ter Ordnung:
(2) ve= Sov- giv..†. Ga VIn 1) genügt. Dabei bedeuten die Koeffizienten und 6, ge⸗ gebene Funktionen von X allein, von denen wir voraussetzen, daß sie sich innerhalb eines gemeinsamen Bereiches regulär verhalten. Wie uns aus der Lehre der linearen Differential- gleichungen bekannt ist, stellt sich dann das allgemeine Integral von(1) und(2) in einem gewissen Bereich in der Form
u= aAlgiX)+ a29eX)+...+ amm X) bezw.
V= DANi) bxz(*).. f ba2nX) dar. worin die or und die x m bezw. n linear unabhängige partikuläre Lösungen der zugehörigen Differentialgleichungen bedeuten, während die ar und bs willkürliche Konstante sind. Wir erhalten folglich — a19G1(X)+† à292(X) G) v= bn beIe.. † b 7 N In diesem Ausdruck sind Zähler und Nenner nur bis auf einen von Xx abhängigen Proportionalitätsfaktor o(x) be- stimmt, sodaß wir auch setzen können: u= 0(Xp, V= O)q
und aus(1) und(2) für p und— gewisse Differential- gleichungen
(m(m- 1)
DE= pp 1b R.. L.) 15. 4on= 00 1. 014 4.... †. 3. 109n u erhalten. Hier sind die a und O, bestimmte Funktionen der an und 6, und von o. Z. B. ist on 1= Gn. ne. n n-1 6
Wl
inealen
genügt, dadurch nehmen, (1) von ntegral
ist.
Un y eben. lisse d in Wa genügt Von di gestellt leitung insbese diesel nicht; Stmumt
Sie W aufz ls dann aufges die F Differs diese Werde Integr vereit 1 tracht Vorau

tlal-
Diife-
„ge- jetzen, egulär ential- tegral brm
ängige nungen nstante
ctonen
— 5—
Wählen wir nun die Funktion(x) derart, daß sie der linearen homogenen Differentialgleichung erster Ordnung
— 9n-1
1
. 9
9
genügt, so wird On-1= 0. Wir können folglich, ohne y dadurch irgendwie zu beschränken, von vornherein an- nehmen, daß u einer linearen homogenen Differentialgleichung (1) von allgemeiner Form genügt, während v das allgemeine Integral einer Differentialgleichung vom Typus
(4) vm= GHv+ GiV..+ Sn— 2VIE 2)
ist.
Unter diesen neuen Voraussetzungen erhalten wir für y ebenfalls einen Ausdruck(3). Da hierin nur die Verhält- nisse der m n willkürlichen Konstanten auftreten, hängt» in Wahrheit nur von m n— 1 Konstanten ab. Mithin genügt y einer Differentialgleichung(m n— 1)-ter Ordnung. Von dieser Differentialgleichung können wir, ohne sie auf- gestellt zu haben, voraussagen, daß sie y und dessen Ab- leitungen nur in gewissen Verbindungen enthält und daß sie insbesondere in diesen Größen homogen ist. Die Koeffizienten dieser Gleichuung sind gewisse Funktionen von X, aber nicht ganz beliebige Funktionen, denn sie sind ganz be- stimmte Ausdrücke in den und 6, und deren Ableitungen. Sie werden daher gewissen Bedingungen genügen, die es aufzustellen gilt. Mit Hilfe dieser Bedingungen können wir dann bei einer vorgelegten Differentialgleichung von dem aufgestellten Typus entscheiden, ob ihre allgemeine Lösung die Form y= u: V hat, wo u und v linearen homogenen Differentialgleichungen genügen. Wir werden finden, dab diese Differentialgleichungen für u und v immer aufgestellt werden können und zwar ohne Integration. Damit ist die Integration der vorgelegten Differentialgleichung wesentlich vereinfacht.
In den drei folgenden§§ werden die Fälle, die in Be- tracht kommen, einzeln untersucht. Wir setzen dabeim=n voraus, weil jede Differentialgleichung, die unserer Klasse

— 6—
angehört und für die m=n ist, bei der Substitution y= 1:2 in eine unserer Klasse angehörige Ditferentialgleichung über- geht, für die mn ist.
§ 3. Die Differentialgleichung 3-ter Ordnung.
Der einfachste Fall, der in Betracht kommt, ist der
m= 2, n= 2. Hier genügt u einer Differentialgleichung (5) u= oll aill und v einer Differentialgleichung (6) v= 60v.
Die Differentialgleichung 3-ter Ordnung, der y genügt, wollen wir nun aufstellen.
Aus
(2) ul= vy erhalten wir durch Differentiation (8) u= vy’ †VYy. Differenzieren wir(8), So kommt u“= Vy“+ 2VV+ Vy.
Ersetzen wir hierin u“ und v“ durch ihre Ausdrücke
aus(5) und(6), so geht diese Gleichung über in æol ill= VGV+ 60y) 2vy.
Bei Benutzung der Gleichungen(7) und(8) erhalten wir hieraus
(9) vy— ay y(a 6o)l-V(2y aliy)= 0.
Nochmalige Differentiation dieser Gleichung liefert, wenn wir Wieder v“ durch seinen Ausdruck aus(6) ersetzen, (10) vIy aiy y(a 366o ar) y(&o— o † ar60)]
† V Zy— 2ay— y(æo— 50+)]= O0.
Die gesuchte Differentialgleichung erhalten wir aus(0) und(10) durch Elimination von v und v'’. Sie läßt sich in die Form bringen:
(11) 2VV Sy+ 01(YVY— 3y) . oryy+ sy oryy † sy= 0.
Hlieri 4) b)
(19) ſO)
Dulc gleichung soweit be diesen ni
Wir als Funk von Gleic System! und dann.
Nach
Mith
Set⸗ und 9 in ein, 50 b
26
Aus geht her sich auf 001, 003,. detriedig hat, wo Lenügt. der GleiW

iber.
nügt,
icke alten
renn to)!
(0) h in
——
Hierin bedeutet
a)=— a:,
b) u*= 4b— 54) A½+ r,
(12) C) 3= 2(360— α— 22—.),
d)= 2(0—.Mœᷣ— 21(a Ho),
e) s= aMr(— So% ar6o)—(ao— So)(d0— 60—+ a¹). Durch die gewählte Schreibweise der Differential-
gleichung(11) haben wir die Anzahl ihrer Koeffizienten
soweit beschränkt, daß lineare homogene Relationen zwischen diesen nicht mehr auftreten.
Wir denken uns nun die Koeffizienten*, ν,..., G5
als Funktionen von X gegeben, sodaß in(12) ein System von Gleichungen für die a und 6, vorliegt. Aus diesem
System wollen wir die unbekannten Funktionen berechnen und dann die Bedingungen für seine Verträglichkeit aufstellen. Nach(12 a) ist
(13) α έ— I. Mithin erhalten wir aus(12 b) und(12 C) (14) 80= 2 d— † 30½+ 203, (15) 860= 3⁰⁸— 36001* 2. 2063.
Setzen wir nun die errechneten Ausdrücke für die a und 6, in die zwei letzten Gleichungen des Systems(12) ein, Sso bekommen wir die beiden folgenden Bedingungen:
2⁰⁷(*+ z † 0g)— 1 9— 0— 2 ¼= 0. (16) 02*(5o*+ 4⁰⁰½+ 40⁰³3)— 4001(1 9+) + 01(3011%9+% 2⁰⁰)— 05— 1605= 0.
Aus der Untersuchung der Differentialgleichung(11) geht hervor, daß jede gegebene Differentialgleichung, die sich auf die Form(11) bringen läßt und dabei Koeffizienten (01, 00½,.,(O5 besitzt, die die Bedingungen(16) identisch befriedigen, ein allgemeines Integral von der Form y= u: V hat, wo u und v einer Differentialgleichung(5) bezW.(6)
genügt. Letztere Differentialgleichungen können mit Hilfe der Gleichungen(13) bis(15) aufgestellt werden. Hiermit

Aus ist die Integration der vorgelegten Differentialgleichung 1 wesentlich vereinfacht. gehen Beispiel. Vorgelegt sei die Differentialgleichung hervol: X(Ey y“= 3y²)— yy Zyy o. Division durch x ergibt eine Differentialgleichung von G der Form(11) mit den Koeffizienten Ers 1 1 31 01 e 103= 04=(05= 0,(18) und die den Bedingungen(16) genügen. MNithin gehört die wil nac vorgelegte Differentialgleichung unserer Klasse an.— Die Gleichung(13) liefert uns hie 1 91= Gleichu während die Gleichungen(14) und(15)(21) a0o= 0O und 650= 0 4 ergeben. Folglich genügt u der Differentialgleichung N xu— u= O0 4 und v der Differentialgleichung V= O. Bilden wir den Quotienten y= u: v aus den allgemeinen Lösungen der beiden letzten Differentialgleichungen, so er- halten wir als gesuchtes allgemeines Integral der vorgelegten Differentialgieichung E = cCex.. ca † X Form —(23) § 4. 6. 3— D Die Differentialgleichung 4-ter Ordnung. ene 4. 1 Koefii
Im Falle m= 3, n= 2 genügt u einer Differential- gleichung sich (17) u“= aol an+ aau“, während v das allgemeine Integral einer Differentialgleichung (18) Vv.= Hov ist. Zur Differentialgleichung 4-ter Ordnung, der y genügt, kommen wir so:
. 8

Von
tt die
neinen 50 el- legten
zung.
rential-
jchung
genügt,
Aus
(19) u= Vy
gehen durch zweimaliges Differenzieren die Gleichungen hervor: a) u= Vy † Vy 20. 3 C0 a u“= Vy“+ 2Vy+ V'y.
Ersetzen wir in(20 b) v“ durch seinen Ausdruck aus (18) und differenzieren die entstehende Gleichung, so erbhalten wir nach nochmaliger Verwendung von(18)
u“= VG“ 36y+ K0 y) v(3y+ H0y). Diese Gleichung geht, wenn wir der Reihe nach die Gleichungen(17),(19),(20) und(18) benutzen, über in (21) vly“— αy“+ y(360b— l⸗) y(6o—— aßo)! + V[3y“— 2azy—+ y(o—]= O. Nochmalige Differentiation liefert wegen(18) (22) VIydV— ayy+ y(660— l— a2) + y(460 ¹V— dl— al— 3a6o) + y(ho(60—.r)+(60— Aliᷣ—.2/ο I + V[4y“— 32 † y(460— 2— 2½) + y(260— α— a³l—*e⁵)= 0. Flimination von v und v'’ aus den Gleichungen(21) und(22) ergibt eine Differentialgleichung, die wir in der Form schreiben können:
(23) 3y yd— 4y r G vGv)— 2y y“) + s(yydv)— 6y²)+(2yy“— 3»²)+ Ayy“ *e+ weyy“+ ,Y Gsyy † oy= O. Dadurch daß y“ zweimal vorkommt wird erreicht, daß
eine Differentialgleichung mit lauter linear unabhängigen Koeffizienten vorliegt. Als Funktionen der an und 5 stellen
sich diese Koeffizienten so dar:

a) I=— 2az, b)= 60— a., 1 c)= 3 1 a e 860, d).lᷣ= 5% ag(al 4/50)— 660, e) Gs= 3(460 9— do— ài.)—(31 ◻+ 860), f) G6= à1(61+ 2— 10/0) — a(26 ¹=— 4%— 41— 40260) + 50(0660— 4 ½) 360—— 320, L) r,= 21(560 11— 02) (24)+ 22(Meo r⸗—30260— 460) + 660(42.— 2ͤ0), h) s= 200(360 1— 02) 3 + 222(Moo+‿ i6o+ 1260 fo FS0.) + 202 Bo— Ho(2 1— 660), 1) 00(380— donb9 1— 202 50) + aAl[doo+‿+ H0(tl+ 2 t— 2630)— Bo] + 2260(250 1 d1260) + 60 G bV— 12 0 b—) H0) 25 60(44— 260).
Bei gegebenen Koeffizienten Gi, Ge,..., g berechnen wir aus diesem System von Gleichungen die n und 5, folgendermaßen:
(24 a) ergibt
(25) 2 2=—. Aus(24 b) und(24 c) erhalten wir folglich (26) 20 1= 692— 2 9— 3202— 4003, (27) 2050= 2— 20— 12½— 4003. Schließlich liefert(24 d) noch (28) 40% G.(** 2091,=— 1602— 4003) — 4(1+ 40⁰½3 9+ 203— 2604). Ersetzen wir nun in den noch nicht benutzten Gleichungen des Systems(24) die ap und 5, durch ihre Ausdrücke aus (25) bis(28), so erhalten wir nacheinander die 5 Bedingungen 61(G2+ r, d— 18⁰½— 403) — 3(I+ 2⁰½3%9+ 203—† 0l)— 5005= 0,
Die Fliminat des folg
durch ie nervorg

hnen
4 6,
5 1 4
101(G1 S᷑+ 24)— 0(190 ½+ 8003) — 3⁄2 9— 304— 506= 0, 2„2 3 d, e,, 21 191(+ G,— 14002— 3003)— 501(G1ν ‿ 20½ð+ 203ð+ 0) + 2(2ςε‿ι 4+ 3¹3)— 22(20½+ 3003) — 40⁰½— 25 ⁰†= 0, 2 3. 101(201½ ‿ ‿‿ G) CM1GO(G— 20½— 803) — S001(+, e) h(8%9+ 30⁰3) — G(5+ 10⁰½3+ 200½ ◻+% 2004.)+ 201(3003 9— 2003) — 25⁰⁸= O, 101GO2(1G+‿ν e⁷m~~I. 04)— 50⁰½(3⁰½+ 0)— 5002(½ꝙ+ 1½) 4
+ 2(40⁰½ 1— 3004)—.— 2509= 0.
8
91
Die beiden Diftferentialgleichungen z-ter Ordnung.
a) Fall m= 4, n= 2. Im Falle m= 4, n= 2 bestehen
für u und v die Differentialgleichungen (29) uIV= u-+‿ αu+ eu zu, (30) v’= hov.
Die Differentialgleichung, der y genügt, wollen wir durch Flimination von v und v'’ aus den beiden letzten Gleichungen des folgenden Systems leisten, dessen einzelne Gleichungen durch fortgesetztes Differenzieren aus der ersten Gleichung hervorgehen:
U= Vy, U'’= Vy Vy,
u ü= Vy Pavy V y, (31) u= vy Zvy Zv y v y, u= vydV) 4vy 6vy 4v y WI)y, uV)=⸗ vy+ 5VNYGV)+ 10v“ v“ 10v“ y“
† 5vHVyy † vV'y.

Wir müssen folglich in diesem System noch V', V“, vLv), vé, udiy) und uw) durch v und v’ ausdrücken. Die gewünschten Ableitungen von V bekommen wir durch Differentiation von(30) bei fortwährender Ersetzung von V“ durch seinen Ausdruck aus(30), während sich die Ablei- tungen ulv' und uc aus(20) bei Benutzung von(30) und (31) ergeben. Setzen wir die genannten Ausdrücke in die beiden letzten Gleichungen von(31) ein, so erhalten wir die folgenden in v und v' linearen homogenen Relationen:
VIyW— asy“— vy(da— 660)— y(ài+. 32360— 460) — y(oo+ 260 ℳ 60(A2— 80)— 60— + v[4y“— 32gy— y(2 ½3— 4060) y(à⁴r+. 9260 b— 260)1= 0, VIU) Z ayV)— y“(4* as— 1060) — y(α+‿ ν+‿ 60360— 1060) — y[ao 1+% 403360—+ 50(32+ 33— 5/60)— 560 — y lao+ 3600+ Ho(1+ 2. † 31360— 460) + S0(2 3) 60 VlSydv’— 4 3y“= y(342 33.— 1060) y(2 1+ 22++ 403360— 100)
— y l[a ‿.‿ A— 2360— B0(d2+ 4s.— 30)— 360 J= O.
Elimination von v und v liefert uns folgende Differential- gleichung:
(32) 4y vV— 5yuVE † r(Zy VV)=— 5y Y8) —+ n(Gyy— 10») Gyy)= 10y v“) + n(3y'y IV 4y2) † s(y N)— 2y y“) εy,*yn † syy ay Wioy N + oyy+† 612v2+ igyy+ 14y= O.
Hierbei sind unter den Koeffizienten Gi,,...,(014 folgende Ausdrücke in den& und 6, zu verstehen: a) i= 03,
b) 30⁰2= 460— 20½,
C) Ga= 260 91= 9400⸗
d) 3 1= 302 3 2 † 303— 406,,
e) Ge= 60, † as(+ daßo 560) + 50(6 ½+ 43— 660)— 850,

1=0.
ential-
= 71+ 22 9+ 13(2 2+ 1560)— 3060“, = 202(12.3.— 1800) + 223(560)— 31 t— 12 ²— 8360) + 50(606— 1623) 4(560— 0— 1), = 2(⁴£‿ ⁴— 1460) + a3(336 bV— 5%— a1— 42660— 60360— 964) + 06,(660— 4.2.— 2)* 4(0— 10— 32 60), = d(2830— 3⁰2— 33) + 323(1+ 2+ 6360— 1060) + 660 n 10/), 0010= 31(660— 03) 35(Mo e 4060 56— 560) + h(Sozas † 892— 6060)+ 260(az+† 603). 6011= 1(d ‿* 10 360— 1269) + az lal— 2 † 2 360 260(360b— 02— ¹³]] as[3+† 303(36, 30)+ 460(2 ¹— 960) — 360 1+. 393(B0 410) + 5o(4— 61— 33 60— 463+ 8/0) + 260(1060— ¹), 1912=(2½— 460) ldo 1+ 49360 + 50( Ge 313 ²— 560)— 560] +(S60— 241— 6360)(1 2+ 2360— 560), 6213= 200(660 ¹— 1lb— 1.2.— 3.30) + 26o(2 † 13— 360) + 202 lao. t5 i65— 5) + H0(d2 † 23— 26b)— Ho] + 22 o+ 223(,0(26o 1ℳ Aa— 6, — Br(6— + 260 G0(660— 42.— 33)— 4 +. 260(a— 660), (914(4. ‿ 360— 260 Ld ‿ 3360 E Ho( ‿ ‿‿ 613360— 460) 6(A2 a)—] —(— 2oob— 2260— a3610 Ho T⁴ο ‿ει 1ν + 2 360+ G0(42 50)— 360 J.

— 14—
Die Berechnung der au, und 5, leisten wir aus den Gleichungen(33). Wegen(33 a) ist
.3=— Gr. Aus(33 b) und(33 d) erhalten wir folglich 4 2= hr= 10002— G., 860= 102—,— 4002— ¼.
(33 c) liefert uns nun 80,— 10”+†(3⁰n àP— 4½— 4)— 2( ðT+ 40 ½ 403 4.
Schließlich bekommen wir aus(33 e) noch 1920= 30⁸(18 ⁰¹— 1*+ 20⁰½+ 20⁰½)
+ 8001(301)9— 1202½ 9— 4003— 3004) +† 300,(15 ⁰%)P— 20⁰½— 204)— 12002(16⁰2+= 5004) — 8(3G³+ 12⁰20 9— 403—+7= 3003)— 4006)— 30⁵.
Um bei einer vorgelegten Differentialgleichung vom Typus(32) zu entscheiden, ob sie unserer Klasse angehört, wollen wir diesmal folgendes Verfahren anwenden: Zunächst berechnen wir mit Hilfe der zuletzt aufgestellten Gleichungen die au und By. Dann setzen wir die auf diesem Wege er-— haltenen Funktionen in die Gleichungen(34) ein und be- kommen dadurch gewisse Koeffizienten Gs, G?, GOs,..., 44. Stimmen diese Koeffizienten mit den entsprechenden der vorgelegten Differentialgleichung überein, so hat deren allge- meines Integral die Form y= u: v, wo u und v den beiden bereits aufgestelltenlinearenhomogenen Differentialgleichungen genügen.
b)Fall m= 3, n= 3. Ist m= 3 und n.= 3, so genügt u einer Differentialgleichung
(35) u“= aou i † u“ und v einer Differentialgleichung (36) v“= Hov †+ HV.
Um die Differentialgleichung 5-ter Ordnung aufzustellen, gehen wir etwa von der 4-ten Gleichung des Systems(31) aus und ersetzen in ihr u“ und v“ durch ihre Ausdrücke aus(35) und(36). Benutzen wir dann noch die drei ersten Gleichungen von(31), So erhalten wir
(374
WOralls gelatioll
Elin 80 bek 34 Koel durch Differen

15—
(37 a) V(y“— azy— My— ay)+ v/(Zy“— 2a2y— by) den+ v(Zy’— ay)= 0, woraus sich durch zweimalige Differentiation wegen(36) noch die beiden in v, vound véebenfalls lineraren homogenen
Relationen ergeben:
— b) V(yGV)— dy“— cy“— dy— ey) Vv(4y Zazy fy Ly) (37)+ v(6y“— 32y’— hy)= 0, c) VvGVV’— agy(V)— jy“— ky“— ly— my) au)+ v(syd“) 4 2y— ny— oy— py) + V”(10y“— 622y“— qy— 1y)= 0.
Hierbei sind die Abkürzungen gewählt:
= 20— 60, 9)— ſ,, 4 1 C= A³,+. 02, Vom d= à%oꝓßꝑ‿‿ 1 d— 460, en. ar J axo— t, au 1— 20, 21— 3, gen g.= o, o 61, nh a a, K 1= a J. 2, de.(38) 4
Kk=%oß*+ 2+..— 10609,
der 1= 2%+⁵ 40260— 560,
m= aS deße t 3o(. 242— 6.)— Sp.
n= Za, †+† 6½— 106, 0= 2+ 4,+% 42.—+ 2 2. ²b=— 5/60— 561,
P= 2%, c†= de(Bo 6,)— 266
+ 5.(⁴*— 2½‿ 51)— 51, lügt d= 30 602 5, I= lolß)+ 2 1%+ 126.+= e— 50— 261.
Eliminieren wir v, v’ und v“ aus den Gleichungen(37),
so bekommen wir zunàâchst eine Differentialgleichung mit
34 Koeffizienten, von denen sich aber 15 linear homogen
len, durch die übrigen ausdrücken lassen, sodaß wir unsere Differentialgleichung in der Form schreiben können:

— 1ℳ—
(39) 12y y)— 18y*y)— 15y VGCV)
+ 60»» yGv)— 40»y*
b 2
+(4yy yC)— 12y y’y)— 5yy)
V V 9 + 20yyyG X 30 yV)— 40y Y)
1+*ν(Cyy-YOG)— Syy yx)— 18yy’yar) 20y C) h *+ GyO)= Syy yax) X 5y y) uen + s(3yy'yIy)— 10yy“— 30y y y 45») A +. G)— 20yy'y“ † 30- y) I ⸗ + s(Gyy yGV)— 4yy²)+ r G 2yV)— 4y y y“+ 3» 3) 93 +. s Gy yGx)— 2yyy)* Gs(*Y)— 12y y) „ο(2y*yn= 3y y4) † n Gyy= 3y y) 98= yey’ † ns Gy ²— 2y;) Gεy syy! 20b= + ns vs on yyY2 ns Vy P= O. Hierbei sind die Koeffizienten wieder bestimmte Aus- drücke in den und 6p. Bei gegebenen Koeffizienten wählen wir zur Berechnung der und y folgende Gleichungen aus:. 01= 8 a)=— 03, b) 2= 301+= 2 S= 02.— 36,, 683=
c)= 6(26 1——f 254— 92),
(40) d) 300.= 3 G0—% 21.+ B1)— 02(302+ 269).
e) 007— 21 0+ 27 G= ar(27 1 9+ 603 † 18424= 106:) + 6 ½— 7560— 1561¹. 3
Gleichung(40 a) ergibt
2=—.
015=
Aus(40 b) und(40 c) erhalten wir folglich 6Grν 20— 208,+ 4⁸2+, 6561— 40⁸— 40⁰ 2⁰⁰⁹— 003.(016=

3973
Die beiden letzten Gleichungen ergeben nun 54= 2(25— 5 ⁴ες‿ 26 2+ 903) — 30 ⁰⁄1 9— 12⁰2—+ 203— 750¾— 007, 5460=(8½+ 1601+% 40⁰½+ 303) — 120⁰% 9+ 6½+ 203— 21⁰¾%—. Die zur Berechnung der au und Hy nicht benutzten Koeffi-
Zienten der Differentialgleichung(30) können mit Hilfe der durch(38) eingeführten Abkürzungen so dargestellt werden:
05= 022— bh,
1 306= aa(2h— 32— Sc— n)— 30a— 3r,
⁰= Scuh+ 02(3b— 1+. 2h)
+ aa(15a— 5d+ 3=— o+† 2r)+ bq+ 15e+ 3p,
99= ag(bh—— 5e— p)+ 5ah+ br, 20010= 20½(31— 61——)+ 802d— 40 f(3i— 101— q)— 121, G011= a5(4— 12a+ o— 2) Palse— 40h— ba i(3b— f—. 2h)* 41 — 2a(öf+ 2) 10 b d+ 2(31— 10 1— q)
+ ho— 12m— 1(4 1+ f, 922— 5(4e+ p)+(4m— 4ah— br— gi)— 2a(5g+ 21) + b(10e+ hi)— gr+ hp,
621s= 34(6a+ 2g— k+ 1) + aa ſc(n— 6 b)+ 18e— hn+† opl+ öan+ 3cr *
— 3k(2b+ h)+ 18m, 911= 1(6p— hn)— 302(4e+† l+. p) + az[3a(2f— n 4—) † dn— 6b) + g(a+—+ k(b— f+ 2h) — 12m+o(c— h)+†r(31— 2C0+h + 6ao— b(cqQ+ 6!0— 3p+ 34dr —+ Ze(Q— n)+ 39 k— 3hl, G91= d ſa(6+ 31)+ e(n— 6 b)+ g(r— k)+p(C— h)] + a(6p— hn)+ b(hk— cr) + Zer— 3m(a*+ 2b+ h), 61s= à(fq— 3220)— d(2a Q+ 30)+ 31(202+ h,
—

r= A(fr g—— ho)+ 6c3m + ag[d(o— 21)— 3 p— Zao— 2ep 1Gb— f+ 25)] — d(bq+ 3p)— Zeo+ f(ad+† 3m)+ 391, Gis= Al(&r— hp) +— as le(o— 21)— 21 m(3b— 1— 2h)+ p(d— 3a)! + a(ir+ gq— ho)+ b(hl— dr— ec)- 3ep+ 32m, 1= a(gI— hp)+ e(p— br) m(bh— a*). lst eine Differentialgleichung vorgelegt, die sich auf die Form(39) bringen läßt, so berechnen wir auch hier zunächst die au und 3, die wir in(38) einzusetzen haben, um die Funktionen a, b, T zu bekommen. Mit Hilfe dieser Funktionen erhalten wir gewisse Koeffizienten s, G'e, Gs, Gôg,... Gis, die mit den entsprechenden der vorgelegten Differentialgleichung übereinstimmen, falls diese unserer Klasse angehört.
§ 4.
Die Riccatische Differentialgleichung.
Die allgemeine Lösung der Riccatischen Differential-
gleichung (41) v»= Xo Xiy XVI
ist linear gebrochen in der willkürlichen Konstanten. Ist insbesondere weder Xo noch Xæ gleich Null, so kommt die willkürliche Konstante sowohl im Zähler als im Nenner wirklich vor. Somit befriedigen alle Lösungen von(41) eine ganz bestimmte Differentialgleichung 3-ter Ordnung von der
in§ 3 betrachteten Art. Diese Differentialgleichung wollen
wir aufsuchen. Differenzieren wir(41), Sso kommt (42) y“= y(2Xxzy+ Xi)+ XEryY+ XIy+ Xo Nochmalige Differentiation ergibt (43) y“= y(Xy+ Xi) 2XYy* y(AXZ y+ 2X. XV X. y Xo.
Die FofI (44
und es die Aus ldentität
rechnel Gleichu 63. D 002 lös, methoc del 2-

St ömmt enner
eine mder
ollen
Die gesuchte Differentialgleichung hat nach§ 3 die Form (49) 2y y“— 3y,(y“— Sy y)+ zyy + Gay?2 † yy—+= sy*= 0, und es muß, wenn wir aus(41) bis(43) der Reihe nach die Ausdrücke für y“, y“ und y in(44) einsetzen, eine Identität herauskommen. Diese hat die Form ao † aiy+ aay:+† asy+ a.y*= O, weshalb ao, al,., a. einzeln verschwinden müssen. Setzen wir diese Koeffizienten nacheinander gleich Null, so erhalten wir für, Ge,, folgende 5 Gleichungen: 3,(3X 2X. 3XoXoO) X5GOe 4 XaNz L NaN! AXeN 4XoXoXI 2XONOo 3XNo= 0. 14(4XXZ 5XOXI+ XXi+ 2XTXI= X) — G2(XXi+ XO)— 2XeXiG— Xoν— 8XXXZ — 8XZ X+ 8XoXO XZ 2XOXI— 4XoXSX — 2XoXI 4 XoNX? †. 6Xo X1— 2 Xo XI= 0, 24(10X X XZ— XX+ XOX 2XI= XL — HW.(2 XoX 1 X. ₰ XIL) 0(2NNz X!) XSG. — ⁰o 8XEXI 2 XXNX1XæZ— 12XoXiXZ= Z2XoXZ + 12 Xo XIXZ+ 6XO XZ— 2Xo Xa + X 2XIMX N= 0. 0(4 NoX 4 SXX 2XiXZ= X XZ Xæ) — n(3XXz X)— 2XSXZG= XGO. 8XoXSXI — 8XXX/+ SXoX+ 2XXZ— 4XXE+ 4XIXI Xa — 2XiXZE= 2 X“XZ † 6X= 0, 61(3X.XI— 3XeXZ)— 2X XIG— 4XoX+ XXN — 4X X X 4 XLXE 2XeXz“+ 3Xz2= 0.
Um aus diesen Gleichungen ht,,..,(O5 Zu be- rechnen, eliminieren wir etwa aus der 2-ten und 4-ten Gleichung und dann aus der ersten und letzten Gleichung ⁰3. Die beiden so entstehenden Gleichungen für und G⁰ lösen wir nach diesen Funktionen auf. Die Substitutions-
methode liefert hierauf aus der ersten Gleichung, aus der 2-ten A und aus der 3-ten Ge. Das Ergebnis lautet

XoX2G1= XOXZ2— XOX, 4 XoXZ002— 4 XoXi XZ— 2XoXIXZ— NoX— 2 Xo' XiXZ Xo. X XoX2= XoXXZ— 4X-XZ+ 3XoXiXE 4XOMXIS XZ
— * N XIXz J. 3Xo-, RO Nes b XLXZG2= 4 XoXoNXI 4XONe Xæ XoXIXE I. XoXaXz. XX'Xe= NoNI-A= XOX N;= 2XO NN. 4 XarXrX, A. XLUX K. Xh XNz NXeNR, X.X= SXXS A MXX J. 12XXANeX= †. XXNeX- Analy — XæNS 12 XoXOXAX== 4 XoXO XeXNZ des * 2X,XOXE= XoNXXZ XOXSXI'Xe 1 2 XXXi Xr J. XorXSX== XONS Xa= NXoNE XOMSNe † NXoX NN= NLXXE 4XLX Xe †. NoX△o”X⸗ † X XXE— XO X“X. , Diese Ausdrücke für, die Koeffizienten i, 2,.., 005 —b müssen die beiden Bedingungen(16) identisch befriedigen, wenn jede Riccatische Differentialgleichung, für die Xκ—=0, eine Folge(44) haben soll, die unserer Klasse von Differential- gleichungen angehört. Dies tritt in der Tat ein, wie wir uns durch Einsetzen überzeugen können. Setzen wir nun die errechneten Ausdrücke für i, O2 und in die Gleichungen(13) bis(15) ein, so erhalten wir 1 XoXZl= XO XZ— XoX, 4 XoXMO= XOXIXE 4XeX 2XoXNi X= 2XoNaXæA“ + XXZ 2XOXiXE 4 2XO' XeXz, 4X Bo= XIXZ 4XOX+ 2XSXXZ— 2XX — 2XXZ“+ 3XZ2*. 1 Mit Hilfe dieser Ausdrücke für ae, l und 5o können wir Zähler und Nenner in der allgemeinen Lösung der vor- gelegten Riccatischen Differentialgleichung durch zwei lineare homogene Differentialgleichungen 2-ter Ordnung definieren. 1 Im Selbs Pre

Mitteilungen des Mathematischen Seminars
1X, der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
V. Heft X*
Analytische Beiträge zu Lies Abbildung
e. des Imaginären der ebenen Geometrie X. „(05 igen, — 0, ntial. LEO MONVILLE vir 1, 002 n wir “ nnen VOI- neale leren.
Giessen 1922 Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16
Preis M. 10,—; für das Ausland 1 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer, Giessen

Inauguraldissertatlon der Philosophischen Fakultät der Universität Gießen. Genehmigt am 25. Hebruar 1922. Berichterstatter: Engel und Schlesinger.
Lie in der k dreidimen zWwischen Linienkol nutte). und Sprie mitzuteile Atbeit W deweiser fegung G und weg der Abfa verpilich

Uleben.
— ——
Einleitung.
F' nandelt sich hier um die Abbildung, die Lie in seinen ersten Veröffentlichungen entwickelt hat:
1. Repräsentation der lmaginären der Plangeometrie von S. Lie, cand. real., Christiania 1869, 8 Seiten. Fast unverändert abgedruckt in:
2. Ober eine Repräsentation des lmaginären in der Geometrie von S. Lie. Crelles Journal Bd. 70, 1869. S. 346— 353.
3. Repräsentation der lmaginären der Plangeometrie von Marius Sophus Lie. Forhandlinger i Videnskabs- Selskabet i Christiania, Aar 1860, Christiania 1870, S. 16—38.
4. Fortsetzung von 3. unter demselben Titel, a. a. O. S. 107— 146 ¹).
Lie betrachtet in diesen Untersuchungen die Gebilde in der komplexen Ebene und bildet sie ab auf den reellen dreidimensionalen Raum. Er gelangt dadurch zu Beziehungen zwischen der Geometrie der Ebene und der Geometrie der Linienkongruenzen, wie sie kurz zuvor Plücker entwickelt hatte ²). Lie geht vorwiegend auf synthetischem Wege vor und spricht viele Ergebnisse aus, ohne die Uberlegungen mitzuteilen, die ihn dazu geführt haben. Die vorliegende Arbeit will die Hauptergebnisse analytisch darstellen und beweisen und die Untersuchungen weiterführen. Die An- regung dazu gab Herr Prof. Dr. Engel, dem ich deswegen und wegen der freundlichen Unterstützung, die er mir bei der Abfassung der Arbeit angedeinen ließ, zu großem Danke verpflichtet bin.
¹) 2. wird im Folgenden unter„Crelle“, 3. u. 4. unter„Forh.“ zitiert. ²) Piücker, Neue Geometrie des Raumes, I. Abt., 1868.

§ 1. Der Punkt und die Gerade in der komplexen Ebene.
Die Koordinaten eines Punktes in der komplexen Ebene bezeichnen wir mit (1) X= X ly, E= 2 ip, wo X, y, Zz, p reelle Zahlen sind. x, y, zZ deuten Wir als rechtwinklige Koordinaten eines Punktes im Ra, p als sein Gewicht. Die Gleichung einer I-Geraden ¹) nehmen wir in der Form an: (2) B2.= a.
B= b.+ ibe, A= al+ jaz heißen die Koordinaten der I.-Geraden. Trennt man Reelles und lmaginäres, so erhält man als Aquivalent dieser Gleichung die beiden folgenden:
(3) biz= bab= X— au, bip+ bzz= y— aa.
Eliminiert man aus ihnen p bzw. 2, so resultiert das System:
(b3 † b²)z= biX+ bzy—(albi+ azbz),
09(bi*+ b⸗)p=— bex+ biy †(albz— a2 bi). Die erste Gleichung zeigt, daß die Bildpunkte der I-Geraden eine Ebene erfüllen; die zweite Gleichung liefert zu jedem Punkt den zugehörigen Wert von p. Bei kon- stantem p stellt das System(4) eine Gerade dar: die Punkte gleichen Gewichts liegen auf einer Geraden und zwar auf einer Geraden größter Neigung, da die zweite Gleichung eine vertikale*) Ebene darstellt. Die Geraden gleichen Ge- wichts sind also parallel. Als Repräsentant der l-Geraden kann die Gerade mit dem Gewichte Null dienen, der so- genannte Nullstreifen, dessen Gleichungen sofort aus(3) erhalten werden:
(5) br2= X— a., b2Zz= y— ag.
Umgekehrt ist jeder Geraden im Ra
aXx+by+ cz+d= 0, eXx † fy+ gz † h= 0, die nicht der xy-Ebene parallel ist, für die also af— eb== 0 ist, eine I-Gerade mit den Koordinaten
¹) Wir gebrauchen im Folgenden mit Lle die Abkürzungen l-Punkt,
I-Gerade usw. für Punkte, Gerade usw. in der komplexen Ebene. ²) Wir nehmen die xy-Ebene horizontal, die z-Achse also vertikal an.
——
(6) B=
zugeordn Dije stelung eine Nol Gewicht dem Gerd onendlich 2= C00 simmt. des Bls niele Puu büschels spficht Achse d
DasF Wi büschels
No 5= b; gebenen Büschel () X-
Dei metern 3lo eine Uinienk Schafter neraush

te der liefert 1 kon- Punkte ar auf ichung en Ge- leraden ſer So- us()
LLunkt,
e. rtikal an.
— 5—
(bg— cf) iſec— ag)(bh— df)+i(de— ah) ( B afeh a uch zugeordnet.
Die I-Geraden Z= const. nehmen hier eine Ausnahme- stellung ein. Jeder von ihnen entspricht in der Abbildung eine horizontale Ebene des Ra, deren Punkte alle dasselbe Gewicht haben. Den unendlich fernen L-Punkten, die nicht dem Geradenbüschel Z= const. angehören, entsprechen die unendlich fernen Punkte des Rz, die nicht auf den Ebenen z= const. liegen; das Gewicht der Bildpunkte ist unbe- stimmt. Dem unendlich fernen l-Punkte, der der Träger des Büschels Z= const. ist, entsprechen im Ra unendlich viele Punkte, nämlich alle Punkte der Achse des Ebenen- büschels z= const. Der unendlich fernen l-Geraden ent- spricht die unendlich ferne Ebene des Ra, aber so, daß die Achse des erwähnten Ebenenbüschels einen LPunkt vertritt.
§ 2. Das EStrahlenbüschel und die Linienkongruenz.
Wir fragen nach dem Aquivalent eines I-Strahlen- büschels:
(1) B(Z— 20)= X Xc.
Xo, Zo sind die Koordinaten eines festen l-Punktes, B= b.+ ibe ist der Parameter. Nach dem im§ 1 ange- gebenen Verfahren erhält man zu jeder I-Geraden des Büschels den Nullstreifen:
(2) X— Xo= bi(Z— Zo)+ bepo, y— yo= be(Z— Lo)— bipo.
Der einzelne Nullstreifen hängt von den beiden Para- metern b: und ba ab, die Gesamtheit der Nullstreifen ist also eine zweifach unendliche Geradenschar, eine Plücker'sche Linienkongruenz. Die letztere hat einige merkwürdige Eigen- schaften, die sie aus der Gesamtheit der Linienkongruenzen
herausheben:

— 6—
a) Die Geraden der Kongruenz schneiden in horizon- talen Ebenen ähnliche Figuren aus(Forh. S. 20; Crelle S. 348).— Einen einfachen Beweis dieses Satzes erhält man, indem man zwei Gerade der Kongruenz herausgreift und mit den Ebenen z= c bzw. z= cx zum Schnitt bringt. Sind die Parameterwerte für die herausgegriffenen Geraden B und Ba, so gelten für deren Schnittpunkte mit der Ebene ci die Gleichungen:
X= XO+ B 1(C.— TZo), XÖ= Xo+† Bꝰ(Ci— Zo).
Die Entfernung I. dieser Punkte wird durch den abso- luten Betrag der Differenz X— X“ dargestellt:
11*=(B1— Ba)(ch— Zo)(B— Ba)(ch— 2o). ¹)
Entsprechendes gilt für die Entfernung ra der Schnitt- punkt der Geraden mit der Ebene cz. Das Verhältnis
3*(CL= Lo(Cr 10)
r2*(c.— Zo)(c=— Zo) ist von den Parametern der ausgewählten Geraden frei; entsprechende Strecken in den beiden Ebenen stehen also in einem konstanten Verhältnis, womit die Ahnlichkeit dargetan ist.
b) Lie führt Forh. S. 20, Crelle S. 348 ohne Beweis den Satz an: Gerade der Kongruenz, die in der xy-Ebene einen Kreis ausschneiden, bilden ein einschaliges Hyper- boloid mit horizontalen Kreisschnitten.— Das L-Strahlen- büschel habe wieder die Gleichung(1)
B(—= 2o)= X NXa.
Um die Gleichungen der Kongtuenz der Nullstreifen zu erhalten, trenne ich nicht, wie in§ 1, Reelles und Imaginäres, sondern kombiniere die vorliegende Gleichung mit der zu ihr konjugierten(p sei schon Null gesetzt):
() Bz= 2o)= X— Xo, B(2— Z2a)= X Xoc.
Fasse ich X, X, z als Koordinaten im Ra auf, so stellen diese Gleichungen(bei festgewähltem B) eine Gerade dar; zu dem Ebenenbüschel durch diese Gerade gehören auch die nach dem früheren Verfahren erhaltenen Ebenen(2), So0
¹) Der über einen Buchstaben gesetzte Querstrich deutet den komplex-konjugierten Wert an.
dab dic Nullstfe Kongfu-
Die n der
wo 0
st, da Schnitt die Ko
lc Kreise und er
0) k

— 7—
daß die Gleichungen(3) in der Tat als Gleichungen des Nullstreifens und bei veränderlichem B als Gleichungen der Kongruenz angesenen werden können.
(usgrei urn Die Gleichung des Kreises in der xy-Ebene setze ich ſeradden in der Form an: Sbege 0 X= SDe, y=EDe E+ Fo E+ Fo 9). wo o ein reeller Parameter ist; Voraussetzung ist, daß abso.(5) CF— ED=é O ist, da sonst ein einziger Punkt dargestellt wäre.— Die ) Schnittpunkte der Kongruenz(3) mit der Xy-Ebene haben Pehnitt die Koordinaten* 8(6) X= X— BZo, X= Xo— B2o. lch greife diejenigen unter ihnen heraus, die auf dem Kreise(4) liegen, setze also die Werte aus(6) in(4) ein ahe 1 und erhalte dadurch Bestimmungsgleichungen für B und B: rei; 5 mabo 60) X BZ.= Ct De, X. B2.= E4 De. ſiehket Pke E Fo Eliminiere ich B und B aus(7) und(3), so erhalte ich: zeweis Xo 2= Z.N==(2 7 C be Ebene 68) b 6 2 P 0* 1.— 5 8 Xoz— LoX=(2z— 20) E be Das sind die Gleichungen einer reellen Geradenschar. Die Elimination von e aus den Gl.(8) liefert eine Gleichung fen zu zweiten Grades in x, y, z; da der Schnitt der Schar(8) jnäres, mit der unendlich fernen Ebene ein reeller Kegelschnitt jer zu ist, liegt ein einschaliges Hyperboloid oder ein Kegel vor. Die horizontalen Schnitte sind wieder Kreise ¹), da die Gl.(8) 1 bei konstantem z von der Form der Gl.(4) sind; die zu(5) analoge Bedingung lautet: Jelen G— 29(CF- ED)==o. dar Wäre das Gebilde ein Kegel, so müßte ein Kreisschnitt auch auf einen Punkt zusammenschrumpfen; das ist offenbar 2, so nur möglich, wenn et den 2= 2o
¹) Das folgt auch schon aus dem Satz a) S. 6.

— 5—
ist, d. h. Zo wäre reell. Diesen Fall, in dem der Träger der Kongruenz ein Nullpunkt ist, und die letztere in ein Strahlenbündel ausartet, schließen wir aus. Demnach sind
die Geraden(8) die eine Schar von Erzeugenden eines Ein
einschaligen Hyperboloids. Die Umkehrung dieses Satzes, daß jede der beiden stellt ei 1 Scharen von Erzeugenden eines einschaligen Hyperboloids t ein! mit horizontalen Kreisschnitten als Nullstreifen von l-Geraden ötelle d eines Büschels aufgefaßt werden kann, ist mit den eben§. 24, angewandten Mitteln leicht zu beweisen. Bei unserem Hyper- Abhandh boloid lauten die Gleichungen der zweiten Erzeugendenschar Beweis (2Z— Zo) C—(Xoz— ZoX¼) E„D ö 0)= u((2— Lo) C— Xa z— L.X) F, kongru —(z— 20) D+(Xo— Z.X) F fernen
= ul—(Zb— 2⁰) D(X. 2z— Z.X) F. ¹) Dufchs Die Koordinaten des Trägers der Kongruenz, der diese lc Geradenschar angehört, sind: . 7 7 CF=Df 5 (10) X= Xa2 4— 1) Ee E,= 2 eich
c) Die Brenngeraden der Linienkongrenz sind nach den 4 unendlich fernen Kreispunkten der Xy-Ebene gerichtet(Forh. 5 S. 20, Crelle S. 348).— Die Brenngeraden sind der Ort der deutet Schnittpunkte unendlich benachbarter Geraden der Kongruenz. Sind u 1 Für sie gelten die Gleichungen(3) und die aus ihnen durch Differentiation nach den Parametern entstehenden:
dB(2z 2⁰)= 0; dB(2— 2⁰)= 0. D
Es muß also z= Zo oder 2= Zo sein. Im ersten eine L
1 Falle ist ferner X= Xo, im zweiten X= Xo. Daß diese abhän beiden Geraden nach den unendlich fernen Kreispunkten der Weie
Xy-Ebene hinzielen, leuchtet unmittelbar ein.— Andere leicht man
zu beweisende Sätze über die Kongruenz siehe Forh. S. 20, und E
Crelle S. 349. Gleich s V—
8 es e-
. ¹) u ist ein komplexer Parameter vom absoluten Betrag I. nicht

nden Sorh. t der Uenz. lurch
sten
liese der
cht
W20,
— 9— 5 3.
Die EKurve n-ter Ordnung.
EFine Gleichung n-ten Grades in X und Z (1) FEG, 2)— 0
stellt eine L-Kurve n-ter Ordnung dar. Ihr Aquivalent im Ra ist ein Nullstreifen, den man ähnlich wie in§ 1 erhält(an Stelle der Ebenen treten Flächen vom Grade n“, siehe Forh. S. 21, Crelle S. 340). Einen interessanten Satz, der in den Abhandlungen 1. und 2. noch nicht steht, spricht Lie ohne Beweis in Forh. S. 21 aus.
„Die Nullgeraden der I- Tangenten bilden eine Linien- kongruenz, deren Brennflächen zwei nach den unengdlich fernen Kreispunkten gerichtete Zylinder sind. Der reelle Durchschnitt derselben ist der Nullstreifen der LKurve.“—
lch betrachte einen Zweig der Kurve:
(2) X=(2, ü).
G ist eine reelle eindeutige Funktion von Z und i. Die Gleichung einer Tangente an die Kurve im Punkte Z, X sei: (3)=——(2, i)= O.(Z, i)(Z— 2).
—, Z sind die laufenden I-Koordinaten; der Index be- deutet die Ableitung. Die Gleichungen des Nullstreifens
.
sind unter Benutzung der Koordinaten—,—,(siehe§ 2 = S(E,)= De(2, D( 2) 4)
—=——(2,— i)= 92(Z,—)— 2).
Die Gesamtheit der Nullstreifen aller I- Tangenten ist eine Linienkongruenz, da sie von zwei Parametéern, Z und Z, abhängt.— Die Gleichungen des Ortes der Schnittpunkte zweier unendlich benachbarter Geraden der Kongruenz erhält man durch Differentiation der Gl.(4) nach den Parametern und Elimination der letzteren. So resultieren zunächst die Gleichungen:
(5) Sa(Z, i) E— Z)= 0, On(Z,— i)(— 2)= 0.
Je eine der Gl.(5) stellt mit den Gl.(4) den Ort dar; es existieren also zwei Brennflächen. verschwindet nicht identisch, da sonst die Kurve(2) eine l-Gerade wäre,

1 1 1
1
ein Fall, der schon behandelt ist und den wir hier aus- schließen. Die Gleichungen(5) liefern also: (6)= Z; 8=2.
Die Brennflächen haben demnach, wie man durch Ein-
sehen von(6) in(4) erkennt, die Gleichungen: (7)== 6(,;=—= 6 G,— h.
Beide sind imaginäre Zylinder, deren Erzeugende, wie man unmittelbar sieht, nach je einem der unendlich fernen Kreispunkte der Xy-Ebene hingehen. Für die Punkte ihrer Durchschnittskurve gelten beide Gleichungen(7) gleichzeitig; sie sind in der Tat die Gleichungen des Nullstreifens der Kurve(2) in den schon im vorhergehenden Paragraphen
benutzten Koordinaten X, X, Z.
§ 4. Die prejektive Yerwandtschaft in der komplexen Ebene.
Zwischen den Punkten zweier komplexer Ebenen sei
eine projektive Beziehung hergestellt durch die Gleichungen:
0) X= aAuX+ au 2 t au.. a X † a2 2 †. 422 1 d31 X+ 332 L. a33 231 X+ d32 7. ar 333 3
Lie behauptet, daß die Bildpunkte der Nullpunkte der
einen Ebene, denen Nullpunkte der anderen Ebene ent-
sprechen, auf einem Hyperboloid mit horizontalen Kreis-
schnitten liegen, ebenso die Bildpunkte der entsprechenden
Nullpunkte. Er spricht ferner ohne Beweis einige interessante
Sätze über die Beziehungen der beiden Hyperboloide aus*),
die wir im Folgenden beweisen wollen.
Für eine gegenseitige Beziehung zwischen Nullpunkten gelten die Gleichungen(1) mit der Substitution Z= 2, Z’= 2. Die zweite Gleichung(1) lautet dann:
¹) Die aix sind komplexe Konstanten. ²) Forh. S. 28, Crelle S. 352.
Wer

aus.
Ein.
Wle ernen
ihrer eitig: 8 der Pphen
32] X ue⸗ S 23 . 431 X+ a2 2—+ a33 ihre konjugierte: „= 221 X+ 422 2 ℳ 423 a431 X 232 2— 433
Durch Gleichsetzen der rechten Seiten erhält man eine
Gleichung, der die Nullpunkte der einen Ebene genügen: (2)(a2l X+X a2 2— a23)(a31 X— der 5 ass) konj. Wert= O0.
Sie stellt eine Fläche zweiter Ordnung dar, die zwei reelle Scharen von Erzeugenden besitzt(siehe weiter unten); sie ist also, wenn man analog der Bedingung(s) S. 7
(3) a21 a32— 331 422== 0
voraussetzt, ein einschaliges Hyperboloid mit horizontalen Kreisschnitten.— Die Umkehrung der projektiven Beziehung (1) ist gegeben durch die folgenden Gleichungen: (4) X⸗ At I.Aas Aa 1= Au² X 3 A 22 E* Ae
Als X+ Aas Z+ Agz Ais X+ As 7+ Aa⸗ die man leicht aus den Gl.(1) herleitet. Dabei bedeutet Aix die zu alk adjungierte Unterdeterminante in der Deter- minante 4= X+ all a2 a33. Man sieht, daß die entsprechen- den duilpunkie der anderen Ebene die Punkte des folgenden Hyperboloids zu Bildpunkten haben:
(5)(Ar X+ Az 2 ℳ Aa)(As X Aas. Naa) — konj. Wert= O.
Die zu(3) analoge Voraussetzung
(6) Als Ags— Aag Ais= 4¹: as== O0 Oder aat== 0, da natürlich 4== O angenommen wird, sei wieder erfüllt.
Das Hyperboloid(2) hat die beiden folgenden Scharen von Erzeugenden:
[321 X+ a2z zZ+ a23= u(a¹ X** 4e2 z+ 223).
G aa X+ aa z+ a3s=(asi X+ aa 2 aaa);
[321 X+ aag 2z+ a2z= 4(a3t X+ 332 2+. 233),
G) La 421 X+ a22 2 4 423 A(as X+X† 332 2 a33) ) Diese Abkürzung bedeutet immer den Kkomplex-Konjugierten Wert des ganzen links von ihr stehenden Ausdrucks.

Die Scharen bestehen, wie schon gesagt, aus reellen Ge- raden; man hat dabei unter*A einen komplexen Parameter vom
absoluten Betrage 1 zu verstehen, So daß οᷣ.mπ= 1 ist; in der zweiten ist 1 ein reeller Parameter.— Die Erzeugendenscharen des zweiten Hyperboloids(Gl.(S)) haben die Gleichungen: (0) Aig X+ Agz 2Z+ Azz= ℳ(Ate X.* Ar 2. A As2), Ais X+ Az 2+ Ass=(AisX+ Ags 2— Aaz); 10) aee+ Azz 2 † Aze= 71(AisX+ Acz 2+˖ Agz), b Aie X Ag 2— Age= 1(AisX+ Aas 2— Az).
Für und 1 gelten dieselben Festsetzungen, wie für u bzw. A.—
Vermöge der projektiven Beziehung entsprechen einander die Hyperboloide als solche. Es lassen sich jedoch auch Beziehungen zwischen den einzelnen Scharen der Er- zeugenden aufstellen. Im§ 1 hatten wir gesehen, daß man horizontale Ebenen als Repräsentanten von- L-Geraden Z= const. auffassen kann. Die Nullpunkte z= const., denen wieder Nullpunkte entsprechen, die also auf dem Hyperboloid(2) liegen, mit anderen Worten dessen horizontale Kreisschnitte, werden nun insbesondere auf die Erzeugenden der Schar(10) abgebildet, wie man durch Ausführung der Transformation(4) auf die Gleichung z= const. unmittelbar erkennt. Ebenso entspricht den horizontalen Kreisschnitten z= Const. des Hyperboloids(5) die Erzeugendenschar(8) des Hyperboloids(2). Es liegt jetzt nahe, zu vermuten, daß die Erzeugendenscharen(7) und(o) einander gegenseitig entsprechen. In der Tat, führe ich etwa auf das System(0) die Transformation(1) aus, so erhalte ich die Gleichungen:
„
A 2.4 (11) auX- as 2 † aas ai X+ a22 2+ à33
————„ a31 X+ a32 2+. a33 a31 X+ a32 2+ 333 Die zweite Gleichung kann in der Form geschrieben werden:
. 4 (12) a3i X+ a32 z+ a3s=—
u 4
(asi X a32 2 asz).
zellgel
nötig, 1 Satz boloic Ordun lassel Hyper der S
(das
Tat e ich d dielel
Wenn.
setze Pläcl kury zeiti Ordr aber

ben
———
Vermöge ihrer ist die erste Gleichung schon erfüllt, liefert also nichts Neues. Da man aber von vornherein weiß, daß die Punkte X, X, Z auf dem Hyperboloid(2) liegen, daß für sie also identisch 3231 X+ a32 2* 433— a21 X+ 222 2— 423 a31X+ aae 2+ ass 321 X—+ a22 2+ a23 ist, besteht mit(12) zugleich die Gleichung
(13)
4—— (14) aziX+ aaz z+† 423=— 7(agi X+˖ a2g z+ aaz). u. 8 4 Die Gleichungen(12) und(14) stellen also die Er- zeugendenschar(7) dar; der Parameter 4 τ 4 7 hat, wie .
nötig, den absoluten Betrag 1.— ¹)
Lie spricht Forh. S. 29, Crelle S. 353 noch den weiteren Satz ohne Beweis aus: Einem ebenen Schnitt des Hyper- boloids(S) entspricht gewöhnlich eine Raumkurve dritter Ordnung auf dem Hyperboloid(2).— Die horizontalen Schnitte lassen wir natürlich außer Acht, ebenso diejenigen, die das Hyperboloid in zwei Erzeugenden schneiden. Die Gleichung der Schnittebene nehme ich in der Form an:
(18) LX— LX MZ— Mz+†N- N=; (das ist eine reelle Gleichung in x, y, Z, stellt also in der Tat eine reelle Ebene dar). Diese Gleichung transformiere ich durch die Gleichungen(1)*) und erhalte nach Ausmultipli- zieren und Ordnen:
(16)(as X+ a32 2 † a3g)(aA11X+ au2 z+ 413) — konj. Wert= 0,
wenn ich
(17) an= Lau Maz. Nas(i= 1, 2, 3) setze. Das ist offenbar die Gleichung einer geradlinigen Fläche zweiter Ordnung. Für die transformierte Schnitt- kurve selbst gelten dann die Gleichungen(2) und(16) gleich- zeitig; sie scheint also als Schnitt zweier Flächen zweiter Ordnung eine Kurve vierter Ordnung zu sein. Man erkennt aber, daß die reelle Gerade 1) Lie hat die letzten Ergebnisse in einer weniger genauen Form. ²) Für das Glied Mz nehme ich den konjugierten Ausdruck für z..

(18) as X+ aae 2z+. a33= 0, aaX+ asz 2+ aaz= 0, beiden Flächen gemeinsam ist, die Schnittkurve ist also von dritter Ordnung; die Punkte der Geraden(18) scheiden nämlich von der Abbildung aus, da ihnen unendlich ferne Punkte der zweiten komplexen Ebene entsprechen; die Gerade ist eine Erzeugende der Schar(8) für 41==.
Um eine explizite Darstellung der Raumkurve dritter Ordnung zu erhalten, setze ich die Gleichungen an:
(19) 4(aiiX+ ai2 z—+ ai3)+ 4(aii X+ ail2 z—+ a13)= 0,
(= 1, 2, 3)
wo 1 ein komplexer Parameter ist, und wo für 1= 1 die
Buchstaben a mit Akzenten zu versehen sind. Diese
Gleichungen werden nur von den Punkten der Kurve, nicht
aber von denen der Geraden(18) gleichzeitig erfüllt. Aus
ihnen lassen sich X, X, z als Ausdrücke in 1 und 2 mit Koeffizienten, die dreireihige Determinanten aus den an dar-
stellen, berechnen. Ist t die vierte homogene Koordinate, so findet man: X= I[au, alz, ais]l † 1+ ſau:, aia, ais] + 12 ſau, alz, als] † ſaul, ais, alal, 5 X— 33[ai¹, ai?, a13]+ 11 ſau⸗, 3à12, ais] + lau, ais, ais]+. 4 2 lau, aia, ais], z= 727[ali, al1, aàis]+ 12[ail, al:, 213] — t= 4*1 lau, au¹, ala]l+ 17% lai!, ail, auzl. ¹) Für die beiden unendlich fernen Punkte 4 bzw. 7=
verschwindet außer z noch X, bzw. X; die Kurve geht also durch die unendlich fernen Kreispunkte der Xy-Ebene. Da jede Raumkurve dritter Ordnung von jedem ihrer Punkte aus in einen Kegelschnitt auf die xy-Ebene projiziert wird, geht unsere Kurve dabei in einen Kreis über.
¹) In den eckigen Klammern stehen die Zeilen der jeweiligen drei- reihigen Determinanten(i= 1, 2, 3).
zweiten dessen legt; d Kegelsc Strahl i 3lSo als EPunkt sich in entspre entspri LStrahl dle pre ersten dieses eine L legt n. Unien Ordnu
D des K
—
1 1 1

§ 5.
Involutionen auf dem Kegelschnitt und der Raumkurve des§ 4.
Eine Involution auf der Raumkurve dritter Ordnung des ersten Hyperboloids sei definiert durch eine Involution auf dem entsprechenden Kegelschnitt des zweiten Hyperboloids. Ober diese Involution stellt Lie, wieder ohne Beweis, den Satz auf:„Wenn P und P’ zwei vermöge einer Involution sich entspechende Punkte der Raumkurve sind, so liegt ihre Verbindungsgerade auf einem Hyperboloid mit horizontalen Kreisschnitten. Die entsprechende l-Gerade geht durch einen festen I-Punkt“. ¹)
Die grundlegende Involution auf dem Kegelschnitt des zweiten Hyperboloids sei durch ein Strahlenbüschel definiert, dessen Träger außerhalb des Kegelschnitts in dessen Ebene liegt; die beiden Schnittpunkte je eines Strahles mit dem Kegelschnitt entsprechen sich involutorisch. Ein derartiger Strahl ist nun die Verbindungslinie zweier Nullpunkte, kann also als Nullstreifen einer I-Geraden durch die entsprechenden LPunkte angesehen werden.*) Da alle diese Nullgeraden sich in einem Punkt schneiden, schneiden sich auch die entsprechenden l-Geraden in dem l-Punkt, der dem Träger entspricht und der auch ein Nullpunkt ist. Das entstandene LStrahlenbüschel der zweiten komplexen Ebene wird durch die projektive Transformation in ein Strahlenbüschel der ersten komplexen Ebene transformiert. Die den Strahlen dieses letzteren Büschels entsprechenden Nullgeraden bilden eine Linienkongruenz,³) da ihr Träger kein Nullpunkt ist(er liegt nicht auf dem ersten Hyperboloid). Die Verbindungs- linien von entsprechenden Punkten auf der Raumkurve dritter Ordnung sind jetzt gewisse Geraden dieser Kongruenz.
Das Doppelverhältnis von vier Strahlen in der Ebene des Kegelschnitts ist gleich dem Doppelverhältnis der vier
¹) Forh. S. 29, Crelle S. 353. ¹) Forh. S. 20, Crelle S. 350. ¹) Siehe§ 2.

entsprechenden I-Geraden, das letztere ist also reell. Da es bei der projektiven Transformation ungeändert bleibt, haben die entsprechenden Strahlen des J-Büchels in der ersten komplexen Ebene dasselbe reelle Doppelverhältnis; das be- deutet, daß die entsprechenden Nullgeraden die Xxy-Ebene in Punkten schneiden, die auf einem Kreise liegen.¹) Lasse ich einen der vier ursprünglichen Punkte wandern, so ändert sich zwar das Doppelverhältnis, bleibt aber reell; die Schnitt- punkte der Verbindungsgeraden von sich involutorisch ent- sprechenden Punkten der Raumkurve mit der Xy-Ebene liegen also alle auf einem Kreis. Nach einem im§ 2 be- Wiesenen Satz bilden nun Geraden einer Kongruenz, Welche die Xy-Ebene in einem Kreise treffen, ein Hyperboloid mit horizontalen Kreisschnitten. Damit ist der Satz vollständig bewiesen.
§ 6.
Die Ausartungen des Nulistreifens eines -egelschnittes.
I. Bedingungen für das Ausarten des Nullstreifens.
Der l-Kegelschnitt sei definiert durch die Gleichung (1) au X+ 2 ai XVZ+ a22 22+ 2 als X+ 2 a23 2Z—+ a33= 0.
X= XX+ jy, Z= Zz T ip sind die laufenden Koordinaten, am sind beliebige komplexe Konstanten. Für den Nullstreifen ist p= 0, d. h. Z= Z. Die Gleichungen des Nullstreifens bilde ich unter Zuhülfenahme der konjugierten Gleichung nach dem schon im§ 2 angewandten Verfahren:
(2) au X2+ 2a0 XZ+ ae 2*+ 2a113 X—+ 2 a232+ a33= 0,
a XE+ 241 XZ+ a22 21+ 2a1 X+ 22132+ a33=0. Die von Null verschiedene Koeffizientendeterminante von(1) bezeichne ich mit D, den zu aix adjungierten Minor mit Ai; dann ist (3) Agz Ass— Agg“= all D. ¹) Forh. S. 24, Crelle S. 350.
56
D' des Ra konjug Wei summt Dieser lehrt,
ſst, ur

Da es naben eSten 8 be. bene as8e indert hnitt. lent- bene 2 be- elche d mit ändig
as.
g
= O. naten, reifen eifens nach
—
—
Der Nullstreifen(2) ist der Schnitt zweier Zylinder 2. O., deren Erzeugende nach je einem Kreispunkt der horizontalen Ebenen z= const. gerichtet sind. Er kann in eine Kurve 3. O. und eine Gerade oder in zwei Kegelschnitte ausarten. Der erste Fall kann nur eintreten, wenn die Verbindungs- linie der beiden Kreispunkte, d. h. die unendlich ferne Gerade der Ebenen z= const., beiden Zylindern angehört, wenn also a= O ist. Wir setzen daher zunächst voraus: a) au== h.
Wir transformieren die Gl.(2) durch die lineare Trans-
formation
1 U= znr(au XeH auz † Als) (4)—
1— 8 =—(auX+ auz+ a13), 2= 2 d11 und Einführung einer vierten homogenen Koordinate t auf die Form 1 O**† a,,2(Ass2*— 2 A2szt † A22 t2) 0, 1 65) 1. 1 1 2.=(ArZ2— 2 A23zt+† Azt¹)= 0. d11 Diese Transformation ist so beschaffen, daß ein Punkt des Ra dann und nur dann reell ist, wenn U und U komplex- konjugiert sind und z reell ist.— Soll der Nullstreifen in zwei Kegelschnitte zerfallen, so muß das durch(5) be- stimmte Büschel von Flächen 2. O. ein Ebenenpaar enthalten. Dieser Fall tritt, wie die Untersuchung der Büschelgleichung lehrt, dann und nur dann ein, wenn (6) Aaz: Azg: Asg= Azz: Azg: As ist, und zwar lautet die Gleichung des Ebenenpaafes (h A A23=o. 311 211 lst Azz= 0, so tritt Ags an die Stelle von Ass, denn wegen D== O kann dann Aaz nicht auch verschwinden. Wir erwähnen noch, daß die Doppelpunkte des Null- streifens in dem betrachteten Falle notwendig auf der Schnittgeraden

00. U=o des Ebenenpaares(7) liegen und wie man leicht sieht, durch die Gleichungen
U= O0, U= 0, Aa22— 2 Azzzt+ Agt'= 0 bestimmt sind. ISt Azz== 0, so liegen sie beide im Endlichen und haben die Koordinaten
(8) U:U:Zz:t= 0:0:(Azs& Azst— AagAas]: Asz. Ist Ags= 0, so liegt einer im Endlichen, einer im Un- 1 endlichen. b) 111= 0. 1) Die Gleichungen des Nullstreifens lauten hier: (0)[2(a2 a13t))X+ 2222 2+ 2 a232 t+ a3z t“= 0,
T2(auz+ aua) X+ a22 22—= 24242t+ az3t'= 0.
Zu dem Nullstreifen gehnören also alle Punkte der Geraden
(10) z2= 0, t= 0,
und zwar zählt diese Gerade, Wenn al ài— A12 al3= 0'st, doppelt, weil sie dann und nur dann aus lauter Doppel-
punkten besteht. Der Nullstreifen zerfällt mithin, wenn aiz A1— A13 413-= 0 ist, in die Gerade(10) und eine 1
Raumkurve 3. O. Im Unendlichen liegt außer der Geraden (10) noch der Punkt
(11) XIS= au 422, X= a 422, 2=— 2 a12 a12, t= O. Wenn ich die Gerade(10) ausschließe, kann ich ansetzen: 2= 0, t= 6.5,
Wo o ein Proportionalitatsfakclor, ahund 6 reelle Parameter sind. alz+ aizt und aaa 2*+. 2 a2z zt—+† aazt' können außer für 2= t= O0 nicht gleichzeitig verschwinden, weil sonst D= O wWäre, also Kkann man etwa
0üä=— 2(aiza+ a213)(al2 a+ a13 6)
annehmen. Dann ist 4
X—(A2a a** 2 à23 06; 233 /)(Auο+ 2136), X=(aaz ³²+‿ 2 a2z 56+ a3s 6¹)(a12⁶+ a¹z ⁰), 2=— 2(al2 0 a13 /)(Al2 213 /0),
t=— 26(Auα ‿—. a3)(A12+h al36)
(12)
) Diesem Fall erwähnt auch schon Lie, Forh. S. 111.

die Raumkurve 3. Ordnung. Zwei ihrer unendlich fernen Punkte sind die unendlich fernen Kreispunkte der xy-Ebene; sie sind zudem Doppelpunkte des Nullstreifens, da sie auch auf der Geraden(10) liegen. Eine Raumkurve 3. O. Wird von jedem ihrer Punkte aus auf die Xxy-Ebene in einen Kegelschnitt projiziert, unsere Kurve also in einen Kreis. Der dritte unendlich ferne Punkt ist identisch mit dem Punkte(11). Ist alg àl— ailz als= 0, so können wir setzen; (13) à12= aào, àaiz= à, wo o und z reell sind. Der Nullstreifen zerfällt dann in die doppelzählende Gerade(10) und den reellen Kegelschnitt
X= a(axg d**† 2 a2z 6 a3z 2), 2=— 2 aad(u ‿‿29),
= a(a2² 32+† 2 a23+ aas 6¹), t=— 2 aaß(6α‿ ν2ℳ). Dieser ist im Allgemeinen eine Hyperbel, wenn aber alz= O und also auch Ass= O ist, eine Parabel.
(14)
II. Die Realitätsverhältnisse.
In den unter b) betrachteten Fällen lehrt der Anblick der Formeln(12) und(14) unmittelbar, daß die Raumkurve, bzw. der Kegelschnitt, reell ist; die Ausdrücke für X und X sind komplex-konjugiert, diejenigen für z und t sind für sich reell. Im allgemeinen Fall a) bestimmen wir zunächst durch die Substitution t= O in Gl.(5) die unendlich fernen Punkte des Nullstreifens; es ergibt sich:
(185 U= † am 0=4+ L e te 311 211
Da die Vorzeichen voneinander unabhängig sind, erhält man vier verschiedene Punkte, von denen zwei reell sind. Das reelle Punktepaar(+,+),(—,—) liegt in der Ebene
LAsU- LAn=.
211 211 des Ebenenpaares(7), das imaginäre Punktepaar,—), (—,+) in der andereren Ebene:
(16)
(17) LAs U † LAss U= o.
433 211

Beide Ebenen sind reell. Der in der ersten(Gl.(16)) liegende Kegelschnitt ist also eine reelle Hyperbel, der zweite in der Ebene(17) liegende Kegelschnitt kann eine reelle oder imaginäre Ellipse sein. Sind nun die Doppelpunkte reell, so liegt eine reelle Ellipse vor. Man sieht aus den Formeln (8), daß beide Doppelpunkte gleichzeitig reell oder imaginär
2 A2s As für sich reell ist, muß LAas Aas-Ass 33 A3 A33 reell sein, damit die Doppelpunkte reell sind. Diese Bedingung ist auch notwendig. Ich bestimme die Ebenen 2= e, welche die Ellipse berühren. Sie sind, wie eine leichte Rechnung zeigt, durch die Gleichung
AssO*— 2 A2se+ Az= 0, die Koordinaten der Berührungspunkte dazu durch die Gleichungen
sind; da
U= o, 9= 0
bestimmt, dieselben Gleichungen, welche die Doppelpunkte definieren. Ist nun die Ellipse reell, so sind auch diese Berührungspunkte reell, die Realität der Doppelpunkte ist also auch notwendig, damit die Ellipse reell ist.— Wir A2 t A2g Aa3— 241. D
Ag' Aga für sich reell ist vermöge der Gl.(6); die Doppelpunkte sind also reell, wenn dieser Ausdruck positiv, imaginär, wenn er negativ ist.— Ist Asz= 0, so fallen alle unendlich fernen Punkte in einen zusammen; er ist zugleich der unendlich ferne reelle Doppelpunkt. Die Kegelschnitte sind in diesem Falle zwei reelle Parabeln.
Wir fassen die Ergebnisse in einen Satz zusammen:
Soll der Nullstreifen eines L-Kegelschnitts
a1 X+ο 2 aus XZ+ aa 2*+† 2ais X+ 2223 Z+ a3s= 0, für den au== O ist, in zwei Kegelschnitte zerfallen, so ist notwendig und hinreichend ¹) Azz: Azz: Ass= Aag: Azg: As.
¹) Daß die Bedingung nicht nur notwendig ist, wie die Unter- suchung zeigte, sondern auch hinreichend, lehrt unmittelbar die Rück- wärtsrechnung.
bemerken noch, daß der Ausdruck

h die
dunkte
diese tte jst Wir
diesem
mmen:
Unter- Rück-
Die Kegelschnitte liegen, wenn Azs== 0 ist, in den reellen Ebenen VAss(au X+ a122+ au) †. As(au X+ a122+ 413)= 0.
Der in der ersten liegenden Kegelschnitt ist eine reelle oder imaginäre Ellipse, je nachdem der reelle Ausdruck — au-D: Ass' positiv oder negativ ist. Ist aul== 0, Ass= 0, so zerfällt der Nullstreifen in zwei reelle Parabeln. Ist auu= 0, aber alz d1s— à11 41== 0, So Zerfällt der Nullstreifen in die unendlich ferne horizontale Gerade und in eine Raumkurve 3. O. ISt a1 dis— A12 a1s= 0, So Zerfällt er in die genannte Gerade, die doppelt zählt, und in eine Hyperbel, die im Falle a12= O in eine Parabel übergeht.
Lie behandelt ¹) den einfachen Fall des I-Kreises
X²*³+ 22= R,
der als Beispiel zu unserem allgemeinen Satz dienen kann.—
(Für die Abbildung der komplexen Ebene auf den Ra kommen eigentlich imaginäre Gebilde im Raume nicht in Frage, Weil dadurch die Eindeutigkeit der Abbildung aufge- hoben wird; Lie sagt Forh. S. 21, Anmerkung:„Die Raum- geometrie, welche wir nun studieren, hat keine lImaginären.“ ³) Im Fall einer imaginären Ellipse müßten wir also sagen: der Nullstreifen besteht nur aus der reellen Hyperbel; wir halten jedoch an unserer obigen Formulierung fest, um die Sätze in größerer Allgemeinheit aussprechen zu können.)
III. Die Umkehrung.
Man kann die Frage aufwerfen, ob ein vorgelegter Kegelschnitt im Raume Teil des Nullstreifens eines LKegel- schnitts sein kann. Nach den bisherigen Ergebnissen kommen dazu nur Kegelschnitte in Betracht, die sich durch Gleichungen in x, y, z mit reellen Koeffizienten darstellen lassen und die ferner nicht in horizontalen oder vertikalen Ebenen liegen. Man erhält die Antwort einfach, Wenn man den gegebenen
¹) Siehe Crelle S. 352. ²) Gleichwohl wendet er sie an, wenn er von Brenngeraden der
Linienkongruenz, Brennilächen der Tangentenkongruenz usw. spricht,.

Kegelschnitt als Schnitt eines vertikalen Zylinders mit einer Ebene darstellt:
(1s)[a he der dar⸗ K ce e, eem. 0,
CX CX Pcz d= O; C== 0, c== o;
die großen Buchstaben deuten komplexe, die kleinen reelle Konstanten an. Durch diese Darstellung ist die Allgemeinheit nicht eingeschränkt; die Notwendigkeit der Voraussetzungen C== O, c== 0 liegt auf der Hand. Eliminiert man jetzt aus beiden Gleichungen(18) X, so erhält man eine Gleichung 2. Grades in X u. 2; setzt man in ihr z= Z, so resultiert unmittelbar die Gleichung des L-Kegelschnitts, der zu dem gegebenen Raumkegelschnitt gehört; man sieht, daß auch der zugehörige zweite Raumkegelschnitt schon bestimmt ist. Die Rechnung lehrt, daß man von dem so gefundenen I-Kegelschnitt mit Hülfe unseres Satzes wieder zu dem ge- gebenen Raumkegelschnitt zurückgelangt.
§ 7. Die S-Kurve.
Lie definiert die S-Kurve als geometrischen Ort der- jenigen Punkte auf der gestreiften Fläche eines I-Kegelschnitts, die mit drei gegebenen Punkten ein reelles Doppelverhältnis bilden. ¹)(Doppelverhältnis in diesem Sinne ist das konstante Doppelverhältnis, das vier Punkte des L-Kegelschnitts mit einem beliebigen fünften Punkt auf demselben bestimmen.)
Die Gleichung des l-Kegelschnitts liege in der Form vor:
a t*+ a2t+f az bit?+‿˖ bat+ bz (1) X=s arte ef.at, Ze brl. Cit+ Ct— C3 wo die a, b, c komplexe Konstanten bedeuten; t ist der Komplexe Parameter. Das Doppelverhältnis von vier Punkten t, ti, te, ts im obigen Sinne ist gleich C) e. h le
t, t kz 2) Forh. S. 24; S. 111.
—
Parame Ind de sein ml genke
Ineal! puokte it das gleich
schriütt stellen Parar. auftret lung Koord
6) X
sie 1s kurve S⸗Kur Dopp ihrer
witd: odel
streif t, S 80 8 died

reelle einheit lungen t aus hung
ultiert dem
auch
t ist.
denen ge-
der- mitts, ältnis ttante 3 mit men.) Vor:
der Kkten
lch wähle jetzt drei beliebige Punkte ti, tz, tz aus. Die Parameterwerte t, denen Punkte der S-KurvVe entsprechen, sind dann dadurch bestimmt, daß der Ausdruck(2) reell sein muß. Um eine bequemere Gleichungsform zu erhalten, denke ich mir die Koordinaten auf der Kurve durch eine linear gebrochene Transformation so transformiert, daß den Punkten ti, ta, tz die Werte 0, 1,— entsprechen. Dann ist das Doppelverhältnis der drei Punkte zu einem vierten gleich t selbst. Nehmen wir an, die Gleichungen des Kegel- schritts lägen schon in der transformierten Form vor, S0 stellen Gl.(1) die S-Kurve dar, wenn t nunmehr eine reellen Parameter bedeutet. Aus(1) erhält man, wenn ma die auftretenden Aggregate mit a., bezeichnet, die Darstel- lung der S-Kurve in den von uns benutzten homogenen Koordinaten:
G) X==A-C,& A.C, 2=7(6C 5C
)
sie ist, wie man sofort erkennt, im allgemeinen eine Raum- e Punkte der
kurve vierter Ordnung. Wenn jedoch sämtllche S-Kurve Nullpunkte sind, schließt man aus der Realität des Doppelverhältnisses ähnlich wie S. 16, daß sie von jedem ihrer Punkte aus auf die xy-Ebene in einen Kreis projiziert wird; sie kann demnach nur eine Raumkurve 3. Ordnung oder ein Kegelschnitt sein.— Da im Allgemeinen der Null- streifen eines L-Kegelschnitts eine RaumkurvVe rter Ordnung ist, kann er also keine S- Kurve sein. Artet jedoch aus,
so sind seine einzelnen Zweige S-Kurven(Weiteres über die S-Kurve findet man in der Abhandlung Nr. 4) § 8 Der L-Kegelschnitt als Tangen ntengebilde. Fassen wir den l-Kegelschnitt auf als Erzeugnis seiner l-Tangenten, so kommen Wir zu interessanten Ergebnissen bei Betrachtung ihrer Nullstreifen Nach dem im§ 3

bewiesenen Satz bilden diese eine Kongruenz, deren Brenn- flächen zwei imaginäre Zylinder sind. Ihr reeller Durchschnitt ist der Nullstreifen des L-Kegelschnitts. Für den Fall, daß der Nullstreifen ausartet, ergeben sich besondere Beziehungen, die Lie erwähnt.¹) Wir betrachten den allgemeinen Fall, Wwo an und Asz von Null verschieden sind. Die H. T. ²) sind, Wie der Anblick der Gl.(S) S. 17 unmittelbar lehrt, durch die Gleichung: (1) Assz“— 2 Azsz A2= 0
bestimmt. Lie spricht den Satz aus:„Sind die beiden Hl. T. zwei horizontale Nullebenen, So zerfällt der Nullstreifen des EKegelschnitts in zwei Kegelschnitte.“ In der Tat, sind die beiden Wurzeln
(2)
A2a t As= A22. A3 A33 A der Gl.(1) reell, so ist auch ihre Summe A und ihr Pro- 33 dukt A2s reell, es besteht also die. Beziehung:
A33“ Aaa: Azs: Azz= Agg: A: Ag.
Die Quadratwurzel ist für sich reell, wenn Aaz mit in die Wurzel hineingenommen wird, d. h. der Radikand ist positiv. Nach dem Satz des§ ö zerfällt der Nullstreifen in zwei reelle Kegelschnitte.— Haben die beiden H. T. dieselbe Lage, aber entgegengesetztes Gewicht, d. h. sind die Aus- drücke(2) Kkomplex-konjugiert, so ist ihre Summe und ihr Produkt wieder reell, So daß der Nullstreifen ausartet. Hier ist jedoch die Quadratwurzel imaginär, der Radikand negativ reell, So daß der eine Kegelschnitt imaginär ist. Natürlich lassen sich die Sätze umkehren.—
Für die weiteren Untersuchungen transformieren wir die Gleichung des I-Kegelschnitte in Linienkoordinaten einer besonderen Art. ³) Die L- Tangenten schneiden auf den beiden H. T. projektive Punktreihen aus. Dabei entspricht dem Berührungspunkt der einen der unendlich ferne Punkt der
¹) Forh. S. 114.
²) Abkürzung für horizontale l-Tangenten.
²) Wir setzen nicht voraus, daß der Nullstreifen des L-Kegelschnitts ausartet; Lie macht Forh. S. 114 von vornherein diese Voraussetzung
—
———————

1 '
anderen. Nennen wir die Abschnitte, die eine beliebige L-Tangente auf den H. T., von dem Berührungspunkt an gerechnet, abschneidet, A und B, so hat vermöge der bekannten Fluchtpunktrelation projektiver Punktreihen das Produkt A-B einen konstanten Wert, 80 daß die Gleichung A-B= const. als Gleichung des L-Kegelschnitts angesehen werden kann. Die neuen Linienkoordinaten A, B sind mit den alten Koordinaten einer I-Geraden(§ 1) durch die Be- ziehungen
(3) A= A+ B2— X’, B=A+† B22— X. verbunden; dabei sind X,, Zi; Xa, Za die Koordinaten der Berührungspunkte der H. T. Man erxrhält nun auf einfache Weise den Wert der Konstanten, indem man eine beliebige I- Tangente herausgreift und das Produkt A-B bildet:
(4) A-B= A2³*— Ae Agg— D
a*-Agz 5 an-As Weiterhin setzen wir voraus, daß der Nullstreifen in zwei Kegelschnitte ausartet; dann sind Zi und Za reell und der Nullstreifen der I-Geraden A, B hat dann, wie man durch eine leichte Rechnung findet, die Gleichungen G U= A2 2 B.,=AE e B 2. 21— 22 21— 22 21— 22 21— 22 IIm Rz werden A u. B abgebildet als Strecken in den horizontalen Ebenen 2z= 2z1 und z= 22, vom Berührungs- punkte bis zum Durchschnitt des Nullstreifens der l-Geraden.]
lch greife jetzt eine L- Tangente heraus und bestimme
sämtliche anderen l-Tangenten, deren Nullstreifen den der
festen schneiden. Die feste l- Tangente habe die Koordinaten
Ao, Bo, die laufende L- Tangente die Koordinaten A, B, 80
daß Ao Bo= A⸗B=— L ist, wenn ich die Konstante der
Gl.(4) mit— L hezeichne. Die Bedingung für das Schneiden
ist ausgedrückt durch das Verschwinden der Determinante A— Ao B— Bo
A= Ao B= Bo
so daß man die laufende L- Tangente durch die Gleichung (6) B— Bo=((A— Ao)
darstellen kann, wenn o ein reeller Parameter ist. Benutzt
man die Gl.(4), so erhält man aus(6):

daß - A=, 3=— edu sch 0 Sucht man jetzt die l-Tangenten, die eine der Tangenten dn (7) schneiden, so kommt man zu einem dem System(7) fu 1 2— 9„ 2. j— 1¹ analogen,(77) A= Ao— B.— A. ,“ dem die Tan 21
gente Ao, Bo oöffenbar genügt. Zu jedem gegebenen Wert Ao Llel gehören also zwei Systeme von l-Tangenten; jede Gerade des einen Systems schneidet jede Gerade des andern, sie bilden mit anderen Worten eine Linienfläche zweiter Ord- nung.— Man Kkann in(7) den reellen Parameter o mit dem absoluten Betrag a von Ao= a- verschmelzen und erkennt, daß man alle Systeme in=1 Systeme von Flächen 2. Ord- nung zusammenfassen kann. Die Gleichung dieses Flächen- systems erhält man, indem man zunächst die Erzeugenden- schar darstellt: man setzt die Ausdrücke(7) in(5) ein und erhält als Gleichungen der Erzeugenden nach einer einfachen Umformung: aLU— LU= e(asL.—„L.) 2—2, din 21— 22
68)
—-— Z— 23 U— aD=—(u*L— aL) n. 21— 22
Multipliziert man beide Gleichungen miteinander, so fällt
der Parameter o heraus, und man erhält so als Gleichung
der Fläche, wenn man die Werte für zi, z2 u. L einsetzt
A23*— A22 3 Ag
A3.
und gleichzeitig durch den reellen Ausdruck dividiert:
A 22 2 A2g 2—+ Aae M As3(*— A33 O:
(9) 4 A33 an: A11²
+ NOU=o. 4
1 Dabei sind M und N Abkürzungen:
[Ag 22 A22, 2— A33 — 2
2²), N
———
— A3 K S 2. d11
(10) M=(— 2 3 2 ½ d1 11 Ann
Die Berührungspunkte der H. T. gehören natürlich jeder' Fläche der Schar an. Bildet man die Gleichung der Tan- gentenebene an die Fläche in diesen Punkten und beachtet,

27—
daß für diese Punkte U, U und Ass 21— 2 Ags 2+. Acs ver- schwinden, so erkennt man, daß z= zi und z= z2 die Tangentenebenen sind, d. h. diese Ebenen berühren jede Fläche der Schar(o) in den Berührungspunkten der H. T.
Ich bestimme die etwaigen Mittelpunkte der Flächen. Zu diesem Zweck bilde ich in bekannter Weise die Koeffi- zientendeterminante:
— 1. N 0 0 A1* 2
1 Aa⸗
N 233 0 0
V 2 A11*
1 A2r
9 0 M— M 4 4 Ag3 1 A* 1 A2 0 0——= AM 22 M. 4 Az 4 A33
Nenne ich die Elemente dieser Determinante biu, die zu bix adjungierte Unterdeterminante Biu, so sind die Koor- dinaten des Mittelpunkts:
B r. B. B. U— 14, U.— 24, 2— ¹ 34 B4 B⁴⁴ B4⁴ Nun ist: 1 Az 2 B4.= 0, B24= 0, B34= 7 M(barbaz— b:.), 4 33
Ba4— 1 M(bin bzz— b 22). Demnach ist: U.= o, U,=O, 2.= Aae 2.
d. h. der gemeinsame Mittelpunkt aller Flächen der Schar
ist der Mittelpunkt der Verbindungslinie der Berührungs-
punkte der H. T.; die Strecke selbst ist gemeinsamer Durch- messer der Schar.—
— 3 D—
Die Amplitude der Konstanten L— Sei»; sie
1112*33
3— A33
ist gleich der Amplitude von=.
a
11
Bei der Fläche, die dem

— 23—
.. 2.. Parameterwert ᷣ= C08 2, iSin entspricht, haben die
Strecken A u. B dieselbe Richtung im Raume. Man er- kennt dann, daß M verschwindet, da Minuend und
Subtrahend den absoluten Betrag von 98 darstellen. N
stellt entsprechend den doppelten Wert dieser Größe, also
2 Vün Lae AII A11
dann in der Form:
LAa U LA U=o A11 A11 1
sie artet also in eine doppelt zu zählende Ebene aus; es ist die eine Ebene des Ebenenpaares, in dem die Kegel- schnitte des Nullstreifens liegen; ¹) alle in dieser Ebene liegenden Tangenten umhüllen den entsprechenden Nullkegel- schnitt.— Analoges findet statt bei dem Parameterwert
r+.‿+
u= C08 2 isin 11 nur stellt hier N den negativen
doppelten absoluten Betrag von A33 dar; diese Fläche artet a
11 in die andere Ebene des erwähnten Ebenenpaares aus (S. 19, Gl.(17)).— Die Sätze dieses Paragraphen findet man bei Lie, Forh. S. 114/118 für einen speziellen Fall (L= reell) ohne analytischen Beweis.—
§ 9.
Der Hyperbeloidsatz.
Die Ergebnisse des letzten Paragraphen ermöglichen es, den Beweis eines grundlegenden Satzes der Theorie zu liefern, den Lie ohne Beweis HForh. S. 115 anführt:
¹) S. 19, Gl.(16).
dar. Die Gleichung der Fläche erscheint

„Es sei U eine beliebige Linienfläche 2. Grades ge- 9 bildet von l- Tangenten eines L-Kegelschnitts K, dessen Nullstreifen in einen oder zwei Kegelschnitte ausartet; es sei P ein beliebiger l-Punkt desselben L-Kegelschnitts. Die Geraden der Kongruenz P, welche die Fläche U
berühren, bilden zwei Hyperboloide mit horizontalen
1 Kreisschnitten.“—
Zum Beweise dieses Satzes formen wir die Gleichung des LKegelschnitts(S. 16, Gl.(1)) und der allgemeinen Tangentenfläche(S. 26, Gl.(o)) um. Wir benutzen dabei die Abkürzungen:
1 B /— B N
(1) 2.= k, LAr, m. LA, lAa n.
au1² drn A1 911 A11 L hnat die frühere Bedeutung(S. 25, Gl.(4)). Die
—.
Kegelschnittgleichung nimmt dann die Gestalt an: 1 Azs2²
(2) a,,1(au X+ an Z+ 215)*+ K ²(2—₰ 6)+ 1.— 0, 11 33
1 die Gleichung der Tangentenfläche ist:
A 1 m*n*²³——— (3)(«(2— 46s) PLmgas(KU— KU2 mUCU= 0.
Es sei jetzt Xo, Zo ein ganz beliebiger LPunkt. Die Kongruenz, deren Träger er ist, nehme ich in der Form an:
U— 1.(au Xo— an Zo— a1³)
A23 Aag* =p(( An)(2.— An), nebst der dazu konjugierten Gleichung. P ist der komplexe Parameter. Ich bringe jetzt eine beliebige Gerade der Kon- gruenz(4) zum Schnitt mit einer beliebigen Fläche der Schar(3), indem ich die Werte U und U aus(4) u.(3) eintrage. Ich erhalte so eine quadratische Gleichung zur Bestimmung der 2z-Koordinafen der Schnittpunkte. Zur Abkürzung setze ich noch
) e. An X, † au2o † au)— P(2.— An
1(4)

Die Gleichungen der Kongruenz sind dann A)
U= Sſ 1 6 U= P(2— S) I. U=P(Z 25]+ 1.)) Die angekündigte Substitution liefert: 2/ A3)“ m2 n² be= aa) ree- 0 p-XH(=- An) Gr= KD A A— 2] A2 11 A³. Pn P(2 KJ- 1. 115(2—) o.
Wenn die Gerade JTangente sein soll, müssen die Schnittpunkte zusammenfallen: die Diskriminante dieser Gleichung für z muß verschwinden.
— 4 8 cP KPy fpp 6) 4 mens— KT= KT mTT *.)=2dEP-=KPNT= KI) enucr p)=o
Löst man die geschweiften Klammern durch Ausmultipli- zieren auf und faßt geeignet zusammen, so kann man durch man? dividieren und erhält:
man l⸗ 2 1-
1— 2TT— nE
+ Kr kK) 4+ L. Kp— kpP=.
pPP PT= PT) †
Mit Ausnahme des ersten und vierten Gliedes multipli- ziere ich weiter aus; es heben sich dann einige Glieder fort, die übrigbleibenden fasse ich folgendermaßen, indem ich anstelle von m und n die neue Abkürzung
(9) 4= Kzα+‿μ‿ K22 einführe, zusammen:
Aas 4) 4 ist reell.
——
iink die

.
4 L, aTT PP-= Pf PDe- KCI. 1 pa) KE(I= K 1 Pe) † Kak= 1r9
1 1 Ich multipliziere die Gleichung mit und ergänze die
L
K2
4 linke Seite zu einem vollständigen Quadrat; es resultiert so die verhältnismäßig einfache Form:
V ibraTen,=r E Ke po)
(10) 1e4.(e..Pe)
K² Setzt man jetzt aus(6) die Werte für P u. P ein, so
erhält man in U, U, z eine Gleichung 4. Grades von einer besonderen Art*²): die Geraden einer beliebigen Kongruenz, die eine Tangentenfläche berühren, bilden eine Linienfläche 4. Ordnung.
Ist nun der Träger der Kongruenz Xo, Zo ein beliebiger Punkt des l-Kegelschnitts, so sind die Faktoren der rechten Seite von(10) vollständige Quadrate. Benutzt man nämlich den Wert für T aus(5) und berücksichtigt, daß Xo, Zo die Gleichung(2) befriedigen, so erhält man nach dem Zu-
—
eüinemi⸗heru. 12f E. K.+ P)= ſp r(2.- An) 4 L e. 2)”
(In der geschweiften Klammer könnte statt des Minus- auch ein Pluszeichen stehen; das Vorzeichen ist jedoch vollkommen bestimmt, da X, Zo ein fester Punkt des l-Kegel- schnitts ist. Ich wähle für die OQuadratwurzel das Plus- zeichen.)— Die Gleichung(10) zerfällt dann in die beiden:
¹) 15 ist reell!
³) siehe Salmon-Fiedler, Raumgeometrie II, 1880. S. 501 ff.

4 k 8 Ans)“ 2E ſik 2ο⁷ο— P(2— 49 =IO2 7)—=B(2 Au 4* Lpp 71¹) Ansſ =tp 1O2r2o)— ik(Lo An) Au 5IO2,2) iK(2.— Aà2) wenn O(Z2) die quadratische Form(2= A) K be-
deutet. Die Fläche 4. Grades artet also in zwei Flächen 2. Grades aus. Setzt man für P u. P die Ausdrücke in
den Koordinaten U, U, z ein, so erhält man die Gleichung der Flächen in diesen Koordinaten.
Es ist nun leicht zu übersehen, daß die Flächen Hyper- boloide mit horizontalen Kreisschnitten sind. Im§ 2 haben wir den Satz bewiesen, daß Gerade einer Linienkongruenz, die eine Horizontalebene in einem Kreis schneiden, ein solches Hyperboloid bilden. Nimmt man nun für z einen festen Wert
an und ersetzt P u. P(die betreffenden Ausdrücke sind linear in U bzw. U; siehe Gl.(4)), so sieht man schon an der
Form der Gl.(11), daß an quadratischen Gliedern nur UU vorkommt. Die Gleichung ist zudem in den Komponenten von U reell, stellt also in der Tat einen Kreis dar.—
Der Satz gilt nun auch für die beiden ausgeafteten Flächen des Systems, die Ebenen, in denen die Nullkegel- schnitte liegen(siehe§ 8). Die berührenden Geraden der Kongruenz schneiden zwei unendlich benachbarte Erzeugende der Fläche; im letzteren Fall gehen sie durch die Punkte der Nullkegelschnitte, da diese der Ort der Schnittpunkte zweier unendlich benachbarter Tangenten sind. Die Gleichungen der Hyperboloide werden erhalten, wenn man für den Para- meter u, der in q auftritt, die beiden im§ S ermittelten Werte einsetzt. Damit ist ein von Lie Forh. S. 112 auf Grund einer anderen Uberlegung ausgesprochener Satz be- wiesen:„Die Nullkegelschnitte werden von einem beliebigen L-Punkt des Kegelschnitts auf die Xy-Ebene in Kreise
proicie- die Gel Im Raul die and einen 5 kegelsc y-Pbe Rall ei wie Sc in einen angehõ enthält PKegel flypert

— 33—
projiziert.“— Ist der l-Punkt selbst ein Nullpunkt, so gehen die Geraden der Kongruenz durch den Bildpunkt von P im Raume. Eine Projektion artet dann in eine Gerade aus, die andere hat auch jetzt die Eigenschaft, auf der Xy-Ebene einen Kreis auszuschneiden:„Jeder Punkt eines der Null- kegelschnitte projiziert den anderen in einen Kreis in der Xy-Ebene“, ein Satz, den Lie Forh. S. 28 für den speziellen Fall eines L-Kreises ausspricht.— Gleichzeitig gilt auch, wie schon Lie sagt, daß jeder I-Punkt, der einen Kegelschnitt in einen Kreis auf die xy-Ebene projiziert, dem LKegelschnitt angehört, der den gegebenen Kegelschnitt als Nullstreifen enthält; das folgt bei uns daraus, daß nur für l-Punkte des I-Kegelschnitts die Berührungsfläche der Kongruenz in zwei Hyperboloide mit horizontalen Kreisschnitten zerfällt.

1'
Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Gießen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
VI. Heft
Zur natürlichen Geometrie ebener Transformationsgruppen
VOI
Josef Fuhrich
Gießen 1922 Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Gießen, Bismarckstraße 16
Preis M. 10.—; für das Ausland 1 Schweizer Franken
Buchdruckerei Albert Hille, Dresden

Inauguraldissertation der Philosophischen Fakultät der Universität Gießen. Genehmigt am 30. Mai 1922. Berichterstatter: Dr. F. Engel und Dr. L. Schlesinger.

J.
Ueber den Invariantencharakter der Pick'schen Koordinaten
Nach G. Picki) entspricht jeder r-gliedrigen Transformations- gruppe Gr in Analogie zur Cesaro'schen Sanderi intrinseca“ ebenfalls eine„natürliche Geometrie“. Die Rolle der Cesaro' sche en Koordinaten in 1 bezug auf das System Tangente-Normale(d. i. Ge- rade und Normale eines Linienelementes) übernehmen bei Pick die sogenannten„kovarianten Koordinaten“. Diese sind zwei nach X, Y unabhängige Funktionen u, v von X, Y, x, y, y... yG— 2), d. h. sie hängen von einem Puni Kte X, Y oder P und einem Element (r— 2) ter Ordnung: x, y, V.. yG²) oder er- ab. Ihre Funda- mentaleigenschaft ist die Invarianz gegenüber Gr. Deshalb kann man sie durch Integration des vollständigen Systems: A9 f A0l.— 2) f= O (= 1, 2,.. r) gewinnen, wobei man unter den Agb)f die(r— 2) mal
erweit totte n infinitesimalen Transformationen von Gr, unter Apf die- selben in X, Y geschrieben, zu d versienen hat.
u, v können durch zwei Funktionen U(u, v), V-u, v) ersetztwerden.
Nun hat-G. Kowalewski in mehreren Abhandlungen ²) diesen Gedanken ausgebaut und vertieft, und insbesondere dadurch, daß er den Zusammenhang mit den Lie'’schen Theorien hervorhob und die kovarianten Koordinaten als Spezialfall des Invariantenproblems der Gruppentheorie auffassen lehrte, neue Entwicklungsmöpxlich- keiten erschlossen und es insbesondere ermöglicht, die in gruppen- theoretischer Hinsicht erzielten Fortschritte auch auf die natürliche Geometrie nutzbringend anzuwenden.
So geben uns die neuesten Untersuchung en Kowalewski's über die Differentialinvarianten der ebenen Transformationsgruppen ein Mittel an die Hand, die kovarianten Koordinaten in weit ein- facherer Weise zu berechnen und im Hinblick auf ihren Invarianten- charakter ihre Eigenschaften zu studieren.
Es läßt sich U so wählen, daß es y— ²) nicht enthält, also nur von P und er-s abhängt, weshalb wir U als die„niedrigste
1) Ber. d. Wiener Akad. 1906.
2) La Géom. intr. et la premièré propos. fond. de Sophus Lie: C. Rendus, t. 158, 1914; Neue Grundl. u. Entwicklungsmõgl. d. Geom. intr. ebener Transf.-Gr.: Sitzungsber. d. böhm. Ges. d. Wiss. 1919; schließlich: Leipziger Berichte Dez. 1921.

—4—
kovariante Koordinate“ bezeichnen wollen. Ist die höchste in U vorkommende Ableitung wirklich yé(r— 3), so darf man nach einem Satz von Kowalewski U in y-— ³) linear annehmen: U= A(D, er4) 6(P, er- 4) VIr S 2).(1) Nun muß voraussetzungsgemäß U= O sein. Berücksichtigen wir die Relation 6y3)=(L † MyCr 3)) 3t,(2) die für 12 4 ganz allgemein gilt, so erhalten wir: S, 3. ye 3) AS(I.+ My(r=) 6t= 0, also(3)
36
zt 6 Me= 0 Xolg 5=— Mo(4) 30 oder Pſeenisch
Hierbei haben wir zur Abkürzung X9f= Ag f+ Ar 4) f gesetzt.
Aus(4) berechnen sich die Ableitungen von lgõ nach X, Y, X, y, y’,... yCr— 4). Man hat also dlgs und kann daher lgé durch Quadratur bestimmen. Auf ähnliche Weise findet man die Größe« aus(5).
Statt der Integration eines vollständigen Systems von partiellen Differentialgleichungen haben wir also zur Bestimmung von U nur zwei( 4)-gliedrige Systeme von 1—4 endlichen linearen Glei- chungen aufzulösen und zwei vollständige Differentiale zu inte- grieren.
Aus diesen Erörterungen ist ersichtlich, daß die niedrigste kovariante Koordinate U sich in gewisser Hinsicht so verhält, wie die niedrigste Differentialinvariante]J einer(— 2)-gliedrigen Gruppe
gr- 2, d. h. die höchste in U vorkommende Ableitung ist yGr— 3)
und U ist in dieser linear.
Um zu entscheiden, in welcher Beziehung gr- 2 zu steht, gehen wir von der bemerkenswerten Tatsache aus, daß alle transi- tiven G-(r 2 4) in ihrer kanonischen Form die beiden infinite-
simalen Translationen pe und q enthalten. Dann kommen aber in
den Systemen(4) und(5) die beiden Gleichungen 21. di 81 9X„d
dv+ 5*= O vor, welche besagen, daß U= U(X— X, y— Y, y, y“.. yE- 3)), also vollständig durch Jbestimmt ist und daraus vermõöge der Transformation:
XL= X— X, vVI= y— Y(6) hervorgeht, die wir mit S bezeichnen wollen. Nun ist aber hier die gr-2, zu der J als niedrigste Differentialinvariante gehöft,
⁴.-08u—————..

el
— 5—
diejenige(r— 2)-gliedrige Untergruppe von Gr, die man durch Weglassung von p,— erhält. Es gilt also für die kanonischen Formen aller transitiven G-(152 4) der Satz, daß die niedrigste kovariante Koordinate U aus der niedrigsten Diffe— rentialinvariante J der durch Weglassung von p, erhaltenen(1— 2)-gliedrigen Untergruppe vermöge der Transformation S hervorgeht: U=(J) S.
Ist nun g.2 die kanonische Form, auf die sich gr-z vermöge einer Transformation T bringen läßt, so kann man, wenn man die niedrigste Differentialinvariante von gr—e als bekannt voraussetzt, von ihr durch Anwendung von T zu J gelangen und somit U ohne jede Integration bestimmen. So erhält man Zz. B. die niedrigste kovariante Koordinate der allgemeinen projektiven Gruppe, indem man auf die niedrigste Differentialinvariante der allgemeinen affinen Gruppe eine(4 mal erweiterte) Dualität anwendet und dann X— X, y— X statt x, y einsetzt.
Liegt aber die Gruppe in einer Form G-* vor, in der sie p, q nicht enthält, so können wir sie uns aus der kanonischen Form Gr durch Anwendung einer Transformation T entstanden denken. Daun folgt aus Ce= I— 1Gr I:
Tr*. 2= I 1ge 2 T, J*=() und U.=(U)I
und daraus wegen U=(J)S und J=(+f) T-¹: U=(r) T= ¹s und. schließlich:
U=(†) 1-—1SI. Die niedrigste kovariante Koordinate U einer in nicht-kanonischer Form vorgelegten transitiven Gruppe G.(r5 4) geht also aus der niedrigsten Diffe- rentialinvariante J derjenigen(1— 2)-gliedrigen Untergruppe g-'?, welche man aus Gey durch Weg- lassung der beiden mitp, resp.— vermöge der über- führenden Transformation T ähnlichen infinitesi-— malen Transformationen erhält, durch Anwendung der Transformation T-1ST hervor.
Auch über die Beschaffenheit von U können uns diese Fest- stellungen Aufschluß geben. Liegt z. B. eine Gruppe von der Ge- stalt p, q, in q...* 2d vor, so besagt das Verschwinden der Determinanten der Gleichungssysteme(4) und(5) zunächst nur, daß überhaupt eine Abnormität vofliegt, während man daraus, daß die(1— 2)-gliedrige Untergruppe intransitiv ist, sofort entnehmen kann, daß ihre niedrigste Differentialinvariante und damit auch U von nullter Ordnung sein muß, nämlich U= X— X. Und da

— 6—
nach einem Satz von Kowalewski die niedrigste Differential- invariante einer mehr als zweigliedrigen Gruppe, wenn sie nicht von(r— 1)-ter Ordnung ist, nur von nullter oder(r— 2)-ter Ord- nung sein kann, andrerseits aber der letztere dieser beiden Aus- nahmsfälle für uns nicht in Betracht kommt, da ihm eine in (r— 2)-maliger Erweiterung intransitive Gruppe entspricht, die keine kovarianten Koordinaten hat, so folgt der Satz, daß, wenn U von niedrigerer als(1— 3)-ter Ordnung ist, es nu T von nullter Ordnung sein kann.
Zur Vervollständigung des Beweises ist nur noch zu zeigen, daß die Erniedrigung von J auf die(1— 4)-te Ordnung auch die Erniedrigung der niedrigsten Differentialinvariante I von Gr auf die(r—— 2)-te Ordnung nach sich zieht. Nun ist die erwähnte Ordnungserniedrigung von J nach G. Kowa lewski nur in einem einzigen Falle möglich, wenn sich nämlich gr2 durch eine Trans- formation T auf die kanonische Form
p, q, X—, XEQ,.. Xä 5—, Xp †(1 4) y bringen läßt. Dann verschwindet die Determinante des Glei- chungssystems dadurch, daß ihre letzte, also die(1— 4)-te Spalte aus lauter Nullen besteht, eine Eigenschaft, die bei der über- führenden Transformation erhalten bleibt. Es muß daher auch die
Determinante ⁸‿ des Gleichungssystems für gr- auf die gleiche Weise verschwinden, d. h. ihre letzte Spalte kann kein von Null verschiedenes Element enthalten. Nun enthält aber die Deter- minante D des Systems für G- AT= als Unterdeterminante. Und da infolge der neu hinzutretenden Translationen p, q die(r— 4)-te Spalte von Tru lediglich um die beiden Elemente 0, O vermehrt wird, so ist auch D= 0, d. h. es ist auch die niedrigste Diffe-
rentialinvariante l von G. von niedrigerer als(r 1)-ter Ordnung, kann aber auch nicht von nullter Ordnung sein, da Ga transitiv ist. I ist also von(r— 2)-ter Ordnung und Gr gehöõrt zu jenen Gruppen, denen keine natürliche Geometrie entspricht.
Für eine viergliedrige Gruppe bestehen die Relationen(1) und (2) nur dann, wenn s von y frei ist, also 5= 5(x). Nur in diesem Falle ist die Quadraturenmethode anwendbar. Es ist dann X9 ¹— A0 f A9 f. Die kanonischen Formen erfüllen sämtlich diese Bedingung.
Unter den viergliedrigen Gruppen nimmt p, Xp, yq, x½p+† XyC (und alle damit ähnlichen) eine Sonderstellung ein, da sie q nicht enthält, U also nicht mittels J bestimmt werden kann, sondern direkt aus den Systemen(4) und(5) zu berechnen ist.

—
———⏑——O—O—O—O—C—C—C—C—CQC—CQ—OꝑO;&L—
2*
In dem Begriff
unsere Methode a
zudehnen.(2) erscheint dann in der Form Jy=(L+ Ny) ¹t,
es muß also„ in;
schreibt sich(4) folgendern aßen: — dlg 6 d lg 5 dlg 5 272 lg e, d lg I, dIgG M⸗ 8X 9 dxX 9 d 6
und analog auch(5), wobei, H die in X, Y geschriebenen s,
bedeuten.
Von den Ausnahmsfällen ist hier besonders die Gruppe der rwähnen, auf die sich unser Verfahren wegen
Bewegungen zu e n
8=— y
invariante Entfernungsquadrat( also auch die grundlegende Bedingung(1) nicht erfüllt.
Die Bestimmung von U vermöge der niedrigsten Differential- invariante einer eingliedrigen Untergruppe ist hier natürlich nicht
anwendbar.
Ist nun ds das Bogenelement der Gruppe Gr, so können wir die zweite kovariante Koordinate V direkt gleich 4 setzen, womit 8
wir auch schon eine der beiden Identitätsbedingungen in besonders einfacher Weise erhalten haben. Um auch zur anderen zu ge-
4.... d V C1. langen, die bei Pick in der Form=&(u, v, I) auftritt, wobei
nach Kowalews
von G linear sein muß— stellen wir folgende Ueberlegung an.
Es
1—,„ 7„(r— ¹ NI
3 7. J.A V J also dy A(X, Y, X, y yeE 2)) U(X, V. X, y, v. 3) ds.
v V= VGCX, V, X, y, V 2. v 2)* ye B(X, V, X, y.. vOG 2).
Da nun U, V in
lassen sich X, Y aus ihnen berechnen:
= X(II,V,
dV.— Setzt man diese Werte in— ein, indem man hierbei noch U, V als Konstante betrachtet und ihnen spezielle Werte Uo, so erhält man für
nach direkt als die Differentialinvariante I von Ge ansehen kann.
Die Identitätsbedi
dU
ds
icht anwenden läßt. Und es ist auch in der Tat das
— 7—
der„verkürzten Gruppe“ besitzen wir ein Mittel, uch noch auf die dreigliedrigen Gruppen aus-
linear sein und außerdem&=(X), Dann
2+‿(V— y)? in y nicht linear,
U
ds ki in der niedrigsten Differentialinvariante I
bezug auf X, Y voneinander unabhängig sind 8„
X, V... yE 2)), V==Y(U, V, X, y. vE 2)).
2
ds
3
einen Ausdruck, den man seiner Struktur 18
ngungen haben also jetzt folgende Gestalt: dV ds
I —
.5(U, vV)(.V).

8=
Demnach ist auch I durch J und ds bestimmt. Führen wir noch
48 eine do Differentialinvariante von gr-e ist und als solche nur von J und
das Bogenelement do der ge- ein und beachten, daß
do abhaàngt, so folgt, daß die vier Größen U, V, ds und I alle durch Jund do bestimmt sind. Nun gestatten uns aber die vor-— stehenden Ausführungen, dieselbe Schlußweise auf J und do an- zuwenden, d. h. sie vermöge der kovarianten Koordinaten der gre auf die entsprechenden Größen einer bloß(1— 4)-gliedrigen Untergruppe der g-— 2 zurückzuführen.. Durch Wiederholung dieses Verfahrens lassen sich schließlich U, V, ds, I der Gr durch die niedrigste Differentialinvariante J und das Bogenelement dõ einer in Gr als Untergruppe enthaltenen drei- resp. zweigliedrigen Gruppe ausdrücken und auch umgekehrt ohne Integration aus diesen aufbauen, wofern es gelingt, die
Funktion in den Ausdrücken 19 2
d =1(b= ds)se=(=, 1 2,) 9—2
in allgemeiner Weise zu bestimmen. Auf eine ausführlichere Ent- wicklung dieses Gedanken muß an dieser Stelle verzichtet werden.
I. Bestimmung der kovarianten Koordinaten aller ebenen Transformationsgruppen.
Nun wollen wir mittels der in I. erläuterten Methode die ko- varianten Koordinaten aller endlichen kontinuierlichen Gruppen
„der Ebene¹) bestimmen und mit denjenigen vergleichen, welche
E. Nohel in seiner Abhandlung gefunden hat').
Das Verfahren soll in einigen Fällen zur Erläuterung voll- ständig durchgeführt werden, während wir uns im übrigen mit der Angabe des für U berechneten Wertes begnügen wollen, da die zur
4U V dV(U,VI4.(U,V) erfordeflichem
Berechnung von+= V, 3 ds ds Größen ds bereits in übereinstimmender Weise von C. Heineck ³)
und E. Nohel in der oben zitierten Arbeit, I jedoch von Lie)
bestimmt worden sind.
¹) Siehe das Verzeichnis bei Lie-Scheffers: Kontin. Gruppen, S. 360 f.
²) Zur natürlichen Geometrie ebener Transformationsgruppen. Wiener Akad.- Ber. C XXIII, IIa, 1914.
3) Diss. Leipzig 1899.
¹) Norw. Arch. 1883.

9=
A. Primitive Gruppen.
1. Spezielle affine Gruppe: p, q, Xq, Xp— yq, yp. Wir bestimmen die Differentialinvariante der Untergruppe Xq, XpP— yq, yp. Es ergibt sich in Form einer Tabelle geschrieben folgendes
Gleichungssystem: ſ df di 8f 8x d 8 V Ao 1.. Für f ist zuerst 0 1 V 1 0 0 18 6, sodann II 2 V— 0« einzusetzen. II„ O=y. 3y 0 Die Determinante des Systems ist D=(Xy’— y)². Weiter 3 y d 5— findet man: d6— dl29.= D2= 3 Ox& yy Oy dy y dy Ay y ;; 3 1 Wegen Integration gibt Ig ⁶=— 31g Xy— y), also 6=—— g gibt lg, 2y y) Gfy p Lo= O ist auch= O0; daher lautet die gesuchte Invariante: die kovariante Koordinate also U= 8. Gey v)[E= X))
Nohel hat v=— U.
2. Allgemeine affine Gruppe: p,—, Xq, Xp— yq, yp,
—— 4A.—— 1p..Jg. U=Er Ar G. e d Vire Nohers
yG. X) G) Resultate sind unbefriedigend, da bei ihm beide kovariante Koor- dinaten vyq enthalten.
3. Allgemeine projektive Gruppe:
P., d. XC, XPp yq, yp, p y—, Xpxyq—, Xyp ysq. dC Dy EV III(9v y 45y y yI- 40 y*)
(G-Ny’=-v e(3y“yV- 4y“)- 6y“2 ſX-X)y—(y=VYIXX)yY 3 y-9y 4X=X,2) ⁸
Nohel gibt hier überhaupt keine expliziten Ausdrücke an.
B. Gruppen mit einer invarianten Schar von Kurven.
——— 1
Hier sind zunächst die beiden intransitven Typen d, ge) d, †s K) q... r C)d und d, 2½ G)—, 4s G) d... gr-1G) d, yd, welche überhaupt keine kovarianten Koordinaten haben, aus- zuschalten und außerdem die beiden abnormen Typen:

— 10—
eder*ν—, XeGο*ν—... XL= e9=“ d, P
exe* q, XOdο*.. XL= e““ d, yq. p, bei denen die Untergruppe intransitiv wird und daher eine Diffe- rentialinvariante nullter Ordnung— nämlich x— hat. Es ist daher bei beiden Typen U= X O X und wegen ds= dx: V= 1.
Auch Nohel setzt beidemal u= X X.
1. Q, XO, XZQ.:X 3—. p, xp ayq; 123. Der Fall a=r=2 ist auszuschließen, da dann der Typus in den folgenden übergeht: ... xp+[(1— 2)y † xX- ²]—)). Die besonderen Betrachtungen, die Heineck diesem Ausnahmsfall widmet, kommen für uns nicht in Betracht. Nohel hat die Bedingung a=I— 2 überhaupt nicht angemerkt. Wir finden:
1 r= 3 1F X= X n„(n) 1
91=——— (X X) L n! 5
Nohel hat vV=— U. 2.—. XG, XZGC.. d, D, xp+[(1— 2) y † Xr=2—; 1.—2.
1 ſr 56— 1) 41—X) v)„ U==I 5ee e o e
Nohel's Koordinate v unterscheidet sich von U durch das Fehlen des logarithmischen Gliedes. 3.—, Xq, X2OG.. x—, yq, p. Xp; 1r= 4. Xr 3 VE- 3) = E 2 3„(n) „r4X n4. 0öD=() 1 Il!! q, Xq, X2qO... X 4, p, 2XpP+(1— 4)yq, Xp+(1— 4) xyd; — G= U ye — r 4( 1) 7(X X„2 (6-v— ₰()— Y(— X)) 4 1
n!
Nohel hat v= 9
Nohel hat v=: Ur— 2 5. p, xp, yq, Xp+ Xxyq. Hier müssen wir das Verfahren
vollständig durchführen, da dieser Typus— nicht enthält. Wir finden aus:
dlg 6 d1
dE dig 6 dlg6 SSN Ad
¹) Siehe Lie-Scheffers, S. 329.

2 daher U=)y v Nohel vertauscht X mit X.
V 6. ꝗ, XG, XZGd... éſ- 5(, yq, P, XP, d) N 12 5. G. Dyy f(1. 3) 9(1) u(x X)vGW)] 1=—. 3— X)— X 6 i i h m
Nohel hat v=— U.,
7. p, 2xp yq, Xp+† xyq. Wir berechnen U nach der für die dreigliedrigen Gruppen entwickelten Methode. Wir finden aus:
dlg 5 dlg 6 dlg 5 dX. 2 d X dX. dlg 5 dlg 5
X2———
8 d. I 5
+ 2X
also 6β= und wegen Lo= O.= 0.
Daher ist U W. Nohel hat u=— U.
C. Gruppen mit zwei invarianten Scharen von Kurven.
q, yq, yz²q auszuscheiden, denen keine kovarianten Koordinaten
Hier sind zunächst die beiden intransitiven Typen—, yq und zukommen, ferner die beiden Typen p, q, yq und p, g, yc, yeq;
deren(r— 2)-gliedrige Untergruppen intransitiv, die kovarianten Koordinaten daher von nullter Ordnung sind:
U= U2=X— X und wegen dsi= dsz= dx: VI= Ve= 1.

12— Schließlich läßt sich unsere Methode auch auf den Typus p+ q,
Xp+yq, X2p+ yy nicht anwenden, da die Linearitätsbedingung nichit erfüllt ist. Es bleiben daher nur folgende vier Typen übrig: 1. p.—, xp- ayg; a- J. = Nohel hzt ve(lyV. — X) G— X)y“
2. p, d, vyYq, Xp. UE
Nohel hat y“ in beiden Koordinaten.
X—X 3.„,. 2, Xp. U=—☛—,— Y) y“— 2*p p, d, yd, y²d, Xp 6 Vy b y 2y
Nohel hat in beiden Koordinaten y““.
4. p, q, yq, vyꝛd, Xp, Xp. U= G=XEZG Ny'X 6ylE-XV--VDILG-DYM-Dy. X)y-Vy⸗] (2 G-Vy- 2G-Dy²-(X-XOG-YV)y*]
Nohel hat in beiden Koordinaten yIV.
Die noch verbleibenden beiden Abteilungen liefern keinen Beitrag mehr, da in ihnen nur ein- und zweigliedrige Typen und der in(1— 2) maliger Erweiterung intransitive: p, q, Xxp yq vor- kommen.
Herrn Professor Dr. G. Kowalewski in Dresden sei für die rege Förderung meines Studiums und die mannigfachen An- regungen, denen auch vorliegende Arbeit ihr Entstehen verdankt, an dieser Stelle mein wärmster Dank ausgesprochen. Ferner danke ich Herrn Professor Dr. F. Engel in Gießen für die gütige Ueber- nahme des Referates.

ͤ A. MP*. Mitteilungen des Mathematischen Seminars
der Universitäat Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
VII. Heft
Zur Geometrie der dreifach ausgedehnten annigfaltigkeiten von konstantem KRrümmungsmaß
von
HEINRICH LOTZ
Giessen 1922
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16
Preis M. 10,—; für das Ausland 1 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer, Giessen

Inauguraldissertation der Philosophischen Fakultät II. Abt.
der Universität Gießen. Genehmigt 27. Mai 1922. Berichterstatter: Schlesinger und Engel.
p

I. Einleitendes.
Bezeichnen wir mit s die Bogenlänge einer Kurve, mit x die Koordinaten ihrer Punkte, so stellen sich die Richtungs- parameter der Tangente dar durch 6,— 5(= 1,2, 3)
Legen wir vorläufig unserem dreifach ausgedehnten Raum die allgemeinste Form eines quadratischen Linien- elements zu Grunde
ds:= Va dX,dXx,(, K= 1, 2, 3) dann wird die Bogenlänge der Kurve vom Punkt t= to bis t— ti
Den Zwischenwinkel, den die beiden Richtungen
6 X.. 51= d 1= 324 einschließen, definieren wir durch
— N 1 COS= B ASIk. Um die Berechtigung dieses Ansatzes darzutun, weisen wir nach, daß dx 5 X S an. S= Nan GiEX ist eine positiv-definite Form. Setzen wir
— 1
61=&+ℳ m, so ist 2 A( 85)(Er 4 1x)—2 o.
Berücksichtigen wir die ldentität Nan ε ᷣ= 1, 80 er- gibt sich
— [Eax Ein=Sl.

Die geodätische Linie ist die kürzeste Linie zwischen zwei genügend nahe angenommenen Punkten ¹). Die Auf- stellung der Differentialgleichung führt auf ein Variations- problem. Wir betrachten die beiden Punkte als fest, die beiden Parameterwerte t= to, t=ti mögen ihnen entsprechen. Die Bogenlänge zwischen A und B ist dann
dXx dXx
Bezeichnen wir den Wurzelausdruck mit F, pp t),
A. 3, dann müssen die Lagrange'schen Gleichungen
0 df
bestehen:
Es ist
5E d1 2Vrer 1Pi Pr- Sp= Aal- p, Die Gleichungen 19 geodätischen Linie ergeben sich also in der Form Vdan dXxk dx. 1 VNSDdam dXI dXx 4 Nar d=x) dXxx dt dt 2 dr dt dt df 0. oder mit Benützung der Christoffel'schen Symbole:
ik] dX d⁴X u LAr LAL S* ur⸗ 2= o
Multiplizieren wir mit den Subekerninanten Ayl der Matrix(a,!) und summieren nach l, so erhalten wir die Gleichung der geodätischen Linie in der Form
GeX.ſans d de. L At dt= 0.-= 2.)
Denken wir uns vom Punkte Mo 2 Richtungen 40, 205 ausgehend, dann wird jede Richtung, die von Mo ausgeht und in der durch&ꝗꝑ& ausgespannten zweidimensionalen Mannigfaltigkeit iert. sich in der Form schreiben lassen
284”) 3 6*⁵ 80
¹) L. Bianchi, Nerngdan über Differentialgeometrie, deutsch von Lukat, 1. Aufl. 1890, S. 568,

nt n
ch
— 5—
Lassen wir nun von dem Punkt Mo in den so festge- legten&.-Richtungen geodätische Linien ausstrahlen, so bildet
ihre Gesamtheit eine geodätische Fläche.
Errichten wir in den Punkten einer Fläche geodätische Linien orthogonal zur Fläche und tragen gleiche Stücke ab, so bildet die Gesamtheit der so erhaltenen Punkte die geo- dätisch parallele Fläche(Abstandsfläche). Um diese Ver- allgemeinerung des Gauß'schen Satzes ¹) einzusehen, nehmen wir an, 2 Parameterlinien Xæ, xz liegen in der Ausgangsfläche, X sei die Bogenlänge der orthogonalen geodätischen Linie, dann haben wir
d N dX. 1 Ada dX, dXxr Sr. an e= z Maa du dr „.. dX. d Für i== 1 ist r 0. Es folgt drru an ist unabhängig von X-. Für X= O muß a= O0(= 2, 3) sein, also ist 411= 0 für 1= 2, 3. Das bedeutet, daß die Flächen X= const. normal zu den geodätischen Linien xX. sind. Bezeichnen wir mit Bars dXv dXx das Quadrat des Linien-
elements der Ausgangsfläche, so wird das Quadrat des Linienelements des Raumes(nach dem Pythagoras) sich darstellen lassen durch dS*= dxi*+ Nass dXrdXs.(†, S= 2, 3) Diese Form heißt die geodätische Form des Linien- elementquadrats.
II. Differentialgleichung der geodätischen Linien.
Nach diesen Vorbemerkungen legen wir von jetzt ab die Riem ann'sche Form*²) des Linienelements einer dreifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit von konstantem Krümmungs- maß unseren Betrachtungen zu Grunde:
¹) Disqu. circa sup. curvas art. 16, Werke IV, S. 241. ²) Riemanns Werke, 2. Aufl. 1802, S. 282.

— 6—
AdXxE MeSxs*
Hat eine dem Raum eingelagerte geodätische Fläche das Linienelement ds'= Abx du dux, wWo die ba mit den
ds²=
an des Raumes durch die Gleichung bw= Na⸗ dx dx5 du, dux verbunden sind, so ist die Krümmung der Fläche (12, 12) K= b bza= b12*
Drücken wir das Riemann'sche Vierindicessymbol durch das des Raumes aus und berücksichtigen, daß das Krümmungs- maß eines Raumes konstanter Krümmung gleich ist dem der eingelagerten geodätischen Fläche und zwar konstant, Wie auch die Richtungen, die die Fläche aufspannen, orientiert sein mögen und wie auch der Punkt Mo, von dem sie ausgehen, in dem Raum gelagert sei, dann führt uns das Riemann'sche Linienelement bekanntlich¹) auf einen Raum mit der konstanten Krümmung K= 4c. Die Krümmung des Raumes wird also durch die Größe und das Vorzeichen von c bestimmt.
Wir gehen nun dazu über, die Gleichung der geodätischen Linie auf S. 4 für den Raum konstanter Krümmung zu
integrieren. a) Wir betrachten zunächst den hyperbolischen Fall, d. h. einen Raum mit der Krümmung K=— 1. Das Linienelement 2d XE
ds-=, transformieren wir durch folgende (=1e) 1
Formeln 1.— 4G 1+ 1) 2 „ t(X1- 1). Xr 3 69 4X 1 1— d= 2,3) (X1 1)2 AX dann wird: dX* ◻+ AdXxE dx¹*+‿ AdX“2 dS 2=—,-———. ( 1— 1n) X12 1— 4 X2= 4 2
¹) Vgl. Bianchi a, a. O. S, 571 ff.

———
—
7—
Die Gleichungen() liefern die Abbildung unseres Raumes auf einen enklidischen Halbraum; die Ebene X= O enthält die unendlich fernen Punkte. Wir betrachten die Abbildung in dem Halbraum, für den X 0.
. 6, 6. 6 Es ist a,,= k, 5— 1 1. 1]=— 1. ir xu L v G. k=F 1). 1 xus ik 1k 6 Kv [AI=od⸗=k==h. 5
ik 1 en 1 14“ 1 — 6,———— 6 K. ¹) di X M n XI b* L Setzen wir diese Werte in die Differentialgleichung der geodätischen Linie ein, so ergibt sich:
15=2),[Gey e)]=⸗
4 5 2 ſdx¹ 2 X/ Lds 6) e e ga ar, ds X ds ds Für die Gleichung(a) setzen wir als Lösung an ec* und erhalten hieraus c=+I. Wir setzen als allgemeinste
Lösung an X= ge', dann bestimmt sich durch die Diffe- rentialgleichung„— 2 9%— 2 2= 0 als
Es folgt(a)
=—e, wo c:, ca Willkürliche Konstanten cie+ cꝛ bedeuten. Also ist die Lösung der Gleichung(a) e* 1 X— S 8
cC)/. e, cie“+ cae oder indem wir eine neue Konstante einführen, die wir durch entsprechende Wahl des Anfangspunktes des Bogens be- stimmen können:
¹) dik bedeutet O oder 1 jenachdem i== k oder 1= k ist.

— 8—
Hiernach finden wir als Lösung der Gleichung(b) Cy (6) K— 22 th. 5+ a,(= 2, 3),
wo ca, ca willkürliche Konstanten bedeuten und c= c=+ ex ist.
Um die geometrische Gestalt der geodätischen Linie im Bildraum zu erkennen, transformieren wir die Gleichung(6) So, daß ag= as= O und Ga= 0 wird, dann wird ca=C.
Wir erhalten cX cXz= th. S. ch. 8
Die Kurve ist also der Kreis
c-&n+ XE)= I ths
der(X., X²) Ebene, sein Mittelpunkt liegt im Koordinaten- anfang. Die geodätischen Linien im Bildraum sind also Kreise, die auf der Xu= 0 Ebene senkrecht stehen, die geodätischen Flächen offenbar Kugelflächen. Die geodätisch parallelen Flächen haben die unendlich fernen Punkte mit der Ausgangs- fläche gemein; es ist ohne weiteres einzusehen, daß sie nicht geodätische Flächen sind.
b) Als Abbildung für den elliptischen Fall K= 1 be- nutzen wir die dreidimensionale Kugeloberfläche im vier- dimensionalen Raum Ne έ=f R..
Die Transformationsformeln lauten:
R— X2 2Rix. the RfE Ix-. i n5
und das Linienelement ds'= Adés ergibt sich in der Riemann'schen Form
3 4 RE DdXS 4 2dX/2 dss= 2d*= K, ä 1— 0(R+ XL)(1 2X2)“
Um für diesen Fall die Gleichung der geodätischen Linie aufzustellen, haben wir zu berücksichtigen, daß sie der Kugelgleichung 2X= R genügen muß.
———
80
ul

— 9
Setzen wir in dem Gleichungssystem
5 df 3„. Ai er f= 2X2— R, so erhalten wir als Gleichung 1 der geodätischen Linie
11= 22 x.(1¹)
Hieraus folgt X XE XL X= W0,
also XIE'Xk XI XI= CH-⸗- wo die ca Konstanten bedeuten, für die c-x=— Cmw’, also cu= O ist. Ferner haben wir: O= caxX+ chàx+ Chix-(2)
wo aber die i, k, 1 unter sich verschieden sein müssen. Wir erhalten so die[a)= 4 Gleichungen:
C2a Xi ₰+ ca Xe+ Cia Xa— 0
Ca XZ+ Ca2 Xa+ CZ3X.= 0 caa xi+ C4iXS+ CiaX= 0 6) C24 X H C X C12X4= 0
Um weitere Beziehungen zwischen den c zu finden, schreiben wir¹) die cax in Determinantenform XI XX Xi Xk und bilden die vierreihige Determinante:
Cik
Xi X Ng n Nach dem Laplace'schen Zerlegungssatz ergibt dies, indem wir die cax einführen, C12½(4+ Ci⁴(3— CI4 C24= 0 und durch zyklische Vertauschung CZ3 CA+ Czi Cal C24(31= 0 C34 C12+ Caz CA— CaC½= 0 C41 CZ+= C43C12— C42 G1= 0
¹) Die nachfolgende Betrachtung verdanke ich einer Bemerkung von Herrn Fritz Kämmerer.

Wenden wir diese Relationen auf die Gleichungen(3) an, so ergibt sich, daß ihre Determinante vom Range 2 ist, d. h. daß diese Gleichungen sich auf 2 von einander un- abhängige reduzieren. Diese beiden Gleichungen legen eine Ebene durch den Nullpunkt fest(2 Freiheitsgrade) und be- stimmen in Verbindung mit der Kugelgleichung einen größten Kreis der Kugel.
Wir können nunmehr die Größe» in der Differential- gleichung(1) bestimmen.
Durch Quadrieren und Addieren erhalten wir
AXI 2— 4 X%XI— 4 2 ².
Nun folgt aber aus der Serret-Frenet'schen Formel
IXIL*= 3 und folglich»= 4. 212 Die Gleichung(1) lautet
also A
X=(1 a)
Um das Vorzeichen zu bestimmen, beachten wir, daß die positive Richtung der Hauptnormalen Rx“ nach dem
Krümmungsmittelpunkt, also dem Mittelpunkt der Kugel,
die Richtung des Kugelradius 6 von dem Mittelpunkt weg
gerechnet wird. Es ist also I= f; 11 b)
woraus sich die allgemeine Lösung in der Form ergibt:
— C0) C0s p c sin 2
)
— 8(0;. Soll für S= 0. Xy= xX sein, so ist also
6⁰) 8 63). 8 Xe„= o C03 Ec⸗ sin 8 Woraus wir durch Quadrieren und Addieren erhalten
6)(2)2
8 1 2 S 8S SNN R= R COS2 N N C sins+ 2 cos E sin EX Xo Co,. Diese Gleichung wird offenbar befriedigt, wenn wir c,
als Vektor betrachten, der senkrecht auf Xy, also Richtungs- parameter der von Xxo ausgehenden geodätischen Linie ist,
mit der Bedingung I„= R.
———
ej

Die Gleichungen der geodätischen Linie sind dann
0) 8 5.5 Xy= X5 cos+ sin.
Für S= O wird X,= 19 für S= al Wird X,—— X
Fassen wir diese beiden Wertsysteme als einen Punkt auf, so erhalten wir einen„elliptisch einfachen Raum“. Die Gerade hat die endliche Länge R.
Fassen wir dagegen X,= Xy und x„=— Xo als zwei
verschiedene Punkte auf, so hat die Gerade die endliche
(0)
Länge 2a R. Für sS= 22 R wird X,= X,.(„Elliptischer
2
Doppelraum“).
III. Raumkurven.
Wir legen an eine Raumkurve im Punkte Mo= XO) eine geodätische Tangente, tragen auf dieser bis zum Punkte M“ und auf der Kurve bis M’ das gleiche Stück t ab. Es sei M'M“’= d. Bianchi(a. a. O.) definiert dann im Anschluß an VoB¹) die Krümmung der Kurve im Punkte Mo durch
1 lim 2d t—o t
Bezeichnen wir die Koordinaten von M’ mit x, die von
M“ mit xi, so können wir nach Potenzen von t entwickeln:
dX t*² dX 28 — X0)— E—... 1 X= X) t 749. 7 Lär J.
1 t L d X,(9
—(⁰)—— 1 * 4* a8), 72 at h 2. Folglich ist bis auf Größen 2. Ordnung
— d² XS Vſok dX dXE
—— 5 6— 2l dt 9- ArNar(4.) Setzen wir diese Werte in den Ausdruck für
= TNax— I) Kx 1) ein, dan vra
Mathem. Annalen Bd. 16(1880), S. 146,
) 4. Vob,

12178=T.,Ns..P. N(43.V.).
Da nicht alle an gleichzeitig verschwinden können, geht aus dieser Formel hervor, daß nur für die geodätischen
Linien des Raumes die Krümmung.—0 Wird.
Die vorstehende Betrachtung führt uns zur Bestimmung der Hauptnormalen. Wir können uns durch die 3 Punkte Mo, M’ M“ eine geodätische Fläche gelegt denken. Lassen wir t zur Grenze Null streben, so Wird diese geodätische Fläche drei Punkte mit der Kurve gemein haben, d. h. sie ist die geodätische Schmiegungsfläche im Punkte Mo an die Kurve. Die Richtung M'M“ wird in dieser Fläche liegen, ihre Grenzlage ist die Richtung der Hauptnormalen. Obige Gleichung für die Krümmung können wir schreiben
=e s:T.) ⸗Ls T.)
d2² x dX dX Wir können 6= o(A8 4 Le 6 2*) als
Richtungsparameter der Hauptnormalen auffassen und be- wWeisen noch, daß sie senkrecht auf der Kurventangente mit
dX dem Richtungsparameter— x Steht. Wir bilden
dt Marn 4(ü 5 Lbe 1e)e.
dz²x dX dXx dX d =Lar dts dt. lwl⸗ a 9 0=
deX dX Adauk dXxu dX 1 S lik dXEH k
Lauco dte dt 2
=24 4( a9x dah e.Iee.
da der Klammerausdruck= 1 ist. Nach Seite 3 ist aber das Nullwerden des vorstehenden Ausdrucks die Bedingung für das Senkrechtstehen.
dt dt dt

del ng
————
IV. Grundgleichungen der Flächentheorie.
a) Ableitung der Fundamentalgrößen 2. Ordnung.
Die Fläche als zweiparametriges Gebilde können wir darstellen in der Form X= XI(u., ug).
Ziehen wir auf der Fläche eine Kurve, errichten in ihren Punkten geodätische Linien senkrecht zur Fläche und tragen gleiche Stücke e ab, so erhalten wir die geodätisch parallele Kurve. Lassen wir den Abstand unendlich klein werden, so bekommen wir in der Differenz der beiden Linienelemente die Variation des Linienelements beim UÜbergang zur unendlich benachbarten geodätisch parallelen Fläche.
Wir bezeichnen mit x, y, z die Koordinaten auf der Ausgangsfläche, mit X, Y, Z die Richtungscosinus der Flächennormalen. Die Endpunkte des benachbarten Linien- elements sind
X+ eXx,.; X Xdx †exXx edX,.... also ist das Quadrat des Linienelements 2(dXx+ ed X)*= A dx+ 2e AdXxdX*dX2 und die Differenz der beiden Linienelementquadrate 6ds²=— 2e AdXxdX— el dX.
LdXdX ist aber die zweite Fundamentalform, die wir unter Vernachlässigung der höheren Potenzen schreiben können 6ds²=— 2e X LQduidux.
Es sei ds'= Ibadu,dux das Linienelement auf der Fläche.
Wir nehmen zunächst an, sie sei in einem elliptischen Raum eingelagert, dessen Linienelement wir angesetzt hatten : 2 VN 2; 2 N) 4. mit ds*= R2 AdX?, dann ist also ba= R 2. Hie
du du Richtungscosinus der Flächennormalen seien&, also 2,= 1.
Da diese Richtung senkrecht auf jeder Fortschreitungsrichtung dX
in der Fläche steht, Sso muß 2& du d sein. Endlich ver-
ur
langen wir von der f-Richtung, daß sie in der dreidimensionalen sphärischen Mannigfaltigkeit liege, eine Bedingung, die wir in die Formel kleiden: 2X+= 0.

Wir haben bereits nachgewiesen, daß die Gleichungen der geodätischen Linie im elliptischen Raum lauten
„ S XI= XI COS 21 sin.
R
Schreiten wir in der s-Richtung um die unendlich kleine
. 2. 8 Strecke s= e Weiter, so können wir cos=1 und den
Sinus gleich dem Bogen, also X' n h setzen. Dann wird
dx“= dx dk-;
1
und
A8 8 G ds*= X a dX' dX= X aix dXi dXx+ 2 E 2 amdX des+ 2
+ 2 ai d&id&„
3— 2 ds'= 2 Nam dxidén= 28 RYdXids..
Vergleichen wir hiermit die Formeln auf Seite 13, So wird dXp dSe
— 2 KA duidu= RX dxdé,= R du. du- duidux, 1 k folgt 9 R 212 woraus fo 2—— 6 i du dun dX dE„ dX d2X 3 8S„— 7 Da 2S8 0, so folgt—= Xs,— du⸗ Ddür dun 7» du du wir können also setzen i Adu d du du
b) Ableitung der Fandamentalgleichungen.
Wir stellen jetzt die beiden Gruppen von Fundamental-
gleichungen auf, von denen die erste die zweiten partiellen Differentialquotienten der Koordinaten ausdrückt durch die ersten und die
inde

en
ird
zweite, die ersten partiellen Differentialquotienten der Flächennormalen darstellt durch die Flächen- normalen selbst und die ersten Differential- quotienten der Koordinaten.
Unter Berücksichtigung der Formeln auf Seite 13 findet man: dXIL D dXI 2² — 5 du R du 11 51 dXA dXA— —— xXI S R da Rdu, 1 4
eTGay wxrem.
4 eLCau,Su a„L(We] o=ne-Be- 0 1 0 - 0 01
Wir können 1 znleencden Ansatz machen:
Ay= RS2 SR Se e,+ 38».
dsX, Setzen wir 42—, multiplizieren dann der du dun dX dXp 4 Reihe nach mit R—,„ Xx und v, addieren du du jedesmal, berücksichtigen dabei die Gleichungen auf Seite 13, AdXV dXp IrS 8 d2 Xp dXDp 2MN— 22 ferner daß bw= R') du- Su und 5]⸗ R du du, du dann erhalten wir— — 1 ik abi B be R 22 3 1 pika abi= H bee= P 1 . 1/ ik ik 1 ſik und follicn a= 1(AudAul*])= EEN. 1 ik i 1 jik 6=(Aus ik]An 2 Do= RI2„

d2X 2 dX dX bn⸗ )—————„ „du dun du dun R* d2 X 90 3=14,— du dux R
Setzen wir die gefundenen WVerte ein, so erhalten wir die erste Gruppe:
deX 11-‧[dX 11¹[dXxe 2 e. 5 ⸗ 4 Lu S,
du 1 du du⸗ d2 X d⸗ dX ae Xv 2 924 — S 5„ du duꝛ 7ſSa 5 du⸗ 1„ 8 2 d2 X, ſ dXp 62 dXp 2. 2 1, 2——— X,+. du du 2) dug — dSv— Setzen wir A⸗—.. 80 Wird„= 0, 6= 0,
k abi B bie=— Lu bzw.— Q?, bi2- Bbzz=— L bzW.— 4222. Hieraus folgt 3.— Q2 b 2— b22 211, 6,(222 b12— bg24212. 1 ſbe Te 51— bi2 4211 b 14212. 52— b 12 42412 b142 b br wobei bm— Dr b22— D122. .1 zweite Gruppe der Fundamentalgleichungen wird
—— R(aef— bæe 211 dXv 1 b 2211 bT— bi414242)
bu dut ba du 8—(Aee— bæa L212 222 b12 4212— D14222 d) du⸗ br du b du
c) Ableitung der Mainardi-Codazzi'schen und der Gaufß'schen Gleichung.
Die in beiden Gruppen auftretenden Größen b und 42
sind nicht unabhängig von einander. Um die Beziehungen zwischen ihnen festzustellen, stellen wir die Integrabilitäts- bedingungen auf. Zuerst schreiben wir die beiden Systeme
V
in Det mil
laut
dic

wir
in übersichtlicher Form, wobei wir mit Bu die durch die Determinante der bit dividierte, zu bi gehörige Unterdeter- minante bezeichnen:
82 X— ſik du du 2 1ſdu, Rr. E d2 dX du, RLBLada⸗
Die Integrabilitätsbedingungen für das erste System lauten:
dun 1.(En.)- d,(Süe d.)
Es ist mit Rücksicht auf das zweite System: 02
ſileidX b 4 m 8u)- u.( ldun EA. R)
1 d b 2 — II 146 ſm dX PDim lm L Br- ſe L 1 du) X R 4] — 1.. ba X. 1 Lr 9 ABL X Rz du R* dun R dun ik 1t*⸗ d d2X du⸗ dun dup
und) erhalten wir, indem wir in den vor-
für mi k die Größen imk
Wir können die Glieder ordnen und erhalten ein System
— dX d 3 von homogenen Gleichungen in*4*, X, E. Die Deter- du du
minante dieses Systems ist nach Seite 15 von Null ver-— schieden. Es müssen also die Koeffizienten verschwinden. Der Koeffizient von é liefert die Gleichungen
8 8 k Im kK„, dun u L c 2i.
die sich auf die zwei folgenden reduzieren:
stehenden Ausdruck setzen

— 18—
d„ don. Jo. lu ela in 1ſoe=o
dug du⸗
— 8922²— e ſe2 o 85 2(eloe—22n=o
du⸗
Es sind die Mainardi-Codazzi'schen Gleichungen, die erfüllt sein müssen, wenn eine Fläche mit den vorge- gebenen Größen ba und 42 existieren soll.
d Wir betrachten jetzt die Koeffizienten von 39 35 a 5 mk[i LIEn=weiſil .(49 mt— 2
„ b. damit die beiden Einzelglieder E dun— E dur einbe-
zogen werden können, schreiben wir sie als Summe bm dX bk dX
E mdu. K du. Ou, so daß wir auf der rechten
b b R2 Gim— 1 u anfügen.
Die linke Seite läßt sich als Riemann'sches Symbol schreiben. Wir erhalten
Seite der Gleichung noch
.— bu lKl im— 4 Bu( Qmt— Lma 2tt) Be un n. 53
Beachten wir, daß(K, im)= Aby 5 J ist, So können wir schreiben
(Kv, im)= Bby Blt(L2mt— Qmk 21t) ℳ 9, ba + 2bo P 31— Abp, Pr ö̃u.
Es ist Aby, Bu= O für»== t, Vby, B,= 1 für»=t, dabei fällt die Summation nach» weg. Die Gleichung nimmt daher die Form an:
(Kv, im)=(22my— LQax 2) ℳ
oder anders geschrieben
sind
Gle Krü
des
W0 der. Seit »
d)

vol
(2 mo—(2k 2o(Kv, im) 1 bmꝰ bn bw bmx bmv bu b bk 8 Da wir es mit einer binären Differentialform zu tun haben, sind nur folgende vier Symbole von Null verschieden: (12, 12);(12, 21);(21, 12);(21, 21). Zwischen ihnen besteht die Beziehung
(12, 12)=—(12, 21)=—(21, 12)=(21, 21). Dadurch reduzieren sich obige Gleichungen auf eine einzige (211 L222— Lt?(12, 12) 4
bubz b?, butbzz— b., N'* Wir haben hier die der Gauß'schen entsprechende (12, 12)
ſde Krümmungsmaßes der Fläche(intrinseb), ft die Krümmung
Gleichung. ist die Definition des Riemann'schen
des umgebenden Raumes. Die linke Seite ist gleich FE 1 2
wo RL, R die Hauptkrümmungsradien sind. Für Flächen, deren Krümmung gleich der Raumkrümmung ist, ist die rechte Seite(relative Krümmung) Null. Diese Flächen werden die „Ebenen“ des Raumes genannt.
d) Anwendung der Gleichungen auf die hyperbolische Geometrie.
Wir könnten nun für die hyperbolische Geometrie genau denselben Gang einschlagen, um die entsprechenden Formeln zu erhalten. Um das jedoch einfacher zu bewerkstelligen, berücksichtigen wir die Tatsache, daß man von der elliptischen zur hyperbolischen Geometrie mit demselben absoluten Wert des konstanten Krümmungsmaßes kommt, wenn man statt der Kugel mit dem Radius R, die Geometrie auf der Kugel mit dem Radius in betrachtet. Hieraus folgt ohne weiteres, daß die Codazzi'schen Gleichungen in der obigen Form auch für den hyperbolischen Raum gelten, da in ihnen der Krümmungsradius nicht vorkommt, während die Gauß'sche Gleichung die Form annimmt:
9211222,(12, 12) 1 mie ie babn e, ſ

Wir können alle Formeln in die des euklidischen Raumes überführen, indem wir die Krümmung gegen Null gehen lassen und dabei noch berücksichtigen, daß wir von dem Linienelement ds'= R*NdXx“ ausgegangen sind, daß also Rx die cartesischen Koordinaten bedeuten.
V. Behandlung von Flächenkurven.
a) Die geodätische Linie auf der Fläche.
Auf Seite 12 haben wir den Nachweis geführt, daß die Richtungsparameter der Mauptnormalen sich darstellen lassen
c(as..)
Wir wollen jetzt die entsprechenden Formeln für den Fall ableiten, daß die Kurve eine geodätische Linie auf einer Fläche sein soll, die in einem Raum konstanter Krümmung eingelagert ist. Eine geodätische Linie auf der Fläche genügt
den Gieleimne eis du du
Wir haben beroh Aaegeen daß unter Zugrund- legung des Riemann'schen Linienelements die Differential- gleichung der geodätischen Linie im hyperbolischen bzw. elliptischen Raum lautet:
durch
d²X. A X Ferner ist 4= A(Ves en)-LSdee du dn dN deu di dtLdu dt dundun dt dt dun dt⸗
Wir können auf Grund der Fundamentalformeln auf Seite
1 1„ du du.. 16, indem wir dort mit 8 vervielfachen, schreiben: t
Le Imbdx dudu bm, du dum düUuE-E ſ[⸗ſdu, dt dt. R Xi dt dt
Ln„„ du dun da du XI 4Ln X St di 4 L dt* 1

. dXy dXV 1 dXy dXV
Nun ist b= Lann dur ee n ng 8 und hieraus folgt ab b
lm d Bun dU dXx, P i dt E(S3r 4)=
Die Gleichung der geodätischen Linie für den lsesen
bzw. hyperbolischen Fall können wir also schreiben:
d'x X. dxI d'u? ſImſdud Qduldun
dE=LSnSi O⸗ 5 8 eN ien dn ai ie Ist die Kurve eine geodätische Linie der Fläche, so bel muß, da in vorstehender Entwicklung der Klammerausdruck
Null wird, der Richtungsparameter sein:
LQim dUl dUm
len 5= ee di F
ſner Das Verhältnis der Richtungsparameter der Haupt-
1n2 normalen& zur Flächennormalen X) ist eine von der i-Rich-
üet tung unabhängige Größe. Wir können schreiben&= AXI.
Da Bamoio= l, muß ½=! also 1=41 sein,
d. h.& und XI definieren dieselbe oder die entgegengesetzte
1d. Richtung, Hauptnormale und Flächennormale der geodätischen al Linie fallen zusammen.
w. Es folgt noch sofort aus vorstehender Formel, daß die Krümmung der geodätischen Linie, die in der Richtung du fortschreitet, Sich durch folgenden Ausdruck darstellen läßt:
1 2Lnn dug dun
4— lem 0 ſehr dinen
b) Der Satz von Meusnier.
Wir betrachten jetzt eine beliebige Kurve auf der Fläche. Mo sei ein Punkt der Kurve,&i der Richtungsparameter der Hauptnormalen, Xx der der Flächennormalen in diesem Punkt und der Winkel, den die s- und X-Richtung mit einander bilden. Dann haben wir nach Seite 3
1 8 6086—+—— 5.X.. (1 161
eite
— 2

Wir setzen den Wert für s ein und erhalten:
Sereessſ⸗ Fie X* LEX]'
2
du*
Benutzen wir für den Ausdruck von Seite 20,
dann wird
1 mI 5 reerml(Tfelewes T†LE n
8
XIXI †LS SX X) Tae ze⸗
Wenn wir berücksichtigen, daß
d 1— lW GꝓerSLXX=I und eNrSsLen=o.
SO Wird cos 2 Ves W de. Sur rddun.(.) 9 R dt dt R Sbi du dum
Spannen wir die geodätische Fläche zwischen der
Flächennormalen X und der Tangente 5 auf, so schnei- U
det sie auf der Fläche eine Lntd aus, die wir den Normal-
schnitt nennen. Bedeutet die Krümmung dieses Normal-
A schnitts, sSo ist nach der unter(Va) abgeleiteten Formel 1 Z duldum R Rbadudun 1 C08 G also K
eine Formel, die die Verallgemeinerung des Meusnier'schen Satzes darstellt.
ce) Krümmungslinien.
Drehen wir jetzt die geodätische Fläche um die Flächen- normale im Punkte Mo, so wird jeder Stellung ein be- stimmter Normalschnitt entsprechen. Wir haben, um die
krũ unte tun, sinc
WO
gen
der
be⸗ der bec
0d

23—
Krümmungsverhältnisse dieser Kurven im Punkt Mo zu untersuchen, die Krümmungen der von Mo in gleichen Rich- tungen ausgehenden geodätischen Linien festzustellen. Diese sind aber bestimmt durch die Gleichung
1 1 RLI= R.(1) . du 4 4. Wobei v»= 6 bedeutet. Die»» müssen der Gleichung genügen Abm= 1.(2)
Wir stellen uns die Aufgabe, diejenigen Richtungen auf
der Fläche zu finden, für die 4 ein Extremum wird. Wir
bezeichnen die linke Seite der Gleichung(1) mit f(y), die der Gleichung(2) mit();(2) stellt dann die Neben- bedingung unserer Maximumsaufgabe dar. Wir bilden O(T)= A(7)— f0y), d0 dr,= 2 4 Dinſ. A 2 71= Das ergibt 2 Gleichungen 1 bi2ꝗꝙ◻£ 4bz22 12— 212 1)— 222 72= 0, 4 b7 1 bee— 4211 711— 12 ⁄2= 0; oder anders zusammengefaßt (Abiz— L212) 11+£(4 bzz— 222) 7½2= 0,(3) (A bI— L211) 1ꝗ£‿(A bz— 212) ½2= 0. 7 Um 4 zu bestimmen, berücksichtigen wir Gleichung(2). Wir multiplizieren mit und summieren über i, k: 1AbMAOX= A Qix IM02, 4. R Die Gleichungen(3) werden: (b414— R10 1+.(biz— R22) ½2= 0, (bi=— RL212) 1ꝗ+.(bzz— R4222) 2= 0. Da die Diskriminante der in R quadratischen Gleichung positiv ist, sind zwei reelle Wurzeln vorhanden. Wir haben
damit die Existenz zweier Richtungen nachgewiesen; für die eine wird die Krümmung ein Maximum, für die andere
1=

—*
ein Minimum. Aus obiger Gleichung ergibt sich die Differentialgleichung der Krümmungslinien, wobei wir statt
ꝗᷣ Wieder dux schreiben: 1 dt
3(ba— R LQn) dur= 0.
Wir zeigen noch, daß die beiden Krümmungslinien auf einander senkrecht stehnen. Sind„,„(u) zwei verschiedene Werte, die den Wurzeln obiger Gleichung entsprechen, so haben wir zu beweien:
2 b nL)= 0. „0)=ü A(biz— R. 212), 72)= A(hiz— Ra 212), 74¹)— A(bit R. 21¹), 7*)—— A(but Rae L211), wobei A eine Konstante bedeutet. 2 b. 10O. 970u)=— b11⁷1) 1- Da2 71)) b21„9)„ 2) b2 790= = A2[R 2 11(bze— brbz2)+ R 211(b?— he b.) h +(bez 42t1 b 2*,— 2 bi? 2112*) RRe+ + bazb:— baabnl. Aus der quadratischen Gleichung ergibt sich b. LQ2 ℳ bz,— 2 b 2 L243,
R.+ R.= iean Db22 bt. R.Ne. e 0
Führen wir diese beiden Ausdrücke in die vorhergehende Gleichung ein, So wird
M bM 2)=c.
d) Satz von Euler.
„d),„ seien die Richtungsparameter der Krümmungs- linien. Wir betrachten eine Zwischenrichtung„. Es sei an der Winkel zwischen„) und y, ag der zwischen und„⁵ν der Index i bedeute die Bezugskoordinate. Die Richtungs- parameter der-Richtung lassen sich linear aus den Richtungen „i)„e) zusammensetzen. Es Degleni die Beziehung
= Cos a.)ꝗT+ cos πmm ·̈ Cos„ 9).(9
wir diest
schl
Wir
rück
Satz
Fläq

Nach Gleichung(1) ergibt sich für die 1-Richtung, wenn
wir mit R, den Krümmungsradius des Normalschnitts in dieser Richtung bezeichnen:
W 1()
Aus der Gleichung der Krümmungslinien können wir
schließen:
b Mb9„)= R4 lu)„. Da die linke Seite 8— 4== a gleich Null ist, haben wir die weitere Beziehung: A HNne= 0 für 1== ½.(6) Setzen wir Gleichung(4) in(1) ein, so Wird unter Be- rücksichtigung von(5) und(6)
A— 1 J„ cos aαν cos*,
3. N 008, 0, Ls⸗ 41. be 2 1 84 Diese Formel ist die Verallgsneinetung des Euler'schen
Satzes.
e) 2. Ableitung der Gleichung der Krümmungslinien.
Die Krümmungslinien können wir als die Kurven auf der 3 4 Fläche bezeichnen, längs deren die Flächennormalen eine Raumkurve umhüllen. Wenn wir im elliptischen Raum vom Punkte x in der Richtung S um die Entfernung s fortschrei- ten, kommen wir zu dem Punkt
X= X cos E Ssin Nehmen wir é als Flächennormale und verlangen, daß
zwei aufeinander folgende Normalen sich in X schneiden sollen, So hahen Wir
7
X= X COos H Rℳ Ssin 6
1
.=(X heor es n§) sin-
8.( 4 cos.— sin S)ds.
E RosR E K

Aus beiden Gleichungen folgt 1 oder S längs — tg= ds. dx. 2 d*— dX sge Multiplizieren wir mit Dun und summieren über i, so er- dnc 1 1 du d nalten wir als Gleichung der Krümmungslinie:/ ni 4 8 N(be Rts 9) du.= 0. gurch 21 dXy dX, lassel Dabei ist berücksichtigt, daß ba= R2 d und i k SE Deos er de, du du
Durch Vergleich mit der Formel auf Seite 24 erhalten wir S
R— t.
V Rtg R
Auf den hyperbolischen Raum können wir dieselbe Be- trachtung anwenden.
.. 8 8 tungs Wir erhalten: X= X ch RA* sh F. nit K 8 S.r Re S. ds Form 1= G dx)ch R ds)sh R(RshR tgch H) woraus folgt: 6a= th P dér.
Das Gleichungssystem heißt jetzt: 5 L(be Rih R La) dur=
und der Radius ist R= Rth F.
f) Haupttangentenkurven.
Durch den Nachweis der Existenz der Krümmungslinien sowie der Euler'schen Relation ist die Möglichkeit der Kon- in o struktion der Dupin'schen Indikatrix gegeben. Wir können somit von konjugierten Richtungen auf der Fläche sprechen und damit von denjenigen Kurven, in deren Punkten die kon- jugierten Richtungen zusammenfallen. Zur Aufstellung der Differentialgleichung dieser sogenannten Asymptotenkurven

(¶D .
—
oder Haupttangentenkurven benutzen wir die Tatsache, daß längs dieser Kurven Schmiegungsebene und Tangentialebene zusammenfallen. Lassen wir von einem Punkt 2 Kurven u, v ausgehen, so sind die Richtungsparameter der Tangenten dXi du du ds der Hauptnormalen mit&, so müssen sich die& Ünear durch die Richtungsparameter der Tangenten ausdrücken lassen, d. h. es muß folgende Determinante verschwinden:
d V und— ds Bezeichnen wir die Richtungscosinus
dX du dXI dV du ds dv ds
dx, du dX. dv Suds Sr ds* dxz du dX dv V du ds dy ds
Nun sind aber die Unterdeterminanten von ε die Rich-
tungsparameter der Flächennormalen. Bezeichnen Wir diese mit X., so können wir vorstehende Gleichung offenbar in der Form schreiben:
Es ist aber
dX)] dX 5-e(Gans“IE 42)
Führen wir
2 0 ſz dXZ dXx, †LNanSa ds L FINE a.

’
dX. Da Leru XE= O, erhalten wir:
d2x, duo du 1 dX dX du, du LarX Su-du. e de D 1Ie ec. duo duo ds ds 1 dug dug ds ds
8² dX) dX L(LX A, L*. a)ue au.= a
Der Klammerausdruck ist aber gleich 200¹), Wir er- halten also: 2 L0o dug dug= 0, d. h. die zweite Fundamentalform gleich Null gesetzt ergibt die Gleichung der Haupttangentenkurven.
Zu demselben Resultat wären wir auch gekommen, wenn Wir die(“) Gleichung Seite 22 benutzt hätten. Für den Fall, daß die Hauptnormale in die Tangentialebene fällt ist 6 ˙— 5 d. h. cos ꝓ= O. Da Ab du, du einen endlichen Wert hat, muß sein:
2 20 dug dug= 0.
Benutzen wir in vorstehender Entwicklung die spezielle Differentialgleichung der geodätischen Linie(1 a, 1b Seite 10), dann kommen wir auf die Entwicklung Seite 22.
VI. Plächen konstanter Krümmung. a) Sphären.
Zu den Sphâren kommen wir, indem wir von einem Punkt geodätische Linien ausstrahlen lassen und auf diesen die orthogonalen Trajektorien errichten. In unserer Abbil- dung, ²) die durch stereographische Projektion entstanden und darum konform ist, besteht das Bündel geodätischer Linien aus Kreisen, die durch den Träger des Bündels gehen und auf der Ebene X= O senkrecht stehen. Diese Kreise müssen
¹) Bianchi a. a. O. S. 603. ²) Siehe Seite 8.
ment Ents- schlie darst eukli

sich in einem zweiten Punkt schneiden, der offenbar sym- metrisch zum ersten in Bezug auf die Ebene X= O liegt. Rückt der Träger des Bündels ins Unendliche, d. h. im Bild-
0, raum in die Ebene X.= 0, so rückt sein Spiegelbild eben- falls in diese ein. Wir kommen zu den Parasphären 0(Grenzkugeln) deren Bilder also Kugeln sind, die die Ebene
XE= O berühren. Gehen wir von einer, geodätischen Kugel“ (Seite 8) aus und konstruieren die geodätisch parallelen Flächen,
el- so haben wir es mit den Hypersphären(Abstandsflächen) zu tun. Die Richtung der orthogonalen geodätischen Linien definiert den idealen Mittelpunkt. üdt Um diese Betrachtungen analytisch zu fassen, führen wir Polarkoordinaten ein: an XI= 0 Cos Cos p, all X= O'Sin g Cos, ist X= O' Sin w. en Diese Größen führen wir in das Riemann'sche Linien- element ein. Es ist AdXE= de*+ r*d ν+2?d? Cos:„. 2 d 0² 0² d+ 02² C08„do* le d85=(1 Co*)*— 0) Wir transformieren so, daß das erste Glied die Form da erhält. Es wird ds== das. l ter(VO) 4 COs r9. V c( ts* le) 2. = da*+ 3 sins(· Ic)(duν+ cos*„ d*). em V Damit haben wir die geodätische Form des Linienele- e-een ments, wie sie bereits Seite 5 entwickelt worden ist. bil- Entsprechend den Betrachtungen dort können wir jetzt. nd 4 schließen, daß der 2. Ausdruck das Linienelement der Sphäre jen 4 darstellt. Für c= O kommen wir auf die Kugeloberfläche des nd euklidischen Raumes. Für ß= 0 wird obige Form ds:= da † BS hsele)(dys † cos⸗„ ds).

Der Wert bleibt immer reell. Die Sphären des ellipti- schen Raumes erhalten wir, wenn wir c— 0 setzen.
Diese Betrachtung können wir noch allgemeiner fassen, indem wir die Kugeln des Bildraumes mit beliebig gelegenem Mittelpunkt betrachten. Bezeichnen wir die Koordinaten eines Flächenpunktes mit X., So stellen sie sich, Wenn Wir Polar- koordinaten einführen und die Koordinaten des Mittel- punktes sind, dar durch
XI= 1r r+ Cos os t, XZ= ¹. osin Cos, Xz= 3ᷣ Sin„. Es ist: AXE= G*◻‿ 1+ο 20(0, cos oοsν‿azsingcos w+ as sin w).
Das Riem ann'sche Linienelement wird, wenn wir eine bestimmte Kugel betrachten, also do= O0 setzen, 5 2 A*doεν+ cos:²„dH)
(1+ C XXEZ)“
Um die Krümmung unserer Pläche zu untersuchen, be- nutzen wir die Formel, die uns die Krümmung einer geodäti- schen Linie in einer beliebigen du-Richtung angibt. Es war
1 I L2i du, dux R Tpa du. du,
Um die Q zu berechnen, brauchen wir die Flächen- normale X.. Die ersten bezw. zweiten Ableitungen der Koor- dinaten lassen sich leicht aus den Formeln für X berechnen. XI muß den Gleichungen genügen:
dX. 1) X dx.= 0. Hieraus folgt Xen
ds
1
du= 0; da dux== 0,
1
d X; 8 dX X— X— f muß 1 du 0, duꝛ 0 sein.
6 2) LeTe XX=:
dXZ dX dXZ dX X= 4(e.—2; 1 du düe di 15). Xz und Xz ergeben sich durch zyklische Vertauschung. Führen wir die Koordinaten X. ein,
So wird, Wwenn wir 10²2 OS=„ Setzen:

urch
—
XI=» COs F COS, Xg=» Cos sin o, X=»sin w. Wir sehen hieraus sofort, daß die X, die Richtungs- parameter des Radius sind. Aus
LAe x) 1l-ern*“ 23
ergibt sich 18 6 SrEEE
Unter Berücksichtigung der sich hieraus ergebenden Werte für X. Wird
6 20 921= Cos:²„) 11 1 Gffrigd.e cos cos„+
. 1 60 ᷣ Cos P SIn 9 a Sin)— e 2a 1+cAX;
421½2= 0, 2 0
2½ ee
22(1-C Xx)
6 COS v SIn 3 Sil)———— ,=B. + aꝛ cos w sin+ ⅞s sin w) n“
1 Q2 dg*+ 222 dS=— Beos. do?+ B d
(+‿ cos cos+‿
1+e 2X2)?= R ds² 2(doν+. Cos„ G9 4 1 = 20(O+ a os cos æ Cos p sin& /+— sin)— cNa* 1 1 cNa. —e*)= 2 C0= Co——= eo 9 9 9 9
Das heißt die Krümmung einer geodätischen Linie auf der Fläche ist konstant, d. h. unabhängig von der Richtung und unabhängig vom Ort auf der Fläche. Damit ist bewiesen, daß alle Kugelflächen im Bildraum die Bilder von Flächen constanter Krümmung sind. Für den reziproken Wert des Produkts zweier Krümmungsradien finden wir:
1 1 2211 9222 1 cCXG R. bave=ac 0-cν=(C.)
9
Wir berechnen noch auf Grund des Linienelements auf Seite 30 die intrinseke Krümmung und zwar, um die Rech- nung einfach zu gestalten, für den Punkt= 0, v= O.

— 32—
Diese Spezialisierung ist gestattet, weil wir bereits nach- gewiesen haben, daß die Fläche constante Krümmung hat, also kein Punkt vor dem andern ausgezeichnet ist. Unter dieser Voraussetzung ist
2¹ u 1 Tb12 1= 1 dbez — 2——,— 52 5 bii b2— b12=(1+cX2)[ul= 2 S 3-- 2 dg
Der Ausdruck für die intrinseke Krümmung reduziert
sich auf 2[I2J 2] d„P d g c² ά·—- 20+ 9
Wenden wir die gefundenen Werte auf die unter(IV d) (Seite 14) abgeleitete Formel an, so erhalten Wir:
L2,(12, 12)— ſde—+=— 4c, ein Ergebnis, das sowohl mit der ik
angedeuteten Formel als auch mit dem Resultat auf Seite 3 übereinstimmt. Für den hyperbolischen Raum wird die intrinseke Krüm- mung unserer Fläche die Form bekommen 2(X ¹²)? AG2 15 2- re'o- 2c- 3 1—— 22*. 0) Hat die Fläche einen unendlich fernen Punkt(Parasphäre),
so besteht die Beziehung+ IEe= ſe. 1
es ergibt sich also:(12 12)=0. b
d. h. auf der Parasphäre gilt die euklidische Geometrie.
Wir bétrachten weiter die Fläche, für die die Unglei- chung besteht 9+ V2* 8 pe.
E
oder cN= 1+ Co*ν— 20— e, wo— 0 und cz(Xa⁵‿ 1+ cꝛι+‿ 6cον-— 40— 4c6 V—„,
wo O=y= 22+ 20*«*— 4e0VC—*.
——
—
Wird
triso sche dun- dar. a, S
ode

ire),
Llei-
— 7
Setzen wir die Werte in die Gleichung(*) ein, So wird (12, 12) bi Die intrinseke Krümmung ist also positiv. Es gilt die elliptische Geometrie. Wir haben hier die Sphären vor uns,
die aus lauter im Endlichen gelegenen Punkten bestehen. Für Flächen, für die die Beziehung Na= 7 1 5 C besteht, wird die Krümmung negativ; es sind die Hyper- sphären. Für die auf Seite 8 betrachtete Fläche muß sein:
1
42c 8²
7, 1 22 8 aace 2o.
2 4—= NSA 9 e 2a. Setzen wir diesen Wert in die Gleichung() ein, 80 :(12, 12) wird ſb 2=- 4c. Pik
Im hyperbolischen Raum gilt die Gleichung:
Qo(12. 12) 1„ b b e
42 Also wird 1—1o,
d. h. die relative Krümmung ist Null. Die Flächen werden „Ebenen“ des hyperbolischen Raumes genannt.
b) Clifford'sche Flächen und Abstandsflächen im hyperbolischen Raum.
Die Clifford'sche Fläche ist definiert als der geome- trische Ort aller Punkte, die von einer Geraden des ellipti- schen Raumes gleichen Abstand haben. In unserer Abbil- dung stellten sich die geodätischen Linien als größte Kreise dar. Bezeichnen wir den Radius eines solchen Kreises mit a, So Wird seine Länge
90 D 2' dx 2 di 2 1+ CX— 1. e 0 es c 2Q ado m1. 2 a
oder auch—
1+ Ca: 1+ca 0

1 Aus beiden Gleichungen finden wir a=
In unserer Abbildung wählen wir das Koordinatensystem So, daß der Kreis in der Xz-Ebene liegt und y die Symme- trieaxe ist. Lassen wir von einem Punkte ½ der geodäti- schen Linie orthogonal zu ihr geodätische Linien ausstrahlen und ziehen zu ihnen orthogonale Trajektorien, Sso müssen diese offenbar Kreise sein; a ist der nichteuklidische Mittel- punkt dieser Kreisschar. Zu Clifford'schen Flächen kommen wir, wenn wir diese Schar um die y-Axe rotieren lassen.
Wir beachten, daß die von ausgehenden geodätischen Linien auf den Kreisen senkrecht stehen und die euklidi- schen Tangenten an die Bilder der geodätischen Linien in den Schnittpunkten mit den Kreisen durch den euklidischen Mittelpunkt gehen ¹). Bezeichnen wir den vom euklidischen Mittelpunkt ausgehenden Radius mit o, den Winkel zwischen o und der positiven X-AXxe mit„, die Entfernung eines Punk- tes von der y-Axe mit r und den Rotationswinkel mit, 80 ist
r= as+—+ cos 9, 2X= a²+† 202+ 20 Ias* cos„. Das Linienelement der Fläche stellt sich dar durch
. A dEr dys ds=( e 2r
Setzen wir die vorhergehenden Werte ein, dann wird:
dse= Cdg*(a- 4 G* cos- 20 1a* † cos Q) dys 4 1+ ‿+‿ cha*+* cos p)*
2 2—— 3 4ν‿5 1. cos-h5 ſas †&* cos) dy
4½‿ ce c Jas.es cos 9) 84
¹) Auf die Möglichkeit, das Linienelement unter Zuhilfenahme des euklidischen Mittelpunktes zu fassen, wurde ich durch Herrn Fritz Kämmerer aufmerksam gemacht.
Die
Könn.
Lipiel del( Zusal hype Linie geod mess durc) der? hört. Sind

Irch
Den Nenner können wir, schreiben:
2 1,1N— 2. 4001+ νν Ia †e cos cos e)
Setzen wir die Konstante 4(1—+ C9)= 5
wenn wir ihn ausquadrieren,
80
können wir schreiben:
d-y— ewe Cay
(1 2Ja cos&+ cos⸗+*)
Wir erkennen hier sofort die Form des euklidischen Linienelements, woraus folgt, daß die intrinseke Krümmung der Clifford'schen Fläche Null ist, d. h. in einem einfach zusammenhängenden Bereiche gilt die euklidische Geometrie.
Wir führen die vorstehende Betrachtung noch für den hyperbolischen Raum durch. Da in ihm keine geodätische Linie vor der andern ausgezeichnet ist, benutzen wir die geodätische Linie, der in der Abbildung der Kugeldurch- messer entspricht. Die Abstandslinie wird charakterisiert durch den Radius»o der Abbildung bzw. den Winkel a, der zu dem halben Bogen des Bildes der Abstandslinie ge- hört. Legen wir die Abstandslinie in die X y-Ebene, S0 sind ihre Punkte gekennzeichnet durch:
— sin g, S1I 7
= COS— COsS). y Sna( 9)
Die X-Axe sei die Rotationsaxe und é der Drehwinkel. Die Fläche wird dann:
X= ᷣ 4— sin sinæ 39. y=— à—(cos— Cos α) cos v Sin 7 a z=——(cos— cos a) sin y. sin a
Für den hyperbolischen Raum ist

— 36—
Setzen wir für X die Werte aus der vorhergehenden Gleichung ein, So wird a* 1 2² = doy 4 Sin 2αο 2αάα(coS&— CoOsS)* 4 Sin* ασοσα 2* 4 Sin² αᷣ ςοᷣςσ. ⁵αQ das Linienelement die Form an:
. C.. io oll
dS==(Tos Cosc 47 Cdy. Die el
also dieselbe Form wie bei der Clifford'schen Fläche. Es
gelten daher auch die dort gezogenen Folgerungen.
Lassen wir die Abstandslinie um die y-Axe rotieren,
so kommen wir auf die unter(VI a) behandelten Sphären.
Die unter(VD) geführten Untersuchungen können wir so
zusammenfassen: 1
Wir kommen zu Flächen constanter Krümmung:
1. Wenn wir von einem reellen bzw. idealen Punkt geo-
dätische Linien ausstrahlen lassen und die ortho- gonalen Trajektorien ziehen,
2. wenn wir um eine Gerade eine Abstandslinie rotieren 1
lassen. Im letzteren Fall ist die intrinseke Krüm- 3
mung Null d. h. es gilt die euklidische Geometrie.
ds²
d“².
Setzen wir die Constante= C, So nimmt
Pre

Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
VIII. Heft
umt
Die elliptischen Funktionen als automorphe Funktionen, die Es 2u einer aus drei Drehungen der Euklidischen Ebene um 180° komponierten Gruppe gehören
von
HANSAXEL
Giessen 1922
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16
Preis M. 30,—; für das Ausland 1 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer. Giessen.

Inauguraldissertation der Philosophischen Fakultät II. Abt. der Universität Gießen.
Genehmigt 28. Juni 1922. Berichterstatter: Schlesinger und Engel.

§ 1. Uniformisierung algebraischer Funktionen vom Geschlecht p durch automorphe Funktionen niedrigeren Geschlechts.
In einer 1808 erschienenen Abhandlung hat Whittaker ¹)
gezeigt, daß jede hyperelliptische Funktion 82 g(2), wo g(z) eine ganze Funktion von höherem als dem vierten Grade ist, sich durch eine automorphe Funktion vom Ge-— schlecht Null uniformisieren läßt, deren Gruppe sich, aus Drehungen um 180° in der nichteuklidischen Ebene zusammen- setzt. Er dehnt das Verfahren auch auf beliebige algebraische Funktionen (s, 2)— 0
vom Geschlecht p= 1 aus, indem er durch birationale Trans- formation die zugehörige Riemannsche Fläche in eine Fläche mit nur einfachen Verzweigungspunkten verwandelt. Es ist dann ebenfalls eine Uniformisierung durch automorphe Funktionen vom Geschlecht Null möglich, deren Gruppe sich aus Drehungen um 180 ⁰0um die den Verzweigungspunkten entsprechenden Bildpunkte in der absoluten Ebene erzeugen läßt. In diesem Fall sind zwar s und z eindeutige Funktionen der uniformisierenden Veränderlichen t, aber es ist nicht mehr wie im hyperelliptischen Fallt, wenn man es auf einen bestimmten Fundamentalbereich beschränkt, eine eindeutige Funktion des Ortes auf der Riemannschen Fläche*).
¹) On the connection of algebraic functions with authomorphic functions. Phil. Trans. A 1808, Vol. 192, pp. 1— 32.
²) Das liegt offenbar daran, daß’ t nicht die einfachste uniformisierende Varlable ist, denn wenn z= a ein Verzweigungspunkt und ein anderes Blatt in dem über a gelegenen Punkt at unverzweigt ist, so wird gleich- wohl einer Umkreisung von a' erst ein halber Umlauf um den Bildpunkt a in der t-Ebene entsprechen, sodaß die Umgebung von a“ auf die t-Ebene doppelt abgebildet wird. Die einfachste uniformisierende Ver- änderliche zeichnet sich dadurch aus, daß sie sich eindeutig durch jede andere Uniformisierende darstellen läßt.

4
Hält man auch im allgemeinen Falle an der umkehrbaren Eindeutigkeit der Abbildung der Riemannschen Fläche auf den Fundamentalbereich in der absoluten Ebene fest, So wird eine Uniformisierung durch automorphe Funktionen vom Ge- schlecht Null nur unter gewissen Voraussetzungen möglich sein. Wir fragen deshalb, wann sich eine algebraische Funktion F(s, z)= O vom CGeschlecht p durch eine auto- morphe Funktion vom Ceschlecht Null oder allgemeiner durch eine automorphe Funktion von niedrigerem Geschlecht uniformisieren läßt.
Zu diesem Zweck zerschneiden wir die zur Funktion F(S, Z)= O0 gehõrige Riemannsche Fläche% nach dem Vor- gang von Riemann folgendermaßen: Zunächst ziehen wir p die Fläche nicht zerstückende und sich nicht schneidende Rückkehrschnitte Al, A?,.. Ad, Sodann zu jedem Rück- Kehrschnitt A einen Querschnitt B,, der von einem Punkt
von Ai zu demselben Punkt auf dem anderen Ufer von A. fühnrt und keinen der übrigen Rückkehrschnitte Au tjifft. Ebenso sollen sich die B untereinander nicht schneiden. Nun ziehen wir die p Schnittpunkte(A.B) in einen Punkt O zusammen. Wir erhalten so, wenn wir bei jedem Schnitt noch ein positives und ein negatives Ufer unterscheiden, eine einfachzusammenhängende Fläche mit den 4p Begrenzungs- stücken Alt, A, Bir, B- d= 1, 2, p). Bei der Ab- bildung dieser Fläche auf die absolute Ebene ¹) erhalten wir ein 4p-Eck mit den Seiten Art, Ar, Bit, B= als Funda- mentalpolygon. Die hyperbolischen oder parabolischen Substitutionen, die die Seiten An in Alf und B5 in B4 überführen, bilden die erzeugenden Substitutionen einer Gruppe S vom Geschlecht p. Läßt sich nun S als Unter- gruppe einer Gruppe T vom Geschlecht q— p darstellen, so läßt sich das Fundamentalpolygon von S aus einer ge- wissen Anzahl von Fundamentalbereichen der Gruppe T
¹) Die absolute Ebene läßt sich wiederum auf das Innere eines Kreises in der euklidischien Ebene abbilden. Die geraden Linien erscheinen dann als Kreise, die diesen Grenzkreis senkrecht treffen.

5
zusammensetzen. In diesem Falle wird sich die gegebene algebraische Funktion, die durch eine automorphe Funktion, die zur Gruppe T gehört und daher vom Geschlecht q ist, uniformisieren lassen.
Der Einteilung des Fundamentalbereichs von S in eine Anzahl von Bereichen, die durch Substitutionen der Gruppe T auseinander hervorgehen, entspricht eine Finteilung der Riemannschen Fläche O in solche Bereiche, die sich durch umkehrbar eindeutige, also birationale Transformation inein- ander überführen lassen. Die algebraische Funktion F(S, z)= 0 muß also gewisse eindeutige Transformationen in sich ge- statten. Solche Funktionen sind von Hurwitz untersucht worden ¹). Hurwitz hat gezeigt, daß jede eindeutige Trans- formation eines algebraischen Gebildes vom Geschlecht p= 1 in sich notwendig periodisch ist, ferner, daß ein Gebilde, das eine eindeutige Pransformation in sich von der Periode n besitzt, in der Gestalt
1(8., 2)= 0 darstellbar ist.
Klein bezeichnet die Riemannschen Flächen mit ein- deutigen Transformationen in sich als reguläre ²). Sie können aufgefaßt werden als Galoissche Resolventen mit einem oder zwei Parametern. Sei etwa F(s, z)= o eine Galois- sche Resolvente vom Grade N mit dem Parameter z. Dann läßt sich jede ihrer NWurzeln S1, S2..SX durch eine unter
ihnen und den Parameter z rational ausdrücken. Es kann darum jedes der N Blätter der zugehörigen Riemannschen Fläche durch rationale Transformation in jedes andere über- geführt werden. Also verhält sich jedes Blatt der Riemann- schen Fläche an einer bestimmten Stelle z genau 80 Wie jedes andere. Hängen etwa an einer Stelle zo» Blätter im Zyklus zusammen. so hängen in diesem Punkte je» Blätter zyklisch zusammen. Ebenso wie über der 2-Ebene können wir auch über einer beliebigen Riemannschen Fläche„ regulär verlaufende Flächen& konstruieren. Einer solchen entspricht
1 Matkem. Annalen Bd. 32(1838), S. 200 ff, Bd. 41,(1803), S. 403 ff. 2) Mathem. Annalen Bd. 14(1870), S. 459. Vgl. auch Klein, Rie- maunsche Fächen(Leipzig 1906) I, S. 203 ff.

— 6—
dann eine Galoissche eeAnente mit zwei Parametern FE(S, 0, 2)— wo zwischen und z noch die heehreische Beziehung. 1(. 2)= 0 besteht. Sie bestimmt die Riemannsche Fläche, über der die Fläche regulär aufgebaut ist. Wir wollen die einzelnen Exemplare der Fläche, aus denen die reguläre Fläche besteht, als die„Blätter“ von bezeichnen. Auch in diesem Falle hängen in einem Verzweigungspunkt der Fläche die einzelnen„Blätter“ in Zykeln von je» zusammen. Die eindeutigen Transformationen des algebraischen Gebildes in sich entsprechen gewissen Vertauschungen der„Blätter“ der zugehörigen regulären Riemannschen Fläche untereinander. Ist insbesondere das algebraische Gebilde, das zur Fläche gehört, auf die Form, f.(S, 2)= 0 gebracht, so stellt
die Galoissche Resolvente, 1(G, 2)= 0
die Gleichung der Fläche„ dar, über der regulär ausge- breitet ist.
Das Geschlecht der regulären Fläche O sei p, das der Grundfläche dagegen q. Dann besteht die Relation ¹):
2p— 2= W n(2— 2)
n ist die Anzahl der Blätter, W die Gesamtzahl der Ver- zweigungen der Fläche O in Bezug auf die Orundfläche, wenn jeder Windungspunkt seiner Vielfachheit entsprechend gezählt wird. Seien al, ag- a, diese relativen Verzweigungs- punkte und gi, geæ g) die zugehörigen Verzweigungszahlen, So ist
W Le(Ee 1)= a4n= n de
Es ist offenbar stets q— p. Wir zerschneiden nun die Fläche durch q Rückkehrschnittpaare, die durch einen
¹) Hurwitz, Mathem. Annalen Bd. 41(1893) S. 416.

Ig:
der nen 2 Semn 2 Die s in tel“ der. iche
nun einen
regulären Punkt O gehen, in eine einfachzusammenhängende. Ferner legen wir von O aus Schnitte nach den Verzweigungs- punkten al, a2, a). Nun bilden wir das so zerschnittene Blatt auf die absolute Ebene ab. Wir erhalten so ein Polygon mit 44+ 24 Seiten. Die Winkelsumme an den 4 Ecken, die dem Punkt O entsprechen, beträgt 2 z; der Winkel im
Punkte an, dem Bildpunkt von au, ist 2r. Die Fundamental-
. Lk substitutionen, die zu diesem Polygon gehöõren, setzen sich zusammen aus den 2— hyperbolischen oder parabolischen
Substitutionen, die solche Seiten ineinander überführen, die aus entgegengesetzten Ufern eines Rückkehrschnittes hervor- gegangen sind, und aus den Drehungen um die Punkte an
. 22— um den Winkel 22(kK; 1, 2,. A). Das Geschlecht der k
aus diesen Fundamentalsubstitutionen erzeugten Gruppe T ist q. Durch Drehungen um die Punkte ax erhält man be- nachbarte Fundamentalbereiche, die den anderen Blättern der regulären Fläche entsprechen. n dieser Bereiche ergeben zusammengenommen das vollständige Bild der Fläche. Diese läßt sich folglich durch eine zu der Gruppe T gehörige auto- morphe Funktion uniformisieren. Wir haben damit folgendes Resultat gewonnen:
Eine algebraische Funktion vom Geschlecht p ist dann und nur dann durch eine automorphe Funktion von niedrigerem
Geschlecht uniformisierbar, wenn ihre Riemannsche Fläche eine reguläre oder in eine solche transformierbar ist, oder, 3 was dasselbe ist, wenn sie eine eindeutige Transformation
in sich gestattet. Ist die Fläche, über der die Riemannsche Fläche der Funktion regulär aufgebaut ist, vom Geschlecht q. so ist die Uniformisierung durch eine automorphe Funktion vom Geschlecht q möglich. Ist inbesondere die Fläche der Funktion F(S, 2)= O0 regulär im engeren Sinne, d. h. regulär üher der z-Ebene ausgebreitet, so kann sie durch eine auto- morphe Funktion vom Geschlecht Null uniformisiert werden. Das ist z. B. der Fall für alle Funktionen, die sich auf die Form
—
11
§ l2(2) bringen lassen, Wo R eine rutionale Funktion bedeutet.

6
§ 2. Das elliptische Integral erster Gattung und seine Umkehrung.
Wir wollen im Folgenden die Uniformisierung der algebraischen Funktionen vom Geschlecht p= 1 behandeln. Jede solche Funktion läßt sich durch birationale Trans- formation auf die Form bringen:
y= f(X). wo f(X) eine ganze Funktion dritten oder vierten Grades Von X ist. Sei etwa f(X)=(— ai)(X— az)(X— aa)(X— ag)
y hat dann, als Funktion von xX betrachtet, die Verzweigungs- stellen al, ag, az, aa. ISt f(X) vom dritten Grade, So ist a= œ der vierte Verzweigungspunkt. Dieser Fall läßt sich übrigens durch birationale Pransformation auf den ersten zurückführen.
Wir betrachten nun das elliptische Integral erster Gattung. 3 dX 1)h O a G ae a0(K 49. Die Umkehrung dieses Integrals, X=„(ll),
ist bekanntlich eine eindeutige Funktion von u. Man be- trachtet sie in der klassischen Theorie der elliptischen Funktionen als eine automorphe Funktion, deren Fundamen- talbereich das Periodenparallelogramm ist und deren Substi- tutionsgruppe aus Parallelverschiebungen besteht und das Geschlecht 1 besitzt. Wir werden dagegen„(u) als eine automorphe Funktion vom Geschlecht Null auffassen, deren Substitutionsgruppe jene Gruppe als Untergruppe enthält.
Um die Quadratwurzel in der X-Ebene eindeutig zu machen, legen wir Schnitte von aa nach al, ag und az(Siehe Fig. 1). In der zerschnittenen Ebene ist auch das Integral eindeutig, gleichviel, auf welchem Wege wir von Xo nach X gelangen, sofern nur der Wert der Quadratwurzel im Punkt xo Vorgeschrieben wird. Den Wert des Integrals in der zerschnittenen Ebene nennen wir seinen Hauptwert u. Er ist endlich für jedes x, auch in den Verzweigungspunkten, Weil hier der Integrand von einer kleineren als der ersten
Ord Wie
zeic kein
in p
in n'
80
um.
wir

der leln. ans-
des
ngs- 0 Lens ren.
ung.
be- chen nen- bsti⸗ das eine leren hält.
- 2u diehe egtal nach unkt
del
Er
Ordnung unendlich wird. Auch für X= œ% bleibt u endlich, wie man durch die Transformation X—1 erkennt. Wir be-
zeichnen das Integral von Xo bis Xx auf einem Wege L, der keinen der Schnitte überschreitet, mit X .= U Yo lst Le ein Weg, der den von a, ausgehenden Schnitt in positivem Sinn überschreitet, so ergibt sich:
X Xo 1. e.ſ=(=a 5 X(au) Ad ist das Schleifenintegral um den Punkt al. Bei dem
Xo
Integral L Kommen wir mit dem entgegengesetzten Wert
X der Quadratwurzel im Punkt xo an. Es ist daher: Xo X 4.=—(-— u)= u;L= Ai— u x 10 Ebenso wird: 2 2 4 L2= Ag U, Ls A3— 1!, 2 A— U
Nun ist eine Umlaufung des Punktes ax in positiver Richtung gleichwertig einem Umlauf um die Punkte au, a, a in negativem Sinne. Daraus ergibt sich
Ai— Ag Az— Al= 0 Bezeichnen wir das Integral auf dem Wege L mit u,,
S0 wird
A A ) 1 u= Al— u, u-—(du=) 1 1 2 2
u geht also in u über durch eine Drehung um 1800
um den Punkt— der u-Ebene. Diese Operation bezeichnen
wir mit S..

——
— 10
U= Siu= Al— u Entsprechend wird ug= Sgu= Ag— u, ug= Szu= Az u, u.= Sau= A— u. Zwei solcher Drehungen, hintereinander angewandt, setzen sich zu einer Parallelverschiebung zusammen. S2 S1u= Ag—(A,— u)= Ag— Al † u, S1 Sgu= Ai—(Az— u)= Al— Ag+ u. Die Operationen S, und S2 sind also nicht vertauschbar. S4 läßt sich durch S1, S2, S3 darstellen. S4u= A4— u= Al— Ag+ Az— u, S4u= S81S2 S3 u Jede Substitution Sw, zweimal hintereinander ange- Wandt, ergibt die identische Substitution.
82 1, Se= S. Die Substitutionen S« sind also zu sich selbst invers.
Wir haben jetzt noch die Schleifenintegrale zu berechnen.
aàk. Xo *⸗ Xo(ak) ak
Das Integral bleibt im Punkt ax endlich, also wird
= O und wir erhalten (ak) àk dX
AL= 2 ſ 2 J— a¹)(X— aa)(X ag)(X— a3) Xo
Die Werte dieser Schleifenintegrale hängen noch wesent- lich von der Wahl des Anfangspunktes xo ab. Wir setzen AkK= 2 X
Die Punkte αᷣ sind die im Endlichen gelegenen Fix- punkte der Substitutionen Sa. Es ist a*r²—+‿‿ e— ³.= O. Diese Gleichung besagt, daß das Viereck ααά ein Parallelogramm ist. Nun wird S2 Siu= u+ 2(A*—, S3 Szu= u+ 2(ag—), S1Szu= u+ 2(α— az).
ei

df.
ge-
15.
xird
ent⸗ Lell
ein
—
11
Führen wir die Bezeichnungen
G..) az aa= 0)1 1+ 2+ 03= 0 Ai— Gg=(02 ein, SO wird: S. Stu= U † 23, S3 Szu= u+ 2%, S81 Sau= U 22 Dabei ist
A f dX 091=— 3— 2— a.)(X— aa)(X— a3)(X— a4)
Die Größen ν, G, sind nunmehr von der Wahl des Anfangspunktes Xo unabhängig. In der Theorie der elliptischen Funktionen wird gezeigt, dab zwischen den Größen i, G, außer r= O keine lineare Beziehung mit reellen Koeffizienten bestehen kann. Es ist daher das Verhältnis
001 d 3— 2
nicht reell. Das bedeutet, daß die Punkte, α, nicht auf einer Geraden liegen, sondern ein Dreieck bilden, dessen Inhalt von Null verschieden ist.
Wir wollen jetzt die zerschnittene X-Ebene auf die u-Ebene abbilden. Die Abbildung ist konform in allen Punkten, in denen u holomorph ist, d. h. überall mit Aus- nahme der Punkte au. In diesen Punkten beginnt die Ent-
1 wicklung des Integranden mit(X᷑—- au) 2, die des Integrals
1 mit(X— ab) 2. Es werden also zwei Kurven der X-Ebene, die sich im Punkte ax unter dem Winkel schneiden, durch zwei Kurven der u-Ebene abgebildet, die sich im Punkte a
unter dem Winkel 5 treffen. So bilden die beiden Ufer des
in a, einmündenden Schnittes einen Winkel von 360⁰, die Abbildungen auf die u-Ebene einen solchen von 180⁰°im Punkt aα. Wir umlaufen nun die zerschnittene X-Ebene in
folgender Weise(Siehe Fig. 2 und 3).

— 12 1 2 3 1 X-Ebene a4 a a4 a2 a4 al al
62 da a= z t 61 Zur besseren Ubersicht bezeichnen wir das eine Ufer
des Schnittes mit dem negativen, das andere mit dem posi- tiven Zeichen.
u-Ebene α= 6 ag.
Als Bild der zerschnittenen X-Ebene erhalten wir in der u-Ebene ein aus Kurvenstücken gebildetes Sechseck, das sich auf ein Dreieck reduziert, weil die Winkel in den Punkten —r,, ⁴ je 180⁰0 betragen. Die beiden Ufer des Schnittes as az gehen durch eine Drehung um 180⁰°um den Punkt aa auseinander hervor. Daher erscheinen 6αᷣ¶ mund 6 von az aus unter einem Winkel von 180⁰°, und die beiden Kurvenstücke 61 ακ. und 6β αχ sind Kongruent. Verbindet man 6β ꝙειν ε Lerad- linig, Sso erhält man ein Dreieck, in dem H,, z die Mitten der Seiten sind. Da in dem krummlinigen Dreieck die Winkelsumme
beträgt, so liegt es nahe, zu untersuchen, ob man das krumm- linige durch das geradlinige Dreieck 5 5½ 5 ersetzen Kkann.
Das der zerschnittenen X-Ebene entsprechende Gebiet in der u-Ebene kann sich nicht überdecken, da x eine ein- deutige Funktion von u ist. Wählt man die Schnitte in der X-Ebene als Kurven mit stetig veränderlicher Tangente, S0 werden die Seiten des Dreiecks 5 5 wieder Kurven sein, deren Tangente sich stetig ändert und umgekehrt. Nun entspricht dem sichelförmigen Bereich zwischen der geraden Linie 5α und dem Kurvenstück α wieder ein zusammen- hängender Bereich längs dem positiven Ufer des Schnittes az a(Siehe Fig. 4). Der sichelförmige Bereich zwischen 5, wund az geht aber aus dem eben erwähnten durch die Operation S; hervor, entspricht also genau denselben x-Werten wie dieser Bereich. Legen wir also den Schnitt as az längs der krummlinigen Begrenzung des Bereichs der X-Ebene, so wird die Dreiecksseite 5 eine gerade Linie. Dasselbe läßt sich für die beiden anderen Seiten erreichen.

—
— 13
Wir haben somit als Fundamentalbereich der Funktion X= g(u) ein geradliniges Dreieck erhalten, in dem die Funktion jeden Wert ein- und nur einmal an nimmt. Da man für einen bestimmten X-Wert u die Werte u, Siu, Szu usw. annehmen kann, so darf sich X nicht ändern, wenn man u durch Säu, Sgu usw. ersetzt.
F(Sk l)= 9(u)
Durch Anwendung der Operationen S:, S2, S auf das Fundamentaldreieck erhält man kongruente Bereiche, in denen x in entsprechenden Punkten denselben Wert annimmt Wwie im Fundamentalbereich. Wendet man die Operationen S auch auf diese neuen Bereiche an, so ergibt sich schließlich eine schlichte und lückenlose Oberdeckung der u-Ebene mit kongruenten Dreiecken ¹)(Fig. 5). Jedem dieser Bereiche entspricht ein Exemplar der zerschnittenen xX-Ebene, und zwar ist der Zusammenhang dieser Blätter wegen der Konformität der Abbildung derselbe wie bei den Dreiecken in der u-Ebene.
Betrachten wir z. B. die den Dreiecken!l und Il entsprechenden
Blätter der X-Ebene. Längs des Schnittes ax as hängt das positive Ufer des Blattes l mit dem negativen von Il zu- sammen und umgekehrt. Sonst verlaufen die beiden Blätter völlig getrennt. Wir erhalten also eine unendlich vielblättrige Oberlagerungsfläche, von der längs eines jeden Verzweigungs- schnittes je zwei Blätter zusammenhängen, sodab man nach zweimaligem Umlauf um einen Verzweigungspunkt zum Ausgangswert zurückgelangt.
§ 3. Die Substitutionsgruppe der elliptischen Funktionen.
Durch wiederholte Anwendung der Operationen 84, Sg, Sa erhält man eine der Substitutionen: Su= u+ 2m+. 2n 03 Pu= 21— u+ 2m ꝗ)+ 2n 3 Zwei dieser Substitutionen, hintereinander angewandt, ergeben wieder eine Substitution derselben Aft. Sie bilden daher in iher Gesamtheit eine Gruppe G. 81, Sa, 83 sind
¹) Vgl. Fricke: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Leipzig und Berlin 1016 I S. 246.

1
die Fundamentalsubstitutionen der Gruppe. Da die Um- kehrung des Integrals, X=(u), bei den Substitutionen von G ungeändert bleibt, so stellt sie eine zur Gruppe G ge- hnörige automorphe Funktion dar und zwar eine solche vom ersten Grade, denn sie nimmt im Fundamentalbereich jeden Wert gerade einmal an. Wir werden zeigen, daß jede auto- morphe Funktion ersten Grades, die zur Gruppe G gehört, als Umkehrung eines elliptischen Integrals erster Gattung darstellbar ist.
Zunächst wollen wir noch festsetzen, inwieweit die Be- grenzung des Fundamentalbereichs diesem zuzurechnen ist. Auf beiden Ufern eines Schnittes besitzt x denselben Wert. Wir rechnen daher immer nur die negativen Ufer zum Fundamentalbereich. Einen Funktionswert in einem der Punkte α,, g Zählen wir, da der Punkt zwei Bereichen
gleichzeitig angehört, von der Ordnung 4 einen solchen in
1 4— 3 einer Ecke von der Ordnung 5* Da die Funktionswerte in den drei Ecken gleich sind, zählen sie zusammen ebenfalls
1 von der Ordnung 2
Trifft man diese Verabredung, so nimmt X=„(u) im Fundamentalbereich jeden Wert genau einmal an. Es ist daher im Fundamentalbereich u eine eindeutige Funktion von X. Wir betrachten im Folgenden nur automorphe Funktionen, die im Endlichen keine wesentlichen Singulari- täten besitzen. Sei(u) eine solche Funktion, die zur Gruppe G gehört. Sie ist eine eindeutige Funktion von X.
O(u)= FG)
Da ferner(u) für alle endlichen und unendlichen Werte von X den Charakter einer rationalen Funktion hat, so ist O(u) eine rationale Funktion von X. Jede automorphe Funktion der Gruppe G läßt sich also durch die Funktion ersten Grades X=„(u) fational darstellen. Daraus folgt, daß die Beziehung zwischen zwei Funktionen ersten Grades X und X gegenseitig rational, also von der Form sein muß:

— 15—
ax h ecex+† d Die automorphe Funktion ersten Grades, die zur Gruppe G gehört, ist daher bis auf eine projektive Pransformation ein- deutig bestimmt.
Sei Zz= g(u) eine automorphe Funktion ersten Grades
der Gruppe G, dann ist g(Su)= g(u), g(Su)= L(u), Sxu= 2.ᷣα— u g(u)? ist ebenfalls eine automorphe Funktion der Gruppe und daher durch z= g(u) rational darstellbar. g(u)?= f(C(u)).
Da g'(u) keine anderen Pole haben Kkann wWie g(u), So muß f(g(u)) eine ganze Funktion in g(u) sein. Liegt der Pol von g(u) im Innern des Fundamentalbereichs oder auf einem der negativen Ufer, so hat g'(u) dort einen Pol 2. Ordnung, g'(u) einen solchen 4. Ordnung und f(&(u)) ist vom 4. Grade in g(u). Hat dagegen g(u) in einem der Punkte oder in den Ecken 6ᷣ einen Pol 2. Ordnung, der einem einfachen Pol im Innern äquivalent ist, Sso wird g'(u) dort von der dritten, g(u)? von der sechsten Ordnung unendlich. Dieser
Pol zählt aber nur von der Ordnung= 3, f(g(u)) ist
dann eine Funktion dritten Grades in g(u),
2 1r= 1E))(4s)— 1 dZ 1 ₰ Vr(2) dabei ist 1(2) eine Funktion dritten oder vierten Grades. g(u) ist also die Umkehrung eines elliptischen Integrals erster Gattung.
Man bezeichnet allgemein als elliptische Funktionen solche Funktionen, die im Endlichen überall rationalen Charakter haben und die Funktionalgleichungen erfüllen:
F(u+ 21)= Fu), F(Gu+O 2⁰)= F(u); die Perioden 2 ½, 23 sollen voneinander verschieden sein, d. h. kein reelles Verhältnis haben. Durch wiederholte An- wendung der Funktionalgleichungen erhält man:

— 16—
F(du+ 2m o 2n)= F(u), wo m und n ganze Zahlen sind.
Die elliptischen Funktionen bleiben im allgemeinen erst bei den Substitutionen einer Untergruppe H der Gruppe G invariant, nämlich bei allen denjenigen, die aus einer geraden Anzahl von Substitutionen S zusammengesetzt sind. Es war nämlich:
S2 S1u= U+ 203, S1 Szu= u= 203, 83 Sz u U*2031, S2 S3 U= U— 20¼, 81 S3 u=lU 2 2, S; Suu= U 2
Man kann daher die elliptischen Funktionen in zwei Klassen einteilen, in diejenigen, die gegenüber sämtlichen Substitutionen der Gruppe G invariant bleiben, und in solche, die nur bei den Substitutionen der Untergruppe H ungeändert bleiben. Die Gruppe H läßt sich aus den beiden Fundamen- talsubstutitionen
Tiu= u+ 20, Tzu= u+ 23 erzeugen. Die Gruppe G ist vom Geschlecht o, H vom Geschlecht 1. Wir werden uns hauptsächlich mit den in bezug auf G invarianten elliptischen Funktionen vom Ge- schlecht O befassen.
§ 4. Verhalten der Jacobischen und Weierstraßschen Hilfs- funktioneun bei den Substitutionen der Gruppe G.
Wir verlegen jetzt den Nullpunkt der u-Ebene in den Punkt des Fundamentaldreiecks(Fig. 6). Es wird dann
1.1 9= 01 Sru= 2— U =— 2= 0)+ 03 S2 l=— 202— U d.g=, dü—= 2¶)+% 03 SZu= 4 ⁰01+ 2— U
Wir bilden nun die zu den Perioden 2, 2 1% gehörenden
Jacobischen Thetafunktionen: +
1 12 6,)= L S»y O' t(2» t 1) ⸗i 2——0 + 1„— 2) 1 711 9 92)= 4l 1. 2 e(2- 4. 1) al
2— 00

etzt
ZWei lchen olche, indert amen-
u renden
„—
———
2 vri d
1(v)=— 1) 4(b) 2( ꝗ „=— Hierin ist 3 7 N1 11 U 00 001 7)—— 7———— 2 01 01 4 Se 6 Die Reihen konvergieren absolut für—†ß= 1, d. h. wenn Cz.. 2= einen positiven Koeffizienten von i hat. Sollte das 1
nicht der Fall sein, so vertauscht man die Bezeichnungen und 3. Faßt man je zwei Glieder mit entgegengesetzt gleichen Exponenten von e zusammen, so erhält man die trigono- metrischen Reihen:
9 25 9(b)= 2q* sin va— 2 ¹ sin 3+† 2 sin 5—-.. 1 9 25 9(v)= 2 qcos un † 2 q'cos 3 e+ 2¹Cos 5 ‿ 93(o)= 1+ 2 cos 2 ‿2t cos 4 n+ 29 Cos 6ur... 94(o)= 1— 2 Cos 2+ 2l cos 4 o— 29 Cos 6 u..
Daraus ergeben sich die Relationen:
91— 9)=— 94(0) 91G+ 1)=— 91(9) ₰ 92(— 9)— 9½() 9½(— 1)—— 9½(9) 93(—)= 93(0) 93G 1)= 93(0) 90—“)= 9½(0) 94 b+ 1)— 9½(0) — 1— 2, 91(+)=— e 91()* — 1— 2 o 2 G+D)= d e 92(v) 5— 1— 2215 62 93(b+ 2)— ꝗ 6 93(0)
.— 1— 2s 94+ 2)=— e 94()

Nun ist
Sel= 2axk u(k= 1, 2, 3)
Die entsprechenden Substitutionen von v bezeichnen wir durch S v.
22
S b= 5—„ 81= 1—„ Gen 1.: e 83= 2+ ⸗2— o.
Daraus ergibt sich: 9,Sre)= 4o), 34(8ee)==. le2e o) 3.(Si)= ee). SaSeh e. leeeeede. 9,S1e)= 9,0o). 54 S.v)= g eeee), 91(S1)= 940), 4(S2)=— 1 e2 ²109, 0)
5,(ahe. e- w G),
92(Sa 9)= q-le ziis. 2(o),
93(S3)=. 1 e2 ²iu9, 9),
9.(Sao)=— d e2i 92().
Bezeichnet man mit d1, usw. die Funktionswerte für= 0, so gelangt man zu den Weierstraßschen Sigma- funktionen durch die Formeln ¹):
771 U 2⁰ 91 9(u)= 2 1 e* 91(0), NLu⸗ G— 2 G 92 01(Ul)= e 92(0), 271 u2 6 2 93 02(u)= e 1 33(0) 114 l2 2⁰ 94 03(u)= e 94(0). Hier ist: -(1) 371=(1)— 71 66 ¹) 0()„
¹) Siehe z. B. Burkhardt: Elliptische Funktionen(Leipzig 1800)§ 46
WO?
defini

u Wir
— 0.
Werte iema-
also eine Größe, die nur von den Perioden abhängt. Durch Anwendung der Substitutionen S« erhält man:
3(8,= e 27 r u)
und unter Benutzung der Legendreschen Relation: 2 1⁄1— 2 1= al(j, K= 1, 2, 3; 1== k) 2 2 2 1 u) 9(u)
0(U)
—5(Sz u)= e 4„„)(2.—„.—) g(Sau)= e-(, 79ee 3 u-(u) Für die Funktionen H(u) gelten ähnliche Formeln. Nun ist: IkX= C(c;),(k= 1. 4, 3)
die Weierstraßsche-Funktion darstellt.
wo(u)= 2 L 0(u)
Da ferner: C+ 2%)=(u)+ 2% (— u)=(u) ist, So lassen sich die gewonnenen Formeln folgendermaßen zusammenfassen: 0(S u)= e 2(x— u)?(a* G(U), 01(Sx u)= e 2(Mx— u) g(x) 9(u),(i.== k) 2u(Sw u)— e2(&&— u)5(αν 6(u).(i, K= 1,2, 3) Durch zweimalige Anwendung dieser Formeln erhält man: 5(u- 2)== e 2"r(u- r)„(u), 91(u+ 2%)— e2 k(u+ O) 9i(U),(i⸗ K)
(u+‿
27 1e 9(UI+ 20)— S=k(LI).
§ 5. Die Weierstraßsche p-Funktion.
Die Funktionen(u) und p(u) sind durch die Gleichungen definiert:

— 20—
Aus den Formeln des vorigen Abschnitts ergibt sich: C(Sr u)= 2(ax)—(u), P(Sw u)= h(u).
Wenn also u eine Drehung um 180⁰ um den Punkt an erfährt, erleidet(u) eine ebensolche Drehung um den Punkt (au). p(u) bleibt bei dieser Drehung ungeändert, ist also eine automorphe Funktion, die zur Gruppe G gehört, ebenso
p'(u) und alle geraden Ableitungen von p(u).
Dagegen ist:
p’(Sx u)=— p(u).
p'(u) gehört also nicht zur Gruppe G, d. h. es hat nicht denselben Fundamentalbereich wie p(u). Es wäre allerdings denkbar, daß p'(u) ein anderes Dreieck als Fundamental- bereich hätte und etwa bei der Drehung:
Su= 2— u ungeändert bliebe. Wir wollen untersuchen, ob das der Fall ist. p'(2aα— u)= p'(u) Wir setzen u= w+a und erhalten: 8 P'(+‿¶ w)— pP.(— w)= 0. Aus den Additionstheorien der-Funktion: . 2 3 LD u Pp 5 L(u o)= e(u) 5() B b. ergibt sich durch zweimalige partielle Differentiation und Subtraktion:
p'(u+ 9)— p'(u—)=—
Aus der Gleichung(“) folgt also: (Pa— p W) piap W— 2(P'.)²* p, w= O. p'W= 0 scheidet aus, da w als unabhängige Veränder- liche jeden Wert annehmen soll. Es ergibt sich also:
—(Da) 4 1 2 Pa- g.
3(Pa)e— 4 g2
Die Gleichung p'(2æ— u)= p'u könnte demnach immer
nur für gewisse u-Werte erfüllt sein, aber nicht allgemein.
Es gibt somit kein Dreieck als Fundamentalbereich der Funktion p'u.
(PDu po)yp up o= 2(p u)2 p (pDu— p)3
p'( Sx u)= p u.
ände
die

dch.
3 unkt alSo enso
nicht dings ental-
der
—õ
p'u bleibt also bei den Substitutionen der Untergruppe H von G ungeändert und nur bei diesen. Ihr Fundamental- bereich ist das Parallelogramm, das von zwei benachbarten Dreiecken der Gruppe G gebildet wird. pu ist folglich eine automorphe Funktion vom Geschlecht Null, piu vom Ge- schlecht 1. Allgemein läßt sich zeigen, daß jede gerade elliptische Funktion vom Geschlecht Null ist. Es sei:
f(u+ 2%= f(u), f(— u)= f(u).
Daraus folgt:
f(u— 2 1½)= f(u), f(2 α̈— u)= f(u).
Die Funktion bleibt ungeändert bei einer Drehung um 180° um einen der Punkte α.
-.(u) besitzt in den Ecken des Fundamentaldreiecks einfache Nullstellen,(u) hat dort einfache Pole, pu Pole zweiter Ordnung, die nach unserer Verabredung zusammen- genommen nur als einfache Pole für den Fundamentalbereich gezählt werden. pu ist daher vom ersten Grade. Es muß
also die Umkehrung X=„(u) des elliptischen Integrals: X
dX u=— ₰— ac)— a2)(X— a3)(X— aa) Xo in der Gestalt darstellbar sein: apu+ b
„(u)= 9 cpu+ d Dabei ist zu beachten, daß wir den Koordinatenanfang in den Punkt 63 verlegt, also u— 6 als unabhängige Ver-
änderliche betrachtet haben. 34 X
X dXx dX* GX uU— 63———==. J A 4 1 Xo Xo 24 Für u— 6 Schreiben wir wieder u. Für X= a Wird u= 0, pu= o. Also ist:
a4==. t. ce
Für X= ax(K= 1, 2, 3) Vird u= x. Bezeichnet man die Funktionswerte p(oᷣ) mit ex, so Wird:

An e e eeee(K= 1,2,3)
dex b Caxen— d ax= 0. Daraus bestimmen sich die Koeffizienten a, b, c, d. a= Oo axer— axu bh= ee. auer ax.
e=O er 1— ar d= oſer 1. axer 4 3 3 3 4 a o ist ein Proportionalitätsfaktor. Die Bedingung= a
liefert: ei(ai— a4(az— a3)+ ez(az— al)(ag— a¹)+ eg(as— a4)(41— a2)=0. Bezeichnet man: 4= 31 42 44. 45 41 43 3. 43 als Doppelverhältnis der vier Verzweigspunkte, so geht unsere Gleichung über in:
=er(=) e es4 O. 4= 64. 2, 61— e3 ist also auch das Doppelverhältnis der Verzweigungspunkte der p-Funktion, denn der vierte Verzweigungspunkt liegt hier im Unendlichen. Die Verzweigungspunkte zweier ellip- tischer Integrale erster Gattung, deren Umkehrfunktionen denselben HFundamentalbereich besitzen, haben demnach gleiches Doppelverhältnis. Dabei sind die 6 Werte des Doppelverhältnisses:
1 1 1 1 1 4, 1 z„, ⸗, nicht als verschieden zu betrachten, denn sie gehen durch Vertauschung der Verzweigungspunkte auseinander hervor,
Wobei das algebraische Gebilde ungeändert bleibt.
§ 6. Ubergang von 8., S,, Sa zu neuen Fundamental- substitutionen.
Wir haben im§ 2 ein zerschnittenes Blatt der x.Ebene auf ein Fundamentaldreieck in der u-Ebene abgebildet und die Abbildungen der übrigen Blätter daraus durch wieder- holte Anwendung der Operationen S81, S2, S3 gewonnen.
Wir del l durch werd andel ändel funkti Umlas X-bè d 00 Fund 8. 5 Dreiee bereic entsp. Valenl stituti denn suhst ldenti
und

geht
inkte liegt ellip- onen nach
des
Jurch TVol,
ntal-
bene tund edel-
Wir erhielten so eine schlichte und lückenlose Uberdeckung der u-Ebene mit kongruenten Dreiecken, von denen je zwei durch eine Substitution der Gruppe G ineinander übergeführt werden konnten. Legt man nun die Schnitte in der X-Ebene anders oder vertauscht man die Punkte ax untereinander, 8o ändert sich das Integral nicht, ebensowenig die Umkehr- funktion X=„(u). Man gelangt nach wie vor durch einen Umlauf um einen der Punkte ax in ein anderes Blatt der X-Ebene und entsprechend bei einer Drehung um einen Punkt aᷣ oder einen homologen Punkt zu einem benachbarten Fundamentalbereich. Es bleiben also die Substitutionen S4, S2, Sg und damit die Gruppe G erhalten, wenn auch das Dreiecksnetz ein anderes wird. Dem neuen Fundamental- bereich mögen die Fundamentalsubstitutionen VI, Va, Va entsprechen. Soll die neue Dreiecksteilung der alten äqui- valent sein, so müssen sich die neuen Fundamentalsub- stitutionen durch die alten ausdrücken lassen und umgekehrt, denn nur dann ist die Gruppe P', die aus den Fundamental- substitutionen V., Va, Vs hervorgeht, mit der Gruppe G identisch.
Sx u= 2 α᷑α☚— u
K= 1, 2, 3 VL U= 2 σᷣνα— UI(. 2. 3)
Vru=§ Sa.Heu(p, d,:T= 1, 2, 3)
Da die Substitution Vsu eine Drehung, keine Parallel- verschiebung ist, Sso muß die Anzahl der Transformationen S auf der rechten Seite ungerade sein. Je zwei dieser Substitutionen lassen sich zu einer Parallelverschiebung um eine Periode zusammensetzen.
Vru= S,(u+ 2m+ 2 1 9), 2— u= 2%— u— 2m 9 2n 0,
.= ap m G1— n.
Im Falle p= 2 oder 3 ist, setzen wir:
ag= l+. 3,= aα— 2= 01+† 03
und erhalten: = 91 3 t 11 003,

wo m und n, ganze Zahlen sind. Geht man von den Substitutionen Ve und Va aus, so erhält man ebenso:
d2.= m r † n2 003,
3= 11+ ma 01+ n3 03.
Die Punkte a sind also von den à um ganze Viel- fache der Halbperioden entfernt. Ferner wird:
43— d.2.=,=(ma— ma) i+(na— n2) 03, d2. b¹=— At==(In— mi) 1 †(n— m) 0.
Die notwendigen Bedingungen, daß die aus den Funda- mentalsubstitutionen Vx gebildete Gruppe I' der Gruppe angehört, sind folglich:
01= a G,+, b 03, 0085= CG † d, d=.(mod*, Gz).
a, b, C, d sind positive oder negative ganze Zahlen. Die Gruppe F ist dann entweder mit der Gruppe G identisch oder eine Untergruppe von ihr. Soll mit G identisch sein, so müssen auch umgekehrt, und linear und ganz- zahlig durch i und ausdrückbar sein. Die zweite Bedingung:
Ax&—=.(mod G, G.) ist dann von selbst erfüllt. Nun wird:
01— a D= ad— bc. 95= B H. H s
Damit die Koeffizienten ganze Zahlen sind, müssen a, b, c, d durch D teilbar sein. D= ad— be muß also den Faktor D enthalten. Das ist nur möglich, wenn D=tl ist. Dabei ist noch eines zu berücksichtigen. Damit die Reihen für die Thetafunktionen konvergierten, mußte der imaginäre Bestandteil von z positiv sein, ==a s 5o;
9
7
dieselbe Bedingung muß auch für z Sn. gelten. Da
jst, wen. läßt
alls

28—
den 1 cde⸗ c-da+ dei a+‿ bz a ba+ b i „= da)da+ bc) bd6 Di b(A+ b) † bé 5= ist, wird der imaginäre Bestandteil von nur dann positiv, wenn D positiv ist. Es muß darum D=+ 1 sein. Nun läßt sich jede lineare Periodentransformation: 01= a G,.+ b(03— 8.ee ad pe 4- 037= CG. d] iruppe aus den beiden Transformationen: 1,— A 1 A) e=1*: 036=.+ 03 0ꝙ= (B) 11 Gs 1. 03=— 0 1 n. Die zusammensetzen ¹). Wir brauchen daher nur das Verhalten entisch der zu betrachtenden Funktionen gegenüber diesen Trans- entisch formationen zu untersuchen. ganl- Die Thetafunktionen transformieren sich beim Ubergang WWeite zu den neuen Perioden folgendermaßen ²): ni (A) 91(v, 7+‿ 1)= el 9.(, 2), i 9½(0, 2* 1)= 64 52(0, ¹), 93(0, 2 1)= 941(0, 2), 94(b, 2— 1)= 93(0, 1), 192 8 3 6 e v. 1)= ih- ie 7 8 1e,n müssen nu2² B al80 1 52(7.—— ·q— zi e 647 9(b, 2), T T Wenn ju2 Pnüigen. 930( 3.—=— V— zie ¼ 93(0, ²). gierten, 3 7„ 1 NTld“ 9 5* 9——— 1 9% 6,. 162 7) 218 2(. ²) ¹) Weber, Lehrbuch der Algebra. 2. Aufl.(Braunschweig 1008) — 3. Bd.§ 30. ¹) Weber, 3. Bd.§ 31.

Von den Weierstraßschen Hilfsfunktionen ist die Funktion(ui) so gebaut, daß sie allen linearen Perioden- transformationen gegenüber invariant bleibt ¹). l(dG, 0)= H(u., 603). Daraus folgt: .(u Gr, Gz)=(u Gn, G3), P(u[G2˙,)= P(u]G, G0). — Ebenso bleiben p'u und alle weiteren Ableitungen un- Leändert. Aus 4= àa G, †. b G., 0936= CGr+. d 03 und dem Additionstheorem der s-Funktion: 3, 1pbu p 2(at.e)= eu) 6 o), u p⸗ folgt: 1,= 6()= an.+ b, 18=()= Cy d 73; die Größen ändern sich also kogredient mit den Perioden. Aus den Definitionsformeln der Sigmafunktionen in§ 4 ergibt sich das Verhalten der Funktionen s(u) bei den Periodentransformationen(A) und(B): (A) Gr(lGD, G z)= G,(uG, G3), 92(U GD, G,.+ 03)= 03(U G, 3), -(U] GI, G,+ 0)= 92(U GDr, 603),
(G) n(U G3,— 0)= 93(U n, G3), G½(UI 003,— 0.)= 02(U G1, 003), 03(lI C603, 001)= Gr(U, C3).
Bei beliebigen linearen Periodentransformationen ver- tauschen sich also die Funktionen o(u) untereinander. Da- gegen lassen sich aus(A) und(B) Transformationen bilden, bei denen die(u) einzeln ungeändert bleiben, z. B.:
(A= z+ 2, (B)' liefert die identische Transformation. Wir bilden deshalb:
A BA
() T 1 7* 2
(ABA) 7 22
¹) Weber, 3. Bd.§ 35.
dabe
89. S

die den.
a un-
en ¹.
1§ 4
den
Ver- Da- lden,
haalb:
27
Auch bei dieser Transformation geht jede Sigmafunktion wieder in sich selbst über. Aus den beiden Transformationen: (4)= 1+ 2,
B).— (B) 1 1-+ 27 lassen sich nun sämtliche linearen Transformationen: „ c P di b; ad— b= 1
zusammensetzen, die mod 2 der ldentität kongruent sind, bei denen also a und d ungerade, b und c gerade sind.
4= 2“+ 1, d= 26+ 1, b= 26, c= 27.
2— 1 e„ 2(— y)+a 6= O.
a und ò sind also beide gerade oder beide ungerade. Wir werden später sehen, daß bei diesen Periodentransformationen die elliptischen Funktionen Jacobis ungeändert bleiben. Die Thetafunktionen zeigen gegenüber diesen Transformationen folgendes Verhalten:
(4) 910, 7+ 2)= 1919, 2), 92(b, 7+ 2)= 192(9, 2), 9½(b, 2 2)= 930, 2).
94(bv, 2+ 2)= 9(¹, 1), 2
1b 1 9 2——, =—( 2 1+ 219) (B) 54(1 2 2' 12n he:69,*), F1 1 92 2 7—— 7 8— 9= j/— 1+ 21 95) 2 2(TA. 1 2) 1)(1+. 22) e 2 2, 2) 92
„. 2— 1+ 21 9.(v, ¹) 9(1 2. en) 11—(1+ 20) e 23(b, 1),
711 9²
3— 54—————
1(Ten. e dabei ist für die Wurzel derjenige Wert zu nehmen, dessen reeller Bestandteil positiv ist.
§ 7. Elliptische Funktionen zweiter Stufe.
Beim Ubergang von den Fundamentalsubstitutionen S3, S2. Sa, die die Gruppe G erzeugten, zu den Fundamental-

— 28—
substitutionen Vi, Ve. V;z der Gruppe P fanden wir als Be- dingung dafür, daß D der Gruppe G angehörte: 91= a 01+ b 03, 0= CG+ d. War ad— be= 1, so war die Gruppe I' mit Gidentisch. Diesen Fall haben wir bereits betrachtet. Ist ad— be=n, 1=1 so ist P eine Untergruppe von G. Wir wollen sie als eine Untergruppe n-ter Stufe bezeichnen. Im Fallen= 2 existieren drei voneinander verschiedene Arten solcher Pransformationen, die drei verschiedene Untergruppen zweiter Stufe definieren. J. Gh= Gh, GOz= 2 00⸗, daraus lassen sich durch lineare Transformation diejenigen quadratischen Transformationen: 1 ü= a GI b G] 093= C 1+ d] ableiten, bei denen b und d gerade sind: b= O(mod 2), d= O(mod 2). II. 1 bä= 21„, 03=.+. 0.
ad— bC= 2
Durch lineare Transformation ergeben sich hieraus alle quadratischen Periodentransformationen mit den Koeffizienten: a= b(mod 2), e= d(mod 2).
III. G1= 2 01, 0=(0z. Dazu gehören die Fälle, in denen a und c gerade sind. a= O(mod 2), C= O(mod 2).
Unser Ziel ist, elliptische Funktionen herzustellen, die zu den Untergruppen zweiter Stufe von G gehören, die also bei allen Substitutionen einer dieser Untergruppen invariant bleiben, und nur bei diesen. Allgemein nennt man elliptische Funktionen n-ter Stufe solche, die nicht gegenüber sämtlichen Substitutionen der Gruppe G invariant bleiben, sondern erst bei den Substitutionen einer Unterguppe n-ter Stufe. Die Funktion pu bezeichnet man demnach als elliptische Funktion erster Stufe.
Die Differenz der p-Funktionen für zwei verschiedene Argumente läßt die Darstellung zu ¹).
¹) Fricke: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen; l (Leipzig und Berlin 1916), S. 382 ff.
Lieh
Wire
der
Wil
der Ful
die
ge

Be. tisch.
eine tieren onen, jeren.
nigen
§ alle enten:
sind.
n, die e also arjant dische Uichen n erst Dlie nktion
jegene
ngen;!
¹
29—
-'(u) G(u+ 0) 62²(U) 0²(9)
pu- po= Wir setzen=. G³(u— 0)(u+.)
u— e.=—— P 1 92²(u) ν π Nun ist: 2 1 U d(u+)=— e“ 1, 0(u 0), 2mu 02(u—) Pu— e⸗
92(u.)2() 3 Auf der rechten Seite läßt sich die Quadratwurzel aus- ziehen. Wir bestimmen das Vorzeichen so, daß
hiu a(u— 0)
pu— e.= e p 1 G(u) G(⁷)
wird. Berücksichtigt man, dabß
GGh. e 3(Go⸗) ist, So ergibt sich: hS= nn) P 1— G(u) 71
Damit ist'pu— e. als eindeutige Funktion von u defi- niert. Sie hat in den drei Ecken des Fundamentalbereichs der Gruppe G je einen Pol erster Ordnung. Diese Pole zählen zusammen nur von der Ordnung x. Das Fundamen- taldreieck der Funktion h(u) muß daher, falls ein solches wirklich existiert, mindestens doppelt so groß sein wie das der Gruppe G. Wir untersuchen noch das Verhalten der Funktionen r(u) gegenüber den Substitutionen S1, S2. Ss.
V 91(u) 9(u) 9ꝙ(u) SI— 9r(u) 9(u) os(u) 82 91(u) 72(u)—3(u) 83 V ct(l) ꝙ(u)— 9(u)
Wir konstruieren nun ein Dreieck, dessen Seiten durch die Ecken des Fundamentaldreiecks 51 6 der Gruppe G gehen und von diesen halbiert werden. Die Seiten des neuen

1
Dreiecks sind doppelt So groß wie die von§4 6ε̈ 9‿3(Fig. 7). Die zugehörigen Fundamentalsubstitutionen sind: VI= 2 6— u,(K= 1, 2, 3)
die daraus gebildete Gruppe sei 2). Nun ist: 61= ag g, 62= lr—9 1, 68=.2 †, daraus ergibt sich: V— S2 S; S3, Va— 83 S2 8:, Va— 81 83 S2. Wir wenden die Operationen auf die Funktionen„r(u) an. oi(Vr u)=—*r(u).(b K= 1, 2, 3) Daß die drei Funktionen nicht bei einer und derselben Drehung invariant bleiben können, geht schon aus der Be- ziehung hervor: 2 Gr(u) ge(u) qs(u)=— p'u, dann müßte nämlich piu bei dieser Drehung ebenfalls unge- ändert bleiben, was aber ausgeschlossen ist, da die Gruppe von p'’u keine Drehungen enthält. Dagegen bleiben diese drei Funktionen einzeln bei diesen Drehungen invariant, wenn wir den Fundamentalbereich um eine halbe Periode ver- schieben. Man findet nämlich:
es Sere 71 3=e,g0), das gibt uns Veranlassung, die drei Funktionen: wn3 A. eei9, ne. enn=
zu untersuchen. Sie bleiben invariant bei den Substitutionen von 0. v(VX U)=(u).(i K= 1, 2, 3) Gegenüber den Fundamentalsubstitutionen der Gruppe G zeigen sie folgendes Verhalten: r(u)„w(u)„s(u) 81 vn(u)— wz(u)—„s(u) S2— w(1) n(u)—„s(u) Sa—„r(u)— w(u) vp(u)
—

— 31— §)).
Es bleibt also 2. B. w(u) bei der Substitution S, un- geändert. Zieht man in dem gemeinsamen Fundamentalbereich der drei Funktionen w(u) die Mittelinie 5.10 ½, so sind die 1 beiden entstehenden Teildreiecke Fundamentalbereiche der
Funktion wr(u). Zu dem linken Dreieck gehören die Sub- stitutionen: Liu= 2.,— u, LL= S:,
Lzu= 2.+ 2 3— u, Lz= 82 81 Sz, 3) Lu= 263— u, Lz= 81 S3 S2= Vsz.
Sie bilden eine Gruppe 4, deren Substitutionen»⁴(u) un-
geändert lassen. A läßt sich aus unter Hinzunahme der
Substitution S, erzeugen, denn es ist:
VI Va 81— 82 81 82— Lz. Der Fundamentalbereich von A geht aus dem der Gruppe G durch die Periodentransformation: diese 601=— 01, 003=— 2 3 h hervor. Das ist eine quadratische Transformation der mit Ver- l bezeichneten Art. Das rechte Teildreieck geht aus dem linken durch lineare Periodentransformation hervor, gehört also auch zur Gruppe 1A. A ist somit eine Untergruppe zweiter Stufe von G. Die Gruppe 7), die in A enthalten ist, bezeichnen wir als Hauptsubstitutionsgruppe zweiter Stufe. Außer ꝗ(u) gehört auch Ii(u)= pe(u) 9(u)
zur Gruppe 4. Beide sind elliptische Funktionen zweiter Stufe.„p(u) ist im Fundamentalbereich vom ersten Grade,
denn
ᷓꝓͤ1a
22(u) 03(u) wird Null für u=, unendlich für u=, also nur einmal im Fundamentalbereich. Dagegen ist
I(u)= lu)
1(u)=
1 von der zweiten Ordnung. Teilt man das Dreieck„i„e pz durch die Mittellinie 6 ½,
so erhält man zwei Dreiecke, die Fundamentalbereiche für die Funktionen ersten und zweiten Grades:

— 32.—
9ꝙ(u) 03(U)
22(u)==
ne(u)= gilu) rlu) G½(U) G(U)
T(u)= 9s(u) G.(u)=—,(o)⸗
darstellen. Zum Dreieck 1 62 2 Lehören die Fundamental- substitutionen: M. 8 S2 S, Ma= 82, Mz= 8. S3 Sa.
Die daraus gebildete Gruppe M läßt sich aus 2) und der Substitution Sa erzeugen. Von einen Fundamentalbereich der Gruppe G gelangt man zu einem solchen der Gruppe M durch eine quadratische Transformation der mit Il be- zeichneten Aft.
Die dritte Mittellinie 65 ra teilt das Dreieck rur ⸗ in zwei Dreiecke, die Fundamentalbereiche für die elliptischen Funktionen zweiter Stufe: 440u) 92(U)“ darstellen. Zum Dreieck 6½ gehören die Fundamental- substitutionen:
N 82 81 83, Na S2 83 S2, N— Sz.
Die aus N, Na, Na gebildete Gruppe N läßt sich aus ) unter Hinzunahme von Ssa herstellen. Zu einem Funda- mentalbereich der Gruppe N gelangt man durch eine quadra- tische Periodentransformation III. Arft.
Die drei Gruppen ℳA, M. N sind Untergruppen zweiter Stufe von G. Wir behaupten, daß sie die Gruppe G er-— erschöpfen. Das ist der Fall, wenn jede Substitution von G in einer der drei Untergruppen enthalten ist. Diese Zubstitutionen sind entweder Parallelverschiebungen oder Drehungen. Sei
v(u)= T(u)= Gr(u) C2(u)
Su= S Sq..Seul eine Substitution der Gruppe G. Ist die Anzahl der Sub- stitutionen S9 S.... eine gerade, so haben wir eine Parallel-
verschiebung von der Form: Su= u+ 2m,+ 2n.
70.
3 drei l schiet fache
demn.
8 8.
Mög nehn

ental-
) und ereich
ruppe Ibe.
173 in ischen
lental-
h aus
dunda- uadra-
Weitel G er- on Von Diese n oder
r Sub- darallel-
Die Untergruppen A, M, N enthalten sämtlich die Gruppe
. Diese gestattet die Parallelverschiebungen: Va Vs u= 83 82 S3 S2 1l= 4 1+ u, Vi Vz u= 82 81 S2 S1 u= 4 1₰+ u.
Gehört also für ein bestimmtes meuunden Su einer der drei Untergruppen zweiter Stufe an, so gehören alle Ver— schiebungen, die man erhält, wenn man m unden um Viel- fache von 2 vermehrt, zur selben Untergruppe. Wir haben
demnach folgende vier Fälle zu unterscheiden:
1. m= 0, n= 0. Diese Substitution gehört allen drei Untergruppen an. 2. m= 1,= 0,
Su= 2 1 u, Su= SzSgu= L Lau.
In diesem Falle gehört Su zur Gruppe d.
3. m= 1, n= 1, Su= 2 ⁄)+ 23+ u, Su= 828 S3 Szu= Ma Mzu.
Diese Substitution gehört der Gruppe M an.
4. m= o,== 1, Su= 23+ u, Su= 82 Sru= N. Nall.
Das ist eine Substitution der Gruppe N.
Ist Su eine Drehung, also die Anzahl der Substitutionen Sp Sa.. ungerade, So wird:
Su= 2m.) 2n † Sru.
Wir können 1= 1 annehmen, denn es ist:
Szu= 8281Su= 23+. Zuu, Szu= S83S. S1u=— 2 ½ Stu.
Auch hier erhalten wir alle voneinander verschiedenen Möglichkeiten, wenn wir m unden die Werte O und l an-— nehmen lassen.
Su= 2m,+† 2n 3 † Siu, 1. m= o, n=. Su= Zau. Diese Substitution gehört zur Gruppe A.

— 34—
m= 1, 1= 0, Su= 2 ⁰1+ Suu, . Su= SaSz2 Siul= Vall. Diese Substitution gehört der Gruppe und damit allen drei Untergruppen an. 3. m= 1, n=, Su= 2+ 2⁰3+ S1u=— 2½+. Suu, Su= S381Stu= Sall. In diesem Fall gehört Su zur Gruppe N. 4. m= O, n=1. Su= 203 u, 4 Su= S.81S1u= Sau. Das ist eine Substitution der Gruppe M. I Hundh Das Resultat unserer Betrachtungen ist folgendes: Die Substitutionsgruppe G besitzt drei voneinander verschiedene 1 Untergruppen zweiter Stufe 1, M, N, die ihrerseits die Gruppe G vollständig erschöpfen. Diese drei Untergruppen haben NSim. wiederum eine Untergruppe zweiter Stufe gemeinsam, die Perio Hauptsubstitutionsgruppe zweiter Stufe 7. Wir wenden uns den elliptischen Funktionen Jacobis zu. Als unabhängige Veränderliche führt Jacobi wäuher tionel ein. Den Halbperioden α und entsprechen die Größen: K=G, Ve.— ez, Kri= G VYe.= ez. Jacobi bildet nun die Funktionen: 9(u) 2.(l) 02(u) a aeih. nwe e eu): dnw. eſu) Diese Funktionen sind in den Größen u, i, a homogen von der Dimension Null, hängen also nur von deren Ver— hältnis ab. Sie lassen sich durch die Funktionen v(u) folgendermaßen ausdrücken:
snw= e.—
1 SnW=„(U— 0), 7d dnW=„r(u).
Die elliptischen Funktionen Jacobis sind somit von der zweiten Stufe und vom ersten Grade. Der Fundamen- talbereich von snw ist gegen den von„(u) um ver- schoben. Da

damit
8: Die jedene Iruppe haben m, die
cobis
rößen:
— 2snwenw dnw= Ler- esp. (pu— 63)*
ist, Sso kann es ebensowenig wie für die„(u) für diese drei
Funktionen einen gemeinsamen Fundamentalbereich geben.
Es ist ferner:
I3(u) 2(u)
enwnw=. pa() pu— ez
1 dnwsn(W+ K)=„„(u) z(u)=(u)“
sn(w+ Kyenw= 2(uy=pu e. 2r(u) 2r(L)
Das Produkt zweier dieser Funktionen hat also denselben
Fundamentalbereich wie die dritte. Inbesondere ist cnw=Sn(w+ K) dnw.
Die beiden anderen Produkte sind vom zweiten Grade.
Da die Jacobischen Funktionen als Quotienten von Sigmafunktionen definiert sind, so bleiben sie bei linearen
Pperiodentransformationen im allgemeinen nicht invariant, denn
bei solchen vertauschen sich die Funktionen u) unter- einander. Nur bei denjenigen Transformationen, die mod 2 der Identität kongruent sind, geht jede Sigmafunktion in sich selbst über und damit bleiben auch die Jacobischen Funk- tionen invariant.
.
§ 8. Die Untergruppen n-ter Stufe.
Wir gehen jetzt zur Betrachtung der Periodentransfor- mationen n-ter Stufe und der entsprechenden Untergruppen von Güber. Der Fundamentalbereich der Hauptsubstitutions- gruppe n-ter Stufe ist ein Dreieck mit den Seiten 2„¼, 2, 2(Fig. 8). Die Mittelpunkte der Seiten sind:
p= al †(n— 1) 0¹, p== ag—(l— 1) b2, „=—.. F(n— 1)(01— 002).
Die zugehörigen Fundamentalsubstitutionen:

306
Die aus diesen Substitutionen gebildete Hauptsubstitutions- gruppe n-ter Stufe bezeichnen wir mit 4 6). Betrachten wir jetzt die Transformation n-ter Ordnung:
a,d— be=n.
010= a01+ b 03
3= CG+ doz
Wir konstruieren das zugehörige Fundamentaldreieck und legen eine Ecke in den Nullpunkt, was keine wesent- liche Beschränkung der Allgemeinheit bedeutet. Die Mittel- punkte der Seiten sind:
= aG b, = 1+ g=(a+. C) l+(b+† d) G, 2%ð9+=(2 a+ c) l+(2 b+ d) o. a⁴(a— 1) 0 b3, = †(a+. C— 1))+(b+ d— 1) 0, 3= d.(2a= c= 2) †(2b d.= 1). daraus ergeben sich die zugehörigen Fundamentalsub- stitutionen: WI= 21 u u,(K= 1, 2, 3) W=(a S.) 1(§e 34) S. W.=(a S)a tc 1(. S.)bt d—1S Wa=(§.§e)24 C. 1(§. S1) 2 b* 4 18..
Die daraus erzeugte Gruppe ist eine Untergruppe n-ter Stufe von G.
Nun ist aber die Periodentransformation n-ter Ordnung, die zu dieser Untergruppe führt, noch nicht eindeutig be- stimmt. Sie behält vielmehr diese Eigenschaft noch, wenn man n und G einer lincaren Transformation unterwirft. Unter den unendlich vielen Transformationen, die man s0 erhält, wollen wir eine als normale auszeichnen, nämlich diejenige, bei der b= O und a und d positiv werden.
G),“= Al G, 5,=(aa+ Sc).+(Ab+ 5 d),
G, b=: T G, 6;,=(1a+ 6 c),(1b+ d),
ad— bo=hn, a— 617= Wir verlangen, daß ,b+ 5d= 0 wird. o sei der größte gemeinschaftliche Teiler von b und d und zwar sei o positiv.

ons.
ung:
jeck Sent- ſttel-
n-ter
nung, be- wenn wirft. l 50 mlich
3,
) und
b= ob⸗ 8 ad— be=, d= 0 d’ 9 dann setzen wir= d“,=— b’ und erhalten: d'. Pr= 1, 3=La. Ist r ein Wert, für den d ganzzahlig wird, so gilt das auch für r=T+ 1d. Dann wird 1— b/ 5=—= 2b, d rad'+‿cC— Ib˙ r a+ 0= 2+(ad’— bo), — 31— 64 2n d ⸗ Ib+ d=e. Die Transformation lautet dann: 1— 003, 9 n † C 3—+ 7 n) 01—+ 0⁰. 9
Bestimmen wir 71 so, daß die Klammer positiv und kleiner
als— wird, so ist die Normalform für die Transformation 0
n-ter Ordnung, die zu einer bestimmten Untergruppe n-ter
Stufe führt, eindeutig festgelegt. Wir können daher die
Transformation n-ter Ordnung in der Form schreiben:
010= a 01 l 4, d.— 0 ad=n
1= CG01+ d 0ScSa
Jetzt können wir auch für jedes n bestimmen, wieviel
verschiedene Transformationen n-ter Ordnung und damit, wieviel verschiedene Untergruppen n ter Stufe es gibt. Ist z. B. un eine Primzahl, so kann a nur die Werte l unden annenmen. Für a= 1 kann in der Normalform nur c= vorkommen. Für a= n kann c die Werte 0, 1, 2, n- 1 annehmen. Es existieren also, wennen eine Primzahl ist, n+† verschiedene Untergruppen mter Stufe.

Jede Untergruppe n-ter Stufe enthält wiederum die Gruppe P'i)als Untergruppe n-ter Stufe. Denn wendet man auf:
ad= n
101= 43 001 1034= CG1 dG³ die Transformation n-Stufe an: 090=(Lpl ad= n 60=— C0 ℳ 3 so erhält man: 001— Il 001, 103= I(03.
Es bleibt uns noch zu untersuchen, ob die verschiedenen Untergruppen n-ter Stufe die Gruppe G erschöpfen. Die Transformationen von G bestehen aus Parallelverschiebungen und Drehungen. Die Verschiebungen haben die Form:
Su= 2m+ε 2mz+† u. Da die Hauptsubstitutionsgruppe 7 bereits die Ver- schiebungen um 2no- und 2nοz enthält, können wir 0 E¹ m., mz n annehmen. Ist m.= 0, so liefert die Transformation n-ten Grades: (010= 001,(03= I 003 eine Untergruppe, die die Verschiebung um 2m, enthält. Für ma== O möge die Transformation: 01 b= a 1 a, d 0 ad=n 103= CG+ d Oce sa zum Fundamentalbereich derjenigen Untergruppe führen, die die Verschiebung Su enthält. Wir wählen d als größten gemeinschaftlichen Teiler von ma und n, und zwar sei d positiv. Wir setzen: II!3 d= 743, 7 2, dann enthält die Untergruppe die Verschiebungen: 2 1)= 2 a¹, 2 1½)y= 2(ug C. G1ꝗꝓ+ ma). Wir setzen: Su= 240⁰09+% 2 43 03+. u, m., ma= AaGl+ aCobk m, Aa+ uzc= m..

Da us und a teilerfremd sind, so kann man 1 und c, wo OLCSa ist, stets in ganzen Zahlen so wählen, daß diese Beziehung erfüllt ist. c ist dann eindeutig bestimmt. Wir haben damit gezeigt, daß eine Untergruppe n-ter Stufe existiert, die die Verschiebung Su enthält und die Periodentransformation an- gegeben, die zu dieser Untergruppe führt. Sei nun Su eine Drehung: Su= 2 m. G+ 2mz+ Sau. Auch hier können wir wieder 0 Sm, mz In voraussetzen. Es möge wieder 00)y= aGh,,= CG.+ dG zu der Untergruppe führen, die die Substitution: Su= 2(l.) m. G.+ ma)— u enthält. Damit Su dieser Untergruppe angehört, muß die Relation erfüllt sein(Siehe§ 6): a ‿‿ m G, me= 11.* u ρ έ‿‿¶ μα‿, Dabei ist:
T71= al+(a— 1)(, m. G.+˖ mz G=(a— 1) G.. aꝗ ‿+‿ꝗ u(C0.+ d0). Daraus folgt: 1 m.= a(1+ u,) ugc, mg= u d. Wir wählen d als größten gemeinschaftlichen Teiler
3 m n. von ma und n. Dann sind A¶—= 4 und a= d teilerfremd
und es gibt stets zwei ganze Zahlen ᷣ und c, wo 0 SC 3 ist, die die erste der beiden Gleichungen erfüllen.
Wir sind damit zu folgendem Resultat gekommen: Die Substitutionsgruppe G besitzt eine gewisse Anzahl von Unter- gruppen n-ter Stufe; falls n eine Primzahl ist, sind es deren n+ 1. Diese Untergruppen erschöpfen die Gruppe G voll- ständig. Sie haben ferner eine Untergruppe n-ter Stufe gemeinsam, die Hauptsubstitutionsgruppe n-ter Stufe Tu).
Wir beweisen noch einen Satz, den wir im Folgenden benutzen werden.

— 40—
Sinden unden zwei teilerfremde ganze Zahlen, so lassen sich aus den Substitutionen einer beliebigen Untergruppe n-ter Stufe N und einer beliebigen Untergruppe N der Stufe n sämtliche Substitutionen der Gruppe G zusammensetzen. Die Periodentransformationen, die zu den beiden Untergruppen führen, seien in der Normalform gegeben.
21= aG
ad=n 0366)ß= CG+ d³
0.= 4G 3,=n, A. 142,1 03= CG+ d³
Die beiden Gruppen enthalten die Parallelverschiebungen 21, 2 31, und 2 01, 2 03. Daraus läßt sich die Verschiebung zusammensetzen:
24‿‿ 2uGν †‿‿ ² νε‿ια ονι‿2à‿uc 1a+ uc) † + 2⁰½(ud+). Damit die Gesamtheit der beiden Gruppen die Verschie- bung um 2⁰, enthält, muß aa Tac 1a+ac= 1, ad+ ad= 0 sein. Um die zweite Gleichung zu erfüllen, setzen wir: A=— d.„= d. a Ta=il Tea-cd.
Dann unden und somit auch a und a relativ prim sind, so läßt sich diese Relation durch ganzzahlige Werte von à und 7 stets erfüllen.
Damit die Verschiebung um 2⁰½ in der aus N und N komponierten Gruppe enthalten ist, muß
4a Tac- 1a ac= 0, and„d= sein. Da d und d teilerfremd sind, gibt es stets ganze Zahlen, u und u, die die zweite Bedingung erfüllen. Setzt man diese Werte in die erste Gleichung ein, so lassen sich a und 7 in ganzen Zahlen so angeben, daß sie ebenfalls erfüllt ist.
Die Gesamtheit der beiden Untergruppen enthält also sämtliche Verschiebungen der Gruppe G. Die Drehungen der Gruppe:
lass
und
führ.
g u tion
der

ASSen Luppe Stufe atzen. pen
Wir:
sind, e von
Ind N
ganze
Setzt n sich
enfalls
t also zungen
41
Su= 2(.,+† m, G.+ ma)— u lassen sich aus einer beliebigen Drehung der Gruppe, z. B.:
Tu= 2(2.+˖.G. †. na)— u und einer Parallelverschiebung erzeugen. Su= Tu+(m.— n.c) G.+(mz— na) 03.
Folglich enthält die aus N und N kompovierte Gruppe auch sämtliche Drehungen von Gund ist daher mit Gidentisch.
§ 9. Herstellung elliptischer Funktionen n-ter Stufe, wenn n eine Primzahl ist.
Um zu elliptischen Funktionen n-ter Stufe zu gelangen, führen wir die Funktionen ein ¹): 2+£‿ 2h. 91+ h 2 3(u L2 1 3 h 649) h(u) e
„( 7Kc n
g und h seien ganze Zahlen. Wir bezeichnen diese Funk- tion als Sigmafunktion n-ter Stufe. Vermehren wir g und h um Vielfache von n, so erhalten wir mit Hilfe der Formel:
l(u †+ 2m. † 2mz c)==(— 1) mm. m † m⸗ e 2(minn+ m.p)(u+† m s+† ma 0) 9(u)
ki, h zwn un)=(d-) e Ge Peeſ Die Funktion multipliziert sich dabei nur mit einer Kon- stanten. Wir erhalten also schon alle wesensverschiedenen Sigmafunktionen n-ter Stufe, wenn wir 0Tg, hen annehmen. Für g= O, h= 0 wird
06(u)=(u).
n(u).
Untersuchen wir nun die Wirkung der Substitutionen der Gruppe G auf diese Sigmafunktionen. Wir setzen zur Abkürzung:
L has„ L. h
1 1
00,
¹) Sjehe Fricke J, S. 450.

5an(u)= e2" 1—)(u— 2),
„e Seuy eenieer=u- 2letee—u 2)
Jah(Sr u)=— — e4r 2„(u)— 26(ax(u+ 20— ax) g(u— 2 0),
e 4 1αᷣ̈— 29(u † G)(u+ 2— 2 x),
2(ak— u) G(r) e4 1 ⅞ 400(r) A0h n(c.
e Nun ist: 4[α— 06(x)]= 4[C Græ— G H(ax))— h(0(x)— 73x)] 4.1 C0,. 722, 092. Man findet daraus mit Hilfe der Legendreschen Relation: 4[ ⅞αᷣᷣ— 0(k)]=— Zeun, für K= 1 = Zn x= h). für k=2 — 2g 2 h). für k= 3: 2(G.= u)S(ai⸗) 22 9 n.=e 86 1 w. nu. 2(α u)s() e(gh oun(Se u)— 2 2() h. n(u),
Unterwerfen wir, und z einer linearen Transformation 1)k= a01 b ad be== l. 103= CI d So wird: (n) ga+ he, gb+† hd. Abgesehen von einer multiplikativen Konstanten ver- tauschen sich also die Funktionen untereinander. Nur bei solchen linearen Transformationen, die modn der(dentität Kkongruent sind: =(an+ or- Anc⸗(s ane S= 0, 036ꝗby=„ nG1)+%(6n+( 1) 03 reproduzieren sich die Sigmafunktionen einzeln bis auf einen konstanten Faktor.
1I). og, h(1l Gn ,003)= G(uG*, 3).
es is
Liere
Gru
erha

— 43—
Wir bilden nun die Punktionen:
(in) —
Sie sind in den Größen u, i, z homogen von der Dimension Null. Durch Anwendung der Substitutionen S4, S, S3 erhalten wir:
9g. h(u)=
Die Kombination g= 0, h= O schließen wir aus, denn
es ist: (n) 70, 0 Bei den Parallelverschiebungen der Gruppe G muͤltipli- zieren sich diese Funktionen mit einer n-ten Einheitswurzel.
(u)= 1.
nation
Bei Anwendung der Fundamentalsubstitutionen Gruppe T0u:
(n) VI=
erhalten

Es bleiben 3ld sämtliche symmetrischen Funktionen von Deh(u) und l(u) bei den Substitutionen der Haupt-
substitutionsgruppe neter Stufe invariant. Wir betrachten unter diesen etwa die unnomem
»n 10)= r 1(u) G. 1.— 1(u, „11= e(u)* h(u)!, Es ist dann: venn(VE u)= e(u), Lan arSe= Van nu) a(u)-. 2 n(-h).
G(U) Der Nenner(u) besitzt in dem aus zwei benachbarten Fundamentaldreiecken der Gruppe Puu) gebildeten Parallelo-
gramm n einfache Nullstellen. wen(u) muß also im Funda-
mentalbereich dieser Gruppe 2„ pole besitzen, d. h. vom
Grade 2 sein, Wenn nicht irgendwelche Nullstellen des Zählers mit denen des Nenners zusammenfallen. Letzteres muß sicher stattfinden, wenn n ungerade ist, denn die Gradzahl einer elliptischen Funktion ist stets eine ganze Zahl.
Die Nullstellen von G(u) in dem erwähnten Parallelogramm
sind: u= 2m, G,+ 2 m.(O I m, mz= n)
Für u= O verschwindet der Zähler. Da die Nullstellen von ⁵) von der ersten Ordnung sind, so fällt dieser Pol aus. Um die Werte des Zählers in anderen Nullstellen von -(u) zu untersuchen, setzen wir:
m 1 ma= G, mi ma ha n,
——————
e

arten llelo-
inda- Vom
ihlers
dcher einer
45—
mim.+ m.+ m. 2„(u+– 0) 4 e
5 mima+† m.+† ma. 2„(u ⁰) a) u 2)=—(— ¹) 82⁷ 5
2 M 3 e u.(mrh— mag) 5)
(— u).
Für u= 2m+% 2 mz z wird also der Zähler von n) 3 ug, h(u):
2„(u 7 2 11— +e 70+[e wan m.g).—
Dieser Ausdruck verschwindet für: 2 2 1 (mh= ma= m.h— mag)+ 201, mih— magz=—(mih— mag) Pon, 2(mrh— mag)= on. Jedesmal, wenn diese Relation erfüllt ist, kommt der
entsprechende Pol der Funktion wen in Wegfall. Fallen in
„
dem Parallelogramm mit den Seiten 2m 0,, 2mz» Pole aus, So ist diese Funktion im Fundamentalbereich der Gruppe
P) vom Grade*(¹—»). Es muß also nz—„ stets eine gerade Zahl sein. Im Falle n= 2 ist die Relation: meh 1g 0, wo o eine beliebige ganze Zahl ist, für jedes m, und ma
2 3 erfüllt. Hier fallen also alle Pole aus und.(u) reduziert
sich auf eine Konstante. Isten eine Primzahl größer als 2, So muß, daen ungerade ist,» durch 2 teilbar sein. 1 , m- on mih— mag= O'n, m.= mss e⸗. g und h seien gegeben. Bei bestimmtem m,= u läßt sich o stets so wählen, daß m.= u ganzzahlig Wird. Wir vermehren ma um Ah und erhalten:
ma= u— Ah, m.= u ◻ 12.

1
Da g und h teilerfremd sind und nicht beide ver- schwinden, so erhalten wirn verschiedene Wertepaare mi. ma, für die
0 Sm., ma In ist und die die verlangte Relation erfüllen. Es fallen also
gerade n Pole aus. Die Funktionen ve(u), sind daher im
Fundamentalbereich der Gruppe Po) vom Grade—
vorausgesetzt, daß n eine Primzahl größer als 2 ist.
Bestimmen wir noch den Grad von 75)(u). Da
n) 2n ly n ke. h(u)=. ist, so sind diese Funktionen im Fundamentalbereich der Gruppe) vom Orade n*, wofern nicht irgendwelche Nullstellen des Zählers mit solchen des Nenners zusammen-
fallen. Für u= 2 m G,+ 2 mz z wWird der Zähler von „n) Te, h
(u):
(u) abgesehen von nicht verschwindenden Faktoren:
4 1 4 M e n(mh— m)e
Damit der Zähler Null wird, muß also die Bedingung erfüllt sein:
4 1 4 1 3 n(mih— mag)= n(mih— mag) †(20+!)ai⸗ S(mih— mag)=(20+ 1) n.
Das ist nur möglich, wenn n durch 8 teilbar ist. Der (n g, n durch 8 teilbar ist.
(mh— mag)
Grad von ⁊ 3(u) ist folglich nur dann kleiner als n*, wenn
Sollen die Funktionen ven(u) und 2u(u) elliptische
Funktionen n-ter Stufe darstellen, so müssen sie nicht nur bei den Substitutionen der Gruppe—, sondern bereits bei den Substitutionen einer gewissen Untergruppe n-ter Stufe von G ungeändert bleiben. Es sei:
1= A 1— bG
ad be=n 03bm= CGI dG]
—
eine ötufe
wir

ngung
1
eine Transformation, die zu einer bestimmten Untergruppe n-ter Stufe führt. Die zugehörigen Fundamentalsubstitutionen sind:
„ a4= 1 b Wi—(S3 S2)(S3S1) Sp
a+ c— 1 b d= 1 W=(GaS.)(§.80) 82 2a+ C— 2 2 b+ d 1 Wa—(S 82)(S2 81) Sz. Es wird darum: 2 1 (n bg— ah) vehn(Wau)= e lpx 9i(u), 2 M0 4 (n) bg— ah+ dg— ch 7n)(Wau)— e i(D 3 1c.=n o) 2 701 2(bg— al— ch „n(Wau)=e Eilache aw ds c 190)— h(¹).
(n)
Damit 70n(u) in(u) übergeht und die Funk-
g,— h 3 en)(n).— 4,4. tionen vr h(u) und 6 n(u) bei den Substitutionen Wa un-
„
geändert bleiben, müssen g und h so gewählt werden, daß die Beziehungen erfüllt sind: dg— ch= kn, ah— bg= K'’n oder nach g und h aufgelöst: = ka+ kc, kh= kb+ k'd. Es lassen sich also, wenn a, b, c, d gegeben sind, g
und h so bestimmen, dabß wen(u) und 29)(u) bei den Sub-
stitutionen der entsprechenden Untergruppe n-ter Stufe un- geändert bleiben. Wir bezeichnen diese Untergruppe mit
(n) 42, h b formation n-ten Grades zugeordnet werden, die zu einem Fundamentalbereich führt, dessen Fundamentalsubstitutionen
Umgekehrt kann jedem Wertepaare g, h eine Trans-
).. venn(u) und Lg, h(u) ungeändert lassen. Wir stellen, um das
zu zeigen, die Periodentransformation in der Normalform her. Dann ist b= 0O. Im Falle h= 0 ist, ergibt
4= 1, c= Oo, k=g, b- O0, d= n, k= 0 die entsprechende Transformation. Ist h 0, so wählen wir d als größten gemeinschaftlichen Teiler von h und n.

wͤ—
h= dk“= a d.
Dann sind a und k' teilerfremd und es lassen sich aus g= Ka+ k’c— k und c auf eindeutige Weise ganzzahlig so bestimmen, daß 0OSceea
wird.
Damit sind die Funktionen vnn(u) und 2n(u) als el-
liptische Funktionen n-ter Stufe charakterisiert, vorausgesetzt, daß sie nicht schon bei den Substitutionen einer Untergruppe niedrigerer Stufe invariant bleiben; letzteres ist nicht möglich, wennn eine Primzahl ist, denn dann müßten sich nach dem auf S. 40 bewiesenen Satz diese Funktionen auf elliptische
Funktionen erster Stufe reduzieren. Wenn n eine Primzahl (n g, tiver Fundamentalbereich unserer Funktionen, d. h. er läßt sich nicht in eine Anzahl kleinerer Fundamentalbereiche zerlegen.
ist, So ist der Fundamentalbereich der Gruppe 1 ein primi-
Da die Funktionen„,(u) und 2u)n(u) im Fundamental-
dreieck der Gruppe) vom Grade 1l.,— 1) hezw. n' sind, 2
SO sind sie im Fundamentalbereich der jeweiligen Untergruppe
1
(n) n— 1 e.h vom CGrade bezw. n.
Eine Ausnahme bildeten= 2. In diesem Falle sind die Funktionen wen(u) Konstanten und die 27(u) bleiben be-
reits bei den Substitutionen der Gruppe G ungeändert, sind also elliptische Funktionen erster Stufe. Wir haben, da die allgemeine Methode hier versagt, die Theorie der elliptischen Funktionen zweiter Stufe bereits im§ 7 besonders entwickelt.
Wir wollen nun feststellen, wieviele der Funktionen n-ter Stufe voneinander verschieden sind. Da
.
in) A4AXh(Ah— 2)(n
Dg An, h4un(u) 5(— 1) e 15 ve h(u), 3 2 M
2l(Eh (a)=e E.(Ah⸗ 8) 260)(u)
(n) Ag † Xn, hun
s0 lit KOnst
darur
schie
Fund

h aus
„ dab
s el-
Setzt, ruppe jglich, h dem tische mzahl primi- t sich legen.
nental- sind,
ruppe
nd die en be-
t sind da die ischen ſeckelt. ctionen
u)
ist, Sso unterscheiden sich diese Funktionen von»e)(u) und
(n) 5..„ 2g,h(u) nur um eine multiplikative Einheitswurzel. Wir
können daher g und h auf die Werte:
0 Sg. h In beschränken. Die Kombination g= 0, h= 0 scheidet aus. Wir erhalten Sso n=— 1 verschiedene Wertepaare g, h. Da ferner:
(n)(n) n) 60— à— T 1 g, n(u) 7. g,— h(du) C n—g, n- hll so liefern je zwei dieser Wertepaare, abgesehen von einem
konstanten Faktor, dieselben Funktionen. Wir erhalten
2
—. n2— 1 n²
darum bei ungeradem n 2 bei geradem n.. 1 ver- . 3 112 7(n)„
schiedene Funktionen ve. h(u), bezw. 22.h(u).
Welche dieser Funktionen gehören nun zum selben Fundamentalbereich? Es sei:
(01= a 0 1 1 ad= n 03= CG+ dG3
die Normalform der Transformationen, die zu einer bestimmten Untergruppe n-ter Stufe fühnren. Dann gehören zu dieser Gruppe die Funktionen mit den Indizes: g= kafkc, h= kK’d. Daraus ergibt sich, daß die Funktionen mit den Indizes Ag und Ah zum gleichen Fundamentalbereich gehören wie die mit den Indizes g und h. Es ist also:
(n) Ä(n) 4 z9. Xh 1 g. h.
In der Form 1, Ah sind aber im allgemeinen noch nicht 1.(n). alle Indizes enthalten, die zur Untergruppe ae gehören. Das ist nur der Fall, wennen eine ungerade Primzahl ist. Dann ist entweder a= 1, d=n oder a= n, d 1. II ersten Fall setzen wir k= 0 und erhalten: 2=K, h= o.(K= 1, 2,..n- 1)
Im zweiten Fall setzen wir K= 0.
g= KS, 1= K.(K= 1, 2, n1 1)

Da aber:
( 6 ven(u)— 739, n(u)= E vig. n-h(u)
4.. n— 1 3. ist, So gibt es im ganzen nur— verschiedene Funktionen,
die zu einer Untergruppe n-ter Stufe gehören. Da es im Primzahlfalle n— 1 Untergruppen n-ter Stufe gibt, 8o ist die Anzahl der verschiedenen elliptischen Funktionen n-ter
w) du) und 2uh(u) gleich u2l.
Stufe We.
§ 10. Herstellung elliptischer Funktionen n-ter Stufe für beliebiges n.
Es sei jetzt n eine beliebige positive ganze Zahl. Be- stimmen wir zunächst die Anzahl der Untergruppen n-ter Stufe.
(01= 2 0 ad= 03= CI+ dG3 0=SGCSa
a muß ein Teiler vonen sein. Für ein bestimmtes a Kann c die Werte 0, 1, a— 1 annehmen. Dies liefert a Ver- schiedene Transformationen. Die Anzahl der verschiedenen Transformationen n-ter Stufe und damit der Untergruppen n-ter Stufe ist gleich der Summe sämtlicher Teiler von n, n und 1 miteingeschlossen. Sind insbesondere alle Primfak- toren von n voneinander verschieden,
n= m.... Im, n 2== na So wird die Anzahl der Untergruppen n-ter Stufe: (m* 1) e 1).(n+. 1).
Wennen keine Primzahl ist, so kann es vorkommen, daß die Funktionen»n(u) und 22)n(u) bereits bei den Sub- stitutionen einer Untergruppe von der Stufe nIn ungeändert bleiben, also keine eigentlichen elliptischen Funktionen n-ter Stufe sind. Zu dieser Untergruppe der Stufe n möge die Transformation führen:
5=, 243 15 03= CG+ dG 02C 2 a

onen, 28 im 90 ist
n-ter
Stufe
Be- n-ter
tes a a Ver- denen uppen von n, imfak-
mmnen, m Sub-
ändert u T-tel
ge die
Die zugehörigen Fundamentalsubstitutionen sind:
W.=(8.S) 4 18, We=(§Sa)4( 1(828: d. 18, V=(S.S,) 24 c 2(6, S8,) 9 183.
2 al, —=* ha(o)
(n) 9 ,h(Wiu)= e„— z.— n(u. 2 1 1n) ealed h(ac)l 9, h(Wau)= e 23,— n(u), (in) 22i gd— h(2a+ e)l 3 K n vEh(Wau)=e hen„h)(u).
(n)
Damit bei den Substitutionen Wa 35(u) in„ g.h
übergeht und„(u) und 2n u) invariant bleiben, muß 1 ah= An, gd— he= an sein. Durch Multiplikation mit aà folgt: gn=n(aa+ 70). Sei» der größte gemeinschaftliche Teiler vonen unden n=„n., n= v., gn,= m.(w⁴+‿ c). Daen größer als n ist, so ist sicher m= 1. 2 muß nun durch n teilbar sein. Nun ist: nh= And, nih= Adn.. Da ni und n. teilerfremd sind, ist h durch n: teilbar. Hiernach sind die Funktionen»(u) und 20(u) nur dann
von einer niedrigeren als der n-ter Stufe, Wenn g und h einen Faktor von n gemeinsam haben. Sei
g= 12. n= Ih, n= An,

4 1— 52— 1
2An) 109(u, AXg,)
b„un, RLu)= ve(u, uid 71 8(u).
Xg, Ah g, h 7
Diese Funktionen, die von niedrigerer als von der n-ten Stufe sind, scheiden wir aus. Da zu einer Untergruppe
n-ter Stufe alle Funktionen mit den Indizes: einte g= Ka+ K’c, h= K d. Unte gehören, so gibt es im allgemeinen immer noch Funktionen mit
n-ter Stufe, die zu dieser Untergruppe gehören. Unsere Methode versagt nur dann, wenn a, c und d einen gemein- samen Faktor haben. Es muß dannen= ad durch teil- die bar sein. Für diesen Fall wollen wir uns auf anderem Wege elliptische Funktionen n-ter Stufe herstellen, die zu dieser Gruppe gehören.
Es sei 1 der größte gemeinschaftliche Teiler von a, c, d.
2— Aa, C= 2c, d=— 1, n= ad= Zad= 22n dann läßt sich die Transformation: 91= a Gh, 6093= CG1+ dGz in die beiden Transformationen vom Grade und n zerlegen: 601= 700, 61= 3à0, 603= 1003, 603G= CGh= dG.
Wir bilden erst eine Funktion, die zu der aus der ersten Transformation hervorgehenden Untergruppe gehört. Aus der Produktdarstellung der Sigmafunktion:
u 1 u2 (u)= uII,(1— K)ew 2 W2, 4 W= 2m 1 Jur(mi, ma= 0, 1,.œ außer m.=m,= 0)
folgt, daß de nur von dem Verhältnis der Größen u, G¹, G
abhängt. Es wird darum:
G(u 1½, 40⁰3)= 4 101, ²s).

n-ten Luppe
lonen nsere mein- teil. Wege gieser
„C, G.
Durch logarithmische Differentiation erhält man: 1„zu C(U Aa A 4)= 4 d4 9-. 6(u 1⁰ʒ 103) 1½( 0r, 3) und durch abermaliges Differenzieren: 1 u A 9)= 91, 1 P(u 1/4⁰³) 1562 101, 003 h. Ist n= 1, so haben wir in: — u (u)= p()=() eine elliptische Funktion ersten Grades gefunden, die zu der
Untergruppe n-ter Stufe gehört. Isten— 1, so bilden wir mit Hilfe von
(n)(n 6) 0 h u)(u) n.— g.— h (u)= g., L „ 0(uU) 26* e(n) 2 W. g, 1h.— h(ll) 70 p(ll)= 2 eg. h 0(u) Dabei ist: g= Kka+k’c, h= kK'd.
Diese Funktionen gehören zu der gegebenen Untergruppe n-ter Stufe.
Es ist uns also gelungen, zu jeder Untergruppe n-ter Stufe der Gruppe G mit Hilfe der Sigmafunktion mindestens eine elliptische Funktion herzustellen, die bei den Substitu- tionen dieser Untergruppe invariant bleibt und nur bei diesen.

n Selbstye
breis

Iue Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
IX. Heft
Zur Flächentheorie im n-fach ausgedehnten Raume
— 2, 1 — 7 S„ 8 8 So
Giessen 1922 m Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 16 4
Preis GZ. 0,80; für das Ausland 1 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer, Giessen

Inauguraldissertation der Philosophischen Bakultät II. Abt. der Universität Gießen.
Genehmigt 21. Juli 1922. Berichterstatter: Schlesinger und Engel.
n-Dime einen Forme nicht hier ex Vorhal beiten die fo E dimen norma J. eigen einner tische
mat. 4
Gebilc 1897)

Abt.
Vorwort.
mungsverhältnissen einer 2-dimensionalen Mannig-
faltigkeit, die in einem Euklidischen Raum von n-Dimensionen eingelagert ist. Eine Verallgemeinerung auf einen gekrümmten Raum von n-Dimensionen lassen die Formeln ohne weiteres zu. Die Ergebnisse sind zum Teil nicht neu. Sie sollen aber trotzdem der Methode wegen hier entwickelt werden, zumal ich sie unabhängig von der vorhandenen Literatur gefunden habe. Die wichtigsten Ar- beiten auf diesem Gebiet, die mir zugänglich waren, sind die folgenden:
E. E. Levi, Saggio sulla teoria delle superficie a due dimensioni immerse in un iperspazio(Annali della R. Scuola normale superiore di Pisa vol. X, 1905, Nr. 2).
J. A. Schouten u. D. J. Struik, Uber Krümmungs- eigenschaften einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit, die in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit beliebiger quadra- tischer Maßbestimmung eingebettet ist(Rendiconti del circ. mat. di Palermo t. XLVI, 1922, S. 165— 184).
K. Kommerell, Die Krümmung der zweidimensionalen Gebilde im ebenen Raum von 4 Dimensionen(Diss. Jübingen 1897).
H. Kühne, Uber die Krümmung einer beliebigen Mannig- faltigkeit(Archiv der Math. u. Phys. VI, 1904, S. 251— 260).
H. Weyl, Zur Infinitesimalgeometrie: p-dimensionale Fläche im n-dimensionalen Raum(Math. Zeitschr. XII, 1922, S. 184— 160).
Für die freundliche Hülfe beim Aufsuchen der ein- schlägigen Literatur sage ich Herrn Prof. Dr. L. Berwald in Prag herzlichen Dank.
D: vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den Krüm-

Linleitung.
Die Kartesischen Koordinaten eines Euklidischen Raumes von n-Dimensionen seien X.. Durch die n-Gleichungen Xi= XI(u, v) Wird in dem n-dimensionalen Raum eine 2-dimen- sionale Mannigfaltigkeit(Fläche) definiert. Entwickelt man die Raumkoordinaten des Punktes u+ du, v+ dy bis ein- schließlich unendlich kleiner Größen 2. Ordnung, was zur Charakterisierung der 1. Krümmung ausreicht, so sieht man, daß die Krümmungsverhältnisse einer Fläche im Euklidischen Raum von 5 Dimensionen erschöpfend untersucht werden können. Um die Krümmung nach den verschiedenen Rich- tungen zu bestimmen, berechnen wir mit Hülfe der Serret- Fresnetschen Formel die Krümmung der geodätischen Linien, die durch den zu untersuchenden Punkt gehen. Hier sind 2 Wege möglich. 1. Wir untersuchen die Größe der einzelnen Krümmungsradien. 2. Wir betrachten die Krümmung der geodätischen Linie als Vektor, dessen absoluter Betrag gleich dem reziproken Wert des Krümmungsradius ist, und der vom Flächenpunkt zum Krümmungsmittelpunkt hinzielt. Im 1. Teil der Abhandlung wird der erste Weg eingeschlagen. Es handelt sich dabei im wesentlichen um eine Verallge- meinerung der Dupinschen Indikatrix. Die Gaußsche(intrin- seke) Krümmung wird durch die Indikatrix nicht bestimmt. Erst durch die Indikatrix und die Gaußsche Krümmung sind die Krümmungsverhältnisse festgelegt. Im 2. Teil wird mit den Krümmungsvektoren gearbeitet. Sie bilden einen Kegel 2. Ordnung; ihre Endpunkte liegen auf einer Ellipse. Dieser „Krümmungskegel“ gibt die Krümmungsverhältnisse voll- ständig wieder. Die Krümmung von Sophie Germain wird der Vektor von der Spitze des Kegels nach dem Mittelpunkt
der G kegel schrul- und lie meiner bestim. Iessll
V kunge Vorbil in Lal
mit Hü
habe, jst es daß 81 behalt
l Ziehun aufzu dalste dem die K möglie homo- del K folge
D scheid angeg formi dezei
—
iindet Mater

aumes hungen dimen- lt man is ein- as 2ul. t man, lischen werden Rich- Serret tischen 1. Hier de der mmung Betrag st, und ainzielt. hlagen. erallge- (intrin- stimmt. Ig Sind ird mit Kegel Dieser e voll- n Wild elpunkt
5—
der Grundfläche. Im Raum von 4 Dimensionen artet der Kegel in ein ebenes Gebilde aus. Im 3-dimensionalen Raum schrumpft er auf ein eindimensionales Gebilde zusammen und liefert die gewöhnliche Gaußsche Theorie. Auch im allge- meinen Fall ist die Gaußsche Krümmung durch den Kegel bestimmt und ergibt sich in einfachster Weise aus den Ab- messungen des Kegels.
Vor Beginn des Hauptteils mögen noch einige Bemer- kungen über Vektoren und Tensoren folgen, da ich nach dem Vorbild von H. Weyl(Raum— Zeit— Materie) oft Formeln in ganz speziellen Koordinatensystemen aufgestellt und dann
mit Hülfe der Tensorenrechnung auf eine solche Form gebracht
habe, daß sie in jedem Koordinatensystem gelten. Ferner jst es ohne weiteres möglich, die Formeln so zu gestalten, daß sie auch im beliebig gekrümmten Raum ihre Gültigkeit behalten.
Vektoren und Tensoren).
In der Differentialgeometrie handelt es sich darum, Be- ziehungen zwischen geometrischen Größen im Infinitesimalen aufzustellen. Die mathematischen Ausdrücke, die diese Größen darstellen, die Komponenten, werden sich im allgemeinen mit dem Koordinatensystem ändern. Man ist daher bestrebt, die Komponenten so zu wählen, daß ihre Transformation möglichst einfach wird. Hierfür kommen offenbar die linearen homogenen Transformationen in Betracht. Die Differentiale der Koordinaten, die Komponenten des Linienelements, be- folgen dieses Transformationsgesetz:
n
N dX 3 kK. 1.2) —— X* 1= 1, 2,„ n!). — dX*(„
Der übergesetzte Strich soll die beiden Systeme unter- scheiden. Jedes System von n-Größen, das sich in der eben angegebenen Weise mit Hülfe der Funktionalmatrix trans- formiert, nennen wir einen kontravarianten Vektor. Wir bezeichnen die Komponenten mit oberen Indizes.
¹) Fine ausführliche Darstellung der Vektoren- und Tensorenrechnung findet sich in dem bereits erwähnten Buch von fl. Weyl, Raum— Zeit— Materie.

— 6—
Zu einer anderen Transformation gelangen wir auf folgende Weise. Wir denken uns in dem Raum von n-Dimensionen eine differentiierbare Ortsfunktion, etwa wie das Potential in der Physik. Die n-partiellen Ableitungen nach den Koordinaten sind die Komponenten eines Vektors, des Gradienten. Ist diese Ortsfunktion, so ist
eine vom Koordinatensystem unabhängige Größe. Man sieht leicht, daß sich diese partiellen Ableitungen mit Hülfe der adjungierten Funktionalmatrix transformieren. n-Größen, die sich in dieser Weise transformieren, nennen wir die Kompo- nenten eines kovarianten Vektors. Wir bezeichnen sie mit unteren Indizes. Es ist also
d= 1, 2,„ 1).
In einem Raum mit quadratischer Maßbestimmung können wir beide Arten von Vektoren identifizieren. Es handelt sich nur um eine andere Darstellung der gleichen geometrischen Größe. Um die geometische Bedeutung der Vektorkompo- nenten zu erkennen, denken wir uns etwa in der Ebene ein schiefwinkliges Achsenkreuz. Wir betrachten nun den Vektor vom Nullpunkt nach einem beliebigen Punkt der Ebene. Zu diesem Vektor als Diagonale konstruieren wir ein Parallelogramm, dessen Seiten den Koordinatenachsen parallel laufen. Die beiden vom Nullpunkt ausgehenden Seiten sind die kontravarianten, die senkrechten Projektionen der Diagonale auf die Achsen die kovarianten Komponenten. Im Kartesischen Koordinatensystem oder, wenn an det be- treffenden Stelle die Koeffizienten des Linienelements
11 1= K L a ſo 1k sind, fällt der Unterschied zwischen kovariant und Kontra- Variant weg.
st in Koofdi- toren,
dem K G
ponent 8015 I
Indizes Dü
sich W
bilde, Kartes J
der Ii
Wie

können elt sich rischen ompo- Ebene (un den ikt der en wir achsen henden kKtionen nenten. Per be-
Der Ausdruck
K= 1 jist invariant und ist, wie man bei Einführung Kartesischer Koordinaten sieht, gleich dem skalaren Produkt beider Vek- toren, d. h. gleich dem Produkt der absoluten Beträge mal dem Kosinus des Zwischenwinkels.
Größen, die sich wie das Produkt von m-Vektorkom- ponenten transformieren, nennen wir Komponenten eines Ten- sors m-ter Stufe. Wir bezeichnen sie mit den entsprechenden Indizes.
Die Koeffizienten gn des Linienelements transformieren
sich wie die Größen gin&ο
.... ik.. Die Glieder der inversen Matrix g transformieren sich
.. 2* 1„k wie die Größen ν
n dx dX ℳ¼ Lin Se den
. IM= 1 Beide Ausdrücke ralen das wiedns geometrische Ge- bilde, den„metrischen Fundamentaltensor“ dar, denn im Kartesischen System sind sie gleich öm:
ik
Die gi und gu Werden zum„Heben“ und„Senken“
der Indizes verwandt. Es ist
I
4= 2 L, 4 gE
kK Z 1 k= 1 wie der Ubergang zu Kartesischen Koordinaten zeigt.

I. Die Flächenkrümmung als Gesamtheit der
Krümmungsradien.
§ 1. Die Krümmung einer Fläche im Raume von fünf Dimensionen ist die allgemeinste.
Die zu untersuchende Fläche möge in Parameterdar- stellung gegeben sein: Xi= Xi(d, V)(i= 1, 2,..„ n). Nun entwickeln wir die Koordinaten des Nachbarpunktes u+ dv, v+ dv in éine nach Potenzen der Differentiale fort- schreitende Reihe:
dX; d X, xi(u+ du, v+ dv)(du du † dy dr) 4
2
2 el(eus du 2
d2X. d2xX. 2 Sudn dudi t. dve d* Brechen wir die Reihe hinter den linearen Gliedern ab und ersetzen die Differentiale du und dv durch endliche Parameter p und q, so erhalten wir die Tangentialebenen. Wir setzen voraus, daß eine solche in dem Punkte existiert. Nehmen wir noch die Glieder 2. Ordnung mit, so erhalten Wir ebenso eine Fläche 2. Grades, die im Punkte Xi dieselbe Krümmung hat wie die vorgelegte Fläche. Setzen wir an Stelle von du, dv, du*, du dv und dvꝰ fünf von einander unab- hängige Parameter, so erhalten wir einen s-dimensionalen Euklidischen Raum, in dem unsere Fläche 2. Grades einge- bettet ist. Die allgemeinste Flächenkrümmung tritt also schon im 5-dimensionalen Raum auf.
§ 2. Die Krümmung der geodätischen Linien.
Es soll mit Häülfe der Serret-Frenetschen Formel die Raumkrümmung der geodätischen Linien der Fläche berechnet
——

t der
vVon
eterdar-
punktes ale fort.
jern ab endliche ebenen. Nistiert. erhalten lieselbe Wir an r unab- Soonalen einge- t al80
— 9—
werden. Die Flächenparameter seien u, 1¹). Auf der Fläche sei eine Kurve dadurch definiert, daß die u als Funktionen
der Bogenlänge gegeben sind. Sind é' die Richtungskosinus der Hauptnormalen unserer Kurve bezogen auf das Kartesische Koordinatensystem, und ist R der Krümmungsradius, so lautet die Serret-Frenetsche Formel: e d“*x. R ds* deA du du, 7
8 5 du ds dug du, ds ds du, 2ℳ
Da aber die Kurve eine geodätische Linie sein soll, ist & l du? du) . ae. ds 0 Setzt man den sich hieraus ergebenden Wert der 2.
Ableitung oben ein und ändert die Summationsindizes geeignet, so findet man:
5 d*x. feaer dux dua R de S(n*) ds ds
linten Wir ein kerunruliniges Raumkoordinatensystem zu Grunde gelegt, so hätte der Klammerausdruck noch ein Zusatzglied ernalten. Wir führen für ihn die Abkürzung ein: d2X dX; d dX 1n= e, Lee n We / du 7 4 un 1li du, duz Dieser Ausdruck ist für konstantes zæ und 1 ein kontravari- anter Vektor des Raumes, für konstantes i ein symmetrischer (« und 4 sind vertauschbar) Tensor 2-ter Stufe der Fläche. Wir setzen im folgenden ein Kartesisches Raumkoordinaten- system voraus und lassen den letzten Term fort. Der linmnüaraton kat dann die Gestalt:
duw dua, 1¹) K=Ar 8s ds ds
¹) Die deutschen Indizes bezlehen sich auf den Raum und laufen von 1 bis n, die griechischen dagegen gehören der Fläche an und haben die Werte 1 und 2.
²) Schouten und Strulk nennen ihn den Vektor der erzwungenen Krümmung.

Dies ist die Ausgangsformel für die ganze Arbeit. Das Quadrat des absoluten Betrags finden wir durch Quadrieren und Summieren über i.
4 X du, du; dua dun al Duy ds ds ds ds i;*, 4, ℳA, v
Auf diese Formel stützt sich der 1. Teil der Arbeit.
(2) 8—
§ 3. 1 als positiv definite Form 2. Grades.
Nach der letzten Formel ist 1 eine positiv definite
Form 4. Grades von den 4 Die Koeffizienten sind:
2 AA v H d*X. d2X; Aha, 3 A 2 A du du du duo
1=P 1 8 2ℳ„ e Jel= ener 1=I
Wir wählen nun, Was sich immer erreichen läßt, unser Koordinatensystem nach folgendem Schema:
dE dx deX dNX., dX du dvy du du dV dVW
1—— a1 b1 C1 2—— ag b C 3—— a3 b3 C3 4 1———— 5— 1———
Das System ist im Punkte u, v geodätisch, da dort die partiellen Ableitungen der Koeffizienten des Linienelements verschwinden. Die abgebrochenen Reihen der X. Sollen linear
unabhängig sein, d. h. die Determinante(a, ba ca) Soll nicht gleich Null sein. Anderenfalls würde schon ein Raum von 4 Dimensionen ausreichen. Wir bezeichnen noch die Indizes- paare 11, 12, 22 durch die einfachen Indizes 1, 2, 3. Es be- stenen dann die leicht einzusehenden Ungleichungen:
—Vʒ———
———

ten
eit.
nite
DSer
t die ents inear
nicht Von
1zes-
[An Anu 8 V Aki Ark 2. A—0.
Diese sind notwendig und hinreichend dafür, daß die An Koeffizienten einer nicht ausgearteten positiv definiten
quadratischen Form sind.
Aber auch zu jeder derartigen Form gehört eine reelle Flächenkrümmung, d. h. die a, b, c Werden reell. Deuten wir uns nämlich diese Größen als Komponenten der 3 Vektoren a, b, c in einem Kartesischen System, so sind infolge der 1. Ungleichung die absoluten Beträge reell, und wegen der 2. auch die Zwischenwinkel. Die ap bp ci lassen sich dann bis auf eine orthogonale Transformation bestimmen. Die letzte der Ungleichungen ist dann immer erfüllt, da die linke Seite das Quadrat der Determinante(a be ca) ist.
A J0.
11
§ 4. Die Hauptkrümmungsradien.
Wir legen unserer Betrachtung wieder das Koordinaten- system der vorigen Paragraphen zu Grunde. Den Winkel zwischen der geodätischen Linie und der Parameterkurve v= const. bezeichnen wir mit. Gleichung(2) Seite 10 erhält dann die Gestalt:
1. R— A1 C08¹9„— 4 Ai2 C0839% S1I G—(2 3+ 4 A22) 63) cos¹ sin+ 4 Agz cos sinsg+˖ Az sin¹g.
Dieser Ausdruck hat 4 extreme Werte. Denn differen- tiiert man nach und dividiert durch cos“¹x%, so erhält man durch Nullsetzen des so erhaltenen Ausdrucks eine Gleichung 4. Grades für tg;. Berechnen wir nun für 3 derartige„ und für die drei unendlich benachbarten Werte von„ diesen Ausdruck, so erhalten wir 6 lineare homogene Gleichungen für die 6 Größen: 1, All, 4 Alz,(2 Ais+. 4 Ag), 4 Azs, A3z. Es muß, da diese Größen nicht alle verschwinden, die Determinante der Koeffzienten Null sein. Die etwas mühsame Auswertung liefert;

4 Sin(b, C) sin(b, C) Cos(b, c) à
1—. — sins(c, a) sin(C, a) Cos(C, a) b
sins(a, b) sin(a, b) Cos(a, b)
C
Dabei sind die R drei Hauptkrümmungsradien, und die Argumente der trigonometrischen Funktionen die Wiakel, die zwischen den durch die Indizes charakterisierten geo- dätischen Linien liegen. Wir erhalten 4 dieser homogenen Gleichungen für die 4 Werte von R. Sie sind miteinander verträglich. Denn setzt man in der obigen Determinante Ra= Rb= R., so findet man, daß die zyklische Summe:
82 sins(b, c) sinl(b, a)+.(c, a)
label verschwindet, eine Identität, die man leicht durch Ausrechnen verifizieren kann. Bilden wir nun die Determinante des Gleichungssystems, so verschwindet infolge dieser Identität die Summe jeder Zeile mithin auch die Determinante selbst.
§ 5. Die Dupinsche Indikatrix.
Die Indikatrix erhalten wir, indem wir alle Tangenten Kkonstruieren, die die Fläche in dem betreffenden Punkte berühren, und vom Berührungspunkte auf ihnen Strecken abtragen, die der Quadratwurzel aus dem zugehörigen Krümmungsradius proportional sind. Sie ist eine ebene Kurve und besitzt einen Symmetriemittelpunkt. Sind x und y rechtwinklige Koordinaten der Ebene, so hat nach Gleichung (3) Seite 11 die Gleichung der Indikatrix die Form:
aXx: † bXBy l. cxy dXxy ey= l.
Wir können nun auf zwei Arten ein schiefwinkliges Koordinatensystem einführen, sodaß die ungeraden Glieder in x wie in y verschwinden. Die Achsen sind dann Symmetrie- achsen vom Standpunkt der affinen Geometrie.

enten unkte ecken rigen bene Ind y hung
diges lieder
§ 6. Der Eulersche Satz.
Die Indikatrix sei auf ihre affinen Symmetrieachsen be- zogen. Das Linienelement der Bbene sei ds?= Edx+ 2 Fdxdy+ Gdy, wobei E, F und G Konstante sind. Wir betrachten die beiden Vektoren mit den Kontra-
varianten Komponenten(x, y) und(1, 0). Ihr skalares Produkt, die Bilinearform, ist
EX 1+FG-OTy· 1)+ Gy.0O=EX† Fy. Andererseits ist dieses skalare Produkt gleich dem
Produkt der absoluten Beträge mal dem Kosinus des ein- geschlossenen Winkels
VENT2FXy+ Gyz. E. coso= 6. E cos„a. Setzen wir die Quadrate der beiden Ausdrücke einander gleich, so erhalten wir:
2 0* COS2 91)y= EX+ 2 FXy Hy.
Nun ist aber 02= EX 2FXy+ Gy. Aus beiden Gleichungen ergibt sich für y? der Wert: 92= Eg*sin¹g, EG— F:² Entsprechend wird, wenn der Winkel zwischen dem Radiusvektor und der anderen Achse ist, 1*. sinzge EG— Fz: Setzen wir diese Werte in die Gleichung der Indikatrix axi+‿ bx¹ †cxy²= ein, so erhalten wir eine Gleichung von der Form:
1
A sin“ρν£‿ B sin“ρ+ C sin*, sinzoe= 4=EE.
Zu ir bzw. He gleich Null möge Rr bzw. Ru gehören. Dann nimmt die Gleichung, die eine Verallgemeinerung des Eulerschen Satzes darstellt, die Gestalt an:
in“¹ Sin“*; j D2= Il L C sin:9 Sin. R Rerit 1
II ¹

§ 7. Der Satz von Meusnier.
Es soll eine Beziehung abgeleitet werden, die zwischen dem Krümmungsradius r einer beliebigen Kurve der Fläche und dem der sie berührenden geodätischen Linie besteht.
Das System u, v sei wieder so gewählt, daß die
Gleichungen du dv dgw 6V 2.= 6, ds 1, ds 0, Li 1ℳ du,
für den betreffenden Punkt und die betreffende Richtung bestehen. Sind nun at die Richtungskosinus der Haupt- normalen unserer Kurve, so ist
4— e Vare d*X. dun dua L dzu,
4 dun duz ds ds— du, ds* e e de. d u2 dug ds*
Die entsprechende Gleichung für die geodätische Linie wird: dor. R du⸗ Multiplizieren wir beide Gleichungen miteinander und summieren über i, so erhalten wir mit Rücksicht darauf, daß die Christoffelschen husbe
( 11 ſ d2x dX. d22 dgiz, dnr A dur dure 2 d u du d ux* verschwinden, die gesuchte Peeiehung:
cos 5„„) 9(8*)=2 R2
1= COs(¹,*). An diesen Satz kann man noch die Bemerkung knüpfen, daß die Krümmungsmittelpunkte bei variabler Hauptnormalen a auf einem Kreise liegen.
oder
¹) Schouten und Struik nennen a. a. O. S. 167/8 die beiden Terme „erzwungene“ und„relative“ Krümmung, Ihre Summe die„absolute“ Krümmung.
W0!
folg

Schen läche Steht. 3 die
htung laupt.
Linie
nüpfen, rmalen
Terme bsolute“
— 15—
Neben dem Meusnierschen Satz brauchen wir nur noch die Patsache, daß die Krümmungsmittelpunkte in einer BEbene liegen, d. h., daß je drei a linear von einander abhängen. Das läßt sich aber sehr einfach zeigen. Es ist offenbar
5 g du, du, a ds ds 1¹
1,
Durch Differentiieren dieser Identität ergibt sich eine lineare Gleichung zwischen den 2. Ableitungen. Die Serret- Frenetsche Formel für die Hauptnormale einer Kurve(vgl. § 2) ist auch linear in den 2. Ableitungen der u, nach s. Man kann also eine der 2. Ableitungen eliminieren und erhält Gleichungen von folgender Form:
Cee A+ hdn 2* 2u
wobei die A und B konstant sind, während 1 2 Variabel ist. Damit aber ist unsere Behauptung bewiesen.
§ 8. Die Gaußsche Krümmung.
Unter der Gaußschen Krümmung soll das Krümmungs-— maß verstanden werden, das nur von den giν der Fläche und ihren partiellen Ableitungen 1. Ordnung abhängt. Sie ist eine intrinseke Größe.
Die kovariante Form des Riemannschen Krümmungs- tensors, das Vierindizessymbol 1. Art, lautet:
4 3214.
duz
R2. ubr=(1v. 2u)=
12,- 4 u
erles falfhh
Auf Grund der Tensorrechnung läßt sich sofort die folgende Invariante bilden:
g* g*h. 4 Ra Au ² 2 ᷣ

16—
Man erkennt hierin die gesuchte Größe, wenn man die gau Lleich 6½ Wählt. Dann wird K gleich(12, 12) dividiert
durch die Determinante der giw, die hier gleich 1 wird ¹).
Wir spezialisieren das Koordinatensystem noch weiter. Es sei in dem betreffenden Punkte geodätisch, d. h. die ersten partiellen Ableitungen der giu sollen verschwinden. Damit
fallen auch die Christoffelschen Symbole fort, und wir erhalten:
1(u 2..
2 U du⸗ du du
Es ist nach Definition: dXi dXi du, dug
Die 3. Ableitungen der x nach den u heben sich heraus, und es bleibt für K der Wert:
N dExi d*X.( d2xi 2 K=——— 3 4 dun du du du
Dafür können wir auch wieder schreiben:
Liu=
g11 L22— Z12 g12 Dieser Ausdruck ist aber invariant bei Transformation der u, da sich dann Zähler und Nenner mit dem Quadrate der Funktionaldeterminante multiplizieren. In einem Raume mit dem Fundamentaltensor g würde die Formel folgendermaßen lauten: 1 i k k i i k K= 32 g 1(Xu Xe2. XI X*) 85 Xia X 5 ſe 11 L22— 212 212 4 Beschränken wir uns wieder auf das System, das dem
§3 zu Grunde liegt, so erhalten wir für K die Darstellung: K= Ais— Azz.
K= 4 XuI L Nu X* t
¹) Man vergleiche z. B. L. Bianchi(Lukat), Vorlesungen über Differentialgeometrie. 2. Aufl., Leipzig 1910.§ 29.
eines geome die al lung: geht“ nach einen den! stimm. Hype recht alSo multi für d Wei Ordn
„Krün
Länge

nation adlate
de die
17
Die Indikatrix, die sich auf Gleichung(3) S. 11 aufbaut,
läßt dieses K willkürlich, da der Koeffizient 2 A1+ 4 A⸗ als
Ganzes gegeben ist.
II. Die Flächenkrümmung als Gesamtheit der Krümmungsvektoren.
§ 9. Der Krümmungskegel.
Wir legen unserer weiteren Betrachtung die folgende am Ende des Paragraphen 2 abgeleitete Formel zu Grunde: i
5 4 i du? dua]
4. e d=, 2. w. 2ã4 ds ds
8R—
Diese Größen definieren als Kartesische Koordinaten eines Raumes vonn Dimensionen aufgefaßt eine Kurve, den geometrischen Ort der Endpunkte der Krümmungsvektoren, die aus der Kurve der Krümmungsmittelpunkte durch Spiege- lung an der um den Aufpunkt gelegten Einheitskugel hervor- geht¹). Die Gesamtheit der Radiusvektoren vom Aufpunkt nach den Kurvenpunkten, die Krümmungsvektoren, bilden einen Kegel, den wir Krümmungskegel nennen wollen ²). Um den Kegel näher zu untersuchen, bringen wir die ihn be— stimmende Kurve zum Schnitt mit einer(n— 1)-dimensionalen Hyperebene, die durch eine lineare Gleichung zwischen den rechtwinkligen Koordinaten dargestellt wird. Wir setzen also die Kurvenkoordinaten in die lineare Gleichung ein und multiplizieren mit ds“. Das liefert eine quadratische Gleichung für das Verhältnis du: dv. Den zwei Lösungen entsprechen zwei Schnittpunkte. Wir haben demnach eine Kurve 2-ter Ordnung vor uns. Da nach keiner Richtung die Krümmung
z) I. A. Schouten u. D. J. Struik nennen ar a. O. diese Kurve das „Krümmungsgebilde“.
²) Es ist zu bemerken, daß die Erzeugenden dieses Kegels reziproke Längen haben. Die Oberfläche wäre dann 2.. in dem Maß cm zu messen.

18
unendlich werden soll, darf die Kurve nur im Endlichen verlaufen, sie muß also eine Ellipse sein. Da der Krüm- mungskegel auf der Tangentialebene der Fläche senkrecht steht, ist seine Dimensionszahl mindestens um 2 kleiner als die des umgebenden Raumes. Im Raum von 4 Dimensionen bleiben für den Kegel nur noch 2 Dimensionen und im Raum von 3 Dimensionen nur noch 1 Dimension übrig. Die Flächen- punkte, deren Krümmungskegel zwei Abmessungen besitzt, nennt man planare Punkte. Artet der Kegel in ein eindimen- sionales Gebilde aus, so spricht man von axialen Punkten.“
§ 10. Die Mittlere Krümmung(Sophie Germain).
In§S8 leiteten wir aus den beiden Tensoren X und giu
die Invariante K ab. Es liegt nahe, das noch einfachere Gebilde i— 1 N 1 H= 2 1 r 620 zu betrachten. Es ist offenbar ein Raumvektor. Wir setzen
Wieder g.,)c= 5% Was erlaubt ist, da die Formel gegenüber
einer Pransformation der Flächenkoordinaten u, v invariant jst. Dann erhalten wir:. t 1[Vi t 1 /5 H=(XA Xæ)= 2Z(E. K.)
Heist also gleich dem arithmetischen Mittel der Krüm- mungsvektoren der beiden Parameterkurven, die wegen gi2= 0 sich senkrecht kreuzen. Wegen der Invarianz der Formel folgt der Satz, daß H das Mittel aus je zwei Krüm- mungsvektoren ist, die zu zwei zu einander senkrechten Richtungen auf der Fläche gehören. H ist also die„Mittlere Krümmung“ ¹).
Trägt man den Vektor H in den Krümmungskegel ein, So wird sein Endpunkt das Zentrum der Ellipse, denn er muß ja in der Mitte von je zwei entsprechenden Ellipsen- punkten liegen.
¹) In der Literatur wird meistens 2H als„Mittlere Krümmung“ be- zeichnet, was aber dem Wortlaut nicht entspricht.

dlichen
Krüm. Dkrecht ner als Nsionen Raum lächen. desitzt, Wdimen- unkten.
in).
und g
fachere
Setzen venüber
wariant
r Krüm- Wegenl anz der 1 Krüm- gechten Mittlere
gel ein,
jenn er Aipsen-
ung“ be⸗
§ 11. Krümmung von Casorati ¹). Das Quadrat des absoluten Betrages von§ ist: 1 F i t 1ℳ Aℳ 4 Xa XAb T 9. 12A⁴ 1 Es ist nun sehr nahe liegend, die ganz ähnlich gebaute Invariante
l, ⁸
zu untersuchen. Setzen wir g.= ,„ und beschränken uns
12
auf den dreidimensionalen BRaum, wobei wir als Parameter- kurven der Fläche die Krümmungslinien verwenden dürfen, so erhalten wir zunächst:
AXXA AA un ue 1
1 N ₰ℳ R ist ein Hauptkrümmungsradius. Bedenkt man noch, daß in diesem Falle S: R unabhängig von dem Vorzeichen der Koordinatendifferentiale du, ist, So sieht man aus der Formel (1) Seite 9, daß XI= 0 ist. Unser Ausdruck wird dann einfach: 1 1 (Ri)*(Na)
§ 12. Nochmals die Gaußsche Krümmung.
Es handelt sich in diesem Paragraphen darum, die Gaußsche Krümmung durch die Abmessungen des Krüm-— mungskegels auszudrücken.
Setzen wir wieder g,=,, 80 ist
i 1 i i H= 1(Xu*+ Xa.). Subtrahieren wir diesen Vektor von den Krümmungs-
vektoren, so erhalten wir die Fahrstrahlen der Ellipse des Krümmungskegels, die von ihrem Mittelpunkt ausgehen.
6= 8— Hi— nr Cos2+ 2 Xb cos sin+ X sin²- 1 t 1 i. t„ — 1(XI1+ XI)=(XI— Xz) Cos 29+ Xua sin 2 9.
¹) Vgl. A. Wangerin: Allgem. Flächentheorie von C. F. Gauß, Ost- wald's Klassiker d. exakten Wissenschaften, Nr. 5, Seite 54/55.

Durch Differentiation nach erhalten wir die Richtung des zu konjugierten Halbmessers. Er selbst wird:
*=— 2(X= XI) sin 29— Xi Cos 29. Die Quadratsumme der konjugierten Halbmesser wird: 2[de9ré G)-.(A 2 M3 A33)* A22= a*= b⸗, 21 4
wobei a und b die beiden Halbachsen der Ellipse sind. Das Quadrat der mittleren Krümmung ist: H2= 2(H“)*—(Au+ 2 Ais+ Az). Aus§ 8 entnehmen wir die Gleichung: K= Ais— Az. Aus den drei letzten Relationen ergibt sich die gesuchte Formel: K= Hz²(a*+ b*).
§ 13. Zusammenhang zwischen den drei Krümmungen.
Um möglichst einfache Formeln zu bekommen, Ssetzen
Wir wieder g,= Dann wird nach§ 11 u. 12:
C=ä= 4„. X4 No— 2(An 2 A22 A3), 1, 2 K= Ais— Azz, H2=(Au+ 2 Ais+ Aaz).
Aus diesen drei Relationen folgt ohne weiteres die von der speziellen Wahl des Koordinatensystems unabhängige Beziehung: C+ kK= 2 Hl.
Für C ergibt sich hieraus auch eine Darstellung durch die Größen des Krümmungskegels:
C= H2+ a²+ b.
Diese Größe verschwindet für reelle Flächen nur dann, wenn H= a=b= O ist, d. h., wenn der Krümmungskegel auf einen Punkt zusammenschrumpft. Dies trifft aber nur für Ebenen zu.
§ 14. Einige besondere Fälle des Krümmungskegels.
1. Asymptoten- oder Haupttangentenrichtungen wollen wir die Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche nennen, bei denen der Krümmungsvektor verschwindet. Für reelle
d. h. K ni
mung Dime
letzte
nicht

e Von ingige
durch
dann, bkegel
21
Größen, die wir hier allein betrachten, ist dies gleichbedeutend mit dem Verschwinden des absoluten Betrags. Aus dem Krümmungskegel entnimmt man sofort, daß im allgemeinen Falle überhaupt keine Asymptotenrichtungen vorhanden sind. Im Raum von vier Dimensionen kann die Ellipse des Kegels durch dessen„Spitze“ gehen, sodaß wir eine Richtung ver- schwindender Krümmung haben. Zwei derartige Richtungen sind also nur in einem Raum von drei Dimensionen möglich, wo die Ellipse zu einer Doppelgeraden ausartet und die Kegelspitze enthält. Für die Gaußsche Krümmung muß in diesen beiden Fällen folgende Ungleichung bestehen: bz—(az²+ b²) I3 Hz—(a*+ b*)= K S a²
d. h.— a2 IKE— b:.
Asymptotenrichtungen können also nur auftreten, wenn K nicht wesentlich positiv ist.
2. Nabelpunkte sind solche Flächenpunkte, deren Krüm- mungskegel ein Rotationskörper ist. Im Raume von drei Dimensionen ist a= b= 0, d. h.: K= H=Z.
Im Raum von vier Dimensionen ist abgesehen vom letzten Palle H= O und a= b, d. h.: K=-(a²+ b²)— 0.
Im Raume von mehr als vier Dimensionen läßt sich nichts mehr über K bei Nabelpunkten aussagen.
§ 15. Minimalflächen. Eine Minimalfläche ist dadurch ausgezeichnet, daß sich ihr Flächeninhalt bei jeder Variation, die am Rande ver- schwindet, vergrößert. Wir haben also das Variationsproblem:
LTI L22— gε du duz= Min. Die gesuchten Funktionen sind die Raumkoordinaten X. in ihrer Abhängigkeit von den Variabeln uW Bezeichnen wir den Integranden mit WVV, so lautet die„Lagrangesche
Ableitung“: dW dW
dXL—„ſl 2 9 du,
die bei einem Extremum verschwinden muß. Das erste Olied Vverschwindet, da W die x nicht enthält. Zur Vereinfachung

setzen wir g.= 5,„% und die partiellen Ableitungen gleich Null. Die Rechnung, die sich hier sehr vereinfacht, liefert:
2 2 d*XL OSXI
duu dUg d u
In invarianter Form lautet diese Beziehung:
d. h. die mittlere Krümmung verschwindet.
§ 16. Verhalten des Krümmungsvektors bei variablem F.
Es soll die Frage erörtert werden, welche Bewegung der Endpunkt des Krümmungsvektors auf seiner elliptischen Bahn ausführt, Wenn mit der konstanten Geschwindigkeit 1 wächst. Die Invarianz der Eigenschaften des Krümmungs- kegels gegenüber aftinen Transformationen läßt eine har- monische Bewegung vermuten. Es müßte dann wie bei jeder Centralbewegung die Flächengeschwindigkeit des in § 12 definierten Vektors konstant sein. Sie ist ein schief-— symmetrischer Tensor mit den Komponenten:
1 1 d8 31 d 4 21 ai 5(. 85)=:
Dies ist das„vektorielle Produkt“ von zwei konjugierten Halbmessern und ist daher unabhängig von g. Die Aus- wertung liefert:
*(Xn X2) X 1(Xy 8 Xa) Xi-
Damit hat sich unsere Vermutung bestätigt. Der End- punkt des Krümmungsvektors bewegt sich also so, als ob vom Endpunkt des Vektors der mittleren Krümmung eine quasielastische Kraft auf ihn ein Wirke.
Diese Beziehung gilt auch noch im Falle eines Raumes von drei Dimensionen.
§ 17. Einige andere Gebilde.
Es liegt nahe, invariante Ausdrücke zu bilden und dann nach ihrer geomettischen Bedeutung zu fragen. Der

em g.
egung 'schen digkeit nungs- e har- nie bei des in schief-
— 23
Krümmungsvektor war eine quadratische Form in den Ab- leitungen der u nach der Bogenlänge. Wir wollen nun die entsprechende Bilinearform:
NINi duz ͤu,
L een
A7 ds d8 betrachten, wobei ò eine von d verschiedene Fortschreitungs- richtung auf der Fläche ist. Dieser Ausdruck stellt ebenfalls einen Raumvektor dar. Sind d und à veränderlich, so er— nalten wir σ Vektoren. Ihre Endpunkte liegen auf einer Fläche. Setzen wir g.)ß= 6„und bezeichnen wir mit den Winkel zwischen der Parameterkurve v= const. und der Richtung ò, so lautet die Gleichung dieser Fläche abgesehen von einer Parallelverschiebung:
i 1. Xi= XuI Cos cos+ XE(Cos sin+ sin cos p)
+ X sin% sin w.
An Stelle von und„ führen wir zwei neue Ver-—
änderliche ein: = G e, P= G— e.
Hierdurch nimmt die Gleichung unserer Fläche die folgende Gestalt an:
xi= XI(Cos“e— sin:c)+³ Xix sin 24+ XZ(Cos*e— cos ¹).
Ein konstantes a liefert Gerade, die der Krümmung:
9 T(XI X) parallel sSind und die Ellipse des Krümmungskegels schneiden. Es kommen aber offenbar nur die Abschnitte in Frage, die zwischen der Ellipse und ihrem Spiegelbild an der Kegel- spitze liegen.
Zum Schluß wollen wir noch eine Verallgemeinerung der„zweiten Fundamentalform“ der Flächentheorie bringen. Als Richtungsparameter der Flächennormalen können wir den folgenden schiefsymmetrischen Tensor 2. Stufe bezeichnen:
dXi dXL . du. du L11 L22 Hieraus bilden wir den Tensor:
DI= Xi, AàHl 4. Xt, u.. X A⁴ äu au

Dieser Tensor ist die Verallgemeinerung der Gaußschen Größen D, D' und D“. Er läßt sich auch noch in folgender Determinantenform schreiben:
dXA
du du dXI
Mit Hülfe dieser D läßt sich eine Invariante bilden— der Quotient der Determinanten der zweiten und ersten Fundamentalform:
„„ †, el 4 Determ. D t 8,l
—— l—— Determ. gi. Vesn
Spezialisieren Wir unser Koordinatensystem— der Aus- druck ist auch für die Raumkoordinaten invariant— dadurch daß
8X dX. 4 Wir 1= dXz= 1 setzen, während alle anderen partiellen du dl2
Ableitungen erster Ordnung verschwinden sollen, und daß das System ui, uæg geodätisch angenommen wird, So wird:
2 d”XL
2l Dure L2⁶ 1 du, du,
Eine Beschränkung dieser letzten Gleichung auf I— 2 ist nicht nötig, da auch Xwν und X*ν verschwinden, wie man
aus§ 3 entnehmen kann. Unser Ausdruck wird somit:
Lii C22. 12 212 3 Dies ist aber nach§ S nichts anderes als die Gaußsche Krümmung.
4 im Selbsty

rAus- ch dab
tiellen
d dab Wird:
1,22 ie man
pit:
Mitteilungen des Mathematischen Seminars der Universität Giessen
herausgegeben von den Direktoren des Seminars
X. Heft
Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reiben
ABRAHAM PLESSNER
Giessen 1923
Unveränderter Neudruck 1930
Im Selbstverlag des Mathematischen Seminars, Giessen, Bismarckstrasse 10
Preis M.ℳ 2.50; für das Ausland 3 Schweizer Franken
Druck von Otto Meyer, Giessen

lnauguraldissertation der Philosophischen Fakultät II. der Universität Gießen.
Genehmigt 3. August 1922. Berichterstatter: Schlesinger und Engel.

Einleitung.
Von den beiden trigonometrischen Reihen:
(1) L* cos nò˙+ ba sin n 9) n=1 —
(2) X(— ba cos nꝰ+ anu sin n 9) n=1
wird bekanntlich(2) als zu(1) konjugiert bezeichnet. Ist insbesondere(1) eine Fourierreihe einer im Lebesgueschen Sinne integrierbaren Funktion f(9), so stellt(2) im allge-— meinen keine Fourierreihe dar; ja sogar die Reihe: H— ba cos nòt au sin n9 10231
n= 2 braucht keine Fourierreihe zu sein. Als Beispiel möge die Reihe:
E, log logn- logn dienen. Etwas allgemeiner setzen wir in dieser Arbeit(1) als die gliedweise differentiierte Fourierreihe einer Funktion beschränkter Schwankung voraus und untersuchen die Summation der Reihe(2). Es werden nacheinander das Poissonsche, Riemannsche und Fejérsche Summations— verfanren behandelt, und es ergibt sich, daß die Reihen(2) (und(1)) mit allen drei Summationsmethoden fast überall summierbar sind. Wir wollen gleich die nähere Gliederung der Arbeit angeben. Der§'1 handelt von der Poissonschen Summation von(2); dabei wird von(1) ausnahmsweise voraus- gesetzt, daß es eine Fourierreihe einer im Lebesgueschen

— 4—
Sinne integrierbaren Funktion f(⁹) darstellt. Wir beweisen folgenden Satz ¹): Satz l. Es Sei:
2 v(r, 9)=S bn cos nò+ anu sin n 9) u,
dann gilt für alle 9, die der Bedingung:
t (3) lim 1 ltGO t)— fG— tldt= o t—0 6
genügen, die Beziehung:
6) lm. dv 4+ fuora 1 Mew3 aee 6— arc sin(1— D.
Mit Hilfe von(4) ergeben sich dann die Hilbertschen Reziprozitätsformeln für den Fall eines quadratisch integrier- baren f(9). In§ 2 wird bewiesen:
Satz 3. Für alle 9, die der Bedingung:
t
(5) lim 4 LG h= O= 2fs)ldt=o 0
t—0
genügen, gilt die Beziehung:
(6) lim r Sin- 2 5
e= arc sin(1— D. In§ 3 wird mit Hilfe einer Verallgemeinerung eines Fatouschen Satzes*) über Randwerte analytischer Funktionen die Poissonsche Summation erledigt, und aus(4) und(6)
¹) Man vgl. dazu: P. Fatou, Séries trigonometriques et séries de Taylor, Acta Mathematica Bd. 30,(1906) S. 358— 300 sowie L. Lichten- stein, Ober das Poissonsche Integral und die partiellen Ableitungen des logarithmischen Potentals, Journal für r. u. a. Maihematik 141(1912), S. 26— 29, wo der Fall eines stetigen f(9) bzw. eines Stetigkeitspunktes behandelt wird. Außerdem die zusammenfassende Darstellung bei L. Lichtensteln. Neuere Entwicklung der Potentialtheorie. Konforme Abbildung. Encyklop. d. math. Wissensch. S. 223— 224, wo auch weitere Literatur angegeben ist.
2²) P. Fatou, loc. cit. 366— 367.
I, 1 lehehe elehat-o.
—

Sen
eines jonen lid(6)
ies de hten- en des 12), S. hunktes bei L. nforme ſeitere
— 5—
die Existenz gewisser uneigentlicher Integrale erschlossen. Es folgt dann eine Anwendung auf das Cauchysche Inte- gral. In§ 4 wird die Riemannsche Summationsmethode behandelt.§ 5 ist endlich der Fejérschen Summation gewidmet, wobei sich auch eine Verallgemeinerung eines bekannten Hardyschen Satzes ¹) über Konvergenz von trigo- nometrischen Reihen ergibt.
Den Ausgangspunkt für die vorliegende Arbeit bildeten die beiden in der Fußnote ¹) S. 4 erwähnten Abhandlungen von HFatou und Lichtenstein. Die§§ 1—3 können als Weiterführung gewisser dort angestellter Untersuchungen angesehen werden. Außerdem möchte ich noch eine Arbeit von W. H. Voung ²) erwähnen, die ihrer Tendenz nach teiliweise dem§ 5 dieser Arbeit nahesteht, der Methode nach aber gänzlich verschieden ist.
¹) Hardy G. l., On the summability of Fourier's series, Proceedings of the London mathematical Society, ser. 2, vol. 12, S. 365— 372.
²) W. H. Voung, On the convergence of a Fourier series and of its allled series, Proceedings of the London mathematical Society Bd. 10. S. 257— 272.
Voung bedient sich einer eigenartigen indirekten Methode. Das für uns allein in Betracht kommende Resultat(vgl. loc. cit. S. 271— 272) ließe sich(mit der Methode des§ 5 dieser arbeit) direkt einfacher be- gründen, und ist in den Ergebnissen des§ 5 enthalten.

§ 1.
Das Poissonsche Summationsverfahren: Der Fall einer im Lebesgueschen Sinne integrablen Funktion.
Beweis des Satzes l:
Es ist: A VCT, 9) 851(— ba cos nò‧+† an sin n 9) 1n= n=1 1 s in t- 3) r sin(t— 11 I= 21 cos 7 3 ich at. — Wir setzen: t 460= 1+ h— 10⸗t),„,)= J ect) dt. — 1= 21 cos t= l=y* ar sim2 und es sei d ein Wert, für den(3) erfüllt ist, d. h.: (6) üm*40= 0. to t Dann ist: Vrsint fr sint —1 S zsin -e.9) T ſ. tewat= 1 1Ch dt, 7 6
und, indem wir e= arc sin(1— p) setzen.
st
W
be
80

er im
7 S 1 11 v.,8) odets 2 dt=„ ſA 00 dt 5 0
(1— 1)* F ctg 2 7„(t) dt= L.+.
Um I. abzuschätzen, bemerken wir, daß r sint 4Aa im Intervall(O, e) eine monoton wachsende Funktion ist, sodaß die Anwendung des zweiten Mittelwertsatzes ergibt:
8
1. 41 Se e p(t) dt.(O„Ze) 9 Wegen t — 2— 4 2 4rsin 2 ist dann: 1 r sin e —— 9„ 90( lu. n 1+hr) 1 5 sine 1 S(e)„() eee„()+(u)I— 4 Sin(5) aL2sin⸗ 2 sins
Es ist daher wegen(3): r1—91 Auf l wenden wir die partielle lIntegration an und bekommen: 1 1(1.0 ctg bL. v(e) †
22 1+ r— 21 cose
(1— 1)*²( 2r sin“² 1n), ——„(t) dt=+l i 22 e). 4 3 Da 42˙(1 r)², so ist 1„G. a=. 2 sin und somit:
r—1

In L ist zunächst:
S 2 in² Seene 11 e Sil(1= 1e d0s:
. 1 423, 4 sinz(½) 2 und somit: 2 3 1— 1r 7 1— 1„(t) 1h k e ib at=
3 22 sin z1 †r. 4 2 sin 2
3 1d(G)
11„ S2 ſdt. - 4(2 sin ¼
Das letzte Integral stellt infolge von(3) den klassischen Fall des Poissonschen Integrals dar, sodaß auch
lim L= 1—1
ist, mithin gilt dasselbe von lz und der Satz(1) ist in Vvollem Umfange bewiesen.
Die Formel(4) läßt für die der Bedingung(3) genügenden d-Werte auf die Existenz des Cauchyschen Hauptwertes des Integrals:
12 NT / 1 3 li—— t t1 0 1= 1 ich cts, dt=im 1 C— fE—thletg dta) —r 8
schließen, sobald man weiß, daß die zu der Fourierreihe von f() konjugierte trigonometerische Reihe für den be- treffenden ò-Wert mit dem Poissonschen Verfahren sum- mierbar ist. Dies trifft nach Fatou²) fast überall zu, wenn auch die konjugierte trigonometrische Reihe eine Fourier- reihe ist. Da auch die Bedingung(3) fast überall erfüllt ist, So existiert(7) auch fast überall. Hier ist insbesondere der Fall zu nennen, wo die Funktion f() samt ihrem Quadrate im Lebesgueschen Sinne integrierbar ist. Nach dem Fischer-Rießschen Satze ³) ist dann auch die konjugierte trigonometrische Reihe eine Pourierreihe einer quadratisch
4) bedeutet den Cauchyschen Hauptwert eines Integrals. ²) P. Fatou, loc. cit. S. 348— 340; dle dort vorausgetzte Beschränkt- heit von flu) ist unwesentlich. ²³) Fischer, Comptes Rendus T. 144,(1907), S. 1022. Rieß F., Göttinger Nachrichten 1907, S. 116.

sum- Wenn
rier- llt ist, e der drate
dem gielte ſlatisch
ränkt-
— 9—
integrierbaren Funktion, die wir mit f() bezeichnen wollen. Die Formel(4) ergibt dann für fast alle 9⁹ε:
1 f(9)= lim ef— ſtGO t)— fG-t)ctg 1 dit 6—0 2..
9
1 1= 9 2 8 f(t) ctg 2-dt. — ⁵
Da f(9) in derselben Beziehung zu— f(⁹) steht wie f(9) zu f(9), so bekommt man, wenn man noch die additiven Konstanten berücksichtigt, das folgende Ergebnis, das wir als Satz formulieren wollen:
Satz 2: Im Gebiet der quadratisch integrierbaren Funk- tionen, ist jede der beiden Formeln:
7. t. 9 2³ 9)=——— fG)= 22— fcych, d, f(t) dt, — N— N (8) N N 1 5* t— ϑ„ 1 3 100== 4 fGctz dt f(t) dt,
die als die Hilbertschen Reziprozitätsformeln¹) bezeichnet werden können, die eindeutige Auflösung der andern. Die vorkommenden Cauchyschen Hauptwerte existieren fast überall, und das Gleichheitszeichen ist auch mit Ausnahme einer Nullmenge zu verstehen.
¹) Grundzüge der Theorie der linearen Integralgleichungen, Leipzig 1912, S. 73— 74; es wird dort die zweimalige stetige Differenzierbarkelt vorausgesetzt. Vgl. dazu den schon erwaähnten Enzyklopädie-Artikel von Lichtenstein, S. 224(Fußnote), wo auch weitere Literatur ange- geben ist.

Das Poissonsche Summationsverfahren: Summation der differentiierten Reihe.
§ 2.
Beweis des Satzes 3:
Es ist:
d —„— 857 1. 5)
5
21 sint 5 A(Tehr Itꝰ ty fO- t)- 2f(o)ldt,
und indem wir: 4= 1+ 1— 21 cost,
setzen:
2*05 9) 1 1
e
0
21(1— 1)*
2 21 sin(t- 9) f 0 2 2 15 1+ 1- 21 cos(t— 9) — M
8 21 sin(t— ⁹)„)¹Chat
1+ 1— 21 cos(t—
21 sin t 1 4( ſté+ t)=tGGldt
1+ 12— 21 cost
— 21 cost
e= arc sin(1— 1)
14 D=G. O- 1 an
(t)= fG+ t)+ t-t) 219),
sin?²
d Bsheeereen—⸗
4
N
Um I. abzuschätzen, bemerken wir die Tatsache, daß
2C08e ſct. 19,1J)Get n.lee
d 7121 sin t dt 1)
im I für t
hat.
0de
set
und
——
80

u der
dt
:AGG)dt,
e, dab
— 11—
im Intervall(O, e) monoton abnehmend und positiv ist und für t= o den Wert:
2 (1— p hat. Der zweite Mittelwertsatz angewandt auf 1 ergibt dann:
U r 5 11 ri„(t) dt OSaSe, 0
oder indem wir
t f„(t) dt= 2(t) 0
setzen, 1 11 102) — 1=1 1 nsin?e(0S7 Inse und daher wegen(5) lim 14= 0. r1—! Auf la wenden wir partielle Integration an und bekommen: (1= 1)2 01)2g(O)
2= 7A)—— 4n(1+)* 42 sin'(2) l1+ 12— 21 cos e)
d= pr 1 cos d)( 4 sin?(4)
e Z(tydt= 1. le- 4 sins()! 41
8
Nun ist offenbar:
Da
so hat man

deCee.; x(t) 11 1 6—. 8 22 4 sins(2 9 2Ir 2n sin 163 4(h) 1 51 ch 1=—r 1— 1² 2 dt=S 1 1 sin*(½) 3 1 4 ſsinz(¾ J6 Hier haben wir es wegen lim 4(0 0. —o sin(2) wieder mit dem klassischen Fall des Poissonschen Integrals zu tun, Sodaß lim l6— 0, 1—*A1 und somit auch diim 1. 0. und Es bleibt daher noch übrig, Iz abzuschätzen. Wir inte- grieren partiell und bekommen: 21(1— D² cos:(2) . en. eESee — r)2² Das rdl 2 3 it(4 srcos⸗ 2) zchdt= k+ l. 5 8 Infolge von 4²= 41(1— 1): Sine 3 lin ist 0) 1 5 — 2— und somit af 11 ſcch In Is ist P 2 t 2 2 1 mei 4+ 81 Ccos.—(1— 1)*+ 41+ 41 cos 2 =(1+)*+ 41 cose3=s. do

egrals
ir inte-
Außerdem ist
4²= 161² sine2 sodaß wir schließlich bekommen: E 19— D2 1 16 sin(2 cos(2 91
161 We 4
xX(t) dt
NT sin(2)- 4
1 m 1
2 p.e n ddt. xr(1+ 1) 4 in⸗) 6
Nach der schon oft angewandten Schlußweise ist
lim ls— 0, . 1—2 und somit auch lim 13 0. 1r—1
Der Satz 3 ist daher in vollem Umfange bewiesen.
§ 3. Das Poissonsche Summationsverfahren: Randwerte von Potentialfunktionen. Satz 4. Ist u(r, P) eine im Einheitskreise reguläre Potentialfunk- tion und
6)[uc. 5)ſds= M. —7 So strebt u(r, 9) bestimmten Randwerten zu, wenn man sich auf Wegen nähert, die den Einheitskreis nicht berühren. Zusatz: Die Randwerte bilden eine im Lebesgue- schen Sinne integrierbare Funktion. Beweis: Es sei, Was keine Beschränkung der Allge-
meinheit ist, 1
(10) ud. 9)ds= o.
—n

Setzen wir jetzt: 9
WT, 9)= 4 u(r, 9) d, — so ist zunächst wegen(9) (11) wT, d)= M. Andererseits ist, Wenn: — x&= da= d1= d½s..— vn= a.
k w, s9-W, G)l= u,2) da= ſlude,) de k 1 k- 1 und daher: n n ²) wG. b,)=wr, 9e-)= luCe,c) da K= 1 1— 1 R I 82 —[ud,S)ds= M. —
Die w(r, 9) als Funktionen von d betrachtet, sind wegen (11) in ihrer Gesamtheit beschränkt, und ihre Totalschwan- kungen liegen nach(12) auch unterhalb einer endlichen Schranke. Nach einem Auswahlteorem von Helly ¹), kann man eine solche Folge ri, ra, angeben, daß
lim w(rn, 9)= 1(9), rn=*t
und f() eine Funktion beschränkter Schwankung ist. Wie aus der Definition der w(r,) und aus(10) folgt, ist identisch in r: W(I,— a)= W(I,)= 0
und somit auch (13) f(— a)= 1()= 0.
Es sei jetzt o= O= 1. Dann läßt u(1, 9) fürr= e die Darstellung zu:
¹) E. Helly, Ober lineare Funktionaloperationen, Wiener Sitzungs- berichte, Bd. 121, Abt. Ila, 1912, S. 283.
denk der! Integ Dars
(14)

¹) da
M —.
wegen ehwan- dlichen ), kann
t. Wie Jentisch
o die
Sitzungs-
— 15—
(2*— f) u(e, α) da
u(r, 9)=— 2 5— 22 J 6¶ † 12- 201C0s(— a)' — z die partielle Integration ergibt dann:
1 d 2— 1² u(r. 3)=—= 5— 2n. d2(&νρσ*εε We'e) da
71 4 d 2 2 1 92 21eGOS5 a)] We, a) da. 2
Lassen wir jetzt o die Folge In durchlaufen und be- denken, daß man nach einem Satze von Lebesgue¹) wegen der Beschränktheit der w o,) der Grenzübergang unter dem Integralzeichen gestattet ist, so folgt die für T= 1 Lültige Darstellung von u(r,):
7
1, (14) u(r, 9)=
d 1— 12²
d(1E eros a flde
d 1— 12 5 821 1I a⸗ —
Nach dem Satze von Fatou:*) strebt u(r, d) in dem im Satze 4 angegebenen Sinne einem Randwert zu, und zwar dem Randwerte f'(), wenn diese Ableitung existiert; nun ist, wie wir gesehen haben, f() von beschränkter Schwankung, somit ist dies nach Lebesgue) fast überall der Fall, und die Randwerte, d. h. f'(9), bilden eine integrier- bare Funktion, womit der Satz 4, einschließlich des Zusatzes,
bewiesen ist.
¹) Lebesgue, Lecons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1004, S. 114; vgl. auch de la Vallée Poussin, Cours d'Analyse infinitésimale Bd. I. 3. Aufl. 1914 S. 203.
2) P. Fatou, loc. cit. S. 345— 347 u. 357— 358.
3) Vgl de la Vallée Poussin, loc. cit. S. 275 sowie die Dar- stellung in seinem Buche, Integrales de Lebesgue. Fonctions d'Ensemble. Classes de Baire, S. 90— 103, wo auch auf S. 96— 98 der für uns in Be-
tracht kommende unstetige Fall behandet wird.

Korollar: Der Satz 4 ist auf positive Potentialfunktionen anwendbar, denn es ist in diesem Falle:
77 71 ſluG, 9)lds ſ ur. 9)d9= uo —2 1 wo uo den Wert im Mittelpunkte bedeutet. Die Bedingung (o) ist daher hier erfüllt. Allgemeiner gilt der folgende Satz 5: Die Bedingung(o) ist notwendig und hinreichend
dafür, daß sich eine Potentialfunktion als Differenz von zwei positiven Potentialfunktionen darstellen lasse.
Beweis: Daß die Bedingung notwendig ist, ergibt sich ohne weiteres in derselben Weise, wie es in dem vor- stehenden Korollar für eine einzige positive Potentialfunktion gezeigt wurde. Um sie auch als hinreichend zu erweisen, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit, wie beim Beweise des Satzes 4, voraussetzen, daß(10) erfüllt Sei. Es ist dann u(r, 9) durch(14) gegeben, wo f(0) eine Funktion beschränkter Schwankung ist. Wir schreiben f(9) als Stieltjessches Integral:
7 1
1— 12 (La) ui, 5) feed-feer e).
integrieren(14) partiell unter Beachtung von(13) und be- kommen so:
2
1(I= T) df(a).
(15) uc. 3)= 2. 1+ 1.— 2r cos(d— a) — n
Nun läßt sich f() als Funktion beschränkter Schwan- kung in der Form: fO)= f.(⁹)— fe(⁹) darstellen, wo fr(d) und fa() beide monoton wachsende
Funktionen sind. Setzt man dies in(15) ein, So bekommt man:

ingung
2
ichend I 2ei
dt sich n vor- Anktion Veisen, e beim gI. ES unktion 9) als
hwan-
hsende Kommt
7.
u,8= 2e 9=.d(t.(e)-f 2 TTr 2r os(5 a) 111() 2e)
1 5(1 J 1) df(a) 1+ 12— 21 cos(— a)
— 1 4(1— 12²) dfe() 2 2 1+ r²— 21 cos(— a)
= uI(1, 9)— ug(1, 9),
wo ul(r, O) und ug(r, 9) offenbar beide positive Potential- funktionen sind.
Satz 6. Genügt u(r, 9) der Bedingung(0), so besteht der Satz 4(ohne Zusatz) auch für die zu u(r,») konjugierte Potentialfunktion v(T, 9).
Beweis: Da nach Satz 5 uAr, 9) sich als Differenz von zwei positiven Potentialfunktionen darstellen läßt, so genügt es, wenn wir bei dem Beweis von 6 u(r, 9) als positive Potentialfunktion voraussetzen. Bilden wir dann die analytische Funktion:
— 1 (16) 7,O)= Wie)i i so ist für z2= 1 (12)„(Z)== 0 und andererseits (18)[„»(2)= 1. ¹)
Infolge von(17) ist log"(z) für z1=I regulär, und wegen(18) ist (19)— Rllog w(z)l=— log v(z)= P(T,)= 0.
Da„()= 1, so strebt»(z) nach Fatou*) in dem im Satz 4 angegebenem Sinne„fast überall“ bestimmten
¹) Mit Hilfe elnes allgemeinen Satzes über Randwerte beschränkter Potenzreinen, der von Fatou vermutet, von F. u. M. Rieß in ihrem Stockholmer Kongrebvortrag von 1916 bewiesen worden ist, ließe sich der Beweis zu Ende führen. Ich glaubte aber meinen ursprünglichen Beweis für den Fall(2z)== 0, den ich vor Kenntnisnahme der F. u. M. Rieb- schen Arbeit gefunden hatte, beibehalten zu dürfen.
²) P. Fatou, loc. cit. S. 330—337.

Randwerten zu. Diese Randwerte können nur in einer Null- menge verschwinden, weil sonst die positive Potentialfunktion (19) in einer Menge positiven Maßes nach streben würde, was nach dem Korollar zu Satz 4 unmöxglich ist. Aus(16) folgt dann durch Auflösung nach u Tiv der zu beweisende Satz 6.
Wir wollen jetzt die Sätze dieses Paragraphen mit denen des Paragraphen 1und 2 in Verbindung bringen. Ist u(r, 9) die Potentialfunktion, zu der die Funktion V(r,) des § 1 konjugiert ist, So hat man:
1(rmfc) dt (r, 2)=,[L= e h.Sg.
— also 8
a0G,8)do⸗ ltolat.
—
und somit ist auf v(r,) der Satz 6 anwendbar, insbesondere existiert für fast alle ϑ
lim v(r, 9), r—A1
was Wir als Satz aussprechen wollen:
Satz 61. Die zu einer Fourierreihe konjugierte trigono- metrische Reihe ist„fast überall“ mit der Poissonschen Methode summierbar.
In Verbindung mit Formel(4) der Einleitung bekommen wir dann:
Satz 7. Das Integral:
I 1weu222 ae g ſte h- fG9— Ol eig 2 dt
8—=9 8
existiert für eine im Lebesgueschen Sinne integrierbare Funktion f(9)„fast überall“.
Weiterreichende Resutate bekommt man, indem man direkt an die Formel:

Null ktion eben ist. zu
mit lst des
ndere
Cono- schen
umen
t 3 dt Thare
man
7
1 (14) ur. 5)= 4 (f(O) von beschränkter Schwankung) dieses Paragraphen anknüpft.
d( 1 12
d3(1A E= 75⸗=9) 1ch dt
u(r, o) ist die Poissonsche Summe einer trigono-— metrischen Reihe, die durch gliedweise Differentiation der Fourierreihe einer Funktion beschränkter Schwankung ent- standen ist. Der Satz 6 ergibt dann, wenn man sich auf radiale Wege beschränkt, den
Satz 62. Die trigonometrischen Reihen, die konjugiert zu den gliedweise differentiierten Fourierreihen von Funktionen beschränkter Schwankung sind, sind fast überall mit dem Poissonschen Verfahren summierbar.
Man sieht ohne weiteres ein, daß das in§ 2 vorkom-
8... mende— abgesehen vom Vorzeichen zu(14) konjugiert ist, wenn man dort unter f(9) eine Funktion beschränkter
.— d.— Schwankung versteht. Es ist somit— 83 die Poissonsche
Summe der im Satze 62 genannten trigonometrischen Reihe, was in Verbindung mit der Formel(6) und der Tatsache, daß(5) für eine Funktion beschränkter Schwankung „fast überall“ erfüllt ist, folgendes ergibt:
Satz 8. Ist f(e) von beschränkter Schwankung, So existiert: 813
f6+ t)+ fG.— t)— 2f 9) 4— 2 S— dt . sin?(*) N .+ t f(— t)— 2f09) = jim Wtd i —o: sin(2½) für„fast alle“ 9. Wir wollen jetzt diese Betrachtungen auf das Cauchy- sche Integral:
(20) 1()=
— 1 h(t) dt,
221 t— 2 e

— 20—
anwenden, wo C den Einheitskreis bedeutet¹). Setzen Wir: 2— re⁰¹, t= el hät)= h(eu)= f(u)+† ig(u) und 1(2)= P(r, 9)+ i Q(r, 9), so erhält man nach leichter Rechnung:
77 11(1=r)t(u) du P(1. 5)— 45 4 1+ 12— 2r cos(u 5) ee 1 f Tr sin(u- 3) g(u)d 1 11 r sin(u—») g(u) du 1 e ee, ſGhan (21) 7
1 r sin(u— 9) f(u) du 9)=—— Q0. 5) 1+ 1*— 21 cos(u- 9„)
1(=r) 2u) da 25 1+ r2— Zrcos) e ſrwu
Hieraus folgt, daß P(r,) und O(r,) und somit auch I(2) „fast überall“ bestimmten und endlichen Randwerten zustrebt, wenn man sich auf Wegen nähert, die den Einheitskreis nicht berühren. Man erhält diese Randwerte aus(21) durch den Grenzübergang r— 1. Bezeichnen wir sie mit P(⁹)
und O(9), so hat man:
¹) Von h(t) wird vorausgesetzt, daß es als Funktion der Bogeplänge im Lebesgueschen Sinne integrierbar sei, d. h. es soll dies für
h(t)= h(eiu) als Funktion der reellen Variabeln u gelten.
(22

N BLfGS. u—9 P(9) 5 169) 1 g(u) ctg 2 du N 1 — 7 1 f(u) du, (22) N — 1 1„ 0(2)= 2 269)„ f(u) cig—— d — N N 1 g(u) du
Dadurch sind die Funktionen P(9) und O(9) bis auf eine Nullmenge bestimmt. Soll die Randfunktion mit der Belegungsfunktion h(t) übereinstimmen, so muß„fast überall“ f(O)= P(9), g()= O(9) sein, was für f() und g(9) als Bedingung die Hilbertschen Reziprozitätsformeln(8) ergibt. Wir fassen diese Ergebnisse in einen Satz zusammen:
Satz 9. Das Cauchysche Integral(20) strebt„fast überall“ bestimmten endlichen Randwerten zu, wenn man sich auf Wegen nähert, die den Einheitskreis nicht berühren. Diese Randfunktion ist gleich P()+ iO(), wo P(9) und O(9) durch(22) gegeben sind. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Obereinstimmung der Randfunktion mit der Belegungsfunktion h(t) ist das Bestehen der Hilbertschen Reziprozitätsformeln(8) für den reellen und imaginären Teil der Belegungsfunktion.
Etwas weitergehende Resultate lassen sich erzielen, wenn man das Cauchysche Integral in der Stieltjesschen Form:
da(t)
t-2 schreibt, Wo 2(t) eine Funktion beschränkter Schwankung bedeutet.

§ 4.
Das Riemannsche Summationsverfahren.
Es sei wieder(1) die gliedweise differentiierte Fourier- reihe einer Funktion beschränkter Schwankung f() mit der Periode 2z, und(2) die zu ihr konjugierte trigono- metrische Reihne. Dann behaupten wir:
Satz 10: Die Reihe ist fast überall summierbar mit der Riemannschen Summationsmethode, d. h. integriert man (2) gliedweise zweimal, und bedeutet 5(9) die Summe der gleichmäßig konvergenten Reihe, die dadurch erhalten wird, s0 existiert:
ſir(+.)+(—)— 29 9) 2— 0 a2 „fast überall“.
Beweis: Es ist zunächst keine Beschränkung der All-
gemeinheit, Wenn wir setzen:
77 1 19) dso=o. —n
Dann ist: 9
rG)= ſ f(c) dt 5 wieder periodisch, d. h. Fꝙ+‿ 22)= F(9). Durch partielle Integration bekommt man dann:
1(o=y( 0)= 2119) 47 1(5) 4t 8 FG+)— FG)— 2209) 4 Q F(G— 2)— 22109) 42 sin?(2)
71 1 F G t)= F t)— 2tf(9) t — cos dt. 442 sins(*) 2
8
—„——————

e
Setzen wir: 76()= FG+ty) FG-t)— 2tf(9), so 1st„fast überall“: (23) Üm 1.= im G..ſO=) 2f9 4—o t—o 1 und somit auch.
(24) lim 2= 0.
Berücksichtigt man(24), so ist nach Satz 8„fast überall“:
8'
3 9 9—t)— 9 limn 4, ſ u 1) 2169) t= 1103) —0 4 sin(2) 2 8' 9— F- t)— 9 + Üüm 14 f.Geh) 14 3 2 1) Cos t dt, —o 426. sins(2½) 2
und somit existiert auch das letzte Integral, eine Tatsache, von der wir später Gebrauch machen werden. Nach diesen Vorbemerkungen gehen wir zum eigentlichen Beweise über. Es ist ohne weiteres klar, daß die trigonometrische Reihe, die wir durch zweimalige Integration von(2) erhalten haben, die Fourierreihe der stetigen Funktion() und überdies konjugiert zur Fourierreine von F(9) ist. Nach den Er- gebnissen der§§ 1 und 3 ist:
N — 3 1 F() ctg— dt“),
—
1 59)= wobei infolge der Stetigkeit von(½) und F(9) diese Formel ausnahmlos für alle gilt. Wu bilden jetzt:
¹) Wir denken uns bei der gliedwelsen Integration der Reihe(2) die additiven Konstanten immer weggelassen.

— 24
NT „— 9— 41. 1 F() cts= dt A
N 1 5 t— 2 4 Ftt+ s) ctz, dt — N
T—& =a ſ IrG—h tig)l ctg 2 dt- tetg 2 dt. — N—a
Nimmt man die entsprechenden Umformungen bei(9) und Q(⁹— a) vor, so bekommt man nach leichter Rechnung:
O+‿οαᷣ0+ 269e— 2909)
FGG+ t-tf 2 Pleehda nſ 2tz bdt a 2
t sin—e sin 5 1 sin 5
oret 5) dt de
sint—·z ² sin 1 Sin„

Setzen wir: 70)= Ob. Gr. Ach. OctEX2 sin? 2 so ist wegen(24)
(25) lim„(xX)= 0. x1—0
Für Is erhalten wir jetzt:
sodaß nach(25) lim ls= 0. ᷣ.— 0
Für l. können Wi schreiben:
sin²(3 2) 4e t+ 2 a
. sin sin!— ² sin 7
— sin⸗ ſ3 2n um 15 2106g —0 sin 2
gesetzt wurde. Nun ist:
—(t)—(—t)= 0(u) du; 4

+ u) cos e.uhe9. 3 9(u)= I Tu sin u-asin 1 du 3i-ee
Setzen wir noch:
„()= ob.(Ir.* h. 0t=X 2 sin⸗
und bemerken, daß, wenn a genugend klein gewählt wird,
ctx 1
„ dusin sin⸗(e 4*) sin(1e⸗ 420) 10(1)„—h=— 34 m h„a † h
So bekommen wir: 2
sin 2
lim„(X)= 0
XxòòO
und daher:
Ä8
Sin⸗(2 9(t)—(— t) 4 e 1 sin(4) 4. aol⸗ ſer)“ rdeeln
s(an- 2)=e 2,“)(a 2 a)
also i 1= 0. 4—0
Is läßt sich schreiben:
sin*(2) 4 z(t) c8 21
(— 5 3 sins(2)
N A sin“¹ d 8 cos 4 dt
te= Is † l..
Za sin sint sin— 2 27 2

Wir wollen zunächst zeigen, daß lim 1,= 0. Schreiben
Wir: 4—20 4 jnt ſ0 3 1= S sin/ 1 1 2 ⁷ 5 3 α 2
so sehen wir, daß man die dbere Grenze* durch ein will— kürliches, aber einmal festgewähltes 6= 0 ersetzen kann. Für:
— Sin(2)(i) cos eE) dt 1 G 1. Benf ta
3 1 SIn sin- 2 2 bekommt man ohne weiteres:
2 sin(2 2)»G 1 cos( D4ls 4 sin“*(2)„0) aα„in(4) 5 sin? 6) ab sin(5) sin 69)
was infolge der wilecenchien Wahl von à beliebig klein gemacht werden kann. Es ist somit:
1s=
1 20 cos (27) lm h= lim ls= lim Is= lim 3 0 A 4»0 o ee e e in(*)
2 und dieser Grenzwert existiert nach der Vorbemerkung„fast überall“. Es bpleibt daher noch übrig, le zu untersuchen.
A — 105) t L= 2 2 at. 0 Nun läßt sich 4 j(a)= 2 tg 3 dt 0 offenbar in eine Paylorsche Reihe entwickeln. Es ist: 1(0) 1r 0, j(o)— 0, j“(o)— 1,
sodaß man schreiben kann:

2 10)= 7(1 4.
und somit:
(279) ſrn I.= Um 1(099)= 1. 1—0 1—0 2 sodaß wir schließlich erhalten, daß„fast überall“
9(do* 1 5(o= 250(9)
10) ä=
(28) lim= lim l,+ lim 1.= 1—0 6 62 0.=0 S(GG-t)=E(GO=t) 2tf(o) t 1 = lim cos dt+= f(0), m; sins(*) 2 15)
8 womit der Satz 10 bewiesen ist.
§ 5. Das Fejérsche Summationsverfahren.
Wir wollen zunächst eine Hilfsbetrachtung über Funk- tionen beschränkter Schwankung anstellen, die eine Verall- gemeinerung eines Satzes von Lebesgue liefern wird. Ist f(GO) eine Funktion beschränkter Schwankung, so soll mit
3 b VfG) oder dI(x)
die Totalschwankung von f(⁹) im Intervall(a, b) bezeichnet werden. Nach der Definition der Totalschwankung ist für zwei Funktionen f(x), g(x):
b b b VG) gGlS VIG) vLG).
Nimmt man die obere Grenze veränderlich und bezeichnet sie mit ϑ, so gllt für 9 F)— diG 1=V.
„fast überall“(siehe de e14 Wallés-Bomssin, Intégrales de Lebesgue, Fonctions d'Ensemble, Classes de Baire, S. 95). F()= 1(9)
do 1d

Betrachtet man daher
(29) Fr()= VCf(X)— Cx), so ist„fast überall“ (30) FEr-()= f”()— c..
Man kann nun analog wie bei Lebesgue ¹) zeigen, daß die letztere Relation für eln beliebiges c gilt. Denn zunächst gilt sie mit Ausnahme einer Nullmenge für alle rationalen c, und die Ungleichungen
h †h 9„ h V(f(X)— ca X)— V(cn— p) X T VIf(X)—„ X] 9„ 9„ 9„
†h 9fh
=VCf(X)— cn X)+ V(CCn— p) X. h 0 9 9
(und die entsprechenden für h 0) zeigen, daß, wenn für einen Punkt ϑ die Gleichung(30) für alle rationalen c gilt, sie auch giltig bleibt für jedes irtationale y. Wir bekommen also schließlich den Hilfssatz 1: Schießt man eine Nullmenge aus, so hat 9 9 F)— 1 d(f(x)— cx)= V(fX)— cx) . a 8 f'(9)— c] zur Ableitung, was auch c für einen Wert haben maxg.
Wenden wir das auf f( ‧+ a)— f(— a)— 2af() und f(6+ ¹). f9— a) an, so bekommen wir, wenn wir bedenken, dabß allgemein
VIfG— a)— f(G— a)— 2af()] IVIfG+ a)— af()]
+ VIfGG— a)+ †(6)) Vli GO+ a) fGO—)] EVIfG+ a)— af'( VIfGO ¹) at(9)) ist, den Hilfssatz 1 Es gilt für fast alle dϑ: t
lim[ddεε— ‿1- 2tt G)= 0. t—o 45
¹) Lebesgue kl., Leçons sur les sérles trigonométriques, S, 13; vgl. de la Vallée-Poussin loc. cit. Bd. II 2. Aufl. 1012, S. 115 Remarque.

t
Lim t lAdεεαινι½εεεμ-»- Ky= o. 0
Wir kehren jetzt zu den Reinen(1) und(2) zurück. Es soll auch hier vorausgesetzt werden, daß(1) durch Differen- tiation der Fourierreihe einer Funktion beschränkter Schwan- kung f(9) entstanden ist, und es sei f(e+‿ 22)= 1(9).
80= 0 84 G)= O(ar cos T+, br sin 19) 111
r=1
n 00= 0 55 S)= O.(— br cost+ ar sinr 9)
1=1
S0- n 9n(Sy= 32ee en n+ 1 3 1 n+ 1 Wir beweisen den folgenden Satz: Satz 11: Die Reihen(1) und(2) sind„fast überall“ durch das Fejérsche Verfahren(mit den arithmetischen Mitteln erster Ordnung) summierbar d. h. es existieren„fast überall“
lim 86() und lim°).
n—e n—
Es ist zunächst:
80)G)=
N. n†1 2 1 d sin(—) t) Sn(9)= 2(+. 1) 1 866. t f(t)dt—
sin 2
2
sin! e A d J e be-Ha-
sin
Wwimt f AS Jεετο f— t))=
sin 2 2
eeei 2 r
wo„(t)=.19-4-h— 19— 2tf(9).
d(t)f)= M f5).

in “
h.
Um lim M= O zu beweisen, zerlegen wir:
n— 1 1 n.1 6 813 1 1 ———+——— M 2(+. 1) 1ee 1) 4/ 2a(n+ 1) d 0 1 6 n41
= Mi+ M2+ Ma.
Nun ist bei bei festem ò offenbar M.— 0. t
Andererseits ist, wenn wir o¹(t) 1 dg(t) setzen:
1 1 6 1 1 MiI1 2„ 41) ſ d= 22!)e(1)— o.) 0 Bei Ma ist zunächst:
1 Mel=— 2 2 v(n+ 1 1 sin:( 5)—
und partiell integriert:
n1 Das integrierte Glied strebt offenbar gegen Null. Was das Integral betrifft, So ist es kleiner als:
6 t 00() 4 C0s 2 ⁰() 4 2 22(n+ 1) sin“(7 1 22(+ 1 sinzanpi n4†1 WO(X)= ob. Gr 20h und lim G(X)= 0, ¹) 0LtExX sSIin 2 Xo
¹) Vgl. Hilfssatz 1, S. 29.

was mit à beliebig klein Reil aent wEd6n kann. Es bleibt noch übrig, dasselbe für 00 ¹)(9) zu zeigen. Hier ist:
1 eos2” 4 (1) 1 2 1 sin(n. 1)(t— 9„) 7 2 8in S1
7 t 1 † d 90S 2 1 sin( 1)t —— fCOPt) f— t)— 2fG0)Idt (An. 4(+ 1) sin:(*) 6- t) 9).
C08 2 1 sin(n+ 1)t dw(t), 4(E 4(n+ 1) sins() wo„(t)= 160+t)+ f— t)— 2109). Wir zerlegen:
n*1 t 1u. ctg; sin(n. 1)t 1( 2*-n h an.() ere 0 6 1 t 1 sin(n 1)t 55 et& 2 dv)+ 1(- 1) n(2) dyt) n n
Lnn.)t zd eſe m(*) dw(t)= N N.+. No* Na.
Nun ist wegen:
1 t 1 sin(n!)t Eis—= 2e; a-. i) sin: Ct)
1 6*()
= oG)= S1GwcC)J.9)
rf T NaI2 22 ſ doch!= 0
¹) Vgl. Hilfssatz 1˙, S. 29.

eibt
—2to)ldt
Na integrieren wir partiell und bekommen:
1G) fC; i) 2103)
Ne=— Ccos . 1 N 1„(t) — dt, 1. Sis() n†1
und somit, da„fast überall“
10 m)*1( ri) 2f09) lim 1—= 0, 32 2 S8in 265- h
lim Ne= lim—— 9 2169) 2109) dt, n— n— 42 sin“*( 2) — wobei das letzte Integral„fast überall“ existiert. Für Na bekommen wir:
— 1d(t) e, e) n1 Dieses Integral ist ganz analog gebaut wie Ma und wird in derselben Weise abgeschätzt. Schließlich strebt N offenbar gegen Null. Hiermit ist der Beweis für die Existenz von
lim 20() beendet. n œ Im Anschluß daran läßt sich ein Satz aussprechen, der für Fourierreihen von Hardy¹) bewiesen wurde. Sein Wortlaut ist: Satz 12: Haben die Reihen(1) und(2) die bisherige Be- deutung, so konvergieren die Reihen:
Na
log(n+ 1) 1og(n † 1)
n=
4 ²ecoens t besinne und H— ba Cos n˙+‿ au sin n 9
„jast überall“.
¹) vgl. Fußnote ¹) S. 5(Einleitung).

In der Tat beweist Hardy in der genannten Arbeit den folgenden Satz: Ist von einer Reihe aa?+ az+ aa be- kannt, daß sie mit den arithmetischen Mitteln 1. Ordnung
n summierbar ist, und daß ihre Partialsummen Sa= Dar die
X= 2 Bedingung: lim Sr—0 — ⸗ log n erfüllen, So konvergiert 5 Se —, log n
Für die Reihen(1) und(2) ist die erste Bedingung nach Satz 11„fast überall“ erfüllt. Wir müssen daher noch zeigen, daß„fast überall“
a) lim— n— log
= O and b) ſim 2909)
—0 nn ſ6— I'
Beweis von a). Es ist:
Su()= 1 ſerhe Ge.)1W0
2sin L
3— G 2
nle
4(er⸗ 2)0*— t)
2 sin 2 5
= ipee 9. ℳ— h)a¹ 0
E sin(n+*) =IſübAE 2= G0). 1 G)
6 2 sin 4
wo „(t)= 16t)— f(—t)— 2tf(³) gesetzt wurde. Es ist somit:

ch ch
. Sn)— t doith-4.(ſe zh do(t) — 72—— logn /logn- 2 sin* alogn: 2sin* n .= e an)u=u.kA.t⸗ p Foe 25in 3 4ℳ n=+‿h*l*l. Nun ist offenbar: lim 1a— 0, lim l.= 0 n— e n— Setzen wir noch, wie früher: t 0(t)= ſſdo(t), 0 so bekommen wir für l“: 1 2n+ 1 3 2n+ 1 1 llis zriosn ldochi= 2nua logn ne(n) 0
und somit, da nach Hilfssatz 1"no( ¹)— 0 ist, auch 1.— 0.
Für l erhalten wir:
5 h1 eder ſ4201=b Ln 2sin?
n
und durch partielle Integration: 0() 1 4b=-——— ⸗— dt= l;+ l. a log n'· 28in 4 2alogn: 2 sin()
Nun ist ls— 0, und
Leben 13 A0 at. tes 2sing sin Setzt man: (x)= ob. Gr h. 0EtExX sSin-
S0 ist:

36—
0(6) bat- 4 logn t S 1
= 1009) 6= 1)
n sodaß I. mit à beliebig klein gemacht werden kann, womit a) bewiesen ist. Beweis von b). Hier ist:
t— ⁸σ 1 23 cos——— cos m=)(= 9) 5)=— 1 72 2 3 hos
„ 28nL22 1 ſ cos t cos(n=n)t 6 2 sin ½ wo„(t)= f60+t)+ 16— t). Nun ist: (9) 3 3 98o 1=— logn en en 3 L*L † L 0 Da aber cos*— cos n+: V R= sint+sin 2t+...PsinntſIn, V 2 sin so folgt:—
1 LiI2 ogn n dac, 0
und daher L.— 0. Für La bekommt man: 6 11 1 1d] 1125 nlogn 3 sin
n
ein Ausdruck, der analog wie ls behandelt werden kann, während La bei festen offenbar der Null zustrebt.
—

t

0 cm
Colour& Grey Control Chart
Blue Cyan Green vellow- Hed Magenta
White Grey 1 Grey 2 Grey 3 Grey 4 Black 11