I. dem näheren Städium ver analytischen Functionen muß eine Prüfung der elementaren Rechnungsoperationen und das mit der Zeit erweiterten Zahlenbegriffes vorangehent Nachdem zuerst den Begriff der ganzen Zahl erkannt hatte, fährt 2. noch zur Ergänzung die genauer Theile der Einheit ein, wodurch dam jede Zahl durch eine endliche oder unendliche Menge von Gliedern dergestellt wird. Alsdann stellt man die Bedeutung der Worte größer»,« kleiner»,« gleich» fest. Eine Zahl wird endlich genannt, sie in einer aus einer endlichen Anzahl von Gliedern bestehenden enthalten ist. – Addition. Summe aus unendlich vielen Zahlen. –Gleiche Zahlen können 4 Leinender bei der Addition vertreten. – Die Forderung allgemeiner Möglichkeit der Subtraction wird er - erene 3. der Subtraction wird erfüllt, wenn eine zweite Einheit mit ihrengenaren Theilen eingeführt wird, deren Sennne mit der ersten, zu irgend einer Zahl addirt, nichts ändert( entgegengesetzte. Elemente). – Rechnung mit positiven und ergativen Zahlen. a Bildet man aus, zwei Zahlen& undeb eine neue Ab so, daß abeba und( a+ b) c= ac+ be wird, so nennt. man diese Operation Multipliciren. 5. 2 zur Erweiterung der Operation für 3 Zahlen a, b, c ist noch die Bedingung so erforderlich, daß( 26) c=( ac) b ist. Damit ist dann das Gesetz für eine beliebige Anzahl gegeben. Der weiteren Betrachtung legen wir Zahlen zu Gründe, die mit zwei. von einander unabhängigen Elementen& undle( sowie deren Theilen) und den diesen entgegengesetzten gebildet sind, and stellen noch die Forderung, daß die umgekehrte Rechnung der Multiplication, die Division, stets ausführbar sein und ein bestimmtes. Resultat liefern soll. Die unzige Ausnahme macht die Null, mit der iman nicht dividiren kann. Daher kann ein Product nur Nult sein, ein Fartor es ist. Gleiche Zahlen können einander auch bei der Mültiplication vertreten. – Zwei beliebige Zahlen. können als Elemente zur Darstellung einer jeden Zahl das Systemes benutzt werden, wenn nicht aß, – ßα ist. – Es giebt in dem Systeme eine einzige bestimmte Zahl& derart, daß aε man = = = = A für jede Zahl& ist. – Ist w = Kpositiv. 72 9. الله F irgend eine andere Zahl des Systemes, so ist 22–8, 28,=&, and 2, 2 – gethe. Setzt. daher w – 242 – de, so ist&&( whh+9) 8= ± kl, wr sein soll. Num läßt sich eine Zahl& so bestimmen, daß LKK- 1 ist, und setzten nen dann ken – d, so hat ii- 1d. Wir wollen jetzt. zeigen, daß die Mältiplicationsregel so beschaffen sein muß, daß gre ii ––& wird. Soest nämlich hätten wir& l= 2,81 – i, ii- ɛ, somit 8( εxi) = man: Eti, ilɛti)= Eti, oder été simual-2, das andre Mal- i, so daß mir schließen müßten: Eti –0, was unmöglich ist, weil in 18-*( kütek) ist. Oder: Es sei Kentweder soder 1, uns i i- Ke, ferner& i= 12+% 4. Dann ist ( xy+ Kxy) ε+( xy,+44) i= ε, folglich xy+ k& g= 1, xy, 14,&= 0. Wäre num& positive E 3 it ke- 1 wing so könnte man die Größe a – Kaß auf unendlich viele Artenze Null machen, dis unendlich viele Zahlen angeben, mit denen sich nicht dividiren läßt. Daher anzunehmen. – Der Elemente kund i wollen wir uns nur zur Darstellung aller zahlen. aller Zahlen bedienen und mit Weglassung der Einheit& Die Form arßi allgemein festhetzen. – Bei mehr als liken wäre die Division nicht allgemein durchführbar r Ais حمد 20 P s 2 zwei Grändelemenerenn. Geanetrische Anwendung. – Zwei Strecken nennen wir gleich, sie gleich lang und parallel seid und auch in der Richtung überimstimmen. Nimmt man von einem Pänkte aus zwei beliebig gerichtete Straßen&, ß und deren entgegengesetzten, so kann man d von. jede ihm ausgehende Strecke in derselben Ebene ersetzen durch zwei zu andoparallele und als deren Summe bezeichnen. Der Einfachheit wegen nehmen wir& undß senkrecht zu einander und gleich lange Denn ist es leicht, alles über Summe und Product Gesagte auf die Geometrie zu übertragen. au. g der Erste, der die Sache rein arithmetisch erfaßte, war Fauss( s. Die 10 2. Abholg. über bigendratische Reste und die Selbstanzeige). Im Folgenu werden wir den aus der Anschauung sich ergebenden Begriffen und Sätzen der Geometrie, um ihren Gebrauch in der Analiches zu rechtfertigen, analytische substituirent Unter einem Punkte worden wir jede complexe Zahl ärßi, unter einer Linie eine stetige Folge von Punkten verstehen. Eine solche läßt sich durch die Form& ltrip( t) repräsentiren, wo t eine reelle Veränderliche,&( 1) und&( 4) reelle. Frictionen bedeuten. – Früherer, späterer Punkt. –– Geschlossene Linien 11 Die durch a+( b- a) t definirte Linie( wo a, bindet. man. zwei Hälftens b : nr irgend 2 Penkte sindt ba = liegt auf der positiven von sabse – Die Die gerade Linie Ca น heißt gerade Linies Ist& ein beliebiger Prakt und da – word, so liegt & auf der Gereden( ab), wenn d – 0 ist; wir sagen oder negativen Seite von( ab), je nachdem& positiv oder angetis ist Liegen. 2 Pänkte auf verschiedenen denen Seiten. von( ab), so enthält die sie verbindende Strecke einen Pänkt, der der( ab) angehört( Schnittgenkt). – Zwei gerede Linien haben nur 1 Pänkt, Pänkt gemeinschaftlich. – Parallele Geraden: – Vereinen Pankt der Geraden( ab) mit einem Punkte außer ihr, so liegt die verbindende Strecke ganz auf einer Seite zwei auf derselben Seite der Geraden( ab) liegende Punkte verbindende Strecke liegt ganz auf einer Seite. – Daher sagen wir: Die theilt die Ebene in Es seien. a, b, c drei Punkte, nicht in gerader Linie; wirziehen von Baus durch aund durch& unbegrenzte gerade Strecken und erhalten so eine gebrochene Loine. Wir sagen: ein Punkt liegt auf der inneren Seite der( ab), wenn er auf derselben Seite liegt, wie be); ebenso in Bezug auf( bc). Punkte, die auf der inneren Seite weider liegen, nennen wir auf der inneren Seite der gebrochenen gelegen Es wird erkannt: daß die gerade Verbindungsstrecke zweier inneren wi Pänkte der gebrochenen Linie ganz auf der Innenseite liegt; daß die eines inneren und eines äußeren entweder( 64) der( 1) schmeiden zu daß die zweier äußeren entweder keinen inneren Punkt enthält. oder durch. die Schnittpunkte mit( be) und( bc) in drei Theile getheilt würde – Also auch die gebrochene Linie theilt die Ebene in zwei Hälften nä Ver Mi Liem garad Verz Von. einem. urgativen. nennen Seite. a Pünkte& ausgehende 12. Von. ihr. war. Da Dasselbe. Find Es sei eine geschlossene Carve und eine vom gunendliche Strecke durch Pänkt b gezogen; wir durchlaufen die Curve ihrer Prakte& aus in der Richtung des wachsenden t. Denn werden wir( wenn überhaupt gemeinschaftliche Spänkte da sind) ein erstes dende Met die geradlinige Strecke erreichen und sie gleich, oder nachdem Carve und Gerade ein Stück zusammengelaufen sind, verlassen, und Dies kann sich wiederholen. Wir sagen: Die lärretrifft die Gerede auf * ifr der positiven oder auf der angetiven Seite, je nachdem sie, wworsiesie die erreicht, auf der positiven oder de gilt für das Verlassen in entsprechender Weise. Findet Treffen und Verlassen auf derselben Seite statt, so wir es eine Berührung, hst eine durchschneiden. – Setzen wir für jede Brährung die Johl 0, für jeden Durchschnitt. von der negativen zur positiven Seite 41, für jeden entgegengesetzten –1, so ist die Sämme aller dieses Zahlen uniek, hängch. von der Richtung der( Ab) und heißt die Garakteristik der Curve in Beziehung auf den Punkt&.( Der Beweis geschieht, indem man von& aus eine zweite unendliche Strecke( ac) zieht und in Verbindung mit der ersten als gebrochene Linne betrachtet. Man sieht nämlich, daß ebenso oft ein durchschneiden mit der Färge von der immeSeite zur äußeren stattfindet, wie umgekehrt.). – kann man. zwei Pünkte durch irgend eine Linie verbindete, welche die Curre hul nicht schneidet, so haben sie dieselbe Garakteristike der Beweibstützt sich auf den später zu erörternden Satz, daß Linie eine gebrochene substituiren kann, welche ebenfalls nicht schneidet.) von ); daß Ven. man äner krämmen. 4 13 Eine einfache geschlossene Linie soll eine solche sein, die durch jeden Punkt nur einmal geht. air mu Ein Fall ist zu erwähnen, für welchen die vorstehenden Sätze nicht gelten. Es sei zu B. die Linie sie di&( t) vorgelegt; srist&( t) stetig und endlich, wird aber in der Nähe. von to unendlich oft das Zeichen wechseln, nämlich so often eine ganze Zahl ist. Die Gerace it wird daher von dieser Curve auf einer endlichen Strecken unendlich oft ser getroffen. Solche von der gegenwärtigen. Betrachtung ausschließen. – Setzt man dad aßi, so wollen wirß als den Abstand des Stücktes& von der Geraden(& b) bezeichnen. Wir sch setzen nun für die zu betrachtenden Curven voraus, daß, Fälle müssen. wir nun x- a ba von irgend einem ihrer Punkte zu einem anderen übergeht, die Fractionß nicht unendlich oft ihr Zeichen ändert, ferner soll ß von jedem Punkte aus auf einer endlichen Strecke entweder wachsen wer ebnehmen. r gegebenen. von zon. m 1. in Man nemet 2+ ßt die Norm, Värßt den absoluten Betrag den absoluten Betrag von B – a den Abstand der Stänkte& und b. Die stetige Folge der Pänkte( 5), welche von einem a denselben ke Abstand haben( –7), bilden einen Kreis. Ist& der absolute Betrag bea, so ist für jeden Punkt des Kreises der absolute betrag von (& tß2) gleich 1. In diesem Falle kann aber stets die auf die Form tie gebracht werden, wo it reell ist. Auf diese Weise wird der Kreis durch den Ausdruck e+( b – a) i dargestellt. Der Kreis wird im posités de – bis+ varüren läßt. Die Punkte, -a b- a wen Siene durchlaufen, wenn man. tri t ein nu w deren Abstand von a kleiner alss ist, heißen innere Punkte, die anderen äußere. Die inneren, wie die äußeren bilden für sich ein Continuum. der Kreis theilt die Ebene so in zwei Theile. Ist die Anzahl der durchschnitte einer einfachen geschlossenen lärve 14 einem Prukte. aus in's Unendliche gehenden geraden. mit einer von, Strecke ungerade, so ist sie es für jede von a ausgehende Gerade, und a heißt dann ein innerer Pänkt; im anderen Fälle heißt& ein ein äußerer Punkt. Es sei num a ein Pänkt der Curve; so können wir um ihn als Mittelpunkt einen Kreis beschreiben, der die lärve nur zweimal( in bund b) schweidet. Den Halbmesser kann so klein wählen, daß es einen Durchmesser giebt, der die Cärve nur in a schneidet. Dann ist es klar, daß von den Endpunkten dieses durchmessers der eine ein innerer, der andern ein äußerer Prakt der lärve ist. Der Kreis wird daher durch die Prakte band b in zwei Theile getheilt, von denen der eine mur innere, der andere mur äußere Punkte enthält. – Es sei num m ein inmerer, m'ein äußerer Pänkt; so muß die Strecke( min) die bärven schreiden, und geschiehe das erste Mal in a. Nun beschreiben wir um einen Kreis unter den ebenerwähnten Bedingungen, dessen Radius kleiner ist, als der Abstand der Pünkte arnd m. Dann schneidet. einem Punkte e, der ein innerer Punkt ist, folglich liegt die ganze KreisFrom strecke bieb innerhalben und man sieht, daß sich i mit den Pünkten b is undeb und den auf der Aurche von b'bis b liegenden verbinden läßt, ohne While daß die Curve getroffen wird. Von Baus können wir den Beireis für Ai das am den Kreis in weitere Pankte geben. Es kann aber ein Punkts kommen, der so beschaffen 5 wen ist, daß er sich von keinem anderen lärvenpunkte aus durch einen kreis der bezeichneten Art erreichen läßt. Die auf einen solchen folgenden machen aber dann keine Ausnahmes. Es ist daher nur mus eine endliche zu Anzahl Pänkten denkber, die sich mit in nicht verbinder lassen ohne daß die Carve geschnitten wird. – Mit Hülfe des Gesagten von. - zeigt man, daß zwei beliebige innere Punkte Linie. mande sich durch eine verbinden lassen, welche die Bärve nicht schneidets Dasselbe erhellt auch für zwei äußere. Alle äußeren Punkte haben die Garakteristik 0, wie inneren entweder alle+1 oder alle- 1. a , de um& einen der Von einem Punkte von dem sich auf die obige Weise nicht zeigen. läßt, daß man ihr mit i verbinden kann, ohne die Curve zu schneiden, kann man es folgendermaßen nachweisen. Wir beschreiben. Kreis, der die Curve nur in 2 Pünkten da,& schneidet, und so, daß jeder kleinern Kreis nicht öfter schneidet, and construiren den Punkt. J= d,& de –a. Dann schweidet die Gerede( AG) denkreis in 2 Punkten bet , d, welche( wie leicht zu zeigen ist) auf verschiedenen der beiden durch&., da entstandenen Kreisstrecken liegen. Wir können alhe annehmen, daß& ein innerer Punkt ist. Punkt ist. Verkleinert man dem Radius des Kreises stetig, so nähert sich& dem festen Pünkte a stetig, ohne die Curve zu überschreiten. Damit ist das Mittel gegeben, em von einem beliebigen inneren Punkte nach a zu gelangen, zu ohne die Curve ✓ zu überschreiten. man nun Men kann, ohne die Charakteristik der bärve in Bezug auf einen Bet reis Punkt. m zu undern, irgend einen Curvenbogen durch die Sehne ersetzen, eine gerade Strecke bis ins Unendliche zu wenn es möglich ist, durch Wiche ziehen, welche weder Bogen noch Schre durchschneidet. мо ell 6 Jan, II. Von den rationalen Functionens Nationale Function. – Ganze Fraction. – der absolute betrag einem der absoluten Beträge Sal a von von woß liegt zwischen der Summe um der differung. 16. 32 Inda genze Function ist endlich für endliche Werthe der Veränderlichen. Kann eine veränderliche Größe beliebig kleine Werthe( dem obsoluten. Betrage nach annehmen, die von Null verschieden sind, so sagen wir: sie ist unendlich kleiner Werthe fähig. – Unendlich& roß. – Wir sagen: im Falle daß a endlich kann der Zahl& rnendlich nahe kommen, wenn 4, x- a 1-0 rnendlich klein, und im Falle daß arnendlich groß ist,& e groß werden kann. vnendlich Mit einer Veränderlichen& sei eine andere& so verbunden, daß zu jedem Werthe von& einerser mehr Werthe vong gehören. Kann man dann, wie klein auch& sein, Sso bestimmen, daß für jedes&, welches den Betrag Mina E kleiner als 5 macht, der Betrag Now geb kleiner als& wird, so fagen wir: wenn& der Zahl a vrnendlich noche koment, so koment der Zahl b unendlich nahe. Diese letztere Ausdrucksweise hat. auch in dem Falle Bedeutung, unendlich groß ist. Function von a wird unendlich groß, wenn Eine gange. lich groß wird. Für alle Werthe mahn kommen, kommen die der wenn arderkin зат wenn denend!! Menendlich. mas 1821 von&, die einem Werthe ganzen Fraction dem ansprechenden Werthe b« nendlich nahe. Ist daher& stetig veränderlich, so ist Function von d es auch. jede ganze 17 Inde rationale Function Mr b von x 1 mit. M , und mit dem am gryb hat für jeden bystimmten Werth einen bestimenten Werthund ist dirhang contineirlich.( Zum taweise der Continuität sei g- b für& –0. Je nachdem dann& endlich ist order rnendlich groß ist, bezeichnen wir d – a oder selben Unterschiedenen get oder g mit&, so daß v eine rationale Finition von nigt, die mit 11 verschwindet. Es bleibt dann noch zu zeigen, daß für en rnendlich kleine Werthe auch Senendlich klein ist.) Es sei à eine reelle veränderliche Größe im weitesßen Sinne des Wortes. Ist sie stats positiv und kann sie nicht beliebig groß werden, so giebt es eine positive Zahl b von der Art, daß alle Werthe kleiner als b sind. Ost daher& – 1, so ist 0½ 10–1. Theilt man die Strecke. gleiche Intervalle, so sei das Intervell von unbism folg n = Von U σ von& Mar Mon/ 4 auth von 0 bis 1 in das letzte, in welchem Werthe von& vorkommen. wir M. An. Dann ist offenbar-- = a n Z A+, wo 2-0 oder – 1 ist. Auf diese Felle setzen scha sit diesem. Weise. = E 2n H え wird folgende Reise bestimmt:&- ½, A.&+ ½, Ag- A,+,...., ſich wade, de, Es,... entweder Ordert sind. Die Reise&+ 1+ 1 d. hat nun eine" ge mt man die obere. Grenze. man a Summe&, und man kann zeigen, daß kein Werth von& größerals& ist, und daß es, wie nahn vor a auch eine Zehla annehmen mag-, zwischen à undα wenigstens einen Werth rondt giebt. Diese Zahl& nennt von 1. Kann auch negative Werthe annehmen, dich so ist dasselbe Verfahren auf die absoluten Beträge derselben anwendbar, sie nicht beliebig groß werden können. Dadurch findet man auch für& eine obere und eine untere Grenze. Kann& unendlich praße positive Werthe annehmen, so nenntman&& die obere Greige! Ebenso kann die untern Grenze. My 2 D ९ Sum 2 my Live deb ße. +1 wann - D sein. Sind d., die zwei beliebige( woelle) Werthe der Veränderlichen& und kanne dieselbe alle zwischenliegenden annehmen, so sagen wir: Die zon Werthe Es sai wilden eine statige Folgen Wein. eine reelle veränderliche Größe, die stets zwischen& ridtlingt, und teine zweite mit ihr so verbundene, daß zu jedem Warthe gehört. Es werde nun vorausgesetzt, daß der absolute Betrag man die Strecke von 0 bis 1 in Ngleiche Werth. Von zwa für die darin von't die untere Grenzes hat. Theilt. Intervalle, so giebt es ein erstes derart, daß die Werthe enthaltenen Werthe von 11 die untern Grenze& haben. Ist dies das( mi) te, « A. Folglich giebt es un ses unter den aufe so setzen wir- n a. Dann. is a = 19 folgenden ganzen Zahlen eine erste st darart, daß Q – An; dieselbe Eigen, schaft habe& in Bezug auf so, u. s. s. Es sei&-&- α, Ag- Ap= α,... z so hat die Rüche&&&&& zt... eine Samme&, und wir setzen&+ 2= A. Mom sieht mun leicht, daß es, wie klein auch Ssei, zwischen a Fund Ard Werthe giebt, end daß die untern Grenze der zugehörigen Werthe vonk Null ist. von 7 Daraus folgt der Satz: Sind 1 und 4 zwei reelle v zwei reelle veränderliche Größen, die so mit einander verbonden sind, daß zu jedem Werthe von 4 ein. par von 2 giebt, und alle Jung Werthe von t gehört, und kann& einer Zahl to beliebig nahe kommenz a so läßt sich wenigstens eine Zahl 4. so bestimmung daß es für beliebig 01, kleine Werthe von S stets zwischen 15-8 and word Werthe daß für diese Werthe die vont der Zahl to beliebig nahr komment Sind. jetzt 1, 0 zwei reelle veränderliche Größen, welche zwischen. und Niegen, und teine mit diesen so verbandene, daß zu jedem. Werthegoare a, 0 ein Warth von to gehört, und daß der absolute betrag zu vont die intern Granze& hat, so theile bis 1 in 1 gliche Theile, and combinire den ersten mit ihm selbst und allen folgenden, sodann den zweiten u.ser. Dann wird es eine erste We Combination von zwei Intervallen von der Art geben, daß, M man wieder die Strecke, wenn man Satz: зит = 0 gr aus dem ersten,& aus dem zweiten nimmt, die entsprechenden. Worthe. vont die unter Grenze& haben. Wandet nean jetzt dasselbe Verfahren wie oben an, so gelangt. man zu zwei Zahlen äundb in von analogen Eigenschaften, wie oben a hat. Daher der Sind u, v, t reelle veränderliche Größen, so mit einander verbunden, daß zu jedem Werthepaare 1,0 ein Werth und kannt einer Zahl to beliebig nahe kommen, so läßt sich weing, t stens ein Paar Zahlen 1, d. finden. von der Art, daß für beliebig Pleine Werthe non von tgehört, Sindi esstats zwischen 4–8, 4.48 red v. de Wer, the peare. wall und& giebt, und daß für diese die Werthe voet der. Zahl to beliebig nahe kommen. min 7 1 p M ' ößten Wenn zu jedem der eine stetige Folge wildenden Werthe einer reellen 20 inveränderlichen Größe 1 ein Werveller Werth Non t gehört and t sich mit 1 stetig ändert, so wilden die Werthe von t eine stetige Folge. – Denn sind von a und to, te die entsprechenden big 11, Un Werthe Von U , so erhält man und alle Werthe zwischen& undan, indem man U- 11( 1–0) 8 15 setzt und rn Obilt verändert. Ist nur tz eine Zahl zwischen to und to, so ist t- tz argativ für 1-0 und positiv für 1-1. Nach der Voraussetzung giebt es aber einen Werth Szwischen& undt derart, daß für alle Werthe von 1 zwiffen Fraga und d die Größe t- tz mit t – tz so nahe übereinstimmt, wie man will. Man kann also Iso bestimmen, daß t- tz für die Werthe и ра 4 zwischen Ornd und 5( letzteres eingeschlossen) argativ ist. Die obere Grange aller möglichen Werthe vond sei do; sie ist weder Snocht. Für diesen Werth to ist nun t- to–0. Damit ist der Satz bewiesens How Wenn zu jedem Werthe einer complagen Veränderlichen& Urvi, deren geometrischer Ort ein einfach begrenzter Theil der Ebene( die Begrenzung mit eingeschlossen) ist, ein Werth der complagen Veränderlichen& gehört, welche sich mit& statig ändert, and man weiß, daß ich einem bestimmten. der Werthe b beldebig nahe kommen kann, so giebtes mindstens einen Werth für welchen& den Werth b. erreicht. – Denn ist y – b= p+ q i, so krim t= Võrgu so klein gemacht werden, wie man will. Es muß daher zweistimmte Warthe 40, 3. von der Art geben, daß es in jeder Umgebung von 110 und V. Werthegaare von Uundo giebt und für diese die Werthe die untere Grange Shaken. der Punkt do – Uprvi liegt entweder im Inneren oder auf dem Umfang der ebenen Fläche. In ihm num hat ing, von. = be 8 21 den Werth O. Denn sonst könnte man em do einen so winen Kreis be beschreiben, daß die Werthe vont, welche den darin vorkommenden Werthen von d entsprechen, eine von O verschiedene entere Grenze habens. Von den reinen Gleichungen. y= そ Wir untersuchen zuerst die Femtion g-&»( wo Meine positive ganze Zahl ist) für die Warthe auf dem om den Nullpunkt mit dem vond. t- i tri rayràs m ци Radies 1 beschriebenen Kreise, welche durch den Ausdruck sentirt werden, so daß& einen ebenso großen Kreis beschreibt. Geht& durch einen Werth& im positiven Sinne, so geht& durch den de entsprechenden b in demselben Sinner – Setzt man nämlich z also Z= ( 1+ tian ( H+ 72)" = daß ße das Zeichen durchläuft nun 1+ Ti / ناج/ Andßei, so zeigt die Entwickelung der Potenz, τ hat, wenn. τ hinreichend klein ist. den Kreis von 41 aus im positiven Sinne, so muß & wenigstens einmal durch – 1 gehen. Dies geschehe das erste Mal für& – d&. Wenn ist für die Werthe und, use, d = n फ & ,,& ,,...,& der vong naß. in M Werthe von&, für welche V- 1, und im -2 liegta, zwischen 5. nun, daß dies von einem -1,+1,1,.., tt, und es giebt daher. ebenso viele, für welche H –– 1 wird. – denn für 1 und – 1 auf der positiven Seite. Weißgewissen Werthe m von n gilt, so gilt es auch für den nächsten, und zwar liegt der dem letzteren zugehörige Werth von d, vor dem zum gilt mithin für jeden Werth von n. Die ete Potenz ist also die niedrigste, zu welcher erhoben de, den Werth – 1 ergiebts Daraus folgt, daß unter den Zahlen&.,& ,,& ,,...,& t keine zwei grich sind Dies. dem zu gehörigen. die eten Würzeln aus der Einheit wollen wir mit in, wü, ku,..., du so z w An 9 A Werthen. bezeichnen, daß de zwischen#tandet zwarst liegt: die Zahlen Ex, E.,... rürken ran+1, und ly liegtgegen in so, wiele gegen 41 u. s. w. i n immer näher. Fst α+ ßi= 11 meine Zahl mit dem absolkten Betraget, so giebt es einen. krägten Werth. ront, für welchen( 111) – wird, und die einen bestimmaten Werth = 4-1 Sti wird, und dieser giebt. Vatßi, der zwischendienden liegt. Bringt u man. men nun irgendeinen Worth vonch auf die Form r( 20ßi), so kann eine positive Zahl a so bestimmen, daß nr. 8 ist. Auf diese Weise finden. wir einen bestimmten Werth V. Es giebt deren aber überhaupt n, en die man. durch Multiplication mit den Einheitswurzeln erhält. Nur für g – 0 sind alle Werthe gleich, und zwar O. im Um die = man. лчи 0 die Gleichung&» – gegebenen Würzeln getrennt. durch. betrachten zu können, treffen wir die Bestimmung, daß& sich im Buß der ganzen Ebene bewegen darf, mit Ausschluß der von 0 durcht ins Unendliche gehenden geraden Strecker Beschreibt. mit dem Radius 1 einen Kreis, so seit der beim Durchlaufen das Kreises positiven. Sinne. von 11 an zuerst liegende Werth, für welchen. ––1 wird, und§. der zu H. conjugirte. Durch die unendlichen Strecken ( 05.) und( 051) wird ein Theil der Ebene( Sector) begrenzt, so daß zu jedem& ein und nur ein in diesem Theile liegendes& ex istirt. Dies ist der Theil, in welchem liegt. Damit ist ein bestimmter. Worth. Ich definirt. Für die Pänkte der ausgeschlossenen Streike würden zwei Werthe Herauskommen.( Ist die ausgeschlossene Strecke irgend eine andere von& aus gezogene und& ein beliebiger Punkt auf der entgegengesetzten Strecke, so setze am von welchem+1. ma. = a 2 – 2, so daß& keinen keine reellen vegativen Werthe annehmen kann. Dann giebtes einen way. dem Vorhergehenden bestimmten Werth bezeichnet werde. Fixirt man noch einen Werth. - 12, welcher mit 2- von Van, so erhält. von 7 gricht. 22 einen bestimmten Werth von u.) – Ist der absolute tatrag. and§. die ete Würget aus v, so ändert sich 5 statig mit V. 2st zunendlich an 1. Daraus folgt, daß, wenn eine. Dr. M M klein, so ist 1 unendlich nahe an 1 nowendlich nahe complage Größe ist, auch V der 1enendlich noche. kommt: Es sei. ein beliebige. Werth von& und Goth ein diesem i unendlich naher,& and work die entsprechenden Würthe o er. von&, so daß M H R 1½ ½=( 12) ist. Dann muß nach der letzten Bemerkung 14. unendlich 11 Yo nahe an. 1 liegen, folglich Kunendlich Kwie sein.( Für% –8 ist es beson ders zu beweisen.) Damit ist bewiesen, daß die Werthe mit y zy ändern. sich stetig. vom Punkte 41 aus eine beliebige Es beschreib, jetzt die Variable& vom Punkte nicht durch& gehende Linie bis zu einem Punkte br Schneidet diese die ausgeschlossene Strecke nicht, so gelangt&, mit einem bestimm, ten Werthe ausgehend, auf stetiger Linie zu einem bestimmten Endwerthe a, wobei es immer in demselben Sector bleibt( Wie durch Die Punkte 5., 5. der verste Sector bestimmt wird, so bestimmen die Punkte 85,§. der zweiten» u. s. w.) Schneidet dagegen $ bar= 1 Strecke. ausgeschlossene. eine statige Reise zon. sw.) Die. y= Linie die im positiven Sinne, so muß&, wenn Werthen haben will, in den folgenden Sector übergehen; beim argativen Durchschneiden in den vorgehenden. Sind go,& e, miche der Reise nach die Schrittpunkte der g- Linie mit der ausgeschlossenen Strecke, mn A S m dlich = und ist& – 11 oder –t, je nachdem der Uebergang bei Hr im zositiven oder negativen. Sione erfolgt, ist ferner zu der int.Pextor liegende Nerth der 2 ton Würzel vory, and Oh derjenige Werth von&, der eine stetige Linie beschreibt, während& jenen Weg zurücklegt, so ist auf der Ibis Her sich ausdehnenden Strecke – ty, Von werth. von d 1 E gleich& 4, tart... tar E = wenn auf der gersten Strecke Jch –& r ist. Ist Y der Endpunkt der g – Linie, so ist der End, 23 Y. Fällt Y in den Ausgangspunkt+1, so ist der Endwerthwon a gleich& m, wo in die Garakteristik der g- Bezug auf den Pünkt& ist. Auch Linie in wenn& ein Pänkt der ausgeschlossenen man einen bestimmten, als Grenzwerth aufzufassen, Intzt bestimmt sich auch allgemein der Endwerth&, wenn 2 von 30 bis 3, auf. von X. – wich Strecke ist, hat! den Endwrth. tig zu welchem& gelangt, w von Z Yo auf Xo einer stetigen Linie geht und für& ein gewisser Anfangswerth 50 gewählt ist. Geht dann& auf derselben Linne. z bis 2 und ist das der Anfangswerth! von de, so ist de der Endwerth: Offenbar kann die Linie immer so gewählt werden, daß von à ein gegebener ist. der Endwrth. Ueber das Null- und Unendlichgroß – Werden der Functionens Sind. a, 5, b; d vier Pänkte auf dem Umfange einer einfachtagranz. 24. ten ebenen Fläche in der Reihenfolge, wie sie kein positiven Durchlaufen. die der Linie aufeinanderfolgen, und zieht man von A nach 6 eine einfan Strecke alb, die ganz Inneren der ebenen Fläche bleibt, so begrenzen die geschlossenen Linien Acken, albda zwüFlächen, welche einander ausschließen und zusammen das är übers ürsprüngliche. Flächenzstück bilden.( Zum Beweise ziehe man von einem inneren Punkte 10 der gegebenen Figur aus eine unendliche gerade Strecke; diese traffe Die Linie act in 8, adbind, albiné Punkten u. s. w.) Die Charakteristik jeder dieser Linien in Bezug auf innere Ptänkte ist gleich prünglichen.. einen inneren Punkt po der gegebenen Figur der är. An eine Gerade. de Zieht. man durch. nach beiden Seiten mit Unendliche und sind a, b die nächsten Schnitt. De von st, so theilt die Strecke( ab) die Fläche in zweijünkte zu beiden Seiten Theile, und diese lingen an verschiedenen Seiten. von( ab), wenn Aundb. zum. 2ten Az, u. s. M M m die einzigen Schnittpinkte sinde Geht man auf der anendlichen Geraden vom Unendlichen aus bis zum 1. Schnittpunkt as, so theilen die Strecken( 1) Az),( AA),... Die gegebene Fläche in peine gewisse in Anzahl von Theilen, von denen jeder ganz auf einer Seite der Geraden liegt. Durchläuft man die Begrenzung eines solchen Theiles derart, daß die dem ursprünglichen Umfange angehörigen Theile der Begrenzung in dem ursprünglichen Sinne durchlaufen werden, so ist ihre Charakte, de ristik für einen inneren, Punkt dieselbe, wie die der gegebenen ab an Zieht man Parallelen zur Age der ersten Coordinaten, die von einander im I entfernt sind, so wird hiernach die gegebene Fläche in Theile Ba getheilt, jeder ganz zwischen zwei aufeinanderfolgen, e den Parallelen liegts Fügt man um ebensoviel von einander entfernte de Parallelen zur Age der zweiten Coordinaten hinzu, so entstehen schließlich lauter Theile, deren jeder ganz innerhalb eines Rechtecks liegt, dessen Seiten – 8 sind. Man kann daher die Fläche in solche Theile = w 11 Meta WS ai theilen, daß die Entferming zweier Pänkte in irgend einem wird, als jede gegebene Größe: db kleiner wird, als Zeile kann. Ist num gef( 7) eine für alle Pünkte das gegebenen einfach begreg ten Flächenstückes and seiner Begrenzung eindeutig bestimmte, endlic che and stetige Function, so entspricht der Begrenzung eine geschlossen Linie in g. Theilt man die gegebene Fläche, so entsprechen den Begren; zungen wieder geschlossene Linen. Die Charakteristik der der erspränglichen Begrenzung entsprechenden Linie in Bezug auf irgend einen Pänkt ist gleich der Summe der Charakteristiken der Linien, welche den Begrenzungen der Theile entsprechen. Es sei do ein Pünkt. weise in einen der Flächentheile,& der entsprechende Werth von g; so wicht man die Eintheilung nach dem Vorhergehenden so treffen, daß alle Pünkte , welche den Pünkten des Flächentheiles entsprechen, tsprechen, von zo um weniger netfernt sind, als eine gegebene Entfernung&. Setzen wir nun voraus, daß& für keinen der betrachteten Werther verschwindet, so giebt für die absoluten Beträge von 7 eine untere Grenzen, die von Overschieden ist. Wählt man also&< α, so kann die zu( 1H2) entgegengesetzte Dünendliche. daus keinen Punkt der Linie treffen, welche der begrenzung. des betrachteten Flächentheiles entspricht. Die Caratten enrietik dieser Linie in Bezug auf den Nällpunkt ist demnach –0, folglich auch die Charakteristik der Linie, welche dem ürschrünglichen Umfange entspricht. ank be Strecke von den positiven Sinn der Begrenzung der für& gegebenen Fläche wollen 25 wir so voraussetzen, daß ihre Garakteristik in Bezug auf jeden inneren Punkt – it ist. Befindet sich dann innerhalb der Fläche ein Punkt& – a, für = wenn man welchen yes ist, and kein zweiter( auch nicht auf der Begrenzung), srit die Charakteristik der der Begrenzung entsprechenden v – Linie in Bezug auf den Punkt& gleich der, welch derjenigen Linie, welche einem um den Punkt& beschriebenen und ganz innerhalb der Flächegelgenen Kreise entspricht, denselben im positiver Sinne Durchläuft. Bei mehreren Pänkten W, w), für welche& Fuß, von dene aber keiner auf der Begrenzung liegen darf, erhält man jene Gharakteristik als Summe der Charakteristiken derzienigen Linien, welche analogen Kreisen um a, b,... entsprechen. Jeder& einen dieser Pänkte in Inneren enthaltene Hälfssätze: 9 Wenn deine. Kreis. derf M vu ma ว geschlossene Linie durchläuft, so beschreibt Ca eine andere, deren Harakteristik in Bezug auf den Ställpunkt derder. ersten gleich ist. – 2) Wenn jedene Pänkte& einer festen geschlossenen. Linie ein bestimmter Punkt& einer derart veränderlichen wurve. entspricht, daß die entsprechenden Pünkte einander beliebig nahn gebracht werden können, so konn Curve so nahe bringen, den man Die. y= lurge der x= au au übereinstimmen, vr daß die Charakteristiken beider in Bezug auf jeden Pünkt übereriguin Werth von&, für welchen 9-0 wird, aber so, daß Ist A a ein Werth. nicht 0. ( m y eine. endliche Gränze hat( in soll positiv und ganz sein), so wollen wir die Charakte, ode imal Nutt wird. Zur Bestimmung der Charakterisagen, daß ich für d – a der&-Linie für stik keinen um den Pankt, as beschriebenen und keinen weiteren Nällgende enthaltenden Kreises in Bezug auf& setzen wir&- arg5, wag der Redies. and 5 ein auf dem Kreise. Punkt ist; so wird geet&""( 1+ 2), m um den Pünkts mit dem Radies 1 sich bewegen m wo de mit& unendlich klein wird. Nach L welche. m dem Sätze: einer einfachen. den letzten Sätzen genügtes, die Garakteristik der Curve run in Bezug auf den Nullpunkt zu nehmen, welche – M ist. Damit gelangen wir zu Wenn& – Fl) für alle Werthevon& innerhalt und auf geschlossenen Line Line eindeutig bestimmt, endlich und stetig ist und für die a, d)... im Inneren Naß. von den Ordauungen m., me)... unendlich. Kein wird, so ist verme t... gleich der Charakteristik der jener Linie entPünkte. sprechenden ge Curve in bezug auf den Pänkt! If& eine ganze Function eten Graces. y von&, so kann man zeigen, 26. daß, sobald& eine gewisse Grange überschreitet, ein mit dem Radies& den Anfangspunkt beschriebener Kreis im Inneren& Nällen der Fucatig enthält. Demnach hat die Gleichung v – o& Würzela.( Cauchy, Stare). der Händelt es sich für welche f( x). b wird, so findet 27. nan die Summe der Ordnungszahlen als Geraktespristik der g- Curve in Bezug. vu um die Wer die Werthe auf den Prakt b. – Wird fla) für da track u gan, - mal Null, so kann man& nahegeung Nutt wählen, damit die Gleichung f( x)-bdenn es sei de eine au a nahe Würzel. vo P( 3) Null wäre für& –0, u. s. w. Von = - bm. verschieden Würzeln hats fx- k= 0; so ist fr – b=( xx)&( 8)+( x+ 1)), Bei jeder gebrochenen rationalen Friction bezeichnet die höchste im Zähler der Neiner vorkommende Potenz den Grade vorausgesetzt, daß Zähler ens Nenner Beinen gemeinschaftlichen Fector haben). Sie nimmt jeden m Werth. mal an, wenn e den Gradangiekt. Wir sagen nämlich, f( 3) # wird i mal o& für& –8, wenn für diesen Worth F( w).& t eine endliche der Kreuze hat. U. s. w.) nicht- 0. Es sei& eine innerhalb and a auf einer einfachen geschlossenen Linie 12 ST 28. 29 innerhalb iunarfelt eindeutig bestimmte und stetige Function von a, welche für keinen Punkt der Linie verschwindet oder unendlich groß wird, B.,&,... Prakter, welchen&&& wird undzwar recht. von den Ordnungen M., Messi, und b, b,... Punkte, in welchen 1-0 wird und zwar Nehr von den Ordnàng Dann kann man die Garakteristik der der gegeleine. Linie entsprechenden g – Linie in Bezug auf den Pünkt& ersetzen durch die Summe der Charakteristiken der v – Curven, welche Kreisen Die Prakte&, An,..., br, bezen entsprechenz en pr, Pr).... • b be,... und X- a findet sie- Ep- Em. die Beziehung z – 6-1( x- 2) ist die der positiven Anhnlichkeit; y – be un lien fert die Kreisverwandtschaft( Mocbins).( Jedem Kreise entspricht ein im entgegengesetzten Sinne durchlaufener.) Die allgemeiner Form iste: , we a, b, c den Werthen 4,40 entsprechen.( d– ¿-b y- a- c- b = -a wenn well von. X= 24+ X3- X2 bis&& geht. Durch- X- X, 81–8 liefert einen Kreis, wird der durch die Pänkte Da, da, de gehende Kreis Fruition&- flv, welche für a fine t= X- X2 X3 X, repräsentirt.) - den Werth b. hat, liefertum. herem eine ähnliche Untertragung( bis auf Größen zweiter Ordnung Null verschiedene Grenze für e-& hat. wenn zon. Kull. м l won nu sa n g- b eine endliche Mit Benutzung der germetrischen Reise kann man eine rationale Finition von& nach seigenden Potenzen von 5–4 entwickeln, sobald der absolute Betrag von 5–8 Kleiner ist, als der kleinste der von schiedenen Differenzen& Ko, Az- ko,..., Anxo, wo A., A.,... An die Wurzeln des Her Nenners. sand. Man kann sie nach fallenden Potengen von& – d. größter it, als jeder der Beträge mars von 1 Do entwickeln, von 9, –x0, 92 to,.... sobald der Betrag 30. Endlich giebt es ein Entwickelung mit unendlich vielen positiven und So negativen Potenzen von d- do, so lange gültig, als der Betrag von& xo zwu, schen zwei aufeinanderfolgenden unter den Beträgen jener Differenzen lingt.. Lon III. Von den analytischen Functionen im Allgemeinen. Lins : W Cowergenz von Reisen. Die Summe einer aus unendlich vielen positiven Zahlen bestehenden convergenten Reihe ist gleich der oberen Grenze aller Partialsammen. aus Gliedern der Reihe. – Es ist stets möglich, eine endliche Anzahl von der Summe der Reise Wiedern so herauszuheben, daß ihre Summe weniger abereicht, als eine beliebig kleine Größe 5, und daß dies auch noch dann der Fall ist, wenn man wenn man beliebig beliebig viele der un übrigen Glieder hinzun hinzunimmt, und daß eine Summe beliebig vieler der übrigen Glieder auch – Dist. – Die Reihe bleibt auch covivergent, wenn man jedes Glied mit einem positiven Factor multiplicirt, sobald alle diese Factoren enterhalb einer gewissen Grange liegen. Eine Reise aus unendlich vielen positiven und ergativen Gliedern. hat eine Summe, wenn sowohl die gesitiven als die negativen für sich. Summen haben. Hier gelten vollkommen analoge Sätze zu den letztenEine Reise von unendlich vielen complexen Gliedern hat eine endliche Semme, me, wenn die reellen und die wein imaginären Theile für sich Stemmen habens 13 31 Alsdann wilden auch die absoluten Beträge der Glieder eine absolut convergente Reise. Auch das Umgekehrte ist richtig, sowie auch analoge. Sätze zu den anfänglichen gelten. das Produkt zweier Reisen( die convergiren) ist gleich der Summe der Reise, welche von allen Producten aus einem ersten in ein Glied der zweiten gebildet wird. 2= 70,.. Potenz reisen. env..... ни ги Gliede der. For x= xo, 4%( 4 wa die Summe einer cawergenten Potenzweise, wie Zazu, welcher unendlich viele positive ganze Potenzen von d enthält, kann man als die Grenze betrachten, welcher sich Eau, bis der summit, mit wachsendem& nähert. Eine Reche mit mehreren Vattiebeln in positiven gänzen Potenzen, wie E. a yaz...., kann man nach Dimenſi onen ordnen, oder nach Potenzen einer Variabeln, u. s. w. 32, Wein die Beträge aller Glieder einer solchen Reise für. unter einer angebbaren Grenze liegen, so convergirt sie, sobald denabsoluten Beträgen nach& –80, 4 × 40, 24707 ist.( Zem. ( Zumban weise ist die Convergenz der geometrischen Reise zu benutzen.) Hat daher in der Reche Z. Que der Quotient eine endliche Grenze&, so convergirt sie,(*)<(&)[ wo durch die Klammern Z der absolute Betrag bezeichnet wird sist. Dasselbe ist der Fall, wenn Van eine Grenze& hat. Eine Reihe, wie Zand», cowergirt entweder mie, oder immer ( in welchem Falle für jedes& alle Glieder unter einer gewissen Grenze liegen), oder für alle Werthe von d, deren Beträge unter einer gewissen wenn. 7 2h y A ль X sche au is Prenze liege.( Convergenzbereich, Canerhungbreise) Rehnlich für mehrere Veränderlichet chi Wenn man eine gange. Fumition von mehreren Potenthreiser mit 33. mehreren Variabele bildet, so entsteht eine Potenzreihe welche sicher wenn die ersten cowergirens. awergirt, Es sei&( 2, 4, 2,...) eine, Fumution von&, 1, 7,... oder eine unendliche wenn man die auftretenden man Rotenzreihe, aus welcher&( 5, 4, 7,...) entstehe, Coefficienten durch ihre Beträge( oder noch größern Zahlen) ersetzt. Weine viele Ausdrücke& hat und Z. 4)( X, 4,4,...) endlich ist für gewisse unendlich. versities Werthe 20, 40, 20,..., so ist&&( 4,414,...) eine convergente Potenz, eise für Waxo,( 4)§40,( 2) ≤2,.... Xo Σα IMV.... 2... лил 981921. cere 1 Potenzrechen sind, Es sei f( x, 4, x,...) Lanz eine Potenzweihe, welche vergirt für W< P,( 4)< 8.,( 2)< ½,..., und in ihr werde& –&( 1, 2,...), y= %,( u, v),...), 2=& 2( U, V,...),... gesetzt, welche für gewisse Bereiche der Werthe regiren und für U – 0,0–0,... Werthe annehmen, welche Maß. – 1,< 3,< 8,... sind. dann entsteht eine Potenzweise in 4, d...., welche sicher convergirt, 25 von U, V... conver gewisse Grenzen nicht überschreiten.( Die Auffindung solcher 34 Grenzen – welche aber nicht die größtmöglichen zu sein brauchen. geschicht wieder mit Zuziehung geometrischer Reihen.) Ist F( X, 4,4,...) beständig convergent, so entsteht durch die Substin tutionen& –8( 4,8,...), y=&&( U, V.,...), 7=& Q2( 4, V...)..... eine Potenzreihe, welche für alle Werthe von U.,.., convergirt, für welche&( 4%), When G, 61, 2,...),... convergiren. 14 AT 35 Wenn die unendlichen Potenzreisen F( X, chitjen) und H( X,& st)...) innerhalb gewisser Grenzen convergiren und H nicht- 0 ist für x- 1,4-0,89.– so läßt sich der Gertient nach Potenzen. 9( x427) H( XYZ,...) von&, th, 2,... in eine sin convergente Reise entwickeln, wenn 8, 1, 7, in gewrisse Grenzen nicht v überschreiten.( Denn ist H= a+ N, wo& eine Constante ist, so hat man in bestimmten Grenzen: H= db& Her a 84 a + 93 2 7 u. s. w.). Eine Potenzreihe, welche positive and negative ganzePotenzen die so. r 90+ ą, x+ 9, 17.. + a, -2 kann nur. welche sie zu ch mu von& in unendlicher Anzahl enthält, wie cawergent sein, wenn jede der weiche Reisen es ist, in ne zerlegen ist. Ist die erste convergent für(&)< 8, die zweite für 1) 1, gen convergirt die Reise nur, wenn das ist, und zwar für»<« er; Kann-&, 1–0 sein. Der Convergenzweich wird hier von zwei concentrischen Kreisen begrenzt. Wir sagen:& liegt im Convergenzben weiche, wenn es größere und Kleinere Werthe giebt, für welche die Reihe convergirt. – Eine Reise mit positiven und negativen Potenzen zweier Veränderlichen&,& zerlegt sich in 4 Reisen, von Denen die eine nur position, die au mur negative Potenzen. beider, die dritte nur positive. rond und nur negative von 2, die viert nur argative. von& und nur positive von& enthält die Anvergenz der sämmtlichen 4 Reihen ist hinweichend und erforderlich zur Convergang der der ersprünglichen. Entsprechend bei mehr Variaben. Bleiben alle Glieder einer solchen Reise in d. 4, 2)... endlich für die x- 4, 4- R, 2= 837... und auch für == zweiten. d= 11, ch= 42, 2–13).... wo R71, ½ 742) $ 3783,... sein soll, so convergirthie, wenn d<( V)< S, ſe<( 4)< Ten, dz<( 2) Sz,... mr Con wer, ht Wenn man in einer derartigen Reise& – 4( U; v),...), y= 9( U, 4..), Z= von U, Y... = vond. ( 4, 1)...) jetzt, wo 9, 91, dva Potenzreisen mit mir positiven Exponenten in sind, welche innerhalb gewisser Grenzen wergiren und für 1-0, ,... Werthe annehmen, die innerhalb des Convergenzbereiches der erstererähnten Reise liegen, so wird die entstehende Reise, nach Potenzen. geordnet, convergiren und der ursprünglichen drich sein, sobald a, v... gewisse Grenzen nicht überschreiten. Eine Reise& welche nur positive Potenzen. enthält, bleibt endlich für die Werthe vond, für die sie convergirt, deh. wenn& im Conwwerwazwreiche liegt, so läßt sich& srangeben, daß für alle Werthe vond, deren Betrag ur ist, der Betrag der Reise – 1 ist. Ihr Werth ändert sich terner im Convergenzbereiche stetig mit dem von du, d. h. wie keinung sei, so läßt sich doch für den Betrag von keine Grenze angeben, dinnerhalt deren der Betrag f( x+ k) – f( a) kleiner als S ist für lle Werthe vond, deren Betrag – 1 ist. Um dies zu beweisen, zeigt. annan, daß F( X+ 4) nach Potenzen. von Kentwickelt werden kann, sobald()+( 4) kleiner ist, als der Radius des Cawergenzkreises. Man braucht dazu nur ich als eine Substitution&( 4,0) zu betrachten. Diese Sätze sind leicht auf Reisen auszudahnen, welche positivte 36 Potenzen von mehreren Veränderlichen enthaltens inst y Wenn. von. man mit S., S,... die Radien der Cawergenzbereiche für Die Reihe fld, the...)( mit positiven ganzen Potenzen) in Bezug auf und mit a, b,... bestimmte Warthe inverhalb der Nast. Convergenzwreich, bezeichnet, so kann man f( x,&,...) nach positiven. resp. x, y,... 15 7.1 37 Potangsa von 2-0, g – b,... entwickeln, sobald die Beträge kleiner sind, als reszt. 7–( 9), 12-( b),.... von£-α, y.b... von& eine Function Re num äm eine mir siche Differential coefficient und Ableitung. Wenn für gewisse in Betracht gezogene Werthe f(&) eindeutig definirt und mit& continmirlich veränderlich ist, und + k ebenfalls zu den betrachteten Werthen gehört, indem man einen bestimmten,&, unter ihnen festhält, so ist es möglich, daß de die Veränderung f( x+ 4) –f( x) in zwei Theile zerlegbar ist, deren erster Min der Größe 4 proportional ist( – c. k), deren zweiter des Product aus in eine mit Lunendlich Klein werdende Größe ist. In diesem Falle nennt man 1. 4 die Differentialveränderung und& den Diffe, F antialcoefficienten der Function f( x) für den betrachteten Werth von d. – Daraus folgt, daß jede ganze Function. Femition von& und jede durch eine convergente Reise mit positiven Potenzen. von& oder& –A dargestellte für jedes im Convergenzbereiche gelegen Argement einen bestimmten Differentialcoefficienten hat, welche durch eine Reise ganz von derselben Art, wie die ersprüngliche, dargestellt und auch erhalten wird, indem man von jedem Gliede Dy differential coefficienten nimmt. Solche Functionen haben. also eine Ableitung. Man nennt nämlich den Differentialsouf, ficienten die Ableitung, Ableitung, wenn er von. wenn er von 4 gänzlich unabhängig ist und sich stetig mit& ändert.( Bezeichnung des Differentials: ge d F( x)= F( x). dx; F( x+ 4)= F( x)= F( x)+ K, wo kmith unendlich klein so wird.) – Zweite Ableitung: F( x), u. s. west( Adres)= d" Fox)= Fr(). dx, etc.) f den. h Ge Sa Re Für gange. Functionen. von& und F( a) F" α) solche, die sich in convergente. Reisen nach positiven ganzen Potenzen entwickeln lassen, existi en die Differentialcoefficienten und Ableitungen eller Orde treuungen für jeden Werth. von 2, der ümverhalb des Convergenzwreiches liegt. Ist F( x)=&+ 1( x− a)+( z( x- 1)* t..., so ist 6= F( a),&=$ 10, 2- and allgemein we Fr. Liegt& im Convergenzbereiche und& in einem newissen um d. beschriebenen Kreise, so ist auch F( x)= Wenn daher& im Convergenzbereiche liegt und der Betragen ine gewisse Grenze nicht überschreitet, so ist Fixth) – Fu sie. Dies die gewöhnliche Förm des Taylor' schen Satzes. звон and Diffus +4 Legen han n! F( x) 2! N! 2 von h.. Diesem eine Function f( x, 4,...) in einem continiürlichen Gebiete dafi. 38 urt( d. h. hr, daß von einem Werthsysteme xo, co,... ein continuire icher Uebergang zu jedem anderen&.,&.)... möglich ist) und in Rebiete stetig, so kann sie in Bezug auf jede Veränderliche Übleitung haben. Inde derartige Ableitung hat möglicher Weise dieselbe Beschaffenheit, u. s. f.( Bezeichnung: D. f, drf, XX. f, etc, her.) Die Reihenfolge der Ableitungen ist willkührlich: d. S. f. Side E, ü. s. f. f, u. Sx 1 dx dyd Dy x Für ganze. Functionen von x & there. und solche, die durch convergente Reihen nach positiven ganzen Potenzen von& 0,& –b,... dergestellt werden, existiren sänmntliche partielle Ableitungen aller Ordnung gen und werden durch convergente Reises derselben Art dargestellt, sobald&&),... innerhalb der Convergenzkareiche liegen. Es ist. 4) f( x, y,...).()( x- 2)-1 = Atut... джадут. Ja,... ( 4-6) m Mi .., für diese Werthe von X, 7,...... 16 39 Begriff der analytischen Functionant Wenn mit einer Veränderlichen& gebung. Gytische Lunction. deren Ort ein contimüürlicher Berein von& ein be x- d von& α fort, Z ist eine ana, Lir ist, eine andere& so verbunden ist, daß zu jedem Werthe stimenter und mit& stets endlicher Werth von 2 gehört und für jeden Werth a von& eine nach positiven ganzen Potenzen schreitende unendliche Reise existirt, welche in einer gewissen Um, von A die Werthe von y darstellt, so sagt man: von& und besitzt den Garakter einer ganzen Funde Hülfshatz: Wenn es innerhalb eines allseitig begrenzten Theiles der Ebene unendlich viele Pänkte giebt, denen eine bestimmte Eigenschaft zu kommt, so giebt es( innerhalb oder auf der Begren, gung) mindestens einen Pänkt derart, daß es in jeder Umgebung von ihm unendlich viele Spankte von jener Eigenschaft giebt. – June Beweise setzen wir an Stelle des begrenzten Theiles ein Rechteck, welcher ihn einschließt, mit den Erken a, a ,, de, as. Liegt in auf der von a nach as and 12 auf der von a nach& gehenden Seite, so ist&, – a+ n( a, –a),& a+ vla- α), wo a und& reell sind und von 0 bis 1 gehen. Ist daher& devert gelegen, daß a, 5.,&, te die Erken eines Rechtecks sind, so ist x- a. M( 2-1)+0( a – a), ſin und wir können 1,0 als die Coordinaten das immerhalb des Rechtectes x- d= tur 132 กา gelegenen Punktes& betrachtens( dem ganzen Rechteck entspricht auf diese Weise das Quadrat mit den Ecken 0, 1, 184, d.) Jetzt hat man sel im nur noch( ganz analog, wie bei einer früheren Gelegenheits) zu zeigen, daß, nenn eine bestimmte Eigenschaft für unendlich viele Werthepaare 4,0 stattfindet, mindestens ein Werthepaar 4,5. von der Art vorhanden. ein hu Um, ena, h un nly H Fary a), st, daß für beliebig kleine Werthe vord unde es zwischen 4. Sandlord, – Band&+ 2 unendlich viele solche Werthepaare giebte = wenn imerhalb Eine analytische Fenction f( d) rond kann nicht für unendlich viele 45 Pankte eines abgegrenzten Theiles( ihres Bereiches verschwinden, ohne identisch – 8 zu sein. – Denn Flo) für unendlich viele Punkte eines solchen Theiles – 0 ist, so giebt es einen Punkt& derart, daß es in jeder Nähe von& rnendlich viele Pänkte giebt, für welche F( x) –o ist. Num können wir in einer gewüssen Umgebung von d. setzen: Ex. 6+ C( x wt... Cm( x- xo)"{ 1+ Cut( x- x0)+ Cumin( x- x)" t...?), wo Con der erste An der erste von 0 verschiedene. Coefficient ist, und da sich für den Betrag You an von –8. eine obere Grenze so. bestimmen läßt, daß Cits( xx)+ Core( xx)^ t... kleiner als 1 wird( dem Betrage nach), so ist für alle diese Werthe of( 2) C'm Cm von 0 verschieden. Dieser Widerspruch alle C gleich& setzt, d. h. die Function ist wird nur gehobenzerenn man alle C gezogen. o, soweit jene Reise gilt. Jetzt sei&, ein beliebiger Punkt des Bereiches wind von 2. nach&, werde eine ganz innerhalb desselben verlaufende Linin Für die Punkte dieser Linie von d. bis zu einem gewissen Pünkte a ist fw – 0. Daraus folgt aber, daß sie für Pänkte über a hinaus und für& selbst& 0 ist, und daß sie schließlich auch für d, verschwindet. Wenn daher zwei analytische Frnationen für rnendlich viele Pänkte innerhalb eines abgegrenzten Theiles der Ebene, welcher ganz inner, helb des zukommenden Bereiches liegt, gleich sind, so sind sie identischa Eine analchtische Function ist folglich durch ihre in der Umgebung eines Pänktes innerhalb ihres Bereiches geltende Reisenentwäkelung vollständig bestiments. 17 T: 41 eine anal vu ли D in Wenn in jedem zweier contimmerlichen Bereiche, welche ein Contierum, gemeinschaftlich haben, eine analytische Frection definirt ist, und beide Fenationen in dem gemeinschaftlichen Continuum übereinstimmen, so ist dadurch. alytische Funktion für den Bereich definirt, welcher& von allen Pänkten jener beiden ersten gebildet wird. hat mit diesen die Bereich ein Dritter ein Contium gemeinschaftlich und ist in demselben 9. eine analytische Function definirt, welche in dem Continum mit der bisher vorhandenen Finction überrastimet, so ist die Frmition noch weiter ausgedehnt, u. s. f. Ist also in jedem u. s. J. Ist also in jedem zweier continmirlichen ka Bereichen, welche Nichts gemeinschaftlich haben, eine analytische Fruition. definirt, und kann man ebensolche kareiche ita, etc,..., ita po angeben, W daß et, mit it ein Contömum gemeinschaftlich hat und sich in A, eine Fraction definiren läßt, welche in diesen Continuum mit der in it da, de finirten übereinstimmt, daß ferner ets mit dem von A undets gebil,& daten Bereiche ein Continuum gemeinschaftlich hat und sich in As eine für dieses Continuum mit der in tundet, existirenden übereinstim mende Function defindren läßt, u. s. f., und daß schließlich B mit dem von A, dt,..., dte gebildeten Bereiche ein Continuum gemeinschaftlich hat; in welchem die in letzterem Bereiche vorhandene Kunction mit der in Definirten übereinstimmt, so kann, man die in eit und B definire de tensumtionen als Theile einer Fanction betrachten. Jetzt wird do ein beliebiger Prakt& innerhalb von At mit einem beliebigen L B durch eine Linie verbinden lassen, welche ganz inner, 3– halb des nunmehr für die Frmation erhaltenen bereichs verläuft. sich innerhalb von M any gay Али der س eids her ben Für jeden Punkt& dieser Läne giebt es eine nach Potenzen von§& fort schreitende Reise, welche in ihrem Convergenzkreise den zu 5 gehörigen Faiatianabverth repräsentirt; dieser Kreis habe den Radius§. Dann ändert sich stetig mit&.( Denn es seien u, u' zweisonahe Werthe auf jener Linie, von. < diese daß jeder in dem zum andern gehörigen Convergenzkreise liegt, und 8,8 die zugehörigen Radien; so ist&' sicher nicht – 9 – ε und& sicher nicht- gue, we& der Betrag&& ist; folglich der Betrag von 3–3 sicher nicht 76.) Die Werthe voch auf der Linie&& haben eine untere Grenze; diese kann nicht& sein.( Denne die Linie kann dargestellt werden, indem man in& –&( t) die Veränderliche t. reell etwa von 0 bis traviirt, und zu jedem von t gehört ein mit t sich stetig ändernder reeller Werth&. Wenn Daher& einer Größe beliebig nache gebracht werden kann, so muß es dieselbe auch erreichen( s. die früheren allgemeinen Sätze). Wäre also & die untere Grenze, so müßte der Convergenzkreis für mindestenbeinen der betrachteten Pünkte& den Radius& haben.) Folglich wird& nirgends 2 v プリ m wird = Werthe auf der Linie tot, unendlich klein. Wenn daher& nicht in dem zu do gehörigen Convergenzkreise liegt, so liegt doch eine Strecke 21 im ах A in ihn, und man kann auf dieser 4, so nahe an A wählen, daß wenigstens ein Theil der der Strecke. in dem zu 4, gehörigen Convergenzkrieselingtz Dies läßt sich, wenn& auch im zweiten Kreise nicht liegt, immer durch Kreise um Punkte A., As..... An der Linie& de so lange fortsetzen, bis der zu An gehörige Kreis&, enthält. Wenn man nun die nach Potenzen von – d. fortschreitende Reihe, welche die in A ursprünglich definirte Fumitig derstellt, nach und nach in Rechen nach Potenzen un von dA;& –An,..., x-, x- x 18 eingestaltet; so muß die letzte die in 3 definirte Frection darstellen. Wir haben somit eine allgemeine Art, wie man von einer in A defimirten Function zu einer in B definirten immer und nur dann in übergehen. beide Theile einer Fanction sind. Das, Fractionenelement, welches von d u, fortschreitende Reisein der Umgebung. гипит kann, die nach Potenzen. des ги von&», d.h. innerhalb des Convergenzkreises, derstellt, nennt man ein aus der in der in Durch die nach Potenzen von& d. Fortschreitende Reise dargeDA, Az... And, abgeleitetese den vond. Umgebung. 42 stellten Fänitionenelement, auf dem Wege. ein Um Werth des abgeleiteten Fänitionerelements für einen Punkt in der Umge. Unbung. von da, nennt man einen durch die erste Funktion bestimmten Werth. dem man aus einer gegebenen Reise alle möglichen ableitet, erlangt man ein Continuum. von der Art, daß jeder in der Umge, bung eines von. Pänkten. a des L ญ. Pünktes liegt, für welchen es eine aus der gegebenen abgeleitete Reise giebt, und für alle diese Pänkte ist dann eine Frection definirt. Wir zu sagen: der Pänkt&, liegt an der Grenze des Bereiches der Freation, für& Keine Reise aus der ersten ableiten läßt, dagegen in jeder Nähe von den Pänkte sind, für die es geht. Läßt sich für& selbst eine Reise ab, leiten, so sagen wir:& liegt immerhalb des Bereiches. Punkte dieser Arten heißen außerhalb gelegenen Giebt es für jeden innerhalb letz liegenden Punkt nur einen durch die erste Reiche bestimmten Werth, so heißt die Fraction eindeutig, sonst mehrdeutig, unendlich vieldeutig. Durch eine analytische Fruction wird ein, monogenes System zusammen, süß gehöriger Größen gegeben. " von Seiner. 43 Liegen zwei Ränkte b, c in der Umgebung von a und der zweite in der w m ein tis des ersten, und leitet man aus der in der Umgebung Potenzreihe( 1) die in der Umgebung in der von von. geltenden. a g von( b) b geltende( 6), aus letzterer die wenn man un»» geltende( b, c), so entsteht dieselbe Reise, wie wenn in smittelbar aus der Reise& die in der Umgebung Denn. man. kann in der Umgebung, von c einen. von C geltende Wableitet. – Bereich abgrenzen, der ganz von ‰ s geltenden Reise auf der in der von a und b liegt. In diesem ist( b, c) –( 6)=( a), und auch( 1-( 1). ens Mir Wenn man aus einer in der Umgebung einem durch eine Li Linie. Umgebung. Punkten. von do eine in der. von& nach do dargestellten Wege geltende ableitet, so istletztere unabhängig man von der Reise um&.. von den. a, A.)..., An, welche zur Vermittelung dienen. – Es seinnämlich An, A.,...) An und be, bx,..., ben zwei Reihen von Punkten jener Linie, durch deren Vermittelung zu einer und übergehenskann. Dan Kammsaus beiden eine Reihe wwe,..., warm nach ihrer Aufeinanderfolge Zusammensetzen, welche ebenfalls zum Uebergange dienen kann. Nachdem vorigen Satze ist die mittelst der Reise&,... abgeleitete Function dieselbe, wie die mittelst w... oder w..., folglich die beiden letzten gleiche Liegt b in der Umgebung in der Umgebung. Non a + m von& undα in der von b, und leitet man aus einer. geltenden Reise die um b geltende et, so wirdaus der letzteren wieder die erste abgeleitet. Daraus folgt. Wenn man aus einer in der Umgebung. von& geltenden Reche auf einem bestimmten Wege eine in der von do geltende Reihe ableitet, so führt derselbe Wag, im entgegengesetzten Sinne durchlaufen, zweiten Reihe zur ersten:( Man braucht nur die vermittelnden Pürekte von der. deran, Az)... so zu wählen, daß die Abstände 14, 10, And, sämmtlich kleiner sind, 19 als das halbe Minimum der Convergenzkreisradien, welche den Pänkten des Weges zukommen.). 44 Indef aus einem gegebenen Fractionnelement abgeleitete Reise führt für jeden Pänkt zu denselben Reisen, wie das gegebener 45 Functionan's Aus einem für die Umgebung eines Spänktek n gegebenen element lassen sich auf geschlossenen Wegen bei einer 1,2,3,... deutigen Function gerade 12,3,... verschiedene ebenfalls in der Umgebung von a geltende Reisen ableiten. Tht y pon ex eine eindeutige analytische Function Ganze ihren Bereichest so nemen wir yo den Werth einem beliebigen Wege nach as gehend, imme Yo und to ein Punktander. n alb зит von In in do, wenn wir, auf fü immer einen bestimmten Grenz werth vong erhalten, welcher – ihr ist. Ist& mehr denting, und soll go als Werth so rong in 2. betrachtet werden, so muß es zunächst innerhalb eines belien Bet big kleinen um do beschriebenen Kreises Pränkte geben, in deren Umg,( 2) bung. eine aus der gegebenen abgeleitete Reise existirt, welche für den Pänkt&. den Werth I. als Grenzwerth liefert, und außerdem jede sie aus dieser Reise auf irgend einem ganz innerhalb jenes Kreisel verlaufen schr den Wege abgeleitete Reise zu demselben Grenzwerthe zu führens a+ α, x+ a₂ x²+... + a, in einem. an Unter den vollständigen Convergenzbereich einer Reiser Convergirt die unendlich viele positive and negative ganze Potenzen zu enthaltende Reise flgewissen Bereiche, und schr ist s ein positiver Warth innerhalb dieses Bereiches,& der größte Werth ein Es) für alle& vom Betrage&, so kann der Betrag von 2 gel Denn wie klein auch I sein mag, so kann man doch östets der des Betrages. von. nie 79 sein. – w my 2. n so bestimmen, daß der absolute Letrage als& ist für alle& vom Batrages. von Fa( x)- Anti -( nt) + a( n)* Es sei num 5 eine Zahl ( x) +... kleiner. vom Betraget, Der einzigen Bedingung unterworfen, daß keine der Potenzen 55;.., 5% der Einheit gleich ist, und so eine positive ganze Zahl, also v, 18, 10},..., 13th Werthe Betrager; so ist jeder fires) – j& ferty) – 4=+( zum. folglich( 4)< g+ d+ d', Wr. { 47 -1 1-52+. + an r 71-1-1/+...+ ar"}} 1-7-2 1-57" L'der Betrag der rechten Seite ist. Man kann überst so groß wählen, daß des wird, und dann ist( A)< 9+ 2d, also( 40) nicht> G, da ♪ beliebig klein men werden kann. genomen. = Convergirt die nur positive ganze Potenzen enthaltende Reise f( x)= do+ ax+ x²+... in einem Bereiche, welchem der position Werth& angehört, und ist& der größte Werth das Betrages. Betrages von fly) für alle& van betrages, so ist der Betrage, von A, nicht größer als g.r), also für alle diese& der Betrag des allgemeinen Gliedes nicht 19 und für alle kleineren& sogar( 9. ( Zum Beweise wendet man den vorigen Satz auf fx. 5 954 18+ a xt... n) Wir wollen nun von der Reise E(&) – A+ α,&+ Q& ²+... voraussetzen, daß sie für alle Pänkte innerhalb des um den Pänkt& mit dem Radiess be, schriebenen Kreises convergirt, und daß man, wie auch der Pünktio auf dem Umfange dieses Kreises gewählt werde, sich stets ein Punkta innerhalb des Kreises so bestimmen läßt, daß as innerhalb das Convergenzbereiches der aus f(&) abgeleiteten nach Potenzen schreitenden Reise diegts Es ist klar, daß die Reiche f( 3) für jeden Pänktu. eine etwa in einem mit dem Radius§. um do beschriebenen Kreise geltende abgeleitete Riche liefert, welche für die diesem Kreise und der ersten gemeinschaftlichen Pünkte dieselben Werthe hat, wie Flü). en von it a fort. 20 O'S 46 eine. Das Minimum der Werthe von H. bezeichnen wir mit& und beschreiten d. um den Penkto einen Kreis mit dem Radius 14&. Dann läßt sich Function f( x) für alle Pünkte innerhalb dieses Kreises in folgender Weise eindeutig definiren. Für alle Plänkte imerhalb das Kreises mit dem Radipils& soll sie durch die obige Reihe dargestellt sein; für irgend einen andern Prakt& innerhalb des Kreisebu 1+ 6 soll der Werth f( xx) dadurch bestimmt werden, daße fange des Kreises von Redubes einen Pänkt de entfernt wählt and in der bereits angedeuteten Potenzen Nadings en von. Radius! man auf dem Umweniger als§. Weise eine. non x noch. wenn in ein Punkt. von 2–10 und x- 2, fortschreiM R M usa von à Do fortschreitende Reise herstellt.( der Wrth ist in der That von der Wahl des Pünktes do nicht abhängig, dihe derselben Art ist, so sind die nach Potengen tenden Reihen im Pankte& gleich. Denn da wo went, am weniger als 2 absteht, so haben die um 1 und 2, mit dem Radius& beschriebenen Kreise einen Theil gemeinschaftlich, welcher theilweise innerhalb des Kreisel. Rediubs liegt und& auch enthält. In diesem ganzen Theile s nüüssen die Reihen übereinstimmen. Diese Fonction for hat für alle betrachteten Werthe die Natur einer ganzen Function, d. s. in der Näche üb von& kann sie nach Potenzen Vom von d d' entwickelt werden. r- Punkts. beliebig se Man denke sich. num die Zahlen 1, 8+ 4, 1-0 durch Pänkte dargestellt so und wähle auf dergeraden Strecke von 8 bil 180 einen nahe an 7+ 0, 1+ 9, ferner auf der geraden den Strecken. bis& einen Pürkt. so nahe. ans, daß 1, von ½ weniger ent d. Z. so. tfernt ist, als 1-3 ronde, daß v–%, – v–( 8-9). Mit a, bezeichne man einen beliebigen Werth von S... von. ka ves 6 luten Betrage u, mit do wnd de die Pankte, in welchem die Strecke. von 0 nach d., über& hinaus verlängert, die mit den Radiens und Se beschriebenen Kreise trifft. Dann wird, dick nach Potenzen ai N wenn man um do mit dem in eine. in eine. Reiche Radius& einen Kreis beschreibt, innerhalb desselben flx sich Reise nach Potenzen von u– do entwickeln lassen, folglich von&&, für alle Pänkte innerhalb eines um d, beschrie, benen Kreises, dessen Radius> 5–7, ist( nämlich zunächst nicht kleinerals Die Differenz zwischen& und dem Abstande von 20 unda ,, d. i. ist f( x)= 1).( x- 3) A! Sobald daher der Betrag von§ nicht 7 5–8, ist, hat man: zwon 4–( 1–0). Diese Reise f( x,+ 5)= Sa Paus+2 2! X! 2 27. PL A! Es sei seine positive Größe im Convergenzbereiche der Reihe State von in der Art, daß 17+0< 1+ 0 ist; und 9 die obere Grenze der Beträge aller Werthe f( x) für diejenigen Punkted, die vom. Pünkte& um 1,+ Order. weniger entfernt sind; so ist( bad())= 9.0), folglich der Restückunge dem Betrage nach§ 2()». Setzen mir also fast, daß 67( 6) genommen wird, so ist der Betrag des Restes – glee. Es giebt daher eine nur vom Betrage von§, nicht aber von der Wahl des Pünktes in abhängige Größe, über welche der Betrag des Restes nicht steigen kann. سک A! Z ци ( 5)" 주 N! Wenn man nun die positive Größe ist es setzt, so ist da½-8, d. – 148, folglich flän) – för ett& Re(), wor Redhead. Nach dem eben Gesagten giebt es eine gesitive Zahl be, welche größer ist, als alle Beträge, welche der Resß für alle Lagen von d, und für beliebig große& annehmen. kann. Ist daher& der größte Werth von Ilde)( für( 4.) – 5), so ist für alle de, vom Betrage& der Betrach von kleiner als 9+ h. Nun darfendum setzen: A! n 21 S 4 Σows"; folglich ist der betragem&&( 170) Bleineren A! ( 1+ 8)»&,»; von Ar ( 9+ 4), d.h.( Ap)< 2th, folglich( Ard.")< 9th. Die Reiche Her Art conve だ Er convergurt Daher für alle&, deren Betrag – ½ ist. Da aber Se beliebig nehn an 248 genommen werden kann, so schließen wir, daß sie inverhalb des ganzen Bet mit dem Radius 140 em beschriebenen Kreises convergirt. Daher der Satz: d w Ist ein Kreis der wahre Convergenzbereich einer Reihe Er war, sogiebt es auf seinem Umfange wenigstens einen Pänkt 20 von der Beschaffen, wen heit, daß keine nach Potenzen& en von 2.3. fortschreitende Riche ex istert, welche die für die gemeinschaftlichen Pänkte ihres Convergenzbereiches und jenes Kreises dieselben Werthe annimmt, wie die erste. Sind die nach positiven ganzen Spotenzen. fortschreitenden Reisen de f), 8( d) convergent für alle&, deren betrag< rist, und 9( 0) nicht- 8, so kann Gre in eine nach ebensolchen Potenzen fortschreitende Reihe entwie der welche für alle de, der katrag( 8 ist, convergirt, HX) P( x) von it. en von d 71x) ( x) für keinen dieser mich man weiß, daß die für Werthe wrendlich groß wird. – Denn sobald in geltende Reise für Was convergirt, nehme Betrage§1 man einen Werth to do vim. und wenn&( 20) nicht – O ist, hateman in einer gewissen Venge, von do: brig. und( 80) Tato f( xx) f( x+ f( x)( xx)+... 9( x) = = ( x0)+( x)( x- x)+... 6+ G( 2x)+...; ebenso, wenn& nicht- 1 ist: f( x)( xx)( x)+( x) 8 ρας m ( mt) ( xx)( xx)+..} m! = &+ 44-1)+.... Nach vorigen Satze convergirt also die Entwickelung. vind auch für größere Beträge. P( x) von so 1 Re dem b ( nach Potengen o M m x- von, als§, und zwar für alle, die – 8 finde Giebt es Werthe, deren Betrag< s, für die zu unendlich groß wird, so erstreckt sich der Convergenzbereich gerade bisen den kleinsten dieser die Werthei m Sind Zähler und Nemner. genze Finition oder beständig convergirende wir Reihen, so cowergirt die Reise für den Pirtienten beständig, wenn derselbe m für keinen endlichen Werth unendlich wird; saß für alle Werthe, deren betrag kleiner ist, als der kleinstederbeträge der Größen, für welche der Bruch ich wrendlich groß ist. iabl fan 1 Wenn& eine ganze Fucation eten Grades und&( 0) nicht – d ist, so würde, &( 2) für keinen( endlichen) Werth verschwände,& sich in eine bestänn Dig convergente Riche&+ 4x+ 4x²+... entwickeln lassen. Man kann aber, wie groß auch die positive Zahl& sein mach, stets eine ebensolche& so finden, daß für alle& von söherem Betrage der Betrag von& V) größer als& ist; von den müßte also ½& Thein, deh. kleiner als jede noch so kleine Größe, mithin& sich der Nutt näheres Damit ist die Existenz der Wurzeln wilder algebreischen Gleichungen Neuem bewiesen. Auch der Convergenzben en der Betrage. herreich der Entwickelung Q( x) von nach Potenzen von xa ergiebt sich hier unabe von der Existenz der Wurzeln der Geichung&(- 0. für hängig. Um dem Satz гит гут Reise von der Ausdehneng das wahren Convergenzbereichel einer 48 von den Ausführungen über die analytischen Famationen unabhängig zu machen, gehen wir darauf zurück, daß wenn en von zwei Reisen as+ ax+ 4x+.) b+ b,&+ b;& t... für vnendlich viele Werthe unterhalb einer gewissen Grenze übereinstimmen, sie überhaupt identisch sind. Daraus folgt zunächst, wene man aus der Reiche f( x)= 0+ 0x40x x²+ eine nach Potenzen fortschreitende entwickelt, wo ein Cawerzembereiche Lörgen soll, undaus Wer dieser eine nach& n'. fortschreitende, wo à im Convergenztereiche von F( 3) und in dem der zweiten Reihe geogen sei, dieselbe Reihe entsteht, die unmittelbar daß. x- a & a 22 Potenzen. von d– A 7 wenn man umum. man von aus der ersten abgeleitet werden kann. Wenne daher I( 2) nach Potengen von& –a, die entstandene Reihe nach Potenzen von 7–0. u. f. w., schließlich nach von u be entwickelt, wo a, im Convergenzbereich der Reise mit Potagen liegt u. sem. und&, we, Ans., an in dem der ersten Reise, so gelangt. man zu derselben Reise, telbar Fl) nach Potenzen daß von& – An entwickelt. –– Jetzt seien a and à Pänkte im Convergenzbereiche der Reise FW) – 2019,21..., und f( x, a), F( x, α) die aus F( x) abgeleiteten. Reisen mit Potenz von Map.& –a and u – a', deren Convergenzbereiche Sch einen Theilweise außerhalb des erstenkreises gelegenen Theil gemeinschaft, ser lich haben sollen, dann läßt sich zeigen, daß f( x,&) und Flr, à) für alle diese Pänkte übereinstimmen, die beiden Bereichen angehören. Nimmt man nämlich& innerhalb aller drei Kreise und entwickelt f( x, a) noch Rotenzen zu von d – 1 in eine Reise f( 4,0,0), F( x, 0½) nach Potengen&& in eine Reise. f( x,&, c), so stimmen die Reisen flu,&,& and J( 2, 4, 6) hinlänglich nahe bei c) c überein und sind folglich identisch. Num verbinde man c mit irgend einem Stückte c», der zugleich innerhalb der Convergenzben reichen. f( x, a) und f( x, 4') liegt, so daß die Verbindungslinie auch ganz innerhalb des gemeinschaftlichen Theiles liegt, dann kann man durch diese Gerade dargestellten Wege durch Vermittelung von ain tu Vall geradlinig get leit auf dem. Pünkten Con lemmle aus der Reise f( x, 9, c) oder Flx, as,&) eine nach Potenzen von xé des Fortschreitende ableiten. Diese Reise kann nach der vorengeschickten Be, näch merkung direct aus f( x, 0) oder direct aus ( F( 2, 4) oder direct aus f( x, a) abgeleitet werden die Reisen f( x, 4), f( x, à') stimmen also in c'überein, dahr in jedem ihren Conver, Um genzbereichen gemeinschaftlichen Pänkter – Dies genigt, um die keine solch Langan Fruction. vn. Beweise das in Rede stehenden Setzes ausgeführte Erweiterung der F( V) zu ermöglichen. Daren schließt sich das Uebrige, wie früher,- Verhalten einer Function in einem nur nach Außen hin tegrenzten Bereicher Wenn irgend ein zusammenhängender Theil der Ehene so beschaffen ist en daß wofern. man in ihm irgend eine einfache geschlossene Linie zieht, der von der letzteren begrenzten Theil der Ebene ganz innerhalb jenes liegt, so sagen wir, letzterer sei, nur nach Außen sie begrenzt, und- Jesammtheit aller Pankte, welche diesen Bereich haf seine Grenze.. von der übrigen Ebene trennen, In einem solchen nur nach Außen hin begrenzten Bereiche, innerhalb dessen Pankt& liege, sei eine in einer gewissen Umgebung a en von d – A. noche Potenzen Legendrende nor Prip c t von a cower, fortschreitende Reise gegeben oder daßirt, and es werde vorausgesetzt, daß sich auf jedem beliebigen ganz innerFalb des Bereiches verlaufenden Wege vona nach irgend einem innerhalb iginlegenen Pünkte à eine nach Potenzen von u– à fortschreitende Reise abZeiten läßt; so wollen wir beweisen, daß die abgeleitete Reise vom Wege unabhängig it. bez hm Zu diesem Zwecke bemerken wir zuerst, daß, wie leicht zu zeigen, der 49 Convergenzbereich der gegebenen oder einer aus ihr abgeleiteten Reise, etwa nach Potenzen en von d- do, nicht kleiner ist, als der um d. durch den nächsten Pänkt der Grenze beschriebene Ke reis. Wenn wir also aus der gegebenen Reise auf einem nach& innerhalb führenden Wege Umgebung von a geltende Reihe ableiten, so können wir zur Vermittelung solche Punkte Q., A2,..., an das Wegesnehmen, daß in der Reise 2, w.,& z)..., an, a d a' eine in der. 23 85 seine Stelle. am als jeder Pankt den benachbarten näher ist, als jeder Pünkt der Grage, dann er von dem Wege abstrahiren, die gebrochene Linie a u», az...« à an seine setzen und, wenn wir wollen, auf der zwei aufeinanderfolgende bindenden Strecke beliebig viele Pänkte einschalten, so wird der eat, min von der abgeleiteten Reise zur gegebenen gegengesetzt durchlaufene Weg zurückführen, nur noch den Nachweis zu geben, daß. und wir haben nur Co wer. why bis Whe Wir lin ai man aus einer in der Umgebung von lo geltenden abgeleiteten Reise auf einem Wege, der durch das Polygon&&& mbel angegeben wird, jede Ecken ihren benachbarten näher ist, als jeder Pankt der Grenze, eine andere in der Umgebung desselben Pärktes geltende ableitet, beite der identisch sind. Man denke sich nun irgend zwei zu einander rechtwinklige und keiner der Polygonseiten parallete gerade Strecken 10,& und am Durch die Punkte&, w,..., de Parallelen zu stünde unbegrenzt gezogen. dann dürfen wir die durch sämmtliche Paralleten auf der Strecken 44, Ga,... bestimmten Schnittprekte Maß. zwischen& wind, wendte,... einschalten und neinen die dann auf dem Umfange des Polygons entstandene. Folge von Punkten& 4 w... 1412. blend. Statt von den geradlinig zu den zu gehen, legen wir den gebrochenen Weg w dwar zurück, wo les é paralle ta zu ß, él, parallel zu& sein soll; damit dies gestattetsei, müssen van wir nöthigenfalls auf dem Umfange des Polygras noch Pünkte ein50 schalten. Wir haben jetzt eine Anzahl von Parallelen zuß und eine é ein L Anzahl von Parallelen zu&, von denen wir auffämmtlich durchschnitts, daß punkte bestimmt denken, und ein Polygon Ad An... An As, von welchem jede Seite sich gerade von einer Parallelen von einer Parallelen der einen Schwer zur benachbarten sich Calle ent, vir Laven uw ли a beine der auch ganz Seite. Fink, p der andern derselben Schwar erstreckt und ganz in eine Parallele der andern fällt, und von welchem jedes Erke ihren benachbarten nähes ist, als jeder Punkt der Grenze. Wenn es vorkommt, daß& Wer ist, so können und Aer, weglassen und mit dem redicirten Polygon ebenso verfahren, bis Bein solcher Fäll mehr vorkommets Dann ist es immer noch möglich, daß derselbe Prakt sich wiederholt; offenbar wird es aber genügen, einfache Potygone( solche, bei denen sich kein Punkt wiederholt) zu betrachten, und wir wollen was daher unter 0.1%... Od ein solches denken. Dasselbe. liegt ganz innerhalb des Bereiches und umschließt einen Teil der Ebene, erhalb liegt. Unter den Parallelen zu z wird nach hin eine die ürßerste sein, auf welcher Polygoneckenlingen, Seite hin eine Erke Az die unsßerste auf ihr gelemen zugleich werden und zwei bestimmte Pärkte des Schnittetzes sein. Es heil der Stückt dieses Schnittnetzes, welcher Un-, de Vr, zu inem Rechtect ergänzt; so liegt im Inneren oder im Umfange das Rotchgons, weil die Strecke 10 übera, hinaus verlängert, der Umfang nur in a trifft. Hatman es nun( nöthigenfalls durch Einschalten Varallelen) so gemacht, daß die Entfernung zweier benachbarten Punkte keiner ist als das halbe Minimum unter allen Entfernungen wischen Punkten des Umfanges des Polygons and Punkten an der Grenze, so ist das Polygon& G... A la;.. A& ebenso beschaffen. yen. 457 all einer. und auf dieser nach einer M 4/11 h 2s 2-1 A n 0 von und kann. as bisherige ersetzens Wird das jetzt zu betrachtenden Polygon, s nöthig ist, redivert und auf einfache zurückgeführt, so handelt es sich nur noch. em ein Polygon, welches auf jetter äußersten Paralklen 24 AS we alle. einen Stärkt weniger hat, und die Frage wird nach und nach auf den Fall zurückgeführt, wo des Rolygon auf dieser Linie keinen Penkt hat. Indem wir so weitergehen, kommen wir auf den Fall. Punkte des Polygons auf einer Geraden liegen, und für diesen ist die Richtigkeit der Behauptung evident. 51 durch. eine. allge Ergänzungs Durch eine in einem gewissen Bereiche convergirende Reise, welche nach ganzen positiven Potenzen von 5-9, 9–6, 2–1... Fortschreitet, wird. Finition. von d., 4, 4... für ein gewisses, Gebiet» definirks Auf diesen Gemeinen Fall werden die Begriffe, einer aus der ersten abgeleiten, Reise»,« eines durch die erste Reiche bestimmten Werthes» ohne Weiteren ausgedehnt. Soll& als der Werth der Fonation für 1-1, g- b.. betrachtet werden, so muß es, wenn man um 1 einen beliebig krinen Kreis beschrein möglich sein, em a, b... so Kleine Kreise zu beschreiben, daß es innerhalbe derselben Werthesysteme d., 91, en giebt, für welche sich eine noch Potenge von&. d., 9- Y.,.... Fortschreitende Reise aus der ersprünglichen ableiten. läßt, die für X – X, 4–91.... einen in dem ersten Füreise liegenden Werth annimmt, und daß dies auch m allen Reisen gilt, welche aus einer solchen auf Wegen abgeleitet werden, die ganz innerhalb der Kreich um&, w... verlaufen. M sein fortschrei Re Sind Sind mehrern nach ganzen positiven Potenzen& kende Reisen gegeben, so haben die Gebiete der dadurch bestimmten. Fractionen einen continmirlichen Bereich gemeinschaftlich Leitet. vona aus auf demselben Wege( ganz innerhalb dieses Bereiches, man von a w m auf was den f Lail Veres Reihen ab, welche für den Punkt os gelten, so nennen wir sie coordinite Reisen. – Eine Reise and diejenige, welche ihre Ableitung vorstellt, 52 haben dasselbe Gebiet. Zu jedem durch die erste Reise bestimmten Werthe wird der zugehörige differentialsrafficient durch den coordinirten Werth angegeben, welche durch die zweite Reihe bestienat wird. Dieses muß berücksichtigt werden, wenn man Functionen von Functionen. differenzirt. Es kann auch auf mehrere Variebeln und höhern Ablei, tungen ausgedehnt werden. Auch der Satz von der wahren Ausdehnung des Convergenzbereiches einer Reise erfährt für mehrere Variebeln die entsprechende. Erweiterung: 1 Jull Lange y Lines reiſe A احمد IV. Endeutige analytische Functionant on& entwübelt werden kann, Eindeutige Functionen, welche in der ganzen Ebene sich wie rationale verhalten Ein Function. von d, welche für alle endlichen Werthe von& den Charakter 53. einer grünzen Function hat, d.h. welche in eine beständig convergirende. Reise nach positiven ganzen Potenzen. wird in einem allseitig begrenzten Theile der Ebene nur in einer endlichen Anzahl von Prakten gleich Null; wie oft sie es in dem Theile wird, lehrt ein ein schon bewiesener allgemeiner Satz. 25 as 54 Wenn eine derartige Fänition fo) nur für eine endliche Rezahl Phon von den Ordnungen M, Ma)... unendlich setzen: F( 2)= 11( 3). Fr( 3), wr II( x)=( x- x1)"( de). Γ. endlichen Werthen d., da,... Nat. Owin wird, so kann man und fold eine beständig convergente Reise ist, welche für keiner endlichen Worth Order& wird. von a vond den Charakter au L พ Inde Fumition, welche für alle endlichen Werthe einer ganzen Function hat, kann im Unendlichen jedem andlichen oder enendlich großen Werthe beliebig nahn gebracht werden. Eine Fraction von&, welche für alle endlichen Werthe von& den Garakter in einer rationalen Function hat, dah. welche für jeden endlichen Werth von a in einer gewissen Umgebung durch eine unendliche Reise mit unendlich vielen positiven ganzen Potenzen und einer endlichen Zahlen negativer von u – a dargestellt wird, wird innerhalb eines endlichen Theiles der für eine. Ebene mur Worthen unendlich groß odas einer in Bestimmten Größe gleich. – Wird eine solche diention f( 5) nur für eine endliche Anzahl von endlichen Werthen da, d,... Naß. von den Ordnungen so setzen: Fl)=( x) 9( x) Mo)-( 4-1) x- x..... Mr, Ma.... unendlich groß, so kann man, und& eine beständig convergente Reise mit positiven genzen Potengen ist. – Im Urendlichen sind auch diese Frmationen anbestimmt Mon x für endliche Zahl von. 55 die Ableitung einer solchen Function existirt, wird erhalten, indem man von ist also eine Function von / M N M existirt, wo sie nicht& wird, und jedem Gliede die Ableitung nimmt; ganz derselben beschaffenheit, wie die ursprung de liche, and wird für dieselben endlichen Werthe unendlich groß. – Ueber die Anzahl das Nätt- und Unendlich verdens ist ein allgemeines Setz schon bewiesens Hat f( x) für alle endlichen Werthe ſich rationalen Funtion, und nimmt es einen Werth b für endliche Werthe den Charakter einer ganzen der 56. Mater wer miel an( wr 2 endlich sein soll), so giebt es in einem noch so kleinen b eingebenden Bereiche unendlichwiele Werthe, welche die Fraction so oft amiimmt, wie man will. – Beschreibt. nämlich einen Kreib, der alle Prakte umschließt, in welchen fl) –b wird, und läßt& denselben in pohi, tiver Richtung durchlaufen, so beschreibt f( x) –& eine ebenfalls geschlossene Linie. Wir contreißen nun um b einen Kreis, der ganz innerhalb des in Rede stehenden Bereiches liegt, und innerhalb dessen bein Pänkt der - Linie liegt. Ist nun b, irgend ein Punkt innerhalb dieses Kreises, so wird& innerhalb des ersten Kreises 2 mal – bit wegen der gleichen Chan rakteristik der gelinie in Bezug auf to und b). Jetzt sei da einer der unendlich vielen Pänkte außerhalb des ersten Kracht, für die der absolute betrag einer von sa Langan n Exx) – b< 8( 8 der Radies deszweiten Kreises); so liegt vo – flxc) innerhalb des um b. beschriebenen Kreises, und f( x)= 40 hat mindestens 2+ 1 Auflösungen. Solcher Prakte do giebt es aber unendlich viele. Daraus folgt die Behauptung. – Mankonn auch die Forderung erfüllen, dieß die Werthe 57 rond, welche F( X)= 40 erfüllen, sämmtlich von einander verschieden sind! ( Man berücksichtige, daß, wenn do eine mehrfache Würzel von FW- 40 ist, E( 1) –0 ist, und daß in jedem endlichen Bereiche nur eine endliche Anzahl Märzeln der Gleichung f'( x)= 0 liegt.) – der Satz ist auch auf den Fall b- x auszudehnens Wenn& auf die Punkte innerhalb und auf der Grenze eines einfach begrenzten Theiles der Ebene beschränkt wird, und man eit zo die untern 26 95 38 да Grenze der Beträge der zugehörigen Werthe von fla) bezeichnet, so giebt de es unter diesen Werthen vind. solche Wertheit, daß der Betrag von F( V)-44 den Werth go animents Ist. um yo von Näll verschieden, so liegen die Purke: an der Grange. – denn liegt& im Inneren, so kann man in einer gewissen Umgebung wo M70. m! ( m+ 1)! la von di setzen: F( x) – f( x)= f( x)( x- x1)"+ 4)( x- 4)- Wegen der Stetigkeit. Stetigkeit von fla) ist es nun möglich, innerhalb des W Cavergenzbereiches dieser Reise einen Krail um d. so zu beschreiben, daß wenn& denselben durchläuft, der Weg rong in allen seinen Punkten ver dem Punkte is unherzt, als der Nällpenkt. Da aber die g – Linie Hr durch& in's Unendliche gehende Gerade. i mal schneiden muß, so giebt es auf dem um d, beschriebenen Kereise einen Stänkt& deart, daß das zugehörige v zwischen 0 and go liegt, dah. dem Betrage nach als& ist, gegen die Voraussetzung. Die von. гир f( x) eine ganze kleiner Funation. gw Any zin pr Wenn. man mit ‰ die obern Grenze. bezeichnet und diese endlich ist, so Bern wird sie ebenfalls nur an der Grenze erreicht. Die Existenz der Würzele der Gleichung f( 1)= 0, ist, läßt sich hier wieder beweisen. Es sei nämlich& irgend ein endlicher Pr Werth, also f( a) auch eindlich; so kann man am a einen so großen so großen Kreis beg schreiben, daß auf seinem Umfange stets( f( x)( a)) ist. Fürner sei to Unteden Werthen auf dieser ku weise eind innerhalt desselben einer, für nätchen f( xo) den kleinsten Betrag hat; so muß& im Inneren des Kreises lingen ein Folglich ist Elbe) –l( Wesentlich nach Couchy.) Fantionen wilden, in durch Anwendung linearer Substitutionen kann man welche fürgerissen endläsellerthe unbestimmt werden. in Punk = Von der Integration. debt. Ist eine Ist eine in der Umgebung eines Pänktes& geltende Reise sw- 6+ 1( a)... 59 gegeben, so wird dadurch eine analytische Function definirts Die Reiche&(&) C+ 6( x- α)+ ½ C( x- α) ²+'&(( x- a) ³+..., wav Ceine willkürliche Constante ist, führt zu einer Fraction, deren Bereich ganz derselbe ist und deren Ableitung durch jene dargestellt wird, und zwar gehören stets coordinirte des Werthe zusammen. Diese Fraction seißt die Integralfunction, foods. daß Ihr Werth in irgend einem Pänkte hängt – von dem Wege ab, auf dem die ar mtl ti Jen N von& aus. Veränderliche zu ihm geht. Durch das Zeichen( fwdx wird angedeutet, &( 2)( fwdx; daß gra) –s gewählt ist. – bestimmtes Betegral,[[( 710) de, Integrationdung. Cauchy führt die Tetegrale zwischen complex en Grenzen auf Integrale 60. gwischen reellen Grenzen mit reallen Fractionen von inn zurück. auß, reellen Veränderlichen. ein. 61 Wir betrachten für jetzt den Fall, wor flat) innerhalb eines contimüürlichen Bereiches als eindeutige analytische Function definiert ist. Das bestimente dur tegral auf einer ganz innerhalb dieses Bereichel verlaufenden und in einem bestimmten Sume beschriebenen Die geschlossenen Linie von einem ihrer Wisher Prakte bis zu ihm zurüill hängt nur von der Linie ab und und heißt. vollständiges Integral. Die Differenz zweier Werthe das Integrals irgend einem Pänkte& ist ein vollständiges Integrale Sind Fr, Fe, vollständige Integrale und m., w.,... ganze Zahlen, so ist( 0) Dm, Z+ m, Z... ( 3), Z+ mZt... Werth von[ fwände, unte alien in. ein. 6) einer ist. Ist der Bereich nur nach Außen hie begrenzt, so ist die Entegralfrmation iin ihm eindeutig, also jedes vollständige Integral- O- Ist der Bereich ein durch eine einfache Linie begrenzter Theil der Ebene, ein 27 TS. 62 an,# 2)...) An ausgeschlossen. in welchem eine endliche Anzahl von Punkten. ist, so kann man von 2, A2,..., An aus Linien 4, la,..., le bis an die Grenzen des Bereiches ziehen, welche einander nirgends treffen und sich selbst nicht begegnen. Durch Aufschließung dieser Linien wird der Bereich ein mir nach Außen hie begrenzter: Wenn daher der Integrationsweg Linien schneidet, so ist das vollständige Integral –0. Dabei darf über der Integrationsweg mit we, we,... mit w., we,... Strecken gemeinschaftlich haben. und zwer Beine. dieser. im Line Ver Wenn der Integrationswag etwa die Linie 4( gerade gewählt) einmal schweidet, die Linien le, w... aber gar nicht, so ist das vollständige Intagrab ferauf ihm&& C, wo C, das vollständige Integralß auf einem( genügend Klein die nen) um 2, beschriebenen und im positiven Sinne durchlaufenen Kreise ist, +6 oder – C, je nachdem die Charakteristik des Integrationsweges in Bezug aufs, geich stoder –1 ist. Es ergiebt sich dabei, daß& vom Redius St. nicht abhängt. Für die Punkte A., 9)... De führen wir in greicher Weise fr Co, G.,..., Can ein und erhalten den Satz: Ein vollständiges Fntegral auf einem Wege, dessen Charakteristiken in Bezug auf an, Aerman grichße,& sind, ist=&& taz le t...+ de Cr. – Umgekehrt ist jeder Ausdrück von Form ein vollständiges Integrel. An Logarithmus und Exponentialfunctions Le)... Ke. Dieser d 1+ Mr. die Integration der rationalen Brüche, welche durch ihre Zerlegung der in Partialbrüche erfolgt, führt zur betrachtung des Integrals He de das vollständige Integral. indem man, too dx. auf einem Kreise. x- a ima too dx ци ist= 2i sdt= 2xi, F ſtalt 4 ſi dt= π satzte( Man gelangt hierzu, indem man 1842= 4/1 91 1t П benutzt, und daß 5-7 auf dem um 0 mit Radius1 beschriebenen Kreise.) das Integral 1 Werth von. wo. während ist hier auf reellem Wege auszuführen. Man nemt nun die Function 64 Sdx, welche die Periode 21 i hoit, log x und hat: log x=( 8-1) –§( x- 1) ²+ 3( x- 1) –... innerhalb eines um den Pärkett mit dem Radius 1 beschriebenen Kreises chals Fractionenelement. Ist& rnell und positiv, so giebt es einen reellen logx, welcher mit Log& bezeichnet werden mag. Ist& beliebig, und& sein Betrag, so sei& –M( arvi); dann ist loga- Logs+ i sinto- odu) – og r+ iq, der Sector ist, welchen der Radusvector van d er Integration auf dem mit dem Radiust um den Pänkts beschriebenen Kreise bestreicht, mit Berücksichtigung der Richtung seiner Bewegung; die ganze Fläche das Kreises ist u. Daudo- v'du- Vu zdr» ist, so bedeutet& 65. auch, den von à durchlaufenen Kreisbogen and 21 den Kreikumfang. durch –1 bis ins Unendliche gehende gerade. Strecke ausscheiden, wird logu zu einer eindeutigen Function. Für die Prakte dieser Strecke selbst wird sie zweiwerthig. al 2, b 7 An Indem wir die von Man findet leicht: log( xy)= log x+ logy. for= Soll&( 1) eine Function von der Art sein, daß&( log&) –& ist, so muß dolu) und P( 0)-1 sein. Diese beiden Bedingungen erfällt die Reihe фел 1+ 4++ ut..., welche beständig convergirt, sie ist auch so beschaffen, daß sie& giebt, u u2 21 wenn man U= ung der Entwickelung von. Fly, J.,...) den Garakter. 66 loga setzt. Hätte man dies durch Einsetzen 67 log& für eine gewisse Umgebung des Pänktes 1 beeiner ganzen. wiesen, so würde die allgemeine Richtigkeit aus dem Satze folgen: Hat Freation für alle endlichen Werthe der Argumente, ndiß es – 0 für correspondärende Werthe mehrerer Functionen t), d) m von& in einem Bereiche, so ist es es für jede Combination von correspondirenden Werthen. 28 85 68 69 Man bezeichnet&( 1) mite, q( u) mit eu. Allgemeiner setzt man e u log a = a" u für Allgemeines über die darstellung der analytischen Functionen.. Hat Ex den Garakter einer eindeutigen und ganzen Freation, alle Pänkte eines Bereiches mit Ausschluß einzelner( der sog. singulären. Punkte), und ist ds ein Pänkt dieses Bereiches, den sich ein Kreis beschrei x m von innerhalb Sinne Σ in Durchlauer und nicht. dx メール ben läßt, der keinen singulären Prekt einschließt, mußer vielleicht 201 so ist seit dr=( x) dx"+ ff") dx" für alle Werthe jenes Kreisel, indem d' einen diesen Kreis im positiven fenden Pankt vorstellt, während& einen um do beschriebenen und einschließenden,& einen um& beschriebenen genügend keinen Kreis im positiven Sinne durchläuft. Daraus ergiebt sich: 2xi f( x)= f( t) + dx". Mit Hülfe der Entwickelungen von und z geometrischen Reise findet man: Fl) – Cold do), we had ſ ( s genügend klein, kein Punkt, welcher den Kreisem den Prakt. mit dem Radiues 1 im positiven en Sinne durchläuft. Wenn die negativen Potenzen fehlen, so it do kein singulärer fänkt, wenn sie in endlicher Anzahl vorhanden sind, so hat f( x) in der Umgebung vonds den Garakter einer rationalen Function; sonst ist f( x) unbestimmt. der. 81 xx noch. ( 15) W Ka der strenge beweis dieses Satzes erfordert den folgenden: Wenn für alle& in einem contöntörlichen Bereiche eine unendliche Reiche estetigen. Functionen&( 5) convergirt und zwar Z. Glw für alle in diese& den gleichen Gradder Convergenz hat( dehr wenn sich bei gegebenem S 10,920)....( so herausheben lassen, daß( 2) 40–80) –...& r( 1) s ist für alle diesel), ſo ist Ze() für diesen Bereich eine stetige Function f( x) and Hiswolef( x) dx. Dies wird zuerst für reellen Fractionen von reellen Variabele nachgewiesen und dann erweitert. Man bedient, sich das Satzes: Wenne reall von&, bis die geht und f( x) dabei well and stetig ist, so ist f& fl)-( 1- x) f( x...) if( d... de) bedeutet: E' für ein Argument zwischen 4s and de). fir Lini & Wenn die Entwickelung f( x)= Es br( 5–46)» nur in endlicher Anzahl negan tive Potenzen enthält, se ist, von der Natur einer ganzen Function in der Umgebung vonds, und man kann leicht den Begriff eines abgeche eiteten Functionenelementes auf auf solche Punkte ausdehnen. nicht dex Golf( 2) wenn. f( x) in unendlicher. beschriebenen. Eine derartige Entwickelung ist rmmöglich, Nähe vond, unendlich viele singuläre Pänkte hat. im Inneren und auf dem Umfange eines uma nur eine endliche Anzahl singulärer Punkte,( a), a damn, so ist immer, halb dieses Kreises f( x)= f( x)+ d(+ a+5,( a) the( 4) t..., wo fol) ein Reise mit ganzen Potenzen. von& –α ist und Ihn, G,( n), de( nc),... bestden, dig convergente Reisen sind! 5 reises. nad 2 Licher Väter gof.. von& den Charakter einer Wenn fl» für alle endlichen Werthe rationalen Function und auch auch im Unendlichen einen bestimmten Werth hat, so ist f( d) eine rationale Fruction von&. Wenn die eindeutige Fanation f( d) nicht rational ist, so hat sie ich wenigstens einen Grenzpunkt, dh. einen Pünkt, in dessen Umgebung erdie Natur einer rationalen Function nicht hat( er kann unendlich entfernt sein). allgemeinen eindeutigen analytischen Functionen. alle Herstellung Wenn f( 3) und f. 64) für alle endlichen& die Natur der rationalen. уб 71 72 29 .es 73 desselben. Fonctionen haben und gleichzeitig& und& werden( immer von word( s) eine in eine beständig convergivande Riche Ordnung), so ist fi HX) , wi.. vand entwickelte Fänition ist. noch ganzen positiven Potenzen. Wenn für alle Pänkte innerhalb eines continuörlichen Bereiches mit Ausschluß von einzelnen eine Summe onen. von unendlich vielen analytischen Fänte 29( 7) convergirt und für alle den gleichen Grad der Convergeng. besitzt, so stellt sie eine analytische Fraction f( t) vor, diman erhält, indem man. jedes& entwickelt und die gleichnamigen Glieder zusam, menzieht, und es ist fr(&) – Z& 2).( Bei mehr deutigen kunationen sind correspondirende Werthe zu nehmen) Von. der. Natur. von. ( v) Die. nur für x- a verschwindet, ist – dieser Form, sondern – C.& i 909 M all Di V Eine Function einer ganzen, Ce( 2), wo G( 0)= 0, nur für 450 nicht. Wenn die unendliche Reise Größen ww)... so beschaffen ist, daß die Br Reihe, welche aust, aus allen Zahlen&, aus allen Producten zu je zweien u. s. w. besteht, anbedingt convergirt, so sagt man, daß das Product( 148)( 1+ 0)... unbedingt convergirt, und nemet die Summe der cowergenten Reise den Werth das Productes. Die nothwendig, und em hinreichende Bedingung der Convergenz ist jiernach, daß α, 41 t... unbedinge m cowergirt. Daran schließen sich einige Sotze, ganz wie bei der Converging so 74. unendlicher Sommen. – Es ist auch log{( ta)( 1+ 0)...}= log( 1+?)+ log( stast... – Unige kehrt: Ist Σ. log( 1+ α) convergent, so ist Ustas es auch.( Man kann zum Beweise benutzen, daß log( 1a)= af det für( a)< 1.) Stat 75. Wenn unendlich viele Functionen&( 2), die für alle endlichen& die Natur Functionen besitzen und für 1–0 gleich 1 werden, die Eigenschaft. der ganzen selten haben, daß 160 convergirt und den gleichen Grad der Convergenz hat für Michelled mit Ausschluß eügelner, die in einem endlichen Bereiche mir in endlicher Anzahl vorhanden sind, so convergirt II( 6) und läßt sich in eine beständig awergente Reihe entwickeln. 1 eng m den Hiermit keneman zeigen, daß es Frnationen giebt, die überall die Natur einer ganzen haben und für alle ganzzahligen positiven Verthe, oder für dos( 1–2), le günzahligen Werthe überhaupt verschwinden.( Form:& Metz, n ganz, 20) Sind unendlich viele Zahlen&, a..... gegeben, für welche eine Fänition. f( 2) verschwinden soll, von welcher man verlangt, daß sie für alle endZeichen Werthe von& die Natur einer ganzen hat, so ist zunächst nöthig, daß sie in einem endlichen Bereiche stats nur in endlicher Anzahl vorhanden. sinde Dabei wird jede Zahl so oft geschrieben gedacht, als die zu gehörige die Prönungszahl angiebt. Soll f( 0–0 sein, so verstehen wir unter a, a,.. die übrigen Werthe, welche f( d) –0 erfüllen. Durch die vorangeschickten des Sätze Kann un beweisen, daß flat) hergestellt werden kann, End unbedingt convergirt, man i = 0 oder können oder Era, der wenn oder ganz ding: M= 0 ist, wann und. 1 kurz, m 70; und zwar ist f( x). us ・( 가출), W. f nicht – 0 werden soll, und sagt die zugehörige Ordnungszahl bedeutet, ferner 2) eine beständig, onvergirende Reise ite Wird eine für alle endlichen Werthe von à eindeutige und den Ga. 76 rakter einer rationalen besitzende Fumition von d verlangt, die für gegebeine Werthe&. und für gegebene Werthe und für gegebene Werthe& wird, so ist sie von die Funitionen fx) and 4( 7) so finden. der Form. 9( x)= 4( x) e h( 7) wenn man kann, daß sie im Endlichen stets die Natur eines ganzen besitzen, und 30 77 daß jene gleichzeitig mit der gesuchten verschwendet, diese an den wr die gesuchten.& werden soll. Die Formist dann die eines GürStellen. tienten. zweier beständig convergirenden Reisens Um die letzte Produktentwickelung noch anders herzuleiten, schicken, wir folgende Bemerkungen voren: 4- ain Wenn für alle Pänkte eines Kreises mit Ausschluß von einzelnen eine unendliche Summe 2.865) von eindeutigen analytischen Frmationen( convergirt und denselben Grad der Convergenz behält, so daß Exer) der f( ß) eine an emalistische Funition für dieselben Punkte ist, so hat man £ f( u) du=& Soudu, wr. alle Integrationen auf demselben Wege imerhalb jenes Kreises auszuführen sind.( Versticht! mehrdeutige Funktionen, so sind correspondrende Werthe zu nehmen.) Zum Beweise beinitzt man den Satz: Es ist hörajda- 1R12 dem Betrage nach, wenn t die Länge des Integrationsreges and R der größte eine Betrag von( 1) auf ihm isto гра der. S man unter& hörnſdu Fruction F( s) den Charakter einer retiv d log Fix) 8 dx. = m dlog( a) dext + P( xa), wenn dagegen F( a) von War ци Mu Mis von a convergirende Potenz s Gort eine eindeutige. onaten für alle endlichen d; ehr ist: wo P( 4-1) eine in gewisser Umgebung reihe ist; m ist –0, wenn Fla) weder& noch& ist; □ ten Ordnung 0 oder& wird, seit m=+ n, nths. – M. – Umgekehr. ruction&( 8) – m da logix 2)+ P( x- α), alle Pünkte repräsentiren soll, in denen&( 2) nicht den Cha, rakter einer ganzen Funktion hat, so kann man F(&) als eindeutigen und im Endlichen stets die Natur einer rationalen Friction besitzende Ist in der Umgebung wra von& einest D M -30 Fruition so befürmen, daß de los far. H 82). Ist H&) eine Auflösung, e so ist auch la F( 3) eine, wenn n 1-1 ist. dxA eine ganze Function vond vom Grade. weiten Es sei nun eine Function f( x) verlangt, die für alle endlichen Werthe die Natur einer ganzen hat und für die von 0 verschiedenen Werthe w, Ae,... verschwindet; diese seien dereut, daß wir unbedingt convergirt. Sin( a) d^ log( ka) – 8( 3) und wende genz, 70). Denne setze den letzten Satzan; man ( x) > 2 Ist man (-a) 9( x) dxA atz = findet: f( x) – et II( 1-4).**** a t... † A सन in einem um A weschriebenen Kreise Sein singulärer Pünkt der 78. eindeutigen Fration F( x) außer& gelegen, undauch keiner, in welchem sie verschwindet, so ist in gewisser Umgebung ww ine. non a : log Fox)= m log( x- 4)+ Gía)+ P( x- a), G( n) eine beständig convergirende Potenzreihe ist, P( n) eine in gewisser Freige Umgebung des Wallpunktes convergirende. Man kann zeigen, daß in stats ganze Zehl ist, wie man es bei einer Fraction, die in der UmmUmgebung. von& die Natur einer rationalen hat, sofort sieht. Es ist also in der tin Nähe von α: Stxa) F= este f( x- a), x= a nicht unendlich viele P. keine negativen Potenzen von 50. enthält und für von der miten Ordning Null wird( rep.&). Auch shier heißt in die Ordnungszahl. Es sei jetzt eine Friction de verlangt, welche eindeutig ist und die wehr Grenzgänkte&, 42,... im Endlichen hat, und es werde vorausgesetzt, daß von diesen Punkten nur eine endliche Anzahl in jedem endlichen Breiche liegt Um a., R.,... mögen Kreise beschrieben werden, welche geinander ausschließen. In jedem solchen Brüche können unendlich viele Pünkte liegen, in denen F( 8) gleichß oder& wird. Außerhalb der Kreise ende 31 18 welche. 0 liegen in einem endlichen Bereiche nur in endlicher Anzahl Pünkte für oder& wird. Men bilde( wenn es möglich ist) dies beständig mergirenden Reisen 5( 1), G( a), G.( a),...., Heu), H( 1), Ha( n),... Derart, daß F( x) verschwindet für die außerhalb jener Kreise gewogenen Worthe von&, für welche F( x) verschwinden soll, Urm) verschwindet für alle in dem um& beschriebenen Korise liegenden Werthe rond, die FW- 0 machen, ferner su de( x) verschwindet für alle& im Kreise um 42, für die F( x)= 0 ist, un sewe, diß H( 2) verschwindet für alle& außerhalb jener Kreise, für die Fax)-00 ist, niche H(& a,) verschwindet für alle& im Kreise uma ,, für die F( x)=& it, u. s. w dann 2 F( 1) Ex( x) 2.( 1), 2... F( x); so wird Ih weder& noch Es sei Nv. Stra). Netra)... ausschließt, und man kann setzen F beständig convergirende endliche. = e convergirender Reisen sind. De e **** 9( 7) weder& &, wenn man A, da,... Biote wmy 1( 3), ver Es( 4), Ex( 4). von& noch& wird für en der und keine Grenzpunkte im Endlichen hat, so ist 863) – e ECH Els) eine beständig convergirende Reise ist. Man hat also schließlich: F( x)= F( x).( x)&() e e 41, Box( x)+ Q,( x)+ Q,( x- a₂) t... , wr. oder= Pex Q( x), wo P. J Glänztä.)... 4( 4) : e e Q) – His H.( x- 9) Ha( x'a).... ist;& und Rs) werden weder& noch unben ſstiment, außer in a., Az,... Hieraus folgt auch die Form F( 3)= To( 2)+ P( 20)+ P( x'a₂)+... P.( u), P.( n),..., Rosu), 2,( n),... beständig convergirende Reisen sind, welche im Varendlichen einen Greappunt haben können. Diese From zeigt den analytischen Zusammenhang zwischen der Frection und ihrem Argument in einer überall gültigen Form. Veit yty 2 ligh mit daß Putz a 79 der Satz über die Ermittlung vollständiger Integrate bei Anwe, ohne Grenzpunkten ist eine einfache Verallgemeinerung des früheren», un senheit. von 15 Bestimmungsstücke einer analytischen Functions ир V. Kriterien und Bestin Kriterien einer anat Wenn zu jedem Werthe nalistischen Function. vond innerhalb eines einfach begrenzten Bereies ein Werth einer Veränderlichen& gehört, der sich mit& stetig ändert, y verses 含 r pa ( FR) di se so, daß es nach Abgrenzung eines& eines ganz innerhalb gelege gelegenen brßiches und Annahme einer beliebig kleinen Größes möglich ist, Iho festzu, itzen, daß( 1–4)< ε für alle Punktepaare&,&, innerhalb des zweiten weiches, sobald(&&) – Sist,) und für jedes& eine erste Ableitung X- X wein. маши Die drei. z existirt, die sich mit& stetig ändert, so ist Ih eine analytische. nction von&.( Cauthy.). ( Cauchy.) – Um diesen Satz zu beweisen, muß 80 der Begriff des Integrals einer solchen Lunition definirt werden, end zwar ist syde die Grenze des Ausdrußes Both( x, x)+ 777( X- 1)+ 14( x- x), erde ,, tes..., die auf dem Integrationswege eingeschaltete Pänktesinde berseiter zeigt sich, daß die unendlich klein wird, Ränkte d.§.,& e einander unendlich nahe kommen. Folglich ist die Summer 47 +44( x, x)+ G+ Jr( × 2& 1)+ Get( x- xe) oder –( XX)( x, x){ – Bach gleich dem lächeninhalt des Dreiecks(&&& e), multiplicist mit einer Größe, die mit diesem Flächeninhalt unendlich Kwin wird. Darul ergiebt sich, daß H& dx auf einem geschlossenen Potygon –& ist.( die Bedingungen de Putzes können auch so ausgedrückt werden: 2 muß endlich sein, wie ehe auch dem der herankomme, 2) 357 – 2. muß unendlich Kein sein mit muß so beschaffen sein, daß punke 2 Here, werd α- X₁ oder. y + Я yr xx ( x- x1)( x- x2)( X)( X)+(- 1)( x) - des. 32 35 der ¿( Xtend.) unendlich klein ist mit&&, und& – Xc.) Man dehat dies nun dahin aus, daß sy dx auch verschwindet, wenn der Integrationsweg eine belie82 bige geschlossene Curve ist. Ferner betrachtet man den Fall, 83 У wo inner, die halb eines einfach begrenzten Bereiches Pünkte oder Flächenstücke ausge im schlossen sind, uns findet schließlich durch betrachtung des Integrales Ven dt, in derselben Weise, wie bereits früher auseinandergesetzt worden ist, daß, wenna ein Ptänkt innerhalb des Gebietes der Finition, und& in gewisser Nähe von A gelegen ist, g – 1+&,( x- a)+ c( X- a) t... ist, wa X- X = Απί dx, аш be isa, genommen auf einem genügend kleinen Kreise den Pänkt a. – hätte men einen Bereich, aus dem Punkte oder. Flächenstücke ausgeschlossen sind, so würde man Reihen mit gesinst nativen Potenzen Herstellen. tiren und. маут Conforme Abbildung. Mit Hülfe einer analytischen Fanation bonm eine einfach begren ebene Fläche auf einer Ebene in den Kleinsten Theilen ähnlich( conform nach Salts) abgebildet werden, wenn die Function in wenn die Function in jener Fläche eindeutig, endlich und stetig und ihre Ableitung mirgend –& ist. Zweivon einem Punkte ausgehende Linien werden in zwei unter deng selben Wirket sich schweidende abgebildet. Soll. ein einfach begrenzter Bereich auf einem ebensolchen durch eine Function& abgebildet werden, so ist es nothwendig Hinreichen. Sinnes. daß, wenn du den Umfang des ersten einmal im positiven. durchläuft,& den desweiten einmal in demselben Sinne und in stetigen Fortschreiten Durchläuft. ma -11 and C Wan ihre Sin Lalin ausge 4 zi Live die Function y- ax+ b liefert eine vollkommen ähnliche Abbildning. е bez oder 96 4a bt X- a 4-6 x- a Eine gebrochene Function ersten Gredes, g-liefert die Kreisverwandtschaft( Möbins), bei welcher einem Kreise entgegengesetzt durchlaufener, also dem Inneren das einen das Reußere das anderen entspricht.( Pänkta ist auszuschließen.) ein Die allgemeine gebrochene Function zweiten Gredes können wir mahmen unter der Form x- 1 J y- + -a h 214 + 4. Setztman is a wind( y- k)( b- a)+ h – 9 – 7, so erhält. 2iVg V = = 84 t 85 man 2- ½( t+ Z). Nehmen wir nun ang = daß& einen Kreis beschreibt: t- rés( scopßent,& vond bis 2x), so beschreibt 2–1+ 01 die Ellipse, deren Gleichung ist: H ひ Gleichung ist: D+ 1= 1, wo his=( 1+ r), 9- ½( 1–7), also zurg – 1. Simment van man Die. = = alle 841, so erhält. gerade. man wieder Die 2- Ebene; Seo giebt 2–80; 1-1 giebt die ganze. 1 bib+ 1; nimmt man alle 271, so erhält Anderes Beispiel: 1-6 x ca 5-6 = u Strecke von. ganze Z- Ebene. 7-1 man u= ZH giebt 4–0, ∞, 1 für rett.& – a, b, c; setzten Formand 2= ½( t+ ½(), so wird daraus: c- x- a c- a X- 2=(+-1) ² H loge bei Ausschließung der gereden. Anwendung: Der Prinopolwerth. Grei Strecke von& bis. von o bis –& mz Итли жам = wird dargestellt in einer darhwag gültigen form, ( 1) setzt, wodurch log x= 2 log( 1+*)- 2 log( 1- t), also nach gangen positiven Potenzen vont entwickelber wird, es ist chrvelle Theil. von sus positiv zu nehmen ist. Bestimmungsstücke Ht. einer analytischen Sunction! = So, wo der. Eine analytische Frnition vond, f( x), ist vollständig bestimmt, Wenn man lige ihre Werthe in sämmtlichen Pärkten& einer einfachen geschlossenen Linie Kant, welche weder singuläre Pänkte enthält noch solche emschließte 33 xx denn für alle im Inneren gelegenen Punkte& jo f( x)= f( x) dx. Fuß wird sich zeigen, daß hier zu viel gegeben wird! д = ди 86 Ist f( x)= prgi eine analytische Function von& –urri, se ist fri fr folglich Dr. –, de T. Auch die Umkehrung ist richtig. Denn auss der Formel: f( t)-f( 0)= ts'f'letide fags: fau+ th, v+ tk)- f( u, v)- ts( hfluteth, viεtk)+ kfz( u+ εth, v+ ε tk)) de, = wo. film, 0)= (( 41) aflu, v) 1) du, te( 4,0) de ( wo); ist also fell, 0) – i feln, 0), so ist flachwork) flu=( fluted, weekde, f j folglich f( 11,&) eine enelitische Freation + von uxvi. др до 0. Ver Ausdruck – du+ do dv 칼 + = P. даг zwar= dg. Fernerist und zu, du Totaldifferential and, ein Total dv ist jk Hülfshätze: das über einen begrenzten Bereich ausgedehnte Dippelintapre in Sø du dv ひ wo keine daselbst eindeutige, endliche und stetige 달 von nund o ist,( d. h. He doſe du+ sodu+...) den größten der vorkommenden Werthe Werthe Fumition. , wo gund an den Kägten und 2 vond bedeuten, U., Ue, Up, Up,... Die v u Ju von ll in den Pänkten der Begrenzung, welche zu einem Werthe gehören,) ist – Schøando über einen Theil der Fläche& II& ando über den Au Theit; ferner gleich dem Flächemunhalt derselben, mm anderen. = us multiplicist( mit einem Mittelwerthe rof, wenn& reell ist; folglich stets gleich der Grenze der Seemne aus unendlich Kinen Theiken der Fläche, jedes, daß mal multiplicist mit einem in ihm vorkommenden Werthe von&; mithie von 87 auch HS& dude- J& p do du. – Ist 4( 4,0) eindeutig, endlich und stetig mit zur = den ersten Ableitungen für einen begrenzten Bereich, so ist das über densel wo ben ausgedehate Entegral ſch dy dudo- sydo, im positiven Sinne auf der Begrenzung ausgeführt; ferner Herr Andr= – Sydu. Fuß Es sei ist eine reelle Frnition von 1, 0, endlich and petig nebst den. Ableitungen im Inneren eines gewissen begrenzten Bereiches, and im Faneren desselben sei auch zu den –0. Innerhalb werde ein Innerhalb werde ein Bereich abgegrenphdu d + อื่น se ist das über ihn ausgedehnte Integral( s(+ Jr.) dudo- 0, folglich das über ひ Ju Die begrenzende Curve ausgedehnte Integral( op do- Op du)= 0. Folglich ist das im Inneren das ersprünglichen Bereiches ausgeführte Integrat se dendur dr de für denselben eine eindeutig Fraction dε, jk дь von 4,0.. ди Setzt man es: 9–1, so 22-30, 32= – 2hr, folglich prgi eine analytische Function. ου == ди ist der reelle Theil einer solchen Frmition bestimmt also, solchen Bereich bekannt ist, den ima Bergen inneren Punkte Kannte Lion imaginären, wenn er. Von utvi. für einen. wenn man den Werth in einem Es seis eine Function derselben Art, wie st, und auf dem Umfange des ereiches –s, ſo iſt dire(+)( 3), folglich so дт ди arù du rar ǝ( rar) ου dr Iv ว dze( due did, alſo ſſ(+253) dude= fr( 25 do 20. du) so, дим = Du + Ου дж ди ar 0 ひ Welben. wo das erste Integral über den ganzen Bereich, das zweite über den Umfang ausgedehnt ist, demnach= 0, – im ganzen Bereich, d.s. S- 0 in demsel mit( Es wird vorausgesetzt, daß Umfange die sog. Normalakleitungen den. von& existiren.) Hieraus geht hervor, daß ß für das Innere des Bereiches sistimmt ist, wenn es auf dem Umfange bekannt ist, daß also die Werthe mitchie von sß auf dem Umfange and ein Werth für einen inneren Pänkt. mit zur Bestimmung der Fraction prqi ausreichen.( Es können auch die Werthe densel von A 1+ bg auf dem Umfange gegeben werden, wo a, b reall. α Ist auf einer einfachen geschlossenen Linie eine reelle, endliche und 88 stetige Fractionsgegeben, so kann man für den von der Linie begrenzten 34 48 др Ju mitz den p + Integral zu Bereich eine Fraction so bestimmen, welche reell, endlich und stetig ist mit ihren Ableitungen und so, daß S& D – O. Dies beweist Dirichlet= pr folgendermaßen. Da das über den Bereich ausgeführte Dippelintegrel f ( 12) dado sicher positiv ist, so wird es unter allen Functiomen, daß welche in dem Bereicht well and stetig und an der Grenzen dengegebenen beste Werthen gleich sind, eine Function& geben welche das einem Minimum macht. Versteht ebenso beschaffere Funition, welche eine reelle Captante, heißt()( 2) Andr=[[(( 2) ²+( 7) ³) du do+ k f f( dh ds+ dp 3 s) du do+ k²(() ²+( 3+) ²) dudo, folglich [( JR Du+ Jo Jo) dudo= 0, oder( da 2 ds-( A) de dp ds + ак ди дь до t др man dann unter& eine im Inneren Fo der Grenze – 0 ist, und unter K Jan ว др ου Ju a P= ди du² 1 do do do do= = 0, iſt) ſſ(+) dudo=(((()) dude ſo I do – In da) – 0; also ди ай ſ วะ д du² ===+ == ди + Die u für alle Pänkte des Bereiches. Dadurch ist das Vorhandensein für einer Fonction p von den. vorgeschriebenen Eigenschaften, deren Werthe auf dem Umfange gegeben sind, nachgewiesent dasselbe auf anderem Wege zu zeigen, gehen wir vond den Pankts mit dem Radius 1 ein Kreis beschrieben Vem. da aus: Es sei and für die Punkte desselben. gegeben; so kann man eine reelle, stetige Function. Folgendem. beliebig de bei Du dieselbe als eine stetige Fonction einer. von 0 bis 27 well verändernden Größe& betrachten und daher wir nach dem Fourier'schen Satze setzen- No+ by comp+ ½ css 20+}. Wenn silt sich + B, sinx+ Br die 29+.. num A= Astil, an= An- dei ist, so convergirt die Reise f( x) – 10+ 4x+ at+... =+( t- Bei)" én( wex- peri) für pat, ( wex- pedi) für pat, war für hat ist der der ηρί = realle Theil von f( 8) gleich tot&( che corno+ B sin np. n no s Hiernach haben wir nur die Aufgabe zu behandeln, eine Furation. http+ qi von x= U+ 0i zu finden, durch welche ein einfach begragter Bereich Here auf ein einen Kreis, etwa ein den Pänkt& mit dem Radius1, abgebildet wird Dabei ist jedoch vorauszusetzen, daß die begrenzung aus endlichen besteht, die sich in ihrer Richtung stetig ändern. Es sei do der Pänkt, 89 welchem 1-0 entspricht, und zwar 5. – Arke; so ist der eine Frmation, die in dem ganzen Bereiche nicht – wird. Für die Pänkte& im P + == Stücken. Umfange soll. 1½- 1 werden. Es wird also prqi so bestimmt werden müssen, daß an Der Begrenzung itog( 1²+ 9)= 0, im Inneren tog( 1379) – log(( ma) ²+( v – 6) 2) überall stetig ist. Man hat also für den Bereich eine reelle Femtion 1, die stetig ist mit ihren Ableitungen and die Gleichung Sur else und die an der Begrenzung mit – log( m- adt( 8-6) 2) übereinstimmt, zu sie finden. Demnach braucht man das Dirichlet'sche Princip nur für diesen Weiter ermittelt. speciellen Fall zu beweisen.. = hat daune: 1–5–40 deren reeller Theil – 1 it, und hat entspricht. dem bedeutet, dem 1-1 em weben Es kann verlangt werden, eine and analytische x1-70 e วน + อน диг= а dur= 0 erfüllt, J eine Function f( x), fox- fa) Function. wo de, den Punkt. von utvi zu finden, 90 die auf einer gegebenen einfachen, geschlossenen Linne den reallentheit feln,&) hat und im Inneren derselben in den Punkten. a., A.,... unstetig der wird, wie resp.&.( 8),& z( X),...( welche Funitionen sagt stetig sein sollen). Dann nenne man den reellen Geil! von 9($)+(&)+... etwa 9( 4,0) und bestimme eine Function ohne Untetigkeiten, deren reeller Theil auf der Begrenzung – fell,& – Flach it; zu dieser addere man erhält. man = Die verlangte Frections ( 7)+4( 7)+... so 35 1 m sch Eine Verallgemeinerung der Aufgabe besteht darin, daß die Unstetige keiten nur für die Nähe der Stänkte as, agen definirt zu sein brauchen; ferner darin, daß ein Bereich gegeben sein Kang aus dem ein anderes ausgeschieden ist; Endlich darin, daß die gehechte Fraction mehr deutig sein 86 soll. Dazu wendet Riemern eine geometrische Vorstellungsweise ans Ra 8. Hettner Gött. Kryst. 1880 8.386. 91 II. Von den algebraischen Functionen. Hilfſchätzen whu Dem im sin c Wenn in einer. Reihe 40+ 4x+ Ax+ mafasite Confficienten derart veren In derlich sind, daß die Reise in einem in einem gewissen Kreise stets convergirt und der Betrage. von Am stets größer bleibt, es eine Zahl g, so kann positive Zahlen ‰, 4,..., Ams and§ so festhetzen, daß, sobald( 40) – ‰,( 6) (&)...)( m) 1% ist, die Gleichung f( x)= 0 genam i deren Betrag – 5 ist; vorausgesetzt, daß ao, A.,..., Ohm- 1 schwinden. – Es sei nämlich fr( x)= A+ α,& t...+ amel so kann man Wurzeln hat, Z.. ao, Q.,..., An, gleichzeitig ver+- x M- I 14: 00-14 Amt1x+ amtz x 7... am Am 5 so finden, daß fx( 7) nicht- 0 wird für alle& vombetrage 5, she daß also fe für diese Werthe ein Minimum k hat. Ferner kann man ) di Lo, L... Ame, so festhetzen, daß fie – 2 x 2 x+ are& dem Betrage also = de am -m + am -mtl am von kleiner als K, wo k – 4, wird, sobald( 40) ‰, kon noch für dieselben Werthe vond ( a) 24,...)( a)& mn. Für diese Werthe von d, ‰, A.,..., An-, kam men Fig entwirkeln: Tog fox)= log a+ m log x+ log fx( x)+ log( 1+ fN log am+ mlogx+ log fx( x)+ m die. f( x) m 09 amx™ ficx) x ( a felr). f( x) 70x9 fr( x) von& = auf jedem folglich(=+9,( 2)+ C(+ P( x)+...), wo in Leiner der Reisen 8,089, 92( 7), f( x) 83( 4),... das Glied& vorkommt. Folglich ist das auf dem Kreise mit dem Radius& um size den Pänkt& ausgeführte Integral( fr) dx= 2mni, demnach Garakteristik der von f( c) während der Bewegung Kreise beschriebenen Linie in Bezug auf den Punkt 0, 9. e.d. Wenn auf einem. Kreise dand innerhalb desselben die Fractionen Ex) and 909) 92 den Charakter der eindeutigen ganzen Funktionen haben, so ist das auf dem Kreise ausgeführte Integral( fr) g( x) dx= 20ti Es G( tr), wo für x, alle innerhalb des Kreises gelegenen Würzeln der Gleichung f( x)= 0 zu setzen. sind, jede sroft, als die Ordnungszahl angiebt. Andererseitt, Pänkt& der Mittelpunkt das Kreises ist, kann man 1x nach seigenden. und fellenden Potenzen vond in eine zwischen zwei Kreisen, die mit diesem concentrisch sind und ihn zwischen sich einschließen, gültige Reihe entwickler und erhält dam: El g( x) dx= 2xi[ 20) f( x)], alfo& 9( 84)-[ 22/1,( 0)] 4, Z... Zu Br wenn de eine poſitiche ganze Zahl ist, so ist[ 6] er, == 1 -λ[ log f( x)] -1' H = fl wenn der. fxx vond, 11, 2,... ( x) X- 1 -Aforts ver Es sei f( 2, 4, d),...) eine nach ganzen positiven Potenzen. schreitende Reihe, welche in gewissen Grenzen convergirt, und welche schwindet für K- U- V-...= 0; es sei f( 1,0,0,...)» Folt) and f( x, 4, 4. def.&)+ flag.), brege also f( 2, 0, 0,...)= 0, fo( 0)= 0 und zwar etwa von der inten Ordnung. für die Beträge. von u., 4, d... obere Grenzen 5, 40, d.... Derert Enfsetzen, daß für( 1) –40,( W) Voho.. Die Gleichungen f( x, 4, 1...) – 0 genau M Lo kane mam. u, Dann. 36 38 93 Wurzeln hat, deren Betrag – 5 ist. Ferner läßt sich tog flacht,&,..) noch Potenzen Reihe entwickeln, welche für 1–5 und in der Röche gilt. vond in eine. =- u, 1. X,"' t. m Wenn nun d., da...., de jene i Wurzeln sind, so ist x,+ x+...+ x= d[ log for oder= – de[ log. fix, 4,9...] für den 1. Man kann also eine Gleichung Grades für d., t....., den aufstellen. Bann. man miten (( x) 2)) Ist Ax+ Ax²+...= P( x)= ch und& nicht= 0, so positive Zahlen 1,5 hr ber fimmen, daß zu jedem&, dessen Betrag – ½ ist, genau ein Werth von& gehört, dessen Betrag – 5 ist. Aus der Entwickelung full log( 90)-4)= lyp10-11 folgt dann, daß, so lange der Betrag vong eine gewisse Grenze nicht. erreicht, ein Werthevon& dargestellt wird durch die Reihe durch die Reihe& – 1yrke yr... wo b=[( 40))),=[( 168) sein( Pfaff löste die Aufgabe zuerst) die b sind rational zusammengesetzt aus einer jedesmal endlichen Anzahl der&; sie sind ganz in Bezug auf 4., 9.,..., während& nur im nur im Nemer. vorkommt. – Ferner iſt Ferner ist& d – –[ xder log( 909- y)]- 1 = " == xn- 1 11 X= am Die aim la 2 2 Fst also& w= 6+ 4x+ 4x+, ß = n so wird 4)( 2) – 6-[ 4( 2) log( 8x)-y)]= 6+ by+ licht..., wo le»[ 4x])"}] analytische Function Man sieht, daß& eine analytische Von 5. von Hen wird. an n en lich Fanationen der Allgemeines Verhalten der algebraischen Functionen. Es seien& und ich verbunden durch eine algebreische Gleicheng F( 8, 9) foll). yu+ fr( 3). yrs+...+ fx( x)= 5, wo fol*), fr(),..., Fe( 4) ganze sein sollen; diese Gleichung wird irreductibel vorausgesetzt. Mit ein höchste unter den Graden der Frmationen fo( 2), felt... En( x) bezeichnetz 4(&) sei die Discriminante der Gleichung, wenn Ihr als Unbekannt. Den 94 aufgefaßt wird. Die Wurzeln der Gleichung 4( 1) –0 werden wir die sinzu, es lären Werthe von& nennen. Der Gred von A(&) ist im Allgemeinen – 21( 2-1)) ein m werde der. -1 en wenn er niedriger ist, so hat. ba, - zu den singulären Werthen hinzuzu, fügen. 1) Ist a ein endlicher nicht singulärer Werth von&, für welchen foll nicht verschwindet, und br, be,..., be die zugehörigen( endlichen und von einander W verschiedenen) Werthe von Z, so giebt es, entsprechend jedem dieser Werthe,& ganz bestimmte nach ganzen positiven Potenzen vond& fort, schreitende Reisen, welche in gewisser Umgebung von a Die n n n -/ = σ Non da convergiren und Werthe von z. derstellen. Der Convergenzkreis einer solchen Reiche ist mindestens so groß, daß er durch den dem Pänkte& nächsten derjenigen Pänkte geht, für welche A( x) oder folt) verschwindet; und zwar ist mindestens einer dieser Convergenzkreise nicht größer. – 2) Ist a ein endlicher nicht singu. 95 lärer Werth von d und f.( a) –0, so setze man 1 – 2, wodurch die Gleichung myp x"+ f( x). 2"+ f( 29). fol. zz+...+ fx( 3)( fo( 2)» – entsteht; dann sieht man, daß Reisen miehen Potenzen für& wiederum in derselben Weise existiren, von denen indaß eine eine endliche Anzahl negativer Potenzen enthält. – 3) Ist- ein nicht singulärer Werth, so giebt es für& wieder Reisen, aber nach fallenden Potenzen. endliche Anzahl positiver Potangen enthält diese convergiren sämmtlich, wenn der Betrag vond größer ist, als der größße enter den Beträgen. in der Pänkte, in welchen 10) oder Fold verschwindetz und zwar mindestens. eine der Reisen nur für diese Werthe J Lit (*) n Wenn man von&, von denen eine eine. von. Alann x. daher eine beliebige begrenzte Linie so zieht, daß außer den Endpänkten Seiner ihrer Pünkte 1(&) oder fold) zu Null macht, so giebt es für diese Linie eine und nur eine analytische Freuition von&, die stats einen der Werthe vong darstellt und in einem bestimmten Pänkte der Linie 37 wenn man Von n 8. auf einem Teil in einen bestimmten derzugehörigen Werthe annimmt. Sind die Enpunte fro , u nicht singulär, so gelangt man, in do mit einem bestimmten Warg she Yo ausgehend, unter stetiger Veränderung zu einem Werthe&, welcher We einer der Werthe von& für 1–8, ist. Man kann ferner beweisen, daß, sie zwei Werthexanon,( X, Yo) red( X., Y.), beliebig giebt und X, 4, nicht singuläre Prekte sind, es immer möglich ist, von d. auf e 96 solchen Wege nach u, zu gehen, daß& in 7, übergeht!( Es sei nämlich 8,( 4, 4.) eine der in der Umgebung von d. geltenden& Reihen, Reihen, and 92( 7, 8), z( x, x),... Cr( x, xo), wo run alle daraus für die Umgebung vondo ab geleiteten Reisen( welche ebenfalls zu jenen& Reisen gehörenze Geht- ein wir irgend einer dieser& Reihen aus, so erhält man alle übrigen and Ver keine anderen. Wenn man nen man nun auf einem bestimmten Wege aus Reihen solche ableitet, welche in der Umgebung vond gelten, so erhält. man Sverschiedene Reisen G.(*,&.), dx( x, d),... Or( X, Ka), und diese gehören zu den in der Umgebung vond, die Wertheron& därztet, der lenden Reihen. Wählt man einen anderen Weg, so erhält Iman diesel. ben& Reisen, nur vielleicht in anderer Aufeinanderfolge. Es ist sche also zu zeigen, daß den ist. Zuspemmetrische Fenction. 9.( x, xo), 82( x, xo),...) Pr( X, Xo) nach steigenden Potenzen von X – X. in eine Reise F( α,&.) entwickelt; so bestimmt diese im Neise eine eindeutige Fruction von d, welche überall den Charakter einer rationalen Fenation hat, da sie auch in den singulären Pünkten der nicht unbestimmt ist. Diese Famation ist eine rationale Function von d, weil sie im Unendlichen bestimmt ist. Folglich kann man eine Gleichung diesen. auch p non dem Ende derke am sich irgend eine ganze ann Gleichung sten. M Trades bilden, deren Coefficienten rationale Functionen von d& sind, und wel, Werte& von den Werthen,& in jedem Pänkten befriedigen. Da die untersuchte cher Reichung uten Grades irreductibel vorausgesetzt wurde, so schließte daß hieraus, daß r. N ist.] in www en ! gn n , Ist der Ort der Veränderlichen ein nur nach Außen hie begrenzter eil der Ebene, so giebt es für diesen Theil& ganz bestimmte eindung Fructionem vone, die der Gleichrug genügen. Längs der Strecken, 97. relche zur Verwandlung der Ebene oder eines ebenen Flächentheiles in einen nur nach Außen sie begrenzten Bereich ausgeschlossen werden, wird eine solche Funktion im Allgemeinen unbestimmt sein und Verth davon abhängen, von. welcher Seite. man sich der Strecke nähert. Wir können auch den Satz aussprechen: Wenn aus einem Finitionelemente für jeden Pänkt der Ebene mit Ausnahme einer gendlichen Anzahl, Reisen hergeleitet werden können und die adurch erhaltene Fraction stets von einer bestimmten Ordnung diesenendlich groß wird, so ist die Function Wurzel einer algebraischen Geichung eten Grades, deren Confficienten rationale Fünitivon& sind. Die Ordnungszahlen brauchen nicht ganz zu sein.) Wir ziehen. von den singulären Punkten A., da,..., Är aus in's Unendliche die einander nirgendst n nirgends begegnenden Gereke we, w,..., l and nennen 8,0),&($)...., Petch die e Fänitionen, welche in retendem durch Ausschließung dieser Linden aus der Ebene erhaltenen Benreiche die Würzeln der obigen Gleichung vorstellen. Geht vorstellen. Geht man nun von. einem nicht ſingulären Pänkte& mit einem bestimmten Werthe vong, il sin haw 38 . zine. S etwa 8( 4), aus auf and auf einem beliebigen, aber nicht durch singuläre Pänkte hindurchführenden Wage nach einem GetPänkte ds, so fragt es sich, zu welchem Werthe& n( 3) vongman. gelangt. Indem man noch von to ganz innerhalb des beschriebe, nen Bereiches nach do zurückgeht, wird die Frage darauf zurückgen führt, daß suchen muß, in welches Functionenelement& n( 90) auf dem so erhalten geschlossenen Wege& r( 40) übergeht. Wie aber bald sieht, hängt dies nur davon ab, in welcher Folge und bis in welchem Sinne die ausgeschlossenen Geraden. von der geschlossenen für 98 Curve geschnitten werden. – Es sei Die. geraden. a des kr a ein Punkt derart, daß Strecken aus, wax,..., Als einander nirgends begegen als Kleine Kreise und nenne L., Le,..., är man a nega. ihre um 2., da,..., As beschreibe ihre resp. Schnittpunkte mit den Strecken 2,..., A. Für jeden Weg folgender Art: von a nach den gerädlinig, von de auf dem Kreise am& im positiven Sinne nach der zurück, von da geradlinig der nacht zurück, ist zu ermitteln, in welche Functionen& er vor übergehen; demit ist schon der Fäll erledigt, daß der Kreis im nech tiren Sinne durchlaufen wird. Auf solche einfache Gänge wird aber S jeder Weg nach dem Obigen zurückgeführt: – Sei dem einfache ( pos.) Gange etwe rma, möge die Reise G.( a),&.( a),.. P.( a) etwa in&( a), qn( a),...)&(&) übergehen. Dann kampman die Gruppen so abtheiben, daß in jeder Grüppe dabei ein Werth in den folgenden, der letzte in den ersten übergehts dieselbe Grüppenbildung weder Umgebung von& eine geschlichen end wird immer. auftreten. wenn mom. Werthe m in 9 un find Eine beschreibt, deren Charakteristik in Bezug auf& den Werthet art. Auf Wegen in der Umgebung selben Gruppen man Liebe Wenn gen aus einer ( 90) man in einander über ги von 4, gehen mur x=" , Werthe vulder, 99 durch die Substitution&-a,+ t wor die Anzahl der z Grüppe( für die Umgebung von 2) sein soll, ich in eine Functi vont überführt, so wird, wenn t einen My in der Umgebung s Nullpunktes; also& einen Weg in der Umgebung des Stänktesa, bis zum Ausgangsprakte zurück beschreibt,& zu seinem Werthe zur wenn es aus jener Gruppe ist. Man braucht dies mur Here mückkehren, in den Fall. s J zu zeigen, wo der Weg. tein Kreis. em den Nullpunkt, gealse der vorn& ein& mal durchlaufener Kreis um den Pankta, ist. Die Werthe& stellen also für die Werthe t in der Umgebung. das Pankts Functionen. von. dewensoriele eindeutige nach steigenden ganzen Potenzen. inderstellbar, 7% t vor und sind somit durch fortschreitende Reihen von. in welchen negative Potenzen nur in endlicher Anzahl workommen dürfen. Alle diese Reisen erhält man aus einer von pa. Ihnen, Jake Stelle. Hache indem. man died. Werthe. vont setzt. ( x- α) der Reihe nach en die en von 5–9. In nachdem in der Entwickelungen von& nach Potenzen worklich gebrochene Potenzen vorkommen oder nicht, werden wir & einen wesentlichen oder einen uußerwesentlichen singulären Werth den nennen, entsprechend& –4, einen wesentlichen oder außeriesentlichen Fritor der discriminante 4( 5). Für die außerwesentlichen singulären Weche Wiche und aller- 1, für die wesentlichen nicht. 39 n 100 Als Beispiel diene die Gleichung g½ c( x- 4)"( x- 9)"...( x- a), bei welcher wir annehmen müssen, daß es keinen gemeinschaftlichen Theiler der eine. m m1 n my n you, Indem wir Ver Ver. zen Zahlen M., Me,... Mr giebt. Es sei m₁+ mat...+ M₁= L= n. 10 und so ganze, Zahl; so ist 9 – 28 Ve( 1-4)*( 1-2)...( 1-2) nun unter( 1–2) 2 die Entwickelung nach dem binomischen Sätze stehen, erhalten wir aus dieser Form nach fallenden Potenzen. - von. , und n verschiedene Reisen für g, sicher Convergent, n der Betrag x- a n vond größer ist als der größte enter den Beträgen von a, a,..., Aar, songwri divergent. – Ist a kein sirgulärer Werth, so liefert die Anwendung die der Binomialformel auf, y= Vc( a- as)."( a- a).(# 4)...( 14) die Entwickelungen vong für die Punkten, welche als jeder der Ptänkte&,..., är. – Um nach Potenzen. wickeln, setzen wir von Vc( a – an)»( a – az)».( a – ax)» ( 1)( 1)...( 1) Costafo dadurch wird. P( x- a) y= einen. Werth. C( x- a) eine nach ganzen positiven Potenzen. Reise ist, welche convergirt, so lange A) Az)...) Ap.. ( x- 9) mi n Indem. пичи hier, arua näher liegen, von X- A, zu 03 mr = Mr ent, mit = Caly wn von& –& fortschreitende wh am& näher ist, als jeder der Pünkte such relativ prim sind, für reſ Werthe J wenn M, unde die everschiedenen Werthe setzt, erhält man die welche hier nur eine Gruppe bilden. Haben wunde einen größten gebe gemächschaftlichen Theiler 1 und ist w– thn, a M l n= lo, so hat man. y= + V₂ ( x- 9)»( 1+( x- 2.) P( x – 01), worie de 0, 1, 2,...,( 1 zu setzenzstvalso 1 Grig der gen von je& Werthen 2. – Da für * die Werthe ( 3) y pon XP weder 0 nochß und cle unter einander verschieden sind, so ist 40) ²( 41-41) ²( 4-14)" Aw хар хар**( n- 1) eine vond verschiedene Constante, also 4( 1) rom Grade pe( n- 1). fürd – 8. Seher. Forms Transformative der algebraischen Gleichungen in eine normale For gan Es sei die zwischen& und& bestehende Gleichung. p Fix),... ganze von& Functionen. y & für X- B wir so vorhanden, daß Ver. edliche y 74 von der Form y+ f( x) y"+... 20, sind, und eine ganze positive Zahl n von& 1. von einander und vons verschiedene. -a terthe hat. Dann ist& endlich für endliche&, der Werth& –& bein wesent icher singulärer Werth, der Grad der discriminante – la( x- 1). Wenn die Freg Werthe von H in der Umgebung eines singulären Werthes, in#gr sie Kruppen. von 4., S.,..,. Gliedern sich vertheiben, so kommt& – 2, in der dung discriminante wenigstens in der Potenz(-1)( 1-1) t.. 4( V1), d. i. n.9. vor; ist & gerade in der( 2–3,1ten Potenz da, so sagen wir, es kommt in der normalen Potenz Ist 2 eine rationale Fraction vond undg, die die C vor. N deutige Fraction vond, so genügt 2 einer mit& endlich ist, und 2 eine algebraischen Gleichung; die discriminante on 4( 2) mindestens in vor. dieser enthält die Factoren. den retß. normalen Potenzen, sie enthält also alle Wind wesentlichen Factoren. von 1( 2). Wir werden nun 2 so zu bestimmen. Besuchen, daß die Discriminante der für 2 geltenden Gleichung jeden. füresentlichen Factor in der normale Potenz enthält. Es sei. ein wesentlicher singulärer Werth, und in seiner. seiner Um- 101 ößten gebung finde folgende Grüppenbildring statt: G 4 1h 54m Gez Gate the 3.;&, 11), Hr. Men bilde num e Ausdrücke folgen, Gender Art:& – ää+ cu²++( x-&'( 8, 1)++( 4,1) ,,. (&)" t...+ 0, ( 4) 1- -1 = ( M) +1 " + U₂ = ( ru) ( M) -M , +2 = (&)+...+ · 4th-( u)"'+...+ C( u)(..., wo 1=( x- 4)», Ux-( x- a) te,..., " = E= Nirgend eine ganze positive Zahl,& etc. belie 40 0+ bige Constanten sind. Hierauf wende man. folgenden Satzen. Sind&., 92)...) Ihe willkürliche verschiedene Größen and 2, T)... Le ebenfalls willkürliche Größen, so giebt es eine ganze rom. Function 2 vonz Grade 2-1, welche für 1–4., 12)...) Ihn gleich wird resp. 2, kx)..., Kn) gen und zwar ist 2– V- 1 24( 4) ( y- y₁) p( y) ナー 229( 4) ( 4-42) 0( 42) 2,4( 4) ( 4-43974) t... t 1 sind, so ist. ganze Fraction. also eine wo& eine. 2= von& α 260( 4) ( 4-44) 6( 44) 4, K- 1 s pin P., t... t in 9( 9) ( 4-4)( 4) 1( 14)=( 441)( 4-43)...( 4-4). wo( 14)=( 4-4)( 4–42)..- G G U, Da nun 7., 42, Yeh Ihr eine and dieselbe Function resp. von,& 4,& ,,..., sche symmetrisch in Bezug auf www.um, de deren Coefficienten eindeutige Fäine onen von& sind. Auf diese Weise wird 2=( x- a)^^{ Po( xa)+ y Proxat... the fr,( x))}, ganze Zahl, Po( x- 1), P.( x- 9),... Reisen nach ganzen positiven Potenzen sind. Es kann also 2 auf die Form gebracht werden: va F( x, y) ( x- a34* y) + Ro( x- a)+ y P,( x- a)+... ty Pr.,(-a), we F( x,&) eine ganze Au Function von x,& it, and von&,& ist, und zwar höchstens& From Grade 9-1 in Bezug auf x. wird nun so beschaffen sein, daß, wenn man 7 – 31, 42, In setzt und den Ausdruck nach steigenden Potenzen die Gliedern mit negativen Potenzen gerade 2., 2.,..., Re vorstellen Offenbar ist es hiernach möglich, eine in hiermach möglich, eine in Beziehung auf& rationale und in Beziehung auf& ganze Fraction zu finden, deren Entwickelung von nach steigenden Potenzen von&-a, welche für geht, he,... In entstehen ten anfangen resp. mit q',"+""+...+ cu Die Frection F( x, y) ( x- α) 9 V- 1 ( 9,+ 1) ز ५ Ma ノ M+ i von&- a ordens. (+1) c'( qu)+...+ G((& M) ( 9,+ 1) Mat + u 요 炒 al wom... Beliebige ganze Zahlen, w.... beliebige ganz –– M &( GM) #t... t (& u₁) ၄ ( En). j rationale and in Bezug aufg gangeFunction Herpositive Zahlen, u,... irgendwelche Constanten sind. Folglich kann man eine in Bezug auf& rationale and in 2 stellen, deren Entwickelungen nach Potenzen von d A., d. 4.)... jedesmal auf je analog vorgeschriebene Arten beginnen. Num möge gefordert werden, daß die Entwickelungen nach PotenRe, zen von 5–0, beginnen mit 9+ C,( x- a)",&+&&,( x)",..., G+ C','&"( x- 9)"; ( 4-3)+ C( x- 9) , wo C ,,( 2)... von einander verK- 1 V- 1 C₂+ C',&( x- 9) ز j Function 102 schieden und keiner der Coefficienten ut, de,... gleich Häll ist, entsprechende Forderungen werden in Bezug auf die Entwickelungen nach Potenzen von& –22,& W..... gestellt. Es sei&,( 5, 2) eine ganze } von und eine rationale von 2, und zwar so beschaffen, daß für 9- wen,% 2,..., Ihr die Entwäckelungen. 9.( 3.9) nach steigenden Potenzen + -1 -/+ ½ die den von 1–1 in den Gliedern mit negativen Exponenten gerade. Ausdrücke&( x- 2)+( xα) 1++ 9( x- 2)+ c)( x- α) 1+*, G( x- 9)+(&( xa) auf x.&* c( xa)+ C(( x- a)***,...,( x( x- α)+ c)&( x- 4); C₂( x- a)+ c',& ½²+( x- a)... vorstellen; vorstellen; entspre304 chende Bedeutung mögen Ge( 7,4), Pz( 419),... für die Punkte A2, A.,... de haben dann ist, wenn man( X- Q,)( X- 1)... – 1( t) setzt, die gesächte Fenitix= p( x)&&( x, y)= p().§. Σ llan ши = Dieses 2 ist endlich für jedes endliche d, also eine Flugbraische Function == ichtenden Gleichung=( P( x)) 4+ n( n- v -1+ ganze alger von&; folglich ist die discréminante der für 2 gel( 81–82)( 41–83)..( se, –te) r. Bildet man 7-82)( 18, –43)...( 8x, −4) 2, so ist darin der Factor( 29) gerade 4( 1-1) mal, also 2-1, gerade –( 1–4)» mal enthalten; ebenso enthält benn von...( ww) gang-( 1–12) mal den Factor& a, u. s. w. Sind 39. Do aus * uru Jer, so enthält( g) - verschiedenen Grüppen, den Frector( 1–2). Folglich enthält 18,-4)?..( br, – de) den Factor& –1, in der Potenz – 20–4) ² –{& non- v- Zar- v), d. i. –na- 1)+ Zor- 1); 41 103 mithie enthält ihm die discriminante in der Potenz 2( 0–1), d. i. n.g.) also in der normalen Potenzder Function von& undg so finden, die Dennoch konen man 2 als gange daß die zu 2 gehörige Discriminante die ansentlichen Factoren in den resß. normalen Potenzen enthält, und 2 eine nd on von d ist. an- z t. V den tige Fructe Füß Wenn die zwischen&,& bestehende Gleichung die Form felejt fwytte fees hat, seit die discriminante=( fo( x))( 1- gest.( Yen, Zn)». Ist beiner der wesentlichen. minante offenker jeden derselben mänkstens in der normalen Potenz. Anderenfalls setzen wir z– b+ Factoren. zugleich. Factor. +165, 69 fo( 7), so enthält die discri, za 5,6 f( x, y)= fo( x). crt... sei; so sche ist& eine ganze algebreische Function von& und 22. – fol.( Fox, t). D Die discriminante des von Verfällten Gleichung wird das Product su A An- 2 ( 4-1) aus der discriminante der von& erfüllten Gleichung in so fa 1 ( x- 1)( n- 2) ( 22... In) 2n- 1 Of( x, 4- von- 2), enthält also jeden wesentlichen Factor münde, denn man kann Bhr wählen, daß de oder in. stens in der normalen. Potenz; f( d, b) für keinen singulären Werth verschwindet. n von 2 axt jund oder ka 85-1 2-2 Di me X= 0 durch die Substitution 5- a möge die Gleichung flig) ed. übergehen in Fo( w).&"+ F,( 5). y"+...+ F₂( 5)= 0; dabei soll der Werth&-- endliche und einander, sowie vond verschiedene Werthe& geben. Wir setzen Z=( 5), so daß 27+ F 5). 2*+ FG). F( 5). 2+...+ F.( 5)-( 3-( 5)= 0.[ Jetzt giebt es eine ganze es eine ganze Function V von 5 und 2, die für jedes& Werthe hat, die für genügend großen sich durch unendliche Reisen Ist nach fallenden ganzen Potenzen vont repräsentiren lassen, und die b n in ein. eine Discriminante liefert, deren Grad ein bestimenter ist, und in der jeder wesentliche Factor in der normalen Potenz vorkommt. Die Gleichung für 1 hat die Form: y+ 9,( 5) y 4..+8( 5) –0. Sie ist ägui. valent mit der ursprünglichen; denn es ist auch& eine rationale. Fence Function von&, V. Jedem Werthepaare der ersten Gleichung( x, y) entspricht Verthepaar der zweiten( 5,4), and regekehrt. Ist a ein außerwesentlicher singulärer Werth von 5, so giebt es unter der den Entwickelungen. von vnach steigenden Potenzen en von§1 wenigstens zwei, welche dasselbe Anfangsglied haben; das Quadrat der differenz von zwei solchen Reisen enthält also a in einer geraden, von Stutt verschiedenen Potenz: Die discriminante von v ist also= K( 5).{ Sx( 5)}, 5,5) Die wesentlichen Factoren, jeden in der normalen Potenz, entBut hält, während in Se( 5) die außerwesentlichen vorkommen. Daraus man übrigens schließen, daß der Grad von S,( 5) gerade ist. Kronecker hat gefunden, daß u noch bewirken kann, daß Se( 5) jeden außerwesentlichen Factor in der ersten Potenz enthält. die Veröffentlichung des Beweises ist zu erwärten. コール 3-1 *(*- 1) de, kann man. a man. Jet Ist& ein wesentlicher singulärer Werth eine Grüße x möge. es rater den zugehörigen& x= 0 alle- 6 werden; dann ist[ d( x)) ว = = 0 Vond. für / 10. die Function Peso von& Werthen geben, die für für 1-0,1,..., d1; dagegen ist. ( f( x)) nicht – 5, wenn die discrimiönante den Factor& a α, b дум 9,6 genau in der normalen Potenz enthält, auch[ f( 19)] ist dann nicht= 0. sta ein außerwesentlicher singulärer Werth, and werden zwei Werthe vonz die ſe für x- a, so ist(%)- 8. Dieses rächtige Criterium beweist b o 42 St 104 лижи indem man f( x, y) nach Potenzen von x- a undy – b entwickelt für und berücksichtigt, daß f( x, y) identisch verschwinden muß, erem für g – t die Reihe nach Potenzen. von. x- a eingesetzt wird. Entwickelung der algebraischen Funktionen in Potenzreisen. die Jain schin A Nehmen wir an, die Gleichung F( X, 9) –0 sei in der normalen Form( D.H. Wer sie sei so beschaffen, wie die oben zwischen& und verhaltene), und A sei ein wesentlicher singulärer Werth, für welchent Werthe von g daß gleich b werden, so wird f( x, y)=( x- a){ ₁ttit,( x)+...}+( x- axy- b)), txa)( y- bf2+...+ ay& the +( B+ B( x- a)+...)( y- b)+( y- 1)+++...+( y- b), P., S.,..., Se ganze Funktion zo nen von& sind; it –[ 2][ 3] sind Ben sind vons verschieden. ( x- 4)= t»,( 9-6)= y.t und dividert durcht, so A = 1 Setzt man in f( x- 4)= 0 erhält. man: 9,4 YH por 3+ 1/4++ Fin)+*^ F( 3) t...-σ, und wenn man weiter VC, v= Cry, setzt: FC+++ F.( Cry). t t...= 0, was er... F,( C+ y). der B ==1. 2 ye für die Beträge& von unterhalen. fällt wird für 4-8, 7, –0. Nach früheren Sätzen kann man von& und 1, Grenzen so festsetzen, daß zu jedem Werthe der für& genommen. Grange ein und nur ein Werth. von ½, gehört, der unter der für% genommenen Grenze liegt. Dieser Werth von 27 wird dargestellt durch eine Reise nach ganzen positiven Potenzen von 1, d. i. von( 84). In dieser betrachtet man Coder( x& t als v dentic. t in Setzen wir noch voraus, daß jeder außerwesentliche Fritor in wir der discriminante genau im Quadrat vorkomme, und bezeichnen wie einen solchen mit& a, so werden für x- a zwei und nicht mehr Werthe En fu on 7( und zwar einmal) einander gleich(+ b). Es ist dann aber[ 1] nicht- 8. Ist A.[][][], so hat man 96 A= / C b = L Sin L er x= a f( x, y)= ½ it( x- a) ²+ B( x- a)( y- b)+ ½ C( y- b)*+...( Glieder höherer Dimensionen). die beiden Werthe von 9, welche für 1-0 gleicht werden, mögen dargestellt. sein durch die Reihen b+ G( x- a) t..., btc( X- a) t...; so muß& von& verEigenschaft der Discriminante. Für den ersteren f( x, y) –( ½ A+ BG+ ½ C& ²)( xa)* t..., woraus folgt. o, ebenso zct+ Blz+ ½ Car –s. Folglich ist erforderlich, schieden sein, wegen Werth vong wird nun der. + By+ ½ C Gr= 0, daß Bret C vono verschieden ist.( Geometrisch: Die Curve F( 1, 4)= 0 hat im Pänkte x- α, y – t einen Doppelpunkt, in welchem sich zwei verschiedene Bütün Zereige Durchschneiden.) nun y- b= y( x- α) und dividire r 2 und weit. Man hetze die Gleichung f( x, y) –8 durch( 11) 2; so koment: ½ t+ By+ ½ ly+ Fin).( x^ a)....= 0, oder:( B+ Cc,) 7, t½( y²+ F,( 9+ y).( x − a) t...= 5, wo 7.= 1–4, und& ein Werth von v für x- A. Da B+ CG nicht= 0 ist, so ergiebt sich hieraus eine Entwickelung von 1 nach ganzen positiven Potenzen & zwei Werthe hat, so liefert dieselbe die beiden Reisen für g. mehe Es giebt eine positive ganze Jahlt derart, daß& für x- 0 der& endliche, von einander und von ove verschiedene Werthe hat; folglich wird wird für genügend große Werthe Von X von 1-2, y sein: 4= 4x²+ 0, x²+..., 42= 4x4x4, ツ u. s. w., wo 4, C,... endlich, nichts, unter einander verschieden sind. Bei der Transformation day, 9– ½)( welche eine Projection bedeutet i wird 5,= ½ x+ 1+ 1+..., Vir die..., u. s. w. Für 1–1 werden also die unendlich entfernten stänkte der Curve F( 4, 4) –0 in n = 0 distinite im Endlichen verwandelt; für lit berühren sich alle Zweige im Ruandlichen. Es scheint nicht möglich, durch eine Transformation diese Singularität fortzuschaffen. 43 8+ 105 formationen, Rang, Grad der algebraischen Functionen. it. Wenn. xo ein singe J for der Wenn 5–50, 4-1 die Gleichung f( x19) –0 befriedigt, so verstehen wir unte derzu dem Paare 8o. so gehörigen Entwickelung von& diesenige, welche pho giebt für & und nach steigenden Potenzen. von X-% fortschreitet, wern to endlich, nach fallenden von£, wenn do –& lärer Werth ist, so müssen die Paare unterschieden werden! Eine söh solche Entwickelung schreitet noch steigenden ganzen Potenzen. einer Größe a fort, welche entweder eine lineare Function vond, welche verschwindet für x- xo, der eine Würzet aus einer solchen. ist. Setzt man diese Entwickelung voraus, so wird sich eine rationen zu Frnation 2 von& undg auch nach steigenden ganzen Potenzen entwickeln lassen. Ist num am die nondrigste vorkommende Potenz as so sagen wir: 2 wird für jenes Paar unendlich klein von der ten oder unendlich groß von der( M) ten Ordnung, je nachdem in pose tw oder negativ ist. M Hat man. so kann man. eine. M- 1 algebräische non a zon en Wer Ha ww fu Fruction y vona, 2 vona, die mit& endlich ist, so GY Die allgemeigte rationale Function von 2 rady, F., Fr,..., Fr rational in 7 sind, verlang ist n- n F( x, y)= F. y+ Fr. 4...+, w die ebenfall mit& endlich ist. – Die Function, durch deren Verschwünden & definirt wird, sei f( x, y)= y+ fr. y1 t... 4 hr. Damist. wo Ir – J. F( x, y), also rational in d 041x, you = Von F( x, 0) F( x, t) in Partielbrüche F( 1, 3)= 7( 4,5) n F( x,) F( 4,5) = % 5+9, 54... m dies lehrt die Entwickelei nor F( x, ya) • 14 s- ga. Es sei дум x- a ein in der discriminante rag in der normalen Potenz enthal ge y tener Factor, de die Anzahl der in der Umgebung von 1 zu einer Bell eite ing Live Co 2 Gruppe gehörigen Werthe vonch( also –1, wenn Werth ist), and man setze. ду 2 a bein singulärer. f( c)& f'( x, y); so ist f'( x,& h) –( 41–42)( 4, 92)-( 85 Gr). Nun ist( 4, –42)( 41–43)---( 4- YN)= C( x- a)( 1+ f(( a)*),( GG dr)...( 4–94) – * C'..., 1 = 96x- a) folglich F( 4,40 x- a -1+ 2 ...; F( x,& 1) darf keine negativen Potenzen. enthalten. Mithin muß die Entwickelung von 9. mit einer höheren als der( −1) ten Potenz von d – a beginnen, d. H. mindestens mit der Oten. Keine der Famitionen 9, 92)... enthält also raim Nenner = n ファース 71-1 ( x- a' von à. 1. geltenden Reisen · Dormit. als Fartori da num F."+ Fr. 1...+ Fn=( s"+ frs" t...+ fx)( 90.5+ 9,.st...) ist, so Heche enthält der Nemmer von F( x, y) den Factor&-& nicht. – Jetzt sei voraus, imgesetzt, daß die Gleichung F( X, 9)= 0 die the normale Form habe; so kann der Nenner von F( x, y) mur die außerwesentlichen Factoren. der discriminante enthalten. Ist& – á ein solcher, und kommnt( X- á) Nemeer von F( X, 4) vor, so ist F( x, y) – d₁.y+ 92.47+...+=( xas"( Gy"+...+ c)+ jup+( x- a') -λ+'( cy"+...+ cm) t...; die in der Umgebung mögen sein:& – b'+ b( x- art..., y₂= 1'+ b( xa') t..., yz= b+ by( x- a'), für diese Werthe F endlich bleibe, ergiebt sich die Bedingung, daß ayt... tle: 0 sein muß für die er Werthe g- tt, by,..., b. Folglich dist Gyr 4+...+ le= 9 f( a, y)='"(=[ 144]( 4-6) ²+...), F- sex- a) a fla C( x- á) –dett t..., ſo daß auch d – 1 erforderlich ist. Wenn also die disert, minante – F( v)( Se()) ist, err F( x) jeden wesentlichen Füctor in der which normalen Potenz, San( 3) jeden außerwesentlichen in der ersten enthält, rundzwar 5( 1) nur wesentliche, Fa( x) nur außerwesentliche, so ist die G( x, y) ganz gesuchte Function Flac) – beliebigen Coefficienten ist. Ender -a = -AH = y- b 9( 4,4) Je( x) a, t' y- t in& und mit 44 106 Ist Ser( 1) –( x- α')( x- a')...( x-(»), so kann man die Form annehmen: F( x, y)= P( x, y)+$( 4)+ f₂( 4) x- a' + fa( y) t...+ fr( 4) -a)/ X- a" wer. G( 8, 9) eine ganzeFunction. undgist and fr( 4), felg),...) Fr.( 9) ganze Functionen höchstens. ( 1-1) ten Grades von& sind. Damit aber F( x,&) endlich bleibe für 1- á, a)..., C', C... beliebig y a», muß f( 2) – C'f( a', y), f.( y) – C" f( a, 1),... sein, y- b y- 1" ge Constanten sind und b' die doppelte Würzel der Gleichung f( a, 4) –0, b" die doppelte Murzel der Gleichung flä½, t) –0, u. s. w. Folglich ist F( x, y)= GCx4+ C'f( ay) g( x, y) C" fla","+....- daraus folgt, daß die allgemeinte Frmation F( x, y)= F. y"+ F₂. y...+ Fr durch den Ausdruck c' fla, y)+ C" 4) ( 4-6)( x- α') ( y- b')( x- a') ( y- b")( x- a") + ( 4-6)-a 24-2 n die し Ver Me glen f( a, c) d... dargestellt wird, wenn F., Fe)... echt gebro. Por ihene rationale Frectionen vond, sein sollen. von à sind. = Fix Da wir voraussetzten, daß die Gleichung f( x, 4) – die normale Fore hat, so giebt es eine ganze positive Zahlt derart, daß& für& – verschiedene Werthe hat, die weder noch& sind, d. H. die Entwickelungen. von nach fallenden Potenzen v der Form:&= 9x t..., 92= 4. xr t..., 42–4 x teen, u. s. w. der Grad der discriminante ist in diesem Falle gleich( el( n- 1). Est also& der Grade von D,( x), des. 1–( 2-2)+( 4–94) t...), so ist Man bringe num F( 3,9) auf die Form: n(( n- 1)= star. за von Gx²+...) ( x-) so ww F.( x). y²+ F( x). y't...+( V).& the und entwickele F604), F( 1),... nach fallen, so den Potenzen go en von&; so mag herauskommen. mag herauskommen: F( 1)= txt..., F( x)= www. Ao, As,... sämmtlich t Von 0. txt...! verschieden. Dann wird dr........ .., F.( 2). y₁= rz n- 1 txt....... F.( 4)= So& 34..., F. 4. Getz& Fr. 42 – Grete& de 124 g nt x M- 1 Finition. +( n- 1) toy .... Wir wollen nur unter Fit,&) eine rationale X= 00 von&,& verstehen, welche für x-& endlich bleibt. Dann beginer mi : die Entwickelung. F( X, 9.) nach Pot fallenden Potenzen von à mit. der Oten oder einer negativen Potenz voni; daraus ergiebt sich: 9020, 9, 2–6, 922 – 26,...) Ger 2-( 2-1) l.( Sind mehrere der Exponenten Go, Gotl, Getle,... einander gleich, so kam die Semme der zugehöri; Liebigen Coefficienten nicht& sein, weil sie es für die müßte). Folglich sind Fr(), F( 1), echt gebrochene ber 0 ra gleich einer solchen, vermehrt. Wir wenden uns num zu. zu finden, die unendlich um eine Constante. der Aufgabe, Werthe&, w)... sein. Functionen. F√( x) von& Fox) eine rationale Function von 7,& von der ersten Ordnung wird für jedes der dis Paare( 0,4), O. 4),..( 214), wobei 20, 51)...)&.. keine wesentlichen singe, lären Werthe sein sollen, und für kein anderes Paar: xx Ist F( 7,9) eine Function mit der verlangten Eigenschaft und( Xa, da) irgend eines der 14 Paare, so wird in der Umgebung von Xα sein müssen: da+ P( xx), wo der nicht- 8. Nun findet. gen F( x, y)= 1-1 Ba x- XL f( x414) ( x- x1)( y- 44) = f( x, y)+ P( x- xa) ist, Pf( x- xa) ist, wenn man x- xa man leicht, daß für z die = zu dem Paare ( X2, 9a) gehörige Entwickelung einsetzt. Setzt man also Be – C.. fb2,45), so ergiebt sich: F( x, 4) – C vu f( x214) ( x- xa)( y- Ya) ( 813) – P( x- xa). Folglich wird die Funiti ( x- x)( 4-4) F( x, y)- Σ Co.( x- Xally für alle endlichen& endlich sein; andererseits sind die Coefficienten von 1 in F( x, t) echt gebrochene Fonctionn o von 5, nur der von zo kann von einer solchen. rent. rm eine Constante differin Folglich hat F( 4,9) folgende Gestalt: F( x, y) – C+ Z Cof( x4) ( x- x)( 4-4)/ wo er 1 Gen 1 Yere Yarr für&, a,..., a, b, by,..., ben steht. Hierin ist C. willkürlich; zur Bestimmung der& berücksichtige mom, daß( 214) – Er( Xa14a). la 4- yα n- 1 4-1-8 wo folte, da) – 1, filter)= ½+ file) 45 107 felxa); *-2 fx Xxx 144) – 4+ file). Yet fend for Bike- 4fa3y+ f( x), daß Σaca.fr . +... t man das man ohne Schwierigkeit: also F( x, y)= Cty( 1) ist. Beachtet oben über 90, 9.,... Gefändene, so erhält Συσ für un avles, Escada falta, ha) – für M<( 1-8) 6-1, Σcada felteise) – für ſale( 1–3) bat, u. s. w., endlich Ca M Zadar fene( xn, 4a) – für as 6-1;« stets ganz und gesitiv. Für lat fällt die letzte Gleichung foot. – Kun lehrt die Substitution. g – 1.0, daß der Grade fil), felt,..., fer( 7) nicht größer ist, et Me resp. l, 2b,...,( n- 1) b. Daher ist das Von. Gleichungssystem äquivalent scho mit dem folgenden: Z& X= für Marts, BabküheEx = σ für en wats, Inc.& che – 412 Cxxx Yo a für nates. mir fürzen( 13) 41, Stattdessen kann man. sagen: Jan 4 catan ja –0, sobald port –( vl- 1. die Anzahl der Bedingungsgleichungen ist offenbar wet( n- 1) up da al( x- 1)= 4+ 25 ist; die Anzahl der des = ½( 21-2)( n- 1) oder – -( x- 1)+ r cist 1+ 1+ 5. Die Aufgabe ist also im Allgemeinen mur dann auf! lösber, wenn d+ 1 7 ½-( 2-1) ist. – Es werde§( 2-1) – 8 gesetzt. Wir betrachten num den Fall d – n. Hier giebt es r+ 8 – 1+ d Paare die denselben entsprechenden Werthe ju, v; von it. ory st mögen mit. ( X, Y),( X, Y) 21...,( X, Y) rrg bezeichnet werden. Dann enthält das System ( X140) 1 (**) Yo), ノ ( X., 4) 2).**)(* 14)+9 ( des de reg www www + h Verticalreichen und Stx+ 1 Horizontal, und reisen. Läßt. also die Lte Horizontal, ist mom. reise weg, so kann man eine determinante bilden; diese sei ––1) Dr. Man erhält dann: Co:: 6!...: Ces Sr. S. Se... Sorg) folglich N 4. Lion F( x, y)= C+ C'&& 10 × 4) 2( x- xx)( Y- Ya) = C+ C'R( x, y), f( x014),( X0140),( X0140) 2)...,( 80, Yo) reg ( x- x)( 4-40) f1x34 R( 2.9)-( x- x)( 4- Ye) = Hay ( x- a)( y- b) fla, y) ( 70, 75) 1)( X, Y) 2). ( a, b) ,,( a, b),)...,( a, b) to ( xa My- 67)( a, b),( 6) 1. ( a, b) ite Man kaum noch verlangen, daß F( 3,1) für ein Werthepaar( 5, 2) verschwindet; dann wird F( x, y)=( C'( R( x, y) –R( 8, 9). Die übrigen Werther ware, für welche F( x, y)= 0 wird, kann man nicht mehr willkürlich geben. das allgemeine Resultat stellt sich offenbar so: Wenn 241 70 st, so Kam F( x, y) so bestimmen, daß es. But wird für die gegebene Paare und für de41-5 andere gegebene Paare; dadurch wird F( X, 9) so bestiment, man nur einen constanten Factor willkürlich hinzufügen kann die werden soll, müssen endlich auf nicht singulär sein. Die Werthe, für welche F( x, y) etwa noch etwa noch Nält wird, sind bestiment. der 141 Werthe&, für welche die Function andy, und. Poll eine rationale Function von d F( 4, 4), mit& endlich sein, 108 so muß sie die Form 96( x)+9,( 4). yt...+9,( V). y+ Escofa) haben, ww wo ( α) 1( x- a)( y- by Go( x), chr( x),...) Gr.,( 7) gage Fumationen von& sind. Nehmen wir tal num den Fall, daß der GradC von Go( 7), G( t),..., Jr.,( d) resp. – h, ht,.. ghingt list, wobei ke>( n- 1) l- 1 nöthig ist. An die Stelle vonnony en pon& n Entwüßelungen nach fallenden Potenzen denke. nean. sich die ( Gxt..., Cxt.....) gesetzt; so wird das Anfangsglied in der Entwickelung von 2017 r. 19 19 y 46 a+ vom Gradite, das in der Entwickelung Von. ( n- 1)-1, folglich das in der Entwickelung Multiplicirt. men. ((~) f( a( a), y) ( x- a(~)( y- ba) vom von F( x, y) pom. Grade wee Gredek. $ 1 F( x, y) mit einander men also die& Entwickeln von 2, weil sie es symmetrisch. Bund so it der Grad des Anfangsgliedes – v. t; dieses Product ist also Function(& 4) ten Grades! eine. улица ronz and ist in Bezug auf die Werthe von H. Daraus folgt: Die Elimination zwischen den Gleichnungen F.( 29)= 0, fax, y)= 0 führt zu einer Gleir chrag( 44) ten Grades fürx. = es = = 2 N adi ar ei Nun enthält F.( x,&) offenbar( 4+ 1)+( 4+ 1-1)+( k2)...( 441-16)+& will, beste kürliche Constanten; diese Zahl sei – K41, also kr1= nhoneter nhon- 2, also K- nk-&. Diese Constanten lassen sich also so de bestimmen, daß F.( x, y) für K. Werthepaare verschwindet; daß erbiges Eliminations resultat hat mithin wenigstens K. Wurzeln, d.h. ist etzk. Demnach kann& nicht negativ sein, bewiesen werden mußte. F.( 7,7) für noch andere, als die K gegebenen Paare; diese ander die sind aber nicht wollkürlich.( Dieses ist eine Ausdehnung des Satzes 454) Facobi und Plücker: Wenn eine Curve gegeben und eine andere höheren Grades zu bestimmen ist, so kann gewisse Anzahl: Von. zon. nicht negativ sein, – was noch von Wenn& nicht – 8 ist, so verschwindet. = man. nur eine. mort ( x, y) vin " DurchschnittHrakten mit der ersten beliebig wählen sche Da wir nachgewiesen haben, daß eine beliebige algebraische Gleichung sich auf die normale Form bringen läßt, so gilt dersing Ist& eine ʼn deutige algebreische Funktion vond, Anzahlen. der Groppen, welche sich in der Umgebung der verschiedenen item sind go, Ge)... Die so mom. à Σ( n- g)-( n- 1) mensentlichen singulären Werthe bilden, und jetzt. , so kann man eine rationale Function von Fund& bestim wegen, welche von der ersten Ordnung unendlich groß. wird fürdett gegebene Werthegavon( 4,1), die unter einander verschieden sind. entsprechen, und für Seine ganderen Paare, sobald d+ 1&& ist. Diese Function kann noch der Bedingung unterworfen werden, für di–& verschiedene Paare Frisch und nicht singulären Werthen von d verschwinden; dann ist sie bis auf einen constanten Factor völlig will gestimmt, und es können die übrigen Paare, für die sie etwa noch verschwindet, nicht mehr willkürlich angenommen werden. Zahl& wird nicht gerändert, wenn man statt der Gleichung f( x, 4) reige eine Gleichung&( 5, 1)= 5 niment, wo§ eine lineare Fanction vond, eine rationale Function. Die. rich von§ ist. von. n deutige Femition. Lund& und eine Sie wird segar nicht geändert, 5.7 als тии липи zwei ratir, nale Fonitionen von x, y(§= F( x, y), 9 – N( 29)) einführt und dadurch ender die Gleichung 9( 5, 1) –8 erhält, sobald nicht bloß jedem Werthepaare 1,9) ein Paar( 5,4), sondern auch umgekehrt, entspricht, deh. sobald wie es im Allgeauch 3,& rational ausdrückbar sind durch 5,71 in meinen der Fall ist.( Zum Beweise bediene man sich der Eigen den Raug wählenschaft, die& nach dem vorigen. mische Riemann: Klasse) der Femtion Satzi hat.) y машили Man komm. S Besteht zwischen d.,& die allgemeine Zweichung Uten Grades, so it l- 1, die 1-0, also sel, also& –0. – Besteht zwischen 4,& die allgenteine Gleichung ten Grades, so it l= 1,1-0, folglich 1–6 und& –1. 47 TA Fst y= V( x- a)( x- 4)... V( x)( x- 9)...( x Arre) und As, des... von einander verschieden, eren = so ist 91–927... – Gerre- 1, also s- 2( x- 9)= 20+ 2, folglich 9–8. – Ist g V( x)( x- M.)...(& – Bern), so ist& –& ein wesentlicher singulärer Werth I = und wieder&= 1. Ergiebt sich aus einer algebraischen Gleichung F( X19) –0 der. Rang get, d. s. 1–21, so läßt sich dieselbe durch eine allgemeine algebraische Transformation( d.). eine der eben erklärten Arth in eine Gleichung von der Form vt – R( 5) verwandeln, Function 3ten oder 4ten Grades von§ ist. eine. = R( 5) Man wei wn n B hr gange. kann nämlich§ als rationale Function von d.,& bis auf 2 Constante Vircd so bestimmen, daß 5 – von der 1. Ordieung wird für 2 beliebig gegebene Paare( 81) do),( 82192), und dann besteht zwischen& und Heine ver Gleichung 1x+ 29x+ 1–0( 1,9, 1 ganze Functionen von« des mat Kten Grades in Bezug auft, weil 5 mir für 2 Werthe man. Führt. R( 5) ganze = & wird.. цир G( 5) und 0.15) y½ purg ein, so wird 17t- Vqtrp – G( 5) VR( 5), Functionen von seind and R( 5) aus lauter ungleichen 2017 Factoren bestehen soll. Setzt man also v– v. F( 5), so erhält man stich – VR( E), und darin sind 517 rationale Fänitionen von X,&, zu, w gleich auch 4.7 rationale Fenitionen von 9. Demnach ist der Rang der Gleichung vom R( 2), und nach dem Obigen der Grad von R( 5) entweder 3 oder 4 ist. грии = mun - M Daher kann FRO, 9) dx stets in ein elliptisches Integral unge zach fort werden, R( x, y) eine rational, Function von 7,7h undg eine algebraische Function vond vom Range 1 ist; also im Beson, den oren immer dang wenn zwischen&,& die allge ten Grades besteht. von. n 41-7 Gemeine Gleichung t... t fr( 7) –0 Keines der 109 höherem, als dem in ten Gradeund. Ist in der Gleichung f( x, y) – fo( x).&"+ f.( 3).7 Ernctionen fol), f( x),... enigstens eine L L x von. Warthe. Grade m; mten, so nennen wir es nimmt dann y y eine. deutige Function meinen gegebenen Werth für zwu vond an, die mit Ausnahmen einer endlichen Anzahl üllen von einander verschieden sind.( Sarß hätten die Fonitionen f( xy)- And I einen gemeinschaftlichen Thäler, also wäre F( X, 9) –0 reductibel.) 0x Wird& unendlich groß für x= d.,& L.,... resp. - von der Ordnung M., M.)...). big wobei, für and, mehrere Entwickelungen rontz imendlich groß einwerden, unter Un die Summe der Ordnungszahlen zu verstehen ist, und des entsprechend bei ste,..., – so ist at Mt... – M. ird substitution&=* x= 2+ 1= 77 == ( Beweis: Durch die fol%) nicht-& sein soll, erhalte rom. and(§)+ 3,( 5)+... tyre Ce( 5)= 0, worin Po( k). Riche( 5)-( 5–5,)( 5–52)( 5-3). Dann kann 9 1, * 12. teigenden ganzen Potenzen wobei Er – d, j davon sei eine. de 7 – E( 5-5,)*+..., V- ида 4 -5,= man: Grace mist, und zwar sei man 5–5, durch die Reisen nach oder von Größen v»,... Darstellen, 3–5,- Cytt...( D≥1), so daß( 3–5) te C'ytt..) von. : ε( 5–5.)* t.., also v unendlich klein von der& ten Ord1 bei dieser Entwickelung. Num sei x- d, für 3-5.; so wird§. – 14) X- X, 18- X.(-x-( x- x1) für ein endliches d. und 3–5.- 14. Die Oromings. wahlen werden also bei dieser Substitution nicht geändert, und da ΤΣΑ ww = m ist, so ergiebt sich die Richtigkeit der Behauptung.) Wenn& eine rationale Function Von. egist, welche für eine gewisse 48 y von den Orderungen( do, Maß Entwickelungen. vonch unendlich groß. wird, sobald die Größe& wird, nach deren steigenden Potenzen die Ac Reihe fortschreitet, so ist Zen –ß der Grad der Function 2 von d, also der Grad der zwischen 2, d. bestehenden Gleicheng in Bezug auf x. est Wir können jetzt sagen: Wenn d+ 1–6–570 ist, so giebt es eine ratiGrade Art, und onale Fanction von. x, y σ man. sämmt, daß zwar kann. liche Werthepaare( 1,4)) willkürlich geben, für welche die Function& 11. Ordnung) werden soll, sowie 5 Paare, für die sie- O werdresa Im Allgemeinen sind die& übrigen Paare, für die die Function – Owe der dadurch bestiment, so daß& algebraische Gleichungen zwischen den Werthen bestehen, für welche sie Dover& wird; so wie auf im Allgemein nen der Grad d4 ½& nicht sein kann. 110 Ist die Gleichung E( x, y)= 0 Von. we N in der normalen Form, und soll F( x, y) so unendlich groß. von der ersten Ordnung werden für werden für die Werthepaar den ( 70, 70),( X1, J.),...)( He), welche endlich, verschieden und nicht singelände sein sollen, dagegen verschwinden für die ebenfalls endlichen und jenen, sowie unter einander verschiedenen Paare( 49),( 4),( 1,3), für wobei d# 1-6= 570 vorausgesetzt wird, so können wir Foxy)- 1+ de la Ge( 18.9)}, er Ceine willkürliche Constante und&( 318) –(& Bugge) ist, setzen, und es ist: E. c. Onde),-,..., Z.( 190; Esq( xy)-1,..., Esl Q( x, y) –1. Aus diesen Gleichungene ergiebt sich: z und( 1) as die Determinante ist, welche aus dieser Wo Σ C₂= Wo.. f( x, y) = + r " ( 0140) 49......)( Ferrier), ( X, Y)+8) ( x'y') " Pery) hervorgeht, ... 0,1,..., t. Also ist F( x, y)= c( – St E X 9( 814)). wenn man für( Xa, G.),)..( da, Jading; Pa( x( y),..., Pa( xy)) einsetzt retß. nu in y Mr rate. alla Soll eine rationale Fenation 2 vredi, ch unendlich groß werden für eine die Anzahl von Werthepaaren, die nicht endlich und vielleicht singelär sind, und zwar von beliebigen Ordnungen, jedoch so, daß die Summe der Ordnungs Susahlen 20179 ist, dagegen verschwinden für gewisse von jenen verschien dene Werthegrare( die ebenfalls nicht alle endlich zu sein brauchen), jedoch so, dem daß die Summe der zugehörigen Ordnungszahlen& dis –§ ist; so kann so klein wählen, daß 2 – Zen eine Fraction( 11) ten Grades ist, – ( At) die diese füit ders endliche, nicht singuläre, verschiedene Paare unendlich groß v der ersten Ordnung wird und für 101verschiedene, endliche Paare. den schwindet. Die gesuchte Function entsteht also aus der allgemeinen, wenn wir gewisse Werthepaare zusammenfallende unendlich werden bassen oder singuläre aus ihnen machen. Nimmt man dies& mittelbar vor, so erhält man& in der Form 5; Live 7-82 Von. ver". man lx in der Form u; man wird also erst unendlich wenig von den gegebenen abereichende und die erforderlichen Eigenschaften besitzen lie Paare nehmen. aar = 1. Arm ware( do,%),( 1) G),( d) YA) von der. die Auflösung der Aufgabe, eine rationale Function 2 rack,& zu 111 finden, welche für die Werthegan ersten Ordnung unendlich groß wird,( wobei wir diese Paare als endlich, verschieden und nicht singulär voraussetzen, die sonst. in unendlich wenig abereichende Paare nehmen kann) kann folgender Weise dargestellt werden. Man wähle& endliche, verschiedene und nicht singuläre Werthegaare ware 92, ( Gr. 4),( 02 ha),..., 198, 4) in beliebiger Weise, aber bestimmt. Dann kann man, wie früher gezeigt worden ist, eine rationale Function R( x, 9, 10, 40) von X1 Y1 Xo, Jo 49 2+ so herstellen, daß sie für die Paare( 10,40),( 91, h), 92, b),...,( 99, 40 von der ersten Ordnung wird, und zwar mögen die Anfang nach Potenzen von 1. Gost dezan,& So( 10, 40), worin die Zähler ganz bestimm ünendlich. glieder der Entwickelunge D.( 2013). 2( X140) Altp. sein: x- 8 / x- 92 en von. х- 9 X- 99 rationale Functionen von 20, ½ sinde Run wird man offenbar die m Coefficienten As, A.,..., et müssen so bestimmen können, daß – et R( X, 9, Xa, 9a) endlich bleibt für die Paare( 2014),...,( 84192). 215 Dieser Ausdruck könnte also nur& werden für die Paare( 9., w))... und ist daher eine Captante et( wenigstens kann Paare so wählen, daß keine Function für sie alwie-& werden kanter Folglich ist 2 – it+ As R( 4.9, 40, 46). ZA R( X, Y, Xa, wo = a diese GO vu offenbar für diect die Gleichungen bestehen: Σ. AS( X, Y) –0, Zata( Xx, Gr) –0, muß Ar Dr( de, Ja) –0. Dieses sind, Gweichungen mit d+ 1 Untekamisen, und zwar homogen, so Sie sind also stets auflösbar, wein 11176 ist, wie wir schon wissen. Sich Ist aber des§, so werden sie Bedingungen zwischen den des Poweren lie fern, wenn sie auflösbar sein sollen. Es sei der& –but, wo 050' 59-1; so gehen durch Elimination. tion von to, etc, etc. 5'41 Greichungen zwischen. den...) Paaren( 80, 40),( 31, 3),...,( Brazil% – hervor. Nun kann man aber leicht erkennen, daß ein Werthepaar willkürlich bleiben muß; folglich muߧ-§½- 1½ 0+ 1, d.h. 9–9+1 sein, es möglich sein soll, geeignete 8–9 Werthepaare zu finder der kleinte Werthermdi, ist also 5+ 2 oder Stu, je nachdem& gerade oder ungerade ist. Er Korne 2 noch keiner sein, +3 2 denn wenn zwischen den Confficienten der Gleichunge ( 11,91–0. gewisse Relationen bestehen. 4( x- 5)= 0 7 eine. möglichst Es kann sein, daß die zwischen& und 7 sich ergebende Gleichung reang ductibel ist, daß also z vielleicht gar nicht& deutig ist. deutig ist. Soll also 2 eigentliche& deutige Function sein, so können wir nur sagen, daß der niedrigste Grad, den sie haben kann, unter zu nicht sinkt. Jetzt sei F( X, 9) –0 eine beliebige algebraische Gleichung und§ eine ßrationale Function Fog). von 2,9 von der beschaffenheit, daß die zwischen 5,5 sich ergewande Gleichungen dürraductibel und zugleich. inedrigem Grade& n in Bezug auf d sei; wobei& eine rationale Function F( x, 5) von 1,3 ist. Ferner sei v – N( X, 5) eine durch 7,5 rational ausdrückbare Fenation derart, daß die zwischen 5,1 sich ergebende Greichung diy( 5,7)= 0 irreductibal und von Bezug auf§ and in Bezug. auf v wird; wobei keine rationale Function§.( 5,9) von 45, 9 wird, auch hat: 9–5.( 3,7). Dann hat. en so daß S man lichen äquivalente Gleichung vom. Grade 1 in. man von. m eine mit der ursprünge möglichst niedrigen Grade. über in Fr 50 20