In hoc opere contenta. Arithmetica decem libꝛis demonſtrata
Muſica libꝛis demonſtrata quattuoꝛ 4 Epitomc ĩ lbꝛos arithmeticos diui Seuerini Boetij b
Rithmimachie ludus qͥ ⁊ pugna nũeroꝝ appellat
BG.Bonterius Cabilonenſis:in laudẽ Arithmetices ⁊ Muſices. Tempoꝛe iam multo docte latuere ſoꝛoꝛes: Quas retinet comites flaua minerua ſuas.* Nũc placide terras poſt tempoꝛa multa reuiſunt. Grata quoq; ante alias Gallica terra placet. His olim celebꝛis fuit omnis Acaica tellus.
Pythagoꝛa patriam diffugiente ſumon.„
Hellada nunc linquunt: et doctas palladis vrbes. Sequanioſq; petunt/ parhiſioſq; lares. Hec venit omnimoda numeroꝛum cincta caterua Atq; docet numeris quidquid in oꝛbe ſitum eſt. Altera dulciſono cantu /ſidibuſq; canoꝛis Edomuiſſe viros traditur atq; feras: Que ſua Pierijs tenet vnica nomina muſis au nichil hac muſis gratius eſſe ſolet. Attamen artificem ſtapule miſere marine: Qui leta hoc ſtudijs fronte dicaret opus. Hoc ſolum ſtudium atq; hec illi cura:iuuare/ IFIrritus et ne ſit/ diſpereatq; laboꝛ.
—
. 3 4„ ——U.-:QC mmmaa5——————ſſſſſ— 4—y—= —————————————————y——————————————————— ————— õ ÿÿ———.——— 4————— v—b—ö—ö—ö—————————„————————————————————————y———— ¾——— 2——————* e en—— 2 8——————— 1

C
o,„—–˙‧—
“ —
—
Noua omentatio in Joꝛdanũ per Jacobum fabꝛũ ſtapulẽſem laboꝛata ad clariſſimum virum Joannem de Ganay pꝛeſidentem pariſienſem.
Aucis me digne ãmonuiſti Clariſſime vir:quot cognita ↄmoditates adducat diſcil p narum parens arithmetica/ qᷣiq; ignota relinquat tenebꝛas. vt quẽ nullius diſapl
fugiat ſtudium. In pꝛimis cnĩ legum autoꝛitas(in quibus potiſſimũ tua vſar opan tibi numeris egere viſa cſt.vt q̃ iuſticiã vnicuiq; ꝓ dignitate diſpẽſat:nunc Anthmnetanni vᷣo Geometrica rõne ↄſtantẽ.que agros/ agroꝛũ lunites/ aquaꝝ diuergia alluuioncſch gle raq; ſilia ſollicite ↄſiderat q̃ Mathematico deſtituta pᷣſidio nunqᷓ; plane aſſequi valcat. Dinc imperatoꝛes rhomani Vcſpaſianꝰ/ Adrianus/ Traianꝰ/ Theodoſius/ Archadi⸗/Honoꝛug Conſtãtinus ⁊ olioyq;plurmi legũtur peritos agrimẽſoꝛes inſtituiſe: qui podiſmoꝛum tia ad publicam viilitatẽ tenerent quà numeroꝝ ꝑficit ſ agacitas. ic Lucius Moderatus il reꝝ ſtudioſus inſignem libellũ reliquut. Et Arithmetica cõtẽplatio rite cognita faclem bbe muſicaꝝ modulationũ intelligentiã/ aſtronomicarũq; ſnbtilitatũ ingreſſus. et puſca Theopo⸗ gia numeris olim vt quibuſdã ad diuina gradibus tota initebat: qʒuis ⁊ nũc in ſacns luan ſua retincãt myſteria nũcri. Tolle igit᷑ numeros/ numeroꝛũq; diſciplinã:leges impſiqis ſticia ceca relinqͥtur. nulla modulationũ reperict᷑ regła. nullus celeſtiũ ↄtemplationu adina ſacraꝝ lr̃aꝝ delitebũt myſteria: imo ⁊ vniuerſa philoſophia qͥ pariter humanoy dunovin cognitio deſcribit᷑. Quequidẽ ↄmoditates aſſecute diſcipline /aiq; incõmoda neglact yſcas mĩme latuere:vt qͥ haud alio tramite crediderint qᷓ; ꝑ cã incedẽtes nos poſſe qͥcq; digna ſats ↄtẽplanõe cognoſcèẽ. Pythagoꝛas cnĩ ſine nũeroꝝ pᷣſidio nichil poſſc ſciri ↄtẽdebat ctplato in ſue academieveſtibulo hoc inſculpſit epigrãma. Memo huc mathemauicce experʒsintroe. qui ĩ toto ferme Timeo de nat᷑a reꝝ ꝑ numcros diſputat:⁊ in octauo ⁊ nono reipubltcenii de hac re diſſerit. que Theon ſmirneus mathematicus ob rei arduitatem intacta rcliqun Quapꝛopt non ab re dolebas hãc numeroſam huiꝰ almi pariſieñ ſtudij philoſophãnuubi ct bonaꝝ lr̃aꝝ cupidã:tã neceſſaria ſemita/ tum ad diuina aſſurgẽdi /tum deſcẽdẽdlad hnnn eſſe deſtitutam. Accipe crgo nũc bũfactoꝛ vnice decem Arithmetice diſcipuine Joꝛdani qj⸗ riſſimi viri lbellos noua cõmentatiõis luce nfis laboꝛibus illuſtratos/ tuoq; nomini dicas qui cõmoditates enumcratas ſccũ afferre valebũt ſufficiẽtiſſime.Et ſi iubes opus tuisauſy⸗ cijs abſolutum iam migret ad cetcros.vt vel ſic intelligant omnes pꝛeſertim ubi ſe grna⸗ habituros per quem fuerint hanc litterariam facultatem aſſccuti. Vale feliciſſime.
Argum entum decem libꝛoꝛum Joꝛdani. Hfimus paſſiones numeroꝝ cõmunes:ſuaꝝ partium/ ct quãtũ ex diuiſi numeri pornbusttu diſcunt. Secundus eſt de pꝛopoꝛtionum et pꝛopoꝛtionalitatum cõmunibus paſſionibus. Teruus de numero pꝛimo/ compoſito/ ad alterum pꝛimo/ et numeris in aliqua pꝛoportiohe mummis. Quartus de numeris continue pꝛopoꝛtionalibus/ cõmenſurabilibus ⁊ incõmenſinahilus Quintus de additione/ ſubtractione/ et partitione pꝛopoꝛtionum. Serxtus de numeris quadratis/ cubicis/ ſuperficialibus ſimilibus/ et ſoldis. bi Septimus de numcro pari/ unpan/ pariter pari/ pariter ĩpari/ impariter pari/ parfectiscb⸗ dantibus/ et diminuns. 1 wö„. 1 Octauus de foꝛmis numeroꝛum:trigonis/tetragonis/ pentagonis/ hexagonis heptogo octogonis /pyramidibus/ ſerrauilibus/ et teſſeris. entbe Nonus de cqualitate/ inequalitate/ mulplicibus/ ſuperparticularibusſſet ſupemananii Heimus de medietate Aruhmetica/ Gcometrica/ Puſica: et de medietatibus minusp cipalibus.

I ¶ Joꝛdani Nemoꝛarij Tlariſſimiviri Elementa Arithmetica:cũ demõſtratiõibus Jacobi Fabꝛi Stapulenſis:ad Joannẽ de Ganay Senatoꝛẽ Pariſienſem.
Nitas eſt rei per ſe diſcreno. Numerus eſt quãtitas diſcretoꝛum col⸗
3 lectiua. Naturalis ſeries numeroꝛum dicitur:in qua ſᷣm vnitatis ad⸗
v iccnonem ſit ipſoꝝ computatio. Difſerẽtia numeroꝛum appellat᷑ ille:
quo maioꝛ ſuper mioꝛem abũdat. Numeri ab aliis equidiſtare dicũ⸗ tur:cum ipſoꝝ ad illos equales ſunt differentie. Mumerus per alium multiplicatur: qui toties coaceruatur ſibi: quoties in multiplicãte eſt
vnitas· et qui ex multiplicatione concreſcit:pꝛoductus nominatur. Mumerus alium num erare dicitur: qui ſᷣm aliquem multiplicatus illum pꝛoducit. Pars eſt numerus: numeri minoꝛ maioꝛis:cum minoꝛ maioꝛem numerat. et qui numeratur: numcrãtis multiplex appellatur. Denominans eſt numerus:ᷣᷣm quem ſumitur pars in ſuo toto Simules dicũtur partes:que ab codem numero denominantur. Numerus ſᷣm quem alius diuiditur:diuiſoꝛ nominatur. partesvero in quas diſtribuitur:diuidẽtia appel⸗ lantur. Pꝛima ⁊ ſimpla nũcri pars:eſt vnitas.quãdo duo numeri partem habucrint cõem:quoties cadem pars fuerit in minoꝛe:tot partes maioꝛis dicetur eſſe minoꝛ et tote partes quoties ea cõmunis pars fuerit in maioꝛe. ¶ Dignitates.
Mnis numeri pars:eſt minoꝛ ſuo toto. b b o. Monis minoꝛ eſt:que maioꝛem habet denominationere Quicunq; equalium ſiue eiuſdem eque multiplices fuerint: ipſi quoq; erunt equales. 4 uabss idem nũerus eque multiplex fueru:ſiue quoꝝ multiplices cqᷓles fuerint: ipᷣi etiam ſunt equalttss Omnis numeri pars eſt vnitas:ab ipſo denominata.„„. 2 Quilibet numerus totus eſt ab vnitate:quota pars ipſius eſt vnitas. b Sirvynitas in aliquem numerum ducatur: ſiue idem in vnitatem: ſeipſum pꝛoducit. s Extremoꝛum differentia ex differentuis coꝛũdem ad meduum eſt compoſita. Si numerus numerum ſuperct:differentia minoꝛi addita:aut a maioꝛe ſublata:nu⸗ meri relinquuntur equales Qui eidem cquantur:inter ſe ſunt equales. b b 1 Et ſi ab equalibus equales aut idem cõmunis dematur:relinquũtur equales. Et ſi ab equalibus dempii ſint inequales:relin quentur inequales. Si duo maioꝛes ſimul addãtur pariter ⁊ duo minoꝛes ſimul: maioꝛum compoſitum compoſito minoꝛum maius cuadit. Si equales equalibus addas:toti quoq; fient cquales. Et ſi inequales equalibus:toti erunt inequales. Partes ſimul:ſuo toti equantur. Quoꝛũcunq; ad eundem numcrum pꝛopoꝛtio eſt vna:ipᷣi inter ſe ſunt equales. Quoties numerus a numero ſubſtrahi poteſt:toties in codem numerabilis eſt Pꝛopoꝛtiones que ex equalibus conſtant ꝓpoꝛtionibus:inter ſe ſunt cquales. Quoꝛꝝ dimidia ſunt equalia:ct toti ſunt equalts¼.( Petitioncs. Vilibet numero:quotlibet poſſe ſumi equales. b. c QMQuolibet numero:aliquem qᷓ;tũlibet eſſe maioꝛem. b Seriem numeroꝛum in infinitum poſſe extendi. Nullum numerum in inſinitum decreſcere. Malus non numerare minus 2 Si numerum datum numerus multiplicet: idẽq; pductum diuidat: numerũ datum redire. et contra ſi aliqs numerus datum numerum diuidat:⁊ quod pꝛouenit rurſum multiplicet:indem numerum datum redire.. Srteeaen Perleioßes 5 neof deſeehe ſe facilioꝛẽ vbiq; pꝛeſtet/ adiecimus:quas paſſim
a 2

—- ˖—
¶ Dinnis numerus minoꝛ:maioꝛis aut pars eſt aut partes. ¶ Sint a/ b/c/ d quotlibet numeri · a maioꝛ:et b cd minoꝛes.dico b eſſe partem aut Nam aut minoꝛ numerat maioꝛem vt d numerat a:et tunc d per diffinitionem eſtp
4*. 4 ars g. 1„„ numerat maioꝛem quẽadmodum b non numerat a:ſed eſt alius eos cõiter numerans un mümni
8
7 i
6 quoties e fuerit in b minoꝛe:tot partes b minoꝛ per vltimam diffinitionem erit ama Aatiits tnm 4
4 8 ioꝛis. qd ſi mi non numerat maioꝛem vt c:non numerat a. neq; numerus cõis eos numerat: cum per—— ce⸗
nez idem efflas.
ptionem cuiuſſibet numerivnitas ſit pars ab ipſo denomĩata:pervltimam diffinitio conſtat igitur oẽm minoꝛem maioꝛis eſſe partem aut partes.
₰
¶ Omiis numcrus/ circum ſe poſitoꝛum ⁊ equaliter ab co diſtantium eſt medietas
12 ſi coꝛũdem fuerit medietas:illos ab co equidiſtare conucnict. e— ¶ Sit a quicunq; numerus: et b et c circumpoſiti et ab eo equidiſtantes.b maioꝛ 8 differentia cõmunis eadem b ad a:et a adc.ſitq; e numerus copoſitus ex b ⁊c.dico a eſſe mediet 6 b e. et ii a ſit medietas e:dico b et c circumpoſitos equidiſtare ab a. Pꝛimum auteni ſic oſtendidn f— 6 q́tum a ſuperat c:tin b ſuperat a.dempta ergo d cõi differentia ab b:per ſcðᷣem partem nonedinnn . tis reſiduũ b equatur a.ſed et eadem differentia d addita c qð ſit fper pꝛimam partem eiuſdẽ 55 b— 46 tatis equatur a.ergo per decimũ ꝓloquiũ reſiduũ b et f que eidem numero a equãtur:int ſ equabi⸗ tur.ſeo reſiduum b et d et cſil ꝑ decimãſextã dignitatem equãtur e.igitur ⁊ reſiduũ b 1f queccqu 1 reliduo b et d et c ſimul etiã equãtur e.et reſiduũ b:⁊ f monſtrata ſunt equalia.igitur feſt nedles 2— ſed rmonſtratus eſt equari a:igitur a medietas eſt e.qð eſt pꝛimum.et in oĩbus alijs cõſmil 1 8948 8 argumento.Scðm aũt ſic pʒ:ſit a medietas numeroꝝ b ⁊ c ſimul iunctoꝝ.ſi b enon equidilant nüen 3 b— a: eoꝝ differentie ad a per diffinitionem nõ ſunt equales.ſit igitur d differentia a ade illoy numero 3 6 minimum addo d ad a:⁊ compoſitus ſit g. qꝛ igitur a ad c differẽtia eſt d ⁊ eadem differẽtug eſ gada a- igitur per diffinitionem g ⁊ c equidiſtãt nũero a. qꝛ ergo g ⁊ c equidiſtant a per immedizte moͤſtraua 4 a ipſoꝝ ſimul iunctoꝝ eſt medietas.ſed ⁊ a ponit᷑ medietas b ⁊ c ſimul iunctoy.per tertiã igit xept⸗ —— onem v c ũmul:et g c ſinul eidẽ numero a eque multiplices adinuicem ſunt equales.ab vtroq; Pgaur dempto cõi numero cper vndecimã cõem ſcientiam reſidui b et g adinuicem ſunt cquales.que igitur 16 differentia g ad a: eadem erit b ad a. quare equidiſtabũt b ⁊ c ab numero a. qð eſt ↄtra hypotheuna e⸗ ꝛopolitum.
— ¶ Si duo numeri a duobus numcris circum ſe poſitis equaliter diſtent: illisjns 10 6 erunt cquales. ſi cis equales fuerint:ab ipſis cquidiſtare neceſſe eſt. —„— ¶ Eadem que in pꝛedenti demõſtratio eſt. Sint igit᷑ a et b inter c et d equidiſtãtes:e maximus a 6 minimus et f differetia cõis: ſitq; e ↄpoſitus ex c dꝛet tt̃ia e ad a ſit g.dico numeros a b ſimuliunctos 1— 2 equales eſſe c d ſimul iũctis.et ↄtra ſi cd ſimul iuncti ſunt equales a b ſimul iũctis:a b equidiſtantes — eſſe cdð. Pꝛimũ patet:nam cũ d differẽtia ſit e ad c Eſt eniʒ d numerus quo ſuperat e numerũcxgtn extremoꝝ ea cõſtabit ex d f differẽtijs ſcʒ extremoꝝ ad medium c.Eſt enĩ vt oſtenſum eſtd differenae ad cetf differẽtia c ad a per hypotheſim:cũ poſita ſit f cõis differẽtia c ad a et b ad d.at qꝛ bcãſtater 16 eiſdem: qð patet nam cũ f ſit differẽtia b ad d:ea ſiquidẽ differẽtia f addita minoꝛi numerody uoni — ↄceptiõem reddit b.eſt itaq; b equalis g.quare e ↄſtabit ex a bꝛcũ per cãdeʒ ↄceptionẽ oſtituatureei 12 a et gſua quidem differentia ad a:que equatur ipſi b. Sunt igitur a b iũcti et c d iuncii eidem tan c— e equales: adinuicem equnles.qð eſt pꝛimum. Aurſum dico ſi c d ſimul equantur a b ſimuleetiͦat 10 equidiſtare c d. Mam capio h qui equidiſtet ad c q́um b ad d:qui h b quia ſic equidiſtabunt perm — mediate monſtratum h b ſimul equãtur c d.ſed et a b ponũtur eildem c d ſimul iunctis equari.quare 10 h bet a b eidem ter tio equales:adinuicem equabũtur. Subſtracto igitur ab vtroq; cõib:remanent —— cõem ſciam h et a adinuicem equales.ergo equalis differẽtia a ad cet b ad d.quare ꝑ diffiuitionen 6 sdinuicem cquidiſtabunt.quod eſt ſcðᷣm atq; totum pꝛopoſitum.
4 Si fucrit pꝛimus ſcði quota pars tertius quarti:erunt pꝛimus et tertus ioinyns d— ſccundi ⁊ quarti: quota pꝛimus ſccundi. hns ¶ Sit a pꝛimus numerus:b ſccundus:c tertius:et d quartus.quia a tota pars eſt ipſius denurn I A c eſt ipſius d:intelligo b et d in ſimiles illas partes diuiſos.et quia pꝛima vnius cum pumaa 10 30
: et cminoꝛ et ſitd
d 8 4— 2 n A umug n ſecudo⸗ Heit tanq́; ac:et ſimiliter ſcða cum ſecũda.et hec coniũctio toties ſieri poteſt quoties pᷣmus bil — X toties igitur numerus equalis a c pꝛimo er tertio:ſumi poteſt in b d ſecũdo ⁊ quarto: quent dun 2 V N 2 24] quare 2imul deimue 6 tertius per diffinitionem erũt ſimilis et tota pars ſecundi et quan ———pꝛimus ſecundi. quod eſt pꝛopoſit 5 cb888 d P.C pꝛopoſitum.
—.— CTSi fuerit pꝛimus tote partes ſecundi quote tertius quarti: erunt pꝛimus ttternus 12 tote partes ſecundi et quarti: qus te pꝛimus ſecundi.
6 0 ¶ Sit vt pꝛius pꝛimus numerus a: ſecũdus b:tertius c:et quartus d.ſitq; a partes blumpte ſunn A—— denominate in b Fim f. ſitq; g vna illan partium aꝛet h vna partium c.cũ igitur g pꝛmmus rota p ger 31 83 7 5 v b ſecũdi quota h tertius eſt d quarti: per pꝛemiſſam compoſitum ex g et h pꝛimo Itertio torupaen 4 8.* h. 5 bd ſecũdi et quarti: atq; denominata ſ̃m f. at partes a et c ſumũtur ᷑m e:erunt igitur partes
opoſitum
d bdſumpte ßm eꝛet denominate ßᷣm f. quare et ſimiles et quote partes fuerit a in b.·qd eie ſüus oſlius
6— ¶ Si fuerint quotlibet numeri totidem aliis eque mltiplices: erit quoq; comp 3 ex cis compoſito ex illis cque mulnplex.
. Ptes g:etcrd ſi

m rcdudazmu Rdtb tcDmnagt
um ſe poſds caubet Dipſo cqudctacui tuf adnrcda tuemalrnam an ſunt cquuics ahinir Sdanz dumeu mtr ad nedunc.Kain ſitf cus dufœiacnta fiquide differinufnan dadu abide (d. Sant rr ns durſum duco cdindau
prꝛimus in tertio.
alI
1
CSint a.P.c.d.e. f quotlibet numeri:ſintq de feꝗ multiplices a be fingulis fingvll: intelligo itaq;
a pꝛimum · d ſcom. b tertium. e quartum:eritq; per penultimam compolſitus ex ab pmo ⁊ tertio tota
pars compoſiti ex d elecũdo ⁊ quarto quota pars a eſt d. quare compoſitus ex d eequem ultiplex ad compoſitum ex a b vt d ad a. Facio itaq; numerum ex ab compoſitum pꝛimum:et compoſitum ex de
ſcðm etc tertium et f quartũ:et cõſimiliter argumentoꝛ.quia quota pars a badde:tota pars cadf.
cõpoſitus igitur ex ab ⁊ c pꝛimo ⁊ tertio tota pars erit compoſiti ex d e et f ſecũdo et quarto: quota pars a bad d e. q̃re compotitus ex d e feque multiplex ad compoſitũ ab c vt d ad a.et ita ſi cõplures
nũeri ſuccreſcerèẽt:ſemꝑ vtare pꝛecedentium cõpoſito vſq; dum advltimũ decũbas:efficieſq; ꝓpoſitũ.·
¶ Si quoties vnitas in pꝛimo toties ſecũdus in tertio:quoties vnitas in ſcðo:toties
¶ Sint a b etres numeri:a pꝛimus·b ſecũ dus. c tertius: ſitq; vt quoties fuerit vnttas in a-toties ſit b in c. dico ergo ꝙ quoties vnitas fuerit in b:totics a eſſe in c.diuido enĩ a pꝛimum nũerũ invnitates
⁊ c tertium in totidem partes: quaꝝ quelibet erit equalis b ſecundo.quia eniʒ quoties pꝛima pars a
in pꝛima part e c toties ſecũda in ſecũ da:et tertia in tertia:et ita deinceps.ergo per pꝛecedentem cõ⸗ poſitus a tota pars erit compoſiti c:quota pars pꝛima pars eius ad pꝛimam partem c:et c eque mul tiplex ad avt eius pꝛima pars ad pꝛimam ꝑtem a.at quoties vnitas in bꝛtoties pꝛima pars a in pᷣma parte c. Mam vnitas equatur pᷣme parti a:⁊ b pꝛime parti c.ergo quotiesvnitas in b ſecũdo:toties a pꝛimus in c tertio.quod erat demonſtrandum. 6*
¶ Si alterna fiat duoꝝ numeroꝛum multiplicatio:idem numerus vtrobiq; ꝓuenict. ¶ At ſi a multiplicat b et pꝛoueniat c:dico etiã ſi b muitiplicat a itidem pꝛouenire c.nam ſi a multi⸗ plicat b et ꝓueniat c:per diffinttionem quoties eritvnitas in a: toties erit b in c. ergo per pꝛemiſſam quotiesvnitas in b ſecũdo:toties a p imus in c tertio.per diffinitionem igitur ſi a ſibi toties cocerua tur quotiesvnitas in bꝛper diffinitionem a per b multiplicatur. at cum hoc fit pꝛouenit c· nam ꝓbatũ eſt a toties coaceruari in c:quoties vnitas in b.conſtat ergo pꝛopoſitum.
¶ Quod ſit ex ductu alicuius numeri in quotlbet:tm̃ eſt qᷓtum eſt quod ſit ex ductu
eiuſdem in compoſitum ex illis. 1 ¶ Sit a numerus qui ducatur in b et pꝛoueniat dꝛet in c et pꝛoueniat e:dico ergo ꝗ compoſitus ex d
e ꝓducitur ex ductu a in compoſitum b c.cũ enim b multiplicet d ſcðᷣm a:b der diffinitionem nũerat d ſcðᷣm aꝛet per idem c numerat e ſcðᷣm a.ſunt igitur d et e eque multiplices b et c:quare per ſextam compoſitus ex d e eque multiplex ad compoſitum ex b c. Sit igitur f pꝛoductus ex ductu a in ↄpoſito b c. cũ itaq; b c multiplicet f ſcðm a:nũerabit igitur numerus b c ipᷣm f ſcðm a.quare eque multiplex fad bcvt d ad b. ſed eidem b c aggregatus d e ꝓbatus e eque multiplex.ſunt igitur de et f eidem b e eque multiplices:per tertiam conceptionem adinuicem equsles.Eſt igitur qð fit ex ductu alicuius
numeri in quotlibet tm̃: q́tum qð ſit ex ductu eiuſdeʒ in copoſitum ex illis quẽadmodũ erat ꝓpoſitũ.
¶ Quod ſit ex ductu quotlibet numeroꝛum in aliquem: equum eſt auu quod ſit ex cõ⸗ poſito illoꝛum in cundem..i e
¶ Sit eadem cũ pꝛecedenti hypotheſis ſed cõuerſo oꝛdine:vt ducãtur b et c in a et pꝛoueniant d et e Dico quod ſit ex ductu b et c in a ſingillatim equũ eſſe ei quod fit ex compoſito b c in a.nam ꝑ pꝛecedẽ tem qð fit er ductu a in b ⁊ cſingillatim: equũ eſt ei quod fit ex ductu a in compoſitum b c.g alt᷑natim per octauam qð ſit ex ductu b et c in a:equũ eſt ei quod fit ex compoſito b c in eũdem.qð eſt ꝓpoſitũ.
¶ Quod ſit ex ductu quotlibet numeroꝛum in quotlibet numeros: equale ẽ ci quod
fit ex compoſito ipſoꝛum in compoſitum ex alus.
¶ Sint a b c quotlibet numeri qui ducãtur in d ef quotlibet alios vt quilibet pꝛimoꝛum ducatur in quẽlibet ſecũdoꝝ:dico quod fit ex ductu a b c ſingillatim in quẽlibet alioꝝ d e f̊ eqle eſſe ei quod fit ex ductu compoſiti a b c in compoſitum d et.nam qð fit ex ductu a b e ſingillatim in d:equũ eſt ei qð ſit ex ↄpoſito ab c in d.et cõſimiliter de ductu a b et cſingillatim in e et fargumẽtabere qð nichil aliud eſt ꝙᷓ qð ſit ex ductu a b etc in d eet f ſingillatim:per pꝛecedentem equale eſſe ei qð fit ex compoſito ab eind eet f ſingillatim. At per nonam qð ſit ex compoſito a b e ſingillatim in d e et fꝛequum eſt ei quod fit ex ↄpoſito a b c:in compoſitum d ef.quare cõſtat quod ſit ex ductu quotlibet numeroꝛum in quotlibet numeros equum eſſe ei quod fit ex compoſit o illoꝝ in compoſitum ex alijs. Et he quattuoꝛ octaua:nona: decima:et vndecima:pꝛaxim multiplicandiq; modum:plane declarant.
CQuicunq; numerus numerat totum et detractum:numcrat ct reſiduum.
¶ Sit a b totum:a detr actum et b reſiduum.dico ꝙ ſi e numerat a b et a:ipᷣm nũerare b.·numeret enĩ
ab ſcðm numerum d e et a quidẽ ſcðvm d. quia igitur per nonam ꝗᷓᷓtum eſt c in d eꝛtm̃ eſt e in detcin e At a equale eſt ei qð ſit ex c in dꝛigitur a cũ eo qð ſit ex c in e:equũ eſt a b.quare qð ſit ex cin e:equũ
eſt b. ſed c numerat qð ſit ex c in e per diffinitionem:igitur ⁊ b ſuũ equale numerabit.qð eſt ꝓpoſitũ. ¶ Zm̃ eſt qð ſit ex ductu nũeri in ſe: qᷓtũ qsð ſit ex ductu eiuſdem in oẽs ſuas partes.
¶ Sit a quicũq; nũerus quẽ ſemel pono diuiſum in oẽs ſuas ꝑtes qᷓ ſint bcdeꝛ⁊ ſemel indiuiſũ:tũc
qð fiet ex ain b⁊ in c⁊ ind ⁊eꝑ nonã equũ eſt ei qui ſit ex a in ↄpoſitũ ex bede. at ↄpoſitũ b cd e:eſt
a. qð ſit igit᷑ ex ductu numeri in oẽs ſuas partes:equũ eſt ei qð ſit ex ductu eiuſdeʒ numeri in ſe.q̃re ⁊
alt᷑natim per octauam qð ſit ex ductu nũeri in ſe:ti eſt q́tum qð ſit ex ductu eiuſdẽ in oẽs ſuas ꝑtes.
4 3

ſit ex ductu ciuſdem in ſe ⁊ in reuquum.
¶ Sit ab nũerus in duo a ⁊ b diuiſus: dico qð ſit ex ductu a b in a equũ eſſe ei qð f un ⁊ in b.et ita quoq; qð ſit ex a b in bꝛequale eẽ ei qð fit exb in ſe ⁊b in hdenec 3 e duchu ainſe( fiet et ductu a b in a ꝑ octauam equũ erit ei qð fit ex ductu a in a b.at qð fit ex ductu abu a:tuncqs ¹ b equũ eſt per nonã facto ex ductu in compoſitũ a b.ergo cũ a ducit᷑ in ſeipᷣm a ⁊in b:tii* inarn d
a b in a. et ita argumentare ſi a b ducatur in b·et conſimili modo concludes pꝛopoſitum aeit Gtum ſch clarius videre ſi bis ponis a et bis ponis b. um. Potelch ne
¶ Si numerus in duo diuidatur:qð fit ex ductu totius in ſe tm̃ eſt: ʒtum quod fitet, 6
C Numero in duo diuiſo quod ſit ex ductu totius numeri in altey uloy:eſt stum qs
ductu vtriuſq; diuidentium in ſe ⁊ vnius bis in altey. ru ¶ Sit a b numerus in duo a ⁊ b diuiſus:dico qð ſit ex ductu a b in ſe equũ es ei quod ſitex duct tui ſe ⁊ b in ſeꝛet ex ductu bis a in b. Nam qõð ſit ex a b in ſe:equũ eſt ei quod ſit ex ductu eius inaꝛ 3 ſeh
decimam. At qð fit ex ductu a b totius in a ⁊ in bꝑ pꝛecedentem bis ſumptam:equũ eſt ei qucn Pn nn ductu a in ſe ⁊ in b et b in ſe ⁊ in a. ſed qð ſit ex a in b ⁊ in a alternatim ꝑ octauã equat᷑ ei aft t 1 ctu bis a in b.quod ſit igit᷑ ex ab in ſe:equat ei quod ſit ex a in ſe ⁊ b in ſeꝛet ex a bis inb q8 p ve 19 tur.Et ex hoc cognoſcitur modus eliciendi latus tetragonum. ehe
¶ Si numerus in duo diuidak: qð fit ex toto in ſe cũ co qð ſit er altero in ſe ůꝛ cqu, 5 eſt ei qð ex toto in illud idem bis:qðcq; ex reliquo in ſe ducto ꝓducur. ¶ Sitvt pꝛius a b numerꝰ in duo a ⁊ b diuiſus:dico quod ꝓducif᷑ ex ab in ſe cũ eo quod ſit erzinſe t equũ eſſe ei quod fit ex a b bis in a/ ⁊b in ſe. Mam qõð fit ex ab in ſe:ꝑ pꝛecedentem tm eſtoᷣtũ quodſi c ex a in ſe ⁊ b in ſeꝛet a bis in b.quod ergo fit ex ab in ſe cũ eo quod fit ex a in ſeꝛim erit qtum quod er
a in ſe bis ⁊ a in b bis ⁊ b in ſe.ſed quod ſit ex a in ſe bis/ et bis in b per 14 equat᷑ ei quodſter abinas bis.cui adde quod ſit ex b in ſe.tunc qᷣq; quod ſit ex ab in ſe cũ eo quod ſit ex a in ſe:equabit ei quod ſt 1 ex ab in abis ⁊b in ſe.quod eſt pꝛopoſitum. b— ¶ Si numerus in duo diuidatur qð fit ex toto in ſe: equũ eſt ei qð fu ex ducumina in partis in aliud quater:cum co qð fit ex differentia in ſe. 4 ¶ Sit a b nũerus in duð a ⁊ b diuiſus ſitq; b maiꝰ: diuida kq; iten b in duo ſcz in d equale aꝛꝛedkan r b ad a.dico quod ſit ex a b in ſe:equũ eẽ ei quod ſit ex ductu quater a in b ⁊c in ſe. Hã ꝑ decimaqumi 1 quod ſit ex a b in ſe:equũ eſt ei quod fit ex a bis in b ⁊ a in ſe ⁊ b in ſe. at ꝑ pᷣcedentẽ quodſit exb iſi an
9 2 4—„ 4. 2— 2„ 4 a in ſe equali d vni ꝑtiũ b:equat᷑ ei quod ſit ex b bis in a ⁊cin ſe:qᷓre alt᷑natim ꝑ octauam tei quodſt 4
³ 00 00 00 0..
. 8 3— 3 ———————„ en — weFArns eaehere-——. 4 8— 1———— „ Aen—— ——ͤͤͤ—¾¾¾ʃʃ 2——— geeheern 1 86——————————y————..— ———————————————=.— Seeeer ec celere—————————— ———————————————— 7— ——————⸗*— 4—.———— ————— 4.——-———— ————————— 8———ÿ—— 3 3 —— 2*——* 3— 8—— ¾————ÿ——— „—.———¼⁴j————— ——————— 8— 8 5— ſſſſſſſſſ—— 5
——
ex a bis in b ⁊ c in ſe.Igit᷑ a b in ſe tantus eſt qᷓtus a quater in b cũ differẽtia c in ſe.quod intendiur. 1 ¶ Q fit ex minoꝛe diuidẽtium in ſe cum eo qð fit ex toto in eoꝝ differentiam můch · a qᷓtum quod ꝓucnit ex maioꝛe coꝛũdem per ſe multiplicato.. 5
¶ Sit a numerus diuiſus in b maius ⁊ cminus:ſitq; d differentia b ad c.dico quod ſit er ein ſeꝛan eo quod ſit ex a in dꝛtm̃ eſſe q̃̊tum quod ſit ex b in ſe · Mam per decimam quod ſit ex a in dꝛequak ei ſit ex b in d cin d. Sit itaꝙ; illð e.et quia b diuiſum eſt in c⁊ d differentiam: per 14 quod ſitterbinn iit alteꝝ diuidentium: equum eſt ei quod ſit ex d in ſe ⁊ in c.et cum per octauam cin d eriam cquedit i erit igit᷑ a in d equum ipᷣis d in ſe ⁊ bis d in c ſimul. quibus ſi addas c in ſe quod ſit k:totum quod;ſt in nit ex a in d ⁊c in ſe ſcz e ⁊ fequabit᷑ d in ſeſc in ſe et bis d in c. at b in ſe(cum ihm diuiſum ſit undi 36 aut equale) per decimãquintã tm̃ etiã eſt qᷓᷣtũ d in ſec inſe:⁊ bis d in c. ſeʒ ꝙᷣtum fit er duetu nnul i partium in ſe:⁊ vnius in alteram bis. Eſt igit᷑ quod ſit ex a in dtoto ſcʒ in differentiam: cum cminot 1 Ic parte in ſe:q́;tum quod ſit ex b maioꝛi parte in ſe multiplicata. quod intendit pꝛopoſitio 7 ¶C Si numerus per duo equalia duoq; inequalia ſecetur: qð ex ductu vnus Gnul* in ſe pꝛoducitur im̃ eſt:q;tum qð fit ex ductu vnius mnequalium in rehquũ cumcoéCé fit ex diſſerenna in differentiam. iuſꝙ; veni d demonſtrationem: notatu dignum arbitroꝛ ꝙ quãdo alids nunerus mab dü . Waiuſch deniamus ad demo aemn. Sn ꝛilla duo inequali dmuun i
in duo equalia pariter ⁊ in duo inequalia vt in a minus ⁊ b maius diuldik: equalium quod totius medietas eſt:eandem atq; cõem habere differentiam. nam fun vanmnicde inequalium ſimul iunctoꝝ illud equale ſit medietas:illa ab eo equidiſtare per ee N hgs inequuliũ— huius neceſſe eſt: quare ad ipᷣm cõem habebunt differentiam. Hĩc fit etiãvt differs: 4 dennol antand ad reliquum:dupla ſit ad differ entiam cõem ipſius equalis ad ipſ a. Ham cum 5 a! onſtittacker 4
extrema ſint et ipyſum equale medium:per octauam conceptionem differentia 95 1 emöſtratlen differentüjs eoꝛum ad ipᷣm medium.Sed hec ſtatim nota ſunt. Mos ergo ad pꝛobo eins medituas. (
C
cõuertamus.Sit a b nũerus diuiſus in a msioꝛem poꝛtionem ⁊ b minoꝛemꝛſitqʒ dunas unec habedt et d ſit differẽtia cõmunis c ad aet ad b. Nam vt oſtẽſum eſt c ad vtrunq; eandee qrenicduiim 6 differentiã. Pico ꝙ ſit ex c in ſe tm̃ eſſe quantũ qð ſit ex a in b cum eo qð exd in e tb in dbis.e Ais 5 aãat u
in d et b. ideo per decimãquintã qð ſit ex c in ſe equũ ẽ ei qð fit exd in ſe et b in in btantüel
n e l äa maioꝛ poꝛtio eſt totũ et eius partes b et differẽtia dupla ad d.ergo per deriniae⸗ unn ſeꝛꝛtunc tolt* quantũ qð ſit ex b in ſe et b bis in d.adde igitur ei qð fit ex a in b numerũ qui tum eſt equan n
qð ſit ex a in b et d in ſe equabit᷑ ei quod ſit ex d in ſe b in ſe et b in d bis:cut demonſtra 1

poſe
Is d dufereader ſe. Rn per dcnmm ai —,— atncckamde Ieuenſeat
ada dic.udat mnn
enſerdannehe aud erct—
ncd co tcwwnce mulapicn.
1
c in ſe. conſtar igitur qð ſit ex duetuvnius equaliũ in ſe tantũ eſſe ᷓᷣtum qð ex vno ĩequaliũ in reliquũ cum eo qõð ſit ex differentia in differentiã.
¶ Si numcrus per duas quaſlibet diuiſiones diuidatur:qð fit ex ductu maximi diui⸗
dentiũ in minimũ cum eo qõð ſit ex differẽtia ipſius maximi ad alterũ medioꝛũ in diffe rentiam eiuſdem ad minimũ tantum eſt qᷓtum qð ſit ex ductu duoꝛum medioꝝ vnius in alteuumäm.
¶ At in pꝛecedẽti id ante animaduertere licet ꝙ cũ quilibet numerus duabus hoc pacto diuiſtonibꝰ ſecatur vt a vna diuiſione in b ⁊ cet ſcða in d e.quoꝛũ b ſit maximus et c minimus ⁊ d medtoꝝ maioꝛ et e minoꝛ que differẽtia pꝛimi ad ſecundũ eandẽ eſſe tertij ad quartũ ipſis ſic oꝛdinatis. Ham qꝛ de equales ſunt circũpoſitis b c:ab illis per ſecundã partẽ tertie equidiſtãt.quare q̃ differẽtia b ad d que ſit f:eadẽ erit e ad c.et etiam que differẽtia b ad e que ſit gꝛeadẽ erit d ad c. RNam per octauã conceptt onem differẽtia extremoꝛũ b e conſtituitur ex differẽtiis b ad d et d ad e.⁊ differẽtia d ad c extremoꝛũ per idẽ conſtituitur ex differẽtiis d ad e ⁊eadc. Sed differẽtia d ad e eſt vtriq; cõmunis:et differẽtia e ad cpꝛobata eſt equalis differẽtie b ad d. erunt igitur differẽtie b ad e ⁊ dad cexequalibus quidem conſtitute adinuicem equales. Eſto ergo a numerus eo qui poſitus eſt mo do diuiſus et differentie vt poſite ſunt aſſignate.dico ergo qð ſit ex ductu b maximi diuidentiũ in c minimũ cũ eo qð ſit ex fin gꝛequale eſſe ei qð ſit ex d in e vniusvidelʒ medioꝛũ in reliquũ.qð enĩ fit ex ductu d in e per nonã ad⸗ iuuãte octaua tm̃ eſt qᷓtum qð ſit ex d in cet in f. Nam e diuiſum eſt in cet dꝛiĩam f.Sed qð fit ex d in c et fper octauã equũ eſt ei qð ſit ex c et fin d.et qð ſit ex fin d equat᷑ per nonam ei qð ſit ex fin c ⁊g.at qð ſit ex fin ctm̃ eſt per octauã qᷓtum qð exc in f.ꝙ aũt ex c in d⁊ infᷣ tm̃ eſt per nonam qtum qð exc in b. conſtat igitur qð fit ex d in e tm̃ eſſe qtum qð ex c in b cũ eo qð fit ex f in g ⁊ pꝛopoſltum.
¶ Si quota pars totus totius tota pars detractus detracti: erit reſiduus reſidui tota pars quota totus totius.
¶ Sit a b numerus cuiꝰ detractus ſit b ⁊ reſiduus a.ſitq; alius numer c d cuius detractꝰſit d et rell dus c ⁊ quota pars totus c d eſt totius a b:tota pars ſit d detractus detracti b.dico ergo totã partem c reſiduũ eſſe reſidui a:quota pars eſt totus c d totius a b.capio numerũ e cuiꝰ c tota pars ſit quota d eſt b. et intelligo quattuoꝛ numeros c pꝛimũ e ſecundũ d tertiũ b quartũ· conſtat enĩ per quartã qꝛc tota pars eſt e quota d eſt bꝛcompoſitũ c d totam partẽ eſſe cõpoſiti eb quota pars c eſt e ⁊ tota pars poſitus eſt c d ad a b.eſt igit᷑ a b eque multiplex ad cd vte b adcdet per tertiã conceptionẽ adinuicẽ equales.quare e eſt equalis a.⁊vt c ad e:ita quoq; c ad a.ſed c ad e eſt vt detracti ad detractũ ⁊ totius
55 fotum eſ igitur c ad a reſiduus ad reſiduũ vt totus ad totum et quota pars totus totius quod eſt ꝛopoſitum.
¶ Si quote partes totus totius tote partes fuerit detractus detrasti:erit reſiduus re ſidui tote partes quote totus totius.
¶ Sit a b numerus cuius detractus ſit b et reſiduus a. ⁊ cd alius numerus cuius detractus ſit d et reſiduus c ⁊ quote partes totus c d eſt totius a b:tote ſit detractꝰ d detracti b. Dico ergo c totas ꝑtes eſſe a quote ed eſt ipſius a b. Mone numerũ e cuius c tote partes ſintiquote d eſtb ⁊ argumẽètare pe⸗ nitus eode modo per quintam quomodo in pꝛecedenti argumẽtatus es per quartã.
¶ Omnis pars partis: cſt pars totius denominata a numero qui fit ex di n 4 b mero qui fit ex ductu duoꝛũ numeroꝝ vnius in alterũ partes illas denominantiũ. Ji
3 4 tus vumeruseb eius pars et cpars b ⁊ numerꝰ denominãs b in a ſit d et denominãs c in b ſs⸗ſürch erus qui ſit ex ductu d in e. Dico ergo c denomiari in a ab f numero ſc qui fit ex ductu
uoꝛum denominantiũ vnius in alterum. Dituido enim f in partes equales 85 equales b. et qꝛ quoties b eſt in a:toties e eſt in f. eſt enim d denoĩatoꝛ vtriu ſim cum b ſecundũ ipſum numeret in aꝛet cſ ecundũ eundem numeretk in f. Ide

—
8 oöooooböoöoöoͤoöoöoöoo—–18“8ͤ5*².².“ 3 8 8 ——
2 ——— ————
— ℳ—
3 2
2 6
— 8
20
berel uaendhanfanaen Jhenn9nnton banoclctenkus letn„potegnecema ¶ Si pꝛimus in ſecundo quoties quartus in ſexto: itemq; tertius in quan ſcðs in quinto:ncceſſe eſt toties eſſe pꝛimũ in quinto quoiies fucrit tertius ¶ Sint vt pꝛius ſex numeri:a pꝛimus:b ſecũdus: e tertius: 8d quartus: e quintus:fſe pars b quota d eſt fet ctota pars d quota b eſt ipſius e.dico a totam partem eſſee qu
in ſerto,
xtus. ſltq atot ota c eſt lhern
nitus vt pꝛecedens demonſtratur.
¶ Si fuerit pꝛimus tota pars ſcði quota tertius quarti: itemq; pꝛimus quinti quon tertius ſexti erit pꝛimus tota pars ſecundi ct quinn quota tertius quarti? ſern.
¶ Sint ſex numeri:a pꝛimus:b ſecũdus:c tertius:d quartus:e quintus:f ſextus.ſitq; pꝛimus inſc
vt tertius in quarto et pꝛimus in quinto vt ternus in ſexto.dico a pꝛimũ eſſe totã partem he ſen 1 et quĩti quota c tertius eſt d fquarti ⁊ ſexti.qꝛ per hypotheſim pꝛimus in ſecũdo vt tertius in Juun
ſit ergo gnumerus denominãs quoties a in b et c in d. ⁊ qꝛ etiam per candem hypotheſim pꝛimusi quinto vt tertius in ſexto.ſit ergo hnumerus denominãs vtriuſq; ſcʒ quoties a ine ⁊c inf. ſi 3 ſitum ex g h numerus lꝛ. tunc ſic:qð ſit ex ductu a in g et h:tantũ eſt qtum b ⁊ e.et per nonam qun f exa in g ⁊h:tantũ eſt q́tum qð ex a in lꝛ compoſitũ ex ipſis. Similiter quod ſit ex cin get h: tantäch Tptum d ⁊ f. et ꝙtum qð ſit ex c in lꝛ.igitur a pꝛimus tota pars eſt b e ſecundi et quinti quota cteriuns df̃quarti et ſexti:vt qui numerẽtur in illis ſm eundem numerũ lꝛ: quod vult pꝛopoſitio.
¶ Si fuerit pꝛimus ſecundi tota pars quota tertius quarui pꝛimis quidẽ minonbuu
erit pꝛimus tertij tota pars aut partes quota pars aut partes ſecundus quari.
¶ Sit a pꝛimus numerus:b c ſecundus:et d tertius:e fquartus: a ⁊ b cſimul exiſtẽtibus minoubus et quota pars a eſt b c tota pars d ſit e f.dico igitur quota pars aut partes b c fuerit e ftotam pante aut partes numerũ a eſſe d. Diuido enĩ b e in partes ſuas equales a que ſint b et c.item diuidoe fn partes ſuas equales d. et qꝛ e feſt eque mltiplex ad d vtb cad a ex hypoiheſi: ideo tot partes nunen erunt ipſius e fquot poſite ſunt b c.Sint igitur ille e ⁊ f.cum igitur b pꝛinia pars b eſitt equalisan pꝛima pars ipſius e f ſitũqualis d quota pars aut partes b erit e tota pars aut partes a eſſ d.etitan
parte c reſpectu partis f et reliquis partibus vnius ad reliquas partes alterius ſi plures eſſent, jn
tellige igitur b eſſe pꝛimũ numerũ:e ſecundum:c tertium:f quartũ.ct ſi b eſt partes e argumeẽtaiya duinta:qꝛ pꝛimus b pꝛobatus eſt tote partes e ſecũdi quote ꝑtes eſt c tertius f quarti. ergo be pin et tertius tote partes ſunt e f ſecundi ⁊ quarti quote partes b pꝛimus eſt e ſecũdi.at a ad dmonſnr eſt tote partes quote b eſt e.igitur et quote b c ſecundus eſt e f quarti.et ſi b eſſet pars e omnino cin mili modo per quartã vt nunc quoq; factum eſt per quĩtam elicerem argumentũ. Manifeſtũ itagc ſi pꝛimus in ſecundo vt tertius in quarto pꝛimis exiſtentibus minoꝛibus: pꝛimum totam parteman
partes eſſe tertij quota pars aut partes ſecundus ẽ quarti.
¶ Si pꝛimus tote partes ſecundi quote tertius quarti pꝛimo ⁊ ſecundo minonbis erit pꝛimus tota pars aut partes tertij quota ꝑs aut partes ſecundus quarn.
¶ Sint quattuoꝛ numeri:a b pꝛimus:c ſecundus:d e tertius: et f quartus. quoꝛum ab ⁊cduopeim
duobus reliquis ſint minoꝛes:et ſit a b tote partes c:quote d e eſt f.dico a b totam partẽ velpantste
ties enim aliquis numerus ab aliquo ſubſtrahi poteſt: toties in ipſo numerabilise de tionem qui ſi remanet minoꝛ b per pꝛimam pꝛopoſitionem eſt ipſius b aut pars aut partes: qno
de quota pars vel partes c eſt f.diuido enĩ ab in ſuas partes ad c que ſint a ⁊ bet ſimiliter ei ſua
ad f aue ſint d et e. cum igitur per hypotheſim a b tot partes ſit c quot partes d e eſtf:tot eruntot
numero a b diuiſi quot ⁊ de.et a pꝛima pars a b tota erit c ſui totius quota d pꝛimaparsdeeſtſuin tius f. quare per pꝛecedentẽ a pꝛima pars ab ad d pꝛimaz paꝛtem de tota pars aut partes quotan quote c ad f.et ſimiliter h ſecunda pars pꝛimi ad e ſecũdam partem tertij tota pars aut partes quon vel quote c ad f.ſicq; de reliquis partibus pꝛimi ad reliquas tertij ſi plures ſint partes. Ytſſ aad ſt pars facio a pꝛimum numerũ:d ſecundum:b tertium:⁊ e quartum.et argumentoꝛ per quattun quu
atota pars eſt d quota b eſt e. ergo a b ad dctota paꝛs quota a ad d. ſed a ad d moͤſtratus cltulads
quota c ad f.ergo a b pꝛimus ad d e tertium tota pars quota c ad f̃ſecundus ad quartum-Quodſia ad d ſit partes penitus conſimili modo per quĩtam argumentabere quomodo nunc perquattam de parte conſtar eſſe argumentatũ. Planum itaqʒ eſt ſolidum eſſe pꝛopoſitum.E t ſi contingeretduos
pꝛimos numeros duobus vltimis eſſe maioꝛes: conuerſo modo coneludẽdum eſſet tertiunpuinito⸗
tam partem aut partes quota quartus ſecundi. quod facile monſtrari poteſt oꝛdine permutauv en ſtiruendo ſcʒ duos vltimos pꝛtoꝛes et pꝛimum ⁊ ſecundũ poſterioꝛes.
Omnis numerus minoꝛ aut maioꝛis pars eſt: aut co ab maioꝛe quotispolchdi tracto relinquetur ipſius aut pars aut parte
¶ Sint a b duo numeri a maioꝛ et b minoꝛ. dico b eſſe partem a vel eo detracto auoties porn remanere ipſius b aut partem aut partes. ſi enim b minoꝛ numerat a maioꝛem per diffini b5 8 pars a. ſi ſecus autem b non metitur a. ſubſtracto igitur b quoties poterit ab a remanebitm
Mam ſi nichil remaneret numeraret a ſecundũ numerum denominantẽ quoties ſ— vn
prꝛopoſitum.
oquone
— ——

möndemaahpahn. Decrf. an garynmn
parrcyd errne —
rrunfarigidäx — te partesd pmmaeh
andus ctefauxuchi
crnndus nucrdu er
9 urn..⸗.
errus aunewitc
ota ps autpans th
menrtasncfausth.. Scetedecktamtie
uus purtes mcqucſunt tt partes tt cqutara
umas ptnen deuuff
ſuperfluunt. Similes ſiue vna alij
II
(¶Si quote partes pꝛimus ſecundi tote tertius quarti pꝛimis itidẽ ſemp minoꝛibus: quonies erit pꝛimus in ſecũdo toties tertius in quarto.et quota pars vel partes pᷣmi
ſfuperunt in ſecũdo:tota pars aut partes tertij ſuꝑerunt in q8uartoſ.ʒ ¶Sit a pꝛimus numerus /ſecũdus b cſtertius dſet quartus e f/et pꝛimi a et b c mĩoꝛes:ſitq; a p̃mus
tot et tote partes b c ſecũdi quot et quote ꝑtes d tertius eſt ef quarti.Sico quoties a eſt in b c:toties d eſſe in e f. et quota pars vel partes a pꝛimi ſuꝑſunt in b c ſecũdo totam ꝑtẽ vłꝑtes d tertij remanere
in e fãrto.ſubſtraho enĩ a pꝛimũ a ſcðo b c qͥties poſſum:ſitq; totus ſubſtractus b ⁊ reſiduus c:ſitq; d
toties ĩ g:qͥties a ĩ b.quo qͥdẽ ita poſito qꝛ a tote ꝑtes ẽ b cqͥte d ẽ efꝛergo ꝑviceſimãoctauã a tota ꝑs vel ꝑtes ẽ d:qͥta ꝑs vel ꝑtes b c ẽ ef.Rurſus ĩtelligo a pᷣmũ numerũ·b ſcðᷣm.d tertiũ · g quartũ: ⁊ ↄſilr
argumẽtoꝛ ꝑ viceſimãſeptimã.qꝛ a tota ꝑs eſt h qͥta d eſt gꝑ hypotheſim:ergo ꝑ viceſimãſeptimã qᷣͥta
ꝑs vel ꝑtes b ẽ g:tota ꝑs vel ꝑtes a ẽ d.at a oſtẽſus eſt tota ꝑs vel ꝑtes d qͥta ꝑs vel ꝑtes b c eſt e f:igr̃
quota ꝑs vel ꝑtes ẽ bc ad ef:tota ꝑs vł ꝑtes ẽ b ad g.at qꝛ qͥt ꝑtes aẽ be:tot ꝑtes d ẽ ef.et quot ꝑtes aẽ b:tot ꝑtes d ẽ g.nã b ⁊ g eq̃ multiplices:et a ẽ paucioꝛes tote ꝑtes b qᷓ totius b c:igit᷑ ⁊ d paucioꝛes
tote ꝑtes ẽ gꝗꝙᷓ ef.ſubſtrʒhat᷑ igit᷑ g ab ef:ſitq; detractus e ⁊ reſiduus f:⁊ ↄſtabit pꝛimũ ꝓpõnis ꝓpo
ſitũ · ſcz qties a in b c:toties d eẽ in ef cũ e ſit eq̃lis g.ex hoc etiã manifeſtũ eſt b totã ꝑtẽ vel ꝑtes eſſe e Mä e⁊g equant᷑: detracti ſcʒ ad detractũ qͥta parsvel ꝑtes ẽ totus b c ad eftotũ.ſi i aũt nũerus b ipᷣiꝰ e tota ꝑs fuerit:g ꝑ viceſimãp̃mã erit c reſiduus reſidui f tota ꝑs q̊ ta totꝰ totius.ſi aũt tote ꝑtes:erit
ꝑviceſimãſcðᷣaz c reſiduꝰ tote ꝑtes reſidui f:qͥte b c totus e f totiꝰ.ſʒ eſto g vt b tota ꝑs ſit e qͥta ꝑs to⸗
tus b ec totiꝰ e f. Intelligo c pᷣmũ.f ſcðᷣm.b c tertiũ.et e fquartũ:⁊ argumẽtoꝛ ꝑ viceſimãſeptimã.qͥa
quota ꝑscẽ f:tota ꝑs bcẽ ef vt mõſtratũ eſt:ergo qͥᷣta ꝑs vel ꝑtes c ẽ ad bf:tota ꝑs vel ꝑtes f eſt ade f. et ſi b eẽt ꝑtes eↄſiłr argumẽtare ꝑ viccſimãoctauã ⁊ ↄclude iteꝝ ꝑ eã c totã ꝑtemvel ꝑtes eẽ totius
be: quota parsvei partes f eſt totius e ſ.et hoc eſt totum pꝛopoſitum.. (¶Si toties dempto pꝛimo de ſecundo quoties tertio de quarto tota pars vel partes puꝛmi rclinquãtur in ſecundo quota aut quote tertij in quarto: pꝛimũ totas cẽ partes ſecundi quotas tertium quarti neceſſeſeeff. Cbec eſt ↄuerſa pꝛecedẽtis quevt pᷣcedẽtes duobus pꝛimis nũeris minoꝛidus intelligat᷑.ſit igitur a
vt pꝛius pᷣmus numerus b c ſecũdusſd tertiuslet e f quartꝰ:et ſint duo pꝛimi mĩoꝛes ⁊ toties demat᷑ pꝛimus a ſecũdo ſitq; dẽptus b:quoties tertiꝰ a quarto qui dẽptus ſit e et ſitvt qᷓta parsvel ꝑtes pᷣmi
relinquũtur in ſcðᷣo tota pars vel ꝑtes tertij relinquantur in quarto: ſitq; c relicta ꝑs vel ꝑtes in ſcðᷣo
et f in quarto. Dico ergo a pꝛimũ totas eẽ partes h c ſecũdi quote d tertius eſt e f quarti.Capio g qui
ſit tote ꝑtes e fquote ꝑtes ã eſt bca ꝑ pꝛecedentem quoties a eſt in b c:toties g erit in e f.et quota ꝑs
aut ꝑtes a ſuꝑſunt in be:tota ꝑs aut ꝑtes g ſuꝑerũt ĩ e f. At toties poſitus eſt d eẽ in e f:qͥties a eſt in b c. et totã ꝑtem vel ꝑtes ð ſupeſſe in ef:quota ꝑs vel ꝑtes a ſuꝑſunt in b e:igitit g ⁊ d adĩuicem ſunt
equales. quote igitur ꝑartes a eſt be:tote d eſt ef. quod eſt pꝛopoſitum.
ö(( Piimi elementoꝛum Arithmetices Joꝛdani finis. 1 Ropoꝛtio eſt duaꝝ quãtitatum eiuſdem generis vmius ad alteram certa
p in quãtitate relauo. C Numeri ad numcrũ dicitur ꝓpoꝛtio minoꝛis qͥdẽ
ad maioꝛem in eo ꝙ pars eſt vel partes: maioꝛis vo ad minoꝛem ſᷣm ꝙ
eunm cõtinct et eius partem aut partes. ¶ Pꝛopoꝛtionalitas eſt ſilitudo ꝓpoꝛtionũ. ¶ Continua ꝓpoꝛtionalitas eſt añ ↄnectũtur nõ diſſociatis
mediis. hec aũt ad minus iter tres coaleſcit terios:cũ ſaltem vnũ ſumẽdum ſit mediũ macrucſateusqua
Incõtinuavxo eſt in qua intercedit medioꝛũ interruptio.Et hec ad mimum quattuoꝛ exigit terios ꝓpter alterius medij ſumptionem. C Quãdo fuerit tres numeri otinue ꝓpoꝛtionales:dicetur pꝛimi ad tertium pꝛopoꝛtio pꝛimi ad ſecũdum duplicata et ad quartum triplicata. C Cum aũt cõtinuate fuerint vel cedem vel diuerſe ꝓpoꝛtiones: dicetur pꝛimi ad vltimum ꝓpoꝛtio ex oibus compoſita. Denoiatio dicitur ꝓpoꝛtiõis
minoꝛis quidẽ ad maioꝛem pars vel partes quota vel quote illiꝰ fucrint: maioꝛis v0
ad minoꝛem numerus ſᷣm quem eũ cõtinet et pars vel partes minoꝛis que in maioꝛe pert. lij eadem: dicũtur ꝓpoꝛtiones que eandem recipiunt denoiationem. maioꝛ vo que maioꝛem:et minoꝛ que minoem.
¶ Si fuerit pꝛopoꝛtio pꝛimi ad ſ com que tertij ad quartum: erit ecõuerſ 0 que ſecũdi ad pꝛimum cadem quarti ad tertiuu.“ ¶ ec demõſtrat ↄuerſam ꝓpoꝛtionalitatem: que ab euclide quĩto geometrie ponit pꝛia ſpẽs ꝓpoꝛ
tionalitatum. et eſt quoties cõcludimus ↄñs ad añcedens vt ↄs ad añis: ꝙ añs ad ns ſeſe habuerit
vt añcedens ad ↄſs. añcedès eni eſt pꝛimũ ꝓpoꝛtionis extremum:ↄns voſ inti nattuoꝛ
ChS 5.71 din ii m: cðᷣm. Sint itaq; quattuoꝛ 3 vunerſta peimue b ſecundus ſ c tertius/ d quartus:ſitq;vt que peopoꝛtio a ad bꝛeadem mca d. dico Louerlo què pꝛopoꝛtio b ad a:eãbes eſſe d ad c. Ham cũ ea ſit ꝓpoꝛtio cad d que a ad bꝑ diffinitione eandem haͤbebut denomiationem. ſi itaq; a ſit minoꝛ b ex diffinitiõibus tota parsvcl p aas
rsvel partes erit a ad
..

15
2 3 4 b 9 — c— 6 9 b dv— 1 3 ————
“ .—
, b,«*
as bs cs d 16
as b2 c9 d;
b b 5 c4 d lo es
8 2 f 1 82.
b:quota pars vel partes c ad d. Si aũt ſit a ad btota pars quota cad d:vt in pꝛima hqurat
tur:erit d eque multiplex ad c vt b ad a. quare que ꝓpoꝛtio b multiplicis ad a: eadem un Aie tiplicis ad c.at ſi a tote partes ſit b quotec eſt dꝛper triceſimã igitur pꝛimi b toties caun denuemu⸗ totã eius partẽ vel partes:quoties d ↄtinet c et quotã eius partem vel partes.q̃re ſilis mebitibm zet b ad a que d ad c:et que ꝓpoꝛtio b ad a eadem et d adc.ꝙ ſi anumerus eẽt maio: d:limdlt— pateat pꝛopoſitum ponẽdo b pꝛimum numerum/a ſcðm/ d tertium/ c quartum. rargumen
möſtr que mul
CSifuert pꝛimus ad ſcðm ſicut tertius ad quartum: fueruq; pumus maioꝛſech ¹
erit tertius maioꝛ quarto..
¶ Sint vt pꝛius quattuoꝛ numeri:a pꝛimus/b ecũdus ſc tertius/d quartus:ſitq; a maioꝛh. dice c eſſe maioꝛem d. Nam per pꝛecedentem qꝛ que ꝓpoꝛtio a ad b ea eſt c ad d:ideo ⁊ ↄtra que micdeni ad a eadem erit d ad c.at b ponit᷑ minoꝛ a: igit᷑ erit per pꝛimam pꝛimi b pars aut partes 1 Leee tota ꝑs vel ꝑtes c.atq; d mĩoꝛ c qð intẽdit᷑. Potes ⁊ directe ꝓbare qꝛ a ẽmaioꝛ b alidties r aliquoties et ꝑtẽ aut partes.et cũ ceandem ꝓpoꝛtionè heat ad d:ergo toties c cõtinebit daut 393 et partem aut partes.qᷓre c maioꝛ eſt d. qað eſt pꝛopoſitum.Et cõſilr ꝓbare poſſis qᷓ facillime ſina⸗ minoꝛ ſcðᷣo fuerit:tertiũ quarto eẽ minoꝛem. MNã ſi pꝛimus ſit mĩoꝛ ſcðᷣo per pꝛimam pꝛmi eukhu⸗ vel partes ſcði.et cũ tertius ad quartum eãdem habeat pꝛopoꝛtiõem:tota ꝑs aut partes erit rhn quarti:quare minoꝛ quarto.et ſi pꝛimus eẽt equalis ſcðo ↄſilr ꝓbabis tertium eſſe equalem guane
¶ Si fuerit pꝛimus ad ſcðm ſicut tertius ad quartum:crit ꝑmutaum ſicut pumusa
tertiumꝛita ſecundus ad quartum.
¶ IHec demonſtrat ꝑmutatam pꝛopoꝛtiõalitatem:que eſt quoties cõcludimus vt añs ad añisiitaſe ad ↄñs:ꝙ vt añcedens ad ↄns:ita añs ad ↄñs ſeſe habuerat. Sint ergo quattuoꝛ numerua puimus ſecũdus/ c tertius/d quartus:ſitq; ſimilis ꝓpoꝛtio a ad b et cad d. dico ſilem eſte pꝛopoꝛtionem a ade et b ad d. Nam pꝛimo ſi a ſit minoꝛ ⁊ pars bꝛqꝛ ſimilis eſt pꝛopoꝛtio a ad b et c ad dꝛhinc euenintqͤn pars a ſit b tota pars c ſit d.ergo per viceſimãſeptimã pꝛimi:quota pars vel partes b eſt ad ditaps vel partes erit a ad c.erit itaq; eadem ꝓpoꝛtio a pꝛimi ad ctertium:et b ſecundi ad d quartum. S do ſi a ſit ꝑtes b vt in ſcðᷣa figuratione:idem ⁊ ſimiliter argumẽtabere per viceſimãoctauã pꝛimi. Teni ſi a ſit maioꝛ b:facto b pꝛimo/ a ſecũdo/d tertioſc quarto:auxilio pꝛime huius idẽè efficies qᷣfacillime
¶ Si fuerit pꝛimus ad ſcðᷣm ſicut tertius ad quartum fucritq; pꝛimus mauoꝛ ten:
erit quoq; ſecundus maioꝛ quarto. ¶ Sit a pꝛimus numerus:b ſecundus c tertius d quartus: ⁊ ſimilis pꝛepoꝛtio a ad b etc ad d:ſitq maioꝛ c.dico b eẽ maioꝛem d. Nam qꝛ vt a adb:ita c ad d.permutatim igitur per pꝛecedentem vtan c:ita b ad d.ſed a maioꝛ eſt c:ꝛergo et b maioꝛ d per ſecũdam.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si ſicut totus dd totum ſucrit detractus ad dctractum: erit reſiduusad relddumn
ſicut totus ad totum. 1
¶ Sit ab totus numerus: a detractus ſet b reſiduus:et c d alter totus c ab eo detractus ⁊ reſiduus
ſitq; ſimilis pꝛopoꝛtto a b ad cdꝛet a ad c:dico b ad d pꝛopoꝛtionem eſſe que eſt a b aded. Nam ſiad
fuerit minoꝛ c dꝛerit per viceſimampꝛimam ⁊ viceſimamſecũdem pꝛimi ſub diſtũctione qtaparsanj
partes fuerit a b ad c d:vt tota pars vel partes ſit b ad d reſidui ad reſiduum.quare ꝗᷓ ꝓpoꝛtio totilo
ad totumꝛea crit ⁊ reſidui ad reſiduum.at ſi a b ſit maioꝛ c dꝛecõuerſo quota pars vel partes d n ꝛtota pars vel partes erit d ad b. quare iteꝝ per pꝛimam huius cõcluditur pꝛopoſitum.
¶ Si fuerit pꝛimus ad ſcðm ſicut tertius ad quartũ:crit pꝛimus? ſecundusaoſcin, ſicut tertius et quartus ad quartum. Siũctum antetedẽtis
¶ In hac demõſtratur coniſcta ꝓpoꝛtionalitas:que eſt quoties concludimus colt ecde et aſequentis ad ↄſequẽs vt 2iũctum añtis ⁊ 2tis ad ſequens: ꝗ atĩcedens an cöſequen hira vt antecedẽs ad conſcquens.Sit vt a pꝛimuo numerus ſe habet ad b ſecũdumꝛita cternhe lhens d quartum.Dico ergo vt a b ad b:ita et cdad d. Mã quia eſtſimilis ꝓpoꝛtio a ad b eree laahe ſit minoꝛ bꝛerit vt quota pars vel partes a eſt b:tota pars vel partes c ſit d.ergo ſemal vperans ſemel d in c d. et in a b ſuperat a tota parsvel partes b:quota pars vel partesc cſt ipſinsden wabe in cd. quare que pꝛopoꝛtio b ad a bꝛeadem erit d adcd.per pꝛimã ergo huius quep e naf ratidt eadem erit c d ad d.qð eſt pꝛopoſitum quo ad hoc. Ut vo ſi a ponatur maioꝛ b vt in ſec 4. Gqemni— per pꝛimam quota pars vel partes b erit ad a:tota pars v partes d eſt adc.ergo hien ddens inch in a bꝛtota pars vel partes erit a bꝛquota pars vel partes d erit c d ſe itidem ſemel ua eadem en quare eadem pꝛopoꝛtio bad a bet dav cd. per pꝛimam ergo huius que ꝓpoꝛtio abadbi
c d ad d. qnod iteꝝ eſt pꝛopoſitum. 7 dponio. ¶ Si vnus numerus duos multiplicet: erit ppuctoꝝ ⁊ multiplicalon ende nc vnde manifeſtũ eſt multipliciũ dfias ſubmultiplicũ differenuis ce cque m ꝛoponi ¶ Wultiplicet a numerum b ⁊ pꝛoueniat dꝛet idem a multiplicet c ⁊ pꝛoueniat edico aueß blitind b ad c/multiplicati ſcʒ ad multiplicatum eãdem eſſe d ad eꝓducti ſcʒ ad ꝓductum. h G m aꝛet c in e etiam Fimn a:quoties b eſt in d toties c eſt in e. ergo q̊ pꝛopoꝛtio b 905 noc z coꝛxelarni tatim igitur per tertiam q̃ pꝛopoꝛtio b ad c ea erit d ad e.qð eſt pꝛopoſitum quo ad hoc

e dadueru. Snr aaddaendnminch mulls edt enui ninn dem lprunt amum — Dedanrhſens
re
— 38 quarun dmm dnarrat misee
t1c d.pemumnr tr ſecidam. qucd aite
uo ao dcracw eic
duuerted—
dd pror 9 rmumie idrr mit
igit᷑ pꝛopoꝛtio b ad a ſcðᷣi ad pꝛimũ minoꝛ eſt ꝙ ꝓpoꝛtio d ad c quarti ad tertiũ.qð erat
T Sint vt pꝛius qᷓttuoꝛ numeri:a pꝛimus. b ſcðᷣs. c tertius. d quartus
II
hec intẽ dit.ſi g ſit differẽtia d ad e:et f differẽtia b adc.ꝙ qꝛ d et e ſunt ſumpei eque dillecdaob et c:pꝛopoꝛtionem g ad fᷣ eſſe eque multiplicem vt d ad b. et ſint b d duobus re fanis ma o zes auen pꝛeſentem ea eſt pꝛopoꝛtio d ad e:que b adc.ergo permutatim per tertiam qͥ pꝛopoꝛ ke ad Velus ad totum:ea eſt e ad c detracti ad detractum.ergo per quintam g ad freſiduus ad reſiduum vt da totius ad totum.qð eſt pꝛopoſitum.
¶ Si duo nũcri cũdem multiplicent:erit multiplicantiũ ac ꝓductoꝝ eadem ꝓpoꝛtio.
At ſi in ſi ti Eti pli: itidem multiplicet a:⁊ ꝓueniat e. ¶ At ſi in figuratione pꝛecedẽtis b multiplicet a:et ꝓueniat d. et c itide— Dico q̃ pꝛopoꝛtio b ad c multiplicãtis ad multiplicantem:eãdem eſſe c ad e pꝛoducti ad pꝛoductum.
Nam per octauam pꝛimi idem ꝓuenit multiplicando aꝑ b ⁊ b per aſcʒ dꝛet ſiliter ivem ꝓpuenit mul
tiplicando a per c et c per a ſcʒ e.ſed per pꝛecedẽtem b ⁊ c multiplicatis per a:eadem eſt ꝓpoꝛtio b ad c 2 dad deno ⁊ multiplicãtibus b ⁊ ca: eadẽ erit pꝛopoꝛtio b ad c ⁊ dade.qð eſt pꝛopoſitum. ¶ Si duo nũeri ad tertiũ ↄparent᷑: maioꝛis ad ip̃m maioꝛ crit ꝓpoꝛtio ⁊ mĩori mĩoꝛ: ipius vo ad maioꝛem ꝓpoꝛtio minoꝛ/ ad minoꝛẽ maioꝛ.vñ manifeſtũ eſt ſi duo nũcri ad eũdem cõparati: cãdem ſeruent ꝓpoꝛtiõis habitudinẽ:illis vnũ/ cũdẽq; cẽ nũcrũ. ¶ Comparẽtur a b ad tertium c ſitq; a maioꝛ bꝛdico ipſius a adc maioꝛem eẽ ꝓpoꝛtionem qᷓ;b adc: dico etiã c ad a minoꝛem eſſe pꝛopoꝛtionem qᷓ; cad b. Pꝛimũ patet et ſit pꝛimo c tertius vtroq;ʒ a et b maioꝛ.qm̃ c eſt maioꝛ a⁊ maioꝛ bꝛerit a pars vel partes cꝑ pꝛimam pꝛimiet per eãdem b eiuſdẽ erit ars vel partes.et cũ a poſitus ſit maioꝛ b ipᷣe erit plures ꝑtes c qᷓ b.Iquare maioꝛ pꝛopoꝛtio a ad cꝙ b ad c. Sit ſcðo c tertius vtroq; a ⁊ b minoꝛ:ſi a pluries ↄtinebit c ꝙᷓ b icpᷣm c otineat:cõſtat ꝓpoſſi itũ · Et ſi a ⁊ b equaliter ↄtinebũt c:qꝛ a maioꝛ b plures partes ipᷣius vltra ↄtinebit a qᷓ; ↄtineat ipᷣe b. ãre idem cõcluditur a ſcʒ ad c maioꝛem eẽ pꝛopoꝛtionem qᷓ; b ad c.Sit tertio c tertius minoꝛ a ⁊ maioꝛ b: quia denoĩatio pꝛopoꝛtiõis a ad c fit a toto multiplice aut a toto ⁊ parte aut partibus/ct denomĩario pꝛopoꝛtiõis b ad c eſt a parte aut partibus:ↄſtat ⁊ hoc mõ maioꝛem eẽ pꝛopoꝛtionem a adcqᷓb adc. ct cũ non poſſit c tertius eſſe maioꝛ a ⁊ minoꝛ b.qꝛ quicũq; eſt maioꝛ maioꝛe maioꝛ eſt ⁊ minoꝛe:ↄſtat pꝛima ꝑs quo ad oẽs eius modos firma.Scðᷣa pʒ:⁊ ſit pꝛĩo c tertius maioꝛ a ⁊ b cũc ſit maioꝛ a et b⁊ a ſit maioꝛ b.ſi c ↄtinet płies b minoꝛẽ qᷓ; a maioꝛẽ:ↄſtat pꝛopoꝛtionẽ c ad b eſſe maioꝛẽ qᷓr c ad a.et ſi c cõtinet b ⁊ a equalit᷑:cõtinebit inſuper plures partes b minoꝛis qᷓ; a.quare iteꝝ idem cõcluditur. Sit ſcðᷣo cvtroq; minoꝛ.erit itaq; ſumptisvnitatibus totidem partes miaioꝛis quꝑt minoꝛis. ſed maioꝛis per conceptionem erit totideʒ partes minoꝛes:cum partes ille a maioꝛe nunſero ſint denoĩate. quare ipſius ad maioꝛem iteꝝ minoꝛ pꝛopoꝛtio.Sit tertio c tertius minoꝛ a ⁊ maioꝛ bꝛcũ ſit ſolum pars vel partes a ⁊ excedat ipᷣm b:maioꝛ erit ipᷣius ad b ꝓpoꝛtio q́; ad a.et cũ nõ poſſit vt dictum eſt eẽ maioꝛ
a et minoꝛ bꝛcõſtat ſecũda pars quo ad oẽs eius partes monſtrata.Coꝛrelariũ ex pꝛima parte facile
cognitum eſſe poteſt.
¶ Si idem numerus ad duos cõparet᷑ ad quẽ ipᷣius maioꝛ ꝓpoꝛtio fuerit:minoꝛem/ et ad quem minoꝛ:maioꝛem eſſe neceſſe eſt. 9
¶ hec eſt ↄuerſa pꝛecedẽtis.Sint ergo a b duo nũeri ad quos cõparetur c tertius.et ſit ead a minoꝛ pꝛopoꝛtio:et c ad b pꝛopoꝛtio maioꝛ.dico a eẽ maioꝛem:et b minoꝛem. Ham pmo'mnon erunt equales: quia c ad vtrũq; eẽt eadem pꝛopoꝛtio.neq; a erit minoꝛ b.· nam per pꝛimam partem pꝛccedẽtis:minoꝛ est aad e pꝛopoꝛtio qᷓh adc.et per ſcᷣam partem eiuſdem maioꝛ c ad a pꝛopoꝛtio: ⁊ minoꝛ cad b.qð eſt ↄtra hypotheſim.relinqͥtur igitur pꝛopofitum verum.
(Si fuerit ꝓpoꝛtio pꝛimi ad ſcðm maioꝛ qᷓ; tertii ad quartum:erit ſecũdi ad pꝛimuũ pꝛopoꝛtio minoꝛ qᷓ; quarti ad tertium.
¶ banc in multiplicibus demõſtrare pꝑfacile eſt:vt li ſit a ad bin genere multiplici maioꝛ pꝛopoꝛtio q; cad d:dicam b ad a minoꝛem eſſe pꝛopoꝛtionem ꝙ́ᷓ d adc.capiam eni e eque multiplicem ad dꝛvt a ad b. qꝛ ergo a ad bet e ad d eque multiplices:erit a ad b ⁊e ad d eadem pꝛopoꝛtio.at pꝛopoꝛtio a ad b poſita eſt maioꝛ qᷓ; c ad dꝛergo ⁊ pꝛopoꝛtio e ad d maioꝛ eſt qᷓ; c ad d.per ſcoͤᷣam partem igitur none maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio d ad cq́; dade.at qꝛ eadem eſt pꝛopoꝛtio a ad b ⁊ead d. per pꝛimã igitur huius eadem erit pꝛopoꝛtio b ada ⁊ dade.ſed d adc ꝓbata eſt maioꝛ pꝛopoꝛtione d ad e:maioꝛ igitur erit ⁊ ſua equali b ad a.qð eſt pꝛopoſitum.at qꝛ demõſtratio hec non eque aptanda eſt alijs gñibus:idcirco alia vniũſalioꝛ adhibenda eſt. Sit ergo a ad b maioꝛ pꝛopoꝛtio ꝙq́ c ad d:dico b ad a minoꝛem eẽ ꝓpoꝛ tionem ꝙ d ad c. duco enĩ c in b et pꝛoueniat cꝛet idẽ c in a ⁊ ꝓueniat f. per ſeptimã huius q̃ pppoꝛtio a ad b:ꝛeadem erit f ad e.Rurſus duco d in a ⁊ ꝓpueniat g. qꝛ c ⁊ d multiplicauerũt a ꝑ octauam eadem erit pꝛopoꝛtio fad gpꝛoducti ad pꝛoductum:q̃ c ad d multiplicãtis ad multiplicantem.Eſt igitur f ad e pꝛopoꝛtio vt a ad bꝛet fad gvt cad d.ſed pꝛopoꝛtio a ad b poſita eſt maioꝛ pꝛopoꝛtiõe c ad d: igitur pꝛopoꝛtio f ade maioꝛ eſt pꝛopoꝛtiõe eiuſdẽ f ad g.per pꝛecedẽtem igitur e minoꝛ eſt ⁊gmaioꝛ.igitur per pꝛimam partem none huius ꝓpoꝛtio e ad fminoꝛ eſt ꝙ́ᷓ gad f. ſed pꝛopoꝛtio e ad f eſt eadẽ ꝓpoꝛti oni b ad a:et ꝓpoꝛtio g ad f eadem pꝛopoꝛtioni d ad c vt facile per pꝛimam huius cognoſcere potes:
demõſtrãdũ. ESi fuerit pꝛimi ad ſcom pꝛopoꝛtio maioꝛ qᷓ tertii ad quartum: erit pꝛimi ũ MrlT Pant artum: erit pꝛimi
maioꝛ q́; ſecundi ad quartum. 4 pumi ad tertiũ zet ſit a ad b ꝓpoꝛtio maioꝛ q́;
cad d. dico maioꝛem eſſe ꝓpoꝛtiõem a ad cpꝛimi ad tertiũ: T b ad d ſecũdi ad quartũ.duco enĩ a in b

—— ——
. 4 5———— 2——.—. 3 = W 2— 3 2— u.
2*——*—————————* 8 ——— m——— — v“———— 8 1““ 8— ä —.——— 7 ———— 1 6 8—— 1 er— 5—————
—
6e
—ö
e 4 1 2* 5. 7 4—(add ergo ⁊ pꝛopoꝛtio h ad keadeʒ pꝛopoꝛtioni f ad e:maioꝛ eſt ꝓpoꝛtione h ad g. cũ h ad g equet ergo per decimam kminoꝛ eſt g. et qꝛ fade vth adk: per tertiam vt fadhrita eadei og 1
—
—*
—
—
et pꝛoueniat e.⁊ a in ſe et pꝛoueniat f.et in d et pꝛoueniat g.et in c et ꝓueniat h. per ſeptimam hui que pꝛopoꝛtio a ad b:ea eſtf ade. et que c ad d:ea h ad g. deiñ duco b in cet puentat keeritoynhuln huius h ad k ſicut f ad e.at pꝛopoꝛtio f ad e qꝛ equatur ꝓpoꝛtioni a ad bꝛeſt maioꝛ pꝛopoꝛtione 5
4 (add.
eſt minoꝛk:ergo per ſcðᷣam partem none minoꝛ erit pꝛopoꝛtio e ad ꝗᷣʒ;e ad k.ſed eadk per Abenu huius adequatur pꝛopoꝛtioni a ad cpꝛimi ad tertium:et e ad g pꝛopoꝛtioni b ad d ſecundi 4 d5ua Eſt igitur pꝛopoꝛtio pꝛimi ad tertium maioꝛ qᷓ ſecundi ad quartum qð pꝛoponitur.ͤ auarti
1
¶ Si fuerit ꝓpoꝛtio totius ad totum maioꝛ q; detracti ad detractum: ent reſidun ah reſiduum pꝛopoꝛtio maioꝛ q́; totius ad totum. W
¶ Sit a b totum et ab eo detractus a ⁊ reſiduus b.ſit item c d aliud totum ⁊ ab co detractus crrel⸗ duus d. ſitq; totius a b ad totũ c d ꝓpoꝛtio maioꝛ qᷓ a ad c:dico b ad d reſidut ad reſiduum maioꝛem eſſe pꝛopoꝛtiõem qᷓ́; ab adcd totius ad totũ.duco enĩ ab in a et in b et pꝛoucniat e f cuius detractus ſit e ⁊ reſiduus f.et duco idẽ a b in c et in d et pꝛoueniat gh:cuius g ſit detractus ⁊ reſiduus h. Iten ducat᷑ a in cd et ꝓueniat k:ſubſtrahaturq; k ab toto gh ⁊ relinquatur l.cum enĩ per nonam pꝛimi 1 fit ex ductu alicuius numeri in om̃s partes alicuius totius:equũ ſit ei qui ſit ex ductu illi numenin eũdeʒz totum:totus e f equabitur ei d fit ex ductu a b in ſeipᷣm a b.et cũ idem ab ductus in a ꝓduxani e detractum e f.per ſeptimã huius que ꝓpoꝛtio a b ad a:eadem erit e f ad e.et eadẽ rõne queahadh eadem e f ad f. et que a b ad cd:eadem e f ad g h. et vt c d ade:ita gh ad g. et gh ad hꝛvt cdaddectci duo numeri ſcz totus a b et a detractus:ducti ſint in eũdem c d:et,pduxerit numerus ab numerũg et a numerum lꝛ:per octauam que pꝛopoꝛtio a b ad a:eadem eſt g h ad lꝛ.ſed et cũ e ꝓducatur exain bꝛet lꝛ ex a in c d.per ſeptimam q̃ pꝛopoꝛtio a b ad cðeadez erit e ad lꝛ.quare vt e fad ghꝛita ⁊eadj detractus ad detractum.per quintam igitur vt efad ghꝛita f adl reſiduus ad reſiduum et cũeadg ſit pꝛopoꝛtio que a ad c:erit pꝛopoꝛtio e ad g minoꝛ ꝙᷓ e ad lꝛ.quare per decimam lꝛ minoꝛ eſtg igitu et l qui ↄſtabit ex h et differẽtia lꝛ ad g:maioꝛ erit h.igitur per eãdem decimam ꝓpoꝛtiof adhmioꝛẽ numerum maioꝛ eſt qᷓ; ad l.at pꝛopoꝛtio f adl ꝓbata eſt eadem ꝓpoꝛtioni e fad gh:quare ⁊ ꝓponiãi ab adcdtotius ad totum.Eſt igttur ꝓpoꝛtio f ad hꝛq̃ eſt eadem ꝓpoꝛtioni b ad d reſidui ad reiidui: maioꝛ pꝛopoꝛtione a b ad c dtotius ad totum.quod eſt pꝛopoſitum.
Si vero detracii ad detractũ fuerit ꝓpoꝛtio maioꝛ qᷓ totuus ad totum: ent uſdui ad reſiduum pꝛopoꝛtio minoꝛ qᷓ; totius ad totum. Ex his quoq; perſpicuum cuatj
ſi fuerit ꝓpoꝛtio reſidui ad reſiduũ ſicut detracti ad detractum: ꝓpoꝛtionem denaui
ad detractum eſſe tanqᷓ; totius ad totum. ¶ Sit ab aliquis totus nũerus ⁊ ab eo detractus a ⁊ reſiduus bꝛet cd alter totus ⁊ ab eo detractu⸗
cet reſiduus d.ſitq; a ad c maioꝛ pꝛopoꝛtio qᷓ; a b ad c d.dico b ad d minoꝛem eſſe pꝛopoꝛtionem yaj ad cd.quia enĩ a ad c eſt ꝓpoꝛtio maioꝛ qᷓ ab adc d:per vndecimam huius ecõtra minoꝛerit ppouii cad a qᷓc dad a b. cũ itaq; maioꝛ erit ꝓpoꝛtio c d ad ab totius ad totũ q; cada detracti ad detraci⸗ per pꝛecedentem igitur maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio d ad b reſidui ad reſiduum qe dadab totius ad totun⸗ ntelligo igit d pꝛimũ numerum.b ſcðm.c d tertium.et a b quartum.qꝛd ad b maioꝛ eſt— cd ad ab:per vndecimam ecõtra mĩoꝛ eſt pꝛopoꝛtio b ad d q́; abadcd.eſt itaq; notum totiusa⸗ t maioꝛem eſſe pꝛopoꝛtionem ꝗᷓ reſidui ad reſiduum ⁊ pꝛopolitum. Coꝛrelarium patet:nam ſitnns ad totum maloꝛ eſſet pꝛopoꝛtio ꝙ́; detracti ad detractum:ergo per pꝛecedentem reſiduiad reltum maioꝛ erit pꝛopoꝛtio qᷓ; totius ad totum.qᷓre multo foꝛtius reſidui ad reſiduum maioꝛ eletywe ᷓ detracti ad detractum.quod eſt cõtra hypotheſim. Si autem totius ad totum mioꝛ— 3 1 detracti ad detractum:ergo per pꝛeſentem reſidui ad reſiduum minoꝛ erit ꝓpoꝛtio; tolius Sani quare ⁊ multo foꝛtius reſidui ad reſiduum minoꝛ erit pꝛopoꝛtio qᷓdetracti ad detractum.q an ↄtra hypotheſim. Cum itaq; ꝓpoꝛtio totius ad totum neq; maioꝛ neq; minoꝛ eſſe poſſit oden
detractum:relinquitur eidem equalis.
¶ Si pꝛimi ad ſcðm fuerit pꝛopoꝛtio maioꝛ qᷓ; tertij ad quartum:crit pum dſche 5 ad ſecundum maioꝛ pꝛopoꝛtio qᷓ; tertij et quarti ad quartum:ad pꝛimum fevmnot qᷓ tertij et quarti ad tertium. ac
¶ Sia ad b maioꝛ ꝓpoꝛtio fuerit qᷓ; c ad d:dico pᷣ̃mo a b ad b maioꝛem eẽ ppoꝛtiöen er⸗ gpo i a bad a minoꝛem eſſe qᷓ; cd adc. Pꝛimũ patet:nã ſi ab adb ⁊ cdadd ponatur equalestaqumn ab ad b:ea ſit c d ad d. ergo pmutatim ꝑ tertiã huius erit ꝓpoꝛtio a b ad c d:que b 2deerges ſint ach que pꝛopoꝛtio a b ad c dꝛea erit et a ad c reſidui ad reſiduum.quare et q̃ b ad d·et ců ahypot eiim. c et b ad dꝛergo permutatim per tertiam que pꝛopoꝛtio a ad b ea eſt c ad d. quode errh pabad Si aũt ponatur a b ad b minoꝛ et c d ad d pꝛopoꝛtio maioꝛ:cũ e d ad dſit pꝛopoꝛtio m decimäterni ergo per duodecimam huius c d ad a b maioꝛ ꝗᷓ d ad b detracti ad detractum. ergo 8 c ad a maioꝛ reſidui ad reſiduũ ꝙᷓ; cd ad a b.quare multo potius qᷓ; d ad b.· cũ itaq; adsih pumum. d ad bꝛergo per vndecimam minoꝛ eſt a ad co bad d. Intelligo ergo quattuoꝛ nume maioꝛ eſtban d ſcoͤm. a tertiũ. c quartũ:quia maioꝛ eſt ꝓpoꝛtio b ad dq; aadc:ergo per duoderin Rlinaui iet a ᷓ adc ꝓpoꝛtio: ergo ꝑ vndecimam minoꝛ a ad b qᷓ; cad d.qð eſt ↄtra hypothe d⸗ d.aö ettonu ꝓpoꝛtio a b ad bꝛcũ neq; eq̃lis neq; mĩoꝛvt ꝓbatũ eſt eẽ poſſit:maioꝛ eẽ ꝓpoꝛtiõe cd
—— —2—
— — —

un 1 t reſtduns xcurn Cd.d dm ze mdennm uuti⸗
11
Scðᷣm patet:nam ꝑ immediate mõſtratum ab ad b:maioꝛ eſt ꝓpoꝛtio qᷓc d ad d. ergo ꝑ duodecimam ꝓpoꝛtio a b ad cd:maioꝛ qᷓ; b ad d detracti ad detractũ.ergo ꝑ decimãtertiã a ad creſidui ad reſiduũ naioꝛ pꝛopoꝛiio qᷓ́ a b ad c d.quare iteꝝ per duodecimã a ad ab maioꝛ q́; c ad c d.per vndecimã isit a b ad a:minoꝛ qᷓ;ᷓ cdadc.quod eſt ſcðvᷣm ⁊ totum pꝛopoſitum.
3—.——„—„ 3 3„ 4„ ¶ Si mequales nũcri equalibus addãtur:erit ↄpoſitoꝝ minoꝛ ꝓpoꝛtio qᷓ; adiũctoꝝ. ¶ Sint a c numeri inequales:bo ⁊ d equales ⁊ cõpoſiti a b ⁊ cd:ſitq; a maioꝛ c.dico a ad c adiũcti
ad adiũctum maioꝛem eſſe pꝛopoꝛtiõem qᷓ; a b ad c dcompoſiti ad compoſitum.nam cũ bꝛ⁊ didem ſint numerus:⁊ 3 ſit maioꝛ c:per nonam igitur maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio a ad b ꝙ; cad d. ergo per duodecimam
maioꝛ pꝛopoꝛtio a ad c detracti ad detractũ ꝙᷓ; b ad d reſidui ad reſiduũ.ergo maioꝛ pꝛopoꝛtio a ad c detracti ad detractum:q; a b ad c dtotius ad totum.nam ſi aadc:⁊ ab ad cd eadem eſſet pꝛopoꝛtio: per quintam eadem eet a adc:⁊ b ad d.cuius oppoſitũ demõſtratum eſt. Si auteʒ maioꝛ eẽt ab adcd pꝛopoꝛtio q́; a adc:ergo per decimãtertiã eſſet ꝓpoꝛtio b ad d reſidui ad reſiduũ:maioꝛ q́; a ad c detra
cti ad detractũ.cuius etiã oppoſitum modo monſtratumeſt.relinqᷣtur igitur a ad c pꝛopoꝛtio maioꝛ
adiuncti ſcʒ ad adiũctum:qᷓ; a b adc d compoſiti ad compoſitum ⁊ pꝛopoſitum.
¶ Si fuerit ꝓpoꝛtio pꝛimi ad ſcðm maioꝛ qᷓ; tertij ad quartũ: fueritq; pꝛimus minoꝛ tertio:crit ſecundus minoꝛ quarto. 3 b b ¶ Sint quattuoꝛ numeri:a pꝛimus b ſecũdus /c tertius/ d quartus:ſitq; a ad b pꝛopoꝛtio maioꝛ qᷓ;c
ad dꝛet ſit a minoꝛ c.dico b eſſe minoꝛem d. nam cũ c ſit maioꝛ a:ergo per nonã maioꝛ eſt ꝓpoꝛtio c ad
b:q́; a ad b.quare multo foꝛtius c ad b maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio qᷓ; c ad d.per decimam igitur d maioꝛ eſtb. quod eſt pꝛopoſitum.
neceſſe cſt.
¶ Sit a ad b maioꝛ pꝛopoꝛtio qᷓ; c ad dꝛet nũerus cõpoſitus a b equalis cõpoſito c d:dico a eẽ maioꝛẽ c. nam pꝛimo non erit equalis: ꝛ ſi a eẽt equalis c:etiam b eẽt equalis d per conceptiõem.alioquin ſi equalibus inequalia adderẽtur:tota fierent inequalia. quare equalis eẽt ꝓpoꝛtio a ad b: ⁊ cad d. qð eſt ↄtra hypotheſim.neq; erit c maioꝛ a: et a minoꝛ.nam per pꝛecedentem b ſcðs eſſet minoꝛ d quarto per conceptionem igitur a et b duo minoꝛes ſimul ſumpti minus ſunt qᷓ; cd duo maioꝛes ſimul. quod iteꝝ eſt ↄtra hypotheſim.relinqͥtur igitur a eẽ maioꝛem c ⁊ pꝛo poſitum. 0
¶ Si pꝛimus fucrit maioꝛ tertio: ⁊ compoſitus ex pꝛimo ⁊ ſecundo equalis cõpoſito ex tertio ⁊ quarto:maioꝛ erit pꝛopoꝛtio pꝛimi ad ſcùm qᷓ; tertij ad quartum.
¶ hHec eſt ↄuerſa pꝛecedentis.Sit vt pꝛius a pꝛimus nũerus maioꝛ c tertio:et cõpoſitus a b equalis cõpoſito c d.dico maioꝛem eẽ a ad bꝓppoꝛtionè qᷓ;c ad d. Mam q a ẽ maioꝛ c: ab ⁊cdequales:erit b minoꝛ d. non enĩ eſſe poteſt b equalis d.nam ipſis a ⁊ cinequalibus additis:tota non fierent equalia. neq; eſt b maioꝛ d.nam per cõceptionem qð fieret ex a ⁊ bduobus maioꝛibus plus eſſet.quod eſt ↄtra hypoth eſim. et cũ ſit maioꝛ c:ꝛergo ꝑ nonam pꝛopoꝛtio a maioꝛis ad d:maioꝛ eit qᷓ́; pꝛopoꝛtio c ad d.ſʒ
⁊ cũ b demõſtratus ſit minoꝛ dꝛper decimam igitur a ad b maioꝛ pꝛopoꝛtio qᷓ; a ad d.quare multo foꝛ⸗ tius ꝙ c ad d.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si quoilivet numeroꝝ ad totidem alios fueritvna pꝛopoꝛtio:que vnius ad vnum cg oim ad omnes pariter acceptos crit pꝛopoꝛtio.
¶L. Sint 3/ b⸗c qtlibet nũeri:et d /e/f totidem alij.et ſit a ad dꝛet b ade:⁊ cadf̃pꝛopoꝛtio vna.dico que pꝛopoꝛtio a ad d:eãdeʒ eẽ totius ab c ad totũ d ef.nam facile ex ſcðᷣa huius cognoſcis tres añcedèẽtes ee eque aut maioꝛes aut minoꝛes aut equales ad ſuos ↄſequẽtes. Si aũt ſint eq̃ mioꝛes:quota pars vel ꝑtes erit a ad d tota ꝑs vel ꝑtes erit b ad e:⁊ c ad f.ergo ꝑ quartã ⁊ quintã pꝛimi ſub diſiunctione quoties opoꝛtuerit repetitas erit totus a bc tota ꝑs vel ꝑtes tottus de f: quota pars vel ptes a ad d. quare eadez crit ꝓpoꝛtio a ad d:et totius abcad def. At ſi ſint tres añcedẽtes eque maioꝛes quia q̃ᷓ Ppoꝛtio a ad dꝛeg eſt b ade ⁊ cadf.ergo ꝑ pꝛimã huis q̃ Phoꝛtio d ad a:ea eſt e ad b ⁊ fadc.q̃re qͥta ꝑsvel ꝑtes d ad a: tota vel tote eſt e ad b/⁊ fad c.per quartã igit ⁊ quintã pꝛimi ſub diſiũctione qties opus fuerit repetitas quota ꝑsvel ꝑtes eſt d ad a:tota ꝑs vel ꝑtes eſtdef adab c.q̃re q̃ ꝓpoꝛtio d ad a:eadè erit totius d e fad totũ a bc.ergo ꝑ pꝛimã huius q̃ ꝓpoꝛtio a ad d:eadẽ totius a b c ad totum def.qð iteꝝ eſt ꝓpoſitum. Si vo ſinguli ſingulis ſint equales: ſtat im adiuuãte ↄceptione ſi equales numeros equalibus addao totos ſieri equales:idem efficies. eſt itaq; totum pꝛopoſitum notum.
C 8 ifuerint quotlibet numcri/ aliq; ſm cundem numerum otinue in eadem ꝓpoꝛti neé umpti: extremoꝝ eandem eſſe pꝛopoꝛtionem neceſſe eſt.
C lhec declarat equã ꝓpoꝛtionalitatem que eſt quoties ſi umptis quotl
hñtibus:cõcludimus vt illoꝝ pꝛopoꝛtio
quid aũt ſit cõtinua ꝓpoꝛtionalitas:iam dictũ eſt.et hec equa
biita dat ut adc: ita d ad f ꝓ quo eque pꝛopoꝛtionalitatis miodo ponitur pꝛeſens ꝓpoſitio. Scðo o foꝛmat᷑ indirecte ↄuerſoq; oꝛdinc.vt ſi dixero que ꝓpoꝛtio a 8d
bea eſt e ad fꝛet que b ad cea dad e· ergo que ẽ a ad e:ea eſt d ad f.ꝓ quo quidẽ eque pꝛopoꝛtiõalitatis
2
—ꝛ— A
A
/
, 82 A
4

modo ſequẽs ponet᷑ ꝓpoſitio. Sint ergo a b c quotlibet numeri in cõtinua ꝓpoꝛtidal ſe hñtes ad totidẽ def.vt ſicut ſe hẽat a ad b:ita d ad e.et ſicut b ad c:ita e ad f:dico eã onem a adc⁊ dad f.nã qꝛ q̃ ꝓpoꝛtio a ad bꝛea eſt d ad e.g ꝑmutatim ꝑ tertiã huius q
itate ⁊ direct 9 dez eẽ ꝓpoꝛti t
V d ea eſt b ad e. et qꝛ q̃ pꝛopoꝛtio b ad c ea eſt e ad f:igit᷑ ꝑ eãdeʒ tertiã pmutatim q̃ pdaoponnt 4d 4 1 eſt c ad f.quare et que a ad d.cum itaq; que pꝛopoꝛtio a ad d ea ſit c ad f:ergo ꝑmutatim bad ei 7 4 Aque pꝛopoꝛtio a ad creadem eſt d ad f:quod eſt pꝛopoſitum. 1 der tertan 4 ¶Si quotlibet numeri totidem alijs indirccte pꝛopoꝛtiõales fucrint: exneni quu. I os in eadem pꝛopoꝛtione pꝛopoꝛtionales erunt. quoche 1(¶ Sit aadbvtead fꝛet bad cvt d ade ↄuerſo oꝛdine pꝛopoꝛtionales:dico a ad cvt dadf uę, a( 152 dine⁊ in fꝛet ꝓueniãt g hꝛet e in f. et pꝛoueniat k. per ſeptimã huiꝰq̃ pꝛopoꝛtio e ad f adf dca n quare ⁊ que a ad b:eadem ceſt g ad h.et qꝛ d et e multiplicãt f:ꝑ octauã ꝗᷓ pꝛopoꝛtio d ad eexeltha n qᷓre ⁊ ã badc.et qꝛ g ſit exd in e:et kex e in f:et idẽ k ꝑ octauã pꝛimi alternatim ſit exfine er 8 p octauã huius q̃ᷓ pꝛopoꝛtio d ad f:ea eſt gad k. At ꝑ pꝛecedẽtem qꝛvt a ad bꝛita gad h. etm bad bhn( — ad k.ergo vt a ad c:ita g ad k. et cũ pꝛopoꝛtio g ad kmonſtrata ſit eadeʒ pꝛopoꝛtioni d ad fꝛerit t t 1 vt a ad c:pꝛopoꝛtio d ad f.quod erat demonſtrandum.. Lrurlgan ¶ Si fuerit pꝛimus ad ſecũdum:ſicut tertius ad quartũ. Itẽq; pꝛimus ad qunun: ſicut tertius ad ſextum:crit ſicut pꝛimus ad ſcðm ⁊ quintũ:ita tertius ad quanuna 1* ſextum.— 822 11 ¶ Sit pᷣmus nũerus a:ſcðs b:tertius c:quartus d:quĩtus e:ſextus f.ſitq; a ad bꝛ:ſicut caddeta iteꝝ II ad e ſicut c ad f:dico vt a ad totũ b eꝛita c ad totũ d f.quia enĩ a ad b ſicut c ad d erit per pꝛinãhuizn b ad a:ita d ad c. erũt igi᷑ ↄtinue pꝛopoꝛtiõales vt b ad a:ita d ad c.vt aade:itac adf. q̃re p viecimã pꝛimam vt b ad e:ita d ad f. ergo ꝑ ſextam huius erunt ↄiũctim vt b et e ad e:ita d et f ad fperpꝛini igitur huiꝰ vt e ad be:ita f ad df.qꝛ ergo vt aade:ita c ad f.et vt e ad be:ita f ad df. ergo vicclim⸗ pꝛimam vt a ad be:ita cud d f quod eſt pꝛopoſitum. 2 ¶ Si fuerit pꝛimus ad ſecundum ſicut tertius ad quartũ fueritq; pꝛimus maumus. 8 1 V numerus compoſitus ex pꝛimo ⁊ quarto maioꝛ erit numero cõpoſito ex ſcho ⁊tend a 4. ¶ Sit a b pꝛimus numerus:c ſecũdꝰ:d e tertius:f quartus.ſitq; vt ab ad c:ita d eadf᷑et ſitabilln 3 e quattuoꝛ numeroꝝ maximus. dico compoſitum ex a b et f:maioꝛem eſſe compoſito ex cet de chenin M * 3 ab ſit maximus eſt maioꝛ c ſecũdo:quare per ſcðam huius d e maioꝛ f quarto.et cũ vt ab adcitade 6 4 4 f ad f. ergo ꝑmutatim per tertiam huius vt a b ad de:ita c ad f.ſed cũ ab ſit maximo per hlpotheli 3 eſt maioꝛ d e. ergo per ſecũdam huius et c maioꝛ f.eſt itaq; f illoꝝ minimus. eſto ergob differennaa G VII ꝓpoꝛtio ab ad de ea eſt aad d detracti ſcʒ ad detractum. ergo per quĩtaʒ huius vtabaddeitaba e reſiduus ad reſiduũ.ᷓre ꝑ ſcðᷣam huius cũ a b ſit maioꝛ d e:etiã b eſt maioꝛ e. ſunt itaq hetfmauo( de quare iteꝝ a b et f maius c et d e.at a et b ſimul per cõem cõceptum equãtur toti ab. eſtitag eon⸗ 4 poſitus ex a b et fpꝛimo et quarto maioꝛ compoſito ex c et d e ſecũdo ⁊ tertio.qdð eſt pꝛopoſitum.— 24 CSi fuerint quattuoꝛ numcri ꝓpoꝛtionales: quod ſub extremis continctur equut" a f ſſt ei quod pꝛoducitur ex mediis. quod ſi pꝛoducta fuerint equalia: erunt etnuma 1 G 32 pꝛopoꝛtionales. b 1 1 I ¶ Id ſub extremis contineri dicitur qð ex extremo in extremum pꝛoducitur. Sint abed quattuo 6 24 numeri pꝛopoꝛtiõales: itavt q̃ pz9poꝛtio a ad b:ea ſit c ad d.dico pꝛimo ꝙ fit ex a ĩd qdð ſltecqualect( — ei quod fit ex b in c quod ſit f. Secundo ſi quod fit ex a in dꝛequale ſit ei qð ſit ex b in c nuneros 9 1 — 3 eſſe pꝛopoꝛtionales. Pꝛimum patet:⁊ vt dictum eſt ex ductu a in d fiat e:et ex ductu vunſatfuun 8 dico eſſe equales. Duco enim iteꝝ a in b ⁊ pꝛoueniat g.erit per ſeptimam huius gad ent bad die . 5 et quia ex a in b pꝛouenit g alternatim ex b in a pꝛouenit g.et etiam ex b in cpꝛouenitf axx intde 1 c ſeptimam gad f vt a ad c.et quia vt a ad b ita cad d: ergo permutatim per tertiam vt aduadn b 4 d. quare g ad f vt bad d. et pꝛobatus eſt etiam gad e vtb ad d quaree et f quoꝝ adge werumein — eſt pꝛopoꝛtio vna:adinuicem ſunt equales.quod eſt pꝛimum. Pꝛeterea dico ſi e et f adiuui„ 8 equales:a b c d eſſe pꝛopoꝛtionales.nam cũ e ⁊ fſint equales:ipius g ad eos eſt pꝛopoꝛtio maei u b a vt dictum eſt gad f vta ad c:et gad e vt b ad dꝛerit a ad c vt b ad d. ergo pmutatim per tentian 4 vt c ad d qð eſt numeros a b c dꝛeſſe adinuicem pꝛopoꝛtionales:et ſecũdum. dülſt 1 b CELubus numeris pꝛopoꝛtialibus qͥ ſub extremis continetur/ quiq;et meden ſn 4. ꝓducit᷑ ſunt eqles.¶ ſi illi eq̃les fuerint:tres qͥq; numeri erunt ounnue ppoull a A 9. ¶ Sint ab ctres numeri cõt inue pꝛopoꝛtiõales:dico pᷣmo qð fit ex a in cꝛequale eſſe dias inga 1 6 6 ſe. Scdo ſi qð ſit ex b in ſe:equale ſit ei qð ſit ex a in ctres numeros ab cee cõtinue pꝛopoꝛ 1 v— v— Pꝛimam partem pꝛobas per pꝛimam partem pꝛecedentis poſito b bis aut quécunq; nunt A 3 5»„ equalem b.Et ſcðᷣam partem per pᷣcedentis ſecũdam partem:nec vt demõſtretur eſt difficu fon„d — ¶ Si fuerit pꝛopoꝛtio pꝛimi ad ſecũdum maioꝛ qᷓ tertii ad quartum:qui— quartum pꝛoducit᷑: maioꝛ eſt pꝛoducto ex ſecundo in tertium. 1* ſi ꝓductu
in quartum ſit maioꝛ:et pꝛopoꝛuo pꝛimi ad ſecundum maioꝛ crit.

25 Juitus ciaas 15auenn RD rund nenen d cunt ücmm nhatnen dcicfanenhen nan.
Tuus P qrrri n dmano: cn uncaca ef quarms.ua uadpen cxadfnuamcſm dccfſadul
N len nnna.
aru ctc itinurr
— aics: quod ſihcms
III
¶ Sit a ad b ꝓpoꝛtio maioꝛ qᷓ; c ad dꝛdico pᷣmo qð fit ex a in d maius eſſe eo qð ſit ex b in c. Secundo ſi qð ſit ex a in d maius eſt eo qð ſit ex b in c ꝓpoꝛtionẽ a ad b maioꝛem eſſe ꝓpoꝛtione c ad d. Pꝛimũ patet et duco a in d et ꝓueniat e et b in cet ꝓueniat f: dico e maioꝛem eſſe f. Duco pᷣterea b in d et fiat g.quia a in dpꝛoducite ⁊ b in d pꝛoducit g:ergo per octauam huius q̃ pꝛopoꝛtio a ad bea eſt eadg et qꝛ f fit ex b in cꝛet g ex b in dꝛper ſeptimã huius qͥ pꝛopoꝛtio c ad dea eſt f ad g.mõſtratũ eſt igiturvt que ꝓpoꝛtio a ad bꝛca ſit e ad g.et que c ad dꝛea ſit fad g. At ꝓpoꝛtio aad b poſita ẽ maioꝛ ꝓpoꝛtiõe cad d:ergo pꝛopoꝛtio e ad g maioꝛ eſt pꝛopoꝛtiõe f ad g.ergo per nonã huius e maioꝛ eſt fqð eſt pᷣmũ Ecõuerſo dico ſi e eſt maioꝛ f ꝓpoꝛtionẽ a ad b maioꝛem eſſe pꝛopoꝛtiõe c ad d. NMam quia e eſt maioꝛ
per nonam maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio e ad ꝗꝙᷓ fad g. At ꝓpoꝛtto e ad g ea eſt q̃ a ad b.et pꝛopoꝛtio f adg ea q̃ c ad dvt oſtenſum eſt.igit᷑ pꝛopoꝛtio a ad b maioꝛ ꝓpoꝛtiõe c ad d qð eſt ſcðm atq; totũ ꝓpoſitũ.
¶ Poſitis duobus numeris an ſit tertius cũ illis continue ꝓpoꝛtionalis:pcrſcrutari. ¶ Datis ergo duobus nũeris ponatur eoꝝ quilibet quẽ voles ſecũdus:quẽ duc in ſeipm:ſt reliquus ꝓductum ſcðm aliquẽ numeret numerus ſcðᷣm quẽ ꝓductũ numerabit erit tertius nũerus in ↄtinua pꝛopoꝛtionalitate ipis perviceſimamſextam adiungẽdus. Sin reliquus ꝓductum ſᷣm aliquẽ numerũ non numerabit:per eãdem nullus ipſis adhibebitur ↄtinue pꝛopoꝛtionalis.
¶ Datis tribꝰ nũcris an ſit tertius ad aliquẽ ſᷣm ꝓpoꝛtiõem pᷣmi ad ſcðm:iueſtigarc.
¶ Eadem facilitate hec pateat.nam datis tribus numeris duc ſecũdũ in tertiũ:et ſi pꝛimus numeret ꝓductum ßm aliquem:is ſᷣm quem pꝛoductum numerat eſt per viceſimãquintam ad quem tertius vt pꝛimus ad ſecũdum ſe habet.At ſi pꝛimus pꝛoductum ſᷣm aliquem non numeret per eãdem viceſimã quintam nullus tertio in pꝛopoꝛtione pꝛimi ad ſcðm adtungetur.
¶ Secundi elementoꝝ arithmetices Joꝛdani finis.
VUmerus pꝛimus dicitur:qui non habet partem pꝛeter vnitatem. Com⸗
n poſitusvero qui habet alium numerum ipᷣm numerantem. Cõmenſura⸗
biles ſiue cõicãtes vocãtur:quos cõiter aliquis nũerus numerat. Cõtra
ſe pꝛimi autẽ dicũtur:qui a nullo cõiter numcrãtur excepta ſola vnitate. Termini ꝓpoꝛtionis dicũ tur numeri minimuinter quos inuenizar illa ꝓpoꝛtio
¶ OQmnis numcrus pꝛmus:ad oẽm quem non numerat eſt pꝛimus.
¶ Sit a quicũq; numerus pꝛimus:dico a ad quẽcunq; numeꝝ quẽ numerat eſſe cõmenſi urabilẽ atq;
cõicantẽ et ipm et quẽcunq; alteꝝ quẽ non numerat eſſe ↄtra ſe pꝛimos. Pꝛimu patet nã ſi a aliquem
numerũ numerat ſillũ ſᷣm ſeipᷣm aliquoties ſumptum numerabit: quare ipe a ſeipm ⁊ alten nũerabit:
erit vtiq; per diffinitionem cõmeuſurabilis atq; cõicans ad alten. Scðm patet:nam ſi a aliquem
numerum non numerat nullus numerus vtrũq; cõiter numerabit: alioquin numar aret a:et a nõ eſſet
pꝛimus.quod eſt ↄtra hypotheſim.ꝑ diffinitionem igitur a ⁊ numerus quem non numerat ſunt ↄtra ſe pꝛimi/ et a pꝛimus ad illum quod eſt ſcðm.
¶ Qmnis numerus compoſitus:ab auquo pꝛimo numeratur.
¶ Sit a quicũq; numerus comp oſitus ꝓductus ex b in c.aut ergo b aut c eſt pꝛimus:⁊ ſic ve eo hẽtur pꝛopoſitum. aut vterq; eſt cõpoſitus.qð ſi ſic:fiat ergo b ex dĩeꝛſi iteꝝ vterq; d et e ſit compoſitus:fiat
iten d ex fin g. ſi itey vterq; eoꝝ eſt compoſitus:hac rõne in infinitum numeri decreſ: cent.qð eſt cõtra
petitionem et impoſſibile:niſi deueniatur tãdem ad numerum quem nullus alius numerabit.deueni emus igitur tãdem ad aliquem numerum quez nullus alius numerabit et ꝓpter hoc pꝛimũ:qui cum
.
erit pars partis:ergo et per viceſimamtertiam pꝛimi erit ⁊ Es totius.quare per diffinitionem partis numerabit ipᷣm totum quod eſt pꝛopoſitum 4
Omnis numcruo aut eſt pꝛimus:aut a pꝛimo numeratur.
¶ Mam omnis numerus aut eſt pꝛimus aut compoſitus.atqui per pꝛecedentem omnis numerus cõ⸗ poſitus a pꝛimo numerat᷑.igit᷑ ois numerus aut eſt pmus aut a pᷣmo numeratur.qð intẽdit ꝓpoſitio
¶ Si aliquis numerus pꝛimus numerum ex duobus ꝓductum numeret: neceſſe eſt eundem alterum eoꝛum numerarc.
¶ Sit a numerus ꝓductus ex b in c:quẽ numeret numerus bꝛimus d ſcðvm e:dico numerũ pꝛimũ d numerare alteꝝ duonb aut c. Et eſto non numeret bꝛdico icpᷣm nũerare c.Intelligo enĩ pꝛimũ numerũ dꝛſcðm bꝛtertium c:quartũ e.quia qð cõtinet᷑ ſub extremis d et e:equũ eſt ei qð cõtinetur ſub med ijs b et c. ergo per ſecũdam partem viceſimequinte ſecũdi:d b ce ſunt pꝛopoꝛtionales.vt que pꝛopoꝛtio d ad bꝛea ſit c ad e. ſi ergo b fuerit maioꝛ dꝛetiã et e maioꝛ c.vt ex demõſtratiõe ſecũde ſcðᷣi cognoſcitur. Detractis ergo quoties fieri poterit d et c de b et e relinquantur f᷑et g.eritq; per triceſim am pꝛimi vt quota parsvł partes f relicta ſit d:tota pars vel partes g ſit c.ꝙ ſi frelicta ſit pars dꝛcuz d ſit nũerus pꝛimus f eſtvnitas. quota ergo vnitas eſt in dꝛtota pars g eſt in c.ergo per ſeptimã pꝛimi quota pars vnitas eſt in g:tota pars d erit in c. numerabit igitur d ipᷣm c. At vo ſi f relictus ſit partes dꝛeſt vnita tes vt oſtenſum eſt:et tote partes erit g ipᷣius c.capiam ergo vnã vnitatem ab f que ſit hꝛ⁊vnã partem ab g que ſit kꝛ⁊ argumentaboꝛ vt pꝛius per ſeptimam pmi. quota pars h vnitas eſt ad d:tota Ps eſtk adc. ergo per ſeptimã pꝛimi qͥta pars h ad k:tota d adc.quare iteꝝ d numerat c. Utvo ſi d maioꝛ eſt b per ſcðaz ſcðᷣi:c eſt maioꝛ e.et qꝛ q̃ ꝓpoꝛtio dad b eadẽ eſt cad e: ᷣꝑ pꝛimã ſcðᷣi etiã que ꝓpoꝛtio b ad dꝛeadẽ erit e ad c.quare quota pars vłpartes b eſt ad dꝛtota ꝑs vel ꝑtes ead c. Diuido gb ⁊ ein illas

—
—————õ—õ—õ——— ———— 2———
——
—
ee
““
4
8
partes:manifeſtũ eſt enĩ cum d ſit numerus pꝛimus/ vnã partiũ b eẽvnitatẽ. capio ergovnã pariis que ſit f: et vnã partiũ e q ſit g:da igit᷑ quota pars f vnitas eſt dꝛtota pars g eſt ipſius eerailh ptimã pꝛimi quota pars f vnitas ad g:tota pars d eſt ad c:numerabit igit᷑ d ipſũ c qs iterũ zadaſt
¶ Si numerũ ex duobus ꝓductũ tertius numeret:ide alteri illoꝝ erit cõmẽſurabii CSit a numerus ex b in c ꝓductus quẽ numeret d:dico d alteri numeroꝝ b aut c eſſe cömenſ 4 lem. nam aut d eſt pꝛimus:aut cõpoſitus.ſi pꝛimus:ergo per pᷣcedentẽ alterũ eoy numerst quane teri eoꝝ erit ↄmẽſurabilis.ſi cõpoſitus:ergo per ſecundã huius ab aliquo pꝛimo numerat᷑ d: 4 4. e.qͥa e numerat d:numerabit etiã perviceſimã tertiã pꝛimi a:quare e per pᷣcedentẽ numerabitya 3 et cũ etiã cõiter numeret d:ſunt per diffinitionẽ d et alter duoꝝ b aut c quos cõiter e idem uunease numerat/ cõmenſurabiles:quod intenditur. ¶ Sũptis quotlibet numeris pꝛimis:diuerſũ ab illis numerũ pꝛimũ eſſe neceſſe cſ ¶ Sint a b c quotlibet numeri pꝛimi:dico alterũ ab ipſis eſſe. Duco enĩ numerũ pꝛimũ inſ ecüdiet b ꝓueniat dꝛet tertiũ in ꝓductũ et ꝓuẽiat eꝛet ſi eſſet quartus:ducerẽ ipſũ in ꝓductũ e:et ita deinceps et quia pꝛioꝛes ſemꝑ erũt partes partiũvltimi ꝓducti:ergo perviceſimã tertiã pꝛimi et diffinitionẽ. oẽs illi numeri pꝛimi numerabũtvltimũ ꝓductũ:cui addovnitatem:et ſit totus ꝓductus f:qui auteſ pꝛimus/ ſicq; cõſtabit ꝓpoſitũ · aut cõpoſitus:qui ſi fuerit cõpoſitus:per ſecundã huius ab aliquo pii mo numerak qui ſit g. et cum g ſit pꝛimus et nõ ſit aliqͤs pᷣdictoꝝ:nam ſi aliquis pᷣdictoꝝ: numeraret f cum numeret detractũ e vt oſtenſũ eſt:per duodecimã pꝛimi numeraret reſiduũ:numer, ſcʒ ynita⸗ tem/quod eſt impoſſibile:conſtat igit᷑ aliũ ab 572 eſſe numerũ pꝛimũ.
¶ Si fuerint duo numeri ↄtra ſe pꝛimi:qcũq; numerat alteꝝ eſt ad relquũ pꝛimus. ¶ Sint a et b ↄtra ſe pꝛimi et e numeret a:dicob ⁊c eſſe oↄtra ſe pꝛimos:alioquin ſi cnumerat hat alius quicũq; b et cꝛeum idem perviceſimã tertiã pꝛimi numeraret a: no eſſent a et h contra ſe pꝛmi
4 quod eſt contra hypotheſim.
¶ Quicunq; numerãt numeros contra ſe pꝛimos:ct ipſi ſunt adinuicem pꝛimi Sint a b numerãtes c d numeros cõtra ſepꝛimos:a quidẽ c et b ipſũ d:dico a b eẽ cõtraſepꝛmos nam ſi ſint cõmẽſurabilts ſit e eos cõiter numerãs:qͥa ergo e numerabit a etiã perviceſimã tertiãpi mi numerabit c. et qᷣa e etiam numerat b per eãdẽ nu merabit d. nõ ſũt igit᷑ c d contra ſe pꝛimi:qd c
contra hypotheſim.
¶ Numerus cõpoſitus ex duobus numeris ↄtra ſe pꝛimis:advtrũq; llox eſtömus, ¶ Sint a ⁊ b numeri cõtra ſe pꝛimi:et cõponãt c:dito c advtrũq; eoꝝ eſſe pꝛimũ.nam ſl eſt comenlu rabilis vni eoꝝ vt nũero a: numeret igit᷑ eos alis numerus vt d:qᷣa ergo d numerat c et a detraai ergo per duodecimgpꝛimi d etiã numerat b reſiduũ.nõ ſũt igit᷑ a b ↄtra ſe pꝛimi/ qd eſt cõtra poſtu
Si duoꝛum numeroꝛum vterq; ad tertium fuerit pꝛimus:et qui ex ipſis pꝛoduf
ad cundem erit pꝛimus.—. 4.„
¶ Sint a b duo numeri quoꝝvterq; adc ſit ᷣmus:et ſit dꝓductus ex a in bꝛdico d eſſe pmũ sdenãſ cet d eſſẽt cõmẽſurabiles:aliqͥs eos vt e cõiter numeraret: qui cũ numeraret d ꝓductũ er duoboſch et b:ꝑ quartã huiꝰcõicabit alteri eoꝝ: qð ꝑ ſeptimã huiꝰ ẽ ĩpollibile.nõ itaq; c et d fũtↄmeſurablts
¶ Si fuerĩt duo numeri ↄtra ſe pᷣmi:qͥ ex alt᷑o ĩ ſe ducto ꝓducit ad reliquũ ciit ym CSint a et b otra ſe pᷣmiꝛet a in ſe duetus ꝓducat c:dico c eſſe pᷣmũ ad b. capiod equaleaetqenn q; a et d eſtpꝛimus ad bꝛergo per pᷣcedentẽ qui ſit ex a in d eſt pᷣmus ad b. ſed qui fit ex ain ſe: equi ei qui ſit ex a in dꝛigitur qui ſit ex a in ſe eſt pꝛimus ad b.quod eſt pꝛopoſitum.
CSi fuerint duo numeri contra ſe pꝛimi:qui ex eis in ſe pducent erut adinuiépè⸗
„
mi. 2 ſi iidem in ꝓductos ducant᷑: et qui inde pꝓducẽtur erunt cõtra ſe pumi Sic
deinceps ſi pꝛincipia in ꝓductos ducantur: ꝓducti erunt incommenſurabi 6. G
¶ Sint a et b cõtra ſe pꝛimi:ducat᷑ q; a in ſe et fiat c:et b in ſe et fiat dꝛdico cd eſſe cõtra ſepinns, Item dico ſi a ducat᷑ in c et fiat eꝛet b in d ⁊ fiat fꝛſiliter e f eẽ incõmẽſurabiles atq; cötralepiune et ſi iterũ duxeris a in e et b in f/ qui ꝓducent᷑ eſſe cõtra ſe pꝛimos:et hoc quoties feceris daen adb Pꝛimũ patet: nam per pᷣmiſſã quia a eſt pꝛimus ad betc fit ex a in ſe:per pᷣcedentemc eom regae et quia c eſt pꝛimus ad b et d ſit ex b in ſe:per eãdem c eſt pꝛimus ad d quod eſt pꝛimu. 3 viaigi vterq; a et c eſt pꝛimus ad bꝛigitur per decimam e qui ex ipſis pꝛoducitur eſt pꝛimus zdb um itogh eb ſunt contra ſe pꝛimi:et d pꝛoducitur ex b in ſe:per pꝛecedentem e etiaz eſt pꝛimus ade alieuc vterqʒ duoꝛum b ð ſit pꝛimus ad e vtemonſtratum eſt: igitur per decimam f qui ſit er iplis imapa⸗ b in d eſt pꝛimus ad e. et ita ᷣtũcunq; ſeries ꝓcedat cõclude. et hoc eſt ſcðm. CEx huius lerudatt te cognoſcit᷑:tetragonos quoꝝ latera incõmenſurabilia ſunt eſfe incõmenſurabiles:et 5 uptück ſeras incõmenſurabiles eſſe quarũ latera ſunt incõmenſurabilia.et cõtra demoſtrare 35 cömenſu⸗ latera ſunt cõmenſurabilia:tetragonos et teſſeras eſſe cõmenſt urabiles. At ſint a bare z0 rabilia et c tetragonus aꝛet e eius teſſera.d tetragonus bꝛet f eius teſſera: quia a Vut 5 pꝛim les:ergo ẽ nũerus cõiter eos numerãs qui ſit g:quia g numerat a:ergo per viceſimatf erragonicd merat cet eꝛet quia etiã gnumerat bꝛ per eandẽviceſimã tertiã numerat d et f. ſůt ig bide numeris itidẽ et teſſere e f adinuicẽ cõmenſurabiles·ſed de his hactenus: quoꝝ in ſexto huiusy tum quadꝛatis tum cubis agetur exactiſſima determinatio futura eſt.
—
—J—
=—

cüo mmcumtn Stecſe maſepmm tami umenaridan
ſe pamos:apimm mos:a qud cctdxinun leati ero eunauridir d umeridud ſtian
cris orr ſcpan&xii Ca* rriq adem qο umeras uticpim Sui as ſit gfd müm
dum fucrt pmmsaa
raſt ducnsauti
III„ ¶ Si duo numeri ad aliquos duos vterq; ad vtrunq; fuerit pꝛimus:⁊ qui ex eis pꝛo
ducitur ad pꝛoductum ex reliquis erit pnuus 4 ¶ Sint ab ghm ad c et pꝛimi ad d:⁊ ex a inb fiat e ⁊ ex cin dſlat f. dico e et f eſſe inter ſe pꝛimos. nã qꝛ vterq; numerus a ⁊ b eſt pꝛimus ad c per decimã huius e eſt pꝛimus ad c. et qꝛ iterũ vterq; a ⁊ be
pꝛimus ad d:ergo per eandè e eſt pꝛimus ad d. eſt itaq; vterq; duoꝛum c d mõſtratus pꝛimus ad e:qua re per eandem decimã f̊ pꝛoductus ex illis eſt pꝛimns ad e: quod erat demöſtrandum.
¶ Si fuerint duo numeri contra ſe pꝛimi minoꝛq; de maioꝛe aliquoties detrahatur:
aut relinquetur vnitas aut numerus ad detractum pꝛimus
5 inoꝛ. d oties: ſi ſtractus a et ¶ Sint ab et c cõtra ſe pꝛimi:a b maioꝛ/c minoꝛ.detrahat᷑ q; c dea b aliquoties: ſitq; ſubſtractus a e reſiduũ b.dico b aut eſſe vnitatẽ aut eſſe numeꝝ pꝛimũ ad c. Nam ſi b ſit cõmenſurabilis cꝛſit d illoꝛũ cõis menſura.qꝛ d numerat c ꝑ viceſimãtertiam pꝛimi etiam numerabit a. et gꝛ etiam numerat b per nonã pꝛimi numerabit totum a b.·nõ erunt igitur a b ⁊ ccontra ſeipꝛimi: qð eſt eontra hypotheſim.
¶ Cum fuerint duo numeri contra ſe pꝛimi et minoꝛe de maioꝛi quoad põt detracto: reſiduũ a pꝛius detracto detrahatur cõtinua hoc pacto detractione facta: vnitatè re⸗ linqui ncẽe eſt.ꝙ ſivnitas reſidua fuerit:poſitos nũeros incõmẽſurabiles cẽ ↄueniet.
¶ Sint a b duo numericcõtra ſe pᷣmi:a maioꝛ et b mĩoꝛ:detrahat᷑q; b ab a quoties id fieri põt et relin quat᷑ c qui detrahat᷑ quoties põt a nũero b.⁊ ita continue hoc pacto detractio quoad põt. dico pꝛimo tandẽ relictũ iri vnitatẽ. dico ſcðᷣo ꝙ ſi hoc pacto cõtinuata detractiõe relicta ſit vnitas datos nũeros eſſe cõtra ſe pꝛimos. Pꝛimũ pʒ.nam detrahat᷑ b de a quoties põt et relictũ reſiduũ ſit c: ipm c relictũ minus ẽ b.⁊ ꝑpꝛecedentẽ aut eſt vnitas aut nũerus pꝛimus ad b.ſi vnitas cõſtat qð ꝓponit᷑.ſi nũerus pᷣmus ad b detraho ipm quoties poſſuʒ ab ipſo b ⁊ relinq̃tur minꝰc qs ſit d. quodqͥdẽ ſo per pᷣcedentẽ filr eſt vnitas aut nũerus pꝛimꝰ ad c.ſi nũerus pᷣmus ad c ipᷣm detrahã ab c:quare aut ſ emp decreſcet numerꝰ dando minoꝛẽ ad pꝛimũ ſᷣm exigentiã pᷣcedẽtis:aut relinqᷓtur vnitas qð eſt pꝛimũ. Scðm pʒ. nã ſi aet b ſunt cõmẽſurabiles idẽ numerꝰ nũerabit totũ ⁊ detractũ· quare ꝑ duodecimã pꝛimi idẽ nu
merabit reſiduũ numerus ſcʒ vnitatẽ qð eſt ĩpoſſibile.qað quidẽ vt cla rius ꝑcipias ſic ↄſidera.ſi a et b
ſint ↄmẽſurabiles dꝛergo eos cõiter numeret:ſi ubſtrahat᷑ q; b aba quoties põt et relĩquat᷑ c ſi c ſit vni tas cũ numerꝰ d numeret b nũerabit oẽm numeratũ ab bꝑ 23 pᷣmi: quare totꝗᷓ detractũ ab a ⁊ nũerat
etiã a vt poſitũ eſt. ergo ꝑ duodecimã pꝛimi d etiã numerabit reſiduũ ſcʒ c: numerus ſcʒ vnitatẽ qð eſt
ĩpoſſibile.⁊ ſi c ſit nũerꝰqꝛ d nũerat totũ a et detractũvt pꝓbatũ ẽ᷑:ergo ꝑ duodecimã pmi d etiã nume
rabit c reſiduũ. detrahat᷑ ergo quoties põt e de b⁊ relinquat᷑ e.ſi e eſt vnitas argumẽtare vt pꝛius nu
merũ d numerare e vnitatẽ.ſi vero e ſit nũerus conſiłr d ipſum numerabit. et ſic ꝓcedẽdo habebis ꝙ ꝗñcũq; dabiturvnitas ipam d numerabit: qð eſt ĩpoſſi ibile. Et ex hac demõſtratione elice ſt duoꝝ ↄmẽ ſurabiliũ alter ab altero quoties põt ſubſtrahat᷑ ſitq; reſiduus reſiduũ illis eſſe cõmenſurabile.
¶ Datis duobus numeris cõicantibus:maximũ eos numerantẽ inuenire. vnde mani feſtũ eſt; oĩs numerus duos quoſcunq; numerãs maximũ eos numerantẽ nũerabit
¶ Sint a b duo numeri cõicantes: a maioꝛ et b minoꝛ ꝓpoſitũ eſt maximũ numeꝝ ipſos numerãtem iuenire.Si enĩ b nũerat a:cũ b ſe etiã numeret ipſe eſt maximꝰ eos numerãs.ſinautẽ b nõ numerat a detrahat᷑ b ab a quoties pᷣt et ſit relictus c:qͥ ſi nũeret vtrũq; ipſe ẽ numerꝰ petitus.ſi nõ nũeret detra
at hat᷑ ergo iterũ c ab b quoties p̊t et ſit relictus d qͥ erit minoꝛ c.ſi numeret dtrũq; b ⁊ a ipſe è petitus.
at ſi nõ numerat qꝛ nõ decreſcet numerus in inſinitũ neq; decumbet᷑ ad vnitatẽ:qꝛ per pᷣcedentẽ a et b
eiſent cõtra ſe pꝛimi tandẽ deueniet᷑ ad aliquẽ qui añ relictũ numeret quẽ qpꝛimũ habebimꝰdico ipᷣʒ eſſe maximũ numen eos cõiter numerantẽ. nã ſi eo maioꝛ ponat᷑: accidet ꝑ duodecimã pꝛimi maioꝛẽ
1 numerare minoꝛẽ:qð eſt ĩpoſſibile. Ex hoc coꝛrelariũ eſt notum.ponãt᷑ enĩ a b numeri cõicantes et b
minoꝛ ſubſtractꝰ ab a quoties põt ⁊ relictus c:et c ſubſtractus ab b quoties põt ⁊ relictus d qͥ ſubſtra ctus ab cnichil relinquat: qͥ ideo erit maximus numerãs a ⁊ b per pñtem:et ſit ꝗ cõiter numerãs ab.
dico g nũerare d maximũ numerantẽ. ſi enĩ g ſit idẽ numero d: cum oĩs numerus ſeipᷣm numeret etiã de eo verum eſt pꝛopoſitũ. ſi eſt alius ab d nõ erit maioꝛ d. nã d nõ eſſet maximus numerus numerãs
a b verũ potius g.erit ergo minoꝛ de neceſſitate:qui qͥa numerat b. ergo ꝑ viceſimãtertiam pꝛimiĩ nu
Int merabit totum detractũ ab a.⁊ cum etiã numeret a:per duodecimã pꝛimi numerabit reſiduũ c:⁊ cum
numeret c per viceſimãtertiam pꝛimi numerabit totum detractũ a numero b.et cum numeret bꝛergo
per duodecimã pꝛimi numerabit reſiduũ ſcʒ dꝛquod eſt pꝛopoſitum.
¶ Pꝛopoſitis quotlibʒ nũeris adiuicẽ ↄpoſitis maximũ cos cõiter nũerãtẽ reperire.
¶ Sint a b c quotlibet nũeri adinuicẽ ↄpoſiti ꝓpoſitũ eſt maximũ numen eos nñerantẽ inuenire. In
uenio enĩ per pᷣcedentẽ maximũ numerãtẽ a et b q ſit d.qͥ ſi numerat e:ille ẽ qui petit᷑ alioquĩ ſi dapis
maioꝛẽ accidet ꝑ duodecimã pꝛimi minoꝛẽ numerare maioꝛẽ.ſi aũt d nõ numerat c:qꝛ ergo qcunq; nu
merat ab cnuerat a b. ⁊ qcunq; nũerat ab ꝑ coꝛrelariũ pꝛecedẽtis numerat d maximũ numen eos nu meranté. ergo d ⁊ cſunt ↄmẽſurabiles. inuenio ergo ꝑ pꝛecedentẽ maximũ numeꝝ numerantẽ c ⁊ d
il ſit e quẽ dico eſſe maximũ numerantẽ a be. nã ſi ſit quicũq; alius maioꝛ e eos cõiter numerãs: is ſit.
q̃a ergo f numerat a bꝑ coꝛrelariũ pꝛecedẽtis numerat d maximũ eos numerantẽ. ⁊ qͥa numerat d et
etiã cper poſitũ: ergo per idẽ coꝛrelariũ numerat e maximũ eos nũerantẽ. at f ponit᷑ maioꝛ e ; 2 7 8, 22 1. 2„„„. 9 3 nũ — iit maioꝛ minoꝛẽ:qð eſt ĩpoſſibile.relinqͥtur igitur e eſſ emaximũ numerantẽ abc erpropoſitu.
b2

8
—
—
——
—
5 4 8½ 2.———————n „ meinni nrfiene enrieRe eRass———— 1———————— 4 — reun ehAe E——— 5 4—————————△ά½—— — 2———— 4——————— 88öoö—ooöoodoo,,— 3 3 ee eer ͤſ- ooͤſ““——.— ³ 4:½—⁶½½(1121212 4 4 1— 8 8—““———.— un ——— 4— 8—*—. ͤͤͤſͤſͤſͤſſſ——— 4 4— 28 8 e———————— ———. 2— ——y————— ——————————— ———————.— ————* ————
————.——— 3— 4 e 8 —„— 3———
.——
— —
——
—
“
“
— 8 8
6☛̈ 8
¶Quilibet duo numeri in ſua pꝛopoꝛtione minimi:ſunt contra ſe pumi ¶ Sint a b duo nũeri in ſua ꝓpoꝛtione mĩmi: dico eos eſſe contra ſe pᷣmos.nã ſiſi k, eoꝝ mẽſura edͥ nũerct a ᷑m d et biᷣm e ꝑ ſeptimã ſcði ã ꝓpoꝛtio d ad e ea eſt a ad ha apolitilt et e minoꝛ h non erant a ⁊ b in ſua ꝓpoꝛtione minimi:quod eſt contra poſitum. Atchd ſit minan
¶ Numeri quilibet in ſua pꝛopoꝛtione minimi numerant quoſiibet in eadem p⸗ tone ſumptos minoꝛ minoꝛẽ ⁊ maioꝛ maioꝛem equaliter. daopn ¶ Sint a etb mĩmi in ſua ꝓpoꝛtione:aʒ maioꝛ b minoꝛ:ſintq; eiuſdẽ pꝛopoꝛtionis c dꝛc oul minoꝛ.dico a numerare c et b numerare d equalit᷑.nã qꝛ vt a adb ita c ad d: ergo vermuſd emale ſecũdi vt a ad c ita d ad b.quota ergo pars vel ꝑtes eſt a ad ctota pars vel ptes eiſ b ad daf ber teni conſtat ꝓpoſitũ a equalf᷑ nũerare c⁊ bnumerare d.ſi tote partes ergo ꝑ triceſimã pꝛimic teh ain c quoties b in d.et quota pars vel ꝑtes a remãſerint in c:tota parsvel ꝑtes b reman rotie Kraho ergo quoties poſſum a de c ⁊ detractꝰſit e et reſiduus f.ſimilit ſ ubſtraho quoad zdut idii et detractus ſit g⁊ reſiduus h.qꝛ ergo a nũerat e: ⁊ b numerat g equalit᷑ atqʒ hᷣm eundehd um bden per octauã ſcðᷣi que pꝛopoꝛtio a ad b ea eſt e ad g:ergo ⁊ q̃ pꝛopoꝛtio c ad d totius ad totũ:ea ales detracti ad detractũ.igitur ꝑ quintã ſecundi q̃ ꝓpoꝛtio c ad d totius ad toum: ea eſt f ad h reſi 85 reſiduũ.quare iterum qᷓ pꝛopoꝛtio a ad b: ea eſt f ad h.at cum fet h relicta ſint minoꝛa a7b: dula itaq; a et b in ſua pꝛopoꝛtione minimi:quod eſt contra hypotheſim.conſtat ergo quoſcũq ande poꝛtione minimos ceteros vt dictum eſt numerare. ua e⸗
¶ Si fuerint duo numeri adinuicẽ pꝛimi ipſi erunt in ſua ꝓpoꝛtione minimi. ¶ Sint aet b nñeri adinuicẽ pꝛimi:a maioꝛ b minoꝛ.dico eos in ſua ꝓpoꝛtione eſſe mimos.naſſn alij d ſint in illa poꝛtione mĩmi: ſint ergo illi cdꝛaꝛ ergo cd ſunt in iila ꝓpoꝛtione mimi Fer⸗ n numerabũt quoſlibet in eadẽ ꝓpoꝛtione minoꝛ minoꝛẽ ⁊ maioꝛ maioꝛẽ equalit᷑. nñeret ergocn 5 a ſcðm e ⁊ d numeret b ſecundũ eundem numerũ e manifeſtũ eſt; enumerabit a etb: quare nöſu
a ⁊b contra ſe pꝛimi:quod eſt contra hypotheſim. 4
¶ Poſitis duobus numeris contra ſe pꝛimis ſi alter ducatur in numeꝝ quẽ tclcuus nõ numerat pꝛoductus quoq; ab eodem non numerabitur.
¶ Sint a b numeri contra ſe pꝛimi et a ducatur in c ⁊ pꝛoueniat d et b nõ numerat c:dico hnõnuno rare d. Si ergo b nume et dꝛnumeret ergo ipſum ſ̃m e intelligo pꝛimũ numerũ a:ſecundũbꝛ tenii et quartũ c.qꝛ ergo qð cõtinetur ſub extremis a c equũ eſt ei quod cõtinetur ſub medils be, ergopa viceſimãquintã ſecundi que pꝛopoꝛtio a ad bꝛea eſt e ad c.qꝛ ergo a b ſunt pꝛimi per pꝛecedeten iin in ſua eoperae minimi:ergo per ante pꝛecedentẽ a numerabit e: ⁊ b numerabit c equaliter.qun eſt contra hypotheſim.poſitũ enim erat b nõ numerare c. W
¶ Si numerum a duobus pꝛoductum tertius numcret: idem alterum eoꝛum uune rabit aut eritvtriq; commenſurabilis. b
¶ Sit a numerus pꝛoductus ex b in c quẽ d numeret:dico d numerare b aut c aut eſſe vtriq conani rabilem.Si enĩ alteri fuertt incõmenſurabilis vt verbi cauſa b: cũ ergo b et d ſint contra ſepꝛmt⸗ in cpꝛoducat a:ergo per pꝛecedentẽ ſi d nõ numerat c neq; quidẽ d numerabit a. at poſitus eſtdnun rare a. numerat igitur d alt erũ eoꝝ. Si itaq; vni fuerit incõmenſurabilis neceſſario numeratalu ideo vtriq; incõmẽſurabilis eẽ nequit qͥ fit vt aut nũeret alterũ aut vtriq; ſit ↄmẽſurabilis: ꝓpolii
¶ Numeros minimos:ſᷣm pꝛopoꝛtionẽ numeroꝝ aſſignatoꝛũ perſcrutan. pateig hoc maximũ duos numeros cõiter numerantẽ: ſᷣm mimos illius ꝓpoꝛtionis nuon ¶ Sint ab in aliqua ꝓpoꝛtione:pꝛopoſitũ eſt mimos numeros ꝓpoꝛttonis a ad brepertre autan a⁊ b ſunt contra ſe pꝛimi et tunc per viceſimã huius illi ſunt in ſua ꝓpoꝛtione minimi neq; alj ſunt.aut ſunt cõpoſiti ⁊ tunc per decimãſextam huiꝰ quero maximũ numerũ eos numerantquiſt nũeretq; a ſᷣm dꝛet bſᷣm e.ꝑ ſeptimã ergo ſcðᷣi eadẽ eſt ꝓpoꝛtio a ad b ⁊ d ade.dico itaq; deteeſſemi mos nũeros in illa ꝓpoꝛtione.ſi enĩ ſint alij ſint f ⁊ g:qꝛ f et g ſunt mimi in illa ꝓpoꝛtione ergo⸗ de mãnonã huius numerãt a b:maioꝛ maioꝛẽ/⁊ minoꝛ minoꝛẽ m eundẽ numerũ qui ſit heuntelligo 3 quattuoꝛ nũeros:c pꝛimũ:f ſecundũ:h tertiuʒ: et d quartũ.qꝛ a cõtinetur ſub extremiscdai ldes mediis f hꝛergo ꝑ viceſimãquintã ſecundi q̃ pꝛopoꝛtio c ad f ea eſt h ad d.ergo Lmutatiheren eadẽ eſt ꝓpoꝛtio c ad h et fad v.ſed fpoſitꝰ eſt mĩoꝛ dꝛergo et c minoꝛ h.tũc ſic ceſt maxn dumn nunnerãs à bꝑ hypotheſim et h poſitus eſt etiã numerare a b: ergo h p coꝛrelariũ decintlena n numerabit emaioꝛ ſcʒ minoꝛẽ quod eſt ĩpoſſibile. nõ dabũtur igitur alij ab ipſis deiinilla;ho miuuni quod eſt pꝛopoſitũ: et in hoc etiam coꝛrelariũ notum eſt.
nimum quẽ duo numerant: quẽlibet ab eis numeratũ numerare. giote:din ¶ Sint duo nũeri a bmultiplicãtes c d mĩmos ſue ꝓpoꝛtionis maioꝛ minoꝛẽ ⁊minoꝛ wauinaſ
——
—=zͤ=z
— —
——————
—

rcCtproocun ſchun um Im e intelup zanimr ac equi ct a qed aiuen acte dc epidum denti unc ner
III
fimãquintã ſecundi q̃ pꝛopoꝛtio a ad b ea eſt h ad gꝛ quare et qͥ cad d. et qꝛ a Pdneif e leum d eriden b a ꝓducit f ſcðᷣm g. ergo ꝑ ſeptimã ſecũdi ꝗ̊ pꝛopoꝛtio d ad g:ea eſt e ad f. at cũ cad d ſicut h ad gr erg pmnutatim ſicut c ad h:ita d ad g.quare ſicut cad h:ita e ad f. ſedc numerat h per veriniepen huius b ergo et e numerat fꝛet f poſitus eſt minoꝛ e.numerat igitur maioꝛ minoꝛẽ:quod eſt impoſſibile ⁊ pꝛo⸗ poſitum. Et ex modo demonſtrationis patet coꝛrelarium.* S
Pꝛopoſitis quotlibet numeris: minimũ ab eis numeratũ inueſtigar.
int a b cd quotlibet numeri:quoꝝ pꝛoponit᷑ minimũ ab eis numeratũ inuenire.quero pꝛimo mi — Aem vnmerat a et bꝛꝙ ſi dnnrt certũ eſt b eſſe minimũ ab eis numeratũ.et ſi a et b ſunt cõtra ſe pꝛimi duco vnũ in altcrũ.et qꝛ illi ſunt pᷣmi:ergo ꝑ viceſumã huiꝰ erũt in ſua ꝓpoꝛtione mĩmi ꝑ pꝛecedentẽ igit᷑ ꝓductus ab ipſis erit mimus quẽ numerabũt.at ſt ipſi fuerint cõicantes ſumo per pᷣcedentẽ minimũ quẽ numerãt qͥ ſit e:et conſiłr capiã minimũ quẽ numerãt c e d ſit fet minimũ quẽ numerãt d f q ſit g quẽ dico eẽ minimũ numeꝝ quẽ numerãt abc d. numerabunt enĩ eum ꝑ 23 pꝛimi. at ꝙ nõ numerẽt minoꝛẽ pʒ.nã ſi ſit dabilis nũerus minoꝛ g quẽ numerãt abcd ſit ille h: qꝛ ergo a b numerãt h.ergo ꝑ coꝛrelariũ pᷣcedẽtis e mĩmus ab eis numeratꝰ nũerat h. et qꝛ e xcnumerãt hꝛergo ꝑ idẽ coꝛrelariũ fmĩmus ab eis nũeratus nũerat h.et qꝛ f nũerat h et d poſ itꝰ eſt etiã ipſum nũerare ergo per idem coꝛrelariũ gminimus ab f ⁊ d numeratus numerabit h.at h poſitus eſt minoꝛ gꝛuume rat igitur maioꝛ minoꝛẽ: quod eſt impoſſibile.... ¶ Si minimũ numeꝝ a quotlibet numeratum aliquis pꝛimus numerct:eundẽ quoq; aliquem illoꝛum numerare neceſſe eſt. b— ¶ In duobꝰ numeris id facile ꝑpendit᷑. Sint ergo a b duo nũeriꝛe mĩmus ab eis numeratꝰ: et d nũe rus pmus numerans c:dico d nũerare a vel b.numeret enĩ a minimũ numeratũ c ſcðm e: ergo perꝛ4 huiꝰ e eſt vnus mimoꝝ ꝓpoꝛtiõis a ad b nunerãs b.tũc ſic d numerꝰ pꝛimꝰ nũerat c ꝓductũ a duobꝰ nũeris a et e.ergo ꝑ quartã huius d nũerat alterũ numeroꝝ a aut e.ſi a cõſtat ꝓpoſitũ:ſi e itidẽ.nã ꝑ viceſimãquartã numerabit b. In pluribus aũt conſilry oſtẽditur. Sint a b c quotlibet nũeri d mĩmus ab eis nũeratus:e nũerus pᷣmus numerãs d:dico e nũerare ab aut c.capio enĩ ᷣm exigentiã pᷣcedẽtis
mimũ numen quẽ numerãt ab q ſit f:et mimũ numeꝝ quẽ numerãt f c quẽ ex pᷣcedẽti manifeſtũ eſt eẽ
det nũeret c mĩmũ d ſcðᷣm g qͥ per ꝛ4 huius eſt vnus nũeroꝝ ꝓpoꝛtionis f ad cet qͥ numerat f. Cum itaq; e numerus pᷣmus numeret d ꝓductũ ex duobꝰ numeris c g:ergo ꝑ quanã huius e nũerat alterũ numeroꝝ c g.ſi numerat c cõſtat ꝓpoſitũ:ſi numerat g ergo ꝑ viceſimãquartã numerat f. qꝛ ergo feſt mĩmus numerꝰquẽ numerãt a b.nũeret ergo a minimũ f̊ ſcðvᷣm h qͥ per ſepe ſumptã viceſimãquartam huiꝰ erit vnus mimoꝝ ꝓpoꝛtionis a ad b et numerãs b.cum ergo e ꝓbatus ſit nũerare f pꝛoductũ ex
duobus numeris a hꝛergo per quartam huius numerat a aut h.ſi numerat a conſtat pꝛopoſitum. ſih
itidẽ.nam h numerat b: quare e per viceſimãtertiam pꝛimi etiã numerabit b: et pꝛopoſitũ. ¶ Cum fuerint quotlibet numeri ad aliquem pꝛimi: et minimus quem numerant ad
eundem erit pꝛimus.
¶ Sint a b c quotlibet numeri pꝛimi ad d:ſitq; e mĩmus numerꝰ quẽ numerãt a bc:dico e eſſe pꝛimũ ad d. nã ſi d eſt cõömẽſurabilis ad e:ergo eſt alids numerꝰ eos cõiter numerãs qͥ ſit f. Si enĩ f ſit nũerꝰ pᷣmus cũ numeret e:ergo ꝑ pᷣcedentẽ nũerabit a b aut c.et cũ etiã nũeret d nõ ſunt ergoa be pᷣmi ad d
qõð eſt contra hypotheſim. at ſi f ſit nũerus ↄpoſitus ergo ꝑ ſcðᷣam huius f ab aliquo pᷣmo numeratur qͥ ſit g:qui ꝑ viceſi imãtertiã pꝛimi numerabit d et e:qꝛ ergo g eſt pꝛimus ⁊ nůerat e. ergo ꝑ pꝛecedentẽ nũerabit a b aut c et etiã numerat d.nõ ſunt igitur ab etc pꝛimi ad d:quod eſt contra hypotheſim.
¶ Si ſumatur minimus numerus quẽ numcrant aliquot pꝛimi numeri aſſignati: aliũ
ab illis numerum pꝛimũ: eundem numerare impoſſibile eſt. b b ¶ Sit e mĩmus nũerus quẽ nũerãt a b c quotlibet nũeri pmi:dico nullũ ipſis pᷣmũ aliũ ab ipſis nũe⸗ rare e.nã ſi daret᷑ aliusvt d:qꝛ ipſe nũeraret e.ergo ꝑ z5 nũeraret etiã a b aut c:qð eſt hypotheſim. ¶ Numerũ minimũ:pꝛopoſitarũ denoiĩauonum partes habentẽ inuenirc.
¶ Si pꝛopoſitarũ partium vt verbi cã vnius ſecũde tertie quarte ⁊ ſexte ꝓpoſitũ ſit minimũ numen ꝑtes illas hñtem reperire.capio a b cd nũeros partes illas denoĩantes quoꝝ mĩmus ab eis nſeratꝰ ſit e:nũeretq; a minimũ e ſcðm f:et b eundẽ ſcðm gꝛet c eundẽ ſcᷣm hꝛ⁊ d eundẽ eſ cðᷣm k. alternatim
ergo ꝑ octauã pꝛimi fꝗh lꝛ numerabũt e ſm a be d datos nũeros:erũt ergo in e partes denoĩate ab a
bed quẽ ⁊ dico eſſe minimũ in quo ꝑtes ille reperiãtur.ꝙ enĩ partes illas h riam not
cꝰ que ⁊ dico b 2 ꝙ abeat:iam notũ eſt: ſed ſt nõ T it mimus ſit ergo ille! minoꝛ eo illas habẽs:⁊ eius partes ab illis denominate ſint mno p.erunt ergo alternatim per octauam abcdpartesl denominate abm n op.nõ erat ergo e minimus quẽ nu⸗ merabant ab c d. nam l ponitur minoꝛ: quod eſt contra hypotheſim.
¶ Sumptis duobꝰ numeris contra ſe pꝛimis quoꝛũ minoꝛe de mai dad poteſt m contra ſe pꝛimis quoꝛũ minoꝛe de maioꝛi quoad poteſt detracto reſidua ſit vntas:multiplicem cuiuſubet eoꝛum qui ſ uper alicrius multipli⸗ cem: ſolam apponatvnitatem reperire. z ehekegttetn.
¶ Sint a b nũeri ↄtra ſe pᷣmiꝛa maioꝛ b mĩoꝛ:detractoq; b de a quoties põt reliquat᷑ vnitas: ꝓpoſitůũ
nuertra miĩoꝛ: t relĩquat᷑ vnitas:ꝓpoſ deaeeterarherntranletehewans eazoreetenibwealewret gali aetſ arrais:d quide eit idẽ aut młtiplex ad b. et ſit crelicta vnitas ⁊ addo abb vnitatẽ ꝗ ſit d.et duco a totũ in b d ⁊ ꝓueniat e quẽ manifeſtũ eſt ee multiplicẽ totalis a. Delde 8 b2

— 8—
ee— Seen
““ 1eeeEMee —— ö ——
—
—=—— 3 8
— 2 4.— —————— ———.— „— 3 e“ 169 . 8 1—
— 9— — —
1. A“————— 2
———— —·· ͤͤͤ
—*—
4
15 24 36 54
——
8 12 18
a partialẽ eundẽ ſcʒ aut multiplicẽ ad b in b det ꝓuenlat rlꝛ qu
ad b ꝑtiale. Deiñ duco c vnitatẽ in b det veniat lꝛ g qͥ qꝛ vurgaem anen p 3 primi eemoli eſt eãlis b d:ſed b d ſupat b ſola vnitate.crgo l⁊ gſuperat b ſola vnitate. Hanc. 7 ducak llu oug⸗ aggregatꝰ fh eſt młtiplex ad b:ſed aggregatꝰ fh ſuperat totũ fg ſola vnitateh 81 Ddeuy alith gti ctu a partialis ⁊ c in b d equat᷑ e q ſit ex ductu a totalis in b d per decimã primi 8. ed cũfg fat erd pliceʒ ad aꝛ f̃h muttipüee ad b. igik᷑ e multiplex ad a equalis quidẽ fᷣg ſupat 5 vth eſt e eẽ mul vnitate qð erat demõſtrandũ et propoſitũ quo advnã partẽ. Sed rurſum demöſtrandee ad bſch multiplicè ad b qͥ ſolã hʒ vnitatè ſuper multiplicẽ ad a: aufero vnitatẽ ab b totali q ſi eſt dabileeſ tiale in totalẽ a et proueniat e manifeſtũ eſt e eẽ multiplicẽ ad a.et duco iterũ b q 45 det ducohpan equali aut multiplice totius bet proueniat f manifeſtũ eſt f g eſſe multiplicẽ duale inapartial b din cvnitatẽ ⁊ fiat g h qui qꝛ quicũq; numerꝰ in vnitatẽ ducat᷑ ſeipſum pducitgy dld dehnde ducs quare totus f h eſt młtiplex ad b. Sed cũ per nonã pꝛimi qð fit exb ꝑtiali in ac equet tequalis toti- partiali in a et in c:⁊ ille qͥ fit ex b ꝑtiali in a:et b totali in c ſolãvnitatẽ ſuperaddat rf qäterenet in a et in c. ſeqtur ergo ꝙ multiplex ad b ſcz f h ͤ ſit exb partiali in aet b Dtiali in c: wic texb ptil ſuper e multiplicẽ ad a qui ſit ex b partiali in a c:quod eſt ſecundũ et totum pꝛop ofit 3 addet vnitats
¶ Pꝛopoſitis duobus numeris cõtra ſe pꝛimis:mulnplicẽ cuiuſii inateſh — IleI EDard uſlib cuius ad muluplicẽ alterius differẽtia ſit dato numero equalis. go nuchan
dꝛĩa g ad f eſt nũerus datus c. et cñ a ſit pars d er dps frr ſilfbparse tepan
4
deinde ꝓcedere vt dictũ eſt.Ceterũ ſi minoꝛ quoties põt de maioꝛe detractꝰnãᷣ ſalãxv⸗
ſed vlterioꝛ fiat ſubſtractio quo minꝰ per pᷣcedentẽ deran poſſ renpnrolarelihan a b nũeris contra ſe pᷣmis et c numero cut ſit capiẽda dꝛĩa multipliciũ equalis et detractob aba 3 ties põt remaneat d et d detracto ab b quoties pᷣt reliquꝰ ſit e:⁊ e detracto ab d quoties põt deau⸗ et qꝛ tandè per decimãquintã huius relinq̃tur vnitas ſit ergo vt detracto fabe quoties poterit rin⸗ quat᷑ vnitas.ſi ergo multiplex a debet addere ſupꝛa multiplicẽ b ſumo alterũ extremon quielt inſin ĩpari ab a vt fet ſumat᷑ h multiplex eius qͥ addat vnũ ſi uper multiplicẽ e ⁊ ĩ quo ſit fiᷣmg ducatyi det fiat hlꝛ qͥ addet ſuper multiplicẽ e vnitatẽ:qm̃ g in d qᷣtum in e vel eius multiplice tinf. dengt ergo vno de h lꝛ remaneat in lꝛ vt ſit m et vnitas equale h ſitqʒ e in m la fml qͥ ductus inb faciatmai addito vno fiat o quẽ numerabit d eadẽ rõne ⁊ ſit vt ſcᷣm p dͥ ductus in a faciat r: qui ſili additlina malripliee b qui ſit ꝗ vnitatẽ. multiplico igit᷑ r et q per c numen datũ et pꝛoducãtur s ⁊tqͥ eruntmu tiplices b ⁊ a int᷑ ſe ð˖ĩaʒ ſᷣm c numeꝝ aſſignatũ ſ eruãtes. Tertij elemẽtoꝝ arithmetices Joꝛdaniſins
I fuerint quotlibet numeri continue pꝛopoꝛtionales: protin ales: duo et duo pꝛoxm erunt commenſurabiles. 3 h
¶ Sint ab cd quotlibet nſieri continue pꝛopoꝛtiõales:dico a b eſſe cõmenſurabiles. Jtẽ abe uen Si enĩ a nũeret b manifeſtũ eſt a et b eſſe cõmenſ urabiles. et qꝛ q̃ pꝛopoꝛtio a ad b ea 5 adccdd ideo b nũerabit c:et c nũerabit d.quare cõſtabit pꝛopoſitũꝛ a bꝛb c:c dꝛeſſe cõmenſurabiles atllon nũerat b:aꝛ ĩpoſſibile eſt tũc a et b eẽ in ſua pꝛopoꝛtione mĩmos.nã ſi a et b eſſent in ſua ppoꝛtinnen nimi eſſent ꝑ decimãoctauã tertij adinuicẽ pꝛimi:et per decimãnonaz numerarẽt quoſlibet inſua poꝛtione: ⁊ qꝛ q̊ pꝛopoꝛtio a ad bꝛea eſt b adc.a ergo nũeraret b ᷣmus cõtra ſe pꝛimũ qs eſtipoſſti et etiã oppoſitũ poſiti.nõ erunt ergo a et b in ſua ꝓpoꝛtione mimi. capiã ergo ꝑ viceſimateriisz un e f mĩmos in illa ꝓpoꝛtione qͥ per decimãnonã eiuſdẽ numerabũt a bim eunde numeri cquatufn zet conſifr bc et c d. ſunt igit᷑ a bꝛb c:⁊ cd adinuicẽ cõmenſurabiles: quod eſt pꝛopoſttũ
CSi nũeroꝝ cõtinue ꝓpoꝛtionaliũ duo extremi fuerint cõicantes ent ninscn oes numeras maximuſq; qͥ oẽs numerabit erit maximus extremos numais fr oc cöſtat ꝙ ſi aliquot ꝓpoꝛtionales ine duos cõicantes ceciderit: totidẽ inter ticʒeat et maximũ numcrũ eos cõiter numerantẽ cadere neceſſe eſt. Palãq; ſit enãmaunds qui binos ⁊ binos numeroꝝ pꝛopoꝛtionaliũ cõiter numerãt eſſe counue ppouiila
¶ Sint ab ednũeri ↄtinue ꝓpoꝛtõales quoꝝ a d extremi ſint cõicãtes:dico pᷣmo aliqut eſſeruna eos oẽs cõiter nſerantẽ. ſcðᷣo maximũ nůeꝝ oẽs numerãtẽ eſſe maximũ numerants extremos. i ꝑ pᷣcedentẽ a b cõicent ⁊ ſilr b cetc d:capio ꝑ 1s tertij maximũ numenꝝ numerãtẽ a baͥſit eꝛrman nũerantẽ bc q̃ ſit f.et maximũ nũerãtẽ cd qͥ ſit g.ponoq; hlꝛ mĩmos in ꝓpoꝛtiõe a ad bet perꝛ ſa et 19 eiuſdẽ efg numerabũt a b cſm h:et g nũerabit d tᷣm lꝛ.ſumo itẽ maximũ numerantee f die maximũ numerantẽt g qſit m:per vicelimãtertiam tertij inũerabit e xmfim heet itr lnn
mk ⁊m numerũ g ſcðm k. per. i.tertij et l⁊ m ſunt diuerſi nuũeri ab h k. nã ſi ide ellent hinſenat ceret e ⁊ u in ſe pꝛodnceret g ⁊ h in e pꝛoducit a et lꝛ in g pꝛoducit d ⁊h la per. ls.tertijſunt 12 mall pꝛimi. erũt ergo a d per duodecimã tertii cõtra ſe pꝛimi qð eſt contra hypotheſim· ſunt erse Won ab h i:. q ergo h lꝛ numerãt l et m equalit: numerẽt ergo ipſos ſcðʒ n q peraʒ:terti eſt morim

muſ mupirierin. 44n aneuie aale d tegennbalin nſcinp(wauuutr
numen numerare minoꝛẽ. ⁊ qꝛ h
IIII. numerãs qui ⁊ idẽ n per.z3.pꝛimi numerabit a b c d: qð eſt pꝛimũ in pꝛopõne intentũ. Et per decimã ſeptimã tertii n erit inuẽtus maximꝰnumerus numerãs a b cd alioqͥn ꝑ coꝛrelariũ i6 accidet maioꝛẽ
denoĩat n inl ⁊ l in e:er go ꝑ ⁊5 pꝛimi nũerus q̃ ſit ex h in ſe qui ſit o denoĩat n in e. ⁊ qꝛ h etiã denoĩat e in a:ergo ꝑ eandẽ 23 numerus qui ſit ex h in oqͥ ſit q denominat n in a. ercadẽ rõne qꝛ lꝛ denoĩat n inm et m in g. ergo per viceſimã tertiã pꝛimi numerꝰ qui ſit ex lꝛ in ſe qui ſit p denoĩat n in gꝛet etiã qꝛ lꝛ denominat gin d: igit᷑ per eandẽ numerus q̃ fit ex lꝛ in p qui ſit r denoĩat n in d. numerat igitur n numerũ a ſcðm ꝗ et numerũ d ſcðm r· et qꝛhlꝛ ſunt adinuieẽ pꝛimi: ergo per duodecimã tertii ꝗ et r ſunt cõtra ſe pꝛimi:quare per viceſimã eiuſdẽ in ſua ꝓpoꝛtione mĩimi
Per coꝛrelariũ igitur viceſimetertie eiuſ dẽ q et r numerabũt a ⁊ d ſcðm maximũ numeꝝ numerantẽ
a et d. eſt igitur n maximus nũerus numeros a d extremos numerãs quod eſt ſecundũ. Pꝛimũ coꝛre⸗ lariũ hinc cognoſcit᷑.nam qꝛ idẽ numerus h in n le:pꝛoducit le a. ergo per ſeptimã pꝛimi a eln erunt cõtinue ꝓpoꝛtionales.⁊ per idẽ qꝛl in nin g pꝛoducit m gd:ergodgmn erũt continue ꝓpoꝛtionales quare ſicut inter a ⁊ d cadũt b e duo medii ꝓpoꝛtionales ſilr inter a ⁊ ncadũt duo el. et inter d⁊ nca⸗ dunt gm duo medii ꝓpoꝛtionales ſcʒ totidẽ medii ꝓpoꝛtionales int᷑ duos cõicantes et totidem inter
vtrũq; eoꝝ et maximũ eos cõiter numerantẽ: qð eſt pꝛimũ coꝛrelariũ. ſi cðm vero hinc ſit notũ · nam qꝛ
per viceſimãtertiam tertii ⁊ decimãnonam h in e in f et in g ꝓducit ab c. ergo per ſeptimam ſecundi
abc ⁊ efgſunt cõtinue ꝓpoꝛtionales: qð eſt ſecundũ coꝛrelarium ⁊ pꝛopoſitũ.
¶ Numeros diuerſarum pꝛopoꝛtionũ ſumere: quoꝛum maximi cõmuniter binos et
binos numerantes ſint continuc pꝛopoꝛtionales.
¶ Sint a b nũeri contra ſe pꝛimi:a minoꝛ et b maioꝛ ⁊ a in ſe ꝓducat c et in b ꝓducat d ⁊ b in ſe pꝛo⸗ ducat e:per ſeptimã ſecũdi q̃ pꝛopoꝛtio a ad b ea eſtc ad d.et ꝑ oetauã eiuſdẽ iterũ que ꝓpoꝛtid a ad h ea eſt d ad e. ſunt ergo c d e cõtinue pꝛopoꝛtiõales.duco s̊ a in c et fiat f⁊ in d ⁊ ſiat g:eritq; ꝑ ſeptimã ſecũdi g ad f ſicut d ad c.quare ⁊ ſicut b ad a et qꝛ q̃ pꝛopoꝛtio a ad b ea eſt c ad d:ergo per ⁊ ſecundi
qð fit ex a in d equũ eſt ei qð ſit ex b in c.at qð fit ex a in d poſitũ eſt eſſe g.quod ergo fit ex b in c eſtg. et qð ſit ex c in a eſt f.ergo ꝑ coꝛrelariũ viceſimetertie tertii c eſt maximꝰ numerus numerãs fg.Item duco d in e ⁊ ꝓueniat hꝛqꝛ ergo d in a ꝓducit g: ⁊ din e ꝓducit h. ergo ꝑ ſeptimã ſcðᷣi q̃ ꝓpoꝛtio e ad a
ea eſt h ad gꝛet pꝛopoꝛtio e ad a nõ eſt vt b ad a.nã e ⁊ b totũ ſcʒ et pars equarent᷑: quod eſt ĩpoſſibile.
ergo ꝓpoꝛtio h ad g nõ eſt ꝓpoꝛrio g ad f. Itẽ qꝛ a bſunt cõtra ſe pᷣmi et e pꝛoducit᷑ ex b in ſe.igit᷑ ep vndecimã tertij eſt pmus ad a.ſunt igit e ⁊ a in ſua ꝓpoꝛtione mĩmi.at d nũesat gſm a ⁊ idẽ d nũerat
hſm e. igit᷑ ꝑ coꝛrelariũ viceſimet᷑tie ttij d ẽ maximꝰ nũerus numerãs s et h.ſumo ergo lꝛ pꝛimũ ad d
et maioꝛẽ d in alia quidẽ ꝓpoꝛtione qᷓ; b ad a et ꝙᷓ e ad a:⁊ duco ipᷣm in e et ꝓueniat l.qꝛ ergo e in d facit h et e in lꝛ facitl per feptimã ſecũdi q̃ ꝓpoꝛtio lꝛ ad d ea eſtl ad h.atꝓpoꝛtio lꝛ ad d poſita eſt alia a ꝓpoꝛtiõe b ad a et e ad a.ergo ẽ alia ᷓ gadff̊et h ad g.et qꝛ lꝛ d ſunt ↄtra ſe pᷣmi ⁊ iõ in ſuaꝓpoꝛtione mimi ⁊ numerãt hl ſᷣm e.eſt igit᷑ ꝑ idẽ coꝛrelariũ ⁊ʒ tertij e maximꝰnũerus numerãs h et l.ſũpti ſunt igf̃ fgh lnumeri diuerſaꝝ ꝓpoꝛtionũ quoꝝ maximic d e binos ⁊ binos cõiter numerãtes ſunt ↄtinue pꝛopoꝛtionales: quod eſt pꝛopoſitum.— 0
CSi numeroꝝ continue ꝓpoꝛtionalium duo extremi ſunt contra ſe pꝛimi:erunt oẽs illi in ſua pꝛopoꝛtione minimi
¶ Sint a b c cõtinue pꝛopoꝛtionales quoꝝ a ⁊ cſint cõtra ſe pꝛimi:dico tres nũeros abc eſſe mĩmos in ꝓpoꝛtione a ad b.nã ſi ſint tres mĩoꝛes ſint d e f: qꝛ ꝑ viceſimãpꝛimã ſcvðᷣi et equã pꝛopoꝛtionalitatẽ ꝗ̃ᷓ pꝛopoꝛtio a adc ea eſtd ad feta ⁊cꝑ hypotheſim ſunt contra ſe pꝛimi.ergo ꝑ viceſimã tertij ſunt in ſua ꝓpoꝛtione minimi.numerãt ergo numeri a c per decimãnonam eiuſdẽ numeros d ⁊ fꝛmaioꝛes ſcʒ minoꝛes quod eſt ĩpoſſibile.
¶ Si quotlibet nũcri fuerĩt in ſua ꝓpoꝛtiõc mĩimi:ipſoꝝ duo extremi erũt ↄtra ſe pᷣmi
¶ hec eſt cõuerſa pᷣcedentis.Sint ergo ab c in ſua ꝓpoꝛtione minimi:dico a et c eſſe contra ſe pᷣmos. Mã ſi a et c ſint cõicantes erit nũerus alids idem ꝑ ſecundã huiꝰ eos oẽs cõiter numerãs qͥ ſit d quos qꝛ ab cſunt tres nũeri inequales:nũerabit ſᷣm tres diuerſos nũeros.numeret ergo afme ⁊ bimret ckm gꝛper ſeptimã ſecundi e f g ſunt in eadem pꝛopoꝛtione cum a bc et cũ ſint minoꝛes abc vtpote qͥ ſunt eoꝛum partes nõ ſunt igitur a b c dati minimi:quod eſt contra hypotheſim.
¶ Mumeros quotlibet em datã pꝛopoꝛtionẽ minimos iueſtigarc. Vſñ manifeſtũ erit
ex duoꝝ in aliqua ꝓpoꝛtione minimoꝝ pꝛimo in ambos et ſcðo in ſe:tres. et ex eodẽ pᷣmo in illos tres codẽq; ſcðo in tertiũ: quattuoꝛ ꝓtinus enaſci illius ꝓpoꝛtionis mi⸗ nimos. ꝙ ſi pꝛimũ hoc pacto in omnes ducere pergis et ſecundũ in vltimũ:quotquot ubnen in aliqua pꝛopoꝛtjone minunos efficies. ius ꝓpoꝛtionis mĩmi ꝑ viceſimãtertiã tertij reperiãtur qͥ ſint a bꝛduco a in ſe ⁊ puentat cet a in b ⁊ ꝓueniat d et b in ſe et pꝛoueniat e per ſeptimã ⁊ octauã ſcðᷣi tres nũeri cde„eetaetiakegtaln nales et ꝑ duodecimã tertij extremi c e ſunt cõtra ſe pᷣmi quare per quartã huis illi tres nũeri ſunt in ſr ꝓpoꝛtione mĩmi.Itẽ duco a in oẽs illos et pꝛoueniãt fgh ⁊ b in e etꝓueniat lꝛ ⁊ eadẽ rõne f ghl unt 5 tinue ꝓpoꝛtionales et extremi f ⁊ lꝛ contra ſe pmi et illi q̃ttuoꝛ in ſua pꝛopoꝛtione mĩmi.et hoc pꝛoce u quinq;ſ exſ eptẽ et quorquot voles reperiãtur.· Coꝛrelariũ ex mõ demͤſtratlonts cognitũ eſt. CSi numeri cõtinue ꝓpoꝛtionales in ſua pꝛopoꝛtione fuerint mĩmi: quotcũq; inter
extremos fuerit medij toudẽ inter vtrũq; extremoꝝ ⁊vnitatẽ ꝓpoꝛtiõales cẽ ↄueniet b 3

¶ Sint ab cd nũeri cõtinue pꝛopoꝛtionales in ſua ꝓpoꝛtione mĩmt: dico quot fuerint z6 pꝛopoꝛtiõales int᷑ a et d totidẽ eſſe medios ꝓpoꝛtionales int a ⁊vnitatẽ et totidẽ int d rwedi cötinue( ꝑ pꝛimã huiꝰqͥlibet duo nſeri pꝛoximi erũt cõmẽſurabiles ſumo maxĩos binos ⁊ Piwos mtaren ſint efg qui ꝑ ſcðᷣm coꝛrelariũ ſcðe huiꝰ erũt cõtinue pꝛopoꝛtionales ⁊ ſumo ma reod unumeräte duos et duos numerãtes qͥ ſint hlꝛ:erũtq; hlꝛ vt a ad b ꝙᷓꝑ viceſimãtertiã tertü numerã vamarm( mĩmos illius pꝛopoꝛtõis.at cũ e numeret a:et g nũeret d ⁊ ſint a et dꝑ quintã huiscontraſ et f 3 ergo e ⁊ gꝑ octauã tertij contra ſe pmi.et eadẽ rõne h ⁊ lꝛ ſunt cõtra ſe ᷣmi. ideoq; in ſua epmi erit 4 miĩmi. ꝑ coꝛrelariũ igit᷑ viceſimet᷑tie tertij e nũerat a ſcðm h et h nũerat e ſcðᷣm h. et itẽ— kꝛ et lꝛ g ſcðᷣm lꝛ.quoties ergo ꝑ diffinitionẽ eius qð eſt numerũ ꝑ aliũ multiplicarivnito derat dfm 3 e⁊ e in a. et ſilr quoties vnitas in l⁊ toties lꝛ in g et g in d. ſunt igit᷑ vnitas h ea ↄtinue wei eth ſilr et vnitas lꝛ g d cõtinue pꝛopoꝛtiõales.q̃re ſicut int᷑ extremos a d ↄtinẽtur b c duo m odoindd nales. ſilr int a et vnitatẽ ↄtinẽtur duo eh eSt inter d et vnitate itidẽ duo g et lꝛ medij pꝛopoꝛ ꝛoporti
quod eſt pꝛopoſitũ. 1 ¹ Propoꝛtionales
¶ Si inter vtrunq; duoꝛũ numeroꝝ etvnitatẽ numeri pꝛopoꝛtionales cquales 1
ceciderint: inter ipſos quoq; totidẽ cadere neceſſce eſt. ¶ hec eſt cõuerſa pᷣcedẽtis vt ſi int᷑ vnitatẽ ⁊ a cadãt h et e duo nũeri cõtinue pꝛopoꝛtidalesettinemi tatẽ ⁊ d cadant lꝛ g:totidẽ medij pꝛopoꝛtiõales dico int᷑ a et d totidẽ cadere.MNã qꝛ quoties mmitend toties h in e.iõ h in ſe ductꝰpꝛoducet e ⁊ ꝑ idẽ lꝛ in ſe pꝛoducet g et h ⁊ lꝛ ducti in e et g pꝛoducuta 1 duco ergo h in lꝛ et ſiat f manifeſtũ erit ꝑ ſeptimã et octauã ſcðᷣi e fg in ↄtinua pꝛopoꝛtide es h„ deinde duco h in f et fiat b⁊ lꝛ in f et fiat c cõſtabitq; ꝑ ſeptimã ſcði vt a ad bita b adcet cad deden itaq; duo nũeri b et c medij pꝛopoꝛtiõales int᷑ a et d quẽadmodũ cadebãt inter vnitatẽ ⁊ 3et inter yn⸗ tatem et d:quod eſt pꝛopoſitũ. b ¶ Si fuerint quotlibet numeri continue pꝛopoꝛtionales:minimi quos duo ctduo pꝛoximt numcrant:in eadem pꝛopoꝛtione pꝛopoꝛtionales crunt. ¶ Sint a b cdnumeri ↄtinue ꝓpoꝛtiõales at vero mimi quos duo et duo pꝛoximi numerãt ſnte. dico ef g eẽ ↄtinue pꝛopoꝛtiõales.ſumo enĩ h lꝛ in illa pꝛopoꝛtiõe mĩmos ⁊ ꝑ 2 tertii abe numert 1 efgſmlꝛ.⁊ b cdnũerãt eoſd ſᷣm h.ergo ꝑ ſeptimã pᷣmi e fg ſũt ↄtinue pꝛopoꝛtõales:qd ẽ pꝛopoſti
¶ Numeros diuerfarum pꝛopoꝛtionum ſumere:a quoꝛum binis: binis numcru;
nimi: ſint conunue pꝛopoꝛtionales.. ¶ dolo ſumẽè nũeros diuerſaꝝ pꝛopoꝛtionũ a quoꝝ binis ⁊ binis mĩmi numerati ſint pꝛopoꝛtiol Capio a b nũeros cõtra ſe pᷣmos a quidẽ maioꝛẽ ⁊ b minoꝛẽ quoꝝ cõpoſitus ſit c qͥ cum vtroqpvcni tertii ẽ pꝛimꝰ.et duco b in ſe et pꝛoueniat d et b in a ⁊ pꝛoueniat e et a in cet fiat f et ein ſeerſlargg ſeptimã pꝛimi q̃ pꝛopoꝛtio a ad bea ẽe ad det f ad etanq́; cad betcẽ maius a ergoꝑ nonãſciimaiux eſt f ad eqᷓ ead deng ad f vt c ad a que non eſt vt b ad a. nã c b eſſent eqles neq; vt a ad b.nãper punnh huiꝰ qꝛ eſſet cõtinua pꝛopoꝛtionalitas c ad a et a ad b pꝛoĩde c et a cõicarent. eſt itaq; pꝛopoꝛtiogſ alia a pꝛopoꝛtiõe fad e et e ad d.capio ergo minimũ quẽ numerãt d e qͥ ſit h et mimũ què numerate et ſit lꝛ et minimũ quẽ numerãt fᷣ̊ g et ſit l.dico hlꝛl eſſe cõtinue pꝛopoꝛtiõales.nam ꝑ ꝛ teruu bine facit h.et qꝛ f ad e tanqᷓ; cad bet cb ſuntin ſua pꝛopoꝛtiõe mĩmi ergo ꝑ eandem 24 bin f pꝛoductl eſt ergo lꝛ ad h vt f ad e quarevt c ad b.et qꝛ per idẽ c ducit in f ad pꝛoducẽdũ l.nã f eſt mioꝛ et gmaio ergo ꝑ octauã ſcði eritl ad lꝛ tanꝙᷓ c ad b.nã b in f facit lꝛ et c in f facit l.ſunt igit᷑ lh hcõtinue pucpe tionales mĩmi a binis et binis numeroꝝ diuerſarũ pꝛopoꝛtionũ ſumptoꝝ nũerati:qð eſt pꝛopoliii ¶ Si inter duos numeros quotlibet cõtinua pꝛopoꝛtionalitate ſumãturanter yni eoꝛum et minimũ quem omnes numcerãt toudem aſſignani neceſſe cſt. ¶ Sint ab cd nũeri cõtinue pꝛopoꝛtiõales quoꝝ ꝑ ⁊5 tertii e ſit inuẽtus mĩmus què numerit:dic 1 quot nũeri cõtinue pꝛopoꝛtiõales cadũt int᷑ a et d:totidẽ cõtinue pꝛopoꝛtiõales cadere int erectit d et e. ſint fghmĩmi quos a bꝛb e: et c d bini et bini numerãt. erũt fg h ꝑ nonã huius cotinueinegde pꝛopoꝛtiõe a ad b ꝓpoꝛtiõ ales. Itẽ mĩmi quos fg et gh bini et bini numerãt ſint lldicolncẽ mind quẽ numerãt a b c.nã ſi eſſet mĩoꝛ ꝑ coꝛrelarium 23 tertii fet g eunds numeraret quareth ide one lariũ lꝛ mĩimus ab eis numer atꝰ:maioꝛ ſcʒ minoꝛẽ qð eſt ĩpoſſibile.et eodẽ argumeto ictninusaue numerãt bec det ex eodẽ oñdetur mimũ quẽ numerãt lꝛ l eẽ minimũ quẽ numerãt abedaatmin q 4 numerãt ab c d poſitꝰ eſt e.igit᷑ e eſt mimus quẽ numerãt lꝛ l.Sint pᷣterea m et n mimi dpinee ad bꝛergo ꝑ 24 tertii a numerat f et flꝛ et lꝛ eſmn ⁊ per idẽ d numerat h eth let leſ mmanm 4 octauã ſcðᷣi afiꝛ e ſunt ↄtinue pꝛopoꝛtiõales.itẽ ⁊ dhl e:atq; ſicut int᷑ a et d ſunt b e duo medh tionales:ita inter a et e ſunt duo flꝛ et inter d et e duohl itidẽ medii pꝛopoꝛtionales: ꝗd eſtpꝛoh ¶ Si pꝛimus ad ſecundũ ſicut tertius ad quartũ quotcunq; inter pꝛimũct ſuinan. totidem inter tertium ⁊ quartum ꝓpoꝛtionaliter medios cõſiſtere necellec medits 3, 2 b 4 cs d 16 ¶ Sit a ad d ſieut e ad hꝛet int a ⁊ d ſint b c duo medij xpoꝛtiõales.dico etiã int᷑ ech ee du vopon —— ꝓpoꝛtiõales. Sumo q̃ttuoꝛ mĩmos illius ꝓpoꝛtiõalitatʒ qͥ ſint llm n:ꝑ 2ꝛ1 ſecũdi et caus Pinepn ez f 6 g n b 24 nalitaté k adn ſicut a ad d quare ⁊ ſicut e ad h.et qꝛ per quintã pñtis lꝛn ſunt cõtra ſ ebm dnumtni e tertij in ſua pꝛopoꝛtione mĩmi et ꝑ decimãnonã eiuſdẽ minimi le n numerabũt equalite tinuepropes RI 2 m4¼ ns itgik numeri im numeros fet g fm eundẽ numerũ. et per ſeptimã ſecundi efgh zunef dopoiti —tionales.ſunt igit᷑ fg itidẽ duo medij pꝛopoꝛtionales int᷑ e ⁊ hvt duo d c int᷑ a ⁊ d:qð e 7
“ E 4
ööſ“ ⁴⁴⁴⁴—— 4
———
— CN
—2———
— ͤ
—— ——

ma theuccainer u etunq candatin d Alcdcforcham 10 d pridecc m umi qa nunci:eitdm — nèc mum erpn —
tactk ctcnffar
ri tꝛopecneui
IIII
Numeroꝛũ continue pꝛopoꝛtionaliũ ſi pꝛimus nõ numeret ſecundũ nõ numerabit aliquis eoꝛum vltimũ. ꝙ ſi pꝛimus numeret vltimũ numerabit et ſecundũ.
¶ Sint a b ed numeri cõtinue ꝓpoꝛtionales et a nõ numeret b: dico nullũ coꝝ nũerare d. ⁊ certũ eſt
qꝛ:ſicut a ad bꝛita c ad d.et a nõ numerat bꝛc etiã non numerare d.at ꝙ b nõ numeret d pʒ.capio enim
efgtres mĩmos ꝓpoꝛtionis a ad b.per equã enĩ pꝛopoꝛtionẽ que ꝓpoꝛtio e ad g:ea eſt b ad d. at e ⁊ Huß quintã ſunt cepo ſe pꝛimi:ergo e nõ numerat g:quare neq; b numerabit d. ſl enĩ e numerat g ipm e eſſet vnitas. et cũ que pꝛopoꝛtio e ad f:ea ſit a ad h ⁊ e vnitas numeret f̊a etiã nñeraret b:qð eſt ↄtra hypotheſim. et cõſimiliter ꝓbabis a nõ numerare d acceptis quattuoꝛ mĩmis in illa ꝓpoꝛtione q ſn h l lm. nã cum pᷣmus nõ ſit vnitas(alioquĩ oẽs numeraret ⁊ ita a oẽs)pꝛimꝰ ⁊vltimus ꝑ quintã hu erũt contra ſe pꝛimi ⁊ pꝛimꝰ h nõ numerabit m:quare neq; a numerabit d.vt enĩh ad m: ita ꝑ equam ꝓppoꝛtionalitatẽ a ad d qð eſt pꝛimũ.Scðm pʒ ex oppoſito ↄñtis huiꝰvltimi mõſtrati. Si enĩ a nõ nu merat b:etiam nõ numerat d.vt monſtratũ eſt ꝑ pꝛimã partem: ergo ex oppoſito ↄſtis ſi a numerat d numerat ⁊ b:quod eſt ſecundum. 3
¶ Si pꝛimus in tertio quoties vnitas in ſecundo: inter pꝛimũ et tertium et inter vni⸗
tatem ⁊ ſecundũ numeri pꝛoportionales numero cquales inuenientur.
¶ Sint tres numeri a edꝛa pꝛimꝰ:e ſecũdus:d tertius.et lit vt quoties a eſt in dꝛtoties vnitas ſit in e
dico ergo quot numeri inter a ⁊ d cõtinue ꝓpoꝛtionales inueniũtur:totidẽ inter vnitatẽ ⁊ e reperiri. Keperiãtur enĩ int᷑ a ⁊ d duo nũeri b c cõtinue ꝓpoꝛtionales:qſi enĩ a numerat d ergo ꝑ pꝛemiſſi am a nũerabit b.vnitas ergo numeret f quoties a ẽ in b:itẽq; f numeret g quoties b nũerat c: nũeret etiã g toties quẽcunq; numerũ.·vt verbi cã h quoties c nũerat d:qꝛ ergo vt a ad bꝛita vnitas ad f et vtb adc. ita f ad g.et vt c ad d:ita g ad h.ergo ꝑ equã pꝛopoꝛtionalitatẽ vt a ad dꝛita vnitas ad h.ſed ⁊vt a ad d ita ⁊ vnitas ad e.ſunt ergo h ⁊ eidem numerus: quare inter vnitatẽ ⁊ e duo pariter numeri f et g re⸗ periuntur medij pꝛopoꝛtionales vt inter a et d duo b ⁊c: quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si fuerint duo numeri contra ſe pꝛimi quotcũq; inter alterũ eoꝝ ct minimũ quem numcrãt:totidem inter reliquũ ⁊ vnitatẽ pꝛopoꝛtionales reperiri cõtingit.
¶ Sint cõtra ſe pꝛimi a⁊ e et mĩimus quẽ numerãt ſit dꝛdico ꝙ ſi int᷑ aet d chdũt b e duo medüj ↄtinue ꝓpoꝛtionales totidẽ cadẽ inter vnitatẽ ⁊ e:qꝛ a eſunt contra ſe pꝛimi.et ideo in ſua ꝓpoꝛtione mĩmi et d eſt mĩmus quẽ numerãt:ergo ꝑ viceſimãquartã tertij a nũerat d ſecũdum e.eſt ergo toties a in d quoties vnitas in e:ergo per pꝛecedentẽ quot numeri inueniunt᷑ inter a ⁊ d pꝛimũ ⁊ tertium:totidem continue pꝛopoꝛtionales inueniunt᷑ inter vnitatem ⁊ e ſecundũ: quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si fuerit duo numeri cõicantes:quotcũq; inter alterũ coꝝ ⁊ maximũ q cos nůcrat totidẽ inter reliquũ ⁊ minimũ ab eis numeratũ ↄtinue ꝓpoꝛtionales ↄſiſtere ncẽe eſt.
¶ Sint a b nũeri adinuicẽ ↄmẽſurabiles et c maximseos numerãs ⁊ d mĩmus ab eis numerato:dico quot ꝓpoꝛtionales cadũt inter c et b:totidẽ cadere inter a ⁊ d.itẽ quot cadũt inter c ⁊ a: totidẽ cadere int᷑ b ⁊ d. Sint enĩ e ⁊f mĩmi in ꝓpoꝛtione a ad bꝛergo ꝑ viceſimãtertiã tertii e in c facit a.et per vice⸗ ſimãquartã eiuſð e in b facit dꝛergo ꝑ ſeptimã ſcðᷣi q̃ pꝛopoꝛtio c ad b ea eſt a ad d.ergo ꝑ duodecimã huiꝰ quotcũq; cadũt medij ꝓpoꝛtiõales int᷑ c ⁊ b pꝛimũ et ſcvᷣm:totidẽ cadũt int᷑ a ⁊ dtertiũ et quartũ et iterũ qꝛ vt c ad b:ita a ad d.ergo ꝑmutatĩ c ad a vt b ad d:quare ꝑ eandẽ duodecimã quot medij pꝛo poꝛtionales cadẽt int᷑ c et a:totidẽ cadent int᷑ b ⁊ d.manifeſtũ eſt ergo quotcũq; inter alterũ eoꝝ et ma ximũ eos numerantẽ cadant:totidẽ inter reliquũ ⁊ minimũ ab eis numeratũ cadere:qð eſt ꝓpoſitũ.
¶Si ab vno pꝛincipio duo oꝛdines numeroꝝ ꝓpoꝛtionaliũ numero equaliũ ſumant᷑ quotcunq; inter pꝛimum et alterũ extremoꝝ: totidem inter extremos medii ſecũdum ꝓpoꝛtionem pꝛoximoꝛum a pꝛimo ꝓpoꝛtionales erunt.
¶ Incipiat ab a ad d vnus oꝛdo numeroꝛũ continue pꝛopoꝛtion aliũ et ab eodẽ a ad g ſecundus ⁊ nu⸗ mero quidẽ equaliũ:dico quot medij pꝛopoꝛtionales continebũtur inter a ⁊ d: totidem cõtineri inter d ⁊gſm ꝓpoꝛtionẽ pꝛoximoꝛũ a pꝛimo.cõtineant ergo b c medij ꝓpoꝛtionales inter a ⁊ dꝛ⁊ e fmedij
ꝛopoꝛtionales int᷑ a ⁊ g:totidẽ cõtineri dictũ eſt inter d gſᷣm pꝛopoꝛtionẽ b e:qð oſtendit᷑. Capio eniĩ hlꝛ mĩmos pꝛopoꝛtionis b ad e ⁊ duco h in oẽs illos et fiantl mno ex vna parte:et ex altera ꝑte fiant lp ar per ſeptimã ſecundi lmn oſunt cõtinue pꝛopoꝛtionales:ſimilf̃ etlp qr.et per eandẽ que pꝛo⸗ poꝛtio b ad e:ea eſt m ad p. Deinde duco lꝛ in ae ⁊fet pꝛoueniant s t v:eruntq; per ſ eptimã ſecundi s adt ⁊tadvſicut l ad p:p ad q et qadr.⁊ per octauam eiuſdem ſicut h ad lꝛ:ita ⁊ lads. quarem adp ſicutl ad s.et qꝛ p ſit exhin e ⁊t exlꝛ in e:ideo per octauam ſecundi p ad tvt h ad lꝛ:quare vt m ad p.
ſunt igitur continue pꝛopoꝛtionales mp t. et qꝛ dictũ ẽ vt s adt ⁊tad v:ital ad p: pad qet qadr. eſt
ergo econuerſo r ad q vt vadt: ergo permutatim r ad vvt qadt.⁊ quia iterum qad pvttads: ergo permutatim q adt vt p ads:quare p ad s:q ad t et r ad v erunt in eadem pꝛopoꝛtione.⁊ quia que pꝛo⸗ poꝛtio m ad l: ea eſtn adm ⁊0oadn:⁊ mad ĩpꝛobata eſt vt p ad s.ergo vt nadm: ita qad t.·ergo per⸗ mutatim que pꝛopoꝛtio n ad a:ea eſt m adt.ergo per duodecimam huius cum inter m ⁊ tcontineatur vnum medium pꝛopoꝛtionale ſcʒ p ſecundũ pꝛopoꝛtionem m ad p: itidem continebi᷑ vnum medium pꝛopoꝛtionale inter n q ſecundũ pꝛopoꝛtionẽ m ad p qð ſit x. ⁊ qꝛ ꝗ fit ex h in f ⁊ vex lꝛ in fper octauã pꝛimi erit pꝛopoꝛtio q ad vvt h adlꝛ:quare vt m ad p.ſunt igitur nx qv continue pꝛopoꝛtionales ſᷣm
b 4
2 8
—
b c 18 d 27
—:
e 4 f6 g 9
h HA 1 m v is 8 c 8 4 ——: — 4 — 12+ b— f 1
d 2 a ——— C
d 16 24 36 954 5 12 18 4† 6 b e 2 2 2 1 3 h— 6 4 8 1 18 12 8 t p— m 54. 36 24. 16 9— 2— i 108 72 4 32 1— 3 1——o

——— —“—
“ ——
ͤͤ“ —“
aieeeee
2a 4 b6
C 9
ꝓpoꝛtionẽ m ad p. at rurſum cũ que ꝓpoꝛtio o adn ea ſit r ad v. ergo pmutatiĩ o 1 8 n et vcõtinentur x q duo medij ꝓpoꝛtionales ſᷣm pꝛopoꝛtionẽ m adp. ergo per duod tnad vifen ini eandẽ pꝛopoꝛtionẽ totidem cõtinebuntur medij inter o⁊ rqͥ ſint y ʒ. at cůo ber exhi vna hulusfn ergo per ſeptimã ſecundi que ꝓpoꝛtio o adr ea eſt d adg. ergo per duodecimã puius quatmahn 6
poꝛtionales cõtinentur inter o et r ſᷣm pꝛopoꝛtionẽ m ad p totidem continebũtur inter d et g 683 „At duo
medij yʒz vt monſtratũ eſt iᷣm pꝛopoꝛtionẽ m adp ſiue b ad e qð idem eſt continẽtur inter oerr et duo vᷣm eandẽ pꝛopoꝛtionẽ continentur inter d ⁊ g:qð erat demonſtrandũ. meroetrigit
¶ Si fuerint quotlibet numeri in ſua pꝛopoꝛtione minimi:quicunq; aliquem ilo numerat alteri terminoꝛũ illius pꝛopoꝛtionis erit cõmenſurabilis. un ¶ Termini diffiniti ſunt qͥ in aliqua ꝓpoꝛtione ſunt mĩmi. Sint ergo a bedquotlbet numert ot ꝓpoꝛtionales in ſua ꝓpoꝛti one minimi et ſint ef termini in ꝓpoꝛtione a ad b et numeret n zedu aut b aut c aut dꝛvt verbi cã c:dico g eſſe cõmenſurabilẽ e aut f.capio tres mimos in porcon waßs per ſextã huius qͥ ſint h lꝛ l.qꝛ igitur ex coꝛrelario eiuſdẽ ſexte ex e inl ſit c. ergo ꝑ quintã terti e48 nicabit cum e aut cum l.ſi cum e conſtat pꝛopoſitum.ſi autem cum!l:qꝛ per idem coꝛrelarium e 6 ſit l per eandem quintam tertij cõmunicabit cum f:quod eſt pꝛopoſitum. a iſe
¶ Si fuerint quotlibet numeni in ſua pꝛopoꝛtione minimi:quilibet coꝛum ad compo 1
ſitum ex reliquis erit pꝛimus.
¶ Sint ab cd quotlibet numeri continue ꝓpoꝛtionales in ſua ꝓpoꝛtione minimi.e f vero termig
poꝛtionis a ad b.dico ↄpoſitũ ex a b ceſſe pꝛimũ ad d. Mam ſi aliquis numeraret ↄpoſitũ erabean ergo ꝑ pꝛecedentẽ cõicabit cum e aut f̊erit ergo aliqͥs numerus cõiter numerãs e aut f et conpuſt exab cet d qͥ ſit g:qꝛ ergo g numerate aut f et ↄpoſitum ex a b cet numerũ d et vterq; c ⁊ fnumerati etc per decimãnonã tertij. ergo per viceſimãtertiã pꝛimi g numerabit b et c. ergo et gper quintiſti numerabit a reſiduũ:ſed g poſitus eſt etiã numerare dꝛet a ⁊ d per quintã huius ſunt contta ſe pꝛimi igitur g numerat contra ſe pꝛimos qð eſt impoſſibile.nõ ergo cõpoſitus ey ab c eſt cõpoſitus addſa neceſſario pꝛimus:quod eſt pꝛopoſitũ.et ita de quolibet alio ad cõpoſitum ex reliquis argumẽtare
¶ Si quotlibet numcri fuerint in ſua pꝛopoꝛtione minimi: qui ex omnibus compo⸗
nitur ad quemlibet eoꝛum crit pꝛimus.
¶ Hoc ideo eſt ꝙ numerus cõpoſitus ex duobus contra ſe pꝛimis ad quẽᷣlibet eoꝛũ per nonamteni eſt pꝛimus. at ꝑ pꝛecedẽtem quilibet numeroꝝ in ſua ꝓpoꝛtione minimoꝛũ ad compoſitũ er rellqus eſt pꝛimus ergo cõpoſitus ex illis per eandẽ nonam ad quẽlibet illoꝛum numeroꝛũ et compolitua reliquis eſt pꝛimus.quare ad quẽlibet illoꝛum erit pꝛimus: quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si fuerint duo numeri contra ſe pꝛimmi: tertium eis in continua pꝛopoꝛtionaliuu adiungi eſt impoſſibilc.
¶ Mam ſi tertius eis in cõtinua ꝓpoꝛtionalitate adiũgeretur: ergo per pꝛimã huius pꝛimus aſcit erunt cõmenſurabiles: quare nõ erunt contra ſe pꝛimi quod eſt contra hypotheſim ⁊pꝛopoliti.
¶ Si duo numeri contra ſe pꝛimi numerent alios duos ſᷣm numcrũ a neutro coun
numeratum: illis quoq; in continua pꝛopoꝛtionalitate non adiungetur ternus.
¶ Sint a b numeri contra ſe pꝛimi ⁊ e numerus neq; ab a neꝙ; ab b numeratus fm què᷑ anumeut et b numeret d: dico non eſſe numerũ in continua ꝓpoꝛtionalitate numeris c et d adiungend. Sci ſit aliquis eſto ille f:qꝛ per octauã ſecũdi ꝓpoꝛtio cad d vt a ad b erit:ergo d ad f vt aad beetahſin contra ſe pꝛimi quare per viceſimã tertij ſunt in ſua ꝓpoꝛtione minimi ⁊ per decimãnonam eiuſden quoties a numerat d toties b numerat f.ſit ergo vt equalit᷑ numerẽt ſm gꝛcum itaq;b numeretdfme ⁊ fm g. ergo per ſeptimã ſecundi q̃ pꝛopoꝛtio d ad f:ea eſt e ad g.quare ⁊ q̃ aad bꝛea eſteadg c 16 ꝓbati ſunt in illa ꝓpoꝛtione mĩmi. igitur ꝑ decimãnonam ſecũdi a b numerãte g equalit. wmerahi- igit᷑ alter numeroꝝ a aut b numerũ e: quod eſt contra hypotheſim.
. ⸗„ 132.„„ 9 9B ¶ Si numeri pꝛopoꝛtionales fuerint in ſua pꝛopoꝛtione minimi:non criterreniad i aliquem pꝛopoꝛtio que pꝛimi ad ſecundum. eezngob C Sint a b c continue ꝓpoꝛtion ales in ſua ꝓpoꝛtione mĩmi:dico c ad nullũ eſſe pponbndi Si enĩ ſit alids eſto ille d.qꝛ ergo a ad b ſicut c ad dꝛergo ꝑmutatiĩ a ad c ſicut b ad d.⁊ qrsbe ui ſua ꝓpoꝛtione mĩmi:ergo ꝑ quintã huiꝰ a c ſunt cõtra ſe pᷣmi. quare ꝑ viceſimã tertij in ſus nue. mĩmi quare ꝑ decimãnonã eiuſdẽ a nũerabit b:ꝛ⁊ c nũerabit d equalr.at ſi a nũerat b: etiãb ünut nam eadem ꝓpoꝛtio quare per viceſimãtertiam pꝛimi ⁊ anumerabit e: verũtamen acerantco pꝛimi.hoc igitur impoſſibile ⁊ pꝛopoſitum.. meri ¶ Si quotlibet numen in ſua pꝛopoꝛtione minimi totidẽ alios numcrẽt;m u hs. a neutro illius pꝛopoꝛtionis numcratũ: nõ erit alius cum illis counuc ppoiniie ¶ Sint a b c nũeri ↄtinue ꝓpoꝛtionales in ſua ꝓpoꝛtione minimi qͥ numerẽt totidẽ def Ils dtime numerek ab neq; ab h in ꝓpoꝛtione a ad b mĩmis:dico ꝙ d efnõ eſt adiũgendꝰ alids cu- g vltimos ꝓpoꝛtionalis.Si eni fuerit aliqͥs ſitl qͥ adiũgat᷑ poſt f: nũerabunt ergo a b ctres mim eSt ladm iilius ꝓpoꝛtiõis e fl equalr:ſitq; id ſᷣm m.⁊ qꝛ c numerat f̊ᷣm lꝛ ⁊lſᷣm m:ꝑ ſeptimã crgo Küeraban ſicut f ad l:quare ⁊ ſicut gad hper decimãnonam.ergo tertij g h in illa ꝓpoꝛtione minimin
la m equaliter:qð eſt contra hypotheſim.poſitũ enĩ erat neq; g neq; h numerarelx·
— 9—————
— —
— ͤ—8ſp
Q———„ͤ
☛ᷣ‿—

IIII
CSi ſumantur numeri ab vnitate cõtinue pꝛopoꝛtionales: nullus eoꝛum numerabit
vitimum niſi ſᷣm aliquem in illa ſerie diſpoſitoꝛum.
¶ Sint ab c defnumeri cõtinue ꝓpoꝛtiõales ab vnitate: dico nullũ eoꝝ numerare f/ niſi ſᷣm aliquẽ in illo oꝛdine poſitoꝝ.nam qꝛ quotiesvnitas in a toties e in fꝛergo per diffinitionem enumerat fſcðᷣz a. Item qꝛ vt vnitas ad a: ita d ad e.ctvt a ad b:ita e ad f.ergo per equã ꝓpoꝛtionalitatemvt vnitas ad b ita d ad k. quoties ergo vnitas in bꝛtoties d in f.per diffinitionẽ igit᷑ d nũerat f ſcðm b. et qꝛ iten per
equã ꝓpoꝛtionalitatem per viceſ imampꝛimã ſecundi vt vnitas ad c:ita cad f. quoties ergo vnitas in ctoties c in f: quare c numerat f ſcðm ſe.et qꝛ mõſtratus eſt d numerare f ſcðᷣm bꝛergo alternatim per
octauam pꝛimi b numerat f ſcðm d.et qꝛ etiã e mõſtratus eſt nũerare fſcðᷣm a: alternatim a nũerabit fſcðm e.eſt itaq; oſtenſum ab cde numerare f vltim ſᷣm aliquẽ in illo oꝛdĩe poſitoꝝ.qð erat ꝓpoſitũ.
¶ Si numcroꝛum ab vnitate continue pꝛopoꝛtionaliũ ſecundus ab vnitate fuerit nu
merus pꝛimus: nullus numerabit vltimũ niſi aliquis in oꝛdine antecedentiũ.
CSint a b e dnumeri ↄtinue ab vnitate ꝓpoꝛtiõales: et anumerus pᷣmus. dico ꝙ nullus numerabit dꝛnili aliqs pꝛecedentiũ d in oꝛdine numeroꝝ a bed.Si enĩ aliqͥs alius numeret d ſit e qui nũeret eũ ſcðvm f. qꝛ ergo a nũerus p̃mus nũerat d ꝓductũ ex e in f:ergo ꝑ quartã tertij a nũerat e aut f.ſit ergo
vt numeret e intelligo qᷓttuoꝛ nũeros:ae/f/c:et qꝛ per pꝛecedẽtem a in cextremus in extremũ ꝓducit
d ⁊ eſidẽ ꝓducit e in f medius in mediũ. ergo per viceſimãquintam ſ cðᷣi vt a ad e:ita f ad c.ſʒ a nũerat
ꝛergo et f numerat c. numeret ergo f nũerũ c ſcðm g:eadẽ rõne f velg nũerabir b:ſitq; id ſcðʒ h.ꝑ idẽ quoq; tandẽ ↄcludes g aut h nũerare a:q̃re a non ẽ nũerus pmus.qdð ẽ ↄtra hypotheſim.at ſi g auth ponat᷑ eã̃lis a:argumẽtaberis ꝑ pᷣmiſſam reliquos eẽ equales tis qui ſunt in oꝛdie a bc dꝛetꝓpoſitũ.
¶ Numeris ab vnitate pꝛopoꝛtionalibus ſi aliquis pꝛimusvltimum numeret:ſecun⸗ dum quoq; abvnitate numerabit.
¶ Sint a b cd oↄtinue ꝓpoꝛtiõales ab vnitate:ſitq; e numerus pꝛimus qui nũeret d vltim:dico ipᷣm e numerare a ſcðm ab vnitate.Si enĩ e pꝛimus non nũerat a:ergo ꝑ pꝛimã tertij e erit pꝛimus ad a.et cũ quoties vnitas in a toties a ſit in bꝛergo a ſcðm ſe numerat b.quare per vndecimã tertij b eſt pᷣm⸗ ad e. et cũ quoties vnitas in a toties b ſit in c:a b nũerat c ſecũdũ a.quare pendecimã tertij e eſt pᷣmus ad c.et iteꝝ quoties vnitas in a toties c in dꝛergo c numerat d ſecũdum a.per eãdem ergo decimamꝛe eſt pꝛimus ad d. non ergo e numerat d.quod eſt oppoſitum poſiti.
¶ Si numeroꝛum continue pꝛopoꝛtionalium pꝛimus de ſecundo et vltimo tollatur:
que pꝛopoꝛtio fuerit reſidui ſccundi ad pꝛimũ ca eſt reſidui vltimi ad cõpoſitum oĩm
pꝛecedentium.
¶ Sint a. b. c. d. e. f. et gkꝛnumeri ↄtinue ꝓpoꝛtiõales ⁊ detrahat᷑ a b pꝛimus dee d ſecũdoꝛſitq; reſi⸗ duus ſecũdil d. Itẽ detrahat a b de vltimo g k/ſitq; reſiduus h k.dico que ꝓpoꝛtiol d ad ab: Prei⸗ k ad ↄpoſitũ ex a.b.c.d.et e f.ſumo enĩ exgk nũeꝝ gin equalẽ ef⁊ gn equalẽ c d.et intelligo gk.gm. et gn. vt tria tota.qꝛ ergo gm equat᷑ e f:que pꝛopoꝛtio gkad ef:ea eſt totius gk ad totũ g m.et qꝛ gn equat᷑ c dꝛideo que ꝓpoꝛtio ef ad c dꝛea eſt totius g m ad totũ gn.et per idem q̃ ꝓpoꝛtio c dad a bꝛea eſtgn ad gh.etvltra q̃ ꝓpoꝛtio totius gk ad totũ gm:ea eſt ꝗm detracti gk ad gn detractum gm/ꝗꝙ numeri g.k.e.f ⁊ c.d poſiti: ſint ↄtinue ꝓpoꝛtiõales.et q̃ ꝓpoꝛtio totiog mn ad totũ gn:ea eſt gn detra ctig mad gh detractũ g n.quare ꝑ quintã ſcðᷣi m lꝛ adnmſ⁊ nm ad hn reſiduoꝝ ad reſidua vt totoꝝ ad tota:id eſt mlꝛ ad ni: ſicut e fad cd.et nm ad h n ſicut c d ad ab. ergo ꝑmutatim per tertiã ſecũdi ſicut m lꝛ ad ef:itan m ad cdeth nad abꝛergo ꝑ viceſimam ſecũdi hn im le ſik qui ſũt h lꝛꝛ ad h poſitũ ex cf̃edet ab:ſicut h n vnius illoꝝ ad a b vnum hoꝝ.at cũ gn equetur c det gh equetur a bꝛergog h equabitur cl. equat᷑ ergohn nũero l d. ablatis enĩ equalibus ab equalibus:reſidua ſũt equalia. qᷓre ergo que pꝛopoꝛtio ld ad a bꝛea erith l⁊ ad ↄpoſitũ ex oĩbus pꝛecedẽtibus.qð eſt pꝛopoſitum. ¶ Pꝛopoſitis duobus numeris/ ſumptiſq; quotlibet ſcm pꝛopoꝛtionem eoꝝ ꝓpoꝛti onalibus:ſi minoꝛ in minoꝛem ⁊ maioꝛ in maioꝛem ducatur ⁊ ꝓductoꝛum differentia der differẽtiam ꝓpoſitoꝝ diundatur: exibit numerus qui ex omnibus aliis coaceruat᷑ int ab et ah duo numeri et h b eox differẽtia:et ſint ed/ de/ ef/ et f gꝛquotlibet i 1 vner 2 vad Pedhentau 8 bün 3 v Auenbanuwofrenn ah in fg ⁊ ueniatlneſt ditr atrtun np ln u. differẽtiam pꝛimi ad ſcm ꝓuenire cg numeꝝ exc de cõpoſitum. Nam ex ab in defiatl o et in ef ſiatlp et in fg fiatl q.qꝛ per decimã Anuntepere detg ab in f g:equũ eſt ei quod ſit ex ductu ah ⁊hb in eũdẽ Snn f d. qꝛ per decimã pꝛimi qð ſit ex ductu fit In. ergo exh bin k g per eädem vecima itn de nũerũ f g:et ex ab in f'ꝗ̊ fitl qꝛet ex a h in eũdẽ eLo exh binf gp ã fit n q. Pꝛeterea intelligo quattuo:: imut a eee 1 torriner fg quartũ.et qꝛ q̃ pꝛopoꝛtio pꝛimi ad ſ 5 27 eſt tertij an danre S heima i quod fit ex ductu a b in fg pꝛimi in vltimũ:equũ eſt ei qui fit ex ah ine f medio in mc
dium. at quod fit ex ab in f geſtl q:ergo quod fit ex ah in ef eſtl q.at vo qs fit ex toto ab in ef eſt lpꝛ
fre peet brignen ſit exhbiin ef eſt ꝗp. Et eadẽ ↄſimiliq; argumẽtatione: quod fit exhb tionem pꝛimi ſi pꝛoductu quare per nonam pꝛimi h b in toto eg pꝛoducit n m. ergo per ſextam peti demonſtrandumh. Sum diuidatur per eũdem numerũ h b:redibit pꝛioꝛ numerus c g.qð erat
— ¶ Quarti elementoꝛum Brithmetices Joꝛdani finis. LeAb erat

a2 bz 4 d3
— ͦ-õÿÿõ
— ——
——————— öͤͤ — — 8—
—“*“
.
oſ““ 4 ö““
——
p 24 dq 6 r 20[8
Mnis ꝓpoꝛtio ſuꝑ aliã quãlibet addere ꝓpoꝛtionem dickk: que cua⸗n o nuata ipam componit. differẽtia ꝓpoꝛtiõis ad aliam:vocatur il Maer qua cadem ſupꝛa reliquam abundare dicitur. ella Pponno
¶ Auod addit ꝓpoꝛtio pꝛimi ad ſcᷣm ſuꝑ ꝓpoꝛtionẽ terti ad au ꝓpoꝛtio que eſt inter pductum ex pꝛimo in quartum ⁊ ꝓductũ ex ſccũdo in
oin terrun ¶ hec docet ſubſtrahere ꝓpoꝛtionẽ a ꝓpoꝛtione:et q̃/ quãtaq; pꝛopoꝛtio minoꝛe pꝛopoꝛtiõ 4 ſubſtracta relicta ſit:quã hic dỹ᷑iam pꝛopoꝛtiõis a ꝓpoꝛtiõe noiĩamus.Sint quattuoꝛ num— andla b ſecũdus/c tertius/d quartus:et ſit maioꝛ pꝛopoꝛtio a ad b q́;cad d/ et ex ain d fiat eꝛet adin une Dico ꝓpoꝛtiõem quã addit a ad bſuꝑ pꝛopoꝛtiõem c ad d:eã eſſe q eſt inter eet f.duco eniz it eiſar ⁊ fiat g.qꝛ enĩ b in c facit f/⁊ in d facit g:ergo ꝑ ſeptimã ſecũdi q̃ pꝛopoꝛtio c ad dꝛeʒ eſtf 3 25 ain d facit eꝛet b in d facit g:ergo per octauã ſcðᷣi e ad g vt a ad b.et qꝛ poſita eſt a adb malos Anu Tᷓcad d: ẽ ergo ⁊ eadg maioꝛ ꝓpoꝛtio oᷓ fad g.quare ꝑ nonã ſecũdi e maioꝛ eſt q̃ᷣ f.eſt itaqʒ ndunn tione ꝓpoꝛtiõis ↄpoſite ex ſcᷣo huius habita ꝓpoꝛtio e ad g ↄpoſita ex ꝓpoꝛtionibus ead faf m addit ergo ꝓpoꝛtio e ad g ꝓpoꝛtiõem e adf:ſuꝑ ꝓpoꝛtionẽ fad g.quare ⁊ ꝓpoꝛtio a ad beĩdẽ an3 tionem e ad f addit ſuꝑ pꝛopoꝛtionem c ad d.quod eſt pꝛopoſitũ. ¶ Id tů aiaduerti dignũ ckl ne minoꝛe pꝛopoꝛtione de maioꝛe ſubſtracta relicta ſit differentia ꝓpoꝛtio maioꝛ:iteꝝ ab ea demak mn et id toties fiat quſq; relicta ſit aut ſubſtracte equalis aut ea minoꝛ.ſicq; cognoſcere pꝛõptũ ert te pꝛopoꝛtio minoꝛ fuerit in maioꝛe et quã inſuꝑ ſuperaddet minoꝛem:ſi vltra ſuꝑaddat.
¶ Quo abundat pꝛopoꝛtio pꝛimi ad ſcðᷣm ſuper pꝛopoꝛuionem teriii ad quaruumaj abundat pꝛopoꝛtio pꝛimi ad tertium ſuꝑ ꝓpoꝛnonẽ ſcði ad quartum. Jtẽq; pponi quarti ad tertium ſuper proportionem ſecundi ad primum.
¶ Sit eadem hypoteſis q̃ pꝛius:dico pᷣmo qua ꝓpoꝛtiõe vt e ad f abũdat pꝛopoꝛtioaadb ſup pponl onem c ad d:eadẽ ꝓpoꝛtiõe abũdare a ad c ſuꝑ ꝓpoꝛtionẽ b ad d. Scðᷣo eadeʒ qq; ꝓpoꝛtione abidatt d ad cſuꝑ ꝓpoꝛtionẽ b ad a. Pꝛimũ patet:nã qꝛ a ad b pꝛimi ad ſcðm maioꝛ ẽ ꝓpoꝛtlo qᷣ cad⸗ teri ad quartum.ergo ꝑ duodecimam ſecũdi maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio a ad cpꝛimt ad tertiũ:q b ad dſecdi quartum.fac ergo a pꝛifnum/ cſcdm/b tertiũ/ d quartum:et argumentare per pꝛecedentem ⁊ videli pꝛopoſitum. Scðm ſimiliter patet:nam quia a ad b maioꝛ qᷓ; c ad dꝛergo per vndecimã ſecũdieritda c maioꝛ qᷓ; b ad a.fac ergo d pꝛimum/ c ſecũdum/ b tertium/ a quartũ:⁊ argumentare per pꝛecedẽten et facile videbis pꝛopoſitum.
¶ Si addat aliqua ꝓportio ſuper alteram qᷓ;tum tertia ſuꝑ quartam:ent vtcopiſt ex prima ⁊ quarta compoſite ex reliquis ſit cqualis. b
¶ Pꝛꝛiuſqᷓ; ad ꝓpoſitũ demõſtrandũ veniamus:volo demõſtrare quo pacto pꝛopoꝛtio ꝓpoutioi ati da ſit:et dico ꝓpoꝛtiõem ꝓductoꝝ ex p̃mo terĩo vniꝰ pꝛopoꝛtiõis in pꝛimũ altius:⁊ ex ſecũdoinſcin eẽ ex duabus illis ꝓpoꝛtiõibus ↄpoſitã. Sint enĩ a ad bet cad d due ꝓpoꝛtiões:quas volo ſlkadder atq; ex ipſis ↄpoſitã ↄflare.duco c in a ⁊ ꝓueniat e:et d in b ⁊ ꝓueniat g.dico pꝛopoꝛtionem eadgei ↄpoſitã ex ꝓpoꝛtiõibus a ad b ⁊ cad d.duco enĩ trey c in b ⁊ ꝓueniat fꝛet per ſeptimam ſchi qjppann a ad bꝛea eſt e ad f. et per octauam eiuſdem q̃ ꝓpoꝛtio c ad d:ea ẽ fad g.et ꝓpoꝛtio e ad g oponitute pꝛopoꝛtiõibus e ad f̊ ⁊f ad g.quare ⁊ ex pꝛopoꝛtiõibus a ad b:⁊ c ad d:quod intèdebatur. Hunca ad demõſtrãdum ꝓpoſitũ veniamus.Sit ergo vt qᷓtũ pꝛopoꝛtio a ad b addit ſuꝑ ꝓpoꝛtionẽcaddm addat pꝛopoꝛtio e ad fſuꝑ ꝓpoꝛtionẽ g ad h.dico ergo pꝛopoꝛtiõem ↄpoſitã ex pꝛopoꝛtioibusaaʒi gad h:eẽ equalẽ pꝛopoꝛtioni ↄpoſite ex pꝛopoꝛtiõibus c ad d ⁊eadf.duco eni gin a ꝛinbetſanli et b in h et ſiat m:per ſeptimã ergo pᷣmi l ad lꝛ ſicut a ad b. et qꝛb in g facit lꝛ et in h facit mper cld lꝛ ad in ſicut g ad h.quare erit pꝛopoꝛtiol ad m ↄpoſita ex ꝓpoꝛtiõibus a ad b et gadhpia ſcz ullis Deiñ duco c in lſin lꝛſj⁊ in m:et ꝓueniãt nſoſp:qui ꝑ ſeptimã ſecũdi erũt pꝛopoꝛtiõales inewuu l. h. m. qꝛ ergo n ad o ſicutl ad lꝛ:et o ad p ſicut lꝛ ad m:ergo per equã pꝛopoꝛtiõalitatenna 4 ad m.quare equales ſunt pꝛopoꝛtiõesl ad m ⁊ n adp.deiſñ duco d inl ⁊ ꝓueniat q.qꝛerzon bain I⁊ qexd inl: per octauam ergo ſecũdi eſt n ad qꝗ ſicut c ad d.Itẽ qꝛl adlꝛ ſicut a ad branderla in pꝛopoꝛtiõem c ad d qᷓᷓtũ a ad b addit ſuꝑ eãdem pꝛopoꝛtionem c ad d.Intelligo ergo uarnan 9 Iſlꝛ cſd. et quial in d facit q:⁊ iꝛ in d facit o vt mõſtratũ eſt: ergo ꝑ pꝛimã huius q ad oeſtqos uam b ſuꝑ pꝛopoꝛtionem c ad d.et qꝛ eãdem pꝛopoꝛtiõem addit e ad fſuꝑ gadhꝛ:addit aea 3 8 q ad o ſuꝑ ꝓpoꝛtionem g ad h.at pꝛopoꝛtio o adp eſt vt gad het q ad o eſt qð addit ead we 49p ergo ꝗ ad p ↄſtãs ex q ad oꝛet o ad p equat᷑ ꝓpoꝛtioni e ad f.et n ad q vt dictũ eſt equak᷑ 4 voſtun equat᷑ l ad m ↄpoſite ex pᷣma ⁊ vitĩa. et n ad p ↄſtituit᷑ ex ſcdᷣa ⁊ tertia.ſic itac; ↄſtructũ eſtpꝛo
CSi incquales ꝓpoꝛtiones vni addãtur:erit additaꝝ ⁊ ↄpoſitarũ eadem dſiu ¶ Sit a ad b quecũq; pꝛopoꝛtio:ſintq; c ad d ⁊eadf̊ due ꝓpoꝛtiões inequales vtc 2d nengpor f minoꝛ:addat᷑ q; pꝛopoꝛtio c ad dpꝛopoꝛtioni a ad b:ſitq; ↄpoſita ꝓpoꝛtio p ad q. adda— nonispa ead f eidem pꝛopoꝛtioni a ad b ⁊ pꝛoueniat ↄpoſita r ad s:dico eãdem eẽ differẽtiãpꝛope ⁊pvoue q ad pꝛopoꝛtionem r ads q̃ eſt pꝛopoꝛtiõit c ad d ad pꝛopoꝛtiõem e ad f.duco enĩc ina 8 hvtcad? niat g hꝛer b in d ⁊ pꝛoueuiat lꝛ.per ſeptimam ſecũdi erit pꝛopoꝛtio g ad h vt aad haes h ad q duco quare pꝛopoꝛtio g ad lꝛ eſt ↄpoſita ex pꝛopoꝛtiõibꝰ a ad b ⁊ cad d:atq; eadeʒ pꝛo eiohehe fih item e in g/ in h/ et in lꝛ:et pꝛoueniãt Lmin pꝛopoꝛtiõalesiper ſeptimam ſecundi shl.
—
—
—— ——
— ———————————
— —

mi' prepemdu umich Aanbercmd der prr
gendind t rergu 7
mendt 4 pemnocid dafnxa ee mdidus 1 DdtHrier n ri p:opornoin ᷣcßen— n4cuscaddtep anaf 110d.Acdu trtta
—+
pꝛoueniat o. erit enĩ lad mm ſicut g ad hꝛquare ficut a ad b·et qꝛ e in h pꝛoducit m:⁊ f in h pꝛoducit o:a
per octauam ſecũdi ꝗ̃ pꝛopoꝛtio e ad f:eadẽ eſt m ad o.quare pꝛopoꝛtio l ad o cõpoſita ẽ ex pꝛopoꝛtiõe
a adb et e ad f.atq; eadem pꝛopoꝛtiõi r ad e.at qꝛl ad n et gad lꝛ etp ad qequatur: et ſikr lado ⁊ rad s adinuicem(qurfhrer 1 5 n fuperat l ad o pꝛopoꝛtiõe o ad n. erit o ad n dr̃ia p ad q:et r ad s pꝛopoꝛ tionum 2⁊poſitaꝝ.at cũ m ad n equetur c ad d:et m ad o equetur pꝛopoꝛtioni e adf vt hec oĩa mõſtrata ſunt:⁊ pꝛopoꝛtio m ad n ſuꝑet pꝛopoꝛtionem m ad o in pꝛopoꝛtione o ad n. erit ergo eadem pꝛopoꝛtio o adn differẽtia c ad d et e ad fpꝛopoꝛtionum ſcʒ additaꝝ et ↄpoſitaꝝ. quod eſt pꝛopoſitumn.
CPꝛopoꝛtiones minoꝛes miĩoubus ſiuc eq̃libꝰ addite: minoꝛẽ ꝓpoꝛtionẽ ↄſtituũt ¶ Sit a pꝛopoꝛtio minoꝛ bꝛet c minoꝛ dꝛet e mĩoꝛ f.dico pꝛopoꝛtionem ↄpoſitã ex ac mĩoꝛem eẽ pꝛo⸗
poꝛtione ⁊poſita ex b et c et pꝛopoꝛtiõem ex ce mĩoꝛem eẽ pꝛopoꝛtiõe ex d e.ſit itẽ pꝛopoꝛtio gequalis
pꝛopoꝛtioni f.dico pꝛopoꝛtionem ex e g:minoꝛem eẽ pꝛopoꝛtiõe ex fg. Pꝛimũ pʒ:nam cũ pꝛopoꝛtiões ab ſint inequales ⁊ b ſit maioꝛ a.ſit ergo h differẽtia qua abũdat b ſuꝑ a:et pꝛopoꝛtio ex baddita c ſit lꝛ et ex a addita c ſit l:per pᷣcedentẽ eadẽ erit dria lꝛ adl et b ad a.ſed b eſt maioꝛ a in pꝛopoꝛtõe hꝛigit᷑. e et lꝛ maioꝛl in eadẽ pꝛopoꝛtiõe.et eadẽ rõe mõſtrabis pꝛopoꝛtiõem ↄpoſitã ex d emaioꝛem cèẽ pꝛopoꝛ
tione ↄpoſita ex c e.qð eſt pᷣmũ. Scðm ꝑ idẽ pʒ:nã qͥa f maioꝛKẽ e ſit m differẽtia fade.⁊ ↄpoſita exfg
ſit n:et ex eg ſit o.xer pᷣcedẽtem eadem eſt differentia f ad e etn ado. ſed f maioꝛ eſt e in pꝛopoꝛtiõe m
igsit᷑ et n pꝛopoꝛtio ↄpoſita ex f g:maioꝛ ẽ pꝛopoꝛtiõe o ↄpoſita ex e glin eadẽ pꝛopoꝛtiõe m. qð ẽſcoͤm.
¶ Datas pꝛopoꝛtiones:in minimis terminis cõtinuare. ¶ Sint a ad b. c ad d. et e ad f:date pꝛopoꝛtiões in mĩmis terminis:quas in pꝛopoꝛtiõalitate ↄtinua
in mĩmis numeris aſſignare iubemur.capio mĩmũ quẽ nũerãt b c qui ſit g.et quoties b ẽ in g:toties ſit a in h. et per ſeptimã ſecũdi tunc q̃ pꝛopoꝛtio a ad bꝛea eſt h ad g.et quoties c eſt in g:toties ſit d in lꝛ.per eãdem ſeptimam eadẽ erit pꝛopoꝛtio c ad d et g ad lꝛ.erũt ergo due ppoꝛtiões a ad b ⁊ cad din ↄtinua ꝓpoꝛtiõalitate in numeris h g lꝛꝛet etiã in mimis numeris.nã ſi in mĩoꝛibus eẽ poſſint ↄtinue
ſit ergo vt in t vx.per decimãnonam tertij b ſititer ⁊ c nũerabit v.quare ⁊ ꝑ coꝛrelartũviceſimequarte tertij g mĩmꝰab eis nũeratus etiã numerabit v.nõ ſunt igit᷑ t vx mĩmi hoc pacto ↄtinuativt poẽbat᷑. et ſi e numeraret aliqͥties lꝛ: capereml quem ᷣm eũdẽ numeraret f.quare ꝑ ſeptimã ſecũdi q̃ ꝓpoꝛtio cẽt f ad e:eadem eẽt lꝛ adl:ſicq; addita eẽt tertia ꝓpoꝛtio in ↄtinua ꝓpoꝛtioiʒalitate ⁊ in mĩmis terĩs In miĩmis quidẽ ꝓpter cauſam ĩmediate adductã.at qꝛ h̊ enon nũerat k:capio mimum numerũ quẽ numerant e ⁊ k qui ſit m.et quoties k eſt in m ſcðm eũdẽ numerum ſit g in n et h in o. Item quoties e eſt in m toties ſcðᷣmq; eũdẽ numerum ſit f in p.⁊ per ſeptimam ſecũdi erit o ad n ſicut h ad g.· q̃re ſicut a ad b·et n adm:ſicut c ad d.et m ad pꝛſicut e ad f.q̃re tres ꝓpoꝛtiões date ſunt in ↄtinua ꝓpoꝛtiõali⸗ tate in numeris o ad n/ n adm/et m ad p.et etiã in mimis numeris.nã ſi aſſignarẽtur minoꝛes:vt qrſ vꝛper decimãnonam ſecũdi b ⁊ c numerarent r.ergo g mĩmus ab eis nũeratus ꝑ coꝛrelariumviceſime quarte tertij etiã numerat r.et cũ que ꝓpoꝛtio g ad lꝛ ea ſit r ads:ergo ꝑmutati que ꝓpoꝛtio gadr ea eſt lꝛ ad s. ſed g numerat rꝛergo lꝛ numerat s.et etiaʒ per decimãnonam tertij e numerat s.quare ⁊ m mimus ab eis nũeratus ꝑ coꝛrelariũviceſimequarte tertij numerabit s.nõ ſunt igit᷑ qſr/s/y mĩmi: illas ꝓpoꝛtiones ↄtinue retinẽtes:vt ꝓponebat᷑.quare nulli tales erũt:pᷣter on m p.qð eſt ꝓpoſitum. ¶ Numcrum pꝛopoſitum per partes incquales fm aſſignatas ꝓpoꝛtiones continue ſumptas:diuidere. ¶ Numerus datus is eẽ debet qui per numerum pꝛopoꝛtões aſſignatas in mĩmis ↄtinentem diuidi poſſit: alioquin in eo partes aſſignatis pꝛopoꝛtiõibus rñdèẽtes inuenire eẽt impoſſibłe. Sit ergo tlis nũerus datus a:quẽ ꝓpoſitum eſt diuidere in quattuoꝛ ꝑtes inequales:quaꝝ pꝛia ad ſcðᷣam ſit dupla ſcðᷣa ad tertiam ſeſqualt᷑a/et tertia ad quartam ſeſquit᷑tia.ↄtinuo per pꝛecedẽtem tres aſſignatas ꝓ poꝛtiones ſcʒ duplam/ſeſqualterã/ ⁊ ſeſquitertiã in mĩmis terminis qui ſint bc de:ſitq; totus ex ipᷣis com poſitus b e. et quia a ex hypotheſi diuidi poteſt per b e:diuidat᷑ ergo per b e ſcðʒ f:eritq; f nũerus ex diuiſſone ꝓueniẽs. duco bœdein fet ꝓueniant ghlꝛl qui ꝑ octauam ſecũdi ↄtinebũt eaſdẽ ꝓpoꝛ⸗ tiones cũ b c de:ita vt ſit gad h vt b adc eth ad lꝛ vt cad d/etlꝛ adl vt d ad e.et qꝛ per decimam pꝛimi
quod ſit ex ductu b e in f:equat᷑ ei quod ſit ex ductu bc/ ed/ et dein f. et per ſextam petitionem pmi du cto be in f ſit atq; reuertitur a.eſt ergo a diuiſus in quattuoꝛ partes inequales gh ue l in ↄtinua ppoꝛ⸗
tionalitate pꝛopoꝛtiones aſſignatas ↄtinẽtes.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Quotlibet pꝛopoꝛtiões quocũq; oꝛdine cõtinuate:eãdem pꝛopoꝛtionem oſtituũt. ¶ Id pꝛimo in duabus ꝓpoꝛtiõibus oſtẽdendũ eſt. Sint ergo a b quecũq; due ꝓpoꝛtiones vt a dupla et b ſeſqualta: et continuetur pꝛimo dupla ſeſqualt᷑e in numeris c d e:ita vt dupla ꝓpoꝛtio pꝛecedat:⁊
ſeſqualt᷑a ſequat᷑. erit enĩ c ad d duplus:et d ad e ſeſqualt᷑.ↄtinuẽtur ſecũdo cedẽ ꝓpoꝛtiões in nũeris
fg hꝛita tñ vt ſeſqualta pᷣcedat et dupla ſequat᷑.erit enĩ f ad gſeſqualter:et g ad h duplus.dico c ad d
n 6 40 8 1—— 8 3 32 2 lꝛ—hn 3 2 4 3 5 4 4— c— 21 31 41 82 4 3 16 5 n 6 4 3 0——nm 3 2 b—„—kb 2 3 4 5 c e- 2 3— b d f— t v x
d r.. 2 14
* 50 4A—. 25 12 3 4 7 b c.—— 2
f 24. Iz2 8 ——b——
et d ad eꝛitem f ad get gad h eãdem cõſtituere ꝓpoꝛtiõem. Mam qᷓ pꝛopoꝛtio g ad h ea eſtc ad dꝛet q̃f
ad g ea eſt d ad e. ergo ꝑ viceſimãſcõam ſecũdi et equã ꝓpoꝛtionalitatẽ indirectam:ꝛq̃ pꝛopoꝛtio f adh eadem eſt cad e.quod eſt pꝛopoſitum in duobus ↄcluſum. In tribus aũt ꝓpoꝛtiõibꝰ id adiuuãtibus
duabus oſtẽdit᷑. vt ſi qua ſit tertia ꝓpoꝛtio q̃ ipſis ↄtinuãda ſit:ↄtinuet᷑ ergo illis mo in fine.vt e adl
ſit ꝓpoꝛtio lꝛ.et ſiliter hadl.quia vt oſtẽſum ẽ:que ꝓpoꝛtio f ad h:ea eſt cade.et queh adl: ea eadl. ergo ꝑ equã ꝓpoꝛtiõalitatem q̊ᷓ pꝛopoꝛtio f adl: ea eſt c adl.et ita ſivtriq; pᷣponat᷑. at ſivni poſtponat᷑ vt el ſit pꝛopoꝛtio lꝛ poſtpoſita:etl f eadem pᷣpoſita.qꝛ que ꝓpoetio fad h ea ẽ cad e:et quel ad f̃ ea eſt
2 1 f-sb— 1 4 c de 3 2 2 1 4 f——s 5—— b 4

———————
8 f nermweien—————————ÿ—ÿ—’————————— 2——ͤͤ— ͦ—————.—* — 8————ÿyy———* 2—.————————— 5— —————.ꝛ——— 4—- ——————— —.———— 3—— ——— Men————ↄ——=—————— 2
18 4
7 ————
f c d
b 1 A
cC d e f
12 8 6 b
36 12 4 8s—— h— 4. 2 1 4— b—.— 9 5 4
e
e adl. ergo ꝑ indirectam ꝓpoꝛtiõalitatem ꝗᷓ ꝓpoꝛtiol ad h:eadẽ eſt cadl. et ſiꝛ inzt⸗
ita vt c ad d ſit ꝓpoꝛtio a⁊ d adl ſit lꝛſetl ad e ſit b. item f adg ſit b/ et gad lſit veeer duabus 1 poꝛtiol ad h ea ẽc ad d:et que ꝗadlea eſt d adl:et que f ad gealad e. ergo p equã gporn ita que directam ꝗᷓ pꝛopoꝛtio f ad h:eadè eſt c ad e.et ſi hic poſtponat᷑ lꝛ illic vo intferat᷑ vi Rt in donalitatn mis ſiguratiõibus:quia q̃ ꝓpoꝛtio d ad lea eſt e ad l. et quel ad eea eſt d ad e. ergo p induh vhi tionalitatem que ꝓpoꝛtio d ad e:ea ẽ d adl.addita ergo vtriq; eadẽ ꝓpoꝛtiõe c ad dꝛeritt cctam pe cad e: equalis toti cadl. at ꝓpoꝛtio fad h equat᷑ pꝛopoꝛtioni c ad e: ergo ⁊ pꝛopoꝛti onicad dadenn pꝛopoſitum.Et ſi de quattuoꝛ ꝓpoꝛtiõibus id deſideras adiuuãtibui tribus ⸗quod
3 adinuicem otinuat, efficere ſtudeas. nam idem demõſtrandi modus eſt. em otinuatigi
Oim duoꝝ compoſitoꝝ pꝛopoꝛtio que eſt vnius ad alterum: cſt xlataun ſudj
ad latera alterius compoſita pꝛopoꝛtionibus.
¶ Latera ↄpoſiti dicũtur nũeri qui in ſeinuicem ducti:ↄpoſitũ ꝓducũt. Sint ergo duo latera a:ſint c dꝛc quidẽ maius ⁊ dmninus.et latera ab ſint e f:e qdẽ maius/t minus. dich ppoꝛtio a ad b ↄpoſitam ee ex pꝛopoꝛtiõibus c ade ⁊ dadf.duco enĩ cmaius laterũ a:in fminus— pꝛoueniat g.quia enĩ e in d facit a:⁊ c in f facit g:ergo ꝑ ſeptimã ſecũdi que Tpoꝛtio d ad f eae 1 g et quia f in cfacit g et f in e facit bꝛergo ꝑ eãdeʒ ſeptimam que pꝛopoꝛtio cade egſeſt gad dann poꝛtio a ad boſtituit᷑ ex pꝛopoꝛtionibus a ad g et g ad bꝛergo ⁊ ex pꝛopoꝛtiõibus cad eet dadf ee eſt pꝛopoſitum. b
¶ Si numeri continue pꝛopoꝛtionales in totidem alios otinue etiam pꝛopoꝛnoöale ducantur:et qui inde pꝛouenient continue pꝛopoꝛtionales crunt. b
¶ Sint ab e numeri otinue pꝛopoꝛtiõales itidẽ ⁊ def alij totidẽ cõtinue pꝛopoꝛtiõales: ducak di ⁊ pꝛoueniat g/⁊ e in b ⁊ pꝛoueniat h/⁊ fin c⁊ pꝛoueniat lꝛ.dico pꝛoductos g hua eẽ ↄtinue pꝛopoꝛiijs les· Nam cũ latera g ſint d a:⁊ latera h ſint e bꝛ⁊ latera lꝛ ſint f c:ergo ꝑ pꝛecedẽtem pꝛopoꝛtiog aj cõſtat ex pꝛopoꝛtiõibus d ad e ⁊a ad b.⁊ pꝛopoꝛtio h ad lꝛ ex pꝛopoꝛtiõòibus e adf⁊ baade ſz propent ones e ad f⁊ badc:eedem ſũt pꝛopoꝛtiõibꝰ d ade ⁊ aad bꝛergo ⁊ pꝛopoꝛtio h ad kꝛ ex illis oſtas: en eſt pꝛopoꝛtioni g ad h.que igit᷑ pꝛopoꝛtio gad hea eſt h ad lꝛ. qðv demonſtrandum erat ⁊ pꝛopoſitun.
¶ Numerum ita diaidere vt q̃ totius ad maioꝛem poꝛtionem:cca maioꝛis ad minoi ſit ꝓpoꝛtio eſt impoſſibile.
¶ Si eĩ hoc pacto quiſꝙᷓ; nũerus diuideret᷑:diceret᷑ diuidi ſᷣm pꝛopoꝛtiõem hñtem medlũ extrenn hec itaq; ꝓponit nullũ numerum t᷑m pꝛopoꝛtiõem hñteʒ mediũ et extrema diuidi poſſe. Ham ſiali hũc in modũ diuidi poteſt:ſit ille a b qͥ ſit diuiſus in a d minoꝛem poꝛtiõem ⁊ d b maioꝛem:ſitq; ma⸗ ad d bꝛita d bad a d. detraho ab maioꝛi poꝛtione d b numerum cd equalem a d. et qꝛ que pꝛoporti b ad dbꝛea eſt db adz v. et quia ad 2 dc equant᷑:ᷓ q̃ pꝛopoꝛtio totius a b ad totum d bea eſtd haode detracti ad detractũ.ergo ꝑ quintam ſecũdi q̃ pꝛopoꝛtio a b ad d bꝛea eſt ad adebreſt Idui ad reſidui quare ⁊ eadem d cad cb.quare iteꝝ q̃ pꝛopoꝛtio d b ad dc:ea eſt d cadc b. capio iteꝝ d e equalech quia ſicut d b ad d c:ita d cad cb ⁊ deequat᷑ c b. crgo ſicut d b ad d c totus ad totũꝛttad cadd eden ctus ad detractum.quare per quintam ſecundi ſicut d b ad dctotus ad totum:ꝛita cb ad ecrellduya reſiduum.quare iteꝝ ſimili argumentatione detracto e c abc bꝛerit reſiduus ad reſtduum perinden
totus ad totum.atq; hocabibit in infinnitum.qð per quartam petitionem ẽ impoſſible certũ eſta numerum aliquem ita diui di non poſſe.
C numerum ex duobus conſtãtem inuenire:cuius ad maioꝛem pꝛopoꝛtioandali pꝛopoꝛtionem eoꝛũdem data pꝛopoꝛtione minus.
¶ Sint a b mĩmi termini ꝓpoꝛtionis date:a maioꝛ et b minoꝛꝛet ſit ömo differentia a ad bnumerusc ⁊ maioꝛ pꝛopoꝛtio a ad b q badc:et ſit d numerus ↄſtitutus ex duobus ſcʒ a ⁊ b auẽ dico minoꝛehfe pꝛopoꝛtiõem ad a maioꝛem eius poꝛtionem ꝗᷓ ſit a ad b pꝛopoꝛtio aſſignata:ſit e npoſttuserhan enĩ pꝛopoꝛtio a ad bpꝛimi ad ſcðᷣm maioꝛ eſt ꝙᷓ;b ad c tertij ad quartũ:ergo ꝑ pꝛimam pie dehenun ſecũdi d ad b pꝛopoꝛtio maioꝛ ꝙᷓ; e ad c.et per ſcðᷣam ꝑtem eiuſdeʒ erit d ad a pꝛopoꝛtio minßent. at cũ e ↄſtituat᷑ ex b ⁊ cdr̃ia a ad bꝛequabit᷑ ipſi a.ergo d ad apꝛopoꝛtio minoꝛ qᷓ a ad b. tun u. Sit ſcðo vr minoꝛ ſit ꝓpoꝛtio a ad b ꝙ bad c:capio quẽcunq; numerum maioꝛema gtiſtenan traho f equale c ⁊ reſiduum ſit e.et intelligo c detractũ ab a ⁊ b reſiduũ.et qꝛ maio: eſt ꝓpoꝛ Whechd totius ad totum ꝗᷓ f ad c detracti ad detractũ: ergo ꝑ decimãtertiam ſecũdi:maioꝛ eſt pꝛopa vucn reſidui ad reſiduũ ꝗᷓ d ad a totius ad totum.etvltra maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio e ad bqᷣdada:cr Fhda cimam eiuſdẽ maloꝛ eſt pꝛopoꝛtio e ad dq́ bad a. quare pervndecimam eiuldem erithꝛopoun minoꝛ qᷓ́ a ad b. et cũ e fↄſtituãt d:⁊ emaioꝛ ſit f:ſi vterq; e ⁊fſit nũerus ↄſtat d tumerun 5 4 e ⁊ foſtitutũ eẽ quem querimus.qꝙ ſi fᷣſit vnitas: duco aliquẽ numerum vt gine er pue nh et pꝛoueniatket in fet pꝛoueniat l.ꝑer ſeptimam ſecũdi que ꝓpoꝛtio ead det dad 17 iieeh et kad l.et cũ per nonam p̃mi quod ſit exgin e⁊ in fequet᷑ ei qui ſit ex g in d:ergokoſtit numeris h et l.quare k eſt talis numerus qui queritur.
i, cata: miote ¶ Duabus ꝓpoꝛtiõibus incqualibus ꝓpoſit:tertiam reperire que duplicata m ſit maioꝛ/ et maioꝛe minoꝛ. b
Dpoſitiab

lacra kſurfcapiam vnod dcrpanerüta dcraddrge tanen
dachd n bas mam Dmo:cn perenne
gen daäte nediccamm las admormpmwim me d d umeruncdemum 1 3 noporroo wenn peoyorno id iodadns noddodceickdencha rpe ſicutdddexun 1Kndd 4d dewen cruo cecidederdß di per quurun annais
etuf
5
V
V Sinr termini maioꝛis ꝓpoꝛtionis a bꝛ⁊ termini minoꝛis c dꝛet aꝛc unmerimahoeds, ppoſttc 4 tertiam ꝓpoꝛtionem reꝑire q̃ duplata:minoꝛe ſit maioꝛ ⁊ maioꝛe mzor⸗pucan enĩ a in d n 8 c. 4 niant e fꝛet b in c etꝓueniat g. manifeſtũ eſt enĩ per ſeptimam ſecũdi e eſſe ad f vt c 5 50 2 90 6 9 nnn eiuſdẽ e ad g eẽvt a ad b. et quia e ad fminoꝛ eſt pꝛopoꝛtio q́; cadg:ergo ꝝ decimam Leadt f vate g. deinde duco f in e et in ſe et in get ꝓueniãt h/ kl qui ꝑ ſeptimã ſecũdi erũt in Pvonntsce. 91 A 3 hk ſit vt efeth lvt eg.deinde duco e in ſe et ꝓueniat m. tũc eniĩ q̃a f in e facit h/et e 9 2 aci 4 Persd ꝑ octauam ſecũdi m ad h vt e ad f:quare et vt h ad k. Si ergo ꝓpoꝛtio m ad k ex duabu Ppo 1 15 viſe minoꝛi aſſignate equalibus ↄſtituta:ſit minoꝛ ꝓpoꝛtione h ad I quero aliquẽ numerum v di 0 ductus ꝓducat p maioꝛem h et minoꝛem aut equalem m.et dico pꝛopoꝛtiõem o ad 6 k. 8 11 1 3 4 maioꝛ eſt pꝛopoꝛtiõe c ad d ⁊ minoꝛ pꝛopoꝛtiõe a ad b.nam cũ f in ſe faciat 5 et o in ſe 4 35 8 3 ea que in pꝛincipio tertie pꝛopõnis huius demõſtrata ſunt eſt ꝓpoꝛtio o ad audüt ad ſeip u an et pꝛopoꝛtio p ad k dupla ad pꝛopoꝛtiõem o ad f.at cũ p ſit maioꝛ h ꝓpoꝛtio p ad lꝛ per monam eüd maioꝛ eſt qᷓ; pꝛopoꝛtio h ad lꝛ.quare et pꝛopoꝛtiõe c ad d.et cũ pꝛopoꝛtio m ad minoꝛ eet pꝛopo Se h ad l/etiã et pꝛopoꝛtio pꝑ ad lꝛ pꝛopoꝛtioni quidẽ o ad f aſſtgnate dupla minoꝛ eet eade Porrige h ad I: quare et pꝛopoꝛtione a ad b et pꝛopoſitũ.at ſi pꝛopoꝛtio m ad l⁊ maioꝛ eſt pꝛopoꝛtiõe h 72 ꝛltt r3 illaꝝ differèẽtia m ad n.tũc enĩ pꝛopoꝛtio n ad lꝛ erit eq̃lis pꝛopoꝛtioni hadl. tũc querã aliquẽ nbe. vt o qui ductus in ſe ꝓducat pꝛmaioꝛem quidẽ h ſediminoꝛem n.et argumẽtaboꝛ vt pꝛius pꝛopoꝛtiõeʒ p ad lꝛ duplã quidẽ pꝛopoꝛtioni date o ad f maioꝛem eẽ pꝛopoꝛtiõe h ad k quare ⁊ deportwe cad de⸗ minoꝛem eẽ pꝛopoꝛtione n ad lꝛ quare et pꝛopoꝛtione h adl et pꝛopoꝛtione a ad b. qð iten e Ppo⸗ it Hic tñ attende ꝙ vbi non facile poſſis inuenire numerum ſimilem oſtunc duc u inh in ſe ⁊ inket iteꝝ h in ſe donec opoꝛtune talis numerus tibi occurrat.
¶ Quãlibet pꝛopoꝛtiõem in duas diuidere:quaꝝ dfia ſ it data pꝛopoꝛtiõc mino:z ¶ Sit b data pꝛopoꝛtio:pꝛopoſitũq; ſit a alteram pꝛopoꝛtionem datam inlduas ꝓpoꝛtiões diuidere: quaꝝvnius ad alteram differentia ſit data pꝛopoꝛtione b minoꝛ.capio ꝑ pꝛimam huius differentiam pꝛopoꝛtionis b ad a que ſit c.Si c ſit eq̃lis aut maioꝛ a/ opoꝛtet cminoꝛem eẽ b.cũ ꝑ diffinitiõem c eẽt pꝛopoꝛtio qua b ſuꝑaret ꝓpoꝛtiõem a.quare et a aut eque aut multo foꝛtius minoꝛ eẽt b· in quaſcũq; ergo duas pꝛopoꝛtiões diuidat᷑ a:ille erunt minoꝛes a.nã eius ꝑtes. quare et differẽtia vnius ad al teram(cũ ea ſit altius partis poꝛtio qᷓ ſuꝑ alteram addit) minoꝛ erit altera partium: quare mĩoꝛ toto a.quare ⁊ multo foꝛtius minoꝛ toto b /ſicq; in quaſcũq; diuideret᷑ a:haberet᷑ pꝛopoſttũ. Qj ſi ꝓpoꝛtio c minoꝛ ſit a inuenio ꝑ pꝛecedentem pꝛopoꝛtionem aliquã cuius dupla ſit maioꝛ c/et minoꝛ a.ſitq; illa duplata pꝛopoꝛtio d.capioq; dr̃iam d ad a ꝑ pꝛimam huius ãᷓ ſit e quã dico eẽ minoꝛem b. nã ſi ipſi eẽt equalis:cũ b c equẽtur a:ꝛergo d que eſt maioꝛ c.cũ e equali b maioꝛem pꝛopoꝛtiõem ↄſtituitqꝗᷓ ſit a.nõ ẽ ergo e differẽtia a ad d qð eſt ↄtra hypotheſtm.Et ſi e eẽt maioꝛ b multo foꝛtius d et e maioꝛẽ ꝓpoꝛ⸗ tionem ↄſtituũt qᷓ; b ⁊ c.quare maioꝛem pꝛopoꝛtiõem qᷓ ſit a:qð iteꝝ eẽt e nõ eſſe driam a ad d ⁊ tra hypotheſim. Velinquit᷑ ergo pꝛopoꝛtiõem e eſſe minoꝛem pꝛopoꝛtione b.et quia uue pꝛopoꝛtiones d ⁊ e equãtur pꝛopoꝛtioni a:intelligo pꝛopoꝛtiõem a in illas eſſe diuiſam:et dico differentiam illaꝝ ſc; d ad e quc ſit f eẽ data pꝛopoꝛtione b minoꝛem.nam ſi eſſet equalis b:cũ b et d maioꝛem ↄſtituãt pꝛopoꝛ tionem qᷓ; a vt dictum eſt etiã d et f maioꝛem ↄſtituerẽt aſquare ⁊ d ⁊ e.quare f non eẽt dria d ade et ꝑ idem f non poteſt eſſe maioꝛ b. cõſtat ergo pꝛopõem a vt ꝓponit ꝓpoſitio eẽ diuiſam ⁊ ꝓpoſitum.
¶ Si tres nũeri ↄtinue ꝓpoꝛtiõales:tribus aliis ↄtinue ꝓpoꝛtiõalibus comparẽtur: extremoꝝ ad extremos ꝓpoꝛtiões ↄtinuate crunt tanqᷓ; medioꝛũ ꝓpoꝛtio duplicata.
¶ Sint a b ctres numeri ↄtinue pꝛopoꝛtiõales:item d e f tres alij ↄtinue pꝛopoꝛtiõales.dico ꝓpoꝛti ones a ad d et cad f adinuicem ↄtinuatas:equari pꝛopoꝛtioni b ad e:duplicate.duco enĩ c in a ⁊in d⁊ ꝓueniãt g/ h⸗et f in d et ꝓueniat lꝛ.eritq; per ſeptimam ſeeũdi pꝛopoꝛtio gad h vt a ad dꝛ⁊ h ad lꝛ per octauam eiuſdem vt cad f. atq; pꝛopoꝛtiones a ad d et cad f adinuicem ↄtinuate per ghlꝛ et ꝑ tertiã huius addo pꝛopoꝛtiõem a ad d ꝓpoꝛtioni c ad f ducẽdo a in cet ꝓueniat l.et d in f etꝓueniat m.ma⸗ nifeſtũ eſt pꝛopoꝛtioneml ad m ↄſtitutã eſſe ex pꝛopoꝛtiõibus g ad h et h adlꝛ: atꝙ; iplis ſimul ſũptis equari.deinde duplo pꝛopoꝛtionem b ad e addendo per tertiam huius pꝛopoꝛtiõem b ad e ſibijpᷣi du⸗ cendo ſeʒ b in ſe. et quia a b c ſunt ↄtinue pꝛopoꝛtiõales:ꝑ viceſimãſextam ſecũdi ꝓuenietl:⁊ ducẽdo e in ſe et ꝑ eãdem viceſimãſextam ſecũdi ꝓueniet m.quare duplata pꝛopoꝛtio b ad e equat pꝛopoꝛtiõi lad m que ꝓbata eſt equari pꝛopoꝛtiõibus g ad h et h ad lꝛ ſcʒ ꝓpoꝛtiõibus a ad det cad fadinuicem continuatis.quod eſt pꝛopoſitum.
CSi uattuoꝛ numeris cõtinue pꝛopoꝛtiõalibus alij totidem cõtinue pꝛopoꝛtiõales adaptentur: erunt pꝛopoꝛtiones extremoꝛũ ad extremos ↄiũcte tanqᷓ; pꝛopoꝛtiones medioꝛum ad medios cõtinuatcr. b
¶ Sint a ibc d: quattuoꝛ numeri ↄtinue ꝓpoꝛtiõales:et e/r/ gih totide 5e a- . 1 3: em alij ↄtinue pꝛopoꝛtiõales. dico pꝛopoꝛtionem cõpoſttam ex pꝛopoꝛtiõibus a ad e et dad h equari dpdaidus ednatt⸗ b ad fet cad g.ↄtinuatis ſiqdẽ ꝓpoꝛtiõibus b ad fet cad gꝛvt in pcedenti factum eſt.ꝑ ſeptimã ⁊ octauam ſecũdi hec ex tertia huius ⁊viceſimaquĩta ſecundi cognoſcitur vt pꝛecedens ex viceſimaſexta.
¶ Si quotlibet numeri ad totidem alios comparẽtur:pꝛopoꝛtiões eoꝝ quolibet mõ —e, sen rle omparẽtur:pꝛopoꝛtiões eoꝝ quolibet mõ ſumptoꝛum eandem pꝛopoꝛtionem componunt. 9 3 Bedy Auzouber mi

¶ In duobus nũeris id pᷣmo vldẽ dum eſt. ſint enĩ a et b duo numeri/ et e d duo aliſantan 2 3 b 2 comparent᷑:dico eãdem ꝓpoꝛtiõem ↄpoſitam eſſe ex a ad b ⁊ cad dſ et ex cad 3 aih qui duobus mi
C 4. 8 3 illi eẽnt equales:ſtatim de ſe notum eet.Siliter ſi duo pꝛimi eẽnt equales inter 5 dbe eni 3 4 3—4 ſe:et ſilr ſi tres eẽnt equales ⁊ vnus inequalis.ſed eſto pꝛopoꝛtio a ad b maio: pꝛop e ecüdil 2— 8— a ad b pꝛimam ꝓpoꝛtiõemc ad dſcðᷣam /⁊ iteꝝ aadb tertiam/ ⁊ cadd quartam.et quia ecad dfach 2 2 3 3 d pꝛima addit ſuꝑ c ad dſcdam tm̃ addit a adb tertia ſupꝛa c ad d quartam. ergop tertiz ſtumani
v———— ex a adb et cad d pꝛima ⁊ quarta equat᷑ cõpoſite ex c ad d et a adb ſecũda et— 19, pult
Idem quoq in tribus efficies. Sint a/c/ e:tres nũeri qui ↄparent᷑ b/d/f.dico eandem cangde e— ex aad blcad dſet ead f:et ex cad d/a adb ete ad f. nam per immediate moſtratũ esdene auna ex aadbet cad detex cad det aad bꝛergo ꝓpoꝛtiõe e ad f vtriq; addita: ꝓpoꝛtiões erũte wohi erat ꝓbandum. dico item eãdem eẽ compoſitam ex a ad bſet e ad f/ et cad dꝛet exe adfa has d. Nam per nup mõſtratũ eadẽ eſt ꝓpoꝛtio cõpoſita ex a ad bet e adfꝛet ex ead f/a aadb er deh tione c ad dꝛvtriq; adiecta fiũt ꝓpoꝛtiões a ad b/eadf/ et c ad d. item e ad f/a ad b/⁊c 3d denme equales.qð ꝓponebat᷑ ꝓbãdum.Et ita alias æbinatiões ꝓba et adiuuãtibus tribꝰ:de iudann V Et ita conſequẽter.(TAQuintt elementon Arithmetices Joꝛdani iinig. Gh
Atera numeroꝝ dicũtur:quoꝝ multiplicatiõe:numcri Pducũtur. Supfe⸗
1 alis appellat᷑ numerus:qui duobus lateribus continctur. Solidus Soauj
ſub tribus: ex quoꝝ ↄotinua multiplicatione habet pcrcari. Quadraniad
numerus ſuꝑficialis cquauibus lateribus cõtẽtus. Altera parte longiorch
cuius latera ſunt ineãlia ſed ſola vnitate diſtãtia. Cubus eſt numerus ſolidus equn
bus conſiſtens in lateribus. Similes dicũtur numeri ſiue ſuꝑficiales ſiue ſolddiqurg
latcera ſunt pꝛopoꝛtionalia.
¶ Si tres numeri fuerint in ſua pꝛopoꝛtione mĩmi:duo extremi crunt quadran.
4 6» ¶ Sint ab ctres nũeri cõtinue pꝛopoꝛtiõales in ſua ꝓpoꝛtiõe mĩmi:dico a eſſe numerum qusʒtau
atq; ſiliter ceſſe numerum quadratum. Mã per ſeptimã quarti erit vnus medius ꝓpoꝛtioalisiinta
2 3 vnitatẽ qui ſit dꝛet ſiliter vnus int᷑ c et vnitatem qui ſit e.quia ergo quoties vnitas in d totiesd ei
8—— aꝛergo d in ſe ductus nlultiplicat/ atq; ꝓducit a.eſt&̊ a quadratus.nam d ⁊ d eius latera ſunt equali
I Et qꝛ etiam quotiesvnitas in e toties e eſt in c:ergo e in ſe ductus ꝓducit c.quare c etiam quadtana quod eſt pꝛopoſſtum.
4— b
9
¶ Si fuerint quattuoꝛ numeri in ſua pꝛopoꝛtione mĩmi:duo extremi erunt ab·
3 12 18 27 ¶ Sint ai b/c/ d quattuoꝛ numeri ↄtinue pꝛopoꝛtiõales:in ſua pꝛopoꝛtiõe minimi. dico a cabumeſt 2—— b c—— d atq d cubum eſſe. Nam ꝑ ſeptimam quarti erũt duo medij pꝛopoꝛtiõales inter a et vnitatem quiſin
f 4 bh— 9 eet fꝛet ſilr duo inter d ⁊ vnitatem qui ſint g et h. et quia quoties vnitas in e toties e in fiergoe inſ L 2 8— ꝓducit f. et quoties vnitas in e toties f in a:ergo e in f ſuũ quidẽ quadratũ ꝓducit a. eſt igif acub I et per idem quia quoties vnitas in g toties g in h:ergo g in ſe ꝓducit h.et quoties vnitas ingtuiis
hin dꝛergo g in h ſuum quadratum: ꝓducit d.quare etiã d cubus.quod eſt pꝛopoſltum. ¶ Ois qͥᷣdrati ad quadratũ eſt tanqᷓ; lateris ipᷣius ad latus alt᷑ius ꝓpoꝛtio duplim
1„ 20 5.2 ¶ Sint duo quadrati a et b:⁊ latus a ſitc/ et latus b ſit d. dico pꝛopoꝛtiõem a adb eẽ tanc pꝛcyati c ad d duplicata.duco enĩ c in d ⁊ fiat e.et erit ꝑ ſeptimam ſecũdi a ad e ſicut c ad d.et octaui eiuſt
e ad h vt c ad dꝛeſt ergo a ad e vte ad b. at pꝛopoꝛtio a ad b conſtat ex ꝓpoꝛtiõibꝰ aad eet esd biqunj
quelibet equatur c ad d.eſt ergo a ad b tanꝙ́; ꝓpoꝛtio c ad d duplicata:vt ꝓponebatur.
¶ Pꝛopoꝛtio cubi ad cubũ:eſt tanq; lateris ad latus trpplicata. vnde manſilnd. 8 r 15 inter quoſibet duos quadratos vnũ:atq; in᷑ cubos duo ꝓpoꝛuõalit medio/llſer
——h 6——b ¶ Sint duo cubi a ⁊ b.et latus a ſit e:et latus b ſit d. ſitq; e quadratũ c/et f quadratũ vuraenr 4 6 9 demõſtratione pꝛecedẽtis eſt vnus medius ꝓpoꝛtiõalis qui ſit g.deiñ duco c in eet cene funun e g 5 a:et c ing et ꝓueniat hꝛet d in f et certũ eſt ꝓuenire bꝛet d in g ⁊ Pueniatk. manifeſchn 9 3 4 eandem eſſe pꝛopoꝛtionem e ad g et cad dꝛet eã dem gad fet cad d. ſed ꝑ ſ eptimã ſecudan 85 —— g.quare vt c ad d:et per octauam eiuſdem h ad kvt c ad d. et per ſeptimam eiuſdẽ hdbats uge vt cad d. eſt igitur quelibet trium pꝛopoꝛtionum a ad h/h ad k/et k ad balteri equalis:alch 1 kan. ad d. ſed pꝛopoꝛtio a ad b ↄſtat ex illis tribus.eſt igi᷑ pꝛopoꝛtio a ad b tanãᷓ ꝓpoꝛtio caddtiit Et coꝛrelarium ex modo demõſtrationis cognitum eſt ⁊ pꝛopoſitum.
¶ Quox latera ꝓpoꝛtiõalia ſunt quadratos ꝓpoꝛtiõales cẽ:atq; ſi quadtan ppon onales ſunt:et latera ꝓpoꝛtionalia eſſe neceſſe eſt.
1 8 64(¶ Sint a b/ ctres numeri ntinue pꝛopoꝛtiõales:quoꝝ quadrati ſint d/e/f. dico quadr 10 ↄtinue pꝛopoꝛtiõales. Itẽ dico ſi d/e/f̃ ſunr ↄtinue pꝛopoꝛtiõales: ⁊ a bſc eoꝝ latera ce 8 1 4 16 DPiima pars ſtatim ex decima quĩti cognoſcitur. et ſcöa oſtendit᷑. Nam quia pꝛoportio ꝗipusba quinti eſt compoſita ex ꝓpoꝛtiõibus a ad b ⁊ aad bꝛet ſilr ꝓpoꝛtio e ad fↄpoſita ex Tni additelte 1 2 4 cet bade:s ꝓpoꝛtiões a ad b et b adc ſunt equales.alioquin ꝑ quintam eiuſdem ſig equales:non ↄſtituerẽt d ad eet e ad fpꝛopoꝛtiones equales.qð eſt ↄtra hypothelim·
atos d eflle oꝛtiöalii. n
— 2
̈—
.
—
I

alan 8 U — ¶ Si cubi fuerint pꝛopoꝛtiõales: erunt ⁊ latera ꝓpoꝛtionalia. ꝙ ſi latera ꝓpoꝛtiõalia Aad fuerint: cubi quoq; pꝛopoꝛtionales eunt..
en Sit hypotheſis ea ã̃ pꝛius:ſed g/h/k ſint cubi numeroꝝ a/b/ c. Seða pars huiꝰ patet ducendo abe
— ☛‿˖ Ti Prporhendes in def ſuos quadratos qui ꝑ pꝛimam ꝑtem pᷣcedentis ſunt ↄtinue ꝓpoꝛtidales 6 nae et pueniẽt g h k qui ꝑ decimam quinti ſunt ↄtinue pꝛopoꝛtiõales. ð eſt ſcoͤm. Et pᷣma pars declarał᷑ Tcf.aage dd Mam per nonam quinti pꝛopoꝛtio g ad h ↄpoſita eſt ex pꝛopoꝛtiõibus d ad ex aad b. et ꝓpoꝛtio hſad wvemͤe: ning kcõpoſita ex pꝛopoꝛtiõibus e ad f⁊ badc.et ſi a ad b et ad c nõ ſunt ꝓpoꝛtiõabilia:neq; de k. ſi ergo a a ad b maioꝛ ſit pꝛopoꝛtio qᷓ b ad c:ergo per quintam quinti maloꝛ erit d ad eqᷓ eadf.ergo per eandem aeade quintam g ad h ↄſtituta ex d ad e et a ad b maioꝛibus ꝓpoꝛtionibus erit maioꝛ q́; h ad le.nõ ſunt igitk
2benf ae u dinan gh lꝛ pꝛopoꝛtionales.quod eſt ↄtra hypotheſim ⁊ totum pꝛopoſitum.. — 13 ¶ Quo abũdat quadratꝰ ſuper quadratũ eſt nũerus ex lateribus ipſoꝝ coaceruatus — et ßᷣm laterum differentiam multiplicatus.
¶ Sint a ⁊ b duo quadrati:a maioꝛ/ et b minoꝛ.ſitq; c latus a:⁊ d latus b.dico numerum quo a ſupat bꝛeſſe numerum qui ꝓcreat ex ductu differẽtie c ad d in coaceruatum c d. Intelligo enĩ coaceruatum cd eſſe diuiſum in c maioꝛem numerum:⁊ d minoꝛem.et quia ꝑ decimãoctauam pᷣmi quod fit ex dᷣin ſe:cũ eo quod ſit ex differẽtia c ad d in coaceruatum c dꝛequũ eſt ei quod ſit ex c in ſe.ſed qð ſit exc ĩ ſe eſt quadratũ maius a:⁊ qð ſit ex d in ſe eſt bh quadratũ minus: b quadratũ minus ſuꝑat᷑ ab a q̃drato maioꝛe in eo nũero qͥ fit ex d̃̃ia c ad d in coaceruatũ c d.abũdat ̊ a ſuꝑ b in eodẽ nũero.qð ẽ ꝓpoſituũ.
¶ Si quadratus quadratum numeret:et latus ſuũ latus alterius nũerabit.ꝙ ſi latus a latere numerabitur:et quadratus a quadrato numerabituur.. 16 .„ ¶ Sint a b duo quadrati/ et a numeret b:ſitq; c latus a ⁊ d latꝰ b.dico cnũerare d.dico itẽ ſi c nũerat 3 6
nonc mimdocae ꝛetiã a numerare b.ſit enĩ ꝑ coꝛrelariũ quarte huius e medium pꝛopoꝛtiõale inter a ⁊ b: erũt enim a 2— aſan gpentenaet adeet ead bin 2tinua pꝛopoꝛtiõe vt c ad d.ſed a pꝛimus numerus ꝑ hypotheſim numerat b vltimũ: 2 5—
— ergo per decimãtertiã quarti: a pmus nũerat e ſcöm. quare e numerabit d. qð eſt ᷣmũ. Scðm pzmã ſi —— cnũerat d:a ⁊ a nũcrat e ⁊ e nũerat b.q̃re ꝑ viceſimãtertiã pᷣmi a nũerabit b.qð ẽ ſcðm ⁊ totũ ꝓpoſit Aau Si cubus cubum nũeret:⁊ latus ipſius latus alterius numersbit. ꝙ ſi latus nũerat ennenlemana latus:et cubus cubum numerabit. b 4.ee p
— ¶ Quod de quadratis modo oſtenſum eſt/ hic de cubis demöſtrandum ꝓponitur. Et pma ꝑs poſſtis 4 2 Nopornonc nimauc medijs ꝓpoꝛtiõalibus int cubos ꝑ coꝛrelariũ quarte huius vt pᷣma pᷣcedetis cognoſcit᷑:⁊ ſcavt ſca. c
·—* ¶ Trium numeroꝛum cõtinue pꝛopoꝛtionalium:ſi pꝛimus fuerit quadꝛatus:tertium aasemas duoq; quadratum eſſe neceſſe eſt. 2 4 e fhud a Sint ab etres numeri otinue pꝛopꝛotionales:et ſit a quadratus: dico c eẽ quadratum. ſint enſ de 50 25 — naes mimi in pꝛopoꝛtiõe a ad b. per decimãnonam tertij d numerabit a. ſitq; id ſcum f. ⁊ e etiam per eãdem anecudaanans numerabit c. cũ per hypotheſim eadè ſit pꝛopoꝛtio a ad b ⁊badc: ſit ergo id ſcðm g. et quia a ponitur 10 5 uwur quadratus:ſit ergo eius latus h.qͥa enĩ h in ſe tm̃ eſt qᷓᷓtum d in fꝛergo ꝑ ſcðaʒ ꝑtemviceſimeſexte ſcᷣi.
aucris ipius aN u vihif ſunt ↄtinue pꝛopoꝛtiõales. et ꝑ nonam quĩti ꝓpoꝛtio a ad c:ↄpolita ex pꝛopoꝛtiõibus d ad e ⁊t 1 1 eusb fed dcnpeem g. ergo qꝛ a abb vt dad e:erit b ad cvt f adg. eſt ergo d ad evt f adg. ergo Pmutatim d ad f ſicut e d——e
ſcprmum ſeri neln ad g.ergo per duodecimam quarti inter e et g tot media pꝛopoꝛtiõalia cadũt:quot inter d ⁊ f. at int᷑ d
Dun beaia ane ct f cadit h vnſ medium ꝓpoꝛtiõale: igit᷑ ⁊ inter e et ꝗcadet vnũ ꝙ ſit h. et qꝛ ex e in gpoſitũ eſt fieri c:
4 aaꝗ mergo p viceſimãſextam ſecundi exl: in ſe fiet idem c.eſt igit᷑ cquadratus.quod erat demonſtranvum.
ryoco??.„„„—.„
mi Si dttuoꝛ numeroꝝ ꝓpoꝛtiõaliũ pᷣmus fuerit cubus: quartũ qͥq; cubũ eẽ ↄueniet. 00 5oo 150 u5 xrii ¶ Sint a/ b/ c/ d quattuoꝛ nũeri ↄtinue pꝛopoꝛtõales:quoꝝ a pᷣ̃mus ſit cubus.dico d quartũ eẽ cubũᷣ. 6——bhb c./—, tð mt cubos do ſicut enĩ e/f/g/h quattuoꝛ in eadem pꝛopoꝛtiõe mĩmi:crũtq; per ſcðᷣam huiꝰ e ⁊ h cubt.et qꝛ e ⁊ aſunt 260 25 dnge cubi: erũt ꝑ coꝛrelariũ quarte huius duo pꝛopoꝛtiõales meduũ inter e et a qui ſint kl. et quia ꝑ equam 1 n- 2d: in diun pꝛopoꝛtiõalitatem que ꝓpoꝛtio e ad h ea eſt aad d:ergo ꝑmutatim ꝗ̊ ꝓpoꝛtio e ad a:ea eſth ad d.ſev 40 5
dagt— inter e et a ꝓbati ſunt eẽ duo ꝓpoꝛtiõales medij.ergo ꝑ duodecimam quarti ⁊ int᷑ h ⁊ d duo ſitr erüt x· ,—
ucurt dert maletn Ppoꝛtiõales medij qui ſint m ⁊n. et qꝛ ꝑ decimãnonam tertij h nũerat d: ergo per ſcðam ꝑtem decime 4 2„ tertie quarti hnumerabit m. Sit igit᷑ o latus cubi hꝛſitq; quoties h in m toties o in p.qꝛ ĩgit ꝓpoꝛtio x—— f—— imemdße. mnu dadh tanq́ m ad h triplicata: erit eadẽ ꝓpoꝛtio d ad h tanq́; ꝓpoꝛtio p ad o triplicata.et qꝛ ꝑ quartã 1 z3— a uius eadem eſt ꝓpoꝛtio int᷑ cubum p et cubũ h. erit igit᷑ d cubus: ⁊ eius latus erit p.qð eſt ꝓpoſitũ p 2
Se ¶ Quadratos tres inueſtigare: quoꝝ ↄtinue ſumptoꝝ diſſerentie ſint equales. — awdt ¶Sit c duplum cuiuſſibet numeri. addat᷑ q; c cuilibet nũerovt b. ſitq; a ↄpoſitus ex bœ. et ex a⁊ b fiat 4 3 4
4 b c d=— 2
— 16 b— ⸗
Drdl 84 ita vt g ſit equalis f.quia enĩ eſetl/m/ gequãtur:et ex a in d fit e: etiã c g. guatur. 128 1 c nccſe geq et ex etia ex a in d fitl/ m/g. ſed gequatur 3 k—
let m ſunt tanqᷓ h et k. Sit ergol equalis h:et mi equalis lꝛ.dico ergo lg poſſe diuidi in duo equaliaW 73. 2.
mda 4—„ A e= Jdead, e We n e — 48 7 139 a2e. Dnrd.e de 2u 2, 42₰ 2 79 l. 7, Ee eeh eee es—2 25, Je)-i 24 eS A, . 4, 2, 7. M A,, J‿νν† 1-n hnm ann A pSe 4..— 37 Aren 2. a Le— e d? Aſtu v.dau Jel.mle eer he⸗ S 3. 25 4½ re /’ ci he 775 44 ris ſeyHes rſes vnes, ſer 2 Pih 3

₰
Differentia trium quadrato rum continue cadem
d—— b—— c
—
— 8 Be 4———
4— 2————.— ——— 1.——— ——.——„— 5— 3 2 —————. 2—
4 3—— 8 3 — 8*—— py
1— 4—— 4
ferhaeeeeeee
m eee —— Serreeee a.* 8
4————————= —————— ememrmfe——— d————— ————— 5——õ——⁴⁴4⁴—y———y— ——— 3—————————————— ——————————— ö—— .———————————— ,„ 8——i—— ——— 2 ͤ———— *— 3 5— S ———y— 3 4 3—— 2——-————ÿ———
—
———“ 34 8 8 1“ 8— 19—— 2—— ————3
en
“ —
———“
ee“ 4 1 ——— 8
—
CSSi non cubum cubus numeret:ſcom non cubum eum numerabit
ergolg in duo media eãlia:ſttq; r differẽtia vniꝰ illoꝝ dimidioꝝ ad g. et vnumerua eannau
et q differẽtia dimidijl g:ad totũl mn g.dico tres qᷓdratos namee dun finn eqwalis dimide tũtur. Mam cũ differẽtie quadratoꝝ ſint ꝑ ſeptimam huius ꝗᷓ ex differẽtijs laterum in Ueies auihe ꝓducũtur:ↄtinuevidebis ex dria r ad vin ↄpoſitũ r v qð eſt g.et ex dfia vad q in pofiiin ta exißs mg:eq̃lem numerũ ꝓduci ꝑ viceſimamquĩtam ſecũdi ꝙ eadem ſit ꝓpoꝛtio differẽtie an vggöent vad q.ſicut aggregati q v ad aggregatum r v.ſiue ſicut lm g ad in gꝛquod idem eſt. Sed be ad; facilius foꝛte capies in minoꝛibus numeris ⁊ eodẽ ingenio inuentis.yvt ſit a ſenarius. et weni inde ſint p ⁊c.b minoꝛ: ⁊ cmaioꝛ.certũ eſt b eẽ quinariũ:cuius dr̃ia ad a ſit d.quã certi'in hur ſitq; e differẽtia d ad b vnitatis ad quinariũ:quã ↄſtat eſſe quaternarium.ſitq; f differẽtia den quia dupla differẽtie b ad a:ideo erit binarius. eſt itaq; e ad f duplus.ſed d b per ↄceptiõ 3 ee 2 per ſcðam pꝛimi b c ſimul ſunt duplus ad a.igik et b cſimul:ſunt duplus ad d b. quare que 8 adf̃ differẽtie ad differentiam ea eſt aggregati b cad aggregatum d b. ergo per vicelimöqutan ſa tm̃ eſt quod fit ex e in db qᷓᷣtum qð ex fin b c.ergo per ſeptimam huius tres quadrati mumerau cſunt quales pꝛopoſiti ſunt inueniri poſſibiles.quod eſt pꝛopoſitumm. dt
¶ Numcrum quadratũ inuenire: qͥ cũ quadrato dato numerum quadratũ oſina.
Sitͤmo datus nũerus quadratus a: qui diuiſibilis ſit in duo equalia. cuius medietas ſitb ana aũt eius ſit c.ſitq; d binarius.quia ergo qð ſit ex d in b:equat᷑ ei quod ſit ex c in ſeꝛerit p viceſimͤſeri ſecũvi c ꝓpoꝛtiõaliter medius inter binarium ⁊ b. et quia d binarius eſt numerus pꝛimus: a pꝛmi quarti cõicat cũ c ⁊ c cũ bꝛetiã d cõicabit cũ b.ꝑ pᷣmã s tertij d nũerabit b. cuius qͥdẽb:medietas it et nũeri circũpoſiti ſint fmaioꝛ ⁊ gminoꝛ: quoꝝ qᷓdrata ſint h ⁊ k. dico ͥ; quadratũ h eẽ tan numeri quadratum lꝛ: numero quadrato a additum. Nam diff erẽtia f ⁊ gẽ binarius ⁊ ↄpoſitus ex ipſispe ſecũdam pꝛimi eſt b. et quia ex binario in b per hypotheſim fit a:ergo per ſeptimam huius cũaſala differẽtia laterũ in cõpoſitũ ex ipſis a eſt dria qᷓdratoꝝ h ⁊ lꝛ.q̊dratꝰ ergo lꝛ additus quadꝛato dat oↄſtituit numerum quadratum h.qð eſt ꝓpoſitum. Sed eſto ſecũdo vt ſit quadratus a aſſignatusiſa in duo equalia partiri nõ poſſit.cũ ergo binarius eum nõ numeret:et ſit binarius numerus panus ergo per pꝛimam tertij binarius ad ipᷣm erit pꝛimus.quare ꝑ decimãquintam tertij binariꝰ nſeraii inferioꝛem numerum quadrato a:vnitate dempta qui ſit b. cuius medietas ſit c:⁊ maioꝛ eowitaeſt dꝛcuius quadratus ſit e:et quadratꝰ c ſit f.dico ergo quadratum e abũdare ſuꝑ quadrato aqᷣtunti
f quadratus c. Ram quja c bis cũ vnitate ↄſtituit a:ergo per decimãoctauam pꝛimi quod ſitexcin
cũ eo qð ſit ex a in driam d maioꝛis partis ad c:equũ eſt ei qð ſit ex d maioꝛe parte in ſe exccditign
quadratus d quadratum nũeri c in quadrato dato a.nam differẽtia d ⁊ c erat vnitas.qs eſt ꝓpolii
¶ Si quadratus in quadratum ducatur: ꝓducct᷑ quadratus. Si vo in non quadiaiÜ non quadratus ꝓueniet. Undep; ſi quadratus quadratum numcreetapm ſecundin
quadratum numerarc. b ¶ Sint pᷣmo a ⁊b dao quadrari:ducaturq;ʒ a in b et ꝓueniat c.dico c eẽ quadratũ. Ham ꝑ conani quarte huius int᷑ a et b eſt vnus ꝓpoꝛtiõalit᷑ medius.ſit ergo ille d. quia ergo ad ⁊ b ſt otinue qhn tiõales: ergo ꝑ viceſimãſextam ſecundi quod ſit ex a in bꝛequũ eſt ei qui fit ex d in ſe.at quod ex an ꝓducitur eſt c. eſt igitur c quadratus.qð intẽditur. Secũdo:ſit a quadratus ⁊ b non quadratusdia turq; a in b et ꝓueniat c:dico c non eſſe quadratum. HNam ſi c eſſet quadratus ꝑ ſcðam otem vicein ſexte ſecundi latus quadrati c eẽt medius pꝛopoꝛtiõalis inter a ⁊ b.quare cũ a pꝛimus ſit quadtans ꝑ decimã huius ⁊ b eẽt qᷓdratus.qð eſt ętra hypotheſim. Coꝛrelariũ ex his duabus qtibꝰſatis ql
¶ Quadratus non quadratum:ſcðm non quadratum numcrat.
¶ Mam ſi ponakt᷑ poſſibile quadratũ ſcðᷣm quadratũ:ipᷣm numerare:ergo per pꝛimam ptem öeena ꝓductus erit quadratus.at ponitur q̃dratus numerare nõ quadratum:ſeqͥtur igitur ex hoc nml hypotheſis.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si cubus in cubum ducatur:qui pꝛoducetur erit cubus. b.
¶ Sint a b duo cubi:⁊ ducatur a in b et ꝓneniat c:dico c eſſe cubum. Sumo eni lansabiemnn
ꝛet quadratum lateris d qͥ ſit e.manifeſtum eſt d ⁊ e eẽ pꝛopoꝛtiõales inter vnitatem auette vnitas in a toties b in c.cũ a multiplicet c ſcðᷣm b.per decimãquartam quarti quot medip tdete erũt inter vnitatem ⁊ a:totidem crũt inter b et c.ſunt ergo duo medij ſiłiter pꝛoportioſi 3 9 ſint f g.cũ ergo b f̊ gcſint quattuoꝛ numeri ꝓpoꝛtiõales:et b pꝛimus per hypotheſim ſit albs⸗ per vndecimam huius ⁊ cquartus erit cubus.quod eſt pꝛopoſitum.
„„ 1. 4 u6 ¶Si in non cubum cubus ducatur:pꝛoducetur nõ cubus. Ex quo liquctꝗ ſiabus
cubum numeret:ip̃m ſcðm cubum numerare. Nanſic;xunm
¶ Nucatur a cubus in numerum b nõ cubum et ꝓueniat e:dico e non eſſe cubum Taneod phauli onatur eẽ cubus:manifeſtum eſtvt in pꝛecedenti per decimamquartam quartiqo uiersocg es erũt inter vnitatem et a:totidem eſſe inter b ⁊c. ſint ergo ſimiliter duo ſcilzfꝛ a eritcubus a
lunt ↄtinue pꝛopoꝛtionales:⁊ c eſt poſitus cubus.ergo per vndecimam huius:b 8 inde pducetuti
b per hypotheſim 5* itus ẽ non cubus:accidet itaq; ↄtrariũ hypotheſis.qui igitu
erit cubus.quod eſt pꝛopoſitum. Coꝛrelarium ſatis ex hac ⁊ pꝛecedenti cognitum elt 1
*
1
—

—— craa cſſ ci iꝗꝛmu, daro 1.Ann duferätadtten ur: pducct quneuss madrauo quprum twtt — Kan dernä ckaute
Seciũdeſit a quri
¶C Mã ſi ponat᷑ numerari ſᷣm cubũ:h penultimã qui ꝓducetur erit cubus. at poſitus eſt nõ cubus nõ
itaq; ipſum numerabit ſᷣm cubũ:quare ſi ipſum cubus numeret: ſᷣm nõ cubũ nũerabit:qð intẽditur.
¶Si quadꝛati cõmunicant: latera quoq; cõmunicabunt. ſi vero quadꝛati ſint incom⸗
enſurabiles:et latera ipſoꝛum incõmenſurabilia erut.— Sun ab duo quadꝛati et c latus a et d latus b: dice Pen 5 1 t quaosein bldeee eisß cerac. cõĩcare.nã ſi c d nõ cõicant:ergo per duodecimã tertij neq; ꝗ 9 nt. ex onollin isienr üri cõi ncõicant neq; eoꝝ latera ñtis ſi quadꝛati cõicabunt ⁊ eoꝝ latera cõicant.dico ſ cðᷣo ſi quadꝛati a b no eoꝝ latera Snrare ſi cd latera cõicant eſt aliqͥs nüerns wos Klde numerzeghr La Aoneeb ASun viceſimãtertiã pꝛimi etiã numerat a.et qꝛ etiã e nũerat d:ꝑ eande vice ertiã: bit et b. ſi latera ſunt danmardtta et quadꝛati cõicant: quare ex oppoſito ↄñtis ſi quadꝛati non cõmunicãt neq; latera cõmunicabunt:quod eſt ſecundũ ⁊ totum pꝛopoſitum.
¶ Si cubi fuerĩt ↄmẽſurabiles⁊ lata.ꝙ ſi cubi nõ cõicent:neq; ipſoꝝ latera cõicabũt
Cihuius pꝛima pars vt pꝛecedentis pꝛima ⁊ ſecunda vt pꝛecedentis ſecunda pateſcunt.
¶ Si quadꝛati ad aliquem fuerit pꝛopoꝛtio tanqᷓ; quadꝛati ad quadꝛatum illum ali⸗
uem: quadꝛatum eſſe neceſſe eſt.. AMen Anadaadu qui ad aliquẽ numerũ vt b eam habeat ꝓpoꝛtionẽ que quadꝛati c er quadaet3 d dico b eſſe numerũ quadꝛatũ.nã qꝛ c et d ſunt quadꝛati per coꝛrelariũ quarte huius eſt vnus men 9s ꝓpoꝛtionalis inter c et d qui ſit e.⁊ qꝛ que ꝓpoꝛtio c ad d ea eſt a ad bꝛergo per duodeclmã quarti erit vnus medins pꝛopoꝛtiona is inter a et b qui ſit f.qꝛ ergo afb ſunt ꝓpoꝛtionales ⁊ a pꝛimꝰ poſitus ẽ quadꝛatus:ergo per decimã huius et b tertius eſt quadꝛatus: quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Quicunq; ſe hʒ ad cubũ ſicut cubus ad cubũ: idẽ ex neceſſitate erit cubus.
¶ Si ad a numerũ cubum ſe habeat aliquis numerus vt b ſicut d cubus ad c cubũꝛdico b eſſe ecubum nã per coꝛrelariũ quarte huius inter c et d erunt duo medij ꝓpoꝛtionales.et cũ que ꝓpoꝛtio c ad d ea ſit a ad b.ergo per duodecimã quarti cadent cõſimiliter duo medij ꝓpoꝛtionales inter a et bꝛet a pꝛi⸗ mus ponitur cubus erit igitur et b per vndecimã huius cubus quod erat demõſtrandum.
¶ Si quadꝛatus in quadꝛatum vel cubus in cubum ducatur:latus pꝛoducti erit nu⸗
merus qui ex latere vnius in latus alterius pꝛoducitur. ¶ Sint pꝛimo duo quadꝛati a bꝛet latus a ſit c:et latus b ſit d.ducat᷑q; a in bꝛet ꝓueniat e q per deci⸗ mãquartã huius erit quadꝛatus:et ducat᷑ c in d:⁊ ꝓueniat f.dico f eſſe tetragonicũ latus e.nã per ſep timã et octauã ſecundi f eſt medius ꝓpoꝛtionalis inter a ⁊ b.et ꝑ viceſimãſextaʒ eiuſdẽ qð ſit ex a in b equũ eſt ei qͥ ſit ex fin ſe.ẽ igit᷑ flatus quadꝛati e qð erat ꝓbandũ.ſcðo ſint g et h cubi laterũ c et d⁊ g in h ꝓducat lꝛ qͥ per decimãſextã huius erit cubus.dico f eſſe latus cubicũ ua.ꝗꝛ chĩ c in aꝓducit get f in ſe ꝓducit e erit ꝑ nonã quinti ꝓpoꝛtio g ad e cõpoſita ex ꝓpoꝛtionibꝰ c adfet aadf.et qꝛ iterũ ex c in d ſit fꝛet ex d in b ſit h erit per eandẽ nonã ꝓpoꝛtio f ad h cõpolita exꝓpoꝛtionibꝰ c ad d et d ad bꝛſʒ cad d eſt ſicut a ad fꝛſed et permutatĩ d ad b ſicut c ad f: ꝙ eadẽ eſſet ꝓpoꝛtio c ad dett᷑ ad b. eſt igitur ꝓpoꝛtio f ad h equalis ꝓpoꝛtionibus a ad fet cadf:quare ꝓpoꝛtioni gad e.oꝛdinatis ergo quattuoꝛ nueris gefh:qꝛ que ꝓpoꝛtio g ad e ea eſt f ad h. ergo ꝑ viceſimãquintã ſecundi idẽ eſt nũerus q̃ ꝓdu citur ex g in h et ex fin e ſuũ quidẽ quadꝛatũ quare ꝓducti cubi lꝛ latus ẽ fꝛqð eſt totũ pꝛopoſitũ.
Si diſpoſitis ab vnitate numeris quadꝛatis: ꝓpoꝛtionaliter medij inter pꝛoximos
quoſq; ſumantur:fient omnes parte altera longioꝛcs.et cuiuſſibet illoꝛum ad illos differentꝛam lateri ſuo equalem eſſe conſtabit.
¶ Sint e f gh quotlibet nũeri quadꝛati ab vnitate ↄñter diſpoſiti:eoꝝvero latera vnitas:et b c d nu⸗ meri ↄñter abvnitate ſumpti.dico medios ꝓpoꝛtionales int᷑ pꝛoximos quoſq; quadꝛatos ſumprtos eẽ altera ꝑte lõgioꝛes.duco enĩ vnitatẽ in b ⁊ ꝓueniat lꝛ qͥ eſt medius ꝓpoꝛtionalis inter e ⁊ f.et qꝛ eius latera vnitas et b ſunt ĩequalia ſolavnitate diſtãtia:ꝑ diffinitionẽ lꝛ eſt altera ꝑte longioꝛ.ſifr duco b in c et ꝓueniatl qͥ erit medius ꝓpoꝛtiõalis int᷑ pꝛoximos quadꝛatos f g.et per idẽ vt pꝛius altera ꝑte
an longioꝛ.et ita de reliqᷣs ꝓpoꝛtionalidꝰ mediis pꝛoximoꝝ quadꝛatoꝛũ quotquot ↄñter aſſignati fueriĩt
quadꝛati. Dico pꝛeterea differentiã lꝛ ab quadꝛato f equalẽ eſſe b lateri fꝛet differentiãl a quadꝛato g eſſe equalẽ c lateri g:et ita cõſequenter.qꝛ enĩ b ſuperat vnitatẽ ſola vnitate:intelligo ergo b diuiſum in duas vnitates.et qꝛ b in ſe facit f:ergo per decimãtertiam pꝛimi b ductus in pꝛimã ⁊ ſecundam vni tatem pꝛocreat equũ f:ſed ſubſtracto qð fit ex b invnavnitate remanet lꝛ.eſt igitur ſubſtractũ eius qð ſit ex b in vnavnitate differẽtia lꝛ ad f:ſed et idem ſubſtractũ eſt equale b:ꝙ vnitas in quẽcunq; nume rum ducta idem faciat.conſtat ergo id eſſeverum de lꝛ.de l autem conſimiliter oſtenditur:qꝛ c excedit b ſola vnitate.diuido ergo c latus ſcilicet quadꝛati g in b etvnitatem.⁊ quia c in ſe facit get idem c in b etvnitatem facit equale g:per eandem decimãtertiam pꝛim::et ſubſtracto eo qui fit ex c in vnitatem
remanet l. differentia igiturl et g eſt quod ſit exc invnitatem: ſed ⁊ illud eſt equalec per idem quod
pꝛius.conſtat igitur pꝛopoſitum de altera parte longioꝛe l. et ita de quibuſſibet aliis argumentabere
a— 16 b—5 —4 5— 5 2.— 1 8 54 36 6- 5 4 6+
172²28 27 144 64 3 e bh— eA⸗ 9 12 16 a— f b— 3 4 c— d 27 144 12 64. ——. 99 4 9 16 e— f— h 2 G 12 .—1 m— 1 4. 1 b-— e d—
Similiter etiam oſtendes differentiam lꝛ ade eſſe vnitatem:et differentiaml ad f eſſe bet m ad geſſe
c. Mam cum b ſola vnitate ſuperet vnitatem:intellecto ergo b in duas vnitates diuiſo per decimam⸗ quartam pꝛimi quod ſit ex b in alteram vnitatum equale eſt ei qui ſit ex illa in ſe:⁊ illa in alteram, ſed 61 d.

eeer
—
“
altera ꝑte longioꝛ quẽ dico
qð ſit ex illa vnitate in ſe eſt quadꝛatũ e ⁊ vnttas.et qð ſit ex illa in alterã itids eſt vnj tati. conſtat ergo dꝛĩam lꝛ ad e eſſevnitatẽ. Similiter diuido c in duas partes ſczynit aefe eandè decimãquartam pꝛimi quod ſit ex c in bſeʒ l: equũ eſt ei qui ſit exb in ſe q eſt quade ꝛb. in vnitatem qui eſt latus b. conſtat ergo differentiã lad feſſe bꝛet ita per decimaquar 1 ꝛatus farer gulis oſtende.conſtat ergo totum pꝛopoſitum. m pꝛimideln ¶ Si ſumantur ab vnitate numeri altera parte longioꝛcs pꝛoximis quibyſq; con ctis: dimidiis coniunctoꝛum ſumptis pꝛouenient omnes quadꝛati niu— ¶ At parte altera lõgioꝛibus figuratis quẽadmodũ in ſuꝑioꝛi factũ eſt:dico lꝛ etl alteralogi ſumptoꝝ medietatẽ eſſe quadꝛatũ. Similitl et m ſimul ſumptoꝝ medietatẽ eſſe quadꝛatũ gioh et binoꝛũ ↄtinue ſumptoꝝ quotquot eſſent:medietatẽ eſſe tetragonicã. Mam qͥa per auneitabhn bcedentis monſtratũ eſt dꝛiam lꝛ minoꝛis ad f eſſe bꝛetl maioꝛis ad feriã eſſe b let lſ untci kane atq; equidiſtãtes f. ergo ꝑ ſecũdã pꝛimi f eſt numeroꝝ lꝛ et l ſimul ſũptoꝛũ medietas. atf cog aſee quadꝛatũ:ergo de lꝛ etl conſtat ꝓpoſitum eſſe verũ · et cõſimiliter del ⁊ m cõſtabit: qꝛ eo 85 ckeĩ ad g per pᷣcedentẽ eſt c latus g:quare per ſecundã pꝛimi concluditur quadꝛatus geſſe numer n ſimul iunctoꝛum medietatem.. kopleim C Mullus altera parte longioꝛ eſt quadꝛatus vel cubus. b ¶ Mã ſi aliqs altera ꝑte longioꝛ vt a eſſet quadꝛatꝰ:per diffinitionẽ eius latera eſſent equalia,e eſſet altera ꝑte longioꝛ eius latera ſola vnitate diſtarẽt.ſi ergo illa dẽtur et ſint b maio: Teminard etiã a eſſet quadꝛatꝰ ſit eius tetragonicũ latus d. et qꝛ qð fit exb in c eſt equale ei q̃ ſit ex diſeig. ꝑ viceſimãſextã ſecundi b d c ſunt cõtinue ꝓpoꝛtionales qð eſt ĩpoſſibile. Mam cumb et cſolamu diſtẽt inter b ⁊ c nullus cadit nũerus mediꝰ. ſed h̊ dicat aduerſariꝰ d eẽ equale b aut c. cũ ergobedij tinue ꝓpoꝛtionẽt᷑ opoꝛtet b et c eſſe equalia qð eſt cõtra hypotheſim. At dicat deeſſe maioꝛeẽ h ꝛci ergo b ad d eſt ꝓpoꝛtio mĩoꝛis nũeri ad maioꝛẽ:⁊ d adc ꝓpoꝛtio maior ad minoꝛẽ et ille ponüf end hoc aũt ĩpoſſibile. At dicatvltĩo d vtroq; et b ⁊ ceſſe minoꝛẽ:et tũcꝓpoꝛtio b ad d ẽ maiorſ ad minoni et dad emioꝛis ad maioꝛẽ:⁊ ponunt᷑ eedẽ hoc iteꝝ ĩpoſſibile nõ eſt igit᷑ a altera Pte lõgioꝛ quaduanus qð eſt pꝛimũ.oſtẽdo deinde a altera ꝑte longioꝛẽ nõ eſſe cubũ.nã ſi id poſſibile è ſit a alteꝛs ptelögie cubus ⁊ eius lat᷑a ſint:maius quidẽ b et minus cet quadꝛatũ b ſit d ⁊ quadꝛatũ cſit e: itq; flatusaan eo ꝙ cubus:cuiꝰ quadꝛatũ ſit lꝛ.erit enĩ ꝑ coꝛrelariũ quarte huiꝰ vnus medius ꝓpoꝛtiõalis intdai q ſit g. et ꝑ idẽ vnus int᷑ ę ⁊ lꝛ qͥ ſit h:⁊ ꝑ ſeptimã ſecundi q̃ ꝓpoꝛtio b ad fea eſt dad gꝛet gadk etſih ꝗᷓ ꝓpoꝛtio c ad f̊ea erit Oad h et h ad lꝛ. et qꝛ ex lꝛ in fſit a ⁊ idẽ fit ꝑ hypotheſim ex b in cergop ſcie partẽviceſimequĩte ſecũdi erit lꝛ ad b ſicut c ad f.⁊ etiã ꝑmutatĩlꝛ ad c ſicut b ad f. rũt igit inter die cõtinue ꝓpoꝛtionales g et lꝛ ⁊ ſilr inter e ⁊ b.itidem duo h et lꝛ.et qꝛ b ⁊ e vel erunt ↄmeſurabilco ni cõtra ſe pᷣmi.ſi ↄmẽſurabiles cũ b numeret d eius quadꝛatũ:ergo ꝑ viceſimãtertiam pꝛimi qeunqu merus nũerabit b etiã numerabit d.quare d⁊ e erunt cõmenſurabies.at tñ qꝛ b et eſunt cötra ſeyn det e eſſe cõmenſurabiles ꝑ duodecimã tertij eſt ĩpoſſibile.ſi aũt b ⁊ eſint incõmenſ urabiles pſcian huiꝰ b et e ſunt cubi, Silłr ſi c et d eſſent cõmenſi urabtles ꝑ idem qð pꝛius dete eſſent omenſurahils qð ꝑ duodecimã terĩij eſt ĩpoſſibile.Si aũt c⁊ dſint incõmẽſurabiles ergo ꝑ ſcðam hui'yterq ea quare int᷑ b et c erũt duo media ↄtinue ꝓpoꝛtiõalia ꝑ coꝛrelariũ quarte huiꝰ at nõ mõ duo vepanl quidẽ int᷑cidere mediũ vt in ᷣma parte mõſtratũ eſt:eſt ĩpoſſibile.cõſtat igitur verũ eſſe ꝓpolitun.
¶ Dato altera parte longioꝛe: alium ab co altera parte longioꝛem inuenire cuuso illum ſit pꝛopoꝛtio que quadꝛati ad quadꝛatum.
¶ Sit a datus nũerus altera ꝑte longioꝛ et eius maius latus ſit bꝛminꝰvero ſit ciſitqʒ dduplusd ⁊e duplus adc:⁊ quadꝛatꝰ d ſit f:et ꝓximus ſub eo quadꝛatꝰ ſit g quo nũerus vnitate mioꝛſithinr altera lõgioꝛ inter f et g ſit lꝛ.qꝛ enĩ per ſecundã partẽ viceſimequarte huius dꝛia fet leſt dꝛet dinn ad g eſt mũerus eo minoꝛ vnitate.ideo dꝛĩa lꝛ ad hẽ equalis d.et cũ dꝛia dete ſit binaruus: qn dupi dꝛĩe b ad c.nã per coꝛrelariũ ſeptime ſcðᷣi duplatoꝝ:duple ſunt dꝛĩe.⁊ cũ ex d in ſe fiat fet erdin biu⸗ riũ qui eſt dꝛia eius ad e ſiat dꝛĩa f ad h:qꝛ fit dꝛiĩa f ad lꝛ et lꝛ ad h q̃ eſt dupla ad dꝛvt poſtilum eken igit᷑ h reliquus nũerus qͥ fit ex d in e.duco igik᷑ g in h qͥ numeri ſolavnitate diſtare ſunt polllcfang eſſe:quẽ querimꝰ.ducat᷑ enĩ b in h et fiat m:⁊ c in g ⁊ ſiat n. eruz ehan ſecũdi ea ꝓpoꝛtiol ad m ꝗᷓ g ad b.et per eandẽ etiã ea ꝓpoꝛtio n ad a que gad b. quarecach ha ad m quen ada. et qͥa ex b in h fit mꝛet ex c in g ſit n:ideo ꝑ nonã quinti erit ꝓpoꝛtio madn o lus Pboꝛtionibus b ad c et h ad g. ⁊ q̃a d in ſe facit fꝛet d in e facit h erit ꝓpoꝛtio f ad h q̃ dadequateiq
b ad c:et qͥᷣa ꝓpoꝛtio f ad g cõpoſita eſt ex ꝓpoꝛtionibus fad h equali b ad ceth ad Sactgaghene adn equat᷑ ꝓpoꝛtioni h ad g.et qͥa per coꝛrelariũ quarte huiꝰ inter fet g eſt vnus ꝓpoꝛtionalt ne
erit vnus ſimilit᷑ ꝓpoꝛtionalit᷑ medius inter m etn qͥ ſit o.cũ ſit ergo o ad nſicut m adoet ratſat lad m.ergo per equã ꝓpoꝛtionalitatẽ indirectã eritl ad o ſicut o ad a.capio ergo in Pbortun run tres numeros in cõtinua ꝓpoꝛtionalitate mĩmos qͥ ſint r a p:manifeſtũ eſt r et p eſſ Lanade ioran ſicd ꝓpoꝛtio r ad qeaẽl ad o:et q̃ q adp ea eſt o ad a:ergo ꝑ equã ꝓpoꝛtiõalitatẽ que ꝓpoꝛ au. quadꝛati ad quadꝛatũ ea eſtl ad a altera parte longioꝛis ad altera parte longioꝛẽ: qð eſt ꝓ⸗.„ ¶Si numeri ab vnitnte ꝓpoꝛtionalcs diſponãtur tertium ab vnitate quadaan vno intermiſſo tertium ſemper eſſe quadꝛatũ quartũ vero ab vnitate cubum dung intermiſſis quartũ ſemper eſſe cubum: ſeptimũ autem quadꝛatũ cubicum aicʒ intermiſſis ſeptimũ ſemper eſſe quadꝛatum cubicum eſt neceſſe
——————

b„ ¶ Quadꝛatus cubicus eſt quadꝛatus qͥ pariter eſt et cubus. Poſita enĩ vnitate⁊ bedefghlelmn
dutlus cognoſcit᷑. qꝛ enĩ vnitas potẽtia et quadꝛatꝰ eſt ⁊ cubus. ideo per decimã huius c erit quadꝛat⸗- et ꝑ vndecimã d erit cubus. ⁊ per eandẽ decimã e iterum erit quadꝛatus et iterũ per decima: qꝛ e eſt
o pꝛvel quotquot voles numeris cõtinue ab vnitate ppoꝛtionalibus hec ſtatim ex decima ⁊ vndecima
8— quadꝛatus g erit quadꝛatꝰ. Sed et ꝗꝛ d eſt cubus ꝑ vndecimã g etiã erit cubus qͥ venit vt liqᷣdo cõſtat
d⸗ lꝛ
lan ümat.. 2 222 4. 1 72 2—* 2 5b— g8 n ſeptimus ab vnitate: quare ſeptimus ab vnitate quadꝛatus ẽ cubicus.et ita cõtinue pꝛocede ſimilẽq;. Fee offendes demonſtrandi modum vbic;.“ l 5 1 † 2² m 1024 — ¶ Si numeroꝛũ ab vnitate cõtinue ꝓpoꝛtionaliũ ſecũdus ab vnitate fuerit quadꝛaiꝰ b leveri.eac An omnes erunt quadꝛati.ꝙ ſi idem fuerit cubus: erunt et omnes cubr. 4 256 4096 —— ¶ Pꝛima pars patet.nã per pᷣmiſſã etiã tertiꝰ erit quadꝛatus.⁊ qͥa ſecũdus eſt quadꝛatus ꝑ decimã— 3 — huius tertius ab illo qͥ eſt quartus etiam eſt quadꝛatus.et per pᷣmiſſam qͥa tertius eſt quadꝛatusvno 64 51² —— intermiſſo quĩtus erit quadꝛatus.et ita deinceps quare numeroꝝ ab vnitate cõtinue ꝓpoꝛtionalium vd— 8d— — vdatus ſi ſecũdus eſt quadꝛatus oẽs erunt quadꝛati. Scða pars mõſtratur. nã ſi ſecũdus fuerit cubus:cum 16 64. in pa dcnne quotiesvnitas in ſecũdo toties ſecũdus in tertio. ſcðus in ſe qͥ eſt cubus pꝛoducet tertiũ: quare ꝑ deci— e e ne mamſextã huius tertius erit cubus. et per p̃miſſam quartus etiã erit cubus. et pervndecimã huius a 4. d.as enta quolibet illoꝛũ aſſumptus quartus erit cubus. at illis cõtinue ſumptis oẽs ſumentur. conſtat itaq; ſi b— b— aaA Saus ſecũdus fuerit cubus omnes cubos eſſe.. b 1
1 bac maniin ¶ Si pꝛoximoꝛũ altera parte longioꝝ vnus in aliũ ducat᷑: pueniet altera ꝑte longioꝛ s ekciera ¶ Sint a et b duo hunc in modũ altera parte lõgioꝛes et medius inter eos quadꝛatus ſit c cuiꝰ latus 72 l. rdade— ſit d qð per viceſimãquartã huius erit differẽtia inter a et c ⁊ inter c et b.ſitq; a minoꝛis altera parte h— Tcremt n longioꝛis latus alterũ e.eritq; d maius e vnitate.⁊ qꝛd in ſe facit c et d in e facit a erit ꝓpoꝛtio c ad a 12 cue ipefide tanꝙ d ad e. Sit itẽ vt ex d in f ſiat b erit f vnitate maioꝛ d. addat᷑ itaq; e ad a et ſit cõpoſitus gꝛqꝛ ex d b3— udgir in e ſit a ex f in eſiet g:vt facile ꝑ decimã pꝛimi oſtẽdatur cũ numerus fnumerũ d ſolavnitate ſuperet 8 4 add aiae et qa fin e facit get d in e facit a:erit per octauã ſecundi ea ꝓpoꝛtio g ad a q̃ eſt fad d.ſed ⁊ ꝑ ſeptimã— ,—
a ed eiuſdẽ etiã b ad c ſicut f ad d: quare ⁊ b ad c ſicut g ad a. quare ꝑmutatĩ b ad gᷣ ſicut c ad a:ergo ꝑ vice⸗„ enu neumas mäquintã ſecundi qsð ſit exb in a datis altera parte lõgioꝛibus equale eſt ei qͥ fit exgin cat qͥ fit exg— 82. i ee inc eſt altera pte longioꝛg diffinitionẽ: cũ g et c ſola vnitate differãt. ꝙg ſit cõpoſitus ex a et e ⁊ dꝛia 6 ahaf neemeit a ab ipſo quadꝛato c ſit dꝛa qua qͥᷣdem dꝛĩa d numerus e additus a in cõpoſiſtone ſola diſtat vnitate. 6——. wü.tmlpnunihneimg cõſtat igitur numerũ qui ꝓducetur ex b in a eſſe altera parte longioꝛẽ.⁊ pꝛopoſitum. mdem d r‿„— 3„—.„—,,„—
danane CSi ꝓximi quiq; pte altera lõgioꝛes cũ duplo quadꝛati inter eos cõſtituti ↄponant᷑ Cud qaud:ini neau 5 2½— — Ppueniet quadꝛat“ cuiꝰ radix erit ex minoꝛe mĩoꝛis ⁊ maioꝛe maioꝛis latcrib oſtit cdipocidte irirdicur 40 65 enĩ a er5 duo quicũq; pꝛoximi altera ꝑte longioꝛes et eoꝛũ medius quadꝛatus c.ſintq; d e la⸗ * era altera ꝑte lõgioꝛis a:⁊ e flatera altius altera ꝑte longioꝛis b. dico ꝙ ſi a bœᷣponãtur cũ duplo c 100*
— totũ aggregatũ vt g eſſe quadꝛatũ: cuius radix eſt cõpoſita ex d et f.nã perviceſtihãquartã huius e eſt„— t ncumefurdiscat dꝛia a ad cetbadc: ergo ꝑ ſecundã pꝛimi cõpoſitum ex a ⁊ b eſt duplũ ad c.at duplũ c cum a b duplo 20 25 30 — ruu ami eiuſdé erunt eius quadꝛuplũ quodq́ᷣdem poſitũ eſt g. quattuoꝛ igit in c ꝓducũt g.at quattuoꝛ deuo 6— b— uekigeldedum eſt quadꝛatus cum pꝛoducat᷑ ex duobus in ſe ductis ⁊ ſifr cpoſitus eſt quadꝛatus. ergo ꝑ decimãquar 5 6
ad co altera pmebaom tam p̃ſentis et g eſt quadꝛatus.et cũ gquadꝛatus quadꝛuplo ſit ad c quadꝛatũ: ergo per tertiã huius
.. primi d et f ſimul ſunt duplũ e lateris c:quare radix quadꝛati g eſt ↄpoſita ex d et f:qð eſt ꝓpoſitũ. — ae ¶ Si duo quilibet pꝛoximi quadꝛati cũ duplo medij inter eos altera ꝑte longioꝛis cõ Slunt necimetamenn iungatur:cõpoſitus erit quadꝛatus latuſq; ipſius ex lateribꝰ ipſoꝝ compoſitũ. a0däcqanhs dctdꝛunen ¶ Sint a b duo quilibet pꝛoximi quadꝛati et c medius inter eos altera parte lõgioꝛ et d e eoꝝ late ra ng nupieuntzieaem quartä huius ex din eſ 5 An aehs erte Copoftr quarta huius exd in e ſiet caltera parte lõgioꝛ inter a et b:quare per nonã pꝛimt er ꝗᷓ 5 5 4 ct unht ai 5† d in ↄpoſi itũ exd e: quodqͥdem cõpoſ itum ſ it get per eandẽ c cũ b wa quod lunte in Sraha am 4—— 1 9. eſt in get p eandẽ nonã qð ex det e in g tanꝙ́; quod ſit ex g in ſe. erit igik quadꝛatũ numeri g tm̃ — 82 une ⁊c⁊cbꝛ:ergo ꝙtum a et b ⁊c bis.fuit enĩ c bis ſcʒ ſemel cũ a et ſemel cum bſ umptũ:ſed illud Tadea panoanen Quod ebat ex a et b ⁊ cbis poſitũ eſt eſſe f.eſt igitur f quadꝛatus cuius latus eſt g. et qa g eſt ↄpoſitꝰ
— rdmeactden.—˙8i ſerde-
— dea 3 ¶ Si ad duos vſq; nũcros vnitate diſtãtes: oẽs numeri ab vnitate coaceruẽtur:qͥ ex
— b Peluattone Peouenift erit mͤemue ꝗuad?atiis latuſq; ipſius coaceruatoꝝ maximꝰ. „i Al. Simenu oliti ꝑ duos oꝛdies vſq; ad e ⁊ d duos qͥdẽ nũerosvni iſtätes ᷣmus
nan düre dſte hoc mõ vnitas ab cde:⁊ ſcðᷣ ö vnitas⸗:ꝛ ſit Sroswerirate vildteo Prfrne
e e. O ⁊ ſcðᷣus hoc mõ vnitas a b cd:⁊ ſit quadꝛatꝰ e num„di i— tanq́; oes numeri illoꝛũ duoꝝ oꝛdinũ coaceruati Signo enio ẽs aadratos heriswbe int vedflrt
— P oꝛdinẽ f̊ ꝗh lel vnitas.eritqʒ g qu ↄ dꝛet e vnitas 43 aSauadꝛat det h quadꝛato c:le quadꝛatus b:et l quadꝛats a. ⁊ poſtea
u 1s dꝛĩa ⁊ dꝛĩa mn ad g eſt d. ergo ꝑ octauã conceptionẽ dꝛĩ emoyf gẽ ed. et ſili argumẽto dꝛiĩa g ad h eſt dc. et dꝛĩa h adlꝛ eſt c bꝛ⁊ dꝛia lꝛ ad leſt rion d.kaſee nea 68 3 ad j:fiet lꝛ. addita inſuꝑ c b dꝛĩa lꝛ ad h adb duplav,ae, ea5 adle. ad a ꝛ duplavnitaté:i.
ad ditat 2dalalzad hadba⁊ aet duplãvnitatẽ. i. ad l? fiet hꝛ⁊ ſimi i had gad cbib aꝛa et duasvnitates: hoc eſt ad h:fſiet g. et addita e d dꝛia g 5 f ad f⸗voltade deis ur conceptionẽ conſtat ꝓpoſitum demonſtratum. 3
2
„ 25 F 4 6 9 5 35— — e-— 6 36 5 — N·m 3 4
4. 3 3 9 b—— b l——,p 2 4 2 9— a l— 1 1 1 1

30
.--
64 8— 52
4 096 4 262144
A
— 256
t 512 —BqRNV—8
b 64
7²9 386691489
—
243 14548907
dico h eſſe cubuz et c eſſe quadꝛatũ. Pꝛimũ ꝑʒ.duco enĩ b in a ⁊ fiat d ꝑpalã eſt d eſſe cu ipᷣm numerat ßᷣm bꝛergo ꝑ coꝛrelariũ decimeſeptime huius b eſt cubus qð eſt pꝛimũ. Scoͤm oſtädi
—
60 2
81 59049
c k—— 19683
d 1 r 3 7²⁹
e m—— 3 27
f—n— 12
7 12 24 — g b
3 c e
2* d f—
9 12 16 8 c b—
d—f † 4 e
V dt ſunt latera aꝛet es ſunt latera b. ſunt igik a et b per diffinitionẽ ſupñcciales ſiles:q⸗
minuſq; laterum ipſius:coaceruatoꝛũ maxuimus
¶ Sint huiuſmodi nũeri bino oꝛdine ſumptt vnitas abc dq ſimul aggregẽtur fiatca i. e, altera ꝑte longioꝛẽ:eiuſq; minus latus eẽ d.nã per pᷣcedentẽ ſi pᷣdictis nũeris addo 9 m: quedicot cuius dꝛia a medio altera ꝑte lõgioꝛe eſt e. remoto igit᷑ numero e a quadꝛato f rem 9f et quadꝛatugf gioꝛ mediꝰ int᷑ f ⁊ pꝛoximũ minoꝛẽ quadꝛatũ.Sed qͥ remanet ãmoto e eſt aggr et altera hte
¶ Quicunq; ex numeris ab vnitate bis ſumptis coaceruatur:eſt parte altera ong 11
. 9 oꝛdinũ ſeʒ m:igit᷑ m eſt altera ꝑte longioꝛ mediꝰ inter f et pꝛoximũ minoꝛẽ auadrat elgnn
altera ꝑte lõgioꝛ fit ex d in e illoꝛũ quadꝛatoꝝ lateribꝰperviceſimãquartã pñtis d aũt
altera ꝑte lõgioꝛis m minꝰ latus ẽ d.at d oꝛdinũ aſſignatoꝝ maximꝰ ẽ nũerus.ↄſtat ʒ minugeſke
tota ꝓpõfirm
¶ Si fuerit nũerus q̊dꝛatus cubicꝰ:latus quidẽ ãdꝛati erit cubꝰ latusʒo cub äͤduar
¶ Sit a nũerus quadꝛatꝰ cubicus cuiꝰ quatenus quadꝛati latus ſit b:quatenus vero cabi latmsſte bletaahe ſit e quadꝛatũ c: qꝛ qð ſub c et e extremis cõtinetur equũ eſt ei qð ſit ex b in ſe. ergopp vitenn ſecundi e b cſunt continue pꝛopoꝛtionales ſed e pꝛimus eſt poſitus quadꝛatus: unr ende huius eſt quadꝛatus:ſicq; totum conſtat pꝛopoſitum. rer eper decin⸗
¶ Si fuerint duo numeri quadꝛati cubici: medius inter illos in continua pꝛoponi nalitate crit cubus:duoꝛum vero medioꝛũ vterq; quadꝛatus.
¶ Sint a et b duo quadꝛati cubici: qꝛ a ⁊ b ſunt quadꝛati ꝑ coꝛrelariũ quarte huius ẽ inter eoomun medius ꝓpoꝛtionalis qͥ ſit c. et qꝛ a ⁊ b ſunt cubi ꝑ idem coꝛrelariũ inter eoſdẽ ſunt dud medij;yn tionales d ſint d ⁊ e.dico ergo c eſſe cubũ et d ⁊ e eſſe quadꝛatos.c aũt eſſe cubũ declarak. nan ducoi in b et ꝓueniat f:qꝛ a ⁊ bſunt cubi:f etiã per decimãſextam huius erit cubus et cña c⁊ b ſint pupn tionales:ergo ꝑ viceſimãſextam ſecũdi cubus ſiet ex c in ſe.quare f eſt quadꝛatus ipſiusc. eſtigtn
f quadꝛatꝰ cubicus: quare c latus f vt quadꝛati per pᷣcedentẽ eſt cubus qð eſt pꝛimũ.ſed det eeſſe
dꝛatos hinc liquet: qꝛ b e d ſunt cõtinue pꝛopoꝛtionales et b pꝛimus eſt quadꝛatus. igitur ⁊ tertius per decimã huius. Item a d et eſunt numeri ꝓpoꝛtionales et a pꝛimus eſt quadꝛatus igik per eande decimã ⁊ e tertius quattatus.Eſt igitur tota pꝛopoſitio nota.
¶ Duos q̊dꝛatos cubicos iuenire:int᷑ quos nũeri quotlibet medij ꝓpoꝛtiõalf umit ¶C Si duos qᷣdꝛatos cubicos iubeoꝛ ĩuenire inter quos quotlibet int᷑iaceãt medij ꝓpoꝛtionalesun nüeros ꝓpoꝛtionales ples duobus:ipſis mediis:quos iubeoꝛ iuenire.verbi cã ſi iubeoꝛ iuenite duus quadꝛatos cubicos int᷑ quos ſint quattuoꝛ medij ꝓpoꝛtionales ſumo ſex nũeros cõtinue ꝓpoutiäals vt abe def:quoꝛũ per oꝛdinẽ ſumãtur cubi ghlꝛlm n:qͥ per ſextã huius ſunt etiã ꝓponionales au quidẽ cubi in ſe per sꝛdinẽ ducãtur et pꝛoueniãt opqrst. dico itaq; o et t eſſe duos tales quaxuats cubicos.nã cum gh et ceteri in ſe ducãtur o ꝑ q ⁊ ceteri ſunt quadꝛati: et qꝛ g h ⁊ ceteri eoꝛi ſcʒ la ra ſunt ꝓpoꝛtiõales:per quintã huius op ꝗet ceteri eoꝛũ quadꝛati ſunt ꝓpoꝛtionales.at am getn
ſint cubi ergo per decimãfextã huius o et t erunt cubi.ſunt igitur o et t quadꝛati cubici inter qua
quattuoꝛ numeri pars ſunt medij pꝛopoꝛtionales:qð eſt pꝛopoſitũ.·
¶ Duos ã̊dꝛatos cubicos repire:int q̊s medios ſᷣm datos nũcros ſumẽ ſttpoſit ¶ Sint dati nũeri 27 b: ꝓpoſitũq; ſit duos quadꝛatos cubicos ĩuenire:inter quos ſint numeri tionales ſᷣm a ⁊ etiã ᷣm b:ſitq; a binarius et b ternariꝰ.qͥa enĩ ꝓpoꝛtiones ſemp ſuntvnopplures yi mediis et a eſt binarius:iõ vt medij inueniãtur ſᷣm a opoꝛtet tres eſſe ꝓpoꝛtiones. et qabelttenn vt inueniãtur medij ſcðᷣm b opz quattuoꝛ eſſe ꝓpoꝛtiones. Duco ergo tria in quattuoꝛet pꝛoleniae et ſcoᷣm c oꝛdino cõtinue ꝓpoꝛtiões in nũeris rdefghlꝛ lImnopq:quou q et rp pᷣcedentẽ ponannn quadꝛati cubici: et ↄiũgo quattuoꝛ ex illis ꝓpoꝛtiõibꝰ vt hic ſcom quat᷑nos et qᷓternos oꝛdies:t hebo tres medios ꝓpoꝛtiõales ſcʒ n lꝛ fꝑ equã ꝓpoꝛtiõalitatẽ.⁊ ſilr ↄiungo tres ex illis vthicp qulnosi dnos oꝛdines et hẽbo m ⁊g duos medios ꝓpoꝛtiõales int᷑ q etr quadꝛatos cubicos:qs etqyol
¶ Int᷑ qſlibet duos ſupficiales ſiles:teruũ in ↄtinua ꝓpoꝛtiõalitate medücnceec ¶ Sint a et b nũeri ſupſiciales ſiles:et latera a ſint c⁊ d:et latera b ſint e f.dico ink aetdemun y merũ in cõtinua ꝓpoꝛtionalitate. nã dͥa a et b ſunt ſiles ꝑ diffinitionẽ eius latera ſunt ꝓpenionalũ ideo qᷓ ꝓpoꝛtio c ad d:ea eſt e ad f.quare ꝑmutati q̃ ꝓpoꝛtio c ad eꝛea eſt dad f. duco ergennda g:et qͥa c in d facit aꝛet b in eundẽ d facit gꝛergo ꝑ octauã ſ coi ꝓpoꝛtio a ad gvt cad e.i q́ tenie facit g et e in f facit bꝛergo ꝓpoꝛtio g ad b vt d ad f. ſed ꝓbata eſt ꝓpoꝛtio c ad evt dad eergo opo tio a adg vt gad b.eſt igitur inter a et b nũerus g medius ꝓpoꝛtionalis: qd erat demoſtrandun
¶&☛ ſi tertio int eos mediꝰ ꝓpoꝛnõalf cecidcrit:duo qͥlibet nũeri eft ſupheulsſ ¶mec eſt cõuerſa pPᷣcedẽtis. Sint enĩ a et b dcunq; duo nũeri inter quos ſit cmediꝰ ꝓboꝛtin nã mmi a et b ſuꝑſiciales eẽ ⁊ ſites.capio enĩ de mĩmos in ꝓpoꝛtione a ade qͥ qꝛ miĩmi per decimänona⸗ numerabũt a et c equalf:ſitq; id ſcðm fet ſilr nũerabũt c et b equalit᷑: fitq; id ſcðᷣm g mani fciale cñ a ſub duobus lateribus d et fꝛet b ſub duobus e gcõtineat:a et bp diffinitionẽ elupngar Sed g ſint ſimiles pz. nã qꝛ per hypotheſim d et e numerãt c et b ſecundũ gꝛd numeratel tionalen: numerat c ſecundũ f vt et poſitũ eſt. igitur per viceſimãquintã ſecundi dfet egſ unt puiepolt
————
— —
——.
— —
——
—
— —

mſe. — docndles erd zunachgn
duln dper ſerihauin aikopqrsi. dic arch
emsacs Duacrun EIn eythat 824—
VI„ „.. 8,75 5 ☛ 32 22 5 AäSA Si fuerit duo nũeri ſupficiales ſiles: erit ꝓpoꝛovniꝰ ad alteꝝ tãq́; qᷓdꝛati ad üdꝛatu ¶ Sint a et b duo ſuꝑſiciales ſimiles:dico ꝓpoꝛtionè a ad b eſſe q̃ quadꝛati ad quadꝛatũ.nam ꝑ ant pᷣmiſſam crit inter eos vnus medius ꝓpoꝛtionalis qͥ ſit c. Sumo ergo tres minimos in eoꝝ Ppoerioe qͥ ſint def̃ꝑ pꝛimã huius d ⁊ ferũt quadꝛati.et cum ꝗᷓ ꝓpoꝛtio d ad e ea ſit a adc. ⁊ de 5 fea 1f cad ergo ꝑ equã, ꝓpoꝛtionalitatẽ q ꝓpoꝛtio d ad f quadꝛati ad quadꝛatũ ea eſt a ad b:qð eſt pꝛopoſitũ.
¶ Si duoꝛum numcroꝛum pꝛopoꝛtio fuerit que quadꝛati ad quadꝛatum illos ſuper⸗
ficiales ſimiles eſſe neceſſe eſt. 3 5- ¶ hecleſt cõuerſa pꝛecedẽtis. Sint a et b quadꝛati ⁊ ſit ꝓpoꝛtio c ad d q̃ a ad b: dico c d numeros eſſe
ſuꝑſiciales ſiles. Mam ꝑ coꝛrelariũ quarte huiꝰ eſt vnus mediꝰ ꝓpoꝛtiòalis int᷑ a ⁊ b.q̃re ⁊ ꝑ duodeci
mã quarti vnꝰ erit mediꝰ ꝓpoꝛtiõalis int᷑ c et d.qre ꝑ 40 huiꝰc ⁊ dſunt ſuꝑſiciales ſiles:qðᷣ ẽ ꝓpoſitũ
3 ¶ Si duoꝝ ſuperficialiũ ſimiliũ alter in alterũ ducat᷑:quadꝛatus numerus pꝛoducct᷑. ¶ Sint a et b ſuꝑficiales ſimiles: ducaturq; a in b ⁊ ꝓueniat c:dico c eſſe quadꝛatũ. Mam ꝑ triceſimã nonã huius inter a ⁊b eſt vnus medius ꝓpoꝛtionalis qͥ ſit d. qa ergo a d b ſunt cõtinue ꝓpoꝛtiõales per viceſimãſextam ſecundi idem eſt qui fit ex a in b⁊ ex d in ſe. at qðᷣ exd in ſe ſit eſt quadꝛatũ: igitur et c quod ſit ex a in b:quod eſt pꝛopoſitum. 12 ¶ Si ex ductu duoꝛum numcroꝛum vnius in alterum
pꝛoducatur quadꝛatus:illos duos ſuperſiciales ſimiles eſſe conueniet.
¶ Hec conuertit pꝛecedentẽ. vt ſi ex a in b pꝛoducatur c quadꝛatus:dico a et b eſſe ſ uꝑſiciales ſ imiles Mam per viceſimaſextam ſecundi latus tetragonicum c erit medius pꝛopoꝛtionalis inter a et b. ergo per quadꝛageſimã huius a et b ſunt ſuperfſiciales ſimiles: quod intenditur.
¶ Mam oĩs ſolidus per diffinitionẽ habet tria latera quoꝝ tertium ducit᷑ in pꝛoductũ ex reliquis.at talis ꝓductus eſt ſupercialis. numerat᷑ igitur oĩs ſolidus ab aliquo ſupficiali vipꝛoponebat᷑.
¶ Datis tribꝰ nũcris cũ triplici mõ ſ olidꝰ ꝓcrcet᷑: vnus tñ idẽq; crit qͥ ex oibꝰ ꝓducet᷑ ¶ Sint tria latera a b c:et pꝛimo ex a in b fiat dꝛ⁊ exc in d fiat ſolidus e. ſcðo ex b in c fiat f et ex a in f ſiat ſolidus g. tertio ex a in e fiat h et exb in h fiat ſolidus lꝛ. dico tres ſolidos e gex tribus lateribꝰ triplici mõ creatos eoſ dẽ eſſe atq; eqnales. Mã qꝛ a in b facit d: et c in b facit f. ergo ꝑ octauã ſecundt dadf vta ad c:ergo ꝑviceſimãquintã ſecũdt idẽ eſt qͥ fit ex aĩfet c in d:ſed a in ffacit g ⁊ cin d facit e ſunt igit᷑ eg ſolidi equales.Itẽ qꝛ ex b in cſit f et ex a in c ſit h: ergo ꝑ eandẽ octauã que ꝓpoꝛtio b ad ꝗ ea eſt f ad h. ergo ꝑ viceſimãquintã ſecundi iterũ idem fiet ex a in fet b in h. ſed ex a in f fit ſolidus gꝛ et ex b in h ſit ſolidus lꝛ. ſunt igit᷑ ſolidi e ⁊ lꝛ adĩuicẽ equales:ſed et ſolidꝰ e poſits eſt equalis ſ olido g s̃ꝑ cõem ſcĩam lꝛ et e ſunt ſ olidi eqᷓes. ſunt igit᷑ vt ꝓponebat᷑ tres ſolidi e glꝛ adiuicẽ eq̃les:⁊ꝓpoſitũ ¶ Omnis numerus a tribus numeris numeratus ſolidus eſſe pꝛobatur. Sintabc tres nũeri numerãtes d:dico d eſſe numen ſolidũ.nãvel a eſt ᷣmusvel ↄpoſitꝰ.ſi ↄpoſit⸗ ergo ꝑ quadꝛageſi imãaſextã huius qͥcunq; nũerus in ipᷣm ducat᷑ ꝓducet ſolidũ:ſi icq; cõſtabit pꝛopoſitũ. Si aut ſit pꝛimꝰ qꝛ b nuůͦeratd f᷑m aliquẽ numerũ:ergo ꝑ quartã tertij a numerat b:vel alterũ tm quẽ nujerat.quare b aut is ſᷣm quẽ nũerat eſt ſuꝑficialis.erit itaq; ꝑ quadꝛageſimãſextã:vt pꝛius d ſolidꝰ.
¶ Qim duox ſ olidoꝛũ ꝓpoꝛtio:ẽ ex laterũ vniꝰ ad latera alteriꝰ ꝓducta ꝓpoꝛtiõibꝰ. ¶ Sint a et b duo ſolidi:ſintq; c d elatera a:et t gh latera b. dico pꝛopoꝛtionẽ a ad b eſſe cõpoſitã ex ꝓpoꝛtionibus c ad f:d ad g:⁊ e adh. duco enĩ c in det ꝓueniat lꝛ ⁊ fin get pꝛoueniatl. ꝑ nonã igitur quinti pꝛopoꝛtio lꝛ ad! cõpoſita eſt ex pꝛopoꝛtionibus cadf ⁊ dad g. et qꝛ per quadꝛageſimãoctauaʒ henibs ue dweerur 83 er h Anpeuerier⸗ ⁊ b. ergo Per nonã quinti pꝛopoꝛtio a ad b vt iꝛ ad lete ad — opo monitrata eſt cõpoſita ex cad fetd adg. ergopꝛ pꝛopoꝛtionibus c ad f:d ad gꝛet e ad h:quod eſt pꝛopoſſi S Soid oitloa adb Grupolitoeſter
Si duo ſolndi ſiles allos duos equalit numcrẽt:illos ¶ Sint a b duo ſolidi ſimiles:numerẽtq; de equalitervt ſecundũ c. dico d e pariter eẽ ſolidos ſimiles aſſigno enimf gh latera a:et lal mn latera b. ducoq; fin g⁊ ꝓueniat n et lꝛ inl ⁊ ꝓueniat o. et qꝛ h inn 2 Aadeagen maeanihulna tacit a: et in in o facit b. eſt itaq; n in a tm hꝛet a in d ſᷣm c. ergo p viceſi⸗
pꝛimin eſ cundũ pꝛoductũ exci et ſimi etbi 3 acene vuerfunrt naſo u Penr ex c in h qͥ ſit p.et ſimiliter qꝛ o eſt inb eBmmet bine fm c:
elt pꝛoductũ ex c in m qͥ ſit q.⁊ qꝛci b 1 1 que ꝓpoꝛtio h ad m ꝑ ſeptimã ſecundi ea eſt p ad 9r ꝗ ſit ꝗ. ⁊ aꝛ c in h facit p et c in m facit ꝗ. ergo
1 lecundi ea quare ⁊ qfadlꝛ et gadl. ſed p inn facit d ⁊ qi facit e vt monſtratũ eſt. Sed tm̃ eſt fin g Ttum ni:et in l qᷓᷣtum o.ergop f̃g in ſe kacket dꝛetalꝛ nmee
c 3
quoq; ſolidos ſiles eẽ ncce ẽ.
24 36 54 a⸗ c b— 6 9 d—.— 4 b— — d m296 c—
4 36 54 9A— b— a—
*
g 24. 2 12 8
—.— h— 1 3
2 b— d—
d 3 8g—2
e 2 h 1
d 16 eꝛng C 2
9 8 b—ͤ 5
vd—2— 1
—29 32
8—z— 4

2
a— b—
—— b c—— d
e- g——h
iidem nõ ſint cũ e ⁊ h per quintã quarti ſint contra ſe pꝛimi:quare per viceſimã
g
facient e.ſunt ergo d ⁊ eſolidi et latera d ſunt p fg⁊ latera e ſunt q n l. ſed illa nalia:ergo d et e ſunt etiãſimiles:quod eſt totum pꝛopoſitũ monſtratũ. ila pꝛobans ſunt Ppontio⸗
¶ Inter quoſlibet duos ſolidos ſimiles: duo numeri in cõti
medij intercidunt. 1. ¶ RNam ꝑ penultimã ꝓpoſitionẽ erit ꝓpoꝛtio vnius illoꝝ ſolidoꝛũ ad reliquũ tanqᷓ lateri
latus alterius ꝓpoꝛtio triplicata. Sumam ergo quattuoꝛ nũeros in ꝓpoꝛtionel Arena e ipſiuo pmi ad quartũ erit ꝓpoꝛtio lateris ad latus triplicata: illa erit eadẽ ꝓpoꝛtioni ſolidi ad latus. per duodecimã quarti quot media ſunt inter pꝛimũ ⁊ vltimum tot erint inter lolidunn iodi,at media ſunt duo:ergo inter ſolidum ⁊ ſolidũ itidẽ erunt duo: quod eſt pꝛopoſitũ olidum, a
¶Si fuerint quattuoꝛ numeri cõtinue pꝛopoꝛtiõales: duo extremi erunt ſolid ¶ Hec eſt cõuerſa pꝛecedẽtis. Sint a b ed quattuoꝛ numeri cõtinue ꝓpoꝛtionale dos ſimiles. Sumo enĩ efgh quattuoꝛ illius ꝓpoꝛtionis mĩmos q̊ ſi cũ aſſignatis iidẽ fuer
ſcðᷣam huiꝰ e ⁊h ſint cubi ſilr a et d erũt cubi.quare ſolidi ſimiles ſicqʒ firmũ ſtabit Ppltiean uecy per dun n tertij in ſua ppoꝛin mĩmi et ꝑ decimãnonã eiuſdẽ equaliter numerabũt a et d. ſed e xh cum ꝑ ſecundã huius lncha
ſunt ſolidi ſimiles.ergo iterũ per quĩquageſimãpꝛimã huius a et d ſunt ſolidi ſiles: qð eatuu üj
.—— 3 1.2— 3„ polltu ¶Omniũ duoꝛũ ſolidoꝝ ſimiliũ:eſt ppoꝛtiovnius ad alterũ tanq́ʒ cubi ad cubum.
¶ Sint a et d ſolidi ſiles:dico ꝓpoꝛtionẽ a ad d eſſe pꝛopoꝛtionẽ tanqᷓ; cubi ad cubũ. qꝛp quinquag 1
ſimãſecundã huius inter a ⁊ dſunt duo medij ꝓpoꝛtionales.ſint ergo illibe: capio vt puusef u illa ꝓpoꝛtione mĩimos quoꝝ ꝑ ſcðᷣam huiꝰ cõſtat e ⁊ h eſſe cubos q̃̊ ſi iidẽ ſint cũ pdictis oſtat ppoſtt ſi nõ idẽtidẽ:qꝛ ꝑ equã ꝓpoꝛtiõalitatẽ q̃ ꝓpoꝛtio e ad h cubi ad cubũ eadẽ ẽ a ad d:qdð iterũ ẽ ꝓpoſti ¶ ſi vnius ad alterum fuerit pꝛopoꝛtio tanqᷓ; cubi ad cubum: quoſubet duogm. meros ſolidos ſimiles eſſe neceſſe eſt.
¶ bec eſt cõuerſa pᷣcedẽtis q̃ᷓ ideo vera eſſe cõuincit᷑: ꝙ ꝑ coꝛrelariũ quarte huiꝰ int quoſlibet cubos duo intcipiãtur medij ꝓpoꝛtionales.igr̃ ꝑ duodecimã quarti et int᷑ illos ſolidos itidẽ duo intiaceh medij ꝓpoꝛtiõales.ergo ꝑ 3 huiꝰ duo extremi qͥ erũt ſolidi aſſignati erũt ſolidi ſiles:qd eſt ꝓpoſt
¶ Si fuerint duo ſolidi vni ſolido ſimiles:ipſi quoq; inter ſe crunt ſimilcs.
¶ Sint a b duo ſolidi ſimiles ſolido c:dico a et b eſſe ſolidos inter ſe ſimiles. Nã qꝛa cſunt ſolbiu
ſe ſimiles:ergo per quĩquageſimãſ ecundã huius inter a ⁊ cſunt duo medij ꝓpoꝛtionales q iitden ſimiliter per eandẽ inter b et c qͥ ſint f g.igitur ꝑ decimãſeptimã quarti duo ſimiltt eruntinter aai quare a ⁊ b per quinquageſimãtertiam huius inter ſe ſunt ſolidi ſimiles: qs erat demõſtrandi.
¶ Si fuerint quattuoꝛ numeri pꝛopoꝛtionales et duoꝛum extremoꝛum qullbetn.
quadꝛatum alterlus ducatur:pꝛouenient cubi alioꝛum.
¶ Sint a b cd quattuoꝛ numeri cõtinue ꝓpoꝛtionales:ſitq; e quadꝛatũ a et f quadꝛatũ d ducʒturg in e ⁊ ꝓueniat g et a in f⁊ ꝓueniat h.dico igitur g et h eſſe cubos b ⁊ c.duco enĩ b in ſe zſiat lꝛgeenl ſunt quadꝛati quoꝝ latera ſunt a b erit per tertiã huiꝰ ꝓpoꝛtio e ad lꝛ tanqᷓᷣ ꝓpoꝛtio a ad h duplicꝛn quare tanq́; b ad dꝛergo per viceſimãquintam ſecundi idem eſt qui fit ex b in ꝛ et ein d.ſed qulſte in lꝛ eſt cubus b. qui autẽ ex e in d eſt g: igitur g eſt cubus b. ſimiliter ſi ducatur cin ſe ꝛſatlau eandẽ tertiã huius ꝓpoꝛtiol ad ftanꝗ́; a ad b duplicata.quare tanꝗᷓ; a ad e: quare perviceſimaqunn ſecundi vt pꝛius idem erit qui ſit excc in l et a in f:qui autẽ ſit ex c in l eſt cubus cꝛꝛ qui ſit er ainfel igitur h eſt cubus c:quod eſt pꝛopoſitum.“
¶ Datis lateribus ſiue laterũ ꝓpoꝛtionibus:ſolidoꝝ ſummã hitudinẽq; inucſin. ¶ He in ſolidis cõtinus eq̊ et diſcretis eandẽ hʒ veritatis certitudinẽ.ſi pꝛimo detur latera alcqn cunq; illa in ſeinuicẽ tria ſcʒ vnis et tria alterius et ꝓuenient ſtatim ꝑ quadꝛageſ imãoctauãhuius lidoꝛũ ſũme.ſi autẽ laterũ ꝓpoꝛtiones dẽtur cõpone per tertiã quinti laterũ ꝓpoꝛtiones: llceusya ſextã quinti continua eSt ꝓpoꝛtio ex laterũ ꝓpoꝛtionibus cõpoſita per quinquageſimãhuius aut 4 cõtinuatis cõponetur: erit ꝓpoꝛtio ſolidi ad ſolidũ ſ icq; nota erit folidoꝝ habitu do aiq; totunq ꝓpoſitio pꝛoponit notum. Sexti elementoꝝ arithmetices Joꝛdani finis.
Ar numerus eſt qui in duo equalia diuidi poteſt. Impar eſtin qxo—
H pꝛma pars eſt abſq; pari:additq; ſupꝛa parem vnitatẽ. Parium numod — alius pariter par:alius pariter ĩpar:et alius impariter par. Panta, da 4 auẽ nullus impar numerat. Pariter ĩpar eſt quẽ quicunq; pares numerãt: cum ſch
uen. wal cj 1 2 Jhan i iĩparẽ numerãt. Imparit᷑ par eſt quẽ quidã par ſᷣm parẽ ⁊ quidã ᷣm impatẽ nuna
Medius inter duos numerus dicitur: qui inter eos poſitus cqualit ab vtroc n Medij dicũtur duo numeri qui nõ habẽtes aliquẽ interpoſitũ:equalcs vibena 3 tremos differẽtias. Perfectus numerus appellatur qui ex omnibus ſuls pani lunctis perſicitur. Abundans dicitur: ad quem omnes ſue partes cõparaten i bere reperiũtur. Diminutꝰ vero cuius partes cõiuncte oẽs minus ipſo con
nua pꝛopoꝛtionalita-
nt ſoldiſſts, 8:dico aetdeſett
—
—
—
—
d
—

r Tcamlicpenicamne 2s inter ſe ſunt ſoldi imai-
VII
W 1 CSi quotlbet ſibi coaceruentur pares: qui pꝛoueniet erit par. b b
¶ UMam ex diffinitiõe paris quotquot aſſignabũtur eoꝝ qlibet hʒ medietatẽ. at oẽs eoy medietates
fextã pꝛimi adinuicẽ coniũcte: coaceruati dimidiũ conſtituũt. coaceruatus igitur cum in duo equa
diuidi poſſit erit par: quod intendebatur.
¶ Si par ct impar comiuungantur:compoſitus erit impar. e. ¶ Mam ſi ab impari auferatur vnitas cũ ſolam vnitatẽ per diffinitionẽ ſuper parẽ addat: relinãtur par.qui ſi addatur alteri pari:per pᷣcedentẽ compoſitus erit par. cui quidẽ ſi ablata reſtituat᷑ vnitas: totus per diffinitionè fiet impar.at ille erit qͥ ex pari ⁊ ĩpari cõſtat. ratũ eſt ergo qð pꝛopõ intẽdebat. us ¶ Si impar impari addatur: pꝛouenict numerus par. ¶ Mam ſi ab vtroq; eoꝛum dematur vnitas relinquẽtur duo pares qui per ãtepꝛemiſſam cõſtituent
numerũ parem:cui quidẽ compoſito ſi iungãtur due ablate vnitates que parẽ conſtituunt per eandẽ antepꝛemiſſam totus rurſum euadet par. hoc autẽ intendebat pꝛopoſitio. ¶ Si impares numcro pares ſibi coaceruẽtur: totus ex eis cõflatus erit par. ¶ Mã cũ nũerus quo eos ſumimꝰ ſit par: in eo binariꝰ aliquoties ſumet᷑ qͥ toties ꝑ pᷣcedentẽ binario copulati erũt pares.igit᷑ per pꝛimã huiꝰadinuicẽ ſ imul additi ↄſtituunt numen parẽ: qð eſt ꝓpoſitũ. ¶ Si impares numero impares coaceruentur: cõpoſitus crit umpar.
¶ Mam ſi vnus eoꝝ omittatur per pꝛecedentẽ compoſitus erit par:ergo per ſecundã pñtis ſi ↄpoſito addatur omiſſus ipar:totus qͥ inde naſcitur ex oibus compoſitus erit impar qð eſt pꝛopoſitũ.
¶ Sia pari detrahatur par: reliquetur par. b ¶ MNam ſi relinqretur impar: idem cum detracto additus per ſecundã pꝛeſentis cõſtituiſſet imparẽ:
quod eſt contra hypotheſim. verum isitur eſt pꝛopoſitum.
¶ Si impar a pari tollatur:reſiduus erit impar. na
¶ Nam ſi reſiduus poneretur par: idem detracto appoſitus per ſecundã huius cõſtituiſſet imparẽ: quod eſt contra hypotheſim. erit igitur verum pꝛopoſitũ..
¶ Si ab unpari impar tollatur: remanebit par.
¶ Mam ſi remaneret impar: idem ablato additus per tertiã huius cõſtituiſſet parem: at poſitus eſt impar.relinquitur igitur par: quod eſt pꝛopoſitum.*
¶ Si par umpari ſubſtrahatur: reliquus erit impar.
¶ WMam ſi reliduus eſſet par: ſubſtracto additus ꝑ pꝛimã huius cõſtituiſtet parè: quod eſt contra po
ſitum. relinquitur igitur pꝛopoſitum verum. ¶Dmnis numerus per parem multiplicatus: parem pꝛoducit.
¶Si impar in imparem ducatur: qui pꝛoducetur erit impar. ¶ Mam multiplicatus impar per diffinitionẽ toties erit in pꝛoducto quoties vnitas in multiplicãte impari. at in illo vnitas eſt in numero impari. igitur per quintã huius illi impares et numero quidẽ impares ſimul additi cõſtituent pꝛoductũ imparem:quod eſt pꝛopoſitum. ¶ Quemcunq; par numerat:eum eſſe parem neceſſe eſt.
Cmam par numerãs p diffinitionẽ põt in duo equa diuidi in cuius medierates fi numers ſecundij quenumerat ducak:per nonã pꝛimi eundẽè pꝛoductũ ꝓducit.at idẽ numerꝰ in alt erã medietatũ ductꝰ ꝓducti ꝓducit dimidiũ.igit᷑ ꝓductus vt qͥ põt in 38 equa ꝑtiri ꝑ diffinitionẽ eſt par:qð eſtꝓpoſitũ. impar e
Neeundumn imparem cum numerabit.— ecundũ parem:ergo alternatĩ per octauã pꝛimi par numeraret quod ꝑ duodecimã huius eſt ĩpoſſibile.verum igitur pebpo lnk.
medietatẽ habeat impar ergo ille per illius medietatẽ pꝛoducet totius medietatẽ. numerabit igitur impar ille:
ꝛecedentẽ d etiã numerabit d a pꝛimus ad c:qdð eſt ꝓpoſitũ. 6†
.—
d—
41
be — b'2s
6 3s —— b
30
C
8— 5 6— b

7 14
— 6 ſefquiſexti. n
5 ſeſqutaͤnti. 10
—44
—y—
4 ſeſ Aauarti. 8 3 ſeſ qurerrit 56
2 ſeſqualteri. 4 Dupi 2 3——
—„—
e 6 m— 11 9— 5 1 9 —4—7 b 3 5—
—.—;
—e m d— 16— 81 — B— 27
e 13 3 4. d 6 E 7 b 9 t 83 d 2 f 3 r— . 1 —
quod eſt pꝛopoſitum.
diſtare a et b. quare per diffinitionẽ ſunt medij qð eſt pꝛimũ. Scðo dico ꝙ ſi inter a cbiitdnomenl
¶ Si diſpoſitoꝛum ab vnitate numcroꝛũ ſecundũ naturalem ſeriem: omniũdu mantur:pꝛouenièt omnes parcs ab vnitate:eruntq; parium eodẽ oꝛdine ſum pul, et numeroꝛum ab vnitate diſpoſitoꝛũ pꝛopoꝛtiones. b— ple que
¶ Diſpono numeros ab vnitate ſecundũ naturalẽ ſeriem vnitas abcdef: uoy per oidi plos g hklm no.dico pꝛimo oẽs pares ab vnitate vſq; o eſſe acceptos.ſecũdo qᷓ pꝛopoꝛti nẽſumon meroꝝ abvnitate diſpoſitoꝝ:vt a ad vnitatẽ:b ad a:c ad bꝛd ad c:e ad d ⁊ fade:tales eſſ onesſunt o:dine parium:vt h ad get lꝛ ad h ⁊ladiꝛ et ita ceteroꝝ. PMꝛimũ patet.nam pꝛimo du er oꝛd manifeſtũ eſt cum quilibet eoꝛum in duo dimidia que equa ſunt diuidi poſſit. Et ꝗ nullnos l Efris ſit par certũ eſt qꝛ talis nõ haberet mediũ in numeris: ꝙ ſi haberet vllũ coincid n⸗ ugaba aſſignatoꝝ · certũ eſt ergo oẽs pares fuiſſe acceptos. Secundũ patet.nã que ꝓpoꝛtio a dit clalchr b tatis ad g.ergo ꝑmutatĩ per tertiã ſecũdi q̃ ꝓpoꝛtio a ad vnitatẽ: ea eſt h adg. Itẽ hien
le 4 ur tẽ queb ad h ad h. ergo ꝑ eandẽ q̃ b ad a:ea eſt lꝛ ad h.et ita ꝑ eandẽ conſilr ꝓcede ⁊ totñ firmũ— 41
¶Si numeroꝝ ab vnitate naturali ſerie diſpoſitoꝛũ: duo ⁊ duo continue cöiunginn fient oẽs ĩpares abvnitate.ipſoꝛũq; impariũ pꝛoximi quiq;ʒ:erunt contra ſe pꝛimi 4
¶ Diſponat᷑ oꝛdo numeroꝝ ab vnitate ᷑m eoꝛum naturalẽ ſeriem: cõiungãturq; quiq; duo edu
ximi. dico pꝛimo omnes ab vnitate fieri ĩpares.ſcðᷣo vero quoſq; duos ꝓximos eſſe contraſe unn Pꝛimũ patet.nã quicunq; duo ꝓximi in naturali ſerie numeron p diffinitionẽ ſola nnitatediſan eoꝝ alter eſt par et alius ĩpar.ipſi igitur ſimul additi ꝑ ſecundã huius totũ conſtituũt mpers n. nullus ſit impar pꝛeter illos ſic cõſtat alioquin nõ poſſet ille impar diuidi in ömas partes qua 4 ſuper alterã addit vnitatẽ quod eſt contra diffinitionẽ.aut ſi diuidat᷑ cõſtituetur ex duobus banehe in naturali ſerie numeroꝝ pꝛoximis qð eſt pꝛopoſitum. Secundũ patet.nã cum oĩs impar ab mita⸗ addita vnitate ⁊vnitate ſubſtracta habeat circũpoſitos pares:et oĩs par circũpoſitos imparesabe ſola vnitate diſtãtes per cõceptionẽ igitur dꝛĩa quoꝛũcunq; ꝓximoꝝ impariũ eſt binarius. at binan eſt numerus pꝛimus cũ a nullo alio nũero pꝛeter vnitatẽ numeret᷑. additus igitur binarius jelm merus pꝛimus vnitati cõſtituet pꝛimũ imparẽ numeꝝ pꝛimum: qͥquidem binarius numerus pumu additus ternario numero etiã pꝛimo:per pꝛimã tertij cõſtituet numen ad alterum pꝛimu. Itidẽ ie
nonã tertij argumẽtabere:⁊ ita de quibuſlibet duobus ꝓximis oſtendere pfacile eſt: qd eſtpꝛopoſti ¶Si numeroꝝ ab vnitate ꝓpoꝛtionaliũ ſecundus abvnitate fuerit par rcliquostii pares eſſe:ꝙ ſi idem fuerit impar: reliquos itidem ĩpares eſſe neceſſe eſt.
¶Mã ſi ſecũdus eſt par qͥa numerat᷑ ah vnitate ſcðᷣus nũerabit tertiũ ⁊ tertius quartũtſepdeitn quare ꝑ viceſimãtertiã pꝛimi ſcðus qͥ eſt par nũerabit oẽs reliquos.ſunt igit᷑ reliq; oes p duodetini huiꝰ pares qð eſt Ppofien quo ad hoc.et ſi ſcðᷣus eſt ĩpar qͥa nũerat᷑ ab vnitate: iõ ipſe in ſe ducynů
rabit tertiũ et per Weſimãquintaʒ ſcðᷣi tertius ſᷣm eundè quartũ ⁊ ita deinceps.igitur per vndecini huius eoꝛum quilibet erit impar:quod eſt totum pꝛopoſitũ.
¶ Inter quoſiibet duos numeros quoꝝ vterq; par eſt aut vterq; impar:nus cin b
dius ꝙ ſi vnus fuerit medius vtrũq; parẽ aut imparẽ eſſe neceſſe eſt. ¶ Haã ſi vterq; fuerit par:ipſi ſimul additi ꝑ pꝛimã huius cõſtituunt numerũ parem.xſivterqſiet
impar ꝑ tertiã huius idẽ eueniet.ſi itaq; illius ſumat᷑ medietas ꝑ ſcðᷣam partẽ ſecundeꝛimillaat
nũerus a quo ilii numeri eddiſtabũt ꝑ diffinitionẽ.igit᷑ numerꝰ ille erit inter illos medius. Sein⸗ nã ſi int᷑ eos ſit medius ꝑ pꝛimã partẽ ſcðe pꝛimi idẽ duplicatꝰ eſt tanqᷓ illi ↄiũcti qͥ cũſitpar ooᷣ duplsꝰ ſi alter eoꝝ ſit par:ꝑ ſextã huius et reliquus.et ſialter eoꝝ ſit ĩpar ꝑ ſeptimã eiuſdẽ arlau
¶ Inter parem et imparem vel nullus eſt medius vel duo: ꝙ ſi duo fuenntinerco⸗ 2 b medij:alterum parem ⁊ alterum imparem eſſe cõuincitur... Haht ¶ Si vnitate diſtiterĩt par atq; ĩpar:inter eos nullus int᷑cidet medius. ꝙſt ãplius qeun ie vt par a et ĩpar bꝛdico int᷑ a ⁊ b eẽ duos medios.nã ꝑ ſecundã huius a et b iũcti ↄſtituitumex ip
vt e.q per nonã eiuſdẽ diuidi poterit in duos vnitate diſtãtes qͥ ſint d e:quos dico ꝑ tenãniin cann
alterũ eſſe parẽ ⁊ alteꝝ imparẽ.nã ſi duo vt d e interiacẽt medij:ꝑ diffinitionẽvnitate diteh den eoꝝ alter erit par et alter impar.cõiuncti igit᷑ d eꝑ ſcðam huius conſtituent imparẽ. ata 4 m per tertiã pꝛimi cõſtituunt eandẽ.quare ſi alter fuerit par per nonam huius reliquus erit ino alter fuerit impar per octauã huius reliquus erit par:quod eſt pꝛopoſitũ.
1—„ 4,..„„.. lo. ¶ Inter quẽlibet imparẽ et vnitatem vnus eſt medius:idẽq; eſt maio: pſus zuan ꝙ ſi inter vnitatẽ ⁊ ijmvnus mediꝰ extiterit:quẽlibet talẽ numeꝝ inpa e 3, dico ei ¶ Sit a quilibet impar et b vnitas: dico inter a ⁊ beſſe vnum mediũ qui eſt maioꝛ* siiar ſupet æſi inter a ⁊ b vnus ſit medius numerũ a eſſe imparẽ. Pꝛimũ patet.nã cum a num ua dathe caji b vnitatẽ in numero parivt in c qͥ eſt differẽtia a ad b.et qꝛ c eſt par diuidat᷑ in duo 5 uceptione diff
ergo numerũ f cuius e ſit differẽtia ad b: quẽ dico eſſe mediũ inter a ⁊ b.nã qa per occöltitutuse
2 ᷣ
rentia a ad b cõſtituta eſt ex differẽtiis a ad fet f ad bꝛ⁊ differẽtia a ad b ſitc.er ttensh 38d f eltigt e differẽtia fad b eius dimidio et d altero eius dimidio:quare d equalis e vifferẽ

binarijs. qð nuper mõſtratum eſt impoſſibile. Siłiter ſi numeraret f ſubſtraho f a duus erit binarius vt notum eſt:⁊ a numerat g ⁊ detractum f:ergo nũerat reſtduum qui eſt binarius maioꝛ minoꝛem. qð eſt impoſſibile. Et ita ꝓba b nũerare gſn/ s:ſed intermedios oẽs eſſe ad bpmos.
VII
edius inte itatẽ kerentiã eius 2b: zcf ſimiliter vnitatẽ edius inter à ⁊ b. et cũ a addat vnitatẽ ſuper e differentiã eius ab vnitateb: ⁊ef᷑ ſimilit medid Finter ahra ex poꝛtionibus e f.at f qui eſt medius numerus maioꝛ eſt poꝛtio 1 7 minoꝛ. cõſtat itaq; inter imparẽ ⁊ vnitatẽ eſſe vnũ mediũt eundẽq; eſſe ĩparis maioꝛẽ poꝛtionẽ qð eſt pꝛimũ.
Scöðm ſiliter. nã
ſed cũ per ↄceptiõem differẽtia a ad b ↄpoſſta ſit ex differẽtijs a ad fet b ad f.illa cũ in duo equa diui
di poſſit: erit par.at illam numerus a vnitate ſuꝑat.a igitur ber diffinitionem eſt impar. qð eſt ſcðm
et totum pꝛopoſitum. W“ 1 Inter parem ⁊ vnitatem vel nullus erit medius:vel duo minoꝛq; paris dimioium· qfſi inter ipm ⁊ vnitatem duo fuerint medij: eum eſſe parem necelſe eſt. herer it a quilibet par/ ⁊ b vnitas:ſi a ſit par ꝓxime ſequẽs vnitatem cũ ſola vnitate diſtent:inter a et Sitagnülle err medius.ꝙ ſi ãpliusvnitate diſtent:dico ᷣmo int᷑ a ⁊ b duos eẽ medios/ wimoteo eſſe paris dimidiũ. Scðᷣo ꝙ ſi ĩter a quẽcunq; nũerum ⁊ b vnitatem duo medij oſtiterint:a eẽ parem. ꝛimum oſtẽditur. nam a paris:ab vnitate b differẽtia eſt impar.q̃ ideo ꝑᷣ parem ⁊ imparemvnitate diſtãtes per nonam huius partiri poteſt.partiatur itaq; illa dr̃ia in duas tales poꝛtiones.tũc capio c numerum:cuius quidẽè minoꝛ poꝛtio ſit differẽtia ad b. per ↄceptiòem maioꝛ poꝛtio erit differetia a ad c.at maioꝛ poꝛtio minoꝛẽvnitate ſuꝑat.capio ergo numerum ↄtinue ſequentemc q ſit d. differẽtia enĩ a ad d:minoꝛ erit vnitate differètia a ad c.quare differẽtia a ad d et cad b ſũt equales. ſunt igitur c⁊ d mediᷓ inter a et b. et quia per ſcðᷣam pꝛimi c eſt medietas d ⁊ dr̃ie e ad b ſimul iũctoꝝtet d ⁊ dr̃ia c ad b equãtur a:cũ d ⁊ dria c ad h addant vnitatem a ad cetcad b. eſt igitur c:minoꝛ medioꝝ medietas paris a.et hoc eſt pꝛimum. Scoͤm declaratur. nam ſi inter a ⁊ vnitatem bꝛſint duo medij vt ed:quoꝝ c ſit minoꝛ/ et d maioꝛ:df̃ia c ad h minoꝛ eſtvnitate dr̃ia ipᷣius c ad a.eaꝝ igit᷑ vna eſt par/ et alta impar.
addite igitur ſimul per ſcðᷣ am huius ↄſtituũt numerum imparem:qui per ↄceptionem eſt differentia
a ad bꝛcui ſiqͥdẽ addideris vnitatem:ↄſtitues a. eſt igitur a par.quod eſt ſcdm.
¶ Si impares oẽs ab vnitate diſponantur ⁊ totidem poſt quẽlibet ſumãtur: quotus
ipſe ab vnitate fuerit: extremũ ab illo numerari ↄueniet. et item totus ab illo quotus ipſea pꝛimo idẽ a pᷣmo nũerabitur:ſicq; deinceps.oẽſq; in medio relicti erunt pꝛimi.
¶ Sint a/ b/c/d/e/f/g/ h/k/l/m/n/ o/ p/ qr/ s impares abvnitate ſequẽter diſpoſiti:et quotquot vl terius voles.dico pꝛimo ꝙ ſi accepto a qͥ ternariꝰ eſt pꝛimo abvnitate impare:quotus ipᷣe ẽ ab vnitate totum imparem poſt ipᷣm accipiasvt dꝛid eſt tertium:a ipᷣm numerare.et ſi totum iteꝝ poſt d accipias vt gꝛiteꝝ a ipᷣm numerare.et ſi totum poſt gvtl:iteꝝ a ipᷣni numerare.⁊ ita ↄſequenter. Scðo:niedios oẽs vt b eſe f̊/h kꝛet ita cõſequẽter ad a eſſe pꝛimos. Primum pʒz.nam qͥa ternarius t᷑tius eſt ab vni⸗ tate:tres poſt accepti impares et ipſe:ſunt quattuoꝛ.quare inter a ternarium ⁊ d tertium poſt ipſum ſunt b et c duo impares medĩjꝛet tres differẽtie equales.imparium enĩ ↄtinue oꝛvinatoꝝ ad impares: differẽtia eſt binarius:dr̃ie ſcʒ totidem quot ſunt vnitates in illo.ſed tota dr̃ia d av a per ↄceptionem bis repetitam:ↄponit᷑ ex illis tribus differẽtijs.igitur a in vnam illaꝝ ductus: ꝓducit totam.at ipſe toti differẽtie additus:ↄſtituit d.igitur a numerat d.ct ſiliter oſtẽdit᷑ a numerare g. ſunt enim quinq; intmedij impares ⁊ ſex binarij drie equales:duple qͥdẽ tribus pꝛimis.et df̃ta g ad a ẽ ↄpoſita ex illis ſex.ergo a per viceſimamtertiam pꝛimi illã numerabit.at a toti dr̃ie g ad ſe additus ↄſtituit gꝛ a igi᷑
numerat g.et ſiliter nũerabit l.qͥa dria Iad a erit tripla dr̃ie d ad a.ↄſiliterq; nũerabit o.qͥa differẽtia quadrupla. et hũc in modum ↄſequẽter. Scðm pʒ.nam pᷣmo a non nũerabit b:qñquidẽ detracto a de
b. per duodecimam pꝛimi a nũeraret binarium differẽtiam reſiduã maioꝛ ſcʒ minoꝛem.qð eſt impoſ⸗ ſibile.neq; ꝑ idem nũerabit c.nam ipᷣo ſubſtracto d c nũeraret differentiam c ad a.que cũ ſit binarius bis ſumptus:ſi ſubſtrahatur ab illa dria numerabit reſiduũ dr̃iam ſcilʒ dfie q̃ eritvnitas:maioꝛ ſcilʒ minoꝛem:et numerus vnitatem.qð eſt impoſſibile. Ita quoq; ꝓbabis e ⁊ fᷣ⁊ reliquos intermedios eẽ pꝛimos ad a.nam ſi a nũeraret e:ſubſtraho e ab g.et qa a numerat g vt oſteſum? /⁊ eper hypotheſim numerum lubſtractum:ergo per duodecimam pꝛimi numerat dr̃iam e ad g:que ẽ Pſetrne⸗ ex duobus
numero grꝛet reſi⸗
et enũerarel et s ⁊ intmedios ad ipᷣm eſſe pꝛimes · habebiſq; ↄſimili vbiq; argumentatiõe ꝓpoſttum atq; ita habet᷑ impares relictos qͥ poſt aliquẽ totoꝝ toti nonveniunt:oẽs ꝑ tridecimãᷓ huiꝰ 8 e Pmos,
CSi ab vnitate impares coaceruẽtur:qui ꝓueniet erit quadratus.
¶ Sit vnitas:⁊ ſuo oꝛdine ↄſequẽtes impares a/ b/c/d/e/ f. dico vnitatem ⁊ a ↄſtituere quadratum. Item vnitatem a ⁊ bↄſtituere quadratum:et vnitatem a b et c.et ita ↄſequẽter quotquot ſik aggrega ueris. diuido enĩ a pꝛimum imparem in duas poꝛtiones vnitate diſtãtes: et certũ eſt niaioꝛem diſtare
vnitate ab vnitate ⁊ mĩoꝛem vnitatieẽ equalem: quas vno oꝛdine ſituo iuxta pꝛimam vnitatem certũ
eſt duos eſſe oꝛdines ab vnitate ſumptos vſq; ad duos vnitate diſtãtes(vnit ĩ hic nomĩe nũe 90 12) 1b 2L— atem enĩ hic no cenſemus) ergo per triceſimamtertiam ſextivnitas ⁊ due ille poꝛtiões a gregate ihuen Aneraert
at due ille poꝛtiones equãtur impari vnitatem ſequẽti. vnttas igitur ⁊ aiĩmparſ equens ſimul iuucta:
ↄſtituũt quadratum. Item reſoluto a invnitatem⁊ binarium:cum binarius ſit dfia ſolue Arrll T bi: Fria b ad a:b re per nonam huius in duas poꝛtiones: quaꝝ vna erit binarius/ ⁊ alta binariovnitate maioꝛ:id Neide⸗ 9,4 cũ pꝛima 63e ſtaruãtur vno oꝛdine iuxta poꝛtiões a.tũc erũt duo oꝛdines abvnitate ad nũeros q; vnitate diſtãtes diſpoſiti: ergo per eãdem tertiam ⁊ triceſimam ſexti illi ſimul aggregati ↄſtituũt
ã ſi inter a ⁊ vnitatem b ſit f medius:per diffinitiõem a adfet b ad f equales ſunt drie
d 4. 1 6— 3 b— pL. 8. 35 1 33 d 31 P— 29 9— 27 n 25 m 23* 1 21 h 19 b— 7 g 15 f—tz — 1 d-—9 6— 7 „, 13 49 I11 36 6-- 2 25 7 16 5F5 3 b— 3 † 3

——
————— 1
r———,
——— 4 8 5
— 8 8
„
.— 1 —— 2——
—
quadratum. atvnitas cũ poꝛtlõibus b r poꝛtionibus a equatur vni ſffgtgcg. g⸗ ſaggregata oſtituũt quadratũ. Sitit 1 diuidas c in duas poꝛides Nsar Umulkſgitnt mitatn binario maioꝛ eis poꝛtio ſola vnitate maioꝛ erit maioꝛe poꝛtione b/ ⁊ minoꝛ eälis necu cſuperdine eas iuxta poꝛtiones b. et tũc erũt duo oꝛdĩes ab vnitate vſq; ad nũeros vnitate diſn ed ſtatva illi ſix aggregati per eãdem triceſimãtertiam ſexti efficient quadratum. at vnitas en eiſboſtbag b
equãturvnitati a/ b/ ⁊c.igttur illa ſimul aggregata ſiłiter ↄſtituũt quadratum. ⁊i tilleponiemesi
urgumérabere: oꝛdinãdo poꝛtiones vnitate diſtãtes vt inceptum eſtp lta dequolibet ai impar ab inferioꝛe ſpꝑ binario diſtat:ideo eius mĩoꝛ vornſc Prane unru de edenge quig en esdem inferioꝛis maloꝛem vnitate ſupgrediet. ſieq; clarum habebis ꝓpoſiti, E, er zu malorſequi in tertio auditiõis phiſſce ex Pithagoꝛa adducit ariſtoteles ſuis quadratis ↄſequẽt rcognolak pares nunqᷓ; mutare ſpẽm:ſed ſꝑ q̃dratos relinq̃re.hincq; impares quadratoy gnom anadtlctosm
„u 2„— mongs ¶ Si pares ab vnitate ſibi coaceruẽtur: coaceruatus ab oĩbus erit al 2
¶ DHiſpono pares ab vnitate a/ b /c/d /e/ f:⁊ quotquot voluero:dicoq; a ⁊ b ſimul:eẽ al ni 6 h et a/ b/et c.ſiłiter a/ b/c/ ⁊ d. et ita ↄſeꝗuẽter. nam ipſos ꝑ equalia diuido: quoyynas neraptelögin et alias illinc oꝛdino.et quia ꝑ decimãoctauam huius illi erant dupli numeroꝝ ab vuntedietatcshn cedentiũ: oꝛdines illt abvnitate ſm naturalem numeroꝝ ſeriem pcedunt: ergo per tri rnelenatm ſexti:duo pꝛima media ⁊ duo ſecũda ſimul coaceruata ↄſtituũt altera parte longioꝛem.— 1 a ⁊ h ſimul ⁊ ꝑ eãdem triceſimãquartam duo tertia media cũ medüjs pꝛius poſitis cöſtit aillana longioꝛem:et illa equãtur a b et c:et ita ↄſ equẽter.ſicq; conſtat pꝛopoſitum. tuüt anenye
¶ Si diſpoſitis imparibus ab vnitate duo pꝛim poſtvnitatem ↄuũ 100 atem n1¹ügank:ac poſtlo tres: poſt qauos vo quattuoꝛ ſicq; deinceps ſcm naturale numeruc euchöhſ qui ꝓducẽtur erunt cubi.latuſq; cuiuſlibet ↄiunctoꝝ imparium numerus.
¶ Diſponãtur ab vnitate impares:pᷣmovnitas ꝑ ſe es: que eſt cubus ⁊ cubi eiꝰ: latus.deinde pꝛimi Empenecnn a.Poſt quos tres ſequẽtes ꝑ ſe vt b.poſt quos quattuoꝛ vt c.dehinc auing polte ſrd 3. 8 er 21 naturale augmentũ numeroꝝ dico duos pᷣmos aggregatos facere cubum:cuius lanx vircnun nles mparium:id eſt binarius. Siktter tres alios ↄgregatos cõſtituere cubunn:cui' lamnstſ cne oꝝ impariũ Zlũctoy.i.t᷑nariꝰ. et ita deinceps.capio pꝛimo aliquẽ nũerum tm quẽ ſumünr hn d a cubum ↄſtituendũ:ſitq; p̃mo par vt c:cuius quadratus ſit g.qꝛ eni e per ↄceptioen tuns Tume ae r ota ꝑs eius eſt vnitas:erit vt ipſe et vnttas et om̃s infra eum numerivtaeibictiuuiʒ 4 iof in ipſo ſunt vnitates.et cũ numeri ſᷣm naturale nũeroꝝ augmentum ſint captlipettasʒ· 7 6b⸗ mum quof ſub ipſ o ſũt impares vnitatem enĩ imparem voco:tor igitur impares ſub eoſunti ms d 10 unt vnitates.diſponãtur ergo duo oꝛdines ab vnitate:quoꝝ vnus terminemrina guenan— minoꝛ c vnitate.quia enim per triceſimamtertiam ſexti illi ſimul aggregati ⸗ſtiui Ae 12tumich 958 ztus eſt c. quiddẽ quadratus poſitus eſt eẽ g⁊cẽ par: quarep decimã hulus t 8 18dnatus eſt pat. Et hinc aq; euenit vt medietas c cũ b ⁊ inferioꝛibus b ſit tanqmcsiclsoinna 97 Seernürares in b et inferioꝛibus eius et dimidio tot erũt imparesvſq; g:ꝙ numerisꝑ onini don Sou 554 et par tot impares ſub ſe hẽat:quot in eius medietate ętinet vnitates. Sumo tentu ab vnerate gi⸗ S.quor ſunt vnitates in reliqua medietate c:ſitq; vltimꝰ h.erit ergo h totus impanun Faewan ane 8 0 vutrates ſunt in c⁊ in inferioꝛibus eius:ſed pꝛius ſumptoꝛum impartum vtimn eſt ſuda litate e manifeſtum eſt. erit igitur k idem cũ h.et qm̃ imparium fm ſe ſumptox medleta r 55 85 ν— medietas erit infra g locata. et qͥa g per ſcðam pꝛimi duoꝝ circiſſanin s perr medietas: vt in figuratiõel et m. et per eãdẽ duoꝝ alioꝝ:vth etn medietas et ita quatt uerhero adiuuantevndecima pꝛimi euenietvt numerus ex illis imparibus aggregamo ſittna rus See, 33. nũero in gꝓductus.erit igitur ꝓductus ex illis imparibus cubusaiqyie Pur gaein ſiin 2 n dius⸗as eſt ꝓpoſitũ quo ad hoc. Sit ſciᷣo b numerus impar aliquonimpanim ar t tm 2 nus us eſt cubus: cuius quadratus ſit f. quia enĩ b eſt impar:igitur orndecimanhulis Wfan u par. diuido enĩ f in duas poꝛtiones inequales ⁊ vnitate diſtãtes ꝑ decimãnonihuius quur maioꝛ ſit p/et minoꝛ q.quia enĩ f numerus impar ſuꝑfluit ſᷣm numeroꝛum feriem abſchpen hincfe Ae orife vnitas in p totus imparium ſit f ab vnitate:et quoties vnitas in q tot ſint pats lihihſo coſtituo itaq duos oꝛdines: pꝛimum ab vnitatevſq; b/ et ſcm abvnitatevſq; a.ſitq; bmaiernitaies riurelliao b diuiſum in duas partesvnitate diſtãtes:q: eſt impar.quaꝝ maioꝛ ſitr etmnaſtsa enice imãtertiam ſexti: illi aggregati ↄſtituũt quadratũ: cuius latus eſt b.ille aũt quadratspolius 8 9 uare adiuuãte eadem a cũ ſuis inferioꝛibus ⁊ r maioꝛe poꝛtione b:tot cõtinent vnitatcʒuot: uf herudin p · ſunt igitur tot impares ſupꝛa f:quot vnitates in s.ſit ergo vltimus t.quia drten Wit an 971 lumn ab vnitate quot ſunt vnitates in a in inferioꝛibus ⁊ in r. ergot totus eſt impari nr Dne nie Mihot unt vnitates in b ⁊ in oĩbus ſuis inferioꝛibus.ſed ⁊ ſumptoꝝ imparium unmus ui N65336 ate. re t eſt illoꝝvltimus. numeri igit᷑ bꝛgſſignatoꝝ imparium tot lunt ſupꝛa fquc mn Imche elln meoino⸗oes igitur per idem qdð pꝛius cũ fↄnumerati:erunt tm qᷓtum ipe pernumei matigeff feb tiplicatus.et qm̃ b in ſe ꝓducit ip̃m f/ manifeſtum eſt b in ipm ꝓducere cubum: 1 . ipſe b numerus aſſignatoꝝ imparium. ſicq; totum conſtat pꝛopoſitum.
¶ Numeri ab vnitate dupli:ſunt pariter pares tantum.
¶ Oꝛdinètur abvnitate oes ↄſequeter du eosoe 1 t pli:dico eos oẽs eſſe pariter pares.et nullo pariter pares. cum eĩ duplus vnitate ſit bina rius qui eſt par/ eruͦvub ulon numeroꝛum a
3
zeter eoseeſe 55 b vnitate

VII
ꝓpoꝛtiõaliũ:ꝑ viceſimam huius oẽs alij ſunt pares.et cũ binarius ſcðs ab vnitate ſit nũerus pmus: ergo per viceſimãſextam quarti quicũq; aſſignabit᷑ eo facto vltimo:nullus ipᷣm numerabit niſi aliqͥs in oꝛdine illoꝝ parium añcedẽtiũ poſitus.quare cũ quilibet erit par quẽ nullus impar pᷣter vnitatem nũerat:ꝑ diffinitiõem qͥlibet eoꝝ erit pariter par.at ꝙ nullus pᷣ̊ter eos ſit pariter par pz. nam ſi detur alius:diuidat̃ per mediũ:et ei⸗ medietas ꝑ mediũ.et ita donec occurrat qͥ nõ poſſit ãplius diuidi. qui ſi fuerit impar am̃ ꝑ viceſimãtertiam p̃mi nũerabit extremũ:non erit nũerus datus pariter par/ qlis
ponebatur.ſi aũt fuerit vnitas: qꝛ eius duplum fuit binarius:ipſe erit de numeris abvnitate duplis.
¶ Si pariter par in pariter parem ducatur: ꝓducetur pariter par. ¶ Sint a ⁊ b duo numeri pariter pares:ducaturq; alter in alterum ⁊ ꝓueniat c.dico c eſſe numerum
pariter parei. Mã ſi c non ſit pariter par:numeret ergo eum quicũq; impar ſi poſſibte eſt qui ſit d.qꝛ
ergo d impar numerat c ꝓductum ex duobus a ⁊ b in ſe ductis:ergo per quitam tertij d impar cõicat cum altero a aut b.numerabit ergo cõiter quicũq; numerus:d ⁊ a aut b.qut qͥa d ponitur impar: per decimãtertiam huius erit impar.numerabit igitur impar a aut b numerum ſcz pariter parem. qð eſt impoſſibile.non igitur c numerabit᷑ ab impari:qui cũ per duodecimam huius ſit par:ꝑ diffinitiõem conſtat ipᷣm eſſe pariter parem. quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Quicunq; numerat pariter parem:ipſe quoq; eſt pariter par.
¶ Sit a pariter par:quẽ numerat b quicũq; numerus:dico b eſſe numerum pariter parem. nam ſi b eſſet nũerus impar cũ poſitus ſit numerare a:non eẽt a nũerus pariter par.quod e ↄtra hypotheſim. erit igitur b numerus par:qui ſi non fuerit pariter par numerabit eum aliquis impar. quare ⁊ idem impar ꝑviceſimãtertiam pꝛimi numerabit a numerum pariter parem.qð eſt impoſſibłe. manifeſtum eſt ergo nullum imparem numerare b.quare per diffinitionem eſt pariter par.
¶ Si ſumãtur quotlibet nũeri parĩter pares ab vnitate ꝓcedentes:oẽs ⁊vnitas cum eis coaccruata numerum ꝓximo pariter parc:vnitate minoꝛem efficient.
¶ Sit vnitas:⁊ a/ b/c/d/ e oꝛdine ꝓcedẽtes pariter pares:dico ꝙvnitas a b ed ſił aggregata ↄſtituũt numerum vnitate mĩoꝛem e.nam ꝑ viceſimãnonam huius quilibet ſequẽtiũ eſt duplus pᷣcedẽtis:q̃ᷓre ſequens eſt tanqᷓ; pꝛecedens duplicatus.At a ſecũdus ab vnitate ſuꝑat eãvno:quarevnitas ⁊ a minus ſunt vno ꝙᷓ; ipſe a duplicatus.ergo minꝰ vno ꝙᷓ b.quare vnitas a⁊ b minus vuo ꝙᷓ b duplicatus:ergo ꝙᷓ c.q̊re vnitas a b et c minus vno ꝙᷓ d.q̃re iteꝝ vnitas a/ b/c/ er d ſimul minus vno qᷓ e.qð eſt ꝓpoſitũ.
¶ Omnis numerus cuius medietas eſt impar:eſt pariter impar.
¶ Sit numerus par a:cuius medietas ſit c numerus impar ⁊ b binarius:dico a eẽ numerum pariter imparem· nam qͥa c eſt medietas a:ergo b binarius numerabit a ſcð3 ſe.dico rurſum ꝙ quicũq; alius par numerabit a ſcðᷣm imparem ipᷣm numerare· et eſto vt e alius par ipᷣm numeret ſcðm dꝛdico d eſſe imparem.nam qͥa qð ſit ex d in e eſt a/et qð ex b in c ſilit᷑ eſt a:ergo ꝑviceſimãquĩam ſecũdi q̃ ꝓpoꝛtio dad bea eſtc ad e. ergo ꝑmutatim que d ad c:ea eſt b ad e.at cũ oĩs numerus par alius a binario fiat cõtinue addẽdo binarium pᷣmo ad binarium ⁊ deinde ad ſuũ pꝛecedentem:binarius ergo oẽm parem numerat.b aᷣᷓ numerabit e:quare ⁊ dnumerabit imparem c.eſt ergo d per decimãtertiam huiꝰimpar. quicũq; ergo par numerat a ſcðm imparem eum numerat:quare ꝑ diffinitiõem a eſt pariter impar. quod eſt pꝛopoſitum. W 4 ¶ Si impar in numerum pariter imparem ducatur:qui ꝓuenict erit pariter impar. ¶ Sit a numerus impar:b vo pariter impar:et c numerus ꝓductus ex a in b.dico c eẽ numerum pa riter imparemꝛſit enĩ d medietas c cũ cper duodecimam huius ſit par/ ⁊ ebinarius.qͥa e in d facit c⁊ ſiliter a in b facit eũdem c:ergo ꝑ viceſimã quintam ſecũdi que ꝓpoꝛiio e ad a:ea eſt b ad d. quare per⸗ mutatim que ꝓpoꝛtio e ad b ea eſt a ad d. ſed e binarius impariter eſt in bꝛcũ b ſit partter impar.ergo et a impar eſt impariter in d. nũeratq; a nſũerum d ſcðᷣm imparẽ. ergo ꝑ vndecimam hui⸗ d eſt impar et cper pꝛecedentem:cũ eius medietas d ſit impar:erit pariter impar.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Numcris paribus ab vnitate diſpoſitis tertius a pᷣmo:atq; ab illo tertius:vno qͥq; intermiſſo oẽs a pꝛius ſumptis tertij: ſunt pariter impares ſum. 2
¶ Continuẽtur pares ab vnitate:ſintq; a/ b/c/ de/f/jg/h/ kl/ mꝛet ſic ↄſequẽter.dico tertiũ c:⁊ ektiu ab illo:et grurſus ab hoc tertium ⁊ ita deinceps vno ſꝑ intermiſſo eẽ pariter impares. Hã ꝑ decimã octauam huius illoꝝ parium medietas ſunt numeri ab vnitate naturali oꝛdine diſpoſiti: quoꝝ vnus eſt par/ ⁊ alius impar alternatim poſiti.pꝛimi ergo parium.i.binarij qm medietas eius ẽ vnitas que potẽtia ẽ impar: erit ⁊ potẽtia pariter impar.ſecũdus vo ab eo nõ erit partter ĩpar:qꝛ eius medtetas
eſt par. At c tertius ⁊ quĩtꝰ ⁊ ſeptimus ⁊ nonus erũt pariter impares per penultimam huius cũ coꝝ medietates ſint impares · qð eſt ꝓpoſitum quo ad hoc. Heq; alij pares quicũq; erũt pariter impares:
qꝛ eoꝝ medietates funt pares ſicq; par vt binarius eos ſcm parem numerabit: quare ꝑ diffinitiõem
non erunt pariter impares.quod eſt totum pꝛopoſitum. 4
C Numeroꝛum pariter imparium continuc ſumptoꝛum:equales ſunt differentie.
¶ Hoc enĩ ideo eſt ꝙ ſi oẽs pares ↄtinue ſumant᷑:erit oĩm illoxeadem dria.nã binarius.Sũptis igik b Eᷣm exigẽtiam pꝛecedẽtis paribus ⁊ ↄtinue pariter impares vno intermiſſo: erunt per ↄceptiõem eoꝝ differẽtie ex differẽtijs ipſoꝝ ad medios compoſſite:quaꝝ cũ media ſint equalia/ ⁊ tote per ↄceptiõem
erunt equales.quod eſt pꝛopoſitum.
C2
. *

—
“
öͤ“
2
——— 8
1— 8
——————— 4 4
—— 3——— —— 8* 1———·—x
—— 8 e—— 8—— 6————
— E 4 8ö8ö8ö8öoöoöoöoöoöohoöohh——————— ö1öſſſſſ—. 3
“— 8 1 2*—— 5.— 1—. 5 3——————— 2—
———— ee“ 1“—————— 3
* 8———
Senon e 43iee 4, EA rrfeer 5——— 1 1 , 44 8— 3. 8 3 w——y————yõ——-— arc ſ——-——————
et biuarius nũerus par ſcðᷣm eam ip̃m numeret:per diffinitiõem a:non eſt nierus pariter jenn en et cum non ſit de numero duploꝛũ ab vnitate ſumptoꝝ ſi ipſe in duo media diuidatur mpaſ media. in hac ↄtinua diuiſiõe neceſſe ẽ aliud ab vnitate occurrere: qð diuiſionem in dr wedia texn quare numerus ille erit impar.et qꝛ ille eſt pars partis: ergo ꝑviceſimãtertiam pꝛimi ennedis lld quare per decimãquintam huius ille impar totũ ſcðᷣm parem numerabit. at cũ pari zps torie, g
numeret: ergo per diffinitionem a totus: eſt impariter par. quod iten eſt pꝛopoſitum Pm ſcoͤm parn
„.
¶ Ex ductu pariter paris in impariter parem: ꝓuenit impariter par.
¶ Numerus a duobus non duplus cuius medietas eſt par:eſt impariter par 32SI ¶ Sit a dlibet nũerus par: cuiꝰ medietas b ſit par:et non ſit a de nũero duploꝛũ ab vnita — dico a eſſe numerum impariter parem. Mam cũ eius medietas b ſit par:non eſt pariter aſe ſumptn 6 nõ ſit de numero duploꝛum ab vnitate ſumptoꝝ: ergo perviceſimãnonam huius nen eſt impar.ꝛan — ſuffictenti igitur diuiſiõe eſt impariter par. qð eſt ꝓpoſitum. Sed ⁊ oſtẽſiue ſic. cñ med Canergas b t
5 he ¶ ſxSit a numerus pariter par: ducat᷑ q; in b impariter parem ⁊ ꝓueniat c.dtico ceſſe nuerũ im 4 —s parem. Ram ꝑ hypotheſim a numerus par numerat c ſcðm b qui eſt par.et qꝛ impar numerarte
ſit impariter par:idẽ impar ꝑviceſimãtertiam pᷣmi numerabit c.et non niſi ſcm parem:alioqui 4 vndecimam huius c eẽt impar.cõſtat ergo ꝑ diffinitionem:c eſſe impariter parem.et pꝛopoliumn
¶ Ois impariter par ſit ex pariter pare in parit᷑ imparem. Quo ſit vt oem
—
60 1Ponerp wpan — parem: numeret pariter par impariter. angd,
.— n ¶ Sit a quilibet nũerus imparit᷑ par:dico ipᷣʒ fieri ex pariter pare in pariter imparem. nã men
— b 65 aẽpar. alioquin a eſſet pariter impar. eſto itaq; b medietas a:ſi medietas biir mparta in
tertiam huius eſt pariter impar.et cũ binarius numeret a fin b cõſtat pariter parein numerareafn ariter imparem. at ſi b medietas impariter paris a/ſit par:ſit ea d cuius quidè medietas ſit im deo d per triceſimãtertiam huius erit pariter impar.et ꝑ viceſimãtertiam pꝛimi numerabita ſa
b oc ſᷣm e:et ſit c binarius.qꝛ b nũer at a ſᷣm e:et d nũerat eũdẽ ſcðm eꝛergoꝝ viceſimãquintam tit
d 6 Topꝛtio b ad d ea eſt e ad c. jed b eſt duplum dꝛigik᷑ ⁊ e duplũ c.quare per decimãoct auam huius ech
— 4½ pariter par:⁊ numerat a ſᷣi d pariter imparem.oↄſtat ergo iteꝝ ꝓpoſitũ. et ſi tertius nũerus primun c- 4 diuiſione facta occurreset pariter impar:accepto penultimo parium loco b /⁊ eius dimidio locodt i“ 8— 3½ loco c:per eãdem viceſimãquintam ſecũdi ↄcludes ꝓpoſitum.et vniuerſaliter quoties hecſubd uſi b- 42 fiet:toties fiat ab vnitate parit᷑ pariũ duplatio.et ſumpto penultimo pariumc ſuo dimidiop trici d 6 mãtertiam huius ⁊ viceſimãquintam ſcðᷣi ↄſiłit᷑ ↄcludes ꝓpoſitum.Coꝛrelariũ pate: accepta merie .— tate pariter imparis ⁊ duplo parit᷑ paris:quiqͥdẽ pariter par cũ pariter impare nũerabat imparte —4 parem adiuuante ſꝑ viceſimaquinta ſecundi.* 8 ¶ Si diſponãturin longnm pariter pares:⁊ in latum pariter impares:qu ſcin 1 gulares cõuentus ꝓducũtur:ſunt impariter pares tm̃. et iᷣoꝝ in longuudine quden eſt ſimilitudo ꝓpoꝛtionum:in lantudine vo differẽtiarum cqualitas. R Lon g i t u d do& ¶ Diſponätur b/c/ deffparit paresknla⸗ (¶ Continue pꝛopoꝛtionales. S Lrwh hunderhen eeazenoann 4 5— 4— Dico pᷣmo qui ꝓducũtur b 0 25 1 1041 293 12 8³ 11664. 8. cin eiſdem:ꝛ filiter ex de afin eſſdeuſen — 1 2 1176 32 704 1140 8 8 pariter pares ⁊ ſolos tales. nam ois ilin — 8 IIG ZVI1440 2882CIIIL ex ductu pariter paris in pariter inpum⸗ „A kKIAINSKTIIII44S 3 per triceſimãoctauam hulus quliberenc 3 bh 1Oe 40 Z0180320] 640— impariter par et ſi alius ellet myantana F 5Ss Eb192284 3 öter eos d er illis parit paribusfm ſuüͤſene 65 124 ondiatis ⁊ pariter imparibꝰ ꝓpuxiurallem —, t 3 heret ex pariter pare in parinmnmg ⁴(¶ Pariter pa 3 ver /ᷣcedentem eſt impoſlibiletaume 55 L Pares. 2 as dicitur. Secũdo dico oesinlogtu 4. 1b Ongitu8udo vtoss in linea g ⁊ oes in lineahraindefel⸗
quis/ eẽ ↄtinue ꝓpoꝛtiõales.nam qͥa b binarius omus pariter parium ducit᷑ in gꝛ mantfelti et ſcon
in linea g: qui inde ꝓducitur eſſe duplum ad g: ⁊ in ꝓpoꝛtiõe c ad b.ſed ⁊ qꝛb in gfacit eom adiſog er c in g facit tertium:ergo ꝑ octauam ſecũdi ꝗᷓ̊ ꝓpoꝛtio c ad b ea ẽ tertij ad ſcðm.et ita ilte oſtee de reliquis ꝑ octauani ſecũdi aviuuãte viceſima nona huius que b/c/ de f̃continuepꝛopouionulcsa demõſtrat. Et ex hoc demõſtrare pꝛõptum eſt perviceſimãſextam ſecũdi qð ſit ex ductuxnuus merinn * in ſe:tm̃ eſſe ᷣtum qð ſit ex ductu circũpoſitoꝝ vnis in alterũ.et ꝑ viceſimãquitam eiuſdẽ uns 4 ductu vnius medioꝝ in alium:tm̃ eſſe q́tum quod fit ex ductu circũpoſitoꝝ ⁊ equalit ab eis dii zunn b vnius in alterum. ¶ Tertio dico oẽs numeros ſᷣm latitudinem in vnaqua; lineaꝝ abg inchien admin latum euadentes: equales hf̃e differẽtias.ꝙ enĩ in pꝛima linea que eſt pariten mmpnnumiñ 2tinue ſint equales: ſtatim per triceſimãſextam huius eſt cognitũ. Sʒ ꝙ ſecũde lince nunetncih lint differẽtie, declarat᷑. nam ꝑ nonam pꝛimi tm̃ eſt qsð ſit exb in ⁊ in differentia haogcen uong exb in h. addit igit qðᷣ ſit ex bin h ſecũdus ſcʒ impariter parium ſecũde linee ſup eo quodſich

—————————*—*“
VII
oᷓᷣtum eſt quod ſit exb in vißeretann ga⸗ her auia ttey tex bin k. addit
ter. P 8.— 3„„ 5„ nenar Quscung; numerat impariter par:idem etia
. puce. ¶ Sit a quicũq; nũerus impariter par:qui numeret b.dico b eſſe mynnng numerat bꝛergo per duodecimam huius b erit par.quo fit vt quoti
douckgran dietas b eſt par. ſed ⁊ aliq́s impar numerat a numerum impariter parem:igitur id enneama viceſimãtertiam peimi. et igitur bper diffinitiõem numerus impariter par. quod eſt pꝛopoſi — d nmar CSi pariter impari impariter par:ſiue pariter par ſuꝑ binarium ↄiũ
morm Luh crit pariter impar.*
ccompoſitus.dico c eſſe pariter imparem.nam q a eſt nmdunam b eſt impariter par:per triceſimãſeptimam huius:eius
uüd alfimul ꝑ ſcoðam huius oſtituũt numerum imparem.at gcret atm bneennn tus:eſt medietas compoſiti c.igit᷑ per triceſimãſextam huius c eſt ſtr— ſi pariter impari additur numerus pariter par ſuꝑ binarium. qu
nmas Si pariter impares nũero pares ↄiũ gant᷑: ↄpoſitꝰ erit pariter par vł imparit᷑ par. 8— 49 crat cũde chn enxyw ¶ Nam quia cuiuſſibet illoyꝝ medietas eſt impar:per quartam huius compolſſiti medietas erit par. 2—— 18 tduHdmeenin non eſt igiur compoſitus per triceſimãtertiam huius:pariter impar, quare a ſufficiẽti diuiſione erit— eenmaaen aut pariter par/ aut impariter par.quod eſt pꝛopoſitum.— 4 109 manmopumlo.4(Si pariter impares numero impares coniũgant᷑: componetuvpariter impar. 7 (CMam quia cuiuſlibet illoꝝ pariter imparum medietas eſt impar/ et ſunt in numero impari:igitur d z6 moto penulam b per quintam huius illoꝝ medictates coaceruate ↄſtituũt numerum imparem.ↄpoſiti igit᷑ medietas c— 14 uder— eſt impar. ergo per triceſimãtertiam huius:compoſitus eſt pariter impar.quod intendituir b yr 10 nnhne ¶Si diuerſi pariter pares qͥtlibet ſupꝛa binarium ſibi coaceruẽtur: er ipis cõſtitutus 6— 3 erit impariter parx. pares fagea bihatium.dnaleßtee Sſeh. a ℳ.—3. 1f—— tin latum memn(CSinra/ b’/c/ dquotlibet nüeri parit᷑ pares ſupꝛa binarium ⁊ d maximus:ſitq; duplus ad dꝛſitq; f e- 28 puce mn. ctijexub ↄpoſitus ex a/ b/c/ d. dico f eẽ impariter parem. nam qa ab cd ſunt pares: ꝑ pꝛimam huius f eſt par.—
et ꝛ ſunt a b œd pariter pares ſupꝛa binarium:eo medietates ſunt numeri pares.addite ergo ſimul—— diffcrcuæmm cquis per pꝛimam huius ↄſtituũt parem.et qꝛ ꝑ triceſimaſcðᷣam huius a/b e d ſimul asgregati minus ſunt 7 3 ꝙ;ᷣ e:ergo f eſt minoꝛ e.at e eſt pᷣmus pariter par poſt dꝛigitur f non eſt pariter par.et cum eius medie⸗ * Dihairrdcdei tas ſit par:ergo per triceſimãſeptimam huius:eſt impariter par.quod eſt pꝛopoſſ itum. nsdns Pariter impares ſᷣm datũ nũerum parem inuenire:qui ↄiũcti faciãt parit᷑ parem. daemnen ¶ Sit pꝛimo a nũerus par t᷑m quem iubemur parit᷑ impares tales qui ꝓponũtur inuenire:qͥ ⁊ idem a — ian aſlt pariter par. quot ergo ſunt vnitates in a:tot ↄtinuo pariter impares ab vnitate quoꝝ medietas daru pnatan ſit be:ſitq; d ꝓximus aſcè dendo partter par.et ſi inter c ⁊ d ſit tteꝝ aliqs pariter impar:circa d hincæ⁊ ſe— inde ſumo pariter impares ſᷣm dimidium a:itavt oẽs ſint ſ umpti m numerum a. ſintꝙ; inferioꝛes:c 3 per ger ſuꝑioꝛes e f. quia enĩ d eſt par/ ⁊ nõ eſt parit᷑ impar:per triceſimãquitam huius ꝓximi pares hĩc — imparut ſu tiuus L indeg eſunt pariter impares.quare ⁊ g e equalit diſtant a nſiero d. et qꝛ ſ iliter ꝑ eãdem vno pari 8 heer aielens intpofito poſt e ſeqtur f:⁊ vno interpoſito poſt g ſeqͥtur c.etiã equidiſtabũt hĩe ⁊ inde c⁊fab numero amimmternnn d.ergo ꝑ ſcðᷣam p̃mig ⁊ eſimul ſunt duplum Pariker paris d. quare ꝑ viceſimãnonam huius g ⁊ eſit: 2 ererprann ſunt pariter par. et ꝑ eãdem ſcuᷣam pꝛimi c ⁊ fſimul:ſunt duplum d eiuſdez pariter paris.ſunt igitur 9 damn bpariter impares ſimul ſumpti im numerum a ſc g/e/⁊cf quadruplum d:⁊ duplũ duplo ad d. quare 3 am CSuni perviceſimänonam huius c; g’e/f᷑ ſimul ſunt parit᷑ par ſiue ſunt tmñ qᷣtum qð ſit ex a pariter pare:ꝛind 5 14
ann pariter parem.quare ꝑ triceſimam huius:qͥ inde ꝓducitur eſt pariter par.quod iteꝝ eſt pꝛopoſitum:
A 8 -
quo ad hoc.At ſi a non ſit pariter par:capio quẽcunq; numerum pariter parem vt a alterũ: quivltro/ mg citroqh hẽat pariter impares:vt b/c/d/ e· et ſumo duplum a:q̊ ſit g.qui etiã per viceſimãnonam huius 9* mintas eſt pariter par. ſintq; f/h ſui circũpoſiti pariter impares. deinde capiol duplũ g: qui etiam eſt pariter cat imm par. 7 k/ m circũpoſitos pariter impares.ſiłiter capio o duplum l ⁊ circũpoſitos bariter impares n/p duuus quedc die⸗ et hoc toties eoq; vſq; fiat quouſq; habeamus pariter impares acceptos m numerum datum a:quos
in quia hic totidẽ accepi dico numerum ex b/ c/ d/ e/ f/ h/ k ⁊ ceteris ſumptis pariter imparibus:ↄpoſitũ ni d ndiese eſſe pariter parem. et ſit qpariter par acceptus duplus ad o.quia enĩ per ſcðᷣam pꝛimi c d ſimu ſunt n tigai otum g duplum a. et etiam per eãdem b e:qᷓtum g duplum a. igitur d/7 b/e ſtmul:q́;́tum! duplũ g. — ſed per eandem ſcðam pꝛimi f̃h q́ᷣtum l duplum Fergo b/ c/ d/e/ f hꝛq́ᷣtum o duplum l.ſed kmꝛq́tum
n oduplum! p eädem ſcðam.igitur b/ cdefhkmꝛcᷓ́tum ꝗ duplum o.ſed ⁊ per eãdem ſcðᷣam np ́tum ain pa Srruns ꝗ duplum o. igitur b/cdefhmnp ſimul: q́tum duplum q.qui perviceſimãnonam huius eſt pariter afeni par.ſicq; conſtat pꝛopoſſltum.“

e— 2/223—4
———————,—— —y———. 3——„———
S———
b— 128.—1
¶ Scoͤm datum parem:pariter impares ſumere:a impariter parem diuna oldiua ¶ Sit a datus numerus par kᷣm quẽ iubear ſumere numeros pariter impares:qui oiuncti oſt numerum impariter parem. ſumo b/ e h/ↄtinuc numeros pariter pares poſt binarium tuen nũeri a circa quos ſint cd f̃g klcircũpoſſti pariter impares. dicoc dfg lel parit᷑ impares Fn eta aſumptos: ſimul iunctos ↄſtituere numerum ĩpariter parem. et ſit m duplum h qui eii Dnteniet nonanm huiꝰ eſt pariter par. quia enĩ per ſecũdam pᷣmi c d ſimul ſunt im̃ qtume duplum hꝛet m f goᷓtum h.et lꝛl qᷓtũ m.erũt cdfglꝛl ſił ꝙᷣtum tres pariter pares eh mn etinue ſumpti doſtbinani⸗ atehm ſimulꝑ quadrageſimamquintã huius ↄſtituũt impariter parem:igitur etcd f gulſimun ſtpꝛopoſitumum. 6
3 ¶ Impariter pares quotlbet reperire:qui coeceruati faciant pariter parem.
¶ Sit ÿ̃mo a nũerus datus par ſᷣm quẽ ꝓpoſitũ eſt impariter pares repire:qui coaceruati pktituan pariter parem: iuenio ꝑ qᷓdrageſimãſextam huiꝰ totidein parit᷑ impares qͥ coaceruati ſtituätnüdi pariter parem: qui ſint be de.et duco aliquẽ pariter parem in quẽlibet eoꝝ:⁊ pueniãt fgh htoti aui ꝑ triceſimãoctauã huius erũt imparit᷑ pares.at ꝑ nonam pᷣmi idẽ eſt qð ſit ex illo barit parenbe deꝛet in ↄpoſitum ex bc de.at cõpoſitum exb cdeper hypotheſim eſt pariter par:ergop niceina huius quod ſit ex pariter pare in b ed eeſt pariter par.illud aũt eſt cõpoſitũ er impariter paribusf bh im datum nierũ inuẽtis.eſt igitur effectũ qð ꝓponebat quo ad hoc. Sit ſecudo vta ſitimga ſcðᷣm quem ꝓpoſitum ſit reperire impariter pares qui cõſtituũt pariter parem ſumo per immedlat mõſtratũ impariter pares ſcðᷣm parem minoꝛemvno a: qui aggregati ↄſtituãt pariter barem⸗ſintg c. ſitq; d pariter par ex b c coaceruatus.ſumo f tertiũ pariter parem ab ipo:e quidẽ medio parik pan intpoſito.et qꝛ differẽtia f ad d cõſtat ex differẽtia d ad e q eſtdpariter par⁊ differẽtia ead fquecht pariter par:cum ſꝑ ſequens ſit pᷣcedẽtis duplus. ergo ꝑ quadrageſimamquĩtam hutus dfia fadde impariter par.ſit ergo df̃ia illa g.dico ergo b c geẽ impariter pares qui petũtur. nam b cſtmulſuntn quibus additus impariter par g tm̃ñ facit licut f.nam erat differẽtia d ad f. at vof eſt müerus parit par. conſtat ergo totum pꝛopoſitum demõſtratum.
¶ Ex dato nũero:imparit᷑ pares ex quibus dↄiũctis impariter par efficiat inueligan⸗ Su p̃mo datus nãeſus par qui ſit a ſcoᷣm quem iubemur impariter paresii nueſtigare:qui lia ſtituãt impariter parem.inuenio totidem pariteriimpares ꝑ quadrageſimãſextam hui'qulcüla ↄſtituãt pariter parem:ſintq; b cd e.capio g ꝓxĩm pariter imparẽ poſſ e. qui qꝛ ſolo quatnariodiiu ab e:manifeſtũ eſt hcdg ſimul plus eẽ pariter pare b cdeſimul ⁊ minus duplo bedeſ imul quaeg viceſimãnonam huius:aggregatus ex pariter imparibus b c d g nõ eſt pariter par.et cũꝑprini hus ſit par:idem erit a diuiſiõe aut pariter impar aut impariter par.duco ergo f nüerum quẽcunq; pari parem in bc dg:⁊ ꝓueniãt hlꝛ 1m:totidẽ quot vnitates in a:qui ꝑ triceſimãoctauam huius ſuntin Pariter pares. at aggregatum ex h lꝛ Im tm̃ eſt ́tum qð ſit exfinbedg ſimul ꝑ nonam pumiatii cdgſimul ſunt pariter impar:pꝑ triceſimãoctauam huius: aggregatus exh lꝛlm erit impariterpa. et ſi bedgſit impariter par:idem accidet ꝑ quadrageſ imãpꝛimã huius:ſicq; ſꝑ habebitur gpolli AItyo ſi a ſit numerus impar:ſumo totidem pariter impares:qui aggregati p quadrageſimãquani huius erunt parit᷑ impar.quos multiplico per quẽlibet pariter parem: ⁊ ꝓueniẽt totidem imparia pares ꝑ triceſimãoctauam huius.et qꝛ ipᷣi impariter pares ſimul im̃ ſunt Tᷣtum quod ſit er ilopnt pare in aggregatum ex pariter imparibus qui monſtratus eſt pariter impar. ergopertriceſiminoni erit aggregatus ex impariter paribus impariter par.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Quotlibet impariter pares:⁊ pariter pares ſuꝑ binarium:ſit iuncii panierpun vel impariter parem component..
Mam oĩm medietates pares ſunt.at ipᷣe ſimul:ↄpoſiti medietatem oſtituũt: ergoꝑ pumanhuls compoſiti medietas eſt par.non eſt igitur compoſitus pariter impar.a diuiſione ergo aut etpanu par/ aut impariter par.quod intendebatur.
4aut in arclad 5 zannst. g Pariter pares ⁊ ĩpariter pares qͥtlibet inueſtigare:qͥ ↄiucti parit pamoͤti 4 ¶ Sit a numerus datus ſcðᷣm quẽ debemus aggregarepariter pares ⁊ impariter pansqu wät parit᷑ parem.capio totidẽ imparit᷑ pares qui ꝑ quadrageſimãoctauã huius ſimul dugrhmna adä Pariter parem: ſintq; b ⁊c. et ſit partt᷑ par qus ↄſtituũt d. capio totivem ↄtinue parit pansſi re ſint e ⁊ f:certũ eſt e eſſe duplum d et f duplum e. dico ergo impariter pares be⁊totide darſe läd de ſimul ↄſtituere pariter parem. Ham qꝛ b cſimul ↄſtituũt d:ergo b ⁊ dſimul 2ſtm deunnn ſed et per idem bedet e ſimul cõſtituent f duplum e. at feſtpariter par:igitur totidem pariterſ et totidem impariter pares quota ↄſtituũt pariter parem.quod eſt pꝛopoſitum.
„„„„. 1 9 bua 5 ¶ Scom datu numerum pariter pares reperire:qui cũ quotlibet impanier enndis numerum impariter parem conſtituant. b inparikpantd
¶ Sit datus nůerus a:ſcuᷣʒ quẽ iubeamur reperire pariter pares:qui cũ quotlibet utraanbu vt ſumptis ſcðᷣm b ↄſtituant numerum impariter parem.ſumo pᷣmo p auadrageſima arem⸗ſumo impariter pares ſcðm b qui ſit ↄſtituãt pariter parem:ſintq; cd e ⁊ ↄſtituant f Daruenen coltiwer Pariter pares poſt f ſcðᷣm a nũerum datũ qͥ ſint ghꝛl quos dico cũ impariter pari nuerum
impariter parem.nam qꝛ cd eↄſtituũt fꝛergo cd e ⁊ fↄſtituũt g duplũ f.et cd ete giegueterede 7
g·ergo cde ⁊ g plus ↄſtituũt ᷓ duplum f:⁊ minus c̃ᷓ̃ duplũ g. et ita argumẽtabere?
4

VII
plus ↄſtituere qᷓ duplũ g ⁊ minus duplo h. et ſimilit cdeg⁊ lꝛ plus ↄſtituere duplo h et minus duplo — le ſicq; deinceps.quarec/de g hlꝛl ſimul ꝑ viceſimãnonam huius non ↄſtituẽt pariter parem. ergo pᷣ her Re quinquageſimam huius c d eg h lꝛl ſimul ↄſtituũt impariter parem.quod eſt pꝛopoſitum. 1
— Omnis numerus pꝛimus:eſt diminutus.
ait npad chr Mam oĩs numerus ſolam bartem habet vnitatem: que vt certum eſt minus eo oſtituit. eſt igit᷑ oĩs ad alis per diffinitionem diminutus.quod eſt pꝛopof itum. 2 cocenun 54. ¶ Qunilibet pariter par: diminutus eſſe ꝓbatur.
C.Mam per viceſimãnonam huius ois talis eſt de duplis ab vnitate ſumptis:que ꝑ viceſimãſextam mprruer quarti nullus nũerabit niſi aliqs in illo oꝛdine ſumptus.at ꝑ triceſimãſcðam huius oẽs in illo oꝛdĩie ſit asgregati pᷣcedẽtes minꝰ illo Pficiũt.cõſtat igit᷑ ꝑ diffinitiõem illũ eſſe diminutum. qað eſt ꝓpoſitũ.
Ois quem numerat numerus aut abundans aut perfectus: vt abundet neceſſe eſt. d— xy- 2 ¶ Sit a nũerus ꝑfectus aut abũdans:habẽs tres ꝑtes bcd eaſdẽq; ſcðᷣam/ tertiã /⁊ ſextam: ducat᷑q; b—“2 6.— 4 ain quecunq; numerum vt in c ⁊ ꝓueniat e.erũt ↄſites tres ꝑtes q̊ ſint r g h.eedẽq; ſcða tertia ſexta. 3 6
ipſo denoĩatam que eſt vnitas:ea ſiqͥdẽ pꝛedictj adiuncta facit totum abũdare ſup e.erit igif quicũq; talis quem numerat aut abundans aut ꝑfectus: abundans.quod eſt pꝛopoſitum. Quicunq; perfectum numerat: eſt diminutus. b (¶ Mam ii is qui numerat ꝑfectũ diminutus non ſit:a diuiſtone erit aut ꝑfectus aut abũdaus: qui ſi
32uchs npremt eſt ꝑfectus aut abũdans P pꝛecedentem ille quẽcunq; nũerat eſt abũdans at ponitur ꝑfectus.non eſt — igitur perfectus aut abũdans.relinquit᷑ igit queadmodum ꝓponitur eẽ dinanutus. qð eſt ꝓpoſitũ.
Impnnenn C Numerum imparem abundantem inuenire:cuius ſumptaꝝ partiũ maxia:a poſito n ahmeen imparc denominctur. en— Chec videtur ſupponere aliquem imparem eẽ abundãtem: qð ⁊ verum eſt. Sit ergo a impar poſit⸗ e qui maxiam partium ſumptaꝝ imparis abundãtis denoĩare debet et b quicunq; imparium abüdans——— qui ſi ſit minoꝛ a:duco ipᷣm in aliquẽ imparem donec eueniat impar maioꝛ a qui ꝑ quinquageſimam-e— 2 quĩtam huiꝰ erit abũdãs.ſi aũt ſit maioꝛ a:non quero aliũ.et ita ſit in ꝓpoſtto.dide ſi umo impares 5 45045 4 denoĩantes quotquot volo ſupꝛa a:ita vt a ſit denoĩatiuũ mĩmus.alioquin vitatem ꝓpoſitio hfe nõ 4a—b—— poſſet:ſintq; cd e et duco a inc ⁊ ꝓueniet impar ꝑ vndecimam huius ⁊ d in ꝓductum:⁊ e in vltimum Surgit ex mk ꝓductumꝛet illevltimus ꝓductus ꝑ viceſimãtertiam pbꝛimi hẽbit ꝑtes denoĩatas ab a cde.deiñ duco tiplicatione. — in ipm totum:b. ſitq; ꝓductus f qui pvndecimam huius erit impar:ſed et E quinquageſimãquintam 5 uder mr huius erit abũdans.qͥa b eſt abundans ⁊ habet ꝑtes denoĩatas ꝑ viceſimãtertiam pᷣmi abacderb. 7 da 3n5 er qa ꝑptiũ aſſumptaꝝ ꝑs denoĩata ab a habet minoꝛem denoiationem:qꝛ poſitus eſt a oĩm denokans 9 27 mrcg minimus per ↄceptiõem ꝑs denoĩata ab a eſt oim ſ umptaꝝ ſcʒ ſcðᷣm a cde:⁊ b maxiĩa.qẽ eſt ꝓpoſitũ. 4 n aasdpm;&Si aliqs in nũerũ pꝛimum ductus pfectũ numerum ꝓduxerit idem in co minoꝛem darurie ct ſe non numerantem ductus: ꝓducet numerum abundantem. res lun ¶ Sit h numerus p̃mus:⁊ a ductus in b Pducat c qͥ ſit nũerus ꝑfectus:ſitq; d minoꝛ b nec numeret a 28 24 et ducatur iteꝝ a in d ⁊,ꝓueniat e.dico e eſſe numerum abundãtem. nullus enĩ in alium ductus nñera ce——— ponn medietum tn bit e: quoꝝ alter non numeret a. vt ſi fin gꝓducat cintelligo f pꝛimum/ a ſcðm/ btertium/ ⁊ gquartũ 4 5 6 mgaat perviceſimãquintam ſecũdi f ad avt b ad g. ſed ⁊ per quartã tertij b numerat alten. at cum b maioꝛ ſit a b— d ui alets maioꝛ f᷑ vt ſupponit᷑:b nũerabit g. qre ⁊ fnũerabit a.ↄſtat ꝙ nullus in aliũ ductus nũerabitc 14 . quoꝝ alter non numeret a.et ideo ſi a eẽt pꝛimus non haberet c niſſ a ⁊ b ⁊ vnitatem ꝑtes ſuas:et a ⁊ f g—„— ucſuguri-ut nii b ynitate diſtarent. at nulli ſunt pꝛimi vnitate diſtãtes niſt binarius ⁊ t᷑narius:cũ opoꝛteat alterũ eoy 28 24. eſſe parem/ ⁊ alten imparem:et oĩs alius par a binario/ ſit compoſitus.quicũq; igit᷑ ſumeretur ſubb c— e — aut eet a aut ipm nũeraret.alioquin dicãtur non diſtare vnitate ſ ola vt fet p:qui in ſe faciant ꝑfectũ. 4 7 6 „ non habebit ꝑptes g niſi ef ⁊ vnitatem. at ꝓductus ex illis toties habet in ſe maioꝛẽ e quoties vnitas a b— d- uüt d.Capto fe eſt in f. at vnitas ⁊ r ſimul minus faciũt ꝙᷓ; e aliqͥties ſi umptus:ergo f⁊ e ⁊ vnitas non ↄſtituũt Pfectũ. 14 12. 9 ruppdtiiet erit ergo aↄpoſitus.ſint ergo eius partes f⁊ g:que ꝑ viceſimãtertiam pꝛimi numerabunt c. numerẽt f.— 1 91 au ergo ipm ſcom h ⁊ la. et eedem partes ꝑ idem etiã numerabunt e:ſitq; ſcðᷣm l ⁊ m. eritq; per ſeptimam 1 28 24 arfcpenne ſecundi ter repetitam c ad bh k:ſicut e ad dlm⸗cum ergo cſupet b ⁊h in numeris a fg:ſuꝑabit etiã e g— K- m— irhean numeros dl:ſitq; id in numero n.quẽ dico eẽ minus ꝙᷓ; a f ꝗ.qð ſic oſtenditur.qꝛ c ad b h:ſicut e ad dl. 6 antbt ergo vt cad e totus ad totum:et b h ad dl detractus ad detractum.ergo reſiduus af gꝛad n reſiduum n 8 orrcequic vt c totus ad e totum.at c maioꝛ eſt e:igitur ⁊ afg maioꝛ n. igitur a f g partes itidem e addite ad dl:
9 plus faciunt ꝙᷓ; e.eſt igitur e numerus abundans.quod erat demõſtrandum.
epuruter(¶ Si numerus in alium ductus perfectum vel abundantem ꝓduxerit: in quẽlibet ab ene, eo numeratum ductus abundantem pꝛoducet. b ö“
rerus

—
——
————“ 1 6“ ö—— “““ e“*——— e— 3 —— ⅓—“ 5 1 S E——— ööoööoöͤo“——— 8—
496 4
m n k
16 124. 8—
8 62 c 2
4 31 b— 6—
2 —
1
¶ Sit a auicſc; numerus qui in alium ductus vt b ꝓducat e numerum pfectum aut abundz numeret d. dico ꝙ a ductus in d ꝓducit nũerum abũdantem· nam quis ꝑ ſeptimam ſecũdi ã temtd bad dea eſt cad e:ſed b per hypotheſim nũerat dꝛigitur ⁊ c numerabit e.c aũt poſitus eſt
abundans. igitur ꝑ quinquageſimãquintam huius ⁊ e abundabit. quod eſt pꝛopoſitum Pfecnus an ¶ Cum diſpoſiu fuerint ab vnitate nũcri pariter pares qui ↄuũcti fecennt numenn 4
pamum:cxtremus in llum ductus ꝓducet numerum perfecium. ¶ Sit vnitas:⁊ a b cdↄtinue dupli:qui ꝑ viceſimãnonam huius erunt pariter pares: coac ex eis et vnit ate ſit e qui ponat᷑ eſſe pꝛimus et d extremus parium ducat᷑ in e oim aggregatum niat f.dico f eẽ numerum ꝑfectum.manifeſtum eſt enĩ perviceſimãtertiam pᷣmi aſb cd duplos 3 9 oẽs numerare f. ſitq; id ſcoͤm e/ ghkvt ſcz d numeret f ſcðᷣm eꝛc ſcöm gꝛb ſcðm hꝛet a ſcoͤmk une ergovnitas in d toties e in fꝛet quoties vnitas in c toties g in f.quare ⁊ adiuuãte vicellmalecldaſ ⁊ equa ꝓpoꝛtiõalitate quoties a in d toties g in f:et ꝑ idem quoties b in d toties h in f.et quoties 3 d toties lꝛ in f. Hinc tote ꝑtes ſunt e/ghk ad f:qͥte vnitas a bcad d. ſed ꝑ triceſimãſcðᷣam dubemun et ab et c ſimul minꝰ ſunt vnitate ãᷓ ſit d.quedͥdè vnitas eſt ꝑs d denoĩata per conceptidemab⸗ er. eghk ſimul minus faciũt f vna eius ꝑte denoĩata a numero d.pars aũt f denoĩata a numer dele ſunt igitur e gh lꝛ ſimul minus fin numero e.at vnitas ab c et d ſunt tanq e:igitur eghu murasa cd ſimul tm̃ ſunt ſicut f.ſi aũt fplures partes non habeat:conſtat ꝑ diffinitiõem ipm fnumenum perfectum ſed ꝙ nullam aliam habeat declaratur. nam ſi hoc ſit poſſibte numeret ergom:nunenn f ſcðᷣm n.qꝛ enĩ e eſtpᷣmus qui nũerat f:numerabit ergo per quartam tertij m aut n. quarep nccini quintam ſecũdi reliquus eoꝝ numerabit d.et cũ a ſecũdus ab vnitate ſit numerus pᷣmus:ergop na ſimãſextam quarti quicũq; nũerat d eſt aliqͥs in oꝛdine pꝛecedentium:vt c b a.·at ſi ſit enũerat ſſcn get ſi b ſcðm h/ et ſi a ſcoᷣm lꝛ partes ſcʒ pꝛepoſitas et vt dictum eſt. conſtat ergo nullum alum ajn ctis nũerare f.quare pᷣdicti ſunt oẽs ſue partes.et ipſi ſimul mõſtrati ſunt ipm complere atc pienn conſtat ergo diffinitionem numeri perfecti ei ↄstucre:ipmq; exiſtere perfectum. quod eſt ꝓpoſiuan ¶ Septimi eiementoꝛum Bruhmetices Joꝛdani finis.
OQꝛme numcꝛoꝛum ex vnitatũ diſpoſitiõc ꝑpendũtur. ¶ Eſt aũt diſpolin
f pꝛima in longum tm̃:altera in longum ⁊ laium: tertia vo in lõgum ſianm
⁊z altum. Cuius vnitatum diſpoſitio in longum im̃ eſt: uncans numen dicitur. C In latum diſponũtur ſupficiales linearibus vndiq; ocluſiiqun
vnitates directe ⁊ ad ſe ⁊ ad alias cquales habent diſtantias. Qoð ſit duplaterſchn
vt vnitates vnitanbus directe adaptẽtur:vel caꝝ intuallis opponãtur:aytſingo b
oꝛdinum termin in lateribus reliquis excipiãtur. ¶ In altum vo diſpoſitio ſoldoi eſt: coaptatis inſin ul ſuꝑficialibus: ex quoꝝ lateribus directe ſibi appoſins ſolidoui ſuꝑfſicies erecte conſtituuũtur. C Numeroꝛum in ſuperficie diſpoſitoꝛum:qudam Gur triangulares tria habentes latera:alij quadrilatcri:alij pẽtagoni:alij plunũ latcnn ¶ Quadrilatcroꝛũ aũt quidam latera oppoſita habẽt cquidiſtãtia: quidam mum C Numeroꝛum autem quoy latera oppoſita ſunt cquidiſtãna: alij oia latera haben equalia ⁊ tetragoni dicũtur.alij ſiquidẽ latera habent vnitate diſtantlar pentel longioꝛes vocãtur:aut amplius ⁊ dicũtur añ lõgioꝛes. ¶ Numerox in altu opolu diuerſas eſſe baſes cõtingit:quoꝛũdã triangulas/atq; quadrãgulas: ctiia decelen ¶ Hoꝛum oim quidam habent latera ſimul applicata: ⁊ dicũtur pyramides quna habent latera:que etſi inſimul tendãt:non tñ ↄuemũt:ct curte pyramidcs Ppclan- quidam habent latera equidiſtãtia ⁊ equaliter crecta: qui ſupioꝛem: ninum ficiem habent ſimiles. Iſtoꝛũ quicũq; habent baſim triangulam'ſerrallcsman quadrangulam ⁊ ipſi in longum/ latum /⁊ altum cqualiter diſtẽduntur.— quicunq; vo baſes habuerint pentagonas hexagonas ſiue plunum laterumn equidiſtanua erecta:colũne nominentur.
¶ Ois numerus triangularis:tria habet latera equalia. Vñ manifeſtu ctqhäba
3 4„—⸗* 12 triangularem ex numcris ab vnitate oꝛdine cõtinuo diſpoſſ itis: eſſe compolttunzal
latus trianguli eſſe ſeriei numerum. chro enitcis ¶ Sint a be vnitates baſis trianguli: a b ꝓxĩe: et a c extrem itates · dico ergo q inſe cadetstenat extremitates ſunt d e:erunt paucioꝛes vnitates.nam ſi totidem fuerint in ordinibu gem Inguln. d⁊ce erunt eqᷣdiſtãtia. qm vnitates in vtroq; oꝛdbine equalit᷑ diſtant:ſicq; non co 4 lergoponiu pnucioꝛes ergo erunt in oꝛdine d e.et qm̃ qᷓ;tum diſtat a ab b tm̃ diſtat a ab d ⁊ca 5 it pums tota ab c quota d ab e:diſtabit f ab d q́um cab e.et ideo qtum a ab d. ſi ergo f naneer giinter a 1de a ſed fuerit b vnitas media: cũ diſtent a ab dótum a ab b:erit longituvo intera ei viſtätias quc inter f⁊ dvł amplius:ſicq; vnitates et ad ſeinuicem et ad alias non equales ed ſeauens minorno eſt impoſſibile. Oꝛdo ergo d e minoꝛ eſt oꝛdine a c vnitate.et eadem roͤne ſꝑ oꝛdo

Suf.gaeen n dma genaenden n ansdendeanean
VIII
ꝙᷓ pꝛetedẽs donec extremũ ſit vnitas. et qꝛ ideo totidem erunt oꝛdines quot in baſe ſunt vnitates: pz retroagendo vnitatẽ eſſe pꝛimũ potentia triangulũ cui due adiuncte ſecundũ claudunt triangulum: cui ſecundo tres addite facient tertiũ: qꝛ femper eſt vnitate maioꝛ pꝛecedẽti. et ita cõſ equenter ſcöm
naturalem numeroꝛũ pꝛogreſſum ſicq; pꝛopoſitio ⁊ coꝛrelariũ nota ſ unt. CSia triang ipſi deſcendendo pꝛoximus.
gulo ergo a b ſubſtracto latere a b:dico ꝙ relinquit᷑ triãgulus ipſi triãgulo a b deſ cẽdendo pꝛoximus nã qꝛ triãgulus a per pᷣcedentẽ habet tria latera equaliaꝛet ſequẽtia ſola vnitate vincentia.ſubſtracto ergo latere a b erũt reliqua latera vno cõtractioꝛa.ſ 3 ⁊ vnitatũ oꝛdines ſᷣm vnitatẽ ſemꝑ decreſcũt
pz per coꝛrelariũ pꝛecedẽtis reſiduũ eſſe triãgularẽ.⁊ qm latus eiusvnitatevinci a latere triãguli ab cognitũ eſt:patet relictũ triãgularem eſſe pꝛoximũ deſcẽdendo triãgulo a b:qð eſt pꝛopoſitũ.
¶ Qmnis triangularis duplicatus: parte altera longioꝛem efficit.
¶ Triãgulus triãgulo deſcendẽdo pꝛoximus:eſt cuius latus latere alterius eſt vnitate minus.a triã
¶ Sumãtur a et h duo triãgulares equales:adiiciat᷑q; lateri c trian b. itidẽ lateri ftriãguli b adiiciat᷑ e extrema vnitas triãguli a: fient
tus a triãguloꝝ a et b ſuperãtia.et ſi addis aptaſq; hoc pacto medios oꝛdinesvnius mediis oꝛdinibꝰ alterius:fient per tertiam pꝛimi cõpoſiti oꝛdines ſibi mutuo et extremis oꝛdini
4
verbi cã vt ſi oꝛdinẽ ſequentẽ latus caddis adaptaſq; oꝛdini ſequenti vnitatẽ d. q
dine duas:de d tertio tres:de e quarto quattuoꝛ.⁊ ſi plures ſunt tot cõſ famenten
CSit vt in pꝛecedẽti abge quicunq; altera parte longioꝛ qui per eandem diuidatur inbgheteaf duos triãgulos equales.erit vt a e ſit latus triãguli e a f et latus b a altera ꝑte lon
ſit numerus impar ſummã triangularis pꝛouenire ſi paris pꝛoxime maioꝛis ſubdu⸗
plum in ipſum imparẽ ducatur. et ſi numerus ſit par: ſumma triangularis pꝛoueniet
ſi paris medietas in imparem ducatur pꝛoxime maioꝛem.
¶ Sit a datũ latus cuiuſlibet numeri triãgularis cuius ſumma querit᷑: duco a in b pꝛoximũ numerũ
maioꝛẽ ⁊ per diffinitionẽ pꝛoueniet altera parte longioꝛ cuius h maius latus erit vnitate maius a mi 81
ia quolibet triangulari numero latus ſuum detrahatur: relinquetur triangulus
00O o os 40 6
600000
8 00000 a 5 a 15

noꝛe latere ⁊ latere triãguli cuius ſumm apetit᷑. per quartã ergo huius ſumm
ne u a triägul 1 dietas altera parte longioꝛis inuenti:ſicq; conſtat ꝓpoſitum. ¶ Coꝛrelariũ Salt petiti 7 ſionis adiuuãte decima pꝛimi notũ eſt.et hec cũ coꝛrelario ſuo pꝛaxim Pereiene nö nalone n ¶ Qmne perfectum eſt trinum. 5 rat. ¶ Ternarius totus eſt religione ſacer et a Pythagoꝛic Magis et Sacerdotibꝰ olim 1 rum in modum veneratus. et Ariſtoteles Pythagoꝛicoꝝ ſymbolis inſiſtens coꝛ narcanismi
poꝛeã magnttudin
ipſumq; vniuerſum perfectũ aſtruit ꝙ ipſum trinũ ſit imovero trinũ eſt:qꝛ ipſum perfectũ Pythagoꝛas cõperit in numeris:numeroꝛũq; myſteriis.hic ergo ſuſcipit᷑ demonſträdu ⸗ pꝛio merum perfectũ eſſe trigonum. NMam per triceſimãſecundam ſeptimi quotcunq; nũeri um omnè na⸗ cõnumerata vnitate coaceruati efficiunt numerũ pꝛoximo ſequente pariter pare: vuntedel ares qutdem pꝛoxime ſequens pariter par per viceſimanonam ſeptimi eſi coaceruatoꝛũ mani minocequ quare totus coaceruatus eſt impar. at per ſexageſimã ſeptimi oĩs numerus perfectus unl duhl b aceruatione vnitatis et pariter pariũ quoties coaceruatꝰ eſt pꝛimus qui vt dictũ eſt 2delii ero ſeptimi ſola vnitate diſtat a pꝛoximo pariter pari: qui ad aggregatoꝝ maximũ duplus eſt G mani mus aggregatoꝛũ ſubduplus paris numerũ aggregatoꝝ imparẽ pꝛoxime ſequẽtis: in giurh mar ductus:per pꝛimã partem coꝛrelarij pꝛecedẽtis cõſtituit numerũ triangularẽ.eſt igi minpae perfectus triãgularis atq; trigonus:qð eſt pꝛopoſitũ. Et eius latus ꝑ pꝛecedẽtem ⁊ halac erer ille impar ex omnibus coaceruatus.
¶ Omnis numerus par media ſui parte multiplicatus tanto minoꝛẽ ſu
0. bar 24 nte mmã pduai qᷓ omnes ſumme que in ipſo ſunt coaceruate: qᷓ;tum ſua ipſius medietas. na ¶ Lec ex analyticis numeroꝛũ depꝛõpta eſt.et ex ſcðᷣa ꝑarte coꝛrelarij ſuꝑioꝛis cõcluſtonis adiuuã nona pꝛinii ⁊ cõi dignitate:vnitatẽ in quẽcunq; numerũ ductã: ipſum ꝓducere:ſtati cognita eleße
bOoooooee ʒTSi ſumantur triangulares ab vnitate: duos pꝛimos impares et ſequẽtes duospa ³⁴0000 res atq; ita viciſſim duos et duos impares atq; pares inucniri neceſſe eſt.
⁴0 ¶ Quia enĩ per coꝛrelariũ pꝛime huiꝰ triãgulares creãtur ex nũeris oꝛdine cõtinuo ab vnitate diſ
76 0 23 ſitis et vnitas pmus eſt potẽtia triãgularis ⁊ potẽtia impar. addita igit᷑ numeroſ equẽti qd eſtpard
* 2 2 ſtituet ꝑ coꝛrelariũ pꝛime huius ſᷣm triangularè ⁊ per ſecundã ſeptimi imparẽ. erunt ergo duopain
2* 3 triãguli nũeris hoc pacto diſpoſitis ĩpares. Sed ⁊ qꝛ tertius numerꝰ eſt ĩpar et cũ bꝛecedẽti trügi
1 95 ꝑ idem coꝛrelariũ cõſtituit triangulũ ⁊ pᷣcedens mõſtratus eſt ĩpar:ergo ꝑ tertiã ſeptimi tertusii
——, Lularis erit par. et aꝛ quartus ab vnitate nũerus eſt par qͥ cum pᷣcedèti triãgulo pari ꝑ idem coſtiui ſI3S101128 3! quartum triangulum. ergo quartus triãgularis per pꝛimã ſeptimi eſt par. erunt ergo duoſequenis [11215 41.WSI2S pares.et iiſdem rationibus mõſtrentur duo ſequẽtes eſſe impares ⁊ viciſſim aliᷣ duo ſequẽtes paxa
—. ſicq; ſine difficultate certum apparebit pꝛopoſitum.
¶ Si poſt vnitatem ſumantur numeri triangulares: inter duos et duos diſiunain mn 3 erunt qaue inter numcros ab vnitate naturali ſerie: ſumpte pꝛopoꝛtlones. 9 5 ¶ Sit ꝓximus triãgularis poſt vnitatẽ a ⁊ bdefoꝛdine ↄſequẽtes ſitq;vnitas et gh hnũeriabm 1 6f-z8 tate naturali ſerie ꝓcedẽtes:dico que ꝓpoꝛtio g advnitatẽ eã eſſe b ad a:et ꝗ̃ had gea eſſedadcxqu n e 21 ad h e eſſe f ad e. ⁊ ita ꝓcedẽdo in his diſiũctim:in illis vero cõiunctĩ. nam ꝑ pꝛecedẽtem acſiia k 1 9 15 bepares:d e ĩpares:et f par.ſumo enĩ quattuoꝛ pares ab vnitate qͥ ſint glꝛlm et medüinter eoain h— z c 10 pares ſint hn o. et qꝛ ꝗ d eſt binariꝰeſt latus a qͥ eſt ternariꝰ. ⁊ per coꝛrelariũ pꝛime huiohlatusbel g 2 b-—— latus cet n latus d ⁊1latus eet olatus f:ergo ꝑ quartã huius g in h facit altera pte long ore duhli
et h in lꝛ duplũ b ⁊lꝛ ĩ n duplũ cet n inl duplũ d ⁊ l in o duplũ e:atq; per eandẽ o in m duplũſ. qꝛa g in h et lꝛ in h cõſtituunt duplũ ad a et ad b. erit ergo per octauã ſecundi vt que Ppoꝛtioliadgeiſt dupli b ad duplũ a:ſed ⁊ b ad a ſubduplus ad ſubduplũ per coꝛrelariũ decimequarre ſecũdiſlcutan duploꝛũ duplus ad duplum. ergo ſicut lꝛ ad g ita b ad a.et per idẽ ſicutl ad lꝛ ita dad tſiuumadl ita f ad e.⁊ cũ glꝛlm ſint ſumpti ab vnitate cõtinue pares: ergo ꝑ decimãoctauã ſepumicl qpoui bad avtg ad vnitatẽ ⁊ d ad cvth adget f ad evt lꝛ ad h: quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si tres continui triangulares ſtatuantur: qui ſub extremis contincu ctattnn/ parte longioꝛ: cuius laterum maius erit illoꝛum trium mediusA. aa F. 5 ¶ Sint a b e tres continui triangulares ⁊ eoꝛũ latera d ef:ſitqʒ g vno maioꝛf.dico qs—— 4 v— s altera ꝑte longioꝛẽ cuio maius latus erit b.nã qꝛ ab c ſunt ↄtinui triãgulares:ergo cone üdn e— h——— huius d e f ſunt fm continuã ſeriẽ numeroꝝ ſumpti. et qꝛ per quartã huius d ine cöſtruten dn — 9 3 ergo ſi d eſt par quẽadmodũ hic eſt: medietas d in e cõſtituit a. et per idem medietas lineci kai et medietas f in g cõſtituit c.ſi aũt d eſſet impar numeraret a ſ᷑m medietatẽ e:⁊f bemme leauuir ſic cõſequenter tᷣm medietatẽ parium ĩpares numerarẽt triãgulares.ergo per octauãpam ade ſn coꝛrelario decimequarte ſecũdi que ꝓpoꝛtio fad d:ea eſt b ad a. et ã gad e:ea eſt cadb. eae hm continue ſumpti triãgulares:ergo ꝑ coꝛrelariũ pꝛime huius b ſuperat a qᷓᷣtum eſt eſum gſieutfad minoꝛẽ b:manifeſtũ eſth ſuperare a ́ tum eſt d. et quo abũdat c ſuper b eſtf. quia bs ainact dꝛĩam h ad a.et ſicut detractus ad detractũ:ita reſiduus ad reſiduũ.erit ergovt ſ leun 3 4 5 totus ad totũ: quod igit᷑ ſit ex a in cꝑ viceſimãquintã ſecũdi tm̃ eſt qᷓtum qð ſit exhi nn. us maius eſt að ſit ex h in b eſſe altera parte longioꝛẽ.igitur et qð ſit ex a in c.eſt altera ꝑte long laterũ eſt b illoꝛum trianguloꝛũ medius.et pꝛopoſitum.
—— — 4 8 3—— 6 2 —— 4“ 8———.*. 4 — 3——.— 25.—— 4———— 8—-——— 3 ——.— 8 3 8*—— 2 8— 8 4 2 1— —— 3— 8— 8 3 3 2——* 8 2—— 4 “ 3 4 ggͤqℛhdſſ——...———*——— 1——*— —— wen Iene en— n————— 8 8 SerNe e eAIken 1een see———— 2 e—.. 4—*— 4 4— —— 4 5 3 8 1 3— 4—— 1—“ 6 4— 4—— 4 8 3— 8 1 4————-———— 3 3—. 8——.. ““ k5“————————— ——y ä———————— 3— —— 2———————= 8———— ꝛ——— ————. 1— ͤ—————— — 4-“—— 1 ſoſoöooſoſ——— ͦ———— ꝛ——— —————— QD¼———— ooqq.——— 5 —— ͤͤͤͤͤſͤͤſͤſͤſͤſͤſͤſ“—— S——— 8—=——— —————————
8 4 ÿ,. ——

CSi ſumãtur pꝛimi poſt vnitatem par et impaͤr: ⁊ cõpoſito ex ipſis minoꝛ addatur:
itemq; ex his confecto minoꝛ aduciatur:crit vt cum pꝛimoꝛũ pꝛimus ſit par:ſequẽtes
ſint impares. tertioꝛũ pꝛimus par et ſequentes impares ac ſic deinceps. duploq; qua dꝛati parium et quadꝛato extremi impariũ:tetragoni triãgulares terminẽtur.
8 21 41. 4 9 25 45 144 289 3414 1881 k 1 m n 0 p Q A 3₰ D R 8 C 7 1 8 8* 8 8 8 1 * 8&& 5 O O 8 50 288 1682 35 ms 41616* 14157,1
¶ Sint a et b numeri pꝛimi poſt vnitatẽ par ⁊ impar binarius ſcʒ atq; ternariusd iuncti faciãt e cui addito a fiat d.item c et d cõponent e cui addat᷑ c ⁊fiat f atq; e ⁊ fcomponant g et e addatur g ⁊ fiat h. dico pꝛimo a eſſe parẽ et b imparẽ ⁊ cd impares.item e parẽ fet gh impares.a enĩ eſſe parem ⁊ b im parem eſt hypotheſis.et qꝛ c cõponitur ex a ⁊ b:per ſecundã ſeptimi c etiã eſt impar. et qꝛ d conſtat ex a pari et c impari per eandẽ ſecundã d eſt impar.⁊ qꝛ e conſtat ex cd duobus imparibus e per quartã eiuſdẽ erit par.et qꝛ f conſtat ex c ⁊ eimpari atq; pari per ſecundã eiuſdẽ f eſt impar et per eandẽ erũt get h impares:qð intendebat᷑. Secũdo dico duplũ quadꝛati a terminare tetragonicũ triangularem. terminare enĩ tetragonicũ triangularẽ eſt eſſe latus quadꝛati qui pariter eſt ⁊ triãgularis. Patet id nã qꝛ vnitas duplicata cõſtituit a et a bis ſumptus ſuum perficit quadꝛatũ: duabus igit᷑ vnitatibus a diſtat a ſuo quadꝛato et vnicum ſuſcipit mediũ ſcʒ bꝛ cuius differẽtia ad a eſt vnitas.et qꝛ per ſeptimã ſexti quo abundat quadꝛatus b ſuper quadꝛatũ a eſt quod ſit exvnitate in b et a ſmul.ſed b et a ſimul ſunt vno maius quadꝛato a qui duplus erat ad a.igitur quadꝛatus b eſt vno matoꝛ duplo quadꝛati a. ſed ⁊ qꝛ duplũ quadꝛati a in quadꝛatũ b cum ſola vnitate diſtent ꝓducit per diffinitionẽ altera parte longioꝛẽ quadꝛatus a qui eſt medietas in quadꝛatũ b per octauam ſecundi ꝓducit illius altera parte lõgioꝛis medietatẽ.ergo per quartã huius quadꝛatũ a in quadꝛatũ b pꝛoducit tr iãgularem.⁊ qꝛ pꝛo⸗ ducitur ex ductu quadꝛati in quadꝛatũ:ergo per decimãquartam ſexti idem erit ⁊ tetragonicus.effe⸗ ctum eſt ergo qð dicebat. Tertio dico quadꝛatũ d extremi impariũ terminare tetragonicũ trianguta rem.ſumo enĩ quadꝛatũ c qui ſit l⁊ ⁊ quadꝛatũ d qui ſitl:dico lꝛ duplicatũ excedere vno l.nam quadꝛa tum c duplicatũ per decimãquintam pꝛimi eſt tanqᷓ;ᷓ duplũ quadꝛati a et duplũ quadꝛati b.et quod fit exb in a quater et qꝛ per eandẽ decimãquintam quadꝛatũ d eſt qᷣtum c in ſe et a in ſe xain cbis: ſed e in ſe eſt tätum per eãdem ꝙᷣtum b in ſe et a in ſe et a in b bis. et a in e bis eſt tm̃ per nonã pꝛimi qtum a in ſe bis et a in b bis. ergo qð fit ex d in ſe eſt ᷣtum quod ſit ex b in ſe et quadꝛuplũ quadꝛati a ⁊ qua dꝛuplum ꝓducti ex a in b· ſed cum duplũ quadꝛati c ſit monſtratũ q́tum duplum quadꝛati h et duplũ quadꝛati a et quadꝛuplũ quod ſit ex a in bꝛet ex ſecunda parte huius quadꝛatũ b excedatvno duplum quadꝛati a.ſit ergovt duplum quadꝛati c cõtinens quadꝛatũ b loco huius ꝙ quadꝛatũ d ↄtinet duplũ quadꝛati a ceteris omnibus cõſimilibus excedat vno quadꝛatũ d. duplũ ergo quadꝛati c in quadꝛatũ d per diffinitionẽ pꝛoducit altera parte longioꝛem cuius longius latus exceditvno quadꝛatũ d.illius ergo dupli dimidius qui eſt quadꝛatus lꝛ in l quadꝛatũ d pꝛoducit illius altera parte longioꝛis dimi⸗ dium per octauam ſecundi qui per quartam huius eſt triangularis et cuius latus eſtl quadꝛatus ex tremi imparium qui et idem per decimãquartam ſexti eſt tetragonus. et hac ratione de ſequentibus molire id quod pꝛopoſitũ eſt oſtendere: et omnino conſtabit pꝛopoſitum..
2à

1 9“ 1 8 1“— e 2———— 3——
— 4— ——————ö ——— 3 8 8———— „ 8——.—,— 2„—— 2 1e 2——.—— 24 1—* 4ee— 8 8—“——*8 8— 3 4 8.—*— 5— 4———*——— 8 ——— 8 4— —. 8 1—*———————. ———— 8—. e 5———— 8 5 1s— 1——— 4 1 4— 8 n.——*——— 3 ö““—— “——. — 1* 4** ——— 1——— 1— 6—————— 2* 8„..————— aann ermmwenghenenhireeunue 4”nn93 eee2 eeen— V *———.—— 2 8 4 4—.. 1 1——————.
“ —
6
⁴000 0000 60 4 ⁴000
O
0 000 0 0
¶ Si abynitate continue dellgnentur parte altera logioꝛes et qua aſſen. iuncti:triangulares omnes eſficient. adratddordtns
¶ Deſigno ab vnitate a b c quadꝛatos et ab vnitate altera parte lõg ioꝛes 2 duos ꝓximos quadꝛatũ et altera parte lõgioꝛem ſimul:cõſtituere rrasgulaennnnedie quofii dꝛatus q̃ eſt vnitas ⁊ pꝛimus altera parte lõgioꝛ qui eſt binarius manifeſtũ eſt illos eritpmsga coꝛrelariũ pꝛime huius cõſtituere triãgularè.ꝙ ſi fuerit a ſcuus quadꝛat⸗ ⁊ d pꝛim us nuladditg Pte lõgioꝛ ſifr per viceſimãſextã feꝑtimi quadꝛatus a ↄſtat ex ĩparibus abvnitateſ abynltategl ĩpari ⁊ d eſt pᷣmus par:quare ſi reſoluat a erũt accepti cõtinue numeri ab vnitate. p rmttate
pᷣme huiꝰ ↄſtituũt triãgularẽ.⁊ ita oſtẽde a et e cõſtituere triãgularẽ reſoluto a in 8 elariũ igtn ſeptimi ⁊ e in ſuis paribus ꝑ viceſimãſextã eiuſdẽ. et ita de quibuſlibet duobus hoc moiunde
¶ Si ſumantur triangulares et tetragoni: fuerintq; illi toti triangulanum ab in quoti iſti tetragonoꝛũ poſt vnitatem:coniuncti facient numeros pentagonos, i
¶ Nam ſĩ vnitati que eſt pꝛimus trigonus adiungas pꝛimũ quadꝛatũ boſt vnitatẽ qul eſt anatn ſiet pẽtagonus poſt vnitatẽ habẽs quinq; latera equalia.et ſi capis ſcðm trigonũ ab mit wuaan binariũ in latere ⁊ ſecũdus tetragonus poſt vnitatẽ habet ternariũ in latere. adiecto er 3 b bahn dꝛati fiet per coꝛrelariũ pꝛime huiꝰ triãgulus ſequẽs habens latus trium vnitatũ et i— recipiens totidẽ in quolibet eius latere vnitates.et qꝛ ſemper totus tetragonus poſt rnitata vno plus in latere ꝗᷓ trigonus totus ab vnitate: hac rõne de quibuſlibet aliis Ppoſitum effi dan latera illoꝛũ pentagonoꝝ equalia ſunt lateribus tetragonoꝛũ datoꝛum: hinc etiã ſit vt illi enes toti ſint poſt vnitatẽ quoti ⁊ tetragoni. ¶ Et ex hac ⁊ viceſimaſ exta ſeptimi cognoſcit qs venahi rinus aſſerit boetius:i4 capite ſecundi ſue inſtitutiõis arithmetice:petagonoꝝ generanonenan numeris naturali ſerie oꝛdinatis quãdo cõtinue duo a monade duoꝝſ emper in medio facta unrm ſione iungũtur. Mam per pᷣſentem accepta vnitate que eſt pꝛimus trigonus ⁊ quaternario tetragoi duoꝝ in medio binarij ſcʒ atq; ternarij facta inſmiſſione iunctis:ſit ſecũdus pẽtagonus duo— geres. At rurſum duobus intermiſſis ſeptenarius acceptus quinariũ includita binarium. It quie rius impar perviceſimãſextam ſeptimi additus tetragono quaternario: pꝛoximũ cõſtituit tetagni ⁊ binarius vnitati adiectus per coꝛrelariũ pꝛime pꝛoximũvnitati cõſtituit trigonum. ergop pꝛelen vnitas 4 et 7 cõſtituuntpentagonũ. At rurſus duobus dimilſis poſt ſeptenariũ accepto denario ⁊ includit ſequentẽ imparẽ ⁊ ternarium: qui ſ eptenarius quadꝛato pꝛioꝛis pentagoni addituopn ſimãſ extam ſeptimi ſuccedẽtem conſtituit quadꝛatũ et ternarius trigono pentagoni adiectus propn auum trigonum.erit igitur per pꝛeſentẽ numerus ex vnitate /7 et Io conſtitutus pentzgonvornin de quibuſſlibet aliis argumentabere.
¶ Si parte altera longioꝛ cum toto poſt vnitatem triangulari coniungatur: conpe⸗
ſitus crit pentagꝰnus poſt vnitatem totus.
¶ Sit a aliquotus ab vnitate altera parte longioꝛ vt ſecũdus: cuius ideo minus latus erunt duem
tates: ſitq; b triãgulus totus poſt vnitatẽ cuiꝰ ſatus ideo erit ternarius ⁊ equale maloꝛi lateri alten parte longioꝛis. adiungo ergo maius latus trigoni b maioꝛi lateri altera parte longioꝛis a: etſtere
tragonus ſed ⁊ illud quod reſtat dempto maioꝛe latere b per ſecundam huius eſt trtangulus mina
deſcendendo ergo per pꝛecedentem ille cum quadꝛato ex altera parte longioꝛe ⁊ lõgioꝛe latere mi
guli cõſtituto:erit pentagonus:quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Quilibet pentagonoꝛũ poſt vnitatẽ cum toto triangulari ab vnitate: hexꝛgonn poſt vnitatem ſimili loco poſitũ conſtituit:ct huiuſmodi tetragonicus dicalur.
Anitas oĩs numeri poteſtatẽ optinere dicit᷑ cuius equalia latera deſignãtur. hincipſactpumms
triangulus pꝛimus tretragonus pentagonus hexagonus ⁊ ita deinceps. et pꝛedictoꝛiũ numeroum pꝛimus poſt ipſam eſt cuius latus fuerit binarius:⁊ſecũdus poſt ipſam cuius latus fuenittennanius ſcũdus vero ab vnitate cuius latus fuerit binarius.et dicitur hexagonus tetragonlatalislnn eſt equale lateri medij tetragoni.dico ergo ꝙ ſi capiatur aliquotus pẽtagonus poſt mitatẽm uu verbi cauſa poſt vnitatẽ ſit tertius et b totus triãgulus ab vnitate: dico acumb cöſtiuceſergen poſtvnitatẽ totum pariterq; ⁊ tetragonicũ. nam per duodecimã huius quotus pẽtagonus uenitdo vnitatẽ ex toto polt vnitatẽ tetragono conſtat et triãgulari ab vnitate toto. ergo equalis Terwa qui eſt quẽ pꝛopõò pꝛoponit ex oppoſito tetragoni latere appoſitus hexagonũ conſtituet: di„ erit equale lateri medij tetragoni.et qꝛ latus eius ẽ equale lateri medij tetragoni eſt: eann 4 uat pentagoni quare ⁊ hexagonus totus erit poſtvnitatẽ quotus et pẽtagonus.⁊ qꝛ eius latus u 5 lateri medij tetragoni eſt idẽ ⁊ tetragonicus:qð eſt pꝛopoſitũ.Ex hac et duodecima hui uupnenus pᷣme cognoſcẽ pꝛomptũ eſt gñationẽ hexagonoꝝ eo pacto qͥ docet Boeciꝰ 1 capiteſcoiari
„ 5.... ¶ Ois tetragonus cũ pꝛecedẽte altera ꝑte longioꝛe: hexagonũ tetragonici us ¶ Pꝛimus enim altera parte longioꝛ poſt vnitatem eſt qui habet vnitatem minus latus 1 uh
qui hʒ duitatẽ et ita deinceps.⁊ pꝛecedẽs tetragonũ eſt cuius minus latus eſtvno manh⸗ tetrago goni qui ⁊ poſtvnitatẽ totus ẽ quotus ⁊ altera parte lõgioꝛ ab vnitate.dico ergo aueee gpui altert vt acũ pꝛecedẽte altera parte longioꝛe vt b cõſtituere hexagonicũ tetragonũ.nã ꝑ qua

VIII
Pparte lögioꝛ b diuidik in duos triãgulares quoꝝ vterq; totus eſt ab vnitate quotus pte altera lõgioꝛ
poſt vnitatẽ:qꝛ latus illoꝛũ triãguloꝛum equale ſit minoꝛi lateri altera parte lõgioꝛis. quare ⁊ vterq; totus eſt abvnitate quotus tetragonus a poſt vnttatẽ. vnus ergo illoꝝ trigonoꝛũ per duodecimã hui⸗ cũ tetragono a cõſtituit pentagonũ poſtvnitatẽ totũ: ſed et per pꝛecedentẽ idem pẽtagonus cũ altero triãgulari qui eſt totus ab vnitate ↄſtituit hexagonũ tetragonicũ · a igitur cum b altera parte lõgioꝛe pꝛecedẽte cõſtituit hexagonũ tetragonicũ: quod erat demõſtrandum ⁊ ꝓpoſitum.
¶ Si diſponant᷑ triangulares ab vnitate:tertius atq; vno intermiſſo a pꝛius ſumpto tertius: crit hexagonus. ¶ Nã per vndecimã huius diſpoſitis ab vnitate ꝑte altera lõgioꝛibus et quadꝛatis ſi duo ⁊ duo ↄiun
gãtur fient oẽs triãgulares.at cũ pꝛimus triãgularis poſt vnitatẽ fiat ex vnitate ⁊ pᷣmo altera Pte lon gioꝛe:ſcðᷣus triãgularis poſt vnitatẽ qͥ eſt tertius ab vnitate fiet ex pᷣmo tetragono poſt vnitatẽ ⁊ pᷣmio poſt vnitatẽ altera ꝑte lõgioꝛe per eandẽ vndecimã qui eſt tetragonũ pꝛecedẽs. ergo ꝑ pꝛecedentẽ ter tius triãgularis ab vnitate ẽ hexagonꝰ. ſed ⁊ eadẽ rõne qꝛ vno int᷑miſſo tertius ſemꝑ a q̃dꝛato et pᷣce⸗ dente altera ꝑte longioꝛe ꝑ vndecimã huius naſcit᷑:ergo per pᷣcedentẽ tertius ſemper erit hexagonus quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si ſex vnitates vni circũponantur:Oita vt illarũ adinuicẽ ⁊ ad illam eadẽ ſit diſtãtia
hexagonum equiangulũ conſtituent. b. ¶ Mã quelibet due illaꝝ vnitatũ cum media vnitate triã gulum equilaterũ conſtituunt.ſient ergo lex
triãguli equilateri quos dico etiã eſſe adinuicẽ equiãgulos. nã cum illoꝝvnitates abinuicẽ ⁊ a media
diſtẽt vnitate:ſi vnitates vnius vnitatibꝰ cuiuſlibet alterius applicent᷑ erunt ſupꝛa ſe inuicẽ appoſite et ãguli vnius ãgulos alterius nõ excedẽtes: quare ſex ãguli hexãguli erunt equales.erit igitur talis hexagonus equiãgulus qð intẽditur.et ita de tetragono equiãgulo ⁊ pẽtaaono ſi placeret oſtẽderet᷑.
¶ Latere pꝛopoſito hexagonum equiangulũ conſtituerc. 1 ¶ Sit a vnitates dati lateris qbus vna plures applieo: ita ſemꝑ augẽdo donec tot ſint oꝛdines quot vnitates ſunt in latere.fiatq; hoc mõ deſcẽdendo donec tot cõpleant᷑ oꝛdines quot vnitates ſunt in eo dem latere. ⁊ qꝛ fiunt tria latera equalia aſcẽdẽdo et tria ſimilia deſ cẽdendo pz creatũ eſſe hexagonũ què dico equiãgulum.nã medius oꝛdinũ ſemꝑ per viceſimãtertiã ſeptimi ẽ impar ꝙ totus ſit a nũero lateris quotus nũerus lateris ab vnitate.habet igit᷑ ille maximus numeruswnum mediũ.⁊ ſi ſignas extremitates ſex laterum per bcdefg erit illa media vnitas media oꝛdinis f c: e bꝛet oꝛdinis d. qꝛ equales ſunt et ea cõicant.diſtat ergo equalit᷑ ab f ⁊ cet abe ⁊ bet ab d ⁊ g. quare ſex triãguli:ſcʒ me
diavnitas fe:mediavnitas e dꝛ:mediavnitas d c:media vnitas cb:et medtavnitas b g:⁊ media vnitas g f:adiuicẽ eqlateri ſunt et vt in pᷣcedẽti equiãguli.ẽ tgif hexagonꝰ b cdefg equiãgulꝰ: qð ẽ ꝓpoſitũ
¶ Si cuilibet hexagono cquiangulo totus ſenarij multiplex addatur quotus ipſe eſt ab vnitate: ſimilem hexagonũ pꝛouenire neceſſe eſt. H—
¶ Si pᷣmo hexagono qͥ eſt vnitas ſenarius circũponat᷑ per penultimã fiet ſequẽs hexagonus equian gulus.nã habẽs duo in latere ꝙ ſi eoꝝ interualis que etiã ſunt ſex:ſex aptẽturvnitates in eadẽ diſtan tia:atq; ipſis ſex vnitatibꝰ alie ſex angularit: ſiet ſequẽs hexagonus equtãgulus habens ternariſ in latere.⁊ vt pꝛecedẽs hexagonus ſecũdus erat ab vnitate ita acceptus eſt totus ſenari multiplex:ſcilʒ
duplus ad ſenariũ qui eſt duodenarius: cui ſi rurſuni circũponas triplũ ſenarij: ſcʒ duodeci vnitates
in duodecĩ interuallis et ſex ad ſex ãgulares vnltates efficis ſequẽtem hexagonũ equiãgulum quivt in pꝛecedẽte pꝛobaret᷑ habet quaternariñ ſuũ latus.et qꝛ ſemꝑ iterualla creſcũt in ſenario tot ägulis ſemꝑ manẽtibus appoſito ſequẽti ſenarij młtiplici ſemꝑ efficies hexangulũ equiãguluz eadem rõne
ſequẽtem:quod intendit pꝛopoſitio.
¶ Si oꝛdinentur ab vnitate triangulares et ſinguli ſecundũ ſenarium multiplicẽtur: pꝛoducti addita vnitate erunt hexagoni cquianguli.— 3
¶ Si enimvnitatẽ que pꝛimus triãgularis eſt ſenario multiplices: ſecũdus hexagonus naſcitur: qui addita vnitate circũcluſa cognoſcit᷑ ⁊ equiãgulus.et qꝛ per pꝛecedẽtem quilibet hexagonus tot addit ſenarios ſuper pᷣcedẽtem quotus ipſe pᷣcedès fuerit ab vnitate.⁊ qͥlibet triãgularis ꝑ coꝛrelariũ ᷣme tot hz vnitates ſupꝛa pᷣcedẽtem quotus ipſe fuerit ab vnitate.ergo ſi ſcðs triãgularis q ideo hz duas vnitates ſupꝛa pꝛimũ multiplicet᷑ ꝑ ſex addet tot ſenarios ſupꝛa pᷣcedẽtem hexagonũ qui fuit ſcðus:
quotus ipſe ſcðᷣus hexagons fuit ab vnitate.ergo ꝑ pᷣcedẽtem erit ſequẽs hexagonꝰ. ⁊ ita quoq; ttio
eaulari q¶ͥ addit tres vnitates ſupꝛa ſcðʒ ꝑ ſex młtiplicato:x quolibet alio:addes ex multiplicatiõe tot ſenarios quotus ⁊ triãgularis ⁊ pꝛecedẽs hexagonus fuerit ab vnitate: ſicq; ꝑ pꝛecedẽrem ſemꝑ concludes pꝛopoſitum.. Ommss hexagonus equiangulus tanto abundat ſuper hexagonum tetragonicum ſimili poſt vnitatẽ loco ſumptũ:qᷓ;tus eſt tetragonus ab vnitate ſimilter dictus
¶ Sit exẽpli cã a quartus ab vnitate hexagonꝰtetragonico qͥ ⁊ tertius ẽ poſt vnitatẽ:ſitq; b totus ab
vnitate tetragonus id eſt tertius:⁊ quartus tetragonus c ⁊ medius altera parte lõgioꝛ d.dico tertiũ
hexagonũ equiangulũ poſt vnttatẽ tantũ diſtare ab a qᷣtus eſtb tertius ab vnitate tetragonus.· nam
per decimãquintã huius c et d cõponunt a: ſed ⁊ qꝛ differẽtia b ad d per viceſimãquartam ſexti eſt ter
narius latus bꝛ⁊ differẽtia c ad d eſt quaternariꝰ latus c.erũt ergo ꝑ ſecundã pꝛimi b ⁊c ſimul maius
vno q̃ duplum d.capio e totum ah vnitate triangularem quotus eſtb tetragonoꝝ: quia minus latus 83
f eeoe⁴so ec
e e0 0 0d 0060 00OGe00
O0 6 2 0 0 gO0A0b 60 0 d¼⸗ a—

en 8 4———;—,— ——:C
———
—— 3—
——
—
—— eN„N·⸗ 3 4 1——... 4———— 8 3.— 2 ——öö 5 —. 8 2 4 8 2————. 2. 1——:——— 4 4. 1.*————„————— 8.—————————— 2————-—— * 8————————õ. Aä—.—. d———„— ———ͤnnſnſn.—— 2— 2 8————ꝛ— . 4— e 2——————=——= —————————————— 3 4—— —————— mõmõ—;—————— M—ꝓ— ——————raQ———————————
——.
—
——
——
——
— ͤͤ
altera parte longioꝛis d eſt latus b: quodquidẽ idem eſt latus e. ergo per quartã c:ſed ⁊ b e mõſtrata ſunt vno maius duplo d. ſunt ergo b e vno maius qdꝛuplo e:ergob ed ſtmulſu
vno maius ſexcuplo e.at per pᷣcedentẽ e ſexies ſumptus addita vnitate tertiũ poſt vnitatẽ creat here gonum equiãgsulum qui ſit f.conſtat ergo f ex b cet d: ſed a ſolũ conſtat ex c dvt oſtenſum eſtabunde⸗ ergot hexagonus equiangulus ab ahexagono tetragonico toto poſt vnitaté ́tum eſtbtotiu abmt tate tetragonus:ꝗqð eſt pꝛopoſitũ. ¶ Animaduerte quẽadmodum diuus möſtrat ſeuerinus hept 3 nos continue fieri ex hexagonis et inferioꝛibus trigonis duobus equis iferioꝛibus eminus adiüas trigonis.quod ⁊ idem euenit ſi diſpoſitis naturalit᷑ numeris: extremi cõtinue quattuoꝛ intmediis lictis iungãtur. vt ſecũdus heptagonꝰ ſit ex ſenario ſcðᷣo hexagono ⁊ vno: pᷣmo trigono emind equ 1 adiũcto trigono.qui ſdẽ fit ex vno et ſenario quattuoꝛ in medio pᷣtermiſſis numeris:⁊ ternus hepue gonus ſit ex 15 tertio hexagono⁊ ternario ſcðᷣo trigono e regiõe adiũcto equali trigono hexagoni ui idẽ fit exvno ſenario ⁊ vndenario. et hoc pacto in figuratione ⁊ collectione ſuoꝛũ numeroꝛũ in ceen eſt pꝛocedendum. 4
¶ Supꝛa datum numerum octogonum equilaterum conſtituerc. 41 1 ¶ Sit a datus nũerus ſupꝛa quẽ iubemur octogonũ equ ilateꝝ cõſtituere. ꝓcedo ei apponèdo oꝛdieg vno ſemper ſe excedẽtes donec totidẽ ſint quot ſunt vnitates ĩ latere:erũtq; facta tria latera equalia et maximo oꝛdini addo oꝛdĩes equales quouſq; tot ſint quot ſunt vnitates in latere erũtq; facta qui latera equalia. deinde ab vltimo oꝛdine ꝓcedendo appono oꝛdines cõtinuevnitate minoꝛes donec tot ſint quot in dato latere vnitates fientq; ſic deſcẽdendo tria latera pᷣdictis equalia eruntq ſimul octo equalia latera atq; octogonus equilaterus cõſtitutus:qð erat faciendũ. ¶ Zlia apud diuũ ſeuerinũ octogonoꝝ inueniẽdoꝛum ratio moduſq; eſt vt cõtinue ex toto heptagono et ſub ſe trigono ſurgant. idẽ fiunt ſi ex diſpoſitis naturalit numeris cõtinue in medio quinq; relictis:extremi iungãtur. yt ſi⸗ ſcðo heptagono iungas vnum pꝛimũ trigonũ ſi urgit octonarius et ſcdus octogonus. qui idẽ ſit exyno er ſeptẽ quinq; numeris binario ternario quaternario quinario ſenario ĩterſtitibus:dimiſſis. etſii tertio heptagono iungas ternariũ: ſecundũ trigonũ:fiet 21 tertius octogonus. qui idem colligitur 17 /*3/ ⁊ hoc pacto in reliquis eſt pꝛocedendum—
¶ Si cuilibet hexangulo equiangulo poſt vnitatẽ: totus tetragonus ab vnitate cum ſequẽte altera parte lõgioꝛc iungatur pueniet octogonꝰ poſtvnitatẽ ſili loco ſumpt. ¶ Sit quilibet hexagonus equiãgulus cuius latus ſit a et maximus oꝛdinũ eius ſit h qui addat ſup a numerũ c.qm̃ enim hexagonus datus habet triãgulon in media vnitate cõicantium latera equalis: hinc oꝛdinis b maximi:linea minoꝛ eſtvno:duplo lateris a ergo c minoꝛ vno ꝙᷓ a.addo ergo ad h oꝛdi⸗ nes equales ſecundũ c.et qꝛ ab a ad b fiunt tria latera equalia fient rurſus ab b cum additis oꝛdinib duo alia equalia quibus addo relictos hexagoni poſt b:fientq; rurſus tria alia reliquis equalia eritʒ foꝛmatus Seroſonug et qꝛ per nonã pꝛimi c in bᷣm oꝛdines additos eſt tantum qtum cin ſe t in aagt qð in ſe facit eſt tetragonus:et quod in a facit eſt altera parte lõgioꝛ. cum c et a ſola vnitste diltentet tetragonus ille totuꝗ ſit ab vnitate quotus octogonus foꝛmatus poſt vnitatem. nam hexagonus vno maius latus habet latere tetragoni:⁊ altera parte longioꝛ ſequẽs tetragonũ. cõſtat ergo ꝙ heragulo equiãgulo aſſignato poſt vnitatẽ: additus totus ab vnitate tetragonus cũ ſequẽte altera pte logſor cõſtituit octogonũ qui cũ equalia hexagono latera hẽat:totus erit poſt vnitatẽ octogonus:⁊ ꝓpoliti
CCoꝛmarũ ſex cquilateraꝝ quãlibet ſᷣm vnitatũ diſ põnem figuraliter cõſtituere. ¶ Si enim triãgulos tetragonos pẽtag gonos ſecundũ vnitatũ diſpõnem ſiguraliter cõſtituere deſi ideras: ex pꝛima huius trigonos figunun diſce. ex quĩta tetragonos:ex duodecima pẽtagonos:ex decimaquarta hexagonos tetragonicos:tet decimaſeptima ⁊ decimaoctaua hexagonos equiangulos:et exviceſimaſecunda octogonos ſicpe
hulus derit duplu
uium habebis pꝛopoſitum.
¶ Latere dato ſigurarum pꝛcaſſignatarũ cuiuſubet ſummã reperire.—n ¶ Sit latus datũ a qui ponat᷑ eſſe par ⁊ medietas a ſit b:ſitq; c minoꝛ vnoa ⁊ d eodẽrno malor add toq; c ad d fiat e.⁊ iterũ c addito ade fiat f. et ſilr c addito ad f̃ fiat g:ducat᷑q b in d et ſequentes put niant h lꝛ lm. qꝛ enĩ a in d ↄſtituit alrera
quartã huius b medietas a in d ꝓducit triãgularẽ lateris a:ſicq; h oſtẽdit ſummã triãgularis ateris
dati.et qꝛ cdſ imul cõſtituũt e qui ꝑ ſecundã pꝛimi e ztotragoni gð ergo ſit ex b in e perviceſimãſextã ſecundi eſt quadꝛatũ a.et cũ id ſit lꝛ oſtendet lꝛſ umnötnasan lateris dati a.⁊ qꝛ qð ſit ex b in fper nonã pꝛimi tĩ eſt qᷓtum qað exbine ⁊ in c.et cum ein ac ge altera parte longioꝛẽ cuius medietas eſt triãgulus e per quartã huius.ergo b medietas ainc⸗ ſan⸗ triangularẽ cuius latus eſt c. ſed et bin e ꝓducit te ũ a qui te oſt vnitaté quotuorn
Sularis cabvnitate.: ergo per duodecimã puius binf ꝓducit totum poſtvnitatẽ pentagonnatilſe
E 1 illeerit tate quotus ⁊ poſt vnitatẽ eſt pentagonus at hexagonus il b
eu penr f einſen titaq; m ſummam hexagoni a:lateris aſſ enanr mengetmian
longio:

8* / 2
74 7
. 7
7 7
Nadicien —
nigauso
———j——A—„
VIII
ſequens tetragonum e feʒ n. additis ergo iterum n ⁊ p tetragono ſcʒ et ſequẽte altera parte longloꝛe hexãgulo equiãgulo o ꝑviceſimãtertiã huius ꝓuenit octogonꝰ totus poſtvnitatẽ quotus poſt vnitatẽ
erat hexãgulus equiãgulus o. quare octogonus pꝛoueniẽs qui ſit q erit octogonꝰ lateris dati a atq;
ſummã petitã oſtendẽs. Sed eſto rurſus a latus datũ numerus ĩpar et b c circũpoſiti pares b minoꝛ⁊ cmaioꝛ et medietas b ſit d et medietas c ſit e:per ſecundã pꝛimi d ⁊ eſimul cõſtituent a. addo d ſuper a et fiat f:⁊ ſuper f̊ et fiat g:⁊ duco a in e ⁊ ꝓueniat h qui ea ratione qua ſuperius erit triãgularis a· et duco a in ſe ⁊ pꝛoueniat lꝛ qui erit eius tetragonus et a in f⁊ ꝓueniat l: qut ea ratione qua pꝛius erit pentagonus a et duco a in g ⁊ pꝛoueniat m qui etiã per decimãquartam huius erit hexagonus tetra⸗
gonicus lateris dati a: ſed et hexagonũ equiãgulum et octogonũ a quere vt paulo ante monſtratũ eſt.
¶ Ommis pyꝛamis cuiꝰ baſis triãgula eſt: quattuoꝛ triãgularibus et equalibꝰotinet᷑. ¶ ã tres a tribus lateribꝰ baſis triãgulares erigũtur qͥ ſimul applicãtur atq; cõueniunt ⁊ baſis eſt
quartus triãgularis. Et qm̃ duo et duo latus habent cõmune:erunt omnes inter ſe equilateri: quare
et equales.quod igitur aſſeritur per diffinitionẽ ratuim eſt.
co oꝛdine aptẽtur applicẽturq;:itavt b ſuꝑponat᷑ aꝛet cſ uꝑponat᷑ bꝛet d ipſi c:⁊ e ipſi dꝛet f itidẽ ipſi e
numeri iili in altũ conſtituti invnitatẽ conueniãt per diffinitionẽ conſtituũt pyramidẽ:erũtq; ꝑ coꝛre
poſiti appareãt equales ſimulĩq; cõ ueniẽtes triãgulares:erit cõſtituta ſcðᷣa pyramis cuiꝰlatus erit ſe cundus triãgularis.et cũ ſint in altũ continue accepti triãgulares erita⁊ tertia pyramis cõſtituta cuiꝰ latus erit tertius triãgularis:et quarta cuius quartus triãgularis erit latus atq; ita deinceps.ſed ꝙ cuiuſlibet baſis ſit ſuoꝝ triangulariũ maximus hoc iõ eſt ꝙ ꝑ pꝛecedentẽ baſt is ẽ triãgularis cuilibet triangulariũ laterum equalis.ſi itaq; latus ſit quintus triãgulus ꝑ coꝛrelariũ pꝛime huius ex oibus pꝛecedẽtibus triãgulis ↄſtitutus ita et baſis quintus erit triãgulus ⁊ ex oĩbus inferioꝛibꝰcõſtitutus qui erit illius pyramidis maximu s:et ita de quacũq; altera ſi ieq; cõſtare potaſt
¶ Si cuilibet numero equaliũ laterum oẽs ab vnitate ſibi ſimiles in altũ apponãtur: qui coponctur crit pyꝛamis baſemq; ipſius cãdem eſſe cõueniet. ſi vero citra vnitatẽ huiuſmodi ciuſdẽ generis foꝛmarũ in altum ſi uꝑpoſitio erectioq; deficiat:quot ab vmi tate illius generis rclicte fuerint:totics curta pyꝛamis naſcctur. 1 ¶ hec docet tetragonice baſis/ pentagone/-hexagone/ heptagone/ octogone/enuagone/decagone: et quotquot anguloꝝvolueris eodẽ ingenio quo ⁊ pꝛecedẽs de triãgularibus pyramides foꝛmare nam ſi hoc pacto tetragoni ab aliquo dato ad vnitatẽ vſq; ſuppoſiti aptentur:oĩa latera(que ꝑ coꝛrelariũ pme huius erũt triãgulares numeri ab vnitate cõtinue ſumpti ſint) invnũverticẽ concurrẽt totãq; py ramidẽ ↄſtituent cui baſis erit datus tetragonꝰſ uꝑ cuius latera ſunt erecta latera pyramidis invnũ cacumen conueniètia ĩmo oẽs tetragonice pyramides infra illã eſſent foꝛmate.⁊ ita ſi pẽtagoni hexa poni et ſequẽtes hunc in modũ aptẽtur pẽtagonas hexagonas /octogonas ẽnagonas:reliquaſ q; oẽs
oꝛmabis pyramidas Scða pars ſtatĩ nota eſt nã ſi detur quotuſcũq; triãgularisvt ſextus abvnitate cui ſuꝑpponãtur mõ ãtedicto ꝑ oꝛdinẽ quĩtus quartꝰ tertius et ſcðᷣus.at delit vnitas quis latera illiꝰ ſimul tendãt non tñ conueniũt:ideo figura illa p diffinitionẽ erit curta pyramis · ꝙ ſi quĩtus quartus
T⁊ttertius ſoli ſupꝛapoſiti in altũ fuiſſent: defuiſſ. ẽtq; duo ſcðᷣus etvnitas hec biſcurta pyramis diceret᷑
ꝗꝙ ſi omiſſi fuiſfent tres diceretur tricurta.et ita quotquot omitterẽtur toties curta diceret᷑. et ita de
curtis pyramidibus que a quadꝛatis pentagonis hexagonis ⁊ ſequẽtibus figuris naſcũtur ſentiendũ eſt. eſt itaq; notum quod pꝛoponitur. 1
¶ Si due pyꝛamides quarum baſes ſunt triãgulares pꝛoximi coniungãtur:efficietur
pvamis cuius baſis erit tetragonus maioꝛi triãgularium equilatcrus. ne. ¶ Mã quelibet earũ erit cõpoſita ex oĩbus triãgularibus qͥ ſunt a triãgulari baſis ſi uevlq; advnitatẽ at baſis minoꝛis ꝓximus eſt triãgularis poſt baſem maioꝛis.cõiuncti igit᷑ ſimul ꝑ quintã hui⸗ faciũt tetragonũ et ſcðus vnius ⁊ ſcðus alteriꝰ ſ equentẽ tetragonũ. et ſic eouſq; dũ extrema vnitas mĩoꝛis cũ penultimo alterius triãgulari pꝛimũ poſt vnitatẽ cõſiciat tetragonũ.vnitas igitur ſi apponat᷑ oẽs ad ipſãuſq; tetragonos ſupꝛapoſitos habebimsꝰ ab illo ſcʒ tetragono cuiꝰ latus eſt equale lateri triã⸗ gularis baſis maioꝛis pyramidis.at per ᷣmiſſam ex oĩbꝰ ab vnitate tetragonis cõponitur pyramis cuius baſis eſt quadꝛãgula ⁊ coniunctoꝛũ vltimus tetragonus.effectũ eſt igitur qð pꝛoponebat᷑.
. d4
65— —19 —
„—
4 0b

—“- ö ———““ E m — 8. 1—————— —————.—
— 3 —— ——
— ———
0 0◻ 0˙0 0
-eCO0OO0O0O0 d00 0 0
60 0 6
cCeoOOoO 0O boo o 0
0 0
mide ſue baſis poſitus eſt de penultimo triãgulariũ equaliũ auferet᷑
baſis tetragona eſt:baſi alterius equilatera.
¶ Nam dẽpta triangula pyꝛamide:ita videlicet vt baſis in baſi tollatur et de ſecudo equalium tri M guloꝛũ ſecundus pyꝛamidis detrahak et de tertio tertius:ſleq; deinoepeoar ſerranlis vno altioꝛp lan upꝛema vnitas atq; pyraniii in
¶ Omnis ſerratilis pyꝛamide ſue baſis vno altioꝛ:addit ſuper eam: Pyꝛawidè cuiug vidẽ cuuu
vertex:ſicq; totus vltimus triãgularis ſerratilis integer relinqͥtur.at qꝛ in baſi ſerratili amidig Daſtorrale pyramidis. ideo per ſecundã huius: ſecundi triãgularis relictũ eſt latus— ſuperioꝛibꝰ fimiliter qui qm̃ tot ſunt quot in illo latere vnitates: conſtat latus ipſum cũſ equẽtiun g teribus ſummã quadꝛati ꝑficere.pꝛeterea qꝛ tertj triangularis ſerratilis remanet latus ſuũ Ime ſequẽs et in ſequẽtibus ſimiliter:erit vt illa ſint ſequẽtis quadꝛati latera.et hoc pacto ad mieardih quadꝛatoꝝ numerus excreſcit.erit ergo vt in ſupꝛemo triangulari reſidua ſitvnitas et que eſſ pꝛimu tetragonus. ergo per viceſiimãoctauam huius conſtat relictam eſſe tetragonã pyramidẽ. et qꝛ ee N baſis eiuſdẽ eſt latus triangulariũ equalium et latus baſis piramidis triagule ablate ide: conſtat c ramidẽ relictam eſſe pyramidi baſis ſerratilisequilaterã atq; ipſum ſerratilẽ eam ſuper pframiden
baſis ſue addere:quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Omnis ſerratilis pyꝛamide ſue baſis duobus altioꝛ: eidẽ triplus eſſe pꝛobat ʒ 3 ¶ Subſtraho enĩ ab ipſo ſerratili extremũ triangulariũ relinquet᷑q; ſerratilis vno altioꝛ piramide. hoh qͥ per pꝛecedentẽ in duas ſecabilis eſt piramidas:quarũ vna eſt triangula pyramis baſis ſerratiliv altera tetragonica cuius baſis tetragona eſt et baſi alterius eqͥlatera. ſed⁊ hec eadẽ tetragonicapna ſdu mis perviceſſmãnonam huius in duas rurſus ſecabilis eſt triãgulas pyramides: quarũ vna triigue( pꝛioꝛi eſt equalis et altera ea minoꝛ qᷓ́tum eſt baſis triãgule pꝛioꝛis. addito igitur pꝛius dẽpto triägu goh lari eidẽ baſi pꝛioꝛis triãgule pyramidis equali ad minoꝛs:illa fiet alteri equalis.ſic ſiet tres equales
triangule ppramides totum ſerratilem conſtituentes.conſtat itaq; totum huiuſmodiſerratilem pra ſs midi ſue baſis eſſe triplum:quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Latere baſls triãgularis dato:triãgule pyꝛamidis ſuꝑp eam oſtitute ſummã repite.
¶ Reperiatur triãgulagis lateris dati per ſextã huius:in quẽ latus ipſum ducatur ⁊ habebimusſe tt ratilẽ eque altũ pyramidi cui adiice duos equales triãgulares ꝓuenietq; ſerrattlis duobꝰ pyramide- ſue baſis altioꝛ cuius tertiã partem accipe⁊ ꝑ pꝛecedẽtẽ habes pyramidis ſuꝑ latus cõſtitute ſummã 0
atq; qð ex triãgulari lateris dati vna cũ oĩbus ſuis inferioꝛibꝰ triãgularibꝰ coaceruat᷑:qð?ẽ ꝓpoſttl.( ¶ Prꝛamidis totius ſummã reperire: cuius baſis tetragona: eiuſdemq; balis latus a datum fucrit. 1 b b f ¶ At pꝛecedẽs doonit dato triũgularis latere qð ex ipſo ⁊ oĩbus ſub eo cõtentis coaceruat᷑ inuenire tt ita quoq; et pᷣſens nos inſtruit dato tetragoni latere qð ex ipſo et omnibus ſub eo ↄtentis tetragonis tn coaceruat᷑ reperire.hoc enĩ eſt tetragone pyramidis ſummã reperire quod oſtẽditur.nam dato ſatere tü quero per ſextã huius eius triãgularem in quẽ vt in pꝛecedẽti factũ eſt duco latus pꝛopoſitũ et pꝛoue d niet ſerratilis eque atq; eius pyꝛamis altus cui addo vnũ conſimiliũ triãguloꝛum et ꝓueniet ſerrati⸗ d lis vno pyꝛamide ſue baſis altioꝛ.detracta igitur ꝑ pꝛecedentẽ inuenta baſis pyꝛamide:pertriceſinã 1 pꝛimã huius relinquetur tetragona pyꝛamis cuiuſquidẽ baſis tetragona eſt atq; triangulari equli e
tera que ſcz eſt ſi umma petita et pꝛopoſitum. b b ¶ Si duo ſerratiles quoꝛum baſes triãgulares pꝛoximi exiſtant:et quoꝛum altitudo;
vna:et lateri maioꝛis equa fuerit:coniungantur:efficietur cubus. 1 ¶ Nam baſes in ipſis equaliter ſcʒ ſecũvum numerũ lateris maioꝛis ſerratilis ſunt multiplicate: 1 baſtsvnius et baſis alterius cõiuncte per quintã huius tetragonũ efficiũt cuius latus lateri maictis 1 eſt equale ⁊ ſecũdus triãũgulusvnius ſecundo alterius cõiunctus per eandẽ tetragonũ conſimilẽ.⁊ ita ſl cõſequenter vt tot tetragoni equales ſuperponãtur ſibiq; inuicẽ aptẽtur quot in latere ſunt vnitates 1 at cum ex illis figura ſit conſtituta baſim quadꝛangulã habens in longum latum et altum equaliter
diſtenſa per diffinitionem concluditur eſſe cubus. ¶ Si cuilibet cubo adiungatur baſis ſua et triãgularis baſi ſue equilaterus:ccicqetit; triplus ſue pyꝛamidi.
¶ Sumo duos triãgulares pꝛoximos quoꝛũ maioꝛ ſit equilaterus tetragono cubi aſſ* nan tuo per triceſimã huius ſuper eos ſerratiles quoꝛũ altitudo ſit equalis lateri baſis man galtus ie ſerratiles cõiuncti per pᷣcedentẽ equabũtur cubo aſſignato.⁊qꝛ maioꝛ illoꝝ ſerratiliũ 3. naun. pyꝛamidi:duplo ergo ſue baſis ſibi addito per triceſimãſecundã huis fiet pyꝛamidi ſueba eladdia
at qꝛ alter ſerratilis eſt alteri eque altus: erit vno altioꝛ ſua pyꝛamide. baſi igitur ipſi ſ emeif a ſiet eidẽ ſue pyramidi triplus.at baſis ſua cum baſi alterius per quintã huius faclũ:ꝛena ſue equ- quare ſi pꝛedicto cubo addatur baſis ſua cũ baſi maioꝛis ſerratilis que eſt triãgularis dæ colli laterus:efficietur numerus piramidi ſue triplus: qð erat demonſtrandũ. ¶ Sunt penten coſtã co⸗ l que vt ſerratiles per triceſimã huius facile foꝛmabũtur et quarũ ſumma ducendo baſim
. 4 2 2n 1A mn 835 j reuel gnoſcitur que qꝛ facilia ſũt autoꝛ omiſit.ſunt etiã numeri circulares qui pꝛobꝛi ſemp 5 3 hlnh ſione foꝛmãtur.et eadẽ ratione ſphere ſphericiq; cubi vt vigintiquinq; et trigintaſex qul gſa eneen

8 VII
in— — quinaria ſcʒ ⁊ ſenaria naſcũtur numeri circulares dicũtur ⁊ centum vigintiquinq;: ſilr ducẽta decem
arid ⁊ ſex ſphere ſphericiq; cubi noĩant᷑ qui a radicibus quinaria ⁊ ſenaria in ſ uos circulares quadratos all nn ductis Mereatur. Den quia hi numeri a paucis ⁊ ↄſtitutis numeris naſcũtur quinario ſcʒ et ſenario
⁊ demõſtrationis difficultatem non requirant: aut ſiłem cũ ceteris quadratis ⁊ cubis noꝛmam obſer lccn an uent:hoꝝ amplioꝛem determĩatiõem autoꝛ non ab re omiſiſſe videtur. — Sctaut elementoꝛum Arithmetices Joꝛdani fints. 8 — 1 Qualitas eſt inequalitatis pꝛicipium. Inequalitatis quinq; ſunt ſpecies: — e aut eni maioꝛ terminoꝛum otinet minoꝛem aliquoties vt nichil ſuꝑfluat:t ankatrcdcmnena dicit multiplex ꝓpoꝛtio. aut ſemel tm̃ ⁊ eius aliquã partem: et ſupparticu⸗ —— laris appellatur. aut ſemel ⁊ eius aliquot partes: et dict᷑ ſuppartiens. aut nlumi ug in
b lidd multiplicare: eſt totam illius ſumere partem: quota uard mackma de tiplicat. ¶ Quodcunq; aliud multiplicet:illud ꝓduci dicimus qð ita ſe 1eednee habet ad multiplicatum:ſicut multiplicans ad vnũ. diuidi dicik aliqͤd per aliud:cum lnemäaagen lllud ſe umitur diuidens qð per idem multiplicatum ſummam diuiſi reſtiuat¼. 5 4 1 d1. entſeenmds Inequalium numcroꝛum maioꝛis ad minoꝛem ca eſt: que partis ab ipᷣo minoꝛc de* 2 8— V ic um auu nominate:ad partem a maioꝛe dictam ꝓpoꝛtio. ö ,——— en conſtantetn en ¶ Sint a ⁊ b numeri inequales:a maioꝛ/ct b minoꝛ. ſintq; d e partes ab ipᷣis denoĩate d ſcʒ denotata 1 15 ab b et e denomĩarta ab a.dico eãdem Ppoꝛtiõem eẽ a ad b et d ad e.pono enĩ vnũ inter a et h qð ſit c:⁊·
b praanidisſu vnum inter d et e qð lit f. et qa que ꝓPpoꝛtio a ad vnum ea ẽ vnius ad partem ab a denoĩatam:ꝛat ea eſt
mn Ppoꝛtio f ad e.et que ꝓpoꝛtio c vnius ad bꝛea elt partis denoĩate ab b ad vnum.at ea eſt d ad f. igitur dums⸗n quelnspin per viceſimãſcðam ſecũdi ⁊ equã pꝛopoꝛtiõalitatem indirectam que Ppoꝛtio a ad b ea eſt d ad eꝛptis — ſcʒ a minoꝛe denoiate/ ad partem a maioꝛe denoĩatam. quod eſt pꝛopoſitumn-;. S 7 12 .— ¶ Partes quotlibet in partes equales redigere. ͤ— 2 nferland/rigtrdm ¶ Sint partes date a/ b cꝛet numeri eas denoĩantes d/ e fꝛet ꝓpoſitũ ſit reducere a bc in ꝑtes eiuſdð j. lus baſts a denoĩatiõis atq; equales. ſumo per viceſimãquitam tertij mimum nuerum quẽ numerant def:d ſit g a b— c-
ragen. numerẽtqʒ ipᷣm ſᷣm h/ klꝛet ſit m pars denoĩata ab g·erit enĩ per pꝛecedentemvt g ad dꝛita a ad m.atd 4
nũerat gtm hꝛigitur ⁊ m numerabit a ſᷣm h. et per eandem vt g ad e:ita b ad m.e aũt numeratgmk hk— M 1—
er io t eidas iidnirn igitur ⁊ m numerabit b ¶ᷣm k. itidem⁊ m numerabit ckiml per idem. erũtq; reduste partes ille inꝑptes 1 4 eskeripſemamn equales ſcz a in partes dictas ab ꝗ im h/ et b in caſdem ſm klet c in eaſdeʒ partes ab g dictas em 1. a——— is ſumm at ſiabcſingule non ſint pars: ſed b ſit partes ⁊ cpartes idem eueniet. erũtq; partes dicte ab g mh 1 tiprereden fandn kl. ⁊ ducẽdo a in h.pueniũt partes a dicte ab g.et ducẽdo b in k ꝓueniũt partes b ab eodẽ nũero dicte„— ddo mi conſmili tugier et ducendo c in! ꝓueniũt reducte partes c dicte ab g.quas ſivna colligis collectum oſtendit ſummam D paeerdentt maatthe Partium abcad eandem denolationem ſcz g reductau... raeseis Tnumerum cum parte velparubus datumiin panes ſimles revuccve.—
¶ Sit a numerus:⁊ b/ cdpartes date: et tubeat᷑ pꝛimo a ⁊b in partes ſites reducere. duco numerum. 2* larer pꝛorini ccttuuii denoĩanteʒ partem b in a.et q̃a b eſt pars vnius ⁊ vnum pars totius a:denoĩata ab a:ergo ꝑviceſimaã—
terttam pᷣmi b eſt pars a denoĩata a nũero qui fit ex ductu denoĩantiũ in ſe ſcʒ donotautis hein aveno. antur:chiacur ain minatempnius: partis ſcʒ a. duco ergo b in a⁊ ꝓducet numerus denolans illam partem:⁊ eiftimet 1 eru lateris nttuas ias onenmultiplicans a ᷣm illam partem. capio ergo ſites illi parti tm duetum mimexumn Au leri. uius terrigmickcitaat ſites partes a cui addo partem b ⁊ ſit aggregatus e factũq; apparebit pꝛopoſitum. M ſi iubeam
— 5 bc ſikes ꝑtes. e uec numerum et partes b c ⁊d in ↄſiłes partes reducere:reduco pᷣmo ꝑ pꝛecedẽtem bc⁊ a in ↄſ b adec mack hctrann deinde vr pꝛius duco uumerum denoĩantem in a et ꝓueniet nũerus denoĩans illam Hartem Mucen vr 1. ulldidensnengaa pꝛius compleo ⁊ cui addo nũerum partium ad eandem denoĩationem reductag:Et effic Pbo b zum.— 4 4 lud Muod ſit ex ductu duaꝝ partium vnius 3 aliam:ẽ pars denoſata ab numero quiu,
migubus iit er ductu duoꝝ numeroꝝ vnius in alium illas partes denoiantiuum. 1(Sint az b due Dan naeri eas denoĩantes ſint c⁊ d:⁊ exc in d ſiat e:et pars denoĩata ab e ſit f. e— xruxi dico f eſſe partem ꝓductam ex a in b. erit enĩ ex diffinitiõe vt vnum ad rꝛita d ad e.ſed ⁊ vt vnum ad c: 3 d
— ita a ad vnum ergo vt a ad vnum:ita d ad e.ſed ꝑ pꝛimam huius vt d ad e:ita f ad b. at p vf inttioemn—— uitirido ſit— vt a ad vnum:ita ꝓductum ex a in b ad b. at f ita ſe habet ad b. eſt igitur fꝑ diffinitiõem qs fit ex a in f— ignato. 1T veufe b. quod eſt pꝛopoſtum. 1 4 8. ls— — 5&Si plura quotlibet in aliqͤd ducant᷑: im̃ ꝓducit᷑ qᷓ;tum ſi gðlibet eoꝝ ducat un ulo 5„— 4 5b 15 3—, — per bec decime pꝛimi ſilis eſt ſed cöõioꝛ. ſit nũerus a c collectus ex a b cqͥ multiplicet d 1 ue 9 t n rae—, benfe ſiue psvelꝑtes ⁊ ꝓueniat e.et ex ductu a in d fiat f/ etb in d fiat g/ et c in d fiat h. dico f gh huut tic 24 55 44 uuscis— 99 otum e. nam ex diffinitiõe erit vnum ad aſet ad bet ad eꝛtanã d ad f et ad g ad h.ergo ꝑvi
e m tertiam ſecudi vnum ad a b ꝛc:licut d adf g ⁊h.·at ꝑ diffinitionem ſicut vnum ad a b⁊ cꝛita dade, f— s— bh— — ſunt igitur fg ⁊ h ſimul;tum e.quod eſt pꝛopoſitum—. e.

¶ Si duoꝝ quodlibet in reliquum ducatur:que ꝓducẽtur equa eſſe neceſſe eſt. ¶ Dec fere eſt octaua pᷣmi ſev paulo cõioꝛ ꝙ etiã ad minutias/ fractioneſq; ſe extendat.vt ſl a nüerus
pars vel partes multiplicet bnumerum ꝑtem vel ꝑtes et ꝓueniat c:et b multiplicet a et pꝛouentatd.
, 3 3 iãe eri 1 d vnü:ergo ꝑmutatim c ad a ſi ad vn dico c ⁊ deẽ᷑ equalia.nã ex viffinitiõe erit c ad b ſicut a adʒ cut b ad vnum ergo ex ↄuerſide diffinitiõis b in a ꝓducit c. eſt igit᷑ d qð ſit ex b in a equũ c. quod erat demõſtrandſ
¶ Pꝛoducti ex duobus crit ad vtrũq; ꝓpoꝛtio a reliquo denoĩata.ꝙ ſi eius ad alteni fucrit ꝓpoꝛtio a reliquo dicta:idem ex ductu alterius in alterum ꝓducctur.
Ex duobus nũeris a in b ꝓducatur c: dico pꝛopoꝛtiõem c ad a eẽ denoĩatam ab b: et pꝛopoꝛtizem 4 b eſſe denoĩatam ab a.nam ꝑ pᷣcedentẽ ex ain b ſit c:et ex bin a fit etiã c. etꝑ diffinitioem eaẽ Ppoꝛ
tio b ad vnũ:que c ad a.at ꝓpoꝛtio b ad vnũ denoĩatur ab bꝛigitur ⁊ ꝓpoꝛtio c ad a denoĩabitur ab b.
et ↄſilit qꝛ ex a in b ſit c:pꝑ diffinitiõem que ꝓpoꝛtio a ad vnũ:ea eſt c ad b.at ꝓpoꝛtio a ad vnũ deno
ne ab 1Aeaas art 2 ad b denoĩabitur ab a. quod eſt pꝛopoſitum. Cõuerlum ↄſimili ↄuerſo Wnah ꝓbabit᷑.Et ex hac ad quẽlibet numerum ꝙtũlibet multiplicem demöſtrare poſſumus.capiẽdo totum numerum ab vnitate quotus numerus multiplex ad nũerũ ſit petitus ⁊ ducẽdo numerum ab vnitate totum acceptũ in nũerum aſſignatũ · et per pꝛeſentem totus ꝓueniet ad numerũ aſlignatũ multiplex.
¶ Ois ꝓpoꝛtio ex duabus cõpoſita: ex ductu vnius caꝝ in reliquam ꝓducitur.ä ¶ Ducere ꝓpoꝛtiõem aliquã in aliam:eſt ducere denoĩationẽ vnius in denoĩatiõem alt᷑ius. hĩc duas
PPortisco ali quã ↄpoſitã ꝓducẽ:eſt denoĩatiões illaꝝ duaꝝ ꝓp oꝛtionũ denoĩatiõem 2poſite ꝓducs. Eſto& ꝓpoꝛtio c ad a ↄpoſita ex ꝓpoꝛtiõibꝰ c ad b ⁊ bad a. dico ꝓpoꝛtiòeʒ c ad aꝓduci ex ductu ꝓpoꝛ tiõis c ad b:in ꝓpoꝛtiõeʒ b ad a.capio enĩ d denoĩantẽ ꝓpoꝛtiõis c ad b⁊e denolantẽ ꝓpoꝛtiõis b ada et f denoĩantẽ totiꝰ c ad a.qꝛ enĩ ꝓpoꝛtio c ad a denoĩat᷑ ab f:ergo ꝑ ſcðᷣam Ptem pᷣcedẽt f in a facite et ꝑeãdẽ e in a facit b.ergo ꝑ ſeptimam ſcðᷣi ſicut c ad b ita f ad e:ſed d eſt denoians ꝓpoꝛtiõem cadb per hypotheſim. ergo ꝑ ſcðᷣam partem pᷣcedẽtis d in e ꝓducit f denoĩans ſcʒ vnius illan pꝛopoꝛtioni in denoĩatiõeʒ alterius ꝓducit totius denoĩatiõem.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Trium otinue pꝛopoꝛtiõalium qõð ſit ex pꝛimo in vltim equũ eſt ei: quod ex medio
—— 8— 2d 3— 3 1.. 2— b—
d 16 c— 3
2 4 4 8 b 6
4.
—
2 4 3 6
f. 2
c 2 1 f 6 e 5 8 3 b 2
CSi a quotlibet nũeris numcroꝝ ab vnitate pꝛopoꝛtionalium partes denommenl:
in ſe ducto ꝓduciturt ¶ hec fere in viceſimaſexta ſecũ di mõſtrata eſt:niſi ꝙ hec paulo latioꝛ eſt/ atq; hic alio demõſtrandi modo innitimur. Sint ergo a b ctria ↄtinue pꝛopoꝛtiõalia/ atq; ex b in ſe fiat dꝛet ſit e denolans ppoꝛ tionis b ad a.dico equũ eſſe qð fit ex a in c:⁊ b in ſe.nã qꝛ e denoĩat pꝛopoꝛtiõem b ad a:etiã denoiabit
pꝛopoꝛtionem c ad b.ergo ꝑ ſcðᷣam ꝑtem penultime e in b ꝓducit c.ergo ꝑ octauam ſecũdi q̊ ꝓpoꝛtio
dad c ea eſt bad eꝛſed ⁊ p eãdẽ ſcðᷣam ꝑtẽ penultime a in e facit b· ergo per pꝛimam partem culdẽ⸗ denoĩat ꝓpoꝛtiõem b ad e:quare ⁊ pꝛopoꝛtionem d ad c.ergo a in c per eiuſdẽ ſcðᷣam ꝑtem pducitd
conſtat igitur quod ſit ex b in ſe: equũ eſſe ei qð ſit ex a in c. et pꝛopoſitum.
— ◻☛
¶ Si pꝛimum ad ſcðm ſicut tertiũ ad quartũ: quod fit ex pꝛimo in quartum: cqualc
eſt ei qð ex ſecundo in tertium ꝓducitur.
¶ hee ſiłe qð viceſimaquĩta ſecũdi ꝓponit.Sit ergo pꝛopoꝛtio a ad b vt cad dꝛet ex bin cſiate. dico
etm̃ eſſe q́;tum qð ſit ex a in d.ſit enĩ f denoĩans pꝛopoꝛtiõem b ad a:denoiabit etiã ꝓpoꝛtiõem dade.
ergo ꝑ ſcðᷣaʒ partem ſeptime huius f in c ↄſtituit d.ergo ꝑ octauam ſcði e ad b ſicut d ad f. ſed ꝛfin per eãdem ſcðᷣam partem ſeptime huius facit b:ergo ꝑ pꝛimã ꝑtẽ eiuſdẽ a denoĩat ꝓpoꝛtiõem badf quare ⁊ pꝛopoꝛtibem e ad d.per ſcðᷣam ergo partem ciuſdem a in d facit e.qð eſt ꝓpoſitum.
¶ Si ſcðm alteꝝ duoꝛũ nũcroꝛum ſumãtur partes a reliquo dicte:crit ab eo quodai eis ↄponit᷑ pꝛopoꝛuo eiuſdem ad reliquum denoiata. vnde manifeſtum cſtqocelll ſe habent ad vnum ſicut reliquus ad denoĩantem. 8
¶ Sint a ⁊ b duo nũeri: ſumãturq; m a ꝑtes denoĩate ab b:ſitq; c cõpoſitum ex ipᷣis.dico ppoꝛtiõem a2d b denoĩari ab c.nam qꝛ tot ſunt in vno partes ſiłes:quot ſunt vnitates in b.erit vt ſicut aad bꝛita
partes ille advnum.ſed vnũ in illis ꝓducit ipᷣm c:ergo ꝑ ſeptimã huius pꝛopoꝛtio c advnum denolak ab c compoſito ex ipᷣis partibus.ergo ⁊ pꝛopoꝛtio a ad b ab edem denoĩatur. Coꝛrelarium ex modo demõſtr andi notum eſt.ꝓponebat enĩ hinc eſſe notũ ſicut c ad vnũ:ita a ad denolantem b quipoſitus erat denoĩare c.et hoc fuit oſtenſum.
¶ Quc a otra ſe pꝛimis partes denoĩantur:vnam non cõſtituũt.. ¶ Sint a ⁊b numeri ↄtra ſe pᷣmi:et aggregatus ex ipis ſit cqui ꝑ nonam tertij eſt pꝛimus ad vtruꝗ
a ⁊ bꝛet ſit d pars denoĩata ab a/et e pars denoĩata ab b. dico d et e nõ ↄſtituere partem vna.ducoeni
a in bꝛet ꝓueniat f qui ꝑ viceſimãquitam tertij eſt mimus quẽ nũerant a b:qui ⁊ idem fper decimam
eiuſdem tertij eſt pꝛimus adc. et ꝑ ſcbam huius:d eſt reducte ꝑtes denomĩate ab fꝛ ſumptefmbete
reducte partes denoĩate ab fet ſumpte ſᷣm a.quare d e ſimul ſunt ꝑtes denoiate ab fꝛetſ umptefm 8 quare per coꝛrelarium pᷣcedentis d e ſimul ad vnũ:ſicut c ad f.atc nõ eſt ꝑs f:cũ ipſi moſtratus ſi pꝛimus:igitur neq; d e pars vnius.non ↄſtituũt igitur d epartem vnam.qð eſt pꝛopoſitum ·
— —
vnam ex eis compon eſt impoſſibile.
u ͤ—
—.—

enede ö“ VIIII
— ¶ Sint ab e dnumeri ab vnitate ↄtinue pꝛopoꝛtionales: et a quotlibet eoꝝ vt cd denominẽtur e et f 4 ſcz e ab c et f ab d. dico e 7 f non ↄſtituere ꝑtemvnã.et ſit gaggregatũ ex a ⁊ vnitate.qꝛ enĩ cnumerat d 16 fds e dmanifeſtum eſt ꝑviceſimãquintam tertij d eẽ mimum numerũ quẽ nũerant c d.at ꝑ viceſimãquiĩta c 8 r— oeno ſecũdi c numerat d ſcðᷣm a:et dſ eipm ſᷣmvnitatem.et per ſcðᷣam huius e eſt reducte ꝑtes denoiate 2b pb.— 4. 810 3 det ſumpte ßᷣm a. et f eſt pars denoĩata ab dſ umpta ſcðm vnitatem.igitur e f ſimul eſt ꝑtes denoĩate 4 g ac ateusduta ab d ſumpte ſcvᷣm g.quare ꝑ coꝛrelariũ penultime huius ef᷑ ſimul ad vnũ vt gad d. ſed gnon eſt pars · domaeme d. ndn d· nam ſi g ſit numerus pꝛimus ⁊ numeraret d:ꝑ viceſimãſeptimam quarti etiã numerabit a totũ ſeʒ ſuam partem.qð eſt impoſſibile.et ſi g ſiticom
Im partem. qð e ꝑſſibile. et ſi poſitus:ergo ꝑ ſcðᷣam tertij ab aliquo pᷣmo nũerabitur dc qui ꝑ viceſimãtertiam pꝛimi nuüerabit d.quare ꝑviceſimãſ eptimam quarti numerabit a:⁊ etiã nũerat
totum g.crgo ꝑ duodecimam p̃mi numerabit reſiduũ:numerus ſcʒ vnitatẽ.qð eſt impoſſibile.non eſt nia dene 88 isitur g pars d:quare neq; e fpars vnius.non igit e fↄſtituũt partemvnam.quod eſt pꝛopoſitum.
nod eſt 1 on gur 4 un.—
1mulnphem ¶ Partes a duobꝰ nũeris dicte ſic ſe hñt ad partem a nũero ex eis ↄpoſito denoĩatã: 35
a anpem ſicut quadratum ↄpoſiti ad numerum qui ex ductu vnuus in alterum pdueitur.
uem totas un ¶ Sint a ⁊h duo numeritet c ex ipis ↄpoſitus: ſitq; d quadratus c. et ducatur a in b a fiat e. et ſit fꝑs E denomĩata ab c. et ſit rurſus gꝑs denoĩata ab a:et h pars denoĩata ab b. dico vt d ad e:ita g ⁊ had f. d k e
wc uscxn. duco enĩ c in a et fiat k/⁊ c in b ⁊ fiat l.erũtq; ꝑ nonam pꝛimi k ⁊lſir tanqᷓ; d. intelligo ergo ſex nũeros r
dene tühn e/ k/ f/h/l/g quoꝝ dico e adk pꝛimũ ad ſ cðm:ſ icut f ad h tertiũ ad quartũ. Itẽ e ad lp̃mũ ad quintum 9
21 b da. dr Herigaan huius a ad ctanqᷓ;f ad g. eſt igitur e adl tanꝙᷓ f ad g.ergo ꝑ viceſ imãtertiam ſecũdi e pꝛimus ad k etl— nte e ſimul ſcùvm ſca ⁊ quintum tanqᷓ́; ftertius ad g⁊ hſ imul quartum ⁊ ſextum.at k ⁊l ſimul ſ unt dꝛigitur ab dad etanT g ⁊ h ſimul ad f. quod eſt pꝛopoſitum.— 2, eerns tanã g ⁊ h fimul ad f. quod eſt pꝛopol en nenas Si duo numeri componãtur fueritq; compoſiti ad alterum multiplex pꝛopoꝛtio: — erit reliquus alteri equalis aut multiplex. hecpai ¶ Si numerus a b cõpoſitus ex duobus a ⁊ bꝛſitq; compoſitus a b multiplex ad a·dico b eẽ equalẽ 7. Fncai a vel eidem multiplicem.nam cũ ab ſit multiplex ad a:ipᷣe a numerat totũ a b ⁊ ſeipᷣm etiã detractum pumom cictz n
umerat.ergo ꝑ duodecimam pꝛimi numerat b reſ iduum.ꝙ ſi ſemel a numeret bꝛipe a erit equalis b.
. at ſi amultoties numeret bꝛerit per diffinitiõem b multiplex ad a.quod eſt opoſitum. ᷓ ¶ Si totius ad alterum fuerit ꝓpoꝛtio ſuꝑparticularis: erit illius ad reliquum ſimilis dal ghedemeiatzaeae Denominationis pꝛopoꝛtio multipler. 8 necid dackecphen ¶ Pꝛopoꝛtio tota ſuꝑparticularis aut tota multiplex dicit quotus fuerit ſuꝑparticularis aut mul⸗
deinceps ᷣm numeronꝝ ſeriem. et pꝛimus multiplex eſt duplus:⁊ ſ equũtur ꝑ oꝛdinem triplus/ quadru e 6
Nancct
1 mnn ſupparticularis ad b addit ſuꝑ b numerum a: ergo ꝑ diffinitionem a eſt ꝑs aliqua b.at quota fuerit a a rui quod lua gnnn 5 b rotus eſt a b ſuꝑparticularis ad b. et quota pars a fuerit b totus erit b multiplex ad a· per dif⸗ finitiones igitur quota fuerit pꝛopoꝛtio ſuꝑparticularis a b ad bꝛtota erit b ad a ꝓpoꝛtio multiplex.
gepmpemaatnn, quod eſt pꝛopoſitum. 3 111—
peidendmemf CSi alterius ad alterum fuerit pꝛopoꝛtio multiplex: erit totius ad ipſum pꝛopoꝛtio
dagetemumiene ſuperparticularis.
go d pemi dii cueima ¶ LHec eſt ↄuerſa pᷣcedẽtis.vt ſit b ad a ꝓppoꝛtio multiplex:dico cõpoſiti a bad b totam eẽ ꝓpoꝛtiõem
m cufdem audfxtenij ſupparticularem. nam qꝛ b eſt multiplex ad a:erit a ꝑ diffinitiõem aliqua ꝑs b. at totã ꝑtem b addit ancdedece ab ſuꝑ b.nam addit a.igitur quota fuerit b ad a Ppoꝛtio multiplex:tota erit a b ad b ꝓpoꝛtio ſuꝑpar
parics ticularis. quod intenditur.—
dmoian. ma ¶Si maioꝛis ad minꝰ fucrit ſuꝑparticłlaris vel młtipler ſuꝑparticłar ꝓpoꝛtio:oↄpo⸗ is
imtem. tamt ſiti ex eis ad minoꝛẽ muluplex ſuꝑparticulari: ad maioꝛẽ vo ſuꝑpartiẽs erit ꝓpoꝛtio. anead dets n, CSiramaior numerus/ ⁊ bminoꝛ: ⁊ ſit a ad bpꝛopoꝛtio ſupparticularis:et ſit c copoſitus exa et b., rerquotſant menn dicoc ad b pꝛopoꝛtiõem eſſe multiplicem ſi uꝑparticularem: et c ad apꝛopoꝛtiõem es ſuꝑpartientem. crgo P ſepumi aapio enĩ ab a maioꝛe numero ꝑtem equalem b que ſit dꝛ⁊ reſiduũ ſi it e. quia enĩ a eſtſ uꝑparticularis 2/*) 1n dabendenng ab:manifeſtum eſt a addere fup b Ttum eſt e:et e eſſe ꝑtem b. et qꝛ c eſt ꝙtum e d et bꝛet d b duplum ci ſlutc n miſuuuni eſt ad b cui ſupaddit c ́́tum ẽ e.igitur c addit ſ uꝑ b duplũ ad b et qᷓtum eſt e pars eius aliqua. ↄtinet igit᷑ cbis b ⁊ totam eius partem quota eſt e. eſt igit᷑ ꝑ diffinitiõem c ad b multiplex ſunparticularis. ddui qð eſt pꝛimum. Sed ⁊ cadaeẽſi uꝑpartiẽtem oſtẽditur.nã cum b ſit minoꝛ a ⁊ nõ ſit pars a/ alioquin r:vnam non maamt a ad b eẽt pꝛopoꝛtio multiplex.qð eſt ↄtra hypotheſim. ergo ꝑ pꝛimam pᷣmi b eſt partes a.ſed c addit 1dus ſttcqaiE n ſuꝑ a qᷓ́;tum eſt b. erit igitur c ↄtinẽs a ⁊ partes eius:ad a ꝓpoꝛtio ſuꝑpartiens.quod eſt pꝛopoſitum. 97 dduean Et ſi maioꝛis ad minoꝛem fuerit ꝓpoꝛtio multiplex ſuꝑparticularꝭ: ↄpoſiti ad minoꝛem eẽ multiplicẽ 2 venmpa fuꝑparticularem ⁊ ad maioꝛem eſſe ſuꝑppartientem eadem demonſtratio eſt accepto maioꝛe numero
8
uneusda— multiplice ſuꝑparticulari ad minoꝛem. le edcinalſnee a CSi maioꝛis ad minoꝛem fuerit ꝓpoꝛtio ſuppartiẽs vel multiplex ſuꝑpartiens: erit nlan cõpoſiti ad maioꝛem ſuppartiens:ad minoꝛemo multiplex ſuppartiens pꝛopoꝛtio.

4
¶ Sit a ad b ſuppartiens:⁊ ↄpoſltus ex a⁊ b ſit c.vico e ad a eſſe ſuppartientẽ:⁊ cadb eemukhe ſuꝑpartientem. Sumo cnĩ ex maioꝛe a:numerum d equalem b:ſitq; e reſiduus qui qꝛa eſt ſupparnis(
—& ad b:p diffinitiõem erit partes b·et da c eſt tanqᷓ; ed ⁊ b:et db duplum eſt ad bꝛaddet e qtum eſt eſu
duplum b. at e mõſtratus eſt eſſe partes b:ergocoↄtinet b aliquoties ⁊ ꝑtes eius. eſtigitur p ditinn
onem c ad bmultiplex ſuꝑpartiens.qð eſt p̃ſentis iheoꝛematis ſcðᷣm. Pꝛimum aũt ꝙ cſu ſupparniee u 4) ⸗. ad a patet. nam dͥa e eſt partes b erit vt b ſit partes a: alioquin a cẽt multiplex ad b. qð cſtotraprp⸗ b—s theſim. ar c addit ſuꝑ a q́tum eſt b. eſt igitur c ad a ſuꝑpartiens. quod eſt pꝛopoſitum. m
8—,— LDSis ↄpoſiti ad maioꝛem ↄponentiũ ſupparticulari vl ſuppartiẽs:ad minoꝛem yo 4 multiplex/ mulnplex ſupparticularis vel multiplex ſuppartiẽs ꝓpoꝛno repentut.ü n ¶ Pꝛimum ꝙ ↄpoſitus ad maioꝛem ↄponentiũ ſit ſuꝑparticular aut ſuꝑpartiẽs ven nã opoſltus addit fuper maioꝛem ↄponẽtium qᷓtum eſt minoꝛ qui per pꝛimam pꝛimi erit pars vel ver. maioꝛis G ſiparð maioꝛis per diffinitionem ↄpoſitus ad maioꝛem ↄponẽtium eſt ſupparticularisi ſipartes eri 1 ſupꝑpartiens.multiplex aũt ad maioꝛem nunᷓ eẽ poteſt. Scðᷣm ꝙↄpoſitus ad minoꝛem ſit multipley(e muitiplex ſuꝑparticularis aut multipler ſuꝑpartiens oſtenditur. nã maioꝛis ↄponentiſ ad minoꝛem nu Pnoreioi⸗ diuiſione aut eſt multiplex aut ſuꝑparticularis aut ſuꝑpartiens aut multiplex ſupparrtu
aris aut multiplex ſuꝑpartiens. Si gũt maioꝛis ↄponentium ad minoꝛem pꝛopoꝛtio ſit multiplexci n minoꝛ maioꝛem num eret ⁊ etiam ſeipᷣm ipſe aliqties ſumptus nũerabit totũ. quare tũc ↄpoſitus erit tlt multiplex ad ipᷣm.et ſi maioꝛ ad mĩoꝛem ſit ſuꝑparticularis aut multiplex ſuꝑparticularis ꝑ decmi lhl octauam huius compoſitus ad minoꝛem eſt multiplex ſuꝑparticularis.et ſi maioꝛ ad minoꝛem ſitſu; Perpartte aut multiplex ſuppartiẽs:per decimãnonam huius erit cõpoſitus ad minoꝛem multiplex( fuperpartiẽs.eſt igitur totum pꝛopoſitum notum. fen
¶ Quecũq; maioꝛis ad mioꝛem ꝓpoꝛtio multiplici ad datur: tota erit aut multiplex a 0
3 aut multiplex ſuꝑparticularis/aut n ultiplex ſurparncns. 1 .—* ¶ Sit quecũ q; ꝓpoꝛtio multiplex data:et alia quecũ q; maioꝛis at minus:que ꝑ ſextam quintiotinẽ tie bv—4 tur in mimis terminis a/ b/ c. ita vt a sd b ſit data ꝓpoꝛtio multtplex:et b ad e ſit altera maioꝛis hiu ii .— dinis.dico totã ꝓpoꝛtiõem a ad c eſſe multiplicem aut multiplicem ſuꝑparticularem aut multiplit ſin
3 ſuꝑpartiẽtem.nam qaꝛ a eſt maioꝛ b/ ⁊ b maioꝛ cjet a adb ꝓpoꝛtio eſt multiplex:per nonam ſeði ꝓpen ag
tio a ad cmaioꝛ eſt ꝓpastiõe a ad b. addit igi ꝓpoꝛtio a ad c ſuꝑ ꝓpoꝛtiõem a ad b vel nũerum ſiej ee
tota erit multiplex vel partem aut numerum cũ parte:et ſic erit multiplex ſuꝑparticularis:vrpanes 3 aut numerum cũ partibus et ſic crit multiplex ſuꝑpartiens.eſt itaq; notum quod dicitur. 1
4 1., ch ¶ Si duc multiplices coniungantur: com poſita crit multiplex. a h ¶ Nam vrraq; a nũcro denoĩat᷑: quoꝝ ſi alter in alterum ducatur ꝓueniet nũerus a quo ꝑ octauom an . huꝛus denolatur Conpntnranar crit multiplex.quod eſt pꝛopoſitum. zm ¶ Data multiplice ſupparticularem inuenire: quc cũ illa multiplicem cõſtituat. ynde; a perſpicuum eſt ex quali bet multiplice cũ tota ſuꝑparticulari: muluplicẽ vno malous u denolatlonis pucnire. mu 1 ¶ Wultiplices ⁊ ſuꝑparticulares tote dicũtur: quaꝝ denoĩatio multiplicis ⁊ denoĩatto partisſuper 4 b particularis ab eodem nũ ero ſumitur. vt dupla ⁊ ſeſqualfa. tr pla enĩ a ducbus ⁊ ſeſqualt(mulit ſu lic 4 2 3 mttur. nam ſeſqualt᷑a ↄtinet totum ⁊vnem ſcðᷣa3.tripla ⁊ ſeſquit᷑tis/ quadrupla/ ⁊ ſeſquiquartaiſtq fen 9— deinceps. Sit a quecũ q; multiplex ꝓpoꝛtio data a bnumerus eam denoĩans: et ſit ꝓpoꝛtioſuphar T 3 6 4 b 3 ticularis cuius numerus d dencĩet partem. ſitq; d cqualie b.et ſit e totalis denoĩatic pꝛopoꝛtioisſup 0 6 particularis c: quequidẽ denoĩatur ab vno ⁊ nuntero partis· et qꝛ vnũ in b facit b⁊ pats denoĩataai 1. 2 34 b in b facit vnum:s tota denoĩatio e ducta in b facit nũerumvno maioꝛem b qui ſit f:⁊ quip octʒuam h d 8. huius eſt deneminans ꝓpoꝛtionis cempoſite ex a ⁊c.cſtigitur ꝓpoꝛtio ↄpoſita ex a ⁊ cas numetoſc; G 2 denoiata: multiplex. et quia numerus dereminaus cempe ſite m eſt vno maioꝛ nũero denoiante qpoꝛ ſi tionem a:ex hoc coꝛrelarium et totum p:ꝛepoſitum notum eſt. 3 3( Data ſupparticulari quotlibet multipliccs reperire: quaꝝ quelibet am ilmul- H 2—* plicem componat. 31 e 1 d. 6 LC Sit enĩ a data ꝓpoꝛtio ſupparticularis ⁊ pars que cum vno eem deneminat ſit b.capio auetaunt 1 — 4 multiplices voluero: quaꝝ cuiuſſibet numerus denoĩans: ſit totũ ad b/ ⁊ b pars.ct ex mo demoſtra —.2 pꝛecedẽtis a:cũ qualibet illaꝝ multiplicium ↄſtituet multiplicem/ efficieturq; pꝛopoſitum· 4 4 6 3 1 ¶ Data multiplice quotlibet ſumere ſuꝑparticularcs: quaꝝ quclibet cum ea eficiat: c—— d——t mulnplicem ſupparticularem. 1 b ſbt] 2 1 ¶ 9Sit a data ꝓpoꝛtio multiplex ad quã iubemur quotlibet ſupparticulares inuenire:quenqus d .— cũ ea ↄſtituat muliiplicem ſupparticularem. capio b numerum denoĩantem ꝓpoꝛtiõem mu elle b 1 a:et ſumo c/dſe/f ⁊ quotquot voluero multiplices ad bꝛet ꝑtes ab ipᷣis denoĩatas ꝑ o:direm. d ſ 1 o 22 10 ſupparticulares denoĩatas a ptibus c/dje/f: que ſint gihk/l quaꝝ quslibet cũ data multipac iqaa( 1—— cõſtituere multiplicem ſuꝑparticularem.nam qͥa g ſuꝑparticularis ſumpta ab c⁊ ſua harte enuem 9 8 18 8 3 a toto c ⁊ parte denoĩata ab c.et b in toto c ſemel aſtituit multiplicẽ:et in parte coſtituit to 1 üut L 5 quota ꝑs ipᷣe poſitus ſit ad c.ↄpoſita s ex a data multiplice ⁊ g ſuꝑparticulari ſumpta 1 pec⸗ mum. d 7 6 14 6 A8 multiplicem luꝑparticularem.et eadem rõne ↄpoſita ex a ⁊ h/⁊ ex a ⁊ K/ ⁊ ex a ⁊l.qð eſt pꝛep 1
5 4 1 4

———————
t 6 84
„
eeneee. VIIII
— s Quothbet multiplices inuenire:que cũ data ſuꝑparticulari multiplicem ſupparti⸗
e Kaleataa cularem conſtituant. aegt. 10—n uenan
dathecaan ¶ Sita data ſupparticularis/ ⁊ bnumerus denoĩans eius ptem/ ꝛm tota eius denoĩatio cui qͥtlibet— 4— L Shna multiplices ſuꝑaſſumãtur:vt duoꝝ nũeri denoĩantes ſint e/d/ e/ f:manifeſtũ eſt per viceſimãtertiam c— 7 huti c indne inſttuere nůera audeipliciſc denolatioez. capio ergog'h/kltotirem 4 S—
Ltſegpenne. ꝓpoꝛtionis ſuꝑparticularis ducatur in g pueniet numerus cũ parte denoĩata ab b:quare pꝛopoꝛtio——. . uipe multiplex ſuꝑparticularis. vt in pꝛeſenti figuratiõe ueniret ꝓpoꝛtio ſeptupla/ ſeſqualt᷑aet ii 7 1.2 —— et k/ ⁊l demonſtrabis. 6 4 p Ptuplai ſeſqualta. et ita deh/ p m—
Data multiplice quotlibet ſuꝑparticulares inuenire quaꝝ quelibet cũ cadem mul⸗ ns iplicem ſuppartientem componat.— Heaeeeee ie— rucular n dnen ¶ Sit a data multiplex/ ⁊ b numerus ipam denominãs:ſumo quotlibet numeros eo maioꝛes ſed nõ k 7 e 4 1— multiplices qui ſint ꝗhklet partes ab ipſis denomiĩate ſint cdef.vt c ſit denoĩata ab g/⁊ d abh:ſicq; h5d 1 3
xs ſumpns unmſequeter. dico gꝙb inc/ in d/ in e/ ꝛ in f non partem ſed partes ꝓducit. nam ſi ducat᷑ b in c ⁊ pueniat g 3 1m— 4 4— 4—. 83 3—— 6—— m
—O dnäaar rie in ptes denoĩate ab g:ꝑ coꝛrelariũ vndecime huiꝰ q̃ ꝓpoꝛtio b að g:ea ẽ m ad vnũ.ſed Phyoschen d 26 2 1 2
epier ſug he eſt ꝑtes gꝛigit᷑ ⁊ m eſſ ꝑtes vnius.et ita ſi b ducat᷑ in dTexf ꝓpuenient ꝑtes. itaq; ſuꝑparticulares ab 4—
— illis partibus dicte cum data multiplice quelibet ↄſtituet multiplicem ſuperpartientem. b 2
n. 8 jrin
CSola ſupparticularium ſeſqualtera: eſt q̃ cũ nulla mulnplice/ multiplicem ſuppar⸗ 5-3 2 20 2
Awulnrlo tientem pꝛoducit. 8 lrſ flemam ¶ Mam qꝛ ſeſqualt᷑a denoĩatur a ſcðᷣa que eſt vnius dimidium et dimidiũ in oẽm numerum ductum e 2—— Trands. aut vnum ꝓducit aut numerum aut dimidium addit. nam binarius oẽm nũerũ numerat aut ſupfluit 6 5 12 5 aedl maiengn vnitas ergo denoĩans partis ſeſqualt᷑e in denoiantem multiplicis: aut multiplicem Pducet/ aut mul d/Q·½ apome— tiplicem ſuꝑparticularem.non itaq; cũ multiplice multiplicem ſuꝑpartientem ꝓducet.at ꝙ oĩs alia 4 3 8 3 m aut ſuꝑparticularis cũ aliqua multiplice multiplicem ſuꝑpartientem efficere poſſit hinc cognoſcitur. qæ c— adb Terechrt ſi ſumas numerum denoĩantem multiplicem vno minoꝛem numero denoĩante partem date ſupparti 2 1 temdandeag gains cularis ex pꝛecedète efficies ꝓpoſitum. potes ⁊ pꝛimam partemi facile ex modo demõſtrandiviceſime a perte et l ert ſexte huius cognoſcere:quẽadmodum ſ ecundam partem ex pꝛecedente cognęoſcis. Tperncnsaguo CSola multiplicium dupla:cũ nulla ſi uppartiẽte multiplicem efficit pꝛopoꝛtionem. v— npoſn ontrur ¶ Hec ꝓponit duplam cũ nulla ſ uꝑpartiẽte multiplicem ↄſtituere ⁊ oẽm aliã multiplicem cũ aliqua e- 2 c—.; Tel rurge ſuꝑpartiẽte:poſſe multiplicem conſtituere. Pꝛimum patet et ſit a Ppoꝛtio dupla et h numerus ipam f— 4a 2.41 alter— denoĩians:ſitqʒ c quecũq; ꝓpoꝛtio ſuꝑpartiens.dico a cum cnon conſtituere ꝓpoꝛtiõem multiplicem. b—: t.qed ef Sumo enĩ partes c q̃ denominẽtur ab det numerẽtur ab eꝛet duco b in illas partes ⁊ ꝓueniẽt partes* nirc:cvc di Uarunr ſiles ⁊ numerate a nuniero qui fit ex binario:id eſt b in e. ſit ergo nũerus illaꝝ pastium f:quẽ dico nõ 5 nhrc-c eſſe numerum. nam nõ erit equalis d: qꝛ e numeraret d. neq; d ipᷣm numerabit. nam ſᷣm vnttatem non e 15 2 lola ſugpanah numerabit: ꝛ eet ei equalis. neq; m binarium qꝛ det e equarètur. neq; ſᷣm maioꝛem binaria: quia d Compoſita maioꝛ eſt e. cũ ergo b in e denoĩans in partes altius non ↄſtituat numerum non ꝓducetur multiplex. ompoſtta
Eb Seom patet nam data quacũq; 98 multiplice vt a:capio b numerum ip̃am denoĩantem quem facio 3 1L. 7 aliqnaꝝ partium denoĩatoꝛem:et ſumo numerum partium vno minoꝛem b qui ſit c:ſttqʒ d ſuꝑpartiẽs—* — partium c.dico a et d ſimul ↄſtituere multiplicem. nam qꝛ b eſt denoiang vd denolana priudhideees b 4 122— in coſtituet nũernm.denoĩabitur itaqʒ cõpoſita a numero: quare erit multiplex.qð eſt ꝓpoſitum.—.3
ne punsaante pꝛeoducat mulnplicem.
curicunme ¶ Sit a data ſuppartiens:et numerus partium ſit bꝛ⁊ nũerus illas denoĩans ſit c. capio pmo multi⸗ 8 45— 8 i 1114 ſiguut ten qtu plicem que denoĩetur ab c que ſit dꝛdeinde que denoĩetur ab multiplicibꝰ c quotquot voluero: ſintq; S 30 3 t 9 erre lundmtu fui denoiantes ef g.dico a datam ſuꝑpartiẽteʒ cũ qualibet multipliciũ def ⁊ gↄſtituere multiplice. 5;z e s nen mek. nam b in coſtituet numerum ⁊ in e etiã numerum qꝛ duplum et in f triplũ ⁊ g quadruplum acceptis 8 d 3.1 3 atr ſcz per oꝛdinem multiplicibus denoĩantis c.ergo ſuꝑpartiẽs a cũ qualibet illaꝝ multipliciũ cõſtituit a 5.3 accs rquct multiplicem. quod eſt pꝛopoſitum. b e— au LQuotlibet ſuppartientes/ quaꝝ quelibet cum ꝓpoſita multiplice multiplicem ſuꝑ 5— 2 ert an mecmu particularem conſtituat/ inuenire. b 25 z reiunsitwii nu ¶ Sit ꝓpoſita multiplex a cuius numerus denoĩans ſit bꝛſumo quèlibet nũerum maioꝛem b qui ſit— ac mulriphem e: et duco b in c⁊ fiat d. et capio e minoꝛem vno d.capio item partes denoĩatas ab e ſᷣm nũerum c que
cun ſint f.qm̃ enim b in c oſtituit dꝛideo b in f cõſtituet ſiles partes fm numerum d. at ipe ſFm numerum d 5.—. 5 5 arncularcs: ſumpte faciũt vnũ ⁊ vnã amplius.ſit itaqʒ gſuppartiens denoĩata a ꝑtibus dictis ab e ⁊ſ umptis ſᷣm numerum c q(qꝛb in fↄſtituit numerum ⁊ partem) eadem ſuppartiẽs cũ a ↄſtituet ſ upparticularem
— ⁊ quotͥᷓt voles eadem rõne tibi ſumas ſuꝑpartiẽtes q̃ cũ a ↄſtituent ſi uꝑparticularem.qð eſt ꝓpoſitũ. 3 deewandesne ¶ Multiplices aliquot ſumere:que in datam ſi uꝑparticularem ducte: ꝓcereent multi⸗
nnens plices ſuperparticulares. V 25—e—=
Iarg d le erns⸗ ¶ Sint a ⁊ b mĩmi tmini date ꝓpoꝛtionis ſuꝑpartiẽtis: qui qꝛ ſunt ↄtra ſe pᷣmi quero ꝑ vltimã tertij 4 b— 3c— 16
uepemnculus multiplicem a q̃ addat ſuꝑ multiplicem b vnitatem que ſit c:ſitq; nũerus ſᷣm auẽ a numerat c nũerus d— z e—
rrun ererae, d. ſumo vnitatem que ſit e. eritq; d ad e multiplex denoĩata ab d.at per demõſtratũ in pꝛincipio tertie——1 3—— aocr S ln
dion
*

8 —————— —
25—
40—— Compoſite ·
g1 7—— 10
34— Compoſita.
f e d
A5
10
-10 50 7 35 — 4 20
Compoſſite
—
C
8‿
16—; c 8
10
Compoſite. 22
—
4. 12
k 10 b 9 —8 C G d 5 c 4 b— 3 3 2
4. 2 6— 2 1 LCompoſite.
5 3 4
Secũdo dico omnes cõſimiliter ↄtinue advnitatem ſumptas eſſe multiplices tanto mino:
at e in h facit bꝛ⁊ d in a facit c cõtinens aliqͥties b ⁊ eius vnã partem. nam poſitus eſtc maloꝛ vnitate
multiplice ad b.igitur ↄpoſita ex data ſuꝑpartiente ⁊ multiplici d ad e eſt multiplex ſ upparticularis: quod intenditur. et ita quãlibet aliam inuenias. 6
¶ Supparnẽtes quotlibet que cũ data multiplice ꝑficiant ſuppartiẽtes mulnpliccs. z
einquirere.
¶ Sit a denoĩans multiplicem:ſumo duos numeros c d quoꝝ vnus non nũeret alium:ſitq; h malo
⁊ pꝛimus ad a per vitimam tertij quero multiplicem ad a: qui addat ſuꝑ mttiplicem b nũerum c ſit huiuſmodi multiplex ad a numerus d quèẽ numerat a fm fꝛet multiplex ad b ſit e. dicoſ uppartiẽtem cuius denoĩans partium ſit e multiplex bꝛet nũerus partium ſit f eſſe vnam ſuꝑpartientum q querũ tur.nam a in f partes illas ductus ſiles partes ꝓducit: quaꝝ numerus eſt dꝛideo numerum ꝓducunt
ſed ⁊ ſupfluũt partes ſᷣm numerum c que non numerant b:ergo a ⁊ ſuꝑpartiens ꝑtiũ f denoiata ab
e que ſit g cõſtituent ꝓpoꝛtiõem multiplicem ſuꝑpartientem.et hoc pacto quotquot voles quere.
¶ Pꝛopoſita ſuꝑpartiente multiplices perſcrutari: que cum cadem multpplices ſup· partientes conſtituant. b
¶SSit a ſuꝑpartiẽs dara/ ⁊ b denoĩans ꝑtes: cvo numerus partium: et ſit d maioꝛ b vno/ducaturq
cin d ⁊ ꝓueniet multiplex b/⁊ inſuꝑ totidem ꝑtes.quare multiplex denoĩata ab d cum ſuppartiente aſſignata a ↄſtituet młtiplicẽ ſuꝑpartiẽtem.et ita fiet ſi qlibet mktiplice ad b maioꝛvno ſumat᷑ yter
MNeq; has ꝓpõnes que inuẽtionem ꝓponũt accuratius exequi curaui: que vbi exactioꝛ ꝓſecutio facta
fuiſſet etiam legentibus allatura fuiſſet faſtidium.
CSupparti cularis ⁊ ſimul multiplex ſ upparticularis cum cadem multiplice: ſinules; pꝛoducunt pꝛopoꝛtiones. 2I K
¶ Sit a ꝓpoꝛtio multiplex/ et b ꝓpoꝛtio ſuꝑparticularis/ et cꝓpoꝛtio multiplex ſupparticularisſil Dico ꝓpoꝛtiões compoſitas ex b ⁊ a:et ex c et a eſſe ſiłes.nam cũ ſuꝑparticularis denoĩetur ab vno parte/ ⁊ młtiplex ſuꝑparticularis denoĩetur a numero ⁊ eadem parte: numerus igitur multiplicigin vnum ⁊ numerum ductus ſemꝑ facit numerũ.addito igitur vtrobiq; qð ſit ex eodẽ multiplicis nuen in partem que ſuꝑeſt ſi cum vno nũerum facit et cũ reliquo facit eũdem:et ſi cum vno pars relpane
ſupfluũt:itidem ⁊ cum reliquo.quare ꝓuenient ſiłes ꝓpoꝛtiões · Id tamen aduerte ꝙ ſi ctitas deno⸗
minatiõis creſcit in altera ꝓductaꝝ qð maxime in ſuꝑpartientibus accidere ſolet: non tñ inde genus ꝓpoꝛtionis mutabitur.—
¶ Quãcunq; pꝛopoꝛtiõem ſuppartiens cum multiplice conſtituit: eiuſmodi enãam; cadem efficiet ſimul muluplex ſuppartiens.
¶ Sit a multiplex:b ſuꝑpartiens quecũq;:et c ſimul ſuꝑpartiens multiplex. dico b et aſimulſitemc et a fimul ſimilem conſtituere pꝛopoꝛtiõem.huius vt pꝛecedentis demonſtratio eſt.
¶ Si ab vnitate numeri cõtinue diſponãtur: et ſinguli ad ꝓximos deſcẽdendocolt i parẽtur:ſfient oẽs ſuꝑparticulares pꝛopoꝛtiones: tanto minoꝛes q;to remolioꝛes.qd vnitatem vero omnes multiplices:tanto minoꝛes quãto ꝓpinquloꝛes
¶ Sint a/ b/ c¹d/ elf/ g/h k numeri ab vnitate continue ſumpti:dico mok adh eſſe ſupparticularen ꝛopoꝛtionem.et h ad g. et g ad f. ſicq; deinceps vſq; ad vnitatem.et kad hminoꝛem eſſe pꝛopoꝛtioem had get cetere inferioꝛes.et h ad g minoꝛem qᷓ cetere inferioꝛes. nam cũvnitas ſit cutuſlibet nuen pars:et quilibet ſuperioꝛum addat vnitatem ipſam tñi excludendo ſuꝑ ꝓximum inferioꝛem:ergo per diffinitionem kad h et had g atqʒ ita deinceps:eſt ꝓpoꝛtio ſuꝑparticularis·ct quia per concepnloem pars ea minoꝛ eſt que maioꝛem habet denoĩationem et vnitas limiliter per conceptioem ſit culullibet numeri pars ab ipo denoĩata: ergo ꝓpoꝛtioues ilie ab vnitate remotioꝛes: que a minouipant deno⸗ minãtur ſunt minoꝛes.et quãto ipſi vnitati ꝓpinquioꝛes a maioꝛi parte denoĩantur: quare rum Kri maioꝛes.et ſi tota ſeries numeroꝛum eſſet oꝛdĩata:oms ſuꝑparticulares ſpecie quidem hublts u non aũt m numerum accepte.nam ea ꝓpoꝛtio que eſt ternarij ad binarium:eſt ſenarij an qua nar
et duodenarij ad octonarium:non tamen due vltie in oꝛdine pꝛoximoꝛum numeroꝛum eſent ruuimi vnitati vicinioꝛes.nam a pꝛimus poſt eam nũerus bis eam ↄtinet et b ter ⁊c quater.et ita d dunſe ᷣm oẽs ſpecies multiplicium ſed ⁊ ętinue a maioꝛe numero denoĩat᷑ multiplex.et p̃tovnitati
aminoꝛe:nullus enim binario minoꝛ eſt. eſt igitur cognitum quod erat demonſtrandum. Sia cõmuni angulo naturalis ſeries numcroꝛum in longum ⁊ laum creman et ipſis inuicem multiplicauis:⁊ qui ꝓuemũt in angulari cõuentu poſitis: ſi iingun oꝛdinum ad pꝛimum fiat collatio oꝛdo cõtinuus multiplicium ꝓcedet: ſi v f mes pꝛeterq́; ad pꝛimum oꝛdo ſuꝑparticulariũ. et qui circa diametrum collocan ſunt:
7
erunt quadrati. qui vero his hinc inde ꝓximi:ſunt altera parte longioꝛcs.
ea aAS
=ðA

————.———A— 8. 2 4—
VIIII Longitudo.
Uunn I 1.1 2 1314 5S 73S1 ZTompartio voiq;z ad pꝛima — ER zl4. 6ſS ſ1o II. 14. 16 118 20 Dupla ad eandem. 22 mam LTG[2-12 II8 2I z4 22] 30 Eripla ad eandem 1an adn u-48 IS. 20 l2 4 2½8 2 36] 40 Quadrupla ad eandem * matgenf EEE 15 20 1.Bo 3 4o4SoQuincupla ad eandem. Sn ſän 8 E 18 2 4 30 36. 42 48 S4. 60 Seſcuplia ad eandem. unsdenaa=zli4 ſz 2s 34249. 20Septupla ad eandem. erneneee ss Sſ=5-I6 2et 32 40 48 6 64.7—2 S0 Octupla ad eandem. nande 921IS22 B36 4S463 72 81.90 Höcupla ad eandem ſcutnn: qemn[1020 Zoldo SolGo2o 8o[90100. Decupla ad eandem. E» 8 5 ☛ 2. 8. 8 8 8. 8☚. 8 e 5 E 5 5 8 ¾1 58 n 3 E 3 5 5 3 8. 5 5 eekeat.. TEkh, 8 85
¶ Foꝛmata ergo hac mẽſula Pythagoꝛe ⁊ diſpoſſtisvt ꝓponit pꝛopoſitio numeroꝝ oꝛdinibus:dico aruculans anaan pmo g ſi ſinguli oꝛdines ad pꝛimum comparẽtur ꝓuenire per oꝛdinem młtiplices.nã cum vnitas ſit
Maput pꝛime lin ee:et ſecũde linee caput p̃muſq; numerus ſit binarius. eſt ergo pꝛimus numerus ſcðe linee pᷣmo numero duplus ⁊ pᷣmus multiplex.et quia binarius multiplicat oms nũeros pꝛime linee:
aularu erc et ex multiplicatione ↄtinue ſcða linea ꝓcreat᷑ ⁊ ſecũdus numeroꝝ oꝛdo.ergo ꝑ diffinitiõem quoties hhea.aam daaenen vnitas in binario toties ↄtinue ſinguli pᷣmi oꝛdinis in ſingulis ſecundi exiſtunt. igitur ſinguli ſecũdi — oꝛdinis ad ſingkos pꝛimi dupli ſunt atq; eque multiplices.et qꝛ pꝛimus tertij oꝛdinis eſt triplus pᷣmo to igitur pꝛimi qut eſt vnitas et ex ↄtinua multiplicatione ſinguloꝝ pꝛimi oꝛdinis per ipm pꝛoducũtur ſinguli
reliquo facu chmeim tertij oꝛdinis:ergo ꝑ idẽ qð pꝛius ſinguli tertij oꝛdinis ſunt tripli ad ſinguloswꝛimi oꝛdinis.hac qͥq; cr— röne ꝓbabis ſingulos quarti ad ſingulos pmt eſſe quadruplos/ et quinti quincuplos:ſicq; deinceps. ſarparnenrdus rori Secũdo dico ꝙ ſi fiat comparatio tertij oꝛdinis ad ſcðm /⁊ quarti ad tertium/ et quinti ad quartum/ net ſexti ad quintum:et ita ↄſequẽter ↄtinue ſuꝑparticularium oꝛdines ſurgere.nam ↄtinue videmus
ſingulos hoꝛũ ⁊ ſingulos illoꝝ ex ductu duoꝝ ꝓximoꝝ numeroꝛum deſcẽdendo ab vnitate ſumptoꝛũ m muluphce crienn in eos enaſci.at per pꝛecedẽtem illi numeri ↄtinue ſeriem ſuꝑparticularium complent.igit᷑ ⁊ ſinguli
poſterioꝛis oꝛdinis ad pꝛioꝛem oꝛdinem ſilem retinebunt ꝓpoꝛtiõem.qð eſt ſcðm. Tertio dico nũeros
. qui conſtant circa diametrum eſſe quadratosilli enĩ ſunt quoꝝ caput eſt vnitas:æ ſupꝛemus eſt oĩm maximus quaſi lõgiſſima linea:et numeroꝛũ oꝛdines quaſi ex equo ꝑ medium ſecãtes.quos dicimus
alfapparues mln eſfe quadratos. nam illos otinue videbis ex lateribus equalibus ꝓdurtos vno ſꝑ m nũeroꝛũ ſeriem np:xcrdentus unntui creſcentibus.erũt igit᷑ oẽs quadrati.et ſi lineas ad eoꝝ latera equidiſtãter ꝓtraxeris: ↄtinue quadra tam cöcludes figuram. Quarto dico numeros hinc ⁊ inde quadratis altrĩſecus ꝓxime adiacẽtes: eſſe
d gn altera parte longioꝛes.nam oẽs illi ſm numeroꝛum ſeriem ꝓducũtur ex lateribus vno diſtãtibus: ꝙ noncs: nanto nrexi vnum eox latus ſit quadrati latus:et alterũ ſitvno latere eiuſdẽ quadrati minus.ſicq; tota cognoſcit᷑ ꝓpoſſtio.Et ex hoc qͥq; notum eẽ poteſt ꝙ ſi ſinguli altera parte lõgioꝛes ſingulis quadratis quibus
nmoꝛes quit pre altrinſecus circũſiſtunt comparẽtur:a ꝓpoꝛtione dupla oẽs ſuꝑparticularium ſpecies ꝓcreantur:vt
duo pꝛimus altera parte lõgioꝛ vnitati pꝛimo quadrato cõparatus eſt duplus.et 6 altera ꝑte longioꝛ — ad ꝙ ſcðm quadratum relatus per ſcõam partem huius eſt ſeſqualter.et ⁊z tertius alt᷑a parte lõgioꝛ d miuma ad o tertium quadratũ ꝑ idem eſt ſeſquiftius:et hoc pacto ↄſequẽter. ¶ Et idem de ſuꝑparticulariũ
5— tertio/ et tertium quarto.et hoc pacto deinceps comparaueris. ¶ Et rurſum ſi pꝛimum altera parte agpuicirsas longioꝛem inter pꝛimum quadratũ ⁊ ſcðᷣm collocaueris:ſimilis ꝓpoꝛtionũ habitudo ſeruatur/ eritq;
cõtinue ꝓpoꝛtio dupla. ¶ Et ſi ſcðᷣm alt᷑a parte longioꝛem/ inter ſcvm quadratum ⁊ tertium colloca⸗
mct mirls naa Neris: ↄtinue ſeſqualta habituvo ſeruabitur ex pꝛima ⁊ ſcda parte huius. et ita ↄſequenter reliquas 20 muica etais ſuꝑparticulariũ ↄiũctas hĩtudines reperias ſi reliquos lõgilateros nũeros ſuis quadratis medios — inknexueris: ex quibus digna illa ↄtemplatio ad Pythagoꝛicã ⁊ Platon icam intelligentiam momẽ — o vurus tum habens qᷓ; de quadratis ⁊ alta parte longioꝛibus diuus Seuerinus 33 capite ſcði ſue Brithme⸗ eeſ— tices elegantiſſime affert:vel perſpectiſſima eſſe poteſt. W „ unptns cene⸗ ¶ Si ſupparticulares abvnitate ſumãtur:binis ⁊ binis diſſũctim ↄiũctis pꝛima mul⸗ vo cin umaedmea⸗ tiplicium:ac conſequẽter oĩm ſuꝑparticularium ſpecies puenire cõueniet. — ¶ Sint a/ b/c/d/e/f/g/hk ↄtinue abvnitate ſumpti ſuꝑparticulares numeri:⁊ ↄiungãtur diſtũctim guttum quoe bini ⁊ bini ſcʒ c a.e c.g e.et k g.dico c ad a eſſe pꝛimam multiplicium et e adc etgade kadg oↄtinue ↄſtituere ſpecies ſupparticlarium.nam ꝑ penultimam erũt aſbedefgh knumeri ↄtinue ab vnitate mncrorum n duous ſumpti:ſed ⁊ vno ſꝑ intermiſſo hoc pacto binis ⁊ binis diſiunctim ſumptis:ſumuntur oẽs ab vnitate angulan pares. quare per decimãoctauam ſeptimi ipſoꝝ ↄtinue ſunt eedem ꝓpoꝛtiões que numeroꝛũ ab vni⸗ utm— tate cõtinue diſpoſitoꝝ.at binarij ad vnitatem eſt pꝛima multiplicium et ſequẽtium ad ſuũ pꝛeceden⸗ tem eſt ſeries ſupparticularium.conſtat igitur quod erat demonſtrandum
ſpeciebus euenerit: ſi pꝛimum altera parte longioꝛem ſecũdo quadrato/ et ſcom alt᷑a parte lõgioꝛem
k x10 — ⸗ 2 8 f— 7 e— 6 d 5 L 4 bz

—
—.
————
4 ——— 1 4 —..
————
————
8 8 Ser* d 8 8 *²—— —— 3
“ 1 ö
*† 4 16 2 15 C 4 R 3 5 8 2* 3 a d— 1
9 8 4 3 3 1 g e b 3 2 2 1 .— a 20 1 12. 1 Compoſite mediarum. 18 10 10 1 ————, Compoſite extremarũ. 6 5 d5 1 5 4+4 4 1 4—z bz;z— 3—2 32—1 f 9— e 7 b— † d.—z— 3 ᷣα 5 26 d— h n 4½ 7 17 c 9— m 3 5 10 b— 1 2 3. 5 3— e k.— . 6 35 11 5 2+ 9 n E 4 15 7 m 5. d; 3 1— c b—— 3
¶ Si ꝓpoſitis ab vnitate quadrat
ab iluis dicte:pꝛopoꝛtionum ab vnitate erunt differentie.
¶ Sit vnitas:et numeri poſt ipam a be:et quadrati eoꝝ def:et minoꝛes eisvno gh k. dicoſup tm culares denomĩatas ab g/h /k que ſint d ad g. e ad h. et f ad kꝛeſſe differẽtias ꝓpoꝛtionum a5 dpan
ſumptauvt d ad g eſſe pꝛopoꝛtionem qua abundat dupla ſuꝑ ſeſqualteram et e adh eſſe qua avnate ner ſeſqualtera ſuꝑ ſeſquit᷑tiam:hũcq; in in modum ↄſequẽter. Nam ꝑ pꝛimam quiti differẽtia qua 5. dat a ad vnitatẽ.et b ad a eſt ꝓpoꝛtio q̃ fit ex ꝓductis a in ſe ⁊ vnitatis in bꝛſed a in ſe facitd qf 85- 7 d eſt eius quadratus ⁊ vnitas in b per ſcðᷣam ⁊ decimãnonam pꝛimi qᷣyʒtum g.igitur ꝓpoꝛtio d ha 1 dt 6⁰ differẽtia ꝓpoꝛtionis a ad vnitatem ⁊ b adia.et hac rõne oſtẽdetur ꝓpoꝛtiõem e ad h eſſe differa M ꝓpoꝛtiõis b ad a et c ad b.et ita de quibuſlibet conſequẽter.quod eſt pꝛopoſitum. am
¶ Si oꝛdinẽtur ↄtinue multiplices ⁊ ſ uꝑparticulares: eritvt cxtremarũ multiplicum 4 üun quelibet due comũcte minus ſint qᷓ; media duplicatavel due medie comuũcte:jſuppar-·i ticulares vero maioꝛes.
¶ Sint pꝛimo ↄtinue multiplices a b c:dico cõpoſitam ex a ⁊ cminoꝛem eſſe pꝛopoꝛtiõem p ꝓpoꝛtio 71 b duplicata. nam quia denominãtes Otinue equaliter ſe excedũt:ergo per ſcðam pꝛimi denoians h eſt medietas denoĩantiũ a ⁊c ſimul ſumptoꝝ.et ꝑ decimãnonam eiuſdẽdenoĩans b in ſe maioꝛem gdu⸗-5 cit numerum ꝗᷓ; a in c.at ꝑ octauam huius b in ſe ꝓducit equalẽcompoſite ex ꝓpoꝛtioneb duplicatz fer
is:nũeri cis vno minoꝛes ſumãtur: ſuppanichatea n . 4
gue per viceſimãſcðᷣam huius erit multiplex. et denoĩans a in denoĩantem c: ꝓducit denoĩantem per(s
idem mttiplicis ex a ⁊c. igitur multiplex ex b duplicata:a maioꝛe nũero denolata qᷓ multipler opoſiſ ſyii ta ex a et c maioꝛ eſt multiplice cõpoſita ex a ⁊c.qð eſt pꝛimum. Sint ſecũdo def otinue ſumptelup⸗· particulares quaꝝ d ſit maxims:⁊ differẽtte eaꝝ g ⁊ h. dico ꝓpoꝛtiões d ⁊ fſimul maioꝛem oſutuere unc pꝛopoꝛtionem ꝗᷓ ſit ꝓpoꝛtio e duplicata.nam qꝛ per pꝛecedẽtem partes g denoĩant᷑ a minoꝛi numao run et partes h ab maioꝛi:nam ainumeris cõt inuoꝛũ quadratoꝝ vno minoꝛibus ergo per pꝛimam huius iſi ꝓpoꝛtio g maioꝛ eſt ꝓpoꝛtiõe h. at d ⁊ fſunt tanqᷓ; eg⁊ f.nam d per ſe im̃ eſt qᷣtum egetebis tanye im f et h.et monſtrata eſt e maioꝛ h.igit᷑ per quintam quinti erũt d ⁊ fmaius qᷓ; e duplicata.ethocmodo ins facile idem ꝓ vtraq; parte oſtendas ſi due ponãtur medie ꝓpoꝛtiões.ſicq; cõcluditur pꝛopoſitum. i
¶ Si impares poſt ternarium otinue ſumpti:ad nũeros poſt binarium naturaliſcne a in oꝛdinatos comparẽtur:exibunt ſuppartientes ↄtinua denoiatione creſcentcs.
¶ Sint ab cnumeri poſt binarium cõtinue ſumpti:et d e fſumpti cõtinue impares poſt ternarium. dico d ad aſet e ad bᷣ/etf ad cſuꝑpartiẽtes ↄtinua denoĩatiõe creſcẽtes.nam cũ differẽtia imparium( ſit binarius d addit ſuꝑ a binarium qui minoꝛ eſt eo vno. igitur d ada eſt ſuꝑpartiẽs.et itey cum dif⸗ tn ferẽtia imparium ſitbinarius: et nũeroꝝ ab vnitate diſpoſitoꝝ differẽtia ſitvnitas: addet eſuphmo 1 plus ꝗᷓ; d ſuꝑ a.ſedt qꝛc/e/f ſunt continue impares:addet f ſuꝑ cadhuc vno plus qᷓᷣ eſup bcreſcunt 1 igitur differentie imparium ſuꝑ nũeros ab vnitate ſumptoꝝ ſicut ⁊ ipſi nũeri:ita ꝙ cõtinue pꝛecedẽs nc eſt differẽtia imparis ſuꝑ ſequẽtem.ſed numeri vnitate diſtãtes ſunt ↄtra ſe pꝛimi.igitur differẽtiaq 1 eſt numerus pꝛecedẽtis ad ſequẽtem numeroꝝ ab vnitate diſpoſitoꝝ:non eſt pars ſ equẽtis. eſtigitur h ꝑ pꝛimam pᷣmi eius ꝑtes.erit igit᷑ ꝓpoꝛtio e ad b ſuꝑpartiens /⁊ fad cſuꝑpartiẽs:et qꝛ ſue partes im 1 numcroꝝ vnitate diſpoſitoꝝ qᷓ;titatem creſcunt: erũt ⁊ eaꝝ ↄtinue creſcẽtes denoĩationes:ĩimo ⁊ qui 6 denoĩant᷑ a numeris ↄtra ſe pꝛimis ↄtinue ꝓcedent diuerſe ſuꝑpartientiũ ſpecies.qð eſtpꝛopoſſtun.⁸
CSi compoſitus ex pꝛimo pari ⁊ impari ⁊ qui ex reliquis impanbus edem nücls n aggregãtur: ad numeros a duobus diſpoſitos comparẽtur: ꝓuenitẽt diuerſemulſij i ces ſuꝑparticulares ſᷣm nũeros multiplicium ⁊ denoĩationes paruum ſiles habtet,
¶ Sint a bed nũeri a binario ↄtinue ſuccedẽtes:ſintq; e/fjg /h nũeri a ternario ↄſequẽterinhars( ſitq; k compoſitus ex a ⁊ e pꝛimo pari ⁊ impari.etl compoſitus ex f ⁊ k.et m cõpoſitus exg? hetner
h ⁊i:dico k/l/m/n cõꝑatos ad a bſc/ djfacere multiplices ſuꝑparticulares m nũenum muliipici i ⁊ ſſtes partium denoĩationes. nam kↄponit᷑ ex a ⁊ ebinario ⁊ ternario. at e addit ſup apartem mam 1 ab ipſo denoĩatam ſcʒ vnam mediani ſeu ſcdᷣam qð idemvaleat: ergo k compatus ad abisiym ninet
et eius mediam et ad ipᷣm eſt pꝛimus multiplex ſuꝑparticularis·ſed ⁊ ꝑ decimãnonam ſeptimi fcöpo nitur ex a et b. et gex b erc. et h ex cet d. et per ſeptimã ſexti quadratũ cuiuſlibet additſup quadtann
pꝓpximi qð ex iplis cõponit᷑ vt quadratum b ſuꝑ quadratum a:q́tum qð cõponit᷑ exa ibctqnadrani
c ſupꝑ quadratum b qᷓᷣtum cõponit᷑ ex b ⁊ c.et ita deinceps.et quia kaddit ſuꝑ quadratu amtatena ſimiliter addet ſuꝑ quadratum bꝛet m ſuꝑ qnadratum c:et n ſuper quadratum d vnitatem. quarel
guli eoꝝ ſingulos illoꝝ cõtinent ſᷣm ſe et partem ꝑ conceptiõem ab ipᷣis dictam. erũt igitur dſequeier f᷑m ipſos:multiplices ſuꝑparticulares.quod eſt pꝛopoſitum. 1
4.„— E 12B. 44 ¶ Si duo pᷣmi impares ↄiũgant᷑: cõpoſitoq; reliqui ĩpares applicẽ᷑tur:erit yt pha⸗ V tiones cõpoſitoꝝ ad nũcros poſt binarium ſumptos ſint diuerſe mulnplices 5 4. tientes ⁊ ab codem numero ⁊ partes numeratas ⁊ multiplices denoiatas habẽ 5. ¶ Sint duo pꝛimi ĩpares a ⁊ bꝛet cõpoſito ſit c:ſintq; relidͥ ĩpares d ef᷑ qui addãt poſſto Alhhm gregati g/h /kletl/m/n/ o/ numeri ↄtinue poſt binariũ ſũpti.dico c adl/et ꝗad m/ et h ad 31 pante diuerſas eẽ multiplices ſuꝑpartiẽtes ⁊ ſingulas ab eodem numero multiplices denoĩata

—
numeratas.nã b addit ſuper a binariũ:ergo c bis continet a illi ſuperaddẽs binariũ.ſed binarius eſt vno minoꝛ a:ergo eſt eius totidẽ partes.eſt igitur cad a pꝛima multiplex ſuperpartiẽs: quare ⁊ adl. qꝛ a etl ſunt idem numerus. Item qꝛ vtviſum eſt c addit binariũ ſuper eo qð ſit ex binario in a.et bi⸗ narius in m per nonã pꝛimi facit c:ergo c bis cõtinet m.ſed et per decimãnonam ſeptimi d cõſtat ex! et m:⁊ g cõſtat ex c et d.ergo g cõtinet ter m.⁊ inſuperl tres ſcʒ eius partes.exitq; g ad m ſecũda mul
cng4 Aunp tiplex ſuꝑpartiens. et hunc in modũ pꝛobabisl in n cõſtituere g.⁊ per decimãnonã eptimi m n conſti aler— tuere e.⁊ h cõtinere n ſecundũ m.et inſuꝑ m quattuoꝛ ſcʒ partes n.et ita cõſequenter inuenies multi 8 7 — dum adan plicium denoĩationes et ab eodẽ numero ſuꝑpartientiũ partes num eratas:qð eſt pꝛopoſitũ. f— — 85 ¶ Si due diuerſe ſuperparticulares coniũgantur compoſita aut erit dupla aut ſuper 22 5 2 particularis aut ſuperpartiens. 56 5 2 unann ¶ Sint abcdef᷑ quotlibet per oꝛdinẽ ſuꝑparticulares: dico ꝙ ſi due quelibet ſimul iungant᷑ compo 3 2 duplcatanc tam eſſe aut duplã aut ſuperparticulare aut ſuꝑpartiẽtem. nam ſi a et b ſeſqualterã et ſeſquitertiã 7 4 de. cõiungis cõpoſſta erit dupla.nã conſtituta dupla:inuenis per pꝛimã quinti ſeſquitertiã ꝓpoꝛtionem(— qua abundat dupla ſuper ſeſqualterã.conſtituet igitur due pꝛime duplã.ſ ed ſi cum a aut c aut d aut e 4 3 ftmer aten aut f cõiunxeris: qꝛ per triceſimãſeptimã huius quelibet eſt minoꝛ b cõpoſita ꝓpoꝛtio erit illa dupla d Lrer ſe namc minoꝛ et ideo nõ multiplex.eſt em̃ dupla per eandè triceſimãſeprimã huius multipliciũ minima:igit᷑ 3 2 amänenmae cõpoſita ꝓpoꝛtio aut erit ſuꝑparticularis aut ſi uperpartiẽs:quod eſt pꝛopoſitũ.— —.— 9 ¶ Superparticularem inucnire:cum qua quotlibet ſuperparticularium quclibet:ſu⸗—
perparticularem componant.—
— ¶ Sint a b cquotlibet numeri ab vnitate ꝓpoꝛtionalestet ſit d pꝛimus ad a qui idẽ etiã per viceſimã— 6 Apemn mdtn ſeptimã quarti erit pꝛimus ad b et e⁊ cõiungatur d cuilibet eoꝛum et pꝛoueniãt compoſiti e fg.eritq; 5. 31 d.cs Prwianid per nonã tertij quilibet eoꝛũ ad quelibet eoꝛũ et quoſlibet alios illius oꝛdinis ꝓpoꝛtionaliũ pꝛimus.— Per cctdeunxmanan ſumo iterũ cõtinue ꝓpoꝛtionalè poſt pꝛimos qui ſit h et per viceſimãquintã tertuu minimũ quẽ nume⸗ m eadkanermanntae rant d efg qui ſit l qui perviceſimãſeptimã tertij erit pꝛimus ad h.iit itẽ pervltimã tertu! multiplex 4— 1— e81 1nun dprinc h⁊ mmultiplex lꝛ.addatq;l ſuper in qᷓtum eſt d.deinde addo ſigillatĩ ad l numeros a bcet pꝛouen iãt— tt5 n qam critdtfn cõpoſiti n p a:manifeſtũ eſtl eſſe ſuperparticularẽ ad m. nã ei ſuperaddit ſuã partem ſcʒ d:ſed etn ei h—— ts menus gpanaa ſuperandit d ⁊a quod eſt e. et ꝑ ei ſuperaddit d et b quod eſt f.⁊ q ei ſuperaddit d er c quod eſt g.⁊ per 5—— 8 . viceſimãtertiam pꝛimi e f ꝗ˖ꝗ quilibet eſt pars m:qꝛ eſt pars le.igitur n pꝓ q pariter etl ſunt ſuꝑparticu⸗ 7 b 4 npud nüceesgeier lares ad m.conſtare ergo poteſt pꝛopoſitum. 5„. 8—— 3 5 ntes aumdm, Data ſuperparticulari: quotlibet alias inquirere quarum quelibet cum cadem:ſu⸗ — in perpartientem effictat. b b? 18 . aimmit ¶ Sit a denominãs partem date ſuꝑparticularis.ſumo ab vnitate coͤtinue ꝓpoꝛtionales quoꝛũ ipſe ſit vnus qui ſint a b c. dico ꝓpoꝛtionẽ ſuperparticularè dictã ab a cum ſuꝑparticulari cuius pars de⸗ 15 8 nominat᷑ ab b vel ab c conſtituere ſuperpartientẽ: qualiũ pꝛeſens pꝛoponit inuentionẽ. nam cöpoſitta— ex ꝓpoꝛtione ſuꝑparticulari d enoĩata ab a et denoĩata ab b habet in denoĩationt ſuivnũ et partes qã Compoſite dicũtur ab a ⁊ ab b per octauã huius. qᷓquidẽ partes per quartã huius denominãtur ab eo qð fit ex a— in b qui ſit d ſed ille per decimãtertiã huius nõ conſtituunt partẽ:ergo cũ pꝛopoꝛtio cõpoſita ex demõ 95— 8—8 ſtratione penultime nõ ſit multiplex neqʒ ſuꝑparticularis:qꝛ partes compoſite non cõſtituunt partẽ 5 4 b- 4 vnã. relinquit᷑ ergo compoſitã eſſe ſuperpartientẽ: ⁊ ita de qualibet alia. 3—, 9,— 2 ¶ Omnis ſuꝑparticularis cũ qualibet ſuꝑpartiẽte:cõſtituit ꝓpoꝛtionẽ tripla minoꝛẽ 1
¶ Ham dupla cũ ſeſqualtera que per triceſimãſeptimã huius eſt maxĩa ſuperparticulariũ ↄponunt per coꝛrelariũ viceſimetertie huius triplã: ſed oĩs pꝛopoꝛtio ſuꝑpartiens eſt minoꝛ ꝓpoꝛtione dupla igitur quecũq; ꝓpoꝛtio ſuperpartiẽs cũ maxima ſuꝑparticulari aut minoꝛi ſuꝑparticulari ꝑ quintã quinti cõſtituet pꝛopoꝛtionẽ tripla minoꝛẽ:quod eſt pꝛopoſitũ.
¶ Datã pꝛopoꝛtionẽ que tripla minoꝛ ſit:in ſupparticularẽ ⁊ ſ uppartientẽ partiri..
21
e— s g.—
gbunmnn ¶ Sit pꝛimo ſuꝑparticularis quecunq; data que hoc modo diuidi petatur.capio a ⁊ b mĩmos terĩos. 7 h 1— 4 apolens fttan a quidẽ minoꝛẽ ⁊ b maioꝛẽ inter quos cõſiſtat.qui ꝑer triceſimãſeptimã huius erunt numeri in conti 4 2 1.— am nua ſerie numeroꝝ ſumpti: ſolaq; vnitate diſtãtes.ſitq; c cõpoſiꝛus ex eis cui addatur a et ꝓueniat d: ulnuͦces Iuuratuus quoquidẽ maioꝛ vnitate ſit e ⁊ ducãtur a et b in d et pꝛoueniãt f et g.eritq; per octauã ſecũdi ꝓpoꝛtio 15 18 15 1edmar s gadf ea que b ad a. Itẽ duco a in e ⁊ ꝓueniat h:addetq; h ſuper f per nonã pꝛimi óↄtum ẽ aꝛet a eſt Ls d e.— dwemct ms f.nã a poſitus eſt numerare f ſecundũ dꝛigitur h ad f eſt ꝓpoꝛtio ſi uꝑparticularis. Item qꝛ b eſt maioꝛ a- 5 v— uurrisit a vnitate per decimã pꝛimi g addit ſuper f qᷓtum eſt d. ergo g addit ſuper h minus d quantũ eſt a: led emi ſem— ſubſtracto a ab d manet c.igitur g addit ſuper h quantũ eſt e ⁊ per nonam ⁊ decimã tertij c eſt pꝛimus agoraum dunras 28. erit itaq; gad h ꝓpoꝛtio ſuperpartiẽs: quare pꝛopoꝛtio ſuꝑparticularis aſſignata que eſt gadf onae in duas diuiſa eſt: ſcʒ h ad f ſuꝑparticularẽ et g ad h ſuperpartientẽ:quod eſt pꝛopoſitũ quo ad hoc. tum caet a ſup DSecundo ſit ſuperpartiẽs inter a et b minimos terminos:ſitq; b maioꝛ terminus et ducatur b in ſeet wacrptuen d in a et pꝛoueniãt c ⁊ d.eritq; per ſeptimã ſecundi ꝓpoꝛtio c ad d ea ſuꝑpartiẽs que b ad a. Item addo epelam. aad d et pꝛoueniat e.per decimã pꝛimi a numerabit e ſecundũ numerũ vno maioꝛẽ b.quare e ad d eſt prasi ſuperparticularis. et ꝗqnia per decimam tertij e eſt pꝛimus ad bꝛergo pervndecimã eiuſdem eſt etiam— 5— rchqu pꝛimus adc. et cum differentia cade non ſit vnitas ſed vnitate maioꝛ:ergo non erit ſuꝑparticularis. 4 1 5b 1 npwelae⸗ Velinquitur igitur c ad e pꝛopoꝛtionẽ eſſe ſuperpartiẽtem:quare ſuꝑpartiẽs aſſignata c ad d diuiſa 62— 2%— 4 m numpis eſt in duas:ſcʒ e ad d ſuperparticularẽ ⁊ cad eſuperpartiẽtem quẽadmodũ crat pꝛopoſitũ.· Tertio ſit 2

a—-— b
C 8 d 3
4—s
32— 43
12
e F5 1 8
c 5 d 4
—z b- 2 e 29
inter a et b ꝓpoꝛtio dupla que qꝛ vt demõſtratum eſt in quadꝛageſimaquĩta huius c
tera ⁊ ſeſquitertia ſubſtrahat᷑ per pꝛimã quinti ꝓpoꝛtio ſuꝑparticularis c ab Aus denſen 9 celgua tertia a ꝓpoꝛtione a ad b:ſitq; reſidua e ad fqua abũdat a ad b ſuper cad d. ⁊ qꝛ maioꝛ eſt z ſeſqu⸗ ſeſqualtera que eſt maxĩa ſuperparticulariũ neq; eſt multiplex: qꝛ ꝓpoꝛrio a ad b eſt 5 un npornone pliciũ que nõ reſoluitur in multiplices.relĩquitur ergo ꝓpoꝛtionẽ e ad f̊ eſſe ſuppartiẽtem. de nult d ⁊e ad f cõſtituunt ꝓpoꝛtionẽ a ad b conſtat ꝓpoꝛtionẽ duplam in ſuꝑparticularẽ ⁊ ſuper pet t 48 eſſe diuiſam. Quarto ſit inter a et b quelibet ꝓpoꝛtio a dupla ad triplã cõſtituta:ſit; inter ce etem poꝛtio cõpoſita ex dupla ⁊ ſeſquitertia ſi pꝛopoꝛtio a ad b eſt minoꝛ ꝓpoꝛtione c ad d. ergoſ übſn 4 ꝓpoꝛtione ſeſquitertia a ꝓpoꝛtione a ad b remanebit pꝛop oꝛtio minoꝛ dupla: ſed maioꝛſ eſ naltan
quare illa reſidua erit ſuperpartiẽs:⁊ ſic ꝓpoꝛtio a ad b eſſet cõpoſita ex ſuꝑparticularivt leſqͤt 95 et ſuꝑpartiente atq; in eas diuiſibilis.⁊ ſi a ad b ſit equalis c ad d aut maioꝛ:qꝛ ꝓpoꝛtio addita d
in ꝓpoꝛtione a ad bꝛerit minoꝛ ſeſqualtera cũ dupla ⁊ ſeſqualtera per coꝛrelariũ viceſimetertie une conſtituãt triplã.et ſeſqualtera addita ſeſqualtere minus cõſtituat qᷓ dupla cũ ſeſquitertia ꝙ ſeſ 1
tera et due ſeſquitertie plus ſint ꝙᷓ ſeſqualtera ſeſquitertia ⁊ſeſquioctaua.at per pꝛimã quinti dual gnoſcũtur equari duplate ſeſqualtere:⁊ illi duple et ſeſquttertie. ergo ſubſtracta ſeſ qualtera 4 8 poꝛtiõe a ad b remanebit ꝓpoꝛtio minoꝛ dupla:ſed ⁊ maioꝛ ſeſqualtera. quare ſuꝑpartiẽs. eſtet 9 pꝛopoꝛtio a ad b in ꝓpoꝛtionẽ ſuꝑparticularẽ ſeſqualterã et ſuperpartiẽtem quomodo pꝛopoſith 1 ſecabilis: quod eſt pꝛopoſitum. 4
C Maximã ſuperpartientẽ inuenire: que ex duabns ſ uꝑparticularibus pducitur. i
¶ Sit a ad b ꝓpoꝛtio ſeſqualtera et c ad d ꝓpoꝛtio ſeſquiquarta: ſitq; e adf ꝓpoꝛtio exhis cöpoſit
dico pꝛopoꝛtionẽ e ad feſſe maximã ſuꝑpartiẽtem que ex duabus ſuꝑparticularibus ꝓducitur.Nã 4 dupla ex quadꝛageſimaquĩta huius pꝛoducit᷑ ex ſeſqualtera ⁊ ſeſquit᷑tia que ſunt maxieſ upportia⸗ lares:ergo ꝓpoꝛtio e ad feſt minoꝛ ꝓpoꝛtione dupla.ſed ⁊ eadẽ maioꝛ eſt ſeſqualtera:ꝙ ex e cumal tera cõpoſita ſit.ergo e ad feſtꝓpoꝛtio ſuꝑpartiens:ſed ⁊ quelibet minoꝛ ſuꝑparticularis cũ pꝛopor tione a ad b ſeſqualtera:aut c ad d ſeſquiquarta ꝑ quintã quinti minoꝛẽ ꝓpoꝛtionẽ cõſtituet q cadſ eſt igitur e ad fmaxima ſuꝑpartiẽs ex duabus ſuꝑparticularibꝰ ꝓducta: quod eſt ꝓpoſitun.
¶ Superpartientẽ inuenire: que in duas ſ uperparticulares diuidi non poſſit. ynde patet qualibet ſupeypartiente aliam eſſe maioꝛem. b
¶ Sit b ad a maxima ꝓpoꝛtio ſuꝑpartiens per pᷣcedentẽ cognita:que ex duabus ſupparticularibus ꝓducta ſit ⁊ differẽtia b ad a lit c:manifeſtũ eſt a eſſe maioꝛẽ c ſuis quidẽ partibus.capio itẽ numcri d vno minoꝛẽ bꝛ⁊ tunc ꝓpoꝛtio a ad c:qꝛ a maioꝛe parte denoĩatur maioꝛ eſt qᷓ; pꝛopoꝛtio b ad d.addo ergo d cũ b et fiat e:manifeſtũ eſt e ad b eſſe ſuꝑpartientẽ cum cõtineat b ⁊ d eius ꝑtes.et per ſecund partẽ decimequiĩte ſecundi erit maioꝛ ꝓpoꝛtio e ad b qb ad a.et qꝛ ꝓpoꝛtio b ad a diuidik in maxizs ſuꝑparticulares conſtituẽtes ſuꝑpartiẽtemvt ex pꝛecedenti cognoſcit᷑ et ſuꝑpartiens e ad h ſit maio: ſuperpartiẽte b ad a. nõ diuidetf᷑ ergo ſuꝑpartiens e ad b in duas minoꝛes qᷓ; b ad aꝛ neg in ealdemin quas diuidit᷑ b ad a. relinquit᷑ ergo in nullas duas ſuꝑparticulares ſuperpartiẽtẽ e ad b poſſe diuidi quod eſt pꝛopoſitũ.Et coꝛrelariũ ex modo demõſtrationis cognoſcit.
¶ Sola multipliceiqualibet non poteſt ſumi minoꝛ: et ſola ſuperparticulaniqualba
non poteſt ſumi maioꝛ. ¶ Dico pꝛimo qualibet multiplice poſſe ſumi maioꝛẽ.nã per triceſimãſeptimã huius oẽs numeria vnitatẽ ↄparati cõſtituunt multiplices et tãto maioꝛes quãto ab vnitate remotioꝛes ⁊ ſeries nlec in imenſum euadit.igit᷑ qualibet multiplice poteſt ſumi maioꝛ. Scðo dico ꝙ nõ qualibet multiylie põt ſumi minoꝛ.nã per eãdem quãto numerus ꝓpinquioꝛ vnitate fuerit:tanto ille ad vnitatẽ miliue
/
cõſtituit multiplicẽ.at deſcẽdendo nõ abitur in infinitũ. non igit᷑ qualibet multiplice eſt daremincꝭ
qð in aliis min ime quẽadmodũ monſtrabit᷑ accidet. Tertio dico qualibet ſuꝑparticulari eſſ minoꝛi
Hhã pars per pꝛimã huius que a minoꝛi numero denoĩatur maioꝛ eſt: et quãto a maiou minotetqt ſe
ries numeroꝛũ in inſinitũ ſuccreſcit:nõ dabitur pars adeo parua qua minoꝛ dari non poſſt qualibet igitur ſuꝑparticulari poteſt dari minoꝛ. Quarto dico nõ qualibet ſnpparticulari eſſe maiotẽ. naʒ fe que a numero ꝓpinquioꝛe vnitati denominat᷑ maioꝛ eſt: ⁊ qꝛ nõ contigit numerũ in inſintunati dabik ergo tandẽ ſuꝑparticulariũ maxima.at vtriuſq; oppoſitũ vt iam oſtẽſum eſt in müthll 4 accidebat.Quĩto dico qualibet ſuꝑpartiente eſſe maioꝛẽ.hoc ex coꝛrelario pᷣcedentis notu elt 8 4 dico omni ſuꝑpartiente eſſe minoꝛẽ. nam quacũq; data vtverbi cauſa ſuꝑbipartiẽte tertias ſumo ldẽ a totidẽ partibus:denominatis a maioꝛe numero quẽ nõ numerẽt: vt ſuꝑbiparttentẽ quitas a qꝛ a totidẽ minoꝛibus ꝑtibus denominat᷑:neq; pluribus erit minoꝛ ſuꝑpartiente data.qua ihybhe⸗ tiente quĩtas ſuꝑbipartiens ſeptimas minoꝛ eſt et hac ſuꝑpbipartiens nonas: ſicq; cõſequen dlentis mentum numeroꝝ inſinitũ: quod eſt ꝓpoſitum. Poteſt ⁊ id vltimũ oſtendi ex tertia patte b adiuuante quadꝛageſima nona huius.
c Queulbet due ſuppartientes coniũcte: pꝛopoꝛtionẽ quadꝛupla minoꝛẽ conſtuui,
¶ Sit inter a et h pꝛopoꝛtio ſuperpartiẽs: itidem inter b ⁊ c.dico pꝛopoꝛtionẽ᷑ a ad b etbad rfhu
minoꝛẽ quadꝛupla conſtituere pꝛopoꝛtionem. nam a eſt minus duplo bꝛ et b ſimiliter minus uabus go a ad cper quintam quinti eſt minoꝛ pꝛopoꝛtione qnadꝛupla:que per octauam huius
duplis conſtat.eſt ergo clarum pꝛopoſitum.
☚——

———————————— 4— “
VIIII b
¶ Datã pꝛopoꝛtionẽ que quadꝛupla minoꝛ ſit in duas ſuperpartientes diuidere.—
— dd Fdnac
¶ Sint date ppoꝛtionis minimi termini a et a b:qui coniuncti faciant d:ſitq; e maioꝛ d vno qui con⸗ iuncti faciant f:cui addatur equale d.ſitq; totus f gꝛducaturq; a in fget ꝓueniat h:⁊ ex ab in eũdem fiat hlꝛ l.paret igitur ꝙ ex b in fᷣ'g fit lꝛ l:et ex b in g fit lꝛ.quare ex b in ffit l. ſit item ctriplus ad a et ex c in g fiat mn:ſitq; n equalis lꝛ.per octauam ſecundi erit pꝛopoꝛtio h lilꝛ ad h tanq; ab ada. ⁊ quia ab per hypotheſim eſt minus q̃ᷣ quadꝛuplũ a:eſt ergo b minus qᷓ; triplum a.quare minus qᷓ c.⁊ quia geſt equale d et n equalis g:conſtat m eſſe equalem vel multiplicem ad d per duodecimã pꝛimi. Item qꝛ d et e ſunt contra ſe pꝛimi:ergo per nonam tertij f erit ad vrrunq; pꝛimus.et per eandẽ f et g ſimul ad d pꝛimus.et qꝛ a eſt minoꝛ d ⁊ ad ipſum pꝛimus per eandẽ nonam: quod ſit ex a in fgſ cz h non nu merabitur per decimã eiuſdem ab d. et qꝛ d numerat lꝛ ⁊ d nõ numerat hꝛergo lꝛ per viceſimãtertiam pꝛimi nõ numerabit h.et quia f g maius eſt ꝙᷓ; triplum d:ergo maius erit h oᷓ n:maius ergo o lꝛ. erit ergo lꝛ partes h. et eadem ratione aꝛ a b eſt minoꝛ ⁊ pꝛimus ad f nõ numerabit f quod ſit ex ab in fg: ſcʒ hll.et qꝛ f numeratl: ergo l nõ numerabit h lꝛl:quare neq; hlꝛ. ⁊ qꝛ per nonã pꝛimil eſt quãtum lꝛ bis et b.⁊ n eſt equalis lꝛ et m equalis vel maioꝛ d ⁊ maioꝛ b et h maioꝛ in nꝛerit hlꝛ matoꝛl.erit igr lpartes eius.conſtat itaq; hlꝛ ad h eſſe ſuperpartientẽ ⁊hlꝛl ad hlꝛ etiam eſſe ſuꝑpartientẽ:in quas diuiſa eſt pꝛopoꝛtio que eſt inter a et a b:factumq; eſſe pꝛopoſitum.
¶ OQmnis multiplex ſuꝑparticularis addit ſuper ſimilcʒ multiplicẽ:ſuperparticularẽ anumero qui fit ex ductu numeri multiplicis in numerũ partis denominatã. 2 ¶ Sit b ad a pꝛopoꝛtio multiplex ſuperparticularis: ſitq; c ad a ſimilis multiplex. dico pꝛopoꝛtionẽ bad a advere ſuper pꝛopoꝛtionem cad aſſ uꝑparticularem denominatam a numero qui fit ex ductu numeri multiplicis in numerũ denominantẽ partis ſuperparticularis. Sit enĩ d quo abundat b ſuꝑ cet denominãs multiplicis ſit e ⁊ denominans ſuperparticularis ſit f:manifeſtũ eſt ergo ꝙ a erit in c ſecundñũ e: ⁊ d in a ſecundum f. fiat ergo gexe in fꝛ eritq; per viceſimãtertiam pꝛimi d in cſů ecundũ g. quare b continebit c et partem denominatã ab g. continet igitur pꝛopoꝛtio b ad a pꝛopoꝛtionẽ ſ uper⸗ particularem denominatã ab g numero qui fit ex ductu e denominãtis multiplicis in f numerũ deno minantem partis ſuperparticularis: quod eſt pꝛopoſitum.
¶ OQmnis multiplex ſuperpartiẽs cuius multiplicis numerus partes numerat:addit ſuper eandem multiplicẽ: ſuperparticularẽ ab vna partium denominata.
¶ Sit ꝓpoꝛtio b ad a ꝓpoꝛtio multiplex ſuꝑpartiens: ſitq; d numerus denominãs multiplicẽ ſcoͤm quẽ ſit ſumptus numerus partiũ b ad a.dico ꝓpoꝛtionẽ b ad a addere ſuper ſimilẽ multiplicẽ: ſuper particularẽ denominatã ab vna illarum partiũ. Sumo enĩ cad a ſimilẽ multiplicẽ. ⁊ qꝛ b maioꝛ eſt c: ſit f quo abundat b ſuper c.qꝛ enĩ f eſt partes a ſumpte ſcðm d et denominate ab a: ⁊ a eſt pars c deno minata ab d. et cũ ex d in a fiat cex f in a fiet c. eſt ergo f pars c denomĩata ab a.continet igitur b ad a
pꝛopoꝛtionem ſuperparticularẽ ſuper ꝓpoꝛtione c ad a denominatã ab vna paritum ſuperpartiẽtis: quod erat demonſtrandum.
¶ Multiplicẽ ſuperpartientẽ inuenire:que ſuper totã multiplicẽ addat ſuperparticu larem:cũ ſint numerus partiũ ⁊ numerus denoĩans multiplicẽ dati cõmenſurabiles.
¶ Pꝛoponit hec: ꝙ ſi dati numeri quoꝛũ vnus denoĩat multiplicẽ et alter eſt numerus partiũ ſimul multiplicis ſuꝑpartiẽtis: ſint adinuicẽ cõmenſurabiles inuenire multiplicẽ ſuꝑpartiẽtem que ſuper ſimilem multiplicẽ addat ſuꝑparticularẽ. Sint p̃mo a numerus denominãs multiplicẽ ⁊ b numerus partiũ dati cõmenſurabiles.ſitq; b numerus ſumptus ſcðm a et per pᷣcedentẽ factum erit ꝓpoſitum. Sint ſcðᷣo a ⁊ bcõmenſurabiles:ſed b ſit pars a et adiuuãte pᷣcedente ꝑviceſimãtertiam pꝛimi cõclu⸗ des ꝓpoſitũ. Sit tertio a pars b dicta ab c:ſumo quẽlibet numerũ maioꝛẽ a: quẽ tamen nõ numeret qui ſit dꝛet duco c in d et ꝓueniat e.⁊ qꝛcc in a facit b:erit e maioꝛ b.et qꝛ ꝑ ſeprimã ſecũdi h ad e ſicut aad det a nõ numerat d. igitur neq; b numerabit e.duco a in e ⁊ ꝓueniat f:cui adiuncto b fiat g. dico ergo gad e eſſe ſuꝑpartientẽ que querit᷑.nam g cõtinet e ſecundũ a et inſuꝑ b partes e. ⁊ qꝛ b eſt pars f ꝙ emultiplex ſit ad c:⁊ a in c faciat b.addet igitur gſuꝑ f multiplicẽ ad e denominatũ ab a:numerũ b eius partẽ:quod eſt ꝓpoſitum. uarto ſint a ⁊ b cõmenſurabiles:ſed neuter alterũ numeret.⁊ ſit c maximus eos numerãs:numeretq; c numerũ b ſcðm d.capio e quẽcunq; numerũ maioꝛẽ c: quẽ tamẽ c nõ numeret:quẽ duco in d et ꝓueniat f̊ qui erit maioꝛ bꝛneq; ab eo numerabitur.dico ergo vt in pꝛe⸗ cedenti parte ĩmediate mõſtratũ eſt: ꝓpoꝛtionem ſuꝑpartientẽ denominatã ab a ⁊ a partibus dictis abf̃ ſumptis ſecundũ numerum b:addere ſuper multiplicem dictam ab a:ſuperparticularẽ. hoc vt in
pꝛecedenti parte monſtratur: ſicq; totum conſtruitur pꝛopoſitum.* ¶ Multiplicẽ ſuperpartientẽ cuius multiplicis numerus et numerꝰ partes numerãs fuerint adinuicẽ pꝛimi: ſuper ſimilẽ multiplicẽ:ſuꝑpartientẽ addere neceſſe eſt.
¶ Sit a numerꝰ multiplicis et bh numerus partiũ ſuperpartiẽtis:ſintq; a ⁊ b numeri adinuicẽ pꝛimi
dico multiplicẽ ſuperpartientẽ denominatã ab a et partiũ b: ſuper ſimilẽ multiplicẽ addere pꝛopoꝛ⸗
tionẽ ſuperpartientẽ.ſit enĩ cdenominãs partes b manifeſtũ eſt c eſſe maioꝛẽ b:neq; b ipᷣm numerare
duco ergo a in c ⁊ ſiat d per viceſimãpꝛimam tertij b nõ numerabit d.addo igitur b ſuper d et fiat e:qꝛ
enĩ e continet c ſecundũ a.et inſuper partes c ſumptas ſecundũ b eſt pꝛopoꝛtio e ad cmultipłex ſuper
partiens denoĩata ab a et partium b.ſed ⁊ pꝛopoꝛtio d ad c eſt multiplex dicta ab a:et e addit ſuper d e2

—½““““ͤ
——— 2—— —————————— ————ü——.—
— ——
—= —
C
.— 8Z- 16 25 f 12, 15 — e 4 9 — b— 4 5 c 2 3 2 9 * 1 339 22 4 1 3 2
adc:ergo d ad e ſicut b ad c. cõtinet ergo d ſemel e et eius vnã ſimilẽ partem: ergo d et eſi
numerũ b qui monſtratus eſt partes d. conſtat itaq; ꝓpoꝛtionẽ multiplicẽ ſuperpartients ſgrs.. er partiũ b addere ſuper ſimilẽ multiplicẽ:vt ꝓponebat᷑ ꝓpoꝛtionẽ fuppartienranqs—. A
CSola ſuperparticulariũ ſeſqualtera multiplicẽ ſuperparticularẽ pꝛocreat. ¶ Eſto a ad b ſeſqualtera et b ad cſimiliter. manifeſtũ eſt ꝓpoꝛtionẽ aadc compoſitã eſſe exdꝛ—
ſeſqualteris et a continet b ⁊ eius medietatẽ que ſit dꝛet b cõtinet c ⁊ eius medietatẽ que ſit vuudus 1 per quintã ſecundi d ad e ſicut b ad c: ergo d continet e ⁊ eius medietatẽ. d ergo et eſimul tantä ut Jd óᷣtum c et vna pars dicta ab c.cõtinet ergo a numerũ c bis:et vnã eius partẽ.ꝙ a cõtineat c etd un 1 differentiã a ad c:quare due ſeſqualtere cõſtituunt multiplicẽ ſuperparticularẽ. Secundo oſe mes( nullã aliam ſuꝑparticularẽ duplicatã conſtituere multiplicẽ ſuperparticularẽ. et fũto abc Sadi 11 nales alie ſuꝑparticulares:vt ꝓpoꝛtio a ad cſit ꝓpoꝛtio a ad b duplicata. a cõtinet b et partem 9. N que ſit dꝛ:quequidẽ bis ſumpta minuit a toto aut ſeipᷣaʒ ſemel ſi eſſet tertia:aut bis ſi quartaaut 43 b ries ſᷣm ꝙ minoꝛ pars fuerit.et ſimilit᷑ h continet c ⁊ ſimilẽ partem eius que ſit e. et qr d ad b hl 4 ſunt qᷓ c.quare a ad c nõ eſt multiplex ſed et cũ d ⁊ eſint contra ſe pꝛimi vt ſupponimꝰ:d erenn tn nonã tertij eſt pꝛimus ad e.ſed et per vndecimã eiuſdẽ c etiam erit pꝛimus ad d et e ſimul. ergod 43 3 ſimul nõ numerabũt c.eſt ergo a ad cꝓpoꝛtio ſuꝑpartiens: quod eſt ꝓpoſitum. 6u
eie in al. I. e„. 1' ¶ Multiplex ꝓpoꝛtio in aliqͥt equales ꝓpoꝛtiones diſtribui non põt pᷣter mliiplics, l. ¶ Sit ꝓpoꝛtio a ad b multiplex que diuidatur in quotlibet ꝓpoꝛtiones equales ᷓ ſint aad: cad 66 ſ 1
et d ad b. qꝛ enim b ad d⁊ dadcet cada ſunt continue ꝓpoꝛtionales et b pꝛimus per hypothelimnn merat a vltimum:ergo per decimãtertiam quarti b numerabit d ſecundũ.quare ⁊ dnumerabucetx itidem a.diuiſa eſt igitur a ad b in ꝓpoꝛtiones multiplices: quod intẽdebatur.
¶ Nulla ſupparticularis ꝓpoꝛtio in aliquot equales ꝓpoꝛtiones eſt diuiſibilis. mm ¶ Sit a ad d qu elibet ꝓpoꝛtio ſuperparticularis:que diuidat᷑ ſi poſſibile eſt in ꝓpoꝛtiones equals ¹ i
a ad bꝛb ad cꝛet c ad d. capio e fg h ꝓpoꝛtiones in minimis terminis ꝓpoꝛtionis a ad bꝛet per equgm i pꝛopoꝛtionalitatẽ que pꝛopoꝛtio a ad d ea eſt e ad h.ſed a cõtinet d et eius partẽ: igitur et ectinebit 11 b et eius partẽ que ſit lꝛ:que ſi fuerit numerus cũ lꝛ numerabit h ⁊ etiã e.ergo h et e nõ eruntminii b quod per quintã quarti epugnat hypotheſi.alioquĩ ſilꝛ eſt vnitas eſt pars denoĩata ab h. addoadh ſ vnitatẽ: ſitq; cõpoſitus leritqʒ que pꝛopoꝛtio a ad d eal ad h.ergo per duodecimã quarti quot med 1 ꝓpoꝛtionales intercidũt inter a et d:totidẽ ⁊ interl et h ſola vnitate diſtãtes:qð eſt ĩpoſſibile.Ex hac 1 cognoſcit᷑ tonus in muſica qui ex ſeſq̃octaua ꝓpoꝛtione naſcitur:in duo equa parti nõ poſſe. ¶ Superpartientẽ pꝛopoꝛtione que duplicata ſuꝑpartientẽ conſtituat: inuenire. 6 ¶ Sumo quãlibet pꝛopoꝛtionẽ que minoꝛ ſit dupla quã per quinquageſimãquartã huius partioꝛin duas ſuperpartientes quarũ minoꝛ ſi dupletur efficietur pꝛopoꝛtio minoꝛ dupla:quare qualibetmul dr tiplice.que qꝛ per pecedentẽ nõ erit ſuperparticularis alioquin ſuperparticularis in duo equaſeta⸗ 1 retur:conſtat eam eſſe ſuperpartientẽ: factumq; eſſe pꝛopoſitum. 1 ¶ Multiplicẽ ſupparticularẽ q̃ ex duabꝰ ſuꝑpartiẽtibus equalibꝰ ↄponat᷑: repeie.; ¶ Sumo ſecundũ exigentiã decime octaui quadꝛatos a et b pᷣter pꝛimos quoꝛũ a addat ſuper duplũ p b vnitatẽ manifeſtũ eſt ꝓpoꝛtionẽ a ad b eſſe multiplicẽ ſuperparticularẽ.at ex illa decima faclle o⸗ 1 gnoſces pꝛopoꝛtionẽ lateris a ad latus b eſſe ſuperpartientẽ. ſumo ergo ſecun dũ exigentiã coꝛelani g quarte ſexti mediũ pꝛopoꝛtionale inter a et bꝛeritq; per tertiã eiuſdẽ ſexti pꝛopoꝛtio a adc tanqᷣ pu⸗(
poꝛtio lateris a ad latus b. quare conſtat pꝛopoꝛtionẽ multiplicẽ ſuperparticularẽ a ad b compoſti 1 eſſe ex pꝛopoꝛtionibus a ad cet c ad b duabus ſcʒ equalibus ſuꝑpartientibus:qð eſt pꝛopoſltů. 1
¶ Superpartientẽ inuenire que duplicata multiplicẽ ſuperpartientẽ conſtiuat. ⁰⁸
¶ Sit a quilibet impar et b pꝛoximus par maioꝛ cuius medietas ſit c. capio ſi uperpartiente ſumpt a partibus denominatis ab a ⁊ numeratis ab c:quami duplicatã dico eſſe petitam. nam ſiillainſedu 1 catur pꝛoueniet numerus et partes numerate ab a ⁊ a quadꝛato c qui ſit e:et denominateaquadꝛato a qui ſit d. ſed cum a ⁊cſint contra ſe pꝛimi alioquin a et b cõmunicarẽt.ergo pervndecimã tertija eſt pꝛimus ad e:⁊ per nonã eiuſdem a et e ſimul ſunt pꝛimus ad a.quare a et e ſimul per vndecima eiuldẽ ſunt pꝛimus ad d. ergo partes numerate ab a et e nõ numerabũt d. quare ꝓpoꝛtio ſuperparties que aſſignata erat duplicata cõſtituit multiplicẽ ſuperpartientẽ. Ai ſi hec demoͤſtratio tibiluboſcurs 6
detur pꝛo hac ⁊ ſequẽtibus declarationẽ accipe.qꝛ enĩ in pꝛeſenti ſuperpartiẽs inuenta erat üudans 1 partiès tertias que denominat᷑ ab vno ⁊ duabus tertiis. duc ergo denominationẽ ſuperbipanttns tertias per octauã huius in denominationẽ ſuperbipartiẽtis tertias ſcʒ ducẽdo pꝛimo duas ter Jk in duas tertias.et per quartã huius pꝛoueniũt quattuoꝛ none.ſecũdo duas tertias in vnũ 1 Pucunt b due tertie.tertio vnũ in duas tertias et iterum pꝛoueniũt due tertie.⁊ quartovnũ in vnum: eeuene vnum:habebiſq; quattuoꝛ nonas duas et duas tertias ⁊ vnũ:ſed due ⁊ due tertie:id quattuortes faciuntvnum integrũ etvnam tertiam:quodquidẽ vnum alteri vni additũ conſtituit bivarmnen dr
tertia eſt tres none:quod per ſecundã huius facile cognoſcas.que ſiquidem tres none aliis 1 Mrnh
nonis pꝛimo inuẽtis addantur fiunt ſeptem none. Patet itaq; pꝛopoꝛtionẽ ſuperbipartient ens: m duplicatam: conſtituere duplam et ſuperſeptupartientẽ nonas que eſt multiplex ſuperpar
pꝛoponebat pꝛopoſitio: quod eſt pꝛopoſitũ declaratum.

——————— 7—“
VIIII ¶ultiplicem ſuperparticularem inueſtigarc: que multiplicem ſ uperparticularem duplicata pꝛoducat.
¶ Capio a numerũ quẽcunq; quem duco in ſe ⁊ pꝛoueniat b cui addo vnitatẽ:ſitq; totus c manifeſtũ eſt pꝛopoꝛtionẽ c ad aeſſe multiplicẽ ſuperparticularẽ:que ſi in ſe ducatur eſt tãtum qᷓ;tum ain ſe⁊x im partẽ bis et pars in ſe:ſed a in ſe ⁊ in partem bis numerũ pꝛoducit: et pars in ſe pꝛoducit partẽ. igif quod pꝛoducitur eſt numerus et pars. erit itaq; pꝛopoꝛtio compoſtta multiplex ſuperparticularis. Poſſes item pꝛobarevt quinquageſimãnonam huius.—
¶ Multiplicem ſuperparticularem inquirere:que bis ſumpta multiplicem ſuperpar nentem componat. ¶ Sit quilibet impar a et b pꝛoximus par ⁊eius medietas ſit c.ſumo multiplicẽ ſuperparticularem b cuius multiplicis numerus ſit c et pars dicta ab a.que pꝛopoꝛtio ſit d ad e: dico pꝛopoꝛtionem multi b plicem ſuperparticularẽ d ad e bis ſumptã conſtituere multiplicẽ ſuperpartientè. nam ſi hec in ſe du⸗ catur ꝓueniet quadꝛatus c et partes ſimiles ſumpte m b ⁊ pars a quadꝛato a dicta. ille autẽ partes vnum conſtituũt et vna ſuꝑfluit cũ illa.et qꝛ ille due partes per duodecimã huius vnã non cõſtituunt pꝛoductum erit numerus et partes.quare pꝛopoꝛtio compoſita erit multiplex ſuperpartiẽs.⁊ in pꝛo⸗ vpoſito eſſet quincupla ſuperquadꝛipartiens nonas. ¶ Multiplicem ſuperpartientem perſcrutari: que duplicata multiplicem ſuperparti⸗ cularem componat. o ¶ Sumo per ſexageſimãtertiam huius ſuperpartientẽ que duplicata multiplicẽ ſuperparticular⸗ cõponat et numerꝰ denominãs partes ſit a ⁊ numerãs ſit b et vno maioꝛ ꝙᷓ a ſit e: atq; c ducatur in a: et pꝛoducto addatur b.ſitq; totus d manifeſtũ pꝛopoꝛtionẽ d ad a eſſe multiplicẽ ſuperpartientẽ cuiꝰ numerus denominãs multiplicis eſt c et denominãs partiũ eſt a ⁊ numerus earũ eſt b:quã duplicatã dico eſſe mu tiplicẽ ſuperparticularẽ. nam denominatio ipſius in ſe ducta pꝛoducet numerũ et partẽ quod vt in pꝛecedentibus videre pꝛomptum eſt. ¶ Multiplicem ſuperpartientem: ex qua geminata multiplex ſuperpartiens pꝛouc⸗ mancha mat: dcmum reſtat inſpicert. b 4
¶ Queratur per ſexageſimãſecundam huius ſuꝑpartiens que geminata multiplicẽ ſuperpaꝛtientẽ conſtituat: qua inuenta vt in pꝛecedente pꝛocedendũ eſe.
¶ Datam pꝛopoꝛtionem in pꝛopoꝛtiones: quarum quotlibet ſint ſuperparticulares cquales redigere... 12eg..147 ef2, ¶ Sint minimi termini date ꝓpoꝛtionis a et bꝛ ſitq; c numerus ſᷣm quem ſi umẽde ſunt ſuperparticu lares equales. deinde maioꝛ c ducatur in a et in b ⁊ fiant d et eꝛ ita tamen vt intend ⁊ e ſint plures nu meri qᷓ; vnitates in c et ꝓximus poſt d qui erit maximus eoꝛũ ſit f.manifeſtũ eſt ꝓpoꝛtionẽ f ad d eſſe pꝛopoꝛtionem ſu Pervardieulare ⁊ minimã omnium que continue ſunt inter numeros ab d vſq; ade: ꝛ denominata eſt a minoꝛe parte. continuo pꝛopoꝛtionẽ f ad dvno plures qᷓ; ſit numerus c:ſintq; gh hlm:eritq; pꝛopoꝛtio h ad m compoſita ex ꝓpoꝛtionibus f ad d ſumptis ſecundũ numerum c.⁊ quia d per decimãnonam tertij eſt aliquoties in h ſit e toties in n manifeſtũ eſt had n eẽ vt dade. quare vt a ad b. conſtat ergo pꝛopoꝛtionẽ a ad b eſſe diuiſam in ꝓpoꝛtiones quarũ aliquot ſumpte erunt equa les ſuꝑparticulares ſecundũ numerum aſſignatũ: quod eſt pꝛopoſitũ.
¶ Pꝛopoſitis quotlibet C qualibus terminis er Ulis totidẽ in oꝛdin e duplos atq er us tmplos pꝛocrcare: atq; ex pꝛius mnuètis totidẽ in pꝛoxima multipuicitate cõtinue
Ppoꝛtionales pꝛoducere. itemq; ex illis ſimiles elicere ſuperparticulares. — CFigura equalitatis quotcumq; terminorum equalium.
s menianus————— — eninoceſs SE 1AAR ERE e ee s —— LEgqualitas 14. 4—
11 11 II. II Il Iltes. 1. 11 1 ——nns 1 3I 9I 27 811 2433 13 9 171 89 2431 725
—
Suaoeupli rſ-*. 12-24.155104— 1. 15. 4.'s 1024 439 Seſdlteri. E 328- 489 à721108] 162-24364 261144] 216]/1324 486‧—222. J143 324 43211576176811024= ſ 729 97²1 a12281 2304
24140272[4,095 eſdarti.[ ſioz4 1280 1600/1000]/ 2500]1 3125— 4096,/S120[54008000 10000712500,17625 —ILbRKRELLEIELAAEKRLTILaAS

———
¶ Pꝛecepta ſunt hec. CZuna
1 Pꝛimum.. 2 Pꝛimum/ ſecundu. 3 Pꝛimũ ſcðʒ bis:ttiũ
[AI I que l li⸗ 31 3
Dupli· B I1 1 4 l 4. 8 Tripli.[EII 3 2 21. C6. 1.. 35 2 Auadꝛupii EN 28LB n 48 Dupli cõuerſi:[E 4 21 I 1 31 42 12 6 z— Seſqualteri.[ 41. 52[81 121 18 121 181 27 Tripli cõuerſi. 52lI. 1.11 18 6 1277 91 Seſquiterti. 2 12. 16] 18241 32 3 Muadꝛupli cõuerſi. 7 16 4 3 3 5 2 n 74 Seſquiquarti. 1 16 20] 25 32 80[48 60 75 64 g,
I DR mu nt
— EAE— 2
¶ Pythagoꝛici/ Magi-/ Pꝛiſci ſacerdotes atq; qui pᷣcipue de rebus agunt diuinis admirãtur equa⸗ litatẽ pariter ⁊ trinitatẽ in ſ uis archanis in imagine numeroꝝ venerãtur taciti: tanq́; rerum omniß pꝛĩcipia:a quibus oĩs rerũ pꝛofluit ꝓpoꝛtio: ꝓpoꝛtionũ nexus: oĩſq; admirabilis harmoniaet in que tandẽ reuocatũ eunt oĩa. Pꝛopter ergo myſteria pꝛiſcoꝝ qð autoꝛ generalius intẽdit:pꝛimũ in trina demõſtrãdum ẽ equalitate.ad qðᷣquidẽ rite peragendũ tria ſatis ſunt vbiq; veteꝝ pᷣcepta a Piuo noh ãnotata Seuerino. Pꝛimũ eſt: Pꝛimũ· Scðm eſt: Pꝛimũ/ ſedᷣm. Tertiũ eſt: Pꝛimũ/ſcðm bis /tertiũ
Sint ergo a op tres termini equales quicũq; vt monadũ /dyadũ/ triadũ aut cuiuſcũq; alterius nueri
voles.Atoꝛ pꝛimo pᷣcepto capioq; pꝛimã vnitatẽ quã colloco ſub pᷣma ſitq; b.deindevtẽdo ſedo bcepto capio pꝛimã ⁊ ſcðam ſimul:quas colloco ſub ſcða.ſintq; m etvtẽdo tertio pᷣcepto:capio pꝛimã ⁊ ſcd bis:et tertiã ſemel: quas colloco ſub tertia ſintq; n.dico bm n ↄtinue ex equalitate natos duplos.ã cũ a pꝛima vnitas ⁊ b ſint idẽ:et pꝛima et ſcðᷣa vnitas ſint duplũ ad pꝛimã vnitatè a etpma i ſecundz vnitas ſint m:ergo nũerus m duplus ẽ ad bꝛet cũ ſcðᷣavnitas bis ſũpta equet᷑ m et ſilr pꝛima ⁊textia ſumul equentur mꝛn ſit ſcðᷣa vnitas bis et pᷣma ⁊ terria ſemel. ergo n duplus eſt ad m. ſunt igik bmn ↄtinue dupli ab equalitate ſcʒ quẽadmodũ dictũ eſt ꝓxime geniti. ¶ Potes idẽ mõſtrare yviccſimi et ſextã ſecundi. Nã qꝛ ald o:vt o ad p.ergo ꝑ vic eſimã ſecundi o et pada ⁊ovto ada.et qꝛoꝛpad et oꝛſicut o ad a.ergo ꝑ ſextã eiuſdẽ ſecundi o p et a o:ad a ⁊oſicut o et aad a.atop et ao ſimulſuntn et a ⁊o ſunt m et a eſt idẽ b· igiẽ b in n cõtinue ꝓpoꝛtionãtur:ſed mn ad b cognitveſt duplus igik etnad mduplus.Et in oibus ſequẽribus hic argumẽtandi modus ẽ efficax.Et ãcunq; trina capiet᷑ temnioꝝ equalitas: eadẽ valeãt argumẽta. ¶ Scðᷣo dico ex bim n duplis cõtinue ꝓcreari triplos. capio equale b et colloco ſub b in tertia linea ſitq; c.deĩde capio bim ſi ⁊ colloco ſub in ſintq;m tertie linee rurſum capio bin bis et n ⁊ colloco ſub n: ſitq; ſuo modo n. dico c in n tertie linee eẽ triplos. Nãper viceſimã ſcði adiuuãte ſexta eiuſdẽ c n ſunt cõtinue ꝓpoꝛtionales:ſed et qꝛ c equatur b ⁊ m ſupius duplusẽ ad bꝛigit᷑ b et m ſuꝑius ſunt triplus ad b.ſed b ⁊ mſuperiꝰ ſunt m ĩferius:igit᷑ inferius m ad cmmiybe quare n ad idemm etiã triplus.ſunt igit᷑ cm n cõtinue tripli.et eiſdẽ pꝛeceptis ⁊ demõſtrationib)e triplis naſcẽtur quadꝛupli.ex quadꝛuplis quĩcupli.⁊ ex cõſequẽtibus hoc pacto multiplices oẽs qu libet ex ꝓximo minoꝛe. ¶ Tertio dico ex multtplicibꝰ cõtinue naſci ſuꝑparticulares.vt ex duplich⸗ ſeſqualteri ex triplis ſeſqͥtertij.ex quadꝛuplis ſeſq quarti.⁊ ita ↄſequẽtes ſuꝑparticulares per oꝛdiẽ
ex naturalit᷑ ↄñtibus multiplicibꝰ. Cõuerto duplos qͥ reperti ſunt:ſintq; conuerſi e m nꝛeritq;eadm
duplus et m ad n duplus:quare m dimidiũ e.Capio equale e qð ſitf ⁊ colloco ſub e.deinde capioem ſimul et colloco inferius ſub m:ſintq; m ĩferius.rurſus capio e m bis ⁊ n ſimulꝛet colloco inferiꝰſubn ſiniq; itidẽ inferius n.ꝑ viceſimã ſecũdi adiuuãte ſexta eiuſdẽ fm n cõtinue ꝓpoꝛtionãtur.ſed clerf equẽtur et m ſit dimidium e:ergo em ſimul cõtinet totum e ⁊ dimidiũ.quare e m ad e per diffinitonẽ ẽ ſeſqualt᷑ ſed em ſimul ſunt m ĩferius.ergo mn inferiꝰ eſt ſeſqualter ad f.quare ⁊ n adm eti ſeſqualt qð eſt ꝓpoſitũ.et ita eiſdẽ pꝛeceptis expedi de ſeſqͥtertiis/ ſeſqͥ quartis /ſeſquiquitis ⁊ reliq luppart cularibus cõuertẽdo terĩos ſuaꝝ multitudinũ. Nunc idẽ ſupereſt demõſtrandũ qð auto: intedit um ptis quotcũq; termĩs· Quotqͥt ſumpti fuerĩt termini equales:dupli cõtinue naſcẽtur ſicotinuatſrite vtamur ſuꝑioꝛibus pᷣceptis.pᷣmo quidẽ capiẽdo pꝛimũ terminũ et collocãdo ſub pꝛimo.ktſcdocapi⸗ endo pꝛimũ et ſcðm ⁊ collocãdo ſub ſecũdo. Et tertio capiendo pꝛimũ ſcðm bis et tertileet collocdo ſub tertio.deĩde intelligẽdo tertiã quartã et quintã equalitatẽ cõtinue ſumi ᷣm numen terti extremi ſubter collocati.et reſume pᷣcepta pꝛimo capiẽdo pꝛimũ terminũ trine equalitatʒ ⁊ collocidoſub ktio imo iam collocatũ reperies. Secũdo capiẽ do pꝛimũ et ſcðᷣm⁊ collocãdo ſub quarto.Et tertio caplẽdo pꝛimũ ſcðm bis et tertiũ ⁊ collocãdo ſub quĩto.et ſecundũ numey illius quinti termĩ ſubter collocati intelligo iterũ cõtinue tres terĩos equalitatis ſcʒ quintũ ſextũ et ſeptimũ.et reſumptis pceptis eum quinto iam habito:perficio ſextũ et ſeptimũ inferioꝛes termĩos et ſecundũ exigentiã ſeptimi extreni intelligo rurſum trine equalitatis termĩos: ſcʒ ſeptimũ octauũ et nonũ et a ſingulo quoq tertioloco cõiunctim trinã equalitatẽ intelligo cuius quilibet terminus intelligit᷑ ſecundũ numeruũ extremi 1 ſingulo quocʒ; loco ſubter veniẽtis.et ſi id placet in infinitũ extendi libet.⁊ dico cõtinue collocatose duplos.id reſumptis demõſtrationibus quoties erunt reſumpte equalitatũ trinitates:ſicut et üuho rioꝛa facillime demonſtrabis. Si cupis triplos eodem ferme modo naſcẽtur de duplis. Idſolum 9 ſeruandũ eſt vt in tertiis quibuſq; locis cõiunctim capiant᷑ termini triploꝛũ a tribus duplis qui na

————.——— ee“
VIIII cuntur ex trina equalitate terminoꝛũ ſumptoꝛum ſecundũ numerũ tertij cuiuſq; extremi triploꝛum.
⁊ quadꝛupli cõſimiliter a triplis acceptis cõtinue tribus triplis ſecundũ exigentiã equalitatis tertij extremi triploꝛũ et hac analogia in conſequẽtibus multiplicibus. Et ſ eſqualteri/ſeſquitertij/ſeſqui⸗
quarti ⁊ conſequẽtes naſcentur cõuerſis duplis/triplis/ quadꝛuplis et conſequẽtibus ſumptis ſimili obſeruantia duplis conuerſis triplis quadꝛuplis et reliquis quoties opoꝛtet a trina equauitate: ſed quoꝝ multipliciũ conuerſoꝛũ pꝛimum atq; maximũ extremoꝝ equetur ſingulo quoq; tertio ſuꝑparti
culariſ etvbiq;vt in pꝛecedẽtibus eſt idem demonſtrandi modus.
Datis ſuperparticularibus vel mulnplicibus ſuꝑparticularibus multiplices ſuper
particulares et ſuperpartientes:datisvero ſuperpartientibus aut multiplicibus ſuꝑ- partienubus ſuperpartiẽtes et multiplices ſuperpartiẽtes pꝛocreare.
¶ Sint a d cſuꝑparticulares termini et ſumatur a ſemel ⁊ ſit e pꝛimus numerus et a ſemel⁊ b ſemel et ſit f ſecũdus numerus ⁊ ita ſecundũ trine pꝛofectionis pꝛecepta vt in pꝛecedẽti factũ eſt et ꝓueniãt def qui vt in pꝛecedẽti erunt continue ꝓpoꝛtionales.at per decimãoctauam huius pꝛopoꝛtio e ad d eſt multiplex ſuꝑparticularis:igit᷑ et f ad e.erunt igitur cõtinue d e fmultiplices ſuꝑparticulares.et eodẽ modo ex multiplicibꝰ ſuꝑparticularibꝰ naſcẽtur multiplices ſuꝑparticulares. Si vero cõuerſis terminis ab c incipias per eandẽ decimãoctauã huius pꝛoueniẽt cõtinue ſ uperpartiẽtes.ſicq; conſtat pꝛimũ. Secũdum vero eodẽ modo patebit per decimãnonam huius dato oꝛdine ſuperpartientiũ aut multipliciũ ſuꝑpartientiũ.nam ſi aggregatioa minoꝛi incepta fuerit per dictã decimãnonam pꝛoue⸗
nient multiplices ſuꝑpartientes. ſi a maioꝛi termino:pꝛoueniẽt ſuꝑpartiètes: ſicq; conſtat ꝓpoſitum- ¶ Ex duabꝰ vltimis cõcluſiõibꝰ colligẽ potes.Ex eq̃litate ꝑxime naſci duplos.Ex duplis triplos.Ex
triplis qᷓdꝛuplos:⁊ hoc pacto de reliqs multiplicibꝰ ↄſequẽter.Et ex multiplicibꝰconuerſis naſci ſuꝑ particulares:vt ex duplis ſeſ qualteros. Ex triplis ſeſquitertios: et ita de cõſequẽtibus ſuꝑparticula ribus ex ſequẽtibus multiplicibꝰ.Et ex ſi uꝑparticularibꝰ multiplices ſuꝑparticulares:vt ex ſeſe qual⸗ teris duplos ſe eſqualteros. Ex ſeſdtertiis duplos ſeſqͥtertios:et hũc in modũ de reliquis. Ex multipli cibus ſuꝑpariicularibꝰitidẽ multiplices ſi uꝑparticulares: ſed ex duplis ſuꝑparticularibus tripli ſuꝑ particulares. Et er triplis ſuꝑparticularibꝰ quadꝛupli ſuꝑ particulares. Ex ſupparticularibꝰ et mul tiplicibus ſuꝑparticularibꝰ cõuerſis ſuꝑpartiẽtes:vt ex ſeſ qualteris ſupbipartientes. Ex ſeſqͥtertiis
ſuꝑtripartiẽs.Ex duplis ſeſqualteris ⁊ ex duplis ſeſqͥtertiis cõſttr ſ upbipartiẽtes et ſuꝑtripartiẽtes
Ex ſuꝑpartiẽtibus multiplices ſuꝑpartiẽtes:vt exſi uꝑbipartiẽtibus duplasruꝑbipartiẽtes. Ex ſuꝑ⸗ tripartiẽtibus duplas ſuꝑtripartiẽtes. Ex multiplicibꝰ ſuꝑpartiẽtibus:itidẽ multiplices ſuꝑpartiẽ⸗ tes: ſed ex duplis triplis aut quadꝛuplis ſuꝑpartiẽtibus:tripli quadꝛupli aut quĩcupli ſuꝑpartiẽtes. Ex cõuerſis ſi uꝑpartiẽtibus aut multiplicibꝰſuꝑpartiẽtibus:naſcũtur f uppartiẽtes.Et ex tribus pꝛe ceptis hec vbiq; latiſſime patẽt.⁊ expꝛeſſa qᷓᷓtũcunqʒ voles longa ſ erie:ſuꝑparticulariũ cõtinue ꝓpoꝛ tionaliũ ſi cõtinue tria pᷣcepta tribus ⁊ tribus termĩs ſeriei aptãdo ꝓcedis:naſcẽtur multiplices ſuꝑ⸗ particulares ſed ſolũ per tres et ꝑ tres cõtinue ꝓpoꝛtionales.et eodẽ pacto conuerſo oꝛdine naſcẽtur ſuꝑpartiẽtes ſed ſolũ in tribus ⁊ tribus terminis cõtinue ꝓpoꝛtionales. at de hið hactenus.
¶ Datas ſuperparticulares in multiplices atq; eaſdem in mĩoꝛes multiplices donec ad equalitatem perueniant:reducere.
Id aladuertere licet Phoꝛtiones in illas tm̃ reſolui ex qͥbus pꝛocreãt᷑. Quo fitvt in oĩbus idẽ reſol uendi modus appeat:in qͥbus idẽ erat modus ꝓcreãdi.Sint a bc dati termĩ ↄtinue ſuꝑparticulares et ſit d equalis a ⁊ ᷣmus nũerus: et ab b tollat᷑ d ⁊ remaneat e ⁊ de ctollatur d et e bis ⁊ remaneat f.
dico d e f eſſe cõrinue ꝓpoꝛtionales et multiplices.ꝙ ſint cõtinue ꝓpoꝛtionales declarat᷑. capio enĩ g
hlꝛ tres terminos in cõtinua ꝓpoꝛtione d ad e: qͥ ex illis ſ uperioꝛi aggregãdi modo ꝓueniẽt erunt ex
bcedẽtibus cõtinue ꝓpoꝛtionales et ſint im n. et qꝛ l ad g ſicut a ad d ⁊ mad h ſicut b ad e.⁊ ita ↄñter
igitur d ef ſunt cõtinue Ppoꝛtionales.et qꝛ b ad aꝑ hypotheſim eſt ſuꝑparticularis ꝑ decimãſextam huius erit e ad f ſimilis denoĩationis multiplex. quare ſuꝑparticulares date: ſunt in ſuas mĩtiplices reducte.ſi itaq; ſuperparticulares date erant ſeſquitertie reſolute ſunt in triplas ſi ſeſqualtere in du⸗
plas ꝙ ſi reduete ſint in triplas eodẽ modo quo pꝛius adiuuante ſeptuageſima huius pꝛobabis illas
multiplices reduci in duplas et duplas in equalitatẽ: quod eſt pꝛopoſ itum. ¶ Multiplices ſuperparticulares in ſuperparticulares:⁊ multiplices ſuperpartiẽtes
in ſuperpartientes reſoluere.
¶ Sint a b etres kmini multiplices ſuꝑparticulares.et d equalis aiq; ſubſtrahat ab b ⁊relinquatur
e ⁊ eo mõ quo in pꝛecedẽti ſubſtrahãtur. ſi b ad a erit multiplex ſuꝑparticularis vtrĩq; ab eodẽ nñero denoiatus ꝑ quadꝛageſimãpꝛimã huius factũ erit ꝓpoſitũ.et ita de ſuꝑpartiẽttbus. At ſi multiplex
it maioꝛis denoĩationis nõ ſiet hoc ᷣma reſolutione: ſed reſoluemꝰ pꝛimo in multiplices vno minorj
41 Supparticulares
[4[10
2Multiplices ſun
Alb
c particulares
denoĩationis denoĩatione partis ſemper eadẽ manente:donec ad hoc veniamusvt eadẽ᷑ ſit denoĩatio
multiplicis et partis ſieq; quod ꝓponitur facile apparebit.
uallibet ſuperpartientes in ſuperparticulares reduci eſt poſſidle. Mam qꝛ per ſeptuageſimãpꝛimam huius ſuppartientes ex ſupparticularibus naſcũtur. ideo ſint ab chuiuſmodi ſuperpartiẽtes ⁊ d equetur a:ſubſtrahaturq; d ab b et relinquat e ⁊ det e bis ab c: et relinquatur f ⁊ venient per illam ſeptuageſimampꝛimam ſuperparticulares a quibus naſcebantur.
at non opoꝛtet id ſemper in pꝛima reductione contingere quod tamen nunc cõtingebat. ſed aliquãdo
reſoluẽtur pꝛima reſolutione in multiplices ſuperparticulares que per pᷣ 5 particulare Saer 3 41 per pᷣcedentẽ in ſupparticulares tandẽ reducent᷑:quo facto factũ erit pꝛopoſitũ · liqñ in ſuꝑpartiẽtes aut multiplices fuꝑpartientes
e4
& 6 5 —

e e he e n hee 8 4 2 1 2 .— “ 3— 2
ſbͤſͤſſͤſ“
4 tee— 8 4 5 e
et multipler fuꝑpartiens per p̃cedentẽ reducik in ſ uppartientẽ que iten reducetur in lugpannialne etractore infinitũ fieri non põtvt ſemꝑ in ſuꝑpartiẽtes reſoluatur aliꝗñ occurret ſupparticularis facrsactioin
rebit pꝛopoſitũ.Occurret dico tandẽ ſuperp articularis et nõ multiplex:qꝛ ex multipliclbus udn 5
vt ſi detracto d de b remaneat e quẽ contineat d et eius partes: vel in ſupparticularẽ ſi eod maneat e quẽ contineat d et eius partẽ.at ſi remaneat e quę contineat d et partes.qꝛ illa de
diate ſuꝑpartientes ſed ſuperparticulares per ſeptuageſimã huius gignũtur. ¶ Datas pꝛopoꝛtiones quaſcunq; ad equalitatem reducere. b
¶ Mam per ſeptuageſimãtertiam huius multiplices ſuppartientes reducũtur in ſuperpartiẽtes e-
multiplices ſupparticulares in ſuperparticulares ⁊ per pᷣcedentẽ ſuꝑpartiẽtes in ſupparticulares
et per ſeptuageſimãſecundam huius ſ uꝑparticulares reducũtur in multiplices et młtiplices in aliao
multiplices donec in equalitatẽ reſtitute ſint. omnes igitur in equalitatẽ reducũtur. Moni elemẽtoy Brithmetices Joꝛdani finis.
Edietas eſt connectio extremoꝛũ: habitudine vtriuſq; ad mediũ. Hedie.
tatum quedam ſunt pꝛincipales: et quedam pꝛincipalibus collaterales. Pꝛincipales ſunt tres. Pꝛima eſt quãdo maioꝛis /medij/ ac minoꝛis cou⸗
les ſunt differẽtie.et hec dicitur Arithmetica medietas. Secũda cſt quzdo
maximi ad mediũ eadẽ eſt pꝛopoꝛtio:q̊ medij ad minimũ.et hec geometnca yocanur Tertia eſt qñ maximi ad minimũ eadẽ cſt ꝓpoꝛtio: que dꝛĩe maximi ad mediũ ad dif ferentiã medij ad minimũ. et hec muſica nücupatur. Collaterales ſunt octo. Pama eſt qñ maximus ad medi ſicut dꝛĩa minoꝛũ ad differentiã maioꝛum. Scda eſt qime dius ad minimũ:ſicut dꝛia minoꝛũ ad differẽtiam maioꝛũ. Terna eſt qñ maximusad mediũ ſicut dꝛia extremoꝛũ ad differentiã maioꝝ. Quarta eſt qñ medius ad mininũ ſicut dꝛĩa extremoꝛũ ad differẽtiam maioꝛũ. Quinta eſt qñi medius ad minmũr ſicut differẽtia extremoꝝ ad differentiã minoꝛum. Sexta eſt qñ maximus ad minunũtſiau differẽtia minoꝛũ adeoꝛiam maioꝛũ. Septima eſt qñ maximus ad minimũ: ſicut diig extremoꝛũ ad differentiã maioꝛum. Octaua eſt quando maximus ad minimũt ſian differentia extremoꝛum ad differentiam minoꝛum. G
† minoꝛ pꝛopoꝛtio q́; medii ad minmmum. △2 ¶ Sint a b ctres nuneri in arithmetica medietate diſpoſiti quoꝝ maximus ſit a:dico a ad bminoꝛẽ 7— eſſe ꝓpoꝛtionẽ qᷓ; b ad c.nã per diffinitionẽ a ad b et b ad cequales ſunt dꝛie:qꝛ igitur a ⁊ b ſunt vtc⸗ eee poſiti exb et cipſis additis numeris equalibus ſcʒ differentiis eoꝛũ. ergo per decimãſextam ſecundi ꝓpoꝛtio a ad b minoꝛ erit pꝛopoꝛtione b ad c: quod eſt pꝛopoſitum. b
3 WHamp diffinitionẽ pꝛimi ad mediũ et medij ad extremũ equales ſunt dꝛĩe: igitur b ſecundã pꝛim medius eſt extremoꝛũ coniũctoꝝ medietas.duplicatꝰ igitur equat᷑ extremis ↄiũctis: qd eſt ppoliti
¶ In cadẽ medietate quod ſub extremis continetur cum quadꝛato difkerẽtie equale;
— eſt quadꝛato medii. b
¶ Mam per pꝛemiſſam duo extremi ſimul ſunt tanqᷓ duplus medij. Ponat᷑ ergo duplus medſ aͤſit d diuiſus p duo equalia quoꝝ medius eſt vnũ:⁊ per duo inequalia qͥ ſint a c extremi: ety deennan pꝛimi erit quadꝛatus b vnius equalium qᷓtum quod ſit ex a in ccum eo quod fit ex differetia aa
differentiã b ad c.at qꝛ differentie ille ſunt equales: tantum ergo erit quadꝛatũ medij bqᷣtum qu cõtinetur ſub extremis a ⁊ ccum quadꝛato dꝛie medij ad extremũ: quod eſt pꝛopoſitũ.
In eadem quoq; medictate quadꝛata extremoꝛum: duplum ſunt quadiatom
et quadꝛato differentic. verdne ¶ Sint a d enumeri in hac medietate diſpoſiti:ſitq; d quadꝛata a et c.dico d duplũ eſeg eend dũᷓ ⁊ quadꝛato dꝛĩe ſimul. Sit enĩ f qð ſit ex a in c bis ⁊ quadꝛata b meduᷣ bis ſint eiqꝛ enipe Vnn huius a et c cõiuncti tantũ ſunt qᷓᷣtum duplus b.et per decimãquintã pꝛimi d ⁊ f ſimult b pan quadꝛatũ totius a c:ſed ⁊ per eandẽ decimãquintã e erit medietas d ⁊ f ſumul. igik per ſecu mRinterd ſecũde pꝛimi e ad d ⁊ad fequales ſunt dꝛĩe.igitur per diffinitionẽ e hac medietate hedſe⸗
44 adfec igitt rint 9t 4 it ſuper et f.⁊ qꝛ per pᷣcedentẽ qð ſit ex a in cſemel cũ quadꝛato dꝛĩe tantũ eſt qᷓtum b ieſe ſai veku d.
qð eſt pꝛopoſitũ ·
4 3
duplũ quadꝛati dꝛĩe:quare ⁊ dtantum addet ſuꝑ e.quare ⁊ duplũ quadꝛati di igitur quadꝛatus b qͥ eſt medietas e cũ quadꝛato differẽtie b ad a eſt medietas d:
3 ¶ Trium numcroꝝ in hac medietate diſpoſitoꝝ duobꝰextremis datis: ¶ Sint a b duo extremi in hac pꝛopoꝛtione:illos ſimul addo atq; aggregati ſumo med fecundam huius erit medius petitus:factumq; eritpꝛopoſitũ.
7 b
letatẽ que per
C Si fuerint tres numeri in arithmetica medictate diſpoſiti:erit maioꝛis ad medum
10 ¶ In eadẽ medietate duo extremi cõiuncti tm̃ reddunt: qᷓʒtum medius duplicaius.
edi 4
mediũ repite.

—
“.————*.— ç—“ 8
X
¶Si pᷣm ꝓpoꝛtiõcm medii datoꝛũ numeroꝝ ad driam: ſumãtur tres nũcri in eadem medietate: erit medii illoꝝ ad differẽtiam:que inter extremos pᷣ̃aſſignatoꝝ ꝓpoꝛtio.
8
¶ Sint ab ctres numeri in Brithmetica medietate quoꝝ maximus ſit a. et ſit d differẽtia a ad cꝛet e medietas que eſt differentia a ad b ⁊ differentia b ad c.ſumo item in eadem medietate numeros fgh
quoꝝ extremoꝝ ſit ꝓpoꝛtio tanꝗ́; b ad e:ſitqʒ f maximus.dico gad differẽtiam f ad g ãᷓ ſitl eam ꝓpoꝛ
tioneni eſſe que a adc. capio enĩ differẽtiam fiad h ᷓ ſit kꝛcuius medietas ſit l.et cõpoſitus ex fet h ſit m.qꝛ enĩ per hypotheſim b ad e tanꝗᷓ fad hꝛet b ⁊ eſunt a.igitur ꝑ ſextam ſecundi a ad e ſicutm ad h. et quia vt dictũ eſt b ad e vt fadh:ergo ꝑmutatim b ad f totus ad totũ:ſicut e ad h detractus ad detra ctum. igitur per quintam ſecundi c ad kreſiduus ad reſiduum ſicut totus ad totũ. quare ⁊ vte ad h:
ita c ad lꝛ. permutatim ergo e adc vt had lꝛ.ergo ꝑ viceſimãpꝛimam ſecũdi ⁊ equã ꝓpoꝛtiõalitatem m
ad lꝛ ſicut a adc. ergo ꝙ per ſcðᷣam huius g ſit dimidium mꝛerit a ad cſicut gad l: dimidium ſcilʒ ad
dimidiam diffferentiam ſicut totum m ad hꝛ totam differentiam.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si fuerint tres nũeri in hac medietate diſpoſiti: extremoy/ ⁊ medij ad differẽtiam candem eſſe pꝛopoꝛtionem impoſſibile eſt.maioꝛem vo ſiuc minoꝛem:poſſibile.
¶ Sint tres numeri ab c in hac medietate ↄſtituti:et a maximus:et differentia a ad b/ et bad c ſith. dico impoſſibile eſſe eãdem pꝛopoꝛtiõem a ad c ⁊bad d.nam ſi id poſſe ibre foꝛet:ponat᷑ ergovt ſit a ap
ctanq́; b ad d. ergo ꝑ viceſimãquintam ſecũdi qð fit ex a in d:equũ eſt ei qui fit ex b in c.at ꝑ decimam
quartam pꝛimi qð ſit ex a in dtm̃ eſt qᷓtum qð fit ex d in ſe et d in b qui ſint e ⁊ f.ſed per eandem b inc
tm̃ eſt qᷓᷣtum qð fit ex c in d ⁊ cin ſe qui ſint g ⁊ h.equabũtur ergo adinuicem ef ſimul etg h ſimul.qð
eſt impoſſible.qð ſic oſtẽdo.nam ꝑ ſeptimam ſecũdi f ad eſicut b ad d. et per eandem h ad g ſicut c ad d. ſed ꝑ nonam ſecũdi ꝓpoꝛtio b ad d maioꝛ eſt ꝙᷓ; ꝓpoꝛtio c ad d.igit᷑ ⁊ ꝓpoꝛtio f ad e maioꝛ erit ꝓpoꝛ tione h ad g. quare ſi t equet᷑ hꝑ eãdem e erit minoꝛ g.quare e ⁊fnon equabũtur g ⁊ h.et ſi fſit mĩoꝛ 4
h ergo ꝑ decimãſeptimãſecundi e etiã erit minoꝛ g.quare compoſitus ex e ⁊ fduobus minoꝛibus non equabitur cõpoſito ex g ⁊ h.at ſi fponit᷑ maioꝛ hjet compoſitus e ⁊ f equetur cõpoſito g ⁊ hꝛergo per decimãnonam ſcðᷣi ꝓpoꝛtio f ad e minoꝛ erit qᷓ ꝓpoꝛtio h ad g: cuiꝰ oppoſitum mõſtratum eſt. cõſtat
ergo qð dictũ eſt. ¶ Sed extremi ad extremum ꝓpoꝛtio maioꝛ poſſibilis eſt ́; medij ad differentiam
ſi abvnitate tres ↄtinue ponant᷑ termini qui erũt in hac medietate.et qꝛ extremi ſcʒ ternarij ad vnita tem eſt ꝓpoꝛtio tripla:ſed medij binarij ad vnitatem(que differẽtia eſt) ꝓp ostio dupla:ↄſtat extremi ad extremum maioꝛem eſſe pꝛopoꝛtiõem qᷓ; medij ad differẽtiam.et ita ſi poſt vnitatem in hac medie tate numeri apte diſcõtinue ſumãtur. Poſſibilis eſt etiã extremi ad extremum ꝓpoꝛtio mĩoꝛ qᷓ medij ad differẽtiam.nam acceptis quibuſcũq; tribus terminis continue poſt vnitatem:maioꝛ erit Ppoꝛtio medij ad vnitatem que erit differentia ꝙ́; extremi ad extremum quop differentia ſemp eſt binarius.
¶ Tres numeros in hac medictate inuenire quoꝝ ꝓpoꝛtionis medij ad differẽtiam: ad pꝛopoꝛtionem extremoꝛum differentia ſit qualibet data pꝛopoꝛtsone maioꝛ.
¶ Sint a ⁊ bnũeri date ꝓpoꝛtiõis ⁊ b maioꝛ:addo b ad a ⁊ ſiat c cui etiã addo b et fiat d. manifeſtum eſt dc a eſſe tres numeros in hac medietate cõſtitutos cũ b ſit cõis differẽtia d ad c ⁊cad a: quoꝝ dico
differẽtiam ꝓpoꝛtionis c ad b medij ad differẽtiam: ad ꝓpoꝛtionem d ad a eſſe data ꝓpoꝛtione b ad a
maioꝛem.nam ꝓpoꝛtio c ad a addit ſuꝑ pꝛopoꝛtionem c ad b pꝛopoꝛtionem b ad a.et pꝛopoꝛtio d ad a eſt maioꝛ ꝓpoꝛtione c ad a.addet igit᷑ ꝓpoꝛtio d ad a ſuꝑ pꝛopoꝛtiõem c ad b maius pꝛopoꝛtiõe data b ad a.eſt itaq; differẽtia ꝓpoꝛtiõis c ad b ad pꝛopoꝛtiõem d ad a data pꝛopoꝛtione maioꝛ.
Si extremꝰ extremi duplus:erit medius differentie triplus:et cõuertitur.ꝙ ſi alter aiterius maius duplo fuerit:erit medius minus triplo differentie:et ecõuerſo. ¶ Mam ſi a maximus ſit duplus b mimiꝛerit b duplus differentian.quare c ex b ⁊ differẽtia illa cõſti
tutus eidem differẽtie erit triplus.et ſi c eſt triplus ad difierentiam cũ ↄſtituat᷑ ex illa differẽtia et b:
ergo b erit duplus ad differẽtiam.quare a ↄſtitutus ex b ⁊ dupla differẽtia que equatur b tteꝝ inueni etur duplus ad b.quod eſt pꝛimum.et ſi a eſt triplus ad bꝛidem b equabit᷑ vni differentiaꝝ. at b ⁊ vna equslium differentiaꝝ ſtituũt c.igitur c duplus eſt ad differentiam.et ſi c duplus eſt ad differẽtiam erit rurſus a triplus ad b.nam ſi c ſit duplus ad differentiã cũ ſit ↄſtitutꝰex differẽtia ⁊ b:diff erentia illas equabitur b· ſed b cum equali differẽtia bis ſumpta ↄſtituit a.igitur a triplus eſt ad b. et vniuer⸗ ſaliter ſi maximi ad mimum pꝛopoꝛtio maioꝛ ꝙᷓ dupla inueniatur: erit ſemꝑ mĩmus ad differentiam minoꝛ qᷓ̃ duplus.igit᷑ ⁊ medius ex mĩmo ⁊ differentia cõſtitutus ad differẽtian minoꝛ erit ꝙᷓ triplus
Et cõuertitur vt in alijs quoq; monſtratum eſt.
¶ Dans quibuſlibet duabus ꝓpoꝛtiõibus:ſỹm vtrãq; in Arithmetica medietate tres terminos oꝛdinare:quoꝝ adinuicem differentie ſint equales. ¶ Sint minimi termini duarũ datarũ ꝓpoꝛtionum ab ⁊ cd.et differẽtie illoꝝ ſint e ⁊f.ſumo iten g nũerum aliquem quem cõiter numerent differentie e ⁊ f.et ſint numeri ſm quos ipᷣm numerãt h etk. deinde multiplico a ⁊ b per h:⁊ ꝓueniãtl ⁊ m.et multiplico c et d per k et ꝓueniãt n et o.ꝑ ſeptimam
ſecũdil ad mvt a ad b. et n ad ovt c ad d. et differẽtial ad in eſt g. ⁊ ſiliter differẽtia n ado eſt g. ſi igik
g eſt par:ſumo medium inter let m qui cõſtabit ex m et dimidio g.et mediũ inter n et o qui cõſtabit ex oet dimidio g.et erũt tres terminil ⁊ m cũ ſuo medio fm ꝓpoꝛtiõem a ad bſ et tres alij n et o cõnũera to eoꝝ medio ſᷣm ꝓpoꝛtiõem c ad d in arithmetica medietate quoꝝ adinuicem differẽtie ſunt equales
4. .— 6ob— 4.— d—. 8 2 ¶—C··h— 4 4 5—— —. 3 —
.— 4— b——:
4— 5⸗— b
8— —+ o.—. 1 3 1

40 55 30 25 120
—
8 7 5 4
——
— † 5 6
.——b——d 9 8 7
7 6 5 1 2 3
—s—. 2 10 6 10 10 — 84 6 4 a b c 2 3 d— e— 4 3 1 5 h k 8 6+ a 2 c 6 4 1 d—— tf 16 12 8 89— b— 8 3 4 8.— 4 8„ e 4 3 1 ½ 1— m 7 k—— 10 4— 4 4 b 16 b 5 3 12 — s 2 8 .—4 1 e 4
¶ Quotlibet numeros ſm Arithmeticam medietatem ſumere: quoꝝ differènie datd
n aũt g eſlet impar duplãdi eſſent!/ mn/ er o. et dupla adg p coꝛrelariſ ſeptime ſeeñdi ꝓueniretde ferentia.ſi ergo inter illos medij ſumãtur tam hoꝛũ oᷓ illoꝝ differentia ad medium erit 2 ettſ manifeſtum erit pꝛopoſitum..
numero non ſint minoꝛcs: extremoꝝ vero ꝓpoꝛtio ſit date ꝓpoꝛtioni equalos. ¶ Smt a b termini date pꝛopoꝛtionis:et c eoꝝ differentia:et d ſit numerus f᷑m quem ſumendi ſunt 4 quotubet numeri:⁊ e numerus quo non minoꝛes debeãt eſſe differentie. multiplico a a bem nũerum 6 vno minoꝛem d ⁊ ꝓueniant f et g: quoꝝ dvifferẽria c toties nũerabit.ſumo ergo media ſm differentas equales c et fiet vt oẽs numeri ſint m nũerum d. mltiplicet item c donec ꝓueniat maiot eiet fiathor Nſ m h. ducoq; h in f ⁊ get omnes medios et ꝓueniãt kl ⁊ medij inter illos.manifeſtũ eſt extremoꝛum( pꝛopoꝛtionem eſſe pꝛopoꝛtioni a ad b equalem: et numerum ſumptum eſſe ſᷣm d ⁊ differètias interſe equales et numero e dato maioꝛes.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si ſumptis quotlibet nũeris in hac medietate: alij totidem candem habentes dif i
ferẽtiam maioꝛes nunoꝛibus coniũgant᷑: numeros cquales ꝓuenire neceſſeſt. ¶ Sint a bed qtlibet numeri in hacimedietate quoꝝ a ſit mĩimus:⁊ ef gh totidem in hac medietate l et e illoꝝ maxinius:ſintq; hoꝝ et illoꝝ equales differstie. dico a et e ſimul equari bet f et reliquiohoe ii modo ſequẽtibus.nam quia a ⁊ eſunt circũpoſiti b ⁊ fet equales per hypotheſim differẽtie:ergo per 4 tertiam pꝛimi a et e ſimul equãtur b et f.et hunc in modum de reliquis argumentare.
¶ Numeros quotcunq; in hac medictate datos coaceruarc. 1C ¶ bec demõſtrat aggregatoꝝ ſummam reperire:quã nõnulli ꝓgreſſiõemvocant.ſi eni ſunt in neo( pari vt a bcd.ef gh ꝙ igit᷑ ꝑ pꝛecedentem a h equãtur b get cfet de fm ſeriei medietatem. ſi ergonn 2⸗ coaceruatum cx a ⁊h duobꝰ extremis ducat᷑ totius ſeriei medietas ꝓueniet ſumma totalis exoihnns n coaceruata. At ſi numerus eoꝝ ſit impar vt abcdefgeritvnus eoꝝ mediusęvt d. et eius ad extremos( aet g eadem erit differentia. quare per ſcðᷣam pꝛimi eſt medietas a ct g/ et ſimiliter medietas b ⁊ fſet o
medietas c ⁊ e.numerus igitur ſeriet oĩm in ipm ductus oĩm ſummam cõſicit. quod eſt pꝛopoſitum. i ¶ Si atubet nũeri huius medietatis alijs totidẽ ſiue cq̃ᷣlibus ſiue in eadeʒ medicie 4 ſumptis minoꝛes mioꝛibus addãtur:ↄpoſiti quoq; ſᷣm eãdem medietatẽ diſponẽur. a
¶ Mam ſiue equales equalibus addãtur ſiue hoc modo nũeri quicũq; totidem alijs in eadem medie⸗ 1 tate cõſtitutis:quia equalibꝰ differẽtiſs equales differẽtie addẽtur et tote differẽtie adinuicem erũůt 1
equales.quare per diffinitionem compoſſti erunt in hac medietate ↄſtituti. quod eſt pꝛopoſitum. 1 ¶ Si equales totidem auferant᷑ ſiue ipi ab cq̃ubus ſubſtrahãtur:reſiduum in cden ʒ medietate inucnigtur.“ g ¶ Mam equalibus de quibuſlibet eoꝝ demptis erũt eedem reſiduoꝝ que ⁊ totoꝝ differẽtie idetidem 1 quibuſlibet eoꝝ ab equalibus demptis eedem que ſubſtracte ꝝ manebunt differentie.igitur per dif⸗ ſinitionem reſidua erunt in arithmetica pꝛopoꝛtione · quod intendebatur. b p ¶ Si vero de eiſdem alii in cadem medictate dati minoꝛes a minoꝛibus tollãnurac; i dui vcl crunt equales vel eiuſdem medietatis rationem ſuſcipient. p
¶ hec quodãmodo decimequarte et decimequĩte ↄuerſa eſt.nam datis a be in hac medietate malol bus et d ef minoꝛibus:quoꝝ ad pꝛimos differentie ſint equales:ſubſtractis d ef aba be.reſidul erüt 1 equales: differentie a ad d. quare adiuicem equales · at ſi numeri ſumpti vt ghknon hẽant ſingulicd— ſingulos a b c equalem differẽtiam.qꝛ detractoꝛum ⁊ totoꝛum eqles ſunt differentie:erũt? reſiduox 6 equales differentie.et cũ reſidua nõ ſint equalia:inter eos erit hec medietas.quod eſt pꝛopoſitum. 8
G
¶ Si anotlibet numeri huius medietatis ſᷣm eundem nũcrum vel multiplicenur ve V diuidãtur:erunt ⁊ ꝓducta ⁊ diuidentia in hac medietate eodem oꝛdine connnuats.
Sint dati quotlibet numeri in hac medietate:vt a b c qui multiplicẽtur ꝑ e et ꝓueniantfghraui diuidãtur per eꝛet ꝓueniant klm. dico ꝓducta fgh et diuidẽtia klimn eodem oꝛdine in haemedletate ↄtinuata.nam qꝛ multiplicatoꝛum a b e differentie ſunt equales:ergo per coꝛrelariũ ſeptimne ſecundi et pꝛoductoꝛum.et etiam per idem quoties diuidentia l⁊ lm numerabunt a be:⁊ toties differetie nu⸗ merabunt differentias et eodem oꝛdine. eſt ergo notum quod pꝛoponitur.
Emein 3 2 1 ¶Datum nũerũ in quotlibet partes que arithmetica medietate ſe excedã diudat.
¶ Sit numerus diuidẽdus a:et b nũerus ſᷣm quem ꝓponit᷑ diuidi. Inuenio per decimaͤtertüh 1ith. numerum ex oĩbus ab vnitate ad b coaceruatum qui ſit c.et qui ſit vt partes ab ipᷣo denolate'enn 33 uas ſi vis a in cõſimiles partes:dehinc reſolutum diuidas per cet reuertetur numerus im 4 duu per quem multiplica oẽs numeros ab vnitate ad b qui ſunt in hac medietate vt notum eſtet 4 ur fgh iu partes denoĩate ab c que per pꝛecedentem erũt in hac medietate.et per nons pꝛimims
eſt eas cõſtituere a.et ſunt ſumpte ſᷣm numerum b.effectum eſt igitur pꝛopoſitum·
„1 30. 1,„ ſee„ 5 ¶ Si inter numeros ꝓpoꝛtiõales medii ſᷣm hanc medietatem deſignetur. ent exire moꝛum ad illos pꝛopoꝛtio vnaꝗ.
———y—

e X
¶ Sint a b cnumeri in hac medietate cõſtituti ⁊ ſiliter totidem de f:ſitq; a ad e ſicut d ad r.dico a ad
h medicn bvt d adeet badcvtead f. nam ſi acꝛ⁊ dfſint equales: conſtat pꝛopoſitũ.ſi non:ſint ergo df maioꝛes ur et a cminoꝛes.quia enĩ que ꝓpoꝛtio d ad f totus ad totum:ea eſt a ad c detracti ad detractum:ergoꝑ
84 dat quĩtam ſecũdi differẽtia d ad fad differentiam a ad creſiduum ad reſiduum:ſicut d ad ftotũ ad totũ Nmnean aan quare medietas differẽtie d ad f que ſit h ad dimidiũ differẽtie a adc que ſit g per coꝛrelariũ decime — quarte ſecundi ſicut d ad f. eticum que pꝛopoꝛtio d ad f ea ſtt a ad c:ergo ꝑpmutatim d ad a ſicut fad c.
c— cum itaq; fadc ſicut h ad g:ergo per idem coꝛrelariũ e ad b ſicut d ad a. quare ꝑmutatim d ad eſicut L u
4 a ad b. et conſiliter ꝓbabis f ad e ſicut c ad b aut ecõtra.quod eſt pꝛopoſitum.
rir een dane ¶ Si in geometrica medietate tres numeri ſtatuant:erit que maximi ad medium:ca
— an differentic ipſoꝝ ad differentiam medit ad mimum pꝛopoꝛtio. 4 ¶ ⁰xrSinta b c tres numeri in geometrica medietate diſpoſiti ꝑ diffinitiõem que ꝓpoꝛtio a adbea e
Sdictauc: ah badc.et ſit dria g ad b nuerus d. et differẽtia b ad c medij ad mĩmũ nuerus e. dico eãdẽ eẽ ꝓpoꝛtiõem
m. igitur ꝗ̃ᷓ ꝓpoꝛtio a ad b totius ad totũ ⁊ maximi ad medium:ea eſt drie c per quĩtam ſecundi reſidui ad reſiduum.quod eſt pꝛopoſitum. 5
— ad totum: quare multo foꝛtius qᷓ; b ad e detracti ad detractuni. ꝛigitur g ad kmaioꝛ eſt tio ́; b Affertne ndim cne igi d u9 1 tractum. q ig g 2 aioꝛ e ꝓpoꝛtio q́́b
eſubtractexnndamin igitur per ſcðam partem decimequiĩte ſcðᷣi p ⁊ n ad p mĩoꝛ ꝓpoꝛtio qᷓᷣ; o ⁊ mad o.igitur d ⁊ fſimul ad mequad mcn. pP pꝛopoꝛtio minoꝛ qᷓ a et e ſimul ad o. quod eſt bꝛopoſitum..
ate dan mineaant CSi quotlibet numeris in hac medietate ſumptis totidem alii eiuſdem ꝓboꝛtionis ans rmnoncntche maiores maioꝛzibus addãtur: compoſiti quoq; in hac medictate inueniẽtur diſ poſiti. ucru cum atn TMam ſi que ꝓpoꝛtio a ad bet badc:ea ſit d ad eete adf
igitur Pmutatim que pꝛopoꝛtio a ad dꝛea K ſint cexuicxutdxnt eſtb ade ⁊cadf. igitur perviceſimam ſecũdi que pꝛopoꝛtio a ad b:ea erit compoſiti ex a d ad ↄpoſitũ
0.arnana b e. et compoſſti be ad compoſitum c f. quod eſt pꝛopoſitum. W ntcah Si diſpoſitis aliquot numeris in hac medietate numcri cquales ſingulis addãtur: nucr ces quen Cerit inter compoſitoꝛum maioꝛes pꝛopoꝛtio maioꝛ.
rcmt ¶ Sint ab cin geomctrica medietate diſ poſiti:et d e eoꝝ differẽtie:et r numerus ſingulis addẽdus. Im cunden quia igit᷑ quo abundat fa ſuꝑ f̃b eſt d. et quo abundat fb ſup fᷣe eſt e. et per nonam ſecũdi f ad d mĩoꝛ
nebim wnatanies ESi auotlibet numens in hac medietate datis: totidem alii in eadem quidẽ medie⸗
compoſitoꝛum maioꝛes:maioꝛem eſſe pꝛopoꝛtionem conueniet.
n aupehamn tate ſed non em eandem pꝛopoꝛtionem ſumpti: maioꝛes nunoꝛibus addantur: inter
znrur CSmt 2tinue ꝓpoꝛtiõales ab c ⁊ ſiłiter de f:ſed in mĩoꝛi ꝓpoꝛtiõe.dico;a dad be maioꝛꝓpoꝛtio deer e Tbeadcf. Sit enĩ qð ex a in f ꝓducik/ g. et að ex b in e/ h. et qð ex d in c:k.per pꝛimam quĩti ꝓpoꝛtio aui— gad h eſt dria ꝓpoꝛtiõis a ad bſi uꝑ ꝓpoꝛtiõem e ad f.ſed ⁊ ꝓpoꝛtio hadk eſt per eãdem dfia ꝓpoꝛti⸗ dundus per— onis b ad cſuꝑ pꝛopoꝛtiõem d ad e. quare ſicut g adh:ita h ad k.quare per viceſimãſcðam huiꝰ g et k aneaa plus ſunt qᷓ duplũ h.et qꝛ qð exa inc ⁊ qðexd in f̃ſũt qᷣtũ qð ex b in ſe ⁊ ein ſe p vicel imãſextam ſcði mumda erũt ergo eadeʒ cũ g⁊ kmaius qᷓ; quadrata b ⁊ ecum duplo h. maiꝰ g qð ex adincfꝗqᷓqðexb ein ſe. — et ideo maioꝛ ꝓpoꝛtio a d ad be T que eſtbeadcfpꝑ viceſimãſeptimam cũdi.qð eſt pꝛopoſitum.
et vt totum et vt detractum.et qꝛ que ꝓpoꝛtio a ad b totiꝰ ad totum:ꝛea eſt
6—1 4 b——:
v— se— 6 f—
h— 2. 8 42,
„.
a—g b— 4c ——
a ½—
— 4 b—2— 3 2 h 1 5—„ p 12 d. 9e 5f —] 2
——
4
——
16 8 4
4— 4 b——: d— t e—6 f
16 I 9 — e— f— 4
—

———
.
8 — *
——*4 3 5 — 8½
-— ⏑—— ———
——
—õ—y———-————————
—————————
———
b— 5—; c 4— eis —2 c 3 d 12 49 14 7 — s 169 13 m.— h. 289 1 — v. 9 289 221 d b 169 9—e c 4½
4 7 1 3 v— 8— 2 1
d. 8 4 3— b— C 4. 2 d e 36 6 1 9 30 5 .—*— 3 4 4 3.— 3 2
¶ Tribus numeris in hac medietate ſumptis: maximi ad mĩimũ et medii ad alteran differentiarum eandem eſſe pꝛopoꝛtionem umpoſſibilc cſt. 1 CSmt a b etres nůeri in hac medietate:z differentie eoꝝ d et e. dico impoſſibile eẽ eãdẽ ꝓpoꝛtiom
aadca bad dvel b ad e. nam ſi eſſet a ad cſicut bad e:ergo ꝑmutatim eſſet a ad b ſicut c ad e. et qꝛ per viceſimam huius b adc licut d ad e erit Pmutatim v ad d ſicut c ad e. quare que ꝓpoꝛtio aadb ea ert
b ad dꝛſed a ẽ maioꝛ d. igitur per quartam ſecũdi b maioꝛ d. igitur que Tpoꝛtio a ad b maioꝛem eius poꝛtionem erit b maioꝛis poꝛtionis ad minoꝛem. qð per vndecima quinti eſt impoſſibile ⁊ ꝓpoſitum.
¶ Trium numeroꝛum huius medietatis quo maximi ad mimũ maioꝛ eſt pꝛopoꝛio:¶ eo medu ad quãubet diffetentiarum pꝛopoꝛtio minoꝛ· b Vall.
CSit hypotheſis vt pꝛius.hoc enĩ ideo eſt ꝙ quãto a ad c maioꝛ: tanto differentia b ad cerit maign quare tanto numerus e maioꝛ.et ideo ꝓpoꝛtio b ade minoꝛ ſiliter quanto a ad c matoꝛ tanto etiã aa b maioꝛ et quãto a ad b maioꝛ tanto d differentia niaioꝛ.quãto aũt d differẽtia maioꝛ:tãto h ad ipam pꝛopoꝛtio minoꝛ.quod eſt pꝛopoſ itum. 3 1. m ¶ Numcros quotlibet in geometrica medictate otinuare: quoy extremoꝝ ppoui non ſit data ꝓpoꝛtiõe maioꝛ:minoꝛum vo differentia non ſit dato numcro minoꝛ.
¶ Diuido per ſexageſimãnonam noniſꝓpoꝛtiõem datam in ꝓpoꝛtiões quaꝝ quotlibet ſint equales: et ſi differẽtia minoꝛum ſit equalis dato numero aut maioꝛ:effectum eſt pꝛopoſitum.ſi aũt minoꝛum differentia ſit dato numero minoꝛ.d uco datum numerum in quẽlibet numerum illan pꝛopoꝛtionum et factum apparebit pꝛopoſitum..
¶ Si inter numeros eiuſdem medietatis:ỹᷣm arithmeticam medietatem medu ſtenʒ antur:illi quoqꝙ; in geometrica medietate diſponẽtur.
¶ Sint a b ccõtinue in hac medietate diſpoſiti:ſitq; d medius inter a ⁊ bꝛet e inter b ⁊ eſᷣm arithme⸗ ticam medietatem. dico que ꝓpoꝛtio a ad bꝛesm eſſe d ad e.nam ꝑ decimãnoneam huius vt a addiit bade. igitur permutatim vt a ad bꝛita d ad e.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si inter duos numeros medij duo pꝛoponãtur alter in arithmetica ⁊ alter in gey⸗ metrica medietate:qui eſt ſcoᷣm aruhmeticam reliquo tanto amplus poteſt q́umct
quadꝛatum diffcrentic ipius ad alterutrum extremoꝛum.
¶ At inter a ⁊ dſint bc duo medij:ſcʒ b in arithmetica medietate/ ⁊ c in geometrica. dico b amplius tanto poſſe ſuꝑ c qᷓtũ cſt quadratum differẽtie b ad a aut b ad dꝛqð idem eſt. nam p viceſimãpꝛimem huius qð ſit ex a in dim̃ eſt qᷣium qusdratum c.at ꝑ tertiã huiꝰ quadratum b addit lup id qð ſitexa in d qᷓtum quadratum differẽtie a ad b.igitur ⁊ im̃ addet ſuꝑ quadratum c.quod eſt pꝛopoſitum.
4 3 6 9.. ⸗„.„. ¶ Tres numeros in arithmetica medictate reperire:inter quoꝝ binos ⁊ bnosſcm ⸗ geomctricam medietatem medios aſſignare cõtingat.
¶Sint a ⁊ b duo nũeri pares:et b aut equalis aut numerãs a.et ↄpoſitus ex a ⁊bſit ccuius duplus ſit d.ducaturq; a in c⁊ ꝓueniat e.quia ꝑ pꝛimam ſeptimi cõpoſitus ex a etc eſt par:et ꝑ duodecimam eiuſdẽ e eſt par. ergo ꝑ lextam eiuſdẽ ſi ↄpoſitꝰ ille detrahat ab e:relinquet᷑ par.ſit ergo par relletus f. et eius medietas g. et compoſitus ex g er c ſit h. itemq; h et a compenãt kiiniq; lmn quadratilihg quos dico eſſe numeros quales querimus.nam ꝑ decimãquintam pꝛimil quadratum li Addit ſupn quadratum h:qᷓtum eſt quadratum 2a.et qð ſit ex h bis in a. hoc eſt qtum quadratuma: qp fit eran d et f. et qð fit ex a in ſe et in f minuit ex eo qð ſit ex a in e qᷣtum eſt qd ſit exa inc.et qs ſit er aind ꝙptum qð ſit ex b in e. et qꝛ qð ex a et b in e equat᷑ ei qbex cin eꝛerit qð addit quadratum kſup quadin tum h minus eo qð ex c in eqãtum eſt qð ſit ex c in a. et ex eodem patere poteſt ꝙ quadratum haddit ſuꝑ quadratum g ĩᷓ̃tũ qsð fit ex cin ſe⁊ in f:qð minꝰ eſt eo qð fit exc in e qᷣtum eſſ qð ſit ercin ⸗uan⸗ quanto labundat ſuꝑ m tanto m abundat ſuꝑ n.quare quadrati imn ſunt in arithmetic medietate conſtituti. et ꝑ coꝛrelarium quarte ſexti inter Iet m eſt vnus medius ꝓpoꝛtiõalis:⁊ ſiliter interm 9.
factum eſt ergo pꝛopoſitnm..
¶ Si ſumptis tribus terminis in arithmetica medietate medij inter illos im geome⸗ 5 tricam medictatem ſtatuãtur:inter quadratos illoꝝ quadratũ medii aliom an me uca medictate conſtare neceſſe eſt. 3 rde h ¶ Sint a b enumert in arithmetica medietate cõſtituti ꝑ pꝛecedentem inuẽti inter quos ſinden geometricam medietatem.dico quadratũ mevij b eẽ in arithmetica medietate int quadratam ſau⸗ d ⁊ e.nam qꝛ quadratum d ꝑ viceſimãſextam ſecũdi eſt qᷓᷣtum qð fit ex b in a.ſᷣ per nonam däng dratum d advet ſuꝑ quadratum b q́tum qð ſit exb in driam ſuam ad a.⁊ ↄſititer quadratu i tu ſuꝑ quadratum e qᷣtum qẽð ſit ex b in d̃iam ſuam ad c.ſed b ad a ⁊ badcequalis eſt differẽtia:ig quadrata numeroꝛum d b e:ſunt in arithmetica medietate.quod eſt pꝛopoſitum. 5ncoij 5
¶ Oꝛdiatis tribus terminis in harmonica medietate:erit maximi ad medlü ad minimum maioꝛ pꝛopoꝛtio.
3 4 3
b *

13 d medma nritdem .eumtues d Mpꝛopelum.
ponätur alcnri am tclcuo uaa mmmom.
verua nedietut ttngm 49 4 utd n drdmäm Ip rdber ammndc⸗ adder ſep cuurem e
te rcperrcn aas
—————— 3.—
X
¶ Sint a b etres nũeri in harmonica medietate ↄſtituti:ſitq; a maximus.dico a ad b maioꝛem eſſe ꝓpoꝛtionem ꝗᷓ; b ad c.Sit enĩ d differẽtia a ad hꝛet e differẽtia b ad c.erit enĩ per diffinitionem dade ſicut a ad c.et per nonam ſecũdi a ad c maioꝛ ꝓpoꝛtio qᷓ a ad b.quare a ad b minoꝛ pꝛopoꝛtio j† dade totius ſcʒ ad totũ minoꝛ ꝓpoꝛtio ꝙᷓ detracti ad detractum. ergo ꝑ decimãquartam ſecũdi b ad creſi⸗ dui ad reſiduum minoꝛ ꝓpoꝛtio ꝙᷓ a ad b totius ad totum.quod eſt ꝓpoſitum.
CIn eadem medietate duo extremi ↄiũcti:maius medio duplicato efficient.
¶ MNam per ſcðam ſecũdi diff erẽtia maioꝛum eſt maioꝛ qᷓ; differẽtia minoꝛum.ſumpto ergo numero minoꝛe maximo extremoꝝ qui addat ſuꝑ medinm qᷓ;tum medium ſuꝑ mĩimum:ꝑ ſcðᷣam ſpꝛimi ille cũ mĩmo equabunt᷑ medio duplicato.igitur per cõem ſciẽtiam maximus extremoꝛum qui eo eſt nũerus maioꝛ cũ eodem mĩmo conſtituet numerum medio duplicato maioꝛem.quod eſt pꝛopoſitum. ¶ In cadem medietate qð cõtinetur ſub extremis eſt qᷓum quadratum medij cũ eo quod fit ex differentia in differentiam. ¶ Sint vt pꝛius a b ctres numeri in hac medietate cõſtituti:et eoꝝ differẽtie d ⁊ e.dico qð fit ex cin a eſſe tm̃ qᷣtum quod ſit ex b in ſe cũ eo quod ſit ex d in e.nam qð fit ex c in a eſt tm̃ q́tum quod fit exc in b⁊ in d per nonam pꝛimi.et ꝑ viceſimãquintam ſecũdi qð fit ex c in d eſt ꝙᷓᷣtum qð ſit ex e in a.et qað ſit ex e in a ́tum qð ex e in b et d. et quod ex e ⁊c in b per decimam pꝛimi qᷓtum quod exb in ſe.ergo quod ſit ex c in a eſt tum qð b in ſe et e in d.quod ꝓponitur.
In eadem quoq; medietate quod ſit ex medio in extremos: duplum eſt eius quod a
continetur ſub eiſdem. ¶ MHam quod ſit ex b in a eſt tum quod ex c in a et e in a per decimam pꝛimi. et ꝙ ex e in a ꝙᷓtũ quod ex d in cper viceſimãquintam ſecũdi ⁊ ꝑ decimam pꝛimi iteꝝ quod ex d in c cũ eo quod exb in eqᷓᷣtum quod ex a in c.quare q;tum quod ex c in a.eſt itaq; quod aſtruitur notum. ¶ Inter vnitatem ⁊ aliquem numerum:ſiue inter numeros in ſua ꝓpoꝛtiõe mimos:
ſcom harmonicam medietatem non eſt aſſignare medium.
¶ Inter numerum ⁊ vnitatem non aſſignabit᷑. nam cũ que ꝓpoꝛtio numeri dati ad vnitatem ea eſſet differẽtie numeri dati ad medium ad differẽtiam medij ad vnitatem.et dria numeri dati ad medium minoꝛ eẽt numero dato:opoꝛteret medij numeri dati ⁊ vnitatis ad vnitatemninoꝛem eẽ differẽtiam vnitate.de numeris aũt in ſua ꝓpoꝛtiõe mĩmis idem ſtatim patet.nam cum eadem eẽt differentie ad differentiam que illoꝝ nũeroꝛũ adinuicem ꝓpoꝛtio ⁊ eoꝝ differentie ſint minoꝛes.illi ergo non eſſent in ſua pꝛopoꝛtione minimi. quod eſt ↄtra hypotheſim. 2
¶ Scðm datam pꝛopoꝛtiõem:muſicam inuenire medietatem. ¶ Sint a ⁊ b extrema date pꝛopoꝛtiõis:et c differẽtia eoꝝ:et cõpoſitus ex eis ſit d.ducãtur igit a et b
in d et ꝓueniãt e ⁊ f.ſitq; eoꝝ differẽtia g.quã ꝑ nonam pꝛimi d nſierabit ᷣm c.et quia d eſt tanqᷓ; a ⁊ b ergo c ductꝰ in a ⁊ in b facit g.et eo quod fit ex c in a quod ſit h:dempto de g remaneat lꝛ:quẽ ꝓducet
b in c. ſumatur ergo l medius inter e ⁊ f cuius differentia ad e ſit h: certum eſt differentiam eius ad f eſſe k. et quia per ſeptimam ſecũdi h ad k tanq́; a ad b. et per octauam eiuſdem etiam e ad ftanq́; a ad
b. conſtat ergo per diffinitionem factum eſſe pꝛopoſitum.
¶ Terminis extremis ꝓpoſitj:medium inter cos ſᷣm harmonicam medietatẽ repire. ¶ Sint a ⁊ b extremi harmonice medietatis quoꝝ iubear medium inuenire. capio eoꝝ differentiam que ſit c:et cõpoſitum ex ipſis qui ſit d.deinde duco a in c et ꝓueniat e qui diuidatur ꝑ bꝛet diuidens ſit f.eritq; per cõuerſamviceſimequinte ſecundi que pꝛopoꝛtio d ad a eadem cad f.dempto ergof dec remaneat g.eritq; f ad g ſicut a ad b.quod oſtẽdo.nam qꝛ ſicut d ad a:ita c ad f.ergo ꝑmutatim d adc totus ad totum vt a ad f detractus ad detractum.quare iteꝝ vt a ad f:ita b ad g reſiduus ad reſiduũ. ergo permutatim a ad b ſicut f ad g.ſumo igitur inter a ⁊ b medium numerum cuio differẽtia ad a ſit
f. et quia relinquetur differentia eius ad b eſſe g:per diffinitionem cõſtat factum eſſe pꝛopoſitum.
¶ Si inter duos numeros duo ſtatuantur medii:alter ſᷣm arithmeticam ⁊ alter ſcm harmonicam medietatem: qui ßm arithmeticam maloꝛ eſt ⁊ ꝗ maximi ad ipm eadem alterius ad minimum pꝛopoꝛtio. n e ¶ Sint extremi a b.et mediꝰ ſᷣm arithmeticam medietatem c.et ſᷣm harmonicam d. dico c eẽ maioꝛẽ ꝛet eam eẽ ꝓpoꝛtiõem a ad cq̃ dad b.ꝙ aũt c maioꝛ ſit dꝛſtatim patet ꝙ ꝑ diffinitiõem ea ſit ꝓpoꝛtio drie a ad d ad driam d ad b que a ad b. ſed dria a ad c ⁊cad b equãtur:ergo maioꝛ erit dria a ad d qa ad c.et ꝙ ea ſit ꝓpoꝛtio a ad c que d ad b patet.nam ꝑ quintam huiꝰ c eſt medietas a ⁊ b ſił iunctoꝛum et per triceſimamſeptimam huius quod exd in a ⁊ inb ꝓducitur duplum eſt ad id quod ſit ex ain b. igitur qð fit ex d in c dimidium per ſcðᷣam pꝛimi a ⁊ b:ꝛequabitur ei qð fit ex a in b.igitur ꝑviceſimam quintam ſecundi a c d b ſunt pꝛopoꝛtionales vt dicitur.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Si inter numeros pꝛopoꝛtionales medii ſᷣm harmonicam medietatem ſtatuãtur: extremoꝛum ad illos erit pꝛopoꝛtio vna. ¶ Sit ꝓpoꝛtio a ad b ſicut c ad d.et ſit e medius harmonice inter a ⁊ b.et ſiliter f medius inter c⁊ d.
dico a ad e ſicut cad f. Sint enĩ drie ghet kl. qꝛ q̃ ꝓpoꝛtio a ad b ea eſt c ad d. et q̃ a adb ea eſtgadh. et que cad deaẽ kadl.idcirco erit g ad h vtk adl.quare ꝑmutatim gad kvth adl.quare ꝑ viceſimã

.
v ſſſͤſ“ “.“ ö)”)ſ
a 3 4. 2 3“ K 3 8 4 4 2*————.— “ 1 8— 4 3— “.—— —„—-—
——————r——˖—
1 —yy—— ———— .— ——
——— 4 ————
—
——y———
—j—y ——— ——
—
ſecdi gh ad klſicutg ad k.et iteꝝ qꝛ pmutatim a ad e ſicut b ad dꝛerit per idem a ad eſicur ghadki quare ſicut g ad k.et qꝛ a ⁊cſũt tota etg⁊k detracta:erit ergo e ad freſiduus ad reſtduum p quita ſecundi vt a ad ctotus ad totum.quare pmutatim aade ſicut c ad f.quod eſt pꝛopoſitum. m
CSi inter duos numcros alij duo medii ꝓpoꝛtionaliter ſumantur: ſumaturq; maiot — 4s vᷣm arithmeucam medietatẽ:ſumetur minoꝛ ſᷣm harmonicam.ꝙ ſi minoꝛ ſm hanno⸗ — nicam:maioꝛ ſᷣm arithmeticam ſumetur. b 3 32 ¶ Sit enun a ad cſicut d ad b. et c maioꝛ ſit medius ſm arithmeticam medletatem inter aab.dleo⸗ f 24 eſſemediũ m harmonicam medietatẽ int᷑ a ⁊ b. et ↄuertitur. Sumo enĩ ꝑ quadrageſimãpꝛimã hui⸗ e⁊fᷣ̊ qͥ ſint in ꝓpoꝛtiõe a ad b.inter qͥ̊s ſit ꝗm arithmeticam medietatẽ mediꝰ/ ⁊ h vᷣm harmonicam. — ia igit ꝑ quadrageſimãpꝛimam e ad g ſicut h ad f. et ꝑ decimãnonam huius ead g ſicutaad cqjn — 18 ldad bvta ad c:et h adfvte ad g. erit ghad f vt dad b. ſed ⁊ qꝛ h eſt medius harmonicus ad quem 8— 15 fextremum habet eam pꝛopoꝛtiõem ꝗ̃ b ad d:facile ꝑ pꝛcedentem inuenies d eẽ in harmonica medie⸗ ͤ— n tate inter a et b.cõuerſum aũt facile ꝓbabis per quadrageſimãpꝛimã huiꝰ oſtẽdẽdo mediũ arithme⸗
tler medietatis quẽcunq; inuentum:eſſe equalem c maioꝛi. n ¶ Humeros quotlibet in arithmetica medietate oↄtinuare: inter quoꝝ binos ⁊ binos
17 o 47 Pm harmonicam medietatem poſſint aſſignari medij. 3 21 t 1355 ¶ At ſi iubear continuare tres numeros in arithmetica medietate inter quoꝝ binos ⁊ binos poſſit — 5 p 105 aſſignari in harmonica medietate medij. capio a b c totidem numeros in arithmetica medietatecaſti
K 5 4—— tutos: quon differẽtia ſit par:⁊ inter illos ſumãtur medũ in eadem medietate qui ſint d ⁊ e.et mulipit
„—5 r 35 centur oẽs per e. et ꝓueniant f/ g/ hik/l qui ꝑ decimãſeptimam huius erũt in arithmetica medietatt. 1— 5 0 ducaturq; iten c in b ⁊ fiat m.et quia ꝑ ſeptimam ſecũdi que ꝓpoꝛtio cad e ea eſt h ad k. et p octauam eiuſdem uieꝝ q̃ cad e ea eſt m adl. etjinter h ⁊ lnumerus k maioꝛ eſt in arithmetica medietate medl⸗ — igitur ꝑ pꝛecedẽtem mn eſt medius inter h ⁊ lin harmonica medietate.multiplicẽtur item oes hi per — dꝛet ꝓueniãt n/ o/p/ q/ r/ s et erũt vt pꝛius n/o/p/ q s in arithmetica medietate:et r interp ⁊smhat. — monica medietate.ducatur item a in h ⁊ ꝓueniat t.et eadem rõne qua pꝛius mõſtrabis ipm eẽ medil — in harmonica medietate per pꝛeced entem inter n ⁊ p.ſicq; erũt ↄtinuati vt ꝓpoſitum eſt in arihmen — ca medietate numeri/ faſtũq; apparebit pꝛopoſitum. ¶ Et ſi de pluribus ageretur:quoties erit appo nendus medius harmonicus:toties facienda erit modo pꝛedicto multiplicatto. b ¶ Duobus numeris ad alios duos pꝛopoꝛtionalibus:vtroꝛũq; alterũ inter reliquos — medium eſſe in harmonica medietate:eſt impoſſibilc. b c 6 ¶ At ſit a ad b ſlcut c ad dꝛdico c nõ eẽ medium ſm medietatem harmonicam inter a ⁊ bꝛ nec binter b 4 c et d.ſi enĩ poſſibile ſit:eſto ergo c in harmonica medietate inter a ⁊ bꝛet b inter c ⁊ d. quia eni aadb d 3 ſicut c ad d.et inter a⁊ b et c ⁊ dnumeros quidẽ ꝓpoꝛtionales:ↄſtituũtur c ⁊ b medi ſm medietatem harmonicam.igitur per quadrageſimamſcðᷣam huius erit pꝛopoꝛtio a ad c ſicut c adb maximiſcz a medium que medij ad mimum.quod per triceſimãquartam huius eſt impoſſibile et pꝛopoſitum. — ¶ Si tres numeri in arithmetica medietate ſumpii aliquem numerum numcrentrilli 49 6 4 2 ſm quos cum numerant in oꝛdine harmonice medietatis inueniẽtur. 8 b——(¶ Sint ab cin medietate arithmetica ſumpti: numerẽtq; dmef g. dico efg eſſe in harmonicame⸗ 1 3 6 dietate oꝛdinatos. Sint enĩ tres dupli eoꝝ h kl qui et iidem erũt vt patebit in harmonica medietat —— et ſit m inter h ⁊ lin arithmetica medietate medius.qꝛ enĩ a in e ⁊cin g cõſtituũt d:ergo vylcelmm 44 6 12 quintam ſecundi que ꝓpoꝛtio a ad c ea eſt gad eꝛet que g ad e per quintam ſecũdi ea eſtlad h.ſed per
decimãnonam huius l ad mn ſicut a ad b. et qꝛ per eãdẽ viceſimãquintam ſecũdi a adb ſlcut f adeꝛent
m ob hoc lad im ſicut k ad h. ſed ꝑ quadrageſimãtertiam huius k eſt medius harmonice inter!⁊haig et f harmonice medius inter g ⁊ e.quod eſt pꝛopoſitum. 14 47 ¶ Numeros quattuoꝛ perſcrutari:quoꝝ ſecundus inter pꝛimum ⁊ tertium: rtertuis inter ſecundum ⁊ quartum in harmonica medietate cõſtituatur. rume ¶ Sint a bed quattuoꝛ numeri in arithmetica medietate cõſtituti qui numerent eũdem vhnder 1
—, vm f/g/ h/ k.dico f ghkeſſe quattuoꝛ numeros quoꝝ g ſecũdus eſt in harmonica medietate vont a—s f— 3 hpꝛimum ⁊ tertiũ.et h tertius itidem eẽ in harmonica medietate inter ga⁊ h ſcvma quanune h umt b— s 8— 4 tres nũeri a b e in arithmetica medietate ↄſtituti numerant e ſm fᷣ g/ hꝛ s per pꝛecedeten Bunden — 4 b— 6 in harmonica medietate.et per idem quia b/c/ d tres alij arithmetice medietatis numeranie ner b——1 Leun ermghlk. ergog hk ſunt in harmonica medietate. eſt igit᷑ vt ꝓponebat g medius harmoftte
aet hꝛet h itidem medius harmonice inter g ⁊ k.quod eſt pꝛopoſitum. ſcom 4 4,(¶ Sitres numeri geometrice medietatis aliquem numerum numerent:ct llosſe 4 b c quos numerant in cadem inueniri neceſſe eſt. in eadenipportione 3 6 m ¶ At ſint ab c in geometrica medietate ↄſtituti qͥ nũerent d ſᷣm e/f/jgꝛdico g/fe in eadem f. quare
reperiri. nam perviceſimãquintam ſecundivt a ad b ita f ad eꝛet per eandem vt bad c itas ad erit ead fvtf ad g:et fin geometrica mediate medius.quod eſt pꝛopoſitum. enm ¶ Si tres numeri muſice medietatis aliquem numerent:illi ſm quos eum num
in arithmetica medietate diſponẽtur.

anen us. clametcn. ei c m epounmnit
eum fmghlalm. et patet
maioꝛum ſicut a ad b. quare ſicut b ad cmaximi ad medium. per diffinitionem ¶ Secunde inuentionem declarare.
differentie maioꝛum ad differentiam minoꝛum eſt pꝛopoꝛtio differẽtie a ad b ad differẽtiam a
¶ MQuartam in terminis manifeſtare.
¶Quinte demonſtrationem explicare.
————“*
X
¶ Wec eſt ↄuerſa quadrageſimeſexte.ſint ergo a be in harmonica medietate diſpoſiti qui numerent dkmefg. dico e f geſſe in arithmctica medietate conſtitutos. Sumohlꝛl duplos ad a b cqui ſikiter erũt in harmonica medietate ⁊ in medium ᷣm arithmeticam medietatem inter h ⁊ l. eritq; ꝑ quadra geſimãpꝛimam huius h ad mn ſicut lꝛ adl. quare ſicut g ad fadiuuãteviceſimaquĩta lecundi.ſed ⁊ per eãdem viceſimãquĩtam ſcðᷣi cognoſcet᷑ g ad e ſicut h ad l. ſed h ad in medium:ſicut g ad f̃ ſuũ medium et madl vt f ad e. igirur per decimãnonam huius f medius erit in medietate arithmetica inter g⁊ e. quod eſt pꝛopoſitum. ¶ Quotlibet nũeros in geometrica quoꝝ ſingulos ſᷣm harmonicam medictatem medios aſſignare ſit poſſibile. Per triceſimãnonam huiꝰ ſumãtur ſᷣm datam pꝛopoꝛtiõem a/ b/ ctres numeri in harmonica me⸗ dietate:et ſint d e termini ꝓpoꝛtionis a ad c.et ducat᷑ d in oẽs illos ⁊ ꝓueniant fgh qui ꝑ ſeptimam ſecũdi erunt in eadẽ medietate ꝙ per coꝛrelarium eiuſdem ſ eptime differẽtie fad g ⁊ gadh ſint eque multiplices ad d e.ducat᷑q; e in c⁊ ꝓueniat lꝛ. eritq;ʒ ꝑ octauam ſecũdi f ad h ſicut h ad lꝛ. Itẽ ducatur e in b ⁊ ꝓueniat l.eritq;l ad lꝛ ſicut b ad c. quarel harmonice mevio inter h ⁊ lꝛ. ſicq; habes duos ſᷣm datam ꝓpoꝛtiõem geometrice ⁊tinuatos:inter quos ⁊ duo medij harmonice medietatis ſunt inuẽti. Q ſi plures deſideras duc d in oẽs inuẽtos ⁊ e in duos extremos ⁊ habebis tres ĩ medietate geome⸗ trica ↄtinuatos ⁊ inter binoꝛũ ſ ingulos ea rõne qua pꝛius medios in harmonica medietate ſi umptos et hoc quoq; pacto quotquot voles inuenies.““
¶ Tres numeros in harmonica medietate diſponere:ita vt ĩter binos ⁊ binos med
fm medietatem geometricam cõſiſtant. ¶ Scöm exigentiam trceſimeſecunde huius inueniã
9 A: 4
inueniãtur a b ctres numeri in arithmetica medietate nſtitutt: inter quos ſint d ⁊e in geometrica medietate.et ſit f numerus quẽ oẽs numerant:numerẽtq;
ꝑ quadrageſimãſextam huius g/lꝛ/m eẽ in harmonica medietate:ſed ⁊ per huiꝰ h inter g ⁊ lꝛ:etl inter lꝛ ⁊ m erũt in geometrica medietate.ſicqʒ patet
quadrageſimamoctauam effectum pꝛopoſitum.
¶ Pꝛimam reſiduarum medietatum:in numeris conſtituee.
¶ Hec a geometrica ſumitur.Et ſint a b c in geometrica medietate ita tamen vt c minimus ſit maioꝛ
ꝙ dfia maioꝛum.ſubſtrahat᷑ igitur differẽtia maioꝛum ab c mĩmo /⁊ reſiduſa ſit d.dico b c d eẽ in hac pꝛima collateralium medietatum ↄſtitutos.nã quia a b cſunt in geometrica medietate cõſtituti:ideo que ꝓpoꝛtio a ad b:ea eſt ꝑ viceſimam huius differentie maioꝛum ad differentiam minoꝛum.ſed dif⸗ ferentia a ad b eſt eadem differentie cad d. igitur differentia c ad d minoꝛum ad differentiam b ad c itaq; patet ꝓpoſitum.
ad a.et ↄpoſitũ ſit nam per viceſimam huius que poꝛtio a ad b ea erit nũeroꝛũ in geometrica medietate ↄſtitutoꝝ.et eadem ad d. igitur per diffinitionem cõcluditur pꝛopoſitum.
¶ Tertiam carũdem in numeris aſſignare.
¶ Sint vt pꝛius ab c in geometrica medietate quoꝝ differentiam minoꝛum addę d. dico d ad b eſſe in ſecũda reliquan medietate.
¶ bhec etiam habetur ꝑ geometricam medietatem.ſit ergo pꝛecedẽtium hypotheſis ⁊ maioꝛum dif⸗
ferẽtia dematur ab b medio:ſitq; reſtduum d. dico b /c/ d eſſe in tertia medietate.nam gue differẽtia a ad bꝛea eſt b ad d. igitur que ꝓpoꝛtio differẽtie a ad b ad differentiam b ad c ea eſt differẽtie cad d ad differentiam b ad c.quare que ꝓpoꝛtio b maximi ad cmedium:
dium: ea eſt differentie b ad d extremoꝛum ad dfiam b ad c maioꝛum.cõſtat igit᷑ ꝑ diffinitionem b c d eẽ in ꝓpoſita medietate.qð eſt ꝓpoſitum.
¶ Sint ab quilibet duo numeri:et cõpoſitus er ipᷣis ſit c.dico /a /b eẽ tres terĩos in haclquarta me⸗ dietate datos.qꝛ enĩ dria c ⁊ b extremoꝝnꝛeſt a.et df̃ia c a maioꝛũꝛ:eſt b.g que ꝓpoꝛtio a ad b medij ad mĩmũ:ea erit drie extremoꝝ ad drỹiam maioꝛum. per diffinitionem itaq; ↄſtat factum eſſe ꝓpoſitum.
Hec a geometrica medietate elicitur. Sint igitur vt pꝛius a b c tres nũeri ĩ geometrica medietate quoꝝ cmĩmo addo differentiam maioꝛum:et cõpoſttus ſit d.dico d b c eſſe in ꝓpoſita medietate.nam differentia d cextremoꝛum eſt differentia a ad bꝛigitur adiuuante viceſima huius que ꝓpoꝛtio b ade medij ad minimumꝛeg erit differentie d ad cextemoꝛum ad differentiam b ad c minoꝛum. Itaq; per diffinitionem demonſtratum eſt pꝛopoſitum.
¶ Sextam ſub exemplo demonſtrare.
¶ ec ex harmonica cognoſci poteſt. Sint a b cin harmonica medietate:ꝑ diffinitiõem que ꝓpoꝛtio a adcea eſt drie maioꝛum ad driam minoꝝ.capio nũerum d inter a ⁊ cꝛcuius df̃ia ſit ad a que badc. erũt itaq; trãſmutate differẽtie.quia que differentia a ad b maioꝛum:ea eſt d ad cmĩoꝛum.⁊ que b ad c minoꝛum:ea erit a ad d maioꝛum.dico itaq; a d c eſſe qui petũtur.nam que ppoꝛtio a ad cextremoꝝ ea eſt differẽtie d c minoꝛum ad differentiam a d maioꝛum.per diffinitiõem igitur patet effectum eſſe ꝓpoſitum. Quod 5ů capite ſecũdi ſue arithmetices diuus Seuerinus teſtatur huic medietati quam ſuo oꝛdine quartam ponit pꝛopꝛium eſſevt qð cõtinetur ſub maioꝛe terĩo ⁊ medio duplum ſit ei quod
medietate ſᷣm datam ꝓpoꝛtiõem ↄtinuare: inter
d u b 3 2f-—ͤ zg8— 4 h 12 R 1 6 — f 1—12 9— 1 5 6 4 3 — 4 dd— e— f 2 —88 3— —,— v-r ie— —,— — 4— a 9 b 3 b 6 C 4 6— 4 d 4 a d 21 b—56 àa—, E 4 b 5 b-—s àa 5 e 4 b 6 e 7 b— 8—4 b—z d— 7 a 9 b- 6 b— F E 4 c 4 9- 6 Aa— G d 5 b— 4 6.— 4

—
————
— —.. 4
— —ſ . .
———— — 7— ——————üöy—
————
—— ——
—ᷣ—ͦ—ÿ—ꝛ—x————
— 20— 40
9- 4à 9 d- 7 b— 6 b 6—4 9— 5— 9 d—s b- 6
b——
2—8 d—s
——,
h 25 g 20 b——ä 16
—5— 10
aadb maximi ad miĩmumteg eſt adiuuãte vice us dift. d bminoꝛũ. nam equatur differentie b ad c. igitur per diffinitionem adb ſunt in hac medietat
cötinetur ſub medio ⁊ paruiſſimo:hoc indubitatũ eſt per ſeptimem ſecũdi quoties maximi dmi
eſt habitudo dupla/ alioquin per eandem nen teneat ſed per eandem ſemper que ꝓpoꝛtio maxim mĩmum ea erit eius quod cõtinetur ſub maximo ⁊ medio ad id qð continetur ſub medio⁊ mimo; 4)
id omni medietati cõmune eſt. ¶ Septime terminos inueſtigare. U hec ex geometrica. Sint ab ctres numeri in geometrica medietate ab a maximo eoy ſi ubſtraho
differentiam minoꝛum ⁊ ſit reſiduum d. et patebit vt pꝛius que ꝓpoꝛtio a ad b maximi ad mimü:eg eſſe differentie extremoꝝ ad differentiam maioꝛum.quare per diffnitionem conſtabit pꝛopoſitum
¶ Octauam demum reſtat explanare.
2
oimo
VUÜUbec etiam ex geometrica.Sint ſepius dati numeri a/ bic in geometrica medictate: et minoꝛũ dif⸗ 2
ferentia addatur medio:fiatq; compoſitus d. dico a /d/ b eſſe in hac vltĩa medietate.nam que
3 4 0 te viceſima huius differẽtia a ad b extremoꝛũ ad difenean . e. ſt conſtant octo collaterales medietates monſtrate. cch
¶ Trium numeroꝛum maximi ad medium:atq; differentie maximi ad minimumad differentiam medij ad ip̃m:eandem eſſe pꝛopoꝛtionem impoſſibile eſt.
¶ Sint a/ b/ c tres diuerſi numeri quicũq;:quoꝝ a ſit maximus/ b medius/ et e mĩmusꝛ et differentia
a ade ſit d. et differentia b ad c ſit e. dico impoſſibile eſſe eandem ꝓpoꝛtionẽ a ad h maximiad mediũ que d ad edifferentie maximi ⁊ minimi ad differentiam meti ad mimum. nam ſi ea ꝓpoꝛtio ſit aad
b que dad e totius ſcz ad totum que detracti ad detractũ:erit c reſidui ad c reſiduũ:que a ad btonus —— enim c vtriuſq; reſiduum.quare a et b idem ſunt numerus atq; equales. quod eſt contta
. VPot elim.
¶ Si inter duos numeros ſumãtur tres medij: vnus fm arithmeticam medletaten: et vnus ᷣm geometricam:et teruus ſm haimonicam:arithmeticum maximũ:⁊har⸗
—
monicum mimum:atq; inter illos geom etricum medium eſſe ꝓ poꝛuõalit eſneceſc.
¶ Sit a adc ꝓpoꝛtio qtecſq; que poteſt in duo equa diuidi.vt exempli cauſa quadrupla inter uius extrema per triceſimãnonam huius ſit inuentus b in harmonica medietate duplo abete⁊ ꝓuenian d /e/ fqui ↄſiliter erũt in cadem medietate.et quia per ſeptimam ſecũdi d ad f vt a ad cꝛet a adcpoſita eſt partibilis in duas equas ꝓpoꝛtiones:partietur etiam d ad f̃in equas. diuidatur igitur pergeri igitur d ad g vt gad f. quare g per diflinitionem medius eſt gec metricus inter d⁊ f. et quia f ⁊8lunt pares:ipſoꝛũ ſimul iunctoꝛum capio medietaiem que ſit h:que per quintam huius eſt in arithmeuia medietate inter d ⁊ f.habemus igik inter duos numeros d etf tres medics hgeſcz hin ariltmeni medietate/ g in geoſnetrics/ ⁊ e in harmonica demõſtratos · qð ſupponebat ꝓpe ſitio. dico igitur dele maximum medioꝛum:et e mimũ:et gmedium ꝓpoꝛtiõaliter atq; gec metricum inter h ⁊e nem quia h eſt medius int d ⁊ fm arithmeticam medietatẽ ⁊ efm harmonicam:ergo ꝑ quadraseſimapumʒ huius h maioꝛ eſt qᷓ e.et que ꝓpoꝛtio d ad hea eſte ad f. igitur per vicelimsquintam ſeuuᷣdiq üit erd in fꝛequũ eſt ei qui fit ex h in e.ſed quia g eſt medius a poꝛtiõaus inter d⁊f:ꝛigitur perviceſimaſextom eiuſdem quod ſit ex d in fꝛequũ eſt ei qui fit ex g in ſe.quare quod ſit ex g in ſe im̃ eſt qᷣtum quodq h in e. igitur per ſecũdam partem eiuſdem viceſimeſexte ſecundi h ge ſunt pꝛopoꝛtiõales.quare hait maximus:g medius pꝛopoꝛtionalis:⁊ e minimus.quod intendebat pꝛopoſitto.
¶ Duos numeros quoꝝ ꝓpoꝛtio non ſit data pꝛopoꝛtione maioꝛ/ inueſtigarerinte a quos fm tres dictas medietates medios aſſignare ſit poſſibile.
¶ Hatam pꝛopoꝛtionem quãcunq; diuidamus per ſexageſimãnonam noni in quotlibet ppottiones. quaꝝ due ſint equales:que ↄpoſite nõ ſint data pꝛopoꝛtiõe maioꝛ.fm igit᷑ illam ꝓpoꝛtidem Puliun quero medium harmonicuimn fm exigentiam triceſimenone huius et oĩno conſimiliter operidonm
pꝛincipio pꝛecedentis factum eſt inueniam tres medios modo qui in pꝛecedenti dictuseſtinte duos numeros quoꝝ pꝛopoꝛtio non erit data pꝛopoꝛtione maioꝛ.ſicq; conſtabit pꝛopoſitum.
¶ Decimi elementoꝛum arithmetices Joꝛdani finis.

medü: vusfnntm damoricam:ntaa amndm ncandäma
rreumd ufnmam
medus dzunenmmn m cxc ih-qrepcramaa
numercs deta nac
m ſrrr es. ot ſextentugi
ucd
tdata pꝛepenatim
alig nareſixilti
obſeruatoꝛem eſſe cognoſcito.
1 Jacobi Fabꝛi Stapulenſis Elementa Muſicalia ad clariſimũ viri
Nicolaum de haqueuille inquiſitoꝛium Pꝛeſidẽtem.
Ecreuerã clariſſime vir nulli meas elementoꝝ muſicaliũ qualeſe cunq; ſunt pꝛius dicare vigilias: qᷓ; pꝛobatas cognouiſſẽ. q;uis id me mĩme laterct/ demõſtranones:in quibusvel ſ⸗ olisvis ſcientie cõſiſtit: nõ pꝛo bari non potuiſſe. Vcrũ ſi pꝛeſentiũ iudicia parui ducis/ reputaſq;:hi iibi ex atiquis ſũmopere muſicos cõmendare laboꝛes iure valebunt.
—
Mercurius
Tamyꝛas Ptolomeus O'ꝛpheus bhrſmenias Thebanus Eubolidcs Prthagoꝛas Samius Terpander leſbius hHippaſus 5 Amphion thebanus Lycaon Samius Ariſtoxenus ELinus Pꝛophꝛaſtus Periotes Philolaus Pythagoꝛicus. Arion leſbius EfE ſtiacus Colophonius. Archytas tareninus WMrdas Phꝛygius Tymotheus mileſus zlbinus Loꝛebus lydius icomachus Diuus Scuerinꝰ Boecius. bHyagnis Phꝛyx Plato 1 Marſias Ariſtoteles.
Et ſimilium q́plurimi quos oẽs cterna memoꝛia diſciplinarũ eblãditiſſima Muſica
reddidit iſignes inter quos:duos pceptoꝛes meos Jacodũ Labiniũ ⁊ Jacobũ turbe linũ ãnumcro:tanq́; ea arte poſteritati victuros. Comẽdant ⁊ e miriſici cius effectꝰ.
Pythagoꝛici eni animoꝝ ferociã uibus /fidibuſq; emollicbant. Eſclepiadcs fremẽtis
vulgi ſeditiones crebꝛo cantu compeſcuit. Idẽq; tuba ſurdis medebatur.— Damon pythagoꝛicus cbꝛios et pꝛoinde petulãtes adoleſcẽtes:grauioꝛibꝰ modulis ad tẽperantiam reduxit. Febꝛẽ kvulnera:muſica modulatione curauit antidtas
Eadẽ quoq; ſuauitate ſchias/ coxendicũq; doloꝛes emẽdauit: qð haſmemas theban⸗ tẽtaſſe memoꝛatur. Theophꝛaſtus ad animi pturbationcs moderãdas muſicos adhi buiſſe memoꝛat᷑ modulos. Nec iniuria quidẽ.eſt enĩ muſica vt quedã moderationis lex atq; regula. Quamobꝛẽ bono iure eos ridebat diogenes muſicos: qui cũ citharã
ad harmonicos cõſenſus haberent temperatã: animũ gererent incõpoſitũ et pꝛoꝛſus
harmonia vite deſtitutũ. Fenocrates oꝛganicis modulis lymphaticos liberauit.
Tales Crctenſis ſuauitate cithare:moꝛbos/ peſtilentiãq; fugauit. Terpãder et arion Aoncs ⁊ leſbios cantu a grauiſſimis moꝛbis lcuaſſe: diuus Scuerinus autoꝛ eſt. Herophilus medicus egroꝛum venas muſicis penſiculabat numcris. Tymotheus aũt muſicus dum voluit efferatũ reddidit alexa ndꝛũ ad armaq; furentẽ
atq; aliter cũ libuit ab armis ad cõuiuia retraxit emollitũ. Thꝛacius Oꝛpheus feraꝝ
ſenſus ſidibus/ cãtuq; inflexit. hoc eſt ferinos hoĩm moꝛes leges ad citharã canendo
ad moderatã humanitatẽ reduxit. Cerui fiſtulis capiũtur ſtudioq; modulationũ dcti⸗
nentur. Cygni hyperboꝛei cithare cãtibus alliciũtur. Elephãtes indi oꝛganica dulce dine permulcẽtur. Auicule fiſtulis irretiũtur. Teneros adhuc infantiũ fenſus permo uent cãtus/ crepitaculaq;vagientũ ſedãt. Delphinos ſuis ſibi fidibus cõciliauit arton Serpẽtes cãtibus rũpuntur. Sepultoꝝ manes cantibus excitãtur. In actiaco littoꝛe mare citharã perſonare memoꝛãtur. Megaris citharã perſonat ſ axũ: et ad cuiuſibet pulſantis ictum ſidicinat. Et poſſem pleraq; talia vir clariſſime ad muſicã cõmenda⸗ tionẽ adducere.at tot/ tantiſq; ⁊ recentiũ ⁊ pꝛiſcoꝝ cõmendatã autoꝛitatibus tibi nũc
ab me atq; bonarũ litteraꝝ ſtudiis dicatã diſciplinã: equo ſuſ cipias animo tuis auſpi
cs lucem habiturã. Et me vnum inter tuos cliẽtulos tuarum virtutũ /tuiq; nominis Uale. f 4 1

“ “— ͤſſſſſſſ
eee* — e—. 4 8 3 1„ ee 4.— 4 2 5— 8————— 4*—„. 85 8 ſ 8 4 relers“ Ree*— 5—— ——————,—— EEEöö 3— 4 4—* 4 2— 4——y———yyyyzÿỹ— 8— 8—y———.—. 1——————— 1—— 1
. 8ſ“— ͤͤb
chariſſimis pꝛeceptoꝛibus.
— P ¶ Jacobus Stapulenſis Jacobo Labinio ⁊ Jacobo Turbelino Muſicesſu
4
LUod inter oꝛatoꝛẽ atq; rhetoꝛa: id inter cantoꝛem ⁊ muſlcum intereſſ lunt:neq; oꝛatoꝛem quemq́; dici mereri qui idem rhetoꝛ non ſit. na velrn ſemper iudicium fuit:vt ne cantoꝛ quide dici mereatur vnqᷓ;:qui idem 2 ſicus non fuerit:pulchꝛe mimos/ et hyſtriones a cantoꝛum honcſto caut queſtrãtes tanqᷓ; E picureos a ſobꝛia menſa ſcaſtoq; philoſophoꝛũ dogmate. nec h iuria nam homerus diuinus Poeta vbiq; doctum et ſeria modulatũ introduct enn⸗ toꝛem vt apud Odyſſeam vbi Penclopẽ Phemiũ Fidicinẽ ad neruos verba moui⸗ tem his verbis allocutam effingit. 8 Pꝛeterea illachꝛimans diuum eſt affata canentem Phemi multa tenes hominum mulcentia pectus acta hominum atq; deum:ct que laudẽ autoꝛibus addunt.
Er is pange aliquid.
Et quales homerus pꝛobat: vos minime tales eſſe dubito vt qui dudũ a vobispii muſices rudimenta perceperim. Quapꝛopter ad vos noſtros laboꝛes examinandos cõmitto.quos eo uibentius me ſuſcepiſſe fateoꝛ:quo muſicalẽ ſciennã neq; apud ga cos neq; latinos quidẽ vnqᷓ; elementis traditam eſſe legeri: at introductiones oplu⸗ rimas inter quas ca ommũ nobiliſſima eſt quam diuus Seuerinus Boecius ſun mo⸗ numentũ reliquit. quem vnũ in hac re pꝛeſerti delegi meoꝛũ ſtudioꝛũ ducẽ. S& ergo pꝛobaueritis ſatis michi eſt. In re enim noſtra malumus alioꝛũ udica ſequi:pa
pꝛia pꝛobarc. Tlalete.
. Inſigncs ex recentioꝛb· Antiqui qui de muſica ſcripſerunt qui de eadẽ ſcnpſere Democritus Pelato Albinus Heraclides ponticus Ariſtoteles Diuus Seuennus Thimotheus mileſius Theophꝛaſtus Baſilius b Philolaus Pythagoꝛicus Nichomacus 3 hylarius Architas tarentinus Ariſtoxenus Auguſtinus Duo Theodoꝛi Ptolomcus mmbrꝛoſius Fanthus athenienſis Belaſius.
Argumentum quattuoꝛ libꝛoꝛũ muſices.
Pꝛimus liber interualla muſicis modulationibus acõmoda diſcutit. multiplexd plare/ triplare/ quadꝛuplare. ſuperparticulare: ſeſqualteꝝ/ ſeſquitertiũ/ſeſqmoctuii bis ſeſquioctauũ/ ter ſeſquioctauũ/ quater ſeſqͥoctauũ/ quinqͥes⁊ ſexies ſcſquoctuuũ ¶ Secundus de tono/ integro toni dimidio/ ſemitonio minoꝛe/ ſemitonio maioucſco mate/ ſchiſmatce/ atq; diaſchiſmate.
¶ Tertuus de ſeſquitono/ ditono diateſſarũ/ diapente/ diapente ⁊ tono diapaſon dia paſon ⁊ triſemitonio/ diapaſon et ditono/ diapaſon et diateſſarõ/ diapalon t diapetel
diapaſon dꝛapente ⁊ tono/ diſdiapaſon/ ac integro toni ⁊ cõſonantiarũ oin dimidio.
Et de maximarum harmoniarum conſonantiis:et quarundã medietatum. ¶ Quartus de monochoꝛdo/ tetrachoꝛdo/ pentachoꝛdo/ heptachoꝛdo/ oclochoꝛdo⸗ pentadecachoꝛdo/ diatonicis/ chꝛomaticis/ cnarmonicis melodiis. Et de melodtani
modis. et hec ſub bꝛeuitate contracta: argumentũ libꝛi ſunto.
——zͤ 2ͤ

dine 1 danamaan L Jacobi Fabꝛi Stapulenſis Elementoꝛũ muſicalijüj ero qude datd ad clariſſimum virum Nicolaum de haqucuille pꝛeſi⸗ — dentem pariſienſem liber pꝛuus. *—— AMRtcruallum eſt ſoni grauis/ acutiq; ſpacioꝛum habituvo[. doamnaſan b Spacumvocamus ncruũ/ choꝛdam/ expiratum aerem/ et quid⸗
Adadſa aauid ſimile eſt:a quo ſonum elicimus.
Multiplex interuallũ eſt quoties maius ſ paciũ continet minus
Icancnten— pluries.vt bis:et duplex interuallum dicitur. vt tertio: et dicitur — decds viplenoh Tano et qua auplee umchak.⸗ hoc pacto deĩiceps autoade— um ſuperparticulare eſt cum maius continet minus: et
um pantem eius aliquann. ia b b
me talcs(ſehee. Pars eſt que metitur totum: ipſum aliquoties ſumpta reſtituens., oha n Si maius continet minus et eiuſdẽ dimidium: ſ eſqualterũ nominatur interuallum. tncoe wde Simaius continet minus et minoꝛis partem tertiam: dicitur ſeſquitertium.ſ mcdt guomle Si vero cötinet minus et eiuſdẽ minoꝛis pPartem octauã:epogdoum/ ſeſquioctauũq; ,— cllerimn nominatur. Et ita reliqua ſuperparticularia ĩterualla:perfacile eſt difinire: ſed parũ uan dens Sern muſico conducunt pꝛopoſitio.— aſcnii dcleg nai Superpartiens autem diceretur interuallum: ſi maius contineret minus et minoꝛis noſtra malunasaia partes aliquot: que partẽ vnam non efficiunt. e e Numeri ſunt adinuicem pꝛimi: quos ſola metitur vnitas.
—
Dignitates. at nen
— Au, Vidquid metitur alterum: metitur et omne menſurgtũ ab ilo. ELompoſitum in ea reſoluitur ſimplicia:ex quibus componitur.
CLuiuſlibet numen pars eſt vnitas: ab eo denominaat.
¹ 2 Vnitas in quemcunq; numerum ducta: ipſum pꝛoduat. ſtus s· Quidquid metitur detractum et reſiduum: metitur ⁊ totum. —
4
0
k Quecunq; vni et cidem cqua ſunt:⁊ ea inter ſe ſunt equa. ê„— 7Et aue inter ſe ſunt equa: eiuſdem ſunt cque multiplicia aut ſubmultiplicia.
Eoꝛum quoꝛum tota ſunt equa:et dimidia ſunt equa.— Quidquid bis auctum aliquid tranſcendit: id vltra illius dimidiũ eſſe neceſſe eſt.
+ Et quod duplicatum non implet integrum:id pꝛofecto non continet dimidium. ‿ Omne totum eſt maius ſua parte. 4 a( Petitiones.
dationidus ainais Data equali choꝛda: que ſpacij ad ſpaciũ pꝛopoꝛtio eſt: cam eſſe ⁊ ſoni ad ſonum. erc: ſccquutt ſti: Inter numcros ſola vnitate diſtantes: nullum intercipi poſſe medium. b anaats Spacium quodlibet in quotiibet equas partes diunderc. ſeſdoctu en Totum ad ſuam partem/ et laxius ad ſe tenſum: grauioꝛem ſonum edere. 5o ſemuoae n, Smnem pꝛopoꝛtionem eſſe tanq; numeri ad numeru. Si numerus numcrũ datum multiplicet:idẽq; pꝛoductũ diuidat:numeꝝ datu redire Si numcrũ datũ numer⸗ diuidat:⁊ qð ꝓuenit rurſus multiplicet:numeꝝ datũ redirc. cdutir ss Extremoꝛũ pꝛopoꝛtionẽ ex medioꝛũ pꝛopoꝛtionibꝰ vt ſuis partibus eſſe compoſitã. mtegroenitn Extremi oꝛdinatarũ pꝛopoꝛtionũ: maximus/ minimuſq; terminus intellguntur.
zantis:ct Sciẽtia ſubalternata qualis ad rithmeticã Muſica eſt: pꝛincipiis et demõſtratis ſcientie pꝛiotis — ſubalternãtiſq; vtitur.at ſtuduii
mus vt ꝙᷓ; ſieri poteſt rariſſime id in hac diſciplina fiat. verum plerũq;
vbi opoꝛtunũ videbitur altoᷓ; in arithmeticis factũ eſt vtemur demõſtrandi mõ: auo ſingula magis
3— ex pꝛopꝛiis facta videãtur qᷓuis arithmetico ſuffragio atq; iis que in arithmeticis monſtrata ſunt ea gumcntild dem pꝛõptius faciliuſq; fierent: attamen quando id fiet ⁊ quando nõ ſequentibus demõſtrationibus cuilibet per qᷓ́; perſpicuum euadere poterit.;,

h — 4
,— 8* 4——————jjy .—— 5 ———y————
————
——— —
CSi interuallum multiplex binario multiplicetur: id quod ſit ex hac multiplicationt interuallum multiplex et.„Nsmilrm e
40
d
— ⏑——
—
16
oQ··
4
— us„. 1
Waltiplex ex duplatione. 1
V——
1 1
2
—2
2 Multiplex interuallum..
¶ Interuallum binario multiplicare:eſt interualli habitudinem duplare que quo acto duola dudum tertia pꝛopoſitione quinti Arithmetices notum eſſe poteſt. vt ſi ab ſit Arerhaſtand quod binario multiplicare iubeamur: ipſum per tertiam quinti multiplicabimus ſi ducimus ⁊69 et b in ſe pꝛoueniantq; d c eritq; pꝛoductoꝛum d et c duplex interuallum interuallo Qlſi rurſum ducimns a in b pꝛoueniatq; pꝛoductum e erit per ſextam quarti que 6 vem e ad cet interuallum d e in duo equa partitum. Sed eſto nunc vt interuallum ab ſit multig quẽadmodum pꝛoponit pꝛopoſitio quod modo pauloante dicto: binario multiplicetur:
d cet ea pꝛopoꝛtio d ad e ⁊eadce:dico interuallũ d ad c eſſe multiplex. HNam cum interuallum cum geminatur manifeſtum eſt multiplex addi multiplici quare per noni Arithmetices ſtatim notum eſt interuallum compoſitum multiplex eſſe.⁊ pꝛopoſitũ. Sed iden aliter hic demonſtratur. Quoniã enim que pꝛopoꝛtio a ad b ea eſtdad eete adc. nam vtraq; pꝛopoꝛ tionis duplate a ad b medietas. Pꝛopoꝛtio aũt a ad b poſita eſt multiplex:igitur et pꝛopoꝛti multiplex eſt.metit᷑ igitur per diffinitionẽ multiplicis:e ipſum d vel bis vel ter vel dei
quoq; iure c toties metitur ipſum e.quare ⁊ eper pꝛimũ communẽ conceptũ etiam metitur ipſuma. Quicquid enim alterũ metitur:metitur et omne quod menſuratũ eſt ab illo.eſt itaq; per diffinition
—
A
imusainſ bꝛoducentiũ ab. Pꝛopoꝛtio d ad e
—x RRR
etur: ſitq duplum aà8d emultiplexſi viceſimãſecundam
☛
ᷣ—
odade deinceps. Er eods
—
interuallum a c multiplex. quod erat oſtendendum. ¶ Si fuerint termini ꝓpoꝛtionaliter conſtituti: cum pꝛimus fuerit vltimo cõpanaus,
ſi pꝛimus vltimum fuerit menſus:metietur et ſecundum.
2ſ ſaes Ab etres terniiniyone
nales quoꝛũ anumeratb.
¶ Tametſi manifeſta
hanc decimatertia quarti demõſtret ſufficienter:eam tamen ãplius hoc in loco volunuus re. Sint enim a b c termini pꝛopoꝛtionabiliter conſtituti et a numeret c: dico idem a nume
rare h.capio enim d ef terminos in ea pꝛopoꝛtione minimos. Quoniã enim d ade vta ad bꝛetend b
vt b adc. i dadf
vt a ad pꝛopoꝛtione pariter et f
gitur per equam pꝛopoꝛtionalitatẽ quam viceſ imapꝛima ſecundi Brithmetices monſtrat
c. ſed a per hypotheſim metitur e: igitur et d minimi. ergo per quintam quarti d et f ſunt adinuicem pꝛimi. Et cum d ſeipſum metial per diffinitionẽ d eſtvnitas. At vero cum vnitas ſit omnis numeri pars:d ergo metieture
metietur f. At quia d ef poſiti ſuntin ſu
Et cum a ad b vtd ade: metietur igitur a ipſum b ſecundũ terminum: quod erat cognoſcendum ang
pꝛopoſitum.
Si interuallum binario multiplicatũ: multiplex effecerit interuallum: ipſimaug; multiplex erit. b rte.
ſ
2
—
—
— 4 8 5 S 8. db internallum vinario multipllani
. 2 1 — 84
multiplex efficlens.
b e
¶ Heceſt conuerſa pꝛime:cuius hec eſt ratio. Mam cum interuallum compoſitũ multiplex ſitet pa ſecundam cõmunem ſcientiam reſoluatur in i
compoſitũ omne: in ea ſimplicta diſſoluitur e der ſexageſimã noni interuallum ſimplex multiplex erit. Ut id idem aliter oſtenditur. Ramſiabe geminatum interuallũ ſit multiplex ſic vt c ad a erit multiplex:a per diffinitionẽ meti eſt igitur interuallum
——
d interuallum ex cuius multiplicatione creuit dngi x quibus coalitũ concretum ſcompoſitũq; eſſe cogno
uscuuidae eee
multiplex ſit ad a et ea pꝛopoꝛtio a ad b ⁊ b ad c: quonlãt metietur ipſum c. quare ⁊ per pꝛecedentem a metietur ipſunb. ſimplex b ad a per diffinitionem multiplex. et pꝛopoſitum.

———
¶ Si terminoꝛũ interualli pꝛimus ad ſecundũ comparatus ſeſe vt tertius ad quartũ
habuerit: quot pꝛopoꝛuionaliter medij pꝛimo et ſecundo: totidem tertio ⁊ quarto in 1—— 4 0 2 teruenire neceſſe eſt. Auall ur
E medium pꝛopoꝛtionale inter d et k tertium 2 quartum vt b inter pꝛimũ et ſecundum.
[2aas 12lsr eee.eee
¶ Hanc duodecima quarti monſtrat cuins adhuc hic vt ad ſequentia momentum Hebens cognitio
pꝛomptioꝛ habeatur: repetitur demonſtratio.
¶ Sit a cuiuſcunq; interualli pꝛimus terminus ad cſecundũvt d tertius ad f quartũ:et ſit b medii
pꝛopoꝛtionaliter conſtitutꝰ inter a ⁊ c.dico etiam inter d et f interuenire unedapbeer tedenn wrig Capio enĩ per ſextam quarti ghlꝛ tres minimos ſecundũ pꝛopoꝛtionẽ a ad b et argumentoꝛ ex vice- ſimapꝛima ſecundi per equam pꝛopoꝛtionalitatẽ gad hvt aad beth adlꝛ vt b adc. igitur gad lꝛ vt a adc. quare ⁊ vt d adf.at ſi det fſunt iidem termini cũ glꝛ manifeſtum iam eſt inter d et finteruenire vnũ pꝛopoꝛtionaliter mediũ. Sin minus: ergo per viceſimã tertũj rithmetices get lꝛ metiẽtur d et f equaliter:ſitq; id ſecundũ l.duco ergolm gh et lꝛ ⁊ pꝛoueniant def per ſeptimam ſecundi d ad e vtg
adheteadfvt h ad k.quare e interuenit ꝓpoꝛtionaliter medius terminis d ⁊ f:qð erat mõſtrandij.
¶ Superparticularis interualli medius numerus:neq; vnus neq; plures pꝛopoꝛtio⸗ naliter interuenient. b
.22 pꝛopoꝛtio ſuperparticularis:in duo equa diuidi non poſſit. 9
27 18 Kc ipacium ſuperparticuſare.
Avſe. 5 8
Cbhanc intelligimus: nullum ſuperparticulare internallum in duas aut plures interualloy habita dines pꝛopoꝛtioneſq; ſecabile eſſe.quod demonſtratione pꝛoxime ſubiuncta perqᷓ facile liquebit.
e 8 3 Deftres minimipropoꝛtionts asd b.
¶ Sit a e interuallũ tuperparticulare quod diuidatur in duo equalium habitudinũ ſpacia a b⁊ be
certis cõſtitutiſq; numeris ſi poſſibile eſt. ſitq; iccirco vt a ad b ita b ad c.capio per ſextã quarti arith metices d e ftres minimos continue ꝓpoꝛtionales in pꝛopoꝛtione a ad b. et qꝛd ad evt aad bete adf
3at vt had c:ergo per equã pꝛopoꝛtionalitatẽ d adf vt a adc.atqui a ad cpoſitũ eſt ſuꝑparticulare inter⸗
uallũ:igitur ⁊ d ad f eſt ſuperparticulare. Atvero quoniam d e ᷑ ſunt tres illius habitudinis minimi
terminꝛꝛigit᷑ d et f pꝛimus ⁊ vitimus per pꝛimã quarti ſunt adinuicẽ pꝛimi. At cũ d mõſtratus ſit ſuꝑ Fartlenlaris ad f: per diffinitionẽ d continet f et eius partem que ideo per diffinitionẽ metitur f. Et
i ea pars ſit numerus cum ea etiam per cõmunem conceptũ metiatur d:metietur enim ſe partem de tractam ⁊ reſiduũ quod equũ eſt f.non erũt ergo d et f adinuicein pꝛimi cuius oppoſitũ iam monſtra tum eſt ⁊ impoſſibile.erit ergo ea pars vnitas·Tunc addo vnitatem ipſi f ⁊ fiat g: vt g et fſolius vni⸗ tatis diſcrimine diſtent mox argumentoꝛ d ad fvt gad f. ſed inter d et fpoſitus eſt vnus interuenire medius igitur per pꝛecedentẽ ⁊ inter g et f numeros ſola vnitate diſtantes interuenit intercipiturq; aliquis numerus medius quod per ſecundã petitionem eſt impoſſibile.non igitur ſuperparticulari interualli vnus medius interuenit numerus.neq; quoq; eodem argumẽto interueniẽt plures.Et hãc
etiam demõſtrat ſexageſimapꝛima noni.Et ex hac quoq; cognoſcitur repꝛehẽſionem demõſtrationis
Archite:ꝙ nulla ſuperparticularis in duo equa diuidi poſſit quam tertio inſtitutionis muſice capite vndecimo videtur diuus Seuerinus adducere nõ tam eſſe diui Seuerini q́ᷓ Nichomachi aut alioꝛũ quos interpꝛetatur elegantiſſime qui ⁊ ſimile in pleriſq; tum Brithmetice tum Muſice inſtitutionis locis feciſſe comperitur.Et non verentur quidã(pace omniũ dixerim) eius libꝛos perluſtrare non vt ſciant ſed vt exſurculent et canino moꝛe ſi quid hians ſubſultanſq; appareat:altius dentem infigant/ moꝛdeant ⁊ repꝛehendant et ſanctũ ⁊ venerabile Philoſophie nomen et ſuoꝛũ conuiciis lacerent: et quod alioꝛũ vicium eſt ſi quod eſt:diui Seuerini exclament erroꝛem faciantq; alioꝛũ crimine reum.et cum nichil noꝛintvolunt litterarios duces inſectãdoſcarpendollaniãdo omnia ſcire videri: atq; ſupꝛa Philoſophicosvertices ſeſe gloꝛiabundos extollere faciuntq; quod eſt apud Comicũ ne intelligẽdo vt nichil intelligant quos idem ſtatimvt maledicere deſinãt ammonet malefacta ne cognoſcant ſua. Sed hec pꝛeter pꝛeſentis negocij officium. de Philoſophis enĩ qui recte fuerint natura inſtituti vel abſq; monitione ſemper recte cogitabunt qui enĩ ſecus faciunt ab eoꝛum ſe ſegregant conſoꝛtio et vt Philoſophi quales ſe videri volunt non amplius eſſe cognoſcantur neceſſe eſt. b 5

—
———————— —————— 2—
—— ———— ——————]—
2— 2.. ——-———
4O
Si interuallum non multiplex binario multiplicetur:id quod ſit ex hac multoi tione neq; multiplex eſt/ neq; ſuperparticulare. 1 b hlia, Aeinteruallum neg mu 1 14 1 ee hhe .. 3 tum inte— 3 b 8— Ac duplatum interuallu
auidem eſt non mu liiplex. abꝗ;
¶ Sit interuallũ non multiplex a bꝛet duplum ſit ac.ita vt ea ſit pꝛopoꝛtio a ad b⁊ hadc dico in uallum a cneq; multiplex eſſe neq; ſuperparticulare.quoniã ſi a cpꝛimo ponatur multiplex: er ter tertiã pꝛeſentis et a b interuallũ erit multiplex at poſitum eſt nõ multiplex. Et ſi ſecundo dirclde eſſe interuallũ ſuperparticulare cũ ſit a ad b vt badc erit interualli ſuperparticularis mediusg 4 poꝛtionalis terminus quod per pꝛecedentẽ eſt impoſſibile. eſt itaq; notum ſi interuallũ nã waadhe binario multiplicetur compoſitum interuallum minime aut multiplex aut ſuperparticulare e 3 et pꝛopoſitum.
CSi iteruallum binario multiplicetur: atq; id quod ex ea multiplicatione creabiuu multiplex non ſit: ipſum quoq; non erit multiplex. à;
hec eſt conuerſa pꝛecedentis. Sit ergo ſuperioꝛis pꝛopoſitionis figura in qua interuallũac puo⸗
ueniat ex duplatione habitudinis interualli a b et nõ ſit ac interuallum multiplex. dico itidem inte uallum ab nõ eſſe multiplex. Nam ſi a b interuallũ multiplex eſt: cũ a c per hypotheſim exinteruall ab binario multiplicato ſurgat: ergo per pꝛimã pꝛeſentis interuallũ a e multiplex eru. at poſitũel nõ multipler: ergo ſi interuallũ non multiplex ex alicuius interualli binario multiplicarione naſcit neq; ipſum quoq; ex cuius multiplicatione oꝛtũ eſt multiplex erit:qað erat monſtrandũ.
¶ A numero paruũ ſuperparticularis interualli que in vnum adacte totum feſtiuuũj et numero vno maiqꝛe:quot interualli maioꝛes termini ſimul: minoꝛibus ſimul acct⸗
ptis reſpondeant: cognoſcuntur.
a 4 ⸗⸗——— l* 1 83] 4 1 1 1 1 e
—
¶ Sit a ad b interuallũ ſuperparticulare manif᷑eſtũ eſt per diffinitionẽ ſuperparticularis acotince bet vnam partiũ b. ea igitur pars ſecundũ numerum c:conſtituat ſuum totũ b: et ſit d numerusmo maioꝛ c:dico a ſumpta ſecundũ numerum c equa eſſe b ſumptis ſecũdum d. Nam a ſecundu cſunpt continent b ſecũdum c ſumpta et inſuper partes b ſumptas ſecundũ c. Atqui poſitũ eſteas ſecumic conſtituere vnũ b.igitur a ſecundũ c ſumpta continent b ſumpta ſecundũ numen vno maioꝛem 3 3 vero d poſitus eſt numerus vno maioꝛe c.ergo a ſumpta ſecundum c:continent b ſumpta ſeun f quod erat monſtrandũ. ¶ Et ſi exemplarẽ requiris declarationẽ:ſi a ad b interuallũ eſtſcſqua 8 quoniã a ſeſqualterũ eſt ad b.ergo a continet b ⁊ eius dimidiũ: et duo dimidia per cõmunepa 9 i⸗ ſuum totũ reddunt. dico ergo duo a tantũ eſſe oᷓtum tria bꝛquoniã enim duo a continent aoh. tin ſuper duo dimidia b que vnũ b reſtituunt:ergo duo a continent tria b/ tribuſq; euaduntegun pe⸗ a ad b eſt ſeſquitertiũ a continet totum b ⁊ tertiam partẽ b.at tres tertie b eque ſunt yni bergo rioꝛe argumento tria a cõtinent quattuoꝛ b/ quattuoꝛq; euadunt equalia.ĩmo data quaclic 5 ſcoͤm ticulari maioꝛes termini ſecundũ pꝛopoꝛtionis minoꝛẽ numerũ:equantur minoꝛibus termin teſunt pꝛopoꝛtionis maioꝛẽ numerũ ſumptis.vt ſi a ad bſit ſeſquiquinta: quoniã minimiſ eſauiau erd s et ʒ. idcirco quinq; a equi ſunt ſex b. et in nõ minimis quoniã ꝛꝛ et io ſunt termini ſeſquiqu ran equantur 12 b. Et ſi a ad b ſit ſeſquioctaua:quoniã minimi ſeſquioctaue ſuntꝰ et 8. idcircos Lereri ſunt aᷓtum nouem b. Et qꝛ rurſum 18 ad 1s ſeſqoctaua:ideo ſexdecim a equi ſunt is beetita uit SDer ſi id nõ modo particulariter ſed ⁊ vniuerſaliter contẽplari cupis id vniuerſaliter veru ert
¶ Data quacunq; pꝛopoꝛtione:maioꝛes termini ſecũdum numerũ minoꝛum ſumpi cqui ſunt minoꝛibus ſecundum numerum maioꝛum ſumptis.
—————————————————·

auf
1 2
1 85 7
1 14
————————„. 8—
1
emun;=ſ⸗⸗2=au==eLS Wentrez* ⸗as eſsoucee. ſ“ſ'uee. 22S
—————
¶ dAt ſit a ad b quecunq; pꝛopoꝛtio et a maioꝛ terminus: b vero minoꝛ.dico a ſumptos lecundũ b nu⸗ merum minoꝛẽ equos eſſe b ſumptis ſecundũ a numeꝝ maioꝛem. Ham per octauam pꝛimi Arithme⸗ tices quod ſit ex a in bꝛequum eſt ei quod ſit ex b in a. Atvero quod fit ex a in bꝛ ſunt a ſumpti ſecundũ b. et quod fit ex b in a ſunt b ſumpti ſecundũ a.igitur a ſumpti ſecundũ b equãtur b ſumptis ſecũdum a et in quibuſlibet aliis eadẽ eſt demõſtratio ⁊ pꝛopoſitũ. CCum aliquot maioꝛcs termini aliquot minoꝛibus cqui ſunt: ca vnius maioꝛum ad vnum minoꝛum reperitur ꝓpoꝛtio:que ⁊ numeri minoꝛum collectoꝛum ad maioꝛum collectoꝛum numerum.
¶ Hec eſt cõuerſa pᷣcedentis. Quoniã per pꝛecedẽtem minoꝛes collecti ſecundum numerũ maioꝛum equi ſunt maioꝛibus fecunvũ numerum minoꝛũ collectis. Sed numerus maioꝛſũ eſt vnus terminus maioꝛ et numerus mioꝛũ vnus terminus minoꝛ.ergo eadem eſt pꝛopoꝛtio vnius maioꝛũ ad vnum minoꝛũ:que numeri minoꝛũ collectoꝝ ad numerũ maioꝛum collectoꝛũ. ¶ Et quãꝗᷓ he due vltime con cluſtones faciles ſunt: vſus tamẽ earum paulo latẽtioꝛ eſt. Per pꝛimã enim earũ que nona eſt:habe⸗ mus ſi numerus maioꝛ ad minoꝛẽ ſeſqualter eſtvt trium ad duo:duo maioꝛes equi ſunt tribus mino⸗ ribus.Et ſi maioꝛ ad minoꝛẽ ſeſquitertius vt ad ʒ:tres matoꝛes equi ſunt quattuo: mĩoꝛibus.Et ſi maioꝛ feſquiquartus vt5 ad 4: quattuoꝛ maioꝛes equi ſunt quinq; minoꝛibus. Si vero maioꝛ ſeſqui octauus:octo maioꝛes equi ſunt nouẽ minoꝛibus.⁊ ita in cõſimilibus. In multiplicibus aũt ſi maioꝛ duplus eſt vt duoꝛũ advnum:vnus maioꝛ equus eſt duobus minoꝛibꝰ.Si triplus:vnus maioꝛ equus
eſt tribus. Si quadꝛuplus: vnus equus eſt quattuoꝛ. Si octuplus:vnus equat᷑ ad octo. In ſuperpar⸗
tientibus vero conſimile eſt:vt ſi maioꝛ eſt ſuperbitertius vt 5õ ad 3: tres maioꝛes equi ſunt quinq; me noꝛibus. Si ſupertriquartus vt ad 4:quattuoꝛ maioꝛes equi ſunt ſeptẽ minoꝛibus. Si vero ſuper⸗
octupartiẽs vt 7 ad ↄ:nouem maioꝛes equi ſunt decem ⁊ ſeptẽ minoꝛibus. et hoc pacto in reliquis.
¶ Ex vltima autem hanc in ſuperparticularibus vtendi regulã elicimus. Si duo maioꝛes equi ſunt tribus minoꝛibus quattuoꝛ ad ſexſſex ad nouẽ ſocto ad duodecĩ:vnus maiodad vnum minoꝛẽ ſeſqual ter eſt. Et ſi tres equi ſunt ad quattuoꝛ:ſex ad octo maioꝛ ad minoꝛẽ eſtſ eſquitertiꝰ. Si quattuoꝛ ma⸗ ioꝛes equi ſunt quinq; minoꝛibus:aut octo ad decẽ:vnus maioꝛ vnius minoꝛis eſt ſeſquiquartus. Si
—
vero octo maioꝛes nouẽ minoꝛibus ſunt equi: vnus maioꝛũ advnum minoꝛũ cognoſcit᷑ ſeſquioctauꝰ.
In multiplicibus.ſi vnus duobus:duo ad quattuoꝛſtres ad ſex equi ſunt: maioꝛ minoꝛis eſt duplus. Si vnus tribus duo ad ſex:vnus maioꝛ minoꝛis eſt triplus. Si vnus ad quattuoꝛ:et duo ad octo:vnꝰ maioꝛñ ad vnum minoꝛũ eſt quadꝛuplus.Si vero vnus ad octo duo ad ſedecim:maioꝛ mĩoꝛis eſt octu plus. In fuperpartiẽtibus.ſi tres maioꝛes equi ſunt quinq; minoꝛibus: aut ſexad decẽ: vnus maioꝛ ad minoꝛẽ eſt ſuperbitertius. Si quattuoꝛ maioꝛes ſeptẽ minoꝛibus:maioꝛ minoꝛis eſt ſuꝑtriquartꝰ. Si vero nouẽ equi ſunt ad decem ⁊ ſeptem:maioꝛ minoꝛis eſt ſuperoctupartiẽs.Et in compoſitis nu meris ſimile eſt. vt ſi duo a equi ſunt quattuoꝛ b ⁊ dimidiũvnius:quẽadmodum in duobus coniũctis ſeſqualteris.quoniã et vnius dimidiũ ad ⁊ duplũ ſunt et ſeſquiquartũ:iccirco vnus a adynum b du plus eſt atq; ſeſquiquartus.Si tres a equi ſunt ad quattuoꝛ bet tertiãvnius:vt in duobus ſeſqͥtertiis quoniã quinq; ⁊ tertia vnius cõtinent tres ſemel duas tertias et vnam nonam: pꝛoinde vnus a conti⸗ nebit b vnum duas eius tertias et vnam eius nonã. Si quattuoꝛ equi ſunt ad ſex et quartã vnius: vt
in duobus iunctis ſeſquiquartis: quoniã ſex ⁊ quarta vnius cõtinentiquattuoꝛ dimidiũ/et decimam
ſextam ex quattuoꝛ:ideo vnus maioꝛ cõtinet minoꝛẽ ſemel ſeius dimidiũſ⁊ eiusvnam decimãſextam.
Si vero octo valent decẽ ⁊ octauam vnius vt in duobus feſquioctauis:quoniã decem continent octo⸗
et quartam:⁊ octaua vnius ad octonos vna eſt ſexageſimaquarta: ideo vnus maioꝛũ continet minoꝛẽ ſemel ſeius quartã partem /et eius ſexageſimãquartam.Et ſi cõpoſitionis ſeries pꝛotenſioꝛ euadit: vt ſi duo a equi ſunt ſex bhmedietati vnius et quarte vt in coniũctione trium ſeſqualteroꝛũ: quoniã ſex cõtinent duos ter ⁊ dimidiũ vnius eſt quarta pars duoꝛũ:et quarta pars vnius eſt octaua pars duoꝝx JIccirco vnus a triplex eſt bvnius infuper quartã atq; octauam partẽ b continens.Et ſi tres equi ſunt ad ſeptem ⁊ nonã vnius quosd in tribus ſeſquitertiis coniunctis euenit:quoniã ſeptem:bis continent tres:⁊ trium tertiã partem:et nona vnius ad tres eſt viceſ imaſeptima. ideo vnus maioꝛũ continet mi noꝛem bis ſeius tertiam ſet eius viceſimãſeptimam.Et ſi quattuoꝛ equi ſunt ſeptẽ dodꝛanti vnius hoc eſt tribus quartis et inſuper decimeſexte vnius:vt in coniũctione trium ſeſquiquartoꝝ: quoniã ſeptẽ
cõtinent ſemel quattuoꝛ et tres quaternarij partes:et tres quartevnius av quattuoꝛ ſunt tres decime
ſexte:⁊ decimaſexta vnius eſt ad quattuoꝛ vna ſexageſimaquarta. iccirco vnus maioꝛ continet vnum minoꝛẽ ſemel ſet dodꝛantẽ ⁊ tres decimaſſextas atq; vnam ſexageſimãquartã. Si vero octo equi ſunt
ad vndecim tres octauas vnius ⁊vnam ſexageſimãquartam:vt in tribus ſeſ quioctauis ↄiunctis: amm
vndecim cõtinent ſemel octonariũ et octonarij tres partes:⁊ tres octauevnius ſunt ad octo tres ſexa
geſimequarte.⁊ vna ſexageſimaquarta ad octo eſt vna quingẽteſima duodecima.hinc ſit vt vnus ma⸗
ioꝛum cõtineat minoꝛem ſemelſtres eius octauas tres ſexageſimas quartas etvnam quin genteſimã
duderimäeft hec adiecimus quovſus harũ duarumvltimaꝝ in ſequẽtibus patentioꝛ manifeſtioꝛq; fᷣ4

— 8 — 1= , —
—* S—— 8—— 4 2-— ——— 8—— ——————— —————— ———
———
————
—y
D
¶ Duplex interuallũ ex duobus maximis ſ upparticularibus:ſ cſqualtero atq; ſeſau
tertio coniungitur.
Quoniã enim a ſeſqualter eſt ad bꝛergo per octauã huius duo a equi ſunt ad tres b. et rurſ ſeſquitertius ad c:igitur per eandem tres b equi ſunt quattuoꝛ c:et tres b poſiti ſunt e duo igitur a equi ſunt ad quattuoꝛ c.cum quecũq; vni eidemq; equalta ſunt inter ſe ſint quattuoꝛ numerus minoꝛũ collectoꝝ duplex eſt duoꝛum numeri ſcʒ collectoꝛũ maioy. i
6 4 3 A cduplex interualun.— a b V c Ab ſeſqualter. b eſe equitereino ¶ Sint ab c interuallũ:a quidem ſeſqualter ad b:b vero ſeſquitertius ad c: dico a duplum eſſ ade
us quiab qut duobusg, T equalia. gitur per pꝛe⸗
cedentẽ vnus a duplex erit ad vnũ c.qð erat demõſtrandũ poteſt ⁊ hocvltimũ etiam demöſtrari. Qf enĩ duo a equi ſunt quattuoꝛ c:vnus a ꝑer octauũ pꝛoloquiũ equus eſt duobus c. quoꝝ enitotae 1
ſunt et eoꝛũ quoq; dimidia ſunt equa. At duo c du plex erit c vnus quod fuiſſet monſtrandum.
pli ſunt vnius.igitur et vnus a duobus cequus: du
¶ Ex duplici interuallo atq; ſeſqualtero: triplex naſcitur interuallum.
6
I
3
1
V
Actriplex interuallum.
—
1
5
3
C
—
Ab duplex intuallũ.b ⁊— 1
——
¶ Sint a b c interuallũ:et a quidẽ ad b duplex ⁊ b ad cſeſqualter. dico a eius quod eſte triplicẽeſe quoniã enim a ad b duplex eſt: ergo a per diffinitionẽ continet bis b.igitur a equatur duobus b. etq b ſeſqualter eſt ad c: igitur b continet c et eius partem dimidiã. ergo per octauam huius duo h equi ſunt tribus c:et duo b equi erant vni a.igitur ⁊ tres c equi erunt vni a. tres autem triplex ſuntrnius. igitur per decimã vnus a triplex eſt vnius c:quod erat demonſtrãdum.
¶ Duo duplicia interualla: quadꝛuplex coniungunt interuallum. 4 V 6 2 b 1 a b c
¶ Sit a duplex ad bꝛet b duplex ad c.dico quoniã a quadꝛuplex eſt ad c. Nam quia a duplex eſtadb: igitur duo b equi ſunt vni a.et rurſus qꝛ b duplex eſt ad c:igitur duo c equi ſunt vni b.et ſi duo cequi ſunt vni b:quattuoꝛ equi erunt duobus b.at duo b poſiti ſunt equi vni a: igitur et quattuoꝛc equ
buntur vni a. at quattuoꝛ quadꝛuplũ ſunt vnius.igitur per decimam vnus a qnadꝛuplex eſt rnuusc
——
Ac duplex interuallum b
Ac geminatũ duplex intuallũ
quod erat oſtendendum.
¶ Terminũ reperire:ad quẽ quotcunq;volumus:liccat ſuꝑparticulares aſſignare. 3 2 8 6 Jad e ſeſqualter.. 3 3 b C 8 Bad cſeſquitertius
¶ Sit pꝛopoſitũ terminum reperire ad quem ſeſqualterũ ⁊ ſeſquitertiũ valeamus aſſignare. Cani duo ⁊ tria numeros denominãtes partes ſeſqualreri atq; ſeſquitertij: duo ſiquidè ſeſqualterũ etnii ſeſquitertiũ denominãt. ⁊ duco duo in tria:pꝛoueniatq; ductu illo c. manifeſtum eſt c haberepartem dimidiã pariter ⁊ tertiam.iungo ad cpartẽ eius dimidiã:⁊ compoſſitus ſit a. et iterũ adc tungopane eius tertiã: et ſit cõpoſitus b. quoniã enim a continetc et eius partem dimidiã ergo per ĩiſiniin a ad c ſeſqualter eſt. et quoniã b continet c et eius partem tertiã:b itidem ad e ſeſ quiteninszein
repertus eſt terminus ad quẽ petiti ſuperparticulares rite ſunt aſſignati. et hac lege de aubbe di eſſet operandũ:vt ſi eſſent aſſignãdi ſeſqauioctauus et ſeſquinonus duc octo in nouẽ ⁊ſ angerenen octauam/ nonãq; partem poſſidens:ad quẽ ⁊ ſeſquioctauũ et ſeſquinonũ rite aſſignaueris. dis quoq; pacto modo tres:modo qu attuoꝛ aut quotquot libuerit ad eundem terminum aſlignabis.
640 V 600 576 1 540 V 48o— .. aitus Tlfqoctauus vt ſi ad eundẽ terminũ peterentur aſfignari feſquitertius/feſqͥquartus/ſeſ aulanitns ele hurnmm
ducatur tria/ quattuoꝛ/quinq; et octo in ſeinuicẽ ⁊ pꝛoueniat e qui ircirco habet in oſitus ſitb⸗ſuam
quintã et octauam.adiungo e ſuam tertiã compoſituſq; fit a. et ſuam quartã ⁊ comp 41e 1 0. e: jäade quintã compoſitus ſit c.ſuã deniq; octauã ⁊ ↄpoſitus ſit d.dico demõſtratione ſuperio daugomorum
conſtituti ſunt a b cd ſeſquitertius/ ſeſqui s/ ſeſqui uioctauus pꝛefixa monſtrat foꝛmula. quiquartus/ ſeſquiquintus/ et ſeſq
———————
——⁊,1——
—

1
¶Si ſeſqualtero interuallo ſeſquitertium demptum fuerit interuallum:erit qð relin⸗ quitur ſeſquoctauum. 1 b b ö 43 äö ¶ Sit c terminus ad quem ꝑ pꝛecedentẽ aſſi ignati ſint a ſeſqualter:⁊ bſeſquittio. Ab ac ſeſqualtero ſubduco interuallum ſeſquit᷑tium b c:relicto interuallo a ad bꝛquod dico eſſe ſeſquioctauũ. qm̃ enim a eius quod eſt c eſt ſeſqualter:a ſemel habet c et eius dimidiam partem. quare per octauã huius duo a equi ſunt tribus c.⁊ quatruoꝛ a ſex c.et octo a ad duodecimn c. Aurſus qm̃ b huius quod eſt c ſeſqui- tertius eſt.b igit᷑ habert in ſe c ⁊ eius tertiã partem.quo fit vt ꝑ eandẽ octauã tres b equi ſint q̃ᷓttuoꝛ c.
et ſex b octo c et nouẽ b ad duodecim c.at octo a quidẽ equi erãt ad duodecim c:igit octo a equi ſunꝭ ad nouem b.per decimam igit᷑ a ↄtinet b ⁊ eius octauã partem.eſtq; a ſeſquioctauus ad b et ꝓpoſſitũ.
¶ Interualli quarta ⁊ duodecima:vnam cius tertiarum reſtituunt. ¶ Mam quattuoꝛ interualli quarte:totũ complẽt inruallũ.⁊ duodecim eiuſdẽ interualli duodecime: totũ itidem cõplent interuallũ. quare quattuoꝛ quarte ⁊ duodecim duodecime adinuicẽ equãtur.due igitur quarte ſex duodecimis/ ⁊ vna quarta tribus duodecimis ſunt eque.quoꝝ enĩ tota equa ſunt: eoꝝ dimidia. At quattuoꝛ duodecime: duodecim duodecimarũ ſuntvna tertia:qᷓre ⁊ vna totius tertia cut quidẽ duodecim ille duodecime cognoſcũtur eſſe idem atq; eque. vna igit᷑ totius quarta q̃ tribua duodecimis equa eſſe mõſtrata eſt et vna duodecima illi adiuncta:totius tertiam partem reſtituunt. Equãtur enĩ vna tertia ⁊ vna duodecima quattuoꝛ duodecimis.qð erat demõſtrandum.Et qᷓuis hee
demonſtratio ſequẽtis gratia partickariter facta ſit:poſſis tñ modo ↄſimili monſtrare oèm minoꝛem
cuiuſcũq; totius interualli partem: ꝓxime maioꝛem partem efficere:illi adiecta vna partium a nũero
qui ex ductu denoĩationũ vtriuſq; partium enaſcitur:denoĩata.vt totius tertia pars minoꝛ eſt: ⁊ ſciᷣa
prime maioꝛꝛet ſi duo in tria duxeris ſunt ſex:iccirco vna tertia atq; vna ſexta vnam reſtituũt ſcðᷣam.
Similiter quoq; quarta ⁊ quinta partes ſunt ꝓxime maioꝛ atrq; minoꝛ: et ſi ducis quĩq; in quattuoꝛ
ſurgunt viginti:pꝛoinde vna quinta ⁊vnaviceſima:vnã quartam reſtituũt.et hoc pacto in ſequẽtibus vt ſubiecta monſtrat foꝛmula.
5 Ac ſeſqualter. Bec ſeſquitertius.
Aad b ſeſquioctauus.
Tertia et ſerta vnam ſecundam efficiunt. Quinta et viceſima vnam quartam.
Sexta et triceſima vnam quintam.
Septima ⁊ quadrageſimaſecũda vnam ſextam.
Octaua ⁊ quinquageſimaſexta vnam ſeptimam.
MHona ⁊ ſeptuageſimaſecũda vnam octauam.
¶ Due pꝛopoꝛtiones ſeſquioctaue:minoꝛes ſunt ſcſquitertio interuallo.
84—
——
81 V 72 b 54 3 V Ac duo ſeſquioctaui coniũcti
989 db&( 8d
Apd ſeſquitertiũ interuallũ.
512
2 a 1 b c 8/
¶ Sint a b edtres coniũcti ſeſquioctaui:vt a ad b pꝛimus ſit ſeſquioctauus/ b ad c ſecũdus/ et cad d tertius:dico pꝛimo a ad camplius eſſe ſeſquitertio.Am enĩ a ad b ⁊ badc duo ſũt ſeſquioctaui:ergo per octauam huius octo a equi ſunt decem c ⁊ octauevnius. Sed ⁊ cum c iteꝝ ad d polſitus ſit ſeſqui⸗ octauus:ergo ꝑ eãdem octo c equi ſunt nouem d/et nouẽ c equi decem d ⁊ octaue vniꝰ et decem c equi
vndecim d ⁊ duabus octauis.et cũ octo octaue c ↄtineant nouem d:g per decimam huius vna octa ua
c continet octauam d ⁊ eius octauam partem:hoc eſt vnam ſexageſimãquartam. decem ergo c et vna octaua vnius equãtur vndecim d/tribus octauis/ et vni ſ exageſimequarte. et per decimã vt vndecim res octaue ⁊ vna ſexageſimaquarta ad octoꝛita a ad d.ſed vndecim cõtinent octonos ſemel tres eoꝝ

H
partes/ tres octauas/ et vnã ſexageſimãquartam vnius:ae tres octonoꝛũ partes amplius ſunt ter eoꝝ parte. Superãt enĩ tres octonarij partes: tertiam eiuſdẽ partem triente vnius:hoc ẽ tertia yniii arte.a foꝛtioꝛi igitur tres octonoꝛũ partes/ et tres octaue vnius ⁊ vna ſexageſimaquarta itaa lus unt tertia ortonoꝛum parte. cõtinent ergovndecim/ tres octaue vnius/ ⁊ vna ſexageſimaquarta' is ſemel ⁊ amplius eoꝝ parte tertia.quare ⁊ a cõtinet d ⁊ ãplius tertia eius parte. eſt itaq; a ad dã and ſeſquitertio interuallo. Scðᷣo dico a ad d minoꝛem eẽ ſeſqualtero intuallo. Nam vndecim ↄtinẽrou ⁊ tres octauas: deeſt ergo vna octaua ad complẽdas quattuoꝛ octauasſ ꝗ̃ ſunt octonoꝛum dimidium Atvero q̃ ſuperãt:tres octaue vnius/ et vna ſexageſimaquarta minus efficiũt dimidio vnius oan 1— quare ⁊ multo minus efficient vna octaua.vndecim ergoſ⁊ tres octaue; ⁊vna ſexageſimaquartannii cõtinent octo ſemel ct minus octonoꝛũ dimidio.ergo per decimam huius ⁊ a cõtinet d ſemel aminus eius dimidio.eſt itaq; interuallum a ad b minus ſeſqualtero interuallo. 3
¶ Quattuoꝛ ſeſquioctaui coniũcti:ſeſqualterum ſuperant interuallum.
—
6561 b 49096 12 e quattuoꝛ ſeſqui⸗ V b—. 5——— 3 4 V t e oct᷑ aui coniũcti.
———
Sint ab cdequattuoꝛ ↄiũcti ſeſquioctaui:a ad b pꝛimus/b adc ſecundus/ cad
.
. 6.5 251 dtertiug/: quartus:dico qm̃ int᷑uallum a e amplius eſt ſeſqualtero intuallo. Nam vt in pꝛecedenl nan 9
b
b
a equi ſunt vndecim d/ tribus octauis /⁊ vni ſexageſimequarte vnius.et vndecim d/tres octaueyni b
⁊ vna ſexageſtmaquarta: equãtur duodecim e/ ſex octauis/ quattuoꝛ ſ exageſimisquartis/auni aun⸗
genteſime duodecime.ergo octo a equi ſunt duodecim e/ ſex octauis/ quattuoꝛ ſexageſimisquartis
et vni quingẽteſime duodecime. Atvero duodecim/ ſex octaue/ qᷓttuoꝛ ſexageſimequarte ſet vna quin⸗
genteſima duodecima cõtinent octo ſemel et amplius qᷓ octonoꝛum dimidium:qf̃ cõtinet octo ſenei b
⁊ dimidium:et inſuꝑ ſex octauas/ quattuoꝛ ſexageſimasquartas/ ⁊ vnã quingenteſimã duodeciniam
vnius. igitur per decimam huius a cõtinet e ſemel ⁊ amplius qᷓ eius dimidium. ſi uꝑat itaq; aeintual lum quattuoꝛ ſeſquioctauis ↄiũctũ: ſeſqualterum interuallum.quod erat monſtrandum.
¶ Quinq; coniũcti ſeſquioctaui:minus duplici interuallo coniũgunt.„
¶ Mam ꝑvndecimam hvius duplex interuallum ex duobus marximis ſi uꝑparticularibus:ſeſqualto ſcʒ et ſeſquitertio ↄiũgit᷑.at ↄſtitutis quinq; ſeſquioctauis tres pᷣmi ſ eſquioctaui:per decimãoctauã huius minus ſunt ſeſqualt᷑o interuallo.⁊ duo ſequẽtes ſeſquioctaui qui vna cũ tribus poꝛibus qua cõplent:per decimãſeptimam huius minus ſunt ſeſquitertio. coniũgunt igitur quinq; ſeſquioctaui minus duplici interuallo.
¶ Sex pꝛopoꝛtiones ſeſquioctauc:maioꝛes ſunt vno duplici interuallo. 1 531441 2 V A 16214 † Ag ſer ſelgur 3 b ec d V e V f g octaui cõiũcti.
¶ Sit a g interuallum ſex ↄiũctoꝝ ſeſquioctauon:itavt a ad b ſit pꝛimus ſeſquloctauus b adeſchs cad d tertiusd ad e quartus e ad f quintus:f aũt ad g ſextus.dico qm a adg amplius eſt dupliciin⸗ teruallo.Qm̃ enĩ a ad b ſeſquioctauus eſt:ergo per octauã huius octo a equi ſunt nouem b. et nounen b per eãdem equi ſunt decem c/⁊ octaucvnius.et decem c ⁊ octaua vntus:equa ſunt vndecimdytribus octauis ſet vni ſexageſimequarte vnius.etvndecim d/tres octaue /et vna ſerageſimaquartaxiʒ equi tur duodecim ej ſex octauis q̃ttuoꝛ ſexageſimisquartis et vni quingenteſime duodecime. duodecm aũt eſſex octaue quattuoꝛ ſexageſimequarte etvna quingenteſima duodecima:equantur trideam decem octauis decem ſexageſimis quartis quinq; quinãᷓgeſimis duodecimis ſetvni quarte millelime nonageſimeſexte. Utvero decem octaue vnũ cõtinent integrum ⁊ inſuꝑ duas octauas.quofft itert duodecĩ eſſex octaue q̃ttuoꝛ ſexageſimequarteſ⁊ vna quingenteſima duodecima:equẽtur qttuoꝛdeci fſpuabus octauis decem ſexageſimisquartis quinq; quingenteſimis duodecimis ſetyni quartemil⸗ leſime nonageſimeſexte. Utvero q̃ttuoꝛdecim fſdue octaue decem ſexageſimequarte quinq quingẽte ſime duodecimeſetvna quarta milleſima nonageſimaſexta: equa ſunt quĩdecim g ⁊ octooctauis cius hoc eſt equa ſunt ſedecim g) duodecim ſexageſimisquartis quindecim quingenteſimis duodecimis ſex quartis milleſimis nonageſimisſextis ⁊ vni triceſimeſecũ de milleſime ſeptigẽtelime ſexagelime octaue. At ſedecim ⁊ duodecim ſexageſimequarte ⁊ relique ſequẽtes particule: continent octo biset amplius.igitur per decimã huius a ad g maiug ẽ duplici int᷑uallo.ſex igit᷑ ſeſquioctaui maioꝛesſunt vno duplici intuallo:vt intẽdit ꝓpoſitio. ¶ Et ſi hec ꝓpoſitio quo ad ſuã demõſtratiõeʒ nõnullis ilh difficilioꝛ videat᷑:hoc iccirco ꝓueniet ꝙ illis pꝛõptitudo/vtẽdiq; habilitas octaue/none/⁊ decimehuo deerit.iccirco par/cõſentaneũq; erit eos qui in muſicis modulatiõibus ⁊ eaꝝ ↄtẽplatiõibusſe exard tare volent:multos ſeſqualteros deinde ſeſquitertios ſet alios ſequentes ſuꝑparticulares colligcre: quouſq; vſus colligendaꝝ ꝓpoꝛtionũ ipſis iam ſit factus puius/ patenſq; ⁊ qſi iam ibis domeſticu
¶ Pꝛimi Elementoꝛum Muſicalium finis.

A
n
Onſonãtia eſt ſoni grauis/ acutiq; mixtura:ſuauit/ vnifoꝛmiterq; auribus
c incidens:ex multiplici aut ſupparticłari ratione ꝓfecta. ¶ Diſſonãtia
b eſt duoꝝ ſonoꝛum non ſe natura ſuauiter miſcentium: ad aurem ꝑueniens aſpera/ iniocũdaq; percuſſio. ¶ Tonus eſt conſonãtie pꝛincipiũ:ex ſoni ad
ſonum ſeſquioctaua ꝓpoꝛtione ꝓueniens. ¶ Semitonium minus qð et dieſis dicif: eſt toni pars:qua ſeſquitertia ꝓpoꝛtio duobus tonis maioꝛ eſt. ¶ Semitoniũ maius quam ⁊ vocant Apothomen: eſt toni reliqua ꝑs: et qua ipᷣe ſemitoniũ minus ſuꝑat. ¶ Comma eſt quo ſeſquioctaua ꝓpoꝛtio:duobus ſemitoniis mĩoꝛibus maioꝛ eſt: q et idem eſt quo Apothome ſemitonium minus vincit ac ſuperat ¶ Schiſma eſt cöma
tis dimidiũ. ¶ Diaſchiſma ẽ dimidium ſemutonij minoꝛis. C hemiſpherium:muſich
eſt inſtrumẽtum per qð aut neruo aut choꝛde vt decet ſuppoſitum:ſemitoma/ tonos/
ↄſonãtiaſq;/ ⁊ conſonãtiarũ particulas:ad ſenſum ꝑueſtigamus. C Sonus emmelis is eſt quo apte vtimur in meclo. ¶ Ecmclis vᷣo is dicitur:quẽ melos/ concentuſq; non admittit. ¶ Equales ſoni atq; ſimiles dicũtur:q ex eadem interualli ꝓpoꝛtione naſcũ tur C RNumeroꝛũ atq; interualloꝛum pars ca maioꝛ eſt:que a minoꝛe nũcro denoĩat᷑. et mioꝛ que denoĩatur a maioꝛe. ¶ Multiplex ꝓpoꝛtio maioꝛ eſt:quã maioꝛ denoĩat
numerus.et minoꝛ: que denoiatur a minoꝛe. C Suꝑparticularis ꝓpoꝛtio maioꝛ eſt:
que a maioꝛe denomiatur parte.minoꝛ aũt:que denominatur a minoꝛc. ¶ Tonum ſuper datam choꝛdam collocarc.
———— u
¶ Sit a b c choꝛda quecſq; ſupꝛa quã iubeamur tonũ collocare:diuido ꝑ tertiam petitionem choꝛdã ab in nouem equas poꝛtiones:ita vt cb illaꝝ nouenarũ octo teneat ⁊ a c vnam. dico qm̃ a b ⁊cb tonũ ↄtinẽt/ ↄſtitutũq; ſupꝛa datã choꝛdam eſſe tonum. Mã totũ choꝛde ſpaciũ 2Jornee ſpaciũ cb ⁊ inſuꝑ octauam eius partẽ:ꝙ a e vni illaꝝ octauaꝝ equa ſit.igit᷑ per diffinitiõem ſpaciũ a b epogdoũ:ſeſqui⸗ octauũq; eſt ſpacio c b.quare per pꝛimam petitiõem ea erit ſont totius choꝛde a b ad ſonum c b ꝓpoꝛ tio.Eſt itaq; tonus in choꝛda a b qui in epogdoa/ ſeſquioctauaq; ratione conſſſtit: collocatus.
¶ Tonum tono et quotquot libucrit:in data choꝛda ſubiungerc. ö. c 2 e
.
¶ Sit data choꝛda a b in qua ꝓpoſitum ſit tres 2ſequẽtes tonos ſubiũgere partioꝛ per tertiam peti
tionem vt in pꝛecedẽti factum eſt ſpaciũ totius choꝛde a b in nouem equas poꝛtiões.et in nota octaue poꝛtionis pono c:ita vt b c octauas illaꝝ nouem partium teneat. manifeſtũ eſt per pꝛecedẽtem a b ⁊c b eſſe tonum et per eãdem petitiõem partioꝛ ſpacium c b in nouem equas poꝛtiões.et in terĩo octaue particłe pono d:itavt d b ↄtineat octo eaꝝ partium quaꝝ c b nouem tinet.per pꝛecedentem cb ad db
an ſonat tonum ſ eſtq; iam vni tono: tonus vnus ſubiũctus. Burſum ſpacium d b ↄſimili modo in nouem
equas poꝛtiões diduco:⁊ notam octaue ſectionis littera e deſigno:ita vt eb octo eaꝝ partiũ cõtineat: quaꝝ d b otinet nouem per pꝛecedentem d b ad eb reſonat tonum.ſunt igitur in data choꝛda a b tres ↄtinue ſubiũcti toni:ſcʒ a b/c b.c b/ d b. d b/ e b.qð erat ꝓpoſitum. et hoc pacto quotquot lubet ſubiũ
gere qᷓ̊facillimũ eſt.Et ſi id ſenſu experiri/ depꝛehẽdereq; cupias poſt pulſuʒ totiꝰ choꝛde a b ſuppone
hemiſpherium choꝛde a b in ſigno cꝛita vt ſola perſtrepat reſonetq; particła c b et ſenſus iudicio depᷣ̃⸗ hendeg ſoni totius a b ad ſonũ c b eſſe toni ĩteruallũ.ꝙ ſi hemiſpheriũ trãſfers ad notam d: ex pulſu cb ⁊ db iteꝝ tonum depꝛehẽdas.ſed ex totius a b ſono ad ſonũ particule d b duos tonos/ duoꝛũq; to⸗ uoꝛum int᷑uallũ perpendet auditus.et hoc pacto ſenſuum iudicijs quotqͥt voles tonos depᷣhendẽdos cõmitteres:et eoꝝ mixturas tum ſuaues /tum incõcinnas(quas auditus tanqᷓ; offenſus hoꝛret refu⸗ Sitq;) decernendas.
¶ Tonoꝛum continuatoꝛum:minimos numeros aſſignare.
042 S2488 486S AI422 6864 768 Suinq tonoꝛum adinuicem conti- — P 8 36 nuatoꝛum minimi numeri. — 5561 583272 1⁄%)hM184 45058 4095 Ruattuoꝛ ronoꝛum adinuicem cõ⸗ ,— b1. 1. 1m tinuatoꝛum minimi numeri.
2²9 1 648 75 5172 rium tonoꝛum adinuicem conti⸗ —y Lef g nuatoꝛum minimi numeri. 8 22 364 Duoꝛum tonoꝛum adinuicem con: a b« tinuatoꝛum minimi numeri.
¶ Si duo/ tres/ ãttuoꝛ/ quinq; aut quotlibet toni ſint ↄtinue in neruo ↄſtituti:ſic eoꝝ mĩmos nſieros reperiemus. QAm̃ enĩ nouem ⁊ octo mimi ſunt numeri toni duco nouem in ſe ⁊ ꝓueniat a: ⁊ nouem in

————————— ——————— ———————————— — 4
——
—.—————
docto x ꝓueniat bꝛ⁊ octo in ſet ꝓueniat e.per viceſimãtertiã tertij Urithmetices int abꝛ ſeſquioctaui in mĩmis numeris ⸗iũcti/ ⁊ ꝓinde duo toni in mĩmis numeris ↄtinuati.Et ſi
,
beſuntduo
59 nouẽ in ab c er octo in c et ſurgant d efg.per eandem inter de f gtres ſunt in mimis numeris eiguloone⸗
cõſtituti:quare d efgſunt trium cõtinuatoꝝ tonoꝛum mĩmi nũeri.Et ſi ducis nouem in derget
ing et ſurgãt hiklm per idem qð pꝛius hiklm quattuoꝛ ↄtinuoꝝ ſeſquioctauoꝛũ mĩmi ſum nioco Aare 7 roathn— tonoꝛum.Et ſi rurſum hoc pacto ducis nouem in hik ĩm erocoinign ſurgant nop ars:ipᷣi erũt quinq; cõtinuoꝛũ tonoꝛum mĩmi numeri.et hoc modo quotquot tonoꝛn voles miĩmos numeros reperias · Attamen in modis muſlcis tot cõtinue ſubiñgere opus non eſt: ſe⸗ tonis ſemitonia ſubiũgunt᷑:de quibus poſterioꝛ ꝓpꝛius/ accõmoduſq; expectãdus eſſſermo.
¶ Spacio quolibet per quotlibet equa ſpacia diuiſo:totius ad totam ꝓxime ſecnaiß partem minoꝛ eſt ꝓpoꝛtio:q́ᷓʒ eiuſdẽ partis ad totam reliquã ꝓxime ſecnõis parian Quo fit vt quanto tonus tono ſubiũgit᷑ acutioꝛ:tanto ipᷣm ↄtractioꝛa ↄtincãt pache.
1- 84— f g 1 1 ¶ Choꝛdam/ neruũ ſtibiam/ eflatũ aera/ es tinnulũ ⁊ quidqͥd ſonũ edit in harmonicis modis tſan quoq; dictũ eſt)ſpacium nũcupamus:in quibus analogie ratio vim naturãq; ſernat eddem. Site 1
ab totum ſpacium per a cic dſd cſe fꝛ⁊ reliquas nouem equas partesvt fit in interuallo toni habendo
diuiſum:quotqͥᷓt enĩ alias poſueris idem valuerit.dico minoꝛem eẽ Ppoꝛtiõeʒ a bad ebꝗqᷣy chadd b. Nam cũ ab poſitũ ſit in nouem equas partes per medias notas cdef᷑⁊ reliquas diuiſum:cbcãtinei ſolũ eaꝝ partiũ octo:quaꝝ a b ↄtinet nouem.ergo a b ↄtinet ſpaciũ cb et eius octauam partem. ſeda
cũ ch octo partes parti cd equas ↄtineat:ergo d b ↄtinet partiũ totaꝝ ſolũ ſeptẽ. ergo cb otinet ſpa⸗
cium d b ⁊ inſuꝑ eius ſeptimã partem. at octaua ys per diffinitiõem minoꝛ ẽ parte ſeptima:igit ieg per diffinitiõem a b ad ch ꝓpoꝛtio ſuꝑparticularis minoꝛ eſt ́ᷓ ch ad db vtpote qᷓ aminoꝛepartede⸗ noĩetur. eſt enĩ hec a ſeptima parte ſeſquiſeptima ꝓpoꝛtio:illa vo ab octaua ſeſquioctaua. Ethaenaã modo in ſuꝑpartickaribꝰ:verũ ⁊ quibuſlibet medietatibus demõſtrat p̃ma decimi Arithmetices vhi ſcʒ ratio medietaſq; arithmetica cõperiat᷑. að ⁊ in dicta ſpacij diuiſiõe ⁊ ſumpta(vt ꝓpoliti elt ꝓpo:
tione:inuentũ ↄſpiciebat᷑. ¶ Coꝛrelariũ vᷣo hinc cognoſcat᷑ ꝙ totũ per quartam petitionem aduam
partem grauiꝰ ſonat:pars aũt ad ſuũ totũ acutius. Itaq; ſi tono ab ⁊c b tonũ ſubiũxeris:ſubiuctus erit acutioꝛ.Et am̃ ſpaci cb in nouem equas partes partiret᷑: quaꝝ quelibet mĩoꝛ erit ſpaciocdq eius octaua eſt:nam quelibet caꝝ eſt nona ⁊ amaioꝛe nũero denoĩata.erit igit᷑ ⁊ quelibet eap nouem partiũ minoꝛ ſpacio a c.equa ſunt enĩ ac et c d.et hoc pacto de qͥ buſlibet ſubiũct)j acutioꝛibꝰ toniseit dicẽdum.manifeſtũ eſt igit᷑ vt quãto tonus tono ſubiũgit᷑ acutioꝛ:tãto ipᷣm ↄtractioꝛa ↄtineãt ſpacia.
¶ Medio extremitatũ toni ſpacio in duo equa diuiſo:tonꝰ mĩme in duo ſecat cͤlu. 3 c 1 e 1 g1.. h 1 b 1I1Leen n ll ¶ hec ⁊ ſequentia intelligũtur vt tonus mĩme in duo equa ratione geometrica dirimat: non auten arithmetica.nam ⁊ hic tonus toniq; interuallum in duo equa rõne arithmetica dirẽptum eſt. diuldo ergo ſpacium ab vt pꝛius in nouem equa ſpacia:per notas a/c/d/ e/f/g/ h/iſk/ b mantfeſtũ eſt obꝛe b eſſe toni extremitates /tonũq; cõtinere.dico ergo qm̃ a cmedio hariũ extremitatũ interſtitio in duo equa ꝑ ſignuml dirẽpto:tonus mĩme in duo equa partiat᷑/;q; ſonus a b ⁊lb equalis non ſitlb ich. diuido enĩ ſingula reliquoꝝ octo equaliũ ſpacioꝛũ ↄſimili modo P equalia per notas m/n/o/p/qrs manifeſtum eſt totũ ſpacium a b diuiſum eẽ in 18 equalia ſpacia que ſunt alſcmſdinſeſo rreliqua. ergo per pꝛecedètem mĩoꝛ eſt ꝓpoꝛtio ab ⁊lbolb ⁊cb.eſt enĩ hec ſeſquiſextadecima:illa vo ſeſqux
ſeprĩadecima.non eſt ergo tonus hoc pacto in duo equa diuiſus.et font a bl b/⁊lbebp difininden
adinuicem inequales:quiquidem ſoni ecmeles ſunt/ muſicoq; melo perparũ apti.
¶ Toni ſpacio hoc modo diuiſo:totius medie ſectionis ſonus: maioꝛis extenitoni⸗
ſonum acumine:minoꝛis vero grauitate ſuperat.—
——:S1 S 1; 1—
— 3— 1—.——— ¶ Sit a b vt in pꝛecedẽti iam dictũ eſt diniſum:itavt a b ad cb recrepet tonum.dico qm̃ ſonuslb acn mine ſuperat ſonſ̃ a b/œœ; idem ſonus lb grauitatevincit cb. Mam à b totum eſt tlbeus peraerge per quartam petitionem a b grauioꝛem ſonũ edit ⁊ Ib gracilioꝛem. et per eãdem qm lbtolſ cſt an
b:ſonus l b grauioꝛ eſt ſono cb. ſuperat ergo ĩ b maius toni extremum acumine:⁊ minus grauitate quod pꝛopoſitum erat demonſtrandum.—
E Tonum in duo equa:certo/ cõſtitutoq; numero diuidi impoſſibile et. Ferau ¶ Mam per quintam pꝛimi huius nullũ ſuꝑparticulare interuallum in plura equalia dirimiti 4
ꝓpoꝛtio ſpacioꝛũ intualli inter ſe ea quoq; eſt ⁊ ſoni ad ſonum. Atqui tonus ex ſupparticulari 2
interuallo.naſcit᷑ enĩ ex epogdoa ſeſquioctauaq; ratõe.igitur tonus mĩme in duo equalia virima diuidit᷑ q.imo vo neq; in plura duobus equa:vt in tria aut quattuoꝛ. ¶ Ex quo facile cognoſc 95 ſtoxenus muſſcus auriũ iudicio cuncta cõmittẽs perparũ ee ꝓbãdus.qui ſemitonia ſecus q Pr.
goꝛici non arbitrat eſie dimidio tono ↄtractioꝛa:ſed quẽadmodũ ſemitronia dicũtur: ita quoqteſt
ntegra tonoꝛum dimidia. Mec minus Martianus felix ſimili lapſus erroꝛe depꝛeheoit: qui nomodo
—

4 .
ca de —
————— 3*—“ 2.““
II
tonum in duo equalia:ſed ⁊ in trial⁊ quattuoꝛ dirimit atq; ſecat. Secat eniʒ in pꝛimis tonum in duo
ualis ꝗ̃ iccirco hemitonia vocat. Secũdo in tria ⁊ eaꝝ tertiaꝝ quãlibet dieſim tritemeriã nũcupat. Tertio in quattuoꝛ et hãc toni partem quartã: vocat dieſim tetrartemeriam: ꝙ he dieſes nunc tertie nũc quarte toni ſunt partes.Eſt enĩ tritos tertiusſtetrartos quartus ⁊ meros pars. Ponit ⁊ tertiaʒ
dieſeos acceptiõem vt eaipſa toni tertia ⁊ tertie dimidia pars dicat. Et rurſum pꝛimi modi pꝛimeq; acceptiõis dieſes:chꝛomaticas vocat ſſecñdas vocat enermonicas tertias Vo enarmonice diuiſſonis hemiolias:partim Ariſtoxeno ſiliter:partim aũt diſſili. Similit᷑ quidẽ ꝙ BVriſtoxenus toni dimidiũ
„ n eeaeha ſemitoniũ ponat et toni tertiam dieſim chꝛomaticam vocet ſed chꝛomatis molis: ⁊ toni quartã dieſim
enarmonicam.at diſſiliter ꝙ toni quartam cũ,ꝓpᷣa quarte medietate vocet dieſim chꝛomati hemiolij.
ne d mi un Et certe vel Martiansꝰ in tertia dieſeos acceptiõe nouo erroꝛe lapſus putãdus eſt:vel eũdem putaſſe
—
hemitoniũ ⁊ dieſim enarmonici hemiolij idem eſſe.nam cũ om̃e totum tribus ſuis tertijs integretur: vnam ergo tertiaꝝ ⁊ tertie medietatem totius dimidium implere neceſſe eſt. Sed cũ hec ſe ſatis falſa eſſe ꝓdant ⁊ nulla ſui ꝑte cohereãt: nõ eſt cur in his diutius ſermo ſit ꝓtrahẽdus. Sic enĩ qui ſtolidũ ſenſus iudicium ſequẽtes intellectum relinquũt:facile ex diſciplinarum aditis ſe exploſos ſentiunt.
e Quicunq; numerus in terminos toni ducatur interuallum toni relinquet.
— Acdas neta eftna 1dmmabdan — Peper— 4 otoal mce Aadus
— b 4 b
b min arr rcrp.
—
dalerm nn
„ 4.
nn duo cxai rutane aunen nu do cqan
rper utas i cde So Th 1 nedu dric aa parnul a bmsadthe
d dmu madohaauurr,
I eu ilu ſpacu au uii reh tdean
¶ Mam cum tonus ⁊ toni interuallum in ꝓpoꝛtione ſeſquioctaua ↄſiſtat: ſui termini erũt nouem ac
octo aut quicũq; alij qui ſili ſibi ꝓpoꝛtiõe reſpõdeant. At cũ per ſeptimã ſecũdi Arithmetices:ſi vnus idẽq; numerus duos multiplicet ꝓductoꝛũ ⁊ multiplicatoꝛũ eadem ſit ꝓpoꝛtio:ergo quicũq; nũerus ducet in terĩos ſeſquioctaue:ſeſquioctauam ꝓducet relinquetq; tonum atq; toni interuallũ.quod eſt ꝓpoſitũ.Et nõ modo de ſeſquioctauo ⁊ toni infuallo id ſentiẽdum eſt:ſed ⁊ de quoltbet alto int᷑uallo.
¶ Qmnis numerus:extremoꝛum toni differentia conſtitui poteſt.
¶ Si enĩ tonus in mĩmis ↄſtituat᷑ vt ſunt nouem atq; octo monas differentia eſt: cũ nouenarius atq;
octonarius ſola vnitate diſſentiãt.Et ſi ducat᷑ binarius in nouenariũ ⁊ octonarium et ꝓducãtur a ⁊ b per pꝛecedẽtem a ⁊ b erũt toni extrema. Atvo per nonam pꝛimi Arithmetices quod ſit ex binario in nouenarium tm̃ñ eſt ́tum quod ſit ex binario in octonarium ⁊vnitatem.ſed binarius in vnitatem per cõmune ꝓloquiũ ſeipᷣm ꝓducit:igitur extremoꝛum toni a ⁊ b binarius differẽtia cõſtituit᷑. Et ſi duca tur ternarius in nouem ⁊ octo:eodem quoq; argumẽto ternarius extremoꝛũ toni differẽtia cõſtituet᷑. Et ita quicũq; alter numerus in eoſdem mimos toni terĩos ducet᷑:idem extremon toni differ ẽtia ↄſti tuetur. Manifeſtum itaq; eſt oẽm numerum extremoꝛũ toni differẽtiam mnußni poſſe.Et quãqᷓ ita eſt placuit tñ Philolao Pythagoꝛico pꝛimoꝛdiũ toni/ pꝛimoꝛdialẽq; eius dr̃iaſh ternarium cõſtituere: qui pmus cubũ a pmo impari numero ꝓccreat/ ac gignit. ꝙ is numerus apud Pythagoꝛicos maxiĩe honoꝛabilis fuerit. Nam cũ ternarium pꝛimũ quidẽ imparem nũerũ tertio duxeris:nouem ↄſurgũt. que ter ducta ſeptem ſupꝛa viginti: ſcʒ cubum a p̃mo impari reddunt.at 27 ad 24 tono diſtant/ toniq; claudũt interuallum:et hoꝛũ differẽtia ternarius ↄſtituit᷑. eſt enĩ ternarius ſummeꝛ 4 pars octaua:qᷓ eidem adiecta ſumme:pꝛimũ a ternario cubũ rurſus inſtaurat atq; ꝑficit. Et idem Philolaus ſumm
ſeptem ⁊ viginti in duas partes ſecuit 13 ⁊14 quaꝝ hec matoꝛ/illa vᷣo minoꝛ habet᷑/ et hãc pꝛimoꝛdiũ
Zpotomes facit:qᷓ eſt toni poꝛtio maioꝛ:illam aũt facit pꝛincipium dieſeos:que et toni deciſio mĩoꝛ atq; poꝛtio:⁊ quã poſterius ſemitoniũ minus nũcupabimus.et illaꝝ duarũ partium differẽtiam que eſt vnitas facit cõmatis pꝛincipium.Sed dehis ſatis.
.. 1
*. 8 1.
¶ Numeri dati partem quotãcunq; reperire. Quo ſit vt cuuſlibet nũeri pars ab ipo
ſit numerata: et a denoiante eiuſdem partis ſit denominata. 27² 17 306 41 418 1 13⁶ 17
an maegneefen mcdic ſccoonis ouuxi
4
a45 40
vumco dun — nses 2
tqui diuiln.nſeuin
lupcn— a quicũq; numerus cuiꝰ vna partium denoĩata ab bẽ — ab bꝛducendo ſrz denoĩantem numeri a in denoiante
Iuut in d per ſeptimam petitiõem repꝛoducit c:quare d eſt pars c denoĩata a
15 11 18 1 77 8 2-—+— 3 3 4
,
—— 2— — b
1— ¶ Quãuis enĩ numeroꝛum numerãtium qui exẽp
tñ numeratoꝝ quales in phyſicis ſunt motuũ nũert/ in geometricis line
npoꝛũ/i is aũt tonoꝛũ atq; interualloꝛũ vnitas aut verius vnum i ĩ tempoꝛũ/ in muſicis aũti c b b ã̃ſita ſit:reſoluo a in oms ſuas partes denoĩatas
aꝝ ⁊ planoꝛũ/ in aſtrologicis
ſimul denoĩatas ab b equari toti numero airide igit cper b Pue 1 i deedſeventr dena b . ũ i Q eĩ ſit pars 1 I ar: 9 ⁊ numeratam ab a.hoc eſt a nũero denoĩante a. Q eĩ ſit p b b. at c equat᷑ a. igitur ⁊ dꝑs
eſt a denoĩata ab b. Sed ⁊ ꝙd numeretur ab a:pz. qꝛ a in b ꝓducit c:ergo y ſextam petitiõem e diuiſo
cd cd. tc: 4— ibi ẽc diui 5 iebat d. numerat igitur a ſemel d. et ſic ꝓpoſitio atq; a1— per b redibit a.ſed ⁊ eodẽ c diuiſo per b pᷣus veniebat d. us wliqusto latettor:quems
luũ coꝛrelarium nota ſunt. ¶ Et quis hecvt mõſtret᷑ ꝑfacilis ſit: vſus tñ eius 1 exẽplaris deductio facile s mpdet heibr mennden queſita ſit vᷣbi cauſa ſũme erem et ſ TpreHere ſextadecima duco vtriuſq; denoĩantes in ſeinuicem.hoc eſt 7 et 16 et ſurgẽt 27² e e Ferr ſextaſdecimas ↄtinet numerus reſolutus.diuido ergo 27* per 16 ⁊ ꝓueniẽèt 17 Selevecnn 5* r torius ſumme partium 272 pars ſextadecima.quare ⁊ numeri 17 pars itide ſ extadecima. a k17 1 e decime vnitatem cõtinent ⁊ vnã ſextãdecimã.eſt itaq; vnitas ⁊ vna ſextadecima: dati numeri 17 ps ſextadecima. Et ſi numeri decem ⁊ octo quereret᷑ pars ſeptimadecima duco dece
————
lares in aĩa ſunt: vnitas inſecabilis exiſtat:nũeroꝝ m ſectiõem recipit. Sit ergo
partis bꝛita vt ꝓueniat c. manifeſtũ eſt partes c
met octo in decem

2——— 8 8—. 2 2—— ———— ————-õ—— —————— ————.—.. ——— 1
——
— 4
—
6—— e
⁊ ſeptem et ꝓduetum dinivo per 17 et veniẽt 1s ſeptimedecime:quevnum cõplent 8 ſeptimãdecimam. Eſt ergo vnitas ⁊ vna vnitatis ſeptimadecima date fomme derelntegrem vnom 1 ſeprimadecims.Si vo ſumme decem à ſeptem volo partem octauã repire:duco 7 cto p rs n
. 2 ½ 4 in. 1 ctum fuerit diuido per octo ⁊ ꝓueniẽt 77 octaue qͥ duasvnitates ⁊ vnam octauam effielte 708 pbu. g ⁊ octauavnius totius ſũme decem ⁊ ſeptem pars octaua. qð querebat᷑. Et ita in quibn fieerütde 11 valeat exercitare:habent tñ q̃ particulari/ exẽplariq; demõſtratiõe ſunt oſtenſ a: 9d equot 3 uus 5
ac momentum.
CSi duo incquales numeri ad cundem minoꝛem comparentur: maioꝛis a ipſun 9 maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio/ct minoꝛis minoꝛ· b 1 n ¶ At ſſint a b duo inequales nũeri quoꝝ a ſit maioꝛ/ et b minoꝛ: qui comparẽtur ad eũdem minorten A
c.dico a ad e maioꝛem eẽ ꝓpoꝛtiõem qᷓb ad c. Mam cũ per octauam petitiõem extremop a ade ꝓpop ſit tio poſita ſit ex ꝓpoetidõibus a ad b ⁊ badc vt ſuis partibus: ergo ꝓpoꝛtio b adc pars eſt pocenet m a ad cet ꝓpoꝛtio a ad ctotũ.et cũ per vltimũ cõmune ꝓloquium Qme totũ malus ſit ſua paneeiglur b
ꝓpoꝛtio a ad cmaioꝛ eſt ꝓpoꝛtione b ad c. et ita de quibuſlibet alijs ſimili argumẽto eſt agendum. 1 ¶ Seſquiſextadecima ꝓpoꝛtio:integrum toni dimidium ſuperat. 4 E — g. d— 1. 1. 959 a 1 1r 1 6
— m
¶ Quiĩta huius monſtrauit medio extremoꝝy toni ſpacio in duo equa diuiſo: tonũ miĩme in duo equu w geometrice partiri: et ſectionem hinc ⁊ inde altrinſecus ſeſquiſeptimãvecimã et ſeſquiſextdennà iſa retinere ꝓpoꝛtiõem. Hec vo oſtẽ dit ſeſquiſextãdecimã ꝓpoꝛtiõem que illic ex parte intenſtonis acu⸗ miniſq; relinquit᷑: hemitonio/ integroq; toni dimidio eſſe maioꝛem. et ſequẽs mõſtrabit ſeſquiſepta il mãdecimam ex grauioꝛi parte ſumptam: eodẽ toni dimidio eſſe minoꝛem. Sit ergo vt in quitahuias ſpacium ab in decem ⁊ octo equas partes per acdef ⁊ reliquas notas diuiſum.itavt ab ea pattu 1 ↄtineat decem ⁊ octo/⁊ ẽ b ſedecim/ ⁊ lb decem ⁊ ſeptem.manifeũſt eſt ab ⁊cb vt pꝛius viſum elet b tonum:etl b 7 ad ebis eẽ ſexquiſextãdecimã quã habitudinem dico eſſe integro ſemitonio malciẽ. m̃ enĩ per decimam huius vnitas ⁊ ſextadecima vniꝰ: eſt ſumme decem ⁊ ſeptem pars ſextadecini. ſi eidẽ ſũme adijciat᷑ fient decẽ ⁊ octo/et ſextadecimavnius.at octodecim ⁊ ſextadecimavniꝰ ad decẽ— ⁊ ſeptem ꝑ diffinitiõeʒ eſt ſeſquiſextadecima. Sunt a decẽ ⁊ octo ⁊ ſextadecĩavnius ad decẽj ſepten et decem ⁊ ſeptem ad ſerdecim due ↄiũcte ſeſquiſextedecime.ſed decem ⁊ octo ⁊ ſextadecimaxnius" 1 pꝛecedentem matozeſ ſeſquioctaua ad ſedecim. Mam decem ⁊ octo ad ſedecim vt pꝛius viſum eltiſe⸗— quioctaua eſt.igit᷑ ſeſquiſextadecima bis aucta tonum/ toniq; interuallum trãſcẽdit. quare ꝑ nonun ꝓloquiũ ſeſquiſextadecima ꝓpoꝛtio integrũ toni dimidium ſuperat.quidqͥd enĩ bis auctũ trãcendit alidd:id vltra eius dimidium eẽ neceſſe eſt.Ex quo valẽtioꝛe iure cognoſcit᷑ ſeſquiquitamdeciman: 7
oẽm pꝛopoꝛtiõem ſeſquiſextadecima maioꝛem:integrum toni dimidium ſuperare.— ¶ Seſquiſeptimadecima:minoꝛ eſt integro toni dimidio. 4 b 1 19 1 1 19 L1ͤ L2 Ddasdb ſeſquidecimäſeptimam pPponionen 1. d 8 c 17 12 Lb tinet: qᷓ integro toni dimidio ntractioreſt 4 ¶ Sint a decem ⁊ octo interualli partes ⁊ b decem ⁊ ſeptem/ c decem ⁊ nouem avna ſeptimadecima d d vo decem ⁊ nouem ⁊ vna octaua.per decimã huius a adb eſt ſeſquiſeptimad ecima.et cadaſimilt ſeſ quiſeptimadecima.ſunt ergo cad b due ſeſquiſeptimedecime adinuicem coniũcte.ſed etp eindem d dad b ſeſquioctaua eſt atq; tonus d enĩ cõtinet b ⁊ eius partem octauam.at d ad b ꝓpoꝛto maioꝛelt Ppoꝛtiõe c ad b.nam vnius ꝑs octaua maioꝛ eſtvna ſeptimadecima.ergo ſeſquiſeptimadecims ꝓpoꝛ
b
tio per decimum ꝓloquiũ minoꝛ eſt integro ſemitonio.qð eniʒ duplatu non implet integrum:neqh id
quoq; continet dimidium.Eſt ergo notum ſeſquiſeptimãdecimam ꝓpoꝛtionem integro loni dimidio eſſe minoꝛem.
¶ Integram toni medictatem:inter ſeſquiſextamdecimam ⁊ ſeſquiſepumãdeamam pꝛopoꝛuõem cadere neceſſe eſt. b b 17 leſquuley
4 ¶ Mam per duodecimam ſeſquiſextadecima maioꝛ eſt toni dimivio: ⁊ ꝑ decimãtertiãminoꝛeſteo- toni dimidio. at per cõem ſciẽtiam inter maius atq; minus dimidio:ipm dimidin coſiſtere neceſſecl ergo integrum toni dimidium inter ſeſquiſ extãdecimam et ſeſquiſept mãdecimam caderenece ſee 1 Sev id in noto/ integroq; numero nullo pacto vt ſeptima huius mõſtrauit ſieri cotinget;tnechinge
ometricis diameter quadrati: eius coſte c 5 dhoc nüim — erto/ ↄſtituto ri poteſt. Sed h ex altero loco requirendum eſt. 2 o nu mero cõmeniura P
CSemuonium minus:duobus tonis in choꝛda ſubiũgere.

nee —
mam el dumsn⸗ —
2
¶ Semitonium minus:duobus tonis pꝛeponere. 3
ſ(cðᷣm numerum k numeros ſcz ſemitonij minoꝛis vbilibet
————. 4 1 4*——
II ————— 7 ¶ Intelligit᷑ ſemitonium ſubiũgi qñ ex acutioꝛi parte duobꝰ quidẽ tonis ad grauioꝛem ꝑtẽ relictis ipm ſemitonium collocat᷑.pꝛeiũgi vVᷣo qſñ ipᷣm ex parte remiſſioꝛi duobꝰ tonis adhibet᷑. õtinuo ergo per ſcbam hutlus duos tonos in choꝛda ab per notas ac db.ſitq; a b e bꝛpꝛimus.et ſcð᷑s ſit ch db qui
quia per diffinitiõem in ſeſquioctaua ꝓpoꝛtiõe conſiſtũt: et per decimãſ eptimã pꝛimi huiꝰ due ſeſqui⸗
octaue minoꝛes ſunt ſeſquiterria ꝓpoꝛtiõe. erit ergo a b et db minus ſeſquitertio. diuido ergo ab in quattuoꝛ partes equas:et initiũ tertie ſectiõisfacio notam e.ita vt eb tres eaꝝ quartaꝝ cõtineat:per diffinitiõem igitur a b ad eb ſeſquitertia ꝓpoꝛtio eſt.ſed ſeſquitertia ꝓpoꝛtio ab ⁊ eb ſuperat duos tonos a b et db in pꝛopoꝛtiõe d b et e b. eſt igik d b et eb per deſcriptionem ſemitoniũ minus duobus tonis:vt pꝛopoſitum erat ſubiunctum. 8
e d 41 1 1 ¶ Facio a b ad eb ſeſquitertiũ interuallũ et diuido ch in octo equas partes et ſupꝛa c verſus a:facio dc vni eaꝝn octo partium equã:ita vt d b eaꝝ partiũ nouem ↄtineat.et per diffinitiõem d b ⁊ ch vnum ↄſtituũt tonum. Similit diuido d b in octo equas partes:et vnã eaꝝ adiũgo ſupꝛa d ꝑ notam e.quare iteꝝ eb ⁊ db erit tonus.ſuntq; duoſtoni eb et e b.ſev a b et eb ſeſquitertia ꝓpoꝛtio: maioꝛ eſt duobus illis tonis in ꝓpoꝛtione a b ⁊ eb.eſt igitur per diffinitionem ab ⁊eb ſemitonium minus.qð cum ſit
duobus tonis pꝛepoſltum:qm̃ ex parte remiſſa illis adiũctum.factum eſt pꝛopoſitum. ¶ Duobus tonis:dieſim/ ſemitomũq; minus interponere.— A. dee c 5 ¶ Idem dieſim atq; ſemitoniũ minus hic(vt iam quoq; dictum eſt)intelligimus. Sit ergo ab ⁊cbvt
in pꝛecedenti ſeſquitertia ꝓpoꝛtio in tota choꝛda a b. ab a:cverſus:intẽdo tonum per notam d.et ab c
verſus a remitto tonũ vt in pꝛecedẽti factũ eſt per notam e: ita vt ab et dbſit tonus/ et ſimilit᷑ e h etc b tonus. manitfeſtum a bet e b ſeſquitertiã ꝓpoꝛtiõem ſuperare duos illos tonos in media ꝓpoꝛtiõe d bet e b. eſt igitur per diffinitionem d b et eb ſemitoniũ minus duobus tonis interceptũ et ꝓpoſitũ.
¶ Semitonüj minoꝛis mimos numeros reperire:et quomodolibet ſemitoniũ minus
in choꝛdavna aut pluribus collocare.
324. 288 256 1* 243 1 * f g h 1 k 1 81 72 33 — d——— 2 8—— 4 b*. 1 4 I 1 1 m 1—
stia ẽ e mĩmos nũeros b ri5 fh et differẽtia ẽ h k. dico ergo hkeſſ m id iam declarandũ eſt. Nam qꝛc e ſunt in ſua ꝓpoꝛtiõe
imi: ifrinitioene Arithmetices fũt ↄtra ſe ᷣmi. et qꝛ etiãl ⁊ aquafnarius ⁊ nouenarius mimirper decimaocrauã tertij 6 am tertij Brithmetices! eſt pmus ad c. et per decimã eiuſdem h
o⸗ ã diuides ſcm qð eſtꝓpoſitũ quo ad hoc.Et data quacunq; choꝛda ſi eã in eadem choꝛda ↄſtitutũ erit ſemitonij mi
G ũ is: les eã̃liter tenſas vni⸗ noꝛis interuallum. In diuerſis aũt facillime idem feceris: ſi eas choꝛdas equa g vni⸗ ſonaſq; poſueris/.Daſmer eaꝝ quãcũq; voles ſcðm h quaꝝ partium zlrerine Leerder⸗ ſ 8 kerit tum in pluribus choꝛdis ſemitonij minoꝛis conſtitutum interuallum. quod e totum pꝛopoſltum.
CSemutonium minus in minoꝛe qᷣ ſeſquiſeptimadecima ſit: pꝛopoꝛtione conſiſtit.
Quo ſit vt regula ſemitonij ſumendi:non ſit differẽtiam extremoꝛũ toni in duo equa

eſlie tridecim ⁊ ſemis:quã quidẽ addo numero b /fiatq; aggregatus c.tunc c ad b ſeſquiocrauadecina
Z—“8ͤ““*“ “ ͤͤͤͤͤͤͤͤſͤ“
2— e 3.
ͤ 1bö—
2
8u2— k
¶ Sint vr in pꝛecedenti hkminimt numeri ſemitonij minoꝛis vt ducenta quinquaginta ſeræ 1 quadraginta tria · capio ꝑ decimam huius:ſeptimãdecimã partem nũeri k ducentoꝛũ ſcz ia ucẽ 1 trium/ eritq; quattuoꝛdecim ⁊ auinq; ſeptimedecime.addo itaq; quattuoꝛdecim et Fſepttald rginte 4 adk ⁊ fiat nunerus 257 et 5ſeptimedecime. erit ergo nũerusl ad kſeſquiſeptimuſpecimmus, ais i cẽta qnquaginta ſeptẽ et qͤnq; ſeptiedecime trãſcẽdit h qui ſolũ eſt ducẽtoꝛũ qͤnquaginta ſe'at1d itaq; ſemitoniũ minus per vndecimam huius in mĩoꝛe ꝓpoꝛtiõe qᷓ; ſit ꝓpoꝛtio ſelquiſeptini Aliſter quare et a foꝛtioꝛe in minoꝛe cõſiſtit ꝓpoꝛtiõe ꝙᷓ ſit ſeſquiſextadecima. Coꝛrelarium hinc uadein Nam hoc pacto partiẽ do extremoꝛũ toni ſpacium:ex quiĩta huius cognoſcũtur ſeſquiſextadeann K.5 ſeſquiſeptimadecima altrinſecus conſtitui: quaꝝvtraq; pꝛeſens mõſtrauit ſ emitonij minoꝛi ecla aa — 1 9
dinem eſſe minoꝛem.
inoꝛis habinr CSeſquioctauadecima pꝛopoꝛtio:ſemitonio minoꝛe rurſus maioꝛ cuadi.
1 S 256 I 243 4
22 8 2 8 4 7 2 3 2—„ 2 4 2 4— I ¶ Sint a b mĩmi numeri ſemitonij minoꝛis per decimãoctauã huius reperti ſcʒ ducẽta quinquagit— ſex/ et ducenta quadraginta tria.capio per decimã huius octauã decimã partem nũeri b:qui reperia 1
ꝓpoꝛtio eſt.at cmaioꝛ numerus eſt a.nam a dũtaxat cõtinet ducenta quinquaginta ſex: cʒo equalin 4 partiũ totidẽ ⁊ inſuꝑ ſemiſſem vnius.eſt igit᷑ ſeſquioctauadecima ꝓpoꝛtio ſemitoniommote maior.
¶ Seſquinonadecima:eſt ſcmitonio mĩoꝛe minoꝛ. Quo ſit vt ſemitoniũ minus inaax
ſeſquioctauãdecimam/ et ſeſquinonamdccimam conſiſtat collocatum.(
13 2 2.—. nd —— 255———— — c 19 b 1
¶ Sintvt pꝛius mĩmi termini ſemitonij minoꝛis a et b:dico ſeſquinonãdecimã ꝓpoꝛtlõem minoten A eſſe ꝓpoꝛtione a ad b.capio enĩ per decimam huius:nonãdecimã partem numerib: quã inuenioeſt i duodecim ⁊ quindecim nonaſdecimas.quã partem adijcio numero b ꝛ fiat c.ꝓpoꝛtio cad b eſlſelin-i nonadecima.ſed a maius eſt qᷓ c.igitur ꝑ vndecimam huius maius eſt ſemitontũ minus ſeſquinona decima ꝓpoꝛtiõe/ atq; ſeſquinonadecima ꝓpoꝛtio ſemitonto minoꝛe minoꝛ. Coꝛrelariũ Voyt detins auarta huius notum eſſe poteſt.——
¶ Semitonium maius:in data choꝛda conſtitureer.—:B —,————
—l ¶ Sit ab ⁊ eb ſemitonij minoꝛis interuallum.diuido c b in octo partes equas:quibus equam ſacio partem c d.ita vt db nouem ↄtineat.ergo d b ⁊ cb erit tonus. demo igitur a tono d betcb ſemitoniů minus ſcʒ ab ⁊ cb/relinquek᷑q; db ⁊ ab toni reliqua pars ⁊ qua ipe ſemitonium minus ſuperatqg per diffinitiõem d b ⁊ ab ſemitonium maius eſt in data choꝛda(vt ꝓpoſitũ erat) cõſtitutũ et queat⸗ mo dum ſemitonium maius collocaſti ad partem grauioꝛem ita quoq; ad partem acuminis collccnt facillimum eſſet...
CSemitonij maioꝛis:minimos numcros reperire.
2187 2—
1
1. 2125s
—
1 S 1
s ex decimaoctaua huius reperti etf cctonarius ghe us pꝛimus eſt ad b. ergo fnon numerat b.non habet g

3
II
interuallo e dꝛergo e d lunt nůeri ſemitonij maioꝛis.Q autẽ iidẽ ſint minimi facile ex decim aquinta tertij arithmetices cognoſcas diſtrahẽdo d ab e ⁊ quod reliquũ fuerit iten quoties potes diſtrahẽdo ab d. et hoc pacto deinceps ⁊ videbis ad vltimum relictam vnitatẽ ſeritq; modo qui ad latus apparet diſtractio.quare per eandem decimãquintam d et e ſunt adinuicem pꝛimi. ſunt igitur per viceſimam eiuſdem in ſua pꝛopoꝛtione minimt:quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Semitonij maioꝛis habitudo: ſeſquiquintãdecimam ſi uperat pꝛopoꝛtionẽ.
SIeͤ ͤ e A b,
¶ Sint ab minimi termini habitudinis ſemitonij maioꝛis per pꝛecedẽtem reperti:dico habitudinẽ a ad b maioꝛẽ eſſe ſeſquiquĩtadecima.ſumo enĩ vt in pꝛecedẽtibus iam ſepe factũ eſt per decimã huiꝰ quintãdecimam partẽ numeri b et hec inuenitur ſcentũ trigintafex et octo quintedecimevnius ã̃ᷓ ſit d adiicio ergo d ad b et fiat c:certũ eſt c ad b eſſe ſeſquiquĩtamdecimã.at c minoꝛ numerꝰ eſt ꝙᷓ a. eſt enĩ a numerus duum miliũ centũ octuagintaſeptẽ.c autem ſolum duũ milium centũ octuagita quattuoꝛ et fere ſemis paulo amplius.Eſt igitur pervndecimã huius ſ emitonij matoꝛis habitudo ſeſquiquĩta decima ꝓpoꝛtione maio: eamq; ſuperans: quod eſt pꝛopoſitum.
1—.,—
¶ Apotomes interuallum:minus eſt ſeſquiquartodccimo interuallo. Unde manife⸗
O Oͤodd o 1
ſtum eſt ſemitonij maioꝛis pꝛopoꝛtionem inter ſeſquiquintãdccimam ⁊ ſeſ⸗ quiquartã
decimam reperiri collocatam. 1 b 2194 4 1 218 7. 2048 146 4 c 14. a2 b d 14
——
¶ Apotomẽ ⁊ ſemitoniũ maius: idem eſſe iam dixims. Sint ergo a b mĩimi nũeri ſemitonij maioꝛis vt duo milia centũ et octuagintaſeptẽ ⁊ duo milia quadꝛagintaocto.ſumo per decimã huius quartã decimã partem b ſcʒ duum miliũ et quadꝛagintaocto quã inuenio eſſe centũ quadꝛagintaſex et quat⸗ tuoꝛ quartedecime que ſit d.addo eam quartãdecimam ad bꝛ et fiat numer aggregatus c.tunc nu⸗ meri cad b ſeſquiquartadecima ꝓpoꝛtio eſt. at c maioꝛ numerus eſt a ſiquidẽ duo milia quadꝛa gĩta octo et centũ quadꝛagintaſex et quattuoꝛ quartedecime ſummã ſimul attollant cꝛ: duum miliũſcentũ nonasintaquattuoꝛſet fere quartãvnius.et a ſolum ſumma ſit duum miliũ centum octuagintaſeptẽ.
conſtat ergo ſeſquiquartãdecimam pꝛopoꝛtionẽ maioꝛem eſſeſ emitonio maioꝛe: atq; pꝛopoſitum. Coꝛrelarium vt pꝛecedentium notum eſt.
¶ Semitonium minus atq; ſemitonium maius in ſuperparticulari ꝓꝛopoꝛtione non cadunt:ſed ea in ſuperpartiente ratione conſiſtere neceſſe eſt.
¶ Mam ſemitoniũ minus per coꝛrelariũ viceſtmepꝛime huius cadit inter ſeſquioctauã decimam et ſeſquinonãdecimam.atqui inter ſeſquioctauãdecimam et ſ eſquinonãdecimã nulla cadere valet inter ceptaſmediaq; ſuperparticularis habitudo. ſunt enĩ ille ſi uꝑparticulares pꝛoxime maioꝛ atq; minoꝛ igitur ſemitoniũ minus in ſuperparticulari ratione non confiſtit. nec; per idem ſemitonium maius. Mam per coꝛrelariũ pꝛecedẽtis cadit in aliqua ꝓpoꝛtione media inter ſeſquiquintãdecimã et ſeſqui quartãdecimam duas pꝛoximas ſuperparticulares: que ſuperparticularẽ mediam nullã admittunt nõ igitur ſemitoniũ maius cadit in ſuperparticulari ratione. ſed et cum rationes ſemitonij minoꝛis atq; maioꝛis multis ſuperparticularibus vt iam viſum eſt ſint minoꝛes: erũt etiam minoꝛes ratione
duplari que multiplicium minima eſt:vt que aminimo numero denominetur. nullus enim numerus
binario minoꝛ.nõ eſt ergo ſemitonij minoꝛis habitudo multiplexſſiliter neq;ſemitonij maioꝛis.relin
quitur igitur a ſufficienti diuiſione cum ille ſint inter maioꝛẽ terminumſ⁊minoꝛẽ: eas eſſe in ſuppar
tienti genere.quod eſtpꝛopoſitũ. ¶ Id tamẽ pꝛopter ſophiſtas aduertere licet ꝙ tonus ⁊ ſue partes cõſonantie/ ⁊ conſonãtiarum partes intenſe: ſ emper in ſupparticulari/ ſuperpartiẽti aut multiplict habitudine cadunt:remiſſe vero in ſubſuperparticulari ſubſuperpartiẽti aut ſubmultiplici. Utvero et ſi ita ſit:ſolemus tamen eas omnes dicere eſſe in ſuperparticulari habitudine/ſi uperpartienti/ aut multiplici idem ſuꝑparticulare et ſubſuperparticulare reputãtes ⁊ pꝛo vno computantes.ſimiliter ſuperpartiens et ſubſuperpartiens/⁊ multiplex et ſubmultiplex.
¶ Muſicum comma in choꝛda reperirc.
— T243 1- d.. e 1 W—— ¶ Sit a b choꝛda ſupꝛa quam ſit pꝛo
poſitũ reperire muſicũ comma:ꝛin qua ab etcb ſit ſeſquioctaus pꝛopoꝛtio atq; tonus. ſint pꝛeterea d e minimi termini ſ emitonij minoꝛis. diuido ſpaciũ a b in partes equales ſecundũ d:ex quarum numero ab ipſo b verſus a: capio ſecundũ numerũ eſ⁊ in termino earũ pono notam f. tunc que pꝛopoꝛtio d ad e: ea erit a b ad f̊b.quare a b ad f᷑b ſemitoniũ minus.Rurſ um cb ſpacium ſeco in equas partes ſecundũ numerum e ⁊ earum partium ab ipſo b verſus a metiendo:
ſumo ſecundũ numerum dꝛet in earum termino pono notam g.manifeſtũ etiam eſt gb et cb eſſe ſemi
91

40
tont nus. feb et eum ab a f b pꝛobatum ſit etiam ſemitontũ minus. ergo interuallum fha nünaeener ge, pꝛopoꝛtio a b et cb:maioꝛ eſt duobus ſemitoniis minoꝛibus. eſt igitur berdd nitionem f b et gb inuentum muſicum comma: quod erat monſtrandum. 15
CComma:in minimis numeris conſtituere.
4— ————.———— ——-———————
/ĩàA H
eönA—+
A doͤAOe
31441.1. u4283.— 4276644. u — 2 3— ſ— · 65 62208 Sohe c d— — 255 143—
A b— G2 8———
¶ Sint a b minimi numeri ſemitonij minoꝛis.duco a in ſe ⁊ in biet b in ſe⁊ exurgante derertghed ⁊ de duo ſemitonia minoꝛa cõiuncta.ſit pꝛeterea foctonarius qui ex decimaoctaua dutus elipunnd ad b. quare per vndecimã tertij arithmetices et pꝛimus ad e. non haber igitur e octauam. duco ergof octonariũ in c d e:⁊ pꝛoueniant g h iꝛvt i ſcʒ oꝛiatur ex f in e. certũ eſt etiam inter ghethi eſſe zanbtr mitonia minoꝛa.et qꝛ e eſt ocraua pars i addo e ⁊ i ſimul ſſitq; eoꝛum aggregatus lꝛ. dubiñ nullum eſt ad i eſſe ſeſquioctauã: et lꝛ g eſſe pꝛopoꝛtionem qua ſeſ quioctaua maioꝛ eſtgh eth iduobus ſemi⸗ toniis minoꝛibus.ſunt igitur lꝛ gnumeri cõmatis·ſed ꝙ ſint minimi ex decimaquinta tertij arithme⸗ tices notum eſt. Mam ſubſtracto vt eaipſa docet g ab lꝛj et eo quod relictũ eſt ſubſtracto quoad poteſt ab g.· et ſic deinceps tandẽ vt ad latus adiectũ apparet: relinquitur vnitas.Et quẽadmodum comma duabus dieſibus eſt pꝛepoſitum: ita quoq; qᷓ;facillimũ eſt comma duabus dieſibus lubiungere aut duabus interſerere.
CSeſquiſeptuageſimaquarta: commatis pꝛopoꝛtione tranſcenditur.„
7 314 41 231372 72 5 24288[7084 77 1 A 9 74 1 b c- 72 ¶ Sint eni ab minimi numeri cõmatis per pᷣcedentẽ reperti. elicio per decimã huius ſeptuageſimã quartã b que ſit c.apiicio itaq; b et c ſimulſj⁊ coaleſcat aggregeturq; numerus d. qui ſi ad b conferat cõperiturſſeſquiſeptuageſimuſquartus.atqui idẽ d minoꝛ a eſſe depꝛehẽditur. ſuperat ergo per mde cimam huius ratio cõm atis ſeptuageſimãquartam pꝛopoꝛtionem Cõmans ratio:ſſeſquiſeptuageſimatertia ꝓpoꝛtione minoꝛ eſt. vnde ſityi comais ranio inter ſeptuageſimãquartã et ſeptuageſimãtertã conſtituta repenat᷑ habundu
[14270 2 531441 1 24238 1 7182 2 — A 1.„ 2 21
—
—
¶ Sint ab vt pꝛius minimi numeri cõmatis.capio ſeptuageſimãtertiam partẽ b queſitc.igohte ſimul et aggregetur d. eritqʒ d ad b ſeſquiſeptuage ſimuſtertius.et d maioꝛ a eſſe conſpicltut.vco matis ratio ſeſquiſeptuageſimatertia pꝛopoꝛtione minoꝛ eſt: quod erat monſſrandum.
Coꝛrelarium vt alia notum eſt.
¶ Cemmatis ratio:in ſuperpartiente ratione conſiſtit.„ à ¶ Won enĩ in ſuꝑparticulari cõſiſtet quãdoquidè due ſuꝑparticulares pꝛoxime ſelquleymagatma quarta et ſeſquiſepruageſimatertia: omnẽ pꝛoꝛſus mediã excludant ſuꝑparticularè, tanio iua gñe multiplici cõſiſtere valebit.vt que ſeptuaginta duas ſuperparticulares habeatſemaloraa 4 quitur ergo vt ea in ſuperpartiẽte genere conſiſtere poſſit. eſt enĩ ea maioꝛis et niinoiis habitudo.
¶ Rationes ſchiſmatis atq; diaſchiſmati ſunt ignote/ atq; irrõnalcs. quoſit vt quns; mimi nũeri tetragonicũ latus nõ habcãt:medietatũ rõnes ignote irrõnaleſc; inl o
————,— —ͤ— b— 574288————
¶ Easrationes ignotas atq; irrationales dicimus que nuilo certoſcõſtitutoq; numero deſlgnariu
lent vnq́:vt neq; in geometricſ diamnetri et coſte quadꝛati ꝓpoꝛtio: quales ſchiimmat diaſchilinat

II
ppoꝛtiones eſſe dicimꝰ. Sint ergo pᷣmo a b minimi numeri ſemitonij minoꝛis: ꝑ decimãoctauã huiꝰ inuẽti:b enĩvt illic quoq; mõſtratũ eſt naſcit᷑ ex nouenario in ſe ⁊ ternario in pꝛoductũ nouenarij in ſe at nũerus qͥ ex ductu nouenarij in ſe exurgebat:er at quadꝛatꝰ et ternarius nõ eſt quadꝛatꝰ: ergo per
1 decimãquartã ſexti arithmetices b minꝰ ſemitonij mĩoꝛis extremũ ex ductu qͥdẽ nõ qᷓdꝛati in qã̊dꝛatũ —,L pꝛoueniẽs: nõ eſt numerus quadꝛatus.ſi poſſibile eſt ergo vt diaſchiſmatos ꝓpoꝛtio in numeris ſit
nota:ſint ergo per ſextã quarti arithmetices duo diaſchiſmata in minimis c d e cõiuncta. manifeſlũ — eni eſt cum dialch ilma ſit ſemitonij mĩoꝛis dimidiũ cd et d e ſimul eſſe ſemitoniũ minus. ⁊ cad e eſſe — 8 ſemitonij minoꝛis interuallũ.ſed et cum ꝓpoꝛtiones c d ⁊ deſint cõtinuate in minimis ergo per quĩ⸗ — tam quarti arithmetices c e ſunt in ſua ꝓpoꝛtione minimi. ſunt ergo minimi in ꝓpoꝛtione ſemitonij minoꝛis. ſed et tales poſiti ſunt a ⁊ bꝛigitur c et e iidem erunt numeri cũ a ⁊ bſ cz cidem a eteidem b Pꝛeterea qꝛ que pꝛopoꝛtio c ad d ea eſt d ade: ergo per pꝛimã ſexti arithmetices c numerus eſt qua⸗ dꝛatus et e numerus quadꝛatus:quare ⁊ b idem numero e etiam quadꝛatus. at b demõſtratus eſt nõ ꝗuadꝛatus.erit itaq; idem numerus quadꝛatus et nõ quadꝛatus: quod eſt impoſſibile. nõ igitur dia⸗ ſchiſma note ꝓpoꝛtionis habebitur. et idem de pꝛopoꝛtione ſchiſmatos monſtrabitur. ſint enim a b ſubter deſignati minimi numeri cõmatis:qꝛ per viceſimãoctauam huius b minoꝛ pꝛopoꝛtionis com⸗ matis terminus fit ex ductu octonarij in quadꝛatũ lateris ducẽtoꝛum quĩquagintaſex.et octonarius nõ eſt quadꝛatus: ergo per decimãquartam ſexti arithmetices bh minoꝛ terminus cõmatis nõ eſt qua dꝛatus.nõ igitur ſimili vt pꝛioꝛis partis demõſtratione a b certis deſignatiſq; numeris poteſt equis pꝛopoꝛtionibus diduci. eſt igitur ſchiſmatos eius ſcʒ medietatis ratio ignota atq; irrationalis. Coꝛ relarium ex modo demõſtrationis notum eſt. 3 8
Tenus: duobus ſemitoniis minoꝛibus /et commate conſtat. ¶ Mam ratio ſeſquioctaua duobus ſemitoniis minoꝛibus atq;vno cõmate conſtat.ſuperat enĩ duas dieſes duoq; ſemitonia minoꝛa vno commate: ac tonus in cadem ratione conſiſtit.cõſtat igitur tonus
5.
ex duobus ſemitoniis minoꝛibus et commate. ¶ Conus a duobus ſemitoniis minoꝛibus: vno commate diſtat. ¶ Mam ſubſtracto a ſeſquioctaua ꝓpoꝛtione vno cõmate relinquũtur duo ſemitonia minoꝛa:igitur
ns M et eodem cõmate a tono diducto due dieſes ⁊ duo ſemitonia minoꝛa relinqũtur. diſtat ergo tonus a Hopoꝛnonedꝛim duobus ſemitoniis minoꝛibus vnocommate. iee
—
un z(¶ Semitonium minus trihus commatibus maius eſt: minus vero quateuoꝛ. vnde
1 manifeſtum eſt apotomen plura quattuoꝛ et paucioꝛa quinq; continere cõmata. e b 1773199 5222283o6215507 r 1 2 de d nmet acſſe xxcden 111,8.1285894435,935112 572877732,517651 un pportonen 163600061951401 80213603125 8969755G
——
———
215369396 3075557765685 10 747
r 4 p aappornereneutt o* W 212832541796 329 506 26746 56 8 5— m
17224.23831
—„Y 132312 655 27136 276
— 5——— 134 2122728—
——4, 1292140163 2. 1274°1984 —
2 56
nu C Mon 4 greca curioſitas calculi laboꝛe deterrita quo minus quot cõmata in dieſi quot in apotome
ſunt grele 2e. Mor den Tin tono ſint: perueſtigaret. quod niſi apꝛioꝛibus tetatum cognouiſſem cũ id quoq; plus wut an 15 t miehi eilum eſt) in muſicis modulationibꝰ vſus vtilitatiſq; afferat: miſſuʒ feciſſem. qui
— bem rnt au Fn ſce deſ iderauerint hoc pacto depꝛehẽdent. Sint ab minimi numeri ſemitonij minoꝛis —— Erf era umu ucomatistper decimãſeptimã ⁊ decimãoctauam huius reperti:duco b in c et d ⁊ ꝓueniãt —] ir(bentg s veniat g: per ſeptimã ſecundi arithmetices f ad e eſt cõmatis habitudoſet per octauam — dul pe 985 e habitudo dieſeosſſ emitoniiq; minoꝛis. Deinde duco ein e ⁊rinfet ein g⁊ naſcantur —— Per ſextam quarti arithmetices perqᷓ facile cognoſci poteſt lꝛ h continere duo commata.et per
g 2
8
————

—:..
* 4 2———
—— 2—— 8 2
. — ————=— :* 4———ᷓõ—— 2 ———————————
3—„——
——.—————*
M
ſeptimam tecundi eiuſdẽl ad h eſſe ſemitonium minus. Deinde duco d in h et ein let d inlin
dine veniant mn oꝛper eandem ſextam quarti cognitu facillimũ eſtn m continere tria commaupi per ſeptimam ſecundi:o m cõtinere ſemitonium minus. at n numerus cosnoſcitur eſſe minoꝛo 6 o ad mn ſemitontum minus tria vincit exſuperatq; commata. Deinde duco h in hetlꝛ in lꝛ et hun et ſuo oꝛdine exſurgãt/ oꝛianturq; p ar.manifeſtũ eſt per idẽ að pꝛius ꝗ p cõtinere quattuoꝛ nu et r p cõtinere ſemitoniũ minus.at numerus r minoꝛ eſt numero q. igitur quattuoꝛ cõmata am u 1 ſunt ſemitonio minoꝛe.Coꝛrelariũ autem hinc notũ eſt ꝙ ſemitoniũ maius ſolo cõmateſ uperat ſ 1 tonium minus.atqui ſemitoniũ minus plura tribus ⁊ paucioꝛa quattuoꝛ vt modo viſum eſt cunan cõmata.igitur vnico ſuperadiecto cõmate ſemitoniũ maius quodvocant apotomẽ:plura auattuone paucioꝛa quinq; continere eſt neceſſe. 1
¶ Tonum:plura ſeptem continere commata neceſſe eſt.
¶ NMam tonus ex ſemitonio minoꝛe ⁊ apotome coaleſcit atq; cõſtituitur.at ſemitoniũ minu nultimã tria continet cõmata ⁊ amplius:et per pꝛecedentẽ apotome quattuoꝛ et amplius tri et quatuoꝛ ⁊ amplius:ſeptẽ ſunt et ãplius. igitur tonus plura ꝙᷓ ſeptem cõtinet commata.
¶ Secundi Elementoꝛum Muſicalium finis.
Eſquitonus: eſt qui tonum ac ſemitonium minus continet. quemat trihemitoniũ/ triſemitoniũq;: inferius dicemus. b Ditonus eſt qui duos cõplectitur tonos. Tritonus vero qui tres. b Conſonanne ſimplices ſunt:diateſſaron/ diapente ⁊ diapaſon. Compoſite vero:diapaſon diapente/ bis diapaſon. b Diateſſaron eſt cõſonantia: que ex interualli ſeſquitertia ratione naſcitur. Diapente: que naſcitur ex ſeſqualtera. Diapaſon vero:que ex dupla. Diapaſon diapente: eſt quã adinuicẽ iuncte conſtituũt diapaſon ac diapẽte ſonãit Bis diapaſon: eſt quam coniũgunt due diapaſon conſonantie.
¶ ec altius aſcẽdunt Pythagoꝛici ꝙ altius aſcendẽtibus voces quoꝗ̊ pacto illis ſtridule viſe ſint ⁊ ꝙ vnicuiqʒ ferme ſue vocis modũ/ limiteſq; ad conſonãtiam bis diapaſon natura fecerit yg habita contẽplatione muſſca aduſq; cõſonantiam bis diapaſon:reliquãvt habeatur qᷓfacillimã putauerunt vt qui ad ter atq; quater diapaſon muſicos modulos aptare voluerint. et hac quoq; de cauſa mulici ferme oẽs in definiẽda/ determinãdaq; atq; tradẽda diſciplina muſica limites Pythagoꝛe nõtrans cendũt:putãtes eius limitibus cõtenti:et pꝛiſcam veterẽq; autoꝛitatẽ ſecuti ſufficieter determinaſſe. quod ⁊ nos in hoc opere tẽtabimus imitari
¶ Seſquitonus inter ſeſquiquintam atq; ſeſquiſextam collocatus eſt. vnde ſitmtelſ ſeſquitonus iocunde/ ſuauiterq; auditũ feriat: nondũ tamen conſonãtia ponẽdusſt
s perpe a autem
291 3 1288 283 3 l 256 1 243 1 48 3 40 3. d 5 1 4-e 6 b c It5 I3 5
———
¶ Sit ergo a ducenta octuagintaocto:b vero ducenta quĩquagintaſex:et c ducenta quadꝛagitatris. per decimãoctauam ſecũdi huius manifeſtũ eſt a ad b eſſe tonũ ⁊ b ad c eſſe ſemitoniũ minus. que a ad c per diffinitionẽ erit ſeſquitonus.quẽ dico in ꝓpoꝛtione minoꝛe conſiſtere qᷓ ſit ſeſquiquntsſet maioꝛe ſeſquiſexta. Nam capio per decimam ſecundi huius quintã partem c etveniet numerus 48 et tres quinte qui ſit f.addo igitur f ad cet aggregatus fiat d:qui maioꝛ inuenitur qᷓ a.igiturper vnde: cimam ſecũdi huius d ad c ꝓpoꝛtio maioꝛ eſt qᷓ; a ad c. Ut vero d ad c ſeſquiquinta eſtet talelqui⸗ tonus in ꝓpoꝛtione minoꝛe cõſtitutus qᷓ; ſit ſefquiquĩta pꝛopoꝛtio. Capio deniq; per eandẽ decmam ſecundi ſextã partem c et veniet michi numerus 40 et ſemis qui ſit g.aggregatus igitur gad numer creſtituat numerũ e. certum eſt numerũ e minoꝛẽ eſſe qᷓ a.quarevt pꝛius a ad c ſeſquitonus malo: ꝙᷓ e ad c:qui in ſexquiſexta ꝓpoꝛtione cõſtituitur. quod eſt pꝛopoſitũ. Coꝛrelariũ enim cognoſcitune pꝛimũ ꝙ ſeſquitonus ſ uauiter feriat auditum: cuiuſlibet muſicis modnlationibus intẽti ldem facl ſenſus.ꝙ vero nõdum cõſonantia ſit:iccirco euenit ꝙ ſeſquitonus in ſuperparticulari rationeno con ſiſtit:quãdoquidem inter ſeſquiquintã ⁊ ſeſquiſextã pꝛoximas ſi upparticulares nulla cadit int u mediaq; ſuperparticularis habitudo. neq; quidẽ eſt in multiplici genere: quoniã per vndecimã pꝛim
huius dtpla ꝓpoꝛtio que multipliciũ minima eſt: ex ſeſqualteraſet ſeſquitertia ꝓpoꝛtione maximis
quidẽ ſuperparticularibus: exurgit atq; naſcitur. cõfonantia autem omnis per viffinitionẽ inupe particulari aut multiplici ratione conſiſtit. eſt ergo totum pꝛopoſitum notum.
1
——

wpedegſeedehn nnar c
III
¶ Itidem ditonus inter ſeſquitertiam atq; ſeſ quiquartam medius: minime muſicam complet atq; perficit harmomiam.
sr— ISo 72.—mn-r ETLela le lre s; s
¶ TDharmoniã et conſonãtiam idem dicimus et huiusvt pꝛecedẽtis pꝛocedit demonſtratio.Sint ergo a b c duo toni in minimis conſtituti.vt 8172 64. dico ditonum a adc conſiſtere in pꝛopoꝛtione mioꝛe ſeſquitertia:et maioꝛe ſeſquiquarta⁊ muſicam cõſonantiam haud quaꝗᷓ perficere.Capio enĩ tertiam partem c per decimã ſecundi huius vt ſepe factum eſt. et venit vnum ⁊ viginti cum triente vnius: qui
numerus ſit f. addo itaq; fæ 1et trieniẽ ad numerũ c s4. et aggregatus eſt 85 cum tertia parte vnius:
qui idem ſit d.manifeſtũ eſt d ad ceſſe ſeſquitertiũ. at d maioꝛ eſt a: continet enĩ a dumtaxat vnum et octuaginta: d vero octuaginta quinq; ⁊ amplius. eſt ergo ſeſquitertia pꝛopoꝛtio ditono maioꝛ. Et rur ſum capio quartam partem c que ſit g: quam addo adcetſ urgat e: qui erit ad c ſeſquiquartus. at a maioꝛ eſt e. igitur per vndecimã ſecundi huius:ditonus ſeſquiquartũ tranſcendit.et cum inter ſeſ qui tertium ⁊ ſeſquiquartũ nullus cadat ſuperparticularis medius neq; multiplex: erit ergo ditonus in pꝛopoꝛtione ſuperpartiẽti collocatus.quare muſicam conſonãtiam(etſt in muſicis modulationibus ſit euphonus ſuauiterq; auditum feriens) nõdum tamen perĩicit.
¶ Ditoni interuallum: ſola ſeſquitonum ſuperat apotome.
¶ NHam ſeſquitonus vnum tonum cõtinct integrum et ſecundi toni cõtinet ſemitoniũ minus.ſed cũ
tonus ex ſemitonio minoꝛe ⁊ apotome conſtet euadatq; coalitus.ergo ſeſquitono ad ſecũdi toni com⸗ pletionẽ ſola deeſt apotome.at ditonus ſolos duos incolumes/integroſq; poſſidet tonos. ergo ditoni interuallum ſola apotome/ ſoloq; ſemitonio maioꝛe:ſeſquitoni ſuperat interuallũ.qð eſt pꝛopoſitũ.
¶ Diateſſaron conſ onantiam in data choꝛda collocare.
A c d 2e8 bl.
¶ Cum enim epitrita/ ſeſquitertiaq; pꝛopoꝛtio: cõſonantiam diateſſaron creet: iccirco data quacũq;
choꝛda vt ab eam in quattuoꝛ equas poꝛtiones diuido.vt a c:c d:d e:⁊ e b.et dico a b ad cb conſonare diateſſaron. Nam a b continet c b et inſuper a c que tertie parti cb equatur.eſt ergo interuallum a b
ſeſquitertiũ ad c b. ergo a b adeb per diffinitionẽ conſonat diateſſaron: et cõſonantia diateſſ aron in
choꝛda a b data:collocata.quod eſt pꝛopoſitum..
¶ Tritonus: conſonantiam diateſſaron tranſcendit.
¶ ¹Mam per decimãoctanam pꝛimi tres ſeſquioctaue pꝛopoꝛtiones amplius ſunt ſeſquitertto inter⸗
uallo. atqui in tribus ſeſquioctauis: per diffinitionẽ tres conſiſtunt toni.igitur in tribus ſeſdoctauis
3 1umn —
conſiſtit tritonus.⁊ in epitrito/ ſeſquitertioq; interuallo conſiſtit cõſonantia diateſſaron. igitur cõſo⸗
nantiam diateſſaron tranſcendit vt pꝛoponebatur: tritonus.
¶ Conſonantiã diateſſaron: duobus tonis atq; ſemitonio minoꝛe conſtare neceſſe eſt
Vnde facile comparatum eſt ſeſquitonum tono/ et ditonum ſemitonio minoꝛc citra diateſſaron concẽtum deſicere. Compertum item eſt conſonãtiam diateſſaron quinq;
dieſes et duo commata continere.
. 2 BSPiteſſarum conſonantia— 1 LL b—e
¶ Sit ab et cb con ſonantia diateſfaron.dico eam duobus tonis ⁊ ſemitonio minoꝛe conſtare. Mam
cum ab ⁊ ch ſit diateſſaron:erit ab et eb per cõuerſionem diffinitionis ſeſquitertius. at cum ſemito⸗
nium minus per diffinitionẽ ſit id quo ſeſquitertia duobus tonis maioꝛ eſt.continet ergo ab⁊ chᷣ ſe⸗
Mitontum minus et duos tonos.igitur conſonantia diateſſaron duobus tonis/ſ emitontoq; minoꝛe conſtat. Et pꝛimũ coꝛrelariũ hinc facile cognoſcitur. Cum enim ſeſquitonus ſolũ tonum ⁊ ſemitoniũ
minus contineat:deeſt igitur ipſi ad cõſonantiam diateſſaron complẽdam per pꝛeſentẽ vnus tonus.
2 cum ditonus ſolum duos cõplectatur tonos: deerit ipſi ad eandem complẽdam ſemttoniũ minus.
Secu dumvero hinc haud difficile perſpicitur cognitũ. Nam cum tonus per triceſimãtertiam ſecũdi duas dieſes ⁊ vnum comma cõtineat: duo toni quattuoꝛ dieſes ⁊ duo cõtinebunt cõmata.at per pꝛe⸗ ſentem diateſraron conſonantia duobus tonis vnam dieſim ſ uperaddit. continet igitur conſonantia diateſſaron quinq; dieſes atq; duo commata.quod eſt totum pꝛopolitum. 6
3

““ “
. —— 8 8— ——— 2 4—„ ————* e —— q—————O—:—————
8— ——————
———᷑—ÿ—ÿ—xꝛ;———— — 4———
20
¶ Quinq; toni:duas diateſſaron conſonantias vno commate vincunt/ cuaduntq maioꝛcs.—„—
¶ Putauit Briſtroxenus muſicus diateſſaron cõſonantiam duobus tonis et integro ſemitonio ſtare.⁊ pꝛoinde duas diateſſaron cõſonantias:quinq; tonos ĩplere.cuius erroꝛ ex tertio muſices dn 1 Seuerini boecij et ex hac apꝛecedẽte facile cõuincitur. Mam per pꝛecedẽtem cõſonantia diateſſat ul nõ ex duobus tonis et ſemitonio integro conſtat: verũ ex duobus tonis ⁊ ſemitonio minoꝛe. quoder. viceſimapꝛima ſecũdi inter ſeſquioctauã decimam et ſeſquinonã decimã pꝛopoꝛtionẽ collocatur ue t grum autẽ ſemitoniũ per decimãquartam eiuſdem:inter ſeſquiſextã decimã ⁊ ſ eſquiſeptim deeini collocaretur.diminutius eſt ergo ſemitoniũ minus integro ſemitonio. Quia ergo vt per pꝛecedẽt 1 dictĩt eſt:cõſonantia diateſſaron duos tonos et ſemitoniũ minus cõtinet:due igitur diateſſ zron ciſe 1 nantie cõtinebunt tonos quattuoꝛ/et duo ſemitonia minoꝛa. et ꝛ per triceſimãtertiam ſecdi weie— cõtinet duo ſemitonia minoꝛa et vnum cõma.ergo due diateſſaron cõſonantie quinq; tonosvno com⸗ ſ mate minus:cõtinent. quinq; igitur toni: duas diateſſaron cõſonantias vno cõmate vincit atq; eua⸗ dunt maioꝛes.quod intẽdebatur.(
¶ Conſonanuã diapente:in aſſignato neruo conſtituere. 11 — ſKonieenae. 2₰ lc 1 b 4
¶ Sit aſſignatus numerus a b ſupꝛa quẽ iuſſum ſit cõſonantiã diapente collocari:diuido ab in tres 4 adinuicẽ equas partes per notas a c d bꝛita vt a btres cõtineat et ch earum contineat duas. erttper diffinitionẽ a b ad cb hemioliũ/ ſeſqualterũq; interuallũ. ſed cum cõſonãtia diapete:per diffininionẽ ex ea interualli ratione naſcat᷑.ergo a b ad cb cõſonabit diapẽte.eritq; a b ad eb in datachoꝛda al gnatoue neruo cõſonantia diapẽte collocata.
¶ Tres toni: conſonantia diapente minus ſunt. ⁊ quattuoꝛ eandem conſonanian ⸗
tranſcenduunnt.
¶ Etſi ex quinta huius ſatis cognoſcat᷑ tritonũ nõ poſſe efficere diapẽte cõſonantiã: hec etiʒoſtẽdit 1 tritonum diapẽte conſonãtia eſſe minoꝛem. Ram per decimãoctauam pꝛimi huius tres ſeſquioctaui— minus ſunt ſeſqualtero interuallo. et per decimãnonam eiuſdẽ quattuoꝛ ſeſquiocraui ſeſqualterum ſuperãt interualiũ.conſonãtia aũt diapẽte in ſeſqualtero ſita eſt.ergo tres toni in tribus ſeſqͥoctauis W conſtituti:minus ſunt cõſonantia dtapente. ⁊ quattuoꝛ toni in quattuoꝛ ↄſiſtentes ſeſquioctauis cq⸗— dem conſonãtiam magnitudine tranſcẽdunt:quod eſt totum pꝛopoſitum.
¶ Conſonantia oiapente:tribus tonis /ſemitonioq; minoꝛe conſtat. Quoſt vtadn-: pente ſubducto tono:diateſſaron conſonantia relin quatur. ſubducta autẽ diateſſaoan
conſonantia: relinquatur et tonus.
¶ Mam per decimãquintam pꝛimi ſi a ſeſqualtero interuallo ſeſquitertiũ demptũ fuerit: rellnque: ſeſquioctauum.ſed vt in demõſtratione ſexte huius viſum eſt: ſeſquitertiũ continet duos tonos cun ſemitonio minoꝛe.ergo cõſonantia diapente ſeſquioctauũ hoc eſt tonum vltra duos tonos cumſeni tonio minoꝛe continens: tribus tonis et ſemitonio minoꝛe conſtabit quemadmodum pꝛopoſitum elt b Coꝛrelariũ cognoſcitur. Ham diapente per pꝛeſentem continet tres tonos cum ſemitonio minoue.a ſubſtracto tono reſidui ſunt duo toni:atq; ſemitoniũ minus.et per ſextam huius duo toni c ſemit⸗⸗ b nio minoꝛe conſtituunt cõſonantiam diateſſaron.ſubſtracto igitur tono a cõſonantia diapenterteln quitur diateſſaron.ſed et cum diapẽte conſtet ex tribus tonis cum ſemitonio minoꝛe:ſubſtracta ergo diateſſaron cõſonantia que duobus tonis et ſemitonio minoꝛe completur: relinqnet᷑ quesdmodum b ſecunda pars coꝛrelarij pꝛoponit:tonus.quod eſt totum coꝛrelarium. 8
¶ Diapentc conſonantia:minus octo ſemitonus minoꝛibus continet.„1 ¶ Mam cum tonus vnus duo ſemitonia minoꝛa et vnum cõma cõtineat:tres toni ⁊ vnum ſemitonil minus ſeptem ſemitonia minoꝛa ⁊ tria commata cõtinebunt.ac tria commata per triceſmaquintam ſecundi huius ſemitonio minoꝛe ſunt contractioꝛa.ergo diapente que per pꝛecedẽtem inbus tonisę ſemitonio minoꝛe conſtat:minus octo ſemitoniis minoꝛibus cõtinebit. ſed quẽadmodum faclle mon ſtratum eſt diapente cõſonantiam nõdum octauum attingere ſemitoniũ minus/ octauãc; dieſim: ita quoq; facile monſtratu eſſet:eandem conſonãtiam nõdum ſeptimam attingere apotomè-
¶ Diapente conſonantia: ditono /ſeſquitonoq; coniungitur. ¶ Mam diapente per penultimã tribus tonis et ſemitonio munGimyge et ditonus t ſelguiten ſimul tres tonos et ſemitoniũ minus efficiunt.igitur ditonus atq; ſeſquitonus pariter copulatie
nantiam diapente iungunt:quod intenditur.
¶ Conſonantiarũ diapente ⁊ diateſſaron:tonus differentia eſt. quo ſit vt dateflaron 9 conſonantia adiuncto tono: conſonantiam diapente reſtituat.

—————.——=— 4“
H
Nantas m ma III.
Acdſenanan
— ¶ Differẽtia hic vocat᷑ ea ꝓpoꝛtio qua maioꝛ ſuperat minoꝛẽ. Mam ꝑ coꝛrelariũ decime hulus fub
. ducto tono a cõſonantia diapente relinquit᷑ conſonãtia diateſſaron.ſolo igiturſtono conſonantia dia⸗ ar verü er V pente cõſonantia diateſſ aron eſt maioꝛ.eſt igitur per diffinitionẽ:harum cõſonantiarũ tonus dꝛĩa. ⁊ nan a ⸗ ene coꝛrelariũ ſtatim ex pꝛopoſitione notum eſt.. Ae eies Ken 13 d
(¶ Wis diateſſaron: ſeſquitono conſonantiam diapente tranſcendiii. —— ¶ Diateſſaron enĩ ꝑ ſextã huius duos tonos atq; ſemitoniũ minus cõtinet.ergo bis diateſſarõ quat — tuoꝛ tonos et duo ſemitonia minoꝛa ↄtinebit.atqui a quattuoꝛ tonis ⁊ duobus ſemitoniis minoꝛibꝰ wonta minca. ua dempto ſeſquitono: relinquũtur tres toni et ſemitoniũ minus. Atuero per decimã huius cõſonantia no doe 3an diapente totidẽ tonos cũ ſemitonio minoꝛe cõplectitur.ergo bis diateſſaron: ſeſquitono conſonantiã — diapente tranſgreditur tranſcẽditq; quẽadmodum pꝛoponitur.
¶ Cõſonantie diateſſaron/ ac diapente: in maximis ſuꝑparticularibus ſunt collocate
cro conſtengr. ¶ Nam er diffinitione cõſonantia diateſſaron in epitrita ſeſquitertiaq; ꝓpoꝛtione collocatur. et di a pente in hemiolia atq; ſeſquitertia. atnulle ſuꝑparticulares ſeſqualtera ⁊ ſeſquitertia ſunt maioꝛes —— nam a ſecũdat tertia parte q̃ maxime ſunt ſeſe cõſequẽtes partes:denominãtur.igitur he cõſonantie
eerx maximarum ſuperparticulariũ oꝛiginibus ducte: in maximis ſuperparticularibus ſunt collocat — quod eſt pꝛopoſitum.““ Wis diateſſaron/ aut bis diapente:nullam conſonantiam cõponere potet. am(i dſonan nana ¶ hec pꝛoponit duas diateſſaron cõſonantias aut duas diapente conſonantias: nullã conflare poſſe bre cänncg cõſonantiã. Mam et diateſſaron ⁊ diapẽte nõ in multiplicibus ſed ſuꝑparticularibus ſunt conſtitute dama et per pꝛimã petitionẽ que ĩterualli ad interuallũ pꝛopoꝛtio eſt: ea quoq; eſt et ſoni ad fonũ. at p ſextã lonadi pꝛimi duo ſimilia interualla nõ multiplicia: neq; multiplex neq; ſuꝑparticulare creant interuallum. duupir rmiat quare neq; illoꝛũ ſoni in multiplici: neq; in ſuꝑparticulari gñe exiſtunt· omnis aũt conſonãtia aut in ſuꝑparticulari aut in multiplici rõne collocãda eſt. ſic enĩ conſonantie noĩe hoc in loco Mythagoꝛicã ſequẽtes autoꝛitatẽ: ſuſcepimus vtẽdum. ergo due cõſonantie diateſſaron aut due diapente: nullam nuo ſunt.t dunae efficiẽt cõſonantiã. et nõ modo idverũ ſit: ſed ⁊ quotquot ↄſonantie diateſſarõ in ĩmenſum copulẽtur et quotquot diapẽte:nullã vnqᷓ; conſonãtiam ex quinta pꝛimi huius efficere valebũt.
ieeechmnas, Adiuncto ad cõſonantiam diapente tono: nulla parabitur cqnſonantia. item neq; ad diateſſaron triſemitonio. 3 dah aene r
neashs Sſrr Rumerondele ſE 33s Rumerori R Sdel⸗ duad dmgagan E271F16 Sexta maio⸗ 1IK 9216 S 5832 DSerta mino⸗ D sTonus NI2304 ſ 944 Sefaultonus* ſcmuomod micrat 13I 3B2 Diapente lIl 4 e kdautellaroen onanaa rcinqunr in 1 l ilnin 10.EI256 M 243— Semitomiũ minus. ä1ö— Io 2IR!] 8 LTonus u mtcmaloſcgumir 3 e——
erencn nnaanaut Tium:minimos ſcz numeros cõſonantie diapente. ⁊ c d nouenariũ atq; octonariũ mintmos numeros nitonu muus. a pcr icer tont. et duco c in a ⁊ veniat d ſeptem ſupꝛa viginti.et d in b ⁊ veniat e decem et ſex.per tertiam quinti pn.ſaditrach a Arithmetices dade cõtinet ſeſqualterũ ⁊ ſeſquioctauũ:quare d ad e cõtinet diapente atq; adiunctũ uats amimm tonum. at manifeſtũ eſt d ad eꝛ7 ſcilicet ad 16 nõ eſſe multiplex.nam ſeptem ⁊viginti nõ continẽt bis — aglen aut tertio aut deĩceps ſevecim. neq; d ſuperparticularis eſt ad e. nam dꝛia numeri d av e eſt vndecim qui numerus ſumme 16 pars nulla eſt. tranſcẽdit enĩ vndenarius ſedenarij dimidiũ.igitur adiũctus o ci totum cuncturun. ad conſonãtiam diapente tonus: nullam parit cõſonantiã. et ſimili argumento adiecto ad cõſonantiã gnitorus minerdu diateſſaron ſeſquitono: nulla ſit cõſonantia vt ex ſecũda figuratione perfacile patere poteſt. fit tams oſ cmu cituer euphona vocum congreſſio: quã item ſextam nũcupant: ſed que a pꝛima contractioꝛ tota diſtet apo- 0 erman aams tome. eſt ergo hec minoꝛ ſilla vero maioꝛ. conſtat enim pꝛima vt dictum iam eſt: quattuoꝛ tonis etvna dieli/ ſecunda vero tribus tonis ⁊ duabus dieſibus. Pꝛimã ſonat Parhppate hypaton ad meſen: — ſecũdam vero que contractioꝛ eſt: ſonat hypate hypaton ad Lichanon meſon.que autem hypate que — parhypate: qui lichaniſet que meſe dicãtur: ſequès liber declarabit.
— ¶ Quo pacto diapaſon conſonantia: in choꝛda ſit adiungenda. 1 ———ꝑ nutpass a ¶ Hec ↄſonãtiarumyvt in libꝛo pꝛobleumatũ teſtatus eſt Ariſtoteles: elegãtiſſimaſpulcherrimaq; eſt
oeomn G tãc.et quia a b adcb eſt dupla interualli habitudo. ergo f. 4 per diff initionem ab ad cb confonatdiapafen. inr Plaluke n ha 5

— — ʃ——B—B—B—B—B—B—B—B—B—B—B—B————n—— ——.— ——— 5
——— —————
A
¶ Conſonantia diapaſon:in ſex tonis minime conſiſtit. ſed quinq; amplioꝛ: ſerye tonis:conſonat contractiiiovu. 71 ¶ Mam per viceſimã pꝛimi quinq; cõiuncti ſeſquioctaui:minus duplici interuallo coniũgunt. e viceſimãpꝛimam eiuſdẽ ſex coniuncti maioꝛesvno duplici interuallo euadunt. ergo quinq 85 6 res ſunt diapaſon cõſonantia ſet ſex eadem ſunt amplioꝛes.conſonat ergo diapafon quinq; ton mino plioꝛ:ſed et ſex eadem modulabitur inferioo. isan ¶ Diapaſon: ex diateſſaron et diapente conſonantiis coniungitur. locate.at per vndecimã pꝛimi duplex interuallũ ex duobus maximis ſuꝑparticularibus aaſin col⸗
et duplex interuallũ: conſonãtie diapaſon interuallũ exiſtit.igitur conſonantiã diapaſon:. et diapente conſonantie ſimul coniungunt.quod eſt pꝛopoſitum. Paſon: diateſſar
¶ Cõſonantia diapaſon:quinq; tonis et duobus ſemitonus minoꝛbus quetonũn nime cõplent: perfictur. Ande quoqʒ mamifeſtũ eſſe poteſt: cõſonantiam dupalo
ſolo a ſex tonis commate diſtarc. ¶ Per pꝛecedẽtem enĩ diateſſaron et diapente conſonãtiam diapaſon iungunt. diateſſaron gũt ſextã huius duobus tonis et ſemitonio minoꝛe conſtare mõſtrata eſt: et diapente ꝑ nonã tribustune ſemitonioq; minoꝛe.at duo toni et ſemitoniũ minus ⁊ tres toni et itidem ſemitoniũ minus mulen
flati: quinq; efficiũtur toni atq; duo ſemitonia minoꝛa. atqui duo ſemitonia minoꝛa tonum non dan ciunt:verũ ab eo deficiunt cõmate.igitur conſonãtia diapaſon quinq; tonis et duobus ſemitoniio mi noꝛibus:que tonũ minime ĩplent quẽadmodũ iam pꝛopoſitũ eſt perficit᷑. ¶ Coꝛrelariũ ex demonirn
tionis calce notũ eſſe poteſt. Ex quo liquet ꝑfacile eſſe in neruo muſicũ cõma perueſtigare Wam ines a pꝛincipio conſtitutis ſcõtinuatiſq; ſex tonis et ab eodẽ nerui initio ad mediã choꝛde notam intenſa
diapaſon cõſonantia quov inter mediã nerui notam et vltimũ ſex tonoꝛũ ſignum cotinetur:expꝛece dentis coꝛrelario erit cõmatis interſtitiũ.
¶ Dempta ex diapaſon cõſonantia diapente: relinaqͥtur diateſſaron.ct ex endẽdeyn cõſonantia diateſſaron: relinquitur diapente. demptis autem ex ea diapente etiono
relinquitur ſeſquitonus..
¶ Pꝛima pars et ſecunda ſtatim per penultimã cognite ſunt. Item ⁊ per pᷣcedentẽ. Ram per prer⸗ dentẽ diapaſon quĩq; tonis ⁊ duobus ſemitoniis minoꝛibꝰconſtat: a quibus ſi tres tonos etynl ſen toniũ minus tollas que per decimã huius diapente cõſonantiã continẽt:relinquũtur duo toni tſeni toniũ minus:q̃ per ſextã huius diateſſaron cõſonantiã efficiunt.dẽpta igitur ex diapaſon conſonitia diapente:relinquit᷑ diateſſaron: quod eſt pꝛimũ. Secundũ eadẽ facilitate declaratur. Ham ex quinq tonis et duobus ſeiitoniis minoꝛibꝰ ſi duos tonos ⁊ ſemitoniſ minus tollas:relinquũtur tres toni et ſemitoniũ minus. Tertiũ conſimiltter.demptis enĩ a conſonãtia diapente hoc eſt a quingg tonise duobus ſemitoniis minoꝛibus demptis inquã quattuoꝛ tonis et ſemitonio mioꝛe reliquus eſttonus vnus ⁊ ſemitoniũ minus.Et quot dieſes quot apotomas quot deniq; cõmara contineat diapaſon:de pꝛehẽſionis ſunt facillime:in nulla tamen equaliter:tota ipſa diuidua eſt quãdoquidem diapaſonn multiplici ratione conſiſtit que omnino in quotlibet equas pꝛopoꝛtiones que mulitiplices nõſintpe ſexageſimam noni arithmetices diuidi non poteſt.
¶ Rulla ſimplex cõſonantia: in duo cqualia:certo/ cõſtitutoqʒ nũcro diuiſibilloct ¶ Simplices conſonãtias vocamus diateſſaron diapente diapaſon. de diateſſaron autẽ:diapent conſtat qͥ ex ſuꝑparticularibus interuallis ſurgũt: que per quintã pꝛimi nulloſpacto hunc in modun dirimi poſſunt.de diapaſonvero cõſonantia idẽ ſubit iudiciũ. Ram quoniã minimi eius numeniſunt duo et vnum:⁊ duo quadꝛatus nõ eſt:igitur per coꝛrelariũ triceſimeſecũde ſecundi huiuscſonantis diapaſon ãᷓ conſiſtit in ꝓpoꝛtione duoꝛũ ad vnum minime in duo equalia partiet᷑.et eodẽqſoq;iune neq; eadẽ conſonãtia in plura duobus dimetiet᷑/ dirimeturq; equalia.Et pꝛofecto velle hocpanvemn ſonantiã diapaſon in plura equa diducere.eſt in geometricis diametrũ coſte quadꝛati vellecomenſu rare.ſed id vltimũ muſicum n% eſt
¶ Nam per decimãquartam huius diateſſaron et diapente in maximis ſuꝑparticularib 1
4
Diapaſon ac diateſſaron: conſonantiam non eſſe. b b 4 3 1 f 3 3 4 14 1 3à32 3—
¶ Etſi in diapaſon ac diateſſaron ſit duarũ vocum dulcis amenaq; cõgreſſio vt quẽadmodum cun puiſatur ſeſquitonus:nõ iccirco tamẽ euenit doaenon deie enenaae Sfnnaneſe dici mereri. Lam b Ptholomeo ſecus ãᷓ Pithagoꝛicis hac in re viſum ſit: quod monſtratu facillimũ eſt. Sint niaen binarius ⁊ vnitas: minimi ſe numerl conſonãtie diapafon et ed quattuoꝛ: ⁊ tria minimitdetiden ſonantie diateſſaron duco c ina et veniet octonarins qui ſit e: ⁊ d in b et veniet ternariuo: ꝗt nro. per tertiam quinti Srithmetices e ad f᷑ continet duplã et ſeſquitertiã: quare diapaſon ac diateſta

III
binariũ qui ternarij nõ pars vlla eſt ſed partes.eſt enĩ octonarius ad waei Keftiteareriufuper Non eſt igitur diapaſon ac diateſſaron ↄſonãtia.oĩs enĩ conſonãtia aut in ſuꝑparticłari/ aut in mul⸗ tiplici genere ex diffinitione cõſiſtit. Et in hoc facile cognoſci poteſt ex nouo ꝓbleumatũ libꝛo; Pr⸗ thagoꝛicis cõſenſit Uriſtoteles:cũ inquirit cur non bis diapente/ aut bis diateſſaron reddi ↄſonãtia poteſt:vt bis diapaſon coaptari ſolet. Roc inquit ideo eſt ꝙ diapẽte conſouãtia poſita in pꝛopoꝛtione ſeſqualtera eſt diateſſaron vo in ſeſquit᷑tia.ꝙ ſi duo ſeſqualteri aut ſeſquitertij numeri oꝛdine diſpo nãtur:extremi nullam inuicem pꝛopoꝛtiõem habebũt.neq; enĩ ſuꝑparticulares neq; multiplices eſſe poterũt.at diapaſon ↄcinẽtia am̃ in duplari pꝛopoꝛtione cõſiſtit:hae gemĩata: quadruplam inuicem extremi tenebũt habebũtq; ꝓpoꝛtiõem. Aides ergo quo pacto 3riſtoteles conſonãtiarũ ꝓpoꝛtiones ſolas ſuꝑparticulares aut multiplices efficit:ſuꝑpartiẽtes q̃ſi pꝛoꝛſus nulle ſint repudians. Et re va Ptholomei cũ Prthagoꝛicis magis in noĩe qᷓ in reipſa diſſentio putanda eſt.ſed de his hactenus. ¶ Diapaſon ac diapente:in triplici conſiſtit ratione. eſtq; diapaſon ac diapente con⸗ Q enim diapaſon ac diapente in tripla rõne cõſiſtat: hoc ideo eſt ꝙ ex duodecima pꝛimi ex duplic
un atq; ſeſqualt᷑o interuallo triplex naſcit᷑ interuallũ. duplex aũt ⁊ ſeſqualten ſunt ↄſ dann diohlin nd I ren n amaa et diapente intualla.igitur iuncte ↄſonãtie diapaſon ac diapente in tripla rõne cõſiſtunt.ſed cũ ſenſu nnantangſcnn iam ſatis ſit exploꝛatũ hũc cõcentũ modulate/ ſuauiterq; ad auditũ ꝑuenire: ergo per diffinitiõem is
aultna dagalen aans, Concẽtus conſonãtia eſt. quod eſt totum pꝛopoſitum. un epsiti aade( ¶ Diapaſon diapente ac tonus:mclos citra conſonantiam elicuutnt.
clennmran 27 1 1 2 1
. ncnnan j e 1—.
lamii 3 1— 1— 9 1 3 1
3— b 1 t 8
penter relnaar data Welos hicvocamus ſuauem auribus acceptamvoculationem/ amenũq; pluriũ vocum cõgreſſum. ſed ꝙ diapaſon diapente ⁊ tonus ſimul iuncta melos conſtituũt: ſtatim notum eſt. RNam hec ſonoꝛum
penle. denpisum voculatio ſuauiter vt experiètia diſcitur auribus accidit. ſen; conſonãtiam nullã paret: oſtèdit. ami enĩ per pꝛecedẽtem diapaſon ac diapente in tripla pꝛopoꝛtiõe conſiſtit.ſint eago a b tria ⁊zvnũ minimi
nl conite ſunt. mmin conſonätie diapaſon ac diapente numeri/ et cd nouem ⁊ octo minimi numeri toni.duco c in a ⁊ din b uis minond etveniãt e f ⁊7 ſcʒ et s inter que eſt diapaſon diapente atq; tonus.ſed e ad fneq; ſuꝑparticularis neq;
cſananni nmitaa multiplex:quinĩmo e ↄtinet f᷑ter et tres eius octauas:eſtq; e ad ftriplus ſuꝑtripartiẽs octauas. non cficunt dcpu ge cõcinit igitur e t aliqua conſonãtia.quod totum eſt pꝛopoſitum. 83 1Geaad eaeine CBis diapaſon conſonantia: in quadruplan conſtituta reperitur habitudine.
V Q enĩ bis diapaſon in quadruplari cõſiſtat:ſtatim eſt manifeſtum. Hã per decimãtertiã pᷣmi duo ndd lenttand nud Qi enĩ bis diap 8 tuallũ.diapaſon aũt in duplari cõſiſſat.igi᷑ bis diapaſon
cnia conioinunpm duplicia interualia quadruplex iungunt intuallũ 15 Dlap — auadruplarem iungit habitudinem: que eſt multiplex. et cũ bis diapaſon ad auditũ ſuauis/ emodula auunuos toatsaſaman d pl gith S̃ꝑ diffinitiõem erit ↄſonãtia. qð erat mõſtrandũ.
4
taq; pueniat vt id quoq; ſenſu ſatis perceptum eſt. tio qdð er⸗ di nur ¶ Pythagoꝛici ⁊ pꝛioꝛes muſici oẽs:ↄcentuũ modũ in terminis quadruple arq; in finibus ↄſonãtie err tota ipſa bis diapaſon perſtrinxerũt:non temere lõgius pꝛogreſſi aut ꝙ inter illos terminos vnicuiq; factus a ude cqaas pepemaa natura reperitur ſue vocis modus/ aut ꝙ ſtridulꝰ ille canoꝛ illis vt iam quoq; dictũ eſt viſus eſt; ve ſeriam iam relinquũt mediocritatem/ aut ꝙ hactenus contẽplatio ſatis ipᷣis eſſe viſa eſt ad muſicam — Gafdr inſtitutiõem.poſteritas aũt ad ter diapaſon vel ⁊ amplius adauxit ad terios vſq; octuple lõgius eua⸗ aualia:certo gata:de quibus neceſſaria ſpeculatio non incũbere videtur:ſed pauca paucis ſtrinxiſſe ſatis erit. Mã duupente diupel um qui modulatiõem ſupꝛa bis diapaſon cognoſcere deſiderabũt: facili demõſtratiõe vt pꝛecedẽtia ꝑci⸗ — pient. bis enĩ diapaſon ac diateſſaron in ꝓpoꝛtiõe quĩcupla ſeſquitertia cõſiſtit.et pꝛoinde plane cõ⸗ ſadu moe— ſonãtia putãda nõ eſt.bis diapaſon ac diapente in ꝓpoꝛtiõe ſeſcupla et ideo conſonãtijs numerata. ater vero diapalon in pꝛopoꝛtione octupla.. 52 aaus SSmnes conſonantias: in data choꝛda ſuo oꝛdine ſubiũgere:et eas ſenſu percepti⸗
1
um mimmein — biliter experiri.—— ngesamcs an ſS. ☛ e e
¶ Sit a b data choꝛda in qua ꝓpoſitũ ſit ↄſonãtias diateſſaron/ diapẽte/ diapaſon/ diapaſon ac dia⸗
m non cſſe. pente/ et bis L on ſituare. colloco in ſigno a bꝛachiũ circini ĩmobile et ad totius choꝛde quartam —““ partem extendo circini bꝛachiũ mobile:et in termĩo eius pono notam c.·deinde extendo idem bꝛachiũ had eiuſdem choꝛde partem tertiã:et in terĩo pono d. mox ad totius choꝛde partẽ mediam quã deſigno
„ nota e.deinde eodẽ bꝛachio capio totius choꝛde biſſen: hoc eſt duas tertias:et in terĩo biſſes pono f. —,— mox extẽdo circinũ ad choꝛde dodrãtem:hoc eſt ad tres eius completas quartas:in cuius ſine affigo — notam g. tunc ſic ab ⁊ cb per quartã huius ↄſonat diateſſaron. ab ⁊ d b per octauã diapente ab ⁊ eb per decimãoctauam diapaſon ab ⁊ fb per viceſimãquintam diapaſon ac diapente. poſtremo voab ⁊
ncas, Sb per pꝛecedétem bis diapaſon. Suppone igit muſicale hemiſpheriũ ſenſim ſingulis choꝛdenotis
in et ſonos ad totius choꝛde ſonum diligẽter attẽde. et ſuo oꝛdine ꝓpofltas cinetias annotabis. quod
— pꝛõptius experiri valebis: ſi choꝛde a b choꝛdam equiſonam/ vniſonãq; etiã collocaueris:cuius ſonũ
ipuon i 8 — umst cum ſingulis ſectionum ab ꝑcuſſionibus non ſegniter attenderis. na e gehe⸗

ſſ* Sre ⅓+—— 8 9— 1 8 3„ 4 1— 8 5““ e 1 1 3 4 3. 3. 8 4 2*..— kubemna ue he whbeee eunnee 3. 4———.— —— 4. 1—. ͤͤͤͤſ 8 9———— 4— ————..— eeeeeedeauererene—— 3 1——— *
——
———— ————
——
—
—
2 .
¶ Conſonantiari hoc pacto digeſtarum:ſinis conſonantie diateſſaron:ad ſinem dig⸗
pente ſonat tonum/ ad ſinem diapaſon:conſonat diapente. ad finem diapalon acdu⸗ pente: incõſonus.ad finem vero bis diapaſon:conſonat diapente ac diapaonn. A e—
—„———.———— ———— 4———— 8— „ 2.—.— Qͤ8“ 4——. 4 — 5 4. 1 * A 1 4 1— 2—————O 8— 8—————.—. . 1 1 ANn* 4————————————— “ 8, d*——————.—————— 8—————— 4—————.——— —— 2 rrmer—— ZZZZöZöZöö“ 8 2 2 55 4.* 3——— Gäöõãͤö&⁊⁊&⁊———.¼.— 2———— — 5—————————¼— .——— 5*.— 8 4.———— 2 3 —— 2„——— —*——. R——— —— be. 8— 2————— ſ ————— ☛——. 8 8 meeran— 4 B 2.—
—
3 4 .———— ———,——.
* 2— r ——————ͤͤ —————
—
¶ Sint a/ c/d/ e/fgib modo qui dictus eſt digeſte conſonãtie: dico cb ſinem lonätie diatelone d bſonare tonum/ àd eb eſſe diapente/ ad f b incõſonũ eſſe/ ad gbvo cõſonare diapente ac diapal 5 Ham per pꝛecedentem ab ⁊cbeſt diateſſaron et ab et db diapente. dẽpta ergo ab ⁊ cb diat 5 ſon.
cõſonãtia ab cb ⁊8 b diapente:per coꝛrelariũ decime huius relinquit᷑ tonus. qð aũt relinquif—
⁊ d bꝛigitur c b ad db ſonat tonum. et am̃ per pꝛecedentẽ a b ⁊ eb ↄocinit/ modulaturq; diapaſon ſug tractazigit ab et cb diateſſaron ab ab et eb ꝑviceſimãſcðam huius qð relinquit erdiandaſeſ quod relinquit᷑ eſt c b et e bꝛigitur c b ad eb ↄſonat diapente:et qꝛ per pꝛecedentem a b⁊fb conſona diapaſon ac diapẽte:ſubducta igitur a b ⁊ ebↄſonãtia diapaſon:qð relinqͥtur eſt diapente. quod aut relinquit᷑ eſte b ⁊ fb. igitur e b ⁊ fbᷣ conſonantia eſt diapẽte · ſed p modo monſtratũ cba eb enã dia⸗ pente eſt:igitur cb ⁊ 1b eſt bis diapente. at ꝑ decimãquartã huius bis diapente ↄſonatia componi nã poteſt:igit cb ad fb incõſonus eſt. poſtremo ꝗm̃ vt ex pcedeti notũ eſt ab ⁊ gb ↄſonat bis tiipalan
dẽpta igit᷑ ab ⁊ eb diapaſon ↄſonãtia relinqͥtur eb et gb eẽ diapaſon.atqui cb ⁊ eb perſcoam dtem
huius mõſtrata eſt eſſe diapente.igitur adiũcta c b et e b conſonãtia diapente ad eb ⁊gb cöſtituitur diapente ac diapaſon.cõſonat ergo cb ⁊ g b diapente ac diapaſon.quod eſt totum pꝛopoſitun.
¶ Sie poſitis conſonãtijs:finis diapente ad finem diapaſon modulatur diatelſſron
et ad finem diapaſon ac diapente:modulatur diapaſon.ad finem vero bis diapalon euphonus eſt:ſed qui nondum conſonantia eſt.—
8— 5 ſͤſſ
¶ ESſto pꝛecedẽtiũ hypetheſls: dico d b ſinem diapente ad eb conſonare diateſſaron.ad ib diapaſon. et ad gᷣ b ſonare diateſſaron ac diapaſon. Mam per penultimã ab et eb cõſonãtia eſt diapaſon.etah et d b diapente. ſubſtracta igitur ab ⁊ db diapente:ab ab ⁊ eb ↄſonãtia diapaſon: ber viceſtmaͤſcha huiuo relinqͥtur diateſſaron.ꝗð aũt relinqͥtur eſt dbet e b:igik d b ad eb nſonat diateſſaron. et qiin pꝛecedẽti monſtratũ eſt ẽ b ⁊ fbᷣeẽ diapente:et nũc d b et e b eſſe diateſſaron: ergo per viceſimã huus dbet fbex illis duabus cõflara/ coalitaq; cõſonãtia modulabit᷑ diapaſon. Rurſum cũ ebagbinpee
denti möſtrata ſit diapaſon:et e b et f b diapẽte:ergo per viceſimãſcðam huiof b ⁊ g beſt diateſſaron.
et d bet f bnunc mõſtrata eſt diapaſon· igitur db ⁊ g˖ b eſt diapaſon ac diateſſaron:qne cũ modulatio ſit euphona ⁊ eã monſtrauerit viceſimaquarta huius non eſſe ↄſonãtiã totũ liquet mõſtratũ ꝓpoſttů.
et ex hac quoq; pariter cognitũ eſt ſinem diapaſon:ad ſinem diapaſon ac diapente modulari diapète
vtebadfbet ad ſinem bis diapaſon cõſonare diapaſon.
¶ Conſonãtiaꝝ ſic collocataꝝ: totius choꝛde atq; cuiuſq; ſectiõis nũcros delgnut 4 6 1ms i u—“
1 a d8ö1—W—
¶ Duco duo/ tria/ et quattuoꝛ in feinuicem: et numerũ inde ſurgentem atq; ꝓductũ qui hebitſchm
tertiam ⁊ quartã:pono totius linee numerum quẽ iccirco voco numerum a b ab quo demo quartan partem et reliquus ſit c bꝛet erit pᷣmus numerus ad ipm ſeſquitertius.quare diateſſaron.ct ab eꝛdeꝝ numero demo partem tertiam ⁊ reſiduus ſit d b:eritq; a b ad db ſeſqualter:quare cõſonãtia diapit et iteꝝ ab a b diduco ꝑtem mediã et reſiduus ſit e b:eritq; a b ad eb duplus. qͥcirca diapaſon oſonan inter eos exurget.et nſieri a b ſumo ſolã tertiam q̃ᷓ ſit fbꝛerit ergo a b ad f᷑b hĩtudo tripla ctinebũt igit᷑ a b et fb diapaſon ac diapẽte.Rurſum numeri ab ſola quarta ſit g bꝛerit a b ad gh quadruplus. quare a b et g b ſunt numeri bis diapaſon. ſunt itaq; totius choꝛde a b ⁊ cuiuſq; ſectionis eius ſac
ſignatas conſonãtias deſignati numeri.quod erat demonſtranduumim.
¶ Quotcunq; harmonicas medietates aſſignare: inter quaꝝ terminos eyꝛiiydiffe: n
1 —
rentias omnes muſice reperiantur conſonantic. weer Darmonice 8S 6 Epitritus ſo cſ Daateſlaroan— [Sedierates d wemiolus ſab] Dupente——
[2l d c wuplaris ſa c Dlapalon——
Merentie 4 2² ſLTriplaris ſc e] Diapalon diapene — 1edAuadruplarie b e Wis dlapalol ¶ Harmonica medietas in Urithmeticis diffinita eſt qñ trium terĩoꝝvt maximus ad mimüꝛlta dfi
. 3 4.,— ↄ 7.. 1 9 ſitq maioꝛũ ad driam minoꝛum. Sit ergo c quicũq; nũerus partem tertiam habens que ſit eꝛduploc. duplatus a.manifeſtũ eſt a ad ceſſe duplum. et qꝛ c ade tria e:ipm a ↄtinet ſexe. addoeade 19
1

———
et erit notũ b ad e eſſe ſeſquitertiũ:et b cõtinere quattuoꝛ e atq; e eſſe driam b ad c.Itidẽ qꝛ b cõtinet quattuoꝛ e et a cõtinet ſex e:a erit ſeſqualrer ad b.et qꝛ b equatur quattuoꝛ e/ et a ſex:ergo dria a ad b equatur duobus e que ſit d.quia enĩ d equat᷑ duobus e:ergo d duplus eſt ad e.dico ergo a b c datam eſſe harmonicam medietatem:inter cuius termĩos ab c ⁊ eoꝝ differentias d e oẽs muſice conſonãtie ce ca reperiãtur.nam a ad b maximi ad mĩmũ mõſtrata eſt ꝓpoꝛtio eẽ dupla et ſiłiter habitudo d ad e dfie aadad aace ſcʒ maioꝛũ ad differẽtiam minoꝛũ etiã oſtenſa dupla.ſunt igitur per diffinitiõem a b ctermini in har⸗ — d dahaa id monica medietate ↄſtituti. At ſi b ad ccõpares mõſtratus eſt ſeſquirtius:quare ↄſonãtie diateſſaron
inreruallũ. et ſi a ad b:mõſtratus eſt ſeſqualter atq; hemiolus et diapẽte interuallũ. et ſi a ad c:duplũ
necrdenteah; habes ⁊ ↄſonantiã diapaſon.ſi vo cad e cõtuleris:habes triplũ:et ꝑ viceſimãquintã tertij ↄſonantiã Mrfimäüſcim aun cõpoſitam diapaſon ac diapente.et ſi bad e:quadruplũ/ et perviceſimãſeptimam tertij bis diapaſon. n at cũ cetera mõſtrata ſint non eẽ conſonãtias:cõſtat diateſſaron/ diapente/ diapaſon/ diapaſon ac di⸗ Aemltla deahecß e apente/ ⁊ bis diapaſon oẽs conſonãtias quibus in diſciplinis ſe exercere ſolent muſici: inter termĩos na e duapee ran. harmonice medietatis ⁊ eoꝝ differẽtias:fuiſſe repertas.et ſi duxeris binariũ in ab c⁊ in illos qͥ inde mlanarridunn ꝓuenerint et quoties volueris in pueniẽtes: ex ſeptima ſecũdi Arithmetices cognoſcere pꝛõptum eſt Aner toties cõſtitui harmonicam medietatem cõſimiles inter ſuos terĩos ⁊ ſuoꝛũ terĩoꝝ dr̃ias: cõſonãtias medagd rmchätg muſicas ſeruãtem.et idem fuerit ſi quẽcunq; alterũ numerum in illos terĩos duxeris. placuit tñ diuo nen 8 nnia m Seuerino quadrageſimo octauo capite ſecũdi ſue Brithmetices ad oẽs ↄſonãtias muſicas cõplectẽ r— das:duas oꝛdinare medietates harmonicas:vnam in duplari/ et alteram in triplari.ſed ⁊ idem etiã fieri poſſe vna ſola conſtituta iam ſatis monſtratum arbitramur.
ed inc daa Quotlibet maximas harmonias quaꝝ quelibet pꝛimoꝛdium conſonantiarũ/ con⸗ ſonãtiaſq; contineat omnes:conſtituere. e. es
—
mna cſt. Waxumahar. 24[- 18[ 16 ſeu. l.l T— — Waxima har. 2. 8 1 4 1Epogdous b cTonus 4 — 1lee lb lcleo l lEpitritus ſab Diateſſaron, ceemedan Differentie 3 3 ſemiolus ſa cDiapente— per peulmmiidechae E 1 f Duplaris[ad Diapaſon— dderedagkadneht Differentie 4. 2 T rriplaris dhDiapaſon diapete ndcdd ctedcſenarie g 1 h Quadruplusc hWis diapaſon.
—— ¶ Waximam harmoniam vocant qñ quattuoꝛ ſolidoꝛũ terĩoꝝ in geometrica medietate cõſtitutoꝛũ: rdohe inter maxim/ vnũ medioꝛnm ⁊ miĩimũ medietas Brithmetica ↄtinet᷑: et rurſum inter maxim terĩoꝛũ/ ddISdeKdade r alterũ medioꝛũ/ ct mĩimũ cõtinetur harmonica. Medietas geometrica eſt qñ terminoꝛũ eſt ꝓpoꝛtionũ damo non eſe enbiri ſilitudo. Brithmeticavo ꝗñ terĩoꝛũ eſt differẽtiarũ equalitas.quidharmonica iam dictũ eſt. Solidi Mfanas nen upunu termini dicunt᷑ qui ex triũ in ſe laterũ ductu ꝓducũtur.ſed hec oĩa ex Drithmeticis ꝙnotiſſima ſunt. uupaſon. MPꝛimoꝛdium ↄſonãtiaꝝ appellamus tonum. ¶ Capio ergo d numerũ quẽcũq; gui ſcðõam ⁊ tertiam
heat:ſitq; eius ſecũda f et tertia h. duplo d et ſit duplatus a: quiquidẽ a duplus erit ad d.addo b ad d ſitq; cõpoſitus c.eritq; ſeſquitertius ad d.ſed et cũ a mõſtratus ſit duplus ad d:g per vndecimam pᷣmi huius a ad ceſt ſeſqualter. Pꝛet᷑ea f ſcðᷣam partem d addo ipᷣi d et cõpoſitus ſit bꝛcertũ eſt b ad d eſſe ſeſqualterũ.q̃re ꝑ eãdẽvndecimam pᷣmi a ad b eſt ſeſquittius. Ab acigit᷑ qui mõſtratus ẽ ſeſqualter: ablato a b ſeſquitertio per quĩtãdecimã pꝛimi relindqͥtur b ad cſeſquioctauus. Sit pꝛetea g dr̃ia a ad cqꝛd ↄtinet tria h: c continebit qᷓttuoꝛ et a ſex.ergo g dr̃ia a ad cↄtinet duo h. eſt itaq; g ad h duplus. et quia f eſt medietas d/ et b eſt ſeſqualterũ ad d:ergo b cõtinet tria f.eſt itaq; f tertia ꝑs b.ſed ⁊ a ſeſ⸗ quitertius ad b addit ſuꝑ eũ tertiaz ꝑtem ipᷣius bꝛergo df̃ia a ad b que ſit e equat᷑ f.dico ergo a/b/cyd maximã cõſtituere harmoniam:que tonũ ↄſonãtiarũ elementum/ ⁊ oẽm cõplectit ↄſonantiã. Mam a ad b moſtratus ſeſquit᷑tius ⁊ ſiliter c ad d ſeſquitertius. cõtinẽt igit᷑ a ad bet cad d per diffinitiõem: me geometricam medietatem-. et dria a ad b maximi ad vnũ medion eſt eſ et bad d eiuſdẽ medij av mimũ ne decrus aan eſtt/ et e ⁊ fmõſtrate ſunt equari.igitur per diffinitiõem a ad b et b adc conſtituũtur in Brithmetica un Aſit fdercpm medietate.ſed ⁊ a ad d maximus ad mĩmũ mõſtratus eſt duplus:et ſiliter g dr̃ia a ad cmaximi ad re⸗ mecrlab ſcu euruh liquũ medioꝝ demõſtrata dupla ad hdr̃iam cad deiuſdem medij ad mĩmũ.· igitur ꝑer diffinitiõem a nt uad totuns dece ed oſiſtũt in harmonica medietate. Cõſtat igit᷑ ꝑ diffinitiõem a/ b/c/d ſi ſolidi ſint cõſtituere maxiam „gu denaarn. harmoniam. ꝙ ſi ſolidi non ſint: duc quecunq; nuũerũ in quẽlibet ipſoꝝ et ꝓueniẽt ſolidi in eiſdem ha⸗ bitudinibus quoꝝ cuiuſlibet latera erũt vnitas/ numerus in illos ductus et ſinguli eoꝝ ad ſingulos:
— tica medietate complet. —
¶ Dis numerus ternaria ꝓgreſſioncad ſe adiectus: oẽm conſonantiam in Arithme⸗

— 2 de— 2 ———
b ſT Ʒtonare Sritpmerics medietate A pꝛimavnitate[Iſcda vnitare 1[ Bteria
[Bternawnaae 3 4 6 1 9 12 1 2. 3 4 10[20 30 40 1100200 300gd dupius diapaſon ſeſquit᷑tiꝰ diateſ. duplarſ ſepitritꝰ diapaſ. diateſ. diapalonl dinreſa ſſeſqualt᷑ diapète[Lbemiol. L ddiapè.[diapene Tropius. diapaſon diapẽ.[Triplaris[ldiapa.diapſ ſdlapa-dlapete
Quadruplus. bis diapaſon Quadruplaris/ Bis diapaſon Eiedlapafon
¶ Intelligit᷑ ternaria ꝓgreſſiõe ad ſe addi numerus qñ additur pᷣmo ad ſe ſemel/ deinde big der
ter· dico ergo quẽcunq; numerũ ad ſe hoc pacto additum:oẽm cõſtituere conſonãtiaʒ muſicam han ſemel ſibi adiectus:duplex ad ſe efficit/ ⁊ diapaſon conſonãtiam.et bis ſibi additus:ad pꝛimã 1sen onem ſeſqualteꝝ cõſtituit ⁊ diapente: et ad ſe triplũ atq; diapaſon ac diapente.nam in pma 9n dit bis/ ⁊ in ſecũda ter cõtinetur.ter vᷣo ſibi additus ad ſcðᷣaʒ additiõem facit ſeſquitertiũ⁊ diateſſ. ſu nam pꝛimus nũerus hic quater/ illic vo ter cõtinetur. et ad ſe quadruplũ facit et bis diapalon anen igitur ꝓgreſſione oĩs cõtinetur cõſonãtia muſica.et qꝛ cõtinue numeroꝛũ ex eius additide ſur uha ipſe numerus additus eſt differẽtia:ergo reperte conſonãtie in Urithmetica medietate continetunet ex hac cognoſcitur cur in oĩm vnitatum quaternaria ꝓgreſſione que vbiq; denarij Prthagoꝛici 5 nitudinem implet:oẽs conſonantie muſice et in Drithmetica quidem medietate reperiãtur.
¶ Tonum ct oẽm conſonantiam ſimplicem:in duo equa partiri/ veraq; medietatun 1
puncta in choꝛda:geometrice monſtrare.
¶ Pꝛecedẽtes ſcptima ſcðiſj⁊ viceſimatertia tertij pꝛetẽdũt tonũ/ diateſſaron/ diapete a dlapsſon: in duo equa diuidi non poſſe.heco mõſtrat quo pacto ea omnia poſſint in duo equa partiri. nechoc quidẽ repugnat. Mã pꝛecedèetes contẽdunt id effici non poſſe Urithmetice certo cöſtitutocz numero atq; ratiõali habitudine:hec vᷣo id effici poſſe geometrice ſine numeri certa/ cõſtantiq; ratione.
Sgs hi k b Bed e f 9
6
b f 62
¶ Sit ergo data choꝛda abſ uperioꝛ in qus iubeamur integrum ſemitonium/ et ſenatiarl disteſſa ron/ diapente/ ac diapaſon vera media reperire.facio a b ⁊ ch tonum.a b et db disteſſeren. ab eb
diapente.a b et ſ b diapaſon eo qui in pꝛededẽtibus mõſtratus eſt modo. deinde in infenon linea ac
indefinite quãtitatis capio a b equalè lince ſuperioꝛi a b et b c ↄtinue equalem lineebeſuperioui ta puncto b verſus c:capio lineam b d equalem choꝛde b d et b e cequalẽ choꝛde be et bf choꝛde b etin⸗ telligo qᷓttuoꝛ dimidios circulos a cja d/ae/a f.et a puncto b educo perpẽdicularẽ linee a csd aircu⸗ ferẽtias ſemicirculoꝛũ ac/a d/ae/at.et ꝑũcta vbi eos cõtingit linea ſint g/ h /i/ kꝛad que hüctseduet
ag/cgla h dhſai ſeiſak fk. at per nonã ſexti geometrie a b ad b gvt b gad be⸗faco igit in chada
ſuperioꝛe a b lineam b g equalẽ inferioꝛi linee d g et cũ ꝓpoꝛtio a bad gb vtg bade bipꝛeoſtim cſt: ſeqtur tonum a b ⁊ eb eſſe in duo equa Deinhe puͤtie geſſe meditm ee ſemitonij ſignũ · etpen eãdem que ꝓpoꝛtio a b ad b h ea ſit bh ad b d. eſto igitur h b in choꝛda a b equalis linee bhper irem vt pꝛius: ea erit ꝓpoꝛtio abad h b queh bav db. quare a b et d b diateſſaron in duo equa parniaci et eodem pacto facta choꝛda i b ſuperioꝛi equali linee b i. et choꝛda kb equsli linee bh: moͤſtrabiscc

ſonãtias diapẽte ⁊ diapaſon in duo equa mata/ et dieſes tetrartemerias reperias a et ſumptis vt in pꝛecedentibus factum eſt med geometricis exercitatis nota eſſe poſſunt. voce tonum mediareſet ſemitonium:et quã
IIII
eſſe partitas.et re vᷣa hoc pacto vᷣa ſchiſmata atq; diaſchiſ⸗ ſſignat cõmatis dieſeos atq; cõpleti ſemitonij interuallis ijs ꝓpoꝛtiõalibus choꝛdis.ſed hec ſtatim aliqᷓ;tulum in Hec aũt poſteaqᷓ; repereris diſce(ſi libet) per choꝛdam in cunq; voles in arte muſica conſonantiam.
¶ Tertij elementoꝛum Muſices ſinis.
Armonica regula inſtrumentũ eſt:quo cum(ratiõis adhibito iudicio)
conſonantie/ conſonãtiarũq; partes:in choꝛda perquirũtur. Meloꝛũ
h tria ſũt genera:iatonicum/ Chꝛomaticũ/ Enarmonicũ. Diatonicum genus:melos eſt cuius partitio per ſemitonium minus ⁊ duos tonos
cõtinue ꝓcedit. Chꝛomaticum:qð per duo inequalia ſemitonia ⁊ tri⸗
hemitonium cõſcẽdit. Enarmonicũ vo:qð per duas dieſes conſcẽdit
et ditonum. Dieſis hoc in loco ſemitonij minoꝛis medietas eſt:ex differẽtic extremoꝝ habitudinis eius: partitione ꝓueniens:que ⁊ tetrartemeria dicta eſt. ſed vt eaꝝ ſemꝑ maioꝛ que acutioꝛ/et minoꝛ qͥ grauioꝛ:reperiatur neceſſe eſt. Voces/ nerui/ choꝛde/ ſpacia:hoc oꝛdĩe a graui in acumen nitentia in vnoq́q; meloꝛum gñe ſunt nũcupata.
Grece nuncupationes Nuncupationes latine. ¶ Pꝛoſlambanomenos Acquiſitus— Hypate hypaton Pꝛincipalis pꝛincipalium Parhypate hypaton Subpꝛincipalis pꝛincipalium Lichanos hypaton Index pꝛincipalium Hypate meſon Pꝛincipalis mediarun Parhypate meſon Subpꝛincipalis mediarum Lichanos meſon Index mediarum Meſe Media Trite ſyneʒeugmenon Tertia coniunctarum„ Paranete ſynezeugmenon Penultima comiunctarum Nete ſynczeugmenon Vltima coniunctarum Parameſe diezeugmenon Submedia diſiunctarum Trite diczʒeugmenon Tertia diſiunctarum Paranete diezeugmenon Penultima diſiunctarum Mete diezeugmenon Vltima diſiunctarum Trite hyperbolcon Tertia excellentium Paranete hyperboleon Penultima excellentium Ncte hyperbolcon Vltima excellenium
¶ onochoꝛdum:cſt qðvnica choꝛda cõtinet modulatiõem. Tetrachoꝛdum:quod Chorois quattuoꝛ. Polichoꝛdum vo: quod pluribus choꝛdis id cõtinet qᷓ; quattuoꝛ. 65 Pent choꝛdum⸗ quinq;. hexachoꝛdum: quod ſex.ct ita de heptachoꝛdo/ octo⸗ — ennachoꝛdo/ decachoꝛdo/ endecachoꝛdo/ dodecachoꝛdo/ tridecachoꝛdo/ teſ⸗ aradecachoꝛdo/ ⁊ pentadecachoꝛdo eſt intell conſtat choꝛdis. Pꝛoſlambanomcnos grauiſſimus neruus adiũctus: a ꝓximo pꝛ
ruus in vnoquoq; meloꝛum
igendum:ꝗqð vltimum oino quindecim eſt in wnode, generc:pꝛimo wenripddorn umi tetrachoꝛdi neruo:tom intuallo diſtãs. Tetrachoꝛdum coniũctũ: eſt cuius pꝛincipiũ eſt pꝛecedẽtis finis. 2:iſiuũ- . ꝛccedẽtis tetrachoꝛdi finis. 2 ctum vo: cuius pꝛimoꝛdialis ne Pireind finis. Qiſiũ
mord enere:a ꝓximo pꝛece⸗ dentis tetrachoꝛdi finali neruo:vno tono diſiungitur. 8 2 pe c

niſtule: Dextre/ Leue/ Simplices/ Duplices: in quibꝰ vno ſpiritu animãdis vt inquit Ipuleus far Hiaguis Eydoꝛũ rex Marſieq; pater ᷣmus in canẽdo manus diſcapedinaſſe:pꝛetea vt Pelte Chor⸗ daciſte/ Sambuci/ ydraule/ Mabilie/ Pſalteria/ Magades/ Barbiti/ Maula/ Pẽtades Lonua/ Heptagona/ Wele/ Teſtudo/ Barbati/ Plectra/ Monochoꝛda/ Tetrachoꝛds/ Polychoract etera . id genꝰ muſica inſtrumẽta.placnit tñ Philoſophis in Monochoꝛdis Tetracho:dis at Polychor⸗ dis monſtrãdis:ceteroꝛũ nos intelligere rõem ſatq; compoſitionem.quocircs vt de Wonochoꝛdoꝛum et Tetrachoꝛdoꝛũ compoſitione intelligemus:ita de reliquis eſt intelligendum. nuncergo adWono⸗ choꝛdi regularis nos oſtenſionem cõuertamus.“ „dwd e f g h i k l m/ o a— EILSLEIELISZIZEIZLSſTIS 1
—
-efg b i lim n o
E
¶ Zetrachoꝛda ſunt quĩiq;: Tetrachoꝛdũ hypaton/ Tetrachoꝛdũ meſon Syn b gmenon/ Diezeugmenon/ hyperboleoen. b Ga. ¶ Tetrachoꝛdum hypaton eſt: Tetrachoꝛdum ſynczcugmenon Hypate hypaten MDeſc u Varbypatehypaton Triteſynezeugmenon Lichanos hypaton Paranete ſynezeugneneon Hypate meſon Nete ſyneʒeugmenon 9 Tetrachoꝛdum meſon eſt: Tetrachoꝛdon diezeugmenon. Hrpate meſon Parameſediezeugmenen— Parbypate meſon Trite diezeugmenoen Lichanosmeſon Paranetediezeugmenon— Meſe Mete diezeugmenon 1 — Tctrachordum hyperboleon — Nete diezeugmenon m — Trite hyperboleon-
Paranete hyperbolcon b 7
Nete hyperbolcon ¶ Modũ hic vocamus remiſſionem aut intenſionem oĩm tetrarchoꝛdoꝛũ gradann in aliquo genere meloꝛum:ſui gencris pꝛogreſſionem ſeruans. ¶ Modi ſunt ſeptem.
¶ Pꝛimus hypodoꝛius
* Secundus hypophꝛygius 21
Tertius Hypolydius z Quartus Doꝛius 4 Quintus Phꝛygius— 7— Sextus Lydius 5 Sepumus Mixolydius„ Monochoꝛdi regularis partitionem:in diatonico gencre demonſtrat. b ¶ AQuãuis inſtrumẽta muſices qᷓplurĩa reperiãtur vt Cithare/ Tibie/ Tube/ Litui/ Wultikoꝛatites 1
—
T Tonus S Semitonium minus
Wonochoꝛdum igik regkare iccirco dicitur ꝙ invnico neruo muſice conſonatie harmoniczregl perueſtigẽtur. Sit ergo a b choꝛda in qua volumus in diatonico gñe coſonãtias regulart colloc
diatonicum.
WMonochoꝛdũ

ſtratũ eſt a b ⁊ fb modulari diateſſaron: aᷣ̊ per viceſimam tertij a b et k b qdðᷣ ex cõſonãtijs diateſſaron
1III
Aecipio e planiſſimã regulam/ nullaq; ex parte ſubſultãtem: equalem linet a b. et per pꝛimã ⁊ decimã
octanam ſecũdi huius ab c in d intẽ do tonum. et abd in eſemitoniũ minus. et abe in f⁊fing intẽdo duos tonos.et ab g in hſemitoniũ minus.ab h in i et i in k duos ton os. Burſus ab kin ltonum. et ab Lin m ſemitonium minus. ab m in n et n in o duos tonos. ab o in pſ emitoniũ · ab ꝑp in ꝗ et q in r duos tonos.ita ꝙ ↄtinue ſemitonio minoꝛi ſubiũcti ſint duo toni:dẽptis c d qui ꝓ pꝛoſlambanomeno pᷣmo ſemitonio pꝛepoſitus eſt tonus:et kl tono qui tetrachoꝛdi dieʒeugmeni hoc eſt diſiũcti pꝛineipiũ eſt. Kurſum applico totam regulã harmonicam cr toti choꝛde a b. itavt c ſit cum a/ et r cũ b. et in choꝛda ab vbi applicãtur d/e/f/g/ ⁊ relique ſectionum regule note:ſigno d/ e/f/ g/h/i! kll/m/n/ o/p/ꝗq et dico monochoꝛdũ a b eſſe in gñe diatonico regulariter diuiſum. Qm̃ eniz ſua interualla interuallis regle cr rñdent/ euadũtq; equalia a b et d b ſonat tonũ et d b et eb ſemitoniñ:et iterũ e b et fb tonũ ↄtinet.
gitur a betf b duos tonos ſemitoniũ minus ↄtinẽs: per ſextam tertij ↄſonat diateſſaron. Et quia
fb et gb vt in regula cõtinet tonum. et gbet hb ſemitonium minus. et h bꝛi b.⁊ i b ⁊ kb duos tonos.
ergo per decimam tertij f bet kb tres tonos ſ emitoniũq; minus cõtinens:cõcinit diapẽte.Sed ⁊ mõ⸗
⁊ diapente cõſurgit coalitum: cõſonat diapaſon. Kurſus kb et l b ſonat tonum/l b et m b ſemitonium
minus mbnb eto b duos tonos:quare k b et o b tres tonos ⁊ ſemitoniũ minus cõtinens:per decimã
tertij cõſonat diapẽte. Sed a b et k b mõſtrata eſt diapaſon cõſonãtia: ergo ab ⁊ o bcõſonat dispaſon ac diapẽte. Pꝛetea qꝛ o b ⁊ pbſemitoniũ eſt et pb qbet b duo toni:ergo ob et b cõcinit diateſſaron. kb igitur er b ex diapente/ diateſſaronq; cõſtans: perviceſimã tertij cõſonat diapaſ on. It voab ⁊ kb
itidẽ mõſtratũ eſt cõcinere diapaſon. ergo a b ⁊ b ↄcinũt bis diapaſon.Et qꝛ hec monochoꝛdi partitio per ſemitoniũ ⁊ duos tonos facta ꝓceſſit:et ee que modo mõſtrate ſunt cõſonantie harmonice regule fuffragio perueſtigate:ergo monochoꝛdi regtaris partitio in genere diatonico per diffinitiõem mõ⸗
ſtrata eſt.quod eſt pꝛopoſitum.
¶Monochoꝛdi regularis conſtitutionem:in genere Chꝛomatico declarare.
Biſdiapaſon.
DSiapaſon diapen.
Dia aſon. Diapaſon. 1
Dapente. Siateſſaron Diate ſſaron.
a g 5—,—. b SSaſrſSſALESſAI E 5E ef 3 h 1 k lm ,n o d a 1 8G E. Tonus. S. Semitonium. A. Semitonium maius. ZVA. Trihemitonium.
¶ In omni Monochoꝛdo/ atqʒ Polyphoꝛdo hec obkuak ꝓp̃etasvt octaua modo nota/ modo choꝛda pꝛime:et decimaquĩta octaue:in conſonãtia diapaſon recrepet. etvbiq; ꝓ pꝛoſlambanomeno pꝛeiũ git᷑
tonus/ int ſerikq; vbiq; inter meſen atq; parameſen ꝓ concẽtu diſiũcto tonus. hoc eſt in monochoꝛdis
a pꝛima nota in ſcðᷣam et ab octaua in nonam collocatur tonus. Sit ergo ab vt pꝛius choꝛda in qua volumus cõſonantias in genere chꝛomatico regulariter reperire.capio c r regulam planiſſimã et illi aſſignare coꝛde equã. facioq; per pꝛimam ſecũdi huius c d tonum: et ꝑ decimãoctauã eiuſdẽ d eſemi⸗ toniũ minus:et iteꝝ per pꝛimam d f̃toni interuallũ.erit ergo e f ſemitoniũ maius:et d e et e f duo ſe⸗ mitonia:ſʒ ⁊ ab fad g merioꝛ tonum ⁊ ſemitoniũ minꝰ:que equa erũt trihemitonio:et gh et h i facio
duo ſemitonia:minus ſcʒ atq; maius et i lꝛ extẽdo ad tonũ ⁊ ſemitoniũ minus. Simili quoq; pacto lꝛ
1 fiat tonus:etlm/n duo ſemitonio:et n o trihemitoniũ · et iteꝝ o/p/ q duo ſemitonia: qr o trihemi⸗ tonium.Et regulã hoc pacto diuiſam applico ex equo linee a bꝛet in linea ab ſigno ↄſimiles ⁊ ↄſitibꝰ diſtãtüjs notas:ſcʒ aſd eſfghſiilꝛlm nſoip q b.quo ꝑacto dico lineam ab eſſe reglariter in melodia chꝛomatica diuiſam. Mã cð tonus et d f ronus et f gtonus? ſemitoniũ minus. quare a ⁊ g continent tres tonos ⁊ ſ emitoniũ minus.ergo per decimã tertij a ad s cõſonat diapẽte.et qꝛ gh i cõtinent tonũ: et i le trihemitoniũ: igitur g ad lꝛ duos tonos ⁊ ſemitoniũ minus cõtinens per ſextam tertij modulat᷑ diateſſaron.ſed et ag ꝓbata eſt diapente:ergo alꝛ cõſtans ex aget g diapente ⁊ diateſſaron per vi⸗ ceſimam tertij cõcinit diapaſon.Et penitus eadem rõne ꝓbaueris lꝛo cõſonare diapentel et le b dia⸗ paſon.quare a o diapaſon ac diapente ⁊ ab recrepabit bis diapaſ on: quã conſonãtiaʒ nos trãſcẽdere Prthagoꝛicoꝛũ vetat autoꝛitas.qui tñ volet vlterius conſcẽdere ex his q̃ iam demõſtrata ſunt ⁊ que

—-—
—-
4———— ——————————O⏑———— ——————V————. ——.
poſtea demfträda t uſcipient᷑:facile cõſcẽ᷑det.Et cũ iam möſtrata partitio per ſemito
et trihemitoniũ pꝛoceſſerit: niſi vbi integer adiectus eſt tonus vt tum diapaſonſtum cõ ſeruet᷑ ꝓpᷣetas: Patet ex diffinitiõe factũ eẽ qð in chꝛomatico gñe ꝓponebat᷑ faciẽdũ
at Idem:in enarmonico genere regulariter oſtendere. G ppoſtl
Hdi Wonochoꝛdum Enarmonicum. 8——
ESLELE=EEEEREeEnELEEe nEen
c d e g h. 1. I m un 22 a— D. Dieſts tetrartemeria. LT. Ditonus.
——
¶ Sit vt pꝛius choꝛda ab et cr regula eidem vt in ceteris equa:ab puncto cadd extédo tonumch dadf̃ ſemitoniũ minꝰ:et ſpaciũ d f̃partioꝛ in equalia per notam e. erũtq; d ef due dieſes. et f g facl duos tonos:qui ditonũ implent.g h i vt pꝛius duas dieſes.i lꝛ ditonum.·lꝛ ltonum.Imn duaao 5
no ditonum. o p q duas dieſes.et qr ditonum.quã regulã hoc pacto partitam equalit applicoll 4 bꝛet ſiles notas/ equaliaq; interualla in linea a b deſigno per medias inter a ablitteras deff unns min ſoſpq b.et quia a d tonꝰ:et d ef due dieſes ſemitoniũ minus implentes:et f ꝗ ditonus 13 ih tres toni ⁊ ſemitonium minus per decimam tertij ſonãt diapente.ſed ⁊ ghi due dieſes etilrdien
duos tonos et ſemitoniũ minus cõtinẽtes:per ſextam tertij ſunt diateſſaron.igit᷑ vt prins Pnrelnd tertij a lꝛ cõtinet diapaſon.et hoc pacto mõſtret᷑ lꝛ o cõtinere diapẽtelet lꝛ b diapaſ on: qre a0ſona
diapaſon ac diapente ſet a ad b cõſonare bis diapaſon.et qꝛ hec modulationis ꝓgreſſio p duas neſe et ditonũ ꝓcedit: cõſtat per diffinitiõem monochoꝛdũ enarmoniũ regularit eſſe partitu:in eoqmu⸗ ſicas ſituatas eſſe conſonãtias et pꝛopoſitum. k
¶ Tcetrachoꝛdum hypaton:in diatonico melo diuiderc. Pꝛoſlambanomenos 812A—
Hypate Hypaton b 1T B
Parhypate Hypaton c S C b— Lichanos Hypaton d1 T 715/5
Hrpate Meſon e eſ.T E
¶ Superioꝛes:Monochoꝛda docuerũt oꝛdinare. Inferioꝛes aũt:Tetrachoꝛda Pẽtachoꝛda her⸗⸗ choꝛda et alia queq; Polychoꝛda ad Penthadecachoꝛdũ vſq;: quibus cognitis cetera que amplius deſiderarẽtur cognoſcent᷑ facillime.Cõſtituo ergo b cdetetrachoꝛdũ hypaton:ita vt b ſit hypatehn⸗ patonſc parhypate hypatonſd Lichanos hypaton ſe hypate meſon:cut pꝛeiũgo ad grauitat pane Pꝛoſlambanomenon choꝛdam quidẽ que in tetrachoꝛdis non computatur: ſed pꝛimo adlecta tetra choꝛdo creat pẽthachoꝛdum.facio ergo interuallum choꝛde a ſeſquioctauũ ad choꝛdam bſe ſeſquiter tium ad choꝛdã dſer ſeſqualterũ ad e. Item facio c ad d ſeſquioctauũ.dico ergo tetrachoꝛdũ hypaton in genere diatonico(vt dictũ eſt)eſſe diuiſum. Nã per diffinitiõem a ad b pꝛoſlambanomenos aohj⸗ paten hypaton:erit tonus.et quia a ad d ſeſquitertiũ eſt:itidem per diffinitiõeʒ pꝛoſlãbanomenosad lichanon hypaton concinit diateſſaron.ſed et cũ a ad e pꝛoſſambanomenos ad hypaten meſon ſit el⸗ qualterũ:per idem a ad e cõſonat diapente.per decimãtertiam igitur tertij d ab e lichanos hypaton ab hypate meſon tono diſiungit᷑. Rurſum qꝛ cad d ſeſquioctsuũ eſt:ergo c ad d ſonat tonũ.atyoqᷣa⸗ ad d diateſſaron eſt:et a b tonus eſtſet c d tonus:igitur per ſextam tertij b ad c relinqͥtur ſemitoniun minus. Eſt itaq; hypate hypaton ad parhypaten hypaton ſemitoniũ minꝰ. et parhypatehypatonad lichanon hypaton tons:lich anos hypaton ad hypaten meſon tonꝰ. cõſtitutũ eſt a bſcſdſe tetrachoul hypaton:per ſemitoniũ minus ⁊ duos ſubiũctos tonos ꝓcedẽs:per diffinitiõem in genere diatonico pariter ⁊ pẽthachoꝛdũ aſbſcidſe. Sed incidit dubitatio foꝛſan:cur nr̃a tempeſtate muſici duostoncs ad tetrachoꝛdoꝝ partem ſeriam grauẽq; pꝛelocãt: nos aũt ſolũ tonum qui eſt pꝛoſlambanomeni ais hypates hypaton:reſponſio peruiaſin pꝛõptuq; eſt muſicos noſtra tempeſtate pꝛoſlambanomenoaẽ
teram choꝛdam tono diſtantem pꝛeſixiſſe et id pꝛimum memoꝛãt Sregoꝛium factitaſſe.
¶ In eodem diatonico melo: tetrachoꝛdum meſon ſubiungere: et in ocochono:a pꝛoſlambanomeno in meſen:diapaſon contineri.
Pꝛoſlambanomenos B] A— Hypate Hypaton b T B— Parhypate Hypaton c¶ S C—— Lichanos Dypaton dſE S—— Hypate Meſon e T 5— Parhypate Meſon f ,S †— Lichanos Meſon g L B— wWeſe h1T 5ͤ5—
— aubctui ¶ Sit effjsh tetrachoꝛdũ meſon.facio e ſeſquitertiũ ad het g ſeſquioctauum ad het eſgerllur ad gꝛerit ergo per diffinitionem e ad h hypate meſon ad meſen diateſſaron · et qꝛgadl
nlu r ſemitonſi cetus dilluen
+-
en ee A,e ania ueusehe

8 65
△◻
1 7 771,
3 5 4
IIn.
tad g tonus.nam vtrũq; ex ſeſquioctaua ꝓpoꝛtiõe naſcitur. ergo v ſextam tertij e ad ferit ſemitoniũ minus.eſt itaqʒ eſfgh tetrachoꝛdum meſon per ſemitonium minus ⁊ duos tonos ꝓcedens in genere diatonico diuiſum. et qꝛa epꝛoſſambanomenos ⁊ hypate meſon in pꝛecedèti mõt rata ſunt cõſonare diapente:et in pᷣſenti e hhypate meſon ⁊ meſe diateſſaron.ergo per viceſimã tertᷣ:poꝛſlãbanomenos ad meſen cõſonat diapaſon.cõtinet igitur octochoꝛdum albſcdſefgh conſonãtiam diapaſon. quod eſt totum pꝛopoſitum.“.
¶ Pꝛepoſito octochoꝛdo:in codem gencre tetrachoꝛdum diſlunctarum ſubmittere.
et dodecachoꝛdum diapaſon ac diapente continere.
Pꝛoſlambanomenos d A
Prpassprpaem 5—
Parhypate hypaton(— e
Lichanos hypaton d* d
Hypate meſon e e 8 Parbypate mefon— 1 E
Lichanos meſon S 8—— Weſe B—— Parameſe diezeugmenon l Trite coniunctarum lꝛ
Trite diezeugmenon 1 Paranete cõiunctarũ 1— Paranete diezeugmenon m Hete coniunctarum m 1 Nete diezeugmenon n n
¶ Sit kli n tetrachoꝛdũ diezeugmenon quot et diſiunctarũ dicit᷑. facio h ad kmeſen ad parameſen dmiunctarũ ſeſquioctauã. et ad m paraneten diſiunctaꝝ ſeſquitertiã. ad n vero neten diſiunctarũ ſeſ⸗ qualterã.deindel ad m triten ad paranetẽ facio ſeſquioctauã: ſic ergo meſe ad paranetẽ dilũctarum cõcinit diateſſaron et ad neten diapente. eſt ergo per decimãtertiam tertij nʒ ad n paranetes ad neten toni interuallũ.etl ad m trites dieʒeugmenõ ad paranete ſimllit tonus eſt. led ⁊ cũ meſe ad paranetẽ
cõſonet diateſſaron etl ad m ſit tonus ⁊ ſimilit᷑ h ad k tonus ergo per ſextã tertij k ad l erit ſemitoninũ
minus.erit itaq; parameſe ad triten dieʒeugmenõ ſemitoniũ minus:trite ad paraneten tonus: et pa ranete ad neten diezeugmenon nſimiliter tonus:quare tetrachoꝛdũ diſiunctaꝝ ſuperioꝛi octochoꝛdo
₰
in diatonico genere ſubiunctũ eſt.Et cum pꝛecedens mõſtrauerit a h eſſe diapaſon et pꝛeſens hn eſſc
diapẽte:igit᷑ a n pꝛoſſãbanomenos ⁊ nete dieʒ 1 doab ztinen diapente. Qĩ ſi in molioꝛi canẽdi modo:tetrachoꝛdũ a choꝛda meſe coniũctũ paxtiri/ cõſtituereq;vole mus:ſit id tetrachoꝛdũ h kli: que ſunt meſe trite ſynezeugmeno paranete ſy zeugmenõ nete ſyne zeugmenõ:facioqʒ meſen ad neten ſyneʒeugmenon ſeſquitertiã. quare ⁊ cõcinente diateſſaron etl ad m paranetẽ ſyneʒeugmenõ ad neten tono diſtãtem pariter et k adl tono.exit ergo per ſextã tertij h ad k meſes ad triten ſynezeugmenon ſemitonij minoꝛis interuallũ et kl ⁊ l mn duo toni ⁊ tetrachoꝛdum
ſyneʒeugmenon hoc eſt diſiunctarũ in genere diatonico diuiſum. ¶ Tetrachoꝛdum hyperboleon in eodem diatonico genere pꝛedicti pentadecachoꝛdo: bis diapaſon conſonãtiam compleri
s copulare: et in
Are Nollambanomenos 312—
bmi Hypate hypaton b b.... 4 cfaut Parhypate hypaton—e—— 1 dſolre Lichanos hypatoen d d 4 elami hypate meſon e e
kaut DParhypate meſon f f
B ſolreur Lichanos meſon g8 g alamire Meſe 1 b. h
bmi Parameſe diezeugmend ꝛ bfa Triteſyn. l 2
C ſolfaut Trite diezeugmenon 1 cſolfaut Paranete ſyn. l
lalolre Paranete diezeugmenon mn dlalolre Mere ſyn. Sam
— elami Mete n V ffaut Trite hyperboleoeon oo. 90
5 ſolreut Paranete hyperboleoon„
Alamire ete hyperboleon 91————4
1
eugmenõ in dodecachoꝛdo aben cõtinent diapaſon ac

—— 14 .— 4. 8*— 8 ———————ę—᷑—᷑—ÿ—ꝛ—ꝛ—·˖—B——.—— ————
8—--——„ ————
—
4— —
——
40
ſTerachoꝛdũ dyparon Tetrachoꝛdũ diezcug.
o. Semi. To. Lo. Semi. To. To. To. Semi. To./ To. Semi. ſTo. P b ſoſel tislblull ſ[mſinſ o ſ
— To. To. 1 Tetrachoꝛdũ meſon Terrachordi hypboles ——
Sit nop ꝗ tetrachoꝛdũ hyperboleon facio vt in pꝛioꝛibus n neten diezeugmenon ad ꝗ netẽ ö.de. ſeſ⸗ areneh iccirco ad eam cõcinentem diateſſaron.et p ad a facio toni interulu 8 itidem toni interuallũ · per ſextam tertij n ad o erit ſemitoniũ minus.eſt ergo tetrachoꝛdum hyperdo leon n o pꝗ ex ſemitonio minoꝛe duobus ſubiunctis tonis in genere diatonico dimẽſum. ſed et P pꝛe⸗ cedentẽ h meſe ad n neten diezeugmenon nlonat diapente:ergo h ad q meſe ad neten hyperboleon cõſonantia diapente ⁊ diateſſaron conſtans:cõſonat diapaſon. ergo a ad q pꝛoſlãbanomenos ad nete hyperboleon cõſonabit bis diapaſon. et cum totum dfchordum a d omnino quindecim perüiciatur choꝛdis:in pẽtadecachoꝛdo ⁊ in genere diatonico cõſtitutum eſt bis diapaſ on.qð eſt totũ pꝛopoſitũ.
¶ Pentadecachoꝛdi in diatonica melodia conſtituti: numeros reperire.
Pꝛoſlambanomenos 1 lo L16I.1 7181 1383244— Hypate hypaton bI lIsSI lI 9 ²1. 11 53 51[1 2288] Tonus Parhypatehypaton cclll l lI1 45 8 l1166 4/◻ Aenl.minde Cichanos hypaton dII lIIG 2 l1 29 61 l1o3s 8 Tonus Hypate meſon e 441[1152 l. 2216 Tanms ⸗— Parbypate meſon fſſTITII 8748 Demmmue Lichanos meſon g1 L.1 l 1 1 27 21 1 771,»-l LToms— Weſe hILIIIOSIS864][691 2 Tonus— Paramele diezeugmenã lz l ſelſ. 768 6144 Tonu— Trite diezeugmenon 11 11. 1 1 7291 1 583 2 S Senn.minnga Paranete diezeugmenõ 311 1 6481[ 5184 Tonus— Mete diezeugmenon ni I II 721 1. 5761 1 4608]/ Lonus Trite hyperboleon Ol III II 1 11 43 74] Semi⸗nunus Paranete hyperbolxſon p 1111 48e5l 38Ssi Tonus Hetehrperboleen al 154 l 4321 1 545 6! Tonus— —— lpPᷣmꝰ Iſcðᷣus ſtertius ſã̃ᷓrtus loc"
¶ Mumeri qui in muſica diſciplina pꝛecipue deſiderantur:ſunt duplares/ triplares/ quadꝛuplares hemiolij/ epuriti epogdoi: hoc eſt dupli/ tripli/ quadꝛupli/ ſeſqualteri/ ſeſquitertij/ et ſeſquioctaui quo circa ſi deſiderus cognoſceread quem numerũ numerus maioꝛ eſt duplus: ipſum partirep duo. Ad quem tripus partire per tria. Ad quem quadꝛuplus partire per quattuoꝛ. Ad quem ſeiqualta partire per tria et tertiã auge per duo. Ad quem ſeſquitertius pariire per quattuoꝛ et quarii auge ꝑer tria. Ao quem ſeſquioctauus partire per nouem ⁊ nonam auge per octo. Et numcruper octaui ſecundi Urithmetices vbiq; ſurgent petiti: ſi maioꝛ duplus /triplus/ quadꝛuplus /ſeſqualten ſeſuo tertius/ aut ſeſquioctauꝰ eſt. ¶ Ei ſi rurſum cognolcere deſideras que numerus minoꝛ duplũ habet: ipſum auge per duo. Quem triplum: auge per tria. Quem quadꝛuplu: auge per quattuoꝛ. Auemſc qualterũ: partire per duo ⁊ illi medietatẽ adde. Quem ſeſquitertiu: partire per tria/⁊ teruum aode. Quem ſeſquioctauũ: ꝑartire per octo/ et octauam adde. Et ſtatim per eande octauã et difiniiones cognoſces pexitũ. ¶ Sed nunc ad monſtrandũ pꝛopoſitum nos couertamus. Sit pentedecachoroũ in oiatonico genere modo repertum:cuius numeri querũtur:a b cdefghiklmnopq ꝛucinſein⸗ uicem duoſtria/ quattuoꝛ/ et minimos toni: hoc eſt vigintiquattuoꝛ in et s minimos terminos toni et veniant in ſecundo loco a b que per ſeptimã ſecundi arithmetices ſunt in ꝓpoꝛtioneſeſqmoctaua ct continentia tonum. capio ſeſquitertiũ numeri a: ſitq; dſet ſeſqualterũ qui lit e aſubdupi qui luh Burium ſumo ſeſquitertium numeri h qui ſit m et ſeſqualterum qui ſit n ⁊ eius ſubduplum quiſitꝗ. quia a ad deſt diateſſaron et a ad e diapete:; per decimãtertiam tertij d ade tonus eſtet eadẽ quoq ratione m adn tonus.Et ſi d ocrauã partem haberet ea eidè adiecta facerẽ c ſeſquioctauu add: etc corinentia tonũ. modo autẽ qꝛ d cõperitur octaua parte carere: augeo abdehmn ap octo: ſurgaln terrio loco avdehm n aꝛ:d nũeri per eandẽ ſeptimã adinuice eandè ſeruabũt ꝓpoꝛtionẽ: quãanuen ſcdo locot oſiti.qꝛ ᷓ d tertio loco poſitus hʒ octauã:ea igit᷑ adiecta ad d fiat e: erirq; cad d cſdoclan atq; cũ eo tonũ ↄtinẽs.itidẽ adbiecta octaus parte h ad h fiat g.et octaua ꝑtem adm ſatl. xoctauaꝗ

.. 443 S 1 11 4³4 34!
terttus](èra
choꝛvi diatonlci 1 umerus pꝛoſlãbs ronus: t hypates hypaton ad parhypatẽ hypatõ ſ emitoniũ minus. par
IIII
Kat b. eruntq; idẽtidem g adhladmet p ad qſeſquioctaui ⁊ numeri tonoꝛum et h comperitur S ian rermwene illam Asec per octo et veniat k: eritq; h ad per ottauã ſecundi arithmetices feſquioctauus.Et ſig octauã partem haberet facerẽ f ſeſquioctauũ ad g. At vero qm ea caret: augeo vẽs numeros tertio loco repertos per octo et exurgant in quarto locoa bedes hklmnpa: qui per eandẽ ſeptimã erunt in eiſdem adinuicẽ habitudinibus vt et numeri tertij loci· adiecta igitur octaua eius parte ad g facio f.⁊ octaua parte ad p facio o.dico ergo numeros quarto loco cõſtitutos eſſe nu⸗ meros petadecachoꝛvi. Hã a ad d eſt diareſſaron/ cta ad b tonus: c tonus. ergo per ſextã tertij bad cſemitoniſ minus. et qꝛ ah eſt diapaſon ⁊ ae diapente: ergo ervi ceſimã tertij e heſt diateſſarã et gh ⁊ fg monſtrati ſunt ſeſquivctaui atq; toni. ergo per ſextã tertij e f eſt ſemitoniũ minus. et eodẽ acto oſtendas klet no eſſe ſemitonis minoꝛa: ⁊ ceteri adinuice ſunt cogniti toni. igitur pentadeca⸗ numeri ſunt reperti. Eſt enĩ numerus pꝛoflãbanomeni ad numerũ hypates hvpatõ hÿypates hypaton ad lichanõ
hypatonꝛet lichant ad hypaten meſon duo toni. hypates meſon ad parhypaten meſon ſemitoniũ mi
nus. parhypates meſon ad lichanõ meſonꝛet lichani ad meſen:⁊ meſes ad parameſen diſtunctarum: tres toni.parameſes ad triten ſemitoniũ minus.trites ad paranetẽ/ ⁊ paranetes ad neten:duo toni.
Metes ad triten hyperboleon ſů emitoniũ minus.trites ad paraneren et paranetes ad neten duo toni· eſt igitur notum pꝛopoſitum. 8
Pollamba. A³ Pma ſſcð̃aſtertia pᷣmaſſcðᷣaſtertiaſãᷓrta ſömaſſeöaſtertia artaã quita ſertaſſeptta
Hrpate hyp · b To. oo ITo. lo o To.] Ol 0 ol o 00 Darbyp.hyp-c Se. Se. Se. oeSe. Se.ool O. 0.. Licha. hyp. d To. ſton⸗ ſton⸗[To. ſton o o To. ſtonꝰ tonussoſoOoO0O Prpateme. el tonꝰſtonus To.ſtonsſ O Oo To. tonꝰ tonꝰ he ſoſ o Parbypeme. Semiſſ Se. Se. 0Se. Se. Se. Se. Se. 22
*⸗—*
Zicha.me. Sg l tonstonusſton⸗ To. Itonꝰ] tonꝰ ltonꝰ tonꝰ tonꝰ Weſe h 1I ſtonus ton⸗* To. ſronꝰ tonus tonꝰſtonusſtonꝰſtonus Para. die. k l onusſton⸗ ſtonsſtonus tonsſton⸗ ſton⸗ ſtonusſ Trite die. 1 1 1 12. Se. Se. S8 Se. Se. Se. Para. die.m I hescm 1 ſtonꝰ tonꝰ ſtonꝰ tonus Metedie u.... I l ltons ton ltonus Fritehyper. oo ſſeeeeeSe. Se. MaraPrP. e ſtonus Heebre.- al--.I......—
¶ Pꝛima ſpecies diateſſaron tono/ſemitonio minoꝛe atq; tono conſtat. Secũda ſemitonio et duob* tonls. Tertia duobus tonis et ſequẽte ſemitonio. Pꝛima ſpecies diapẽte eſt que conſtat ex tono/ ſemitonio minoꝛe ⁊ duobus tonis. Secũda duobus tonis/ ſemitonioj atq; tono. Tertia ſemitonio et tribus tonis. Quarta tribus tonis et ſemitonio. ¶ Pꝛima ſpecies diapaſon eſt que conſtat ex tono⸗/ ſemitonio minoꝛe/ duobus tonis/ ſemitonio minoꝛe/ atq; duobus tonis. Secunda ſemitonio/duobus tonis/ſemitonio et tribus tonis. Tertia duobꝰ tonis ſemitonio/ tribꝰ tonis/ atq; ſemitonio. Quarta tono/ ſemitonio/ tribus tonis/ ſemitonio/ atq; tono. Quinta ſemitonio/ tribus tonis/ ſemitonio/ duo⸗ bus tonis. Sexta tribus tonis/ ſemitonio/ duobus tonis/ſ emitonio. Septima duobus tonis/ ſemito nio/ duobus tonis/ ſemitonio/ atq; tono. ¶ Erit itaq; ꝑ diffinitionẽ pꝛima diateſſarõ ſpẽs a pꝛoſlãba nomeno in lichanõ hypaton. Nã pꝛoſlãbanomenos ad hypaten hypatõ tonus eſt: et hypate hypaton ad parhypatẽ hypaton ſemitoniũ minus ẽ: parhypatevero hypatõ ad lichanõ hypaton tonus·⁊ itidẽ per diffinitionẽ ſecũda diateſſaron ſpecies ab hypate hypaton in hypaten meſon reperiet᷑. ⁊ tertia a parhypate hypaton in parhypaten meſon. ¶ Species vero diapente hoc pacto per diffinitiones ſumentur. Pꝛima a pꝛoſlãbanomeno in hypaten meſon. Secunda a parhypate bypaten in lichanon meſon. Tertia ab hypate meſon in paramelen diezeugmenon. Et quarta aparbypate meſon in triten diezeugmenon. ¶ Et ſeptẽ ſpecies diapaſon cõſimiliter per diffinitiones querentur. Pꝛima a pꝛoſlã banomeno in meſen. Secũda a parhypare hypaton in parameſen diezeugmenõ. Tertia a ꝑarhypate hypaton in triten diezeugmenon. Quarta a lichano hypaton in paranetẽ diezeugmenõ. QAuinta ab hypate meſon in neten diezeugmenõ. Sexta a parhypate meſon in triten hyperboleõ. Septima vero a lichano meſon in paranetẽ hyperboleõ.ſʒ hec cognitu facilia ſunt:ĩſpecta diligẽter ſuꝑioꝛe ſigura.
bh 2

3 6 eet tese Ses eeet Eerrisee eeebe 4 3.— ““— 6 4 5 1 nn ann snne ent en d dneen dse 4 ͤ ea 9„ 8..
— —— ——
—. ——.*— —.—— 2 1 ————————.—— —.————————
ö—ö—ö—ö—ö—8ö8ö8ö8—öböböbͤöoſdſdſdſſͤſͤſſb 3
A. Chꝛomaticum pꝛincipalium tetrachoꝛdum: conſtituee. Pꝛoſlambanomenos 1— 2. 15—— Hypate hypato b] Tonus b—— Parhypate hypaton c¶Semi. minus c— Eichenosbrparon d Apotom-—— Hypate meſon e Triſemitonium e—
¶ Chꝛemata apud achedemonios induxit olim Timotheus mileſius molioꝛ? cärmſo tonico:in quo canendi noda wis tetrachoꝛdũ hypaton querimus. Sit ergobede tet dluperioꝛedi ꝑatas in chꝛomatico melo ↄſtituendas aſſignatũ. pꝛepono choꝛdam a:que ſit oꝛonavechordu adhy facio ſeſquioctauam ad b hypaten hypaton pꝛimam tetrachoꝛdi cõſtituendi choꝛdantnomenos: ſeſqualterã ad ehypaten meſon:eritq; vt in omnibus a ad b tonus/et a ade diapente, deinde, acd ad cſemitoniũ minus et b ad d tonum.erit ergo c ad d apotome. ⁊ qꝛ per decimã tertij deinde faciob ab a e cõſonantia diapente:relinquitur diateſſaron.ergo b e modulabitur diateſſaron 89 toabtono
ſextã tertij diateſſaron ex duobus tonis et ſemitonio minoꝛe conſtet ⁊ bœetcd ſimul ſint ded cum per d econtinet tonum et ſemitoniũ minus.eſt igitur d e triſemitoniũ. Cum ergo b chypat onus: ergo parhypate hypaton ſit ſemitoniũ minus.⁊ c d parhypate hypaton ⁊ lichanos hypaton ehdara e maius et d elichanos hypaton ⁊ hypate meſon triſemitoniũ vt mõſtratum eſt. conſtat er emitontũ tionẽ tetrachoꝛdũ b c de in gñe chꝛomatico eẽ ↄſtitutũ.idẽ enĩ triſemitoniũ et trihemitognl Ahn ¶ Chꝛomaticum tetrachoꝛdum meſon: ſubiungere.— Pꝛoſlambanomenos 33 42— 4 1— 1 Q—qN— Hypate hypaten b Zons b— Parhypate hypaton c Semi. minus c— Lichanos hypaton d. Apotome d ſſſſ Hypate meſon 2e Triſemitoniii e— Parhypate meſon f Semi. minus— Lichanos meſon g AZApotome—— Weſe— hTriſemitoniũ—
. 1.„———⏑ÿ——— ¶ SOintpꝛo tetr achoꝛdo meſon in gñe chꝛomatico ↄſtituẽdo e fgh:facio a adh duplã et concineten diapaſon.⁊ e ad f ſemitoniũ minus ⁊ idẽ e ad g facio tonu. erit Sfadg apotome. ſed cũ aad emaͤla
ta ſit ↄſonãtia diapęète. ea igitur ſubſtracta ab a h cõſonãtia dtapsſon: per viceſimaſecunda tertj reli quitur diateſſarõ. Eſt ergo e ad hhypate meſon ad meſen diateſfaron. ⁊ cum diateſſaron duog ulos et ſemitoniũ minus ĩpleat: ⁊e g ſit tonus ergo g h cõtinet tonum et ſemitontũ minus erit ergogyii ſemitoniũ.erit igitur ef ghex duobus ſemitoniis e fa⁊f̃ g:et triſemitonto g h conſtitutum in genere chꝛomatico tetrachoꝛdum.quod erat monſtrãdum.
Keliqua duo tetrachoꝛda: in eodem genere pꝛedictis adiicere. et in petadecachot do conſonantiam bis diapaſon collocarc. n
Proſlambanomenos 3I1—2 3
Hhypate hypaton b Tonus b———-:— Parhypate hypaton elSemimin⸗e————— ELichanos hypaton d Ayotonrned HMrpate meſon eTriſemitonii e Parhypate meſon f Semi.minus
Lichanos meſon gZpotone—
Weſe W h Triſemitoniũ,—— Parameſe diezeugmenon l: Tonus Trite ſyn. Semiminus ſi— Trite diezeugmenon II Semi. mi. Maranete ſyn. Aporome 1 Paranete diezeugmenon m Apotome Hete ſyn. Triſemitoni m— Nete diezeugmenon n Triſemitoniũ— 4
Trire hyperboleon 0 Semi. minus—— Paranete hyperboleon p Apotome Meie hyꝑerboleon a ſTriſemitoniũ——

o meſen tad catinet tonumertſenuin
defrf Semienaun 1.
—
—
—
—
IIII 4. A.. 4 1 d.u eſt a CSint pꝛo reliquis tetrachoꝛdis complendis lalmnopq:qꝛt erract, rdt meon diſinſranin eile hoꝛdo netarum diezeugmenon: iccirco facio meſes ad parameſen dieʒ? hyperboleon diapafon onum et meſen ad neten diezeugmenon facio conſonare diapente. ⁊ arnele 6/ 9 partioꝛ vt in pꝛece t tetrachoꝛdũ l: Im n partioꝛ vt tetrachoꝛdũ hypaton. tetrachoꝛduùm vero dh cognita eſt eſſe dia⸗ vene tetrachoꝛdũ meſon eritq; vtrũq; in genere chꝛomatico diuiſum.et qꝛ aad 8 gnit ulg orc dene. un 3 q itidem diapaſon.ergo a ad a conſonat bis diapaſ on. Q cum anin teirzede du mi Upoꝛdis contẽtum ſitrconſlat effectu eſſe id quod erat pꝛopoſitũ. Sed ſi lꝛlm dln Lnechoen Cärc. adnnen ipſum partiaris vt tetrachoꝛdũ chꝛomaticum meſon. et facile factũ intuebere ꝓpo
¶ Chꝛomatici pentadecachoꝛdi numeros aſſignare.
Pparte caret: augeo b et cper nouem et veniãt b et c in ſecundo loco. nam partẽ habet: eam augeo per octo et fiat d. tuncb ad d per ſ eptimã ſecundi ithmetices erit feſcʒ
Pꝛoſlambanomeni ſͤ J. 25 9 ²½—597 1 568 Hypate hypaton bl 2S l 1304 1OS8416 1 Tonus Parhypate hypaton c 243 l 2187 538848 Semt. minus Lichani hypaton d 2048 471 85 92 Semi. maius Hypate meſon 2. 117281 3981312 Triſemitoniũ— Parhypate meſon fF[3779136 Semi.minus Lichani meſon— g[3533 8944 DBemi.maius Weſe p1 1296 11985284 Triſemitonii Paramele diezeugmenõ laiI 1 152 1 2654208% Tonus Trite diezeugmenon 11 125 19 424 Semi. minus Paranete diezeugmenõ mſ l 2559296 Semi. maius Mete diezeugmenon n 1 2.54 12221056 Triſemitonii ETrite hyperboleon 0p[oS82ss Semi.minus Paranete hyperboleon p 1 1974272 Semi. maius Metebeperboleog al 164 8 1492992 Trilemitonti,
¶ Sint b et c minimi numeri ſemitonij minoꝛis per decimãoctauam ſecũdi
octauus. quare b d cõtinentia tonum. et b ⁊ cper eãdem eſt ſemito Vurſum qꝛ b habet octauã adiicio eidem ſuam octauã ⁊ fiat a
tio loco.eruntq; per ſeptimã et octauam ſecundi arithmetices numeri tertio loco aſſignati. Bam ab erit tonus et b c ſemitoniũ minus⁊ cd apotome.et qꝛ a ad e eſt ſeſqual ter:a et e ſunt numeri diapente.⁊ a b numeri toni. dempto igitur a b tono relinquitur b e diateſſaron et b c⁊cdſimulſunt tonus.igitur per ſextam tertij d e ſunt ttiſemit oniũ.Et a h eſt diapaſon ⁊ ae dia pente. igitur e h eſt diateſſ⸗ aron.et per octauam ſecundi arithmetices e f ⁊ f̃gſunt ſemitoniũ minus ⁊ apotome. igitur gh eſt triſemitonium et cõſi imiliter monſtrabis h lꝛ eſſe tonũ la l ⁊ Im duo ſemitonia etmntriſ emitoniũ n o p duo ſemitonia ⁊ p qtriſemitoniũ. clarum igitur euadit pꝛopoſitum.
¶ Modoꝛum diatonici ct chꝛomatis parhypate parhypatis: parameſe parameſis/ atq; trite tritis coꝛreſpondent. b b
¶ Mam in vtriſq; generibus hypate ad

4-
4D
CPentadecachoꝛdum enarnonium conſtituere.
Pꝛoſlambanomenos 2 A— Hypate hypaton bTonus b— Parhypate hypaton cdieſis.—— Tichanos hypaton d dieſis d— Hypate mefon e ditonus 6—— Parhypate meſon fdieſis f.—
Tichanos meſon g dieſis g— Weſe p ſditonus 5—
Parameſe diezeugmenon lꝛ tonus Trite ſyn. dieſis k—
Trite diezeugmenon dieſis Paranete ſyn. dieſis 1— Paranete diezeugmenon m dieſis Mete ſyn. ditonus m— Mete diezeugmenon n ditonus n—— Trite hyperboleon oſdiefis 5— Paranete hyperboleon p dieſis 7— Nete hyperboleon q ſditonus R
¶ Tuius cõpoſitio perfacilis eſt.facio enĩ vt in ceteris pꝛecedẽtibus a ad b interuallũ toni.etaade diapẽte.⁊ b ad d facio ſemitoniũ minus.et diuido choꝛdã c in medio differẽtie b add erit ergohade dieſis tetrartemeria atq; quadꝛipartialis pariter et c ad d dieſis.ſed per quartam ſecundihuius het latioꝛ illa vero contractioꝛ neq; per triceſunãſecundam eiuſdem ſemitoniũ minus in duo equa certo cõſtitutoq; numero diuidi poteſt.et a ad e diapente.ſubſtracto igitur a b tono relinquitur b ad eelle diateſſaron.et cum diate ſaron ſemitoniũ minus ⁊ duos tonos cõplectatur: et b ad d ſit lemitonlun minus:relinquit᷑ igitur d ad e eſſe ditonus.erit igitur b cd ehypates hypaton parhypates hypaton lichaniq; hypatõ et hypates meſon tetrachoꝛdũ:per b e:c d: et d c dieſim ⁊ dieſim et ditonũ pꝛocedẽs ꝑ djffinitionẽ in enarmonico gñe diuiſum. Similiter cõſtituas e fꝗh tetrachoꝛdũ meſon faciedo⸗ ad h diapaſon.et e ad g ſemitoniſ minus.⁊ partiẽdo mediã dꝛĩam per f itavt e fetf gſint duedleſes Nã ab ah cõſonantia diapaſon ſubducta a e cõſonantia diapẽte: relinquit᷑ e h eſſe diateſſarã etce g ſit ſemitoniũ minꝰ: igit᷑ gh erit ditonus.⁊ cũ e f et fg ſint due dieſes ⁊ gh ditonꝰ.g hec tetrachoꝛdi partitio in genere etarmonico facta cõſpicitur. Et facta h meſe ad netẽ diſiunctarum diapenteta neten hyperboleon diapaſon:et choꝛda meſe a parameſe tetrachoꝛdi diſiunctarũ tono diſclula: p inde ac pꝛoſlãbanomeno ab hypate hypaton:partteris tetrachoꝛdum diſiunctarũ lelmnythe den trachoꝛdũ hypaton.et tetrachoꝛdum no p qhyperboleon excellentiũq;:vt e fꝗh tetrachoꝛdũ melon. tetrachoꝛdũ autem cõinuctarum hlꝛl m partieris vt tetrachoꝛdũ meſon et id quoq; facilecſt.
¶ Pentadecachoꝛdi enarmonici:numeros colligere.
Pꝛoſlambanomenos
15824
AD A 113824 Hrpate hypaton b l I22881 Tonus 12128 8 Tonus Parhypate hypaton 1 11664 Semi mi.] 119 75 dieſts Lichanos hypaton dl 10368 Tonus 118 4 d diells Hypate meſon e 1 2216 l ZTonus„2 16 ditonus Parhypate meſon f 8748/ Semimi. 39 82„diens Cichanos meſon AX lL 2722 5Sl TZTonus 74 8 Als Weſe— h l912 Tonus ſ 59 17 ditonus Parameſediezeugmenon 1e ſ144 ſ KTonus 14. 4 Lenu⸗ Trite diezeugmenon 1 l 5832 Semimi. SS gs dieli Paranete diezeugmenon iun[ 184 Tonus z8 32 dieſts b Eae ouan— n 1 4608 Tonus[45os ditonus TlichPelholeon 2[4374 ſSemimi.] 4.45 1 dlelis Paranete hyperboleon PH. 3888 Tonu 9 ſ 43 7 4 dieſis — 4.1415 Lonus—; 45 6 dlons

IIII
¶ Sint abedef ghlelmnop a in pꝛimo loco conſtituti numeri pẽtadecachoꝛdi diatonici T.Sunanan duius telghnn iterum ab ehlꝛn ain ſecũdo locox in reſpõdentibus locis rurſum e in ſecundo loco tranſmuto ad d et f adg⁊ladmetoadp. quibus ita in ſecundo loco diſpoſitis: ex ipſis quidem in ſecundo loco capio differentiam b d ⁊ eius medietatem adiicio ad d et ſigt c.ſimiliter differentiã e g et medietatem addo ad g fiat f. et differẽtiam lꝛ m ⁊ medietate differentie adiecta ad m fiat l.et differentiam n p ⁊ medietate adiecta ad p fiat o. dico a bedefghulmnopq numeros ſecundo loco poſitos eſſe numeros pentadecachoꝛdi enarmonici. Nam ab erit tonus. b cſet c d due dieſes cõſtituentes ſemitoniũ minus b d.quod eni eſt b c in diatonico factum eſt b din enarmonico et d eeſt ditonus. Nam quod eſt in diatonico c e eſt hic inenarmonico d e. at diatonice modulationis ce ditonus eſt. Mam cõtinens c d tonũ et d e tonum.⁊ hoc pacto reperiẽtur e f g due dieles ⁊ gh ditons. hu tonus:lꝛ lm due dieſesꝛm n ditonus: n op due dieſes:p ꝗq ditonus Sunt itaq; collecti numeri pen
tadecachoꝛdi enarmonici quẽadmodum pꝛopoſitum fuerat.quod eſt pꝛopoſitum.
¶ Modi diatonici parhypate hypaton: in enarmonica modulatione tranſit in licha non: et parhypate meſon in lichanon meſon atq; trite in paranetas.
¶ Id pꝛoſpici ſtatim pꝛomptũ eſt. MNam in diatonico pẽtadecachoꝛdo a pꝛoſlãbanomeno ad hypatẽ hypaton incidit tonus. et ab hypate ad parhypaten hypaton ſemitoniũ minus. in enarmonico vero a pꝛoſſãbanomeno ad hypaten hypaton ſimiliter incidit tonus. et ab hypate ad lichanon hypaton ſe⸗ mitoniũ minus.diatonica igitur parhypate:in enarmonica modulatione permutatur:tranſitq; in li⸗ chanon. et hoc pacto de reliquis oſtẽdatur. quod ⁊ facile ſenſu depꝛehẽdetur: ſi in vtroq; emodulãdt genere ⁊ diatonico et enarmonico pꝛoſlãbanomeni ponantur equiſoni.tunc enĩ manifeſtũ erit huius lichanos:illius parhypatis eſſe equiſonos:vniſonoſq;: pariter et huius paranetas: illius tritis eſſe
crrerie equiſonas. .en anaaiis Conſentiunt in tribus modulationũ generibus: pꝛoſſambanomeni/ hypate pꝛinci- —— pales/ hypate medie/ meſ eſparameſe/ nete/ cum diſiuncte/ tum coniuncte/ atq; excellẽ te.— ubus netis excellentes. 1t duos tonos cixerrex ¶ Mam in tribus gen eribus per quartã/ quintam/ ſextam/ ſeptimã/ decimam/vndecimã duodecimã Situr dcdebrpues Ne et quintãdecimam huius pꝛoſlãbanoment ad hypatas hypaton ſonant tonðm. et iidem ad hypatas perdccdrctdedeam meſon ſonant diapente. ad meſas diapaſon.ad netas diſiũctas ſonant diapaſon ac diapẽte. ad netas uuiter cöſtttuas efghtern autem cõiunctas dempto tono ſ onarent diapaſon ac diateſſaron.et ad netas excellẽtes:cõſonan vbi edo medil deimpeſme libet ꝓſlambanomeni bis diapaſon.cõſentiunt igitur in tribus generibus que adducte ſunt vocule. nantti diapcte nämite quod eſt pꝛopoſitum alga—— ¶ Que choꝛde mobiles queue ĩmobiles in pẽtadecachoꝛdis exiſtant:inueſtigare. V 2. munde terachemias Woſſambanomeni IStabiles— eces Prpatepeparon. vſSrbües————— tetrachardänan. Parhypatehrpaton cInſtabiles— Lichani hypaton d Inſtabiles v colligere. Hypate meſon e Stabiles Parhypate meſon f Inſtabiles 4* 1 ichani melon SInſtabiles— =m— hStabiles — Paramele diezeugmenon l Stabiles Trite ſynezeugmenon. Inſtabiles rm Due dlezenemenon IInſtabiles DParanereſynezeugmenon. Inſtabiles — Haranere diezeugmenon m Inſtabiles Hete ſynezeugmenõ. Stabiles— Nete diezeugmenon n Stabiles [Baunt. Erite hyperboleon oInſtabiles— . Lanus Ml Paranete byperboleon p Inſtabiles— 1onse ſtebileteneb— 1 ¶ Choꝛdas ſtabiles ĩmobileſq; vocamus: que in omni pentade iui 1 Latudes 14 ꝛque ini pentadecachoꝛdoꝛũ diuiſione: e 1 L2 Senm. ale⸗ imrernalle daa Prolläbanomenon habitudinem. Inſtabiles vero atq; mobiles er Waa—. re elaneonneenanenketierhentrnderangedenherherceenenzerrbne genendedenn — 490 5 es hypate: ꝛmeſe: parameſe:nete tum ſfynezeugmene Los tum diezeugmene ac hyperboles: et eadem vt ex demonſtratis iam patet feruent nha afn Surunc
ergo pꝛoſlambanomenos hypate hypaton: hypate meſon: meſe: parameſe nete ſyneʒeugmenon:
nete die: 2te 3 ieeugmenon: et nete hyperboleon: ſimpliciter immobiles atq; firme. Sed cum decima⸗ 9
ſepti b4a4

permutariq; in lichanas ⁊ tritas in paranetas: conſtat ergo reliquas a pꝛedictis eſſe mobilegn,e hrpaten hypaton lichanon hypaton parhypaten meſon lichanon meſon triten dnnezeugneannhn ranetẽ ſyneʒeugmenonj triten diezeugmenõ paranetẽ diezeugmnenonſtriten hyperboleon pann ba hyperboleõ. Id tamen animaduerti dignũ eſt; cum per decimãquartam huius parhy nete
zͦd miliacz 3 a nia Pateſa triteis diatonicis et chꝛomaticis reſpõdeant ſimiliaq; poſſideãt interualla: eas nõ vſq; adeo vt ce 3 tritein
eſſe inſtabiles.Et pꝛoinde partĩ mobilespartimq; ĩmobiles bono iure dici poſfe videntur. ere ſun)
¶ In tetrachoꝛdis diatonicis ab hypate hypaton pꝛimo limite conſ onantiarumea quartum vſq; limitem ter diateſſaron cõtinetur ſed ſemel dumtaxat in ſtabiubus im⸗ mobilibuſq;. Et ad quintũ limitem idẽtidem ter diapente: ſemel in mobilibus /ſena
partim variabilis/ et ſemel penitus inuariabilis atq; firma. ad octauum vero ſepnes
conſonabit diapaſon: ter in ĩmobilibus/ et quater in mobilibus.
Hypate hypſet confequentes ſuis locis.— 11.[Semi Tonꝰ Ton)Semi Ton⸗ Ton“ Ton⸗ Semi Tons Ton⸗ SemiTa Tois [ebieebss bhb—
Inſtabiles c d f 9 h 1 n o ——¶Q—·¶·Q— ¶ Cum dicitur a pꝛimo limite ad quartũ vſq; limitẽ/quintũ ac octauum: pꝛimus limes nõ exch dil ſed quartũ/quintũ/ ac octauũ excludi ĩtelligimus. Sint ergo b cdefvſq; adp quattuo: tetrachon et bhypate hypaton/ ceterevero cõſequẽtes. Dico pꝛimo ab b vſqꝙ; e ter cõtineri diateſſaron:ſed ſend ſolũ in imobilibus. NMam per quartã huius b ad c continet ſemitoniũ minus et cadd tonum etd 4 tonũ.ergo b ad e cõſonat diateſſaron:eritq; b ad e pꝛima diateſſaron cõſonantia reperta. Et cum oft ſum ſit c ad det d ad e eſſe duos tonos et per quintã huius e ad t̃ ſit ſemitonjũ minus: ergocad fcon ſonat diateſſaron.eritq; c ad f ſecũda diateſſaron. Item mõſtratus eſt d ad e eſſe tonus ete ad fſemi⸗ toniũ minus: et per quintã huius f᷑ ad g eſt tonus. ergo d adg eſt diateſſaron eritq; dadgtertia dig teſſaron. Sed cũ pꝛima harũ trium que eſt b ad eſit ab hypate hypaton ad hypaten melon: quasna ſtrauit pꝛecedẽs ſtabiles ĩmobileſq;:et ſecunda ab c in fprahypate hypaton in parhypaten meſonꝛat tertia ab d in g lichano hypaton in lichanon meſon. et parhipate ⁊ lichane monſtrate ſunt mobiles, conſtat ergo ab b ad eter diateſſaron ſed ſemel dũtaxat in ſtabilibus/ ĩmobilibuſq; cõtineri. ¶ Scio dicq ab b hypate hypaton ad f vſq; parhypaten meſon:ſolũ ter contineri diapente. Nam ber decimz tertij diapente tribus tonis ſemitonioq; minoꝛe conſtat. ſed per quartã ⁊ quintã huius b adf ſolum duos tonos ⁊ duo ſemitonia minoꝛa ↄtinet:q̃ duo ſemitonia mĩoꝛa ꝑ 34 ſcdi minusvno tono:cõmate reſtituũt. vt b ad f diapente cõſonantiã ↄpleat:plena deeſt apotome.nõ ↄſtituit ergo bad fdiapẽte. Itẽ cad g per quartã et quintã huius cõtinet tres tonos qui ſunt c ad d:d ad e:⁊ fad gꝛet vnum ſemi⸗ toniũ minus quod ett e ad f.igitur per decimã tertij e ad fↄſonat diapẽte.eritq; c ad g pꝛima diapete et per eaſdem d ad h continet tres tonos:qui ſunt d ad e:f ad g:et gad h:⁊ ſemitonium minus eadf. ergo d ad h cõſonat diapente:eritq; d ad h ſecũda diapente. ⁊ ab ead iĩ per quartã et ſextã cõſimlliter continẽtur tres toni et ſemitoniũ minus.erit ergo e ad i tertia diapẽte. ter igitur ab bvſq;ad f ont⸗ netur diapẽte. ſed cũ pꝛima ſit ab cparhypate hypatõ in g lichanõ meſon. et parhypatas:lichanas mõſtrauerit decimanona huius eſſe mobiles.erit ergo c ad g pꝛima diapẽte in mobilibus conſtitnt ⁊ cum ſecunda ſit ab d lichano pꝛincipaliũ in h meſen:lichanos autẽ mobilis ſit/ et meſeimobilieſe cunda igitur diapẽte partim variabilis exiſtit.Et cũ tertia ſit ab e hypate meſon ad i parameſen qux per eandè decimãnonam ſtabiles mõſtrate ſunt.erit igitur tertia diapẽte omnino ſtabilis atq; itm ¶ Tertio dico ab b hypate hypatonvſq; ad i parameſen ſepties cõtineri diapaſon:ſed ſolũ ter in imo bilibus ſquater autẽ in mobilibus. NMam b ad i per quatrã/ quintã et ſextam huius cõtinet quing h⸗ nos et duo ſemitonia minoꝛa.ergo per viceſimapꝛimã tertij b ad i cõſonat diapaſonſ ſeritq badipm⸗ diapaſon.Et per idẽ c ad lꝛ:d adl ⁊ eadm:ſingule intercipiũt quinq; tonos et duo ſemitoniaminoꝛa erit ergo e ad lꝛ ſecũda diapaſon.et d adl tertia.⁊ e adm quarta.ſed per quartam ſquintã ſertam ati ſeptimã ſimul f ad n ſimiliter continebit quinq; tonos ⁊ duo ſemitonia minoꝛa.ſ imiliteretgado: ad p. erit ergo quĩta diapaſon fad n. ſexta gad o. et ſeptima h ad p. igitur ab b ad ivſqxconlenn ſey ties diapaſon.atqui pꝛimam pꝛebent hypate hypaton ⁊ parameſe dieʒeugmenõ.et quartam hypaie meſon ⁊ nete diezeugmenõ. et ſeptimã meſe ⁊ nete hyperboleõ. hypatas autem meſas harameſas 8 netas mõſtrauit decimaoctaua ĩmobiles atq; ſtabiles.igitur inter illas ſeptẽ diapalon cſonantias: diapaſon ter in ĩmobilibus reperit᷑. Sed ſecũdam pꝛebent parhypate hypaton et truediezeugmet, Tertiã lichanos hypaton et paranete dieʒeugmenõ. Quintam parhypate meſon ⁊ tritehyperboe 1 Sextã licanos meſon et paranete hyperboleon ſed decimanona parhypatas tritas lichanas nn netas: mõſtrauit eſſe mobiles.igitur inter illas ſeptem cõſonantie diapaſonvices: quater inmobi 15 mutabilibuſq; factareperitur: quod eſt totum pꝛopoſitum. C Af autem diuus Seuerinus eyian 18 latinoꝛũ diſciplinas ſectantiũ pꝛimus:quẽ ⁊ in hoc opere quãtum valemꝰ imitamur ſuis diſcip ufe nõ parum adiuti decimotertio capite quarti ſue muſices ſpecies diapẽte numerõdo eas quanenr ciat: id introductoꝛie factum putetur:vbi pꝛeciſam nõ curauit veritatẽ. fed cõmunem ſecutusi luns extimationè. quod facile ex eius ſuperioꝛi determinatione cognoſcitur. hic autem noõ introduct ſed exacte determinationis locus eſt. 4

der
dandcfad gazuham diupente. rad enixar Seadi terua dupäe m nusss rgo cad gpuma rlcdes naninstr
—
IIII
¶ Teſſaradecachoꝛdi chꝛomatici inter aſſignatos limites ter itidẽ diateſſaron: ſolũ ſemel immoblliter. bis diapẽte:ſemel immobiliter/ ſemelq; partim mobiliter. ſepties aut diapaſon:ter vt in diatonico gñe immoblliter/ quaterq; mobiliter cõtinef. Semi. Apo. Triſe. Semi. Apo. Triſe Tonus Semi. Apo. Triſc. Semi. Upo. Triſe. b I 5 h 1 l(8 c 2. f 6
¶ Teſſaradecachoꝛdum ex quattuoꝛ tetrachoꝛdis cõſtituit᷑:iccirco ſic nũcupatnm:qœ quattuoꝛdecim choꝛdis/ neruis voculiſue cõtineatur.dico enĩ pꝛimo quattuoꝛdecim choꝛdarũ in genere chꝛomatico coͤtinue per litteras bicd elf g hiſl⁊ſlm nſoſp ab hypate hypaton diſpoſitarũ a pꝛimo ad quartum vſq; limitem:ꝛter cõtineri diateſſaron ſolũ ſemel immobiliter. Mã per decimam b ad e cõcinit diateſſa ron.eritq; b ad epᷣma diateſſaron.ſed ⁊ quia per decimam c ad d eſt apotome et dad e triſem itoniũ: ergo c ad e cõtinet duos tonos · et per vndecimã e ad f eſt ſemitoniũ· ergo per ſextam tertij cad fduos tonos et ſemitoniũ cõtinens:erit diateſſaron.erit igitur c ad f ſecũda diateſſaron. et quia rurſus per vndecimam e ad f eſt lemitonium minus et f ad gapotome:ergo e ad g tonus. ſed d ad emonſtratum eſt triſemitoniũ.ergo d ad g ↄtinet duos tonos ⁊ ſemitontũ:eſtq; d adg tertia diateſſaron.Et cũ pᷣma b ad eſit ab hypate hrpaton in hypaten meſon per decimãoctauã fit ĩmobilit. ſecũda vo cf/ et tertia d gꝛſunt a parhypate ⁊ lichano pꝛincipalium:ꝗᷓ decimanona patefecit eſſe mobiles.cõſtat ergo p̃mũ. ¶ Scvo dico ſolũ bis intra quintũ limitem cõtineri diapente.quia enĩ b ad e per ĩmediate mõſtratũ cſt diateſſaron.et e ad fᷣ/ et fad g ſimul tonus.ergo ꝑ decimãtertiã tertij b ad g cõcinit diapente.eritq; b ad gpꝛima diapente. ea tñ ſex vocibus ⁊ non quinq; explebit᷑:pꝛopꝛtetatem diapente nõ ſeruans.at c ad gnon explebit diapente. Nã per modo mõſtratũ ad diapẽte cõplementũ deerit b ad c ſeniitoniũ minus.neq; c ad h. Nã per vndecimam huius g ad h cõtinet trilemitoniũ.at cg ad diapente cõplemẽ tum ſolũ deerat ſemitonium minus:ſuperat igitur ch conſonãtiaʒ diapente completo tono. neq; dh cõtinet diapente. Nam cũ ch ſuperet conſon ãtiam diapente integro/ cõpletoq; tono:demipta ergo c d apotome relinquet᷑ dh ſuperãs diapente cõſo nãtiam ſemitonio minoꝛe.ſed e ad i cõſonat diapẽteꝛeſt enĩ h ad i per duodecimam tonus. ſed d ad h per ĩmediate mõſtratum ſuperat conſonãtiam diapente ſemitonio minoꝛe.dẽpto ergo d e triſemitonio minoꝛe:relinqͥtur eh deſicien; tono a diapẽte: addito igitur h i tono ſiet diapente.eſt itaq; e ad i ſecũda diapẽte. Ab b igitur ad f quintũ limitem ſolum bis ſumitur diapète. Et cũ pꝛima diapente b g ſit ab hypate hypaton ĩmobili ad lichanon meſon partim mobilem:ſit ergo pꝛimo partim mobiliter. At vo cũ ſecũda e i ſit ab hypate meſon ad parameſenque mõſtrate ſunt immobiles:ſit ergo ſecũdo modo immobiliter ſeruat᷑q; ſecũdo modo diapẽte pꝛopᷣetas vt de quinto loco in quintum fiat locum. ¶ Tertio dico ſepties fieri diapaſon ter ĩmobiliter/ quater vo mobiliter.· Nam cũ b ad e per pꝛimam partem huius monſtrata ſit diateſſaron:et per ſcᷣam ead i diapente.ergo per viceſimã tertij b ad i cõſonat diapaſon.erit itaq; b ad i pꝛima ꝓiapaſon. Pꝛeterea quia c ad f fuit inuẽta ſecunda diateſſaron:et fg eſt apotome gh triſemitoniũ:ergo fh duo ſunt toni
et h i tonus etli kſemitoniũ · ergo f̊k diapẽte:et c f vt iã dictũ eſt diateſſaron.cõcinit igitur c ad lꝛ dia⸗
pafon:eritq; c le ſecunda diapaſon.et eodẽ iure dltertia diapaſon adiuuãte duodecima huius. et em quarta.fn quinta.g o ſexta.et hpſ eptima. Sed ter fieri immobiliter et quater mobiliter eodẽ modo vt in viceſima monſtratur. W
¶ In tetradecachoꝛdo enarmonico:inter aſſignatos limites ter diateſſaron ⁊ ſepties diapaſon vt in pꝛecedẽtibus continctur.at ſemel dũtaxat diapente atq; immobiliter.
Die. Die. Dito. Die. Die. Dito. Tonus Die. Die. Dito. Die. Die. Dito ·
1.— Lh ama
¶ Tetradecachoꝛdum ⁊ teſſaradecachoꝛdum idẽ dicimus. ſit igit᷑ bc/d/e/f/g/h/i/kllm/n/o/ p teſ⸗ ſaradecachoꝛdũ enarmonicũ · dico p̃mo inter h e ter cõtineri diateſſaron. Nã quia per decimãquĩtam huius b ed ſũt due dieſes tetrartemerie:erit b d ſemitoniũ minus.et d e eſt ditonus.erit igit᷑ be pᷣma diateſſaron.et eodem iure cf̊ ſecũda.et d g tertia.et quia b e ſunt hypate hypaton ⁊ hypate meſon:fit igitur pꝛima immobiliter.et c d ſunt parhypate hypaton ⁊ lichanos hypaton mobiles:ſit igit᷑ et duo⸗ bus modis mobiliter· ¶ Scðo dico ſolũ ſemel a pꝛmo ad quintum limitem fieri diapente:et id quidẽ immobiliter.nam non ſiet diapente b f quia ſolã ſuꝑaddit conſonãtie diateſſaron b e dieſim tetrarte⸗ meriam.neq; b g quia ſolũ ſuꝑaddit conſonantie diateſſaron duas dieſes que ſunt ſemitoniũ minus. neqʒ fiet bh quia cõſonãtie diateſſaron ſuꝑaddit ſemitonium minus ⁊ duos tonos.neq; per idem fiet diapente cg aut ch.nam hic abundabit tonus ⁊ dieſis:illic aũt deerit tonus minꝰ vna dieſi.neq; dg. nam deerit tonus.neq; d h.nam tonus abundabit.at vo cũ eh ſit diateſſaron: nã ef g due dieſes/ ⁊ g h ditonus/ et cũ h i ſit tonus:erit igitur e i diapẽte.et cũ e ſit hypate meſon et i parameſe q̃ monſtrate ſunt immobiles.ſit igitur inter aſſignatos limites ſolũ ſemel diapẽte atq; immobilit᷑. Tertio ſepties fieri diapaſon vt in diatonicis ex decimaquinta declarat᷑ quẽadmodumviceſima huius mõſtrata eſt.
¶ Diatonice modulationis:ſeptem modos oꝛdine collocare.
— d ‚f 6 4. k 1 n 0
9

— ZBbedefghiklmn
Pypodoꝛius IfIILI— SDypophꝛygiꝰ Tonus IILLLLILILILLIIIBIp o— Dypoĩiydius Semito. A IIIIIIIIIWWWWN;— A Doꝛius Tonus A1I1I.III— & Pbhaygius Tonus AILILäLILNpw v LXydius[Bemitomum aAI L Z2. Weroiydius[ZTonns dAdAIIILLI-N—
b Abc defshiklmno— ¶ Sit a b c d vſqꝙ; ad p pentadecachdꝛdum diatonicum. ſit r ꝓ hypodoꝛio pentadecacho. nicum abedefghiklmnopgrauiſſimũ: qð vt alioꝝ baſis atq; fundamẽtum—— tono in acumen pꝛoſlambanomenon pentadecachoꝛdi s ampliusqᷓ ſit pꝛoſlambanomenos rad au 6 ceteras voces ſuo oꝛdine per quartã/ quintã ⁊ ſextam huius in diatonico modulãdi genere ſubi en eritq; pentadecachoꝛdum s per diffinitionem hypophꝛygij modi. ſimilit᷑ extẽdo pꝛoſſamban of aen pentadecachoꝛdi t ſemitonio ãplius qᷓ; tenſus ſit pꝛoſſãbanomenos pęetadecachoꝛdi s cui tetrachoꝛda per quartã/ quintã/ ⁊ ſextam huius vt pꝛius coapto.eritq; per diffinitiõem t pentadecachoꝛdũ hypo⸗ lydij modi.et pꝛoſtãbanomenon v vno tono extẽdo amplius ꝙᷓ hvpolydij:cui ceteras voces ſuo oꝛdine ſequẽtes in diatonico genere coapto.eritq; cõcentus pẽtadecachoꝛdi vpꝑer diffinitionem doꝛlug. et ſi
amplius extẽdo x vno tono:erit pentadecachoꝛdi x cantus phꝛygius.et ſi y ſemitonio mioꝛeꝛ:erit eius
concẽtus lydius. At ʒ amplius extenſo vno tono:fiet concentus myxolydius.ſicq; factũ ꝑ diffinitioes
patebit pꝛopoſitum.
¶ Que diuerſoꝛũ modoꝛum in aliquo genere fuerit pᷣme vocis ad pꝛimã habitudo: ca erit ſecunde ad ſecundam et tertie ad ternam et cuiuſlibet totius ad totam ſimulie eademq; habitudo.
Bobe defghdihlimnopg 1 l —
R hypodoꝛius 1 1. S„hypophꝛygius 1. — qͥr öS t vXrAdBbed efg b
¶ Sit a/ b/ c/ d ad p vſq; pentadecachoꝛdum hypodoꝛiũ in aliquo gñe vt diatonico: et qr sꝛſeque⸗ tes pentadecachoꝛdũ hypophꝛygiũ·diſtabitq; iccirco q pꝛoſlambanomenos hypophꝛygij aba proſl⸗ banomeno hypodoꝛh modi acutioꝛ vno tono. dico ergo ſingulas hypophꝛygij: ſingulis hypodoꝛirt hypatas hypatis/ parhypatas parhypatis/ lichanas lichanis et its conſequẽtes: ſiliter tono toniq pꝛopoꝛtione diſtare. Mam cñ pentadecachoꝛdum ap et pentadecachoꝛdum a g ſintvtraq; apꝛoſiᷣba⸗ nomeno in neten hyperboleon dlatonice extẽſa:ergo que ꝓpoꝛtio a ad b ea eſt per quartã huiusq a
ꝛergo per tertiam ſecundi Brithmetices permutatim vt a ad q ita b adr.at a ad q mõſtratus eſteſe tonus:igitur et b ad r tonus.et cõſimiliter de ſequentibus oſtendatur.
¶ Totus oꝛdo diatonicus pẽtadecachoꝛdi hypophꝛygij modi:totum hypodoꝛiin i vnius acuminc toni ſuperat:et totus hypolydius cũdem triſemitonio.ſingule quoc doꝛij ſin gulas hypodoꝛij diateſſaron conſonantia.totus vero phꝛygius conſonanna diapente. lydius aũt diapẽte atq; ſemitonio. et myxolydius diapẽte aiq; ſeſquiono Abcdefghiklmnop— R Pypodoꝛius eIIl 2—
S Pypophꝛygio Lonus IIIIIIIIIIIIIoo— T Hrpolydius[¶ Semito. AIIILIIIIITIIITIIIIIo— 2. Hotius— ZTonus. III IIII.III
X Phaygius Tonus AIIIIILIIIIIIIII— Y Tydius[Semitonium lS— Z Wyrolydius ſ Tonus ASIIII—
Abe de fghikimnob Cmã pꝛoſlambanomenos hypophꝛygij tono ſuperat acumine pꝛoſlambanomenon hypodori 6 pex pꝛecedẽtem totus hypophꝛygius oꝛdo totũ hypodoꝛium oꝛdinem:toni ſuperat acumine. etquna pꝛoſlambanomenos hypolydij ſuperat acumine femitonij minoꝛis hypophꝛxgii:ergo idem ſupena acumine pꝛoſlambanomenon hypodoꝛiũ triſemitonio. igitur per pꝛecedètem totus hypoirdins 4edo totũ hypodoꝛiũ oꝛdinẽ triſemitonio ſuꝑeuadit acutioꝛ.ſed ⁊ qꝛ doꝛius toni acutie vincit brpe Votu. ergo doꝛius duobus tonis ⁊ ſemitonio acutioꝛ eſt hypodoꝛio. ergo per ſextã tertij eo acutioreſtcote

IIII
nantia diateſfaron.quare per pꝛecedentem ſingule doꝛij ſingulis hypodoꝛij diateſſaron conſonantia ſonant acutioꝛes.et phꝛygius addit tonum in acumine doꝛio:igitur totus phꝛygius toto hypodoꝛio
diapente cõſonãtia modulatur acutioꝛ.·et lydius phꝛy gio addit ſemitoniũ minꝰ et myxolydius lydio tonum. igitur lydius hypodoꝛio diapente ⁊ ſemitonio ⁊ myxolydius diapente et ſeſquitono ſonabit acutioꝛ.quod totum eſt pꝛopoſitum· ö Chypolydius diatonicus hypophꝛygium diatonicum ſemitonio/ ⁊ doꝛius triſemi⸗
7.
tonio /phꝛygius diateſſaron/lvdius diateſſaron⁊ ſemitomo/myxolydius diateſſaron conſonãtia/ atq; ſeſquitono ſupereuadit acutioꝛ: ⁊ doꝛius hypolydio tono/ phꝛygius ditono lydius diateſſaron ⁊ myxolydius diapente:phꝛygius auteʒ ad doꝛium ſonat tonum lydius triſemitonium ⁊ myxolydius diateſſaron ſlydius phꝛygio ſemitonium et myxolydius ſeſquitonum:myxolydius autem lydio tonum. Chec vt pꝛecedens vel ꝙᷓfacillime monſtrabitur. n
6
CSeptem modos chꝛomance modulationis conſtituere.
R Dypodoꝛius ſl.—ll.LA— S Prpophrrgio Tonus lſ=ſLLLL Chꝛo— E Pypolrpius Semito. AſI-ITIEma ⅓ Doꝛius Apotome AIIlLLIIIILLLLe tie Dhergius Triſemitoniü AI L AAIA-LA v Lrdius Semitonium—e Z Wyrolydius Apotome AaAAA— — eJoce deig hiklmnop
¶ Faeio rpentadecachoꝛdum chꝛomaticũ per decimam/ vndecimam ⁊ duode ſex alia ſcʒ l/t/v/x/ v/3: facioq; pen acutius s.v vero apotomes interua
qᷓ x.et ʒ apotome trãſcẽdere y:dico ergo ſeptem modos chꝛc modulat leo ffinitiõem hypophꝛygius chꝛomaticus.t hrpolydius. v doꝛius. x phꝛveius.
¶ Quo pacto ſinguli cuilibet inter ſe chꝛomatici modi reſpõdeant:oſtendere. ¶ Diſtat pꝑ pꝛecedẽtẽ hypophꝛygius ab hypodoꝛio chꝛomatico tono. et hypolydius ab hypophꝛyglo ſemnitonio.diſtat igi᷑ hypolydius ab hrpodoꝛio acutioꝛ triſemitonio. et doꝛius.,ab hypoly dio diſtat apotome.igitur doꝛius ab hypodoꝛio remotus eſt ditono. phꝛygius aũt ab doꝛio triſ emitonio. igitur E tribus tonis ⁊ ſemitonio:hoc eſt totius conſ onãtie diapente intual igitur lydius ab hypodoꝛio diapẽte atq; ſemitonio · myxolydius ab e conſonãtia diſtat acutioꝛ atq; tono. io ab hypophꝛygio diſtat ſemitonio. ius diateſſe aron. Iydius diateſſaron et ſemitonio myxolpdiꝰ diapẽte · doꝛius a phꝛy s ditono. lydius diateſſaron. myxolydius tritono. Phꝛpgius a doꝛio tri bus ſemitonijs minoꝛibus. myxolydius vo diateſſaron · Lydius a phꝛp diſtat autẽ myxolydius vt iã quoq; dictũ eſt a lydio maioꝛe lemi⸗
12 Abcoefghiklmnod RHypodoꝛius ſI. 1197 2 wepofbeni Tans6..l— E Prpolydius Dieſis 1 L 1LIILILLp mo.
A Doꝛius[Diels àAI I..L.I.L. III LLI.ILIr. u
X Phrrgius Ditonus AIIlA LLLPR ci 3
v Lydius Dieſis SA III Il— 2.—
2 Myxolydius Dieſis ALILIILA Il i. Abc defshik lmno p
Sint r/ſit/v/x /v3ſeptem pẽtadecachoꝛda:et ſit per decimãquintam huius r pentadecachoꝛdum
enarmonicum:intendo pꝛoſlambanomenon pentadecachoꝛdi s vno tono amplius pẽtadecachoꝛdo r. et t dieſi amplius qᷓ s. et v dieſi amplius qᷓ; t.et x ditono amplius cᷓᷣ v.⁊ y amplius dieſi x.et ʒ amplius itidem dieſi qᷓ y.erũt ergo ſᷣm acumen intenſa ſex poſt pꝛimum pentadecachoꝛda:pꝛimo tono. deinde duabus dieſibus et ditono. demum duabus dielibus: qui quidẽ intendẽdi modus enarmonice modu.

1 ¹
lationi peculiaris pꝓpꝛiuſq; hab etur. ſ unt igitur ſeptem pẽradecachoꝛda rjſit/ vix/y tz. ſeptem ene monnce modulationis modos continẽtia, quod demonſſrari pꝛopoſitum erat. 1 enar.
CSm guloꝛum enarmonicoꝛum modoꝛum:ad quẽlibet habitudines demonſtrane Obuius ex pꝛecedẽèti demõſtratio clara eſſe poteſt Pꝛimo hypophꝛygij ab hypodoꝛio diſtantia eſſe
tonum · hypolydij tonum ⁊ die ſim.doꝛij ſeſquitonum.pꝓhꝛvguᷣj diapente.lydij diapente ac di lydij diapente ⁊ ſemitonio. Secũdo hypolydion diſtare ab h pophꝛygio dieſi. doꝛiũ ſe neranion 3
gium diateſſaron. lydium diateſſaron et dieſi. myxolydium diateſſaron ⁊ ſemitonio. Tertio duhh 4
pypolydio dieſi.phꝛygium ditono ⁊ dieſi.lydiũ diateſſaron. myxolydium diateſſaron⁊ dieſi. Quart phꝛygyum a doꝛio ditono. lydiũ ditono et dieſi.myxolydium diateſſaron. Quinto lydium a phꝛy l dieſl.et myxolydium ſemitonio.Sexto myxolydium diſtare dieſi a lydio. ¶ Septem enĩ modog h plures adiecit pꝛiſcoꝛum autoꝛitas pythagoꝛicoꝛũ. vt enĩ numerus a monade ad denariũ vſq; varius creſcens ꝓgredit᷑: mox vo ſequens denarius vnitatisvicem obtinet pꝛimãœ; explicat ynitatem eiuſdẽ indiuidue monadis conſoꝛs/ et emulus:d ad centenariũ vſq; rurſus nouenaria ꝓgreſſiõeſe extendit. relapſus tãdem in tertiam vnitatem. Ita quoœ; vocũ diſſilitudo ac varietas ex quibus inſtar cleſie harmonie concentus humani/ modiq; foꝛmãtur ad octonariũ vſq; ſurgit. ſuniq; ſeptem cötinuevoces inter ſe varie quibus ſuccedens octonaria vocis plenitudo(¶ Pꝛimus eniʒ numeralis cubus pꝛimacz teſſera octonarius)ad pꝛimã rurſus ſonat vt eadẽ:et ad eam ſeſe habens perinde ac denarius adyni⸗
tatem. Et hec octonaria ſeries in omi modulationis genere ſic rata pꝛocedit: vt cõtinue octauo quog
loco octauũ ꝑper ſimilem ſibi ⁊ pene eundem ſonus offendat ſonum.· itayt ex duobus natiua quadam concoꝛdiq; affinittate iam vnũ ſonum ⁊ non multos parere videãtur:vſq;adeo enĩ ſe miſcetet mutuz ſe iungũt/ copulãtq; amicitia.Et haꝝ ſeptemvocum ꝗᷓ grauiſſima tardiſſimac; eſt: Saturno debetur. ꝓxims Joui:tertia Marti. quarta Phebo. quinta Aeneri. ſexta Mercurio. ſeptima vo eaꝝ acutiſſi ma/ cõcitatiſſimaq; Lũe octaua aũt rurſum reuoluit᷑ ad Saturnũ/ nona ad Jouem/ decima ad War⸗ tem.et hoc pacto ↄſequẽtes:vt ſapiens voluit antiquitas.Et revera totius vniuerſi harmonia ſepte nario cõpleta eſt.et hec ſeptem in celo celeſtem: in his aũt inferioꝛibus coꝛpoꝛeam/ ſenſibilẽq; tepert
harmoniam.ſed hec magi plenius diſcutiãt. hinc licet cognoſcere cur hypermyrolydius: ſeptem py⸗
thagoꝛicis modis haud multũ veniat accõmodãdus. Mã ſi in diatonico genere myxolydium pẽtade⸗ cachoꝛdũ ꝓ hypermyxolydio vno tono amplius acuat᷑:totus is vbiq; modus ad hypodoꝛiñ oſonaret diapaſon/ octauuſq; natus eſſet ſonus:qui ad pꝛimũ idem/ congeneuſq; naturali affinitate redditur. quare non ab hypodoꝛicpꝛimo modo omnifariamvarius putandus eſt. et eque ſi myxolydius inten⸗ deretur triſemitonio in chꝛomate et ditono in enarmonio: ſed de his foꝛte ãplius qᷓᷣ pꝛeſenti negocio par ſit dictum eſt. Et modi quos adiecere recentioꝛesvt diuus GSregoꝛius ab hac modoꝛũ antiquitate
recedũt.et pleraq; alia q̃ poſterioꝛes muſici inculcauerunt ⁊ que ab illis facile requiras. et nra quoc;
tempeſtate muſicum modulamen/ atq;ʒ oẽm concinẽtiam ad celeritatem quãdã pꝛecipitẽq; leuitaten reducere conãtur:modeſtam grauem ſeriãq; ac decoꝛam cõcentuũ moderatiõem perparũ attẽdẽtes. moderatiõe enĩ dicti ſunt modi.parũ item attẽdentes pꝛiſcũ muſices honeſtatis/ grauitatiſq; decus: qua amentes arreptitioſq; ſoluebãt. ſanitates inducebant feros hominum moꝛes vt olim Thracius Oꝛpheus/ ad mãſuetos ⁊virtutis callem reuocabant.et ex ſenſibiliũ harmonia ad celeſtis harmone deſiderium captiuas aĩas tanꝙ́; ſui iam memoꝛes exilijvbertim fluentibus oculis euocabant hoceni modoꝝ accõmoda mediocritate Pythagoꝛe diſcipult faciebãt.non enĩ is inter hoĩes modeſtioꝛ:cuv oĩs inceſſus curſusvider.neq; is cuius pꝛeceps nimium loquela pꝛeſentium ludit intelligentiam. jn quoq; neq; i modeſtioꝛes modi:qui nimia ſui feſtinantia q̃ᷓſi in venerea choꝛea laſciuiètes pꝛetfugiũt auditum. Hac enim de cauſa Pythagoꝛea ſchola molles chꝛomatis modos repudiauit et Spartiate ſolẽni decreto Thimotheum Willeſtũ increpuerũt vehemẽter diatonicos concẽtus potius appꝛobe tes.qui ſi apte moderẽtur virtutis pꝛe ſe ferunt modeſtiam.vt enĩ nimia tarditate ceu toꝛpoꝛe quohi faſtidimur inani.ita nimia celeritas molliciem quãdaʒ pꝛe ſe fert inhoneſtam. medium enĩ negz cele⸗ ritate pꝛecepo nec ignaua tarditate pigrum:laudabile virtutiſq; emulũ.quã oĩs etas ꝓbauit pbatu⸗ raqʒ eſt:et ad quã muſici modi tanᷓ; moderationis animi quedã certe regule nos perducere debent: ad diuina mentes noſtras iugiter rapere. et felices ij erunt qui hoc fine et muſicen et oem mundsnam philoſophiam queſierint.neq; talibus eſſe ſolet celeſtis fauoꝛ atq; pꝛeſidium.qui auteʒ ſecus Macuun miſeri: quales nullos ad quos noſtra hec modulationñ elementa peruenerint futuros deſideramus: quin eis oĩs harmonie vite decus:feliciter optamus/ noſtriq; victuros memoꝛes.
¶ Quarti elementoꝛum Muſices Jacobi Stapulenſis finis.
— —

85“
ͤͤͤöͤͤöoöoöoöͤoͤöoͤoͤoͤſͤſͤſͤhſhſhh
- —
“
— ———————
3 4 1 3 11 — — — 42 1 *
—
—

E
¶ Jacobus Faber Stapulẽſis Magniſico dño: Joanni Stephan ATan Loroher Epiſcopo Verſcllenſi ſtudioꝛum am annlimo.
Is diebus metallicis foꝛmulis Arithmetices pariter aiqʒ uſices miſſis elemẽtis:cogitanti michi digniſſime pꝛeſul quud dlloꝝ faclcn b pꝛepararet mtelligẽnam: occurrit ſi introducno quedã er diuinaill et Prthagoꝛica diui Seuerim Boctij nũeroꝛũ inſtitutione i medii afferretur:que ⁊ vt domeſticaſ familiariſq; ante alioꝛũ lecnõem ⁊ti demonſtrationũ põdera directrix haberet᷑. Ita enĩ ferme compatun cſtvt niſi mens rite pꝛeparata fuerit:nullum in diſciplinis capiat emolumentum. Vt enĩi perin medicj potiones/ digcrentiaq;:foꝛubus pmittunt pharmacijs quo ſmicꝛi inpucantvalitudinem:ita quoq; in omni diſciplinarũ genere operepꝛecium eſt mno⸗ ductiones pᷣmittere vt facilioꝛem aſſequamur diſciphine intelligẽuam velut quidam perfectam nr̃e mẽns ſamtatem. Quapꝛopter ilico ex libꝛis diui Seuenni Epitoman ſum aggreſſus:cuns multiplex cõmoditas futura eſt. Ea enim aſſecuta:ad numerox demonſtratiões vt qutbuſdam Pythagoꝛe riuibus iniciati pꝛeparatiq; accedent aic illoꝛum libꝛoꝛum pꝛiſca ſapientia refertoꝛum inſtitutiomis Arithmetices: perfaclen capeſſent intelligentiam.ino ex vluma comparationis diui Seuerini Joꝛdan foꝛ⸗ mula vniuerſam clegãnſſime ⁊ nunqᷓ; ſatis laudate numeroꝛum inſtitunonis cõmen⸗ tationem conſequẽtur facillime et ad quecunq;:que numeroꝛum deſiderant operam: viam perfacilem atꝙ; aditum. Hanc ergo introductiunculam digniſſime Pꝛclulnen dubitaui nomun tuo deſignare: tametſi tue dignitatis habita ratione res ſit erigua. Vlt qui noꝛim qᷓʒ feruidus oĩa ſtudia complecteris/qᷓ in illis verſans alſiduusſchol ꝓpe Socranceaſſertoꝛ: nullum pꝛeter ſapientiam bonum eſſe/ nullum pꝛeter ſtuda litterarum. Non poteſt ergo obſeruantia in te mea in re litteraria grata non foꝛequi facis uitteras /litteratoſq; omncs obſeruando:vt te debeant omnes obſeruare liuen quod vtinam aulquãdo pꝛo dignitate facere poſſim tue virtutis iam ſatis longa con⸗ ſuctudine pꝛobateuugis/ aſſiduuſq; culto. Vlalc. 0
— —————
— — —
—̈ᷓ„

—
¶ Jacobi Fabꝛi Stapulenſis Epitome in d diui Scuerini Boccij ad Magnificum düm: Ferrerium Epiſcopum Verſellenſem.
Nter diſciplinas mathematicas quibus neglectis om diſciplina:tanqᷓ; ceterarũ parens/ dux atq; domina: pumum ſibi ven⸗ dicat Arihmetice locum que vt rite cognoſcat᷑ queadmodũ et cetere ceriis eget adminiculis. inter quc
vꝛimo menti ſigenda eſtvniuerſoꝛũ
circa que verſatur ſubiccta foꝛmu
uos libꝛos Arithmeticos Joannem Stephanum
a/ mox ſinguloꝝ diffinitiones/ poſt
omnis obſcuratur
aqaauuas numcroꝛum affectiones/ pꝛopꝛietateſq;/ poſt pꝛopꝛietates: quo uanur diiqpin dr loco vniuerſe ſunt monſtrande. — Ttnas CFoꝛmula vnuuerſoꝛum circa que negociat᷑ arithmetica. enmancaezumerus Seſquiquintus 6.5. Ante longioꝛ 17. münnen der Secundum ſe z. Superpartiens Solidus omparmenszue Adaliquid 4.2. Superbipartiens 5.35. Pyramis 4. Hs laud tenncmni Scðm figurã z. Supertripartiens 7.4. LCubus 8. latus 2. ecunq;:quena dumerus ſcòùm ſe Superquadripartiens 9.v. Pyramis. — Par 2. Superqumtupartiens 11.6. Trigona 4. me digntmeduan mpar 3. Superſextupartiens 13.7 Tcetragona 5. moicctens qnuewmdar Multiplex ſuperparticularis Pentagona 6. ſapicnnm bomnn Pariter par 4. Duplus ſeſqualter 5.2. hHexagona*. duniemeanniunf Pariter impar 6é. Duplus ſeſquitertius 7.3. Curta Pyramis 29. Sui tetragoni ſũt 16.9. 4. — Imparit᷑ par 12. Duplus ſeſquiquartus 9.4. Biſcurta 25. Sui tetragoni ſunt 16.9. Niedchena Perfectus 6. TLriplus ſeſqualter 7.2. Tricurta 4 1.*Suni tetragoni ſunt 25.1 6. acrepoſim memm Diminutus 4. Triplus ſeſquitertius 10.ʒ3. Laterculus 1 8. Latera ſunt 3. 3.7⸗ lor. Abundans 12. Triplus ſeſquiquartus 13.4. Aſſer 1 z. Latcera ſunt 2.2.320 mpar Multiplex ſuperpartiens Cuncus. 2 4. Latera ſunt 2.3.4. Pꝛimus 3. Duplus ſupbipartiens 8.3. Nũerus circularis 2. Compoſitus 9. Duplus ſuptripartiens 11.4. Sphericus 125. Ad alrũ pꝰ 9.2 5. Duplus ſupãdriparuẽſ 1 4. 5. Parallelepipedus 1 2. Latera ſunt 2.3.2- Numerus adalidð Triplus ſuꝑbipartiens 11. 3. edictas 6.4.2. Edlitas 10. 10. Triplus ſupꝑtripartiens 15.4. ABrithmetica 6.·4. 2. Inequitas 10.5. Triplus ſuꝑqdripartiẽs 19.5. Gceometrica 9.6.4. mequalitas HMumerus ſcðm ſiguram Muſica 6.4. 3. maioꝛ ineq̃.1 0.)5. Lincaris 2. Brithmctica mioꝛ ineãl. 5.1 0. Planus 4. Lontinua 6.4. 2. Haioꝛ inequalitas Solidus 8. Diſiuncta 7.5.6 4. Multipler 2.1. Planus Geometrica Suppticlarl 3.z7. Trigonus 3. Continua 9.6. 4.„ Supparnẽs 5.3. Tctragonus 4. Diſiuncta 9.6.3.2. Multiplex Pentagonus 5. Quarta medic. 6.5. 3. Duplus 2.1. Herxagonus 6. Quita medietas 5. 4.z. Triplus 3.1. hHeptagonus 7. Sexta 6. 4. 1. Quadruplꝰ. 4.!. Qctogonus 8. Sepuma 9.8.6. Quincuplus 5.. Ennagonus 9. Octaua 9.7.6. Superparticularis Secagonus 10. Pona 7.6.4. Seſqualter 3. ⁊.. Endecagonus 11. Decma 8.733. Seſquit᷑ti' 4.3Z. odecagonus I2. r S 6..
Seſq quartꝰ 5.4. Altera parte longioꝛ

E
Umerus eſt multitudo ex vnitatibus aggregata. b Rumeruoſcoͤm ſe ſumptus eſt numerus aul in comparatione ad alen minime conſideratur/ neq; vt ad ſiguras geometricas applicatur. M Numerus adaliquid:eſt qui in comparatione ad alterum ſi umptus:conſiderztu Numcrus ſcðm ſiguram dicitur:pꝛout ad figuras geometricas applicatur. Numerus par:eſt qui in duo cqua diuidi poteſt. Numerus impar:eſt qui in duo cqua minime diuidi poteſt. Numerus pariter par: eſt numerus par cuius partes in duo equa ad vnitatem yig ſecionem recipiunt.. Numerus pariter impar eſt numerus par cuius media: equalium parinonen aj admittunt. Numerus impariter par:eſt numerus par cuius media equaliũ partitiõem aomiui ſed partium in duo equa partitio citra vnitatem deficit. 5 V Numerus perſectus eſt numerus par:cuius omnes cõpoſite ſimulq; accepte panca ſun totius ſummam implent. Pars eſt que aliquoties ſumpta neq; excrcſcdo neg deficiendo ſuum totummctitur. e r 4 b Numerus diminutuseſt cuius collecte partes:minus ipſo toto reddunt quiꝛin ctus dicitur. b Numerus abundans:eſt cuuus invnum adacte partes totius ſummam cxceduntuu et idem ſuperfluus nuncupatur. b Numerus pꝛimus eſt numerus impar: qui ſola vnitate metitur.ctidem quoq;in poſitus nominatur. 2 num erus compoſius eſt numerus:quem nõ ſola vnitas ſed ⁊ alter numenusiyin menſurat:qui ⁊ idem ſecundus appellatur. b mumcrus ſolum ad alterũ pꝛimus eſt numerus: qui ſᷣm ſe compoſitus cſt:ad alui vero comparatus ſola cũ illo cõmuni metturvnitate. Par. impar. Equalitas: eſt cum equalis numcrus ad cqualem comparatur. Inequalitas vero eſt cum inequalis ad mequalem comparatur. Maioꝛ inequalitas:eſt cum numerum maioꝛem ad minoꝛem comparamue. Minoꝛ vero inequalitas contra:quoties minoꝛem maioꝛi comparamus. Numcrus mulnplex eſt cum maioꝛ nũerus minoꝛi comparatus:cũdem pluſqend continet vt bis/ter/ quater:et ita deinceps.—“ Vnitatem numeroꝛum fontem/ pꝛincipiũq;: etiam numeri appellatiöe cenſenne. Puplus eſt cum maioꝛ numerus minoꝛi comparatus:minoꝛem bis continct. Triplus cum ter continct. Quadruplus cum quatcr. e4 Quincuplus cũ quinquies:et hoc pacto deinceps ſᷣm naturalẽ niũeroy ꝓgteſlõen. numcerus ſuperparticularis eſt cum maioꝛ numerus minoꝛi comparatus oummſe numerum minoꝛem continet:ct eius partem aliquam. Seſqualter eſt numerus ſuꝑparticularis cum maioꝛ totum cõtinet minoꝛen:ct clus medictatem. ct idem dicitur hemiolius. Seſquitertius eſt cum maioꝛ continet totum minoꝛem:et eius teriam pattem.qu dicitur epitritus.. Seſquiquartus eſt cũ maioꝛ continet totum minoꝛem:ct eius quanam panen. E quintam cõtinet vocatur ſeſquitertius.et ita deinceps ſᷣm numcroꝛum ſenem. mumerus ſuꝑpartiens eſt cũ maioꝛ continct in ſe totũ minoꝛem:et cuus inſup üh partes vt duas /tres/q̃ttuoꝛ aut quotquot attulerit ipſa cõparatio. eiis pal dd intelligitur:quc minoꝛis vnam partem non efficiunt. Superbipartiens eſt cum maioꝛ continet minoꝛem et duas eius pantes. Supertripartiens eſt cum tres eius partes inſuper continet. Superquadriparuiens cum quattuoꝛ:et hoc pacto deinceps·

acto denncepefn malo: numcrusmpoac uo partem alqumn.
umerꝰ multiplex ſ upparticularis eſt q b Ft ſi bis continet ⁊ eius medietatẽ vocatur duplus ſeſqualter.
uoties maioꝛ numerus ad minoꝛẽ ↄparatus habet eum pluſqᷓ; ſemel et eius partem aliquã. Et ſi bis et tertiam duplus ſeſquitertiuis. 2 Et ſi ter et medictatẽ triplus ſeſqualter ⁊ ita deinceps: ex vtriuſq; denominatione
multiplicis ct ſuꝑparticularis pꝛout cõparatio attulerit noĩa colligendo
mumerus multiplex ſupparnens eſt quoties maioꝛ numerus minoꝛi cõparatus mi⸗
noꝛem pluſqᷓ femel continet ⁊ inſuper cius aliquot partes.⁊ noia ſumit ↄpoſita ex vtraq; cõparationis denoĩatione.vt hec: duplus ſuperbiparuens/ duplus ſupertri partiens/ triplus/ quadꝛuplus/ quincuplus ſuꝑpbipartiens ct ſimilia. Et quo pacto
quinq; ſumunt᷑ ſpecies cõparando maioꝛę᷑ numerum ad minoꝛẽ co pacto ſumũtur
quinq; coꝛrclatiue cõparato minoꝛe ad maioꝛẽ: quoꝛum et ſuoꝛũ ſpecialiũ modoꝝ ſpecierũq; nomina: ſola ſub pᷣpoſitione addila effingimus: que ſunt. ſubmultiplex
ſ ubſuperparticularis/ ſubſuperpartiens/ ſubmultiplex ſubſupparticularis/ ſubmul
tiplex ſubſuperpartiens.et ſpecics ſ ubmulnplicis ſunt ſubduplus/ ſubtriplus/ ſub⸗ quadꝛuplus/ ſubquincuplus.ct hoc pacto deinceps. 11.
Species ſubſuperparncularis: ſubſeſqualter/ ſubſeſquitertiꝰ/ſubſeſ auiquartus/ ſub⸗
feſquiquintus. et hoc pacto deincep. Species ſubſuperpartientis ſunt ſubſ uperbipartiens/ ſubſupertripartiens/ ſubſuper
quadꝛipartiens.et hunc in modum conſequenter. 1 46 Species ſubmultiplicis ſubſuꝑparticularis ſubduplus ſubſeſqualter/ ſubtriplus ſub
ſeſqualter et ſimiles. 1. Species ſubmultiplicis ſubſuꝑpartiẽtis ſunt ſubduplus ſubſupbipartiẽs ſubduplus fubſupertripartiens atq; cetere ſimiles ſecundum rationis/ cèparationiſq; naturã.
ſed hec ſtatim nota ſunt. u Numerus lincaris eſt qui per plurcs in vnam/ eandẽq; partem adiectas: deſſ cribitur
vnitates. 1 MNumerus planus eſt qui per ſuasvnitates deſcriptus:in longũ atq; latum poꝛrigit᷑. Numcrus autẽ ſolidus eſt qui per ſuas vnitates deſcriptus longuudini et latitudini
craſſitiem ſuperaddit/ trinoq; diſtenditur interuallo. Tiisonus eſt numerus planus: qui ſuis vnitatibus explicatus tria latera poſſidet Tetragonus:quattuoꝛ equalibus angulis perficitur.
Pentagonus quinq;.
4
Hexagonus ſex.
Heptagonus ſeptem. Octogonus octo.
Ennagonus nouem. Decagonus decem.
Endecagonus vndecim et hunc in modũ deinceps:quos appellatione latina nuncu⸗
pare poſſumus triãgulos/ quadꝛãgulos/ quinquãgulos/ ſexangulos/ ſeptangulos octangulos/ nonãgulos/ decãgulos/ vndecãgulos et hoc pacto cõſequenter. Numerus altera parte longioꝛ eſt numerus planus qui per vnitates deſcriptus: lon gitudini latitudinẽ habet vnitate diſcrepãtem. ⁊ idem longilaterus appellat. Numerus vero antelongioꝛ: eſt qui per vnitates deſcriptus latera ſua habet pluſq; vnitate diſiuncta. hoc eſt longitudinẽ latitudini pluſqᷓʒ vuitate diſſentientt. Prꝛamis eſt numerus ſolidus cuius ſingula latera ſunt ab vno planoꝛũ ad vnum ca cuminis verticẽ eleuata. Et planus nũcrus a quo latera erigunt᷑: pyꝛamidis baſis nuncupat᷑. Punctus autem/ vnitaſq; in quã conueniunt pyꝛamidis conus/ mucro/ vertexq; dicitur. que ſi ex baſe triangula naſcitur: pyꝛamis triangula nominatur. Si ex baſe quadꝛangula:pyꝛamis tetragona.et hoc pacto deincepp.„ 62

E
Perfecta pyꝛamis ea eſt cuius laterũ adverticẽ᷑ erectioꝛcitra vnitate non deſtn. Curta vero pyꝛamis ea eſt cuius laterũ crectio ad vnitatẽ vſq; nõ aſcendit: cu dſo monas deeſt q eſt pꝛima pyꝛamis:curta dicit᷑. Si vnitas et planus vnus: biſcun Si duo tricurta nominatur.et hoc pacto deinceps. he Cubus eſt nuerus ſolidus ſex equis ſuꝑſicialibus/ planiſq; numeris contentus:equi de ſe longitudini et latitudini altitudinẽ pꝛebens.et iidẽ numeri:teſſere nucupant aque duodecim equa latera ſemꝑ habent/ ſolidos angulos octo/atq; ſupficees ſa. Laterculus is ſolidus eſt: qui longitudini latitudinem equam habens: alutudinen poſſidet contractioꝛem. Aſſer: cuius cũ longitudo latitudini ſit equa:altitudinẽ habet maioꝛem. Cuneus vcro qui longitudinẽ /latitudinem/ et altitudinẽ in ſe cõtinet mequalce Lircularis numerus eſt cũ latus in ſe ducitur et tetragonus inde naſcens in wen i minatur. et rurſum cũ idem latus in tetragonũ: naſcitur cubus qui in idẽ reuolut et is cubus ſphera/ ſphericuſq; cubus appellat᷑. Et cum rurſus quoniẽs idem latus in cubumvel ſi in inſinitũ duxeris: qui inde naſcitur numerus:in euuſdẽ latens nu⸗ merum terminat/ reuoluiturq;. Parallelepipedus ſolidus numerus eſt equidiſtãtibus ſupficialibus/ planiſq nas cõtentus neq; omnino quidẽ equalibus neq; omnino incqualibus. Medietas eſt duay/ pluriuuc pꝛopoꝛtionũ ſimilis habitudo. Medietas arithmetica eſt medictas:cuius termini cquas ſcruant dꝛias. Termini ſunt numeri:medictatis pꝛopoꝛtiones conſtituentes. Differenna eſt quo numerus numerum ſuperat ac vincit. Continua medietas grithmetica ea eſt que in tribus continue numeris contincun. Si vero in quattuoꝛ diſcõtinue cõtincat᷑: diſiũcta medietas arithmetica nicupat. Medietas geometrica eſt medietas cuius termini equas ſeruãt pꝛopoꝛiiones. Que ſtin tribus continue terminis cõtinetur: cõtinua. Sinvero in quattuoꝛ diſconnuc: diſiuncta nominatur.. Sedietas harmonica ca eſt in qua quẽadmodum maximus terminus ad minimun ita differẽtia maioꝛum ad diſſerentiã minoꝛum ſeſe habet. b Quarta medietas eſt in qua quẽadmodum maximus terminus ad minimũ: its dſf rentia minoꝛum ad differentiam maioumMmM.
Quinta medietas in qua quẽadmodum medius ad minimũ: ita minoꝛum differni ad differentiam maioꝛum. Sexta eſt in qua quẽadmodum maximus ad medium:ita minoꝛũ diffcrentia ad diſ
rentiam maioꝛum.. 4 b Septima vt quẽadmodum maximus ad minimũ: ita extremoꝛum differẽtia ad diſt rentiam minoꝛum. b Octaua quemadmodum maximus ad minimum:ſic eoꝛum differentia ad difercni maioꝛum. Nona quẽadmodum medius ad minimum:ſic extremoꝛũ differentia ad difuanam minoꝛum. b„ Decima quẽadmodum medius ad mimmũ:·ita cxtremoꝛũ differentia o diftentã maioꝛũ. Et he ſeptem vltime pꝛeſertim adiecte:quo Pythagoꝛe denziusim in tribus terminis conſiſtunt. b
Bu me i p:ꝛo pii e na ees.
Omnis numerus circum ſe pꝛoxime poſitoꝛum atq; ſimul iunctoꝛum comperitu medietas. b 3 Omnis numerus duoꝛũ quoꝛũcunq; extrinſecus iacentium ct ab eo cqualite diſtan:
tium: indem eſt medietas. b
1

arnon 3 b —ᷓ Hu me ri pa ris pꝛo pꝛi 3 e ta tes
gum numerus par in duo partitur: ſi carum partium vna par eſt et alter parem eſſe
eneaeen neceſſe eſt.
—— Kum par indem m duo partitur ſi carum partiũ vna impar eſt:altera erit impar.
—— Par parem ſimultuplicet ſemper naſcuur par.. b bad Par unparem ſi multiplicet naſcitur par.
acn g re. Nnu me ri im pa ris pꝛo pꝛi e ta tcs. dmdedmrench Quilibet numerus impar in duo partitus:vt vnam partem parem ⁊ alterã imparem
au habeat neceſſe eſt. ſetth — Impar imparẽ ſi multiplicet pꝛotinus naſcitur impar.
ls ns Impar ſi multiplicet parem: pꝛocrcabitur par. Cns
Bu me ri pa ri ter pa ris pꝛo pꝛi e ta tes. b lchundiſtindes 1 Quilibet numerus pariter par partem quãlibet ⁊ nomine et quãtitate parem habet. duo necß omn) Ppominc quidem ꝙ denominationẽ habcat a numcro pariter parc: quauitate vero gea yſa numerus ſit parterperr. uns termim Omnis numerus pariter par eſt aliquis dupliciũ ab vno continue ſumptoꝝ. Et quẽ emoncs euan Ubet duploꝛũ ab vno et ſolum talem: pariter parem eſſe neceſſſ ett. 4— 3 Quotcũq; parit pares abvno cõnumeratavnitate collccti:ſcquẽti minꝰvno reſtituũt
m Hinnis numcrus pariter par eſt diminutus.—
aue m idas Simnis numcrus pariter par: ex reſt ondentibus ſibi mutuo partibus pꝛocreatur. ncaf: dducanacn Partes mutuo ſibi reſpondentes:pars denominãs/et denommata. lcrrum couss cuxo Numcroꝛũ paruer parium cõtinue diſpoſitoꝝ ſi ſeries eſt impar: quod ſub extremis er. Cunu. Snrnrg cõtinetur equũ eſt ci qui continctur ſ ub medio in ſe ducto. deinde ſub circũpaſitis
vlq; ad ſerici expletionẽ. Si vero fuerit par:cquum eſt ei qui ſub duobus medus tameda mah dtinck. deinde lis q altriſccus illis adiiciũtur et hoc pacto vſq; ad ſeriei expletionẽ
munorun ſcee dde hu men pa ri ter im pa ris pꝛo pꝛi e 4a tes. dun manmustmn Quilibet numerus pariter impar: medictatẽ habet imparem. banm... amnis numerus pariter impar quãlibet ſui partẽ alterius quãtitatis retinct/ pariter
1 ncdus emmn an et denoĩationis. Mã ſi quãtitas eſt par:denoĩatio erit ĩpar /⁊ contra ſemꝑ euemiat. 3 Ommis numerus pariter impar gignitur ex imparibus continuc ab vnitate ſumptis: as ad medimmnn in quos binarius ducitur. 4. Omnes numeni pariter impares ſeſe quaternaria numeroſſtate trãſcendũt: quattuoꝛ munmüt am naturali ſcrie infceptos cõtinue relinquẽtes/ ⁊ ab ſeſe cõtinue quinto loco diſtãtes Hmnis numcrus pariter impar: duoꝝ ſimul pariter impariũ altrinſecus equidiſtãter auniunecdn iaccntium et naturali ſerie collectoꝛũ eſt medietas. b 6 Smnium num 5 pariter unp tin Parl atinuagh ſerie diſ doſitox Vuge medietates Kmdnea imul iunctas ſuis pꝛoxime altrinſecis numeris et illis qui ſuper illos ſunt vſq; ad 4 vnitatẽ: ſimul/ in vnũq; collectis equari neceſſe eſt. b. b unt vſq; ad nd: iu qrmii di 2 Nu mec ri im pa ri ter pa ris pꝛo pꝛi ce ta tes. ¹ 1 Smnis numcrus impariter par aliquas cius partes habet ⁊ denominatione et quan titate reſpondentes: aliquas vero denominatione/ quãtitateq; diſſentientes. a A QOmnis numerus ĩpariter par ex numero pariter pari ct pariter ĩpari pꝛocrea. 6 3 Completa ad longitudinẽ ⁊ latitudinem impariter parium ſcrie: qui per longuudinẽ lorun u lni er deleripn ſunt: ſextam pariter parium ſeruãt pꝛopꝛietatẽ. qui aũt in latitudine ſextã eruant pariter imparium. Longitudo ſerici eſt que a ſiniſtro po.rigitur in dextrũ· uuunct Latitudo vero que ab imo euadit ad ſurſum.
62 9

———“ ———————— ———-——-
————ÿ ————
———
4
E
nu me ni per fe cti bꝛo pꝛi e na e Omnis numerus pfcctus alternatim altero ſcnario/ octonarioq; terminatus cöpent Omnis numerus pfectus ex pariter paribus ab vnitate ſua ſerie collects nalal au
in vnum congeſti/ congꝛegauq;:numeꝝ pꝛimum conſtituũt: in quẽ duatur a gatoꝛum maximus.
u me ri di mi nu ti et abun dan tis pꝛo prie tatcs Omnis n umerus diminutus:a ſola monade aut a numero diminuto numerat Numerus abundans: ſolum abundantem numcrat.—
Mu me ni pꝛi mi ct com po ſi ti pꝛo pꝛi e ta tcg. OQmnis numerus pꝛimus ad omnẽ quem nõ numerat pꝛimus eſt. Omnis numerus compoſitus:a pꝛimo numeratur.
Omnis numerus ↄpoſitus poſt aliquem impariũ naturali ſerie diſpoſitoy tons eſt pꝛobat᷑: quotus numer ille ſpar ab vnitate fuerit aut poſt aliquẽ ſupꝛa iom ipar totoꝛũ:totus. Quotus/ et totus:vt tertius/quĩtus/ ſeptimus ⁊ hoc pacto deicepg
Omnis numerus pꝛimus aliquis impariũ eſt hoc pacto diſpoſuoꝝ qui poſt nuliun
imparẽ aut aliquem ſupꝛa ipſum totoꝛum:totusvencrit quotus aliquis impanum fuerit ab vnitate.
mu me ni ad al te rum pꝛei mi pꝛo pul c ta(cs.
QOmnes numeri adinuicẽ pꝛimi ſinguli in ſe ducti:numeros adinuicẽ pꝛmmos pcxcůt
Omnis numerus minoꝛ qui ad maioꝛẽ eſt pꝛimus a maioꝛe detractus quotus poteſt: et eo qui relinquct᷑ quoties poteſt a minoꝛe detracto:⁊ hoc pacto cõtinue quoties opus eſt:tandẽ que detractionis vicem impediat:relinquit᷑ vmtas.
E qua li ta us et ine qua ta tis pꝛo piie in tes
Equalitas eſt inequulitatis pꝛincipium.
OQmnis incqualitas ex equalitate naſcitur.
Smnis inequalitas in equalitatem reſoluitur.
Mul ti pli cis pꝛo pꝛi e ta tcs. b AMultiplices ceteris inequalitatibus ſunt antiquioꝛes /oꝛigineq; pꝛioeàs. Omnis multipley ex continua numeroꝝ ſeric ad vnitatem relata conſurgit. Muli⸗:
plex/ multiplicis modus atq; ſpecics. Omnis muluplex maioꝛem habet multiplicem. z
Spe cic rum mul upli cis pꝛo pꝛic a tcs. OQmnes dupli ex ſingulis paribus a binario ſumptis ad ſingulos ſerici numeroum
ab vnitate continuc comparatis: naſcuntur. b Omnis triplus: a ternario duobus poſt ſingulũ quẽq; triplum naturalis ſerici nune roꝛum continue dimiſſis pꝛocrcatur. Quadꝛuplus iidem continue tribus poſt ſingulũ quemq; quadꝛuplũ rclicis nun; ris naſcitur. et hoc pacto de quincuplo/ ſeſcuplo ⁊ ceteris. Su per par u u la ris pꝛo pile ia l5. Omnis ſupparucularis: ſupparticularem ſupꝛa ſe relinquit minoꝛem. Minow cum cam eſſe dicimusꝛcuius pars a maioꝛi numero denominat᷑.— Omnis ſupꝑparticularis ex continua ſerie numeroꝛum: continue pꝛoximeſcqelis ad: ſuum pꝛecedentem comparati:ſumit inicium. 1 Spe cie rum ſu per par ti cu la ris pꝛo pii e ia 8 Omnis ſeſqualter ex naturalibus/ cõtinuiſq; tripuio: ad naturales/ cõnnuoſchduhos comparatis enaſcitur. 9 Omnis ſeſquiternus pari pacto ex continuis quadꝛuplis ad continuos tiiylos con paratis elicitur. 3 omnes ſelquiquarti ex continue quincuplis ad continuos quadꝛulos conpanais; ſimili oꝛigine extrahuntur. Et hoc pacto ſeſquiquinu ex ſeſcuplis et quincuplioc ſeſquiſexi ex ſeptuplis et ſeſcuplis ⁊ ita deinceps.

Su per par ti en tis pꝛo pꝛi e ta tes. b a n d 1 Qmnis ſuperpartiens maioꝛẽ ſupꝛa ſe ſ uperpartientẽ relinquit. Maioꝛ ca eſt:que a da. maioꝛe numcro ſuam denominationẽ ſumit.
— 2 Omnes ſuperpartiẽtes ex continue a quinario imparibus ad numeros cõtinua ſerie ternario ſuccedentes comparatis ſurgunt.
„ b I Spe ci e rum ſu per par ti en tis pꝛo pei c ta tes
1nomneh.
umcranr n 1 Contnue ſuperbipartientes naſcentur ſi in vtrunq; terminũ pꝛimi ſuperbipartientis
moxmü binanus ducitur et rurſus in terminos pꝛoducte ſuperbipartientis et ita quoties
eane enlte,„in pꝛoductos terminos ducetur binarius. mga 2 Continue ſuptripartientes ſimili creatione ſurgent ſi in terminos pꝛime ſupertripar-
nentis ternarus ducitur et in pꝛoductos termĩos.⁊ ita deinceps.et ſuperquadꝛi⸗
— partientes ſi in pꝛimos eiuſdem inequalitatis terminos duxeris quaternariu. Et
unensnaaden idem quoq; valuerit ſi aliũ quẽcunq; duxeris numerũ. et ſimili creatione reliquas
ſmuperpartiẽtis ſpecierum foꝛmationes clicias.
kunen Mul ti pli ciü ſu per par ti cu la riũ pꝛo pꝛie ta tes
pausee Multiplices ſuperparticulares continue naſcũtur ex imparibus ſuo oꝛdine a quina⸗
noꝛe derwn rio collectis continue numeris a binario ſuccedentibus cõparatis.
n 2 Dupliſeſqualteri continue crcantur:ſi continuis a binario paribus: numeri a quina⸗
1 rio ſeſe continue quinario tranſſilientes cõparabuntur. hu n 3 Dupl ſeſquitertij itidem oꝛientur:ſi perpetua ſerie a ternario ſurgentibus triplis:nu meri a ſeptenario ſeſe coutinuo ſeptenario excedentes cõpanabuntur.
J. 4 Dupl ſeſquiquarti naſcentur:ſi a quaternario continue quadꝛuplis: numeri a noue⸗ nur. nario ſeſe continue nouenario trãſſilientes coaptabuntur/ cõparabunturq;. vhoc pu e pacto ſeſquiquĩti ex quĩcuplis et vndenariis ⁊ eque in reliquis ꝑfaclis eſt inuẽtio. —— ul ti pli ciü ſu per par tien tiü pꝛo pꝛi c ta tes b Dupli ſuperbipartientes naſcentur: ſi octonarius ternario/ et continue ſe octonario Accm. ranſgredientes continue ſe ternario excedentibus cõparabuntur.
A ce i Dupli ſupertripartientes certa lege naſcentur: ſi ab vndenario et ſe continue eodem
o ſumpnsnug numero excedẽtes quaternario et ſe quoq; indiſcõtinuata ſcrie iugiter quaternarij ſumma tranſſilientibus:continue cõparabuntur.
naur. 3 Et dupli ſuperquadꝛipartiẽtes a decimoquarto et ſe eodem tranſgrediẽtibus et qui⸗
Sul quiqnpnm“. narlo eodẽq; ſe excedẽtibus reperiũtur.Et ita omniũ hac induſtria facillima eſt in
uentio. Et de triplis ſuperbipartientibus/ ſupertripartientibus et quibuſlibet aliis
ingulũ qumqans hac arte facile ſeries colligitur.
Mhoeum u me ni pla ni et ſo li di pꝛo pii e ta tes.
upꝛa ſencinaumua Omnis numerus planus in triangulos eſt reſolubilis.
ſupea u.* Smnes figure planc ſibi pꝛoxime adinuicẽ comparate vt tetragonus trigono et pen⸗ und aat. thagonus tetragono ⁊ hoc pacto conſequẽtes ſeſe triangulo ſuperant. 1 — Qmnis numcrus ſolidus pꝛimoꝛdiũ ſui tenct pyꝛamidem.
a u t. Spe ci e rum nu me ri pla ni pꝛo pei e ta tes.
3ntbex uns Qmnes trigoni ſurgunt ſi diſpoſita naturali numeroꝛum quãtitate:pꝛioꝛibus ſemper es pꝛoxime ſcquens adiiciatur.
is qunoaupls 50: Tetragoni ſunt omnes qui numcris naturaliter et in longum ⁊ in latum duplici ſerie — diſ⸗ poſitte er inſ enhies quolbet in quẽlibet Dpens:angulores reperiunt᷑. angula⸗
4e1o Dntnos res dicuntur qui ſurſum a monade diametralẽ ſeriem ad angulum e regione oppo 4830 c ſitum complent. 52. 8 8 r 2
1 3

——————— —— 3———
— 4 —— 9— 5— ——
E
Qmnes tetragoni ex naturali ſerie oꝛdinatis imparibus in vnam ſummã coaceruat collectiſq; naſcuntur. al; Qmnis tetragonus ex duobus pꝛoximis quibuſq; trigonis exurgit cõpoſitus. Tetragoni:ſumptis quarũcunq; ab vnitate continue ſimilium habitudinũ numens. locis imparibus vno ſemper in medlo intermiſſo ſumuntur. Omnes tetragoni vna medietate iunguntur. Si tetragonus tetragonũ multiplicet:tetragonus pꝛouenit. 3 Si vero tetragonus altcra parte longioꝛẽ:nunqᷓ; pꝛoueniet tetragonus. Pienthagoni ſurgũt ex numeris naturali ſcrie ab vnitate ſequètibus:duoꝝ continuo? poſt penthagonũ facta int miſſionevna cũ pꝛioꝛevel pꝛioꝛib⸗ pẽthagonis collecijs Qmnis penthagonus ex toto tetragono et pꝛoxime minoꝛi trigono cõponuur. x
Hexagoni hoc pacto tribus in medio dimiſſis generãtur. 1 OSmms hexagonus ex trigono et pꝛoxime ſequenti penthagono cõſtituiur. u Heptagoni quattuoꝛ in medio hoc pacto dimiſſis numeris generantur.
Qmnis heptagonus ex hexagono et pꝛoxime inferioꝛi trigono conſttuitur. In qa â
tione huius ſigure duo trigoni pꝛoxime minoꝛes debent eminus conſtitui.
Qctogoni:quinq; gignuntur intermiſſis. 1 mnis ociogonus cx heptagonoꝛ⁊ pꝛoximo ſub ſe trigono ſurgit cõpoſitus.Ethot N
pacto de ennagonis/ decagonis/ endecagonis/ dodecagonis continue vno plura intermittendo ſentiendũ eſt. et ex pꝛoximis minoꝛibus figuris ⁊ trigonis pꝛoxme ſub illis minoꝛibus inſtar alioꝝ conſtituũtur. Quo fitvt omnes figure ex imgonis conſurgere ⁊ in coſdẽ reſolui facillime depꝛchendãtur:quod cum adPythagouci tum ad nõnulloꝝ latonicoꝝ intelligentiã nõnichil pꝛeſidij affert ⁊ momenii
„Al te ra par te lon gi o ris pꝛo pꝛi e ta tes.
Altera parte lõgioꝛes ex diſpoſitis naturaliter paribus adinuicẽ coacerualis penide ac quadꝛati ex imparibus pꝛocreãtur omncs.
Omnis altera parꝛe longioꝛ pꝛocrcabitur ſi naturaliter oꝛdinati pares iin naturaliter: diſpoſitis imparibus ſingulatim ducantur.
QOmnes longilateri/ alteraq; parte longioꝛes circũ ſtant angulares quadꝛatos duobꝰ; naturaluiter numcroꝛũ ſericbus ſcᷣm longum latũq; diſpoſitis et in ſeinuicẽ duclo
Singuli altera parte longioꝛes naturaliter diſpoſiti ſingulis quadꝛatis indem diſpo4 ſitis comparati: omnẽ numcroꝛum partem gignunt/ et pꝛocrcant.
Singuli altera parte longioꝛes naturaliter ſiti ſingulis tetragonis a ſccundo natuns ſ lter oꝛdinatis comparati:ſimiliter omnes reſtituent ſuperparticulares.
Altera parte longioꝛes differẽtiis paribus perinde ac quadꝛati iparibus diügunt. 3
Altera parte longioꝛes cõtinue in pꝛoximoꝛũ quadꝛatoꝛum medio collocan: ciden? pꝛopoꝛtionis habitudinẽ ſeruant. iterũq; a dupla pꝛopoꝛtione in omnẽ ſuperpal⸗
ticularium ſpeciem ſe poꝛrigunt atq; diffundunt.
Qmnis altera parte longioꝛ bis ſumptus cum duobus altrinſecis quadꝛals coacet uatus: quadꝛatum efficit.. 4
PHeum quiq; altera parte longioꝛes cum duplo medij quadꝛati tidem tetragong efficiunt.
Parte altera longioꝛes duplati ſuis duobus altriſecis quadꝛatis aggregatiiqladtos tos reddunt ſed quos aliquis impar numcerct. uog 1
Pꝛoximi altera parte lõgioꝛes cum duplo medij quadꝛati itidẽ quadꝛalosſcd numerus par numerct: efficiunt.
Altera parte longioꝛes naturaliter oꝛdinati:ſinguli ſingulis naturalem ſeriem ſenu⸗ l
ubus quadꝛatis copulati:continua ſeric triãgulares numcros cõſtuuunt.
w 123 Qmnes altcra parte longioꝛes:continuo ex quadꝛatis vno detracto later nalcunt. 5

k b. dne nat,
s auduig Altera parte longioꝛes continue alternatim quadꝛatis interiecti:ad quadꝛatos habi euc r tudiuũ ſimilitudinẽ: non autem differentiarũ ſeruant. Contra vero intercepti qua mcmiſo in duatiad altera parte longioꝛes relati: continue differentiarũ equalitatẽ: non autẽ medr. prꝛopoꝛtionũ retinent/ obſeruantq; ſimilitudinẽ agdngdnn Alternati conſtitutis altera parte longioꝛibus atq; quadꝛatis:a binario differẽtie du REnun aht plantur et adinuicẽ eandẽ que ⁊ totoꝛũ eſt inter ſe: ſeruant habitudinẽ.
Pr ra mi dis pꝛo pꝛi e ta tes
dc— ndſd Omnis pyꝛamis ex aliqua numeroꝝ multangula figura: cui oẽs congenee/ ſimileſq; nis m. figure ſuperponãtur: conſurgit.
neſ Scninr. Cuiuſlibet pyꝛamidis baſis eſt multanguloꝛũ numeroꝝ in pyꝛamidis ſtructurã apta . eeedas toꝛum maximus ihete, . ilas Pyꝛamis trigona ex continue trigonis ad vnitatè vſq; ſupꝛa ſeinuicẽ ercctis gignit᷑. nnc nimandee Et tetragona ex tetragonis et penthagona ex pẽthagonis/ hexagona ex hexagonis —— hoc pacto ſupꝛa ſeinuicẽ᷑ erectis et ita deinceps.
Lu bi pꝛo pꝛi e ta tes
Tdli nentr Cubi pꝛoducentur omnes ſi diſpoſitis naturaliter poſt vnitatẽ imparibus duo pꝛimi — en conmũgantur. poſt quos alij tres. poſt quos quattuoꝛ. et hoc pacto conſequẽter. is mnanie Numeri cubi duabus ciuſdẽ pꝛopoꝛtionis medictatibus iungũtur.
nwüter Qofranz Si cubus cubum multipucet:cubi foꝛma conſicitur.
Kdcpachendi Si cubus altera parte longioꝛẽ numerct: nunqᷓ; naſcetur cubus.
cnni nomchgrit Me di e ta tis à rith me ti ce pꝛo pei c ta tes
0ni pi Medietas arithmetica ſuoꝝ terminoꝛũ ſemper pꝛopoꝛtionũ diſſimilitudinẽ gerit Medietas Arithmctica cõtinue naſcetur ſi naturalis numeroꝝ ſeries indiſcõundtata ralner pinbasamg prꝛotrahatur. Similiter et numeris hoc modo digeſtis ſi ſimili intercapedinc abin⸗
omncd. uicem diſtantes:continue accipiãtur. Quo ſit vt pares:naturaliter leſe cõſcquètes* ml naunaltcea itidem ct impares hanc medictatis noꝛmam iuiolabiliter ſeruent b mtur. 3 Arithmetice medietatis coniuncte medius terminus extremoꝛũ ſimul iunctoꝛum eſt
dres crcüſtatnas medietas. b. l Ik. oegum lutũq dihiit Arithmetice medietatis diſiuncte extremi ſimul iuncti collectis/ coniunctiſq; mediis
adequantur. m.. Eiuſdẽ medietatis vt termini ad ſeipſos: ita differentie ad differentias. b MPedietas Arithmetica cõiuncta:ſub extremitatibus minus continet eo numcro qui ex medietate conſicitur quantũ poſſunt ſub ſe due differentie que inter ipſos ſunt terminos conſtitute. ue penndea aue Diſiuncta vero tanto minus ſub extremitatibus cõtinct co qui cõtinetur ſub mediis: ord qundae quantum eſt quod ſit ex differentia maximi ad vnum medioꝛũ in differentiã medij g adupapupan ciuſdem ad mimmum. b — hHuius medictatis quotcunq; cõtinue diſpoſitoꝝ numcroꝛũ minoꝛes mini maioꝛes. us n duodus itrie pꝛopoꝛtiones:maioꝛesvcro:minoꝛes pꝛopoꝛtionũ habitudines cõtinue ſeruãt. 2 Aruhmctice medietatis determinatoꝝ extremoꝛum medius reperitut numerus:ſi ex un dupoo naiss tremoꝛum coniunctoꝛũ medietas accipitur. b 4 niecuqxui Ge o me tri ce me di e ta tis pꝛo pꝛi e ta tes. des alriſccsor e Geometrice medietatis quoꝛũcunq; terminoꝝ continue diſpoſitoꝛum et maioꝛum ct numcrcl. ri minoꝛũ terminoꝝ equales ſunt pꝛopoꝛtionũ habitudines. lo mcd 2 Geometrica medictas ſuoꝛũ terminoꝝ conuerſam ſcruat pꝛopoꝛtionalitatẽ vt ſemꝑ b imur ſi pꝛimus ad ſ ecundũ quẽadmodũ ſecundus ad tertiũ: ita ccõuerſo tertius ad ſcoz nanr ſingul— vt ſecundus ad pꝛimũ quod ⁊ in diſiũcta medietate ſiliter cuenire cognoſcif.. 44

6
Eadem quocq; medietas quattuoꝛ terminis diſtributa ſemper permutatã pꝛopoꝛtio nalitatem retinet. vt ſi qucẽéadmodum pꝛimus ad ſecundũ: ſic ternus ad quartu r ira vt pꝛimus ad ternum et ſecundus ad auartum. m. Pedietatis geometrice terminoꝛũ et eoꝛüdem dztarum ſimilis eſt pꝛopoꝛiio MPedictatis geometrice que in multiplicibus exiſtit:maioꝛ numerus ad minoas o paratus: ipſum minoꝛẽ ſuam habet differentiã/ aut multiplicẽ minoꝛisyno mn ſ q; maioꝛis ad minoꝛem ſit habitudo. In continua medietate geometrica: quod continetur ſ ub extremis/ equũ eſt a quicx medio in ſe ducto nafcit. Et in diſcõtinua ei q fit ex duab in ſe ductis medictanb⸗ Continue pꝛopoꝛtionalitatũ ſpecies: quadꝛatis ab vnitate ⁊ altera parte lögioabus alternatim vna ſerie diſpoſitis:a pꝛima multipliciũ medietate in omnes ſuperpam cularium habitudines/ pꝛopoꝛtioneſq; diſcurrunt. b BGeometrice medietatis determinatis extremis medius pꝛopoꝛtionalis reperiuu:i numeri ſub extremitatibus contenti tetragonicũ latus accipiatur. 1
Me di e ta tis har mo ni ce pꝛo pꝛi c ta tes
Medietas harmonica in maioꝛibus terminis maioꝛẽ ſeruat pꝛopoꝛtion
Puſice medietatis medius terminus in collectas extremitates ductus: duplum m- 1 mero qui fit ex extremo in extremũ pꝛoducit..
Muſice medietatis determinatis extremis: medius reperitur terminus ſi ver exre⸗ moꝛũ coniunctoꝝ numerũ: numerus qui ex differentia extremoꝛũ in mimmũ con⸗
.
ſurgit diuiditur/ iſq; qui ex diuiſione relinquitur accipiatur atq; minimo exteeno aggreget. diciturtz is nũerus qͥ ex diuiſione relinquit᷑ latitudo /latitudiniſq; latus Contingit ex harmonica medietate:pꝛimoꝛdiu conſonantiarũ conſonãtiaſq; muſicus
omnes elicere. b Re li qua rũ me di e ta tü pꝛo pꝛei c ta tes
Si quarte mediejatis extremi adinuicẽ ſunt habitudinis duple:quod contineurſib maximo et medio duplũ eſt ci qui cotinetur ſub medio ⁊ minimo. Et omnino que habitudo maximi ad mimmũ. ea erit eius quod ſub maximo et medlo continetur ad id quod conuinetur ſub medio ⁊ minimo et ĩd in omni medietate cõmune el
Si quinte medietatis medius ad minimũ ſit duplus: quod cõtinetur ſub maximoiet: minoꝛũ et medio: duplũ erit ad id quod cõtinetur ſub extremis. Etomnnoqͤba
tudo medij ad minimũ: ca erit numeri qui ſit ex maximo in medium et minimũ. an quoq; omnibus publicũ atq; cõmune eſt.
Diuus Seuerinus medietatũ denariã Pythagoꝛe plenitudinẽ impleuit: Jowan. autẽ denario vnitatẽ adiecit.
Denarius medietatũ ꝑoetij. VUndenarius medietatũ Joꝛdanl- Pꝛima 1.2. 3. b Prꝛima 1.2,3. Secunda 1.2. 4. Secunda 1.14 Tertia 3. 4. 6. Tertia 3. 4 6. Quarta 3. 5.6. Quarta 1. 4.6. Quinta 2.4.5. Quinta b 6 9. N. Sexta 1.4.6. Sexta 3.4.6. Septima 6.8.9. Septima 3. 4.7 Octaua 6.7.9. Octaua 4.6 7. Mona 4. 6.7. Hona 3. 5.6.
. Vndecima 6. 8·9.

2 FFoꝛmula pꝛopꝛietatũ ex Boetio reperiendarũ/ atcq; ex Joꝛdano demonſtrandarum.
(Cödi uns Se ue ri nus Bo e ti us ¶⁊ jJoꝛ da us. Mumeroꝛum pꝛopꝛietates. Caput. Liber. Propoſitio. VLiber. Mumerus. b. 1—
1 7) 1 2. 83 7 1 2— 1 Mumerus par.—— 1—.S.. 1 2—, 2 4 5 1 2 4„ 4——— 4 4eE 2 12 5 umerus impar. 1— 1—— 1.— 5——2ꝛ — 2. 45 2 112.— 3 10 7 Numerus pariter par. U 1 5 1 31 7 2 5 1 29—y 3 9 1 32 7 . 4„ 1 54— — 5 9 1 92 5 1. 4 5 9 1 26.4 0 2.7 Mumerus pariter impar.— —e— B 2 2 10 1 1 34 7* 3 10 1—,. 4 1 10 1— 5 10 1 2— 2 1 10 1 3— Mumerus impariter par. 1 b 11 1 1— 7 2 11 1 3 8 7— 3 11 1 40 j 7 Mumerus perfectus ¹ 2902 4 0„ —2 20 1 So Numerus diminutus et abundããs —————,. 4 1 0 0 55„ 7 Numerus pꝛimus et compoſitus 1. 0 6 1 5 — 2 29. 1. 2— 2 5 3 12. 1 1 25 7 — 17 1 25—„ Mumerus ad alterum pꝛimus.—— — 1. 17 1 12² 5 2 18 1 15 3 o⸗

A
8 8 ₰ B 2 „ G — — A —
CJoꝛ da nus.
Us
Pꝛopoñit
— 6
0
i
ietates.
——
——
eroꝛum pꝛopꝛ
inequalitas.
qualitas/
Mum E b Wultiplex.
licis.
ſaris-
——
Species multip
Superparticu
ſuperparticularis.
—
Superpartiens.
Species
ſuperpartientis.
Species
DBultiplex ſuperꝑarticularis.
Wultiplices ſuppartientes.
Rumerus planus.
Mumerus ſolidus.
Species numeri plant.

ſſ
——————
„ 2 b *. 4 *½ Aℳ —— b b 1 V V S=eXE= Cee=e JA-=Je=eX,eee-eee 2Gꝙ- ſe 422 5 2 2 ³⁴ △ 3 8 4[B 2.* b 00. 004-2 4]. 90 00 90+† o df 4. 4 6, O„ 4 56S== SSSSSSSA 4 1„„ 4 2 2 2 8 8*½ 8 b— R SK 6. 5* AE ——————,————,—————————,———,—————————————,———————————— 8 21 b V *So 22R-AAAAe AaA AA AAAA 22ASASAAae 2 R V 2—. 4.———UõW—6-ͤ——⸗.-⸗—--—---.. A————————— I .. e O A SSSSSSSSSSSSSeseeeeeeeeee S——--—————-—————-—r-—----d-.—.—,——,—.,———Võ— *κ. 3 5 — 8 4 8 E 3 ε εμνννννι —— 8 8 b 5 8 8 1 41 1 —————— 1— 1————— 2— 7 Viſ f ſſ. 755 g 9 W Ae b b 121 . f üsSgoeeeeeeeeee eeeeee

ſſ 1ͤͤſ e äͤͤ 6
ä
V
E
CDi uns Se ue ni nus Bo e ti us(¶ Joꝛ da nus.
numeroꝛum pꝛopꝛletates.[Caput.[Eiber. Paopolltio. Wie.
Wedletas geometrica.—* e.
. 1 1 43 1—
2 44——
8„ 1 44 1 3—
4 1[444 3——
5 1 44 1ä.“
6[44 2 18
7 1 44. 1 0. eF
— 3—— f
WMedietas muſica. E L——
I.— 44 54
2 47 2 27 o
—— 5 4———
4† ex muſica 48 l 2 2———
Auarta medietas.— ————2——
Ruinta medletas.,
——r 51 2
—— 4
1
pitomes libꝛoꝛum vrithmeticoꝛum Boetij ſinis.
b ¶ Jacobus Stapulenſis Bernardo Vencario doctoꝛi medico numeroꝛum amatoꝛi.
Onſideraſti mi Bernarde: oẽs diſciplĩas ad quas generoſo ſpiniuſt annitendum difficiles eſſe ſiquidem virtus oiĩs circa diſicile verſenn. verũ hãc difficltatem nullos vnq;ᷓ abſterrere: pꝛeter eos ſolos quide re litteraria male meriti quod capere diffidant cetcris diſſuadent: au ꝙ ipᷣis inuideant velut felicioꝛibus/ aut potius ꝙ cos ipos neſctepa⸗
—
dibũdum ſit. Ut ſcis qᷓpꝛocul pꝛeſertim ab hoc pᷣclariſumoppathllt
ſtudio liuoꝛ oĩs abſit/ qᷓ ignoꝛãtia pellat᷑/ qᷓq; pꝛobent Clitomachũ Cartagmenſem qui quadrageſimũ annum natus:pꝛimũ ſtudia litterarũ petijt.in quibus ade pfect vt Carneadi ſederit ſucceſſoꝛ.quominus dubitãdum eſt hũc locum:tutam cẽollapl⸗ narum ſtationem/ ſecurũq; poꝛtum: et vndecunq; aduencrint benigno cxahl(auoꝛe peramicoq; hoſpitio. Quapꝛopteꝛ cum Arithmetice? Muſice ſupioꝛibus dichusm
ſtudentiũ fauoꝛem: huic loco tanq́ aſyllo cõmitterẽtur voluiſn Rithmumachiã ſirnul
foꝛmari: ludum quidem numcroꝛũ non illiberalem/ ſed quem deceal ſtudioſos ado⸗ leſcentes cognoſcere ne nimiũ tetrice videãtur aduentaſſe diſcipline ⁊ quo inichoum ſtudio defelii pꝛimi earum Tyꝛones ſolent᷑ animum et cum vnii ocio tum onclon res cuſtodiãt incolumes. tale pꝛofecto conſilium medicum decuit. Et ſi quibanc lud honeſtatem amabunt:gaudebunt tua opera poſt lerias diſciplinas hic elleinſa u Introducunt᷑ Alcmeon mathematicus Pythagoꝛe diſcipulus:⁊ Sꝛötinus? Palhl- Aus eius tempoꝛis adoleſcentes. Tlalc.

8⁸
Bathillus/ Ulcmeon/ Bꝛontinus. Alchmeon ꝗᷓ tempeſtiuus ades. Alc. quid hoc o adoleſcẽtes. Bat. qm̃i non nichil abs te ego ⁊ Bꝛõtinꝰperdiſcere cupimus. Alc. quid nam id o Bathille. Bat. Pꝛiuſũᷓ in ſecentoꝛum numero Pythagoꝛam cõgrediamur:cupimus in . rudibus aliqᷓ;tulũ foꝛmari.Et cũ iam e nocturno cõgreſſu redeunt Pythagoꝛe 0 diſcipuli ſciſcitamur leuioꝛa quedã que ſilenda non tradiderit. Atq; noſipſi iam Abacum atq; menſulam perdidicimus. nũc aũt ludum quendã querimus inter vos confictũ:plerũq; veſtras curas poſt ſeria ſtudia leuantem ⁊ quemvos ipᷣi in numeris vt et pleraq; alia exercere ſoleris. Alc. Bithmimachiam o Bathille foꝛſitan ĩtelligis. Bat. Eam ipſam Alcmeon. Alc. Dic age igitur Bathille
— nũc a me petitus. Auid maxima harmonia:et quid harmonia minoꝛa Bat. Maxima harmonia eſt cũ quattuoꝛ numeroꝝ in geometrica medietate cõſtitutoꝛũ:extremi ad vnũ medioꝛũ Brithmeticam/
——₰— a28 alterũ vo Muſicam ſeruãt medietatẽ. Et harmonia minoꝛ ſolum in qᷓttuoꝛ terminis duas ſeruat ———; medietates. Et quid medietas Urithmetica/ quid Beometrica/ et quid Muſica vocet᷑: dudum perqſi⸗ uimus atqh ſatis qͤd ſint nos ipᷣi nobis tenere ꝑſuademus. Alc. Recte multa tenes o Bathille. attñ 4 4— paulo latius hoc in loco noĩe vtũtur maxime harmonie:vt eaipᷣa dicat᷑ quoties in quattuoꝛ terminis ——* minoꝛibus quidẽ maioꝛes gradatim ſ equẽtib us:he tres reꝑiũtur ꝓpoꝛtionũ medietates · mox diſpo
— nunt p̃mo duobus oꝛdinibus multiplices ex quattuoꝛ pꝛimis paribus oꝛtos atq; ab ipis denoĩatos: — duplos/ quadruplos/ ſeſcuplos/ octuplos in leui/ planaq; area q̃ ſit ſexaginta qᷓttuoꝛ quadris ſpacs — dirempta alternis ſe interſecãtibus lineis.poſt quos itidem duobus oꝛdinibus cõſimiles ſuꝑparticu ſeſquiquartos/ ſeſquiſextos/ atq; ſeſquioctauos. dehinc cõſimilit᷑ ſuꝑpar⸗
—lares locant:ſeſqualteros/ ic.— 0— tientes illis quidẽ affines/ atq; cõgeneos: ſupbipartiètes/ ſupquadripartiẽtes/ ſuperſextupartiètes
guor numeroꝛũ ſimplices inequalitates. Bat. Tres: multiplex/ ſuꝑparticularis/ ⁊ ſuperpartiens. lc. Maioꝛis ſcʒ habitudinis ad minoꝛem.et in his tribus gñibꝰ oino cõſiſtit ludus a te ⁊ Brõtino
i ato ſupoctupartiẽtes. et ſpacia illa campos vocant et oꝛdinatos in ipſis numeros parium aciem. Et ————
eregione in totidem campis/ ſimiliq; pꝛoceſſu multiplices oꝛdinant a quattuoꝛ p̃mis imparibus du
1..(creos atcq; ab eiſdem denoĩatos:triplos/ quincuplos/ ſeptuplos /nõcuplos.poſt quos conſiłes ſuppar⸗ —, iiculares. poſt ſuperparticulares cõſimilis affinitatis ſuꝑpartiẽtes/ ſtructeq; erũt e regione duobus Ardmencatan Pah oꝛdinibus hic imparium illic vero parium acies hoc pacto Acies Parium in Kithmimachia. L Duces ſuperpartientium· 1 251 81 11691289 CLalculi quadrã⸗ Comites fuꝑpartientium. ſ 1S 4 N5115312— ſſ tales.— Duces ſuꝑparticularium. 9 1251 491 811 Triquetri. Comites ſuꝑparticulariũ-ää 61 20 1· 421 72 Triquetri. Duces multiplicium./ 4 I15 35S4. Botundi.— cnls Panade de omites multiplicium. 1 2 41 5 3.. Beotundi.— cocum unloal. 4 1 Pꝛimi campi pꝛime aree. 1 Iö rde: oos diſapis oa Pꝛimi campi ſecunde aree 8 cſc ſqudcn vs cuc aullos vuchehlent Comites multiplicium.[[QL SL9[. Calculi rotundi. quod capatdtdula Duces multipliciu. P[2L 2†2 811 1I Botundi. ſchaondus atpenuss9 Comites ſuꝑparticulariũ. 12 3z30 5761· 90 Triquetri. gꝛocul pꝛcſcun ddui Duces ſuperparticulariũ · 16 361541100 Triquetri.— ac podat Uun Comites ſuppartientium- l 28166[120119[lQuadrätales. [49 I121[2251361 1 AQuadrätales.
uncrürall Suces ſuperpartientium. 92 I121 1225 22— 94 cidicuc— Acies Imparium in Rithmimachia⸗ paccne Bat. Satis hanc numeroꝛum aſſituationem appᷣhendo. Alc. Abiq; conſilium ꝛeſpõſus vt campi ſibi inuicem ſubiecti duplos /ſeſqualteros/ mox ſuperbipartiẽtes tenent:et iteru ſibi mutuo ſ ubiecti
rui quadruplos hinc ſeſquiquartos/ atq; ſuꝑquadripartiẽtes. Et hoc pacto de reliquis · Dtiñ aſſignati lo comincrcu numeri deſignatos ſibi vendicant calculos eiſdẽ numeris inſ criptos: multiplices quidẽ rotũdos ſuꝑ ſc N particulares trigonos/ ſuꝑpartiẽtes tetragonos:excepto decimi noni loci parium numero qui tetra⸗
n iubcruc iict gona Pframis eſtſex ᷣmis tetragonis oꝛta: ⁊ hinc ſex baſium/ ſexq; facierũ Ppramis dicitur.Huic nocitur pugtic u ergo numero mete Pyramidiſq; foꝛnia debita eſt:que pꝛimos ſex quadratos mĩoꝛibus quidẽ maio⸗ mumun an ridus ſuꝑpoſiti: habeat inſcriptos. et hec ꝑfecta Pyramis nũcupatur ꝙæ citra vnitatem eius Pyra⸗ Aent uu ncusu midis mucro atq; vertex non deſiciat.Coſimili quoq; modo viceſimi loci imparium nũͦero imperfecte conſilun dri Pyramidis tetragonice foꝛma debita eſt cui Pyramidi tres pᷣmi tetragoni ad complementu deſint atq; iccirco tricurta dicitur et quia ex quinq; ſequentibus tetragonis ſurgit: iccirco quinq; baſium⸗
1 poſtſcus 1 opcrapoſ viq facierũq; eadem Pyramis nũcupatur.et illi quinq; tetragoni ſuis lateribus ſuo modo inſcribũtur.⸗
„Priasore M.

2. 2* 4 — 4 ——B—B—————
—— ———
———
—-——:nä ———— 1 n—— 8————
—
6
R
Pront. quid eſt Alcmeon ꝙ calculos in officinis extoꝛnãtium multicoloꝛes ſepenũero egoipſe alpe⸗
xerim. Blc. neq; abſurde queris Pꝛontine. hoc ad acierũ diſcrimen exiſtimãt:ſed duo coloꝛcs michi t
fatis eſſe videntur vt acies pariũ ſit nigricans& pares ad mundũ pertineant ſenſibilè. acies
impariũ niuea ſtt et candicas:; impares maſculi ſint et indiuidue lemperq; eiuſ deſupſtannieennn mant ſimilitudinẽ. Pyꝛamides tame ob excellentiã cum ſue nature tum diuinitatis quadꝛatoꝛi iuh ſtantie ex quoꝛũ coaceruatione ſurgunt co aleſcuni q; nobili auoda par eſt inſignire coloꝛe. vt perfecta pyꝛamida rubꝛo et tricurtã ceruleo. Bat. Perfectio:e coloꝛem pyꝛamidi parium tribuis ́ ei que
pꝛeſidet aciei impariũ. Alc. Mec iniuriao Bathille nam et eadẽ impar elt et in eius mucrone acſer
tice ſummo reſidet diuinitas. et latus ſue baſis infime: pꝛimus eſt a monade perfectus numerus et
ſuarũ baſium numerus eiuſdẽ ſue baſis latus eſt/ numeruiĩq; perfectus, et illa eadè ſua baſis pꝛimus
eſt fenſibiliũ/rerũq; mobiliũ circulus: ver ũtamẽ in oꝛdine circuloꝝ tertius. pꝛimus enĩ ſimpliciſim
eſt atq; pleniſſimus cuius centrum vbic; eſt et circunferentia nui qᷓ. ſecundus eſt eternitans hoꝛzzen
atq; ſupꝛa tempus.tertius eſt hoꝛi zon eui at cñ tempoꝛe indeteſſa atigine reuolutus. pumus eſtni ger Ses ſ munus mucro/ſ ũmuſq;vertex. ſecũdus ſecũda baſis.tertius pꝛima/ innmaq; balns, Lne Paradigmata ingis Alcmeon: ludum querimus non ſymbola. Blc. Becte amenes Pathilie.ſeg ego memetipᷣm negligebã:et a ſuſcepto officio deerrabam longius. coloꝛes ergoveſtri arbitriſſunto. nam cũ et alis vſi fueritis nichil retert. veriᷣ qued ſupereſt his paucis depꝛchedet regulis:et quoin re parua modicus vobis ſatis ſit lermo resularum Pꝛima iit hec. 1 8
¶ Calculi vndecũq; in vacuos dimouestur canpos: rotondi in ſeðm. trigoni in tertium.tetragonic ſua pyramide in auartum. HBat. Zimoueri in ſcvm inteliigis foꝛte in ꝓximũ campum. Alc. Its volunt. eſt enim ſecundus a ſe ſed poſtie pꝛimus.
¶ Scð̃a.Calculus oĩs quõcũq; recto inceſſu calculum tollere poteſt: ſʒ angulari atq; obliquo nunj.: ¶ Tertia. Rumerus numerum partis aduerſe et quãritatis eiuſdeʒ ſuo recto curſu offendes:cuden; tollit..„
¶ Quarta.Si duo numeri eiuſdẽ partis:numero partis aduerſe quẽ iuncti cõſtituũt:circũponãtut: clauſum aufcrũt.hinc fitvt ternarius ⁊ quinarius clauſum octonariũ partis aduerſetollanuer qua⸗
2
ternarius ⁊ octonarius duodenarium. et hoc pacto de ſimilibis. Quinta. Si inter duos aduerſe partis numeres vacui interiacẽtes campi per minoꝛem numerum multiplicati maioꝛem efficiant:numerus tollit᷑ maioꝛ.hinc euenit vt binarius duodenariũ tex inter. iacentibus campis aufeat et ſextumdenarium octo. et ternarius ſenartũ interiacetibus duobus/ et nouenarium tribus:et quintumdenarium quinq;.. TPSeraalene numerus:cui vt recto calte dimoueatur oĩs adempta eſt poteſtas:tollitur. 6 Deptima. Si maxima pyramidis baſis offendit pyram: dem:cam tollit. ſi offenditur:tollitur. ¶ Octaua.Si numerus per interceptos cãpos muitiplicatus baſim pyramidis maximam reſtimat eandem tollit. ¶ Mona. Si alie baſes pyramidem offendant cõ ſimilis in campis(ſi adeſt) auferak et idemeueniat⸗ ii numerus per inteyualla multiplicatus aliquam ulanbaſiuin efficiat.ſi offendãtur:eeden ioliitu. ¶ Decima. Aictoꝛia parta eſt ſi in aduerſis caſtris maxima conſtituit᷑ harmonia. utidem ſedinicnot n ignobilioꝛq;:ſi conſtituitur harmonia minor.* 79 ¶ Andecima.Calculi acquiſiti ad complend am harmoniam aduerſe parti auxiliares accipiũtut. i ¶ Nuodecima.Cũ maxima harmonia parat᷑ calculus ad complendam hormoniam acquilitus aſuo u
loco non dimouetur. Warime dc bſA— Aictoꝛte 2[4 61 2.4:6 Wedietas arith. 1.3.4:6 Beo. 136 4 Pꝛo acicſ 4 S8 12 48.12 Wedietas arith. 4. 5.8.12 Eco. 46112 hAn
—
3
Parium 62l 12 6.9.12 Medietas ariih. 6:8.9.17 Seo. 6.Sat ha. [s 9l12. 6.9.12 Wedietas arith. 4.6.9 Peo. †. her. 4 zs 721 29.16 Wedietas arith. 2.55.16.72 Seo. 17i ha. erme 3l 5 13 15 511 545 Dcdictas ariih. 3.5151 Se.- Zaalie: Pꝛo acie S2I 4581 9.4§ 8 1 Wedietas arith. 5.5.45,8 1 Seo. SS4 har Impariü! 1l 25 145 l225 525.4 5Wedletas arirh.3.2 54 d225 Seoaſctſardnen, —
Pꝛime maxime victoꝛie Secunde maxime victoꝛie Tertie maxime ʒyictotie conſonantie muſice econſonantie muſice conſonantie mulice
A b diapente A b diapente Ab diateſſaron chi Pc diatellaron Bc diateſſaron PBc tonus colonantian princl Ac diapalon A cdiapaſon Icdiapente
A d diapaſon ac diapente A d diapaſon ac diapente A d diapaſon dispir P ad dꝛiam cd bis diapaſon ad dꝛiam cdbis diapaſon A ad ditsza cdiapaſò
& ad dꝛiam c d bis diah 0n

to partis nucfeina eem— dotebmdbbes. —
nner.DüK aa v. ci krnusſanit meucatur eis nauca
pfr.m.tcam plc nanpiatas dun gnn
29 nanmacwatmſſa
H 1d emple
das diupentt ze aotapabs? nus
¶ Et campis hoc modo di bater nondum admi
“““* s—
. X 8
C Pinoꝛes vlctoꝛlas ꝑpaucas poſui:vt vos venatoꝛibus ſimiles relinquã:qui magis fere inuẽtiont
F& oblata ſine venatione gaudere ſolent. Ex tribus tamen Pathille pꝛeceptis minoꝛum victoꝛiarum
cognitio pendet.
¶ Pꝛimum. Datos duos campoꝛũ numeros iunge: iũctoꝛũ dimidium eſt inter eos in Urithmetica medietate medius numerus.
¶ Secundum.Patis itidem duobus nũeris:due pꝛimũ in ſcmtet ꝓducti accipe latus tetragonicũ. et illud eſt eoꝛum rationis geometrice medius numerus.. ¶ Tertium. Datos duos numeros aggrega:et qui aggregatus eſt ſerua. duc pꝛimũ in ſcuᷣm/ etpdu ctum dupla/ et duplatũ diuide per ſeruatum aggregatũ:et qui ꝓuenit eſt illoꝝ numeroꝛũ harmonice oPpoꝛtiõalitatis medius.Et ſi hoc pacto quẽadmodũ hec tria docẽt pꝛecepta integros numeros non reꝑias:numeri dati nullos habebũt in illa rõne/ ꝓpoꝛtiõalitateq; medios.et nõ modo minoꝛesvicto⸗ nas:ſeu ſint ex Brithmetica et Seometrica/ ſeu ex Urithmetica et Marmonica/ ſeu ex Heometrica et
Harmonica reperias:ſed et ſi volueris maximas.Aerũ ſolent o Bathille aliter cãpos/ acierũ duces/
comiteſq;oꝛdinare.vt area ſit campoꝛſũ ſexagintaquattuoꝛ.aut limite campoꝛum medio aciemvtranq; dirimẽèteſuperadiecto duoꝛum atq; ſeptuaginta.
8061 Siuuun szanuraat,„
Pyramidis fumms. 1 95
———
odo digeſtis rudes adhuc et quos ad myſteria ipſe cetus ſiletium candidiſſimus ttit ex ſuꝑioꝛibus pꝛeceptis inter ſe concertant. mox vo puerilibus actis/ iociſq;
— L.——
reiectis ad ſilentia hymnoſq; aſſuefacti:pꝛeſentia pꝛeceptoꝛis tanꝗᷓ; numinis cuiuſdã fruũtur/ ſolan

—
3 8 3 1 de„ 4
—
———————.-————* 4
4—— .— 4—— — 2 88 8 — 1 qͤͤ “ 2* ——. . 5 2 22 68 4*—**— ſ
8 8— 2— ““ 1“
———y 5
4 2 E————x——— mer————— 9 4 8 4*——— ———nͤͤöö 2————.—. ——————————————.— — 4—„————
—õ——————
—
. — N—
,— ——
—
5—— ———————— —— 4———— —————— ———*. 4 e.—— 8*———
—
———y
——————— ———
—
ernee e
—
——— — 2 ———— . S Ks—
—
„ 8
„.
tur/ et vitam ſine crimine tranſigunt innocuam labeq; carentem. hoc illis ſtudium hoc ſolamen het vigilantiſſima cura: ee. e e en e. e... n..
At ſeſe totos rimentur ad vnguem
Me quid hiet/ ne quis perturbet ſe angulus equis
Partibus vt coeat/nil vt declinet amuſſis.
Nec pꝛius in dulcem declinant lumina ſomnum:
GOmnia oᷓᷣ longi reputarint acta diei.
Quo pꝛetergreſſi/ Aid Leſdumn in tempore aald non. 19
Offenſi pꝛauis:dant palmam et pꝛemi.„* 1912“, 15. 12
¶ To eb candioi diſcipulos decet eſſe Pythagoꝛe. Ergo meum confllium eſto Bathille? Bꝛontine generoſi adoleſcentes: vt tantiſper ludo indulgeatis dur 2 s tioꝛ⸗ de finit/ dum tardat aditum. mox aũt bluſculo robuſtioꝛes animo facti:noſtrum ſilẽtium quertte etvos noſtrs cetui comites aſciſcite:vitam ſemper que frugi ſit querentes innocuam.⁊ me potius magilt (aut ſi mauultisvobiſcũ condiſi cẽte)doctrinam moꝛeſq; ꝙ iocos diſcite. vos aũt dũ etas teneriuſcula patitur:a iunioꝛibus que petiti ludi ſuꝑſ untvel qᷓfacillime diſcetis/ nũcq; ambo recte valete. Pat.
Mos qᷓ valemus/ ᷓq; poſſumus o Alcmeon ego 1 Pꝛõtinus:bonas ꝓ tue humanitatis officio habe. mus nunc/ habebimuſq; ſemꝑ gratias.⁊ cognoſcimus te pꝛeter dignitatem hec minutula percötatos eſſe. qð vero ſupereſt nobis facile vedicabimus.:atq; tu interim dũ te ad ſeria magis erga nos vytenur pꝛeceptoꝛis opera:noſtri ſemper memoꝛ feliciſſimus valeto. 8
Kithmimachie Finis. Hae duas Quadriuij partes et artium liberalium pꝛecipuas atq duces cum qulbuſdam aniun
cularijs adiectis:curarunt vna foꝛmulis em endatiſſ ime mandari ad ſtudioꝛum vtilitatem Joannes ius ſuis grauiſſimis laboꝛibus ⁊ impenſis Parhud Inno lalutie
igmsnusſet Solgangus Hopil
2
—&
R
lgeatis dum tenerioꝛ etasvos ad altioꝛa conſcederenon
domini:qui oĩa in numero atq; harmonia foꝛmauit 1426 abſolutũq; reddiderunt eodem annoꝛdie viceſima ſecunda Jullij ſuos laboꝛes vbicunq; valebunt ſemper ſtudioſts deuouentes. Et idem quoq facit Dauid Lauxius Bꝛytannus Edinburgenſis:vbiq; ex archetypo diligens operis recognitoꝛ.
3 3 6 ARegiſtrum pꝛeſentis operis.
b6 edefg h Smnes quaterni.
8 Pꝛimum: In hoc oerr.. Secundum: Joꝛdani Hemoꝛaaiſ. Tertium: Sint a bcdef⸗
Quartumꝛc inſe—
Pꝛimum: ¶ Si duo numeri.
Secundum:ſimãquintam.
Tertium:nũerans qui et idem.
Quartum: ¶ Numeroꝛuum cõtinue.· c
Pꝛimum: C Ham ſi.. Secundum: ¶ Quavratus cubicus. Tertium: ¶ Si fuerint duo numeri. Quartum: ¶ Si quotlibetrt.
Pꝛimum:qᷓ pꝛecedens. Secundum: ¶ Si ſumãtur. Tertium: parte longioo. Quartum:ſequeus tetragonum.
7
.
. 8„
. F MPuimum:numeratas.. 1 Secundum: ¶ Datam pꝛopoꝛtionem. Taerxrtium: ¶ Wultiplicem.
Quartum: dunk exirine. 8
Pꝛimum. ¶ Jacobi. Secundum: ¶ Jacob. Tertium: ¶ Si terminoꝝ. Quartum: A ſupparti.
g Pꝛimum:interuallo e d Secundum: ꝓpoꝛtiones eſſe. Tertium: ¶ Itidem ditonus. AQuartum: ¶ Differentis.
Pꝛimum:f adg.
Secundum:ad q fiatp.
Tertium:¶ Sint ꝓ reliquls. Quartum: ¶ Sint numeri.
1. Pꝛimum: Mumerus multiplex. Secundum: Numeri paris. Tertium:Suꝑpartiẽtis. Quartum: Ultera parte.
4
» 5 4 1= 4