5 6 “ —
5 * 1 6 2 8 “ 6 4 8 3 4 8 6 3 5 8
8 3
8 8 5
3 ſ * 5 8

— ⸗⸗A———V:ʒ:;ʒ:——
“
Aus der Buͤcherei von Eugen Retto
(1846— 1919)
—

*
— A — — — —
*
E
7
ARITHMETIQU
2

—,—

ERCHES RITHMETIOUEsS,
*
Par M. Cu. Fr. GCALSS(de Beunswick);
Traduites par A.-C.-M. POULLET-DELISLE;/.
Professeur de Mathématiques au Lycée d'Orléans. ————(— 514 M. b 1sTIrUT JusTUs-LIEBIG-UNIVERSITAIIT . GIESSEN A PARIsS, Chez CoURCIER, Imprimeur-Libraire pour les Mathématiques, quai des Augustins, no 57.
1807.

2 1 * 2

J E n'ai eu d'autre but, en traduisant cet Ouvrage, que de contribuer à répandre les excellentes Recherches de M. GAuss, sur la Théorie des nombres. Je m'abstiendrai d'en faire ici Péloge; déjà sa place a été assignée par le jugement des plus illustres Géomètres, et il y aurait de la présomption de ma part à joindre ma voix à la leur.
Je ne me suis permis aucune altération du texte, parceque jai voulu donner au Public Pouvrage de M. GAUss, et non me Papproprier. C'est par cette raison, et d'après des conseils que paurais dü respecter, quand mème ils auraient été contraires à mon opinion, que j'ai conservé rigoureusement les dénominations et la notation, qui peuvent étonner au premier abord. Mon intention était méême de ne mettre aucune note; le très-petit nombre de celles que Pon rencontrera signées du traducteur, fait voir avec quelle réserve j'ai cru devoir user de cette faculté; leur nature indique assez le motif qui m'a déterminé, et le lecteur jugera si c'est avec raison-
Il m'aurait été possihle de remplacer quelques-unes des démonstrations que rauteur a supprimées, dans l'intention d'abréger; mais par-là je serais tombé dans Pinconvénient qu'il a voula éviter. Enfin, conduit naturellement par mon travail mème, à quelques considérations nouvelles, avais été tenté de les placeér à la fin des Recherches arithmétiques; mais jai préféré attendre que le temps et 2

5
la méditation me missent dans le cas de les présenter aux
Géomètres d'une manière plus complète et plus digne de leurs regards. b
Je prie le lecteur de corriger d'avance, d'après l'Errala, les fautes dimpression qui m'ont pu manquer de se glisser dans un ouvrage de ce genre.
———nO—————
₰

A MoNSIEUR LAPLAC,
aux
de Chancelier du Sénat-Conservateur; Grand-Officier de la Légion d'Honneur; Membre de l'Institut et
„ du Bureau des Longitudes; des Sociétés Royales
. de Londres et de Gottingue; des Académies des
Sciences de Danemarck, de Suède, d'Espagne, d'Italie, etc.
. MoNSIEUR,
Lz mérite de l'Ouvrage dont j'ai l'honneur de vous b offrir la traduction, et l'intérét que vous avez daigné accorder à mon entreprise, sont les seuls titres qui la rendent digne de vous être présentée; mais quoique
je sente combien cet intérét doit influer sur l'accuei]

——
que mon travail pourra recevoir, ce n'est pas pour m'appuyer de votre illustre nom que j'ai desiré vous
en faire hommage. Cet hommage était dü à l'homme de génie qui, pénétré d'un noble amour pour la science, non content d'en reculer chaque jour les
limites, accueille tous les travaux utiles, encourage les talens, applaudit à leurs efforts et n'aspire qu'à répandre le feu qui l'anime. C'est à celui qui aime la science pour elle-même, que doivent s'adresser ceux qui les cultivent; et si l'on recherche avec orgueil à mériter son approbation, on s'estime heureux d'étre
en quelque sorte, auprès de lui, l'interprete de la
reconnaissance et de l'admiration publique. Tel est, MoxsiEnn, le double motif qui m'a fait ambitionner l'honneur que je recois aujourd'hui; mais je sens aussi
toute l'étendue des engagemens qui en résultent pour
moi: en consacrant ma vie entiere à cette science sublime, mon seul desir est de prouver un jour que
4
je n'étais pas tout-A-fait indigne d'une aussi grande
faveur. Je suis avec le plus profond respect,
MONSIEUR,
Notre très-humble et très-obéissant serviteur,
POUIILET-DELISLE.
EPITRE

6 Vous
domme bour la Dur les
ourage re qu'à i aime er Ceux gueil à d'etre de la el est, ionner s aussi at pour science
ur que grande
*
fPITRE DEDICATOIRE DE L'AUTEUER.
A 80N ALTESSE SERENISSTME, MON SEIGN EUR CHARLES- GUILLAUME-FERDIN AD. Dpo DE PRDN SWICKR EI DE LUN BOURG.
PRINCE SERENISSIME,
LoRsocE la reconnaissance m'impose le devoir sacré de vous offrir cet Ouvrage, vous mettez le comble à ma félicité, en me permettant de placer à la tête votre nom illustre
et respectable. En effet, PRINCE SERENISSIME, eussé· je pu
me dévouer tout entier aux sciences mathématiques, vers lesquelles une ardeur irrésistible'a toujours emporté, si votre faveur ne m'en eũt ouvert Pentrée, si vos bienfaits continuels m'eussent incessamment soutenu mes travaux. Par vos seules bontés, libre des soins Etrangers, et mattre de consacrer mon temps à Pétude, j'ai pu entreprendre les recherches dont cet Ouvrage renferme une partie, et m y livrer pendant plusieurs années. Lorsque jai desiré de le mettre au jour, votre munificence a écarté tous les obstacles qui en retardaient la publication. Il mest plus facile de conserver au fond de mon ccœur et d'admirer en silence, 5

que de célébrer dignement cet interét si grand et si I genereux que vous avez bien voulu accorder à mes efforts: non-seu- lement je me sens au-dessous d'uune telle entreprise, mais je pense que personne n ignore quelle est étendue de votre libéralité à Pégard de ceux qui semblent portés vers Pétude des sciences, et que votre protection est également accordée à celles qui paraissent les plus abstraites et d'une application moins directe aux usages ordinaires de la vie, parceque dans la profondeur de votre sagesse, habile à profiter de tout ce qui tend au bonheur et à la prospérité de la société, vous avez senti la liaison intime et nécessaire qui unit entre elles toutes les sciences.
Si cet Ouvrage, PRINCE SfRENISSIME, témoignage de ma reconnaissance pour vous, et des travaux que j'ai consa- crés à la plus noble des sciences, ne vous semble pas indigne de la faveur dont vous m'avez si long-temps environné, je me féliciterai de n'avoir pas perdu ma peine et d'avoir mé- rité cet honneur, celui de tous qu'ambitionnait le plus,
PRINCGCE SERENISSIME,
De votre Altesse, le très-dévoué serviteur,
CH. †. GAUSS.
Prunswick. juillet 1801

néreux lon-seu- e, mais le votre Pétude ccordée lication ue dans tout ce , Vous re elles
ge de
consa-
ndigne mé, je dir mé- Aus,
8sse, le
USS.
PREFACE DE LAUTEUR
E 1ns
Las Recherches contenues dans cet Ouvrage appartiennent
à cette partie des Mathématiques où lon considère particu- lièrement les nombres entiers, quelquefois les fractions, mais où Pon exclut toujours les nombres irrationnels. LAna- lyse indeterminée, ou de Diophante, qui apprend à distin- guer, parmi les solutions d'un problème indéterminé, celles qui sont entières, ou du moins rationnelles et le plus souvent positives, ne constitue pas cette doctrine, mais elle en est une partie très-distincte; elle a avec elle à-peu-près le mèême rapport que PAlgèbre, c'est-à-dire, Part de réduire ou de résoudre les équations, avee PAnalyse universelle. En effet, de même que Pon rapporte à PAnalyse toutes les recherches
que Pon peut faire sur les affections générales des quantités,
la considération des nombres entiers et des fractions, quand ces dernières sexpriment aun moyen de nombres entiers,
constituent proprement Pobjet de FLArithmétique; mais on
ne donne ordinairement sous ce nom que Tart de former les nombres et de les calculer, c'est-à-dire, TYart de repré- senter les nombres par des signes convenables(par exemple, suivant le système décimal), et d'exécuter les opérations arithmétiques, en y ajoutant quelques points, dont les uns n'appartiennent pas à'Arithmétique, comme la théorie des logarithmes et les autres ne sont pas particuliers aux nombres entiers, et ont lieu pour toutes les quantités. On voit par là que Pon doit distinguer deux parties dans l'Arith- métique, et que les considérations dont nous venons de parler se rapportent à PArithmétique élémentaire, tandis

i PpREFacE.
que les recherches générales sur les affections particulières aux nombres entiers sont revendiquées par TArühemétiquds transcendanté.
Ce qu' Euclide a présenté dans le Lione VII de ses Elé- mens, avec l'élégance et la rigueur ordinaires aux anciens, appartient A TArithmétique transcendante, mais se borne aux premiers élémens. Le célèbre Ouvrage de Diophante, qui est consacré tout entier aux problèmes indéterminés, contient un grand nombre de questions qui, par leur diffi- culté et la subtilité des artifices, donnent une grande idée du génie et de la pénétration de Tauteur, surtout quand on considère le peu de ressources qu'il pouvait employer; mais comme ces problèmes demandent plutôt de l'adresse et des procédés ingénieux que des principes difficiles, et qu'en o utre ils sont trop particuliers et conduisent rare- ment à des conclusions générales, cet Ouvrage semble plutòôt avoir fait époque dans l'histoire des Mathématiques, parcequ'il fixe les premiers vestiges de PAlgèbre, qu'avoir enrichi PArithmétique transcendante par de nouvelles dé- couvertes. La Science est bien plus redevable aux modernes, parmi lesquels peu d'hommes à la vérité, mais tous dignes d'une gloire immortelle, FERMAT, EUILER, LAGRANGE, LEGENDRE(et un petit nombre d'autres), ont ouvert Pentrée de cette science divine, et ont découvert la mine inépuisable de richesses qu elle renferme. Je m'entre pas ici dans Pénumération des découvertes de ces géomètres. d'autant qu'on peut les connaitre par la Préface des Addi- tions dont Lagrange a enrichi PAlgebre Ealer, et par celle de Ouvrage de Legendre, dont nous parlerous bientôt. D'ailleurs nous rendrons hommage à ces différentes découvertes, lorsque Foccasion s'en Présentera dans nos Recherches. b.
Mon but en publiant cet OQuvrage, annoncé depuis cinq

demble tiques, u'avoir les dé- dernes, dignes ANGE, ouvert la mine atre pas
mètres,
s Addi- et par arlerons
fgérentes
ans n08
uis einq
PREFACE. xiij
ans, à 6té de faire connattre les recherches dontj je m'étais
occupé avant cette époque, et celles que j'ai faites depuis. Mais afin que l'on ne s'étonne pas de voir ici la Science prise presque dès son principe, et que je sois revenu sur des recherches faites déjà par plusieurs autres, j'ai cru qu'il n'était Pas inutile d'avertir que, lorsqu'en 1795, ſai commencé à m'appliquer à ce genre de considérations, je
n'avais absolument aucune idée de tout ce qui avait été
fait sur ce sujet, même par les modernes, et que j'étais privé de tous les secours que j'aurais pu tirer de leurs travaux. Occupé dans ce temps d'une autre matière, je tombai par hasard sur une vérité importante de l'Arith- métique(cétait, si je ne me trompe, le théorème du n0 108); comme elle me sembla très-belle par elle-mêème, et que je la soupgonnais liée à d'autres plus importantes, j'employai toute la contention d'esprit dont j'étais suscep-
tible, à découvrir les principes sur lesquels elle s'appuyait,
et à en trouver une démonstration rigoureuse; le succès ayant répondu à mes vœux, je me sentis tellement en- trainé par Jattrait de ces questions, qu'il me fut impos- sible de les abandonner, et comme une vérité me conduisait
à une autre, la plus grande partie des quatre premières
Sections était déjà terminée avant que j'eusse rien vu des travaux des autres géomoètres sur ce sujet. M'étant ensuite trouvé à mêéme de lire les ouvrages de ces hommes de génie, je ne tardai pas à reconnattre que j'avais employé la plus grande partie de mes méditations à des choses faites depuis long-temps; mais animé d'une nouvelle ardeur, je
m'efforçai, en suivant leurs pas, de cultiver plus avant le
champ de PArithmétique, et telle a été Porigine des Sec- tions V, VI et VII. Quelque temps après, je demandai des conseils sur le projet que javais de publier le fruit de mes veilles, et d'après le desir de plusieurs personnes, je me

——— ———— ͤ—
xiv PREFACE. laissai d'autant plus facilement persuader de ne rien suppri- mer de mes premieères recherches, qu'à cette époque il wexistait aucun ouvrage dans lequel on püt trouver les travaux des autres géomètres, épars dans les Mémoires des Académies; que d'ailleurs elles renfermaient un grand nombre de choses nouvelles, et d'autres présentées d'une manière qui m'appartenait; qu'enfin toutes ces recherches étaient tellement liées entre elles, et avec celles qui leur 6taient postérieures, qu'il aurait 6té très-difficile d'expliquer
les choses nouvelles sans reprendre les autres dès leur
principe. b b Dans cet intervalle, il a paru un excellent ouvrage d'un homme qui avait déjà rendu de très-grands services à FArithmétique transcendante(EÆssai sur la Théorie des nombres, Legendre, an L. I), dans lequel il a non-seule- ment rassemblé et mis en ordre tout ee qui a paru jusqu'à résent sur cette science, mais ajouté beaucoup de choses nouvelles qui lui sont propres. Comme cet ouvrage m'est parvenu trop tard, et lorsque la plus grande partie de mes Recherches était imprimée, je n'ai pu en faire mention dans les endroits où panalogie des matières m'en aurait donné PFoccasion. Les Additions renferment seulement quelques observations qu'il m'a paru nécessaire d'y placer, et espère que son indulgence et sa franchise les lui feront interpréter avec bienveillance. b. Ppendant Timpression, que différens obstacles ont plu- sieurs fois interrempue, et qui s'est prolongée pendant quatre années entières, non-seulement yai continué les re- cherches entreprises auparavant, et dont je m'étais décidé à retarder la publication, dans la crainte que Pouvrage ne
devint trop volumineux, mais j'en ai entrepris de nou-
velles. Plusieurs points que je n'ai fait, par la méme raison, que toucher légérement(par exemple, aux u¹ 37, 82 et sui-

* 4
PREFAGCE. 8 vans, et en dautres endroits), ont été repris ensuite, et m'ont donné lieu de faire des recherches plus générales, qui me semblent mériter d'étre connues.(Ioyez encore ce qui est dit dans les Additions, par rapport au no 306.) Enfin, comme le volume devenait plus considérable que je ne m'y étais attendu, surtout à cause de la Section V, j'ai été forcé de retrancher beaucoup de choses que je me proposais d'y faire entrer, et particulièrement la Section VIII toute entière, qui traite en général des congruences algébriques
8de tous les degrés, et qui se trouve souvent citée. Tout cela formera facilement un volume égal à celui-ci, que je pu-
plierai lorsque les circonstances me le permettront. Si, dans plusieurs questions difficiles, j'ai employé des dé- monstrations Dnthetiques ‚et supprimé Tanalyse qui m'y
avait conduit, je m' y suis déterminé par le desir d'abréger,
auquel je devais me conformer autant qu'il était possible.
La théorie de la division du cercle, ou des polygones réguliers, qui compose la Section VII, n appartient pas par elle-méẽme à PArithmétique, mais ses principes ne peuvent être puisés que dans Arithmétique transcendante. Ce ré- sultat pourra sembler aux géomètres,, aussi inattendu que les vérités nouvelles qui en gerivent, et qu'ils verront, j es-
Telles sont les choses dont j'ai cru devoir prevenir le lec- teur. Quant? à POuyrage lui-mèême, il ne m'appartient pas de le juger; ce que je desire surtout, c'est qu'il plaise à ceux qui sintéressent aux progrès des sciences, soit en ne laissant plus rien à desirer sur quelques points qui manquaient jus- qu'à présent, soite en n freyant la route pour d'autres décou- Vertes.
. ää䲓“. S“²“ 2“ 9

TABLE
SEeTION rREMIRRE. Des Nombres oongrus en gencral.
Nombres congrus, modlales, residus et non-reridus. n 1.— 3 Résidus minima..... 4
Propositions Glémentaires sur les nombres congrus. Applications.................
5— 11 11 et 12 SECTrON sSECONDE. Des Congruences du premier degre. Théorèmes préliminaires sur les nombres premiers, les diviseurs, etc. ne 13— 23
Résolution des congruences du premier degré... 24— 31 De la recherche d'un nombre congru à des nombres donnés suivant
9. 8.. 2 d.
. 0 A
des modules donnes.................... 32.— 56 Congruences du premier degréè à plusieurs inconnues....... 37 Difféèrens théorèmes.................. 58 et suiv.
SECTION TROI 81½ ME. Des sidus des puissanoes.
Les résidus des termes d'une progression géométrique qui commence par l'unité, forment une suite périodique......... n- H— 8
Des modules qui sont des nombres premiers.
Si le module est un nombre premier p, le nombre des termes de 1
période divise nécessairement p— 1.......... 49 Théorème de Fermat.........., 50„ 51 A combien de nombres eoaent les peériodes dont le nombre des
termes est un diviseur donné de p— 1, Racines primitives, bases, indices............. Algorithme des indices.....58, 59 Des racines de la congruence ν‿A. Relation entre les indices pour différens systèmes. Bases choisies pour des usages particuliers............ 72 Méthode pour trouver les racines primitives.... ⸗3„, 74
0„.* 8ℳ 3 ⸗ 3 2 8 5
. 2. 8 0..
Divers théorèmes sur les périodes et les racines primitives.
.52— 56
.. 60.— 63.
Théorème
Sau
5 e 1 3 nodu 1 modu
u mic
w et es les 8 rbsi 9 lestic an wier 12 an kere an klu

v
TABLE DES MATIERES.
Théorème de Wilson............. n. 76 Des modules qui sont des puissances a. Komnbren premiers..... 82— 89
Des modules qui sont des puissances de à2............ 90, 91 Des modules composées................... 92, 93
SEGTION QU ATRIEME. Des congruences du second de gré᷑‿
3 Résidus et non-résidus quadratiques......... no 94, 95 4 Toutes les fois que le module est un nonibre premier, le nombre des résidus moindres que lui est égal au nombre des non-résidus.. 96, 97 La question de savoir si un nombre composé est résidu d'un nombre premier donné, dépend de la: nature de ses facteurs...... 98, 99 Des modules composés.................... 100— 105 al. Gen Caractère général auquel on peat reconnaftre: si un nombre donn
est résidu ou non-résidu d'un nombre premier donné.... 106
5 7 Recherches sur les nombres premiers qui ont pour réesidus ou non- 3* 41 residus des nombres premiers donnés............ 107 et suiv. . 4 Residu....................... 108— 111 Residu+. 2 et— 2..................... 112— 116— „ Résidu-+. 3 et— B3..................... 117— 120 — 5 6 Résidu+ 5 et— 5..................... 121— 125 — 31 j Résidu+. 7 et—7................. 124 Préparation à une recherche Sencrale.........„ 125— 129 — z65 Go Le théorème général( fedkemenuef) s'établit par induction; con- g clusions qu'on en déduit.............. 150— 134 „ L? Démonstration rigoureuse de ce théorams...... 135— 144 et zuis. Mäthode analogue de démontrer le théorème du. ne ra4*. 145 87 Solution du problème général........ 8 146 Des formes linéaires qui contiennent tous les nombres premiers dont 3 3 4/ un nombre quelconque donné est résidu ou non-résidu..... 147— 150 —4 Travaux des autres géomeètres sur ce sujet............ 151
Des congruences womplegg du segond degre.......... 152
b SECTION cINQUIEME. Ses formes et des aueians2 du³, — 4 G b Sgecond Aogrd.— 2,
0, 51
3 N Objet de la Trecherchs;; deRnition et notation des formes.... n- 155 3— 56 Représentation des nombres; déeterminans...... 154 7 8 d Valeurs de l'expression f(2 AO)(mod. M), auxquelles anparien““ 8, 59 la représentation du nombre M par la forme(a, 5, o).. 155, 156 2.— 68 Forme qui en contient une autre, ou qui y est contenue;. transfor- 9— 71 mation propre ou impropre................. 157 2 Equivalence propre et impropre............... 158 3, 74 Formes opposées...................... 159 5— 81 Contigues⸗. 160
Théorème

rviij TABEE DES MATIERES.
Diviseurs communs des coefficiens des formes........ n 16½ Relation entre les transformationt semblahles diune be donnée en
une autre forme, donneteteee..„. Ifa. Formes ambigués..................... 163 Théorème relatif au cas où une forme est contenue à-la-fois dans une autre proprement et improprement........... 164, Considérations générales sur les représentations des nombres par les
formes et leur liaison avec les transformations... 166— 10 Des formes de déterminant negatif. S„„.„ 192,= 182 Applications Particulières à la Aecampwsstzon des nombres e en, dens
quarrés, en un quarré et le double diun autre, en un, quarrèn et.
le triple d'un autre..............„„ 182 Des formes de déeterminant asitif non. quaue.„„. 183,— 205 Des formes de determinant quarr. 2906,— 212 Des formes qui sont contenues dans d'autres, auxquelles elles. ne sont
cependant, pas equivalentes............... 213., 4 Des formes de determinant= O.............. 215 Solution générale en nombres entiers de toutes— équations indé-
terminées du second degré à deux inconnues. 216,— aa2.. Remarques historiqueszdͤͤ...... 322.
RECHERCHES ULTERIEURES SUR LES, FORMES. r 222
Distribution par olasses des formes de déterminant donné... ne 2925— 225 —— Des classes en ordress 226, 227 Diyjsion des ordres en genres...... s... 228— 23 De la composition des formes...... 238— 244 Comparaison des ordres...„....... 2 4 des genres........ 246— 248 —-— des classes........ 249— 251 Pour un déterminant donné, chaque genre d'un memeordre contient le même nombre de classes’.........25a Composition des nombres de classes contenues dans deux. genres d'ordres differens..................... 255— 256 Du nombre de classes ambigues............. 257— 260 Il ya toujours une moitié des caractères assignahles pour un détermi- nant donné, à laquelle ne répond aucun genre proprement pri- mif(positif quand le determinant, est négatif). Secehde démonstration du théoreme tandeanentel et dlog théoremes. relatifs aux résidus— 1,** 2. et.— 2.... 20 a6. On déterminera plus exactement cette moitié des caracteres assie 8 gnables auxquels ne répond aucun genre........... 263,— 286 Méthode particulière Pour décomposer un nombre premier donné
n deux quarrés 2* 2 2* 8 2. ℳ...„ 2 2 0 2 2 2 2 2 2* 9 265

TABLE DES MATIERES. xix DIGRESSION CONTENANT VN TRAITE DES FORMES TERNAIRES, no 266— 285 J Ouelques applications d la théorie des formes bincires.
Trouver une foörme de la duplication de laquelle résulte une forme 3 binairé donnée..................... 286 334 Il répond effectivement des genres à tous les Caractoros, excepté à 3 37/
ceux qui(nos 262, 263) ont été démontrés impossibles.. 287(30) Théorie de la décomposition des nombres et des formes binaires en
trols guarrées......... 2598 Démonstration des TeOraee de hermat. que tout rare entier est
décomposable en trois nombres triangulaires ou en quatre quarrès 293 Résolution de l'équation au.+†f By“+†f c2s=Oo...... 294— 295 Sur la méthode par laquelle Legendre a traité le drsrdme fonda-
mental... 296— 298 Représentation de zéro par des formes ternaires quelconques.... 299 Résolution générale en nombres rationnels des équations indétermi-
nées du second degré à deux inconnues......... 300
Du nombre moyen de genres..... 301. — de classes............. 303— 304 Algorithme particulier des classes proprement primitives; Artermi⸗ nans réguliers et irréeguliers.......... 305— 308
SEcTrIoN sIXIBEME. Application des nesherches précedenles.. 22 S4
Décomposition des fractions en fractions plus simples..... 309— 311 Réduction des fractions ordinaires en fractions décimales..... 312— 318 Résolution de la congruence ν=A par une méthode d'exclusion. 319— 3a2 Résolution de l'équation indéterminée maæ+. 5) e A par exclusions, 325— 326 Autre méthode pour résoudre la congruence ν„quand A est
Sgeik.............. ey 22t Deux méthodes pour distinguer les nombres composés des nombres
premiers, et pour chercher leurs facteurs.......... Z2g et suiv.
SECTION SEPTIEM E. Des ᷣquations qui determinent les ar 4h, divisions du cercle. s— mee eke et
eeeer.
On réduit la recherche au cas le plus simple, où le nombre des parties en lesquelles on doit diyiser le cercle, est un nombre premier... no 336 Equations pour les fonctions trigonométriques des arcs qui sont une ou plusieurs parties aliquotes de la circonférence. Réduction des fonctions trigonométriques aux racines de l'équation ν— 1= O. 33zS 8 Théorie des racines de cette équation, en supposant n un nombre pre- mier; si T'on omet la racine 1, les autres(Q) seront données par requation X= an ν etc.+hfr=V... 339, 340 La fonction X ne peut être décomposée en facteurs de degrè naindre dans lesquels les coefficiens soient rationnels.........,=«www-w 341

TABLE DES MATIERES. Objet des recherches suivantes............... no Toutes les racines Q sont distribuées par périodes........ Divers théorèmes sur ces périodes.... Solution de l'equation X= o, établie sur ces recherches..... Exemples pour n= 19, odð la difficulté est réduite à deux équations
du troisième degré et une du second, et pour n= 17, ou elle est réduite à quatre équations du second degré.......... echerches ultérieures sur ce sujet. Les valeurs des périodes dans les- quelles le nombre de termes est pair, sont toujours réelles... De Léquation qui détermine la distribution en deux, ou en trois
Deriodes.........................
2 3«·* 2* 2.⁴ 2 2.* 2
Les équations qui donnent les racines Q peuvent toujours être rame-
„ 6⁴. 2 0.⁴ 8
nées à des équations à deux termes....... Application des recherches précédentes auæ fonctions trigonométriques; Méthode pour distinguer les angles qui répondent aux différentes racines 9................. On tire des sinus et cosinus les valeurs des tangentes, cotangentes, sécantes, cosécantes, sans se servir de la division.......
*. 2. 2 ₰△ 0. 82. 2 2
Methode pour abaisser successivement les équations qui donnent les
fonctions trignométriques.................. Divisions du cercle qui peuvent s'effectuer par de seules équations du second degré, c'est-Aà-dire, par des constructions géométriques,
ADDITIONS DE LAUTEUR. NorEs(du Traducteur) sur les n** 162 et 164. TABLES.
FIN DE LA TABLE DES MATIERES.
340
2735
344— 351 35²2
355, 554 356
357, 358 359, 360 361
3462 363, 364 365, 366
8——
1—
³-—
—
———,— —
——
—,—

344— 35 5a l 356 357, 358 359, 360 61 . 33, 364 5, 368
ERRATA.
Lignes.
Fautes.
Corrections.
l10(idem.)
12(en rem.) 7(en rem.)
11 St 12 (en rem.) 2 et 3 (en rem.)
21 6 3(note) 15
14 20 14(en rem.) 7(en rem.) 12(en rem.) 21 6(en rem.) 7(en rem.) 3(en rem.) (note) 10 11 12 6(en rem.) 11(en rem.) 12 8en rem.)
2(en rem.)
„ 3 2„ 4
et le sera......... — 15= 26
1 2 3 4 21.3 4. 5
son correspondant.
90.*
tiennent 5, c, etc..
on voit aussi,„.....
¶ A. ⸗. 2 2*. ⁸ ⁴ dans 0 2. 2.. 0³. 1 9 9 2. 2.. 2...
9 6* . Ca a 0 0„„*⁴ 8*.⁴ 2 2A 2
section première..... ce qui supposerait... dont le nddule est* 2.
52—
et+(7+ 1) Mp:.
II...::... fondamental. Il nous..
la.. 2..*. ₰„.* 4 ³..¶ forme. 8... 2. 0 4 1, 19 on, 2...... ut=— B.. 0„—.
de ces...
réduites de(2⁰)..... KJ,— kl=l,...
kqj+. kp.....
⸗
44..... ce nombre....... parconséquent qu'à prendre. (m'; m 1)........ étant........... .X † G))....... 9G alft..n„„
n'est pas.* 2 9. 2 2 9 2*
et le problème le sera.
— 15ꝙ=— 26.
a— 2.
92
1+4 et 44, 2+Aℳ et— A“, eto.
„„o—
1.3,4
Jleurs correspondans.. les exposans auxquels ils appar-
7
les exposans 3⁵ c eto. au quels ils appartiennent. on voit.
section précédente.
jet supposerait. dont+ 2 est résidu.
et+2 2. A4=e.
3 etc.
et+(7+‿) N⁸ p) b
n'est.
. 158.
6
. fondamental, il nous.
les. V.
transformation.
réduites, et de Gy 49— pl= 1.
5 pe. .+ SrdA.
42.
le muhde.
. ꝗu- prendre. J(m; m.— 1.
est.
a.‿+„I.
66— A.

Lignes. Fautes.. 2* Corrections.
—
par la solution'se trouver... se trouver par la solution. 15 æ pair......::....e Pair. 22 entiéres.„ fractionnaires. 12(en rem.) représentatives.„représentantes. 6(en rem.) membre... terme. 5(en rem.) forme... classe.
derniere£ Aℳ, 3, c?.— A A². S. 2. Respectivement..... rvespectivement. 27 et 22 ordre.... genre.„
ncte) 10...... 2r p= 1 d 3 Shses F......ſdes formes †, ſ. 12 fo, E, par.......... /, F, par 1 et 2 7+ 9, 2.1... 2*+ 4, dernière m étant= 1. m' étant= 1. 10 trouveront.. trouvera.
ſproprement. improprement.
2 d fe..... et J. 2 4,K.... K, †,&. 9(en rem.)ſfinaires.. ſernaires. 10(idem) freprésenter....... présenter. 16(idem)[aα †. yz. 24 †f. 2„. 20 a, 6, 5e.. 5, 5, 2 12 par f... ſ0 par f. 4(en rem.) donnant.....donnent. 13 a5= 5150= B.. Jab— 6/6= B. 19 prétention.... pénétration. 12 Ainsi il est clair que de la oom- Ainsi il est clair que de la compo- position de tant de classes qu'on sition de tant de classes Cs, Cs“, voudra d'une méème période, Cs“, etc. qu'on voudra, ilré- il résulte une classe contenue sulte une classe Ce4,, Sedee, dans lapêériode Cs, Cs“, Ce ,e etc. contenue dans la mêeme po- —= Crtse“-hetc. riode. 18 Forms....:.:;: Jolasse. 9 résidus,. non-résidus. 12 et 15=z6....— 19 que n... que NK. 19 Le„[MI.... dhal. XAR2] 8(en rem.) des..... 12 indéterminéce... deier minée. 4(2, 9)= o, 80,: 85 9)==— 0,80, ete.
RECHERCHES

olution..
tc.
de la comps- asses CE, Ck', oudra, il ré- C er.
a même peé⸗
ERCHES
ece, E-A A⸗e,⸗ ht, en,.r de, ee d faunn. 7. a a„ L. A 2 ae— a— E, n, 2dh Bn, en, c r e e e dee ,e, e.
hae
5 3 2,h 4— 2—
Arh Sea‿f harec““ 4 2 6.. 85— 4
Gam m ut,.
————jymmn
2— e g.—„. 8 . Am au n k ee et n 8 an—- L=&— u, e, 1
zche. 74, o z. Ar wefe 7. 2 2 7.. 2 2 4 25 e n=k Augh ler ae p f cheu, 7 hn h, e feA BI /,n, ee e,. Ekpeke, S e en, o n fe 252 ſharr, arrn d— Er e e, iue dn e, Tee, h f eue e, ¹, de ptchh
Qahe MMe 3., e dn ele„
Le, Su, Kur e, ee e t
3 ceneee b. Kr‿e? 5
A u ee fe r. nh. 9 A pn
—— 4 M 2‿ ‿ν
A

———
“ 8
ſͤͤͤͤͤͤͤ
“

RECHERCHES
ARITHMETIOUEs.
SECTION PREMIERE.
Des Nombres congrus en général. —
1. 81 un nombre a divise la différence des nombres 5 eto, 5 et G sont dits congrus suivant a, sinon incongrus. a s'appellera le mo- dule; chacun des nombres 5ete, résidus de l'autre dans le premier cas, et non résidus dans le seccond.
Les nombres peuvent étre positifs ou négatifs, mais entiers. Quant au moqdule il doit évidemment éêtre pris absolument, c'est-à- dire, sans aucun signe.
Ainsi— 9 et+ 16 sont congrus par rapport au module 5;— 7 est résidu de 15 par rapport au module I1, et non resνdi par rapport au module 3.
Au reste o étant divisible par tous les nombres, ils'ensuit qu'on peut regarder tout nombre comme congru avec lui-même par rap- port à un module quelconque. b b
2. Tous les résidus d'un nombre donné a suivant le module m, sont compris dans la formule«†.᷑ km, K éôtant un entier indé-
terminé. Les plus faciles des propositions que nous allons exposer A

———
2 KRKkECHERCHES peuvent sans peine se démontrer par-là; mais chacun en sentira la vérité au premier aspect.
Nous désignerons dorénavant la congruence de deux nombres par ce signe=, en y joignant, lorsqu'il sera nécessaire, le module renfermé entre parenthèses; ainsi— 16=9(mod. 5),— 7=15 (mod. 11)(*).
3. THEOREME. Soient m nombres entiers successifs a, a. 1, a+ 2, a †+ m— 1 et un autre A, un des premiers sera congrie aueo A, suivant le module m, et il nq en aura quu‿din.
1— A
En effet, si est entier, on aura a= A; s'il est fractionnaire,
777. soit K le nombre entier, immédiatement plus grand ou plus petit, 2— A
suivant que sera positif ou négatif, en ne faisant point d'at-
tention au signe, A-† m tombera nécessairement entre a et a1m;
ce sera donc le nombre cherché. Or il est évident que les quotiens
‧— A a+ 1— A 2
71 771
‚etc., sont compris entre K-‧— et K 1, donc un seul d'entr'eux peut éêtre entier.
4. Il suit de là que chaque nombre aura un résidu, tant dans la suite o, 1, 2,(m— 1), que dans celle-ci O,— 1,— 2,—(m— 1); nous les appellerons résidus minima; et il est clair qu'à moins que 0 ne soit résidu, il y en aura toujours deux, l'un positif, l'autre né-
gatif. S'ils sont inégaux, l'nn d'eux sera==. s'ils sont égaux, cha- 71. 1 2 9 8 d 0 9 cun d'eux=— sans avoir égard au signe; d'où il suit qu'un nombre
quelconque a un résidu qui ne surpasse pas la moitié du module, et que nous appellerons résidu minimum absola.
Par exemple— 15 suivant le module 5, a pour résidu minimum
() Nous avons adopté ce signe à cause de la grande analogie qui existe entre Tégalité et la congruence. C'est pour la même raison que Legendre, dans des mémoires que nous aurons souyent occasion de citer, a employé le signe meme de Pégalité, pour désigner la congruence; nous en avons préféré un autre, pour pré- venir toute ambiguité.

1 sentira la
nombres par le module —=5
a, a†,
sera Congru
ictionnaire; plus petit, point d'at-
a et a+m;
les quotiens
1, donc un
ant dans la —(m- 1); à moins que „Pautre né-
6 gaux, cha-
vun nombre
du module,
u minimum
positif 2, qui est A n 4 minimum uso2„et— 3 pour ré- sidu minimum noègatif;+ 5, suivant le module, 7, est lui-mème son résidu minimum positif;— 2 est le résidu minimum négatif et en même temps le minimum absold. b
5. Des notions que nous venons Tetablir„ nous tirerons d'abord les conséquences suivantes:
Les nombres qui sont congrus suivant un module cοmposé, le Sont alement suivant un quelcongue de ses diuiseurs.
Si plusieurs nombres sont congrus d un méme suivant le méme modulée, ils seront congrus entre euær( WonjOz Suivant le méme module).
On doit supposer la même identité de mochnie daus ce qui suit.
Les nombres eongrus ont les mémes reésidus minima; les nom- bres incongrus les ont diférens. b
6. Si les nombres A, B, C, etc.; a, b, c, eto. Sonz congrus chacun d chacun, o'est-d-dire, si ASa, B= b, elc. on aura..
A+ B+C P etce. ya+b ec † etc. Sdi A= a, B= B, on a aussi A— B= a— 5. 7. Gi A= a, on a aussi kA=ü ka.
Si K est positif, ce n'est qu'un cas parkicnlier de l'article précé-
dent, en posant dᷣ= B= C, etc., a==e, etc.
Si K est e negatif,— sera positif; donc— KA=— ka, et par-
Si 72, Bᷣ= 5, AE= 453 car 15= Ab e z. 8. Si les nombres A, B, C, etc., a, 5, o, etc. sont congrus cha- cun à chacun, les produits, etc., et æbe, etc. seront congrus.
Par l'article précédent,= ab; par la mème raison A[ᷣ= abc, et ainsi de suite.
En prenant tous les nombres A, B, C, etc., égaux entr'eux, ainsi que les correspondans a, 5, o, etc., on déduit ce théorème: Si A= a et que k soit entier positif, on aura A'= a¹.
9. Soit X une fonotion de l'indetermince x, de cette forme.... Ax+ Bx+ Cx, etc., A, B, C, etc, ctant des nombres entiers
guelconques, a, b, c, eto. des nombres entiers positifs. Si l'on
A*

3—— —
—— 8
————————————
4 hRECHERGCHES
Jonne à ⁊ des valeurs congrues, suivant un certain module, les paleurs résultantes pour X, le seront aussi.
Soient fet les valeurs congrues de æ par les articles précédens fe Æ= g et Age= Ag'; de mème Bfi= Bg', etc.: donc
Af †‿ Bf+ Cfe Pete.= ũ+ B*† Cg+ etc.
Au reste on conçoit aisément que ce théorème peut s'étendre à des fonctions de plusieurs indéterminées.
10. Si donc on substitue à la place de+ tous les nombres entiers consécutifs, et que l'on cherche les résidus minima des valeurs de X, ils formeront une suite dans laquelle, après un intervalle de m termes (m étant le module), les mêmes termes se représenteront; c'est-à- dire que cette suite sera formée d'une période de m termes répétée indéfiniment.
Soit par exemple: X=—- 8+. 6et m= 5, pour x= o, 1, 2, 3, etc. les valeurs de X donnent pour résidus minima positifs: 1, 4, 3, 4, 3, 1, 4, etc., ouù les cinq paemiers 1, 4, 3, 4, 5 se répètent in- définiment; et si l'on continue la série en sens contraire, c'est-à- dire, si l'on donne à x des valeurs négatives, la mème période reparait en sens inverse; d'ouù il suit que la série ne renferme pas d'autres termes que ceux qui composent la période.
11, Donc dans cet exemple, X ne peut devenir= o, ni= 2, (mod. 5), et encore moins- 0ou= 2, d'ot il swit que lee&quations &— 8=+ 6= O et ‿— 8æ+. 4= o n'ont point de racines entières, et parconséquent point de racines rationnelles. On voit en général que lorsque X est de la forme ꝙ ‿ Aa Bas etc.+ N; A, B, C, etc. étant entiers, et z entier positif, l'équation X=/ o, (forme à laquelle toute équation algébrique peut se ramener) n'aura aucune racine rationnelle, s'il arrive que pour un certain module la congruence X= o ne soit pas satisfaite; mais ce caractère qui se présente ici de lui-même, sera développé davantage dans la section VIII. On peut au moins se former par cette esquisse une idée de l'utilité de nos recherches. b
12. Plusieurs des théorèmes que l'on a coutume d'exposer dans
les traités d'arithmétique, s'appuient sur ceux que nous avons pré-
¹

re à des
Sentiers rs de X, 2 termes c'est-à- répétée
2, 3, etc. 4, 3, 4, tent in- c'est-à- période erme pas
ni= 2, quations entières, général c.+ N; 4 Xo, r) n'aura module ttère qui dans la nsse une
oser dans 7 vons pfe-
Sae a ue eun ee Keer. 74 7
aae nee m 2t S ee a e ,. 7en a e e r hrar
— Jaaen— 4 3 ees Gar e h o,e Daf 2 S. h een na Ss— oer A een... 3 K 4 7. u 3 7 48„ Ae—— 2 85 4 nuash o aaee 4 Ae 1 2 V vVe ernemne oaree 9 S, epee ke. ecA eh ee V. y erg a, e 4k.— 2* e. ₰.. ₰ „ he a eeoeen S e ee—— pf anee e— Sann 2 orh Le, 4, er, 4— 3 8 7 A— assf oe ne far e e e.
4*— 2=.?, e f aMa 5— ee. A2e ee e 3 6 a 9 ‿ o ae oene eoe oe 3 Cenn„„. 2
Len,
vS
Su ff e. 2 ae e ee 7 27 e 2 7 3
„. 3 e— 7 æ— 8 7.„ 4 2. la Vetite S 2 eeeneae& 2 an 9 i, 7 e a e 0 2ᷣ. 9——--η—‿‿- ε△ a Gr G or
4 2. cdC A4d 22——““ aee Ue A& V
2—& ee, e 5„ u rat, Sre —„ 3 uo m a, o, f= 132 ro,= 1 1
ee 2D 2—V,— — 4=uu 2 ee 2 3 7 eue 8
— 6 Eeen NAeonrn
4„ 9 r eA Var rer narn 7—— eue aee er erf dree e. anh a— A ᷣ—.„ a 2n f ₰ ., ane e B 4n 4—. on t- n 2= e æ eef e

an, e⸗ Are ee de neon Gue resſ᷑zaer edt Vnch,, d mn eme.
. 2— fue e 2e Sn, ⸗ A aen erfeA Loar Lrd⸗ 20 be- en⸗, e A nn e rnee„ Srp e 2 n. Aue
e, A, ,e 6ee 6 eo At/ o a he
2 nee, A uee e an vEeue 2e das. Mru,=, Ou A
. e K/ 2 a Eeen 0/. Se„, en eeu fae‿r tara uu n 4 ag e aA ₰
e‿ a nm zae u an
2 S„ eee F eee 22 a M Iofoe Oe 6ae Amn e 2NA e aeeree eae ere A 22—
oe e. 3
A a eorf— e ae. 2, 0 Ar aV orh o ue, nen
m
— G,— La- 2u e, lb, un ite au uae n eee
Qaetee e Vee A ae
aeee Ke e au
e Aa t eeone e
Par, S 2 4 e n AeaA er e aae aemn, a G A e 3 2—— 1
a.
2e A fa Qe—— Ae 27een reoeee e ‿ e,) A— po 4 Ib Pa e e Je en aeee „ 6 Kanien, e L Ae— eren er e. r2. 7 2 3„, 2 aæ‿rn onn eC Jeen ee erper ee u d A(& ma‿n gpe— — 2 an ee u e
. Bce, 7 Vr an— 727, e See ene, rh Kan vroe an n I Cornf ere 4 QA A
„ O AA h
624 a at„„ V B L2er,.+ oue e etp,et Aae Am
NMolm— 7 m l wen,. ν her A 72& e eVr Rere
u— 2 am, nd ne m F... 2e e 72 h, M A A nan ce‿s aA 7.., Pon Aͥden e manee e 5. L A ¶ꝗD) e. a Meem A m, om nus, aeeee eke, e e
, neuu, ee, 2—., Aae eee fu Tu‿r e a, deene Oen ar en —- A(2 2 ſu‿e deonE a e eaun ae 2 r Aee„ 2 U
* v
u, an. f 7 Jue cA aeee SeeeA ee— g &. ZV fCornen 26 V- 3 2 2ä Ve I rr Ca O, 3 D ee oe eenanen QAe ne I 2a en r Dae 4- Ta er,./ e colde,, auu 1, 6 eeee f oe, ooe e e ee di, e u her e e dga,
Ie. A?„— ee 2 nr 2, 3.. A 2. veee S,— g,
2.
rt.
1 Wuae D IMAA vernn d der‿́ᷓ́ð ,ee, a Er eeeu e en Seur 2 Je 9 Mieee αe AAN Ae 6ν e V Ae— teæc eer. e
6„ en dre- lal 22 aut n aa r nn r Ae, Od⁴‿er ze osa- 2 2e, nen ae r,
S*³
——
*— —
n

ARITHMETIOUES. 5 sentés; par exemple, la règle pour reconnaitre si un nombre est di- visible par 9, 11, ou tout autfre nombre. Suivant le module 9 toutes les puissances de 1o sont congrues à P'unité; donc si le nombre est de la forme a-+.‿ 10 5b+ 100+ 10007etc., il aura, suivant le module 9, le mème résidu minimum que a+ b+o etc. Il est clair d'après cela, que si l'on ajoute les figures du nombre, sans avoir égard au rang qu'elles occupent, la somme que l'on ob- tiendra, et le nombre proposé auront les méêmes résidus minima; si donc ce dernier est divisible par 9, la somme des chiffres le sera aussi, et seulement dans ce cas. Il en est de mème du diviseur 3. Comme zuivant le module 11, 100=+, on aura généralement 104= 1, 10**◻1 10=— 1, et le nombre de la forme a 10 5+ 100 G + etc., aura le même résidu minimum que a— 5b+œ-—= etc.; d'où dérive sur-le-champ la règle connue. On déduira facilement du meme principe toutes les règles semblables.
Ce qui précède donne encore la raison des régles que l'on prescrit ordinairement pour la vérification des opérations arithmétiques; savoir, lorsque de nombres donnés on doit en déduire d'autres par addition, soustraction, multiplication ou élévation aux puis- sances. On n'a qu'à substituer dans les opérations, à la place des nombres donnés, leurs résidus minima, suivant un module quelconque(ordinairement 9 ou 11, parceque dans le système dé- cimal, comme nous venons de le voir, on trouve facilement les résidus relatifs à ces modules); les nombres résultans devront être congrus à ceux qu'on déduirait des nombres donnés, sinon il y aurait un vice dans le calcul.
Mais il serait superflu de nous arréter plus long-temps sur ces ré- zultats très-connus, ainsi que sur ceux du mêème genre. b

RECHERCHES
SECTION SECONDE.
Des Congruenoges du premier degré.
13. THafoRnkM. Le produit de deuæ nombres positifs plus pe-
tits qu'un nombre premier donné, ne peut étre divisé par ce nombre premier.
Soit p le nombre premier et a Tpet 0; je dis qu'’on ne pourra trouver aucun nombre positif 5, plus petit que p, qui rende
25= o(module 9„).
En effet, s'il peut y en avoir, supposons que ce soient les nombres 5, c,, ete, tous plus petits que p, ensorte qu'on ait ab= o, ao= o, etc.,(mod. p), soit 5 le plus petit de tous, desorte qu'on n'en puisse supposer un plus petit que 5, on aura évidem- ment 5 13 car si 5=r, on aurait ab=a pet partant non di- visible par p. Or p comme nombre premier ne peut être divisé par 5, mais tombera entre deux multiples de 5, mb et(m+. 1) 5. Soit p— mb= V, U sera positif et= 5. Or nous avons supposé ab= 0 (mod. p), on aura donc mab= o; et retranchant de ap= o, on aura a(p— mb)= a2b= 0; 4 ouc 5 devrait être mis au rang
des nombres 5, 0, d, etc., et serait plus petit que le plus petit de tous, ce qui est contre la supposition.
14. Sli aulcun des deuæ nombres a et b n'est divisible par un nombre premier p, le produit ab ne le sera pas non plus.
Soient a et les résidus minima positifs des nombres a et 5, s ui- vant le module p, aucun d'eux ne sera nul par hypothèse. Or si
l'on avait ab= o, comme a5b= 4, on aurait jo, ce qui serait contraire au théorème précédent.
A* 8 42—†——
.

4
blus pe- nombre
2 pourra e
nombres a25=o,
desorte gvidem- non di- 6 par b, ) b. Soit 3 ab=o 2= 0, au rang petit de
Pdr
5, 8 ui- e. Or si ui serait
ARITHMETIOUES.„
La démonstration de ce théorème a déjà été donnée par Euclide, El. vII, 52. Nous n'avons pas cependant voulu l'omettre, tant parce- que plusieurs auteurs modernes ont présenté des raisonnemens vagues au lieu de démonstration, ou bien ont négligé ce théorème; que dans le but de faire mieux saisir, par ce cas très-simple, l'esprit de la méthode que nous appliquerons par la suite à des points bien difficiles..Oe
15. S; auoun des nombres a, b, c, d, eto. n'est divisible par le nombre premier p, le produit abed, eto. ne le sera pas non plus.
Suivant l'article précédent, ab n'est pas divisible par; donc il
4* e⸗* en est de mème de νᷣα, et ainsi de suite. 8
16. THEOREME. VUn nombre composé ne peut se résoudre que:
dune seule maniere, en facteurs premiers.
Il est évident par les élémens, que l'on peut toujours décom- poser un nombre quelconque en facteurs premiers; mais on suppose à tort tacitement que cette décomposition ne soit pos-
sible que d'une manière. Imaginons qu'un nombre compos..
Aa B etc., a, 5, e, etc. étant des nombres premiers inégaux, soit encore décomposable d'une autre manière en fac- teurs premiers. Il est d'abord manifeste que dans ce second système de facteurs il ne peut entrer d'autres nombres premiers que a, 5, o, etc., puisque quelqu' autre que ce ft ne pourrait di-
viser A, qui est composé des premiers. De même aucun des nombres
premiers, 5, o, Sto. no Peut y manjuer, Car sans cela il ne divise- rait pas A(n“ 15); la différence ne peut donc porter que sur les exposans. Or soit un nombre premier„, qui ait dans l'un des sys- tèmes l'exposant m, et dans l'autre l'exposant n, m étant n: di- visons de part et d'autre par pr, p restera dans l'un affecté de l'ex- 4 2 22 11 2 li b 4 posant m-— in, et disparaitra de l'autre, donc ⁷ pourrait se décom- poser de deux manières, dans l'une desquelles n'entrerait pas, tan- dis qu'il resterait dans l'autre, ce qui est contre ce que nous avons démontré.
17. Si donc le nombre Aest le produit de B, C, D, etc., il s'en- suit que les nombres B, C, D, etc ne peuvent avoir de facteurs premiers différens de ceux de A, et que chacun de ces facteurs doit
A vA *— 8 82—
4
*
3 ☛ᷣ 238 8

—— 3——
— r--—v vo3ĩĩÜvc⁊⁊ ĩj⁊ n ·‚——— 2
ſtare, Mas.
.
— 2
3 RECHERCHES
se trouver autant de fois dans les nombres B, C, D, etc, pris en- semble, que dans A. On déduit de là le caractère pour reconnaitre si le nombre E divise ou non un autre nombre A. II le divisera s'il ne contient aucun facteur premier étranger à A, ni aucune puis- sance plus grande d'un des facteurs premiers de A. Si une de ces conditions manque, B ne divisera pas A.
A l'aide du calcul des combinaisons, on verra aisément que si...
&„ A= a 5 ol etc„, b, Oe, etc. étant comme ci-dessus des nom- bres premiers différens, le nombre des diviseurs différens de A, en
Doompehant 2h. est(A+1) 512(6-6(£α1 eie- M 18. Si donc A= a b H* 9 X m etc., et si tous 6 ecteurs a, 5, o, etc. diffèrent des facteurs K,(, m, eto.; ℳ et K n'’auront d'autre diviseur commun que 1, ou bien seront premiers entr'eux.
Le plaus grand commun diusiseur entre plusieurs nombres donnés A, B, C, etc. se trouve de la manière suivante: On décompose les nombres en facteurs premiers, et l'on prend ceux qui sont com- muns à tous les nombres A, B, C, etc.(s'il n'y en avait pas de tels, les nombres donnés n'auraient pas de commun diviseur); alors on remarque quels sont les exposans de ces facteurs, dans chacun des nombres A, B, O, etc.; on donne à chaque facteur le plus pe- tit des exposans qu'il a dans A, B, C, etc., et l'on compose un pro-
duit des puissances qui en resultent; ce sera le plus grand commun diviseur cherché.
Si l'on cherchait au contraire le plus petit nombre divisible Aà-la- fois, par les nombres A, B, C, etc., on prendrait tous les nombres premiers qui diviseraient quelqu'un des nombres A, Z, C, eto, et on donnerait à chacun d'eux le plus haut exposant qu'il ait dans
les nombres A, B, C, etc. Le produit de toutes ces puissances serait le nombre cherché.
Soient, par exemple, 4= 504= 23.32. 7; B= 2880= 26.32.5; C= 864= 25. 32. Pour trouver le plus grand diviseur commun, on a les facteurs premiers 2 et 5, qui doivent être affectés des exposans 3 et 2, d'ou il
vient 25. 542. Quant au plus petit nombre divisible par 2, H, O, il sera 26. 3*.5, 7= 6048.
Nous

dris en- unaitre sera S'i] le puis- de ces
Uue 81...
es nom- 6 4, en
—
si tous c.; Aet premiers
3 donnés compose ont com- t pas de ); alors chacun plus pe- un pro- vommun
ble à-la- nombres C, ete, ait dans nissances
25* 3². facteurs , d'ouù il
A,5,0
Nous
3 1 4 GG. c re eer faσ See, a, nedde
een en] Corcee Len moe ee æ e. ee
e A B Ae/ 9 ¶h See umeon 6 zn e f Ve. e⸗ Ae Gae 772,— fruere e fi‿᷑ᷣee ees n ae 72 A S ee e ar. har ze eeeae, e er Pe, ant ã= aerne ra ne t e e OaAncen, 2 e aeus m e Neen we wne Senee
Me e eamn Væ ee, r‿dee See 4 h rree eer e e 4
kre. fat cea,
22*. aae, omuf P Wee mfe Maeree Dee 5 Jare Ia eewwene 4 3 2. en en ee, eeee eee, en, faer 2, garn. de Kee nee ee ürteen aaoee e, uee, 4 I Ae e, aen Aeee ef,se 7„ 7 moas n— S 9. 221 8 A F S A2ee arr‿le e Suet. e Darne n i Valaf. 5. en erne 2 AX 5 Anroeee, e Ah.. Seae Aphre e 22. pf 2 zeere, e 2een, 26. 7. ane. en Gee Ve,„ on Qa pe, nne 3 2 krr,— ⸗ 1 eeee h, Qme naee 252 re fA“ fogee AO qeaebee e 8 ear e r Lae V A 5 3—— De h —
ee a Qe““ ſ Eee, 2,, Vur.
A 4 Aenn 4 7 o, 7 e, es.„ S 5, A e, eeee, Cee 4 eu, n, e. 2eo, eue e e fa ℳ A Aee kee, en oenee— ne reee Se, ———— 4 l“ 2“ 7 2, e —. 2 b 5 H o. foere 6dP A Se e —. H 1 2 en, h u eran— — .— 74 h 22 he. e niut ue
e‿᷑deedee K ren deten
ch b V. 4 2et u 2 oeue Olee pb L., n taer doehre 2, ee de
=ſot.(2◻„ t, Puue u eß, G ee,, e, wuet. e Grnu ee 7/ O e 4 4 65. G,, 7 2xe‿ 2, pe= An. 7 Aaie,„ 1 ———, 2 1 C a— e, e?, Aof snenen e, A. I e,e,

—— —
,e he ru,= æ e2⸗. eeu
u 22‿;
e, e ee emere, e—
zeemeue w3,.. 2. 6= en, n, e, Seen eeen
Al L.— 42.— O. Kal azf r e fueeneze Ser e ae n 7 Meeue(ã A Seope 2— Ae— nre,„,
AMAe aaene ane aVee 2 f—AX 4. faue—2 enf Se e
3 He a A 7 5 Audue a. AAA n ea aean Saee e f Ac, S eee A C Oeree nen Aer ene,
ar nmon enee 7 uet. Re⸗ Fe ude vea,-un Sae re
enr eee F. eeen, Vi deont ar ae ede huueenet ee Oærepe ree- Srr See
7.. 277221 34 e. Z
7 æoo Qeee ont.“ — A* e⸗ fe he 2- E,
So eee, u
ercaA 2—
aen ene Ar 1 H=ce æꝙ 2
. A 2α— Sen; eut Le Carne Se‿ ſ⸗ euee SKA 7, MA 77 4, N. o, ee aenn eee neee rn, Z. K. Aaen Ke. l n
er„ ee, c. 2. 7 2 3 ea F,„ 2. ſu,? Aerdee,
He e 6ee Zaee a
g e 1—
— 12 A— 2 epe 2— 8 2. Voch 2— N 7 n 3 e E— A ene e 2 AA=. zer hee AGf 2 7 442 3 6 2— 2—
A,* o, onn 22 22 e. ean are a e A 2
4* ee een, ff,„N= Se Me AAen* e= 52 C S. aA‿ A e Me — de Ae- ⸗
b 0 æ e 3— la. o C eA 2. S, u— ee, aeenr Ie 4—„ c-— 6
aere e 2 en 3
) 3— 4 et Au— 227 Le IMe. ae 1 I. Aℳ.— e ene deaen. 1ne— ⸗ lo I.— u 6* ue 2- Ag-„p e e Mfahee* men 2b 2—
GA 1 1 feuee eunleinent 2½ 7. ò 3 .. ee e 9 e 2⸗, 2r AAℳ oe 2 e 7. b,—.e 2— aue Uee 4 d Pee bs w2 5 E. e— 4 2.,⸗ 3/ 2— D“ AA2⸗ Ge et, 6 — fuen 8 Aenr e Her
hu 4 eanaeent 22„ o eeoee, en aree Ne A A Ser A.—
2— 2 f Seſaee. g* A e Kraern 22 4 73, 3 e
„. 3 ue Fee an eed— 22„.— — eet o eau. — umu, 6 57 A, ,, a eun eu e’, ee= n 1 b 2efereu, akee? Ooe- aee. O Z=, do, h= 2 ,k, Ti— 3
——
a,en e E Greeee.. A. en een kan e u e 2A
uee N. a‿‿e Meee 2„ ahe en k. le ee, 3
— In,. 72. 3 2eAe Feoe ke, Sele Ahee A= aeae, 2 eann Aoe,.
2 ee ee 3 A a e. A₰q„ eul 5 arne 92— en o hata. 2* e Oe‿een far ea
. r9 Scre o— h⸗ d2 ene 7 h Ll f 6 72 7:44 ſ. A ae 4242, Juern O=(& 2, 27% e— 6 ke E. N- ee ee
ægf—, 7 5 24 n f 2un en A eeae mmnamn e Aueren eed 2 E 8.. we ee K
ere ne naene ae‿᷑feeeet en e akeeeee 4 a 2— 2. 1

2, E h erttk 4 n dAn et
* 4 2 ArA e
ARITHMETIOUES. g9 Nous omettons les démonstrations à cause de leur facilité; d'ail- leurs on sait par les élémens comment on résout ces problèmes, quand les nombres A, B, C, etc. ne sont point donnés tout dé- composés en facteurs. b b 19. Si Ies nombres a, b, c, etc. sont premiers auec k, leur produit Pest aussä. 1 En effet, puisqu'aucun des nombres a, 5, c, etc. n'a de fac- teurs premiers communs avec k, et que le produit de ces nombres ne peut avoir de facteurs premiers qui n'appartiennent à quelqu'un d'entr'eux, ce produit n'aura non plus aucun facteur premier commun avec K. b So ſos nombres a, b, c, eto. sont premiers entr'euxæ, et que k soit divisible par chacun d'eux, il Le sera aussi par leur produil.
C'est une suite des nos 17 et 18. Soit en effet p un diviseur premier quelconque du produit a bœ etc. et qu'il ait l'exposant, quelqu'un
des nombres a, P, o, etc. sera divisible par, parconséquent K,
qui est divisible par ce nombre, le sera aussi par p: il en sera de méme des autres diviseurs du produit. b 1 Donc, si deuæ nombres m, n sont congrus suivant plusieurs modules a, b, c, ete. premiers entr'euæ, ils le seronts aussi Suii- vant leur produit. En effet, puisque m= n est divisible par cha- cun des nombres, 5, G, etc.„il le sera aussi par Jeur produit. Enfin, st a cst premaier auvεo b, et quc ak soit diwisible par b., K sera aussi divisible par b. En effet, puisque ax est divisible par a et par 5, il le sera par leur produit; done 25=2 sera un entier. 20. Quand A= abe eto.(a, b, c, eto. ctant dées nombres premiersincgaur), est unce puissanoe parfaite, par exemplé, quand A= k", tous les eæposans&,, y, elo. sont divisibles par n. En effet, le nombre K n'est pas divisible par d'autres nombres premiers que d2, 5, c, ete; soit æ l'exposant de a dans k, dans K ce sera na; done na= a et est un entier. On démontrera de mèême que„,, ete. sont des nombres entiers.
21. Quand a, b, e, ete. sont premiers entr'euæ, et que le produit b B

10 RECHERCHES abe eto. est une puissance parfalte k, chaque nombre a, b, e, eto. est une puissance semblable. b
Soit 2— Dm p etc., I, m, p, etc. Sétant des nombres premiers dif- férens, dont aucun par hypothèse ne divise les nombres 5, e, etc.,
1.—. AX A 22. puisque le produit abo etc. est divisible par? m p etc., on se con- vaincra, comme dans l'article précédent, que X, α,, etc. sont
. n. 8 1. 3 divisibles par n, et partant que a est entier. Il en sera de mème pour 5, e, ete. 18
Après ces notions nécessaires sur les nombres premiers, nous allons nous occuper de ce qui peut nous conduire plus directe- ment à notre but. b“
22.Siles nombres a et b divisibles par ksont congrus suivant le
8 5 module m premier auec k, 4 et sont congrus Sutibant le meme module. En effet a— Hest évidemment divisible par k, et, suivant Phy-
—
Pothèse, par m; donc— sera divisible par m(19), c'est-à-dire,
4 35 que 7=(mod. m). Mais si, toutes choses d'ailleurs égales, m et k ont un divi- 4 5 4A m seur commun e, on aura 7= 7(mod. 2); car= et— sont premiers
entr'eux; mais a— 5 est divisible par Ket par m; donc 5— est di-
0 KR 71 4 k 8 6 4— visible par zet par=, et par conséquent par; C'est-à-dire quee. .*. m a. 5 m est divisible par=—, ou que= 7(mod. 2).
23. Si a est premier aveo m, que e et f soient des nombres in- congrus suibant le module m, ae et af seroni aussi incongrus. OCcette proposition est l'inverse de celle du no précédent.
Il est évident d'après cela, que si l'on multiplie a par tous les nombres entiers, depuis o jusqu'àm— 1, et qu'on cherche lesrestes minima des produits, suivant le module m, ils seront tous inégaux; mais le nombre de ces résidus est m, et comme aucun d'cux n'est= m, ils se trouveront tous dans la série depuis o jusqu'à m.

a, b, e,
emiers dif. „, etc..
on se con-
d de moͤme
liers, nous as directe-
2 Suivant le
at le meéme
nivant Phy-
est-à-dire,
nt un divi-
at premiers
ombres in- ongrus. sar tous les ge lesrestes s inégaux; lcun d'eux qu'à m.
ARITHMETIOVUES. 11
24. L'expression ax+ b, aet b Gtant des nombres donnèés et a
an nombre indéterminé ou variable, peut devenir congrue à un nombre donné quelconque, suivant le module m, premier avec a. Soit o le nombre auquel l'expression aÆ 5 doit être congrue, ete le résidu minimum positif de c«— 5. Par le ne précédent on trouvera nécessairement une valeur de m, telle que le résidu minimum du produit ax, suivant le module m, soit e. Nommons v cette va- leur, on aura a= e= G— 5; donc a+‿ꝗ Æ(mod. m). 25. Nous appelons congruence l'expression de deux quantités congrues, à l'instar des équations; si elle renferme une inconnue, la rεᷣοmre, c'est trouver pour cette inconnue une valeur qui sa- tisfasse à la congruence, c'est-à-dire la racine de cette congruence. On conçoit par là ce que c'est qu'une congruencè résoluble, et une congruence irrésoluble. On voit enfin que nous emploiſerons les mémes distinctions qui ont lieu dans les équations. Nous verrons plus bas des exemples de ungruences transcendantes. Quant aux congruences algébriques, elles se divisent selon la plus haute puis- sance de l'inconnue, en congruences du premier, du second degré, etc. On peut mème proposer plusieurs congruences qui renferment plusieurs inconnues, et de l'élimination desquelles nous traiterons. 26. La congruence du premier degré aæ+ b= o se résout tou- jours par le n 24, quand le module est premier avec a; et si v est la valeur convenable de, ou la racine de la congruence, il est évident que tous les nombres congrus àv, suivant le module de la congruence, seront aussi des racines(n 9). Il n'est pas moins évi- dent que toutes les racines doivent èêtre congrues à 9: en effet, sit est une autre racine, on aura av+‿ o=äat+ b; donc av= at, et par- tant= t. On peut conclure de là que la congruenceæ=9(mod. m), donne la résolution complète de la congruence aæ ‿‿ꝗ̈ᷣꝙ⁊æc. Comme les résolutions de la congruence par les valeurs de æcon- grues à, se présentent d'elles-mêmes, et que sous cet aspect les nombres congrus doivent être considérés comme équivalens, nous regarderons ces solutions comme une seule et mème. C'est pourquoi nous dirons que la congruence axæ+‿=o, qui n'en admet pas d'autres, ne peut être résolue que d'une seule manière ou n'a qu'une seule racine. Ainsi, par exemple, la congruenec.. 64+ 5= 13(mod. 11), n'admet pas d'autres racines que celles qui B 2

———————— 2ö—öm ——
RECHERCHES
sont= 5(mod. 11). La même chose n'a pas lieu dans les con-
gruences des degrés supérieurs, et dans celles du premier degré ou le coefficient de l'inconnue n'est pas premier avec le module.
27. Il nous reste à donner quelques détails sur la manière de ré- soudre ces congruences. Observons d'abord que la congruence.... aæ ‿= u, dans laquelle le module est supposé premier aveca, dé- pend de celle-ci, aa= 1. En effet, si æ=:† satisfait à celle-ci„ x=X&r(u—t) satisfera à la première; mais en désignant le mo- dule par 5, la congruence ax=-.1 Gquivaut à l'équation indéter- minée ar=r b1, dont la solution est connue; aussi nous nous contenterons de donner ici l'algorithme du calcul.
Si les quantités A, B, O, etc. dépendent de α,,„. etc. de manière qu'on ait A= a, B= SA+, C=„ B+A, D= ☚.+☚ B, eto.;nous lesreprésenterons pour abréger, par A=[α,=[a,], C= la, 6,71, D=la, 6,,], etc.(+). Soit maintenant l'équa- tion aa= by-, où et 5 sont positifs. Supposons, ce qui est permis, que a n'est pas— 5. Alors en opérant comme on le fait ordinairement pour la recherche du plus grand diviseur commun, on formera par la division les équations
a‿a b+C, 5=SCXd, oᷣð˖„d†e, etc.
dans lesquelles, G,,, etc., sont entiers et positifs: et
5, c, d, etc. vont en diminuant continuellement jusqu'à ce qu'on
O On peut considérer cette relation de quantités d'une manière plus géné-
8 rale, ainsi que nous pourrons le faire dans une autre occasion. Nous ajouterons
seulement ici deux propositions qui trouvent leur application dans la question pré- sente, savoir:
1c. La, 6,,,& J. e, e* la,, N7, XJ.-Ce,,, 4=X, où Pon prendra le signe supérieur, lorsque le nombre des quantités a, C,.. X,&⁴, sera pair, et le signe inférieur dans le cas contraire.
2⁰. On peut renverser l'ordre des quantités aæ, E,, etc.; desorte que....... Lz, C, 7,.. 2, Je„,,„, 6, ⸗
Nous supprimons ici les démonstrations qui n'offrent aucune difficulté,
—

Veca, deé. 4 celle-ci, nant le mo- on indéter. nous nous
„. etc. de =JPh, 9.—[a, 6, nant l'équa- ce qui est on le fait er commun,
dositifs: et à ce qu'on
4 re plus génèé- dus ajouterons 7 question prè-
2—— e Fceee Qeu, V Q A d Ferl* 4—
AA.
2 2 4 e „— 3 d2“ F A e CcrenaAe Ce 4 a e— ge- A Aα1 e httree
au, A Len hueerr hetee nsn wueea hordch d d ea, e euu 2 vnu e ee Le Seree er 2pchee d, aer kuhe Tu b Ar U. Von- eeh En 22„ Aee eee Se Sa e nmee ue ₰ 5. “ 4 3 ern u he Ccn- e. Fe 2 Hge⸗ far* 7. ene, GHl.— eau dh. Seee T, er n, A eee de., Grrn Bie, eee nee 3 1 ue ee 3 endu, ᷣ²)⸗ m ne- Q‿e an a e 2 L*
6 uẽeedeit Aus er A Te Mo
— Aee
3 a A₰‿ 2 b
7. eeh 24 a a—.,— 5— „— ae A 0 ₰æ A. ‿0 aneen, e 2e*,, Io⸗ k ₰„ 22 b
AAA K
—- 3. ont Sh Ee, 2 e,— e
— S, 9 h 20 fede,r p Stat. ⸗ L2=e e er. e Se V

UES. 13 parvienne à m=+; ce qui doit toujours arriver. Il en résultera a=In, Aa. v, B,]; b5=[n, a.), 6;z et si l'on prend= u,„,„= u, v, 6,], on aura aa= By. 1, quand le nombre des lettres a, 8,7.. u, n est pair, et ax= by— ¼, quand il est impair... ö“ 28. Euler est le premier qui ait donné la résolution de ces équa- tions(Comment. de Petersb. T. VII, p. 46). La méthode qu'il a employée consiste à substituer d'autres inconnues à la place de x et de y, elle est d'ailleurs assez connue. Lagrange a traité le probléeme d'une manière un peu différente. Il observe que si l'on
.. 2.. réduit la fraction z en fraction continue
4 8. 1.. 3 et qu'après avoir effacé sa dernière partie ⁷, on la ramène à une frac- 8* 3 6 T— 3 1 8 tion ordinaire—, on aura aq= by 1. Au reste les deux méthodes
conduisent au méême algorithme. Les recherches de Lagrange se trouvent dans l'Histoire de l'Académie de Berlin, année 1767, pag. 175, et avec d'autres, dans les Additions d l'Algebre d' Buler. 29. La congruence ax †‿t= u, dans laquelle le module n'est pas premier avec a, se ramène facilement au cas précédent. Soit m le module et ¾ le plus grand diviseur commun entre a et m; il est clair d'abord que toute valeur de ꝙ qui satisfera à la congruence, suivant le module m, y satisfera aussi suivant le module(n“ 5). Mais puisque Ʒdivise a, on a toujours a= o(mod.); donc on doit avoir 1= u(mod.), ou f— divisible par, pour que la congruence soit résoluble. lr Posons donc a= Je, m= Jf, 1— u= N; e et/ seront pre- miers entr'eux, et la congruence proposée Ter+I᷑X= o(mod. f), Equivaudra à celle-ci, eæ+‿ K= o(mod. †); c'est-a-dire, que toute valeur de ꝙ qui satisfera à la seconde, satisfera aussi à la première, et vice versd. En effet, eæ- k sera divisible par f, quand e‿2 le sera par f, et réciproquement. Mais nous avons résolu la congruence

—— —
8 “
13 RECMERCHES
eæ.=o(mod. f); il suit de là que si p est une des valeurs de,
la congruence xÆ=(mod. f), donne la resolution complète de la proposée.
3o. Quand le module est composé, il est toujours avantageux d'employer la méthode suivante:
Soit le module= mn, et la congruence proposée ax= 5. Résol- vons d'abord la congruence suivant le module m, et supposons
qu'elle soit satisfaite si(mod.*);— étant le plus grand
commun diviseur des nombres m et a. Or il est évident que toute valeur de qui satisfera à la congruence ar= 5(mod. mn), sa- tisfera aussi àla congruence aah(mod. m), et que partant elle sera
12—* comprise dans la formule ρ‿ ᷣ‿2ασO0ws désignant un nombre indéter- miné. La réciproque de cette proposition n'est pas vraie; æ doit donc
. 4 771. être déterminé de manière à rendre 9+ 7 a, racine de la congruence
aæ=Æ(mod. mn); on aura donc—+ ab= B(mod. mn)
ou 2 2
gruence aeleonque du premier degré, suivant le module mn, peut se ramener à celle de deux congruencés, suivant les modules m et n. On voit facilement que si n est lui-méme le produit de deux facteurs, la solution de la congruence, suivant le module n, dé- pend de la solution de deux congruences dont ces facteurs sont les modules; et généralement, que la résolution d'une congruence sui- vant un module composé quelconque, dépend de la résolution d'autres congruences, dont les modules sont les facteurs du pre- mier. Ces modules peuvent être choisis de manière à être des nom- bres premiers, si on le trouve plus commode.
ue con-
Soit par exemple la congruence 197=1(mod. 140); si on la ré- sout d'abord suivant le module 2, on aura= 1(mod. 2); en faisant
r= I+ 22, il viendra 3845=— 18(mod. 140) ou 192=— 9
(mod. 7o). Si l'on résout celle-ci encore suivant le module 2, on aura ☚☛Q᷑(mod. 2), eten posant a=+ 2, on aura 3849=— 28 (mod. 70) ou 197=— 14(mod. 35). Cette congruence résoluesuivant le module 5, donne ηάκη4(mod. 5); prenant ‿e 4 † 52˙, il vient

eurs de*, aplete de 43
supposons plus grand que toute mn), sa- ut elle sera re indéter- r doit donc
congruence
mod. mn) d'une con- emn, peut ules m etn. it de deux ule, dé- urs sont les ruence sui- résolution es du pre- edes nom-
si on la rè- zen faisant
ſue suivant 8. il vient
ARITHMETILQUES. 15 95,*= 90(mod..55) ou 197=— 18(mod. 7)„ qui donnex- 4
(mod. 7), d'où τπν‿ι‿ 7Qνν Or en remontant à la Valehr de,
on Hanee x= 59+ 140; donc x= 59. 3 1. De la mème manière que la racine de Téqnation, a— 5,
5 15 s'exprime par 7„nous désignerons par 2 la racine d'une congrnence
aæ= b, eny joignant le module pour la spécifier. Ainsi 2(mod. 12) représente un nombre quelconque 4ui est= 11(mod. 8), et qui,
Par analogie, peut 8 exprimer par— mod. 12).
Ilsuit de là généralement que le Imbole⸗— 26 mod. 2) ne signifie
rien de réel, ou si l'on aime mieux, est une expression imaginaire„ siaet c ont un Mrrecr commun qui ne divise pas 5; mais, ce ças
excepté, l'expression 7 2( mod. c) a toujours des valeurs réelles, et en a méême une infinité: elles zeron toutes congrues suivant, sic est premier avec a et suivant;„quand. est le plus grand commun diviseur de a et de 9.
Ces expressions se calculent presque de mème que les NaCfiodis ordinaires ‚et voici quelques propristés qui se déduisent facilement de ce qu'on a vu.
10. 8i a= 3 5= suivant le module 2, les expressions 5 4 mod. 2).
5 2 mod. 3) sont egnivalentes.
20. 5( mod. 24) et;. 30( mof. 2) sont quixalentes. b Amod. 3) et 6(mod. 0),. sont t qwiraleutes quand K est frremuie avec c.
Nous pourrions rapporter plasieurs propositions zemblables; mais eomme elles n'ont aucune difficulté, et qu'elles sont inutiles Pour ce qui suivra, nous passerons à autre chose.
32. On peut facilement, au moyen de ce qui précède„ trouver tous les nombres qui onè des résidus donnés, suivant des modules

B 4 3 4— 6—
——— ————=— ——— — 3——— — 5———
RECHERCHES
gueloonques; problême qui sera d'un fréquent usage dans la suite. Soient d'abord deux modules, A, B, suivant lesquels le nombre cherché z doit etre congru aux nombres a et 5. Toutes les valeurs de z sont nécessairement renfermées dans la formule Ar+a, où x est indéterminé, mais tel que Aa+a= 5(mod. B), desorte que
si— est le plus grand diviseur commun de A et de B, la résolution
1 1„— 4 B 3 complète de cette congruence prendra cette forme ‿(mod. 5),
2 2. 1 w KℛÖE„ 5 3.„ du ce qui revient au màme,= 9+—,K étant unnombre entier
34 L 0„, KAB indéterminé; donc la formule a-‿.‿ν‿ Ke renferme toutes les va-
(A bomht.OO f h l leurs de z, ce qui revient à= a Ao( mod.*). S il y avait
un troisième module G, suivant lequel le nombre cherché düt
etre= 0, on suivrait la même marche, apreès avoir réuni les deux
premières conditions en une seule. Ainsi soite le plus grand com-
AE„. 1—. mun diviseur des nombres et O, on obtiendra la congruence...
‿ a † Av= o(mod. C), qui sera résolue par une con- Aοενν Le
gruence de la forme x u(mod. H, et le sera par la congruence
AB ABC. 2 2— E= u†a † Av(mod.„ on procéderait de mème, quel que 3 413B3 A⁴nC füt le nombre des modules. II convient d'observer que E2 ot ac.
et e—*
sont respectivement les plus petits nombres divisibles à-la-fois par
Aet B, ou par A, Bet C, et l'on en conclut facilement, quel que soit le nombre des modules A, B, O, et. ‚que si l'on représente par M le plus petit nombre divisible par chacun d'eux, on aura la. résolution complète, en prenant z=:(mod. M). Au reste, si l'une des congruences n'est pas résoluble, il faut en conclure que le pro- blème est impossible; mais il est évident que cela ne peut arriver si les nombres A, B, O, etc. sont premiers entr'eux. Soient par exemple A= 504, B= 35,=16, 9= 17, 5=— 4, = 33; ici les deux conditions que z= 17(mod. 504), et=— 4 (mod. 35), se réduisent à une seule ½ 521(mod. 2520), qui,
jointe à la troisième 2=33 ,(mod. 16.), donnera enfin 2= 3041
( mod. 5040)„
33.

uns la guite. e nombre es valeurs 1/2„ od T esorte que à résolution
1(wod.9)
ömbre entier outes les va-
S'il y avait cherché dat éuni les deux
grand com-
ngruence.. dar une con-
congruence
me, quel que 413 kCE X△ 3 5“ -la-fois par ent, quel que n représente „on aura la este, si l'une 2 que le Pro⸗ eut arriver si
17, 5=„ ), et ℳ 25²0)„qul, fin ½= 3041
53.

1 1 ö 4 4—

ARITHMETIOVUES. 17 33. Quand tous les nombres A, B, O, etc. sont premiers entre eux, leur produit est le plus petit nombre divisible par chacun d'eux;
et dans ce cas ilest évident que toutes les congruencesz=a(mod. A), z=5(mod. B), etc. se ramèneront à une seule z=r(mod. N) qui
leur équivaudra, Rétant le produit des nombres A, B, O, etc.:—
il suit de là réciproquement qu'une seule condition z= r(mod. R) peut etre décomposée en plusieurs z= z7(mod. 4), z=v(mod. B); z=r(mod. C), etc. si A, B. C, etc. sont les différens facteurs premiers e entr'eux qui composent R. Cette observation nous donne non-seulement le moyen de découvrir l'impossibilité lorsqu'elle existe, mais encore une méthode plus commode et plus élégante pour déterminer les racines.
Soient comme ci-dessus les Sondictcer z=a(mod. A), 2= 4(mod. B)„= é(mod. O), eto. On résoudra tous les modules en facteurs premiers entr'eux; A en A'“ etc.; B en.̈☚1 etc.; de manière que les nombres, ℳA', etc.,', B', etc. soient pre- miers ou puissances de nombres premiers; si l'un des nombres A, B, G etc. était premier lui-mêème ou puissance d'un nombre premier, il n'y aurait, pour lui, aucune décomposition? à faire. Alors ce qui précède fait voir que l'on peut, aux conditions données, substituer les suivantes z= a(mod. A), zz=a(mod.'), z=a (mod. Aã²), etc.; z== 5(mod. B“), 2=5(mod. F'), etc., etc.;
Or, à moins que tous les nombres A,, O, etc. ne fussent premiers entr'eux; par exemple, si A n'est pas premier avec B, il est évi-
dent que tous les diviseurs premiers ne peuvent être différens dans A et dans f, mais qulil doity avoir quelqu'un des diviseurs ℳ“, A“, etc.,
qui trouve son égal, son multiple, ou son soumultiple parmi les diviseurs B', B“, etc. Soit d'abord A= B, les conditions 2= a
(mod.), 2=5(mod. B), doivent être identiques ‚et l'on doit avoir a= 5(mod. ou mod. B); ainsi l'une ou l'autre de ces deux conditions peut être rejetée; mais si l'on n'a pas a= 5 (mod. 4„ le probléme est impossible. Soit ensuite B' un mul- tiple de 4, la condition z= a(mod. ℳ) doit être contenue dans celle-ci, z= 5b(mod. B*), ou bien celle-ci,= 5(mod. ℳ), qui se déduit de la dernière, doit ètre équivalente à la première; d'ou ilesuit que la gomditöon z=a(mod. A“), peut étre rejetée, si elle ne contrarie pas l'autre, auquel cas le probleme serait im- C
J.
MATHEMATISCHES INSTITUT Jus Tus-LIEBIG- UNIVERBSITAR
GIESSEN

“
18 RECHERCHES possible. Quand toutes les conditions superflues sont ainsi rejetées, il est évident que tous les modules qui restent sont premiers entr'eux; on est sür alors de la possibilité du probléme, et on peut procéder d'après la manière enseignée plus haut.
35. Si nous supposons comme au ne 52= 17(mod. 504),=— 4 (mod. 35),= 35(mod. 16); ces conditions peuvent se décom- poser en celles qui suivent: 2= 17(mod. 8),= 17(mod. 9), =17(mod. 7), z=— 4(mod. 5),=— 4(mod. 7); z=33(mod. 16). De ces conditions on peut rejeter===1/(mod. 8) et ☚☛π(mod. 7), car la première est renfermée dans la condition z= 33(mod. 16), et la seconde est équivalente à z=— 4(mod. 7): il reste ainsi
17(mod. 9) — 4(mod. 5) — 4(mod. 7)
33(mod. 16)
1
d'où l'on tire z= 3041(mod. 5040).
2N
Au reste il est clair qu'il sera souvent plus commode de ramener à une seule les conditions qui restent et qui proviennent de la méme, ce qui se fera sans peine. Par exemple, quand on a rejeté quelques-unes des conditions z=æ2a(mod. 4), z=a(mod. ℳ?), ete. celle qui se composera des conditions restantes sera z=a, suivant le module formé par le produit de tous les modules qui restent. Ainsi dans notre exemple des conditions z=— 4(mod. 5), 2=— 4(mod. 7); on tire sur-le-champ la condition z=— 4 (mod. 35), d'où elles dérivent; il s'ensuit qu'il n'est pas indifférent, quant à la briéveté du calcul, de rejeter l'une oul'autre des conditions équivalentes; mais il n'entre pas dans notre plan de parler de ces détails ni d'autres artifices pratiques que l'usage apprend mieux que les préceptes. b
36. Quand tous les modules A, B, C, etc. sont premiers entr'eux, il est préférable le plus souvent d'employer la méthode suivante. On déterminera un nombre a congru à l'unité suivant A, et à o suivant le produit des autres modules; c'est-à-dire, que a sera une valeur quelconque de l'expression 5 waer mod. ℳ), multipliée par BOD etc.(n 32); mais il vaut mieux prendre la plus petite de ces valeurs. Soit de même=(mod. B), et=o(mod. ACDete.);

4 r ejetées,
t premierz
mle„ et on
24),= 4 e décom. (mod. 9), (mod. 16). (mod.„), (mod. 16), ceste ainsi
d. 5040).
de ramener nent de la on a rejeté d. ℳ'), ete. , suivant ui restent. mod. 5), 1 2=— 4 ndifférent, conditions rler de ces mieux que
s entr'eux, suivante. 4, et à o a sera unè multipliée
—D̃ete.)
ARITHMETIOVUES. 19
„=n(mod. C), et=üo(mod. A Detc.). Alors si l'on cherche un nombre z qui soit congru aux nombres a, 5, 0, etc. suivant les modules A, B, C, etc. respectivement, on pourra poser.. zSaa+ 5b+y etc.(mod. D etc.); en effet ona évi- demment aa=æa(mod. 4), et les autres termes sont= o(mod. 4); donc z= a(mod. A). La démonstration est la mème pour les autres modules. Cette solution est préférable? à la première; quand on a à résoudre plusieurs problèmes du même genre, pour lesquels les valeurs de A, E, C, etc. sont les mèmes; car alors on trouve pour A, 8, etc. des valeurs constantes. Ceci s applique au problème de
chronologie dans lequel on cherche le quantième de l'année pour la- quelle lindiclion, le nombre d'or etle cycle solaire sont donnés. Ici 42 15,=9, 628; ainsi comme la valeur de l'expression
.15), ou„5. 350 mod. 15) est 13, on aura 4.= 6916; on
19 nworn de méême 25 4 0„„= 4845. Donc le nombre cherché sera le résidu minimum du nombre 6916+. 4200 5+ 4845 c, a re- présentant l'indiction, 5 le nombre d'or, et c le cycle solaire.
37. Nous n'en dirons pas davantage sur les congruences du pre- mier degré, qui ne renferment qu'uneseule inconnue; il nous reste à parler des congruences qui renferment plusieursi inconnues; mais, comme il faudrait donner trop d'extension à ce chapitre, si nous voulions exposer chaque chose en toute rigueur, et notre projet n'étant pas d'épuiser ici la matière, mais seulement de présenter ce qui est le plus digne d'atrention; nous bornerons notre recherche à un petit nombre d'observations, cbserrant Pexposition complète Pour une autre occasion.
1*. De méême que dans les aunlious ‚„on voit qu'il faut avoir autant de congruences qu'il y a d'inconnues à déterminer.
2. Soient donc proposées les congruences
a æ‿μ+‿λ..=f(mod. m).(A) aε‿σeꝭ+ z=eSͤ—ͤͤ(A) aρ‿‿ρ ⁸. AA.( ℳ)
etc.
en même nombre que les inconnues x,, z, ete.

“
On déterminera les nombres 5, 5, F“, etc. de manidère qu'on ait: bẽ᷑+ b+ b+‿ etc.= 0, cẽ++ † etc.= o, etc. et que ces nombres soient entiers et n'aient aucun diviseur com- mun à tous, ce qui est toujours possible par la théorie des équa-
tions linédires. b On déterminera de même b, V,', etc.,, G, è, etc., etc., de manière qu'on ait. au ν ‿‿ι αν ‿‿ᷣ etc.=Oo, cu+‿++ ete.= o, etc. as+ a+ a P etc.=o, b+ U,+† 5bα †+etc.= o, etc. etc. 3*. Il est évident que si l'on multiplie les congruences A," Mℳ, etc., d'abord par, 5, ˙, etc., ensuite par v,, v“, etc. etc., et qu'on les ajoute, on obtiendra les congruences suivantes: (aᷣ+. a †+ ete.)= ſ᷑ f+ f' † etc. (bu bu+† 5 etc.)= fu+f u fu † etc. (A& ‿σν‿νꝙι ete.) f+‿ ℳ+‿ /—, eto. etc. 1
que, pour abréger, nous repréêsenterons ainsi:
4.(ar)=XfE), J. 2(L)= X/0), z. 2(0= 2N), ete.
4. Il y a plusieurs cas à distinguer en premier lieu quand les coefficiens des inconnues, c'est-à-dire quand 2(aẽ‿),(5), etc. sont premiers avec le module des congruences, ces congruences peuvent être résolues par les méêthodes. déjà exposées, et la solution complète du problème s'obtient par des congruences de cette forme r= p(mod. m),= J(mod. m), etc.(*). Si Pon propose, par
O) II faut observer que cette conclusion manque de démonstration que nous supprimons ici; car il ne suit rigoureusement rien autre chose de notre analyse, si ce n'est que les congruences proposées ne Péeuvent étre résolues par d'autres va- leurs de x, y, 2 etc. mais non pas que celles-ci satisfassent; il serait même possible
qu'il n'y eut aucune solution. Le meme paralogisme se présente dans la solution des équations linéaires.

4 b qu'on ait, — o, etc.
1seur com 5 des équa-
—o, etc.
—o, etc.
ces A, 4, 9
„etc. etc., ates:
etc. etc. etc.
*), ete.
quand les (5), etc. oungruences la solution ette forme opose, par —— on que nouls analyse, 5 d'autres va- eme possible la solution

Siſu————— 8 3 A 4. 4— — 2 12ͤ=

ARITHMETIOUES. 24 exemple, les congruences+‿. 3+£ 2= 1, 42 ℳ y 52=æ 7., 2x+ 2y+ 2=3(mod. 8), on trouvera= 9, 5= 1, 5=— 14; donc(a⁵.)=— 15,)=— 26; donc—1 5 x ‿ 26„et partant e(mod. 8). De la même manière on trouvera 15)=— 4, 1i= 1„ et de dà, y= 4, z=7(mod. 8).
5. Si tous les coefficiens 2(asr), 2(59), etc. ne sont pas premiers avec le module, soient a,,„, etc. les plus grands divi- seurs communs de m et de 2(25), 2(b9), 2(c), etc. respective- ment; et il est evident que le problème est impossible, si a, 6,), etc. ne divisent aussi 2(), 2(u), 2(o), etc respective- ment; mais quand ces conditions auront lieu, le problème sera ro- solu complètement par des congruences telles que ⸗= p( mod.—* v=( mod.*); 2=r mod. 2) ‚etc.; ou si l'on aime mieux,
.*. 7.. on aura a valeurs différentes pour, savoir: p,p+f
„+ L mn valeurs pour †, y valeurs pour z, etc. qui satisfe-
ront aux congruences. Toutes les solutions de la question, s'il y en a quelques-unes, devront se trouver parmi celles que nous venons d'indiquer; mais il n'est pas permis de renverser la conclusion; car souvent toutes les combinaisons des a valeurs de æ, avec celles de yet celles de z, etc. ne satisfont pas au problème, mais seulement quelques-unes dont la liaison s'exprime au moyen d'une ou de plusieurs équations de condttion. Au reste comme la solution com- plète de ce problème n'est pas nécessaire pour la suite, nous ne nous étendrons pas davantage ici sur ce sujet, et nous nous con- tenterons d'en donner une idée par un exemple.
Soient proposées les congruenc es 3‿ιι1φ:Qꝛcꝛm=MR, 27+ 3)- 22=, Sa+†+ 526(mod. 12), on aura ici= 1,=— 2, 58= 1;
= 1, V= I, 9= 1;=— 13, 6=22, 6=— 1; d'ou 4r=— 4, „y= 5, et 282= 96; d'où l'on tire quatre valeurs de, savoir, .= 2, 5, 8, 11; une seule de f, y= 11; quatre de z, savoir, z=y 0, 5, 6, 9(mod. 12). Or pour découvrir quelles combinaisons des valeurs de æ et de z on peut admettre, substituons à la place de x,, z, 2+t, 11, 3, ce qui change les congruences proposées
en 57-+‿ ‿‿μςmæ+[, 30+ 61- 6= o et 15+. 15-+ 9u= 0(mod. 12),

——
* 85 8 K e.
3 1
—————— ——— .—————. ———— ͤͤſͤſͤſſ11
———— 5—
——————— 1
———
—
22 RECHERCHES
congruences qui reviennent à 19+ 5+ u= o, 10+ 21 2u= 6 5+5t+. 3u= o(mod. 4). Chacune d'elles sera 6videmment sa- tisfaite, si aut+(mod. 4). Concluons de là que les valeurs de x—= 2, 5, 8, 11 que l'on obtient en faisant successivement = o, 1, 2, 3, doivent être combinées respectivement avec les valeurs 3, 6, 9, o dez; desorte qu'il y a quatre solutions.
.= 2, 5, 8,11„Jy= 11, 11, 11,11.; 2=53, 6, 9, o(mod. 12).
A ces recherches qui remplissent la täche que nous nous gtions proposée dans ce chapitre, nous joindrons quelques propositions qui se rapportent aux mémes principes, et qui seront d'un fréquent usage par la suite.
38. PROBLkME. Trouver combien il a de nombres plus petits qu'un nombre donneé A, et premiers abec lui? Désignons, pour abréger, le nombre cherché par le caractère% placé avant le nombre donné; le nombre cherché sera Q..
1. Quand A est premier, il est évident que tous les nombres, depuis 1 jusqu'à A— 1, sont premiers avec A, et partant, dans ce cas, on a oAᷣ= A1— 1.
2°. Quand A est une puissance d'un nombre premier p, p“ par exemple; tous les nombres divisibles par p ne seront pas premiers avec MA, les autres le seront; c'est pourquoi de p— 1 nombres, il faut rejeter ceux-ci: p, 2p, 5p.(p“— 1) p. Il en restera donc p— 1—(p„-I— 1)= pp— pr== p=n(p— 1) donc... Dp= pr=.(— 1).
3⁰. Les autres cas se rambnent facilement à ceux-ci, au moyen de la proposition suivante: Si on décompose A en facteurs.... M, N, P, etc. premiers entr'euæ, on aura A=OM. HN.., etc., qui se démontre ainsi qu'il suit. Soient m, m, in', etc. les nombres premiers avec M et plus petits que lui. Soient de mème n,, n', etc., p, p, p', etc., etc. les nombres premiers avec N, P, etc. respecti- vement, et plus petits qu'eux; il est évident que tous les nombres premiers avec A le seront aussi avec les facteurs M, N, P, etc., et réciproquement(n‘ 19), et que tous les nombres qui seront con- grus à l'un quelconque des nombres m, m', etc. suivant le mo- dule M, seront premiers avec M; de même pour N, P, ete. La

+ 271= 6 mment za. les valeurg essivement ent avec les ons.
(mod. 12).
nous étions dropositions un fréquent
plus petits Luons, pour 7
d6 avant le
s nombres, nt, dans ce
r p, p' par as premiers nombres, il restera donc
au moyen acteurs.... 1. ꝓP., etc., les nombres 1, n', etc., tc. respecti- les nombres 7, P, etc.; seront con- vant le mo- P, etc. La
ARITHMETIOUES. 25 question est donc réduite à déterminer combien il y a de nombres au dessous de A, qui soient congrus à quelqu'un des nombres
m, m', etc. suivant le module M, à quelqu'un des nombres
n, n', etc. suivant le module N, etc.; mais(n 32) tous les
nombres qui ont des résidus donnés suivant chacun des modules
M, N, P, etc. doivent être congrus suivant leur produit A„ et
parconséquent il ne peut y en avoir qu'un seul congru à des rési-
dus donnés suivant les modules M, N, P, etc., et qui soit plus
petit que A. Ainsi le nombre cherché sera égal au nombre des
combinaisons des différens nombres m, m', m', etc. avec les nombres
n, n, nꝰ, etc. et les nombres p, p', p', etc., etc. Or par la théorie des combinaisons, ce nombre est(MW).( N). C(£). etc. b
4o. On voit facilement comment on peut appliquer cette propo- sition au cas dont il s'agit. On décomposera A en facteurs pre-
2 2 0 4&. 2 miers; c'est-à-dire, qu'on le réduira à la forme à 5 etc., a, 5, o, etc. étant des nombres premiers différens. Alors on aura
O-eda s. 90. etc.=,( 1). 72 ¹).(0— 1) etc.,
qui peut se mettre sous la forme plus élégante
AA= A.—. 5—1.— etc. C
a 5 Exemple: Soit A= 60= 2*.3. 5, on aura 04A— 60.1.3. ‧. 16 Ces nombres premiers avec 60, sont: 1, 7, 11,13, 17, 19, 25,
29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59.
La premidre solution de ce problème se trouve dans le Mémoire d'Euler, intitulé: Theoremata arithmetica novd methodo demons- trata.(Comment. nov. acc. Petrop. VIII, pag. 74). La démons- tration en a été donnée encore dans une autre dissertation intitulée: Speculationes circa quasdam insignes proprietatées numerorum.
(Acta Petrop. VIII, p. 17).
39. Si la signification du caractère Q est déterminée de manière à ce que QA exprime combien il y a de nombres premiers avec A, et non plus grands que A; alors on n'aura plus Q⸗= o, mais= 1; mais dans tous les autres cas il n'y aura rien de changé. En adop- tant cette définition, nous aurons le théorème suivant: b

——————.——:————ʒÿõ—yxy— .
“ 4— 2“ 8 ö 1 3 .— e—= —————— 4—— 5 —————— Se—— ————=—— ——— — 8—— ſͤ ——— 4
———
—— —
— —
—
RECHERCHES Ss a, a“, a', elc. sont tous les diviseurs de A, unite et A y oompris, on aura Ha+ oa+%aelo.= A. Par exemple, si= 50, on aura ꝙ1+‿να 4q1l 34‿+‿%6+ ½ 4‿ Q1 5+ 350= 1+1+ 2+4** 2+†4*8 8= 30. Demonstration. Si l'on multiplie tous les nombres premiers
. A avec a et non plus grands que lui par 2, de mème tous les nombres
premiers avec a par 5„ etc.; on aura H+† QRe+ Qa P etc., nombres tous non plus grands que A; mais
1⁰. Tous ces nombres seront inégaux; car il est évident que ceux qui proviennent du même diviseur de Asont tous inégaux. D'ailleurs s»'il en résultait deux égaux provenant de diviseurs différens Met N, et de nombres et» qui leur soient respectivement premiers;
4.* 2 4 Aæl«ℳ c'est-à-dire, si l'on avait 2— ‚ou bien Na= My'; en posant
M= N,(ce qui est permis), il s'ensuivrait, puisque M est premier avec aAet qu'il divise Na, qu'il devrait aussi diviser N, ce qui est absurde. b
25. Entre ces nombres on trouvera tous ceux qui composent la suite 1, 2, Z. A. En effet, soit t un nombre quelconque qui ne surpasse pas A, et le plus grand commun diviseur entre
A.— Aet 1, sera le diviseur de A avec lequel* sera premier. Donc
le nombre se trouvera parmi ceux qui ont&té produits par le- . 7 diviseur †:
3*. Il suit de là que le nombre total en est A; donc........ A ˖ QHa++ a Petc.
40. Si u est le plus grand divissur commaun des nombres... AX, B, C, D, etc. on peut toufours determiner les nombres a, b, c, d, etc. de manière qu'on ait aA+‿ b B-+‿e C Tetc.=.
Considérons d'abord deux nombres A et B seulement, et soit?*. leur plus grand diviseur commun. Alors la congruence Aa=* (mod. B) sera résoluble(n* 30). Soit la racine=, et que l'on
X— Aæ fasse 7= 6. on aura A+- 85= X.
S'il

at que ceux „D'ailleurs 2ns Mety,
premiers; pen posant
est premier „ce qui est
nposent la onque qui seur entre nier. Donc
uits par le-
0..
ombres.. nombres Pelc.= E „et soit? e Aa= A et que l'on
Si

ARITHMETIOUES. 25
S'*il y a un troisième nombre C, soit X le plus grand diviseur commun de X et de C, il sera en mèême temps celui des trois nombres A, B, C,(¼). On déterminera les nombres Kety de ma- nière qu'on ait A- C= N, et l'on aura XaᷣAᷣ+ BByC=X. S'il y a un quatrième nombre D, soit N le plus grand dirissnt nombres A, B, C, D. On fera L*+D= MX, et partant on aura LaA+ P KBB+ L„+ D= N.
On procéderait de la même manidère s'il y avait plus de nombres.
Si les nombres A, B, C, etc. n'avaient pas de diviseur commun„ il est clair qu'on aurait aA+‿ν c*† etc.= 1.
41. Si p est un nombre premier, et qu'on ait p œhoses parmi les- quelles il peut s'en trouver un certain nombre d'cgales entr'elles, pourvu que toutes ne leæ soient pas: le nombré des permuta- tions de oes choses sera divisible par p. b
Par exemple, cinq choses A, A, 4, B, B peuvent se disposer de dix manidères différentes.
La démonstration de ce théorème se déduit Hacilement de la théorie connue des permutations. En effet, supposons que, parmi ces p choses, il y en ait a égales à A, 5 égales à B, c egales à C, etc., desorte qu'on ait a+ b+‿o † etc.= p, les nombres a, 5, c, etc. pouvant aussi désigner l'unité. Le nombre des permutations sera
11.2.3. p 1.2. 6. 1.24..1.2. c. etc. visible par le dénominateur, puisque le nombre des permutations est entier; mais il est divisible par p, tandis que le dénomina- teur, qui est composé de facteurs plus petits que, n'est pas divi-
sible par p(n'. 15); donc le nombre des permutations sera divi- sible par p.
—
; or le numérateur est Evidemment di-
Nous espérons cependant que la démonstration suivante ne dé- platra pas à quelques lecteurs.
(*) En effet si N'était pas le pius grand c commun diviseur de A/, 3, C, il y en aurait un plus grand que N. Or celui-ci divisera A et B, partant 1 diwazesa A † 6 ou„Lee qui est Lbeurde, neur eleſe D2eDes M
αα I Dreye ah G, Don d 27 D

26 RHRECHERCHES
Lorsque dans deux permutations Pordre des choses ne différera qu'en ce que celle qui tient Ja première place dans l'une, en occupe une différente dans l'autre, mais que du reste toutes les autres choses, à partir de celle-dà, suivent le mème ordre dans cha- cune des permutations, de manière que la dernière de l une 88 trouve placée immédiatement avant la premiere dans Iautre; nous les appellerons permutations semblables(). Ainsi A CDE et DEAEO, ABAAB et ABABA seront semblables.
Or comme chaque permutation est composée de p choses, il est clair qu'on pourra en trouver— 1, semblables à une queleonque d'entre elles, si l'on met successivement à la seconde, à la troi- sième place, etc., la chose qui occupait la première; done si au- cunes de ces permutations semblables ne sont identiques, il est évident que le nombre total des permutations sera égal à p fois le nombre des permutations dissemblables, et conséquemment sera divisible par p. Supposons que deux permutations semblables PO. TV. EFVZz, V. FZPO. T puissent étre identiques, et que P qui occupe la premieère place dans la première, occupe la n+ rieme dans la seconde: on aura dans la dernière série le
2+ rieme terme égal au 1er, le n+ 2ieme égal au zime, elc.,
d'où résulte que le 22+ 1ieme est encore égal au premier, et par-
conséquent le 3 n+‿ 1⁰me, et généralement le An+ meme égal au mième(oùð quand n †m=p, il faut imaginer qu'on reprenne tou-
qu'on ne retranche de n-m, le multiple de p, qui en approche le plus en moins). Cela posé, si on détermine de manière que kn= 1(mod. p), ce qui peut toujours se faire, puisque p est premier, il suivra de là que gêénéralement le mieme terme serait égal au m- 1 me, c'est-à-dire qu'un terme quelconque serait égal au sui- vant, ou que tous les termes seraient égaux entre eux, ce qui est contre l'hypothèse. V 42. Si les coellciens a, b, c, elc., n; a, b, c', exc., m; de deuæ fonctions de la forme b
„—————.. 5
0 Si Ton écrivait en cercle les permutations semblables, de maniere que la dernière chose touchAât à la premieère, il n'y aurait aucune différence entre elles,
4„. 8 3. W. 0* A
Parcequ aucune place ne peut s'appeler la première ni la dernière.
jours par le commencement, la serie T. FZzPO. 7, à moins

d ditten es eanddah Autreg e dans cha. de bune 8 Ans Tautre; nS A1ÖB 00 E les. choses il est e quelconque , à la troi⸗ done si au- ques il est al à p fois le emment sera 3 semblables identiques, ere, occupe nidre série le Tome, etc.. lier, et par- ſeme égal au eprenne tou- .7, à moins en approche manière que uisque y est serait égalau égal au sui- „ ce qui est
1c., E'; A
Mm
—
zanièere que la
ARITHMETIOUES. 27 n.-† aTx-1. bTs†.. Tn..(P) ꝓre.νρ‿‿+ιοσε‿ι‿‿ nu..(0)
sont tous rationnels, mais non pas tous entiers, et quie le pro-
Huit soit ει‿ρμ Ax‿μι‿ι.,.+ N ‚les coesficiens A, B, C, etc., N
ne peuveni&tre tous enliers.
En effet, réduisons à leur plus simple expression toutes les frao- tions qui peuvent se trouver parmi les nombres a, 6,, atc.; aν, 5', U, etc.; et choisissons un nombre premier p qui divise un ou plusieurs des dénominateurs de ces fractions. Supposons que p divise le dénominateur d'un ooefficient fractionnaire de(P), il est clair qu'en divisant(C) par p, on aura aussi dans(Q) au moins un coefficient fractionnaire dont le dénomi- nateur sera divisible par(le coefficient du premier terme, par exemple). Or on voit facilement qu'on pourra toujours trouver un terme fractionnaire de(P) dont le dénominateur contienne p élevé à une puissance plus grande que dans tous les termes qui précbdent, et non moindre que dans tous ceux qui suivent. Soit ce terme Gæs et? l'exposant de p dans le dénominateur. On trou-
vera un terme pareil dans 883, que nous supposerons être ra*, b
Pexposant de p dans le dénominateur, étant r; on aura au moins t-+˖ r= 2. Cela posé, le terme x³) du produit de(P) par(0) aura un coefficient fractionnaire dont le dénominateur renfer- mera p élevé à la puissancet+†r—IT.
En effet, soient Gastr,„Ga 12, eto., les termes qui précèdent
Gas dans(P); G'at, G, etc. ceux qui le suivent. Soient
de même dans(22, Tan tt, T'z? ta, etc., les termes qui pra-
cèdent Tær et PFal, T, etc. ceux qui le suivent. Dans
4
le produit de(P) par ⸗ coefficient de 22 2 sera évidemment
Le premier kerme GT sera une fraction qui, réduite à sa plus

4 ö 8“ 8 4 ———— —————— ———— Seee 3 ———.—— 4 ————* 2———— ————“ —.—.
— ——j y——
——— —————
Pesece nte ee
——— ——— ———
——
— —
—
— —
RECHERCHES
9 2* 4. 7„ 2 simple expression, aura son dénominateur divisible par. Si les autres termes sont fractionnaires, leurs dénominateurs ne contien-
.. t+7. dront que des puissances de moindres que y„ puisque chacun d'eux est le produit de deux facteurs, dont l'un ne contient qu'une
. 7,. puissance de p plus petite que p ou„, et l'autre une puissance
non plus grande que p ou p'. Ainsi Gr sera de la forme....
— ‚det le reste de la lore—„e, f, et f' étant indépen- p 5 b
2
2&£ dans de p. Donc la somme sera 4 1 dont le numérateur P n'est pas divisible par p, et dont parconséquent le dénomina-
teur ne peut éêtre ramené à renfermer une puissance de p moindre
que p r. Donc le coefficient du terme aε εν dans le produit de
7.4 P) par sera 4. ſ c'est-à-dire une fraction dont le dénomi- P—
ffp*
nateur renferme la puissance 7+ r— 1 de p.
45. La congruence du degre m
Aan †+‿ Ban †̃ Carne elc.+ Mæ+ N=o,
dont le module est un nombre premier p qui ne diuise pas A,
ne peut pas&tre résolue de plus de m manieres, ou n'a pas plus de m racines incongrues suivant p.
En effet, supposons, s'il est possible, qu'on donne des eongruences de différens degrés m, n, etc., qui aient plus de m, n, etc. racines; soit m le plus petit des nombres m, n, etc.; desorte que toutes les congruences d'un degré inférieur à m' s'accordent avec notre proposition. Comme elle est démontrée plus haut(n* 26) pour le premier degré, m sera= 2 ou= 2. Admettons donc Sruence Aa+‿ α etc.+ Mr. N=o, ait au m racines T==æa, A= 8, nombres,,,
que la con- oins m+ 1 7=, etc.; et supposons que tous les etc., sont positifs et plus petits que, ce qui est permis, et en outre que a soit le plus petit. Faisons dans la congruence proposée. a, elle deviendra
D Bo eto. † Mrν‿ u=o.

f+7 1d 8i les e Contien.
ue chacun ent qu'une
2 puissance
forme...
nt indépen-
numérateur
dénomina- 2p moindre
produit de
le dénomi-
ige pas A, a pas plus
Congruences tc. racines; que toutes avec notfe *26) pour que la con- oins m*n ge tous les p, ce qui ns dans la

ARITHMETIOUES. 29 Or Il est évident que cette congruence sera satisfaite si= o ou =H— a, ou=„— a, etc., racines toutes différentes, et en nombre m-1; mais de ce que=o est une racine, il suit que N' est divisible par p, on aura donce
. 2 g](Arr Be+ ete.+ M.)=o(mod. p),
congruence qui sera satisfaite, en y substituant à la place de une quelconque des m valeurs: Gβ—a,—, etc., qui sont toutes o et p. Parconséquent, dans ces différens cas,.....
Ayn+ Bos etc.+ M’ deviendra=o(n“ 22); c'est-à-dire que la congruence Ay"= † BAe etc.+ M’= o qui est du degré m—, aurait m racines; ce qui ne s'accorde pas avec notre théoréme, quoique nous ayons supposé que toutes les congruences d'un degré inférieur à m, y satisfissent; ce qui est absurde.
44. Nous avons supposé ici que le module p ne divisait pas le coefficient du premier terme; mais le théorème n'est pas restreint à ce seul cas. En effet, si le premier coeffieient, et mème quel- ques-uns des suivans étaient divisibles par„, on pourrait les né- gliger sans erreur, la congruence serait réduite à un degré in- férieur, et le coefficient du premier terme ne serait plus divisible par, à moins que tous les coefficiens ne le fussent, auquel cas la congruence deviendrait identique, et l'inconnue serait ab- solument indéterminée.
Lagrange est le premier qui ait proposé et démontré ce théo- rème(Mémoires de l'Académie de Berlin, ann. 1768, p. 192). Il se trouve aussi dans la Dissertation de Legendre, intitulée Recherches dnalyse indetermince(Histoire de l'Académie de Paris, 1785, p. 466)). Euler dans les BNouseauæ Commentaires Aoadémigues. Pétersb. XVIII, p. 93, a démontré que la con- Sruence— 1=o ne pouvait pas avoir plus de n racines. Quoique ce ne soit qu'un cas particulier, la méthode dont ce célèbre Géo- mètres'est servi, peut s'appliquer facilement à toutes les congruences. Il s'était déjà occupé d'un cas plus particulier(Comment. Ac. Pétersb. V. p. 6); mais cette méthode ne peut s'employer géné-
„

36 RECHERCHES
ralement. Dans la section VIII, nous démontrerons ce théoréme Gune autre manière; mais quoique toutes ces méthodes pu issent paraitre différentes au premier aspect, les gens instruits qui vou- dront les comparer, s'assureront aisément qu'elles partent toutes

)
ARITHRMETIQUEsS. 31
SECTION TROISIEME. Des Résidus des Puulssances.
5. T HEORKM E. Dans toute progression géomdtrigue... 6 a“, as elc., ouftre le premier termeée 1, il y en a encore un autre ar congru à l'unité suivant le module p premier auec a, Dea⸗ posant t ctant=p.
1 4
Puisque le module p est premier avec a, et Parconséquent avec une puissance quelconque de a, aucun terme de la progression
ne sera=o(mod.), mais chacun d'eux sera congru à quelqu'un
des nombres 1, 2, 3, 4. p— 1. Comme le nombre de ces der- niers est„— 1, 1 est évident que si l'on considère plus de„— x, termes de la progression, ils ne pourront pas avoir tous des résidus minima différens. Xinsi parmi les nombres 1, a*˙, ds..„d, on en trouvera au moins deux Longrus Soit donc an=a et m n⸗ on aura, en divisant par(),=n, ou m=npet So.
Exemple. Dans la progression 1, 2, 4, 8, etc. le premier terme qui est congru avec l'unité suivant le module 13, se trouve éêtre 2 4096, mais suivant le module 23, on a dans la mème pro-
gression, 21g= 2048= 1; de mèême Js e 15625= 1(mod. 7 9;; et
55= 3125= 1(mod. 11). Ainsi dans quelques cas Ia puissance de
a congrue avec l'unité, est Plus petite que ur, et dans G'autres, il faut remonter jusqu'à la puissance Pu, elle-même: N
46. Quand la progression est continuée au delà du terme qui est congru à l'unité, on retrouvera les mèmes résidus qu'on avait
à partir du commencement. Ainsi, soit aφ, on aura arra,
dar= as, etc., jusqu'à ce qu'on parvienne au terme a*², dont le résidu minimum sera de nouveau= 1, et la periode des résidus

. —— 4——— 3 —— 2—— —————— —— 3“
— — ——
—=
— — ——— ——
—--————
— —
———
—= ——
—
v“ ———.
32 RECHERCHES .. 2„ 0 3* recommencera. On aura ainsi une période de: résidus qui se ré- pétera continuellement, et l'on ne pourra trouver un seul résidu qui ne fasse partie de cette période. On aura en géènéral au= 1 et anmte=ja; ce qui peut se présenter ainsi suivant notre notation: si
r=p(mod. t), on aura aνσα(mod. p).
47. Ce théorème fournit le moyen de trouver facilement les résidus des puissances, quelle que soit la grandeur de l'exposant dont elles sont affectées, en même temps qu'on découvrira la puis- sance congrue à l'unité. Si, par exemple, on demande le reste de la division de 3 ⅛ par 13, comme 33=:(mod. 13), on at= 3, et comme d'ailleurs 100= 1(mod. 3), on trouvera 3 ση‿ς3(mod 13).
48. Si a' est la plus petite puissance congrue à l'unité,(en exceptant a= 1, cas que nous ne considérons pas), les t restes qui composent la période seront tous différens, comme on le voit sans difficulté par la démonstration du n“ 45. Alors la proposition du ne 46 peut ôtre renversée. Savoir, si an=a“(mod. p), on aura m=n(mod.*): car sim etn étaient incongrus suivantt,
leurs résidus minima a et» seraient différens. Mais a= au,
4 y& 4.. ¹=!; donc a=a, c'est-à-dire, que toutes les puissances au dessous de a' ne seraient pas incongrues, ce qui est contre l'hy- pothèse.
Si donc a*l*n(mod.„), on aura K=æo(mod. t), c'est-à-dire que& sera divisible par t.
Nous avons parlé jusqu'ici de modules quelconques, pourvu
qu'ils fussent premiers avec a. A présent examinons à part les mo-
dules qui sont des nombres premiers absolus, et établissons sur ce fondement des recherches plus géenérales. b
49. THEOREME. Si p est un nombre premier qui ne divise pas a, et que at soit la plus petite puissance de a congrue à l'unite, Peæposant t sera=p— 1, ou une partie aliquote de p— 1. Voyez pour des exemples le n 45.
Comme nous avons déjà prouvé que! est= p— ou p 1, il reste à faire voir que dans le dernier cas il est toujours une partie aliquote de— 1.
19⁰

leement les posant dont ta la puis. reste de la àAt= 3, et 13(mod.3).
unité,(en
„les t restes
e on le voit proposition
dd. P)„ oll s suivantt,
puissances contre l'hy.
c'est-àdire
es, pourvu dart les mo- ssons sur ce
Eoise pas à, 3 punité, « p—.
Sujours uné
1⁰
——.
—
b
————
—
—— ——
—
——
——*.——— ————

ARITHMETIOVUES. 5 '. Rassemblons les résidus minima bositifs de tous les termes, 1, a, a*, a. a*, et désignons-les par a, a, a, etc. desorte qu'on ait a=1,=a, a= a:, etc. il est visible qu Jils seront tous diffé- rens; car si deux termes a", a donnaient les mêmes résidus, on aurait a= 1(en supposant m n et m—n 2:); ce qui est absurde, puisque a est la plus petite puissance de a congrue à l'unité. Au reste tous les nombres a, a², al, eto. sont compris dans la série 1, 2, 3, 4.„— 1, série qu'ils n'épuisent pas lorsque t.— 1. Nous désignerons par(Ah) la somme de tous ces résidus, et(Ah) comprendra un nombre? do termes.
. Prenons un nombre quelconque 3„ parmi ceux de 1 serie 1. 2, 3..„— 1 qui manquent dans(A). Multiplions 3 par 4, a², l, etc, et nommons 8, ˙,“, etc. les résidus minima qui en Proviendront, et qui seront aussi en nombre 71. Ces résidus seront différens entr'eux, et différeront des nombres a, a, α, etc. En effet, si la première assertion était fausse, on aurait Gan ga d'où l'on tire, en divisant par, ar=au: ce qui est contre ce que nous venons de démontrer: si la dernière l'était, on aurait Ban= a; d'où, quand nm,[= aun, c'est-à-dire que 6 serait congru à quel- qu'un des nombres a, a,*, etc.: ce qui est contre l'hypothèse; mais sin=m, on aura, en multipliant par a*, gar= arra-m, ou, comme 2*= 1,= a nn, d'où résulte la même absurdité. Désignons Ppar(B) la somme des nombres, 6“, 5“, etc. qui sont en nombre 715 on aura déjà 2t nombres pParmi ceux-ci 1, 2, 3.„— 1. Done
8i(22) et(B) épuisent cette série, on aura t= 1
3⸗.Mais vil en manque quelques-uns, soit un de ceux-là. Malälione, ν, etc, par, et soient,,“, etc. les ré- sidus minima de ces urO luits„ dont nous qesignerons l'ensemble Par(C);(&) comprendra t nombre pris dans la série 1, 2, 3.„— 1 qui seront tous différens entr'eux et non-compris dans(A) et(B). Les deux premières assertions se démontrent comme ci- dessus(2“); quant à la troisième, si l'on avait yan= Pau, on en tirerait= Ga²-n, ou y= Sa nn, suivant que m hn ou Pn. Dans Pun ou l'autre cas serait congru à quelqu'un des nombres dui composent(2);ce qui serait contre l'hypothèse. On aura ainsi 32

2—
·
—— ö“—————
34 RECHERCHES
nombres pris dans la série 1, 2, 3..P— 1, et s'il n'en reste plus,
1=— conformément au théorème.
4o. Mais v'il en reste engore quelques-uns, on arrivera de même à une quatrième somme de nombres(D), etc.; et comme la
érie 1, 2, 35, etc.— 1 est finie, on voit que l'on parviendra né-
cessairement à l'épuiser, et— 1 sera un multiple de t; donc? sera une partie aliquote de p— 1.
50. Puisque— est un nombre entier, il suit qu'en élevant
b b es L chaque membre de la congruenee.ι(mod. p) à la puissance?.
on aura a-= 1(mod. p); c'est-à-dire, que a— 1 sera toujours divisible par p quand p est premier et qu'il ne divise ꝑas a.
Ce théorème remarquable, tant par son élégance que par sa grande utilité, s'appelle ordinairement théeorémèe de Fermat, du nom de l'inventeur.(Fermatii opera Math. Tolosæ 1679. Fol. p. 163.) Fermat n'en a pas donné la démonstration, bien qu'il ait assuré qu'il l'avait trouvée. Euler en a le premier publié une dans la Dissertation intitulée: Demonstration de quelgues theorémes, relatifs auæ nombres premiers.(Comm. Ac. Pétrop. T. vIII)(*); elle est tirée du développement de(aαιν, qui fait voir par la forme des coefficiens, que(a.)—*ν— est toujours divisible par p, et que parconséquent(a‿¼*—(a+ 1) le sera si a a Fest. Or comme 1— 1 est divisible par p, 27— 2 le sera donc; et partant 37— 3, et généralement— a. Donc si p ne divise pas, on aura aussi a*‿.ν— 1 divisible par p. Ce que nous venons de dire suffit pour faire connaitre l'esprit de la démonstration.
(*) Antérieurement(Comm. Petr. T. Vl. p. 196) ce grand homme n'était pas parvenu encore au but. Dans la fameuse discussion entre Maupertuis et Konig, sur le principe de la moindre action, discussion qui les jeta dans des digressions etrangères„Konig assura qu'il avait entre les mains un manuscrit autographe de Leibnitz, qui contenait une démonstration de ce théoreme conforme à celle d Eufer(Appel au Public, p. 106). Quoique nous ne voulions pas refuser de eroire à ce témoignage, il est sür cependant que Leibnitz n'a jamais publié sa démonstration.(Faoyez Hist, de l'Acad. de Berlin, 1750. p. 530).
We⸗ Ae k er daer wne 8 r rebe 2—ſza Za, Ja 4, Jo Ua
T&⅞,
—“ 1
t
2 ꝓn
2— ₰—/ 1 8.— ſu N„ 2,. ₰₰b— ₰ 7 K. 4 ℳ 4ℳ He XæE e ee aAdoee— ee AA ſ, e 2—
◻ 3 S.— &regt Mneee e.—
—
p,
Z
7
(E&-
1.
———————O—OOO———
„.— 2 2———— 7, 2 ℳ 2„, ea ert La re V en a—f 2 u/
3, 4ℳ,-— A=27 ſ
——
Aa&. LE.4.“ ho R ᷑⸗ S O— 2 1eμσπ„ 2l„7— „ 7
²—— ↄ

u loujours Tas a.
ſue par 8a enmat, du l. p. 163.) assuré qu'il issertation
); elle est la forme le par p, P'est. et partant e pas a, fenons de nstration,
..
2 n'Stait pas Set Konig, digressions ographe de we à celle
refuser de 3 publis 82
, omee e Kt 2., Tee A, a, A e2 K᷑= ſ 2 2 A—, 6 mrs O,= 22te aguet Se ſuue
ARITHMETIOUES. b 35 Lambert en a donné une semblable,(Acta eruditorum. 1769, p. 109.). Mais comme le développement de la puissance d'un binome semble étranger à la théorie des nombres, Euler(Comm. nov. Petrop. T. VIII, p. 70.) donna une autre démonstration qui est conforme à celle que nous venons d'exposer. Dans la suite il s'en présentera encore d'autres: ici nous nous contenterons d'en donner encore une déduite du mèême principe que celle d'Euler. La proposition suivante, dont le théoréme en question n'est qu'un cas particulier, nous sera utile pour d'autres recherches. 51. Si p est un nombre premier, la puissance p du polynome a+‿˖ b †o+ etc. est= ar be † cr ˖ etc. suivant le modale p.
On sait que(a.ᷣᷣ‿οο etc.) est composé de termes de la
forme Pau 5 etc. où l'on a a+‿+etc.= p, P 6tant le
nombre de permutations de p choses, dont α, 6,, ete. sont respectivement égales à a, 5, o, etc. Mais nous avons fait voir (n 41) que ce nombre était toujours divisible par p, à moins que toutes les lettres ne fussent égales entr'elles; c'est-à-dire, à moins que l'un des nombres,,, ete. ne füt égal à, et les autres égaux à z6ro; d'ou il suit que tous les termes du développement, excepté a, be, etc. sont divisibles par, et que pareonséquent
(aριᷣνμ ete.y=a‿νᷣν£‿‿μρσν‿ ete.(mod. p).
Si toutes les quantités a, 5, o, etc. sont supposées= 1, et que leur nombre soit K, on aura K= K, comme dans le ne pré-
cédent.
52. Comme les nombres qui sont diviseurs de— 1 sont les seuls qui puissent servir d'exposans aux plus petites puissances congrues avec l'unité, on est porté à chercher si tous les diviseurs de p— jouissent de cette propriété; et, quand on classe tous
les nombres non divisibles par p suivant l'exposant de leur plus
petite puissance congrue à l'unité, combien il y en a pour chaque exposant. Nous observerons d'abord qu'il suffit de considérer les
nombres positifs depuis 1 jusqu'à— ¹: il est vident en effet que
les nombres congrus doivent être élevés à la même puissance pour
devenir congrus à l'unité, et que parconséquent un nombre quel-
eonque doit ètre rapporté au même exposant que son résidu minimaim
2 ee(¶)
, 4 e

RFECHERCHES
positif; ainsi nous avons à rechercher comment les nombres 1, 2, 3...p— 1, doivent éêtre distribués sous ce point de vue, relativement aux facteurs de p— 1. Pour abréger, si dest un des facteurs de p— 1, entre lesquels on doit compter et— 1, nous représenterons par+d la multitude des nombres positifs plus petits que, dont la puissance d est la plus petite qui soit congrue
à lunité.
53. Pour nous faire entendre plus facilement, nous préèsente- rons d'abord un exemple. Soit„= 19, les nombres 1, 2, 3. 18 peuvent se distribuer de la manière suivante relativement aur diviseurs de 18: b
2118. 51. 6113. 9 4, 55,5. 18 113, Pue Ainsi dans⸗ cas+= 1, 42= 1, 43= 2, 46= 2, 9= 6, 4 8= 6. Avec une légère attention on voit qu'il y en a; rela- tivement à chaque exposant, autant qu'il y a de nombres premiers avec cet exposant et non plus grands que lui, ou bien, en reprenant le signe du ne 40, que+d= Od. Mais on peut démontrer gêéné- ralement cette observation de la maniere suivante:
1⁰. S'il y a un nombre a appartenant à l'exposant d, c'est-à-dire dont la puissance d soit congrue à l'unité, et les puissances infé- rieures incongrues, toutes les puissances de ce nombre, savoir a, a¹, as, ao. a¹, ou leurs résidus minlm, auront leur puis- sance d congrue avec l'unité; et comme cela peut s'exprimer en disant que les résidus minima des nombres a, a-, as,... a¹ quĩ sont tous différens sont les racines de la congruence 1, qui ne peut avoir plus de racines différentes, il est évident qu'il n'y a pas de nombres autres que les résidus minima de a, a* as,... as, dont les puissances d soient congrues à l'unité; d'ouù il suit que les nombres appartenans à l'exposant se trouvent tous entre les rèsidus minima des nombres a, a-*, as, ad. On déterminera comme il suit quels ils sont et quel est leur nombre. Si est un nombre premier avec d, toutes les puissances de a*, dont les
exposans sont=8A, ne seront pas congrues à l'unité. Soit en
1— 8 effet ⁊(mod. d)= m(voyez n“ 31), on aura aw= a; donc si la

3 présente. 2, 5... 18 ement aux
„3, 10 ¹ 14, 15
X+9=b, n a; rela- es premiers nreprenant trer géné-
vest-à-dire unces infé- te, savoir leur puis- primer en ... u¹ gui 1, qui ne qu il n'y a 93,.. 2„ il suit que entre les gterminera i K est un „dont les „, Soit en
donc si la

ARITHMETIOUES. 3 puissancee de altait congrue à l'unité, et que li on et e= d, on au- rait aussi aνν ‿ 1, ef Parconséquent a== 1; ce qui est contrel: hypo- thése. Il est Irident d'après cela, que le résidu minimum de a appartiendra à d; mais si k a un commun diviseur avec d,
le résidu minimum de at n appartiendra pas à l'exposant. Car 33 est divisible Par d, ou bien—= o 6 mod. 4);; Pärsons6-
kg dmion Eoh a 4½
quent a J=1; c'est-à-dire de 1. Nous conclurons de là qu'il y a autant de nombres appartenans à l'exposant d, qu'il y a de nombres premiers avec d dans la série 1, 2, 5.„ 9. Mais il faut se souvenir que cette conclusion suppose qu eil existe déjà un nombre a appartenant à l'exposant d; parconséquent il reste dou- teux s'il ne pourrait pas se faire qu'aucun nombre n'appartint à un rpodant donné, et la conclusion se réduit à 444=o, ou e,
54. 20. Soient d, a, d', eto. les döiseufs de p— 1; comme tous les nombres 1, 2, 3. p— 1 doivent ôêtre gistrihues entre ces diviseurs, on aura 4+‿ d.+ Xa Petc.=p— 1. Mais(n⸗ 4⁰) nous avons démontré que ↄd 4‿ ↄd+ ↄd † etc.= p— 1, et du n- précédent il suit que+d= Oou= Od; et parconséquent que„d ne peut pas être Qd; ce qui s'étend à †⁴α et, etc. Si donc un ou plusieurs des nombres Jd, Ja, etc. étaient plus petits que correspondans parmi les nombres 9d, Od', etc., la somme des premiers ne pourrait ètre égale à la somme des derniers. D'où nous concluons enfin que dans tous les cas,+l= 9, et que parcon- séquent 44¹ ne dépend point de la grandeur de P— 1.
55. Il y a un cas particulier de la proposition précédente qui mérite de fixer notre attention; le voici: il existe loujours des nombres dont auoune puissanoé plus petite que— 1 est congrue à l'unité; il y en a même autant entre 1 et— 1, qu'il y a au- dessous de„— 1 de nombres qui lui soient premiers. Comme il s'en faut bien que la démonstration de ce théorème soit aussi évidente qu'elle le paratt d'abord, nous en donnerons une un peu différente de celle qui précède ‚ d'autant plus que la diver- sité des méthodes aide beaucoup à jeter du jour sur les points les plus obscurs.

38 HKHECHERCHES
On décomposera p— en facteurs premiers„ de manière qu'on
miers inégaux. Alors nous composerons la démonstration des deux propositions suivantes:
1*. On peut toujours trouver un nombre A, ou plusieurs appar- tenans à l'exposant a², et de même des nombres B, O, etc. appar- tenans aux exposans 586, ey, etc. b
2⁰. Le produit des nombres AN, B, O, etc. ou le résidu minimum de ce produit appartiendra à l'exposant— 1; ce qui se démontre ainsi qu'il suit.
1*. Soit g un des nombres 1, 2, 3. p 1 qui ne satisfasse pas
à la congruence.*= 1(mod. p); car tous les nombres ne
peuvent pas satisfaire à cette congruence, dont le degré est
4
2—1 p— 1. Alors je dis que si l'on fait ga=h, k ou son rèsidu minimum appartiendra à l'exposant a*. b
A 2—1 2— En effet il est évident que hê= ge=r; mais hh=g“, et parconséquent sera incongru à l'unité, et à plus forte raison les
4— 2
puissances h„ ha je seront aussi. Or l'exposant de la plus petite puissance de h congrue à l'unité, c'est-à-dire l'exposant 6 auquel happartient, doit ètre un diviseur de a“(n 48); et comme a* n'est divisible que par lui-mème, ou par les puissances in- férieures de a, il s'ensuit nécessairement b que a*ν sera. Pexposant auquel 5 appartient. On démontrera de la même manière, qu'on
peut trouver des nombres appartenans aux exposans 56„oy, etc.
20. Si nous supposons que le produit de tous les nombres AI, B, O,. etc. n'appartienne pas à l'exposant p— 1, etc., mais à un expo- sant plus petit, t devra être un des diviseurs de„— 1(n* 48), ou
P— 1*. 2 1 3 2*. G — sera un entier* 1. II suit de là que ce quotient sera un
ait—1— 2250 ete. a, 5, c, etc. Stant des nombres pre-

nidre quba ombres nre. ztration qes
ieurs appar. etc. appar-
du minimum se démontre
atisfasse pas
nombres ne
le degré est
zu son résidu
⸗1 2— —5„ et 6 raison les
t de la plus re l'exposant
zet comme lissances in- a. Texposant aière, qu'on 6 07, etc. bres A— B*
3 à un expo-
(n 48), ou
ent sera ul
si on les lee; à la Puissance
ARITHMETIOUES. 59
des nombres premiers a, 5, o, etc., ou du moins qu'il sera divi-
sible par quelqu'un d'enx(ne 17), par a, par exemple, car le ralsns
nement est le même pour les autres. t divisera ainsi—; donc le produit A C etg. serait encore congru à Punité, en Lelevant à la puissance n 46). Mais il est évident que tous les nombres„B, C, D, ete.(Eeepie. 22) deviennent congrn 9 unité,
„ Pnisqne les eDechntanels
1 eoehuneenene T,2.. divisent— Donec 4* Sn an.
2— 1 0☛☚ 0. etc.= A= 1;; donc 22 doit diviser—
(n- 46), c'est-
doit stre entier„ce qui est ſe(n? 15). Donc
à-dire que ² a*
enfin notre zpo eitzon ne peut subsister, c'est-à-dire que le pro- auit ABC etc. appartient réellement à Fexposant„— 1.
La dernière démonstration semble un peu plus longue que la première, mais elle est plus, directe.
656. Ce théorème nous fournit un- exemple remarquable de la circonspection dont on a besoin dans la théorie des nombres, pour ne pas regarder comme démontrées des choses qui ne le sont pas. Lambert, dans la Dissertation que nous avons citée plus haut, fait menrion de cette proposition, mais ne dit pas un mot de la nécessité de la démontrer. Personne mèême n'a tenté de le faire, excepté Euler(Comm. nov. Ac. Péetrop. T. XVIII, p. 85), dans son Mémoire intitulé: Demonstrationes circa residua ex divi- sione potestatum per numeros primos resultantia. On peut voir surtout l'art. 37, dans lequel il a parlé avec étendue de la nécessité de démontrer cette proposition. Cependant la démonstration de cet homme pénétrant présente deux défauts; l'un tient à ce qu'il sup- pose tacitement, art. 31 et suivans, que la congruence= 1, (en ramenant ses raisonnemens à notre notation) a réellement n racines différentes, tandis qu'il était seulement démontré que cette congruence ne peut en avoir davantage; l'autre— à ce qu il ne déduit que par induction la formule du ne 34.

— — —
———————— ———— ———— ———xx—————
v“
Seee—
———
—
— —
—
—
40 RECHERCHES 57. Nous nommerons avec Euler, racines primitives les nom- bres qui appartiennent à'exposant p— 1. Si donc a est une racine primitive, tous les résidus minima des puissances a,*, a8, aAr seront différens; d'où l'on déduit facilement qu'ils se trouvent tous parmi les nombres 1, 2, 35,„— 1 qui sont en même nombre qu'eux, c'est-à-dire que tout nombre non divisible par p est congru à quelque puissance de. Cette propriété remarquable est d'une bien grande utilité, et peut considérablement abréger les opérations arithmétiques relatives aux congruences, à peu près de la même manière que l'introduction des logarithmes dans Parithmétique ordinaire en abrège les opérations. Nous prendrons arbitrairement pour base une racine primitive a, à laquelle nous rap- porterons tous les nombres non divisibles par p; et si on a αν‿z (mod.), nous appellerons e l'indice de b5. Par exemple, 2 est une racine primitive suivant le module 19; si on la prend pour base,
aux nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
rèpondront les indices
[0, 1, 15, 2, 16, 14, 6, 3, 8, 17, 12, 15, 3, 7, 11, 4, 10, 9.
Au reste il est évident que pour la mème base chaque nombre a plusieurs indices, mais qui seront tous congrus suivant le mo- dule p— 1; aussi quand il sera question d'indices, ceux qui seront congrus suivant le module„— 1, seront regardés comme équivalens, de même que les nombres sont regardés comme équi- valens lorsqu'ils sont congrus suivant le module p. 4
58. Les théorsmes qui regardent les indices sont absolument analogues à ceux qui regardent les logarithmes. L'indice d'un produit de tant de faoteurs qu'on voudra, est congru à la somme des indioes des digjérens facteurs, suivant le module p— 1.. Lindice de la puissance d'un nombre est doongru, suipans Ie modale p.— 1, au produit de l'exposant par l'indice du nombre donndé. b Nous omettons les démonstrations à cause de leur simplicité. On voit par là que si nous voulions construire une table qui donndât

‚s les nom. une racine 90, g= ouyent tousg me nombre Par p est emarquable dent abréger — à peu piss ithmes dans us prendrons Nle nous rap- on à ¹αεέ 5 Ze, 2 est une pour base,
15, 16, 17, ¹8 11, 4, 1¹0, 9.
aque nombre nivant le mo- es, ceux qui ardés comme comme équi-
t absolument
voudra, est eurs, suivant
agru— Sulpanl ice du nombre
ur simplieite
une table qui donnât

ARITHMETTOVUY. Aonnat les indices de tous les nombres pour différens modules, nous pourrions nous dispenser de tenir compte de tous les nombres plus grands que le module et de tous les nombres composés. On trouvera à la fin de cet ouvrage un essai de cette table(Tab. I). Dans la première colonne sont rangés les nombres premiers et les puissances de nombres premiers depuis 3 jusqu'à 9⁷, qui doivent être regardés comme des modules: à côté de chacun d'eux, dans la colonne suivante, les nombres pris pour bases; suivent alors les indices des nombres pre- miers successifs, qui sont écrits par tranches composées de cinq cha- cune; en tête se trouvent les nombres premiers disposés dans le mème ordre. Desorte qu'on peut trouver facilement l'indice qui répond à un nombre premier donné„suivant un module donné.
Soit par exemple„= 6; l'indice de 60, en prenant 12 pour
base:, sera-
=a Ind. 2+ Ind. 3+ Ind. 5(mod. 66)= 58+9+. 39= 40.
159. L' indice de la valeur d'une expression quelconque; 5(mod. p),
(ne 31) est congru suivant le module p— 1, à la différence des indices du numérateur a et du dénominateur 5, pourvu que les
nombres a et b ne soient pas divisibles par p.
Soit en effet c une valeur quelconque de cette expression, on aura bo= a(mod. p); donc Ind. 5+ Ind, Ind. a(mod. 7e), et
Ind.= Ind. à— Ind. 5.
Si donc on a deux tables, dont Pune donne les indices qui réè- pondent à chaque nombre pour un module quelconque, et dont l'autre donne les nombres qui répondent à des indices donnés, on pourra résoudre facilement toutes les congruences du premier degré, puisqu'on peut toujours les ramener à d'autres dont les modules soient premiers(u- 30).
Soit Pi exemple la congruence 29 ⸗ 7=o( mod. 47), on aura
= 2(mod. 47)
De A b b
Ind. a=Ind.—/- Ind. 29= Ind. 40— Ind, 29= 15— 43=1 8(mod. 46); Tu
———————

——
2 4 *— —
„, RECHERCHES
5.“““ e —“ 4 1 4 4— ——=———— —.— 4 ——— 5“ 5 ———— e———— 2—— ————*—— ————————— 2 2———— 2——————————. ——————————— 4
or 3 est le nombre qui a pour indice 18; done ‿☛α(mod. 47).
8* 2 4. 1— Nous n'avons point ajouté la seconde table, mais on verra dans
la section VI comment on peut la remplacer par une autrée.
60. De même que dans le ne 31 nous avons désigné par un signe particulier, les racines des congruences du premier degré, dans ce qui 2— 3 4 1. 8*2 0 g
va suivre, nous représenterons par un autre signe les racines des con
„. gruences à deux termes des degrés supérieurs; et comme A ne signifie autre chose que la racine de l'équation σ‿; en ajou-
tant le module, 9 A(mod. p) représentera une racine quel- conque de la congruenee(mod.„). Ainsi nous dirons que
2 3* 0 l'expression ᷣßA(mod.„) a autant de valeurs qu'elle en a d'in- congrues suivant p; car toutes celles qui sont congrues suivant doivent être regardées comme équivalentes(n* 26). Aureste il est clair
que si A et Bsont congrus suivant p, les expressions v(mod. p),
8 B(mod.) seront équivalentes.
Maintenant si l'on fait 7 A=Xæ(mod. p), on aura n Ind. æ= Ind. A(mod. p— 1). On déduit de cette congruence, d'après les règles de la section II, les valeurs de Ind. x, et de là les valeurs correspondantes de æ; mais on voit facilement que a autant de valeurs qu'il y a de racines dans la congruence...
72 n Ind. æ Ind. A(mod. p— 1); done A n'aura qu'une va- leur, quand n sera premier avec p— 1; mais lorsque n et— 1, au- ront un commun diviseur, et que sera le plus grand, Ind.
. n„ aura valeurs incongrues suivant p— 1, et parconséquent ‿ aura autant de valeurs incongrues suivant p, pourvu que Ind. A soit
divisible par D. Sans cette condition, A n'aurait aucune valeur réelle. b
Si l'on cherche par exemple les valeurs de l'expression 8 11 (mod. 19), il faut résoudre la congruence 15 Ind. ⸗ Ind. 11=6
(mod. 18), on trouvera trois valeurs de Ind.* ‿ 4, 10, 16,(mod. 18), d'ouù il résulte σ☛, 9. 4.

3(mod. 9h). n Verra daug e Autre.
ar un 1
mme VA zen ajeu⸗
racine quel. dus dirons que
lle en aà d'in. rues suivant„ reste il est clair
7A(uod.)
Wra..... congruence, d., et de là ement que xa grueuce....
ra qu'une va- 2et— 1, au- grand, Ind. nséquent 2 4 ue Ind. Ascit aucune valeur
1. ression 1I
=Ind. 11=
16,(mod. 5)
ARITHMETTOUES. 45 61. Quoique cette méthode soit très-expéditive, quand on a les tables nécessaires, nous ne devons cependant pas oublier qu'elle est indirecte; il sera donc utile de chercher ce que peuvent donner les méthodes directes. Nous allons exposer ici les observations que l'on peut déduire des notions précédentes; quant à ce qui exige des consi- dérations plus profondes, nous le réserverons pour la section VIII.
Nous commencerons parle- eas le plus simple; celui ob A=n„C'est- à-dire, dans lequel on cherche les racines de la congruence ᷣάσ☛άσά (mod. p). En prenant pour base une racine primitive quelconque, on doit avoir n Ind. æͤ= o(mod.„— 1). Quand n est premier avec „— 1, cette congruence n'aura qu'une seule racine, savoir.....
Ind. æ=o(mod.„— 1); donc, dans ce cas 1(mod. p) naura
qu'une valeur ⸗=t 1(mod. p); mais quand n et— 1 ont pour plus grand diviseur commun, la solution Dunpl. de la con-
gruence n Ind. ‿σÆ(mod.— 1) sera ☚☛
c'est-à-dire, que Ind. x devra être congru suivant le deee„— 1 à
quelqu' un des nombres o,..—(Tenc)⸗ 95„ou qu'il
aura valeurs incongrues suivant le module 2n; done aussi, dans ce cas, aura valeurs incongrues suivant p. On voit ansst
que l'expression 7 1(mod. p) a aussi valeurs dont les indices sont
3 absolument les mêmes que les précédens; donc l'expression 1
(mod. p) est tout-à-fait équivalente à l'expression 8 1(mod. p),
9 ou ce qui revient au mêème, la congruence ½(mod. p) et la congruence σ(mod. p) ont les mêmes racines; mais la Premmibde est d'un degré inférigur à moins qu'on n'ait d.n.
Ea. 1(mod. 19) a trois valeurs, parceque 3 est le plus grand commun diviseur de 15 et 18; elles seront également celles de l'ex-
pression 5 1(mod. 19). Ces valeups sont r, 7, II.
62. Cette réduction nous offre un grand avantage, puisqu'on n'a plus besoinde résoudre parmi les congruences de la forme ☛(mod. p) 2

47 5 K⁴tu, MW
1“ 8 8 1 ͤͤͤ ————— ——————— 6 1. —————— 3 —————— 8— ———— —.—— — 8————————* .———.——“ 4
— —.
———
Af, 5— 2
44 RECHERCHES que celles où est diviseur du module diminué de Punité. Mais nous ferons voir plus bas que les congruences de cette forme peuvent encore s'abaisser davantage, quoique ce qui prècède ne suffise pas pour cela. Il y a cependant un cas que nous pouvons traiter ici à fond, celui on= 2. Il est évident en effet que les valeurs
de l'expression 3 1(mod. p) seront+ r et— 1, puisqu'elle n'en peut avoir plus de deux, et que+†r et— 1 sont incongrus, à moins que le module ne soit= 2, cas auquel il est clair que 2 n'aurait qu'une seule valeur. Il suit de là que+r et— 1 sont aussi les valeurs
—
. zm„m. 1. de l'expression(mod. p), quand in est premier avec 2—, ce qui
*.— 1. arrivera toujours lorsque le module sera tel que— soit un
nombre absolument premier; par exemple, quand„= 3, 5, 7, 11, 23, etc., à moins que p— 1= am, cas auquel tous les nombres 1, 2, 3.— 1 sont racines. Remarquons, eomme conséquence,
que l'indice de— 1 est toujours—(mod.„— 1), quelle que
soit la racine primitive que l'on prenne pour base; car 2 Ind.
(M— 1)=o(mod.p— 1); donc Ind.(— 1) sera=o ou=—:; 2
mais o est toujours l'indice de+1, et+†rü et— 1 doivent avoir des indices différens, excepté dans le cas où= 2, qu'il n'est pas nécessaire de considérer.
1 1 1 63. Nous avons fait voir(no61) que l'expression A(mod. p) a valeurs différentes oun'en a absolument aucune, si est le plus grand commun diviseur des nombres n et— 1. Orde méême que nous avons
trouvè que Aet 84 A Staient équivalentes quand ona A=r, nous prouverons plus généralement que l'expression 9 4 peut toujours Stre ramenée à une autre 7 B, à laquelle elle est équivalente. Soit en effet=A, et 1 une valeur quelconque de Pexpression 2
(mod. p— 1) qui aura toujours(no 31) des valeurs réelles. De 6. 2duit ᷣ—; la congruence ανσά on déduit aνέςA; mais à cause de In=
— 9— 9 2. 4 (mod. p— 1), νσσσ; donc a ̃ A. Ainsi une valeur quelconque

de Punt, 6 cette korme u précède ne nous pouvons lue les Valeurs
velle n'en peut grus, à moinz 6 V2 waurait ussi les valeurz
cr— ; Ce qui
—1
291 — Soit un
1p= 3„ 5, 9
us les nombres
conséquence,
¹), quelle que
se; car 2 Ind, —!
0 du—— 2
doivent aroir „qu'il m'est pas
A(mod. p)ad est le plus grand
que nous apons 1a A=I, nous I peut toujouts wuivalente. 4 Pexpression
urs réelles. De ause de 1I=
eur quelconqut

ARITHMETTOUES. 4
Ie 9 44 sera aussi une valeur de A zet toutes les Li, que„/ As aura
des valeurs réelles, elle sera absolument équivalente à l'expres-
sion 5 A, puisqu'e'elle ne Peut avoir de valeurs différentes, ni en
moindre nombre. II est vrai cependant que 9 ℳ peut avoir. ddes valeurs réelles, sans que pour cela 8 A en ait nécessairement.
FEaxemple. Si l'on cherche les valeurs de Lexpression V2 (mod. 31), le plus grand commun diviseur des nombres 21 et 30
est 3, et 3 est une valeur de(mod. 30); donc si 2 a
des valeurs réelles, elle équivaudra à l'expression ν ou 8; on trouve effectivement que les valeurs de la dernière quis sont 2, 10 et 19, satisfont aussi à la première.
64. Mais afin de ne pas entreprendre inutilement cette opération, il est nécessaire de chercher le caractère auquel on Pourra recon-
nattre si A admet ou non des valeurs réelles. Si on a une table
⁵ d'indices la chose est facile, car(no 60) A aura des valeurs réelles quand Ind. A sera divisible par, en prenant pour base une racine primitive quelconque, et dans le cas contraire elle n'en aura pas; mais on peut aussi le découvrir sans le secours de cette
table. Soit en effet ⸗= Ind. A, 8i K est divisible par I, 4%— 12
sera divisible par p— et réciproquement; mais l'indice du — 1 3 br
. 7„. n 8— nombre 2* est 102— · 2, donc si(mod. p) a des valeurs
„—1
4 3 82 115 3 ⸗. 8* réelles, sera congru à l'unité; sinon, il sera incongru. Ains dans l'exemple de l'article précédent, on a 2%= 1024= 1
(mod. 31), d'où l'’on conclut que Pexpression 7 2(mod. 31) a
des valeurs réelles. De même nous voyons par là que ,— (mod. p) a toujours deux valeurs réelles, quand p est de la forme Am-†, et n'en a aucune quand p est de la forme 4 ſ+.‿ 3, car... (— 1)= 1 et(— 1) 1=— 1. Ce théorème élégant qui

8—
.——
—————— ——— 1 4 1— 4.—————— — 1 4— 5—— 4—— 3*.———— 8—. 8—— s 1—.— 8 ſ— 8———— 2————————— ſ—————— 1—— 4——————— *—— 4.——*————.—————————— ——————————
—
———
46 R ECHERCHES s'enonce ordinairement ainsi: Si p est un nombre premier de la forme Am+, on peut trouber un quarré a“ quii rende a= †: diol- Sible par p; mais si p est de la forme 4m— 1, on ne le pourra pas, a 6té démontré de cette manière par Euler(Comment. nou. Ac. Petrop. T. XVIII, p. 112, 1773). Il en avait donné une autre dé- monstration bien antérieurement(Comm. nou. T.v, p. 5, 1760); dans une premidre dissertation(T. Iv, p. 25), il n'était pas encore parvenu au but. Lagrange a depuis donné aussi une démonstration de ce théorème(Nouv. Mem. de l'Ac. de Berlin. 1775, p. 342). Nous en exposerons encore une différente dans la section suivante, qui sera consacréę à ce genre de considérations.
duire toutes les expres-
65. Après avoir examinè comment on peutré 2 1 1...
sions VA(mod.) à d'autres dans lesquelles soit diviseur dep— 1,
et après avoir trouvé le caractère auquel on reconnait s'il y a des ra-
cines réelles ou non, considérons avec plus de soin les expressions A (mod. p), dans lesquelles n est diviseur de„— 1. Nous ferons voir d'abord quelle est la relation qu'ont entr'elles les différentes valeurs de cette expression, ensuite nous indiquerons quelques artifices au moyen desquels on peut le plus souvent trouver une des valeurs.
.
10. Quand A=, et quer sera une des valeurs de l'expression V1 (mod. p), ou que r=(mod. p), toutes les puissances de? se- ront aussi des valeurs de cette expression; et il y en aura autant de différentes qu'il y a d'unités dans l'exposant auquel r appartient (no 48). Si doncr est une valeur appartenant à l'exposant n, les puissances r,, 13, 74. 7(où l'unité peut remplacer la der-
nière) renfermeront toutes les valeurs de l'expression V/11(mod. ꝓ.)⸗ Nous expliquerons plus en détail dans la section VIII comment on peut trouver ces, valeurs qui appartiennent à l'exposant n.
20. Quand A est incongru à L'unité, et que l'on connait une „ 3
valeur z de l'expression A(mod. p), on trouve les autres de la . 1 4. 2 4
manière suivante: soient 1, 7, 7*, 73,... r==n les valeurs de 1, on
aura 2, zr, 2r3, Zre.. zr pour les valeurs de A; car il est evi- .: 1. dent que tous ces nombres satisferont à la congruengexν‿˖A; puis-
d

Temiey de— 8+ 1 dit pourra pos, nl. nop. 40. une autre dé. p. 5, 1760); ait pas encore Smonstraticn 775„P. 542), ion suivante,
ates les expres-
iseur dep—¹, Silya desra-
pressions 14 as ferons voir rentes valeurs es artifices au des valeurs.
expression/ 1 ances de? se- n aura autant Ar appartient posant n, les dacer la der⸗
7 1( 1mod.p) —comment on nt I1.
1 connait une s autres de la
n urs de v on
cat il est. gri⸗
= A; pui
ARITHMETTOUES.„ qu'en effet, si zr' est un des nombres de la suite, comme ☚☛σ et que 2„= A, on aura r=r, et partant zur‿k-2 †)'= A. Ilest aisé de juger que toutes ces valeurs sont différentes( n0 23);; donc 1 exX-
pression 7 A ne peut avoir d'autres valeurs„Ppuisqu'elle ne peut ei—
avoir plus de n. Par exemple, si une valeur de 5 A est 2, Lautre sera— 2., On doit conclure de ce quĩ précède„ qu'on ne peut
trouver toutes les valeurs de 7 4,. à moins au- on ne puisse avoir
toutes celles de 9 1.
66. La seconde recherche que nous nous Stions proposée, con- siste à déterminer le cas ou l'on peut trouver directement une
valeur de Texpression 9. A(mod.„), dans laquelle n est diviseur de p— 1. Cela arrive quand il y a une valeur congrue à une puis- sance de A, et comme ce cas est très-fréquent, il ne sera- pas déplacé d s'y arrêter un instant. Soit cettè valeur, si elle existe„on aura
= Ax et 2“☛‿☚A(mod.„); done A= A“; et si l'on peut déter- miner K de manière que cette condition soit remplie, Aℳ gera la valeur cherchée;; mais la condition précédente revient à celle-ei kn=(mod. t), tétant l'exposant auquel A appartient. Or pour que cette congruence soit possible, il faut que n soit premier aVvèc t, et
dans ce cas on aura 4=5(mod.*); si au contraire? et n ont un
diviseur commun, aucune valeur de z ne sera congrue à une puissance de A.
67. Mais comme il est nécessaire pour cette solution de con- naitret, voyons comment il faut procéder quand on ne le connait
pas. On voit d'abord facilement que t doit êtré diviseur de
lorsque A(mod. p) à des valeurs réelles, ce que nous Ersah ici. Soit en effety l'une quelconque de ces valeurs, on aura(no 50)
en„ eto‿A(mod. p);; en élevant? à la Puissance— les
— deux membres de la Eesrüenos e= A, on aura al e 4 n=: 3 d' ailleurs A-= 1;, donc? o end ¹)(no 48). Or 81 9l est

—
8— 3“—— —— 2.— *“—— ———— 3h a An Bas3eed —— 1e———,— 4—— ——— 4—.— ——— 4—— ———.————— ————— ——— 2
——
——
——
— 8 —y
43 RECHERCHES premier avec n, la congruence In=i pourra etre rẽsolue suivant le module— ‚et toute valeur de qui y satisfera suivant ce module, y zatisfera aussi(no 5) suivant le module t diviseur de
—! =, donc on trouvera alors ce qu'on cherchait. Si²— n'est pas premier avecn, soit 7 le produit des facteurs premiers de—- qui divisent en mèͤme temps n; 43, sera premier avec n, et si 13 con-
dition que e soit Premie avec n a lieu, tsera aussi premier aveo
7, et comme il divise—
4, il divisera donc— ainsi en résolvant
la gongruence 1a== 1(waare ‚ce qui peut se faire puisque n
est premier avec— 7, la Hnleur de K satisfera aussi à la con-
gruence, suivant le module t. Tout l'artifice consiste à trouver un nombre qui puisse remplacer t, que nous ne connaissons pas; mais
il faut se souvenir que dans le cas où—, n'est pas premier avec n,
nous avons supposé n premier avec?; et si cette condition manque, toutes les conclusions sont fausses; c'est pourquoi, si en suivant té- mérairement les règles, on trouve pour z une valeur dont la puissance n ne soit pas congrue à A; le résultat prouvera que cette condition n'a pas lieu, et que partant la méthode n'est pas applicçable.
68. Mais dans ce cas mêème, il est souvent avantageux de faire cette recherche: elle offre l'avantage de faire trouver de vraies va- deurs au moyen des fausses. Supposons en effet que les nombres K et z aient été convenablement déterminés, mais qu'on n'ait pas 2=A(mod. p). Alors si on pouvait seulement déterminer les
1,4— valeurs de V„(mod. p), ces différentes valeurs étant multi- pliées par z donneraient celles de A: en effet, si v est une
„„„ valeur de Va on aura Lnz= A; mais l'expression 4. est
— 7 4 2—„ 2 plus simple que VA, parceque le plus souvent= appartient à un exposant moindre que A; car si d est le plus grand commun divi- seur

solue suiyant TA suivant 1 t diviseur èo —
— wes bas ers de— cui , et si la con- premier ayec
s'en résolyaut faire puisquen assi à la con-
e à trouver un sons pas; mais remier arecn,
lition manqve, len suivant té- ont la puissanc cette condition gdlicable.
ageux de faire er de vraies va- ne les nombres qu'on n'ait pas déterminer les 3 étant multi-
, si v est unb
. ssion es appartient à un
commun divi- zeur
—
1

ARITHMETIOUES. 49 seur det etf deg.₰(mod. p)appartiendra à l'exposant d, ce qui se dé= montre ainsi: puisque 2z= A“, il vient 44 AA=(mod. p); mais 1A est dir isible pare— 7(u Piac. 5.— est bar 7, ouF bar 3
E 8 ig D'ailleurs ¹ 5 est premier avec 2 3. done aussi— est divisible par 2
ou 27, Par 5 et partant n— 1 par 2. ou(k/— 1) Jpar t. Done
Wlie= ee 1(mod. p); d'où l'on déduit facilement que 6 6levé à la puissancè d est congru à l'unité. Il serait facile de Jémontren que 4 ne Peut pas appartenir à un exposant plus petit que d; mais comme cette démonstration ne peut nous être utile e, nous ne nous y. arréterons pas. Nous sommes donc certains que= 4(mod. P) ap-
partient toujours à un plus petit exposant mo Aℳ, cepte dans le cas unichue ouù Pon aurait Gtsen.
Mais à quoi sert que=r appartienne à un plus petit exposant
que A2 Ily a plus de nombres qui peuvent stre A qu'il n'y en a ℳ
qui Peuuent Stre—, et quand on a occasion de résoudre Phasisdrs
expressions 42 Tumze. n„ euivant, 12 mème moqule„on y gagne de pouvoir tirer d'une mêème source la solution de plusieurs. Ainsi,„
par exemple ‚on déterminera au moins une valeur de 3 A(mod. 29),
si l'on connait seulement les valeurs de 7— 1(mod. 29), qui
sont 12; en effet l'on voit sans peine„, par les articles
précédens, que l'on déterminera d'une manière directe une valeur
quand t est impair, et que d sera= 2 quand t est Paira, or il n' a que— 1 qui appartienne à l'exposant 2.
ZExemples. Soit 731(mod. 37); on a p— 1= 36, 2=3, ä= 12„ et
partant 7=5; il faut donc qu'on ait 5= 1(mod. 4), ce qui

ö“
——. ——yy——ööööö ———— — 4
5 ———
50 RECHERCHES b donne 4= 3. Donc 2=318(mod. 37)= 6; l'on trouve effective-
3„
vement 65= 31(mod. 37). Si les valeurs de 1(mod. 37) étaient 3
eonnues, on pourrait aussi déterminer les autres valeurs de Ʒ1:
or les valeurs de/ 1(mod. 57) sont 1, 10, 26; donc celles de/ 31 seront 6, 25, 8.
2
Soit maintenant 3.(mod. 37); on aura p— 1= 36, n= 22 ä= 18, et partant q= 2; donc on doit avoir 2=1(mod. 9), d'où K== 5; donc 2z= 55= 21(mod. 37); mais 21* n'est pas congru
2 avec 3, mais avec 34; or on a ᷑(mod. 37)=— 1 et”— 1
(mod. 37)= 6; d'ou l'on tire les vraies valeurs£ 6. 21=h 15.
Voilà à-peu-près tout ce que nous pouvions exposer ici sur la rè- solution de ces expressions. Il est clair que les méthodes directes de- viennent souvent assez longues; mais cet inconvénient a lieu dans presque toutes les méthodes directes de la théorie des nombres: Aussi nous m'avons pas cru devoir négliger de faire voir ce qu'on peut en attendre. Il convient aussi d'observer que les artifices par- ticuliers qui se présentent à un homme exercé, n'entrent pas dans notre plan.
69. Revenons maintenant aux racines que nous avons appelées primitiues. Nous avons fait voir que, si l'on prenait pour base une racine primitive quelconque, tous les nombres dont les indices
sont premiers avec p— 1, étaient aussi des racines primitives, et
qu'il n'y en aurait pas d'autres, d'où nous avons conclu le nombre de ces racines(no 53): et comme le choix de celle que l'on prend pour base est en général arbitraire, on voit qu'ici, comme dans les loga- rithmes, on peut avoir plusieurs systèmes(*). Cherchons les relations qut les lient entr'eux. Soient a et 5 deux racines primitives, et m un autre nombre. Soit de plus Ind. 5= 3, quand a est pris pour base, Ind. m=X(mod.„— 1). Soit au contraire Ind. a= a, Ind. m=y
(mod. p— 1) dans l'hypothèse oùul'on prend 5 pour base; on aura a2*= 5h,
—.
() Mais ils diffèrent en cela, que dans les logarithmes le nombre des systèmes est infini, et qu'il est ici égal au nombre des racines primitiyes, car les bases con- grues produisent évidemment les mêmes systèémes.

ave eflectie.
. 37) Etaient 3
eurs de 31.
celles de 3
est pas congru
— et„— 66.21=cA 13. er ici sur Ja ré- les directes de. ant a lieu dans des nombres: voir ce qu'on s artifices par- ttrent pas dans
avons appelèes pour base unc int les indices primitives, et ule nombre de on prend pour dans les loga- ns les relations itives, et mum ris pour base, a, Ind. m=)
2 on aurd=! —
bre des systemes ar les hases Co
observant qu'il est égal à
Ae t convenable est
ARITHMETIOUES. 5r
4 ℳ 2.— donc aꝭ= 5=a, d'oùu aß= 1(mod. p— 1). On trouvera de mème
=aß, u=»(mod. p— 1). Si donc on a une table d'indices cons- truite pour la base a, on pourra facilement la changer en une autre
dont la base est P. En effet, si Ind. 5= S pour la base a, Ind. a
sera 25(mod.„— 1) pour la base 5, et multipliant par ce nombre
tous les indices de la table, on aura tous les indices pour la base 5,
70. Mais quoiqu'un nombre donné puisse avoir plusieurs indices, en prenant pour base différentes racines primitives, tous ces indices auront cette propriété commune, que leur plus grand commun divi-
seur avec— 1 sera le mème. En effet, A étant un nombre donné,
si Ind. A= m pour la base a, et Ind. A=n pour la base 5, et si leurs plus grands communs diviseurs α et» avec p— 1 sont sup-
posés inégaux; soit Mνιν, ℳ ne divisera pas n; mais si Ind. a= a
pour la base 5, on aura(art. précéd.) n= am(mod. p— 1), et partant † divisera aussi n.
On peut encore s'assurer que ce diviseur commun des indices
d'un nombre donné et de— 1, est indépendant de la base en
„v— 1
„1 étant l'exposant auquel appar-
tient le nombre dont il s'agit. En effet, si l'indice est pour une base quelconque, t sera le plus petit nombre(zéro excepté), qui
multiplié park, donne un produit divisible par p— 1, oula plus petite
b valeur de l'expression 7.(mod. p— 1); mais on déduit sans peine
du no 29 que cette valeur est égale au plus grand commun divi- seur des nombres K et— 1.(*)
—
(V9) La dernieère phrase de l'auteur ne me semble point prouver ce qu'il a avancè, il s'y est sans doute glissé quelques fautes d'impression qui lui ont échappé. Au
reste je crois que l'on peut y suppléer de la manière suivante: Puisque t est le plus petit nombre qui rende Ki divisible par p— 1, ce sera aussi ket
celui qui rendra 7 divisible par—
1 ℳ „d étant le plus grand commun diviseur
— d — 1
donc 2 7= t et d E.(Note du traducteur.)
entre R et p— 1. Or 7 et etant premiers entre eux, la plus petite valeur
g
d

—-ꝛ——
——éͤ—————-—-——,—
——
—
———,— ſſſ
———
—.—* „——— 4— ——.————— ———————— ———————— ᷣv äs3ög—.j—— *— C——— 2e————————
——
52 RECIHERCIHEFS
71. On Jémontre facilement que l'on peut toujours trouver une base telle, qu'un nombre appartenant à l'exposant? ait un in-— dice donné à volonté. Le plus grand commun diviseur de cet indice
—, désignons par dce diviseur, et soit l'indice
et de„— 1 Stant 5 proposé=dm; soit dn l'indice du nombre donné quand on prend pour base la racine primitive quelconque a; on aura m et n pre-
. dn 8 1 2— 2„„— 2 4. miers avec L— ou t. Or si s est une valeur de'expression Im
0 8 2 (mod.— 1), eten mème temps premier avec— 1, a sera la racine edm
primitive cherchée, car on auraa ü= au= au nombre proposé
1.. d (mod. p). IInousreste à prouver que l'expression de(mod. p— 1) peut
2 4. 77 admettre des valeurs premières avec p— 1; elle équivaut à„
(mod.) ou—(mod. t),(n* 31, 2*) et toutes les valeurs en seront
premières avect; carsi une valeure avait un diviseur commun avec!, ce diviseur devrait aussi diviser me, et partant divisern qui est congru à me, suivant le module:, ce qui est contre l'hypothéèse suivant laquelle n est premier avec. Ainsi, quand tous les diviseurs pre- miers de p— 1 divisent aussi t, toutes les valeurs de l'expression
7 2. 2. 2(mod. t) sont premières avec„— ⁄, et leur nombre est d; mais quand p— renferme encore d'autres facteurs premiers ſ, g, h, etc.
.„.. 77 qui ne divisent past, soit e une valeur de—(mod.), comme
t, f, g, h, etc. sont premiers entre eux, on peut tronver un nombre«
congru àe suivant le modulet, et congru, suivant /, g, h, etc., à des nombres quelconques premiers avec ceux-ci(no 32). Ce nombre ne sera divisible par aucun facteur de p— 1, et partant sera pre- mier avec lui, comme il est nécessaire. On pourrait démontrer sans peine par la théorie des combinaisons, que le nombre de ces valeups est 7 F E 1 f g h
démonstration qui ne peut nous êétre d'aucune utilité.
jetc.; mais nous omettons cette
„ 1
72. Quoiqu'en général on puisse prendre arbitrairement pour base une racine primitive quelconque, certains avantages parti-
7 4
——
=g=—
—7
— —
—

expression dn dm
sera la racine
8mbre proposs 8d.— 1) peut 8 nz 1 1
equivaut à— m
eeurs en seront
ommun ayec!, qui est congru dthése suivant
diviseurs pre-
e Texpression ke est d; mais rs g, h, elc.
t), comme
er un pombres
„h, etc., à des h. Ce nombre lant seraà pfe- ait démontrer ombre de ces
hmettons cette
irement pour itages parti-
de een e, 7en 2 eet,
(Eu,. 2aeeane C22h La⸗ 2 et
5 s e eref,; h, ene e 2 enmee Aueee eu, Wfue, b L. A.
n e Ae., S n⸗ 7, ie t e Sen e, ⸗ 6 ae, e ree ene 72— Puae. AAA 2b2„„ ſc, I e 2, „1Ie I. 6 E.,,„, 5,, e,. MMr, 7. A., K. 2.,,?„ 2, BE K o,? 9 3 h, 6 3..,, 2 ee 2 u r e e, a ue, r. hAee a 2e,A, a 4 ZJ. E K Aͤ r, e, 4. 2 Xᷣ ᷑n,? 3z/ F 3 Gᷓ eO ͤ o o e oeh, IEr a AM 4 g S 3 6 2 18„& XX X Tte f o, U 20 go ́, d e L 2aso ‿ Du ué ͤ h, aA V. N e A Lue A, „703 33 298 K 23 23 23 23 C k& AB.., 23 23 LKLA 5A A 2 24 ù’ 2 2. 2. 73 24 2. 12. 73. 73 27 LA. 22A 2 Sᷓ&́ G,. Sg, S. MA 229 SS gf e e g 3 4&᷑ 30 60 Æ 2 4 3, u sos a. 6 M. M⸗— 53 PO ᷣo.— I.. 727——
Se s Sg o. de u 24
9 ½ 25 2, F. 2, e e, e, 3+— 34
A e
v TL 22 22 2
u 3& B as 6 5 9& 2
dL e 20 L. o& 2,, 5 2
A h, K L. 2. r I4.. JC 6 2 2 2 323 B, 1, 22 H, Se un, d, S 2 2.7) 233 K K KLS 2᷑&, I. f,,, e e,, e, ke r se AS e, r h, A AA Aͤ E E n El E LSK 2o&e o s e, o e o o o So aesn, e e

V3 N A2. 2 2ræ S, r Sg E Ve Ae. 3 3 6 O e, e 2.
4—* 8————— —————————— ——————— —————— ———.——.—— —.—— 3 ——— 4——— e 4— ————— 2———— .———————— 4 —.—————— ———— ÿÿÿÿ—— — —— —
— — — 4 *“ —yyy=
0 E K ea, 2. u V, ſ 247. 4 22 P rne 4 2— 4 eer ne ₰ P 2— Eefe Arze ke t„— 1rp, M eae a u f ,h e e ue e 4 An e e A n.
8— 7 Er eede A7 Ae—3 J e=—
7. 2 2— r, B l, Arr ‿. G; Aℳ ,—ig e Z./α, L᷑ h 22,
h, A4 Aerr 4e 2 71
f— Ä
5—— SD, 4 7„
d er, 4 A aee ee. Wer⸗ IIG L 73, 7, 24
7
———
I, Bf ,o, ,r ee ee, A T,
2 r w u, P,, ,,, s Xdi, 3, S;, V D, A

ARITHMETIODUES. 53
euliers peuvent faire préférer une base à toute autre. Dans la table I nous avous toujours pris 10 pour base quand il était racine primi- tive, et dans les autres cas nous avons choisi la base de manière que l'indice du nombre 10 füt le plus petit possible, e'est-à-dire
.=E 7 1,„ Stant l'exposant auquel 10 appartient. On en recon-
naitra ½ avantage dans la seck. VI, on la mème table sera employde à d'autres usages. Mais comme il peut encore rester ici quelque chose d'arbitraire, ainsi qu'on le voit par l'article précédent, nous avons toujours choisi, parmi toutes les racines primitives qui satisfont à la question, 19 Puus petite pour base: ainsi pour
—„= 73, onat= et d= 9, a2— 3⸗— 6 valeurs qui sont 5„ 14, — S Jh. 20, 28, 39, 40, et nous avons Prie 5 Pou base.
„5 La plupart des mCihodes qui servent, à trouver 4 racines primi-
tives reposent en grande partie sur le tâtonnement. Si l'on réunit ce que nous avons dit(no 55) avec ce que nous dirons plus bas sur 12.
résolution de la congruence*νκσαφαν, on aura à-peu-près tout ce
qui peut se faire Par les méihodes générales. Euler avoue Opus- cula analyt. T. 1, p. 152.) u'il luiisemble extrémement difſicilg d'assigner ces nombres, et que leur nature doit étre raugòèe dar b —— les points les plus épineux de la théorie des nombres; mais on les trouve assez facilement par la méthode suivante. Les hommes exercés préviendront faciſement la loügueur du caleul par beau- coup d' artifices; mais lusage! les indique mieux X Aue les préceptes.
10⁰. On prendra? à volonté un namdroa promier avec lamoqule„ 9„
et souvent le calcul devient plus simple lorsqu'on prend a le plus
petit possible, 2 par exemple; on déterminera sa période(n 46),
c'est-à-dire les résidus minima de ses puissances, jusqu'à ce que l'on
parvienne à une puissance at, qui ait pour résidu minimm(*). Si l'on a t= p— 1, a sera une racine primitive.
(*) Nous désignerons toujours le module par p. 1 (*) Il est aisé de voir qu'il n'est pas nécessaire de connattre ces puissances, car
on peut obtenir le résidu minimum d une Puissance au Mopen de la puissance précédente. 1

ö —
——
— .— —
—
—— — ———— ..—— — *
——
—
- “
——
— —— ——
—— —
— —
—
ſͤͤſͤſſͤſͤſſſſſſſ
—
— ——— ——
—
54 RECHERCHES
20. Mais sit=p— 1, on prendra un autre nombre 5, qui ne soit pas contenu dans la période de a, et l'on cherchera de la méme manidbre sa période. En nommant l'exposant anquel 5 appartiént, on voit facilement que n'est ni égal àt, ni une de ses parties ali- quotes, car dans les deux cas on aurait 5'= 1, ee qui est im- possible„la période dea renfermant tous les nombres dont la puis- sänce est congrue à l'unité(no 53). Or si 2‿rẽ p— 1, 5 sera une racine primitive; si n'est pas=— 1, mais un multiple de 7, nous aurons encore l'avantage de connaitre un nombre qui appar- tienne à un exposant plus grand ‚et partant nous approcherons de notre but, puisque nous cherchons le nombre qui appartient à l'expo- sant maximum; mais siu n'estni=p— 1, ni multiple de?, nons pou- vons trouver un nombre appartenant à un exposant plus grand que t et u; cet exposant sera le plus petit nombre divisible à la fois par tet u. En effet, soit ce dernier nombre; on décomposeray en deux facteurs m et n premiers entre eux, dont lun diviset? et Pautre(*).
Soit a⁵. b5= B(mod. p), AE appartiendra à l'exposant;
car on voit facilement que A appartient à l'exposant m, E à l'ex-
posant n, et parconséquent A appartiendra à l'exposant mn, puisque m etn sont premiers entre eux, comme on peut le démon- trer en suivant exactement le procédé du no 55.
30. Si=— 1, A sera une racine primitive, sinon on prendra de méême un troisième nombre qui ne se trouve pas dans la période
de AB; ce nombre sera une racine primitive, ou bien il appartiendra
Aà un exposant y, ou bien enfin parson moyen on déterminera un
nombre appartenant à un exposant—): donc, comme les nombres qui résultent de la répétition de cette opération, appartiennent à des
(*) On voit facilement par le ne 18 comment on peut faire cette décomposition. On décomposeray en facteurs qui soient des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers differens; chacun d'eux divisera t ouu, ou tous les deux. On écrira sous t ou sous u ceux qui divisent t ou u. Quant à ceux qui diviseront u et t,
peu importe sous lequel on les écrive. Si l'on fait m= le produit de ceux qui sont
gerits sous t, n= le produit de ceux qui sont écrits sous u, il est évident que m di-
visera t, que n divisera u et que in= y. 1
ooͤoͤöoͤöoͤoͤoͤoͤhoͤaͤſͤſſſ

2 qui no zoit de la méme 15 appartient, Zes parties ali. ee qui est; um. es dont la puis. -, 5 sera une multigl det, bre qui àppar- Pprocherons de artient àlexpo. 2de t, nons polr Slus grand que Jle à la fois bar Sosera y eu deur et autre u*).
à P'exposanty; intm, B à l'ex. 'exposant mn, peut le démon-
inon on prendra
dans Ja période ail appartiendra déterminera un ume les nombres dartiennent à des
tette décompositin. ou des puissancès de tous les deux. U diviseront uet; ſuit de ceux qui n wont st Evident que ms
ARITHMETIOUES. 55
exposans qui vont toujours en augmentant, et sont néanmoins divi- seurs de p— 1, il est évident qu'on en trouvera enfin un qui appar- tiendra au maximum p— 1, ce sera la racine primitive.
74. Eclaircissons ceci par un exemple. Soit„= 73, pour lequel on demande une racine primitive. Lasaydns d'abord le nombre 2, dont la Période est b
1.2. 4.8.16. 52.6. 55.5).1 t eſc. 0. 1.2.5. 4. 5. 6. 7. 8.9 etc.
Donc puisque 2= 1, 2 n'est pas racine primitive. Essayons le nombre 5 qui ne se trouve pas dans la période de a, sa période est
11.3.9.37.8.24.72.70.66.46.63.49. 1 etc. o⸗I-a. 3,, 5. 6. 7. 8. 9 10:11.12 etc.
95. Avant Peonee ce ien⸗ nous présenterons Perbaer⸗ propositions qui ne nous Paraissent Pas indignes d'attention„ à cause de leur simplicité.
Le produit de lous les termes 4. la nds02 on Tombre quel- conque est= 1 quand leur nombre ou l'exposant auguel appar- tient le nombre dont il s'agit est impair, et=— 1 quand il ets pair.
Par Semple⸗ pour le Tocltile 13, 17 deioee de 5 est CGangos9e des termes 1, 5, 12, 8, dont le, 480— 1(mod. 13), sui-
Wanaihe mêème module, la période de 3 est composée des termes
1, 3, 9, dont le produit 27= 1(mod. 13).
Soit t'exposant auquel Je nombre appartient; on peut woufours
mouver(be 71) une base Pour lacnelle inidice di Arn brc soit———

4“ — 4 ——.4.¼.———— 5 1——— ————. ——————— ———————————— ———.———— —————— 1——————— —————+——
———
———
.——— —õ-ʒ——————— ſſſ1“—
—— — ——=
4—. — ———
—
—
— —-—
—— ——
— —
ö —————
—
5— J ——
56 REGHERGCHES Or 1 inqies du Bröduit d de tous les terineés; sera-
=(1+ 3 ele. 4 45 14n—
dono il sera=o(mod.„— 1), quand 4 est impair; ltr— quand t est pair. Dans le premier cas, le produit est=1(mod. p);
dans le second,=— 1(mod. p).
76. Si le nombre au théorème Preos dent est une racine primitive, sa période comprendra tous les nombres 1, 2. 3, 4,„— 1, dont le produit sera parconséquent toujours=— 1; car p„— est tou- jours pair, excepté dans le cas ou= 2, et alors on a indifféremment + ou— 1. Ce théorème élégant qu'on énonce ordinairement de cette manière: Le produit de tous les nombres plus petits qu'un nombre premier dtant augmenté de l'unité, est divisible par c nombre premier, a sté publié par M aring qui P'attribue à Wilson (Maditationes Algeb. Ed. 5, p. 380); mais aucun des deux n,2
pu le démontrer, et Waring avoue que la démonstration lui en 4
semble d'autant plus difficile qu'il n'y a point de notation par laquelle on puisse exprimer un nombre premier;; pour nous, nous pensons que la démonstration de cette sorte de vérités doit être puisée dans les principes plutòt que dans la notation. Lagrange: en a depuis donné une démonstration(Nous. Mem. de l'Mc. de Berlin, 1771), dans laquehe il s'appuie sur la considération des oefficiens que Pon
trouvèe en développant le produit
(2.n)(a-La)(æLs).(&-Xia) et il fait voir qu'en supposant ce produit =a A Bx! † eto. Mr N., les coefficiens MA, B, etc. M sont dirisibles Par 5;; or Ner, 2, 3...„— 1.
Maintenant si rl, le produit est divisible par p; mais alors il sera= 1+ N(mod.„), done 1 Nest divisible par p.
Enfin Euler(Opaso. analyt. T.*, p. 329) en a donné une dèmons-
tration qui rentre dans celle que nous venons d'exposer; ainsi puisque de tels hommes n'ont pas cru ce sujet indigne de leurs
méditations

A Sha.⸗ G, e p e ic he ug
ine primitire, P— 1, dont 9— 1 est tou. différemment inairement de ; petits qu'un visible par ce bue à Wilson des deux na
tration lui en,
on par laquelle nous pensons ouisée dans les depuis donne „1771), dans iens que Jon
*
N,
mais alors i-
p.
gune démons-
xposer; din
igne de leufs anditations
A 2f; 2A. 2. 2 2— Aℳ. 2 V rn efA= Mphe Cep e,
2u z, 2— 7f/e oog,h)e— 2 A= A 7— 1 7. — rt E ad an
— C anaee Ice.—— 2 8 a „ Fele 2. S— t 7, 7 A. 2— 7. f 2⸗ 5 C——— 4* 7. 7 6 2, 2u. rnmu S 7 9 6.„ 2. 72, 27, 43 D7, 6““ erle G A S, f Art

—
...———.—— ————— 4— —————— 2 ———————— 3————
—
4 ͤ 4 6
—————
= ee Vc‿— e 6V, he— S, e
n4 un 2. AA te 1u. 12 te M. T. 12= 19. 20 BA- V 1..?. 23.
F. Jo. Jo. 24 f.. 73. 24. 29
¹ A= rf do, s Aſ3, 32. 33 34. 35— 3&. Sr. Sy. Jo. Ao
ᷓ u, i 7 35. 29 ar,. 27. 7. 24.
3 Mt,r 2t AA4 44 86. 34. B9. 75ſ63.. F. 7. SE. 5. Je. 36. 37. 30
Al )
—
Aur, M Ss 29. /0. 35:
z= ‿, ⁷‚7 Fe—7, S 96A= Z ere eree,e, e, S
2 t6, 14,., ℳ„2— 6*
far K= Z,,
1E 26ß u—— vhaer*= KA 7, 3. 77 ,]=„

ARITHMETIOUES.O 5 méditations, nous espérons qu'on ne nous désapprouvera pas d'offrir encore ici une autre manière de démontrer ce théorème.
77. Nous dirons que deux nombres sont associc⸗, comme l'a fait Ruler, lorsque leur produit sera congru à l'unité. Cela posé, par la section précédente, tout nombre positif moindre que p, aura tou- jours un nombre associé moindre que p et il n'en aura qu'un; or il est facile de prouver que parmi les nombres 1, 2, 3,.p— 1, iln) a que 1 et p— 1 qui soient eux-mèmes leurs associés, car ceux qui jouiront de cette propriété seront donnés par la congruence ν qui ne peut avoir que deux racines 1 et— 1. Supprimant donc ces deux nombres, les autres 2, 3, 4.„— 2, seront associés deux à deux; donc leur produit sera= 1; enfin multipliant par— 1, le produit de tous 1.2. 5. 4.— 1=p— 1=— 1.
Par exemple, pour= 13, les nombres 2, 3, 4, 5, 11 s'as- socient de la manière suivante: 2 avec 7, 3 avec 9, 4A avec 10, 5 avec 8, 6 avec 11; donc 2. 3. 4. 11=1, et partant... 1.2,53. 12= 12=— 1.
78. Le théorème de Wilson peut être rendu plus général en l'énon- gant comme il suit: Le produit de tous les nombres premiers avuec un nombre donneé A et moindres que ce nombre, est congTule suivant A, àl'unité prise positivement ou³ negativement. L'unité doit être prise négativement quand A est de la forme p' ou 2p, p Stant un nombre premier différent de 2, ou encore quand A= 4, et positivement dans tous les autres cas. Le théorème de Wilson est contenu dans le premier cas. Exemple. Pour A= 15, le produit des nombres 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, est=1(mod. 15). Nous supprimons, pour abréger, la démonstration. Nous observerons seu- lement qu'on peut y parvenir comme dans Particle précédent, excepté que la congruence æσ☛ peut avoir plus de deux racines, ce qui demande certaines considérations particulières. On pourrait aussi la tirer de la considération des indices, comme dans le no 75, si Pon y joint ce que nous dirons tout à l'heure des modules com- posés. b 38) an.
79. Revenons à l'énumération des autres propositions(n 75). La somme de tous les termes de la période d'un nombrée quel- conque est So. e 915 2: in. b

——— —— 8 4. 5———— —— ————— 2 ——y—— —————— — 2——————— — ————— 1 —————
. —— ———— ——
——
—
—
— 8——— ——— —
— —
— —
88 RECHERCHES Ninsi dans l'exemple du n* 75 1+ 5+ 12+ 8= 26=o(mod. 13).
Soit a le nombre dont il s'agit, et? l'exposant auquel il appartient. La somme de tous les termes de la Pariga Sera..
=1† a+ a*+ as*†.—
1—=o, 81 a— 1 n'est pas Givigihle Par P;, il faut done
(mod. p); or— 1=o,
donc aussi
excepter ce cas, si nous voulons regarder mème un seul terme comme une periode.
S0. Le produit de toutes les racines primilives est= 1, excepté le cas où ☚‿ 3, car alors il n'y a qu'une racine primitive 2.
Si l'on prend pour base une racine primitive quelconque, les
indices de toutes les racines primitives seront des nombres premiers avec p— 1 et moindres que lui; mais la somme de tous ces nom- bres, c'est-à-dire l'indice du produit de toutes les racines primi- tives, est=o(mod. p„— 1); donc le produit est= 1(mod. p). En effet on voit facilement que si kest un nombre premier avee p— 1, p— 1— K le sera aussi, et que parconséquent la somme des nombres premiers avec p— 1 est composée de couples dont la somme est divisible par— 1. II est bon d'observer que ne peut étre
1 8ℳ 1 5 9 égal à— 1—, à moins que— ne soit premier avec p— 1, ce
qui exige que p— 1=2 ou p= 3, cas que nous exceptons.
81. La somme des racines primitises est=o quand— 1 est divisible par un quarrè„ Ou=£ quand„— 1 est le produit de facteurs premiers inégaux. Le signe+A appartenant au cas où le nombre de ces facteurs est pair, le signe— au cas ou il est impair.
Ex. 1o. Pour p= 13, on a les racines primitives 2, 6, 7, 11 dont la somme 26= o(mod. 13). 2°. Pour„= 11, les racines primitives sont 2, 6, 7, 8, dont la somme 23=+†n(mod. 11). 3°. Pour p= 31, les racines primitives sont 3, 11, 12, 135, 17,: 21, 22, 24, dont la somme 123=— 1(mod. 31).
Nous Lyons démontré plus haut(ne 55, 20) que 81 Lon a..
p„— 1a 254 c*etc.„et que A, B, C, etc. soient des nembres quel-
..&. conques qui appartiennent aux exposansa, 5, G7, eto. respecti- vement, tous les produits 1 B O etc. seront des racines primitives;

lil appartieut,
..„„„
Or a— 1Ra,
P; il faut dond
un seul terme
3e=1, excehi altive 2.
uelconque, les mbres premiers tous ces nom. racines primi- = 1(mod. p) re premier aree at la somme des sdont la somme K ne peut etre
ravec p— 1 e
ceptons. nand p 1 8st tt le produit de nt au cas oà le A il est impait. 2,6, 7, 11 dont cines primitises 11). 3*. Pour
17, 21) 22, 29 ue si I'on 3.:- nombfes quel-
Hete. respecti- ines primitiyes
ARIT HMETIOUES. 59 mais on peut aussi démontrer facilement qu'une racine primitive quelconque peut s'exprimer par un produit de cette espèce et d'une seule façon(*).
IIsuit de là que ces produits peuvent être pris au lieu des racines primitives; mais, comme dans ces produits il faut combiner toutes les valeurs de A avec toutes celles de B, etc., la somme de tous ces produits sera égale au produit de la somme des valeurs de A, mul- tipliée par la somme des valeurs de B, etc. Désignons toutes les valeurs de A, B, O, etc. par A,, A'“, etc. B, B', B', etc. C, G, O', etc. La somme de toutes les racines primitives sera congrue au produit(A+A+ etc.)(B+ B' Petc.) etc.; or je dis que 81 a= 1, lä somme AA+ A Petc., sera=— 1(mod. p), que si 2☚, cette somme sera= o, et de même pour,, etc. Si ces
(*) On déterminera des nombres, G,, etc. tels qu on ait 2,=☛(mod. a*) et=O(mod. 56 etc.); G έ(mod. 50) et= O(mod. a* ⅞ etc.), ete. (v. ne 32); donc on aura A+ 6+⸗ Tetc.= 1(mod. p— 1),(no 19). Or si lon doit exprimer une racine primitive queloonque r par un produit de la forme AC etc.; on. prendra A r, B r„C=V, etc. A, B, C appartiendront respectivement aux exposans a, 58, c„y, etc., et le produit AC etc. sera=T
(mod. p). Or il est facile de voir que A, B, C, eto ne peuvent se déterminer dune
autre manière(1).
(1) Cette note nous semble avoir besoin de quelques éclaircissemens. Ilest aisé de voir que tous les nombres, exceptè æ, sont divisibles par a*; que partant leur somme l'est aussi, ou est=0(mod. aν.); mais comme a‿‿ 1(mod. a*), il vient donc à+‿+ etc.= 1(mod. a*), de méme a+†+ † eto.= 1(mod. 56), etc.; donc+‿+‿+ etc.= 1(mod. a 58)% ‚eto.)= 1(mod. p— 1). Or si Pon fait 4= 12 8 C= ‚etc. A, B, C, etc. appartiendront aux exposans 22, 56,-2), etc. respectivement. En effet 4= ralas=(mod. p), aν étant= 0(mod. p— 1), et il est visible que l'on ne peut suꝑposer A= 1(mod. p), tétant a, et de mème pour F, C, etc., car on aurait at= o(mod. p— 1), ce qui ne peut avoir lieu à moins que t ne soit= au ou= G(mod. a*.). Or il est aisé de s'assurer encore qu'on ne peut trouver de nombres A, B', C, etc. respectivement incongrus à A, B, C, etc., et qui puissent les remplacer. En effet on aurait C= r“, a" étant un nombre déter- miné comme*; mais on a aussi A⸗= ra, or comme à et a' sont congrus au mème nombre suivant le module p.— 1, ils sont congrus entr'eux suivant ce meme module; donc re= r“(mod. p), et partant 4A== A.(Note du traducteur.)
2

—
———
———
———— —
—
——
—— —
60 HRECHERCHES deux assertions sont démontrées, la vérité du théorème sera mani- feste. Eñ effet, quand— 1 est divisible par un quarré, quelqu'un des exposans, 5,, etc. sera= 1, et partant un des facteurs dont le produit est congru à la somme des racines primitives, sera=o, c'est-à-dire que le produit lui-méême le sera. Quand„— ne pourra étre divisé par aucun quarré, tous les exposans a, 6,, etc. seront égaux à l'unité, et la somme des racines primitives sera congrue au produit d'autant de facteurs dont chacun=— 1, qu'il y a de nombres a, 5, e, etc.; donc partant le produit sera=£, suivant qu'ils seront en nombre pair ou impair; or ces deux assertions se prouvent ainsi qu'il suit:
1“. Quand a= 1, et que A est un nombre appartenant à l'expo- sant a, les autres nombres qui appartiennent aussi à cet exposant sont A, AsAn, Aæ- 1;, or 1+A+A AA4. Aa=t est la somme de la période complète, et partant=o(n* 79); donc
A-†A-=+.+ A=-=— 1. 2 ⁰. Quand a et que A est un nombre appartenant à l'expo-
ae sant a, on aura les autres nombres appartenans au mèême exposant,
si de la suite n, As, Ao., A=n, on retranche A-, A“, A*¹, etc. (n* 53), leur somme sera donc
=A-A. A—(1 A- ‿A⸗+.+ Ae),
c'est-à-dire congrue à la différence de deux périodes, et par- conséquent= o.
82. Tout ce que nous avons exposé jusqu'à prèêsent, suppose que le module soit un nombre premier. Il nous reste à considérer le cas ou l'on prend pour module un nombre composé; mais comme il n'en résulte pas des propriétés aussi 6légantes que dans le premier cas, et qu'il n'y a pas besoin d'artifices bien délicats pour les trouver, tout se déduisant presque de la seule application des principes pré- cédens, il serait superflu et fastidieux d'épuiser ici tous les détails. Aussi nous exposerons en peu de mots ce que ce second cas a de commun avec le premier, et ce qui lIui est propre.
83. Les propositions des nos 45— 48 ont déjà été démontrées gené- ralement, mais celle du n 49 doit être changée ainsi:

bne sera man. le, quelquun 8 facteurs dons IVes„Sera— ne bour- 1 „) etc. seront s sera congrue 1, quilyae =SDd 3 suivant aX assertions
tenant à bexpo. 4 à cet exposant . Aes 79); donc
rtenant à rerpe-
A wéme exposant, 4¼, ℳ“, Aℳ“, ete,
.+ 4),
rriodes, et par-
ent, suppose que vonsidérer le cas is comme il r'en le premier càs, our les trouver, es principes pri⸗ tous les détailb- zecond cas à ⁰
„ 4 gmontrées gene- si:

ͤͤͤͤ————
——0

ARTTHMETIOUES. 61
84 f désigne combien il y a de nombres premiers abec m el moindis que Iui, œ'est-A-dire si f= om(art. 38), l'exposant t de la plus pelité puissanoe d'un nombre donné a premier avec m, qui est congrue à l'unité suivant le module m sSera= f, ous uine Vae
2 ,, nu, Slan 9, er ee e auee a os aliguote de f. SaPee, 2 2„A e ſ 2.— Dn2ch 24 ee K Kui. K, adas San, an am, Tmlof eweun Le‿⸗ d t
La démonstration de la proposition du n 49 peut servir également 2. B e‿e dans ce cas-ci, en y substituant m pour ꝓ, f pour— 1, et au lieu des 2᷑π L nombres 1, 2, 3 p— 1, les nombres premiers avec m et moindres=--- m 2. que lui; ainsi nous y renvoyons le lecteur. Mais les autres démons- trations dont nous avons parlé(nes 50, 51), ne peuvent's appliqueraae U/ à ce cas sans beaucoup d'embarras. A l'éégard des propositions sui-= Si)„ 3, r.
vantes(no 52 et suivans), il y a une grande différenceé entre les 22,„ 2„..
modules qui sont les puissances GD'un nombre premier et ceux qui*³ e
sont divisibles par plusieurs nombrés premiers. Nous considérerons 2ν
donc à part les modules du premier genre. Zfu, hee
84. Si le module m= pr, p étant un nombre premier„on aura ee’ f= p'(p— 1),(n“ 38). Or si l'on applique à ce cas les recherches contenues(nes 53, 55), mutatis mutandis comme dans l'article précédent, on trouvera qus tout ce qui y a été démontré aurait lieu également, s'il était prouvé que la congruence ‿— 1= 0o(mod. py), ne peut avoir plus de? racines différentes. C'est d'une proposition plus générale(n— 4⁵) que nous avons déduit cette vérité pour un mo- dule premier: mais cette proposition m'a lieu que pour les modules premiers, et partant ne peut s'appliquer à ce cas. Nous allons donc la démontrer par uné méthode particulitre, et plus bas Lsodf. VIII) nous le prouverons encore plus facilement. d2ochenn
85. Nous nous proposons de démontrer ce théorème: Si e plus grand commun diviseur des nombres t et pe(p— 1) est e, la oongruenoe 1(mod. p') audra e racines di SVerentes.
Soit 2= kp, 4 desorte que 4 ne renferme point! le facteur„ 2 et qu'il divise parconséquent p— 1. Alors la congruence æ*α☚σ☛◻ον suivant le module p, aura racines différentes, et si on les désigne pai A, B, O, etc., une racine quelconque de cette mème congruence, suivant le module p, devra èêtre congrue à quelqu' un des nombres A, B. O, etc., zwivant je module p. Or nous démontrerons que la
congruence ☛σ(mod. p), ap racines congrues à M, autan

——-———
—————·
6a. RECHERCHES à B, etc. suivant le module p, d. ou il résultera que le nombre de
toutes les racines sera dp ou e,. comme nous Tavons avancé. Cela posé, nous allons démontrer que
1e. Si a est une racine congrue à AlL/, suivant le module p,
71 1
— y n—„ n—„— 1 n—„ , a+†f 2p 3 ‿ 5p. αε.. seront
aussi des racines. 2°. Aucun nombre congra avec A ne pourra étre racine, s'il n'est de la forme a ep.—, n étant un nombre entier quelconque;:
d'où il suit qu'on aura p racines différentes, et qn'on n'en aura pas darantagse:; la meme chose aura lieu par rapport à B, C, etc.
„ Nous ferons voir comment on peut toujours trouver une racine 8 à Asuivant le module p...
86. THEoORKEME. Si t est comme dans U'article précédent un
nombre divisible par p. et non par p. 4 4, on aura(‿.¶ r p)— a= 0
(mod. 2*?)„ et= alr hp 1(mod. p. 41). La seconde partie du théorème n'a pas lieu quand„ 2 et u⁵el.
On pourrait déduire la démonstration de ce théorème du dévelop- pement de la puissance d'un binome„ si on faisait voir ꝗus tous les
termes, après le second, sont divisibles par pl 2„Ti, mais comme la considération des dénominateurs des coefficiens ets dansquelaue embarras, nous préférons la méthode suivante:
Supposons d'abord A et»= I, on a généralement A e gf
=(—)( ey Pa e e y);, donc..
GA-2h Laeee((&‿‿νim⁹ꝝſ%(&‿‿ kpf Nza Petc. tA
2,
mais on a a hp=(Köd..p⸗); donc chaque terme(a+‿¶ hp)
(2⁴‿+ hpe)— a, etc. sera= a(mod. p), et parconséquent 1 somme dèe tous= ta:(mod p⸗*), ou bien cette somme sera de la. forme ta Lp⸗, I dtant un nombre quelconque. Donc
(a‿ hp 9)— a. sera de la forme A er Lpf,
qu'il sera= ‿p t(mod.„ 4) et= 0o(mod p pour ce cas, le théorème est, demontre.
c'est- rà- dire
eer,). Ainsi,

le nombre de avancé. Cph
n—)
4— seront
re racine, én-
a n'en aura bas 5, C, et et 0. aver une racine
W précedent un Php')— c La secoude t. me du dérelop- oir que tous les
; mais comme te dans quelque
lement a— † donc..“ Pete.+) e(a p 4)0, reonséquent la
ume sera de la onc
conque. D— g'est⸗à*dire 4). Ainsi,
*
le module p,
(a+ hp=a a aihp, 3(mod. p Ctant un nombre entier queleonque; mais comme le hesrbe est
b dẽéjà démontre Tour„= 1, on aura(a u Ep. t+.˖ up
ARITHMETA QD Es. 65
Or si le théorème n'était pas vrai pour lés autres valeurs de v,&
restant— 1, il y aurait nécessairement une limite jusqu': à laquelle le
théorème serait vrai, et passé laquelle il serait faux. Soit H la plus
petite valeur de„ qui se refuse au théorème. On voit d letzene que
le théorème est vrai si test divisible par an et non par 92; mais que si Pon substitue 2 à la place de t, il ne l'est plus. On a donc
A. ou= 2-—Pa hp up ele
4
+ ar hpe Jir †ra= 4(mod. p ure. 3,
(a+‿ hp= a 2v aν—' hp tp(mod.„ 4³4“) c'est-A dire que le théorème est encore vrai si on substitue p au lieu de? ou ᷣ,& au lieu de Q, contre l' bypothesez donc le théorsme est vrai bodts touites
Z= E a
et pariant
2e valeurs de 9. s lmnle 9 1 b er 88
89. II reste le cas ouù 2= 1. Par une méthode 4 bTpmont sem-
Plable. à celle de l'article précédent, on démontrera, sans laire usage
du développement du binome, que
b(4 hpy-= a eeey7 ns. 2) a(a hpy-*=a a= a.—(1— 2) hp(mod. 2) a(art. Ar)= a Ke(2e= 39,(mod. p). ete;
donc(puisque le nombre des termes est:) la somme sera= ta-
(=L“ 1):(t— 1) t 2— le sera aussi, excepté le cas ou„= 2; qué nous avons exclu, et dan⸗
At-e Wp(mod..p); mais, comme test divisible par p,
les autres cas, la somme sera=ta(mod. p„*), puisque (t— ¹)* A½— 2
— hp est divisible par pe. Le reste de la demonstration est
comme daus Particle précédent.
II resulte de là généralement qu' en exeeptantle cas ou— on a
da.)= a.(mod. p et(a‿hp) non= a pour un moqule
A+!?
qui est une puissance de ꝓ plus haute que„ 1, pourvu toutefois

—— — 3— —ÿ—
— 8 — ——— —— —
—— ö“
———
——
3 * 1—.— 2 1— 7———,—= ——— 1———————— ———————— 5———.—————y—— — 8————————-————— —————— 3
e. — —————
——-—— —
RECHERCHES que 2 ne nit pas divisible par p, et que p soit la plus haute puis- sance de p qui divise t.
De là suivent sur-le- champ les deux premisres propositions que
nous nous étions Proposé de démontrer 35); savoir:
*. Si a 1, on aura aussi(a po—=1(mod. p 0.
2. Si un nombre a. congru à A et partant à 2, suivant le
moqule p, mais incongru Aa, suivant le module 92„,, satisfesait
à la congruence σæ£(mod. p'), supposons a= a+‿p„ desorte que? ne soit pas dieiite par p, on aura ½ I—*z alors
(4+ lp.=(mod. p*)et non suivant„, qui est une puis-
sance de p plus haute que 2; donc a ne peut être racine de la congruence.ασ☛.
88. Nous devions en troisième lieu trouver une raoine de la con- gruence æ‿(mod. p), qui fut congrue à A. Il nous suffira de faire voir ici comment on peut y parvenir, 8i l'on connait une ra- cine de la congruence suivant le module A; puisque l'on pourra passer du module p, pour lequel A est racine, au module p', et de là à toutes les puissances consécutives.
Soit donc a une racine de la congruence*=r(mod. p„) et que l'on cherche une racine de la mème conerdende suivant le
module p', nous la supposerons=a h,— ‚forme qu'elle doit avoir d'après l'article précédent: nous consideverons; à part le
cas où»= n— 1, et y ne peut etre—/— 1.* aura donc
(à+ p
n—1—1
= 1(mod p); mais(A‿ bp—)=.
71—9—. (mod. p-); si donc on détermine h de manieère
+a=htp qu'on ait 1= a a. htp,(mod. pr); ou, comme par hypo- thèse 1= a.(mod. p„r—:— et que t est divisible par pf„de manière qu'on ait Ft+ a h5 divisible par p, le problème sera résolu;
or il est prouvé, dans la Frendan précédente, que cela est toujours possible, puisaue t ne peut être divisé par une puissance de p plus
b t haute que p', et que partant: est premier avec p.
Ma*

r. 7⁶. da 51 2 a, A 2 Y., LKhel lus Haute Wa, e hedb Sarrebeſh, Serrehe Sh Fde t, Kerhe Ar ee= lre-, antepu„„/ t, f 37, Wr 3.hre hest, 2*. are che Tfe ut, R fch,“ e,
kchosliom e e).⸗ eeen f ht, oh, t, eh., w, Pch ee P=ü X/e=l„, l
f J A,/p t/ Th h Ea. ,es S. 12, umnh(&*t0 DIe A/1 San A. vu eruan iree
n—
9 nüikat A? 9neh, h, ern& a+(p— desorte a unh?= a2s che!f Vah
In—:; Jlors
lui est une puis.(ã/ h A g CAdn, Veurust
Stre racine de la— Gr beef Ths u uh A hnh,„otspo⸗ E. uf, ſh Il nous suffira de h. ur aAAee* nconnait une ra.
nisque l'on poura(4 Atlc lie A kp, hnmuge—„2 B, 4 au module y, 6 Vuß dt aeα ah 6ℳo aJ 0. n, h 7 ej, eTze, 3 S’ Tr Eern Arhen he, a, h aee
raoine de la con-
³, , n“„ =hs dak? 7= Ga e,, Tarh!
vuence suivant le 4 hl h H-g ¹1, forme qwell= A 2 T, E, 93 h, deérerons àpart Tn veAe. 7 Ah w L, ſ. uod„
O un in(a4 p]h ² A Lft, ka ſ(basfun
1„ j h
ne wn. 1 4 ev, A4 a eA(.2*) R S aemerem(a,17= A4 1 ke(ad, D, 7e 54 Lc
4 niète Har P ⸗ de ma
blème serà résolu,
cela est toujoum 1
uissance dep
er avec h. Ma

ARITHMETIOUES. 65 Mais siv= n— 1, c'est-Aà-dire sit est divisible par P*“ ou par une plus haute puissance de p, toute valeur A qui satisfera à la con-
gruence ⁵☚☛σ, suivant le module p, y satisfera aussi suivant le module pr. Soit en effet tỹ.‿perr, on aura 1= r(modl.„— 1);
donc puisque A(mod. 5), on aura aussi Ar=1(mod. p).
Soit donc A= 1 Trp, on aura 4⁵⁵ 1 hp)p.= 1(mod. 2*); (n- 87).
89. Tout ce que nous avons 4(nos 57 et suivans) à l' aide du théorème du ne 45, a lieu pour un module qui est une puissance d'un nombre premier, et si l'on appelle racines primitives les nom- bres qui appartiennent à l'exposant p(— 1), c'est-à-dire ceux dans la période desquels se trouvent tous les nombres non divisibles par p, il y aura également ici des racines primitives; tout ce que nous avons dit des indices et de leur usage, ainsi que de la résolu- tion de la congruence*, peut s'appliquer à ce cas: comme toutes les démonstrations n'ont aucune difficulté, il serait superflu de les répéter. Nous avons en outre fait voir comment on déduit des racines de la congruence ☚☚☛᷑(mod.), celles de la congruence
= 1(mod. p*); mais il faut ajouter quelquer chose sur le cas où p=2„que nous avions exclu dans ce qui précède.
90. Si Pon prend pour module une puissance de 2 plus haute due la secondée, 2* nan eueabe la Puioshioe 2*—² d2 tout 2One impair sera= 1. 28 G
Par exemple, 55 6561g=1(mod. 32)
En effet tout nombre impair est de la forme 1+ 4 ou de celle-ci-— 1+ 4h, d'ou la proposition suit immédiatement(86). Ainsi l'exposant auquel appartient un nombre i impair quelconque suivant le module 2“, doit être un diviseur de 2ee; 2; ce nombre appar- tiendra donc à l'un des suivans 1, 2, 4, 8,. 26—⸗; et d' ailleurs on jugera facilement auquel il appartient. Soit le nomib proposè =Ah=kr, et 2 la plus haute puissance de 2 qui puisse diviser h (m est= o quand hest impair). Alors l' exposant auquel appartient le nombre donné sera= 2*=„— 2, 81 2= m-† 2; mais si n= ou Im-* 2, le nombre proposé: sera=kel, et partant appartiendra à l'exposant 1 ou à P'exposant: 2. En éffet E1 2ν*, et ce nombre élevé à la puissance 2*.—⸗ devient congru à l'unité suivant le mo-
I

66 RECHERCHES
0 0 3.„ 3 8 dule pr; or on déduit sans peine du ne 86 que si on élevait ce
nombre à une puissance de degré moindre, le résultat serait incon-
gru à l'unité. Ainsi tout nombre de la forme£ 1+ 4 ½h, ou kz est impair, c'est- A-dire tout nombre de la forme 8+‿ 5 ou 8+ 5, appartient à l'exposant„ε.
91. Il suit de là qu'il n'y a pas dans ce cas-cĩ de racines primilivées, dans le sens que nous avons donné à cette expression, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de nombres dont la période renferme tous les nom- bres premiers avec le module, et plus petits que lui; mais on voit facilement qu'il arrive ici quelque chose d'analogue. En effet toute puissance impaire d'un nombre de la forme 8+. 5 est elle- méème de la forme 8 ¼+ 5, et toute puissance paire est de la forme 8 ½+ 1; donc aucune ne peut être de la forme 8¼+. 5 ou 8+. 7; donc comme la période d'un nombre de la forme 8¼ ‿. 3est com- posée de 2ν— termes différens, dont chacun est de la formie 8¼+ 1 ou 8½+ 5, et qu'il n'y a pas plus de 2 ˙— ² de ces nombres qui soient plus petits que le module, il est évident que tout nombre de la forme 8+ 1 ou ½+3 est congru suivant le module 2“, à une puissanee d'un nembre quelconque de la forme 8¼+. 3. On
peut faire voir de la même manière que la période d'un nombre
de la forme 8 4¼-+ 5 comprend tous les nombres de la forme 8 r et 84+ 5. Si donc on prend pour base un nombre de la forme 8½+ 5, on trouvera des indices réels pour tous les nombres de la forme 8 K- et 8¼-+ 5 pris positivement, et pour tous les nombres de la forme 8+ 3 et 8X+ 7 pris négativenient: on doit encore re-
garder comme équivalens les indices congrus suivant ²2‿. C'est ainsi
qu'on doit entendre la table I, dans laquelle pour les modules 16,
32 et 64(car il n'y a besoin d'aucune table pour le module 8), nous
avons toujours pris 5 pour base. Par exemple, le nombre ³9, qui doit ètre pris négativement, puisqu'il est de la forme 8+‿3, a pour le module 64 l'indice 7, ce qui signifie que 57=— 19(mod. 64). Si Pon prenait négativement les nombres de la forme 8½+ 1 et 8n+ 5, et positivement ceux de la forme 82+†. 3 et 8 2+ 7, il fau-
drait leur donner des indices pour ainsi dire imaginaires; en les in-
troduisant dans le calcul des indices, on le réduirait à un. algo- 4„„„—* 1 1 rithme très-simple; mais comme nous serions conduits trop loin si
nous voulions traiter ce sujet en toute rigueur, nous réservons
+—

on Glevait at serait jaegg + 44, ouz st + ³ ou 86 †5,
ines pr imitiugs on, o'est.a. din ae tous les nom. ni; mais on voit ogne. In eſfet 84+ J est elle. est de la forme + 5 ou Rſ 8+ Jest com⸗ la forme dicn ees nombres qui lue tout nombre le module 2, à
rme 8 5. OI
ode d'un nomdre la forme*†r abre de la forme es nombres de la us les nombres de doit encore re-
t,*-e. Cest aini
les modules 16, module 8), nous nombre 19, qui ne 8n+†5, d pomn — 19(mod. 64) forme Wn e et dn-r„„ ilf inaires; en bi nirait à un, Älso duits trop bius
zin-
„ nous reser
rVons
ARTITHMETIOUES. 67
ce point pour une autre occasion, quand peutêtre nous entrepren- drons de traiter plus en détail la théorie des quantités imaginaires. qui nous semble jusqu'à présent n'avoir été réduite par bersonne à des notions claires. Les gens instruits parviendront aisément à cet algorithme; ceux qui sont moins exercés pourront néanmoins se servir de cette table, comme ceux qui ne sont point au fait des connaissances modernes sur les logarithmes imaginaires se ser- vent des logarithmes, pourvu qu'ils possèdent bien les principes antérieurement établis.
9². Presque tout ce qui a rapport aux résidus des puissances, suivant un module composé de plusieurs nombres premiers, peut se déduire de la théorie générale des congruences; mais comme nous exposerons plus bas une manière de ramener les congruences dont le modaule est
composé de plusieurs nombreés premiers, à d'autres dont le module
est un nombre premier, ou une puissance d'un nombre premier, nous ne nous arrêterons pas beaucoupicisurcette matière. Nous nous con- tenterons d'observer que la belle propriété qui a lieu pour les autres modules, savoir: qu'il existe toujours des nombres dont la période renferme tous les nombres premiers avec le module, n'a pas lieu ici, excepté dans le seul cas cù le module est double d'un nombre premier, ou d'une puissance d'un nombre premier. En effet si l'on ramène le module m à la forme A- B'Ce etc., A, B, C, etc. étant des nombres premiers différens, qu'on ſasse en outre
2—1(A— 1)= a, ⁵(B— 1)=òæ8, C.=(C— 1)=, etc. et
2— que z soit un nombre premier avec m, on aura z=(mod. A“), 6. 60 4 2 4 2Q 3 2= 1(mod. P'), etc.; si donc α est le plus petit nombre divisible par
α,,, etc., on aura 24½ ‿⁹= suivant chacun des modules A, Bi, etc., et partant, suivant m qui est égal à leur produit; mais excepté le cas où m est double d'un nombre premier ou d'une puis- sance d'un nombre premier, on a toujours ᷣ‿‿ᷣmρ etc., puisque les
nombresa, 6, etc. ne peuvent être premiers entre eux, ayant aumoins
le divisenr commun 2. Ainsi la période d'aucun nombre nepeut com-
prendre autant de termes qu'il y a de nombres premiers avec le mo-
dule, et moindres que lui, puisque leur nombre est égal au produit
a elc. Ainsi, par exemple, pour m= 1001= 7. 11.15, la puissauce 2
2— Oru I er U
ereruee. 2
ℳ 2
e,e 4/4
ee

—
——
—,
—
——
———
——
——
——
—
— »
———— 1 2——— ————
——
—““.“ ꝑböb—b—ö—ö—öbhb—ͤ “———— 5— 8— 3— 5 1—— 8—ͤͤͤͤ— . 8 3———— 3———— ———————. ———,————— 3 3 1— 4———ÿy————— —..—————.— 8————.————— 4 —————————— 1———————
— ͤͤ
—
——
——
—— ——
—
—
—
ö —
68 RFCHERCHESS 60 d'un nombre quelconque premier avec m, est congrue à l'unité, puisque 6o est le plus petit nombre divisible àda-fois par 6, 10 et 12. Le cas où le module est double d'un nombre premier ou d'une puissance d'un nombre premier, est tout-à- fait semblable à celui où le module est un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier.
95. Nous avons déjà cité en plusieurs endroits les ouvrages dans lesquels les autres géomètres ont parlé du sujet que nous avons traité dans cette section-ci; mais nous renvoyons ceux qui vou- draient avoir plus de détails que le desir d'abréger ne nous a per- mis d'en donner, aux ouvrages suivans d'Euler, recommandables
par la perspicacité qui a toujours distingué ce grand homme.
Theoremata circa residua e; divisione potestatum relicta (Comm. nov. Petrop. T. vIil, p. 49).
Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per nu- meros primos resultantia.(Ibid. T. XviII, p. 85).
On peut y joindre les dissertations 5 et 8 des Opuscula anal- cica. 1. 1.
Ar A erm eeeeeeee

ngrue àPnnäte, par 6, roetn emier ou d'une emblable Aeelu ace d'un nombr
e8 uyrages daus que nous avo 18 Ceux qui vou. er ne nous a per. recommandables nd homme.
olestatum relicla
otestatum per nu- 5).
Opuscula analf

ARITHMETIOUES. 69
SECTION OUATRIE ME.
Des C. ongruences die secoud degrée.
94. Tonhur. Un nombre çquelcongque m etant Ebs pour module, il ne peut avoir dans la Suite 1, 2, 3. m— 1, Plas de im+ nombres, quand m est pair„ et Plus d³ 31n 4, quiand m est impair, qul soient congrles d un guarrd.
Comme les quarrès des nombres congrus sontcongrus entre eux, un nombre qui peut être congru à un quarré, le sera à un autre quarré, dont la racine est plus petite que m. Il suffit donc de
——
considérer les résidus minima des quarréês o, 1, 4, 9.. m— 13 13 mais on voit facilement qu'on a(m— 1)“=I,(m— 2)= 2 (m.— 5)“= 3“, etc. Donc aussi, quand m est pair, les ra
( 1„ et(‿+ 1).(— ²) et(+), ete., avront les mèmes résidus minima; et quand in est impair,(—) et 1 () et(—), etc. seront congrus. D'ouù il suit évidemment qu'il n'y a pas d'autres nombres congrus à un quarré que ceux qui le sont à l'un des quarrès: o, 1, 4, 9,(*), quand mmn est
pair; et que quand in est impair, il n'y en a pas d'autres que
2 72— 1 2 ceux qui sont congrus à l'un des quarrés o, 1, 4, 9.. 4 5)
6 777.„ ⸗ 4 Donc il y aura au plus 2* rêsidus minima, différens dans m*+ 2
le premier cas, et dans le second.
Exemple. Suivant le module 15, les résidus minima des quarrés des nombres o, 1, 2, 5, 6, sont o, 1, 4, 9, 5, 12, 10, et après

70 RECHERCHES
cela ils reviennent dans l'ordre inverse 10, 12, 5, etc. Ainsi un nombre qui n'est pas congru avec l'un de ceux-là, ou qui l'est à l'un des nombres 2, 5, 6, 7, 8, Ir, ne peut être congru à aucun quarré. b
Suivant le module 15, on trouve pour résidus minima o, 1, 4, 9, 1, 10, 6, 4, qui reviennent ensuite dans l'ordre in- verse; ainsi le nombre des résidus qui peuvent être congrus à un m+ 1
2 Les nombres 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 135, 14, et ceux qui leur sont congrus, ne peuvent être congrus à aucun quarré.
quarré, est ici moindre que„puisqu'ils sont o, 1, 4;, 6, 9, 10.
95. Il résulte de là que pour un module quelconque, tous les nombres peuvent se distinguer en deux classes, dont l'une ren- ferme tous ceux qui peuvent être congrus à un quarré, et l'autre tous ceux qui ne le peuvent pas. Nous appellerons les premiers résidus gquadratiques(*) du nombre que nous prenons pour mo- dule, et les derniers non-résidus quadratiques; ou mòôme plus simplement toutes les fois qu'il n'en résultera pas d'ambiguité, reésidus et non-résidus. Au reste il est évident qu'il suffit de classer les nombres o, 1, 2..m—: car les nombres congrus doivent être rapportés à la même classe. b
Nous commencerons aussi dans ces Recherches par les modules premiers, ce qui doit toujours être sous-entendu, quand nous n'en avertirons pas expressément. Mais il faut exclure le nombre 2, ou ne considérer que des nombres impairs.
96. Le nombre premier p étant pris pour module, la moitis des nombres 1, 2, 5. p— 1, sera composce de residuis qua- dratigues, et L'autre moilic de non-résidus, e'est-d-dire qu'il
1„ e 0 J aura(p— 1) Tesidus, et auutant de non-residus.
—) Dans ce cas-ci, nous donnons à ces expressions un sens un peu différent de celui qu'elles ont eu jusqu'à présent, car lorsque r=as(mod. m), il faudrait dire que r est résidu du quarréê a*„suivant le module m; mais pour abréger, nous appelle- rons dans cette section r, résidu quadratique de m, et il n'y a pas d'ambiguité à craindre, car naus n'emploirons plus dorénavant l'expression résidu, quand elle signiſiera un nombre congru, à moins qu'il ne soit question de rèsidus minima, et dans ce cas il n'y aura pas d'obscurité.

eic. Ainsi! un » ou qui bes
vongru à aueu
minima o, 1 11 us l'ordre in. e Congrus à m
1, 4, 6, 9, ¹o.
tceux qui leur quarré, onque, tous les dont Pune ren- arré, et Pautre us les premiets enons pour mo- ou moème plus s d'ambiguité, qu'il sufft de ombres congrus
par les modules luand nous wen le nombre 2,
Jule, la moili E résidus qua- est--dire Hull
Vus.
—
un peu düfférente Jil faudrait dirs oue éger, nous appelle pas gambiguit 3 residu, quand ele elle je résidus minima,
5 2, la zuppositioine Püul subsister(n 13). II. y à donc
ARITHMETIOUES. 71
Ou prouve facilement que tous les quarrés 1, 4, 93‧() 2
sont incongrus; ear si l'on pouvait avoir(mod. p„) et que er A A — 4
les nombres n et r fussent inégaux et soit ry, on au-
rait Cr— r)(r †F), divisible par p; mais chaquo facteur Gtant
prsordurn
devient ⸗ 1(pn), limite qu'il ne peut pas dépasser. Donc les autres gde? nombres seront non-rssiqus,„‚et 1 y en aura= t. 88 u wum
Comme z6ro est toujours résidu, nous Texoluons ‚ ainsi que les e teed e aees, b nombres divisibles par le module, parceque ce cas est clair par m‿m—, arub, lui-même, et ne pourrait que nuire à l'élégance des théorèmes; par la même raison nous excluons aussi le nombre 2. cf 1 ,„ r.
97. Comme la plupart des choses que nous exposerons dans. Jhne, cette section peuvent étre déduites des principes exposés dans la.- e n section première, et comme il n'est pas inutile de rechercher la ece k vérité par différentes voies; nous nous attacherons à faire voir la d* 3 27, b liaison des différentes méêthodes. Par exemple, il est aisé de voir 32 que tous les nombres congrus à un quarré ont des indices pairs, et 2„ A“¹ que ceux qui ne sont congrus à aucun quarrẽé ont des indices impairs. ⁴σ urt Mais puisque„— est un nombre Pair, 1 y aura autant d'indices 3 b pairs qu'il y en a d'impairs, savoir: ³(p— 1); parconséquent 24, il y aura autant de résidus que de nonsrésidus.
Exemples.
Pour les modules on a les résidus
5 1
9............ 13 4 70.. 1., 2, 4
II.„ ⸗„„.„ 1. 5, 4, 5, 9 13*.„Ü..... 1, 3, 4, 9⸗ 10, 12 17)7„„ 15 2, 4, 8, 9⸗ etc.

——————
——
—.—— ——— —————— ————— 5
—
.— ———
— —
——
8 8 ͤͤͤͤͤͤͤ “ 1 ä“ A 1—ͤͤͤͤͤͤͤ“ ————ÿ—““ ———— ͤͤ 1— 8—
——— ——
3
—— —————
————
—
—
—
——— 5—— ————
. —— — —,-d—jß“
“ —
— “
72 HRRECHERCHES
..„ 3 et les autres nombres moindres que ces modules sont non-résidus.
98. THEOREME. Le produit de deuæ Tésidaus. quadratigues d'un nombre premier p est un résida; le produit d'un résidu et d'un non-résidu est non-résidu; enfin le produit de deuæ non-reésidus est résida.
10. Soient A et les résidus qui proviennent des quarrès 4*, L=, ou soient A=a“(mod. p) et B= b“⸗, on aura 1= a*b“, c'est- à-dire qu'il sera un résidu. b
2 ⁰ Quand A est résidu, ou que A=a“, mais que B est non- résidu, AB est non-résidu. Soit en effet, s'il se peut.ᷣ. e K* et 3(mod.)=5, on aura a*= a“b“⸗, et partant B= 5⸗, contre Thypothèse. b
Auitrement. Si l'on multiplie par A les— nombres de la suite 1, 2, 3. p— 1, qui sont résidus, tous les produits seront des résidus quadratiques, et ils seront tous incongrus. Or si. l'on multiplie par A un nombre E non-résidu, le produit ne sera congru à aucun des précédens: donc, s'il était résidu, il y aurait ¾(£‿1) résidus incongrus, parmi lesquels ne serait pas o, ce qui est im- possible(ne 96). b
3°. Soient A et B deux nombres non-résidus, Hen multipliant par Atous les nombres qui sont résidus dans la suite 1, 2, 3,„— 1,
— 1 2. 4 1 on aura— non-résidus incongrus entr'eux(2). Or le produit A B
ne peut être congru à aucun de ceux-là; donc s'il était non-ré-
8* 1 82 0* sidu, on aurait E non-résidus incongrus entr'eux; ce qui est impossible(ne 96). b
Ces théorèmes se déduisent ençore plus facilement des prin- cipes de la section précédente. En effet, puisque l'indice d'un résidu est toujours pair, et celui d'un non-résidu toujours impair, l'indice du produit de deux résidus ou non-résidus sera pair, et partant, le produit sera lui-méêème un résidu. Au contraire, si l'un des facteurs est non-résidu, et l'autre résidu, l'indice sera impair, et le produit non-résidu.
On

nt non.résidus idratigues du résidu er d'un NOn-Tesidus
yr 7 qnarrés G, p,
—ſ1
= a*b⸗, cesr que B est non. 2 peut A5 ½
B=5“, contre
nombres de la
oduits seront des rus. Or si Lon t ne sera congru aurait ³(p-P) „ce qui est in⸗
en multipliant 1, 2, 3) p¹, Dr le produit 43 *1l était non-Ri-
eux; ce qui es
ement des hrir- ne l'indice du toujours impai— idus sera par, Au contraire, 5 u, Pindice sela
On
MWezeu 2— A2eadeeaee:
CAaent 7. 2onnen ee nVc.— Sagu ℳ- f d.= juen dee ò 2 ahe Æ Æ Aktmn ee
AnDeAton u-h e, 2„e Vhe e. Ga e wuee Aecca- a n h ae“ k Aee eneeen EZe- de=ue᷑r œ- Ger ee deornme renn ue A. Z aeufe N eoea f. 4 f e eN Ke gale 2 4 4
Let Cth, fae Ae,
2 ee 2 a aea r a mAe e eee, Saa a ee Ka , 2 Seaear a r Vdene · Se ee nen m=f e e⸗ eee⸗ — 2. A, a2““
3 3 ege— ᷑‿eenhee a n e e Warre, M, ea 24*4— wfate AAl eee aeee e AA wfe ane 2 e ‿— w nmuaa 6æ He a Deᷣfhene. 2
m—, Ae c⸗ eus er, a — A= U u. e, een e Jeeg
—*ν* 4 2ee.
an oee eA ede, 5= K ee eede. nee — a(AAAkAn en geghe fu᷑ n eeee— che—
—,,. 2 Ax 6 aA 9— A=ea„ V— ran“
ue ee. 2a‿ Q n e f„
Gmne 6.. fre u;, A DDegun de A Der ns.., 24.
. 24 2. O⸗= 3 A n, e E A/f orke— Gðõn e h, ffa ae
3 2u e 7 Voene a G 5 =7 Ca 34 N Aäe uue eorer e- de en alnneee eu ue 2.
ne KH r= 7 Cru‿.
.. 6 e e ga— hrene Afhe Keaats zzarebeeiebes 2 e— ne— r, — e e eene cαe A o 2 F‿‿
A 2 ³ . reon eecee„ 5
—— 8—
——ÿÿ

e‿nr e aegee eu O. pr o e
6 Lo 2 4 re 7. 2 n ue d aAu Ge.“ jeee Sa, de,
A* ₰ A— He Cm Ar da l- 42 en A 2— Æ RKe AAa o A Me CA h o ene, c A2 4.—. 7 1 3— ⸗
A— 6 Can edn], an k, A ℳ 7. on Ae Lnn aee, hae e— Aeee, haa uu-—
Ge me 72 sne 4— Ae ſ eArE
A,)—
*. 0. 4 6☛ regf eee
6 or Sa
5 a, An r2 n E „ ee— e en Eern e e 8 eh auee u
Se 2, Ae e Che er ao 2‿☛☛ Aa Ca neen. heeofuse 2 sun V en aee e Greee aue f eaen e. r et Prre e eeenn e eeen,
rdr de C. 8„ 2 ve ceh V le Ha- VAn v Ce cae Ar, b

4.. Vaer valcan,
7 1 6‿ dan, head
84
X' A A 4
ARITHMETIOUES. 73
On peut aussi faire usage des deux méthodes pour démontrer ce
2. 0 ¶. 8*. théorème: la valeur de l'expression 5(mod. p), sera un résidu,
quand les nombreés a et b Seront tous les deuæ residus ou³ non-resi-
dus. Elle sera un non-résidu, quand V'un des nombres a et b sera rsidu et l'autre non-résidz. On le démontrerait encore en ren- versant les théorèmes précédens. b
99. Généralement, le produit de tant de facteurs qu'on vou- dra est un résidu, soit lorsque tous les facteurs en sont eux- mémes, soit lorsque le nombre de facteurs non-résidus est pair; mais quand le nombre des facteurs non-résidus est impair, le produit est non-résidu. On peut donc juger facilement si un nombre composé est résidu ou non; pourvu qu'on sache ce que sont ses différens facteurs. Aussi dans la table II, nous n'avons admis que les nombres premiers. Quant à sa disposition, les mo- dules sont en marge(*), en téête les nombres premiers successifs; quand l'un de ces derniers est résidu, on a placé un trait dans l'espace qui correspond au module et à ce nombre; quand il est non-résidu, on àa laissé l'espace vide.
100. Avant de passer à des sujets plus difficiles, nous devons dire un mot des modules composés. b
Si l'on prend pour module la puissance p' d'un nombre pre- mier p, p étant 2, une moitié des nombres non-divisible par et=pe seront des résidus, et l'autre des non-résidus; c'est-à-
..— 1— 1 dire qu'il y en aura?—v de chaque espèce.
En effet, si r est un résidu, il sera congru à un quarré dont la racine ne surpasse pas la moitié du module(n“ 94); et l'on voit facilement qu'il y a 1 p-(p— 1) nombres LE et non di- visible par p. Ainsi il reste à démontrer que les quarrés de tous ces nombres sont incongrus, ou qu'ils donnent des résidus diffé- rens. Or si deux nombres a et b non-divisibles par p et plus pe- tits que la moitié du module, avaient leurs quarrés congrus, on
(*) On verra bientot comment on peut se passer des modules composés.
K

74 RECHERCHES
aurait as D“ ou(a.‿.ꝗ̃)(a— 5) divisible par p', en supposant 4 a ☚ L, ce qui est permis. Mais cette condition ne peut avoir lieu,. . 42——.. 4 à moins que l'un des deux nombres a— b),+b ne soit divisible b par py, ce qui est impossible, puisque chacun d'eux est plus pe- 4 86 8.„ 2„, 1 A tit que pe, ou bien que l'un étant divisible par„ Pautre le 1 71—& 3„. 1„ 1 soit par„ ou chacun d'eux par p; ce qui est encore im- possible, puisqu'il's'ensuivrait que la somme 2a et la différence 25, a2 et partant a et 5 eux-mêmes seraient divisibles par, contre'hy- u pothèse. Donc enfin parmi- les nombres non-divisibles par p, et b 2—— 1* moindres que le module, il y a— pn résidus, et les autres, 3 en même nombre, sont non-résidus. 1 Ce théorème peut se déduire aussi de la considération des in- 1 dices, comme au n' 97. 4 101. Tout nombre non-divisible par p, qui est résidu de p, 1 sera aussi résidu de p'; celul qui ne sera pas réesidu de p ne 1 le sera pas non plus de p'. La seconde partie de cette proposition est évidente par elle- 1 méème; ainsi si la première n'était pas vraie, parmi les nombres plus I petits que pe et non-divisibles par p, il y en aurait plus qui
fussent résidus de p qu'il n'y en aurait qui le fussent de„'“, e'est-à- dire plus de(p— 1). Mais on peut voir sans peine que le nombre des résidus de p qui se trouvent entre 1 et p“, est pré- cisément= 1 pê(„— 1)). Il est tout aussi facile de trouver effectivement un quarréè qui soit congru à un résidu donné, suivant le module p“, si l'on connatt un quarré congru à ce résidu suivant le module p. Soit en effet a“ un quarréè congru au résidu donné A, suivant le „. 1 2.„ module p, on en déduira, de la manière suivante, un quarré= AI, — suivant le module p, vétant α et non plus grand que 2. Supposons
que la racine du quarrè cherché soit Æa-νσο;et il est aisé de s'as- surer que c'est là la forme qu'elle doit avoir. Il faut donc qu'on ait
2 2 2 aᷣ᷑eaœ+ap= A(mod. p), ou comme 2», on aura,

eut avoir d
esoit dirdi
ux est plus per
ℳ. p, Pautre]
sst encore in. différence 2¹, p, contre! h.
bles par p, et
„et les autres, gration des ja-
résidu de, residu de p ne
dente par ell- es nombres plu aurait plus qui
at de p', c'est-«-
s peine que l et p', est piè-
un quarré qui ule p', Si lor nodule p. 3A, suivant k un quarré= 4, e 2u. Supposos * 1 ¹ 2 est aisè de S4
ARITHMETIOUES.. aaxp= A—e. 4 mod..). Soit 4— aν= p. d. nankast⸗ za neec,
(mod.„ n); donc sera la valeur de Texpression ³³(mod.„).
Ainsi étant donné un quarré congru à A, suivant le module p, on en déduira un quarrè Lousta à A, suivant le module pe; de là au module pi, au module pi, elc.
Exemple. Etant proposè le résidu 6 congru au quarré 1, sui- vant le module 5, on trouve le quarré 9“ auquel il est congru suivant le module 25, 16˙ auquel il est congru suivant le mo- dule 125, etc.
102. Quant à ce qui regarde les nombres divisibles par p, il est clair que leurs quarrés seront divisibles par p“, et que partant tous les nombres qui seront divisibles par p et non par ps, se- ront non-résidus de pr. Et en général, si l'on propose le nombre pd, A n'étant pas doible par p, il y a trois cas à distinguer:
10. 817— ou n, on aura pt.A= o Lmod. 2 2 c'est- Kdire qu'il sera résidu.
2°. Si Ksn et impair„ 4 sera non-résidu.
En effet, si l'on avait pA ẽ posr A=S“(mod. p?), ss serait divisible par pewen, ce qui ne peut avoir lieu, à moins que s ne le soit par putr; donc alors s' serait aussi divisible par D, ce qui conduirait, à cause de 2+ 2 non plus grand que n, à aussi divisible par pewta; ce qui supposerait A divisible par p, contre l'hypothèse.
3°, Si KInFet pair, pA sera résidu ou non-résidu de p,
suivant que A sera résidu ou non-résidu de p. En effet, quand A sera résidu de p, il le sera aussi de p-(n- Précecent). Mais si on suppose A=a-(mod. p-³), on aura Ap'= a⸗p’(mod. p*); or asp est un quarré. Quand au contraire A est non-résidu de p, p'A ne peut être résidu de pr. Supposons en effet=a“(mod. p), a*¹ serait nécessairement divisible par', et le quotient serait un quarré auquel A serait congru, suivant le module„— t, et par- conséquent suivant le module p, e est àdire„que A serait résidu de p, contre Thypothèse.

8
-—
——— —————
.—— —— ————
76 RECHERCHES 103. Comme nous avons commencé(n“ 100) par exclure le cas ou
„= 23, il faut ajouter quelque chose à ce sujet. Quand 2 est module,
tous les nombres sont résidus, et il n'y en a point de non-rési- dus. Quand le module est 4, tous les nombres impairs de la forme 4-O 1 sont résidus, et tous ceux de la forme 44+ 5 sont non-résidus. Enfin, quand le module est 8 ou une plus haute puissance de 2, tous les nombres impairs de la forme 8½ 4. 1 sont résidus, et les autres, ou ceux qui sont de la forme 8+ 5, 84+ 5, 8 ½+ sont non-résidus; la dernière partie de cette propesition est évidente, puisque le quarré d'un nombre impair de la forme 4 ½+ 1 ou 4— 1 est toujours de la forme 8+ 1. On peut dé- montrer la première comme il suit.
1. Si la somme ou la différence de deux nombres est divi- sible par 2*—, les quarrés de ces nombres seront congrus sui- vant le module 2“. En effet, soit a un de ces nombres, l'autre sera 2"-ih-k, dont le quarré est= a⸗(mod. 2*).
2*. Tout nombre impair qui est résidu quadratique de 2“˙, est congru à un quarré dont la racine est un nombre impair et= 2—a. Soit en effet aν un quarré quelconque, auquel ce nombre soit con- gru, et a= a(mod. 2ν—¹), a n'étant pas plus grand que la moitié du module(n 4), on aura ν“, et partant le nombre pro- posé sera= ⁴. Mais il est évident que a et a seront impairs, et que parconséquent a— 2*—“.
3°. Les quarrés de tous les nombres impairs moindres que 2—2 seront incongrus, suivant le module 2“. Soient en effet deux nom- bresr et s, deux nombres impairs moindres que 2—²; si leurs quarrèés étaient congrus suivant 2˙⁄, on aurait(— s)(◻+s) divisibles par 2“ rétant s; mais on voit aisément que ⸗ 1†‿ꝗ☛¶3¶ et r— s ne peuvent être à-la-fois divisibles par 4, et si l'un est seulement divisible par 2, P'autre doit l'étre par 2*, ce qui est absurde, puisque chacun d'eux est 2*—“. 3
4o'. Si Pon ramène ces quarréès à leurs residus minima posilifs, on aura 2˙, résidus quadratiques différens, et plus petits que le module; mais comme il y a précisément 23, nombres de la forme 8 ¾+ 1 plus petits que le module, nécessairement tous ces nombres se trouveront parmi les résidus. 11 S 85

lure le Cas oh 2 est module,
e non-rgi. mpairs de h e 44+ 3 vn ſe hlus haus 18 8+ sont +5, 8 4 4 5, te Proposition ir de la forme On peut d.
bres est diri.
r. de TP, est pair et L 20 mbre soit con- que la moitié nombre pro. at impairs, et
ndres que 2* fet deux nom- si leurs quartès ivisibles para- ne peuvent elre visible par 2, isque chacmn
nima positiſs,
hus petits que hombfes de la sment tous ces

ARITHMETIOUES. b
Pour frouver un quarré congru à un nombre donné de la forme 8 1, suivant le module 2“, on peut employer une méê- thode semblable à celle du no 101„ ou suivre le procédé du n“ 88.
Pour les nombres pairs, on peut faire usage de ce que nous avons dit généralement no 102.
104. Pour ce qui regarde le nombre de valeurs différentes, c'est-à-dire incongrues suivant le module, que peut admettre I'expression V= A(mod. pr), pourvu que A soit un résidu de p', on déduit facilement de ce qui précède, les conclusions suivantes. Nous supposons toujours que p est un nombre pre- mier et, pour abréger, nous considérons en mêeme temps le cas Ou=I. 3 15 2u0 1˙. Si A n'est pas divisible par, V n'a qu'une seule valeur Pour ‿☚σ☛᷑ſ et n= 13 ce sera V=xI; il en a deux quand p est im- Pair, ou bien quand on a= 2 et n= 2; et, si l'une est= v, l'autre sera=—"; il en a quatre pour p= 2 et n 2; et si l'une est= v, les autrès seront= 9* 2*—,—+ 2*1,— p. b
2. Si Aest divisible par p, mais non par py, soit„4 la plus hautfe puissance de ꝓ qui divise A, car cette puissance doitètre paire(no 102), et A ap; il est clair que toutes les valeurs de F doivent être divisibles par', et que tous les quotiens donnés par ces divisions
b.—— n-—2 a4 seront les valeurs de l'expression V= Wa.(mod.„); on aura donc toutes les valeurs différentes de F, en multipliant par
pꝗ, toutes celles de V contenues entre o et p d. Elles seront— par conséquent,
“ 9pf, pf p.„ Sp+ 29 ,... LOp+(p„— 1) p. étant une valeur queleonque de V: suivant donc que V' aura 1,
ou 2, ou4valeurs, Ven aura pf, ou 2p,, ou 4b(15.).
3⁰°. Si A est divisible par p, on voit facilement, en posant n=am ou= 2m— 1, suivant que n est pair ou impair, que tous les nombres divisibles par pn sont des valeurs de VZ%, et qu'il n'y en a pas d'autres; mais les nombres divisibles par pn sont 0, D, 2p..(Pn.— 1) py, dont le nombre est pen.

e88ͤ8ͤ“ üäü — ,“——.——
78 RECHERCHES 105. II reste ³ examiner le cas oùð le module m est composé de plusieurs nombres premiers. Soit m= abo etc., a, b, o, etc. Etant des nombres premiers différens, ou des puissances de nombres pre- miers différens. II est clair d'abord que si n est résidu de mn, il le sera aussi des différens nombres ⁊, 5, c, etc., et que partant il sera non-résidu de m, s'il est non-résidu de quelqu'un de ces nombres. Réciproquement, sin est résidu des différens nombres a, 5, o, etc., il le sera de leur produit m; en effet, si l'on an= A“, B⸗*, C“, etc., suivant les modules a, 5, O, etc. respectivement, et qu'on cherche un nombre N congru aux nombres A, B, C, etc., sui- vant les modules a, 5, o, etc. respectivement(no 32), on auran= Na,
4
zuivant tous ces modules, et conséquemment suivant leur produit.
Comme on voit facilement que la valeur de N résulte de la combinaison d'une valeur quelconque de A, ou de l'expression n.(mod. a), avec unè valeur quelconque de B, avec une va- leur quelconque de G, ete, que les différentes combinaisons don- neront des valeurs différentes, et qu'elles les donneront toutes; le nombre des valeurs de N sera égal au produit des nombres de valeurs de A, B, C, etc. que nous avons appris à déterminer dans l'article précédent.
Il est&vident que si l'on connaft une valeur de l'expres- sion n(mod. m), ou de N, ce sera aussi une valeur de Ah, B, C, etc.; et comme par l'article précédent on peut en dé- duire toutes les autres valeurs de ces quantités, il s'ensuit que Pon pourra trouver toutes les valeurs de N, lorsqu'on en con- naitra une.
Exemple. Soit le module 315; on demande si 46 est un résidu ou un non-résidu. Les diviseurs premiers de 315 sont 5, 5, 7, et 46 est résidu de chacun d'eux; donc il est résidu de 315. Or comme 46= 1 et= 64(mod. 9),= 1 et= 16(mod. 5),=4A et= 25 (mod. 7), on trouve pour Ies racines des quarrés congrus à 46 sui- vant le module 315, les nombres 19, 26, 44, 89, 226, 271, 289, 206.
106. On voit par ce qui précède, qu'il suffit de reconnaitre si un nombre donné est résidu ou non-résidu d'un nombre premier donné, et que tous les cas reviennent à celui-là. Nous devons donc chercher pour ce cas des caractères certains; mais avant d'en-
.„·.—

„ 2 3 9
ete. Etant omdbres bre. du de m, il que partant Iu'un deè ces dens nombres On à n= 4, etivement, et „C, ete., sui. Tauran=N, leur produtt,
9
résulte de la e Pexpression avec une pa- linaisons don- eront toutes; des nombres à déterwiner
de P'espres- valeur Ge A, a peut en db. Il s'ensuit que qu'on en cor-
gt un résicu od .„ et 40 ed 5, 7, t4 15. Or comle 4 et= 2* —
ongrus 4 1 2, a. 8 7 20 4 „271) 209, 3 4 u onnaltle
prelnie
ARITHMETIOUES. 29 1 treprendre cette recherche, nous présenterons un caractère qui se déduit de la section précédente, et qui est digne q'ètre conservé à cause de sa simplicité et de sa généralité, quoiqu'il ne soit presque d'aucune utilité dans la pratique.
VUn nombre quelcongue A, non dioisible par un nombre pre- mier 2zm+ 1, est résidu ou non-résidu de ce nombre premier
Suiuant qu An=. 1-Ou.=— 1(mod. 2m+1).
Soit en effet, pour le module 2m-r, al'indicedu nombre A, dans
un gystème quelconque, a sera pair quand A sera un résidu, et im-
pair quand A sera non-résidu; mais l'indice du nombre An est ma, o'est-à-dire=o ou üm(mod. 2m) suivant que a est pair ou im- pair. Donc dans le premier cas on aura Ar= 1 et dans le second
—— 1(mod. 2m+ 1)(nos 57, 62).
Eaemple. 3 est résidu de 15, parceque 36=(mod. 13); au
contraire 2 n'est pas résidu de 13, parceque 26ι— 1(mod. 13);
mais pour peu que les nombres à examiner soient grands, ce carac-
tere devient tout-à-fait inutile à cause de l'immensité du calcul.
107. II est très-facile d'assigner tous les nombres qui sont ré-
Ssidus ou non-résidus d'un nombre donné. Soit en effet m ce nombre; 7. 7. m on déterminera les quarrés dont les racines ne surpassent pas=,
ou des nombres congrus à ces quarrés suivant le module m'(pour la pratique il y a encore des méthodes plus expéditives); alors tous
les nombres congrus à quelqu'un de ceux-là„suivant le module m, seront résidus, et tous ceux qui ne seront congrus à aucun, seront
non-résidus; mais la question inverse, tant donné un nombre guel conqueé, assigner tous ceuæ dont il ese rssidu ols non-esidu, est d'une bien plus grande difficulté; aussi nous allons nous occuper de ce problêème, de la solution duquel dépend ce que nous nous sommes Proposé dans l'article précédent; et nous commencerons par les
cas les plus simples.
.
108. THEOREME.— 1 st rasidu de tous lIes nombres premiers dé la forme An+. 1, et non-residu de tous les nombres Premilers de
la forme An+ 3. b Eaæemple.— 1 est résidu des nombres 5, 15, 17, 29, 57, 41, 53,

——-——n
RERCHERCHE 8S il provient des quarrês des nombres 2, 5, 34, 22, etc., respectivement. Il est au con-
23, 31, 45, 47, 59,
80 61, 73, 89, 97, etc.; 4, 12, 6, 9, 25, 11, 27, traire non-résidu des nombres 3, 7, 11, 19, 67, 71, 79, 83, etc.
Nous avons déjà fait mention de ce théorème(no 64); mais on le lement par le ne 106. En effet, pour un nombre pre- mier de la forme An+3, on a(— 1)“=+, et pour un nombre de la forme 4n+ 3, on a(— 1)“= 1. Cette démonstration revient à celle du n 64; mais à cause de l'élégance du théorème et de son utilité, il ne sera pas inutile de le démontrer encore d'une
demontre faci
autre manière.
109. Désignons par Ola somme de tous les résidus du nombre
— 1. leur nombre, en excluant o, est 2—, qui sera pair
premier p; toutes les fois que p sera de la forme 4n+ 1, et impair lorsque p sera de la forme 4n+. 3. Par analogie avec la nomenclature adoptée dans le ne 77, dans lequel il Stait question de nombres en général, nous appellerons, résidus 2550 ¼8, ceux dont le produit sera= 1(mod. p);
.. 4 1 en effet il est évident que sir est un résidu, ·(mod. p) en sera un
aussi, et comme le mème résidu ne peut avoir plusieurs associès dans O, il est clair que Cpeut etre distribué en classes, dont cha- cune contiendra deux résidus associés. Or il est évident que, s'il n'y avait aucun résidu qui n'eüt d'autre associé que lui-même, c'est-à- dire si chaque classe contenait deux résidus différens, le nombre des résidus serait double de celui des classes. Si donc il y a des nombres qui soient eux-mêmes leurs associés, c'est-à-dire quelques classes qui ne contiennent qu'un résidu, ou, si on aime mieux, qui contiennent deux fois le mèême; soit a le nombre de ces classes, p le nombre des autres, le nombre de tous les résidus sera= a+. 25: donc a sera pair ou impair suivant que p sera de la forme 42+ 1 ou 42+. 3; mais(n 77) il n'y a pas de nombres plus petits que p, autres que 1 et— 1 qui soient eux-méêmes leurs associés, et le pre- mier 1 fait certainement partie des résidus; ainsi dans le premier cas p— 1 ou, ce qui revient au même,— 1 doit éêtre résidu, et dans le second il doit être non-résidu; autrement dans le premier cas on aurait a= 1, et dans le second a= 2, ce qui est impossible.
119s

ombres 2, 3, Il est au con. E, 9, 9,, /* 2 3
4); mais on le n nombre pre⸗ dur un nombre démonstration du théorème et r encore d'une
dus du nombre qui sera pait
r lorsque p sera re adoptée dams général, nobs ra= 1(mod.y)
p) en sera un
sieurs associe ses, dont cha- ent que, Silny moème, c'est-s ens, le nombi donc il yàde A-dire quelques lime mieux, qui de ces classes, sera= d+ ¹ la forme 44*† us petits qu p, ociés, et le prä- Jans le premie ztre résidu, dans le premie
est E 110

——————
———

b ARITHMETIOUES. 61 110. Cette démonstration est encore due à Euler, ainsi que la précédente qu'il a donnée le premier(Opuso. analyt. T. I, p. 135). Il est aisé de voir qu'elle repose sur des principes semblables à ceux sur lesquels nous avons appuyé notre seconde démonstration du théorème de Wilson(ne 77). Mais en supposant ce théorème, la démonstration précédente se simplifierait beaucoup. En effet„entre
5— 1 ‧— les nombres 1, 2, 3..— 1, il yen a²— qui sont résidus et autant
de non-résidus; donc le nombre des non-résidus est pair ou impair
suivant que p sera de la forme 4n‿ 1, ou de la forme 4n+ 3; donc le produit de tous les nombres 1, 2, 3,„— 1 gera résidu dans le
premier cas et non-résidu dans le second(ne 99). Or ce produit =— 1(mod. p); donc enfin— 1 est résidu dans le premier cas et non-résidu dans le second.
111. Si donc r est résidu d'un nombre premier de la forme 4n+ 1,— p le sera aussi, et tous les non-résidus seront encore non-résidus en changeant les signes(*). Le contraire arrive pour les nombres premiers de la forme 4 2-† 3, dont les résidus devien- nent non-résidus, et réciproquement, quand on change le signe (ne 98). b
Au reste on déduit facilement de ce qui précède cette règle gené- rale:— est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni Par 4, ni par aucun nombre de la forme 42☚˖+ 3. Il est non-résidu de tous les autres.(No 105 et 105). b
112. Passons aux résidus+ 2 et— 2.
Si dans la table II on prend tous les nombres premiers dont le module est+ 2, on trouvera 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97. Or on remarque facilement qu'aucun d'eux n'est de la forme 8n+ 3 ou 8n+† 5. 1
Voyons donc si cette induction peut devenir une certitude.
Observons d'abord que tout nombre composé de la forme 8+. ou 82-† 5renferme nécessairement un facteur premier de l'une oul'autre
( Ainsi quand nous parlerons d'un nombre, en tant qu'il sera résidu ou non- résidu d'un nombre de la forme 4n+. 1, nous pouvons ne faire aucune attention 4 son signe, ou lui donner le signe-k.
L

832 RECHERCHES forme; en effet les nombres premiers de la forme 8Sn-† et 8n+ 7 ne peuvent former que des nombres de la forme 8 n+‿ 1 ou 8n+ 7. Si done notre induction est généralement vraie, il n'y aura aucun nombre de la forme 8„+ 3, 82+ 5, dont le résidu soit+ 2. Or il est bien certain qu'il m'existe aucun nombre de cette forme et au- gessous de 100, dont le résidu soit+. 23 mais s'il yen avait au-dessus de cette limite, supposons que? soit le plus petit de tous; t sera de la forme 8n+‿ ou 82+. 5, et+ 2 sera son résidu; mais il sera non- résidu de tous les nombres semblables plus petits. Soit a= 2(mod.¹), on pourra toujours prendre a impair et t, car a a au moins deux valeurs positives plus petites que?, dont la somme=:, et dont par- oonséquent l'une est paire et l'autre impaire(ues 104, 105). Cela posé, soit a* 2+ alt ou t= a*.— 2, à Sera de la forme 82+1, et par- conséquent ut de la forme 8 ⁷— 1; donc u sera de la forme 8 v½. 5 ou 8n+ 5 suivant que V sera. de la forme 82+‿5 ou 8 n+3; mais de l'équation a*—e 2+.!l3, on tire la congruence aν‿z(mod.), c'est-à-dire que+† 2 serait aussi résidu de z. Il est aisé de voir qu'on au: il s'ensuivrait quet ne serait pas le plus petit nombre qui eùt+. 2 pour résidu, ce qui est contre l'hypothèse; d'ouù suit enfin une démonstration rigoureuse de cette proposition, que nous avions déduite de l'induction. b En combinant cette proposition avec celles du nor11, onen déduit les théorèmes suivans: I.+ 2 est non-résidu, et— 2 est résidiu dée tous les nombres pre- miers de la forme on+. 3. II.+ 2 et— 2 sont non-résidus de tous les nombres premiers de la forme in+. 5.
113. Par une semblable induction om tirera de la table II, pour les
nombres premiers dont le résidu est— 2, ceux-ei: 3, 11, 17, 19, 41⸗
43, 59, 67, 73, 83, 89, 97(*). Parmi ces nombres il ne s'en trouve au-
cun de la forme 8n+‿ι.̈ν ou 82+‿7; cherchons donc si de cette induction nous pouvons tirer un théorème gèénéral. On fera voir de la même ma-
nière que dans l'article précédent, qu'un nombre composé de la forme
1 2 0 8n+. 5 ou 87+ 7, doit renfermer un facteur premier de la forme 8 n+ 5 ou de la forme 8n+‿7; desorte que si notre induction est
„„ Z 72„. (*) En considér ant— 2 comme le produit de+ 2 par— 1; voyez n 111.

Pret 824 ¹1 du 82.†, 1 aAura auenn korme et au vait au-dessuh Ous; ¹ Sera dh lis il sera non- =2(modl.), eu moins deun t et dont par- 85). Celaposé 2+ 1, et Dar- forme dn-*†2 8n+ 3; mais 22(mod. u), t aisé de voir Spetit nombre ese; d'on suit ion, que nous
4
—, on en déduit
nombres pye- Dres premiers
le II, pour les 1, 17, 19, 41, ven trouvpeè au- ette induction la méme Ma- 86 de la forme er de la forme induction est —
n0 111* yeZ E 11 vo) e2
ARITHMETIOUES. 83 généralement vraie,— 2 ne peut être résidu d'aucun nombre de la- forme 8n+‿5 ou 8n+ 7; or s'il peut y en avoir de tels, soit t le plus petit de tous, et qu'on ait— 2= a*— tu. Si l'on prend, comme plus haut, a impair et I!, z sera de la forme 82+‿ 5 ou 8 2+ 7, suivant que t sera de la forme dn-‿† ou 8+. 5; mais de ce qu'on aa Ttet ul= a*.+‿ 2, il est facile de déduire que u est=t; et comme— 2 serait aussi résidu de z, il s'ensuivrait que t ne serait pas le plus petit nombre dont— 2 est le résidu, ce qui est contre l'hypothèse. Donc— 2 sera nécessairement non-résidu de tous les nombres de la forme Sn-+‿5 ou 8 n+ 7.
En combinant cette proposition avec celles du no 111, on en déduit les théorèmes suivans? I.— 2 et+ 2 sont non-reésidus de tous Ies nombres Premiers de la forme 8n+.5; comme nous l'avons déjà trouvé.
II.— 2 est non-résidu et+ 2 reõsidi de tous les nombres pre- miers de la forme 8n+ 7.
Au reste, nous aurions pu prendre a pair dans les deux démons- trations; mais alors il eüt fallu distinguer le eas où a est de la forme An-* 2, de celui ou il est de la forme 4 Q d'ailleurs la marche est absolument la même et n'est sujette à aucune difficulté.
114. Il nous reste encore à traiter le cas où le nombre premier est de la forme 8n+. 1; mais il échappe à la méthode précédente et demande des artifices tout-à-fait particuliers.
Soit, pour le module premier 8n †. 1, une racine primitive quel- conque, on aura(no 62)— 1(mod. 82+ 1); cette con- gruence peut se mettre sous la forme(a*‿‿τ*= 2a*(mod. 8 ĩ2+. 1), ou(aνν— 1)“=— 22⸗=“; d'ou il suit que 2aνn et— 2* sont résidus de 8n-+ 1; mais comme a“ est un quarré non-divisible par le mo- dule,+ 2 et— 2 seront aussi résidus(no 98).
115. Il nesera pas inutile d'ajouter encore une autre démonstration de ce théorème, qui a le mème rapport avec celle que nous venons de donner, que la seconde démonstration du théorème du ne 108 ‚a avec la première. Les gens instruits s'appercevront facilement que ces deux démonstrations ne sont pas aussi différentes qu'elles le paraissent au Premier aspect, tant dans le premier cas que dans le second.
b 2

——————
84 RECHERCHES
1*. Pour un module premier quelconque de la forme m †r, parmi les nombres 1, 2, 3, Am, on en trouvera 77 qui pettvent Stre congrus à un biquarré, et les 3 autres ne pourront pas'ètre-
On peut le conclure facilement des principes de la section précé- dente; mais on peut aussi s'en passer sans difficulté. En effet nous avons démontré que pour un pareil module,—1 était toujours réèsidu quadratique. Soit donc fa=— 1, il est clair que si z est un nombre quelconque non divisible par le module, les biquarrés des quatre nombres+ z,— 2,+. fx,— /½(qu'on voit facilement être incongrus) seront congrus entre eux. Or il est évident que le biquarré de tel nombre qu'on voudra, qui ne serait congru à aucun de ces nombres, ne pourrait pas ètre congru à leurs biquarrés; autrement la con- gruence σσ aurait plus de quatre racines(n“ 43). On déduit facilement de là que les nombres 1, 2, 3, Aum fournissent seu- lement m biquarrés incongrus, pour lesquels, parmi les mèmes nombres, on en trouvera m qui leur sont congrus; les autres ne pourront être congrus à aucun biquarré.
20. Suivant un module premier de la forme 8n+.‿.,— 1 peut étre rendu congru à un biquarré; c'est-Aà-dire que— 1 sera 7⁶66idas Biquadratique de ce nombre prêmier.
En effet le nombre des résidus biquadratiques moindres que on+.* (zéro excepté), sera= 22, c'est-à-dire, pair. Or on prouve facile- ment que, si r est résidu biquadratique de 8n+ 1, la valeur de l'ex-
pression 1(mod. 8n+. 1) est un pareil résidu. Donc on peut dis-
tribuer les résidus biquadratiques par classes, comme nous l'avons fait, au no 109, pour les résidus quadratiques, et le reste de la démonstration est exactement le même qu'à l'article cité.
30 Soit maintenant 94=— 1 et h la valeur de l'expression 2 g
(mod. 8n+ 1). On aura alors(&£ h)= g= he 2gh=g+ n* 2, puisque gh=1; mais 94=— 1; donc gν‿‿̃— h': d'ailleurs.. gih== g*. gohe= g“, donc g=— h' ou g*+‿ he= o, et(g⸗ h)“= 23 c'est-Aà-dire que+ 2 et— 2 sont des résidus quadratiques de 8⁰ ◻ 1.
116. Au reste on tire facilement de ce qui précède la règle géné- rale suivante:+ 2 est résidu de tout nombre qui n'est divisible ni par A ni par aucun nombre premier de la forme èn ‿ ⁹ ou³ 8n+ 5,

erme Am.Ly) 7 qui pemens ont pas otre, section nin knn ellet vom toujours ceésiqu est un nombee rrés des quatte atrei mcongn biquarr de te eces nombres, rement la con- 3). On dédvit durnissent eu. mi les mèmez ; les autres ne
„— 1 peut etr 1 sera résida
Jres que èn- proure facile⸗ valeur de l'er- ac on peut dix⸗
qe nous l'avons le reste de la cité. rexpression— =9 †fcn : d'ailleurs,- ga2)= ſues de Sn-T. la règle gne⸗ 4 n'est aue
ou de-r, ¹

——
———— Srr Beweeeme—
—..

—
ARITHMETIOUES. b 85
et non-résidu de tous les autres, par exemple, de tous ceux de la
forme 8 7+.‿ 3, 872+ 5, tant premiers que composés.
— 2 est résidu de tout nombré qui n'est divisible ni par A ni par auecun nombre premier de la forme dn 5 ou³ 8n*ℳ7, et non- residu de tous les autres.
Ces théorèmes élégans étaient connus de veima(Op. Aadam.,„
p. 168); mais il n'en a point donné la démonstration, qu'il a dit
avoir trouvée. Depuis, Euler l'a toujours cherchée en vain; mais Lagrange en a publié le premier une démonstration rigoureuse
(Nous. Mam. de l'MAo. de Berlin. 1775, p. 349, 351); et il parait
qu' Euler ne la connaissait pas encore quand il a ccrit la dissertation que renferme le T. 1 des Opuscula analyt., p. 259.
117. Passons aux résidus+ 3 et— 3, et commengons par 1e dernier.
On trouve par la table II que les nombres premiers dont— 3 est résidu, sont 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, parmi lesquels il n'y en a aucun de la forme 6s+‿ 5. On démontre comme il suit qu'au-delà des tables il n'y a pas de nombres de cette forme dont— 5 soit résidu: il est d'abord évident que tout nombre com- posé de la forme 6n+5 renferme un facteur premier de la même forme; ainsi, quand il sera démontré qu'il n'y a pas de nombres premiers de la forme 6+ 5 dont— 3 soit résidu, il demeurera prouvé qu'il n'y a pas non plus de nombres composés. Si donc au-delà des limites de la table il y avait de tels nombres, soit t le plus petit de tous, et qu'on ait a-=— 3 †eu; alors en prenant a pair et moindre que t, on aura u et— 3 résidu de z; or si a Stait de la forme 6n= 2, zu serait de la forme 6v ‿ 1, et partant z de la forme 6n+. 5, ce qui est absurde, puisque nous avons supposé que: était le plus petit nombre contraire à notre induction; en second lieu, si a était de la forme 6 ⁄, tu serait de la forme 36 v+ 3, et partant ꝶ ν de la forme 12n+ 1; donc Ʒu serait de la forme 6n+ 5; or il est clair que— 5 serait aussi résidu de 3, ce qui est absurde, puisque ut; donc— 3 ne sera résidu d'aucun nombre de la forme 6n+ 5.
Comme tout nombre de la forme 6n+ 5 est contenu sous la forme

———
5— 5 3 ͤ ——— ——— — 5
——— —
—
— — ——— ———.—
—
— —
— ——
— —
— 5
85 RECHERCHES 12 9+ 5, ou 12n 11, et qué la première revient à An-† et la seconde à 4n‿5, on a les théorèmes suivans:
I.— 3 t+3 Sont non-résidus de Ioudl nombre premier de la
Forme r12n+ 5. II.— 3 est non-résidu, et+‿ résidu de tout nombre premier de la forme 12n. 11.
8, On trouve dans la table II, que les nombres dont 3 est résidu sont 3, 11, 13, 25, 37, 47, 59, 61, 71, 73, 83, 97, parmi lesquels aucun m'est de la forme 12n+5 ou 1272 7; or on démontrera, comme dans les nos 112, 115, 117, qu'il n'y a absolument aucuns nombres de cette forme dont le résidu soit+ 3; ainsi nous ne nous y arréterons pas. Nous en conclurons donc à l'aide du n' 111, les théorèmes suivans: 1
I.+3 et— 3 sont non-résidus d'un nombre premier quelconque
de la forme 12n+. 5.
II.+ 3 est non-résidu,— 3 residu de toul nombre premier de la forme 2n+ 7.
119. Cette méthode n'apprend rien pour les nombres de la forme 12n+ 1, qui demandent des artifices particuliers. L'induction fait voir aisément que+ 3 et— 5 sont résidus de tous les nombres pre- miers de cette forme. Or il suffit de démontrer que— 3 l'est effecti- vement, puisqu'alors+ 3 le sera aussi(ne 111); mais nous allons faire voir plus généralement que— 5 est résidu de tout nombre pre- mier de la forme 5nu+ 1.
Soit p un de ces nombres premiers, et a un nombre appartenant à l'exposant 5, suivant le module p: et ĩl est évident qu'il existe de tels nombres, puisque 3 divise p— 1(n 55). On aura ainsi aν— 1= 0 (mod. p), c'est-à-dire as— 1=(a— 1)(a*‿ρ 4‿+ 1) divisible parp; mais on ne peut pas avoir a=1(mod. p), parceque 1 appartient à l'exposant 1; donc a— 1 n'est pas divisible par p, et partant
aν‿ρσ 1 le sera. D'ou il s'ensuit que 4*‿4a 4 le sera aussi, c'est-à-dire qu'on aura(2+‿ 1)“=— 3(mod. p), ou que— 5 sera résidu de p.. Au reste il est clair que cette démonstration, qui est indépen- dante des précédentes, renferme aussi les nombres premiers de la forme 1an+† 7, cas que nous avons résolu dans le ne précédent.

à Jh.preth
Premier dà 2
Ne Premierq́«
unt 3 est rezign Parmi lesquel démontrera ument aucuns i nous ne nom lu m' IIr, Ks
T quelconque re premie de
es de la forme induotion fait
nombres pre- 3 l'st effecti- lis nous allons t nombre pre⸗
e appartenant Il existe de teb nsi 4.— 1=0 ivisible parp; appartient i „, et partamt le sera auss!, que— 3 bens
est indépen. remiers de li précsdent
ARITHMETIOVUES. 87 Nous observerons encore qu'on pourrait employer la méthode des nes 109 et 115; mais pour abréger nous ne nous y arréterons pas.
120. On déduit facilement de ce qui précède les théorèmes sui- vans(nos 102, 105, 105):
I.— 3 est résidu de tous les nombres qui ne sonl dibvistbles ni Par 8, ni par 9, ni par aucun nombre premier de la forme én- 5, et non-residu de tous les autres.
II.+. 3 est résidu de tous les nombres qui ne sont divistbles ni Par 4, ni par 9, ni par auoun nombre premier de la Forme 12n+ ⁵5 Ouοι 12n+. 7, et non-résidi de tous les auitres.
On doit remarquer surtout ce cas particulier:
— 5 est résidu de tous les nombres premiers de la forme 3 †+ 1, ou, ce qui est la mêème chose, de tous ceur qui Sont reæsidus de 3; et il est non-residu de tous les nombres premiers de la forme 6„+ 5, ou de tous ceux de la forme 3+. 2(2 excepté), c'est-à-dire de tous ceur qul sont non-résidus de 3, et l'on voit facilement que tous les autres cas suivent naturellement de celui-là.
Les propositions relatives aux résidus+ 5 et— 3, étaient con- nues de Fermat(Opera Mallisii, T. 11, p. 857); mais Euler est le premier qui les ait démontrées(Comment. nov. Petrop. T. VIII, P. 105), c'est pourquoi il est encore plus étonnant que la démons- tration des propositions relatives aux résidus+. 2 et— 2 aient tou⸗ jours échappé à sa sagacité, puisqu'elles sont appuyées sur les mémes principes. On peut voir aussi les Recherches de Lagrange (Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin. 1775, p. 357).
121. Linduction fait voir que+ 5 n'est résidu d'aucun nombre impair de la forme 5+‿ 2, ou 5 7+ 3, c'est-à-dire d'aucun nombre impair qui soit non-résidu de 5 lui-même. Or nous allons démontrer que cette règle ne souffre aucune exception. Soit, s'il est possible,? le plus petit nombre à en excepter, 5sera résidu de:, et t non-résidu de 5. Soit az 5 Tta, desorte que a soit Pair et=I; u sera impair et It, et+5 sera résidu de z. Si a n'est pas divisible par 5, ne le sera pas non plus; mais il est évident que tz est résidu de 5; donc comme test non-résidu de 5, 2 le sera aussi, c'est-à-dire qu'il y a un nombre impair Ia qui est non-Tésidu de 5 et dont 5 est résidu; mais gi a est

— 2———— 1 4 .“
RECHERCHES il en résultera f— 1=4 ire que tv sera résidu de 5. La marche de la dé- ans le cas précédent.
88 divisible par 5, soit a= 55 et u= 59,
(mod. 5), c'est-à-d monstration est pour le reste la même que d
122. Donc+5 et— 5 sont non-résidus ge tous les nombres premiers qui sont à-la-fois non-résidus de 5 et de la forme 42+ 1, c'est-à-dire de tous les nombres premiers de la forme 2n+ 15 ou 20n+. 17; mais 5 sera non-résidu, et— 5 résidu de tous les nombres premiers de la forme 20n+‿ 3 ou 207 7.
Or on demontrera absolument de la méme manidbre que—5 est non-résidu de tous les nombres premiers des formes 2n+. 11, 20 n+. 13, 20n+. 17, 207+ 19, et lon voit facilement qu'il suit de là que+. 5 est résidu de tous les nombres premiers de la forme z0n+. 11, ou 202+† 19; enfin non-résidu de tous ceux de la forme 20+. 135, ou 20n+. 175 et comme tout nombre premier, excepté 2, et 5 dont-.5 est résidu, est contenu dans l'une des formes: 20 n+ 1,+ 5,+ 7,+†9⸗+11,+ 13,+ 17,+ 19, il est clair
que l'on peut juger de tous, excepté de ceux qui sont de la forme
20+ 1, ou 20 n+ 9.
123. Par induction, on trouve facilement que+ 5 et— 5 sont résidus de tous les nombres premiers de la forme 20n. et 20hn+ 93 et si cette proposition est généralement vraie, on aura cette loi élégante que+‿ 5 est résidu dé kous les nombres premiers qui sont residus de 5 lul-méme,(car ces nombres sont contenus dans les formes 5n+r, ou 5n+ 4, ou ce qui revient au même
2
dans les formes 2 n+r,+o,+I1,+ ¹9, parml lesquelles la troisieme et la quatrième ont déjà été traitées), et non-résidus de tous les nombres premiers impairs, qui sont résidus de 5, comme nous l'avons déjà démontré plus haut. Or il est clair que ce théorème suffit pour juger si+ 5 et partant— 5, qui n'est autre que+ 5— 1, sont résidus ou non-résidus d'un nombre donné quelconque. On peut observer aussi l'analogie de ce théorème
avec celui du no 120 sur le résidu— 3.
Mais la vérification de cette induction n'est pas facile. Quand le nombre proposé est de la forme 2 z+ 1, ou plus généralément de la forme 5n+ 1, on peut employer une méêthode semblable à celles des no* 114, 119. Soit en effet a un nombre quelconque appartenant

ee que— 5 a Les 2on †, gent qu'il auit ers de la forme ux de la forme
eer, excepté?,
des formes: „, il est clair ont de la forme
-5 et— 5 sont Hret20n-†9 aura cette loi premiers Gui
sont contenlla
jent au mème
i lesquelles l
et non-resill sgidus de 5, il est clair que qui n'est autte nombre donnd le ce théoreme
facile. Ouand b
Sentralem
8 zembläblé“ ueleonque apparteuin
40— 4 2., L He 4lhh 5 DA B* 2
/
e/
2 „4. Za— 4*,
152 2 24,37,..
222„ Se,2 eene o ,,—
2ℳ= ee 2/2), /Fese e 2„Wu Sa, 5 4,R. 77 As, es aus, 27 2 774. 2 ee, 2e A. 6A-9 l—.—.7,— 2e,=e, Z.A& DT9.— 6 37 29
Af 1. 2.* 240 7, a. Le— A, re 5 B 27 2. A ℳ — I Mh da, e Fe,„o ad IA=r h=
7 a M, 2
— ne 2n, e —.2 I,
6 8 1 1 .. 4

——

ARITHMETIOUES. 89
appartenant à l'exposant 5, suivant le module 5 ² †+ 1, nombre qu'on a appris à trouver dans section précédente, on aura as= 1, ou (4— 1)(aε‿μάα‿ a*+ a+ 1)= o(mod. 52+ 1). Mais comme on ne peut avoir a= 1, il s'ensuit qu'on aura ‿ a a +1=o; donc 4(‿ραάαα a a+† 1)=(24*--a.-†. 2)— 59 20; c'est-à-dire, que 5a“ est résidu de 5v+‿ 1; et partant 5 lui-même, Puisqne 2*¹* est un résidu non-divisible par 5n+ 1; car, à cause de a‿, a n'est pas divisible par 5n+ 1.
Comme le cas ou il est question d'un nombre premier de la. forme 5n+ 4 demande des artifices particuliers de calculs, et comme nous traiterons par la suite, d'une manidère générale, les propositions au moyen desquelles on peut résoudre oe problème. nous nous contenterons d'en parler ici en passant.
1⁰. Sip est un nombre premier, et b un nombre aussi donné non-résidu ALBe=(A=V A=„
F5 8 dont le développement ne contiendra pas d'irrationnelles, sera tou- jours divisible par, quelque valeur que l'on attribue à x. En effet il est clair, par l'inspection des coefficiens qui naissent de ce développement, que tous les termes, depuis le second jusqu'à l'a- vant-dernier Inclusivemonl, sont divisibles par p, et que partant
de p, la valeur de Pexpression
A= 2(p+ 1)(**rzekee)(mod.); mais parceque 5 est non- résidu de p, on aura b52=(mod. p),(n- 106); or on a
toujours(section précédente), d'où s'ensuit A=o.
2°. Dans la congruence A=o, l'indéterminée aura p dimen- sions, et tous les nombres O, 1, 2, 3...— 1, seront racines de cette congruence. Soit eæ un diviseur de p+ 1, Pexpression... (&L 5)=(— L 5)-
7 5b xy aura e— 1 dimensions, et il est constant par les premiers élémens d'analyse, que A est divisible par B. Or je dis qu'il y ac— 1 va- leurs, qui rendent B divisible par p. En effet, soit= BO, aura dans C, p— e+ 1 dimensions, et partant la congruence C= o ( mod.„), ne pourra avoir plus de 9.— e+ racines„ d'ou il suit M
‚que nousreprésenterons par B, serarationnelle,

—— ———:—
E᷑N᷑nlll—
RECHERCHES
90 ; 1„ ris dans la série o, 1, 2, 1⸗
3— 1 autres nombres p ngruence B= o. forme 5n+ 4, 6= 5, b un erminé de manieère à rendre
on devient
que le seront racines de la co
3°. Supposons maintenant p de la non-résidu de p, et le nombre a dét 5——/ 5 0 2 0 3„ LE= divisible par p. Cette expresst
V = 10 a+ 20*5+ 2b= 2((b- 5a*)— 200 done(b 50*)— 2004=o (mod. p); g'est-à-dire que 202¹ est résidu de p; mais comme 4½ est un résidu non-divisible par p,(car on voit facilement quê a ne peut être divisible par p), 5 sera lui-méême résidu de p. Il est clair par là que le théorème énoncé au commencement Je cet article est généralement vrai. Observons encore que les démonstrations des deux cas sont dues à Lagrange.(Mémoires de„ Academie de Berlin, 1775, p. 352). 1246. On démontre par une méthode semblable que— 7 est non-residu de tout nombre premier qui est non-résidu de 7, eb l'on peut conclure par induction, que— 7 est résidu de tout nombre qui est résidu dé 7; mais personne n'a encore démontré rigoureusement cetté seconde partie. Pour les nombres qui sont résidus de et de la forme An— 1, la demonstration est facile, car on peut démontrer par la méthode précédente qui est main- tenant assez connue, que+ 7 est toujours non-résidu de ces nombres, et partant— 7 résidu. Mais nous sommes peu avancés ar là, gar les autres cas ne peuvent etre traités par cette mé- thode. Il y a cependant un cas qui peut òètre résolu de la mème 125. Soit pun nombre de la forme 7n. 1⸗
manière qu'aux nes 119, on voit facilement que
et a un nombre appartenant à l'exposant 7; 4(a— 1). 2 2 =(22*+a— a— 2)+ 7(a*+‿=o, et que partant
4— 1 — 7(aν+‿αα) est résidu de p. Mais(aν+.α comme quarròé, est ré-
sidu dé p; de plus il est non divisible par p. En effet a m'est ni= 0, ni=— 1(mod. p), c'est-à-dire que ni a, ni a+ 1 ne sont divi- sibles par p, et partant le quarrè(aρ‿“ a- ne l'est pas non plus. Donc 7 lui-mème est. résidu de p. Mais les nombres de la forme 7n Xℳ 2, ou 7n+ 4 échappent à toutes les méthodes que nous avons fait connaitre jusqu'à présent. Au resté, cette démonstration est encore due à Lagrange,(ibidem). Nous montrerons plus bas gé-

1, 2, p5— — ¹
4, e= 5, bu
anière à rendh dression deriet
+ Ha 20S) nais comme 79 acilement qure ésidu de p.
Commencement
ux cas sont dues * 1775, P. 3oa) le que— 7 ell résidu de, i residu de tou encore démontt ombres qui Soui
ation est faclle,
e qui est mail- a-résidu de css nes peu aranci
par cette me- olu de la même a forme 7uꝓ† facilement que
et que partant
4 8 6. e qnarte, estni b
ta n'est vi=0, — ne sont diri⸗
keolns bas ge ons plus basg
ARTITHMETIOUES. 91
2
.* 4.2*— 3. ¶☛ ·— 1 4 9 neralement, section VII, que l'expression 44— peut toujours
être ramenée à la forme X.☚ηάηρτ, Xet F gtant des fonctions rationnelles et entières de x, et où l'on doit prendre le sigue su-
périeur, quand p est un nombre premier de la forme 4n+. 1, ek
le signe inférieur, quand p est de la forme 4Q2+ 3. Lagrange n'a pas poussé cette analyse au-delà du cas ou p= 7(L. oyez ibidem). 125. Puisque les méthodes précédentes ne suffisent pas pour établir des démonstrations générales, il est temps d'en exposer une autre exempte de ce défaut. Commençons par un tbéorème dont la démonstration nous a long-temps échappé, quoique au premier aspect il paraisse si facile, que plusieurs auteurs niont pas môme cru qu'il fuůt nécessaire de le démontrer. C'est celui-ci: Tout nombre, si P'on en excepte les quarrés pris positisement, est toufours non- ræsidu de quelques nombres premiers. Mais comme ce théorème ne nous servira que d'auxiliaire pour d'autres démonstrations, nous ne présenterons que les cas dont nous pourrons avoir besoin; jes autres se trouveront démontrés par la suite. Nous allons done faire voir que tout nombre premier de la forme An+. 1 soit Po- sitif, soit négatif, est non-résidu de quelques nombres premiers, et meme de nombres premiers plus petits que lui(). b Quand le nombre premier p de la forme 42+ 1 est pris négative- ment, soit 2z le nombre pair immédiatement plus grand que Vp. On voit facilement que 4aν est toujours= 2p(†*) ou que 42ꝑ Ip.
0) Il est évident qu'il faut excepter+ r (A**) L'assertion de l'auteur est vraie, excepté pour les valeurs p= 5 etp= 17. Soit en effet p= me† k, me étant le plus grand quarré contenu dans ꝓ; on aura 2a=m-l ou= m+† 2, suivant que m sera impair ou pair, donc Aoν sera m am+1 ou m² †‿¶+† 4; d'ou il suit 1 2 Aa— 2 p= l— 2 † 2m— m.= 2(1— k)—(m-— 1)“ ou 40— 2 p= 2(4— k)—(m— ²2)“* or dans le premier cas on a évidemment 4a— 2p 3O, puisque k ne peut pas être plus petit que 4.—
Dans le second cas, l'assertion est en défaut pour tous les nombres dans lesquels KA4(ce qui exige qu'on ait K= 1, puisque k est de la forme 4n+ 1), et (m— 2²)“6, c'est-à-dire, pour les nombres pour lesquels m=2 ou m= 4; ces nombres sont donc 2²+ 1=5 et 4+† 1= 17; mais pour tout autre on aura 4%— 2 p Zo. b—
On peut substituer la demonstration suivante qui n'offre aucune exception. 2
—

1 4 1 —.—— ͤſ““ ——— ——*—“ 33 —————,— —— 5 4 ————— 3
——— 1———— ——————— ꝗ— ͤſͤͤ —4—————————————— ———-————
— ——,—
—
— ————
-——————
—————
92 RECHERCHES Mais 4a*— p est de la forme 4n+3 et+p est réèsidu quadratique de 4ν— p, puisque 4 ο‿‿άp(mod. 40— p). Si donc 4 G— p est. un nombre premier,— p sera non-résidu; dans le cas contraire
a*— p renfermera un facteur de cette forme; donc+. P serà ré- sidu, et partant— pf non-résidu.
Quand le nombre premier est pris positivement, il est néces- saire de distinguer deux cas; celui ouù p est de la forme 8n+. 5, et celui où il est de la forme 8 2+ 1.
Soit d'abord p de la forme on+.‿ 5, prenons un nombre po- sitif quelconque aV 2 p; alors 8+ 5— 22“ sera un nombre po- sitif de la forme 8n+ 5 ou 87+. 35, suivant que à sera pair ou impair, et nécessairement divisible par un nombre premier de ja forme 8n+3 ou 87+ 5, car le produit des nombres de la forme 8 9+ 1 et 87+ 7 ne peut avoir ni la forme 82+ 5, ni la forme 8⁰+ 5. Soit cette différence égale à 7, on aura 8+‿ 5= 22* (mod.). Mais(n“ 112) 2 est non-résidu de, et partant 2ν et 87+ 5(n⸗ 98). a¹ en effet n'est pas divisible par, car sans cela le nombre premier p serait divisible par g.
126. La démonstration n'est pas aussi simple dans le cas cù le nombre premier positif est de la forme 8 ĩ¶£‿ 1. Mais comme cette vérité est d'une grande importance, nous ne pouvons omettre la démonstration, quoiqu'un peu longue.
LEMME. SGr† Pon a deux suites de nombres A, B, C, D, etc.(I), A, B, C', D“, elc.(II),(dans lesquelles il est indifférent que les termes soient ou non en même nombre) telles que p tanlk un nombre premier quelcongue ou une puissance d'un nombre premier qui divise un ou plusieurs termeées de la seconde, il
ait au moins autant de termes de la première qui soient diui- sibles par p; alors jé dis que Ie produit de tous les nombres de(I) est divisible par le produit de tous les nombres de(II).
Soit—(m+ 1)*— k, m étant la racine du plus grand quarré contenu dans p; il en résulte(m+ 1)*=p(mod. K). Or si m-+ est pair, k sera de la forme 4n+3 et parconséquent— p sera non-résidu de K; si m+ 1 est impair, Kk sera de la forme An, et comme les nombres de cette forme n'ont d'autres resicqus que ceux qui somt de la forme n+ 1 ou 82+ 1(no 103), il s'ensuit que—p est non- résidu de K; or k est p.(Note du Traducteur).

in nombre po un nombre po 2 Sera pair ou ore premier deà nombres de ſa 82+ 3, nih ra dn+. 5= an et partant au- dar g, car sans
e dans le cas 1. Mais comme douvons omettte
C, D, ete ſ indifférent que hes que p dlunl e d'un nombre seconde, il) ni Soient dui- les nombfes mmöres de(I), — ré contenu darsy; zera de la forme est impair, Kela autres résidus Ihe t que— 5 est Doll-

neroe eeeen 22, Seoe 2 A2s 2e
en ue, eee,

. ARITHMETIOUES. 95 Exemple. Soit(I) composé des nombres 12, 18, 45, et(II) composé des nombres 3, 4, 5, 6, 9; alors en faisant successivement= 2, 4, 3, 9, 5, on trouvera dans(I) 2, 1, 3, 1, 1, termes divisibles, et 2 1, 3, 1, dans(II) respectivement; or le produit de tous les termes de(1)= 9720 qui est divisible par 5240, produit des termes de(II).
Démonstration. Soit O le produit de tous les termes de(I), et O' le produit de tous les termes de(II), il est évident que tout nombre premier diviseur de 9. le sera aussi de O. Prouvons main- tenant que tout facteur premier de O' est au moins élevé à la méme puissance dans O. Soit P ce diviseur, et supposons qu'il y ait dans la suite(I) a termes divisibles par p et non par p*, B par pe et non par pe, œ par p' et non par„, etc.; α, 5,, etc. ayant la mèême signification dans la suite(II). On verra facilement que a+.‿ 25 + 30 Tetc., est l'exposant de p dans O, et a‿2ν‿+‿ 30 † etc., l'ex- posant de p dans O" mais a n'est certainement pas a, ni 5 ₰ 5, etc. par hypothèse; donc aussi a‿‿ 25‿‿3α‿ etc., ne sera pas a+† 25+ 3+ etc., ainsi, comme aucun nombre premier ne peut avoir un exposant plus grand dans O' que dans O, O est divi-
sible par O“(n“ 17). 127. LEMME. Dans la progression 1, 2, 3, 4.. n, il ne peult
F avwoir plus de termes dioisibles par un aombm qutelcongue h, que dans la progression a, a1, a+† 2, an—, qui a le méme nombre de termes.
En effet on voit sans peine que si n est divisible par h, il y a
3 77 6 0 2. dans chaque progression z termes divisibles par k; sinon soit
n= he+‿᷑ f, élant Ih; il y aura dans la première série e termes, et dans la seconde e ou e+ 1 termes divisibles par k.
*
Ilsuit de là, comme corollaire, que—— 2) 62(a+ n—¹)
est toujours un nombre entier: proposition connue par la thécrie des nombres figurés, mais qui, si je ne me trompe, n'a encore été démontrée directement par personne.
Enfin on aurait pu présenter plus généralement ce lemme comme il suit:
Dans la progression, a+ 1, a+ 2.. Daen„il y a au moins autant de termes congrus suivant le module à un nombre
5 2

——. 4 K——
RECHERCHES
donné quelconque, qu'il y a de termes divisibles par h dans la Soit a un nombre quélconqde de la forme 8 n+ 1, p LAn nombre quelcong premier abec à et dont+‿ a Soit résidu, etm in nombre arbitrairs; je dis que dans la Stiite, a, ³(a— 1), 2 a— 4),(a— 9)⸗ 2(a— 16) 2(a—m¹) ou³ (a— m“) suivant que m' est pair ou³ impair, il q moins all-
tant de termes divisibles Par p Tu qans ſa suite 1, 2, 5. 2m 1.
Désignons la première par(I), la seconde par(II).
1°. Quand p= 2, tous les termes de(I), le premier excepté, c'est-à-dire m termes, seront divisibles par 2, et il y en aura autant dans(II). 1
2. Si p est un nombre impa
progression 1, 2,
128. THEOREME.
ir, ou le double ou' le quadruple d'un nombre impair, et que a=re(mod. p), alors dans la progression —(:m 2) 0, 1;, 2. IM(III), qui a le mème aura au moins autant de termes congrus àr suivant le module p, qu'il y en a dans(II) de divisibles par p(n- précéd.); mais on ne pourra pas en trouver deux qui ne diffèrent que par le signe; en effet si r=—=+ f(mod. p), on aura 2= o; donc aussi 22= 0, puisque par hypothèse. ‿aα mais comme a est premier avec p, on ne peut avoir 202= 0(mod. p) à moins que= 2, et nous avons déjà parlé de ce cas. Enfin chacun de ces nombres aura, dans la série(I), son correspondant qui sera divisible par p; savoir, si best un terme de la série(III) congru Ar suivant p, on aura a— b“'= o(mod. p). Si donc 5 est pair, le terme 2(4— 5) sera divisible par p; si b est impair, le terme²(a— 5*) sera divisible par; car—2 sera entier et pair, puisque(hyp.) z est de la forme Sn+.‿ᷣ 1, et 5“ l'est aussi comme quarré d'un nombre impair, tandis que p est au plus divisible par 4. On conclut enfin de là qu'il y a dans la série(I) autant de termes divisibles par p, qu'il y en a dans la série(III) de congrus avec suivant le mo- dule p, c'est-à-dire autant on plus qu'il y en a de divisibles par dans la série(II). 3*. Soit p de la forme 8, et a=(mod. 2p); car on voit faci- lement que a étant résidu de p, le sera aussi de 2p. Alors dans la
— m,—(:m— ¹), nombre de termes que(II), il y

ar h dans h
de la forne lont †a soit ns la suite, 2(à-m.) ou au moins au. 3. 2m+.
nier excepte, en aura autant
uadruple d'un la progresiion qui a le meme ant de termes ) de divisibſes er deux qui ne (mod. p), on othèse †'= a; 22==o(mod. p) . Eufin chacun mdant qui sela III) congrud tpair, le terme rme:(a-9) uisque(Vyp.— 16 d'un nombre in conclut enüi visibles pay, zuivant le mo- divisibles pax
ar on voit faci- Alors dars l
ARITHMETIOUES. 95 série(III), il y aura au moins autant de termes congrus à rsuivant p, qu'il y en a dans(II) de divisibles par, et ils seront tous iné- gaux; mais à chacun d'eux, il en correspondra un dans la série(I) qui sera divisible par p. Si en effet⸗b=r(mod. p), on aura 5“σ& (mod. 2p)(*+), et partant(a— 5), et à plus forte raison 2(a ‧— 5*) seront divisibles par p. Donc il y aura au moins autant de termes divisibles par dans(I) que dans(II).
129. THEOREME. Si a est un nombre premier de la forme 8n+r., il aura nécessairement au-dessous de 2 a un nombre premier dont a est non r6Siil.
En effet, soit s'il se peut a résidu de tous les nombres premiers plus petits que a, il est clair que a serait aussi résidu de tous les nombres composés plus petits que 2(n“ 105). Soit m le nombre immédiatement plus petit que ·. Alors dans la série(I) il y aura au moins autant de termes divisibles par un nombre quel- conque=2 que dans la série(II) du ne. précéd.; d'ou il suit que le produit O de tous les termes de(I) est divisible par le pro- duit O' de tous ceux de(III)(n 126); mais le premier est a(a— ¹)
(a— 4)(a— m“) ou la moitié de ce produit, suivant que m est
pair ou impair. Or puisque O est divisible par C'“ et que tous les
9
facteurs de(II) sont premiers aveca, il s'ensuit que ⅞ est di- visible par O!. Or Q0“ peut étre mis sous la forme
— ᷣòL—
(m+. 1)(m.— 1)(m†.̃— 4)..(m †.— m⸗), et l'on.
„, 2—1 12— 4 a— m* aurait—.————= un nombre en- ml mr l mr 3az m+—m.
tier, quoique ce soit le produit de plusieurs fractions plus petites que l'unité, puisque V étant irrationnel, on am+‿1☚ Vaet par-
tant(m-+†. 1)“— a. IIsuit de là que notre supposition ne peut avoir lieu. b
Or comme a ⁵2.◻4, on aura 2 za, et il existera un nombre premier a dont a est non-résidu. b b 130. Maintenant que nous avons démontré que tout nombre
—
(*) En effet 5— 7—(5+ r)(b5— r); l'un de ces facteurs est divisible par p; l'autre est divisible par 2, puisqu'ils sont tous deux pairs; dono b2— r2= o(mod. 2p).

4 vn
96 RFCHERCHES b 4 premier de la forme 4n+ positif ou négatif ‚est toujours non- 4 résidu d'un nombre premier au moins plus petit que lui, nous V allons passer à l'examen exact et général de la condition nécessaire pour qu'un nombre premier soit résidu ou non-résidu d'un autre. 7 Nous avons démontré plus haut que— 3 et+ 5 sont résidus 9. b ou non-résidus de tous les nombres premiers qui sont respective- 62l ment résidus ou non-résidus des nombres 3 et 5. 44 * On trouve par induction, relativement aux nombres suivans, què, 9 4 uu,— 7,— 11.+ 13,+ 17,— 19,— 25,+ 29,— 31,+ 57,+ 41, 4 — 43,— 47,+ ⁵535,— 59, etc., sont résidus ou non-résidus de tous c
les nombres premiers qui, pris positivement, sont résidus ou non- résidus de ces nombres premiers. Cette induction s'établit facile- ment au moyen de la T able II. Une légère attention suffit pour remarquer que parmi c remiers, ceux de la forme 4 ĩ2+ 1 sont affectés du signe+, et b ceux de la forme 4n+ 5, du signe—. 1 — 131. Nous démontrerons bientôt généralement ce quée l'induction nous a fait découvrir; mais avant de l'entreprendre, il est néces- saire de faire voir toutes les conséquences qe ce théorème supposé 2 vrai et que nous énoncerons ainsi:„
es nombres
Ru.„ 2 Tout nombre qui, pris positivement, est résidu ou non-résidia Eenr X„ de p, aura, pour„ssidu ou non-résidu,+‿p ou— p, Sélon die P 7 „ Serda de la forme 4n+ 1 00 An+ 3. b Comme presque tout ce qu'on peut dire sur les résidus qua- V dratiques est une suite de ce théorème, la dénomination du 1 théorème fondamental dont nous nous servirons dorénavant, na 1 1
sera pas déplacée.
Pour exposer nos raisonnemens de la manière la plus courte, nous désignerons paf a, a, aν, etc. les nombres premiers de la forme 4n+ 1, par 5, F, 5', etc. les nombres premiers de la forme An+3, par A, A,, ℳ“, etc. les nombres quelconques de la forme An+ 1, par B, B“, B', etc. les nombres quelconques de la forme An+ 3. Enfin la lettre R placée entre deux quantités, indiquera- que la premidère est résidu de la seconde, et la lettre N indiquera je contraire. Par exemple, 5 K 11, 2 N5, indiqueront que 5 est ré-
sidu de 11, et que 2 est non-résidu de 5. Maintenant,

toujouts nen⸗ que li, nots t on néceszair d'un autre, 5 sont résidun ont respectire.
ésidus de ton résidus ou hor-
rmi ces nombles
que Vinducſien 2, il est nécs.
7 4 7 Coreme supposs
ou non-résidu „ ⸗
es résidus qus- nomination du dorénavant, he
la plus comtt, premiers de la force
nes de la forme
Mainteneni

C2 rI- Zal ere„ e ⸗ Aee, II. Me EcAl A ſe aA ernA Aan ee eor m
2— 2 n—— 1
— Reaen
V A 22-
/, eee
Vo 2e— Car—
3 oc. er ue. Séae fs⸗ eG. 7- .——
2 e, ee mak
4„ ⸗ er e V— e A= L 2„„ A=k. 22 2 A 0
Mke e ee.
n aen e„ Qae— eaeter,
ee h 2 o e 2.
2 o—. 5 22 1 7. 3— eeemn ea— eee Qleemt,, C᷑t A nma Jarr„ V 22 Co ee f el.— a 6 1 2— Q,— za ee 3 A 2Z A. A 2 2 a Aern nmeVae deee,— jh eo e, GaA⸗ A. 2 Le B c.„ A 2 0 oee n— f AAae eereen/ rere enla eerezne e er. n aad e
ee Ae, eaA A 2
8 A G⁸
—— 1— —
une n eene h, e e eeeeeee e 8„ ern aae
““
—— — ſ— 4 8 *△
d 4 W
8 8
———
Ae e A-
1— 22 2 Vaaeee Q 2æᷓ₰3 a mn 2ſ. u&
, haee,, ne, Der V Se— O enee fu‿ eene 8/ Ee-
.— 3 2 A.„— Cre u— 2 a 2 ue e dr A gapfee).
2ℳ
e.
fuege
———y—
—
2, eeee. ler oee 74 —— ₰‿ L.* Ilas Rtrt. Qeente 2 I. 7. e Aka 7 7 Sua 2 aee f,. Foe, Goh 2 Ve XVA 2 Qnda Ca e 2 D)
4— f. 2. 22e 7„ 2
b 3 2 3 aaA? C. y 6 5 32 4 4 Jo I᷑A IL᷑A4- Iο Qae er E 2 S 4 6
E
———
—
, 1 8
—— — 2 ————
erenlaen le.t.
—.—y

ARITHMETIOUESG. 97
Maintenant, à l'aide des théorèmes du ne 111.„ on déduira du théorème fondamental les propositions suivantes:
81 on aura I.„+aka.... a Ra
2.. avbaa LTayrʒa
3. 4 a2hß....... 4 Ra
4.-[)heeeenee. bNa
S5... SRa..e are
8 S
b— aNb 6. A. 5 Na e
— aR5
7. teee.„ne 5V— FRYF
3. 44 5N re „eseeeee..veVp
132. Ce tableau renferme tous les cas qui peuvent se présonter quand on compare deux nombres premiers; le tableau suivant ren- ferme ceux qui conviennent à la cCötpataisone des nombres quch- conques.
0
Si on aura
9. RaRA............. f.ARa
[AR5 10.R.A......:a9
11.+anhh fp HRa 12.—an.... LTBNa — BR5 + BN5
7.— b+BR5 . 2RE...... gBxb.
15. 42n.....

98 RECHERCHES Comme les mêmes brincipes conduisent aux démonstrations de il west pas nécessaire de les developper toutes; la
ces propositions, ns ici, peut servir
démonstration de la Proposition 9 que nous plaço de modeèle; mais, avant tout, faut observer que tout nombre de la forme 4n+ 1 ne renfermera aucun facteur de la forme 4n 5, ou en renfermera un nombre pair parmi lesquels il pourra y en avoir tandis que tout nombre de la forme+ 3 doit en ren-
8 ¹
fermer un nombre impair. Le nombre de 42+ reste indéterminé.
Passons à la démonstration de la proposition 9. Soit A le produit des facteurs premiers A*,*, 2", etc. 5, F', b', ete.; le nombre de ces derniers sera nul ou pair. Or si est résidu de M, il sera résidu de tous les facteurs à, ν, an, etc. b, U B', etc.; donc, par les pro- positions 1 et 5 du n- précédent, chaeun de ces facteurs sera résidu de a, et partant leur produit A; donc(ne 111),— A le sera aussi; mais si— a est résidu de A, il le sera de tous les facteurs de A, et chacun des nombres a, a, etc. sera résidu de a, tandis que chacun des nombres P, F, eic, sera non-résidu; mais comme cCes derniers sont en nombres pair, le produit total A sera résidu de a, et par conséquent aussi— A. b
133. Donnons encore plus de généralité à nos recherches. Consi- dérons deux nombres quelconques P et Q impairs et premiers entre eux, affectés de signes quelconques. Concevons P, abstraction faite du signe, décomposé en facteurs premiers, et désignons par„ le nombre de ceux dont O est non-résidu, en comptant plusieurs fois les facteurs qui entrent plusieurs fois dans P et dont O est non- résidu. Soit de même— le nombre des facteurs de Q dont P est non- résidu. Les nombres p et g auront entre eux une certaine relation dépendante de la nature des nombres et O; savoir, si l'un des nombres pq est pair ou impair, la forme des nombres P et O apprendra si Pautre est pair ou impair. Cette relation est présentée dans la table suivante: b—
p et q seront àla-fois pairs ou impairs quand les nombres Pet 0
seront des formes; b b
1+ A et+ A4 2+ A et— A 3+‿A et+ B 4+ 5 et— B. 5— A et—4 6+. B et— B Au contraire„Lun sera pair et l'autre impair quand B et O au-

Donstration 5 Opper tontes, lei, peut ann lout nombre di a forme 44+* ourra y en z11 H doit en re. urs de la forus
Soit A le produit le nombre de ces Usera résidu ds nc, par les yr
teurs sera résidu
A le sera ausi; acteurs de 4, 6 ndis que chacon ame ces derniess du de a, et pa
hherches. Consi- airs et premiers s P, abstraction dösignons pary nptant plusieus dont O est nor- dont P est nor- eertaine relatiol doir, si Pun des ombres P et( on est présente
nombres Pet
1+
— 5
4 7 au* and Pet 0³¹
1
ront une des formes
ötre plus grands que 1; parconséquent lorsqu'on supp est nécessairement= o, quand p est impair,
ARITHMETIOUES. 995
miers de 1197, savoir, 5, 3, 19. Si Pet Q désignent des nombres premiers, ces propositions re-
viennent à celles du n* 131. En effet, dans ce cas p et ne peuvent
x
ose p pair, il c'est-à-dire que O est résidu de P; mais O est nom-résidu de D, et vice versd. Ainsi en mettant a et 5 au lieu de A et B, il suit de la 8e que si— a est résidu ou non-résidu de 5,— b sera non-résidu ou résidu de a, ce qui s'accorde avec la 3e et la 4e du ne 131. b En général il est clair que Q ne peut Stre résidu de P, à moins p est impair, O est certainement non-
4
qu'on n'ait= o; si donc residu de BP. 3 b On peut déduire sans peine de là les propositions du n⸗ précédent. Au reste on verra bientôt que ces relations générales ne sont pas une spéculation stérile„puisque sans Jeur secours il serait presqim- possible de donner une démonstration complète qu théorème fonda- 134. Voyons maintenant la manidère de déduire ces propositions. 10. Soit, comme ci-dessus, P décomposé en facteurs premiers, et O en facteurs quelconques, ayant toutefois égard au signe de C. On pourra combiner chaque facteur de P. avec chaquè facteur de Q, et si l'on représente Par s le nombre de toutes, les combi- naisons dans lesquelles le facteur de O est non-résidu du facteur de Po p et seront tous les deux pairs ou tous les deux impairs. Soient en effet f, ſ“˙, h, etc. les facteurs premiers de p, et suppo- sons que parmi les facteurs de O, ily en ait m non-résidus de.)ſ, m' non-résidus de ſ“, muon-résidus de †', etc. On voit facilement que l'on aura s=m+m metc., et que exprimera combien i! y a de nombres impairs parmi m, m', mn ete.; d'ou il sutt que s est pair quand p est pair, et impair quand p est impair. 4
4
2

100 RECHERCHES
2°. Ce que nous venons de dire a lieu de quelque manière qu'on
décompose Q en facteurs. Passons aux cas particuliers. Consi- 3 1 dérons d'abord le cas où l'un des nombres H est positif, et l'autre O, 1,
de la forme+ A ou— B; décomposons Pet O en facteurs pre- h miers, en donnant à tous les facteurs de P le signe+, et le signe+ 4 ou le signe— à chacun de ceux de O, suivant qu'ils seront de la 4, forme a ou 5, et O sera alors de la forme+ A ou— B, comme 5,, Thypothèse l'exige. Combinons chacun des facteurs de P avec Ka chacun des facteurs de O, et désignons comme ci-dessus par s le 94 5 b nombre des combinaisons dans lesquelles le facteur de Q est non- ee résidu du facteur de P, et semblablement par t le nombre de celles 41„ où le facteur de P est non-résidu du facteur de O. Il suit du théo- 3 5, rème fondamental que ces combinaisons doivent éêtre identiques; 4 donc 5d=t. Enfin de ce que nous avons démontré tout-à- 1” l'heure, il suit que==Æ(mod. 2) et;˙et(mod. 2), d'oùu p= 2 (mod. 2). Les propositions 1, 3, 4, 6 du n“ 133 ge trouvent dé- 2 ſes
montrées par là. 14
On peut démontrer les autres propositions directement de la- Qauu même manière; mais elles exigent une considération nouvelle, et den, il est plus aisé de les déduire, comme il suit, des précédentes. ſerti 3*. Désignons de nouveau par Fet Q des nombres quelconques 4 impairs et premiers entre eux, par pet q le nombre de facteurs pre- 4 ⸗ miers de Pet O, nombres dont OQet P sont respectivement non- 4
résidus. Soit enfin le nombre de facteurs de Pdont— O est non- résidu: quand O sera négatif par lui-mèême, il est évident que
— Q indiquera un nombre positif. Distribuons maintenant les fac- b teurs de Pen quatre classes. b 712 (¹) En facteurs de la forme a, dont O est résidu. fe
(2) En facteurs de la forme 5, dont( est résidu; soit leur 0 nombre X. 82 (3) En facteurs de la forme a, dont O est non-résidu; soit 4 leur nombre+. ſon. (4) En facteurs de la forme 5, dont 0 est non- résidu; soit
leur nombre œ.
On voit facilement que p=+ a, et p= N+† †; d'ou„
7—Px o. 1

„ et Pantre, factenrs pie. „et le sige
mdre ge ceſes suit du theo. re identiqnss, aontré tont.z. trouvent dé.
ctement de la nourelle, ei dédentes.
s quelconques e facteurs yre- tivement non- — O est nor- t évident que tenant les fae-
lu. lu; soit leuf
résidu; Soit ./ Ju 2 soit
2+ v3 dd
Lr won Aee, aA, Qæᷣ᷑e h, eeen, 2
Meae 2* or fuu Te aen,
Sre a. ad
/
7
Rzan 2 I Aere aer e, 5 Sa‿ebe 2 2 e eeue eue eA f 24, pe due
3 21=Leg 4 — e 4— 7— Aze„——f„, n r a C„
— le- ⸗. 1 f
1 mn 1 en o
ree Zeeeedeee, ie O 5 2—— e
——» (oah an e fu en 2 e eeeten eæAe eee Aℳ—
h nuee on Gaeeen„ 5 a,
92 2„ eeee eaee n
Seᷣcheteer, fue eeeree . 7/
eu 1 Qeeer. eeue U ee7.
272—
2
aee
Q a A-
r C— 2 4 Se„ S 3 Canaen
re ma Pe ak e e, 7,
S n l⸗, 4= 7. Z m 4. .—— 85 2. ꝓzrn rne 1 2*„—— mne 3 en
pe nn* 6- f-⸗ e e= 2en ca
. r. ee,,
2 een
ee pe.
. Spe ee Qar* ee,— pHée 1 1 eene e 3
— L 7

—————

2 ARITHMETIOUES. 101
Quand P sera de la forme£ Aℳ, on aura ¶˖2².(mod 2), (n⸗ 132), et parconséquent X-—= 22, ou ½— 2= 0(mod. 2); donc—„= o(mod. 2). Quand P est de la forme£B on trouve par un raisonnement semblable que p et sont incongrus suivant le module 2. b
4o. Appliquons cela aux différens cas. Soient d'abord Pet Q de Ja forme+ A, on aura(prop. 1¹)=(mod. 2); mais(3°.)= p; donc= G(mod. 2), ce qui s'accorde avec la proposition 2. De mème si P est de la forme— A et O de la forme+ A, on aura „= G(mod. 2), par la proposition 2 que nous venons de démon- trer; donc, comme„= p, on aura= 9; ainsi la prop. 5 est démontrée.
On déduira de la même manidère la prop. 7 de la prop. 3, la 8e de la e ou de la 7°, la 9e et la 10c de la 6e.
135. Les propositions du no 133 ne sont à la vérité pas démon- trées par le ne précédent; mais nous avons fait voir que leur vérité dépend de la vérité du théorème fondamental que nous avons sup- posé; et par la méthode que nous avons suivie pour les déduire, il est évident qu'elles ont lieu pour les nombres Pet O, si le théorème fondamental a lieu pour tous les facteurs premiers de ces nombres comparés entre eux, quand mème il ne serait pas généralement vrai. Passons maintenant à la démonstration du théorème fondamental. Pour rendre plus clair ce qui suivra, il est bon de prévenir d'avance que lorsque nous dirons que le théorème fondamental est vrai jus- qu'à un nombre M, nous entendrons par là qu'il a lieu pour deux nombres premiers quelconques dont aucun n'est plus grand que M.
On doit entendre la même chose, lorsque nous dirons que les théo- rèmes des now 131, 132, 153 sont vrais jusqu'à une certaine limite. Au reste, on voit que si la vérité du théorème fondamental est cons- tatée jusqu'à une certaine limite, ces propositions auront aussi lien jusqu'à la mème limite.
136. La vérité du théorème fondamental pour de petits nombres, se découvre facilement par l'induction; ainsi on aura une limite jus- qu'à laquelle il aura lieu. Nous supposons cette induction établie, et il est absolument indifférent jusqu'à quel point on la pousse. Ainsi il suffirait de la continuer jusqu'au nombre 5, ce qui se fait par une seule observation, puisqu'on a ᷑ 5V3 et£έ.3 N.

— —
————— —* 8 3
8 5 8 4 4 8 2 ——— —— ———— ſ —1ö—— —— 2—— ——
—
—
—
—
—
— ——= ———
—— ——
— —
— — . — —
———˖V——ͤ————
———
102 RECHERCHES
Or si le théorème fondamental n'est pas généralement vrai, il existera une limite 7 jusqu'à laquelle il le sera; desorte qu'il n'ait pas lieu pour le nombre immédiatement plus grand ‿ 1: ce qui revient au mème que si nous disions qu'il y a deux nombres premiers dont le plus grand est 7 1, qui sont contraires au théorème, quoique deux autres nombres quelconques s'accordent avec lui, pourvu qu'ils soient plus petits que T1. D'oùu il suit que les propositions des nes 131, 132, 133 auront lieu jusqu'à T. Nous allons voir que cette supposition ne peut subsister. Il y a plusieurs cas à distinguer, suivant la forme qu'affectent et le nombre premier plus petit que lui qui, comparé à T- 1, contrarie le théorème. Désignons ce nombre par p.
Quand T-P et p sont de la forme 4+.‿ 1, le théorème fondamental pourrait être faux de deux manières, savoir, si l'on avait à-la-fois, ou.(T+ 1) et£(T+ 1) VY, ou£pMI1) et(T+ 1) Rp.
Quand T—+f et p sont de la forme 4 2+ 5, le théorème fon- damental est faux, si l'on a en mème temps ou pR(1.+ 1) et —(T+ 1) Np,(ou, ce qui revient au même,—„ N(T. 1) et +(T4 1) Rp, ou+„NT=Hr) et—(T1) Rp, ou— K(+ ¹)
et+(7+1) Np.
OQuand T—+† est de la forme 4n-+ 1, et p de la forme 42+ 5,
le théorème fondamental est faux, si l'on a à-la-fois ou.ꝓ C+1)
et †(T‿1) Np; ou—(T+) Rp ou£̃pN(T† 1) et—(+‿ 1) Np ou+(7+ 1) Rp. 1
Quand+. est de la forme 4+ 3, et p de la forme 4n- 1, le théordme fondamental est faux, si l'on a ou„R-T), ou— pN(Ty et*(1+ 1) Np; ou+ pN(T+r), ou— p R(T1) et(T+ 1) Rp. b
Si l'on peut démontrer qu'aucun de des cas n'a lieu„ il sera certain que la véêrité du théorème fondamental n'est limitée par aucun terme. Entreprenons donc cette täche; mais comme plu- sieurs de ces cas dépendent des autres, nous ne pourrons conserver l'ordre dans lequel nous les avons présentés.
137. Premier cas. Quand T+r est de la forme An+. 1(= a);

Nement in. esorte quij
d 7 18 onbres premie es au théoräme ordent avec h il suit que 4 jusquà J. Jur Ily a hlusieus + et le noube
1, contraxie l
— wäit
1, le thécräur „ savoir, si bm on Nee.
le théorème For u pR(T 1) A —pNTn) A ou— pRGEP)
la forme 44 4 s ou.ET=) det- Efrh
la forme an-rh ou RTNn), oul— pR(Tr)
'a lieu il gen vest limitée nu ais comme pli- urrons conserse-
me 4 9 4'
6n
ARITHMETIOUES. 103 et p de la méme formé, e* que l'on a£ pRa, on né Péeut Pas awoir aNp. C'est le premier cas du no 131.
Soit+ p= e“(mod. a) et e pair et=a, ce qui est toujours pos- sible. Il y a deux cas à distinguer:
1⁰. Quand e n'est pas divisible par p. Soit à‿y p+af, sera positik et de la forme 4n+ 3,(ou de la forme B), a et non divisible par p. On aura donc e p(mod. f†), c'est-à-dire, pRf, d'où, par la proposition 11 du n- 132, ℳ Rp;(car les proposi- tions ont lieu pour les nombres p et=); mais on a aussi afRp, donc aRp(n“ 98)-.
2. Quand e est divisible par p. Soit e=gp et ‿ά p+aph, ou pg= 1 al. Alors h sera de la forme 42 ‿◻3(c'est-à-dire 3), et premier avec p ets. Or on aura paRh, donc aussi Rh, donc (proposition I11, n 132) hRp; mais on a aussi— aᷣp, à cause de— ah= 1(mod. p), donc aussi aRp.
138. Second cas. Quand T ést de la forme An+. 1= 3). p de la forme An- 3, et que pR(TP1), on ne peut pas avoir +(T+ 1) Np, ou³—(T 1) Rp. C'est le cinquième cas du n“ 131.
Soit, comme ci-dessus„ 6.* ‿άk p Tfa, e pair et Ca: 8
1. Quand e n'est pas divisible par, ne le sera pas non plus; d'ailleurs sera positif, de la forme 4n2+ℳ2 1(ou A) et Ta; or on a+pRf, et partant ◻f Rp(prop. 10, n“* 132); mais on
a aussi+ faRp, donc ap, ou aNpyp.
2. Quand e est divisible par p. Soit 6= p et= ph, on aura.
ainsi g*p= 1 Tan,; alors h sera positif, de la forme An+ 3(= B)
et premier à p et à g*. Or+g'pRh, et parconséquent p„Rh; donc
(prop. 15, n“ 132)— ARp; mais on a— ahRp, d'ou il résulte
aRp et— a Np.
139. Troisième cas. Quand T-+r est de la forme An+ 1a),
p de la méme formé, et queé ⁵pNa, on ne peut pas avoir£aRp.
C'est le deuxième cas du ne 131.
Soit pris un nombre premier moindre que, dont+a ne soit pas résidu(125— 129); il faut considérer séparément deux cas, suivant que ce nombre premier sera de la forme 4 n+ ou 42+ ⁵;

104 RECHERCHES car il n'a pas été démontré qu'il en existe de tels sous l'une ou l'autre forme.
I. Soit ce nombre premier de la forme 4 2+† et= a, alors on aura 7aNa(n 137), d'ou 7apRa. Soit donc e= ap (mod. a). Il y aura encore quatre cas à distinguer:
1°. Quand e n'est pas divisible ni par p, ni par. Soit ee= Ap-af, en prenant les signes de telle manière que /soit positif. Alors on aura f=a premier avec a et: pour le signe supérieur, il sera de la forme 4 2+ 3; pour le signe inférieur, de la forme 4n+ 1. Désignons, pour abréger, par[,] le nombre de facteurs premiers de, dont est non-résidu; comme on a evidemment 2᷑ Rf, il s'ensuit[a, I=o; donc LT, a] sera un nombre pair(prop. 1, 3, n“ 133), c'est-à-dire ou= o, ou= 2; donc/ sera résidu des deux nombres a et p, ou ne le sera d'aucun des deux; mais la première supposition est inadmissible, puisque a f est résidu de æ et que aNa“(hyp.), d'où il résulte£fNal. Donc] est non-résidu des deux nombres a et p; mais puisque 4af Rp, on aura aNp.
2 Quand e est divisible par p et non par. Soit e= gp et gp= Akah, le signe étant pris de manière à ce que 1 soit positif. On aura hacet premier avec, et p, pour le signe supérieur de la forme 42+‿.☚³, et pour le signe inférieur de la forme 42+. 1. En multipliant tantôt par p et tantòt par a l'équation ꝓ=a ah, on en tire sans peine
pa Rh.(a), ahphRa(6), aa hRp.(„).
De(a) il suit que[pa, h]= o, et partant(prop. 1 et 3, ne 133) Lh, pa] pair, c'est-A-dire que h sera résidu ou non-résidu de„ et de a. Dans le dernier cas, il suit de(G) que ³apNa' et comme par hypothèse 4aNa“, on aura. pRa; donc, par le théorème fondamental qui a lieu pour les nombres p et a moindres que T 1, ³aRp. De là et de ce que hN on tire, au moyen de G), aNp. Dans le premier cas, de(6) on tire 4apRa“, d'où£́p Na, a Np; de là enfin et de hRp on déduit, au moyen de,£aNp.
30. Quand e est divisible par a et non par„, la démonstra- tion

3 sous unen
6t=a, Aobx donc d1ap er:
Par d. oi iere gue ii pour le zigee Fne iukgrienr par[æ, ylk b non-résicd; ¹=; donc ), e'est.d.dim ubres a' et 9, re supposition aNa(p) deux nombres
Soit e=gp et eh soit positi8 igne supérieur me 42+ 1. En 9ep= a cah,
8p.. O).
met 5, n' 155) on-résidu dey ne 1apa et donc, par l et a moindtes
rre, au moßen ire Rapha,
nit, au moyen
a démonsfra- tion
42—

2. 7— 2 7—
Serf, eee 12
Rd, eeen Heeer, ee a.b,&

b 6 1 4 5— 2 73 . aeeen Agf ₰z
2 72.,
ee e
A= KX 2

₰
1L.
—
ARITHMETIOUES. 105 tion procède presque de la mème manière que dans l'hypothèse Re⸗ſhhas et ne pourra pas arréêter celui qui l'a bien conqçue.
o. Quand e sera divisible à-la-fois par a et par p, il le sera aussi
— le produit ap;(en effet nous supposons les nombres a et p iné- gaux, sans cela l'hypothèse aNæa' contiendrait la relation aNVp, qu il
s'agit de démontrer). Soit e= gap et gap= Iah, h sera=a
et premier avec p et α; il sera pour le signe supérieur de la forme An-+ 3, et pour le signe inférieur de la forme 4n+ 1. Or on voit facilement que de cette équation on peut déduire
aꝓ̃ Rh, ahpRa“, aa h Rp,
relations qui s'accordent avec celles trouvées(20 55 Quant au reste, la démonstration est la même.
II. Quand le nombre premier est de la forme 4n+ 3, la dé- monstration est si conforme à la précédente, qu'il nous a paru superflu de la placer ici. Nous observerons seulement, en fa- veur de ceux qui veulent la faire eux-mòêmes(ce que nous re- commandons), qu'il est avantageux, lorsqu'on est arrivé à l'équa-
tion e= bpaf, dans laquelle 5 représente le nombre premier, de considérer séparément les deux signes.
140. Quatrième cas. OQuand T- est de la Formeé An+ r(= 4). p de la forme An+. 3 et pNa, on ne peut avoir+aRp, ols — aNp. Sixième cas du no 131.
Nous omettons la démonstration de ce cas, parcequ Lelle est absolument semblable à celle du troisième.
241. Cinquième cas. OQuand T+ est de la forme 2 4. 58= b), et p de la méme forme, et que Pon a pRb, ou— pNb, on ne peut aboir+. Rp, ou,.— bNp. Troisième cas du n“* 132.
Soit p= e(mod. 5), e étant pair et Tb. IJ. Quand e n'est pas divisible par p; soit 6*= p+† bf, f. sera
positif, h, de la forme 4n+ 3 et premier avec p. Or on a p R/,
et partant(prop. 13, ne 132)—/Rp; mais comme 5 Rp, il s'en- suit que— bRp, d'où+‿ 5 Np.
II. Quand e est divisible par p; soit e=pg et gp= 1 † bh. Alors h sera de la forme 42+ 1 et premier avec p, p„= b p⸗

—
———— 4—— .—————..— ͦ—— —.—..——————“ ——————————— —————— 4 —— 5——— —.————— —n———— — n——— ———————— ———— 4——.
————
2————
106 RHRECHERCHES (mod. h), parconséquent„Rh; d'où il résulte(prop. 10, n“ 132) + hRp; mais on a— bhRp, donc— bRp ou+. 5b Np.
142. Sixisme cas. OQuand T+ 1 est de la forme An+ 3(= b), p de la forme An+. 1 et pRb, on ne peut pas auoir bkp. Septième cas du no 131. b
Nous omettons la démonstration, qui est semblable à la pré- cédente.—
143. Septibme cas. Quand T+ 1 est de la forme A4n+ 3(= b),
p de la méme forme et qu'on a+pNb, ou— pRb, on ne pourra avoir+. bNp, ou.— bRp. Quatrième cas dun“ 151.
Soit— p= e“(mod. b), et e pair Ib.
I. Quand e n'est pas divisible par p, soit— p= e*— ſ; sera positif, de la forme 4ĩ2+ 1, premier avec p et moindre que b; car de ce que e n'est pas plus grand que 5— 1, et quep 5b— 1, ils'en- suit que bf= p+ e= b— b, ou fb— 1. Or on a— p„ Rf, donc (prop. 10 ne 132)+f Rp; d'ailleurs 5f Rp, donc bRp, ou— 5 Np.
II. Quand e est divisible par p, soit= pg et—ν‧☚‿— 1+bh, h sera positif, de la forme 4n2+ 3, premier à p et; or on a— p Rh, donc(prop. 14, no 132) MRp; d'ailleurs DhRp, donc +bRp et— bNp.
144. Huitième cas. Quand T+ 1 est de la forme An-+ 3(= b), p de la forme An+ 1, et que+‿ pNb, ou.— pRb, on ne pourra zvoir£. bRp. Dernier cas du ne 131.
La démonstration est la même que dans le cas précédent.
145. Dans la démonstration du théorème fondamental, nous avons toujours pris pour e une valeur paire; on aurait pu également employer une valeur impaire; mais alors il aurait fallu distinguer différens cas. Ceux qui aiment ces recherches ne perdront pas leur temps, s'ils s'exercent à les développer: il est alors néces- saire de supposer les théorèmes relatifs aux résidus+ 2 et— 2; mais comme notre démonstration a été achevée sans y avoir re- cours, nous en tirons une nouvelle manière de les démontrer; elle est d'autant moins à dédaigner, que les mêthodes dont nous nous sommes servis pour démontrer que ᷣ. est résidu de tout nombre premier de la forme 82+ 1 Peuvent ne pas sembler assez
—

r
Se. u,r e 4n-†38 h, 1§ apoilr 8
blable à
à hr.
me 4n-+†. 3— — pkb, On Ne
un“* 131.
=e'— hf fen indte que5; ex 5— 1, Ilger- a— pRf, doxe 5Rp, ou- M
G— I » et Ch; or u eurs EhRp, dono
rme 44- 5h)
ib, on ne poun
1s précodent.
damental, nols ait pu égalemeni fallu distingue ne perdront 2 est alors neéces dus+ 2 et— ans y avoir R les démontrer; hodes dont Eol résidu de toli as sembler asse
AnTTHMETTOVNS. 107
directes. Nous supposerons les autres cas démontrés par les méthodes exposées précédemment, et que celui où le nombre premier est de la forme 8 ĩ+ n'est trouvé que par induction. Nous le démon- trerons rigoureusement de la manidère suivante. b
Si ⸗ 2 n'était pas résidu de tous les nombres premiers de la forme 8 v½+. 1, soit a le plus petit nombre de cette forme, dont *z soit non-résidu, ensorte que le théorème ait lieu pour tous les nombres plus petits que a. On prendra un nombre premier ½, dont a ne soit pas résidu, ce qui est toujours possible, puisque par le n“ 129 on en trouvera un 12§2, et qu'on a 2 a Cza, car cette condition se réduit à 4 Va, ou a ⁵‿. 16, et le plus petit nombre premier de la forme 8 ½+.1(1 excepté) est 17. Soit ce nombre=p, on aura, par le théorème fonda- mental, p Na; d'ailleurs ³. 2 Na, donc£ᷣ. 2p Ra. Soit donc—= 29 (mod. 2), e étant impair et=a; alors il y a deux cas à distinguer.
I. Quand e n'est pas divisible par p. Soit ‿ 2p+ag, 9 sera positif,—a, non-divisible par p; il sera de la forme 8n+† 7, ou 8+ 5, suivant que p sera de la forme n+ ou 42+ 3. On distribuera tous les facteurs premiers de en quatre classes, er
supposons qu'il y en ait f de la forme 82+ 1,& de la forme
8n+ 3, n de la forme 8 n+. 5, et 7l de la forme 8 v2+.- 7. Soient F, G, H, EL les produits des facteurs de ces quatre classes; on obser- vera que, si les facteurs d'une certaine classe manquaient, il faudrait mettre 1 à la place de leur produit. Cela posé, commengçons par le cas où p est de la forme 4n+‿ 1, et conséquemment ꝗ de la forme 8n+=. q étant 1a, le théorème a lieu pour ses diviseurs de la forme 8n+ 1, donc 2 RF; mais il est démontré que 2 est résidu de tout nombre de la forme 8n+. 7, donc aussi 2 RL. Or l'équation
= 2p a9 donne 2p Rg et partant 2pRE et 2p RL, donc RF et pRL; d'ou s'ensuit enfin, en vertu du mème théorème fondamental (prop. ꝗet 11, ne 132), FRp et LRp. Mais 2 est non-résidu de tout facteur de la forme 8+. 3 ou 882+. 5, donc il est résidu ou non-résidu de GH, suivant que£ h est pair ou impair, et il est aisé de voir que p est aussi résidu ou non-résidu dans les mêômes circonstances; mais ꝗ‿ h ne saurait être impair, car en examinant les différens cas, il s'ensuivrait que FGHI. ou serait de la forme 8n+.‿% 3Ʒ ou 8n+ 5, contre l'hypothèse. On
2

————
4 2—
108 RECHERCHES
aura donc pR GII, d'où Gi Rp, et comme nous avons déjà FLRp, ils'ensuit FG HIL RpouqRp; d'ailleurs l'équation ée= 2p- aν donne encore ag Rp, donc ap, contre l'hypothèse. Dans le cas où p est de la forme 4n+ 3 et 9 de la forme 8v2+ 5, on peut faire voir de la mèême manière que pRF, et partant FRp,—pRG, donc GRp; enfin, que h+†! est pair, et parconséquent, Hæ. Rp, d'où il suit qꝗRp et aRp, contre l'hypothèse.
II. Quand e est divisible par p, la démonstration peut s'éta- blir d'une manière semblable: nous laissons au lecteur le soin de la trouver.
146. Au moyen du théorème fondamental et des propositions relatives à— 1 et ᷑lſ˖, on peut toujours déterminer si un nombre donné quelconque est résidu ou non-résidu d'un nombre premier donné. Mais il ne sera pas inutile de reprendre ici ce que nous
avons fait voir plus haut, afin de réunir tout ce qui est nécessaire
pour la solution de ce probléème-ci:
Etant donnes deuæ nombres quelconques P et O, trouver Su Pun Teux est résidw ou, non-résidu de l'autre.
I. Soit Pae etc., a, 5, o, etc. désignant des nombres premiers inégaux pris positivement; car il est évident que P doit étre toujours regardé comme positif. Pour abréger, dans ce nu- méro nous appellerons simplement relation de deux nombres x, y, celle qui existe entre ces deux nombres, en tant que le premier est résidu ou non-résidu du second y. La relation des nombres
O et P dépend ainsi de la relation des nombres Oet a, Oet 5, etc. (n“ 105). II. Cherchons la relation des nombres Oet 22; et ce que nous allons dire s'appliquera également aux relations de O et 53, etc. 1*. Quand Q est divisible par a, soit 0= C'æε, O' n'étant pas divisible par a; alors si e= a ou Da, on aura ORa„, mais 81 e=a et impair, on aura ONal; enfin si eæ=a et pair, la rela-
2 1&. 2— 0 4 tion de Oà a sera la même que celle de OQ à a. Ainsi ce cas est ramené au suivant.(Voyez n“ 102).

Dauaf Kot 74 Alat. n ſe. Merar h aes C. 4 d ☚
)2==h e,— 5. 9 ₰ 4ℳ, 1 hl, Se 7 äh nIg, 77,b 215 2,=ilaeh,
des Proposition ſ S)⸗ 1 M⸗ c Le
ner si un 5 11 3 nombre 21/9( Sfh—
nombre prewier 2( 7. 3
ici ce que uou b
qui est nécessair
et Q, trouver 6 2.
nant des nombres rident que P(dit ger, dans ce m. bux nombres a,), que le premieta jon des nombees
6 ta, Oetb ete
& 2 et ce què n0l 3 e 0 et 5 ete. „, O. n'Ctant pb ORa, mss Ja rela-
et pair,
2— e Aiusi 1 45. Ain

ARITHMETIOVES. 109 25. Quand Q n'est pas divisible par a, nous ferons encore iei deux sous-divisions:
(A). Quand 2= 2, on a toujours Qa si α; mais si a.= 2, il faut que O soit de la forme 4 n2+ 1, et quand a= 3 on 3, O doit être de la forme 8 ½+. 1; si cette condition a lieu,
ou aura ORa.(Voyez no 103).
(B). Quand a est différent de 2, la relation de 0à a? est la même que celle de O à a.(Voyez no 101).
III. On cherchera de la manibre suivante la relation d'un nombre quelconque O à un nombre premier impair: quand O2a, on substituera à Q son residu minimum positif sui- vant le module a, ou, ce qui est quelquefois avantageux, son résidi minimum absolu, qui aura avee a la méme relation que O.
Or si l'on résout O, ou le nombre pris à sa place, en facteurs premiers p, p, p', etc., auxquels il faut joindre le facteur— 1, quand O est négatif, il est évident que la relation de 0 à dépendra de la relation des facteurs p,, p', etc. à: ensorte que, si parmi eux il y en a zm non-résidus de a, on aura ORa; mais s'il y en a 2m Tr, on aura M. Au reste, on voit facilement que si parmi les facteurs p, p, p', etc., il y en a un nombre pair d'égaux entre eux, on peut les rejeter, puisqu 1ls n'influenk en rien sur la relation de à.
IV. Si— 1 et 2 sont fackenns de O, leur relation à a se trouve par les nos 108, 112, 115, 114, mais la relation des autres nombres à dépend de la relation de a à ces nombres.(Théorème fondam. et ne 131). Soit p l'un d'eux; en traitant a et„ eomme nous avons traité Q et a, qui étaient des nombres plus grands, on trouvera que la relation de z à p peut ôtre déterminée par les nos(108— 114),(si, par exemple, le résidu minimum de a (mod. p) n'est divisible par aucun nombre impair), ou que cette relation dépend de celle de p à des nombres premiers plus petits que lui. Il en est de méême des autres facteurs p,', etc. Or on voit facilement qu'en continuant ces opérations, on arrivera né-

110 RECHERCHES cessairement à des nombres dont les relations seront détermineés par les numéros précités. Un exemple éclaircira cette méthode.
Soit proposé de trouver larelation de 453 à 1236; 1236=3. 4. 103, et 455 R4(II. 2.)(A), 453 R3(II. 1.); il reste donc à trouver la relation de 4553 à 105; or elle sera la même que celle de 41 à 103, puisque 453= 41(mod. 103), ou(Théor. fond.) que celle de 103 à 41, ou encore que celle de— 20 à 41, puisque— 20= 103 (mod. 41); mais— 20=— 1 2. 2.5; or— 1R41(n* 108); 5 K41, car 41= 1(mod. 5) et est parconséquent résidu de 5(théor, fond.); il suit de là que+. 455 R 103, ou enfin+ 453 K 1236.
147. Etant proposé un nombre quelconque A, on peut trouver de certaines formules qui contiennent tous les nombres premiers à A dont MA est résidu, ou tous ceux qui sont diviseurs des nombres de la forme**˙— A, a“ étant un quarré indéterminé. Nous appellerons simplement ces nombres diviseurs de αν—- A; l'on voit facilement ce que sont les non-diviseurs. Mais pour abréger nous ne considérerons que les diviseurs qui sont impairs et pre- miers à A, les autres cas se ramenant sans peine à celui-là.
Soit d'abord A un nombre premier positif de la forme 4n+ 1, ou négatif de la forme 4n— 1. Suivant le théorème fondamental, tous les nombres premiers qui, pris positivement, sont résidus de A, seront diviseurs de— A; mais tous les nombres premiers non- résidus de A seront non-diviseurs de αν⅔— A, si pourtant on en exceple 2, qui est toujours diviseur. Soientr, F, T', etc., tous les résidus de A qui sont plus petits que lui, et n, n“, n', etc., tous les non-résidus; alors tout nombre premier contenu dans une des formes Ak-r, Ak+r, Ak-r“, etce. sera diviseur de α— Ah; mais tout nombre premier contenu dans une des formes Ak en, Ak-, ete. sera non-diviseur de ν— A, K étant un nombre entier indéterminé. Nous appellerons les premières formes des divi- seurs de xα— A, et les dernières formes des non-diviseurs. Le nombre de chacune d'elles sera égal au nombre de résidus r, v, etc. ou de non-résidus, 7I, etc., et partant,(n 96)=(A— 1). Or si B est un nombre composé impair et que T'on ait ARE, tous les facteurs premiers de B seront contenus dans une des premières formes, et parconséquent, B lui-meme; donc tout nombre com-

ont döternine,
1 cette mäthace
12363.4 1 2 donc à trane que celle de 4 . kond.) que cell 1sque— 20=; (u 108) 5Rn, 25(théor. fond. 3R 1236,
» on peut trourer nomdres premien seurs des nombrs déterminé. Nou
de**— A; lm
lais pour abeégr tt impairs et pie . à celui-là.
la forme qr*† bme fondamenti, sont résidus de4, tes premiers nox- si pourtant ol el „rI, etc., tolss „ n', etc., tou b nu dans une d6 viseur de„- ℳ formes An
gtant un nonn b
s formes des iin
-.. 6 .giviseurs-l
non div
ARITHMETIOUES. Int posé impair qui sera contenu dans la forme des non-diviseurs sera non-diviseur de æl— A; mais on ne peut pas dire que les non-divi- seurs deæ*— A sont tous compris dans la forme des non-diviseurs, car en supposant B non-diviseur de ααι— l, quelques-uns de ses facteurs premiers seront non-diviseurs de— l et sile nombre de ces facteurs est pair, B sera compris dans quelque forme de diviseurs(n 93).
Ainsi, soit A=— 11; on trouvera que les formes des diviseurs de+.‿¶ 11 sont 11+ 1, 2, 3, 4, 5, 9, et que celles des non- diviseurs sont 11+ 2, 6, 7, 8, 10. Ainsi— 11 sera résidu de tous les nombres premiers contenus dans une des premidères formes, et non-résidu de ceux qui sont contenus dans une des dernidères.
On peut trouver des formes semblables pour les diviseurs et les non- diviseurs de α— A, quel que soit A; mais on voit aisément qu'on n'a à considérer que les valeurs de A qui ne sont divisibles par aueun quarré; car si A= a*t', tous les diviseurs de xν— 4 premiers avec A, seront diviseurs de τQ— ℳ, et de mêeme pour les non- diviseurs. Or nous distinguerons trois cas: 10, quand A est de la- forme 4n+ ou—(4n— 1); 20. quand A est de la forme 4n— 1 ou—(42+ 1); 3. quand A est pair ou de la forme&(4n+ 2).
148. Premier cas. Quand A est de la forme 4n-1 ou—(42— 1). On résoudra A en facteurs premiers, a, b, c,„‚etc., en affec- tant du signe+ ceux de la forme 4nu † 1, et du signe— ceux de la forme 42— 1 qui seront en nombre pair ou impair, suivant que A sera de la forme 42+ r ou—(4n— 1)(n⸗ 132). On dis- tribuera en deux classes les nombres plus petits que A et premiers avec lui; en mettant dans la première ceux qui ne sont non-ré- sidus d'aucun diviseur de A, ou qui sont non-résidus d'un nombre pair de ces diviseurs, et dans la seconde ceux qui sont non-résidus d'un nombre impair des mêmes diviseurs. Désignons les premiers par r,, y, etc. et les secondes par n, n, n', etc.; alors Ak+r, Ahk-+O, etc., sont les formes des diviseurs de— A, et Ak † n, Ak-, etc. celles des non-diviseurs. C'est-Aà-dire que tout nombre premier, ercépté 2, sera diwiseur ou non-dioiseur de x— A 3 suivant gqu'il sera contenu dans l'une des premisres ou l'une des dernieres formes. b
En effet, si p est un nombre premier résidu ou non-résidu

—
RECHERCHES KA, ce facteur sera résidu ou non-résidu donc si parmi les facteurs de K, il y en a m dont p soit non-résidu, il y en aura autant qui seront non- résidus de p, et partant, lorsque sera contenu dans l'une des premières formes, sera pair et ARp, et lorsque sera Con- tenn dans une des dernières, m sera impair et ANp.
Eaxemplée. Soit 41=+ 105=— 3 ½+ 5— 7; les nombres 7, F, r', etc. sont:
11² —'un des facteurs de de p(théor. fond.);
1, 4, 16, 46, 64, 79, qui ne sont non-résidus d'aucun fact.; 2, 8, 25, 52, 53, 92, qui sont non-résidus de 3 et 5; 26, 41, 59, 89, 101, 10r00 3 et 7; 25, 52, 75, 82, 97, 10ö55. ͤ.. 5 et 75
les nombres n,, n', etc., sont:* 11, 29, 44, 71, 74, 86, non-résidus de 3; 22, 57, 45, 58, 67, 88,........ de 5; 19, 31, 34, 61, 76, 944.. de 7; 17, 38, 47, 62, 68, 83, de 3, 5 ct 7.
On déduit facilement de la théorie des combinaisons et des nos(32, 96) que la multitude des nombres r,“, etc. sera
4(4— 7C1 1)(1— 2)(1—5 1( ☛+‿ 9 3e 2+ etc.),
et celle des nombres n,, etce.
201— D1 2) 101—) Lfg 2) CT==3C= 9 8 4 6 † 1.2.3 b 1.2.3.4.5+† etc.),
7 désignant le nombre des facteurs, 5, c, d, etc., t Stant = 2-—(4— 1)(5— 1)(— 1) etc., et chaque série devant être continuée jusqu'à ce qu'elle s'arréte d'elle-même.(En effet 1 l.(1— ¹)
1.2
„. non-TréS1-
y at nombres résidus de a, 5, 9, A, etqg., 2.
dus de deux de ces facteurs, etc. Mais pour abréger, nous sommes forcés de ne pas donner plus de développement à la démonstra-
1ion). Or chacune des séries a pour somme t. 2'—*; cax la pre- mière

les nomdres„
idus d' anemfad, us de 3 et 5 .5 et) 5 et⸗,
us de 3; . de 5; de; . de 3, 5 et-
mbinaisons et deà „V, etc. Sera
Petc.),
6 1.2

ARITHMETIOUES. 115 mière provient de 1+—+.-L.)+ L e+ etc. en prenant le premier terme, puis la somme du second et du troi- sième, puis la somme du quatrième et du cinquième, etc.: la seconde provient aussi de la même série, en joignant le premier terme au second, le troisième au quatrième, etc. Il y a donc autant de formes de diviseurs de— A, que de formes de non-diviseurs; et ils sont en nombre 21² 1. 1 de chaque espèce, ou x(a— 1)(5— 1)(c— 1)(4— 1) etc.
149. Nous pouvons traiter ensemble le second et le troisième cas. En effet on pourra toujours poser A=(— 1). O, ou =(+ 2) O, ou=(— 2) O, Q étant un nombre de la forme+4n 1 ou—(42— 1). Soit généralement A=aO, ensorte que a soit ou— 1 ou£᷑. 2. Alors A sera résidu de tout nombre dont a et. 0 seront tous deux résidus, ou tous deux non-résidus: au contraire il sera non-résidu de tout nombre dont l'un d'eux seulement sera non- résidu. De là on déduit sans peine les formes des diviseurs et des non- diviseurs de α— A. Sia=— 1; nous partagerons tous les nombres plus petits que 4 et premiers avec lui, en deux classes. La pre- mière renfermera ceux qui sont dans quelque forme des diviseurs de— Q, et en même temps de la forme 4n+ 1, et aussi ceux qui sont dans quelque forme des non-diviseurs de æ— Oet en mème temps de la forme 4n— 1: la seconde renfermera tous les autres. Soient n, 7,, etc. les premiers, et n,, n’, etc. les derniers; A sera résidu de tous les nombres premiers contenus dans une des formes 4æ+r, 4AkK+,4Ak+!“, etc., et non-résidu de tous les nombres premiers contenus dans une des formes 4Ak † n, 4Ak-+n, 4Ah- n', etc. Si 2‿‿=c- 2, nous distribuerons tous les nombres plus petits que 80 et pre- miers avec lui en deux classes: la première renfermera tous ceux qui sont contenus dans quelque forme des diviseurs de.—O, et qui sont de la forme 8+.̃ 1 ou 88+ 7, pour le signe supé- rieur, et de la forme Sn+‿ ou 8+. 3 pour le signe inférieur; cette classe comprendra aussi tous ceux qui sont contenus dans quelque forme de non-diviseurs de*— Q et qui sont, pour le signe su- périeur, de la forme 82+ 3, 82+ 5, et pour le signe inférieur, de la forme 8n+ 5, 8+ 7, et la seconde tous les autres. Alors dé- signant les nombres de la premidère classe Ppar r,, 7“, etc., ceux de la seconde par n, ν, n', etc., 2 Qsera résidu de tous les nombres
P

——— —
RECHERCHES ers contenus dans les formes 80 k+r, 80 ℳ N, 80 ⁵+y, elc., et non-résidu de tous ceux contenus dans les formes 80 K-n, 80', 80 ½+', etc. Au reste, on peut démontrer facilement qu'il y a au- tant de formes de diviseurs qu'il y en a de non-diviseurs.
Exemple. On trouvè ainsi que 10 est résidu de tous les nombres premiers contenus dans les formes 40K+ 1,+ 5,+9,⸗+ 15, + 27,+ 51,+ 57,+ 39, et non-résidu de tous les nombres premiers contenus gans les formes 40K+₰ 7,+ 11,+ 17,+ 19, + 21,+ 25,+. 29,+ 33.
150. Ces formes ont plusieurs propriétés assez remarquables; nous n'en citerons cependant qu'une seule. Si B est un nombre composé premier avec A, tel qu'un nombre zm de ses facteurs premiers soient compris dans quelque forme de non-diviseurs de*α— A, B sera contenu dans quelque forme de diviseurs de α— A; mais si le nombre de facteurs premiers de B con- tenus dans quelque forme de non-diviseurs de αν— A est impair, sera aussi contenu dans quelque forme de non-diviseurs. Nous omettons la démonstration, qui n'a rien de difficile. II suit de là que non-seulement tout nombre premier, mais aussi tout nombre composé impair et premier avec A est non-diviseur dès qu'il est contenu dans une des formes de non-diviseur; car nécessairement quelque facteur premier de ce nombre sera non-diviseur.
114
premi
151. Le théorème fondamental que nous avons présenté d'une manidre très-simple et qui le met au nombre des théorèmes les plus Glégans dans ce genre, n'a été jusqu'ici démontré par personne; ce qui doit d'autant plus étonner, qu' Euler connaissait quelques propositions qui en dérivent et desquelles il était facile de revenir à ce théorème. II avait en effet découvert qu'il existait de cer- taines formes sous lesquelles se présentaient tous les diviseurs pre- miers de 4— A, et d'autres qui comprenaient tous les non-divi- seurs, de manière à s'exclure réciproquement; il avait mème donné le moyen de les trouver. Mais il avait envain cherché à démon- trer sa méthode, et ses efforts n'avaient eu d'autre fruit que de donner un plus grand degré de vraisemblance à cette proposition,
2111— 4... qu'il avait trouvée par induction. A la vérité, dans un Mémoire
lu à l'Académie de Pétersb. le 20 novembre 1775, intitulé: Nou

11,+, †r
2 remarquablés 8 est un uomb de Ses facteun de non-dirigemn rme de diriseus miers de B cor- *— A est impai, u-diviseurs. Noc Ricile. II svit de aussi tout nombes seur des quilles ar nécesairement diviseur.
as présenté due héorèmes les plu ré par persohne maissait quelquss facile de resean 1 existait de cer- les diviseufs he ous les nor èiu
ARITHMETIOUES. 115 Demonstrationes circa divisores numerorum formc£‿ ny“, et imprimé(T. 1. nov. act. Ac. Peterb., p. 47), il parait croire qu'il a atteint son but; mais il s'y est glissé une erreur; car il suppose tacitement l'existence de ces formes de diviseurs et de non-diviseurs(149): et de cette supposition il n'était pas dif- ficile de déduire quelles devaient être ces formes; mais la mé- thode qu'il a employée pour démontrer cette supposition ne pa- ralt pas convenable. Dans un autre écrit intitulé: De Criteriis œoualionis fæ‿᷑ gys= hz utrumgue resolutionem admittat necne
(Opusc. anal. T. 1), dans laquelle équation, g, h sont donnés
et, y, z indéterminés; il trouve que si l'équation est réso- luble pour une valeur de 2= s, elle le sera pour tout nombre premier congru avec s, suivant le module 4 /⅓&☛, proposition de la- quelle on pouvait aisément déduire la supposition dont nous avons parlé. Mais la démonstration de ce théorème a toujours échappé aux recherches de ce grand géomètre(*), ce qui n'est pas étonnant, puisqu'à notre avis il fallait partir du théorème fondamental. Au reste, la vérité de cette proposition résultera naturellement de ce que nous exposerons dans la section suivante.
Après Euler, Legendre s'est livré à la même recherche, dans un excellent Traité intitulé: Recherches dnalyse indétermi- née(Hist. de l'Acad. des Sciences, 1785, p. 465). Il y est par- venu à un théorème qui, dans le fond, revient au théorème fondamental; savoir, que si p et sont deux nombres premiers
7— 1 p— 1
—
positifs, les résidus minima absolus des puissances p,„*, sui vant les modules 7, p, respectivement, seront tous les deux+ ou—, quand l'un des deux est de la forme 4Q++‿ 1; mais que
() Comme il l'avoue lui-méême, p. 216.« Hujus elegantissimi theorematis demonstratio ad huc desideratur, postqudm à pluribus jamduduùm frustrd est in- vestigata.... Quocirca plurimùum in prœstitisse censendus erit, cui successerit demonstrationem hujus theorematis invenire». On peut voir dans les Opusc. anal. (T. I, Additamentum ad dissert. VIII, et T'. II, dissert. XIII), et dans plusieurs Dissertations des Comment. de Pétersb., avec quelle ardeur cet homme immortel a cherché la démonstration de ce théorème, et de quelques autres qui ne sont que des cas particuliers de notre théorème fondamental.
2

116 RECHERCHES si p et g sont de la forme An*+ℳ† 3, Pun des résidus minima sera +r et l'autre— 1(p. 516); d'ob, au moyen du no 106, il ven- suit que la relation de ꝓ à& est la même que celle de 7 à p, quand ou 7 est de la forme 4n+ 1, et qu'elle est inverse quand p et sont de la forme 4n+5(*). Cette proposition est contenue parmi celles du n“ 131; elle suit aussi des propositions 1, 3, 9 du n 135; réciproquement, le théorème fondamental peut se déduire de la proposition de Legendre. Ce célèbre auteur en a donné la démonstration, et comme elle est très- ingénieuse, nous en parlerons plus amplement dans la section suivante. Comme il y suppose plusieurs choses sans démonstration(ainsi qu'il en convient lui-même, p. 520: Nous auvons supposé seulement, etc.) dont jusqu'à présent une partie n'a été démontrée par personne, et dont l'autre partie ne peut, selon nous, l'èêtre que par le théorème fondamental, Ilmous semble que la route qu'il a prise ne peut pas lui faire éviter la difficulté, et notre démonstration peut ôtre regardée comme la première.
Au reste, nous donnerons plus bas deux autres démonstrations de cet important théorème, absolument différentes entre elles,
et de la précédente. 22 2 Of O, Se) 2 2 K⸗ 8 Aℳ—Aæ/
152. Jusqu'à présent nous n'avons traité que la congruence simple ά(mod. m), et nous avons appris à reconnaitre les cas où elle est résoluble. Par le no 105, la recherche des ra- cines elles-méêmes est ramenée au cas coù m est un nombre pre- mier, ou une puissance d'un nombre premier; et par le n“ 101, ce dernier cas est ramené à celui où m est un nombre premier. Quant à celui-ci, en comparant ce que nous avons dit(nos 6† et suiv.) avec ce que nous enseignerons sect. V et VIII, on aura presque tout ce qui peut se faire par les méthodes géenérales. Mais dans les cas ouù elles sont applicables, elles sont infiniment plus longues que les méthodes indirectes que nous exposerons dans la section VI, et partant elles sont moins remarquables par leur utilité dans la pratique que par leur beauté.
—
4
X.....1 EIA () Le mot relation regoit ici le sens que nous lui avons donné no 146.

1 n* 3 n 106, l Fen celle de
— velle est inucyr
le proposition G
1 des propositin ondamental pu
célebre auteur e
tres ingenieug, suivante. Comm 2n(ainsi qwilen seulement— ete par personne, de par le théoreme Pprise ne peut stration peut(ie
2s démonstration, entes entre ellés,
2 Grr‿kte M BA=
ne la congruene
à reconnattre l
echerche des m. tun nombre pre et par le n' 1o- mnombre premie! avons dit(P' 6' et VIII, on aurs s générales Nui nt infnimentyis Xposerons dans! rquables har bu
„d 140. donnè u 14
———=888Zödöſͤſſſſſſſſſſͤͤ 4 3

ARITHMETIOUES. 117 Les oongruenoes complètes du second degré peuvent ôêtre ra- menées facilement à des congruences vmplos.
Soit la congruence aæν ‿‿ bæ.o=o(mod. m); elle sera équiva- lente à celle-ci: 4a ‿da 4ac= o(mod. 4am). Celle-ci peut se mettre sous la forme(2aπ ‿εe)“= 5=— 4a(mod. Han), et donnera, si elle est résoluble, toutes les valeurs de 22α‿‿ᷓ moindres que 4am. Désignant une quelconque d'entre elles par r, les solutions de la congruence proposée se déduiront de la solution de la congruence aæ=r— B(mod. 4am), que nous avons exposée sect. II. Au reste nous observerons que le plus souvent la solution peut se simplifier par divers artifices; par exemple, on peut, au lien de la congruence proposée, en trouver une autre, aα+‿ανα†‿‿ο so, qui lui soit équivalente et dans laquelle a* soit divisible par m. Mais comme ces considérations, sur lesquelles on peut consulter la section VIII, alongeraient trop cette section, nous la sup- primons ici.

RECHERCHES
SECTION CINOUIEML.
Des Formes, et des Equations indéterminées du second degré.
153. No vs parlerons surtout dans cette section des fonctions de deux indéterminées de la forme ax+‿ 2by eoy“, où a, 5,& sont des nombres entiers donnés, fonctions que nous appellerons formes du second degré, ou simplement formes. Ces recherches nous conduiront à trouver toutes les solutions d'une équation indé- terminée quelconque du second degré à deux inconnues, soit qu'on puisse en obtenir la solution en nombres entiers, ou seulement en nombres rationnels. Quoique ce problème ait déjà été résolu dans toute sa généralité par Lagrange, et qu'il ait trouvé plusieurs pro- priétés des formes, auxquelles il faut encore joindre celles décou- vertes par Euler, ou démontrées par lui et annoncées par Fermat: cependant un examen plus approfondi des formes nous a fait voir tant de choses nouvelles, que nous avons cru utile de reprendre ce sujet en entier, avec d'autant plus de raison que nous avons remarqué que les décquvertes de ces hommes illustres, répandues dans divers ouvrages, étaient connues de peu de personnes. D'ailleurs la méthode que nous avons employée nous appartient presque en entier, et les choses que nous pouvions ajouter n'au- raient pas été entendues sans une nouvelle exposition. Au reste
nous placerons en temps et lieu ce qui a rapport à l'histoire des vérités remarquables.
Nous représenterons la forme a‿‿ᷣᷣeᷣemρν cy“ par le symbole (4, 5,), quand il ne s'agira pas des indéterminées et y. Ainsi cette expression désignera d'une manière indéfinie la somme de trois parties, dont la première est le produit d'un nombre donné a

eeées du geconi
des fonctions q; *, ou a, 5, o;m pellerons former recherches nous quation ind. unues, soit qu'dau ou seulement en dà été résolu dans vé plusieurs pyo dre celles décoh- ges par Fernut
nous a fait voir
tile de reprendr 1 que nous arols stres, répanduss u de personnes- nous apparties
ens ajouter Ia-
sition. Au reste
tà Thistire ts
A RITHMETIOUES. 119 par le quarré d'une indéterminée quelconque, la seconde le double du produit de 5 et de cette indéterminée multipliée par une autre, et la troisième le produit de c par le quarré de cette seconde indéterminée. Par exemple,(1, o, 2) exprimera la somme d'un quarré et du double d'nn quarré. Au reste, quoique les formes (, B5, c) et(o, b, a) soient les mêmes, quant à leurs parties, elles diffèrent cependant si l'on fait attention à l'ordre de ces par- ties; aussi nous les distinguerons avec soin, et la suite fera voir lavantage qui en résultera.
154. Nous dirons qu'un nombre donné est représenté par une forme donnée, si l'on peut trouver pour les indéterminées de cette forme des valeurs qui la rendent égale au nombre donné.
THEOREME. Si un nombre M peut étre représenté par la forme (a, b, c), de manière que les valeurs des indétermindes soient premieres entre elles; b'— ac Sera résidu quadratigue de M.
Soit m eten les valeurs des indéterminées, et qu'on ait.:
am †‿ 2bmn+ œnz= M, et prenons les nombres et» tels qu'on
ait um n= 1(n’o 40). On prouvera facilement par la multi- plication, que
(am †+ 2bmn+ on*)(*‿‿b* cu)=ſ(mb- nc)-(ma-+ nb) P-(b⸗- ac)(ma-n⸗), Ou M(axε— 25£‿‿O)=(A(mb+ no)— v(ma+†.t nb))*—(b5— ac);
donc W 52— a&(mb+ nc)—*(ma+ nb))“(mod. M),
c'est-à-dire que 5⸗— ac est résidu quadratique de M.
Nous appellerons par la suite determinant de la forme(a, 5, 0) le nombre 5“— ac, dont nous verrons que dépendent en grande partie les propriétés de cette forme.
155. Il suit de ce qu'on vient de voir que 2(mb-=no)—'(ma-nb) est la valeur de l'expression(5— ao)(mod. M.). Or et» peuvent être déterminés d'une infinité de manières pour satis- faire à l'équation ma. n= 1; il en résultera donc différentes va- leurs pour cette expression; examinons quelles relations elles ont entre elles.

— “ 100n,eie e———— 2
3———— “ öC— 1— —.— —— 8 4“ 2 —
RECHLRCHES
1 20
Soient
mE †‿ πσν mn= 1; a(mb+ nc)—(ma-† n5)= P, A(mb+˖ nc)—"(ma. nb)= F. Si l'on multiplie la première équation par u*, la seconde paru, et qu'on retranche l'un des résultats de l'autre, il vient ᷣ-uen Ay— 2⁰); en multipliant par etv, on tirera de même—= m(u⁴ν— ℳ,). Mais les deux dernières donnent alors V,— V=( ‧— u)(mb † nc)—(— ⁷)(ma † n5)
et substituant pour—,— leurs valeurs b V,— V=(½—(am=-†abmn- en=)=(ur—r) M... ou 7Z(mod. M). Ainsi, de quelque manière que et* soient déterminés, la for- mule A[mb+. nc)—»(ma-+. nb) ne peut donner des valeurs dif- férentes, c'est-à-dire incongrues, de l'expression(5“*— 0) (mod. M). Si donc est une valeur quelconque de cette for- mule, nous dirons que la représentation du nombre M par la forme aa‧+ 25x ay, dans laquelle= m et= n, appar- iient à la valeur V de l'expression V(b“— ac)(mod. M). Au reste on peut faire voir facilement que si V est une valeur de cette formule, et que Vẽ= V(mod. M), on pourra prendre à la
place de et» d'autres nombres et* qui donnent V“’. II
..(Vâ— V,— suffit de faire=A+ 3 2,—*— ‚et l'on aura
um+‿un= um-yn= 1; mais la valeur de la formule résultante de ν et" surpassera celle qui résulte de et de la quantité (uν—- M⁴ qui devient=(um+ n)(V V)= V— I; donc cette valeur sera V*.
156. Si l'on a deux représentations du même nombre par la méeme forme(a, 5, c), et que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles, elles peuvent appartenir à la même valeur de l'expression(b— ac)(mod. M), ou à des valeurs différentes.
Soit M= am:+† 2bmn †on= am a-abmn ene, et m †n=l, n+†‿ινm= 1; il est clair que si Pon a
&(mb+ nc)— r(ma+ nb)=&(mb-†nc)— v'(ma † b)(mod. M), la congruence aura toujours lieu quelques valeurs convenables que l'on prenne pour& et y, ety, auquel cas nous dirons que la b représentation

na †. 5)=„ nde paru, etgun 4— n(u*—“) —— n 4,—g)
1+ 5)
u F= 2 wnd
sterminés, l he Hes valeuss dl. sion(b' u) que de cette h- ombre M par 1 J=n, Cppor. 2)(mod. M). Au st une valeur ck ourra prendte äk i donnent V, I „et Yon aun ormule résoltant de la qpuantte — V V; da.
e nombre par stermindes wiel à la mèéme palecr aleurs différenlté

—

ARITHMETIOUES. 121 représentation du nombre M appartient à la méême valeur de l'ex- pression V(b— ac)(mod. M).
Mais si pour quelques valeurs de et», etv, cette con- gruence n'a pas lieu, elle n'aura lieu pour aucune, et les reprè- sentations appartiendront à des valeurs disérentes. Et, si l'on avait
u(mb † nc)—»(ma †. nb)=—(&̈ᷣ vc)— v(ma+ n*b)], nous dirions que les représentations appartiennent à des valeurs opposées. Nous nous servirons de toutes ces dénominations
lorsqu'il s'agit de plusieurs représentations du même nombre par des formes différentes, mais qui ont le mêème déterminant.
Exemple. Soit(3, 7,— 8) la forme proposée dont le détermi- nant= 75. Elle donne pour le nombre 57 les représentations sui- vantes: 3. 13+ 14.13.25— 8. 25˙; 3.5⸗+ 14.5.9— 8.9'*. Pour la première on peut prendre σ☛²,»=— 1, d'ouù résulte la valeur de 73(mod. 57), à laquelle la représentation appartient = 2(13.7+ 25.8)+(13.3+ 25.7)=— 4. De la même manière, en faisant= 2,»=— 1, on trouve que la seconde représen- tation appartient à la valeur+. 4. Donc les deux représentations appartiennent à des valeurs opposées.
Avant d'aller plus loin, nous observerons que les formes dont le déterminant est zéro doivent être exclues des considérations sui- vantes, parcequ'elles nuiraient à l'élégance des théorèmes, et qu'elles exigent qu'on les traite en particulier.
157. Si la forme F, dont les indéterminées sont x, F, peut être changée en une autre F', dont les indéterminées soient 2, , en y substituant= ar, I= pl+Sf, a,,, ₰
étant des nombres entiers, nous dirons que la première renferme la seconde, ou que la seconde est contenue dans la premiere.
Soient F= aa+‿ 2bæy oy“,=aσ+‿ 2bᷣανασμρ. On aura les trois équations suivantes:
a= a+† 2b+ c, b= auß+† 5b(a+‿), d. ne n n Multipliant la seconde par elle-méême, la première par la troi- sieème, et retranchant, il vient
E*— AG ‿άṽj(b⸗— ac)(ad— gy);

“ eene 1
12²2 RECHERCHES J'où il suit que le déterminant de la forme Fᷣ“ est divisible par celui de la forme F, et que le quotient est un quarré; ainsi ces déterminans seront de mème signe. Si, de plus, la forme pou- vait être changée en la forme F par une transformation semblable, c'est-à-dire, si F était contenue sous F et F sous F“, les déter- minans seraient égaux et(a—„)“= 1. Dans ce cas, nous les appellerons formes ẽguinalentes. L'égalité des déterminans est une condition nécessaire pour l'équivalence des formes, mais il s»'en faut bien qu'elle soit suffisante.
L'analyse précédente fait voir clairement que la mème chose aura lieu pour les formes dont le déterminant est= 0; mais l'équation (a— y)“= ne peut pas s'étendre à ce cas-là.
Nous nommerons la substitution transformation propre, quand a⁴— G=o, et transformation impropre, quand— G) Zo, et la forme F sera dite contenue proprement ou improprement dans la forme F selon que Fpourra être transformée en par une trans- formation propre ou impropre. Si done f et sont équivalentes, la transformation sera propre ou impropre, suivant que d—)= r. Si plusieurs transformations sont toutes propres ou toutes impropres, elles seront semblables; mais une forme propre et une formee impropre seront dissemblables.
158. Si Ies déterminans de deuæ formes F et F’ sont dgauæ, et que F' soit contenue Sous F, F Sera aussi contenue SOuls F“ et le Sera proprement ld improprement„ Suiuant que F’ Sera contenue sous F proprement ou improprement.
Supposons que F devienne F en posant= aα᷑+‿ 3), F= aQ+‿ h;, F'’ deviendra F en posant—e J— By, =—„*+ l. Car on déduira par là de’ le méême résultat qu'en substituant dans F, à la place de et de,(απ— G) + H(+ay—„x) et„(πæ— S„,)(ay—„*o), qui reviennent à(ad— HGy)æ et(ad— G) y. Or ce résultat serait évidemment (4d— Sy)“ F= F, puisque par hypothèse(ad.— G,)“= 1. Or il est aisé de voir que la seconde transformation est propre ou im- propre en mèême temps que la premieère.
Si F est contenu proprement dans F, et F proprement dans Fo nous dirons que ces formes sont proprement equivalentes; et si elles

que la mème Ghe = o; mais Pequnti
la.
don propre, qum
nd 24— 5) 10, improprement dan en F par une tras zont équiralentes, t que ad— H outoutes impropre opre et une forme
et F sont eguur, g1 contenue sous!
4 2 dwant que F an
al.
t x= ar+)
at 1= Jr-
„ je meme réanls de y, 792-9 *), qui rerienner, serait Gridempen
b 1 ARITHMETIOVUES. 123 se contiennent improprement, nous dirons qu'elles sont impro- prement egquivalentes. On verra bientòôt l'utilité deces distinctions.
Eæemplé. Par la substitution x☚ 2a+‿, v= 34+ 2y“, la forme 2*— 8+‿3 devient— 13— 12— 2y; et celle-ci se change en la premidère, par la substitution T= 24— y,==—3+‿2. Donc les formes(2,— 4,+ 3) et(— 13,— 6,— 2) sont pro- prement équivalentes. b b
Nous allons maintenant nous occuper des problèmes suivans:
1. Etant données deux formes quelconques qui ont le mème déterminant, chercher si elles sont équivalentes ou non, si elles le sont proprement ou improprement, ou des deux manières à-la- fois, ce qui est possible. Quand elles ont des déterminans inégaux, chercher si'l'une ne renferme pas l'autre, proprement, impropre- ment, ou des deux manières. Enfin trouver toutes les transforma-
tions tant propres qu'impropres de l'une dans l'autre.
25. Etant donnée une forme quelconque, trouver si un nombre
donné peut être représenté par elle, et assigner toutes les repré-
sentations.
Mais comme les formes dont le déterminant est négatif exigent une autre méthode que celles dont le déterminant est positif, nous présenterons d'abord ce qu'il y a de commun aux deux cas, que
nous considérerons ensuite séparément.
159. Si la formée F renferme la forme F, et que la forme F renfermée la formé F', F renfermera F'.
Soient, y;,; a*,“ les indéterminées des formes F, F“,
' respectivement, que F devienne F' en posant=æ ax+‿ a, =va+- doy, et que E' devienne F' en posant ‿xa S'y“,
7 1
= yꝙ+.‿I—*. Il est clair que F se changera en E', en faisant 2ea(ae- G*,)- e.39)=(22. ℳ H))e-(a6 A 64,)„, et==y aαάιν̈ρτμασμ‿α‿ς‿ṽe ‿‿⁴μενιμι⁴*:
donc E renfermera EF“'. b Comme(aa+.„)(6075+ OX)—(aß+‿ 3A)(2έ‿α2‿]).... =(.⁴— y)(24/—), qui sera positif si les deux facteurs sont de méme signe, et négatif dans le cas contraire, la forme f 2

124 RECHFRCHES
2* 74 74 5 renfermera done' propremént, 81 F renferme F', et F', F de la — 2 mème manidère, soit proprement ou non, et la forme Frenfermera F“ impropremeni, dans le cas contraire.
Il suit de là que si l'on a tant de formes F, F', Fô,, ete. qu'on voudra, telles que chacune renferme la suivante, la pre- mière renfermera la dernière, et la renfermera propremént ou improprement, suivant que le nombre des formes qui renferment la suivante improprement sera pair ou impair.
Si la forme F est cquivalente à la forme F', et la formée F à la forme F', la forme F sera Gquivalenle à la forine F', et le sera proprement ou impropreméent, suibant que Fet F’, Fset F“ seront dquivalentes de la méme manicre ou Tune maniere diférente.„
En effet, puisque F, F sont équivalentes aux formes Fe F 1 respectivement, les premières renferment les dernières, et partant F renferme F'; mais les dernières renferment aussi les premières, donc F et F' sont équivalentes. Or, de ce que nous avons vu tout-A-l'heure, il suit que F renferme F' proprement ou impro- prement, suivant que F et F'“, F’ et F' sont équivalentes de méèême ou de différente manière, et il en est de mèême de“ et F; donc, dans le premier cas, F et F sont proprement équi- valentes, et dans le second, improprement.
Les formes(a,— b, c),(c, b, a),(c,— b, a) sont æᷣ́ouiba- lentes à la forme(a, b, c), savoir, les deuaæ premieres impro- prement et la dernière proprement.
En effet ax+‿2bxy+ oye se change en aa— 25b Cp“, en faisant—= a+o. y et= o.—, ce qui donne al— S)=— 1, et partant, la transformation est impropre; elle se change en ca+‿‿ baæ ay“ par la transformation impropre= o. ‿.m,h J=A+o.N, et en l— 2b ay“ par la transformatien propre= o.— P,=+ o. y.
Il suit de là qu'une forme quelconque équivalente à(a, 5, c) est proprement équivalente à cette forme ou à la forme(a,— b, c). De méme, si une certaine forme renferme la forme(a, b, c), ouy est contenue, elle renferme proprement l'une des deux formes

Lera Propremenf 1 mes qui renlerunf
F“, el la formen d la forine, 1 Que Fet P, Pal 0 Dune manin
aux formes P,) dernieres, et parut t aussi les premitm que nous aromi oprement ou imm. ont équiralentes à ast de mème de-. ont proprement u-
—b, a) sont tuüb x premières innt
a9*—2 2) T9 donne 4- 9= gelle se change 3 propre 2=0.
la transforsbd
iralente 3 ℳ,h, à la forme(ℳ— drme(a, b¹ 4 ne des deux Lll

E ehur. h3 belet,
—
—
—), Ah V
,= 7 A fAe,
—— 4 T. Sage e A S 5 Lν☚ We h ere 6,—— — ³dgy eo Te zen. Caach f h rnn ,; Mhke 2 A;— Ra 2 fo 7,r. A 1- peen neet 2 23 7 d.— n 7 2 in= ecf een. n meree ch
2 2 V, 44
67— 7—— Iae, fat A a z ℳ—
r ht eeee fier
d Ne/ aa„ eun A.** TSde: Vu Lao 77 2 221 Idh D F. 72 Va 2e‿b zent, fh e 2 ₰ f/ — 9 ℳ t Aeue Fir, A ee, reen 4 1—. Y,; A ene TcA ne A „ A uee ue a? Aa. le. 7
„. 22„ K f b O 7 Mar A bf, ¶e au d o, I) 585 Se.,phe. fan auᷣge t 19 Sfe aeo pon. 1 Ae, Adht e.U. 3 nea 20.72, S aen 17 vi
Aabt AA, 3
oh=, f.? che a O, h 2⸗
Sh e, ee B a, e= 9 b
2 eha deu—
4 Q e, G e=ake AA 4= U, Krr L= Ar., R, 2s=e 4= O- A.ℳe A,=C, N rZu 2 9
4æ- dec, A*— af. u e As h, h= h de ae= a,ft: 2 A‿eν-)

pe:] 7i „ 4.
4/ 9 „e,
ARITHMETIOUES. 125
(a, b, o),(a,—b, c¹), ou bien elle est renfermée proprement
dans l'une des deux. Les formes(a, b, o),(a,— b, c) s'appel- leront formes opposées. b
160. Si les formes(, 5, c),(, 5',) ont le même dôéter- minant, et qu'on ait= a et 5+ 5b'= o(mod.), nous dirons qu'elles sont contiguos, et quand une désignation plus exacte sera nécessaire, nous dirons que la première est contigué à la seconde par la premidre partie, et que la seconde est contiguòé à la première par la dernière partie.
Ainsi la forme(7, 3, 2) est contigus à la forme(3, 4, 7) par la dernière partie, la forme(3, 1, 3) est contigué par les deux parties à son opposée(3,— 1, 3).
Les formes contigués sont toufours proprement aquivalentes.
Car la forme aæν+‿ 2bæy+. ye se change en la ohme con-
tiguẽ cæν‿‿Ʒπσσ+eo en faisant=—f et v= 9-52
25
(oi„par hypothèse,
est un enier), comme ons'en assurera 5+ 5 (
Par le développement. Or o— 1.(—·—n=I; done la transfor-
mation est propre. Au reste, ces définitions et ces conclusions n'au- raient plus lieu si c= a= o; mais ce cas n'arrive que lorsque le déterminant des formes eet. un quarré.
Il suit de là que les formes(a 6 c),(., p,) sont pro-
Prement équivalentes, si a= a, et 5= b(mod. a), car la pre-
mière est proprement équivalente à(,—„, a)(n' précéd.); or celle-ci est contigus par la premidère partie à la forme(æ, U,*).
161. Si la formé(a, b, c) renferme la forme(à b, o), TO¹t diviselur Commalen des nombres a„ b, c, le sera aussi des nombres as“, b', C“, et tout dieiseur commun 126 a, 2b, c, le sera 2dlssi deæ a, 2 b,
L'inspection de. trois équations du ne 157 suffit pour le dé- montrer, en ayant soin de multiplier la seconde par 2 pour la seconde partie de la proposition. 1. 92 2
HI suit de là que le plus grand commun diviseur das nombres 6, b,(25),& doit diviser celui des nombres a, F,(25), G*

— 2 —— ee.
—— — 4
— 8— — 6 2 — 2
— ——
126 RECHERCHES Si donc les formes sont équivalentes, ces deux plus grands com- muns diviseurs sont égaux, puisqu'ils doivent se diviser mutuel- lement, et si dans ce cas l'un des deux groupes n'a pas de commun diviseur, l'autre n'en aura pas non plus.
162. PROBLkME. Gi la forme AX=P 2BXYPCXY=*.. F ren- fermeé la forme ax+ ˖ 2bxy ̃cy... f,&r Quενο oonnaisse aine quelconque des transformations, déduire de oelle-là toutes les transformations qui lui Sonl semblables. A
Soit la transformation donnée, X= ax+ y, F= yT ‿Ny; supposons d'abord qu'on en connaisse encore une autre semblable, X= A+ 5), F= yæ+, et examinons ce qui doit en ré- sulter. Nommons D, d³ les déterminans des formes F, J, faisons ah— By= e,.—= G, on aura(n 157) AI= De*= De“, et partant«= e, puisque éet sont de méme signe par hypothèse.
Or on aura les six équations suivantes:
Aai+ 2B+ Ch=a.......(1) † 2SA+— Oy= a......(2) 126 B(29+ 9)) 4 C)He=b.(3) Ae+ B(A+‿)O3,= b.. 4 A+ 2860 C=c.....(5) 48+ 2894+ C42=c—c.C.(6).
Si l'on multiplie la- premidre par la seconde, on en déduira (Aaa ‿Bay‿ιe‿†‿ ¾DA a)= al, ou si l'on fait Aaa+‿ B(aν‿‿ Oy= a.... 26— D(ν—)=a(). b Si Pon multiplie la première par la quatrième, et la seconde par la troisième, et qu'on ajoute, on trouvera aA(as+‿ιε)˖+‿ B+ a4)) † C 9 20⁷] — D(α‿ιράσ(— 2+ 6— 9)= 2a6, ou en représentant ℳ(28+‿) ‿B(ad.ρ‿αά‿ν 6+ H2). + C(„ꝗ‿) par 25%, b 2 1⁶ν— D(a A)(ad‿— ᷓS— 3„)= 245.(). Si l'on multiplie la première par la sixième, la seconde par la cinquième, la troisisme par la quatrième, et qu'on ajoute les deux premiers produits et le double du troisième, on trouvé
4GM— D(ad-— ℳ 8)—) ee= 25νᷣ 2a0,

Mus Frands eon. bas de coumun
PCD. H„. 2 Connaisze un
lle-là toutes la
· T=jr.. autre semblable qui doit en d. nes F, f, faisony = De= De“* et e par hypotbex.
=a( )0=.(9 2=c.... 0
on en déduira a) a,
2 2 21
onde , et la Sec
1 conde „la seconn.
ARITHMETIOUES.
ou bien comme 20= 27= 252
0ddd..,ͤ, 49G— Dad— Ad-+ Hy=— G)“= 45..(g). Si l'on multiplie la troisième par la quatrième, il vient
aAG BG45— G,) CA)= DLAd,—y)= b.,
9 82
et comme D(a4.— ,6)(8,— a4)= B(e—)(64,— ,4ũ)
— D(ad= G))(2ι—g)= D(—)(84— G,4)— 5⸗ a0, 8i
Fon fait d'ailleurs 4Gℳ‿ 5(64⸗+ ,)+ CAA=G,, on aura 2—+ D(aαν— Ap)(347— ,O)= 2......(10); en ajoutant le produit de la troisième par la sixième à celui de
la quatrième et de la cinquième, on aura b
25— D(ad‿— ‿+ 3„— H)(3— H,)= 25....(11); en multipliant la cinquième par la sixième, on trouvera b
G½— D(64— 9)⸗= E.......(12).
Supposons maintenant que imn soit le plus grand commun divi- seur des nombres a, 25, e, et que les nombres A, F'“, C' soient déterminés de manière qu'on ait Aa 25' 5b+ Co= m(n⸗ 40). Multiplions les équations(7),(8),(9),(10),(11),(12), respective- ment par A, 24A,, B, 2 4/0, 28—, O“, et ajoutons les pro- duits, en faisant pour abréger,
1) SA/R 25 CG Aä..(15) 7 1G 1 et A(—)+B(a2— a+ 6)— 6+ C(64.— 60)= G.(14,
on trouve Ti— DU== m“, 7 et V Gtant manifestement entiers.
Nous sommes donc conduits à cette conclusion élégante, que
la Solation de I egualion indéterminée t⸗— Du=⸗= m⸗- en nombres enliers dJepend de deur transformations guelcongues semblables de la forme E en la forme f, en prenant 1= T,= äV. Au
reste, comme dans nos raisonnemens nous n'avons pas supposé
que les transformations fussent différentes„ une seule transfor- mation prise deux fois doit donner une solution; mais alors a‿ a, 8/=, etc., a‿a, 5= B, etc., et partant T=m et V= o,
solution qui se présentait d'elle-même.
Considérons maintenant comme connue la première transfor-
mation, et la solution de l'équation indéterminée, et cherchons
127

——---— ů ⸗ͤW——
———— ⸗——
128 RECHERCHES
comment on peut en déduire l'autre
a, g, N,&ν dépendent de a, 8,„,, T et U.
transformation, ou comment
Pour y parvenir, multiplions d'abord l'équation(1) par ν⁴α— B„"
l'équation(2) pPar 24—%, l'équation(3) par—, et l'équa- tion(4) par), et ajou
tons les produits, il en résultera
()a=(Ad dhn— 77— G) a...(15). De méme si nous multiplions(1)—(2) par 2˙9,— 6%„(3)+(4
par(àd ‿ι‿d— 6)— 6) et(5)—(6) par(a*ν,— p), nous
aurons en ajoutant, 2(e+e) 5= 2(44' a d.—— G) 5.......(16). Enfin si nous multiplions(3)—(4) par J½— 37,(5) par d—, et(6) par ad—, on aura en ajoutant les produits, (e+) C=(ad+‿ a⁴d—)— Bp)co...(17). Substituant ces valeurs de, D, dans l'équation(15), il
vient (e+e) T=(aν+‿a— 6)„%— H)(A+ 23˙5+ Cc)...
ou 2e T'=(a⁴+‿f.— 6—Boym..(18); d'où l'on peut tirer la valeur de T plus facilement que de l'équa- tion(15). b Combinant cette équation avec les équations(15),(16),(17),
on en tire 21 h’yä= 275,
Ces valeurs substituées dans les équations(7), etc.(12), en y mettant d'ailleurs m+ D U⸗ pour T“, elles deviennent
1 9 ma= Ta, nc0'= To.
(aν‿—)'m“= 2*2 (aν—)(ad— ϑ˖⅔πmῦˢe,— H)m= 225 D* (ad— a+. 3— 8)'m“= 4922 (αυO)(=— S dym= a0U2 (Adᷣ- ϑ‿+‿—),94— Hym=¹250U= (-— 5)m“’= ν a. De la, à l'aide del'équation(14) et de celle-ci Aa‿ε 5ᷣ C'=em, on déduit facilement, en multipliant la 1“"‧, la 2e et la 4'; la 2“, la 3“
et la 5 6 la 4, la 5“ et la G par“, B, C“ respectivement, et en

1 o) per 44-y)
— 2), et benn ilen résultern
4-— 9, Gg
6) par a99)
equation(15), ¹
.(18);
ent que de Pgus as(15),(ib), en — Tc. ·, etc.(12),&
wiennent
— 295 U
= 2bc
- aa 5rCen e et la 4 za„n es espectiemni
Se,
— ————
Ere ha,
A
— —
Su dtnu,= i 3, do‿hh, o Aſe) 00 ak— 9 va rr, vo ,fh(v, d‿—‿2,
0
„=h& hah SOh= A Shoer—t d T f
15, ,5==VAr Deemt he
7,, ee,. 2e 4 n Siees
Ae. KWe N——
4+/=—
2 6— 422,:3 5 1eie en I Gr,
SA—= † ꝑ‿ Gerhe? 17z 8 55 n, hee 55. — e e—
2 Anu,e, ee eee
8 4 . 1 öää“%————————— 3——— — 1 ÿÿ—————————y 111 ——%%ſ— 8— 42 3————————.——-—— ——————-—————— e—————.—,———————————— „„*———— 3 fshac.. al ser hee sauh —fH–˙‧— 1—. 8
2 ½ nve⸗ egezen. CSt ſo— 3—„C* v Sertin=e e C ᷣhe=’he, drν ε d, e a 97 S e,2 e’, = W P 2n, S ac
2/αρꝙ, 44:1s 72 LKckenee u Me
—

— ——
“ —— ——
—
———
——ͤͤ —— ——— ——— ——————
1 — 8 4 4— 4 4 3 A=
„—. heg 7 2.
t
4 4“ ——
/ N— 2, 5 fe,— 2),C— aa, 2n. I. 1
br= A, 4 Spha J.Than, fs he⸗ ſo rrfe,(22n
„4 3 2 2weh,, n 4 ue,, 7
„, u*— Soh 1 4 7 LCCC4ℳ 7 2z⸗
167. 0³ ,f ſelhſe Sehe L h 2 A HA-Er= o
I 8„
M⸗aawee i.. 4„.
Whl⸗ 3 A⸗ 2„ ,, 6 k— hech,
2 ere ee za de 2e ee eeee . u 6.1 Feh Mr E‿’ 2,, 7 Ae 60==f/cG
2₰ = fat, fer 6 3- 3 K4ερσ, adee ,F.= , M,
1. ne ee, ſνςν)— Mrd 7. C. 1A Kl.,=
9 1 5“ 52 742 n 2B.
— 4A Pdcee en
efA— A mt,
— 20— vy 7 4 2—
02
X A, K] A A.
it tu‿llue .‿ Ir.
A 49
d28 T4,

ARITHMETIOUTS. b 129 en ajoutant les produits. (eν‿—s) Vm= maD*,(44—ad)—) U=amb er-en Um⸗mole,
Squations qui, divisées par mU(*), deviennent
a= m(any— a*o)............ 24.(u9)
2b U= m(ad— 25- 87— 6p).(20) U= m(64,—— 5)........(21)
dont une quelconque peut donner la paleur de U plus facilement que l'équation(14). Il suit aussi de là que de quelque manière qu'on détermine, B, C, et ces quantitéès peuvent être déterminées par plusieurs méthodes différentes, on aura toujours les mèmes valeuss, f
pour T et ponr N
Or en combinant l'équation(18) avec l'équation(20), on en
tire par soustraction et par addition les deux suivantes
2T— BU= Wm(aς— Sp).......(22) eT+ bU= m(ad— 6).........(23),
et à Paide des quatre Squations(19),(41)5(22),(23), qui ne sont
4 que dupremier degré, on obtiendra sans peine les valeurs de a, 9„„, au moyen des équations suivantes qui en dérivent,
b mea— ae T(aᷣ— ba) V, mee= Be T-—(bGB— ca) U, mey= eᷣ ad— b)) V, med= de‿‿b3 D,
ou, en y substituant les valeurs de a, 5, 4, tirées des équa-
tions(1),(3),(5),
ma=.—(Ba+.‿ o), my=„T+(Aa By),
mg= ST—(B- CO)V, = T-(A- BJ) V.
II suit de l'analyse précédente, qu'il n'y a pas de transforma- tion de E en, semblable à la Proposes„ qui ne soit contenue
dans les formules X= a Be 4 CwJe4 2(a-CBe oo)) 27
1= 271- Ae-AB))u]Je4 eor.As-4 S)uJy
——
60) Cette division ne serait pas poscible si Ton avait— 0; mais dlors les équations(19),(20),(21) naitraient immédiatement de 3 première, de la troisieme et de la sixième des équations précédentes. R

““— — 3 1 2. 2
150 RECHERCHES t het u désignant indéfiniment tous les nombres qui satisfont 3 équatien 4νι—- Du= mn. Nous ne pouvons pas encore conclurc que toutes jes valeurs de t et de ¹ qui satisfont à cette équa- tion donnent des transformations convenables, lorsqu'on les substi-
tue dans les formules(I). Mais, b 1*. On S'assurera par le développement, que la susbtitution de valeurs quelconques de et dé z³ change F en f, au moyen des quations(1),(3),(5) et 1— Dus= m'. Nous omettons, ce calcul plus long que difficile. b „ Toute transformation déduite des formules sera semblable à la proposée; car
1.A—(Ba Cy)hu] 4t4- B4)u]—(6-(Be-† C4)u] X(1e4. S?)u J=(A Ey)e— D=es gy.
3o. Si les formes F et f ont des déterminans inégaux, il peut se faire que les formules(I) renferment des fractions, par la substitution de certaines valeurs de t et de u, et que partant il faille les rejeter: mais toutes les autres seront des transformations convenables, et seront les seules.
4o. Si les formes F et ont des déterminans égaux, et que parconséquent elles soient équivalentes, les formules(1) ne pour- ront jamais donner de transformations qui renferment des frae- tions, et parconséquent elles donnent la solution complète du probléme. b
En effet, par le théoréme du ne précèédent, on sait que dans ce cas m sera aussi diviseur commun de A, 2, C; or puisque 12— Due= ma, on a 1*— Beur= me— ACus; donc 1*— Ballo sera divisible par ma, et partant, 4 ½— 4eu“, ou, puisque 25 est di- visible par m, 4t* sera divisible par m“ ou 2t par m. Done
2 2.. GP Bu) et„( Bu) seront entiers, et partant, comme la dif-
férence 8 de ces deux quantités est paire, elles seront ou toutes
deux impaires, ou toutes deux paires; si elles étaient impaires,

ela susbtiton fion
1f„ du moyen e ous omettons, d
ales sera zemblalr
(4= DErchy) 9.
ns inégaux, il en s fractions, par , et que partutl des transformatius
ans égaux, et qu ormules(1) ne podt nferment des fu- lution complit
ARITHMETIOVES. 5t leur produit ee 4(— B dda) le serait aussi; mais puisque 62— Beu
est divisible par m', ce produit est nécessairement pair; donc cette supposition ne peut subsister, et les deux quantités sont
paires, donc leurs moitiés erue.— B0) sont des en-
tiers, et parconséquent 2. et Ln. Il suit de là, sans diffculté, 8
que les quatre coefficiens des formules(I) sont toujours entiers.
Aur Soncluons de ce qui précède, que si l'on connait toutes les
solutions de l'équation t*— Duz=mae, on en déduira toutes les transformations de la forme(AJ B, O) en(a, 5, c), semblables à une transformation proposée. Nous donnerons plus loin le moyen de trouver les solutions de cette équation; observons seulement
ici que leur nombre est fini quand D est négatif, ou positif et en
méôme temps un quarré; mais qu'il est infini, si D est positif et non un quarré. Quand ce cas a lieu, et qu'on n'a pas D= 6 (Noyez 3“°.), il faudrait encore chercher comment on peut, à
priori, distinguer les valeurs de t et de qui donnent des transfor- mations entières, et celles qui n'en donnent pas. Mais nous don- nerons plus bas, pour ce cas-là, une autre méthode qui n'aura pas
le même inconvénient(ne 214).
Exemple. La forme+‿*ꝗ se change par la transformation propre=· 2a+ꝙ‿ y,=+ 5)y, en(6, 24, 99). On demande toutes les transformations propres de(1, o, 2) en(6, 24, 990). Ici D=— 2, m= 3; ainsi l'équation à résoudre est t²+‿½ 2Q 9. On peut y satisfaire de six manières: t= 3Z. 2= 0, 1=— 3. u= 0, 1= I. l= 2, 1= 1..11=— 2, 71=— 1I1. 4= 2, 7—— 1. 1=— 2. La 3et la 6 donnent des résultats fractionnaires et sont parconsé- quent à rejeter des autres. Résultent les quatre substitutions:
2r‿‿‿7) æ.+ Sy.
n ar 7)“*5 — 2+9„— æ+‿ 3)“ — 24+ 9)— a+ 3)
dont la première est la solution proposée.
163. Nous avons dit plus haut, en passant, qu'il pouvait arriver 2

13²2 RECHERCHES qu'une forme F en renfermãât une autre Æ', tant proprement qu'im- proprement. On voit que cela aura lieu, si l'on peut interposer une autre forme G, telle que F renferme G, et que G renferme F'˙, et que la forme G soit de nature à étre proprement équivalente à elle-même. Car si l'on suppose que F renferme G proprement ou improprement, comme G' se renferme lui-méême improprement, F renfermera G improprement ou proprement, selon la supposi- tion primitive, et partant le renfermera dans les deux cas, pro- prement ou improprement(no 159). On trouvera de même que de quelque manière que G renferme H'“, F doit toujours renfer-- mer F des deux manières. Or on reconnait qu'il existe des formes improprement équivalentes à elles-mêmes par un cas très-Evident, celui de la forme(a, 0,), qui se change en(a, o, c) en fai- sant= o. y et y= 06.— y. Plus gènéralement, toute forme(a, 5, c) jouit de cette propriété lorsque 25 est divisible par a; en effet la forme(o, 5, a) est contiguò à(a, 5, c) par la première partie(n 160), et partant lui est proprement équi- valente, mais(c, 5, a)(no 159) 6quivaut improprement à(a, S, 0); donc(a, 5, c) équivaut improprement à elle-même. Nous nom- merons formes ambigués les formes(a, 5, c) dans lesquelles 25 est divisible par a. Nous avons donc le théorème suivant:
La forme F renfermera la forme Fé proprement et impropre- ment, si on peut trouber une forme ambigus que F renferme et qui renferme EF.
La réciproque est également vraie, et c'est l'objet du numéro suivant.
164. THEOREME. Si la forme Ax+ 2 Bxy+.‿ Cy⸗(F), ren- Jermée tant proprement qu'improprement la forme AX2 B Xy + Cy“.(F), on pourra trouver une forme ambigus que F renfermera et qui renfermera F.
Supposons que F devienne F par la substitution al‿‿⁷ν, N= p‿†, et par la substitution dissemblable ‿r aν‿‿, „= Na+‿. Soit ad— y= e, 2/— 5= es on aura 8*— AC= e(5— A6)= 6(B2— AO); donc e= e“, et comme c et c sont de signe contraire c=— e ou e+.= o; or il est clair

en( 64, 0„c) en el h eneralenem, t unn 1u 25 est iiii
st Drnrenen E pi oprement 4 0,5 G e-même. Nous 1 ) dans haes
zorème Suivant:
rement et inun zus que I renfem
zt Lebjet dun
71. itution 1=—
5 able⸗ r=a 7 4
ſt't eᷣ, =t“t twdo + VV, 9 /⸗ 4ae5 u*,= Eelua au raug,
2
=bt=A), — J? ſehen,

fera de meme m
ſt toujours. dl existe des hm
cas tres-Giten n(a, o, o enli Enéralement, tr ae 25 est diriäh
ue à(4, 5,0 3
st proprement qii- oprement à ,5 meme. Nous nnr- dans lesqueleh orème suivant:
rement et inpvont 26 que F renfam
t Pobjet du ruen
AAMn

ARITHMETTLOUES. 135 qu' on arrivera à la même forme en substituant dans fE, pour a ꝗa— 60%, pour y,— α‿— a9“, qu'en substituant dans F pour x..-A(⁴σαω— 5)+(—Yæ)=(ad—e) Jæ+‿(A— 26))“ ou bien ſen ſkoera.„(*—5„y) y ay.=NJehe dean„* ou bien(boufr. She 4 1 3epes- X Jn r. 15 poury.y(Na—) 244— V dA r GeM en)e e) 5 en faisant b —)= a, 38— a6= b,—= 0, ,=HE, la* F se changera en une même forme par les substitutions
æ= aa“+ by“,= ca. dy et eer, w)„.ι„ ce qui donne les trois équations suivantes:
AMas+ 2 Bao+ CGG= Ae............(1) Aab-†‿ B(ad+‿ bo)+ Cod= Beee...(2), Ab=+ 2 Bbd+‿ C= Coo....(5);
mais des valeurs de a, P, c, d, on tire ad— b0= ec=— e=— e6e... e...(A)⸗
Si P'on multiplie l'équation(1) par d, 1. équation(2) par, et qu'on retranche, on trouve(Aaae2eeai--SeeA0fege et partant Aa+ ¹)=. produit de Pecuation(1) par b et de Teruatioh 6) par o, on tren e(Ab Ba-R) Co)(2ci==h0) e— 4 b-2a e SaGe)he.
d'ou B(a+d)=o. 1
Enfin en retranchant du produit de Pécuation 63) par colui b
de l'équation(2) par b, on trouve(B5- Cd)(ad— 5c)=(B5 Qa)e“, d'oùu CGa..)= o. Or comme 7, B, ne peuvent dans aucun cas Stre nuls en mèéme emmps;„ 1s'ensuit que 1.
a+. 4= o..“
Si l'on multiplie lannation(2) par«, et qu'on en retranche
l'équation(1) multipliée par 5, il vient(Sa+ Cc)(ad+ b)
r(Ba- Ab)«, du 1 Ab— 6a— Co=o... 2.().
Des équations:-e= o, a-+.‿ά‿„ ou 4= By-4,—e,o et ta a eer— 5 9eeo, on déduit(a‿αα(dd ‿ας,
4

134½ RECHERCHES ou(a+‿):(„)=(6+3): ‿ 49). Représentons par 2
ce rapport, réduit à sa plus simple expression, de manidère fün m et n soient premiers entre eux(*), et soient pris ½,» desorte qu'on ait um n= 1. Soit d'ailleurs le plus grand commun diviseur de a, 5, o, son quarré divisera Bo‿‿ιαν‿= 5+‿ad=— e“; donc y divisera e. Cela posé, si la forme F, par la transforma-
tion— mt u,= m— Su, 8e change en Mit+ 2 Nll⸗ † Pu(G), cette forme G sera ambigué et renfermera F. Demonstration. I. Pour faire voir que la forme G est ambi- gué, nous démontrerons que M(bu*— 2%¶ ᷣdͤ)= 2 Nr; car alors r divisant a, 5, c;(Bus— 22u»— Cp sera entier, et partant 2N un multiple de M. Or M= Am=+‿ 2 Bmn+ On“, Nr=(Am— B(ma— m)— Cnu)e; d'ailleurs il est facile de s'assurer que l'on a. 2+ 20=e— e Aa— d==(4— a) Gℳ 4,)—(6—) ℳ) 2b=(A*‿(3— 6)+(a—)(6+. 8), et comme m(ᷣ)= n(àα‿ρ‿αρρι), m=(6e), il en ré- sulte(26+‿ 2) n+‿ 2n5= o, ou me † ma nb=yo). De mème 2e— 2= e— e— a+d=(+a((—4 5—— O+)T 2c=() G)(ℳ/)(4— 4),
d'où n(2e— 22)+ 2mc= O.. ou ne— na-m=o(8).
Maintenant si l'on ajoute à m=(bu=— 2 ⁴μ— G*) la fonction
(1 mua— w)(m&— a) mu+. 1)5]-(me+ma † n5)(muν 4ℳ*)
lne— na-†me)mu“, qui se réduit à zéro, puisque 1— mua m= o,
(+) Si Y'on avait à-la-fois a+‿,+p=o,+= o,+4 4= o, m. 2,—., le rapport— serait indéterminé, et partant la méthode inapplicable. Mais une
légère attention suffit pour voir qu on aurait alors e= e, et comme d'ailleurs om a e=— e’, il s'ensuivrait e= e“= o; donc alors le derermtinant de la forme serait nul, et nous excluons ici les forms de déêéterminant zèéro.
Ol
8

Repreösentan mn. 4
1 de Manigre 1 nt uhi udan ord
Shennne
par la Umnim e en Ma..ax
korme G est ani „= a Ny exr au
entier, et partu
mu—w)-Cuux,
-(§- ³) 6-*)
3
2(- 9), ileuk
(7).
5h ₰),
mo=o.
—e“) la foncbio
rminant ſt z0ro.
ARITHMETIOUES. 135 me£ ma- nb= o, ne— na †mo= o, et qu'on effectue les pro- duits en effaçant les termes ani se détruisent,„on trouvera ame+ 5; dono
In(ba— 2—r ν—= 2mme 5 88. 20(O). De mème, si l'on ajoute à mn(bu— 2aun— 0²) la fonction (1=mu- nꝰ)(u) 40 12 ne Kanra m† ihe Lme) 7„*, on trouve. mn(bu— 2 uν— op Je=en en)eeewen, eo) Enfin si l'on ajoute à(bus— 2)c) la Smetien 2 GesJde-Jde,e-e ne hn cee nerneJGan). on trouve n(bu⸗— 2 Gάᷣ o ²)=— 2nue— 2..... 8.(1 ¹).
Donc si l'on. multiplie l's équation(9) par 4.„ ao) par 2 et(r ¹) par O, il vient
(4m-La Bnm- Cn 2²)(b 2unn-e=ee ame S0n-nu) Outeu abe d. ou à cause de P'équation(6,
AI(bu-— 20„— er)= 2Nr.,
II. Pour prouver que la forme G renferme h fame. F',„ nous
démontrerons
1, Que G devient F. en posant
2ee)er 4ε+ y. u= e 0e—mo)- 4* 66— m9) y. 12 5—..(). 22. Oue 4 04—m) et g 1006— n) sont entiers.
Puisque n devient 6 en— æ== mt 4 ℳ2e 1, S=nt— E u,
la forme G se changera par la transformation(S) en la mame forme que celle en laquelle F se changerait en posant
a= m(ua-yy)æ‿νu-)+(na— mo)e e—n)„ 55—(mup)ja,+ mu † nv) Sy= ar‿ε⁄Quꝛ5 b
= n(ua-y)æ(u-y⁴ ᷣ‿έMna— my)a,—al=ma 4 eee) ym-†‿—πꝑᷓ‿eᷓya- d.=

136 RFECHERCHES Mais par cette substitution, F se change en done par la zubstitution(S) la forme G se change en E. „On déèduit facilement des valeurs de e, 5, d l'équation 3 ,Daeno ou comme d=-— a, Aao d. Kliminant b au moyen de l'équation(7), il vient 6 (na— my)a=(my— nahe..(12); or on a anb=— am(e+ a),)mb=— m(Al‿ααa); done (na— my)b=(A-—- ame..(13) enfin on trouvera ε—+, a0 QM᷑ĩᴵì00R= 0, éliminant a au moyen de Féquation(8), il vient (7,=„)0e= hne..e... Gch. On trouve de mème O5— d= o, ou ‿ 5* 922 éliminant bh au moyen de l'équation(7), il vient (n— mdy)a=(m—= ng)he......(15): b or on a Snb=— m(ea), Imb= e e-t ga);; donc (28— mA*)b=(3—— Oyme.......(16):
enfin on trouve— Ja+ S=o, et en Eliminant a au moyen de Iequalion(8), on a
(n&— md)o=(&— yne..(17). Le plus grand commun diviseur des nombres a, 5, o Stanty,
si l'on détermine A", P', C'de manière qu'on ait Ala‿B'eO'c=r, on trouvera au moyen des Squations(12)„(17)„⸗
4 Gy na) 44⸗) 24 69227 44—(4a m).. 4" 6 n) 1*☛ 6) 5- 0(— P)n e 2—ma),. et partant, 20da— my) et? 206— mg) sont entiers. 4
165. Eaempla. La forme 32*‿ν4πQ— 4 se change en 41a Horm — 122— 184„+39, proprement en faisant— 4 ny, h=— xr— 2y, improprement en faisant 24=— 74+ 89„), 15& On à donc a‿=— 70, 6—4 6= 100, 4;
. 100 J+ 4==—— 20; et—2„Faisons donc= 5,=— 1. Comme

..(¹:
liminant a an wya
.(¹). bres a, 5, c ktan tA+ B0e 7 .(*n,
7(ua—). c
—(18— 0),
6
entiers.
se change exbà 1 nisant üar”
- 1 T==— 11
= 1 00, u
ne s donc m=i'e Co

——

A RITHMETIOUES. 5) Comme on doit avoir 5—*= 1, on satisfera évidemment à
cette équation en faisant ½‿eo et»=— 1; d'ailleurs on trouve 6= 3, a=— 237, 5=— 1170, ‿ 48; leur plus grand commun diviseur= 3: ce qui donne pour la transformation qui change
Een G,*= 5t— u et=— t. La forme ambigud G est elle- mème 1*— 16+ 3 u“.
Si les formes F et F sont eqnävaleuteg la forme G sera aussi renfermée dans F' puisqu'elle l'est dans F; mais comme elle ren- ferme cette même forme, elle lui sera cquivalente, et partant à la forme F; ainsi dans ce cas le théorème s'énoncera ainsi:
Si F t F- sont dguivalentes tant proprement qus impropre- ment, on pourra trouver une Forme ambigus æᷣguivalente d cha- cune g'elles. Au reste, dans ce cas 6=r, et t partant r qui divise e doit être aussi= 1.
Ce que nous avons dit suffit pour la transformation des formes en général; passons à la représentation des nombres.
166. Si la forme F renferme la forme F, tout nombre Tur Pourra étre represente Par F. pourra!' Etre 211s 91 par F.
Soient, y;, y“ les indéterminées des formes F et F res- pectivement, et supposons que le nombre M puisse éêtre représenté par en faisant æ=m et= x, et que la forme F se change en ô par la transformation=aœl+‿,= a+‿Dꝑy, il est evident que F deviendra M en faisant æ= am-+. n,= ym-d.
Si M peut ôêtre représenle de plusieurs manidères par F', savoir, en faisant encore æ= m’“, y= n, il pourra l'étre aussi de plusieurs manières par F: en effet, si l'on avait à-la-fois am- n= am †. n. et m+‿ Ip= m- DPr, il s'ensuivrait m(ad— Sy)= m(ad—) et n(ad— By)= n(a—„), ce qui exige que ½ᷣ— y=, et Partant, que le déterminant de la forme F' soit=o, contre 'hypothèse, ou que m=m’ et n=n, il suit de là qu'il y a au moins autant de manières de représenter M par Aue par F..
Si donc F et F sont 6quivalentes ‚,tout nombre qui pourra etre représenté par l'une pourra l'èêtre par l'autre et d'autant de manières.
S

“——ö———
138 RECHERCHES
Observons enfin que dans ce cas le plus grand diviseur com- mun des nombres m et n est. égal au plus⸗ grand diviseur com- mun des nombres am-. Sin⸗ m- yn. Soit en effet A ce diviseur, prenons les nombres à et» tels qu'on ait um n=0, on aura
(a‿—, 1)(am B7)=A(Lur uBD-H. An)==(a⁴— 6))Aum e n)=ctad.
Donc le plus grand diviseur commun des. nombres am+n
m* In divisera 4; mais A le divise, puisqu'il divise évidem-
ment am+ n,„m †. dn; donc ce plus grand commun diviseur est égal à A. Il suit de là que si m et n sont premiers entre eux, am.+.‿ p et m+ In le seront aussi. b 167. THEOREME. Si les formes ax+†‿ 2bxy †ox...(F), a'X*+ 2 b y+cy....(F) sont&quivalentes, que leur deter- minant soit D, que la derniere se change en la première en faisant v= ax+‿ y, y= X X Jy, que Tailleurs le nombre M soit repreésenté par la forme F en faisant x= m, y= n, et par- tant, parla forme E' en. faisant XK= am-+ n=m.’, y=ym-dn=, m et n et parconscquent m et n dtant premiers entre euo les deuæ représentations appartiendront à la meéme valeur de l'ex- pression VD(mod. M), ou àd des valeurs pposéés, Sulibant que la transformation de F' en F Sera propre ou impropre. Soient déterminés les nombres 4⁴, y de manière qu'on ait
— J p„ 8à+ A, um+.n= 1I, et soient faits 2ee——,). Onaura
(ne précéd.) ααρμρν=i. Soit d'ailleurs b
(bm+‿on)— v(am+ bn)= V.. A(bIm. † dn)—(Am+ b'n)=E. Vet I sont les valeurs de l'expression ᷣ/(mod. M) auxquelles appartiennent la première et la seconde représentation. Gela Posé, si dans V' on met pour m', n, α," leurs valeurs, et dans V pPour a.. Aar+ 2b aνταιμσνν pour b. Aα+ ν(4 ℳ„d Pour, c. a*+ 25/9-e'*, on trouve, toutes réductions faites, L=I(ad— Gy), et partant V= IV.’ ou. IV.=— I, suivant que a4ᷣ— gy sera=+ 1 ou=— 1. Donc, etc.
Si done on a plusieurs représentations d'un nombre M par la forme(a, b, c) au moyen des valeurs de æ,; premières entre elles et qui appartiennent à des valeurs différentes de l'expres-
—“
X₰B 7 74 2 ² )„ et y sont des nombres entiers puisquers— ½=. 1
7=

4 1 diis bin
Premiers eutn eu
2by er.. 0 tes, que leur däin en la premigr a nilleurs le nombyl =m, y= n, etzm. m,)=yA nniers entre eu, a ueme valeur de le s apposees, auii opre ou impropne
manière qudu i
‿—0 Ouam
(o*+† b)=n (mod. I) anxoo8 repreésentation, Càĩ Ca le valeuss, ettu 24 ℳ hs ues Häucüosſis i — 3uiran-
ARITHMETIOUES. 139
sion V(mod. M); les représentations par la forme(a,, 0) appartiendront aux méêmes valeurs, et s'il n'y a aucune repré- sentation du nombre M par une certaine forme, qui appartienne à une certaine valeur donnée, il'n'y en aura aucune non plus qui appartienne à cette valeur Pour une forme équivalente.
168. THEORLKME. Si le nombre M peut étre représenté par la Forme ax+ 2 bxy ey“ en donnant à x et y des valeurs m etn premières entre elles, et que N soit la valeur de l'expression VD(mod. M) à abneeiee 2elte représentation appartienne, les
formes(a, b⸗ c) et(M, N;
—P M)scront proprement ᷓquivalentes.
21 suit du, ne 155 qu'on lu trouver des nombres entiers ¼α et» qui satisfassent aux équations
mu ννσ... Afne e) rAarf. hhe.— Cela fait, la forme(a, 5, c) se change, au moyen 9 42 substi-
tution= ma.— f,= na ‿uf, en une forme dont le dé-
terminant= DOmaæ † n)= D, c'est-à-dire en une forme équi- valemte, Si on suppose cette forma= ¶A, B, C), on aura
C 2* d'ailleurs
2, 7 A==am-abmn en'==M, B=— maa †.(mu— wm)b-nu= V; donc la forme(A, B, 6) revient à(u, 2 1*).
Au reste, des équations
mu=... nefee— aar u)= NV, ma †.˖ nb+‿ N mb+ no— mN 7...1—— N 9 qui seront ainsi des nombres entiers. Il faut observer que cette proposition n'a pas lieu quand M= o, car dans ce cas on doit avoir N— D.= o, d'où il suit que 169. Si Pon a plusieurs représentations du nombre M par la forme(a, 5, c) qui appartiennent à la mèême valeur N de l'ex- pression(mod. M), en supposant toujours les valeurs de, premidres entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres 2
on déduit.=
23 est indéterminé.

—ſ—— —,——— ————
—— 1““ ——y——
— 2 —= ———— ——— ——
140 HRECHERCHES
N.— D. de la forme(a, 5, c)(F) en(M, NM.„f(G); savoir, si une de ces représentations provient des valeurs&=m'“, y=, F se changera en G par la substitution
mN— mb— n/“„, nN† ma+ 5 æ=maA+—„— ena 7—
Réciproquement, une transformation propre de en G étant donnée, on en déduira une représentation de M par la forme F, qui appartiendra à la valeur V. Si F se change en Gen posant a= ma— f et=ma u, on représentera M par la forme F ren posant ‿ m, J=n, et comme mu‿νπν, la valeur de T'expression V(mod. M) à laquelle appartient la représentation sera(bm-on)—(am+bn)= N. En outre de plusieurs trans- formations propres différentes, on déduirait autant de représen- tations diverses appartenantes à la valeur N; car si l'on sup- posait que la même représentation püt dériver de deux transfor- mations propres différentes, ces deux transformations étant æ==mat—yy et y ha-‿, uma—,, na ruz des deux équations l Be. 10 111 m‿+‿¶ ν᷑άη+ νπ.. A(mb+ nc)— v(ma+ nb)= A(mb+ c)—(ma-† nb), on déduit sans peine qu'il faudrait qu'on eüut M= o, ou bien 2= u,»= V; or la première condition est déjà exclue, et nous avons supposé m' et différens de m et n. II résulte de là que si on avait toutes les transformations propres de F en G, elles donneraient toutes les représentations de M par F, qui appar- tiennent à la valeur N. La recherche des représentations d'un nombre donné par une forme donnée, dans lesquelles les valeurs des indéterminées sont premières entre elles, se réduit donc à trouver toutes les transformations propres de cette forme en une autre forme équivalente donnée. da I
En appliquant ici ce que nous avons dit n 162, on conelut facilement que si une représentation du nombre M par la forme F appartenante à la valeur N, est donnée par les valeurs&⁹= a, — 7, la formule générale qui comprend toutes les représentations du méme nombre par la forme F, sera b b
r= t—(2b+ 20) u.„t+(a+„b) u 5, J=—.

=r, la Falexi ient la repregentain 2 de plusieun tus autant de teprther N; car d lon 9 ver de deur trashe ransformations om
„)= nr †u is
2(mb-† nc)-(no 9¹), euͤt M=o Ol bie Jéjà exclue, et um „II résulte del es de Fen 6, b par F, qui ahRr reprẽsentatios dun lesquelles les e s, se réduit dont: le celte forme el-

———

ARITHMETIOUES. x
mn Stant le plus grand commun diviseur des nombres a, 25, o, et t, u tous les nombres entiers qni satisfont indéfiniment à l'équation
t2— Dau= m. 170. Si la forme(a, 5, o) est équivalente à une certaine forme ambigué, elle sera équivalente, tant proprement qu'improprement,
N.— D 4 la forme 4 M, N,„)⸗ ou encore elle sera proprement
72 cquivalente tant à la korme(I, y, 4), qu'à la forme
6. N,— N, 5(n* 159); on aura donc les représentations
du nombre 4 par E appartenantes soit à la valeur+ N, soit à la vajeur— N. Et réciproquement.„si on connait plusieurs reprè- sentations du nombre M par la mêôme forme F, et que ces repré- sentations appartiennent à des valeurs opposées de l'expression VD(mod. M), la forme F sera équivalente à la forme G tant proprement qu Improprement, et Ton Pourra assigner une forme ambigue équivalente: à F.
Ces principes généraux sur rla représentation des Apeibres r nous suffisent pour ce que nous avons à dire à présent. Nous parlerons plus bas des représentations où les indéterminées ne doivent pas avoir de valeurs premières entre elles. Quant aux autr espropriétés„ les formes dont le déterminant est négatif, demandent à étre traitées d'. une manidère tout-à- fait différente que celles dont le déterminant est positif. Aussi nous allons maintenant considérer séparément chacun de ces cas nous commencerons par le premier comme Stant le plus acile.
1 171. PROBLEME, Etanl proposee une Mheheee 6,L, 2) dont le dæterminant es: ncgatifſ, 8=— D, trouver une Forme (A, B, C) qui lui So⸗ proprement sgquivalente, et dans laquelle A
Soit non 2 Bnon— 1A. C non= A.
Nous eav n qus ces trois conditions ne soient pas réunies dans la forme proposée, autrement il serait inutile de chercher la seconde forme. Soit hô le résidu minimum absolu du nombre— 5,
2 4,. 5ʃ² D 13 2 2 2* 2 4 suivant le module a*(* et a=——, qui sera entier, puisque

84
v 4 “ D——— “ — —— —
——
—— — 2 —y—
——
—————--ℳ—:õ“—ÿ“s—
9= Pa, d'ou S D= P⸗ D= aa(mod. ae. Maintenant, si ³αα, soit encore 5“ rssidu minimum de—", suivant le
56 4 D 112 module a, et a= 2uf.
Si a= a¹, soit de même 5 résidu
..„ pua D absolu minimum de—, suivant le module 2, et a= 5—
en Continuant cette operation jusqu'à ce que l'on parvienne à un
terme aode cette progression qui ne soit pas plus petit què le
terme précédent a, ce qui arrivera nécessairement, sans quoi on aurait une suite de nombres entiers plus grands que zero et décroissans à l'infini. Alors la forme(au, b, antn) satisfera à toutes les conditions.“ En effet, r*. dans la suite de formes(a, 5, a*),( Ʒ*), (2“, v', a*), ete., une quelconque est coöntigus à celle qui la pré- csde; donc la dernière est proprement équivalente à la première (ns 159 et 160).“ 28. Comme Bn est le résidu minimum absolu de— 504-d, zuivant Je module a⁶ν, il ne sera pas plus grand que ν ε 4.).
35. Puisque al. aoae= D+ 50, et que alarn non a00, a60 ne sera D+. b0 3; et comme 50 est non 20), a0nn ne sera pas= D+ ½ 4, ou 3 a0“⸗ ne sera pas plus grand que D;
Exemple. Soit la forme(304, 217, 155) dont le déterminant =— 3r, on trouve la suite de formes:(304, 217, 155),
(155,— 62, 25),(25, 12, 7),(7, 3, 5),(5,— 2, 7); et k dernière est la forme cherchée. De mème, pour la forme(121,49, 20) dont le déterminant est— 19, on trouve les formes Equivalentes: (20,— 9, 5),(5,— 1, 4),(4, 1, 5); donc(4, 1, 5) est la forme cherchée.= 18 AI
Nous appellerons ormes reduites les formes(1A, B, O), qui sont
telles que, le déterminant étant négatif, on ait Anon 5.
EÆ non. ¶ℳ, et C non A; ainsi on peut trouver une forme
donc enfin aw non 2 ˙%
— 4 13*
XVTTISA„„„.— 4.„*†
Sen fatt remarduer que si ou d Staient zèéro„ le déèéterminant serait un Auarte Positif, ce qui est contre Thypothèse, par la même raison a et 2. ne peuvent être de signe contraire.— i l u 7ins

ürement,„ Bans dui
8s prands one ih „ 2= 22el „ 4.*) zatisker,
5, 1 2), ſd, h⸗ ⁰] à celle qu 4 leute à la prewin
de— N=h) gainan 1.(a 4.).
4 e- Don 4⁴⁸ non— 1 407, 95 plus grand que0,
Jont le détermion Zo4, 2t7, 6) (5,—2,)z.
a formie(racgn 9
ARITHMETILOVUES. 243
réduite proprement 4inalenteat à une farme donnée Ohelle 18 ell soit..— 3 172. PROBLEME. Thouuer. les eomehions nécessaires pour que deuæ formeèes réduites non identiques et de meme Aeterminant ncgatif, soient proprement éguiualentes.
Soient les formes(α, ν, o)5(a, ν) dont lerdéterminant est — D; supposons ce qui est permis, que a ne soit pas a, et que la forme aæ+ 2baf-oy: se change. em alœ‿‿ιηνεεαρκνμ eρ, par la substitution Propeae= aa 4 8, 2 aDn aura les équations
2 eheaecn,= d..00, a4ti1ene ton=b,)„ 1e)⸗ 1..6)
donc aa 6 Positif; et comme on a T'ailleurs 2en. 2˙=DPL, ils'ensuit que ao,, aa sont positifs, et partant que
a, 2*, e, G sont tous de méme signe. Mais a eta sont non. 2——
A 8
donc aa, et-à plus forte raison Dy ne sera pas* D31 mais 4 doit être entier, il sera done ooou£r.... 11257
1. Si„= o, L'éequation(3) donne adπι et vortam— et= k 1.: dans les. deux cas, il résulte de l'équation(1), 222, et de PSquation(2) 5=Z bhä= Sa; mais b est non νι b non cta, et partant- non donc Péquation: b5b=k Ga ne peut avoin. lien si b est de méême signe que, à moins quion
B 5²+‿ D u. ait b=b, d'où, 8* zensuivrait. 6—— ELe ef-partanf, à
moins que les formes(a., c),(a„ 5, 0) ne soient identiques, ce qui est contre l' hypothèse. Si b et b sont de signe contraire, cette équation n'aura lieu non plus qu'en supposant 5=— Gck a, ce qui donne de mêème o0ο; la forme(a,,) sera donc(a,—3, 0), c'est-à-dire opposée à la forme(, 5,). On voit d'ailleurs que ces formes sont ambigués, puisque 25= a(n“ 165).
II. Si=r, l'équation(1) devient a ‿ρ‿ρα σα; mais e n'est pas Iah et parconséquent pas. Dal; donc 26 n'est cer- tainement Pas= ar; ainsi 25 n'étant pas 2 α õ sera B a. 5 0Ce qui. exige qu'on ait, Oua 1. S
1. Si a.o, Péquation(1) donne c= a; et comme on a à- la-fois a non. a et non Zc, il s'ensuit que a x a=g: or

144 b RECHERCHES P'équation(3) donne 3)=— 1, et partant l'équation(2²) devient 5+ 9=X Ao=kda. On pourra supposer seulement ici, comme dans le cas précédent, 5= V, ou b=— F. Par la première suppo- sition, les formes(a, D, 27,(, U',) seraient ldentiques„ Par la seconde elles seront opposées. 1
20. Si a=ck 1, l'quation(1) donne+— u; mais a et e sont tous deux non 1a, donc 25 sera non Ta et non Co; d'ailleurs on a 2b non a et non G; done né- cessairement o= 25. L'équation a+fe—a= 3 22 donne alors£ 25= ,, ainsi l'équation(2) devient
2(a‿ν⁴ 4 5as. 8„)= L., ou comme Ma*h Zyr, b.—5= ag 9) 4 2567=4(ag- 79 G));, ce qui exige, comme ci-dessus, que b= O, ou que 5=— F. Or, dans le premier cas, les formes seraient identiques contre 'hypothèse; dans le second, elles sont ohpesgeas et ambigués. Il résulte de cette analyse que les formes(a, 5, c),(a, F“,)
ne peuvent Stre équivalentes, à moins qu'e'elles ne soient Opposées et en mêème temps ambiguös ‚,ou telles que a== A.= C.. II Stait évident, à priori, que dans ce cas les formes sont propre- ment équivalentes; car, comme opposées, elles sont improprement équivalentes, et comme ambigués, elles le sont aussi proprement.
Mais si a= o, la forme,( 2— 5, a) sera contigus,
et partant équivalente à(a, b, c); mais comme Dbheedcecn, 24+.
on a= 2— 25, et la forme(22— 26, 2— 5, 2) est
ambigus;—(ar5.„e)s sera aussi proprement awivalente à son opposée..
On juge Hicilement par 1 si deux formes réduites(a, 5, c), (aν 5, G) non opposées, peuvent être improprement équivalentes. En effet, elles le seront, si(a, b,) et(2,— F,) qui ne sont pas identiques, sont proprement Squivalentes sinon elles ne le seront pas. Il suit de là que les formes proposées, pour être improprement équiva- lentes, doivent ètre identiques, et en outre ambiguss„ou telles
du on
4 114

ideni uche hntr
ne soient oppcsee 1od=t.!
ormes sont propxs- sont impropremeri t aussi propremert
9 4
—5,— 5, 6
t equiralente 4
quites(a„, 9), t eqpviral lentes ) qui n ge Sot 3 les ne le geront pas
—

ARTTHMETIOUFRs. 165 qu'on ait ς G. Mais les formes qui ne sont ni identiques, ni apposées, ne Peuvent être équivalentes ni proprement ni impro- prement.
173. PROBTL EME. Etant données deuæ formes F er* F“ de méme b determinant ncgatif, chercher si elles Sont aquibalentés..—* A Cherchons deux formes réduites fet ſ proprement équivalentes X aux formes E, F respectivement. Si les formes f, f sont équiva- lentes proprement ou improprement, ou des deux manières, F I et le seront aussi; mais si et f'ne sont équivalentes d'aucune manière, F et F ne le seront pas non plus. b 1
Par le n* précédent„ il peut arriver quatre cas: 1e
re. Si fet f' ne sont ni identiques ni opposées, Fet E' ne seront 3 équivalentes d'aucune manière.——
9
25. Si f et.f sont d'abord identiques ou opposées, et ensuite* ambigués, ou telles que leurs termes extrèmes soient égaux, F. 2 et E seront équivalentes proprement et improprement. IIEIE
30. Si et sont identiques, mais qu'elles ne soient pas am- 9, 2 bigués, ou qu'elles n'aient pas leurs termes extrèmes égaux, F. et ne seront que proprement équivalentes.. 4*. Si. f et f sont opposées, mais qu'elles ne soient point am. bigués, ou qu'elles n'aient point leurs termes extrémes égaux, les 4 formes F'et F'seront seulement improprement équivalentes. W Eaemple. On trouve pour les formes(41, 35. 30),(7, 18, 47) b 4.) dont le déterminant est— 5, les réduites(1, O, 5),(2, 1, 3) qui leur sont respectivement équivalentes; donc les formes pro-*9 2 posées ne sont équivalentes en aucune manière. Mais les formes (23, 38, 65),(15, 20, 277) ont la mème réduite(2, 1, 3), et eomme elle est en meême temps ambigu, les formes proposées seront équivalentes proprement et improprement. Les formes (37, 53, 78),(53, 73, 102) ont pour réduites(9, 2, 9) et (9,— 2, 9); comme elles sont opposées et que leurs termes extrémes sont égaux, les formes proposées sont équivalentes tant proprement qu'improprementtt. 3 o) 8 9.) 174. Le nombre des formes réduites qui ont un déterminant
donné= D, est toujonrs fini, et même assez petit par rapport au nombre D, et il y a deux manières de trouver ces formes

—õ—ö
REeHERCHE ment par(, L, c) les formesiν D, ils'àgit de déterminer tontes
146 b eHles⸗=miermés; désignons indéfini Juites domt Ie détermninant ést— les valeurs de, b et c.
2 4 Préemière Mathode. On prendra Pour A tous lès nombres fant 9 ₰ positifs que Hégatifs qui ne sont pas plus grands que VD, et hᷣat† 2, dont D est résidu quadratique; et pour chaque valeur de æ, „„ 2 on prendra Besuccessivement égal-à toutes les valeurs de l'expres- a ion F= D(mod. a ui ne sont pas zz en les prenant tant — d. ν qui n pas a p
1—2 positivément que négativement. Quant à, on le fera— A. —— S'il résulte de. là quelques formes dans lesquelles c=a, elles C=&◻☛☚☛ geront à rejeter, et les autres seront évidemment des formèes réduites. 4³ Ma Heucxième Méethode. Soient pris pour 5 tous les nombres positifs ou
. 2 4 5 4—— 5 1 4 1 1— 2„ négatifs qui ne surpassent pasp 5; pour chaque valeur de 5, on 6 2. décomposera 5+. D de toutes les manières possibles; en deux . facteurs pris positivement ou négativement„et non plus petits
7 4 ¹ 3* 5. 4— 1 3 ⸗ 8 3 62 ſa⁴ a qque 25, en prenant pun des deux, le plus petit s'ils sont inégaux, „pour la valeur de α, et Pautre pour la valeiur de c. S'il en résulte
νπσε ,. Loa n e nt 5 4. quelques formes dans lesquelles a— 2/3. elles seront à re-
. jeter; les autres seront visiblement des formes réduites. Il est
4
2½ ₰% 6 d'ailleurs évident qu'il n'y a pas une forme réduite qui ne puisse 4ℳ☛44 se trouver par chacune des deux méthodes.— 3 e Lenple. Soit de, Par I première méthode, la limite 6= f 85 des valeurs de a est ³½° qui tombe entre io0 et 11. Or les nombres compris entre 1 et 10, et dont le résidu est 85, sont:
1, 2, 5, 10, d'ou résultent les douze formes suivantes: b 61,0785),(es 1,0,— 85);(2, 1, 43),(2,— r, 4³),(= 2, 45) (— 2, 8* 1,— 4);(5, o, 17),(— 5, 0,— 17)5(10, 5, 1109⸗
(403— 5, 1r),(ſ— 10, 5,— 11),(ſ— 105— 55— 11). 3 Par la seconde méthode, la limite des valeurs de P est/ qui tombe entre 5 et 6. En supposant 5= o, on trouve les formes: 11 o. 33)7,(1,4,= 2), 2, dn,h 54 35 A7)y; Pour — Leaes a häle dhe depfs aehe⸗eiheſabn etae soit non= 4. La même cRosè a ei lieu pdur B et 4.

8
— b, 0) Müi t de deterfnee te
tous es ruͤles grands que mn. rchaque Faleur, es valeuss de len un , en les Preuant e
9, on le ta 2” lesquelles c4 ⁸ ent des formes mWili
M
s les nombtes poölü chaque valeur del- res possibles, G in nt, et non puset eetit»'ils sont inign, dur de c. S'lenne 9 2„elles sercn- * réduites-5 2 réduite qui neyl- . b re moihode, kii ntre 10 et 11. 0
2 g résidu est, 9 1es suivantes:
— 3) K5aedn 10, 9)
— 17);(10,
-5,— n).
AKIEDMMM NME 147 Eöfin, Pour Be&£5, il vient(10, 4 5, 11),(ſ— 10☛☚ 6,—= 1r).
175. Si Parmi toutes les formes déduites d'un déterminant donné, on supprime une des deux qui sans être identiques sont proprement——, équivalentes„celles qui resteront jouiront de cette propriêtèé remar- u, quable, qu'une forme quelconque de mèême déterminant sera pro-9 er it prement équivalente à quelqu'une d'entre elles, et à une seulen. car, sans cela, il resterait encore des formes éduites proprement J2 be. Ta4 24 équivalentes entre elles. D'où il suit que foutes les fornes de 26 Daes. méme déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu'il P73 2-e, sera resté de Formés réduites, en comprenant dans la même classe 0 2 les formes qui sont proprement équivalentes à- la même réduite.
Ainsi, pour D= 85, il reste les huit formes réduites,
(1, o, 85),(2, 1, 43),(5, 9, 17),(10, 5, 11),
(ß— 1, 0,— 85),(— 2, 1,— 45),(—5, 9,— 17),(— 10, 5,— 11). Donc toutes les formes dont le déterminant est—.85, peuvent se distribuer en huit classes, suivant qu' zelles sont proprement équi- valentes à la premjère„à la deuvième;, etc.; et il est clair que les formes d'une même classe sont proprement Squivalentes ‚tandis que deux formes prises dans deux elasses qifférentes sone sauraient dtre proprement 6quivalentes. Mais nous traiterons ciraprès, avec plus de détail, le sujet de la classification des formes; nous n'ajou- tons ici qu'une observation. Nous avons deja fait voir que si le déterminant de la forme(à, b, 9) est négatif, a et o sont de méême signe, et on s'assurera, Comme nous l'avons fait pour les formes réduites, que si(Ʒα, b, c),(a, B,) sont deux formes Squi- valentes, a,, c, o seront de mème signe(4). II suit de là que les formes dont les termes extrèmes sont positifs, sont absolument distinctes de celles dont les termes extrémes sont négatifs, et⸗ qu'll suffit dans les formes réduites, de considérer celles qui ont leurs Terhds extréèmes Positits⸗„car les autres sont en. méme nombre, et
— Ee
6* En effet- si lo on nchange la première de ces formesee en l reonds. 1. par la uh. stitution „— dane P,„ on aura †† 2,. a. ncpe où α* aea3) ge de pradgite est donc évidemment positif, et comme ni a ni a ne sont nuls„ 11 faut„que tous deux soient de même signe.
2

— ——— —-—— — 2“
——
—
— —=
—
—
—
—éterminans négatifs, les formes
——. ——õ—
——
—
—
—
———
—
3 3 1 8 1 * 3 8
“
——— —
4 ¹ 4 4 4 1 1 8 1
148 RECHERCHESA
elles naissent des premières; en changeant les signes des tenmes extrémes. La mèême chose alieu pour les formes réduites: à rejeter
et à retenir. b 176. Voici en conséquenee une table qui contient; pour quelques suivant lesquelles toutes celles du meme déterminant peuvent se distribuer en- classes; mais, suivant r la remarque du n précédent, nouson zen avons mis que la moitié, r eest-A dire colles dont les termes extfêmes sont positifs.
Determ. e.(1, 0. 1)- 2.(1, o, 2).
3.(r. 0, 5), 75.; 2).
(1, 0, 4),(2, 0, 2).
(1,5, 5)(2, 1. 3).
.(1, o, 6),(2, 0, 3).
.(1, o, 7),(2, 1, 4).
(1, o, 8),(2, o, 4),(3, 1, 3).
(1, 0, 9),(2, 1, 5)5(8, 0, 3).
(1;, o, 10),(2, 0, 5).
(1, 0, 11),(2, 1, 6),(3, 1, 4), 6,— 4).
(1, 0, 12),(2, 0, 6),(3, 0, 4);(4, 2, 49.
11 gexatt superflu de continuer plus loin cette table, padsge nous donnerons plus bas une bien meilleure manière de la disposer.
41 résulte de cette table que toute forme dont le déterminant est— 1, équivaut proprement à la forme&+.‿„*, si les termes extréèmes sont positifs, et à la forme—.—, s'ils sont nęga- tifs gueltoute forme dont le déterminant est— 2, et dont les termes extrémes sont positifs, équivaut à la forme a+‿ε 2*¼, Gtp.; que teute forme dont le déterminant est— 11, et dont les termes extrèmes sont positifs, équivaut à bune des quatre: a-+,
ax xy † G6y, Zae †& 2ry † 4, 3x— 2+‿ A, etc. 177. PROBLkME. Etant donncée une suite de formes lelle que chacune soit contigué d celle qui la precede var la dernière partie,
troubverune trangormation Propre 46 5 Erenaie,e, en dnede Jooue dle la suile.
& G X△ r
6
10.. 11.. 12⁷*
³

s signes 3es, A Ehuis 45
tient, pour dhelque elles toutes celles u asses; mais, zuin 3 mis que k volti
ont Dositils
,(3,— 1, 9. „(4, ²,4).
table, puisque wii ere de la dispoöer Jont le détermirm. +,§ les ters
, s'ils sont regr t— a, et dant orme**+† 2 i
et dont les ferge fuatr:+†‿
+*9“ ete. de formes l lelle e r la derniere parll
Len une queltunse
7 5 6 6 — „ . ℳ4/ 4 3. 4 4 2 * 9 9 8 2 1 44. 2 4 A 4/ „ 8 9„ 8* A7 . .„ 5 / /— 4 4 45 6 ‿; 4 1 8 1 972 /
2⸗ /4£
AN
„ 6
A 4
4 A
4

————————— 3— 8—— ͤͤͤͤͤͤäüäüä 1 — 8—————
—
— —— —ÿ
=— — ———
———————QOQ—⏑—ů

₰
AITHMETYIGVrs. 149 Soient les formes(a, 5, a)= F,(a, b, a)= F',(a!, 5', ar)= F'y, 22, b2, a)=E zetc. aisons—==h', etc. (E.9, arh=eF wete.Faisons-hi e= n, e.= n,.r.e
nommons, y).r,.. a,, ete. les indéterminsées des formes F, F, F', etc. et supposons que F se change
en EF par la substitution= A„ F=S pf f1eesr e=... e M ere ae afe ſay. zv=„„er. T 3 M. æ= a ‿‿ePt„= p Jy.
Cela posé, comme F se change en H' en faisant æ— et
= hih, E en F en faisant Mteeu. C= a hf, E
en f en faisant—,“ et= a*† J*, eics on trouvera
faeilerent les équations suivantes: f1n b 3
—6 8 r 4⸗„— 1 i„—
a e,.V 8“= n, a„=.... 2=n
A K H9=n e ar„=TS.. 4*— 4—
e.. rranhu ar.„ e... 3= e 3.=„
elte. ete. eetc. etc. d'où l'on tire 1tne
7
=e== A.= I
2 e....- rA G 7=JJe=I: An..... e=hns= Cr 2=r=p Je
—. B=h 8..„1I... Taraeehi 2—4
etc. etc. hnekc.x. etc.
il suit du ne 159, et de la Formation de ces quantités, que les différentes transformations sont propres.
Cet algorithme trés simple ‚et auquel on applique facilement le calcul, est analogue: à celui du n⸗ 27 6 auquel méme il
—
10 On aurait, d'après la notation du ne 27, S 2 900= X L— E, za,— h, 262. k0,
où les signes ambigus doivent etre—,—;—,+;+,—;+,*.. suiram que n
est de la Fornle 4K, 4K+ 1, AX+ 2, AK+ 3,
A Gu) Sree e. N,= PI, He..... M01,
ouù les signes, dans les mêmes cas, doivent etre+,—;+,+;.—,—;—,„.
Mais le desir d'abréger nous empéche d'insister dafantage sur ces kormules, qu'au reste chacun Pourra donſirier⸗ aiséement..

———-—---A-———
— ÿͤ
150 RECHERCHES est facile de le ramener. Au reste, cette solution n'est pas res- de déterminant négatif; elle convient à
treinte au cas des formes Atitz eb 4 8 M«0 tous les cas, pourvu qu'aucun des nombres a, a etc. ne soit
égal à z6ro.
178. PROBLEME. Etant donnees deuæ formes F et f de méme dæterminant négatif et proprement eguinalentes, Iouber Lne transformation proprée de L'une en l'allre.....
Supposons que F soit la forme(A, B, 4/); par la méthode du ne 171, on cherchera la suite des formes(AL/, B'’, 4“), (Aℳ, B'’, A“), etc. jusqu'à la réduite(A9, B90, Arr). Soit (, b,*) Pautre forme †; on cherchera de méme la suite(a, h.,.), (2*, 5', a*ν), etc. jusqu'à(2ν,500, a20ν0), qui est la réduite. Alors il peut se présenter deux cas: b
1⁰. 8i les formes(A0, Bn, Ao* n),(40ο, 500, a0**£ν) sont iden- tiques, ou à- la-fois opposées et ambigués, les formes (Ao‿, BOn=, A*)„(4d, 5“—v, as*) seront contigués, Aon‿» désignant l'avant-dernier terme de la suite A,, ℳ', etc.(il en est de mème de B, a0", 9 0); car A= a00, BO B S= o(mod. An), 50 X 56= o(mod. aνν⸗ A), T'c= B0= 5o †f B0é— M= 0; mais si les formes réduites sont identiques, B— bäü 0; si elles sont opposées et ambigués, G 56= AG; donc dans les deux cas B0=”— b= o. II
suit de là que dans la suite de formes:.233 (4, B, f),(A, B, A).(A0, BG=O, AG0),(4⁷,— b049, a0e 9), (2ν+,— 5 e, a0-e).(,— b, a),(a, 5, 4). 1
Une quelconque est contigué à celle qui la précède, et parconséquent (n* précéd.) on pourra trouver une transformation proprè de F en.j.
25. Si les formes(Aο, B6n, An),(400, 500, a0*0) n'étant pas identiques, sont opposées et que leurs termes extréèmes soient
8
égaux„on aura A)= An-A)= 200=aoo, d'où A+ J=. et B— b=—(b00+ 5), et partant divisible para; donc la forme(A0ò, B*, Awrr) est contiguò à la forme(aν,— 5*—, 2*ν+), et la suite: 1 l. 2 tf z9l enSD, Sotfe“ 251 10 (4, 5,),(, B, A).(ACny, B00, A*),(auo,— he⸗=h, ale-, (a6,— b00, 20n))....(G,— b, 2),(x, 5,) st

1)s Par ne iman(f, B, 4 9„ BE, 4in
ne lazits ſc, 4 i est la rgädi rit g
2 9, alei, 70.
dg, forxs
ant contiguds,4 45-
9); car 0²t, 20(mod. 200 4* 1 les fonmes FWabi 44 postes et d9 9621,— berizal
dde, egaremse ion mops defe eFa
6 3:rHa mes SfrEIIE N- u b
—
0)
9 ℳ 4
3— 6
Rtiler
ARITHMETIOUES. 151 jonit de la mèême propriété que la précédente. On pourra donc trouver une transformation propre de F en J.
Exemple. Soient les deur formes(25, 38, 63),(15, 20, M On tronvera
— urſla 176..(23, 38, 63),(63, 25, 10),(10, 5, 5), 6,5)(2,—, 3) Pon la 26.„(15, 20, 27),(27⸗„ 7, 2)(2, 1, 5).
Lies deux réduites sont opposées et ambiguẽs; les deux formes proposées se rapportent parconséquent au premier cas. La suite de formes contiguës sera donc
(25, 28, 63),(63, 25, 10),(10, 5, 3),(3, 1, 2) (2,—), 27),(27,— 20, 15),(15, 20, 27).
Il en résulte Ie Sse, 1 Eees 3, 5= 2, hir=— 3, hr=— 1, h= o, d'où l'on déduit&=— 13, 1==— 18,„= 8, T= Ir. Donc en faisant=— 13t— 18u et= 81 11, 8 forme 23*+ ſ6, 65„ se change en 151*+ A0tu+ 271.
De la solution du problème précédent on déduit facilement la solu-
tion de celui-ci: F et fætant deua formes improprement cquivalentes, trouvwer une transformation impropre de F en f. Soit en effet 15 au=+‿ 2 b:u a u², la forme g=ap' 2bpg a9o, qui est op- posée à sera proprement équivalente à F. On n'a done qu'à cher- cher une transformation propre de F en g; soit ap+. Sg, „= yp+. o9 cette transformation; il est clair(uo* 158 et 159) que F deviendra par la transformation æ= at— Bu,= t— Ju, qui sera impropre.
Si donc les formes F, sont équivalentes tant proprement qu improprement„on pourra trouver une transformation propre et une transformation impropre.
179. PROBLEME. Erant donnces deuæ formes aᷣquivalentes F, f, trouver toutes les transformalions de F en f.
Si les formes F et/ ne sont équivalentes que d'une manière, c'est-à-dire, proprement ou improprement, on cherchera par le ne précédent une transformation de E en J, et il est clair qu'il ne peut y en avoir d'autr es que celles qui sont semblables

152 RECHERCHES à celle-là. Si les formes F, f sont équivalentes des deux ma- nidères, on cherchera deux transformations, l'une propre, l'autre impropre. Soit F=(A, B, O0), B=— AC=— D et m le plus grand commun diviseur des nombres A, 28, C. Alors, par le
7
n⸗ 162 il est constant que toutes les transformations de F en f† se déduiront d'une seule dans le premier cas, et que dans le second toutes les transformations propres se déduiront d'une transfor- mation propre, et toutes les transformations impropres, d'une transformation impropre, pourvu qu'on ait toutes les solutions de l'équation 1* ‿μ‿ ιιe m“. Dès qu'elles seront trouvées, le pro- blème sera résolu. b
Or comme on a D= AC— B“, il s'ensuit que 4D= A— 45⸗,
5X ² 0⁹. u 42 440—(⸗); donc 42 est un nombre entier. Cela posé, m*² mM. 71T 771
1⁰. Si 45„ 4, on aura Dem, et partant, dans l'équation
„ Duâ= m⸗, on a nécessairement ue o et 1=m. Donc si F et f ne sont équivalentes que d'une manière, et qu'on ait une transformation= a+‿‿= A), on n'en trouvera pas d'autres que celle-là même qui résulte de la supposition 1= m (n“ 162), et la transformation æ‿=— aα,=—„- T„; mais si F et f sont équivalentes des deux manidères, et qu'on ait une transformation propre= α+‿ SBE,= a ‿‿qhdO, et une impropre ˙= au‿ς= aJſ, on n'en trouvera pas d'autres que ces deux, qui naissent de la supposition t⁵= m, et les deux ‿æ— aa—,=—=p— Tg,== aa— G y=—„a*— I„, que fournit la valeur t=— m.
45„ 2. 81 45,4 ou D=m“, l'équation ‿μμ uνs ms admettra quatre
solutions: I=m, à= Öo; 1=—m, u= 0; 1= o, 4= 1; 1= 0, =— 1. Donc si F,/ sont équivalentes d'une seule manière, —.— et qu'on ait la transformation ασσ‿α ¶z[zéẽᷣJs AIpf, on
en tirera en tout les quatre suivantes:
—„„ an TyO, 6 †.9, T— ak-¼, v= Æ r e„
= X³ æe¶ͥↄx/ v e),
N
mais

ds impropres, tu toutes les zolni
Dkes les soluticnse t troupées, le n
„ 54 ue 40= 440- 84—] 10 1
9,
re entier, Celg
ant, dans lequaiin
Dored ere, et qu'on aitm on n'en trourera m a supposition 1=n N V.)= manidres, et qpdu 1 AAA J= T „ on n'en troun a supposition f=n 7 9)
t n
—
=m' admetträ quafr
—o, u= 1) 151 une seule maniet,
„1 UI „J,
—),
1 4 44+2 9 —
T)
—
2 2 A ——— 2 ₰,
„ ———B—;—Bℳ—Bℳ—Bℳ—ℳ—;—ℳ—ℳ——11— ———————————————„
.— 3 2. Fhe hr ₰‿ 8 e ,?, 2„ 2, 6,

5
ͤͤͤͤ“
—— ————— —
——
——
—— ——
2——

ARITHMETIOUES. 155 mais si F et f sont équivalentes des deux manidères, c'est-à-dire si, outre la transformation donnée, il y en a encore une qui soit dissemblable, cette dernière en fournira encore quatre, desorte qu'il y aura huit transformations. Au reste il est aisé de démon- trer que si D=me, EF et) sont toujours équivalentes des deux manières. En effet, comme on a alors m= AC— B⸗, B lui-
même dr divisible par m, et si l'on considère 1 forme A B
—,—), son déterminant sera— 1, et partant elle sera 6qui- m. m. 4
valente a à l'une des formes(1, o, 1),(— 1, o,— 1). Or on voit facilement que la même transformation qui change(2, ½ 3 24 en
(. 1, o,*.1), changera la forme(A, B, O) en(-km, o, m), qui est ambigué; donc la forme(A, B, C) étant quivalente à une forme ambigué, sera équivalente des deux manières, à la forme(a, 5, c)(nos 163 et suiv.).
D 30. Si 423 ou 40= 3m', m sera nécessairement pair, et
comme dans l'équation 1‿ρ‿ Du e ma, il faut que u* 4 4„on aura six solutions: t= m, u= o; 1=— m, u= o; t=Im, u= I;; t= zm, 1=— 1; 1=— zm, u= 1; 1=— m, u=— 1. Si donc on connait deux transformations dissemblables,
æ= ar+ 2,„ F= ᷣ+‿ Jf;
æ= A‿‿ æC= E+ on en déduira douze autres; savoir, six semblables à la première, et qui sont:= ar Xꝑ,=„£σ
=(1e 24 t2O)-(e16— te)y)
(r)e( te)y,
e(l⸗ 8 2d)⸗(6 6+ E2C 55
„(e4r4)=:O(eEüri), etsixsemblables à laseconde, qu'on obtiendra en wettanfAane celles-
ci a, 8,), pour,,,*. Mais on peut faire voir que dans ce cas F etJ sont équivalentes des deux manières; car la forme
24 22 24——z pbur déterminant, et u 77 7 aura.——— Pouf erminan 2 6 sera Par-
V

ä
154 RECHERCHES conséquent équivalente à la forme(-.᷑ 1, o,* 3) ou à celle- ci (k 2,n„£☛ 2)(n1 76), d'où v'on voit facilement que la forme(A, B, C)
m 3m 1 équivant à l'une des formes(— 2 0,—„(km,& Im, m),
qui sont toutes deux ambigués. Donc, etc. 2.
4o. Si 49=2 on a(2n= 4 46— 2, et partant(rn)—— 2 (mod. 4). Mais comme aucun quarré ne peut être=— 2(mod. 4) (n* 103), cette hypothèse est inadmissible.
5. Si 402, on a(n 4 u2 est impossible; donc cette hypothèse est encore inadmissible.
Comme d'ailleurs D ne peut être ni= o, ni Zo, il n'y a pas d'autres cas que ceux que nous venons de parcourir.
180. PROBLkME. Trouver toutes les representations d'un nombre donné M par la forme ax+‿ 2bxy ̃cy F, dont le déter- minant est negatif, les valeurs de x et de y clant premieres entre elles.
On a vu(ne 154) que l'on ne pouvait résoudre ce problème que dans le cas oùð— D est résidu quadratique de M; on cherchera donce d'abord toutes les valeurs différentes, c'est-à-dire, in- congrues de l'expression- D(mod. M); soient ces valeurs N, N’,£ N’, etc. Pour rendre le calcul plus simple, on peut prendre toutes ces valeurs telles qu'elles ne soient pas= 2 M.
Cela posé, comme une queleonque de ces représentations appartient à quelqu'une de cesvaleurs, nous considérerons chacune en particulier.
.„ 72 Si les formes E,(A„N.) ne sont pas proprement équi-
— 1=—1(mod. 4), ce qui
valentes, il n'y aura aucune représentation de M qui appartienne 21 3. à la valeur N(ne 168); mais si elles le sont, on n'a qu'à cher-
cher une transformation propre de F en(2I„ N,„ qui
soit= aa † By,=o J, et l'on aura x a, y= pour la représentation du nombre M par la forme F, qui appartieut
à la valenr N. Soit m le plus grand diviseur commun des nombres A, 28, C, et nous pourrons distinguer trois cas:
11. 81 4222. 4, l n. 3 .. 4, il n'“y aura pas d'autres représentations que ces
deux-ci: x— a, y y; †—— a, v=—,(uos 169, 180).

—(modl. 9, ce
ncore inadmisäbte
de parcourir,
entations dunwnh ...F, dont x dv- de y ctam prenitm
ondre ce problemem de R; on chexchen 8, G'est-B-dir, ; soient ces racm alcul plus simpte, u s ne soient pas) I zentalions apparieni chacuneen partieuie
t pas propremeri dai le M qui appan feen
5 on n'a qp de D4N M, 4„A),“
7 ura 2= 4,] 2 6 commun des raghe ois cas:
zans Glebe eeprésentafions
(uos 169, 180)
ARITHMETIOUES. 155 o,. Si L 4, ily aura quatre représentations:.᷑Qe,=); H 49AC 42. . 22
34. S1. 455 ‚ il y aura six représentations::
1=e,„=— See
———+ m 2 =‿2+ 2e=— a2A,B 22 2
On cherchera de la même manisèreles représentations que donnent les valeurs— N,+ N,— N, etc. r) am C b
181. La recherche des représentations au„oumbre 1 par la forme F,—dans laquelle x et ont des valeurs quelconques, peut se ramener au premier cas. Supposons que cette représentation ait lieu en faisant x=e,= uf, ensorte que soit le plus grand diviseur commun des nombres e, u, ou que e et soient pre- miers entre eux; on aura M=a(Aa+ 25/+ 9f.)„ et Lrcehet quent M est divisible Par ν et la substitution 4 J our-
M. nira une représentation du nombre 5 par la forme F., dans la-
quelle xety ont des raleurspremitrese entre elles. Si done M n'est di- visible par aucun quarré, il ny aura pas de telles représentations; 3 mais s il renferme des diviseurs quarréès, que Hous appellerons 4, 72, xr, etc; On cherchiera d'abord toutes les roprésentations du
nombre 2. par la forme(,„, 0), dans lésquell es les Jaleurg
de x, y sont premières entre elles; ces valeurs multipliges par 5 donneront toutes les représentations de M, dans lesquelles est le plus grand commun diviseur de rlet del F; de la) mème ma- nière on trouvera toutes les représentations dans estidokosh v est le plus grand eominun diviseur de et de g etc. SinEtt San-
On peut donc, par les méthodes- que- nons véHoHs d'exposer, troupor toutes les représentations d'un nomibre donné,. pal uns
korm donnée de déterminant négatif. A n 35 1 † 102
183. Descendous maintenant 2 quelques cas particuliers remar- quabjes autant à Gause de' leur Glégance, que par T'assiduité aveo
laquelle Euler s'en est occupé. 2

156 RECHERCHES
16. Aucun nombre, à moins que son résidu quadratique ne soit — 1, ne peut éêtre représenté par la forme+☚, dans laquelle — et y sont premiers entre eux, oOu sont décomposables en geux nombres quarrés premiers entre eux; mais tous les nombres qui jouiront de cette propriété pourront se décomposer en deux quarrés. Soit M un de ces nombres, et£ N,£ N“ ₰ N’, etc. jes valeurs de l'expression— 1(mod. M); alors par le n' 176
la forme(A„ NV, A) sera proprement équivalente à la forme
M (1, o, 1); soit æ= 2aa- By, C= p‿ν une transformation propre de la forme(1„O, 1) en la forme(I, N,—9); on nombre M par la forme a.(2.— n*180).
aura les quatre représentations suivantes du nom *+νo*2, savoir,= Æᷓa,y= y; X= y,= Comme la forme(1, o, 1) est ambiguêë, il est évident que la
7² forme(I„— N,.*) lui est aussi proprement équivalente,
M et que la première se change en la seconde par la transforma- tion propre=alν— 8, y=—„+‿ T, d'où naissent quatre représentations de M appartenantes à— V,=a, y=+; A= R y, y=. a. Il suit de là qu'il y a huit représentations du nombre M, dont quatre appartiennent à la valeur N, et quatre Ala valeur— N. Mais toutes ces représentations donnent la même décomposition du nombre M en deux quarrés, M=*+.)“, tant
qu'on ne considère que les quarrèés, et non l'ordre et les signes
des racines.
Si donc il n'y a pas d'autres valeurs que Net— N pour l'expres- sion— 1(mod. M), ce qui arrive, par exemple, toutes les fois que M est un nombre premier, M ne pourra être décomposé que d'une manière en deux quarrés. Or comme— 1 est résidu de tous les nombres premiers de la forme 4n α. 10(n“ 108), et qu'un nombre premier ne peut évidemment se partager en deux quarrés non premiers entre eux, nous aurons le théorème suivant. b
NVout nombre premier de la forme An 1 Peut etre decomposé oe GeuselGaaayne, et ne peut l'etre que d'une seule maniRére. insi: 111321B E 1

. 2= e— m ee g. he. e,„? e fe‿ꝑcf t
2 SM⸗ e u eer s A n, r,e. ' Gans laa,„Ae oreeue ee, dch ui 2 ,, 72 n décompeslle, 4.-- Ee aef⸗ 7 en e ais ,— f, e, üs tous les nonbe— v’ usf.— Ad K. h eda
ui 48 A=—, u m 22 ivalente à 4 4 1„ 2
274 une transformaiin Dige
35*. N 88 8 3 cf⸗th laeh
21)) p„ ⸗ zt en,-/····Q·—. 1. 2.— — 5 n ee Ke- Vczken= 4 e
—
nbre M par a l bra„ E
est Svident oue Gen A fere. 4-— 2 eep— A-
„ 2. 4—— ement équiralentt, e e Qarre er Heneeenn e Be e
par Ia transforme-„ Tee deo Ane 2.7. ,2 r, J, f,,, ,,, d'ou naissent quatr He onmt Ae, 2 k 5. euf, e S,e. huit représentayion A2 veuaed AE A„ 1 L2 sſ g2ι ,u,— ne, Ar e2 raleur NS dum Or md eed ve 7 Aæ ue Daeeuee, aeeefed eet 1 as donnent la Med- 5— h 2„
1/—*. 3 ant F. 9—— ₰. M= aA+ A ſ. ‿tu᷑ee, r 4 A. ff ieeden I kae
Pordre et les 3ete ee
S— u An.—.. ⸗ Ae e en 1— Vppurlag aw, der 3,, Dd,,,, eu— mge, wuſes 6 AA ‿eur vrefee
aure décomppss Sä 1 est résidu Ge i 1 4 3), etg qwun ranhn b deux quares a
suivant..

—

ARITHMETIOUES. 157 1= 0Oo 1, 5= 1+. 4, 13= 4+ 9, 17= 1+ 16, 29= 4+ 25, 37= 1+ 56, 41= 16+ 25, 553= 4+ 49, 61= 25+ 56, 751= 9+ 64, 89= 25+ 64, 97= 16+ 81,
etc.
Ce théorème élégant a été donné par Fermat, mais Euler est le premier qui l'ait démontré, Comm. nov. Petr. T. v. ann. 1754 et 1755. p. 3. Dans le T. IE, il existe une dissertation sur le même sujet, p. 8; mais alors il n'était pas parvenu à son but.
Si donc un nombre de la forme 4+y ne peut pas ôtre dé- composé en deux quarrés, ou peut l'être de plusieurs manieres, on sera sr que ce n'est pas un nombre premier.
Mais réciproquement, si Lexpression— 1(mod. M) a encore d'autres valeurs que Net— N, il y aura d'autres représentations de M. Ainsi, dans ce cas, M peut se décomposer en deux quarrés de plusieurs manières; par exemple: 65= 1+ 64= 16+ 49,„ 221= 25+ 196= 100+ 121.
Les autres représentations dans lesquelles æ et y prennent des valeurs non premières entre elles, se trouvent facilement par notre méthode. Observons seulement que si le nombre M renferme des facteurs de la forme 4+ 3, dont on ne puisse pas le délivrer en le divisant par un quarré, ce qui arrivera toutes les fois que le nombre M renfermera des puissances impaires de ces facteurs, il ne pourra en aucune manière èêtre décomposé en deux quarrés G0.
() Soit le nombre M 28 8 92 etc., ensorte que a, 5, c, etc. soient des facteurs premiers inégaux de la forme 4+ 1, et§ le produit de tous les facteurs premiers de la forme 4n+. 3; cette forme donnée au nombre M convient dans tous les cas; pour Mi impair, il sufſit de faire ½⸗‿,; si M ne renferme au- cun facteur de la forme An+ 3, on fera§= 1: si S n'est pas un quarrè 1 M ne pourra en aucune manière èétre décomposé en demt quarréès; mais si& est un quarréè, il y aura ¼(a⁴+ς ¹)(6+ ¹)(*+ 1), etc. décompositions de M, lorsque quelqu'un des nombres, 6,), etc. sont impairs, et il y en aura(41)(6+ 1) (+O 1), etc.+† ½, quand tous les nombres ⁊,,), etc. seront pairs, tant qu'on ne fait attention qu'aux quarrès eux-méêmes. Ceux qui ont quelque habitude du calcul des combinaisons, déduiront sans peine de notre théorie générale la dé-
monstration de ce Ihéoréme ‚ auquel nous ne pouvons nous arréèter, non plus qu'à d'autres Particuliers.(Voye⸗ n0 105).*
e

— ——
— —
—
158 RECHERCHES
2*. Pour qu'un nombre puisse éêtre représenté par la forme a+‿˖ 2, et étant premiers entre eux, il faut que ce nombre ait— 2 pourrésidu. Soit donc Mun nombre qui ait— 2 pour résidu, et soit N une valeur de V— 2(mod. M); alors(no 176) les formes
72„. (1, 0, 2),(A„N. 4 5. 2) seront proprement équivalentes. Sup-
posons que la premidre se change en la seconde par la transfor- mation propre= au+ By, y=* dJy“, on aura deux représentations= a, y= ᷑y du nombre M appartenantes aàla valeur N, et il n'y en aura pas d'autres(no 180— 1°.) D'ailleurs an voit, comme ci-dessus, que les représentations qui appartiennent à— N, sont= ̃£a, y=. y. Mais ces quatre représentations ne donnent qu'une seule décomposition du nombre M en un quarré et le double d'un quarré; et si l'expression— 2(mod. M) n'a pas d'autres valeurs que N et— N, il ny aura pas d'autre dé- composition. De là, à l'aide des propositions du no 116, on déduit facilement le théorème suivant:
Tout nombre premier de la forme 8n+. ou 8n+‿3, peuit étre dæcomposé en un quarré et le double d'un quarreé, et cela d'une seule maniere; ainst,
1= 1+ o,= 1+ 2, 11= 9+ 2, 17= 9+ 8, 19= 1 18, 41= 9 32, 43= 25+ 18, 59= 9+. 50, 67= 49+ 18, 73= 1+ 72, 83= 81+ 2, 89= 81+ 8, 9 25 yz, elod.. aft Aun SOd 3
Ce théorème, ainsi que plusieurs autres semblables, était connu de Fermat; mais Lagrange l'a démontré le premier(Suite des Regherohies A rithméetiques. Nous. Mam. de I'Ao. de Berlin, 1775, p. 323). Euler avait déjà trouvé beaucoup de choses qui appar- tenaient à ce sujet(pecimen de Lsu³ observalionlun in malhesz purd. Com. novu. Petr. T. V.); mais la démonstration com- plète lui a toujours échappé, p. 220. On peut voir aussi, 7. VII, la dissertation intitulée: Supplementum quorumdom theorema-
tum arithmeticorum. PDH..(14
17
33. Par la mème méthode on démontrera que tout nor abre dont
— 5 est résidu quad., peut être représenté par Ja forme ar 3*, ou par la forme 2xι ‿ 22&+ 2„S, de manispe que et= s05enit

zente dar 7
fa . ut quèce 1 alt—
n ouh Dour rzii *. wak relich (n 176) le* quivalentas 8
Ms bar k tranxi 1' On anra u 4„ Mh aut
r.)Dälh 5 qui appari jenael représentation, 39 re M en un quan — 2(mod. A) 9 ara pas d'autrea u n' 11b, ou ddädu
u In+. 3, peuj er arre, et cela dun-
2, 17= 9*
8, 59= grd
89= d1—,
plables, était en
premier(Luie t ſo. de Berlin, i v
choses qui èhi
alionum in nuhs
Lemonstration c- oir aussi, T. TEI
ARITHMETIOVUEsS. 159 premiers entre eux. Donc, comme— 5 est résidu de tous les nombres de la forme 5u+‿ 1(n“ 119), et qu'il n'y a que des nombres pairs qui peuvent être représentés par la forme 2aαι+‿ς 2& ◻+ 2„, on aura, comme plus haut, le théorème suivant:
Tout nombre premier de la forme 3n+ 1, peuitt se dabomposer en un quarré et le triple d'un quarré, et cela d'une seule maniere,
1= 1 o, 7= 4+ 3, 13= 1+ 12, 19= 16+ 3, 31= 4+ 27, 37= 25+ 12, 4= 16+ 27, 61= 49+. 12, 67= 64+ 3, 75= 25+ 48, etc.
Euler a donné le premier la démonstration de ce théorème dans le mémoire déjà cité(Conua. novu. T. vVIII.). Nous pour- rions continuer de la mème manière, et démontrer, par exemple, que tout nombre premier de la forme 2n+ 1, 20n+ 8, 20 v+ 7, 20n+.9(ceux dont— 5 est résidu) peuvent ôtre représentés par „une ou l'autre des formes ν+‿ 5Ʒÿ„ et 2*+ 2+†f 3„*; savoir, les nombres de la forme 2on+ 1, 207+. 9, par la première; ceur de la forme 2z+ 3, 2z n+ 7, par la seconde; tandis que les nombres doubles de ceux de la forme 2hn+ 1, 20 n+ seraient représentés par la forme 2+‿ 2a+ 3)0, et que les nombres doubles de ceux de la forme zon+ 3, 20 1+. 7, le seraient par la forme æ+‿ 5: mais chacun déduira facilement cette propo- sition, et une infinité d'autres particulières, tant de ce qui Prscodde que de ce que nous allons exposer.
Nous passerons donc aux formes de déterminant positif, et comme leur nature diffère quand le déterminant est quarré, et quand il ne l'est pas, nous commencerons par exclure ici le premier cas, que nous considérerons ensuite à part.
183. PROBLEME. Etant donnce une forme quelconque(a, b, a¹) dont le determinant soit un nombre D positif et non quarré, trouver une forme(A, B, C) qui lui soit proprement sgquivalente, et dans laguelle B soit positifet= O, et dans laquelle A, s'il est positif Ol.— A, si A cst ncgatif, soit compris entre D+ Bet vD— B.
Nous supposons que les deux conditions ne se trouvent pas réunies dans la forme proposée, autrement il serait inutile d'en chercher

RECHERCHES
une autre; et nous observerons qu'aucun des termes extrèmes ne peut Stre nul, car, sans cela, le déterminant serait un quarré(ne 171). Cela posé, soit 5=— 5(mod. a), et compris entre—VDO et VD Xa(en prenant le signe supérieur quand a¹ est positif, et le signe inférieur quand il est négatif); il est aisé de démontrer que l'opération est possible, par un raisonnement semblable à 3 2 672²— 0
celui du ne 3. Soit ensuite 2——, a' sera un nombre en- tier, parceque 5“—- D= 5—D=Z aa= a(mod. a*). Si aν‿.a on prendra encore 5bv==— VF(mod.), et compris entre VD et
. 5 ʃ²— D
* 9. 0 2
VDRaRâ*(suivant que a* sera positif ou négatif), et a* ̃—r:
160
si Pon a, a a, on prendra encore b=— 5(mod. ³*), et 6 4 5 ½— 0D 6 compris entre D et VD ‚ a¹, et al=——, etc. On conti- nuera ainsi jusqu'à ce que l'on parvienne à un terme awntn qui ne soit pas plus petit que le précédent aο, ce qui doit arriver nécessairement, car autrement une progression de nombres entiers ourrait décroitre à l'infini. Alors en faisant 4000 A, 500= B, 2= CO, la forme(A, B, C) satisfera à toutes les conditions. En effet: b 10. Puisque dans lasuite deformes(a, b,),(a˙, a),(a*,b', a*), etc. une quelconque est contigus à celle qui la précède; la dernière (A, B, C) sera proprement équivalente à la première.
20. Comme B est compris entre et D A, en prenant toujours le signe supérieur quand A est positif, et le signe infé- rieur quand il est négatif, il est clair que si Pon fait V,—- B= p et B—(VD A)= J, p et 9 seront des nombres positifs, quel que puisse être le signe de V DSA. Or on s'assurera aisé- ment que—‿£‿ 2pg+ 2pD= D+ A˙— B; or le premier membre est essentiellement positif, donc le second l'est aussi; et comme D= B⸗— A0, il s'ensuit que A— A0 o; mais A n'est pas plus grand que C, donc nécessairement A et C sont de signe contraire; donc aussi, puisque B== D+ AO, on a B-1D et B ZVD.
3⁰. Puisque DBa et que-— AC= D— Ba, on a 40 D
(abstraction faite du signe); et comme A est non— C, on a aussi

mes erttemes deme b
quarré( 1 b 2 pris ente 65:— 22 t aisé de bu 4 4 G, k, e„ nement enbhäh, 94& 7—„ 44₰ Seus Se9
9
en un uane Lar,n 1. Uch E mod.-.). K α/ A Ln!/ 52„h, e, 1 tt au o ompris— n D6 2A 2She
hh..—* lit), ete=S D z F Si, ue+ 2, 24.2.— — 5(mod.), 4. —¹⁰
——, etc. Ou cmm un terme ab gi ce qui doit arie n de nomdbres enties 40=4, 505) toutes les conditiom
„1, a)((.,5,) e orécède; la deruith a premieère. D= A, en hen
tif, et le Sigue jnle on fait t D- b⸗r es nombres präll ar on s'assurera 4 -F; or le rreni eecond l'est ausi
—A0o; mis

A. Sben e
-e ,, 5,p. Sr A H„h 22 L. 29, 1 a, 21 Je ₰
7 r. g) ,n ve ſerr EJM⸗ r
ef e 5 ’“„h“
2 e. ea ,, T.nn 2 7 A †=2
9. 2 r eeh 2₰ 2„ ₰ O„ ‿₰— 7 4.. Ceeee, 7„ 2 zeC-—7 2
79, 1, u Snn— rwy g2,rn
Kf, nT 2 2
— F — ,2 3 X8 7 4 ℳ , 8 A 4„, ℳ*

wüi dls ldg
ik

X d —* 1. * W 1 G. . 1*
VD TB et D— B.
différentes.
2“. Le nombre C pris positivement, est, ainsi que a,
ARITHMETIOUES. 161 aussi A VD; donc hD=A sera positif, et partant, B qui est compris entre et„Pᷣñꝰ= A. b 3
4“. Donc, à plus forte raison VD+BFR= Apo; et comme D— B A=— g, 0,.A sera compris entre les limites
Exemple. Soit la forme(67, 97, 140) dont le déterminant est 29; on trouvera la suite des formes:(67, 97, 140),(140,— 97, 67), (67,— 37, 20),(20,— 3,— 1),(— 1, 5, 4). La dernieère est la forme cherchée. b b
Nous appellerons formes reduites les formes(A, B, C), dans lesquelles A, pris positivement, est compris entre+ B et VD— B, B étant positif et= VD, et le déterminant D étant positif et non quarré. Ces formes réduites diffèrent un peu de celles dont le déterminant est négatif; mais à cause de leur grande analogie, nous n'avons pas voulu introduire des dénominations
—
184. Si l'on pouvait reconnaitre l'équivalence de deux formes réduites de déterminant positif, aussi facilement que nous l'avons fait pour celles de déterminant négatif(ne 172), on reconnattrait sans peine l'équivalence de deux formes quelconques de déterminant négatif: mais ici la chose est bien différente, et il peut arriver qu'un grand nombre de formes réduites soient équivalentes entre
elles. Ainsi, avant d'entreprendre cette recherche, il est néces-
saire d'examiner plus à fond la nature des formes réduites(de
déterminant positif non quarré, ce qu'on doit toujours sous-entendre dans ce que nous aurons à dire.
12. Si(, 5, c) est une forme réduite, a et o seront de signe contraire; car en nommant D le de terminant, on aura a8˙— D, et partant négatif, puisque 5 VD. b 2 n
compris
entre VO+ bet 2 D— b; car—6—Z 2—; donc, abstraction
D 52
„ 1.: D— b²— faite du Aene 2 6 dera compris entre võ S5 ä= VD— 5 et
X

———————
RECHERCHES
162 5, a) est aussi une forme réduite.
Zo. Il suit de là que(,
4'. a et e seront= 2; car chacun d'eux est= VD+ 5, et à plus forte raison= 2D.
5e. p est compris entre D et Dea(en prenant le signe supérieur lorsque a est positif, et le signe inférieur quand il est négatif). En effet, comme a est compris entre D+ 5 et VD— b, on aura a VD— kb, ou 5 VDRᷓa: d'ailleurs 5 ZyVD, donc b est compris entre VD et VD Ra. On démon- trerait absolument de la même manière que b est compris entre VD et VD RÆo(suivant que c est positif ou négatif).
6*. Pour toute forme réduite(a, b, c), on peut en trouvwer une cgalement réduite qui lui soit contigué par l'uné ou³ Uautre partie; mais on n'en pourra troubser qu'une.
Soit ‿. o, Uv=— b(mod.), et compris entre—D et
— VD ᷣaA,—2— la forme(a, 5, G) sera contigué par la dernière partie, à la forme(a, 5,); et il est clair que s'il existe une forme réduite contigné à la forme(a, 5, G) par la dernière partie, elle ne peut être autre que(, B, ⁵); il reste à faire voir que cette forme est effectivement réduite.
(A). Soit fait VD+ 5 a= p, e&᷑ a—(VD— 5b)=, D— b=r; il suit de la définition des formes réduites de(2“), que p, 9, r sont positifs; et si l'on fait encore P— VvCOD—[ a)=, VD— b/=Y, G et seront positifs, puisque b tombe entre V et D. a¹; soit enfin 5+‿ b= X£ ma', m sera entier. Or il est clair que+‿ 7= b+ b, d'ocù il suit que£ mal o, et partant m o, et m— 1 non—o; et comme on a encore r+ Re ma’= 20 ₰£☛ aν, d'ou l'on tire 20qꝑer+ oa.(m— 1), il s'ensuit que 5 est nécessairement positif, et comme= DO—= que bh/ VD.
(B). Or on a ma= VD+, d'ouù rrk(m— 1)a=
V Dνρὄdonc D+bkka!; d'ailleurs-ka— VD b),
done ³a— V; donc enfin ³a' est compris entre D+ 5 La forme(, F, G) est donc une forme réduite.
On démontrera de la méême manière, que si l'on fait a= a,
6 3 rn Ate

— Pa: däilen Pa. Oa dean,
ne 5 est comprä an
f ou négaiif).
0, on peut en truun
E par Pune au aun ne.
wompris entre D, ) sera contigrä a-
et il est clair w rme(a, 5, e) rl ne(³, F, c.); Unt ent réduite. —(v5-)⸗g ermes rédnites de*“ eV— r⁵ ne tombe entee zera entier. Ori que ℳ m.„, „ =TOE³ a- 3— t comme 9= D-
cka. mpris entfe 7D réduite.
ARITHMETIOVUES. 163
b b„ 5bg=— b(mod.*c), et compris entre V et po, a= 2 2 2,
(, 5,) sera une forme réduite. Il est manifeste d'ailleurs qu'elle est contigué par la preinière partie à la forme(æ, 5, o), et que nulle autre forme réduite ne peut jouir de la mème propriété.
Exemple. Soit la forme réduite(5, 11,— 14) dont le déter-
minant est 191, on trouvera les réduites(— 14, 3, 13)(— 22, 9, 5),
dont la première est contigus à(5, 11,— 14) par la dernière partie, et la seconde par la première partie.
7⁰. Si la forme réduite(, 5',) est contigus par la dernière par- tie à la forme(a, 5, o), la réduite(G, U, a⁵) sera contigué par la- Première partie à la réduite(c, 5, a); et si la réduite(, 5,) est contigué par la première partie à la réduite(a, 5, o), la ré- duite(c, 5,) sera contiguês par la dernière partie à la réduite (°, 5, æ). Or les formes(—’”4,”b,—%),(— a, b,— c),(—, b,— seront des réduites, et la seconde sera contigué à la première, la troisième à la seconde, par la dernière partie; ou bien, la première sera contigué à la seconde, la seconde à la troisième, par la première partie. Il en est de mème des formes(— G, Ö—), (M— c, b,— a),(—%,%,—.). Ces vérités sont si evidentes, qu'elles n'ont pas besoin d'explication.
185. Le nombre des formes réduites d'un déterminant donné D est toujours fini, et elles peuvent se trouver de deux manières. Représentons indéfiniment par(, b, c) toutes les formes réduites dont le déterminant est D, ensorte qu'il s'agisse de trouver toutes les valeurs de a, 5, c.
Premiere méthode. On prendra pour a tous les nombres plus petits que 2˙, soit positivement, soit négativement, dont D
est résidu quadratique; et pour chaque valeur de a, on fera 5
égal aux différentes valeurs de l'expression NO(mod.) comprises 5²— D entre VD et VD=*a, eto=
formes dans lesquelles X&ᷣa sorte des limites D+ b et— b, il faudra les rejeter.
. Sil en résulte quelques
Deuxæisme méthode. On prendra pour 5 tous les nombres positifs IV 5; pour chaque valeur de bH, on décomposera bh— D de 6 4 3 2
4* * Ne, xezugeur ** 8 4— 4 e 8

——
4 RECHERCHES toutes les manières possibles en deux facteurs qui soient compris entre D+b et VD— PL, abstraction faite du signe, et l'on fera l'un d'eux= a et l'autre= c. Il est evident que chaque décomposition en facteurs donnera deux formes, car l'un quel- conque des deux facteurs peut être pris pour a, et l'autre pour c.
Exemple. Soit D= 79; par la première mèéthode, on trouve pour a vingt-deux valeurs:£ 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14, 15, d'oùð résultent les 19 formes suivantes:
(1, 8,— 15),(2, 7,— 15),(3,7,— 10⁰),(3, 8,— 5),( 5, 7,— 6), ( 5, 8,— 5), 6, 5,— 9),( 6, 7,— 5),( 7. 3,— 10),( 7, 4,— 9), (9,4,— 7),(9,5,— 6),(10, 3,— 7),(10,7,— 5),(13, 1,— 6), (14, 3,— 5),(15, 2,— 5),(15, 7,— 2),(15, 8,— 1).
On en trouvera encore autant en changeant les signes des termes extrèmes, par exemple:(— 1, 8, 15),(— 2, 7,+ 15), etc., en- sorte qu'on en aura trente-huit en tout. Mais comme a doit étre compris entre les limites D+b et D— b, il faut rejeter les six formes:(-k.13, 1, 6),(14, 5, † 5),( 15, 225); et les trente-deux qui restent, forment toutes les formes réduites.
Par la seconde méthode, on déduit les mêmes formes dans l'ordre suivant:
(—.7, 3,+ 10),( 10, 3, 7),(*£ 7, 4, 9),(£ 9, 4, 7), ( 6, 5,—+ 9),( 9,5, † 6),(—k 2,7, 15),(— 3, 7, 10), (*5, 7,+ 6),(ck 6, 7, 5),(-E 10, 7,+ 3),(£. 15, 7, 2) 2* ( 1, 8, 15),(k 3, 8, 5),(-K 5, 8, † 3),(£ 15, 8, 1).
186. Soit F une forme réduite de déterminant D, et la forme réduite F contigus à F par la dernière partie; soit de méême la réduite F' contigué à E?, EF“ à“, etc., il est clair que toutes les formes F'“, F', F, etc. sont absolument déterminées, et qu'elles sont proprement équivalentes entre elles et à la forme F. Mais comme le nombre des formes réduites de déterminant donné est toujours fini, il est manifeste que toutes les formes F, F', F, etc. ne peuvent pas êôtre différentes. Supposons que Foo et FGrta) soient identiques, For et Forrn-n sont réduites et contigués par la première partie à la même forme réduite; et partant identiques, on a de mème F-)= FO*n-²), etc-, et enfin F= FOO, Ainsi

tles signes des temn „7,+† ¹5), etr e lais comme di D— 5, il futnen 5),(45,—i) les formes täduite
memes formes äm
nant D, et la bmm lie; soit de meme 1 clair que loule 5 erminées, et gats b à la forme F. ES Sterminant dann 6 formes F 1, 4 . F et
b et contiguẽs 8 tpartant identiqus,
F= 7⁰ Lön
T lin—

—-ͦ-——

ARITHMETTOUES. 168 dans la progression F, F'o, F', etc., pourvu qu'on la continue assez loin, on retrouvera enfin la forme F; et si nous supposons que Fbo soit la première identique avec F, c'est-à-dire que toutes les formes F'“, Eêé, FGr=w soient différentes de E, il est aisé de voir que toutes les formes F, FE“, Fe=n seront différentes entre elles. Nous appellerons l'ensemble de toutes ces formes la periode de la forme F; si donc on continue la suite après la dernière forme de la période, les formes F“, F', etc. reparaitront de nouveau, et la suite entière sera composée de cette période répétée à l'infini.
La progression F, F́“", fE“, etc. peut aussi être continuéGe en sens inverse, en plaçant avant la forme F une forme Æ qui lui soit contigué par la première partie, avant celle-ci une forme F', etc. On aura de cette manière une suite de formes infinie dans les deux sens, b
e..2E,, F, Ir, 2 e, Sr,...,
et l'on verra facilement que F est identique avec Fon, avec FO-a), etc. et que parconséquent la suite est aussi formée, vers la gauche, de la période de la forme F répétée à l'infini. Si l'on attribue aux formes F, F“, F, etc., E, etc. les in- dices o, 1, 2, etc.— 1,— 2, etc., et généralement à la forme Foo l'indice m, à la forme off l'indice—m, il est clair que des formes quelcongues de la suite seront idenltigues ous disfe rentes, selon que leurs indicées sont congrus ou incongrus, suibant le module n. Il ne faut pas confondre les indices dont il est question ici, avec ceux du ne 57. Les premiers ne sont que des accens, et les derniers de véritables exposans.
minant est 79, se trouve ainsi être:
(3, 8,— 5),(—5, 7, 6),(6, 5,— 9),(—o, 4, 7),(7, 3,—1 0),(— 10, 7, 3); après la dernière, la première(3, 8,— 5) reparait, et l'on a ici= 6.
Exemplc. La période de la forme(3, 8,— 5), dont le déter-
187. Voici encore quelques observations générales sur ces périodes.
1⁰°. Si les formes F, F, Fo, etc.,, etc. sont présentées

166 RECHERCHES
comme il suit:(a, b,— a.),(—, S, a⁰),(ar, be,— a*), ete.
(a, 5, a),('a, 2,—),(— a,*‧,*a), etc. tous les nombres
a, G, 2˙, etc. et les nombres 5, positifs. IIib 1a07 A urn
2e. Il suit de là que le nombre n des formes de la période est toujours pair; car le premier terme d'une forme quelconque Fom de cette période, aura évidemment le même signe que le premier terme de la forme F si m est pair, et le signe contraire si m est impair; or F et Fa sont identiques, donc n est un nombre
pair. 3. Dans le calcul indiqué(ne 184— 6“⁰.), pour trouver les diflérentes formes F, F“, F', etc., au lieu des expressions
b', 5', bo, etc. 5,“PL, etc. seront nécessairement
f——— M—— 4—„ 46— 9 4— u„ etc.
ou peut substituer les suivantes, qui sont plus commodes, lorsque D est un grand nombre, et qui s'en déduisent facilement:
8 LE) 2I a, 20 9 2. 49. d2' Ia, etc.
a 250
4. Une forme quelconque Foo contenue dans la période de conduit à la même période qu'elle; ensorte que la période de cette forme sera Fn), FOnr).. Fn=, F, F. F(n=n), dans la- quelle les mêmes formes reviennent dans le même ordre, et qui ne differe de la première que par le commencement et la fin.
5*. Il suit de là que toutes les formes réduites de méême dé- terminant D peuvent être distribuées en périodes. On prendra- une quelconque F de ces formes, et Pon cherchera sa période que nous désignerons par P. Si P ne renferme pas toutes les formes réduites dont le déterminant est D, soit Gune des formes qui n'y est pas contenue, et Q sa période, il est clair que P et n'ont aucune forme commune, car autrement G serait contenue dans P et les périodes coincideraient. Si P et Q n'’épuisent pas encore toutes les formes réduites, une de celles qui y manquent fournira une troisième période R, qui n'aura aucune forme com- mune avec P et O, et ainsi de suite, jusqu'à ce que toutes les
a,“a,“a, etc. auront le mème signe(n 184— ¹5.),

), pour tronre- b des expresioms
5—ʃ
——, ete.
s commodes, lorgi asent facilement: 4* 82 — 9 tt
4*
dans la période- que la périoce d v F=h, dans b- möme ordte, et gü encement et la t
1
4 4 duites de mème riodes. On hen herchera sa hesiod
A RTMHIDEETIOUE S. 6, formes réduites soient épuisées. Ainsi, par exemple, les formes réduites dont le déterminant est 79 se distribuent en six périodes,
1..(1, 8,— ¹5),(— 15, 7. 2),(2, 7,— 15),(5, 8, 1).
2.(—l, 8, 15),(15, 7,— 2),(, 7, 15),(15, 8, 1. 0. 1 5....(3, 8,—),(— 5, 7, 6),(6, 5,— 9),(—, 4, 7),(, 3,— 10),(— 10, 7, 3). 4..(—, 8, 5,( 5, 7,— 6),(— b, 5, 9),(9, 4,—,;),(—=, 5, 10),(10, 7,— 5).
5...(5. 8,— 3,(— 5,7, 10),(10, 3,— 7).(ſ—7, 4,9),(9, 5,— 6),(— 67, 5). 6..(— 5, 8, 3), ,7,— 10),(— 10, 3, 7),(7, 4,— 9),(— 9, 5, 6),(6, 7,— 5).
6⁰. Nous nommerons formes associees, celles qui sont com- Posées des mêmes termes, mais placé
s dans un ordre inverse, comme(a, b,—),(—, 5, 2). On voit alors facilement
(n“ 184, 7⁰.) que si la période de la forme réduite F est F, F', F' etc., que f soit associée à F, f འFM*y, f à 70), etc. J r-a) a 7, ſn-u à F, la période de sera f, ſi, fe.„.), et contiendra, partant, le même nombre de formes que la pé- riode de F. Nous nommerons Périodes associces celles qui sont ainsi composées de formes associées. Les Périodes 3 et 6, 4et 5 de l'exemple précédent sont dans ce cas-là. b
7⁰*. Mais il peut arriver aussi que la forme ſse trouve elle-mèême dans la période de son associée, comme aux Périodes 1 et 2 de notre exemple, et que parconséquent la période de la forme F coincide avec celle de la forme), c'est-à-dire que la periode de la forme F soit elle-mémeé son associce. Toutes les fois que cette circonstance a lieu, la période renferme deux formes ambiguöés. Sup- Posons en effet que la période de la forme F contienne 2 formes, ou que F= FG., Soit 2m+f 1 T'indice de la forme F dans la pe- riode de F(car F et f ont leurs premiers termes de signe con- traire,(2°.), g'est-à-dire que Fomntn et F soient associées; il est évident qu'alors F'et FGnd seront aussi associées, de mème F' et F n., etc., et partant Foò et Forrr) Soit F G=(a, 5— a0), Fonr=(— ao‿n, 50+), a2); on aura 5ν‿+‿‿ ομασ 0 (mod. aνπι); mais par la définition des formes associées 500ö= b0n-*1), donc 26 D=o(mod. abεειν), c'est-Aà-dire que la forme Fortn est ambigué De mème, les formes oν et Fmn sont associées, donc aussi Fm) et Frds, mre) ct Ffun-ch ete. et enfin Fonrn et Forrern, dont la dernière sera ambigué, comme on le prouvera par un raisonnement semblable. Mais comme m†.

RECHERCHES et m-† n+ sont incongrus suivant le module 2n, les formes Fortn et Forern ne seront pas identiques(n* 186, où n représente ce que représente ici 2n). Dans la période 1, les Hormes(1, 5— 15), (2, 7,— 15); dans la période 2, les formes(— 1, 8, 15), 6⸗ 7, 15) sont ambiguös.
*, Réciproquement, toute période qui renferme une forme Deraus sera elle-méme son associce. En effet, on voit aisé- ment que si Fw est une forme réduite ambigué, sa forme asso- ciée, qui est aussi réduite, lui sera en mème temps contigué par la première partie, c'est-à-dire que Fo-n et Fen) sont as- sociées. Mais alors toute la période sera elle-mème son associée. Il suit de là que dans une période, il faut nécessairement qu'il y ait plus d'une forme ambigus; mais il ne peut y en avoir plus de deux.
En effet, supposons que dans 1 période de la forme F, il se
trouve trois formes ambigués 5 5, F G„ F 0 9) X, ⁴,» étant=an, —
8 14 et inégaux. Alors les formes F et FO seront associées; de
mème FO ²) et F), etc. et enfin Fet F(2)e), parla mème raison, F et Fk—) F et FG), seront associées. Donc les
formes F 4), E, E2 1) seront identiques, et partant leurs indices zeront congrus suivant le module 2u; donc aussi A=A= y(mod. 2n), ce qui est absurde, puisqu'il est évident qu'il n'y a pas trois nombres différens congrus suivant le mo- dule 2u, et plus petits que lui.
188. Comme toutes les formes de la mème Jeadn. sont propre- ment équivalentes, on est porté naturellement à chercher si deux formes prises dans des périodes différentes peuvent être équiva- lentes. Mais avant de prouver que la chose est impossible, il
est nécessaire que nous nous occupions de la transformation des formes réduites.
Comme dans ce qui: va suivre il sera souvent question, de la transformation des formes, et afin d'éviter autant qu'il est possible la prolixité,„ nous nous servirons dorénavant de la manière sui- vante d'écrire. Si une forme I.+ 2 M. XFNF“ se change
enl

3a forme 4 dmr e enn coulim —) 1 et Fe) Soat 3. E-meme Son àssoc t nécesziteneit r 1
ne peut y en Vell
e la forme F, l 67)
„ u, etant Lm 8 seront associees; (A 1)
Fé 5 parlam
t associces. Douc k
dentiques, et parmm lule an; done aui puisqu'il est erider grus zuivant k o-
perlode sont puye- at Achercher zjcel euvent être Lquür ee est mp sihe a transformation cé
wwent quèst lion 4
tant quil est pos de B manur d
„ Se ChAl- NT se 3

—“”,———

ARITHMETIOVUES. 169 en la forme læ* †½ᷣ᷑¶ 2mey ny par la substitution X= aa+ By, F=r †Ijf, nous dirons plus simplement que(L, M, N) se change en(ꝛ, m, n) par la substitution a, 8,, J. De cette manière il ne sera pas nécessaire de représenter par des carac- téres particuliers les indéterminées des formes dont il sera ques- tion; mais il est clair qu'il faut bien distinguer dans toutes les formes la premiere et la seconde indéterminée.
Soit proposée la forme réduite(a,,—= et dont le dé- terminant est D; on formera comme au n“ 186 une suite de formes réduites qui s'étende indéfiniment dans les deux sens....“), ſ. J., f... ensorte que l'on ait
f=(—., B, a*), f=(*, L,— 2*), etc. J=(—,, a), öv=("a, b,—), etc. Faisons b
2=, 2=,—=h etc. 2=-en 2+,4
—„ 7 2 772= h, ete
— a 2**— a
Il est clair que si l'on calcule les nombres a,, etc.,„½,„“˙, etc. par le moyen des relations suivantes(cComme au n“ 177).
2 eĩſ0ᷓqͥo. 3=-J J p=I HA= a=A.. 422 ue„=I.. dο eh h'4,— 1 A....*=nS S.„=T. Jn GAeA... Geh g. ec Tuxr=hivJa—„fs
etc. etc. etc. etc.
A 9 38 4
2 If 8 4 par la substitution„ 6 4 2,„ a*, 8,, 3S.
etc.
F se changera en
et toutes ces transformations seront propres.
Comme Hse change en F par la substitution propre o, 1, 1, h (n' 161), fse changera en par la substitution propre h, 1,— 1, o; par la mème raison se changera en F par la substitution propre h, 1,— 1, o, Fen f par la substitution propre"h, 1,— 1, o, etc.; de là, et au moyen du n- 159, on déduira comme au ne 177 les relations suivantes entre a,, etc.,, etc.
Y

RECHERCHES
4
170 AhH..
— 12
— 1 oe⸗
G=1.. ⸗ „ 2=a. y=nhh)) 4= f „ 6 2,= po,„„ 5α G= a... 1—— 7—
—
— 11
dao=e a- l.
1. v e do— G...
— 11
a hw,lA 8=A. 7=hn,)H RH=7 ⸗ etC. letcC. etc. etc. 7
et— 2 f*, 8,„,+½ f⸗ 1a, 46, 47,,*.
— 11
.1.2 tion⸗ Fse changera en 4 F par la substituti)*2,*9,*, 4
—
11
eto. 1 etc.
——
et toutes ces transformations seront propres. Si Pon fait a= 1, 3= o,„= o,= 1, ces nombres auront la même relation avec la forme f que, ½,, avec f„ 2*,„*,„“, ν avec la forme fi, etc., α,, 7, ⅓ avec J, etc. C'est-Aà-dire, que par la substitution a,,„, 2 la forme Fse change en f; mais alors les suites 2,*, a*, etc. α, α,, ete.,
—
—— — 11
—— 171 11
par lintercalation de a, se joindront parfaitement, et n'en fe- 4 ront plus qu'une seule allant à l'infini dans les deux sens, et dont nna tous les termes suivent la même loi:..„A, M, A, e α,a, M..⸗ r. La loi de cette suite est celle-ci: tm va †‿aA= h', æ‿ ha, α‿‿ a ha, a‿=ha, Aa= ha, etc. t6 ou généralement, en regardant l'accent négatif écrit à droite dal comme l'accent positif écrit à gauche, dA0n= 1)+ A=hOnD bn. wit De méme la suite 3,,,, 9', etc. sera continue, et la loi dout de ses termes sera 2 ν‿—+. 0= hn*)g0; cette suite est la 2 mème que la précédente, en remplacant α par 6, a par 9,. a par 8, etc. 2 La loi de la progression,,, 7% 7“, etc. sera 2 „.„n= hGyyEn, et celle de la progression: 2K,,„ Al 4, 4“, etc. sera 4 ‿⁸+‿̈φ Q= hGrnA 6), et en outre géné- 5 Ale
ralement 40z. Exemple. La forme(3, 8,— 5)= se changera ainsi

I, ces nombres amn 71 9,)„ A,, 7, 4 ner 3, 7 7 7 nec ſ 3,, J, l fammſt *“, etc. 2, a, a, a, rfaitement, et vah as les deux seus, dd 7 7 1 7 1 1 1, 4, 4, 7 4, 4)1
d
—=1„„4+N, négatif erit à ii eu enna 9
gera continne, et!
5 cette suite e 6 a par 9, a M
ARITHME ETIOUES. 171 en b par la substitation,*
=(— 1o, 7, 3))— 805,— 152,+ 14,+ 27 6=(3, 8,— 5). J— 152,+ 9 n. 27,— 8 f=(—5, 7, 6)...+ 45,+ 17,- 8,— 3 f=(6, 5,— 90)„+ 17,— 11,— 3,+ 2 7=(— 9, 4,).=,— 6,+ ⸗²,+* 7= O. 3,— 16). B 6,+ 5,+ 1,— r J=(— 10, 7, 3)+ 5,+ 1,— r⸗, =(33, 8,—5) 1, 10 0,+ =(— 5, 7, 6) 0,— 1,+ 1,— 3 J”*=( 6, 5,— 9)— 1,— 2,— 5,— 7 =(— 9, 4, 7..— 2,+ 3, o r=(7, 3,— 10)+ 3,+ 5,+ 10,+ 7 =(— 1o, 7, 53).+ 5,— 8,+ 17,— 27 u=(3, 8,— 5)— 8,— 45,— 27, 153 fn=(— 5, 7, 6— 45,+ 45,„— 152,+† 485
etc. 189. A l'égard des calculs précédens, nous ferons plusieurs remarques.“ 1⁰. Tous les nombres a, a,, etc.', g, etc. auront le mème signe, tous les nombres 5, bU, b', etc.%, ‧b, etc. seront posi-
tifs, et les nombres R, h, h, I, h', etc. seront alternatifs,
c'est-A-dire, que si a, α, etc. sont tous positifs, Haln) Ou Gh sera positif quand m est pair„ et négatif quand m est impair; et le
contraire aura lieu, si 2,, etc. sont tous négatifs. 8
2⁰. Si a est Positif et partant=o, 1 4,7 9, etc-, on aura
aA⁴—— 1, To; A& 2= a.„ Co et— OU= A:„ an ha 2—— a„
—„t a, puisque hyau o et— ar= hirai*— A*, Bo et au, puisque hrar o et 4*O etc. On conclut de Ilà Kosernent que 84 termes de la suite a,,, a', etc. vont toujours en aug- mentant, et qu'il y en a toujours deux bositifs et deux négatifs alternativement,„et de manière que a0n) a le signe+,+.—,—,
suivant que m= o, 1, 2, 3(mod. 4); sia est négatif, on trouweta
Par un raisonnement semblable que les termes vont en augmen- Stant, et que le signe du- terme iabte esto,—,—, 2 ℳ„suivant
que m=o, 1, 25 3(med. 4). 1.9911915 Rb 519 2

172 RECHERCHES 3⸗ On trouve de même que les quatre suites infinies a, a,æs, etc.; „,„,»“, etc.; a,, A, α, etc.;, 7, 7, etc., vont en aug- mentant, ainsi que les suivantes, qui leur sont équivalentès, 8, 9˙, 8*˙, etc.;, I d*˙ etc.; 6, 6, 26, etc.;, 299, 2o, etc., et suivant que m= o, 1, 2, 3(mod. 4), le signe de a0n) est: +,,—,+; celui de:£,—,,+; celui de: *.,+,—,—; celui de 4:+, ⁶—.,,—,—;; celui de Ga +—, ₰,—,; celui de:.,+,,—;, celui de .,—,*,+; celui de:+, ½—.,—,*; en prenant les signes supérieurs quand a est positif, et les inférieurs quand a est négatif. Il est surtout important de remarquer que m indi- quant un accent positif quelconque, an) et* ο auront les mêmes signes quand est positif, et des signes contraires quand a est négatif; il en est de mèême pour 300 et J), et le contraire a lieu pour Goa et woy, o et 90d. 4'“. On peut présenter, d'après la notation du n“ 32, les valeurs de ab, 860, etc. En posant h= K, Xeh= ℳ, h= K“, etc.; h=k,+ n= h,'h=, etc., de manière que,, etc., kK,“ ℳ, etc. soient positifs, on aura a.=+†ℳ, ℳ, K.. A0n=]... HQO)= ſH A, K.AG] „= X[KA, Ke, K...K h. dO N A, Ar. A] DA= K, K, KR.CDk]....Le)= ſk, KR, k. Cn 2ℳ] 0),= EILK, n,"ſt....Gr kI.. O[K,, k.. 2.
Quant aux signes, ils doivent être déterminés d'après ce qui vient d'ètre dit(3). Au moyen de ces formules, dont nous omet- tons la démonstration parcequ'elle est tres-facile, le calcul de- vient extrémement simple.
90. LEMME. Si m, ⁴, m, n, v, n' désignent des nombres entiers quelconques, mais tels qu'auicun des trois derniers ne — 1
1 4 a4o„» 0 m n1 3. soit= o, que 5 soit compris entre=2 el, et du'on alt mn— nm’= 1, le denominateur sera plus grand que n el n..
En effet unn' sera compris entre umn et mn, et partant différera de chacune de ces limites d'une quantité plus petite que leur propre différence, ainsi imn ymmn& ann=mn, et

——
e et 1 1 7 auront les de contraires 6 Uand 1 „ Ek le coutrain
4 du n' 32, le nb- = FP, Xn
b„k, a manière que k, 4,,
(L, L, 1r. K ·. 4 †, F„, M . 1 4¼, ¼.6 E 04,/¼, 4 6ℳ rminés d'après ce g mules, dont nous0o; s-facile, le cäbll
lesignent des nonir des Trois dernien!
et er, ei hum plus grund ſue n
„ et umn, f 5 quantité pip fei minN uan=)
—

ARITHMETIOUES. 175 Sunn— m'n; ce qui donne» n(un— vm) et n(un— m), et comme un— m, ni un—'m’ ne peuvent être égaux à zéro, 2 4 7 7 4 2 2„ car il en résulterait—=, ou.= C, ce qui est contre l'hy- n b n„ A pothèse, et qu'ils ne peuvent être plus petits que 1, il s'ensuit qu'on a»yOn et n. Il est donc clair que l'on ne peut avoir»= 1; c'est-à-dire que si mn— mn=h, aucun nombre entier ne peut Stre compris m 4 entre les fractions— et——, et qu'à plus forte raison zéro ne peut y ôtre compris, ce qui prouve que ces Iiactions ne heuvent être de signes contraires. 191. THEOREME. Si la forme réduite(a, b,— a), dont le de- terminant est D, se change en la forme réduite(A, B,— A!), de
VD=Tbh a
méme daäterainant, par la transformation a, 8,,. 10. tombera entre-. et 5„(pourpu gue l'oꝝn n'ait niy= o, ni T= o„
c'est-a-dire quie les 2en⸗ limites soient finies), en prenani le signe
supérieur, quand les deuæ limites sont de méme signe que a, et
le 3e, Dutiann. 2utad elles sont toutes deur de signe con-
D+b a.
( pouruu qu'on n'ait ni a= o, ni G= o), en prenant les signes comme ci-dessus.
On a les équations b aa*‿ꝙ‿bν—„= A..(1) a+† 258— a,T=— 41.(2),
d'ou l'on tire
9(DA 5 A.W(D- 24)— 7= 9 2 37. 24⸗(5) 5= b—
ᷣ&—ℳ
9(—+ 5(CPz)*+ℳ 5 75 8——. C) 1=(„.(.
() Il n'y a pas d'autre supposition à faire, puisqu'on a ad— 6f) Ddet que d'après cela, par le ne précéd., les lirnites ne peuvent etre hulle⸗ on deux en méeme temps, ni de signe contraire.

174 RECHERCHES Il faudrait rejeter celle de ces quatre équations dans laquelle le dénominateur du premier membre serait nul; mais il faut déter- miner ici les signes dont les radicaux doivent être affectés. Or il
est évident que dans les équations(3) et(4), on doit prendre le signe supérieur quand* et sont de même signe que a, car en prenant le signe inférieur 7 et 2 deviendraient négatifs; mais comme A ct ℳ. zont de même sigune, VD tombe entre
P 5 et Ä= T ‚et parconséquent, dans ce 3
2— 2 et 4 cas, 5 entre„ et 5.
On voit de mèême, dans les équations(5) et(6), qu'il faut prendre nécessairement les signes inférieurs quand Zet 2ont tous les deux de signes contraires à d ou a, puisqu'en prenant le signe supérieur, les produits 22, 2 deviendraient positifs; d'ouù
—
5 2 tombe dans ce caàs entre
1
il suit sans difficulté que Zet 1 Si Pon pouvait faire voir avec la mèême facilité, dans les équations(3) et(4), que l'on doit prendre les signes infé- rieurs quand= et 6 sont de signe contraire à a, et dans les équations(5) et(6), que l'on doit prendre les signes supérieurs quand=æ et sont de même signe que a ou a; il s'ensuivrait
2 1 Sne.; b
— b
734
de la même manibre, que dans le premier cas— tombe
entre„ et 5, et que dans le second A tombe entre 2 et 3.
ce qui compléterait la démonstration du théorème. Mais quoique cela ne soit pas difficile, comme pour y parvenir on ne pour- rait éviter certains embarras, nous préférons la méthode sui-
vante. 6
b. Quand aucun des nombres ⁴, 8,, 7 n'est= o, 7 et z ont
7—.. les méêmes signes que z et 3. et Pon sait què si ces deux dernières

rs quand Let eun Puisqw'en pren lendraient positid, i libe dans ce ca ar a moͤme facilité, in
rendre les siges li lire à a, et dmb
re les uignes dfite ou a; i Fetsdi
AD=
er cas—,
7 ₰. tombe euineze- aoreme. Neis Gi béoreme. „varvenir om ef 8* la méthoce ü
,
4 — ⸗et 10 n'est=0,)
Fh e si ces deux ders
—
que, par la définition de la forme réduite, ac D+ 5). Or 4
ARITHMETIOUEsS. g —— X iombe
quantitès sont de signes différens à ou a,
₰ 8 4. 2 6. entre 2 et z; mais alors les deux quantités— et seront aussi de
z2 irnires„ 2 b 2. 5 signes contraires à a, et y tombera entre. t 5 Or comme
d.——,—5 —vo 5
parconséquent entre„ et 3 Ainsi la première partie du théo-
on a D— 5 ‧= aa, il en résulte
‚qui tombe
rème est démontrée pour le second cas, en supposant que l'on m'ait ni a=o, ni=o. De la même manière, quand aucun
des nombres a, 8,, n'est=, et que„et 5 sont de mème
4 4 VvD— b 24 6 2
signe que a ou a,— tombe entre„ et 3, et partant[άQά☛)ꝝχ S. 1⸗,, 2 D+ b D+ 5
entre Zet 35 d'ailleurs 5ä=—, done Lert? tombe entre
Z et 3, qui sont de mèême signe que a!. Ainsi la seconde partie
du théorème est démontrée pour le premier cas, en supposant que l'on n'ait ni= o, ni= o. b
Il ne reste donc plus qu'à faire voir la vérité de la première partie pour le second cas, même en supposant= o ou= o, et celle de la seconde partie pour le premier cas, mème en sup- posant„= oO ou ↄo; mais tous ces cas sont impossibles. Sup- posons en effet, pour la première partie du théorème, qu'on n'ait ni„= o, ni T=o, que„et 5 soient tous deux de signe contraire à a, et qu'on ait en premier lieu a= o. Alors l'équation ad—„= donne G=ckmet„=k; donc l'é- quation(1) devient A=— a; ainsi A et a et partant a et A
sont de signes contraires, ce qui rend(DO 2*) DP 5;
donc dans l'équation(4), il faut nécessairement prendre le signe inférieur, car en prenant le signe supérieur, il s'ensuivrait que
6 4 A 8* 6—j, 0— b. aurait le même signe que a, et l'on a alors 5— ·—₰1(puis-
3*
ne peut éêtre plus grand que 1, puisque== et que n'est

176 RECHERCHES
pas égal à z6ro. En second lieu, soit 6= o; L'équation 24— g= kr donne=.r et—= 1; donc l'équation(2) devient a=; ainsi a et A sont de méme signe, ce qui rend
2(PD)=D=. Donc dans l'’équation(3) on doit
prendre le signe inférieur, puisque en prenant le signe supérieur, . 3 3 ck 6. il s'ensuivrait que et a seraient de même signe; on a done
2—— 1, ce qui est absurde par la même raison que
ci-dessus. Pour la seconde partie du théorème, si nous supposons 2
.„ 3„. qu'on n'ait ni=o, ni 6=o; que et z aient le même signe
que a et qu'on ait, en premier lieu, ⸗= o, l'équation ad—)= donne a=s᷑1, J=ck1; donc l'équation(1) devient A= a, ainsi a et A' sont de mème signe, ce qui rend.. (D+ 2‿*) 0—= b. Partant, dans l'équation(), il faut VDP+ 5 21 absurde puisque=ck1, et que n'est=. Enfin, en second lieu, si l'on a= o, l'équation ad— G= donne ²erkr, „=X. Donc l'équation(2) devient— A= a, ce qui rend
OD=)2V= 5. Ainsi dans l'’équation(5), il faut
ce*
prendre le signe supérieur, et l'on a 22—, ce qui est
. 2., D+ 5, prendre le signe supérieur, et l'on a 22 L 5—1; ce qui est
absurde.
Le théeorème est donc maintenant démontré dans toute sa généralité.
Puisque la différence entre„ et z est S, la différence entre /D— 5 a 6 1. DO 5& — et. ou 5 sera„5⸗ D'ailleurs entre 2 et* ou
entre cette quantité et 5, il ne pourra tomber aucune fraction
dont le dénominateur ne soit et 2(lemme préced.). De
1* I. 0 la mème manièdre, la différence entre- L5 et* ou 2 sera —
1 b 2 =“ et il ne pourra tomber entre cette quantité et l'une
quelconque

4 4 méme rän—
dme, zi non — nous Fuppoh 1 3 aient le mam⸗ 3 léquation a,-e 77 u(1) derient 421 ce qui rend., n, Péquation(c), ih
5+ʃ —, 1, ce Gl
= o. Enfin, en xn „=i done 8er -.=a, ce qun
Squation(), i 2iz œqit
montré dans tolt
la düfféreoce dl

ARITHMETTOVES. 177 quelconque de ces fractions, aucune fraction dont le dénomina- teur ne soit plus grand que a et„ã.
192. De l'application du théorème précédent à Palgorithme du
1 4 2—„„ 09— 5 5. n“* 188, il suit que la quantité L. 2„que nous désignerons par Z,
& 9.& 72“ ν G 1
tombe entre* et F, entre 3 et Fr. entre„ et I7, etc.: ou / 2 5 2,..
entre„ et 77, entre et„ etc.; et l'on déduit sans peine de ce qui a eté dit n* 189(3°. à la fin) qu'aucune de ces limites ne sera designe contraire au signe dea, et que partant on doit prendre posi- tivement le radical VD). Ainsi toutes les fractions dont les accens sont impairs différeront de L dans un sens ‚'et toutes celles dont les accens sont pairs en différeront dans le sens contraire- Mais
1 V
comme 2..„—₰ tombera hors 2 5— et L, et de mème e S hors—
et L;„ Ahors 2 et 5. etc.; ainsi ces quantités 8 sE trouveront vi-
demment placées dans P'ordre suivant:
1— A 234 I . 4 ar 2& 5.r L.e,onss.——,
„“. 1½ F. 1„. 5 G d'ailleurs la différence entre 8 et L sera Plus petite que la diffé-
7 h
rence entre„ et„e c Aeeanie. ee 36 méme la différonce
fT„ entre—r— e L sera—— A etc. Ainsi les fractions e 2.—, etc.
7 77 9 2 approcheront de plus en plus de la limite L., et comme„, „“, etc. vont toujours en augmentant in eſniment la différence de ces fractions à L peut être rendue aussi petite qu'on le voudra.
„„„
2. z. 11 suit du n- 189, qu' aucune des quantités 2, 2, vr n aura
le mème signe que a; on déduit de là, Par 1,5 raisonnemens
absolument semblables aux précédens, que ces fractions et XNVDB
= IU doivent ètre placées dans Pordre suivant:
2. 2, 2, 2. V 2 2. 2 S.“ Se RI. 2 e 2. ma 7a. D ailleurs la différence entre 2 2 6 L. est moindre que—. la dif
2

RECHERCHES
. 3 2 2 1 4 4
ference entre 5 et F/ est moindre que—, etc. Ainsi les frac-
tions 2, 2. etc. approchent de II de plus en plus et continuel- 2
jement, et la différence peut ètre rendue plus petite qu'aucune
quantitè donnée.
178
*
Dans l'exemple du n“ 188, on a L== 0,2960648, et 8 45⁵ 143 etc.
jes fractions convergentes sont:, 5, 7,, F,*,, 143,
Or cette dernière est égale à o, 2960662. De meme.
L= MA 0, 1776588, les fractions convergentes sont: — 43
3— ½43, etc., dont la der-
2,— ¼,—*—— 5,—,—, nière est égale à o, 1776397. b 193. THEORKME. St les formes réduites f et F sont proprement æquivalentes, chacune d'elles est contéenueé dans la periode de 'autre. Soit †=(a, b,—), F=(A, B,— Aℳ), D leur détermi- nant commun, et supposons que la première se change en la deuxzième par la substitution propre 4, l, p, 9. Je dis qu'en cherchant la période de la forme f, et en calculant dans les deux sens la progression indéfinie des formes réduites et des transformations de/ en ces différentes formes, comme au n* 188, ou bien* sera égal à un des termes de la suite... a, n,,, a*.., et en le supposant= an, on aura k== Sy, p=„,= dm; ou bien — † sera ègal à un certain terme a, et—4,— p.— 7 à 9, „, y, respectivement. Dans l'un ou l'autre cas, F sera evi- demment identique avec fn. J. On a quatre équations:
(1). aA*+ 2bkp a= A1,(2).. 1ad A9-Xp)-a pg= S,
(S).: ar 2519=A9= A,(4).:M- Aenz
considérons d'abord le cas où quelqu'un des nombres K, 7, p, est= o.“ 5
1⁰. Si K= o, l'équation(4⁴ donne pe=— 1, et partant=K, p„=. 1. Donc l'équation(1) devient—a= A; l'équation(2) h a*νασ☛ ou B=— b(mod. a du 4). D'ou I suit que la

59 779,. 8 D a.
4
*4,4 9 1 ,)
ns donſergnen
1 333 Sic,, deai k 4
), D leur deen lière se chang a 7, p, F. Je dis ams en calculant das ormes Fédultes
nes, comme au-,
72 6 h—
9
197 a 9
b
pars 76
—
ARITHMETTOUES. 179 7., B,— A) est gontigus à la forme(4½ ̈,—) par
korme(
la dernière partie; mais puisque F est une forme réduite, elle sera nécessairement identique aveo †(n* 184, 6°.). Donc Be= V,, et partant l'équation(2) donne 5+b'= Xag; et comme d'ail-
leurs on a
= H', on en tire. IV. II suit de là qu'on a
h,£l, p.+ 7= 0,— 1,+r, N, ou=a., 6, 7,, res- pectivement..... H.
29. Si l=o, l'équation(4 donne kckr,=r; léqua- tion(3)„= A“; l'équation(2) ba p= B, ou B=5(mod. a¹); mais comme et F sont des formes réduites, Bet 5 tomberont entre D et Dal¹, suivant que a sera positif ou négatif (n“ 184, 5“*.); ainsi on aura nécessairement H=h et„= o, donc les formes et F sont identiques, et ⁴,£᷑ 7, p,+ 7=l, 9, 0, 1=, 8, y, ₰, respectivement. 4
3°. Si p= o, l'équation(4) donne=ch 1„9=Ir; l'équa- tion(1) a= A; l'équation(2) X al+ 5= B. Mais comme E et 5 tombent entre" et sa, on aura nécessairement H= 5 7= o. Ainsi ce cas ne diffère pas du précédent. b
4'. Si=, l'équation(4) donne 7, P=; l'équa- tion(3) a=—+, et l'équation(2)£al— 5b= B, ou B=— 5 (mod.). Ainsi la forme F est contiguõ à la forme Fpar la pre- mière partie, et partant elle sera identique avec la forme/
D inhih h.,,, e r„irh, eehe,. et comme on a*=h et B=%, on aura 7= h. Il suit de là que£, l, Xp,*£9= h, 1,— 1, o=, 8, 7, ³ respec- tivement. 1 b
Il reste donc le cas ou aucun des nombres K, 2, p, 9 n'est =O. Or par le lemme du ne 190, les qquantités 24 4* 5 auront
le méme signe, et il en résulte deux cas: celui o leur signe
est le même que celui de a et, et celui ouù il est contraire.
2—=I. 2
II. Si 1 et 3 ont le méême signe que a, la quantité L
tombera entre ces fractions(ne 191). Nous allons démontrer que
1„ 1 1 4 „ N⸗ p ete., 8635 8A
A&¹V
7 A& —
K— 24 „ est égal à quelqu'une des fractions 2
2

180 RECHERCHES celle qui la suit immédiatement, c'est-à-dire, que 31 4e= 255,.
7 2 on aura— Nous avons fait voir dans le ne précédent que
2, 2 les quantités—„ P. etc. kque nous désignerons par, 9O˙,
9“, etc.) et 7 sont placées dans l'ordre suivant: , 9Q, 9*.1. 9“, Orr, 9o.(D.
La première de ces quantités est= 0(puisque 2= 0); toutes les autres ont le même signe que L ou a; mais comme par hypo⸗
these k et? ont l ils tomberont 7 e mèême signe, ils tomberont, par rapport à,
du même côté que L, et comme d'ailleurs I. tombe entre ces deux mêmes quantités, elles seront l'une à droite, l'autre à gauche
de L. Mais on peut faire voir aisément que 3 ne peut tomber après O“, autrement 3 tomberait entre 9* et., d'ou il suivrait.
1⁰. que tomberait entre 4 et— et que bartant le dénomina- teur de la fraction serait plus grand que q(ne 190⁰); 20. que 1
z tombe entre et", et que partant 7 est plus grand Aie le
dénominateur de 9%, ce dui implique contradiction.
Supposons que 51 ne soit égal à aucune des fractions o, 9 3 er, etc., et voyons ce qu'il en résulterait. Alors il est Svident que a- est situé à gauche de 7., il tombera entre et 9“, ou entre ν et O', ou entre 9%'et Qi etc., puisque L est irrationnel et parconséquent différent de 3 et que les fractions. 9', etc. peuvent approcher de L de plus près qu'aucune quantité donnée qui ne serait pas L lui-même. De méème, si gest à droĩte de L, il tombera entre deux ractions consécutives de la suite
„* Supposons donc que 3. s tombe entre Qε et o), les frac-
. k tions 3, 9%, Qonta?, Oonr) ge. trouveront dans l'ordre suivant:

7
..„ n 2 a
9
—= — — —— —
partant le déronu
5
le ꝗ(a- 190); T. est plus grand au
ttradiction,
7„
et 0170
bera entre 9 t9,9 Keer
äsqu ne L est iratien.
9 es fracti tions 9,
21„ rl3 ucupe quartir- te
44 est Adrolle9 ed” 45
4 6
— 1
1
es de là zuite.

ARITHMETIOUES. 00,, 3, 900e).... L...Ho.(II)(9; alors sera nécessairement= Hορσ; car il doit être à droite de E, 1 2νν.. b. 6 2 et s'il 6tait aussi à droite de Qνκαι, Qortn tomberait entre ers,
et l'on aurait„ε p; mais comme tomberait entre ν et 90rn, il s'ensuivrait qu'on aurait en mème temps, ce qui implique contradiction. Si 4 était à gauche de Hρεν, il tom- berait entre Qονισ et ε, et alors on aurait †☛☚ρι; mais comme Q0ε tombe lui-méême entre; et„on aurait en mèême
temps νι ε¶◻—, ce qui irnpligue contradiction. On aura donc
1—=.) 20n), 669 J““ Fom):
Puisque 494— p=„l et 7 seront premiers entre eux, et par
la même raison 6n) et£( le sont aussi; 3 d'où l'on voit facile- 2 0) 9 ment que l équation⸗ 7= 56 ne peut avoir lieu: à moins qu? on n'ait
1= S et g= T%, ou 1=— 807) et 7=—. Or comme la forme se change par la transformation propre a, 309,„, 3 60), en la forme/(-K- a0*, 580, r) on aura les 2aμνεμ D n,O—„0)9= a60:...E) 20+ 5Aςινν‿‿‿ 3w,)— Aορσ⏓ù..(6) 2„ O 25/0RGEOö 2/†ορπεο— a0rD..(7) 0,n) N,(7)— 5 Mais en substituant 3 et o pour l et F dans l'équation(3),
son premier membre devient égal à celui de l'équation(1); on a donc 4abrtn=— k. Or(**) en multipliamt l'équation(2)
(†) Peu importe que l'ordre de la suite(II) soit le méme que celui de la
suite(D, ou qu eil lui soit opposé, c'est-à-dire, que n soit dans la première à gauche ou à droite.
(**) Il me semble que le calcul serait tplus simple de la manière suivante: En remplaçant dans l'équation(8), 6n et dn par£l et- 9, elle devient
— 1 ——. 43 — 1— oo —————;ʒ——————*—

————ꝛꝛMʒQͥ——˖—Q—O[——
182 RECHERCHES par A N0n)— Z0,Ln), et l'équation(6) par kg— lp, et retran- chant, on voit facilement par le développement qu'on a
0H⁴ε,,gr) de-† bpao. H)—Apy).. O), ou comme 7= ,⁰% et q= G,
B— 50☚σ☛☛᷑—ẽ(pao.—)(ale ‿ 2b1q— a99) =(paν— kyο), ou B= b0(mod. A);
mais B et 5% tombent entre qV et DA“; on aura donc
—· n 1)— nécessairement B= 5 ⁰¹1„, partant pabs— Ky=o, ou... 1.2 hcn.
.2, 5 2 Ainsi, de la supposition que 3 n'est égal à aucune des quan- tités„“,%, etc., on fait voir qu'il est égal à l'une d'elles. Si k. nous avions supposé d'abord 5 92 ⁰%, on aurait eu évidemment
kK=R a, p=*; dans les deux cas, la comparaison des équations(1) et(5) donne= abn, et de l'équation(9), B— 50= X(14 Oé„GG), ou B= B00(mod.); on conclut de
b 7 b là, comme plus haut, que B= 500, partant= N; et comme
tet, 80 et os sont premiers entre eux, 7=-k„6, zGn). L'équation(7) donne alors, en la comparant à l'équation(3), — 4= alrtn, ainsi les formes F et Jes sont identiques. A PL'aide de l'équation 4«h— lp= a0⁵³⁴o ö Z6nyen, on prouve sans difficulté que si l'on prend& et p avec le signe+ ou avec le signe—, il faut prendre 7 et de même.
lan— ꝓνꝗ½☚ασ☛ι; si l'on en retranche l'équation(4), on a
m—= I(a☛ν)—(☛‿ p)= 0, d'ou 1en: et comme! et— sont premiers entre eux, on a généralement a*‿e rl, p p=rq, ou an= k+rl,= p †ra.
Substituant dans l'équation(6) les valeurs de am, 6m,„n, Am, il vient
A'= B— bn. m= X+
Or on démontre que B= bn; donc r= O, et an=X̃k et= Sp. De meme, pour le paragraphe suivant.(Note du Traducteur).
), gest nis boit tauk an
beme 4 G dite rcen, mt rd
tuten wi k ntien a
Or en
driüre

al à aucune des ga al à Pune dels,S aurait eu éridemma
, la comparaisn i et de Léquation(- 1
Sdd. 1); on conelutt
at=, et couo 1= g, get ant à Péquaticn() fC wut icentihrs h 3*0„ on prod ec le zigne † ol me.
8
A R 17 HMETI OUES. 183
III. Si le signe des quantités n, etc. est opposé à celui de a,
la démonstration est tellement semblable à la précédente, qu'il suffit d'ajouter seulement les points principaux.
4— D 5. p 1 1 4 4 Ln. tombera entre 1 et 7.„ sera égal à une des fractions 49₰ 29—, ean. 4 p, 5* 75“ 75 etc., et en supposant donc 7= 65; on aura 7— 8D
La première de ces deux assertions se prouve comme il suit: si 7 v'est pas égal à une de ces fractions, elle devra tomber W d(a)(m 429 0r demont ͤ lus hauf entre deux 655 et: Or on emontre, comme plus haut,
nH 1) N m), qu'alors sera nécessairement= ᷑e☛¶/G= SFr, et partant y,
et K=—a. Mais J, par la substitution propre woa,, y, c, se change en wof⸗=(-K. Goa, Gh, K G), d'où naissent trois équations qui, jointes à l'équation ασ— G)G7,= 1, et aux équations(1),(2),(3) et(4), prouvent d'abord que le terme A de la forme F est égal au premier terme de la forme 6ndf, ensuite que le terme moyen de la première est congru à celui de
la seconde, suivant le module A, et que comme les deux formes
sont réduites, chacun d'eux tombe entre o et D R A, ces denx termes moyens sont égaux; et de là on conclut que 7= 656 Kinsi la vérité de cette première assertion est dérivée de la sup- position même qu'elle fút fausse. b b b 7 28 2 Or en supposant 41= 5, on démontre absolument de la même
manière et par les mèmes équations, que 1= 2„et au moyen
de l'equation 4„9— p= GDA0n—hn— Ge)Gy, on prouve que si l'on
prend pour q et?, o et Go avec le signe+ ou le signe—, il
faudra pour pet k prendre oy, et oa avec le méême signe, et
partant que les formes F et of sont identiques. 194. Comme les formes que nous avons appelées associées
.l
(ne 187, 6e.), sont toujours improprement équivalentes( n* 159,
à la fin), il est clair que si les formes réduites F et/ sont im- Proprement équivalentes, et que la forme G soit associée à F,

184 RECHERCHES les formes et G seront proprement équivalentes, et partant, la forme 6 sera contenue dans la période de la forme †; si donc les formes Fetf sont équivalentes tant proprement qu'improprement, on devra trouver Fet G dans la période de J. Cette période sera donc elle-mêème son associée(no 187, 7.); ce qui sert de confir- mation au théorème du n 165, par lequel nous nous étions con- vaincus qu'on pouvait trouver une forme ambigué équivalente à deux autres et]J.
195. PROBLEME. Etant données deuæ formées O et dont le dé- terminant est le méeme, distinguer si elles sont dguibalentes, ou³ si elles ne le sont pas.
On chexrchera deux formes réduites F et.f, respectivement et proprement équivalentes aux formes O et(n“ 183). Selon que ces formes réduites seront seulement proprement ou improprement équivalentes, ou qu'elles le seront des deux manières, ou qu'elles ne le seront point, les proposées le seront proprement, impro- prement, ou de deux manidres, ou ne le seront d'aucune manieère. On cherchera la période de l'une de ces deux formes réduites, par exemple de. ſ; et si la forme F s'y trouve sans que son associée y soit, le premier cas aura lieu; si cette dernière seule s'y trouve, le second cas aura lieu; si toutes deux y sont, ce sera le troisième cas; et le quatrième, quand il n'y aura ni l'une ni l'autre.
Zaemple. Soient les formes(129, 92, 65),(42, 59, 81) dont le déterminant est 79; on trouve pour réduites équivalentes (10, 7,— 3),(5, 8,— 3). La période de la première est
(10, 7,— 3),(— 3,8, 5),(5, 7,— 6),(—6, 5, 9),(9, 4,— 7),(—;7, 3, 10),
et comme la forme(5, 8,— 3) n'y est pas comprise, mais seu- Jement son associée(— 3, 8, 5), les formes proposées sont impro- prement équivalentes.
Si Pon distribue, comme ci-dessus(ne 187, 5.), toutes les formes réduites d'un déterminant donné en périodes P, O, R, etc., et qu'on prenne dans chacune d'elles une forme quelconque, F dans P, G dans O, H dans R, etc., il ne pourra y avoir parmi ces formes deux qui soient proprement équivalentes; mais toute autre forme de mème déterminant sera proprement équivalente à une

oFrmes d et dont2 sont epuiualenta,, . et f, respectinemen, 9( 185). Kelbn n ement ou improxeue r manieres, ou gill it proprement, inn eront d'aucune mamin deux formes kdlie Fe sans que Son asni ernieère seule S) tunn ont, ce sera le toiia lune ni Tautre, 65),(, R.A „ réduites équisaeas le la premiere eit
„
„9,4,—),
.„, as comprise, WME
4
tinn

fnen dhend tr iei 1
1. o
mt e iige n
Dae la 76,1. dtequnl
3 ½

ARITHMETIOUES. 185 une d'elles et à une seule. Il suit évidemment de là, que loutes les formes de meéme déterminant peuwent se distribuer en autant de classes qu'il a de périodes, en renfermant dans la première toutes celles qui sont proprement équivalentes à F, dans la seconde, toutes celles qui sont proprement équivalentes à G, etc. Ainsi toutes les formes renfermées dans la meême classe„ seraient pro- Prement équivalentes, mais deux formes prises dans des classes différentes ne le seront pas. Au reste nous n'insisterons pas davan- tage ici sur ce sujet, que nous expliquerons plus bas avec détail.
196. PROBLEME. Etant donnces deuæ Formeées O et ꝙ propre-
mént Gguivalentes, trouuer une transformation propre quii change l'une en l'autre.
Par la méthode du ne 183, on peut trouver deux suites de , e o. O00,, G&,. 0, telles que chacune des formes soit equivalente à celle qui la précède, et que les dernières et Qον soient des formes réduites; et comme O et D sont supposées équivalentes, Ooο doit se trouver dans la période de Qο. Soitooο r et sa période prolongée jusqu'à la forme d0: F h, f. G.), Jon, desorte que ⏓r; et désignons par,+,+†. †) les formes opposées(n“ 159) aux associées des formes. G, „6. 0, respectivement; alors dans la suite 5, Go, r.. z, /, f, fe-n, Pe-n, Tra). †, chaque forme est contigué par la dernière partie à celle qui la précède; d'ou, par le ne 177, on Pourra trouver une transformation de la première en la der- nière O. Cette liaison entre les formes est evidente depuis jusqu'à F Gn=n), et depuis P‿ν jusqu'à O. Quant aux formes ‿ et †ο‿, on la prouvera comme il suit: soit †σά(&, h, i); †ο 0 =(&' h, 1), Og=(g,“, ¹*). La forme(g',", 1) sera contigus Par la dernière partie à chacune des formes(g, h, i),(æ*, 7,*); ainsi i= g ü= i', et— h= IH—(mod.) i= 9= i', donc la forme (ν,— h', g)= v.— est contigus par la dernière partie à la forme(&, h, i)= 0n-1.)
Si les formes O et sont improprement équivalentes, la fo sera proprement équivalente à la forme dont O est opposée; on pourra trouver une transformation de O en cette forme elle se fait par la substitution a,,,
rme
ainsi
; et si
„on voit facilement A a
*

RECHERCHES
186 ement en ⁵ par la substitution a,—,
que O se change impropr „,— ³.
Il suit de là que si& et O sont équivalentes proprement et im- proprement„on peut trouver deux transformations, l'une propre
et l'autre improprée.
Exemple. Soit la forme(129, 92⸗ 65) à transformer en la forme(42, 59, 81) que nous avons trouvé lui etre improprement équivalente(n précéd.); il faudra commencer par trouver la transformation propre de la forme(129, 92, 65) en la forme (44,— 59, 81). Pour y parvenir, on établira la suite de formes
(129, 92, 65),(65,— 27, 10),(10, 7,— 3),—3, 3, 5), (5, 22, 81),(81, 59, 42),(42,— 59, 81);
de là on déduit la transformation propre— 47, 56, 75,— 87, qui change(129, 92, 65) en(42,— 59, 81); donc la transformation impropre— 47,— 56, 75, 87 la changera en(42, 59, 81).
197. Si'on connait une transformation d'une forme H(a, 5, 0) en une autre qui lui est équivalente, on pourra déduire de celle-là toutes les transformations semblables, pouryu qu'on con- naisse toutes les solutions de l'équation indéterminée ν— Du=m“, dans laquelle D est le déterminant des formes O et%, et m le plus grand diviseur commun des nombres a, 25, c(ne 162). Nous allons attaquer, en supposant D positif, ce problème que nous avons déjà résolu pour le cas de D négatif. Mais comme il est évident que toute valeur qui satisfera à l'équation, y sa- tisfera aussi avec un signe contraire, il suffira d'assigner les valeurs positives de f et de u, et chaque solution en nombres positifs fournira quatre solutions effectives. Pour y parvenir, nous chercherons d'abord les plus petites valeurs de t et u(excepté t=m, à= o qui se présentent d'elles-mêmes); et celles-ci une fois connues, nous indiquerons le moyen d'en déduire les autres.
198. PROBLkRME. Trouver les plus petits nombres qui satisfont à l'éεguation indéterminée t— Du= m', pourol qu'il existé une formeèe(M, N, P), dont le determinant soit D, et queé m soit le plus grand diviseur commun des nombres M, 2N, P.
On prendra à volonté une forme réduite f=(a, b, a*) dont le

dee,Premata OTmations ,1
dnegn 5) à transforce a 15 1 Iu Etre ünprö amencer par touna- „9a, 65) eu h im ablira la zuite d lm
— 47, 90, 55,-ig donc la transforwate en(4a, 59, d)
une forme 9=(4,h
on pourra déduinc dles, pouryu qucnes terminée †— Du*=n formes d et 9, etn es a, 25,(I 9 sitif, ce probleme q négatif. Mais com era 3 Péquation,1s 1 suffira d'asiigt ee solution en norh Pour)y parreui,m ars de t et u(eusf mes); et elerät J'en déduite les àn nombres qui eiſs quil eaile!

ARITHMETIOUES. 8, déterminant soit D, et telle que m soit le plus grand diviseur commun des nombres a, 25,, ce qui ne peut manquer d'arriver,
uisque l'on peut trouver une forme réduite équivalente à la forme(M, N, P), et qu'alors(ne 161) elle jouira de cette pro- priété. Mais pour la proposition actuelle, on pourra employer une forme réduite quelconque, pourvu qu'elle satisfasse à cette con- dition. On formera la période de f, où nous supposerons qu'il y ait n formes; en reprenant tous les signes dont nous nous sommes servis au n 188, on aura=(al?, 50⁰,— κιο), parceque n est pair, et f deviendra ν par la substitution propre ⁶νο, 80,„0, Tο; mais comme et †ν sont identiques, deviendra aussi ν par la substitution propre 1, o, o, 1. De ces deux transforma- tions semblables de f en †ο, on peut déduire, au moyen du
4
n* 162, une solution en nombres entiers de l'équation 12— Dus= ms; Nam
savoir, 1= 3(a⁶4.)m(gquation(1s), n. 162), U== Z
(Equation(19))(*). Désignons par T et V ces valeurs prises po- sitivement, si elles ne se présentent pas telles, et T, VU seront les plus petites valeurs de t,(excepté I= met u= o, auxquelles elles ne pourront jamais revenir, parcequ'on ne peut pas avoir „= 9..
Supposons en effet qu'il existe des valeurs r et u plus petites que T' et Wet parmi lesquelles on n'ait pas N=o. Alors, par le no 162, la forme Fse transforme en elle-mèême par la substi- tution propre b
1„ 1„ 1 1 2(r= h), aAu, Fan,—r 1o). Or(n“ 193, II)(r— b°) doit être égal à Pun des nombres a,*, a*, etc.,= 404„ par exemple. En effet, comme....
7*ά‿‿ε Du‿‿m ά‿ bu+ aνν᷑ m“, on aura 1 5 ²9, et partant 7— bu
7— 59 positif; donc la fraction ‚ qui répond à la frac-
0) Les quantités qui étaient, au no 162, a, 8,),£; A³, 6,,; A, F, . 7 7. 2 C; 4, B'’, C'; e; sont ici 1, 0, O, 1; n, 6*, 7, ⅜ a, 5,—; a, b,
—; 12Q. 2

———ͤſͤſͤſſſſ
188 RECHERCHES tion 4(nꝰ 193), aura le même signe que à ou a; ainsi l'on aura P Lapu, mau,(t+ b)= 80),„0*³). J) respectivement; 77
(n)m —„ et So, on
mais comme on a u 2 VU, c'est-à-dire, u=
b aura„ et— o; d'ou il suit que les quantités, 7„, etc. allant toujours en croissant,&G tombera entre o et m exclusive-
ment; mais la forme † 99), qui correspond à l'accent ¼ est iden- tique avec la forme f, ce qui est absurde, puisque toutes les formes, f', etc. jusqu'à forn sont supposées différentes. Donc 7T et F sont les plus petites valeurs de t et ³, excepté m et O.
Exemple. Si D= 79 et m= 1, on pourra employer la forme
réduite(3, 8,— 5), pour laquelle n= 6 et 2—r=— 8,=— 27,
J00r=— 152(n 188); d'où résultent T= 80 et V= 9, qui sont les plus petites valeurs de t et à qui satisfassent à l'équation 1*— 79 u= 1.
199. On peut trouver des formules encore plus commodes pour la pratique. En effet, on aura 2 5»„‿zÄ—(aν— 6), en multi- pliant(ne 162) l'équation(19) par 25, l'équation(20) par x, et changeant les caractéères comme nous l'avons fait, on tire de là
5 a+ 0= 2400——„, et partant
T==m(ι— Bν), EU== Een 2 3 c
On tirera de même des équations(20) et(21) 5 a) n T== m(aloò-‿ πQ ½),£ V= Se
Ces formules deviennent très-commodes, parcequ'on a„09., a00= ,0—“, et qu'en se servant de la première, il suffira de calculer la suite, 4ο, 4, etc., et qu'en se servant de la seconde, il suffira de calculer la suite, 6˙,§“, etc. En outre, on dé-
3 60 au-
duit facilement du n 189, 3°,., quen étant pair, ν et-

s quantitéx„, 4 tites 2)„
entre o et a excluir d à Paccent u est Uh de, puisque tous b t supposces diftnun
uss de t et a, en
arra employer k im 400= 8, 2— ⸗do et D=g, qu m
atisfassent à Kaquin
dore plus commodeéy -(a 40), am quation(a0) Prh rons fait, on tir&!

10. I gne dle
Wſc

1= 2, HA= 2,
ARITHMETIOUES.
ront le même signe, ainsi que ωι et 2700, desorte que dans la
première formule, on doit prendre pour Tune différence absolue et une somme dans la seconde, sans qu'il soit besoin de faire attention au signe.
Exemplé. Pour D= 61 et m= 2, on peut employer la forme (2, 7,— 6); on trouve n= 6, h’=— 2, n= 2, h' 1= 7. De là †&σ☚☚ά 444 et„== 195 (abstraction faite du signe); d'ou T= 2(1444— 1.195)= 1523 et V= 195. On trouve la méëme chose par l'autre formule.
Au reste, il y a plusieurs autres artifices par lesquels on peut simplifier le calcul; mais le desir d'abréger ne nous permet pas d'en parler avec plus d'étendue.
200. Pour tirer toutes les valeurs de t et de de la connais- sance des plus petites, nous mettrons l'équation T*— DUV== m⸗
sous la forme 5. V D) 3(E——VDO)= 1; d'ou l'on tire
(τÆ᷑πιmη)(τÆ᷑ ☚ ο)=.. 9),
NMN
2 VD
7
I
allons démontrer qu'en
peine qu'on a(*+ 20 70. 10 Dau„ 210)— 1*.
4 5)—
U
7 m m 7 7* 2VõNm
10
I
e étant un nombre quelconque. Faisons pour abréger, m/ 7, 77 m 22.wo)* 2(
.8 6 9 9
— 2 75)= n00,
ensorte que ces expressions soient représentées par te et uo quand = o(elles sont alors m, o); par t, u quand e= 1(elles sont alors Tet V);par et u quand e= 2; par t et u quand e= 3, etc. Nous renant pour e tous les nombres entiers po-
sitifs depuis o jusguAſ: 1⁰. toutes les valeurs de ces expressions satisferont à l'équation proposée; 20. toutes ces valeurs sont en- tieres; 3°. il n'y a pas de valeurs de? et u qui ne soient con- tenues dans ces formules. b I. En substituant pour 100 et uν leurs valeurs, on prouve sans D)(ο—- u D)= m⸗, c'est-à-dire,
II. On démontre facilement de la même manière qu'on a gé-

————— ee e———
190 RECHERCHES 27*. néralement 1ιο+‿ι⁸‿νάꝛ—- 10, et M*, u= e. II
suit de là que les deux progressions: tο, t, l, l“", etc.; uν, 1, 27, u', etc. sont récurrentes, et que l'échelle de relation est pour
27 777
27. 27 27. chacune d'elles,— 1, sSavoll, t'=r t— tz t= t,— t, eto.
27
21 ‿tz—— u, etc. m
Or, par hypothèse, il existe une forme(M, N, P) dont le dé- terminant est D et dans laquelle M, 2 N, P sont divisibles par m, et l'équation ‿Æus me donne T*= CN=— MP) Ue ma, ainsi 4 T° sera divisible par m; donc 22. est un nombre entier et po- sitif. Comme d'ailleurs te= m, 17= T,—= 0, 2= U, les termes des deux séries sont entiers; il est clair aussi que 7 étant— m', ces mêmes termes sont tous positifs, et vont en augmentant à
l'infini. III. Supposons qu'il y ait d'autres valeurs positives de t, ³
qui ne soient pas contenues dans les progressions le, t,, etc.
u*, u, u, etc.; T' et V', par exemple. Puisque la série uν, u, etc. croit à l'infini, V' sera nécessairement compris entre deux termes consécutifs us et uerr, ensorte qu'on ait V u et U Zunt. Pour démontrer l'absurdité de cette supposition, observons que:
1*. L'équation 1½— Due=m“ sera satisfaite en posant — 17 ℳ0 n— 1 T/„ n t= zE(T'ν- DU’uο, u‿=e(M*0— T/u), ce qui peut se
confirmer sans peine par la substitution. Représentons ces valeurs par r et v, nous prouverons, comme il suit, que ce sont des nombres entiers. Si(M, N, P) est une forme dont le détermi- nant est D, et que m soit le diviseur commun des nombres M, 2N, P, T+‿ NVU et 10+‿ Nalb sont divisibles par m, et par- tant V(‿‿‿ MXuο)— u(T= NUV)= W200 uor“ J'est aussi; donc v sera entier et r par suite, puisque ĩ Dusmde.
2*. Il est clair que u ne peut être=’o; en effet, il s'ensuivrait V/2/10. 100 7 ³ 2n0, ou
U(Du ‿‿ν)= uνιμν ο‿‿‿m);
d'ou l'on tire V'e= u. ²*, contre l'hypothèse par laquelle
Udäfelig
nu 1*

8
+
(A, J„P) dontpé P zont— — MP)T. n
i nomdbre entiet 4
=0, u= U, les em ssi que T' étaut)y- vont en Augmentam:
ſeurs positires det,! gressions F, f, f,& sque la série u', u,t mpris entre deux teme U Su et UCT osition, obseryons oe
atisfaite en hui 1u0), ce qui pel Aeprésentons ces un zuit, que ce un ſorme dont! b dien
commun des Tou
vihhe par m,8 17.
— u0T Pest ani †m. en elfet, i vxaun
ARITHMETITOUES. r9r U u0. Mais comme V est la plus peiiten val eur d25 14, aprs zéro, u' ne sera certainement pas=. ofs ar.
3° Des valeurs de 710⁰0, 1, n, 2h, on tire aisément m= uDtDTA; dono M, 421 acn De Sura Pas Plussh ps tit que uurutteu4n.
555. L'equation T⁴— D=me. aonne? ze Lo 1 V,
1n+ et l'on a. de mêème e: 1); d. ou 1 on con-
400.„ clut facilement que P a 3S. Pe et de Aeeuerungee
dente, il suit que
(Uuν— Tr*u⁴ν(o o2)Cerrees eu(re Mceen
62*9 2S/.
En développant, et remplaqant 772, 100, 1O, 10) 20) par leurs valeurs Des ao.⸗ Duoo. à br u Duler. un m, on a
5— 2n e)—₰ de z S(a vuer, 52 ED o),
ou transposant, ce qui est permis puisque les Tuaqfihes sönt
Positives. .(E) uCGE) Cn)— 90.
— 2ee ue n
résultat abeurde, puisque 5 uen et que partant A e
uCn) 6 6 séries d, 2, 24, etc.;; ue,,“, etc.; renferment toutes les raleurs positives de t et u.
.KAinsi la supposition ne peut avoir lieu„ et les
Eæxenmplé. Pour et m.= 2, nous avons trouvé que les plus petites valeurs de k et u&taient 1525, 195; ainsi toutes les valeurs positives seront données par les formules
1=(E H 6.).— wuaeseene 2e perl Sereas uyn. 2s 4Nei)).
66 l'on trouve
12. 1=1525, e= 1533 1— 3— 2=399 3 79= 1523 1— t, 55326. 8098, etc. ud, u 195, u1= 1523u,— i= 296985, u=1523u"— 1e 182307966, etc.

—— öhöoöoo———=
192 4 RECHERCHES 201. Relativement au problème résolu dans les numéros précéè- dens, nous ajouterons encore quelques observations.
I. Comme nous avons appris à résoudre l'équation t— Du'= m', oð m est le plus grand diviseur commun des nombres M, 2 N, P, tels qu'on ait N„Ip= H, il est utile d'assigner les nombres qui peuvent stre de tels diviseurs, c'est-à-dire, toutes les valeurs de m pour une valeur donnée de D.
On fera D=n⸗D, desorte que D' soit délivré de tout facteur quadratique, ce qu'on obtiendra en prenant pour n' le plus grand quarré qui puisse diviser D. Si D ne renfermait aucun facteur quadratique, il faudrait prendre n= 1.
1°. Si D' est de la forme M- 1, tout diviseur de 2u sera une valeur de m et réciproquement. En effet, si divise 2, on aura
la forme(g, n.— 5— ‚dont le déterminant est D, et dans
laquelle g est évidemment le plus grand diviseur commun entre g,
2,—(car— 2= 4⁵ D=u est èvidemment un nombre entier). Réciproquement, si g est une valeur de m, c'est-à-dire, si g est le plus grand commun diviseur des nombres M, 2 N, P,
et qu'on ait N— MpP= D, il est évident que 40 ou 4n sera divisible par g', et il suit de là que an est nécessairement di- visible par g; car si ne divisait pas 2 6, 3 et 2u auraient pour plus grand commun diviseur un nombre g, et en faisant
20 82 492— 2 an= du, g= dg“,— serait un nombre entier; mais' est pre- 3 b mier avecg'“, et partant n'* avec 9“*; donc D serait divisible par g“, contre l'hypothèse, puisque D est delivré de tout facteur qua- dratique. ͤͤͤ b 2°. Si D' est de la forme 4¼+2 ou 44ℳ 5, tout diviseur de n sera valeur de m, et réciproquement toute valeur de m divisera n.
En effet, si g est diviseur de n, on aura la forme( 6,——). dont le déterminant est D, et où g est évidemment le plus grand
.. n D. 3—. 3 commun diviseur des nombres g,„—. Réciproquement, 8i„
est supposé valeur de m, c'est-à-dire, le plus grand commun di- viseur

dire, toutes lräen
délivré de tout frn unt pour m leyimza enfermait aucun käce
diviseur de an gnu „Si g dirise n, um
rminant est D, et a riseur commun eute; stévidemmentunmon)
aleur de m, cestic- des nombres M. M t que 40 ou SeD
z est nécessaitenerti
„ et 27 auraiertyl
ce 4„, et eu küs
entier; mais 7 ei
D serait ürisden ré de tout facteu o
tout dinielt
5, e valeur de nchien —1¹ 22
la forme H n 7
videmment e huß⸗
Mehexheea l
grand co

——ö———ddnͤ
—-O————8ͤͤẽẽͤͤͤͤͤ---
8ö8öoöoöoöͤöͤöoöoöoöoöoöoöoͤöhh

ARITHMETIOVUES. 193 viseur des nombres M, 2N, P, pour lesquels on a N.— MP= D on prouvera, comme ci-dessus, que 3 est un nombre entier. Or
An²
supposons que ce quotient soit impair, le quarré sera—
(mod. 4), et partant—=D'= 2 ou= 3(mod. 4). Mais
4*D. 40 4-e 4P 4N ———,—— mod.„ alns
= 3(mod. 4), ce qui est absurde, puisqu'un quarréè doit être con-
— 2 oͤn(
gru à zéro ou à l'unité, suivant le module 4. Donc— ötant pair, 5 8e sera entier et 7 divisible par g.
Ainsi il est clair, que 1 est toujours valeur de m, c'est-à-dire que l'équation t*— Da“= est toujours résoluble par o qui pré- cède, pour toute valeur de D positive et non quarrée. Ee nombre 2 ne sera valeur de m que dans le cas où B sera d la Horre Ak ou de la forme 4¼+ 1. b
II. Si m est plus grand que 2, mais qu'il soit un nombre con- venable, la solution de beAn tion ts— Dus= m“ pourra être rame- née à celle d'une équation semblable où m= ou 2. En effet posons, comme plus haut, D= n*D', si m divise n, m' divisera D.
Alors si l'on suppose que pour l'équation„⸗— Eo= 1, les plus
petites valeurs de p et q soient p= P, 9=0; les plus petites va- leurs de:, z, dans l'équation 1— Du= m“ seront 1 mP, u= O. Mais si m ne divise pas n, il divisera au moins 2 1; alors il sera
D pair, et partant— sera un nombre entier, et si les plus petites
valeurs de„ et g dans l'équation p⸗— 4 5 7 ‿æ sont„= P, 7= O,
les plus petites valeurs de:,, dans l'équation 1*— Dus= m“,
seront t== 2P, 2,O.
Au reste, dans les deux cas, on peut qaaufse, non-seulement les plus petites valeurs de:, u, de la connaissance des plus pe- tites valeurs de p, g, mais toutes les valeurs des premières de
toutes les valeurs des secondes. B b

——
194 RECHERCHES
III. En désignant par t*, ao; t, u; 1, u“, etc. toutes les valeurs positives de t, u dans l'équation t².— DOua= me, comme dans le n précédent, s'il arrive que certaines valeurs dans cette série soient congrues aux premières, suivant un module quelconque donné
(⁶)()
r; si, par exemple, on at= te= m, u= ue= o(mod. r), et que les valeurs suivantes le soient aux secondes, u1¹)=uf; on aura de même 14)=„, 2u t2)= ¹, etc., ce qui se déduit facilement de la loi même des deux séries. En effet, puisque t=Tr—r, et que du a)—** 0)„on
2 aura 1= 10 1²)
néralement) ü L4 2 2a 2= 209(mod. r), h étant un
nombre quelconque, et plus généralement si(mod.), on
aura 6= 20) et ue 20(mod. 7).
IV. Or on peut toujours satisfaire aux conditions de l'obser- vation précédente, c'est-à-dire, on peut toujours trouver un in-
.. 1 dice pour lequel on ait 7=r, 1*=t“, A=n, 24q*1=u,
suivant un module quelconque donné r. En effet,
1⁰. On peut toujours satisfaire à la troisième condition, puis- qu'il est aisé de s'assurer, par les caractères présentés dans la première observation, que l'équation p*— H“=me est réso- luble; et si les plus petites valeurs de, 7 sont ˙, 7= O, on en déduira 1=P, u=erO; ainsi P et 7C seront contenus dans
G 7 X les suites tο,, etc., νο,, etc.; et si P=N 0
. rOn
aura u=o=u“(mod. r). En outre on voit facilement qu'entre
„ on
X⁸⁵. ue et aucun terme ne sera congru à u', suivant le module z.
2°. Il est clair que si dans ce cas les trois autres conditions 6+y„ O„„G — 39
sont remplies, c'est-à-dire, si ³=20, 1 on pourra prendre ½ᷣ. χκ mais si une de ces conditions manque, on pourra prendre à coup sür ‧‿ꝛ2 2X. En effet, de l'équation(1) et des formules générales qui donnent 1 et u dans le no pré- cédent, on déduit b
— —=— 1.
100+21)oe t,
‚Het ainsi des autres. Il suit de là qu'on a gé-

nditions obm. 8. 6 jours troſ b
4 Gotthold Eisenstein,
Stud. math. 8)—,
=
4 me cond— 1 3' V ees présen 2 a2sb
2 „DG'= n.
seront 0⁶ 2 15 0
O= ,¹ 1 ¹ I
zuivant

M„ — A. — z
7 — ſu= A, = X&,
4„ ₰4o/ 4 3— ꝑ————— —— ℳæ/— ℳ G A
71292

us 2 zecondes, te 2-4)
— 4
ne 82 3 deux rie =27,)). g m
dl nit de là qum a;.
mod. r), R duantu 31=(mod.¹),
conditions de lohe.
hujpas tromrer m-
20, 9=u“, u r 21)
En effet,
ssibme condition, mi teres présentés dan — TDgH'=n e 8
„F sont p= 0, . seront cont Hah
—0„70=u, voit N xieuen gxeu
9, zuivant le woal
déduit d=rmog. r): enfin on trouve ¹³
et comme 27
4ue. ub=)==u(mod. 1).
ARITHMETIOUEsS. 195 „25) 21(10).⸗ 05,† D4a)= 3(w.+ 2 DuCDu))
1= 2 Du. us)
et Partant 5=—, qui est un nombre entier; puisque
mr
r divise, et que, m“ divisant 40, à plus forte raison m divi-
sera 2D. On trouvera de meme u¶ ꝛr— 20„ Het comme
4 020= 4Du⁴ Gu+ z⸗ et est parconséquent divisible par ms,
2100 le sera par m, et partant 26²
2 ¼ 4 e
par 7, c'est-à-dire que ab 48*-.1)— 4*+ 20
ĩν(mod. r). On a encore 0
„ et
est un nombre entier, on en (2 82.— 4 A2
est divisible par m et u.
.. 2Du comme, par la même raison,
210+0
m 2
*) par r, il s'ensuit
Au reste, on reconnaitra par la suite Pusage de ces s deux der-
nidres observations.
202. Le cas particulier où l'équation est t— Du'= a déjà été
traité par les géomètres du siècle dernier. Fermat avait proposé ce problème aux analystes anglais, et Mallis rapporte(AIge.
chap. 98, T. II de ses Euvres, p. 418), une solution qu'il attribue à Brounker. De son côté, Ozanam prétend qu'elle est de Fermat; enfin Euler, qui s'en est oocupé,(Comm. Petrop. II, p. 175; Comm. Nou. XI, p. 28(); Algébre, T. II, p. 226; Opusc. Anal.
I, p. 310), dit que Pellius l'a trouvée le premier, ce qui a fait
donner par quelques-uns à ce problème le nom de Pellien. Toutes ces solutions, en n'en regardant que l'esprit, retombent dans celle
(*) Dans ce Mémoire, l'algorithme que nous avons exposé no 32, est présenté avec les mémes signes, ce que nous avons négligé de remarquer alors. 2

RECHERCH ES que nous obtenons, si, dans le ne 198, nous nous gervons d'une forme réduite dans laquelle a 1; mais personne, avant Lagrange, m'avait démontré rigoureusement(*†) que l'opération qu'elles prescrivent devait nécessairement finir, c'est-à-dire, que le pro- bléeme était toujours résoluble(Mælanges de la Gocidté de Turin, T. IV., p. 19, et d'une manière lus élégante, Hist. de l'Acad. „ P. 19. P 8 de Berlin, 1767, p. 237). Cette recherche se trouve encore dans les Supplomens à l'Algéebre d' Euler. Au reste, notre méthode, tirée de principes absolument différens, ne se borne pas au cas de m= 1, et donne le plus souvent différens moyens de parvenir à la solution,
196
puisque dans le no 198, nous pouvons partir d'une forme réduite quelconque(a, b,—). b W
203. PROBLEME. Si lIes formes O el O sont quivalentes, trou- ver toutes les transformations de l'une en V'autre.
Quand ces formes ne seront équivalentes que d'une seule manière, c'est-Aà-dire, ou proprement ou improprement, on cherchera, par le ne 196, une transformation a, 3,„, ₰ de la forme Oen O, et il est clair qu'il n'y aura pas d'autres transformations qui ne soient semblables à celle-là. Mais quand O et o seront équivalentes des deux manières, on cherchera deux transformations dissemblables, c'est-à-dire, une propre et une impropre, a, 6, 7, T; 6„, Ir, et toute autre transformation sera semblable à l'une d'elles. Si donc %=(a, 5,) et que son déterminant soit D, que m soit, à Pordinaire, le plus grand commun diviseur des nombres a, 25, G et, u les valeurs indéterminées qui satisfont à l’'équation 12— Du==m'; dans le premier cas, toutes les transformations de o en o seront contenues dans la première(1) des formules suivantes, et dans le second cas, dans la première(1) et dans la seconde(2):
—
C Ce que WMallis a avancé à ce sujet(Alg. pp. 427„ 428), n'est d'aucun poids. Le paralogisme consiste en ce qu'il suppose qu'etant donnée une quantité p on peut trouver des nombres entiers a et 2 tels que=— soit Tp, ek que la diffé
2 rence soit plus petite qu'un nombre assignéè, ce qui est vrai quand la différenc assignée a une valeur determinée, mais non lorsque, comme dans le cas présent —.. elle est fonction de a et de z, et partant variablé.

qpe ie la Societs n ante, Hist. dek a
e troure encon dnhs
e, notre me ddace in
Tne pas au cas be
le parvenir ALubiu rtir d'une loruen t
sont equivalentes, i Fautre.
mwe d une zenle wanin hent, on cherchers,i de la forme pendò,: formations qui evi- zeront Cquiralente b cmations dissembläbe „6,7⸗ 4;34, 6,71 ſe à l'une Telles Kin soit D, quen gi zur des nombresa,- zatisfont 1 lägui zutes les transformäls emière(i) des ſon a prewiefe c) a
1 Maes 18t du p. 427, 498,
2 u'tant donnee A bar

ARITHMETIOVUES.
(1).... E(at—(ab.)G)u),„.(8—(85 C)u), 5aa-L)u),—(Ork(2a-. g9));
er— r evTee, 2,G9.Kr eyu), lis 40 ta. 2-*b)), 20(4 1‿'a-4 L)v).
b aeeanie Ou demande toutes e ere als wlliden de la forme (129, 92, 65) en la forme(42, 59, 81). Nous avons trouvé(n“ 195) qu'elles étaient improprement équivalentes ‚„et dans le ne suivant nous avons eu cette transformation impropre:— 47,— 56, 73, 87;; ainsi toutes les transformations semblables seront contenues dans les formules b
—(471- 4211),—G64— 532), 0-L6852, 8,74 oe
t, 6tant les nombres indéterminés qui satisfont à réquation 4.=Def 15 ils vont⸗ donnés par les formules
1= 4(o o47-7)).
9. 5 n—(Go-,1„ 79Y— Go—91/79)]¹9,
oùð Ton doit—— e tous les nombres entiers positißs.
204. II est erident Kllie la ſormule PeAerele a donne loutes les tion dustjale d'u elle est tirée Test elle-mèême davuntago,„ et comme il est indifférent de quelle transformation on parfe, on peut souvent rendre la formule générale plus simple, si de la premitre qu'on trouve, on déduit une transformation plus simple den attribuant à!, des valeurs déterminées, et si l'on forme avec une autre formule. En faisant, par exemple, dans la for- mule de l'exemple précédent, 7= 80, u2=— 9, il en résulte une transformation plus simple que celle d'où nous étions partis, savoir, 29, 47;— 37,— 60; d'où l'on déduit la transformation générale
291— 263 u, 471.— 424u,— 371+ 337u,— 601+ 5439.
Ainsi, lorsqu'on a trouvé la formule générale au moyen de ce qui précde, on pourra essayer si en attribuant à, les valeurs
☛*

RECHERCHES déterminées£l', l,£tν, etc.;£au,£u, u!, eic. on obtient une transformation plus simple que celle d'où l'on a dé- duit la formule, et dans ce cas on pourra trouver une formule plus simple. Au reste, il y a quelque chose d'arbitraire dans le choix, desorte qu'il serait utile de Famener à une règle certaine et d'assigner dans la progression t, u; t“, u“, etc. des limites après lesquelles on n'obtient que des taustormations moins simples, desorte qu'il fut suffisant de faire les essais parmi elles. Cependant comme le plus souvent, par les méthodes que nous avons données, on obtient la transformation la plus simple, soit sur-le-champ, soit en employant les valeurs, dl, nous supprimons cette re- cherche.
205. PROBLEME. Trouwer toutes les représentations d'un nombre donné M par une forme donnée ax* ‿ 2bxy † y, dout le delermi- nant positif non quarre est= D.
Observons d'abord que la recherche des représenfations par des valeurs de x, non premières entre elles, peut se ramener ici absolument de la mèême manière que pour les formes de détermi- nant négatif(ne 181), au cas où ces valeurs sont premières entre elles. Or pour qu'il soit possible de représenter le nombre M par des valeurs premières entre elles, il faut que Dsoit résidu quadra- tique de M, et si les valeurs de l'expression 0(mod. M) sont: N,— N. N’,— X', etc. qu'on peut prendre telles qu' aucune ne soit, toute représentation du nombre M par la forme Pro- posée appartiendra à une de ces valeurs. Ainsi, avant tout, on devra chercher les nombres N, W“, etc. et ensuite les représenta- tions qui appartiennent à chacun Teus. Il n'y aura pas de repré- sentations 32ppaltonaules à la valeur M, si les formes(a, 5, c),
(, N. 2 le sont, on cherchera une transformation propre a, 8,„, ³ de la première en la seconde, alors on aura, en faisant= æ,= y
une représentation du nombre Mappartenante à la valeur N, et toutes les représentations seront données par les formules
— lentes; zi ell I7)ne sont pas proprement équivalentes; mais si elles
r=—[ar(Ab-*)yC)u).-..N= 1- a-.H,e).
ao ne 1 41 düte,
dagt
Frme
duden kep- dlen
Irc ume
Doan mpn dautre 58 liwi Kſorm Katte ei na la
1es, On to rale bzent Re la t xp
—
rtati r l
delles,
Ni
val
Deu nemic dssl Out dy
)

”s parmi elles.e, 8 ze nous avons tim, e, soit zur-] erchan
aus zupprimons 9
resentations Dunanh Pcy*, dont e dähn
les repräsentatioss mi Mes, peut se ramerri dur les formes de dttn leurs sont premiltes e céseuter le nombeely que D wit mäiiduhs wion(wod.)a adte telles quaucur ubre M par la fummey Ainsi, araut tou et ensuite les fepr Il n) aura hbn si les forcpes(erh
Ri quiralentes; ma
on propfè 4, 9,„93 en faisant 1eu, aante à là raleur
par les formules
rrerM
b ARITHMETTITOVUES. 199 Au reske, il est évident que cette formule gênérale sera d'autant plus simple, que la transformation a, 8,„, ₰, dont elle est dé- duite, le sera elle-même davantage. Ainsi il sera utile de trouver, d'après le ne précédent, la transformation la plus simple de la
forme(a, 5, c) en la forme(I, N, 4— On trouvera abso-
lument de la mème manieère les formules générales qui donnent les représentations appartenantes aux valeurs— N, V,— N“, 1, etc., s'il en existe.
Exemple. On cherche les représentaions du nombre 585 par la forme 42Qνν‿‿ 2T+ 21).
Pour ce qui regarde les représentations par des valeurs de æ,„ non premidères entre elles, il est clair qu'il ne peut y en avoir d'autres que celles où le plus grand diviseur commun des nombres æ, y serait 3, puisque 9 est le seul diviseur quadratique de 585. Ainsi quand on aura les représonkations du nombre 65= 265 par la forme 42xQι‿‿‿μπ‿‿άαν, dans lesquelles et sont premiers entre eux, on en tirera toutes les représentations du nombre 585, par la forme 42* ‿ 6ar) † 29)„ en posant—e 3a et ☚ρƷ.
Les valeurs de l'expression 79(mod. 65) sont 12 E27, On trouve que la representation du nombre 65 appartenaute à la Taleur— 12, est= 2,„:— 1, d' ou il suit Aue toutes les re- par la formule aenaore.„„ n et pastaut, toutes les représentations du nombre 585, par la formule*= 61— 123, = 31-† 1598. De la même manidère, on trouve que les repré- sentations du nombre 65 appartenantes à la valeur 12 sont données par la formule générale a= 22t— 199,„=— 231+ 211, et celles qui en naissent pour 585 par—=66!— 5971,=— 691ℳ 63322. Mais il n'y a aucune représentation du nombre 65 2pardenanto à la valeur 27. Sn
Pour trouver les représentations de 585 par des valeurs d ꝙ, y premieères entre elles, il faut d'abord trouver les valeurs de l'ex- pression /79(mod. 585) qui sont£f7, 103,£ 157, 248. On trouve qu'aucune représentation n'appartient aux valeurs X 77,*£ 105, 248. Mais pour la valeur— 157 on a la repré-

200 RECHERCHES sentation 3,= 1, d'où l'on tire la formule générale = 3 1— 114„ 9„= 15 7. Pour la valeur+ 157, on a de mème la représentation= 83,= 87, et la formule qui contient toutes les transformations semblables est α= 831— 746 ¼, On a donc quatre formules gènérales, dans lesquelles sont con- tenues toutes les représentations du nombre 585 par la forme 42Q‿‿ñz+‿ 2“,“ „=61— 123u, J=— 51-159 u, a=661—597,==—691-633u, „= 31— 114u,= 1+ 157 1,= 831—746 1,=— 871+789u.
nière que ad—)= 1, ce qui peut se faire. Par la substitution 2, S, y, ³, la forme(a, 5, c) se changera en une autre(a, b,),
qui lui sera proprement équivalente. Or on aura
5= aas*† bA4—+ G)*c(h b) as—+ 5ad+‿ G)—(h. b))= h(al—)=h
3= a6+†r 2b39+ cJ=(h b) 0 ℳ 259—(h4 b)9=o. b Si donc a' est situé entre o et 2 /.— 1, la forme(d*˙, 5', 9 satisfera à toutes les conditions. 3
II. Mais si tombe hors de ces deux limites, soit A le résidu minimum positif de ℳ, suivant le module 2h, A sera évidemment entre o, et 2h— 1; soit posé A 2= 25, alors la forme (a, U, G)=(, h, o), se changera, par la substitution 1, oO, Kk, 1, en(A, h, o) qui sera proprement 6quivalente aux formes(, 5,
(a,

Seru,— dg n
74bu,- diSh das darantage 1nL n entes, patcegye cim ütant ce qui a Gs5 3 de déterninant u
Me(a, b, c) de ceten⸗ tive, trouver ane im alente, dans laquelt. od Pon ait=h,(- Soit fäütt
C —-h leterminons a,) dr
nire. Par la subsüituin
, en une autre(, h0- aura
-) 9A-)⸗ —
* —0.
4„ bi orme(7, 5,0 aüd
je ril
p 3
zmites, Ssoit 4 1 a5, A zelà gridem 1 p, alos k
49¹
Antion 170, substitutioh— 6
armes(4 ½ν te aux form
9

ARITHMETIOUES. 201 (, 5, o), et satisfera à toutes les conditions. Au reste, il est aise de voir que la forme(a, 5, c) se change en(A h, o) par la substi- tution a †+‿,„,+Tℳ, T.
Exemple. Soit la forme(27, 15, 8) dont le déterminant est 9; ici(= 3 et 5= K, en prenant donc= 4, b
/= 2, la forme(aε, 5) se trouvée être(—:, 3, o), qui se change en(5, 3, o) par la substitution 1, o„ 1, I. Cette dernidère est par- conséquent la forme demandée, et la Proposée se change en elle par la substitution Propre 3, 4,— 7,— 9.
—9,=— 1,
Les formes telles que(A, h, 0), dans lesquelles A est compris entre o et 264h— 1 inclusivement, s'appelleront formes reduites; mais il faut bien les distinguer des formes réduites de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré.
207. THEOREME. Deuæ formes reduites(a, h, o),(a, h, 0) ne Peubent étre proprement ꝗguivalentes sans étre dentigues.
En effet, si on les suppose proprement équivalentes, soit æ, 8,
ꝛ, ³ la transformation qui change la première en la seconde, on aura les équations
2 ‿‿τ2%2..(1) 2u‿‿ϊſ ‿ ⁵...(2) 2˙*+ 2h=Oo.(3) 24 Ae x(H.
De l'équation(3) on tire= o ou 2+ 2h= o; mais si l'on sup- Pose que ne soit pas zéro, comme l'équation(2) peut se mettre sous la forme 2ᷣ‿+‿οꝗ ½ενμ z o=o, qui donne alors nécessairement aa+‿ 2= o, il s'ensuivrait par l'équation(1) que ‿ o. Donc on doit seulement supposer ½= o, ce qui réduit l'équation(4) à ad=e 1, d'où aec 1. Ainsi l'équation(1) devient a⸗ 2h)= a, ce qui ne peut avoir lieu qu'en supposant= o, puisque a et a sont tous les deux compris entre o et 2 ½— 1; ainsi on a donc a= 2 c'est-à-dire que les deux formes sont identiques.
On résout par là sans difficulté les problèmes suivans
„ qui en offraient beaucoup pour les autres déterminans.
I. Dæterminer si deuæ Formes F, F„ de méme determinant quarre, sont coquisalentes ou non.
ce

een-
RECHERCHES
202 On cherchera deux formes réduites équivalentes aux formes F et
et suivant que ces réduites seront ou non iden-
ées seront ou non équivalentes. in
F' respectivement, tiques, les formes propos II. Delerminer si deuæ formes F, F sont impropremeni&qui- valentes. 1. 86e à l'une des deux formes, à F, par exemple;
Soit G la forme oppo si G est proprement 6quivalente à F', F et F' seront improprement ln quivalentes. S2 denle
208. PROBLEML. Erant donnees deuæ formes F el Fô de meme
determinant h' propremenl éguiualentes, trouber une transforma- tion propre de l'une en l'autre. b fol. Soit la réduite equivalente à F et à“; on cherchera par le 4 n 106 une transformation propre, 8,), de F en o, et une d transformation propre at, 6,),' de F en 9. Alors O se changera it( en F par la substitution propre J,—,—,, et partant Fen Rapnt ' par la substitution propre ˙—, Ba— aβ,„J— den d—„. b Inl dqrire
Il peut être utile de donner pour cette transformation de Fen ¹ b 3 10 une autre formule, pour laquelle il n'est pas nécessaire de connaitre 6
la réduite O ellemême. Soit F=(a, 5, c), F=(Gα 5, 6), ¹00 ‿1(A, h, o); puisque 5 est la plus simple expression de la frac- 1 2 h— 5„. 4— 1.„ tion— ou de la fraction— f' on aura—=5 égal à un 9 entier que nous supposerons=, et de même 3= A=g. Or autre on a 1 A= aas †& 25e*‿()“, d'ou=aa † 25 Gᷣ Oy*, e h ou en substituant pour,&(— 5b), pour G, 6g, 1 b Klt:
8A= A‿ι◻φᷣ+†. 5(28„— ad)e+‿)g; 1 ton
et comme 5=— h— dg, b b N b vanie
8ℳA₰= 22(ad— By) ad— 87)“ 9— 2+s 5 1 el
de même

formes F ei Fan rouvuer une tunin
F; on cherchen R
7,— de Feny, är en 9. Alots gxe dag
4—), a, e* Ram— , K- 3, S.
(ransformation dè Jal
6
aas nécessaire de count
5, c), Fla, 10 gple expresiion dehi
— 6 ¼ 41 ana=
pſu 2ua,⁸ P 12† vour C, 8,
2+ 97˙8
„)g= 24¹+s
ARITHMETIOUES. 205 A a † 2bννα+ωe⁴= a⸗ef+‿ b(24.—„)„— 3)˙1. =(ad— By)=I-2(α— y)h=ef-2yhz; 4— f
donc a= GA- et„
2 h 275,. 9 2„ On a de même, relativement à la forme F“, 4 E et „ 4-*,—— 7 224
En substituant ces valeurs de æ,,, dans la formule précé- dente, elle se change en la substitution suivante:
. T.—g g-s Adf gf-= 2 5* 254* 2 ² 27 2
d'oùu A a disparu.
Si l'on propose deux formes F, F’ improprement équivalentes, et qu'on demande une transformation impropre de l'une en l'autre, soit G la forme opposée à F, et, G,„, ₰ une trausformation propre de G en F, il est clair que a, 8,— y,—, sera une transformation impropre de en F.
Enfin on voit que si les formes sont proprement et improprement équivalentes, on pourra trouver de cette manière deux transforma- tions, l'une propre et l'autre impropre.
209. Ilne nous reste plus parconséquent qu'à déduire d'une seule transformation toutes celles qui lui sont semblables, ce qui dépend de la solution de l'équation 1a.— h*lue= ma. Mais cette Squation ne peut se résoudre que de deux manières, savoir, en fai- sant t=m,= o, ou 1=—m, u= o. Supposons en effet une autre solution 1= T, u‿=ÿ U oꝑù Une soit pas zéro; comme zm⸗ di-
472 he 22 Gabe vise 45“, on aura 44- 4 4; et 44 ainsi que 4— sont
des quarrés entiers; mais on voit facilement que la différence de deux quarrés entiers ne peut être 4, à moins que le plus petit ne soit=o; si donc la forme F se change en F par la transforma- tion a, 8,),, on ne trouvera d'autre transformation semblable que— a,—,—y,— J, et si elles ne sont équivalentes que d'une manière, il n'y aura que deux transformations; il y en aura quatre si elles sont équivalentes des deux manières, savoir, deux propres et deux impropres. 2

““
204 RECHERCHES
210. THEOREME. Si deuæ formes réduites(a, h, o),(a“, h, o) sont improprement équivalentes, on aura aa=m“(mod. 2mh), m ctant le plus grand commun diviseur des nombres a, 2h ou a¹, ah; et réciproquement si a, 2h; a, zh ont le méme plus grand diviseur commun m, et qu'lon ait aa=m“(mod. 2hm), les formes (a, h, o),(a, h, o) seront improprement éguivalentes.
I. Si la forme(a, h, o) se change en(, h, o) par la transfor- mation impropre a, 3,,, on aura les équations auν ‿†‿ 2 ha= odoñ(1), auß+‿ h(ad+.)=h.(2), a6=- 2hͤ64=—0o.(5), ad— 6G)———(4).
On déduit de l'équation(1)
(ax †+ 2 νh ⁷)-—(aa ah) 25by= au, ou(ax+† 25)²= aa(mod. 2⁷.(aæ+† 2h)))
Or en combinant les équations(2) et(4), on tire(¶⁴1 ‿ Vhd)a= o,
et comme la supposition«= o réduirait l'équation(1) à-= o,
4 6 8ℳ h
contre l'hypothèse, on doit avoir aβ †+. 2 h= o, ou 5=— 2, et 21hh„— aa 2 h⸗ 3
partant 9=K 3 J= ꝓe l'équation(4) donne alors= 2=—,
ou a+‿ 25y=k m. Ainsi la congruence que nous avions trouvée devient ma= aa(mod. 2 n). II. Si m est le plus grand diviseur commun des nombres a, 2 ʃ; 3„„.. a 2h al aa— me 25h, et qu'on ait aa= m“a(mod.—,—,—,—— se- ci 2* 4(mod 2mhh)» n m m. 2mh ront entiers, et l'on s'assure aisément que la forme(a, h, o) se
7 3/ 3 7. aA. 2 h aa— m= a change en(, h, o) par la substitution, n er
que cette substitution est impropre. Ainsi ces formes seront impro- prement équivalentes.
On peut aussi juger sur-le-champ si une forme réduite(a, h, o) est improprement équivalente à elle-même, puisqu'on aura alors a*ν m’(mod. 2mh).
211. On trouve toutes les formes réduites de déterminant E“ en prenant pour A dans la forme(A, h, o) tous les nombres entiers depuis et y compris o, jusqu'à 254h— 1 inclusivement; ainsi le nombre en sera 26h. Il est évident que l'on peut distribuer toutes les formes de déterminant n' en autant de classes, et qu'elles joui- ront de la même propriété que ci-dessus(nos 175, 185), pour les formes de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré.

*
n 7. 1 1 *nombres d 1
c, A 3 0) Pertas equationz
1
on tite(ag-. e léquation(.() l
1
dune alors-— N
2 que nous avions trar
mun des nombres ¹,¹
1 4 1* 9„ 44 4 7 0 00— 4 „———,— 5 ¹— nmn n 2
ne la forme(a, 2,
¹ 4 4 3235 n¹ —————, m mn am 1.
ces formes seront IE.
Mnite( 16 ge, puisqu'on aura dl-
es de dét erminant he es nombees erie
f'
tous! 3 udies uui
peut distribuer l s, et rel
a. 75, 11—
ad(mod. a5) ſa 11

Nopos

ARITHMETIOUES. 205 Ainsi toutes les formes de déterminant= 25 peuvent se distribuer en dix classes, qui se distingueront par les différentes formes ré- duites qui y seront contenues. Ces formes réduites sont:(o, 5, o), (1, 5, 0),(2, 5, 0),(5, 5, o),(8, 5, o),(9, 5, o), qui sont impropre- ment équivalentes à elles-mêmes;(3, 5, o), qui est improprement équivalente à(7, 5, o);(4, 5, o), qui est improprement équiva- lente à(6, 5, o).
212. PROBLEME. Trouver toutes les représentations d'un nombre donné M, par une forme donnce ax+ 2bxy+y de determinant h“.
On peut tirer la solution de ce problème, des principes de T'art. 165, absolument de la même manière que nous l'avons fait plus haut(nes 180, 181, 205), pour les formes de déterminant né- gatif, et positif non quarré, et comme il n'y a en cela aucune difficulté, il serait superflu de le reprendre ici. Mais il ne sera pas hors de propos de déduire la solution d'un autre principe qui est propre à ce cas particulier. b b
Ayant fait comme aux nos 206„ 208, 44— 1. † 5—.. h—b a c— h— 5 carhe ein„ 2==J, 5=—= G, on prouve sans peine que la forme proposée est le produit des deux facteurs Sσ— gy et fr— gy; d'ou il suit évidemment que toute représentation du nombre M par la forme proposée donne la résolution du nombre M en deux facteurs. Si donc tous les diviseurs du nombre M sont d,,', etc.(1 et M y compris et chacun d'eux étant pris positivement et négative- ment), il est clair que l'on obtiendra toutes les représentations du
nombre M, en posant successivement πα‿-—= d, fr— gy= A;
Tar— Sy= D', fr—— 24 ‚etc. On tirera de là différentes valeurs de et de y, parmi lesquelles on rejettera celles qui ne sont pas entières. Or les deux premières équations donnent évidemment ngd- M ſa⸗
(— dg)d“ ⁴8 8 8 6 9== Sd⸗
valeurs qui sont toujours déterminées parceque ½— g=ah, et que Parconséquent le dénominateur des fractions n'est jamais= o.
.=
—————
——

206 RECHERCHES
On aurait pu tirer de la décomposition en deux facteurs, les problèmes précédens; mais nous avons préèféré employer une méthode analogue à celle que nous avions suivie pour les autres
déterminans.
Exemple. Cherchons les représentations du nombre 12 par la forme 3z+ 4 ry— y“*. Cette forme se décompose en deux fac- teurs— et 37+. 7y; les diviseurs du nombre 12 sont:£ 1 2, 3, 4, 6. 12. Faisons—= 1, 3r+ y= 12, on tire— 3, „=-., valeurs à rejeter comme fractionnaires. Les diviseurs
1 0 2
— 1, ̈3,+4,*6,£ 12 donnent aussi des valeurs inutiles
mais le diviseur+ 2 donne ‧=— 2,—= o, et le diviseur— donne x.— 2,= o. Ainsi il n'y aura exactement que ces deux
* 2
représentations.
Cette méthode ne peut s'employer si M= o; mais dans ce cas,
il est clair que toutes les valeurs de x et doivent satisfaire à l'une des équations æ— By= o, ſx— gy= o. Or toutes les so- lutions de la première équation sont contenues dans la formule †= 9z,= z, en désignant par z un nombre quelconque, si 6, ₰ sont premiers entre eux, comme on le suppose. De même, nommant m le plus grand diviseur commun des nombres J.,&, toutes les solutions de la seconde équation seront données par la
2₰ hz 2 5 1 2 4 formule*==,=—. Ainsi ces deux formules contiendront
toutes les représentations du nombre M= o.
Dans ce qui précède, tout ce qui appartient à la recherche des caractères de l'équivalence des formes, à leur transformation et à la représentation des nombres donnés par des formes données, a 6té expliqué de manière à ne rien laisser à desirer. Il ne nous reste plus parconséquent qu'à prendre deux formes de déterminant diffé- rent, qui parconséquent ne peuvent éêtre équivalentes, et à ensei- gner le moyen de juger si l'une est contenue dans l'autre, et dans ce cas, celui de trouver les transformations de l'une en l'autre.
213. Nous avons déjà fait voir(no⁴ 157 et 158) que siune forme/ de déterminant D renferme la forme F de déterminant E, et se
co r gbsüt t de dme 8 b krwir lerzer e n-y
felra

onnaires. Les bin i des valeuss urts =0, et le dirieu- exactement que cescen
[= o; mais dameaa 1 y doivent mütir „= 0. Or toutes g.
tenues dans la im
nomdre quelconqe,: a le suppose. Dentr mun des nombees
seront dountes hu formules contieade
—o.
tient à la rechercle leur transfoematil
ARITHMETIOUES.%/, change en F par la substitution a, 8,„, J, on a E=(ad— Z)“D, et que si l'on aacd—%=r, la forme non-seulement renferme la forme E, mais lui est équivalente, et que partant, si renferme
6 2 8 0 Eᷣ 4 2 1 l* sans lui être équivalente, le quotient 5 sera entier r. Ainsi le
problème à résoudre est: Jager S! une formeée donnce f de déter- minans D renferme la formée donncée de determinant De*, où e est supposé un nombre positif ² 1. Pour y parvenir, nous assi- gnerons un nonibre fihi de formes contenues sous la forme Ie et telles que F soit équivalente à l'une d'elles, si elle est contenue dans;.
—„ 4 1. ge Sean 119 8“ I. Soient m, m', m'’, etc. les diviseurs positifs du nombre e
( compris 1 et) et mn= mn'= m'n’=...= e. Désignons, pour abréger, par(m; 0) la forme en laquelle fse change par la substitution proprè 7/, o, o, n; par(m; 1) celle qui résulte de la substitution propre m, 1, o, n, etc., et généralement par(m; K) celle qui résulte de la substitution propre m, 7, o, n. On entendra de mèême les expressions(m¹; o),(m“ 1), etc.(m' k), etc. Téutes ces formes seront contenues proprement dans la forme7, et le dé- terminant de chacune d'elles sera Dæ*. Nous représenterons par Q l'ensemble de toutes les formes(m; o),(m; 1),..(m; m— 1)
(E; o),(m; 1).⸗(; m-— i), ete., dont le nombre est m †‿ε m mPetc.„eet qui sont toutes différentes, comme on le verra aisement“
Si l'on a, par exemple, f⸗=(2, 5, 7) et e= 5, Q comprendra les six formes(1; 0);(5; 0),(5; 1),(5; 2),(5; 3),(5; 4), qui sont, calcul fait,(2, 25, 175);(50, 25, 7),(50, 55, 19),(50, 45, 35), (50, 55, 55),(50, 65, 29). b
II. Or je dis que si la forme F de déterminant De' est con- tenue dans.f, elle sera nécessairéement proprement équivalente à une des formes Q. Supposons en effet que f se change en f par la substitution propre æ, g,),; on aura ad— 6)= e(*). Soit n
(C P'auteur a été probablement conduit à sa demonstration par l'analysé suiyante qui pent la remplacer. 12 l 9l 8 1 12 3 Supposons la forme F renfermée dans la forme f, et que se change en F par

2⁰08 RECHERCHES
le plus grand commun diviseur des nombres„,, qui ne peuvent 4 E 0 étre nuls tous les deux, et= m. Soient les nombres g, k lels
que ᷣ ‿Th=n, X le résidu minimum positif du nombre aᷣ‿+‿ h, suivant le module m. Alors la forme(m; 4), qui est evidemment une des formes 2, sera proprement équivalente à la forme F, et se changera mème en elle par la substitution propre
ag--Bh— k, ag-+Bh— k 4 2 28—n 41 8— E2 5
77 7. 77 2— 72. 2
la substitution 4, 8,), J. Soit g une des formes Q, et m, k, o, n, la substi- tution qui change en 9. Soit enfin A, 6,„“, 4 la substitution propre qui change g en une forme équivalente; la forme se changera en cette dernière par la substitution: ma+˖ Ky“, ms †+† kKo. Si donc l'on peut déterminer les nombres m, R, n,&,,),+, de manieère qu'on ait
ma+ ky= a, mg †. kd,= 6, ny= y, n= O, il est clair que æ sera équivalente à F. b
... 9 Or les équations n)=„, nd= ₰ϑ donnent= 5„ n: et comme)“,
/ doivent être premiers entre eux, n sera le plus grand commun diviseur des nombres †, 4. Des deux autres équations, on tire en éliminant m ou 1„
K= 2/6— 260, m= ad— Z)“; et comme la seconde de ces équations revient évidemment à 2— 6= e=mn, il ne reste plus qu'à satisfaire à la première et à l'équation a⁵h— ,0= 1. Si T'on suppose que a= kh et 6= g soit une solution quelconque de cette dernière, on aura en général a= h+. py, 6= g † p—; substituant ces valeurs dans celle de k, elle devient k= hg— ga+† p((— 24)= 5h— ga— pm, ou K= hg— ge(mod. m.).
Ainsi en prenant pour Kk le résidu minimum positif de 4— gæ, suivant le mo- dule m, la forme% ou(m; k) se trouvera parmi les formes Q. On a pour lors
a=„. 4., 9= 2.—
₰ ce qui est, au signe de g preés, le résultat de l'auteur.
Il est aisé de voir soient déterminés;
que la forme— restera la méême de quelque manière que pet elle serait encore la meme, quand on aurait d'autres valeurs de a, 8,),, pourvu que le diviseur commun de, † n'eüt pas changé, non plus que le résidu minimum positif de n— gæ: mais dans tout autre cas la forme e changera. Il suit de là qu'il peut y avoir plusieurs formes,,, etc. Les propositions que l'auteur démontre dans le ne suivant„ sont évidentes d'après ces observations.(Note du traducteur).
Car

zuhzti ddution vn de changera en cette den
c Taa Deut dét teuue an
et won)
grand commun drieui en climinant m ou!,
F
49. 7;
ment à a⁴— ⁹=ean equation 47— 5l melconque de cette demi
stituant ces valeun Gasch
a 1 44—(wod.)
de à8— ge, uinant br- es formes D. Ou a pef-
5 8;, 1 ar. de quelque manirr ſuf
d on aurait dautrès fabe 7 neit Pas Cns
aais dans tout autre„

—-—————————————————————-——:———

b ARITHMETIOUES. 209 Car, 1e. il est évident que ces quatre nombres sont entiers; 2o. on s'assure aisément que la substitution est propre; 3°‧. il est clair (n* 159) que la forme en laquelle se change(m;), par la transfor- mation précédente, est la même que celle en laquelle ſse change par la transformation m(7.T-. 2).2,„(. kg).9,„, 9.
Or le premier de ces quatre nombres se réduit sur-Ie-champ à (νςι‿ε‿‿‿m) h), le sccond à((àd—mn)g- 8- p); d'ailleurs on a mn= e= ad— Sy: donc mn= ad et a— n= B„, ce qui donne pour les deux expressions précédentes(.☛κ σh), 6 Og A5)„ qui se réduisent évidemment à a, 8, puisqu'on a +Ih= n. Ainsi cette transformation est a, 6, v,; donc(m; 6
se change en F, et partant(m;) et F sont proprement équi- valentes, puisqu'elles ont d'ailleurs le même déterminant.
On pourra toujours juger par là si une forme fde déterminant D renferme proprement une forme de déterminant Dæ-; mais quand on cherche si f renferme F improprement, on doit chercher si la forme opposée à F est renfermée dans 74 b
214. PROBLEME. Etant donndes deux Formes f et F, dont les déterminans sont respectivement D et De-„ et dont la pre- midre renferme la seconde proprement, trouver toutes les trans- Formations propres de fen F.
En représentant par Q le même ensemble de formes qu'au numéro précédent, on en extraira toutes les formes auxquelles F est proprement équivalente. Désignons-les par,&,„', etc.; cha- cune de ces formes fournira des transformations propres de fen F, en donnera de différentes, et il n'y aura aucune transformation de la forme en F qui ne soit donnée par une des formes 9, 9„ O% etc. Au reste, comme la méthode est la mêème pour toutes ces formes, nous ne nous occuperons que d'une seule.
Supposons=(M; K) et= MX, de manière que f se change en 9 par la substitution propre, M, K, o, N. Désignons Ppar α D d b

—J———ꝑCꝑ—Q—Q—QO——j—
210 RECHERCHES 9,„,.une transformation propre quelconque de en F, la forme se changera évidemment en F par la substitution propre Ma+ Ky, M+ KA, W NA et de mème, toute transfor- mation de en F en donnera une de fen F, et ainsi des aufres: pour prouver que cette solution est complète, il reste à démontrer,
1⁰. Que de cette manière on obtient toutes les transformations possibles de f en F. Soit,,, une transformation propre quelconque de. f en F, et comme au n- précédent, n le plus grand commun diviseur des nombres,—, et les nombres m,, h, déterminés de la même manière qu'à ce numéro. Alors la forme (m; k) se trouve parmi les formes 9, Q% Q%“, etc.
2 ag+.‿ h— k 7 4 ag ʃ— R 2. 4
7 m n m n' n
zera une transformation de cette forme en F, et de cette trans- formation on tire par la règle que nous venons de donner,,, „, pour celle de.j en F. Tout ceci a été démontrè au ne prè- cédent. b 2*. Toutes les transformations que l'on obtient dé celle manidre sont diftérentes. On voit sans peine que des transformations diffé- rentes d'une même forme, G, etc. en F, ne peuvent produire la méme transformation def en F. Il reste donc seulement à prouver que deux formes différentes et G&, par exemple, ne peuvent donner la méême transformation. Supposons que la transformation propre a, G,*, d de la forme
Fen F, s'obtienne de la transformation, G,, d de 9 en F, et de la transformation a¹,„˙,“, 4νde en F. Soit ‧ m; k), ꝗ.=(m'; K), e= mn=m'n!. On aura les équations
a= ma † k= ma+ V(1), 6= me.+. ko= m † 02l.(a2) 5 „=n r= nh(3), 4= n=n d.(4), 4—6= ²9 g9=r(5). Multipliant les équations(4) et(3) par a et respectivement, on trouvera par la soustraction, n= n'(α— G); en les mul⸗ tipliant au contraire par et 3respectivement, on trouvera de mème n= n(a*⁴— G); donc n est divisible par et n par n, ce qui exige qu'on ait n= n, puisque n et sont supposés tous les deux positifs. Donc aussi m= m,*)ß=, 4= ν. Or en éliminant 7z entre les équations(1) et(2)„ on trouve

eécédent, u b wxr ees nomdbres n 45H
2 numéro. Lunkh
2%, etc.
— 7
e:
en F, et de cett ia
venons de donner,¹
eté demantre auy p
n obtieni de cette um des transformatiost-
F, ne peurent Rotn
done seulement à ur- emple, ne pement är
le d, 8,) 7* Taebin a, 9, 7, deha „ en F. Soit gee m les équations
ARITHME ETIOUES. 219 k= m’(a*ρν— Z+‿ A4"—— S)= m(aA 67— 27 a*† N, donc K= K(mod. m); ce qui ne peut avoir lieu à moins que l'on n'ait Kꝛ= KN, puisque Ket sont compris entre o et m— 1. Donc les formes et' sont les mèmes contre l'hypothéèse.
Au reste, il est clair que si le déterminant D est négatif, ou positifet quarré, on trouvera effectivement par cette méthode, toutes les transformations propres de en F; mais que s'il est positif et non quarré, on trouvera certaines Hrmule⸗ générales qui contien- dront toutes les transformations propres, dont le nombre est infini.
Enfin si la forme F est contenue improprement dans la forme F. on peut trouver par la mêème méthode toutes les transformations de fen F. Soit en effet a,,, une transformation indéter- minée de ¹ en la forme opposée à F, toutes les transformations impropres de en F seront représentées par a,—,,— J.
Eæemple. On demande toutes les transformations de la forme (2, 5, 7) en(275, 0,— 1), qui y est contenue des deux manières. Nous avons donné au n'o précédent la suite Q de formes pour la proposée. Examen fait, on trouve que dans cette suite les formes (5; 1) et(5; 4) sont proprement équivalentes à la forme(275,0,— 1). Toutes les transformations de la forme(5; 1)=(50, 35, 19) en (275, o,— 1) se trouvent, par la théorie que nous avons expliquée plus haut, être contenues dans la formule générale,
16 t— 275,— 16,— 15 t+ 275 G½, t— 15 4u,
oùt, u désignent les nombres entiers qui satisfont à l'équation
indéterminée ¼½— 275 11= 1; ainsi toutes les transformations
propres de la forme(2, 5, 7) en(275, 0,— 1) qui en résultent,
seront comprises dans la formule générale
65t— 1100,— 4t+f 65 3,— 15+. 275 u, t— 15 ³.
De méème, toutes les transformations propres de la forme(5; 4) (30, 65, 79) en(275, o.— 1) sont contenues dans la kormule 14+ 275 ¹½, t+‿ 14,— 151— 275,—:— 152.. ce qui donne encore la suivante pour les transformations propres
de(2, 5, 7) en(275, o,— 1),

——.‚.———
212 RECHERCHES 10t+†& 275 u, 1+ 10,— 15t— 275 a1,— t— 13 u.
Ainsi ces deux formules embrassent toutes les transformations propres cherchées.
On trouve de la même manière que les transformations im- propres sont données par les deux formules,
651— 1100 ¹½, 4t— 65.,— 151+˖ 275 ½,— t+‿ 15 ¼, 101+ 275 ½,— 10— 10 ¼,— 151— 275 ½, 1+ 15 ¼,
215. Jusqu'à présent nous avons écarté de nos recherches les formes dont le déterminant= o. Pour compléter notre théorie, il nous reste à ajouter quelque chose à leur sujet. Comme il a été démontré généralement que si une forme de déterminant D renferme une forme de déterminant D“, D' étant multiple de D; il s'ensuit qu'une forme de déterminant= o ne peut renfermer au- cune forme dont le déterminant ne soit aussi= o. Il ne nous reste donc que deux problèmes à résoudre; savoir:
1°. Etant donnces deuw formes f et F, dont la Seconde a pour déterminant, dæcouvrir si la première renferme la seconde; et dans ce cas, trouver toutes Ies transformations de f en F.
2 ⁰„Trouver toutes les représentations d'un nombre donné par une forme donnée de determinant= o.
Le premier problème doit être traité difféeremment, quand le déterminant de la première forme est aussi=o, et quand il ne l'est pas.
I. Observons avant tout qu'une forme al+ 25E+ c“ dont le déterminant= o, peut se représenter ainsi: m(æ †+‿˖ hy)“, g et h étant entiers et premiers entre eux, et m un nombre entier. Soit en effet m le plus grand commun diviseur des nombres a, o, en lui donnant le mêeme signe qu'à ces nombres, qui doivent
.. ¶ C. Evidemment en avoir un semblable,= et ⸗ seront entiers, po-
„ 6 8 2 1 5² 0 sitifs et premiers entre eux; leur produit doit être égal à— qui est un quarré, et partant, chacun d'eux en doit être un aussi. Soit
2 C. = g,m= Z“, get h seront aussi premiers entre eux, et l'on

1ES
275u,—1— outes les t 1
les kransfann
les bwud
„
275„. 3 Pu,—t. h, - 275 ½„„„
79, t,
16 de nos nechena 1 compléter notr⸗ ben leur zujet.(ommi. forme de détemim! 9 etant mulliple eh, 20 ne peut reuſermer; ussi= o. I ne wun avoir:
F, dont Za secondi ere reuferme ſa vamu sformations d fal
d'un nomore comx
1
difléremment, qum- 1. 18si= o, et quanli
ear+ 25-) † f er ainsi: m(gr. „et m un nombre ell- viseur des nombe 30 nombres, qui chin
S eront enties 5 53
p à 4 14= loit tre eg 45
E
8 L doit ètre un 4u! als
miers enlre els,

ARITHMETIOUES.
aura„ 5 ou gh= 2. D'où 1l suit qu'c on b
aa+ 2 be+= m(x᷑ hy). Soient proposées maintenant deux formes et F de déterminant =o, et. f= m(gaæ+˖ hy)“, F= MOGGXXEHF), dans lesquelles & est premier avec h, et G avec H. Je dis que si frenferme F, on aura m= M, ou que du moins m divisera M, et donnera pour quotient un quarré, et réciproquement. En efet, si se change en F Dar la substitution„ꝛ= αX+. HF,= X+AE, on aura
—(XHEFy=((s A nb) X4(&s 5) F;,
M M d'où il suit évidemment que g est un quarré; falsoHs=e“, on
aura
ACeX*4 HP)=**((s*. Yh) X-(A ℳ A5) F; et partant, eG=—&(ag+. h), eH= X(9+ℳ h); comme G, H sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres G“, H, tels qu'on ait G. G+‿ᷣ H.= 1; et partant,£= G(ag+,„5) + H(g+ Ih), ou égal? à un ehtler. Réciproquement, si l'on
M suppose que— soit un quarré entier=«“, la forme renfermera
la forme F, c gest-X dire qu'on pourra toujours déterminer des va- leurs entières à α, 8,,, de manière à satisfaire aux équations
ag Th=£ eG, g †. Ih=.&ᷣl,
car ces équations sont toujours résolubles en nombres entiers. II suffit, comme on sait, de résoudre Tequation 58+ Le 1, er on aura
=eGs hz, eGh— gz, g== eng hz, d=eHn- ge, en donnant à z, 2 des valeurs entières quelconques.
Il est clair en mème temps que ces formules donnent toutes les
transformations def en F, pourvu qu'on attribue à z et ⁊ toutes les valeurs entières.
II. Supposons maintenant que tout restant le memo d'ailleurs, la forme f= aas † abag+ gy“ nm'ait pas o pour déterminant. Je dis que, 1c, si renferme F, le nombre M pourra se représenter

214 RECHERCHES
par la forme ſ; 2'. si M peut être représenté par f, la forme F 3 sera renfermée dans ſ; 3. si, dans ce cas, la formule ‿. hi b v= w donne indéfiniment toutes les représentations du nombre im M par la forme ſ; les transformations de Fen f seront contenues eh dans la formule G, H, Gu, Hu. dot s Isl BliB« 8..— Mal Supposons que f se change en F par la substitution a,, uc „,—; en prenant les nombres G'’, H“ tels qu'on ait GG‿ Hl= 1; 4 w zi Lon fait= 2aAG † B,=„Ǵ+ I“, la valeur de la forme mni f devient M, et partant, M peut tre représenté par J.. 2°. Si l'on suppose aẽ 2bν= NM, il est évident que dre par la substitution G, Hé, Gu, Hu, la forme/ se change en F.(un 3. Pour démontrer que la substitution Ge, H, Gu, Hu donne dgxo toutes les transformations de en E, si, v représentent toules n6 les valeurs de æ, qui rendent f= M; soit a,,, une trans- aibn
formation quelconque de en F, et, comme plus haut, GG+
HH= r, parmi les valeurs de,) seront les suivantes: a=A6G GNH“, =„Gꝙ+‿ H, qui donneront la substitution b— G‿αμι, HA+‿ ½ Gπαα, H◻‿₰“), Aan L
d'où l'on tire b
a+‿ H/(BG— 2H), 6+G(al— 60),„+E2G E)„+ G'(l— 40): n anr mais comme on a Kde a(æXx+)“+ 25(X † G„)(*X+) r(*ααρλπ ↄ⸗=⸗M(GXX Hy': nac on en tire au moyen des trois équations qui en dérivent, 8 M(G— 2H)“=(ad— S)“, M(TG— H)“= a(ad—„)“. detg, Or a—= 0, puisque le déterminant de F qui est= o, est 34 égal au produit de ad— G par le déterminant de/ qui n'est pas id
égal à zéro; on a donc 36— ᷣ= o, et partant, la substitution en question se réduit à α, 8, 7, J. Ainsi la formule que nous Dunen avons donnée fournit toutes les transformations de en f(*).* —— 8 8 üteud
(*+) On pourrait encore présenter ces différentes propositions de la maniere uivante. de h
Si la forme f se change en F par la substitution 4, 6,—,—⁴, on aura les uu du l

Par la bgu on 4 représenté 2 ru
(= M, il es bFiten, forme fe chang
29, HE, 6*„Aan 4 5, représenten i
sit a, 8ezn comme plus haut, 6
les suivantes: a- 0¹ itution
*4oE), Eobr 96—, 4*GK-
X Y= NAGI us qui en dériren, 6— H)'= 4
ant de F qnies=, rminant de.f nirn et partant, huu, 1 insi la ſormule* rmations de fen
„ z 4 19 tes Propos An
muon 4, 5, 5 44
A RITHMETIOVUES. 215
III. Il ne reste plus qu'à faire voir comment on peut trouver
toutes les représentations d'un nombre donné par une forme donnée
dont le déterminant= o. Soit cette forme m(gæ+ hy', il suit
de là que ce nombre doit être divisible par M, et que le quotient doit être un quarré. Ainsi, en représentant ce nombre par enen
on aura à trouver les valeurs de, pour qu'on ait(&ᷣe᷑‿ hr)=
ou ce qui revient au même, ga+ hy=e. Or cette Davetjos est toujours résoluble en nombres entiers, puisque g et h sont
premiers entre eux. On déterminera g et n' de maniéèére qu'on ait 88 hh= 1, et l'on aura r= ge †. hz, v où z est un nombre entier quelconque.—
Comme application des recherches rocdentes,:„nous jouterons
le problème suivant.
216. PROBLEME. Trouver utes les solutions en nombres entiers, del'éεᷣuation gencrale du seoond degre àdeur i inconnues,
al. be I.c) ae⸗efad⸗ 6)
——* 1
ee
équations
2e be Pe ICG. 2ee Ces 5,re, uon ae-fauer eseunn, on aura encore— e„=, ou 2—2
Si de la première, multipliée par, on retranclie la a,sohhdo, muitiplie- par„, on en déduit AMsl ehami Ghe he⸗ ou 3= 4=5, et d Puiscu n a 5=é 2
* G.; 35=z; G et I sont premiers entre eux.„ dong„ et. 2 sont Giibitbſs Par G, et ₰et G par H; desorte que Ton aura 4= 5G, 6= H,= vG,= v, 5 et v éEtant des indéterminées. Or ces Altenis, suübstituges dans les trois équations„ ré- duisent chacune g'elles àl airuee eis e Af.
Donc nous Prouvons A-1 fois, que M doit étre représentable par 1 Torms (a, 5, c); 2⁰. que s'il est repedemtahie la transformation de fen F est possible:;
35. qu'elle se fait par la substitution 5, EH, G, H, et en même tecps 424 on obtiendra ainsi toutes les transformations.( Note da traducteur).
0 5i Pon, proposait une équaticn dans läquelle lee?, le 4' et le 5e obeffi iciens
ne fussent Pas pairs„cette éguation, multiplice par g,oprendrait la forme que nous lui supposons.

216 KHRECHERCHES ou a, b, c, eto. sont des nombres entiers queloonques. Si l'on introduit à la place des inconnues, C, d'autres in- connues b p=(5:— a †‿ bLbe— od, 7=(b— ach)) †bd— ace,
qui seront évidemment entiers quand x, le seront, on aura Léquation 8 ap †˖ 25 pg ο †(b“.— ac)(ae— 2bed. cde)+(5“— ac)“= o, ou, en faisant pour abréger(νv— ac)(— 25de+ cde)+ f(b— ac)=— M, b
ap ‿ 2 bp9+ cã9= M. Or nous avons donné la manière de trouver toutes les solutions de cette équation, c'est-à-dire, toutes les représentations du nombre M par la forme(a, b, c); mais on a par les relations entre p, 7, x et, b „+ed— be——
Si donc on rejette de toutes les valeurs qui en résultent pour et y, celles qui sont fractionnaires, il ne restera que les solutions cherchées. b
A l'égard de cette solution, il y a plusieurs observations à faire.
1⁰. Si M ne peut éôtre représenté par la forme(a, 5,), ou si aucune représentation ne fournit de valeurs entières pour, y, l'équation n'est pas résoluble.
2⁰. Quand le déterminant 5⸗— ao de la forme(, 5, c) est nèé- gatif ou positif quarré, et qu'on a en mèême temps.᷑ Mo, les représentations du nombre M par la forme(a, 5, o) sont limi-
tées, et parconséquent aussi les solutions de l'équation proposée, s'il en existe.
3⁰˙. Quand 5°— ac est positif non quarré, ou qu'il est quarré, et qu'on a en même temps M= o, si le nombre M peut étre représentè pPar la forme(a, 5, 0), le nombre des représentations sera infini. Mais comme il est impossible de trouver alors toutes ces

trouver toutes B gi tes les pepräzerdiin, aais on a par l&s mä-
2+. c— ZM ——. 54— ac
ars qui en resuleet ſe ne restera que ls un-
gieurs obserratiors il-
la forme(a, 3,0),0 aleurs entières pouf;,
forme(a, 5,—jeit mme temps l 1 forme(a, b, 9) wmi as de P'equafion päfs

ARITHMETIOUES. 21 ces représentations, et partant, d'essayer si elles donnent pour &, des valeurs fractionnaires ou entières, il est nécessaire d'éta- blir une règle par laquelle on puisse s'assurer, quand cela arrive, qu'il ny a aucune représentation qui donne des valeurs entières pour æ, y; car, sans cette règle, quel que fàt le nombre des reprê- sentations essayées, on n'arriverait jamais à la certitude, et quand une partie des représentations donne des valeurs entières„et l'autre des valeurs fractionnaires, il faudra savoir distinguer les premières représentations des dernières.
4. Quand b— ac᷑ e o, les formules précédentes ne déterminent pas les valeurs de æ, y. Ainsi, dans ce cas, il faudra avoir recours à une méthode particulieère. 1er I 2l.
217. Dans le cas où bs— ac est un nombre positif non quarré, nous avons fait voir plus haut que toutes les représentations du nombre
M par la forme(, 5, c), s'il y en a quelques-unes, peuvent ètre données par une ou plusieurs formules telles que
P=(At A Bu), g=(Gα‿ /εα
A, B, C, D Stant des nombres entiers donnés, imn le plus grand diviseur commun des nombres a, 25, c; enfin:, des nombres entiers qui satisfont à l'équation 1—(5b⸗— ac) u= me. Comme les valeurs det, u peuvent étre prises Positivement et négativement, au lieu des formules précédentes, on peut prendre les qu atresuivantes: „=(Ai Bu), 9(l Du); p== Ar— B4), 7=(Cr— Pu):
2,(At en). 9 m—et+ Zu);=e e(At- Zu). 45(c*+ Du 2
ensorte que le nombre de toutes les formules soit quatre fois plus
grand qu'auparavant, mais que et soient positifs; examinons
donc séparément chacune de ces formules, et cherchons quelles
sont les valeurs de:, z qui donnent des valeurs entières pour æ,. La formule enp u a⸗ X huan). 3 E
P= m(A‿ν Bu), 9=(Ct †. Du)..(1)
donne pour æ et-
† 5
Ee

— 1..——— 4—
215 RECHEFRCHES
At+ Bu+ mod mbe 5— Ot+ Da+ mae— mbh el A Sm e), A i mh e) ſr
Or nous avons fait voir plus haut que toutes les valeurs positives
de ¹ forment une suite récurrente:,,"", etc., et que les valeurs correspondantes de I en forment une autre d,, 1, etc.; qu'en outre on pouvait toujours trouver un nombre tel qu'on euũt, suivant un module donné quelconque, Na 19 1o, 1t, 1‿2ꝗ, etc., ul us, u“In, u u, etc. ii Prenons pour ce module le nombre m(b ac), et désignons par c Tο, les. valeurs qui résultent pour, de la substitution de ¹*, z*; mn par a, y celles qui résultent de t, ete. On voit alors sans peine que si*ο sont des nombres entiers, et que ¼ soit con- venablement déterminé, les valeurs 4, J 85 S„* h+ 2 h †ka h-†k. t, getc.„& 4 7, J † Kseront des nombres entiers, et qu'au . I 29110, h IIe, A Aau h contraire si ν ou est fractionnaire x 4 ⁸„ ou J 1 le sera dol
aussi. Il suit de là que si Pon cherche les valeurs de, ₰ de- Kre
.. 44—1 4—1. puis*ν,„ jusqu'à. a4 1„ ‚et qu'aucunes d'elles ne soient entigres, la formule(1) ne donnera absolument aucunes valeurs entières pour æ, y. Mais si l'on en trouvye quelques-unes, par
„
exemple⸗ X 5. 5 ete-s toutes les valeurs entiètes données—
par la formule(1) seront celles. de a,—, dont les accens seront
„+ ˖ ku,+ ku, etc., k désignant tous les nombres entiers po-
sitifs, y compris zéro.=A:CABS Les autres formules dans lesquelles sont contenues les valeurs
de p,— doivent étre traitées absolument de la même manière, et
vyil arrivait que d'aueune d'elles on n'obtint des valeurs entieres
poun æ, ϑ, Léquatian proposée ne serait pas résoluble en nombres
entierg; mais toutes les⸗ fois qulelle le sera, les solutions entières ger
pourront s'obtenir par ce que nous venons d'exposer. n
oà z,est un nombre entier quelconque, A, B, A, B', des nombres

³ nomdres entien eit
4e h. 2„ouy be
e les valeu de ,)¹
u'aucunes d'elles le u
bsolument aucunss fl- traure quelques-e;
3 valeurs entittes ims
, doat les axtah
s les nombres ertien
„RITHMETPGUES. 219 enfiers à Promane entre eus; c est- b-4-diro- 44 avec 8, Aus avee 0 B
A2 12. 2 33 B=* aelhl 5 1107 97 4— 4 26.
52— ac* ee A esfech,ahe 4, 2 2 ae bdl 1(S) — ac,— he. ac 9.— 6
Mais comme ces formules peuvent oonduire à- mndes valeurs fras⸗ tionnaires pour x, y, à moins que l'on n'ait Daac= 1; il sera
utile de distinguer les valeurs de z qui rendent æ et entiers dans
chaque formule; d'ailleurs il suffira de considérer la Premiero, parceque la meme méthode s' appliquera à la seconde.
Puisque A et B sont Premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres A., B., tels qu'on ait AA+ 55,= 1; substi- tuant A et B leurs valeurs tirées de la formule(1 J on 3.
(A.*+ B.))(b*— ac)== 2+ A,(cd— be)+ B.(2c— bl);
d'ou il suit que les valeurs de z qui rendront æ, entiers, doivent
Stre congrues à A,(Be-— d)+. B,(b0— ac), suivant le module b— a0, ou être contenues sous la fornlule(5e— ac) ‿.ἀ(be-—cd) 4‿.(bdM— cCe), tant un nombre entier quelconque. Onobtient facilement par là,
au lieu de la formule(1), la formule suivante:
Ad— ae)— B(——), a 4 2bdae)— B,
2—. B ac
A= Az B1.
qui Jerhor, gvidemment des valeurs entièeres pour toutes les va-
leurs de 2, si elle en donne pour une seule. Or il suffit pour cela,
qu'on ait Aba— ae)== B(be— ad)(mod. 5⸗— ac). Si cette con- gruence n'a pas lieu, la formule(1) ne donnera pas de valeurs
entières. On traitera de mème la formule(a).
219. Quand 5z.— ac= o, la forme al eapea peut se chan- ger en m(aæ-. y)“, où m, a, 6 sont des entiers(ne 215). Sait fait l‿.‿.σφα, l'équation proposée devient
m Jn an 7ee, Gliminant entre cette équation et Péquation ar‿ Hyer, on à
ma †‿+‿„— amz*+ 3dz Taf 2(A— Sd1)* 2(Ed— ae)
Or il est clair que ces valeurs satisferont à l'équation, en donnant 2

————
220 RECHERCHES à une valeur quelconque, à moins qu'on n'ait ae=, cas que nous considérerons tout-à-l'heure à part; il ne reste donc qu'à faire voir quelles doivent être les valeurs de z, pour qu'il en ré- sulte des valeurs entières de æᷣ et de T.
Comme ax- By= z, on ne peut prendre pour z que des nombres entiers; en outre, il est évident que si une valeur de z rend et y entiers, la’mêème chose aura lieu pour toutes les valeurs de z congrues à celle-là, suivant le module 2(a—[d). Si donc on substitue pour z tous les nombres entiers depuis o jusqu'à 2(a- N)— 1, suivant que— 3d sera positif ou négatif, et qu'aucune de ces substitutions ne rende et y entiers, l'équa- tion proposée ne sera pas résoluble en nombres entiers; mais si quelques-unes de ces valeurs ont cette propriété, supposons que cesoient les valeurs, C,&*, etc., on aura toutes les solutions, en prenant z= 2(4c— G)+ 6,2= 2(à.— 8)+, etc., K Etant un entier quelconque. Les valeurs de z, C,“ etc. peuvent aussi par la solution se trouver des wingrehes du second degie:(Voyez Section IV.) b
220. Pour le cas où αe= 84⁴, il faut chercher une méthode Particallerer Par le n- 215, A et 8 sont premiers entre eux; ainsi
2. 2= 3 sera un nombre entier que nous nommerons h. Alors l'équa-
nion proposée prend la forme
o LCmaæ mey h) H 9, et partant ne peut avoir de solutions rationnelles, 4 moins s que khemf ne soit un quarré. Soit donc K'— mf== K*, on tire de T'équation précédente
maa+‿ m Shrs daec. Cette équation exige, pour être résoluble en nombres entiers, que h=k K soit, divisible par m; car d'ailleurs, 8 tant pre- miers entre eux, on trouvera toutes les solutions par les règles eonnues.
221. Eclaireissons par un exemple le cas du n- 217, qui est le plus difficile. Soit l'équation
ꝙæ+ Gey++ 2— 4+† 1= o.
En introduisant de nouvelles indéterminées p= 15— 9,

e regeia,n 1 dra toutes les soluims, :— 8) M9 es, „ 7, 5 1 etc. peuveul a 8 du second degre. ſn
4
at chercher une uiin t premiers entre em u
nommeronsh. Alnn
+† nf— rationnelles, à mwis „— mſ== P, on ln
41=0. dle en nomdees erte allleurs a, tun
solutions par les E
16
— 0. *† 159⸗1 rminèes pI

ARITHMETIOUES. b 221 7= 15)ã+ 6, on en tire l'équation p+ 8p9+†)=— 540. Or on trouve que toutes les solutions de cette équation sont renfer- mées dans les quatre formules b
p= 6t, 7=— 24t— 9;„= 6:,„=— 24t †gou,
p=— 6t, 7= 24t— 9ou;„=— 6t,= 24+. 90, t, u tant des nombres indéterminés qui doivent satisfaire à Péqua- tion 1½— 15 ½= 1, et qui sont donnés par la formule
1= 3(G‿νιꝙμνάυισι‿‿μ˙⁵), 2= S
2 UI5
(4/ 15)*-(4- /15)“)(no200).
AKinsi toutes les valeurs de, y seront contenues dans les formules
.= z(2t+ 3), y=— ½(8‿30u-+† 2), ☚☛at+ 3), y=— ½(8t—Z0u+ 2) = 5(ſ— 2t+. 3),= 3(8!— 30u— 2); ☚η(—t+. 5),„= 3(8r Z0u— 2). En appliquant convenablement ce que nous avons dit plus haut, on trouvera que pour avoir des nombres emiiers il faut prendre pour t, u, dans la première et la seconde formule, les valeurs qui ré- suſtent en supposant pair, et au contraire, dans la troisième et la quatrième, celles qui résultent en le supposant impair. Les solutions les plus simples sont æ= 1,— 1,— 1;9)= 2, o, 12, respectivement. 1. Au reste, nous ferons remarquer que la solution du problème précédent peut le plus souvent s'abréger par un grand nombre d'artifices, surtout quand on en vient à l'exclusion des valeurs entières; mais nous sommes obligés de ne pas nous y arrêter pour Eviter les longueurs.
222. Comme beaucoup des choses que nous avons fraitées jus- qu'ici l'ont été aussi par d'autres géomètres, nous ne pouvons Passer sous silence leurs travaux. Lagrange a fait des Recherches générales sur l'ᷣouisalence des formées(nous. Mem. de„Acad. dée Berlin, 1773, p. 263, et 1775, p. 323), ou il prouve surtout que, pour un déterminant donné quelconque, on peut trouver un nombre fini de formes telles, que toute forme de mèême détermi- nant soit équivalente à une d'entre elles, et que partant, toutes les formes d'un déterminant donné peuvent se distribuer par classes. Ensuite Legendre a découvert plusieurs propriétés élégantes de
cette classification, mais pour la plus grande partie par induction,

222 RHRECHERCHES et nous les donnerons plus bas avec les démonstrations. Au reste, encore songé à faire la distinction de l'équiva-
personne n'avait lence propre et improprée, dont l'usage est sensible dans les re-
cherches délicates.
Le fameux problème du ne 216 a Cté résolu complètement, pour la première fois, par Lagrange(Hist. de l'Acad. de Berlin, 1767, p. 165, els 1768, p. 181). Sa solution existe aussi, mais moins complète, dans les Supplémens à l'Algèbre d'Euler. Euler lui- méme avait auparavant attaqué le mème sujet(Comm. Petr. T. V, p. 175; Comm. nov. T. IX, P. 3; ihid. T. XVIII, p. 185); mais il a toujours borné sa recherche à déduire toutes les solutions d'une seule qu'il suppose connue; et d'ailleurs ses méthodes ne donnent toutes les solutions que dans un petit nombre de cas. Bien que le dernier de ces trois mémoires soit postérieur à celui dans lequel est renfermée la solution de Lagrange qui embrasse le problème dans toute sa généralité, et à cet égard ne laisse rien à desirer; il parait cependant qu' Euler à cette époque ne la con- naissait pas encore. Au reste, notre solution, ainsi que tout ce qui a été donné dans cette section, est fondée sur des principes tout-à-fait différens.
Ce que d'autres, tels que Diophante, Fermat, etc. ont fait connaitre à ce sujet, n'appartient qu'à des cas très-particuliers; aussi, comme nous avons rappelé en temps et lieu ce qui était le plus digne de mémoire, nous ne nous arrètons pas à parler de chaque chose en particulier.
——--—
Ce que nous avons dit jusqu'à présent sur les formes du second degré, ne doit èêtre regardé que comme les premiers élémens de cette théorie. Nous avons vu le champ s'agrandir considérable- ment, en poursuivant nos recherches avec persévérance; nous donnons dans ce qui va suivre les choses qui nous ont paru les plus dignes d'attention. Car la fertilité de ce sujet est telle, que nous sommes forcés pour abréger, de passer sous silence une grande partie de ce que nous avons pu découvrir; et une plus grande partie sans doute est encore cachée et attend de nouveaux efforts. Nous prévenons que les formes dont le déterminant= o sont excluses

me zujet((omm. Da. 1 ibid. T. TII,„, déduire touf tes Eann et d'ailleurs Es uüb * un petit nonbe e noires soit posterien, de Lagrange qu euh et Acet égard ne lisn cette époque nehe solution, aimi mem est fondée sur des pur
—
7
inte, Fermat, ete, ui
Ȉ des cas tods. lrlai b
temps et lieu ce lie 1 us arrétons pas à pis
—
ent sur les frmes dis
me les premiers Geues
9 s agrandit cmie
ARITHMETIOUES. 92
de nos Recherches, à moins que nous n'avertissions spécialement du contraire. 225. Nous avons déjà fait voir plus haut,(nos 175, 195, 211), qu'étant donné un nombre entier quelconque D, on pouvait assigner une suite de formes F, F, F', etc. de déterminant D, telles que toute forme de déterminant D soit proprement Anbalenis. à l'une d'elles, et à une seule. Ainsi toutes les formes de déterminant donné D, dont le nombre est infini, peuvent se classer d'après Cces formes„en composant Ia première classe de toutes les formes
équivalentes? à F, la seconde, de toutes les formes équivalentes
à etc.
On pourra choisir 3 haaue classe de formes de détermi- nant D, une d'entre elles que l'on considérera comme forme reęprésentanteé de toute la classe. Il est indifférent en soi quelle forme on prend dans chaque classe, cependant on doit toujours préférer celle qui est plus simple que toutes les autres. Or la sim- plicité d'une forme(Ʒ, 5, G) dépend évidemment de la grandeur des nombres, b, cz et on dira à juste titre que la forme( 2, 5,) est plus simple que la forme(, V, G), si l'on a aaH 2 CÖ, G. Mais il reste encore à savoir laquelle, par exaniple, nous choisirions des deux formes(17, 0,— 45),(5, o,— 153). Le plus souvent il sera avantageux d'observer la règle suivante:
J. Quand. D estnégatif, on prendra les formes réduites pour Permes b représentatives dans chaque classe; mais s'i! J 2 deux formes ré- duites dans la même classe, elles zeront opposées(n* 172), et l'on prendra celle où le terme du milieu sera positif.
II. Quand D sera positif non quarré, on formera la période d'une forme réduite contenue dans la classe proposée; cette période renfermera deux formes zusbisies. ou n'en renfermera aucune
(ne 187). 20. Dans le premier cas, Hoignt(ℳn B6, O);,(A. B. 00 ces formes ambigués;; M, M' les résidus minima des nombres B, B',
suivant les modules A, ℳ“, résidus qu'on prendra positivement
— D— M2 2— 2M J Cela posé,
on choisira celle des deux formes( A, M„— N)„(A, M,— V),
s'ils ne sont= 0; enfin KN

224 RECHERCHES qui paraitra la plus simple pour forme représentante. Dans ce choix, on préfèrera la forme dont le terme du milieu= o; mais quand cela arrive dans les deux formes, ou que cela n'arrive dans aucune, on doit choisir celle dans laquelle le premier terme est le plus petit, et quand il y a égalité au signe près, celle où le premier terme est positif.
2. Dans le second cas, on choisira dans toute 1a période la forme dont le premier terme est le plus petit, abstraction faiĩte du signe, de manière cependant que si dans la même période deux formes avaient le premier terme au signe près, on préférerait celle ou il est positif. Soit(A2Aↄ, B, C) cette forme, on en déduira, comme dans le cas précédent, une autre forme(A, M,— N)(en
prenant pour M le résidu minimum absolu de B, suivant le mo-
dule A, et en faisant N= 2—, 1), et on la choisira pour re-
présentante.
S'il arrivait que plusieurs formes de la période eussent le mème plus petit premier terme, on les traiterait toutes comme il vient d'ètre prescrit, et parmi les formes qui en résulteraient, on pren- drait pour représentante celle dans laquelle le terme du milieu serait le plus petit.
Ainsi, par exemple, pour D= 305, on a entr'autres la période
(17, 4,— 17),(— 17, 13, 8),(8, 11,— 23),(— 23, 12, 7),
( 7, 16,— 7),(— 7, 12, 23),(25, 11,— 8),(— 8, 13, 17), dans laquelle on choisit d'abord la forme(7, 16,— 7), d'où l'on tire ensuite la forme représentante(7, 2,— 43).
III. Quandle déterminant sera un nombre quarré=K“, on cher- chera une forme réduite(¶J K,o) contenue dans la classe proposée; et siA= Kou= K, on la prendra pour la forme représentante; mais si K, on prendra à sa place la forme(A,— 2KX, K, o) dont le premier membre sera négatif, mais I K.
Exemple. De cette manière, on distribuera en 16 classes toutes
les formes de déterminant— 235, classes dont les formes repré- sentantes seront
(1, o, 235),(2, 1, 118),(4, 1, 59),(4,— 1, 59)
(5, e, 47),(10, 5, 26),(15, 5, 20),(13,—5, 20), et

uns en ehbedtn 4, ou que 8
ler 8 b iigne Des, e. celer
k atre forme A A.
bsolg de 77 3 zuirant, th
, et on la choliin u
la periode eusentſem erait toutes comme I i en résulteraient, un
aquelle le terme tt u
„on a entr'autres k i
,—,—; 6) — G S bSn
me(7, 1,—-) i 2,— H).
Uhe quarré=L, b
aue dans lä class m
our la forme reptöent-
forme(4- 1

ARITHMETIOUES. 225 et huit aufres qui ne different des précédentes que par le signe des termes extrémes:(— 1, o,— 255),(— 2, 1,— 118), etc. b
Poutes les formes de déterminant 79 se distribuent en six classes dont les représentantes sont
(1, 0o,— 79),(— 1, 0, 79),(3,— 1,— 2²6), (— 3,— 1, 26),(— 3, 1, 26),(3, 1,— 26),
224. Par cette classification, on sépare des autres toutes les formes qui sont proprement équivalentes; ainsi deux formes de la même classe sont proprement équivalentes; tout nombre qui peut être représenté par l'une d'elles, peut l'ètre par l'autre; et si un nombre M peut ôtre représenté par la première en donnant des valeurs premières aux indéterminées, il pourra être représenté par la seconde de la même manière, desorte même que les deux reprè- sentations appartiennent à la même valeur de l'expression hVñ (mod. M). Mais deux formes qui appartiennent à des classes dif- férentes, ne pourront être proprement équivalentes, et l'on ne peut pas conclure de ce qu'un nombre est représentable par l'une d'elles, qu'il le soit par l'autre; au contraire, nous sommes en 8 droit d'affirmer que si un nombre M peut se représenter par la première, en donnant à, y des valeurs premières entre elles, on ne pourra pas trouver de représentations de ce nombre par l'autre forme, appartenant à la méème valeur de l'expression (mod. M),(no 167, 168).
Au contraire, comme il peut arriver que deux formes F, F', prises dans deux classes différentes K, K“, soient improprement équi- valentes, auquel cas toute forme de la première classe sera impro- prement équivalente à toute forme de la deuxièsme; chaque forme de K aura son opposée dans K“, et les classes K, K., se- ront dites opposces. Ainsi, dans le premier exemple de l'article précédent, la troisième classe des formes de déterminant— 235 est opposée à la quatrième, et la septième à la huitième; dans le second exemple, la troisième l'est à lasixième, et la quatrième à la cinquisme. Etant donc proposées deux formes prises dans des classes opposées, tout nombre qui pourra éêtre représenté par l'une d'elles, pourra l'étre aussi par l'autre. Si pour l'une la représentation a lieu par des valeurs premidères, ilen sera de même pour l'autre, de manière Ff

RECHERCHES entations appartiendront à des valeurs D(mod. M). Au reste, les règles que e choix des formes représentantes, sont
226 cependant, que les reprès opposées de l'expression V nous avons données pour! gtablies de manière que les classes opposées obtiennent des repré-
sentantes opposées.
Enfin, il y a aussi des classes qui sont elles-mêmes leurs op- posées; savoir, si une forme et son opposée sont contenues dans la même classe, on voit facilement que toutes les formes de cette classe sont équivalentes entre elles, tant proprement qu'impropre- ment, et qu'elles ont toujours leurs opposées dans la mèême classe. Toute classe jouira de cette propriété, lorsqu'elle contiendra une forme ambigué, et réciproquement on trouvera une forme ambi- guë dans toute classe qui est elle-mêème son opposée(nos 163, 165); aussi cette classe s'appellera ambigué. Ainsi, parmi les classes de déterminant— 255, on trouve huif ambigeés, dont les représen- tantes sont: b ( 1,9, 255),(2, 1, 118),(5, o, 47)⸗( 10, 5, 26), (— 1, o,— 235),(— 2, 1,— 118),(—:5, o,— 47),(— 10, 5,— 26). Parmi les classes de déterminant 79, il y en a deux:(1, 0o,— 79), (—, o, 79).
Au reste, si l'on détermine les formes représentantes d'après les règles que nous avons données, on trouvera sans peine les classes ambigués; pour le déterminant positif non quarré, on trouvera nécessairement des représentantes ambigués pour des classes qui le sont(ne 10%); pour le déterminant négatif, la forme représen- tante d'une classe ambigué sera elle-mème ambigué, ou bien ses termes extrèmes seront égaux(ne 172). Enfin, pour les formes de déterminant positif quarré, il est aisé de juger(no 210) si la forme représentante est improprement équivalente à elle-méme, et par- tant, si la classe est ambigus.
225. Nous avons déjà fait voir plus haut(ne 175) que dans une forme(a, 5, c) de déterminant négatif, les termes extréèmes doivent avoir le mème signe, non-seulement entre eux, mais encore, que les termes extrèmes de toute autre forme qui lui est équivalente. Si a, osont positifs, nous appellerons positiue la forme(, 5, c), et la classe qui la renferme, et qui ne contiendra que des formes

te loutes les ſormes ke t proprement Amima. Osces dans la weme 4
lorsqu'elle confienin, trouvera une forme 2 zon opposée(ue i, h Linsi, parmi les ass bigucs, dont les ee
y en a deux:(i,
reprssentantes daxs vera saus peine kéchs non quarrè, ou tu guẽs pour des classd
gatif, la forme Tepts
ne ambigué, ou he tafin, pour les formes 8
inger(u 210) sklr 13. 1 ate à elle-mèche, tg
ut(n h olfel termes extrèmes Go *„ eore, Sl . ais enco Renene anuifalel qui lui est échü 1 „ro la forme(4,—
8„ 8„ ℳ 271 K
oroe atiendra què des 1
3 ¹ 175) que dens 9
ARITHMETIOUES. 227 positives, s'appellera classe positive. Au contraire, si a, o sont négatifs,(a, 5, c) sera une forme négative, et elle sera conte- nue dans une classe négative. Les nombres négatils ne peuvent être représentés par une forme positive, ni les nombres positifs par une forme négative. Si(a, 5, c.) est la représentante d'une certaine classe, la forme(—, 5,— c) sera celle de la classe négative, et il suit de là qu'il y a autant de classes positives que de négatives, et que les dernidbres seront déterminées, lorsque les premières le seront. Ainsi, dans les recherches sur les formes de déterminant négatif, il suffit le plus souvent de considérer les classes positives, puisque leurs propriétés se rapportent faci- lement aux classes négatives. b b aa
Au reste, cette distinction n'a lieu que pour les formes de dé- terminant négatif; les nombres positifs et négatifs peuvent éêtre représentés également par des formes quelconques de détéerminant positif, ensorte qu'il n'est pas rare que les deux formes(, 5, c), (— a, 5,— c) doivent être rapportées à la même classe.
226. Nous appelons forme primitise une forme quelconque (a, 5, c), lorsque les nombres a, 5, œ n'ont pas de diviseur com- mun, autrement elle s'appellera dæriuce, de manière que la forme (a., 5, c) sera dite doriweée de la Formè primitive m. 7 2). si m est le plus grand commun diviseur des nombres z, 9, 4, II
suit de là que toute forme sera primitive, si son déterminant n'est
divisible par aucun quarré(1 excepté). Or, par le ne 161, 1l est clair que s'il y a une forme primitive dans une classe donnée, toutes les formes de cette classe le seront également, et on l'ap- pellera classe primitive. Il est d'ailleurs évident que si une
forme F de déterminant D est dérivée d'une forme primitive 7
„F 6 0 0. 0. de déterminant, et que Ket XK soient respectivement les classes
qui renferment les formes F, f, toutes les formes de K seront dérivées de la classe&; ainsi la classe K sera dite doériuee de la classe primitive k.
Si(a, 5, c) est une forme primitive, et que a, o ne soient
Pas tous les deux pairs, on voit facilement que a, 25, n'auront pas non plus de diviseur commun. Dans ce cas„la forme(a, b, c) sera
2

———QñOę——
228 RECHERCHES dite proprement primitiue, ou plus simplement forme propre; mais si, c sont pairs, les nombres æ, 25,& auront 2 pour com- mun et méême pour plus grand commun diviseur; alors la forme (a, 5, c) sera improprement primitiuse, ou plus simplement im- propre(*). Dans ce cas, b sera nécessairement impair, car autre- ment la forme(a, 5,%) ne serait pas primitive; ainsi l'on aura ba= 1(mod. 4), et partant, puisque ac est divisible par 4, p—= 1(mod. 4): les formes impropres auront done des dé- terminans de la forme 4n+ 1 ou—(42+ 5), suivant qu'ils se- ront positifs ou négatifs. Mais, par le ne 161, il est clair que s'il y a dans une classe une forme proprement primitive, toutes les autres le seront, et que de même, une classe qui renferme une forme improprement primitive, n'en renfermera que de cette espèce. Ainsi nous appellerons cette classe, dans le premier cas, propre- ment primitive ou proprée, et dans le second cas, impropremeénl primitive ou impropré. Par exemple, parmi les classes positives de déterminant— 235, il y en a six propres, savoir, celles dont les représentantes sont:
(1, o, 235),(4, 1, 59),(4.— 1, 59),(5, 0, 47),(13, 5, 20),(13,—5, 20), et autant parmi les classes négatives; il y en a deux impropres de chaque espèce. Quant aux classes de déterminant 79, elles sont toutes propres, puisque 79 est de la forme 4n2+ 3.
Si la forme(a, 5, o) est dérivée de la forme primitive
— 3 9, 3; cette dernière peut être propre ou impropre. Dans le premier cas m, dans le second zm, sera le plus grand com- mun diviseur des nombres a, ab, c, ce qui faiĩt entendre la dis- tinction entre une forme dérisce dune forme propremeéent primi- tive, et une forme dorivée d'une formé improprement primitivé, et partant(ne 161) entre une classeé déeriocc d'une olasse pPro- prement primitioe, et une classe dérives d'une classe impro⸗
prement primitioe.
—
(†) Nous ne nous sommes servis de ces termes de propre et d'impropre qu'à defaut d'autres plus convenables, car ils n'ont aucun rapport avec ceux que nous avons employés depuis le no 157. Au reste, il m'y a pas à craindre qu'on puisse les confondre.

, Ou plus ümpſen urement im— Km.
8
Opres auront dode a, G.
— 4 4
1. 1+), Wrant qalb u“* 161, il es cair
oprement primilis
de classe qui renternen
ermera que de ceit ehn as le premier ess,un econd cas, imuyen darmi les classes muiin opres, savoir, celes in
y en a deux improyrat . 4 e as e leterminant 79, elles uu
†
4 4 me 44
* 1 111, de la focme priml
copſe, 1
. 41 Nopfe ou umt *
Ald ¹ 1. n
5 1 4
qui fait entendtelhe n „„ 7 en' TI forme propreme 1.
.] TTl
4 oropfement„ 7 7 gune clusst)
3„— Rffee. 4 dun
8½
ff 84e r cune cla

ARITHMETIOUES. 229
Par cette distinction nous avons trouvé le principe qui nous servira à distribuer par ordres toutes les classes de formes de dé- terminant donné.
Nous rangerons dans le méme ordre les deux formes(a, 5, G), (2ν, F,), si l'on a à-la-fois le méême plus grand diviseur com- mun pour a, 5, c;, b,, pour a, 25, cœet a“, 25, c; mais si l'une ou l'autre de ces conditions n'a pas lieu, les Classes 86 rapporteront à des ordres dijeérens. II suit de là immédiatement, que les classes proprement primitives composent un ordre, et toutes les classes improprement primitives, un autre. Si ma est le quarré qui divise le déterminant D, les classes dérivées des classes proprement primitives de déterminant D composeront un ordre particulier, et les classes dérivées des classes improprement
8 9 0 4 0— ⸗* rimitives de déterminant— en composeront un autre. Si par 771— 3 P
2 hasard D n'est divisible par aucun quarré(excepté 1), il n'y aura pas d'ordres de classes dérivées, et partant il n'y aura qu'un ordre, lorsque D= 2 ou 3(mod, 4), celui des classes proprement primitives, ou deux, lorsque D=rn(mod. 4), celui des classes proprement primitives, et celui des classes improprement pri- mitives.
On déduit sans peine la règle suivante 3 le calcul des com-
binaisons(ne 17). En supposant DH= L’. 2 2e, clg. desorte que D' ne renferme aucun facteur ei le nombre des
ordres sera(‿‿¼:,(aA+‿1)(G.+. 1)(+ r). si D’= 2 ou= 3 (mod. 4); ou(4+ 2)(1+ 1)(G+ 1)+ 1). si D'’= 1(mod. 4). Eaxemple Ie. Si D= 45= 5. 3, on aura six classes dont les re- présentantes sont:
(1, 0,— 45),(—1, 0, 45),(2, 1,— 22),(— 2, 1, 22), 63, 0,— 15),(6, 3,— 6). et elles peuvent se distribuer en quatre ordres,
15.(1,0,— 45),(— 1, o, 45), propres; 2⁰.(2, 1,— 22),(— 2, 1, 22), impropres; 3e. la classe(3, 0o,— 15) dérivée d'une classe propre de déterminant 5; 4'. la classe(6, 5,— 6) dérivée d'une classe impropre de qetorminant. 5.
Eaxemple II. Les classes positives de déterminant— 99=— 11.3*

230 RECHERCHES
peuvent se distribuer en quatre ordres, en désignant les classes i par leurs représentanteés. 3 Le premier contient les classes propres suivantes: 2 A(1, o, 99),(4 1, 25),(4,— 1, 25),(5, 1, 20),(5,— 1, 20),(9, o, 1¹); hu Le deuxième, les classes impropres:(2, 1, 50),(10, 1, 10); 1 Le troisième, les classes dérivées de classes propres de déter- fim minant— 11:(3, 0, 33),(9, 3, 12),(9,— 5, 12); Le quatrisme, une classe dérivée d'une impropre de détermi- r nant— 11:(6, 3, 18). 1m” On distribuera par ordre, de la mêôme manière, les classes né- wit gatives de mème déterminant. din On voit sans peine que les classes opposées se rapportent au 3 méêème ordre. 4 227. Parmi tous les ordres, celui des classes proprement primi- mn tives mérite la plus grande attention; car toutes les classes dérivées 0 tirent leur origine de certaines classes primitives de déterminant Ine moindre, de la considération desquelles suit le plus souvent de con- soi-mème ce qui regarde les premières. Or nous ferons voir plus 4 bas qu'une classe improprement primitive quelconque répond tou- zu jours à une ou à trois classes proprement primitives, et l'on sait di que les classes négatives répondant toujours à certaines classes en positives, on pourra ne pas s'en occuper.
Afin d'examiner plus à fond la nature des classes proprement 8 primitives, nous expliquerons avant tout une certaine différence 1. essentielle, d'après laquelle un ordre entier de classes peut se
subdiviser en genres, et comme nous n'avons pas encore parlé de cet important sujet, il faudra prendre la chose dès l'origine. b t 228. THEOREME. I! f a une infinité de nombres non divi- sibles par un nombre premier donné p quel qu'il soit, qui im peuwent étre représentés par une forme proprement primitive F. dre Soit F=aaxe+ 2bxy †ay⸗“, il est évident que p ne divisera pas gan à-la-fois les nombres a, 25, c. Or, quand a n'est pas divisible mhi par p, il suffira de donner à une valeur non-divisible par p,
et ày une valeur divisible. Quand æ n'est pas divisible par p⸗
—

7l.
Wdes pachns 9,—, 12);
de cl * 1
d u 2 1 ne impropre ds d.
de manidre, kS 1
oppostes ae Tapporier:
* A 4 1 z classes proprement an 1
ar foutes les clases diin primitives de detemin es suit le plus wmeu! 8. Or nous feros tss
ve quelconque fémln
ent primitives, et lag auſours à certalues chs
* 2
rre des classes ptope- aut une certaice dffm entier de classes* avons pas encote nr ia chose des loriste
1 dN de nomöres Nond
Pr opremenl prinihe
zirieen, jent que le
s d
ARITHMETTIOVUES. b 231 on pourra donner à y une valeur non-divisible et à x& une valeur divisible; enfin, quand a et o sont divisibles par p, et que partant 25 ne l'est pas, on pourra donner à x ct à„ des valeurs non- divisibles. Dans ces trois cas, il est évident que la valeur de la forme F ne sera pas divisible par„
Le théorème a lieu également pour les formes improprement primitives, pourvu qu'on n'ait pas= 2.
Comme plusieurs conditions de cette espèce peuvent exister à-la-fois, de manière qu'un nombre soit divisible par de certains nombres premiers, et qu'il ne soit pas divisible par d'aufres, on voit facilement que les nombres x, y peuvent éêtre déterminés d'une infinité de manières qui rendent ÆF non-divisible par tant de nombres premiers qu'on voudra(excepté 2 lorsque la forme est improprement primitive). Ainsi le théorème peut être énoncé plus généralement ainsi qu'il suit:
On peut représenter par une forme Primilise queloongue,
une infinité de nombres premiers d un nombre donnd gliel- .* F 2 3 6.
Congut(mpaln 2 Q᷑ la forme est improprement primittive. 74— Ln 7 8 22, 5 a e Forn, WA2, ee) 2.—— 43 A, N. ene S u,—,
229. THEORENE. Solt F unce forme prinn! p un nombre premier qaii diwise D; alors tous les nombres non- divisibles par p, qui peusent dtre représentés par la forme F. Seront tous résidas guadratiques de p, ou tous non-résidus.
n , eeeee ⸗
Soit F=(, 5, c); m, m deux nombres quelconques non-divi- sibles par p, et qui peuvent être représentés par la forme 1◻ on aura“ 7
m= a9+ 25g h †. cha*, m= ag“+f 259 N P on“, et partant
7—„ ,7,.„ N2 1 7 Ja.
mm=(a9ᷓ89+ L(gn+.& h)+ chh)“— D(gh“— hg“)“; done min' sera congru à un quarré, suivant le module D, et parconséquent suivant le module p„, c'est-à-dire que mm'’ est ré- sidu quadratique de p. Il suit de là que m et m' seront tous deux résidus ou non-résidus(n 98).
On prouve de la mèême manidère, que si D est divisible par 4, les nombres impairs qui peuvent être représentés par F,
A. enene u „ 7 4 Se. h, Gͤ AA A E. kiue de eæterminant D„—e.
3. 4 7, 4 Re bn weaudt b-fer
—
maAntete Pue, N
dav Ra‿tce Sen a
I,⸗ ſ2, 2 2‿ he0 de‿‿ 71 Tond fK 9*— de Cerꝝn ne- 1 2nfd.. 4 ALa or OeAo T VV arg
—

252 RECHERCHES
sont tous=r, ou tôus=3; en effet, le produit de deux d'entre eux sera résidu de 4, et partant= 1(mod. 4); parconséquent ils seront tous les deux= 1, ou tous les deux= 3.
Enfin, quand D est divisible par 8, le produit de nombres im- pairs qui peuvent être représentés par F, est résidu de 8, et par- tant= 1(mod. 8); ainsi dans ce cas les nombres impairs qui peuvent être représentés par f sont tous=1, ou tous= 3, ou tous= 5, ou tous= 7(mod. 8).
Par exemple, le nombre 10, qui est non-résidu de 7, pouvant stre représenté par la forme(10, 3, 17), tous les nombres non- divisibles par 7 qui pourront être représentés par cette forme se- ront non-résidus de 7. Comme— 5 peut être représenté par la forme(— 5, 1, 49) et qu'il est=1(mod. 4), tous les nombres im- pairs qui pourront être représentés par cette forme seront aussi = 1(mod. 4).
Au reste, s'il Ctait nécessaire pour notre objet, nous pourrions démontrer facilement que les nombres représentables par la forme F n'ont pas ainsi une relation fixe à l'égard d'un nombre premier qui ne divise pas D, et que l'on peut représenter par la forme F des résidus ou non-résidus de ce nombre premier indifféremment. Mais quant aux nombres 4 et 8, il y a dans les autres cas quelque chose d'analogue que nous ne pouvons pas passer sous silence.
I. OQuand le determinant D d'une forme primitive F est= 3 (mod. 4), les nombres impairs représentables par F seront tous =I, ou tous= 3(mod. 4).:(As Lnadh e'==A
Soient, en effet, m, m' deux nombres représentables par F, on pourra, comme ci-dessus, ramener leur produit à la forme p— D“, et les deux nombres m, mn' étant impairs, l'un des deux nombres p,— sera pair et l'autre impair, et partant l'un des quarrés„', 9* sera=o, l'autre= 1(mod. 4); d'eoù l'on conclut aisément que p— DçH⸗=r(mod. 4), et parconséquent m, m' tous deux= 1 ou tous deux= 3(mod. 4). Ainsi, par exemple, par la forme (10, 3, 1/) on ne peut représenter d'autres nombres impairs que ceux qui sont de la forme 4n 1.
II. Quand le determinant D d'une forme primitive F est= 2
(mod. 8), tous les nombres impairs représentables par E seront 4ενι 0⁶G

ar* est mad 4 t les namf d
lous= 3„ du tan s
t tnonrin de.
, tous les nin
Pr beutts m cette he peut etre reprierin nod. 4 9„tous les nen dar cette forme erod
1 votre objet'von m repre zen 1 tables ker on dgard d'un onhre ne
représent er par ab W h* premier inditerenr
4 dans les autres cu s Ps Paser 5Ous err
ſorne primilive Fu: fgentables par T Enn- 299 L⸗Ä res reprèsent udleſe roe mauir Juhtee lirs, Pun des deu- f. ktaut Pun des quuns on conclut diserel
gent M. tous! tn⸗.
r— fat B
autres uo mbres! uns
forme eyr. imine 8
4 ar!! epréventubles eu
— u: deee, 2Br2 7 et)
—
Ce cCAe nlife 22,
Akce,,
‚iA n—— G ia,

ARITHMETIOUESSZ. 233
ou en partie=I et en partie= 7, ou en partie=3 et en par-
Iie= 5(mod. 8).
Soient m, m' deux nombres représentables par F; leur produit peut être ramené à la forme„— Dqe; sim et m' sont impairs, P doit l'êètre puisque D est pair, et parconséquent on a pe= 1 (mod. 8); or sig est pair, qe sera= o, ou= ½(mod. 8); s'il est impair, † sera= 1(mod. 8); ainsi Dqe ne peut étre que= o ou= 2. II suit de là que p— DHe= mm’= o ou=), et que si m= 1 ou= z, on aura aussi m= 1 ou= 7; sim= 3 ou= 5, m' sera= 3 ou= 5. Par exemple, tous les nombres représen- tables par la forme(3, 1, 5) sont= 3 ou= 5(mod. 8), et au- cun nombre de la forme 8n-+& ou 82+ ne peut élre repré- senté par la forme(3, 1, 5).
III. OQuand le déterminant D d'une forme primitive F est= 6
(mod 8), les nombres impairs qui pourront étre représenles 2 par F Seront ou en partie= et en partie= 3,(mod. 8), ols
en partie= 5 ct en parlie=(mod. 8).
Chacun pourra faire la démonstration ‚qui est absolument sem- blable à la précédente.
Par exemple, par la forme(5, 1, 7) on ne pourra représenter que des nombres qui sont= 5 ou= 7(mod. 8).
250. Ainsi tous les nombres qui peuvent éêtre représentés par une forme primitive donnée de déterminant D, ont une relation déterminée avec les différens diviseurs premiers de D, par les- quels ils ne sont pas divisibles, et les nombres impairs qui peuvent etre représentés par F, ont, dans certains cas, une relation avec les nombres 4 et 8, savoir, avec 4, toutes les fois que D= o ou=3(mod. 4), et avec 8, toutes les fois que D= o, ou= 2, ou= 6(mod. 8), Cependant on pourra négliger la relation qui a lieu avec 4, lorsque D sera divisible par 8, car cette relation est contenue dans celles qui ont lieu avec 8. Nous appellerons carac- tère ou caractère particulier cette espèce de relation, et nous l'ex- primerons de la manière suivante. Quand il n'y a que les résidus du nombre premier„ qui peuvent ôtre représentés par la forme F, nous lui attribuerons le caractère R.p, et dans le cas contraire, le
Gg

RECHERCHES crirons 1,4, quand on ne pourra reprè- mbres impairs que ceux qui sont
234 caractère V. p; de mème nous 6
senter par la forme F d'autres no = t(mod. 4), d'ou pon voit clairement quels sont les caractères
exprimés par les signes 3, 4; 1,8; 3,8; 5,8; 7,8.
Enfin quand on ne pourra représenter que des nombres qui sont = 1 ou= 7(mod. 8), nous attribuerons à la forme le caractère 1 et 7,8, d'où l'on voit ce que signifient les caractères 5 et 5,8; 1 et 5,8; 5 et 7, 8. b
Les différens caractères d'une forme primitive donnée(a, 5, 0) de deéterminant D peuvent se connaitre au moins par un des nombres a, o qui sont évidemment représentables par cette forme. En effet, toutes les fois qu'un nombre premier p est diviseur de D, il y aura au moins un des nombres a, e qui ne sera pas divisible par p, puisqu'on a 5= D+ a0, et que d'après cela 5' et parconséquent 5 sera divisible par tout diviseur premier de D et de l'un des nombres a, c, et que si tous les deux l'étaient, il s'ensuivrait que la forme(a, S, c) ne serait pas primitive. De méme, dans les cas où la forme(a, b, c) a une relation dêétermi- née avec les nombres 4 et 8, ily aura au moins un des nombres a, impair et dont on pourra tirer la relation.
Par exemple, le caractère de la forme(7, o, 23) à l'égard du nombre 25, se conclut du nombre 7, et il est N. 23, et à l'égard du nombre 7, il se conclut du nombre 23, et il est R. 7; enfin le caractère de cette forme, à l'égard du nombre 4, peut se dé- duire du nombre 7 et du nombre 25.
Comme tous les nombres qui peuvent être représentés par une forme F contenue dans une classe K, peuvent l'èétre aussi par toute autre forme de la mèême classe, il est évident que les diffé-
rens caractères de la forme F appartiennent aussi à toutes les 7
autres formes de cette classe. Ainsi les caractères d'une ferHe primitive quelconque se connaissent par leur représentante. Les classes opposées ont toujours tous les mèmes caractères.
275 4 ⸗ 2. 231. L'ensemble des caractères particuliers d'une forme ou d'une classe donnée constitue le caractère complet de cette forme

UIs
1.4. * Mand onne.
es umpairz quee d
at quels ſün
4
r go 3 que des nondes gi 4 31 1 as à la forme k erh
nillent les caracienss;,
8
4
2 primitive donnee e ire au mains u u deèsentables par cetein re premier p et üſt abres a, c qui ne enn -ac, et que d'as ch tout diviseur premial tous les deux léuies e serait pas primiis.!
4
„c) a une relationdêtm
umoins un des nonbss; tion.
A.. 1 par il est N. 23, et
— 23, et il est Rj 4 Kl du nombee 4, bel
96 1 di t Letre a
ent que ksd
4 bo,
il est Lrid zennent auss- c, ſe 1 es caractères n leur repetsemta- 4
7 44 1 3 atre représentes M
ARITHMETIOUES. 255 ou de cette classe. Ainsi, par exemple, le caractère de la forme (10, 3, 17), ou celui de toute la classe qu'elle représente, est 1,4; N. 7; N. 23. De la même manière, le caractère complet de la forme(7, 1,— 17) sera 7,8; R. 3; N. 5: car le caractère particu- lier de la forme 5,4 est compris dans le caraefère 7,8 De là nous tirons une subdivision de tout l'ordre des classes proprement pri- mitives(positives, quand le déterminant est négatif) d'un détere“ minant donné en plusieurs genres, en rapportant au mèême genre toutes les classes qui ont le même caractère complet, et à des genres différens toutes celles qui ont différens caractères complets. Nous attribuerons à ces genres les caractères complets des classes
qui y sont contenues.
Par exemple, pour le déterminant— 161, il y a seize classes positives proprement primitives, qui peuventse distribuer en quatre genres, de la manidère suivante:
Caractère. Formes representantes des classes. 1,4; R. 7; R. 23.(1, o, 161),(2, 1, 81),(9, 1, 18),(9,— 1, 18) 1,4; N. 7; N. 23.(5, 2, 33),(5,— 2, 33),(10, 3, 17),(10,— 3, 17) 5,4; R.7; N. 23.(7, 0, 23),(11, 2, 15),(11,— 2, 15),(14, 7, 15) 5,4; N.7; R. 23.(3, 1, 54),(3,— 1, 54),(6, 1, 29),(6,— 1, 27).
On peut faire les remarques suivantes sur le nombre des ca- ractères complets différens.—*
I. Quand le déterminant D est divisible par 8, à l'égard du nombre 8 il peut y avoir quatre caractères particuliers différens; le nombre 4 ne donne aucun caractère particulier(n- précéd.). En outre, à l'égard de chacun des diviseurs impairs et premiers de D, il peut y avoir deux caractères, ainsi, si leur nombre est m, il y a 2-*†¾2 caractères complets différens, en faisant m= o toutes les fois que D est une puissance de 2.
II. Quand D n'est pas divisible par 8, mais par 4 et en outre par m nombres premiers impairs, il y aura 2“† caractères com- plets différens. b b
III. Quand D est pair, mais non divisible par 4, il sera=2 ou= 6(mod. 8); dans le premier cas, on auradà l'égard du nombre 8, savoir, 1 et 7,8; 5 et 5,8, et autant dans le second.
2—

236 RFECHERCHES Si donc l'on suppose m diviseurs premiers impairs, il y aura 2 caractères complets.
IV. Quand D est impair, il sera= ou= 3(mod. 4æ). Le ca- ractère du premier cas n'entre pas dans le caractère complet. Dans 2 1.„ 2 0 le second cas, il y a à l'égard de 4 deux caractères. Ainsi m étant le même que ci-dessus, il y aura dans le premier cas 2“, dans le second 2“ caractères complets.
Mais il faut bien remarquer qu'il ne suit pas de là qu'on ait autant de genres différens que de caractères complets possibles. Dans l'exemple précédent, le nombre des genres est moitié de celui des caractères, et il n'y a pas de classes positives qui aient pour caractère
1,4; R. 7; N. 33, ou 1, 4; N. 7; N. 25, ou 3,4; R. 7; R. 23, ou 3, 4; N. 7; K. 23.
Nous traiterons plus bas avec détail ce sujet important.
Comme la forme(1, o,— D) est évidemment la plus simple des formes de déterminant D, nous lui donnerons le nom de formeé principale, à la classe dans laquelle elle est contenue, celui de olasse principale, et enfin au genre auquel cette classe appartient, celui de genre prinoipal. Ainsi il faut bien distinguer la forme principale, de la forme d'une classe principale et de la forme d'un genre principal, ainsi qu'une classe principale et une classe d'un genre principal. Nous nous servirons toujours de ces dénominations, mêème quand il arriverait que pour un certain déterminant il n'y eüt pas d'autre classe que la classe principale, ou pas d'autre genre que le genre principal, comme cela a lieu souvent dans le cas ou D est un nombre positif de la forme 4n+r.
232. Quoique ce qui a été expliqué sur les caractères des formes l'ait été surtout dans le dessein d'en déduire la subdivi- sion en genres de l'ordre entier des classes positives proprement primitives, rien n'empéche qu'on ne l'applique aux formes et aux classes négatives ou improprement primitives, et qu'on ne subdi- vise en genres, tant l'ordre proprement primitif positif ou néga- tif, que l'ordre improprement primitif positif ou négatif.

* Premier ca„
zuit pas de lha ractères wnr m 2 des genres est miil 4 5
eclasses positines qu-
„ 240
e suſet important.
ridemment la haui lui donnerons le unt aquelle elle est contes u genre auquel er ette ta Ainsi il faut tdien döün de classe peincipak 4- tt — classe prircist
3 T
ous servirons ſorouse un Jet
jverait que pour um
80 que 0 la classe 7 cin
4 aal, comme 5 ncip b
34 sur les caracie e! .. Gsduire k uis
qren déduire 72 lasses positires 8 4* d 41 aux X for que 5 U
1 4
*
appii mitiv es, et du
ak peimitil if posii
. 6g ail positif ou 1

ARITHMETIOUES.
237
Ainsi, par exemple, lorsqu'on a partagé en deux genres Fordre proprement primitif des formes de déterminant 145,
(5, o,— 29)
Kℳ. 5;, K. 29.. N. 5; N. 29...
(1, o,— 145), (3, 1,— 48),(3,— 1,— 48);
l'ordre improprement positif peut se subdiviser de mème en deuv
genres,
F. 5; K. 29...... W. 5; W. 29....
(4, 1,— 56),(4,— 1,— 56) (2, 1,— 72),(10, 5,— 12)
ou, de même que les classes positives des formes de déterminant — 129 se distribuent en quatre genres,
1,43,. 5; 1,4; N. 5; 53,4; R. 3; 5,4; N. 5; les classes négatives se partagent aussi en
3, 4, M. 3; NM. 45. 3,4; R. 3; K. 43.D 1,4, N. 3, K. 43.. 1,4; R. 3; N. 45.,
. 453(1, o, 129),(10, W. 45.(2, 1, 65),(5, W. 45B5.(3, o, 4⁵),(7, 8.435.(6, 5, 23),(11,
à l'ordre proprement primitif.
Pour la subdivision des ordres dérivés, il n'est pas nécessaire de donner de nouvelles règles; puisque chaque ordre dérivé tirant son origine de quelque ordre primitif de déterminant moindre, la subdivision d'un ordre dérivé suit naturellement de celle de
l'ordre primitif dont il provient.
33. Si une forme primitive F=(a, 5, c) est telle que l'on puisse trouver deux nombres g, h pour lesquels on ait σa, Sh= b, ha=o, suivant un module donné m, on aura..
1, 13),(10,
1, 26),(5, 2, 19),(7,
5, 14),(11,
— 1, 13) — 1, 26) — 2, 19) — 5, 14),
quatre ordres, (M— 1, o,— 120),(— 10, 1,— 13),(— 10,— 1,— 15) (— 2, 1,— 65),(— 5, 1,— 26),(— 5,— 1,— 26)
(— 3, o,— 45),(— 7, 2,— 19),(— 7,— 1,— ¹19)
(—6. 3,— 25),—1 1, 5,— 14),(— 11,—5,— 14).
Mais puisque le système des classes négatives se trouve toujours si semblable à celui des classes positives, il semble qu'il est le plus souvent inutile de les considérer séparément. Quant à l'ordre improprement primitif, nous enseignerons plus bas à le réduire
———
— 5—

238 RECHERCHES (gæ †‿ Ey)= aæ 2bE(mod. m), et partant on peut dire que la forme F est résidu de m, et que+. hy est la va- leur de l'expression V(aæν‿ 2bay+.*ν)(mod. m), ce que nous exprimerons plus simplement en Ecrivant que(, N) est une va- leur de F(mod. m); plus généralement, si un nombre M pre-
mier avec in est tel qu'on ait ge= Ma, gh= Mô, ha= Me(mod. m),
nous dirons que MF est résidu de m et(g,)= VME(mod. m). Ainsi, par exemple, là forme(3, 1, 54) est résidu quadratique de 25, et(7, 1⁰) est la valeur de /(3, 1, 54)(mod. m). De mèême (2,— 4) est la valeur de l'expression /5(10, 3, 17)(mod. 23).
On verra plus bas l'usage de ces expressions; ici nous ferons les remarques suivantes:
1⁰. Si M(a, 5, c) est résidu quadratique de m, mn divisera le déterminant de la forme(a, 5, c); en effet, puisqu'on a= aM, gh= BM, h=c(mod. m), on en tire
5=M=— a—eü(b— aoM== o(mod. 7n).
Mais comme M est premier avec m, il s'ensuit donc que 5=— ac est divisible par mm.
2°. Si Ma, 5, c) est résidu de m, et que m soit un nombre
premier, ou une puissance d'un nombre premier, plr„par exemple, le caractère particulier de la forme(a, 5, c), à l'égard du nombre py, sera R.p ou MN. p, suivant que M sera résidu ou non-résidu de p. En effet, al et xl sont résidus de p, et il y a au moins un des nombres a, œ qui n'est pas divisible par„ (ne 230); donc si M est résidu ou non-résidu, un des deux nombres a et e le sera aussi.
De meme, si toutes choses d'ailleurs égales,= 4, le carac- tère particulier de la forme(a, 5, c) sera 1, 4 ou 3,4, suivant que l'on aura M= 1 ou=à3(mod. 4), et si m= 8 ou une plus haute puissance de 2, le caractère particulier de la forme(a, 5, c) sera 1,8; 3,8; 5,8; 7,8, suivant que M=I1; 3; 5; 7(mod. 8).
0 4. 0 2 3*. Réciproquement si m est un nombre premier ou unce puis-
sance d'un nombre premier=p qui divise 5'— c, et que M . Fy 3 0 3 4 soit résidu ou non-résidu de p, suivant que le caractère par-

*, Niat, * 24)(mod. n) 7) den
5⁴ 10, 3, 17) 1
eprewions; ici uon b
alique de m, n diren ellet, puisqudu 6 8
=o(wod.) il Feasnit done qul-
„et que n Wtent
e euee, 7. narern (a, 5, G), 4 nu unt que 1 zera nül I sont résidus de„,¹ ui n'est pas diri ü
Esidu, un qes deui uu-
83&½ gales, n= 4. k 4
zera 1 4 oul u Jsn
ARITHMETIOUEs. 239
ticulier de la forme(a, 5, c), à l'égard du nombre p, est R. p ou N. p respectivement, Ma, 5, c) sera résidu de m. En effet,
quand a n'est pas divisible par p, a sera résidu de p, et par- tant de m lui-mèême; si donc& est une valewt de P'expression
Vall(mod. m) et que k soit une valeur de 2 2(mod. m), on
aura g aM, ah= bg, et partant aggh= 5g= e d et gh= bM; enfin ahz= bgh= BM= B=M(5*—) M= acM, o'ou h= M; donc(g, n) est une valeur de l'expression(a, 5, c) M. Mais quand a est divisible par p, comme alors e ne l'est surement pas, on voit qu'on atrivera au mème résultat, en Prenant
h= oll(mod. m) et 9=2(mod. m).
On demontre de la méème manière, que si m= 4, qu'il divise 5z— ac, et qu'on prenne le nombre M=)r ou= 3, suivant que le caractère particulier de la forme est 1, 4 ou 3 4, Ma, 5, c) sera résidu de m, et qucim= 8 ou une plus haute puissance de 2, par laquelle 5=— ac soit divisible, et que l'on prenne M=:; 3; 5; 7(mod. 8), suivant que le caractère particulier de la forme le demande, M(a, 5, c) sera résidu de m.
4. Si le déterminant de la forme(a, 5, c) est= D, et que
Ma, 5,%) soit résidu de D, tous les caractères particuliers de
la forme, tant à l'égard des diviseurs premiers de D, qu'à l'égard des nombres 4 et 8, s'ils sont diviseurs de D, peuvent
se connaitre sur-le-champ par le nombre M. Ainsi, par exemple,
comme 36(20, 10, 27) est résidu de 440, c'est-à-dire que(150,— 9) est une valeur de l'expression 3(20, 10, 27)(mod. 440), et qu'on
3N. 5 et 3R. 11; les caractères de la forme(20, 10, 27) sont 3,8; N. 5, R. 11. Les caractères relatifs à 4 et à 8, toutes les fois que ces nombres ne divisent pas D, sont les seuls qui ne dé- pendent pas nécessairement du nombre M.
5². Réciproquement, si le nombre M premier avec D renferme tous les caractères particuliers de la forme(a, 5, c) excepté ceux
relatifs à 2 et à 8, quand ces nombres ne divisent pas D, M(a, 5, 0) sera résidu de D. En effet, par ce qui a ei6 dit(3e.), il est
clair aun en mettant D sous la forme Aℳ“'˙, 5* CeA, B, C, ete.

—————
étant des nombres premiers différens, M(a, 5, c) sera résidu de chacun des nombres 4“ A, 07, etc.; si donc la valeur de Ma, 5, 0)(mod. 49) est(G, Go); que ᷣᷣ⅞, b, c)(mod. 39
soit(E, E'), que VMa, 5, c)(mod. O?) soit(L, F), etc. et que les nombres g, h soient déterminés de manière qu'on ait g= G, H, L, etc., h= G“, H“, L, etc., suivant les modules
6 V 4A,;, 0, eto.: Nespectivement(no 32), on verra facilement que l'on aura ge= aM, gh= 5M, h“= M, suivant chacun des
modules ℳ, B4„ CY, et parconséquent suivant le module D, qui est leur produit.
6. Pour toutes ces raisons, les nombres tels que M, qu'on peut trouver sans peine, par ce que nous avons dit(5), dès qu'on connait les caractères particuliers de la forme, se nommera nombre caractéristique. On trouve sans peine les plus simples, par tätonnement, dans un grand nombre de cas. Il est évident que si M est le nombre caractéristique d'une forme primitive donnée de déterminant D, tous les nombres qui lui seront congrus suivant le module D, seront caractéristiques de la mèême forme; que les formes d'une méême classe, ou même de classes différentes, mais du mèême ordre, ont le même nombre caractéristique, et que parconséquent tout nombre caractéristique de la forme donnée peut éêtre attribué à toute la classe et à tout l'ordre; enfin que ĩ est nombre caractéristique des forme, classe et genre princi- paux, c'est-à-dire, que toute forme principale est résidu de son déterminant. b
p. Si(g, h) est une valeur de l'expression Ma, 5, c) (mod. m), et qu'on ait g=g, h=h(mod. m),( ¹) sera aussi valeur de cette expression. De telles valeurs peuvent êtfre regardées comme équivalentes; au contraire, si(&, n) et( ½⁷ sont valeurs de l'expression H Ma, 5, c), et qu'on n'ait pas g äSg, N=h(mod. m), on doit les considérer comme diffé- rentes. Il est évident que si(g, n) est une valeur,(— g,— ¹h) en est une aussi, et on démontre facilement qu'elles sont diffé- rentes, à moins qu'on n'ait m= 2. On démontre aussi facile- ment que l'expression OᷣMa, 5, c) ne peut pas avoir plus de valeurs

e 5,*)
*z 3i dune h, 4. 19
dwe Ma,.
(wwd. 6 1)) soi 1.
gterminés à de u 6
7. Ling⸗ eic., suifant
1Kn
4
33
n
„
) 22), on pera he d
— 6 M, vünch
9 nent suivan„,11 d Ucu
nombres tels or L. nous avons dit 6 5
la fomme, vm zaus peine les plas ims e de cas. Il es hitee de forme peim ttire dr ai lui seront conguu nes de la meme im meme de classes dlfr de nombre caractärüin actéristique de la beuin e et à tout l'ordte, en eome, classe et gelt principale est rbäbu
je Perpresion n
54(.z), 660” de telles valeurs hedsei contraire, d(,„ „5, c)„ et qudd 12
les cor aiderer comn:
une paleuf, 9.
9 lles au, 16
acilement que 15 Oa démontte il-
1 )ne beul Pds ami
ſ

8
b ARITHMETIOUES. b 241 valeurs différentes que ses deux opposées, quand mn est un nombre Premier impair, ou une puissance d'un nombre premier impair, ou= 4; mais quand m= 8 ou une plus haute puissance de 2, il y en a quatre en tout. On conclut facilement de là, au moyen de ce qui a été exposé(G.), que si le déterminant D de la
b 6 1m2 b forme(a, 5, c) est=£· 20 425„etc, M, B, etc. nombres premiers impairs dont le nombre est„» cEt
le nombre caractéristique de cette forme„ il y aura 3n-+ 1 2
Ctant des que M soit
en tout 22, ou 2*2 valeurs différentes de l'expression VM(a, b, c)
(mod. D), suivant que αη 2,= 2 ou— 2. Ainsi, par exemple, on a 16 valeurs de l'expression 7012, 6,— 17)(mod. 240), qui sont: b (- 18,+ 11),(£ 18, 29),( 18, 91),(£ 18, X 109), ( 78,£ 19),(£ 78, 59),(£α 78, 61),(‿ 78,. 101). Nous supprimons la démonstration, qui est assez longue, et qui n'est pas nécessaire ici.
8o. Observons enfin que si deux formes équivalentes F, F ont D pour déterminant, que le nombre caractéristique soit M et due f se change en, par la substitution 6,, 7, 3, d'une va- leur(g, h) de OM. F(mod. D), on tirera(ag-+ h, 8G+ Ah)
pour la valeur de ᷣM. F“(mod. D), chacun pourra trouver sans peine la démonstration.
*
254. Après avoir exposé ces détails sur la distribution des formes en classes, en genres et en ordres, et avoir expliqué les propriétés qui naissent de ces distinctions, nous allons passer à un autre sujet très-important et dont personne ne occupé, à la composition des formes; mais avant de commencer cette recherche, nous placerons le lemme suivant, pour ne pas
etre obligé d'interrompre l'ordre des démonstrations.
s'est encore
LEMME. Si'on a quatre suites de nombpres entiers.: a, a-, ann. an zib, b, be.„bn; o, G, C,..en, d, d, d., du, com- posces Tautant de termes, et telles quon ait
7 7 cd’— de= kK(ab’— ba'), cd’— do'= k(ab'— baꝰ*), etc. C'd⁴“— c'*d⁴— k(ab“— a¹b“)„ elc., clo.
Hh

242 RECHERCHES
ou, genderalsmenil CX2d“— d'* K(a b“— b at), k Aant nn nombre entier donné,&,» des entiers diférens dont& est le plus grand, et compris entre o el n; qu'en outre, toules les quantiteés de la forme ab— b al waient pas de diviseur commun, 2lors on peut trouver quatre nombrés entiers a, 8,*, kels que l'on ait
aa+ ᷓb= c, àa+. 6 b= C, aa+.‿ 6b’'=*%, eto.
„a+. ¶b= d,„a+ Tb=, etc.
.„„„„ 11„ ou genéralement aa+. b=c,„a+‿ b= d; auquel cas on auira α— Sy= k.
Puisque, par hypothèse, les nombres ab— 5, ab— a˙b, etc. eh'— b, etc., dont le nombre est(n.‿) n, n'ont pas de di- viseur commun, on peut trouver autant de nombres entiers tels que la somme des produits des premiers par les derniers soit=1 (ne 40). Désignons ces multiplicateurs par(o, 1),(o, 2), ete. (1, 2), ete.; ou généralement désignons le multiplicateur de
2b“*— B'au par(X, u), desorte qu'on ait 2(X, u)
(a 5 5 9=„ E désignant la somme de toutes les va- leurs qui peuvent résulter de la quantité qu'il précède, lorsqu'on donne successivement à Xet ¼ toutes les valeurs comprises entre o etmn, de manière que ½μ☚κ Ʒχ. Cela posé, si l'on fait
I(X, A⁴)(2 5—— 5)=A, 2(*, 2)(a— ca**)=,
X„ X vl X 3 2O, 2)(d'b˙— B dε)=„, 2(X, ℳ)(a d— d)= 4, les nombres a, 8,„, ⁴ jouiront des propriétés énoncées ci-dessus.
I.» étant un nombre entier quelconque entre o et n, on aura da+‿ 3b= X(X,„)(0 5 0α— 5 ν ‿2νςσ— œaι ε*) =120, a)cò'd'c— a== O, u)(c'd— d) =cO 2(X, u)(a' ,— b G)=**
et par un calcul semblable, on prouve que v‿ S5= d'.

dres a5— d, 49-3, t.(2+†u)n, Tout w nant de nombres euig niers par les derminti: urs par(o, 1),(6, 1h
gnons le multigier cte qu'on ait 2 42
a somme de toute b. atité qwil préedde, INi les valeurs comptbsn
ela pose, i lan l
X 4 à4 47 „ u)(4— 44
6 4 „u)ſa 7—4 4)A
.„ 4 cirs rroprictes enonceeschu
et at onque entre O eien
4 †
1 4+†
5 1 70 1
4 4 0]
2
X M9 2*5- 1
4 15 ₰
ARITHMETIOUES. 245
A 2 II. On a parconséquent 24= A+ 85, ch aa+ 85b,, et partant
X X& 2 A,.. 00 5— 5 ε ‿= a(a 56,— ap); 3
de même... a— α= 8(a 5b— B'a.) d' 5b— 5 d'=„aν̈— a24 5“)
b a'd—. αη(a b— a 5)), d'ouù l'on tirera plus facilement les valeurs de æ,,„,, pourvu qu'on prenne Xetu de manière que aα⁵— B au ne soit pas=o, ce qui est possible, puisque toutes les quantités de cette forme
sont supposées ne pas avoir de diviseur commun, et que par- conséquent elles ne peuvent pas être toutes= o. On tire aisé-
ment de ces équations
(24ù G)(aν̈— 25)=(aA*⁵— 5 a)('d“— c9)—(ανᷣι. 5 29)“, d'ou nécessairement ad.—)= K.
235. Si la forme AX+2 BXEFHPSO 2=ꝑ, se change en le pro- duit des deux formes aæ‿̈ν‿‿μeνσνzỹeſ, aν‿‿ bæ‿ᷣᷣᷣzeſ par la substitution b
X=Dre pey pey HI, Phee A.er-reypppT, (ce que nous exprimerons d'une manière abrégée en disant: Si Fse change en † par la substitution p,, p', p*; 9, 9, 9, 7) la forme F sera dite transformable en et si de plus cette transformation est telle que les six nombres
po p9, pg rpg, pg—p'g, o—,ꝑpc, Pꝑp'g, peg—peg. n'aient pas de diviseur commun, la forme F gera dite composée
des formes, f.
Nous commencerons par l'hypothèse la plus générale, celle ou
la forme F se changerait en † par la substitution p, P P, p;
7, 7, 7, 9%, et nous développerons les conséquences qui en
◻
Cette condition est exprimée par les neuf équations suivantes:

244
Ap+ 2 5 p9+ C9= aa...........(¼) Apf* W?, d. heene ee,.„.....ͤ d d d.(2) Ap+ 2 Bpꝗ+‿ CI= ae.................(3) Aper+ 25p' C9 e= Co.............+ App+‿ B(p9.+ p)+ o„,= a5.........(5) —+ FH(pq+ p„ 4)+ ßü= a,.......... ö K(6)
pp+‿ B(p ρ‿‿ꝓꝗ+. C„= b0............(2) S,+ B(pëν⅓ςν‿‿,mσ Co= C65fhfobhbhbv.(8)
A(vp ν‿ρꝶꝶν&⁴σάσα‿ησσασρπνρα‿σννν‿ς‿α.(9).
Soient D, d, les déterminans des formes F, f, ſrespective- ment; M, m, m' les plus grands communs diviseurs des nombres K, 25, O; a, 25, G;, 20, respectivement, M, m, m 6tant pris positivement. Déterminons les six nombres A, B., Ci; M., B.,(. de manière qu'on ait
Aia+ Bib+ Ce=m, AAl B.5+ o m.
Faisons enfin L. ⸗==, f— p'̃= O, pq“— p̃= R, V—,pG ꝛ= S, p—,pec,= T, p—,p“,“= U, et supposons que k soit leur plus grand commun diviseur(). b
Posant maintenant
App'+ B(po p. Xorr= 5+ A(10),
() On peut présenter, cette recherche de la manieère suivante.
On tire des dernières équations que vient de poser Pauteur, en supposant connues P, O, R, S, T, U, et par l'élimination entre les valeurs de O, R, S, 7', Pꝗq= O—&g, Pp= Op— Sp, Pq“= Rq— 79, Pp'= RHp— 1p; et comme on a l'équation p—s— p qᷣ)y= o, il vient en substituant dans la valeur
de celles de—“,—“, p', p', l'équation de condition, 0T— RS= PV. Substituant enfin les valeurs de ces mêmes quantités dans les équations(3),(4), (6),(7),(8),(9), on obtient six équations que je déesignerai par (2),(E), Q),(⁷),(°),(5). De(α) et(y) on tire en éliminant§, et faisant 3 7=n,
0,☛ 0=. 7=
Les équations(e),() donnent= 5(ν— 5)„ f 5(à μ+ b), et l'on

eeee
—
— —
mun
/
4
1941414841 10f —
—
t
e
1u4

—————

ARTITHMETI U8. Péquation(0) donne b Ap p+‿ BPp' p d- 5 7— A.(11).
Deces onze équations on tire les suivantes, savoir: En élevant l'équation(5) au quarré et en retranchant le pro-
a facilement R.§, R—: les équations(e),() s'anéantissent d'elles-mémes, et les équations(1),(2) et(3) donnent sans peine, comme dans le no 157, PeD= aud; substituant dans les équations qui donnent O, RK, S, T et dans
. d. d T'équation de condition, et faisant 5= 32,'5= n; il vient
P=an,, O= an, R— S= 25bn, RXS= 25ʃn;, Arsen,=cn.... 85 Comme P, O, f, S, T, U sont entiers, on voit que io netn’ sont rationnels,
d. partant,, H des nombres carrés; 2e. si n est une fraction, son dénominateur
doit être un diviseur de m' plus grand commun diviseur entre aε, 25,, et que Parconséquent mn est entier; il en est de même de mnl. Or ces 6quations d⸗= Dn, d☛Dn donnent dm'a= D(m'n)“, dm= D(mn.)“; donc D ne peut pas stre plus grand que le plus grand commun diviseur entre dmia et dm.
Il est aisé de démontrer que le plus grand commun diviseur k des nombres P, O, R, S, 7T', U doit diviser mn' et m'n. En effet, on a
mn= P 2(R= H). 25 2e U:—; — 7⁷⁷ 771 7
. PD /ſR—& parconséquent r . ie a 25 c. 1 mais deux des trois nombres„„ sont necessairement premiers entre eux; „.„. a Pm mn/. 1. donc— est divisible par—, ainsi l'on a—=—F égal à un nombre entier. .)... ah K. On démontre de même pour mn et la réciproque, comme l'auteur(4“ conclusion). Aux six équations(E) doivent être ajoutées les équations(1),(2),(5) qu'on peut mettre sous une forme plus- aumple en éliminant deux des nombres A, S, C, alternativement; on trouve„
APz= ad, †φω— 22b, 99. ac q.. Br-ee-n Ku(or+ p—)— aα—.. (P== 2/%p,2— 22 pp+† ac p.: donc A⸗Pz, 25 P⸗. CPz sont divisibles par mm]. On obtiendra les 15 autres Equations de lautgun; en gubstituant. les Jaleurs de p.,—: 1⁰. en fonction de p, p“ et de,; 20. en fonction de p, p', et de
—,“, ainsi de suite. On suiyra a quant a au reste la marche de Fauteur(Note du raducteu⸗).

246 RECHERCHES duit de l'équation(1) Par l'équation(2), D. P-= da.....(12); en multipliant équation(5) par l'équation(9), l'équation(1) par l'équation(7), l'équation(2) par l'équation(6), et retran- chant du premier produit la somme des deux derniers, DP(R)= 2d2b(13); en multipliant l'équation(10) par l'équation(11), l'équation (6) par l'équation(7), et retranchant le second produit du premier, DPV= dao—(à— dd)(14); en ajoutant le double produit des équations(5) et(8), les quarrés des équations(10) et(11), et retranchant de leur somme les pro- quits des équations(1) et(¼),(2) et(3) et deux fois le produit des équations(6) et(7), D(R S)“= 4 b+ 2(A— dd)(15); b en retranchant du produit de l'équation(8) par l'équation(9), la somme des produits des équations(3) et(7),(4) et(6), D(RO S) V= 27 HoOo....(16); en retranchant du quarré de l'équation(8) le produit des équa-
en remplaçant dans les mémes calculs les équations(2),(5),(7), par les équations(3),(6),(8) respectivement, et réciproquement:
DO==dahohoh...(18) DO(R S)= 2d9,b......:(19) DOT= dalc—(A— dd)......(20) D(R+ S)“= 4db 2(Av—dd)(21) D(RS)T= 2490......(22) DTAoeerh.........(25).
De ces équations on tire, 1. en retranchant le quarré de
l'équation(13), du produit des équations(12) et(15); 20. en
retranchant le produit des équations(12) et(17), du quarré de T'équation(14): b b 0== 2A d*(A— da)...... 0=(A“*— da.)— 2 ac(àA— dd),

5), 0)
uement:
uarre de .P, ell 7
Lar de
ce qui prouve la relation A— d=eo, soit qu'on ait ou non a2= 0O. Cette manière de trouver l'équation A&—e dd suffit pour les recherches présentes; mais nous aurions pu la trouver directement par une analyse plus élégante mais trop longue pour être placée ici, en déduisant directement des onze premières équations celle-ci 0=(A— da)“. Nous supposerons donc qu'on ait effacé A— dd⁴
dans les équations(14),(15),(20),(21).
Or si l'on fait Ar&,(R= S)C., DWmn, A. OS.(R S)-O.T=mn,
où n, n' peuvent être des fractions, pourvu que mn' et m'n soient entiers, on tire facilement des équations(12)(17),
DOmunl= d(Aa+ 25.5+ C.c)“= Jm“*, et des équations(183.(23), Dm'n= d(Aaa+ 2520+ C.CO)“ ꝛ= m!’.
On a donc d£æↄ CCn, d᷑ Dan', d'où nous tirons une PREMIKRE
coxPITION: les déterminans des formes F, f, f' Sont entre euxr comme des nombres quarrés; et une sEoopE;: D dioise toujours dm“ et d'm“. Il suit donc de là que D, 7, d sont de même signe, et qu'aucune forme ne peut être transformée en le produit ſf“ si son déterminant est plus grand que le plus grand diviseur commun des nombres dᷣm et dma.
Si l'on multiplie les équations(12),(13),(14) par A, B., C.
respectivement; les&quations(13),(15),(16), les équations(14,
(16),(17) par les mêmes nombres et de la mêème manière; que l'on ajoute les trois produits en y remplaçant d par Dus, on trouve, à Paide de l'équation A, P+ B.(RO G)+ CD= mn.
P= aun, R—= 25 y9“’, V=en. de même, en multipliant, 1°. les équations(18),(19),(20); 29. les
quations(19),(21),(22); 5°. les équations(20),(22),(25) par ,;3 B. 2. respectivement, on a
O= an, R+ S= 20hn, T= Gn.
Ce qui donne une TROISIEME GCONDITION: es nombres a, ab, c sont proportionnels auæ nombres P, R— S, U; ct en supposanl
ARITHMETIOUES. 247
——— —— ſͤ öͤ— ———— k———. .———— 1——— 1“———— ͦ— “— ö“. —“ C— ſſ“ — 3.— mmo–†o 8 1
——
—
“

248 RECHERCHES
Vus Iadar rapport est celui de 1 à, n sera la raoine quiarree ded 5: de memèe, les nombrées a,, 2 b'“, c sont proportionnels aur venb es OQ, R+ S, T; l si l'on suppose que leur rapport est
d celui de 1 à n, n sera la racine quarrée deé 5.
Au reste les quantités n, peuvent êôtre les racines positives
ou négatives de 5 et t5. d. où nous tirons une distinction qui pa- rait stérile au premier abord, mais dont l'usage se reconnattra par la suite. Nous dirons que dans la transformacion de en ſ†ſ, la forme/ est prise directement quand n est positif, indirectement quand n est négatif, et de même à l'égard de f. Mais en ajoutant la condition que= 1, nous dirons que la forme E est composée ou directement des deux formes, ſ, ou indirectement de ces deux mémes formes, ou directement de et indirectement de f', ou directement de f“ et indirectement de f, suivant que les deux nombres n, seront Positifs ou négatifs, ou que n sera positif et n négatif. ou n négatif et n positif. D'ailleurs on voit facilement que ces relatſons ne déèpendent pas de l'ordre dans lequel ces formes
sont placées.
Or nous observons que le plus grand diviseur commun des nombres P, O, R,&, T, V divise les nombres mn', mn, ce qui résulte des valeurs Ctablies plus haut pour ces nombres, et que parconséquent K* doit diviser mins, manz, et DX: les nombres d'ma, dml; mais réciproquement tout diviseur commun de mn', m'n divisera aussi x. En effet, soit e un de ces diviseurs, il divisera évidemment les nombres an', 20 n'“, on', aln, 20n, on, et partant,
P, R—, U,.8, R+, T, et d'après cela 2 R et 20. Or sin
était impair,— S le serait aussi, puisque la somme est paire ainsi que la différence; wur produit serait done impair. Mais ce produit est 3 211— Ln ²) 46 dna-alc'n—dn.= 202,) Au dna— ach*²), e parconséquent pair, puisque e divise a n, 2* n, an, cnl. Donc est nécessairement pair, et t partant, Ret s sont divisibles par c. Donc

afpee 2 Tnr
ſt est
ditines lui da- unaltra en ff, llement joutant mposee es deux f, ou es deux voöitt lement s formes
n K des „ ce qul „et qu nombfes de ml, dirisela
aicsiqlb prolli aon') 4 Dond les pal?
Dolc

ARITHMETIOVES. 249 Donc e divisant les six nombres P, O., R,&, T, D, divisera aussi leur plus grand commun diviseur k. Donc k est le plus grand diviseur commun entre mn et m'n; d'où l'on voit facilement que Ohs est le plus grand commun diviseur des nombres m'„ Tm. C'est la OuATRIEME CoNxcLUSION. Il est donc clair que to fois que F sera composée de f et fo, comme on a= 1. le plus grand commun diviseur des nombres dme„Ami et récipro- quement. Cette propriété aurait pu èêtre prise comme définition de la forme composée. Ainsi la forme composée des formes fh,, a le plus grand déterminant possible parmi toutes les formes peuvent èêtre transformées en le produit f.
Avant que nous puissions aller plus loin, il faut déterminer avec plus d'exactitude la valeur de A que nous avons trouvé— = V Dnun's, mais dont le signe n'est Pas encore fixé. A cet effet, nous déduirons des équations fondamentales l'équation DPO= aaà, en retranchant le produit de l'équation(1) par l'équation(2), de celui de l'équation(5) par l'équation(6); et partant, Daann= aaà, ou Dnn= A, à moins qu'un des nombres a, ne füt nul. Mais on tire des équations([(2) absolument de la même manière. huit autres équations dans lesquelles Dnn' à gauche, A à droite, sont multipliés par 2 5ο, ad, 252¹1, 45 6, 25%, Ga, 20pL;/„ G; et comme les nombres a, 25, ne peuvent éêtre nuls en meme temps, non plus que les nombres, 25“, G, il s'ensuit qu'on aura dans tous les cas A= Dnun'’, et que parconséquent A aura le mème signe que D, d, ³, ou un signe différent, suivant que n et' auront le mêéme signe, ou un signe différent. b
Or les nombres aa', 225“, ad, 250, 45 6, 20/5, ca, 20b', oo. 255bb+ 2 4, 255,— 2A sont tous divisibles par mm’. La chose est évidente pour les neuf premiers; quant aux deux autres„on les démontrera comme nous avons démontré plus haut que R et S étaient divisibles par c. En effet, 455vo+ 4A et 45b5,— 4aA sont divisibles par mm, puisque 4&= r6 R, que 4 est divisible Par m'*, 4 par m'u, partant, 16d par mem's et 4A= 16R“ Par mm; la somme et la différence des quotiens sont paires; et comme l'on démontre facilement que le produit des quotiens est également pair, chacun de ces quotiens l'est aussi„et parconsé- quent 255+ 2 et 255 N— 2 sont divisibles par mm.
1 1
utes les D sera
qui

RECHERCHES
on déduira facilement des équations fondamentales
250
Maintenant,
les six suivantes:
AP== ́ aa ν⁷— 22νρσ⁴⁴ ε‿ς 2—,
AO“= a09— 2 195b99+ 269”,
AR*= aa'—ν— 2095+ A)g+ ο,
ASæ= 20,—— 2096/ ₰ A)oνπνέαα³˙οmφε,
A7T= 20ʃ—— 260,9,9“ X 209,
AU== 2Ac⅓— 25 999,-04. Il suit de là que A“, AO“, AR“, etc. sont divisibles par mm', Jyoù l'on conclut facilement que A˖ est divisible par mm', puisque est le plus grand commun diviseur entre P'
H
25, 0, etc. leurs valeurs 7, etc., ou.....
„O“,', etc.; mais
en substituant pour a,
1 3 (pq,— P¹) F, etc. Ces équations se changeront en six autres,
dans lesquelles on aura à droite les —„9) par P*, O“, R“, etc; nous laissons à effectuer ce
produits de la quantitè
T calcul qui est très-facile. Il suit de là qu'on a Ann=„,—,—O— 99. De la mème manidère on obtient six autres équations dans les- quelles A est remplacé par C, et 7, 7o⸗—, gy par p, P, p', p', on parvient à l'équation Cnn= pp'— pp', et l'on prouve que OK est divisible par mm. Enfin on déduit encore les six équations: BP==— aaφ+ ab(pg.)— aꝑ7⸗ B0*=— aa p'g A,b(P& 9)— 4 9, BR==— a0 p*„+(b5+ ACpg pr)) c‿ꝙꝑ9;⸗ BS§-=— acρ+(55—A) G, E)— Aαꝙꝓ BT.==— ac,p+b b0(p. P p)— cO, 9,, SLU==— Aꝙ ο*ς ‿ ꝗtuαςσ‿‿μμ— cρσ, est divisible par mm; on déduira
d'ch l'on conclut que 2 ns que ci-dessus, l'équation
aisément par les mêmes substitutio aBnn= pq+ p,g ,p,r= p„. b Puisque Ak*, 2 Bℳ*, Ck sont divisibles par mm’, il s'ensuit ue Me est divisible aussi par mm; mais on voit par les équa- tions fondamentales que M divise les nombres aa, 29 b, aG, 26%
8N—ͤ———Aõ—

entales
Al p puisqa c.; Dab u 1 ⁴ autrs;, quantit ectuer de 71 9 7—9. daps les- „ 17 1 D,D,, oue qye
9,
a doduila Péquatio
ARITHMETIOUES. 251 45 b', 25%, cal, 25, od; partant, am, 2bm¹, cm'’, qui sont res- pectivement les plus grands diviseurs communs des trois premiers, des trois moyens et des trois derniers, et enfin mm“ qui est le plus grand commun diviseur de ces trois nombres. Donc, lorsque F est composée de fet)ſ', c'est-Aà-dire lorsque K=r, on a néces- sairement M= mm'’. C'est la ciNOuIEME—oNxcLUsloN.
Si le plus grand commun diviseur des nombres A, B, C est M., on aura M.= M, quand F sera une forme propre ou déri- vée d'une forme propre, et M.= 4 M, quand F sera une forme impropre ou dérivée d'une forme impropre. Soient de môme mi, m., les plus grands diviseurs communs des nombres a, 5,; 7
1 7 9*... 22—„ , O, G, respectivement: on aura m.=m ou= Z, mr= I.
7 771 4 0 2. 8.⁴ ou=—. Or il est évident que mi“ divise d, que m divise d,
que parconséquent mumu divise dd' ou A“, et que mun, divise A.
Ainsi, des six équations BPe= etc., etc., il suit que mun, di-
vise BK“', et partant M., car il divise aussi Aℳs et Ch; donc toutes les fois que F sera composée de f et †, mun divi- sera M. lui-même, et si, dans ce cas, les deux formes ſ, sont proprement primitives ou dérivées de formes proprement primi- tives; on aura mam,=mm= M; donc M.= M, c'est-à-dire que F sera une forme semblable. Mais si, dans le mèême cas, cha-
cune des formes †, ſ%, ou l'une des deux seulement, par exemple,
est improprement primitive ou dérivée d'une forme improprement primitive, il suit des équations fondamentales, que les nombres aaν, 220', a, 5ᷣ, 25!6,, 5O, aο, 25, co sont divisibles par M., et partant, mam= mm= M; donc M.= 1 M; ainsi la forme F est improprement primitive, ou dérivée d'une forme impro- prement primitive. C'est la sixiIkME CoNcCLUsioN.
Enfin nous observons que si les neuf équations
P=an', R— S= 26bp, U=on, O=a'n, R S= 25/„, T'= Cn, j,
Ann.—q*— 99%, 2Bnn= pq py=, p'—= p'G, Cnn.= pp— pp. GE sont supposées avoir lieu, pourvu que n, ne soient pas=o, on s'assurera facilement, par la substitution, que toutes les équa- tions fondamentales sont satisfaites, c'est-à-dire que la forme
(A, B, C) se change, par la substitution p, p', p',„; g, 9, 2

252 RHRECHERCHES *p,—ν, en le produit des formes(a, b, c),(, b,&), et qu'on a en outre 52— a= n*(H=— AC), b2— aAæ n(Be— A0). Nous laissons à l'intelligence du lecteur ce calcul, qui est trop prolixe.
236. PROBLEME. EFlant données deuæ formées dont les deter- minans sont égauæ, ou du moins comme deuæ nombres quarrés, trouver une forme composde de ces deuo formes.
Soient f=(a, b, c),=(a', 5“, G⁵) les formes à composer; J, d leurs déterminans; m, im les plus grands diviseurs communs des nombres a, 25,;, 20%, respectivement, et D le plus
grand commun diviseur des nombres dm¹*, dma, pris avec le mèême
8 F,eE Alors An. d em. t d hres positil- S1gne que A el. 1018 5 E; Sserol Ees nomlbreé POsI 118
premiers entre eux dont le produit sera un quarré, ainsi chacun
„ 0* 2 d dI/ d'eux sera un quarré(n“ 21). Ainsi N7 5 et F 5 seront des
quantités rationnelles que nous représenterons par n et n, en prenant n positif ou négatif, suivant que la forme/ doit entrer directement ou indirectement dans la composition, et de même à l'égard de v. mn' et m'n seront parconséquent des entiers premiers entre eux; quant à n, n", ils peuvent être fractionnaires. Cela fait, nous observerons que an, on, an, on, bn bn, bn'— B'n sont des nombres entiers, ce qui est évident pour les quatre premiers, et qu'on démontrera pour les deux aufres, comme on a démontré que R et& étaient divisibles par c.
Soient pris maintenant quatre nombres entiers K, K“, K“’, K* à volonté, pourvu qu'ils ne rendent pas zéro à-la-fois les premiers membres des quatre équations suivantes, et qu'on suppose Klan †‿ K'an-+ K"(bn † b' n)= g,— Kan+Kucn— K"(bn— b/ n)= Gℳ— 1 8 Kucn'— Ka’n+† K(bn— 5b'n)=,— K'en— K n— K(bn+ b'n)= 49“) de manière que g,„,„,„' soient des nombres entiers premiers entre eux, ce qu'on obtiendra en prenant pour&‿ le plus grand commun diviseur des quatre premiers membres. On pourra alors trouver quatre nombres,, tels qu'on ait
I9£‿ 9'=, et cela fait on déterminera p, y, p', p“ par les équations suivantes:

qwon 40), trop
b Leter. Larreh,
poser, Anuns de plo e meme
boöitiß lchacuu ront des
t y, en fit entrer mäme; Tremies Cela Rit, -hn sort premiers, demonte
prenien Jos gand urra Dos
uirautè:

—
oEo““ 1 —
—————
—jͤͤͤͤ
——-——

ARITHMETIOVTs. 355 vom Jrran ebe,n)e==p,— nam nrdn=ri(bw.=h,n)=ve,](n) aucn— r an+(bn’— b'n)= py,— 7 cn— 7— T(bn † bn)= 5(II);
enfin en posant.
,π— q„=Ann, pqp p,q,—., p'= 2 Bnn, v p— pp'= Cnn', A, B, C seront des nombres entiers, et la forme(A, B, O)= E sera composée des formes f et f.
En effet, 1“*. des équations(I) on déduit sans peine les sui- vantes:
q'cn— q“'n—(bn— b'n)= o, qeu:4h, An. 9(bn+ b'n)= o,
qyan+. ‿—](bn. 1 n)= O,—'an——an—(bn’— b'n)= O 3(I. 20. Supposons que les nombres entiers A., B., C., A., B., C., N, N' soient déterminés de manière qu'on ait
ADa-+‿2 ,ν‿‿᷑ε, Aa‿ B. 5+C, ‿m, Nm nN né=l,
on en tire, par la substitution des valeurs de m, m' dans la troi- sième équation
A.Nan-+2 B. N'bn O. Von 4+2. Na'n-‿. NVn-+‿C. Non= 1; de cette équation et des equations(III), en posant — q A. N-—= G A. N= 9'(B. NPB. N)= k, A. N— CQ. N-C9”(B.N B. N)= P, —T&ντ‿2Q2 NCB.V'— B. N)= k, TO.N+ TC. NS(GB.N- B.N)= k, on trouvera facilement b Kan † Kan+ kKé(bn'+ b)= h,— kan, † Kedn— K(5E— L n)=, Juv P'cn— kan+ k(bn’— b,n)= q,— K'’cn— Ko'n— k(Pn.+. b, 7)= 9“ Lorsque 1, ces équations ne sont pas nécessaires, et l'on peut prendre à leur place les équations(I) elles-mêmes, dont elles sont les analogues. Or si l'on substitue dans les valeurs de Ann’, 2nn'’, Cnn celles de,,—†,—*, p, p,', p„', on trouvera, en requisant„ que les différens termes sont des entiers multipliés
les uns par nu', les autres par dn ou d'n“; et que tous les termes
de la valeur de 2 BPnn contiennent le facteur 2; oOr du= du' et
29r Vdd Done A, B, O sont des nombres entiers.
3°. En substituant les valeurs de p,,„', p“, dans les six

254 RECHERCHES premidères des 6quations(44), on trouvera qu'elles sont satisfaites ½ l'aide de l'équation xg ‿Qπππ‿-- Qπμς‿μαησσαeæe et des équa- tions(III). Les trois dernières ont déjà lieu par hypothèse; Fdonc la forme F se changera en ff par la substitution p, p, p,, 7, 9„ 9 7o, et son déterminant sera D, qui est égal au plus grand commun diviseur des nombres dm', dm*; donc par la quatrième conclusion du n précédent, Fsera composée def, f'.
237. THEORRME. Si la forme F est transformable en le pro-
... 84 4. 1 duit de deuæ formes f, f', et que la. forme f renfermè la forme f', F pourra aussi Se transformer en ff'.
Conservons pour les formes F, f, les signes du n“* 235, soit fr=(a“, 5'˙,), et, 6,, ³ la transformation qui change ſ†* en fy. On voit alors sans peine que f se change en † par la
.. ¹. 7 r 7„u.„ substitution ap- νν εꝓν‿ p, 2p p, 8p' 3p 9 9,⸗ f 10 14 39+‿39, ag*%, 89,ℳ 9.
Représentons, pour abréger, ces coefficiens par r,, 7, 7; §, S, 5˙, s'“, et faisons ad— y= e, en appliquant ici les équa- tions Q du n“' 235. On trouve
rs—r's= ane, Ts— T“'s—(r'S'— r's)= 2be, Is8rsonſe,
rs-T's= gn, rTs'— res-(vs'- r's)= 26,n, vVs— r's= e'n, 5'87— S8 Anne, rs“-Pr's— s— T's= 2 Banc, r'=r= Cnne; donc en représentant par dν le déterminant de †o, et faisant 5=n, on aura n= ne parceque Ä2= n, et que c= A/ 7 suivant que la forme f' renferme f' proprement ou improprement; ainsi dans la transformation de F en-ff' la forme' entrera de la mêème manière que ſ dans la transformation de F en ff“, ou d'une manière différente, suivant que e sera positif ou négatif, c'est-à-dire, suivant que ſ† renfermera † proprement ou im- proprement..588
238. THEORKEME. Si la forme F' renferme F, el que F puisse Se changer en ff', la forme F'’ pourra aussi se changer en ffe.
Conservons pour les formes F, ſ,/ les mémes signes que plus haut, et supposons que F se change en F par la substitution a, S, y,—, on voit facilement que E se changera en f par la substitution G 4

gfaltes Gqua. ühsse; p, y, eeal Au onc dar
def— 1 e Tro- ome
35, ci hange p ¹ prk 7†),
1 1 7. 4 1,
es bou
gechle, 9* 07, =Cme t faisant
9” / prement; atrera de n// 3 oll nbgaut t ou iil
F puüs ranf. que Jlo stitobol
Iyn
ARITHMETIOUES. ap+‿ S9, ap ‿ S-, ap S9, ap* S9“; p ‿9, p TG, vp+ 9, p 4,9. On prouvera en outre, par un calcul semblable à celui du n- précédent, que si F’ renferme F proprement, les formes, f entreront dans la transformation de F“ en †h de la même ma-
nière que dans la transformation de F en f†f'; et que dans le cas contraire, elles entreront d'une manidère inverse.
En combinant le présent théorème avec celui du ne précédent, nous obtenons le suivant, qui est plus général:
Si une forme F est transformable en ff', que f, f' renferment les formes g, g respectiuement, et que G renferme F, G sera
transformable en gg.
En effet, par le théorème du ne présent, G se changera en †˙ donc par le théorème du n'o précédent, G se changera en et de même en gg“ Or il est évident que si les trois formes f, f, G renferment proprement les trois formes g, g, F, G se composera de la meme manière en g que Fen ff'; de mème, si les trois premières renferment improprement les trois dernières; et enfin on déterminera facilement de quelle manière G doit se composer de g, 9“, si une des transformations est différente des deux autres.
Si les formes F, f, † sont équivalentes aux formes G, g, respectivement, les premières auront les mêmes déterminans que les dernières, et(n“ 161) m et m' seront pour„, g ce qu'ils sont pour f, †. D'ouà il suit, par la quatrième conclusion du n“ 235, que si F est composée de f,, G sera aussi composée de g, 9“, et même que la forme entre dans cette dernière composition comme/ dans la première, si F, G; f, g sont équivalentes de la même manière, ou au contraire. De même à l'égard def' et g.
239. THEORkME. Si la forme F est composée des formes f, f., toute forme qui pourra se transformer en ff de la meéme ma- niore que F, renfermera proprement cette dernieré.
Conservons toujours pour F, f, f' les signes du n“ 235, et sup- posons que la forme F=(A, B“, C“), dont le déterminant= D'
se change en f par la substitution p, p, F', p†; 9, 7, J 9', et

256 RECHERCHES
représentons pour cette composition, par 4„Oe Ri, etc. les analogues de P, 2 R, etc. Dans la première on aura Piant, R.— S.= 2bm 1, UM=cn:, O= C'm, R S== 25,'n.,.on.) nin kf ,= 9“— aninάzeñpq ꝑPp rùp ν—p'1—, he. ninC= pp—,pip'r 4d A.
b. n, et n', étant les racines de F„h et F, et de mèêmes signes que
n, n]. Soit donc M 5= pris positivement ,on aura n.=kn, I.= kr. On déduit alors des six premières équations de Q et Q Pe=, 0.=kKO„ R.=h, S.=hs, 7.ℳ, MP;
donc par le lemme du n“ 254, on pourra déterminer a, 3,„, ₰ de manière qu'on ait
ap- ‿☛QO., ap ‿9=p, etc. p- 4 ¶‿☚☛φπ, p‿2ꝑ9,=, etc. En substituant maintenant les valeurs de p., pi, etc., q, qν, etc. dans les trois dernières équations de Q', on trouvera, à l'aide des Equations m.= kn, n= kn, et des trois dernières de 2,
A= AK'a-+‿ 2 5e—2‿ C, B=ẽ A‿‿α‿£‿ρ C, C= Aᷓ,/S+ 25/4+ C’'. ainsi la forme F“' se change en F par la substitution,, 7,, qui est propre, puisque d— 97%= k, et que X est positif.
Si donc F' est aussi composée de f, et de la mème ma- nière que F, on aura D= D, et partant F et F sont propre- ment équivalentes. Plus généralement, si G est composée de g, de la mème manière que F l'est de f, †, et que les formes f, f* soient proprement équivalentes aux formes g,, Fet G seront proprement équivalentes. b
Comme le cas où les formes à composer entrent directement dans la composition est le plus simple de tous, et que les autres sy ramènent facilement, nous nous y attacherons principalement, ensorte que lorsque nous parlerons d'une forme composée de deux autres, on devra toujours entendre que chaque forme entre di- rectement dans la composition; il en sera de méme pour les fermes transformables en produits d'autres formes.
240.

1 ele,
J ei aidd des 9,
Cy,
4, 79— if. me W- t propre- de g„ mes f,
G eerolt
ectegert jes aotles aleelt 2de deux entle d⸗ pour ls
10,
“

ARITHRMETIOUES. 259 240. THEOREME. S5 la Forme E est composee des formes ff“ et O de F et f', que F le soit de f, f' εα de FE“, f las formes
9, soht proneuen, Gqotinalentes.
I. Soient... e Ma-H.22)-op..=a evar+o*, = œAeπ‿νι‿ννηνꝓν‿‿ρμρρσμ. F= AX= † 2BXEI OT, FE= AX H X P O„, 9‿= Gts+ 2 Hftu † Lu, b 4‿=æ 0G 1*+ 2u'tu Lur,
et leurs déterminans d, G, d, D, D’“,&, A⁴, qui ont fous les mémes signes, et sont entre eux comme des Tenrr. Sne m le plus g grand commun diviseur des nombres a, 25, que M, m, M aient la même signification par rapport aux Tlnes 4— 3 F par la conclusion 4 du no 235, D sera le plus grand com- mun diviseur des nombres dmie et m*, et partant Dm'e celui des nombres dm'amle, d'ameme; M= mumn'“; A le plus grand com- mun diviseur des norhbres Dme,' Ma, ou des nombres Dm'z et 'mem!²; donc A est le plus grand commun diviseur des trois nombres dmleme, Imame, mem,e. Par la méême raison A est le plus grand commun diviseur des trois mêmes nombres; dong pnisque A et A doivent avoir le même signe, on a A=N, c'est-à-dire que les formes 9, O ont le méème déterminant.
II. Supposons maintenant que 34 se change en par la substitution
daesreeert Frrs, r, y, P= geaHey’ d9 r‿Q%
et en“ par la substitution
1= x Xx a L e
2= XXæ X. X XEA
g d
et désignons par n, n, N,»“ les racines positivos de 5, 5.⸗ D 4.. 2.„ 2 24 Alors, par le ne 235, on aura dix-huit Gquations, dont la moltis appartiendra? à la transformation de F en./h, et l'autre moi- tié à la transformation de en Ff'; la première sera pmo-—,ṽ=an“, et on peut, à l'instar, former toutes les autres, que nous omet-
tons ici. Au reste, les quantités n,, N,»“ sont rationnelles, mais peuvent être fractionnaires.
K k

258 RECHERCHES III. Si l'on substitue les valeurs de X, F dans celles de t, u,
on a un résultat de la forme
= rxæνεμνννεινασ‿ ‿τey rr νσ ν‿ꝙ‿̈rejyy,
u= Srrꝙ+‿ ☛ s'ν‿‿ eyy ‿s s.y ℳ x'yy, s yyy'.
Le coefficient= pr+. 9, le coefficient 7= pa †. g“; les
autres peuvent se former de la même manière, nous ne
quatorze les plaçons pas ici, parceque chacun les trouvera sans peine. d.
₰ 8 6. d Désignons maintenant les racines quarrées positives de X et ½ par»,, on aura»= Ny,= Nn. Cela posé, on trouvera faci- lement les vingt-huit équations suivantes: ⸗6„ M 114. rS— v= adn, 78— rnsᷣ= aν, T8——eü ab,‿ ab, . rirs= Aa*», rs-—— r'S= A by a D, rSvi rS= a b a'r, 7§. 2 = BU,b LD' BA„, vs r's= ab— ab, „7S“—r ao, r1S1v riS= A B=— A b, SV— TS= A⁵, ris— rus³‿b b,B B0— b— Avy, FS=T=e b LGy, resv— T= acν, 7s s8= ab,— aνν, FS—= ε ‿ 50+— B' b— 5B=— Ay, S rS=AO, T=S‿= 5O‿+5'G, rosir— rixSe-h, B— BB— b“A,
„ b Tvs— 16—ά⏓zͤ UOꝙ— 5G, T'S" TO182= 5— 5C,„9,
775 r11s=Sr. F1VSTS V= Cy, FIVSVI r1S1V==ACy, TIVS— 7712817 P/+ S'oy, FISvI rIS B'— UGνο TS"I T1= GCOy, T1SyII T181‿= G9, b
que nous désignerons par O, et les neuf suivantes:
S's“— SS"= ar, 18+ r's— s8— IS= ¶ 2 l, rIrv rrO= a,, SS“— S§s1(s“*§— 8'*)= 25G, Trs6v‿sr“ fTisu— rusr'sPr'vs“ sy r= A4b, 18 rIrn— rr'n—(rw-—r'r*)= 26,, s'su—SS“‿r,G, TS+‿ν☚2 ν—'s— T5‿r Zc"i, ru‿—ruoriuüGy, Z,
—
1
que nous désignerons par T(9.
(½) On pourrait trouver dix-huit autres équations dans lesquelles, 25, 9; „„„... a*, 25b˙, c remplaceraient α, 25, c; mais nous les omettons parcequ elles nous sont-inutiles. 662 1351

rera kai⸗
1 407, r, — ah), =0,
ſo,
f =ac,
1-O,
a'cy,
F 1
ARITHMETIOUES. 259 IV. IIserait trop long de faire ici le calcul pour ces trente- sept équations; il suffira de le placer pour quelques-unes, afin de donner un type d'après lequel on puisse trouver les autres. 1⁰. rs— vS= pe(lα— a ¾△)+(all- a“— 2+ AX) pg +(νm‿+, X)=(Ape+. 25+ CG*)= aa première équation.
20. 7—r's=(pq— p Q,)(‿llα— αρ)= an'a M=aa“,. deuxième équation.
3o.„evI 1.—r.( r— 2*)„ p+(aæx⁴α—- a⁰) p9,—( 3*—„. 2 p 9
—+. 4Xön X 99=( Tpp 5 op 9)+ Cg„)+ 5 NSGo—–“9)
= n'(bb, ‿ d) b Nn+ bn)= 50“ U,60, Nfͥ B0,+ A.*νν, puisque dd Ayy(».III) huitième équation de O. Les autres se trouveront de la mème manière.
V. Des équations O, il suit, comme on va le voir, que les vingt-huit nombres r— 5, 18—„*s, etc. n'ont aucun diviseur commun. Nous observerons d'abord qu'avec les nombres a, 25, c; G, 2, G,, a“, 2%, 0*,», 7, on peut former vingt-sept produits de trois facteurs, tels que l'un de ces facteurs étant», le second sera un des nombres ᷣ, 25ʃ%,%, et le troisième un des nombres 2*, 250,; ou bien, le premier étant», le second sera l'un des nombres a, 25, 0, et le troisième un des nombres Ʒν, 25 ˙, c*; ou enfin le premier étant*“, le second sera l'un des nombres a, 25, o, et le troisième un des nombres ν, 25, G. Or on s'as- surera aisément, d'après les équations O, que chacun de ces pro- duits est égal à l'un des nombres /8—„s, etc., ou à la somme de plusieurs, ou à leur différence. Si donc ces derniers nombres avaient un commun diviseur, les vingt-sept produits en auraient un. Mais il est facile de prouver, à l'aide du ne 40, par une méthode souvent employée dans ce qui précède, que ce diviseur de- vrait aussi diviser les nombres»m'm', vmm', mm, et partant leurs
. 1/ 1 quarrés, qui sont San. Lee 2—. Mais(I) A est le plus grand commun diviseur des trois numérateurs; donc les fractions sont premières entre elles, et n'ont parconséquent pas de divi-
seur commun.
VI. Tout ce que nous avons dit jusqu'à présent regarde la transformation de en ff /“˙, et est tiré de celle de la forme F 2

260 RECHERCHES en ff“, et de O en E Fr. Mais on trouvera absolument de la mème manière, par les transformations de H' en ffet de% en F/, la transformation de en f†f f“: =pra‿ rα etc. 24 rrπᷣl eσ— etc. On en tirera, comme plus haut, vingt-huit équations que nous désignerons par O“, et neuf que nous désignerons par †*. Or sans faire le calcul, il est aisé de voir que les équations O auront les mèêmes seconds membres que les équations O, et que les équa- tions † ne différeront des équations que par l'’accent de G, H, L. Done, puisque tous les nombres 18— s, etc., n'ont point de commun diviseur, on pourra, par le lemme du ne 254, trouver quatre nombres entiers æ, G, 7, ³ tels que l'on ait
aρ+ 0= r, ꝓ‿‿ σ‿e, εςε‿ςe etc. ‿= s, C= S',„e= S“, etc. et al—= 1.
VII. De là, en substituant les valeurs de aG, all, al tirées des trois premidères équations N, et les valeurs de aG, all“, all tirées des trois premières équations, on s'assure aisément que l'on a 2(Ga‿εε ν‿‿‿,(GaeH(ad+‿)+ LyJ)= all“,
(GS= 2H.SALd*)= al; 2 d'ouù il suit, si l'on n'a pas a= o, que la forme% se change en 9 par la substitution proprée α, 2 7, J..
Mais en prenant, au lieu des trois premières équations de † et+“, les trois suivantes ou les trois dernières, on obtiendra trois équations qui ne différeront des précédentes que parcequ'il y aura 2 5b ou e à la place de a, et comme on ne peut avoir à-la-fois a, 5,= o, la forme O se changera nécessäirement en„par la substitution,, y,. 32
241. Une forme telle que ou, qui nait de la composition avec une troisième, d'une forme composée de deux autres, serà dite composée de ces trois formes, et par le ne précédent, on voit qu'il wimporte pas dans quel ordre se fait la composition. On voit que de cette manière on composera une forme d'autant d'autres formes qu'on voudra, et l'on démontrerait faeilement que Pordre dans lequel ces formes sont composées est indifferent, e'est à-dire,

1 mdme u Ff,
ete.
le Nou Or san arnh 68 dqur- de 6, dt priu trovrer
— aL ticdes aI, 0 ment qpe
afl,
ngeeng
ns de † ndra troi Ily un A-Ie fui
9 bar b
mpwoiimn tres, zel , On ſoit tios, 0. td autts ne lorde gt.„-dirc
“
—
re er atrersreeyeepere e erpede

———————

ARITHMETIOUES. 261 que les formes composées des mêmes formes sont toujours propre- ment équivalentes. Or il est évident que si les formes F, ſ, ſ', ete. sont proprement équivalentes aux formes g,, g', etc., la forme
composée des premières est proprement équivalente à la forme composée des dernières.
242. Les propositions précédentes renferment la composition des formes dans sa plus grande généralité; passons maintenant à des applications plus particulières, par lesquelles nous n'avons pas voulu interrompre l'ordre du sujet. Nous commencerons par re- prendre le problème du ne 256, que nous limiterons par les con- ditions suivantes: 1°, que les formes à composer aient le mème déterminant, ou qu'on ait d‧☛T; 20. que m et in soient premiers entre eux; 3, que la forme cherchée soit composée directement des formes,. Il suit de là que m“ et m' geront aussi pre- miers entre eux; donc on aura D= d=, puisque D doit être le plus grand commun diviseur des nombres dm' et Tms; donc n=n’= 1. Comme les quatre nombres K, K“" K“', K peuvent étre pris à volonté, supposons-les=— 1, o, 0, o, ce qui sera toujours permis, à moins qu'on n'ait à-la-fois a.— a= 6+ℳ5= o, cas dont nous ne nous occuperons parconséquent pas ici, mais qui ne peut avoir lieu que pour les formes de déterminant positif quarré. Alors α sera le plus grand diviseur commun aux nombres d,&, b+. F, et les nombres,, x doivent éêtre pris de ma- nière qu'on ait ν˖+ ⁊+‿αb+ 50=; quant à x, il reste entièrement indéterminé. On tire de là, en substituant pour p, 7, p„„, etc. leurs valeurs,
1 24. 2
„= 83(aa † ½/Që̈ ρ‿ τνπα,ι ‿+‿ρσσαtwν ‿)), et C= C).
09 Si Ton avait a= a= 1, 5= F, c=, on trouverait p= 1, 7= 0,9=I, 7†= 1, 7= 25, et(f+.) a+† b= 1; or on a n= 2,*+ꝑ 20+Nf 270,5b=1 p= r—, p'= T—, p=—(7+£⁹ yO— 275; et Pon satisfera à T'équation de condition en Prenant ₰8eσÆ et 7+‿=1— 25= L. ce qui donne
3— a p=O, H= o et p=—c. On a donc X= xl—) FP= æy ‿ yæ+‿ 25y); d'ailleurs AB= 1.... E= ra+(⁊£‿ 2) ab+(5⸗ D)= 5, C=c. Résultat de Lagrange.(Supplèé- ment à l'Algebre d'Euler, p. 642).(MNote du Traducteur.) Kk*

26²2 RECHERCHES
Ainsi dans cette solution la valeur de A ne dépend pas des nombres,,,, qui peuvent être déterminés d'un nombre infini de manières; à l'égard de B, il aura des valeurs différentes quand on en donnera d'autres à ces mêmes nombres, et il sera utile de chercher la liaison de ces valeurs de B.
1*. De quelque manière qu'on détermine,,,, les va- leurs de B qui en résultent sont congrues suivant le module A. Supposons en effet qu'en faisant xσ, e&,=,=“, on ait B= 5, et qu'en faisant= Gᷣ᷑*+, ‿ αᷣ‿‿³φο‿eꝛl+“˙, ν ‿aao“ † Jon ait B= β+ A, il en résultera les deux équations de condition. ad d+(5b- B)dT=o, aa ᷑‿†‿ανᷣννd ‿b ‿)T=u; multipliant le premier membre de la seconde équation par aaι‿dᷣν ‿(b+ 5) O&“, et le second par ᷣ, et retranchant du premier produit la quantité
(abσ‿‿abaν ‿(bB D)*)(ad+‿ ο‿ b+ 50 T), qui est évidemment= o, en vertu de la première équation, on trouvera, réduction faite,
*àzß ad ‿+‿(— 5. 2+‿ æᷣ)+†(5— F.+ l) 44—(έ‿ νσ⁷ 9⁰), et partant,*ανα est divisible par aa, ou& par=ä= A.
20. Si l'on rend= S en faisant.r=,= 5= W“, 7= A“, on peut trouver pour ces nombres d'autres valeurs qui rendent B égal à un nombre quelconque donné congru à„, suivant le module A, c'est-à-dire, telles qu'on ait B=+ A. Observons d'abord que les nombres u, c,, b— bU ne peuvent avoir de diviseur commun, car s'ils en avaient un, il diviserait les six nombres a, a, b- V, c, G, b— b,, et partant, les six nombres a, 25, c,&, 25, 0⸗ et parconséquent m et m’ qui sont premiers entre eux par hypothèse. Ainsi on peut assigner quatre nombres entiers k, N,
1, hy, tels qu'on ait hu ‿, l+, h'+ h“(5— b)= 1: cela fait, si Pon prend kh==), kKC*(bX,LV) Thra)= ud', XOIC5 B)-h'a= ud'“, — Oé‿ Eν)= ud'*, il est clair que&, 4˙, d, ³* sont des nombres entiers, et l'on s'assurera facilement qu'on a
ad, †+† 4+†(b+ 50)=o,
213,A54 G D) S= aa 2(h †ch’+'h’+†(b— b0O B)= KA.

ds des ombre Erente l en
les ſa⸗ düd 4. g, a-.,,
quaälicus
9 Sul, jon par hant da
0“*),
tion, on
fr“)9“),
79, nt Begll odule 4, 5 G'abord Giribeur wnbre 3, 26,0, eux päl ers J, I la kiit, ũ „ 1.— 9 Ta u; vomble
ARITHMETIOUES 263
fa première équation fait voir que 24. 2+, 2+“, 7ꝙ+ 4“ sont des valeurs de, ˙,, et la seconde, que ces valeurs rendent H= †. K.
Il suit de là que B peut toujours être déterminé de manière à. tomber entre o et 4— 1, si AM est positif, ou entre o et—- 1— 1,
si A est négatif.
243. Des équations 2 0 b)=h»=2a aa ꝭν‿‿‿ LrDn- on tire
5= 5+ℳ 4(a‿σeη•⁴s— b)— Q)= bℳ 2(a+. 2(— b)—)
donc B= 5(mod. 5), et B= B(mod.*) Toutes les fois que
„ 2 2. 5 et 7 seront premiers entre eux, il n'y aura entre o et— 1 (ou entre o et— A— 1, si A°) qu'un seul nomibre qui soit
congru à b, suivant le module 2, et à V, suivant. Si on le 5 6 6
fait= B, et e, la forme(A, B, C) sera composée
des formes(a, b, c),(d, b,). Dans ce cas, il n'est pas né- cessaire, pour la composition, de considérer les nombres, ,. Par eremple⸗ si l'on cherche une forme composée des deux formes(10, 3, 11),(15, 2, 7), a, α, 5+ b seront res- pectivement= 10, 15, 5 et A= 5; donc A= 6, B= 3(mod. 2) et= 2(mod. 3), d'ou B= 5; et la forme(6, 5, 21) sera celle
7
.2 ¶ 2. qu'on cherchait. Au reste, la condition que 7 et— soient pre-
miers entre eux, revient à ce qu'ils n'aient pas d'autre diviseur
commun que le plus grand commun diviseur des trois nombres a, α, 5+W, ou encoere que le plus grand diviseur commun des nombres a,, divise bh+ U.
On doit remarquer particulièrement les cas suivans:
1⁰. Etant proposées deux formes(a, 5, c),(, U,) de même dé- terminant D, telles que le plus grand diviseur commun des nombres 72, 25,& soit premier avec celui des nombres, 20,%, et que a
“
ſn — —
— v —
——
—
“
—— 4—
—= v 1 ‧—ſ 4— — 5 9“““ 8 .——„. 6—

264 RFCHERCHES
soit premier avec a; on trouvera une forme composée de ces den là
— D 7 8 en faisant A= ad, B=5'(mod. a) et= 5(mod.), 6=2—. Ce cas aura toujours lieu quand l'une des formes à composer est une forme principale, c'est--à-dire qu'on a a= 1, b=0, oe=— D.
On aura alors A=“, B pourra être pris=, d'ou- on tirera
2 ⸗. C= G; donc une forme quelcongu St toufour S“ Telle méeme et de la formée principale de méme dterminant.
2⁰. Si deux formes oppesoes proprement primitives doivent être composées, par exemple,(a, 5, c) et(a,— 5,), on aura àa; d'où l'on voit facilement que la forme principale(1, o,— D) est composée de ces deux Paernns,
3°. Etant données tant de formes qu'on voudra(a, b,), (2, B',),(à˙, LU',), etc., proprement primitives et de mème déterminant D, et dont les premiers termes a,*, a*, etc. soient des nombres premiers entre eux, on trouvera une forme(A, B, C) composée de celles-là, en prenant A égal au produit des nombres a,,, etc., B congru aux nombres 5,»U“, o%, etc., suivant les
2. En effet,
. 5²2— D on voit facilement que(2a, B,) est composée des formes
modules a, α, ν, etc. respectivement, et C=
(a, 5, c),(a, b,), que(ax, 5, 5 est composée decette dernière et de(ν, 5˙,*), etc.
4“. Réciproquement, étant donnée une forme proprement pri- mitive(A, B, C) de déterminant D, si l'on décompose le nombre A en facteurs premiers entre eux a,, a*¹, etc., et que l'on prenne
les nombres 5, b, O, etc. égaux à B, ou du moins congrus à B,
5 2— 0 9 5 4 2— 0
—
suivant les modules a, α, a, etc.,—=
c ,=— 5 2—
9— 7
2
L, etc.„la forme(A, B, C) sera composée des formes
(a, 5, 6,(2*, B', G),(a*˙, 5',*), etc., ou sera décomposable en ces différentes formes. On prouve sans peine que la mème pro- Position a lieu également quand même la forme(A, B, O) serait improprement primitive ou dérivée. De cette manière on pourra décomposer toute forme en d'autres de même déterminant, dont les

etc. sojedt 4,5, 0 § uOnlbtes nipant les
Iu ellet des formes
Soe dedeiſe
ement pi nombte- von prenns
ngxus 42) ne-
——
des forces
pcsohl el néme plo⸗ Merait 1 0) gela
manf, da ki

————Vʒ——:—:——

ARITHMETIOUES. 265 les premiers termes sont tous des nombres premiers ou des puissances
de nombres premiers. Cette résolution est souvent commode pour composer plusieurs formes en une.
Soient, par exemple, à composer les trois formes(3, 1, 154),
(10, 5, 41),(15, 2, 27); on décomposera la seconde en les deux (2, 1, 201),(5,— 2, 81); la troisisme en(3,— 1, 154),(5, 2, 81); et il est clair que la forme composée des cing formes(3, 1, 1374), (2, 1, 201),(5,— a, 81),(3,— 1, 134),(, 2, 81), en quelque ordre que ce soit, sera composée des trois formes données. Mais la composition de la première et de la quatrième donne(1o.) la forme principale; la composition de la première et de la cinquième la donne aussi; donc(ae.) la forme composée définitive est (2, 1, 201).
5⁰. II nous semble qu'attendu l'utilité que présente ce procédé, il n'est pas inutile de lui donner ici plus de développement. L'ob- servation précédente prouve que pour composer tant de formes proprement primitives qu'on voudra, on peut réduire la difficulté à n'avoir à composer que des formes dont les premiers termes soient des puissances de nombres premiers. Il convient de considérer sur- tout le cas où l'on doit composer deux formes proprement primitives (a, b, c),(, U,, dans lesquelles a et a sont des puissances
7
0. c*. d'un même nombre premier. Soit donc a= h, aꝭ„ h étant ../. un nombre premier, et soit a= a, h sera le plus grand di-
viseur commun des nombres,, et s'il divise 5+ F, on ren- trera dans le cas considéré au commencement de ce numéro, et (A, B, C) sera composée des formes proposées, pourvu que l'on 7 4
4-— c. A,— c- 0 prenne A=h„ B=5(mod. h), et= bL'(mod. 1), condi- 52— D.. aA, b. Mais si h ne divise pas 5+ bU’, le plus grand diviseur commun des trois
tion qui peut évidemment s'omettre; enfin C=
4 3. ⸗ 2 nombres a, a, 5+ 5b divisera h, et sera une puissance de
&& h Ch'; supposons-le= n', il faudra déterminer les nombres 7 4
, de manière qu'on ait
ah † a'h †f r*(Lb- V)= E,
* 8* 8
— · 8.- — 2 1 2 1

266 RECHERCHES
x étant pris à volonté; et la forme(A, B, C) sera composée
des formes données, si l'on prend
e e e h = h„ EH= Bh(/h—.)—),—.
cilement que dans ce das peut être pris aussi à
2— X on a B= 5— a σ¶„ ou
Mais on voit fa volonté; donc en faisant.== O, 4—„„
plus généralement B= kA+=b— οh(ne précédent). Cette
formule très-simple ne renferme que x., qui est la valeur de
X
4. 7. a, l'expression.m(mod. h).
Soit, par exemple, à trouver une forme composée des deux formes(16, 3, 19) et(8, 1, 57), on a. h= 2, e== 4, α—23, „= 2. Donc A= 8,“ est la valeur de l'expression 4(mod. 8), qui est 1, d'oùu B= 8 ½— 37, ou en faisant= 9, B=— 1 et C= 37; donc(8,— 1, 57) est la forme cherchée.
Etant donc proposées tant de formes qu'on voudra, dont les premiers termes sont des puissances de nombres premiers, il faut examiner si quelques-uns d'entre eux sont des puissances de mèmes nombres premiers, et comparer entre elles, par la règle que nous venons de donner, les formes auxquelles ils appartiennent. De cette manière on obtiendra des formes dont les premiers termes seront encore des puissances de nombres premiers, mais de nombres premiers différens; ainsi par P'observation(3) on pourra trouver une forme composée de ces dernières.
Par exemple, étant proposées les formes
6G, 1, 47),(4, 0, 35),(5, o, 28),(16, 2, 9),(0, 7, 21),(16, 6, 11); de la première et de la cinquième on iire la forme(27, 7, 7)3 de la seconde et de la quatrième, la forme(16,— 6, 11); de cetie dernière et de la sixième, la forme(1, o, 140), qui peut étre négligée. Il reste les deux formes(5, 0, 28) et.(27, 7, 7), qui produisent la forme(135,— 20, 4)⸗ pour laquelle on peut prendre(4, o, 535), qui ſui est praprement équivalente. Ainsi (4, 0, 35) est la résultante de la composition des six formes pro- posées.

Gdont ſes e;, ij fact de mèmes que ols nnent, De ſers termes le pombles ra troufel
16, b, m)
ormes p-
F., fi ont le même déterminant D; supposons eficore que les re-
ARITHMETIOUES. 26„
Au reste, on peut tirer de là plusieurs artifices utiles dans la pratique; mais nous sommes forcés de ne pas nous arréter plus long-temps sur ce sujet, pour passer à des choses plus diffciles.
244 Si un nombre peut étre représenté par une certaine formef, et un nombre a par la forme †, que d'ailleurs la forme F soit transformable en; on voit sans peine que le produit aa peut être représenté par la forme F. II suit de là que lorsque les déterminans de ces formes sont négatifs, la forme F sera po- sitive, si f et ſ sont ou toutes deux positives, ou toutes deux négatives, et négative, si l'une est positive et l'autre négative. Arrétons-nous particulierement sur le cas que nous avons consi- deèré au n précédent, où F est composée de, /, et où F,
présentations des nombres a, par les formes, se fassent par des valeurs premières entre elles des indéterminées, que la pre- mière appartienne à la valeur 5b de l'expression V(mod. a), et
la seconde à la valeur h' de Lerhedaalon VO(mod. a*), et que
5— D, 572—
l'on prenne c= r0 2 alors(n“ 168), les formes
(a, 5,),(d, U,) seront proprement équivalentes aux formes J, Fl, donc F sera composée de ces deux formes; mais la forme (A, B, O) sera composée des deux mèêmes Hormes si, étant le
plus Br commun diviseur des nombres a,, 5b+ Vy, on fait 21 2 2 5²— D
MA=—=, B= B(mod. 2),= D(mod. 2) et C=; donc
6 6 7 4 cette forme sera proprement équivalente à la forme F. Or le nombre aa' se représente par la forme Ar+ 26 E+ Cy⸗:, en fai-
sant&, y= o, dont le plus grand diviseur commun est&ᷣl; donc aa pourra être représenté par la forme F, de manière que les valeurs des indéterminées aient un diviseur commun&(n* 166). Donc toutes les fois que ᷣ.‿, aa pourra être repréêsenté par F, au moyen de valeurs premières entre elles des indéterminées, et cette représentation appartiendra à la valeur B de l'expression VD(mod. a*), qui est congrue à 5, E, suivant les modules a,. La condition= 1 a lieu quand a est premier avec a, ou plus genéralement, quand le plus grand commun diviseur de a, a est premier avec 5+ 5'.
Sat h= ,, Arr let ph=— eu L e 2 4 r., e rt 18 c F Kae. A— e.rn æ᷑ 2. ee Te e‿ftk etaus 8
3 ſͤ — ö
—
— ——
— 2
———
6. ed. Mo, fe=ü
24 nm n,
—⏑——
d‿ R eR e‿ιυ*zQ‿ε 27 A ‿bee ri f fene fu„5H„G°,“ α.-— A 2 3 2 4e d, deen wie 2, awen/ 2 2„Lat** C, 7 Se&. nuen
—
4
1 5 — ö
5

268 RECHERCHES
245. THEOREME. Si la forme f est comprise dans le méme ordre que g, que f' soit comprise dans le méme ordre que g; la forme EF mposée de f, fi aura le méme déterminant, et Sera comprise dans le mémne ordre que G composée de g, g.
Soient(a, 5, c),=(A, O,),=(K,, C), et les déterminans d,, D; soit m le plus grand diviseur commun des nombres a, 25, e, mi le ePls grand diviseur commun des nombres, b, o; et que m, m, M, M. aient les mémes signi- fications par mpgor⸗ aux f“ et E respectivement. L'ordre de la forme/ sera déterminé par les nombres d, m, mi, d'où il suit que les mêmes nombres auront lieu pour la forme g; par la même raison, les nombres d, m', m’, seront pour la forme 9 ce qu'ils sont pour la forme f. Or(n“ 255) les nombres D, M, M. sont
déterminés par les nombres d, m, mi;, m', mi; savoir, D est
le. plus grand commun diviseur des nombres m et Im, M= mm 3: 1 A 1 7
et M.= mam!(si l'on a en mèême temps m= mi, im= m'.), ou = 2minuò(si m= 2, ou m= 2m 1). Comme cces propriétés de D, M, M., suivent de ce que E est composêè de f, ſ, on voit sauns peine que D, M, M. seront pour G ce qu'ils sont pour F, et que Daxconsérlnent F et G sont de même ordre.
Nous appellerons en conséquénce l'ordre qui renferme la forme F, ordre composò de ceux qui renferment fet †. Ainsi, par evemple, Pordre composé de deux ordres proprement primititfs est aussi un ordre proprement primitif, et l'ordre composé d'unordre proprement primitif et d'un ordre improprement primitik, est un ordre impropre- ment primitikf.
C'est dans le méême sens que nous pourrons dire qu'un certain ordre est commρosé de plusieurs autres.
246. PROBLEME. Etant proposkes deux formeèes primitives quel- conques, f, f', de la oomposilion desquelles nalt la forme F, du genre aliguel appar liennent f et l, déeterminer lé Sgenre auguel appartient F.
I. Considérons d'abord le cas oùð une des deux formes au moins, la première.f Par exemple, est proprement primitive, et désignons par d, d, D, les déterminans des forines f, fi, F; alors D sera le plus gräͤnd commun diviseur des nombres Im'ed m étant= 1,

— méme ue a lant, a 8) g. 0), 4 commum mun cas es djau. te eh du i aüt la möce ce qull M. ont ir, Det M=ITI 71), d propridis e, on poit
tpour F,
Jformle.
esempe,
taussl un coprement imprope-
mn cectain
tives Gubi forme) 2 gent
au molsby désighols
ors D Sel3
Stant=¹)
h
7. Aœ
‿—
“
.—,
7
2 aæ, 2 2
A, 6
200—
2
Sne e h,— Nac o, 7.
— 2 7—— e 2-— 4
. h, ed Sae,ſene Wpe,e.,
i iche,
u r e
I ,,
„ 72 ₰
e.
n L ——
gr 2 7ſe 2 e 7 P,—— 4 8
—, 225— 6 ⸗ 2 2
,
2

—-———

ARITHMETIOUES. 269 ou= 2, suivant que f' est proprement ou impropremient primi- tive: dans le premier cas, F appartiendrait à un ordre propre- ment primitif; dans le second, à un ordre improprement primitif. Maintenant le genre de la forme 2 se déterminera par ses carac- téres particuliers, tant à l'égard des différens diviseurs premiers
impairs de D, que, dans quelques cas, à l'égard des nombres 4 ou 8. Il faudra donc déterminer chacun d'eux.
1o. Si p est un diviseur premier quelconque de D, il divisera nécessairement d et; ainsi la relation de la forme F avec p, se trouveront parmi les caractères des formes f, †*. Or, si le nombre peut être représenté par la forme f, et le nombre a par ſ, 24 pourra l'étre par F. Si donc des résidus quadratiques de p, non divisibles par, peuvent être représentés, tant par que par ſ il Pourra y en avoir de représentés par la forme F; c'est-à-dire, que si l'une et l'autre de ces deux formes a le caractore Rp, la forme F aura le même caractère. Par une raison semblable, la forme F aura le caractère R.p. Si les deux formes, f ont le caractère N.p; au contraire F aura le caractère N.p, si l'une des formes Fet f’ a le caractère R.p, et l'autre le caractère N. p.
2⁰. Si dans le caractère complet de la forme F, il entre une relation à l'égard du nombre 4, celte relation doit entrer aussi dans les caractères des formes,. En effet, cela ne peut arriver que lorsque D= o(mod. 4) ou= 3(mod. 4); quand D est divi- sible par 4, dm“ et le seront aussi; donc † ne peut pas être improprement primitive(ne 226), et partant on a m= 1; donc d et sont divisibles par 4, et le caractère de chacune d'elles renfermera la relation à l'égard de 4. Ouand H= 3(mod. 4), D divi- sera d et, les quotiens seront des nombres quarrés, et parconséquent det d seront ou=o, ou= 3(mod. 4), et la relation à l'égard du nombre 4 sera comprise dans les caractères des formes 7,. Donc il suit de là, comme dans 1°., que Je caractère de la forme F sera 1, 4, si ſes deux formes /, f ont le caractère 1,4 ou le ca- raclère 3,4, et qu'au contraire le caractère de la forme F sera
3, 4. si Pune des formes ſ, a le caractère 1 4 et J' autre le ca- ractère 3,4.
. Quand 5 est divisible par 68. A1 est aussi; donc est pro-
———
—
———
—
——
ſſ — 2 4 ꝑ“““ “
ö
8ͤſͤſſſſſſſſſ
3
1 4 ö

b RFCHERCHES prement primitive, m= 1, et d divisible par 8; ainsi un des ca- ractères 1,8; 3,8; 5,8; 7,8 peut se trouver parmi les caractères de F, s'il a lieu tant pour la forme que pour la forme f'. On »'assure facilement, comme ci-dessus, que le caractère de la forme F est 1,8, si f, ont le môme caractère; qu'il sera 3,8, si l'une des formes f, f a le caractère 1,8 et l'autre le caractère 3,8, ou si l'une a le caractère 5,8 et l'autre le caractère 7,8; qu'il sera 5,8 si f, f' ont pour caractères l'une 1,8, l'autre 5,8 ou 3,8 et 7,8; et enfin qu'il sera 7,8, si f, f ont pour caractères 1,8 et 7,8, ou 3,8 et 5,8.
4'. Quand D=z(mod. 8), sera= o, ou= 2(mod. 8); par- tant m.= 1, et d= o ou= 2(mod. 8); mais comme D est le plus grand commun diviseur de d et d, ces deux nombres ne peuvent pas étre tous deux divisibles par 8. Donc dans ce cas le caractère de la forme Fne pourra être que 1 et 7,8 ou 3 et 5,8, soit que les deux formes f,' aient l'un de ces deux caractères, soit que l'une d'elles en ayant un, l'autre ait un des caractères: 1,8; 3,8; 5,8; 7,8; d'où l'on voit facilement que le caractère de la forme F se détermine par la table suivante:
270
Caractères de l'une des formes f, f. 1 et 7,8 3 et 5,8 ou 1,8 ou 3,8 ou 7,8 ou 3,8 Caractères de l'autre forme. Caractères résultans pour 77.. 1 et 7,8 m et 7,8 3 et 5,8 3 et 5,8 6 et 5,8 1 et 7,8
5°. On prouve de la mème manière, pour D= 6(mod. 8), qu'on ne peut donner à la forme F l'un ou l'autre des caractères 1 et 3,8; 5 et 7,8, à moins que quelqu'un de ces caractères n'ap- partienne à l'une des formes, /' et que l'autre n'ait l'un de ces mêmes caractères ou l'un des suivans: 1,8; 3,8; 5,8; 7,8; desorte qu'on déterminera le caractère de la forme F par la table suivante:

des ca. deteres 7. On d de la enä, aractone 8 goi 8 0u3 feres 18
.d) pa st le M e peupeat caracteds Soit qut „Sdit qnt res: 18); dre dek
13 ,8 8
ARITHMETIOUES.
Caractères de l'une des formes, ſ.
1 et 3,8 5 et 7, 8 ou 1,8 ou 5,8 ou 3,8 ou 7,8
—
Caracteèeres de l'autre forme. Caractères de la forme F.
1 et 3,8 1 1 et 3,8 b 5 et 7,8
5 et 7,8 5 et 7,8 1 et 3,8
II. Si chacune des formes f, f“ est improprement primitive, D sera le plus grand commun diviseur des nombres 4 et 4 ou ¼ D celui de d et; il suit de là que d,&ν et. (mod. 4), puisque(ne 226) d et ν le sont. Mais en posant F=(A, B, C), le plus grand commun diviseur des nombres A, B, C sera 2, et celui des nombres A, 25, C sera 4; donc F est une forme dérivée de la forme improprement primitive (A, 1B, 2C), dont ¼0 est le déterminant, et dont le genre déterminera celui de F. Comme cette forme est improprement primitive, son caractère ne renfermera point de relations avec 4 et 8, mais seulement avec les différens diviseurs premiers im- pairs de ½ D. Or ces diviseurs doivent nécessairement l'ètre de ³ et. Si les deux facteurs d'un produit sont représentables l'un par fet l'autre par la moitié de ce produit le sera nécessai- rement par la forme(A, 1, 20); on voit facilement, d'après cela, que le caractère de cette forme, à l'égard du nombre pre- mier p diviseur de ½ 0, sera K. p; d'abord, si 2 R. p et que les formes f, ſ aient un mèême caractère à l'égard de„; ensuite si Pon a 2 Vp et que les caractères des formes, ſ soient op- posés à l'égard de p. Au contraire, le caractère de cette forme sera N. p, si f, f ont le même caractère et qu'on ait 2N. p, ou s'ils en ont un différent, et qu'on ait 2 R. p.
sont= 1
247. Par la solution du problème précédent, il est évident que si g est une forme primitive du même ordre et du même genre que f, que g soit une forme primitive du mème ordre et du même

272 RECHERCHES genre que ſ, la forme composée de g, g appartient au même genre que la forme composée de ſ, f. On voit par là ce que signifie un genre composé de deuo ou de plusieurs auttres genres. Or on voit encore que si †, ont le même déterminant, que f† soit une forme d'un genre principal, et que F soit composée de f, f!, E sera du mème genre que F'ö, et qu'ainsi le genre prin- cipal peut toujours être omis dans la composition avec les autres genres de même déterminant. Si, toutes choses d'ailleurs égales, f n'est pas du genre principal, et que f soit une forme primi- tive, F sera certainement d'un autre genre que †. Enfin si f, fa sont des formes proprement primitives de même genre, F sera du genre principal(ne 245(2*.) et n“ 230, à la fin). Si donc une forme proprement primitive quelconque est composée avec elle- méème, la forme qui résulte de la composition, et qui sera pro- prement primitive et de mème déterminant, sera du genre principal; mais si fet f' sont toutes deux proprement primitives, de mème déterminant et de genre différent, Ene pourra pas appartenir au genre principal.
248. PROBLEME. Etant proposces deuæ formes guelconques f, f' dont F est composée; determiner le genre de F d'aprés ceuoæ de f, f'.
Soit=(a, 5, c), f=(a, b„ 0), H=(A, EH, C), le plus grand commun diviseur des nombres a,, œ, celui des nombres , U,, de manière que het soient dérivées des formes pri- mitives( 6 2 b. a. déesig
2*. 2), 222 7n, 5), que nous ésignerons par 9, 9; cela posé, s'il y a au moins une des formes 9,% qui soit proprement primitive, le plus grand commun diviseur des nombres A, B, C sera, et F sera dérivée de la forme primitive
ℳM 0
—,,—,—,)= o, et le genre de F dépendra de celui de (e*L⁴ 29) 12 8 P 2 mais on voit facilement que se change en Qρσ par la mèême substitution qui change F en †, et que parconséquent& est composée de%,; donc on pourra déterminer son genre par le probléème du ne 246.
Mais si f et f sont improprement primitives, le plus grand commun diviseur des nombres A, B, C sera 2, et la forme Ö, qui

wec älle⸗ Serd plo⸗ Nineipii de mäme artenit al
elconques F dapras
„u lepls s nompblés ormes pli 98 pal 9,
„ qni vit es nombes primitfe Jui de d)
r l mone rent 5 nne hur
lus gru a force 1 oül

ARITHMETIOUES. 273 qui est encore ici composée de%,%, est évidemment déerivée A 0N † 5„,). Le genre 2ℳ, 2u, 2t⸗ de cette forme pourra éêtre déterminé par le n“ 246, et comme E est dérivée de la mème forme, son genre sera connu par là méème. b
de la forme proprement primitive(
Il est eévident par cette solution, que le théorème donné au n* précédent pour les formes primitives, a lieu pour des formes quelconques, savoir, si f' et g' sont des mèemes genres que f† et g respectivement, la forme composée de f, f est du mème genre que la forme composée de g, g.
249. THEOREME. Sli les formes f, f' sont des memes ordres, genres et classes que g, g' respectivement, la forme composce dæ fel de f' œst de la mémé classe que la forme composde de g, g.
Ce théorème n'est qu'une conséquence immediate du n- 239. On voit par là ce qu'on doit entendre par zune classe composce de deux ou de plusieurs classes.
Si l'on compose une classe quelconque X avec la classe prin- cipale, la classe composée sera K elle-mêème; ainsi dans la compo- sition des classes de mèême déterminant, on peut négliger la classe principale. Or(n* 243) il nait toujours une classe princi- pale de la composition de deux classes opposées proprement pri- mitives; donc toute classe ambigué étant sa propre opposée, en composant avec elle-même une classe ambigué proprement pri- mitive, la résultante est la classe principale de même déterminant.
La réciproque de la dernière proposition est également vraie: Si la résultante H de la composition d'une classe proprement primilive K auec elle-méme, est la olasse principale de méme determinant, K Sera nccessairement une classe ambigué. En effet, si K est une classe opposée à K, la résultante des trois classes K, K, K sera la même que celle de H et K“, c'est-A-dire„ sera égale à K¹; mais la résultante de K et Kô est II, et la ré- sultante de H et K est K; done K coincide avec K", et est par- conséquent une classe ambiguJ. le Ie h
Or on remarquera la proposition suivahte: S&i les lasses K, L. sont opposces auæ olasses K“, L’ respectiuement, la olassc Mm
———

RFECHERCGHES se à la classe composée de K, L'. Soient les formes f, g, o g’ des classes K, E, K’, I respec- tivement, F la forme composée de f, g, F' la composée de †', g comme ſ est improprement quivalente à Fet g à g, et que F
274 coοmposde de R, L Sera pp
est composée directement de),
mais indirectement de chacune d'elles. Donc toute forme qui èéqui- vaut improprement à F, sera composée directement des formes f*, g', et partant sera praprement équivalente à F“(nos 238, 259); donc Fet G seront proprement équivalentes, et les classes aux- quelles elles appartiennent seront opposées.
Il suit de là que la résultante d'une classe ambiguè K avec une autre classe ambigut L est elle-même une classe ambigué; car elle est opposée à la résultante des classes opposées à K et L, et partant à elle-mêème, puisqu opposées.
Observons enfin qu'étant proposées deux classes queleonques
K, L de méme déterminant, dont la première soit proprement primitive, on pent toujours trouver une classe M de mème déter- minant, telle que L soit composée de K et de M. En effet, on y parviendra en prenant pour M la classe composée de E et de ja classe opposée à K. On voit aussi très-facilement que cette classe est la seule qui jouisse de cette propriété, ou que des dlasses différentes de même déterminant, composées avec la mème elasse proprement primitive, donnent des classes différentes-
La composition des classes peut se désigner commodément par le signe de multiplication*, de méme que l'identité des classes par le signe d'égalité. Au moyen de ces signes, la proposilion que nous venons d'exposer peut étre présentée de la manidère sui- vante: Si- lanelasse K est opposée à K, K K sera la classe
prinocipale de mème déterminant; donc KMNXL=L, en prenant
dono HI== K& ◻, on aura K ℳM= L, comme on le desirait- Mais
s'il y en avait une autre M“ qui jouit de la même propriété, ou-
qulon eüt K æM= L, on aurait K K”SN ME K XL= M; donc
— f..„ M’= M. Si l'on compose ensemble plusieurs classes identiques,
on peut exprimer la résultante en mettant en exposant le nombre de ces classes. Ainsi K désignerait la mêôme chose que KNMMN⸗ b b 24272— K— Sef, Lu a—e—
g, F sera aussi composée de,,
e ces classes sont elles-mêmes leurs
4 3 7 ——ͤͤͤ 4 u. es,= chf—— —+ 4 44„. 7.. 2A* ₰ ℳ4 4—y—— p 4 7. F. 2 VXX&— N—f Sr——— ph 7. A A4 4 6 v -

K.L. maxper k/19 dt deJ de J. 3 pul daad 3 formhe 8, 1 8des aul⸗
X rec mmdigi, 1Xl, mes lonss
leonqhes oprement me döter. ellet, on I etdt gue ceitt que des la wece Dtes.
ment par es elasses oposilim nidre sur Ja clast grenant ait.Mi nits 70l
mitive/=(a, 5,) de déterminant d.
ARITHMETIOUEsS. 275 K', que KXXK. On pourrait employer la mème notation pour les formes, mais nous nous en abstiendrons pour éviter'am- biguité, ayant déjà donné une signification particulière à l'ex- pression M(, 5, c). Nous dirons que la classe K- provient de la duplication de la classe K, K de la triplicalion, etc. 250. Si D est divisible par m=(en supposant zn positif), il y 1 aura un ordre de formes de déterminant D, dérivé de l'ordre pro-
„... 0 b 2 prement primitif de déterminant(ou deux quand D est néga-
tif, un positif et l'autre négatif). La forme(n, 0,—„) appar- 13 772
tiendra évidemment à cet ordre(à l'ordre positif), et pourra avec raison être considérée comme la forme la plus simple de cet ordre
. D V (comme la forme(—n, 0, 2) dans l'ordre négatif quand D est né- S D gatik). Sien outre⸗².= 1(mod. 4), il y aura aussi un ordre de formes de déterminant D dérivé d'un ordre improprement primitif de dé-
. 0... terminant, auquel appartiendra êévidemment la forme
(2m, m,—„ qui sera la plus simple. Quand D est négatif,
. 2m sera la plus simple. Ainsi, par exemple, si l'on veut appliquer cela au cas où m= 1, dans les quatre ordres de formes de déterminant 45, les suivantes seront les plus simples:(1, o,— 45), (2, 1,— 22),(3, o,— 15),(6, 3,— 6).
Cette observation donne naissance au problème suivant:
ily aura deux ordres, et dans le négalif la forme(—am ‚m. Lam
PROBLEME. Etant proposde une forme quelconque F de V'ordre O, trouwer une forme primitive(positiue, s'il„ a Lieus d distrno- lion) qui, composée 2beᷣ la forme la plus simple de l'ordre O. ait pour resultanle F.—)
Soit F=(ma, mb, mc) dérivée de la forme proprement pri-
Pas premier avec 2n, on pourra toujours„ . A Ae h, fe E——A f e————
————— 2—

276 RECHERCHES trouver des formes équivalentes à, et dont les premiers termes jouissent de cette propriété. Car(n“ 228) on peut trouver des nombres premiers à 2 m, et représentables par cette forme; or soit O un tel nombre, on aura a άz aα+‿ 2baα+ c„“, où l'on peut supposer que α, 7 soient premiers entre eux; partant, on pourra déterminer deux nombres tels qu'on ait ⁴‿—= 1, et la forme/ se changera, par la substitution a, 6,„, J, en une forme(a,", G) qui lui sera proprement équivalente et jouira- de la propriété précitée. Maintenant, comme Fet(am, b'm, m) sont équiyalentes, on voit qu'il suffit de considérer le cas oùð a est premier aveé 2m. Alors(a, bm, ma) sera une forme pro- prement primitive, car sia, 2bm et om' avaient un diviseur com- mun, il diviserait nécessairement 2dm= 20m— 2aom,; elle sera de meme déterminant que F, et l'on s'assurera facilement que F se change par la substitution 1, o,— b,— cm, o, m, a, bm, en le produit de la forme(a, bm, cm“¹), par(m, o,— dm), qui sera la plus simple de l'ordre O, à moins que la forme F ne soit négative. Il suit de là, par la quatrième conclüsion du * 235, que F est composée de(m, o,— dm) et(a, bm, om); mais quand F est négative, elle se changera, par la substitu- tion 1, o, b,— cm; o,—m,— a, bm, en le produit de la forme(—m, o, dm), qui est la plus simple de cet ordre, par la forme positive(— a, bm,— cm), et parconséquent elle sera composée de ces deux formes.
2. Si est une forme improprement primitive, on peut sup- poser que a soit premier avec 2dm, car si cette propriété n'a pas lieu pour la forme f, on trouvera toujours une forme qui en jouisse et qui soit proprement équivalente à f. II suit de là que la forme(La, bm, 2oma) est une forme proprement primitive de méême déterminant que F; on s'assurera aussi facilement que F se change, par la substitution 1, o,(1☛à5b),— om; 0O, aum, la,(L-kr)m, en le produit des formes(.m, rm, r(m-— dm)), (ra, bm, X£ 20m:), et que parconséquent elle est composée de ces deux formes, dont la première est la plus simple de l'ordre O, et la seconde une forme proprement primitive pösitive. Les signes inférieurs doivent être pris quand F est une forme négative, et les signes supérieurs dans les autres cas.

s ternes Ve des rne; dr
ou bon ant, a —, tt „ n une et jouirz Vn, dn) Cas ol g ome pro- seux cöl—
dleea
ent que T 1 a, Un, 9— dn))
forme J
lüsion da bm, em'ſ
subsüte le produi cet ordle, gquentell
peut Sup⸗ opricté n3 rme qui e- de lä qer rimitife de
nept qle
*, Tan, ln-mn mposbe 8 1 ordte 0 tire. l6
„négaüiſe
—
r Al
— Ld e hhe 3 a* 8 62.. u— D. Lee e ee 2 de- M, op’h e? g, ee — A⁴ v S Zo— u2 h 97„ K z— ‿e.. u„ 3 A᷑‿ =„2. ac, 7 Ke 2„
Bn ſt
2
Af Ne
— A a E.
ee
4„9
4
a Alar, ege
Aunn, na A,,
eef— , pe S aa 22, ,; n
2en ree

,„·„ß‧———

ARITHMETIOUESB. 27
251. PROBLEME. Etant proposces deuw formes F, fde méme determinant D et qui appartiennent au méme ordre O, trouwer une formée proprement primitise de déterminant D, telle que la résultante de cette forme et de f soit F.
Soit la forme la plus simple de l'ordre O, EF’et des formes proprement primitives de déterminant D, qui, composées avec Q, donnent F et f respectivement, une forme proprement pri- mitive, qui, composée avec ſ“, donne E', alors F sera composée
de trois formes, f, ſ', ou des deux ſ†, f.
Ainsi toute classe d'un ordre donné peut être considérée comme composée d'une classe quelconque donnée de mèême ordre et d'une classe proprement primitive de même déterminant.
252. THEOREME. Pour un determinant donn, les digférens genres T'un méme ordre contiennent un méme nombre de lassées.
Supposons que les genres G, H appartiennent au même ordre, que G soit composé de n classes X, K’“, K’, etc. K“=, et soit I. une classe quelconque du genre H; cherchons par le ne précédent une classe proprement primitive M de mèême déterminant, qui, composée avec K, produise L, et désignons par I,, etc. Lt les classes résultantes de la composition de la classe M avec les classes K“, K“, K“, K=n respectivement. Alors de la dernière observation du ne 249, il suit que toutes les classes L, LI, L', etc. Len sont différentes, et par le n“ 248 elles appartien- dront toutes au même genre. Enfin, il est visible que H ne peut contenir d'autres classes, puisque toute classe de H peut être con- sidérée comme résultante de M et d'une autre classe de même dé- terminant, qui sera nécessairement du genre G. Ainsi contient, comme G, n classes différentes.
253. Le théorème précédent suppose identité d'ordre, et ne doit pas s'étendre à des ordres différens. Ainsi, par exemple, pour le déterminant— 171, il y a vingt classes positives qui se distribuent en quatre ordres; dans l'ordre proprement primitif il y a deux genres, dont chacun contient six classes; dans l'ordre impropre- ment primitif il y a deux genres composés chacun de deux classes. L'ordre dérivé de l'ordre proprement primitif de déterminant— 19 ne contient qu'un genre composé de quatre classes; enfſin l'ordre

278 RECHERCHES dérivé de l'ordre improprement primitif de déterminant— 19 ne contient qu'un seul genre composé d'une seule classe: il en est de méême des classes négatives. Il est donc utile de chercher gé- néralement la liaison des nombres de classes dans les différens
ordres.
Supposons que K, L soient deux classes de méme ordre(positif) O de déterminant D, et M une classe proprement primitive de même déterminant, qui, composée avec K, donne pour résultante L, telle qu'on peut la trouver par le n* 251. Dans quelques cas il peut arriver que M soit l'unique classe proprement primitive, qui, composée avec K, produise L; dans d'autres, plusieurs classes proprement primitives différentes peuvent être douées de cette propriété. Supposons généralement qu'il y ait r classes de cette espèce M, M’“, M’, Me“u, qui, par leur composition avec K, donnent toutes la même classe, et désignons leur ensemble par IT; soit L' une autre classe de l'ordre O, et N' une classe proprement primitive, qui, composée avec L, produise L, et désignons par EIT l'ensemble des classes NαᷣM, N M', Nᷣ MI. NMXMS“ qui seront toutes proprement primitives et différentes entre elles. Il est facile de voir que K, par sa composition avec une classe quelconque de EWI, produit L“, d'où l'on conclut que II et M.. n'ont aucune classe commune: en outre, on prouve sans peine qu'il n'y a aucune classe proprement primitive, qui, par sa com- position avec K, produise L, et qui ne soit contenue dans I. De la même manière, si I“ est une classe de l'ordre O, on trou- vera r classes proprement primitives différentes, tant entre elles qu'avec les classes W et M', et dont chacune composée avec K donnera L', et ainsi de suite pour les autres classes; mais comme toute classe proprement primitive et positive de déterminant D com- posée avec K, produit une classe de l'ordre O(ne 251), on déduit facilement de là, que si le nombre de toutes les classes de l'ordre estn, le nombre de toutes les classes proprement primitives(positives) de méême déterminant est 7n. Nous avons ainsi une règle générale: K et L tant deuxr classes quelcongues de l'ordre O, et r le nombre des classes proprement primitives de meme déeterminant, dont chacune produit L. par sa composition aveo K, le nombre

—19 de le est cher K. ditttreg
(oaöith ltive de Ssultante lqnes ca mitipe, eS Cläsges de cete de cet arec I, e par M oprement nons per VXM- tre elles⸗ ne clase Vet WI. ans peile r a com- lans M an trour pire elles e arec A s coulue st Dcoc- Ol déduüt rdre esi-, tires) de gencrak: „el r rminun, 2 nonbte
ARITHMETIOUES. 279 de toules les olasses de!'ordre proprement primitif(positif) sera r fois plus grand que celui des classes de l'ordre O.
Comme les classes K, L peuvent éêtre prises arbitrairement daus T'ordre O, on peut les choisir identiques, et même il sera avan- tageux de se servir de la classe qui contient la forme la plus simple de cet ordre, et en prenant celle-ci pour K et L, la difficulté est réduite à assigner toutes les classes proprement primitives qui, composées avec K, reproduisent K elle-même. Nous y parvien- drons au moyen du théorème suivant:
254. THEOREME. Sl F=(A, B, C) est la forme la plus simple de l'ordre O de determinant D, et f=(a, b, c) une forme proprement primitive de méme determinant; le nombre A- pourra étre représenté par la forme f, si F est la résultante T'elle-méme et de f; et réciproquement, F sera composée d'elle- méme et de f, si A“¹ peult étre représenté par f.
15. Si F se change en par la substitution p, p, p', p'; 7, C, 9„,—†“, on a(no 235) Aℳ= A(aαl— 2599,+ c.„.), d'ouù A* a9 ²— 2599+ c9*.
2⁰. Si ℳA“ peut être représenté par la forme, désignons les va- leurs des indéterminées qui effectuent la représentation par*, —, ou soit A= ag“— 2599+ 09; prenons Q ˙π-—(5b-+ B)= Ap, — qO=Ap, ⁵ο̈— B)— gœ‿=ꝝdAp',— q C=Ap“, q— G(5b— B)= A„, (b- B)— qo= Aq“. Cela fait, on s'assure aisément que F se change en/ par la substitution,, p, p'; 9, 7,„', 7*˙, pourvu que les nombres p, p„“, etc. soient entiers; or, par la nature
. 2 de la forme la plus simple, B est o ou A; donc, est tou- jours un nombre entier; il résulte encore du mème principe,
C que est un nombre entier; donc— p, p,—„“, p“ sont des nombres entiers; il reste donc seulement à prouver que p et p sont des nombres entiers. Or on a
412
21 2 40 7. 24„,. 7 D. T p= e,. ee.
2
„.. 20C 6 Si donc B= o, il vient p.= a— F= G— O„et partant p et
—

280 RECHERCHES
* 5 2 1„ 2 26 p' sont entiers. Mais si 5=, on a p pg= a— 17,
II2
₰
pe † pg= 06— 2 4, d'où l'on déduit aussi facilement que p et
7
p' sont entiers. Donc F est composée de f et F.
255. Ainsi le problème est réduit à assigner toutes les classes proprement primitives de déterminant D, par les formes desquelles je nombre ℳA-’ peut être représenté. Or A’ peut évidemment être représenté par toute forme dont le premier terme est A“ lui-mème, ou le quarré d'une partie aliquote de A; mais réciproquement si Aℳ“ peut éêtre représenté par une forme f, en donnant aux indé- terminées de cette forme les valeurs ae,„ε, dont le plus grand diviseur commun est e, la forme/ se changera, par la substitu-
A tion, 8,,, en une forme dont le premier terme sera=,
et cette forme sera proprement équivalente à†, si 3, Dsont tels qu'on ait a⁴d—= 1; donc toute classe par les formes de la- quelle A' pourra être représenté, renfermera des formes dont le premier terme sera A“ ou le quarré d'une partie aliquote de A. Tout consiste donc à trouver toutes les classes proprement primi- tives qui renferment des formes de cette espèce; ce qui se fait de la manière suivante: Soient a,, a', etc. tous les diviseurs positifs de A; on cherchera toutes les valeurs de l'expression/ (mod. a*) comprises entre o et a*— 1 inclusivement, et les repré- sentant par 5, 5'“, 5', etc., on fera b— D= a, 5— D= a*‧ 5/2— D= a-*, etc.; désignons par V l'ensemble des formes (εα, 5, c),(ν, F,), etc. On voit facilement que toute classe de déterminant D qui renfermera une forme dont le premier terme soit a* devra contenir une forme de EV, on déterminera de la mème manidère toutes les formes de déterminant D, dont le premier terme est et le second compris entre 1 et aν— 1, nous désignerons par V“ l'ensemble de ces formes. On aura de méème l'ensemble V“ de formes qui commencent par a*², etc. On rejettera de V, V“ “, etc. toutes les formes qui ne sont pas proprement primitives, on réduira les autres en classes, et s'il y en a plusieurs qui ap- partiennent à la même classe, on n'en retiendra qu'une par classe. On aura de cette manière toutes les classes cherchées, et leur nombre sera à l'unité comme le nombre total des
b elasses

descnele
vneut ie luienäne Auement i aux indh. Dus gan la udsit 4
6 „Jgootti mes de h- nies dont b oté de. went primi- qui&e fil s dirisen ression 0 etles reyne -D-= c, ges formes foute clase mmier térme Je la mäme mier terme lésigneron, seunble de V, V'
primitire,
Tme gern
rs qui 3-’
u'une bal perchèes,
total d6 elaäsze
oöb——

— Beee— 4 —————
— — —

ARITHMETIOUES. 281
elasses proprement primitives positives aux nombres de classes de'ordre O.
Exemplé. Soit D=— 531, et O l'ordre positif dérivé de l'ordre improprement primitif de déterminant— 59, dans lequel la forme la plus simple est(6, 3, 9). On a A= 6, a= 1, 4=2, 4= 3, 4*= 6. contiendra la forme(1, o, 531); V les formes(4, 1, 133), (4, 3, 135); U“ les formes(9, 0, 59),(9, 3, 60),(9, 6, 63); enfin VTo contiendra les formes(36, 5, 15),(36, 9, 17),(36, 15, 21), (36, 21, 27),(36, 27, 35),(36, 33, 45). De ces douze formes il y en a six à rejcter, la deuxième et la troisi'me de V“, la pre- miere, la troisième, la quatrième et la sixièdme de V*, qui sont toutes des formes dérivées; on trouve que les six autres appar- tiennent à des classes différentes; en effet, le nombre des classes proprement primitives(positives) de déterminant— 531 est 18, et le nombre des classes improprement primitives positives de dé- terminant— 59, ou le nombre des classes de déterminant—53 1
dérivées de celles-ci est 5, partant le premier est au second comme 6 est à 1. b
256. Cette solution sera mieux éclaircie par les observations générales suivantes:
I. Si l'ordre O est dérivé de l'ordre proprement primitif, A- divisera D; mais si O est dérivé de l'ordre improprement primi- tif ou improprement primitif lui-même, A sera pair, D sera di- visible par A et le quotient= 1(mod. 4). Donc le quarré de tout diviseur de A divisera D ou au moins 40, et dans le second cas, le quotient sera toujours= 1(mod. 4).
II. Si a* divise D, toutes les valeurs de l'expression O (mod. a-*) qui tombent entre o et a*— 1 seront o, a, za, etc. 2(α—- 1), et partant a sera le nombre des formes de V; mais parmi elles il n'y en aura de primitives qu'autant qu'il y a de nombres L L
— 1—— 4,.„„„„
98 2 2 premiers avec a dans les suivans: 2, 2
D 0. 1 .—(4— 1)“. Ainsi quand a= 1, V n'aura qu'une forme(1, o,—D),
qui sera toujours proprement primitive. Quand a=pz ou une puissance de 2, la moitié de ces nombres seront pairs, l'autre
Nn
ͤ
—————— e
.——— 8——— 3— 9, — 2.—* 1 “——— 5 8 4 — ꝑ ſſſſ—“ ͤſſ“ —““ db“ x“ 8—“ 2 1
— 8——
— “—
ſ“ “ 3

RECHERCHES
282 moitié impairs; ainsi V. renferme za formes proprement primi- tives. Quand a est un autre nombre premier p, ou une puissance
5 0 0 6** 0 de ce nombre premier, on doit distinguer trois cas: 1*. 8i. n'est
ni divisible par p, ni résidu quadratique de p, ces nombres se- ront tous premiers avec a, et partant, toutes les formes de V seront
.—.. proprement primitives. 2⁰. Si P divise 2, comme depuis o jus- qu'à a— 1 il y a5 nombres divisibles par p(o compris), et par- 4—...— tant 2 a non-divisibles, S a sera le nombre des formes pro-
4 7 ⸗ 2. 2 2 ẽ 2 3 prement primitives que contient V. 3. Si 2 est résidu quadra- tique de p, et non-divisible par p, comme entre mp et(n-+ 1)p
. D il y a deux valeurs de l'expression N/ 2*(mod. p), entre 1 eta
0 20 2— 3 47 1ſQ il y en aura 255 donc il y aura a nombres non-divisibles
0 par p dans la suite/ 1, etc., et partant, le nombre des formes proprement primitives de Z est E a. Généralement, si
, y α 0„„ P'on a a= 2 p qr.„, J, r, etc. étant des nombres premiers différens, le nombre de formes proprement primitives contenues dans V sera NOE oÖà Pon doit faire N= quand= o,
„— 1„. 4 et N⸗ si o; P=p si ² n'est pas résidu quadratique
2
de p et n'est pas divisible par p, P=( p— 1)o quand E est 2
— est résidu de p
divisible par, ou P=(p— 2)p quand
mais non-divisible par p. O, R, eto. se déterminent de la mème manière en, 7, etc.
4 D les valeurs de l'expression D(mod. a-) seront ta, za, za, a*.— za, partant, le nombre des formes de V sera a, et parmi les formes, il y en aura autant de proprement primitives qu'il y aura D 9 2483
9 5 2—4
¶4 4*
III. Si a“ ne divise pas D, on aura entier et=i(mod. 4;
de nombres premiers à a dans la suite 5, 5

R uak
irtiy 8 leig
brüdte
9u Te Ga
ARITHMETIOUES. 285
—(a— ty. Toutes les fois que 46 Sjjr,(mod. 8), tous ces
nombres seront pairs, et partant V ne renfermera aucune forme 2
= 5(mod. 8), tous ces
proprement primitive; mais quand 45 nombres seront impairs, et partant, toutes les formes seront pro- prement primitives, si x est 2 ou une puissance de 2. En général, il y aura dans ce cas autant de formes proprement primitives qu'il b y a de nombres premiers avec a dans la suite précédente. Le
nombre de ces formes sera NPR. si a= 2 p g T.; Nétant= 2*, et P, O, RH, etc. se déterminant comme dans le cas préeédent.
Nous avons ainsi fixé le nombre des formes primitives con- tenues dans V, V“, I“, eto. Quant à la somme de ces nombres,
7 7/ on trouve sans peine la règle suivante: Si A= 2£☛ 0 3 R 2., O“, R, etc. étant des nombres premiers différens, le nombre total des formes proprement primitives contenues dans V, VI, L', etc. sera Andbc... 25 CQ..
„ou l'on doit faire= 1 dans le cas ou= o, et dans
40D5—..*. 3 celui 044= 1(mod. 8), n'= 2, si † est entier et„= o, 2—3, 1 42= 5(mod. 8) et„= P', si P divise 45; deπσ 1,
quand P’ne divise pas 4 ‚en prenant le signe+ ou le signe—,
8 D„„„ 2 2 suivant que 42 est non-résidu ou résidude P’. On déduit v,, etc. de
„FE, commela de P. Nous omettons, pour abréger, la démonstration. X* 2 P—
V. Quant à ce qui regarde le nombre de classes que fournissent ces formes proprement primitives, il faut distinguer les trois cas suivans: i 3.
1*. Quand D est négatif, chaque forme proprement primitive
fournit une classe particulière, excepté deux cas où l'on aurait
4Db
4— 4
démontrer ce théorème, il suffit évidemment de faire voir qu'il
ne peut arriver que deux formes difféerentes de V, V“„„, TI', etc. soient proprement équivalentes. Supposons donc que(J', ¹, ℳ), (w=, v,), soient deux formes proprement primitives de V, V
Nn 2*
. 3 AqAR”2— =— 4 ou=— 3, c'est-à-dire, D=— A ou=——. Pour

284 RECHERCHES E', etc. appartenantes à la même classe, et que la première se
change en la seconde par la substitution a,,„,, on aura les équations
a4— By= 1, hza‿ 2 y†‿ k)= h, wa ‿(α+ SyM ‿σ☛. On conclut facilement de là que n'est certainement pas= o; car on aurait a=£ 1, h= h“, i=(mod. ha), et partant, les formes(h⸗,, K),(', v, K) seraient identiques contre l'hypo- thèse. On voit ensuite que„ est divisible par le plus grand di- visenr commun des nombres h,; en effet, en nommant?y ce diviseur, il divise 2i et 2 ⁄(II et III), mais sera premier avec 4; en outre iν— is est divisible par ra, puisqu'on a 1— iεz hak— h ℳ, et l'on en déduit facilement que— i est divisible par r. Or on aà— ar h. K, donc„ k et partant est divisible par r. Enfin on a(ah+‿*)*— Dy= hah’a. Donc en posant ahs-. i=rp, 7= To, p et seront des entiers dont le dernier ne peut être nul, ah,. A2p 2² b. Mais
nombre divisible à-la-fois par hs et'ο, parconséquent il divisera
et l'on a l'équation„— D9 r
ost le plus petit
8 5* Dr² 0 2 a*¹ et par suite 40; donc 4 sera un entier négatif que nous
rèprésenterons par— e, il en résultera 2*„2 20, 2 7p*„4 P——— ou 4—(27)+ eg⸗ 4 Daus cette équation le terme() stant un quarré 4, ne peut
être que o ou 1; dans le Premier cas on a eq= 4 et D=— m); donc 42 est un quarré affecté du signe—, et partant non= 1 (mod. 4); ainsi O ne sera ni un ordre improprement primitif, ni un ordre dérivé d'nn ordre improprement primitif. Donc 17 sera entier, d'où l'on déduit facilement que e est divisible par 4; donc 4=1 t D=(M 9 et partant 5 un entier; donc on a né- cessairement béä= z ou 4 r„ premiere excvption.
Dans le second cas, on aura cςᷣ= 3; donc= 1,= 3 et

—

quelques exemples qu'il sera facile de multiplier à volonté.
ARITHMETIOUES. 285
72 hh/ 2* hh/ 2 2 2 A 40=— 5(); donc 3(⸗ 7) sera un entier qui ne peut ôêtre
que 5, puisqu'en le multipliant par le quarré entier(ir„⸗ on
D. a 3. Donc 40=— 3. A* ou 42=—5„ Séconde exception. Donc
dans tous les autres cas, les différentes formes proprement pri- mitives de V, I“', etc. appartiendront à des classes différentes. Quant aux cas exceptés, il suffira, pour abréger, de mettre ici le résultat, qu'on trouve sans peine, mais dont la recherche pro- ſongerait trop cette analyse. Dans le premier cas, les formes ap- partiendront deux à deux à la mèême classe, dans le second trois à trois; donc le nombre des formes est dans celui-là double du nombre des classes, et triple dans celui-ci.
2⁰. Quand D est un nombre quarré positif, les différentes formes Proprement primitives de V, V’“, V“, etc. appartiennent sans ex- ception à des classes différentes. Supposons en effet que(h', i,) et(Qν, i,) soient deux formes de cette espèce, et qu'elles soient Equivalentes; soit a, 8,„, ⁴ la substitution propre qui change la première en la seconde. II est clair que tous les raisonnemens de l'observation précédente, ou l'on ne suppose pas D négatif, ont
..„ Dr*..„ également lieu ici; on aura encore S entier, mais positif et
quarré; faisons-le=„“, il en résulte(*— g˙9= 4, ce qui est
absurde; car la différence de deux quarrés ne peut être 4, à moins que le plus petit ne soit= o; or cette supposition est inadmissible, puisque ⸗= 19 ne peut être nul, et que partant 7 ne peut pas l'étre non plus.
3 ⁰ Quand D est positif non quarré, nous ne pouvons donner de règle générale pour comparer le nombre des classes avec celui des formes. Nous pouvons seulement affirmer que le premier sera égal au second ou une partie aliquote du second. Nous avons meme découvert une certaine liaison entre le quotient de ces nombres et
les plus petites valeurs qui satisfont à l'équation t³— Due= A⸗;
mais il serait trop long de l'expliquer ici. Mais nous ne pouvons
pas décider s'il est possible dans tous les cas de connattre ce quo-
tient à la seule inspection des nombres D, A. Nous joignons
8 ö.“ 4 —“ 8
3 1

286 RECHERCHES Pour D= 13, A= 2, le nombre des formes proprement pri- mitives de V, etc. est 3, qui sont toutes équivalentes et ne
donnent qu'une seule classe.
Pour D= 37, A= 2, le nombre des formes est 3, qui appar- tiennent à trois classes différentes. Pour D= 588, A= 7, il y a8 formes qui fournissent quatre classes. Pour D= 867, A= 17, il ya dix-huit formes et deux classes. Pour D= 1445 et A= ⁴ 317, ily a également dix-huit formes, mais elles fournissent six classes.
VI. De l'application de cette théorie générale au cas oùð O est Pordre improprement primitif„il résulte que le nombre de classes contenues dans cet ordre est à celui de l'ordre proprement primitif comme r est au nombre de classes différentes proprement primitives
qus dönnent les trois formes(1, 0,— D) 0 1, 5)* 4 3, 3)
Or il en résul tera une seule classe quand D= 1(mod. 8), parceque Jdans ce cas la deuxième et la troisiöme sont improprement pri- mitives. Mais quand D= 5(mod. 8), ces trois formes seront impro- prement primitives et donneront autant de classes différentes si D est négatif, excepté le cas ou D=— 3, dans lequel elles appar- tiennent à lamêéme classe; quant au cas où D est positif de la forme
8
82+ 5, il appartient à ceux pour lesquels nous n'avons pas jus- 7
qu'à présent de règle générale. Nous pouvons cependant affirmer
que ces trois formées donneront ou trois classes ou une seule, ja- mais deux; car on voit sans peine que si les formes(1, o,— D), (4 T.— 4 3, appartiennent aux classes K, K“, K’, respectivement, on aura K. K= K(ne 245, 2⁰), K. K= R(1¹4d. 5*); donc si l'on supposait K= K“, on aurait aussi K= K; et de moème si Ket K“ etaient identiques, on aurait K= 5“, d'ailleurs on trouve K. K= K; donc si K' et K“ étaient identiques, K et K le seraient aussi. Ainsi les classes K, K“, K sont toutes diffé- rentes ou toutes identiques. Par exemple, au-dessous de 600 il y a 75 nombres de la forme 82+. 5, parmi lesquels se trouvent dixsept déterminans auxquels se rapporte le premier cas, c'est-d- dire que le nombre de classes proprement primitives est trois fois plus grand que celui des classes improprement primitives; cés déterminans sont: 37, 101, 141, 189, 197, 269, 325, 535, 349,

remm enut mi. a inmn⸗ drähes 8 axmr Aia bon a lrur
Primitives. /2&εκ⅔*⅔ f 2327 Hat. 522&&
ARITHMETTIOUES. 287 373, 381, 389, 397, 405, 485, 557, 573; pour les cinquante- huit autres, le second cas a lieu, c'est-à-dire qu'il y a le: méême Hombic de classes dans l'un et l'autre ordre.
VII. II est presque superflu d'observer que non-seulement par la recherche précédente, on peut comparer les nombres de classes des ordres différens de mème déterminant, mais qu'elle est appli- cable à tous les déterminans différens qui sont entre eux comme des nombres quarrés; savoir, si O estun ordre quelconque de déter- minant dms, O' un ordre de déterminant dm, O pourra être com- paré avec Pordre Proprement primitif de detort minant dm', celui-ci
avec l'ordre dérivé de l'ordre proprement primitif de Aeterwimnant 27
ou, ce qui revient au mème pour le nombre de classes, avec ce dernier Ini-même; et par une raison semblable„''ordre O" pourra etre 2ompart avec le mème
Jonne. les dlasses annbigags G dernencgont un Ler Suan 3 2 2 ment, et la détermination de leur nombre nous conduira à beau- coup de résultats intéressans. Or il suffit de chercher ce nombre 2 e=,., pour l'ordre proprement primitif, puisque les autres s'y ramènent 2 facilement. Nous y parviendrons en trouvant d'abord toutes les Lay, iraue formes ambigués proprement primitives(A, B, C) de détermi-= nant D, dans lesquelles B= 0 ou= A, et en déduisant ensuite
de leur zmipſe celui de toutes les classes ambiguês proprement— ee
“ 8 3 — on 1 “ 1
1⁰. Toutes les formes proprement primitives(AL o, O) de dé- terminant D, se trouvent évidemment en prenant pour A tous
.... D les diviseurs de D, positifs et négatifs, pour lesquels C=— 7 est
premier avec A. Ainsi quand D= 1, il y a deux formes de cette espèce:(1, 0,— 1),(— 1, o, 1); il y en a autant quand H=—, savoir,(1, o, 1),(— 1, o,— 1). Quand D est un nombre pre- mier ou une puissance d'un nombre premier avec le signe+ ou le signe—, il y a quatre formes
(1, 0o,— D),(—, o, D),(D, o,— 1),(— D, o, 1).
Généralement, quand D est divisible par n nombres premiers, il y a 2'*† formes de ce genre; en effet, soit D=k POR...
—t 3 — 1 —

288 RECHERCHES
P, O, R, etc. étant des nombres premiers différens ou des puissances de nombres premiers différens, dont le nombre est n; les valeurs de A seront: 1, P, O, R, PO, PR, CR, POR., et en général le produit d'autant de ces nombres qu'on voudra; or, par la théorie des combinaisons, le nombre total de ces produits est 2“, mais il faut le doubler, parceque chaque valeur de A peut être prise avec le signe+ ou le signe—.
2“*. On voit de même que toutes les formes proprement primi- tives(25, B, C) de déterminant D s'obtiennent en prenant pour
B tous les diviseurs de D, pour lesquels C=(5—5 est en-
tier et premier avec 25; ainsi, comme C doit nécessairement ôtre impair, et que partant C-= 1(mod. 8); comme d'ailleurs on a D= B— 230=(B— C)“— C, on aura D= 3(mod. 4) si B est impair, et= o(mod. 8) si B est pair. Ainsi, toutes les fois que D sera congru à l'un des nombres: 1, 2, 4, 5, 6, suivant le mo- dule 8, il n'y aura aucune forme de cette espèce.
Quand D=(mod. 4), C est entier et impair, quel que soit
—le diviseur de D que l'on prenne pour B; mais pour que C n'ait
pas de diviseur commun avec 25, B doit être pris de manière .. que ₰ soit premier avec B: donc pour DH=— 1 ily a deux formes
de cette espèce(2, 1, 1),(— 2,— 1,— 1), et en général on voit facilement que si le nombre de tous les diviseurs premiers de D est n, il y aura en tout 2“* formes.
Quand D=o(mod. 8), C est entier toutes les fois que l'on prend pour B un diviseur pair de D; quant à la condition qui exige que Csoit premier avec 2, on y satisfera de deux manières, 1⁰. en prenant pour B tous les diviseurs impairement pairs de: D,
2. B pour lesquels est premier avec—, et dont le nombre est 2“*
si le nombre total des diviseurs de D est n, et que l'on fasse attention au double signe. 2“. En prenant pour S tous les divi-
0 0 † 0 0 seurs pairement pairs de D, pour lesquels—z est premier avec
2 B; leur nombre est aussi 2*; desorte qu'on a en tout pour ce cas 2“‧†s formes. C'est-à-dire, que si l'on pose D= 2“ POR, etc., 44

—
. rr=ras,— zroddit 1„
5 hann 4— 7= 7(. e g
-)as 7— 2) 7 4 7/= 0, A= ℳ, Jlo 2* Fln, z„ 1 TCaν ν
essairemen— vten, . Do?, m A, 22,
Ouα outes lefin X= 7 NX X X₰ 9 m., Sm-fau, Anrn, Té6m Tsn Hsuipant B 4 N X X AX N, 132—,„,—
—
2a, /0b,ſCc,A’= Sa(¶¶
, quel olt 1 pour que(i Dris de ans
ly ademi 1
14 7 genétal w ts premiensda
s fois qweit la condiimg deux malis nent paibd
nombre eir
t que laui B tous kdi
est premie— 3—0
a en toll 92, 9(2 6C— 2
er nle X 42,46, 4 5£3 1e,Sl=e,ſ,he= S V X. 2, 3, 4 C,*, 9,/0, 9 ca is, ν‿νν

Propreuent gin.
ent ut en has
ement paissd
e nombre eit
82=/ k-
AX2 2 9(Ax D) 3 ho= B, 72 ‿. A 7 X 7 Be.)=. A ſ/ X Bo.„h) 2 — Oſ/A v

toules les tä 6, suirant bum
—
de deux mast emment paissde:
* e nombre et
et que lon kat r B tous les dim
₰
e —

——
NA.–˙‧–—“
SASee
—

luun b lels d
meh ltiwſi narite Bdkéh
I.. Sen, Wa A Su u w,2) v A A reof pree
A 77, Bper ge arn,
uc
—„ a Ae 7——. e,. 2— A= i 9— der 22 /ꝗÖA; 72. Lauo 22 3 20, e, ee-, = feo 9 h A f 3. 66 Ha C ae 12 s 9 2 e
h 6A ee,: eua⸗, n Ade ehe
See ee, Ae—
8⸗.. b
C= AInte) — 5 A-—, 4
Are, e— 3 3 1 2 22 S ⸗— Jah,— 2 ae=, 2. 2æ
——.— Ae, e Se‿ faer eAAe e . e— f uchu—— B³, Se V7 A= 2
wc, uu U. 2
U gu) = Aten Ser S vO== 1 Ie3Dl— 34 2 KD 5 o, f . Sz Sf
2 Be, P Sen
che e e. 7 hu 2— CE 1,„ A e de 3— an⸗ Sf
5A z522 nn ſhahee
7 1eder — DndeDhe eeiſ e
Mer. u ir 2= f a /, A 2 A⸗ 7 ve, 2,= F fn
3 ſeus„
75.,„4. 2 5, 7—õ DA. 4 7 A³‿7. 2, 85, 22 14 44 9, 1—904 4.S⸗ 1ends, 2.-Jaee, 2u b e 2 5. 3⸗⸗ 66 2
V, r Ir

Non Dun 8
1 3

ARITHMETIOUES. 289
u tant 2 et P, O, R, etc. des nombres premiers ou des puis- sances de nombres premiers impairs dont le nombre soit n, on pourra
prendre, tant pour 1 B que pour 23 les nombres: 1, P, Q, R, etc.
et les produits de tant de ces nombres qu'on voudra, avec le signe+ ou le signe—.
On peut conclure de tout ce qui précède, que si D est divisible par n nombres premiers impairs différens(où n doit être fait= o
si D=cRI,* 2, ou-k. ²*), le nombre de toutes les formes pro- prement primitives(A, B, C) dans lesquelles B= O ou= 1A sera 2t quand D=r1, ou=5(mod. 8), 2 ³⅓%2 quand D=z, 3, 4, 6, 7(mod. 3)(); enfin 2“ts quand D=o(mod. 8). Si l'on compare ce résultat avec celui que nous avons obtenu pour le nombre des caractères possibles des formes proprement primi- tives de déterminant D, on verra que dans tous les cas le pre- mier est double du dernier. Au reste, il est évident que, pour les déterminans négatifs, il y a parmi les premidères formes au- tant de positives que de négatives.
258. Toutes les formes trouvées dans le n- précédent appar- tiennent évidemment à des classes ambiguës, et réciproquement dans toute classe ambigus proprement primitive, il doit y avoir au moins une de ces formes. En effet, dans une telle classe, il J a nécessairement des formes ambigués, et toute forme(a, 5,) ambigué proprement primitive de déterminant D doit trouver au moins une forme qui lui soit équivalente parmi celles du ne précé-
2 3 0 dent, c'est-Aà-dire, une forme(2„ Oo,—*), ou une forme
0 0— 8. (2, 1,—*), suivant que 5= o, ou=(mod.). Ainsi
le problème est réduit à trouver en combien de classes ces formes peuvent se distribuer.
—
-) I est essentiel de remarquer que la contradiction qui semble se présenter ici ne provient que de ce que n n'a pas la méeme signification qu'à l'article 1“ 2
de ce numéro. En effet, dans le premier cas le facteur 2 ou 2 se trouve compris dans le nombre n, tandis qu'il ne l'est pas dans le second.(Note du traducteur.)
0

290 RECHERCHES
Si la forme(a, o, c) est comprise parmi les formes du ne pré- cédent, la forme(c, o, 2) s'y trouvera aussi et sera toujours dif- ſgreßte de la première, excepté dans le cas ou l'on aurait =C=, et partant D=— 1, cas que nous laisserons de côté pour quelque temps. Mais comme ces formes appartiennent à la méme classe, il suffit d'en conserver une, et nous rejetterons celle dont le premier terme est plus grand que le dernier; nous écar- terons aussi le cas où a=— G=ce, c'est-à-dire, oùQ D= 1. De cette manière, nous pouvons réduire toutes les formes(A, o, O) à moitié, et dans celles qui resteront, on aura toujours A=VXD.
De la mème manière, si parmi les formes du n' précédent, il
se rencontre la forme(25, 5, c), on; trouvera aussi la forme 2 D D
(4— 26, 20— b),=—„. 0), qui lui est propre- ment équivalente, mais qui n'est pas identique avec elle, excepté gans le seul cas cù l'on aurait c= 5= k ou D= 1— 1. Il suffit de garder celle de ces deux formes dont le premier terme est le plus petit: d'ou il suit que toutes les formes(25, B, C) peuvent être réduites à moitié, et que dans celles qui resteront, on aura
B.½ ou Bſck D. De cette manière, nous n'avons plus que
la moitié de toutes les formes du ne précédent; nous en désigne- rons l'ensemble par II, et il ne reste plus qu'à faire voir com- bien ces formes fournissent de classes. Au reste, il est évident que
si D est négatif, W renfermera autant de formes positives que de formes négatives.
1“. Quand D est négatif, les différentes formes de WI appar- tiendront à des classes différentes; car toutes les formes(A, o, C) seront réduites; de même, les formes(a, B, O) seront réduites, excepté celles dans lesquelles C= 2; mais dans ces formes on
aura 20 Z 25+C, et comme on a B 3, ou= 20— B, ou 2B 20, ou B=C, on tire de là 20— 25 ZC, ou C—H—:
donc la forme(C, O— B, O), qui est évidemment équivalente à la forme proposée, est une forme réduite. De cette manière, on a autant de formes réduites qu'il y a de formes dans MW; on voit facilement d'ailleurs qu'il n'y en aura aucunes qui soient

nent 3 1 erons celd Sous degr. 14 0, 8 17d0 Lesdent, i la forw- est propte
lle, elcent -I. NscRt erme est l C) pewreod nt, on aula
Ds Dlus ge
en dböigr evoir cou- ridentqy ooitires qle
W aypa- (A ,990 otréduites, s Prmesc
0— /, G 8 —5L
Ggoirabet
ans VI50 qui sojes
ARITHMETIOUES. 291 identiques ni opposées, excepté dans le cas où C— B= o, ce qui donne C= B et exige que l'un et l'autre soit ³1, et par- tant que DH=— 1; or nous avons déjà écarté ce cas-là: il suit de là que le nombre total des classes ambigués proprement pri- mitives de déterminant D(négatif) est égal au nombre de formes de II, ou à la moitié du nombre de formes du ne précédent. Quant au cas que nous avons excepté, dans lequel D=— 1, on a aussi le même résultat par compensation; car il y a deux classes, à la premiére desquelles appartiennent les formes(1, o, 1); (2, 1, 1), et à la seconde les formes(— 1, o,— 1),(— a,— 1,— 1). Ainsi généralement pour les déterminans négatifs, le nombre de classes ambiguës proprement primitives est égal au nombre de caractères assignables pour les formes proprement primitives de ce déterminant, et le nombre de ces classes qui sont positives en est la moitié.
2⁰°. Quand D est un nombre positif quarré h⸗, on démontre fa- cilement que toutes les formes appartiennent à des classes diffé- rentes. Mais on peut, dans ce cas, parvenir plus simplement à la solution du problème. Comme, par le n 210, dans toute classe ambiguë proprement primitive on doit trouver une forme réduite (a, h, oO), dans laquelle a est une valeur de l'expression 1 (mod. 22), comprise entre o et 2h— 1, et que cette propriété leur est particulière, on voit qu'il y aura autant de classes ambiguös proprement primitives, qu'on peut trouver de valeurs de cette expres-
sion; or on déduit sans peine, du ne 105, que le nombre de ces
valeurs est 2“, ou 2 ⁄⅓⁄, ou 2°*2, suivant qu'on aura D=r, ou =4, ou= 0(mod. 8), n désignant le nombre des diviseurs pre- miers impairs de D. Donc le nombre de classes ambigués pro- prement primitives est toujours égal à la moitié des formes du n' précédent, ou au nombre de caractères possibles.
34. Quand D est positif non quarré; déduisons des formes (A, B, C) contenues dans W, d'autres formes(A, F, C9) en Prenant B= B(mod. A) et compris entre vVD et ᷑e☛A(le signe supérieur ayant lien quand A est positif, le signe inférieur quand A est négatif), et C= 7. Désignons par W j'en- semble de toutes ces formes; elles seront évidemment toutes pro-
2
———
—
1

1
292 RECHERCHES
prement primitives, ambigués, de déterminant D et non iden- tiques; elles seront d'ailleurs réduites: en effet, si A= VD, gera évidemment=/D et positif; en outre, Bπκ̈ D A, et parconséquent AD— B done pris positivement est compris entre D+ B' et VD— B'’. Si A. VD, B n'est pas = o, puisque nous avons rejeté les formes dans lesquelles ces deux circonstances étaient réunies, mais il est= 2 A; donc B est, en grandeur,= Aℳ, et il sera positif, car on a A= 2 5, par- tant£rA tombera entre les limites assignées à B' et sera con- gru à B, suivant le module A; donc B= † A, donc B' D ou 2B VD+ B'“, et parconséquent A= D+ B“: donc enfin A tombera nécessairement entre les limites VD+ B' et VD— B’. En outre, W contiendra toutes les formes réduites proprement primitives et ambiguẽés; en effet, si(a, 5, c) est une forme de cette espèce, on aura b= o ou= 1(mod.); dans le premier cas, on ne pourra pas avoir 5 a, ni partant aν.|☚;
0. donc la forme(„e,— 2) sera certainement contenue dans IZz,
et partant(a, b, c), qui lui correspond, le sera dans II. dans le second on a nécessairement a 2D, et partant la forme
L ( a, 1, 12— 2) sera contenue dans II, et la forme(a, 5, c),
2
qui lui correspond, le sera dans WV. Il suit de là que le nombre des formes de W est égal au nombre de formes réduites, ambi- gués et proprement primitives de déterminant D. Mais comme dans toute classe ambiguë il y a deux formes réduites ambigués (nos 187, 194), le nombre des classes ambigués proprement pri- mitives de déterminant D sera la moitié du nombre des formes de EW, ou la moitié du nombre de tous les caractères assignables.
259. Le nombre des classes ambigués improprement primitives de déterminant D, est toujours égal au nombre de celles qui sont proprement primitives. Soit K la classe principale, et K“, K', etc. les autres classes ambigués proprement primitives. de méême déter- minant, L une classe ambigué improprement primitive, celle, par exernple, qui contient la forme(2, 1, 4— 0); la classe I. résultera de la composition de K avec L elle-mème, et si nous
nommons L, I, etc. les classes qui proviennent de la composi-
*

6 nes röduite · 9) est vne :G) dausl ut a) 1 D.
de dans,
WVI darskb t la borce pe(., 5,) delevonbt nites, awli. lais comue es ambiguä rement yi des formes öigläble
t wimiti les qui olt K, L’ elo noce dlier fife, rele la Case 4 j Tols
l cogpö

Kan. Ahse De vent D„Le bœon f. 13 X, IRs leul uIestue⸗ I, L2
— t Quar nbis mc
k che

ARITHMETIOUES. 295 tion de la classe L avec les classes K“, K“, etc: respectivement, ces classes seront toutes improprement primitives, ambiguẽs et de mème déterminant D. Le théorème sera donc prouvé, aussitôt que nous aurons démontré que toutes les classes L, I“, LI“, etc. sont différentes, et qu'il n'y a pas d'autres classes ambigués, improprement primitives et de déterminant D. Pour y parvenir, nous distinguerons deux cas: 119
19. Quand le nombre des classes improprement primitives est égal au nombre des elasses proprement primitives, chacune des premières nait de la composition de la classe E avec une classe déterminée proprement primitive; d'ouù il suit que L, L“, L', etc. seront nécessairement toutes différentes. Mais en désignant par A une classe quelconque ambigus improprement primitive de déter- minant D, on peut trouver une classe proprement primitive X, telle qu'on ait X. L= AK, et si la classe X' est opposée à la classe X, on aura aussi X’. L= A, puisque L et AX sont elles- mémes leurs opposées; donc on a nécessairement X= X“, et par- tant Xest une classe ambigué. Xse trouvera donc parmi les classes K, K, K', etc., et A parmi les classes L, L, L“, etc.
2 ⁰„% Quand le nombre de classes improprement primitives est
trois fois moins grand que celui des classes proprement primitives,
1— 1 H celle
3 Iet 67 seront propre-
soit H la classe dans laquelle est la forme 4„ 1 — b 9.5
9 ment primitives, et différentes tant entre elles qu'avec la classe principale K; on a d'ailleurs H. H’ e K, H== ⁴ EH“, EH“== F. Si maintenant A est une classe quelconque improprement primi- tive de déterminant D qui résulte de la composition de la classe L avec une classe proprement primitive X, on aura aussi A= L. X. r, A=L. X. H' et il n'y aura que les trois classes(proprement pri- mitives et différentes) X, NX. H, X. H qui, composées avec E, aient A pour résultante. Donc si A est une classe ambigué et que X! soit opposée à X, on aura, comme ci-dessus, A= L. X“ et Partant X' sera une des trois classes X, X. H, X. H'; or si X‿ X, X“ sera une classe ambigut; si X= X. H, on aura........ 1= X. X/= üX“. H= JX. H=(X. H“)“; done X. Æ' est une classe Oo*
dans laquelle est la forme 4 3.

294 RECHERCHES
ambigué; on prouverait de même qu'en supposant X= NX. H“, il s'ensuivrait que X. H est une classe ambigus; d'ouùu l'on peut con- clure que A se trouve nécessairement parmi les classes L, L, Li, etc. Mais on voit facilement que parmi les trois classes X, X. E, X. H“ il ne peut y en avoir qu'une ambiguë. En effet, si X et X. H étaient ambiguës, ou si elles étaient identiques avec leurs opposées respectives X', H“. X on aurait X. f= X. H“ ou H= H’. La méême conclusion résulterait de la supposition de l'ambiguité simultanée des classes X et X H“; enfin si X. H et X. H étaient ambiguês ou identiques avec leurs opposées respec- tives X. H“, X’. H, il en résulterait X. H= X”. H“, X. H= äX“.H, et partant X. X¹. 42 X. XI. H“, ou H= Het M=. II m'y aura donc qu'une seule classe ambigué proprement primitive qui, composée avec I.) puisse produire A, et parconséquent toutes les classes E, I’, I“, etc. seront différentes. b
Le nombre des classes ambigués d'un ordre dérivé est évidem- ment égal au nombre des classes ambigués de T'ordre primitif dont il est dérivé, et pourra ainsi se déterminer par ce qui précède.
260. PROBLEME. La classe proprement primitise K, Tésul- rant de la duplication d'une classe k propreméent primitive de meme daterminant D, on demande toutes les olasses Ssemblables dont la duplioation donne KR,
Soit H la classe principale de determinant D, et H“, EH“, Er', etc. les autres classes ambiguòës de ce déterminant; désignons par L,,, etc. les classes kK. H“, Kk. H“, K. H“, etc.; toutes les classes,, etc. seront proprement primitives et différentes entre elles, et l'on voit facilement que K nait de la duplication de chacune d'elles. Or en nommant X une classe queloonque proprement primitive de déterminant D, qui produise K par sa duplication, elle sera nécessairement comprise parmi les classes k, K, o, etc.; en effet, en supposant X= Kl, dans lequel ⁵⁴ est une forme proprement primitive de déterminant DO(n“* 249), on aura ka. h== K; mais 4*= K; donc Khi= K, et partant h== H, h est donc ambigué et se trouvera parmi les classes H, H’“, H', etc.; donc X se trouvera parmi les elasses k, M, †, ete. Ainsi ces classes donnent la solution complète du problème.
nller dt Iesirenn agente pE
1 nlcation= tolkclas
7¹
Ä. TH

H= X.; apposlion ä 2 8. t 0sbes repir 11 P =k. Uuy rimitire qui ent toutess
gest oriden⸗ primiti aont Iprcdcde
ee K, nau- b rrimiiir K 2s Semblobles
et F E.
nt; Gdeésiglon
„ eke.; kolle et dierente la dupiealor e qpelcogle uise K M ni les Clab daus keped' tD G 20) L, d n les clese 4, 5, k. dl I obleme.
ARITHMETIOUES.
Au reste, il est évident que dans le cas où D est négatif, il y a parmi les classes, X“, K“, etc. autant de classes positives que de négatives.
Puisque toute classe proprement primitive de determinant D qui résulte de la duplication d'une certaine classe, peut résulter de la duplication d'autant de classes semblables qu'il y a de classes proprement primitives ambigués de déterminant D, il est évident que si le nombre des classes proprement primitives est, et que
18o Ponibre des classes ambiguêés proprement primitives soit, on
aura 5 pour le nombre des classes proprement primitives de déter-
minant D qui peuvent résulter de la duplication de classes de la méme espèce. On trouve le mème résultat pour les deéterminans négatifs, en restreignant la signification de r et n aux classes po- sitives seulement. Par exemple, pour D=— 161, le nombre des classes proprement primitives est 16, celui des classes ambigués 4; partant, le nombre de classes proprement primitives qui peuvent
résulter de la duplication d'une classe proprement primitive est
nécessairement 4, et l'on trouve effectivement que toutes les classes du genre principal sont douées de cette propriété; savoir, la classe
principale(1, o, 161), qui natt de la duplication»des quatre classes
ambigués; la classe(a, 1, 18), de la duplication des classes(9, 1, 18), (9,— 1, 18),(11, 2, 15),(113— 2, 15); la classe(9, 1, 18), de la duplication des classes(5, 1, 54),(6, 1, 27),(5,— a, 33),(10, 3, 17)5 enfin la classe(9,— 1, 18), de la duplication des classes(3,— 1, 54), (6,— 1, 27), G, 2, 33),(10,— 3, 17).
261. THEOREME. La moitic des caracteres assignables„ pour zin determinant positif non quarré, peout n'appartenir à aucun
genre proprement primitif, et pour un déterminant negatif, à
auoun genre proprement primitif positij.
Soit m le nombre de tous les genres proprement primitiſs, po- sitifs s'il y a lieu, de déterminant D; k le nombre des classes de chaque genre, u sera(no 252) l nombre total des classes proprement primitives, n le nombre de tous les caractères diffé- rens assignables pour le déterminant D. Alors, par le ne 258, le nombre de toutes les classes ambigués proprement primitives sera

296 RECHERCHES
2, donc par le ne précédent le nombre de toutes les classes pro- 4
prement primitives qui peuvent résulter de la duplication de classes
k„pe. semblables est— mais(n“ 247) toutes ces classes appartiennent
au genre principal qui contient un nombre X de classes; si done- toutes les classes du genre principal peuvent provenir de la du- plication de quelque classe, ce que nous prouverons par la suite ℳG 26⅛,
2 4
„ 2 km 7... on aurait—= k ou m= z. Mais il est certain que l'on ne peut
. 2 khm. n 4. aAvolr— K ni parconséquent FI2— 2. Ainsi„Ppuisque le nombre
des genres proprement primitifs ne peut être plus grand que la moitié du nombre des caractères assignables, il y a au moins la
moitié de ces derniers qui ne répondent à aucun genre. Au reste,
il faut bien remarquer qu'il ne suit pas encore de là, que les genres proprement primitifs répondent en effet à la moitié de ces caractères; mais nous pourrons, plus bas, tirer cette vérité des propriétés les plus abstraites des nombres.
Comme pour un déterminant négatif, il y a autant de genres négatifs que de positifs, il est clair qu'il n'y a pas plus de la moitié de tous les caractères assignables qui puissent apparte- nir à des genres proprement primitifs négatifs, nous reviendrons plus bas sur ce sujet, ainsi que sur les genres improprement pri- mitifs. Nous finirons en observant que le théorème n'est pas ap- plicable aux déterminans positifs quarrés, pour lesquels on peut voir sans peine que chaque caractère répond effectivement à un genre.
262. Ainsi, lorsque pour un déterminant donné, non quarré, il ne peut y avoir que deux caractères, il n'y a qu'un genre proprement primitif(positif), qui est nécessairement le genre principal. Cela arrive pour les déterminans— 1,+ 2,— 2,— 4, les nombrespremiers de la forme 4n-†r, etles nombres premiers de la forme 4Q 5 pris négativement, enfin pour toutes les puissances impaires de nombres premiers de la forme 4n-†, prises positivement et pour toutes les puissances des nombres premiers de la forme 4 2+ 5, prises positive- ment ou négativement, suivant que les exposans sont pairs ou
impairs. Nous pouvons déduire de là une nouvelle démonstration, non-

dasen nn Dnd Uan Dpartienen
t deha. Där la guid h
ben de peut
de le vonbhs
nand qle l an moias
re. Au test,
, qpe a noitie de Ges e verite de
nt de gene
3 Plus déh
eent appaätb. reriendkos prement ni
rest pas 39
uels ou pel rement àu
quarna,l proprewent ncipal Cdl bresprenin de lrrig Jde vombis dur botels ses poölite
ut ſinn onsfrallh,
Jol⸗
—
—— —
8—— 1 ————

anne Terwina Lderm e
ur orw

ARITHMETIOUES. 297 non-seulement pour le théorème fondamental, mais encore pour les autres théorèmes de la section précédente, relatifs aux ré- sidus— 1,+ 2,— 2, basée sur des principes tout-Aà-fait diffé- rens, et non moins élégante que la première. Nous ne nous oc- cuperons pas du déterminant— 4 et de ceux qui sont des puissances de nombres premiers, parcequ'ils n'apprennent rien de nouveau.
Pourle déterminant,— 1, il n'y a aucune forme positive dont le ca- ractère soit 5, 4; pour le déterminant 2, il n'y a absolument aucune forme dont le caractère soit 3 et 5,8; pour le déterminant— 2„il n'y
a aucune forme positive dont le caractère soit 5 et 7,8. Pour le
déterminant p, si p est un nombre de la forme 4+ 1, ou pour le déterminant—p, si p est un nombre de la forme 4n+ 3, au- cune forme proprement primitive(positive dans le dernier cas) n'aura le caractère VNpy. Cela posé, nous démontrons comme il suit le théorème fondamental, et les autres précités:
1⁰.— 1 est non-résidu de tout nombre positif de la forme 4n-+.3. En effet, si— 1 est résidu d'un tel nombre A, en faisant — 1=B—AC,(A, B, C) serait une forme de déterminant — 1, dont le caractère serait 3, 4. b
23.— 1 est résidu de tout nombre premier p de la forme 4 2 †r; car le caractère de la forme(—1, o, p), comme celui de toutes les formes de déterminant p, sera Rp, donc— 1 R. p.
34.+ 2 et— 2 sont résidus de tout nombre premier„ de la forme 8n+† 1; car les formes(8, 1,*).(—s, 1, E 5) ou
8 les formes(8, 3,—)„(—8, 3, 5²) seront proprement pri- mitives de déterminant p, suivant que n est impair ou pair; donc leur caractère est Rp; donc 8Rp et— 8Rp; d'ou(n* 98) 2 Rp et — 2 Rp. b
†.+ 2 est non-résidu de tout nombre de la forme 8n++. 3 ou 8n+5; car s'il 6tait résidu d'un tel nombre A, il y aurait une forme(A, B, C) de déterminant 2 dont le caractère serait
3 et 5,8.
5“. De même— 2 est non-résidu de tout nombre de la forme
Pp
* 4 — 1 4 4 ————— ——————y a——— —— u, ———— 1————————— 4 S 4—““*.— 3——————— 2 2 3 ———————————— 3
v“ —

8—y———
298 RECIHERCHES 82-† 5, 8n+ 7; sans quoi il y aurait une forme(A, B, O) de
déterminant— 2 dont le caractère serait 5 et 7,8.
6°.— 2 est résidu de tout nombre premier p de la forme 8„7+ 3. On peut prouver cette proposition de deux manières. D'abord, 2 Stant N. p et— 1 aussi, on aura nécessairement(n“ 98)— 2 Rp. Ensuite si l'on considère le déterminant+ 2p, pour lequel il y a quatre caractères assignables: R.p, 1 et 3,8; NR.p„, 5 et„S; N., 1 et 3,8; N. p, 5 et 7,8; la moitié au moins ne répond à aucun genre. Or la forme(1, o,— 2p) a le premier caractère, la forme(— 1, o, 2p) a le quatrième; donc le deuxième et le troisième doivent être rejetés. Ainsi, comme le caractère de la forme(p, o,— 2), relativement au nombre 8, est 1 et 3,8, son caractère, relativement à p, ne pourra être que Rp; donc— 2 Rp.
7o. 2 est résidu de tout nombre premier p de la forme 8 7+7; on peut de même prouver cette proposition de deur manières. D'abord,— 2 étant non-résidu dep et— 1 aussi, on a nécessairement
+ 2 Rp. Ensuite, comme l'une ou l'autre des formes(8, 1,* 5.—
(8, 3, 22) est proprement primitive de déterminant— p, suivant
que n est pair ou impair, son caractère sera H. p, donc 8R.p, et partant 2 Rp. n= 8*. Tout nombre premier p de la forme n-Pt est non-résidu de tout nombre impair qui n'est pas résidu de p. Car il est clair que si p était résidu de„, il y aurait une forme propre- ment primitive de déterminant p dont le caractère serait W. p.
9'*. De la même manière, si un nombre quelconque impair est non-résidu d'un nombre premier p de la forme An-+ 3,— p sera non-résidu de; autrement il y aurait une forme positive, proprement primitive, et de déterminant— dont le caractère serait N. p.
100. Tout nombre premier p de la forme 4Q2+ est résidu de tout autre nombre premier- qui est résidu de p. En effet, 81 est aussi de la forme 4n+r, cette proposition est une suite de la huitième; mais si est de la forme 4n-+‿ 3,— h sera résidu de par la deuxième proposition, et partant, par la neuvième, pR. g.
A 1 e -0 R☛ Ng,
ue le Beracke
teJ Klon o*⁴ t 54 lüme et!
dreme D a d. Ap mele dt tewoitiE ml ancui a winant Ce s keilente u danse unt qui t Gule que he, ei lerrion be rodu

.5, 9;
frm,„ 88. Dä . 8) h. leque Äh 5, 5 t78, De töpoud 1 r caaclge, arieme et ractere de 1ei 8, T donc-
—
torme art ur mariras cessairewen
66 1— — p, Sifan donc R.,
est nor-rGöl . Car il crme proyse gerait N.y,
que impät 42+3,— mme paöüft le cxute
est kiunie
1
in etet, 39
ARITHMETIOVUES. 299 11*. Si un nombre premier quelconque ⸗ est résidu d'un nombre premier p de la forme 4n-+.‿ 3,— p sera résidu de„; en effet, si 7 est de la forme 42+ 1, il suit de la proposition 8 que ꝓR. g. et partant, par la deuxisme,— p R. q; mais le cas ouù ꝗ est de la. forme 42+. 3 ge soustrait à cette méthode; cependant on peut fa- cilement le traiter, par la considération du déterminant+ pg; car, des quatre caractères assignables pour ce déterminant: R. p, R.; H. p, N. 9; N. p, R. 9; N. p, N. 9, il my en a que deux qui appartiennent à des genres, et les formes(1, 0,—„), (—, o, po) ayant pour caractères, la première Rp, Rgꝗ, la seconde Np, Nô, les deux autres n'appartiennent à aucun genre. Ainsi, comme le caractère de la forme(9, o,— p) est par hypothèse R.* le caractère de la mêème forme, à l'égard du nombre 7, doit etre R. 9, et partant—„R.. b
Si l'on suppose, dans la huitième et la neuvième proposition, que g désigne un nombre premier, et qu'on les réunisse à la dixième et à la onzième, on aura la démonstration complète du théorème fondamental de la section précédente.
263. Après avoir confirmé le théorème fondamental par une nouvelle démonstration, nous allons nous occuper de distinguer cette moitié des caractères, auxquels nous avons vu qu'il ne ré- pond aucunes formes proprement primitives positives pour un dé- terminant quelconque non-quarré. Nous y parviendrons d'autant plus facilement que les élémens de cette discussion sont déjd ren- fermés dans les recherches des nos 147— 150. Soit es le plus grand quarré qui puisse diviser le déterminant proposé D, et D= D'c*, desorte que D' ne renferme aucun facteur quarré. Soient encore z, 5, c, etc, tous les diviseurs premiers impairs de D’, D“ sera, abstraction faite du signe, le produit de ces diviseurs, ou le double de ce produit. Désignons par l'ensemble des caractères parti- culiers N. a, N. b, N., etc., seul quand D'=r(mod. 4), et en y joignant le caractère 3, 4, quand D'= 3 et que e est im- pair ou impairement pair; ou en y joignant les caractères 3,8 et 7,8, quand D’'= 3, et que e est pairement pair; en y joi⸗
Snant le caractère 3 et 5,8, ou les deux 5,8 et 5,8, quand D'= 2 (mod. 8), et que e est impair ou pair, ou les deux 5,8 et 7,8, quand D'= 6(mod. 8), et que e est pair ou impair. Cela posé, il ne
2

Zo0 RAECHERCHES
répondra aucun genre proprement primitif(positif) à tous les ca- ractères complets qui renfermeront un nombre impair des carac- tères particuliers. Dans tous les cas, les caractères particuliers qui expriment la relation à l'égard de diviseurs de D qui ne sont pas diviseurs de D“ n'influent pas sur la possibilité ou l'impos- sibilité des genres. Or, par la théorie des combinaisons, on voit aisément que l'on exclut effectivement la moitié de tous les ca-
4
ractères complets assignables. La demonstration s'établit de la manière suivante:
0 8 2„* 4 Des principes de la section précédente, ou des théorèmes que —— 4— 0 3 6 nous venons de démontrer pour la seconde fois, on déduit sans peine que si ꝓ est un nombre premier impair et positif qui ne di-
vise pas D, et auquel s'applique un des caractères rejetés, D“
renfermera un nombre impair de facteurs qui sont non-résidus de p, et que parconséquent D’, et par suite D, sera non-résidu de p. Or on voit facilement(n“ 228) qu'on ne peut supposer l'existence d'un quelconque des caractères rejetés, et à-la-fois que ce carac- tère n'appartienne à aucun facteur d'un produit de tant de nombres premiers avec D qu'on voudra; d'où, réciproquement, il est clair que tout nombre impair positif premier avec D, auquel convient un des caractères rejetés, renfermera nécessairement un facteur premier auquel le caractère appartienne, et que partant D est non-résidu de ce nombre. Si donc il existait une forme propre- ment primitive(positive) de déterminant D auquel répondit ce caractèere, D serait non-résidu de tout nombre positif impair pre- 4
mier avec lui, qui pourrait êètre représenté par cette forme, ce qui est contradictoire avec le théorème du n“ 154.
On peut prendre pour exemple les classifications données aux nos 230 et 251. Chacun pourra d'ailleurs en augmenter le nombre
à volonté.
264. De cette manière, tous les caractères assignables pour un déterminant donné se divisent en deux espèces P, O, dont cha- cune est composée d'un même nombre, et de manière qu'aucune forme proprement primitive ne puisse avoir un des caractères de O; mais quant à P, jusqu'à présent rien n'empéche que cha- cun des caractères qui y sont contenus n'appartienne à des formes

4 t A. l des ean 9 Lüremm ou linna ols ol piit e tous les d.
6.
Lordmes que n dedit an dtik qui wii es veſets,N -résidusde 1 residu de„ Ser lerüiteue que cé eara- int de uonbles at, il estcbir aquel conrieu ut un faetelm partaut D 6 forme royr- el répoudtte tifimpait yr ette forceé, C
3 dopntes a3 oter levoulr
nadles or

vmtitE gies ce Nsera*
ul:ppan tlt les m. ſan aurac Cc lé 1n antre⸗ gce can tice la m mälere,
* On. 6 witifs gim A85(c

ARITHMETIOVUES. semblables. A l'égard de ces deux espèces de caractères, on re- marquera la proposition suivante, qui se déduit facilement de la nature même de ces caractères: Si l'on compose un caractère de P aueo un caractere de O(en feignant qu'il existe des genres qui répondent à cette espèce de caractère, et y appliquant ce qui a été dit n 246) on trouvwera un caraotère de Q; sit'on dom- pose deuæ caraciéres de P, ou deuæ caracténes de Q, le carao- tere résultant appartient à P. A l'aide de ce théorème, on peut aussi exclure la moitié des caractères pour les genres négatifs et improprement primitifs, de la manière suivante:
1⁰. Pour le déterminant négatif D, les genres négatifs sont contraires aux genres positifs, c'est-à-dire, que les caractères de P n'appartiendront à aucun genre négatif, et que ces genres n'auront que des caractères de l'espèce O. En effet, quand D’= 1(mod. 4), — D sera un nombre positif de la forme 4n+ 3, et parconséquent parmi les nombres a, 5, o, etc. il y en aura un nombre impair de la forme 4 2+ 35, de chacun desquels— 1 sera non-résidu, d'ouð il suit que le caractère complet de la forme(— 1, o, D) renferme un nombre impair des caractères particuliers de œ, ou qu'il appartient à OQ. Quand D'= 5(mod. 4), par la même raison, entre les nombres a, P, o, etc., il n'y en aura aucun, ou il y en aura un nombre pair de la forme 4n+. 3; mais comme dans ce cas le caractère complet de la forme(— 1, o, D) renferme l'un ou l'autre des deux caractères particuliers 3,8 ou 7,8, il est clair que ce caractère complet appartient encore à Q. On obtient sans peine la mème conclusion dans les autres cas, desorte que le caractère de la forme négative(— 1, o, D) est toujours compris dans O. Mais comme cette forme, composée avec une autre forme quelconque proprement primitive et négative, donne pour résultante une forme semblable positive, on voit facilement qu'aucune forme proprement primitive négatiye ne peut avoir un des caractères de P. 4
2, On prouve de même, pour les genres improprement primi- tifs positifs, que la chose a lieu comme pour les genres propre- ment primitifs, ou d'une manière contraire, suivant que H= 1 ou= 5(mod. 8). Car dans le premier cas, on aura aussi D'=a

30 ᷣRECHERCHES
(mod. 8); d'oi l'on conclut facilementeque parmi les nombres a, b,
c, etc., iln'y aura aucun nombre de la forme 82+‿ρ●, el de la forme 8 ⁰+† 5, ou qu'il y en aura un nombre pair, puisque le produit de tant de nombres impairs qu'on voudra, parmi lesquels les fac- teurs des formes 892+‿3 et 82+ 5 sont pris ensemble en nombre impair, est toujours= 3 ou= 5(mod. 8), et que le produit a, b, o, etc. doit être égal à Do ou à— D’. II suit de là que le
6 1 1— D caractère complet de la forme(2, 1,) ne renferme aucun
caractère de, ou en renferme un nombre pair, et que partant il appartient à P. Maintenant, comme toute forme positive, im- proprement primitive et de déterminant D peut ôêtre considérée 1—
comme composée de(2, 1,— 2) et d'une forme positive propre- ment primitive et de mème déterminant D, on voit qu'aucune forme positive improprement primitive ne peut avoir un des caractères de O. Dans le secondcas, oùu D= 5(mod. 8), au contraire, D' qui sera aussi= 5 renfermera nécessairement un nombre impair de facteurs de la forme 8n+. 3, et de la forme 8 2+. 5, d'où l'on conclut que le
1—
2) ‚et partant celui de toute forme
caractère de la forme(2 1,
positive improprement primitive de déterminant D, appartient à O, et qu'il n'y en a aucun qui se trouve dans P.
36. Enfin, pour le déterminant négatif, les genres improprement primitifs négatifs sont encore contraires aux positifs; c'est-à-dire qu'ils n'auront aucun des caractères de P ou de O, suivant que D=I ou= 5(mod. 8), ou suivant que— D est de la forme 8n+ 7, ou 87+ 3. On déduit facilement cette proposition de ce que la forme(— 1, 0; D), dont le caractère est compris dans O, composée avec les formes improprement primitives et négatives de même déterminant, donne des formies improprement primitives et positives; et que parconséquent, quand on exclut pour ces dernières les caractères renfermés dans O, on doit exclure pour les premières les caractères renfermés dans P, et réciproquement.
265. Les recherches faites aux nos 257, 258, sur le nombre des elasses ambiguès, et qui servent de base à tout ce qui précède, Peuvent fournir beaucoup d'autres résultats très-dignes d'attention,
mera= 4„ 5 wigel' Keent I. 8p=
s 1ne=

Aue paxtaut osllipe, in. e considege ltire Mrophö. ucune forus aracteres-
/ »Duien tde factecr duclut quexl
etoute forwe
apparidel
apropremert Cest--dir suirant qb de R fprm ooition dece ris dans 0, negatinesd t hiimitie ut pouf ces xclure pol eroquere-,
nombe d i hrhi⸗ Pattertiol,
ARTITHMETIOUES. 303 que nous sommes forcés de supprimer; cependant nous ne pouvons passer sous silence le suivant, qui est remarquable par son 6légance. Nous avons fait voir que pour un déterminant positif„, qui est un nombre premier de la forme 42+ 1, il m'y avait qu'une classe ambigué proprement primitive; ainsi toutes les formes ambiguës proprement primitives de ce déterminant, sont proprement équi- valentes entre elles. Si donc 5 est le nombre entier immécdiate- ment au-dessous de p, et que l'on fasse— 5e=h, les formes (1, b,— J.),(— 1, 5, a¹) seront proprement équivalentes; et partant, comme elles sont évidemment toutes les deux réduites, lune sera contenue dans la période de l'autre. En attribuant à la première l'indice o dans sa periode, celui de la seconde sera néces- sairement impair, puisque leurs termes extrèmes sont de différens
signes; supposons-le= 2m+. 1. On voit facilement que si les formes
dont les indices sont 1, 2, 3, etc., sont respectivement (ſ— 5,**),(** 57,— a*),(— a*˙, 5“, au), etc.;
celles dont les indices sont 2m, 2 ¹1— 1, 2m— 2, 211— 3, etc., seront en o 8 1
(aν 5,— 1),(ſ— aH*, B, a⁵*),(aν, b,— æν),(ſ— an, by, ar), ete- Il suit de là que si la forme dont l'indice est m, est(A, B, O), la méême sera(ſ— C, B,— 4A); donc O=— A et p= B⸗†. A“; donc tout nombre de la forme 4n+y est décomposable en deux quarrés, proposition que nous avons déjà démontrée(n 182), mais par des principes tout-à-fait différens. Et nous pouvons par- venir à cette décomposition d'une manière uniforme, en dévelop- pant la période de la forme réduite dont le premier terme est 1, et dont le déterminant est le nombre à partager, jusqu'à ce que nous trouvions une forme dont les deux termes extrèmes soient eégaux et de signe contraire. Ainsi, par exemple, pour„= 233, on a
, 5
(1, 15,— 8),(— 8, 9, 19),(19, 10,— 7),(— 7, 11, 16), (16, 5,— 13),(— 13, 8, 13),
d'où 233= 64+ 169. Au reste, il est clair que la forme(A;
B,— 4G) devant éêtre proprement primitive, A sera nécessaire-
ment impair, et partant, B pair. Comme pour un déterminant

304 RECHERCHES positif p qui est un nombre premier de la forme 4n2+† 1, il n'y annon plus qu'une seule ambigué dans l'ordre improprement pri- mitif; il est clair que si g est le nombre impair immédiatement au-dessous de p, et qu'on fasse—*= Ah, les formes réduites (2, g,— 2⁶h),(— 2, S, 23) sont proprement équivalentes, et partant, l'une doit être comprise dans la période de l'autre: de là, par des raisonnemens absolument semblables aux précédens, on conclut que dans la période de la forme(2, g,— 25)⸗ il se trouvera une forme dont les termes extrèmes sont égaux et de signes contraires, desorte qu'on peut encore tirer de là la décomposition du nombre p en deux quarrés. Mais il est clair que les termes extrèmes seront pairs, et partant, celui du milieu impair; et comme il est coustant qu'un nombre premier ne peut se décomposer que d'une seule manière en deux quarrés; la forme trouvée par cette dernière méthode sera(,£ A,— B), ou(— B, A, B). Ainsi, pour Pexemple précédent, où p= 235, on a
(2, 15,— 4),(— 4, 15, 16),(16, 3,— 149,(— 14, 11, 8),(8, 13,— 8), et 233= 169+ 64, comme plus haut.
—
——
266. Jusqu'à présent nous avons restreint nos recherches aux fonctions du second degré qui ne renferment que deux indéter- minées, et il n'a pas été nécessaire de les distinguer par une dé- nomination particulière; mais il est clair que ce sujet n'est qu'une section très-particulière des fonctions algébriques rationnelles, entieres et homogèenes, qui renfermeni plusisurs inconnués. Ces fonctions peuvent se distribuer en formes du premier, du deuxième, du troisième, etc. degré; et quant au nombre d'indéterminées, nous les distinguerons commodément en formes binaires, trinaires, quaternaires, eto. Ainsi, ce que nous avons appelé forme jusqu'à présent, prendra dorénavant le nom de forme binairé du second degré, et les fonctions telles que
Aæ †‿ο 2eer †‿ O † 2 D+ 2 Eyz He¹;
A, B, C, D, etc. étant des nombres entiers, s'appelleront formes trinatres du second degré, et ainsi de suite. Nous avions presque consacré la présente section aux formes binaires du second degré; mais comme il nous reste à faire connaitre quelques-unes de leurs
plus

† ui yj kenent. edlätena es dühdit raleuts t Lanre. d mlbelten, -I), Ug Let de Fgles Wpositiond mles exträcbe comme l t zer que de eette dernite
Aiusi„pl-
(§ 3 ₰
cherches ant jeux indéter, r par mne t r'est oMme ratiomnelle, wonnues.(Cä6 du deumim, détermirtes res, trinuuns forne jwag iie duserol
——

. R 1. 2=(a.
j 5)
37„ , 7, 9 G* C
airbe 4662 3
7 rs1 64 ecerus h A
1 à* N 4 2 en, 24) Sas h2 Dĩh= ees eer
4A
nrronor Wfens teloppt Kforms 1. 36 iie pan. arons!
nien dikreute hnäme. ams d. kwam auit mwuibe in pa Mlnt 7
nld rp.
R le 9 lüteru 8 3

ARITHMETIOUES. 05 plus belles propriétés, qui se déduisent naturellement de la théorie des formes trinaires, nous insérons ici une courte digression sur ces dernières, et nous exposerons des premiers elémens de cette théorie, ce qui sera nécessaire pour compléter celle des formes
binaires, pensant satisfaire davantage les Géomètres, que si nous les supprimions, ou si nous les déduisions de méthodes moins
directes. Au reste, nous réservons pour une autre occasion l'examen plus exact de cet important sujet, tant parceque sa fertilité excé-
derait de beaucoup les bornes de cet ouvrage, que dans l'espoir
de pouvoir lui donner par la suite plus de développemens. Mais
nous écartons absolument les formes quaternaires, quinaires, etc.
du second degré et celles des degrés plus élevés, et il suffira d'avoir
recommandé ce champ vaste à l'attention des géomètres, où ils
pourront trouver un très-beau sujet d'exercer leurs forces, et les
moyens de donner à l'Arithmétique transcendante de très-beaux
développemens. Nous pourrons ainsi nous contenter de distinguer les formes en binaires et ternaires. W
267. Il sera avantageux, pour l'intelligence, d'établir un ordre fixe parmi les indéterminées des formes trinaires, comme nous l'avons fait pour les formes binaires, de manière à distinguer la première, la seconde et la troisième. Quant à la disposition des différentes parties de la forme, nous suivrons constamment aussi le même ordre, en plaçant le premier le terme qui renferme le quarré de la première inconnue, et ensuite ceux qui renferment le quarré de la seconde, le quarréde la troisième, le double produit de la seconde par la troisième, le double produit de la première par la troisième, et enfin le double produit de la pre- mière par la deuxième. Mais, comme nous abrégerons en ne dé- notant pas toujours les indéterminées par des lettres particulières, nous représenterons la forme † 2
aæ aν+‿ a+ 2bƷ+ 25 ‿‿ 25b' Ʒ⅞᷑⅞
? a*
par le symbole 3 89 3), quand nous n'aurons pas égard aux 9 2
indéterminées.
En posant 5*— d= A, bL*— aa= ℳ,
25— 9,5= B,
5²— a9a—= ℳ, 2½/—— bb,= B'“, a⁵νν— b5= B', il résulte une autre
2⁴
₰
„
“ C.
—
—
—
v“
——— ͤ1—
— —

306 RECHERCHES I 1
4 ℳ“, Aæ„1 6 2„ forme F= 7 2.) que nous appellerons adjointe de la
8 4 8. forme f. Ces relations donnent aussi les suivantes, en représen- 1 bn bre 29 tant par D le nombre. 4 9! 4*9 un A 7 4/. 7 9„*. D= Aſt=, t, Ahet! 2La Bek Al4.= Ad dl= a9 62= 3 f welar ſa o 1 1, Tr=aD, Ba— AA“= D, B“— AA= 0, n t, 2.=A5=, AB= BB= 5D, B— B'= b0; k1G 2 b D.„„ lels ꝗ J——. 6 5 ¶. ¶ ¶ 2 8 1 ¹ ve,.„1 or 2 7 est adjoin 65, en 4 d'où il suit ge la forme(bD. lD, bD adjointe à la forme F. g, 4=⸗ℳ 4 22 Nous appellerons determinant de la forme ſ, le nombre D de la— ·= nature duquel dépendent principalement les propriétés des formes ſ 38 2.2 2 2 Ue) hr K 4* ternaires. De cette maniere, le déterminant de la forme F est D“, w. —. mou égal au quarré du déterminant de la forme à laquelle elle 1 e e, est acdjointe. 4 uß ℳ⅝ 7[¶. 29 13 9 eons. e KAinsi, par exemple, la forme ternaire( 97 3 a pour ad- o— 68,— 260,— 181 1. mart. r e jointe 4) et elles ont toutes deux pour détermi- 7. I , ſn 219; 277 1, 13— a 77 99— — nant, 1.(tααα̈. ——. eles c. — 2* Nous excluons de nos Recherches les formes ternaires dont le Vns 44½„ M... 1 2 4–2Ttan eterminant est o, que nous traiterons plus en détail dans une 2* 6 0 2 Tkals: (nu‿* autre occasion, et qui ne sont ternaires qu'en apparence, se ré- 1 . 1 2—3 lel duisant, comme on le verra, à des formes binaires. 8 .. 1— 268. Si une forme ternaire f, dont les indéterminées sont, 8 b ,—
„, a*y, et le déterminant D, se change en une forme ternaire, dont le déterwinant est E, par la substitution Vos n.
4 4 14 4 7 dch e= ay,&Xꝓ,, w=ay-. y, A= a- y, pal „. 2 oà les coefficiens a,,), a¹, etc. sont supposés des nombres entiers, 1 nous dirons, pour abréger, que la forme füse change en g par 5— la substitution 44 a, G, 7; d,, 7; 2, 9,)„.⁊ éͥa8; dchan dhan
et que renferme g, ou que g est contenu dans f. De cette sup- position dérivent six équations pour les six coefficiens de g, qu'il est inutile de transcrire ici, et d'où l'on déduit facilement les w.. conclusions suivantes: b 4 85

5 z ARITHMETIOUES. 507 1 10. En désignant, pour abréger, par k le nombre 37 en p„„„ 1„ r„ 9 4 1„ 5 ſbezen. a, B„. vνο-„Sa—= Hᷣ— Za,= A0 2 277 3 9 de on trouve, réduction faite, E= k⸗H; d'ouù il suit que D doĩt*⁸ 7„9 2 12„ ⸗ 2 2 5 /ℳ*-„ 4 4 diviser E et que le quotient doit être un. quarré. L'on voit ainsi α,⁹ν 9) n que le nombre k joue ici le méême rôle que le nombre ad— o⸗ 89 pour les formes binaires, d'où nous Pourrions présumer que le signe de k établit aussi une différence essentielle entre les transforma- Ankrm b tions propres et impropres. Mais en examinant la chose de plus 3 4 9 2*—. près, il est clair que F se change aussi en 9 par la substitution hre D e 7. „ 7 4 9. p.„. 82 8g des foruxs— ⅞,—,— 7;—&,— 6 2— 4—„— 6„—7* me Fest, et que K devient alors—, et que parconséquent cette substi- —... laguell ele tution serait différente, et que toute forme ternaire en renferme- rait une autre tant proprement qu'improprement. Ainsi nous ne Hruur— ferons pas nsage de cette distinction, qui devient inutile pour 9 Tonr a- les formes ternaires. b vour dcterwi- 2⁰. En désignant par F et G les formes adjointes aux formes y, P. les coefficiens de F se déterminent par les coefficiens de f. et les coefficiens de G par ceux de g, qui se connaissent eux- airs don mémes par les équations que fournit la substitution S. Or la com- 1 dil an 5 paraison des coefficiens de Fet G prouve sans peine que F ren- weace, de ferme Get se change en elle par la substitution ,—ßf g*,„ 2— 2', A/6— 2,; 2 1 8), N a—), 2— 26, inces zont, 6„—By, Pa. ha, aee............... G). 3 . . 5..„ 2 e tarals Nous n'inscrivons pas ici le calcul, qui n'est sujet à aucunes ; difficultés. f)) 3. La forme g, par la substitution: 3 nbres erlles 62— 3, 6- G“, gy—Sy; Næ— y'A, p—„ν,„A—)a; ge eng A ½— a*, a¹s— a, ag— a 8...............('), 2; se change évidemment en la méme forme que celle en laquelle 69), se change) par la substitution De le k, o, o; o, K, o; o, o, K, s de g, ll c'est-à-dire en celle qu'on obtient en multipliant tous les coeffi- zcilecpelt E ciens de la forme f par †. Nous désignerons cette forme par f.

308 RHRECHERCHES 4'. On prouve absolument de la mème manière, que la forme G
se change, par la substitution + 22 1
., a, 2˙3 8, 6 6*; 7⸗ /*"„„„„(9
en la forme en laquelle se change F, en multipliant les différens
doeflficiens par K'; nous désignerons cette forme par F.
Nous dirons que la zubstitution& nait, par transposition, de la substitution; alors il est évident que la substitution&
résulte de la transposition de la substitution Sν, de mème et
naissent de leur transposition réciproque. On peut appeler la zubstitution& substitution adjointe à, d'ou la substitution 8* sera adjointe à la substitution Su.
269. S'il arrive, non-seulement que la forme f renferme la forme J, mais encore que la forme g renferme la forme f, ces deux formes seront dites équivalentes, et dans ce cas on voit que D et E devant se diviser mutuellement, on a nécessairement D= E; et réciproquement si une forme en renferme une autre g de mèême déterminant, ces deux formes seront équivalentes; en eflet on aura k=-*. 1, et partant la forme en laquelle se change g par la substitution S', sera identique avec f, et par- conséquent f sera contenue dans g. Or il est clair que dans ce cas les formes F et G adjointes aux formes f et g seront aussi équivalentes, et que la deuxième se change en la première par la substitution G. Enfin, si l'on suppose que les formes F, Gsoient équivalentes, et que la première se change en la deuxième par la-
substitution T, les formes et g seront aussi équivalentes, et f
se changera en g par la substitution adjointe à T, et g en par la substitution qui nait de la transposition de la substitution ad- jointe à T. Car par ces deux substitutions respectives, la forme adjointe à F se change en la forme adjointe à G, et la forme G en cette même première forme; mais ces deux formes naissent de f et g, en multipliant chacun de leurs coefficiens par D; d'ou Pon voit sans peine que par les mêmes substitutions se change en g et g en/ respectivement.
270. Si la forme ternaire f renferme la forme ternaire f et oelle-ci la forme †, la forme renfermera aussi» Car on voit

2 une autre 3 iralentes, à

eb umeg 7. 2 ee Irc— ) 2 2 ‿‿ Jfa ph ut 6 ge fh E les ditte b
. 4 4 E n Angporiio, 2. 4 2 4 e
ℳ 2— eee S t e, udstitation ran 2 rf;.„, fo 32 — ut èppeler) 2— — 7.— Se, ,e A. 2., 7 Ksinia e Ea,. 2er e
5 e 2
S, Se A 4
renferme k 7 4
d ou voit Ih—
. 2 ,. IBer fo G Lcessaitement Wba⸗— V v uee
—
— Wz 3
naze 2. 2 4. 2—— f
2 une aufee e 27 27, 2— ,ee e-h, er ene en. anl laquelee— c 1 1„, eeee, de n, que dim ce* 2 da G. Ae. O
zeront aubi 7 4,— K. ſA.h
emitre pax-a auee,
e, e r h... 5P, Giet ³e L Fr Mn
8. 7 R A, Qu‿ 7 6* 2,; fA. 2 mitme ſä yt. 4p 0 2 22 Gr.—— ee E alentes, df 4 1
h et g en ſt 22 2
bstitniona. res, la ff et l bmb nnes müiüen 3 par Dh dd s fs chaogt
4.₰ꝗ;, ru, 21
ft ernute. (Cr

1 eeee„ef;
eree Beu-ᷣ—‿ ze 2 e e heen. e e. 8—
A 2 A, e e She ,e T 7z/, e, nlnh fp“= 5 Ann e=ae, aeenedsh?,= 4 2 ,f, 2 ‿en 7 A.A ff tpch=s,
4. A‿ H eo
Lun
5 4 2 np 4 e 2= A 7 7 AM —=ln, een nee e Teet 2 — ₰ n f S 271 Ar 4, n—
6—— 1 2 4 8 4 4. 1 4 8 8 84 3 4 3. 4 4 —. — 8„ A C/. K 4 e — — — 4 ** 4 8 5 1 4 45 2 ⸗ I1 — 3 4 1 8 8„ 1 7„* † 9 2 .
ae, un en u? 3 hene
Ts uui. upport a Ele 81 5 truinab Elles, a krmirem Mom 2 tujouras fiucipab rrpoit
üüll 1
dull 4 nt dless teugle, nietnies mtre dous le be
p
ülines

8——— 3 4——„„ 2
A—.—. 3
— e he— 4—
1““————
ARITHMETIOUES. 309 facilement que si f se change en † par la substitution d, 3,„; α,,;*A*,, 7„ et f en]'“, par la substitution T.,; 2*, 63 d e*,* Fse changera en † par la transformation a£‿‿„9, ε+‿+.„, a+ 6+‿“; 2‿ᷓ+ 8˙4+„“˙, aε+‿ 9˙⁸+„*˙, a+— 8˙‿£‿2νη, a‿‿⁷σ‿‿⁵, a g'+ p*“, a+‿,“; ainsi, dans le cas où fest équivalente à f et f à Ff', la forme f
sera aussi équivalente à †. Au reste, on voit aisément comment ces théorèmes s'étendraient à un plus grand nombre de formes.
271. II suit évidemment de là que toutes les formes ternaires, ainsi que les formes binaires, peuvent se distribuer en classes, en rapportant à la même classe les formes équivalentes, et celles qui ne le sont pas, à des classes différentes. Ainsi les formes de dé- terminant différent appartiendront certainement à des classes diffé- rentes, et partant il y aura un nombre infini de classes de formes ternaires; mais les formes ternaires de mèême déterminant donnent un nombre de classes tantôt plus grand, tantòôt plus petit, mais toujours fini, ce qui peut être considéré comme une. propriété Principale de ces formes. Avant de traiter avec plus de détail cette proposition très-importante, nous expliquerons une différence essen- tielle qui a lieu entre les formes ternaires.
Quelques formes ternaires sont telles, qu'on peut représenter par elles, sans distinction des nombres positifs et négatifs, par exemple, la forme+‿☛☚νν— z, et nous les nommerons formes indéſinies. Au contraire, il en existe d'autres par lesquelles on ne peut représenter de nombres négatifs, comme la forme æ‿ά‿+‿.ρν, et nous les nommerons formes positiuzes; enfin, par d'autres, on ne peut représenter que des nombres négatifs, comme la forme —x**—)— 2", nous les nommerons formes ncgatiues. Les formes positives et négatives s'appelleront formes doinies. Nous allons donner les caractères auxquels on peut reconnaitre à laquelle de ces espèces appartient une forme donnée.

———
310 RECHERCHES
Si'on multiplie par 2 la forme i X u
f= aa+ gκκτ+‿mχσησνχ C‿ Ubaαςι‿ 25 σασ ◻‿ 2 b' l de déterminant D, et que l'on désigne, comme au n' 268, par(4 p A, ℳ, A, B, B⸗,' les coefficiens de la forme adjointe à /, K l li on trouve mſo g̃= af=(aæ+‿ ba— ba⁵— A 2 Ba-- A'*; w iu multipliant ensuite par ℳ, il vient Den e ns n n= faf= Sr A be, b,J,Ht S. Pe ee 4 Ao== A a 6 X GAX 2α)—& 2447 ſen 'où il suit que Ao/ est négatif si aD et ℳ le sont, et par- ne 9 2 4 5 1 4 conséquent que le signe de est nécessairement opposé à celui 3 CMth de'a, c'est-à-dire que est de même signe que a ou de signe op- De29 posé à D. Ainsi la forme ſsera définie dans ce cas-là, et sera m menn „„ F 3„ 07, 2 1 3„ positive ou négative, suivant que a est positif ou négatif, ou urgs suivant que D est négatif ou positif. dugis Mais si aD et A sont positifs, ou que l'un des deux le soit, 10 G aueun n'étant= o, on voit facilement qu'en déterminant con- zns po k venablement les valeurs des indéterminées, h pourra être positif er les In 7 42 8 ou négatif, et que partant 85 pourra obtenir des valeurs, tant de ter e méme signe que de signe oppose a h; donc f sera une forme niins ab 2 8— indéfinie. nant nN. Pour le cas o A= o, sans qu'on ait aussi a= o, on aura aite An . I a †. af(aæ †‿ b'a+‿ b') e(A'x— 2 B*), kr en donnant à une valeur arbitraire, qui ce endant ne soit pas dune r 2. P . 7. duuce = o, et prenant a tel que le signe de—5— xν soit le mème 8 3 1 8 .— n) les u. que celui de Ba', ce qui est possible, car B n'est pas=o, e mit, puisqu'on aurait B— TA= aD=, et partant D= o; alors anur OℳOa— 24*) sera une uantité positive, et l'on voit aisément 8 4 P 48, r que æ pourra être Jéterminé de manière que ab obtienne une va- r Jous leur négative; il est même évident que ces valeurs peuvent etre da don
prises, 8i bon veut, de manieère qu'elles soient toutes entières. Enfin, et ayant des valeurs quelconques, on peut prendre æ gue assez grand pour que devienne positif. Donc, dans ce cas, la d forme est indéfinie.

Vr-
1- 30, dal qjointe; 4
— 4 )
1 6 4 „1ns ont, et par Spos à ceui ade zigre 3 gla, et xn
1 négaüik, u
deus le gyt, rminant col- ra èire pwüit leurs, tantd a une furm
⸗0, on 4
2),
ot ne solt- oit le Mi.
St pas=, woit abemel ennè We ſ3 pevfedt êr ltes ertiels
eut penite:
s ce c5,
ARITHMETIOUEsS.
Enfin, si a= o, on a — aηρ‿ ½ba‿ eα‿‿ ‿απ'lν‿— La),
et en prenant, ᷣ à volonté, mais tels que b'᷑ν‿‿ë⁷ſάσ ne soit .4 2. 2 0* 1 pas zéro, il est évident que l'on peut déterminer de manière
que ¹ obtienne des valeurs positives et négatives; donc ſ est une forme indéfinie.
De méme que nous avons déterminé l'espèce de la forme f, d'après les nombres aD et ℳ, nous aurions pu y parvenir au moyen des nombres aD et Ahè, desorte que la forme f sera dé- finie si aD et A“ sont négatifs, et indéfinie dans tous les autres cas. On peut de mème considérer les nombres et, ou 2 et ℳ', ou aD et A, ou enfin aD et A. II suit de là que pour une forme définie les six nombres A„MA, Al'“, aD, a0, sont négatifs; pour une forme positive, a, a, a' seront positifs et D négatif, et pour une forme négative, a, a, a' seront négatifs et D positif; ainsi, toutes les formes ternaires de déterminant donné positif peuvent se distribuer en négatives et en indéfinies, toutes les formes d'un déterminant donné négatif peuvent se dis- tribuer en positives et en indéfinies. Enfin, il n-* a pas de formes
Positives de déterminant positif, ni de formes négatives de déter-
minant négatif. On voit facilement, d'après cela, que la forme adjointe à une forme définie est définie et mème négatibe, et que la forme adjointe à une forme indéfinie est indefinie.
Puisque tous les nombres représentables par une forme ternaire donnée le sont également par toutes les formes qui lui sont équiva- lentes, les formes ternaires comprises dans une même classe seront toutes positives, ou toutes négatives, ou toutes indéfinies. Ainsi ces dénominations pourront éêtre transportées aux classes elles-mêmes.
272. Nous allons démontrer que les formes ternaires d'un déter- minant donné peuvent se distribuer en un nombre fini de classes, et nous nous y prendrons comme pour les formes binaires, c'est- à-dire, que nous ferons voir d'abord comment une forme ternaire donnée peut être ramenée à une forme ternaire plus simple, et ensuite que le nombre des formes les plus simples auxquelles on Parvient par ces réductions est toujours fini, quel que soit le déter-
————

312 RECHERCHES 76 84 minant. Supposons généralement que la forme= 3 27 9) de . 1, m, m', m determinant D, se change en la forme équivalente 9—*„e e
par la substitution a, g,)„; 2, 95„; a, 8„o(S)
il nous restera à déterminer a,,), etc. de manière que ę soit plus 4, A, 1 6= I, A, Ar,
7 5 4 5 9— N, N, NI
adjointes à fetg, la forme F se changera en G par la substitution
adjointe à S, et G en F par la substitution qui nait de la trans-
position de S. Nous ferons le nombre
2O+̃ A" A'Sy y— a7=——)= 1= k. Cela posé, observons: b
simple que. Soient F=)les formes
1. Que si l'on fait= Oo,= o, ꝗ= o, g„˙= 0,=, on a
in= aa*+ 20⁴μσ ⁊–‿, m'= 2=+ 25 ð+ A, m= a*. = bg+BG;= ba ‿FA, n= aaß.‿ Lb'(A ‿+‿A,) A,6;
on aura en outre ½—= 1. II est évident par là, que la forme binaire(a, Uy, a) de déterminant se change par la sub- stitution a, g,,& en la forme binaire(m, n', m.), et qu'elle lui est mème équivalente, puisque—= X£I; on aura donc ₰ℳ= M“, ce qu'on peut aussi vérifier sans peine directement. Si donc la forme(a, F“, a*) n'est pas déjà la forme la plus simple de sa classe, on pourra déterminer à,,*, 6, de manieère que (m, n', m'¹) soit une forme plus simple; et par la théorie des formes binaires, on sait que cette réduction peut se faire de manière que m ne soit pas plus grand que V— A'si ℳ est négatif, ou que A si A“ est positif, ou enfin de manière que m= 0 si M= o. Desorte que dans tous les cas, la valeur absolue de m peut être abaissée ou au moins au-dessous jusqu'à„2‿ ‿. Ainsi la forme/ peut se ramener à une autre, dans laquelle, s'il y a lieu, le pre- mier coefficientsoit plus petit, et dont la forme adjointe ait le même troisibme coefficient que la forme F adjointe à.. C'est en cela
que consiste la première réduction. 2˙
—— —
—— —
——
———
——
— ———— en nG
——
—
———————
———
A

hn ₰ 2. e⸗ Duuν 2u d,
2
—

2 e e eeen dun ce 2 A. Ar A a, e n e,= e=2= Sir e
.-— e,e. ug E MCa, 2 4 E.
— 2— 1 A eh Haud e 2 Sche, 7 F geld
2.,, uhe 2u h 2 ,—ℳᷣ Tk Sh;
—„„„„ w21= Z. 71 W.. Z& R eedae, Mt d=, X eh„.
deoteit.
421 A—. Gh e, =IRree, Kife ̃un h f vitsneeh Neeee an ncer h W c. b r‿dh, etre dekt
7— Laap A G —— 2 ſe„ H. Deme ce 4 9. Coc),= 7 af— E ,,— 2⸗ 4. 8 . Aæ 2., Lee o D e ur ur e h a e, eee E 5— 7 2 Ws „ I ie
A. 63 5/ 22 j/ La K, d cela, A„, 0.
„ 87„4* a aun.-,„ 19,
D. AMre. A dag, TC 7 1 7„ 7 u V

2*. Mais si l'on fait a= 1,= o, 7=o,=o, o, on aura K= 87%— 6%= r, et la substitution adjointe à& de- viendra
E1,o,o; o, 7,—„˙; 9,—„⸗ 6%, par laquelle F se change en G. On a ainsi m= a, n= V Ab'y, n.= P.,S', m= aAJ g⸗+ 258G78 a¹, ne=æy: abyy a, n=Ag*&5(&S) A,G); A A—aByA-y*, N== A'g'yY A. B),S)— A'G, AI== A8*— 259G ℳ 478,,
d'ou il suit que la forme binaire(A', B, A“) dont le déterminant est Da, se change par la substitution,—,—„˙,“, en la forme(M“, N, M“) de déterminant Dm; et à cause de'équation 6%— 67=k 1, ou de Da= Dm, ces deux formes sont équi- valentes. Ainsi, à moins que la forme(A-B, D, A“) ne soit déjà la plus simple de sa classe, les coefficiens,„,„*,„“ pourront être déterminés de manière que(M“, V, M“) soit plus simple; et méme cette réduction peut se faire de manière que M“, sans égard au signe, ne soit pas plus grand que e᷑ D; ensorte que l'on réduit la forme à une autre qui a le mème premier coefficient, mais dans la forme adjointe de laquelle le troisième coefficient est moindre, s'il y a lieu, que celui de la forme F adjointe à ſ. C'est en cela que consiste la seconde réduction.
3°. Si donc ſ est une forme ternaire à laquelle aucune de ces deux réductions ne soit applicable, c'est-à-dire, qui ne puisse par aucune se changer en une plus simple, on aura alors nécessaire- ment at= ou= 3 Ai, et A Zou= 320, sans avoir égard au signe. Donc at sera= ou= A⸗, et partant, a= ou= GaD,
3 3 et a= ou=& D;, donc a=ou= vD, et A ou= D'’,
et parconséquent A= ou= 4 v Da. Ainsi, quand A et a surpassent ces limites, nécessairement l'une ou l'autre des réductions précé- dentes peut èêtre appliquée à la forme f. Au reste, il ne faut pas renverser cette conclusion, puisqu'il arrive souvent qu'une forme ternaire dont le premier et le troisième coefficient sont au-dessous de ces limites, peut néanmoins être rendue plus simple par l'une ou l'autre de ces réductions.— r
ARITHMETIOUES. 315
a 12 4.
☛‿
——— ͦ ⅛⅓— ä“ ——— ——— —— 8 3 3 d—
——
7 I2- 0) a L& aAAd

314 RECHERCHES
4o. Si donc on applique alternativement la première et la se- conde réduction à une forme donnée de déterminant D, c'est-à- dire qu'on lui applique la première ou la seconde, à celle qui en résulte la seconde ou la première, à celle qui en résulte de nou- veau la première ou la seconde, etc., il est évident qu'on arrivera nécessairement à une forme à laquelle on ne pourra plus appliquer ni„une ni l'autre, sans quoi on aurait deux suites de nombres entiers continuellement décroissans. Nous sommes donc parvenus à ce théorème important: Toutée forme ternaire de déterminant D, peut étre réduite à une autre qquisalente dont le premier coef-
3 jicient ne soit pas plus grand que„ VD, et telle que le troisieme
coefficient de Ia formé adjointe ne soit pas plus grand que 3 D⸗, sans avoir ẽgard au signe, d moins que la forme proposce ne jouisse déjd de ces deua proprictds.
Au reste, au lieu du premier coefficient de la forme ſ, et du troisième de la forme adjointe, nous aurions pu traiter absolument de la même manieère, le premier coefficient de/ et le second de la forme adjointe, ou le second de fet le premier ou le troisième de la forme adjointe, ou le troisième deet le premier ou le second
de la forme adjointe, et nous serions arrivés de mème à notre but;
mais il vaut mieux s'en tenir à une méthode unique, afin de pou- voir ramener plus facilement les opérations à un algorithme fixe. Nous observons enfin que les deux coefficiens que nous avons appris à abaisser au-dessous de limites fixes, peuvent avoir encore des limites moindres, si l'on distingue les formes finies des formes indé- finies. Mais cela n'est pas nécessaire pour ce que nous nous proposons.
273. Voici quelques exemples qui éclairciront ce qui prêcède.
19, 21, 50— 825,— 166,— 398 Exemple I. Soit= 25 24,) on aura F=. 29)
. 15,28, 1 257, 573,— 370 et D=— 1. Comme(19, 1, 21) est une forme binaire réduite qui wa pas de forme équivalente dont le premier terme soit moindre que 19, la première réduction n'est pas applicable ici; mais la forme binaire(A₰A", B,)=(— 398, 257,— 166) se change en (ſ— 2, 1,— 10) qui lui est équivalente, par la substitution 2, 7⸗ 3, 11. Ainsi, en faisant 3= 2,=— 7, 5=— 3,= 11, oOn
aura pour la forme, la substitution

nc ane erminunl, remie T.
le hoigieme
b 4 due 1 d. rroposee e
ne f, eta absolument e Second de le troisieme ou lé second notre bot, afin de por- rithme fix. rons appts encole des ormes indi Droposoli préede - 65- 55,-*9 réduite qul
it moindte b
i; mul change di
Ition 2„ 4— 11, 0l
ARITHMETIOVUES. 1, 0, 0; 0, 2,— 73 0,— 3, 11,
A 2 3 83.— 19., 354, 4769 par laquelle on trouve qu'elle se change en.†ά‿— 1229, Zor,— g2). Le troisième coefficient de la forme adjointe à est— 2, et
Partant, celle-ci doit être regardée comme plus simple que J.
On peut appliquer à la forme ſ la première réduction. La forme binaire(19,— 82, 354) se changeant en(1, o, 2) par la transformation 15, 4, 3, 1, on aura pour la forme F la transfor- mation
13, 4, 0; 3, 1, o; o, o, 1,.
par laquelle elle se change en la forme 4* 4759) f.
, 16, 0 On peut appliquer de nouveau la seconde réduction à la forme /*
qui a pour adjointe— 93, 15⸗ Se). En effet, la forme bi-
naire(— 2,— 95,— 4513) se change par la substitution 47, 1, — 1,Oo en(— 1, 1,— 2), d'où f' se change par la substitution
1, 0, 0; o, 47,— 1; o, 1, o,
en la forme †—e( 1, 257, 6) Le premier coefficient de cette forme 1, O0, 16
ne peut plus être réduit par la première réduction, ni le troisime de la forme adjointe par la seconde.
Exemple II. Soit(2. 26, 4) qui a pour adjointe la forme
7, 0, 4 (1 3 126 75 244„et 2 pour déterminant. On trouve successive- 70,— 28, 8
ment par l'application alternative des deux réductions,
. V par lesquelles 3 se changent e les substitutions les formes g n 10, 2, 2 1, 0, 0; 0,—1, 0; 0, 4,— 1.. f....... ₰— 2 — 1, O,— 4 ⸗ 7.„. 2, 6 2, 2 0,—1, o; 1,— 2, O, 0, O, 1....I.. ⁴= 2, 1.) 2, 2, 2 1, o, o; 0,—1, 0; 0, 2,—. fj.. 1. fr 3—) 2 2 9 4 84— 0, 2, 1, 0, 0; 1, 1, 0; 0,0,. nn-TrnnFv=(— r 5)
2

316 RECHERCHES La forme ſ ne peut être soumise à Pune ni à l'autre des deux réductions.
274 Quand on a une forme ternaire dont le premier coeffi- cient, ainsi que le troisième de la forme adjointe, sont abaissés autant que possible par la méthode précédente, on obtiendra comme il suit une plus grande réduction.
En conservant toujours la notation du n* 172, et posant a= 1, 2= 0, 3=1,= 0,=o,„=n, c'est-à-dire en employant la substitution
6 7.* 1, 8,); 0, 1, 7; 0, O0, 15 on aura
m==a, m= a 20/a⸗, m= a+ꝑ 2b) 25„a* 2 bꝗa²; n=Baν‿ S-,BOꝓ BY)a, n= ba‿‿b,=b aß, et en outre M= 4', N= B— A'y, N= B— A— Nê.
Ainsi, par cette substitution les coefficiens a, A“, qui sont déjà réduits, ne changeront pas; il ne reste plus qu'à diminuer les autres coefficiens en déterminant convenablement les valeurs de 6,),.
Observons d'abord que si l'on a /= o, on doit avoir aussi a= o; car si a n'était pas= o, la première réduction serait encore applicable, puisqu'à toute forme de déterminant= o ré- pond une forme équivalente telle que(o, o, h)(n“ 215), et dont parconséquent le premier terme=. De la mème manière, si
a= o, on aura A= o, ainsi les deux nombres a et A seront
tous deux nuls, ou aucun des deux ne le sera.
Dans le second cas, il est évident que peuvent être .» 7⸗
déterminés de manière que n, N, N' ne soient pas plus grands
que la, 1A'", ℳν respectivement. Ainsi dans le premier exemple
1, 257,
0 14 8½ T 2 0 du ne précédent, la dernière forme 4 5 35), qui a pour ad- 5 2
— 513,— 2,—1
joint Jolnte 1,— 16, 32
‚se change, par la substitution
3
1, 1, 1. 22—1,—1 en la forme„= 3.), qui a pour adjointe( 6. 6.)
0, 0, 0

e des deun
ont abaige odtiet
empuha
1 D Pi
7. 12 146 -M.
†, Du ant u' diminne t les paleus
Woir audl uction gerii nant= l 1s), etcw manière, ü et Aetont
peurent itt os gan3 wier elelnh b
i a poul 1
Se g. e12 4½,νε
——
— K, h o
ve ve de
Uœuf= Ie E g, aA, e = ar ArI 6— — ot,. r Cpityue„ rᷣu,
x‿‿ àνα — T/“
7. 4 8, ueaa t= 4—
‿2 u. A e 2 ue eirs v
o/ LArs K eut r,. gne
i. ger Ae 2— 2 OQ-- w 9— Aa 7 6 7— 8 2 a e B, h Bene A= B, 4So-= Ad V S=SO, T a EE e, 22,9= A.— 7, /= 7 sr e a e K 70 he eor e, hue e e u, A , 3, 1,——6 m, Aer VA V 24=/ AKr 2— ℳ r R⸗‿e, n 2h Se, P,
g=0, d⸗ auene ⸗
K, e(a, 6/ Q₰=( 2 2. 2-², 2 t-AT 3,2 . ehhhe e 3 e. n 7 T lt ere t= 2,= 6
4 L are, he S85 ar E 4 2 Ea Sere 4, 65 4 hn Aaulo⸗ 3
e. T S
—
A Z
o ee. E Dee f
8 8— 1* “ 1. 4 8 4 1 3 3 4 1 4 1
2 2.————

— ne, 2— b 7. Xe —— e er 2 e, F2, e A De, eh. — e 5XE 2, tti, eene L 4 54. 72—„— ur-dh. A A I2.. cſh u. Snr a, Lalnn 2 Aa,, et ̃ 4 Fe= a , S1, 2 Alae—, 22 s= O⁵— 2— h I. A 2p 2 he,— 9— ₰/ 8 8— „ 2eren— z ets . 3
A
- G , h
2 ſe un 4 L PAe 2e e,
—— 2A aℳ; 3⸗ B, e larh ein, 2 A N 2e fùäv EA,* Lr rrAM, Se ern, K 3e, 2e. 2, 7ix aeb= G„,2.— 4A 9 Ke, 2ꝗ A „ 8 4 ₰ 2 n ₰ 7‿ꝙ95, 5— 42‿4 en e K 2 D= Haaldkl9 2 e 67*—— 7.—. 7 Sal= 4 2 —, er4
Iient⸗
Losi, b
nelcone G tr taus duwe 1 Lüi, dlchd

47 nn ARITHMETIOVES. 3„ all, Dans le premier cas, où a= A/= o, et partant F'= o, on aura A 2r„ 4 1„ 2 7, 2„% Lre, dr —. 3 3 3 2 αᷣα‿αα ce qui donne D= a⁵bν e m'n“. Or on voit facilement que l'on Th, 2, 2 peut prendre et de manière que z soit le résidu minimum 6 92 3. „ absolu de 5, suivant le plus grand diviseur commun des nombres 9, 7 A c 2, U, c'est-à-dire, que n ne soit pas plus grand que la moitié de 2 .* ce commun diviseur 3 abstraction faite du signe, et partant n= o,=a, tA3, 7 toutes les fois que et sont premiers entre eux; ety étant Jr6 2 .. 3 1. 7 5 7— 72 6 „ℳ, ainsi déterminés„on pourra prendre tel que m ne soit pas D,=) T2ſabw 6 f. à moins que l'on n'eüt F= o; mais alors on aurait D= o, cas ,— αᷣeeſ‿ 7*9„ que nous avons exclu. Ainsi, dans le second exemple, on a pour— 2 4../ la dernière forme n=— 2—+ 2), et en faisant f.o,„=r, 6,8 v 9 A Ve il vient n= o, partant m= 2— 2 et m'= o en faisant 5= 1. cG 6. 4 1' 5 6— 2 ve As an Kinsi, par la substitution 2e.3z, y. 7 1,—2, 1;, o, 1, o, o, o, I heeeea A4 9t 2 7 2* 4 2 2 2* 2 6; ,A 29 ſ b 6 2, 0= f b e ‿ eſe cette forme se change en(e—, 2)/. 5 553 7 7„ 24,... 0 2 hrd,en— 275. Si l'on a une suite de formes ternaires équivalentes, ſ, 7 2 4.0 1 f', f“, etc., et les transformations de chacune d'elles en la sui-„r, 2r 6zn 3 2r vante, des transformations de en et de f en †“, on déduira 9,2,1") A(n“ 270) celle de f en J de cette dernière et de la transfor-(%,„ 2/i pe mation de f' en †“, on déduira celle de f en /, etc. Ainsi, 2,2,) . 1 de cette manière on aura la transformation de f en une forme 6 4,ofrruer 277* quelconque de cette suite; et comme(nos 268, 269) on déduit, El deus 4 4 de la transformation d'une forme quelconque ſen une autre g, 4,,2 L 44· 1. la transformation de g en †, on pourra obtenir la transformation αφzcüα d'une forme quelconque de la suite, en la première]. r. pre Ainsi, pour les formes du premier exemple on trouve les substi- Ren tutions b ee, O r. WYe rc 13, 14, o; 6, 2,—7;,— 9,— 3, 11. ene W drr r, 6.. 13, 188,— 4; 6, 87,—2,— 9,— 130, 3.. ⸗ A ⸗ A. A 13,— 20, 16;„— 9, 75— 9, 14,—11 5 2.p A, eh, 1. 4
par lesquelles f se change en. †, f“, fu“, et de la dernière on ne déduit la suivante:

318 R ECHERCHES 1, 4, 43 3, 1;, 5; 3,— 2, 3,
par laquelle fr se change en f. De la méême manidère, pour l'exemple 2 du n'’ précédent, on trouve les substitutions ., 1,— 1, 15— 5, 4,— 10,— 14, 11„..
2⸗— 5,—; 3, 1, 05 2, 4, 1„
10, 26, 2 pfo 2, O „squelles la lorme(„ 2 se C(—„) 4 par lesq 7. 2, 4 change en 9,—, 9,) et
cette dernière en la première respectivement.
276. THEORkME. Le nombre des classes en Lesquelles peubent se distribuer les formes ternaires de déterminant donnòé, est tou- jours fini. b
6,,.
I. Le nombre de toutes les formes(„“„ 9) de déterminant
2 2
donné D, dans lesquelles on a a= o, b= 0, 5 non plus grand que la moitié du plus grand commun diviseur entre a et F, et a“ non plus grand que 5, est nécessairement toujours fini. En effet, puisqu'on a dans ce cas D= ab“, on ne pourra prendre pour b que+1,— 1 et les racines des quarrés qui peuvent di- viser D, s'il y en a d'autres que 1, prises positivement ou néga- tivement, et le nombre de ces valeurs est fini; or, pour chaque valeur de V, celle de a est déterminée, et celles de 5, a* sont
évidemment limitées. 9 4 9 4 0, 2*%, 2⁷ II. Il n'y aura de même qu'un nombre fini de formes(p S,,„ 2 2
3 de déterminant D, dans lesquelles a n'est ni= o ni ½3£ D,
py.— aa= A ni= o, ni½ vD-, 5' non plus grand que, 2/b— Vb'= B et a⁵l— 56b/= B' non plus grands que A'. Car le nombre des combinaisons des valeurs de a, D', A'“, B, B' sera nécessairement fini, et en les supposant déterminés, les autres coefficiens aν, b, U, αν de la forme et les coefficiens A= B=— da“, A= U*— ad, B'= ab/— 55 de la forme adjointe seront déter- minés par les équations
. 59— 4 He—aD
4 — 6„ 4= n—, A
B/2— D 54. B2 5
n 1 uel Messa t
ſie. orsitt d(es d. Tume a agter
e Gétent lues,
nes c
Gernin It ETrent 8 Waniee Nour I

HES
* 2,— 3,
uple 2 da v ni
10,—14, n..
1 4 1,
ze change 36 30 „— arement.
Aasses en lesquella 1 determinan donne, anh
.
74 1 Je, 89 9) de dätenu
4
0,=o, 5 nn Uum n diviseur entte d dht
zairement toujoms hu 40, on ne paunan des quartès qui fene peises positiremmert un rs est fni; or, pom dê ge, et celles de 5,18
1
0
are fini de ſornss ¹
2
1 „ 1* 1
7 1
.4
g'est ni= 0l2
ei
5' non plus gun dhas grands qe; 7⁰
894 uss de d, 4 kus aant détermines,
d 1
5 4,3 Ja.
ARITHMETIOUES. 319 Le== 1E=EB Ba.E=h, A.-B.=BB. Bb.Ba — 5—. 4 9— 5— 4A 3 „ 5— 4 be.—k4 5..5 4— 62— 6a— 57 9
Maintenant, comme toutes ces formes s'obtiennent en choisissant parmi toutes les combinaisons de, 5', ℳ, B, B' celles qui donnent des valeurs entières pour a, a˙, 5, E, leur nombre sera nécessairement fini.
III. Toutes les formes dont nous venons de parler(I et II) constituent un nombre de classes qui sera moindre que celui de ces formes, s'il s'en trouve parmi elles d'équivalentes. Or comme il suit de l'analyse précédente que toute forme ternaire de déterminant D est nécessairement équivalente à l'une de ces formes, les classes qu'elles déterminent renfermeront toutes les formes de déterminant D, c'est-Aà-dire que toutes les formes de déterminant D peuvent se distribuer en un nombre fini de classes.
277. Les règles par lesquelles toutes les formes de I et II pPeuvent se former, suivent naturellement de ce qui a été dit dans l'article précédent; ainsi il suffira d'en donner quelques exemples.
Pour D= 1, les formes(I) produisent les six suivantes, par
. 8 0, 1, 0 0, 1, ᷣ. l'ambiguité des signes, 66 41 9).(0 r. 6); dans les 8 Ee d 9—„„— 5
formes II, a et ℳ ne peuvent avoir d'autres valeurs que+ et — 1, et pour les quatre combinaisons qui en résultent,"', Bet 5 doivent être posés=o, ce qui donne les quatre formes
(2—1, 4)—1, 1, 4) Cn 1,—1(—1 0) 9, 0, O7. 9 0, 9/ KHo, o, o/' o, o, o/ ... 0— 1, O De mème, pour D=— 1, il y a six formes(D..(2 2) ...—. 70,— 1, 1 8 1,— 1,— 1 7— 1, 1,— 1 4* 9)„ Het quatre formes(II).. 18 6, 9)⸗( 6,). ( 1, 9)(—— 1, 9) 0, O0, 0/ 6, 0, 0/ —.. 0, 2, 0 60, 2, Pour D= 2, il y a six formes(1))()
80,— 0,—, 0
et huit formes(II)...— 2). 1. 1, 5),(e. rar),
O, O0, O 6, O, 6 0, 0, 0
N 9y 0, 0/2 Ko, o, O/ 92, 0, 0/ SoOo, 0, 0/ 0, 0o, 0/

320 RECHERCHESBS APu reste, le nombre de classes est dans ces trois cas beaucoup moindre que le nombre des formes. En effet, on s'assure facilement
0, 1, 2) 6— 1, 0O 0, 1, 1 3 rme se change en 1% Que la fo 4 1, 0 8 0,— 1, 8 2 0, 1, 9)⸗ 0, 1,— 1 1, 1,) 1 3 2 2. r (e r.)(e 64 0 par les substitutions 1, O0, 0; O, 1, 05 O05 0,—1. O, O0, 13 0, 1,— 15*, 1, G 0, o, 1; 0o, 1, 1;£ 1,— 1,— I. 1, 0,— 1; 1, 1,— 1; 90,— 1, 1. 1, 1,—1 1,— 1, 1—1, 1, 1 forme() se change en(& 2„( 2.*
La 0, 0, 0 8 0, 0, 0/ 0, O0, O, Par la seule permutation des indéterminées. Ainsi ces dix formes de ... 0, 1, 0— 1,— 1,— 1 déterminant 1 se réduisent aux deux:( 242)„(.. 13)
0, 1, 0 0, Oo, 0/ pour la première, on peut, si l'on veut, prendre la forme
0;2 (8 8 9). Or la première forme étant indéfinie et la seconde dé- „ O,
finie, il s'ensuit que toute forme ternaire indéfinie de détermi- nant 1 équivaut à la forme α+.‿ 2/z, et toute forme définie, à la forme— æ*—)*— 29. b
20. On trouve absolument de la même manière, que toute forme ternaire indéfinie de déterminant— 1 équivaut à la forme —+ 2yz, et toute forme définie, à la forme ᷣ‿☚*+‿2“.
Jo. Pour le déterminant 2, on peut sur-le-champ rejeter des huit formes(II) la seconde, la sixième et la septième, qui pro- viennent de la première par la seule permutation des indétermi- nées; par la même raison, la cinquième, qui nait de la troisième, et la huitième, qui nait de la quatrième. Les trois qui restent avec les six formes(I) déterminent trois classes; en effet,
0 2, 0 0 2, 0.14 2 A) se change en( 7) par la substitution 0,+i, 0 0,— 1, 0 2 1 1, 1,—2 0, 2, 1X. 1, O0, 05 O, 1, 03 O, 0, 135 et la forme(9 0, 9) dn(o 1, 9)⸗
O 2, 1 0, 2,— O 2,m—1 1,—1, 2 4—1,*), G 1. 9).(o—1),(o 0 2), par les substi- tutions respectives 1, o, 1; 1, 2, o; 1, 1141. 1, 0,— 1; 1, 2, 0; 1, 1, 0 1, 1, 0; 1, 2,— 1; 1, 1,—.. 1, O, 0; 1, 2, 1; 1, 1, 1 1, 0, 0; 0, 1, 2 0, 1, 12 Ainsi

la Seconde’.
ie de déteru- orme däüuk,
te, qle bit raut à khom †, ap rejeter emne, qui E. des indtteni- ze la trobinn is qui Ete s; el eh,
utibl.,“
H‿p, 2g- 27 V. 4⸗ æ A /A 9, 7l
„2 T agx 2
W=
—9
2 B B, 4 ℳZ
—
—
e,*ρ 1 H, A⸗
„. 1 2 1 Oe Hr Aℳ 24
——
2z
9= ℳ rS-ts N= Aℳ r a. Ae.
A= S AAe- V,
—
2
=ZA
A== See“ o,e Da 2⸗ V== 92r 29— Dar
A= er =—
A D——Ar

—ͤͤͤ· eh Reee nheeeee— . 1— 7. 2
Ie nis Ddeuue:
Oupe
Vume de
mer
au- b maP uput dlles; beete 12, T terwin uphete dtia
1. J W une
* T-
unde V
4,0
mui

ARITHMETIOUES. 321 Ainsi toute forme ternaire de déterminant 2 est réductible à l'une de ces trois:(6. 2) 3)( 2)( 4—); au lieu de
03 1, 0 9, 0, 0 9, o, O . 32, O, ON. 5 la première on peut prendre la forme( 25 2* Ainsi toute forme 2*
ternaire définie de déterminant 2 equivaudra nécessairement à la troisiéme— νᷣ—*— 22*; toute forme indéfinie à la première ou à la seconde. Elle équivaudra à la première 2+ 2„z, si le
premier, le second et le troisième coefficient sont pairs tous les
trois; car il est clair qu'une telle forme se changera en une forme semblable par une substitution quelconque, et que partant elle ne peut pas être équivalente à la seconde. Enfin elle équivaudra à la seconde+‿ z— 22, si le premier, le second et le troisieme coefficient ne sont pas pairs tous les trois; car il est visible, par une raison semblable, qu'une telle forme ne peut se changer par aucune transformation, en la forme 2ν+‿ο 2yx. b
On pouvait donc prévoir dans les exemples des nos 273, 274, que la.
3 2.— 1 2 50 3 M 4 2. 1 ℳ* 1 forme définie ¹) 28 1) de déterminant— 1, se réduirait à la
forme æꝙ‿ρ̈☛ά⁊2ρνσν et la forme indéfinie( 23„) de déterminant 2 à 274— 2)z, ou, ce qui revient au même, à 2** E„.
278. Par une forme ternaire dont les indéterminées sont æ,, a*˙, on peut représenter des nomöres en donnant des valeurs déter- minées à x,, a, et des Formes binaires par des substitutions de cette espèce: mt nn,= mt †‿ u, 2=mt nu; m, n, m, etc. désignant des nombres déterminés,: et zz les in- déterminées de la forme binaire. Pour représenter d'une manière complète la théorie des formes binaires, il faudrait donner la solution des problèmes suivans. b
1. Trouver toutes les représentations d'un nombre donne par une formeèe ternaire donnec.
e. Trouver toutes leos repreésentations d'une Forme binaire donnée par une forme ternaire donnceé.
32*. Diszinguer si deuæ formes ternaires donndes sont cquiva- lentes ou non, et dans le promier cas, trouwer toutes Ies trans- Formations do'une en l'autrzer.
8s
*
AA

322 RECHERCHES
4*. Distinguer di une fonmée donnée renferme ou non unèe autre forme ternaire gonndçe; at dans le premier eas, trouver toutes les transformations de la première en la secondé.
† Se Nous traiterons plus en détail dans un autre lieu, ces problèmes
U 7 4 9. ee 2 0«ℳ 2 N quelques-uns des cas les plus simples, et qui peuvent éclairer la eu. théorie des formes binaires. Mais nous excluons absolument le
2ℳ. I 1 quatrième problème. n⸗ 279. LEM ME. Etant proposds trois nombres entiers quel- M conques a, a,, a', qui cependant ne soient pas ious= o, Irouber a, ℳ sig autres nombres B, B', B, C, C, G, tels qu'on ait
25ge,, BO B'C= a, B0 BC'= a, BC BC= a.. 4 ‿φν‿μραά ; 3 26† 9. 4 Soit a le plus grand diviseur commun des nombres o,, 4,— ℳ„ dIet les nombres entiers A,, ℳ,“, tels que l'on ait Aa+ A' 4%—&=SA'a= a. Prenons à volonté trois nombres entiers T, T“', T“, avec cette seule condition que les trois nombres PA— TA“, TPA— TA, TA“= TA que nous représenterons par 4 6, b, et leur plus grand commun diviseur par 6, ne soient pas tous=o. Posant alorsa ν—- ab, A a= A, ab— aσà“, il est clair que C, C“, Ou sont entiers. Et si l'on prend des nombres entiers K, K“, K“’ tels que Kbr‿ααeα⁴αXονι⁸‿ g, en po- sant Ka+ Ke+† Kla= ah, et prenant B= ℳ— hA, '= ak— EAℳ, B=aℳ— hA', les valeurs de B, B', B', C, C, C' satisfont aux équations proposées. b Emeffet, on trouve aß+‿ a, B+ a= O, bA DA. BA=o, d'où b+fᷣ 5+† 5=. Or des valeurs de C, O, on tire 2(B'C—= B'CÄ)= ab&— a bB alb abe = a(bB+ LB+TRf 50B”)— B(ae+ aBa B)= au; donc B/O— H'= a; de mèême B'— BC= a, BC BÄ'C= a*.
Nous sommes forcés au reste de supprimer ici Panalyse qui a conduit à cette solution, ainsi que la méthode par laquellet on
déduit toutes les solutions d'une seule.
280. Supposons que la forme binaire al-† 25tu+ Cu—„ dont
1duue 8 Gtenc geht Alrme „, I füe 1 beiern. me tel
dalt er tekongh krombr rnm us- nl w

enlien quu- = O, houger Ye quon d 1.
res g, Ä, ¹, it Aa*. ℳ0 jers T, ,F, TAℳ 4, ar 4 5, h, Das fols=, — Tll“ d des nonbes — 6„ en p⸗ = a4- M, F, 5,5,
14428 „G, wüt A00 4)e al, 9,— F l, an Iyse qu r laqtele 0l
cu'⁰
respectivement, et= 402*+ 482 tl.+ 145 2.
— dod
ARTITHMEITDOVUES. 325 le déterminant= D, soit teprésontée par la forme ternaire f dont les indéterminées sont, xs ali, en posänt=mt nu,
= ml.+ n'u, a= m't+ n'u, et que la forme F dont les in-
„ 0..„ 4 2 déterminées sont X, X, X', soit adjointe à f. On s'assure facilement
par le calcul, ou comme conséquence du n“ 268, 23. que le nombre D est représenté par la forme F, en posant XE'— min⸗, X”= m'n— mn', XI=᷑ mn— mn; nous dirons que cette repré- sentation est adjointe à la représentation de la forme par la forme j. Si les valeurs de X, Xô, X' wont pas de commun divi- seur, nous appellerons pour abréger, cette représentation propre,
et dans le cas contraire, impropre; et nous transporterons aussi
ces dénominations à la représentation de par /.
Or la recherche de toutes les représentations du nombre D par la forme F, s'appuie sur les considérations suivantes:
1⁰. Il n'y a aucune représentation du nombre D par F qui ne puisse se déduire de la représentation d'une certaine forme binaire de déterminant D par la forme †, c'est-à-dire, qui ne soit adjointe à une telle représentation.9 Soit en effet X= L, X/= I, X/= I/ une représentation quelconque de D par F; on déterminera par le lemme précédent, les nombres m, m', mꝰ, n, n', n', tels que l'on ait min“— m'n= L, m'n— mn'= L, mn—mn= I'; et alors en représentant par = at+ 251u+ cu'¹, la forme binaire en laquelle Füse change par la substitution 103 84 1944E
æ= mt † nu, aA=e mt. † uu, T= mt † n'**³,
on voit facilement que D sera le déterminant de la forme o, et que la représentation de D par F sera adjointe à celle de par f.
Eæemple. Soit F= †f*+†.*⸗, et partant, F= ꝝ— X — XZ2 X”n, D=— 209: le nombre— 209 sera représenté par F, en faisant X= 1, X”= é ͤͤ8, X/= 12, on trouve pour les nombres m, m', m', n, n, n', les valeurs— 20, 1, 1,— 12, 0, 1
2 ⁰. Si%, X sont des formes binaires proprement équivalentes, tonte représentation de D par F adjointe à une représentation de d par f, sera aussi adjointe à une représentation de ¾ par f.
3

524 RECHERCHES
Soient p, 7 les indéterminées de la forme ⁸; supposons que& se change en x¼ par la substitution propre t= ap+ 89, u=„p+ 9, et que la forme& soit représentée par f, en faisant
æ= mt nu,= mt nlu,= mt nuo(R)
On voit sans peine que si l'on fait m ‿ n= h, Gm †+ dnl h, m+ In.= n,
la forme X sera reprèésentée par, en posant
r= gp+ h9, a=1 g p Hg,&̃ g p A(R) et Pon trouve g'h— u= mn'— m'n', g'h— gh= mn— mn, gh'— gh= mnl— min, en observant que a.⁴α—)= 1. Donc la méême représentation de D par F est adjointe aux représenta- tions R et R.
Ainsi, dans l'exemple précédent on trouve que la forme Q équivaut à la forme X= 15p: 109 ℳ 18„, en laquelle elle se change par la substitution propre t=— 5p+† 9, 1= 5p— 29; de là on trouve pour la représentation de X% par F T= 49, a=— 3p+ 9,**= 2p—„, qui donne pour le nombre— 209 la représentation dont nous étions partis.
30. Si deux formes Q,*₰ de déterminant D, dont les indéter- minées sont, z; p, peuvent être représentées par f, et que la méme représentation de D par F soit à-la-fois adjointe à une représentation de par f, et à une représentation de ¾ par f; ces deux formes seront nécessairement équivalentes.
Supposons que Q soit représentée par la forme ſ, en faisant æ= mt † nu, a=e mt nu,= m't+†.˖n'u, et X en faisant æ= gp+. hq, a= gp nh, aA e P+ hog. Supposons en outre qu'on ait m'n'— m'n= g'h'— g'h= L, m'n— mn'= g — gu= LU, mn'— m'n= gh— g h= IL“, on prendra les nombres entiers I,,!“, tels que l'on ait Ll+‿ Ll+‿ L'l’= 1, on fera
np— r= M, nri— nle= M', nl— wl= M“,
Vm— m= N; m— Im= N Im'— lm= N“.
gM+ M g'M“= A, hl+‿ hM+. mMI= 8,
gN+ N’ gN= y, hN uN N’= J;

1
1.* 7(8) ⸗na-m
„= Da A repräsentz.
la hme quelle ellé p-g f. 1=9, b
lombee—
t les indeler
f, et quel jointe à u de E
f, eu fü

mbent daeb or eS G erens

ARITHMETIOUES. 525 on déduit facilement de là
am+. n/= g— 1(g81.++ gI)=g.-.. Sm+‿ In= h— I(hIL+ h'L+ E.L)= h.
On trouve de mème am+. yn=“, Sm Tn= n, am+ n= 9“, Sm' n= h'; il suit de là que mt+‿ nu, m't+‿ nu, m't n'u se changent en eꝑ ‿ ig, ᷣp+ n9, gp † u'g par la substitution t= ap+ 69,= p+ Jg9.(S). D'ouù il résulte que Q se change par la substitution&, en la même forme en laquelle se change en posant= g p+ hg, g p+ ng, a‿Vͤgp+ n'g, c'est-à-dire en X, et que partant est équivalente à X³. D'ailleurs on trouve— S„= Ll+ LUl+ L'= 1; donc la substitution F est propre, et les formes,* sont proprement équivalentes.
On tire de ce qui précède les règles suivantes pour trouver toutes les représentations propres de D par F. On cherchera toutes les classes de formes binaires de déterminant D, et l'on prendra à volonté une forme dans chaque classe; on cherchera toutes les représentations propres par ſde ces différentes formes(en rejetant celles qui ne pourraient pas se représenter par †), et de ces différentes représentations, on déduira celles du nombre D par la forme F. Il
est évident(1. et 2⁰.) que de cette manière on aura toutes les
représentations possibles, et qu'ainsi la solution est complète; et qu'en outre(5.) les transformations des formes prises dans des classes différentes, produisent nécessairement des représentations différentes.
281. La recherche des représentations impropres d'un nombre donné D par une forme F, se rameène facilement au cas précédent. En effet, il est évident que si D n'est divisible par aucun quarré, il n'y aura aucune représentation de cette espèce; mais si les quarrés X, ⁴ι,» sont diviseurs de D, toutes les représentations
de D par Fs'obtiendront, en cherchant toutes les représentations
0 D„ 1. propres des nombres, 27, 7 ete. par la forme F, et en multipliant les valeurs des indéterminées par à, ,v, etc. respectivement.
Ainsi la recherche de toutes les représentations d'un nombre donné par une forme ternaire donnée, qui est adjointe à ane autre forme ternaire, dépend du second problème; et l'on peut
— 4————— hhhͤhͤohͤh ———— S— öÿömÿÿ—————ÿÿ— —— eree—* 6 ——ooöOoo 8“— 1—— ———
—

326 RECHERCHES
ramener de la manière suivante tous les cas à celui-là, qui pa- ratt n'ètre qu'un cas très-particulier. Soit D un nombre à repré-
7
senter par la forme(4 3 7.)„dont le déterminant= A, et qui
.. 6, G, GN e. a pour adjointe la forme( H. E. 2.)=; cette dernière aura 2g, A9, A9, Ah, All, Ak“ les représentations du nombre A par F qu'on peut trouver par la méthode précédente, sont identiques avec les représentations du nombre D par la forme proposée. On voit au reste que si les coef- ficiens de la forme font α pour commun diviseur, tous ceux de Fseront divisibles par 2àν, et parconséquent AD, sans quoi il n'y aurait aucune représentation; les représentations du nombre D par la forme proposée coincident avec les représentations du nombre
22 par la forme qui natt de F en divisant les différens coef-
pour adjointe la forme)= F ‚et il est clair que
ficiens par ½ν, et cette forme sera adjointe à celle qui nait de f
en divisant les différens coefficiens par.
Enfin observons que cette solution du premier problème n'est pas applicable au cas Oð D=o, car alors les formes de détermi- nant D ne peuvent pas se distribuer en un nombre fini de classes; nous résoudrons plus bas ce cas particulier par une méthode différente. b
282. La recherche des représentations d'une forme binaire don- née de déterminant qui n'est pas=o, par une forme ternaire donnée, dépend des observations suivantes:
I. De toute représentation propre d'une forme binaire (p, 7,)= O de déterminant D par une forme ternaire de déterminant A, on peut déduire des nombres entiers B, B* tels qu'on ait B⸗= Ap, BB=— A, B2= Ar(mod. D), et par- tant une expression de à(p,— 9, r)(mod. D).
Soit en effet+‿ 16, A= A1 Su,= at+ g'u une représentation propre de la forme par f; x,,; t, u étant les indéterminées des formes †, O. On prendra des nombres entiers,), 2“, tels que
(½—),+(a⁵‿— ag))(aß—))= K=l.
1 Co
nnitres
duu ch
89,3

lous ceu b us quoi y
nombre m us du nouhn
ditsrens cne
qui natt de
probleme ves
es de dötermt.
fini de dlases
une Müätbad
ge binzite t orme terhät
orme dilal ternaire 8 antiels 3,
d. D), eth
11 Su m
, t, u du Jes Dohr
k=’
ARITHMETIOUES. 22, . G, A, a 61 Soit* 5, J; 92) la forme en laquelle se change par la substitution
2, 8, 7;, 9,;*, 5,„,
6= ℳ, ℳ˙, Al 11 f 1 d 4 1. 1. il„ ⸗ et 6=(. 27 2) a forme adjointe à g. KAlors il est évident qu'on aura= p,==g, a=er, 4G/= D et que A sera le déter- minant de la forme g, d'ouù b
B== Apf+1D, B5=— A+ BD, Be=Ar D. Ailinsi, par exemple, la forme 19 ½+ 6 ‿.41 ge reprèsente par la forme£‿ρσ³‿αά⁵, en posant σηι †+ 5, 31— 4, , d'où, en faisant v——1,„=I, 7— o, on trouve
=— 171, B= 27, ou(— 171, 27) pour une valeur de l'expres- sion— 1(19,— 3, 41)(mod. 770).
Il suit de là que si A(p,— 7, 7) n'est pas résidu quadratique de D, O ne peut éêtre représenté proprement par aucune forme ternaire de déterminant A. Ainsi, dans le cas où et D sont pre- miers entre eux, A doit éêtre le nombre caraetéristique de la forme O. b
II. Comme„,,) peuvent être déterminés d'une infinité de manières, il en résultera différentes valeurs pour B, B', et nous allons chercher quelle relation elles ont entre elles. Supposons que ϑ, ³ ν soient aussi tels que 90s
(2g— a,)N(A'— ag*)4,(ag— ,8)4'=k, pouvant être+ et— 1, et que la forme f se change, par la substitution
,, J; a, 6, 4 24 5% ˙
m, m' b., 4 A. A,, MN. en la forme(e er. 29)= h, dont l'adjointe est( W N/ v) F; alors g et h seront équivalentes ainsi que G et H; et par l'ap- plication des principes des nes 169 et 170, on trouvera que la forme H se change en la forme G par la subéstitution K, o, o; o, K, o; 6, n, K, en faisant
(6— 670₰+(6— 6)04(G⸗— 37)47= S, (—- P)+(a— of(„—— y.

528 RECHERCHES
On tirera de là B= D KMN, B= D- kXN’, et partant, comme AA= 1, B= N, B'= N“’, ou 3=— N,=— N (mod. D). Dans le premier cas, les valeurs de(,“),(N, N) seront dites équivalentes; dans le second, opposées. Nous dirons aussi d'une représentation de la forme, qu'elle appartient à la valeur de OA(p,— 9, r), lorsqu'on peut l'en déduire par la mè- thode(I). Ainsi toutes les valeurs auxquelles appartient la mème représentation sont équivalentes ou opposées.
III. Réciproquement, si une représentation de% par est at+† u, etc., et appartient à la valeur(, S“), qu'on en dé- duit à l'aide de la transformation
, g,; A&", 6,; a, ⸗ elle appartiendra à toute autre valeur(N, N“) qui lui sera équivalente ou opposée; c'est-à-dire, qu'au lieu des nombres „,„,»“, on pourra prendre d'autres nombres, ⁴˙—, pour lesquels l'équation
(2*½— g,)S(2½ᷣ-— ½)4+(2—)4=e.2 ait lieu, et tels que les coefficiens 4 et 5 de la forme adjointe à celle en laquelle f se change par la substitution
2., 8, 9;, 8“˙* 2,(57,* soient respectivement égaux à N, N'. Soit, en effet, 4Æ=NOnDO, B= N+D, en prenant ici et après les signes supéricurs ou inférieurs, suivant que les valeurs(hR, B),(N, N) sont équiva- lentes ou opposées, O,) seront entiers, et si la forme g se change par la substitution 81115
1, 0, 5; 6, 1, ¹; o, 0, f,
en la forme h. On verra sans peine que le déterminant de 5
est A, et que les coefficiens 4 et 5 de sa forme adjointe sont N, N’. Or en faisant
2+ 87£= I,+= A', 2+„ έ‿‚=*,
on verra sans peine que f se change en h par la substitution S, et que l'équation Q est satisfaite.
283. On déduit de ces principes la méthode suivante, pour trouver toutes

7
)— 1S
2),, 0,J 3. Jousd
dag ppoyien;
nieutkan
—— ————
2O ſA , olron a,
) qui dui en n des noubrh
8 7“ pu
Xt. L.
forcle äüholl 1
.=NVrDh s superiemn d 7) vut Gqui me g e chang
rminant de- 2 acjointe 1
1 .‿ 1
aobsitmin
rochtt
ourt 8, l

Ape poio: 9= B dit D. roplae

ARITHMETIOUES. 529 toutes les représentations de la forme binaire%= pl=gtu-ri: de déterminant D, par la forme ternaire J de déterminant A.
I. On cherchera toutes les valeurs différentes, c'est-à-dire, non équivalentes de l'expression à(p,— 7,)(mod. D). Ce problème a déjà été résolu(n* 253) pour le cas où A est premier avec D, et oùð la forme(p,—-, 7) est primitive, et les autres cas se ramènent très-facilement à celui-là. La nécessité d'abré- ger ne nous permet cependant pas d'insister davantage sur ce sujet. Observons seulement que lorsque A est premier avec D. l'expression A(p,— F, y) ne peut étre résidu quadratique de D, à moins que ne soit une forme primitive: supposons en effet Ap= B— DA,— A= ,5/— DE', Ar= 32— DA; on en dé- duit(DB—Ac)“ ꝛ=(DA+ Ap)(DAAr), ou en développant et remplaçant D par—? pr,
(7ν— pr)(B ½— A)— A(dAp+ 25-A’r)+ A*= o.
Si donc p, q, r avaient un commun diviseur, ce diviseur di- viserait A“, et parconséquent A ne pourrait pas être premier avec D. Ainsi sera une forme primitive.
II. Désignons par m le nombre de ces valeurs, et supposons qu'il s'en trouve n opposées à elles-mêmes. Alors il est évident que parmi les m— n qui restent, chacune aura nécessairement son opposée, car nous supposons qu'on a toutes les valeurs non équivalentes. De chaque couple de valeurs opposées, on en re- jettera une à volonté, et il en restera en tout 1(im-+† n). Ainsi, par exemple, des huit valeurs de l'expression— 1(19, 3, 4¹) (mod. 770) qui sont:(39, 257),(171,— 27),(269,— 83), (291,— 127),(— 39,— 237),(ſ— 171, 27),(— 269, 85),(— 291, 127), les quatre dernières sont à rejeter, comme opposées aux quatre premières. Au reste, il est aisé de voir que si(, B') est une valeur opposée à elle-même, 25, 25, et partant 24p, 2Ag, 2Ar sont divisibles par D; donc dans le cas où A et D sont premiers entre eux, il faudrait que 2p, 29, 2r fussent divisibles par D, et comme dans ce cas(I) les nombres p, g, r mont pas de di- viseur commun, 2 doit être divisible par D, et partant la chose ne peut avoir lieu que pour D=, ou Lee Donc si A
t

RECHERCHES
330 on aura n= o pour les valeurs de D plus
est premier avec D, grandes que 2.
III. Cela fait, il est évident que toute représentation propre de la forme& par F appartient nécessairement à quelqu'une des
—
mchn„aleurs restantes, et à une seule; ainsi il faut parcourir 2
ces différentes valeurs, et chercher les représentations qui appar- tiennent à chacune d'elles.
Pour trouyer les représentations qui appartiennent à une valeur donnée(, B'), il faut déterminer d'abord une forme ternaire
7, 42 0) dont le déterminant soit A, et dans laquelle on
8— de, 5, 5 ait a= p, 5= g, a‿η, ab— bb.= ZB, 2˙5/— 5b—= B'; les va- leurs de D, U, a se déduisent de là, à l'aide des équations du „ 276, II, par lesquelles on voit facilement que lorsque D et A sont premiers entre eux, les nombres 5, b, a' sont nécessai- rement entiers, puisque les produits de ces nombres par Det 4& zont des nombres entiers; mais en général si l'un de ces trois nombres se trouve fractionnaire, ou si les formes f, ne sont pas équivalentes, il n'y aura aucunes représentations deo par f appartenantes à la valeur(B, B'); mais si 5, F, a sont entiers et que les formes,& soient équivalentes, toute transforma- tion de en g, comme b 4, 8,„;,, 7; 4, g',,
donne une représentation telle que= at † Bu,&æ+'u, ae= at+'u; et de cette manière il ny a aucune représenta- tion qui ne puisse se déduire d'une transformation. Ainsi la partie du second problème, relative aux représentations propres, est ra- menée au troisième problème.
IV. Au reste, les différentes transformations de fen& pro- quisent toujours des représentations différentes, excepté le seul cas où(B, Bê) est une valeur opposée à elle-même, dans lequel deux transformations ne donnent qu'une seule représentation. Sup- posons, en effet, que.†se change aussi en g Par la substitution
a4,, z*, 9,; a“', 8*, ³˙ qui donne la même représentation que la précédente, et désignant
58 le

lenn de A
entatioh nn b duelqurne g
but Dädeoh tions dui 1 4
1t à Waha forue kenrein
ans Lqueh DV'=;en es équation dve lorsqns he ' sont äleede adees per Dal un de ces tuà 3 f, gre M kions deo „ o' dont exten ate tracdkrwr
1, T=19 une reprtvent Ainsi k uut fropres din
le fen g
excepté lei 4 le, dans leg ſe d entaine 9
la ubzüni
e,e Kihe
ARITHMETIOUES. 331 par K, L,, y les mêmes nombres qu'en II, ne précédent, on aura B= kx nkD, B=kXSBPND; si done chacun des nombres K,=+ ou— 1, on aura„= o, 6=o, d'où l'on déduit Hacilement T y, ☚σ☛), d. Ainsi ces deux trans- formations ne pourront être différentes que dans le cas où l'un des nombres&, ℛ est+1 et l'autre— 1. Or alors B=— E, 5=— B“(mod. D), c'est-à-dire que la valeur(, B) est p⸗ posée à elle-même.
V. II suit facilement de ce que nous avons dit(ne 271) sur les caractères des formes définies et indéfinies, que si A est po- sitif, D négatif et% une forme négative, g est une forme dé- finie négative, et que si A est positif et D positif ou négatif, mais O une forme positive, g est une forme indéfinie. Or comme
F.& ne peuvent éêtre équivalentes, à moins qu'à cet égard elles
ne soient semblables, il est évident que des formes binaires de déterminant positif et les formes positives ne peuvent éêtre repré- sentées proprement par une forme ternaire indéfinie de déter- minant positif, et que par une forme ternaire de la première ou de la deuxième espèce, on ne peut représenter que des formes binaires de la deuxième ou de la première respectivement. On peut conclure de la même manière, que par une forme ternaire définie de déterminant négatif(qui est positive), on ne peut représenter que des formes binaires positives, et par une forme ternaire in- définie de déterminant négatif, que des formes binaires négatives et des formes de déterminant positif.
284. Comme les représentations impropres d'une forme binaire de déterminant D, par une forme ternaire qui a pour ad- jointe F, sont celles d'où l'on déduit les représentations impropres du nombre D par la forme EF, il est évident que ne peut éêtre représenté improprement par f, à moins que D n'ait des divi- seurs quarrés. Supposons que les différens diviseurs quarréès de D, non compris 1, soient*, e“, e“*, etc., dont le nombre sera tou- jours fini puisque D ne peut pas êire=o, toute représentation impropre de par f donnera une représentation du nombre D par F, dans laquelle les valeurs des indéterminées auront pour plus grand commun diviseur l'un des nombres,, e“, etc. Par cette raison, nous dirons, pour abréger, que toute représen-
2

332 RECHERCHES
tation impropre de la forme O déepend du diviseur quarré es,
ou G, ou“, etc. qui lui correspond. Or toutes les représenta-
tions de la forme 9 dépendantes d'un diviseur quarré e“, dont
nous supposons la racine e prise positivement, se trouvent de la manidère suivante. De la démonstration synthétique que nous en donnons, pour abréger, on pourra facilement déduire l'analyse qui nous y a conduits.
8 0 0. 6 0 1⁰. On cherchera toutes les formes binaires de déterminant=
qui se changent en la forme Q par la substitution T== zt u, V= uu, T et V désignant les indéterminées d'une telle forme, t, u les indéterminées de la forme; x, ℳ des entiers positifs dont le produit est parconséquent= c, X un entier positif moindre
que u, ou zéro. Ces formes, ainsi que les transformations qui leur répondent, se trouvent ainsi qu'il suit:
On égalera successivement aux différens diviseurs positifs
e
. 6
de e, y compris 1 et e, l'on fera u. ²; pour chacune des va- leurs déterminées de x,, on donnera à àX toutes les valeurs en- tidres depuis o jusqu'à ½— 1, et l'on aura certainement toutes les transformations. Or la forme qui se change en Q% par la substitution T= xt- X, V= ulu, se trouve en cherchant la
.*. 1 forme en laquelle se change par la substitution 4 1— 8*.
G
4—. 9=, et l'on obtiendra les formes qui répondent à chacune des.
transformations; mais il ne faudra conserver que celles dont les trois coefficiens sont entiers(*).
20. Soit O une de ces formes qui se change en par la substi- tution T= xt- μυνfõb=un; on cherchera toutes les représenta- lions propres de& par f, s'il en existe; supposons-les représentées indéfiniment par
æ= ATIBU, æ‿e A B'U,= CB’V.();
) Si nous pouvions donner plus de détails sur ce problème, nous abrège-
rions beaucoup la solution. Il est d'abord évident que« doit éêtre choisi de ma- nière à ce que son quarré soit diviseur du premier coefficient de. Au reste,
nous nous réservons de reprendre dans une autre occasion ce problème, d'ou l'on
peut tirer des solutions plus simples des problèmes des no* 215, 214.

4 b TSupu, tell bw, antiers failh
ooitifwium Drnäfiols l
piseurs poätih
Aclne des-
es valeuls el- nement toutes en O r k cherchaut h
7 al
chacmme tä
celles dont h
par la aäi les reprözert
es repetzelie
¹ ne, Jos iheg. re chci Go Au esle)
4 E aplene,Luils
a, 2u4
-
————“

* 8 — 4 4 ³ 4 4 2 . 3 3* 8 3 4 3 4 4 5 3 4 3 4 5 5 4 3 4½ 1 . 5 4 8 1 8 1 1

ARITHMETIOUES. 333
en substituant dans ces formules les valeurs de T“, V, on en dé- duit les suivantes:
T= al-†‿ B4, At-‿ S,u, a‿æ at+ ,.(0), dans lesquelles on a de même &—. A, A XA, a= 2ℳ“', 8= A⁴Gdt †+uß, G= A+. u., 3‿e A AB(R).
On traitera de la mème manidère les autres formes, s'il y en a plusieurs, et je dis qu'on aura ainsi toutes les représentations de la forme o dépendantes du diviseur quarré e:.
I. Nous ne nous arrêterons pas à prouver que fse change
en par la substitution(C), cette partie de la proposition étant évidente; mais on déduit des valeurs de a,, etc.
2 a ꝙ=(AB” A BÄ)«,——e(A— AB'), a h— a=(AB— AB) e;
et comme(P) est une représentation propre, il s'ensuit que le plus grand commun diviseur de ces trois nombres est e, et que la représentation(0) dépend du diviseur es.
II. Nous allons maintenant faire voir que de toute représenta- tion donnée de la forme, on peut déduire une représentation
. D: Propre d'une forme de déterminant= contenue parmi les formes
trouvées par la première règle; c'est-à-dire, que des valeurs don- nées de α,,, 3, 5, 2“', on peut déduire des valeurs entières de x, X, qui satisfassent aux conditions prescrites, et des valeurs de A, B, A“, B', A“, B' qui satisfassent aux équations(R), et cela d'une seule manière. Il est clair d'abord par les trois premidères equations(R), que l'on doit prendre pour ⁊ le plus grand commun diviseur des nombres a, a, a pris positivement, puisque Am☚— 4“ A— AB', A— A'B ne devant pas avoir de diviseur com- mun A, A“, ℳ' n'en auront pas non plus. Donc A,, ℳ seront
2.* 1. 2 9 0 1 E déterminés, ainsi que ¼ qui doit être égal à—, et sera néces-
sairement un nombre entier. Soient trois nombres entiers k, K, 4,
tels qu'on ait KA+‿ K+ A“= 1, les trois dernières équations

3³⁹ RECHERCHES (R) donnent, en faisant+‿'+ KS'= m,
16 EZ+ Lg= X ma, d'oh il suit qu'il n'y a qu'une seule valeur de △ comprise entre o et ½— 1; les valeurs de B, B, B'ꝰ, sont alors déterminées, et il ne reste qu'à démontrer qu'elles sont entières. Or on aura
B= 3(8—4)=(01 X4)—A(E+ 180. Am =(XGAs— A6)— IA— A G)]) † Am b =(X(A— ,)— K(2— 6)]. Am.
Donc B est nécessairement entier. On le démontrera de mème pour B, B. Il suit de ces raisonnemens qu'il n'y a aucune repré- sentation impropre de& par f dont on ne puisse déduire une re- présentation propre d'une forme par f†, et dont on puisse en déduire plusieurs. Donc la méthode précédente donnera toutes les représentations cherchées, et n'en donnera que de différentes.
En appliquant la même méthode aux autres diviseurs quarrèés de D, on trouvera toutes les représentations impropres possibles
de par.
Au reste, on voit aisément par cette solution, que le théorème Snoncé à la fin du ne précédent pour les représentations propres, a lieu également pour les représentations impropres, c'est-à-dire, qu'en général aucune forme binaire positive de déterminant né- gatif ne peut être représentée par une forme ternaire négative, etc. En effet, soit une forme Q, qui par ce théorème ne puisse êètre
„ 3 2 D représentée proprement par ſ; les formes de déterminant ⸗, ⸗, etc.
qui renferment, ne pourront non plus être représentées par, puisque leur déterminant sera affecté de même sigue que celui de; et lorsque ces déterminans sont positifs, toutes les formes sont positives ou négatives, suivant l'espèce de la forme H.
285. Nous ne pouvons placer ici que peu de détails sur les questions qui font le sujet du troisième problème, auquel nous avons réduit les deux autres, c'est-à-dire sur la manière de juger si deux formes ternaires de même déterminant sont équivalentes,

An.
trera de uiu aneme n. éduite uer t on puis a mera toutes W difféeltes
riseurs quur opres posüle
ne le théoröo ations proprss , Cest-d-dt, terminänt- négalife, i
ne puise ii
D D aant 5 ele,
zeutkes at gue que chlü ntes les frge
forme 9.
détaiß our „ auque' nidre de jahe quirakate
ARITHMETIOUES. 335 ou non; et dans le premier cas, de trouver toutfes les transfor- mations de l'une en l'autre; parceque la solution complète, telle que nous l'avons donnée pour les formes binaires, est sujette à beaucoup de difficultés. Aussi nous bornerons ici notre recherche à quelques cas particuliers pour lesquels nous avons fait cette digression.
I. Pour le déterminant+ 1, nous avons fait voir plus haut que toutes les formes ternaires se distribuent en deux classes, dont l'une contient toutes les formes indéfinies, et l'autre toutes les formes définies(négatives). Il suit de là que deux formes quelconques de déterminant+ 1 sont équivalentes si elles sont toutes deux défi- nies ou toutes deux indéfinies, mais qu'elles ne le sont pas si l'une est indéfinie et l'autre définie.(Cette seconde partie de la propo- position a lieu pour un déterminant quelconque). De la meêeme manière, deux formes indéfinies de déterminant— 1 sont équiva- lentes, si elles sont toutes deux définies ou toutes deux indéfinies. — Deux formes définies de déterminant 2 seront toujours équiva- lentes; deux formes indéfinies le seront aussi, à moins que dans l'une les trois premiers coefficiens ne soient pairs, et qu'ils ne les soient pas tous dans l'autre.— Nous pourrions donner plusieurs
propositions particulières de la mêème manidre, si nous avions plus
haut(ne 277) calculé un plus grand nombre d'exemples.
II. On pourra aussi pour tous ees cas,, f désignant deux formes ternaires équivalentes, trouver une transformation de l'une en l'autre. Car pour chaque classe nous avons assigné un assez petit nombre de formes, à l'une desquelles toute forme de cette classe peut être ramenée; nous avons aussi appris à réduire toutes ces formes à une seule. Soit F cette forme de la méême classe que f, f“, on pourra par les moyens indiqués, trouver les transfor- mations de f, en F, et partant, de F en/, f'. Ainsi par le n* 270, on pourra déduire les transformations de ſ en et de J' en. e
III. Ainsi il ne resterait plus qu'à montrer comment d'une seule transformation de en †, on peut tirer toutes les transformations possibles; ce problème dépend d'un autre plus simple qui consiste à trouver toutes les transformations de la forme /en elle-mêème. En
—
—
——
—————— 2—— “ 8 eeererde Tederererrrrercer ernerereereeer.= hhhöoö—ö—ö—oo—ſſſſſͤſͤſͤſͤhͤſͤͤſͤſͤſͤſͤͤͤ ————— 8 8 1
3——. ———ͤſbͤöoöoöoboöoöoöoboöobſ—— ———
9. 1 d8dbdſͤſ 4
—————*— 5

336 RFCHERCHES
effet, si fse change en elle-méême par plusieurs substitutions(r), (10,(r'), ete., et en f' par la substitution(t), il est aisé de voir qu'en combinant par la méthode du ne 270, la transformation(t) avec(r),(,(7), il en résulte des transformations par les- quelles j Se change en f’. En outre, on peut prouver facilement par le calcul, que toute transformation de fen f peut se déduire de cette manière, de la combinaison de la transformation(t) de Fen f avec une, et une seule transformation de la forme en elle-même, et que parconséquent la combinaison de la trans- formation(t) avec les différentes transformations de en elle- méme, donne toutes les transformations dej en fl, et ne donnera
qu'une fois chacune d'elles.
—
Nous bornerons ici notre recherche au cas où fest une forme définie dont les coefficiens 4, 5, 6 sont=’o(!). Soit donc
a, d, a.„ 4=(e 9 5)„HRet représentons une substitution quelconque qui 2„
change en elle-même, par 2, 8, 7;*, 9, 7;,,, on aura les équations aaν †&ᷣ d+‿ d= a, a+‿ ˖‿2̈ mQl⁸άrç d,+ aν+‿˖ aνẽYa“ aaß. ιασ‿‿μ‿‿ς—e0, aæ‿ρ‿η‿‿ůd, aενφμρ⁴ααιmνο 40— Or on doit distinguer trois cas:
1*. Quand a,, a*, qui doivent avoir le mêème signe, sont tous inégaux, nous supposerons a Ca*, aàal; si l'ordre de gran- deur était différent, on trouverait de mème les conclusions ana- logues. La première des équations(c) exige nécessairement que l'on ait a*= a= o, et partant a=-k 1; les équations 4, 5 donnent alors G= o,„= o; l'équation 2 donne β=o et= r, et P'equation Gexige qu'on ait= o; donc par l'équation 3,)-1; desorte que, à cause de Pambiguité des signes, il y a en tout huit transformations différentes.
—.
(*½) Les autres cas où la forme.f est définie, peuvent se ramener à celui-là; mais si elle est indéfinie, il faut employer une mèéthode tout-à-fait différente, et le nombre des transformations est infini.
2˙

fest uue hm enl ulelh, (). Süt im
qpeleangle fi
1 1 + 4*—24
„) 1 44 α
me öiggk, 1 Jordle de gr conclusiohsn rement qmlu

———————————ſſ,—·
ARITHMETIOUES. 357 2⁰. Quand parmi les nombres a,, a' il y en a deux égaux, a* et a', par exemple, supposons d'abord a. Alors, de la mèême manière que dans le cas précédent, on aura e o,—o, =l, 8= o,„= o; les équations 2, 3, 6 deviennent 62+S= 1,„+= 1, 67%G6ä= o; d'où l'on tire G=eo, 6=r,=kI,= o, ou ‿=e-, 6=o, y o, 1. Mais sia, les équations 2 et 3 donnent=o, = O et= o, 8= 1,„=KI,)“= o, ou 6= 1, 3=o, „= Oo,=ch1; l'une ou l'autre supposition donnent, par les équations 4 et 5,= 0,.= o, et par l'équation 1,«=-*. 1. Ainsi dans les deux cas il y a seize transformations différentes. Les deux autres cas ocQ a= a'I, ou bien«= a se résolvent de la méême manière, pourvu qu'on change,, a¹, pour le premier cas, en 8,, 6 pour le second, en,„, respectivement.
3. Quand les nombres a, a, a* sont égaux, les équations 1, 2, 3 exigent que des nombres,*, ¹, ainsi que des nombres 6, 5, 9', et des nombres, 7,) deux soient égaux à zéro et le troisiéme égal à£̈.; or, par les équations 4, 5, 6, on voit qu'il ne peut y avoir qu'un seul nombre=-k r parmi a, g,„, ou α,, N, ou a,„“,„“. Il ne reste que six combinaisons.
cc o bα b α— 1
6878 878=X᷑ 1„, et les six autfres coeflficiens 0; „„ 1 ¹—
v lr l?=k²:
desorte que par l'ambiguité des signes il yaen tout quarante-huit
transformations.— Le méême tableau renferme aussi les cas précé-
dens; mais des six colonnes il ne faut prendre que la première t. P P„
quand a,, a sont tous inégaux; la première et la seconde,
quand a‿ a*; la première et la troisième, quand a= az la pre-
mière et la sixième, quand a—ef a].
Il suit de là que si la forme= aæ † a ao“ ge change en la forme équivalente † par la substitution
—= 9.+ ey+ 6„“,—= 9++ 5y“, v— Tr+ e+ 6* y“, toutes les transformations de f en/ sont contenues dans le ta- bleau suivant: b
VV
2¼

———
338 RECHERCHES
æ æ ,σνσισηάᷣ£ dd ꝙꝑ+ 6J)
rr r a“ x—=*(T9 e. 5+ dy)
aA“ X A—=—(A‿—.‿ 6+ O). avec cette différence que l'on doit employer les six colonnes lorsque 2= eF=a'; la première et la seconde, quand 2à‿za; la première
et la troisième, quand a=; la premidère et la sixieme, quand 2= a; enfin la premidbre seule, quand a,, a' sont tous inégaux, et il y aura dans le premier cas Harante-huit transformations, seize dans le sccond, le troisième et le quatrième, et huit dans
„., 2 M. 1ℳ ir Ruieg,, N. eᷣneℳ.:, 6 P. 24ℳ/ 2 7 44⸗ H„, Se e/—————
12
Après avoir exposé succinctement les premiers elémens des formes ternaires, nous allons passer à quelques a lications particulières 5 3 P 2* parmi lesquelles le problème suivant mérite la première place.
286. PROBLEME. Etant donnce une forme binaire F=(A, B, C) de determinant D appartenant au genre prinoipal, Irouber lné forme binaire f qui donne F par sa duplication.
1. On cherchera une représentation propre de la forme (A,— B, C)= F’ par la forme ternaire*ν— 2); supposons qu'elle soit
r= A+ SU, y= T+, z=+ 8˙U. Il est aisé de voir, par la théorie précédente, que la chose est toujours possible. En effet, F étant, par hypothèse, du genre principal, on pourra trouver une valeur de l'expression(A4, B,) (mod. D)(233, 6*), et parconséquent une forme ternaire de dé- terminant 1, dans laquelle la forme(A,— B, C) entre comme partie, et dont l'on voit facilement que tous les coefficiens sont entiers. Il est également clair que la forme O doit être indéſinie, puisque, par hypothèse, F n'est certainement pas une forme né- gative; donc sera équivalente à la forme*ν— 2y«x; on pourra parconséquent assigner une transformation de x— 2)z en 9, qui fournira une représentation propre de F' par la forme ν—= 2)½; d'ailleurs on aura A= a⸗— 22,— B= G— 6— A 6, 0= 3— 268 G; d'où l'on voit qu'en faisant— ä= a,
ſasoor done, Act präc lrcdk gent
Pn

ut tous big ransken inn 8, et Mit an
H,
mens des hems as harticulins ewiere Nace
fre I=4, h 2, irouperu3
*
de la fmmt zyrz Aurpomm
rter
ue la Chose à hese, du gem ion 74. 3 9 ernaire deü „ eutre com- coefficef c
—
————“
ARITHMETIOUES. 339 2 9— A= h,— a=o, ces nombres n'auront pas de com- mun diviseur, et qu'on aura D= 5⸗— 2ac.
2 ⁰. De là et à l'aide de la dernière observation du ne 235, on peut facilement conclure que F, par la substitution 2,, 3, 2Q; 2%, a&,&, ar, Se change en le produit de la forme (2,— b, c) par elle-même, et par la substitution 60, 3, 8, 2/2; , d,, 2¹%, en le produit de la forme(a,—5, 2) par elle- méme. Or le plus grand commun diviseur des nombres 2, 25, 2 est 2; si donc c est impair, 2z, 25, œ n'auront pas de com- mun diviseur, et la forme(2a,— b, c) sera une forme propre- ment primitive. De mème si a est impair(a,— B, 20) sera une forme proprement primitive; dans le premier cas, F nait de la
duplication de la forme(2a,— b, c), et dans le deuxième, de
la duplication de la forme(a,— 5, 2).(Voyez Conclus. 4, n* 235). Or un de ces cas arrivera nécessairement. En effet, si a,& Staient tous deux pairs, 5 serait nécessairement impair; or on s'assure aisément que l'on a ‿ν̈‿‿.ρμρσο, α‿ραν‿ό; donc 8b et ab, et partant a et 3 seraient tous les deux pairs; Aüet GC le seraient donc aussi, ce qui est contre l'hypothèse, puisque F est une forme du genre principal, et parconséquent de T'ordre proprement primitif. Au reste il peut arriver que a et o
soient impairs, et dans ce cas on a deux formes qui produisent
F par leur duplication.
Soit proposée, par exemple, la forme F=(5, 2, 31) de dé- terminant— 151; on trouve(55, 22) pour valeur de l'expression
5, 31, 9. Or par
N⁸ 0— 2— V(5, 2, 31); donc la forme ternaire ‧½= 11, 0.=2
1, 1,—1 les règles du n 272, on trouve la forme( 2 2 3) équivalente
„ O,
à%, et qui se change en elle par la substitution
2, 2, 1, 1,— 6,— 2; o, 3, 1. De là, à l'aide des transformations consignées no 277, on trouve
que( 4) 9, 2) se change en o par la substitution — 1, o,
5,— 7,—-2z 2,— 1, o; 1,— 9,— 3,
ainsi a= 11, 5=— 17, 0= 20. Et comme a est impair, F nait
—

340 RECHERCHES de la duplication de la forme(11, 17, 40), et se change en le produit de cette forme par elle-même, par la substitution
287. Nous ajouterons les observations suivantes sur le problème précédent.
16. Si une forme F se change, par la substitution p, p pe, 9, q, G,„', en le produit des deux formes(h, 2, l),(, 1,), toutes deux étant prises directement, comme nous le supposons toujours, on déduira facilement de la troisième conclusion du no 235 les équations
pehn— ph'n— p(in— n)= o, (— p)(in-νn)— pn— n)+ℳ pe(hnu— ln)= o, p'kn— p'rn— p'(in— in)= o,
ettrois autres qu'on obtient en remplaçant dans celles-ci p, ꝓ p', p par q, G,—, 9†—n et n' sont les racines quarrées positives des quotiens qui résultent de la division des déterminans des formes(h, i, K), (w, v, X) par celui de la forme F. Si donc ces formes sont iden- tiques ou qu'on ait n=, h= n, 1=, K=+ℳ, les Equations précédentes deviennent(p— p') hn= o,(p„— p) in=o, (p— p) kn= o; donc on a nécessairement= p', et absolu- ment de la mème manière, 7=„' ainsi, en donnant aux formes (h, 1, K),(hH,,) les mêmes indéterminées: et u, et désignant par T, V les indéterminées de la forme F, F se changera en (hi= ‿ 2itu+ ku²)“, par la substitution T= pt=+̃ 2p tu‿ pu, U= qt=+‿ 2 9uι‿ρ‿ςν.
2e. Si la forme F nait de la duplication de la forme F, elle naitra aussi de la duplication de toute forme contenue dans la méme classe que f, ou la classe de la forme F nattra de la du- plication de la classe de la forme f(n 238). Ainsi dans P'exemple du ne précédent,(5, 2, 31) naitra aussi de la duplication de la forme(11,—5, 16), proprement équivalente à(11, 17, 40). Une fois qu'on connait une classe de la duplication de laquelle résulte la classe de la forme F, on les trouvera toutes, s'il y en a plusieurs, à l'aide du problème du n“ 260. Dans notre exemple, il n'y a pas d'autre classe positive de cette espèce, parcequ'il

e Gdange b 1 abäüri
Arlemäa
leseip, y tiresdesqloits rmes(1, i,h, cormes zolt jl- 7, les Gmim 7-jien =y, et abor nmant an tums t u, et deéigmu P x chanxean
ſr. 4 forme/ d
ontenue Gäs 1
Alr
naitra de
pece

— ᷣ ut Ke.
V, S, 2 2.— u‿—
eh 72 2—2— 4. 2 A A 5, A — 3 L2 , on ᷑ iſe 2) 2, 3, A,, Ef el
3/ 1 2 Qn 711
A ₰ h ℳo ſh ₰ V-„ ₰ n, 2. rrel el
c, gfn s, I en V 2; 7— oleu)] h 5, 4 1 Re dAhe e— ep L=— M Ch. z 2, hu.„, 3 e— 72 e,,—.=1„ 2„, 3, 3 6 2. eor) d‿g S ſñ eu A,e, l,= Sln 4.
aue e lai
r do L ℳ d Ahein e roge A niog
Se he, ven e, en,une. h D 1— 2, e cf 1 D e tnn
b ſoy
4
—. d— L
S, 44*⸗ 1 4.
2. ln 5 e.,f du K 22-. A me2l⸗ Ae dfone 3/ A ℳ 2 77 4 ſ f 4 U Garae
4 4 87 AAe 7 4 3 „ ,— I7 e u
2— 6„
— ,— 4— 4e„„
9 b, Cn h 7
„ p„⸗f-——
7 4 2—
AA fo I„
6 Ae——=„e *„„ 3 2
Arn G N. gf 1 u fe* 2
f K, P- O,,—

F ℳ 105 a.„ſo 1 Ulb. 2 4 44 2 Ant 3 An A
6 Rue
3 1 7
dernière, O, ne pouvait répondre aux formes proprement primi-
l'espèce P répondait effectivement à quelque genre; maintenant
avons prouvé(n“ 264, 1⁰) qu'il n'y avait d'admissibles que les
et K, d'après le n 246, appartiendra à l'espèce P, et partant il y a des formes positives proprement primitives de déterminant D,
ARITHMETIOUEsS. 341
n'y a qu'une seule classe ambigué proprement primitive et posi- tive de déterminant— 151, qui est la classe principale. Comme de la composition de la seule classe ambigué négative(— 1, 0,— 151) avec la classe(11,— 5, 16), il résulte la classe(ß— 11,— 5,— 16); celle-ci sera la seule classe négative dont la duplication donne la classe(5, 2, 51).
3. Comme la solution du problème du ne précédent prouve que toute classe de formes binaires qui est proprement primitive, positive et qui appartient au genre principal, résulte de la du- plication d'une classe proprement primitive de mème déterminant, le théorème du n“ 261, par lequel nous étions certains qu'il y avait au moins la moitié de tous les caractères assignables pour un déterminant D non quarré, auxquels ne répondit aucun genre Proprement primitif-positif, reqoit par là plus de développement; puisque nous voyons qu'il y a moitic de ces caractères auxquels répondent des genres, et moitic auxquels il n'en répond aucun (Voyez la démonstration de ce théorème). Donc, puisque nous avons distribué(ne 263) tous ces caractères assignables en deux espèces P et O, composées d'un même nombre, desquelles la
237„R12l d 25 V
tives positives, tandis qu'il était incertain si chaque caractère de
il ne reste aucun doute qu'il n'y a aucun caractère de cette es- pèce auquel ne réponde un genre.
On déduit facilement aussi de là, pour le déterminant négatif dans l'ordre proprement primitif négatif, à l'égard duquel nous
caractères O, qu'ils le sont tous effectivement. Soit en effet K un des caractères de Q, une forme quelconque de l'ordre pro- prement primitif négatif de déterminant D, et K' son caractère, K appartiendra à l'espèce O; donc le caractère composé de K
qui lui répondent; en composant donc une de ces formes avec la forme f, il en naitra une proprement primitive négative de déterminant D dont le caractère sera K.

342 RECHERCHES On prouverait absolument de la méême manière, pour Pordre improprement primitif, que les caractères démontrés seuls Pos- sibles(n' 264, 2⁰ et 3) sont 10115 possibles, qu'ils soient de l'es- pèce P ou de l'espèce C. 3
Ces théorsmes, si nous ne nous trompons étrangement, doivent etre rangés parmi les plus beaux de la théorie des formes binaires, surtout parceque, malgré leur grande simplicité, ils sont tellement cachés qu'il n'est pas possible d'en donner la démonstration ri- goureuse, sans le secours d'un grand nombre d'autres recherches.
Nous passons maintenant à une autre application de la digres- sion précédente, savoir, la décomposition, tant des nombres que des formes binaires en trois quarrés. Nous résoudrons d'abord le problème suivant:
288. PROBLEME. M drant un nombre positif, trouwer les con- ditions auæquelles doiuent satisfaire les formes binaires primitiues negalives de déterminant— M, qui sont résiduis quuadratigues de M, ou pour lesquelles 1 est le nombre caracléristiquc.
Désignons par l'ensemble de tous les caractères particuliers que donnent les relations du nombre 1 aux différens diviseurs pre- miers impairs de M, et au nombre 8 ou 4, quand il divise D. Ces caractères seront évidemment Rp, Ry', Rp', etc., p, pp p', etc. 6tant les diviseurs premiers, et 1,4 ou 1,8, suivant que 4 ou 8 divise M. Employons en outre les lettres P et O dans le mème sens qu'au n“ précédent ou qu'au no 265. Nous distinguerons les cas suivans:
1*. Quand M est divisible par 4, sera le caractère complet, et il est clair(u“ 233, 5*) que ne peut ôtre nombre caractéris- tique que de formes dont le caractère est. Mais il est mani- feste que w est le caractère de la forme principale(1, o, M), que parconséquent il est de Pespèce P, et qu'ainsi il ne peut appartenir à aucune forme proprement primitive négative, et comme il n'y a pas de forme improprement primitive pour ce déterminant, il n'y a pas de formes primitives négatives qui soient dans ce cas résidus de M. 4 ¹ b
2°. Quand M= 3(mod. 4), les méêmes raisonnemens ont lieu, avec cette seule différence que dans ce cas l'ordre improprement
—
—— —— — ——
—— —õ ꝑ ——. —— —
— — — —

, docr lun d
z8cient e k
ewent, däiet
ttes rerhenes on de a üig des nonhhs 1 drons Geäda b
trouver lex anj
ires priniig
us Quacfaline cteristinue.
eres partialen ns diribem ind il diri 0. c., p, p,yt aut que 4a¹ Oh dans leri dästingrerwn
ractte congt- mbre caractii- ais il ed Dul- dale(1, 0 J' ainsi Il ne fel re négtfie, mitive poul 85 négaliſe 9
vemers ol 3 re inrte
ARITHMETIOVUES. 343 primitif négatif existe, dans lequel les caractères de l'espèce E seront possibles ou impossibles, suivant que M= 3 ou= (mod. 8).(Voyez n“ 264, 3e.) Si donc M= 3(mod. 8), il y aura dans cet ordre un genre dont sera le caractère, ainsi 1 sera nombre caractéristique de toutes les formes qui y seront conte-
nues. Si M= 7(mod. 8), aucune forme négative ne pourra jouir de cette propriété.
3°. Quand M=r(mod. 4), n'est pas le caractère complet, il faut y ajouter la relation à 4. Mais il est clair que e doit nécessairement entrer dans le caractère de la forme dont 1 est nombre caractéristique, et que réciproquement toute forme dont le caractère est; 1, 4 ou; 5,4, aura 1 pour nombre caracté- ristique. Or,; 1, 4 est le caractère du genre principal, qui ap- partient à P et est parconséquent impossible dans l'ordre propre- ment primitif négatif. Par la même raison, le caractère 2. 5,4 appartiendra à Q(ne 263); donc il y aura dans l'ordre propre- ment primitif négatif un genre qui lui répondra et dont toutes les formes auront 1 pour nombre caractéristique. K
Dans ce cas, non plus que dans le suivant, il n'y a pas d'ordre improprement primitif.
4'. Quand M= 2(mod. 4), il faut joindre à la relation au nombre 8, pour avoir le caractère complet. Ces relations sont 1 et 5,8 ou 5 e¹ 7,8, quand M= äg(mod. 8), et 1 et 7, 8 ou 3 Gt 5,8, quand M= 6(mod. 8). Pour le premier cas, le caractère; 1 er 5,8 appartient évidemment à P, et partant le caractère; 5 l 7,8 appartient à O; donc il répond à ce dernier caractère un genre proprement primitif négatif. Par la même raison, pour le second cas, il y a dans l'ordre proprement primitif négatif un genre
dont les formes sont douées des propriétés précitées; le caractère
de ce genre est a; 3 5,8.
Il résulte de tout cela qu'il n'y a de formes primitives de dé- terminant— M, dont le nombre caractéristique soit, que quand M est congru à l'un des nombres 1, 2, 3, 5, 6, suivant le mo- dule 8, et cela dans un seul genre qui sera impropre quand M= 3, desorte qu'il n'en existe aucune lorsque M= o, 4 ou 7(mod. 8). Au reste, il est évident que si(—a,— b,— c) est une forme

344 RECHERCHES
primitive négative qui ait+ 1 pour nombre caractéristique, (a, b, c) sera une forme primitive positive dont le nombre ca- ractéristique sera— 1. On voit par là que dans les cinq premiers cas(quand M= 1, 2, 3, 5, 6), il existe un genre primitif positif dont le nombre caractéristique est— 1, genre impropre si M= 3, et que dans les trois autres(quand M= o, 4, 7) il n'en existe
aucune.
289. A l'égard des représentations propres des formes binaires par la forme ternaire a‿‿έ‿/ Pon peut déduire ce qui suit de la théorie générale exposée au ne 282.
1. La forme binaire Q ne peut être représentée par la forme)], à moins qu'elle ne soit primitive, positive, et que son nombre caractéristique ne soit— 1(déterminant de la forme f†). Ainsi aucune forme de déterminant positif, ou méême de déterminant négatif— M, si M= o(mod. 4) ou= 7(mod. 8), ne pourra. Stre représentée proprement parf.
2⁰°. Mais si H%=(p, 9, 1) est une forme primitive positive de déterminant— M, et que— 1 soit son nombre caractéristique, il sera aussi celui de son opposée(p,— 9, r), et alors chaque valeur de l'expression-(p,— 7, 1) fournira des représenta- tions de par f, c'est-à-dire que les coefficiens de la forme ter- naire g de déterminant— 1(n“* 283) seront nécessairement en- tiers, que g sera une forme définie et partant équivalente à 1 (n“ 285, I).
ze. Le nombre des représentations qui appartiennent à la même valeur de l'expression—(p„,— 7, r) est égal dans tous les cas, excepté dans ceux où M=at ou 2, au nombre de transformations de f en g(n 283, III), et sera parconséquent (ne 285) égal à 48. II suit de là que lorsque l'on connattra une représentation appartenante à une valeur donnée, on trouvera les 47 autres, tant en permutant les valeurs de,), entre elles de toutes les manières possibles, qu'en les affectant de dif- férens signes. Ainsi les quarante-huit représentations ne donnänt qu'une seule décomposition de la forme en trois quarréès, 81
P'on ne considère que les quarrés, et non Vordre et les signes des racines. b
4

4 r 2. fa Aℳ, Sf u“ da‿f pe,—
he Lee‿g. e Ne M2 2,— Vr. vde
E,„—— Wu, ä= ᷣ 4 I, 2
nundis ,e f,, le, E, u, Se, 3 ·S, ah
eidg ged e A, t/ 7 Z. I Sl. 2νQ 4π V C, 4. L/Aſ Drimig.,—.9 5 A 2— A 7.
Dra W 1 b u nils n, u o, ur arfe, Ke Seee 2u
dA‿f e L——“. h f mo AA, a uee— G
— 2 e de d en i 7=, o
8), ne mn 7. A)
tire posliited 7!, 2
3* 5 et alor chaga nau r e ephe den]h S P des repttelix I, w, h .. ⸗ 8. s e ee. de la forme e& 4 7, 1 2, A4 A 6 K chr u Kh-— quiralene 1 Mtr..
affectani de 4 4 2 3 8„„ X. 2.2fn n. e ⁴ 10 1*“ I A. A. ap Aeeg, een e a a „anmaert cZA 8—. trols orar 1 5 V=* 4 F, f Icch 3 4 V 2 2 46——.
T,. 2
„ 4?/ Pr ee„. 2,2)/ be as Lere 2„ 2. Siiuee de
—
— 3—2—„ 74. f 5—, A⸗ Aaee e e f. unrch L=e e h,s,

. e V.— A,
4.,— M— ℳ Ve. A WA A, ,——„
2,, 4 7. 7„ 4 Va⸗.“ wA She-A A
P p, e A4 z 6 Vl, 2 be Pa, A, S 2— e v,e rnr e,, eee
b o h. 22 2 2 UaOh,= Dh,= N. S erer 5
8
t e, I,— 7„,„ k 6 2i. A z.— P. 7
an 7., e
A h. A. 7.„ Ee/ 2.„ aa An Aee ſ ep/ erbuu, e 1 3
. F I a— pe 4 0— 4 u aer ee 2 CGaoee
h, e,;,,, f J Te 4 6 2 à f 4 G N2e—.—— e 8 7„— 2 7 A e V, fve.* Zde—
2n 7 N. 2 2 Tr k. l. 7, 3 2,— 1 47 5 2ℳ Ae,= 226 elae, 6 85 4 6 2u. g e Gee
2 4 21 4— 54„ 4 N 4— 22— 42 T.
4„2 A- 4 24—. 3— 2—A ⸗— ₰ 77„ e hi at ee— 9 3—2 f 4 gr.. e A. 1—.— ₰ 2* ,/ 2 es ꝙ& 2— 4 A7* 4 C,
H, n, I Seoo h, K.

* — All⸗, ſ
ARITHMETTIOUES. 345 4. Soit& le nombre des diviseurs premiers impairs de M; on déduit sans peine du ne 235, que le nombre de toutes les
valeurs différentes de l'expression V—(p,— 7, r)(mod. M.)
A 0 2„ 42 est 20, dont on ne doit considérer que la moitié(quand M= 2): ainsi le nombre de toutes les représentations propres de la forme 9 4—1 4A+3. 2, Parj sera 48.2= 3. 2 4†; mais le nombre des décompositions *— 7 ½ 4—1. en trois quarrés n'est que 2
Eæemple. Soit ‿ 198+‿6tu-† 412*, et partant M= 770; on a ici à considérer(ne 283) les quatre valeurs suivantes l'ex- Pression——(19,— 5, 41)(mod. 770): (39, 237),(171,— 27),(269,— 83),(291,— 127). Pour trouver les représentations qui appartiennent à la valeur
(39, 237), on détermine d'abord la forme ternaire g=(2 6 3*
en laquelle on trouve que f se change, à l'aide des méthodes Précédentes(nes 272 et 275), par la substitution 1,— 6,— 0o;— 5,— 2,— 1;— 3,— 1,— 1. D'oà résulte pour la représentation de par f, T= I— 6 u,=— 3t— 2, 2=— 31— 1. Pour abréger, nous nous dispensons d'écrire les 47 autres repré-
sentations qui naissent de celle-là par permutation et changement de signes. Mais ces 48 représentations ne donnent qu'une seule
décomposition en trois quarrés,
12— 12t+ 36 ⁴*ν, 94*+ 12714+ 4, V 9t ‿ 6α ‿ ι⁷. Absolument de la méême manière on tire: de la valeur(171,— 27) la décomposition(3t. 5 u)+(3t— 4u)“ t⸗
de la valeur(269,— 83) la décomposition(- u)“+†(3t 2) 2+(Zt— 2u)“ de la valeur(291,— 127) la décomposition(t+. 3u)+(3t- u)“+(3t— 4u)“.
Chacune de ces décompositions répond à 48 représentations. Mais ces 192 représentations ou ces quatre décompositions sont les
seules, parceque, 770 n'étant divisible par aucun quarré, il ne peut y avoir de représentations impropres.
290. Nous ajouterons quelque chose de particulier à l'égard des XX
ha

3/6 RHRECHERCHES formes de déterminant— 1 et— 2, qui sont sujettes à quelques Observons d'abord gênéralement que si Q,% sont deux formes binaires équivalentes quelconques,(O) une transfor- mation de la première en la seconde, en combinant avec(O) une représentation quelconque de la forme Q par une certaine forme ternaire, on obtient une représentation de la forme Qν par ſ; en outre, que de cette manière, les représentations propres de conduisent à des représentations propres de 0% les représen- tations différentes de% à des représentations difflérentes de, et qu'en opérant de mème sur touteès les premières, on obtiendra toutes les dernières. Tout cela se prouve facilement par le cal- cul. Ainsi l'une des formes peut se représenter par f d'autant de manières que l'autre. 1e, Soit d'abord.☚ν+. u, et une autre forme binaire de dsterminant— 1 qui sera parconséquent équivalente à O; sup- posons que O se change en 9 par la substitution 1= at+ Bu 2=„+ Ju. La forme Q se représente par la forme ternaire = a*++*, en posant ˙=t,= g, 2=o. En permutant , y, 2, il en résulte six représentations, et de chaeune d'elles on en déduit quatre en changeant les signes det et de u, desorte qu'il a en tout vingt-quatre représentations différentes qui répondent à une seule décomposition en trois quarrès et qui sont évidemment les seules. On conclut de là que la forme ne peut se décomposer que d'une seule manière en trois quarrés, qui sont: (at-‿ u)“,(Qε‿ιςι*˙, et o, cette décomposition équivaut à vingt-quatre représentations.
2*. Soit. ‧☛σά 1+ 2u“, et † une autre forme quelconque de dé- terminant— 2, en laquelle se change par la substitution = al' ‿ Zu, u= y Ju; on conclura, comme dans le cas précé- dent, que et parconséquent dne peut tre décomposé que d'une seule manière en trois quarrês, savoir, G en 12+‿ u‿ ‿‿uν et en
(ar ‿ u)+‿(Qνι‿*υ‿³μ‿‿‿οκdu on voit facilement que cette décomposition revient à vingt-quatre représentations.
exceptions.
Hl suit de là que les formes binaires de déterminant—1 et

eltes dear RA b 1 M
) due danna. dwant Mee G ar e dern de k dem entation, gun 9, les une. erentes de 7,6 8, on dhüian nent par le d.
er Dar f daua
korme biniin dleute 6,8. nr 1= l. a forme ternar o. In permuum eune dellés Ge- „desorte qoälſ qui mipendent, at eridemmeutle e décompover q
t0, qredconquedd 4 ar la sobsftubd dams le cssfrit omposd ge be — 9'pu“ etd el u);
eat à ri aul
erwinaut 3
———————————————
ARITHMETIOVUES. 35 — 2 s'accordent parfaitement avec les autres, quant au nombre des représentations par la forme ternaire£‿; en effet, comme dans les deux cas on au= o, la formule donnée au nu- méro précédent, 4', conduit à vingt-quatre représentations. Cela vient de ce que les deux exceptions auxquelles elles sont sujettes se compensent mutuellement.
Nous omettons, pour abréger, d'appliquer à la forme x*‿ ‿†2ν* la théorie générale des représentations impropres exposée au n“ 284.
291. La recherche des représentations d'un nombre donne po- sitif M, par la forme+‿ερ☚αε‿φ☚η*, est d'abord ramenée„par le n“*¹ 281, à la recherche des représentations du nombre— M⁴ par la forme— aæν—— 2= j. Or on trouve ces dernières par les procédés du n“ 280, ainsi qu'il suit:
1⁰*. On cherchera toutes les classes de formes binaires de de- terminant— M, dont les formes peuvent étre représentées pro- prement par la forme X+. F=+ 2⸗= F, qui a f pour ad- jointe. Quand M= o, 4 ou 7(no 288) il n'existe point de telles
classes, et parconséquent le nombre M ne peut pas étre décom-
Posé en trois quarrés qui n'aient pas de diviseur commun(). Mais quand M= 1, 2, 5 ou 6, il y aura un genre positif pro- prement primitif, et quand M= 3, un genre improprement pri- mitif, qui renfermera toutes ces classes dont nous représenterons le nombre par k.
2⁰. De chacune de ces classes on tirera à volonté une forme; soient ces formes%,*, O', etc. On cherchera les représentations e.* propres de chacune d'elles par F, le nombre en sera 3. 2 eᷣχ„ x étant le nombre des facteurs premiers impairs de M. Chaque représentation de cette espèce, telle que X= mt-†nu, F=m't nu, Z=m't † nu,
(*†) Cette impossibilité se manifeste d'elle-méême; en effet, la somme de trois quarrés impairs est evidemment=3(mod. 8); la somme de deux impairs et d'un pair est= 2 ou= 6; la somme d'un pair et de deux impairs est= 1 ou = 5; enfin la somme de trois pairs est=O ou= 4; mais dans le dernier cas. la représentation est évidemment impropre.
2

348 RECHERCHES donnera une représentation de M par ‿41ι ‿, qui sera T=m'’n— min,„— mn— mn', 2Z— mn.— mn 1 et l'ensemble de ces représentations, que nous désignerons par Q,
renfermera nécessairement toutes les représentations de M.
Z°. Ainsi il ne reste plus qu'à examiner si dans Q il peut se trouver des représentations identiques, et comme(n 280, 3⁰) les représentations qui sont dérivées de formes différentes sont néces-
sairement différentes, tout se réduit à chercher si, parmi celles qui se déduisent de la même forme, de òO, par exemple, il peut
y en avoir d'identiques. Or il est évident, au premier coup-
d'œil, que si, parmi les représentations de%, on trouve la suivante:
X=mt+ nu, F=m't-nuu, Z=m't n,n, on y trouvera aussi X= mt— nu, F=—m't— nu, Z=— mit— unu.(r),
et que de chacune on déduit la même représentation de M, que nous désignerons par(R); examinons donc si la représentation(N) peut encore résulter d'autres représentations de la forme. On voit par le ne 280, 3, en y faisant X ‧= 0, et supposant que toutes les transformations propres de O en elle-mèême soient données par les formules 1= at- u, u=e t Du, que toutes les représen- tations de la forme 9, dont(R) peut résulter, seront exprimées par
æ=(am+.„n)t †(m-.᷑ Tn)u,„=(am.- ynt-(2m- J)u, 2=(am n')t+(Lm Tnu;
mais il résulte de la théorie exposée no 1/19, sur les transforma- tions des formes binaires de déterminant négatif, qu'excepté les cas où l'on a M= 1 ou M= 35, il n'y a jamais que deux trans- formations propres de la forme O en elle-même: 1, o, o, 1 et — 1, o, o,— 1. On doit remarquer en effet que la forme étant primitive, le nombre désigné par m au no 179 est ici 1 ou 2, et qu'ainsi le premier cas a nécessairement lieu, excepté pour les valeurs 1 et 2 du déterminant. Donc(R) ne peut provenir que des seules représentations et%, et parconséquent toute repré-
sentation propre du nombre M est contenue deux fois dans 42 ½

27. V lon de I l résentaticu(h a forme D. Ul osant quetouiä ent donnéss g es les repköxer. t exprimees M
jes tranöſormk ow excegi B6 que dems fuié : 1, 0,0, 96
arne 9 Gä
2st jci 1 l2
excepis ol b
tt proreuit ſ Ie int toule rn b luis ds 9)
e,let nerie en. o troceh
aufalt a e e h⸗ Sea, L.he t uc; 3 g
————
H Ae. n
— he ee—— 2 M, peA. 1 l
0 ₰„,— 9 eu A ſe ln e n, no. 96, 3 9, it*& 2Ale. 4 aereflt S, Wie
7 7D,—7,
. A
— o mn 0.— e.
— e e
2.,f .æ r u,
, 2, A,= KA re n ef r we, i 2 Fef Jl,b, 4V1, 4,—, a. 2, ve A., 24 ABezee Ar Aa 2Ae 94 A 22 e, da,„ 2 ℳ„,7* 22 A,. 7 4 S 2„ 35
c. Shbe 22A 4.4 e=—, Lt r, J
4 ⸗ e ſ 2 ſcfrere,. fh, Fa.
2 7 nn HPla“ fie in A n 2i. Türen
9 K. 7.— A/ e A— d, O 46,, 2, e 4, u en ee aAG, e⸗. ae 7 2A A
eEe e ee, n e ne
n e, e., r e
4— eAr,en,, 6 2A,,
2e f— 2. h,AJh,— nee ne E e rre,= 2z k,
F A— a. Sef 19 fh,
Vorrf n u
e—
Ln
aarn ge ,feter

—
2—ÿ

8— 1—— ö 8 —ℳ— —
ARITHMETIOUES. 349 mais ne peut l'étre davantage. Le nombre des représentations propres différentes de M est donc 4=g3 2.
Pour ce qui regarde les cas exceptés, le nombre des transfor- mations de en elle-mêeme sera(ne 179) 4 pour M= 1, et 6 Pour M= 3: et en effet, on voit facilement que le nombre des représentations de 1 et 3 sont K et K respectivement, puisque chacun de ces nombres ne peut se décomposer que d'une manière en trois quarrés, savoir, en 1+o+o, et 3 en 1+ 1+ 1. La décomposition de 1 donne six représentations, celle de 3 en donne huit. Or, pour M= 1, on a K= 24(puisque u= o et K= 1); Pour M= 3, on a X= ¶A48(puisque 1 et 4= 1).
Au reste, observons que si 7 désigne le nombre de classes du Senre principal, qui(ne 252) est égal au nombre de classes de tout autre genre proprement primitif, on aura A= h pour M=r, 2, F, 5, 6(mod. F); mais K᷑²ỹü z h pour M= 3, excepté le seul cas où M= 3, dans lequel X= 1= 1. Ainsi„Pour lesnombres de la
forme 8n+. 3, le nombre des représentations est en général 20◻+☛22. puisque dans le cas cà M-= 3, les deux exceptions le comprennent.
292. Nous avons distingué les décompositions en trois quarrés, tant pour les nombres que pour les formes binaires, des représen- tations par la forme+‿ ν◻½+‿ο☚᷑ũ◻QꝛQ, en ne considérant dans les pre- mières que la grandeur des quarrés, et dans les dernières, en outre de la grandeur des racines ‚leur ordre et les signes qui les affectent; de manière que nous regardons comme différentes les deux repré- sentations T=⸗ a,= 5, 1=e, et= a, y=„, z=e⸗ tant que l'on n'a pas a= 2ν, 5= F, G= G; tandis que les décompo- sitions a*ν+‿‿ ̈τ+‿νοα ε †‿ B+ n'en font qu'une seule„ si les premiers quarrés sont égaux aux derniers, sans faire attention a
à leur ordre. Il suit de là,
1. Que la décomposition du nombre M en trois 2ν+‿(Lbu † ds équivaut à quarante-huit représentations n'est nul, et qu'ils soient tous inégaux; à vingt- des quarrés est nul et que les autres soient inégau ne soit nul et que deux soient égaux. nuls, ou que l'un d'eux soit nul, tand égaux, ou enfin qu'ils soient tous troi
quarrès „ si aucun quatre, si l'un x, ou qu'aucun Mais si deux quarrés sont is que les deux autres sont s égaux, la décomposition
—
———————

RECHERCHES équivaudra à six, à douze ou à huit représentations. Or cela ne peut arriver que Jans les cas particuliers c M= 1, ou 2, ou 3 respectivement„, kant que les représentations doivent être propres. Pxcluons ces trois cas; désignons par E le nombre total des dé- compositions qu nombre M en trois quarrès qui waient de commun
diviseur, et supposons que parmi ces décompositions il y en ait& dans lesquelles un des quarrés soit nul, et e dans lesquelles deux des quarrés soient égaux: on peut regarder les premières comme des décompositions en deux quarrès, et les dernières comme des dé- compositions en un quarré et le double d'un quarré. Alors le nombre
total des représentations du nombre M par.mm0ñ 2 sera 24(e+ e)+ 8(E+e— e)= 48E— 24(« e).
lais de la théorie des formes binaires on déduit facilement que e
390
4.— 1 2 8 sera ou= o, ou— 24—1 suivant que— 1 est non-résidu, ou
résidu quadratique de M, et que G sera= o, ou= 2 1, suivant que— 2 est non-résidu ou résidu de M,&½ Etant le nombre des facteurs premiers impairs de M(n, 182); nous supprimons le développement de cette conséquence: il suit de là que l'on a
—2 2 2 74—3„K si— 1, et— 2 sont non-résidus de M;
— 2.„.. E= 2(k-+ 1¹), si l'un des deux est résidu, et l'autre non-résidu;
— 2 0„ E= 2(k+ ²), si— 1 et— 2 sont résidus de M. s Oð M.= ʒ1 ou 2, cCar
Ces formules ne sont pas applicables aux ca 1; mais pour
elles donnent E=, tandis que l'on doit avoir E= M= 3 on trouve E=:, parceque les exceptions se compensent.
Toutes les fois que M est un nombre premier, on aε‿η; et partant,
E=(K† 2), si M= 1(mod. 8).
=(K+ ¹), si M= 3 ou= 5(mod. 8).(nos 108 et 116).
Legendre a découvert par induction ces théorbmes particuliers, et les a consignés dans le Mémoire que nous avons déjà cité souvent avec éloge.(Hist. de l'Acad. de Paris, 1785, p. 530 et suivantes). S'ils sont présentés sous une forme un peu différente, c'est que ce savant géomètre n'a pas distingué l'équivalence propre

ent de Commu wi Jeu äte lesquile beu emieres coda Bcomme des Nlotsleundhe *+. d Ke (e*). cilement que non-residu, u „ou= 1 ttant le noubn supprimossb que Lonà
e V; 7, 1 atre nou-resldc
M.
= 1 0u 2, cl 1; mais pod ze compenselt
n 44e17
ARITHMETIOVES. 331
de l'équivalence impropre, et a Parconséquent mèlé avec les autres les formes opposées.
2⁰. Pour trouver toutes les décom
en trois quarrés premiers entre eux„il n'est pas nécessaire de cher-
cher toutes les représentations Propres des formes, G&ο„“„ etc. En effet, on voit d'abord facilem
sentations de la forme=(, g valeur de l'expression—(p„, composition du nombre M, et une de ces représentations, on naitre les différentes décompo quarrés. Il en est de meme des formes,', etc. appartient à une classe non-ambigué, on pourra ne pas s'occuper de la forme qui serait tirée de la classe opposée, c'est-à-dire que de deux classes opposées, il sufft d'en considérer une. Comme il est en effet indifférent de prendre telle ou telle forme dans chaque classe, supposons que dans la classe opposée à celle oü est d, on ait choisi la forme opposée à%, que nous désignerons par Q†. On
voit alors au premier abord, que si les décompositions propres de la forme sont représentées indéfiniment par
(&t-=̃ hu.)“+(&*ι‿π‿ ι ν+.(&*ε‿‿ ½'ι*), les décompositions de la forme 9' le seront par
(&t-— hu)“+(&ε-— Hu)“+(&— Hlun)“, qui donnent les mèmes décompositions du nombre M que les pre- mières. Enfin, dans le cas ou la forme est d'une classe am- bigué, sans être de la classe principale, ni équivalente à la forme (2, o, M) ou à la forme(2, 1, 2(M-O 1))(suivant que M est pPair ou impair), on pourra omettre la moitié des valeurs de l'ex- Pression—(p,— 9, T); mais pour abréger nous ne donnerons pas plus de détails sur cette simplification.— Au reste, on peut employer ces simplifications, même quand on veut avoir les représentations propres de M Par æ‿‿νν‿ηι, puisque l'on déduit facilement celles-ci doès qu'on a les décompositions-
ositions d'un nombre donné. P
ent que les quarante-huit repré- „ T) qui appartiennent à la mème — 7, r), donnent la méême dé-
—
—
) On doit toujours sous-entendre décompositions propres, en transportant cette
expression des représentations aux décompositions,

35²2 RECHERCHES
Cherchons, par exemple, toutes les manières de décomposer en trois quarrés le nombre 770, par lequel& 3, e= C= o, et partant E= ak; par la classification des formes binaires po- sitives de déterminant— 770, classification que chacun peut faire à l'aide de ce qui a été dit ne 231, et que nous pouvons nous dispenser d'inscrire ici, on trouve qu'il y a trente-deux classes qui sont toutes proprement primitives et peuvent se distribuer en huit genres, desorte qu'on a X== 4 et E= 8. Le genre dont le nombre caractéristique est— 1 doit avoir, à l'égard des nombres 5, 7, 11, les caractères particuliers R5; N7; NrI: d'où(ne 263) l'on conclut facilement que le caractère de ce genre, à l'égard du nombre 8, doit être 1 ex 3,8. Or le genre dont le caractère est 1 el 3,8; R. 5; N. 7; N. 11, comprend quatre classes, pour re- présentantes desquelles nous prendrons les formes
(6, 2, 129),(6,— 2, 129),(19, 3, 41¹),(19,— 5, 4¹); mais nous rejetons la seconde et la quatrième classes, comme opposées à la premidère et à la troisisme. Or nous avons déjà donné (n“ 289) les quatre décompositions de la forme(19, 5, 41), il en résulte pour les décompositions du nombre 770 en trois quarrès
9+ 361+ 400, 16+ 25+ 729, 81+‿400+ 289, 576+ 169 25; on trouve de la mème manière, pour la forme 6*◻◻‿ μι‿ς‿ i 29 403 les quatre décompositions (t— 8)+(21 u)“+(e- Su)“,( t— 100)*(2 ‿)‿(1 2¹)“, (21— 5u) ℳ 1+ 1010)+i- 2u)“,(2l+‿ᷣ 7u) ℳ t— 8 ⁴)*‿+(t— 4⁴)“, qui résultent des valeurs respectives
(48, 369),(62,— 149),(92,— 159),(202, 61) de l'expression—(6,— 2, 129), et donnent les décompositions du nombre 770 en
225+ 256+ 289, 1+144 625, 64+ 81+ 625, 16+ 225+ 529. Ces huit décompositions sont les seules que l'on puisse avoir.
Quant à ce qui regarde celles dans lesquelles les quarrés ont des diviseurs communs, l'application de la théorie générale du n* 281 est trop facile pour qu'il soit nécessaire que nous nous y arréêtlons.
293.

T e, 1 llgun 4 le caracim 4 lases poul 3

Fenre, à légula at l caracttr t dases, pun nes
¹,—, 41) 1 e clases, com
s arons diib 7
de(19, 5 9) 9 44,
7o en trob quns/
„& 5 2
33, 33, 76é FJ- bgd 3,2 716, 9. e Ge. erru 1ru) b
—uy**,

C——
mi
un n
tia u
Gele
tnen elier i olt ncd dnpo gi dei E bon oppesc bir„6 dldure teoren rungu tingu diant
Gud
hna Alor 65
bepl,
V Kditra V b leste

ARITHMETIOUES. 353
293. Les recherches précédentes servent aussi à démontrer que Tout nombre entier positif est toujours décomposable en trois nombres triangulaires; théorème célèbre trouvé par Fermat, mais dont la démonstration manquait jusqu'à présent(*). Il est
svident que toute décomposition du nombre M en trois nombres triangulaires
2(‿ν) ⁷d4†˙ 2 1)+ 12(+1), conduit à une décomposition du nombre 8MH3 en trois quarrès impairs
(2z+˖ 1)+†(2+ 1)+(22+ 1)“,
et réciproquement. Mais par la théorie précédente, tout nombre entier positif 8M-. 3 est décomposable en trois quarrés, qui se- ront nécessairement impairs(n* 291, note), et le nombre des dé- compositions dépend, tant de celui des facteurs premiers de 8M-H3, que de celui des classes suivant lesquelles peuvent éêtre distribuées les formes binaires dont le déterminant est—(8 M+f 3). Nous supposons que le nombre 1α+ 1) soit regardé comme triangu- laire, quelque valeur entière que- l'on donne à*σ; si l'on voulait exclure zéro des nombres triangulaires, il faudrait énoncer le théorème de la manière suivante: Tout nombre entier posllif est triangulaire, ou décomposable en deuæ ou en trois nombres triangulaires. II faut faire le même changement dans le théorème suivant, si l'on veut exclure zéro du nombre des quarrés.
On démontre par les mêmes principes cet autre théorème de Fermat:? Tout nombre entier positif est décomposable en quatre quarrés. En effet, si l'on retranche d'un nombre de la forme 4 2+ 1, un quarré pair; d'un nombre de la forme 42+‿2, un quarré arbitraire; d'un nombre de la forme 42+3, un quarré impair; les restes seront décomposables en trois quarrés. Quant aux nombres
3 de la forme 4n, on peut les représenter par 4¶ N, N étant né- cessairement de l'une des trois formes ci-dessus; or quand on
7 2 aura décomposé le nombre N, en quatre qnarrêés le nombre 4 N le sera aussi. D'un nombre de la forme 82+ 3, on pourrait encore re-
(*) Voyez les Additions de l'auteur, à la fin. y

354 RECHERCHES trancher le quarré d'un nombre pairement pair; d'un nombre de la forme 82-+7, le quarré d'un nombre impairement pair; d'un nombre de la forme 8a- 4, le quarré d'un nombre impair, et le reste sera décomposable en trois quarrés. Au reste, ce théorème a déjà été démontré par Lagrange(Nouveaua Mamoires de l'Acad. de Berlin, 1770, p. 125). La démonstration de cet illustre géo- mètre, qui est entièrement différente de la nôtre, a été exposée avec plus de détails par Euler(Acta Ac. Petr. Vol. II, p. 48).
Les autres théorèmes de Fermat, qui font, pour ainsi dire, la continuation des précédens, savoir: que tout nombre entier est décomposable en cinq nombres pentagones, six nombres hexa- gones, sept heplagones, manquent jusqu'à présent de démonstra- tion et paraissent exiger d'autres principes.
204. THEORkME. a, b, c Glanl des nombres premiers entre euæ, dont aucun n'est= o, ni divisible par un quarre, L'cᷣgua- tion ax=+‿˖ by=+ ce= o.() n'admeéltra pas de solutions en- tiores(eæcepté la solution Xx y=z= O, Que nous 16 conside- rons pas), à moins que— be,— ac,— ab ne soient residus guadratiqu‿s de a, b, c respectivement, et qu dεs derniers ne soient affectés de signes dillérens; mais si ces conditions ont Iicu, l'éguation(o) sera résoluble en nombres entiers.
Si(o) est résoluble en nombres entiers, elle le sera par des valeurs de æ, y, z qui n'auront pas de diviseur commun; car toutes les valeurs qui satisferont à l'équation(), y satisferont encore après avoir été divisées par leur plus grand commun di- viseur. Supposons donc que l'on ait ap=+.· bq+ er= o, et que „, 7, T soient premiers entre eux, ils le seront aussi deux à deux. En effet, si— et r avaient un commun diviseur, ce nombre serait premier avec p; mais ν divise ap', donc il divise- rait a, contre l'hypothèse: par la même raison, p et r, pet qsont premiers entre eux;— ap' peut donc stre représenté par la forme binaire by'+ c“, en attribuant à y, z des valeurs premières entre elles et qui seront celles de q et de p; ainsi le déterminant— bo de ceite forme est résidu quadratique de ap', et parconséquent de (n 154). On aura de la méme manière— acRh,— abRc. Quant à la condition qui exige que ⁊, 5,& n'aient pas le meme signe, elle est si évidente qu'elle n'a pas besoin d'explication.

u dondee des dir. dem mn dir, et kn
ee bann
iresdi DAan e cet illage 9 de, à hn
6 V. 0l. I) 6 Doux aini ên t nonbex aii- ir vondr h
ut de douuni,
remiers en guant, lämu de Solautions a- ous ne concib- soient reil ces dervien conditions m entiers. le gera par Ce r commun; da ), y satiskkor and commud- -r= 0, to at ansi deul; dirisenr u¹, C „ Gdope l drir
.—eeͤͤdodohöͤſͤſͤöͤöͤöoͤſͤͤ“———————
ARITHMETIOVUES. 355 Pour démontrer la proposition inverse, qui constitue la se- conde partie du théorème, nous commencerons par donner le moyen
7 a, b, de trouver une forme équivalente à la forme( 80 2)3 et telle
* 2
que les deuxième, troisième et quatrième coefficiens soient divi- sibles par abe, et de là nous déduirons la solution de l'équation(o).
1⁰. On cherchera trois nombres entiers A B, C qui m'aient pas de diviseur commun, et tels que A soit premier avec 5 eto, B avec a et, C avec a et 5, tandis que a+ bB⸗ † oC“ sera divisible par bo, ce qui se fait de la manière suivante: Soient H, K, L respectivement des valeurs des expressions b
V— bo(mod. a), v— ac(mod. 5), N—— ab(mod. c),
valeurs qui seront nécessairement premières avec a, 5, œ respec- tivement. On prendra à volonté les trois nombres entiers, K,, pourvu qu'ils soient respectivement premiers avec a,, œ(on
peut, par exemple, les prendre tous égaux à 1). Cela posé, on
déterminera A, B, C de manière qu'on ait A=ho(mod. b) et=I.(mod. c), B=æla(mod. c) et hfil(mod. a), 2— hb(mod. a) et=kK(mod. b);
on aura alors
aA.b BC= h:(bEH+ꝑTrCD)= h(bIE= BEH)= o(mod. a), c'est-à-dire que aA-.b oCs est divisible par a; on prouvera- de la mèême manière, qu'il est divisible par 5 et par o, et par- conséquent par abo. On voit en outre que A est premier avec b et e, B avec a et e, O avec a et b. S'il arrivait que les va- leurs de A, B, O eussent un diviseur commun, serait né- cessairement premier avec a, 5,, et partant avec abo; donc en divisant ces valeurs par 2, on en obtiendra de nouvelles qui n'auront pas de diviseur commun, et qui satisferont à la con- dition de rendre aA+ 5+ o“ divisible par abo, et parcon- séquent à toutes les conditions.
2° A, B, C Gtant ainsi déterminés, Aa, B5, Co n'auront pas non plus de commun diviseur; en effet a étant premier avec Bb et Co, il s'ensuivrait que le plus grand commun diviseur supposé, que nous désignerons par †, serait premier avec a; on
2

5⁵6 RECHERCHES
prouvera de mème qyue est premier avec 5 et; donc il de- vrait diviser A, E, C, contre l'hypothèse. On pourra donc trouver trois nombres,,, tels que l'on ait aAa-+‿ 8- Oo=r: on cherchera six nombres, G,„;*,„˙,“ tels qu'on ait
9— ,= Aa,—-= B5, a—e= Co; Ja forme/ se changera, par la substitution .,, 2, G,;, 7, 7"⸗
812 m', mn
8 7I. 0 0 6 en une certaine forme 2—,) qui lui sera équivalente, 2
4 822 n', n et dans laquelle m'¹, m', n seront divisibles par abc. Posons en
effet b 3⁰⁄„—= A, Ja—„,—= C“, 2)%— G07%= ₰“',„ ͦ-)„ α= B', 4 ◻—= O' on aura = B'Cc— CBb, ‿ñ= CAa— ACo,= A'B5— BAa, a= CB5b— BF'Co, g= ACo— CAa,==B'Aa— A B5; et en substituant ces valeurs dans les équations maa D 2COO,, m= a⁴‿‿ꝗρᷣνν‿‿‿ςσ, n=aa α‿νι⁸ςες‿ρ‿μ on trouve, suivant le module a, = 50ℳ“‧(Bb+ C=O)= o, m'= bA(B'b+ Cc)= o, n= boA A“(B5 C=c)=o, c'est-à-dire, que m, m', n sont divisibles par a: on démonfre de même qu'ils sont divisibles par 5 et par e, et ainsi par abc. 3°. Faisons, pour abréger, le déterminant des formes, g, c'est-Aà-dire, le nombre— abc= d, md= M, m= M'’d, m= JA ˙d, n= Nd, n= N“, n= N“; il est clair que j se change, par la. substitution ⁴, a, a, 2d,&, 6;„d, ,)„)..(),
.. AId., M’d, M'd.—.. en la forme ternaire S(E 5 n. T v 4) de déterminant,
qui est parconséquent contenue dans f. Or je dis que cette forme
. 6, O, 0 est nécessairement équivalente à la forme 9e(†☛) En ef-
— 0, b 4.* M M. M“—2 fet, il est gvident que 9,( N N d) est une forme ternaire 2* 5

7. era eculnäler,
ahc. Doama
90—
180;
41.35— 5,
8 Ac— 430,
erigg,
+ 00)=o,
a on démonte t ainsi par dh s formes f, 9, 117,= L change, palii

ARITHMETIOUES. 57 de déterminant 1; or, comme par hypothèse a, b, œ n'ont pas tous les trois le mème signe, Fest une forme indeſinie,„ d'où Pon conclut facilement que g et 9“ sont aussi des formes indé-
finies; donc g“ sera équivalente à la forme( 379 3) 277),
et l'on pourra trouver une transformation() de la première en la seconde. Mais d'ailleurs la transformation(&0 change 39 en; donc sera contenue dans F, et de la combinaison des
substitutions(),(&), on déduira une transformation de Ffen g Représentons-la par
1 T,— 6, 6, 6,,; il est evident qu'il en résultera deux solutions de requation(o0): 1‿ 38, Frd, zrr’ et=,= 5, 2=6':
on voit aussi que les valeurs ne peuvent stre toutes égales ³ à z6ro en même temps, puisque l'on doit avoir
Tsς‿φς 4+ 4760— Ts. 6—— 766— 2= Exemple. Soit 74— 15)+. 232*= o l'Squation proposée; elle est résoluble, puisqu'on a 345 R,— 161 Rr5, 105R23. On trouve pour valeurs de H, K, L. les nombres 3, 7, 6, et faisant h=k=l= 1, on en déduit A= 98, B=— 59, C=— 6. De là résulte la substitution
3, 5, 223— 1, 2,— 28; 8, 25,—7,
par laquelle f. se change en(s A0—2, 5)g. Ontr ouve
pour la substitution(§) b 7245, 5, 22;— 2415, 2,— 28; 19320, 25,— 7,
3670800, 6,— 5 et 9*=(— 1,— 1246, 9735 on trouve enfin que 9 30 change en( 9 2 2) Par la substitu- tion(G0
3, 5, 1;— 2440,— 4066,— 813;— 433,—7,—144, qui, combinée avec(§), donne la suivante: b
9, 11, 123— 1, 9,— 9,— 9, 4⸗

358 RECHERCHES par laquelle ſse change en 8* Nous avons donc une double so-
lution de heqnatjon proposée, savoir: x= 11,= 9,= 4; = 12, q=„z=3. La dernière devient plus simple, en
divisant les valevrs par leur diviseur commun 3, et elle donne
‿—= 4,=— 3, 21.
295. La seconde partie du théorème du n= précédent peut en- core être traitée de la manière suivante. Conservons aux lettres H, K, EL la mèême signification que dans le n- précédent; on cherchera un entier R tel qu; on ait ah=I.(mod. c), et l'on fera ah+ 5= ci. II est aisé de voir que est entier, et que — ab est le déterminant de la forme binaire.‿‿απ(ac, ah,). Cette forme ne sera certainement pas positive, puisque a, b, e
métant pas tous de mèême signe, ab et ac ne peuvent Pas étre tous deux positifs. Or— 1 sera son nombre caractéristique, ce qui peut se démontrer Inthétiquement de la manière suivante: Si l'on détermine les entiers e, e de manière à avoir
e= o(mod. a) et= K(mod. b), cæ ‿H(mod. a) et= hK(mod. 5), (², G) sera une valeur de l'expression V- lao, ah, i); en effet, suivant le module a, on aura e= o=— acd, ec=o=— ah, o 6‿Hfl:=— bo==—e joue=— i; et suivant le module 5, b
6*‿= K=— ao, cees= hk-=— ach ou ee=— ah,
Oνεν ²= h=K=— ach=— c'l ou e= 1z mais puisque les trois mèmes congruences ont lieu à-la-fois pour les modules a et P, elles ont lieu aussi suivant le module ab.
On conclut facilement de là, par la théorie des formes bi- naires, que est représentable par la forme(33 9 2). Suppo- sons donc
aot: aaltu-iu=—(ai 4 Bu) 2C1ℳ gu)(u- 6u); on aura, en multipliant par c,
act-uy A bur=— dat- Bu) 2c(71 4. Ju)(*);
donc si l'on donne à t et des valeurs telles que Pon ait yt+‿ u= O ou&t+ ᷣ= o, on aura une solution de l'équa-

entier, et m =(go, d J Puisque 1,5, eurent as er ristigne, eegi e suiraufé: d ir =kNon.))
4, ¹); euekt
'ioue=-
u a-le foisponr le modulé oh
Jes forqes’
ARITHMETIOUES. 389
tion(), à laquelle parconséquent on peut satisfaire de deux manières, en faisant
—y h, y= y, 2= A—, ou T==OC— eh, y=e,= A6— e. On voit en mème temps que ni les premières ni les secondes va- leurs ne peuvent etre ensemble=o; en effet, si l'on avait dœm h=o et„= o, il s'ensuivrait aussi α o, et partant „=—(at+† Gai), d'où ab= o, contre T'hypothèse: on démon- trerait de même pour les autres.
Dans l'exemple que nous avons donné, on trouve pour la forme celle-ci(161,— 63, 24); en outre(7,— 51) est une valeur de l'expression——(mod. 105), et la représentation de la forme„
par la forme(— 9 9) est
1, 0, O
Q=—(137— 4ã)*+. 20(1 1t— 4¹)(15t— 5 ³),
d'où résultent les solutions x=7,= I1, 2=— 8;= 20,
J= 15,=— 5, ouen divisant par 5, et ne faisant pas attention au signe de z, ½= 4,= 3, 2=1.
Des deux méthodes que nous venons de donner pour résoudre l'équation(), la seconde est préférable, parceque le plus sou- vent on n'emploie que de petits nombres; mais la première, qui peut s'abréger par différens artifices que nous passerons sous silence, parait plus élégante, surtout parceque les nombres 1„ 5, sont traités de la même manière„‚Het que leur permutation ne change rien au calcul. La méeme chose n'a pas lieu dans la seconde, ou le calcul devient souvent plus commode en prenant pour a le plus petit, pour o le plus grand des trois nombres, comme nous l'avons fait dans notre exemple.
296. Le théorème élégant que nous avons exposé dans les nes précédens, a été trouvé par Legendre(Hist. de lcad. de Paris, 1785, p. 507), qui en a donné une belle démonstration, mais entièrement différente des deux nôtres. Cet excellent géo- mètre a cherché en méème temps à tirer de là une démonstration des propositions qui reviennent au Theoreme Ffondamental de la section précédente, démonstration que nous avons déjà annoncé (n* 151) ne pas nous paraitre remplir le but qu'il s'était proposé.

360 RECHERCHES b
Il est donc à propos d'exposer ici en peu de mots cette démonstra- tion, qui est très-élégante, et d'y joindre les motifs de notre jugement.
Il commence par observer que si trois nombres a, b, c sont =i(mod. 4), V'équation ax“+‿ by*+ czo= o() n'est pas rasoluble. En effet, on voit facilement que la valeur de aæ ‿‿by*-* deviendrait nécessairement= 1, 2, 3(mod. 4), à moins que l'on ne donnât à x, y, z des valeurs paires: donc si(c) était résoluble, ce ne pourrait être que par des valeurs paires, ce qui est absurde, puisque toutes les fois que trois nombres satisfont à l'équation(), ils y satisferont encore après qu'ils au- ront eté divisés par leur plus grand commun diviseur, et que par cette opération il résulterait au moins un nombre impair. Or les différens cas du théorème à démontrer, se rapportent aux suivans:
I. p et q désignant des nombres premiers de la forme 4+ 3 positifs et inégaux, on ne peut pas avoir en même temps„Rq et Rp. En effet, si cela était possible, il est évident qu'en po- sant 1=a,— p= b,—=, toutes les conditions nécessaires pour la résolution de l'équation aæ‿‿εᷣε‿ονeo seraient rem- plies(no 294). Mais d'après l'observation précédente, cette équa- tion n'admet aucune solution, donc la supposition ne peut sub- sister. De là suit sur-le-champ la proposition 7 du n“ 151.
II. Si p est un nombre premier de la forme 4n+ 1, et un nombre premier de la forme 40+ 3, on ne peut avoir en mème temps qRp, pNo, autrement on aurait—„ig, et l'équation *+‿¶ py— 9**= O serait résoluble, tandis que Pobservation pré- cédente prouve qu'elle ne l'est pas. De là suivent les quatrième et cinquisme cas du no 131. b b
III. Si p et sont des nombres premiers de la forme 4n-t1, on ne peut avoir en mème temps„ R) et q Np; en effet, pre- nons un autre nombre premier de la forme 4n- 5, qui soit ré- sidu de, et dont p soit non-résidu. Alors, par les cas traités dans l'instant(II), on aura qRr et Wp: si donc on avait pRq et Q Np, il en résulterait qrRp, pRg, pNr, et partant — poRr. Donc l'équation pas+. y— r.* ü= o serait résoluble,
b contre

4 tn t nolis e 1
ka4 eht o 4 Neni 1 . 2 raleur 8 2) 3(wus 9 urs Rira: par des Weun que toismus e aprss gulha
lrien, dt ou nombre iuni.
e rapportelt
b forme, geme temnpd N V rident qaup ltions näcegein =o Feraienten. ente, cette dqur lion ne peut i- du u e. arrl, et Il t aroit el Wil —, et loguin Tobserration Wx ent les quilim
la forme Grr Y n er eftt, E 5, qul an

contre l'observation précédente, et partant, la supposition ne
peut subsister. De là, suivent le premier et deuxième cas du n“* 131.
**
On peut présenter ce cas d'une manière plus simple. Soit 7 un nombre premier de la forme 4 ĩ2+ 5, dont p soit non-résidu; on aura Np, et partant, puisque l'on suppose Rq, Vy, on aura aussi qrRp; d'ailleurs on a—pR,—pRr et parconséquent
— pRgr, donc l'équation+ py— gre== o serait résoluble, contre l'observation précédente, etc.
IV. Si p est un nombre premier de la forme An+ 1, et g un nombre premier de la forme 42+ 3, on ne peut pas avoir en méme temps„R; et„ Np. En effet, prenons un nombre premier 7 de la forme 4n † 1, qui soit non-résidu des deux nombres p et g: on aura(II) MNr, et(III) p Nr; donc pRr. Si l'on avait donc pRo,„ Np, il s'ensuivrait aussi prVq*,— prfo, grRp. L'équation pæs— G Pre= o serait donc résoluble, ce qui est absurde. On tire de là le troisième et le sixième cas du ne 131.
V. p et 7 Stant deux nombres premiers de la forme 4Q+‿3, on ne peut pas avoir en même temps Ng, ¶ Np; supposons en effet que la chose ait lieu, et prenons un nombre premier/ de la forme 4+ 1 qui soit non-résidu de p et de„; on aura grRp, prRg; or(II) on a ꝓÑ et Nr; et partant, pgRr et— pqRr. L'équation — pæ— Df r== oserait donc possible, contre l'observation précédente. De là se déduit le huitième cas du ne 131.
297. En examinant attentivement cette démonstration, on verra facilement que les deux premiers cas sont démontrés de manière à ne permettre aucune objection: mais les autres s'appuient sur l'existence de nombres auxiliaires, et cette existence n'Ctant pas
prouvée, la méthode perd toute sa force. Quoique ces supposi- tions soient si spécieuses, qu'au premier abord elles semblent ne
pas exiger de démonstration, et qu'elles ramènent bien certaine- ment le théorème à démontrer au plus haut degré de probabilité;
cependant, quand on recherche la rigueur géométrique, il est. impossible de les admettre gratuitement. Pour ce qui regarde la.
supposition des quatrième et cinquième cas, qu'il existe un nombre? de la forme 42+ 1 qui soit non-résidu des deux autres nombres 2 2
ARITHMETIOVES. 361
4„ 4 7 4₰ 2 —„

362 HRECHERCHES
premiers ꝙ et 9; il est facile de conclure de la section IV, que tous les nombres moindres que 4p9, et premiers avec lui, qui sont au nombre de 2(p— 1)(7)— 1), peuvent étre distribués en quatre classes égales, dont l'une contient les non-résidus de p et de, et les trois autres les nombres qui sont résidus de p ou de qseulement, ou de tous les deux: d'ailleurs, dans chaque classe, moitié des nombres seront de la forme 4n2 2 1, et P'autre de la
forme 4+ 3. Parmi ces nombres, il y en aura donc(p— 1) (— 1) qui seront non-résidus de p et de„, et de la forme 4n+ 1. Représentons-les par g, 3“ g“, etc., et tous les autres qui sont au nombre de ³(p— 1)(7— 1) par h, F, h', etc. II est évident que tous les nombres de la forme
b Apqt ‿g, 4pgt † g⸗ Apqt+‿g“, ete...(G)
seront à-la-fois non-résidus de p et de 9, et de la forme 4ĩ+ 1. Or, pour établir la démonstration, il ne reste plus qu'à faire voir qu'il y a nécessairement des nombres premiers compris sous les formes(G); cette assertion parait d'autant plus plausible, que ces formes jointes aux formes
Anqt+ h, Apot lH, Apqt h' etc.(f), renferment tous les nombres premiers à p et 7, et parconséquent tous les nombres absolument premiers(excepté 2, p et 9), et qu'il n'y a pas de raison pour que la suite des nombres premiers ne soit pas distribuée également entre ces formes, de manière que la huitième partie appartienne à(G), et les autres à(). Cependant on voit sans peine combien un tel raisonnement est éloigné de la rigueur géométrique. Legendre avoue lui-mèême qu'il lui semble assez difficile de démontrer qu'il y a nécessai-
— A Ket! étant deux nombres premiers entre eux, et t un nombre Aa‿r indéterminé, et il indique une autre méthode qui conduirait
.“ peut-Stre au but proposé. Mais il nous semblerait nécessaire de eeeee faire beaucoup de recherches préliminaires, avant de parvenir . 2, 223 9 par cette dernière voie à une démonstration rigoureuse.— II „ ⸗ suppose encore(III, seconde méthode) qu'il existe un nombre e premier ꝛn, de la forme 4n2+. 3, dont un nombre premier donné p,
. neene„ de la forme 4n †† 1, soit non-résidu; mais il n'a rien ajouté pour
9 — s—„—
— att“?
rement des nombres premiers compris sous la forme kKt+ℳ!,

112 9 89 Larib 1Dpm aa
11 1
—
1 1 1 t MX ecut 1 X t9 4) o prece
1
les e Wi p
Ä'

lou e, Sſ da 2 D aüte
= 10'o as AD ILlea 9) 31 1Oα rabe ug Ea‿ν Al.½ b 26= 2
— a+ La, 27 v)
eMu(rhßN 24.

5 2 2 b z =A, A, Le, Lr o,, H,(A‿ ,=1.S re,, A,„ 3)
5—„/0— 4. 3 ½— Ao 4 =0, 2o=/ 2⸗7 4 ſe, 7.V, h *, b 2, 27= 2-7 4 nch ub,/ 7 9⸗— P, Aℳ= 4. 6 A.— Ahnana 1,, C,,(9,„ 2, 7„ 2
V 8 eraus. (2,2 3 102⸗ 6. 20)
. b* Woy,= opna 2) 8 ½ 4A LAXO T6 2r Seee
b)= 2 lu 21— 6y 22 2 Rgr„ 5 2,
5 ru,;„ b à NKH= G B* 2½ 4
9=(he. X B—) A22⸗ dℳ„asre),e Ao. x& Lw. C 4 7 b ax paex 46 au A 4414 27 1=( u. 3— 4 w:.·„/ 42Kp realt 2e yd 7 5 p, Aer 79) 46.= 22ν4%1k— Ln 9 d arcg, 39, tu,ég⸗ b, 7 u.
=, m4au 2

confirmer sa supposition. Nous avons démontré(ne 129) qu'il
existe nécessairement des nombres premiers dont p soit non-ré- sidu; mais notre méthode ne parait pas pouroir démontrer l'exis-
fence de tels nombres, qui soient en mêôme temps de la forme 4 2+3(ce qui est exigé ici, et non dans notre première démons- tration). Au reste, nous pouvons facilement démontrer, comme il suit, la légitimité de cette supposition. Par le ne 287, il y aura un genre positif de formes binaires de déterminant— p dont le caractère sera 3,4; Np: soit(a, 5, o) une telle forme, et a im- pair(ce que l'on peut supposer). Alors a sera de la forme 4n-†, et il sera premier ou divisible par un facteur premier de? de la forme 42+ 3. D'ailleurs on aura—„Ra, et partant,—p Rr, d'ouù pNr. Mais il faut remarquer que les propositions des nos 265, 287 s'appuient sur le théorème fondamental, et que parconséquent c'est faire un cercle vicieux que d'établir sur elles une partie de la démonstration de ce théorème.— La supposition de la pre- mière méthode du troisième cas est encore beaucoup Plhs gratuite, ensorte qu'il est inutile de nous y arréter.
Ou'il nous soit permis d'ajouter une observation à'égard du cinquième cas, qui n'est pas assez prouvé par la méthode précé- dente, mais qui n'échappe pas à la suivante. Si l'on avait à-Ja-fois
FNg, q Npy, on aurait— p Rg,— qRp; d'où l'on conclut facile-
ment que— 1 est nombre caraetéristique de la forme(„, o, O), qui parconséquent, d'après la théorie des formes ternaires peut tre représentée par la forme ‿ρ ‿z“. Soit
pt= ‿˖qu==(at+‿ Zgu)⸗+‿(al‿‿ιm⁷)+(a1+„,')“, erae ap, g-=h, 28-a'g-A,9=o;
par les deux premières équations,, a, a¹,,, 6" doivent être tous impairs; mais alors la troisième ne peut subsister.
ou
Le deuxième cas peut se traiter d'une manière semblable.
298. PROBLEME. a, b, c ctant des nombres quelconques dont
cependant auoun n'est=o, trouver les eonditions necessaires
pour que Ldᷣ‿ρuation ax ‿‿ by cz=Oo.() Soit resolable.
Soient au, Ss,“ les plus grands quarrés qui puissent diviser 2
“
v
ARITHMETIOUES. 363
—
————

364 RECHERCHES
bo, ac, ab respectivement, et soit fait al ‿ά gyA, 5= B, e aC.
A, B, G seront entiers et premiers entre eux; l'équation() sera résoluble ou non, suivant que l'équation AX=BFECOZ= O le sera ou ne le sera pas, ce qui pourra se déterminer par le n. 294.
1°. Soit fait Do= Ha, ac K,⸗, ab=Ly, H, K, L sont des entiers délivrés de facteurs quarrés, et l'on a H= BC, K= AC, I= 4;, donc HKL=(ABC)“, et partant A5C= AH= BKX= L est nécessairement un nombre entier. Soit m le plus grand commun diviseur des nombres H et A 4, et H= gm, AH= Bm;& sera premier avec h et avec m, puis- que fI est libre de tout facteur quarré. Or on a hem= gAH=gKL, donc g divisera h'm, ce qui est impossible à moins que Pon n'ait g=⁵ 1, et partant H=ckk m, A= h; donc est en- tier: on démontrera de meéme que E et le sont. b
2°. Puisque H= BC ne renferme pas de facteurs quarrès, B et C sont nécessairement premiers entre eux. De même AA et B, B et C sont premiers entre eux.
Zs. Enfin il est évident que si l'on satisfait à l'équation() en faisant X= P, F= O, Z= R, on satisfera à l'équation( en faisant ‿‿,= G0, 2z=yR, et réciproquement si l'on satisfait à l'équation() en faisant æ p,= F, 2z=r, on sa- tisfera à l'équation() en faisant X= gyp, F=Ah 9,=agr. AXinsi toutes deux sont résolubles, ou aucune ne l'est.
X 5„. 2* 299. PROBLEME. Elant Proposée la forme ternaire ax*+‿ a.+ a'x*+ 2 bv X+; 2 b xX+ 2 b X= f, rrouwer si zero peut étre représenté par elle, en donnant auid
jndelermindes des valeurs qui ne soient pas 1Odαes egales àd z6ro.
I. Quand a= o, on peut prendre à volonté les valeurs de xy, et il est clair que l'équation
aα+‿ι εᷣνασκνσοανπνE— 2(b‿‿‿b—),
donne toujours pour ꝙ une valeur déterminée et rationnelle. Toutes

sont.
èteurs quan,J e meme A h
Tequation()n, à Péquation( wquement ilu =9, 22r, Ur üug, Lah,
ne l'est. ernaire
wk,.
en domuantu louies Cauli’¹
„ les Valeus de!,
Daltat n vombie ein Wdbres Nei A et areon,i. m=Alril à moins lu donc A ha.
vr), alionle
8
le. Tdlb
—
— ——

—
5“. b ͤͤſſſ ſſſ
e e t. i basese
1 4“

les fois qu'il en résulte une fraction, il suffit de multiplier les
valeurs de,, æ par le dénominateur de la fraction, et l'on
obtient une solution entière. On doit seulement exclure les valeurs de a qui rendraient Fαν‿άo, à moins qu'elles ne ren- dissent aussi aν‿‿ᷣeνπασαν‿ναν=o, auquel cas peut être pris arbitrairement. On voit en même temps que de cette manière on obtient toutes les solutions possibles. Au reste, le cas ou 5= b'= o sort de nos considérations; car x n'entre plus dans la forme, c'est-à-dire que f est une forme binaire, et que l'on peut juger par la théorie des formes binaires si zéro est représentable par elle.
II. Mais quand a n'est pas=vo, l'équation †= o revient à (2&‿ρ‿ qσνν‿άë‿ † 2 Ba— Aao en posant ½— aa ά✉e⸗ A“, a e b,'= B, U2— al‿= d.
Or quand A= o, et que l'on n'a pas H= o, il est evident que si ar †‿ b'a‿ba“ et* sont pris arbitrairement, x et obtiennent des valeurs rationnelles, et si elles ne sont pas en- tières, un multiplicateur convenable donnera des entiers. Il n'y
a que lorsque l'on prend=æo, que aa † b'‿‿e n'est plus
arbitraire; il doit être aussi= o. La valeur de α peut étre prise arbitrairement et produira des valeurs rationnelles pour x. Quand on a à-la-fois= o, B= o, il est clair que dans le cas où A est un quarré ke, l'équation f= o est décomposable en deux é équa- tions linéaires(dont l'une ou l'autre doit avoir lieu),
aæ+‿ Uæ‿‿(b'+ Ka=eo, ax+ bee+(b— K)a= o; mais si, dans la mêème hypothèse, A n'est pas un quarré, il est évident que la solution de l'équation proposée dépend des équa- tions e. o, ax †‿bU'a= o, qui doivent avoir lieu en mème temps. Au reste, il est à peine nécessaire d'observer que la méthode du paragraphe I s'appliquerait de mème quand a= o, oua= o, et celle du paragraphe II, quand A=o.
III. Mais quand on n'a ni a= o, ni An= o,„ l'équation.f= peut se mettre sous la forme
4(aæ+ a b*— L4— Ba 2) 1— Daxe
ARITHMETIOUES. 4 365
8 ———— eeeee—ͤͤͤ⁄ͤ.— 4———————

366 RECHERCHES en désignant par D le déterminant de la forme f, ou par Da le nombre B*—- A A“.
Quand D= o, la solution est semblable à celle de la fin du cas précédent, savoir, si M' est un quarré= K˙‧, l'équation pro- posée se réduit aux deux
kaæ+˖(Kb-— A')æ ‿‿(Kb. B)4= o, haæ+˖(kb‿‿ ꝰ)a‿(kB=— B)aæ= o; mais si ℳ n'est pas un quarré, on doit avoir aw%‿ο U'æ‿‿ Na= o, 4A— Ba= o.
Quand D n'est pas=o, on est ramené à l'équation.. A—+ aDo*= o, dont la possibilité se reconnait par le n“ précédent. Si cette dernière ne peut être résolue que par les valeurs 1= o, u= 0,»= o, la proposée n'admettra pas d'autre solution que= o,= o, ꝛü o; mais si elle est susceptible d'autres solutions, on déduira d'une quelconque d'entre elles, au moyen des équations b
ao ‿ ba‿νaæet, Aa—- Ba=en,—, des valeurs au moins rationnelles de, ₰, x. Si ces valeurs renferment des fractions, on pourra toujours en tirer des entiers à Paide d'un multiplicateur convenable.
Cela posé, quand on a une solution en nombres entiers de l'équation †= o, on peut réduire le problème au premier cas, et obtenir, comme on l'a fait, toutes les solutions. Soient α, 2, al les valeurs supposées de, æ⁵,. respectivement, délivrées de facteurs communs; on prendra(nes 40, 279) les nombres en- tiers 3, 8,„,,,„ tels qu'on ait
2(gν— G)+(6„— B)(8„=)= 13 la forme se changera, par la substitution 2 ,gy, ae=B y, Ae-y- ꝓ&ꝙN(§), en la forme
g= G*‿‿ο ñ‿m‿‿ e᷑dad ◻☛ 2d J.* On aura évidemment c«= o, et g. équivalente à †; d'ou il suit que des solutions de l'équation g= o on déduira, à l'aide de la

—.
Tegnaiin, reconnalt th olue qhe MrH deitra pas dan le est GWeepiht de denthe dls,
2—y,
7. di es nern tirer des euin
ubres euties d au premiet e, tions. Saielt:, Fement, Kins ˖Ls Lomle.
ARITHMETIOVUES. 36/ substitution(§), toutes les solutions de l'équation= o en nombres entiers. Or nous avons vu(I) que toutes les solutions de l'équa-
tion ̃= o sont contenues sous les formules
=—XAC 2pg-*),= 22(d'p-d), P 22(⁴'⁹ςᷣ--d'de), pet 7† Stant des nombres entiers indéterminés„et z un nombre indéterminé qui peut être fractionnaire, pourvu que,,) restent entiers. En substituant ces valeurs dans(), on aura toutes les solutions de l'équation=o en nombres entiers.
Ainsi, par exemple, si==a‿‿ράσ☛‿æm r+‿νπσ‿μασν‿μρœσσν, et que l'on ait la solution ‿= 1,*=— 2, a= 1, en faisant 6, H, 7, 7, 7= o, 1, o, o, o, 1, il en résulte.. §= f— 4y+ 12). Toutes les solutions de l'équation g=o en nombres entiers seront renfermées dans les formules
T=— Op 4pg 9), 22pg, 1229%„ et partant toutes celles de l'équation †= o, dans les suivantes: A=— 2(„— 4p+O 9), v= 22, p+ 29-9s*),=— 2(p=— 4p119*). 00. Le problème du ne précédent conduit naturellement à la solution de l'équation 4 b aæν ‿‿ꝗ 2bæy+† y †%ᷣ 2d=+ 2ey+‿= o, lorsque l'on ne demande que des nombres rationnels(Nous l'a-
vons résolue plus haut(nes 216 et suiv.) dans le cas ou l'on de-
mande des entiers); car toutes les valeurs rationnelles de et y
k u. Pourront être représentées par 5, z, de manière que t, u et o
soient des entiers; d'ouð il suit que la résolution de cette équa- tion en nombres rationnels, revient à celle de l'équation
ale ‿½ 2b1u ‿ cu+‿ 2Utn+‿ 26ν+‿ ſo= o
Fen nombres entiers; mais cette dernière coincide avec l'équation
traitée au ne précédent. On doit seulement exclure les solutions
dans lesquelles 9= o; mais il ne peut y en avoir de telles quand 5“— ac n'est pas un quarré. b
Ainsi, par exemple, toutes les solutions en nombres rationnels de l'équation
æ da ℳ‿ 24— f 1=o,
—————́—́́ᷓᷓᷓ ☚△☚ͤͤ8ͤͤne—— ———— ede———————

568 RECHERCHES
que nous avons déjà résolue en nombres entiers(n 221), setrouvent comprises dans les formules b
2:= E AAhe,„=— 2M.. 429. 29— P— 45)+ 119 5P— 459+ 1199*
p et o 6tant des nombres entiers quelconques.
Au reste, nous n'avons parlé qu'en peu de mots de ces deux problèmes qui sont étroitement liés entre eux, et nous avons sup- primé beaucoup d'observations qui y sont relatives, tant pour éviter la prolixité, que parceque nous avons une autre solution du problème du ne précédent, appuyée sur des principes plus gé- néraux, et dont nous devons réserver l'exposition pour une autre
occasion, attendu qu'elle exige l'examen le plus approfondi des formes ternaires.
301. Revenons aux formes binaires dont nous avons encore à examiner plusieurs propriétés remarquables; et d'abord, ajoutons quelque chose sur le nombre de genres et de classes de l'ordre proprement primitif(positif quand le déterminant est négatif), auquel nous sommes forcés, pour abréger, de borner nos recherches.
Le nombre de genres en lesquels se distribuent toutes les formes proprement primitives positives de déterminant positif ou négatif *X D, est toujours une puissance de 2, dont l'exposant dépend du nombre de facteurs de D, et que l'on peut entièrement déter- miner par les recherches précédentes. Or comme dans la suite des nombres naturels, les nombres premiers sont mèlés avec d'autres plus ou moins composés, il arrive que pour plusieurs déterminans successifs£ D,£(D+ 1),£(+ 2²), le nombre des genres tantôt augmente et tantéôt diminue, et il semble qu'il n'y ait aucun ordre dans cette suite de nombres. Nèanmoins, si l'on ajoute les nombres de genres correspondans à plusieurs déterminans successifs£⁴D,.(D+ 1),£. etc.(D+ m), et que l'on divise la somme par le nombre des déterminans, il en résulte un nombre moyen de genres qui pourra être censé appartenir au déterminant
771.* 4 1241 moyen£(D+ 2)„et établit une progression très-régulière. Nous
supposons, non-seulement que m est un nombre assez grand, mais encore que D est beaucoup plus grand, de manidère que le rapport des

us arons exene, daberl, äuin classes de lui ant est negall der nos cccherl t toutes ls imms Dsitik ou ngt Pexposant däred entiérement däkr. e dans lä Suitekh aelés arec dang sieurs Gdétermibh nombre des gelä able quley t lanmcins, ä lM gieurs détermihn et que lon diis tsulle mmat r au detrmiig
segulin.W6
asser gräll, W, 4 appe- jer 6
Auite gluin rineipes du 8 3 Dour We an u Approlbod h
ͤſſſſſ“ — 8
—.—
— 6—— — v —— ꝗ ꝗͦ———

ööb
—=—

A RITHMETIOUES. 569 des déterminans extréèmes D et Ochem, ne diffère pas trop de l'égalité. La régularité de cette progression doit s'entendre ainsi: si D’est un nombre beaucoup pl de genres pour le déterminant due pour D; mais si D et D“ nombres moyens de genres sont pr moyen de genres pour le déterminant positif+ D, se trouve presque toujours égal au nombre moyen de genres pour le déterminant né- gatif, et cela d'autant plus exactement, que D est plus grand; tandis que pour de petits nombres, le premier se trouve un peu plus grand que le second. Ces observ
ations s'éclairciront davantage par les exemples suivans, tirés d'une table de classification de
formes binaires, qui contient plus de 4000 déterminans. Parmi les cent déterminans compris de 8or à 900, on en trouve 7 aux- quels ne correspond qu'un genre, 32„ 52, 8, 1 auxquels corres- pondent respectivement 2, 4, 8, 16 genres. Il en résulte en tout 359 genres, et partant, pour le nombre moyen 3,59. Les cent déterminans négatifs depuis— 801 jusqu'à— 9oo, produisent 360 genres. Les exemples suivans sont tous pris des déterminans néga- tifs. Dans la seizième centaine„ C'est-
D' sera sensiblement plus grand ne diffèrent pas beaucoup, les esqu'égaux. Au reste, le nombre
qu'à 1600, le nombre moyen de genres est 3,89; cinquième, il est 4,3; les six cents déterminans compris de— 94or à— 10000 donnent 4,59. Ces exemples font voir que les nombres moyens de genres croftraient bien plus lentement que les déter-
minans; mais il s'agirait maintenant de savoir quelle est la loi de cette progression.
dans la vingt-
Une recherche fondéee sur une théorie assez difficile„'et qu'il serait trop long d'exposer ici, nous a fait trouver que le nombre moyen des genres, pour le déterminant+‿ D ou— D„Stait exprimé
d'une manière extrémement approchée par la formule: alog D+ g, oùð aα et 8 sont des quantités constantes, et telles qulon a, stant la demi-circonférence dont le rayon est 1,
aA 4= 0, 4052847546, 8= 2a9+ Za*h— 1 a log. 2= 0,8830460462,
& étant la somme de la serie
A d a
us grand que D, le nombre moyen
à-dire, depuis— 1501 jus-
—
8 3 — —————

570 RECHERCHES
1— log.(1+ 1)+ 1— log.(1+ 1)+ ½— log.(1+† 3) etc. — 0,5772156649, b(Euler, Calc. dihj. p. 444),
et h la somme de la série
log. 2+ 5 log: 5+ log. 4+ etc.= 0,9375482545. Cette formule fait voir que les nombres moyens des genres croissent en progression arithmétique, si les déterminans croissent en pro- gression géométrique. Plle donne pour les déterminans
1 ⸗.. 850 ½;, 1550 ¼; 2450; 5050 ¼; 9700 ¼,
les valeurs 5,62; 3,860; 4,046; 4,339; 4,601 nt, qui ne diffèrent presque pas des nombres moyens haut. Plus le déterminant moyen sera grand, et plus minans pour calculer le nombre moyen de différera de la valeur de la formule. A l'aide de cette formule, on peut trouver avéec beaucoup de pré- cision la somme des nombres de genres qui répondent aux déter- minans successifs. D,(D. 1), X(D+O 2), ete.(D+ m), en ajoutant ensemble les nombres moyens de genres qui corres- pondent à ces différens déterminans, quelque différence qu'il y ait entre les extréèmes D et D+m. Cette somme sera a log. D+ log.(D 1)+log.(P+ 2)+ ete.+ log.(Dm) †(m+ 1); b ou assez exactement 2(D m) log.(P4 m)—(D— 1) log.(D— 1)) mM+ 1)(6— a). De cette manière, on trouve que le nombre des genres depuis le déterminant— 1, jusqu'au déterminant— 100, est=— 254, 4, tandis qwil est en effet 233. De mèême, depuis— 1 jusqu'à— 2000, on trouve 7116,6 genres; tandis qu'il y en a en effet 7112; de 9001 à 10000, on trouve 4594,9, et il y en a 4595, approximation plus grande qu'on ne pouvait l'espérer. 302. A l'égard du nombre de classes(proprement primitives positives, comme on doit toujours le sous-entendre), les déter- minans positifs et les déterminans négatifs se comportent d'une
respectiveme donnés plus
on prendra de déter genres, moins ce dernier

gu2
460
S nombres urfe era grand, ah vomdte mofel ä
de la formak.- beaucoup de y vondent ans tie- „ ete.(D.-)
geures qui c
ference qullyu zera
. loe(D--n b
gentes deyu’ t= 4 tul squ'4— 00, Fet uns deg anprcrimai 1
——yyy—Zö—ö—— mo,–‧–˖–⁵‧˖-
ARITHMETIOUES. 371 manidère bien différente; aussi nous les considérerons séparément: ils s'accordent cependant tous en cela que, pour un détermi- nant donné, chaque genre contient le méême nombre de classes, et que partant, le nombre de toutes les classes- est égal au produit du nombre de genres par le nombre de classes contenues dans chaque genre. b
Considérons d'abord les déterminans négatifs; les nombres de classes qui répondent à plusieurs déterminans successifs,— D„ —(D+ 1),—(D+ 2).... etc. forment une progression aussi irrégulière que celle des genres. Mais les nombres moyens de lasses croissent très-régulièrement, comme on le verra par les exemplessuivans. Les cent déterminans depuis— 500, jusqu'à— 600, donnent 1729 classes; donc le nombre moyen est 17,29. De même, dans la quinzième centaine, le nombre moyen de classes se trouve tre 28, 26. De la vingt-quatrième et de la vingt-cinquième cen- taines on tire 36, 28; des soixante-unième, soixante-deuxième et soixante-troisième, il résulte 58, 50; de la quatre-vingt-onzième àla quatre-vingt-quinzième, c'est-à-dire de 9001 à 9500, on trouve 71,56, et de la quatre-vingt-seizième à la centième, 73,54. Ces exemples montrent que si les nombres moyens et classes croissent beaucoup plus lentement que les déterminans, ils croissent beau- coup plus rapidement que les nombres moyens de genres; avec une légère attention, on apperçoit qu'ils croissent à peu-près comme les racines quarrées des déterminans moyens. Et en- effet, par une recherche fondée sur la théorie, nous avons trouvé que le nombre moyen de classes pour le déterminant— D, était exprimé d'une 4„ manière très-approchée par— F; ou l'on a 2 4 7= 0,7467185115= 3, et 0= 1+ z+, P † etc., = 0, 2026423673=;*⸗ Tl& 1, G 4„ 2— 4 9. 2 T
re n re, les nombres moyens calculés d'après cette formule, diffèrent peu
1 ℳ AIAA
de ceux que nous avons extraits plus haut de la table de classifi- ͤͤ 4 ₰
cation. A l'aide de cette formule, on peut aussi assigner assez exactement la somme de tous les nombres de classes qui répondent à plusieurs déterminans successifs
— D,—(D+ 1),—(D+ 2))—(D+ m— 1),
2

372 RECHERCHES quelque différence qu'il y ait entre les extrémes, en ajoutant les nombres moyens qui, d'après la formule, appartiennent à ces determinans. On trouve pour cette somme
VD 0D 1) ete.+† ̃ m— 1)]+ 9m. Ol............. 3„((Dm— ¼—(H ¼t Irn
à très-peu-près. Ainsi, par exemple, pour les cent déterminans com-
pris de— 1 à— 100, la formule donne 481, 1, tandis que le nombre exact est 477; les mille déterminans—— 1000 donnent, d'après la table, 15533 classes, et par la formule, 15551,4; le second mille donne, d'après la table, 28605, et par la formule, 28585,7; de mème le troisième mille donne effecti- vement 57092, et par la formule, 57074,3; enfin pour le dixième mille la table donne 72549, et la formule, 72572.
303. La table des déterminans négatifs, disposée d'après la di- versité des classifications, fournit plusieurs autres observations remarquables. Pour les déterminans de la forme—(82+. 3), le nombre des classes contenues, tant daus chaque genre proprement primitif que dans l'ensemble de tous ces genres, est toujours di- visible par 3, le seul déterminant— 5 excepté, ainsi qu'on peut je conclure du n 256, VI. Quant aux déterminans pour les- quels les formes ne composent qu'un seul genre, le nombre de classes est toujours impair; en effet, comme pour un pareil dé- terminant il n'y a jamais qu'une classe ambigué, qui est la classe principale, le nombre des autres classes qui seront opposées deux à deux sera nécessairement pair, et partant le nombre de toutes les classes sera impair.— Or la série des déterminans auxquels répond une même classification donnée, c'est-à-dire, un nombre donné de genres et de classes, parait toujours finie; nous allons faire appercevoir cette observation surprenante, dans quelques exemples. Dans la table suivante, le premier nombre, en chiffres romains, indique le nombre de genres proprement primitifs po- sitifs; le second, le nombre de classes contenues dans chaque genre; toutes les autres forment la série des déterminans auxquels cette classification appartient.

en N Jjoulan. 3
hs. Tdm
étermi
3— . 111— loOoh
dar la hrvul, . 6 Wse
2.
ee daprski⸗
a pauxi a lüm
A. a
h—=„——, 4„ Q= drn, u e,
J.= 1— 2,—, G) Eꝝ er
— 2, M= W.CS 7 ee en nue ee,, I= Df D= L 7, A= 2(A0Sh=& CSh, 2,
res ohanälcm
geute proyrentut
„est toujouns G- ,
ninans polr B. e, le nombre de
our un parci di „qui est Gdast oat opposées e nombre de tolte minans arEqnä wlire, un vohr
gie, Iols Äl e, dans qpepé
mbre, el dille ent griwilt 1
ges dan Ja
rminand n
O
NRANANIRNVRKEWNR
4—j———

ARITHMETIOUES. 373
J. I1. I1, 2, 3, 4, 7;
J. 3. 11, 19, 23, 27, 31, 43, 67, 163;„ 2 C A e ee 4 ͤ re=— k.
lT̃. 5.. 47, 79, 103, 127;* c υρνννν Aεα Mae, J. 7. 71, 15 ½ 223, 343, 463, 487; ArSe are vernt II. 1. 5, 6, 8,9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 22, 25, 28, 37, 58;„, p’, /0. Lau‿adtn H 2 4
... 14, 17, 20, 32, 34, 36, 39, 46, 49, 52, 55, 63, 64, Iuunu To ⁴l el nnet 73, 82, 97, 100, 142, 148, 193;]/ J/7 ꝑᷓͤReek IV. 0 0 1I*.9.21, 24, 30, 53, 40, 42, 45, 48, 57, 60, 70, 72, 78, 85, Aorae en— 7, 6 nomne — 88, 93, 102, 112, 130, 133, 177, 190, 232, 253; Ne KMwoan VIII. 1. 105, 120, 165, 168, 210, 240, 273, 280, 312, 330,.⸗—,=ℳ* 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760; 24o. XVI...840, 1320 15365, 1848. 4 2., Kℳ/1- C. G es On trouve de même vingt déterminans, dont le plus grand est. o- ... UMA. 44 A0 Gte. A-„, — 1425, auxquels répond la classification I.9; quatre, dont le /7 7 9 lus d est— 1303, auxquels répond la classification] etc 17 7 er he plus grand est—, auxquels répond la classi cation I. I1, etc. 1ges deo e 2. Les classifications II. 3, 11.4, II. 5, IV. 2, ne répondent pas à Qeadcad, G. Ae Ko plus de 48, 32, 42, 68 déterminans, dont les plus grands sont S are ne we. respectivement— 652,— 862,— 1318,— 1012. Comme la table Hor dee 4 dans laquelle nous avons pris ces exemples a été prolongée bien 2 29, 4 r la rbe au-delà des déterminans qui pParaissent ici(*), et qu'elle ne 0 fournit aucun autre déterminant qui appartienne à ces classifica- 4☚ 8 S tions, il parait hors de doute que les séries précédentes sont MU. 2 77 finies, et l'on peut, par analogie, étendre la même conclusion 5„„ à toute autre classification. Par exemple, comme dans tout le Sant Crgadld. A. he dixième millier de déterminans, il ne s'en rencontre aucun qui Fr Kt ade dee, ſa Ak. réponde à moins de vingt-quatre classes, il est extréemement vrai- ℳ n, aoe 2 2 semblable que les classifications n aᷣkeaet
1.25, I. 21, etc., II. 1r, II. ro, etc.; 3 ,77 AA7 IV. 5, IV. 4, IV. 3, etc.; VIII. 2, etc. V
s'étaient arrétées avant— Ho0O0,
. mornu A ₰ u.
2 N Ae³ U, A⸗
A ſa, ou qu'elles n'ont lieu que pour 2 peu de déterminans plus grands que— 10000; mais il parait£ très-difficile de donner de ces
„„ Xbun Sae ſᷣς μά̈ᷣνᷣνν Sa‿ — v„„. 7)„„ 47 1* ‿ 72 uuf M 6/
1 f —— P)cS, Ae.=DAgx,. observations des démonstrations.= S 6 rigoureuses. 75 — — O
„/ 7 2 8 5 Q— 1—. ℳ. 4—⸗ ) Pendant que cet ouvrage s imprime, nous l'avons poussée sans interruption 0ñ ÿ feed cooe 1
2 9 L 83„. 2. ·*.„ 4 2 Jusqu à 000; nous y avons ajouté le dxième millier tout entier, plusieurs— ate— s 42. centames éparses et un grand nombre de déterminans isolés choisis ayec soin. o 7⸗5 ₰ ʒp)—( ᷣ Qer-ee, e I Ca AAs 4 2 2V ec Se 6 ſue‿e der—— 7 0. 2 f. AA6e 42— 5 1 ſu4 2(. 24K 2 e 3 A— 2 f„„ ree 4—= 2, Ecrn 2 A e e. AaA a,, 2r —— 2„ 1 5—] - C. raha„ s a a.. =e ,y= 4 A, r, ee A e ₰ AA 3 1—* —— Rrn„2 3 9 o ae eee O 2, A
Beuueu,e EL. oae eu e 4 2„— ador 2e 2 — Q. dboedee E— 4 Sa A
2— meee guen S e Tha⸗29 5/O i, J.—— 3/Qη ο⁹Gπ⁷. 4
—„A. 2 3 7 e
5 e e e
ao, e eCe 2 2e‿ re e e 9., a eenn Are eeneAe A on M——
M, 4 ——. 2„ſa„& A ec eee ieh ui apak a- ee, A ne

374 RECHERCHES
Il est encore à remarquer que tous les déterminans dont les formes peuvent se gistribuer en trente-deux genres au plus, ont au moins deux classes dans chaque genre, desorte que les clas- sifications XXXII. 1, LXIV. 1, etc. n'existent point. Le plus petit déterminant de cette espèce est— 9240, et la classification qui lui répond est XXXII. 3; et il est assez probable que, le nombre des genres augmentant continuellement, le nombre des classifications qui disparaissent augmente aussi. A cet égard, les soixante-cinq déterminans inscrits plus haut, auxquels répondent jes classifications: I. 1, II. 1, IV. 1, VIII. r, XVI. 1, méritent g'êètre distingués, et il est facile de voir qu'ils jouissent tous et seuls de deux propriétés remarquables; la premidère consiste en ce que les classes suivant lesquelles se distribuent leurs formes sont toutes ambiguës; la seconde, en ce que deux formes quel- conques contenues dans le même genre sont équivalentes, tant proprement qu'improprement. Au reste;, ces méêmes soixante-cinq nombres ont déjà été présentés par Euler(Nous. Mém. de l'Ao. de Berlin, 1776, p. 338), sous un aspect un peu différent, dont
nous parlerons plus bas, et avec une propriété facile à démontrer.
304. Le nombre des classes proprement primitives que four- nissent les formes binaires de déterminant quarré k*, peut être assigné priori; il y a autant de ces classes que de nombres premiers avec 2 et plus petits que lui. De là, à l'aide de rai- sonnemens qui n'ont aucune difficulté, mais que nous supprimons, on trouve que le nombre moyen des classes qui appartiennent à des déterminans quarrés voisins de K'* est exprimé d'une manière
tre 82. 1* 8 ¼ rès-approchée par=e.
Quant aux déterminans positifs non-quarrèês, ils présentent à cet égard des propriétés tout-A-fait singulières. Pour les détermi- nans négatifs ou quarréês, les petits nombres de classes, par exemple les classifications I. 1, ou I. 3, ou II. 1, n'ont lieu que pour de petits déterminans et dont la suite s'arrète bientõôt; pour les déterminans positifs non-quarréês au contraire, pourvu qu'ils ne soient pas très-grands, la plus grande partie donne des clas- sifications où il n'y a qu'une seule classe dans chaque genre, desorte que les classifications: 1.5, I. 5, II. 2, II. 3, IV. 2, etc.
zsi, par exemf res-rarés. Aipsi, par exe 6s qui sont à
aon nt §, 2 auxquels répondent 1 6„ 1 4 1 en« ectirement; 6
de classes plus 6 rmi les quatrè- „mnris enltre 100
ringt-Selse. ving
et 200, 11
I 4 2 /g. 74 Tohhe
in, gi wtadſit ſen dand bositifs et„, quelque Sor
détermi * 1
nant
12
9 ·₰— M,.— 4 ou kerpn Aee G Man dne r. Merre e e meeee hue en 4
9

5
—
ae, ae—g
A †

224 Js A feref, lle-K ze 4, Qshedn,
6, hu, repb, 2urd de heete- vigf a Seeeene An, lbie‿ds a. oet 2 he, hu, 2 en he ee Trd ll, 42, 2Q
4, In, E., eiee, ,Vre- r Se
—
37 2, 2eee en
—jqqſſypyſf ſ· ——
vpic d Ha‿e 2 Qrkaun eemn“ Ftes hbie Soae er

ARITHMETIOVUES. 375
etermi — in sont très-rares. Ainsi, par exemple ‚parmi les quatre-vin gt-dix déter- b desune A minans non-quarrés qui sont au-dessous de 1oo0, ön en trouve trois *.—. gtent 8 hds 11, 48, 27 auxquels répondent les elassifications I. 1, II. 1, IV.;, 1. G* 1 Pespeetiwemont; 8 il y 5 Wnn„ 37, auquel répond 1.3 deux, b 5 et 82, auxquels répon.2; et un, 79, auquel répond II. 3. e, ependant, à mesure que les déterminans augmentent, les nombres l nnn de classes plus élevéês se multiplient peu-à-peu. Par exemple, Aeet tend, parmi les quatre-vingt-seize déterminans non-quarrés qui sont wouah ngun compris entre 100 et 200, il y en a deux, 101 et 197, auxquels NI. u répond I. 3; quatre, 145, 146, 178, 194, auxquels répond II. 2; jouiseu trois, 141, 148, 189, auxquels répond II. 35. Parmi les cent lere a quatre- vingt-dix- sept c léterminans non-quarrés compris depuis 801 ent km n jusqu'à 1000, il y en a u ſerun g 3, 4, 14, 2, 2, 15, 6, 2, 4, dirälents, a auxquels répondent respectivement les classifications u I. 3, II. 2, II. 3, II. 5, II. 6, IV. 2, IV. 3, IV. 4, VIII. 2. 1 dhe Pour les cent quarante-cinq autres, il n'y a qu'une classe dans cile àdäane. chaque genre. Ce serait une question curieuse, et qui ne serait pas indigne Han 3 de la prétention des géomètres, que de chercher suivant quelle 2 4 9 f, 5 loi les déterminans qui ne donnent qu'une classe par genre de-.2 mr de uün viennent de plus en plus rares. Jusqu'à présent nous ne pouvons l hie en décider par la théorie, ni tirer de l'observation des conjectures c pane assez certaines pour affirmer si la série s'arrète toujours, ce qui periamn parait au reste peu probable, ou du moins si ces déterminans de- „dme w viennent infiniment rares, ou si le nombre tend toujours et de plus en plus vers une certaine limite fixe. Les nombres moyens de b classes croissent dans un rapport qui n'est guère plus grand que s rnd celui des nombres moyens de genres, et bien plus lentement que IE KET- les racines quarrées des déterminans: entre 8oo et 1000, on Ceses,I trouve 5,01. Qu'il nous soit permis d'ajouter une autre observa- rmlag tion, qui rétablit en quelque sorte l'analogie entre les détermi- diettze nans positifs et négatifs. Nous avons trouvé que si le nombre e, purm 9” des classes pour un déterminant positif 9 n'stait pas analogue au 3 b qume sh nombre des classes pour le déterminant négatif, la chose a lieu du „ ‿. moins pour le produit de ce nombre par le jogarithme de t‿ρ ☛õhçD; u) pe e we 77 1 CanA veeaue ee f 2 2, A⸗ * 3,J 2 SO eae f‿b, eeee 5 nᷣ. p „, 2,
— hh o
4
——
2=o (S K7 SOSan e r 6 ₰
—. — N de OrN.

376 RECHERCHES
t et d⁴ des gnant les plus petits nombres, excepté 1 et o, qui sa- tisfont à l'équation— Daus= 1, nous ne pouvons donner plus de détails sur la raison de cette analogie. La valeur moyenne de ce produit s'exprime assez exactement par la formule m D— n; mais nous n'avons pas encore pu déterminer par la théorie les constantes m et n. S'il est permis de tirer une conclusion de la comparaison de quelques centaines de déterminans, m parait peu différent de 23½.
Au reste, nous nous réservons de revenir dans une autre oc- casion sur les valeurs moyennes des quantités qui ne suivent pas une loi analytique, mais qui approchent continuellement et de plus en plus de la suivre. Nous passons maintenant à une autre recherche, par laquelle nous comparerons entre elles les diffé- rentes classes proprement primitives de même déterminant, et qui terminera cette longue Section.
305. THEOREME. K designant la classe principale des formes de déterminant donné D, C une autre classe quelconque prise dans le genre principal de méme déterminant, C', C', Ct, C', eto. lIes olasses qui naissent de la duplication, dée la triplication, eto. de la classe C(Voyez n“ 249); en continuant assez loin la pro- gression C, C', Cs, eto., on parviendra enfin d une classe iden- tigue aueo K; et si l'on suppose que Cu soit la premiere classe identigue aveo K, et que le nombre de toutes les classes du genre principal soit n, on aura m=hn, ou bien m gera zne parlié aliguote de Ml.
I. Comme toutes les classes K, O, Cu, Cs, etc., appartiennent nécessairement au genre principal, les n+ 1 premidres classes de cette série K, C, C-.,. O“ ne peuvent pas être différentes; ainsi K sera donc identique avec une des classes C, Co, C Cu, ou deux d'entre elles seront identiques. Soit donc C= C' et 7 s, on aura aussi C= CG, C= C“, etc., eto=— G, d'ou C= A.
II. Il suit de là sur-le-champ que l'on a m=n, oum n; ainsi il ne reste plus qu'à faire voir que, dans le second cas, m est une partie aliquote de n. Comme les classes K, C, C. Cr, dont nous désignerons l'ensemble par(T), n'épuisent pas le genre
principal,

3, Nmaaätp n
ans dhe aun qui de vire
tenant à und
tre ells E ih.
e Göterminun,
einale da im e Quclconnene 0,0,0,C 4. a Fiplicatin, t. tasset lnnum. 4 une clazweiikr. la prenitr dle es clasves dgm m gera une jui’
„ete. apriemd
6 linnellenen dd
premidre dsd re difirits iu 0, Co.C,l
B, be,
—
5 F* Ivy J e Re n.—— 77
8. 2— Q ,,
2, Leeede euh Eetusd, vi i,,
,⸗—=

—,“ 14
—— ſſſͤͤ ———
—

ARITHMETIOUES. 377 principal, soit C'une classe de ce genre qui ne soit pas contenue dans(T), et désignons par(T“) l'ensemble de toutes les classes qui résultent de la composition de C' avec chacune des classes de(1). On voit facilement que toutes les classes de(T) sont différentes tant entre elles que des classes contenues dans(), et qu'elles sont du genre principal; desorte que si(T) et(T) épuisent ce genre, on aura= 2m, sinon on aura am n. Soit donc„dans le se- cond cas, O' une classe du genre principal qui ne soit contenue ni dans(T), ni dans(T), et désignons par(T') l'ensemble de toutes les classes qui résultent de la décomposition de C' avec toutes les classes de(T); il est evident qu'elles différent toutes entre elles et des classes contenues dans(T) et(T), et qu'elles sont du genre principal; donc si(T),(T),(T') épuisent ce genre, on aura n= 3m, sinon n 3m. Dans ce dernier cas, en traitant de la mêème manière une classe C“ qui ne soit contenue ni dans (T), ni dans(T⁰), ni dans(T), il en résultera que l'on a n= m, ou m= 4m, et ainsi de suite. Or comme n et m sont des nombres finis, le genre principal s'épuisera enfin, et n sera un multiple de m, ou m une partie aliquote de z.
Soit, par exemple, D=— 356, C=(5, 2, 72)(*); on trouve C*=(20,8, 21),=(4, 1,89),(4=(20,— 8, 21), 6—(5,— 2, 72), CE=(1, o, 356). On a donc ici m= 6„et pour ce déterminant 7= 12. En prenant O/=(8, 2, 45), les cind autres classes de(T“) sont:(9,— 2, 40),(9, 2, 4⁰),(8,— 2, 45),(17, 1, 21),(17,—, 21).
306. On remarquera sur-e-champ l'analogie de la démonstration du théorème précédent, avec les démonstrations des nos 45, 49; et effectivement, la théorie de la multiplication des classes a une grande affinité avec le sujet traité dans la Section III. Mais les limites de cet ouvrage ne nous permettent pas de poursuivre cette théorie qui est digne de grands développemens; aussi nous n'ajouterons que quelques observations, et nous supprimerons les démonstrations qui exigeraient trop de détails, nous réservant en- core de revenir sur ce sujet et de l'approfondir.
(+) Nous exprimons toujours les classes par les formes les plus simples qu'elles renferment. ee la‿ frae Aa ue er Ee. Ae Der mne reij Viee e, ue ab b er 3
A er᷑ᷣ g aAe ae. feor ‿☛◻ν 2 el enes.

378 RECHERCHES
1°, Si la série K, C, C“, C. Cn-t est prolongée au-delà de Cr-:, les mêèmes classes reparaissent de nouveau, desorte qu'on a Cr= K, Ca= C, C‿—=—“, etc.; et généralement, si l'on regarde K comme(*, les classes Cs et Cw seront identiques ou différentes, suivant que g et g seront congrus ou incongrus sui- vant le module m. Ainsi la classe C" est toujours identique aveo la classe principale K.
2*. Nous appellerons périodes de la dlasse C Pensemble K, O, C“, Cs..Cr⸗=n, que nous avons désigné par(T); mais cette expression ne doit pas être confondue avec les periodes de formes réduites de déterminant positif non-quarré, dont nous avons parlè n⸗ 186 et suivans. Ainsi il est clair que de la composition de tant de classes qu'on voudra d'une mèême période, il résulte une classe contenue dans la période Cs, Cs", Cæ", ete.= Cs.*3 † ete⸗
Zo. Comme O. C-'= K, les classes C et Cu-i seront opposées, et partant C² et—,(C et Cn-, eto. Aipsi, lorsque m est
m pair, la classe C' sera elle-même son opposée, et sera par- conséquent ambigué; réciproquement, si, indépendamment de K, il se trouve dans(T) une autre classe ambigus Cé, on aura G= Ow-s, et partant g=m-— g= zm. II suit de là que si mn est pair, il n'y a pas d'autre classe ambiguë que K et Cs, et què si m est impair, il n'y en a pas d'autre que K.
4. Si la période d'une classe C' contenue dans(T) est K, Cr*, Ca, Cä. Cow-, il est évident que mkz est le plus petit multiple de h qui soit divisible par m. Si donc m et h sont pre- miers entre eux, on aura m= m, et les deux périodes contiendront les mêèmes classes, mais dans un ordre différent; mais générale- ment,&α 6tant le plus grand commun diviseur des nombres ꝛmn, h,
7 2. on aura m.=—, d'ou il suit que le nombre de classes contenues
„ v
dans la periode d'une classe quelconque prise dans(T) est m ou une partie aliquote de m, et qu'il y a autant de classes de(T) dont les périodes soient composées de m termes, qu'il y a de nombres premiers avec m dans la suite o, 1, 2, 7m— 1, c'est- à-dire, qu'il y en a om, en employant le signe du no 39. Gé- néralement, il y aura autant de classes dans(T) dont les périodes
dopen ginei kt ain gaelle
ſenle
Voi

d lenerh ar)) Lui 4 Teriodesa iene at Dous Mars womposiion gem
lränle we a
frge.
¹ Rront oms n, lacaqe 7 8
Soée, et zerz a pendammentde-, igué C, u mn t de l eing Xet C, ttqxi
2*
dars() 6 1 est k W Rü dc n et Romjty dodes coutjedu nt; Mais geata des vodibres A
e classes corterue
— ͤ—ö—ö—öooZoZ—ZbZdſdͤſͤdoW—‧ ———————
ARITHMETIOUEsS. soient composées de 2 termes, qu'il y a dans la suite o, 1, 2. n— 1 de nombres qui aient ‿ pour plus grand commun diviseur avec m. On voit facilement que le nombre en est 92. Si donc m=hn,
1 2* 2„. 4 8 5 c'est-a-dire, si(T) renferme tout le genre principal, il y a dans ce genre ꝗn classes dont les périodes renferment le genre entier, et Oe classes dont les périodes renferment un nombre e de termes,
f 0. 6 6 3. 5 e désignant un diviseur quelconque de n. Cette conclusion a g6- 4 „ 83. 5 8 8 néralement lieu, quand il existe une classe du genre principal dont
la période ait n termes.
5“9. Dans la même supposition, le système des classes du genre
principal ne peut être disposé plus convenablement, qu'en pre-
nant, comme pour base, une classe dont la période ait n termes, et plaçant les classes du genre principal dans l'ordre qu'elles oc- cupent dans. cette période. Desorte que si l'on affecte la classe principale de l'indice o, la classe prise pour base aura l'indice 1, et ainsi de suite. La seule addition des indices suffit pour trouver quelle classe nait de la composition de classes quelconques du genre principal. 14
Noici un exemple pour le déterminant— 356, où la classe (9, 2, 40) a été prise pour base:
0.,(1, o, 356)3.(8,— 2, 45)6.( 4, o, 89) 9.(8, 1.(9, 2, 40)74.(20, 8, 21) 7..(17,— 1, 21)10.(5,— 2, 72) 2..(5, 2, 72)5.(17, 1, 21)8.(20,— 8, 21) 11.(9,— 2, 40). 6“. Quoique l'analogie avec la Section III, et l'induction qu'on peut tirer de plus de deux cents déterminans négatifs, et d'un
bien plus grand nombre de déterminans positifs non-quarrés, semblent porter au plus haut degré de probabilité la vérité de
cette supposition pour tous les déterminans, une pareille conclu-
sion n'en serait pas moins fausse et démentie par la continuation de la table de classification. Nous nommerons, pour abréger, déterminans reguliers ceux pour lesquels une seule période peut renfermer tout le genre principal, et déterminans irreguliers ceux qui ne jouissent pas de cette propriété(*). Un pelit nombre d'ob-
—
(*) Voyez les Additions de l'auteur.
12
——
0 2. 3(Ar L-=teue“ 79 ☚αρ EIJ3, 2w.
0 4 — A— 9
.n L2u,
ge n 1„ 4
2 4, Se,n, t
—.. 22— 8 v —— S 7.
a fe, 2 2— f X
4—,— 3 2——
4 e
—
A ee JB«BG““G“G“ 2₰ fAeen-9
e, J27 ‿ℳ
ff ſ 2
4 1
= 0 T.5
22
“ ——————
O 8
—„,—;,—
—— 2 4
2 Rhoe 1 —
“ 1
6

3„— 2æÆ 2 ¶☛Q£ᷣ 4 ee
3580 RECHERCHES
zervations nous suffiront pour éclaircir ce sujet, qui semble ce- pendant dépendre des plus profonds mystères/ de„'Arithmétique transcendante, et donner lieu aux recherches les plus difficiles; nous commencerons par la suivante, qui est générale.
7o. Si dans le genre principal se trouvent deux classes C, C, dont les périodes sont composées de m, m termes, et que M soit le plus petit nombre divisible par m et par m; il y aura aussi dans le même genre une classe dont la période contiendra 41 termes: si l'on décompose M en deux facteurs et:- premiers entre eux dont l'un, 7, divise m, et dont l'autre,, divise m(n* 73),
/ — mM mM la classe Cr. O77= C' jouira de la propriété précitée. En effet, . 7 ⸗ 7 supposons que la période de la classe C' soit composée de g termes, on aura
grm. grm grm
——
K=(C's.= Csm. CO=KX.C= C; donc 55 est divisible par m', et parlant gr par r oug par 7. On
prouve absolument de la mème manière que est divisible par r, donc il l'est par rr= M; mais comme on a eévidemment C'ue K, M est donc aussi divisible par g, et partant M= g. Il suit de là que le plus grand nombre de classes qui puissent étre contenues dans une période pour un déterminant donné, est divisible par le nombre de classes de toute autre période d'une classe du mèême genre principal. On peut en mèême temps en déduire une mè- thode pour trouver la classe dont la période est la plus grande, c'est-à-dire, pour les déterminans réguliers, la classe dont la pé- riode renferme tout le genre principal; cette méthode est abso- lument semblable à celle des nos 73 et 74; mais dans la pratique on peut l'abréger par plusieurs artifices. Le quotient de la division du nombre n par le nombre de termes de la plus grande période, quotient qui est 1 pour les déterminans réguliers, et plus grand que 1 pour les déterminans irréguliers, est d'après cela très- commode pour exprimer les différentes espèces d'irrégularités, et par cette raison pourra èêtre nommé ææposant d'irrégularitc.
3*. Jusqu'à présent il n'y a pas de règle générale qui puisse faire distinguer à priori les déterminans réguliers des irréguliers,

— 2
b 2„AMb, e 12, Le a n A g. 2 4, 2. 1) Tll Kdhh, uuee n 0 vaan a,, oad eeler— elAribas, o,t u S en e] ee ne de ᷣ ee küe 4 5 en e E. So⸗t aoe 2da‿ẽee Tt 4 nea 2e generale n 7 t a⸗ ſaν᷑‿ 9 rn Perene areae, r e- e J), azet de- Aee, e e?
4. 4 1 3 f— 4 8
reeitse, J d, dit Gomabs
A
té oug er, N est Griöidk gr,, emment(“l, N=g Nath zent itr conkenn est Griübe Ekh e classee du Mik Gdodvire We M estla DW gan a casx dontbg mülhode tt’r
lis s dan5 urüie 1 dtient de uim in
“

Cb 24A- O Mi- e Spe t. Wer=ed n, 2 2 Ar,e. Le, u. 7 en*—— La—,, Arn,. 2
* ò 6 9 S,— 2 dnn A. Lapf 2.—— — e⸗.—5 23— 4 S 2— 7 S 4 4 ge ℳæ de 5 h./— 76. h h. e. J e 2— de M 2 nu‿ dau ““ 4 f. 1 1 — wil 2- N- — mir! . a 27—— kr h* krit 9 7 2 eem: — C 1 72 Le Ar—„ 2— ue Aᷣ0 1 3 Ae 2 4. . 2 due, 3 7 v4 7 fr b 3 * s üle
, cn 2 e S,he

ARITHMETIOUES. 382 d'autant plus que parmi les derniers se trouvent en mème temps des nombres premiers et des nombres composés; ainsi il suffira d'ajouter ici quelques observations particulières. Quand il y a plus de deux classes ambigués dans le genre principal, le déter- minant est surement irrégulier, et l'exposant d'irrégularité est pair. Mais quand il ny a qu'une ou deux classes ambigués, le déter- minant est régulier, ou du moins l'exposant d'irrégularité est im- pair. Tous les déterminans négatifs de la forme—(a16 ½+. 2), le nombre— 27 excepté, sont irréguliers, et l'exposant d'irrégu- larité est divisible par 3. La méême chose a lieu pour les dé- terminans négatifs de la forme—(10004 75) et—(1000¼-† 675), en exceptant le seul nombre—75, et pour une infinité d'autres.
Si Pexposant d'irrégularité est un nombre premier p, n est divi-
sible par p⸗; desorte que si n n'est divisible par aucun nombre
quarré, le déterminant sera nécessairement régulier.
Il n'y a que pour les déterminans positifs quarrés e- que l'on puisse distinguer à priori, s'ils sont réguliers ou irréguliers. Le premier cas arrive quand e est 1 ou 2, ou un nombre premier im- pPair, ou une puissance d'un nombre premier impair; le second pour toute autre valeur de e.
Pour les déterminans négatifs, les irréguliers deviennent d'au- tant plus fréquens, que les déterminans seront plus grands. Par exemple, daus le premier millier, on trouve 13 irréguliers qui sont»„ en omettant le signe,
576, 380, 820, 884, 900, dont l'exposant d'irrégularité est 2. 245, 307, 339, 459, 675, 755, 891, 974, dont l'exposant est 3.
Dans le second millier, on en trouve 13 dont l'exposant est 2, et 15 dont l'exposant est 3. Dans le dixième millier, 31 dont l'exposant est 2, et 32 dont l'exposant est 3. Nous ne pouvons encore décider s'iil existe au-dessous de— 10000 des déterminans dont l'exposant d'irrégularité soit plus grand que 3. Au-delà de cette limite, on peut trouver des déterminans qui aient un exposant donné quelconque. Il est probable que les déterminans croissant toujours, le nombre de ceux qui sont irréguliers tend à être dans un rapport constant avec le nombre des déterminans réguliers. La détermination de ce rap- port serait digne de la sagacité des géomètres.

382 RECHERCHES
Parmi les déterminans positifs non quarrés, les irréguliers sont 1 plus rares; il y en a une infinité pour lesquels l'exposant est 2, 1— par exemple 3026 a 2 pour exposant d'irrégularité. II semble aussi ti hors de doute qu'il existe des déterminans dont l'exposant d'irré-„
gularité soit impair, quoique nous soyons forcés d'avouer qu'il ne tril b s'en est pas offert à nous jusqu'à présent. b 9
g'. Nous ne pouvons, sans donner trop d'étendue à cet ouvrage, 1 parler ici de la disposition la plus commode du système des classes 5 contenues dans le genre principal pour un déterminant irrégulier; 1 nous observerons seulement que comme dans ce cas une base ne 1 peut suffire, il faut en prendre deux ou un plus grand nombre qui, 9 par la multiplication et la composition, puissent produire toutes les K classes. De là nattront des indices doubles ou multiples qui auront 9. presque le même usage que les indices simples pour les détermi- vnb nans réguliers. clt
10o. Observons enfin que toutes les propriétés considérées dans donl ce no et dans le précédent, dépendant principalement du nombre n, di, qui a quelque analogie avec le nombre— 1 de la section III, rene ce nombre mérite une grande attention; il serait donc à desirer luse que l'on pút découvrir une relation générale entre n et le déter- nn! minant. Nous pensons que l'on doit d'autant moins désespérer d'y parvenir, que nous avons déjà réussi à soumettre à une formule analytique, du moins pour les déterminans négatifs(n 302), la 5. valeur moyenne du produit de n par le nombre de genres qui peut 6,6. etre assignée d priori.(). 2en, e eer Kd, r, G zer ee gee 2O.ea2ne en
a eAn hae er eeee A e tn deree..
307. Les recherches précédentes n'embrassent que les classes du h genre principal, et suffisent parconséquent, tant pour les déter- tce minans positifs qui ne donnent qu'un seul genre, que pour les ali déterminans qui ne donnent qu'un genre positif, si nous ne consi- lre dérons pas le genre négatif. Il nous reste à ajouter quelque chose sur les autres genres proprement primitifs. V he
15. Lorsque le genre G' différant du genre principal G de mème 1, déterminant, renferme quelque classe ambigué, il y en aura de autant dans l'un et l'autre genre. Soient L, M, N, ete. les classes 1
6
(*) Voyez les Additions de Tauteur.—

Dour les en,
enssiltce an ment cu uonl, de la geciion I— rait donc d dai entre n et k dli- dins déespere) ttre à mne farml gatißs( WW 1h
de geurss quipd ₰ 6 Ateε³ A M A 1 EN4 uuu
tqye les Cussd int pour lä Cär nre, qpe fom b „3i vobs We cos- ter quelgu- dob
17 blce ncipa C de
. vA 1MI 5, I ya 6 F, et-EMG3e 417
ARITHMETIOUES. 383 ambiguòts de G, parmi lesquelles se trouve la classe principale K, et EF, M’, M, etc. les classes ambigués contenues dans G; et désignons l'ensemble des premières par 1, l'ensemble des dernières par A. Comme toutes les classes L. L, M. U, W. L“, etc. sont Evidemment ambigués, et du genre G*, elles feront nécessairement parlie de A; et partant, le nombre de classes contenues dans ℳA n'est surement pas plus petit que celui des classes contenues dans A.: d'ailleurs les classes LI. L’, M’. L, N L’ etc. étant ambi- gués et du genre G, elles feront nécessairement partie de A; donc le nombre de classes contenues dans A n'est pas plus petit que le nombre de classes contenues dans ℳ. Donc les nombres de classes de A et de AA sont nécessairement égaux.
2⁰. Comme le nombre de toutes les classes ambigués est égal au nombre des genres(nos 261 et 287, 3*.), il est évidentique si G ne contient qu'une classe ambigus, chaque genre en contiendra né- cessairement une et une seule; si G contient deux classes ambi- gués, la moitié de tous les genres en contiendra deux ‚'et les autres wen contiendront aucune; enfin, s'il y a dans G un nombre a de classes ambigués(*), et que N soit le nombre total des genres, il y
N 2.., aura— genres qui contiendront a classes ambigués, et les autres n'en contiendront pas.
3⁰. Soient, pour le cas oùu G renferme deux classes ambigués,
G, G“, G', etc. les genres qui en contiennent deux; H, EH“, H“, etc.
ceux qui n'en contiennent point; et désignons par g l'ensemble des premiers, et par k l'ensemble des derniers. Comme la composition de deux classes ambiguös donne toujours pour résultante une classe ambigué(n“ 249), on verra sans peine que la composition de deux Senres compris dans g donne un genre compris dans g. II suit de là que de la composition d'un genre de g avec un genre de h, il ré- sulte un genre de h. En effet, si par exemple G. H appartenait à g, G“.H. G' gerait aussi compris dans g; mais Gi. G= G, et il s'ensuivrait que H serait compris dans&, contre l'hypothèse.
Enfin on reconnait facilement que les genres
G. H, G. H, G'. fH, etc. H. H, II. II, H“. E, etc.
enndn
( Cela ne peut arriver que Pour les déterminans irréguliers, et a sera toujours une puissance de 2.
2“—— ——— ꝗ⁴ꝛ—8ſſͤſſſſſſ ———44————————— ſ 2 —————— ſ ——. 4 8 1 8—ſ — 3“ 8“ —=— 4 8 1

584 RECHERCHES
sont tous différens entre eux, et que, pris ensemble, ils équivalent àAg et à h. Mais par ce qui vient d'ètre démontré, les genres G. H, G'. E, G'. E, etc. appartiennent tous à h, et partant, l'épuisent entièrement; donc les genres H. H, H’. H, H. H, etc. appar-
tiennent nécessairement à g, et partant, la composition de deux genres de h donne toujours un genre de g.
.. Si Eest une classe du genre V différent du genre principal G, il est clair que E“, E4, Es, etc. appartiennent toutes à G, tandis que Es, Es, E’, etc. appartiennent à V. Si donc la période de la classe E“ est composée de m termes, il est évident que dans la zuite E, E“*, Es, etc., la classe E'n sera indentique avec K, et qu'aucune ne pourra l'être avant elle, c'est-à-dire, que la période de la classe E sera composée de zm termes; donc le nombre de termes de la période d'une classe quelconque„d'un autre genre que le genre principal, sera 22 ou une partie aliquote de 2u, dési- gnant le nombre de classes commun à tous les genres.
5. Soit C une classe donnée du genre principal G, E une classe du genre V qui donne C par sa duplication(n“ 286), et K, K“, K“, etc., toutes les classes ambigués proprement primitives de mème déterminant; toutes les classes dont la duplication donne C seront: EC= E. K), E. K“, E. K, etc., dont nous exprimerons l'ensemble par o, et dont le nombre sera évidemment égal au nombre des classes ambiguës, ou au nombre des genres. Il est manifeste que parmi les classes a, il y en a autant qui appartiennent au genre, qu'il y a de classes ambigués dans le genre G; ainsi, désignant par a le nombre de ces dernidères, il y a dans chaque genre a classes comprises dans; ou il n'y en a aucune. On déduit faci- lement de là, que si a= 1, chaque genre contient une des classes; si a= 2, la moitié des genres contiennent deux des classes, tandis que les autres n'en contiennent aucune, et mème la première moitié coincide avec(v. 3e.), et la seconde avec h, et récipro-
quement. Quand a est plus grand il y a toujours, en désignant par N le nombre de tous les genres, 5 genres qui contiennent des
classes c, et chacune en contient a. 6'*. Supposons maintenant que C soit une classe dont la période
soit composée de n termes; on voit facilement que dans le cas ouù 72= 2,

à genres.
al G, F G A. 86 r),ttL,J thrimiineskuhe lion donne(em. rimerons lerxll
gal au mne Ilest misew
ennent an geme
G; aüsii, déäg
ans chagque gelt-
ne. Ou Gdäduitir. ent une desclsesh Jeux des Cässt, et memelk gelir avech, t
en desggar
jours, 1
3qi conjelle-
Bsse dont
que dans 123
4ur ſe wole un aute gem hote de u, 1s
Knii
—y·3

4= 2, el ouð partant, n est pair„aucune classe de w ne peut ap- pPartenir à G; car alors cette classe serait contenue dans la période de C; et si on la représente par Cr, il s'ensuivrait Ce= C, et partant, 2r= 1(mod. n)„ ceé qui est absurde. Ainsi, comme( appartient à&, toutes les classes ο seront nécessairement distri- buées entre les genres h. Puisque pour un déterminant régulier, G contient ꝓn classes dont les périodes sont de termes, il suit de ce qui précède que pour le cas où a= 2 genre h, aon classes dont la période contient 2 parconséquent à-la-fois le genre de la classe Mais quand a= 1, il y aura n classes genre différent du genre principal.
n termes, et renferme et le genre principal.
70. Nous établissons sur ces observations la méthode suivante, pour former le système de toutes les classes proprement primitives de déterminant régulier donné, car nous laissons absolument de côté les déterminans irréguliers. On prendra à volonté une classe E, dont la période contienne 2zu termes„ et parconséquent le genre de cette forme que nous nommerons Z, et le genre prin- cipal G, et l'on distribuera les classes de ces deux genres comme elles se présentent dans cette période. L'opération serait finie, quand il n'existera que ces deux genres, ou que l'on n'aura. pas besoin de s'occuper des autres(par exemple, pour un déter- minant négatif qui ne donne que deux genres positifs). Mais quand il y a quatre, ou un plus grand nombre de genres, on traitera. les autres de la manière suivante. Soit V' un des deux autres, et V X᷑ IV= V. Il y aura dans V' et Vo deux classes ambiguös, une dans chacun, ou deux dans l'une et aucune dans l'autre. On en prendra une A à volonté, et l'on voit facilement que si l'on compose A avec chacune des classes de G et de V, il en résultera 2n classes différentes qui appartiendront à V' et V“', et épuiseront parconséquent ces deux genres, que l'on pourra disposer aussi de cette manière.. b b b
S'il y a plus de quatre genres, soit Vo un des aufres»„ et E, I, Wu les genres qui résultent de la composition du genre UV avec les genres V, IL’, V'; les quatre genres Ve. JT, con- tiendront quatre classes ambiguös, et il est clair que si Pon prend
Cecc)
ARITHMETIOUEsS. 385
„ il y a dans chaque
de cette espèce dans chaque

386 RECHERCHES une d'elles, et qu'on la compose avec chaque classe des genres G, V, V“, V“, on obtiendra toutes les classes des genres V.. VZn.
S'il y a d'autres genres, on continuera de la mêème manière, jusqu'à ce qu'ils soient tous 6puisés. On voit, que si le nombre de tous les genres est 21, on aura besoin en tout de α— 1 classes ambigués, et que toute classe de ces genres peut être produite ou par la multiplication de la classe E, ou par la composition d'une classe résultante de cette première opération avec une ou plusieurs classes ambigués.
Nous ajoutons deux exemples qui serviront d'éclaircissement à ce procédé, mais nous ne pouvons rien dire de plus sur l'usage de cette construction, ni sur les artifices au moyen desquels on peut diminuer le travail.
I. Déterminant— 161.
Quatre genres positifs; dans chacun d'eux quatre classes.
G.s V. 1. 4, 7; R23. 3, 4; N7; Rab. (1, o, 161)= K(3, 1, 54)— E (9, 1, 18)= E:(6,— 1, 27.)= E (2, 1, 81)= E(6, 1, 27)= E (9,— 1, 18)= Es(3,— 1, 54)= E.. V. F. 3, 4;; Nas. 1, 4; N. 7; Na3. (7, 0, 23)= A(10, 3, 17)= A. E
(11,— 2, 15)= A. E=(5, 2, 535)= 4. (14,— 7, 15)= A. E4(5,— 2, 53)=.* (rI, 2, 15)= A ◻£(10,— 3, 17)= A. E’.
II. Déterminant— 546.
Huit genres positifs; dans chacun d'eux trois classes.
G. V.
1 et 3, 8; R3; Rg; Ri3. 5 et 7, 8; N; Ny; Nis. (r, o, 546)= X(5, 2, 110)— E (22,— 2, 45)— E(21, O, 26)— (22„ 2, Qß= E(5,— 2, 110)=— f'.
222= 706 45= 92+846. 22

Cechini 1 plus Aw en Gdesqpeb u
1 quatte: V.
„N. K 421 2)= P 9)=P — F =F. F'
B.
ret 3, 8; V3; Ry; Ni3.
( 2, 0, 273)= A (11,— 2, 50)= A. E (11, 2, 5⁰)= A. E r tet 3, 8; V; V7; Ri3. (3, 0, 182)= ℳ
(17, 7⸗ 33)= A. E“
(17,— 7, 35)— A'. E4 D.
1 et 3, 8; 3, N7; N3.
(6, o, 9¹)= 1. A
(19, 9, 33)= A. A. E⸗ (19,— 9, 33)= A. l. E.
A RITHMETIOVUES.
72* 5 et 7,8; 3; V; Ri3. (1o, 2, 55)= A E (13, o, 42)= A. E (10,— 2, 55)= A. E. DZir. 5 et 7, 8; R3; R; Ni3. (15,— 3, 37)= A. E ( 7. O0, 78)= 4
(15, 3, 37)= MA. E. 7. 5 et7, 8; N. 3; Rf; RI3.
—————
(23, I1, 29)= A. A. E (14, 0O0, 26)= A.'. E: (23,— 11, 29)= A. A. E.

588 RECHERCHES
SECTION SIXIEME. Applications des diférentes Recherches précédenles.
308. Novs avons déjà indiqué en différens endroits combien l'arithmétique transcendante peut être utile dans les autres par- ties des mathématiques. Mais nous ne croyons pas inutile de traiter
à part quelques applications qui méritent d'étre exposées avec plus de détail, non dans la vue d'épuiser ce sujet, qui suffirait pour
remplir plusieurs volumes, mais pour Féclaircir Dar quelques
exemples.
Dans cette Section, nous parderons d'abord de la décomposition des fractions en fractions plus simples; ensuite, de la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales; nous exposerons une novelle méthode d'exclusion, qui sert à la résolution des Equations indéterminées du second degré; enſin, nous donnerons de nouvelles méthodes abrégées, pour distinguer les nombres pre- miers des nombres composés, et trouver les facteurs de ces derniers.
Dans la Section suivante, nous établirons la théorie générale d'une espèce particulière de fonctions, qui s'étend très-loin dans toute l'analyse, et qui est intimement liée à l'arithmétique trans- cendante; nous nous attacherons surtout à agrandir la théorie des sections du cercle, dont jusqu'à présent on n'a connu que les premiers élémens.
„f E 2 II1„ 309. PROBLEME. Deæcomposer la fraction=, dont le déno- minateur n est le produit de deuæ nombres a et b premiers entre euæ, en deuæ autres dont les denominateurs soient a et b. 2 X 2 3 8 Soient—, ₰ les fractions cherchées; on doit avoir bæ‿ay=m; aà* 6*
donc x sera racine de la congruence bæ Smn(mod. a), et par-

LNM
—
9, b ds gy keelent,
s eudhoit toalen
ans les auts 1
das itutie etan
d elposs ndcps „Kul aüfirit an
Areit Rr gele
e la decompai e, de la corperin 3; Nons ennxns la rsclufim G a, nous donem er les nombreim. ur de ces demith
l théorie gäuint ttend tres-Lin tu arithmétiqme tm- grandir k bem on Ea colll e
2 dnt L dn eurs wienith noir êrroe
4„

3————— ᷣ———ſ ᷣ=—— 5 5— 5 ———————— 2 13 a Zzee ee==== E— —.————=———2———

conséquent peut
— —
„
racines, mais toutes congrues suivant a, J acquière une valeur négative.
m— br
que l'on peut aussi trouver par
et par l'équation&„ Fꝛ
Par exemple, étant proposée la fraction ³ l'expression 2(mod. ⁷); done
510. Si l'on propose une fraction 1
—
5
2A
5 97
1
ARITHMETIOUES.
8é trouver par la Section II: on aura d'ailleurs
soient et 5 3, etc., ensuite la dernieère nominateurs soient 5 et d, etc.
la fraction proposée sera mise s
12
12
er
—
—
ou
„et ainsi de suite, s la fornme
5*‿ 2+3etc.
4 2. 7 1 1*
389
Au reste, on sait que la congruence bæ Im a une infinité de eet il peut arriver que Il est à peine nécessaire de dire la congruence ay= m(mod. 5),
„4 sera valeur de se décompose en
dont le dénominateur soit le produit de tant de facteurs a„ 6, o, A, eto. qui soient premiers entre eux, on pourra, la décomposer d'abord en deux fractions do
qu'on voudra, par le ne précédent, nt les dénominateurs en deux dont les dé- desorte que
1
Il est évident que l'on pourra toujours prendre les numérateurs 2, 8,),—, etc. positifs et plus petits que leurs dénominateurs
respectifs, excepté le dernier, qui n'est plus arbitraire 3 les autres sont déterminés, et peut être négatif et plus gr son dénominateur(si du moins nous ne su Alors, le plus souvent, il sera
lorsque and que
Pposons pas m n). avantageux de mettre la dernière
„„ 4 1 SE L.„„ fraction sous la forme K, de manière que« soit positif et
moindre que«, et que x soit un entier.
Exemple. La fraction 32½,
2 2. 1 se décompose de cette manière en ½+
I en 5—
9
7 0 4 4.—.— 27; donc mettant— 1 pour
— 1 1 2 3½=+ℳ+3—1.
—. 9 7771.2 311. La fraction— ne peut se mettre ue d'une seule maniere
dont le dénominateur= 4.3. 7.11, 4⁰ 2317 231 6 3—
il vient enfin
38. 38
— 77
7

590 RECHERCHES
A 3— 221„ 86. sous la forme 2+ 5* etc. k, de manière que a, 8, etc. soient ositifs et moindres que a, D, etc., c'est-à-dire que si l'on supposait N 5 6 T— 2 6„— 4
on aurait nécessairement ‿, 3=S, etc. K= K, tant que 2, G, N, etc. seront positifs et plus petits que, 5, o, etc. En effet, en multipliant par n= abod, etc., on a m= aʃο⁴d, etc., =a'bod, eto.(mod. a), et comme bod, ete. est premier aveca, il s'ensuit nécessairement a= u et partant a; de mème 8=, etc., et parconséquent K= X. Or comme il est absolu- ment arbitraire par quel dénominateur commence le calcul, il est évident que tous les numérateurs peuvent ètre cherchés comme a dans le n précédent, par exemple, ⁸ par la congruence Zaod, etc.=m(mod. 5), par la congruence„b⁴, etc.= m (mod. c), etc. La somme de toutes les fractions ainsi calculées, sera égale à la proposée, ou la différence sera un nombre en- tier= K, ce qui nous donne un moyen de confirmer le calcul.
Ainsi dans l'exemple du n: précédent, les valeurs des expressions 9 3 91 39 39
39 ½(mod. 4), 3G(mod. 3), 337(mod. 7), 2(mod. 11),
donnent les numérateurs 1, 2, 1, 4, qui répondent aux déno-
minateurs 4, 3, 7, 11, et l'on trouve que la somme de ces frao- tions surpasse d'une unité la fraction proposée.
312. Definition. Si Pon convertit une fraction ordinaire en fraction décimale, la suite de figures décimales(*)(en excluant la partie entière, s'il y en a), soit finie, soit infinie, s'appellera mantisse de la fraction, en prenant ici dans une acception plus générale une expression qui n'était jusqu'à présent usitée que pour les logarithmes. Ainsi, par exemple, la mantisse de la fraction z est 125, la mantisse de la fraction i est 1875, celle de la frac- tion † est 054054 à l'infini.
1„ 1 4 Il suit de là sur-le-champ, que deux fractions ⁊,— de mèême
—
+ X 0 9 —) Pour abréger, nous ne nous arrétons qu'au système décimal vulgaire, quoique nos recherches pussent s'etendre à un système quelconque.

e a, 3
) llena
3 Aeüire w 3
—— ete. 2
de. 4el, an 3 ue 4, 5, veien a n=abch K hrewia 1 t a=a; de nn conme 14 et adad amence k calal! recherheme Dar k euugnn dence)abd, de⸗. toons ainsi eqlale zera un noA conficmer balb- raleurs tes unrii ), e(und.) räpandent an 3 a Somme de eilh
Bee.
fraction oruinit nales( 8 eis
oit jofioie, tapln—
uns une rccpind rösent when etg gtisse de ha 3 1855, kelb
1 ⁷ e ctions 7
79 pstéme deen ui n
ne Cusunfi-
ARITHMETIOUES. 391 dénominateur ont des mantisses égales ou différenfes, suivant que les numérateurs l, m sont congrus ou incongrus suivant n. Une mantisse finie ne change pas lorsgu⸗ on ajoute plusieurs zéros à
.„. 101. sa droite. La mantisse de la fraction— s'obtient en retranchant
2 1.* 72 la première figure de la mantisse de la fraction—, et genérale-
v .. 10 m ment, la mantisse de la fraction—, se trouve en retranchant les» premidères figures de la mantisse de la fraction. La man- 77
.. 1 1.. 7. tisse de la fraction z commence par un chiffre significatif, si
n= 10 ou= 10; mais si n 10, et que le nombre de ses chiffres soit K, les X— premières figures de la mantisse seront des zéros,
et la K'ine un chiffre significatif. Il suit de là que 814 et 3 ont
des mantisses différentes, c'est-à-dire„ si I et m sont incongrus suivant n, ces mantisses ne beuvent avoir les premiers chiffres égaux, et qu'elles diffèrent au moins dans le K'n.
313. PROBLEME. Elant donne le denominateur d'une Frao- . I X. tion ⁊, et les k premieres figures de sa mantisse, trouwer le
numcrateur m, que nous supposons plus petit que n.
Considérons ces k figures comme un nombre entier; multi- plions-le par n et divisons le produit par 10, en en retranchant les K premières figures; si le quotient est entier, c'est-à-dire, si les chiffres retranchés sont des zéros, ce sera évidemment le nu- mérateur cherché, et la mantisse donnée sera complète, sinon le numérateur cherché sera l'entier immédiatement plus grand, ou ce quotient augmenté de l'unité, lorsqu'on en aura retranché la partie décimale. La raison de cette règle se tire si facilement des observations que nous avons faites à la fin du ne précédent, qu'il n'y a pas besoin de plus grands développemens.
Exemple. Si l'on sait que 69 sont les deux premières figures de la mantisse de la fraction dont le dénominateur est 23, on a le produit 23.69= 1587; retranchant les deux derniers chiffres, et ajoutant l'unité, on trouve 16 pour le numérateur cherché.
314. Considérons d'abord les fractions dont les dénominateurs sont des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers;

392 RECHERCHES nous ferons voir ensuite comment on peut y ramener les autres- Nous commencerons par observer que la mantisse d'une telle frac-
tion—, dans laquelle nous supposons que le numérateur a ne 46.
soit pas divisible par le nombre premier p, est toujours finie lorsque= 2, ou= 5, et qu'elle est composée de chiffres. Dans le premier cas, cette mantisse, considérée comme un nombre
2 A 2 3 5 6 8 entier, sera 5 a; dans le second, 2 d. Ces vérités sont si gyvi- dentes, qu'il est inutile de s'y arréter.
Mais si p est un autre nombre premier, 1%3 ne sera jamais divisible par pf, quel que grand que l'on prenne r; d'ouù il suit que la mantisse de la fraction F= 5 est nécessairement infinie. Sup- posons que 10" soit la plus petite puissance de 10 qui soit con- grue à Punité, suivant le module p.(V. Section III, où nous
80 0— 1 8 4 avons fait voir que æ est égal à(„— 1) pf„ou à une partie aliquote de ce nombre), on voit facilement que 1oæa est le pre- mier nombre de la suite 10z, 100a, roooa, etc. qui soit con-
gru avec a, suivant le môme module. Or comme, par le ne 312,
.. 109 100a 10002 10°. 2 les mantisses des fractions—,„ etc.—— résultent
h nap p. de celle de la fraction F en supprimant le premier chiffre, lés deux, trois, etc. æ premiers chiffres, il est évident que dans cette mantisse, après les e premiers chiffres, et non auparavant, les méêmes chiffres reparaitront dans le même ordre. Ces e pre- miers chiffres qui, répétés à l'infini, forment la mantisse, peuvent être nommés poriode de cette mantisse ou de la fraction, et il est clair que la grandeur de la période, c'est-à-dire le nombre des chiffres qui la composent, qui est=, est tout-à-fait indé- pendant du numérateur a, et que le dénominateur seul le détermine. Ainsi, par exemple, la période de la fraction π est og, celle de la fraction 3 est 428571(*).
O) Robertson marque le commencement et la fin de la période, en plagant un point sur le premier et le dernier chiffre(Theory of ciroulating fractions, Philos. trans., 1764), mais nous ne l'avons pas jugé nécessaire.
316.

clion III, dl W
*
10.4„ ete.— 22
9
prewiet clille, Grident quf a „et Don aupääfän,
e opdte,(& eg
a mantisse, el ela fncim, t”
t-dire le 1
. Me . 2 parocb en cinulduns.
7
esdft. 3
„ ou à m. 111 que 1caedeg eto, qpi goit a. omme, pax Eé,
5 4 1
est tout⸗hr8il n eur geulle döterpir ou ed 00) d
—
forw,

ARITHMETIOUES. 3953 315. Ainsi, dès que l'on connait la période d'une fraction, on peut obtenir la mantisse avec autant de figures qu'on voudra;
d'ailleurs il est clair que si l'on a 5= 10˙(mod. p), on ob-
2 2 3 9 3 5 0 2 tient la période de la fraction—, si(en supposant, comme il
est toujours permis, que*⁴=e) on corit les X△ premiers
chiffres de la période de la fraction F après les—/ qui restent, et parconséquent lorsqu'on a la période de la fraction F. onaen mème temps celles de toutes les fractions dont le
b s numéra- teurs sont congrus aux nombres r0a„ 1002
„ 10003, etc., suivant le
module„. Ainsi, par exemple, comme 6=3. 10⸗(mod. 7), la
période de la fraction se trouve au moyen de la période de la fraction 3; elle est 857142.
Donc toutes les fois que, pour le module p, le nombre 1o est une racine primitive(nos 57 et 89), on peut, de la période de la
fraction, déduire sur-le-champ la période de toute autre frac- p..
tion—, m n'’étant pas divisible par p, en retranchant à gauche pour écrire à droite, autant de chiffres qu'il y a d'unités dans l'in- dice du nombre m, 10 étant pris pour base. On voit par là pour- quoi, dans la Table I, nous avons toujours pris 10 pour base, quand la chose était possible. Mais quand 1o n'est as racine primitive, on ne peut tirer 4 r p P. P
de la période de la fraction 7 que celles des fractions dont les b„
dénominateurs sont congrus, suivant p“, à quelque puissance de 10.
Soit 10˙ la plus petite puissance de 10 congrue à l'unité, suivant ,—1
le module„“, faisons(Py— 1) p= ef, et prenons(n- 71) pour
base une racine primitive r telle que † soit l'indice du nombre xo.
Dans ce système, les numérateurs des fractions dont les périodes
peuvent se tirer de la période de la fraction 8„ auront pour b„
/, 1, V.„jetc.,(e— 1) f.
indices
Ddd

394 RECHERCHES De la méême manière, on peut déduire de la période de la frac-
tion—+, celles des fractions dont les numérateurs répondent aux ℳ⁴
2 indices b n ⸗ 2/+ 1, 35+ 1, eſc. De la période de la fraction dont le numérateur est r*(l'indice
en est 2), on déduira celles des fractions dont les numérateurs
ont pour indices
/+ 2, 2/₰+ 2, 32, etc.
de la période de la fraction dont le numéra-
Et généralement, duira celles des fractions dont les numérateurs
leur est y, on dé ont pour indices
+i, 2/i, Vi, etc.
On conclura facilement de là que si l'on connait seulement les périodes des fractions qui ont pour numérateurs
4 3— 1 1, 7,, 73, A,
er toutes les autres par la seule transposition, à l'aide
on peut tir Soit i l'indice du numérateur m de la frac-
de la règle suivante: . 7 I. d ts 8 t. p tion proposée—, dans le systeme ou 7 est pris pour base, nous
0—. 2 4 3 supposons=(p„— 1) p zon fera, en divisant par.), ſ, de manière que, 9 soient des entiers positifs, ou mème= o, et qu'on ait G.. Cela posé, la période de la fraction naitra p. — 6
Je celle de la fraction dont le numérateur est(et partant 1, quand= o) en plagçant les a premiers chiffres après les autres(et conservant parconséquent cette période elle-même, quand 0). Ce qui précède suffit pour faire voir pourquoi, en formant la Table I, nous avons suivi la règle exposée n“ 72.
316. Nous avons construit, d'après ces principes, pour tous les
7 3 3 22. 4
denominateurs de la forme p, au-dessous de 1000, une Table 7. 2 4
des périodes nécessaires, que nous donnerons en entier, et même
continuée plus loin à la première occasion qui se présentera- Nous

beriode de k 1 . reponta
4.
dal
e ur est((ude
t e
es Vnmere
1 dontk dune
ut les uneata
nalt geulemeutle 1
I
gpositiop, à läitk ateur m dehfa.
s Pour base, Im
at par fer9
8, ou méme=!)
. u; action l 1
1(et partant! ptés les aule d ne, quäpd 421 1, en forant b V
—
1000,
5 pebsell
e PuE une s nſt u Job
—“
ARITHMETIOUES. 395
plaçons ici la Table III, pour en donner une idée; elle ne va
que jusqu'à 100, et elle a à peine besoin d'explication.
Pour les dénominateurs à l'égard desquels 1o est racine pri-
mitive, elle donne les périodes des fractions dont le numérateur
est 1, par exemple pour les nombres:
7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97; pour les autres, les f périodes qui répondent aux numérateurs 1, T,, N=, périodes qui sont distinguées par les nombres (o),(1),(2), etc.; on a toujours pris la même base que dans la Table I. A l'aide de cette Table et de ce qui a été enseigné dan.
le n' précédent, on peut trouver la période d'une fraction quel-
conque, pourvu que son dénominateur soit contenu dans cette
Table, et que l'on ait calculé l'indice du numérateur au moyen
de la Table I. Au reste, pour des dénominateurs aussi petits, on peut se passer de la Table I, en calculant par la division arith- métique autant de chiffres de la mantisse cherchée, qu'il est né-
cessaire, d'après le n 313, pour la distinguer de toute autre du
méme dénominateur(pour la Table III, il m'en faut jamais plus de deux), et en parcourant les différentes périodes qui répondent au dénominateur donné, jusqu'à ce que nous soyons parvenus à ces chiffres initiaux, qui indiqueront surement le commence- ment de la période. Il faut cependant avertir que ces chiffres peuvent éêtre séparés de manière que le premier, ou plusieurs, forment la fin de la période, et l'autre ou les autres la com- mencent.
Eæxemple. On demande la période de la fraction 13. La Table I
donne, pour la base 19, ind. 12= 2. ind. 2+ind. 3= 39=5 (mod. 18)(n* 57). Donc, comme dans ce cas il n*y a qu'une seule
période qui répond au numérateur, il faut transporter à la fin les trois premiers chiffres, ce qui donne 6315/8947568421052. Les deux premiers chiffres 63 auraient fait trouver aussi facilement le commencement de la période.
5 3
le module 53, ind. 45= 2 ind. 3+ ind. 5= 49; le nombre des pé-
riodes est ici, 4=/, et l'on a 49= 12/+ 1; donc il faut à la
Période désignée par(1) transposer les douze premiers chiffres. 2
Si'on demande la période de la fraction 45, on trouve pour

396 RECHERCHES et'on trouve 8400566037735 pour la période cherchée. Les chiffres initiaux 84 sont dans ce cas séparés dans la Table.
Nous observerons encore, qu'à l'aide de la Table III on peut trouver un nombre qui, pour un module donné, confenu dans cette Table, dans la colonne des dénominateurs, réponde à un in- dice donné, ainsi que nous l'avons promis ne 59: il suit en effet de ce que nous avons dit plus haut, que l'on peut trouver la période d'une fraction au numérateur de laquelle réponde un indice donné, quoique ce numérateur soit inconnu; il suffit de prendre de cette période autant de chiffres initiaux qu'il y a de chiffres au déno- minateur, et par le n 313, on trouvera, à l'aide de ces chiffres, le numérateur, ou le nombre cherché qui répond à l'indice donné.
317. On peut par ce qui précède trouver sans calcul la man- isse d'une fraction quelconque, dont le dénominateur est un nombre premier, ou une puissance d'un nombre premier com- pris entre les limites de la Table. Mais, à l'aide des recherches que nous avons faites au commencement de cette Section, l'usage de cette Table devient bien plus étendu, et elle renferme mèême les fractions dont les dénominateurs sont des produits de nombres premiers ou de puissances de nombres premiers. En effet, une pareille fraction peut se décomposer en d'autres dont les dénomi- nateurs soient ces facteurs, et ces dernières peuvent êtye conver- ties en fractions décimales, ayec tel degré d'approximation qu'on voudra; ainsi il ne reste qu'à les réunir par l'addition. II est à peine nécessaire d'observer que le dernier chiffre de la somme Pourra se trouver un peu plus petit qu'il ne devrait être; mais il est évident que l'erreur ne peut monter à autant d'unités qu'il y a de fractions à ajouter; ainsi il conviendra de calculer ces
dernières avec quelques figures de plus qu'on n'en veut avoir à la fraction proposée.
Considérons, comme exemple, la fraction
— 60993803 5 1„/* 17= 4272½5355()⸗
——
(+) Cette fraction est une de celles qui approchent le plus de la racine quarrèe de 25, et Texcès est moindre que sept unités du vingtième ordre décimal.
X

nominateur& u br premier cm.
lide des techenhs te Kection„lugg
7
le renfermemim roduits denauls t. In effet, w/
Gont les déomi
eurent êtfe confe-
proximaticn qin
addition. Ueti illte de la uU jerrait ètre; Mb
tant dwitéqdl
a de caleuleré6
een veut poit 34
DDa Ul de la faclne 1
ndre decid
—
————Jͤͤͤ

——;]—
— –—

b ARITHMETIOUES. 397 dont le dénominateur est le produit des nombres 16.9, 5, 49, 13, 47, 59. On trouve par ce qui précède
= e. L.S.. = 1—†. 5 3+ ½+ 33 3*4ℳ 33; ces fractions particulières réduites en décimales, donnent
1— 1
24.= 0,6875
4— 0,8
5= 0,4444444444 4444444444 44
½= 0,4489795918 3673469387 75 = 0,3846153846 1538461538 46
5= 0, 1489561702 1 276595744 68
= 0,8813559322 0338983050 84
7= 4, 7958315233 1271954166 17.
L'erreur en moins de cette somme, comparée, à la valeur exacte, est moindre que cinq unités du vingt-deuxisme ordre„ donc les vingt premiers chiffres sont exacts. En poussant le calcul à un plus grand nombre de décimales, au lieu des deux derniers chiffres 17, on trouve 1893936. Au reste, chacun sentira bien, méme sans que nous en avertissions, que cette méthode de réduire les frac- tions ordinaires en fractions décimales„est principalement appli- cable au cas où l'on veut avoir un grand nombre de chiffres; car, s'il suffit d'un petit nombre, la division ou les logarithmes peuvent être souvent employés avec autant d'avantage.
318. Comme nous avons ramené les fractions dont le déno- minateur est composé de plusieurs nombres premiers différens„ au cas ouð le dénominateur est un nombre premier, ou une puis- sance d'un nombre premier, il ne nous reste qu'à ajouter quelque chose sur la mantisse de ces fractions. Si le dénominateur ne ren- ferme ni le facteur 2 ni le facteur 5„la mantisse sera encore com- Posée de périodes, parceque, pour ce cas, on parviendra aussi à un terme de la suite 10, 100, 1000, etc. qui soit congru à l'unité, suivant le dénominateur, et l'exposant de ce terme, que l'on peut déterminer par le ne 92, indiquera la grandeur de la période, qui est indépendante du numérateur, tant que la fraction est irréquclible.

398 RECHERCHEL S
. 4 ρ₰ Mais si le dénominateur est de la forme 2 5 N, N etant un— 6 des nombres qui ne peuvent
nombre premier avec 10,& et Ztre zéro à-larfois, la mantisse deviendra périodique après les a ou G premiers chiffres, suivant que ou 8 est le plus grand; ces périodes seront composées d'autant de chiffres que celles des fractions dont le dénominateur est N. Ceci se déduit facilement de ce que la fraction proposée peut se décomposer en deux autres
dont les dénominateurs soient 2259 et N, et dont la première sera interrompue après les ou 3 premiers chiffres.
Au reste, nous pourrions ajouter encore beaucoup d'autres ob- servations sur ce sujet, surtout à l'égard des artifices au moyen desquels on peut construire avec une grande facilité la Table III; mais, forcés d'abréger, nous jes omettons d'autant plus volontiers qu'une grande partie a été publiée tant par Robertson que par Bernoulli(Nouv. Mém., de l'Mcad. de Berlin, 1771).
319. Nous avons traité(ne 146) de la possibilité de la congruence * A(mod. m), qui revient Aàl'équation indéterminée æ A--my, de manidère à ce qu'il semble qu'on ait rien à desirer; mais pour la recherche de l'inconnue elle-même, nous avons déjà observé (ne 151) que les méthodes indirectes étaient de beaucoup préfé- rables aux méthodes directes. Si m est un nombre premier, cas auquel les autres se ramènent facilement, la Table des indices I, combinée avec la Table III, suivant P'observation du no 316, peut être employée à cette fin, comme nous l'avons fait voir plus généralement(n- 60); mais cette méthode ne s'étendrait qu'aux nombres compris dans les Tables; c'est pourquoi nous espérons jque la méthode suivante, par sa généralité et sa briéveté, ne déplaira pas aux amateurs de l'Arithmétique.
Observons avant tout qu'il suffit de connaitre les valeurs de .. m. 3 qui sont positives et non plus grandes que—, puisque toute autre
valeur sera congrue à l'une de celles-là, prise positivement ou négativement. Or, pour une telle valeur de x, celle de est nè-
92 0 0 A A 6 2 cessairement contenue entre les limites— et 1 4 Ainsi une
méthode qui s'offre d'elle-même, consisterait à calculer la va-

deaucoup dui, led artilees u un eacilſenhell rautant Dus ünn par Robennan eg
erlin, unn).
des nombres α,[,„, etc., la valeur de N= A-my qui en
dilité de la enger terminte*-4,—, 11 desiter, myr us aron dijt den ai de beaxcaup ai nombte preni,3
la Table cäsilüts
gervation du'
us Parons fäitrd- b ne setendcäi qd its et A kieeh,!
ARITHMETIOUES. 36 leur de 4-m,. E', pour toutes les valeurs de F comprises entre ces limites, et dont nous désignerons l'ensemble par e, en ne re- tenant que celles qui rendraient V un quarré. Quand m est petit, le nombre des essais est si peu considérable qu'il n'est presque pas nécessaire de chercher à l'abréger; mais quand in est grand. on peut diminuer le travail autant qu'on voudra, par la meéthode 'exolusion suivante. b b 320. Soit E un nombre entier arbitraire et plus grand que 2„ soient aussi a, 5,&, etc. fous ses résidus quadratiques différens» c'est-à-dire, incongrus suivant E; enfin., 6
„), etc. les racines des congruences
A my= g, A my= b, my= e, etc.(mod. E), que l'on peut prendre toutes positives et plus petites que E; si Von donne à y une valeur congrue, suivant le module E, à l'un résultera sera congrue à l'un des nombres a., 5, o, etc., et sera parconséquent non-résidu de E; partant elle ne pourra être un quarré. Par là, on peut dono rejeter sur-le-champ, de œ, tous
les nombres inutiles qui sont contenus sous les formes
Et+ua, Et+, Eli+, ete.,
et il suffira d'essayer les autres, dont nous représenterons l'en- semble par. Dans cette opération, nous pouvons donner au nombre E le nom d'evxcluant.
En prenant pour excluant un autre nombre convenable Ee, on trouvera de la même manière autant de nombres, 9“ F) etc. qu'il y a de non-résidus différens, et auxquels y ne peut étre congru suivant le module El.. On peut donc encore rejeter de
tous les nombres compris sous les formes
Eir+, Et+, Eit-, etc. b On peut continuer de cette manière les exclusions, jusqu'à ce que le nombre des valeurs soit tellement diminué, qu'il ne paraisse pas plus difficile d'essayer directement celles qui restent, que d'entreprendre de nouvelles exclusions.
Exemple. Soit proposée l'équation ν ‿= 22+ 97y; les limites des valeurs de sont— 33 et 24+ ½—; donc, commela valeur
99
.—. ————————— ————— 8—. 1 3 . —.—————-— 2————— 1— 4„
——— —— — 8

40⁰ R F CHI. RCHES
zéro est évidemment inutile, comprendra les nombres 1, 2, 3., 24. Pour E= 3, il n'y a qu'un non-résidu a= 2, qui donne a—= 1; il faut donc exclure de les nombres de la forme 3+ 1, et il en reste 16; de mèême pour EF= 4, on a a= 2, 5= 3, d'où a.= 0, G= 1; on doit donc rejeter les nombres de la forme 4t et 4t+ 1, ceux qui restent sont au nombre de huit: 2, 3, 6, 11, 14, 15, 18, 23. Ensuite pour K= 5, on doit rejeter tous les nombres 5t et 51+– 3, et il reste 2, 6, 11, 14. L'excluant 6 ferait rejeter les nombres de la forme 61+ 1, 64+ 4, qui ont déjà disparu, comme étant de la forme 51+ 1. L'excluant 7 fait rejeter les nombres des formes 7+ 2, 71+ 3, 7t5, et laisse 6, 11, 14. En lessubstituant pour, ces nombres donnent V= 604, 1089, 1380, valeurs dont la seconde seule est un quarré. Ainsi ‿.☛ᷣ̃ 33.
321. Puisque l'opération entreprise avec lexcluant 2 rejette des valeurs de V correspondantes aux valeurs de comprises dans w, toutes celles qui sont non-résidus quadratiques de E, tandis qu'elle n'atteint pas les résidus, on voit facilement que lusage des excluans E et 2E ne présente aucune différence, lorsque E est un nombre impair, car dans ce cas E et 2E ont les méêmes résidus et les mêmes non-résidus. Il suit de là que si. l'on emploie successivement les nombres 3, 4, 5, etc., les nombres impairement pairs, tels que 6, 10, 14, etc. doivent être négligés comme superflus. Il est encore gvident que la double opé- ration entreprise avec les excluans E et E' rejette les valeurs de. N qui sont non-résidus des deux excluans ou de l'un d'eux seulement, desorte que celles qui sont résidus de l'un et de l'autre restent seules. Or comme dans le cas où E et E sont premiers entre eux, tous les nombres rejetés sont non-résidus de EE, et tous les nombres conservés en sont résidus; il est clair que l'usage de l'excluant EE est le même que celui des deux excluans E et E, et que parconséquent il est superflu. On peut donc passer tous les excluans qui peuvent se décomposer en deux facteurs premiers entre eux, et parconséquent n'employer que ceux qui sont des nombres premiers, non-diviseurs de m, ou des puissances de nombres
premiers. Enfin, après avoir employé l'excluant pl, p 6tant un
*. 9 b nombre premier, l'emploi de l'excluant p ou p,» Gtant= ¹, de- vien

à
leun de counig quadtatiques kl poit facikmtg 2 aucnne diférne s ce cas Iet lu 33. Il suit de Aür ½, 3, ele., Ewhn . doirent ètre negha que la dodd h F mſſette le utm uans ou de lu tal ſus de lmetcelan Fet F t Jelis on ESidos de IHt il&st clit gelu deux eiclas2e eut donc fessrint
1n eui factelrs RS, i w

ARITHMETIOUES. 4or
5 ℳ 4 9 vient superflu; car p ne conservant des valeurs de V que celles qui sont ses propres résidus, on est sür, à plus forte raison, qu'il ne restera. Plus de non-résidus de p, ni d'aucune autre puissance
moindre que p. Mais sip ou p a été employé avant pf, ce der- nier ne peut rejeter que les valeurs de I qui seraient résidus
de p' et non-résidus de p; qonc il suffirait de prendre pour a, b, o, etc. ces non-résidus de pf.
322. Le calcul des nombres α, 8,„, etc. qui répondent à un excluant quelconque donné E, s'abrège beaucoup par les obser- vations suivantes. Soient M, N, P, eic. les racines des con- gruences my= a, my= b, my= o, etc.(mod. E), et k la raciné de la congruence my=— AK, on aura a=r M+,=N+ K, =PX+‚ 4, etc. S'il fallait effectivement trouver M, N, P, etc. par la résolution de ces congruences, ce procédé ne serait pas plus abrégé que celui que nous avons indiqué plus haut; mais cela n'est point nécessaire. En effet, si d'abord E est un nombre premier, et que m soit résidu quadratique de E, il est clair, par le n 98, que M, N, P, etc., qui sont les valeurs des expres-
0(2 5 C F 0 2 4 sions—,—,, etc.(mod. E), sont les non-résidus différens de E,
et parconséquent colncident avec à,,, etc., abstraction faite de l'ordre, qui n'est ici d'aucune importance; mais si, dans la méême hypothèse, m est non-résidu de E, les nombres M, N, P, etc. coincideront avec les résidus quadratiques de E, zéro excepté.
Si E est le quarré d'un nombre premier impair= p', et que„ ait déjà été employé comme excluant, il suffit, par le n- précédent, de prendre pour a, b, e, etc. les non-résidus de p' qui sont ré- sidus de p, c'est-à-dire, les nombres p, 2p, 5p,...(„— 1) p, (ou tous les nombres au-dessous de pe qui sont divisibles par„, z6ro excepté); on voit par-là qu'on doit trouver pour M, N, P, etc. absolument les mêmes nombres, disposés seulement d'une autre manière. De mème, si après l'emploi des excluans p et p', on fait E= p„s, il suffira de prendre pour a, b, o, etc. les produits de chaque non-résidu de„ par p', et de là on tirera pour M, N, P, etc., ou les mêmes nombres, ou les produits de„- Eeece

4⁰³ RECHERCHES par chacun des résidus de p, zéro excepté, suivant que mn est ré-
1. 4 sidu ou non-résidu de p. Généralement, si l'on prend E= p, toutes les puissances inférieures de ayant été employées, on
trouvera pour M, N, P, eto. les produits de, par tous les nombres moindres que p, zéro toujours excepté, quand est pair, ou par tous les non-résidus de p moindres que„, quand aA est impair et mRp, ou par tous les résidus, quand mNp.
Si E= 4 et partant a= 2, 5= 3, on a pour M et N, 2 et 3 ou 2 et 1, suivant que m=i ou= 3(mod. 4). Si après avoir employé 4, on fait E= 8, on a a= 5; donc M est 5,7, 1,5,
suivant que m= 1, 3, 5, 7(mod. 8). Généralement, 81 E= 2 les puissances inférieures étant déjà employées, on doit poser 62= 20—1,„= 3. 20—“, quand z est pair, d'od il rTésulte M== 2—, N= 3. 20— ou suivant que m=i ou= 3; mais quand 4 est impair, on doit poser 42=5. d'ou il vient M Egal au produit de 23 par 5, 7, 1 ou 3, suivant que m= 1, 3, 5 ou7 (mod. 8). 2
Au reste, les gens instruits trouveront facilement la manière de rejeter mecaniguement les valeurs inutiles de, après qu'on aura calculé les valeurs de,,, etc. pour tant d'excluans qu'il paraitra nécessaire; mais nous ne pouvons nous y arréter, ni aux autres artifices par lesquels on peut abréger le travail.
323. Toutes les représentations d'un nombre donné A par la forme binaire ma ny, où les solutions de l'équation indé- terminée ma †. ny= A, peuvent êôtre trouvées par la méthode exposée Section V, qui semble ne rien laisser à desirer du côté de la briéveté, si l'on a, les différentes valeurs de l'expression V— mn, suivant le module A et suivant A divisé par ses diffé- rens facteurs quarrés. Mais nous allons donner ici, pour le cas où imn est positif, une solution beaucoup plus abrégée que la solution directe, lorsqu'il faut pour cette dernière calculer les valeurs dont nous venons de parler. Nous supposerons que les nombres m, n, A soient positifs et premiers entre eux, parceque

b ralement, EA
4
Rees, on aii IM Miltalle he ou=3) mügu Toà at N ealn
que m=, h,uf
acilement k unr es de y, apts qill poar tant deuch urons Dons) Int, abréger l ti,
hre douné A R. de Lequdim ut
urdes Darlà ES zurées pal
as eutre eds,
Plusieurs nombres, que nous a
——
4/
ger à desirer
epl excluant du dernier genre, il n* a plus à re) aleurs de lelät:
Ployé ces différentes puissances.
Soit done l'exelnant FL=p(u pouvank étre
un nombre premier qui ne divise pas m, et supp
b ARTTHMETIOVUES. 405 les autres cas se ramènent facilement à celui-là. Il sufft encore Svidemment de trouver les valeurs positives de
„S, puisque les autres s'en déduisent par un simpl
e changement de signe. II ai it é de A—m 2 Il est clair que doit étre tel due—,—, que nous désigne-
rons par Z“, soit positif, entier et quarré. La premidère condition
exige que x ne soit pas plus grand que L la seconde a lieu
par elle-même quand n=r, autrement elle exige que
la valeur 2 ℳ 2 2 2 de l'expression=(mod. n) soit résidu quadratique de n,
et qu'en désignant les diverses valeurs de l'
A¹, expression—
pP„(mod. 2) r efc.,& soit compris sous une des formes:
Ainsi, il serait très-simple de substituer à la place de æ tous les
nombres de ces formes et moindres que L. — 1
nous représenterons l'ensemble par, et de ne retenir que ceux qui rendraient V un quarré. Nous allons donner dans le ne sui-
vant le moyen d'abréger le nombre de ces essais autant que l'on voudra.
nombres dont
3a4. La méthode d'exclusion à L'aide d
u e laquelle nous y par- viendrons, consiste, comme la précédent
e, à prendre à volonté
ppellerons encore eæxcluans, à chercher quelles sont les valeurs de x pour lesquelles V devient non-résidu quadratique de ces excluans, et à rejeter de ces va- leurs de æ. On verra absolument de la même manière qu'au n* 321, que l'on ne doit employer pour excluans que des nombres
premiers ou des puissances de nombres premiers, et que, pour un
eter des valeurs de F es les puissances infé- si toutefois on a déjà em-
que les non-résidus qui sont résidus de tout .. rieures du même nombre premier,
— 1), b ou F est
osons que p soit 2

4⁰ RECHEFERCHES
la plus haute puissance de„ qui puisse diviser n(+). Soient, 5, o, etc. les non-résidus quadratiques de E(tous, quand ᷣ=, mais ceux seulement qui sont résidus des puissances inférieures, quand α 1). On cherchera les racines des congruences
— 3— 2 7 ma=— na, mz=-nb, mz= A- no, etc.(mod. Ep=p“ 9*,
que nous désignerons par α, 6, ꝛ, etc.; et l'on voit facilement
que si, pour une valeur de x on a a⁄ A(mod. Ep'), la valeur correspondante de V sera=a(mod. E), c'est-à-dire, non-résidu de E, et de même pour 8,, etc. On voit aussi facilement, que si une valeur de rend V=a(mod. E), la même valeur rendra
7 a=ca(mod. Ep), et que parconséquent toutes les valeurs de pour lesquelles æ n'est congru à aucun des nombres,,)„, etc.,
—. suivant le module Ep, produisent des valeurs de V qui ne sont congrues à aucun des nombres a, 5, o, etc., suivant le module E. Cela posé, on choisira parmi les nombres α, 8, 7, etc. tous ceux
. 1 qui sont résidus quadratiques de Ep, et les nommantg,„“, etc. on calculera les valeurs des expressions g, V, V&, etc. 2*. (mod. Ep), que nous désignerons par h, I, n', etc. II est gvi- dent que l'on peut rejeter de« toutes les formes
Ep'td h, Ep'tr⸗EhX, Epi lu, etc., et qu'aucune des valeurs de æ qui resteront ne peuvent répondre à une valeur de V qui soit de la forme Eu+a, Eu+ b, Eu-e, etc. Au reste il est manifeste qu'aucune valeur de æ ne peut donner de telles valeurs de VP, quand aucun des nombres α,,, etc. n'est résidu quadratique de Ep', et que, dans ce cas, le nombre E ne peut pas être employé comme excluant. b
Om peut employer ainsi autant d'excluans qu'on voudra, et par- conséquent diminuer à volonté le nombre des valeurs de æ à essayer.
n 3 14
0 Pour abréger, nous traitons Ala-fois le cas où n est divisible par p, et celui ou A ne P'est pas; dans le second, on doit faire?= O. 3

iger 6)
die, k(ton, 1 a, drisane de 18
V dllauns 4 Copgrveea) 4
ete.(Mod, E=*
t lon vait dain
4(
(mod. 1S) bhn Pest.. ine vneit it aussi Releuana la mäme rdeu n
loutes les pilem, 8 nombresa,), n
leurs de qun 1
e., suirant le ucaubl
*, B) 7) See tsen
nomumant 88 1 1 Al
. e
6 k
5 g, VS, h; „IV, I, ete. Uäh s formes
¼ 5, ete,
at ve pemedt iru,
o, el
ur de x 2
a ve, der,
nombtes 4, 6) 1
4 ce cas,l vde
quuu miiud 2 2
2lersie isf o03, Jh z= F,=5/
nest iudenes
„4, Sds. W A. Rafte In no,=— fd Fa„ uſe Tbee Sae rſe ee, J r“—42
Dg, er* . de, e, 2—
h„ et, e h
Sedet,ch
Sgedee I laf g eee. M 7 5, 1 1 h 5 2,9., 8 4ℳ A 2, haee e⸗ u rue, Tes ofes eeee St, A. aru ir Se.
b. 29 ma we ene, ,inee ne e
C /. ur h Wee. Lihe, yfn M Zarfun’. 1 u,d,, alb Vurch. 7—— 2e,e 22 E, Se, Ee g,h=s, e. L. ru. SeS. 1=2o O. dee, S d, Fe,„ afert()“=— mag/ c, euh,e 5 enr, 2 Rde—me= ISae eh, h t, ee 2. 2 n 71== 6G 2 ah L o,= 0 9 8 8 2 d; 4 N. cn r 4! 2— D 5 23 72, 7 e⸗
I D, Aere c hae B ¶ a mr Ve uee eh dn El A,
— Wn Aa, Ab 2 a,=, m m, Ae, Ar e, Dl6]))= 4=(e hr 9, n= e- 7e=Y7 24e D) ehe 49 u,
1 25— ma 2 4³% 4 r a. Fru 2 Eõla,„ aet Pohr laf rh9= u
Nier 82 —7 8
A= m,— 7 X“ 4, ndende— Leh 7 A eer eeel. c= h,. 1, a, ,1. e e.
=—= mg, ,h KI2 f er 29
S 4 pter) εO †. ple-y m)/ chn p0ο ι‿ß Pa) dr oTh 0 Gn de. h n,e n m e..
v rn en
u u ,73 2
. d C n Be, h z2 da E
4 r 9/=é, ,u 5
T
2. 2 Vans]
Lff, At e

ARITHMETIOUES. 405
Examinons maintenant si l'on ne pourrait pas employer comme excluans des nombres premiers diviseurs de m, et des puissances
. A. de ces nombres. Soit B la valeur de l'expression(mod. m), il
est clair que l'on a toujours V= B(mod. m), quelque valeur 4 que l'on prenne pour x, et que parconséquent pour que l'équa- tion proposée soit possible, il est nécessaire que B soit résidu quadratique de m. Ainsi, p désignant un diviseur quelconque premier impair de m, qui, par hypothèse, ne doit diviser ni n, ni A, ni parconséquent B; EV sera résidu de p pour une valeur quelconque de æ, et partant, p ni ses puissances ne peuvent éêtre pris pour excluans.
Par une raison semblable, quand mn est divisible par 8, il est
nécessaire que l'on ait B=r(mod. 8), pour que l'équation pro-
posée soit possible; donc pour une valeur quelconque de æ, on
aura V= 1(mod. 8), et partant, les puissances de 2 ne peuvent servir d'excluans.
. Quand m est divisible par 4 et non par 8, on doit par la mème raison avoir B=r(mod. 4), et parconséquent la valeur de l'ex-
pression 4(mod. 3) est 1 ou 5; désignons-la par C. II est facile
de voir que, pour une valeur paire de æ on a T= C, et V= C+ 4 (mod. 8) pour une valeur impaire; d'où il suit que l'on doit re- jeter les valeurs paires quand C= 5, et les valeurs impaires quand C= 1.
Enfin, quand m est divisible par 2 et non par 4, soit encore
C la valeur de l'expression 4(mod. 8), qui sera 1, 3, 5 ou 7, et
b 82 2 12 4 D la valeur de l'expression(mod. 4), qui sera 1 ou 3. Comme
la valeur de V est toujours= C— 2Dæ(mod. 3), et partant — O, si x est pair, et=(. 20, si ꝙ est impair; il est clair qu'on doit rejeter toutes les valeurs impaires de x, lorsque C=r; toutes les valeurs paires, quand C= 5 et D= 1, et quand C= 7 et D= 5, et que les valeurs conservées donnent toutes— (mod. 8), c'est-à-dire, V résidu de toute puissance de 2. Quant aux autres cas, savoir, lorsque C= 5 ou 3 et D= 3, lorsque

4⁰6 R ECH ERCHES
C= z et D=:, on trouve V= 3, 5 du 7(mod. 8), soit que ꝙ— soit pair, soit qu'il soit impair, d'ouù il résulte évidemment que, dans ces cas, l'équation proposée n'admet aucune solution.
Au reste, comme après les changemens convenables, on peut chercher la valeur de y de la même manière que nous avons cherché celle de æ, on peut appliquer de deux manidères la mé- thode d'exclusion au problème proposé(excepté dans le cas où m= n= 1); on doit préférer celle pour laquelle contient un moindre nombre de termes, circonstance dont on peut facilement juger à priori.
Enfin, il est à peine nécessaire d'observer, que si après quelques exclusions, tous les nombres de œ disparaissent, on en doit con- clure que l'équation proposée est impossible.
325. Exemple. Soit l'équation
3*+ 455)*= 10857562, que nous résoudrons de deux manières, en cherchant d'abord les väleurs de, et ensuite celles de P.
1⁰°. La limite des valeurs de est, dans ce cas,„/(3619120+ 3), qui tombe entre 1902 et 1905: la valeur de rexpression ³(mod. 45⁵⁵)
est 354, et les valeurs de l'expression 554(mod. 455) sont 82,*+ 152, ck. 1,73, †˖ 212; d'où il résulte que« contient les trente-trois nombres suivans:
82, 152, 173, 212, 243, 282, 503, 373, 537, 607, 628, 667,
698, 737, 758, 828, 9092, 1062, 1083, 1122, 1153, 1192,
1215, 1283, 1447, 1517, 1538, 1577, 1608, 1647, 1668,
1758, 1902.
Le nombre 3 ne peut êètre employé ici comme excluant, parce- qu'il divise m.
Pour l'excluant 4, on a 4= 2, 5= 3, d'oll o,— 3,— o; les valeurs de(mod. 4) sont o et 2; il suit de là que tous les nombres des formes 4t et 44+ 2, c'est-à-dire, tous les nombres pairs, doivent être rejetés. Désignons par les seize qui restent.
Pour E= 5, les racines des congruences mz= A— an,

que si aprss o zent, ou eu dt 32
2
¹
cherehant dedanlſ
88,(rge) presiun ſn
(mod. Hjmt
212;
iis nombres suiras 3, 60, 638, ti
1122, II55, IS,
1605, 1599 üh ame ereluanf, Mt
„— W suit de là 2 lire, tousls muüle
seiue qui restelt
ces
.ℳr“
ARITHMETIOUES. 50 mz= A— 3„(mod. 25) sont 9 et 24, qui sont toutes deux résidus de 25; les valeurs des expressions Vg et 24(mod. 25) sont
£☛3 et ̈ᷣ; ainsi rejetant les nombres des formes 254*3, 25 /.-,
ceux qui restent sont au nombre de dix:
1753, 373, 537, 667, 757, 1083, 1213, 1283, 1517, 157zjf()
Pour E= 7, les raoines des congruences
mz=A— 3„, mz=A— Pn, mz= A— 6„(mod. 49)
sont 32, 39, 18, qui sont toutes résidus de 49; les valeurs des expressions 52, 39, 18(mod. 49) sont 49, X 23,*£ 19; en reéjetant de ν les nombres de la forme
491 9, 491 19, 4914 23, il reste les cinq suivans:
537, 737, 1083, 1213, 1517...(a*.
Pour E= 8, on a a= 5, d'ou a= 5 qui est non-résidu de 8;
ainsi l'excluant 8 ne peut éêtre employé. Le nombre g doit etre
passé, par la mème raison que le nombre 3.
DPour E= I1, les nombres,, efc. sont 2, 6, 72 8, 10, et „= O; donc les nombres a, 8, etc. sont 8, 10, 5, o, 1, parmi lesquels o, 1 et 5 sont seuls résidus de 11; de là on conclut que lon doit rejeter de les nombres de la forme . 127, 1111, 1114.
Il reste 537, 1083, 1215; en essayant ces nombres, ils donnent Pour I les valeurs b
21961, 16129, 14161, dont le second et le troisième seuls sont des quarrès. Donc l'équa- tion proposée admet deux solutions par des valeurs positives de æ, y. x= 1083,„= 127; ‿. 1215,= 119.
2⁰. Si l'on veut chercher par exclusion l'autre inconnue de cette équation, on la mettra sous la forme
455α+— 3p= 10857362,
en échangeant æ et y, afin de conserver la notation des 0s 323, 324. 4

4
4⁰8 RECHERCHES La limite des valeurs de tombe ici entre 154 et 155; la va-
A 8 2 leur de l'expression=(mod. n) est 1, et les valeurs de(mod. 3)
gont 1 et— 1; donc contient tous les nombres des formes 37+1 et 31— 1, c'est-à-dire tous les nombres non-divisibles par 3, jusqu'à 154 exclusivement; il y en a cent trois. En appliquant les règles données précédemment, on trouve que
pour les excluans on doit rejeter les nombres de la forme 3 91£☛ 4 4 4t, 4t+ 2, c'est-à-dire les nombres pairs, 9 271-+ 1, 27E10 11 111, I1!E, I145 17 171R5, 17 4, 1715, 17£7 19 19t☛ 2, 19 3, 19/˖³ 8, 19/£☛g 23 23t, 231᷑ 5, 23 7, 237 ¶☛᷑ 9, 231☛᷑ 10.
Après avoir effacé ces différens nombres, il reste 119, 127, 137, dont les deux premiers seuls rendent V un quarré, et donnent les mémes solutions que la première méthode.
326. La méthode précédente est déjà si expéditive en elle- méme, qu'elle laisse à peine quelque chose à desir r; cependant elle peut encore être beaucoup abrégée par un grand nombre d'artifices, sur lesquels nous ne pouvons nous arrêter que légé- rement. Ainsi nous réduirons nos recherches au cas où l'excluant est un nombre premier impair qui ne divise pas A, ou une puissance d'un tel nombre, d'autant plus que les autres cas peuvent se ramener à celui-ci, ou étre traités d'une manidère analogue. b
Supposons d'abord que l'excluant E= p soit un nombre premier qui ne divise ni m, ni n, et représentons par K, M, N, P, etc. les valeurs des expressions
Al n n5 no W —————— enraheee— 0 m d. 2. ,—;,—=, elc(mod. p);
respectivement: les nombres a,, 7, etc. se trouveront par les congruences
. ‿ά‿e k M, 8=kN,=K+P,(mod. p).
Or

3, 19ecdg
Bicdh teen
ilreste 1l, m, ä à quantt, AtehRne ge.
epéditire eu èe ze A desir k) cepenidt par un Tand mühe nous anttet qhe li. des au czs ol lesdun divise pas 4 un us que les allt 4 e traitts G'une WI
4
soit un vombre ſede
8 Pr ,I,I2.
(wod. y)
etc. 8 wooftrdl 1
+,(ol) 1

ARITHMETIOUES. 409 Or les nombres M, N, P, etc. peuvent être déterminés par un artifice absolument semblable à celui dont nous nous sommes servis au ne 322, sans résoudre les congruences, et ils cornci- deront, soit avec tous les non-résidus, soit avec les résidus de p
(z6ro excepté), suivant que la valeur de l'expression—=(mod. P)⸗
ou, ce qui revient au mème, suivant que le nombre—mn est résidu ou non-résidu de p. Ainsi, dans l'exemple 2 du n“ précé- dent, pour E= 17, on a= 7;— mn=— 1365= 12 est non- résidu de 17; donc les nombres, N, etc. sont 1, 2, 4, 8, 9, 15, 15, 16, et partant, les nombres aA,, etc. sont 8, 9, II, I 15, 16, 3, 5, 6. Parmi ces derniers, 8, 9, 15 et 16 sont rési- dus, d'oð L'on tire h, I, etc.= 5, 3, 7, 4.
Ceux qui auront fréquemment occasion de résoudre ce problème, gagneront beaucoup à calculer pour plusieurs nombres premiers p, les valeurs de h, E', etc. correspondantes aux différentes valeurs de k(1, 2, 3.„— 1), dans la double supposition où— mn est résidu, et ou il est non-résidu de p. Au reste„‚ nous observe- rons encore qu'il y a toujours(— 1) nombres h,— h, w, etc. quand& et— mn sont tous deux résidus, ou tous deux non-résidus de p; 2(p— 5), quand le premier est résidu et le second non- résidu; ¾(p+. 1), quand le premier est non-résidu et le second résidu. Mais, pour éviter la prolixité, nous supprimons la dé- monstration de ce théorème. 10
Quant à ce qui regarde les cas où E est un nombre premier qui divise n, ou une puissance d'un nombre premier impair qui divise ou ne divise pas n, nous allons voir qu'ils peuvent être employés d'une manière encore plus expéditive. Nous traiterons tous ces cas ensemble, et conservant la notation du n: 5324, nous
4 2 3. 2. ferons n= np, desorte que n' ne soit plus divisible par p. Les
22„ 2
nombres a, 5, c, etc. seront les produits du nombre„ par tous les nombres moindres que p, zéro excepté, et par tous les non-résidus de p plus petits que, suivant que&α est pair ou
* 2«ℳ„„. 4—1.
impair; exprimons les indéfiniment par 2 p Soit Kk une va- . 4 e hy) 24
leur de l'expression(mod. pb †¾), il ne sera pas divisible par,
b Fff

410 RECHERCHES
puisque A ne l'est pas; en outre il est clair que&, 8,, ete.
sont congrus à K suivant le module p, et que partant p nlex. Aut aucun des nombres", si KNp; mais si KRp et partant
KRp 1 soit a la valeur de l'expression(mod. p“)„ qui ne sera pas divisible par p, et la valeur de l'expression
7 —(mod. p) on; aura A‿ X†aerap(mod. pe t?)„ d'ouù
lon conclut facilement que α³ est résidu de p'“ ‚hHet que les va-
jeurs de l'expression a(mod. S4) sont Æ(r † eap); donc tous les nombres h, h', m", etc. seront exprimés par la formule 4—1 0
X† culp Il est facile de conclure de là que les nombres h, N, l', etc.
se composent der ajouté aux produits du nombre p— ar tous les nombres au-dessous de p, zéro excepté, quand& est pair; ou par tous les non-résidus de p, quand*‿ est impair et que ⁵ᷣꝑ, ou, ce qui est la mèême chose, que— 2mrn Rp; ou par tous les résidus de p, quand ² est impair, et que— 2mmn Np.
Aureste, à mesure que l'on aura trouvéè les nombres h,, h', etc. pour chacun des excluans que l'on voudra employer, on pourra exécuter l'exclusion par des opérations mécaniques, qu'on décou- vrira facilement de soi-même, avec un peu d'habitude, si on le trouve avantageux.
0) On a mh=A, ma=A— na, v=k(mod.„) et d'ailleurs na= n'up. e,
on en déduit sur-le-champ, par les deux premieres congruences, m ma= na; multipliant la troisième par m, qui n'iest pas divisible par p, on obtient y 3 5. mr.— ma=na(mod. p); or en prenant un nombre e tel qu on alt . 12 I 4 amer=—(mod. p), il en résulte na=— 2merup—(mod. pf), et partant on tire facilement de là et de la congruence précédente, après avoir „ 1—I* divisé par m, 2ò+; 2erApn“(mod. p.*), ou enfin —1 e,+— 1+y a=(r Teup 1)⸗— e'uu! 42* 2=(r+ eup)*(mod. pf). (Note du traducteur.)

. a, 6,& A e—
—
2 A— A C= r,
— A&o—̃„ Co ſ/³⸗);
1 1 24 b p ℳo 8 Jru 3
(4=ehh= x) 6= 21 h z, h= a e, f, H= 2 27 ehe, e, deM9+ LA A Aoch A2 r D2
12 Ayh. h2 —bl— 15))—X 7. 0„Q
— àA f Df
———-X/ 7 P gh * Sp’, praneris F. g J, ed ucn hs,2- 5= 2, 2,, zn T,’hb-6. I. e. ,, 2
2. 2,— e.-KR a.(. = ert om, 2—
Ka hen.
7 1 e
272 2— hrrtn rr= eee,, de A Sd drc 7 A, ae e, he 4’ſ L 4 A, 5= 2.2 n 7 he, n
14— Æ IhAe.
,A„02²=£ 0,2 hrMa
aq Qεν½‿⁹εινρ vj a“ 24„L= g/νρ☛φμ⁴ν ςω˖ε‿— 4
——

.—. 8
—
1
2

— 7 Se Sarufhe, ee= A4
27* 5 4
2 ,r 4z
, ,n,p 3 sen, rere, o in= Z t,.

I.I(4X) Tu51
4(*⁴ν νι)
—
04
0 0 64 6/„ G2 5 0ε⁴
2-

—
impair etseeh, Ry; ou par buk E. ambres,I,htk. aplofer, u um ques, qumdmn habitude, iu!
ARITHMETIQOUEs. 411
Nousdevons observer enfin que toute équation ax‧+‿2 bæy- Foy M, dans laquelle b— ac est négatifet=— D, peut étre facilement ramenée à la forme que nous avons considérée dans ce qui pré-
code. Désignons en effet par m le plus grand commun diviseur des nombress a et b, et posons 3 82 119
b D,, b„ a= ma"= 2,—— mben„ A‿‿‿l‿σ
Il en résulte P'équation maν+ ny⸗=, des solutions desquelles on ne doit conserver que celles dans lesquelles— F'y est divi- sible par a, ou qui donnent des valeurs entières de æ.
327. La solution directe de P'equation aa* † abaæy ay⸗= M, contenue dans la Section V, suppose que l'on connaisse les va- leurs de l' expression V(b“*— c)(mod. M 5 mais réciproquement, pour le cas où 5*— ac est négatif, la sol ution indirecte exposée dans les nos précédens fournit, pour trouver ces valeurs, une mé- thode très--expéditive„ qui est bien préférable à celle du ne 322, surtout quand M est un très-grand nombre. Nous supposerons que M est nombre premier, ou du moins, s'il est composé, que ses
facteurs sont encore inconnus; en effet, i l'on savait que M füt
divisible par un nombre premier p, et que Lon eüt M= S NM“, de manière que M’ ne renfermaôt plus le facteur p, il serait bien plus commode de chercher séparément les valeurs de(b²— 20)
pour les modules pä et M“(en déduisant les premières des va- leurs pour le module p(u“ 101)), et d'en conclure, par la com- binaison, les valeurs pour le module M(ne 105).
Il faut donc chercher les valeurs de—-D(mod. M), oùð D et M sont supposés positifs, et M contenu sous la forme des di- viseurs de †‿ D(ne 147 et suivans); en effet, autrement il serait&vident qu'aucun aomüre ne satisferait à Pexpression pro- posée. Soient er,£,, etc. les valeurs cherchées qui se- ront toujours opposées denr à deux, et
D+!y*= Mh, D+r= Mh, Dre= Vrr., etc. désignons par K, kA., Ao,— A 46— 4 etc. les classes auxquelles appartiennent les formes. 4 29e e (MWr, h),(A4,— r, h),(In⸗A)(M,— T,),(2,r,, 4)(MI,— r', n), etc.,
2

———
41² RECHERCHES et par P l'ensemble de ces classes. Généralement parlant, ces classes doivent êétre regardées comme inconnues; cependant il est clair, 1°. qu'elles sont toutes positives et proprement primitives; 2, qu'elles appartiennent toutes à un même genre, dont le ca- raotère peut facilement se conclure de la nature du nombre M, c'est-à-dire, de ses relations avec les différens diviseurs premiers de D, et de plus avec 4 ou 8, quand il y a lieu(n 230). Puisque nous avons supposé que M est contenu sous une forme de divi- seurs de+ D, nous sommes srs d'avance qu'il répond à ce caractère un genre positif proprement primitif de formes de dé- terminant— D, quand bien mème l'expression——- D(mod. M) ne pourrait être satisfaite. Donc, puisque ce genre est connu, on peut trouver toutes les classes qui y sont contenues; désignons-les par O, C“, C“, etc., et leur ensemble par G. Les différentes classes K,— K, etc. doivent être identiques avec quelque classe comprise dans G; il peut arriver aussi que plusieurs classes de T soient identiques entre elles et qu'clles le soient parconséquent avec une même de G²G, et quand G n'en contient qu'une seule, il est certain que toutes les classes de F coincident avec elle. Donc si des classes C, C“, C“, etc., on tire les formes les plus simples, †', etc. respectivement, une forme de chaque classe de P se trouvera parmi elles. Or si arν+‿ 2bæ+ oy est une forme contenue dans la classe K, il y aura deux représentations du nombre M, par cette forme, appartenantes à la valeur /, et si l'une est= m,=n, l'autre sera æ=—m,=— n. On doit excepter le seul cas c D= 1, dans lequel il y aurait quatre re- présentations(n“ 180).
Il suit de là que si on cherche toutes les représentations du nombre M par les, différentes formes f, f“, /, ete., par la mé- thode indirecte exposée précédemment, et qu'on en tire les va- leurs de l'expression-— D(mod. M), auxquelles chacune d'elles appartient(ne 154 et suivans), on aura toutes les valeurs de cette expression et même chacune d'elles deux fois, ou quatre fois si D= 1. 8i parmi les formes/, etc., il s'en trouve quelques- unes par lesquelles M ne puisse pas étre représenté, il s'ensuit qu'elles n'appartiennent à aucune classe de P, et que parcon- séquent elles doivent être négligées; et si M ne pouvait étre

usieurs cläsa eut pareonxäqun lent quune 2 neident anee ee les forness de de chanm ät ey est memm représentatig d valemr!, ti „=- 1 Cld auait quuew
reprientaunn weic., päk E. an en ti B les chacue dels s valeu d 5 b ou quatte 1 touse qpges ventt, I Senii det qle hine pe pouſa- i

—„——— —————— ———————— 2
6gi 1
m äcets
SIo Kriles
„, Tou e
atant 12 1” win r
and D.
mr lSqu a 1, Pus Sh) 22— trait 1' l et d,
mndent; à a äb vomt 4 Klt dlio
th wier, 14
Comm
M. TFolr C

ARITHMETIOUES. 413 représenté par aucune de ces formes, alors D serait certainement non-résidu quadratique de M.
Nous ajouterons encore sur ces opérations les observations sui- vantes, qui sont essentielles.
1⁰. Les représentations du nombre M par les formes, †, etc. que nous employons, sont supposées avoir lieu par des valeurs premières entre elles des indéterminées æ,„y; s'il s'en présente d'autres dans lesquelles ces valeurs aient un commun diviseur, (ce qui ne peut arriver que lorsque& divise M, et qui arri-
„ 0 0 M 0 A 2 2* vera nécessairement si—PRS) ‚ elles doivent être négligées
dans nos Recherches, quoique, sous un autre aspect, elles puissent Stre utiles.
2⁰. Toutes choses d'ailleurs égales, le travail sera évidemment d'autant plus facile, que le nombre des classes Ae ſ ſa, etc. sera moins grand, et il est parconséquent le plus court possible quand D est un des soixante-cinq nombres consignés au ne 303, pour lesquels il n'y a qu'une seule classe dans chaque genre.
3e. Puisqu'il y a toujours deux de ces représentations, æem, J=n;=— m, y=— n qui appartiennent à la même valeur, on voit qu'il suffit de considérer celles dans lesquelles„ est po- sitif; et de cette manière les représentations différentes corres- Pondent à des valeurs différentes de l'expression h-D(mod. M), et le nombre de toutes les valeurs est égal au nombre des re- présentations, en exceptant toujours le cas ou D= 1, dans lequel le premier nombre n'est que la moitié du second.
4†. Comme il suffit de connaitre l'une des deux valeurs,— y, pour avoir l'autre, les opérations peuvent encore s'abréger; si la valeur r s'obtient par la représentation du nombre M par une forme contenue dans la classe O, la valeur opposée—, se tirera Svidemment de la représentation par une forme contenue dans la classe opposée, qui sera différente de la classe C, si celle-ci n'est pas ambigué. Il suit de là que, quand toutes les classes de G ne sont pas ambigués, il ne faut considérer que la moitié des autres, c'est-à-dire, que de deux opposées, on prendra l'une et l'on né- gligera l'autre, que l'on voit d'avance et sans calcul devoir fourniy

4¹4 RECHERCHES
des valeurs opposées à celle que donne la première. Mais quand g est une classe ambigus, elle donnera àA-la-fois les deux valeurs r et—r: si l'on a choisi dans C la forme ambigué aπν+˙‿ᷣꝗ 26*+ gy“, et que la valeur r résulte de la représentation T=m, y= nh, la valeur—7 résultera de la représentation
2nb. =— m— ,J= n.
5*. Dans le cas où D= 1, il n'y a qu'une seule classe dans laquelle on peut supposer qu'on ait choisi la forme π‿‿ o; et si la valeur F résulte de la représentation ‿ m, õ=n, la mème résultera des représentations
=— m,=— qn/;=n,=— m; a=— h,= m⸗ et la valeur opposée— r, des représentations x= m,=—h;—=—m,)= n; T—=, J=m; T—=—— H,=—m ainsi de ces huit représentations, qui ne forment qu'une seule
décomposition, une suffit, pourvu qu'à la valeur résultante nous joignions la valeur opposée.
60. La valeur de l'expression—(mad. M). 4 laquelle ap- partient la représentation M= am+ 2bmn+on“, est(n“ 155)
u(mb+‿ nc)—»(ma+ nb), ou un nombre quelconque congru à celui-là, suivant le module M, aA et» étant tels qu'on ait um+.= 1; désignons cette valeur par v, on aura
mv=ummb+ no)—»(M—= mnb— n'o) =(am+ n)(mb †‿)=mb no(mod. M);
. 5 donc„ est la valeur de l'expression—(mod. M); on trouve
.&unb de même que v est la valeur de l'expression——(mod. M). Ces formules sont souvent préférables à celle dont on les a déduites. 328. Exemples. 1*. Soit proposé de trouver les valeurs de l'ex- pression— 1365(mod. 5428681= M). On a ici
M=r, 1, 1, 6, 11(mod. 4, 3, 5, 7, 15), et partant il est compris sous la forme des diviseurs de ‿☚,
0
* + 1
4— ũ
ch
Nuf
case
gregen M zälters n dans la
41*
u wem d— 34 Kraleu time,„
*. i (wod. 4 s iass beure pr. hrnue b
Gudcitn denn repr
lagveles
Nbr ler L
e das ü au 4. k dsse. Ze5

d8 à f d na n
ament qutne El deur tesultanemn
II A korle Teu,, es(' u
1
uirant le maduell, V Signons cette um
5— ve)
——
n
celle dont Ol 61
r les faen el
a iei
.7, 5);
„rr(wd.D); (nod. M) antn 0 4⁴ co 1
qirienm Ar
ARITHMETIOUES. 415 x.+3, a † 5, et sous la forme des non-diviseurs de ax ‿ꝛ2„ *ν— 15, et partant(ne 150) sous la forme des diviseurs de
**+ 1365. Le caractère du genre dans lequel se trouvent les classes est b 2
1,43 H; R5; N7; N.
Il n'y a qu'une classe dans ce genre; nous prendrons dans cette classe la forme 64α ‿+‿ 6+ 229 y*. Afin de trouver toutes les re- présentations du nombre M, nous ferons 2xτ+= aA**, d'ouù il ré- sultera 3+ 4557= 2 M; cette équation admet quatre solutions dans lesquelles F est positif, b b b ,7= 127, 7=E10983; J= 119, 4= 1213; d'ou il résulte quatre solutions de l'équation 6aæε‿‿eνσꝙρ‿² ννσ, dans lesquelles; est positif, V
= 478,— 605, 547,— 666
„= 127, 127, I19, 119.
la première solution donne pour la valeur de l'expression 14 ½
Ou— 22(mm10d. M), d'ou l'on tire 2550978;, la seconde donne la valeur opposée; la troisième, la valeur 2609262, et la qua-
trième, la valeur opposée.
2“. Si l'on doit chercher les valeurs de l'expression„O- 286
(mod. 4272943= M), le caractère du genre dans lequel sont
les classes T se trouve être 1* ⁷,8; Rrr; Ri3. C'est donc le
genre principal, qui contient trois classes représentées par les formes Beil i
(1, 0, 286),(14, 6, 23),(14,— 6, 23).
On doit négliger la troisième, comme opposòe à la seconde. On trouve
deux représentations du nombre M par la forme †+‿̈☚ 286„, dans
lesquelles J est positif, savoir, y= 105,—== 1113, qui donnent
Pour l'expression proposée les valeurs 1493445: et comme 4
n'est pas représentable par la forme(14, 6, 23), il s'ensuit qu'il
n'y a que les deux valeurs que nous venons de trouver.
3*. Etant proposée l'expression—— 70(mod. 997531), les classes F devront être contenues dans le genre dont le caractère est 5 ct 5,8; R5; N7. Ce genre ne renferme qu'une classe dont

5 f 4
——
416 HRECHERCHES
la représentante est(5,0, 14); or on trouve, en entreprenant le
calcul, que 997531 n'est pas représentable par cette forme; donc — 70 est nécessairement non-résidu de ce nombre.
329. Le problème où l'on se propose de distinguer les nombres premiers des nombres composés, et de décomposer ceux-ci en leurs facteurs premiers, est connu comme un des plus importans et des plus utiles de toute l'Arithmétique; tout le monde sait qu'il a été l'objet des recherches des géomètres tant anciens que mo- dernes, et il serait inutile de donner des détails à cet égard. Ce-
pendant on ne peut s'empécher de convenir que toutes les méêthodes
proposées jusqu'à présent sont restreintes à des cas très-particuliers, ou sont si longues et si pénibles, que méme pour ceux de ces nombres qui ne dépassent pas les limites des Tables dont on est redevable à quelques mathématiciens, c'est-à-dire, pour les nombres à l'égard desquels ces mêthodes sont inutiles, elles fatiguent la patience du calculateur le plus exercé, et qu'elles ne sont pour ainsi dire pas applicables à de plus grands nombres.(Quoique ces Tables, qui sont dans les maine de tout le mande, et que l'on doit espérer devoir accroitre encore par la suite, suffisent dans la plu- part des cas qui se présentent ordinairement; il n'est cependant pas rare qu'un calculateur habile tire de la décomposition des grands nombres en facteurs, des avantages qui compensent au-
delà l'emploi du temps. En outre, la dignité de la science semble
demander que l'on recherche avec soin tous les secours nécessaires pour parvenir à la solution d'un problème si élégant et si célèbre. Aussi nous ne doutons pas que les deux méthodes suivantes, dont nous pouvons affirmer la briéveté et l'efficacité d'après une longue expérience, ne plaisent aux amateurs de l'Arithmétique. Au reste, il est dans la nature du problème, que les méêthodes, quelles quuelles soient, deviennent d'autant plus longues, que les nombres auxquels on les applique sont plus considérables; cependant, pour les méthodes suivantes, les difficultés ne s'accroissent qu'avec beaucoup de lenteur, et les nombres de sept, de huit et mème d'un plus grand nombre de chiffres, ont toujours été traités, sur- tout par la seconde, avec un succès très-heureux, et avec toute la célérité que l'on peut attendre pour de si grands nombres, qui, suivant les méthodes connues jusqu'à présent, exigeraient
un

as est-A dire, delr h nntiles, elle hüie melles de mnm dmbres.(wWigxn ande, et que londi ufsent Gansſt t; Il res cexua décompoäiim 6 qui compenel è de la Kience enlt es Secours Décesis Cegaut et icatr hodes wirante id 6 G'aprss melug thmétiqne, AuR métbobs, gail des, que Sol lesz Cfeniuiſu aceroiSent g tane 21

irgenn lites d8a nt pu an ont: Euucd e8 b ii cc r! ni
dol Lourr
dl uba übt, ac ligar 100 pyri Del a dwoti
. Lr dlden ſl ert 83 iide t
dleu uo. 1 wonbr. t ete! b d ong adien i

ARITHMETIOUES. 4„¶
un travail intolérable, même pour le calculateur le Plus in- fatigable.
Avant de se servir des méthodes suivantes, il est toujours très- utile d'essayer la division du nombre proposé, par quelques-uns des plus petits nombres premiers, comme 2, 3, 5, 7, etc. jusqu'à 19, ou encore plus loin, non-seulement afin de ne pas s'exposer à regretter d'avoir employé des méthodes recherchées et des ar- tifices délicats pour trouver des nombres que la seule division au- rait pu donner(*), mais encore parceque dans le cas où aucune division ne réussit, la seconde méthode emploie avec beaucoup de succès les restes qui en résultent. Ainsi, par exemple, si l'on doit décomposer en facteurs le nombre 314159265, la division par 5 réussit deux fois, et ensuite la division par 5 et par 7, d'où l'on tire
314159265= 9.5.7.997531,
et il suffit de soumettre à un examen plus méthodique le nombre 997331, qu'on trouve n'être divisible ni par 11, ni par 13, ni par 17 ni par 19. De mèême, Stant proposé le nombre 45429448, nous supprimerons le facteur 8, et nous appliquerons les méthodes au quotient 5428681.
330. Le principe qui sert de base à la PRRMIERE METHODE est le théorème suivant lequel tout nombre positif ou negatiſ qui est residi quadratique d'un autre nombre M, est aussi rε- Sidu de tout diviseur de M. On sait que si M n'est divisible par aucun nombre premier plus petit que M, M est certainement un nombre premier; donc si tous les nombres premiers au-dessous de cette limite, qui divisent M, sont„, 9, etc., le nombre M sera composé des seuls nombres„, 9, etc. ou de leurs puissances, ou bien il renfermera un seul facteur premier plus grand que ̃ M, qui se trouve en divisant M par p, 9, etc. autant de fois qu'il est possible. Désignant donc par a l'ensemble de tous les nombres premiers au-dessous de M, il suffit évidemment d'avoir tous les diviseurs premiers de M qui sont contenus dans. Or si l'on
—
() D'autant plus que, généralement parlant, de six nombres il y en a à peine un qui soit non-divisible par tous les nombres 2, 3, 5, 19g. G gg

———
4¹8 RECHERCHES
sait d'une manière quelconque qu'un certain nombre v, non- quarré, est résidu de M, on pourra ôtre sùr que tout nombre premier, dont r est non-résidu, ne peut ôtre diviseur de M, et parconséquent rejeter de œ tous les nombres qui se trouveront dans ce cas(ils composent le plus souvent presque la moitié de tous les nombres de). Si l'on sait encore qu'un autre nombre „ est résidu de M, on pourra rejeter des nombres que la première exclusion a laissés dans w, tous ceux dont est non-résidu, qui composent encore presque la moitié, du moins si les résidus 7 et r sont indépendans, c'est-à-dire, si l'un n'est pas par lui-même et nécessairement résidu de tous les nombres dont l'autre est ré- sidu, ce qui arriverait quand zr'' serait un quarré. Si l'on connait encore d'autres résidus de M, 7, 1*, eic. qui soient tous indépen- dans de ceux qui précèdent(*), on peut faire avec chacun d'eux des exclusions semblables, au moyen desquelles les nombres con- tenus dans décroissent avec tant de rapidité que bientòt, ou ils sont tous effacés, auquel cas le nombre M est premier, ou il en reste si peu que la division peut être essayée sans peine; dans ce dernier cas, parmi les nombres qui restent se trouvent néces- sairement les diviseurs de M, s'il en existe. Pour un nombre qui ne surpasse pas beaucoup 1000000, il suffit le plus souvent de six ou sept exclusions; et de neuf ou dix, pour un nombre de huit ou neuf chiffres. II nous reste maintenant denx choses à faire, 1°. à trouver des résidus de M qui soient convenables et en assez grand nombre; 20. à effectuer l'exclusion de la manière la plus commode. Mais nous intervertirons l'ordre de ces questions, d'autant plus que la seconde nous apprendra quels sont les rési- dus qui conviennent le mieux.
331. Nous avons enseigné avec assez de détails dans la Section IV, à distinguer les nombres premiers dont un nombre donné r est résidu(r n'étant divisible par aucun quarré), d'avec ceux dont il est non-résidu, c'est-à-dire, les diviseurs de ακ— r d'avec les
—
—y 6
0 Si le produit de tant de nombres r, y, 7“, etc. qu'on voudra est un quarré un quelconque d'entre eux, r, par exemple, sera résidu de tout nombre dont les autres seront résidus. Ainsi„pour que les résidus soient indépendans, il faut que leurs produits ne puissent étre des quarrés, soit qu'on les prenne deux à deux, ou trois à trois, ou quatre à quatre, etc.
naldi 1
as br dk ci 76 u t eor b V oin l Lrhe 7—2) l kt 2 à Gnes dh eteluan mn-difies dlcostre Triet qi en ar wüie J W dyol)

woient taw nihe de arec charm les les nondmstn que dieutst„l est premier, a l Fée zams peihe d t se troupent nWes⸗ Pour m vondmdi
le plus wment t
pour un nomte nant deni ebess heut conrelabe ssion de la maikh hre ce ces qxesicb gpels vont ls nü-
dansla Kerkinl
m bee domn ˖, ne en dol de 2—„ aer’3
—
d(ll t aoode g de dou u
gt ndependns„,
all uon le 1
ARITHMETIOUES. 4¹9 non-diviseurs; on a vu que les premiers étaient contenus sous des formes de cette espèce:
IZz+a, rz+b, etc., ou 4 a, 4-b, etec. et les derniers sous des formules semblables. Toutes les fois que
7j est un nombre assez petit, les exclusions pourront s'exécuter à 0 2* tres-commodément, à l'aide de ces formules; ainsi, par exemple,
quand z= 1, il faut exclure tous les nombres de la forme
4+ 3; tous les nombres de la forme 82+ 3 et 82+ 5, quand 7= 2, etc. Mais comme on n'est pas toujours mattre de trouver de tels résidus du nombre proposé, et que'application des for- mules n'est plus assez commode quand ꝛ est un grand nombre, on gagne beaucoup et l'on diminue prodigieusement le travail des exclusions, si pour une assez grande quantité de nombres() non-divisibles par des quarrés, pris positivement et négativement, on construit une table dans laquelle on ait distingué les nombres premiers qui sont résidus des différens nombres(r), d'avec ceux qui en sont non-résidus. Cette table pourra être disposée comme la petite table II qu'on trouve à la fin de cet ouvrage, et dont nous avons déjà donné la deseription(n“ 99); mais pour qu'elle présente toute l'utilité convenable au but que nous nous proposons, les nombres premiers placés en marge, ou les modules, doivent Stre continués bien plus loin, par exemple, jusqu'à 1000 ou 10000; et en outre, on obtiendra un grand avantage, si l'on place en téte même les nombres composés et les nombres négatifs, quoique cela ne soit pas absolument nécessaire, comme on peut le voir par la Section IV. On atteindrait le plus haut point d'utilité, si les colonnes verticales dont elle est composée étaient détachées et rassemblées sur des lames ou bãtons semblables à ceux de Neper; desorte que l'on püt considérer séparément celles qui sont néces- saires dans chaque cas, c'est-à-dire, celles qui répondent aux nombres 7,, 7*, etc. qui sont résidus du nombre à décomposer. En supposant ces bätons convenablement placés auprès de la pre- mière colonne qui renferme les modules, c'est-à-dire, de manière que les parties de ces bâtons qui correspondent à un même nombre premier de la colonne des modules, soient dans une même ligne
horizontale, il est évident que les nombres premiers qui restent
dans après les exclusions faites avec les résidus,, v“, etc. 2
———
—jdnlnl“ſ“ſ

4 ³ ½ 4 —4 1 1 4 4½. H 8 4½ ¹ 3 — 4
4 41 —
520 RECHERCHES ze reconnaitront immédiatement à l'inspection: en effet, ce sont ceux de la première colonne auxquels répond dans chaque colonne le petit trait indicateur, tandis que l'on doit rejeter tous ceux auxquels répond un espace vide dans un quelconque des bãtons. Un exemple éclaircira suffisamment cette explication.
Si Lon sait, d'une manière quelconque, que les nombres — 6,+† 13,— 14,+ 17⸗+ 57,— ⁵5 sont résidus de 997531, on doit rassembler la première colonne, qui, dans ce cas, doit èêtre continuée jusqu'à 997, c'est-à-dire, jusqu'au nombre immédiatement moindre que /997351, et les
bätons en téête desquels sont inscrits les nombres— 6,+ 15, etc. Voici une partie du tableau que l'on forme de cette maniere
18x1Sn
6 13 14 17 37 53
5—— 7——— 11——
13————
17———
23———
etc. etc. etc.
113—— b—
131——
1
etc. etc. etc.
De la même manidère qu'on reconnatt ici à l'inspection, que des nombres premiers contenus dans ce tableau, 127 est le seul qui reste dans, après l'exclusion faite avec les nombres—6, 13, etc.„ on reconnaitra, en achevant le travail jusqu'à 997, qu'il n en reste effectivement pas d'autre. En essayant la division Par 127⸗

etc.
ogyectiol oll 4 b m 44 ai 6

XARRITHMETIOVUES. 421 elle réussit, et l'on a
b b 997331= 127 7853(*).
Au reste, il suit de ce que nous venons d'exposer, qu'il faut employer surtout des résidus qui ne soient pas très-grands, ou du moins qui puissent se décomposer en facteurs premiers de gran- deur moyenne, puisque l'usage immédiat de la table auxiliaire ne s'étend pas au-delà des nombres placés en tête, et que l'usage médiat ne s'étend qu'aux nombres qui peuvent se décomposer en facteurs premiers contenus dans la table.
332. Nous donnerons trois méthodes différentes pour trouver des résidus du nombre M; mais avant de les exposer, nous pré- senterons deux observations à l'aide desquelles on pourra déduire des résidus plus simples, lorsque ceux que l'on aura obtenus ne paraitront pas convenables.
1°. Si le nombre ℳ‧, divisible par le quarré, que nous sup- posons premier avec M, est résidu de M, sera aussi résidu; ainsi les résidus divisibles par de grands quarrés sont aussi utiles que les petits, et nous supposerons que les résidus trouvés par les méthodes suivantes aient été délivrés de leurs facteurs quarrés.
2*. Si deux ou plusieurs nombres sont résidus, leur produit le sera aussi. En combinant cette observation avec la précédente, on peut très-souvent déduire de plusieurs résidus qui ne sont pas tous assez simples, un autre qui le soit beaucoup, pourvu qu'ils aient un grand nombre de facteurs communs. C'est pourquoi 1 est utile d'avoir des résidus composés de plusieurs facteurs qui ne soient pas trop grands, et il convient de les décomposer sur-le- champ en leurs facteurs. La force de ces observations se recon- naitra mieux par des exemples et par un usage fréquent, que par
des préceptes.
O) L'auteur a construit pour son propre usage une grande partie de l'appareil de cette table, etil l'aurait publié volontiers, si le petit nombre de ceux auxquels elle serait utile, suffisait aux frais d'une tpelle entreprise; cependant si quelque amateur, après s'etre bien pénétré des principes, desirait se construire une pa- reille table, l'auteur se ferait un grand plaisir de lui communiquer, par lettres, les differens procédés et les artifices que l'on peut employer.

423 RECHERCHES
I. La méthode la plus simple et la plus commode pour ceux à qui l'habitude a donné quelque dextérité, consiste à décom- poser le nombre M, ou plus généralement, un multiple quel- conque de ce nombre en deux parties quelconques, ensorte qu'on ait KM= a-*† b, a et b 6tant tous deux positifs, ou l'un positif et l'autre négatif; le produit pris avec un signe contraire sera résidu de M; en effet, on aura— ab= a*= 5*(mod. M), et partant— ab RM. On doit prendre les nombres a et 5 de manidre que le produit soit divisible par un grand quarré, et que la di- vision donne un quotient assez petit, ou du moins décomposable en facteurs qui ne soient pas trop grands, ce qu'on peut toujours faire sans peine. On doit surtout recommander de prendre pour a un quarré, ou le double, ou le triple d'un quarré, dont la diffé- rence avec Msoit petite ou du moins décomposable en facteurs qui puissent èêtre employés commodément.
Ainsi, par exemple, on trouve
997331=(9009)— 2.5.67=(9094)“+ 5. 11. 13 = 2.(706)+ 3. 17.35= 3.(575)+ 11.31.4 = 3.(577)— 7. 13. 4= 3.(578)⸗— 7. 19.57 = 11.(299)+ 2. 3.5.29.4= 11.(301)“+ 5. 11¹, etc.
On tire de là les résidus:
2.5.67,— 5.11,— 2.5.17,— 3.11.31, 3.7.13, 3.7.19.37,— 2.3.5.11.29 5
la dernière décomposition donne le résidu— 5. rr, que nous avons déjà. Au lieu des résidus— 3. 11. 31 et— 2.3.5. 11.29, on peut tirer de leur combinaison avec— 5. 11, les résidus 5.5.31, 2. 3. 29.
II. La seconde et la troisiöme méthode se déduisent de ce que, si deux formes binaires(A, B, C),(, B’“, C0 de même déterminant M ou— M, ou plus généralement£ KM, appar- tiennent au même genre, les nombres AA“, AC, A/ sont ré- sidus de M, ainsi qu'il est aisé de le conclure de ce que le nombre caractéristique de l'une des formes est également celui de l'autre, et que parconséquent, si l'on représente ce nombre par m, les nombres mA, m, mA', mC sont tous résidus de KM. Si donc(a, 5, a¹) est une forme réduite de déterminant positif M, ou plus généralement, de déterminant K, et que(a, U, a*),
iiole, K wii 1 eientn
A
V 1g Kwr alk 1
Yous:
daat leee cesra.

WPezadle en kaan
*3. 11. 15 ** 1. J1. *— 7. 19.J) 1)+† 5,11 et
19 57,- 235n ent, qpe nog I 3.3. n 29, k u3 5.5,31, 254 e déduigelt dè e 1,,eue nent II,. 40, Ä mt. Ture de e gek 3t égemedt u
dsente ce T
lous réädus de. zant J
hh
er que(4,
ARITHMETIOUES. 4²⁵ (**ν, 5*, a*), etc. soient des formes de sa période, qui sont par- conséquent équivalentes à(a, 5, a) et du même genre qu'elle, les nombres aa', aoν, aa', etc. sont tous résidus de M. On cal- cule avec facilité un grand nombre de formes d'une pareille pé- riode, à l'aide de l'algorithme du ne 187. On obtient ordinairement les résidus les plus simples en faisant 2= 15 on rejettera ceux qui seraient composés de trop grands facteurs. Nous joignons le commencement des périodes des formes (1, 998,— 1327) et(1, 1412,— 918)„)
dont les déterminans sont 997331 et 1994662 respectivement. c'est-à-dire, M et 2 M: b b b
( 1, 998,— 1327)( 1, 1412,— 918)
(Y— 1327, 329, 670)(— 918, 1342, 211)
(670, 341,— 1315)( 211, 1401,— 151)
(— 1315, 974, 37)(— 151, 1317, 1723)
( 37, 987,— 626)(17235, 406,— 1062)
(— 626, 891, 325)(ſ— 1062, 656, 1473)
(325, 734,— 1411)(1473, 817,— 901)
(ß— 1411, 677, 382)(— 901, 985, 1137)
( 382, 851,— 715) etc.
Ainsi tous les nombres:— 1327, 670, etc. sont des résidus de
997551; et en négligeant ceux qui renferment de trop grands fac-
teurs, il reste les suivans: 2.5.67, 37, 13,— 17.83,— 5.11.15,— 2. 3.17,— 2.59,— 17.53.
Nous avions déjà trouvé le résidu 2.5. 67, ainsi que— 5. 11, qui résulte de la combinaison du troisième et du cinquième.
III. Si C est une classe quelconque de déterminant négatif — M ou— différente de la classe principale, et que sa période (n 307) soit Os, Cs, etc.; les classes C=, C“, etc. appartiendront au genre principal, et les classes Cs, Cs, etc. appartiendront au même genre que C. Si donc(a, 5, c) est la forme la plus simple de C, et(a, bO,) une forme d'une classe de cette période, de C“, par exemple, on aura a M, ou aaRM, suivant que n sera pair ou impair;, dans le premier cas, ad, alc et cc, dans

424 RECHERCHES le second, seront encore résidus. Le calcul de la période, c'est- Aà-dire celui des formes les plus simples, s'exécute avec une fa- cilité étonnante, quand a est très-petit, et surtout quanda= 3, ce que l'on peut toujours obtenir si M= 2(mod. 3)(). Voici le com- mencement de la période de la classe dans laquelle est contenue la forme(3, 1, 532444): C=(3, 1, 332444), C-=(9,— 2, 210815), C=(27, 7, 36940), C=(81, 34, 12327), C5=(245, 34, 4109), C=(729,— 209, 1428), „=(476, 209, 2187),(5=(1027, 542, 1085), 09=(952,— 437, 1275), C“=(425, 12, 2347), etc. b On tire de là les résidus suivans, en rejetant ceux qui sont inutiles, 3.476, 1027, 1085, 425, ou, en supprimant les facteurs quarrés,
3.7. 17, 13.79, 5.7.51, 17.
Si l'on combine convenablement ces nombres avec les huit qu'a donnés la méthode II, on obtient facilement les douze suivans:
8
2. 3, 13,— 2.7⸗ 17, 37,— 53, —5. 11, 79.— 83,— 2.59,— 2.5.31, 2. 5. 67.
Les six premiers sont ceux dont nous nous sommes servis n 3313 Nous aurions pu ajouter les résidus 19 et— 29, si nous avions voulu nous servir de ceux qu'a fournis la méthode I; quant aux autres trouvés par cette méthode, ils sont dépendans des résidus que nous venons de déterminer.
333. La seconde methode, pour décomposer en facteurs un nombre donné, se tire de la considération des valeurs de l'expres- sion.—D(mod. M), et repose sur les observations suivantes:
I. Quand M est un nombre premier, ou une puissance d'un nombre premier, impair et non-diviseur de D,— D est résidu ou non-résidu de M, suivant que M est compris dans une forme
O) Comme le cas où M est divisible par 5, ne peut se présenter(no 329),
il est aisé de voir que l'on est meme toujours maitre de prendre k tel que kM soit= 2(mod. 3).(Note du traducteur). b
de

ces arec les hui gi at les douro suifm 97,—, 5.31, 2.55 zommes veriis-' N — 29, ü WS Nil ethode I; qrut à dépendans de täs
ISance 4c

4 ch -38, † gero u desi
ſau dt e tous e r V—1 mpe
Son,
wien:
ee ce teurs K, ei Sliya. ra li mun de M u id fant! muiyan de pre nomb us kacile Duns lern ces e ttles V On pp 4 des
ö

ARITHMETTOUES.
425
de diviseurs ou de non-diviseurs de+‿ D, et dans le premier cas, l'expression— D(mod. M) n'aura que deux valeurs qus
seront opposées.
II. Mais quand M est composé et= pp'p' etc., p, p p', ete. désignant des nombres premiers impairs et non-diviseurs de D, ou des puissances de tels nombres,— D ne sera résidu de M que quand il le sera des nombres p,, p', etc., c'est-à-dire, quand tous ces nombres seront contenus dans des formes de diviseurs e l'expression — D, suivant les modules p,„“,„', etc., par /, 7, 7*, etc. respectivement, on trouvera toutes les valeurs de la même expres- sion, suivant le module M, en déterminant des nombres qui
de+.‿¶. Or en désignant toutes les valeurs d
soient=r(mod. p),
=ckr(mod. p“), etc.; ainsi le nombre
de ces valeurs sera 2, si l'on exprime par le nombre des fac- teurs p, p„„', etc. Si donc ces valeurs sont R,— R, R',— H, Kô, etc.„ Ia congruencs R=R a videmment lieu par elle-même, suivant tous les modules de, f„“, etc., et la congruence R=— R n'a lieu suivant aucun de ces nombres; donc le plus grand com- mun diviseur de R— R et de M est M, et celui de R+ R et de M est 1; mais deux valeurs telles que R et ER, qui ne sont ni identiques, ni opposées, seront nécessairement congrues, sui- vant un ou plusieurs des nombres p, p, p, etc. mais ne le seront pas suivant tous, et l'on aura, suivant les autres, R=— R'’; donc le produit des premiers est le plus grand commun diviseur des nombres M et R— R'’, tandis que le produit des derniers est le plus grand commun diviseur des nombres Met R.-+- FR. Il est facile de conclure de là que si l'on cherche les plus grands com- muns diviseurs entre M et les différences d'une valeur donnée de l'expression—- D(mod. M) à toutes les autres, l'ensemble de ces communs diviseurs contiendra les nombres 1, p, p, p“, etc. et les produits de ces nombres pris deux à deux, trois à trois, etc. On parviendra dono de cette manière à deéterminer les nombres
p, po p', etc., à l'aide des valeurs de cette cxpression.
Au reste, comme la méthode du ne 327 réduit la recherche des valeurs de l'expression-- D(mod. M) à celle des valeurs
qui sont de la forme(mod. M), dans lesque
Iles le dénomi-
Hhh

————
Ser
4³36 RFECHERCHES
nateur n est premier avec M, il n'est pas nécessaire, pour parve- nir à notre but, de trouver ces valeurs; car le plus grand com- mun diviseur du nombre M et de la différence R— ER', R et R
12 7 2—— correspondant à et w, sera gvidemment le plus grand commun
diviseur des nombres M et nn(R— ER!²), ou des nombres M et mn—m'n, puisque ce dernier est congru à nn'(R— RÆ“) suivant le module M.
334. L'application des observations précédentes au problème dont il s'agit, peut se faire de deux manières; la premiere non- seulement décide si le nombre proposé M est premier ou com- posé, mais encore donne dans le dernier cas les facteurs eux- mémes; la seconde a l'avantage de l'emporter le plus souvent par la brieveté des calculs, mais quelquefois elle ne donne pas les facteurs des nombres composés, à moins qu'on ne la répète plu- sieurs fois; au reste elle distingue avec autant de facilité que la première, les nombres premiers des nombres composés.
1. On cherchera un nombre négatif— D qui soit résidu qua- dratique de M, et l'on peut employer à cette recherche les mé- thodes exposées no 332, Iet II. Il est indifférent en soi de prendre tel ou tel résidu, et il n'est pas nécessaire, comme dans la so- lution précédente, que D soit un petit nombre; mais comme le calcul deviendra d'autant plus simple, qu'il y aura moins de classes de formes binaires, dans chaque genre proprement primi- tif de déterminant— D, on trouvera de l'avantage à choisir, s'il est possible, un des soixante-cinq nombres cités au n- 303. Ainsi pour M= 997531, parmi tous les résidus déterminés plus haut, le plus avantageux est— 102. On cherchera toutes les valeurs de l'expression 1-- D(mod. M), et s'il n'y en a que deux qui soient opposées, M sera certainement un nombre premier, ou une puis- sance d'un nombre promier; s'il y en a un plus grand nombre,
2“, par exemple, M sera composé de£ facteurs qui sont des nombres premiers, ou des puissances de nombres premiers. Or il sera extremement facile de reconnaitre si ces nombres sont pre- miers, ou des puissances de nombres premiers, et dans ce der- nier cas, la méthode par laquelle on trouve les valeurs de—V—D (mod. M) indique d'elle-même tous les nombres premiers dont une
II. jenu choisi geur dlasse o ne en eff jen lipige

composes.
qul volt üdme te recherche R u ent en soi de ens comme dans k
bre; mais commk
y anra mis te proprement gii- antage à cholit, l ues au 5e Aüi termints pus hau
loutes les fduict gue deux qui viet
emier, ou ule p Jus grand dooht,
tteurs qul Bn tes nemiess e3 nombles wn
8, et dasses te * 3
5 „
63 14 s presdjer
sentation dans laquelle m et n aient un diviseur commun,
6
gi
ule
ARITHMETIOUES. 4²⁷ certaine puissance divise le nombre M; savoir, si M est divisible par le quarré d'un nombre premier x, le calcul conduira certai- nement à une ou plusieurs représentations du nombre M ‚telles que M= am †f˖ 25mn en⸗, dans lesquelles le plus grand commun
diviseur des nombres m et n est ‚het cela arrive parcequ'alors
— D est aussi résidu de; mais quand il n'*y a aucune repré- c'est un indice certain que M n'est divisible par aucun quarré, et que parconséquent p,, p', etc. sont des nombres premiers.
Eæemplé. Par la mèéthode exposée plus haut, on trouve quatre
valeurs de l'expression O— 408(mod. 99733 1) qui concident avec
celle des expressions-&. 166½,; les plus grands communs
diviseurs du nombre 997531, avec
3. 1664— 113.2824 et 3.1664+ 113.2824,
ou avec 314120 et 324104 sont 7853 et 127, d'où l'on tire, comme ei-dessus, 9975351= 7853. 127.
II. On prendra un nombre négatif— D, tel que M soit con- tenu dans une des formes de diviseurs de*£‿O; quoiqu'on puisse choisir ce nombre de telle grandeur qu'on voudra, il est avanta- geux de chercher à rendre le plus petit possible le nombre des classes contenues dans les genres de déterminant— D. Au reste on ne rencontre aucune difficulté dans la recherche de ce nombre; en effet, parmi une quantité considérable de nombres essayés, il y en a presque autant pour lesquels M soit dans une forme de diviseurs, qu'il y en a pour lesquels M soit dans une forme de non-diviseurs. Il sera donc convenable de commencer les essais par les soixante-cinq nombres du ne 303, à partir des plus grands, et s'il se trouvait qu'aucun d'eux ne füt convenable(ce qui n'ar- rive, généralement parlant, qu'une fois eur 16364), on passerait à d'autres pour lesquels il n'y eùt que deux classes dans chaque genre.
On cherchera alors les valeurs de l'expression„ᷣP-D(mod. M7), et si l'on en trouve, les facteurs de M se déduiront absolument de la mêème manière que plus haut; mais si l'on n'obtient au- cunes valeurs, c'est-à-dire, si— D n'est pas résidu de M., M ne
2

428 RECHERCHES
sera certainement ni un nombre premier, ni une puissance d'un nombre premier. Quand, dans ce cas, on voudra connaitre les facteurs eux-mêmes, il faudra recommencer l'opération avec une autre valeur de D, ou recourir à une autre méthode.
Ainsi, par exemple, on trouve que 997331 est contenu dauns une forme de non-diviseurs pour x*+‿½1848,*+ 1365,+2‿ 1320, mais dans une forme de diviseurs de ε+‿ 840. On parvient pour jes valeurs de l'expression ‧—— 840(mod. 997331) aux expressions K 1222,* 42, d'ou l'on tire les facteurs déjà connus.
Ceux qui desireraient un plus grand nombre d'exemples, peuvent consulter le ne 328, où le premier prouve que 5428681=307. 17683; le second, que 4272 est un nombre premier; le troisième, que 997531 est surement un nombre composé.
Au reste, les limites de cet ouvrage ne nous permettent d'in- sérer ici que les bases les plus importantes des deux méthodes qui servent à la décomposition en facteurs. Nous réservons pour une autre occasion l'exposition plus détaillée, ainsi que plusisurs tables auxiliaires.

ö“
— — —
aous permetteutdi.
ees deux mäcce d 3 reserpons nr m
A The pünixus ble
——
— „—— —— 0——838]ꝰ—8—ſſ“—“ſh—ö—hö—ſhhhſhhſhſͤſͤſa
—
oZö—0ö—0ö—

—— “ 8
mode lire epec justan et du them. Nus; duon partie woir foncti tables gulier partie nit ouyra wlum guelle
Au dern zel; eircu benete
liu
Naig

ARITHMETIOUES.
8ECTION SEPTIEML.
Des E quœions qul dæterminent les Seclions cœrrouluirer. eeee eeeeeeee ee 2——
335. P ARMI les accroissemens importans dont les travaux des. modernes ont enrichi les Mathématiques, les fonctions circu- laires tiennent sans aucun doute le premier rang. Cette étonnante espèce de quantités, à laquelle nous sommes conduits à chaque instant dans des recherches qui y semblent tout-à-fait étrangères, et du secours desquellos ne peut se passer aucune partie des Ma- thématiques, a occupé avec tant d'assiduité la pénétration des plus grands Séomoétres ‚Het ils en ont fait une théorie si vaste, qu'on ne pouvait guère s'attendre qu'une partie de cette théorie, partie élémentaire et pour ainsi dire placée à l'entrée, půt rece- voir des accroissemens considérables. Je parle de la théorie des fonctions trigonométriques, qui rêépondent aux arcs commensu- rables avec la circonférencc, ou de la théorie des polygones ré- guliers, dont on ne connait jusqu'à présent que la plus petite partie, ainsi qu'on le verra par cette Section. Le lecteur Pour- rait s'étonner de rencontrer une semblable recherche dans un ouvrage consacré à une doctrine qui parait au premier abord ab- solument hétérogène; mais l'exposition fera voir bien clairement quelle est la liaison de ce sujet et de l'Arithmétique transcendante.
Au reste, les principes de la théorie que nous entreprenons d'exposer, s'étendent bien plus loin que nous ne le faisons voir ici; ils peuvent en effet s'appliquer non-seulement aux fonctions circulaires, mais aussi avec autant de succès à beaucoup d'autres fonctions transcendantes, par exemple, à celles qui dépendent de
dr à 12„ rinte. l'intégrale ſ Fe) et en outre à différens genres de congruences;
mais comme nous préparons un Ouvrage assez étendu sur les fono- tions transcendantes, et que dans la suite de ces Recherches

430 RECHERCHES
arithmétiques nous traiterons amplement des congruences, nous avons cru ne devoir considérer ici que les fonctions circulaires, et même quoique nous pussions les embrasser dans toute leur gé- néralité, nous les réduirons au cas le plus simple, comme on va le voir dans le n- suivant, tant dans le dessein d'abréger, que pour rendre d'une intelligence plus facile les principes tout-àfait nouveaux de cette théorie.
336. Si nous désiguons par P la circonférence du cercle, ou quatre angles droits, que nous supposions entiers les nombres m et n, et égal au produit des facteurs premiers entre eux a,
mP. b, o, etc.; l'angle=— peut, par le ne 310, ôtre mis sous
la forme
4=(+‿5*2 etc.),
et les fonctions trigonométriques qui en dépendent se déduiront, ar les méthodes connues, des fonctions correspondantes aux par- a 20..
ties—, ⸗ etc. Ainsi, comme on peut toujours prendre pour
a, 5, o, etc. des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers, il suffit évidemment de considérer la section du cercle en parties dont le nombre est premier, ou une puissance d'un nombre premier, et le polygone de n côtés se déduira sur-le- champ des polygones de a, b, o, ete. côtés. Cependant ici nous bornerons nos recherches au cas où l'on doit diviser le cercle en un nombre premier impair de parties. En effet, il est constant
— 1..— mP que les fonctions circulaires qui répondent à l'angle—, se dé-
0 2 0 8 H 0
duisent de celles qui appartiennent à l'angle 2. par la solution d'une équation du degré p; des premières on déduira, par une F 2 2 0 1 4 D équation de mème degré, celles qui appartiennent à l'angle r;
de manidère que, si l'on connatt déjà le polygone de p còôtés, on a nécessairement besoin de la résolution de ½— 1 équations du . X8 3 1
degré p pour obtenir le polygone de p côtés; et même si nous
pouvions étendre notre théorie à ce cas, nous n'en serions pas moins conduits au même nombre d'équations du degré p,
emine ir,
8y.
co.
tar
( gqne donde l' bn teisieme b Kecond
t les 3

dendent R dälim
respondants an. djours Menin mn
puissances deuun er la gection dut 1 mme paisan i 8s ze déduita uh
s.(epencantiim
dit diriger le cirka
effet, il et ui
premier.
Ainsi, par exemple, nous ferons voir plus bas que le polygone de 17 côtés peut être construit géométriquement; mais pour dé- terminer le polygone de 289 côtés, on ne peut éviter d'aucune
manieère l'équation du dix-septième degré.
337. Tout le monde sait que les fonctions trigonométriques
kP 323:. des angles—, Kdésignant indéfiniment les nombres o,
sont les racines d'une équation du degré n; ces équations sont:
1. a(n.-5) n(n— 4ℳ)(n— 5) Pour les sinus,*— na’ 3 er. e ℳf.—. 2 7. 1„„-2.1 1 aln3)„. n(n— 4)(n— 5). cosinus, 94 Inn Ar 4— X. 9-5e etc.= ⸗ n(n— 1¹) n(n— 1¹)(n— ²)(n— 3) tangentes,.— ‿ 2xn— ⸗— ꝙ+ Bniles, 1.2 4 1.2. 3. 4 T*— ete. ParO. 2 2 w.(II.
Ces équations, qui sont toutes vraies quand n est impair(la ge-
conde l'est mème quand n est pair), se réduisent facilement au degré m, en faisant= 21 † 1, savoir„ pour la première et la troisíme, en divisant par æ et posant ensuite 4*ν 2y; quant à
la seconde, elle renferme nécessairement la racine.= 1= cos. o,
b 8 H— et les autres sont égales deux à deux, cos= cos 2 2
9
2P(n— 2) P C08— CO0s
et le quotient est un quarré. En extrayant la racine„l'équation devient b
——.
† ½— 1)(m.-4
æm 5.— etc.= o, 1.2
99⸗ 7..;. 7.
On ne connaissait pas jusqu'à présent de réductions ultérieures de ces équations, même pour le cas où n est un nombre premier.
5—5. H dont les racines sont les cosinus des angles—, 25 52 22
ARITHMETIOUERIZM. rn
qui ne Ppeuvent se réduire en aucune manière„ si p est un nombre
1, 2, 77— 1,
„ etc. Donc l'équation est divisible par— 1
1
73—1
——
A
es.Petc.-o(D,
..(TD,

——yͤͤͤ* 8
1
144 ,J==X4 19
L.e
12
43²2 RECHERCHES 47, Cependant aucune de ces équations n'est si commode à traiter, 1 7 ni se prête tant à notre dessein, que l'équation æ— 1= o, dont on sait que les racines sont intimement liées avec les racines des 99 uef premières. En effet, si l'on représente par ĩ la quantité imaginaire b 2† 2 = 1. les racines de l'équation— 1=0 sont représentées f1 par la formule b 15 C08 Ln+ 1 sin—= T, 9 2
où l'on doit prendre pour K tous les nombres 1, 2, 5, 7— 1;
ainsi, comme on a 1 KP„ KP
= cos—— tlsin—,
F 72 77½
les racines de l'équation(I) seront exprimées par 1 1 1(1— 1) 2*), 9u.
27
9 ½ 2* 4 1— 4 4 0 celles de l'équation(II) par 26(+) an 5
1(1—7)
1+
C'est pourquoi nous établirons nos considérations sur l'équation ν— 1=o, en supposant que n soit un nombre premier impair, mais pour ne pas interrompre l'ordre de nos recherches, nous commencerous par le lemme suivant.
358. PnROBLLM. Etant donnee l'cεᷣ̃qualion(W) 2m+‿᷑ Azm— + té.= o, trouwer une squation(W), dont les racines soient
les puissances X de celles de l'éequation(W), X ctant un nombre entier positif donné.
celles de l'équation(II par
Désignons les racines de l'équation(IIE) par a, 5, c, etc.,
celles de l'équation(IEI*) devront être 2*, 5', C, etc. Or, par le théorème de Newton, on peut trouver en fonction des coefficiens
de l'équation(MI), ja somme des puissances quelconques des racines a, B, o, etc.; on cherchera donc les sommes
‿+ ete., a+†f 50++ etc., etc.,
d'oùð

——O—QQ;—ꝛ——
——
81, 2) 5,„,2. 1 9
1 14„ . dérations W lämuin uos Techetches II 1(W. e† pnt les racines uu 7), X ddanm un „. 9. er.C.) ſgonction des cetis
ges desnl
qvelconqaes des nes 2.„ ett. el tc.,

d'où par le procédé inverse tiré du mèême théorème, on pourra déduire les coefficiens de l'équation(IE). On voit en mème temps que si les coefficiens de l'équation(WI) sont tous rationnels, ceux de l'équation(I2) le seront aussi; on pourrait même prouver par une autre voie, que si les premiers sont entiers, les autres le se- ront; mais comme ce théorème ne nous est pas nécessaire, nous ne nous y arréôterons pas ici.
539. L'équation aν— 1=o(en supposant, comme il faut tou- jours le faire par la suite, que n est un nombre premier impair), ne renferme qu'une seule racine réelle= 1; les n— 1 autres„ qui sont donnés par l'équation
νκι+‿—‿φα † etc.+†+ 1=o.(X) sont toutes imaginaires; nous en désignerons l'ensemble par Q. Si donc r est une racine quelconque de X= o, on aura
1=n=n= etc., et généralement 1= T* pour toute valeur entière de e, soit positive, soit négative. D'ou l'on voit que si X¼ et ¼α sont des nombres entiers congrus suivant n,
on aura= F; mais si A et ½ sont incongrus suivant le mo-
X 3 2 2 dule n, r et r seront inégaux. Dans ce cas, on peut déterminer un nombre entier v, tel qu'on ait
. 1 X—)!
(X— α²)*=n(mod. n), et partant, 54 2)“ 7;
X—* 4„ donc 7 ne sera certainement pas= 1: or il est clair que toute puissance den est racine de l'équation— 1= o; par- conséquent comme toutes les quantités 1= T, r, r, 1„r— 2 sont différentes, elles représentent toutes les racines de l'équation aꝙᷣ.— 1= o, et r,. m— colncident avec les racines Q. On conclut facilement de là que Q coincide avec ꝛↄ, 7ν, r.
divisible par m On aura parconséquent X=(A— ro)(.—)(— r)(x— ‿κσηη⁹; d'où..„.„ ee re †r“ †fe †...„+ 1e=—1;. et 1+rn Pre XT† rO=n ü= o. b Nous appellerons reciproques deux racines telles, que r et 5, ou 1
Iii
ARITHMETIOVUES. 43³
r0—', e étant un entier quelconque, positif ou négatif, et non- Pevpde denerbr Dpd. 2
5
e, 28, 3 6- 1-96, 2d euαεᷣ‿νος aνet er ue 1, X, J..Gr.

——
¹ n
154 RECHERCHES
plus généralement re, r=, et il est clair que le produit des
1 denx facteurs simples r et æ— est — 2= Cos ᷣ 1, .„ P.. Pangle étant=, ou a un de ses multiples.
340. Ainsi, comme en représentant une racine de X= o par?, zoutes les racines de l'équation aν— 1= O sont exprimées par les différentes puissances der, le produit de plusieurs d'entre ces ra-
cines pourra être exprimé par N, de quelque manière qu'il soit composé, X Gétant= o, ou positif et n; et si l'on désigne par H(t, u, u,.) une fonction algébrique rationnelle et entière des indéterminées t,,, etc., dont les différens termes soient
de la forme ht A 9, etc., il est evident, qu'en prenant pour
t, u, v, etc. quelques-unes des racines de l'équation*— 1=0, par exemple, 1= 2,= b,= o, etc.; H(t, u, v..) pourra Stre mise sous la forme
A r vr Ar....+ A0re=r;
de manière que les coefficiens A, ℳ, etc.(dont quelques-uns peuvent être= o), soient des quantités déterminées; et tous ces coefficiens seront entiers, si tous ceux qui sont représentés indé- finiment par k sont des nombres entiers. Si ensuite l'’on substitue a⁴, be, Cs.... Pour t, l, v.... respectivement, le terme tel que
2. 2 2 1 4 ntuo. qui se réduisait à ⁷, se réduira par la nouvelle
substitution, à 2%, desorte que l'on aura o(a, b', G*,..)= A+ Ar Arn Aers †. †‿AVrnee.
On aura de même en général,& étant un nombre entier quel- conque
12(a, 544, 6. A.+ eru. 2eru+ο e,u+ 40 1 n— 1),
proposition extremement importante, et qui sert de base aux re-
cherches que nous allons faire. Il suit de là que
es ruli

„Aen hxeua,
4*.
bquation Pla (t, à, O.eom
†4 ren
.(dout qulqwm termintes; et tubeh sont represeqles us ensuite!on udii gent, lo temmelgt
uira per R vomd
„. 1⸗
nocbee eglié ge
47
iett èedas M
0) 7= b
9(1, 1, 1,)= Q(a*,', G,..)= A 4 †ꝓ A4*.. ℳ,
et que
Q(a, b, c...)+.(a:, 5, C2...)(25, 53, G³..)etc.+. Qᷣ(av, b“, O. enA. Ainsi cette somme est toujours divisible par n, quand tous les coefficiens détermineés(tels que ꝛ), dans(t, ²,„...) sont des nombres entiers. iis
341. THEORKEME. Si la foncrion X(* 339) est diolsible par ne fonction d'un degre inferieur—
b FP=rTAx Bx Xetc.+‿ Kx+† L.„ les cœoefficiens A, B,.
L ne peuwent pas etre tous entiers ni rationnels..
Soit X= PO,(x) l'ensemble des racines de l'é (xX) l'ensemble des racines de l' soit composé de(.) et de(X); racines réciproques aux racines(†), et(x) l'ensemble des racines réciproques aux racines(X), et supposons que les racines conte- nues daus( b) soient données par l'équation R= o, qui sera évidemment
quation O=o, ensorte que Q soit encore(p) l'ensemble des
K— 4 1
tandis que les racines contenues dans(7) seront données par l'équation&= o. Il est manifeste que les racines(p) et( prises ensemble composent Q, et- qu'ainsi l'on aura S= X. Cela Posé, nous avons quatre cas à distinguer: b
1⁰. Quand() colncide avec(o)
et qu'on a parconséquent P= R. Dans ce cas les racines(x) seront réciproques deux à
deux, et parconséquent est le produit de Xà⁴ facteurs doubles
tels que d'ou il suit que quel que soit æ, Pourvu qu'il soit réel, Pob- tiendra une valeur réelle positive. Soient b . v P= Oo, P= o, 0o, 0 les squations qui donnent les quarréès, cubes, biquarrés, etc.,
———
ARITHMETIOUES. z
——
——
équation P= o,
——
————— ———

436 RFECHERCHES n— 1 puissances, des racines(x), et p, p, p,.. p les valeurs de P, P, P'...P' respectivement, quand on y fait. 1: par
ce qui a té dit précédemment p,... p seront des quantités réelles et positives. Or p est la valeur qu'obtient la fonction
(1— t)(1— 1)(1— v) etc.
quand on y substitue pour t,, v, etc. les racines(); p est la valeur de cette mème fonction, quand on substitue pour t, u, v, etc. les quarréês de ces méèmes racines; et d'ailleurs la va- leur qui résulte de la supposition 1= 1,= 1, 9= 1, etc., est
zvidemment= 0; donc la somme+.‿+ p† etc.+ p sera en- tière et divisible par n: en outre on voit facilement que le pro-
quit PP'P...= X', et partant pppf...= n.
Maintenant si tous les coefficiens de P étaient rationnels, tous ceux de P', P', etc. le seraient aussi, par le n“ 338, et par le n* 42, ils seraient tous entiers; donc p, p, p', etc. le seraient;
comme d'ailleurs le produit de ces derniers nombres est n, et que leur nombre est n— 1 ⁵, plusieurs d'entre eux devraient Stre égaux à 1, et les aufres seraient égaux à n, ou à une puis- sance de n. Si donc il y en a g qui soient égaux à 1, on aura
p+†‿ p+†y X etc. ä= g(mod. n),
et partant non-divisible par n. Donc la supposition ne peut subsister.
2°. Quand(x) et(p) ne corncident pas, mais contiennent quelques racines qui leur sont communes; soit(r) l'ensemble de ces racines, et 7= o l'équation qui les donnerait; il suit de la- thécrie des équations que I sera le plus grand commun divi- seur des fonctions P et R. Or il est évident que les racines com- prises dans(r) sont réciproques deux à deux, d'ouù l'on conclura par ce qui a été démontré précédemment, que tous les coefficiens de Tne peuvent étre rationnels. Mais cela arriverait nécessai- rement si tous les coefficiens de P et partant ceux de R étaient rationnels, comme on peut le voir par la nature de l'opération par laquelle on cherche le plus grand diviseur commun; donc cette supposition est absurde.

Meines();
¹ade 5
81,
. Pete. r ena
acilewent qub„ ¹
1.
aient raionneb, in le w 3, Anh „y, ete. le xritt,
4 nombtes et N,
Pentre eux dernied à 7, ou à mehu
egam d1, um
. 7),
supposition E ſl
8, mais contierned
soit(r Jllevenhtt wnerait; i mi
— Lon coues
Ous les coeftis
la scnmd mcksi at ce de Rus nature qe lqptui iseur commulj
ys
22l, 4,6—
2!
rrand commun dir toue k IMibesd
dw
ane
24₰ k J. 43.
2711
Sen 2. 22 4 2 e e ua ,a n u, ofe.,, m V z. 4. f 8 2 7„ ⸗= 7 2 e, A„, V Lſ2 224— foev„. b ar, 2 3, A,., en e y iu f, u ane 57 7—— ◻₰
——
— D
2 2 b
„— Dh
A= NI 8 N.-—„ A. X...„ o X- n„ A G A
o o o, eee e ee 2„— o pff eh e, 7. 1, V, Izl. fe: ₰ 2 n Sf= e l. A AB,————
M=, A o e,
₰ e , e Bph, ne
AH,- 2 he eſh—
5,„ v e 25-— fh xe, ⸗ e mcf ee Purn eee A 2 2 23 7 he⸗ A ——„A³ 7“ 2
h 7 Aench
Ca⸗ 3* 4 —
2 — 5 r, u
v Nm2
Fhn.
6.,). X₰ 2.= 7 9— 4. fa, e.2‿ S„„ 2„ e. 2„ 1, 2 ne A 2 A eree 7 L ,5 2„,,
„ 4— ,= e, ,n, ee ee,
4— — 3 a F ,2e
, K,* a a=s,, a, a. 25 ,75 6 2 ₰ ,
7 2 Ahr e 7
Qi
2*. ao,f,
—
22
e, h hen A W, —“ ſ h 2——
—
8 u— 1 8„ ,. E————.— 3—

0 1„ —— 4 4——⸗— 2—— 6 f 24 „ 1 2 ⸗„ 6 E* 3 ℳ₰ AA„⸗—Gee 1 2 2 4ℳ9 64 4
5„ 3— 4A h 8 2 P A 7 2 7 /.) 8. rale 3 . 2* 4 7„ 8 7 AC 4—1„ 2 84 o, 4 4 U. 7 26 M,„ 2„ 2. — 4 4
) A 2 3 A, 4 2.,. 4— A 2f—.—. 1 74 ₰. 7. 2 Ve fℳ Breeeee 4 27 22 2 et „.„ 4 f 2 4 ₰ A—— AS„ 7A„* A maf. 11— MA. A= 7 3h„—— J „ Q—— 4 1.—. 2„ e— 54 A—
) 7 4 9 h 4
eA A=„ 4 7 „.„ 2 3 5*— 3„ 7 4 2A g 4 f 2. C
7
„— 5 7 0 A,f 4 ℳ 5—,/ ‿₰ 4 A„„ f—*„ n Seeeeenne,. 4„ A 24 4 8„ 2.„ 2 6
- 4 laye a, m e 4 Ao u, ee e eee e, a,, u⸗**1
7 4„„ 8— — Sgh A e zurd 4 4—„ re 4
—-————-
.— rn Aef
pe A en,
— 2 1— /— .— r — 9—,/ nf, 4 F „— 2 Saae /mna 2 7 p N 2*—ce 2
. 4 4 4 9—,„f„ 2.— 5. 1— G, 26 A E 1. A 2„„ GI.„ A M. 4 4— N2e l 4 0 8& M.— △☛—— 7„ 4 A2. A 6 C 1— K.. f 7 A 4 h 71 ℳ 4 6 Be 8 ℳ E 7 ₰*ℳ
24 ò̊ꝗꝶ
5
4 7 22 2 894 7 M 7 8 7„g 2 b 4 6——s—& N ₰ 7 4 4 2.
6. nee 2/

„ 0. 3 1 A u z a 2
1
ARTTHMETIOUTS.
*. Quand(x) et(p) coincident, ou du moins renferment des
racines communes, on prouvera de la même manidère, que tous les coefficiens de Q ne peuvent pas être rationnels; or ils le se- raient nécessairement si ceux de P l'étaient; donc cette dernière
supposition est impossible.
4'. Si enfin il n'y a aucune racine commune ni à G) et(o),„
4
ni à(X) et(x), toutes les racines(7.) coincideront nécessaire- ment avec les racines(c), et les racines(x) avec les racines(o),
et partant on aura P=§, O= R; done
X= PO= P=(* A.Ar-.. PKvHL) 4½ 41.... 4 kez).
d'où résulte, en faisant ☚ t,
nL=(ÆA.+ K+ L)*.
Or si tous les coefficiens de P étaient rationnels, ils seraient en-
tiers(n“ 42), partant ceux de R le seraient aussi; donc L, qui devrait diviser l'unité, dernier terme de X, ne pourrait être que &£r, et il s'ensuivrait que&. serait un quarré, ce qui est ab-
surde, puisque n est un nombre premier.
Il suit évidemment de ce théorème, que, de quelque manière que l'on décompose X en facteurs, les coefficiens, ou du moins une partie d'entre eux, sont irrationnels, et parconséquent nne
peuvent étre déterminés que par des équations qui passent le pre-
mier degré.
342. Le but de nos recherches, qu'il neest pas inutile d'an- noncer ici en peu de mots, est de décomposer X graduellement en un nombre de facteurs de plus en plus grand, et cela de ma- nière à ce que les coefficiens de ces facteurs puissent être déter- minés par des équations du degré le plus bas possible, jusqu'à ce que, de cette manière, on parvienne à des facteurs simples, ou aux raèines Q. Nous ferons voir que si l'on décompose le nombre „— 1 en facteurs entiers quelconques a, 3,, etc.(pour lesquels on peut prendre les facleürs premiers), X est décomposable en a
facteurs du degré-
coefficiens seront déterminés par
une équation du degré a; que chacun de ces facteurs est décom-
3 77—1 7„. posable en 3 facteurs du degré—, à l'aide d'une équation de

4³⁸ REGHERCHES degré 8, etc. Desorte que» étant le nombre des facteurs a, 8,
„, etc., la recherche des racines 42 est ramenée à la résolution .„ de» équations des degrés α, 6„„, etc. Par exemple, pour n= 17, on a n— 1=2.2. 2.2; il faut ré- soudre quatre équatious du second degré; pour= 73, il faut en résoudre trois du second et deux du troisiemeä.
Comme nous aurons souvent à considérer par la suite des puis- sances de r dont les exposans sont eux-mèmes des puissances, et que ces sortes d'expressions se prètent difficilement à l'impression, nous userons de T'abréviation suivante pour 7, 7*,, etc. Nous crirons[1],[2],[I, etc. et généralement pour F, X Stant un nombre entier quelconque. Ces expressions ne sont pas entiè- rement déterminées, mais elles le deviennent lorsque l'on prend pour r ou[i] une racine déterminée de Q. Ainsi 2 et[ se- ront en général égaux ou inégaux, suivant que X et* seront congrus ou incongrus suivant le module n. En oufre on a
ſol= 1, M. Cοα= X-],[AK=[Nu] et.... el-AJ-an BN etc. 4.(-)J==o, oun,
suivant que est non-divisible ou divisible par n.
343. Si, pour le module n,& est un de ces nombres que (Section III) nous avons appelés racines primitibes, les n— 1 nombres 1, g, 8,..—8 seront congrus aux nombres 1, 2, 3, n— 1, zuivaut le module n, quoique l'ordre ne soit pas le mème, c'est- à-dire que tout nombre de la première suite sera congru à un de ceux de la seconde. Il suit de là que les racines
[1I,[sl, 1g*l.. e
corncident avec Q; et de mèême plus généralement
MI, Dgl,*◻OMG
coincident avec Q, si X est un nombre entier quelconque, mais non-divisible par n. Et comme on a 8= 1(mod. n), on voit
8 2 3 2 1 3 6 sans peine que les deux racines(A]„[N*] sont identiques ou différentes, suivant que& et» sont congrus ou incongrus suivant
le module n— 1.

* A auT,) ta Ons ne zont äeai.
and Lorque lm gel
L Dar 7.
de ces nombfe primitives, ls 2A ombecs 1) 2) JA it dis le mè, 5 aite sera cobgrl i
8 racines
ℳ alement
—
1 1(wol),—
.Lonticlit „ üt idenlid
— —
41
-)*e, aun
b . d Hnccugr
ARITHMETIOUES. 439
Si donc G est une autre racine primitive, les racines Li],
[J[s=] coincideront ainsi avec les racines[13,[Gh...
[G⁶*=], abstraction faite de l'ordre. Mais en outre, on prouve
facilement que si æ est un diviseur de n— 1, et qu'on pose
n— 1= f, 6= h, C=, les f nombres
sont congrus, suivant le module n, à ceuxci:
sans avoir égard à l'ordre. Supposons en effet G=(mod. n), et soit un nombre quelconque pasitif et= f, et» le résidu
minimum de uœ(mod. †)y; on aura e ac(mod. n--1), donc
6=g=g(mod.) ou H'= h, c'est-à-dire que tout nombre de la première suite 1, h, ha, etc. est congru à un de ceux de la seconde 1, H, H“, etc., et ré- ciproquement.ʒ““ b 81
Il suit de là évidemment qu'il y a identité entre les racines lrl, U2l, UE2, Ihr=] et[II,(HI,[H*J,.. LEl en, ou plus généralement entre les racines
P LU, MI, Dhr= et DJ,[AR, DeI,. DR=N. Nous désignerons par(, X) la somme de semblables racines.
telle qe
D- DNIP etc. 4. Ah;
et comme elle ne change pas, lorsque l'on prend pour une
autre racine primitive, elle doit&tre regardée comme indépen-
dante deg, et l'ensemble de ces racines s'appellera periode(7, 2), dans laquelle on ne considère pas l'ordre des racines(*). 3
Pour présenter une pareille période, il sera convenable de
réduire chacune des racines qui la composent à sa plus simple
expression, en remplaçant les nombres X, M, M, elc. par leurs
() Nous pourrons dorénavant donner à la somme le nom de waleur numé- rique de la periode, ou même celui de péeriode, lorsqu'il n'y aura pas d'am- sbiguite à craindrer. 110(..

1—
*—
1
—— C——
—
——
——
440 RECHERCHES résidus minima, suivant le module n; et si l'on veut, on peut ordonner les termes de la période suivant la grandeur de ces nombres.
Exemple. Pour n= 19, 2 est racine primitive, et la période (6, 1) est composée des racines b
[11,[SI,[64l,[512],(4096],[32768], ou 11, H7l,[8I. IIrI.,(ral], II8];
de mème la période(6, 2) est composée des racines
[21,[31,[51,[I4l,(16],[171; la période(6, 3) coincide avec la précédente, et la période (6, 4) contient les racines
[41,(6],[91,[1]91,[15]1,[15].
344. On remarquera, au sujet de ces périodes, les observa- tions suivantes, qui se présentent d'elles-mèêmes:
1, Comme on a M= X, XMhfti= M, etc.(mod. n), il est gvident que les périodes
( D-(V/ An),(fe 2), eto.
sont composées des mèmes racines, et généralement si est une racine quelconque de(, 5), cette période sera identique avec(†, M). Donc deux périodes, de même nombre de termes (que nous nommerons périodes semblables), seront identiques, si elles ont une seule racine commune, et parconséquent il est impossible que de deux racines contenues dans une certaine pé- riode, il ne s'en trouve qu'une seule dans une période semblable: et il est clair que si les racines l, ℳ8 appartiennent à la
2 même période, la valeur de l'expression—(mod. n) sera congrue à une certaine puissance de h, ou que l'on peut supposer ve 4 N= g(mod. n). 2*. Si f=n— 1, on ae= 1, et la période(/’, ¹) colncide
avec Q; mais dans les autres cas Q sera composé des e pé-
riodes(f, 1,(†, g),(F 8-), etc...(f. 8,.), et comme ces périodes sont toutes différentes entre elles, il est clair que toute autre période semblable(†, X₰) coincide avec l'une d'elles,
pourvu C„ n 2 1„ 26 B2e T. ,9) 7. 1 77, 8—§—, „ 1 4 7 1 1 57 A 4— 1 ℳb 1 1/ 19 1ae e.. 1 ‿ νν 7 4— 9 AùX8 8—*——. 7 c 2&... 2 124011. ——;— 4 1
e,

Ldete, et à nih
115.
eriodes, le n. nämes:
1 4
„eic.(wod. 7) 14
r), ete.
5 2eur Aqg hu⸗ chgft mee
9„
doeralement i) ¹ période gera itain zme nombre de k
2s), seront denührs
et parcousépentt daus mne cettitp
une pärioce eblä
7 apparienen 3
1
-(mod.) En en 4
ge Pon pellt Aih
ꝑZͤZöZͤöZͤöõ—„.„. —— 5
Ehe var aee Bag, e, ee Ae 8
7 a„ n ₰.„ 6 .—.„ ee au a m
F a, no.d e, Aꝙf 2. 2 AB/ ſꝛchn ebes 77 ee A W. c; L. 7 2 2 Dhe hee,
Sue 7.—= m. Tfle o n,, w
—
ht A/ /,— 2 7 Sh rareeen 7 ₰ A
62 eet A A
7 6.
rre. 2 —
7 Aae 2 ee— L AA, h. 4 f 6
2z
1 7
—
————

/ 1 1
———y ᷓ ——
eeieeenehneeehrer ees eeee

Poufrvu que[A soit une des racines Q, c'est-à-dire, que à ne soit pas divisible par n. Quant à la période(, o) ou(, Kn), elle est évidemment composée de unités. On voit même que
si X¾ est un nombre quelconque non-divisible par n, l'ensemble des e périodes
(.,(†.),(†.),(†.„*)..(†, G=)
colncide encore avec Q.
Ainsi, par exemple, pour n=19 et= 6, Q est composé des trois périodes(6, 1),(6, 2),(6,, à une desquelles toute autre semblable, excepté(6, o), peut être ramenée.
3⁰. Si n— 1 est le produit des trois nombres positifs a, 5, e, il est évident que toute période de bo termes est composée de 5
Périodes dont chacune a termes, c'est-à-dire que(bc, 2) est composée des périodes
(c,),(c, 2),(o,),(c, 2⸗); c'est pourquoi nous dirons que ces dernières sont contenues dans (60, 2).
Kinsi, pour n= 19, la période(6, 1) est composée des trois (2, 1),(2, 8),(2, 7), dont la première contient les racines 72 m8; la seconde, 7, z; la troisisme„ 7, 7¹8.
345. THEOREME. Soient(f,*),(f, u) deu périodes sem-
Blables, identiques ou diſférenes, er AM,[Xl,, etc. les racines qui composent(k,; le produit de(k,) par(f,)
scra la somme des f periodes semblables, o'est-A-Tire„
=(f, X.‿+(f, X+‿.φ) †(f, X‿+‿‿φ), etc.= W.
Soit comme plus haut n— 1=O, une racine primitive pour le module n, et h=g“, on aura Par ce qui précède
(,9=(ſ,⸗ WM=(, XM*), etc.;
le produit cherché sera donc
Lul.(, 2 Luhl.(, Ah)+[uh-=J.(f. XA2*) etc.,
et partant
ARITHMETIOUES. r

RECHERCHES
44² [X4&ᷣ ‿μν+ε‿μᷣoΤe u 1... AM=u J Xh uh]Xh h LLAH-uhJ.... MW Puh! Aw-uh⸗ dAbal Ahiun]..... XMuhrs] + eto.
Cette expression contiendra en tout f* racines, et si l'on prend séparément la somme de chaque colonne verticale, on trouvée
que la somme totale est, comme nous l'avons annoncé, égale à
(f, à+ 2)+‿, 4h †a), MW2)..(, Ma); or N= Xk, N= N, etc., suivant le module n, et partant aA=Ih u, X‿ μ☛νχ+.‿ u, etc. Nous joindrons à ce théorème les corollaires suivans: 1°. Stant un nombre entier quelconque, le produit de(F,. K) par(J, Ku) est (†, K0,, XMX), K+u)) etc. „ Comme les differentes parties qui composent m coincident gvidemment avec(, 0)=, on avec une des périodes (7, 1),(, 9), 9*), 6)⸗
il est vident que WM peut se ramener à la forme suivante:
m=afAf, yXOf Gv7, 8“ete.+5(J. 8—), ou les coefficiens a, B, W, etc. sont entiers et positifs ou quel- ques-uns= o; et en outre, que le produit de(, KX³) par(, Ku) devient alors
XMI, DANT g1) F g 1 ete..,.,.0.
Ainsi, pour n= 19, le produit de la somme(6, 1) par elle- mème, ou le quarré de cette somme, est
(6, ²)+(6, 8)+ G, 9)+ G, 12)+ 6, 13)+ G, 19),
ou.„%... 6+ 2(6, 1)+(6, 2)+ 2(6, 4)-
3°. Comme le produit de chacun des termes de M par une période semblable(,*) peut èêtre ramené à une forme analogue,
il est évident que le produit(,*).( f, u).(J,*) Peut étre re- présenté par

res suiyanz;
„de kwäntas ,0
1099) 4
nposent II coütein
e des pétiodes 1 ¹ 4),
la ſorme suigant
ic. 9(9)
ers et positiß upe g
de( h) RE.
ARITHMETIOUESZ. 48 ³I,) O g † ete.+ 400(, g),
C, ℳl, etc. étant tous entiers et positifs ‚et qu'en oufre„ si K est entier, on a
. H. G, aH. C,= f A,F, H ete.+d/ g*0). On étendra de la mèême manière ce théorème aux produits de tant de périodes semblables qu'on voudra, et il importe peu que ces périodes soient toutes différentes, ou en partie diffé-
rentes, et en partie identiques, ou mème toutes identiques.
4*. Il suit de là que si dans une fonction algébrique ration- nelle et entièere F—=%(t, à,..), on substitue pour les indé- terminées t, l, v, etc. respectivement, les périodes semblables
(I, 2A),(F H),(.„), etc., la valeur de cette fonction est
toujours réductible à la forme
A+ BO, 1) B(7, g) † BF, g*)...⸗*BG 3 9——),
et que les coefficiens AI, B, B', etc. seront tous entiers, si les coefficiens de la fonction F le sont eux-méêmes. Si ensuite on substitue pour t,, v, etc. respectivement les périodes(, M), (J, A),(J,»k), la valeur de F sera de la forme
A+ BOI, X)+ B0),)+ etc.
346. THEOREME. Si P'on suppose que X est un nombre non- divisible par n, et que pour abreger on fasse(f, X△)=p, toute autre poriode semblable(f, ᷣ) odu est aussi non-dioi- siblé Par n, peut étre mise sous la forme
a+‿ p P eto. hp,
de manlère que les 2heens a, 2, 7...9„Soient rationnels 2 dætermines.
Désignons par p', p', p', Hetc. les Périodes(, XAg),(†,“*), etc. jusqu'à(, A¹), dont le nombre est e— 1, et avec une des-
quelles(f, coincidera nécessairement. On aura sur-le-champ l'équation.
. 0= 1 p p+ p' etc(h,
et en formant, d'après le n' précédent, les puissances de p jus- qu'à pe=h, on aura les— 2 autres équations 2
—

. 4 1 1 1 i 1 1 1 3 4
444 RECHERCHES
0= p A ap+ d+‿ aνꝙ+˖ ap+ etc.*.(II)
0= p+ F+ bp+ b E+ Bp † p Petc.(III)
0= pt † OXcp+ p ꝙ ℳ*ꝙp’ † etc.(V),
etc.
ou tous les coefficiens A, a, m, etc., B, 5, B, etc., etc. sont entiers et indépendans de X, ainsi qu'on peut le conclure du ne précédent; c'est-à-dire, que les mômes équations auront lieu
quelle que soit la valeur que l'on donne à X: cette remarque
s'étend à l'équation(I), pourvu que X ne soit pas divisible par n.
Supposons maintenant(, ½)=; si(J, ℳ) était égale à une autre des peériodes p', pe, etc., il est eévident que l'on pourrait employer des raisonnemens analogues. Comme le nombre des équations(I),(II),(III), etc. est 6— 1, les quantités p', p“, etc., dont le nombre est e— 2, pourront èêtre éliminées de manière à ce qu'on ait une équation telle que
= A+ BSp+ Op+ etc.+† M pe † NP(Z),
dans laquelle, B, N sont entiers et ne sont pas tous nuls àla-fois. Or si N n'est pas= o, il est clair que cette équation donnera pour p une valeur de la forme annoncée; ainsi il ne nous reste plus qu'à démontrer que l'on ne peut avoir N= o.
En supposant WM= o, l'équation Z devient M'p= X† etc.+† Op+† B p A= o,
à laquelle ne peut satisfaire au plus qu'un nombre— 1 de va-
leurs de p. Mais comme les équations dont on a tiré Z sont indépendantes de*, il est clair que l'équation Z. elle-méêème ne dépend pas de X, c'est-à-dire qu'elle a lieu pour toute valeur de entière et non-divisible par n. Cette équation sera donc sa- tisfaite par les valeurs des e périodes
(J, 1),( g),(J. g9)...(h 9)„
d'où il suivrait que les valeurs de deux de ces périodes au moins seraient égales entre elles. Supposons qu'elles contiennent respee= sivement les racines

————““————
1
2v.
—
1 anv s gnantit ites p, 7*„ ID Asrn x“ e
lwinges d bes e Dain 22—4, r- eer ₰ P NYE. BG0)
ne sont pas tou n- ür que cette equiam 4
annoncde; äbi ln f e —0o0O. 7— ka nnn 2 2 5 aue 6——2 an derut r
-4o,— 45. 9*—. nombre 6-Fi 6 2)— 72„) aKnr= 2ſ2areole o n,= le.
14„ D B he, Pe« ozt 2. D
lion gera doll qual hew L½ 2,2 he 2. 3 h 66 er 83 L2e, Seſt 5
2, eunen 4 eharu 2ernueoe 2= ZIxloeeh De a, ve er T A 2., 3u 2r e‿ 4O
— e 7 2 56
5.— 2 .0 75
* lait êg zu A h— 22 Sar
1 d e amme k danin 72—z cfe g— eaene 2) 1
88IZ—nſſſſ ——

34 4 Sr. r2
544 12, 1, n 3. 0 A
84„
7, e T B Aa
72 e aae,= L⸗ Tt
eA= el2,&α
/ 3
u, n a
27/ etu J.r

44= A4r6(aεeegx“
of= ‿‿iαᷣmνσκνιι 7 4(ans 12nsg 28
m U—-c)= 2— A r 4- Has,a 2 5α A= In/ V 7,7, nen
— 2* 2,Der 2 ar249,
, 4 vnn 2= n] I— 70 omaA= 9, Lm ona+ 2Ga. 2
z up) 8 e= m— 9 0— 25= /9 A% X,„ 2 uu. ated= D, deet õ 2. S- a9⸗
= Sm eannle Ala 2 ee Sre
4—6 /G,
nuern K eer en,m“ Ie,ete:e. eree„. 2
₰4
—.
dauſh.„ —5e 5e ad Kh 4 Sc,a,
„.6 5 5
ksfd= Sl ay ſdon- an —5 73= Aleeer,
eS.]. 6(½π ! a 4= Slee ercee —

— Bn de. A Sw 2 e h

X tün 8. XA4 4 4
4 „ 88
ARITHMETIOUES. 445
1„[EJ,[*, etc.;[nl,[7,["I, ete.; et que les nombres C, O, O, etc.,„,, ¹, etc. soient positifs et In, ce qui est permis; il est évident qu'ils seront tous diffé-
rens, et qu'aucun d'eux ne sera= o. Désignons par F la fonction
6 1„„n a+a+ etc.— x— ᷣ—&— etc.,
dont le terme le plus élevé ne surpassera pas ν-; il est clair qu'on aurait PF= o, si Pon faisait= IIr]; donc F contiendrait le facteur ½—[1], qui lui serait commun aveoc la fonction déjà désignée par X(ne 339): or il est facile de démontrer l'absur- dité de cette dernière supposition. En effet, si Xet E avaient un diviseur commun, il s'ensuivrait, par la nature de l'opération, qui sert à chercher le plus grand commun diviseur de deux fonctions semblables dont les coefficiens sont rationnels, que ce plus grand commun diviseur aurait tous ses coefficiens rationnels; car il est d'ailleurs évident qu'il ne peut éêtre du degré n— 1, puisque P est divisible par x. Mais nous avons fait voir(n“ 341) que X ne peut étre divisible par une fonction de degré inferieur àn—1, dont les coefficiens soient rationnels; donc on ne peut supposer que l'on ait N= o.“
O1Pn A p G-. 22 K. A 2p,,
d'ouù l'on tire p= 4— p', P=— 5— p p⸗; nai
ainsi (6, 2)= 4—(6, 1)*;(66, 4) (6, 4)= 4—(6, ²)“;(6, 1)=— 5—(6, 2)+(6, a)⸗ (6, 1)= 4—(6, 4*;(6, 2)=— 5—(6, 4)+(6, 4)“. 347. THEOREME. Si F=(t, u, v...) est une fonction invariable(*) algebrigue rationnelle et entière de f indéterminses t„u, v, ete., et qu'en Substituant d la place de ces indeternuinces les f ra-
— 5—(6, ¹)*(66, 4)*
IIA I
——
—
(*) On appelle fonctions invariables celles où toutes les indéterminées entreut de la même manieère, ou plus clairement, celles qui ne changent pas, de quelque
manièére que les indéterminées soient permutées entre elles; telles sont la somme
des indéterminées, leur produit, la somme de leurs Produits deux à deux, etc.

G ”
————
———
435 HECHERCHES
gines contenues dans la poriode(f, 2), on ramèéne cette fonc- zion à la forme
A+ AIII+ A2]+ elc.=— W, eaprés o qui a dle dit(n“ 340); les racines qui, dans celle evpresslon, appartiendront à une méme periode quelconque de
f termes, auuronl des coelliciens ̃auw.
Soient[p,[7 deux racines qui appartiennent à une mème période„ et supposons 7 et 7 positifs eb moindres que n; 11 s'agit de démontrer que Lp] et Ig] auront dans I le mèême coefficient.
e.. Soit encore= pg(mod. n), et nommons ⁴,[XA,], etc.; les
racines contenues dans( D, où nous supposons N, X, X, etc.
positifs et moindres que n; soient enfin&,,, etc. les ré-
f7
3 I g e ve ve. sidus minima positifs des nombres„, Xl, α„ etc. suivant le module n;&,&, etc. seront évidemment identiques avec X, , etc., si l'on ne fait pas attention à l'ordre. Or il suit du p⸗ 340, que la fonction
7 eguel, Peg'el, Peg,...](I)
peut être ramené à la forme
AAAls Aag Hetc. ou A-A- A"9Tetc.=VI“; en désignant par 0, G,', etc. les résidus minima des nombres
le
„, 2 gꝗg„etc. suivant le module n; il est évident, d'après cela, qus[q] aura dans II. le même coefficient que Ip] dans II. Mais on voit sans peine que le développement de l'expression(I) donne le même résultat que le développement de l'expression
— 9 1ul, L2. u, etc.].
—
. e 96.. puisque u, E=Xg, etc.(mod. n); mais cette expression donne le même résultat que 8 8. 1,„ 3* (, J, M, etc. J⸗ parceque les nombres 4⁴, M, u, etc. ne diffèrent des nombres A, N, MN, ete. que relativement à l'ordre, qui n'influe en rien
De
pcur
räleul
36
Es cc meine meine lois, eonten tche

atiemen; tà
ment ee m.
Lacdhe, Or I gi
rAre tf as minina des un
t eritent, Cantsc t que lyi dus ſ 4 de lertesiun(ſte de Terpresicu eic.),
M maeette ent
de e
ARITHMETIOUES. 347
dans une fonction invariable; donc W et WI. seront igeniiques—
et partant[p] et ſq] auront mème coefficient dans II..
Itsuit évidemment de là que W peut èêtre ramené sous la forme
A-ſ,) Aſ, GJ 8.)*ℳete. N 400(7, 8—):
les coefficiens A,) a, a¹, etc. seront entiers et déterminés, si tous les coefficiens de F sont rationnels et entiers.
Ainsi, par exemple, si n= 19,= 6 et X=, et que la
fonction O désigne la somme des produits des indéterminées prises
deux à deux, sa valeur se ramène à
3+(6, 1)+(6, 4. De plus, il est facile de voir que si l'on substitue ensuite
pour t,, v, etc. les racines d'une autre période(„ AM, la valeur de F devient
A+ a(, H+af, kg) a f, 8), etc. 348. Comme dans toute équation b æf— ao † a⸗— o+‿ yetc.= les coefficiens a, g,„, etc. sont des fonctions invariables des racines, savoir, a la somme, la somme des produits des racines prises deux à deux, la somme des produits trois à trois, etc.; il en résulte que dans l' équation qui donne les racines
contenues dans la période(I, X), le premier coefficient sera(/,5), et chacun des autres Pourra etre ramenèé à la forme
““
où Al, a, ,, etc. sont des entiers. D'ailleurs il est clair qus Lequation qui donnerait les racines que contient toute autre pè- riode(7, XA&) se déduirait de celle-là, si dans chacun des coeffi-
ciens on substituait(, k) pour(, 1),(. 48) pour(g), et généralement(, kp) pour(J, p). On pourra donc de cette manière assigner un nombre e d'équations
Z2=0;, 2= o, 2— o, 6860.
qui donneront respectivement les racines contenues dans les pèriodes
b(. 1),( 9)⸗, 8*), ete.;

448 RECHERCHES
aussitèt que l'on connattra les sommes(7, 1),(7, 9),(" 99), etc., ou mèême, que l'on en connattra une seule, puisque(ne 346), la valeur de chacune d'elles peut s'exprimer rationnellement en fonction d'une seule. Cela fait, la fonction X sera décomposée
en e facteurs du degré †: le produit des fonctions z, 2¼, 2“, etc. sera évidemment= X.
Exemple. Pour n=lg, la somme de toutes les racines con- tenues dans la période(6, 1) est=(6, 1)= a; la somme des produits deux à deux est= 5+(6, 1)+(6, 4)=; la somme des produits trois à trois est= 2+. 2(6, 1)+(6, 2)=„; la somme des produits quatre à quatre est= 3+†(6, 1)+(6, 4,)= J; la somme des produits cinq à cinq est=(6, 1)=-; le produit de toutes= 1; donc l'équation
z=&—-+‿̃ ε‿ᷣαα‿ισμάρκνÆ‿ς sd—+ 1=0
donnera toutes les racines contenues dans la période(6, 1). Si, dans les coefficiens, 8,, etc. on substitue
(6, 2),(6, 4),(6, 1) Pour(6, 1),(6, 2),(6, 4) respectivement, il en résulte l'équation 2'= o, qui donnera les racines contenues dans(6, 2); si l'on fait dans eelle-ci le mème
changement, on a l'équation 2= o, qui donnera les racines con- tenues dans(6, 4), et le produit 2z22 sera égal à X.
349. Il est souvent plus commode, surtout quand. est un grand nombre, de déduire les coefficiens, 3,, etc., des sommes des puissances des racines. Il est évident que la somme des quarrés des racines contenues dans(, X₰) est=(, 2X¼), que la somme des cubes est=( 3X), etc.; ainsi en faisant pour abréger,
0.,= 7, O, 2= C,(,3=“, etc., on aura b aA= g, 23= ag— †, 3„= 39— a*⁴ᷣ+ 9ô, eto.; expressions dans lesquelles on doit convertir sur-le-champ(n 345), les produits de deux périodes en sommes de périodes. Ainsi, dans notre exemple, si l'on fait pour abréger,
66, 1)=,(6, 2)= p,(6, 4)= p', on trouve 4 p,—82—9„ p; donc

1, 77—a⸗f „„α 3 A r= O Da
2v H
„ mp e.
— d.e H, ze— 5.=A M 6,1) 2umm 2El 4 2, 2 5=ebes 7 5 2. D V,2 25 u— 2ut—— 7
„(b5, ²), 66,9 (=o, qui donren h daus celle-ci k uw onnera les racines eu-
egalà I.
t quzad feRmgu „ete., Ges lnats wmme des qund
1 D), ge hum
ant pon Ärigr,)

———

ARITHMETIOUEsS. 449
donc aep, 26= p.— p= 6+† 2p+†† 2p', 37σ=(3p p) p— pp+‿= 6+ 6p+ 3„ b 44=(2-†‿ρ p) p— 3,p ‿ꝑ pp—= F= 12+ Ap-hpf,
etc.
Au reste, il suffit de calculer de cette manière la moitié des coefli- ciens, car on prouve sans difficulté que les derniers sont égaux aux premiers dans l'ordre inverse, savoir le dernier= 1, l'avant- dernier= a, l'antépénultième= Z, etc.; ou qu'ils s'en déduisent en substituant pour([), 1),(f, g), etc., les périodes.— 1), ,.— 9), etc., c'est-à-dire(, n— g),( n— 1). Le premier cas a lieu quand.] est pair, le second quand est impair; mais le dernier coefficient est toujours= 1. Cette propriété se tire du théoreme du n' 79, mais nous sommes forcés de ne pas nous ar- réter sur ce sujet.
350. THEOREME. Sli n— 1 esz le produit de trois nombres entiers positiſs a,,, et que la période(„, X), qui a 8 termes, soit composée de periodes(y, X),(, X),(, X), etc.,
dont chacune a termes; si de plus, en substituant les sommes (,,(, X),(7, X), eto. à la place de t, u, v, etc., dans une Fonction F= H(t, u, v...) telle qu'au no 347, elle se reduit à
Aa ν‿εμ‿μσνεσ◻⏑··*⁴‿ ,½*‿m1).+ a00, g)=W, en supposant d'ailleurs que F soit une fonction invariable; les péeriodes comprises dans(W), qui appartiendront à une méeme Ppériode de gy termes,'est-A-dire, en gendral celles qui seront
telles que(, g) et(, g n), y ktant un entier quelconque, autront nécessairement les mémes codsfficiens.
La période(, 2“) 6tant identique avec la période(6„, 5),
les périodes plus petites(,),(, Ag)„(,), etc. dont la première est évidemment composée, doivent coincider avec celles qui composent la seconde, abstraction faite de l'ordre. Si donc on suppose que par la substitution de ces périodes à la place des indéterminées t,, v, etc., le facteur F se change en M, IW devra coincider avec I. Mais(n“ 547) on a
LII

450 RECHERCHES
w/= 4+a(*, g,) †A(*, 8 †)..+ 46 ,g=).+(„, g,* =44,&ꝙ ℳA, Oe, 8*). 4(0, 1)... 40(„, S.—).
Ainsi, puisque cette expression doit coincider avec M, le pre-
mier coefficient de W(en commençant par) devra être iden-
tique avec le a+.‿ 1“, le second avec le a+. 2““, le troisième avec le a+‿ 3“, etc., et genéralement les coefficiens des périodes
6, 9),(r, †),(7,),(, †*), qui sont les
2-† 1, a- B 1¹, aa+f 101,.. a †.&£‿ν11 respectivement, devront être identiques. b
Il suit de là évidemment que M peut étre ramené à la forme
4+(Hy,)+. a(gy, 8).....+ a00(by„,—), oùð tous les coefficiens A, a, etc. seront entiers, si tous ceux de F le sont. On voit en outre que si l'on substitue dans F aà la place des indéterminées, les 5 périodes de termes qui constituent une autre période de 3 termes, telle par exemple que(Sy, ℳ), périodes qui sont(, Ak),(, X),(ꝛ,), etc., la valeur qui en résulte est
A+ a(6y, K)+(gy, gk). 00(Z, 86 ½). Au reste, il est clair que ce théorème s'étend aussi au cas où
A= 1, c'est-à-dire, où G)„= n— 1. Alors tous les coefficiens de WM sont égaux, et V se ramènera à la forme
A+ a(8, 1).
351. Ainsi, en conservant la notation du ne précédent, on conclura que les différens coefficiens de l'équation qui donnerait les sommes(ꝛ, X△),(ꝛ,),(, NX), etc. peuvent être mis sous la forme
A+ a(gy, 1)+a(„„, g) A..+ 200(gy, G—), et que les nombres A, a, etc. seront entiers. Or l'équation qui donnerait les 3 périodes de„ termes qui composent une autre Période(), M), se déduira de la première, en remplaçant dans
tous les coefficiens la période quelconque(„,*⁴) par(, Au.).
k

nan
.+ ,3(9),9 94 t entiers, zi tog el audstitne dan ih ) termes qui eumiitet eremple gque(),)
N), etc., Rrku W
d aussi al äèd ſors tous les eis a forme
244 ahi⸗
ARITHMETIOUES. 451
Si donc A=1, les périodes de y termes se détermineront par
une équation de degré 3, dont les coefficiens peuvent être mis sous la forme A! a(,-õ„, 1), et sont parconséquent des quantités connues. Si α 1I, les coefficiens de l'équation dont les racines sont toutes les périodes de y termes contenues dans une période donnée de 3 termes, seront des quantités connues, dès que l'on connaitra les valeurs numériques des périodes de) termes.
Au reste le calcul devient souvent plus facile, surtout quand 3 n'est pas un petit nombre, en calculant d'abord les sommes des puissances des racines, et en déduisant les coefficiens par le théo- rème de Newton, comme ci-dessus, no 349. b
Exemple I. On demande pour n= 19, l'’'équation dont les
racines sont les sommes(6, 1),(6, 2),(6, 4).
Désignons ces racines par p, p, p' respectivement, et l'équation cherchée, par A Aa 2 Oo; on 5
A= p+‿,ꝑ+£, B= pp pp,Op, C= ppp.; donc A=(18, 1)=— 1; or on a pp= p+˖ 2p+ 3p, pp= 2p 3p p, pp= 3p+‿+ 2p'; donc B= 6(p+„+( p„)= 6(18, 1)=— 6; enſin O=(p-† ap+ 5p)p= 3(6, 0). 1118, 1)= 18— 11=7; done l'équation cherchée est ˖ ‿lQ2Q— 67— 7= o. En employant l'autre méthode, nous avons p+ p+ p=— 1
p= 6+ 2p-ꝓνερ‿²p, p*=1 2p ‿ 2p, p= G+ 2p,+ pr 29; d'onrn„+ p* † p= 18+ 5(+‿˖ p+ p)= 13. De même.„“+.˖ pf.+ p= 36+ 34(p ‿ p)= 2. De là, à'aĩde du théorème de Newton, on tire la mème équation que ci-dessus.
Exemple a. On demande pour n= 19, 4 Sawation dont les
racines sont les sommes(2, 1),(2, 7),(2, 8). 2

— —
—
2— ———, ——.=————
———*
—
452 RECHERCHES
Désignons-les par 7, 7,„' respectivement, on aura
7‿Q᷑ep=(6, 1), 99 ℳ 99, 9,9,=(6,1)+(6, 4), 999/=2+.(6, 2); donc en conservant la notation de l'exemple précédent, l'équation cherchée sera b
— paæ †(p+‿ pDr— 2— p„=o.
L'équation dont les racines sont les sommes(2, 2),(2, 3), (2, 5) contenues dans(6, 2), se déduit de la précédente, en substituant, p', p pour p, p, respectivement; et en faisant encore une fois la même substitution, on obtient l'équation dont les racines sont les sommes(2, 4),(2, 6),(2, 9) contenues dans (6, 4).
352. Les théorèmes précédens, avec leurs corollaires, contiennent les bases principales de toute la théorie, et le moyen de trouver les racines Q peut s'exposer maintenant en peu de mots.
On doit, avant tout, prendre un nombre& qui soit racine pri- mitive pour le module n, et trouver les résidus minima des puis- sances de g jusqu'à ga. On décomposera n— 1 en facteurs, et mème en facteurs premiers, si l'on veut réduire le problème à des équations du degré le plus simple possible. Soient a, Z3, 7 0 les facteurs den— 1, et soit fait
72— 1— 1
.= Sy. Oa, e h=, etc.
On distribuera les racines Q en a périodes de a termes; chacune de celles-ci en β périodes de 5 termes; chacune de ces dernières en périodes, etc. On cherchera, par le ne 350, l'équation(A) de degré a qui aura pour racines ces a sommes de a termes, sommes dont on connaitra les valeurs par la résolution de cette équation.
Mais il se présente ici une difficulté; car on ne voit pas à quelles pPériodes on doit égaler chaque racine de l'équation(Ah), c'est- à-dire, quelle est la racine qui doit èêtre représentée par(a, 1), quelle est celle qui doit être représentée par(a, g), etc. On remédiera à cet inconvénient de la manière suivante. On peut désigner par(a, 1), une racine quelconque de l'équation(A); en effet, comme une racine quelconque de l'équation(A) est la somme de a racines Q ‚et qu'il est absolument indifférent que

-A re an, A kfe,He heh, e, er e h, e hee 3 Srihhe d E. C aeie h L t 2 22*—, 5. 92 odts wn anr 5.„,— 4 Pr
4 eeee Xan dd,‿‿ e, La n Wn 5 2,2 A n Caf, 72
— æS D— W„
2 au Slah, a. 76, mA r),. —7—o.— Gg'lan, A 2 ar⸗ e h,= Snne=) ammes( 5* Ja, P,= 7 7 R 2 eeb 2) en(G 40 2 S k„
2 keten, 9. 2 o 73 37 2
went; 8 alia s A. MÄ
biien lämain 8 A
) cauter
b 5 v6, A= G, en=e s 29 11 9— /— de g qui ziit minp Qad=(—, l h Ssidus minina 3 Esu 7
Lneeef 4 1— en lhn⸗
dertnüe. Leleme dl=fezeel von mu /,
u,e e gh—, u )= Vrgn. p„1— kun
=, er. aſe cf O(2, 5— o, G,/bet Ae uf⸗ 2
z8e a termes; demm A& 2 ee 1 hide,)= A 7, /5
hacune 4 2 95 Sra of== S=VA V, 2 V,= 2), 2 A ch
So, Lequttcnſ 2h—
n emne 4 Aei 2)= Sl 2
tion de cette équämn— e cf
on ne wit es ipes ſS-(a/ 7— a, e)e h Ca“ e
lenustin(, s
5 7 retseue n OlV aoee, me ue 85 7 2 Re le,,un
we,, e, eren, ien en nenee taf g s,, 7 70 u e, e en ee“„lh) jelafe llament I eg ſad) gl‿)= c C /-
3 vde e.= en, e] Vhdebae us muund e,
—
m —
— „ ö““

ue,=e. 9n 3 Fdn u—. 65 E. g g 2 aht“ 3 F, 51 n r=—, euf— 74
7£ 7. ℳ 4 vr 4₰&æ 3 Ec u/ — 8 7 4ℳ 7, h 7
4 2)„ Sp 8. 5 G 4 Aℳ frr e, eAi Sarre.ue,
Af e hle Deer gf 3a, 13—
A 7 ℳ— Mh——— 2 4 A, 4 ¹ 4— 7,- 2 23 f eet 75 A——2„ 4ℳ„
9— 55 4 6- 7/ ₰ 2&0 82 2„ 4„ ₰Aæ„ A f, 3 flr⸗ 72
„ 7 Lwu⸗
AA 8 7„ AEA AOh p„——, Mu. 7 Ih 98 I 9 I A S, f AGfrs
RMA& 3.= V ſpe, c.
A* 4 947 fA 2 3
ſe 1o7o. 2. C. Wi 4 2 eghh 7„„— 3 C 7 4
6 D—, 85„. 2⸗ 0—0— 7(idf 2
f
7
———
4
9 N 38 0 8 . 7 4 7 G 83 9,— M. A A MW- 4 ₰— 4— Mf, 3 9 æòꝶ—; „ cℳl 7 pru o Sec at r= 4 f A 2 ,= ℳ. 3

ARITHMETIOVUES. 455 l'on ait représenté par[i] telle racine de Q plutòt que telle autre, on sera libre de supposer que ſi] soit une des racines qui constituent une racine quelconque donnée de l'équation(A), desorte qu'alors cette racine de l'équation(A) deviendra(a, 1). Mais la racine[1] n'est pas encore par-là tout- à-fait déterminée, et le choix de celle des racines comprises dans(a, 1) que nous prendrons pour[1], est absolument arbitraire. Au reste, une fois que(a, 1) est dé- terminé, toutes les autres sommes de a racines peuvent en éêtre déduites rationnellement(n“ 346); d'ou il suit qu'il n'y a qu'une racine de l'équation(A) qu'il soit nécessaire de trouver. On peut aussi employer pour faire cette distinction, la méthode suivante qui est moins directe. On prendra pour ſ*] une racine indéter- minée, c'est-à-dire, qu'on fera
,. A.P [1—=cos==+ sin—,
l'entier K étant pris à volonté, pourvu qu'’il ne soit pas divi- sible par n. Alors[2],[3], etc. indiquent des racines déterminées, et parconséquent(a, 1),(a, g), etc. Si par les tables des sinus on calcule ces quantités, seulement avec assez de préeision pour pouvoir décider queltes sont les plus grandes et les plus petites, il ne restera plus de doute sur la distinction à faire entre les racines de l'équation(AIa)h. VI efII 4 9
Quand on aura trouvé de cette manière les sommes de a ra- cines, on cherchera(n“ 350) l'équation(B), dont les racines sont les Gl sommes de 5 termes contenues dans(a, 1); les coefficiens de cette équation seront des quantités connues. Comme il y a encore de l'indétermination dans le choix de celle des racines contenues dans(a, 1), que l'on désignera par[1], toute racine de l'équation(B) peut être représentée par(5b, 1), parceque l'on peut évidemment supposer qu'une des racines qui la compose soit désignée par[1J. On cherchera donc une racine quelconque de l'équation(B) par sa résolution; on la supposera égale à(5, 1), et on en déduira, par le ne 346, toutes les autres sommes de 5 racines. De cette manière, nous avons un moyen de vérifier le calcul puisque les périodes de 5 racines qui appartiennent à une méme période de a termes, doivent produire des sommes que P'on connait. Dans quelques cas, il est aussi expéditif de former

—
— 4 ——
————— 2—
4⁵4 R ECHERCHES
les ,— 1 autres équations de degré 3, dont les racines sont res- pectivement les G différentes périodes de 5P termes contenues dans les autres périodes de a termes(a, g),(a, 9*), etc., et de chercher par la résolution les racines de l'équation(B) et de ces différentes équations. Mais alors il faudra, comme plus haut, décider à l'aide de la table de sinus, à quelles périodes de b 9ltermes doivent être égalées les racines qui en résultent. Au reste, il existe encore pour cette détermination différens autres artifices, que nous ne
pouvons pas expliquer ici complétement. On pourra seulement dans
les exemples suivans, remarquer un de ces procédés, pour le cas od= 2, qui est le plus utile, et qui sera mieux connu par des
exemples que par des préceptes.
Quand on aura trouvé de cette manière les valeurs de périodes
de 5 termes, on déterminera de même par des équations de degré?
les périodes de c termes, et cela par deux procédés: 1⁰. en formant(n* 35⁰) une équation du degré„ dont les racines soient les périodes de c termes qui composent(b, 1), cherchant une des racines de cette équation, l'égalant à(c, 1), et déduisant de là (ne 346) toutes les autres périodes semblables; 2°. en formant les a équations de degré), dont les racines sont respectivement les „ périodes de c termes qui sont contenues dans les différentes pé- riodes de P termes, résolvant toutes ces différentes équations, et déterminant l'ordre des racines, comme plus haut, par les tables de sinus, ou comme dans les exemples suivans, si= 2.
En continuant de cette manière, on parviendra enfin nécessai- 71— 1 5 par le n“ 348, l'équation de degré qui donne leC racines de Q contenues dans(„ 1), les coefficiens de cette quation seront des quantités connues; et si l'on tire une seule racine par la résolution, en faisant cette racine= 1], ses puissances donneront toutes les racines Q. Si on le préfere, on peut chercher toutes les racines de
rement à connattre les périodes de termes. Cherchant donc
72— 1
cette équation, et la résolution de— autres équations sem- blables, donnera toutes les racines 2.
Au reste, il est clair que dès qu'on a résolu l'équation(A), c'est-Aà-dire, dès qu'on a les valeurs des à périodes de termes,

lsrälemsdeaßih des Gquatians en ar deur Nueiis:, 1 — dent les nxciuesun 6,1), cherehantmen 1), et döcuam a bles; x. en bmn 8 woot respectiene 8 dans les diferus, dilérentes équsim phus baut, nar kt
airans, 41) 1
arriendra enfn lt b
jtennes(hetchmir
les résidus minima 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17,
ARITHMETIOUVPS.
on est parvenu à décomposer la fonction X ena facteurs de a
dimensions; de la résolution de l'équation(), suit la dédcompo-
sition de chacun de ces facteurs en, et partant, celle de X en facteurs de P dimensions; etc.
353. Exemple 1. Pour n= 19.
Comme on a ici n— 1=3.3. a, la recherche des racines Q
doit pouvoir se ramener à la solution de deux équations du troi-
sième degré et d'une du second. Cet exemple se comprendra d'au-
tant plus facilement, que les opérations nécessaires sont contenues
pour la plus grande partie dans ce qui précède. En prenant 2 pour
la racine primitive, on trouve b
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
pour les puissances o, 1, 2, 3, 4,
15, 11,
De là, par les nos 344, 345, on déduit facilement la distri- bution suivante de toutes les racines Q en trois périodes de six termes, et de chacune de ces périodes en trois autres de deux
termes.
(2, I)...... I1,[18] (2, 8. I8,[11] (2, 7)..... f71,[12]
(2, 2)... L21,[171 (2,16) (2, 14. 51, I[14]
(2, 44)4 4,[15] (2,13) 6],[13] (2, 9) jI9], Iio].
((6, 1)
9=(18,1).......(6, 2)
(6, 4)
L.'Squation(A) dont les racines sont les sommes(6, 1),(6, 2), (6, 4) se trouve être(Voy. n“ 551, ex. 1.)
+‿ a— 6æ+ 7= o, et une de ses racines=— 1,2218761625; en exprimant cette racine par(6, 1), on trouve.
45⁸
Izl,(161.

————
4 * 4 1 1
456 RECHERCHES (6, 2)= 4—(6, 1)“= 2,5070186441, (6, 4=— 5—(6, 1)+(6, 1)“=— 2,2851424818. Donc, si l'on substitue ces valeurs dans les formules du n 348, X sera décomposé en facteurs du sixième degré. L'équation(), qui a pour racines les sommes(2, 1),(a, 7), (2, 8) est(n' 351, ex. 2), 95—(6, 1)z-+.((6, 1)+(6, 4))— 2—(6, 2)=, ou. x+. 1, 2218761623— 3,50701864419— 4, 5070186441= o. On trouve pour une de ses racines=— 1,3545631433; nous Pexprimerons par(2, 1), et si l'on fait pour abréger(2, 1)= on aura(n“ 346) (2, 2)= 9— 2,(2, 5)=‿ 93— 39, (2, 4=— 49+ℳ 2,(2, 5)== 593+ 59, (2, 6)= 7— 69[3—+ 975-2,(2, 7)= 795+ 475— 77, (2, 8)= H— 87+ 207— 169+ 2,(2, 9)== 99,279—309 9. On peut, dans le cas actuel, trouver ces valeurs plus commo- dément, de la manière suivante:
Supposons[1J= cos 5+ 1 sin 19, on aura 18 KP RP—,
[181= cos-— sin=cos— t sin 5
et partant (2, 1)= 2cos—:
19 on a de mème en général,
in 140, M== cos 1 8
et partant
(2, DELAII18]==2l-[—rz= cos 2.
19
Si donc ½17= coso, il en résulte
(2, 2)= 2 cos ao,(2, 3)= 2 c0s3, ete.; d'oùð, par les équations connues qui donnent les cosinus des arcs multiples, on tirera les mêèmes formules que ci-dessus. Ces for- mules donneront les valeurs numériques suivantes:
(2, 2)

„2⸗„.,
hee
8——.———————
—
ee e,
,
/, B,„ 2 Teee,,t?, fhe,
dru zu, — l aurrne wer Aau
Ah
„7 3 85 2— ffjmrth, S— EIler c,. r o ee, ewus— K I., pu e — 12 ede 2zB 4 9. Pour adetge(is 5. a, 42 2 Fht H5. 42 5⸗ 8 27
—9, „ 12
—* 9— p, * n P= g 8 valeuss l du Dnn
¹
. D = 20 7 Cos2, et ete.
nnent ls ca—
zuivantes:
nee,
LA:7 2 —
3
— 92
V ,, fa e, 4— Rn) 7
4
A. b 53 225 2
— veu,,=
,,.
6,22
o,
No,„ Mmaee
v,h 27 Lo, Joe egha,ee, ee
2l. en I,=F. Vhu. J, E
Ell TD,le Sht,:? ne- 24α Q2 ee t, t
e 4 fn Ke?: 4
eh,— 8 2
Sn e, 770D,
s n S=p Ane=pp
77 7f= B Ses
2,—,
.,. M 2 2, ne,—
2,=
7—,
—⸗
.,
v—, aur—a 2,
Anun ar T, Aas So. a ae= /=, ne,
e⸗ aee 7. 7. 1 3ℳ., apfee eee ecfe,— s 5 Eu e ahhe 2ꝙ Vſf 4 hq W dp eheae gh ee, e e,, Seee,
,
ſt, 7. e, Bb) en, a a,= 2( 2eu L. S2.—
2 2ene ee S—— k, een uee,
.
4-2—2
Iu‿B
22e
7,

8—

ARITHMETIOUES. 457
(2, 2)=— 0, 1651586909,(2, 6)= 0, 4009700743, (2, 3)=— 1,5782810188,(2, 7)=— 1,7589475024, (2, 4)=— 1,9727226068,(2, 8)— 1,8916344834, (a, 5) 1,0958963162,(2, 9)=— 0, 8033908493.
Les valeurs de(2, 7),(2, 8), peuvent aussi se tirer de l'’équa- tion(8) dont elles sont les deux autres racines, et l'on déter- minera laquelle des deux appartient à(a, 7) et laquelle appartient à(2, 8), ou par un calcul approché d'après les formules suivantes, ou par les tables des sinus, qui, avec une légère attention,
..„. prouvent que si l'on fait.= SS„ on à(z, 1)= coso; donc il faut faire
85 b (2,=acos2 P= 2c0s, 39: et(2, 8)= acos P= 2c0s.
Les sommes(2, 2),(2, 3),(2, 5) se trouveront de mème par 'équation
x⁴—(6, 2)*+.((6, 1)+.(6, 2)— 2—(6, 4)=o, dont elles sont les racines, en levant d'ailleurs l'incertitude;,
comme nous venons de le faire. Les sommes(2, 0,(2, 6),(2, 9) se trouveront par l'équation
**⁴—(6, 404*4((6,)+(6, 4))— 2— 6, 1)=. Enfin[I] et[18] sont racines de l'équation .*ꝙ—(a, P2. o,
dont l'une est
x=(2, 1)(1— 3(2,=(2,) i3— ², 2), et T'autre.......... T= 1(2, 1)— i(— 4(2, 2)), d'où résultent les valeurs numériques
— o,6772815716 ₰£ 0, 7357259107 1.
Les seize autres racines se tireront de l'élévation aux puissances de l'une ou de l'autre de ces deux premières, ou de la solution de huit équations semblables, dans laquelle, si l'on emploie la seconde méthode, on décidera du signe de la partie imaginaire, soit par les tables de sinus, soit par l'artifice que nous allons ex- pliquer dans l'exemple suivant. C'est de cette manière qu'ont été Mmm

458
trouvées les valeurs suivantes, d appartient à la première,
RECHERCHES
ans lesquelles le signe supérieur et le signe inférieur à la seconde.
[1] el[189=— 0, 67728157 16—-· 0,7357239107 1 [2] et[171=— 0,0825795455 ₰. 0,9065844930 1 [3] et[161= 0,7891405094 0,6142127127 2 [Al et[15]=— 0,9863613034 ᷑ o, 16459459053 2 [5] t[4= 0,5469481581 0,8371664783 2 [6] et[13]= o, 2454854871 0,9694002659 1 I7l et 11 21=— 0,8794757512£. 0, 4759475930 1 [8] et 11]— 0,9458172417— 0,5246994692 1 [9] et=— 0, 40 16954247£ 0,9157733267 1.
354. Eaemple II. Pour n= 17.
On a iei n— 1=2.2.2.2, ainsi le calcul des racines Q peut se ramener à quatre équations du second degré. Nous choisirons 3 pour racine primitive; ses puissances fournissent, suivant le module 17, les résidus minima suivans:
0, 1, 2, 3, 4⸗ 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 1, 5, 9, 10, 15, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6, S'ou résulte la distribution suivante en deux périodes de huit termes, quatre périodes de quatre termes et huit de deux termes:
(2, 1).... Ir,[16] (4, 1) h 15)—. 14, I13]
(4, 9)......[81, L9] (44 9) be⸗ 15)........[2),[15]
(2, 5)......[81, L[14] (4, 3) 6 51......[5l,[12)
(2, 10).......[70,[10] (4, 10) ſe, TI)....[6],[I1]. L'equation(A) dont les racines sont les sommes(8, 1),(8, 3), se trouve(nο 351) être b
+‿%£ᷣ— 4= o,
(8, 1) 4=(16, 1)
(8, 3)
et ses racines sont: —+/ 17=1,5615528128 et— ¼— 1/17=— 2,5615528125;

elle l ban l di ARITHMETIOUES. b 459 en n4 nous supposerons que la première soit(8, 1), l'autre sera né- 0 en cessairement(8, 3). 1 ainart L'équation(B), dont les racines sont les sommes(4, 1) et 20, 1483 41(4, 9), est b b ordien.—(8, 1) ⸗— 1—0,
uf 6 et ses racines sont 0 g 2==(8, 29/(4,)= 38, /(12-3(8, 1)+.46, 5)]; d 066 nous supposerons égale à(4, 1) celle de ces deux racines dans la- 291573f quelle le radical est affecté du signe plus; on aura ainsi
(4, 1)= 2,0494811777,(4, 9)=— o, 4879283649.
Les autres périodes de quatre termes,(4, 5) et(4, 10) peuvent
Uleul des raci 4 cl 9. 3 maün être calculées de deux manières, savoir:
1 2 6 d degss. Nou chrün
. 0 6. 4 ſoarnissem, ung 1⁰. Par la méthode du no 346, qui donne les formules sui-
vantes, en faisant, pour abréger,(4, 1)= p,
(4, 3)=—+ 3p— 1p= 0,5441507314,
(4, 10)= 2+ 2p— p— ½=— 2,9057055442. La même méthode donne aussi la formule
(4, 9)—— 1— 65+ p+ p,
0, 1I, u, 3, 4 8, 7, 4 u,, m deux peéciodes deh Set huit de deu tm
5).*rH'l
d'où l'on tire la même valeur que plus haut.
2*. En résolvant l'équation dont(4, 3),(4, 10⁰) sont les ra- cines; cette équation est
—*—(8, 3) 4— 1= 0
quelle de ces deux racines doit être prise pour(4, 3). Faisons le
S et donne b 9.n a*.σ☛1(8. 3) 1(4.(5, 5y), 9. 8 lul 4 ou.... 43(8, 3)+(12+ 40(8, 1)+ 30(8, 3)], nſdj et. r=(8, 3)— 1(12+ 4(8, 1)+ 5(8, 3)];
). 179. 3„ 9 1T nous déciderons, par l'artifice suivant annoncé au n“ 352, la-
. 12 es vomnfs 6 A
produit de(4, 1)—(4, 9) par(4, 5)—(4, 10⁰), il est, calcul fait,
= 2(8, 1)— 2(8, 3). Or la valeur de cette expression est posi-
tive, puisqu'elle est= 2/17; d'ailleurs le premier facteur
(4, 1)—(4, 9) est aussi positif, comme égal à 124.4(8, 1)4-3(8, 3)),
donc le second facteur doit aussi être positif, et partant(4, 3) 2
8..———— — B

460 RECHERCHES doit être la racine dans laquelle le radical est positif, et(4, 10) l'autre racine(*). Au reste, il en résulte les mèêmes valeurs que plus haut.
Connaissant foutes les sommes de quatre termes, nous passons maintenant à la recherche des sommes de deux termes. L'équa- tion(C), dont les racines sont(2, 1),(2, 13), périodes con- tenues dans(4, 1), est
*—(4, 1)r+(4, 3)= o,
1(4, 1) 2(4+(4, 9)— 2(4, ⁵)]; nous prendrons pour valeur de(2, 1) celle de ces deux racines dans laquelle le radical est positif, et il en résulte (2, 1)= 1,8649444588,(2, 13)= 0, 1845367189; si l'on veut chercher les autres sommes de deux termes par la méthode du ne 346, on pourra employer pour (2, 2),(2, 3),(a, 4),(2, 5),(2, 6),(2, 7),(2, 8),.
les formules que nous avons données pour les quantités dési- gnées de la mêème manière dans l'exemple précédent, savoir:
(2, 2)(ou(2, 15))=(2, 1)— 2, etc.; mais, si l'on préfère les déterminer deux à deux par des équa- tions du second degré, on trouve pour(2, 9) et(2, 15) l'équation
x—(4, 9)+(4, 10)=o,
qui donne
T— — — —
qui donne x= 1(4, 9)£ ½14+(4, 13)— 2(4, ³)], et l'on déterminera le signe comme plus haut, savoir: le dévelop- pement du produit dé(2, 1)—(a, 13) par(2, 9)—(2, 15) donne —(4, 1)+(4, 9)—(4, 3)+(4, 10),
—
-) Le fond de cet artiſice consiste dans une propriété facile à prévoir, d'a- près laquelle le développement de ce produit ne contient plus de périodes de quatre termes, mais se trouve exprimé par des périodes de huit termes; les
Sens instruits en découyvriront facilement la raison que l'envie d'abréger nous force d'omettre.

=o,
)„ 4 4, o) „
eu räault
=1nh
er pour
6, G,G9.
pour les qpautits Gh. ple précédent, gni:
„— a, ete.;
un d deur par ds i „ O) et(2, 1)kegun
=0,
9—26 M
ant, zaroit: ledätey r(2,9)-6) njim
—(4 10),
deà päd, 1,
xopriete facll
„Aw ce piils: 11
——
———
———— ——
—

———
—
——--—

ARITHMETIOUES. 461 quantité&videmment négative; mais(2, 1)—(2, 13) est positif; donc(2, 9)—(2, 15) doit être négatif; ainsi, dans la valeur de æ que nous avons trouvée, le signe supérieur doit éêtre pris pour(2, 15), et le signe inférieur pour(2, 9). Il en résulte
(2, 9)=-— 1, 9659461994,(2, 15)= 1,4780178544. De mème, comme on a b
b((2, 1)—(2, 13) 1((2, 3)—(2, 5))=(4, 9)—(4, 10), quantité positive, nous en concluons que(2, 3)—(2, 5) doit être positif. De là, en faisant le calcul nécessaire, on trouve
(2, 3)=(4, 3)+†(4+(4, 10)— 2(4, 9))= 0,889147671 16 (2, 5)=(4, 5)— 114+(4, 10)— 2(4, 9)1=— o, 5475259801;
on obtient enfin, par des opérations tout-à-fait analogues,
(2, 10)= ½(4, 10)— 1 4+(4, 3)— 2(4, 1))=— 1, 7004542715 (2, 11)=(4, 10)+ ½/(4+(4, 5)— 2(4, 1))=— 1, 2052692728. Il reste encore à descendre aux racines Q elles-méêmes. L'équa- tion(D), dont[1] et[16] sont les racines, se trouve être —(2, 1)+ 1=o, qui donne
x= 1(2, 1) †((2, 1)— 4)=(2, 1)1/(4—(2, 1)] =1(2, 1). 1/(2—(2, 15)]. Nous prendrons le signe supérieur pour[1], et partant le signe inférieur pour[16]. Les quatorze autres racines se déduiront des puissances de[1], ou de la résolution de sept équations du se- cond degré, dont chacune donnera deux racines, pour lesquelles on lèvera l'incertitude, comme nous l'avons fait plus haut. Par exemple,[4] et[13] sont les racines de l'équation —(2, 13)+ 1=o,
qui donne 1 b b*= 1(2, 13) ½(2—(2, 9)]; or on trouve 1 (Erl— 160) 4—[150)=(2, 5)—(2, 3), quantité réelle négative; ainsi comme[1]—[161= i/(2—(2, 15)), c'est-à-dire le produit de l'imaginaire par une quantité réelle

462 RECHERCHES
ositive,[4!—[15] devra ètre aussi, à cause de iν=— 1, le produit de ĩ par une quantité réelle positive; d'où l'on conclura que l'on doit prendre pour[4! le signe supérieur, et pour[15] le signe inférieur. De la méme manidère, on trouve pour les ra- cines 8] et[9!⸗ 1(2, 9).1V12—(2, ¹)]), et comme b
(Lrl— 1160 8I— 90=(2, 9)—(, 10),
quantité négative, on prendra pour[8] le signe supérieur, pour
[9] le signe inféricur. En calculant de la mème manidère les
autres racines, on trouve les valeurs numériques suivantes, dans 2. o*. X. 2 1„.
lesquelles le signe supérieur appartient à la première, et le signe
2„ e 8
inférieur à la seconde.
0, 3612416662 i, 0, 6736956436, 0,8951633914, 0,9957341763, 0,9618256452 1, 0, 7980172273 14 0,526432 1629 1, 0, 1837495178 i.
[r,[161.. 0,9324722294 [2],[15].. 0, 7590089172 [3]I,[141. 0, 4457583558 [4!,(153... 0,0922683595 [5), 112.— 0, 2756629901 [6],[11.— 0,6026546364 [71,[10)— 0,8502 171557 [81I, 1 91..— 0,9829750997
KRHFRRHRKᷣ
——---——
Ce qui précède pourrait suffire pour la solution de l'équation 4— 1=o, et parconséquent pour trouver les fonctions trigono- métriques qui correspondent aux arcs commensurables avec la cir- conférence. Cependant, à cause de Pimportance du sujet, nous ne pouvons terminer nos recherches sans ajouter quelques-unes des nombreuses observations qui peuvent l'éclaircir, et des consé- quences aussi nombreuses que l'on en peut déduire. Nous choisi- rons de préférence celles qui n'exigent pas beaucoup de recherches étrangères, et l'on ne doit voir dans ce que nous allons exposer, qu'un aperqu de cette immense doctrine dont nous nous proposons de parler par la suite avec détai
355. Comme n est toujours supposé impair, 2 sera facteur de

—/ - w)
ügne mpeten, 1 1 mece Wanins eeriqqur auirauls,a
a premitre, ale in
561941666a i, 1895165591 i, 1995754176 i, ,001825632 i, „„980172773 ¹, ,5204521020 ü, ,1857495178 i
a wolation delägwin
er les bonctions tig mensurables znehi‘
rtance du apet,M
1
ARITHMETIOVEsS. 465
— 1*. — périodes de deux termes. Une
n— 1, et Q sera composé de
pareille période, telle par exemple que(2, 7), sera formée par les
/— 1
deux racines[⁴. et ̃*], g 6tant, comme ci-dessus, une racine
primitive quelconque suivant le module n. Maisg= 1(mod.*); 2— 1 1— 1
donc ꝗ=— X(ne 62), et partant.[Aæ=— X]; donc si l'on suppose
SDS. 1 1½ MN= cos i sin, et partant,[— X= cos— in,
KP.1. la somme(2, N)= 2cos—=-. Nous nous bornons ici à conclure de
là que la valeur de toute période de deux termes est une quantité réelle. Comme d'ailleurs toute période dont le nombre de termes est pair et= 2a, peut être décomposée en périodes de deux termes, il est clair qu'en général la valeur de toute période dont le nombre de termes est pair, est une quantité réelle. Si donc, dans le n 352, on réserve 2 pour le dernier des facteurs a,,, etc., toutes les opérations s'exécuteront sur des quantités réelles, jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux périodes de deux termes, et les imaginaires ne s'in- troduiront, que lorsque l'on voudra passer de ces périodes aux racines elles-mêmes.
356. On doit surtout remarquer les équations auxiliaires par les- quelles on détermine, pour une valeur quelconque de n, les sammes des périodes qui forment l'ensemble Q: elles sont liées d'une manière étonnante avec les propriétés les plus abstraites du nombre. Mais ici nous restreindrons nos considérations aux deux cas suivans: 1e à l'équation du second degré qui donne les sommes des périodes
— 1... 1 1,„. de— termes; 2° quand n— est divisible par 3, à l'équation
2— 1
3
du troisième degré qui donne les sommes des périodes de termes.
Faisons, pour abréger,(— 1)= m, et désignons par g une racine primitive quelconque, Q2 sera composé de deux périodes (m, 1) et,(m, 9); la première contenant les racines[1],[g“],
*

4 1 4 8 1
8
4 1 I 1
44
h
4 2 2— ——-—
464 RECHERCHES 4l,('=]⸗ et la seconde les racines[],[*],[)K [H*2J. Supposons que les résidus minima positifs des nombres 9„ 94, g*— suivant le module n, soient R, R, R'è, etc., abstrac- tion faite de l'ordre, et que les résidus des nombres g, g... 5— soient N, Né N', etc.; les racines des périodes(m, 1) et(m, g) colncideront avec
[11,[R], II,[R'], etc.,[N]I,[M,[N], etc.
respectivement. Or il est clair que tous les nombres 1, R, Ro"
R, etc. sont résidus quadratigues de n; comme ils sont différens, — 1 2 effectivement tous les résidus quadratiques de n, positifs et plus petits que lui(n“ 96). II suit de là en mème temps, que les nombres N, N’“ N’, etc. qui sont tous différens entre eux, et des nombres 1, R, R'“, etc., et qui, joints à ces derniers, épuisent les nombres 1, 2, 3../— 1, sont tous les non-résidus quadratiques positifs de n et plus petits que lui. Si l'on suppose maintenant que l'équa-
moindres que n et au nombre de„ il s'ensuit que ce sont
tion dont(m, 1),(m,) sont racines, soit
-— Aa+ B= o,
on à.
4=(m, ¹) ℳ ,g)=— 1, B⸗=(m, ¹)*(m,g); or(n“ 345),
(m, 1)*α mς=(m, N)+(m, N 1)(m, N 1) etc.= W, et peut parconséquent être mis sous la forme a(m, o)+(m, 1)+‿(m, 9). Pour déterminer les coefficiens a, 8,„, observons: 1“˙. qu'on a a+‿ 8+ y=h, puisque le nombre des périodes de M est i; 2⁰. que G= y(n“ 350), puisque(m, 1) X✕(m,) est une fonction invariable des sommes(m, 1) et(m, g) qui composent la période plus grande(n— 1, 1); 3°. que tous les nombres N+. 1, N+ 1, N“*† 1, etc. étant compris entre les limites 2 et n+ 1, il est clair que nulle période de MV ne coincidera avec én, o), ou qu'il n'y en aura qu'une, par exemple(m, n); on aura donc a= 1, ou = o, suivant que n— 1 sera ou ne sera pas parmi les nombres N, N'’ etc.; il suit de là que dans le premier cas on aura= 1, 6=

————
2lgp,gt müi 15¹ 24 V ·, R, F, rd, nonbe d,d
6,5. G liodes(n e, 1
V[N[Yr b4 J Wha. es nomdres 1,2„ 0.) dme ilz zoat üühr
3 de Positits ei 91 temps, que ls Wae tre em, et des wuhn 8, Epuisent les uuhn us quadratiquss wih maintenänt que lon olt
†;. , 1 X(n,g);
(n,+ 1)†ete.=
obserrons: qunt — de Wan (n, g) est une 9 ai composent l pa diin
ombres— ites 2 t1ru 1
arec en, 0), dc
n aura donc t= wi h 12 ·h

3
f atne e ene V,
„ 7,
79
—

ARITHMETIOVUES. 465
„et dans le second æ= o, G=„= J; et comme 6
——— 1 =,=—
2 et doivent être entiers, le premier cas aura lieu, c'est-Aà-dire que
n— 1 ou— 1 se trouvera parmi les non-résidus de n lorsque m sera im-
22** 1.. air, c'est-à dire!
4 kue Pair, c'est-à-dire lorsque n sera de la forme 4‿+‿☚☛³; le second aura lieu , 4 au contraire quand msera pair, c'est-à-dire quand n sera de la forme . 4-1. Ainsi, comme on a(m, o)=m, et(m, 1)+(m, 8)=—*,
—z le produit cherché sera donc, suivant les mêmes circonstances,
1— 1* 8 0 (m+ 1), ou—m, et l'’équation sera, dans le premier cas,
+‿᷑σ‿‿|(n+. 1)= o, qui donne=— TUe i n, et dans le second x+‿.-—(— 1)= o, qui donne æ&—£ι n.
Ainsi, quelle que soit la racine que l'on ait prise pour[1], si l'on désigne par 2(⁴.] la somme de toutes les racines[1],[R], [R, etc., et par 2NI] celle des racines[N],[N]“, etc. On aura
2RI— TEIN= 2̃ n, ou= i n,
suivant que n= 1 ou= 3(mod. 4). II suit facilement de là que k étant un nombre entier quelconque non-divisible par n, on a
kRP kRMP Zcos— Z s=X Vn, ou= o,
.„ sin—— Isin—= o, ou£. n/,
72
suivant que n=1 ou= 3(mod.+, théorèmes remarquables par leur élégance. 85.1
Au reste, nous ferons observer que le signe supérieur a lieu quand kest l'unité, ou plus généralement quand K est résidu qua- dratique de n, et le signe inférieur, quand x est non-résidu. Ces théorèmes conservent toute leur élégance, ou plutòt en acquièrent encore davantage, lorsque n est un nombre composé quelconque; mais nous sommes forcés de supprimer ces recherches qui deman- deraient trop de développement, et de les réserver pour une autre occasion.
357. Soit b
n— amn+ bans— etc.=O, ou z=o,
l'équation de degré m qui donne les racines contenues dans la
Nnn

486 RECHERCHES
période(m, 1); on aura a==(m, ¹), et chacun des autres coeffi- ciens pourra être ramené à la forme 8
A † B(m, 1)+ C(m, g),
oð A, B, C sont des entiers(n' 348). Désignons par z0 ce que devient z, quand on y remplace(m, 1) par(m, g), et(m, g) par(m, g*)=(m, 1); l’'équation 2= o donnera les racines con- tenues dans(m, g), et l'on aura
72 „ TI 22——— X. A—1
On peut donc mettre sous la forme
z= RP S(m, 1)+ T(m, g), où R,, Tseront des fonctions entières de æ, dont les coefficiens seront entiers. Cela fait, on aura
. 1= R F(m, g)+ V(m, ⁷). Faisons, pour èibréger,(m, 1)= p,(m, 8)= 7; on tire de ces Equations ax= 2Rℳ(§+ T) P+)—(T— S) Gß—)= 2RK—§— 7—(7—§) G— O), 22 6-ꝙ-—-q—qqe)..........= 2R— 8— 7+(7—§)(p O); donc posant 25—— T= F, T— S8= Z, on a
4X= F=(p„— 7)“Ze= FnZ“,
puisque(—)= en(ne précéd.), le signe supérieur ayant lieu quand n est de la forme 4+ 1. et le signe inférieur quand n est de la forme 4¼+ 3. C'est le théorème dont nous avons promis la démonstration au no 124.
On voit facilement que les deux premiers termes de sont 2a+‿‿ Ʒᷣ/ et que le premier terme de Z est a*; quant aux autres coefficiens, qui sont évidemment entiers, ils varient suivant la nature du nombre n, et ne peuvent être soumis à une formule
2 5
. 7 analytiqu e géencrale. A= Lx wn SO a 22 ———
Eaemple. Pour n= 17, l'équation qui donne les huit racines contenues dans(8, 1), se trouve être(n“ 348), 2— pr †.(4νν † an) a*—(4p+ 39)**4(6— 5p*. 59) 1 4eo-* 59)(4+p 2) A a. o,

9=Sh n in an
—5— 1-- 6-4 8
—5- T+=H-“ 4 7, en a 5
F,.,
eiigne mpätieut ²u
signe infetiegr quu daut pous TFoli Rl
8
iiers termes de IW
Le r S ua diers, ibs Tafieltäht
ARITHMETIOUES.
qui donne
R= 2. †f 4 8 † 6 xε+%*+‿☚ 1, b
S=—*+ a‿— 428 324— 4*5 †.— x, 2⁷
1ee, 2, e ba. ehe— S-H2g,;. 72, ⸗, L= 20, 4a-4 5. A. 70. 424. 72s. 8 5. J.. 2, S SRus.
— æ ᷣ ‿ Ʒ+ 2 † æ++‿ x. b
Noici encore d'autres exemples:
n 2 Z 2, 2, 3 2ar.............. 1. 2 1 2 b 5. 2 r 2........ T. ₰„/ 7........ 2+—r2.* †‿ 6, 2 11.. 2 ☛— 2r4 24— x— a... 4 r, 13....... 2 æ ‿4-— AAr-r † 2.......... æ+. ſ2 3 19 2 †— 4v+‿355 5— 5— 3%8 + 4r—— 2.............&.— x&εκ‿+‿ σ 0 as. 23... 2oX1e*— 5— 8a— 7— 4 ν+‿ 4— +7a‿+ 83 5e x— 2...
..y... Ts.αοσφ— 2— ar— ℳ‿+&ꝙ 358. Passons à la considération des équations du troisi
qui, dans le cas où n est de la forme 5+ 1,.ͤͤ 1— 1—.. 4— A 3— termes dont Q est composé. Soit g une racine pri-
3†x. donne les trois p-, riodes de
72— 1„ 4 = m qui sera un
nombre pair; les trois périodes qui composent Q seront(m, 1), (m, g.),(m, 9*) que nous désignerons par P, P, p“, et qui con- tiennent respectivement les racines
[11,[]l,[l,...[g= 4;[g],[⁸,[gl,.[g*3]; [8*†%[g5],[s'....[g*eJ. b— Supposons que l'équation cherchée soit .— Ao †᷑ Bo— C= o,
mitive quelconque pour le module n, et
On Aura
=p p, B= pp X% pp ‿ p,py, O= pp p', d'ouù l'on tire sur-le-champ A=— 1. Soient a, 3,„, etc., les
2

4696 RECHERCHES
résidus minima des nombres, 95,.= suivant le module n, abstraction faite de l'ordre, et K leur ensemble, en y comprenant 1; soient de même, ⁹,„, etc. les résidus minima des nombres 9“,
A. ,H”s et K'leur ensemble; a, ˙,)“, etc. les résidus mini- ma de g', g. 9“, et K leur ensemble. Tous les nombres de K,
K“, K' seront différens, et ils coincideront avec la suite 1, 2, 3, n— 1. On doit observer avant tout que le nombre n— 1 se trouve
toujours dans K, puisqu'il est facile de voir qu'il est résidu de
3„2. 5 8 6 g. Il suit de là aussi que les deux nombres h et n— h se trouvent „.
toujours dans la méême des trois suites K, K’, K'; en effet, si l'un est résidu de la puissance g, l'autre sera résidu de la puissance g n, ou, si X 3 m. Désignons par le signe(KK) la multitude des nombres de la serie 1, 2, 3. p— 1, qui tant par eux-mèêmes qu'étant augmentés del'unité, sont contenus dans K; par(KKX“¹) la multitude de ceux qui sont contenus dans K par eux-mêmes, et dans K lorsqu'on les augmente de Punité; on jugera assez par là de la signification des symboles
(KK),(Kx),(KXK),(KX),(Kk),(KkX),(K*). Cela posé, je dis d'abord qu'on a(KKô)=(KK). Supposons en effet que h, N, Vy, etc. soient tous les nombres de la suite 1, 2, 3,. p„— 1, qui par eux-mêémes sont contenus dans K et dans K lorsqu'on les augmente de Punité; c'est-à-dire que h, E+ 1, m † 1, etc. sont supposés tous contenus dans K; il est évident que n— h— 1,— N„— 1., n— h.— 1, etc. seront tous contenus dans K“, et que ces nombres augmentés de l'unité, savoir, n— h, n— h'’, n— n, etc., le seront dans K; d'où il suit que(K’K) n'est certainement pas plus petit que(KK); mais comme on démontre de la même manière qu'on ne peut avoir (KK)=(K K), il s'ensuit qu'on a nécessairement(KkK)=(KK), et de mème(KKV)=(K'K“),(A&—=(4.
Ensuite, comme en considérant un nombre quelconque de K, n— 1 excepté, le nombre immédiatement plus grand doit etre contenu ou dans K, ou dans K“, ou dans Ku“, il s'ensuit que la
somme
(Kk)+(KK)(KK“)= m— 1, c'est-à-dire, au nombre de termes de K diminué d'une unité. Par

voir 9„ aul qull est wün 3 V e, 3 6 7 2 ¹ 8 25„ W, I. C„
* T Ar-ean Y G enekke, ilh Arh 77 anue 2
Za résid residu de k ähm
3 Par le zlon/ 1. 2.e »Wal con tenn
dut contenus daus 1 3 e ah näts; oujun
les nombees de uK es sont contenns Gul Punité; cesXdit g
4
6s tous contenus dl 13 2—— wete angmen 168 9 luuih
4* zeront haf
w
r nt! ireent „„ — 5 (A

7 L r r

————
—
——Q—⸗———— —— ‧‧‧
n 229.
52 2 3A J.
— d muon= ue gn) M. M—... ahf 3— 44.
U niinn ebee e h,; „= Sar ,,, c=—t R. eAr—— v
dee d -1, u S? u, fh E ag, 22, 2, dn I— 2ne, t Lne= u l 2, re, e A ,e. 6„
8 eg 35— 4——
— M A. 22, ae 2, Tr Sag 16 H, n lae en 2 e., ISh ⸗
n ene. S 2= 2 6 a, a,
ans ul EF, ee 11— 1— 3—, t.dedtt 8— 3
3.„ 4, She e⸗ en? 4 e. A= 2 dn 37—„ u e en 2,,&☛ aA⸗
s delu
II u 8 je Serrns n k es
44 arghe de een 7„, n. e n, L=h, 25 chh 2 ,. e e, Sde,—. fur, 2„— e aeae, 8 2] nhar. e Aen ueez h e, Ae 5 m 7,—,/ 5* otg e, eae O) 2,é ſa= 70 ——
A⸗ I,,de, e. s AùT=,. “ meae a Aueui Sd Ae, e, h V ee.e dn 72— Vn n,— Iha, f-eel eni, eVeak. -n, e C—= Vaiu, t Vnw

2 Ahuui he 2 e 26A. h 2
uu o he en Aau r e, ee meg 2 7, hae V—. 7. de= 7 A e h
Vr 7 e o u, u g e 2. 3 a, 2u e 2—„— o, e r, ur cy ⸗er wuäee e
A= n- ru e n, A. 4 Pl 7n dren eeue-! 4,—
Ar 5 42 2u: f o, A E, ehdt, Pte
.„„——„ 6n j;„— 4 Jey 5 AM. z, ee. ,9. pch f An fh e h e,, ß
6 e= w. 22—1Sl. ,— —= e, re G ,e A⸗— St ue, deeee A ee
3 2 gu. 7.£. A A— S. G kee 5— A Ae— ere 2— lheu—
2——— 2—„ 3 4— ⸗ e‿‿ν e

NITIMETITQUTS. 469 une raison semblable, on aura (K X)(KX)-(K'K)= m,(KH 4 KXK)A(X'X)=m. Dèveloppons maintenant d' après les règles du n- 345, le produit pp' en (m,+ 1) 4.(m,£‿ 1)+†(m,)+— 9 eto.;
on verra facilement que cette expression peut se ramener à la forme
(KK) p—(Kℳ) pf+(KMℳ*) 9* et comme(n“ 345) le produit pèp nait de py', en changeant(m, 1), (m, 9),(m, 9²) en Cn, 8),(m, g*),(m, 1) respectivement, c'est- à-dire, De2-P.„ Hen p, p„“, p, on aura
=(KK)P+(KKXVDPE xn 3 et de mème
pp=(K'K)+ XXxpE; d'où résulte sur- le-champ 2(- p)n.
De plus, comme on aurait pu développer directement p' de méême qu'on a développé pp', ce qui aurait donné
Ppp' e(K'K) p+(K'K) P+(K’K) p’, et que cette expression doit être identique avec la précédente, il s'ensuit qu'on a nécessairement(K“X)= CK) et(KK)=(K K). Si donc nous faisons (A4“)=(AA“)ga,(KK⁰)(AA)=(A)= 5, (KKX)=(K’K)= CKKX)= o,
nous aurons
(KK)(KK)4 KkX)=(KK) 5 o==m— ¹, et a+ 5 e=m, d'ouù(KKX)= a— 1. Desorte que ces neuf quantités inconnues se réduisent à trois, ou plutôt à deux, à cause de l'équation a+† b+o=m.
Enfin il est clair que le quarré pe se développe en

70 RECHERCHES (n, 1+ 1)+.(m, 2+ 1)+.(m, 6ℳ 1) †. Om,+ 1)+ etc.
Parmi les différens termes de cette expression, on trouvera(m, n) qui se ramène à(m, 0)= m; le reste se réduira évidemment à
(KX)Op KX)Y(Kky)p, d'ouù l'on tire...„= m+(— 1) p+ bp ep'. Ainsi, par les réductions précédentes, nous avons trouvé les quatre équations
„= m+†f(2— 1)+† bp † pf,
Pp= bp op † ap', pp= cp+ 2+ bp’, Pp= ap+ pb+ p’, ou les trois inconnues a, 5, c sont liées par la relation a+ 5 Po=. C),
et sont certainement des nombres entiers. On tire de laà O= p πκ ppp= ap bpp opp'= am+.(a‿ 5ᷣ+ G— a)p +†(ab-†‿ ᷣ‿‿‿eω‿(ab-‿.ρ̈ᷣςα‿ρμραασς) p. Mais comme pp'p' est une fonction invariable de p,, p', les
coefficiens de ces trois périodes doivent être les mèêmes(ne 350), ce qui donne une nouvelle équation
2*+‿ Ʒ½ᷣ+ cν— a= ab †acbo....(II), et partant O= am+†(ab-a‿‿bo)p- pHSÄ)= a*— 90....(III),
à cause de l'équation(I), et de l'équation p-, pPSp=— 1.
Quoique C dépende de trois inconnues qui ne sont liées que par deux équations, la condition qui exige que a, b, soient des entiers, suffit pour les déterminer. Afin de le prouver, nous mettrons l'équation(II) sous la forme 12 2+ 125+ 12 ‿ꝙ‿ν 360*56 5+360·— 56 5— 56a 0— 36 50— 24
+ 125+ 120+ 4, qui devient n=(62— 3 5b— 3— 2)+ 27(b— 0)“,

8 din
* † 1. *
. s An enn )y,
Sgy. w um n
Pey,
†ꝙ†
Tiy,
† †,
* l relation Ou tire de a ec
ladie de y, P, y, L les meces(. Wo
.Ü(D,
à cause de= Sm 1= Sa+ 35+ 30+ 1; ou„ en faisant
ARITHMETIOUES. 41
2— 5—=̃, b 4n=(3— 2)+ 27(5— 0)s.
Ilsuit de là que le nombre 4An, c'est-à-dire le quadruple de tout nombre premier de la forme 3m+ 1, peut être représenté par la forme æ+‿ 27y⸗; et quoique ce résultat puisse se tirer sans diffi- culté de la théorie générale des formes binaires, il m'en est pas moins étonnant qu'une telle décomposition soit liée si intimement avec les nombres a, 5, c. Or nous démontrerons„comme il suit, que le nombre 4n ne peut étre décomposé que d'une seule ma- nière en un quarré et le produit d'un autre quarré par 27(*). Si l'on supposait
+†= 272.= 4n et k* † 27 142= 4. on en tirerait b b
1..(4,— 271m‿ 27(tu‿ꝑ"1)“= 16 9 2*..(24 2 72εuά᷑⸗ 2(ta— Vu)“= 16„s 3.(cu.‿ ‿ t u)(1u— Lu)= 4n/(2— 2²).
La troisième équation prouve que n, qui est un nombre premier, divise l'un des deux nombres fu‿‿‿, tu— tuο³; mais la premidère et la seconde font voir que chacun de ces nombres est plus petit que n; donc celui que n divise est nécessairement nul, ce qui donne 2— u= O, ou 2 άỹ t“ et 12= V“, d'est-Aà-dire que les deux décompositions sont les mèmes. Si donc nous supposons connue la décomposition du nombre An en un quarré, et le pro- duit d'un autre quarré par 27, décomposition que l'on peut trouver soit par la méthode directe de la Section V, soit par la méthode indirecte des nes 323, 324; si, par exemple, on a 4n= 27N, les quarréès( 3 ½— 2),( 5— c) seront déterminés, et on aura deux équa- tions aulien del'équation II. On voit clairement, non-seulement que le quarréè(3¼— 2)“ est déterminé, mais que la racine 3 ½— 2 l'est aussi; en effet, K devant être un nombre entier, on devra prendre 3— 2=+f M ou=— M, suivant que M sera de la forme
. 4— 12
) Cette proposition peut étre démontrée plus directement par les principes de la Section V.

———
3z+r ou 32+ 2(). Cela posé, comme on a = za— 5— 0= Za—m,
on en tire b a= hn, 5+o=m— a=(2m— ½), d'ouù C= a*— bo= a*— ½(5+0)“+ ½(5— c)“=(m-†. k)*— e½(2m— K)“+‿1 N =2K † km+. 1 N
et ainsi tous les coefficiens de l'équation cherchée se trouvent déterminés.
Cette formule devient encore plus simple, en substituant pour N“ sa valeur tirée de l'’équation
(3k— 2)*+‿ 27N== 4n= 12m+ℳ 45 ce qui donne C= S(m+. k+ 3 z„)=(m+† kn). Cette valeur peut encore se représenter sous la forme 9=(3 ½— 2) N-+ K— 2£‿— b̃ m,
qui est d'une application moins facile, mais qui fait voir par elle-même que C est un nombre entier, comme il le faut.
Exemplée. Pour n= 19, on a 42= 49+ 27, d'où 3— 2= 7, ½= 3, C= 5(6+ 57)= 7, et l'équation cherchée est
a+. ᷣ— 60— 7= o, comme ci-dessus(n“ 551).
De mème, pour n= 7, 15, 31, 37, 45, 61, 67, on trouve res- pectivement k= 1,— 1, 2,— 3,— 2, 1,— 1 et
C= 1,— 1, 8,— 11,— 8, 9,— 5.
Au reste, quoique le problème que nous venons de résoudre soit
—
M ne peut étre de la forme 3, car alors An serait divisible par 3. Quant à Tambiguité de signe qui porte sur 5— c, I est inutile de s'y arréter, et mème cette détermination est impossible par la nature même de la chose, puisqu'elle dépend du choix de la racine g, de manière que pour quelques racines Primi- tives b— c est positif, tandis que pour d'autres il est négatif.
A48862

a chenchee tn
die, en zubstituant
an*†,
Gus la forme 4— Pn,
mnis qui kiit nig
coamme il le fät +, dol K-E cherchee est
20,
3, bt, 67, oa tolfes
„— 1 et
h 4—4 aat VV f
ma.— eu, e 7 7M. 2, 2
n 7⸗
he, fr 4=
(æ 222, Za— 4f—
Ve akee,=
n. Væ— 2
7— 2 . If Mf,;— 2 apf,— S/ P— )/ 2)— e= Vo, n e, ee, uee 2 7 7 Ah, f, 7e
3 979, 2. Sf f A c= Mee
8 ee
Ht ſp“=. v“=
hp; xR Lpp“—
L— 4uf= 1—2—m —, 2 2‿ẽ 4 2 Lue n foſ*= L,—„—
vge
,,,
a f 6*
Cer ſch erka e
—
Ee fe a Aene ke, h e,e, zy 22 e ew S 9. h,
?“
/
d7 L Se E, 2. Vur umrn ree
2 2„— ſo 4 2 3 o e ſe 5 h is, ha
= I Va f
A Shee 2. Pds, h, ⸗
9512 2 f e
——————

——————————
— —-——
—-—
—

8
ſ“ ““
ARITHMETIOVUES. 473
assez compliqué, nous n'avons pas voulu le supprimer, tant à
cause de L'élégance de la solution, que parceque les artifices qu'il nous a donné occasion d'employer peuvent éêtre d'une très-grande utilité dans d'autres problèmes.
359. Les recherches précédentes avaient pour but de trouver les quations auxiliaires; nous allons maintenant exposer sur leur réso- lution une propriété digne de remarque. On sait que tous les travaux des plus grands géomètres ont échoué contre la résolution générale des équations qui passent le premier degré, ou pour mieux définir l'objet de la recherche, contre la réduction des Equations complètes à des équations à deux termes, et il est à peine douteux si ce problème ne renferme pas quelque chose d'im- possible, plutòèt qu'il ne surpasse les forces actuelles de l'analyse. (Voyez ce que nous avons dit sur ce sujet dans le Mémoire in- titulé Demonstratio nowa, etc. p. 22). Il est certain néanmoins qu'il y a une infinité d'équations composées dans chaque degré, qui admettent une telle réduction, et nous espérons faire plaisir aux géomètres, en prouvant que nos équations auxiliaires sont toujours dans ce cas. Mais à cause de l'étendue du sujet, nous ne présenterons que les principes les plus importans qui sont né- cessaires pour démontrer cette possibilité, différant à un autre temps l'exposition plus complète. Nous mettrons en avant quelques observations générales sur les racines de l'équation— 1=0, en comprenant le cas où e est un nombre composé. 1i08 10. Ces racines sont données, comme on le sait, par les 61é- mens, par la formule b e=o0s † 1sin, b dans laquelle on doit prendre pour Kles nombres o, 1, 2, 3..,e— 1, ou d'autres nombres quelconques congrus avec eux. Une seule racine est= 1, celle que l'on obtient en faisant= o, ou plus généralement k= o(mod. c); mais à toute autre valeur de K ré- pondra une valeur de différente de 1. 2*. Comme on a
(a (cosr.
.15. AkP, ,. isin)= cos— †tsin—,
*
—— „of,

474 RECHERCHES
si R est une racine qui corresponde à une valeur de k première avec e, le terme de numéro e dans la progression R, Ra, Rs, etc. sera= 1, mais tous les autres seront différens de 1; il suit de là que toutes les quantités R, Ra, Rs, etc. sont différentes, et comme chacune satisfait à l'équation a— 1=o, elles sont les racines de cette équation.
3°. Enfin dans la même supposition, on a
1+‿ R RL RL.+ RLE1o,
pour toute valeur de X+ entière et non divisible par e; en effet cette Ae 4 „, et le numérateur de cette fraction
expression équivaut à* 1— H
est= o, tandis que le dénominateur ne l'est pas. Mais quand ⁴ est divisible par e, cette somme est évidemment= c.
360. Soit, comme dans tout ce qui précède, n un nombre premier, g une racine primitive pour le module n, et n— 1 les produits dertrois nombres entiers positifs a, 8,. Pour abréger, nous comprendrons en mème temps dans nos recherches le cas, où l'on aurait ou= 1; quand„=rt, il faut remplacer
(, 1),(, g), etc. par[1],[gl, etc. Supposons donc que les a périodes de gy termes,(Hy", 1),(6„ g),(6„ g)..(gy„)
soient connues, et que l'on veuille en déduire les valeurs des pé- riodes de y termes, opération que nous avons réduite plus haut à la résolution d'une équation complète du degré 8, et qu'il s agit maintenant de ramener à une équation à deux termes de même degré. Pour abréger, nous représenterons respectivement les va- leurs des périodes
(»y, 1),(„ g 5( 9), ,g 2) par a, b, d,.. m, e, 39. O F t.)ne er de, een, he h) 3e e Se ee,. 0o,8=,, 9**), 26e)
2 4 4 (vn& 6, 6,.. m,,
4 3
jusqu'à celles qui composent la période(G) 5
2
90 8 0„ 0. 9 4 1*. Soit R une racine indéfinie de Léquation 4.— 1=o, er

peécdde, N un uh nodtule n, et 2- 14, 8,„. Dour n nos fecherches ka =, Il faut nmar §Japposons donc qEk, 7,C. hs duite les ralenssce arous réduite gnkn u degré 8, et qullih à deus termes de Ia repectirement B b
4, 5,(,90,
11
. d, Vnenr 3
ARITHMETIOUES. 475
supposons que le développement de la puissance 3 de la fonction
3—1
t= a+ Rb+ Rec+ R m. soit, par ce qui a été dit(ne 345), NAX Aa+ B5+ C.+ Um X Aa+ B'b/+ CG+ M'm + a. Su † CO PMn. P+ etc.
7 2 2 0 où les coefficiens N, A, B, M, etc. seront des fonctions ration- nelles entières de R. Supposons aussi que la puissance des deur autres fonctions
= T,
2r Nh. R2 Rc..+. NK m, u= 5+ Ro+ Rd.... Rô„ N6.., se développe en V et V, on verra facilement(n“ 350) que se tirant de t en changeant a, b,... m en 5, G, d... a respec- tivement, on aura. N+ Ab+ Bo+ Cd..+ Ma + Cb+ BoO“+ Cd.. u‿. + A+ B'+ CIA+ M'a* +7̃ etc. d'ailleurs u= Ru', ainsi V= R U*; et comme Râ= 1, les coefficiens correspondans seront les mèmes dans U et U“; enfin, comme t et u ne diffèrent qu'en ce que a est multiplié par l'unité dans t, et dans u par ¹, on voit facilement que les coefficiens correspondans, c'est-à-dire ceux qui multiplient les mêmes pé- riodes, sont les mèmes dans T et dans V, et partant dans T et dans U’. On a donc-e Ad= B= O, etc.= M, B'= C, etc., A='’= O', etc. etc. et partant, Tse trouve réduit à la forme 8 T= NAL),) A,(9), 8)+ A(8), g) etc., on chacun des coefficiens N, A, ℳ, etc. peut èêtre ramené à la
forme 2

476 HREFECHERCHES pRE= 1 FRä SN 5 etc.,
p, p,„“, etc., étant des nombres entiers donnés. 4* Ju‿dhe dae et e—hee
L re rn
2 ⁰. Si l'on prend pour KR une racine determinee de l'équation
2— 1=0(dont nous supposons avoir déjà la solution), et telle que sa puissance 6 soit la plus petite qui soit égale à l'unité, + sera aussi une quantité déterminée dont on pourra tirer t par
5 1 6. 2 l'équation à deux termes?— T= o. Comme cette équation a 8 racines.
4, Ri, Nr I,
le choix de la racine que l'on doit employer reste douteux; mais on peut prouver comme il suit que cela est indifférent. On doit se souvenir que, toutes les valeurs des périodes de 8⸗ termes étant supposées connues, la racine[1] n'est déterminée que par la con- dition d'étre une des 3 racines contenues dans(⁄, 1), et que parconséquent nous sommes parfaitement maitres de représenter par a la valeur d'une quelconque des périodes qui composent(6), 1); et si la valeur d'une de ces périodes étant représentée par a, on at= 1, et qu'ensuite on représente par a la valeur de la période que l'on représentait par 5, c, d,.. a, b, deviendra 5, c.. m, a, ce qui donnerait alors 1== rR 1. De mèême, si l'on veut représenter par x la valeur de la période qui était auparavant représentée par o, la valeur de t deviendra rR*, et ainsi de suite;? pourra donc êôtre supposé égal à une quelconque des quan-
* 6—1 5— 2 6 tités, 1E„ I5„ etc., c'est-à-dire à celle qu'on voudra
des racines de l'équation 24— r.d„ pourvu que nous suppo- sions que l'on prenne pour(y, 1), tantôt l'une, tantôt l'autre des périodes contenues dans(p, 1).
3°. Lorsque la quantité: a été déterminée de cette manière, il faut chercher les 8— 1 autres qui se déduisent de?, en sub-
0 R* 1 stituant successivement Re, R', Ri,.. R à la place de R, c'est- à-dire,

———ʒy——
———
— c, 2 aeee.
rÜdn 2“ B* n, ee S, tteis e h Rnt Aee, 1„. 7. 3— ttermince gue par le chr an„ V. 7 2X ee f. 2 2 nes dans(9),1), 49„..—
u Wälmms Se ran 577 2, 2 A e— ricemeh en en, e‿‿e
—. b eeee ren ee 27, Aae,, e , deviendra 5, c. h,
De meme, ü lug f 7 mee B 4— 3 Sht,; 2 54 Us, e de qui Lai npenr 1 e, 4— dea R et nt. C2 3„hH, ,ä 7, A eee — dgu he ee,, h. 4 2 ne J celle guex un RA-e,, AS Eh].
n Ged. Seh. ſ Radne,
8 Ppsarn. 2rÖ.
pourvu què NoLs 9 Pune, tanlbt kautet
te te Wri
ince de cet el i
déduisent de t, 1h Jlr de kc3
1 72* 8* 8* *

„ 2 7 j brte= A 25 4 e e Vasut æ„ 2 0*A 2 1 eA A S e.᷑ℳ„ 4
X
S a
—.— Ee ge 7. k 2 er—— A„ 2e Z. A,h b K, e. hc,. Mu 2 9, Coz N— 7ne⸗, p 2 27„. „ 2 f 27 T+T A— 4 4 Aen, de.
V„.. 3, 9 5 8 1 ℳ A— 1 2—— 8*——„ 4 2„ 3„ ₰ ſ e„. 42 1. ,1 u. 95 ech, /,/ 2—
qct
„ 8 2 4— 5. 9„ 4 5* A2 M. ne— 6 0 MW. et Jnr. nͤ— A f f„. S. 2—„ ena2— 27 U.——, 2 2 Gee. a—— 2 *
— E / A V A ê= 3 1 2.— ₰æ.„ 2

„ 25—82 A. Hh- RWM. RNem,
22= a‿ εν+ R.+ R—5n, etc.
On connait déjà la dernière, puisqu'elle devient évidemment = a+ 5 Toc... m=— 06„ 1),„et les: autres: se détermineront comme il suit. ⁵ 2 rils i
44„
Si, en suivant les regles dun n⸗ 345, on forme le produit ⸗ 2
b 6 comme(1“.) on a formé t, on prouvera d'une manière absolu- ment analogue à la précédente, qu'il peut se ramener à la forme
N. A(6, 1)+A(8) g) A,(y, 8*) etc.= 7*„
V.. ℳ. 41, eto. étant des fonctions rationnelles et entières de R, et parconséquent 7 une quantité connue; d'ou l'on tire t 13 De méme si le developpement du produit 1—S est supposé égal à T*, T= aura une forme semblable, et une fois sa valeur con- nue on aura 1=; 12 se déterminera par Péquation 22= n. où To sera une quantité connue, eto.
Cette méthode cesserait d'etre applicable, 81 l'on pouvait avoir t= o, ce qui donnerait T= T= T= etc.= 0; mais nous pour- rions prouver que cette supposition est inadmissible, si nous n'étions forcés d'abréger. Il existe aussi des artifices particuliers
5* 72
. 1 7* par lesquels les fractions 5, †f, etc. peuvent étre converties en
fonctions entières de R, et des méthodes plus abrégées pour trou- ver. ꝛꝛ, etc. lorsqu'on a a—= 1;3 mais nous ne pouvons nous ar- rèter à ces détails.
4“'. Enfin, dès que l'on connaltra 4, 7, 1„ etc., on aura sur- le-champ, par la troisième observation i ne Précédent,
: 5 ete.= 2, b équation qui donnera la valeur de a, et de cette valeur on pourra(n 346) déduire celle de toutes les périodes de termes. Les valeurs de 5b,, d, etc. peuvent aussi se trouver, comme chacun pourra s'en assurer par une erlégere attention, au Mayen
des équations suivantes:

478 RECHERCHES 6— A 1+ R 2߆ R⁵* Sn eto., 20nn r— r ete. 6.,
31== R 2--2Re r eto., ete.
28—2
Parmi les nombrenses observations relatives à la techercher pré-
cédente, nous ne nous arrèterons que sur une seule.
On voit facilement que 7 obtient le plus souvent une valeur imaginaire de la forme P+. 0, desorte que la solution de l'équa- tion dépend de la division en parties, 1“ d'un angle dont la
tangente est H 20 d'un rapport qui est celui de 1 à( Q“);
et il est ügne de remarque que la Faleut de 8(P⸗+†f O“) peut
toujours s'exprimer rationnellement par des quantités déjà con- nues, desorte que l'on n'a besoin que de la division de l'angle et de-T'extrtacion d'une racine quarrée(nous ne faisons qu'indiquer cette remarque, que nous ne pouvons détailler ici), par exemple, pour
Z=3 on n'a besoin que de la trisection de Tangle, tandis que
pour la plupart des équations du troisième degré dont toutes les racines sont réelles, on ne peut éviter d'employer la trisection de
l'angle et du rapport.
Enfin, comme rien n zempeche. que nous ne supposions A= 1,
„= 1, et partant 8= n— 1, il est évident que la solution de l'équation a.— 1=o peut éêtre réduite à la solution de l'’équa-
lion à deux termes du degré n— 1,— T= O, où T se déter-
minera par les racines de Péquation ισι— 1= o. D'od il résulte, à l'aide de l'observation que nous venons de faire, que la divi-
sion du cercle en n parties Buge—
13. La division du cercle en n.— 1 parties; 1
2⁰. La division en n— 1 parties d'un arc qui peut se Construire, lorsque la première division est faite;
3*. Enfin l'extraction d'une racine quarrée, et on peut prouver que cette racine est toujours n.
351. Il nous reste à examiner de plus près 9 liaison qui existe entre les racines Q et les fonctions trigonométriques des
———-yy—yÿy——

——— ————
La méthode que nous avons exposée pour trouver les racines Q,
latires Lh: laisse de l'incertitude sur celles de ces racines qui répondent à uur ue 4nlh ces difleeede angles, e'est-à dire,. sur celle que 1. doit é aler 1. P„ 95 le hlus un. à à cos. isin 2⸗„celle que lon doit égaler à cos r isin2, eic., ² quek ahin 8 à moins que lon ne fasse usage des tables de sinus, ainsi que , p du 3r A nous l'avons indiqué, ce qui peut ne pas sembler assez direct. teelai 3s 1 Mais cette incertitude disparait aisément, si Eons fait attention cerzſſp. que les gosinus des anglgtelees 5 5
he la dirision 248 8 vont corfinlellement en décroissant, pourvu que Lon tienne compte neſi gxie 3 du signe, et que les sinus sont positifs, tandis que pour les angles 14), Mam, Le e, b n de langle, tuhig
ube te qui ont mèmes cosinus que les premiers ‚ les sinus sont tous né- eme degré dout tun
gatifs, quoique de mème grandeur que les autres. Ainsi, parmi employer la triecini les racines Q, les deux qui ont mèême partie réelle et pour les- quelles cette Paflie est la plus grande, répondront aux angles
.„.—P Dus ne Suppoäolste, L et G, ‚savoir, au premier celle où la quantité. imaginaire
nident que li ullint 2
—„ 1.— 1 Llwinn de e est positive, au second gelle où elle est négative. Parmi les
T=o, dl Teik— 3 autres racines, les deux qui auront la plus grande partie ——* 3 2p p „— 1==e DGlna,. réelle répondront aux angles 2e„— 2„Het ainsi de suite. 9s de faite, qle b4¹
D'ailleurs, aussitét que Pon Sonniit la Fncinel laquelle répond
Tansle*, on pourra diskinguer les autres, en wematfühgt que 25 35 4
nes⸗; si on la dCsigre par[3, aux angles,., 2 etc. répon- re qui fent x Gußn dront évidemment les racines[a⁴],[32,[4J, etc. Ainsi dans
T'exemple du n 353, on voit sur-le- champ qu'il n' V a pas d'autre
nbe, et lmnſetnn racine que I1 11 qui puisse répondre à Pangle 25ᷣ, et à l'angle
☛ la raeine[8]. De mème aux angles„P., P, P,
15 h, cetg. répondent les racines[5],[16],[14, 151, etc. Dans
1 luin e . 6 aainife 3

3
—————
480 HRECHERCHESA
lzene du no 554, la racine ſ1] répond évidemment à Tengle
‚ la racine[2] à Tangle 57 E, etc. Ainsi de cette manidère
p 2P 105 sinus et cosinus s des an ngles 2., etc. sont entiérement dé-
terminss.
36„, Quant àce qui regarde les autres Hgotions trigonomeätriques de ces angles„on pourrait les tirer, des valeurs des sinus et co- sinus, par les méthodes connues, savoir, les sécantes et les tan-
gentes en divisant respéctivement l'unité ou les sinus parules
cosinus, et les cosécantes et les cotangentes, en divisant le rayon au les cosinus par les sinus. Mais le plus souvent il sera plus commode d'employer les formules suivantes, qui m'exigent que de simples additions.
2(n— 1) P Soit un quelconque des angles 6⸗/ü ,=, et
c08 5+ sin a= R; R sera une des racines Q, et l'on aura
euns) An. sina a=(R E)=
27—* et Ean 2R 1— E e 3= An
Nous dumer le moyen de transformer les numérateurs de ces quatre fractions, de manière à les rendre divisibles par les defominateurs. 4 19. Comme on a R=RNie= Rnr, il en résulte aR==R Renrn, expression qui est divisible par 4+ R⸗, puisque est un 1 nombre impair; donc
86 ꝓ K. R'+ RS R’P.„„ERE;
et, dean.„puisqu'on a sino=— sin G 2n— 1), sin 3=
— sin(an— 5)0» etc., et Parconséquent sin a— sin 30 sin5a... MitKan= 21) o,
866= C0s— cos 3+2=85 G....+ os(2n— 1),
ou enfin,. puisque 608 3= Cos(27— 1),, 0os3==cos(an— 3)“, ete.,
8 S6C= 2[cosa— eos 31+ cos 5a.. rcos(m- 2)a]st cos na,.
. 1 Sgns'supérieur ou inférieur ayant lieu, suivant quen est
de
n

1 6. 2 7, e) A/, ree h o, a e ah
e A wu A, e e nctida 2. e 4 Sl, p No , e rr en ner vne u- dg n bnabs mie 2* 2 n, Aᷓ ₰N— 12 N.*— Pl htt) ne. Achian m 31 7 71 2 Aden plus nnat 4—— ee, me 1, 2F, 2aede re eege e e 1...— of A2 Dene, Ma, 2 e, e ddes ſ, et bau m ⸗ Zaes, che He
— Oul a V F 2 ef au aee— e
1-*)= V 6 5 2, lUf
orwer les numetate!
rendte dirüühleu.
+E;
(a=e, 3 1e-iee. b
1ne), ve
2 A5 AS. „ br V
2

Ae Arf 9 pPl,, 2
1 Fe= gnn7 ſo S Ha 7
3 5 7. 2„
— P² n Plu* 7h.„ l.n N 72„ a E— 7 2
rch,; r‿h 1 22 ⁄
2 /——„. 55 ₰ N— f — 7 4ν— V 2 7 7 9
3 wne,, p„ eA we, f B,). y(2u F2 2, 2,) h 8— i⸗ Ale
70„ ders,= e D, 8 eh L
6 7 99)— fb 2,— Sn 7
„ . 2 E 4 8—— E. A-—
— 2„— 22 2 re ee, A. 3, 7 7,, „ 2 1

ARITHMETIOUES. 481
de la forme 4n+ 1 ou 4n+† 3. Cette formule peut évidemment se présenter comme il suit:
860= X&[1— 208 20+‿ 2 cos 4o. 2 cos(n— 1)]. 2* Substituant de mèême 1— Ret⸗ pour 1— R“, on trouve
tang= 1(1— R“+ R— Rs.— E“),
ou, comme 1— R== 0, R“ Ra=n=e.=2isin2o, Re- Rn- b aisin a etc.
. We= 2(sin 2— sin 42+sinöo.— sin(n— 1)]. Comme on a 1+ R+ R. †.o,
on en tire
71——1— R“— A₰Rã4..— R= 1— R*)+( 1— R4)...+ 3— Ran-a), expression dont les différentes parties sont divisibles par 1— R“,
d'où il résulte b = ER)-(E R).+RêR.. =n— 1+(n— 2) R-+(n— 3) R.+ R; si l'on multiplie par 2, que l'on retranche le produit (n- 1)(†RR..+ Rê)=o,
et que l'on multiplie de nouveau par R, on a
M=(-1)R-n-5)R-(n-5)M..n=5)Rr=(n-1)r=,
FT4)
d'oà résulte sur-le-champ, b
coséca=((n— 1) sina-*+.(„— 3) in3w..,—(n-— 1) sin(a2n— 1)) 1(n— 1)sino-(/— 5)sins— etc.+ 28in(/— 2) ⸗°),
formule qui bent encoro 36 présenter ainsi b
coséc-— 2 2(2 Sin 2+ 4 sin 4+‿ 6sin6o.+ 62= sin(n— 1)⸗).
4. En multipliant par 1 R“ la valeur de ãb donnée plus haut, et en retranchant le produrd
64—¹)(rR h. Kh. e)r. 4 Ppp;
5— que nous avons

48² RECHERCHES
il vient
2=(n-2) R+(n-4) R+(nß-6) K.—(n-— 2) Ren-s, 1— H⸗=
d'ouù
eot cοᷣe 20(n— 2) sineo-(n— 4) sin 4o(n- 6) sinCo....— Ge-ahsin(am— aa))
= 2((nü 2)sin2+(— Hsin4e....3sin(n-— 3)« sin(n— 1)c], formule qui peut encore se présenter ainsi qu'il suit: cot ᷣ e—(sin+ 3 sin 3%....*(n— 2) sin(n— 2)].
363. De mème qu'en supposant n— 1= Gf, la fonction X peut étre décomposée en e facteurs de degré †, aussitôt que l'on con- nait les valeurs des e périodes de termes(n“ 348), si nous sup- posons maintenant que Z=o soit une équation du degré n— dont les racines soient les sinus, ou toute autre fonction trigo-
„ P. 259 n— 1). nométrique des angles, ,.. 4, la fonction Z pourra
se décomposer en e facteurs de degré ſ.
Soient=(/, 1),,„’, etc. les Périodes de Ftermes dont Q
est composé, et que p,„“,„', etc. contiennent respectivement les racines
[11,[al,[5], Lo], etc.;[a*l,[5,[00, etc.; 12,[50],[o*, ete.;
supposons encore que l'angle réponde à la racine[1], et par- tant les angles
d, bœ, etc.; a, bFc, etc.; a, Bœ, etc. aux racines
[Ia],[5], etc.;[a],[ν, etc.;[a**,[ο, ete. On verra facilement que ces angles pris ensemble coirncident(, quant à leurs fonctions trigonométriques, avec les angles
H 2 P 3(a- 11☛ n 72 2 n.....„
—
) Deux angles coincident sous ce
point de vue, quand leur différence est égale à la circonférence ou à
un de ses multiples, c'est-à-dire, lorsqu'ils sont congrus
suivant la circonféerence, si nous voulons Prendre l'expression de congruence dans un sens plus étendu.

7½, JY, ete,
4) Wh et
emble coincident(
arec les auges *,
1 1 — dd leur qfftraxe etidi
ire, Lrqu W vnt ingu
gesion de congrrelce u
5
——
— —. —— ääͤäͤͤͤ
b ARITHMETIOUES. 483 si done la fonction dont il s'agit est désignée par le signe Q% placé devant l'angle, et que l'on fasse (æ— H)(+ O)— Hoο) etc.= F,(x— Ha ο)(*.— 95) etc.= F, (æ— Hao)(x-‿— 6b) etc.= P', etc., on aura nécessairement b TEVE.=E. II nous reste à faire voir que tous les coefficiens, dans les fonctions F, F’", P', etc. peuvent être ramenés à la forme A+‿B(,) CAIf, g)+DCf, 9). I0J, 8 5 car alors ils devront étre regardés comme connus, dès que''on connaitra les valeurs de p, p, p'“, etc. Or nous le prouverons de la manière suivante. b Le n- brécédent fait voir que de la même manidère que l'on a
-osa= I1l- I[1P=, sino⸗= 1I- 3:,
les autres fonctions trigonomètriques de l'angle sont réduc- tibles à la forme A+ BII CIIP* Dſ X etc.,
et Lon voit sans la moindre difficulté, que la mème fonction pour l'angle Ko est alors b A+ B L[Xo]+ C[ko]£‿ D[Ko,+ etc., gtant un entier quelconque. Or comme les différens coefficiens de F sont des fonctions invariables rationnelles et entièbres de οαυ„ aꝝ⁷, Obo, etc., il est manifeste que si, à la place de ces quantités, on substitue leurs valeurs, les différens coefficiens de- viendront des fonctions invariables de L1],[al,[bl, etc., et partant(n“ 347) réductibles à la forme
AB(J, 1)+C. 8 DN. 80+ etec.; zl en est de mèême des coefficiens F“’, F“, etc.
364. Nous ajouterons encore quelques observations à l'égard du problème du n' précédent.
16. Comme les racines de la période P=(, 2*) entrent dans jes coefficiens de P“, de la mème manière que les racines de la période P entrent dans les coefficiens de P, il suit du n 547 que F peut se déduire de P, pourvu que l'on substi-
2

484 ARECHERCHES iue daus F.. O æ, g), C. 28*), etc. au lieu de(, 1), h g), 8 etc. De la même manière F“ se déduira de F en substituant
Q,, 28,.), ete. au lieu de f 1),( g), 7. 9'), eic.
Ainsi, dès que la fonction F est celle-là sans aucune peine.
2“. Soit
trouvée, les autres suivent de
I= Æ— aa† ga.— etc.
Les coefficiens a,, ꝛ⸗ etg. seront respectivement la somme des racines de l'équation F=o, la somme de leurs produits deux à deux, etc. Mais souvent ces coefficiens se déterminent plus com- modément par une méthode semblable à celle du ne 5349, c'est-
à-dire, en calculant la somme des racines O, Oas, Oba
»„ etg., la somme de leurs quarrés,
la somme de leurs cubes, etc., et déduisant de là ces coefficiens par le théorème de NVawvfon, Toutes les fois que désigne la tangente, sécante„ cotangente ou cosé- cante, on peut encore employer d'autres moyens d'abréviation„ mais nous sommes forcés de les passer sous silence.
5⁰°. Le cas où f est un nombre pair
mérite une attention par- ticuliéère; alors chacune des Périodes P, P', Py, etc. est composée de†
2 Périodes de 2 termes. Soient(2, 1),(2, da),(a,(),
(2, G¹), etc. celles qui composent P, les nombres 6 et n— 1, n-— a, n-— b., etc. pris ensemble, suite 1, a, 5, o, etc., ou du moins, ce qui revient au même quant à nos considérations, serdnt congrus à ceux-ci, suivant le module n. Mais on a O(n— 1) ‿ejc
EHo, Q(n-— 1)= ℳ Oag, etc. en prenant les signes supérieurs, quand exprime le cosinus ou la sécante, et les signes inférieurs, quand exprime le sinus, la
tangente, la cotangente ou la cosécante. II suit de là que dans les deux premiers cas, les facteurs de F seront égaux deux à deux, et que Parconséquent F sera un quarré= J*, si l'on fait
—(&— H( Ha)(‿.— O516), etc.
Dans les mèêmes cas, P“, F', etc. seront des quarrés, et si l'on zuppose que P soit composé des périodes(2, ar),(2 5.), (2, 1), etc., 2 des périodes(2, a.“),(2, 51),(2,„ etc.,
1, 6., ch, etc. coincideront avec la
„
X
—

rile une attenticn.
p „P, eic. es com,
),(2, 6 4,), 6, 1)
ibres 1, G,, h, Get
, coincideront arerh
qui revient au Mi- à ceux-ci, zuirantb — ,)a=gag) ete erpeime le ccäinns d
erprime le äings,B l swit de li que èum veront égaox deu?
BB 8—ee
rd=), d lom li b
2.35 lel b ee,en
Sle
ueete, Rur
„9
— 2 Ca‿tfe
3h X,, Le 2. A2,— . e,e R Ve e e. —— ℳ ſo= 4 71 36„=e,,
=cVee ſh c 7„

y⸗,
2 42 93 4 a 4„=—(a=-2

—
neeeess 233eeecee⸗ne.—
ARTITHMETIOVUES. et que l'on fasse 8 82 9 „·=(A-— Ha. o)(+‿-— Ob.)(4— o.), etc., ff 7 P=(æ-— Ha.)(A— b.)(.‿— H.αωα), etc., on aura F= y,=, etc., et la fonction Z elle-mème sera un quarré(voyez n“ 337) dont la racine est égale à Fyq, etc. Au reste, on voit facilement que,„“, etc. se dérivent de„ de la mèéme manière que F“, V“, etc. de F(I); et que chaque coefficient de y peut aussi se ramener à la forme A+‿ BOI, 1)+ CC G½+( 8), ete.,
puisque les sommes des puissances des racines de l'équation o sont les moitiés des sommes des puissances des racines de l'équa- tion F= o, et partant réductibles à cette forme. Dans les quatre autres cas, PF sera le produit des facteurs r—(Heᷣω*,—(Ha.)“, x**—(Hb. w)“, etc. et parconséquent de la forme -— ‿ᷣ— etc.; les coefficiens X, ², etc. peuvent se déduire de la somme des quarrés, des biquarrés, etc. des racines H, Oa, Obα, etc., et de même pour les fonctions„ 1„ etc. 1
Exemple I. Soit n= 17,= 8, et que désigne le cosinus. On a
2=(u 1— as— 3 a8 H ai* 5,s— rr— 32a †. z—)“
et il faut parconséquent décomposer VZ en deux facteurs du qua- trième degré y et. La période=(8, 1) est composée des
périodes b 2(2, 1),(2, 9),(2, 13),(2, 15), „y=(2— 2)(4— 090)(-— Q13⁹)(.— ½15).
d'ouù
Substituons l+‿ 1n—] pour Oka, et désignons indéfiniment par Sn la somme des puissances m des racines, Qα, etc., nous trouverons §.= ½(8, 1¹);§= 2+† 1(8, 1); Ss= 3(8, 1)+‿ ½, 1); S1=*(8, 1):
et déterminant par là les coefficiens dey, à l'aide du théorème
de Neuton,

486 RECHERCHES „= 4 1(8,1) 5 1((5,)+.(3,3)]⸗*— ½((8,1) 43(8,5)r**.*5(8,1)+ 8.3)].
y“ se déduit de y en changeant(8, 1) en(8, 3) et réciproque- b ment; ainsi substituant les valeurs b (8, 1)=— ¼+ 17,(8, 3)=—— 117, on a
J= r(¾— ½ 17)0—(+ τPæ †(¾+½ /17)2—, = A4ℳ(ℳ 17)—(— i,17)«-(4— 3,17)— 5. 2 peut de la mème manidère éêtre décomposé en quatre facteurs du second degré, qui seront b (*— Ho)(— Qr3),(æ— Q9)(+— 15), (2—= O5)(*— 952),(x— 10)(r— gr1)), et tous les coefficiens de ces facteurs s'exprimeront au moyen b
des quatre périodes(4, 1),(4, 9),(4, 5),(4, 10). Or il est évident que le produit des deux premiers facteurs est N, et ce- lui des deux derniers.
Exemple II. Si, toutes choses d'ailleurs égales, est supposé désiguer le sinus, ensorte qu'on ait
L=r d- a 2* 335— e. eg 5 r †. 3ss, à décomposer en facteurs du huitième degré y et, y sera le produit des quatre facteurs du second degré
D*—(Ho)“, a—(9a)“,**—(H 3)“, a*—(Q15). Or comme on a.. 9bo=— 2[7] P+ 1n— ‚ il en résulte
(oka)-=— 3[ax in]— zan— l= 1— 2laAl- zan-— all; de là, en désignant indéfiniment par S, la somme des puissances m des racines Q, ρσ, 15, 15%, on tire
Sa= 2— ¼(8, 1); 4 g S6=—(8, 1)— 2r(8, 3); S&o= 5☚— 23(8, 1)— ³l(8, 3), 1 et partant b
J= 7—[2— 1(8, 1))*-.(4—*7(§, 1)-K. 3(6, 5) Js —— X*⁵8, 1) ℳ 45, 5))=-, 5— ⸗. G. 1)+. 3⸗ G. 3) „ se déduit de en échangeant entre eux(8, 1) et(8, 3), desorte que par la substitution des valeurs de ces périodes,

———᷑—ę———᷑—᷑—X—Y—X–/--
ARETEMETEQUEs.
on a 358 b
v=r(P. eheta=ee-=i’„hetihe V17 8
— ν ‿ 17)æ4—(&+ I 17)75 288 †’/175
On pourra de la mème manière décomposer Z en quatre facteurs, 4
dont les coefficiens s'exprimeront au moyen des valeurs des ps⸗
riodes de quatre termes; le produit de deux d'entre eux sera 2 le produit des autres S.
365. Nous avons ainsi réduit par les recherches précédentes la division du cercle en n parties, si n est un nombre premier, à la solution d'autant d'équations qu'il y a de facteurs dans le nombre n— 1, et dont le degré est déterminé par la grandeur des facteurs. Ainsi, toutes les fois que n— 1 est une puissance
* 3
erinemn 8 2, de 2, ce aie arrive pour les valeurs den 5, 6 ¹0) is„ 5, 17, 257, 65537, ete., est), 48
la division du eense est réduite à des équations du second degré seulement, et les fonctions trigonométriques des angles 2
—
us Egales, ett
Rla, at m 5,— ‚ etc. peuvent etre exprimées par des racines quarrées plus
41 ese ou moins compliquées, suivant la grandeur de n; donc, dans ces b différens eas, la division du cercle en n parties, ou la descrip-
93, 6, 1 n tion du polygone régulier de n côtés, peut s'exécuter par des
egr b constructions géométriques. Par exemple, pour n= 17, on tire
2), r. abh V facilement des nos 357,„ 361
J, Uearhalb 60= ‿υν νν w64W=Vlrt=VGsew — 2VG4+ aW 17)];
—l. n-A, les cosinus des multiples de cet angle ont une forme semblable, — hiuue, les⸗ sinus ont un radical de plus. Il y a certainement bien lieu d de s'étonner que la divisibilité du cercle en 3 et 5 parties ayant
6te connue dès le temps d' Euclide, on n'ait rien ajouté à ces
3 2 95 découvertes dans un intervalle de deux mille ans, et que tous les 66 9-3, géomètres aient annoncé comme certain, qu vaorpic ces divisions pe et celles qui s'en déduisent(les divisions en 2*, 15, 3. 26, 5. 24,
1s 14 3 15.20 parties), on ne pouvait en effectuer aucune par des
constructions géométriques.

— ꝗͦ—
488 RECHERCHES
Au reste on prouve facilement que si un nombre premier 2
est= 2+ 1, le nombre m lui-méème ne peut avoir d'autres di-
viseurs que 2, et qu'il est parconséquent de la forme 2“. En effet plus grand que
si m é6tait divisible par un nombre impair 6 lunité, et qu'on edðt ainsi m= n, 2+ 1 serait divisible par
8. 4 0 32+1, et partant composé. Toutes les valeurs de qui ne con-
duisent qu'à des équations du second degré, sont donc contenues
sous la forme 225+r; ainsi les cinq nombres 3, 5 65337 s'en déduisent en faisant„= o, 1, 2, 3, 4 ou m= I, 2, 4 8, 16. Mais la réciproque n'est pas vraie, et la division du cercle n'a lieu géométriquement que pour les nombres Premiers compris dans cette formule. A la vérité Fermat, tro rinduction, avait affirmé que tous les nombres compris sous cette forme étaient nécessairement premiers; mais Euler a
remarqué le premier que cette règle Ctait en deéfaut dès la sup- Position»= 5 oum= 32, qui donne
2³+1= 4294967297, nombre divisible par 641.
Toutes les fois que n— 1 renferme des facteurs diffgrens de 2, on est toujours conduit à des équations plus élevées„par exemple, à une ou plusieurs équations du troisième degré, si 3 est une ou plusieurs fois facteur; à des équations du cinquième degré, quand a— 1 est divisible par 5, etc., et Nous POUvONS DEMON- TRER EN TOUTE RIGUEUR QUE CES EOUATIONS NE SAURAIENT EN AUCUNE MANIERE ETRE EVITEES NI ABAISSEEs, et quoique les limites de cet Ouvrage ne nous Permettent pas de développer ici la démonstration de cette vérité„ nous avons cru devoir en avertir, pour éviter que quelqu'un ne voulut essayer de réduire
à des constructions géométriques d'autres divisions que celles
données par notre théorie, et n'employât inutilement son temps à cette recherche.
366. Si l'on veut diviser le cercle en αν parties, a Sétant un nombre premier et«=1, il est aisé de voir que la construction Séométrique n'est possible qu'autant que«= 2. En effet, si au1, outre les équations nécessaires Pour la division du cercle en aparties,
il
„ 17, 257,
mpé par

A=y 2. 4 ſͤ erene ee, e⸗ 5 à8 au0 A᷑= I fe höf ue,
e- r d,Sn, e= A. ur „nt de a. 8 em en, ewee 3
h Mree e 2 1, 2 4 5 m, 9 4 A. f e V ſ7 2
3. 2ſdune. rs , etk in 4 W ite emains 4 2 F A und 2 b—, 9 nia d I.— V ſ4— 2n e —
8n benan hg e J. ,r,t., en ee— Ee 22
b„.— ARpe,
7, Aℳ„n— go,, u anm äfan Shke 7 ru Ae 22*2„=—— b b s Gleres, jaren, Dla9—= ee, u ne degré, si 5 etu 72 C., 2— V 3 du cinquidme une ₰. 7 2 34——— Jee V Nous Pob h. c, e 3 2h n— 2,
us povros un. h, ⸗— zhr I Pu, Aloss EE SAmAR A,, g n M eh n 2 ABAISSEES, et quin—— ₰— e B. 2.
eettent pas de défehy as arons cru demita zalt esayer de tdi, s Girisions qre G tiautilement son km
rties, à Cunt I
oit eh eu la constucii b — 2. Eu efft, i h
n m dn eeteh
e
— S. h.
n ae
mſ 22
.,— 7
h
,
—,˙pf
Jn 1,
af f a
——
, ce
7 7— 12re D 2 SrO

7/42 n o, e
92
4 8 O NX H
ho X
GSNANNBNABARNGRNRW BNNNAANTANARWNeEnRnnn
NAN ROO,SRTdKdLANAANNRRNE»nA*
— RRSSSSRSBSASRN
8 Sae 88 Sad

ARITHMETIOUES.
il faut encore résoudre 4— 1 équations du degré a, que l'on
ne peut non plus ni éviter, ni abaisser. Ainsi le degré des équa-
tions nécessaires se connaitra généralement par les facteurs pre-
miers du nombre(a— 1)a— 1( y compris le cas ou 21).
Enfin si l'on doit diviser le cercle en N ee... parties,
a, b, e, etc. étant des nombres premiers, il suffit de savoir
4 0 0 2 8., 8 0.„ 82 2 effectuer les divisions en a, 5, 02 jetc. parties(n 336). Ainsi, pour connaitre le degré des équations nécessaires, on doit consi- dérer les facteurs premiers des nombres
2-ſ„28-—f (a— 1)„(b— 1)5„(c— 1)* etg., ou, ce qui revient au même, les facteurs de leur produit. On remarquera que ce produit indique combien il y a de nombres moindres que Net premiers avec lui(n“ 38). Ainsi la division ne pourra s'exécuter géométriquement que lorsque ce nombre
est une puissance de 2; mais quand il renferme d'autres facteurs
premiers p,„“, etc., on ne peut éviter en aucune manière les Equations de degré p,, etc.
Il suit de là généralement que pour que la division géométrique du cercle en N parties soit possible. N doit éêtre 2 ou une puis- sance de 2, ou bien un nombre premier de la forme 2+ 1, ou encore le produit d'une puissance de 2 par un ou plusieurs nombres premiers différens de cette forme; ou d'une manidre plus abrégée, il est nécessaire que N ne genfertne aucun diviseur im- pair qui ne soit de la forme 2“† 1, ni plusieurs fois un mème diviseur premier de cette forme.
On trouve de cette manière, au-dessous de boo. les trente- huit valeurs suivantes pour le nombre N:
112, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 52, 34, 93 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170,
192, 204, 240, 255, 256, 257, 272.

490
ADDITIONS DE PAUTEUR.
Noe 28. La solution de l'équation indéterminée axæ+ by=£n n'a pas été trouvée pour la première fois par Euler, comme nous Pavons dit, mais par Bachet de Meziriac, géomètre du dix- septième siècle, célèbre par l'édition de Diophanle qu'il a pu- bliée avec des Commentaires. C'est Lagrange qui lui en a restitué l'honneur, dans ses Additions à l'Aigébre d'Euler, p. 525, où il indique en même temps le fond de la méthode. Bachet a publié sa découverte dans la seconde édition de son ouvrage intitulé: Problèmes plaisans et délectables qui Se font par les nombres, 1624; elle mexiste pas dans la première édition(im- primée à Lyon en 1712), qui est la seule que j'aie vue, mais elle y est annoncée.
No* 151, 296, 297. Léegendre a nouvellement exposé sa démons- tration dans un excellent ouvrage intitulé: Essat d'une theorie des nombres, p. 214 et suiv., mais cependant de manière à n'y rien changer d'essentiel, ensorte que cette méthode est encore sujette à toutes les objections que nous avons faites n“ 297. Il est vrai que le théorème(qui sert de base à une supposition) que dans toute progression arithmétique 7, 1+ k, I+ 2, etc., on trouvera des nombres premiers, si K et n'ont pas de diviseur commun, a été exposé avec plus de détail dans cet ouvrage, p. 12 et suiv.; mais il ne parait pas encore avoir satisfait à la rigueur géométrique. D'ailleurs, quand mèême ce théorème serait complétement démontré, il resterait encore l'autre supposition, qu'il existe des nombres premiers de la forme 42+ 3, dont un nombre premier donné positif de la forme 4n+ 1 est non-résidu quadratique, et j'ignore s'il est possible de démontrer cette pro- position sans supposer le théorème fondamental lui-méême. Au reste, nous devons faire remarquer que ce célèbre géomètre

ſement erposi u dn
E: FEssal d'une ehn
endant de maritre ii tte méthode est eul trons fiites f lä 4 une supposton)ſ 7+ 1, 70, ete, 4 Tmont pss de diiet tail dans cet om) core aroit aisil 11 nme ce tbéckeme ei ore lautre uppsöid,
1
orme 41 †, 4
e 44- 8t uens
e
Jamenta damen ne ce cclebre geod.
ADPITIONS DE LAUTEUR. r
m'a pas fait tacitement cette supposition, et qu'il en convient lui-même, page 221.
No¹ 288— 295. Ce sujet, qui est prèsenté ici comme une
application particulière des formes ternaires, et qui, sous le rapport de la rigueur et de la généralité, semble ne rien lais- ser à desirer, a été traité bien plus amplement par Legendre,
dans la troisième partie de son ouvrage(*), p. 32 1— 400. Il s'est servi de principes tout-à-fait différens des nôtres; mais par la route qu'il a suivie, il a rencontré plusieurs difficultés qui l'ont empéèché de démontrer rigoureusement les théorèmes principaux. Il a lui-mèême indiqué avec franchise ces difficultés; mais, si nous ne sommes dans l'erreur, elles pourraient ôtre levées plus facilement que celle qu'il rappelle encore dans cette recherche (p. 371, en note à la fin), savoir que daus touté progression arithmetique, etc. N. 306, VIII. Dans la troisième chiliade de déterminans né- gatifs, nous en avons trouvé trente-sept irréguliers, parmi les- quels dix-huit ont 2 pour indice d'irrégularité, et les dix-neuf autres l'indice 3. dOaini 1 65 b
Idem, X. Nous venons de parvenir à résoudre complétement la question que nous proposions ici, et nous publierons cette re- cherche, qui éclaire singulièrement plusieurs parties de l'arith- métique transcendante et de l'analyse, lorsque nous aurons occasion de mettre au jour la continuation de cet ouvrage. Nous avons trouvé en méême temps, que le coefficient m(no 304, p. 376) est
m== 2,5458847616, „ Stant le même qu'au n' 502, et x toujours la demi-circonfé- rence du cercle dont le rayon est 1.
(*) Les lecteurs ont à peine besoin d'èetre prévenus de ne pas confondre nos formes ternaires avec ce que Legendre appelle les formes ternaires d'un nombre, car il n'entend par là que la décomposition d'un nombre en trois quarrés.

NOTES DU TRADUOCTEUR Mole relative au no 162.
N oUs hasardons de placer ici une solution différente du même problème, solution qui nous parait à quelques égards plus simple que celle de P'auteur. Le principe dont nous nous servons se présentait naturellement, mais nous de- vons observer qu'il est employé dans Touvrage pour un Problene analogue
(n* 285, 30). Supposons d'abord que la forme F et la forme † soient équivalentes.
Si l'on connaissait toutes les transformations propres de la forme F en elle- méme, et une transformation de en F, en combinant chacune des premieres avec la seconde(no 159), on obtiendrait évidemment des transformations sem-
Plables à à cette dernière. Or il est extrémement facile de démontrer, 1° que chaque
combinaison donnera une transformation diifférente des autres; 20 que toute trans-
formation pourra naitre de la combinaison d'une trans formation de F en elle-
méme avec la transformation donnée de F en f.
Cherchons donc d'abord quels doivent être les nombres p,—, 7, s, pour que la forme F se change Proprement en elle-mêéme par la zubstitution
p. S„. JA= ze. †y 2 on aura les équations
Ap= † 2 5 pr+ Cre= A..(a), 4bi 2(pet a) 4 Cs=3. 3. 2.(5), 4A4*+ 2876+ Cs=.(o), ps— ꝙ†⁹†⁵=1..»(.
Les équations() et(c) peuvent se mettre sous la forme (Ap+† Br)*— Dr.= Aa,(Cs+ BO)“*— D*=(²,
ou bien, m étant le plus grand commun diviseur des nombres A, 25, C,
9 A42². di t emie— r— en divisant la première par— la seconde par u, Ap+. B 2 8 B9)„⸗ (2 9+) 5(W)= m.(AE 22)(₰)= m..
i Pon fait
—=gn 1
W
65
⁴
—y— ¾— —
—ÿ — B:r-—, S
—
—
=
—
—
— 5
ᷣ△— òꝶ ⁸———
— —
— —˖——
—

vCrEn 5 62.
Ferents d dene hün
mple Tue celle ds lan ktrrellement, mau ua dur un probleme d
f wient Equinälerk
Dras de R kame p d Wmant chacme 2p ent des transformaßan w 6 de demontrer, Tmechn Sautres, que bue t 4 ausformation 4 P dle 4
4 714 nomdres p,„, 7,, E /2, har k albsttutonb 74 / 77 ) 1
1r) 4 Cr= J., /9
XNx☛RNNSSEEWD
8
—
NSAS
8
ℳ
a‿ee e e, n
= e Ns Be)
3— , o
e d.=u4= 2—
2 A 7
7ſ,=r, r ,ae, e ne, s Le

— 2 Ak. A, f A, p
=,
f—. 5 — 2.„— e Seee 5, S 7 7 Are= 7 7 Her e— I, O, ,„ 2 , h B— F,, 6, f 3 3 24 2,-,—= fCSAG= f 2e ,, I, 7 n,, I s, ,,; 3 ₰ 2 ₰ · 7, 2, 3,/ 0 E, 2——— U. „/ 4 — 3— p=, z5, ,,een,, 72,, 2, 7,, T, e,—„ eoe 2 k T,,, 2. „„ 2 22 47 2 ½ 1 z S ⸗ h2— 3. 3, 2/X, 2, 2 7, J,, 7, B J, 78 5 5 7 5 v2 ,ue,e, 3 e, ee 2.
2, 4 T,, 7, 97 æ 4= 4 7 7 2 6, 7 ₰ 4— J— 22⸗ 3, 1,, 7 4— Xorare ehe. A dg— 2 3 4 4 7.—
4 vFr D, ſ/ A MA 2 2— me² ℳ— ιέ .„ 9= Ś ſmo 9
=u; ⸗e, ane 2— I E*= e
—„ 6=,= 1— e ei etn,
, She, 2 Sut ar, Hee. V e faf7 h
De z Aℳ“ E n—, ,2 pn ,h, F, 2„ a⸗ R192— /2 A.., ,, dn, ſe, 65— v. , 7 7 a, duu? Ke u Iz, A,/—+—— 84 427a n ee 2„ hr⁰ 7 2 2=Oh 2ſße Aℳ ℳ M⸗ yy 2e rre d5 e, 2A2.. b de Say A.nt—, 7/ 77 , f, en oedl Von 5— b b* L. e„ E 7 ch, z6 6 9⸗ 2eeree 1 Ve, Fef
a.,— w, 2—— 2 l 2), 22 es A

PDU TRADUCTEUR. ((sS4 B„ Za.
—— 2 4
NOTES m(Ap- Br) 1 mr —
„ 7= 5
ces équations deviennent
42— Du= me, 12— Dus= m.; or on a. 5 — Bu u Cu t— Hu =,——„, ,—
zubstituant ces valeurs dans les équations(5) et(d), il en résulte
Btt᷑/= D(ut †u't)+ BDuu= Bma, tt— B(ut+ ult)+ Duu= m', . B.„ 2„ 7 ut 7. 2 2½ qui donnent ut+ ult= o; donc u=— 7 Cette valeur, substituée dans l'é-
quation tt⁵— Duu= ma, donne t= t, et partant u=— u.
1 en résulte donc
„== Ou=u„ u 1= 1.*+‿ B2 „ã„,„„ m,/
or il est aisé de déemontrer que t, u doivent eêtre entiers, si p, 7, 7, s le sont, et réciproquement.
19. Si p, 9, r, s sont entiers, comme il est nécessaire pour notre question, comme on tire des valeurs précédentes
r 7 h— p 64—=—, Zu=—, u—=—, 4 ℳæ 6 25 7I 1 7 on peut en conclure 4A 4A „.. 771 T— mM 6 p 23 711 II
mais l'une des deux fractions qui servent de second membre est nécessairement
. A˖ Im. irréductible, donc r est divisible par, oà 7= sera un nombre entier,
7
entier.
20. On démontrera, comme l'auteur le fait au mème numéro(4.), que toutes les valeurs entières det, u donneront des valeurs entières pour p,—, T, s.
Il suit donc de tout ce qui précède, que la solution de notre question dépend de la résolution de l'équation te— Dua= me en nombres entiers, et que réci- proquement une transformation d'une forme quelconque de déterminant D en elle-méême, fournira une solution en nombres entiers de l'équation t— Du=m’, soit le plus grand commun diviseur des trois coefficiens de cette
77 1 0 N ⸗ 2«* ] en sera un aussi; de laà il est aisé de voir que t est également un nombre
pourvu que m so forme.

446 NoTEs DUTRADUCTEUR.
Si maintenant a, 6,, ₰ sont des nombres pour lesquels F se change en 7. on trouvera par le n* 159, Pour les nombres, G,)%, ⁸˙, qui donnent une trans- formation quelconque semblable, ma at—(Ba+ Cy)u, me= t—(8+ CO)u,
„yt+(Aa+ Bp)u, m=+(A+ B0) u; or il faut observer qu'ici les valeurs de a, G,, 4' sont nécessairement entières, puisque a, 6,)“, Net p, 9, r, le sont.
Si l'on compare les valeurs de 7' et de U, que l'auteur déduit(no 199), avec celles auxquelles nous parvenons directement, on verra qu'elles sont identiques, mutatis mutandis.
Mais si F et n'étaient pas équivalentes, on se convaincra aisément que ces for- mules ne donneraient plus toutes les transformations, à moins que l'on n'admette des valeurs fractionnaires de t et u dans lesquelles le dénominateur serait le quo- tient du plus grand commun diviseur des nombres a, 25,%, divisé par le plus grand commun diviseur des nombres A, 25, C. Si nous nommons m’' le plus
1
l
7 m)
grand commun diviseur des nombres a, 25, c, et que nous fassions—= α,
t 2a. on trouvera pour ce cas, en substituant dans les formules et=, à la place G
de tet u, des formules semblables dans lesquelles, à la place de m, on doit mettre m, et ouù t et u seront des nombres qui satisfassent à l'équation— Dui=m, comme il résulte de l'analyse de l'auteur. Nous insistons peu sur ce second cas,
qui est d'une moins grande utilité. Note relative au no 164.
On peut encore faire cette recherche d'une maniere qui nous parait en quelque sorte plus directe. Nous supposerons qu'on ait démontré, comme l'auteur, les relations qui existent entre, 6,), 4,*, 6,), 4, et qui sont, en faisant usage de sa notation, a+ d= o, e+ e= O, be— ad= e¹, ou α+‿ bo= en.
Cela posé, soit(F, G, H) la forme ambigué cherchée, que nous désignerons 2. par; faisons= k, k sera un nombre entier. Or puisque F doit se changer
en, F renfermera proprement et improprement, et si la transformation Ppropre est æ= mt+ nu, y= pt+ qu,
on obtiendra une transformation impropre, en combinant la transformation propre avec une transformation impropre de ꝙ en elle-méme. Alors si% se change en F par la transformation propre
t= mr+ ny, u= pa+); en passant d'abord de F à%, et ensuite de àA F', on obtiendra deux transfor- mations de F en f, l'une propre et l'autre impropre(ne 159), et qui devront coincider avec les transformations données.

11
Alaceden, ucitnd
1n a f— DMar, Nom Deu gur es urun 3
4 b 1i Rdafs
zant uage de R mtün u& † Kee r nuisne F dütsen at, et ä k tuims
NOTES DU TRADUCTEUR. 495
La forme O se change en elle-méême par la transformation impropre t=I†+᷑ ku',
u=—; ainsi: 1⁰°. F se change en F“ par la transformation propre
=(mm np) æ(mn †. n9)),=(pm Cp) æ †(pn † 99)):
et partant, on aura mm † np= a, mm.+ nꝗ;= 8, pm † pf=„, pn+ 99= 4.(1). 2⁰. F se change en F' par la transformation impropre æ=(mm+†(m— n) p])+(mn+(mk— n).—, y= pm+(pk—)pjr p †(pk- 9% et l'on a parconséquent mm+(mk— n) p=, mn+(mk— n) 9‧‿, pm+(ph—) p=), pn+(pk—) 9o=N(2)
Les équations(1) donnent par l'eélimination, en faisant mq— np=h,
2e r e dee e.
—P h 3 h
Les équations(2) donnent.
„ a2 †—) n.+ KGm— p) 1 6˙9— d'n+ K(m— p) — 7*„.* 4 4 2
71
— —— 7
„ 2p— m gp—„ h 2. 2 h 8 De ces doubles valeurs de m', n¹, p', †%, on tire les équations (+) m=(A+ a)p,(4+† 4)9 m=(+ 6) p(5) (4—- 9— Q=y)n= kKGm— A p),(68— 60 1%—(ßn= k(/m— 6 p).(4)
Les équations 6) donnent-—„*= Or il est aisé de voir
4=
que l'équation de condition qui résulte de ces deux valeurs est toujours satisfaite, car elle revient à—
(½++ ν)—(4-+ 60()=o, on e++‿%ᷣ£‿d˖=o, en essayant d'éliminer— ou n entre les équations(4), on voit facilement qu'elles rentrent l'une dans l'autre; car il en résulterait dans l'un ou l'autre cas des équa- tions qui s'anéantissent d'elles-mémes, leur premier membre étant multiplié par (4—)(.—)—(6— 30(—-) qui est égal à e+— a— d, quantité nulle, et leur second membre étant multiplié, pour l'une, par cm+(d+ e)p, pour l'autre, par(a◻‿ e) m+˖ 5p, quantités également nulles, comme on peut s'en assurer facilement. Il suffirait pour cela de multiplier par la première des équa- tions(3), et d'en retrancher la seconde multipliée par; de multiplier encore la première par 6, et d'en retrancher la seconde multipliée par a. On trouverait
em+(d+ e)p= O0,(a+ e) m+ bp=Séo(5) Il suit de là qu'entre les cinq inconnues m, n, p,—, k, il n'y a réellement que deux équations. Ainsi le problème est indéterminé; mais il faut que les valeurs de ces inconnues soient telles que m’, n', p',— soient entiers.„ & Al
Disposons des nombres m et p dont le rapport seul est connu et égal à—

896 NoOTES DU TRADUCTEVUR.
ht‿ ur ou 6 8-4k,„et prenons pour m et p les termes de ce rapport reduit, à sa plus simple 4 Las expression. On aura évidemment dans tous les cas des nombres entiers pour m' et p', si 7 l'on fait;= Ah; n= Th, où h est indéterminé jusqu'à présent. Cette supposition change l'équation mq— np=h en mu— pr= 1 qui servira à trouver&α et x. j Quant à p' et—, au moyen des valeurs de a, 5, c, d ou— a, on tire faci⸗ 77 lement par l'élimination 2e=—(O5-Naa), Ce=—(Db- Ga0), e=„a— ac, Ne= a— gc: u or à T'aide des équations(5), on a 2 .& e 2.— A) me ph= D m— 2p=)m— b*⁴ 305b a+ 2)m=! 5 2 1 2— e) 1—„)pe —:—= e 0—— veOp=—O Ie On trouverait de meme Heee 2 4 2 4— N)pe Ta= dEEee„1ee.-AM
Sir est le plus grand commun dh ber des nombres, 5, c, et partant des nombres 5, c, e, comme il est aisé de le prouver par l'équation aν‿ᷣe, un des nombres—
6 0. e 6 . 7 sera premier avec„. Supposons que ce soit comme on a
„, 2 e/ 4. — A)m(6— G)m= 64
4— et †h= 2„ P— 5 8 7— 5 2 eo r. T Ae .„„ 3,. 5..„. 4 il s'ensuit que(- A)m est divisible par 7, ainsi que(6— G0)m, puisque p'h A 3.. e. et q'h sont essentiellement entiers. Donc en prenant h= 5 p' et, seront 5 entiers. 3 6 A D'ailleurs des valeurs précédentes de p'h, on tire—2=— 3P'h,——=— Sep h, 9. Pe
5 et comme m— aAp=—' h, la première des équations(4) devient J+ A Pe 4 2== 7e 2, A3 41
—— R, ou, uisque q=— 72— 7/— 7—,———— 3 puisque q⁴=„ a*, 71 2, me= k. Mais a. . d E 5 7c ſl, . 3¾ m d+ e 5„ r 7T C. d on a—=-————-———„Het partant= est di- 2 C a+e C 2 8 e T 6 4 r„ r 5-W 6— 91 visible par p, et— par m, ou bien— et— sont entiers. Donc cette équation 7 r pr mr
donne une valeur entière pour, qui varie suivant les valeurs que l'on attribue àA& et T. 04)
TABLE

———— —
——— ͤͤͤſ“*“,
z= ⸗ 2 2, e—
= tr,, d 9 2e 2 e: e,
-u
,= hl a 2 ee, e,, Se e Au³ 7 d
e, a een, en eh,,
Ve ae e h l, 2htne 5
e, e e e u
74— ec, 7Sh- Ir f Ae,te r u., Ifo u v2e eu f A Si= 2, A V.
K=I/ S e 9 a)n= Dü)u— niz
a e -=Ch, 222 e=—t o e— e A
A T 1 * 8— C 2₰. e-— 8 8 M
‿
i ns(1— F)n, nugef
3*— 65 2— 412* 7
14 atons(4) Benenet,
— 2= — 4+ 1=- No . 4. ₰,„a nee=f‿ν Bces Pt, v, g, a ag ee ee 1 t2! A 74 —, 4M e.=, Af un 2 Eaeer, A 8 Iar Aohe[é e, h, h,, ee,— 7 3 4 6, 7,„ entiers. Donc cett cu„ 7 7, 7 2 4
ndeus que l 7/ ſ2½ 52 7, 2 77 4 2 12 euer=Ee, 2 2,? 7 5⸗
19 4=,,, 9 S ε˙³
=a, KeR in . 1 D=eee.

7 ά᷑ά᷑Cd- A— 2

A
A.
TABLE PREMIERE.(n“* 58, 91).
b
N.
5. 7.11 13.17.19.23.29 31.37. 41.43. 47
10
10
10
26
dR& b
1. 3
2. I1. 5
1.*†. 5. 46 1. 8. 4. 7
5. 8. 9. 7. 11
. 3. I1 2. 1 roO. II. 7. 9. 15 17. 5. 2.12. 6 8.20. 15.21. 5 1. 7.*. 5.16 1.*, 5. 16.15 11. 27. 18.20.25 12.15.20. 4.29 1. 35. 1. 2. 5 11.34. 1.28. 6 26.15.22.59. 5 39.17. 5. 7. 6 30. 18.17.38. 27 2. 13. 4 b. 16 25. 9. 51.38. 46
3
12
13. 8 12.17. 5 19.13.18. 11 8.15.12.11 2. 7. 15.24 25. 1. 22. 21.27 7. 4. 7. 6. 3 13. 5. 25.21.15 31.33. 9. 36. 7 40. 16.29. 20.35 3.42. 29.59.45 9. 31.55. 32. 24 28. 42.41.39. 6
0
27
28.32 32.35.18
5. 24.25. 37
7.38. 27.36.23
45.22.33. 30. 8
—. u ,——— 227. 4 M „ , ⸗,* 84 ₰ 1. 1 * ãA—„ U. 4
2 . I. L
O *X△ 8

SUITE DE LA TABLE PREMIERE. 2. 3. 5. 7.11 13.17.19.23.29 31.37. 41.43. 47 . 53.59.61.67.71 73. 79. 83.89 b 59 10 25.32. 54.44.45 23.14.22.27. 43 7.41. 2.13.55 28 61 10 47.42. 14.23. 45 20.49. 22. 39.25 13.33. 18. 41. 40 51.17 4 64 5 3. 1.10. 3 15. 12. 7. 14 8I 8. 9. 14.13. 12 . 5. 1. 5 (6, 12 29. 9.39. 7.61 253. 3.26.20. 22 43. 44. 19.63.64 3.54. 5 3 71 62 38.18.14.33.45 27. 7.58. 5. 4 13.50. 55. 44. 17 59. 29. 37. 11* L 7753 5 8. 6. 1.33. 55 59. 21.62.46.55 11.64. 4.51.33 3 53. 5.58. 50.44 79 29 50. 71.54. 19.70 74. 9.10.52. 1 76.23.21.47.55 7.17.75,54,53 4.. 81 11 25. 5. 55 22 1 53. 15. 12 5. 7 14. 24. 29 10. 13 8 45.53. 4. 20.33 48.52 83 50 3.,52. 81. 24.72 67. 4. 59.16.56 32.60.38.49.69 13. 20.34.53. 17 45. 47 89 30 72.87.18. 7. 4 65.82.53.31.29 57.77.67.59.34 10.45. 19.52.26 68. 46. 27 97 10 86. 2.11.53. 82 83.19. 27.79.47 26. 41.71.44.60 14.65.32.51. 25 20. 42.91. 18

— o—„
TABLE II.(n.⸗ 99).
—
— 1*2+5S]O7 L. 3.., 19.25.29 51
.1 76.23.21.9 5 39“+—+
. 7 1.24.1b 71——.—————
5 B2.10.3. 9 9—++—+— 83——*—————
4 6.e nha 2
—

8
RLX
Mmmdee X ☚½—
—— .
4——— G— -⸗-—:ͤ—õöyͤ=
500
12I E 1l l 11 EAe 3 r lIl 4— A 21 11 1 EA —- I IA A 21 1 1* 24 Eit 2 E t lI 2 * i il 1 1 A I i 4 i 1 e LASASSSSEARSAAAS

.“
——-—
S
11¼⁴84 dd 1411‿L SS8I8 1 1 1 Xr + TTINUU d8S1SIIA†ns 1AAun
† 81 11 1INo
S8IISTSi le *½ d 14** 184414242† 4* S4LSIISAIe 14445 4 ½14 M 814LI 1ISO ᷣ† 2 47 8LeTIe 1114 44£‿ 4t† te
C
7 7 p 2g ,-B,eh ga 2 34
—₰
22
7
—
2
11s Th Brts, va Tath A,
9
4
2 2
C. ₰æ
2ę7.
4
11L ertde FTITrr
—
Ir*

. F4 7 vh neen.
2 21 p G Sr 9 1N3 Sren 3; A19 a,
— —
U Qnt= Gn(uε culle, 2p ! Ctn! G 7u e.
C= n f/, Ml — ꝙ νV-(au Marwt t F—1 S 96 2 C=eee,
c-,„2r feuun 392 /—s=I9 L
7.„ 2 2 2‿‿ æ% ⸗. a‿u.— un, 2, L 232 ☛= l⸗. Geg, 4 2 2 26 2=EeE A

— y y—
TABLE III.(n. 316).
2;3(2). 4;(3)..8;(..7; G).. 993 c..18;(2). 36;(3). 72;(0. 45 076923;(. 46 1538 0588235294 117647 :05 26315789 47368 42 14 o434782608 6956521759 13 o37;(r). 074;(2) 148;(3).. (4) 592;(5).185 . 0344827586 2068965517 0322580645 16129 (1).. 2.. 5483870967 74193 (0). o27,(1) 155;(2) 675;(63). 378; (4).·8913(49. 459;(6). 297; C7). 486;3] (8). 432;(9). 162;(10). 810;(11). 054 02439;(1). 14634;(2). 87804;(3). 26829; (4). 60975;(5). 65855;(6). 95121; ). y7o731 b b
.296;
24137931
.0232558159
6511627906
0212765957 0425531914 0204081632 7546938775
0) o1886/9245
7547169811 0169491525 8305084745
0163954426
9836065573
77⁰4918032
558857209 3
9767441860 4 4468085106 3829787234 893617 65306 12244 5
8979591836
283;,(1). 49056605), 358; 320;(3) 6226415094 339 4237288135
7627118644
5932203389 06779661 2295081967— 7868852459
2131147540

sSUITE DE LA TABLE III.
71
79 81
85
97]
0149253731
597 1791044776 164
0140845070
28169
8752394566
46478
3432835820
1194029850
44225352112
1971850985
8955223880
746268656)
67605653380
9154939577
.01369865;(1)..06849515;(a). 5ʃ246575;
71232876;(4)..56164383;(5). 80821917;
(6)..... 04109589;(7)..20547945;(8)..02759726
0126582278 64 455696302
92405065320 912545679; 495827160;
753086419; 0120481927 4457831525
6024096585 2891566265
0112359550 4943820224
3370786516 8314606741 0105092783. 8762886597
4845360824
185567.
7422680412
481;(1).3670886075 949; 531;(3). 7215189875 417; 113:,(5) 7004685544 303 (1). 135802469; (3) 432098765; G. 283950617 SodeSenz0 9397590361 5421686746 9879518072 0 5617977528 0898876404 7191 8539535842 6966292154 5730 5051546391 7525775195 9581443298 9690721649 3711340206

797 46835,4 33 8 1098 ,65; 189So,) 4 99oosr
5 bn 8 0898576,00
2 696029134 1 ,S5775ig 3 9 ndig 14. 571 1170400
Beweis des Satzes, daſs jede unbegrenzte arithmetische
—
—
auttt Eer df.
g 2-R.
Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält.
Von G. LEJEUNE-DIRICHLET.
[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 27. Juli 1837.]
De aufmerksame Betrachtung der natürlichen Reihe der Primzahlen läſst an derselben eine Menge von Eigenschaften wahrnehmen, deren Allgemein- heit durch fortgesetzte Induction zu jedem beliebigen Grade von Wahr- scneinlichkeit erhoben werden kann, während die Auffindung eines Beweises, der allen Anforderungen der Strenge genügen soll, mit den gröſsten Schwie- rigkeiten verbunden ist. Eines der merkwürdigsten Resultate dieser Art bie- tet sich dar, wenn man sämmtliche Glieder der Reihe durch dieselbe übri- gens ganz beliebige Zahl dividirt. Nimmt man die Primzahlen aus, die im Divisor aufgehen und mithin unter den ersten Gliedern der Reihe vorkom- men, so werden alle übrigen einen Rest lassen, welcher relative Primzahl zum Divisor ist, und das Resultat, welches sich bei fortgesetzter Division herausstellt, besteht darin, daſs jeder Rest der genannten Art unaufhörlich und zwar so, daſs das Verhältniſs der Zahlen, welche für irgend bezeichnen, wie oft sie bis zu einem gewissen Gliede er- er weiter fortgesetzter Division die Einheit zur Grenze hat. Abstrahirt man von der zunehmenden Gleichmäſsigkeit des Vorkom- mens der einzelnen Reste und beschränkt das Beobachtungsresultat auf die nie aufhörende Wiederkehr eines jeden derselben, so läſst sich dasselbe in dem Satze aussprechen:» daſs jede unbegrenzte arithmetische Reihe, deren stes Glied und Differenz keinen gemeinschaftlichen Factor haben, un-
wiederkehrt, zwei solche Reste schienen sind, bei imm
er
„endlich viele Primzahlen enthält.« A

—
8
—jjj—* 8— ———.——„———
2 DmiCHIET: Becweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s..
Für diesen einfachen Satz existirte bis jetzt kein genügender Beweis, wie sehr auch ein solcher wegen der zahlreichen Anwendungen zu wünschen war, welche von dem Satze gemacht werden können. Der einzige Mathema- tiker, welcher die Begründung dieses Theorems versucht hat, ist, so viel ich weiſs, Legendre(1¹), für den diese Untersuchung aufser dem Reiz, welcher in der Schwierigkeit des Gegenstandes liegt, noch ein ganz besonderes In- teresse durch den Umstand haben muſste, daſs er die erwähnte Eigenschaft der arithmetischen Progression bei früheren Arbeiten als Lemma benutzt hatte. Legendre macht den zu beweisenden Satz von der Aufgabe ab- hängig, die gröſste Anzahl auf einander folgender Glieder einer arithmeti- schen Reihe zu finden, welche durch gegebene Primzahlen theilbar sein können, löst aber diese Aufgabe nur durch Induction. Versucht man, die auf diese Weise von ihm gefundene, durch die Einfachheit der Form des Resultats höchst merkwürdige Auflösung der Maximumsaufgabe zu be- weisen, so stöfst man auf grofſse Schwierigkeiten, deren Uberwindung mir nicht hat gelingen wollen. Erst nachdem ich den von Legendre einge- schlagenen Weg ganz verlassen hatte, bin ich auf einen völlig strengen Be- weis des Theorems über die arithmetische Progression gekommen. Der von mir gefundene Beweis, welchen ich der Akademie in dieser Abhandlung vor- zulegen die Ehre habe, ist nicht rein arithmetisch, sondern beruht zum Theil auf der Betrachtung stetig veränderlicher Gröſsen. Bei der Neuheit der da- bei zur Anwendung kommenden Principien hat es mir zweckmäſsig geschie- nen, dem Beweise des Theorems in seiner ganzen Allgmeinheit die Behand- lung des besonderen Falles voraus zu schicken, in welchem die Differenz der Progression eine ungerade Primzahl ist.
§. 1.
Es sei p eine ungerade Primzahl und c eine primitive Wurzel dersel- ben, so daſs also die Reste der Potenzen
0 1 2— c°, C, C,(C*=,
bei der Division durch p, wenn man von ihrer Ordnung absieht, mit den Zahlen 1, 2, 3,. p— 1 zusammenfallen. Ist n eine nicht durch p theilbare
(t) Theorie des Nombres. Aieme Partie.§. IX.

4n 8
r Chen. einer 68 Primahlen dbeile, ction. Verzucht 1n
kinfachheit der Im
Mrimumsaufade u) u deren Uherninlw uer en von Legendtei 3
einen völlig Suengal
sion gekommen. Dar
in dieser Abhandlng 1
sondern beruht aum!
„Bei der Neubeit‘
.. mir rweckmäldis gBl-
ANlemeinbeit die R in welchem die Mie⸗
.WI e primitise Wurald
Ordnung absieht, W 1.
ne nicht durch p e
dbeibr
unendlich viele Primzahlen enthält. 3
Zahl, so werden wir mit Gaufs den Exponenten=p—:, welcher der Con- Sruenz c'=n(mod. p) genügt, den Index von n nennen, und falls es nöthig sein sollte, mit, bezeichnen. Die Wahl der primitiven Wurzel« ist gleichgültig, nur soll angenommen werden, daſs man die einmal gewählte nicht ändere. In Bezug auf die eben definirten Indices gilt der leicht zu beweisende Satz, dafs der Index eines Productes der Summe der Indices der Factoren, um das darin enthaltene Vielfache von p— vermindert, gleich ist. Ferner bemerke man, daſs immer,= 0,,==—, so wie daſs y, gerade oder ungerade sein wird, je nachdem n Quadratrest oder Nichtquadratrest von p ist, oder mit Anwendung des Legendreschen Zeichens, je nachdem 6=+ 1 oder (7)== 1 ist.
Es sei nun q irgend eine von p verschiedene Primzahl(2 nicht ausge- geschlossen) und s eine positive die Einheit übersteigende Gröſse. Man be- zeichne ferner mit œ irgend eine Wurzel der Gleichung
1— 1=,(1)
und bilde die geometrische Reihe
1 27 2 X+ s(2)
1— 9 7 7 7
in welcher den Index von bedeutet. Denkt man sich für g alle von„ verschiedenen Primzahlen gesetzt, und multiplicirt die so entstehenden Glei- chungen in einander, so erhält man auf der zweiten Seite eine Reihe, deren Gesetz leicht zu erkennen ist. Ist nämlich n irgend eine nicht durch p theil- pare ganze Zahl, und setzt man n= G—£. wo †, †“,.. verschiedene Primzahlen bezeichnen, so wird das allgemeine Glied die Form haben
9+— m' P,+ ·.⸗ 1
Nun ist aber m'o, ‿ m e..=,(mod.„— ¹),
und folglich wegen(1) n m'+. 2
Man hat daher die Gleichung
II 4 1= a*= L,(3) 4— 5 A 2
47*

4 DmiCHILET: Becveis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. S. w.
wo sich das Multiplicationszeichen auf die ganze Reihe der Primzahlen, mit alleiniger Ausnahme von p, erstreckt, während die Summation sich auf alle ganzen Zahlen von 4 bis oo bezieht, welche nicht durch p theilbar sind. Der Buchstabe y bedeutet auf der ersten Seite y,, auf der zweiten dagegen Ne.
Die eben gefundene Gleichung repräsentirt— 1 verschiedene Glei- chungen, welche man erhält, wenn man für w seine p— 1 Werthe setzt. Be- kanntlich lassen sich diese p— 1 verschiedenen Werthe durch die Potenzen von einem derselben Q darstellen, wenn dieser gehörig gewählt wird, und sind dann
0, 92¹, 22,.. 222,
Wir werden, dieser Darstellung entsprechend, die verschiedenen Wer-
the L der Reihe oder des Products mit
Aro, AA, Ke, ee(4) bezeichnen, wobei es einleuchtet dafs Lo und Le=t eine von der Wahl des — 8 3 2 Werthes Q unabhängige Bedeutung haben und sich resp. auf ά 1, σέ— 1 beziehen. b
Ehe wir weiter gehen, ist es nöthig, den Grund der oben gemachten Voraussetzung anzugeben, nach welcher sein sollte. Man überzeugt sich von der Nothwendigkeit dieser Beschränkung, wenn man auf den we- sentlichen Unterschied Rücksicht nimmt, welcher zwischen zwei Arten von unendlichen Reihen Statt findet. Betrachtet man statt jedes Gliedes seinen Zahlenwerth oder wenn es imaginär ist, seinen Modul, so können zwei Fälle eintreten. Es läſst sich nämlich entweder eine endliche Gröfse angeben, welche die Summe von irgend welchen und noch so vielen dieser Zahlenwerthe oder Moduln stets übertrifft, oder diese Bedingung wird von keiner noch so groſsen aber endlichen Zahl erfüllt. Im ersteren Falle ist die Reihe immer convergirend und hat eine völlig bestimmte Summe, welche von der Anord- nung der Glieder ganz unabhängig ist, sei es nun, daſs diese nur nach einer Dimension, sei es, daſs sie nach zwei oder mehr Dimensionen fortschreiten, und eine sogenannte Doppel- oder vielfache Reihe bilden. Im zweiten der eben unterschiedenen Fälle kann zwar die Reihe auch noch convergiren, aber diese Eigenschaft, so wie die Summe der Reihe, werden wesentlich durch die Art der Aufeinanderfolge der Glieder bedingt sein. Findet die Convergenz für eine gewisse Ordnung Statt, so kann sie durch Anderung

die verschiedenen ſa
9 ine von der Wällh
ep. auf 2=, u⸗-
nd der oben gemacht sollte. Man übeneg
wenn man auf dene
wischen zwei Artelm
att jedes Glides Bihs
1. 80 Köunen zweillt Gröbse angeber ne en dieser Zahlenmerlt rird von keiner nochg
lle ist die Reibe inme
welch as diese nur nae' eue
gensionen
e von der Koor-
ſortschreiet Im reitel e
unendlich viele Primzahlen enthält. 5
dieser Ordnung aufhören, oder es kann, wenn dies nicht der Fall ist, die
Summe der Reihe eine ganz andere werden. So ist z. B. von den beiden aus denselben Gliedern gebildeten Reihen
1 1.. A.. 1. 1 VI V W VE V.. 1+ 4....— , W W.. nur die erste convergirend, während die folgenden 1 1 1 1 1 4—,. 1+† 4.— 4.. 1.† 1...4 7
zwar beide convergiren, aber keinesweges dieselbe Summe haben.
Was nun unsere unendliche. Reihe L betrifft, so gehört diese, wie leicht zu sehen ist, nur dann in die erste der beiden eben unterschiedenen Klassen, wenn man§ annimmt, so daſs also unter dieser Voraussetzung, wenn man L= X+ u— 1 setzt, Xund völlig bestimmte endliche Werthe sind. Bezeichnet man nun mit ſ,+ 9 V— 1 das Product der m ersten Facto-
ren der Form
„diese Factoren in einer beliebigen Ordnung gedacht, 1——
so wird man immer m) so groſs nehmen können, daſs sich unter diesen m er- sten Factoren alle diejenigen befinden, in denen qꝗ‿ ist, wo h irgend eine ganze Zahl bezeichnet. Sobald m diesen Grad von Gröſse erreicht hat, wird offenbar jede der beiden Differenzen ſ— A, ge— ℳ¹, abgesehen vom Zei- chen, immerfort kleiner bleiben als †+ i+.Nwie weit man sich auch m noch ferner wachsend denke. Unter der Annahme* kann aber 4++.. für ein gehörig groſses h beliebig klein werden. Es ist so- mit beweisen, daſs das unendliche Product in(3) einen von der Ordnung seiner Factoren unabhängigen, der Reihe L gleichen Werth hat. Ist hin- gegen= 1 oder S=2:, so ist dieser Beweis nicht mehr anwendbar, und in der That hat das unendliche Product in diesem Falle im Allgemeinen und unabhängig von der Ordnung der Factoren keinen bestimmten Werth mehr. Liefse sich bei einer gegebenen Art der Aufeinanderfolge der Factoren die
Existenz eines Grenzwerthes für die ins Unendliche fortgesetzte Multiplica-
tion nachweisen, so würde zwar die Gleichung(3), gehörig verstanden, noch
B

6 DMMrCHLET: Becwvweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s..
Statt finden, aber zur Feststellung dieses Werthes keinen wesentlichen Nut- zen mehr gewähren. Man müſste nämlich, wenn—,, q“,... die der an- genommenen Ordnung entsprechenden Werthe von † sind, die Reihe L als eine so zu ordnende vielfache Reihe betrachten, daſs man zuerst diejenigen Glieder zu nehmen hätte, in denen n nur den Primfactor— enthält, dann diejenigen der übrigen, in denen n keine anderen Primfactoren als, ent- hält, u. s. W. Durch die Nothwendigkeit, den Gliedern diese Ordnung zu geben, würde die Summation der Reihe eben so schwierig, als es die Unter- suchung des Productes selbst ist, vor welchem die Reihe nur dann hinsicht- lich der Einfachheit etwas voraus hat, wenn die Ordnung ihrer Glieder will- kührlich ist, oder sich wenigstens nicht nach den Primfactoren in n richtet.
S§. 2.
Setzt man s= 1+ 9, so pleibt die Gleichung(3) gültig, wie klein man auch die positive Gröfse g annehme. Wir wollen nun untersuchen, in wel- cher Art sich die darin enthaltene Reihe L ändert, wenn man g unendlich klein werden läfst. Das Verhalten der Reihe ist in dieser Beziehung ein ganz verschiedenes, je nachdem der positiven Einheit gleich ist oder irgend ei- nen andern Werth hat. Um mit dem ersten Falle oder mit der Untersuchung von L, zu beginnen, betrachten wir die Summe
§— 1 1 1 r τπ T&πm*.:
in welcher eine positive Constante bezeichnet. Schreibt man in der be-
kannten Formel . a 10(*) ga Tre). für k der Reihe nach k, K+ 1, K+ 2,... und addirt, so kommt 1 1 2 /1 al:
Addirt man irt zugleich 1.== 1169 ,4 1l9g.(4. ir man ung subtrahirt zugleich 6fae F/ log(aa, so geht diese Gleichung über in
§= 4+ e.,(—)( e) Lz o0g( log(*) 9*,

e be elhe unr dann liu
1
dnung ürer Glel
4
1. N.. Primfactoren n nr.
71 e.„ 6) güllig wie läun aun untersuchen, un t venn man; Wenll
dieser Beriebung eg
gleich ist oder ireut
der mit der Uuterutr
. 14 ½
Schreibt man in derh
el.
———:—ę—᷑—::ꝛ˖F˖——-—— *— 3———
unendlich viele Primzahlen enthält. 7
wo as zweite Glien für ein unendlich kleines g sich der endlichen Grenze J(k= fas dœ nähert.
Betrachtet man statt der Reihe& die allgemeinere, welche zwei posi- tive Constanten a, 5 enthält,
1. 1 ͤͤ.. 5 1+? 6—QↄQσ1l ꝗ(¶ᷣ 2a) P“
so braucht man diese nur in die Form
1 1 1 1 a¹*?(⸗ rArue A)+†.
zu bringen und mit& zu vergleichen, um sogleich zu sehen, daſs sie einem Ausdrucke von folgender Form gleich ist 1 /1 1 2§(O), wo) für ein unendlich klein werdendes g sich einer endlichen Grenze nähert. Die zu untersuchende Reihe Lo besteht aus— 1 Partialreihen, wie
1 1. 1 ) S m) r.
+*
wo man successive m= 1, 2,. p— 1 zu setzen hat. Man hat mithin
Lo= 2— 1+ 90,(5)
p
wo wieder„(o) eine Function von g ist, die für ein unendlich kleines g einen endlichen Werth annimmt, welchen man nach dem Vorigen leicht durch ein bestimmtes Integral ausdrücken könnte, was jedoch zu unserm Zwecke nicht erforderlich ist. Die Gleichung(5) zeigt, daſs Lo für ein unendlich kleines
9 den Werth 0o erhält, und zwar so, daſs L.— 5 F 4 endlich bleibt.
S. 3.
Nachdem wir gefunden haben, nach welchem Gesetze unsere Reihe, wenn darin= 1 angenommen wird, für abnehmende der Einheit sich nä- hernde Werthe von s sich ändert, pleibt uns dieselbe Untersuchung auf die übrigen Wurzeln w der Gleichung ν‿— 1= auszudehnen. Obgleich die Summe der Reihe L, so lange 1, von der Ordnung der Glieder unab-
hängig ist, so wird es doch für diese Untersuchung vortheilhaft sein, sich B 2

8 DRiCHLET: Becwveis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s..
die Glieder einander so folgend zu denken, daſs die Werthe von n wach- send fortschreiten. Es ist nämlich unter dieser Voraussetzung 2oνρς eine Function von s, welche für alle positiven Werthe von s stetig und endlich pleibt, so dafs also namentlich die Grenze, der sich der Werth der Reihe nähert, wenn man darin= 1+g setzt und g unendlich klein werden läſst, und welche von der Ordnung der Glieder unabhängig ist, durch 2ονσπν aus- gedrückt ist, was bei einer andern Ordnung nicht nothwendig der Fall wäre, indem für eine solche 2ονσα von Xaννπσσ um eine endliche Gröſse verschie- den sein oder auch gar keinen Werth haben kann. Um die eben ausgespro- chene Behauptung zu beweisen, bezeichne man mit A irgend eine ganze po- sitive Zahl und drücke die Summe der U'p— ¹) ersten Glieder der Reihe mit Hülfe der schon oben gebrauchten für jedes positive s gültigen Formel
Ie. L.(1) d= u
durch ein bestimmtes Integral aus. Man erhält so für diese Summe
.ſ.; 1Aay log.—(0*ν☚— 65. 4 440) l0 8—()⸗e.
wo man zur Abkürzung gesetzt hat
N„ ¹
F)= a0e Ao,. r*¹.
Ist nun, wie wir voraussetzen, nicht= 1, so ist das Polynom= f(æ) durch 1— x theilbar, denn man hat
f(i)= u. 2 4. P ½1 ſk= 1++.+**ü=o.
Befreit man daher Zähler und Nenner des Bruchs unter dem Integralzeichen von dem gemeinschaftlichen Factor 1— ꝙ, so wird derselbe
k+. u—1 1+sr a P a- 1*
wo t und u Polynome mit reellen Coéfficienten bedeuten. Bezeichnen T und U die gröfſsten Zahlenwerthe vont und u zwischen æ= o und æ= 1, so sind offenbar der reelle und imaginäre Theil des zweiten Integrals respective
kleiner als 7* 1 8§— 1 1 7T 16.. a*9 log G) gu e(

nlen Glieder de 4
Müne zälligen Pun
ür diese Summe
— 2[ log 1 vür,
ist das Pohynon ſt
4
1— .+ 2=o.
ater dem lutegrreis
gerselbe
eute
r= d udre=
ten Int
a. Dereichlen lu 60 M
unendlich viele Primzahlen enthält. 9
ro. J." log(1) 2r=—
Das genannte Integral wird also für h= oo verschwinden. Die Reihe ist
also, bei der angenommenen Ordnung ihrer Glieder, convergirend und man hat für ihre Summe den Ausdruck
1 1 ſ.—1 * 5= eſ. 1 log ⁵⁹◻ da. Diese Function von s pleibt nicht nur selbst, so lange ²o, stetig und end- lich, sondern dieselbe Eigenschaft kommt auch ihren nach s genommenen Differentialquotienten zu. Es genügt, um sich davon zu überzeugen, nach s zu differentiiren und zu berücksichtigen, daſs P(s), 2909), ebenfalls stetig und endlich sind, so wie daſs P(s) nicht Null wird, so lange positiv bleibt. Setzen wir daher b
16./1. 1o(4) dæ= NAGG)+ 6) 1— 1,
wo N(s) und x%ε) reelle Functionen bedeuten, so haben wir nach einem be- kannten Satze für ein positives g
NG+ 9)= M)+ NG+, XG+ 9)= G)+ ℳ1 eg),(6)
wo zur Abkürzung N(8)= 2909,(6)= 5 gesetzt ist und und« positive von g abhängige Brüche bedeuten. b
Es versteht sich übrigens von selbst, daſs für=— 1, ℳ(§)= 0 ist, und daſs, wenn man von einer imaginären Wurzel« zu ihrer conjugirten
übergeht, N(S) denselben Werth behält,%(S) aber den entgegengesetzten
annimmt.
§. 4.
Wir haben jetzt nachzuweisen, daſs die endliche Grenze, der sich a*⅞☚☛†᷑, unter der Voraussetzung, daſs nicht die Wurzel ¹1 bedeutet, nä- hert, wenn man das positive g unendlich klein werden läſst, von Null ver- schieden ist. Diese Grenze ist nach vorigem§ durch das Integral gegeben
= da,
—1
welches sich leicht durch Logarithmen und Kreisfunctionen ausdrücken läſst.
———

10 DmiCHIET: Becweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s. cv. 2—
Irgend ein Linearfactor des Nenners ν— 1 ist—„wo m aus der
JAa)
Reihe o, 1, 2,. p— ¹ zu nehmen ist. Zerlegt man=—2
in Partialbrüche,
— 1
so wird nach den bekannten Formeln der Zähler des Bruchs —1
1 2m τ—
4ℳ⸗ Le t
durch den Ausdruck A) gegeben, wo αz zu setzen ist. Man pæ
2mE f⸗/ hat also A,=— J/.(2* nr). Substituirt man diesen Werth und bemerkt, 7
daſs A= 0 ist, so erhält man 2m 1— 1„ 1 1 222/—/ dar „* P — 72 P 2/ Zaan1 0—e*
wo sich das Summenzeichen auf der zweiten Seite von m= 1 bism= p— 1
erstreckt. 222e Die Function(—) jst die bekannte in der Kreistheilung vor-
kommende und läſst sich leicht auf(* 1⸗i) Lurückführen. Es ist nämlich
2ma 1— 221/— f 7 ken)— o 6 5 1
wo sich das Zeichen von g= bis g= p- erstreckt. Setzt man statt gin den jedesmaligen Rest h nach dem Modul p, so sind ¹, 2,.— ¹, die verschie- denen Werthe von h, und man hat, wegen gm=h(mod. p), N.= Y.— 7„ (mod. p— ¹). Schreibt man also zugleich—„ für, was Wegen der Gleichung ν‿— 1= erxlaubt ist, so kommt
2m— 224/— 2 7†— f(e* 3 1)=e e nI 1= G v f(æ*). Die obige Gleichung wird so 2 /—— 1 8 4„ 1 1 22 /N——&, r *½*————( P) 3 Im O 8 72 P 4 6 2⁰. 2m 11
Nun ist für einen positiven Bruch
A.=—= 10g(2 sin r)(1— 2c)— ¹, folglich
—
22—— m' 7 5— * 1.== f(e*)*.(og(2sin ²*)*(I=¹).
77

n= bi n⸗.
der Rreistheilm, n.
Rfübren. Esütunll
Setut man suttgnit b..—, Gie vendit (mod. p),„2.h für J,, Was Wegel 42 b
unendlich viele Primzahlen enthält. 11
Obgleich dieser Ausdruck für X*εσφ2, sehr einfach ist, so kann man doch im Allgemeinen nicht daraus schlieſsen, dals Xoνα᷑ einen von Null verschiedenen Werth hat. Es fehlt noch an gehörigen Principien zur Fest- stellung der Bedingungen, unter denen transcendente Verbindungen, welche unbestimmte ganze Zahlen enthalten, verschwinden können. Die verlangte Nachweisung gelingt jedoch für den besonderen Fall, wo=— 1. Für die imaginären Werthe von w werden wir im folgenden§ ein anderes Ver- fahren angeben, welches aber auf den genannten besonderen Fall nicht an- wendbar ist. Unter der Voraussetzung, daſs=— 1, erbält man, mit Be- rücksichtigung, daſs„, gerade oder ungerade ist, je nachdem(E)=+ 1 oder=—:, und daſs folglich(— ¹)=(2) ist, So wie daſs(— ¹)*=(),
als Grenze von Le=t für ein unendlich klein werdendes g 2
-(eJ= 3/.) 20)(o6n e). rd- B)n-)
.. 22. oder einfacher, da zwischen den Grenzen m= 1, m= p— 1,*()= o ist,
* /⁵)—=— 9/( 1—9 2)(log sin 2)— m)= ¹).
Es sind jetzt zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die Primzahl p die Form 4½+‿3 oder 44+† 1 hat. Im ersteren Falle ist für zwei Werthe, wie m und p—m, die sich zu p ergänzen,
— 2 772 77 3— mm) 7 (*)——(2*) und sin—= sin L. p p 2 2
Mithin verschwindet der reelle Theil der Summe, und man erhält, wenn man mit a die Werthe von m bezeichnet, für welche 4 2)= ¹, 1, und mit 5 diejenigen, für welche(5)==—:, oder mit anderen Worten, wenn a und 5 die Quadratreste und Nahtquadratreste von p bedeuten, welche kleiner als
p sind, 9 i *()*=CEe= Her
Ist p= 44L+ 1, 80 verschwindet der imaginäre Theil der Summe, weil als- 1G)=(*), und man erhält

12 DmICHLET: Becveis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s..
22— 357
nX 1 1 22— 1 IIsin—
———— e*) 10 2 2(22 7 5 Hin=
wo sich das Multiplicationszeichen auf alle a oder 5 erstreckt.
Bemerkt man jetzt, daſs unter der hier gemachten Annahme von „vF=—:, nach bekannten Formeln(¹),(⸗.) im ersteren Falle p 7—:,
im letzteren Vp ist, so kommt respective
5)*= Se s=e, 2E)*= Fr bs Hae
Für den Fall, wo p= 44+s, sieht man sogleich, daſs 26*) von
Null verschieden ist, indem a+† 25b=„—— ungerade ist une mithin
nicht a= b sein kann. Um dasselbe für 2= A4u+ zu beweisen, nehme man die aus der Kreistheilung bekannten Gleichungen(²) zu Hülfe,
22—
)= 1— Zyp, 211(* ‧+- 6 1-—1)= I Lp,
2 a71
27(-
wo F und Z Polynome mit ganzen Coéfficienten bedeuten. Setzt man in diesen Gleichungen und der daraus folgenden
-— 1 2 4— F2 pZ?,
᷑—1 —= 1, und nennt g und ä die ganzen Zahlen, welchen F und ZI gleich wer- den, so kommt, nach einigen leichten Reductionen, 2*
* Hsin= g—— hWp, 25 I sin 2= gℳ hp, g— ph== 4p.
Aus der letzten Gleichung folgt, daſs g durch p theilbar ist. Setzt man da- her g= p, und dividirt die beiden ersten durch einander, so erhält man
IIsin— KxXVp+h„2.— 7—— IIsin ae, ⸗ 36—
Nach der zweiten dieser Gleichungen kann R nicht Null sein, folglich sind die beiden Seiten der ersten von der Einheit verschieden, woraus so-
(1) Comment. Gotting. rec. Vol. I. oder die Abhandlungen unserer Akademie, Jahrg. 1835.
( 2) Disꝗq. arith. art. 357.

e le derem Wege wahrscheinlich sehr schwer zu beweisende Sätze, von denen
unendlich viele Primzahlen enthält. 13
gleich, mit Berücksichtigung des oben erhaltenen Ausdruckes folgt, daſs 2(2) nicht den Werth Null haben kann, w. Z. b. w. Man kann noch
hinzufügen, daſs die Summe*(2)—, da sie als Grenzwerth eines Products 0 0 1 6 0 aus lauter positiven Factoren, nämlich als Grenzwerth von II( 9. für 1—*— 2
71*
ein unendlich klein werdendes g, auch nicht negativ sein kann, nothwendig positiv sein wird. Aus dieser Bemerkung folgen unmittelbar zwei wichtige und auf an-
geich, das 2“ 1 2. 24 3 der auf den Fall p= 44+† bezügliche darin besteht, daſs für eine Primzahl
†im deweiben uu
—
dedeuten. Setu mi
den Fund Z gleim.
41p, S=ph ap
albar ist. Oetet Em 3
ander, do erhim
— —*
aicht Nulsei, is
9 erschieden, vori
—
werer Asbens
3. 7rl 4 mngerade ist wl uin
n()mkl, ir,
2
—„ ph,=4441
dieser Form immer 25 Na ist! Wir wollen uns jedoch bei diesen Folge-
rungen unserer Methode hier nicht aufhalten, da wir bei einer anderen Un-
„=Tn tersuchung Gelegenheit finden werden, auf diesen Gegenstand zurückzu- 24.„ 4 4.
1ef Se..- 2ig buh Are, Setn Nᷣ= K t, N&Ia —
§. 5.
Um für L,, wenn m weder o noch ist, nachzuweisen, daſs sein einem unendlich kleinen g entsprechender Grenzwerth von Null verschie- „ und entwickle den
den ist, nehme man den Logarithmus von II 1—*
Logarithmus jedes Factors mittelst der Formel
71+
— log(1—)= æ+† †‿ a †..
Man findet so
1 1 2„ 1 3 1— 2oν σ⁸‿(7)+ 2(⁵) 1†* 4.= log L,
2
wo sich die Summationen auf beziehen und den Index von q bedeutet. Setzt man der Reihe nach für w seine Werthe 1, 9, Q*, Q“—“, addirt und
berücksichtigt, daſs die Summe 1+ 2†+ LA++ Q2= ²)2
immer verschwindet, aufser wenn hy durch— 1 theilbar ist, in diesem Falle aber den Werth„— 1 hat, und dafs die Bedingung 4h= o(mod. p— ¹) gleich-
bedeutend mit ꝗᷣ☛(mod. p) ist, so erhält man
C

14 DmicHEET: Beweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s. o.
1 1 1 (p— ¹)( r 4 12 7²+ 42 7+— log(L‿½ 42.ο L* 2),
wo sich die erste, zweite,.. Summation resp. auf die Werthe von 9 be- zieht, deren erste, zweite,.. Potenzen in der Form p+ enthalten sind. Da die erste Seite reell ist, so folgt, daſs das Product unter dem Zeichen log positiv ist, was auch sonst klar ist, und daſs für den Logarithmus der arith- metische mit keiner Vieldeutigkeit behaftete Werth zu nehmen ist. Die Reihe auf der ersten Seite bleibt stets positiv, und wir werden nun zeigen, dafs die zweite, in Widerspruch hiermit, für ein unendlich kleines g den Werth— oo haben würde, wenn man die Grenze für L, als verschwindend annehmen wollte. Die zweite Seite läfst sich in die Form bringen
log L,+ log Lei+ log L. L,+ l0g L. L, 5+.., wo log Lo nach(5) dem Ausdruck „—1 1— 1„—1 1(— 90))= los(+)+log(+ 99))
gleich ist, dessen zweites Glied sich der endlichen Grenze log
nähert; H
eben so bleibt log Lei endlich, da der Grenzwerth von Le=t nach§. 4.
von o verschieden ist. Irgend einer der übrigen Logarithmen, wie log. L, Le
ist nach§. 3., log(A*(i+ 9)+(1+ 9)), welcher Ausdruck, wenn Lo und
also auch L,-n die Null zur Grenze hätte, so daſs gleichzeitig T(1)=o, 4⁴(1)= 0o wäre, in
1(κιάναο 4 Aeg)))=— 2 log( log(M/*+ ½g)+*i-†))
übergehen würde. Vereinigt man das Glied— 2 log(+) mit dem ersten Gliede von log Lo, so bleibt— log(+), welcher Werth für ein unendlich kleines g in— 00 übergeht, und es ist klar, daſs dieser unendlich groſse negative Werth nicht etwa durch log(Mε+‿ ³)+ X%*(1+ g)) aufgehoben werden kann, denn dieser Ausdruck bleibt entweder endlich oder wird selbst — oo, wenn nämlich gleichzeitig N/61)= o,(4)= o wäre. Eben so ein- leuchtend ist, daſs, wenn man aufser L, und L,-,, noch ein anderes oder mehrere andere Paare zusammengehöriger E als verschwindend betrachten wollte, der Widerspruch nur noch verstärkt würde. Es ist somit bewiesen, dafſs die einem unendlich klein werdenden 9 entsprechende Grenze für Lo

renae log( A
erth von Le nd 9l
1 ithmen, wie logl,
als gleichꝛeiti 900⸗
8
36†ve
8
log E) mi dem eh
Werth für ein mnerdis
aieser unendich g * ⁵) aufaelch „eadlich oder rirdv
noch ein aderes te nchwindend derain Esüt omit heniae rechende Grem fe
1
Ausdruck, wem I, u
unendlich viele Primzahlen enthält. 15
(wo m nicht o ist) endlich und von der Null verschieden ist, so wie daſs Lo
in demselben Falle oo wird, woraus sogleich folgt, daſs die Reihe
1 1 1 — 4„2— 1.„ 3.——— r 4 m. 2½„5r..= log L 0)
* sich immer, wenn nur nicht άt:, einer endlichen Grenze nähert, für ᷣ: aber unendlich groſs wird, wenn man g unendlich klein werden läfst. Wollte man diese endliche Grenze selbst haben, deren Kenntniſs je- doch zu unserem Zwecke nicht erforderlich ist, so würde(wenn nicht— 1 ist) ihre Bestimmung durch den Ausdruck log(N¹)+(¹) /— ¹) mit einer Vieldeutigkeit behaftet sein, die man aber in jedem speciellen Falle, d. h. sobald p und numerisch gegeben sind, leicht heben kann. Setzt man die
Reihe(7),= u. ν— 1, und folglich
4 v= 1= log L= 10 ‿νοςτ£εμ‿— 1½+ 9),. so hat man u= † log(*+ 9)+† ℳ(1+ 9)),— LG+ 9)..*(1+ 9) CO8 L S M‿ν‿τ1άQα‿2ες n vd) 9)
und folglich ist der Grenzwerth von u ohne Vieldeutigkeit, = 1 log(L*+*(0).
Um den von v eben so zu erbalten, bemerke man, daſs die Reihe, wie klein auch o sei, stetig mit dieser Gröſse veränderlich ist, wie man leicht nach- weisen kann, und dafs mithin auch v eine stetige Function von g sein muſs. Nun wird sich, da nicht zugleich J(1)= o, 1)= dsein kann, aus den oben
gegebenen Ausdrücken von N(i+‿„) und 4‿ 9) in Form bestimmter Inte- grale immer ein positiver endlicher Werth R von solcher Beschaffenheit ab-
leiten lassen, daſs wenigstens eine der Functionen N+‿§),+ 9) für jedes „welches= R ist, dasselbe Zeichen behält. Es wird mithin cos v oder sin v, sobald? abnehmend kleiner als R geworden ist, sein Zeichen nicht mehr ändern, und also der continuirlich veränderliche Bogen v nicht mehr um 7 zu- oder abnehmen können. Bestimmt man also den= H entsprechenden endlichen Werth von v, den wir V nennen wollen, und den man durch nu-
merische Rechnung aus der Reihe(7) selbst leicht finden kann, da diese für 62
3 3—* —
““— ——j 8 —
—— —

16 DmRcHIET: Becveis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. S..
jeden endlichen Werth von g in die erste der in§. 1. unterschiedenen Klas- sen gehört und also eine völlig bestimmte Summe hat, so ist nun der Grenz- werth vo von v durch die Gleichungen
09.(1) cos vo= sin vo===. W2)+ X2)'*VTG X0 mit der Bedingung verbunden, daſs die Differenz V— v, abgesehen vom Zeichen,=y sein muſs, vollständig bestimmt.
§. 6.
Wir sind jetzt im Stande zu beweisen, daſs jede arithmetische Reihe, deren Differenz p ist und deren erstes Glied nicht durch p theilbar ist, un- endlich viele Primzahlen enthält, oder mit anderen Worten, daſs es unendlich viele Primzahlen von der Form um giebt, wo eine unbestimmte ganze Zahl und m eine der Zahlen 1, 2, 3,„— 1 bedeutet. Denkt man sich die in der Gleichung(7) enthaltenen Gleichungen, so wie sie der Reihe nach den Wurzeln 1, 9,*,. 2*⸗,(4) entsprechen, mit 1, Q*, Q*,.. Q.O, multiplicirt und addirt, so erhält man auf der ersten Seite
26 A. Q(O= Ye)... 9200— 2 ²G—) 71☛ + 4 eſ 4+ Jm+ 2.+ 9200—2 2)(29— Jm 9)
4260+ Q 3)— Jm+ 9²)— Tn)..+. 900— 2) 62 2e)) er⸗
2+2 ⁵
3+3 5 9
³⸗
wo sich die Summationen auf beziehen und den Index von ꝗ bezeichnet. Nun ist aber
„———— 1 4.O0. Q22)+ 90 2) Gy e)= o
aufser wenn hy—“= O0(mod.„— ¹) ist, in welchem Falle diese Summe
= p— 1 ist. Diese Congruenz ist aber gleichbedeutend mit ☛ m(mod. p). Man hat daher die Gleichung
1 2 42r 4* 273.,
==(log Lo †Q*log L, HG r. log L... A, OrJ 10 L, ⸗),

ede arithmetiseh M üured theilb N 1 Norten, hls es uneudb
eine undestimmte
wie sie der Reibe u
88— 9 mit t, M* M* 4 1** 1
„
l der ersten Seite
4 -.) 1
Index von g berxices
*—) 72— —]
dem Faälle Gese Sue
. 4— nd mit q=
.99 Srl
aann V d tet. Deukt ma däb
Golh)
unendlich viele Primzahlen enthült. 17 wo sich die erste Summation auf alle Primzahlen der Form p+†m er- streckt, die zweite auf alle Primzahlen—, deren Quadrate, die dritte auf alle Primzahlen—, deren Cuben, u. s. w. in derselben Form enthalten sind. Denkt man sich nun g unendlich klein werdend, so wird die zweite Seite durch das Glied log Lo unendlich groſs. Es muſs also auch die erste Seite unendlich werden. Auf dieser Seite bleibt aber die Summe aller Glieder, mit Aus- schlufs des ersten, endlich, da bekanntlich 4. τ 72+ 4+.. noch end- lich ist, wenn man unter nicht, wie hier, gewisse Primzahlen, sondern alle ganzen Zahlen, welche— 1 sind, versteht. Folglich muſs die Reihe über jede positive Grenze hinaus wachsen, sie mufs mithin unendlich viele Glieder enthalten, d. h. es giebt unendlich viele Primzahlen der Form up m, w. z. b. w.
§. 7.
Um den im Vorhergehenden geführten Beweis auf eine arithmetische Reihe auszudehnen, deren Differenz irgend eine zusammengesetzte Zahl ist, sind einige Sätze aus der Theorie der Potenzreste erforderlich, die wir hier kurz zusammenstellen wollen, um uns in der Folge leichter darauf berufen zu können. Die Begründung dieser Resultate kann man in den Disꝗq. arith. sect. III. nachsehen, wo dieser Gegenstand ausführlich behandelt ist. I. Die Existenz von primitiven Wurzeln ist nicht auf ungerade Prim- zahlen p beschränkt, sondern findet auch noch für irgend eine Potenz p' einer solchen Statt. Ist c eine primitive Wurzel für den Modul p', so sind die nach diesem genommenen Reste der Potenzen
L 9„— 1* 1— 1 60, c, C,., cG⸗,
alle von einander verschieden und fallen mit der Reihe derjenigen Zahlen zu- sammen, welche=p' und zu p' relative Primzahlen sind. Hat man nun irgend eine nicht durch p theilbare Zahl n, so ist der Exponent.(p— ¹), welcher der Congruenz
den(mod. p*)
genügt, völlig bestimmt und soll der Index von n heiſsen. Von solchen In- dices gelten wieder die leicht zu beweisenden Sätze, daſs der Index eines Productes der Summe der Indices der Factoren, um das gröſste darin ent-

18 DmicHLET: Becweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. S. v.
haltene Vielfache von(p— ¹) py vermindert, gleich, so wie daſs„, gerade oder ungerade ist, je nachdem(2)=+ oder- 1 ist.
II. Die Primzahl 2 verhält sich in der Theorie der primitiven Wur- zeln wesentlich anders, als die ungeraden Primzahlen, und es ist über diese Primzahl Folgendes zu bemerken, wenn wir die erste Potenz 2, welche hier nicht in Betracht kommt, aufser Acht lassen.
1) Für den Modul 2² hat man die primitive Wurzel— 1. Bezeichnet man den Index für irgend eine ungerade Zahl n mit α, so daſs also(— ¹)“=n (mod. 1), so ist,= ooder=:i, je nachdem n die Form 4+ 1 oder 4ε+₰3 hat, und man erhält den Index eines Productes, wenn man von der Summe der Indices der Factoren das gröfste darin enthaltene Vielfache von 2 ab- zieht.
2) Hat der Modul die Form 2˙, wo X=3 ist, so giebt es keine primitive Wurzel mehr, d. h. es existirt keine Zahl, für welche die Periode ihrer Po- tenzreste nach dem Divisor 2* alle ungerade Zahlen enthält, welche= 2“ sind. Man kann nur die Hälfte dieser Zahlen als solche Reste darstellen. Wählt man irgend eine Zahl der Form 8½+ oder speciell 5 zur Basis, 8o sind die nach dem Modul 2“ genommenen Reste der Potenzen
2—e.
50, 5, 5„., 5 4, alle von einander verschieden und fallen mit den Zahlen zusammen, welche die Form 4+ 1 haben und=2* sind. Hat man daher eine Zahl n der Form à+ 1, so läſst sich immer der Congruenz
56»*= n(mod. 2*)
durch einen und nur durch einen Exponenten oder Index G, genügen, wenn dieser= 22— sein soll. Hat n die Form 4α+ 3, so ist diese Congruenz un- möglich. Da aber unter dieser Voraussetzung— n die Form 4½+†1 hat, s0 wollen wir allgemein unter dem Index einer ungeraden Zahl n den völlig bestimmten Exponenten ½, verstehen, welcher= 2*“ ist und der Congruenz
6
5 ⁄= En(mod. 2*)
genügt, in welcher das obere und das untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem n die Form 4½+ 1 oder 4+ hat. Wegen dieses doppelten Zei-

tene Viellache u n
geebt es keine hiun dhe die Periode eh
len enthält, welche
solche Reste dnt r peciell5 ur Mi,
r Potenzen
tahlen zsammen, Fait
der eine Lahl a cerlm
5. Index 6. genügel, NaA
„ist diese Congruem 3
die Form lu†⁰ Ar
raden Zahln la i
— kt und der Cound-
chen ꝛu rehnen i, c
ten Geses doppe
4
leul‘
unendlich viele Primzahlen enthält. 19
chens ist also der Rest von n nach dem Modul 2' durch den Index§, nicht mehr völlig bestimmt, indem demselben Index zwei Reste entsprechen, die sich zu 2) ergänzen. Für die so definirten Indices gelten offenbar die Sätze, daſs der Index eines Productes der Summe der Indices der Factoren, um das darin enthaltene gröfste Vielfache von 2*+¹ vermindert, gleich ist, so wie daſs, gerade oder ungerade sein wird, je nachdem n die Form Suᷣᷣ oder die Form suks haben wird. Um die vorher erwähnte Zweideutigkeit zu heben, wird es genügen, neben dem Index§,, welcher sich auf den Modul 2*⁄8 und die Basis s bezieht, noch den Index a, welcher dem Modul 4 und der Basis— 1 entspricht, zu betrachten, indem dann, je nachdem a,= 0 oder 1 ist, das obere oder untere Zeichen in
56*=&n(mod. 2*)
zu nehmen sein wird. Man kann auch, wenn man will, beide Indices in einer Formel vereinigen, und
(—)“ 59-= n(mod. 2“) schreiben, durch welche Congruenz der Rest von n nach dem Modul 2* vollständig bestimmit ist.
III. Es sei nun xX= 2* p' pr.., wo, wie in II. 2, A 1 3, und p, p,.. von einander verschiedene ungerade Primzahlen bezeichnen. Hat man ir- gend eine durch keine der Primzahlen 2, p, p,... theilbare Zahl n, und
kennt man die den Moduln 4, 2,,„.
und ihren primitiven Wurzeln
entsprechenden Indices Cn, 1) 7n⸗„„„ 2 so hat man die Congruenzen (— ¹)“ Sn(mod. ¹), 66* n(mod. 2*),
cn(mod. p'), 9=n(mod. p*),...
durch deren Inbegriff der Rest von n, nach dem Divisor genommen, voll- ständig bestimmt ist, wie aus bekannten Sätzen sogleich folgt, wenn man

20 DmicHLET: Becweis, da s jede unbegrenzte arihm. Progression u. S. v.
berücksichtigt, daſs das doppelte Zeichen in der zweiten dieser Congruen- zen durch die erste festgestellt wird. Wir werden die Indices, 12,, Y., 7„, .. oder a,, y, V,..., das System der Indices für die Zahl n nennen. Da die Indices, G, y, 7,... resp. 2, 25,(p— ¹) p,(p— ¹)„,.. ver⸗ schiedene Werthe erhalten können, so ist
2. 22—2(p— ¹) 52—(p— ¹) p.= k1—+)(1—5)(1—)..= K 68)
die Anzahl aller möglichen Systeme dieser Art, was mit dem bekannten Satze übereinstimmt, nach welchem K die Anzahl derjenigen Zahlen ausdrückt, welche kleiner als x und zu k relative Primzahlen sind.
§. 8.
Indem wir nun dazu übergehen, das Theorem über die arithmetische Progression in seiner ganzen Allgemeinheit zu beweisen, bemerken wir, daſs man, ohne dieser Allgemeinheit zu schaden, die Differenz k der Progression als durch s theilbar und also in der Form des vorigen§. n. III. enthalten, an- nehmen kann. Ist der Satz unter dieser Voraussetzung bewiesen, so wird er offenbar um so mehr gelten, wenn die Differenz ungerade oder nur durch 2 oder 4 theilbar ist. Es seien 6,,,,... irgend welche Wurzeln der Gleichungen
X— 2— 1 71—1 2(⁹— 1)
2—1„ 1 62— 1= o,%— 1=o, 00)P
— 1= o,— 1= 0, 6(9)
und ꝗ eine beliebige von 2, p, p,.. verschiedene Primzahl. Bildet man nun die Gleichung
1
„ 141 5 = 1+ 0*9 ,V... e ee.+.,
1— 5* GoN A.. 7
S
in welcher§1, und das System der Indices, G, y, Y,... sich auf q be- zieht und multiplicirt alle Gleichungen dieser Form, welche man erhält, wenn man für g alle von 2, p, p,... verschiedenen Primzahlen setzt, in ein- einander, so kommt, mit Berücksichtigung der oben erwähnten Eigenschaften
der Indices und der Gleichungen(9),
II 1
— 0⸗ 55 0⁰ 2...= L,(10)
1— 6—.. 1.

mit dem bekanuia
d enigen;
rigen Lahleu aubit 1D d 6 b
im üder die mümei eisen, bemerken ſi ſlerenn k der Pwgenn ten§. M.III. enthaller
dung bewiesen, g nid
ungerade oder nr hni
1 1
end welche Wurehk
drimzal. Büdetmmm
„ Kcb aul 3,„, 7, M al
em, Welehe man
primrablen zetlh ni erwähnten Tierb
— 8— 0, 111 6
unendlich viele Primzahlen enthält. 21
wo sich das Multiplicationszeichen auf die ganze Reihe der Primzahlen, mit Ausschlufs von 2, p, p',..., und das Summenzeichen auf alle positiven gan- zen Zahlen, welche durch keine der Primzahlen 2, p, p,.. theilbar sind, erstreckt. Das System der Indices a, G, y, v,.. entspricht auf der ersten Seite der Zahl, auf der zweiten der Zahl n. Die allgemeine Gleichung(10), in welcher die verschiedenen Wurzeln 0,, c,,... auf irgend eine Weise mit einander combinirt werden können, enthält offenbar eine Anzahl K be- sonderer Gleichungen. Um die jeder dieser Verbindungen entsprechende Reihe L bequem zu bezeichnen, kann man sich die Wurzeln von jeder der Gleichungen(9) als Potenzen von einer derselben dargestellt denken. Sind
0=- 1, F, 9, Q,... hierzu geeignete Wurzeln, so kann man setzen 6= Oa,= b, e Qe, Q'*,. wo qa 4 2, b22=, X(„ 1) p==, oK(p— 1¹) p,„
und dieser Darstellung entsprechend, die Reihe L mit . La, b) e⸗ c* 0(11)
pezeichnen. Die Nothwendigkeit der Voraussetzung 8 1 in der Gleichung (10) beruht auf den schon in§. 1. entwickelten Gründen.
§. 9.
Die im vorigen§. mit L bezeichneten Reihen, deren Anzahl= K ist, lassen sich, nach den verschiedenen Wurzelcombinationen 6, 9, 3e, G,.. denen sie entsprechen, in folgende drei Klassen theilen. Die erste Klasse enthält nur eine Reihe, nämlich Lo, o, o, o,.* d. h. diejenige, in welcher
6= 1,%= 1, ¶= 1,= 1,. Die zweite Klasse soll alle übrigen Reihen umfassen, in welchen nur reelle Wurzeln der Gleichungen(9) vorkommen, so daſs also zur Darstellung die- ser Reihen die Zeichen in b 0= X,=!, ᷣß=I:, G= 1, auf jede mögliche Weise combinirt werden müssen, wobei nur die eine der
ersten Klasse entsprechende Zeichenverbindung auszuschliefsen ist. Die
dritte Klasse endlich wird alle Reihen L in sich begreifen, in denen wenig- D
————
* ——————
4

22 DmRMCHLET: Becweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s. o.
stens eine der Wurzeln, ο, ,... imaginär ist, und es leuchtet ein, daſs die Reihen dieser Klasse einander paarweise zugeordnet sind, da die beiden
Wurzelcombinationen 1
6, G, G, G,..; 5= b,—,—,—, unter der eben ausgesprochenen Voraussetzung offenbar von einander ver- schieden sind. Wir haben jetzt das Verhalten dieser Reihen zu untersuchen, wenn man darin= 1+g setzt, und das positive g unendlich klein werden läfst. Betrachten wir zunächst diejenige Reihe, welche die erste Klasse con- stituirt, so ist klar, daſs diese als die Summe von K Partialreihen angesehen werden kann, deren jede die Form hat
1 1 1+ (2Kk+‿ m)+ℳ 8899
wo m=k und zu x relative Primzahl ist. Mithin ist die Reihe dieser Klasse nach§. 2. dem Ausdrucke
X 2+90. 112) gleich, wo() für ein unendlich kleines g endlich pleibt.
Was die Reihen der zweiten und dritten Klasse betrifft, so findet man, wenn man sich darin die Glieder so geordnet denkt, daſs die Werthe von wachsend fortschreiten und 52o setzt, für diese die Gleichung
. 1 e 8 N7.r 5—. 2 5 Gs4* a7..= F0).ſ, 255% Ia⸗ log()**,(13) 0 T
1— ᷣ
wo sich das Zeichen auf der zweiten Seite auf alle positiven ganzen Zah- len n erstreckt, welche= und zu k relative Primzahlen sind, und a, 6,*, ),.. das System der Indices für n bedeutet, und man beweist leicht, daſs die zweite Seite einen endlichen Werth hat. Man darf hierzu nur bemerken, daſs das Polynom 9“, σO n-’ den Factor 1— æ involvirt, was so- gleich erhellt, wenn man ‿ꝛ 1 setzt, wodurch dieses Polynom in das Product
(1+ ⁵)()(4..+ 9
(‿ ra,)..
übergeht, von dessen Factoren wenigstens einer verschwindet, da die Wur- zelcombination

+ 1*½z
st dee Reibe diese Na
bleibt.
se detrifft, so fndetn t, daßs die Werde un
eGleichmg
1
(Hen
ale positiren gimu 1 mahlen änd, mde,55
man deweist leict 46 larf hierzu mur Dewedle r1= r inrohit, Na
s Polyuom in das lnar b
.-),⸗
chwiadet,
da de ſr
unendlich viele Primzahlen anthdlt 23 6= 1,%= 1,= 1, 69= 1,..,
als der ersten Klasse entsprechend, ausgeschlossen ist. Eben so leicht über- zeugt man sich, daſs die zweite Seite der Gleichung(13), so wie ihr nachs genommener Differentialquotient stetige Functionen von 5 sind. Es folgt hieraus sogleich, daſs jede Reihe der zweiten und dritten Klasse sich für ein unendlich klein werdendes g einer endlichen, durch
3 Ha 8„„— ¹ 1. b*cß 9 Jr(14)
0 1—
29 9 67 ,2...
ausgedrückten Grenze nähert. Es pleibt nun zu beweisen, dafſs diese Grenze immer von Null verschieden ist.
§. 10.
Die Grenze für ein L der zweiten oder dritten Klasse läſst sich nun zwar leicht, wie in§. 4., durch Logarithmen und Kreisfunctionen aus- drücken, allein diese Darstellung derselben gewährt gar keinen Nutzen für die geforderte Nachweisung, selbst dann nicht, wenn L zur zweiten Klasse gehört, obgleich dieser Fall sonst eine grofse Analogie mit dem in der letz- ten Hälfte des§. 4. betrachteten darbietet. Wir wollen für jetzt annehmen, die erwähnte Eigenschaft sei für jedes L der zweiten Klasse bewiesen, und nun zeigen, wie derselben Forderung für ein L der dritten Klasse genügt werden kann. Zu diesem Zwecke nehme man die Logarithmen von beiden Seiten der Gleichung(10) und entwickle; man erhält so
—
„ 1 2 29 1 — 62, Gν. 7+ 42 92 ² νο v.. us..— log L, wo die Indices, O, v, Y,... zu 9 gehören, und auch das Zeichen sich auf 7 bezieht. Stellt man die Wurzeln 6,, w,,... auf die in§. 8. ange- gebene Weise dar, und setzt 9= Oa,= 5b, o„ꝓ 9*, ꝙ‿= Q,†,..., 80 wird das allgemeine Glied der ersten Seite
1 4 26 b Obye Ohye 1 1. 2 Oe4*34 MeT2Ve.-. e;;
während nach(11) für die zweite Seite
. log a⸗ b) c) c.* 00 zu schreiben ist.
D 2
————————.———V—V—:ʒ:ʒ:—:ʒ:·.·.,.ʒ’é———
1
4 4
2
1
2**4
3

,.
—
4—
——— „——ſ..
24 DmicHIET: Becweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s. w.
Es sei nun m irgend eine ganze Zahl=, welche keinen gemein- schaftlichen Factor mit x hat. Multiplicirt man auf beiden Seiten mit
0*ea 5— 9,5b 9 ve 9— Vnc
69 89
und schreibt zur Abkürzung auf der ersten Seite nur das allgemeine Glied, so kommt
„ 4. 2 Gæ‿— an) a dG— ,)b Qby— ve)e 90A V] e. 1 4..
9 0 72 Q — æxna— ,„ b— Pac„— Pnc' — 6 P 9 9.. log La, b, c, e,..
Summirt man jetzt, um alle Wurzelcombinationen zu umfassen, von a= o, b= o, c⸗= o, c= o,. bis a= 1, b= 2— 1, c=(„—= ¼)„—, C=(p— ¹) Pp=— 1,., so kommt auf der ersten Seite als allgemeines
Glied W e.
1 q+‿ ½* 2 wo sich das Zeichen auf„ erstreckt, und MI das Product der nach a, b,
c, C,.. resp. zwischen den angegebenen Grenzen zu nehmenden Summen bedeutet,
— OGx an) a 2 5—(0) b— 9Gy- n)e Q9(ho-)˙n) 6
6
Nun ist, mit Berücksichtigung von§. 7., leicht zu sehen, daſs die erste die- ser Summen 2 oder o ist, je nachdem die Congruenz ha— a,=So(mod. ²), oder was dasselbe ist, die Congruenz ν(mod. 4) Statt findet oder nicht Statt findet, daſs die zweite 2*—⸗ oder o ist, je nachdem die Congruenz h— G,=o(mod. 2*-²), oder was dasselbe ist, die Congruenz&ν[(m (mod. ²²) Statt findet oder nicht Statt findet, daſs die dritte(p— ¹1) p oder o ist, je nachdem die Congruenz hy—„=3o(mod.(p— ¹) p**¹), oder was dasselbe ist, die Congruenz&(mod. p?*) Statt findet oder nicht Statt findet, u. s. w. Es folgt hieraus, daſs WM immer verschwindet, aufser wenn man gleichzeitig;᷑ m, nach den Moduln 2˙, py, p'*,... hat, oder was das-
selbe ist, auſer wenn(mod. k), ist, in welchem Falle M= K wird. Unsere Gleichung wird daher
1 1 1 +† 42 1 9* 2—„ ²*ν 4 12 ess 4..
= 4 XO-—=--8.-eg,—Fe
K 0 0 0 log La, b, c, f,.)
615)

4
Ren deite ab lhe
das Product der mn 3
u m nehmenden dm
* X 77.,je in
sehen, dats die eßkih
nenz Ja— G.E(-.) 1.) Statt fndet oderit nachdem die(ol
die Congruem„²t
die dritte(-)y d
od.(P— ¹) 7) dder zaht A att fdet oder diebt d
verschwindet, abemn „ RMt, oder ſa 4
le=ſu
p, lchem Fa
1. t== pe.
1 1 1
unencllich viele Primzahlen enthält. 25
wo sich die Summationen auf der ersten Seite resp. auf alle Primzahlen— beziehen, deren erste, zweite, dritte Potenzen in der Form x m enthal- ten sind, während die Summation auf der zweiten Seite über a, b, c, c,..., zwischen den schon angegebenen Grenzen zu erstrecken ist. Setzt man spe- ciell m= 1, 8o wird α= 0, O,= 0,)„= 0, I„= 0,.., und die zweite Seite reducirt sich auf
1 2 log La, b, c.c...
Unter den Gliedern dieser Summe wird dasjenige, welches dem L der er-
sten Klasse, oder nach(11), Lo, o, o, o,... entspricht, vermöge(12), log(?) enthalten. Diejenigen Glieder, welche den verschiedenen L der zweiten Klasse entsprechen, werden, unter Voraussetzung der oben geforderten Nach- weisung, für ein unendlich kleines g endlich bleiben. Wäre nun der Grenz- werth für irgend ein L der dritten Klasse der Null gleich, so würde, wie in §. 5., die Betrachtung der Continuität des Ausdrucks(13) für den Logarith- mus dieses L, mit dem des ihm zugeordneten Z verbunden, das Glied — 2 10() ergeben, aus dessen Vereinigung mit log(5) in log Lo, o, 5, d⸗.:.
noch— log(¹) bliebe, welches Glied für ein unendlich klein werdendes
den Werth— oo annimmt, während die erste Seite aus lauter positiven Glie- dern besteht. Es kann daher kein L der dritten Klasse die Null zum Grenz- werth haben, und wir haben das Resultat(unter Vorbehalt des noch zu ge- penden Beweises für die Reihen der zweiten Klasse), daſs
log La, b, c, c,..
sich für ein unendlich klein werdendes 9 immer einer endlichen Grenze nä- 3 80 0— 7.. hert, ausgenommen, wenn gleichzeitig a= o, b= o, c= 0, c= 0,.. ist, in
welchem Falle dieser Logarithmus einen unendlich groſsen Werth erhält.
Wendet man dieses Resultat auf die allgemeine Gleichung(15) an, so sieht man sogleich, daſs die zweite Seite derselben für ein unendlich klei- nes g unendlich wird, und zwar durch das Glied X log Lo, o, o, o,. wel- ches über jede Grenze hinaus wächst, während alle übrigen endlichebleiben. Es muſs also auch die erste Seite jede endliche Grenze überschreiten, wor- aus, wie in§. 6. folgt, daſs die Reihe= unendlich viele Glieder enthält, oder mit anderen Worten, daſs die Anzahl derjenigen Primzahlen-, welche
die Form Ku m haben, in welcher eine unbestimmte ganze Zahl und
——᷑—ͦ—ÿ—ÿꝑ——˖—— ·„ 4 ·———·——

26 DMICHLET: Beceis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression 1. S. 6.
m eine gegebene Zahl bezeichnet, die keinen gemeinschaftlichen Factor mit x hat, unendlich ist, w. z. b. w.
§. 11.
Was nun die zur Vervollständigung des eben entwickelten Beweises noch erforderliche Nachweisung betrifft, so reducirt sich diese nach dem unter(14) gegebenen Ausdruck für den Grenzwerth eines L der zweiten oder dritten Klasse darauf, daſs man zeige, dafſs für irgend eine Wurzel- combination der Form ₰1, ₰,£ 1, ³₰ 1,.„, mit alleiniger Ausnahme der folgenden+ 1,+1,+;,+ 1, die Summe
1
2(4-1)(t. 1)(A*. ¹)⸗(1)*,*,(46)
72
worin, G,,",.. das System der Indices für n pedeutet, und für n alle positiven ganzen Zahlen, welche durch keine der Primzahlen 2, p, pf, p',... theilbar sind, und so wie sie ihrer Gröſse nach auf einander folgen, zu setzen sind, einen von der Null verschiedenen Werth hat. In der Abhandlung, so wie sie der Akademie ursprünglich vorgelegt wurde, hatte ich diese Eigen- schaft durch indirecte und ziemlich complicirte Betrachtungen bewèesen. Ich habe mich aber später überzeugt, dafſs man denselben Zweck auf einem an- dern Wege weit kürzer erreicht. Die Principien, von welchen wir hier aus- gegangen sind, lassen sich auf mehrere andere Probleme anwenden, zwi- schen denen und dem hier behandelten Gegenstande man zunächst keinen Zusammenhang vermuthen sollte. Namentlich kann man mit Hülfe dieser Principien die sehr interressante Aufgabe lösen, die Anzahl der verschiede- nen quadratischen Formen zu bestimmen, welche einer peliebigen positiven oder negativen Determinante entsprechen, und man findet, daſs diese An- zahl(was jedoch nicht die Endform des Resultates dieser Untersuchung ist) als Product von zwei Factoren dargestellt werden kann, wovon der erste eine sehr einfache Function der Determinante ist, welche für jede Determi- nante einen endlichen Werth hat, während der andere Factor durch eine Reihe ausgedrückt ist, die mit der obigen(16) zusammenfällt. Aus diesem Resultat folgt dann unmittelbar, daſs die Summe(16) nie Null sein kann, da sonst für die entsprechende Determinante die Anzahl der quadratischen Formen sich auf Null reduciren würde, während diese Anzahl wirklich im-
—
mer 1 ist, en X.

bedeutet, und ſund
„ 8 nmaahlen 7 9. 1 j
einander ſe— ader ſolgen, men
. l der Abhaudu,
de, hatte ich äes lin
rachtungen deuään U ben Zweck auf eima von welehen wir lierw robleme anwendeu, M ade man zunächs lei an man mit Hülfe ie ie Anzall der fnctt
einer deliebigen poütee
an Fndet, daſs deelt
heser Uutersuchungi kann, wovol der e
welche für jece hue b
adere Factor Jorch dr 1. Al5 ded
16 ie llsaabe
Anrahl der quadub- lese Arall wibliche
—— a—õ
unendlich viele Primzahlen enthält. 27
Aus diesem Grunde werde ich meinen früheren Beweis für die ge- nannte Eigenschaft der Reihe(16) hier weglassen, und wegen dieses Punktes auf die erwähnten Untersuchungen über die Anzahl der quadratischen For- men verweisen(¹), welche nächstens erscheinen werden, und aus welchen der zur Vervollständigung der gegenwärtigen Abhandlung erforderliche Satz, wie schon bemerkt worden, als ein blofses Corollar hervorgeht.
(¹) Eine vorläufige Notiz über diesen Gegenstand findet man im Crelleschen Journal Band XVIII. unter dem Titel: Jur Lusage des series infinies dans la théorie des nombres.
—drhsS
———————

3eee eeeei S

Uber eine neue Methode zur Bestimmung vielfacher Integrale.
Von LEJEUNE-DIRICHLET.
WAWWAVAU
[Vorgelesen in der Akademie der Wissenschaften am 14. Februar 1839.]
DBAlanntlich gehört die Bestimmung eines vielfachen Integrals oder auch die Zurückführung eines solchen auf ein anderes von einer niedrigern Ordnung im Allgemeinen zu den schwierigern Problemen, namentlich wenn die Integrationsgrenzen für die einzelnen Veränderlichen nicht con- stant, sondern gegenseitig von einander abhängig sind, so daſs der Um-
fang der Integrationen durch eine oder mehrere Ungleichheiten ausge-
drückt ist, welche gleichzeitig mehrere der Veränderlichen enthalten. Bei der Behandlung einiger Aufgaben, welche schlieſslich auf die Bestimmung einer Klasse vielfacher Integrale von einer unbestimmten Ordnung zurück- kommen, bin ich auf die Methode geführt worden, welche den Gegen- stand dieser Abhandlung bildet, und die nicht nur die Werthe der Inte- grale ergiebt, worauf es bei der genannten Untersuchung ankommt, son- dern sich auch auf viele andere Integrale von den verschiedensten For- men anwendbar zeigt. Mit dieser Fruchtbarkeit verbindet die Methode Heinen so hohen Grad von Einfachheit, daſs man sich in der That wun- dern muſs, daſs dieselbe nicht schon früher auf ähnliche Untersuchungen angewandt worden ist. Das Princip dieser Art der Behandlung vielfacher Integrale, bei welchen die einzelnen Integrationen nicht zwischen con- stanten Grenzen auszuführen sind, peruht auf der Möglichkeit disconti- nuirliche Funktionen durch bestimmte Integrale auszudrücken. So weiſs man zum Beispiel daſs der Ausdruck
2 sin ꝙ 21— cos 9 d *, 2 cos 99 dp,
——
—

2 LErEUNE-DIRICHLET über eine neule Maethode
4
der Einheit gleich ist, so lange die Constante g, abgeschen von ihrem Zeichen, unter der Einheit liegt; hingegen verschwindet, wenn die Con- stante die Einheit übersteigt. Hat man nun ein dreifaches Integral— und wir nehmen nur deshalb keines von einer beliebigen Ordnung, weil bei drei Variabeln, dem Verfahren noch eine geometrische Deutung zu- kommt, welche das Wesen derselben anschaulich auszusprechen erlaubt— und soll dieses Integral über einen bestimmten Raum, z. B. über den von einem Ellipsoide begrenzten erstreckt werden, so darf man nur be-— merken, daſs, wenn a,, die halben Hauptaxen der Grenzfläche be- zeichnen und der Richtung nach mit den Coordinatenaxen zusammenfallen,
der Ausdruck 2 2 2 2 2 rG*G) unter oder über der Einheit liegt, je nachdem der Punkt(æ, y, ²) im in- nern oder im äuſsern Raume sich befindet, um sogleich zu sehen, daſs das
2.. A An 9 EN.(.)*.)
ſ. d 3 eos(⸗)*(5)*() J*
im Innern die Einheit zum Werthe hat, auſserhalb aber verschwindet. Multiplicirt man also den gegebenen Differentialausdruck
Pdæ ch dz,
wo P irgend eine Funktion von æ, y, 2 bezeichnet, mit vorstehendem
Integral
Integral, so hat man bei der Integration auf die ursprünglichen Grenzen keine Rücksicht mehr zu nehmen, d. h. man kann die Integrationen in Bezug auf æ, y, 2 zwischen den Grenzen— und oo ausführen, indem offenbar durch den hinzugetretenen discontinuirlichen Faktor die Elemente, auf welche sich die Integration nicht erstrecken soll, von selbst heraus fallen. Um das eben beschriebene Verfahren mit zwei Worten zu cha- rakterisiren, kann man sagen, daſs jedes über einen bestimmten Theil des unendlichen Raumes, oder wenn man will, über eine nach allen Sei- ten hin begrenzte Masse auszudehnende Integral sogleich in ein anderes verwandelt werden kann, welches sich über den ganzen unendlichen Raum erstreckt und mithin in den meisten Fällen leichter zu behandeln sein wird, und zwar dadurch, daſs man die Dichtigkeit im äuſsern Raume verschwinden läſst, welcher Forderung immer leicht durch einen dis-

b ausn auszusprechen a4
der Punkt(r,) h
1 zogleich zu sehen, l
erhalb aber ſerhfut
lusdruck
chnet, mit vorstelenea
e urprünglichen Gtem
kann die ntegxatimei
und ooc auführel, bl hen Faktor die eren- a soll, von selos lens ait zwei Worten I 1 einen Deslumten li äber eine nch Jlen
sogleich in ein let
v““
1
deh.
1
Zur Bestimmung vielfacher Integrale.
continuirlichen Faktor genügt werden kann. Es ist überraschend, in wel-
chem Grade durch diese Umformung, von der man auf den ersten Blick
sich wenig Erfolg zu versprechen versucht ist, die schwierigsten Integra- tionen vereinfacht werden, und wie durch dieselbe Probleme, die auf an- deren Wegen verborgene Kunstgriffe oder einen grofſsen Aufwand von Rechnung erfordern, ohne Schwierigkeit und mit alleiniger Hülfe einiger bestimmter Integrale gelöst werden können, welche wegen ihrer Wichtig- keit und ihres häufigen Vorkommens längst in die Elementarwerke über- gegangen sind.
§. 1.
Ehe wir dazu übergehen, die in der Einleitung beschriebene Me- thode zur Bestimmung oder Reduktion vielfacher Integrale auf Beispiele anzuwenden, wird es zweckmäſsig sein, einige allgemeine Bemerkungen über gewisse Schwierigkeiten vorauszuschicken, welche diese Anwendung zuweilen darbieten kann. Ist
ein vielfaches Integral, in welchem P eine beliebige Funktion der Variabeln ;, y,... darstellt und dessen Umfang wir uns durch Ungleichheitsbedin- gungen zwischen diesen oder auf irgend eine andere Weise bestimmt den- ken, so können zwei wesentlich verschiedene Fälle eintreten, welche denen ganz ähnlich sind, die bei unendlichen Reihen Statt finden. Setzt man näm- lich an die Stelle der Funktion ihren numerischen oder absoluten Werth, so wird das so modificirte, in demselben Umfange genommen gedachte In- tegral entweder einen endlichen Werth erhalten oder unendlich groſs wer- den. Im ersteren Falle hat das ursprüngliche Integral einen völlig bestimm- ten endlichen Werth, welcher von der Ordnung, worin die Integrationen ausgeführt werden, ganz unabhängig ist und auch derselbe bleibt, wenn man statt der Veränderlichen—, N,.. irgend welche neue einführt(1). Ganz
(1¹) Es ist hier nur von der Einführung neuer Variabeln im gewöhnlichen Sinne des Wortes die Rede, bei welcher Operation an die Stelle der ursprünglichen Variabeln x, ,. andere p, 7,* in gleicher Anzahl treten, welche bestimmte Funktionen der erstern sind. Zerlegt man hingegen jedes Element des gegebenen Integrals durch Einführung neuer In- tegrale in unendlich viele neue Elemente, so kann das so entstehende Integral einer höhern
— 2 ES, “ ͤ““ 4„ 3*

4 LEIEUNE-DIICHLET über eine neue Methode
anders verhält sich die Sache im zweiten der eben erwähnten Fälle; das Integral ist dann wesentlich unbestimmt oder unendlich. Nimmt dasselbe bei einer gewissen Aufeinanderfolge der einzelnen Integrationen einen be- stimmten endlichen Werth an, so kann bei veränderter Ordnung derselben oder nach Einführung neuer Variabeln, ein solcher zu existiren aufhören, oder, wenn dies auch nicht der Fall sein sollte, so kann dieser Werth von demjenigen verschieden sein, welcher der Art, wie die Integrationen zuerst ausgeführt wurden, entsprach. Es folgt daraus, daſs, wenn ein In- tegral der zweiten Art, bei einer bestimmten Ordnung der Integrationen, Gegenstand der Untersuchung ist, man keine der oben genannten Verände- rungen damit vornehmen kann, ohne sich vorher überzeugt zu haben, daſs gdiese keinen Einflufs auf das Resultat ausübt. Gewöhnlich wird man diesen Zweck dadurch erreichen, dafs man statt der Funktion P eine andere all- gemeinere P. einführt, welche eine neue Constante- enthält und für e= o, in P übergeht. Ist alsdann das Integral PAda d.. zwischen denselben Grenzen und so lange als e von Null verschieden ist, ein völlig bestimmtes, und läſst sich zugleich nachweisen, daſs der Unterschiegt zwischen den In- tegralen Pdæx d.., JP. d; d..
vor und nach der beabsichtigen Veränderung für ein unendlich kleines e selbst unendlich klein wird, so kann man daraus schlieſsen, daſs auch das Integral P da d. von dieser Veränderung nicht afficirt wird. Es ist dieses Verfahren demjenigen ganz analog, welches mehrere Mathematiker und namentlich Poisson und Cauchy schon angewandt haben, um ähn- lichen Unbestimmtheiten vorzubeugen. Uber die Wahl der Funktion P. lassen sich keine allgemeinen Vorschriften geben. In bestimmten Fällen wird man jedoch in dieser Beziehung nur höchst selten auf erhebliche Schwierigkeiten stoſsen; vielmehr wird man bei einiger Ubung leicht dahin gelangen, ohne das im Vorhergehenden angedeutete Verfahren wirklich an- zuwenden, aus der bloſsen Ansicht der gegebenen Funktion P zu erkennen, ob das zu behandelnde Integral die beabsichtigte Umformung zuläfst oder nicht.
Ordnung natürlich unbestimmt werden, obgleich das ursprüngliche einen völlig bestimmten endlichen Werth hatte. Es kommt dabei lediglich darauf an, ob die in das gegebene In- tegral eingeführten neuen Integrale völlig bestimmte sind oder nicht,

foden gemanoten Veri übemeugt Mhe 74 rvähalieh vird man dis unktion P eine mden l. te t enthalt und firt dy.. zwischen uie ist, ein Jälli hesiuns
erschieg nübe a4
112
rein mendlich Neis schlieſsen, daſs auh à icht aficin wit. Bi es mehrere Matbemält gewandt haben, um 1 „ Wahl der Funttanê
a. In bestimmten Flla ast zelten auf erbebled miger Ubung! leicht dii te Verfahren rübliar
Punktion Pm an b
Umformung nili
röllig bes heumast
e einen glieh eg ele N’
„ob de in ds 8
1 nie cht.
—„
ka
“ Cͤ “ ö 4 88
Zur Beslimmung vielfacher Integrale.
„*
§. 2.
Als erstes Beispiel der Anwendung der oben beschriebenen Methode wählen wir das Integral
(4)([.. e,1r T da y dy...
in welchem k, a, b5, positive Constanten bezeichnen, und welches über alle positiven Werthe der Veränderlichen ausgedehnt werden soll, die der
Bedingung (2) 2ä=a++.=1
genügen. Es wird, wie immer in ähnlichen Fällen, vorausgesetzt, daſs die Incremente dæ,&ς⁴, positiv sein sollen. Multiplicirt m man das Element dieses vielfachen Integrals mit
dc,
so wird man nach, der oben bemerkten Eigenschaft dieses Ausdrucks die Integrationen nach den einzelnen Variabeln æ, N,... zwischen den Grenzen o und oo ausführen dürfen. Man erbält so
(3) 2AUeredr.=ch.. 29 cos* dq.
Dieses neue Integral ist kein völlig bestimmtes und es bedarf einer Untersuchung, ob dasselbe seinen Werth nicht ändert, wenn wir, statt erst nach ꝓ und dann nach æ,,... zu integriren, wie es eigentlich geschehen sollte, was uns aber zu dem Integral(1) zurückführen würde, die Integra- tionen nach æ, y,.. der nach vorangehen lassen. Um sich in diesem Falle zu überzeugen, dafs die so veränderte Ordnung der Operationen kei- nen Einflufs auf das Resultat ausübt, darf man nur unter den Zeichen mit e-—es multipliciren. So lange die positive Constante e von Null verschieden
pleibt das so modificirte Integral völlig bestimmt, und man sieht so- gleich, daſs der Werth desselben für ein unendlich klein werdendes e das Integral(3) zur Grenze hat, man mag in diesem mit der Integration nach% oder mit denen nach æ,,... beginnen. Wir dürfen daher in dem Integral (3) zuerst nach æ, ,.. integriren. Wir sehen so und wenn wir zugleich statt cos—[σ die imaginäre Exponentialgröſse eei, wo i wie gewöhnlich 7— 1
B

6 LEIEUNE-DIRICHLET Eüber eine neue Methode
bedeutet, einführen, daſs das Integral(3) mit dem reellen Theil des folgen-
2 6 sin— . dc ꝙ O, re/
wo O zur Abkürzung ein Produkt von einfachen, nach, y,... zu nehmen-
den zusammenfällt:
den Integralen bezeichnet, von welchen das auf a sich beziehende die Form hat: 8 ſh 6-dnhr pa dæ, 0
und nach einer bekannten, zuerst von Euler durch Induktion gefundenen Formel, dem Ausdruck
1() + Hi)“*
gleich ist, in welchem die im Allgemeinen vieldeutige Potenz, wie ebenfalls bekannt ist, durch die Gleichung
arc 1g
(k§)“—(k*+ 5²)* 6
zu bestimmen ist, worin arctg innerhalb des Intervalls zwischen— und? genommen werden muſs.
Durch Substitution dieses Werthes und der Werthe von ähnlicher Form für die übrigen Integrale erhalten wir
2 TLO TG).:--. ſ. dg O gijrer,
&(T †.*) r
so dafs also das vorgelegte vielfache Integral(1) auf den reellen Theil die- ses einfachen zurückgeführt ist. Man kann diesem letztern eine andere Form geben, wenn man bemerkt, daſs das eben erhaltene Resultat für eine be- liebige Anzahl von Veränderlichen, y,... gültig, in dem speciellen Falle, wo nur eine,, vorhanden ist und die Constante a in a† ν+.. verwandelt wird, zeigt, daſs das Integral
1 / e— k= r5r da 0
dem reellen Theil des Ausdrucks
2 ge sin— 1 — T.. 2(a+‿ 5+. dO 7- S)

4 4). 4 utige Dotenz, nie teul
ervalls zwischen- u
Verthe von Anliceekim
—*
auf den reellen Ihelit letuterm eine wderelm
ene Resulut für eine
in dem gecielen N
1 a in a4†‿⁵ς‿. feras
; 4
— 1
zur Bestimmung vielfacher Integrale.
gleich ist. Führt man daher statt dieses reellen Theiles das Integral nach in das allgemeine Resultat ein, so kommt
—Gr y) a- 5—1 T(a) TG). 1——. 4 0 x*- da. a—„h)= 1r Anr. ſp A 44 T(a+ b+.) 36 14,
wo das vielfache Integral sich über alle positiven der Bedingung(2) genii- genden Werthe erstreckt. Man sieht sogleich, dafs diese Gleichung ihre Gültigkeit nicht verliert, wenn man die bisher positiv vorausgesetzte Con- stante K in Null übergehen läfst, und erhält so
ir Ar. Eieidr e= TTLS)...— 1IO... (a+. b+.) TGa+ b+.) TGdi+ a+5+†.)
Für den Fall, wo nur zwei Variabeln vorhanden sind, geht die eben
erhaltene Gleichung in diejenige über, durch welche die Eulerschen In-
tegrale der ersten Gattung auf die der zweiten zurückgeführt werden. Man
kann in die allgemeine Gleichung eine gröſsere Anzahl von Constanten ein-
führen, indem man statt
T, ,.. resp. 81()....
setzt, wo a, G,.; p, q,. neue positive Constanten pezeichnen. Das viel-
fache Integral wird so
2..(“ ar.() dy... mit der Grenzbedingung GrGre Schreibt man zugleich„, 5... statt a, 5,..., so geht die Gleichung
in die folgende über:, K a 0 T(*) T(2)...
3 3 (e 2 ... xo- dr. d)= A/ 9753 r(‿νμ£ ꝛNℳ0Rm, /L
Integrationen durch die vorher aufgestellte Ungleich-
wo der Umfang der heit bestimmt wird. Es ist einleuchtend, daſs durch dieses Resultat, auf drei Variabeln
peschränkt, die Bestimmung des Inhaltes, des Schwerpunktes und des Träg- B 2
—eee—

8 LEITEUNE-DIRICHLET küber eine neue Methode
heitsmomentes für eine groſse Anzahl von Körpern auf die Eulerschen Integrale zurückgeführt wird. So sieht man z. B., wenn man a= ö= c= 1 setzt, dafs der von den zwischen den positiven Coordinatenaxen liegenden Theilen der Coordinatenebenen und der Fläche, welche die Gleichung hat
(-y(w)(2)= 2 r) r() rG
21 TGA„.) 6 8
begrenzte Raum durch
ausgedrückt ist. Sind p,—, r gerade Zahlen oder Brüche, die in ihrer ein- fachsten Gestalt solche Zahlen zu Zählern haben, so wird der bloſs von der Fläche eingeschlossene Raum das Achtfache des eben gefundenen Aus- drucks sein.
Es ist also namentlich der von der Fläche
S
4a„ re.
und hängt nach gen bekannten Eigenschaften der Funktion PG) bloſs von dem Integral I. vi=
eingeschlossene Raum
die Länge der Lemniscate ausdrückt.
§ 3.
In dem eben behandelten Falle lieſsen sich nach Einführung des dis- continuirlichen Faktors und durch eine bloſse Umkehrung der Integrations- ordnung die Integrationen nach den ursprünglichen Veränderlichen ohne Schwierigkeit ausführen. Bei anderen Formen des gegebenen Integrals kann es erforderlich werden, noch andere Umformungen mit demselben vorzunehmen, um dasselbe 10f die niedrigste Ordnung, deren es fähig ist, zurückzuführen. Zu den wirksamsten Transformationen dieser Art gehört, nebst der Einführung neuer Variabeln, die Zerlegung des zu integrirenden Elementes in eine unendliche Anzahl neuer Elemente einer höheren Ord-

rüche, d 2, 30 wird der ohn eben definceunh
Funktion TL) Mbm
Lemniscate ausdrücht
nach Einführung des t.
ehrung der lotegratin en nedae K chr
les gegedenen lul ueged
ung, deren es f
onen dieser Art fei ag des un inté egimn te einer höberen Cl
dle i ürer, Tel
2ur Bestimmung vielfacher Integrale. 9
nung, oder was dasselbe ist, die Einführung neuer Integralzeichen unter den schon vorhandenen. Nimmt man zu dieser Umformung seine Zuflucht, so wird es fast immer vortheilhaft sein, dieselbe mit der Einführung des Discontinuitätsfaktors zu einer Operation zu verschmelzen, indem man die neu aufzunehmenden Integrale so wählt, daſs sie den Grenzbedingungen schon von selbst genügen, und also den discontinuirlichen Faktor ganz über- flüssig machen. Enthält z. B. das Element des ursprünglichen Integrals den Faktor 5, wo q eine positive, die Einheit nicht übersteigende Constante, und irgend eine Funktion der Veränderlichen bezeichnet, und sollen die nach diesen zu bewerkstelligenden Integrationen sich nur auf solche Werthe derselben ersirecken, denen ein positives σ entspricht, so kann man leicht den Faktor 3— durch ein bestimmtes Integral darstellen, welches diesen nur für ein positives ausdrückt, für ein negatives dagegen verschwindet.
Zu diesem Zweck kann die Gleichung
h⸗ Li dO= 1 2 9 6 1 6—
&rh dienen, welche ein Pecieller Ea
ll der schon im vorigen Paragraphen ge- brauchten ist, und worin die oberen oder die unteren Zeichen gelten, je ist. Sie zerfällt in die beiden folgenden:
nachdem σ positiv oder negatir
T(D) cos? 1 sin 2e
4—,— Z 221 . cos N LUed= S Jh. sin ‧ Nν‿ιϑσ:·m-) Multiplicirt man diese resp. mit sin und cos& und addirt, so erhält man
T(O) sin( 4 ₰
an E) LAA= E*y,
so daſs also
I, an(Ee) Veorrd,= 5 oder= o,
je nachdem positiv oder negativ ist.
Mit Hülfe dieser Formel läfst sich z. B. das Integral
sin
1 1 + ax † Sr.)? 1—aæ——.)
7 Te da.„ Ay...,
so wie das Integral

10 LEIEUNE-DmICHLET Eüber eine neue Methode
. 1 1 — 8* 421.J„) A 0 5 7. 6Tar TE)“(— 1+a+r..)“. 19 õ ræ+†+4 1, auf einfache Quadraturen zurückführen.
Um dies mit der gröſsten Kürze zu thun, wollen wir ein etwas all- gemeineres betrachten, welches beide in sich begreift.
6. 4 Setzt man zur Abkürzung à+ al ‿ y 4=, 1— a—- y—..= 5,
wo*,, GC,. positive Constanten bezeichnen, und sind e, p, 9, a, 5,... ebenfalls positive Constanten, welche der Bedingung p+ a+ 5+†.
genügen, so ist, wie leicht zu sehen, das vielfache Integral
m= ſ..—4— e dr. y Ay...,
welches sich über alle positiven Werthe der Variabeln erstrecken soll, und worin die Potenz mit imaginärer Basis in demselben Sinne, wie in§. 2., ge- nommen gedacht wird, ein völlig bestimmtes.
Da ę und e positiv sind, so hat man
ſeedo=, ſ. e-er us LerAL= D.
o 92*(+)⸗
Nach der oben gemachten Bemerkung wird das Integral nach Einsetzung dieser Werthe nicht aufhören, völlig bestimmt zu sein. Man kann daher die Integrationen nach x, y,... als die zuerst auszuführenden betrachten, und
hat dann MM= 1 8 2—Xd= t-s+) N— 1— 1 = Ero.,/,“ ueerupe dn Odhas,
wo O ein Produkt von einfachen Integralen bedeutet, von denen das nach
zu nehmende h e re-Er ae iche,,
cᷣᷣ— Vi)“

wollen wir en reill.
—— — 4
ad sind t, P, 9, 1,
ung
e lntegral
24 ..,
deln erstrecken ull ul n Kinne, wie in.
Iotegral nach Eissetum 1 ein. Man kan daber hrenden hetrachtel, u
O400,
41, T
au denem das wn:
Sur Bestimmung vielfacher Integrale. 11
Durch Substitution dieses Ausdruckes und der übrigen von ähnlicher Form erhält man
P(a) TGb)... e„ A= Wre he heer aree,. I Ty e T. do di- Bei aufmerksamer Betrachtung dieses Doppelintegrals sieht man so- gleich, dafs sich eine der beiden Integrationen wird ausführen lassen, wenn man statt einer der beiden Variabeln, z. B. statt N, ihr Verhältniſs zur an- dern als neue Veränderliche einführt. Setzt man also N= Os, I= Ods, und integrirt dann nach, so kommt b
II LG) L(a) TGo)„ 5 1 1 T(p) TOO) 4. ²+(+ i) 5)“(α— si)“(— si)) As, wo m zur Abkürzung für p+†— a,— 5—... gesetzt worden ist.
Durch diese Gleichung ist also das vielfache Integral 7I auf ein ein- faches zurückgeführt. Da das Resultat für jeden positiven Werth von⸗ gilt, so dürfen wir s als unendlich klein ansehen. Fügen wir aber zu den schon gemachten Voraussetzungen über die Constanten noch die hinzu, daſs der Werth von„ ein ächter Bruch sei, so wird sowohl die erste als die zweite Seite der Gleichung für ein unendlich klein werdendes- nur unendlich we- nig von dem Werthe, der= entspricht, verschieden sein, und folglich die Gleichung für=o noch gelten. Für das Integral auf der rechten Seite ist dies einleuchtend, und man wird sich auch hinsichtlich des vielfachen Integrals leicht von der Richtigkeit dieser Behauptung überzeugen, wenn man dieses in drei andere MWM., IIe, II. zerlegt, welche sich resp. über die Werthe der Veränderlichen erstrecken, welche den Bedingungen
T. k,— XITZX,=— K
genügen, in denen einen constanten positiven Bruch bezeichnet. Offen- par haben dann die Integrale IM, und II. für ein ins Unendliche abneh- mendes die Integrale von ähnlicher Form, in denen geradezu«= o gesetzt ist, zu Grenzen, und was das zweite IWI betrifft, so sieht man eben so leicht, daſs dieses oder vielmehr der reelle Theil, so wie der Coefficient des imaginären Theiles desselben, sowohl für e= o, als für ein unendlich kleines e, unter einer gewissen Grenze liegt, welche beliebig klein ausfällt, wenn die Constante x gehörig klein gedacht wird, woraus dann die aufge-
stellte Behauptung sogleich folgt.
“ “

12 LErEUNE-DIRICHLET über eine neue Methode
Berücksichtigen wir nun, daſs der Ausdruck.
1 (+)*
nach der Bedeutung, worin derselbe hier zu nehmen ist, für e=o, in
1 22,. 1 2, e— z öoder in e
(—*)“ übergeht, je nachdem positiv oder negativ ist, so sehen wir, daſs das Ele- ment des vielfachen Integrals nach diesen beiden Fällen eine verschiedene Form annimmt, und daſs also das Integral II von selbst in zwei andere zer- fällt. Wir erhalten so die Gleichung
1er I E) 2) TCDr-.„“ es-1, 1 e-TeU T E e/ Sh ee)—
in welcher Vund V dieselben Integrale und zwischen denselben Grenzen, wie im vorigen Paragraphen, bedeuten. Diese Gleichung giebt, da sie die imaginärè Gröſse i enthält, sogleich zwei andere, welche zur Bestimmung der beiden Integrale D und V dienen. Durch Differentiation oder Inte- gration nach den in diesen Gleichungen enthaltenen Constanten lassen sich die Werthe von andern vielfachen Integralèn ableiten, die thieils von und V der Form nach verschieden, theils mit diesen in der Form übereinstim- mend, von einigen der Beschränkungen, denen die Constanten in Vund 7 unterworfen waren, befreit sind. Wir übergehen jedoch diese Folgerungen, da wir nur den Zweck haben, die Anwendung der oben beschriebenen Me- thode an einigen Beispielen zu zeigen.
§. 5.
Zum Schlusse wollen wir die Attraktion eines homogenen Ellipsoides bestimmen, welches Problem bekanntlich die Mathematiker mehr als ir- gend ein anderes der Integralrechnung beschäftigt hat.
Es seien a, G, die halben Axen des Ellipsoides, a, 5, c die Coor- dinaten des angezogenen Punktes,*, y, z die irgend eines Punktes der an- ziehenden Masse. Es sei ferner
9*=(a— a)+(— 5)+(2— c)’*,
———————

wen ist, für 681 —
» 4
eehen nir 33—
Alen eine Ferzebieta tin zwei auders
4—. (4- 1i)(— si 7
chen denselben ömm
leichung giebt, da üi
1 welehe zur Bestmm Jillerentinion oler he en Constanten Lsnid
ten, die theils von u-
in der Form überwib Constanten in lul edoch diese Folgenuen
oben beschriebenen N
s homogenen Mlipsots atbematiker wehr Li-
ur Bestimmung vielfacher Integrale.
und ₰ das Attraktionsgesetz(wo p zwischen 2 und 3 angenommen wird; aufserhalb dieser Grenzen erfordert das Verfahren einige unbedeutende Modificationen), so ist bekanntlich die Componente A der Attraktion paral- lel mit der Axe der æ, und nach der Seite als positiv betrachtet, nach wel- cher die æ abnehmen, der nach a genommene partielle Differentialquotient
des über den ganzen ellipsoidischen Körper auszudehnenden dreifachen Integrals
(1) 1 dæ dy dz
Nach dem oben Bemerkten verwandelt sich dieses Integral in das
folgende: r. ſ. 49 9. ſcos(*+*ν+ 2) 9 eer,
wo sich jetzt die Integrationen nach æ, y, 2 von— 00 bis oo erstrecken dür- fen. Die Rechnung wird sehr vereinfacht, wenn man statt des vorhergehen- den Integrals das folgende betrachtet, dessen reeller Theil mit jenem z˙ù-
sammenfallt; sin ꝓ 26+* 3+ 5) i ar dy dæ e.ſ. 19 84/
Die Integrationen nach*,, z lassen sich in dieser Form nicht bewerkstel- ligen; sie werden aber leicht ausführbar, wenn man den Faktor e ver- mittelst der schon in§. 3 angeführten Gleichung durch ein bestimmtes In- tegral ausdrückt. Da 9* ni ist, so hat man
. h. eveu= eDen
Durch Substitution dieses Werthes, und mit Berücksichtigung, daſs G⸗) P(EEI)= P(), erhält man
(2)—rz I. J. d9 ad'see un 2u*910,
wo O ein Produkt von drei nach ꝙ, y, z resp. genommenen einfachen In- tegralen bezeichnet, wovon das erste,
A⸗[*8):—a Le] i 9

hat.
14 LEIEUNE-DIRICHLET käber eine neue Methode
den Ausdruck
1, ꝙ e à ſeE L+
—
zum Werthe hat, wie dies aus einer bekannten Formel folgt. In der That
hat man 00— rr m2. G r ν 2m x) i da— ⸗ 8⁷ 6 1, — 00
wenn!, wie es hier der Fall ist, positiv ist. Diese Gleichung ist eine sehr einfache Folgerung aus der schon angeführten des§. 3, und daraus, daſs TG*)= 7 ist.
Substituirt man diesen Ausdruck und die beiden andern von ganz
19 32; gleicher Form, und setzt zugleich ie? statt e-, so erhält man Ir-p sin„*= 2 e Sꝓ i ()— rr)e ,ſ ſ, d dd,ν9,— A) Aehe ſr5)Ge)es
wo& zur Abkürzung folgende algebraische Verbindung
2² 5² 4² S=(σσ ☛αν§☛ τπ⁷ von und † bezeichnet.
Da der Exponent S, so wie der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen homogene Funktionen von und 4 sind, so sieht man sogleich, daſs sich das Integral vereinfachen wird, wenn man statt einer der Variabeln, etwa statt N, ihr Verhältnifs zur andern als neue Variable einführt. Man setze also N=+, wo s die neue Veränderliche bezeichnet, so werden die Gren- zen für diese oo und o, wofür man auch o und oo nehmen kann, wenn man das Vorzeichen des Integrals ändert. Man erhält so
. 7„„„ 2. oO 0* 3 1— ) rA) /⸗ d 65 32 4 4=. 2 esss, 2 0A o V()(*)(*‿☛
wo S jetzt bloſs von s abhängt, und die Form
(
* 2² 5² c²
—. e.

ormel lolg. l
4* —
e Gleichung
beiden zndern za a
30 erhält man
unter dem Wurceleeite man sogleich, di üt iner der Variäbelh, in ble einführt. Iu Gr net, so werden die R nehmen kann, wemn läl
580
4.3, und Garan,
der m
zur Beslimmung vielfacher Integrale. 15
Wir haben bisher, um den Fortgang der Rechnung nicht zu unter- brechen, nachzuweisen unterlassen, worauf die Befugniſs beruht, in dem Integral(2), in welchem, nach den Betrachtungen, welche dasselbe herbei- geführt haben, die beiden von einander unabhängigen Integrationen nach und I den auf, y, 2 bezüglichen vorangehen sollten, diese Ordnung der Operationen umzukehren. Man überzeugt sich von der Berechtigung zu dieser Veränderung, wenn man im Integral(2) die Funktion unter dem fünf-
fachen Zeichen mit 6— ²⁵(&+ P)
multiplicirt, wo e eine positive Constante bezeichnet, wodurch das In- tegral zu einem völlig bestimmten wird. Es leuchtet zunächst ein, daſs das so modificirte Integral, in welchem die Integrationen nach und X leicht ausgeführt werden können, für unendlich kleine Werthe von s, das Inte- gral(2), wie dieses eigentlich genommen werden sollte, zur Grenze hat. Beginnt man hingegen in dem modificirten Integral mit den Integrationen nach æ, y, 2, die sich ebenfalls leicht bewerkstelligen lassen, so sieht man ebenfalls ohne Schwierigkeit, daſs das daraus hervorgehende doppelte In- tegral den Ausdruck(3), welcher von jeder Unbestimmtheit frei ist, zur Grenze hat, womit die verlangte Nachweisung geleistet ist. Die Ausführung der eben gegebenen Andeutung ist zu leicht, als daſs es nöthig sein sollte, in weiteres Detail darüber einzugehen.
Differentiiren wir jetzt das Integral(4) nach a, welche Constante bloſs in& vorkommt, und bringen den Faktor 26‿. ν unter das auf die Va- riable s sich beziehende Integrationszeichen, so erhalten wir
2 4 1— 3 es. ſ. 3—— N ds, TG) o(**)(*)(**)
wo zur Abkürzung r.—.- 2 4 ec‿ ſ sin es⁴νειι ςα 0
gesetzt worden. Da der reelle Theil dieses Doppelintegrals die gesuchte Componente A£l darstellt, so kommt Alles darauf hinaus, den von zu er- halten. Man findet aber diesen letzteren sogleich, wenn man sin durch
imaginäre Exponentialgröſsen ausdrückt und dann die beiden Integrale, in 62

—— 4
16 LEIEUNE-DIICHLCET über eine neue Methode
welche R durch diese Substitution zerfällt, mit der schon häufig angeführten Gleichung des§. 3 vergleicht. Man erhält so das Resultat, dafs der reelle Theil von R Null oder
4⁵E ¹) sin(—)*.— 5) ¹—5= r
ist, je nachdem§. oder§=1 ist.
50— 5) ¹1—5
Um nun zum Resultate in seiner definitiven Form zu gelangen, hat
man zu unterscheiden, ob der angezogene Punkt im innern oder im äuſsern
Raume liegt.
I. Für einen innern Punkt hat man
a² 5² 0²
und folglich auch
da s nur positive Werthe erhält. Es ist mithin
55
4 2
dE)JS./ F-N’”“
II. Ist der Punkt ein äufserer, so hat man a ² 52² 2² + 5 2— 1, d. h..1, für§= o. Da nun offenbar& um so kleiner ist, je gröſser s ist, und für= oo verschwindet, so giebt es einen und nur einen positiven Werth von s, für welchen§= 1. Nennt man s, diesen Werth, d. h. die positive Wurzel der Gleichung
so hat man S oder=1, je nachdem§ S, oder s s, ist. Das Inte- gral erstreckt sich daher nur von= F, bis= 0o, und man erhält
Ter)r MS 2 5) 63
422
(1— 8)t=* ds.

zur Bestimmung vielfacher Integrale. 17 III. Wir haben, der etwas leichteren Rechnung wegen, die Differen- tiation an dem noch nicht auf ein einfaches Integral zurückgeführten Aus- druck(4) vollzogen. Hätte man umgekehrt die Differentiation erst nach Ausführung der auf pezüglichen Integration ausgeführt, so würde man zu denselben Resultaten gelangt sein. Man hat auf diesem etwas längern Wege den Vortheil, das ursprüngliche Integral(1), dessen Differential- quotienten zur Kenntniſs der Attraktionscomponenten allein erforderlich sind, selbst zu bestimmen. Da der Werth dieses Integrals zuweilen gebraucht werden kann, so wollen wir ihn, der Vollständigkeit wegen, so wie er aus der angedeuteten Rechnung hervorgeht, hier noch beifügen. Man findet
* 1
2 da dy dz 712 h 5§5 2 2— =n= r(1—)“ 2 ds. 971 FG TrG—) V(₰(*)(*
wo die nicht angegebene untere Grenze den Werth Null oder s, hat, je nachdem der angezogene Punkt ein innerer oder ein äuſserer ist.
8. 6. C
Unter den im Vorhergehenden nicht behandelten Problemen, worauf zich dieselbe Methode anwendbar erweist, verdienen diejenigen eine beson- dere Erwähnung, welche die Theorie der Attraktion in dem Falle darbietet, wo man die auf einander wirkenden Massen beide als ausgedehnt betrachtet. Sind& und& zwei beliebige Volumenelemente der beiden als homogen angenommenen Massen, bezeichnet g die gegenseitige Entfernung dieser Ele- mente, und o) eine durch das Attraktionsgesetz bestimmte Funktion, so hängt bekanntlich die vollständige Kenntniſs der Wirkung, welche die Mas- gen auf einander ausüben, von dem sechsfachen Integrale ab
[Ng) do do
welches über beide Massen auszudehnen ist, indem die 6 zu jener Kennt- niſs erforderlichen Gröſsen leicht durch die Differentialquotienten nach den
—
(†) Dieser letzte Paragraph befand sich nicht in der ursprünglichen Abhandlung, und ist
erst während des Druckes hinzugefügt worden.

—
18 LEIEUNE-DIRICHLET käber eine neue Methode
b in den Grenzen des Integrals enthaltenen Constanten ausgedrückt werden, welche sich auf die relative Lage der beiden Massen beziehen. Das sechs- fache Integral läſst sich allgemein auf ein vierfaches zurückführen(¹), wel- ches sich über die Oberflächen beider Körper erstreckt, wenn man gewisse einfache von der Funktion FC9) abhängige Integrale als bekannt voraussetzt. Eine weitere Reduktion des vierfachen Integrals wird nur für Körper von besonderer Gestalt und für ein bestimmtes Gesetz der Elementarwirkung Statt finden können; aber selbst auf solche specielle Fälle, wenn sie nicht zu den allereinfachsten gehören, wie dies z. B. von der Annahme gilt, wo eine der Massen als kugelförmig betrachtet wird, werden die bekannten Integrationsmethoden sehr schwer anwendbar sein. Ein Fall, für den die gewöhnlichen Mittel wenig Erfolg zu versprechen scheinen, ist der zweier Ellipsoide, in ganz beliebiger Lage, deren Elemente sich nach dem im vo- rigen Paragraphen zu Grunde gelegten Gesetze anziehen. Wendet man hin- gegen auf dieses Problem unsere Methode an, so findet man ohne Schwie- rigkeit, daſs das sechsfache Integral auf ein doppeltes zurückgeführt werden kann, welches sehr verschiedenartiger Formen fähig ist, welche theils von den in den ursprünglichen Ausdruck eingeführten Hülfsintegralen, theils auch von der Wahl der Coordinaten abhängen, durch welche man sich die Ele- mente do und do' ausgedrückt denkt. Die einfachste und am meisten sym- metrische Form des Endresultats scheint die zu sein, welche aus der Annahme eines geeigneten Systems schiefwinkliger Coordinaten hervorgeht. Nach einem bekannten Satze, welcher von Monge herrührt und zuerst von Chasles bewiesen worden ist(2), haben zwei Flächen zweiten Grades mit Mittel- punkten immer ein der Richtung nach gemeinsames System von conjugir- ten Durchmessern. Nimmt man die Axen diesen Durchmessern parallel und legt zugleich den Anfangspunkt in die Mitte der Geraden, welche beide Mittelpunkte verbindet, so sind die Gleichungen für die Ellipsoide
& P ax* ² 5 2 z+eN ² A— aX ²— 5 2 2— eN 2 )re=(— GE) S)=“
1. 7 4 4. 6 27 4„ () Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii, auct. C. F. Gauss, art. 6 es Sec.
(2) Correspondance sur'Lcole polytechnique, Vol. II. pag. 328.

e wenn e Laudme Ii 3 len die h Gn Fall, ſu»e
n, M d 8 de
m
4 naeh de 11 0 Wendet 2n: ulge 3 1 n. .. Dan ohn Det. 4 aan! LXgeluht L.I velebe Tin 3 9„] f 1 legralen, Nadid ² man e Fle.
2d am wel mr ½
8 4
An 5
merR von dl 4
Gausn
b(mades An 7
ssem von ſet.
nesern pal 11
! 1
½ † 3 4 Abon Fele “ 6 6
p. ii „ Lpso
zur Bestimmung vielfacher Integrale. 19
und die Rechnung gestaltet sich für beide ganz symmetrisch. Da das Re-
sultat, welches diesem Ausgangspunkt entspricht, durch seine Form eini-
ges Interesse darzubieten scheint, so wird es vielleicht nicht unpassend sein, wenn wir die Rechnungen, welche zu demselben führen, bei einer andern Gelegenheit ausführlich entwickeln.
NOoANNN

3 SMn e fh p erv9, 22 2*
6 a. 60 o, fa—ꝙy— —*ꝶ 42 4—— vrin L f 8 2 ſo y p= 2 29 lae v Tppdes S7e
2.
ae au„ Weee
— 9 A2.
3 lo= 2e. 2e⸗ 2474=upe(Vrts) b
f, 12 2ee eru,„9, r== P/ ſ A᷑ S= P, 9 3³ D e Men 6 0⁸ 2*n,
e”,„ dhesreneer.‿l, 5„Ay N. 9 26,7.= e I—,
.-e. M. 2æE 11-4*, 7 84 3.. 251 b ake 6. 2a 71 ie e — d, Se) h,
w. a eu u †f h n 7 7 ane. P. Ss. 8 An A⸗ Seau. AVrde, Sat, . H=⸗ S/,en h.u. h,*—o Ser
4—,„ Lfa., M=Th ⸗,
— Vn- 5 F 2 os 74.
2— u-E 2. 02 eae
ℳ h 4 ea 42.* 64. E A. re, 2 l. 7O 77 29 Hneenn

88

1 6 1 8 5 4 1“————————— 1 4— *½—

VNSMWWAR H
GAUSS
Disqul isit iones
b arithaeticze
MNWvVAVMAMNAN;